Geometria I. Szilágyi Ibolya. Matematika és Informatika Intézet EKF, Eger április 21

Geometria I. Szilágyi Ibolya [email protected] Matematika és Informatika Intézet EKF, Eger

2006. április 21.

Szilágyi Ibolya (EKF)

Geometria

2006. április 21.

1 / 77

Outline Szimmetrikus alakzatok, speciális háromszögek. Összefüggés a háromszög szögei és oldalai között Egybevágóság Párhuzamos egyenesek A sokszögek szögei Speciális négyszögek Kör A háromszög-geometria elemei Hasonlóság Térgeometria Térbeli alakzatok. Szilágyi Ibolya (EKF)

Geometria

2006. április 21.

2 / 77

Szimmetrikus alakzatok, speciális háromszögek.

Tengelyszimmetrikus síkbeli alakzatok Theorem Egy a szimmetriatengelyt metszo˝ egyenes akkor és csak akkor tükörképe ˝ önmagának, ha a szimmetriatengelyt merolegesen metszi.


Geometria

2006. április 21.

3 / 77



Bizonyítás. ˝ 1. Ha egy egyenes merolegesen metszi a tengelyt, akkor önmagának tükörképe, mert a tükrözés a tengely pontjait helyben hagyja, a derészöget derékszögbe viszi át. A metszéspontban a tengelyre csak ˝ egy meroleges állítható.


Geometria

2006. április 21.

3 / 77



Bizonyítás. ˝ 1. Ha egy egyenes merolegesen metszi a tengelyt, akkor önmagának tükörképe, mert a tükrözés a tengely pontjait helyben hagyja, a derészöget derékszögbe viszi át. A metszéspontban a tengelyre csak ˝ egy meroleges állítható. 2. Ha egy egyenes metszi a tengelyt és önmagának tükörképe, akkor ˝ meroleges a tengelyre, mert a metszéspontban keletkezo˝ mellékszögek ˝ Ha két mellékszög egyenlo, ˝ akkor egymás tükörképei, tehát egyenlok. azok derékszögek.


Geometria

2006. április 21.

3 / 77


Tengelyszimmetrikus síkbeli alakzatok Theorem ˝ Egy pontból egy egyenesre egy és csak egy meroleges egyenes bocsátható.


Geometria

2006. április 21.

4 / 77



Bizonyítás. Ha a pont rajta van az egyenesen, az állítás igaz. Ha az A1 pont nincs a t egyenesen, akkor tükrözzük. A kapott A2 pont rajta van a keresett ˝ ˝ merolegesen, hisz az önmagának tükörképe. A keresett meroleges így az A1 A2 egyenes, hisz két különbözo˝ félsíkban levo˝ pontot köt össze, ˝ metszi a tengelyt, tükörképe önmaga (tehát meroleges a tengelyre).


Geometria

2006. április 21.

4 / 77



Bizonyítás. Ha a pont rajta van az egyenesen, az állítás igaz. Ha az A1 pont nincs a t egyenesen, akkor tükrözzük. A kapott A2 pont rajta van a keresett ˝ ˝ merolegesen, hisz az önmagának tükörképe. A keresett meroleges így az A1 A2 egyenes, hisz két különbözo˝ félsíkban levo˝ pontot köt össze, ˝ metszi a tengelyt, tükörképe önmaga (tehát meroleges a tengelyre).

Adott a t egyenes. A sík minden P pontja egyértelmuen ˝ meghatározza a ˝ t-re bocsátott meroleges ˝ P-bol egyenest. Ennek t-vel alkotott T ˝ ˝ talppontja, P meroleges vetülete. A PT egyenes metszéspontja a meroleges ˝ ˝ a P pont vetítoegyenese. A PT szakasz hossza a P távolsága a t egyenestol. Szilágyi Ibolya (EKF)

Geometria

2006. április 21.

4 / 77


Tengelyszimmetrikus síkbeli alakzatok ˝ Egyenesre való meroleges vetítés: az a ponttranszformáció, amelyik minden ˝ P ponthoz az egyenesre vetett meroleges vetületét rendeli. Egy alakzat ˝ áll. vetülete az alakzat pontjainak vetületébol


Geometria

2006. április 21.

5 / 77



Theorem Egy a szimmetriatengelyt metszo˝ szakasz akkor és csak akkor tükörképe ˝ ˝ önmagának, ha a szimmetriatengely a szakasz felezomer olegese. ˝ (A merolegességet már bizonyítottuk.)


Geometria

2006. április 21.

5 / 77



Theorem Egy a szimmetriatengelyt metszo˝ szakasz akkor és csak akkor tükörképe ˝ ˝ önmagának, ha a szimmetriatengely a szakasz felezomer olegese. ˝ (A merolegességet már bizonyítottuk.)

Bizonyítás. ˝ ˝ ˝ 1. Ha F az AB felezopontja és t a felezomer olegese, akkor az FA tükörképe ˝ a merolegesség miatt az FB félegyenesen van. FA = FB miatt A tükörképe B. Tehát AB önmagának tükörképe. 2. Ha AB szimmetrikus és a tengelyt az F pontban metszi, akkor a ˝ szimmetria miatt AB meroleges a tengelyre és FA = FB.


Geometria

2006. április 21.

5 / 77


Tengelyszimmetrikus síkbeli alakzatok

Theorem Egy szög akkor és csak akkor tükörképe önmagának, ha a szimmetriatengely ˝ a szögfelezoje.


Geometria

2006. április 21.

6 / 77




Theorem A sík azon pontjainak mértani helye, amelyek a sík két egymást metszo˝ ˝ való távolsága egyenlo, ˝ ennek az egyenespárnak két szögfelezo˝ egyenesétol egyenese alkotja.


Geometria

2006. április 21.

6 / 77




Theorem A sík azon pontjainak mértani helye, amelyek a sík két egymást metszo˝ ˝ való távolsága egyenlo, ˝ ennek az egyenespárnak két szögfelezo˝ egyenesétol egyenese alkotja.

Theorem A sík azon pontjainak mértani helye, amelyek a sík két pontjától egyenlo˝ ˝ ˝ távolságra vannak, a két pont összeköto˝ szakaszának felezomer olegese.


Geometria

2006. április 21.

6 / 77


Speciális háromszögek Jelölés Egy háromszög I hegyesszögu, ˝ ha minden szöge hegyes szög, I derékszögu, ˝ ha van egy derékszöge, I tompaszögu, ˝ ha van egy tompaszöge. Minden háromszög konvex.


Geometria

2006. április 21.

7 / 77


Speciális háromszögek Jelölés Egy háromszög I hegyesszögu, ˝ ha minden szöge hegyes szög, I derékszögu, ˝ ha van egy derékszöge, I tompaszögu, ˝ ha van egy tompaszöge. Minden háromszög konvex. Derékszögu˝ háromszög esetén a derékszöget közrefogó oldalakat befogóknak, a derékszöggel szemközti oldalt átfogónak nevezzük. Egy háromszögben nem lehet két derékszög, mert akkor a harmadik csúcsból ˝ a szemközti oldalra két meroleges lenne bocsátható.


Geometria

2006. április 21.

7 / 77


Speciális háromszögek Jelölés Egy háromszög I hegyesszögu, ˝ ha minden szöge hegyes szög, I derékszögu, ˝ ha van egy derékszöge, I tompaszögu, ˝ ha van egy tompaszöge. Minden háromszög konvex. Derékszögu˝ háromszög esetén a derékszöget közrefogó oldalakat befogóknak, a derékszöggel szemközti oldalt átfogónak nevezzük. Egy háromszögben nem lehet két derékszög, mert akkor a harmadik csúcsból ˝ a szemközti oldalra két meroleges lenne bocsátható. Egy háromszög egyenlo˝ szárú, ha van két egyenlo˝ oldala. (szár, alap, szárszög, alapszög) Egy háromszög szabályos vagy egyenlo˝ oldalú, ha mindhárom oldala ˝ egyenlo.


Geometria

2006. április 21.

7 / 77


Speciális háromszögek Theorem ˝ Egy háromszög akkor és csak akkor egyenlo˝ szárú, ha két szöge egyenlo.

Bizonyítás. I

I

Ha ABC egyenlo˝ szárú és csúcsa C, akkor a háromszöget a csúcsnál ˝ levo˝ szög felezojére tükrözzük. Ekkor a csúcsnál levo˝ szög szárai helyet cserélnek, továbbá CA = CB miatt A és B is helyet cserél. Ezért az A-nál levo˝ szög fedi a B-nél levo˝ szöget. Így az alapon nyugvó két szög ˝ egyenlo. Ha egy háromszögben két szög egyenlo˝ (BAC, ABC), akkor a ˝ ˝ háromszöget AB felezomer olegesére türözzük. Az AC és BC egyenes helyet cserél, s így C metszéspontjuk helyén marad. Tehát CA és CB egymás tükörképei.


Geometria

2006. április 21.

8 / 77


Speciális háromszögek Theorem Ha egy egyenlo˝ szárú háromszög síkjában levo˝ egyenes rendelkezik a következo˝ tulajdonságok valamelyikével: ˝ 1. áthalad a csúcson, s meroleges az alapra, 2. áthalad a csúcson és felezi az alapot, 3. áthalad a csúcson, s felezi a szárszöget, ˝ 4. merolegesen felezi az alapot, akkor rendelkezik a másik három tulajdonsággal is.


Geometria

2006. április 21.

9 / 77


Speciális háromszögek Theorem Ha egy egyenlo˝ szárú háromszög síkjában levo˝ egyenes rendelkezik a következo˝ tulajdonságok valamelyikével: ˝ 1. áthalad a csúcson, s meroleges az alapra, 2. áthalad a csúcson és felezi az alapot, 3. áthalad a csúcson, s felezi a szárszöget, ˝ 4. merolegesen felezi az alapot, akkor rendelkezik a másik három tulajdonsággal is.

