GRAFIK PENGENDALI NON PARAMETRIK UNIVARIAT PADA DATA pH PRODUK AIR MINUM GALON MERK “X” BERDASARKAN FUNGSI DISTRIBUSI EMPIRIK Jantini Trianasari Natangku 1), Adi Setiawan2) , Lilik Linawati 2) 1) Mahasiswa Program Studi Matematika FSM UKSW Email :
[email protected] 2) Dosen Program Studi Matematika FSM UKSW Fakultas Sains dan Matematika Universitas Kristen Satya Wacana Jl. Diponegoro 52 – 60 Salatiga 50711 Abstrak Pengendalian kualitas sangat dibutuhkan bagi sebuah industri guna mengetahui kestabilan kualitas dari produk yang dihasilkan. Pengendalian kualitas dapat dilakukan melalui Statistical Process Control (SPC) dengan menggunakan grafik pengendali. Grafik pengendali yang sering digunakan dalam statistika adalah grafik pengendali Shewhart dengan data yang digunakan berdistribusi normal. Dalam penelitian kualitas produk ditemui adanya data tidak berdistribusi normal, sehingga perlu adanya grafik pengendali yang tidak memerlukan asumsi data berdistribusi normal yaitu grafik pengendali non parametrik. Grafik pengendali non parametrik dapat dibangun melalui fungsi distribusi empirik, dengan batas pengendali menggunakan nilai kuantil dari fungsi distribusi empirik tersebut. Penelitian ini akan menggunakan data univariat karakteristik pH dari sebuah perusahaan “Y” di bidang air minum kemasan, dimana salah satu produknya adalah air mineral kemasan galon 19L merk X. Perusahaan “Y” memiliki standar nilai pH dalam setiap produksi air mineral galon 19L berkisar antara 6.5 – 8.5. Dalam penelitian ini akan diperlihatkan bahwa batas pengendali untuk grafik pengendali non parametrik berdasarkan nilai invers dan kuantil fungsi distribusi empirik melalui bantuan paket program R 2.13.0. Kuantil terdiri dari 9 tipe dan pada penelitian ini digunakan tipe 1 & tipe 6. Hasil penelitian ini diperoleh bahwa untuk batas pengendali berdasarkan nilai invers, nilai kuantil tipe1 & tipe 6 masing – masing nilai batas pengendali LCL = 6.87, CL = 7.32 dan UCL = 7.76. Grafik pengendali non parametrik yang telah dibangun berdasarkan batas pengendali tersebut memperlihatkan bahwa sebanyak 0% data yang out of statistical control. Hal tersebut berarti air mineral galon 19L merk X dari perusahaan “Y” masih dalam batas kendali kualitas dan memenuhi salah satu syarat kualitas yang telah ditetapkan oleh perusahaan, sehingga air mineral tersebut layak untuk dipasarkan. Kata Kunci : Grafik pengendali, Distribusi Empirik, Invers, Kuantil
PENDAHULUAN Peran penting faktor kualitas dalam industri mendapat perhatian lebih dari perusahaan. Hal tersebut mendesak perusahaan untuk selalu menjaga kestabilan kualitas dengan melakukan pengendalian kualitas produk. Pengendalian kualitas dapat dibentuk dengan bantuan Statistical Process Control (SPC), yang diwujudkan dalam grafik pengendali atau control chart. Selain menjaga kestabilan kualitas, perusahaan akan dapat meneliti penyimpangan – penyimpangan yang mungkin terjadi dan melakukan perbaikan atau koreksi, sehingga dalam produksi berikutnya penyimpangan –
penyimpangan tersebut dapat dicegah maupun diminimalisasi dan kepuasan konsumen pun tetap terjamin.
KAJIAN PUSTAKA Grafik pengendali dapat memperlihatkan kemampuan suatu proses produksi dan membantu dalam mendeteksi penyimpangan yang mengakibatkan produk tidak memenuhi standar. Grafik pengendali dinyatakan dalam gambar sederhana yang terdiri dari dua garis sebagai batas – batas pengendali meliputi batas pengendali atas atau upper control limit (UCL) dan batas pengendali bawah atau lower control limit (LCL) serta satu garis sebagai garis tengah atau centerline (CL). Grafik pengendali Shewhart merupakan grafik pengendali yang sering dipergunakan dalam merepresentasikan kualitas suatu produk dengan data berdistribusi normal, namun dalam kenyataannya terdapat data yang tidak berdistribusi normal sehingga diperlukan alat penyajian lain untuk merepresentasikan data tersebut, yaitu grafik pengendali non parametrik. Menurut Santoso (2008), grafik pengendali dapat dibangun secara non parametrik berdasarkan fungsi densitas peluang empirik, sedangkan dalam penelitian ini akan dibangun grafik pengendali berdasarkan fungsi distribusi empiriknya. Fungsi distribusi empirik didefinisikan pada persamaan : Fn ( x) =
# {x1 , x 2 ,..., x n £ x} n
, xÎÂ .
