22/11/2011
GOED FOUT! Op zoek naar …
Obstakels in wiskundig denken Dag van de wiskunde 2011 Prof. Dr. Wim Van Dooren Centrum voor Instructiepsychologie en –technologie Katholieke Universiteit Leuven
Opdracht • 10 opgaven uit verschillende wiskundegebieden • Fouten die veel gemaakt worden door leerlingen (onderzoek) • Stap 1: Zoek en verklaar de fouten – Waarom wordt deze fout gemaakt? – Meerdere verklaringen mogelijk
• Stap 2: Zoek gelijkenissen tussen de fouten Fouten met gelijkaardige verklaringsgrond? Meerdere groeperingen mogelijk
Workshop • Focus op fouten die leerlingen maken • In uiteenlopende gebieden van wiskunde • Zoeken naar verklaringen, en theoretische duiding • Opzet – 10 cases – fouten gekend uit onderzoeksliteratuur – Zoek verklaringen voor de fouten? – Aanzet tot theoretische duiding
1
22/11/2011
Opgelet • “Pessimisme” • Veralgemenen, stereotyperen • Fouten maken mag (en is leerzaam)
Opdracht • 10 opgaven uit verschillende wiskundegebieden • Fouten die veel gemaakt worden door leerlingen (onderzoek) • Stap 1: Zoek en verklaar de fouten – Waarom wordt deze fout gemaakt? – Meerdere verklaringen mogelijk
• Stap 2: Zoek gelijkenissen tussen de fouten Fouten met gelijkaardige verklaringsgrond? Meerdere groeperingen mogelijk
Fout 1 Opgave De kans om minstens 3 keer kruis te gooien als je 5 keer een muntstuk opgooit is groter dan / even groot als / kleiner dan de kans om minstens 300 keer kruis te gooien in 500 muntstukworpen
Resultaten Het aantal leerlingen dat “even groot” kiest neemt toe met de leeftijd van 30% van de 11-jarigen tot 80% van de 17 jarigen (Fischbein & Schnarch, 1997)
2
22/11/2011
Fout 2 Opgave “In een lottospel moet men 6 getallen kiezen uit een totaal van 40. Peter koos 1, 2, 3, 4, 5 en 6. Tine koos de getallen 39, 1, 17, 33, 8 en 27. Wie heeft het meeste kans om te winnen?” Resultaten 70% van de 10-jarigen, 55% van de 12-jarigen, 35% van de 14-jarigen en 22% van de 16-jarigen Tine heeft het meeste kans heeft om te winnen (Fischbein & Schnarch, 1997)
Fout 3
• In welke van onderstaande figuren staat de raaklijn aan de functie getekend?
Wel raaklijn Geen raaklijn
De lijn a 100% 0%
in figuur … is mogelijk … b c d 87% 63% 63% 13% 37% 37%
e 42% 58%
f 40% 60%
g 5% 95%
(Biza, 2007)
Fout 4 • Proportionele opgave: Boer Karel heft ongeveer 4 dagen nodig om een gracht te graven rond een vierkante weide met zijden van 100m. Hoeveel dagen heeft hij ongeveer nodig om een gracht te graven rond een vierkante weide met zijden van 100m? 95% correcte antwoorden
• Niet-proportionele opgave Boer Gust heft ongeveer 8 uur nodig om een vierkante akker met zijden van 200m met zijn paard te ploegen. Hoeveel uur heeft hij ongeveer nodig om met zijn paard een vierkante akker met zijden van 600 meter te ploegen? 5% correct bij 12-jarigen, 12% correct bij 16-jarigen Meest gegeven foute antwoord: 24 uur (De Bock et al., 2004)
3
22/11/2011
