Fizika I. (Mechanika, áramlástan, reológia, fénytan) előadási jegyzet Élelmiszermérnök, Szőlész-borász mérnök és Biomérnök BSc hallgatóknak

Fizika I. (Mechanika, áramlástan, reológia, fénytan)

előadási jegyzet Élelmiszermérnök, Szőlész-borász mérnök és Biomérnök BSc hallgatóknak

Dr. Firtha Ferenc Fizika-Automatika Tanszék 2015 Tartalom 1. Statika, kinematika ismétlés (derivált) ............................................................................... 3 2. Dinamika: merev testek .................................................................................................... 11 3. Munka, energia (integrál) ................................................................................................. 15 4. Hidrosztatika, aerosztatika ............................................................................................... 19 5. Hidrodinamika, aerodinamika .......................................................................................... 24 6. Súrlódásos áramlásmodellek ............................................................................................ 29 7. Reológia alapmennyiségei, alapmodellek ........................................................................ 35 8. Viszkoelasztikus reológiai modellek (differenciálegyenlet) ............................................ 41 9. Egyéb összetett modellek, reometria ................................................................................ 47 10. Geometriai optika, fotometria ........................................................................................ 52 11. Hullámoptika, spektrofotometria ................................................................................... 61 12. Színmérés ....................................................................................................................... 69 13. Képfeldolgozás, spektrális képfeldolgozás .................................................................... 74 Ábrák, diagrammok, táblázatok ........................................................................................... 80 Ajánlott irodalom ................................................................................................................. 81

Bevezetés Jelen jegyzet, a Budapesti Corvinus Egyetem, élelmiszer-, szőlész-borász BSc Fizika I. tárgy és a biomérnök BSc Fizika I. tárgy első felének elméleti segédanyaga. A tárgy célja alapvető középiskolai fejezetek ismétlése, összefoglalása után, a mérnöki munkában előforduló témakörök, mérések megismerése, technológia tárgyak megalapozása. További fizika tárgyak a BSc és MSc képzésben: BSc 1: Fizika I. Mechanika: sztatika, kinematika (derivált), dinamika, munka (integrál), energia Hidrosztatika, felületi feszültség, Hidrodinamika, veszteséges áramlások, hasonlóság Reológia: alap-, összetett modellek (differenciálegyenlet), reometria Fénytan: geometriai, fotometria, színmérés, spektroszkópia, egyéb optikai mérések BSc 2: Termodinamika Sztatika: axiómák, ideális gáz, körfolyamatok, korpuszkuláris modellek, fázisátalakulás: forrás, gázelegy, párolgás, fajhő mérése, elegyek, kémiai reakciók nedves levegő: állapotjelzői, -állapotváltozásai; hűtőkörfolyamatok Dinamika: mérlegegyenletek, Onsager-elmélet, hővezetés esetei, dinamikai modellek termoelektromos jelenségek, diffúzió, hőmérsékleti sugárzás BSc 3: Elektrotechnika Villamosságtan: egyen- és váltóáramú körök, Gépek, motorok, akkumulátorok BSc 5: Méréstechnika és automatizálás Érzékelők, jelfeldolgozók, vezérléstechnika MSc 1: Méréselmélet és kísérlettervezés MSc 2: Folyamatirányítás MSc 2: Számítógépes adatfeldolgozás és tervezés A Fizika I. tárgy célja tehát új elméleti ismeretek és alkalmazási készség elsajátítása folyadékmechanika, reológia és fénytan témakörökben. A középiskolás oktatáshoz képest a tárgyak célja nem az átfogó természettudományos szemlélet kialakítása, hanem a mérnöki gyakorlatban való alkalmazhatóság. Ez határozza meg a témakörök kiválasztását, valamint azt, hogy az elméletre igyekszünk gyakorlati alkalmazást is mutatni. Ugyanakkor a mérnöki oktatás sem jelenti tételek összefüggéstelen magolását. Az anyag strukturálásához igyekszünk a témaköröket az axiómáktól felépíteni, a bizonyítások alapjait ismertetni, de inkább empirikus példákkal igazoljuk az egyes tételek helyességét. A középiskolai tárgyalásmódhoz képest további újdonságot jelent, hogy a már tanult mechanikai törvényeket, itt a deriválás és integrálás ismeretében tudjuk megfogalmazni. A tárgy igyekszik támaszkodni a hallgatók középiskolai és a párhuzamos matematika oktatás során elsajátított matematikai tudására. Számítástechnikai eszközök alkalmazásával is erősítve a mérnök feladat megoldási készségét. A félév során alkalmazott matematikai eszközökre példák: deriválás, integrálás, alapvető differenciál egyenletek megoldása, transzcendens egyenletek iterációs megoldása. A középiskolákból vegyes fizikai és matematikai ismeretekkel, olykor alapvető számtani hiányosságokkal rendelkező hallgatók felzárkóztatása érdekében a félév elején összefoglaljuk a mechanika alapfogalmait is, de a kevés óraszám miatt, hiányos alaptudás esetén javasolt az otthoni munka, esetleg nagyobb tudású hallgató vagy magántanár segítségének kérése.

Firtha – Fizika I.

-1-

Tárgy előfeltételei Első órák előtt otthon átnézendő középiskolai matematikai- és fizikai fogalmak: Számhalmazok, adattípusok, műveletek: - természetes-, egész-, racionális-, valós számok - skalár, vektor - vektor-műveletek: összeadás, skaláris szorzás Függvényanalízis: - hozzárendelés, függvény, kölcsönösen egyértelmű függvény, ÉT, ÉK - számfüggvények: ábrázolása, zárt/nyílt intervallum, inverz függvény képe - fv. tulajdonságok: folytonos, zérus hely, lokális./globális szélsőérték, monotonitás Fontosabb függvények: - konstans, x, lineáris, másod- és harmadfokú polinom - exponenciális, logaritmus - trigonometrikus: sin, cos, tg, ctg Függvény műveletek: - transzformációk: eltolás és nyújtás x és f(x) irányban - függvények összeadása Számsorozatok: - számtani, mértani sorozat, egyéb példák, sorozat ábrázolása - tulajdonságok: korlátosság, konvergencia / divergencia - határérték, alapműveletek, rendőrelv ----------------Kinematika: - Alapmennyiségekből (elmozdulás, elfordulás, idő) a sebesség, gyorsulás származtatása - Egyenes vonalú-, kör-, harmonikus rezgőmozgás leírása - Elmozdulás, sebesség, gyorsulás, mint vektor Dinamika: - Newton axiómák, erők összeadása, forgatónyomaték, ferde hajítás leírása - Impulzus (lendület), Impulzus-nyomaték (perdület), -tételek - Munka számítása, energia, energia-megmaradás törvénye Rugalmas test, Folyadék-mechanika: - Rugótörvény, Hooke-test - Pascal-, Archimedes törvénye, felületi feszültség - Folytonossági törvény, szárnyra ható felhajtóerő, közegellenállás Hőtan - Főtételek, Perpetuum mobilék - Ideális gázmodell: Boyle-Mariotte I-II., Gay-Lussac, egyesített gáztörv., állapotegyenlet - Speciális állapotváltozások: izochor, izobar, izoterm, adiabatikus, Carnot-körfolyamat Fénytan: - Geometriai optika: vékony lencsék törése, tükrök (tárgy-, kép-, fókusztávolság, dioptria) - Törésmutató, teljes visszaverődés, fény sebessége közegekben - Fény hullámtermészete: elhajlás, törés, interferencia (e.mágneses spektrum tartományai)


-2-

1. Statika, kinematika ismétlés (derivált) Az erő fogalmának sztatikus oldalát elsőként a testek súlyán keresztül érzékelhetjük. Kétkarú mérlegre helyezett testek súlya összehasonlítható, összeadódó és homogén közeg, pl. gabona mérésekor a térfogattal arányos. A súly másik közismert hatása, hogy pl. a rugót deformálja. Rugós mérleg deformációjának mértéke is egyenesen arányos a rugót terhelő test súlyával. Homogén közeg súlyát a térfogattal arányosnak tekintették. Az arányossági tényező volt a fajsúly, amelyre G = g ×V Megfigyelendő, hogy pl. különböző anyagok összekeverésekor a súly összeadódó mennyiség, a térfogat viszont nem. Ma ezt a leírást NEM használjuk. Később, a "Dinamika" fejezetben ismertetett Newton-féle axióma rendszer abból indul ki, hogy szabadeséskor a testek súlya és gyorsulása állandó. Ezt általánosítva egy test gyorsulása arányos a ráható erővel: F = m×a A test súlyára tehát kapjuk: G = m×g A tömeg tehát egyszerre fejezi ki a testek súlyát („súlyos tömeg”), dinamikai feladatban pedig a gyorsító erővel szembeni ellenállását („tehetetlen tömeg”). Ez a leírás magyarázza azt a tényt is, hogy a testek súlya nem csak a tömegtől, de a gravitációs térerő nagyságától is függ.

1. ábra: Kétkarú mérleg. Rugós mérleg Erők összeadása: Pontban ható erők vektorként, paralelogramma-szabály alapján adhatók össze (2.a. ábra). Kiterjedt merev testre síkban ható erők (kifeszített kötél mintájára) hatásvonaluk mentén eltolhatók. a.) Amennyiben közös kezdőpontba tolhatók, alkalmazható a paralelogramma-szabály. b.) Ha párhuzamosak és megegyező irányúak, úgy segéderők felhasználásával adhatók össze és a súlyponthoz hasonlóan lehet kiszámítani az eredő erő kezdőpontját (2.b. ábra). F × r + F2 × r 2 s= 1 1 r1 + r 2 c.) Egymással párhuzamos, ellentétes irányú, azonos nagyságú erők erőpárt alkotnak (2.c. ábra). Ennek forgatónyomatékát adott pontra nézve, a hatásvonal távolságának, azaz az erőkarnak és az erőnek szorzataként számíthatjuk (M=k·F). Az erőpár forgatónyomatéka tetszőleges pontra nézve ugyanaz (M=2·k·F). Több erő esetén a forgatónyomatékok előjelesen adódnak össze. Kétkarú mérleg egyensúlyánál például a forgatónyomatékok eredője nulla.


-3-

2. ábra: Síkban ható erők összegzésének szabályai d.) Nem egy síkban ható erők is összegezhetők segéderők felhasználásával. Erők adott pontra vonatkoztatott forgatónyomatékát ebben az esetben az erő támadáspontjába mutató helyvektor és az erő vektoriális szorzataként kapjuk: M = r´F Matek: A vektoriális, avagy keresztszorzat eredménye vektor, amelynek nagysága egyenlő a két vektor által kifeszített paralelogramma területével: r ´ F = r × F × sin(j )

Iránya merőleges a két vektor által meghatározott síkra és irányultságát a jobbkéz-szabály határozza meg. A keresztszorzat tehát nem kommutatív (nem felcserélhető).

3. ábra: Vektoriális szorzás. Jobbkéz-szabály Merev testre ható erők tetszőleges rendszere egyértelműen egyszerűsíthető egyetlen F erőre és egy vele azonos irányú M forgatónyomatékra, un. „erőcsavarra”. Charles tétele alapján pedig a merev test pillanatnyi mozgásállapota leírható egy transzlációval és egy vele azonos tengelyű rotációval, azaz „csavarmozgásként”. Az eredő erő a transzlációra, a forgatónyomaték a rotációra van hatással. Sztatikus esetben az erők és a forgatónyomatékok eredője is nulla.

åF

i

åM

=0

i

=0

Súlypont: Súlypontjában alátámasztott, egyébként csak a homogénnek tekinthető nehézségi erő hatása alatt lévő merev test bármely helyzetben egyensúlyban van, azaz a test súlyának a súlypontra vonatkozó forgatónyomatéka bármely helyzetben zérus. Ez a pont tetszőleges test esetén bizonyíthatóan létezik. Pontrendszer esetén a tömegpontokba mutató helyvektorok súlyozott összegeként számítható ki (4.a. ábra): s=

åm ×r åm i

i

i

Folytonos homogén közeg súlypontja a törvény segítségével integrálással számítható ki (az egyes geometriai testek súlypontja a függvénytáblázatban található meg). Elemi alakzatokból összetett testek súlypontja a törvény ismételt alkalmazásával úgy számítható, mintha az egyes alakzatok teljes súlya azok súlypontjában lenne koncentrálva.


-4-

Példa: Számítsuk ki a 20 métert áthidaló kötélben ébredő erőt, ha annyira megfeszítjük, hogy 50kg tömegű terhelő test esetén 20cm belógást engedünk meg! Megoldás: A kötélben két oldalra ható erők függőleges komponenseinek összege (2·F/sin(α)) tart egyensúlyt a test G=m·g súlyával (4.b. ábra). A megfeszített kötél hossza közel egyenlő az eredeti hosszával (sin(α) ~ h/(l/2)). Így a kötélben ébredő erő megfelel 1,25 tonna súlyának. sin(a ) =

h G/2 = l/2 F

F=

l × G 20 × 500 12500N = = 4×h 4 × 0, 2

4. ábra: Súlypont kiszámítása összetett objektumra (a). Kötélben ébredő erő számítása (b).


-5-

Kinematika A kinematika mennyiségei pontszerű, vagy merev test mozgását, pozíciójának időbeli változását írják le, annak magyarázata, azaz az erőkkel való kapcsolat vizsgálata nélkül. Alapmennyiségei az elmozdulás és az eltelt idő, amelyek mérhetősége alapvető tapasztalataink közé tartozik. A klasszikus mechanikában a távolságot mérő rúd hosszát tértől és időtől függetlennek tekintjük, szemben a relativisztikus modelltől, ahol a megfigyelő sebessége miatt relatív az idő, a gravitációtól görbül a tér. A hossz SI mértéke a méter: s [s] = m Az eltelt időt klasszikus körülmények között szintén mérhetőnek gondoljuk, aminek alapja az, hogy egyes jelenségek sebessége, pl. a homokórában naponta lepergő homokszemek mennyisége állandó. Az idő SI mértéke a másodperc (secundum): t [t] = s Ezen alapmennyiségekből számíthatunk további származtatott mennyiségeket. A sebesség mértékének középiskolás definíciója, az adott idő alatt megtett utat az eltelt idővel osztva, az egységnyi idő alatt megtett utat adja meg. Ds v= [v] = m/s Dt Ez az intervallumra jellemző átlagos sebesség. Út-idő diagrammon ábrázolva egy egyenes meredeksége, azaz iránytangense (5. ábra) annál nagyobb, minél nagyobb az elmozdulás az idő szerint.

5. ábra: Átlagsebesség definíciója Az intervallumra jellemző átlagsebességből úgy kaphatjuk a t1 időpontra jellemző pillanatnyi sebességet, ha a t2–t közelítjük t1–hez, az intervallum hosszát a nullához. Az intervallum hosszának csökkentése után újra és újra kiszámítva az iránytangenst, egyre inkább az időpontra jellemző pillanatnyi sebességet kapjuk. A számsorozat határértékeként, ha létezik, egyben a pontban húzott érintő meredekségét nyerjük (6. ábra).

6. ábra: Érintő meredekségének meghatározása határértékként Firtha – Fizika I.

-6-

A pillanatnyi sebesség így definiált határértéke akkor nem létezik, ha az út-idő függvény nem folytonos (7.a. ábra), vagy az érintő adott pontban más bal- és jobb oldalról (7.b. ábra). Az út-idő függvény szakadása azt jelentené, hogy egy test végtelen rövid idő alatt másik helyen teremne. Az érintő meredekségének, azaz a pillanatnyi sebességnek végtelen gyors változása szintén nem tapasztalható. Még a pillanatnyinak tűnő ütközésnél is megfigyelhető megfelelő lassításnál, hogy az út görbe meredeksége, így a sebesség, folyamatosan változik. A klasszikus fizika keretei között tehát a pontszerű test pillanatnyi sebessége mindenütt véges és egyértelműen meghatározható.

7. ábra: Út-idő függvényben szakadás (a) vagy törés (b) Így a pillanatnyi sebesség definíciója:

Ds Dt ® 0 Dt

v (t ) = lim

MATEK (deriválást később hallgatják, mint ahogy már az első fizika előadáson használjuk): A sebesség fenti definíciója, az érintő meredekségének határértékként való kiszámítása általánosítható. Hasonlóan lehet jellemezni tetszőleges f(x) függvény x szerinti megváltozását. Az érintő meredekségét közelítő határérték neve differenciálhányados és rövidített jele (8.a. ábra):

df Df = lim dx Dx ® 0 Dx

A differenciálhányados számlálója és nevezője is nullához tartó mennyiségek, mégis a hányadosuk konvergálhat valamely valós számhoz. A továbbiakban olyan függvényekkel foglalkozunk, amelyeknek, az út-idő függvényhez hasonlóan, minden pontban létezik differenciálhányadosa (folytonosak és nincs bennük törés).

8. ábra: Differenciál hányados és derivált függvény Firtha – Fizika I.

-7-

Az érintő meredekségének határértékként való meghatározása a gyakorlatban nem kivitelezhető. Amennyiben azonban adott f(x) függvényhez ismernénk az annak meredekségét leíró függvényt, akkor a meredekség bármely pontban egyszerű behelyettesítéssel kiszámítható lenne. Egy ilyen f’(x) függvény ábrázolásánál a meredekség értéke nulla a lokális szélsőértékeknél, pozitív, ha nő a függvény és negatív, ha csökken (8.b. ábra). Adott függvény meredekségét leíró függvényt hívjuk derivált függvénynek. A deriválandó függvény vagy kifejezés mögé tett felső vesszővel jelöljük. Az idő szerinti deriválást speciálisan, a függvény feletti pont jelzi: df df f& (t ) = f ¢( x ) = dt t dx x

A határérték-definíció alapján szabályokat lehet levezetni például függvények összegére, szorzatára, hányadosára és összetett függvények deriválására, stb.

Az alapvető függvények (konstans, x, exponenciális, logaritmus, trigonometrikus, stb.) deriváltjai szintén levezethetők. A jelentősebbeket a függvénytáblázat tartalmazza:

A továbbiakban pedig nem is használjuk a határérték definíciót, ugyanis a szabályokkal és alapesetekkel le lehet vezetni bármely összetett függvény deriváltját. „A deriválás olyan, mint a hagymapucolás: kívülről befelé haladsz és közben sírsz.” A derivált függvényből végül egyszerű behelyettesítéssel meghatározható az eredeti függvény változása (érintő meredeksége) bármely pontban, ahol az érintő egyértelműen létezik. Pontszerű test egyenes vonalú mozgásának kinematikai mennyiségei: elmozdulás

s(t) alapmennyiség

sebesség

v (t ) =

gyorsulás

ds = s&(t ) dt dv d2s a (t ) = = v&(t ) = 2 = &s&(t ) dt dt

[s] = m [v] = m/s [a] = m/s2

A táblázatban bemutatott vektoregyenletek mindegyike a tér x-y-z irányainak megfelelő 3 darab skalár egyenletnek felel meg. Firtha – Fizika I.

-8-

Merev test egyenes vonalú mozgását transzlációnak, tengely körüli forgását pedig rotációnak nevezzük. Merev test elfordulásának kinematikai mennyiségei: elfordulás

φ(t) alapmennyiség

[φ] = rad

szögsebesség

w (t ) =

dj = j& (t ) dt

[ω] = 1/s

szöggyorsulás

b (t ) =

d 2j dw = w& (t ) = 2 = j&&(t ) dt dt

[β] = 1/s2

A táblázatban szereplő mennyiségek ebben az esetben is vektorok, mivel az elfordulás vektor irányát a tengely adja meg a jobbkéz-szabállyal meghatározott pozitív iránnyal. Chasles tétele (1830): Merev test tetszőleges elemi elmozdulása összetehető egy transzlációból és egy rotációból. A tengely egyértelműen választható úgy, hogy a transzláció és a rotáció iránya azonos legyen, azaz „csavarmozgást” kapjunk. MATEK: A szög mértéke a kör középpontos hasonlóságán alapul. A mérendő szög csúcsa köré rajzolt különböző sugarú köröknél, a szög által kimetszett ívhossz arányos a kör sugarával. Az ívhossz és a sugár hányadosa tehát független a sugártól, csak a szög nagyságára jellemző (9.a. ábra). Mivel adott sugárnál az ív hossza és a szög közötti kapcsolat monoton és lineáris (9.b. ábra), a hányados megfelelő mértéke lehet a szögnek. A mérendő szög köré rajzolt körből kimetszett ív hossza és a sugár hányadosaként definiálhatjuk. A szög mértékegysége radián [rad], amit általában nem írunk ki. A teljes kör mértéke pl. 2π.

9. ábra: Kimetszett ív adott szögnél a sugárral (a), adott sugárnál a szöggel arányos (b) Megfigyelésből okok: Az időben változó rendszerek leírásának egyik módszere a deriváláson alapul. Egy jelenség megfigyelésekor mérhetjük például egy test s(t) pillanatnyi pozícióját. Ezután a diszkrét s(t) mérési értékeket vagy regresszióval (közelítő függvény a pontok között fut) vagy interpolációval (közelítő függvény átmegy a mérési pontokon) közelítik (10. ábra).

10. ábra: Mérési adatok közelítése regresszióval és interpolációval (négyzetes) A közelítő s(t) analitikus függvény deriválásával már kiszámítható a pillanatnyi sebesség, majd újbóli deriválással a gyorsulás. A Newton-féle erőtörvények (F=m·a) ismeretében a gyorsulásból meghatározhatók a jelenséget kiváltó erők. Így a deriválás segítségével eljuthatunk a jelenségtől annak magyarázatáig: s à v à a à F A gondolatmenet hasonlóan alkalmazható a forgó mozgás mennyiségeire is. Az elfordulás-idő függvényből deriválással és az erőtörvény alapján (M=Θ·β) meghatározható a forgatónyomaték: φ à ωà βàM Firtha – Fizika I.

-9-

Példák: A módszer alkalmazásaként vizsgáljuk meg a szabadon eső test gyorsulását. A tapasztalat szerint a megtett út az esés idejének négyzetével arányos. Ebből kétszeri deriválással kapjuk, hogy a test gyorsulása állandó: s (t ) = c × t 2 v (t ) = 2 × c × t a (t ) = 2 × c Ferde hajítás parabola pályájára az x vízszintes komponensre állandó sebességű, a z függőleges komponensre pedig állandó gyorsulású mozgást kapunk: s x (t ) = v x 0 × t v x (t ) = v x 0 a x (t ) = 0 g s z (t ) = - × t 2 v z (t ) = - g × t a z (t ) = - g 2

11. ábra: Elmozdulás, sebesség és gyorsulás függőleges komponense Harmonikus rezgőmozgást végző objektum (pl. rugó, inga) kitérése az idő szinuszos függvénye, ahol az ω körfrekvencia a T periódusidőből számítható, A pedig az amplitúdó. 2p w= x (t ) = A × sin(wt ) T Ebből deriválással levezethető, hogy a rugótörvénynek (F = m·a = - D·x) megfelelően, a gyorsulása egyenesen arányos a kitéréssel (12. ábra). x (t ) = A × sin(wt ) v (t ) = w × A × cos(wt ) a (t ) = -w 2 × A × sin(wt )

a (t ) = -w 2 × x (t )

12. ábra: Harmonikusan mozgó test kitérése, sebessége és gyorsulása az idő szerint Firtha – Fizika I.

- 10 -

2. Dinamika: merev testek Az erő mozgásállapotra való hatását a Newton axiómák írják le: 1. Inercia rendszerben minden test megtartja mozgásállapotát, amíg más testek hatásai állapotának megváltoztatására nem kényszerítik. Mozgásállapotnak nevezzük a test nyugalmi állapotát, vagy adott v sebességű egyes vonalú mozgását. Inercia rendszer az a vonatkoztatási rendszer, amelyben nincsenek mérhető kényszererők. Gyorsuló koordinátarendszer (gépjármű) például nem az, hiszen benne a tárgyak látszólag ok nélkül gyorsulnak.

2. Pontszerű test gyorsulása azonos irányú és egyenesen arányos a testre ható erővel és fordítva arányos a test m tömegével. A második axióma fogalmazza meg a dinamika alapegyenletét, erőtörvényét: F=m·a Olyan veszteséges folyamatoknál, ahol a súrlódás a sebességgel arányos, az erő és a végsebesség között találunk arányosságot. Súrlódásmentes folyamatoknál viszont, az axióma szerint, az erőhatás a testek gyorsulásával arányos. A tömeg, a súly mellett, kifejezi a testek tehetetlenségét is.

3. Kölcsönhatás: Ha egy pontszerű A testre egy pontszerű B test erőt gyakorol, akkor az A test ugyanakkora, de ellentétes irányú erővel hat a B testre. Sérülne ez az axióma, ha lenne egy kitüntetett, fix pontja a világegyetemnek. Ekvivalens megfogalmazás, hogy belső erők nem változtatják meg az impulzust és az impulzusnyomatékot se.

4. Szuperpozíció: Egy tömegpontra ható több erő egymástól függetlenül fejti ki hatását, tehát az erő vektorként kezelhető. Ennek következtében lehet az erőket, a gyorsuláshoz hasonlóan vektorként kezelni. Összeadni, illetve koordinátánként, egymástól független skalár erőtörvényeket felírni: Fx=m·ax Fy=m·ay Fz=m·az

A tömeg SI alapmennyiség, mértékegysége [kg]. Az erő mértékegységét a Newton-féle erőtörvény definiálja: mértékegysége:

F = m×a

A testek mozgásállapotát kifejező megfogalmazható az erőtörvény: I = m×v

pontrendszerre:

impulzus,

azaz

I = å mi × v i

lendület

[F] = kg ×2 m = N s

segítségével

mértékegysége:

szintén

[I] = kg × m s

Az impulzustörvény szerint mechanikai rendszerre ható külső erők eredője egyenlő a teljes impulzus idő szerinti differenciál-hányadosával, azaz a mozgásállapot idő szerinti megváltozásával: F = I&

Az impulzustörvény csak akkor ekvivalens a Newton-féle erőtörvénnyel, ha a tömeget állandónak tekintjük, azaz kiemelhető az idő szerinti deriválás alól. Relativisztikus körülmények között, nagy sebességeknél az impulzus-törvényt fogadjuk el igaznak. d I d (m × v) dv F = I& = = = m× = m×a dt dt dt

Az impulzus-megmaradás törvénye ennek egyszerű alkalmazása. Ha külső erők eredője nulla (pl. biliárdgolyók ütközése: 14.a. ábra), a rendszer teljes impulzusa nem változik: F =0 è I = å mi × v i = állandó Súlypont-tétel: Pontrendszer tömegközéppontja úgy mozog, mintha a rendszer egész tömege ebben a pontban lenne egyesítve és a rendszer külső erőinek eredője erre a pontra hatna. Ennek következtében a felrobbanó tűzijáték darabjainak súlypontja továbbra is parabola-pályán mozog.


- 11 -

Példa 1: v=1m/s sebességgel süllyedő liftben az utas súlya látszólag megnő a fékezés közben. Mekkora a fékút, ha a súlynövekedés nem haladhatja meg a 10%-ot? m à m × a = 0,1 × m × g a =1 2 s v à v = a ×t t= a

s=

1 a ×t2 2

à

s=

v2 = 50 cm 2a

Példa 2: Lejtőn csúszó szánkóra ható külső erők (Ft érintő irányú – μ·Fn súrlódási erő) eredője eredményezi a szánkó gyorsulását. Állandó gyorsulást feltételezve a idő mérésével meghatározható a súrlódási együttható (13.a. ábra). Felhasznált egyenletek:

m × a = (sin j - m × cos j ) × m × g

s=

1 a ×t2 2

Példa 3: Állandó szögsebességű körmozgás esetén a tömegpontra sugár mentén ható erő nem a sebesség-vektor nagyságát, hanem az irányát változtatja meg (13.b. ábra). A tömegpont kerületi sebessége, centripetális gyorsulása és a pályán tartó centripetális erő (ennek ellentéte a kifelé mutató kényszererő, a centrifugális erő):

vk = w ´ r

a cp

v2 = r

F cp = m × a cp

13. ábra: Szánkó gyorsulása (a). Centripetális gyorsulás (b). Példa 4: Matematikai inga (súlytalan kötél, pontszerű test) mozgására felírt erőtörvényt (14.a. ábra) összehasonlítva a harmonikus rezgőmozgásra kapott differenciál-egyenlettel (8. ábra) számítható a rezgés ω körfrekvenciája és a T lengésidő. Példa 5: Rugóra függesztett tömeg mozgására felírt erőtörvényt (14.b. ábra) szintén összevetve a harmonikus rezgőmozgásra kapott egyenlettel szintén kiszámítható a rezgés körfrekvenciája és a periódus idő.

14. ábra: Matematikai inga (a). Rugóval csatolt tömeg rezgése (b).


- 12 -

Merev testre ható erők eredőjének forgatónyomatéka, az erőtörvényből levezethetően, a test szöggyorsulásával arányos. M =q ×b

A tehetetlenségi nyomaték, a testek forgatással szembeni tehetetlenségét fejezi ki, jele Θ (teta). Értéke adott geometriai alakzatra és forgástengelyre, a tömegpontok forgástengelytől való távolságaiból számítható: 2 mértékegysége: [Θ] = kg × m 2 Q = å m i × ri Az alapvető geometriai objektumok (gömb, téglatest, stb.) adott, súlyponton átmenő tengely körüli tehetetlenségi nyomatéka függvénytáblázatokból kereshető ki. Összetett alakzat tehetetlenségi nyomatéka additív. A Steiner-tétel alapján számítható a súlyponttól s távolságra lévő, párhuzamos forgás-tengelyre vonatkozó nyomaték:

Q A = ò ( x - s)2 dm = ò x2dm - 2sò xdm + s 2 ò dm = Qs + ms2

15. ábra: Forgó mozgás alapmennyiségei A forgómozgás erőtörvénye a forgási állapotot kifejező impulzusnyomaték, azaz perdület segítségével is megfogalmazható: N =r´I

pontrendszerre:

N = åri ´ I i

mértékegysége:

2 [N] = kg × m

s

Az impulzusnyomaték-törvény szerint mechanikai rendszer bármely pontra vonatkoztatott impulzusnyomatékának idő szerinti megváltozása egyenlő a rendszerre ható külső erők a pontra vonatkoztatott forgatónyomatékainak eredőjével. Belső erők forgatónyomatékainak vektori összege, a hatás-ellenhatás elve alapján zérus, tehát nem változtatják meg a teljes impulzusnyomatékot. M = N&

Impulzusnyomaték-megmaradás törvény: Külső erők forgatónyomatékainak hiánya vagy egyensúlya esetén a rendszer impulzusnyomatéka állandó: M =0 è N = å r i ´ I i = állandó A törvény egyszerű szemléltetése, amikor a pörgő korcsolyázó kezeit behúzva (r csökken) szögsebessége megnő (I nő).

