106
AFDELING DBR ELEKTRGTECHNIEK
• GROEP ROGE SPANNINGEN EN ROGE STROMEN
METINGEN VOOR HET ONTWERPEN VAN MODELLEN
VOO~
VERSCHIJNSELEN IN
TRANSIENTE HOO~SPArmINGS
NETTEN. J. Padt.
EH - 66 - A2.
Hoogleraar: Prof.dr. D.Th.J. ter Horst. januari 1966.
Inhoud
blz.
Doel van het onderzoek •.•••••.•••.•.••••.•.•.•••.•••.••••••••••• 1 1. De afstandsfout a.-
•••••••••••.•••••••.•••••••••••••••••••••.•'. •••
1
1.1. De schakelaar-belasting bij de afstandsfout •••••••••••••••• 2 1.1.1. De wederkerende spanning aan de voedende zijde van de schakelaar ••••••••••••••••••••.•.•••••••••••• 3 1.1.2. De wederkerende spanning aan de lijnzijde van de schakelaar ••••••••••••••••••••••••••••.•.•••••••• 6 1.1.3~
De wederkerende spanning over de schakelaar ••••••••• 11
2. Theoretische bepaling van R, L, G, C•••••••••••••••••••••••••••• 13 2.1. Een lijn met aarde als retourgeleider ••••••••••••••••••.••• 13 2.1.1. Bepaling van de weerstand R•••••••••••••.••••••••••• 13 2.1.1.1. R geleider ••• ~ •••••••••.••••••••••.•••••••• 13 2.1.1.1.1. Temperatuur.' •••••••••.•.•.•••••• 13 2.1.1.1.2. Skineffect •••••••••••••••••.•••• 13 2.1.1.1.3. Nabijheidseffect •.•••••.••.••••• 14 2.1.1.1.4. Totale geleiderweerstand R ••••• 14 g
15 2.1.1.3. R overgang naar aarde ••••••••••••.••••••••• 16 2.1.1.2. R aarde •.••••••••••••••••••••••••••••••••••
2.1.1.4. Totale weerstand R••••••••••.•••.•.•••••••• 17 2.1.2. Bepaling van de zelfinductie L••••••••.••••••••••••• 17 2.1.2.1. L geleider ••••••••••••••••••••••.•••••••••• 17 2.1.2.1.1. Bepaling van de uitwendige zelfinductie L ••••••••••••••••• 17 u
2.1.2.1.2. Bepaling van de inwendige zelfinductie L ••••••••••••••••• 18 i 2.1.2.1.3. Totale geleider-zelfinductie L • 18 g
2.1.2.2. L overgang ••••••••••••••••••••••••••••••••• 18 2.1.2.3. L aarde •••••••••••••••••••••••••••••••••••• 18 2.1.2.4. Totale zelfinductie L•••••••.•••••••••••••• 18 2.1.3. Bepaling van de geleiding G•••••••••••••••••.••••••• 19 2.1.4'. Bepaling van de capaciteit C•••••.•••••••• "•••••••••• 19 2.2. Twee lijnen boven aarde, hiervan wordt de een als heen-
en de ander als retourgeleider gebruikt •••••••••••••••••••• 19 2.2.1. Bepaling van de weerstand R••••••••••••••••••••••••• 19
biz.
R geleider .•••••.•.••••.•••.••••••••••••••• 19 2.2.1.2. R aarde ••.•
.
.
20
2.2.2. Bepaling van de zelfinductie L.
. . 20 ............. 20
2.2.2.1. L geleider ••.•.•••••••
20
2.2.1.3. Totale weerstand R.
.............
2.2.2.1.1. Bepaling van de uitwendige zelfinductie L ••••••••••••
20
u
2.2.2.1.2. Bepaling van de inwendige zelfinductie L · .. i 2.2.2.2. 'Totale zelfinductie L ••
21 21 21
2.2.3. Bepaling·van de geleiding G•••. 2.2.4. Bepaling van de capaciteit 3. Waarnemingen ••..••.•.•••......
...
3.1. Beschouwde net-systemen •• 3.2. Neet-methode ••• 3.3. Reken-methode.
.....
3.4. Metingen bij 50 Hz.
c.
...
.......
3.5. Hoogfrequen te metingen •••.
.. ...
21
..
..........
3.6. Heting van de wederkerende spanningen ••
·
,
23
. 23
·... .....
24 25
27
·
.. 29
. 35
4. Conclusies •••••.•.•••••••••••.•••••••••••••••••••••••••••••••••• 38
-
1 -
Doel van het onderzoek. Het doel van dit onderzoek is inzicht te krijgen in het gedrag van een transmissielijn voor elektrische energie-overdracht als functie van de aangelegde frequentie. Een juist beeld van dit gedrag kan bijdragen tot een betere kennis van de omstandigheden onder welke een schakelaar kortsluitingen, die ontstaan op een afstand van enige kilometers van de schakelaar, niet correct kan onderbreken. Daar het
g~drag
van elk willekeurig netwerk gedicteerd wordt door
de componenten waaruit het is opgebouwd, en deze grootheden in het algemeen niet onafhankelijk van de aangelegde frequentie zijn, zullen we trachten deze grootheden en hun verband met de frequentie door middel van meting vast te leggen. Het gedrag als functie van de frequentie van een transmissielijn zal mede bepaald zijn door de netconfiguraties van het wisselstroomsysteem waarvan de lijn deel uitmaakt, reden waarom we in ons onderzoek ook enige zeer eenvoudige net configuraties zullen beschouwen. 1. De afstandsfout (1) Onder de afstandsfout verstaat men een kortsluiting die optreedt in het transmissie systeem op een afstand van enige kilometers van de schakelaar die deze kortsluiting moet onderbreken. De kortsluitstroom I
en het kortsluitvermogen P zijn dan weliswaar kleiner dan bij een k k kortsluiting direct achter de schakelaar maar het elektrische systeem gelegen tussen schakelaar en plaats van kortsluiting, zal na onderbreking van de kortsluiting over de klemmen van de schakelaar een steilheid van de wederkerende spanning kunnen leveren, die aanzienlijke waarden kan bereiken. Bij bepaalde soorten schakelaars kan een grote steilheid van de wederkerende spanning van meer invloed zijn dan de vermindering van de kortsluitstroom. Het kan dan ook voorkomen dat de schakelaar bij dit kleinere kortsluitvermogen faalt maar daarentegen bij het grotere kortsluitvermogen behorend bij een kortsluiting direct achter de schakelaar in
sta~t
is de
kortslui~ing
op correcte wijze te
o~derbreken.
De afstaridsfout stelt geen nieuw fenomeen voor daar de kortsluitingen die tot nu toe zijn voorgekomen in de meeste gevallen niet direct achter de schakelaar optraden, maar ergens op de leiding. De in bedrijf zijnde echakelaars hebben zulke kortsluitingen meestal op
- 2 -
correcte wijze onderbroken. Dat de kilometrische fout de laatste 10 jaren meer in de belangstelling staat vindt zijn oorzaak in het feit dat de kortsluitvermogens van de netten groter worden en de schakelaars tot dichter bij hun vermogensgrens belast worden. 1.1. De 8chakelaar-belasting bij de afstandsfout. De belasting van de schakelaar bij het onderbreken Van de stroom t.g.v. een afstandsfout kunnen we aan de hand van fig. 1.1a. nagaan. De generator(en)"G voed(t)(en) over een impedantie het railsysteem waarop bij
~de
lijn is aangesloten. Deze impedantie bestaat uit de
inwendige impedantie Van de generator(en), de impedantie van de transformator(en), de impedantie van railsystemen gelegen tussen de generator(en) en het punt A. In het algemeen bestaat deze impedantie voornamelijk uit reactanties en voor een klein gedeelte uit weerstand. De totale impedantie is geconcentreerd gedacht en uit Lv en Rv samengesteld. Bovendien hebben de inductiviteiten
~n
weerstanden een ca-
paciteit t.o.v. aarde, deze capaciteiten zijn weergegeven door de geconcentreerde capaciteit C •
v Op het railsysteem bij A is via de schakelaar Seen transmissielijn
aangesloten waar op een afstand 1 van Seen kortsluiting ontstaat.
A
5
L
c..
I
•I
- - - - - - - --1
:\ :\
: \
TY7JEAlS :bE
koltT~Ltn r'Ntf . .\
Nil HET ol'ENcN VIIN
S.
\
\
lL ,
\ \ ;,
\: fig. 1.1a.
- 3 -
1.1.1. De wederkerende spanning aan de voedende zijde van de schakelaar. De spanning die aan de voedende zijde van de schakelaar wederkeert zal afhankelijk zijn van het lijnstuk tussen schakelaar en kortsluiting, beter gezegd van de vierpool tussen schakelaar en kortsluiting, en de
i~pedanties
in het voedingssysteem.
Het circuit is dan volgens fig. 1.1.1a. te beschouwen.
-
Lv
.
\/""ulllJVU _
~"
A
S
III
~
~I
II)
)
-
I
ZO
I I I
C3
- - C"
6'
I Ll,
I
.
I, II
.
I
.., I
Fi g. 1. 1 • 1 a.
De generator G geeft een klemspanning: E
=e
coswt', waarin t'
de tijd voor het openen van de schakelaar S is. We nemen aan dat de stationnaire toestand is bereikt vlak voor het openen van de schakelaar op het tijdstip t
= O.
