Fotonov´e mapy Martin Bulant 21. bˇrezna 2011
1
Photon mapping
Fotonov´e mapy jsou podobn´e obousmˇern´emu sledov´an´ı cest, ale odliˇsuj´ı se t´ım, ˇze se nedˇel´ a vˇse najednou. Je oddˇelena propagace svˇetla do sc´eny od jeho sb´ır´an´ı do v´ ysledn´eho obr´ azku. Algoritmus se tedy dˇel´ı na 2 z´akladn´ı ˇc´asti: • Propagace svˇetla ze zdroj˚ u do sc´eny a jeho uloˇzen´ı ve fotonov´e mapˇe. • Zobrazen´ı v´ ysledn´eho obr´azku z dat uloˇzen´ ych ve fotonov´e mapˇe. Ve fotonov´ ych map´ ach se pˇrepouˇz´ıvaj´ı ˇc´asti svˇeteln´ ych cest, to znamen´a ˇze pro r˚ uzn´e pixely ve v´ ysledn´em obr´azku se pouˇzije stejn´ y foton z fotonov´e mapy a tedy i jemu odpov´ıdaj´ıc´ı cesta ze zdroje aˇz k jeho pozici ve fotonov´e mapˇe.
1.1
Vlastnosti fotonov´ ych map
ˇ nejsou nestrann´e Fotonov´e mapy nejsou nestrann´e, ale jsou konzistentn´ı. Ze znamen´ a, ˇze obsahuj´ı nˇejakou systematickou chybu. Tou je v tomto pˇr´ıpadˇe pr˚ umˇerov´ an´ı (rozmaz´ av´ an´ı) radiance z´ısk´avan´e z fotonov´e mapy. Konzistence n´ am ˇr´ık´ a, ˇze pokud pouˇzijime nekoneˇcn´ y poˇcet foton˚ u, dostaneme spr´avn´ y v´ ysledek. Dalˇs´ı ne pˇr´ıliˇs pˇeknou vlastnost´ı je, ˇze algoritmus m´a velk´e mnoˇzstv´ı parametr˚ u, kter´e je tˇreba nastavit jeˇstˇe pˇred zah´ajen´ım v´ ypoˇctu. D˚ usledkem toho se m˚ uˇze st´ at, ˇze pro danou sc´enu, kter´a nen´ı pro fotonov´e mapy u ´plnˇe vhodn´a, nastav´ıme nedostateˇcnˇe velk´e hodnoty parametr˚ u a dostaneme ˇskared´ y v´ ysledek i pˇres to, ˇze stejn´e nastaven´ı pro vˇetˇsinu sc´en d´av´a v´ ysledky pˇekn´e. Mezi tyto parametry patˇr´ı celkov´ y poˇcet emitovan´ ych foton˚ u, poˇcet foton˚ u, kter´e se budou br´ at pro odhad radiance, s ˇc´ımˇz souvis´ı polomˇer, ve kter´em se radiance bude pr˚ umˇerovat, d´ale tak´e poˇcet paprsk˚ u pouˇzit´ ych pro final gathering a dalˇs´ı. 1.1.1
Poˇ zadovan´ e chov´ an´ı
Chceme spojitou radianci na dif´ uzn´ıch ploch´ach. S t´ım m´a probl´emy hlavnˇe pˇr´ım´e zobrazen´ı fotonov´ ych map, kde se projevuje velk´ y rozptyl v radianci. Ale i jin´e metody se nemus´ı chovat pˇeknˇe. Napˇr´ıklad pokud se nastav´ı pˇr´ıliˇs velk´ y 1
poˇcet vzork˚ u pro odhad radiance, ˇc´ımˇz se zvˇetˇs´ı polomˇer oblasti ve kter´e se tento poˇcet vzork˚ u nach´ az´ı, d˚ usledkem ˇcehoˇz se nezobraz´ı st´ıny. Naproti tomu pˇri pˇr´ıliˇs mal´em poˇctu vzork˚ u v odhadu dostaneme mal´ y polomˇer a t´ım ztrat´ıme spojitost na dif´ uzn´ıch ploch´ ach.
