Fogalmi alapok Mérlegegyenletek

1.

Fogalmi alapok Mérlegegyenletek Utolsó módosítás: 2013. február 11.

Dr. Márkus Ferenc BME Fizika Tanszék

1

A transzportfolyamatokról általában A természetben lezajló folyamatok leírására szolgáló összefoglaló elmélet, amely attól függetlenül meg tudja fogalmazni a megoldás főbb kritériumait, hogy mely diszciplinához tartozik eredendően. Példák (/köz/ismert transzportok): hővezetés; diffúzió, elektromos vezetés; folyadékok és gázok konvektív áramlása; konvektív termikus energia-, anyag- és töltéstranszport. → kereszteffektusok (együttesen jelenlévő transzportok) → relativisztikus és kvantumos folyamatok Dr. Márkus Ferenc BME Fizika Tanszék

2

Egy egyszerű példa: a hőmérő tehetetlensége (1) A hőmérő kezdeti hőmérséklete: T2 A hőmérő hőmérséklete: T(t) A mérendő közeg hőmérséklete: T1 A hőmérő belső energiája csak a hőmérséklettől függ, így állapotegyenlete: U=f(T). A hőtágulástól eltekintünk, így a munkavégzés zérus: W=0. A termodinamika I. főtétele szerint: dU=dQ. dQ=CdT /C: hőkapacitás/ A hőmérő falán az időegységenként átadott hő: I= αA(T- T1) α : hőátadási tényező; A: felület Dr. Márkus Ferenc BME Fizika Tanszék

3

Egy egyszerű példa: a hőmérő tehetetlensége (2) A kiegyenlítődési folyamatot leíró transzportegyenlet:

A kezdeti feltételek figyelembe vételéve az egyenlet megoldása:

Itt a Dr. Márkus Ferenc BME Fizika Tanszék

a hőmérő időállandója. De a térbeliséget is figyelembe kell venni!

4

Matematikai eszközök (1) A térmennyiségek (pontfüggvények) helytől és időtől függenek

a, skalárterek:

b, vektorterek:

hőmérséklet:

sebességtér:

nyomás:

térerősség:

koncentráció:


5

Matematikai eszközök (2) Az iránymenti derivált és a gradiens: Skalártér: amelynek, szintfelületei (nívófelületei) pl. izoterm, izobár, ekvipotenciális felületek.

A


tér

irányú iránymenti deriváltja az

pontban:

6

Matematikai eszközök (3) Keressük azt az vektort, amelyhez tartozó iránymenti derivált a legnagyobb.

Merőleges a szintfelületeire. Dr. Márkus Ferenc BME Fizika Tanszék

tér

7

Matematikai eszközök (4) Vonalintegrál: irányított görbe vektortér Felületi integrál: irányított felület normálvektora vektortér Dr. Márkus Ferenc BME Fizika Tanszék

Fluxus

8

Matematikai eszközök (5) A divergencia: A

,

,

oldalélű kockára történő felületi integrálás után:

az vektortér forráserőssége Dr. Márkus Ferenc BME Fizika Tanszék

9

Matematikai eszközök (6) A rotáció:


10

Matematikai eszközök (7) A cirkuláció:

A rotáció kiszámolása:


11

Matematikai eszközök (8) Gauss-tétel:

Stokes-tétel:


12

Matematikai eszközök (9) Nevezetes összefüggések:

Laplace-operátor Dr. Márkus Ferenc BME Fizika Tanszék

13

Matematikai eszközök (10) A gradiens operátor henger és gömbi koordinátákban henger: ívelem négyzet:

gömbi:


14

Matematikai eszközök (11) A divergencia operátor henger és gömbi koordinátákban henger:

gömbi:


15

Matematikai eszközök (12) A Laplace-operátor henger és gömbi koordinátákban henger:

gömbi:


16

Időderiváltak (1) A lagrange-i és euleri leírás

A tömegponttal együtt mozgó – ezt jelenti a lagrange-i leírás – rendszerbeli hőmérő által mért hőmérséklet változás a

szubsztanciális időderiválttal fejezhető ki. A „nyugvó” rendszerből nézve a tér egy adott pontján más és más tömegpontok mennek át. Az pontbeli hőmérséklet időbeli változása: Dr. Márkus Ferenc BME Fizika Tanszék

17

Időderiváltak (2) Mi a kapcsolat a két időderivált között?

