Forum Statistika dan Komputasi, Oktoberl 2005, p: 25 – 32 ISSN : 0853-8115
Vol. 10 No. 2
PENDUGAAN PRODUKTIVITAS KENTANG DENGAN METODE KEMUNGKINAN MAKSIMUM UNTUK MODEL ACAK Hari Wijayanto, Khairil Anwar Notodiputro, Barizi Departemen Statistika, FMIPA IPB
Edi Abdurrachman Pusat Data dan Informasi Pertanian, Departemen Pertanian RI
Ringkasan Metode kemungkinan maksimum merupakan salah satu metode yang paling umum digunakan untuk pendugaan parameter populasi. Dalam penerapannya pada model acak, metode kemungkinan maksimum menghadapi berbagai kendala dalam prosedur pendugaan parameter populasi terutama untuk kasus data yang tidak seimbang. Pada tulisan ini dibahas penggunakan metode kemungkinan maksimum pada model acak untuk pendugaan produktivitas komoditas kentang. Keywords: : random model, maximum likelihood method, profile likelihood, backfitting algorithm, potatoe productivity PENDAHULUAN Pendugaan produktivitas komoditas hortikultura yang berbasis pada plot contoh, telah dikembangkan dan diujicoba oleh Pusat Data dan Informasi pertanian (Pusdatin) Deptan. Metode percontohan untuk menentukan plot contoh menggunakan multi-stage sampling. Untuk pendugaan pada level kabupaten, penarikan contohnya dimulai dari penentuan kecamatan contoh, kemudian dilanjutkan dengan penetuan desa, dusun, petani, petak, dan plot contoh. Penentuan kecamatan dan desa contoh serta banyaknya plot contoh yang dialokasikan proposional terhadap perkiraan luas panen. Pada satu desa contoh hanya dipilih satu dusun contoh secara acak, kemudian pada satu dusun contoh dipilih petani contoh secara acak sebanyak jumlah plot contoh yang dialokasikan untuk desa contoh yang bersangkutan. Pada setiap petani contoh dipilih satu petak contoh, dan pada satu petak contoh ditentukan satu plot contoh. Dengan penerapan metode percontohan seperti ini, penentuan ragam dugaan menggunakan metode konvensional menjadi tidak dapat dilakukan karena ragam pada setiap tahap (stage) tidak dapat ditentukan. Penerapan model pernarikan contoh seperti tersebut di atas sebenarnya dapat dimodelkan sebagai berikut:
yij = µ + α i + ε ij , i=1, 2, …, a
(1)
dan j=1, 2, …, ni dengan:
yij = respon (hasil ubinan) pada dusun ke-i, petani ke-j µ = rataan umum
α i = pengaruh dusun ke-i ε ij = galat pada dusun ke-i, petani ke-j Asumsi yang umum digunakan untuk model ini adalah antar ε ij saling bebas dan menyebar 2
normal dengan nilai tengah 0 dan ragam σ . Sedangkan faktor dusun, karena merupakan contoh acak dari berbagai kemungkinan dusun yang ada, biasanya disebut sebagai faktor acak
α i ~ N (0, σ α2 ) . α i bebas terhadap ε ij
(random factor) dan diasumsikan: Dengan asumsi ini bahwa maka
ragam
dari
pengamatan menjadi: Ragam
σ α2
dan
suatu
observasi 2
atau
2
V ( yij ) = σ α + σ .
