Aljabar Boole (Boolean Algebra) Aljabar Boolean adalah sistem operasi matematis logika pada himpunan atau proposisi yang memenuhi aturanaturan ekivalen logika.
Pendekatan Misalkan F dengan operasi + (OR) dan ● (AND), atau suatu komplemen (‘), dan dua elemen yang beda 0 dan 1 yang didefinisikan pada himpunan atau proposisi, sehingga a,b dan c merupakan elemen B yang mempunyai sifat-sifat identitas, komutatif, distributif dan komplemen.
Fungsi Aljabar Boolean No
AND
OR
1 2 3 4 5 6 7 8
(A.B).C = A.(B.C) A .B = B .A (A+B).(A+C)=A+(B.C) A.O = O A.A = A A.A’= O A =A A.O= O A .1 = A A.(A + B ) = A
(A+B)+C=A+(B+C) A+B=B+A (A.B)+(A.C)=A(B+C) A+1= 1 A+A=A A+ A’=1 A =A A+ O =A A+1=1 A + (A.B) = A
9
KETERANGAN Hukum Asosiatif Hk.Komutatif Hk.Distributif Hk.Identitas Hk.Idempoten Hk.Inversi/Negasi Hk.Negasi Ganda Hk.Hubungan Dgn Suatu Konstanta Hk.Absorbsi
Gerbang Logika Tujuan dan Ruanglingkup dasar pembentuk pemodelan dlm sistem digital. beroperasi dlm sistem bilangan biner (logika biner).
Pendekatan Logika biner yang digunakan dlm sistem digital, yaitu : 1. logika biner positif, logika tinggi ditandai dengan nilai ‘1’ dan logika rendah ditandai dengan nilai ‘0’. 2. logika biner negatif, logika tinggi ditandai nilai ‘0’ dan logika rendah ditandai nilai ‘1’. Pada pembahasan ini kita akan mengunakan logika biner positif.
Gerbang Logika Dasar Pada sistem digital hanya terdapat tiga buah gerbang logika dasar, yaitu : 1. gerbang AND, 2. gerbang OR, dan 3. gerbang NOT (inverter/ komplemen).
Gerbang Logika AND Gerbang logika AND gerbang logika dasar yang memiliki dua atau lebih sinyal masukan dgn satu sinyal keluaran. ketentuan: sinyal keluaran akan tinggi jika semua sinyal masukan tinggi. Ekspresi Booleannya :
F AB
(dibaca “F sama dengan A AND B”) A B
F
A
B
F
0
0
0
0
1
0
1
0
0
1
1
1
6
Analogi gerbang AND ”memiliki konsep seperti dua buah saklar yang dipasangkan secara seri.” Tabel Kebenaran (ON/ OFF = 1/ 0)
S1
S2
S1
S2
OFF
OFF
OFF
ON
ON
OFF
ON
ON
Lampu
Fungsi = …………
7
Tabel Kebenaran (ON/ OFF = 1/ 0)
S1
S2
S1
S2
PATH?
0
0
0
0
1
0
1
0
0
1
1
1
Fungsi = Logika AND
8
Gerbang Logika OR Gerbang logika OR gerbang logika dasar yang memiliki dua atau lebih sinyal masukan dgn satu sinyal keluaran. Ketentuan: sinyal keluaran akan tinggi jika salah satu sinyal masukan tinggi. Ekspresi Booleannya :
FAB
(dibaca “F sama dengan A OR B”)
A B
F
A
B
F
0
0
0
0
1
1
1
0
1
1
1
1
Analogi ”memiliki konsep seperti dua buah saklar yang dipasangkan secara paralel.” Tabel Kebenaran (ON/OFF = 1/0)
S2 S1
S1
S2
Lampu
OFF
OFF
Mati
OFF
ON
Nyala
ON
OFF
Nyala
ON
ON
Nyala
10
Switches in Parallel Tabel Kebenaran (ON/OFF = 1/0)
S2 S1
S1
S2
Lampu
0
0
0
0
1
1
1
0
1
1
1
1
Fungsi =
11
Gerbang Logika NOT Gerbang logika NOT gerbang logika dasar yang memiliki sebuah sinyal masukan dan sebuah sinyal keluaran. Berlaku ketentuan: sinyal keluaran akan tinggi jika sinyal masukan rendah. Ekspresi Booleannya :
FA
(dibaca “F sama dengan komplemen A”) atau negasi A
A
F
A
F
0
1
1
0
Analogi Gerbang NOT ”memiliki konsep seperti sebuah saklar yang dipasangkan secara paralel dengan lampu dan diserikan dengan sebuah resistor.” Tabel Kebenaran (ON/OFF = 1/0)
S
Lampu
S
OFF
Nyala
R
ON
Mati
13
(lanjutan Analogi Gerbang NOT)
Tabel Kebenaran (ON/OFF = 1/0)
S R
S
Lampu
0
1
1
0
14
Gerbang Logika Bentukan dihasilkan dari susunan gerbang logika dasar.