We kunnen dan zeggen:
E
=
(R v + jwL v )
met Zkl de kortsluitimpedantie van de lijn met lengte 1, I
I
= !1
+
r~
s
=
stroom door de schakelaar.
- 4 -
We moeten ons hierbij bewust blijven dat Wde industriele frequentie representeert. Lossen we de verge op dan vinden we voor U1 : ~k
= argument
Zkl
CPT = argument ZT
ZT = Zy
+ Zkl + j~CvZklZY=
= Z y ( 1 + jColCyZ ) + Zkl· k1
voor de industriele frequentie mogen we stellen: tUC
v Zkl
«
waardoor: ZT ~ Zv + Zkl·
1
Voor de spanning U vinden we dan: 1
U1
e
Zkl Z
cos (wt • + ~k - Y'T)·
v + Zkl
zie fig. 1.1a. blz.2.
Schrijven we nu de D.V. zoalsdie geldt yoor t
> 0:
?
E=LC v v
d'-U _~s..;.v+RC
dt2
v
dU
v -dt
Sy
+ U
ev
waarin U sy de spanning oyer de schakelaar is aan de voedende zijde. Als
a
=
@/V< 1
_ W2 L C )2 v v
'fu = arctan ~RCIJ V y 1 oJ. v =
RvjL , y ,
U
fv
U cos (Ie) t sv =
=
-
2
~
1
Lv Cv dan vinden we:
;,JLyC V '
-
- f u)
+ A
E.
_ct'yt
cos (~.,t - t).
- 5 -
De schakelaar gaat open als I
s
=0
en dit vindt plaats op t
= O.
Dan is t' als we bedenken dat moet gelden: I
s
cos (wt' - fT) = 0 ---. t' =
=
Bedenken we dat er geen discontinuIteit in de spanning op zal treden dan geldt: ;f+ 2f
T ) (t = 0) =. U1(t~ = sv 210 dU 1 1 ) sv '-) 2e : ( = ( 1: + 2 Y'T d t t = -0 C v t' = 2to waaruit:
1e : U
11 cos
If u
+
A cos l' = -
e
sin Cf k
Voor de voedende systemen zullen de volgende waarden voor Rv ,
en C redelijk zijn: R ::::: 1..Q, L -= 10 mH, C :::: 0,5./C.F, zodat v v 2v / v 2 2 2v we aan mogen nemen dat fA) L C <..< 1 en w R C «1. L
Dan geldt:
u :::: 4)R eC
v v
want sinrk
A
~
A cos
v
,cos Y'u ::s 1 en s~n 'f u ::::: O.
v v
We vinden dan:
v
f
1, cos)Ok
=~
i
1
1 en
sin~
sin
f
k + lcJR 1 C
v v
J -e
:s IJR C
v v
<1
sin }Pk -
("J4 (V
We hebben dUB:
A cos
+ ~ - @/"'R C I' v v
A sinf ~
R C
v v
- 6 -
Hierui t Tinden we: tan
r~
Rv
R
«1
v ~
Ie kunnen dan atellen da t cos «(?Ivt -..,,) A:: - •
~R
coe f3vt
waardoor
C
/" v v
Voor de wederkerende spanning aan de Toedende zijde van de sohakelaar Tinden w. dan: U
ev
We
....,
...., 4)R
• C
,v v
zi~n
dat,deze spanning bestaat uit een component bepaald door
de induetriele frequentie ,en een ged.mpte component bepaald door ,de ,
resonantiefrequentie
(Iv 2i
frequentie Tinden we bij
van het voedende 81sts.m. Voor deze S~b8titutie
van Ly en C - 2,25'kRz., v
1.1.2. De wederkerende spanning aan de
1ijnz~jd.
van ds 8chakslaar (2).
De bovengrondse lijn kan worden opgevat a18 een elektrisch netwerk met verdeelde zelfinductie, capaciteit en weeretand. We veronderstellen dat op de lijn de telegraaf-vergelijking mag worden toegfp.at. Dit betekent dat de zelfinductie, capaciteit en weerstand per lengte-eenhe id constant wordt aangenollen. We verkrijgen dan onderetaand, figuur.
,
I
"-I.
f
i
I
I
I
I
I Ie
j
1I I
t.
•
t I
I x
~
oX
)I
I e+b4i!. I I I f I I
Xtux.
- - -... x.
- 7 -
We beachouwen een kort lijnatukje R*
~x
en noemen:
G*
= weerstand in ohms per lengte-eenheid. = zelfinductie in Henrys per lengte-eenheid. = capaciteit tussen de geleiders in Farads per lengte-eenheid. -1 = geleiding tussen de geleiders in ohms per lengte-eenheid.
e
= spanning tussen de geleiders ter plaatse x.
i
= stroom
L* C*
in de Iijn ter plaatse x.
Het spanningsver~al langs de Iijn over een afstand
=,-
()e
R*i
Ox - L*
;~
dx
ie:
ax
De vermindering van de stroom lange de lijn over een afstand ~x is: Oi
=-
G*e ()x - C*
~~
ox,
We krijgen dan de vergelijkingen: oe
li = R*i + L* ot
~i
Je = G*e + C·
ax ()X
ot
Uit (1) en (2) kunnen we de verge voor de spanning en d$ stroom bepalen:
en voor de hele lijn met lengte 1 voIgt:
(R/L
+ G/C)
~;
+ RG/LC e.
- 8 -
d2 1.
Oi
+ (R/L + G/C) -- + RG/LC i. bt 2 c)t
waarin L,C,R en G de waarden voor de he1e 1ijn met 1engte 1 zijn. We hebben dUB de verge1ijking: 2
= 0~t2 ----! Ste1 nu:
= U ( x, t
e
)• €
t (R/L ~= t (R/L v = 1/{LC' at=
+
R
G
L
C
+ ( -- +
oe
RG
0
LC
) "lo.t +
e.
-~t
G/C)
= demping
G/C) = vervorming
=
fasesne1heid
dan vinden we: v
Neem ~
2
~2U dan: ~x2
=0
en ana100g voor I:
=
~21 2
(4 )
OX
met ale beginvoorwaarden: t
III
0
= e.
U
waarin:
I
s
QL
•
ao (1
= topwaarde
- x)
=
( 1 - x),
van de door de schake1aar te onder-
breken stroom. coefficient van ze1finductie van de 1ijn per 1engte 'so = eenheid bij de industrie1e cirke1frequentie t.J.
L*
x = coordinaat lange 1.
- 9 -
dan:
- Is
x
=
0:
U
=
x
=
1:
U
= o.
• t.JL so • 1
I(o,t) = 0
x = 0
( bU )
at
We hoeven a11een
t
=
~3)
0
=0
op te lossen omdat i uit (2) vo1gt.
De algemene oplossing, is: U
=
f
(x - vt) + f
2 geschikte particuliere oplossing is echter : U 1
(x + vt). Een
= F(x).
G(t).
We passen dus separatie van variabelen toe en vinden dan: 1
F
2 d G • G • 2 V2 dt
d2 F • 2 dx
=
2 d F • 2 dx
=-
1
1
.
of: 1
F
k
2
=
1
~
2 d G • G • 2 dt 1
(5)
hierin is k voorlopig een willekeurige constante. We vinden als oplossingen van (5) : F(x) = a sin kx + a cos kx. 1 2 G(t) = a sin vkt + a 4 cos vkt. 3 de integratie constanten a 1 ,
•••••••
an kunnen afhankelijk zijn
van k. We kunnen bovenstaande oplossing schrijven in de vorm van de algemene oplossing, zoals bij substitutie direct b1ijkt. Substitueren we de oplossingen van (5) in de vergelijking voor de spanning e dan krijgen we: sin vkt + a4 cos vkt)
(6)
en i voIgt uit (2) n.l.: i
= Z1
•' E -~t ( -a2 sin kx +a 1 cos kx ) ( -a4 sin vkt + a cos vkt ) 3 o
- 10 -
waarin Z
o
=
-r:;; =
karakteristieke impedantie.
Substitutie van de beginvoorwaarden in de betrekkingen (6) en (7) levert ons:
a1 a
3
k
=0 =0 r = (2n + 1 ) 21
,
met n
= 0,1,2,3, ••••.
De 1aatste voorwaarde maakt n op10ssingen moge1ijk.
we a 2 a4 = An dan gaan (6) en (7) over in:
Stellen
co
=t
e
-ott
L= n
=
i
E
-~t
Z
cos (2n + 1 ) Ix • cos (2n + 1) n • 2I
A
(8)
0
00
Ln = 0 n . sin (2n A
0
~vt
TI
Xx Xvt + 1) sin (2n + 1) 2). • 21
op het tijdstip t = 0 geldt voar de spanningsverdeling over de lijn:
u
•
-
I
= -
I
L
s
•
(1- x), waardoor dan vOOr (8) ge1dt:
50
00
L;o (1-
s•
x) =
L
A • cos (2n + 1) ~x 21
n
n = 0
Met behu1p van de formules van Euler kunnen we A berekenen: n
A = n
..