Osztályozás, elnevezések: a, azokban a pontokban, ahol : stagnációs pont b, ha a sebesség csak a hely függvénye, : állandó mozgás (steady state) c, ha

, akkor szubsztanciális állandó

d, ha

, akkor lokálisan állandó

e, Dr. Márkus Ferenc BME Fizika Tanszék

, akkor konvektíve állandó

18

Mérlegegyenletek (1) Extenzív mennyiségek (additív halmazfüggvények) A

és

tartományokon értelmezett

extenzív mennyiségre:

Ilyenek például:

Továbbá:

V: térfogat m: tömeg n: részecskeszám e: elektromos töltés

U: belső energia p: impulzus L: impulzusmomentum S: spin


19

Mérlegegyenletek (2) Extenzív mennyiségek (térfogati) sűrűsége:

jobb: Extenzív mennyiségek fajlagos sűrűsége:

Ekkor: Ha Dr. Márkus Ferenc BME Fizika Tanszék

akkor

20

Mérlegegyenletek (3) Az

extenzív mennyiség időbeli változása:

Két okból történhet: 1. A határoló felületen történő ki- és beáramlással 2. A térfogaton belüli keletkezéssel/eltűnéssel


21

Mérlegegyenletek (4) Az áramerősség a határoló felületen időegységenként áthaladó extenzív mennyiség: Az áramsűrűség a határoló felület egy egységnyi tartományán időegységenként áthaladó extenzív mennyiség:

Az áramsűrűség vektor bevezetésével határoló felület irányítása figyelembe vehető:


Az áramlás lehet: a, konduktív b, konvektív

22

Mérlegegyenletek (5) A forráserősség a térfogatban időegységenként keletkező vagy eltűnő extenzív mennyiség:

A forrássűrűség az egységnyi térfogatban időegységenként keletkező vagy eltűnő extenzív mennyiség:

Ezzel már formálisan kész vagyunk az extenzív mennyiségre vonatkozó mérlegegyenlet felírásával:


23

Lokális mérlegegyenletek (1) Tekintsünk egy a térben rögzített térfogatot, és az azt körülvevő felületet. E térfogatban az extenzív mennyiség változása:

Bevezetve az A extenzív mennyiség áramsűrűség vektorát, valamint forrássűrűséget a következő globális/integrális mérlegegyenlet írható fel:


24

Lokális mérlegegyenletek (2) A Gauss-tétel segítségével a felületi integrál térfogati integrál alakra írható át:

Ezt követően egy térfogati integrál mögé írható minden tag:

Innen a lokális mérlegegyenletek differenciális alakja:


25

Lokális mérlegegyenletek (3) Ha a

áramsűrűség konvektív folyamathoz tartozik:

Tömegáram (a=1) esetén a (lokális leírásbeli) tömegáramsűrűség: Így a tömegre vonatkozó – annak megmaradását kifejező – mérlegegyenlet:


Az ilyen alakú egyenleteket kontinuitási egyenleteknek is szokás nevezni.

26

Szubsztanciális mérlegegyenletek (1) Az anyagi leíráskor ez együttmozgó tömegelem nagysága állandó, így az extenzív mennyiség időbeli változása:

Itt az a fajlagos mennyiség szubsztanciális deriváltja. Ha az áramsűrűség vektor, a forrássűrűség, akkor a szubsztanciális mérlegegyenlet integrális alakja:


27

Szubsztanciális mérlegegyenletek (2) A Gauss-tétel segítségével a felületi integrál térfogati integrál alakra írható át:

Innen a szubsztanciális mérlegegyenlet differenciális alakja:

Mi a kapcsolat a és a áramsűrűségek között? Ha a tömegelem sebességgel mozog az álló rendszerben, akkor


28

Szubsztanciális mérlegegyenletek (3) Ha az extenzív mennyiség konvektív módon áramlik, akkor

Ha a=1, akkor a szubsztanciális tömegáram

Az egyszerű helyettesítéssel származtatható szubsztanciális tömegmérleg egyenlet mindkét tagja azonosan zérus!

Hm!? Dr. Márkus Ferenc BME Fizika Tanszék

29

Szubsztanciális tömegmérleg Korábbról: lokális tömegmérleg

továbbá

Ekkor e kettőből a szubsztanciális tömegmérleg:

Ha


, azaz a sűrűség nem változik, akkor a az összenyomhatatlanság feltétele.