Theorem Ha egy háromszög valamelyik csúcsán olyan egyenes halad át, amely ˝ rendelkezik ketovel a következo˝ tulajdonságok közül: ˝ 1. meroleges a szemközti oldalra, 2. felezi a szemközti oldalt, 3. felezi a csúcsnál levo˝ szöget, akkor a háromszög egyenlo˝ szárú, s ennek ez az egyenes szimmetriatengelye. Szilágyi Ibolya (EKF)

Geometria

2006. április 21.

9 / 77


Speciális háromszögek

I

I

I

A szabályos háromszög háromféleképpen is felfogható egyenlo˝ szárú ˝ oekben ˝ háromszögként, ezért teljesülnek rá az eloz mondottak. A szimmetriatengelyek metszéspontja a szabályos háromszög középpontja. Ha a szabályos háromszöget középpontja körül 120◦ -kal elforgatjuk, önmagát fedi, tehát forgásszimmetrikus.


Geometria

2006. április 21.

10 / 77


Speciális háromszögek

I

I

I

A szabályos háromszög háromféleképpen is felfogható egyenlo˝ szárú ˝ oekben ˝ háromszögként, ezért teljesülnek rá az eloz mondottak. A szimmetriatengelyek metszéspontja a szabályos háromszög középpontja. Ha a szabályos háromszöget középpontja körül 120◦ -kal elforgatjuk, önmagát fedi, tehát forgásszimmetrikus.

Helytelen a szóhasználat, hogy a háromszöget osztályozhatjuk szögei és oldalai szerint. A legnagyobb szög szerinti és a szimmetriák szerinti osztályzásról beszélhetünk ezek helyett.


Geometria

2006. április 21.

10 / 77

Összefüggés a háromszög szögei és oldalai között

Szögek, oldalak

Theorem A háromszög külso˝ szöge nagyobb, mint egy nem mellette fekvo˝ belso˝ szög. Bizonyítás! Egy háromszögben két szög összege 180◦ -nál kisebb.


Geometria

2006. április 21.

11 / 77


Szögek, oldalak

Theorem A háromszög külso˝ szöge nagyobb, mint egy nem mellette fekvo˝ belso˝ szög. Bizonyítás! Egy háromszögben két szög összege 180◦ -nál kisebb.

Theorem A két háromszögnek egy oldala közös, s az egyik háromszög a másikat tartalmazza, akkor a közös oldallal szemben a tartalmazó háromszögben kisebb szög van, mint a tartalmazottban. Bizonyítás!


Geometria

2006. április 21.

11 / 77


Theorem Ha egy háromszög két oldalát és ezekkel szemközti szögeit tekintjük, akkor I vagy a két oldal is és a két szög is egyenlo ˝ I

vagy a két oldal közül s a két szög közül a nagyobbak egymással szemközt helyezkednek el.


Geometria

2006. április 21.

12 / 77


Theorem Ha egy háromszög két oldalát és ezekkel szemközti szögeit tekintjük, akkor I vagy a két oldal is és a két szög is egyenlo ˝ I

vagy a két oldal közül s a két szög közül a nagyobbak egymással szemközt helyezkednek el.

Theorem ˝ ˝ Az AB szakasz felezomer olegese olyan két félsíkra vágja a síkot, amelyek közül az A pontot tartalmazó félsíknak belso˝ pontjai az A ponthoz, a B pontot tartalmazóéi a B ponthoz vannak közelebb.


Geometria

2006. április 21.

12 / 77


˝ Háromszögegyenlotlenségek Theorem Egy háromszög két oldalának összege nagyobb a harmadik oldalnál.

Bizonyítás. Lássuk be, hogy egy ABC háromszögben AC + CB > AB.


Geometria

2006. április 21.

13 / 77




Theorem Egy háromszög két oldalának különbsége kisebb a harmadik oldalnál.


Geometria

2006. április 21.

13 / 77




Theorem Egy háromszög két oldalának különbsége kisebb a harmadik oldalnál.

Theorem ˝ pont három távolsága közül egyik sem Három (nem feltétlenül különbözo) lehet a másik ketto˝ összegénél nagyobb, sem pedig a másik ketto˝ különbségénél kisebb.


Geometria

2006. április 21.

13 / 77

Egybevágóság

Egybevágósági transzformáció

A távolságtartó leképezést egybevágóságnak (kongruencia) nevezzük. Két alakzat egybevágó, ha van olyan egybevágóság, ami egyiket a másikba ˝ viszi át. (Egyik alakzat tetszoleges két pontjának távolsága megegyezik a másik alakzat megfelelo˝ két pontjának távolságával.) Minden mozgás egybevágóság. A mozgásokat és türözéseket, illetve ezek egymás utáni elvégzését euklideszi vagy egybevágósági transzformációknak nevezzük.


Geometria

2006. április 21.

14 / 77

Egybevágóság

Háromszögek egybevágósága Theorem ˝ Két háromszög egybevágó, ha oldalaik páronként egyenlok.

Theorem Minden egybevágóság szögtartó. ˝ Egybevágó háromszögek megfelelo˝ szögei egyenlok.


Geometria

2006. április 21.

15 / 77

Egybevágóság

Háromszögek egybevágósága Theorem ˝ Két háromszög egybevágó, ha oldalaik páronként egyenlok.

Theorem Minden egybevágóság szögtartó. ˝ Egybevágó háromszögek megfelelo˝ szögei egyenlok. Következmények: I I I

Minden tükrözés szögtartó, hiszen minden tükrözés egybevágóság. Egybevágó síkbeli alakzatok mozgással fedésbe hozhatók. Két egybevágó síkbeli alakzathoz található a síknak olyan egybevágósága, amely a két alakzatot egymáshoz rendeli.


Geometria

2006. április 21.

15 / 77

Egybevágóság

Háromszögek egybevágósága Theorem Két háromszög egybevágó, ha I két oldal, s az általuk közrefogott szög, vagy I egy oldal s a rajta nyugvó két szög ˝ a két háromszögben páronként egyenlo.

Theorem Két háromszög egybevágó, ha bennük egy oldal, a szemközti szög és egy az ˝ oldalon nyugvó szög páronként egyenlo.

Theorem Két háromszög egybevágó, ha két oldaluk, s ezek közül a nagyobbikkal ˝ szemben fekvo˝ szögük páronként egyenlo.


Geometria

2006. április 21.

16 / 77

Egybevágóság

Háromszögek egybevágósága

Három oldal és három szög a háromszög hat adata. Két háromszög egybevágósága következik abból, hogy három szögük és három oldaluk közül ˝ kivéve két esetet: három-három megfelelo˝ adat egyenlo, 1. két oldal és a kisebbikkel szemközti szög egyenlo˝ ˝ 2. három szög egyenlo. Általánosan egy háromszög ismeretéhez három független adatra van szükségünk. (Adatokat függetleneknek mondunk, ha nincs olyan összefügés, amelyet ezeknek az adatoknak teljesíteni kell.)


Geometria

2006. április 21.

17 / 77

Egybevágóság

Háromszögek egybevágósága Theorem ˝ akkor Ha két háromszögben két-két oldal egyenlo, I vagy mindkét háromszögben ugyanakkora a két oldal által közrefogott szög, és ugyanakkora a harmadik oldal is, I vagy az egyik háromszögben nagyobb a két oldal által közrefogott szög, és nagyobb a harmadik oldal is. Két oldal szögét változtatva változtatva változik a szemközti oldal is, a ketto˝ egyszerre növekszik vagy csökken.


Geometria

2006. április 21.

18 / 77

Egybevágóság

Háromszögek egybevágósága Theorem ˝ akkor Ha két háromszögben két-két oldal egyenlo, I vagy mindkét háromszögben ugyanakkora a két oldal által közrefogott szög, és ugyanakkora a harmadik oldal is, I vagy az egyik háromszögben nagyobb a két oldal által közrefogott szög, és nagyobb a harmadik oldal is. Két oldal szögét változtatva változtatva változik a szemközti oldal is, a ketto˝ egyszerre növekszik vagy csökken.

Theorem ˝ és e háromszögeknek Ha két derékszögu˝ háromszög átfogója egyenlo, egy-egy hegyesszögét tekintjük, akkor I vagy mindkét háromszögben ugyanakkora e két szög, s az ezekkel szemközti két befogó, I vagy ugyan abban a háromszögben van a két szög közül s a velük szemközti befogók közül a nagyobbik. Szilágyi Ibolya (EKF)

Geometria

2006. április 21.

18 / 77

Párhuzamos egyenesek

Definíció Két egyenes párhuzamos, ha egy síkban vannak és nincs közös pontjuk. Párhuzamosaknak mondjuk a párhuzamos egyenesek által tartalmazott félegyeneseket és szakaszokat is. A párhuzamosság jele: k, a nem párhuzamosság jele: ∦.


Geometria

2006. április 21.

19 / 77


Definíció Két egyenes párhuzamos, ha egy síkban vannak és nincs közös pontjuk. Párhuzamosaknak mondjuk a párhuzamos egyenesek által tartalmazott félegyeneseket és szakaszokat is. A párhuzamosság jele: k, a nem párhuzamosság jele: ∦.

Theorem Van olyan egyenes, amely egy megadott ponton áthalad, s egy a ponton át nem haladó, megadott egyenessel párhuzamos. Bizonyítás!!! A tétel a párhuzamos létezését mondja ki, s bizonyítása szerkesztési utasítást is ad. Ha egy egyenest egy rajta kívül feko˝ pontra vonatkozóan tükrözünk, akkor párhuzamos egyenesekhez jutunk.


Geometria

2006. április 21.

19 / 77


Axióma

Egy egyeneshez bármely külso˝ ponton át lehet párhuzamost húzni. A szemlélet alapján úgy tunik, ˝ csak egy ilyen egyenes van, ezt azonban logikai úton bizonyítani nem lehet.


Geometria

2006. április 21.