Fout 5 Opgave Els en Jurgen bakken elk een cake. Hun cakes zijn even hoog, maar de cake van Jurgen heeft een diameter van 30 cm, terwijl die van Els maar een diameter van 15 cm heeft. Els gebruikt 60 gram suiker in haar recept, en Jurgen gebruikt 120 gram suiker. Welke cake zal het zoetst smaken? Resultaten
Even zoet Jurgens cake zoeter Els’ cake zoeter
15-jarigen 16-jarigen 41% 45% 24% 22% 35% 33%
17-jarigen 55% 24% 21%
(Livne, 1996)
Fout 6 Opgave Hoeveel getallen liggen er tussen 0,1 en 0,2 ? a) geen andere getallen b) oneindig veel getallen, en ze kunnen verschillende vormen hebben (breuken, decimale getallen, …) c) oneindig veel decimale getallen d) oneindig veel breuken e) een eindig aantal decimale getallen f) een eindig aantal breuken
Resultaten a) geen andere getallen b) oneindig veel getallen, die verschillende vormen kunnen hebben c) oneindig veel decimale getallen d) oneindig veel breuken e) een eindig aantal decimale getallen f) een eindig aantal breuken
Tussen 0,1 en 0,2 13% 48% 20% 2% 18% 1%
(Vamvakoussi, Christou, & Van Dooren, 2011)
Fout 7 Opgave Hoeveel getallen liggen er tussen 3/5 en 4/5? a) geen andere getallen b) oneindig veel getallen, en ze kunnen verschillende vormen hebben (breuken, decimale getallen, …) c) oneindig veel decimale getallen d) oneindig veel breuken e) een eindig aantal decimale getallen f) een eindig aantal breuken
Resultaten a) geen andere getallen b) oneindig veel getallen, die verschillende vormen kunnen hebben c) oneindig veel decimale getallen d) oneindig veel breuken e) een eindig aantal decimale getallen f) een eindig aantal breuken
Tussen 3/5 en 4/5 7% 37% 1% 21% 1% 33%
(Vamvakoussi, Christou, & Van Dooren, 2011)
4
22/11/2011
27 − 38
Fout 8 Opgave Kies uit onderstaande getallen diegene waarvan je denkt dat ze gelijk kunnen zijn aan de uitdrukking …. a) -4
e) -7/8
i) -2,36
b) 0
f) -0,92
j) -2
c) 2/3
g) 1
k) -7
d) 0,333...
h) 8
i) 12
Resultaten % Correcte keuzes (i.e. alle alternatieven aangeduid als mogelijk)
a
-b
4g
67,2 %
35,2%
56,2%
a b 57,0%
d+d+d
k+3
53,1%
72,7%
(Van Dooren, Christou, & Vamvakoussi, in press)
Fout 9 Opgave “Ellen en Kim lopen rondjes op een piste. Ze lopen even snel, maar Ellen startte later. Wanneer Ellen 5 rondjes gelopen heeft, heeft Kim er 15 gelopen. Wanneer Ellen 30 rondjes gelopen heeft, hoeveel rondjes heeft Kim dan gelopen?” Resultaten 100 90 80 70 60
proportioneel
50
correct
40 30 20 10 0 8 jaar
9 jaar
10 jaar
11 jaar
12 jaar
13 jaar
(Van Dooren et al., 2005)
Fout 10 Opgave Jan is leerkracht en analyseert de testresultaten van zijn leerlingen. Hij stelde vast dat de Pearson product moment correlatie tussen de punten voor wiskunde en voor Engels 0.52 was. De correlatie tussen de punten voor Engels en Frans was 0.54. Wat kan hij zeggen over de correlatie tussen de punten voor wiskunde en Frans? a) b) c) d) e)
Deze correlatie zal positief zijn Deze correlatie kan gelijk zijn aan 0 De correlatie zal groter zijn dan 0.5 De correlatie zal negatief zijn De correlatie kan tussen –1 en 1 variëren.