σ 2 disebut
sebagai komponen
ragam. Sedangkan model yang faktornya acak seperti ini disebut sebagai komponen ragam atau model pengaruh acak (Montgomery, 1991). Kasus di atas akan lebih rumit jika pada satu petani dapat dilakukan pengambilan plot contoh lebih dari satu plot. Sehingga model (1) akan menjadi model tersarang (nested) sebagai berikut: 25
Forum Statistika dan Komputasi, Oktoberl 2005, p: 25 – 32 ISSN : 0853-8115
Vol. 10 No. 2 a
| V |= ∏ σ 2( ni −1) (σ 2 + niσ α2 )
y ijk = µ + α i + β j ( i ) + ε ijk ,
i =1
dan i=1, 2, …, a; j=1, 2, …, bi; dan k=1, 2, …, nij (2)
V
dengan:
yijk = respon (hasil plot) pada dusun ke-i, petani ke-j, dan plot ke-k µ = rataan umum
α i = pengaruh dusun ke-i β j (i ) = pengaruh petani
=
I ni
σ2
−
ke-j pada dusun
= galat pada dusun ke-i, petani ke-j,
α i , β j (i )
dan
ε ij
saling bebas,
maka untuk kasus model ini ragam dari suatu observasi atau pengamatan menjadi: 2
V ( y ijk ) = σ α + σ β + σ
1 σ2 exp − ( y ij − µ ) 2 − ∑ 2 α 2 ( y i. − ni µ ) 2 2 ∑∑ + n σ σ 2σ i j i i α L (θ ) = a 1 1 1 N 2[ ( N − a )] ( 2π ) 2 σ 2 ∏ (σ 2 + niσ α2 ) 2
2
Sehingga menjadi:
β j (i ) ~ N (0, σ β2 ) .
Untuk kasus dua
log
dari
fungsi
kemungkinannya
N 1 1 logL = − log2π − (N − a)logσ 2 − ∑log(σ 2 + niσα2 ) 2 2 2i
Asumsi yang berlaku sama dengan model (4.1) dengan tambahan asumsi untuk faktor petani -
∑∑(y i
j
µ )2
ij
2σ
2
+
1 2σ
2
∑σ i
σ α2 2
faktor yang bersifat acak seperti ini, pendugaan parameter akan berfokus pada pendugaan terhadap
µ
dan komponen ragam
σ α2 , σ β2 , dan
σ2.
Metode yang umum digunakan untuk menduga parameter-parameter ini adalah metode kuadrat terkecil (ANOVA) dan metode kemungkinan maksimum. Pada berikutnya akan dibahas tentang pendugaan parameter menggunakan metode kemungkinan maksimum untuk kedua model di atas. Pembahasan akan diawali untuk kasus jumlah ulangan sama, kemudian dilanjutkan dengan kasus ulangan dan jumlah level faktor yang berbeda. Pada bagian akhir diberikan contoh penerapan pada kasus komoditas kentang.
PENDUGAAN DENGAN METODE KEMUNGKINAN MAKSIMUM Model Acak Satu Faktor Penduga kemungkinan maksimum bagi parameter
θ = ( µ , σ 2 , σ α2 )
model (1) dapat
diperoleh dari fungsi kemungkinannya sebagai berikut:
L (θ ) =
exp[− 12 ( y − µ1)'V −1 ( y − µ1)] 1
N
26
+ niσ α2
( y i.
ni µ ) 2
(3) Kasus jumlah ulangan sama Untuk kasus ulangan sama berarti
ni = n
untuk setiap i, dengan demikian log fungsi kemungkinan (3) menjadi: N 1 1 log L = − log 2π − a(n − 1) log σ 2 − a log(σ 2 + nσ α2 ) 2 2 2 2 2 2 ( y − ) µ n σ α ∑ ( yi. − µ ) 2 ∑∑ ij
−
i
j
2σ 2
+
i
2σ 2 (σ 2 + nσ α2 ) (4)
Dua suku terakhir dari persamaan (4) di atas jika diekspresikan dalam bentuk JKA dan JKG menjadi sebagai berikut (Wijayanto, 2005):
1 σ2 − JKG + 2 [ JKA + an( y.. − µ ) 2 ] 2 2 2σ σ + nσ α .karena penduga kemungkinan maksimum dari suatu fungsi parameter sama dengan fungsi dari penduga kemungkinan maksimum dari parameter, kita dapat menyederhanakan notasi dengan menuliskan:
1
(2π ) 2 | V | 2 dimana
J ni
i =1
Dengan asumsi
adalah
σ 2 (σ 2 + niσ α2 )
(Searle et al., 1992).
dan plot ke-k.