20 / 77


Axióma

Egy egyeneshez bármely külso˝ ponton át lehet párhuzamost húzni. A szemlélet alapján úgy tunik, ˝ csak egy ilyen egyenes van, ezt azonban logikai úton bizonyítani nem lehet. Párhutamossági axióma: Egy ponton át csak egy olyan egyenes halad, amely egy a ponton át nem haladó egyenessel párhuzamos. (A tétel kimondja, hogy legalább egy párhuzamos van, az axióma hangsúlyozza, hogy nincs több.)


Geometria

2006. április 21.

20 / 77


Axióma

Egy egyeneshez bármely külso˝ ponton át lehet párhuzamost húzni. A szemlélet alapján úgy tunik, ˝ csak egy ilyen egyenes van, ezt azonban logikai úton bizonyítani nem lehet. Párhutamossági axióma: Egy ponton át csak egy olyan egyenes halad, amely egy a ponton át nem haladó egyenessel párhuzamos. (A tétel kimondja, hogy legalább egy párhuzamos van, az axióma hangsúlyozza, hogy nincs több.) A párhuzamossági axióma Euklidesz ötödik posztulátuma. Már Euklidesz is ˝ levezetni . . . megkisérelte a párhuzamossági axiómát a többibol


Geometria

2006. április 21.

20 / 77


Párhuzamos egyenesek Theorem Ha két egyenest egy harmadikkal metszünk, és a keletkezo˝ nyolc szög közül két olyat szemelünk ki, amelyek más-más metszéspontnál, a metszo˝ egyenes más-más oldalán és a metszett egyenesek között helyezkednek el, akkor a metszett egyenesek párhuzamosságának szükséges és elégséges feltétele az, hogy a két kiszemelt szög negyenlo˝ legyen. ˝ Speciális eset: két egyenes párhuzamos, ha mindketto˝ meroleges ugyan arra a harmadik egyenesre.


Geometria

2006. április 21.

21 / 77


Párhuzamos egyenesek Theorem Ha két egyenest egy harmadikkal metszünk, és a keletkezo˝ nyolc szög közül két olyat szemelünk ki, amelyek más-más metszéspontnál, a metszo˝ egyenes más-más oldalán és a metszett egyenesek között helyezkednek el, akkor a metszett egyenesek párhuzamosságának szükséges és elégséges feltétele az, hogy a két kiszemelt szög negyenlo˝ legyen. ˝ Speciális eset: két egyenes párhuzamos, ha mindketto˝ meroleges ugyan arra a harmadik egyenesre.

Theorem Ha a síkban egy egyenes két párhuzamos egyenes egyikét metszi, akkor metszi a másikat is. Ha egy egyenes két párhuzamos egyenes egyikével párhuzamos, akkor párhuzamos a másikkal is. Ha a sík két egyenese párhuzamos ugyan azzal az egyenessel, akkor ez a két egyenes is párhuzamos egymással. Szilágyi Ibolya (EKF)

Geometria

2006. április 21.

21 / 77


Párhuzamos egyenesek ˝ egyenest egyezo˝ állásúnak mondunk, ha Két (nem feltétlen különbözo) párhuzamosak vagy azonosak.

Theorem Ha két konvex szög szárai páronként egyezo˝ vagy páronként ellentétes ˝ irányúak, akkor a két szög egyenlo. Az elso˝ esetben a szögeket egy állású szögeknek, a másodikban váltószögeknek mondjuk.


Geometria

2006. április 21.

22 / 77



Theorem Ha két konvex szög szárai páronként egyezo˝ vagy páronként ellentétes ˝ irányúak, akkor a két szög egyenlo. Az elso˝ esetben a szögeket egy állású szögeknek, a másodikban váltószögeknek mondjuk. Egyenesek és szakaszok hajlásszöge csak az állásuktól függ. Párhuzamos egyenesek és szakaszok hajlásszöge nullszög. Ha két konvex szög szárainak egyik párja egy irányú, másik párja pedig ellentétes irányú, akkor ezek kiegészíto˝ szögek.


Geometria

2006. április 21.

22 / 77



Theorem Ha két konvex szög szárai páronként egyezo˝ vagy páronként ellentétes ˝ irányúak, akkor a két szög egyenlo. Az elso˝ esetben a szögeket egy állású szögeknek, a másodikban váltószögeknek mondjuk. Egyenesek és szakaszok hajlásszöge csak az állásuktól függ. Párhuzamos egyenesek és szakaszok hajlásszöge nullszög. Ha két konvex szög szárainak egyik párja egy irányú, másik párja pedig ellentétes irányú, akkor ezek kiegészíto˝ szögek.

Theorem ˝ Ha a síkban két konvex szög szárai egymásra páronként merolegesek, s az egyik szög száraiból a másik szög szárai ugyan olyan irányú 90◦ -os ˝ elforgatással keletkeznek, akkor a két szög egyenlo. Szilágyi Ibolya (EKF)

Geometria

2006. április 21.

22 / 77

A sokszögek szögei

A háromszög szögeinek összege

Theorem A háromszög szögeinek összege 180◦ .


Geometria

2006. április 21.

23 / 77


A háromszög szögeinek összege

Theorem A háromszög szögeinek összege 180◦ . Derékszögu˝ háromszög hegyesszögei pótszögek.

Theorem A háromszögnek egy külso˝ szöge a nem mellette fekvo˝ belso˝ szögek ˝ összegével egyenlo.


Geometria

2006. április 21.

23 / 77


Sokszögek

Theorem Konvex n-szög szögeinek összege (n − 2)π.

Theorem Konvek sokszög külso˝ szögeinek összege 360◦ .

Theorem n-szög szögeinek összege (n − 2)π.


Geometria

2006. április 21.

24 / 77

Speciális négyszögek

Definíciók Ha egy négyszög két-két szemközti oldala párhuzamos, parallelogrammának nevezzük. ˝ téglalapnak nevezzük. Mivel a Ha egy négyszög szögei mind egyenlok, szögösszeg 360◦ , a téglalap minden szöge derékszög, tehát a szemközti oldalak párhuzamosak. A téglalap is parallelogramma. ˝ rombusznak nevezzük. A rombusz is Ha egy négyszög oldalai mind egyenlok, parallelogramma. ˝ négyzetnek nevezzük. A Ha egy négyszögnek oldalai és szögei is egyenlok, négyzet is parallelogramma, olyan, ami téglalap is és rombusz is. Ha egy négyszögnek van két párhuzamos oldala, trapéznak nevezzük. A két párhuzamos oldala a trapéz két alapja, a másik ketto˝ a két szára. Ha egy ˝ szimmetrikus trapéznak négyszög két-két szemközti szöge egyenlo, (húrtrapéz) nevezzük. ˝ deltoidnak mondjuk. Ha egy négyszögnek két-két szomszédos oldala egyenlo,


Geometria

2006. április 21.

25 / 77


Parallelogramma

Theorem Egy négyszög akkor és csak akkor parallelogramma, ha: I két-két szembenfekvo ˝ oldala párhuzamos, I két-két szembenfekvo ˝ oldala egyenlo, ˝ I két-két szembenfekvo ˝ szöge egyenlo, ˝ I két szembenfekvo ˝ oldala párhuzamos és egyenlo, ˝ I I

két átlója felezi egymást, a négyszög egy pontra nézve szimmetrikus.

Ha egy négyszög e feltételek valamelyikét kielégíti, akkor kielégíti a többit is. Egy parallelogramma alakját két csatlakozó oldala, s az általuk bezárt szög egyértelmuen ˝ meghatározza.


Geometria

2006. április 21.

26 / 77


Parallelogramma

Theorem ˝ Két párhuzamos egyenest összeköto˝ szakaszok felezopontjai a középpárhuzamusokon vannak. ˝ A parallelogramma szemközti oldalainak felezopontját összeköto˝ szakasz a parallelogramma középvonala.

Theorem A parallelogramma középvonala I párhuzamos és egyenlo ˝ két prallelogramma oldallal, I áthalad a parallelogramma középpontján, és ez a felezopontja. ˝


Geometria

2006. április 21.

27 / 77


Téglalap

Ha egy négyszög három szöge derékszög, akkor az téglalap. Ha egy parallelogramma egyik szöge derékszög, akkor az téglalap. Egy téglalap nemcsak középpontjára, hanem középvonalaira vonatkozóan is szimmetrikus. Egy téglalapot egy étlója két egybevágó derékszögu˝ háromszögre bontja.

Theorem ˝ Egy parallelogramma akkor és csak akkor téglalap, ha átlói egyenlok.


Geometria

2006. április 21.

28 / 77


Rombusz ˝ akkor az rombusz. Ha egy parallelogramma két szomszédos oldala egyenlo, A rombusz alakját egy oldalhossza és egy szöge egyértelmuen ˝ meghatározza. A rombusz átlói a szögeit felezik. A rombusz nemcsak középpontjára, hanem átlóira vonatkozóan is szimmetrikus.

Theorem Egy parallelogramma akkor és csak akkor rombusz, ha átlói egymásra ˝ merolegesek. ˝ o˝ megállapítások mind Mivel a négyzet téglalap és rombusz is, ezért az eloz teljesülnek rá. A négyzet alakját oldalhossza egyértelmuen ˝ meghatározza. A négyzet középpontjára, középvonalaira és átlóira is szimmetrikus. A négyzetet egy átló két, két átló négy, két átló és két középvonal nyolc egybevágó egyenlo˝ száru derékszögu˝ háromszögre bontja.


Geometria

2006. április 21.

29 / 77


Trapéz A parallelogramm is trapéz. ˝ Egy-egy száron kiegészíto˝ szögek nyugszanak. A szárak felezopontját összeköto˝ szakaszt a trapéz középvonalának nevezzük.

Theorem A trapéz középvonala párhuzamos a trapéz alapjaival. és hossza azokénak számtani közepe. Ha egy trapéz egyik alapján két egyenlo˝ szög nyugszik, akkor a másik két szög is egyenlo˝ (kiegészíto˝ szögek). Ilyenkor szimmetrikus trapézról besélünk.