16. ábra: Impulzusnyomaték megmaradása pörgő korcsolyázóra


- 13 -

Összefoglalva: Merev testre ható erők tetszőleges rendszere egyértelműen egyszerűsíthető egyetlen F erőre és egy vele azonos irányú M forgatónyomatékra, un. „erőcsavarra”. Charles tétele alapján a merev test pillanatnyi mozgásállapota leírható egy transzlációval és egy vele azonos tengelyű rotációval, azaz „csavarmozgásként”. A fent vázolt erőtörvények alapján az eredő erő a transzlációra, a forgatónyomaték a rotációra van hatással.

åF

i

= m×a

åM

i

= Q×b

Szabad tengely körüli forgás: Erőmentes merev test stabilan foroghat, bizonyos nem rögzített, un. szabad tengelyek körül. A súlyponton átmenő irányok közül a legstabilabb az a tengely, amelyiknek legnagyobb a tehetetlenségi nyomatéka. Általános esetben egy merev testnek három, a súlyponton átmenő, egymásra merőleges szabad tengelye van (Segner, 1755; Euler, 1765). A második legstabilabb az, amelyiknek legkisebb a tehetetlenségi nyomatéka. Labilis a forgás a középső tehetetlenségi nyomatékú tengely körül. Pörgettyű: Szabad tengely körüli forgó test külső erők hatására is igyekszik megtartani forgástengelyét. Ennek közismert példái, hogy a megpörgetett és eldobott diszkosz vagy frizbi tengelye változatlan marad, így a pálya második szakaszában a korong szárnyként fekszik fel a levegőre és a parabola pályánál tovább juthat (17.a. ábra). Vontcsövű lőfegyverből kilőtt pörgő lövedék forgástengelye változatlan marad, a csúcsával ér célba. A mesterséges horizontot is ilyen kényszermentes, „három szabadságfokú” giroszkóp (Foucault, Sperry) jelzi a repülőgép pilótájának. A pörgettyű elfordulásának mérése alapján vezérli a kormányműveket a robotpilóta. A pörgettyűs iránytűnél a vízszintes tengelyű giroszkóp tengelyét a Föld forgásából származó Coriolis-erő észak-dél irányba állítja be. Az így működő iránytű előnye a mágneses iránytűvel szemben, hogy mentes a közeli vas tárgyak, mágneses ércek zavaró terének hatásaitól. A repülőgépeken alkalmazott pörgettyűs kompasz felépítése ennél bonyolultabb. Pörgettyű-nyomaték: Érdekes tulajdonsága a tengely stabilitásának, hogy a tengelyre merőlegesen ható erő, a tengelyt, az erőre merőleges irányban próbálja kitéríteni (17.b. ábra). Az N perdület és M forgatónyomaték hatására létrejövő ω elfordulása a jobb-kézszabállyal számítható. Pl. a bicikli első kereke, jobbra dőléskor kormányzás nélkül is jobbra kanyarodik. Az elforduló tengelyű malomkerék, a kanyarodó jármű külső kerekéhez hasonlóan, a pörgettyűnyomaték miatt, súlyánál lényegesen nagyobb erővel nyomja a talajt (17.c. ábra). Több tonnás vízszintes tengelyű pörgettyűvel hajó oldalirányú billegése is így gátolható (17.d. ábra). Mára, 1915-óta az óceánjárók stabilizátora víz alatti uszony-párokkal csillapítja a nemkívánatos mozgást). Kényszermentes giroszkóppal, a forgástengely stabilitása alapján mérik a hajó bólogató-, dülöngélő mozgásait és ennek megfelelően vezéreli az uszonyokat.

17. ábra: Pörgettyű alkalmazásai


- 14 -

3. Munka, energia (integrál) A munkavégzés definíciója, erő szorozva irányába eső elmozdulás, azaz az elmozdulás- és erő-vektorok skaláris szorzataként számíthatjuk (18. ábra): mértékegysége: [L] = N × m = J , Joule L = F × s = F × s × cos(j )

18. ábra: Munkavégzés számítása Homogén gravitációs térben egy test felemeléséhez szükséges munka a test súlyából és függőleges helyzetének változásából számítható:

L = G × s = mgh Nyugalomban lévő test v sebességre történő gyorsításához, állandó gyorsulás esetén, a következő munkát kell végezni:

1 1 1 L = F × s = ma × at 2 = m ( at ) 2 = mv 2 2 2 2 Állandó forgatónyomatékkal szöggyorsított test megforgatásához szükséges munka bizonyíthatóan:

1 1 1 L = M × j = Qb × b t 2 = Q ( b t ) 2 = Qw 2 2 2 2 Tapasztalataink szerint a munka független a folyamat körülményeitől, csak a kezdeti és végállapottól függ. Az emelés történhet gyorsan vagy lassan, a test súlyát emelve, vagy csigával, emelővel (kisebb erővel, de nagyobb kötélhosszal, erőkarral), ugyanannyi munkát kell végezni. A test sebességének vagy szögsebességének növelése is történhet gyorsan vagy lassan, a szükséges munka csak a végsebességtől ill. a végső szögsebességtől függ. A befektetett munka sok esetben visszanyerhető. Felemelt test munkavégző képességével másik test felemelhető (pl. budavári sikló), vagy leejtve a test sebessége nő (pattogó labda), vagy a szögsebessége nő meg (jojó). Objektum környezethez képesti sebessége és szögsebessége szintén munkavégző képesség lehet. A testek helyzetéből, mozgási- vagy forgási állapotából származó munkavégző képességet nevezzük energiának. A mechanikai rendszeren végzett munka növeli a rendszer energiáját, a rendszer által végzett munka pedig csökkenti. Az energia állapotjelző, azaz olyan fizikai mennyiség, amelynek megváltozása csak a kezdeti és végállapottól függ.

19. ábra: Mechanikai energia példái


- 15 -

A kinetikai energia tétele szerint, pontrendszer kinetikai (mozgási) energiájának megváltozása egyenlő a rendszerre ható külső és belső erők munkájával. A külső erők munkája, a súlypontban egyesítve gondolt m tömegű rendszer, a belső erők munkája pedig a súlyponthoz viszonyított mozgás kinetikus energiáját változtatja meg. A mechanikai energia megmaradásának törvénye szerint, konzervatív rendszer kinetikai és potenciális energiájának összege állandó. Konzervatív egy rendszer, ha a külső erők (térerők) időben nem változnak. Konzervatív, veszteségmentes rendszerben az energia megmaradó mennyiség. Az energia ugyanakkor relatív, a munkavégző képesség az objektum és környezetének viszonyát fejezi ki. Helyzeti energiáról csak valamely önkényesen kiválasztott szinthez képest beszélünk, hiszen a teher munkavégző képessége megnőhet, ha alá gödröt ásunk. Nyugalomban lévő testnek nincs mozgási energiája saját koordináta-rendszerünkhöz képest, mégis egy elrobogó vonat utasai, az ablakon kihajolva mozgási energiáját hasznosíthatják. További ismert, fontosabb energia-tárolási módok, a rugó energiája, elektrosztatikus tér, mágneses tér energiája. A rugó energiája például, mivel az erő nem állandó, hanem arányos a deformációval, csak a későbbiekben ismertetett integrálás műveletével számítható: Er =

1 Dx 2 2

Az energia a különböző energiák összegeként számítható, megváltozása egyenlő a munkával: DE = L

E = E helyzeti + E mozgási + E rugalmas + ...

dE = dL

Az energia-megmaradás törvénye csak veszteségmentesnek tekintett rendszerben igaz. Valójában minden folyamat veszteséges, a súrlódás során a mechanikai energia egy része hőközlésként a rendszer és környezete belső energiáját (U) növeli, hőmérsékletét emeli. A munka (1J: 0,1kg tömeg emelése 1m-re) és a kalorimetriában bevezetett hő (1cal: 1g víz 1ºC-kal való melegítéséhez szükséges hő) egyenértékűek (1cal=4,184J). 1kg víz 1ºCkal való felmelegítése tehát ekvivalens 418 m-rel való felemelésével. 1 zsemle energiájával (150kcal) például 75 kg vizet 2 ºC-kal melegíthetünk fel, vagy 836 m-re emelhetjük (6 Gellért-hegy).

E = U + E helyzeti + E mozgási + E rugalmas + ...

DE = L + Q

dE = dL + dQ

Az egységnyi idő alatt végzett munkát fejezi ki a teljesítmény. Például az állandó F erővel, v sebességgel mozgó autó teljesítménye, ha a közegellenállás négyzetes függvénye a sebességnek: dL F × d s mértékegysége: [P] = J = W , Watt = P= = F × v » v3 s dt dt Példa1: A megmaradó mennyiségek (tömeg, anyagmennyiség, töltés, energia, külső erők egyensúlya esetén az impulzus, forgatónyomaték hiányában az impulzusnyomaték), a megmaradási törvények segítségével sok esetben egyszerűbb egy feladat megoldása, mint erőtörvények alkalmazásával. Energiamérleggel, egyetlen egyenlettel kiszámítható például, hogy mekkora lejtőről kell legurítani egy kocsit ahhoz, hogy az utána egy r sugarú körpályán maradjon (20. ábra). A 2. pont mozgási energiája feltétele a körpályának. Amennyiben a centrifugális erő kisebb lenne a kocsi súlyánál, úgy a test már korábban parabola-pályára térne.

20. ábra: Energia-megmaradás alkalmazása


- 16 -

A munkavégzés számításának bemutatott példái esetén az erő az elmozdulás során állandó volt. A rugó esetén viszont az erő az elmozdulással arányos (F=D·x). Ilyen esetben a munkát csak közelíteni lehet, például az elmozdulást n részelmozdulásra bontva. A részelmozdulásokon például mindenütt a legkisebb erővel számolva a részmunkavégzések összege közelíti a munkavégzést. n

L » å Fi × Dxi i =1

Minél több és keskenyebb részintervallumra bontjuk az elmozdulást, annál kisebb hibával számítható ki a munka. Ennek algoritmizálható formája lehet, ha ciklikusan, adott felosztásnál számítjuk ki a munkát közelítő szorzatösszeget, majd a következő lépésben minden cellát tovább felezünk. Egyre több és kisebb részelmozdulásra bontva, egy sorozat határértékeként kapjuk a végzett munkát. A sorozat, a beírt téglalapok területének határértéke egyben közelíti az F(x) görbe alatti területet is, azaz akkor létezik, ha a görbe alatt értelmezhető a terület. n

L = lim å Fi × Dxi Dx i ® 0 i =1

21. ábra: Munka kiszámítása állandó erőnél és a rugó esetében Matek: Egy függvény görbéje alatti terület számítására kaptunk az előzőekben receptet. Adott f(x) függvény görbéje alatti terület x1-től x2-ig közelíthető a beírt téglalapok területösszegével (ha minden részelmozdulásnál a függvény minimumával számolunk), a körülírt téglalapokkal (ha mindenütt az f maximumát használjuk a téglalapok magasságaként), vagy egy olyan egyszerűen algoritmizálható módszerrel, hogy minden Δxi részelmozdulásnál a baloldali Fi értékkel számolunk. A felosztás finomításával mindegyik esetben a kiszámítandó területhez közelítünk, ha az egyértelműen létezik. Adott intervallumon, adott függvény görbéje alatti terület határértékként való definícióját nevezik határozott integrálnak, amelynek jelölése: n

x2

i =1

x1

T ( x1 , x 2 ) = lim ( å f i × Dxi ) = Dxi ® 0

ò f ( x )dx

21. ábra: Határozott integrál számítása és a határozatlan integrál függvény


- 17 -

A határozott integrál határértékként való számítása meglehetősen körülményes lenne. A gyakorlati alkalmazhatósághoz definiáljuk az f(x) függvény területét leíró g(x) függvényt. Önkényesen választott x0-hoz, a terület-függvény bármely x-re adja vissza a fenti f(x) függvény görbéje alatti területet x0-tól x-ig. x

g ( x ) :=

ò f ( x)dx

x0

Az így definiált terület-függvény ábrázolásánál g(x0)=0, hiszen a görbe alatti terület nulla egy nulla szélességű intervallumon. A terület-függvény monoton nő, az ábrázolt pozitív értékeket felvevő f(x) függvény esetén, de csökkenhet, mivel negatív f(x) esetén a terület is negatív. A terület-függvény növekedése gyorsabb, azaz meredeksége nagyobb ott, ahol az f(x) értéke nagyobb, és lassabb a változás ott, ahol az f(x) értéke kisebb. Egy ilyen terület-függvény ismeretében egyszerű behelyettesítéssel lehetne számolni a határozott integrált, hiszen az x0-tól x2-ig terjedő területből kivonva az x0-tól x1-ig terjedő területet megkapjuk az x1-től x2-ig terjedő területet: x2

ò f ( x)dx = g ( x ) - g ( x ) 2

1

x1

Ráadásul ez a tulajdonság, hogy a terület-függvényből meghatározható a határozott integrál, nem függ az x0 választásától. Másik x0 (az ábrán x02) esetén a terület-függvény feljebb tolódna, hiszen minden helyen hozzáadódna az x1-től x2-ig terjedő területet, de a g2(x) függvényből is ugyanígy ki lehetne számítani a határozott integrált. A terület-függvény alkalmazásánál nem kell tudnunk, hogy hol van a választott x0, az egymással párhuzamos, eltolt terület-függvények közül melyiket tudjuk. Egy ilyen, az f(x) területét leíró g(x) függvényt határozatlan integrál függvénynek nevezzük és jelölése:

ò f ( x)dx

Az integrál-függvény meghatározásához az a megfigyelés vezet, hogy ahol az f(x)-nek nagy az értéke, ott az integrál meredeksége nagy. Fordítva kimondva, ahol az integrál meredeksége, azaz deriváltja nagy, ott az f(x) értéke nagy. Bizonyíthatóan egy f(x) függvény integráljának deriváltja maga az f(x) függvény. Az integrálás és deriválás egymás inverz művelete. Az alapvető elemi függvények integrálja függvénytáblázatból kereshető ki. Összetett függvények integrálására, a deriváláshoz hasonlóan lehet szabályokat levezetni, pl.:

de az integrálásra csak heurisztikus módszerek vannak. Az integrálásnál keresünk egy olyan függvényt, aminek deriváltja az integrandusz. Sejtésünket deriválással ellenőrizhetjük. Példaként a deriváltak alapján néhány gyakran használt függvény integrálja:

( x n )¢ = n × x n -1 (sin( x ))¢ = cos( x ) (cos( x ))¢ = - sin( x ) ( e )¢ = e x

x

x n +1 n +1 ò cos( x )dx = sin( x )

n ò x dx =

ò sin( x)dx = - cos( x) ò e dx = e x

x

A kinematika mennyiségeit az elmozdulás és elfordulás deriválásával számíthatjuk, azaz deriválással eljuthatunk egy megfigyelt jelenségtől a gyorsulásig, az erőtörvényeken keresztül pedig a jelenség magyarázatáig. Az integrálás lehetőséget ad arra, hogy egy determinisztikus rendszer viselkedését megjósoljuk. A rendszerben ható erőkből kiszámítható a gyorsulás és a szöggyorsulás. A gyorsulás integrálásával kapjuk a pillanatnyi sebességet, újbóli integrálással pedig az elmozdulást idő szerint, azaz, hogy mi fog történni. Példaként kiszámítható egy állandó gyorsulással mozgó test elmozdulás-függvénye. Az integrálás során a határozatlan integrál függvényhez konstans érték is hozzáadható, amely a deriválásnál eltűnik és adott feladatnál fizikai jelentéssel bírhat (v0, s0): 1 à à s (t ) = a0 × t 2 + v0 × t + s 0 a (t ) = a 0 v (t ) = a 0 × t + v 0 2


- 18 -

4. Hidrosztatika, aerosztatika A nyomás fogalmát pl. egy tűsarkú cipő, a korcsolya vagy a csípőfogó élének hatása szemléltetheti. A nyomás az egységnyi felületen ható nyomóerő. Felület adott pontjában az erő felület szerinti differenciál hányadosaként számítjuk. dF mértékegysége: [p] = N = Pa , Pascal p= dA m2 A Pascal törvény szerint (1659) súlytalannak tekintett, nyugvó folyadék (vagy légnemű közeg) belsejében a nyomás mindenütt ugyanakkora és független az iránytól. A nyomás lehet ugyanakkor izotróp, azaz irányfüggő áramló folyadékban, gázokban (lásd. torlónyomás, vagy Bernoulli) vagy nyugvó, de nem ideális folyadékban (pl. viszkoplasztikus közeg akár nyugvó állapotában is lehetnek érintő irányú, azaz nyíróerők). Szilárd, deformált közeg esetén a nyomás jelentősen irányfüggő lehet. Ebben az esetben az un. feszültség-tenzor írja le a különböző irányokban uralkodó nyomó- és nyírófeszültségeket.

Súlyos, összenyomhatatlan folyadék belsejében uralkodó nyomás a felületre nehezedő nyomás és a hidrosztatikai nyomás összegeként számítható. Több, különböző sűrűségű folyadékréteg esetén (koktél) a folyadékoszlopok hidrosztatikai nyomásai összeadódnak. p = p0 + r × g × h Az un. hidrosztatikai paradoxon alapján, egy edény alján a nyomás csak a folyadékoszlop magasságától függ, az edény alakjától, az edényben lévő folyadék súlyától nem. A törvénynek megfelelően homogén gravitációs térben az izobár felületek vízszintes síkok, az un. közlekedő edények mindkét szárában, pl. a kőművesek szintezőjében ugyanaz a vízszint. További alkalmazások: szivornya, artézi kút, sűrűség mérése U alakú csőben. A folyadékok összenyomhatóságával csak nagy nyomás esetén érdemes számolni. Hidraulikus prés vagy gépjármű fékrendszere esetén kell számolni a folyadék kompresszibilitásával. Ugyanakkor a prés esetében nem érdemes a folyadék súlyával számolni, hiszen a hidrosztatikai nyomás nagyságrendekkel kisebb, mint a rendszerben létrehozott nyomás. Tipikusan a feladat határozza meg, hogy adott esetben el lehet-e hanyagolni a folyadék súlyosságát vagy összenyomhatóságát.

22. ábra: Hidraulikus prés, hidrosztatikai paradoxon, szivornya, artézi kút Összenyomható, súlyos közeg nyomásának szinttől való függése jóval bonyolultabb. Például levegőre, izoterm légkört feltételezve a barometrikus magasságformulával közelíthető a nyomás és a sűrűség:

p = p0 e

-

r 0 gh p0

ahol p0 és ρ0 a tengerszinten mért nyomás és sűrűség

Az izentróp troposzféra modell (n=1,4) már leírja a hőmérséklet változását. A gradiensre 10˚C/km számolható. A politróp modell n=1,234 mellett ad a valóságoshoz közeli 6,48˚C/km értéket (kb.12km-ig, ahol -52˚C körüli). A tengerszinten mért átlagos légköri nyomás (1 atm) értéke különböző mértékrendszerekben: 1 atm = 101 325 Pa kg-m-s alapmennyiségekből származtatott nyomás (SI mérték) ~ 105 Pa = 0,1 MPa = 100 kPa = 1000 hPa = 1 bar 1 atm = 1.0332 at technikai atmoszféra, 10 méter magas vízoszlop hsztat. nyomása 1 atm = 760 torr higany-milliméter, egy milliméter higanyoszlop hsztat. nyomása A tengerszint feletti magasság nyomásmérésen alapuló becslése pl. időjárás-függő. A mérés korszerűbb eszköze a GPS alapú magasság-meghatározás, amelynek pontossága akár 1-3 cm lehet.


- 19 -

Néhány jellemző nyomás-érték: 2-2,5 bar: autó kereke, 3,5-7 bar: bicikli kereke, 5 bar: gyöngyhalász 50 m mélyen, 400-600 bar: abisszikus síkság, 1100 bar: Mariana Példa 1: A légnyomás mértékére példa, hogy amennyiben tüdőnkben nem lenne p0 nyomású levegő, úgy az 1 bar = 105 Pa légnyomás a kb. 0,1 m2 felületű bordákat 104 N erővel, azaz 1 tonna tömeg súlyával terhelné. Példa 2: Négykerekű, 1 tonna önsúlyú gépjármű 175mm széles kereke 7cm hosszan érintkezik a földdel. Mekkora a kerékben a túlnyomás? F 1000 × 10 / 4 2500 N p@ = = @ 2 × 105 Pa = 2bar 2 A 0,175 × 0,07 0,01225 m Archimedes törvénye szerint (i.e. 250) súlyosnak tekintett folyadékba vagy légnemű közegbe mártott testre hidrosztatikai felhajtóerő hat, amely egyenlő a test által kiszorított folyadék vagy légnemű közeg súlyával. A törvény levezethetően a hidrosztatikai nyomás alapegyenletének (ρ·g·h) következménye. A felhajtóerővel értelmezhető a léghajó lebegése, a hajó úszása és számos, az élelmiszeriparban előforduló folyamat. Úszó test stabilitását a súlyponton átmenő testhez rögzített egyenes és adott úszási helyzetben, a vízbe merülő alakzat súlypontján átmenő függőleges egyenes metszéspontja, az un. metacentrum határozza meg. Hasonlóan egy felfüggesztett test alátámasztási pontjához, adott úszási helyzet akkor stabilis, ha a hozzá tartozó metacentrum a súlypont felett van.

23. ábra: Lebegő és úszó test egyensúlya Mérés: A hidrosztatikai nyomás és a felhajtóerő alapján mérhető egyes folyadékok és szilárd testek sűrűsége. Folyadékokra: · „U” alakú csőbe ismert sűrűségű és ismeretlen sűrűségű folyadékot töltve, az egyensúlyban kialakuló folyadékszintekből meghatározható a sűrűség. · Hidrosztatikai mérleggel (vagy Jolly-féle rugós mérleggel) ismeretlen folyadékba ismert tömegű, sűrűségű testet mártva, a felhajtóerőből a folyadék sűrűsége határozható meg. · Mohr-Westphal mérleggel ismert (víz, 15ºC) és ismeretlen folyadékba merülő üvegtest súlyából, a felhajtóerők viszonyából számítható a folyadék vízhez viszonyított sűrűsége. · Areométer egy úszóhoz hasonlóan annál mélyebben merül a folyadékba, minél kisebb annak sűrűsége. Az areométert megfelelően skálázva közvetlenül mérhető más sűrűséget befolyásoló tényező is, mint bor alkoholtartalma, tej zsírtartalma, oldatok cukortartalma.

24. ábra: U cső, Jolly-féle rugós mérleg, Mohr-Westphal, aerométer Szilárd testek sűrűségének meghatározása történhet hidrosztatikai mérleggel, a test súlyának és ismert folyadékba merített súlyának mérésével. Ebből számítható a térfogata. Piknométerrel folyadékba tett szilárd test térfogatának és tömegének változásából számítható a szilárd test sűrűsége.


- 20 -

A sűrűség mérése természetesen nem csak a hidrosztatikai nyomás alapján történhet, hanem például egyszerű tömeg és térfogat méréssel, vagy mivel a hang terjedési sebessége adott közegnél a sűrűségtől is függ, becsülhető ultrahang terjedési sebességének mérése alapján is. A folyadékok sűrűsége általában fordítottan arányos a hőmérsékletükkel. A víz viselkedése azonban meglehetősen speciális. A víz sűrűsége atmoszférikus, azaz 101'325Pa nyomáson 3,98 ºC-on a legnagyobb, ez alatt és fölött a sűrűség kisebb. Ennek köszönhető, hogy télen a 4 ºC-os víz legalul, a hidegebb víz pedig felül helyezkedik el, a fagyás a felszínen indul be. Mivel a hőelvonás felülről történik, a hideg víz is felülre rétegeződik, így a víz árama nem segíti a hőáramot (konvektív áram). A puszta hővezetéssel (konduktív áram) lassabban fagynak be a tavak, lehetővé téve a vízi élőlények megmaradását. Hasonló okok miatt célszerű a vizet alulról melegíteni és fagyasztani is.

Felületi feszültség: Tapasztalat szerint a súlyos folyadék szabad felszíne nem teljesen síkfelület. Az edény szélénél a folyadék nedvesítheti az edény falát, mint ahogy víz a tiszta üvegen felkúszik, vagy nem nedvesíti, mint vizet taszítja a zsíros fal, vagy higanyt az üveg. A görbült felület magyarázata az, hogy a folyadék felületén érintő irányban, un. felületi feszültség hat. Az erő jelenlétét szemlélteti a drótkereten megfeszülő cérnaszál, ha egyik oldalán megszűntetjük a szappanhártyát (25.a. ábra). Az erő elvileg mérhető egy drótkereten, a létrafokra, szappanhártya által ható erő szükséges ellenerejeként (25.b. ábra). Ez az erő arányos a vonal hosszával és a szappanhártya mindkét oldalán hat ( F = 2 × g × s ). Általánosítva egy ds vonalelemre ható erő: N dF = g × ds γ felületi feszültség mértékegysége: [γ] = m

25. ábra: Felületi feszültség szemléltetése (a), elvi mérése (b) és értelmezése (c) A létrafok Δx elmozdításával F·Δx munkát kell végezni, így a munka arányos a a folyadék felületének megváltozásával ( L = 2 × g × s × Dx = 2 × g × D A ). A végzett munka visszanyerhető, hiszen a hártya visszahúzhatja a létrafokot, ezért a befektetett munka az energiát növeli. Általánosítva egy dA felületelem felületi energiája: J N dE f = g × dA γ fajlagos felületi energia mértékegysége: [γ] = 2 = m m Az a tény, hogy a folyadékok kisebb felülete kisebb energiájú állapot, korpuszkuláris modellel magyarázható. Feltételezve, hogy a folyadékot alkotó molekulák között vonzóerő, un. kohéziós erő hat, a molekulákra ható erők szimmetriája a felületen sérül. A felületen elhelyezkedő molekulákra az erők eredője nem nulla, hanem befelé mutat (25.c. ábra). Ennek hatására a folyadék gravitáció-mentes térben felveszi azt az alakot, amelynek adott térfogat mellett legkisebb a felülete. Ez a gömb. Hasonlóan veszi fel a nagy hidegben pingvinek csoportja azt a síkbeli alakot, amelynek adott felület mellett legkisebb a kerülete. Ez a kör. A felületi feszültség adott anyagra, pl. vízre mért értéke alapján, a felületen elhelyezkedő molekulákra ható erők összege jelentős, 10’000atm nagyságrendű un. kohéziós nyomást eredményez. Egyes modellek szerint ez az oka annak, hogy mivel a víz (folyadék) eleve összenyomott állapotban van, ezért a kompresszibilitása a légnemű közegekhez képest kicsi:

DV = -k × Dp V0

κ kompresszibilitási tényező. Vízre

k = 5 × 10 -5 at -1

Mivel a felületi feszültség jelensége a felületen elhelyezkedő molekulák kohéziós erőinek aszimmetriájával magyaráztuk, a jelenség függ a határoló közegtől is. A γ felületi feszültség esetében a határoló közeg definíció szerint a folyadék telített gőze. Adott más határoló közegnél a γij határfelületi feszültséggel számolunk.


- 21 -

Gravitációtól mentes felület, elhanyagolással pl. egy szappanhártya, adott kényszerfeltételek mellett (drótváz) a minimális felületű alakzatot veszi fel. Laplace első tétele (1806) szerint, ha a felület görbületét a főirányokban közelítő körök sugaraival írjuk le, akkor az un. görbületi nyomás: 1 1 pg = g ( + ) r1 r2 A törvény levezethető a dx1,dx2 felületelemre ható felületi feszültségi erők felületre merőleges komponenseiből: 2 × g × dx2 × sin(a1 ) + 2 × g × dx1 × sin(a 2 ) amelyre sin(a1 ) @ dx1 és sin(a 2 ) @ dx2 pg = dx1 × dx2 2 × r2 2 × r1

Az ábrázolt minimál-felületnél például (26.a. ábra) mindkét oldalon ugyanakkora a nyomás, így a görbületi nyomás nulla, azaz a közelítő körök sugara azonos, de ellenkező előjelű. Gömb esetében görbületi sugarak megegyeznek, így a képlet egyszerűsödik (26.c. ábra): 2 ×g p gg = r Nem folyadékfelszín, hanem szappanhártya esetén a görbületi nyomást szorozni kell kettővel, hiszen a hártyának két oldala van.

26. ábra: Minimál felület (a), görbületi nyomás (b), gömb görbületi nyomása (c) Három közeg találkozásánál (pl. egy edény falánál a folyadék, szilárd, légnemű), az illeszkedési szöget a kohéziós és adhéziós erők aránya határozza meg. Nedvesítésnél az illeszkedési szög hegyesszög, ami nagy adhéziós erővel és kicsi kohézióval magyarázható. Tökéletes nedvesítésnél az illeszkedési szög nullának tekinthető, mint ahogy víz, alkohol nedvesíti a tiszta üveget. Domború felszín esetén a kis adhéziós erő és nagy kohéziós erő hatására az illeszkedési szög tompaszög, higany-üveg esetében 138º (27.a. ábra). Az illeszkedési szög valójában mindhárom közegtől, a határfelületi feszültségekből számolható. Laplace második tétele alapján, mivel a határfelületen ható erők egyensúlyt tartanak, az 1. közeg illeszkedési szöge (27.b. ábra): g - g 12 g cos j = 23 ha a 3. közeg gáz, akkor: cos j @ - 12 g 13 g 13 Az erők egyensúlya számítható két folyadék szabad illeszkedésére, pl. víz-olaj-levegő esetre is. A határfelületi feszültségek értéke miatt terül szét az olaj a víz felszínén (27.c. ábra).