Resultaten 62% van de studenten duidden antwoordalternatief a aan. (Castro Sotos, 2009)
5
22/11/2011
Fout 10 Opgave Een groep met 5 muzikanten speelt een muziekstuk in 10 minuten. Een andere groep met 35 muzikanten gaat hetzelfde muziekstuk spelen. In hoeveel minuten zal deze groep het muziekstuk spelen? Resultaten 100 90 80 70 60
proportioneel
50
correct
40 30 20 10 0 7 jaar
8 jaar
9 jaar 10 jaar 11 jaar 12 jaar 13 jaar
(Van Dooren et al., 2005)
Overzicht • • • • •
Fout 1 Fout 2 Fout 3 Fout 4 Fout 5
• • • • •
Fout 6 Fout 7 Fout 8 Fout 9 Fout 10
Een netwerk van theoretische kaders Intuïties in wiskunde Intuitive rules theory
Misconcepties in de kansrekening Heuristisch redeneren
Onterecht lineair redeneren Vraagstukken en probleemoplossen Conceptual change theory
Socioculturele
Vraagstukken en de band met de realiteit
benadering
6
22/11/2011
Wiskundige intuïties
Self-evident
(behoeft geen verder bewijs)
Extrapolative Coercive Global
Intuïties
(gaat verder dan de “zichtbare feiten”)
(dringen zich op vanuit de situatie)
(niet-analytisch, benadert de situatie als geheel) Fischbein, 1999
Primaire intuïties Ontwikkelen onafhankelijk van instructie Niet-ondersteunde voorwerpen vallen De kortste afstand tussen 2 punten is een rechte
Secundaire intuïties Gevolg van formele instructie Ieder decimaal getal kan uitgedrukt worden als een breuk 20 (8a – 3) > 6 (2a – 1) Fischbein, 1999
INTUITIVE RULES THEORY (Stavy & Tirosh, 2000; Tirosh & Stavy, 1999a, 1999b)
• Gebaseerd op Fischbeins notie “intuïtie” • Leerlingen volgen een beperkt aantal intuïtieve regels om diverse, niet-gerelateerde problemen in wiskunde en wetenschappen op te lossen baseren zich op de externe kenmerken van een taak • “Intuitive rules are common core to many reported apparent misconceptions” • Twee belangrijke regels: ‘Meer A - meer B’ en ‘Zelfde A - zelfde B’
7
22/11/2011
‘Zelfde A – zelfde B’ bijv. • “Cirkels met dezelfde oppervlakte hebben dezelfde diameter” (correct) • “Na knippen en plakken blijft dit blad papier dezelfde omtrek behouden.” (niet correct)
Wiskundige intuïties bestaan, zijn menselijk, en beïnvloeden probleemoplossen Interactie tussen intuïties en wiskundeleren Belemmerend Bevorderend Kunnen ontstaan / verdwijnen door onderwijs Beter onderkennen dan negeren
Vraagstukken • Oppervlakkige aanpak, zonder probleemanalyse, tussentijdse controle, en controle achteraf • Sleutelwoordstrategieën Piet heeft 9 appels. Dat zijn er 6 meer dan An. Hoeveel heeft An er? Antwoord: 9 + 6 = 15 Verschaffel, Greer, & De Corte, 2000
8
22/11/2011
“Geamputeerd” proces van wiskundig modelleren
Vraagstukken « Vraagstukken hebben geen uitstaans met de realiteit » « Voor elk vraagstuk is een correct numeriek antwoord mogelijk » Aard van het opgavenaanbod in de klas stereotiep, levensvreemd, gesloten Onderwijs rond deze opgaven
9
22/11/2011
Socioculturele benadering “The activity of solving word problems and the contents of word problems in school are not the same as ‘the same’ activity or contents embedded in other systems of activity in other parts of life” Lave (1992, p. 89) Sociomathematical norms Cobb, Yackel & McClain (2000) Contrat didactique Brousseau (1997)
10
22/11/2011
Onterecht lineair redeneren Linearity is such a suggestive property of relations that one readily yields to the seduction to deal with each numerical relation as though it were linear. (Freudenthal, 1983)
Onterecht lineair redeneren Geobserveerd in diverse domeinen van wiskunde (rekenen, algebra, meetkunde, kansrekening, calculus, …) en fysica Bij leerlingen van uiteenlopende leeftijden en expertises
Onterecht lineair redeneren Als een voorwerp 10 keer zo zwaar is als een ander voorwerp dan valt het ook 10 keer zo snel als dat andere voorwerp. Aristoteles “… most students in grades 5-8 incorrectly believe that if the sides of a figure are doubled to produce a similar figure, the area and volume will also be doubled.” NCTM, 1989
11
22/11/2011
Een opgave uit een Portugese methode (6de leerjaar)
Ellen en Kim lopen rondjes op een piste. Ze lopen even snel maar Ellen startte later. Wanneer Ellen 5 rondjes gelopen heeft, heeft Kim er 15 gelopen. Wanneer Ellen 30 rondjes gelopen heeft, hoeveel heeft Kim er dan gelopen? 100 90 80 70 60 50 40 30 20 10 0 3de lj.