(1)
Nilai invers dari fungsi distribusi empirik dipergunakan sebagai batas pengendali. Nilai invers fungsi distribusi sama dengan nilai kuantil, sehingga untuk membangun grafik pengendali non parametrik yang berdasarkan fungsi distribusi empirik dapat dipergunakan nilai invers maupun nilai kuantilnya (Hyndman & Fan,1996) yang ditunjukkan pada persamaan : -1
Q( p) = Fn ( p ) = inf{Fn ( x) ³ p}
, 0 < p <1 .
(2)
Grafik pengendali non parametrik yang dibangun akan menggunakan batas pengendali berdasarkan persamaan: UCL = (1 -
a )100% 2
CL = median
(3) (4)
a LCL = ( )100% 2
(5)
dengan dipilih nilai a = 0.0027 . Batas – batas pengendali yang telah diperoleh akan diperbandingkan dengan batas pengendali berdasarkan nilai kuantil. Kuantil terdiri dari 9 tipe yang berbeda, pada penelitian ini menggunakan kuantil tipe 1 dan tipe 6 didefinisikan masing – masing sebagai berikut (Wikipedia): ·
Tipe 1 Merupakan nilai invers dari fungsi distribusi empirik yang dinyatakan pada persamaan (6). ì x(1) ï Q1 ( p ) = í x é 1ù ïî êê h - 2 úú
,
p=0
,
p lainnya
(6)
dengan h = np +
1 2
(7)
Keterangan :
n = banyaknya data p = probabilitas kuantil yang diinginkan, 0 < p < 1
Q1 ( p) = nilai kuantil tipe ke 1 untuk probabilitas p
éhù = ceiling dari indeks ke h x (1) = data pertama setelah diurutkan .
·
Tipe 6 Merupakan interpolasi linear untuk distribusi normal pada batas [0,1] dengan Q6 ( p ) seperti pada persamaan (8) :
ì x1 ï ï ï Q6 ( p ) = í x2 ï ï x ëh û + (h - ëh û)( x ëh û+1 - x ëh û ) ïî
, , ,
1 (n + 1) n p³ (n + 1) p lainnya p<
(8)
dengan menggunakan nilai h h = ( n + 1) p
(9)
Keterangan :
n = banyaknya data p = probabilitas kuantil yang diinginkan, 0 < p < 1
Q6 ( p ) = nilai kuantil tipe ke 6 untuk probabilitas p
ëhû = floor dari indeks ke h x (1) = data pertama setelah diurutkan x(n ) = data ke - n setelah diurutkan .
Mempermudah pemahaman di atas akan ditunjukkan sebuah implementasi dengan menggunakan contoh. Misalkan dimiliki data Z = {1, 3, 4, 2, 5, 3, 2, 5, 6, 1 } dengan ukuran 10 titik sampel. Penjelasan di atas dapat dirumuskan dalam bentuk langkah – langkah sebagai berikut : 1. Ditentukan fungsi distribusi empirik Fn(Z) berdasarkan persamaan (1) diperoleh hasil berikut ini dan secara grafik disajikan pada Gambar 1. ì0 ï0.2 ï ï0.4 ï Fn ( Z ) = í0.6 ï0.7 ï ï0.9 ï î1
,
z <1
,
1£ z < 2
,
2£ z <3
,
3£ z <4
,
4£ z <5
,
5£ z <6
,
z³6
,
z ÎÂ
0.6 0.4 0.0
0.2
Fn(Z)
0.8
1.0
ecdf (Z)
0
1
2
3
4
5
6
7
Z
Gambar 1. Grafik Fungsi Distribusi Empirik pada Data Z
2. Menggunakan persamaan (2) dapat ditentukan invers dari Fn(Z), yaitu Fn-1 ( y ) atau secara grafik tersaji pada Gambar 2. ,
0 £ y £ 0 .2
,
0 .2 < y £ 0 .4
,
0 .4 < y £ 0 .6
,
0 .6 < y £ 0 .7
,
0 .7 < y £ 0 .9
,
0 .9 < y £ 1
,
0 £ y £1
UCL
3
LCL
1
CL
2
Z
4
5
6
ì1 ï2 ï ïï3 F -1 n ( y ) = í ï4 ï5 ï ïî6
2
4
6 Index
Gambar 2. Fungsi Invers pada Data Z
8
10
3. Selanjutnya dihitung F -1 n (0.25) , F -1 n (0.5) dan F -1 n (0.75) dengan a = 0.25 . Untuk menggambarkan
grafik
nilai F -1 n (0.25) sebagai
nilai
pengendali LCL,
non
parametrik
F -1 n (0.75) sebagai
nilai
digunakan UCL
dan
F -1 n (0.5) sebagai nilai CL yang tidak lain merupakan median dari data Z. Grafik
pengendali non parametrik berdasarkan Fn(Z) tersebut diperlihatkan dalam Gambar
4 3 1
2
Finvers
5
6
3.