Theorem Egy szimmetrikus trapéz valóban szimmetrikus idom, szárai és átlói ˝ egymással egyenloek, szimmetriatengelye I merolegesen ˝ felezi a párhuzamos oldalakat, I áthalad az átlók metszéspontján, I áthalad a szárak metszéspontján. Szilágyi Ibolya (EKF)

Geometria

2006. április 21.

30 / 77


Deltoid

Nem minden deltoid konvex, minden rombusz is deltoid. Az az átló, amelyiknek a végpontjaiban egyenlo˝ oldalak találkoznak, a deltoidot két egybevágó háromszögre bontja fel. Ez az átló felezi az egyenlo˝ oldalak által bezárt szögeket, s a deltoid szimmetrikus erre az átlóra nézve.

Theorem ˝ Egy négyszög akkor és csak akkor deltoid, ha egyik átlója merolegesen felezi a másikat.


Geometria

2006. április 21.

31 / 77

Kör

Kör

Theorem A síkban egy egyenesnek és egy körnek 0, 1 vagy 2 köös pontja van aszerint, ˝ való távolsága a kör sugaránál nagyobb, hogy a középpontnak az egyenestol ˝ vagy annál kisebb. azzal egyenlo, ˝ húr, átméro, ˝ középponti szög, körcikk, körszelet, körszelet magassága szelo,


Geometria

2006. április 21.

32 / 77

Kör

Érinto˝

Ha egy egyenesnek csak egy közös pontja van a körrel, az egyenest ˝ érintonek, s a pontot érintési pontnak nevezzük. (Ez a definíció nem alkalmazható bármely görbére.)

Theorem ˝ A kör bármely pontjában egyetlen érinto˝ úzható a körhöz, s ez meroleges a ponthoz vezeto˝ sugárra. kör és egyenes, kör és kör által alkotott szög


Geometria

2006. április 21.

33 / 77

Kör

Érinto˝

Ha egy egyenesnek csak egy közös pontja van a körrel, az egyenest ˝ érintonek, s a pontot érintési pontnak nevezzük. (Ez a definíció nem alkalmazható bármely görbére.)

Theorem ˝ A kör bármely pontjában egyetlen érinto˝ úzható a körhöz, s ez meroleges a ponthoz vezeto˝ sugárra. kör és egyenes, kör és kör által alkotott szög

Theorem ˝ e pont az érintési Egy a körön kivül levo˝ pontból a körhöz vont két érinton pontokkal együtt két egyenlo˝ szakaszt határoz meg.


Geometria

2006. április 21.

33 / 77

Kör

Húr

Theorem Ha egy kör két húrját tekintjük, akkor I vagy egyenlok ˝ a húrok, a hozzájuk tartozó középponti szögek és a kör középponttól való távolságaik, I vagy pedig az egyik húr nagyobb, ehez nagyobb középponti szög tartozik és ez a húr van közelebb a kör középpontjához.


Geometria

2006. április 21.

34 / 77

Kör

Húr

Theorem Ha egy kör két húrját tekintjük, akkor I vagy egyenlok ˝ a húrok, a hozzájuk tartozó középponti szögek és a kör középponttól való távolságaik, I vagy pedig az egyik húr nagyobb, ehez nagyobb középponti szög tartozik és ez a húr van közelebb a kör középpontjához.

Theorem ˝ minden rá meroleges ˝ ˝ Egy kör átméroje húr felezopontját tartalmazza, ˝ meghosszabbításai tartalmazzák az ilyen húr végpontjaiban vont érintok ˝ érintési metszéspontját, végpontjai pedig a húrokkal párhuzamos érintok pontjai.


Geometria

2006. április 21.

34 / 77

Kör

Középponti és kerületi szögek

A kör két közös végpontú húrja által alkotott konvex szöget kerületi szögnek nevezzük. Kerületi szögnek mondjuk azt a konvex szöget is, amelyet egy húr és ennek egyik végpontjából induló, a kört érinto˝ félegyenes alkot.

Theorem A kerületi szög kétszerese egyenlo˝ az ugyanazon az íven nyugvó középponti szöggel. ˝ nyugvó kerületi szög derékszög. Minden átméron

Theorem Egy kör egybevágó körívein egyenlo˝ kerületi szögek nyugszanak.


Geometria

2006. április 21.

35 / 77

Kör

Látószög ˝ Ha a P pont az AB szakasznak nem végponja, akkor a konvex APB szögrol mondjuk, hogy az AB szakasz a P pontból ekkora szögben látszik. Ezt a szöget látószögnek mondjuk.

Theorem ˝ egy szakasz megadott A sík azon pontjainak mértani helye, amelybol ˝ a szakaszra szögben (0-180) látható, a szakasz végpontjait összeköto, vonatkozóan szimmetrikusan elhelyezkedo˝ két körív belseje. A két végpont nem tartozik a mértani helyhez.


Geometria

2006. április 21.

36 / 77

Kör

Látószög ˝ Ha a P pont az AB szakasznak nem végponja, akkor a konvex APB szögrol mondjuk, hogy az AB szakasz a P pontból ekkora szögben látszik. Ezt a szöget látószögnek mondjuk.

Theorem ˝ egy szakasz megadott A sík azon pontjainak mértani helye, amelybol ˝ a szakaszra szögben (0-180) látható, a szakasz végpontjait összeköto, vonatkozóan szimmetrikusan elhelyezkedo˝ két körív belseje. A két végpont nem tartozik a mértani helyhez.

Theorem (Thales) ˝ egy megadott szakasz A sík azon pontjainak mértani helye, amelyekbol ˝ derékszögben látható, a szakaszhoz mint átmérohöz tartozó kör, elhagyva ˝ a szakasz végpontjait. belole ˝ o˝ tétel speciális esete) (eloz Szilágyi Ibolya (EKF)

Geometria

2006. április 21.

36 / 77

A háromszög-geometria elemei

I I I I I I I

háromszög köréírt köre, s annak sugara súlyvonal, súlypont háromszögbe írt kör, s annak sugara háromszöghöz írt kör, s annak sugara magasságvonal, magasságpont magasságvonal, magasságtétel befogótétel, Pythagoras tétele


Geometria

2006. április 21.

37 / 77

Hasonlóság

Alapfogalmak Középpontos hasonlóságnak nevezünk egy ponttranszformációt, ha bármely két pont képének a távolsága a pontok távolságával osztva mindíg ugyanazt a ˝ λ hányadost adja. (0-tól különbözo)


Geometria

2006. április 21.

38 / 77

Hasonlóság

Alapfogalmak Középpontos hasonlóságnak nevezünk egy ponttranszformációt, ha bármely két pont képének a távolsága a pontok távolságával osztva mindíg ugyanazt a ˝ λ hányadost adja. (0-tól különbözo) Legyen O a középpontos hasonlósági transzformáció középpontja. Valamely ponthoz a következo˝ módon rendeljük a képét: I I

Ha P = O, akkor a P pont képe önmaga. Ha Q 6= O, akkor a Q pont képe OQ egyenesnek olyan Q pontja, amelyre OQ = λ · OQ


Geometria

2006. április 21.

38 / 77

Hasonlóság

Alapfogalmak Középpontos hasonlóságnak nevezünk egy ponttranszformációt, ha bármely két pont képének a távolsága a pontok távolságával osztva mindíg ugyanazt a ˝ λ hányadost adja. (0-tól különbözo) Legyen O a középpontos hasonlósági transzformáció középpontja. Valamely ponthoz a következo˝ módon rendeljük a képét: I I

I I

Ha P = O, akkor a P pont képe önmaga. Ha Q 6= O, akkor a Q pont képe OQ egyenesnek olyan Q pontja, amelyre OQ = λ · OQ Ha λ > 0, akkor a Q pont az OQ félegyenesen van. Ha λ < 0, akkor a Q pont az OQ egyenes Q-t nem tartalmazó félegyenesén van.

A λ hányadost a középpontos hasonlóság arányának nevezzük. I I I I

λ > 1 nagyítás 0 < λ < 1 kicsinyítés λ = 1 identitás λ = −1 középpontos tükrözés Szilágyi Ibolya (EKF)

Geometria

2006. április 21.

38 / 77

Hasonlóság

Alaptételek ˝ tétele) Theorem (Párhuzamos szelok Ha egy szög szárait párhuzamosokkal metszük, akkor az egyik száron keletkezo˝ szakaszok aránya megegyezik a másik száron keletkezo˝ megfelelo˝ szakaszok arányával.

˝ tételének megfordítása) Theorem (Párhuzamos szelok Ha két egyenes egy szög száraiból olyan szakaszokat vág le, amelyeknek az aránya mind a két száron ugyanaz, akkor a két egyenes párhuzamos.

Theorem (Párhuzamos szelo˝ szakaszok tétele) Egy szög szárait metszo˝ párhuzamosokból a szárak által kimetszett szakaszok aránya megegyezik a párhuzamosok által az egyes szárakból lemetszett szeletek arányával.


Geometria

2006. április 21.

39 / 77

Hasonlóság

A középpontos hasonlóság tulajdonságai

I I

I

I I

A középpontos hasonlóságnál megadott középpont fixpont. Az O középpontra illeszkedo˝ egyenes képe önmaga, azaz a középpontra illeszkedo˝ egyenes invariáns alakzat. Egyenesnek a középpontos hasonlósági transzformációval kapott képe az eredeti egyenessel párhuzamos egyenes. A középpontos hasonlóság szögtartó. Középpontos hasonlóságnál bármely szakasz képének és az eredeti szakasznak az aránya állandó.

Ha egymás után két középpontos hasonlóságot alkalmazunk, akkor olyan középpontos hasonlósághoz jutunk, melynek aránya a két alkalmazott hasonlóság arányainak szorzata.


Geometria

2006. április 21.

40 / 77

Hasonlóság

A hasonlósági transzformáció A középpontos hasonlóság és az egybevágósági transzformáció szorzatát (egymás utáni végrehajtását) hasonlósági transzformációnak nevezzük.


Geometria

2006. április 21.