4de lj. Correct
5de lj.
6de lj.
1ste S.O.
2de S.O.
Proportionee l
Van Dooren et al. (2005)
- Er is een correct numeriek antwoord mogelijk - Eenvoudige bewerkingen vereist toch veel proportionele antwoorden! - Evolutie: parallel met onderwijsaandacht voor proportioneel redeneren
12
22/11/2011
Een groep met 5 muzikanten speelt een muziekstuk in 10 minuten. Een andere groep met 35 muzikanten gaat hetzelfde muziekstuk spelen. In hoeveel minuten zal deze groep het muziekstuk spelen? 100 90 80 70 60 50 40 30 20 10 0 2de 3de 4de 5de 6de 1ste 2de lj. lj. lj. lj. lj. S.O. S.O. correct
proportioneel
Van Dooren et al. (2005)
- Er is een correct numeriek antwoord mogelijk - Eenvoudige bewerkingen vereist toch veel proportionele antwoorden! - Evolutie: parallel met onderwijsaandacht voor proportioneel redeneren - Sociomathematical norms
Kansrekening - Complexere wiskundige situaties, moeilijker “empirisch” verifieerbaar - Heel wat “historische” fouten door wiskundigen - Veel onderzoek naar onterechte intuïties, misvattingen, …
(Shaughnessy, 1992; Tversky & Kahnemann, 1972)
13
22/11/2011
Kansrekening: intuïties/heuristieken Representativeness heuristic
- Hoe goed lijkt een steekproefresultaat op een willekeurig proces? - Elke steekproef is even representatief
Kansrekening: intuïties/heuristieken “At a very basic intuitive level, the two schemata share the same roots, namely an intuition called by us the intuition of relative frequency” Fischbein (1975)
Kansrekening: intuïties/heuristieken Kansen en verhoudingen zelfde mentale schemata
2 5
!
4 10
14
22/11/2011
Conceptual change theory Kinderen pikken vroeg informatie op diepgewortelde vooronderstellingen Kunnen leren bevorderen of hinderen
- Wanneer hinderen: discontinu leren conceptual change nodig
- Traag proces, met graduele vervanging/aanpassing van vooronderstellingen
-Misconcepties als gevolg van instructie - “synthetic models”
Vosniadou & Brewer, 1992
Conceptual change in wiskunde - Van gehele naar rationale getallen: “Discrete” vs. “dichte” getallenlijn (Merenluoto & Lehtinen, 2002; Vamvakoussi, 2003) “Het volgende getal na 0.51 is 0.52” “ Tussen 2/5 en 4/5 ligt alleen nog 3/5” “Er liggen meer getallen tussen 7 and 10 dan tussen 10 en 11”
6x > 2y
Natural number bias
15
22/11/2011
Conceptual change in wiskunde - Interpreteren van algebraïsche uitdrukkingen (Christou & Vosniadou, 2010) -b kan alleen een negatief getal zijn a / b kan niet gelijk zijn aan 2, aan -3/2, aan 2.365, … 4g is een veelvoud van 4
Natural number bias
Conceptual change in wiskunde -Interpretatie van raaklijnen aan functie (Biza, 2007)
Bedankt!
De Bock, D., Van Dooren, W., Verschaffel, L. (2004). Intuïties en intuïtieve regels: Interpretatiekader voor fouten van leerlingen?. Wiskunde en Onderwijs, 30, 250-265. De Bock, D., Van Dooren, W., Janssens, D., Verschaffel, L. (2003). Waarom lineariteit de leerlingen soms parten speelt: Een dieptestudie in het secundair onderwijs. Wiskunde en Onderwijs, 29, 208-223. Van Dooren, W., De Bock, D., Verschaffel, L. (2002). De lineariteitsillusie bij leerlingen in het secundair onderwijs: een uitbreiding naar kansrekening. Wiskunde en Onderwijs, 28, 347-361.
16