1.2
Emitov´ an´ı a sledov´ an´ı foton˚ u
Na emitov´ an´ı foton˚ u m´ ame jeden hlavn´ı poˇzadavek, kter´ ym je, aby vˇsechny fotony mˇely stejnou energii. Pokud by ji nemˇely, tak i pˇri dif´ uzn´ım osvˇetlen´ı m˚ uˇze vzniknout ˇskared´ y obr´azek, kter´ y bude m´ıt velk´ y rozptyl radiance. Pˇri sledov´ an´ı cesty pro foton chceme zachovat konstantn´ı tok fotonu. Toho dos´ ahneme napˇr´ıklad pomoc´ı tzv. rusk´e rulety, tedy t´ım, ˇze budeme v´ıce absorbovat fotony s malou energi´ı. Aby se n´am ve sc´enˇe neztr´acela energie touto umˇele pˇridanou absorpc´ı, mus´ıme foton˚ um, kter´e nebyly absorbov´any, pˇridat tok i za fotony, kter´e absorbov´any byly. Tento pˇridan´ y tok pak kompenzuje pˇrirozen´ yu ´bytek energie fotonu pˇri odrazu na ploˇse, a tok fotonu z˚ ust´av´a konstantn´ı.
1.3
Ukl´ ad´ an´ı foton˚ u
Fotony se ukl´ adaj´ı pˇredevˇs´ım na dif´ uzn´ıch povrˇs´ıch, pokud pracujeme s leskl´ ymi, tak i na nich. Ale neukl´ adaj´ı se pro zrcadlov´e plochy, nebot’ by se n´asobilo nulou a to z toho d˚ uvodu, ˇze BRDF pro zrcadlovou plochu je delta distibuce. V prvn´ı f´ azi se fotony pouze ukl´ adaj´ı do line´arn´ıho pole a ve druh´e f´azi v´ ypoˇctu se z nich postav´ı KD-strom kv˚ uli zrychlen´ı jejich vyhled´av´an´ı. Pro ukl´ ad´ an´ı foton˚ u se pouˇz´ıvaj´ı 2 r˚ uzn´e mapy. Glob´aln´ı mapa a mapa kaustik. Do prvn´ı se ukl´ adaj´ı vˇsechny vystˇrelen´e fotony. Do druh´e se ukl´adaj´ı pouze fotony, kter´e proˇsly pˇres zrcadlov´ y odraz nebo lom. Kaustiky se ukl´adaj´ı do zvl´ aˇstn´ı mapy, jelikoˇz v glob´aln´ı mapˇe by pro nˇe nebyl dostateˇcn´ y poˇcet vzork˚ u. Dotaz do mapy kaustik se prov´ad´ı pˇr´ımo pro prim´arn´ı paprsky, kdeˇzto dotaz do m´enˇe pˇresn´e glob´ aln´ı mapy se prov´ad´ı aˇz po jedn´e u ´rovni distribution ray tracingu (tj. final gather).
1.4
Zobrazov´ an´ı fotonov´ e mapy
Zobrazen´ı lze prov´ adˇet napˇr. pomoc´ı sledov´an´ı paprsku s dotazy do fotonov´e mapy, kdy po dopadu na zrcadlov´ y povrch pokraˇcujeme v raytracingu. Radiance se z fotonov´e mapy odhaduje tak, ˇze se v kouli o urˇcit´em polomˇeru kolem aktu´ alnˇe zkouman´eho pr˚ useˇc´ıku vyhledaj´ı vˇsechny fotony. To m´a ovˇsem probl´em s hranicemi kaustik a s rohy, kde se do hledan´e oblasti zapoˇc´ıtaj´ı i nespr´avn´e fotony. Pro odhad radiance z fotonov´e mapy se pouˇzije vzorec: Lr (x, ω ~ o) ≈
k 1 1 X fr (x, ω ~ o, ω ~ p )Φp (xp , ω ~ p ), N πr2 p=1
2
kde Lr (x, ω ~ o ) je odraˇzen´ a radiance z bodu x ve smˇeru ωo , N je celkov´ y poˇcet foton˚ u, r je polomˇer oblasti, ve kter´e se nach´azej´ı fotony pro odhad radiance, fr (x, ω ~ p, ω ~ o ) je BRDF v bodˇe x pro pˇr´ıchoz´ı smˇer ω ~ p a odchoz´ı smˇer ω ~o a Φp (xp , ω ~ p ) je tok fotonu v bodˇe xp ze smˇeru ω ~ p. 1.4.1
Pˇ r´ım´ e zobrazen´ı fotonov´ e mapy