Gerbang Logika NAND Gerbang logika NAND gerbang logika AND yang di NOT kan. A
A
F
B
B
A
B
F
0
0
1
0
1
1
1
0
1
1
1
0
F
Gerbang Logika NAND (Lanjutan) Gerbang logika NAND gerbang logika yang memiliki dua atau lebih sinyal masukan dgn satu sinyal keluaran. Berlaku ketentuan: sinyal keluaran akan rendah jika semua sinyal masukan tinggi. Ekspresi Booleannya :
F AB
(dibaca “F sama dengan A NAND B / bukan A AND B”)
A B
F
A
B
F
0
0
1
0
1
1
1
0
1
1
1
0
Gerbang Logika NOR Gerbang logika NOR gerbang logika OR yang di NOT kan.
A
A
F
B
B
A
B
F
0
0
1
0
1
0
1
0
0
1
1
0
F
Gerbang Logika NOR (Lanjutan) Gerbang logika NOR gerbang logika yang memiliki dua atau lebih sinyal masukan dgn satu sinyal keluaran. Berlaku ketentuan: sinyal keluaran akan rendah jika salah satu atau semua sinyal masukan tinggi. Ekspresi Booleannya :
FAB
(dibaca “F sama dengan A NOR B / bukan(not) A OR B”)
A B
F
A
B
F
0
0
1
0
1
0
1
0
0
1
1
0
Gerbang Logika XOR berlaku ketentuan: sinyal keluaran tinggi jika masukan tinggi berjumlah ganjil. Ekspresi Booleannya : F
AB
(dibaca “F sama dengan A XOR B”)
B A
F
A
B
F
0
0
0
0
1
1
1
0
1
1
1
0
Gerbang Logika XNOR berlaku ketentuan: sinyal keluaran rendah jika masukan tinggi berjumlah ganjil. Ekspresi Booleannya :
F AB
(dibaca “F sama dengan A XNOR/ bukan XOR B”)
A B
F
A
B
F
0
0
1
0
1
0
1
0
0
1
1
1
Bagaimana? Jika gerbang logika NAND dan NOR terbentuk melalui penambahan gerbang NOT pada output AND maupun NOR,
bagaimana gerbang logika XOR dan XNOR terbentuk dari gerbang logika dasar?
Bubble AND Logika bubble AND dibentuk dengan memberikan Not pada tiap masukan AND. A
A
F
B
B
A
B
F
0
0
1
0
1
0
1
0
0
1
1
0
F
A
B
F
0
0
1
0
1
0
1
0
0
1
1
0
Dilihat dari tabel kebenarannya : A B
A F
B
F
Bubble OR Logika bubble OR dibentuk dengan memberikan Not pada tiap masukan OR. A
A F
B
B
A
B
F
0
0
1
0
1
1
1
0
1
1
1
0
F
A
B
F
0
0
1
0
1
1
1
0
1
1
1
0
Dilihat dari tabel kebenarannya :
A B
A F
B
F
Ekivalen logika positif dan logika negatif Logika positif
Logika negatif
Definisi
OR
AND
Keluaran tinggi jika salah satu masukan tinggi
AND
OR
Keluaran tinggi jika semua masukan tinggi
NOR
NAND
Keluaran rendah jika salah satu masukan tinggi
NAND
NOR
Keluaran rendah jika semua masukan tinggi
Gerbang Logika
Circuit symbol
Name
X1
AND
Truth table
Z
X2
X1
OR
NOT
Z
X2
X
NAND
Z X2
X1
NOR
EXCLUSIVE -OR
Z
X2
X1 Z X2
X1
X2
Z
0 0 1 1
0 1 0 1
0 0 0 1
X1
X2
Z
0 0 1 1
0 1 0 1
0 1 1 1
Z
X1
Equation
X
Z
0 0 1 1
0 0 0 1
Z = X1 . X2
Z = X1 + X2
Z= X
X1
X2
Z
0 0 1 1
0 1 0 1
1 1 1 0
X1
X2
Z
0 0 1 1
0 1 0 1
1 0 0 0
X1
X2
Z
0 0 1 1
0 1 0 1
0 1 1 0
Z = X1 . X2
Z = X1 + X2
Z = X1 + X2
Tugas
Aljabar Boole (Boolean Algebra) #1. Buat Fungsi/ Ekspresi Logika dari Gerbang Berikut!
A
F1
A B C
B
#2. Rancanglah Gerbang Logika dari Fungsi Berikut a. F = A.B + AB’C + (AB)’C b. F = A’B’C+ABC’+A’B+AB’ c. F = (A(BC)’+A’BC)’+BC’