27. ábra: Kohéziós-, adhéziós erők (a), határfelületi feszültségek (b), vízen olajcsepp (c)


- 22 -

Mérés 1: Mérése történhet például a kapilláris jelenség alapján (28. ábra). Szűk csőben a cső falát nedvesítő folyadék (pl. víz-tiszta üveg) magasabban áll, mint azt a hidrosztatikai nyomás indokolná. A folyadékoszlop súlyát ugyanis a folyadék felületének pereménél ható felületi feszültség tartja. g × 2rp × cos j = r 2p × h × r × g Feltételezve, hogy a folyadék tökéletesen nedvesíti az üveget, a cső sugarából és az emelkedési magasságból számítható a felületi feszültségi együttható. rrg g = ×h 2 × cos j Mérés 2: Sztalagmométerrel adott mennyiségű folyadékot csepegtetünk és a cseppek számából meghatározható a cseppek átlagos súlya (28.b. ábra). A sztalagmométer felülete úgy van kiképezve, hogy a cseppek un. elszakadási átmérője, feltételezés szerint nem függ a mérendő folyadéktól. Ebben az esetben elszakadás előtt, a cseppek súlyát az elszakadási átmérő mentén ható felületi feszültség tartja. g × 2rp = Gi Ebből becsülhető a felületi feszültség értéke: G g = i dp Mérés 3: Folyadékba meghatározott anyagú (Platina-Iridium ötvözet) drót-gyűrűt mártva, mérhető a folyadékfelszínből való kiszakításhoz, a gyűrű súlyán kívül szükséges erő. Ez szintén arányos lesz a felületi feszültségi együtthatóval: F = 2 × g × 2 rp

28. ábra: Kapilláris emelkedés mérése (a), sztalagmométer (b), gyűrű kiszakítása (c) A felületi feszültségi együttható értéke sok élelmiszeripari folyamatnál játszik fontos szerepet. Mosószer hatására vagy a hőmérséklet emelésével (lásd Eötvös-törvény) a víz felületi feszültsége jelentősen csökken. A kohéziós erők csökkenésével a víz könnyebben bejut a textilszövet pórusaiba. Másrészről a mosószer felületaktív összetevője körülveszi a zsíros (makacs) szennyeződést (pl. a szappan zsíroldékony szerves része befelé, hidrofil ionos oldal kifelé áll) ezzel megnövelve az adhéziós erőt. Salátaöntetben, savas közegben, az olajcseppek nem oldódnak. A fogyasztó általában jobban kedveli a homogén emulziókat (lásd homogénezett tej, majonéz). Az olajcseppek átlagos mérete a felületi feszültségtől függ, ami a hozzáadott összetevőkkel és fűszerekkel is változik. Borbírálat során a megforgatott pohár szélén un. gliceringyűrűket figyelhetünk meg. A testes, édes, un. "olajos" mozgású boroknál megfigyelhető jellemző alapvetően függ a közeg felületi feszültségétől.

29. ábra: Néhány élelmiszeripari alkalmazás


- 23 -

5. Hidrodinamika, aerodinamika A térfogatáram adott felületen az egységnyi idő alatt áramló közeg térfogata. A pillanatnyi térfogatáram differenciálhányadosként számítható. 3 dV mértékegysége: [IV] = m IV = dt s Mivel az A áramlási keresztmetszeten v sebességgel áramló közeg dt idő alatt v·dt távolságra jut, ezért a dt idő alatt áthaladó dV térfogat A·v·dt. Így a térfogatáram: IV =

dV A × v × dt = = A×v dt dt

A tömegáram adott felületen az egységnyi idő alatt áramló közeg tömege.

Im =

dm dt

mértékegysége:

[Im] =

kg s

A tömegáram számítható a térfogatáram és a sűrűség szorzataként.

Im =

dm = r × IV = r × A × v dt liter m3 dl = 0,2 × 10 -3 =2 s perc s

Példaként a háztartási átfolyó vízmelegítő térfogatárama:

12

100 km/óra sebességű, 7,2 liter/100km fogyasztású autó benzinvezetékében:

7,2

A 600 km2 felületű Balaton 1 év alatt 70 cm-es szintemelkedéséhez:

liter m3 ml = 2 × 10 - 6 =2 óra s s 0,7 × 600 × 10 6 m 3 m3 = 13 365 × 24 × 3600 s s

A Duna szélessége a Lánchídnál 350m, átlagos sebessége 1,0 m/s, vízhozama: 2350 m³/s

A folytonossági tétel (kontinuitás egyenlet) a tömegmegmaradást fejezi ki. Keskeny áramcsőben történő stacionárius áramlás esetén a tömegáram az áramcső mentén állandó. Áramcső az áramtér akár csak képzeletben körülhatárolt része, amelyre a felületen nincs tömegáram, csak a vizsgált 1-es és 2-es felületén, azaz nincs például elágazás benne. Keskeny az áramcső, ha az egyes felületeken a fizikai mennyiségek homogénnek tekinthetők, azaz pl. egy, a felületre merőleges átlagos sebességgel számolunk. Stacionárius az áramlás, ha időben állandósult, azaz a fizikai mennyiségek adott helyen időben nem változnak. è r1 × A1 × v1 = r 2 × A2 × v2 I m1 = I m 2 Összenyomhatatlan közegre a sűrűség állandó, így a térfogatáram is megmaradó mennyiség: ç A1 × v1 = A2 × v2 IV 1 = IV 2

30. ábra: Keskeny áramcsőben való stacionárius áramlás Inhomogén, időben változó rendszerek leírásánál, az egyes fizikai mennyiségek függnek a helytől és az időtől. A kiegyenlítődő, azaz intenzív mennyiségek (p nyomás, T hőmérséklet) értelmezhetők pontra is. Az összeadódó, azaz extenzív mennyiségek (m tömeg, E energia) csak adott térfogatra értelmezhetők. Helyettük azok sűrűségét, általánosan, az extenzív fajlagos értékét, azaz egy adott más extenzívhez viszonyított mennyiségét lehet differenciálhányadosként pontra értelmezni. Így származtatható például a térfogategységre vonatkoztatott fajlagos tömeg, azaz a sűrűség, vagy például a tömegegységre vonatkoztatott fajlagos energia: dm dE [ρ] = kg [e] = J r (r , t ) = e( r , t ) = 3 dV dm m kg


- 24 -

A kérdéses pontot körülvéve egy dV térfogattal, annak tömegét a térfogattal osztva kapjuk meg a dV térfogat átlagos sűrűségét. A dV térfogatot a pont körül nullához közelítve, határértékként kapjuk a sűrűséget.

31. ábra: Sűrűségből a tömeg számítása (a), elemi tömegáramokból a tömegáram számítása (b) A sűrűség ismeretében a térfogatelemek elemi tömegeinek összegzésével, azaz integrálással számítható egy rendszer tömege (31.a. ábra). Amennyiben a közeg homogén, a sűrűség a térfogaton állandó, akkor konstansként kiemelhető az integrálás elé. m = ò r ( r , t ) × dV m = ò r × dV = r × ò dV = r × V V

V

V

Egy df felületelemen (felületre merőleges, befelé mutató vektor) v sebességgel áramló közeg dt idő alatt v·dt távolságra jut. Így a df felületelemen, dt idő alatt dV=df·v·dt térfogatú közeg jut a rendszerbe. A felületelemen a térfogatáram tehát v·df, ahol vektorok skaláris szorzatával a sebesség felületre merőleges komponensével számolunk. Az adott teljes felületre az elemi térfogatáramokat összegezve, azaz integrálva kapjuk a térfogatáramot (31.b. ábra). Amennyiben a sebesség a felület mentén állandó, akkor konstansként kiemelhető az integrálás elé. I V = ò v(r , t ) × d f IV = ò v × d f = v × ò df = v × A A

A

A

Az elemi tömegáramok összegeként, azaz integráljaként a felületen létrejövő tömegáram számítható. Ha a sűrűség és a sebesség a felület mentén állandó, akkor konstansként kiemelhető az integrálás elé és egyszerűsíthető a kifejezés. I m = ò r (r , t ) × v(r , t ) × d f I m = ò r × v × d f = r × v × ò df = r × v × A A

A

A

A tömegmegmaradást kifejező tömegmérleg végül: dr ( r , t ) dV = ò r ( r , t ) × v ( r , t ) × d f m& = ò dt V A

A Bernoulli egyenlet (1738) az energia-megmaradást fejezi ki. Ideális folyadék (súrlódásmentes és összenyomhatatlan közeg) stacionárius áramlása esetén, a rendszer fajlagos mechanikai energiáját leíró kifejezés egy áramfonal mentén állandó, ha a közeg hőmérsékletének (azaz belső energiájának) változása elhanyagolható. p + r ×g ×h+

1 × r × v 2 = állandó 2

A kifejezésben felismerhető a helyzeti- és mozgási energia térfogategységre vonatkoztatott fajlagos értéke. A nyomással pedig az áramló közeg munkavégzése arányos. Beáramlásnál a közeg végez munkát a rendszeren azzal, hogy a nyomással arányos erővel tolja az előző rétegeket, kiáramláskor pedig a rendszer végez munkát a környezeten. Az egyenletet két olyan pontra lehet felírni, ahol az első pontból legalább elvileg eljuthat a közeg a másodikba. 1 1 2 2 p1 + r × g × h1 + × r × v1 = p 2 + r × g × h2 + × r × v 2 2 2

A Bernoulli egyenlet valójában a termodinamika mennyiségeivel, a rendszer energiamérlegéből vezethető le. ¶ (er ) E& = ò dV = ò (eme ch + h) r v × d f + ò j E × d f + PL + PQ ¶t A mérlegegyenletet összenyomhatatlan közegre és keskeny áramcsőben való stacionárius áramlásra alkalmazva, ha felületén nincs energiatranszport (szigetelt az áramcső): 2 2 PL + PQ v p v p gh1 + 1 + 1 + u1 + = gh2 + 2 + 2 + u 2 2 r Im 2 r


- 25 -

A Bernoulli egyenlet feltételei tehát a következők: ΔE=0 stacionárius (időben állandó) áramlás ρ sűrűség állandó (összenyomhatatlan) u a tömegegységre vonatkoztatott fajlagos belső energia nem változik (hőmérséklete állandó) PL mechanikai munkavégzés teljesítménye nincs (nincs pl. ventillátor) PQ fűtőteljesítmény nincs (nincs pl. kazán) JQ konduktív áram (hővezetés) nincs a felületen (szigetelt az áramcső)

Az egyenlet speciális esetként igazolja Torricelli kiömlésre vonatkozó egyenletét (1646). Folyadék tartályból való kiömlésének sebességét (mozgási energiáját), a folyadékszintből (helyzeti energiából) számíthatjuk, megegyezik a h magasságból szabadon eső test sebességével (32.a. ábra). Súrlódásos (valódi) áramlásnál a sebesség kisebb és az átfolyási keresztmetszet is összeszűkül. A kifolyónyílás alakját jellemzi az α kontrakciós tényező. r ×g ×h =

1 × r ×v2 2

è

v = 2× g ×h

A = a × A0

Gázokra speciális esetben értelmezi Bunsen (1811-1899) kiáramlásra vonatkozó egyenletét (32.c. ábra). Valójában az összenyomható gázokra a Bernoulli csak becslésként alkalmazható. 1 p1 = p 0 + × r × v 2 2

è

v=

2 × Dp r

32. ábra: Kiömlés és sugár-kontrakció (a,b), gáz kiáramlása (c) Speciális esetben, amikor a helyzeti energia változásával nem számolunk, és a sűrűség állandó, az egyenlet magyarázza az un. hidrodinamikai paradoxont. Amelyik pontban nagyobb a sebesség, ott kisebb a nyomás (33. ábra). p1 +

1 1 2 2 × r × v1 = p 2 + × r × v 2 2 2

33. ábra: Hidrodinamikai paradoxon Paradoxon, mivel az állítás ellenkezik az iskolázatlan szemlélettel. Papírlapok között elfújva, a szemlélet ellenére, a lapok még jobban összeszorulnak (34.a. ábra). A lapok között ugyanis nagyobb a sebesség, ezért a lapokon kívüli nagyobb nyomás préseli össze a papírokat. Légáramban lebegtetett pingpong labda, asztalról fújással felemelt pénzérme, folyón egymás mellé kerülő és összeütköző hajók, csavart labda pályája (Magnus effektus). Számos bizonyítékát találjuk a törvénynek és számos alkalmazásával találkozunk. Bunsen égőben például az áramló gáz szippantja be az oldalsó nyíláson az égéshez szükséges levegőt.


- 26 -

A hidrodinamikai paradoxon teszi lehetővé a levegőnél nehezebb objektumok repülését. A szárnyprofilt (34.b. ábra) a levegő felül nagyobb sebességgel kerüli meg, alul lesz tehát nagyobb a nyomás, ami felhajtóerővel hat a szárnyra. A sebességnek és közegnek megfelelő optimális szárnyprofil ugyanúgy megfigyelhető légcsavarokon, hajócsavarokon is. Porszem (pénzérme) felett elfújva a sebesség miatti kisebb nyomás felemeli az objektumot, a légáram pedig elsodorja. A porszívó légtorka alatt összeszűkülő keresztmetszetnél a megnövekedett sebességű légáram így távolítja el a porszemet a szőnyegből (34.c. ábra). Permetezőben a cső szája felett áramló levegő sebessége miatt kisebb a nyomás, mint a nyitott tetejű tartályban uralkodó légnyomás. A nyomás-többlet emeli fel a vizet a cső szájához, majd az áramló levegő porlasztja azt (34.d. ábra). Hasonló modell írja le az ACpumpa nélkül működő porlasztó működését is.

34. ábra: Papírlapok (a), szárnyprofil (b), porszívó (c), permetező (d) Áramlás sebességének mérése történhet pl. nyomásmérés, azaz a Bernoulli törvény alapján. Nyomásszondával mérhető az áramló közeg un. sztatikus nyomása (35.a. ábra). Az áramlás útjába tett csővel, Pitot-csővel (vadászgépek orrán) a torlópontban mérhető az össznyomás, avagy torlóponti nyomás (35.b. ábra). A módszereket egyesítő Prandtl-csővel a két nyomás különbsége, a dinamikus nyomás mérhető és számítható az áramlás sebessége (35.c. ábra). 1 2 × r folyadék × g × h è r folyadék × g × h = × r levegő × v 2 v= r levegő 2

35. ábra: Nyomásszonda (a), Pitot-cső (b), Prandtl-cső (c), Venturi-cső (d) Venturi-csőben (35.d. ábra) a különböző áramlási keresztmetszetek közötti nyomáskülönbség mérésével határozható meg az áramlási sebesség. A közeget összenyomhatatlannak tekintjük, sűrűsége ismert, a cső vízszintes és a nyomást példánkban higannyal töltött U-cső szintkülönbségével mérjük. Az ábrázolt pontokra felírva a folytonossági tételt és a Bernoulli egyenlet: Folytonossági, ha a közeg összenyomhatatlan A1 × v1 = A2 × v 2 2

d1 ×p d ×p A2 = 2 4 4 1 1 2 2 p1 + × r × v1 = p 2 + × r × v 2 2 2

kör keresztmetszettel számolva

Dp = p1 - p 2 = r Hg × g × h Hg

nyomáskülönbséget mérjük è

2

A1 =

è

v2 = (

d1 2 ) × v1 d2

Bernoulli, ha a két pont szintje azonos Dp =

1 2 2 × r × (v 2 - v1 ) 2

A két egyenletből a v1 és v2 ismeretlenek az egyenletrendszer rendezésével kifejezhetők.


- 27 -

Mérőperemmel gáz-, gőz- vagy folyadékáram útjába tett koncentrikus szűkület két oldalán létrejövő nyomáskülönbségből becsülhető a térfogatáram.

36. ábra: Torlócsöves áramlásmérés (a), Venturi-cső (b), mérőperem sémája és kialakítása (c) A nyomáskülönbségen alapuló (szűkítőelemes: mérőperem, mérőtorok, Venturi-cső és torlóelemes: Pitot, könyökcső) áramlásmérés a legelterjedtebb az iparban. Alkalmazott más módszerek: · Sebességmérő: turbinás-, szárnykerekes-, örvényleválás-, örvényhaladás-, indukciós-, ultrahangos mérők · Térfogat-kiszorításos: oválkerekes, forgó- és bolygódugattyús, fogaskerekes, bolygótárcsás, membrános · Tömegárammérő: termometriás, Coriolis erőn alapuló, giroszkópos, hidraulikus Wheatstone híd · Közegellenállásos: rotaméter (változó keresztmetszetű, úszós), torlórugós mérők, céltáblás áramlásmérő Példa: A folytonossági- és Bernoulli törvények az élelmiszeriparban nem csak áramlás mérésére alkalmazhatók, hanem számos technológia alapja is. Példaként számítsuk ki a V térfogatú, h magasságú, Δp túlnyomású tartályból kiáramló folyadéksugár sebességét, keresztmetszetét és a pillanatnyi térfogatáramot, ha az A0 felületű nyílás kontrakciós tényezője α. Jelöljük z-vel a folyadék aktuális szintjét (z=h..0): 2 × Dp 2 × Dp A = a × A0 v( z ) = + gz IV ( z ) = A × v( z ) = a × A0 × + 2 gz r r Így a folyadékfelszín süllyedésére: dz - IV ( z ) - h × IV ( z ) - h × a × A0 2 × Dp = = = × + 2 gz dt Atartály V V r Számítsuk ki, hogy a h magasságból induló folyadéksugár sebességét a Bernoulli egyenletből és az összeszűkülő keresztmetszet átmérőjét a folytonossági törvény alapján (37.a. ábra): 1 1 è v2 = v12 + 2 × g × h × r × v12 + r × g × h = × r × v2 2 2 2 2 2 è d1 × v1 = d 2 × v2 v d1 d 2 (h) = 1 × d1 = v2 1 + 2 × g × h v12

Összenyomhatatlan közeg (pl. folyadék) sebessége szűkülő áramcsőben tehát egyre nagyobb. Az összenyomható közegekre (pl. gázokra) ez, a gáztörvényekből levezethetően, csak hangsebességig igaz. A szuperszonikus repülőgépeken, űrhajón, gőz- és gázturbinákon, nagyfeszültségű megszakítókban alkalmazott Laval-fúvókában az égéstermék a szűkületig éri el a hangsebességet, majd azon túl, a keresztmetszet növelésével lehet tovább gyorsítani, miközben jelentősen csökken a hőmérséklete és nyomása (37.b. ábra). Az élelmiszeriparban és klímaberendezésekben alkalmazott gőzsugár hűtőgépekben is Laval-fúvókán keresztül alakítják át a gőz belső energiáját mozgási energiájává. A keletkezett vákuumban, a bepermetezett víz párolgása vonja el a hőt a hűtött tértől. Gőzsugár-injektoros bepárlóban szintén a Laval-fúvóka után keletkező vákuum szívja el az eltávolítandó párát.

37. ábra: Keresztmetszet szűkülése (a), Laval-fúvóka: Mach, v,p,T (b), hűtés alkalmazás (c)


- 28 -

6. Súrlódásos áramlásmodellek Folyadékok lamináris áramlásakor, az egyes folyadék-rétegek egymás mellett, eltérő sebességgel haladhatnak. A tapasztalatok szerint, az egyes rétegek között érintő irányú, tehát nyíróerő hat, amely lassítani igyekszik a gyorsabb réteget, és gyorsítani igyekszik a lassabb réteget. Folyó vizének áramát például a part igyekszik visszatartani. Stacionárius esetben az adott rétegre a külső, lassabb rétegek visszatartó ereje és a belső, gyorsabb rétegek gyorsító ereje megegyezik. A belső súrlódás hatására alakul tehát ki a folyó sebesség-profilja (38.a. ábra). A Newton-féle súrlódási törvény szerint (ideális) folyadékban ébredő τ nyírófeszültség adott pontban egyenesen arányos a sebességeséssel, azaz a sebesség hely szerinti megváltozásával. Az arányossági tényező az η dinamikai viszkozitás (éta). dv avagy η mértékegysége: [η] = Pa·s t = h × v¢ F =h × A× dx

A dinamikai viszkozitás cgs egysége a poise, amelyre 1P = 1 g/cm/s = 0,1Pa·s. A víz dinamikai viszkozitása 20ºC-on kb. 1 mPa·s, azaz 1cP (centipoise). A gázok viszkozitása a hőmérséklet növekedésével növekszik, a folyadékoké viszont jelentősen csökken (lásd Arrhenius-Andrade egyenlet). Néhány közeg dinamikai viszkozitása 20ºC-on: etil-alkohol 0,25 ·10-3Pa·s, metil-alkohol 0,59 ·10-3Pa·s, víz 10-3Pa·s, vér 4·10-3 - 25·10-3Pa·s, olaj 100·10-3Pa·s, méz 10 Pa·s, bitumen 108Pa·s, levegő (50ºC) 20·106 Pa·s.

A dinamikai viszkozitást a sűrűségével osztva, kapjuk a ν kinematikai viszkozitást (nű). n=

h r

ν mértékegysége:

2 [ν] = m

s

A kinematikai viszkozitás cgs egysége a stokes, amelyre 1S = 1cm2/s = 10-4 m2/s. A víz kinematikai viszkozitása 20ºC-on kb. 10-6 m2/s, azaz 1cS (centistokes). Kenőolajak kinematikai viszkozitását sok esetben még ma is cgs mértékkel adják meg. Különösen kenőolajoknál lehet fontos a viszkozitás nyomástól való függése is.

38. ábra: Folyó sebességprofilja (a), rétegre ható súrlódási erő (b) Hagen-Poiseuille törvény: Lamináris esetben kiszámítható egy vízszintes csőben való stacionárius áramlás sebességeloszlása és térfogatárama is. Egy R sugarú l hosszú csövön belül egy r sugarú dr vastagságú hengerfelületre három erő hat (39.a. ábra). A henger belső felületén a v’(r) sebességesés kisebb, mint a külső felületen a v’(r+dr) sebességesés. A belső, gyorsabb rétegek előre húzó F(r) ereje kisebb tehát, mint a külső, lassabb rétegek visszatartó F(r+dr) ereje. A stacionárius áramlás fenntartásához ugyanis szükséges a hengerfelület alapterületére ható Δp nyomáskülönbség és a három erő egyensúlya. A. megoldás: Az erőhatásokat a Newton törvényből kifejezve: F (r ) = h × A × v ¢(r ) = h × 2rp × l × v ¢(r )

F (r + dr ) = h × A × v ¢(r + dr ) = h × 2(r + dr )p × l × v ¢(r + dr )

F2 ( r ) = 2rp × dr × Dp

Az erők egyensúlyára:


F ( r + dr ) - F ( r ) = F2 ( r )

- 29 -

Behelyettesítés, rendezés után: A sebességeloszlás differenciálegyenlete: A megoldást nem részletezve:

v ¢(r + dr ) - v ¢(r ) v ¢(r + dr ) Dp + =dr r h ×l v ¢(r ) Dp // megoldása nem szám, hanem függvény v ¢¢(r ) + =r h ×l Dp // ennél egyszerűbb megoldás is van v (r ) = (R 2 - r 2 ) 4 ×h × l

B. megoldás: Sugártól független nyomáskülönbséget feltételezve egy hengerre lehet két erő egyensúlyát felírni. Palástra ható erő: F (r ) = h × A × v ¢(r ) = h × 2rp × l × v ¢(r ) Alapterületre ható erő: F2 (r ) = r 2 × p × Dp Az erők egyensúlyára: F ( r ) = F2 ( r ) // az egyenlet integrálással megoldható Behelyettesítve v(r) differenciálegyenlete: v ¢(r ) = - Dp × r Az egyenletnek megfelelő függvény: c értéke a v( R) = 0 peremfeltételből: Az egyenlet megoldása:

2 ×h × l - Dp 2 v (r ) = r +c 4 ×h × l - Dp 2 c= R 4 ×h × l Dp v (r ) = (R 2 - r 2 ) 4 ×h × l

// amelyre c tetszőleges konstans

Térfogatáram: Az így levezetett parabolikus sebességeloszlásból azután számítható a térfogatáram egy dv vastagságú elemi gyűrűre: dI V = v ( r ) × dA = v ( r ) × 2 rp × dr és integrálással a teljes keresztmetszetre:

R

R

R

0

0

0

I V = ò dI V = ò v(r ) × 2rp × dr = ò

Dp ( R 2 - r 2 ) × 2rp × dr 4 ×h × l

A levezetés végeredményeként kapjuk a Hagen-Poiseuille törvényt, amely szerint kör keresztmetszetű vízszintes csőben, lamináris áramlás esetén parabolikus sebességprofil alakul ki. A térfogatáram arányos a nyomáseséssel és a sugár negyedik hatványával, fordítva arányos a folyadék viszkozitásával: p 1 Dp 4 IV = × × ×r 8 h l

39. ábra: Sebességprofil csőben (a), - film-bepárló falán (b), áramvonalak golyó körül (c) Lamináris, stacionárius áramlási viszonyokra kiszámítható egy film-bepárló falán lecsurgó ideális folyadék sebességeloszlása is (39.b. ábra). Adott x-nél a v΄(x) sebességeséssel arányos belső súrlódási erő tart egyensúlyt stacionárius áramlás esetén, az x-en túli folyadékréteg súlyával. A nyert egyenletből szintén parabolikus sebességprofil vezethető le.

h × A × v¢( x) = r × g × A × (d - x)

A Stokes-féle ellenállástörvény szerint lamináris áramláskor az η dinamikai viszkozitású közegben mozgatott r sugarú golyóra ható erő arányos a v sebességgel (39.c. ábra): F = -6p ×h × r × v


- 30 -

Kísérlet szerint, az áramló közeget megfestve, kis sebességnél láthatóvá tehetők az áramfonalak. Az áramlás ebben az esetben stacionárius, a különböző sebességgel haladó rétegek (laminárisan) egymás mellett haladnak. Kisebb örvények ebben az esetben is lehetnek, de amplitúdójuk egyre kisebb lesz. Duna sodrásában a hídpillérek mögött keletkező örvényekhez hasonlóan elenyésznek. Az ilyen stabil áramlást hívják lamináris áramlásnak. Az áramlási sebességet növelve hirtelen a legkisebb örvény (turbulencia) is nálánál nagyobbat generál. A megfestett áramtérben a festék összekeveredik. Az áramlás már szigorú értelemben nem stacionárius, hiszen adott helyen a sebesség idő szerint változik. Az un. "pillangó-hatás" csak az ilyen kaotikus rendszerekben igaz. Az ilyen áramlást hívják turbulens áramlásnak. Egyenes, sima falú csőben különböző közegeket áramoltatva, a kísérletek szerint akkor válik az áramlás laminárisból turbulenssé, ha az un. Reynolds-szám meghalad egy küszöbértéket, 2320-at. A kifejezés a cső d csőátmérőjéből, a közeg ρ sűrűségéből és η dinamikai viszkozitásából, valamint az áramlás v átlagsebességéből számítható. r ×d ×v > 2320 Re = h

Hosszú, különösen sima falú csőben az örvénykeltés kiküszöbölésével akár 10 ezer feletti Reynolds-szám mellett is lamináris áramlást sikerült megvalósítani, így a kifejezés számítása csak az áramlástípus becslésére ad lehetőséget. A műszaki gyakorlatban ezért a lamináris- és turbulens tartományok közötti átmeneti tartománnyal szokás számolni. Ha az áramlás nem kör keresztmetszetű csőben történik, akkor az A átfolyási keresztmetszetből és a K nedvesített kerületből számítható az egyenértékű csőátmérő: de =

4× A K

40. ábra: Áramlásmodellek (a), egyenértékű átmérő csatornára (b), modellezési példa (c) A Reynolds-féle kifejezés a hidrodinamikai rendszer kaotikusságát fejezi ki. Adott dinamikai rendszerben (például egy gépjármű rugóra függesztett m tömegű kerekénél) a gerjesztés (macskakő periodikus ütése) csillapítás (lengéscsillapító) nélkül kaotikus viselkedést eredményez, a kerék amplitúdója végtelenhez tart. A csillapító elem szerepe az, hogy a súrlódás feleméssze, belső energiává alakítsa a rendszerbe vitt mechanikai energiát. Folyadékok áramlásánál a fajlagos mechanikai energia és a belső súrlódás (viszkozitás) aránya határozza meg a rendszer stabilis (stacioner egyensúlyhoz tartó) illetve kaotikus jellegét. A Reynolds-szám nem csak az áramlásmodell becslésére használható. A hasonlóságelmélet szerint, áramlástani jelenségek modellezésekor, két geometriailag hasonló áramlás (repülő és modellje) akkor tekinthető hasonlónak, ha a rá jellemző erőhatások aránya is megegyezik. A figyelembe vett erők, a P nyomásból származó erő, a G térerő, az S súrlódási erő és az ezekkel egyensúlyt tartó, gyorsulással arányos T tehetetlenségi erő. Az egyes erőhatások térfogategységre vonatkoztatott értéke, ha l az áramtér egy jellemző geometriai mérete: · Fajlagos nehézségi erő: G » r×g

v

·

Fajlagos súrlódási erő:

S » h ×

·

Fajlagos tehetetlenségi erő:

T » -r × a » r ×

l

2

v2 l

Olyan áramlási jelenségek hasonlóságára, ahol a térerő játszik jelentős szerepet (pl. felszínen keletkező hullámok), használatos például a Froude-szám: v2 r× T l = v Fr = » G r×g l×g


- 31 -

Olyan esetben, amikor a folyadék kitölti a rendelkezésére álló teret (áramtérbe helyezett test, áramcsőben haladó közeg), használják a Reynolds-számot: v2 r× T l = r ×d ×v Re = » v S h h× 2 l Az áramlástantól különböző területeken használatos egyéb hasonlósági számok (Strouhal, Prandtl, Peclet, Knudsen, Euler, Chauchy, Grashof, stb.) közül példaként a Nusselt-szám ( Nu = a × l ) a hőátadást jellemzi. l

Veszteséges Bernoulli-egyenlet: A valóságos folyamatok a súrlódás miatti veszteség miatt megfordíthatatlanok. A mechanikai energia csökken, azaz átalakul, növelve a rendszer belső energiáját. A Bernoulli egyenlet a mechanikai energia megmaradását fejezi ki. Veszteség esetén az egyenlet jobb oldalán, az áramlás 2. pontjában, a mechanikai energia csökkenését, a veszteséget leíró pozitív tagokkal kell kompenzálni. Alkalmazástól függően számolunk: 1 1 2 2 pv veszteségi nyomással [Pa]: p1 + r × g × h1 + × r × v1 = ( p 2 + p v ) + r × g × h2 + × r × v 2 hv veszteségi magassággal [m]: ξ veszteségi tényezővel [1]:

2 2 1 1 2 2 p1 + r × g × h1 + × r × v1 = p 2 + r × g × ( h2 + hv ) + × r × v 2 2 2 1 1 2 2 p1 + r × g × h1 + × r × v1 = p 2 + r × g × h2 + (1 + x ) × r × v 2 2 2