Fotonovou mapu lze zobrazovat pˇr´ımo, ale to ned´av´a pˇriliˇs pˇekn´e obr´azky, protoˇze na dif´ uzn´ıch ploch´ ach, kde byla mal´a hustota foton˚ u, vznik´a velk´ y rozptyl radiance. Ale pokud bychom chtˇeli zobrazovat pouze kaustiky, tak n´am pˇr´ım´e zobrazen´ı staˇc´ı. Je tomu tak proto, ˇze kaustika je zaostˇren´ı svˇetla, to znamen´a, ˇze je v n´ı vyˇsˇs´ı hustota foton˚ u a d´ıky tomu jsme schopni pˇresnˇeji odhadnout radianci. 1.4.2
Final gathering
Od pˇr´ım´eho zobrazen´ı fotonov´e mapy se liˇs´ı t´ım, ˇze v m´ıstˇe dopadu prim´arn´ıho paprsku se nevezmou hodnoty pˇr´ımo z fotonov´e mapy, ale provede se jeˇstˇe jeden distribuovan´ y krok, spoˇc´ıvaj´ıc´ı v navzorkov´an´ı polokoule nad m´ıstem dopadu a vrˇzen´ı paprsk˚ u z´ıskan´ ymi smˇery. Dotazy do fotonov´e mapy se pokl´adaj´ı aˇz pro m´ısta pr˚ useˇc´ık˚ u tˇechto paprsk˚ u se sc´enou. Radiance z´ıskan´a z tˇechto paprsk˚ u se samozˇrejmˇe mus´ı pˇren´ asobit BRDF. Pouˇzit´ım final gatheringu se zbav´ıme pˇr´ıliˇs velk´e nepˇresnosti, kter´ a je v glob´aln´ı fotonov´e mapˇe. Final gathering se d´ a pro dif´ uzn´ı osvˇetlen´ı a Lambertovsk´e povrchy zrychlit tak, ˇze se pouˇzije iradiance caching. Ten vyuˇz´ıv´a v´ ysledky z pˇredchoz´ıch dotaz˚ u pro final gathering a lze ho jeˇstˇe zpˇresnit pouˇzit´ım translaˇcn´ıch a rotaˇcn´ıch gradient˚ u. M´ısto final gatheringu by ˇslo pouˇz´ıt i sledov´an´ı cest (path tracing), coˇz by ale zbyteˇcnˇe zv´ yˇsilo n´ aroˇcnost cel´eho algoritmu.
1.5
V´ yhody fotonov´ ych map
Fotonov´e mapy jsou v´ yborn´e pro zobrazov´an´ı kaustik. Je to i d´ıky tomu, ˇze je lze filtrovat. D´ ale jsou dobr´e pro zobrazov´an´ı dif´ uzn´ıch povrch˚ u, ale to jen v tom pˇr´ıpadˇe, ˇze se pouˇzije final gathering nejl´epe jeˇstˇe vylepˇsen´ y o irradiance caching. Dalˇs´ı v´ yhodou je, ˇze pro stejnˇe kvalitn´ı obr´azky jsou vˇetˇsinou rychlejˇs´ı neˇz nestrann´e Monte Carlo techniky jako napˇr. (obousmˇern´e) sledov´an´ı cest.
1.6
Probl´ emy fotonov´ ych map
Prvn´ım probl´emem je bias, kter´ y vznik´a z d˚ uvodu pevn´eho celkov´eho poˇctu foton˚ u a pevn´eho poˇctu foton˚ u pouˇzit´ ych pro odhad radiance. Dalˇs´ım je neprogresivita a to pˇredevˇs´ım fixnost parameter˚ u. M´ame pevnˇe dan´ y poˇcet pr˚ uchod˚ u, v prvn´ı f´ azi provedeme pouze jedno sledov´an´ı foton˚ u a pak uˇz se pouze zobrazuj´ı z´ıskan´e v´ ysledky. Z toho plyne, ˇze pˇresnost se d´a nastavit pouze na zaˇc´atku v´ ypoˇctu. Dalˇs´ım je pamˇet’ov´a n´aroˇcnost, kter´a je d˚ usledkem velk´eho poˇctu foton˚ u, kter´e jsou potˇrebn´e pro sloˇzit´e kaustiky. Dalˇs´ım je, ˇze nelze automatizovat 3
nastaven´ı parametr˚ u. Posledn´ım probl´emem jsou leskl´e plochy, kde se n´am pˇri final gatheringu na nich d´ıky u ´zk´emu laloku BRDF opˇet zv´ yrazn´ı nepˇresnosti glob´ aln´ı fotonov´e mapy. To se sice d´a ˇreˇsit pouˇzit´ım dalˇs´ıch rekurzivn´ıch krok˚ u final gatheringu, ale t´ım se ztrat´ı velk´a ˇc´ast v´ yhod fotonov´ ych map.