41 / 77

Hasonlóság

A hasonlósági transzformáció A középpontos hasonlóság és az egybevágósági transzformáció szorzatát (egymás utáni végrehajtását) hasonlósági transzformációnak nevezzük. A középpontos hasonlóság arányát a hasonlósági transzformáció arányának nevezzük. A hasonlósági transzformáció megadásánál fontos a középpontos hasonlóság és az egybevágósági transzformáció sorrendje: általában f · g 6= g · f


Geometria

2006. április 21.

41 / 77

Hasonlóság

A hasonlósági transzformáció A középpontos hasonlóság és az egybevágósági transzformáció szorzatát (egymás utáni végrehajtását) hasonlósági transzformációnak nevezzük. A középpontos hasonlóság arányát a hasonlósági transzformáció arányának nevezzük. A hasonlósági transzformáció megadásánál fontos a középpontos hasonlóság és az egybevágósági transzformáció sorrendje: általában f · g 6= g · f Tulajdonságok: I I I I

Egyenes képe egyenes. A hasonlósági transzformáció szögtartó. A hasonlósági transzformáció aránytartó. Ha valamely transzformáció minden szakasznak a hosszúságát λszorosára (λ > 0) változtatja, akkor az hasonlósági transzformáció.

Két alakzat hasonló, ha van olyan hasonlósági transzformáció, amely az egyik alakzatot a másikba viszi át. Szilágyi Ibolya (EKF)

Geometria

2006. április 21.

41 / 77

Hasonlóság

Bármely két kör hasonló.


Geometria

2006. április 21.

42 / 77

Hasonlóság

Bármely két kör hasonló. Bármely két négyzet hasonló.


Geometria

2006. április 21.

42 / 77

Hasonlóság

Bármely két kör hasonló. Bármely két négyzet hasonló. Két háromszög hasonló, ha I megfelelo ˝ oldalaik hosszának aránya egyenlo˝ I két-két oldalhosszuk aránya egyenlo ˝ és az ezek által közrefogott szögek ˝ egyenlok I két-két szögük páronként egyenlo ˝ I két-két oldalhosszuk aránya egyenlo ˝ és e két-két oldal közül a ˝ hosszabbikkal szemközt lévo˝ szögek egyenlok


Geometria

2006. április 21.

42 / 77

Hasonlóság

Bármely két kör hasonló. Bármely két négyzet hasonló. Két háromszög hasonló, ha I megfelelo ˝ oldalaik hosszának aránya egyenlo˝ I két-két oldalhosszuk aránya egyenlo ˝ és az ezek által közrefogott szögek ˝ egyenlok I két-két szögük páronként egyenlo ˝ I két-két oldalhosszuk aránya egyenlo ˝ és e két-két oldal közül a ˝ hosszabbikkal szemközt lévo˝ szögek egyenlok Két sokszög hasonló, ha a következo˝ feltételek egyike teljesül: I I

˝ megfelelo˝ oldalaik és megfelelo˝ átlóik hosszának aránya egyenlo, megfelelo˝ oldalaik aránya egyenlo˝ és megfelelo˝ szögeik páronként ˝ egyenlok.


Geometria

2006. április 21.

42 / 77

Térgeometria

Térelemek viszonylagos helyzete. pont - egyenes, pont - sík I Pont illeszkedik a másik térelemhez. I Pont nem illeszkedik a másik térelemhez (egyenes és nem illeszkedo ˝ pont egy síkot határoz meg).


Geometria

2006. április 21.

43 / 77

Térgeometria

Térelemek viszonylagos helyzete. pont - egyenes, pont - sík I Pont illeszkedik a másik térelemhez. I Pont nem illeszkedik a másik térelemhez (egyenes és nem illeszkedo ˝ pont egy síkot határoz meg). egyenes - egyenes I

˝ (síkot határoznak meg) metszok ˝ - nincs közös pontjuk, nincsennek egy síkban kitérok

I

párhuzamosak - nincs közös pontjuk, egy síkban vannak

I


Geometria

2006. április 21.

43 / 77

Térgeometria

Térelemek viszonylagos helyzete. pont - egyenes, pont - sík I Pont illeszkedik a másik térelemhez. I Pont nem illeszkedik a másik térelemhez (egyenes és nem illeszkedo ˝ pont egy síkot határoz meg). egyenes - egyenes I

˝ (síkot határoznak meg) metszok ˝ - nincs közös pontjuk, nincsennek egy síkban kitérok

I

párhuzamosak - nincs közös pontjuk, egy síkban vannak

I

egyenes - sík I I I

illeszkedo˝ - egynél több közös pontjuk van metszo˝ - egy közös pontjuk van (döféspont) párhuzamos - nincs közös pontjuk


Geometria

2006. április 21.

43 / 77

Térgeometria

Térelemek viszonylagos helyzete. sík - sík I metszok ˝ I párhuzamosak

Theorem 1. Két egymást metszo˝ sík közös pontjai egy egyenest alkotnak. 2. Egy egyeneshez illeszkedo˝ sík az egyenessel párhuzamos síkot az egyenessel párhuzamos egyenesben metszi. 3. Egy egyenessel párhuzamos két sík metszésvonala az egyenessel párhuzamos. 4. Ha két sík olyan, hogy minden egyenes, mely az egyiket metszi, metszi a másikat is, akkor a két sík párhuzamos. 5. Ha két sík párhuzamos egy harmadikkal, akkor a kért sík egymással is párhuzamos. 6. két párhuzamos sík egyikét metszo˝ sík metszi a másikat is, s a két metszésvonal egymással párhuzamos. Szilágyi Ibolya (EKF)

Geometria

2006. április 21.

44 / 77

Térgeometria


Geometria

2006. április 21.

45 / 77

Térgeometria

Két kitéro˝ egyenes hajlásszögének nevezzük azt a szöget, amely egy ˝ ˝ velük párhuzamos egyenesek alkotnak. Ez a tetszoleges ponton átmeno, hajlásszög nem függ a pont megválasztásától.


Geometria

2006. április 21.

46 / 77

Térgeometria

Két kitéro˝ egyenes hajlásszögének nevezzük azt a szöget, amely egy ˝ ˝ velük párhuzamos egyenesek alkotnak. Ez a tetszoleges ponton átmeno, hajlásszög nem függ a pont megválasztásától. ˝ Egy egyenes és egy sík akkor meroleges egymásra, ha az egyenes ˝ meroleges a sík minden egyenesére.

˝ Theorem (Síkra meroleges egyenes tétele) ˝ Ha egy egyenes meroleges a sík két egymást metszo˝ egyenesére, akkor ˝ ˝ meroleges a sík minden egyenesére, azaz meroleges a síkra. Bizonyítás! (SDT)


Geometria

2006. április 21.

46 / 77

Térgeometria

Egyenes és sík hajlásszöge

˝ Egy P pontból az α síkra bocsátott meroleges egyenesnek a síkon lévo˝ P ˝ vetületének pontját (talppontját) a P pontnak az α síkon lévo˝ meroleges nevezzük. ˝ ˝ Ha egy e egyenes nem meroleges az α síkra, akkor két pontjának meroleges ˝ vetületére illeszkedo˝ e egyenest az e egyenesnek az α síkon lévo˝ meroleges vetületének nevezzük.


Geometria

2006. április 21.

47 / 77

Térgeometria

Egyenes és sík hajlásszöge

˝ Egy P pontból az α síkra bocsátott meroleges egyenesnek a síkon lévo˝ P ˝ vetületének pontját (talppontját) a P pontnak az α síkon lévo˝ meroleges nevezzük. ˝ ˝ Ha egy e egyenes nem meroleges az α síkra, akkor két pontjának meroleges ˝ vetületére illeszkedo˝ e egyenest az e egyenesnek az α síkon lévo˝ meroleges vetületének nevezzük. ˝ Ha egy egyenes nem meroleges a síkra, akkor az egyenes és a sík ˝ hajlásszöge az a szög, amelyet az egyenes a síkon lévo˝ meroleges vetületével bezár. Egy síknak és a vele párhuzamos egyenesnek a halásszöge 0◦ .


Geometria

2006. április 21.

47 / 77

Térgeometria

Síkok hajlásszöge

Két metszo˝ sík hajlásszögének meghatározásához legyen P a két sík ˝ metszésvonalának egy tetszoleges pontja. P-ben a két sík mindegyikén ˝ egy-egy merolegest állítunk a metszésvonalra. A két sík hajlásszöge megegyezik ezen két egyenes hajlásszögével. Két párhuzamos sík hajlásszöge 0◦ .


Geometria

2006. április 21.

48 / 77

Térgeometria

Térelemek távolsága I

I

I

I

˝ Pont és sík távolságán a pontnak és a síkon lévo˝ meroleges vetületének a távolságát értjük. Sík és a síkkal párhuzamos egyenes távolságán az egyenes egy ˝ tetszoleges pontjának a síktól mért távolságát értjük. ˝ Két párhuzamos sík távolságán valamelyik sík egy tetszoleges pontjának a másiktól mért távolságát értjük. Két kitéro˝ egyenes távolságán annak a szakaszak a hosszúságát értjük, ˝ amely a két kitéro˝ egyenes mindegyikét metszo˝ és mindkettore ˝ meroleges egyenes, a két kitéro˝ egyenes között van.


Geometria

2006. április 21.

49 / 77

Térbeli alakzatok.

Poliéder Konvex poliéder: Véges sok sík által határolt véges térbeli tartomány.


Geometria

2006. április 21.

50 / 77

Térbeli alakzatok.

Poliéder Konvex poliéder: Véges sok sík által határolt véges térbeli tartomány. Értelmezés: I

I

I

Mindegyik síkból a többi sík egy sokszöget vág ki, ez a sokszög a poliéder egy lapja. Bármely két lap közös oldalát élnek, az élek ˝ s az élektol ˝ végpontjait csúcsoknak nevezzük. A csúcsokat összeköto, különbözo˝ szakaszokat lapátlóknak, illetve testátlóknak nevezzük. Egy csúcsból kiinduló élek félegyenesei által képzett szögtartományok összessége a teret két részre osztja, amelyet testszögletnek nevezünk. A két testszöglet közül azt, amelyik a poliéderhez tartozik, a poliéder testszögletének nevezzük. A poliéder két élének szögét a poliéder élszögének, két lapjának szögét a poliéder lapszögének nevezzük. A határoló sokdzöget területének összege a poliéder felszíne. Ha a poliédert elég sok éle mentén felvágva síkba teríthetjük, a poliéder ˝ beszélünk. kifejtésérol


Geometria

2006. április 21.