A veszteségi tényező használata esetén a veszteséget az illető csőszakasz veszteségi tényezőjével és az áramlás ottani sebességével számíthatjuk, majd több szakasz esetén, a veszteségek összeadódnak. A ξ veszteségi tényező értéke egyenes falú cső esetén arányos a cső l hosszával és fordítva arányos a cső d átmérőjével. Az arányossági tényező a λ csősúrlódási tényező, amelyre: x =l×

l d

Az λ csősúrlódási tényező értéke, a tapasztalat szerint, az áramlás dinamikáját jellemző Reynolds-számból számítható a különböző áramlási modellekre. A λ csősúrlódási tényező értékének Re Reynolds-számtól való függése lamináris áramlási modellre a Hagen-Poiseuille törvényből levezethető. l»

64 Re

Turbulens áramlási modellre tapasztalati λ(Re) képletek használhatók a különböző k érdességű csövekre és Re tartományokra. · Sima falú csőre (k~0): Blasius (2320-105), Nikuradse (105-5·106), Prandtl-Kármán · Átmeneti tartományra: Prandtl-Colebrook · Érdes falú csőre: Nikuradse, Moody Hidraulikailag sima falú csőre, Re=105 Reynolds-számig Blasius képlete használható: l»

0,3164 4

Re

41. ábra: Csősúrlódási tényező (a), veszteségi nyomás (IV=12 l/p, ρ=103kg/m3, η=10-3Pa·s)(b)


- 32 -

A csősúrlódási tényező értéke az áramlási sebesség növelésével lamináris tartományban csökken, az átmeneti tartományban megnő, majd turbulens tartományban tovább csökken. A veszteség ezzel szemben a sebesség négyzetével is arányos, ezért a sebesség növelésével jelentősen nő. A veszteség lamináris esetben még csak elsőfokú függvénye a sebességnek, turbulens tartományban már majdnem négyzetes. Veszteség lamináris esetben: p = l × 1 r × v 2 = 64 × 1 r × v 2 = 64 ×h × 1 r × v 2 = c × v v

Veszteség turbulens esetben:

lam

p v = lturb

2

Re 2

r ×d ×v 2

1 0,31 1 0,31 × h 0 , 25 1 × r × v2 = 4 × r × v2 = × r × v 2 = c × v 1,75 2 ( r × d ) 0 , 25 × v 0 , 25 2 Re 2

Csővezeték méretezésekor, amennyiben lehet, célszerű a csőátmérőt olyan nagyra választani, hogy az áramlás lamináris maradjon. A feladat által meghatározott térfogatáram mellett a sebesség és a Reynolds szám is függvénye a választott d csőátmérőnek: Re(d ) =

r × d × v(d ) r × d × IV r × d × IV × p r × IV × p = = = h h×A h ×d h ×d2

A kritikus csőátmérőre a Reynolds szám pont 2320. Ennél nagyobb átmérő mellett lesz az áramlás lamináris: r × IV × p à Re(d k ) = 2320 dk = h × 2320

Adott csővezetéknél a kritikus sebesség az, amelyre a Reynolds szám 2320. Ennél nagyobb sebességeknél lesz az áramlás turbulens: r × d × vk = 2320 h

à

vk =

2320 ×h r ×d

Adott csőátmérőnél és térfogatáramnál pedig a szükséges szivattyúteljesítmény lehet kérdéses. A Reynolds szám alapján először tisztázni kell az áramlásmodellt. Az áramlásmodellnek megfelelően számítandó a csősúrlódási tényező. I I ×4 64 d 2p r ×d ×v à v = V = V2 llam = A= Re = A d p Re 4 h 0,3164 à lturb » 4 Re Ezután számítható a veszteségi tényező, a veszteséges Bernoulli alapján a veszteségi nyomás, végül a szükséges szivattyúteljesítmény: l 1 x =l× pv = x × × r × v 2 P = F × v = pv × A × v = pv × IV d 2 Turbulens áramlás esetén az áramtérbe helyezett objektumra ható un. közegellenállás is lényegesen megnő. Amíg lamináris viszonyok között, a golyóra levezetett Stokes-törvényhez hasonlóan (F=6πrη·v), az ellenállás tisztán a sebességgel arányos belső súrlódásból származik (F ~ v), addig nagyobb sebességeknél az ellenállás főként az örvénykeltés munkájából, az örvények mozgási energiájával arányos (F ~ v2). A kísérletek szerint egy testre ható közegellenállási erő arányos az A homlokfelülettel és a közeg fajlagos mozgási energiájával. Az arányossági tényező a testre és irányultságára jellemző c ellenállási tényező. 1 F = c × A × rv 2 2


- 33 -

A Stokes törvény alkalmazható a lassabb folyamatokra, mint pl. a szedimentáció (ülepedés). · Így vizsgálható az óceánokban, az abisszikus síkságra (4-5km) hulló plankton-eső ülepedési sebessége. Homokszemek mérete is becsülhető ülepedési sebességük alapján. · Tejszín képződésekor a felszínre úszó zsírcseppekre is hasonló törvények érvényesek. Szeparátorban a frakciók szétválására van hatással a részecskék mérete (42.a. ábra). A közegellenállási törvény élelmiszeripari technológiai alkalmazásainak példái: · Gabona tisztítása un. szeleléssel történik. Régebben lapáttal szórták a szélbe, ma légáram fújja ki a pelyvát (42.b. ábra). · Aláhulló permetcseppek, eső sebessége is számítható a cseppek méretéből. Például porlasztva szárításnál cseppekre bontással növelik a párolgás felületét. · Répaszeletek felemelése történhet vízbe vezetett buborékokkal annak ellenére, hogy a felhajtóerő csökken.

42. ábra: Tányéros szeparátor (a), szelelő (b) A viszkozitás mérésének elterjedt, „Mérések” fejezetben ismertetett módszerei (43. ábra): · Ostwald-féle kapilláris viszkoziméter : vékony csőben való áramlás sebességéből · Höppler-féle esőgolyós viszkoziméter: ferde csőben süllyedő golyó sebességéből · Rotációs viszkoziméter: álló és forgó hengerfelületekre a szükséges forgatónyomatékból

43. ábra: Ostwald (a), Höppler (b), rotációs viszkoziméter (c)


- 34 -

7. Reológia alapmennyiségei, alapmodellek A mechanika klasszikus fejezetei ideálisan rugalmas testekkel, vagy ideálisan súrlódó folyadékokról írnak. Ideálisan rugalmas test deformációja, a rugótörvény szerint egyenesen arányos az okozó erőhatással ( F= D·x ). Ideálisan súrlódó folyadék rétegeinek sebességesése egyenesen arányos az érintő irányú súrlódási erővel ( F= η·A·v΄ ). A törést ezen egyszerű modellek nem írják le. A fizika törvényei ideális közegekről szólnak, holott ilyenek nem léteznek. A lineáris erőtörvények csak első közelítései két mennyiség kapcsolatának. A valóságos anyagok ráadásul egyszerre mutathatnak rugalmas (elasztikus), folyadék (viszkózus) és törési (plasztikus) tulajdonságot. Akár az acéldrót deformációját egyenletesen növelve, kezdetben rugalmas, reverzibilis viselkedést tapasztalunk, de az anyagra jellemző határ után az erőhatás csökken, a sebességgel lesz arányos, ami a folyás jellegzetessége, végül elszakad. Növényi szár húzó irányú vagy kenyérbél és tészta nyomó irányú deformálásakor hasonló viselkedést tapasztalunk. Húspép egyszerre mutat rugalmas és folyadék tulajdonságot. A sűrített paradicsom folyása vagy rézsű megcsúszása csak adott nyírófeszültség felett indul meg, ami plasztikus tulajdonságot jelent. A reológia deformálható szilárd testek, folyadékok összetett, nem-lineáris viselkedését írja le. Önálló területként a XX. században született meg Bingham és Green munkáival. Ipari alkalmazhatósága miatt kérdései egyaránt megjelennek a fizika, kémia, biológia, geológia, gyógyszerészet, metallográfia, kenéstechnika és számos egyéb ipari technológiai területen, ami fogalmait és módszertanát igen heterogénné teszi. Fejezetünkben a deformálható közeg mechanikai törvényekkel való leírásának alapjait mutatjuk be. Pascal törvénye szerint a súlytalan és nyugvó folyadékban vagy gázban a nyomás helytől és iránytól független skalár (homogén és izotróp a közeg). Általános (inhomogén és anizotróp) esetben a közeg deformációját okozó feszültség a helytől függő feszültség-tenzorral (3x3 mátrix) határozható meg. Adott pont, adott irányú felületére ható p feszültség-vektor, a felület n normálisának és a feszültséget leíró mátrix szorzataként számítható. p = T ×n Egy anyagkocka felületére ható, így kiszámolt feszültségvektor felbontható a felületre merőleges, azaz normális irányú nyomófeszültségre és érintő, azaz tangenciális irányú nyírófeszültségre. dF dF s = n nyomófeszültség t = t nyírófeszültség dA dA Hatásuk alapvetően különbözik. Nyomófeszültség hatására az anyagkocka x éle deformálódik (44. ábra), nyírófeszültség hatására pedig elnyíródik. A Δx deformációt az x eredeti hosszal osztva kapjuk a relatív deformációt, a nyírást pedig a nyírás szögével jellemezzük. Dx e= relatív deformáció g nyírás szöge x

44. ábra: Feszültség-vektor felbontása és deformáció leírása


- 35 -

Reológiai alapmodellek:

a.) Hooke-test A Hooke-test a rugalmas, azaz elasztikus viselkedést írja le. Ideálisan rugalmas közeg deformációja reverzibilis (az erőhatás megszűnte után visszaáll az eredeti állapot) és egyenesen arányos a feszültségtől. Nyomófeszültség hatására végbemenő relatív deformáció arányos a nyomófeszültséggel. Az arányossági tényező az E rugalmassági együttható (Young-modulus). s = E ×e A lokális, pontra alkalmazható egyenletből levezethető a globális, kiterjedt objektumot leíró rugótörvény (45.a. ábra). A lokális képlet mennyiségeit kifejtve, a rugóállandó és a Youngmodulus kapcsolata: x E×A F amelyre D= = E× è F = D×x x0 x0 A A lokális fizikai jellemzőkből (E Young-modulus, G torzió-modulus, μ Poisson-tényező) modellezéssel megjósolható egy kiterjedt test viselkedése, adott esetre a globális változók (erő és deformáció) kapcsolata. Adott geometriájú objektum globális változóinak kapcsolatát mérve, a rugó példájához hasonlóan lehet a közeg modelljéből következtetni a lokális jellemzőkre. A Young-modulus néhány jellemző értéke: acél 215 GPa, arany 80 GPa, fa hosszában 9–13 GPa, fa keresztirányban 0,1–0,4 GPa, alma 5-10 MPa. Növényi és állati szövetek, pl. termények rugalmassági együtthatója nagyon nagy mértékben változik faj, fajta, érési állapot, tárolási idő, stb. szerint. Nyírófeszültség hatására végbemenő nyírásszög egyenesen arányos a nyírófeszültséggel. Az arányossági tényező a G nyírási együttható (torzió-modulus). t = G ×g Az anyagkocka nyírására alkalmazható lokális egyenlet arányossági tényezőjét fémek esetén a fémből készült drótszál csavarásával mérik (45.b. ábra). Drótszál φ szöggel való csavarásához szükséges M forgatónyomaté


- 36 -

kot mérve kiszámítható az állandó. Innen nyerte nevét (torzió: csavarás). A torzió-modulus jellemző értékei: acél 81 GPa, arany 27 GPa, fa hosszában 10–16 GPa. A Hooke-test kapcsolási rajza egy rugót szimbolizál (45.c. ábra).

45. ábra: Rugó törvény (a). Torzió és nyírás mérése (b). Hooke-test jele (c).


- 37 -

Szilárd testek nyomófeszültség (húzás, összenyomás) hatására bekövetkező deformációját haránt irányú változás (összehúzódás, tágulás) is követi. Izotróp közeg egyirányú feszültségi állapotánál a εt keresztirányú és a εn hosszirányú alakváltozás viszonyát fejezi ki a μ Poisson-tényező. A jellemzővel kifejezhető egy deformált rúd átmérőjének változása és számítható a térfogat változása is:

m=-

et en

è

Dd Dl = -m × d0 l0

DV Dl = (1 - 2 × m ) V0 l0

A Poisson tényező általában 0 és 0,5 közé esik. μ=0,5 esetén a térfogat deformációkor nem változik. A felső határ a polimerekre vagy az élő szövetekre (például az emberi test izmaira, ereinek falára, stb.) jellemző. Érdekesség, hogy pirit-kristályokon mértek rendellenes, negatív haránt-kontrakciójú viselkedést (Voigt, 1880) és napjainkban, speciális szerkezetű, angolul „auxetic” habokon mértek már -0,7 Poison tényezőt is (Lakes, 1987). Néhány jellemző értéke: parafa 0,0, beton 0,2, acél 0,3, gumi 0,4-0,5. Homogén, izotróp közegben a Poisson tényezővel kifejezhető az E rugalmassági és G nyírási együtthatók viszonya (G értéke ez alapján E/3 és E/2 közé esik).

G=

E 2(1 + m )

Segítségével kifejezhető a negyedik rugalmassági jellemző, a szilárd és folyadék közegek többoldalú terheléssel való összenyomhatóságát jellemző κ kompresszibilitási együttható is.

DV = -k × p V0

amelyre

k =3

1- 2 × m E

Izotróp test rugalmas viselkedése tehát az összefüggések alapján két közegállandóval jellemezhető. A négy állandóból (E, G, μ, κ), kettő mérésével kifejezhető a többi. Általában E és G együtthatók közvetett mérése a legegyszerűbb. A rugalmas tulajdonságok sztatikus mérési módszerein túl dinamikai módszerek is használatosak, a melyek általában a rugalmas rezgéseken alapulnak, például E meghatározása rugó lengésidejének mérésével, G meghatározása torziós ingával, rugalmas együtthatók becslése a test sajátfrekvenciájának (modusainak) mérésével. Élelmiszerek, termények esetén sok esetben csak adott, bonyolult geometriájú objektum mérése lehetséges. A lokális, pontra jellemző anyagi jellemzőkből (E, G, μ, κ), terhelésből (σ, τ) és deformációból (ε, γ) modell segítségével lehet következtetni a kiterjedt objektumon mérhető globális jellemzőkre (F erő, Δx deformáció). Egyszerűbb geometriai testek vizsgálhatók analitikusan. Például homogén rugalmas gömbként modellezett alma vagy hengerként modellezett répa deformációjára alkalmazható a Hertz modell. Bonyolultabb geometriák, inhomogén alakzatok, akár nem-lineáris reológiai erőtörvények modellezésére javasolt módszer a számítógépes véges-elem modell. A modellben definiálható a test geometriája, majd a test megadott felosztású rácspontjainak közegállandói (E, G, μ, κ anyagi jellemzők közül kettő). Kérdés lehet, hogy adott gerjesztő hatás (külső erő) mellett hogyan deformálódik a test, vagy hogy adott deformáció mellett milyen feszültségek alakulnak ki. Véges-elem modellel a rugalmas jellemzők dinamikus mérése is támogatható. Minden rugalmas és tehetetlen közegnek vannak sajátfrekvenciái (modusai). A gitárhúrhoz hasonlóan, az objektumot gerjesztve főként ezeken a frekvenciákon jön rezgésbe. A frekvenciák végeselem modell alapján számíthatók a rugalmas jellemzőkből és a sűrűségből. A módszer tulajdonképpen közismert, hiszen kopogtatás alapján szokás kiválasztani piacon is a jó dinnyét. Az éretlen dinnye hangja magasabb, csengő, az éretté mélyebbé, tompán kongóvá válik. (A friss és érett dinnyének persze további jegyei is vannak: kocsány, sárguló, de nem elvékonyodó héj, hajnali páralecsapódás)

46. ábra: Statikus mérés precíziós penetrométerrel (a). Körte véges-elem modellje (b). Dinamikus mérés (c).


- 38 -

b.) Newton-test A Newton-test a folyadék, azaz viszkózus viselkedést írja le. Ideális (Newtoni) folyadékban a sebességesés egyenesen arányos a nyírófeszültséggel. Mivel a folyadékok belső súrlódása felemészti a rendszer mechanikai energiáját, a modell csillapító elemként értelmezhető. Nyírófeszültség hatására létrejövő sebességesés, a Newton-féle folyadéktörvénynek megfelelően, a modellre egyenesen arányos a feszültséggel. Az arányossági tényező az η dinamikai viszkozitás. t = h × v¢ Itt kell megemlíteni, hogy az egyenes arányosság, a folyadékok esetében is csak az első közelítés. Más modellek, mint például az általánosított Bingham test, pl. hatványfüggvénnyel (τ=η·v΄n) közelítenek. Nyomófeszültség hatására szintén tapasztalhatunk folyadék viselkedést. Termény felületére merőleges, állandó sebességgel haladó mérőcsúcs, a héjszerkezet áttörése után viszkózus közeggel találkozhat. Az erőhatás ebben az esetben a csúcs mellett elcsúszó folyadékrétegek sebességeséséből származik, ami arányos a mérőcsúcs sebességével, azaz a relatív deformáció sebességével is. s » t folyadék » v¢folyadék » vméröcsúcs » e& Az egyenes arányosság együtthatója arányos a közeg dinamikai viszkozitásával, ezért jele nyomófeszültség esetén is ugyanaz: s = h × e& A Newton-test kapcsolási rajza egy lengéscsillapítót szimbolizál (47.c. ábra).

47. ábra: Ideális folyadék (a). Mérőcsúcs körüli rétegek (b). Newton-test jele (c) A csillapító elem jellemző hétköznapi alkalmazása a gépjárművek kerékfelfüggesztésének lengéscsillapítása. Rúgóra függesztett testnek a D rugóállandó és m tömegből meghatározható sajátfrekvenciája van. Csillapítás nélküli testet ezzel a frekvenciával gerjesztve az amplitúdó végtelenhez tart. Ez az oka annak, hogy bár a katonák mindenütt egyszerre kell lépjenek, hídon nem menetelhetnek. A lengéscsillapító egy hengerben lazán mozgó dugattyú a kettő között viszkózus folyadékkal. A dugattyú nagy sebességű mozgásakor a viszkózus folyadék sebességesése is nagy, ezért a csillapító elemen nagyobb erő esik. Más megközelítés szerint a csillapító elem feladata az, hogy a folyadék belső súrlódása feleméssze a mechanikai energiát. Ezzel a bevitt energia és a súrlódás hányadosát alacsony értéken tartva meggátolja a kaotikus viselkedést. A gépjárművek lengéscsillapítóinak hatékonyságát úgy vizsgálják, hogy a vizsgált kereket próbapadra állítva növekvő frekvenciával gerjesztik azt. Csillapítás nélkül a kerék amplitúdója a sajátfrekvenciához közelítve végtelenhez tart, akár kiszakad. Hatékony csillapítás mellett a gerjesztés energiáját a lengéscsillapító felemészti, belső energiává alakítja.

48. ábra: Kerékfelfüggesztés (a). Amplitúdó csillapítás nélkül (b) és csillapítással (c)


- 39 -

c.) St. Venant-elem A St. Venant elem a képlékeny, azaz plasztikus viselkedést írja le. Plasztikus közeg bizonyos határfeszültség alatt nem deformálódik. A modell a határfeszültségig szilárdan tart, deformációja nulla, elszakadása után pedig nem vesz fel erőt, deformációja végtelen lehet. Növényi és állati szövetek esetében gyakori, hogy bizonyos változások, mint egyes szövetek roncsolódása, csak adott határfeszültség elérése után következik be. Nyomófeszültség esetén a plasztikus viselkedést egy határ-nyomófeszültség jellemzi. A bevezetőben említett terhelt acéldrót (vagy növényi szár) esetén is bizonyos határfeszültség után válik az elasztikus viselkedés viszkózussá, majd másik határ elérése után a drót elszakad. s <sh esetén a deformáció 0 Nyírófeszültség esetén a plasztikus folyadék rétegei akkor csúsznak el egymáson, ha a nyírófeszültség meghalad egy küszöbértéket. Hasonló jelenséget tapasztalunk a kinyomott fogkrém vagy ketchup esetében, amikor adott nyírófeszültség alatt, azaz bizonyos átmérőn belül a plasztikus folyadék rétegei nem csúsznak el egymáson, hanem dugóként azonos sebességgel haladnak.

t
esetén a sebességesés 0

A St. Venant elem mechanikai modellje nyugvó hasáb tapadási súrlódásával jellemezhető, kapcsolási rajza jegyzetünkben kettő között egy harmadik dörzspapírt jelöl (49.c. ábra).

49. ábra: Mohr-Coulomb elmélet (a) Ideális és plasztikus folyás (b). St. Venant test jele (c) Szilárd anyagok hasadásos vagy nyírásos jellegű törésére, plasztikus folyására különböző szilárdsági elméletek születtek. A legfontosabbak: Rankin; St. Venant; Bertrami; Hubert és Hencky; Coulomb, Mohr és Guest szilárdság elmélete. A Mohr-Coulomb feltétel alkalmazásaként a halomban tárolt alapanyagok természetes rézsűszögét határozzuk meg. A halom belső pontjában, a terhelő erők (pl. súlyerő) hatására ébredő σz függőleges és σx vízszintes un. főfeszültségekkel tart egyensúlyt a vizsgált csúszási lapon ható, kohézióból és súrlódásból származó σ nyomó és τ nyírófeszültség (49.a. ábra). Mohr modellje (1882) szerint a τ-σ síkon, minden főfeszültség-párhoz, a különböző α szögeket figyelembe véve szerkeszthető, egy a (σx,0) és (σz,0) pontokon átmenő, ((σx+σz)/2,0) középpontú feszültségi kör, amelyen belül lévő nyíró és nyomófeszültségek esetén a nyugalom, törés nélkül fenntartható. A Mohr-féle körök τ(σ) burkoló görbéje alatti pontokban lehet a közeg egyensúlyát megtartani. A határgörbére Coulomb korábbi (1773), lineáris modelljét alkalmazva, a határ-nyírófeszültség lineáris függvénye a nyomófeszültségnek. Az egyenes tengelymetszete a τ0 kohézió, meredeksége, a φ belső súrlódási szög határozza meg a természetes lejtőszöget. A lineáris összefüggés nyíródoboz segítségével mérhető.

t h (s ) = tgj × s + t 0 Példa: Számoljuk ki a csőben áramló plasztikus közegre az azonos sebességgel haladó dugó sugarát (49.b. ábra). A nyíróerő sugártól való függését, az r sugarú l hosszú folyadékhengerre ható erők egyensúlyából számíthatjuk:

2rp × l ×t = r 2p × Dp

t (r ) =

è

Dp × r 2l

A dugóra a nyírófeszültség kisebb, mint a határ-nyírófeszültség, így az eredmény:

t (r ) < t h


r<

ha

- 40 -

2l ×t h Dp

8. Viszkoelasztikus reológiai modellek (differenciálegyenlet) Az előző fejezetben ismertetett alapmodelleken kívül vannak más, pl. nem-lineárisan rugalmas, -folyadék viselkedést leíró alapmodellek is. A reológia ezen alapmodellek soros és párhuzamos kapcsolásával írja le a valóságos anyagok összetett mechanikai viselkedését. Soros kapcsolás esetén, a kifeszített kötélhez hasonlóan: · az erőhatás (feszültség is) minden elemen ugyanakkora · az elemek deformációi (relatív deformáció is) összeadódnak

s1 = s 2 = s e = e1 + e 2

Párhuzamos kapcsolás esetén, az expanderhez hasonlóan: · az egyes elemeken eső erőhatások összeadódnak · az elemek deformációi pedig ugyanakkorák lesznek

s = s1 + s 2 e1 = e 2 = e

A mintaként ábrázolt Prandtl-test esetében például, a sorba kötött St. Venant és Hooke-test, a határfeszültség eléréséig rugalmasan viselkedik, majd a plasztikus elem elszakad. A modellel egy száraz növényi szár viselkedését írhatjuk le (50. ábra). s = E ×e ha s <sh s =0 ha s ³sh

50. ábra: Prandtl-test A.) A viszkoelasztikus modellek egyike a Maxwell-test. Sorba kötött Newton és Hooke testekből áll (51. ábra). A soros kapcsolásra a deformációk összegeződnek, az erőhatás pedig mindkét elemen azonos.

e = eN +eH

sN =sH =s

A Newton és Hooke erőtörvényeket a relatív deformáció idő szerinti deriváltjának egyenletébe behelyettesítve nyerjük a modell differenciál-egyenletét:

s = h × e&N

s = E ×eH

è

e& = e&N + e&H =

s s& + h E

A továbbiakban minden összefüggést csak a nyomófeszültségre írunk fel, de természetesen hasonló egyenletek nyerhetők nyírófeszültség esetére is.

g =gN +gH

tN =tH =t

t = h × v¢N

t = G ×g H

è

v¢ =

t t& + h G

A fenti differenciálegyenlet megoldását ismert peremfeltételek mellett keressük. Általában vagy a relatív deformáció ismeretében keressük a feszültség időtől való függését, vagy az adott gerjesztő erő hatására létrejövő deformációt akarjuk kiszámolni. Fejezetünkben két speciális esetet vizsgálunk meg: az állandó feszültség és az állandó deformáció esetét.

e&(t ) =

s (t ) s& (t ) + h E

51. ábra: Maxwell-test


- 41 -

A differenciálegyenlet megoldása egy függvény. Általában az egyenlet összefüggést ad meg egy függvény deriváltjára, a függvényre és a független változókra. Egyváltozós skalár függvények esetén, ha a derivált kifejezhető:

f ¢( x) = g ( f ( x), x)

A differenciálegyenlet megoldása az integráláshoz hasonlóan nem egyértelmű. Azt feltételezve, hogy a függvény értéke x helyen valamilyen y, különböző megoldásokhoz juthatunk.

f ( x) := y

Bármely y feltételezéssel, a g függvénnyel meghatározható az f deriváltja, azaz meredeksége, amivel balra és jobbra is folytatható a függvény megrajzolása (52. ábra). A meredekségre vonatkozó összefüggés vonalzóként mutatja meg a függvény folytatását. A differenciálegyenlet megoldása így egy egymást nem metsző görbe-sereg.