2
σ α2
Dengan demikian fungsi kemungkinan di atas dapat dituliskan menjadi:
ke-i
ε ijk
−1
λ = σ 2 + nσ α2
Forum Statistika dan Komputasi, Oktoberl 2005, p: 25 – 32 ISSN : 0853-8115
Vol. 10 No. 2
Sehingga persamaan (4) menjadi:
log L = −
N 1 1 JKG JKA an( y.. − µ ) 2 log 2π − a (n − 1) log σ 2 − a log λ − − − . 2 2 2 2λ 2λ 2σ 2
µ,
Dengan menurunkan secara parsial terhadap
σ2
dan λ dan mengevaluasi ketiga persamaan ini pada nilai 0, memberikan penduga kemungkinan maksimum sebagai berikut:
µˆ = y.. σˆ 2 = KTG
(1 − 1 / a ) KTA − KTG σˆ α = n JKA JKG dimana KTA = dan KTG = . (a − 1) a (n − 1) 2 Penduga σˆ ternyata merupakan penduga 2 2 yang tak bias terhadap σ , sedangkan σˆ α 2
merupakan penduga yang berbias terhadap
2
σα
karena
E (σˆ 2 ) = σ 2 sedangkan 1 1 E (σˆ α2 ) = (1 − )σ α2 − σ 2 . a an 2 2 Penduga σˆ dan ragam σˆ yang dihasilkan oleh metode kuadrat terkecil (ANOVA) dan metode kemungkinan maksimum ternyata sama,
σˆ α2
yang dihasilkan oleh
kedua metode tersebut berbeda. Pada beberapa kasus
dimungkinkan 2
σˆ α
yang negatif. Oleh karena itu, untuk memperoleh nilai harapan penduga kemungkinan maksimumnya lebih sulit karena tergantung dari
σˆ α2
apakah positif atau negatif (Searle et al.,
1992). Selanjutnya, untuk menghindari mendapatkan penduga yang negatif, Searle et al. (1992) memberikan penduga kemungkinan maksimum bagi
σˆ 2
dan
σˆ α2
sebagai berikut:
]/ n; untuk(1−1 a)KTA≥ KTG [(1−1 a)KTA−KTG 0 selainnya
σˆα2 = dan
KTG ; untuk (1 − 1 a ) KTA ≥ KTG σˆ = JKT untuk selainnya . an ; 2
µˆ , σˆ 2 , dan
dapat diperoleh melalui nilai harapan dari
turunan kedua log fungsi kemungkinannya sehingga menghasilkan ragam sebagai berikut:
σˆ 2 + nσˆ α2 an
1 1 − σˆ a(n −1) an(n −1) 4 σ ≅ 2 ragam 2 4 2 1 1 λ / σ 1 ˆ σ α − + an(n −1) n2 a a(n −1) 2
Kasus jumlah ulangan tidak sama Penurunan penduga kemungkinan maksimum untuk kasus ulangan tidak sama akan mengacu pada log fungsi kemungkinan yang dituliskan pada persamaan (3). Dengan menotasikan
λi = σ 2 + niσ α2
kembali
dan
mengekspresikan fungsi tersebut dalam bentuk JKG dan JKA, maka diperoleh persamaan sebagai berikut:
N 1 1 JKG n (y −µ)2 logL=− log2π − (N−a)logσ2 − ∑logλi − 2 −∑ i i. 2 2 2i 2λi 2σ i (5)Dengan menurunkan secara parsial terhadap
diperolehnya penduga komponen ragam
nilai
σˆ α2
ragam( µˆ ) =
dan
sedangkan penduga
Ragam dari masing-masing penduga
µ, σ2
dan λ dan mengevaluasi fungsi turunan terhadap µ di atas terhadap 0, diperoleh penduga kemungkinan maksimum bagi µ sebagai berikut: n y n y y ∑i λi ˆ i . ∑ σˆ 2 +i ni .σˆ 2 ∑ var( iy. ) i α i i i. = = i µˆ = ni ni 1 ∑i λˆ ∑i σˆ 2 + n σˆ 2 ∑i var( y ) i. i α i dimana:
ragam( y i. ) = σˆ α2 + σˆ 2 / ni .