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
y
Gambar 3. Grafik Pengendali Non Parametrik Berdasarkan Nilai Invers pada Data Z
METODE PENELITIAN Data Penelitian ini menggunakan data sekunder yang diperoleh dari perusahaan “Y” untuk air minum galon 19L merk X khususnya data tentang pH air mulai 01 Januari – 28 Februari 2010 sebanyak 178 titik sampel sebagai salah satu variabel yang akan diuji kualitasnya. Berdasarkan data tersebut akan dibentuk grafik pengendali non parametrik berdasarkan fungsi distribusi empirik untuk menentukan titik sampel yang out of statistical control. Analisis Data Untuk membantu dalam analisis data digunakan paket program R.2.13.0 antara lain menentukan nilai fungsi distribusi empirik, menghitung kuantil, nilai invers, serta menggambarkan grafik.
Grafik Pengendali Non Parametrik Berdasarkan Invers Menggunakan data pH ditentukan nilai Fn(x) yang diperlihatkan pada Gambar 4.
0.0
0.2
0.4
Fn(x)
0.6
0.8
1.0
ecdf(x)
6.8
7.0
7.2
7.4
7.6
7.8
x
Gambar 4. Grafik Fungsi Distribusi Empirik Data pH
Selanjutnya, menggunakan persamaan (3), (4) dan (5) berdasarkan invers Fn(x) diperoleh batas pengendali seperti pada Tabel 1 dan bentuk grafik pengendali non parametrik disajikan pada Gambar 5.
Batas Pengendali
µ= 0.0027
LCL
6.87
CL
7.32
UCL
7.76
UCL
7.4
7.6
7.8
Tabel 1. Nilai Batas Pengendali Pada Data pH
7.0
7.2
pH
CL
LCL 6.8
·
0
50
100
150
data
Gambar 5. Grafik Pengendali Non Parametrik Berdasarkan Nilai Invers Data pH
Grafik Pengendali Non Parametrik Berdasarkan Nilai Kuantil Dalam penelitian ini akan menggunakan kuantil tipe 1 dan tipe 6 dalam mencari nilai batas pengendali untuk grafik pengendali non parametrik. §
Tipe 1 Menggunakan persamaan (6) dan a = 0.0027 diperoleh hasil batas pengendali seperti ditunjukkan pada Tabel 2 dan dalam bentuk grafik pengendali non parametrik seperti pada Gambar 6.
7.8
Tabel 2. Batas Pengendali berdasarkan Nilai Kuantil Tipe 1 pada Data pH
Batas
p
Nilai Batas
LCL
0.00135
6.87
CL
0 .5
7.32
UCL
0.99865
7.76
7.4
7.6
UCL
data 7.0
7.2
CL
LCL
6.8
·
0
50
100
150
Index
Gambar 6. Grafik Pengendali Non Parametrik Berdasarkan Nilai Kuantil Tipe 1 Data pH
§
Tipe 6 Persamaan (8) dan a = 0.0027 dalam menghitung nilai batas pengendali berdasarkan nilai kuantil tipe 6 yang ditunjukkan pada Tabel 3 dan grafik pengendali non parametrik disajikan pada Gambar 7.