1 1
_ -8 ;2. if
1 .£4>L
s
I
50
.( 1- x). cos (2n + 1) ~~ dx =
s • tuL.· 0 .1
(2n + 1)2
Voor de spanning E
o
ter
p1aa~s~
X = 0 vinden we tens10tte: cos (2n + 1) ~vt 2 l
00
E
o
=
I • k> L:, • 1 • f. -~t • s gO
L= n
0
(10)
-
11 -
Deze op1ossing is periodiek met periode 2ren heeft een frequentie van' (2n + 1)
dI Hz.
i
cos (2n + 1) °22
;;
Nu is
De grondfrequentie, n = 0, is ~ Hz.
L.n = 0
i{2
=
vt
0 ~ t ~
T (1 - T );
21
v
(2n + 1)
Substitutie geeft: E
o ( 11 )
De wederkerende spanning aan de lijnzijde van de schake1aar is nu vo1ledig bekend. We zien dat deze spanning op het tijdstip t = 0 rechtevenredig is met de te onderbreken stroom I
s
en de reactan-
tie van de 1ijn bij de industrie1e frequentie. ,
1.1;3. De wederkerende spanning over de schakelaar.
De spanning die na de opening over de schake1aar komt te staan kunnen we vinden door de wederkerende spanning aan de lijnzijde, gevonden in 1.1.2., af te trekken van de wederkerende spanning aan de voedende zijde, gevonden in 1.1.1. Dus: U = U - Eo. sv SW Vlak na het tijdstip t =0 zal de spanning over de schakelaar hoofdzake1ijk bepaald worden door de spanning aan de lijnzijde van de schake1aar, dit vanwege het feit dat in de spanning aan de 1ijnzijde veel grotere frequenties voorkomen dan in de wederkerende spanning aan de voedende zijde (-2 kHz). We zijn vooral geIntersseerd in de steilheid van de spanning over de schakelaar op het tijdstip t = O. We mogen dan met goede benadering aIleen de steilbeid van de wederkerende spanning aan de lijnzijde van de schakelaar be schouwen en vinden dan: ...
S
o
= I s .loL*50 •
(~l+ v).
Stellen we p.at de "scherpte" 'van het circuit (severity of the circuit)'voor onderbreking door een schake1aar evenredig gesteld kan worden met het produkt van E , I en S dan zijn we in staat o s die 1epgte van de lijn te bepalen waarbij genoemd produkt maximaa1 is.
- 12 -
Stel F
= K. Eo .1 s • S,
wa~rin
e3 .l(~ 1
F = K.
Iz v
Keen constante is.
+ v) + to L· • 1 3 •
1
40
F vertoont een maximum omdat F
Zien we af van de demping Zv ~ritisch = 2tvL • so
Voorbeeld
~
=0
voor
1
=0
dan vinden we
en 1
~noemd
~ 000.
maximum bij
Spanning 220 kV. Symmetrisch kortsluitvermogen 20.000 MVA 2 220 Zv = 20.000 = 2,42 JL
Voor de door ons beschouwde lijn geldt: 4.> L
so
= 0,94 .n./km
waardoor de kritische lijnlengte wordt: 2,42
1 kr
(1)
= 2.0,94 =
A. Hochrainer
1,3 km.
- Der Abstandskurzschluss. E.T.Z.
(2)
J.R. Carson
ABo
(1959)
- A.I.E.E. Proc. II
2,
65-70.
(38), 1919, 409.
- 13 -
2. Theoretische bepaling van H, L, G, C.
2.1. Een lijn met aarde als retourgeleider.
2.1.1. Bepaling van de weerstand R. De weerstand van het systeem zal uit 3 serie-weerstanden zijn opgebouwd n.l.: R geleider, R overgang naar aarde, R aarde.
2.1.1.1. R geleider (1) De gelijkstroomweerstand R van een geleider wordt gegeven door de 1 0 formule: R .Q. o q
=.f -
f=
specifieke weerstand van de
1 = lengte in m. q
= doorsnede
2 van de draad in m
ge~e:i der
in..am.
.
Nu zijn er drie effekten die tot gevolg hebben dat de weerstand, onder bepaalde omstandigheden, niet gelijk zal zi jn aan R •
o
Deze drie effekten zijn:
2.1.1.1.1. Temperatuur. Tengevolge van temperatuur invloeden zal er een verandering van de weerstand optreden volgens: R
t
R o
= R
o
(1 +0(..49).
o bij 20 C.
= gelijkstroomweerstand o
.6{}= temp. verschil met 20 C. ~
= temperatuur
coefficient van de specifieke weerstand
2.1.1.1.2. Skineffekt (2) Bij toenemende frequentie oppervl~k
z~l
de stroomverdeling over het draad-
'niet langer gelijkmatig zijn.
Di t betekent dat we voor de grootheid
q een andere waarde zullen
moeten substitueren, daar de effektieve geleiderdoorsnede t.g.v. de oneelijkmatige stroomverdeling een andere waarde aan zal nemen.
f
- 14 -
Om de weerstand van de geleider als functie van de frequentie te
kunnen bepalen zullen we de vclgende vooronderstellingen maken: a. de draad heeft een ronde doorsnede. b. het veld rond de as van de draad is symmetrisch. (bij twee geleidert geldt dit aIleen als de afstand tussen de eeleiders groot is t.o.v. hun diameter). c. de golflengte is zo groot dat veld-veranderingen in de richting van de draadas buiten beschouwing gelaten kunnen worden. We vinden dan voor de weerstand:
waarin:
V - J.~ f
k = - / r
=
I i n.!' ' /~= =J.t. ,waar permea b'l't ~ 1. e1.'t' •
straal van de geleider.
JO(kr) = Besselfunctie van de nulde orde, eerste soort. J (kr) 1
=
Besselfunctie van de eerste orde, eerste soort.
2.1.1.1.3. Nabijheidseffekt (3) Is de stroam t.g.v. de aanwezigheid van andere geleiders niet langer gelijkmatig over het oppervlak verdeeld
dan zal er geen
weerstandsverhoging optreden volgens:
waarin:
h = hoogte boven aarde.
a Bij twee geleiders dienen we h te vervangen door 2
waarin a
de afstand tussen de geleiders is. 2.1.1.1.4~
Totale geleiderweerstand R
g
De weerstand van de geleider, rekening houdend met de hierboven genoemde effekten, wordt nu:
- 15 -
R =R g 0
(1+0148)_72 V h- -
h r
2'
Beschouwen we een hardgetrokken Cu-draad met een specifieke
f
weerstand
10-8~m, (opgegeven
= 11,2.
2
een doorsnede q = 16 mm , een lengte
door Landolt-Bornstein)
1= 100 m bij een minimale
hooete boven het maaiveld h = 2,5 m en een temperatuurverschil
A{) = OOC dan kunnen we zeggen:
R
g
= R0
• Be
t
kr JO(kr) • J ( ) 2 1 kr
Voor de gelijkstroomweerstand R
o
Ikl
Stellen we y =
2 1/2
r
i
n -JL-
vinden we: R
0
dan geldt; indien y
I
?
= 0,7 JL
2, d.w.z.
f )90 kHz; als een goede benadering:
Rg
=
3 )-r.L. 0,7 (y + 0,25 + ~
2.1.1.2. R aarde (4) Voor de aardweerstand als functie van de frequentie kunnen we schrijven: Ra
waarin x =
=_
~ j
s. 1. 1x Jrh
"'/uo
I
H (xr')
o
I
25
r'= indringdiepte van de stroom in de aarde. s = specifieke weerstand van de aarde, waarvoor wij de gemiddelde gemeten waarde zullen nernen, n.l. s =
3,3 J2 m. Deze waarde komt overeen met de waarde
zoals die in handboeken voor zeer natte grond wordt opge geven. H = Hankelfunctie van de nulde orde. o H = Hankelfunctie van de eerste orde. 1
- 16 -
In het frequentiegebied dat voor ons interessant is, n.l. 100 kHz
~
~
f
1 MHz,
0, 8 ~
\x \
geldt voor het argument van H en H : 1 o h ~ ~,5
We kunnen dan H en H benaderen door: 1 0 H
t Waar-door: H
0
H
1
(x r' )
(x h )
R
= -~
r '=h
5.1
a
~
= 2J:h
Jxl
.-R
-n...
2.1.1.3. H overgang naar aarde (4) Om geheel los van bestaande aardingssystemen te kunnen meten hebben ~ardingssysteem,
we aan weerszijde van de lijn een
bestaande uit
2 aardpijpen, geconstrueerd. De overgangsweerstand van deze 2 aardpijpen is:
H'overgang
waarin: lp d
x
21
s
= 211
•
In
p
-v
dx I 2
=
lengte van de aardpijp
=
diameter van de pijp
= afstand
tussen de
p
=6
m.
= 2,5 em. pijpen = 2m.
De overgangsweerstand van het circuit is 2 x H', waardoor we voor H vinden: overgang
Rovergang
s = 1rlp
1
2 Ip
_ 0 9
n _ ;:;::-1....
,
..n..
V$ 2
We zullen aannemen dat deze weerstand zo weinig met de frequentie varieert dat we deze
7~randering
kunnen verwaar10zen.