Sedangkan untuk kasus ulangan tidak sama, solusi secara analitik bagi penduga kemungkinan maksimum
σ2
dan
σ α2
tidak dapat diperoleh
(Searle et al., 1992). Ragam dari masing-masing penduga ini dapat diperoleh melalui nilai harapan dari turunan kedua log fungsi kemungkinannya sehingga diperoleh hasil sebagai berikut:
n ragam( µˆ ) = ∑ i i λi
−1
n = ∑ 2 i 2 i σ + ni σ α
−1
27
Forum Statistika dan Komputasi, Oktoberl 2005, p: 25 – 32 ISSN : 0853-8115
ni2 2 ∑ σˆ 2 λ2 ragam 2 ≅ i i σˆ α D − ∑ ni i λ2 i
Vol. 10 No. 2
V −1 = ∑−1 −∑−1 Z(Z′ ∑−1 Z + D−1)−1 Z′ ∑−1 bˆ = DZ′V −1( y − µ1)
−∑ 2 i λi N −a 1 +∑ 2 σ4 i λi ni
V −1(y − µ1) = ∑−1(y − µ1− Zbˆ) (y − µ1)′V −1( y − µ1) = (y − µ1− Zbˆ)′ ∑−1(y − µ1− Zbˆ) + bˆ′D−1bˆ | V | =| ∑| | −Z′ ∑−1 Z + D−1 |
Dimana
D=
N −a
σ
4
n
2 i 2 i
n
1
2 i 2 i
∑λ +∑λ ∑λ i
i
2 i
i
n − ∑ 2i i λi
2
.Untuk
jumlah ulangan tidak sama, penduga parameter bagi komponen ragam pada umumnya tidak dapat diperoleh melalui rumus jadi (closed form) (Searle et al., 1992). Salah satu metode yang dapat digunakan untuk memperoleh penduga bagi komponen ragamnya untuk kasus ulangan tidak sama adalah algoritma iterative backfitting seperti yang digunakan oleh Pawitan (2001). Pada bagian ini akan diuraikan metode pendugaan bagi
σ2
dan
σ α2
menggunakan algoritma iteratif
yang dikembangkan dari Pawitan (2001). Secara umum, model (1) jika dituliskan dalam bentuk matriks akan menjadi:
Maka persamaan (6) dapat dituliskan kembali menjadi:
log L(θ ) = x(y
∑
1 1 log | | ( y µˆ Z bˆ) 2 2 1 1ˆ log | D | Z bˆ) b D 1b 2 2
′∑
1
′
µˆ
1 − log | Z ′ ∑ −1 Z + D −1 | 2 1 log L(θ ) = log L( µˆ , θ , bˆ) − log | Z ′ ∑ −1 Z + D −1 | 2 . Dari persamaan ini terlihat bahwa
log L(θ )
log L( µˆ , θ , bˆ) dengan
merupakan modifikasi menambahkan
persamaan
1 − log | Z ′ ∑ −1 Z + D −1 | 2
yang
tidak
lain
y = 1µ + Zb + e Dengan asumsi b ~ N (0, D ) dan e ~ N (0, ∑ ) , sedangkan y ~ N ( µ1, V ) dimana V = ∑ + ZDZ ′
merupakan informasi Fisher dari b . Selanjutnya, untuk mendapatkan penduga bagi µ , b , dan
Log fungsi kemungkinan pada parameter fixed
melalui prosedur iteratif.
( µ , θ ) dimana θ = σ 2 , σ α2 adalah
Dengan
1 1 log L( µ ,θ ) = − log | V | − ( y − µ1) ′V −1 ( y − µ1) 2 2 Pada nilai θ yang tetap, turunan pertama fungsi ini terhadap µ dan mengevaluasinya pada nilai 0
menghasilkan penduga
µ
sebagai berikut:
µˆ = (1′V −11) −11′V −1 y Profil likelihood dari parameter θ adalah 1 1 (6) log L (θ ) = − log | V | − ( y − µˆ1) ′V −1 ( y − µˆ1) 2 2 Log-likelihood seluruh parameter model ( µ ,b, θ dengan
θ = σ 2 , σ α2 )
dapat
∑ . Sedangkan
b menyebar normal dengan nilai tengah 0 dan ragam D, sehingga 1 1 log L( µ , θ , b) = log | | ( y 1µ Zb ) 2 2 1 1 x ( y 1µ Zb ) log | D | b D 1b 2 2 Dengan berpedoman bahwa (Pawitan, 2001) :
∑
′∑
′
28
dan
σ α2
dapat dilakukan
∑ =σ 2A
mengasumsikan:
dan
2 b
D = σ R , dimana A dan R merupakan matriks yang diketahui dan berpangkat N dan q (pada banyak aplikasi, matriks A dan R merupakan matriks identitas). Dengan demikian, untuk memperoleh penduga parameter tersebut, fungsi tujuan yang harus dimaksimumkan adalah
Q=
N log σ 2 2
′
log b R 1b dimana e
L( µ , θ , b) = p ( y | b) p (b) Sebaran bersyarat y jika diketahui b adalah normal dengan nilai tengah E ( y | b) = µ1 + Zb dan ragam
σ2
1 2σ
2
1 log |σ 2
′
e A 1e 2
q log σ b2 2
′
Z A 1Z + σ b 2 R
1
q 2σ b2 |
ditentukan
( y, b) , yaitu
berdasarkan sebaran bersama dari
komponen ragam
1
= y − µ1 − Zb .