50 / 77

Térbeli alakzatok.

Poliéder

˝ bármely csúcsát tartalmazó lapok Közönséges poliéder: Összefüggo, ˝ úgy, hogy az egymás utániak, valamint az utolsó és az elso˝ elrendezhetok egy-egy élben metszik egymást.


Geometria

2006. április 21.

51 / 77

Térbeli alakzatok.

Poliéder

˝ bármely csúcsát tartalmazó lapok Közönséges poliéder: Összefüggo, ˝ úgy, hogy az egymás utániak, valamint az utolsó és az elso˝ elrendezhetok egy-egy élben metszik egymást. Egyszeru˝ poliéder: közönséges, felülete is és minden lapja is egyszeresen ˝ összefüggo.


Geometria

2006. április 21.

51 / 77

Térbeli alakzatok.

Poliéder

˝ bármely csúcsát tartalmazó lapok Közönséges poliéder: Összefüggo, ˝ úgy, hogy az egymás utániak, valamint az utolsó és az elso˝ elrendezhetok egy-egy élben metszik egymást. Egyszeru˝ poliéder: közönséges, felülete is és minden lapja is egyszeresen ˝ összefüggo. Szabályos poléder: lapjai egybevágók, lapjai minden csúcsot ugyanolyan módon vesznek körül.


Geometria

2006. április 21.

51 / 77

Térbeli alakzatok.

Poliéder

˝ bármely csúcsát tartalmazó lapok Közönséges poliéder: Összefüggo, ˝ úgy, hogy az egymás utániak, valamint az utolsó és az elso˝ elrendezhetok egy-egy élben metszik egymást. Egyszeru˝ poliéder: közönséges, felülete is és minden lapja is egyszeresen ˝ összefüggo. Szabályos poléder: lapjai egybevágók, lapjai minden csúcsot ugyanolyan módon vesznek körül. Félszabályos poliéder: minden lapja szabályos sokszög, lapjai minden csúcsot ugyanolyan módon veszik körül.


Geometria

2006. április 21.

51 / 77

Térbeli alakzatok.

Poliéder Theorem I

I

I

Az egyszeru˝ poliéder minden éle pontosan két laphoz tartozik. Egy csúcsból annyi él indul ki ahány lap alkotja a testszögletet. Az egyszeru˝ poliéder két lapjának egy-egy A, B pontja mindíg összekötheto˝ a felületen haladó töröttvonallal, amely nem megy át a csúcsokon. ˝ álló Az egyszeru˝ poliéder két csúcsa mindíg összekötheto˝ élekbol töröttvonallal.

Theorem (Euler poliédertétele) ˝ Az egyszeru˝ poliéder éleinek száma kettovel kevesebb, mint a lapok és csúcsok számának összege. Azaz c − e + l = 2, ahol c a csúcsok, e az élek, l a lapok száma. Szilágyi Ibolya (EKF)

Geometria

2006. április 21.

52 / 77

Térbeli alakzatok.

Hasáb

Hasábfelület: ha egy sokszögvonal pontjain át párhuzamosokat húzunk egy olyan egyenessel, amely nem párhuzamos a sokszög síkjával, hasábfelületet kapunk. A párhuzamos egyenesek a felület alkotói, a sokszög a hasáb vezérsokszöge.


Geometria

2006. április 21.

53 / 77

Térbeli alakzatok.

Hasáb

Hasábfelület: ha egy sokszögvonal pontjain át párhuzamosokat húzunk egy olyan egyenessel, amely nem párhuzamos a sokszög síkjával, hasábfelületet kapunk. A párhuzamos egyenesek a felület alkotói, a sokszög a hasáb vezérsokszöge. Hasáb: Ha a hasábfelületet két olyan párhuzamos síkkal elmetsszük, amelyek nem párhuzamosak az alkotókkal, akkor a kapott poliédert hasábnak nevezzük. A párhuzamosok síkmetszeteként kapott sokszögek az alapok, a többi sokszög az oldallapok. Az oldallapok összessége a palást. A hasáb két alapjának távolsága a hasáb magassága.


Geometria

2006. április 21.

53 / 77

Térbeli alakzatok.

Hasáb

Hasábfelület: ha egy sokszögvonal pontjain át párhuzamosokat húzunk egy olyan egyenessel, amely nem párhuzamos a sokszög síkjával, hasábfelületet kapunk. A párhuzamos egyenesek a felület alkotói, a sokszög a hasáb vezérsokszöge. Hasáb: Ha a hasábfelületet két olyan párhuzamos síkkal elmetsszük, amelyek nem párhuzamosak az alkotókkal, akkor a kapott poliédert hasábnak nevezzük. A párhuzamosok síkmetszeteként kapott sokszögek az alapok, a többi sokszög az oldallapok. Az oldallapok összessége a palást. A hasáb két alapjának távolsága a hasáb magassága. ˝ Ha az alkotók merolegesek az alapokra egyenes hasábról, egyébként pedig ferde hasábról beszélünk. Ha az egyenes hasáb alapja szabályos sokszög, akkor szabályos hasábról beszélhetünk.


Geometria

2006. április 21.

53 / 77

Térbeli alakzatok.

Hasáb

Hasábfelület: ha egy sokszögvonal pontjain át párhuzamosokat húzunk egy olyan egyenessel, amely nem párhuzamos a sokszög síkjával, hasábfelületet kapunk. A párhuzamos egyenesek a felület alkotói, a sokszög a hasáb vezérsokszöge. Hasáb: Ha a hasábfelületet két olyan párhuzamos síkkal elmetsszük, amelyek nem párhuzamosak az alkotókkal, akkor a kapott poliédert hasábnak nevezzük. A párhuzamosok síkmetszeteként kapott sokszögek az alapok, a többi sokszög az oldallapok. Az oldallapok összessége a palást. A hasáb két alapjának távolsága a hasáb magassága. ˝ Ha az alkotók merolegesek az alapokra egyenes hasábról, egyébként pedig ferde hasábról beszélünk. Ha az egyenes hasáb alapja szabályos sokszög, akkor szabályos hasábról beszélhetünk.


Geometria

2006. április 21.

53 / 77

Térbeli alakzatok.

Hasáb Theorem I I I

A hasáb oldallapjai paralelogrammák. A hasáb alajai egybevágó sokszögek. Ha a hasáb alapja konvex, akkor a hasáb is konvex alakzat.


Geometria

2006. április 21.

54 / 77

Térbeli alakzatok.



Paralelepipedon: Paralelogramma alapú hasáb. Téglatest: téglalap alapú egyenes hasáb. Kocka: téglatest, melynek minden lapja négyzet.


Geometria

2006. április 21.

54 / 77

Térbeli alakzatok.



Paralelepipedon: Paralelogramma alapú hasáb. Téglatest: téglalap alapú egyenes hasáb. Kocka: téglatest, melynek minden lapja négyzet.

Theorem A paralelepipedon centrálszimmetrikus.

Theorem Az egyenes hasáb palástjának kifejtése téglalap, amelynek alapja az ˝ alapsokszög kerületével, magassága a hasáb magasságával egyenlo. Szilágyi Ibolya (EKF)

Geometria

2006. április 21.

54 / 77

Térbeli alakzatok.

Gúla

Gúlafelület: egy sokszögvonal minden pontján át a sokszög síkján kívül fekvo˝ pontból félegyeneseket húzunk. A félegyenesek a gúlafelület alkotói. Ha a gúlafelületet egy olyan síkkal metszünk, amely minden alkotót metsz, akkor a sík, a gúlafelület és a csúcs által határolt térrészt gúlának nevezzük.


Geometria

2006. április 21.

55 / 77

Térbeli alakzatok.

Gúla

Theorem I I I

Ha a gúla alapja konvex, akkor a gúla is konvex alakzat. A gúla oldallapjai egybevágó, egyenlo˝ szárú háromszögek. A szabályos gúla oldallapjai egybevágó egyenlo˝ szárú háromszögek.


Geometria

2006. április 21.

56 / 77

Térbeli alakzatok.

Szabályos testek

Szabályos testszöglet: testszöglet, amelynek lapjai és lapszögei egybevágók Szabályos test: konvex poliéder, melynek élei, élszögei és lapszögei ˝ egyenlok. A szabályos test lapjai egybevágó szabályos sokszögek, testszögletei egybevágó szabályos testszögletek.


Geometria

2006. április 21.

57 / 77

Térbeli alakzatok.


Geometria

2006. április 21.

58 / 77

Térbeli alakzatok.

Öt szabályos test Schlegel diagramm: Pálcikamodellt egyik lapja középpontjánál valamivel ˝ nézve egy nagy sokszöget látunk, melyet a többi lap kitölt. kijjebrol A Schlegel diagrammból leolvasható, hogy melyik csúcs melyik élhez és laphoz tartozik.


Geometria

2006. április 21.

59 / 77

Térbeli alakzatok.

Öt szabályos test Schlegel diagramm: Pálcikamodellt egyik lapja középpontjánál valamivel ˝ nézve egy nagy sokszöget látunk, melyet a többi lap kitölt. kijjebrol A Schlegel diagrammból leolvasható, hogy melyik csúcs melyik élhez és laphoz tartozik. Egyszeresen összefüggo˝ poliéder (Euler-poliéder): minden Schlegel diagrammal ábrázolható poliéder. Numerikus tulajdonságai kielégítik az Euler-féle összefüggést c − e + l = 2, ahol c a csúcsok, e az élek, l a lapok száma.


Geometria

2006. április 21.