- 17 -
2.1.1.4. Totale weeretand R. De totale weerstand in het circuit is:
R = Rgeleider + Rovergang + R aarde. 2.1.2. Bepaling van de zelfinductie L. De zelfinductie van het circuit zal eveneens uit drie aerie
.
zelfinducties opgebouwd zijn n.l.: Lgeleider' Lovergang en Laarde2.1.2.1. Lge 1 e~°d er • De zelfinductie van de geleider is opgebouwd uit twee delen: de uitwendige en de inwendige zelfinductie. De inwendige 'zelfinductie is t.g.v. het skin-effect afhankelijk van de frequentie. 2.1.2.1.1. Bepaling van de uitwendige zelfinductie L
u
Bij de bepaling van L
u
(4).
zullen we alleen de flux beschouwen die door
de lucht loopt. Het systeem is volgens de onderstaande figuur te beachouwen. Maken we de kringintegraal van de magnetische veldsterkte op dan vinden we:
f Rd. =I ~2ifeB. I ~ = 2;s
voor s)- r.
Bedenken we dat voor lucht jUr = 1 dan geldt:
jUoI B=2X'e·
De magnetische flux door het oppervlak 1 ds omvat is dan: h
¢=effBldB = r
f
IUo I 1. d.s = :.../U...;o;...l_ ln 2 ;fs
Hieruit vinden we voor L : U
2 if
~ r
• I.
2.1.2.1.2. Bepaling van de inwendige zelfinductie L (2). i Maken we dezeIfde
vooronder~tellingen als
bij de bepaling van de
R I'd t.g.v. het skin-effect dan vinden we voor de inwendige ge e~ er zelfinductie L. : ~
• 1m
Henry R
met als goede benadering: Li
=~ •
(y -
~
3
-~2'"O" )
Henry
128y
geleider-zelfinductie L •
g-
De zelfinductie van de geleider is nu: L
g
= L
u
+ L .• ~
2.1.2.2. Lovergang • ~e
nemen aan dat de aardingselectroden een zo kleine bijdrage tot
de circuit-zelfinductie Ieveren dat we deze mogen verwaarlozen. Dus L overe;ang
=0
Henry.
2.1.::>.3. Laar de. Voor de aard-zelfinductie van het circuit vinden we: H
L
a
5.1
= 1.O = 2 ;f. W. h • a
Ix! :
Ix 1
.
-v;
Henry.
Zie pagina 15.
2.1.2.4. Totale zelfinductie 1. De totale zelfinductie in het circuit is:
L = LDe I e~'d er + Lovergang + Laar d e'
- 19 -
2.1.3. Bepaling van de geleiding G. (1) De geleiding is een maat voar de volgende optredende verliezen: a. isola tie verliezen b. dielectrische verliezen c. corona verliezen. De geleiding is in het algemeen za klein dat we de volgende waarde voor G aan mogen 'houden: G G =
= 8~S/km,
waaruit voorma geval:
0,8 )'s.
2.1.4. Bepaling van de capaciteit
c. (5).
Voor een geleider met ideale aarde als retourgeleider geldt voor de capaciteit C:
C :: I
-J
2;fE,€1 o r h 2 - r 2' + (h - r)
n-JJ? h-
- r 2' -9 F/
c
~o
1 = 36~ •
tr
= relatieve
10
(h -
Farad
r)
m
dielectrische constante, voor lucht:
€r
= 1.
Substitutie van de bekende grootheden geeft: ~ C ~ 730 pFarad.
2.2. Twee lijnen boven aarde, hiervan wordt de een ala heen- en de ander als retourgeleider gebruikt.
2.2.1. Bepaling van de weerstand R. De weerstand van het systeem zal 2x de weerstand van de geleider uit 2.1. worden plus een extra weerstand t.g.v. de invloed van de aarde op de draden.
2.2.1.1. Rgeleider.
- - - - - - , " ..
~
,
"
:e
t:
vr:1.c:e~1:e
L: rr,' J 10 :;ct
a
."
,ie
, ., er.
e "'feet \'erw8.Jrlozen.
zU~J
~ \...~l~~
-----'-----
'IV e
p
r :3 t ;: . .~ "~
2 =
Je z e "1
:'.:
n d ";,.l C t ~ e
ctr~u~~
zal al'eor
T
1
.Je zelf:i:lductie
t::
:. -2 e ;~' ali r~ is V;1. n de u 1. ~ '// e ~:~:. i"~ 7 e 1 ~ ~:1 d u s e ~ - - - - - ' - - - - ' " - - - - -.......- - - - - - - - -......" - - - - - - - - - - - - u 'IGor
~;:twe',di;::e
ie
zelfi:d'.1ctle
~s
}'(' • 1 u
=
1n
?~
.
"
"
~
twee
j,e
v:::;L~"Yl-:e
f::::r::ule af te :pj,'ler.:
e ' : c ,,\ c) U
Ao =.
T
,
in
A
u
J/,)
/-1A..7:''>Yr~r ..:. -~'........
9....1_;_'_~_::_~_.' _'l..::f.:.-,_.~....:e~_..::j....:t_.'....:N-=C_·_'..:j..J\... :....:n_:....:?..:~_~:......('....:"_'_' _~_1l....:(....:~ _t:..:i....:f'....:.----,,-" i
-,--,-_'_._--,
.
In 2.1.2.1.2. hebben we de formule voor de inwendige zelfinductie of~eleid,
van een draad E
i
'J
W
-
.7
..
...
1
ze:ri ..-:~_·;c"::e
-"
n.l.: (': r )
~
(~~ r )
~
}
:{l-~:;
ry
.
'!::-,:;e~.:.: ~
--,
.\
o
LU ~~tnJ.e
~e
tota:e
I.-I.
'1
+T
(y 1
z~:finduclie
zelf~~i~ct::e
in
he~
c'rcit
•_ u C" .
...
..
• c.. .•
/
'~'-11
J e f, ,'Ie unk
aR~nemen
c;e 1 :l + :
~~!
_"'y2
lC
n
,
.
,
.,l.
'-r
_.__.___ ~ :'_.. _c...r~.'_"1._~_1._~:...:.F",-", _'l_u,_"1_"_(_)'~ r: a ~"-; ,"~.~ e:: .,
( ,
-
, I
Jat 'Iocr de
-~
t
(1) N.l. Megede .
- Fortleitung elektrischer Energie langs Leitungen in Starkstrom- und Fernmeldetechnik. (11-11).
(2) K. W. 'Nagner
- Elektromagnetische Wellen.
(9 (3) H. Kaden
d
(104-d) ).
- Uber die Verlustwiderstand von'Hochfrequenzleitern • . A.f.E. Band 28 (~18),
(4) R. Rudenberg
1934.
- Elektrieche ~chaltvorgange.
(IV, 25-c (39); 30-a en c) (5) A.
Roth
- Hochspannungstechnik.
(1-6).
- 23 -
[
- ----------t"f'------------
~
if
I
Z·(, I o---------./h!'-----------J ... -r,,..,..,...,,.-r-;-r-r-:..--r-r--;--;---r..,..--,-;-/J/-,";""""";'""7""7""T7---r-r--r;,..,.---,--,--:--:-r-,o-:-..,....,
1I/1//7//I/7///I// lr////1/7/// / / / / / ////7
o-----------If---------o
-
r I
z·"
&
, .. .,
.; ,
v
....,~ -.,
-
.
~1 _~
~..
.
1
- 24-
O------------Itf---------o II
T
r
I
-z.
777717+77
I
/~/7
/77/7//77/// 1b 7 v v 7 + 1 / 7 !
1/
[
f I I
- -... Z.
J /7/
~
/77~
I-
/7/t
17777 /777/77/77 0)7/7//7//
.
A
'"":1'
......
..., <
•
/77177
- 25 -
~et
o~e~7e~der
behulr van 1e
~er~
~l~us-vormig
een
z
gekozen frequent:'e aan de hruG ce1egd. ;;e volt'Jeter "-erG cp
rJ.e::"el!'~:e
afgestemd,
~requentie
va~
Aanvankelijk hleek de invloed
~o
de antenne-werking van de lijn geen betrouwbare metingen metin~e~
tussen
van
3isnaa1 V
stnors~IT~alen, ten~evolce
de
van
erGot te zijn dat in het geheel
mogelij~
waren. Er was geen merkbaar vprschiJ ui~~evoer~.
die 6verrJ.ag en's nachts werden
Er is een fermule af te leiden voor de relatieve fout F
r
die we
~a~en
als de br'l[j in evenwi c'lt wordt ,:je:)racht in aan'Jlezig1Je:i d van 'Jen .stc0rsignanl V over de s Veer F gel~t dan:
~e
met~~
impedantie.
r
'Is
,. 'J
200.
:
Bij elke
Z
? %~L.OC. r
~
Vs 'lz
+
~ekozen
'I ~~ 17 ~ ' "...I
+ 2
'1/ 5
,
'U'7
~
meetfrequentie weri V
Terd de meetspanning V zedanig te kiezen ::lilt F
z
naximale geoeten een
ampli~ude
"panIll"ng c, , ,
st6orspannin~ 'r m'v.
van ,-,
~
~ad
~en
klein
r
rreque~tie
Hierdoor vinden we veer F
Vz ',r"''''' c,.. 4 "olt', V
Deze rneeelijke fout
Va
wa~rdoor
b~paald,
s
0•
" -'?S°t, . , .'