Turunan Q
σ2
terhadap
dan
σ α2
kemudian
mengevaluasi masing-masing pada nilai 0, dan mengisolasi nilai
σ2
dan
σ α2
maka diperoleh
persamaan iteratif sebagai berikut: σ2 =
1 [ e ′A −1 e + teras {(σ N
−2
Z ′A −1 Z + σ b− 2 R −1 ) −1 Z ′A −1 Z }]
1 [b ′R −1b + teras{(σ − 2 Z ′A −1 Z + σ b− 2 R −1 ) −1 R −1 }] . q Dengan demikian, prosedur iteratif untuk
σ b2 =
Forum Statistika dan Komputasi, Oktoberl 2005, p: 25 – 32 ISSN : 0853-8115
menduga
σ α2
µ, b,
dan komponen ragam
σ2
Vol. 10 No. 2
dan
Kasus Jumlah Taraf dan Ulangan Sama
adalah sebagai berikut: 1.
2.
Model (2) untuk jumlah taraf & ulangan sama dapat dituliskan sebagai:
σ 2 , σ b2 , µ dan b 2 2 (Nilai awal bagi σ dan σ b dapat
Tentukan nilai awal
y ijk = µ + α i + β ij + ε ijk , i=1, 2, …, a; j=1, 2, …,
diambil dari penduga kuadrat terkecil, sedangkan nilai awal untuk b = 0 )
b; dan k=1, 2, …, n
Hitung:
Dengan
ny ∑i σ 2 +i ni.σ 2 i α µˆ = ni ∑i σ 2 + n σ 2 i α
β ij ~ N (0, σ β2 ) , ε ijk ~ N (0, σ 2 ) .
asumsi
y c = y − µ1 − Zb dan hitung nilai b melalui persamaan
b = ( Z ′ ∑ −1 Z + D −1 ) −1 Z ′ ∑ −1 y c 3. Hitung: e = y − µ1 − Zb
2 L(µ,σ12 ,σ122 ,σ123 ) ∝ (σ12 )
Hitung nilai komponen ragam baru menggunakan:
1 [e′A −1e + teras{(σ − 2 Z ′A −1 Z + σ b− 2 R −1 ) −1 Z ′A −1 Z }] N 1 σ b2 = [b′R −1b + teras{(σ −2 Z ′A −1 Z + σ b−2 R −1 ) −1 R −1}] q
5.
σ2
dan
σ b2
− 12 v1
(σ122 )
− 12 v2
2 (σ123 )
− 12 (v3 +1)
1 bn∑( yi.. − µ)2 v m v m × exp− + 2 2 2 + 1 21 2 σ123 σ12 σ1 2 (7)
σ2 =
Dimana nilai
α i ~ N (0, σ α2 ) ,
:
Seperti ditunjukkan dalam Wijayanto (2005), rumus umum tabel analisis ragamnya dapat dituliskan seperti Tabel 1. Berdasarkan model dan tabel analisis ragam tersebut, fungsi 2 kemungkinan bagi µ , σ 12 , σ 122 , dan σ 123 adalah sebagai berikut (Tiao & Box, 1967) :
Hitung vektor data terkoreksi
4.
Model Acak Tersarang Dua Faktor
sebelah kanan
mengambil nilai pada iterasi sebelumnya. Ulangi 2-5 sampai konvergen.