59 / 77

Térbeli alakzatok.

Öt szabályos test Schlegel diagramm: Pálcikamodellt egyik lapja középpontjánál valamivel ˝ nézve egy nagy sokszöget látunk, melyet a többi lap kitölt. kijjebrol A Schlegel diagrammból leolvasható, hogy melyik csúcs melyik élhez és laphoz tartozik. Egyszeresen összefüggo˝ poliéder (Euler-poliéder): minden Schlegel diagrammal ábrázolható poliéder. Numerikus tulajdonságai kielégítik az Euler-féle összefüggést c − e + l = 2, ahol c a csúcsok, e az élek, l a lapok száma. Jelölés: {p, q} q: egy csúcsba befutó élek száma p: egy lap oldalainak száma Szilágyi Ibolya (EKF)

Geometria

2006. április 21.

59 / 77

Térbeli alakzatok.

Öt szabályos test Theorem Csak ötféle szabályos poliéder létezik, mégpedig {3, 3}, {4, 3}, {3, 4}, {5, 3}, {3, 5}.


Geometria

2006. április 21.

60 / 77

Térbeli alakzatok.

Öt szabályos test Theorem Csak ötféle szabályos poliéder létezik, mégpedig {3, 3}, {4, 3}, {3, 4}, {5, 3}, {3, 5}. Minden csúcsban q darab p-szög találkozik, s mindegyiknek (1 −

2 )π p

nagyságú szöge van.


Geometria

2006. április 21.

60 / 77

Térbeli alakzatok.

Öt szabályos test Theorem Csak ötféle szabályos poliéder létezik, mégpedig {3, 3}, {4, 3}, {3, 4}, {5, 3}, {3, 5}. Minden csúcsban q darab p-szög találkozik, s mindegyiknek (1 −

2 )π p

nagyságú szöge van. Egy csúcsnál levo˝ összes sokszög szögeinek összege 2π-nél kissebb kell, hogy legyen. q(1 −

2 )π < 2π, p

˝ következik ebbol (p − 2)(q − 2) < 4. Szilágyi Ibolya (EKF)

Geometria

2006. április 21.

60 / 77

Térbeli alakzatok.

Öt szabályos test {4, 3} {3, 3} {3, 4} {3, 5} {5, 3}

kocka szabályos tetraéder oktaéder ikozaéder dodekaéder


Geometria

2006. április 21.

61 / 77

Térbeli alakzatok.



tetraéder oktaéder ikozaéder hexaéder dodekaéder


p 3 3 3 4 5

q 3 4 5 3 3

Geometria

c 4 6 12 8 20

e 6 12 30 12 30

l 4 8 20 6 12

2006. április 21.

61 / 77

Térbeli alakzatok.



tetraéder oktaéder ikozaéder hexaéder dodekaéder

p 3 3 3 4 5

q 3 4 5 3 3

c 4 6 12 8 20

e 6 12 30 12 30

l 4 8 20 6 12

˝ világegyetem burka. Platon: föld, tuz, ˝ víz, levego, Modellek: hálózati rajz


Geometria

2006. április 21.

61 / 77

Térbeli alakzatok.

Két szabályos test egymásnak duálisa, ha az egyik csúcsainak száma megegyezik a másik lapjainak számával.


Geometria

2006. április 21.

62 / 77

Térbeli alakzatok.

Két szabályos test egymásnak duálisa, ha az egyik csúcsainak száma megegyezik a másik lapjainak számával. A tetraéder duálisa tetraéder, oktaéderé hexaéder, ikozaéderés dodekaéder. A szabályos testek duálisai a lapközéppontok összekötéseivel származtathatók.


Geometria

2006. április 21.

62 / 77

Térbeli alakzatok.

Két szabályos test egymásnak duálisa, ha az egyik csúcsainak száma megegyezik a másik lapjainak számával. A tetraéder duálisa tetraéder, oktaéderé hexaéder, ikozaéderés dodekaéder. A szabályos testek duálisai a lapközéppontok összekötéseivel származtathatók.

Theorem Minden szabályos testhez egyetlen olyan pont található, amely a test csúcsaitól és lapjaitól egyenlo˝ távolságra van. A fent említett pontot a szabályos test középpontjának nevezzük.

Theorem A szabályos test élfelezo˝ normálisai egy pontban metszik egymát.


Geometria

2006. április 21.

62 / 77

Térbeli alakzatok.

Henger Ha egy síkbeli vonal pontjain át párhuzamosokat húzunk egy olyan egyenessel, amely nem párhuzamos a vonal síkjával, hengerfelületet kapunk. A síkbeli vonal a hengerfelület vezérvonala, a párhuzamos egyenesek az ˝ beszélünk. alkotók. Ha a vezérvonal kör, körhengerfelületrol


Geometria

2006. április 21.

63 / 77

Térbeli alakzatok.

Henger Ha egy síkbeli vonal pontjain át párhuzamosokat húzunk egy olyan egyenessel, amely nem párhuzamos a vonal síkjával, hengerfelületet kapunk. A síkbeli vonal a hengerfelület vezérvonala, a párhuzamos egyenesek az ˝ beszélünk. alkotók. Ha a vezérvonal kör, körhengerfelületrol Ha a hengerfelületet két párhuzamos síkkal elmetszük, amelyek nem párhutamosak az alkotókkal, a kapott véges térrészt hengernek nevezzük.


Geometria

2006. április 21.

63 / 77

Térbeli alakzatok.

Henger Ha egy síkbeli vonal pontjain át párhuzamosokat húzunk egy olyan egyenessel, amely nem párhuzamos a vonal síkjával, hengerfelületet kapunk. A síkbeli vonal a hengerfelület vezérvonala, a párhuzamos egyenesek az ˝ beszélünk. alkotók. Ha a vezérvonal kör, körhengerfelületrol Ha a hengerfelületet két párhuzamos síkkal elmetszük, amelyek nem párhutamosak az alkotókkal, a kapott véges térrészt hengernek nevezzük. Alap, palást, magasság, tengely.


Geometria

2006. április 21.

63 / 77

Térbeli alakzatok.

Henger Ha egy síkbeli vonal pontjain át párhuzamosokat húzunk egy olyan egyenessel, amely nem párhuzamos a vonal síkjával, hengerfelületet kapunk. A síkbeli vonal a hengerfelület vezérvonala, a párhuzamos egyenesek az ˝ beszélünk. alkotók. Ha a vezérvonal kör, körhengerfelületrol Ha a hengerfelületet két párhuzamos síkkal elmetszük, amelyek nem párhutamosak az alkotókkal, a kapott véges térrészt hengernek nevezzük. Alap, palást, magasság, tengely. ˝ Egyenes henger: az alkotók merolegesek az alapra. ˝ Ferde henger: az alkotók nem merolegesek az alapra. Körhenger: az alap kör.


Geometria

2006. április 21.

63 / 77

Térbeli alakzatok.

Henger Ha egy síkbeli vonal pontjain át párhuzamosokat húzunk egy olyan egyenessel, amely nem párhuzamos a vonal síkjával, hengerfelületet kapunk. A síkbeli vonal a hengerfelület vezérvonala, a párhuzamos egyenesek az ˝ beszélünk. alkotók. Ha a vezérvonal kör, körhengerfelületrol Ha a hengerfelületet két párhuzamos síkkal elmetszük, amelyek nem párhutamosak az alkotókkal, a kapott véges térrészt hengernek nevezzük. Alap, palást, magasság, tengely. ˝ Egyenes henger: az alkotók merolegesek az alapra. ˝ Ferde henger: az alkotók nem merolegesek az alapra. Körhenger: az alap kör.

Theorem A henger alapjai egybevágó síkidomok.


Geometria

2006. április 21.

63 / 77

Térbeli alakzatok.

Kúp

Ha egy síkbeli vonal minden pontján egy a vonal síkján kívül fekvo˝ pontból félegyeneseket húzunk, kúpfelületet kapunk. A síkbeli vonal a kúpfelület vezérvonala, a vezérvonal síkján kívüli pont a kúpfelület csúcsa, a félegyenesek az alkotók.


Geometria

2006. április 21.

64 / 77

Térbeli alakzatok.

Kúp

Ha egy síkbeli vonal minden pontján egy a vonal síkján kívül fekvo˝ pontból félegyeneseket húzunk, kúpfelületet kapunk. A síkbeli vonal a kúpfelület vezérvonala, a vezérvonal síkján kívüli pont a kúpfelület csúcsa, a félegyenesek az alkotók. Ha a kúpfelületet meghatározó félegyenesek helyett egyeneseket tekintünk, ˝ kúpfelületrol ˝ beszélünk. akkor kettos


Geometria

2006. április 21.

64 / 77

Térbeli alakzatok.

Kúp

Ha egy síkbeli vonal minden pontján egy a vonal síkján kívül fekvo˝ pontból félegyeneseket húzunk, kúpfelületet kapunk. A síkbeli vonal a kúpfelület vezérvonala, a vezérvonal síkján kívüli pont a kúpfelület csúcsa, a félegyenesek az alkotók. Ha a kúpfelületet meghatározó félegyenesek helyett egyeneseket tekintünk, ˝ kúpfelületrol ˝ beszélünk. akkor kettos Ha a kúpfelületet olyan síkkal metszük, amely minden alkotót metsz, s nem illeszkedik a csúcsra, akkor a sík, a kúpfelület és a csúcs által meghatározott térrészt kúpnak nevezzük. alkotó, palást, alap, magasság.


Geometria

2006. április 21.

64 / 77

Térbeli alakzatok.

Kúp

Ha egy síkbeli vonal minden pontján egy a vonal síkján kívül fekvo˝ pontból félegyeneseket húzunk, kúpfelületet kapunk. A síkbeli vonal a kúpfelület vezérvonala, a vezérvonal síkján kívüli pont a kúpfelület csúcsa, a félegyenesek az alkotók. Ha a kúpfelületet meghatározó félegyenesek helyett egyeneseket tekintünk, ˝ kúpfelületrol ˝ beszélünk. akkor kettos Ha a kúpfelületet olyan síkkal metszük, amely minden alkotót metsz, s nem illeszkedik a csúcsra, akkor a sík, a kúpfelület és a csúcs által meghatározott térrészt kúpnak nevezzük. alkotó, palást, alap, magasság. Körkúp: a kúp alapja kör. ˝ Egyenes körkúp: a körkúp tengelye meroleges az alapra.