<."'- r .:::: ./r, '.,
--..;
r
\'leri~.
va~
~ij
hat
mo~elijk
Je
~0n
en
een meet-
"iO~;', -' •
van een dusdanige grootte-orde dat we Jeze
~s
verder zullen verwaarlozen. De gedane waarnemingen megen we achten binnen
5~
reproduceerbaar
te zijn, hetgeen we r;econcluJeerd r.ebben d. t :l-'t ,oei tJ"l.t hij ec'i
3x herhaalde niet
~eer
waarne~ing
5~
dan
Reken-met~nde
toepilS2in~
e~n
waar~e~inGon
5%
ding zeker binnen de
Indien men van
~e
spreiding
bedroeg.
Door een grater aanta1
~.3.
ep een aantal meetfrequenties
(
\
A
te
verric~ten
krijce~
grens te
zal rleze sprei-
ZlJrr.
\
I.
systecm waarop 1e
zijn, de nullast- en
telegraqf-ver~elij~in~en van
kortsluit-irnp~dantie k3~ he~alen,
is men rnet behulp van deze impedanties in staat a"lp groctheden te
here~enen
die veer
~et
gedrar van het systeem
zijn. ;Ye neer.1en de de
kortsluit-impe~antie:
null~st-impedantie:
kara~~eristiek
- 26-
Zijn de
tele~raaf-ver~elijkineen van
toe passing Jan
met een symmetrische vierpool waaraan we een dantie Zo en een voortplantinesconstante
-
tanh
,~
t
= J~' e
u
'(
~fR
=
we le doen
karakteristie~p
r toekennen die we
impe-
op de
defini~ren:
volgende wijze zullen
zo =zej
~eb~en
=
• ~n ''7
fi
j
(R+ jloT)
(G + jWC)
Y'k-Y'n 2
Zn' e
jwl) (8 + j wC) = E +j~.
+
waarin R,L,G en C de te berekenen erootheden van het systeem zijn. 'Ne vinden dan:
E =-
0=
I),? '5
In
I
?
A~ + 1 + ?A cos ~J --=2---------'--
A +
0,50 arctan
1 -
to/A
2A
cos
t
sin?lpj
1 - Adan:
'7
o...J
L = G =
o
( d cos f
'"1 Z
( E. cos
0
1
C =W3
r
( acos
If
+
t.
sin
'f)
+
C>~in
'f)
-
E. sin
Y' )•
0
We die:lcn
0:18
erVall 1'e 'J'.l.st
~e
zijn dat ':et noodze.kelijk is n:t te
gaan in hoeverre de systernen die wij onderzocht T.ogen worden als zijnde systemen waarop de
hehh~n
heschouwd
tele~raafvergelijkinge~,
- 27 -
en daarmee de boven gestelde rekenprocedure, van toepassing zijn. We zullen dit probleem nader onderzoeken onder 3.5. ·waar de hoogfrequente metingen besproken zullen worden. 3.4. Metingen bij 50 Hz. Om een
vergelijkin~
te kunnen treffen tussen de resultaten van
de waarnemingen verricht bij hoge frequentie en de waarden van de lijnparameters zoals deze bij 50 Hz gelden hebben we bij deze frequentie de
cap~citeit
en zelfinductie bepaald.
De capaciteit van de net-systemen bij 50 Hz hebben we .bepaald door middel van 3 metingen met behulp van de Scheringbrug. Zie fig. 3.4.1.
/ ......- - - - - - - f I - - - - - - - - e
J.
Fig. 3.4.1. De capaciteit van systeem 1 wordt gerepresenteerd door: C •C c C + C +C b a c
•
,
de capaciteit van sY'steem 2 door
van s,.steem 3 door
C a
+
Cb • Cc Cb + C c
Ca + C b
en van s,.steem 4 door
, C a
Door nu steeds .en van de capaciteiten kort te sluiten zijn we in staat door middel van 3 metingen 3 vergelijkingen op te stellen waaruit
C.' Cb
Bij de metingen vonden we:
en
Cc
zijn op te lossen.
- 28 -
C + C a c
= 1600
C a
= 780
pF.
C c
= 820
pl.
waaruit
pF
Voor de capaciteiten van de diverse net-systemen vinden we dan: systeem 1
C1
= 410
pF.
syeteem 2
C 2
= 842
pF.
syeteem 3
C 3
= 838
pF.
syeteem 4
C4
= 780
pF.
Het is niet mogelijk gebleken de
~elfinductie
van de diverse
net-systemen met een redelijke nauwkeurigheid te bepalen. De reden hiervan moet gezocht worden in het feit dat de systemen een zeer lage kwaliteitsfactor Q hebben (
< 0,05).
Daar uit de metingen van de capaciteiten bleek dat deze goed overeenkwamen met de theoretische waarden, hebben we voor de zelfinducties gebruik gemaakt yap de. theoretieche waarden. zodat we voor de systemen 1. 2, 3 en 4 hebben gesubstitueerd Ii.50~<00/uHenry.
Zetten we de waarden van L en C met de daaruit afgeleide waarden van de fasesnelheid v en karakteristieke i.pedantie Zo in een tabel dan:
Systeem
1
2
3
4
L injuH
300
300
300
300
C in pF
410
842
838
780
V
--;s
2.86.10
Zo
.a
855
8
1.99.108 2,00.10 8 596
tabe13.4.1.
599
2,07.108 619
- 29 -
3.5. Hoogfreguente metingen. (2)
:x:
Zie de grafieken I tIm Bij de hoogfrequente m.tingen stellen we ons ten doel het verloop van de weerstand, zelfinductie en capaciteit als functie van de frequentie te bepalen en dan een vergelijking te treffen aet de waarden zoals deze ill 2. op theoretiache wijz'e zijll bepaald, waarbij een toetsing aan de waarden zoals deze bij 50 Hz gelden het geheel kan completeren. Bij de syatemen die wij beschouwd hebben was het nodig te meten in het frequentie-interval van 100 KHz tot 1 MHz om relevante informatie te verkrijgen. Het criterium dat hierbij werd aangelegd was de grootte van de faaeconstante a • Deze bedraagt bij 100 KHz: 1ZbgO en bij 1, MHz: 120bgo • Bedenken we dat er resonaties in de systemen op zullen treden ala ~ == (2n ... 1L./r /2 t dan zien we dat in het door ons beschouwde interval een resonantie-punt ligt bij z 7\/2 t (nzO).
a
De waarden die de componenten in dit punt aannemen zullen hoofd-
zakelijk bepalend.zijn voor de vorm en steilheid van de wederkerende spanning, daar de amplitudo's van de hogere harmollischen anel tot nul naderen. ,De derde harmonische heeft een amplitudo 1/9 , de vijfde harmonische van 1/25 , enz. We sien verder dat niet verwaarloosbaar klein is, 'reden waarom wij in onze ayatemen met ver~eelde componenten zullen aoeten rekeDen. Bij de gevolgde rekenmethode -.keD we gebruik van definities die gelden voor een uniforme lange lijn. We zullen dan ook dienen na te gaan in hoeverre onze ayatemen als,uniforDe lange lijnen beachouwd sogen worden. Bepalend hiervoor zal zijll de indringdiepte r' van de retourstromen in aarde. Zolang (rt+h) klein ie t.o.v. de lengte vaa de lijn aogen we de syatemen ala lange lij.en beschouwen. De stromen in aarde zullenhun zwaartepunt hebben op een bepaalde diepte r t , welke bepaald wordt door de frequentie van de stroom. Door RUdenberg is een formule afgeleid voor r' ale functie van de frequentie. Bij gaat uit van de gedachte dat op een zekere diepte in de aarde de stroomdichtheid verwaarloosbaar klein
a
sal zijn en komt dan tot de volgende betrekking voor r':
- 30 -
r' =
..L I xI ' met
Ixl
=
{w/uo 25
•
We zien dat met toenemende Ix' , dus toenemende frequentie, r' steeds kleiner zal .orden. Er treedt stroomverdringing in de aerde OPt waardoor het zwaartepunt van de retourstromen bij hogere frequenties naar het aardoppervlak gedrongen zal .orden. In het door ons beschouwde frequent ie-interval ~nden we dan voor r': 3 • .s. r' ~ 9 m , (voor 50 Hz: r' ~ 415 11.). We zien dat (r'+h) maxiaaa! 12 • is, dua ongeveer 10% van de lengte van de lijn. Het is derhalve aanvaardbaar onze syst . .en als lange lijnen te beschouwen. Van niet-uniforraiteiten veroorzaakt door de doorhang van de lijn, invloed van de masten en de variatie van de apecifieke aardweerstand zien we af omdat de invloed hiervan klein ia ver~ geleken ..t de invloed van de indringdiepte van de retourstromen. We zullen op onze systemen de defiDities,voor een homogene lijn toepaabaar achten. resultaten van de hoogfrequente waarnem1ngen zijn verkregen door van Zk en Zn de regressie-kro... 's te bepalen en deze als uitgangspunt voor de berekeDingen volgens 3.3. te gebru~en. Om tot een juiate interpretatie van de verkregen resultaten te komen zal het nodig zijn te ~et.n .elke fouten we in de resultaten kUDJlen.verwachten bij gegeven nauwkeurigheid van de waar~e
nell1ngen. Pasaen .e de aiddelbare foutentheo~ie toe op de voor ons interessante grootheden dan blijkt de middelbare fout groot te worden in die .gebieden waar 6f Zk 6f Zn groot worden. »e middelbare fout zal steeds maximaal zijn ala Ia( i) = d een veelvoud van 7f/2, is, de fout zal aini...al zijn ala a = (2n+1). 7r /4 ofwel als ~ en Zn even groot zijn. Het feit dat een maximale aiddelbare fout optreedt in die punten waar'd een veelvoud van ~/2 is betekent dat we moe ten verwachten dat de fout in de grootheden bij het eerste re80nantiepunt van de lijn groot kan zijn. Nu is het juist in de waarde van de diverse grootheden bij deze frequentie dat we gelntereaBeerd zijn. We zullen dUB uiteraate voorzichtig aoeten zijn ala .e aan de hand van deze grootheden voorape11ingen willen gaan doen over de te verwachten wederkerende
.puu... n..