Algoritma iterative backfitting di dalam aljabar linier lebih dikenal dengan sebutan metode Jacobi atau Gauss-Seidel. Menurut Anton (1987), metode Jacobi atau Gauss-Seidel terkadang berjumpa dengan kondisi yang divergen atau tidak konvergen, sehingga metode ini tidak selalu memberikan solusi. Pemilihan ekspresi dari persamaan parameter yang akan diduga dapat membantu diperolehnya kondisi yang konvergen.
Log dari fungsi kemungkinan persamaan (7) ini menjadi: 1 1 1 2 2 logL(µ,σ12 ,σ122 ,σ123 ) = − v1 logσ12 − v2 logσ122 − (v3 +1) logσ123 2 2 2 2 1 bn∑( yi.. − µ) v2 m2 v1m1 − + 2 + 2 2 2 σ123 σ12 σ1
Turunan pertama fungsi ini terhadap 2 σ 122 , dan σ 123
µ , σ 12 ,
dan mengevaluasi persamaan yang
diperoleh terhadap 0 menghasilkan µˆ = y... (a) (b)
σˆ 2 = m1 = KTG
Tabel 1 Tabel analisis ragam untuk model acak tersarang dua faktor dengan ulangan sama JK
S 3 = bn∑ ( y i.. − y... )
db 2
KT
E(KT) 2 123
2
= σ + nσ β2 + bnσ α2
v3
m3 = S 3 v 3
σ
S 2 = n∑∑ ( y ij . − y i.. ) 2
v2
m2 = S 2 v 2
σ 122 = σ 2 + nσ β2
S1 = ∑∑∑ ( y ijk − yij . ) 2
v1
m1 = S1 v1
σ 12 = σ 2
Keterangan:
v1 = ab(n − 1) , v 2 = a (b − 1) , v3 = (a − 1) , m1 = KTG , m2 = KTB , m3 = KTA
29
Forum Statistika dan Komputasi, Oktoberl 2005, p: 25 – 32 ISSN : 0853-8115
Vol. 10 No. 2
σˆ 122 = m2
(c)
a
Var ( µˆ ) = 1 1′V −11 = 1
σˆ 2 + nσˆ β2 = m2 m2 − σˆ 2
i =1
KTB − KTG n n 2 bn∑ ( yi.. − y... ) vm 2 (d) σˆ 123 = = 3 3 v3 + 1 v3 + 1 vm σˆ 2 + nσˆ β2 + bnσˆ α2 = 3 3 a v 3 m3 − σˆ 2 − nσˆ β2 2 a σˆ α = bn
σˆ β2 =
Dimana:
=
abn
.
Menurut Searle et al. (1992), tidak ada bentuk tertutup (closed form) persamaan penduga kemungkinan maksimum bagi komponen ragam pada model tersarang dua faktor (model 2) untuk kasus jumlah ulangan yang tidak sama. Khusus untuk penduga bagi µ , Searle (1970) telah menurunkan penduga kemungkinan maksimumnya sebagai berikut:
µˆ =
bi
1
n ij
∑q ∑m i =1
a
i j =1 bi
1
n ij
i j =1
ij
bi
∑∑k
y ij .
ij
∑q ∑m i =1
a
=
ij
y ij .
i =1 j =1 bi a
∑∑k
. ij
i =1 j =1
dimana
1
k ij
(
2
= σβ +σ
2 e
1 . nij 1 + σ α2 ∑ 2 2 j σ β + σ e nij
)
Sedangkan ragamnya adalah sebagai berikut:
30
j =1
mij
.