Batas
p
Nilai Batas
LCL
0.00135
6.87
CL
0 .5
7.32
UCL
0.99865
7.76
UCL
data
7.4
7.6
7.8
Tabel 3. Batas Pengendali berdasarkan Nilai Kuantil Tipe 6 pada Data pH
6.8
7.0
7.2
CL
LCL
0
50
100
150
Index
Gambar 7. Grafik Pengendali Non Parametrik Berdasarkan Nilai Kuantil Tipe 6 Data pH
PEMBAHASAN Hasil análisis data pembentuk grafik pengendali non parametrik berdasarkan invers dan kuantil, diperoleh batas – batas pengendali seperti pada Tabel 4. Tabel 4. Nilai Batas Pengendali Grafik Pengendali Non Parametrik
Batas Pengendali
Invers
Kuantil Tipe 1
Kuantil Tipe 6
LCL
6.87
6.87
6.87
CL
7.32
7.32
7.32
UCL
7.76
7.76
7.76
Dari Tabel 4 terlihat bahwa LCL untuk grafik pengendali non parametrik berdasarkan nilai invers dan nilai kuantil, baik tipe 1 atau tipe 6, memberikan hasil yang sama yaitu 6.87. Artinya bahwa batas bawah dari pH air pada 3 grafik pengendali yang diamati adalah sama. Demikian halnya untuk CL dan UCL yang berarti bahwa nilai tengah dan
batas atas dari ketiga grafik pengendali non parametrik yang diamati juga sama, yaitu 7.32 dan 7.76. Berdasarkan Gambar 5, 6, dan 7 dapat dilihat tidak ada data yang berada di bawah batas bawah dan di atas batas atas, dengan kata lain tidak ada titik sampel yang out of statistical control. Hal ini berarti bahwa tidak ada sampel yang tidak memenuhi stándar kualitas pH atau semua titik sampel data pH air minum galon 19L merk X telah memenuhi salah satu stándar kualitas yang telah ditentukan oleh perusahaan sehingga layak untuk dipasarkan. Hasil batas – batas pengendali dari ketiga grafik pengendali non parametrik yang diamati mempunyai nilai yang sama, namun demikian ditinjau dari langkah – langkah pembentukannya, grafik pengendali non parametrik berdasarkan invers membutuhkan langkah lebih panjang dikarenakan harus terlebih dahulu menghitung nilai invers fungsi distribusi empiriknya. Dengan demikian penggunaan grafik pengendali non parametrik berdasarkan nilai kuantil lebih sederhana.
KESIMPULAN Berdasarkan pembahasan di atas dapat disimpulkan beberapa hal mengenai grafik pengendali non parametrik sebagai berikut : 1. Grafik pengendali non paremetrik yang dibangun berdasarkan fungsi distribusi empirik pada data pH air minum galon 19L merk X dari perusahaan “Y” memiliki batas pengendali untuk LCL=6.87 , CL=7.32 dan UCL=7.76. 2. Data pH air minum galon 19L merk X sebanyak 178 titik sampel berada di dalam kontrol dan memenuhi stándar yang diberlakukan oleh perusahaan sehingga layak untuk dipasarkan. 3. Masing – masing batas pengendali (LCL, CL, UCL) untuk grafik pengendali non parametrik berdasarkan invers dan berdasarkan nilai kuantil (tipe 1 dan tipe 6) adalah sama. 4. Pengendalian kualitas melalui grafik pengendali non parametrik lebih tepat digunakan pada data yang tidak berdistribusi normal.
DAFTAR PUSTAKA Ariani, D.W. 2004. Pengendalian Kualitas Statistik, Yogyakarta : Andi. Montgomery, Douglas C. 1990. Pengantar Pengendalian Kualitas Statistik. Yogyakarta : Gadjah Mada University Press. Roussas, George G. 1997. A Course in Mathematical Statistics, Second Edition. USA : Academic Press. Web 1 : http://en.wikipedia.org/wiki/Quantile_function Diunduh pada tanggal 8 Agustus 2011. Web 2 : http://www.jstor.org/stable/2684934 Hyndman, Rob J and Fan, Yanan. 1996. Sample Quantiles in Statistical Packages. Diunduh pada tanggal 8 Agustus 2011. Web 3 : http://eprints.undip.ac.id/1390/1/Tulisan_4.pdf Santoso, Rukun. 2008. Grafik Pengendali Non Parametrik Empirik. Diunduh pada tanggal 8 Agustus 2011.