MeA kan nagaan dat. d. Il1dd.lbar. tout.n dir.ct
g.koppeld sijll aan d• •aarn.lI1ng.,tout.n, •• a ••• indi•••• i. .taat zijll d. .aarn.aing.. 10x nau.k.ur1g.r t. Yerrich~.n sull.. d. 814d.lbar. tout•• ook ••n factor 10 kleiner word.n. V.or" resultat.n had e.n . . . .~.r tot co...qu.nti. 4at.d• ...ratod R rond het r.eo_nti.l*Jl~ ... negati.Y• •aari. auIl.~t r.d•••aaro••• all••• 4e •• lfi.ducti. L .n capaciteit C .xpl101.t in ons. y.rder. b••ckouwi.C.. h.bb•• b.trokken. V.reelijk.. w. L ~D C zoAle d... YOo~ d. Y.r.chillenel. .87.10. . . . sija .aarg.ao..n aet 4- b.r.k.ning~. i. 2. uitg.Yo.rd 'Yoor d• • 7.10.... 1 e. 4, da.· blijkt cl. th.ori. ..rg... t. l.id.. tot re.ultate. di• •er du 1~ YU d• •a."r.e.inge. YeraohiUe., .out •• ltuue• •telle.· 4at .i' yoor d. door oll.b••chou.de g.Yal1e. in ••rete benaderinl oYereenko-.t tue... theori. eD .aarnea1ag b••taat • •it wordt Yer.terkt i.dieD .e b.deuke. dat uit ealp berek_i.ge. g.blek•• i • •at door ••• b.t.r·. "aupa••illl" Yan de epecitieke aard•••r.ta.d d. theor.tisch. grootb.d.n gekeel tot dekking I.bracht k~,. word.n ..10 d. .aar.. ~n. , frefte. •• een .ergelijltiag tue... de ••ltinductie. e. capaciteitell .an de lIi_te..11 oncl.rliag 4aD Yalt 011. olaa!.dd.llijk op dat~t .7.t.e. 1 ...r duid.1ijk ••r.ahilt yaa d. .,.te..n 2, 3
e.
It.
.,
De .7.10.-. 2,3 .n 4 b1ijk•• oDd..rllq slechta yrij g.r11lp Yer~lliU.1l t. Y~rtoM.. nat .7.10... 1 so duielelijk afwijkt YU cl. _d.r. 87810_• • ' zal Yeroor~t word.1l 4001' bet· t.it 4&10 .,.10•••
1 al.cht. iDd1rect 4001" ·d. aarde b.rnY1". . .rdt, wur de 871110.... 2, 3 •• 4 oael.r 4:1r.ot. illYloed ... d. aar4. .t_li. 1JIaer., .bij d. q.te.1l 2, , .... _&Itt "-&&rd. 41••1 uit ... h.t "plYQ1.che" ph••l, hetp.1l bij .,..10.... 1 .i.t h.t ,.Yal i •• De y.rach1ll•• tu.,... cl• • •ltiaclucti• ., •• capaclt.iten ~,~ cl. 8,.St• •1l 2, 3 e... kuu•••• 8.1. yollt'·y.rklar•••
w.
ltuaae. q.t.e.Z·yo1g••• fig. '.5.1 •••
~
••~••••
- 32 -
R
•
•
<
M
~
L,
M
s R..
De lijll waaraan we de waarneaugen .errichten is gekoppeld met
de aan twee zijden kortg.slotea lijn door een aar4' •••ratand R (welke we in onze Terdere be.chouwias als een kortsluiting op sullen Tatten), een wederzijd•• induct1e M en een koppelcondensator C (= Cb uit 3.4). BerekeDing Tan de waarden van M (~ 1 5/uH) k en C (~ 60 pF) laat zien dat het geoorloofd ia Ck t. Terwaark lo••n,oadat de iapedantie geTorad door Ck Toor de i. dit geTal releTante frequenties Tele malen groter 1. dan de !apedantie geTorad door M.
- 33 -
We kunnen fig. 3.5.1.a. dan re.duceren tot fig. 3.5.1.b.
..
u,
a-
L
L(A.
1
..
M·
•
f,
K.(A.
Lo.,
fig. 3.5.1.b. We zoeken nu d. aequivalente lijn voor het netwerk uit fig. 3.5.1.b. We kunnen de lijn als volgt Toorstellen:
-['
[I
R/
cl
fig.
'.5.1 •••
R,I
- 34 -
Door gelijkstellen van de kortsluit- en nullastimpedanties van de net.erken b en c kunnen we R', L' en C' als functie van R, L, C en M vinden. De in tig. 3.5.1.b. bij S getekende schakelaar g.eft in geopende toe stand de nullast-situatie en in gesloten toestand de kortsluitsituatie. Voeren we de berekenins uit dan blijkt: R''''''R .... g +2/3Ra
~
L(1 -. MIL)
c' ~
C(1 + M/C,)
L'
Subetitutie van de .aarden voor R', L'. en C' levert resultaten die goed overeenstemmen met de waarnemingen. Bij s,yetee. 3 hebben we een twee-zijdig open lijn, hetgeen betekent dat er in de tweede lijn alleen capacitieve stromen kunnen lopen. Deze zullen vanwege de hoge impedanties bijzonder klein zijn, waardoor de invloed op het aysteem ale geheel weI .erkbaar, maar niettemin klein zal zijn. , Beschouwen we het gebeel van de berekeningen uit 1. nader dan zien we dat het voor een juiste kennie van de vora en eteilheid van de wederkerende spanning alleen noodzakelijk ie te weten welke waarden de demping
0(,
en de fa..-sne.J.hei.,d v als functie van de frequentie.
aannemen. Ook de demping ct blijkt evenale L en C sterk bepaald te worden door de invloed van de aarde in het eysteem. Voor systee. 1 vinden .e, .eer vanwege de "indirecte" invloed van de aarde een veel kleinere demping dan voor de systemen 2, 3 en 4. De taae-snelheden v varieren door het gebele waarnemingegebied niet meer dan 5% en verechillen onderling niet meer dan 10% VaD elkaar. We kenne. met de demping ~ en de fase-snelheid v in teite de grootheden die bepalend zijn voor de vorm en steilheid van de wederkerende spanning. Indien we alleen gelntereeeeerd zijn in de wederkerende epanningen zoals deze in de diverse systemen zullen optreden, kunoen we ons atvragen of het zinvol is de rekenprocedure uit 3.3. te volgen. We zijn in staat
oc en v op een meer direct.
wijze in tormulevorm te representeren:
- 35 -
.....;.w...;....
~ ~
tan(argument(
_
r) )
en
v
w·
l
Im(
1)
~---
Indien we dus in staat zijn modules e~ argument van de pr~pagatie constante ~ als functie van de frequentie te bepalen, leidt dit direct tot kennis van ~ en v.
3.6. Meting van de'wederkerende spanningen. Zie de grafieken .Ai. vy.,." ""X I V . Om een indruk te krijgen in hoeverre de wederkerende spanning berekend met behulp van de, waargenomen grootheden in overeenstemming is met de practijk, hebben we een aantal kortsluit-onderbrekingaproeven verricht. Met behulp van een thyristor werd de stroom op de lijn met een geschikte herhalingsfrequentie uitgeschakeld waardoor het mogelijk was van de wederkerende spanning aan de lijnzijde van de thyristor e~n
min of meer stilstaand beeld op de oBcilloscoop te krijgen.
Van de wederkerende spanning hebben we een groot (~ 40) aantal opnamen gemaakt. Aan de hand van deze opnamen hebben we de gemiddelde waarde en spreiding bepaald van de frequentie en de aanvangssteilheid/ampere van de weder~erende.spanning, hieronder in tabel:
.3.6.1. weergegeven:
S1st eem
Frequentie (j freq.
Steilheid Steilheid
S/A,..;,
(f
1
615 kHz
8~
0,38
13 %
2
670 kHz
6%
0,38
11 %
3
640 kJlz
3%
0,28
9%
4
635 kHz
5%
0,28
15 %
- 36 -
Met behulp.van de gemiddelde waarden van de frequentie en de steilheid/ampere zijn we in staat de eerste kwart periode van de waargenomen wederkerende spanning te eonstrueren. Zetten we de waargenomen en berekende wederkerende spanning uit in grafiek dan zien we dat de verschillen die er optreden liggen binnen de betrouwbaarheidsgrenzen gegeven door de spreiding en de waarnemingsfouten. Als we in de berekeningen de invloed van de hogere harmonischen meenemen dan zal de overeenstemming beter worden. Imeers er zal dan een verhoging van de berekende steilheid optreden~ Er is sprake van ~en goede overeenstemming, daar de correetie niet. tot een veelte grote steilheid voert. Vergelijken we de waargenomen en hoogfrequent berekende steilheid/ampere met de steilheid/ampere die we zouden vinden als we de 50 Hz grootheden zouden gebruiken, dan blijKt er wederom sprake te zijn van een goede overeenstemming.