Data yang digunakan adalah data hasil ujicoba penentuan produktivitas komoditas hortikultura yang telah dilakukan oleh Pusdatin Departemen Pertanian pada Tahun 2002 di Kabupaten Brebes. Jumlah plot contoh sebenarnya adalah 40 plot yang tersebar di dua kecamatan dan lima desa. Data ini disajikan pada Tabel 7 dalam Wijayanto (2005), yang akan digunakan sebagai contoh analisis untuk kasus jumlah ulangan tidak sama. Sedangkan untuk kasus jumlah ulangan sama (jumlah petani atau plot contoh per dusun sama) menggunakan data Tabel 16 dalam Wijayanto (2005). Hasil analisis ragam (metode kuadrat terkecil) terhadap data ulangan sama adalah sebagai berikut: Sumber Dususn Petani Total
Kasus Data Tidak Seimbang (Jumlah Taraf dan Ulangan Tidak Sama)
a
nij
PENERAPAN
log L yaitu:
ragam( µˆ ) =
ci
qi = 1 + σ α ∑
Permasalahan yang dihadapi dalam pendugaan komponen ragam pada model acak tersarang adalah adanya kemungkinan diperolehnya penduga ragam yang negatif. Searle et al. (1992) memberikan penduga kemungkinan maksimum bagi komponen ragam agar tidak diperoleh nilai yang negatif. Ragam bagi µˆ dapat diperoleh melalui turunan
σˆ 2 + nσˆ β2 + bnσˆ α2
mij = nij σ β2 + σ e2 2
JKA KTB − KTG − KTG − n a n = JKA a − KTB . σˆα2 = bn bn
kedua dari fungsi
∑
1 bi n ij ∑ q i j =1 m ij
DB 4 25 29
JK 124.3567 116.3300 240.6867
KT 31.0892 4.6532
F 6.681
%Total 48.64 51.36 3.010
StDev 2.099 2.157
P 0.001
Komponen Ragam Sumber Dususn Petani Total
Komp.Ragam 4.406 4.653 9.059
Berdasarkan tabel analisis ragam di atas dan dengan hipotesis H0:
σ α2 = 0
vs H1:
σ α2 > 0
dapat disimpulkan bahwa H0 ditolak, artinya produktivitas antar dusun nyata beragam. Dari tabel di atas dapat dilihat bahwa penduga bagi 2
2
ragam galat ( σ ) dan ragam antar dusun ( σ α ) masing-masing sebesar 4.653 dan 4.406. Dengan menggunakan metode kemungkinan maksimum ternyata diperoleh penduga bagi
σ2
dan
σ α2
masing-masing
sebesar 4.653 dan 3.370, sedangkan penduga bagi µ dan var(µˆ ) masing-masing sebesar 25.267 dan 0.829. Dari hasil ini terlihat bahwa hasil dugaan
σ α2
metode kuadrat terkecil berbeda dengan
Forum Statistika dan Komputasi, Oktoberl 2005, p: 25 – 32 ISSN : 0853-8115
Vol. 10 No. 2
metode kemungkinan maksimum, sedangkan hasil dugaan terhadap
σ
2
sama.
σ α2
maksimum terhadap
Prof il Likelihood Pendekat an Normal
0.8
0.6
cor ( y ij , y ik ) =
0.4
0.2
4.0 6.0 Sigm a2
8.0
10.0
adalah adanya korelasi
σˆ α2 = 0.42 σˆ 2 + σˆ α2
Hasil analisis ragam (metode kuadrat terkecil) terhadap data dengan ulangan tidak sama adalah sebagai berikut:
0.0 2.0
Salah satu
interclass yang cukup tinggi (Pawitan, 2001). Besarnya nilai korelasi interclass pada data contoh tersebut di atas adalah:
1.0
0.0
σ α2 .
penyebab ketidakkonsistenan hasil pengujian analisis ragam dengan metode kemungkinan
1.2
Likelihood
tetapi berbeda cukup jauh untuk
12.0
Gambar 1. Perbandingan fungsi kemungkinan Sumber Dusun Petani Total
2
bagi σ dengan fungsi kemungkinan asimtotik normal
DB 4 35 39
JK 204.0576 129.9934 334.0510
KT 51.0144 3.7141
1.2 Pr of il Likelihood
Komponen Ragam
Pendekat an Normal
Likelihood
1.0
Sumber Dusun Petani Total
0.8
0.6
Komp.Ragam 6.074 3.714 9.788
%Total 62.05 37.95 3.129
0.4
Dari
0.2
hasil
analisis
ragam
penduga kuadrat terkecil bagi 0.0 0.0
5.0
10.0
bagi
σ α2
maksimum diperoleh penduga bagi
dengan fungsi kemungkinan
perhitungan penduga
Dengan menggunakan kebalikan matriks informasi Fisher, diperoleh ragam bagi
σ
dan
masing-masing sebesar 1.720 dan 6.873.