52. ábra: Differenciál egyenlet megoldásának grafikus szemléltetése Determinisztikus dinamikus rendszerek viselkedését, Newton tárgyalásmódja óta differenciálegyenletekkel határozzuk meg. Differenciálegyenlet írja le a szabadon eső test-, a rugóra függesztett tömeg, a matematikai inga mozgását, a Maxwell modell feszültség-relaxációját vagy a hőmérséklet eloszlását és annak változását. Szabadesés: Rugó, inga: Feszültség-relaxáció: Hővezetés:

&s& = - g

mo:

1 2 gt + v0t + s0 2 x (t ) = A × sin(wt + j )

mo:

s (t ) = s 0 × e - c×t

mo:

&x& = -c × x s& = -c × s

s (t ) = -

l T& ( x, t ) = × T ¢¢( x, t ) r ×c

i.) Állandó terhelő erő hatására a modellben a Hooke test deformációja arányos az erőhatással, a Newton test deformációja pedig állandó sebességgel megy végbe. A deformáció időfüggvénye tehát a mechanikai analógia alapján lineáris. A Newton test deformációja irreverzibilis. Ugyanerre az eredményre jutunk a modell differenciálegyenletének megoldásával is. Állandó feszültség σ0 esetén a feszültség deriváltja nulla és így a deformáció deriváltja állandó lesz:

e& (t ) =

s (t ) s& (t ) + h E

s& (t ) = 0

s (t ) = s 0

è

e&(t ) =

s0 h

Ennek megoldása ε(t)-re, egyszerű integrálás alapján, a lineáris függvény, ahol a kezdeti deformáció a Hooke-törvényből számítható (53. ábra).

e (t ) =

s0 × t + e0 h

amelyre

e0 =

s0 E

53. ábra: Maxwell modell feszültsége és deformációja állandó terhelésnél


- 42 -

ii.) Állandó deformáció hatására a modellben először a Hooke-test (rugó) deformálódik és ez határozza meg a kialakuló kezdeti feszültséget. A rugó feszültsége idővel deformálja a Newton-testet (lengéscsillapítót). A lengéscsillapító mozgásával viszont a rugóra eső deformáció csökken, ezzel együtt a feszültség is. A csökkenő, nullához tartó feszültség mellett a lengéscsillapító sebessége is egyre kisebb lesz. Ugyanerre az eredményre jutunk a differenciálegyenlet megoldásával is. Állandó deformáció mellett annak idő szerinti deriváltja nulla, így a feszültség deriváltjára: E s (t ) s& (t ) e (t ) = e 0 e&(t ) = 0 s& (t ) = - × s (t ) è + e& (t ) = h h E A differenciálegyenlet megoldása, az integráláshoz hasonlóan, általában heurisztikus. A fenti egyenletnél keressük azt a σ(t) függvényt, aminek deriváltja konstans szorozva önmaga. A fenti un. homogén lineáris egyenlet (a derivált lineárisan függ a függvénytől és homogén, mert nincs konstans a lineáris függvényben) megoldását deriválással ellenőrizhetjük: E - t h

E

- t E E ellenőrzés: s (t ) = s 0 × e s& (t ) = - × s 0 × e h = - × s (t ) h h Az exponenciálisan lecsengő feszültség kezdeti értékét a rugalmas Hooke-test határozza meg: s 0 = E ×e0 A nullához-tartás sebességét, pontosabban lomhaságát írja le a τ relaxációs idő. A kezdeti σ0 feszültség ennyi idő alatt csökken e-ed részére (σ(τ) =σ0/e). Így a feszültségre:

s (t ) = s 0 × e

-

t t

amelyre

s 0 = E ×e0

és

t=

h E

54. ábra: Maxwell modell deformációja és feszültsége állandó deformációnál Ez a "viszkoelasztikus" modell tehát olyan közegekre alkalmazható, amelyek deformációja irreverzibilis és a terhelés lineáris függvénye, állandó deformáció alatt pedig feszültsége a nullához tart, kilágyul ("feszültség-relaxáció"). Ilyen viselkedésű például a húspép. B.) Egy másik viszkoelasztikus modell, a Kelvin-test (más néven Voigt-elem) párhuzamosan kötött Newton és Hooke testekből áll (55. ábra). A párhuzamos kapcsolásra az erőhatások összegeződnek, a deformáció pedig mindkét elemen azonos. eN = eH = e s = s N +s H A Newton és Hooke erőtörvényeket a feszültség egyenletébe behelyettesítve nyerjük a modell differenciál-egyenletét:

s N = h × e&

s = h × e& + E × e è Az egyenlet megoldását erre a modellre is két alapvető esetre keressük, állandó deformációra és állandó feszültségre. s H = E ×e

s (t ) = h × e& (t ) + E × e (t )


- 43 -

55. ábra: Kelvin-test i.) Állandó deformáció hatására a modell nem csinál semmit. A deformált rugó feszültsége nem változik és mozgás hiányában a lengéscsillapítón nem esik feszültség. A differenciálegyenlet megoldása is ezt mutatja. Állandó deformáció mellett annak idő szerinti deriváltja nulla, így a feszültség állandó, a Hooke-törvényből számítható: s (t ) = h × e& (t ) + E × e (t ) e (t ) = e 0 e&(t ) = 0 è s (t ) = E × e 0

54. ábra: Kelvin modell deformációja és feszültsége állandó deformációnál ii.) Állandó terhelő erő hatására a modell deformációjának sebességét kezdetben a súrlódó Newton-elem határozza meg. Deformálódás után a rugalmas Hooke-test a deformációval arányos feszültséget vesz fel, ezért a Newton elemre egyre kevesebb feszültség marad. Így a deformáció növekedésének sebessége egyre kisebb lesz, a modell egyre lassabban tart a rugótörvény által meghatározott maximális deformációhoz. A differenciálegyenlet az állandó feszültséget behelyettesítve: s (t ) = h × e& (t ) + E × e (t ) s (t ) = s 0 s& (t ) = 0 è s 0 = h × e&(t ) + E × e (t ) Kifejezve a relatív deformáció deriváltját egy lineáris, de nem homogén differenciálegyenletet kapunk:

e&(t ) = -

E s × e (t ) + 0 h h

A szorzó tényező kiemelésével és új változó bevezetésével a konstans tag eltüntethető, azaz az egyenlet homogénné tehető. Az εd(t) új változó ebben az esetben a relatív deformáció távolsága egy konstans értéktől.

s E × (e (t ) - 0 ) h E s e d (t ) := e (t ) - 0 E E e&d (t ) = - × e d (t ) h e&(t ) = -

e&d (t ) = e&(t ) - 0

A behelyettesítés után nyert homogén lineáris egyenlet megoldása a Maxwell modellnél megismerthez hasonló. A kezdőértéket εd(t) definíciója és ε(0) kezdeti értéke határozza meg.

e d (t ) = e d 0 × e


E - t h

amelyre

e d 0 = e (0) -

- 44 -

s0 s =- 0 E E

A relatív deformáció ezután εd(t) definíciója alapján kapjuk. E

E

- t - t s s s e (t ) = - 0 × e h + 0 = 0 × (1 - e h ) E E E

Az exponenciális, ún. telítési görbe lomhaságát, tehetetlenségét fejezi ki a kitevőben lévő konstans szorzó reciproka, a τ retardációs (relaxációs) idő. A függvény szorzó tényezője pedig a függvény határértéke, azaz szupremuma. A modellre ez a εsup tényező a Hooketörvényből következik. A jelenséget hívják késleltetett elaszticitásnak. Így a relatív deformációra: t t

e (t ) = e sup (1 - e )

e sup =

amelyre

s0 E

és

t=

h E

A deformáció kezdeti sebességét a derivált alapján a viszkozitás határozza meg:

e&(0) =

s0 h

55. ábra: Kelvin modell feszültsége és deformációja állandó terhelésnél (telítési görbe) A Kelvin modell előfordul a gépészetben, műszaki gyakorlatban is. Rugalmas szerkezet mechanikai rezgéseit (rezonancia) szokás lengéscsillapítóval csillapítani. Néhány alkalmazás: autók kerékfelfüggesztése, földrengésbiztos házak alátámasztása, felhőkarcolók lengésének csillapítása, rugalmas hídszerkezeteken a súrlódó elemek (pl. fapallók) szerepe. A Tacoma híd végzetét például tökéletes, rugalmas szerkezete okozta. Alig 68 km/órás szél gerjesztette a csillapítás nélküli (tehát kaotikus) rendszert.

56. ábra: Lengéscsillapító mérése (a). Híd csillapítás nélkül (b). Telítési görbe meghatározása (c). A méréstechnikában gyakoriak a fentihez hasonló telítési görbék. Hasonló homogén lineáris differenciálegyenlethez jutunk, ha lineáris az erőtörvény és az esemény hatással van az őt kiváltó erőre (f΄(t)=c·f(t)+a). Amennyiben a hatás ellenkező irányú, a c szorzó negatív, akkor negatív visszacsatolásról beszélünk. Példái: · Kelvin test deformálásával a viszkózus elemre eső erő egyre kisebb, így a deformáció sebessége csökken. · Petri-csészében a baktériumok, gombák élettere a szaporodással csökken, így a szaporodás üteme is. · Hőmérő hőmérsékletének változásával csökken a hőmérséklet különbség és így a változás sebessége is. Az ilyen egyenlet megoldása az exponenciális, un. telítési (szaturációs) görbe. A függvénytípusnak általánosan három paramétere van: f0 kezdeti érték, az fm szupremum és a τ időállandó. Feladat, legalább három mérés alapján meghatározni a szupremumot, azaz a határértéket. Ennek analitikus megoldása nincs, ugyanis a három méréssel (f0, f1(t1), f2(t2)) transzcendens egyenletrendszerhez jutunk, azaz fm nem fejezhető ki. -

t1

f1 = ( f m - f 0 ) × (1 - e t ) + f 0


-

t2

f 2 = ( f m - f 0 ) × (1 - e t ) + f 0

- 45 -

Ilyen esetben iterációs, közelítő algoritmussal számíthatjuk az akár több mérési adatot legjobban közelítő paramétereket. Az iterációs (ciklikus) algoritmus fm és τ értékét minden lépésben úgy változtatja, hogy a mérési adatokat jobban közelítse a függvény. A legkisebb négyzetek módszere például az adatok függvénytől való távolságának négyzet-összegét minimálja. Hasonló iterációs algoritmus akár egy táblázatkezelő szoftverben implementálható. Az iparban szabályozásra alkalmazott un. PID algoritmus (proportional–integral–derivative) erősítése a változtatás sebességét befolyásolja, integráló tagja az egyensúly körüli oszcilláció offset-jét csökkenti, végül deriváló tagja a kiugró értékeket, zajokat nyomja el. Az integráló tag gyakorlatilag a mért jelre illeszthető telítési görbe szupremumát becsüli és így csökkenti az ingadozás amplitúdóját.

57. ábra: Általánosított Maxwell és Kelvin testek Viszkoelasztikus közeg nem-lineáris viselkedése hatékonyabban közelíthető általánosított Maxwell modellel (párhuzamosan kapcsolt Maxwell-testekkel), vagy általánosított Kelvin modellel (sorba kapcsolt Kelvin-testekkel) (58.a. ábra). Az ilyen modellek relaxációs idejét az egyes elemek paramétereiből számítják, végtelen számú elem esetén pedig un. relaxációs függvényt értelmeznek. A Kelvin és Newton elemek sorba kapcsolásával nyert, un. Lethersich modell (58.a. ábra) az "elasztikus szólok" (karácsonyi kocsonya) összetett viselkedését modellezik, amelyekre jellemző a késleltetett elaszticitás és a visszamaradó deformáció. A Maxwell és Newton elemek párhuzamos kapcsolásával nyert un. Jeffreys-féle modell pedig az un. "relaxáló gélek" (tortazselé) reológiai magatartását írja le (58.b. ábra).

58. ábra: Lethersich-elem, kocsonya (a). Jeffreys-modell, tortazselé (b) A valódi közegek viselkedése még egyedibb lehet. Egyes polimer vagy organikus közegeknél például a késleltetett elaszticitás (58.b. ábra), a terhelés kezdetekor vagy megszűnésekor, nagy meredekségű, un. „üvegállapotú” ugrással kezdődhet. A valódi közegek, statikus vizsgálatuk során, állandó terhelés mellett a J(t)=ε(t)/σ0 érzékenység (lágyság), vagy állandó deformáció mellett a μ(t)=σ(t)/ε0 relaxációs modulus mérésével jellemezhetők. Dinamikus terheléskor, az erő és deformáció között a μa(ω) abszolút relaxációs modulus és a φ fáziseltolás (avagy tg(φ) veszteségi tangens) mérhető. A deformációt fázisban lévő és π/2-vel eltolt komponensekre bontva, számítható az un. tárolási relaxációs modulus, utóbbiból pedig a veszteségi relaxációs modulus. Az RC áramkörökhöz hasonlóan függnek a terhelés ω körfrekvenciájától. Ezen függvényekkel is jellemezhető a közeg.


- 46 -

9. Egyéb összetett modellek, reometria A. Nem-newtoni viszkozitás Számos olyan közeg létezik, amelyek deformációja viszonylag kis sebességesés mellett viszkózus jellegű, de nem ideálisan newtoni. Ezen közegeket összenyomhatatlannak (nem elasztikusnak) tekintve, a τ nyírófeszültség és a D=dv/dx sebesség-gradiens között a következő tipikus folyásgörbék tapasztalhatók:

59. ábra: Tipikus folyásgörbék kis deformációs sebességekre i.) Lineáris folyásgörbék (1. sor) már ismert példája a newtoni viszkozitás (a). A második oszlop a plasztikus viselkedést (τh határnyírófeszültség) mutatja, amelynek lineáris esete a Bingham modell (b). A harmadik oszlopban bemutatott rendkívüli viselkedést, miszerint erőhatás nélkül is létrejön folyás, valamely „elasztikus utóhatás”, azaz meglévő belső feszültségek okozhatják (c). A plasztikus és utóhatás jellegek a nem-lineáris modelleken is megfigyelhetők. A Bingham-test az alapmodellekkel is felrajzolható (60. ábra). Adott határ-nyírófeszültségig elasztikusan viselkedik (Hooke), felette viszkózusan, lineáris összefüggéssel (Maxwell).

t = h × v¢ + t h

ha

t ³th

60. ábra: Bingham-modell ii.) Szerkezeti viszkozitás (2. sor): A nem-Newtoni folyadékok többsége esetén, a sebességgradiens növekedésével a látszólagos viszkozitás (η=τ/D) csökken, a sebesség-gradiens négyzet-szerű függvénye a feszültségnek. Szuszpenziók, pl. joghurt, festékek, vér esetén a jelenséget a nem gömbalakú szilárd részecskék orientációja magyarázhatja. A szerkezeti viszkozitás is párosulhat a plasztikus és utóhatás jellegű folyással. Az általánosított Bingham-test a szerkezeti viszkozitás és a plasztikus deformáció egyidejű jelentkezését írja le („pszeudoplasztikus viselkedés”). Egyes gél jellegű, makromolekuláris rendszerek viselkednek hasonlóan. A modell egyenletében, a felcserélt változók miatt, a kitevő 1-nél kisebb (n<1).

t = h × (v¢)n + t h Firtha – Fizika I.

ha

t ³th - 47 -

iii.) Dilatancia (3. sor): Egyes közegek folyásakor, a nyírófeszültség növekedésével, a sebességgradiens a lineárisnál kevésbé (gyök-szerűen) nő, azaz a látszólagos viszkozitás nő. Ritka példái: polivinil-klorid paszták, szilikonok, nagyon nagy koncentrációjú szuszpenziók. Az általánosított Bingham-test egyenletében, a felcserélt változók miatt, a kitevő 1-nél nagyobb (n>1). A diszperz (heterogén, többfázisú) rendszerek igen gyakoriak környezetünkben. A kolloid diszperziók azok, amelyekben a diszperz fázis részecskéinek mérete 1 - 500 nm, fénymikroszkóppal nem láthatók. Hagyományos kategóriái és példái attól függően, hogy milyen fázisú összefüggő-, diszperziós közegben oszlik el egyenletesen valamely diszperz fázis: közeg: \ fázis: gáz folyadék szilárd gáz (aeroszol) Aeroszol: köd Aeroszol: füst folyadék (lioszol, Hab: tojásfehérje-, Emulzió: tej, vaj, tojássárgája, Szuszpenzió: gyümölcslé, liogél) tejszín-, sör-hab margarin, majonéz, joghurt, kefír zöldséglé, bor, fondant, csoki szilárd (xeroszol, Sz.hab: selyemcukor, Sz.emulzió: sajt(1), aszpik(2), Zárvány: instant kakaópor xerogél) törökméz, sült tészták zselé(3), puding(4), tészta teljes kiőrlésű liszt, csoki Egyes rendszerek besorolása nem egyértelmű, függ koncentrációtól, technológiai folyamat stádiumától (pl. főtt tojás), hőmérséklettől, adalékoktól. Attól függően, hogy a közeg inkább folyadék vagy szilárd jelleget mutat, különböztetünk meg „szol”-t és „gél”t. Ismertebb fehérje- és szénhidrát alapú gélképzők: kazein(1), zselatin(2), szójafehérjék; pektin, agar-agar(3), karragenátok, keményítő(4), guargumi. Egyes zselésítők (pl. pektin, agar) emulgeáló, sűrítő, stabilizáló hatásúak is. A kolloidokat jellemző szerkezeti viszkozitás modellezésére számos elmélet született. A diszperz közegek folyásával elsőként foglalkozó Einstein idealizált modellje csak szuszpenziók és kis koncentrációk esetén írja le a viselkedést, ráadásul független a hőmérséklettől, a részecskék méretétől és nem írja le a szerkezeti viszkozitás jelenségét (a nem-linearitást). Újabb modellek, a részecskék folyásra kifejtett hatásával (az orientálódás sebességgel csökkenő-, a Brown-féle mozgás pedig növekvő viszkozitást eredményez) és a diszperziós közegre kifejtett megkötő hatásával (szolvatáció) magyarázza a szerkezeti viszkozitást és annak hőmérséklettől való függését. A korpuszkuláris értelmezésen túl, a szerkezeti viszkozitást, az Ostwald-féle görbe (62.a. ábra), a Hagen-Poiseuille törvényből Bingham által bevezetett konzisztencia-változókkal,

IV =

p 1 Dp 4 ×r × × 8 h l

è

4 × IV 3

r ×p

×h =

1 Dp r 2 l

y ×h = x

amelyre

y=

4 × IV 3

r ×p

és

x=

1 Dp r 2 l

empirikus modellek pedig hatványfüggvényekkel, hatványsorokkal írják le (Farrow, Love, de Waele, Williamson, Kraemer, Phillipoff, Reiner, Ree, Eyring).

62. ábra: Ostwald-féle görbe (a). Tixotrópia hiszterézishurok, különböző időkre, kül. maximumokra (b) Tixotrópia: a közeg állandó terhelés hatására, az idővel arányosan, aránylag kis munkabefektetéssel „elfolyósodik”, viszkozitása csökken, majd tehermentesített, nyugalmi állapotban visszanyeri eredeti konzisztenciáját. Általában olyan rendszernél jelentkezik, amelynél az 1 – 103 nm nagyságrendű szilárd részecskék viszonylag vastag folyadék-réteget tartanak meg felületükön. Egyes liofil szolok esetén a kolloid struktúra (gélszerkezet) nyírással való lerombolása után regenerálódni képes. Példái a keményítőcsiriz, a zselatinoldat, méz vagy a vizes homokpart, agyag, vörösiszap. Viszkoziméterrel mérhető az un. hiszterézishurok különböző nyírási időkre és feszültség maximumokra (62.b. ábra). Reopexia: a tixotrópiával ellentétes jelenség, amikor a közeg mechanikai igénybevétel alatt „keményedik”, majd tehermentesítés után konzisztenciája az eredeti állapotra csökken. A viselkedésre, a tixotrópiára levezetett összefüggések alkalmazhatók, de korpuszkuláris értelmezése más, egyes kutatók szerint a szerkezeti viszkozitás speciális esete. Pl: olajos kukorica-keményítő diszperzió.

61. ábra: Kolloid rendszerek példái: tejszínhab (a), majonéz (b), zselé (c) Firtha – Fizika I.

- 48 -

B. Biológiai rendszerek reológiai tulajdonságai A biológiai rendszerek reológiai viselkedése, az inhomogenitás, fajonként eltérő struktúra, a szövetek eltérő tulajdonságai, a sejtek ozmotikus-, kémiai-, biológiai és egyéb hatásai miatt rendkívül összetett. Élő szervezetben akár az egyszerűbb rendszerek, pl. a vér, mint viszkoelasztikus kolloid diszperzió reológiai tulajdonságai is sok körülménytől függenek. A plazma viszkozitása, a vértérfogat felét kitevő vörösvértestek deformációja, nyíróerő hatására történő dezaggregációja (rétegekre bontás) függ az ionkoncentrációtól, cukor-, megfőzött állati proteinek-, homogénezett tej- (enzimhatásra kazein beépülés), többszörösen telítetlen, hidrogénezett olajok fogyasztásától, más szóval mindentől. A 62. ábrán a sejtek (d=7–8 μm, h=2–3 μm, 5 millió/mm3) nyugalmi állapotú aggregációja (halmozódása) és növekvő sebességesésnél a +viszkozitás dezaggregáció okozta csökkenése látható (vízre η=1centiPoise=1mPa·s). Az elaszticitás normális működés esetén a véráram sebességével enyhén csökken. Ugyanakkor pusztán a vérsejtek deformálhatóságának csökkenése, a hajszálerek miatt magas vérnyomást okoz. A vér reológiai jellemzőinek változása sok betegség következménye és oka.

62. ábra: Vörös vértestek (a). Aggregáció, dezaggregáció (b) Termények szilárdsági paraméterei a minőség (faj, fajta, érettség, szállíthatóság, eltarthatóság) fontos jellemzői. A terményt adott átmérőjű mérőtüskével (Mohsenin után 6mm), állandó sebességgel deformálva penetrométerrel mérik a deformációhoz szükséges erőt. A különböző fajok különböző viselkedése a lokális közegállandókon túl eltérő szerkezetükből is adódik. Egy érett görögdinnye például egy merev, rugalmas falú, folyadékkal teli gömbként modellezhető. Az érett paradicsom reológiai szempontból inkább hasonlít folyadékkal teli tömlőhöz, gumilabdához. Az illusztráció szerint a szilva, cseresznye, meggy a roncsolódásig közel ideálisan rugalmas volt (63. ábra). Ugyanakkor az érett alma és egres görbéjén megfigyelhető jelenség, hogy a reverzibilis, ideálisan rugalmas szakasz után a feszültség csökken, majd tovább nő, amíg a sejtszerkezet roncsolódik. Az első szakasz végét bio-folyáshatárnak (B) hívjuk. Itt a termény sérülése alig látható, bár tárolás során a termény részleges romlásához vezet, mivel a héjszerkezet sérült. A roncsoláshatárnál (R) a terményhéj és a –hús bereped vagy teljesen átszakad. Mindkét szakaszon lineárisan szokás közelíteni. A jellemzők fajtán belül is függnek érettségtől, egyedtől, oldaltól, mindentől. 0..B:

σ=EB·ε

EB =

ha σ < σ B

sB eB

B..R: σ=ER·ε+ σ0

ha σ B< σ < σ R

s R -s B eR -eB s 0 = s R - ER × e R ER =

63. ábra: Bio-folyáshatár, roncsoláshatár (a), lineáris közelítés (b) Firtha – Fizika I.

- 49 -

C. Reometria Viszkozitás mérése A kapilláris viszkoziméterek körülményei definiálhatók a legpontosabban, a gyakorlatban használt viszkoziméterek közül. Newtoni rendszerek esetén a Hagen-Poiseuille törvény alapján számítható a viszkozitás, feltételezve a következőket: · az áramlás lamináris (Re nagyságrendekkel legyen kisebb, mint 2320), · súrlódás okozta hőveszteség elhanyagolható (nem-newtoni rendszerek esetén lehet jelentős) · a veszteségi nyomás a helyzeti és kinematikai energiákból számítható (Hagenbachkorrekció) · a cső végtelen hosszú (Couette korrekció), · kellően egyenletes átmérőjű (nehezen korrigálható), · fal mentén a folyadék-sebesség nulla (newtoni folyadékra igen, de pl. fáziskolloidoknál, liogéleknél nem teljesül). További fontosabb hibaforrások: hőmérséklet, felületi feszültség, gravitációs állandó. A newtoni rendszerekre használt abszolút vagy relatív (pl. Ostwald) mérési módszerek mellett, a szerkezeti viszkozitású rendszerek vizsgálatára speciális viszkozimétereket alkalmaznak. Ezen méréselrendezésekre néhány példa: · Tsuda-viszkoziméter: szabályozható a nyíróerő · Umstätter-féle szerkezeti viszkoziméter: nagyobb nyírófeszültségek hatása is mérhető · Bingham és Murray plasztométere: széles körűen alkalmazott · Arveson viszkoziméter: plasztikus és pszeudoplasztikus rendszerekre nagy nyomáson · Kuss viszkozimétere: igen nagy nyomásra (cseppfolyósított gázokra 2000 atmoszféráig) Az iparban számos empirikus kapilláris viszkoziméter is elterjedt a különböző speciális alkalmazásokra (Engler, Redwood, Saybolt, Koch és Freiwald), amelyek pontossága és összehasonlíthatósága csak a szakterület igényeit elégíti ki. Az esősúlyos viszkoziméterek működési elve newtoni közegekre a Stokes törvényen alapul. Ennek megfelelően feltételei: · a golyó mozgása lassú (Re<0,05 kell teljesüljön) · a folyadék végtelen kiterjedésű (fal hatásának korrekciója pl. Faxén egyenletével) · a folyadék tökéletesen homogén (newtoni közegre feltételezhető) · a gömb merev (feltételezhető) · a sebesség egyenletes (kezdeti gyorsulás hosszabb bevezető szakasszal kiküszöbölhető) · a folyadék nedvesíti a golyót, nincs csúszás (newtoni közegnél teljesül, nem teljesül egyes kolloidoknál, liogéleknél, ahol a kis viszkozitású komponens kiválása csúszást okozhat) A newtoni közegek mérésére alkalmazott viszkoziméterek néhány példája: Gibson-féle, Höppler-féle (kényszermozgásos, 80˚), Heinz-féle, Kotjakov-féle (nagynyomású), Fritz és Weber féle (3000 atmoszféráig), Kiesskalt-féle, végül a gázbuborékos Cardener-Holdt és Cochius viszkoziméterek. Szerkezeti viszkozitású rendszerek vizsgálatára elterjedt a Höppler-féle konzisztométer, amelynek lényege, hogy a vizsgált anyagon áthaladó esősúlyt, hozzá rögzített vezetőrúdon keresztül változtatható mértékben terhelhetjük. A berendezéssel mérhető a viszkozitás, szerkezeti viszkozitás, plaszticitás, folyási határ, reopexia, tixotrópia és dilatancia. Kisebb szerkezeti viszkozitású közegek vizsgálatára alkalmas műszer a Höppler-féle reoviszkoziméter és a Williams-féle párhuzamos-lemezes plasztométer.


- 50 -

A rotációs viszkoziméterek esetén koncentrikus henger felületek között helyezkedik el a közeg. A belső henger forgatásával, az adott szögsebességhez szükséges forgatónyomatékot mérjük. Hibatényezői hasonlítanak az eddig tárgyalt típusokéhoz: · Turbulencia (Taylor-áramlás gyűrűs örvényeinek kiküszöbölése, Re<2000) · Véghatás (nem végtelen a henger) · Excentricitás · Súrlódási hődisszipációból származó hiba Alapvető fajtái és néhány példa: · Hengeres : Couette, Merrill, Marschalkó, Searle, Brookfield, Contraves, Umstätter, … · Kúpos : Mooney és Ewart (kiküszöbölik a véghatást), Umstätter, Finke és Heinz, … Az oszcillációs viszkoziméterek esetén viszkózus közegben működő inga amplitúdójának csökkenéséből becsülhető a viszkozitás. A Philippoff-féle viszkoziméterben például csengőreduktor generálja a közegbe merülő tű rezgéseit és az amplitúdóból és a felvett teljesítményből számítjuk a viszkozitást. A Smith-féle rezgő-viszkoziméter működési elve hasonló. Egy hangszóró-mágnes generálja a rezgéseket. A módszer legújabb generációja, az ultrahang-viszkoziméter. Egy elterjedt márkánál a gerjesztő frekvencia 28 kHz, a közegben ébredő longitudinális rezgések nagyságrendje 1 μm, méréstartománya 0-5·104 cP. Rugalmas és viszkoelasztikus rendszereket vizsgálnak még húzó-, nyomó-, nyíró-, csavaró-, hajlító terheléssel. Mindegyik terhelési formának számos vizsgálati módszere született, speciális terhelési fajtára vagy területre, speciális módszerek. Például anyagok fáradását vizsgáló berendezések, vagy termények vizsgálatára a penetrométerek (utóbbiból saját, tanszéki fejlesztés is született: A. Fekete és J. Felföldi számítógépes kézi penetrométere). Példa: Számítsuk ki általánosított Bingham közeg áramlására a sebességeloszlást. A St. Venant elemnél ismertetett példában (7. fejezet vége) már kiszámoltuk egy plasztikus közeg csőben való lamináris áramlására, az r sugarú hengerre ható erők egyensúlyából, hogy τ nyírófeszültség a sugárral lineárisan nő és ebből az azonos sebességgel haladó dugó rh sugarát.

t × 2rp × l = Dp × r 2p

è

t=

Dp ×r 2l

è

rh =

2l × t h Dp

Az általánosított Bingham-test egyenletéből a sebességesés így kifejezhető a sugarak segítségével:

t = h × (v¢) n + t h

è

1

1

1

dv t - t h n Dp n =( ) =( ) × (r - rh ) n dr h 2lh

Figyelembe véve, hogy a sebesség a sugár szerint csökken, a derivált negatív. A kifejezést r := r - r új változó d h bevezetésével célszerű integrálni. 1

R

1

Dp n v(r ) = - ò ( ) × ( r - rh ) n × dr 2 l h rh

è

1

v( rd ) = -(

1

1

Dp n Dp n n ) × ò (rd ) n × dr = -( ) × ( rd ) 2lh 2lh n +1

n +1 n

+c

Az új változó visszahelyettesítése után, a c konstans értéke abból számítható, hogy a sebesség a cső falánál nulla: n +1

1

n +1

Dp n n v(r ) = ( ) × × (( R - rh ) n - ( r - rh ) n ) 2lh n +1 Az azonos sebességgel haladó dugó sebessége pedig: 1

r > rh

ha

n +1

állandó, ha Dp n n r £ rh v( r ) = v( rh ) = ( ) × × ( R - rh ) n 2lh n +1 Megjegyzendő, hogy az eredmény Newton-féle folyadékra visszaadja a Hagen-Poiseuille sebességeloszlását: Dp è n = 1 és th = 0 v( r ) = × (R 2 - r 2 ) 4lh A térfogatáram végül, a Hagen-Poiseuille levezetéshez hasonlóan, a sebességeloszlás integrálásával számítható: rh

R

0

rh

R

IV := ò v( r )dr = ò v(rh ) × 2rp × dr + ò v(r ) × 2rp × dr = rh p × v(rh ) + ò v(r ) × 2rp × dr = ...


2

rh

- 51 -

10. Geometriai optika, fotometria A fény 1. Elektromágneses hullám, amelynek ν gerjesztési frekvenciája és adott közegben való c terjedési sebessége meghatározza a λ hullámhosszat (λ=c/v). Az elektromágneses sugárzás néhány tartománya: rádióhullám (hosszúhullám - URH: 30 kHz – 30 MHz, 10km – 10m), TV, GSM (300MHz, 1m), radar, WiFi, LAN, SAT (3GHz, 1dm), mikro (30GHz, 1cm, víz abszorpciós csúcs: 18-27GHz), infravörös, látható (780nm-400nm), ultraibolya, röntgen, gamma-sugarak (64. ábra). 2. Foton, azaz a kvantumelmélet eredményeit figyelembe véve hullámcsomag, amelynek E energiája (és tömege: E=m·c2) arányos a ν frekvenciával, az arányossági tényező a h Planck állandó (E=h·ν). frequency

0xFF

wavelength

energy (Planck)

Wien:

TPlanck =

‫ע‬ 8

h = 6.626*10 J*s = 4.136 μeV/GHz

1 pm (piko: 10 ) 10 pm

-12

1.24 MeV

100 pm

12.4 keV

c = 2.998 * 10 m/s ≈ 300 000 km/s 300 EHz γ

Gamma rays

HX

Hard X-Rays

30 EHz rontgen rays

18

3 EHz (exa: 10 ) 300 PHz

SX

Soft X-Rays

EUV

Extreme ultraviolet

NUV

Far/Mid/Near: UV-C/B/A 100nm - 280nm - 315nm - 400nm

VIS

Visible light

400 nm - 780 nm

NIR

Near infrared (IR-A)

IR-A: 780nm - 1400nm

30 THz

MIR

Mid-infrared (IR-B)

IR-B: 1.4µm - 3µm

-9

-34

2.8978 × 10-3 Km lmax

124 keV

1 nm (nano: 10 ) 10 nm

1.24 keV

100 nm

12.4 eV

ibolya

400 nm

7 244 K

1 µm (micro: 10 ) 10 µm

1.24 eV

vörös

780 nm

3 715 K

124 meV

szobahőmérséklet

10 µm

289 K

3 THz (tera: 10 ) 300 GHz

100 µm

12.4 meV

microwaves:

30 GHz

1 cm (centi: 10 )

radar, oven / Wi-Fi, LAN, SAT

10nm - 100nm

IR-C: 3µm - 1000µm

30 PHz 15

3 PHz (peta: 10 ) 300 THz 12

-6

1.24 meV

-2

124 µeV

kozm. mikro. háttér. 1 097 µm H2O absorption 18 - 27 GHz

12.4 µeV

802.11b, Bluetooth 2.45 GHz

1.24 µeV

Satelite

FIR

Far infrared (IR-C) Extremly high frequency

SHF

Super high frequency

UHF

Ultrahigh frequency

300MHz-3GHz (TV, GSM)

3 GHz (giga: 10 ) 300 MHz

1 dm (deci: 10 ) 1m

VHF

Very high frequency

30MHz - 300MHz (FM: 88-108MHz)

30 MHz

1 dam (deca: 10 )

HF

High freq / Short wave

3MHz - 30MHz (AM: 2.3 - 26.1MHz)

MF

Medium frequency

300kHz - 3000kHz (AM: 525-1715)

3 MHz (mega: 10 ) 300 kHz

LF

Low freq / Long wave

<500kHz, >600m (AM: 153-279kHz)

30 kHz

VLF

Very low frequency

3kHz - 30kHz

VF

"Voice frequency"

3 kHz (kilo: 10 ) 300 Hz

ELF

Extremly low frequency

3Hz - 300Hz

30 Hz

1 mm (milli: 10 ) -1

1

6

3

T

-3

EHF

9

λmax

124 eV

2

1 hm (hecto: 10 ) 3

2,64 K

3.8 MHz - 8475 MHz

124 neV 12.4 neV

1 km (kilo: 10 ) 10 km

1.24 neV

100 km

12.4 peV

124 peV 6

1 Mm (mega: 10 ) 10 Mm

1.24 peV -15

124 feV (femto:10 )

64. ábra: Elektromágneses sugárzás jellemző tartományai (prefixumok) A geometriai optika egy olyan tartományra használható első közelítés, amelyen · a hullámhossz nem mérhető össze a mérőeszköz méretével (szemben a rádióhullámokkal), így eltekinthetünk a fény hullámtermészetétől, valamint · a foton-energiák meghaladják ugyan a mérőeszköz érzékenységi küszöbét, de nem túlságosan nagyok, így eltekinthetünk a foton-természettől is.