Vergel~jk
tabel 3.4.1 met
tabel 3.6.1. Berekenen we de steilheid/ampere met behulp van de 50 Hz grootheden dan vinden we een iets kleinere steilheid dan de hoogfrequente waarneming laat zien, maar we mogen aannemen dat de schakelaar die de kortsluiting .oet onderbreken in staat zal zijn de in feite optredende hogere steilhe!d te verdragen.· Onderstaande foto's geven een indruk van de waargenomen wederkerende spanningen voor de 4
bes~hou~de
systemen.
De ordinaat geeft 2 Volt/em en de abeia geeft' 1/uaec/em.
(1) J.L. Potter and S. Fiek
- Theory of networks and lines.
9-8 blz. 309. (2) R. RUdenberg
- Elektrisehe Sehaltvorgange (IV, 306 - (22) ).
- 37 -
Evan systeem 2. o
Evan systeem 4. o
vert. spanning 2V/cm.
vert. spanning 2V/cm.
hor. tijdbasis 1/us/ca.
hor. tijdbasis 1/us/cm.
E
o
Tan s1steem 1.
Evan 81steem 3. o
vert. spanning 2V/cm.
vert. spanning 2V/cm.
hor. tijdbasis 1/ua/cm.
hor. tijdbasis 1jUs/cm.
- 38 -
4. Conclusies. Het geheel van waarnemingen en berekeningen overziend mogen we stellen, dat er Toor de door ons beschouwde gevallen overeeDstemming bestaat tussen theorie en waarneming in het algemeen en tus8en berekende en waargenomen steilheid in het bijzonder. Uit het feit dat de. gemeten .aarden bij een frequentie van 50 Hz oor redelijk met de waarnemingeD overeenstemmeD;'de optredende verschillen zijn
< 20% .elke
voor de onderbrekende schakelaar
geen probleem zullen vormen; mogen .e cODcluderen dat het geoorloofd is de wederker,Dde spanDing en daar!!e de .teilheid met behulp van de 50 Hz grootheden te bereken'D. We vinden in dat geval yoor de ateilheid de uit de literatuur bekende betrekking:
S
.. I • o .
fA). Z •
•
_____ lllfOllF.
I
I
,
I
,I
"
I
I
I
I I
[,
I II
,
I
I
, I
i
I.
'
".i t
""!'~
......., ~ t ... t-, :
I
,., ,.:
~"
I
~
I
·1
i l ' ' '~..l..-~,.... l __I_. i I ...
............""'-_.-.......L..-...L..-.................
Joo
.J....
¥oo
S"tJo
6tJO
_---L,+-_-fo-
1M
.
......... "
g"o
io..o.---1~)II ,._....,..
yoo
I
I .' kllz 1.
'"
lOO()
) 'RIIN~ K.
1" "'¥
TAlfG
"A~AJt6}tlC
Ilk Wil'6"N-\
L(KGN 6oV6#
'£6T()"Rf5'LtF'D~R..
I'll
I
"t,' F~W I.YAI:Her ~Albr'
A/.j
~ N~A 67 to#N riv6!Z'l~/
et :'1ty,J4:''1 M~J, H..r
"
N!kf6T
i
"t9Ia~F. BfJT/I;'¥.~F
i£rQ()~fFtFllJ~~:.. N"'A~~
r£flu AtfN.~1 koArf8,ttJTFAt/
#h R"n>ulZ f HUb""',
{W6"OtfY,lU, ol'8"N qtAl.
~/'''R-
I
:
$ .~~I.I t.'1Af.K.Cr. AAR~~ ,4.~6 R.Vro(),e<jFt,~l;tT.e. i
.
,
~, I
\
I
.'
I
L. i
, "
• !
!
,
I
,I;
-.-+--+~
fie #11.
!
loot)
\
\ '\ I
\
;
\ i
\
I
Ii
\
I '. I _+--~-t"~~_ I
1 I
..
,!
i
I
I
:
,
I
I
II
I
,
'f!
I
I
I·
I
, j
I
I
I j ..
'. t
'1I
-,-
\
.7L
•
,,
-1...-_.•
,
.. I .
;
i
II
,
.. t·I
!. '
i ';'1 .
j
I
','
I
j
.
,
'I" ; .:,'.......t... , .
I
, .i
I
•I" t
;.j
- ",.1 .. 1..
.
,
I
'1'"
j"
! .... 1·'
I
,
I
: I "
I
..: ·f· .. ; I '
,I
I
>.
,.. !
-I
r
'
~."
I j'
I
·1
,
",,[,
.,
~-
.1
i
I'
'tlf)
.aDO
'
... ,
I
...
I.
.....
II
II
.
Joo
·1"
. Y'oo
..
,
I
i I •
I
•
!
'bo
"0
100
800
.. /~Hz
9DO
1000
,
-ii
i
t i l
__
i
,~,~~
-I.'
:!
~_""'r"_
f ••
I
I;
f
';, ..'
.. i
I'
I
I
,
I
..• 1 ",
,
,
l
,
,
}.I.,r-~&-&1>e~ N.f-nwkf~~" lJGf? ' ,
~.
'~
I
!i
i
.\
i
1.•.. (
I
I
, .. r'
,. i,
I
'I
T ]
.,.,r
I !
1 . , I.
,
- ..•', !,
'''I',
i' :
!
'
,,\
I
i
I
,
"·,,t,
: ;
I
!
.1
i I
i
I
, ·"I,..t·.,· •••.•"'i I
I: I
;
.,
,
!
I I
I I
! I I
I
'I
I·
1
II I
,
.j
1
i
,I
1 J
100
,b)
)I
Jeo
foe
Sbo
teo
'00
600
'100
1kHz
I
/0011
•
i.
.i
I.
,
I
i
1- .
,
.\
t,
i I
, . . ··1
I
:. l
I
!, . ,,.
.i
_ i. ,. I
1
. . . . .--r+ -+ - t
__
........
,,~~...----._~_.~'
I
Ii; ,
I
I""
I
~
~
. .... ....-+---'r--....... -,..-I! ~
i
.
I
:
~
~
.t.. :_J._._..~.~.~ _
~
--
~
I i '
:·1 'i I ,i i I i
-...-,--,1..~..L.J._.~ L..,
...----
I
I I
I ,
f ,~.I
!-'17Z,.
'
_~ .. -...J..-.-:...L-
..
~
~.
",. ·,'t..
:i:
.~
I I .+.!.
.~ .I .. ~ 1-; 1:: ,>i
i
Ii I
!
.,
, , ~
!
i
),
I~
;,.
I
.:
;
i
,.j , "~.,'_'1"""
II I
I
'j i' !
.i ',.
I'j
I,.
,
I
'I,
I.
I
.,
i
)'
,
,.
I'
' I' 100
,! ,i
I
,..
\
'.0
Il !--+.-+i.. . . )
"00
too
! IDO
KHz. ;
,
,I,
,
..
!
)
:
0rltJ1£ 1..eAl~LL.c!Lt.v6N' ;
o
_.
' _
~ IIEer
B~STAANJ)tf'"WT'
5")/ (Ccor04!laptd'r1lltf'".ft. .
I i ' ,
BDI'M AAJU)l"/
. , I
I . '
,_
~..
•
•
~fN'iN l(t"r4..U~bE.4L5 '£Fr;'(/I2Y~Lt/~4-ielitlAA/i!.NA,f.5T
., __ ._ !,r.fJ/ r~5f'lf./)/' Mf~N'A-AIU)~ I ' i ' i ; ;
,(o£r-v ~sL~rtN LYAI.
~Q),E£~ LtN' .H~r4A.efl~Ais .eEr~(),etjG'~/l)~R..1 :JV,fA«A~Tf'EAI rNtFE2Ylil§ ()~~N·'jN.
.
,
CV r ,
r
'.
T
E4I ''tN' IlIfr AA,e:llE Al.s .GETOtJR.f t9LG~c~.
l
,
--+---. . . -----~l ,
"'1
•.
.
• --------------+----~---------' .
-- ..... _--""'-
_ . .L.
100
I
--It. , "' 1.0"
._~---, _1_"._.... ~~ ..-~_~ .., .100
'lIo o
.....-
""
.-.... -'.- _._-
500
"oOl__---
....
.-A---~~~-
boo
10 0
r----~,
j
KHz.
~._~~~-~J
Boo
roo
..
I >__
/000
.... -
--'--
--i --
(2) ,TNII ~AJlA{),11.t1
dfAll'1I &UeN.4r+-6/)F..
. led".. r*,f..vl)~ ()/T f'lIIEEAI- G"t1IRc-roI)Ae ~ 'i4't.,t'ulI.. ' i
I
@ ,FEN1'(1'1 J(tf:T....~,,~.r tf.'~
lura()~ftAt.F/lJ~IQ'~
"..e l>£
W..tAlaiVAJf.§!': E"hl '{W~~zYJ)l(j' /2f'15'rI ... ik().rfgl.j!.~r£N fiN.
i
@ -r'
!