2
Progressive photon mapping
Od obyˇcejn´ ych fotonov´ ych map se liˇs´ı t´ım, ˇze je zde prohozeno poˇrad´ı pr˚ uchod˚ u. Nejdˇr´ıve se do sc´eny vystˇrel´ı paprsky z kamery a pr˚ useˇc´ıky se zaznamenaj´ı. Aˇz pot´e se do sc´eny stˇr´ılej´ı fotony. D´ıky tomuto prohozen´ı lze druh´ y pr˚ uchod libovolnˇekr´ at opakovat. To umoˇzn ˇuje pracovat s vˇetˇs´ım poˇctem foton˚ u. D´ıky opakovan´ı druh´eho kroku m˚ uˇzeme progresivnˇe zmenˇsovat polomˇer ve kter´em se poˇc´ıt´ a odhad radiance. To jsme nav´ıc schopni prov´adˇet takov´ ym zp˚ usobem, ˇze souˇcasnˇe se zmenˇsovan´ım polomˇeru jsme schopni zmenˇsovat i bias a rozptyl radiance. Pˇri kaˇzd´e iteraci se vystˇrel´ı nˇejak´ y poˇcet foton˚ u, kter´e se na konci iterace zase zahod´ı a jejich pˇr´ıspˇevek se uloˇz´ı do kumulovan´ ych veliˇcin.
2.1
Prvn´ı f´ aze
V prvn´ı f´ azi se prov´ ad´ı raytracing aˇz k difuzn´ı ploˇse s moˇzn´ ym zakonˇcen´ım dˇr´ıve pomoc´ı rusk´e rulety. Pˇriˇcemˇz je tˇreba si pro kaˇzd´ y pr˚ useˇc´ık uloˇzit n´asleduj´ıc´ı informace: pozice, norm´ ala, smˇer, BRDF, pozice pixelu, v´ahov´ y koeficient (tj. v´aha s jakou dan´ y bod pˇrisp´ıv´ a k v´ ysledn´e barvˇe pixelu). Pro kaˇzd´ y pr˚ useˇc´ık budeme bˇehem v´ ypoˇctu udrˇzovat n´ asleduj´ıc´ı statistiky: polomˇer, poˇcet akumulovan´ ych foton˚ u, akumulovan´ y tok.
2.2
Druh´ a f´ aze
V´ yhodou druh´e f´ aze v progresivn´ıch fotonov´ ych map´ach je, ˇze po kaˇzd´e iteraci druh´eho kroku lze sc´enu vykreslit, coˇz zlepˇs´ı obr´azek, jelikoˇz se v kaˇzd´em kroku zpˇresn´ı glob´ aln´ı osvˇetlen´ı. Pˇri kaˇzd´e iteraci se do sc´eny vystˇrel´ı nov´e fotony, pomoc´ı nich se upˇresn´ı glob´ aln´ı osvˇetlen´ı a fotony m˚ uˇzeme zahodit. Pro kaˇzd´ y bod z´ıskan´ y v prvn´ı f´azi si pamatujeme tok jemu odpov´ıdaj´ıc´ıch foton˚ u. 2.2.1
Odhad hustoty
Ve fotonov´ ych map´ ach lze pr˚ umˇerovat v´ıce map se stejn´ ym polomˇerem, ale bohuˇzel to nezlepˇsuje pˇresnost, v´ ysledek nebude obsahovat vˇetˇs´ı detaily, neˇz jednotliv´e mapy pouˇzit´e k pr˚ umˇerov´an´ı. Zde jednotliv´e fotonov´e mapy z´ıskan´e v jednotliv´ ych iterac´ıch kombinujeme takov´ ym zp˚ usobem, ˇze v´ ysledn´ y odhad radiance konverguje k pˇresn´e hodnotˇe radiance v dan´em bodˇe.