Geometriai optika A legrövidebb idő elvével (Fermat-elv, 1650) magyarázhatók a fény tükröződésére és törésére vonatkozó tapasztalatok. · Homogén közegben a fény egyenes vonalban terjed. Az egyenes fogalmát magát, ez a megfigyelés alapozza meg. Megjegyzendő, hogy gravitációs hatásra (anyag=energia), külső megfigyelő számára torzul a téridő, a fény a görbült teret követi, de a belső szemlélő továbbra is egyenesnek látja a fény útját. Az egyenes geometriai definíciója sem egyértelmű. A térelemeket definiáló ötödik, un. párhuzamossági axiómát elhagyva, az euklidesziből, a görbült, hiperbolikus térhez jutunk (Bolyai-Lobacsevszkij).

· Inhomogén esetben a fény terjedési sebessége a különböző átlátszó közegekben más. Egy A pontból sugárzott fény (ezzel az információ) mindig olyan utat választ adott B pontba, amelyen a szomszédos utak közül a legkisebb idő alatt juthat A-ból B-be. A fénysugár függetlenségének elve további axióma, miszerint adott pontban, a különböző irányokban haladó fénysugarak nincsenek egymásra hatással. A fénysugár megfordíthatóságának elve (visszafelé a fény ugyanazon úton halad) következik a legrövidebb idő elvéből. Firtha – Fizika I.

- 52 -

A fény ideálisan tükröző felülettel találkozva, csak egy irányban verődik vissza (tükrös reflexió), a beeső fénysugár és a beesési merőleges által meghatározott beesési síkban, ahol a visszaverődési szög egyenlő a beesési szöggel. Nem számolunk tehát továbbhaladással (transzmisszió), elnyelődéssel (abszorpció) és szóródással (diffúz reflexió). Tükrös visszaverődés esetén a tárgy geometriai tükrözésével szerkeszthető meg annak képe, azaz a fény útja (66.a. ábra). A parabola tükör a szimmetriatengely irányából érkező sugarakat egy pontba, a fókuszpontba gyűjti össze. A fókuszpontba helyezett pontszerű izzó fénye tükrözés után párhuzamosan lép ki. Alkalmazzák reflektorokban és a Nap fényének fókuszálásával nagy hőmérsékletek előállítására (66.b. ábra). Az elliptikus tükörnek két fókuszpontja van. Az egyik pontból sugárzott fény a másik pontban fókuszálódik (66.c. ábra).

66. ábra: Visszaverődés síktükörről (a). Parabola- (b), elliptikus-tükör fókuszpontja (c). Képalkotás során különösen fontosak az egyenes-tartó és torzítás-mentes leképezések (hasonlóságok). A leképezéseknek két alapvető fajtája van. Valódi képet kapunk, ha a tárgy pontjából induló fénysugarak egy kép-pontban koncentrálódnak. A valódi kép mindig fordított állású, ernyőn felfogható. Virtuális, látszólagos képet kapunk, ha a tárgyból kiinduló sugarak visszaverődés után nem fókuszálódnak egy pontba, csak a széttartó sugarak meghosszabbítása találkozik a képpontban.. A virtuális kép mindig egyenes állású, nem fogható fel ernyőn, de szemlélhető, újra leképezhető. A síktükörnél például a kép virtuális, egyenes állású volt. Leképezése egyenes- és mérettartó. A homorú gömbtükör kis apertúrára (kis átmérőnél) közelítőleg egy pontba fókuszálja a párhuzamos fénysugarakat. A fókuszpont felülettől való f távolsága a határoló gömb sugarának fele. A tükörrel megvalósítható leképezés kis tartományra hasonlóságnak tekinthető. A kép típusa (valódi/virtuális) és a nagyítás függ a tárgytávolságtól. A leképezés távolságtörvényében, a homorú tükörre f pozitív, mivel a fókusz a tükör előtt helyezkedik el. A k képtávolság valódi képre pozitív, virtuális kép esetén negatív. 1 1 1 = + f t k

A nagyítást az f fókuszpont ismeretében, a t tárgytávolságból vagy a k képtávolságból számíthatjuk. N=

K k f k- f = = = T t t- f f

A tárgyat a tükör fókuszához távolról közelítve (T: ∞→C→F) valódi, tehát fordított állású, egyre távolabb leképezett (K: F→C→∞), növekvő nagyítású (N: 0→1→∞) képet nyerünk. A fókuszpontnál közelebbi tárgyra (T: F→0) a tükör mögött látunk virtuális, tehát egyenes állású képet (K: ∞→0), amelynek nagyítása csökken (N: ∞→1). Utóbbi eset alkalmazási példája a borotválkozó tükör. A domború gömbtükör esetén f értéke negatív. A virtuális és kicsinyített képre k is negatív (T: ∞→0, K: F→0, N: 0→1). Alkalmazzák visszapillantó tükörnek vagy nehezen belátható útkanyarokban.

67. ábra: Képalkotás homorú (a,b,c) és domború (d) gömb-tükrökkel. Firtha – Fizika I.

- 53 -

A fény sebessége vákuumban, minden vonatkoztatási rendszerben 299 792 458 m/s. Állandó, így a fénysebesség értéke és az eltelt idő mérése alapján definiálták a métert is (1983, Párizs). Ez az elméletileg elérhető legnagyobb sebesség, amelyhez közeli sebességek leírásával a relativitáselmélet foglalkozik. Közelében a tömeg és az idő fogalma is változik. Viszonyításul az eddigi leggyorsabb űreszköz, a Helios-2 űrszonda un. hintamanőverekkel elért legnagyobb sebessége 253 000 km/h volt, ami a fénysebesség 0,0235%-a. A fény anyagi közegekben lassabban terjed. A sebesség vákuumhoz képesti csökkenését fejezi ki az n abszolút törésmutató. Például a levegő törésmutatója a Föld felszínéhez közel n=1,0003. A víz törésmutatója kb. n=1,330, de értéke függ a hullámhossztól. v=

c n

Különböző törésmutatójú közegek határfelületén a fény megtörik. A jelenség szintén a legrövidebb idő elvével (Fermat-elv) magyarázható. A fény A és B pontok között több utat tesz meg a ritkább közegben. A probléma hasonlít ahhoz, amikor egy holtág túloldalán lévő B pontba akarunk leggyorsabban eljutni félig futva, félig úszva (68.a. ábra). Az optimális útvonalat futási és úszási sebességünk határozza meg. Az A és B pontot összekötő egyenes helyett, nagyobb utat teszünk meg a gyorsabb terepen. Fénytörésre, az α beesési és β törési szög közötti összefüggést adja meg a SnelliusDescartes-törvény, azaz töréstörvény (68.b. ábra). sina v1 l1 n2 = = = = n21 sin b v2 l2 n1

A két anyag törésmutatóinak hányadosát fejezi ki az n21 relatív törésmutató. A szög a nagyobb törésmutatójú, azaz lassabb közegben kisebb. Mivel a fény frekvenciája állandó, a sűrűbb, azaz lassabb közegbe érve hullámhossza csökken. Amennyiben a fény a ritkább közegből jut a sűrűbbe, növelve a törési szöget, az un. βh határszögre a beesési szög α=90˚ lesz. A határszögnél nagyobb értékekre nem jut át fény a felületen, hanem teljes visszaverődés történik. Víz alól felnézve bizonyos távolságig kilátunk, de távolabb tükröződőnek látjuk a felületet (68.c. ábra). Alkalmazásként, a 10μm átmérőjű optikai szálban, a fény a határszögnél nagyobb szöggel esik a felületre. Egy egyszerű LED lézerrel kibocsátott jel ma már akár 10km-re is átvihető erősítés nélkül. Átlátszó oldatok törésmutatója függhet adott összetevő koncentrációjától. Refraktométerrel, a határszög mérésével számítható a törésmutató, amiből meghatározható az oldat koncentrációja.

68. ábra: Fermat-elv (a). Fénytörés közeghatáron (b). Határszög vízben (c) A közegek törésmutatója függvénye a hullámhossznak (69.a. ábra). Ennek következménye például, hogy a prizma felbontja a beeső fényt. A törésmutató és a minimális eltérítési szög közötti összefüggés: n(l) =

sin((j + e min (l)) / 2) sin(j / 2)

69. ábra: Törésmutató néhány közegre (a), sugármenet prizmában (b), diffrakció (c). Firtha – Fizika I.

- 54 -

Gömbfelületekkel határolt átlátszó testek (lencsék) képalkotására szintén a leképezés távolságtörvénye alkalmazható. A gyűjtő (konvex, domború) és szóró (konkáv, homorú) lencsék fókusztávolsága a határoló gömbök sugarából számítható. Homorú felületek görbületi sugara negatív, így a szórólencsére, a domború tükörhöz hasonlóan, f értéke is negatív. 1 1 1 = (n - 1)( + ) f R1 R2

Gyűjtőlencsénél a tárgyat a lencse fókuszához távolról közelítve (T: ∞→2F→F) valódi, tehát fordított állású, egyre távolabb leképezett (K: F→2F→∞), növekvő nagyítású (N: 0→1→∞) képet nyerünk. A fókuszpontnál közelebbi tárgyra (T: F→0) a lencse mögött látunk virtuális, tehát egyenes állású képet (K: ∞→0), amelynek nagyítása csökken (N: ∞→1). Utóbbi eset alkalmazási példája a nagyító. Szórólencsénél f értéke és a virtuális, kicsinyített képre k is negatív (T: ∞→0, K: F→0, N: 0→1). A sugármenetekre a homorú és domború tükrökhöz hasonló ábrák rajzolhatók, azzal a különbséggel, hogy a valódi kép a lencse mögött képeződik le.

70. ábra: Gyűjtő- (a-d) és szóró (e) lencse fókuszsíkja, képalkotása. Az eddig tárgyalt lencsék vastagságát elhanyagoltunk (vékony lencsék). Két vékony lencsét szorosan egymás mellé helyezve dioptriáik, azaz törőértékeik (D=1/f) összeadódnak. Ha azonban a két lencse között d távolság van, akkor a kéttagú rendszer dioptriája a következőképp számítható: f + f -d 1 1 1 d D ahol Δ az optikai tubushossz D= = + = 1 2 = f

f1

f2

f1 × f 2

f1 × f 2

f1 × f 2

A két vékonylencséből álló rendszernek (vastaglencse) két un. fősíkja van (a be- és kilépő fénysugarak metszése által meghatározott síkok), a tárgyoldali és a képoldali fősíkok. A vastaglencsével ekvivalens vékonylencséről beszélünk, ha annak azonos a fókusztávolsága, a törésmutatója és az első görbületi sugara. Több tagból álló optikai rendszer esetén is aránylag egyszerű számítással lehet meghatározni annak tulajdonságait. A tárgyat adott helyre képezi le az első tag. Ez a kép lesz a következő leképezés tárgya. A lencséket sorra véve meghatározható az optikai rendszer végén nyert kép, annak típusa és nagyítása. Bármely bonyolult optikai rendszernek (lencsék, tükrök, mikroszkóp, teleszkóp, stb.), amennyiben mindkét oldalán ugyanolyan közeg határolja (levegő), létezik két fősíkja és ekvivalens vékony lencséje (fókuszpontja), amelyre az egyik oldalról érkező párhuzamos fénynyalábot abba a pontba fókuszálja, amelybe a túloldali fősíkba helyezett ekvivalens vékonylencse fókuszálná.

71. ábra: Fősíkok Firtha – Fizika I.

- 55 -

A nagyító a fókusztávolságnál közelebb helyezett tárgyakról képez egyenes állású, virtuális képet. Szögnagyítása a tisztánlátás távolságából (s ≈ 25cm) és a fókuszpontból számítható: a 0,25m +1 N sz = = b f A szemüveg a szemlencse akkomodációs hiányosságát korrigálja. Fókusztávolságon belül helyezkedik el, ezért virtuális képet alkot. Kis távolsága miatt dioptriája hozzáadódik a szemlencse aktuális dioptriájához (lásd érintkező vékony lencsék). Közellátás (myopia) esetén szórólencsével (D<0) segíthető a távoli tárgyak fókuszálása. Távollátás (hyperopia) esetén gyűjtőlencsével (D>0) fókuszálhatunk a kb. 25cm kényelmes tisztalátás távolságára. Az éleslátási tartomány szűkülése (presbyopia) esetén bifokális, vagy trifokális lencsével segíthető a közel- és távollátás is. Az egyszerű (két lencsés) mikroszkóp tárgylencséje (objektív) a fókuszon kívül helyezett tárgyról nagyított valódi képet állít elő, melyről a szemlencse (okulár) mint nagyító alkot látszólagos képet. A nagyítás, az objektív és az okulár nagyításának szorzataként, az f1 és f2 fókusztávolságokból, a Δ tubushosszból (jellemzően 0,18m) és az s kényelmes tisztalátás távolságából (jellemzően 0,25m) a következőképp számítható: D s f +D s s×D tgb k f 2 k1 s = = × = N ob × N ok = 1 × = × = N= t1 f 2 f1 f 2 f1 × f 2 tga t s t1 f 2 A fény mikroszkóppal elérhető hasznos nagyítás 1000-2000 szeres. A lencsék megválasztásával ugyan lehetne fokozni a nagyítás, de a fényelhajlás miatt újabb részleteket nem látnánk. A teljesítőképességet meghatározó felbontóképesség közelítően megegyezik a használt fény hullámhosszával. A mikroszkópban a kép mélységi élessége (az egymás alatti tárgyrétegek egyidejű éles leképezése) fordítottan arányos a numerikus apertúrával (fényerő ~ ntárgyközeg·sinαbelépő félkúpszög ) és a nagyítással.

72. ábra: Mikroszkóp (a), nagyítás számítása (b) A Kepler-féle csillagászati távcső a mikroszkóphoz hasonló módon egy tárgylencse és egy szemlencse segítségével hoz létre képet. A távcső a nagy távolságú tárgy pontjaiból közel párhuzamos fénysugarakat a két lencse közös fókuszsíkjainak közelében gyűjti össze. A szemlencse fókusztávolsága lényegesen kisebb, mint a tárgylencséé. A nagy átmérőjű objektív, az egy pontból érkező fényből több fényenergiát képes összegyűjteni, így a halványabb csillagok is láthatóvá válnak. A lencsék leképezési hibái (a prizmáéhoz hasonló színfelbontás, a nem tökéletesen pontszerű leképezés) fokozatosan jelentkeznek nagy átmérőjű lencséknél. Ezért a nagyobb távcsövek építésénél a Newton-féle tükrös elrendezést alkalmazzák. Ez annyiban különbözik a Kepler-félétől, hogy a tárgylencse helyett homorú tükröt használnak, és ennek képét kis síktükör segítségével vetítik a szemlencse irányába. A földi távcsöveknél, a csillagászati távcsövekkel ellentétben fontos, hogy egyenes állású képet lássunk. Ezt képfordító prizmák segítségével (vadász távcső) vagy Galilei-féle elrendezéssel (színházi távcső) érik el. Az utóbbinál a szemlencse szórólencse, amelynek felénk eső fókuszpontja egybeesik a tárgylencse fókuszpontjával. A látószögnagyítás a részletek jobb megfigyelhetőségét teszi lehetővé. Mindegyik távcső szögnagyítása számítható a tárgylencse fókusztávolságának (fo) és a szemlencse fókusztávolságának (fsz) arányaként: a f N sz = = o b f sz Firtha – Fizika I.

- 56 -

b.)

a.)

c.) d.) e.) 72. ábra: Kepler - (a), Newton - (b), földi - (c), Galilei (színházi) - (d), prizmás (vadász) távcső (e). A fényképezőgép állítható objektívjében a rekesz (blende, írisz, apertúra) átmérője változtatható. Egymást követő értékei kb. √2-es tényezővel különböznek (2 2,8 3,5 4,5 5,6 8 11 16), így a fényerősségben kétszeres változás adódik. Szűk blendével kiküszöbölhető a gömbi lencséken jelentkező un. szférikus aberráció (nyíláshiba, gömbi eltérés). A gömb ugyanis csak kis rekeszértéknél fókuszál tökéletesen egy pontba, de előállítása olcsóbb, mint a parabola felületeké. Szűk blende esetén ugyanakkor, nagy fényerőt, vagy hosszú expozíciós időt (zársebesség) kell biztosítani.

73. ábra: Diavetítő (a), írásvetítő (b), tükörreflexes fényképező (c) A lencsék hibáira példa a kromatikus aberráció (színhiba), ami a törésmutató hullámhossztól való függése miatt jelentkezik. Hatására a képen az élek kiszínesednek. Mérsékelhető, ha a lencsét különböző anyagú gyűjtő (koronaüveg) és szóró (flintüveg) tagokból ragasztják össze. A két színre javított lencsék (akromátok: kékeszöld-sárga) mellett készítenek három színre javított (apokromát) tagokat is. Apokromát lencséket csak hőterheléstől mentes eszközökben, pl. mikroszkópokban alkalmaznak, az alkalmazott üveg (kalcium-fluorid, LD, ED) hőtágulása, sérülékenysége miatt. A lencsék további hibái, mint kóma (üstököshiba), asztigmatizmus (pontnélküliség), képmező-elhajlás (képdomborúság) és torzítások (disztorzió) szintén mérsékelhetők speciális szerkezettel és megfelelően kis rekesznyílással. A soktagú lencsék felületein jelentkező tükröződést speciális bevonatokkal (MC, SMC) csökkentik. Ha minden optikai rendszer helyettesíthető egyetlen ekvivalens vékony lencsével, akkor miért van szükség bonyolult lencserendszerekre? A lencsék hibáinak kiküszöbölésén túl, általában a feladat által meghatározott nagyítás, numerikus apertúra (relatív nyílás), tárgymező mérete, kívánt képminőség és egyéb speciális kikötések határozzák meg a feladatnak megfelelő objektív-típust (Triplet, Gauss, Petzvál, akromatikus aplanát, optikai tárolók objektívjei).

74. ábra: Színhiba javítása akromát lencsével Firtha – Fizika I.

- 57 -

Fotometria, radiometria A fotometria eredetileg a fényképészek tudománya volt. Először e területen volt szükség annak mérésére, hogy egy fényforrás Iv fényerőssége (candela) adott térszögben mekkora Φv fényáramot (lumen) és adott felületen mekkora Ev megvilágítást (lux) eredményez. Az SI-rendszerben a fényerősség az alapmennyiség. 1 candela az 1 gyertya fényerőssége 1m távolságból. Pontosabban egy candela az 540·1012 Hz frekvenciájú (vákuumban 555nm) monokromatikus sugárzó fényerőssége, amelynek sugárerőssége 1 W . A megértés érdekében induljunk ki egy fényforrás teljesítményéből. 683 sr

Összetett, adott színképi eloszlású sugárzást szemlélve, annak fotometriai hatékonyságát a monokromatikus sugárzások összegeként kapjuk, feltételezve, hogy a komponensek fényérzete additív. Adott monokromatikus sugárzás láthatóságát („visibility”), a V(λ) láthatósági görbét összehasonlító méréssel határozható meg. A görbe egyénenként változik, de az átlagos szemlélő láthatósági görbéjét a Nemzetközi Világítástechnikai Bizottság rögzítette (Comission Internationale d‘Éclairage, CIE, 1924). A nappali (3cd//m2–nél nagyobb fénysűrűségű fotopos tartomány, csapok) és az éjszakai (10-3 cd/m2– nél kisebb fénysűrűségű szkotopos tartomány, pálcika-látás) látás láthatósági görbéi különböznek. Maximumuk 555nm és 507nm-nél található.

75. ábra: A nappali látás V(λ) és sötétben látás V΄(λ) láthatósági görbéi A fényforrások kibocsátott spektruma és ennek megfelelően világítástechnikai hatékonyságuk is különböző. Egy fényforrás, felvett teljesítménye egy részét sugározza ki a vizsgált tartományban (380 – 780nm). A Φe sugárzási teljesítmény a felvett P teljesítményből és az η sugárzási hatásfokból számítható. A hőkeltésen alapuló izzók hatásfoka alacsony (~2%), teljesítményük nagy részét a vörösön innen (780nm fölött) és az ibolyán túl (380nm alatt) sugározzák. A kompakt fénycsövek (köznyelvben energiatakarékos izzók) hatásfoka jobb, a vékony sávokban sugárzó LED-ek hatásfoka még jobb lehet. [Φe] = W (watt). Fe = h × P A sugárzási teljesítmény eloszlása nem egyenletes, a fényforrás spektrumával írható le. 780nm

Fe =

ò F (l) × dl

e l =380nm

A sugárzási teljesítmény vizuális hatása, azaz a fényáram, így a láthatósági görbe és a fényforrás spektrumának ismeretében számítható ki. 780nm

Fv = Km ×

[ΦV] = lm (lumen)

ò F (l) × V (l) × dl

e l =380nm

A fényáram egyszerűbben (integrálás nélkül), közvetlenül a sugárzási teljesítményből is kiszámítható, a sugárzás fényhasznosítása (K) ismeretében. Fv = K × F e ;

K=

Km × ò Fe (l ) × V (l ) × dl

ò F (l) × dl

[K] = lm W

e

A Km maximális fényhasznosítási tényező értéke nappali fény esetén a candela definíciójából következik. Értéke nappali látásra Km = 683 lm (555nm-en), sötétben pedig Km¢ = 1700lm (507nm-en). W


- 58 -

W

A számítási gyakorlat példáiban, az egyszerűbb számítás érdekében, K-t a maximális 683lm/W értékkel közelítjük, így a fenti képlet pusztán a watt mértékegységű látható tartományban kisugárzott teljesítmény átváltása a lumen mértékegységű fényáramra. F v » K m × Fe = K m × h × P

A műszaki gyakorlatban gyakrabban használt mennyiség a fényforrás fényhasznosítása. Jele η*. A mennyiség a fényforrás η sugárzási hatásfokának és a K sugárzás fényhasznosításának szorzata. Jellemző értékei láthatók a 76. ábrán. [η*] = lm

Fv = h * × P

W

76. ábra: Néhány fényforrás fényhasznosítása Napjaink leggyorsabban fejlődő fényforrása a LED (Light emitting diods). A különböző összetételű diódák fényhasznosítása a 80-as évek végére vált versenyképessé (10lm/W). Napjainkban a piacon elérhető diódák fényhasznosítása 20lm/W körüli, de léteznek már 100lm/W fényhasznosítású diódák is. Adott világítástechnikai feladatra választott fényforrásnak a fényhasznosítás mellett, más fontos paraméterei is vannak. Pl. · F színhőmérséklet (M melegfehér: 2700-3300K; S semleges fehér: 3300-5300K; H hidegfehér :5300-6500K), · R színvisszaadási index ( izzóra a maximális 100), · tf felfutási idő (a bekapcsolástól a fényforrás névleges fényárama 95 %-os értékének eléréséig eltelt idő percben), · tu újragyújtási idő (a feszültség pillanatnyi letörése után a névleges fényáram 95 %-ának eléréséig eltelt idő percben), · élettartam (fénycsöveknél a bekapcsolások számával csökken). Ezen túl számolni kell a fényforrás ergonómiai (pl. a hagyományos fénycsövek pszichikumra ható villogása) és biológiai (UV sugárzás baktericid, erythem, conjunktivitis, ózonkeltő hatása, látható sugárzás direkt pigmentképző, bilirubin hatása, IR sugárzás vérbőséget okozó, szemet károsító hatása) tényezőivel is.

Pontszerű fényforrás fényerőssége, a kibocsátott fényáramon túl, nagy mértékben függ attól, hogy mekkora térszögben bocsátja ki. Erre jó példa a tér minden irányába világító 60W-os lámpa és az autó fényszórójában kis térszögbe világító, ugyancsak 60W-os lámpa fényerősségének különbsége. A térszög definíciója hasonlít a síkszögéhez. Adott síkszög csúcsa köré rajzolt különböző sugarú körökből a szög, a sugárral arányos ívhosszakat metsz ki. Így az ívhossz és a sugár hányadosa mindegyik körre azonos. A hányados ráadásul adott sugár esetén, nagyobb szögre nagyobb (monotonitás) és kétszer akkora szögnél kétszer akkora lesz (linearitás). Ezek alapján lehet a hányados mértéke a szögnek. A mérendő szög köré r sugarú kört rajzolva, feltételezve, hogy a kimetszett i ívhossz, például cérnával, mérhető, az i/r hányados jellemzi a szöget. Mértékegysége radián, amit nem szokás kiírni. Például a teljes kör mértékét a kör kerületéből számíthatjuk, 2r π /r = 2π.

j=

i r

mértékegysége

[φ] = 1 (radián)

A térszög mértékének meghatározásánál vegyük körül a szög csúcsát különböző sugarú gömb-felületekkel. A kimetszett felületek arányosak a gömb sugarának négyzetével. A felület és a sugár négyzetének hányadosa minden sugárra azonos. A hányados ráadásul adott sugár esetén, nagyobb szögre nagyobb (monotonitás) és kétszer akkora szögnél kétszer akkora lesz (linearitás). Ezek alapján lehet a hányados mértéke a térszögnek. A mérendő szög köré r sugarú gömböt rajzolva, feltételezve, hogy a kimetszett A felület mérhető, az A/r2 hányados jellemzi a térszöget. Mértékegysége szteradián (sr). Például a teljes térszög mértékét a gömb felületéből számíthatjuk, 4r2π /r2 = 4π sr.

W=

A r2

mértékegysége

[Ω] = sr (szteradián)

75. ábra: Síkszög definíciója (a). Térszög definíciója (b). Firtha – Fizika I.

- 59 -

Pontszerű fényforrás erősségét tehát az egységnyi térszögbe kibocsátott fényáramként definiáljuk. Értéke irány-függő, például gépjármű fényszóróját falra irányítva is észlelhetjük a fényerősség inhomogenitását. Differenciálhányadosként, az adott irányt tartalmazó dΩ térszögbe kisugárzott dΦv fényáram és a dΩ térszög hányadosaként definiáljuk (76.a. ábra). I v (j ) =

dFv dW

[Iv] = lm = cd (candela)

mértékegysége

sr

Adott pont megvilágítását az egységnyi felületre eső fényáramként definiáljuk. A megvilágítás helyfüggő, ezért differenciálhányadosként, a pontot körülvevő dA felületelemre beeső dΦv fényáram és a dA felületem hányadosként definiáljuk (76.b. ábra). Hagyományos (nem koherens) fényforrások esetén a pontra, a féltér különböző irányaiból érkező fényáramok összeadódnak. Ev ( x, y) =

dFv dA

[Ev] = lm2 = lx (lux)

mértékegysége

m

Pontszerű fényforrásból adott pontra eső fényáram megvilágítása a távolságtörvényből számolható, Ev =

dFv I v × dW cos b I = = I v × 2 = v2 × cos b dA dA r r

ahol Iv a fényforrás erőssége a felület irányában, r a fényforrás és a felület távolsága, β pedig a fényforrás iránya és a felület normálisa által bezárt szög (76.c. ábra).

76. ábra: Fényerősség (a), megvilágítás (b), távolságtörvény (c). Felület közvetlen megvilágításának számításakor az egyes fényforrások hatását kell kiszámítani a távolságtörvény ismételt alkalmazásával, majd a számolt megvilágításokat összeadni. Ev,közvetlen = å Ei

A számítógépes virtuális 3D motorok első generációja a közvetlen megvilágítással számolt. A virtuális térben definiált határoló felületekre (háromszögek) a távolságtörvénnyel lehet kiszámolni a fényforrások hatását és így a felület színét. A felületeket a kamerától való távolságuk szerint csökkenő sorrendben a képtérre vetítve generálható a képkocka. Nem véletlen, hogy a Csillagok háborúja nyílt térben játszódik, ahol a közvetlen megvilágítás elhanyagolható. A korszerűbb és jóval számításigényesebb „renderelés” már számol a térben elhelyezett, megvilágított felületek által okozott közvetett megvilágítással is. Renderelésnél minden irányra (pixelre) kiszámítjuk, hogy az irány milyen felületbe ütközik, majd onnan minden irányba körülnézve összegezni kell a beeső fényáramokat. Egy nagyságrenddel több számításigénnyel kezelhetők akár az átlátszó, áttetsző, tükröződő objektumok is. Ugyanakkor a számítási feladat könnyen szétosztható párhuzamos architektúrájú gépekre (több processzorú).