Sesuai dengan teori asimtotik normal, sebaran kedua komponen ragam tersebut adalah 2
2
σˆ ~ N (σ , 1.720)
dan
2
2
σˆ α ~ N (σ α , 6.873) .
Dengan demikian selang kepercayaan 95% bagi
σ2
dan
σ α2
masing-masing adalah (2.082, 7.224)
dan (-1.769, 8.508). Khusus untuk
σ α2 ,
dan
σ α2
dengan
fungsi
σ α2
σ2
dan
σ α2
σ2
dan
σ α2
menggunakan
bahasa R dapat dilihat dalam Wijayanto, (2005)). 2
Dari hasil pendugaan terhadap σ ternyata kedua metode memberikan hasil yang relatif sama, tetapi terhadap
σ α2
ternyata kedua metode
memberikan perbedaan hasil yang cukup jauh. Sedangkan penduga kemungkinan maksimum bagi µ dan var(µˆ ) masing-masing sebesar 25.305 dan 0.873.
selang
kepercayaannya mencakup nilai 0, berarti bertentangan dengan hasil pengujian menggunakan analisis ragam. Perbandingan fungsi kemungkinan bagi
σ2
dan
masing-masing adalah 3.701 dan 3.867 (program
asimtotik normal
2
σ
diperoleh
2
masing-masing adalah 3.714 dan 6.074. Sedangkan menggunakan metode kemungkinan
15.0 Sigm a_b2 20.0
Gambar 2 . Perbandingan fungsi kemungkinan
σ α2
StDev 2.465 1.927
kemungkinan
asimtotik normal disajikan pada Gambar 1 dan Gambar 2. Dari hasil perbandingan ini dapat dilihat bahwa ternyata pendekatan fungsi kemungkinan normal cukup baik untuk
σ
2
,
DAFTAR PUSTAKA Anton H. 1987. Elementary Linear Algebra, 5th ed. John Wiley& Sons, New York. Baltagi BH, Song SH, and Jung BC. 1999. The Unbalanced Nested Error Component Regression Model. Dempster, AP, Laird NM, Rubin DB. 1977. Maximum Likelihood Estimation from Incomplete Data Via the EM Algorithm 31
Forum Statistika dan Komputasi, Oktoberl 2005, p: 25 – 32 ISSN : 0853-8115
Vol. 10 No. 2
(with discussion). J. Roy. Statist. Soc., Ser. B, 39, 1-38. Harvey WR. 1970. Estimation of Variance Component in The Mixed Model. Biometrics September 1970: 485-504. Khattree R. 1999. Nonnegative Estimation of Variance Components: A Modification to Henderson’s Anova Methodology. The Indian Journal of Sttatistics, Volume 61, Series B, Pt. 2, pp. 261-265. Levy PS, Lemeshow S. 1999. Sampling of Population, Methods and Application. 3rd. John Wiley & Sons, New York. Montgomery DC. 1991. Design and Analysis of Experiments. 3rd ed. John Wiley and Sons, New York. Murthy MN. 1967. Sampling Theory and Methods. Statistical Publishing Society. Pawitan Y. 2001. In All Likelihood, Statistical Modelling and Inference Using Likelihood. Clarendon Press, Oxford. Pusat dan Informasi Pertanian. 2003. Uji Metodologi Produktivitas Sayuran di Propinsi Jawa Barat dan Jawa Tengah. Pusat Data dan Informasi Pertanian, Departemen Pertanian, Jakarta. Searle SR. 1970. Large Sample Variances of Maximum Likelihood Estimator of Variance Components Using Unbalanced Data. Biometrics, September 1970: 505-524. Searle SR, Casella G, McCullach CE. 1992. Variance Components. John Wiley & Sons, Canada. Tiao GC, Box GEP. 1967. Bayesian Analysis of Three-Component Hierarchical Design Model. Biometrika, Vol. 54, No. 1 & 2, p.109-125. Wijayanto H. 2005. Pendekatan Kemungkinan Maksimum dan Bayes untuk Pendugaan Produktivitas Komoditas Hortikultura (Kasus Komoditas Kentang). Disertasi Sekolah Pascasarjana IPB. Bogor. (Tidak dipublikasikan).
⊗
32