{yloI H ~ r A-Ir~ 1>, A,L.s
/t"N
1(, Fr()()~
V~ t ~/ l) 6'~ R...
iW....+.ei"'AA~t". ~£III. rN6""FZ/~tp ()7>~..v L/itl . i
@! F$N tfN 11FT A1£1l5" A-L,5 J€5" rtJQA?'jt7tli/l>CW? . ....
I __
~-~
-~
~ .~_.~ ~ ~--- ..... -~--~~--I -------~ ~ •._.
I
...
,
.....
~L...c_.~_+-
100
Jo"
.. :_ ...."' '.. _i..... ~.-
~_._
Joo
~_~ ..... _~ .. : _~.
---"-- ,. SOo
.
8(l(l
--- - - - -.... - . l I r - - - -__ ~ ---.-
90 0
/000
4
, ='
i
I.
'r i
I
'
t.,.;. ViL"'. e,f
100
---
1--··-----~---~
ri4JI'rf"A~AlI.E"t.e I.'fN6N8oIlEtVAI1R.14', SI!~rAIf"/)~ ()IT IV IIc~IV' ~N,ecrQ(/A1.
r;tU/b~1t .
CD ie'"
irN N~r AAC~ f . .4"oS ~troutl f.'I."'b41il~ '''6'fl~ AR"AiI' ~(J,f,rfnl.o r:IN liN.
eD :£IW I.¥NHf.r
A,.4,ej,P ..liS N.6rou
wAA.e..vAA$T 5~N rw,~z.YJ)I~
~ tf6""~ER.. "'AA~NIfA~ r
E5i11
n"e61.Yl)~f
6NN.I 1.-1'1. ,
j
,
•
~.",l..,.,,<_"" __ ._.~ •. __ '80
Jo<)
.'on
--l-_
_ ilO t1
~
,
fo o
__.~_;, _._ _ bO()
+++-+. too
-..._------._----+800
%
,.. I
!i ... --!i .
,
.1. __
i - -+- -
'
i i
-4 rH£NI(£ ., . i
.. I .
_"",-_-I! ItiAJ£NIN pif .
,
j
, , t·
,,
,
nil F PA,4 IIlr
.4,' ELL.
W H56W~
5 t.'(AlcAl BO~&AlIIIUU)c. B~STIIII#lJt
C'AI AUTOtJN.r; cL EfJJEIC .
I
@ '£5tVl.t'N "5rAA~l>t ALti R.tfT{)(/A!f~t.l;llJ':R., WA.t,eNA .. ~t Gt#
,T~itlYl>f(j
rEytiV
1f"l~lJF
Ko,er'i5"-
~Lo"'':1rI L'I/I. (]) -fEN LYN,yt1'r,4A~lJE4LJ R,STOrJRfjE{cIDER" I+'AA,.eNAAsr E'EN TIII6e2y'l)If; D~N LYIII.
.
..."
~VD
··U~ ...... l-lOr>
600
roo
/000
,JU 1IIG'~,flIc6'1.rIfl~F 5PA~NIA/1 tU~ JJ~ LyNztlJlf' ,VAil ~5 SiGlit+Icd.,fAR. ~
yCii f5~~ I. 1,1..(.11()
,BFr€Flcfil'llJ (ODIi!. TJl/EE PA ~At.L 6Lt.F LY¥1f"1II aOv~1t' AA.eil>lf" _ 8F'~rA-Al'IlJ5 {liT
10
eN
W lI¢iFN-
.e'£TI)I.},e
i
!" o
:)
.I
I:
1
, 1 I
:1
1>5'
It
II
I Ii 1 i I
(0
I I I i I
I
IS"
I
i
oj
:
•
i
r;MN~FII'~A'r/~
!
,
i
8U!.~kE'I'/'tff I I
%.0
J,
!
WAA+'H/~" . --.;.------
I
&f~lt4.4A+,. ./eo~ i
fa
OF
Q
j"%
(),J B
·IsAH·
/0%
6/~
kHz
80/0
.,39 1;Qlf'
/3%
/S"
%
/.1%
3 0lc,
.t.3 %
I
i I
I
I
i
as
lJ.f. kHz.
I
!
sutiHtllJ oS ~
,
, ~~ 1Vt1'~4"fVC6"I'UA/bF ~PIfI\lIllN~ .....111 ~I" "I"2'1D~-
!
I
~)
:V4NlJF. lGlf+1c6UJ.l! ~ ~ot.YCN6 I, I. 2.. flY) BF.eFk.G~D
It·u-; .
YfJoA FEN'iW I(t:"r tM,f.U-tL5 .€C' ral.lle ld--iar/fJfl? :W...I4.f:f...... .sT ~6N n,U/i.?Yl>lfj n='i.f"AI AA-.t.~e
J
/<'Olar1trst.o re,v
1
'-)'11/,
I
I
I
kI'
: II \ I
,
~
\.
I. \'
,
\
\
'\ ' \ I \ 1 \ !
~
t, \
,
I ,
,
\
\
f8~"~F~FetU(JNOE ~ -~.~
....... ~.""....-."
.. .r.e~It6'.v{~ I :
...'---~
Iv.M-9W I~/ ~:
.Sf1i!4~t.J.~ % .
~~ ...-.......-_._~-
,
I
t-
,
b?O
~
-
S%
kll2.
.... -.~--t-,.-.~---...-+-...;..~~
61°
kHZ
/;
%
II
%
srcl,tlellJ oS ~ ---...-~---
"I .syr , Is Q.jj. ..
'
~38. ~L//
as 10% II %
r-------+--~
.~ %
-.------------r-
__ h .
1 %
---.
.t/
%
J)~
WFIEI4It:EIJ£N/)F foJO,fNNI"If .....N lJc4'fI'lZfl>F
v'AN lJ£ SGI/I4IC5'LAAIi. , VO~ fGAlrS /.1.
t. tlY)
.nUKFAllJ VOO~ ~eAl LYN fur AAte1JF.+L fJ I
.ItFrOU~fF'~/lJE,e
I ..
',0
Zy,J)/f
~AA.eN"'A~" Ehl TWtli-
OPt'N 'iAl.
r I·
,
t\\
,
\
.\
\ I
\i \!
\'\ \ \
\
\ \
i
..
, ! ......~+t._4-"'"-
.
"
~r1
__..
,
,.
.""
..'_...... r-.• , •.,"i
-1
"fl. I.
,'t.
I
~f·
'to,-.
i
I
I
I
Ii
I
J
[
iI I
I'" '1
\,1.1· • • •·
1 •• ".,-,
Kill.
"~.
+-..
,.~
......-
................-
S~
J %
'" I
,Ipo't
-1.. "·.. ··,· I
~_
_
/WAMW, '
I I
.)..j.-
680
,"'-',"',J.
l
~
O'F., l,'
• ,AI1If.ININf" ~.
........ .............
. t· ,
..
_
Srl'ltlllllJ .... .... ...
..-..
-
~_
S ',.uoJ
-~~""'
.............
~
n:r
_- - -_._.9%
0, -, ' Ij -It . .. .. ..
-_....
~ 18·~.11·
..-.,..__...." ... ,... "
9%
,....,.,.......--~
..... '. ... -
J%
/0%
-.1-------1
19%
~KII~/(;
,
I
~I" ~1/)6~1c'1Z'l/fJl SI'A-¥NIAly4Aot/ D, ttAllr~tf ;..It.ii ~i 'CN' 4K~tA.4ot * vol. ti'",s: 1./. l. (.IV) : IU"G~IAI~ I/O().e FtFN t.tN H'.r .4A~FA/~ !1iJ~ r()pg f 6'(6'1J> n. . .
I
.
I.
f~ .
.
-H~
I
!
II
II
,i "'I
'"I' , I
,
'XI
,, ..
! ..
! f
i,.,
I I I
I I
!
II
l
i
I
i,
!
I
.!
I
i.
I'I
I
i.
-
I
j " I
--+T-_t~ .
. i I
!
'I
;
I
I I I ,
,
,
j
I·
!
i
!
!
; ! !
, !
I
I
j
i
I
i
I
: i
I
I
,
I
I
,
I
I I
! I
,
!
i j
itJ5' I
I
I
, 1%
......
:
I
STIlL "~/11
.1%
~.IW ..2j -If
I
!
~-
/0%
!
.....~ ...............- .... t'" -"-"~.- ...........'"'
!
,I
!
I
i
i
1
%$",X,
J!%
i
ii
I I
,
,
!
i
I·
/0 %
,
-,
I
~u. CS
~.tf I$_ff
f>--'-~
_t...~............
5
:
~cr.
I
.....
! I
~
............-
;
,
I
~"",,,~,,,-,,,,~
;
i
.,i
;k,yz
~.4 ...... ol-~-' ..4
.IH~
i I I
I
.!
I
..I
• ! I
I
I
, ;
i
I
,WI4~I"'.,
:
i
,
I
: ,ph iKNll
w~"~lI6'H/~f .' ..... 4-:- -+_ ....
,t.e~
I
:
:
"I!.' K'IVI~f "
I I
•i
"~'/b fl;iI()~,,,rJ~ ...
I
.
i
,
,
I
I
,
I
I
,
I
I
iI
I
,I
I
!
I
I
I
,
I
•
i
,
iI
,,
:
,i
: I
,
,
i
I
I
i I
I
I
I
I I I
I'
"