4
2.2.2
Podm´ınky konvergence
Pro pˇresn´ y odhad radiance L(x, ω ~ ) z bodu x ve smˇeru ω ~ plat´ı tento vzorec:
L(x, ω ~ ) = lim
N →∞
Nβc bX fr (x, ω ~,ω ~ p )Φp (xp , ω ~ p)
πr2
p=1
Kde N je celkov´ y poˇcet foton˚ u, N β je poˇcet foton˚ u pouˇzit´ y pro odhad radiance, kde β ∈ h0, 1i a r je polomˇer oblasti, ve kter´e se odhaduje radiance. Z´ akladn´ı podm´ınkou konvergence nejen progresivn´ıch fotonov´ ych map, ale i obyˇcejn´ ych fotonov´ ych map je, ˇze poˇcet foton˚ u jde do nekoneˇcna. V progresivn´ıch fotonov´ ych map´ ach je dle vzorce v´ yˇse tˇreba zvolit β tak, aby i poˇcet vzork˚ u v odhadu konvergoval k nekoneˇcnu, ale ˇr´adovˇe pomaleji. D˚ usledkem ˇcehoˇz pak polomˇer konverguje k nule. Po kaˇzd´e iteraci je tedy tˇreba zmenˇsit polomˇer ve kter´em se poˇc´ıt´ a odhad radiance a z´aroveˇ n zv´ yˇsit poˇcet foton˚ u ze kter´ ych se radiance odhaduje. 2.2.3
Redukce polomˇ eru
T´ım ˇze nastˇr´ıl´ıme do sc´eny nov´e fotony, m˚ uˇzeme si dovolit zmenˇsit polomˇer pˇri zachov´ an´ı alespoˇ n stejn´e hustoty a tedy i pˇresnosti. Polomˇer budeme zmenˇsovat jen v tom pˇr´ıpadˇe, ˇze se zv´ yˇs´ı poˇcet akumulovan´ ych foton˚ u. Pro nov´ y polomˇer ˆ R(x) kolem bodu x plat´ı vzorec: s N (x) + αM (x) ˆ R(x) = R(x) N (x) + M (x) Kde R(x) je p˚ uvodn´ı polomˇer, N (x) je poˇcet dosud akumulovan´ ych foton˚ u, M (x) je poˇcet nov´ ych foton˚ u v disku o polomˇeru R(x) a α ud´av´a, jak velkou ˇc´ ast z nov´ ych foton˚ u chceme pˇridat k jiˇz akumulovan´ ym. 2.2.4
Korekce toku
Pro nov´e fotony se tok spoˇc´ıt´a pomoc´ı souˇcinu jejich toku s odpov´ıdaj´ıc´ı hodnotou BRDF. Pro nemˇenn´ y polomˇer by byl nov´ y tok souˇctem tok˚ u star´ ych a nov´ ych foton˚ u, bohuˇzel my mus´ıme jeˇstˇe prov´est korekci na nov´ y polomˇer. Abychom toto mohli prov´est, pˇredpokl´ad´ame konstantn´ı hustotu foton˚ u uvnitˇr kruhu. Pro v´ ysledn´ y tok τNˆ (x, ω ~ ) z bodu x ve smˇeru ω ~ pro nov´ y poˇcet akumuloˆ plat´ı: van´ ych foton˚ uN τNˆ (x, ω ~ ) = (τN (x, ω ~ ) + τM (x, ω ~ ))
N (x) + αM (x) N (x) + M (x)
Kde N (x) je poˇcet dosud akumulovan´ ych foton˚ u, M (x) je poˇcet nov´ ych foton˚ u a α ud´ av´ a, jak velkou ˇc´ast z nov´ ych foton˚ u chceme pˇridat k jiˇz akumulovan´ ym. 5
2.2.5
Odhad radiance
Abychom mohli obr´ azek vykreslit po i kroc´ıch. Mus´ıme b´ yt schopni odhadnout radianci po i-t´em kroku. Pro v´ ypoˇcet radiance plat´ı vzorec: L(x, ω ~) ≈
τi (x, ω ~) Ne (i)πRi (x)2
Kde L(x, ω ~ ) je odchoz´ı radiance z bodu x ve smˇeru ω, τi (x, ω ~ ) je tok jdouc´ı z bodu x ve smˇeru ω po i-t´em kroku, Ri (x) je polomˇer po i-t´em kroku a Ne je celkov´ y dosud emitovan´ y poˇcet foton˚ u.