A műszaki gyakorlatban a közvetett megvilágítás becslésére közelítő számítást alkalmaznak. A zárt térbe érkező Φv összes fényáram és a terem teljes A felületének hányadosát egy x viszonyszámmal szorozzák, ami a felületek visszaverő képességét fejezi ki (a szám fekete falakra kicsi, fehérre nagyobb, tökéletes gömbtükör fókuszában végtelen lenne). Ev,közvetett =

åF A

i

×x

A radiometria mennyiségei és törvényei a fotometriához hasonlók: ·

sugárzott teljesítmény:

·

sugárerősség:

·

besugárzott teljesítmény:


Fe

[ Fe ] = W (watt)

dFe dW dFe Ee (j ) = dA

[ Ie ] = W

I e (j ) =

- 60 -

sr [ Ee ] = W2 m

11. Hullámoptika, spektrofotometria Thomas Young 1803-ban mutatta be a fény hullám-természetét bizonyító kísérletét. Pontszerű fényforrás fényét két, 0,5mm távol lévő résen vetítette a 2m-re álló ernyőre. A Newton-féle részecskeelmélet alapján várt összegződés helyett, 2mm sűrű csíkokat láttak, ami interferenciára utal. Interferencia koherens, azaz azonos hullámhosszú és fázisú hullámok találkozásakor tapasztalható. Egy monokromatikus fényforrás egy pontjából kiinduló sugarak koherensnek tekinthetők, azokat pl. tükrökkel újra egy pontban egyesítve interferenciát kapunk. A lézerből kilépő fénynyaláb is koherens. A Huygens-elv szerint, a koherens fénnyel megvilágított rések pontszerű forrásokként viselkednek, ezért tapasztalunk interferenciát (77.a. ábra). Akkor lép fel az erősítés, ha az útkülönbség a hullámhossz többszöröse (m·λ). Így az erősítés irányai, ha a rések távolsága, a háromszög átfogója b (77.b. ábra): sina m = m ×

l b

m= 0, ±1, ±2, … nullad-, első-, másodrendű, … csíkok

A fény hullámtermészetét figyelhetjük meg, a vízfelszínen úszó olajfilmen, vagy a szappanhártyán is. A vékony rétegről a fény egy része a külső-, másik része a belső oldalon tükröződik. A réteg vastagságától függően bizonyos hullámhosszat erősít, a többi színt elnyomja az interferencia. A jelenség tanulmányozásával nyert törvény, hogy nagyobb törésmutatójú közegről való tükröződés során a fázis π–vel változik, kisebb törésmutatójú közegről való visszaverődésnél nem lép fel fázisugrás.

a.)

b.)

d.) e.) c.) 77. ábra: Huygens-elv (a), elhajlási kép (b), vékony réteg (c), Newton-gyűrűk (d), üveglemezek (e) A hullámtermészet egyik sajnálatos következménye, hogy a fény egy tárgy mellett elhaladva eltér az egyenes vonalú pályától. Elhajlás, azaz diffrakció történik. Az elhajlást egy résen vizsgálva, a jelenség a Huygens-elvre támaszkodó, általános, Fresnel-diffrakcióval vagy a párhuzamos sugarakat feltételező, egyszerűbb Fraunhofer-diffrakcióval írható le. Utóbbi modell feltétele két lencse közbeiktatásával közeli fényforrás és ernyőre is megvalósítható. Egy rés esetén a kioltás irányai, ha a rés szélessége a (78.c. ábra): sina m = m ×

l a

m= ±1, ±2, …

Az elhajlási jelenségek súlyos korlátokat szabnak a mikroszkópok, teleszkópok, egyéb optikai eszközök felbontóképességére. Kör alakú fényrekesz esetén a minimumok helye az egy rés esetéhez hasonló, de egy pm = (1,220; 2,233; 3,238; …) számsorozattal írható le (D a rekesz átmérője). sina m = pm ×

l D

m= ±1, ±2, …

Az első minimum határozza meg a pontszerű forrás elhajlási képének átmérőjét. Látható, hogy a rekesz átmérőjét csökkentve szélesebb elhajlási képet kapunk. Rayleigh kritériuma szerint két pont akkor


- 61 -

különböztethető meg, ha távolságuk nagyobb, mint az első diffrakciós minimum átmérője (78.c. ábra). Mivel kis szögekre sinx =x, a felbontási szög kör alakú apertúránál: a1 =

1,22 × l D

a.)

b.)

c.) 78. ábra: Fresnel- és Fraunhofer-diffrakció (a), elhajlás egy résen (b), Rayleigh kritérium (c) Nagy számú, egyenlő a szélességű és d távolságú párhuzamos résnél a két rés esetén tapasztalt elhajlási kép felerősödik. Az ilyen, un. optikai rács erősítési irányai, ha egy rés és barázda együttes távolsága a d rácsállandó: sina m = m ×

l a

m= 0, ±1, … közvetlen réskép, első-,… rendű elhajlási vonalak

Az optikai rács számunkra legfontosabb tulajdonsága, hogy a beeső nem monokromatikus fény komponenseit a hullámhosszal arányosan téríti el. A nulladrendű, közvetlen réskép a beeső fénynek megfelelő. Magasabb rendre (m>=1) színszórás, azaz diszperzió történik. A nyert m-ed rendű színkép intenzitása elsőrendre a legnagyobb, szélessége pedig m-mel arányos. A rács spektrofotométerben prizma helyett használható. A prizmával ellentétben, a ráccsal nyert un. normál színképre, a hullámhossz tengely ekvidisztans. Linearitása és jobb felbontása miatt is előnyös. Síkrácsot üveg (áthaladó fényre) vagy fémlemez (tükröződő fényre) karcolásával készíthetünk. A mért legkisebb hullámhossznál nagyobb rácsállandót kell választani (sinα<=0 à m·λ
l N ×m

pl. 780 nm-en, 0,5nm felbontáshoz, első rendben minimum 1560 karcolat kell

Jedlik Ányos, osztógépével már 1845-ben 1200vonal/mm sűrűségű rácsot készített (d=833nm), napjainkban pedig készítenek 3000vonal/mm-es, azaz 333nm rácsállandójú optikai rácsot is. A BME Atomfizika Tanszékén aktívan folyó kutatásokban, az akusztooptikai szűrők, azaz hangolható optikai rácsok, ultrahanggal gerjesztett egykristályok, amelynek törésmutatója a csomópontokban megváltozik.

a.) Firtha – Fizika I.

b.) - 62 -

d.) c.) 79. ábra: Monokromatikus és fehér fény elhajlása (a,b), rácsos spektrofotométer (c), hangolható rács (d)

Spektrofotometria A spektrofotometria a spektrálisan felbontott optikai sugárzás intenzitásának mérésével foglalkozik. Aszerint, hogy a fényforrásból kibocsátott, anyagok által elnyelt, vagy visszavert sugárzást mérünk, beszélünk emissziós, abszorpciós vagy reflexiós spektrofotometriáról. Tartomány szerinti felosztása: · λ = 100–1000 nm (UV, látható) elektronenergia megváltozása · λ = 1–100 mm (IR) rezgési spektroszkópia (szerves molekulák) · λ > 100 mm (MW) forgási spektroszkópia a.) Az emissziós spektrofotometria alkalmazása a csillagászatban, fényforrások vizsgálatánál köztudott, de az élelmiszertudományban is alkalmas analitikai technika anyagminták azonosítására. Az anyagmintát elektromágneses sugárzással gerjesztve, az anyag által kibocsátott sugárzásból a vizsgált anyag kémiai és szerkezeti tulajdonságaira következtethetünk. A módszer elméleti alapja az, hogy az anyagok atomi szintű és molekuláris energiaátmenetei kvantáltak és ezek az energiaszintek jellemzőek az adott anyagra. Az egyes energiaátmenetekhez meghatározott hullámhosszak (elnyelt vagy kibocsátott) tartoznak a ΔE=hν=hc/λ összefüggés alapján. Ha megvizsgáljuk egy gerjesztett állapotban levő anyag sugárzásának spektrumát, abból következtethetünk az anyagi minőségre, az anyagmennyiségre, sőt némely esetben a molekula-szerkezetre is. Szabadon levő atomok, molekulák (gázok) esetében például a gerjesztő energia néhány diszkrét érték lehet. A gázok emissziós és abszorpciós spektruma ennek megfelelően vonalas (lásd. fénycsövek). A különböző gerjesztésekkel elérhető hőmérsékletek: levegő-acetilén: 2200ºC, dinitrogén-oxid (nevetőgáz): 2800ºC, grafitkemence: 3000ºC, argon plazma: 10000ºC. Vizsgálati módszerek példái: · lángfotometria · AAS: Atomabszorpciós spektrofotométerek (láng és kemence üzemmódú rendszerek) · ICP: Indukciós plazma gerjesztés (argon gáz gerjesztése 1-5 kV, 2,7 Mhz rádiófrekvenciával) · XRF: Röntgen fluoreszcens spektroszkópia (gerjesztés röntgensugárzással, szilárd anyagokra is) · LIPS: lézer-indukált plazma atomemissziós spektrométer (felületet lézer impulzusok gerjesztik) Lángfotometria (flame photometry): A különböző fémek lángot színező hatása közismert: Na sárga (590nm) Ca téglavörös K lila Mg sárgásvörös Li bordó Ba világoszöld A lángfotometria módszere 0,1-10 mg/dm3 koncentrációban jelenlevő fémek (Na,K,Li,Cs,Rb,Sr, Ca,Ba) meghatározását teszi lehetővé. A mérendő anyagból készített különböző hígítású oldatokat és standard-ként használt vizet porlasztva, levegő-acetilén lángban az emisszió mérésével (fémre jellemző szűrőn keresztül) határozható meg a méréssorozatból a koncentráció. A mérés az alkáli és földalkáli fémek mérésében még ma is egyedülállóan gyors, érzékeny és olcsó módszer. Alkalmazási példái: · Béres-csepp vagy levéltrágya Cu- és Mg nyomelemeinek meghatározása · Hamvasztott élelmiszerminta Ca-, Mg-, Na- és K-tartalmának meghatározása · Csapvíz keménységének, Na- és K-tartalmának meghatározása · Tej Ca- Mg-, Na- és K-tartalmának meghatározása · Talaj Na- és K-tartalmának meghatározása · Bor Ca-, Mg-, Na- és K-tartalmának meghatározása · Ásványvíz Ca2+, Mg2+, Na+ tartalmának meghatározása Firtha – Fizika I.

- 63 -

a.)

b.) 80. ábra: Gázok vonalas színképe (a), lángfotométer sémája és kiépítése (b)

ICP (indukciós plazma gerjesztés, inductively coupled plasma): A minta „feltárása” után (mikrohullámű fűtési program) készített oldat analízise történik a plazma lángban, azaz atomizált állapotban. Az „ICP lámpában” az argont induktívan (tekercscsel) gerjesztik, a minta injektálására különböző módszereket fejlesztettek. Egydimenziós elrendezésnél egyszerre egy hullámhossz mérése történik. A hullámhosszat a monokromátorként alkalmazott, elforgatható (reflexiós) optikai rács határozza meg. Kétdimenziós elrendezésnél a diódasor egyszerre méri a rács által felbontott, egész spektrumot.

a.)

b.) 81. ábra: Plazma szerkezete (a), kétdimenziós ICP műszer sémája és kiépítése (b)

XRF: (röntgen fluoreszcens spektroszkópia, X-ray fluorescence): Az XRF módszer, a besugárzás hatására, a mélyen fekvő pályákról kilőtt elektronok helyettesítéséből származó sugárzást (Kα és Kβ) méri (82.a. ábra). Az ICP-hez hasonlóan alkalmas nyomelemek detektálására is. Alkalmazzák például fémek, elektronikai alkatrészek, festékek, talaj (mezőgazdaság) és kőzet (bányászat) helyszíni analízisére is. A módszerek érzékenységét lásd a mellékletben.

82. ábra: Elektron kilökődés és helyettesítés (a), XRF kézi műszer sémája és kiépítése (b) Az analitikai vizsgálatokon túl, az emissziós színképelemzés jóval egyszerűbb méréstechnikai alkalmazása az infravörös hőmérő. Az érintésmentes mérés során az adott térszögből érkező infravörös spektrum eloszlásából következtethetünk a felület hőmérsékletére.


- 64 -

b.) Az abszorpciós spektrofotometriában az anyagot molekuláris formában vizsgáljuk, szemben az emissziós módszerrel, ahol atomi szintű kvantumokat mérünk. Egy molekula belső energiája különböző energiákból tevődik össze: a molekula Ekin mozgási-, Erot forgási-, Evib rezgési energiájából, az Eel elektronállapotokból, az Emag mag energiából és az elektromos, mágneses térerők εE és εH energiájából. A mozgási energia változása lehet folytonos, de a többi energia változása diszkrét értékkel, adott hullámhossz elnyelése mellett történhet. A fényelnyelés atomi és molekuláris tartományai: Elektron-átmenetek: Molekuláris átmenetek:

belső héjon: vegyérték-héjon: vegyérték elektronok, deformáció (1-6 eV): rezgések (tized eV): forgási (ezred eV):

röntgen-sugár UV, látható látható IR mikrohullám

A vegyületek, a szerkezetüknek megfelelő hullámhosszú elektromágneses sugárzást képesek elnyelni, ezért az abszorpciós spektrum vizsgálata szerkezet-felderítési lehetőségeket rejt magában. Az abszorpció mérésénél feltételezzük, hogy a mért oldatot tartalmazó küvetta átvilágításakor a felület reflexiója (tükröződés) és a közegen belüli diszperzió (szóródás) elhanyagolható, tehát a beeső intenzitás és a transzmisszió mérésével meghatározható az oldat abszorpciója (83.a. ábra). beeső fény = reflexió + abszorpció + diszperzió + transzmisszió A T transzmittancia (áteresztés) a távozó és beeső fény hányadosa. Az A abszorbancia (elnyelés), a transzmittancia reciprokának, azaz a beeső és távozó fény hányadosának logaritmusa. A jelenséget hívjuk tehát reflexiónak, abszorpciónak és transzmissziónak, annak mértékét R reflektanciának, A abszorbanciának és T transzmittanciának. T=

a.)

I I0

(= 0..1)

A = lg

I 1 = lg 0 T I

(= 0..∞)

b.) 83. ábra: Abszorpció mérése beeső és távozó intenzitásból (a), Duboscq kolorimétere (b)

A Lambert-Beer törvény szerint színes oldat A abszorbanciája arányos az l rétegvastagsággal és a c koncentrációval. Az arányossági tényező, az ε moláris abszorpciós koefficiens. Több komponens hatása a törvény szerint additív: A = l × åe i × ci A = e ×l ×c Oldott színes anyag koncentrációja így becsülhető az oldat intenzitásából. A Duboscq-koloriméterrel (1870) például ismeretlen koncentrációjú oldat rétegvastagságát egy üveghenger emelésével úgy kell beállítani, hogy elnyelése azonos legyen az ismert koncentrációjú és rétegvastagságú oldat elnyelésével (83.b. ábra). Ebből becsülhető az ismeretlen koncentráció. à e × l x × cx = e × l0 × c0 cx = l0 × c0 / l x Az ε moláris abszorpciós koefficiens függ az összetevő anyagi minőségétől, a hőmérséklettől, nyomástól és a hullámhossztól. Az ε(λ) abszorpciós spektrum jellemzi tehát a komponenst, de értéke az oldószertől és az egyéb komponensektől is függ. Kondenzált rendszerekben, így oldatokban is, a közvetlen környezettel való kölcsönhatás miatt az energiaszint-rendszer zavart szenved, torzul, energiasávok alakulnak ki. Az abszorpciós sáv szélességét és helyét is befolyásolják a szomszédos idegen molekulák. Az oldószer szolvát burka (vizes oldatban hidrát burka) jelentősen eltolhatja az abszorpciós sáv helyzetét. Pl. a jód ibolya színnel oldódik azokban az oldószerekben, amelyekben nem szolvatálódik, és barna vagy sárga színű, ha igen. Másik példa: a réz ion: hidratáltan kék, vízmentes környezetben színtelen. A kölcsönhatások miatt, a komponensek abszorpció alapján történő meghatározása összetett, feltétele, a magas jel-zaj viszony biztosítása és specifikus kalibrációs eljárások kidolgozása. Firtha – Fizika I.

- 65 -

Abszorpciós spektrofotométerrel adott tartomány, adott felbontású spektruma határozható meg. Az oldószer abszorpciójának kiküszöbölése érdekében a két fényutas elrendezésnél a vizsgált oldat abszorpcióját a tiszta oldószerhez képest relatívan mérjük (83.a. ábra). A hagyományos elrendezésben az un. monokromátor (prizma, interferenciaszűrő, optikai rács) választja ki a fényforrás (jellemzően halogén izzó, ill. UV-ben deutérium lámpa 200-450nm) vizsgált hullámhosszát és az oldatot tartalmazó küvettán áthaladó fényt fotodetektor érzékeli (83.b. ábra). A fotocella, fotodióda érzékenysége különböző hullámhosszakra más. Tartományonként (UV, VIS, NIR) külön foto-detektorokat alkalmazhatnak. A félvezető fotodetektorok (detektorsorok) olcsóbbá válása tette lehetővé egy új spektrofotométer típus kialakítását. A küvettán áthaladó fényt prizma vagy optikai rács bontja fel és képezi le a detektorsorra (83.c. ábra). A diódasorok alkalmazásával akár hétköznapi megvilágításnál mérhető a spektrum, ami különösen az ipari, reflexiós alkalmazásoknál nyer fontos szerepet.

a.)

b.) c.) 83. ábra: Két fényutas- (a) monokromátoros (b) és diódasoros (c) elrendezés Az abszorpciós spektrofotometria különböző tartományokban vizsgált anyagai és eszközei: tartomány Anyagok Fényforrás Küvetta Detektor UV pl. aromások H2, D2 lámpa (160-360nm) Kvarc „kék” fotocella látható színes vegyületek W-lámpa (300-3500nm) üveg, kvarc vörös fotocella IR: Minden Globar-izzó (1-4 μm) LiF,NaCl,KBr,CsJ InGaAs A látható tartományban színes, illetve homogenizálás, feltárás és megfelelő kémiai reakció után színessé váló vegyületek vizsgálhatók. Néhány élelmiszertudományi alkalmazása: · Zöldség és gyümölcsfélék polifenol, flavonoid, antocián és klorogénsav tartalma · Karitinoidok, zsírok, klorofiltartalom; gabonafélék, gabona alapú élelmiszerek fitinsav tartalma · Borok antocián-típusú színanyagai; tejfehérjék színreakcióinak vizsgálata · C-vitamin tartalom (megfelelő reagenssel vörös színű lesz) Az ÁNTSz például a következő spektrofotometriai méréseket végzi élelmiszerekre: réz, benzoesav, összes karotin, paradicsompor víz- és zsíroldható színezékei, diquat- és paraquat, foszforhidrogén, ólom. UV: ftálimidek, konjugált dién. Az infravörös spektrofotometria analitikai alkalmazásai rendkívül sokrétűek: · Mennyiségi elemzés (pl. kipufogógáz analízis): Az elnyelt sugárzás mennyisége az abszorbeáló anyag mennyiségétől, koncentrációjától függ. A fényelnyelést a Lambert-Beer-törvény fejezi ki. · Azonosítás (pl. robbanóanyag-nyomokból: típus, mennyiség): Az ismeretlen összetétel anyag azonosítása többféle módon is megtörténhet. A legegyszerűbb, ha a minta infravörös spektrumát már lemért tiszta anyagok spektrumaival hasonlítják össze (un. ujjlenyomat eljárás). Modern műszerek lehetővé teszik az adatbankokban tárolt spektrumok számítógépes kezelését, ami jelentősen lerövidíti, és elsősorban megbízhatóvá teszi az azonosítási eljárást. · Szerkezet-felderítés: A spektrumban található abszorpciós sávok alapján a kvantummechanika eszközeivel számítják ki az ismeretlen molekula legvalószínűbb szerkezetét. Ennek megfelelően az élelmiszer tudományi alkalmazások sorát találjuk a szakirodalomban. Firtha – Fizika I.

- 66 -

c.) A reflexiós spektrofotometria a felület tükröződésének egyedi sajátosságai miatt a bemutatott módszerek közül a legmeghatározatlanabb. A mérésénél feltételezzük, hogy a felület megvilágításakor a közegen belüli diszperzió (szóródás) és a transzmisszió (áteresztés) elhanyagolható, tehát a beeső intenzitás és a reflexió (tükröződés) mérésével meghatározható a felület abszorpciója. beeső fény = reflexió + abszorpció + diszperzió + transzmisszió A felület teljes reflexiója ugyanakkor nehezen mérhető, mivel a fény minden irányban szóródik. A reflexió ideális alaptípusai a tükrös visszaverés (csak egy irányban történik tükröződés), a diffúz visszaverés (szétszórt, Lambert-sugárzó: a fénysűrűség minden irányból nézve azonos, a fényerősség eloszlási felülete a sugárnyaláb beesési pontját érintő gömb) és a vegyes visszaverés. A valódi felületeken azonban a reflexió nem ideális, egyedi módon függ a beesési- és visszaverődési szögtől.

84. ábra: Reflexió alaptípusai Elliptikus tükörrel lenne mód a teljes reflektált fény detektorba való fókuszálására, de a spektrofotometria ezen a ponton alkalmazkodik a színmérés módszereihez. A reflexiót meghatározott megvilágítási szög mellett és meghatározott nézőpontból mérik, amely módszer a teljes reflexiót és így az abszorpciót is csak becsli. A mérési geometriát a megvilágítás- ill. a megfigyelés szögével jellemzik (írásmódja: megvilágítás szöge/megfigyelés szöge, ahol a felületre merőleges irány számít 0°-nak.). Gyakran alkalmazott mérési geometriák a 45/0 és d/8. A d/8-as geometriánál a megvilágítás szórt (diffúz) fény, a megfigyelés szöge 8°. Látható tartományú műszernél a fény egy halonnal bevont un. integráló gömb felületéről diffúz visszaveréssel jut a mérendő felületre (85. ábra). A 8 fokos mérési szögnél lehetőség van a tükrös visszaverődés (specular) kizárására is. A megfigyelés látószöge azt jelenti, hogy a műszer érzékelője mekkora látószögben gyűjt információt. A gyakorlatban a 2- és 10°-os látószög terjedt el. A detektor típusától függően itt is beszélhetünk monokromátoros (egyszerre egy hullámhosszat vizsgáló) vagy detektorsoros (egy időben a teljes spektrumot mérő) elrendezésről.

85. ábra: Egy fényutas, d/8 mérési geometriájú rendszer (a) és kiépítése (b) A mért spektrumot, egy világos etalon spektrumához képest, relatívan értelmezik. Így kiküszöbölhető a megvilágítás spektrumának reflexióra gyakorolt hatása. A világos etalon ideális, veszteség nélküli, tökéletesen diffúz felszín. Összehasonlító mérésnél azonban választhatunk tetszőleges, a mért csoport legvilágosabb eleménél világosabb standard felületet. A méréstartomány kalibrálásának lépései: · minimális spektrális jelszint ellenőrzése pl. fénycsapda mérésével · maximális jelszint beállítása világos (láthatóban fehér, NIR-ben aranyozott) etalon mérésével · linearitás ellenőrzése közepes intenzitású (láthatóban szürke) etalon mérésével A R reflektancia (reflexiós faktor) a minta és világos etalon reflexiós spektrumainak hányadosa. Az A abszorbancia (elnyelés), a reflektancia-, azaz az etalon és minta hányadosának logaritmusa. R=

Ix I0


(= 0..1)

A = lg

- 67 -

I 1 = lg 0 R Ix

(= 0..∞)

A látható tartományú (VIS) reflexiós spektrofotométerek legegyszerűbb alkalmazása a színmérés. A reflexiós spektrum mérésével, nagy pontossággal számítható ki a felület (élelmiszer, termény, nyersanyag) színe különböző színrendszerre, megfigyelési látószögre és standard megvilágítási típusra (D65, D55, A, C, F11). Ugyanakkor mára a reflexiós spektroszkópia alkalmas beltartalmi jellemzők meghatározására is. Ezt az ipari automatizálásban is alkalmazható technikát, a széles körben elterjedt, „nedves kémiai” analitikai módszerek kiváltására dolgozták ki, amelyek nagyon időigényesek és munkaigényesek. Gyors, nem-roncsoló, hatékony módszer, amelyet már számos mezőgazdasági és élelmiszeripari termék összetételének meghatározására alkalmaztak. Mára szabad hozzáférésű, internetes adatbázisokból érhetők el a különböző elemek, molekulák abszorpciós adatai. Ugyanakkor fokozottan igaz, ami az abszorpciós spektrofotometria nehézsége is. Adott közegben az összetevők komplex kötésekben helyezkednek el a mátrix molekuláival, megváltoztatva a tiszta összetevő jellemző vibrációs-rotációs NIR/NIT abszorpciós sajátértékeit. Ennek következtében a tiszta anyag abszorpciós csúcsai nem mérhetők, a jellemző csúcsokat abban a közegben kell definiálni, ahol mérni szeretnénk. Ismert összetételű tanuló-minták spektrális adatainak statisztikai elemzésével lehet meghatározni a szignifikáns hullámhosszakat. A látható tartományban (VIS) tipikusan a színes vegyületek vizsgálhatók. Ilyenek például az élelmiszer színezékek és a zöldségekben, gyümölcsökben, fűszerekben lévő természetes színanyagok. A gyakran antioxidáns, antikarcinogén hatású színezékek, a karotinoidok (sárgarépa, paradicsom, citrom, narancs, spenót, kukorica), a kinonok (gombák), a flavonoidok (például az antocianin: szeder, kék szőlő, piros káposzta, lila hagyma, cékla, retek), a pirolok (például a klorofil), melanin (bőr), betanin (cékla) jelenléte jól detektálható az objektum felszínének reflexiójából.

86. ábra: Termények színanyagainak példái, klorofil abszorbanciája A közeli infravörös tartományban (NIR) az élelmiszerek sok összetevője rendelkezik abszorpciós csúcsokkal, ezért ez a régió különösen hasznos élelmiszeripari termékek összetételének meghatározására. A derivatív NIR technika a mért reflexiós faktor második deriváltjával (ez az eredeti függvény görbülete) jellemzi az abszorpciós csúcsoknál jelentkező töréseket. A vizsgált összetevőre jellemző hullámhosszakon, a görbület értékek arányából lehet következtetni az összetevő mennyiségére. Példaként a módszer alkalmazható állati termékek fehérje-, zsír- és nedvességtartalmának gyors becslésére (Kaffka és Martin, 1985). Tanuló-minták reflexióját mérve, majd az összetételt analitikusan meghatározva, statisztikai analízissel határozhatók meg a szignifikáns hullámhosszak (87. ábra). Az élelmiszerek és nyersanyagaik NIR tartományú vizsgálatának bőséges és sokrétű szakirodalma bizonyítja a módszer terjedését és hatékonyságát.

87. ábra: Fehérjeliszt reflexiós spektruma és második deriváltja (a), jellemző hullámhossz-párok (b) Firtha – Fizika I.

- 68 -

12. Színmérés A színek rendezése a festők színkeverési tapasztalataitól, egyéb alkalmazásoktól származtatható. Fontosabb színkeverési eljárások (Lukács, 1982, Nemcsics, 1990): · Szubtraktív: Átvilágításnál, visszaverődésnél a festék egyes frekvenciákat elnyel, tehát kivon. Alapszínek pl. cián-bíbor-sárga (CMY). Színrendszerekre példák: Tintometer-1887, Plochere-1946, Colorizer-1947 · Additív: Színes fénysugarak vetítésénél az intenzitások összeadódnak. Alapszínek pl. vörös-zöld-kék (RGB). Színrendszerek: Ridgway-1886, Ostwald-1915, Baumann-Parse-1942, Rabkin-1950 · Vegyes: A nyomdaiparban használatos raszter-rendszereknél, az egyes pontok mérete (additív) és az átfedések mértéke (szubtraktív) egyszerre határozza meg a színérzetet (88. b,c. ábra): Színrendszerekre példák: Wilson-1942, Villalobos-1947, Hickethier-1963, Küppers-1976

88. ábra: RGB- és CMY színtér (a). Nyomdatechnikával előállított képen (b) a szem közelről (c) Az ismertebb rendszerezési törekvések: Newton (Optics, 1704: prizma, színkör), Goethe (Farbenlehre, 1810: 3 pólusú RGB színkör), Maxwell (Theory of Colour Vision, 1860: 1-1-0 színháromszög), Einstein (1921). A fizika spektrális értelmezése („spektrális színmérés”, ahol az egyes frekvenciák intenzitását mérik adott felbontással) mellett végül két párhuzamos, a látás fiziológiai tulajdonságán alapuló színelmélet fejlődött ki: · Háromszín: A Young-Helmholtz (1773-1824 / 1821-1894) elmélet feltételezése szerint a retinán lévő csapokban három különböző fotopigment van. Ezek abszorpciós görbéjén alapul a színinger. („trikromatikus”, színinger, színkeveréshez hasonlóan 3 pólusú) · Ellenszín: Edwald Hering (1878) elmélete szerint a vörös-zöld, sárga-kék, fekete-fehér ingerek kioltják egymást a receptorokban. A kódolás miatt egyszerre nem észlelhetünk ellentétes színeket. („opponent coding”, színérzet, 4 pólusú) Albert H. Munsell színminta-atlasza (1915) színérzékleten alapul, színkeverési vagy méréstechnikai jellemzők helyett, a színeket három, rendezett, a színérzetet jellemző mérőszámmal írja le (89. ábra): Hue: színezet (szög: 1..10*10) Chroma: telítettség (sugárirány: 1..16) Value: világosság (függőleges: 1..10) Koordináta-rendszere Hering színrendszeréhez hasonlít, de 5 pólusú (RPBGY). Bár közvetlen méréstechnikai kapcsolata nincs, színminta-atlaszát az ipari gyakorlatban ma is aktívan használják, koordináta-típusait (Hue, Saturation, Lightness) a mai rendszerek (CieLch, HSI, HSV) is átvették.

89. ábra: Munsel színtér modellje Firtha – Fizika I.