Geometria

2006. április 21.

64 / 77

Térbeli alakzatok.

Theorem A körhenger és körkúp tengelyeire illeszkedo˝ síkok két alkotóban metszik ˝ s a kúp tengelyével ugyanakkora azokat. Az egyenes körkúp alkotói egyenlok, szöget zárnak be. Az egyenes körkúp alkotóit oldalmagasságnak, az alkotók és a tengely szögét a kúp félnyílásszögének nevezzük.

Theorem Ha az egyenlo˝ szárú háromszöget az alaphoz tartozó magassága körül megforgatjuk, egyenes körkúpot kapunk.

Theorem Ha kúpot az alappal párhuzaos síkkal metszük, az alaphoz hasonló síkidomot kapunk.


Geometria

2006. április 21.

65 / 77

Térbeli alakzatok.

Csonkakúp

Ha a kúpot az alappal párhuzamos síkkal metszük, akkor a két párhuzamos sík közötti kúprészt csonka kúpnak nevezzük. A párhuzamos lapok az alapok, az alapok közötti felületrész a palást. A két alap síkjának távolsága a csonkakúp magassága. Az egyenes körkúpból származtatott csonkakúp az egyenes csnkakúp.

Theorem ˝ Az egyenes csonkakúp tengelye meroleges az alapokra.

Theorem Csonka körkúp mindkét alapja kör.


Geometria

2006. április 21.

66 / 77

Térbeli alakzatok.

Gömb A tér azon pontjainak halmazát, melyek adott ponttól adott távolságra vannak, ˝ s azon belüli pontok gömbfelületnek nevezzük. A gömbfelületen levo, összességét gömbtestnek nevezzük.

Theorem A gömb konvex alakzat. A gömbfelület két pontját összeköto˝ szakasz a gömb húrja. A középpontra ˝ illeszkedo˝ húrt átméronek mondjuk.


Geometria

2006. április 21.

67 / 77

Térbeli alakzatok.

Gömb A tér azon pontjainak halmazát, melyek adott ponttól adott távolságra vannak, ˝ s azon belüli pontok gömbfelületnek nevezzük. A gömbfelületen levo, összességét gömbtestnek nevezzük.

Theorem A gömb konvex alakzat. A gömbfelület két pontját összeköto˝ szakasz a gömb húrja. A középpontra ˝ illeszkedo˝ húrt átméronek mondjuk.

Theorem Gömb és sík kölcsönös helyzete a következo˝ lehet: nincs közös pontjuk, egy közös pontjuk van, egy körben metszik egymást.

Theorem A gömb minden síkmetszete kör. ˝ Gömbi fokör, gömbi kiskör. Szilágyi Ibolya (EKF)

Geometria

2006. április 21.

67 / 77

Térbeli alakzatok.

Gömb

Theorem ˝ ˝ körül megforgatjuk, gömböt kapunk. Ha a fokört egyik átméroje

Theorem A gömbfelület valamelyik pontját tartalmazó sík a gömböt akkor és csak akkor ˝ ériti, ha meroleges a pontot tartalmazó sugárra.


Geometria

2006. április 21.

68 / 77

Térbeli alakzatok.

Theorem Egy egyenesnek és egy gömbnek 0, 1 vagy 2 közös pontjuk van. Ha az egyenesnek és a gömbnek egy közös pontja van, akkor az egyenest a ˝ gömb érintojének nevezzük.

Theorem ˝ az érintési pontban meroleges ˝ A gömb érintoje a sugárra.

Theorem ˝ ˝ érinti a gömböt is. A gömb fokörének érintoje

Theorem ˝ az érintosíkban ˝ A gömbfelület egy adott pontjához tartozó érintoi vannak. ˝ az érintési ponthoz húzott sugár körül elforgatjuk, az Ha a gömb érintojét ˝ érinto˝ az érintosíkot írja le. Szilágyi Ibolya (EKF)

Geometria

2006. április 21.

69 / 77

Térbeli alakzatok.

Theorem ˝ ˝ az érintési pontok Külso˝ pontból a gömbhöz húzott érintoszakaszok egyenlok, egy síkban vannak, és az érinto˝ félegyenesek egy egyenes körkúpfelületet határoznak meg.

Theorem ˝ egy egyenes A gömbhöz egy egyenessel párhuzamosan húzott érintok ˝ körhengerfelületen vannak, az érintési pontok pedig a gömb egy fokörén.


Geometria

2006. április 21.

70 / 77

Térbeli alakzatok.

Gömb részei

˝ egy sík két gömbsüveget metsz ki, a gömbtestbol ˝ pedig két A gömbfelületbol gömbszeletet. A gömbi kört a süveg alapkörének, illetve a szelet alapjának ˝ ˝ nevezzük. A síkra meroleges gömbátméronek a süveghez tartozó része a ˝ ˝ beszélünk. magasság. ha a gömbi kör fokör, akkor félgömbrol


Geometria

2006. április 21.

71 / 77

Térbeli alakzatok.

Gömb részei

˝ egy sík két gömbsüveget metsz ki, a gömbtestbol ˝ pedig két A gömbfelületbol gömbszeletet. A gömbi kört a süveg alapkörének, illetve a szelet alapjának ˝ ˝ nevezzük. A síkra meroleges gömbátméronek a süveghez tartozó része a ˝ ˝ beszélünk. magasság. ha a gömbi kör fokör, akkor félgömbrol ˝ két párhuzamos sík gömbövet metsz ki, a gömbtestbol ˝ A gömbfelületbol pedig gömbréteget.


Geometria

2006. április 21.

71 / 77

Térbeli alakzatok.

Gömb részei

˝ egy sík két gömbsüveget metsz ki, a gömbtestbol ˝ pedig két A gömbfelületbol gömbszeletet. A gömbi kört a süveg alapkörének, illetve a szelet alapjának ˝ ˝ nevezzük. A síkra meroleges gömbátméronek a süveghez tartozó része a ˝ ˝ beszélünk. magasság. ha a gömbi kör fokör, akkor félgömbrol ˝ két párhuzamos sík gömbövet metsz ki, a gömbtestbol ˝ A gömbfelületbol pedig gömbréteget. Ha a gömbszelet alapkörének pontjait összekötjük a gömb középpontjával, akkor gömbcikkeket kapunk.


Geometria

2006. április 21.

71 / 77

Térbeli alakzatok.

Gömb részei

˝ egy sík két gömbsüveget metsz ki, a gömbtestbol ˝ pedig két A gömbfelületbol gömbszeletet. A gömbi kört a süveg alapkörének, illetve a szelet alapjának ˝ ˝ nevezzük. A síkra meroleges gömbátméronek a süveghez tartozó része a ˝ ˝ beszélünk. magasság. ha a gömbi kör fokör, akkor félgömbrol ˝ két párhuzamos sík gömbövet metsz ki, a gömbtestbol ˝ A gömbfelületbol pedig gömbréteget. Ha a gömbszelet alapkörének pontjait összekötjük a gömb középpontjával, akkor gömbcikkeket kapunk. Ha a gömböt két olyan félsíkkal metsszük, amelyeknek közös határegyenese ˝ akkor gömbkétszögeket kapunk. A gömbtestbol ˝ kimetszett részt átméro, gömbgerezdnek mondjuk.


Geometria

2006. április 21.

71 / 77

Térbeli alakzatok.

Egyenes körhenger és körkúp síkmetszetei

Az egyenes körhenger és körkúp tengelyeire illeszkedo˝ síkok metszeteit tengelymetszeteknek nevezzük.

Theorem ˝ párhuzamos egyenest, Az alkotókkal párhuzamos sík a körhengerfelületbol illetve egyenespárt metsz ki, vagy nem metzi a felületet. I I I I

Egyenes körhenger tengelymetszete téglalap. ˝ Az egyenes körhenger tengelyre meroleges síkmetszete kör. Egyenes körkúl tengelymetszete egyenlo˝ szárú háromszög. ˝ Az egyenes körkúp tengelyre meroleges síkmetszete kör.


Geometria

2006. április 21.

72 / 77

Térbeli alakzatok.

Theorem ˝ Az egyenes körhenger tengelyével nem párhuzamos és arra nem meroleges sík a hengerfelületet ellipszisben metszi.

Theorem A körkúpfelület csúcspontjára illeszkedo˝ sík 0, 1 vagy 2 alkotót metsz ki a kúpból.


Geometria

2006. április 21.

73 / 77

Térbeli alakzatok.

Theorem ˝ Az egyenes körhenger tengelyével nem párhuzamos és arra nem meroleges sík a hengerfelületet ellipszisben metszi.

Theorem A körkúpfelület csúcspontjára illeszkedo˝ sík 0, 1 vagy 2 alkotót metsz ki a kúpból.

Theorem Ha egy sík nem illeszkedik az egyenes körkúp csúcspontjára, és minden alkotót metsz, akkor a kúpfelületet ellipszisben metszi.


Geometria

2006. április 21.

73 / 77

Térbeli alakzatok.

Theorem Ha egy sík nem illeszkedik az egyenes körkúp csúcspontjára, és egyetlen alkotóval párhuzamos, a többit pedig metszi, akkor a kúpfelületet parabolában metszi.

Theorem Ha egy sík nem illeszkedik az egyenes körkúp csúcspontjára, és két alkotóval ˝ kúpfelületet hiperbolában párhuzamos, a többi alkotót metszi, akkor a kettos metszi.


Geometria

2006. április 21.

74 / 77

Geometria I. Szilágyi Ibolya. Matematika és Informatika Intézet EKF, Eger április 21

Recommend Documents