30

Egy egyszerű példa: impulzusmérleg ideális folyadékokban (1) A folyadék egy tartományára ható erő a Kifejezve

Mivel

, amely a Gauss-tétellel

, így

Mivel folyadék egységnyi térfogatának az ideális folyadék mozgásegyenlete Dr. Márkus Ferenc BME Fizika Tanszék

nyomás tenzorral

-ja

, így

31

Egy egyszerű példa: impulzusmérleg ideális folyadékokban (2) Figyelembe véve, hogy

alakban írható a mozgásegyenlet. A folyadék dV térfogatelemének impulzusa: Az egységnyi térfogatbeli folyadék impulzusának változása:


32

Egy egyszerű példa: impulzusmérleg ideális folyadékokban (3) Innen:

Továbbá egyrészt a lokális tömegmérlegből: Másrészt a mozgásegyenletből: Behelyettesítés után adódik:


33

Egy egyszerű példa: impulzusmérleg ideális folyadékokban (4) Felhasználva a:

valamint a: összefüggéseket a tenzor vezethető be (a a diadikus szorzatot jelenti), amellyel az impulzus változás (mérleg) kifejezhető A az impulzusáramsűrűség tenzor. Dr. Márkus Ferenc BME Fizika Tanszék

34

Fourier-féle hővezetés (1) A belső energia mérlegegyenlete Az m tömegű test belső energiájának változása a dT hőmérsékletváltozás során (c a fajhő): A fajlagos belső energia változás:

vagy A szubsztanciális belső energia mérleg:


hőáram sűrűség forrás: Joule-hő, kémiai reakció, magreakció

35

Fourier-féle hővezetés (2) Ha a konvekciótól eltekintünk, akkor

A hőáramsűrűség Tekintsünk két, egymástól távolságban lévő sík falat, amely egyike , a másik hőmérsékletű. A két fal közötti hőáram arányos a felülettel a hőmérsékletkülönbséggel a két felület közti távolság reciprokával Dr. Márkus Ferenc BME Fizika Tanszék

36

Fourier-féle hővezetés (3) A hőáram: Itt a Fourier-féle hővezetési együttható, amely általában erősen függ a hőmérséklettől.

Így a Fourier-féle hővezetési egyenlet :


37

Fourier-féle hővezetés (4) Másképp:

Ha

konstans, akkor az „ismert alakú” Fourier-egyenlet:

Sok esetben fémekre


konstansnak vehető, de pl. kis hőmérsékleten

38

A differenciálegyenlet A

és

helyettesítés után a hővezetési egyenlet a

alakra hozható, amely egy parabolikus differenciálegyenlet, és a diffúzió folyamatára is hasonló. A paraméter neve hődiffúzívitás. A Laplace-operátor szemléletes jelentése: a konvexitás mértéke a környezeti átlaghőmérséklet és a vizsgált pontbeli hőmérséklete közötti különbség. Dr. Márkus Ferenc BME Fizika Tanszék

39

Peremfeltételek Lehetőségek: a, előírt hőmérséklet a határoló felületen

b, előírt hőáram a felületen: komponense)

(a

normális irányú

c, általános lineáris peremfeltétel (lehet persze nemlineáris is) Összefoglalva: Itt


függvénye. a, eset: b, eset: c, eset: mindkettő

40

Kezdeti feltételek A kezdeti időpontban fennálló hőmérséklet eloszlást a teljes térfogatra meg kell adni:

A kialakuló hőmérséklet eloszlást az forrás, a feltétel és a peremfeltétel együtt határozza meg. Forrásmentes esetben minden olyan helyen, ahol


:a

kezdeti

hőmérséklet időben nő

41

Maximum és szimmetria elvek Maximum-elv: a hőmérséklet a maximumát/minimumát a kezdetben vagy a peremen éri el. Erős maximum-elv: ha a hőmérséklet eloszlásnak egy belső pontban maximuma / minimuma van ott

Szimmetria-elv: ha a feladat / ok szimmetrikus ugyanolyan értelemben szimmetrikus. Pl.: eltolás, tükrözés, forgásszimmetria


a megoldás

Fogalmi alapok Mérlegegyenletek

Recommend Documents