- 69 -

A színmérésen alapuló színrendszerek sokszínűségére jellemzően néhány példa, ipari szabvány: OSA-1947, DIN-1953, NCS-1953, TGL-1963, HunterLAB-1981, Coloroid-82. Érthető tehát, hogy felmerült az igény egy mérésen alapuló nemzetközi szabvány kialakítására. Napjainkban a Nemzetközi Világítástechnikai Bizottság CIE (Commission Internationale de l’Eclairage) nemzetközi szabványa a legelterjedtebb (CIE, 1987). Az 1931-ben elfogadott CIE (x,y) rendszer koordinátái állnak legközelebb a jellemzően videó képforrásunk additív RGB összetevőinek értelmezéséhez. A rendszer színingerek mérésén, a háromszín-elméleten alapul. A Young-Helmholtz elmélet szerint az emberi szem úgy tudja az agynak szállítandó, feldolgozandó adatok számát redukálni, hogy szemben a 100-120 millió világosság-érzékeny pálcikával, a szemfenék közepén nagyobb számban elhelyezkedő kb. 6.5 millió csap háromféle fotopigmentjének érzékenységi görbéje különböző (maximumok: lR=610nm, lG=535nm, lB=470nm). A színinger e három szűrő szorzata egy adott spektrummal (300-830nm), így mindössze 3 paraméterrel leírható szemben a spektrális színmérés felbontástól függő adatsorától. A színes TV technika pl. egy adott színinger rekonstruálásakor megfelelően választott R, G, B összetevők (primaries) additív keverésével igyekszik helyesen visszaadni a három integrált, a színingert. Természetesen ebből az is következik, hogy amennyiben egy élőlény (pl. a közhiedelem szerint színvak kutya) szemében a fotopigmentek érzékenysége más, úgy Ő az emberi szem számára beállított TV képet szürreálisnak találhatja. Szemünk érzékenysége az egyes frekvenciákra egyénenként változik, ezért az, hogy mit látunk színtelennek, szintén egyénenként különbözik. A CIE 1931 szabványban: · additív alapszíninger-összetevőknek (RGB primaries) a monokromatikus lR=700,0 nm, lG=546,1 nm és lB=435,8 nm hullámhosszú sugárzást választották, · az összetevők fénysűrűségét (LR : LG : LB = 1,000 : 4,5907 : 0,0601) úgy választották, hogy egységnyi mennyiségükkel additívan előállítható legyen az egyenlő energiájú spektrum (National Physical Laboratory: fehér etalon [reflexiós]) · meghatározták és rögzítették az átlagos észlelő („standard observer”) r , g , b színinger-megfeleltető függvényeket (1931: 2˚, 1964: 10˚ Colour Matching Functions) (90. ábra).

90. ábra: r , g , b színinger-megfeleltető függvények Egyes telített színeket az alapszínekből additívan nem, csak negatív együtthatókkal lehet kikeverni (az előállított szín helyett a referencia-színhez keverték). Méréstechnikai kényelmi szempontból határozták meg az RGB rendszer olyan lineáris kombinációját, amelyben · minden szín pozitív együtthatókkal keverhető ki, · egyenlő mennyiségük meghatározza a fehér színingert · Y arányos a teljes fénysűrűséggel (LX : LY : LZ arány) Firtha – Fizika I.

- 70 -

Így kapjuk a képzetes XYZ színinger-összetevőket (91. ábra): X = 2,36460 · R – 0,51515 · G + 0,00520 · B (1) Y = -0,89653 · R + 1,42640 · G – 0,01441 · B Z = -0,46807 · R + 0,08875 · G + 1,00921 · B Amennyiben az RGB és XYZ rendszerek fehérpontja eltérő, úgy szorozni kell, az un. Bradford mátrixszal is: X = B Crx R (2)

91. ábra: 1931 és 1964 színinger-összetevők (X-Rite, 2007) A homogén lineáris transzformáció nem ortogonális, de invertálható, egyenes-tartó. Úgy állítja a bázis irányát, hogy minden szín pozitív térszögbe kerüljön, és a súlypont megtartásával megváltoztatja a koordináták arányát, azaz XYZ nem párhuzamos RGB-vel (92.a. ábra). A leképzés harmadik feltétele ellentmond a későbbi normálásnak, hiszen az azonos világosságú síkok nem lehetnek egyszerre párhuzamosak az XZ0 és az XYZ síkokkal. A lineáris transzformációnak semmi köze ahhoz, amikor egy videó eszköz által generált RGB jelet szeretnénk CIE XYZ koordinátákra konvertálni. Az XYZ képzetes összetevők által kifeszített színtérben már csak a pozitív π/2 térszögben figyelhetők meg színek. A kitöltött tartományt hívjuk színtestnek. Feltételezve, hogy az XYZ színtérben a (100,0,0) - (0,100,0) - (0,0,100) pontok által kifeszített sík pontjainak világosság-ingere azonos, a színtest színeit a síkra vetítve elvonatkoztatunk a világosságtól. A színre jellemző színezet és telítettség információ a színvektor hosszától nem, csak az összetevők arányától függ. Súlypont-meghatározáshoz hasonló számítással kapjuk a színességi-koordinátákat: x = X / (X+Y+Z) (3) y = Y / (X+Y+Z) z = Z / (X+Y+Z) ; z=1–x–y A színtest, és az említett sík metszetének két-dimenziós, xy képe a színinger-háromszög (92.b. ábra).

92. ábra RGB->XYZ transzformáció és az xy sík CIE adatokból generált képe (a), CIE1931 színinger-háromszög illusztrációja (b) Firtha – Fizika I.

- 71 -

A körvonal x(λ) és y(λ) koordinátáit táblázatokban találhatjuk meg. Az ( R , G , B ) alappontok a körvonalon, a spektrális színpályán találhatók meg. A bíbor színeket azok komplementerével jellemzik. A szürke színérzet (x ~ y ~ z ~ 1/3) helye egyéntől függ, átlagos helyét definiálja az E neutrális pont. A megvilágítás sugárzás-eloszlásától függő pontok: A: 2856K Planck-sugárzó, D65: 6504K nappali fény korrelált Planck, D50, stb. Az E(xn,yn) neutrális pont és a mért színt összekötő félegyenes spektrális színpályával való metszéspontja megadja a domináns hullámhosszat, iránytangenséből becsülhető a színezet (hue), a határtól való távolságból pedig a telítettség (saturation). Mivel a Munsel, xy, Lab rendszerek között nem lineáris a kapcsolat, a rendszerek Hue és Saturation értelmezése nyilván nem ugyanaz. Az emberi szem a mérések szerint kb. 500 világosság-értéket (Intensity Þ Lightness), 160 árnyalatot (Hue Þ h) és mindössze 20 telítettség-értéket (Saturation Þ Chroma) tud megkülönböztetni. Az egyenlő színtávolság igényének kíván megfelelni a CIE 1964 UCS (Uniform Chromaticity Scale), vagy más néven Yu’v’ ajánlása (93. ábra). Mivel világosság-érzékelésünk un. láthatósági függvénye a zöld színinger-megfeleltető függvényhez hasonló harang-függvény (csak annál szélesebb), az intenzitást itt már csak a zöld összetevőből számítják. 4X 4x = X + 15Y + 3 Z - 2 x + 12 y + 3 9 Y 9y v, = = X + 15Y + 3 Z - 2 x + 12 y + 3

(4)

u, =

93. ábra: CIE 1964 UCS [u’,v’] (X-Rite, 2007) Az (x,y) és (u’,v’) rendszerek nem felelnek meg annak az igénynek, hogy az egyforma színérzékletkülönbségeknek ugyanakkora távolságok feleljenek meg. A CIE erre két alternatívát ajánlott: · A CIE 1964 L*u*v* az Lu’v’ továbbfejlesztése. ·

A CIE1976 L*a*b* (94. ábra), A Munselhez hasonló, de Ewald Hering: „Opponent colour” elméletén alapuló tér, azaz egy színérzet nem lehet egyszerre zöld és piros (a= -60..+60), kék és sárga (b= -60..+60) egyszerre.


- 72 -

Számításuk függ a választott neutrális ponttól (referencia fehértől): CIE 1976 Lab: X1 = X

Xn

Y1 = Y

CIE 1976 Luv: Yn

Z1 = Z

(5)

Zn

X 2 = ( X 1 > 0,008856 ) ? ( X 11 / 3 ) : (7,787 × X 1 - 16

) 116

Y2, Z2 ugyanígy L* = 116 × Y2 - 16

L* = 116 × ( Y

a * = 500 × [ X 2 - Y2 ] b * = 200 × [Y2 - Z 2 ]

Yn

)

1

3

- 16

u * = 13L* × (u , - u n )

v * = 13 L* × (v , - v n )

94. ábra: CIE Lab és LCh színrendszerek (Minolta ismertető, X-Rite, 2007) A CIE-Lab rendszer másik értelmezése visszakanyarodik a Munsell színrendszer koordinátatípusaihoz: 1 CIE 1976 LCh: L* = 116 × ( Y ) 3 - 16 (6) Yn 2

2

C * = a* + b* * h 0 = arctan(b * ) a Tapasztalataim szerint a színezet (Hue angle) és telítettség (Saturation) paraméterek könnyen derítik fel montázs képek és generált színrendszer ábrák rejtett tulajdonságait. A színrendszer ígéretesnek látszik egyes termények fertőzésének, rothadásának kimutatására. Az ipari gyakorlatban előfordulnak még elterjedten alkalmazott, és ami munkánkban fontos, a videó eszköz által mért RGB koordinátákon alapuló rendszerek, pl: · HSI (Hue, Saturation, Intensity) képfeldolgozás, 120˚ ·

HSV (Hue, Saturation, Value)

képfeldolgozás, 120˚

·

YUV (Monochrome, ΔR, ΔB)

Europian Broadcasting Union (PAL/SECAM)

·

YIQ (Monochrome, ΔR, ΔB)

National Television System Committee (NTSC)


- 73 -

13. Képfeldolgozás, spektrális képfeldolgozás A digitális képfeldolgozás során 1D, 2D vagy több dimenziós digitális képek adatain végzünk számításokat, de ezen túl célkitűzései rendkívül sokrétűek és speciálisak. Kép- és filmszerkesztők operátorai, tömörítési technikák, sztereo látás, 3D rekonstrukció, stb. mind részei a területnek. A továbbiakban azon módszereket ismertetjük, ahol a feladatnak megfelelő adatredukciós algoritmus, az adott felbontású képből kvantitatív jellemzőket számol ki. Néhány hétköznapi és ipari példa: · a vonalkód leolvasó a merőleges vonal mentén mért reflexió eloszlásából dekódol számsorozatot · karakter-felismerő algoritmus rendszám, szöveg, postai csekk képén egy kódsorozatot határoz meg · ujjlenyomat-, írisz-, arc- felismerő algoritmus az azonosítás valószínűségét adja meg · szántóföldi látórendszer meghatározza a kultúrnövény, illetve a termény pozícióját · termény-válogató automata, a szín és alak szerint minősíti a terményt és osztályozza · minőségellenőrzésnél termények fajta-azonosítása is történhet szín, mintázat és alak alapján A képtér (forrás) alapvető fajtáira példák: · vonal menti: vonalkódnál az Intenzitás(x) vektor · monokromatikus: fekete-fehér képnél az I(x,y) mátrix · több csatornás: RGB kép esetén három mátrix, R(x,y), G(x,y) és B(x,y) · több dimenziós: rétegfelvételekből összetett 3D képnél az I(x,y,z) adatkocka

95. ábra: Képtér példái: vonal menti- (EAN-13), monokróm-, RGB- és 3D (PET) kép 1.) Az adatredukció alapvető módszereit, RGB képeken, termények szín- és alak-leírásának példáján keresztül mutatjuk be. Első lépésben, a kép szegmentációja során kiválasztjuk a vizsgált objektumok képpontjait. Az algoritmus a háttér pontjait nullával jelöli, a megtalált objektumok képpontjait pedig sorszámmal látja el. Az azonos sorszámú szomszédos pixelek tartománya alkot egy objektumot. Néhány szegmentációs algoritmus: a.) Két pontosztály automatikus szegmentálása: A szegmentáció egyszerű és automatikus módja abban az esetben alkalmazható, ha az objektum és a háttér képpontjai elkülönülnek az RGB térben. A képpontok RGB koordinátáira statisztikát (összeget és szorzatösszeget) számítva, a kovarianciamátrixból meghatározható a pontfelhőket optimálisan szétválasztó irány (96.b. ábrán sárga egyenes). Ezzel a d iránnyal skalárisan szorozva egy képpont c színvektorát, az irányra való vetületet kapjuk. A c·d vetület gyakoriságát kifejező hisztogrammon (96.c. ábra), két elkülönülő pontfelhő esetén két un. módust láthatunk. A két módus közé választott küszöbértékkel két osztályba sorolhatók a képpontok. Zajszűrés: Látható, hogy még homogén objektum és háttér esetén is előfordulhat, hogy egyes képpontok, színük alapján hibásan osztályozhatók. Szegmentálás után, a túl kicsiny, zajnak minősíthető szigetek, pixelszámuk alapján a környező területekhez (háttérhez vagy az n. objektumhoz) csatolhatók.

96. ábra: Homogén objektum és háttér (a), RGB tér (b), vetület hisztogramja (c) Firtha – Fizika I.

- 74 -

b.) Több pontosztály tanulómintás szegmentációja: Összetett színű objektum, inhomogén háttér esetén mintaképek tartományait kijelölve mutathatunk példát az objektum és a háttér színeire. A szegmentációs algoritmus ez után az alapján dönti el, hogy egy képpont melyik csoportba tartozik, hogy színe melyik osztályközépponthoz van legközelebb az RGB térben. Inhomogén megvilágítás esetén a színezetek (színirány az RGB térben) távolsága alapján még hatékonyabban osztályozhatunk.

97. ábra: Inhomogén objektum (a), pontosztályok (b). In-vivo és laboratóriumi alkalmazások (c,d) c.) Élkeresés: Inhomogén vagy takarásban lévő objektumok szegmentálása, szín alapján nem, csak a körvonal meghatározásával lehetséges (98.a. ábra). Ennek lépései az éldetektálás és élnövesztés. Az éldetektáló algoritmusok azon él-gyanús pontokat emelik ki, amelyek vonalra illeszkednek (98.b. ábra). Az így nyert élek azonban nem feltétlenül alkotnak folytonos vonalat. Az élnövesztő eljárások az élek kiegészítését kísérlik meg. Egyszerű példája, a Hough-algoritmus egyeneseket (kört, más görbét) illeszt az él-gyanús pontokra (98.c. ábra), de a feladat általánosabb megoldása, a félig takart alakzatok képzeletbeli kiegészítése már a mesterséges intelligencia kutatás tárgykörébe tartozik.

a.)

b.) c.) 98. ábra: Inhomogenitás és takarás (a). Éldetektálás (b) és élnövesztés (c)

2.) Felület jellemzése: A kiválasztott objektum felületének jellemzése az egyik lehetséges cél. A színt vagy mintázatot leíró algoritmust a kiválasztott objektum képpontjain kell alkalmazni. a.) Statisztika: Az objektum színét az RGB koordináták átlagával, szórásával és korrelációjával jellemezhetjük. A többváltozós statisztikai paraméterek a kiválasztott objektum képpontjain, az RGB koordináták SX összegéből és SXY szorzatösszegéből az alábbi összefüggések alapján számíthatók. Az így nyert, színt jellemző paraméterek általában alkalmasak osztályozási, automatizálási feladatokra. átlag: szórás: eltérés-szorzatösszeg: korrelációs eh:

Mx = SX / n sx = Ö (SXX/n - Mx×Mx ) Sxy = SXY - n×Mx×My rxy = Sxy / Ö (Sxx×Syy)

b.) Színmérés: A színmérésre alkalmazott reflexiós spektrofotométerek izolált környezetben, jól definiált megvilágítás és nézőpont biztosításával méri a reflexiót. A digitális képfelvételi és megjelenítő eszközök színtere (gamutja) azonban a színháromszögnek csak résztartománya. A jelenleg legelterjedtebb eszközök IEC szabványú sRGB színtere igen szűk tartomány (99.a. ábra). A gamuton belül azonban feltételek teljesítésével transzformálható a mért RGB jel a CIE színrendszer RGB színterébe. · Kalibráció: A diffúz megvilágítás és a szenzor stabilizálásával, a színteret kifeszítő etalonok mérésével, megfelelő kalibrációs eljárással biztosítható a transzformáció a mért RGB jel és a CIE színterek koordinátái között. · Görbület: Kiterjedt objektumok görbült felületén a mért reflexió függ a beesési és a visszaverődési szögtől (99.b. ábra). A vizsgált objektumtípus reflexiós tulajdonságait, a görbület jelre gyakorolt hatását előzetes mérésekkel kell meghatározni. c.) Mintázat: A textúra jellemzése adott feladatra speciális algoritmust kíván. Példaként, a kenyér porozitása jellemezhető a képen felismert lyukak sugarának hisztogramjával és az abból számítható sugár-átlaggal és szórással (99.c. ábra). Firtha – Fizika I.

- 75 -

a.)

b.) c.) 99. ábra: Digitális színterek (a). Barack reflexiója (b). Porozitás leírása sugár-hisztogrammal (b).

3. Alakleírás: Az alakleírás módszerei az alkalmazástól függően speciálisak. Példaként egy a szimmetriákat leíró általános módszert, egy osztályozási célú specifikus módszert és a morfológiai leírás kérdéseit mutatjuk be. A szegmentációt követően, a szükségtelen részletek, pl. a szár, morfológiai operátorral eltüntethetők. Megfelelő algoritmus, az óramutató járásával ellentétes irányban megtalálja és felsorolja az alakzat körvonalának pontjait (xi,yi), majd feltételezve, hogy az alakzat konvex, a súlyponthoz viszonyított polár koordinátás alakban r(φ) függvényként ábrázolja. Az alábbi módszerek e függvényt közelítik Fourier sorral illetve célfüggvénnyel.

100.ábra: Körtefajták alakja. Körvonal pontjainak polár koordinátái. a.) Harmónikus közelítés: Egy [0, T] tartományon korlátos, integrálható és legalább szakaszonként differenciálható függvény Fourier sora a függvényt, harmonikus függvényekkel (konstans, teljes hullámhossz és felharmonikusok) közelíti. A Fast Fourier transzformáció (FFT) ekvidisztans alappontokban mért diszkrét adatsorra számítja ki a Fourier együtthatókat, amelyekre az i. felharmonikus amplitúdója ci, eltolása pedig φi. ¥

f (t ) = c0 + å ci × sin( 2p × i × i =1

t + ji ) T

A hang frekvenciáinak, spektrumának meghatározására is alkalmazott technika, jól használható az alak szimmetriáinak leírására is. A körvonal súlyponthoz viszonyított r(φ) polár koordinátáinak Fourier együtthatói jellemzik az átlagos sugarat, a kis- és nagytengely arányát és irányultságát, valamint az n. felharmonikus amplitúdóját és eltolását.

101. ábra: Körvonal Fourier együtthatóinak értelmezése Firtha – Fizika I.

- 76 -

b.) Célfüggvény illesztése: Adott objektumcsoport alakja jól közelíthető a csoportra jellemző célfüggvény illesztésével. Hagymafajták alakjára például 6 függvény szekvenciája jó közelítést ad. A függvények 6*2 paraméterét és a görbült tengelyt leíró 3 paramétert adott egyedre a legkisebb négyzetek módszerével (LSE) lehet meghatározni. A mindössze 15 paraméterrel való közelítés átlagos eltérése 0,2mm alatti lehet (lásd melléklet). Megfelelő célfüggvény paramétereiből számítható egy számítógépes szakértői rendszer hagyományos értékelési paraméterei is (nagy- és kistengely, stb.). c.) Morfológiai jellemzés: Termények, levelek strukturális leírásának első lépéseként meghatározhatók a körvonal jellemző töréspontjai (például a banán két végpontja). A töréspontok között mesterséges görbék közelíthetik az alakot, mint például Fourier vagy Spline regresszió. A növényi részek jellemző torzulását, görbült topológiáját, megfelelő algoritmussal ki lehet egyenesíteni, ezzel meghatározva az alak valódi paramétereit, például a banán tengelyének hosszát és az átmérő változását (102.b. ábra).

102. ábra: Objektumcsoport alakleírása célfüggvénnyel (a). Görbült topológia rektifikálása (b). Az élelmiszeripari automatizálásban, minőségellenőrzésben és kutatásban már számos helyen alkalmazzák a képfeldolgozás gyors, roncsolás- és érintésmentes módszereit. Nem csak a hagyományos kamerák és képfelvételi eszközök képe vizsgálható képfeldolgozási módszerekkel. Az élelmiszertudományban alkalmazhatók például az orvostudomány képfelvételi eszközei is. Erre néhány példa: · UH (ultrahang): Az emberi, állati szövetek jól vezetik az ultrahangot, de vezetőképességük különböző. A vizsgálófejben piezzo-elektromos kristály generálja az ultrahangot és a szövetek felületéről visszavert hullámok vételével történik a képalkotás. A különböző mélységű rétegfelvételekből rekonstruálható a 3D kép is. Élelmiszerekre alkalmazzák pl. húsipari termékek vizsgálatára, de nagy teljesítményű fejekkel vizsgálnak terményeket is. · Röntgen vizsgálat: A röntgencső sugarait a különböző szövetek eltérően nyelik el, ezért a vizsgált test túloldalán elhelyezett filmen vagy detektor-mátrixon kirajzolódnak a különböző szövetek. · CT (computer tomográfia): A vizsgált haránt irányú rétegről, érintősíkban, különböző irányból röntgenfelvételeket készítve, az intenzitásgörbék sorozatából kiszámítható a réteg 2D képe. Egymással párhuzamos rétegek képét felvéve 3D kép nyerhető. Jód tartalmú kontrasztanyag vénás bejuttatásával akár az erek is jól kiemelhetők. Élelmiszerekre alkalmazzák pl. élőállat zsír- és színhústartalmának becslésére. · MR (mágneses rezonancia): Ezzel a tomográfiás eljárással, ionizáló sugárzás nélkül nyerhetők rétegfelvételek. Alapja, hogy erős, állandó mágneses térben (helyiség) a szervezet folyadéktereinek részecske-rezgései szinkronizálódnak. A vizsgált területet rádiofrekvenciás térrel gerjesztve (gradiens tekercs) rezonancia lép fel, majd megszüntetve a gerjesztést, a rezgések újra szinkronizálódnak. A gép a visszarendeződés idejét és egyéb paramétereit mérve állítja elő a képet. Élelmiszerekre alkalmazzák pl. húsok márványozottságának leírására vagy növények nedvességeloszlásának "in vivo" tanulmányozására is. · PET (pozitron emissziós tomográfia): Lényege, hogy radioaktív izotópot tartalmazó molekulákat juttatnak a vizsgált szervbe. A pozitron sugárzást gyűrű alakú detektorral mérik és számítógép segítségével történik a képek létrehozása. A gyors lebomlás miatt helyszíni részecskegyorsítót, ciklotront igényel. A PET vizsgálat meglehetősen új és drága (hazánkban egyetlen készülék működik), ezért élelmiszertudományi alkalmazása még nem terjedt el. A rétegfelvételek és a 3D rekonstrukciók képfeldolgozó algoritmusai, a képfeldolgozás élenjáró alkalmazásai.

a.)

b.)

c.)

103. ábra: 3D ultrahang kép (a), CT működési elve (b), száradó kukorica mag MR képe (c)


- 77 -

Spektrális képalkotás A távérzékelésben (haditechnika, bányászat, mezőgazdaság, környezetvédelem) az egyes képpontokra multispektrális eszköznél 10-100 csatornát, hiperspektrális eszköznél 100-nál nagyobb felbontással a spektrumot mérik. Az így mért adattömb a hiperkocka (104.a. ábra). A méréshez alkalmazott képalkotási technikák a következők: · Whiskbroom: Pont spektrumát spetrofotométer méri. A kép pásztázásával épül fel a kocka. · Pushbroom: Vonal képét spektrográf bontja fel, mátrix méri. A vonal előretolásával épül a kocka. · Staring: A képet szűrőn keresztül mátrix méri. A hullámhossz változtatásával épül a kocka.

104. ábra: Hiperkocka (a). Képalkotási módszerek (b) A távérzékelés spektrális képalkotási módszerei élelmiszerek kutatására, vizsgálatára is alkalmazhatók. A repülőgépes távérzékelési méréseknél is használt pushbroom technika, kutatási feladatokban, a hiperkocka mérésével, spektrális tulajdonságok kutatására alkalmazható. Az elsősorban multispektrális feladatokra használt staring technika, automatizálási feladatokban, jellemző hullámhosszak mérésével, spektrális tulajdonság detektálására alkalmazható. A kutatási feladatra optimális pushbroom mérőkészülékeknél a vizsgált vonal képét, az objektíven keresztül, spektrográf (optikai rács) bontja fel és leképezi a szenzor-mátrixra (105.a. ábra). Az objektumot tartó Y-asztalt megfelelő, y-irányú sebességgel mozgatva, az (x,w) képeket adott mintavételi frekvenciával felvéve építhető fel az (x,y,w) hiperkocka. A mérőberendezés, a tartománynak megfelelő megvilágító egységgel, optikával, spektrográffal és szenzorral egyaránt mérhet infravörös (NIR) és látható (VIS) tartományokon is (105.b. ábra).

105. ábra: Pushbroom méréselrendezés (a) és a mérőberendezés (b). Hiperkocka (c) A mért hiperkocka (3D) adatredukciójával lehet egy vizsgált tulajdonság hely szerinti eloszlását kifejezni (2D). Egyszerű esetben az operátor, egy képpont reflektált spektrumát skalárra redukálja, például egy összetevő koncentrációját kifejező intenzitás értékre. A spektrofotometriából ismert, hogy adott összetevő abszorpciós csúcsai a tartalmazó közegtől is függnek, ezért az operátor meghatározásához olyan tanulóminta előzetes mérése szükséges, amelyen az összetevő koncentrációjának eloszlása ismert. Firtha – Fizika I.

- 78 -

Az adatredukció ismert formája színlátásunk. Az adatcsatornák (idegpályák) és feldolgozó egység (agy) véges kapacitása miatt a képpontok spektruma helyett, három skalár (RGB színingerek) alapján érzékeljük a valóságot. A színingerek érzékelésének modellje lineáris összefüggést feltételez. A spektrumot szorozva az RGB komponensek érzékenységi görbéivel, mint szűrőkkel, kapjuk az RGB színingereket. Hasonlóan lineáris adatredukciós modellnél, a mintavételezett M(x,w) mátrixot szorozva egy szűrővel (vektorral), kapjuk a tulajdonság hely szerinti eloszlását kifejező T(x) vektort (106. ábra).

106. ábra: Adatredukció lineáris példája Bár egy komponens koncentrációját kifejező adatredukciós operátor a lineárisnál jóval bonyolultabb, a mintavételezett mátrixok feldolgozása hasonló. A vizsgált vonalat y irányban mozgatva, a mátrixokat adott frekvenciával mérve és feldolgozva határozható meg akár több tulajdonság hely szerinti eloszlása (107. ábra).

107. ábra: Spektrális jellemzők eloszlásának mérése A hiperkockából így számított intenzitás mátrixok (3D à 2D) azután akár képfeldolgozási eszközökkel feldolgozhatók (2D à 1D). A módszerrel kutatási feladatban vizsgálható inhomogén szerkezetű objektumok változása is, például növényi szövetek száradása tárolás közben. Az ipari automatizálási feladatokban fontos a költségkímélő mérési módszerek kidolgozása. Amennyiben pár szignifikáns hullámhossz mérésével meghatározható egy tulajdonság (összetevő) intenzitása, akkor multispektrális méréssel, staring technikával (szűrőkkel) mérhető a tulajdonság hely szerinti eloszlása. Néhány jellemző multispektrális alkalmazás: · Húsáru esetleges szennyeződéseinek detektálása · Alma keserű foltosság (sztrippesedés, kalcium-hiány, bitter pit) korai detektálása · Eper beltartalmi jellemzőinek (nedvesség-, szárazanyagtartalom, PH) becslése · Tisztított dióbél héj szennyezőinek detektálása


- 79 -

Ábrák, diagrammok, táblázatok A csősúrlódási tényező közelítései turbulens áramlásnál


- 80 -

Ajánlott irodalom Kidolgozott feladatok: ·

Horváth I, László P. (2007) Élelmiszerfizika példatár. BCE ÉTK és Mezőgazda Kiadó, Budapest

Mechanika, hidrodinamika fejezetekhez: · · · · ·

Budó Ágoston (1997) Kísérleti fizika I. Mechanika, hangtan, hőtan. Nemzeti Tankönyvkiadó, Budapest Tasnádi P, Skrapits L, Bérces Gy, Litz J. (2001) Mechanika II. Hőtan. Dialog Campus Kiadó, Pécs-Budapest Öveges József (1979) Kísérletezzünk és gondolkozzunk. Gondolat Kiadó, Budapest Pattantyús Á. Géza (1959) Gyakorlati áramlástan. Tankönyvkiadó, Budapest Pattantyús Á. Géza (1983) Gépek üzemtana. Műszaki Könyvkiadó, Budapest

Reológia fejezetekhez: · · · ·

Mózes Gyula, Vámos Endre (1968) Reológia és reometria. Műszaki Könyvkiadó, Budapest Gasztonyi Kálmán, Bogdán Józsefné, Gábor Miklósné (1979) Az élelmiszerkémia alapjai. Mezőgazdasági Kiadó, Budapest Komándi Györgyné E. Irén (1981) A kertészeti termények agrofizikai adatai. Mezőgazdasági Kiadó, Budapest Ernst Jenő (1977) Biofizika. Akadémiai Kiadó, Budapest

Optika, spektrofotometria fejezetekhez: · · · · ·

R.P. Feynman, R.B. Leighton, M. Sands (1985) Mai fizika 3. Optika, anyaghullámok. Műszaki Könyvkiadó, Budapest Budó Ágoston, Mátrai Tibor (1999) Kísérleti fizika III. Optika és atomfizika. Nemzeti Ábrahám György (1997) Optika. Panem-McGraw-Hill Kiadó, Budapest Alvin Hudson, Rex Nelson (1990) Útban a modern fizikához. LSI Oktatóközpont, Budapest Kaffka Károly, Paul A. Martin (1985) Kísérletek állati eredetű fehérjelisztben lévő fehérje-, zsír- és nedvességtartalom meghatározására NIR technikával. Acta Alimentaria, Budapest

Színmérés, képfeldolgozás fejezetekhez: · · · · ·

Lukács Gyula (1982) Színmérés. Műszaki Könyvkiadó, Budapest Nemcsics Antal (1990) Színdinamika. Akadémia Kiadó, Budapest CIE-IEC joint publication (1987) International Lighting Vocabulary. 4th ed. Commission Internationale de l'Eclairage, CIE Publ. No. 17.4, IEC Publ. No. 50(845), Genf Álló G., Fűglein J., Hegedűs Gy. Géza & Szabó J. (1993) Bevezetés a számítógépes képfeldolgozásba. BME Mérnöktovábbképző Intézet, Budapest M. Ezekiel, K. A. Fox (1970) Korreláció- és regresszió-analízis. Közgazdasági és Jogi Könyvkiadó, Budapest


- 81 -

Fizika I. (Mechanika, áramlástan, reológia, fénytan) előadási jegyzet Élelmiszermérnök, Szőlész-borász mérnök és Biomérnök BSc hallgatóknak

Recommend Documents