2.3
V´ ysledky
Oproti fotonov´ ym map´ am d´avaj´ı progresivn´ı fotonov´e mapy ostˇrejˇs´ı obr´azky. Hlavn´ı v´ yhodou je, ˇze lze pouˇz´ıt velk´e mnoˇzstv´ı foton˚ u. Bohuˇzel i progresivn´ı fotonov´e mapy maj´ı st´ ale nˇejak´e probl´emy: • ˇspatnˇe zobrazuj´ı leskl´e povrchy • maj´ı fixn´ı poˇcet paprsk˚ u na pixel a proto se ˇspatnˇe dˇel´a rozmaz´an´ı pohybem a hloubka ostrosti • pokud zvol´ıme pˇr´ıliˇs mal´ y poˇcet paprsk˚ u, uˇz to nen´ı moˇzn´e zachr´anit zvyˇsov´ an´ım poˇctu foton˚ u Druh´ y bod souvist´ı s t´ım, ˇze progresivn´ı fotonov´e mapy jsou schopny spoˇc´ıtat korektn´ı radianci pro konkr´etn´ı bod. Ale efekty jako rozmaz´an´ı pohybem a hloubka ostrosti potˇrebuj´ı radianci v nˇejak´e oblasti. Coˇz je d˚ uvod vzniku Stochastick´ ych progresivn´ıch fotonov´ ych map.
3
Stochastic Progresive Photon Mapping
Stochastick´e progresivn´ı fotonov´e mapy zaˇc´ınaj´ı stejnˇe jako progresivn´ı fotonov´e mapy, ale po iteraci progresivn´ıch fotonov´ ych map lze prov´est distribuovan´ y raytracing a pak se vr´ atit zpˇet ke stˇr´ılen´ı foton˚ u. D˚ usledkem toho uˇz body, ve kter´ ych se odhaduje radiance z fotonov´e mapy nejsou fixn´ı. M´ısto bod˚ u se pracuje s oblastmi, kdy oblast vˇetˇsinou odpov´ıd´a pixelu. Pracuje se tedy se statistikami (odhad radiance, tok a polomˇer) sd´ılen´ ymi pro jednotliv´e oblasti.
3.1
Stochastick´ y odhad radiance
Jde o stochastick´e rozˇs´ıˇren´ı p˚ uvodn´ıho estim´atoru pro oblasti. Ukl´adaj´ı se pouze akumulovan´e statistiky pro oblasti. Progresivn´ı fotonov´e mapy nemaj´ı pro hloubku ostrosti v neostr´ ych m´ıstech dostatek paprsk˚ u, ˇc´ımˇz v tˇechto m´ıstech vznikaj´ı ˇsmouhy. Ovˇsem stochastick´e progresivn´ı fotonov´e mapy to zvl´adaj´ı jak leskl´e povrchy, tak rozmaz´ an´ı pohybem.
6
3.2
V´ yhody Stochastick´ ych progresivn´ıch fotonov´ ych map
Pro vˇetˇsinu sc´en konverguj´ı rychleji a algoritmus pouˇzije m´enˇe pamˇeti neˇz je tomu u progresivn´ıch fotonov´ ych map. Velmi dobˇre zobrazuj´ı efekty, kde je tˇreba m´ıt spoˇc´ıtanou radianci pro oblast, jako rozmaz´an´ı pohybem a hloubka ostrosti.
3.3
Odhad chyby
Existuje softwarov´e prostˇred´ı, pomoc´ı kter´eho lze odhadovat chybu odhadu hustoty foton˚ u. Pˇriˇcemˇz pro nestrann´e metody se jako chyba bere rozptyl, jinak se bere rozptyl a bias. To umoˇzn ˇuje automaticky zastavit v´ ypoˇcet pokud uˇz se s chybou obr´ azku dostaneme pod zadanou hranici.
Reference [1] Hachisuka, T.; Jensen, H. W.: Stochastic Progressive Photon Mapping. ACM Transactions on Graphics (SIGGRAPH Asia 2009), 2009. [2] Hachisuka, T.; Jensen, H. W.; Ogaki, S.: Progressive Photon Mapping. ACM Transactions on Graphics (SIGGRAPH Asia 2008), 2008. [3] Kˇriv´ anek, J.: Fotonov´e mapy. 2010. URL
ˇ ab, T.: Progressive photon mapping. 2011. [4] Sv´ URL
7
