BSC fizika tananyag MBE Mechatronika szak Kísérleti jegyzet
Készítette: Sörlei József
1
1. Elektrosztatika 1.1. Elektrosztatikai alapjelenségek vákuumban. Coulomb Törvény
Az elektromos töltés.
Az elektrosztatika a nyugvó töltések közötti kölcsönhatásokkal foglalkozik. Már az ókorban ismert volt a dörzselektromosság (érintkezési elektromosság) jelensége. A gyapjúval megdörzsölt borostyánkő a selyemszálra függesztett bodzabél golyót magához vonzza. A borostyánkő görög neve elektron. Gilbert a megdörzsölt borostyánkőnek ezt a tulajdonságát elektromos hatásnak nevezte el. Az is közismert, hogy a testeknek kétféle elektromos állapota lehet. Az azonos elektromos állapotú testek taszítják, a különböző elektromos állapotúak pedig vonzzák egymást. A gyapjúval dörzsölt ebonit rúd és a bőrrel dörzsölt üvegrúd ellentétes elektromos állapotú, ellentétes töltésű. A töltések tehát egymásra erőt fejtenek ki. Mivel a vonzó és taszító erőhatás alapján a töltések két csoportba sorolhatók, Franklin a bőrrel dörzsölt üveg töltését pozitívnak, a gyapjúval dörzsölt ebonit vagy borostyánkő töltését negatívnak nevezte el. Az egymáshoz dörzsölt testek ellentétes töltésűek lesznek, azaz a dörzsöléskor nem töltések keletkeznek, hanem a töltések szétválasztódnak. Ha ellentétes töltésű fémeket összeérintünk, akkor a töltések lerontják, semlegesítik egymást. Ha egy kisméretű töltött fémgolyóhoz egy azonos méretű semleges fémgolyót érintünk, akkor a két golyón a töltések egyenlő arányban oszlanak meg. Ilyen módon egy töltött fémgolyóhoz azonos méretű semleges fémgolyókat érintve a töltést sok különböző kisebb részre tudjuk osztani. A töltésmegmaradás törvénye kimondja, hogy zárt rendszerben a töltések előjeles összege állandó. Ez nem jelenti azt, hogy töltések nem keletkezhetnek, vagy nem semmisülhetnek meg, hiszen egy részecske és antirészecskéje (pl. elektron és pozitron) találkozásakor semleges gamma-foton keletkezik, illetve egy elegendően nagy energiájú gamma-fotonból egy atommaggal való kölcsönhatáskor elektron és pozitron keletkezhet (Dirac: párkeltés) Az elemi töltésegység (Millikan kísérlete) A villamos töltés jele: Q, mértékegysége: coulomb [C] Millikan amerikai Nobel-díjas fizikus bizonyította, hogy a töltésnek létezik egy természetes elemi egysége, ami egy proton, illetve egy elektron töltésének abszolútértékével egyenlő. Olajcseppeket porlasztott kondenzátorlemezek közé, amik a porlasztástól enyhén negatív töltésűvé váltak. A rá ható erők alapján az olajcseppek töltése meghatározható. Azt tapasztalta, hogy az olajcseppek töltése ugyan különböző volt, de mindegyik csepp töltése egy elemi egységnek egész számú többszöröse. Ezt az értéket elemi töltésegységnek nevezzük, melynek értéke e=1,6⋅10-19 C. A villamos töltés (Q). Coulomb törvénye Két pontszerű töltés által egymásra kifejtett erő nagyságát Coulomb francia hadmérnök vizsgálta kísérletileg torziós mérleggel. (A töltések akkor tekinthetők pontszerűnek, ha a testek mérete elhanyagolható a köztük levő távolsághoz képest.) Ez az erő (F) egyenesen arányos mindkét test töltésével (Q1, Q2), és fordítva arányos a köztük levő távolság (r) négyzetével. Az arányossági tényező vákuumban SI Nm 2 A pontszerű töltések által egymásra kifejtett erő: mértékrendszerben k = 9 ⋅ 10 9 C2 Q ⋅Q r Q ⋅Q r 1 ⋅ 12 2 , F2 = k ⋅ 1 2 2 ill. F2 = r 4 ⋅ π ⋅ ε0 r r r 2
r - Q1-től Q2 felé mutató egységvektor, r ε 0 − vákuum dielektromos állandója (permittivitása; abszolút permittivitás) A pozitív erő taszítást, a negatív vonzást jelent. Ha a fenti módszerrel ismert a töltések aránya, akkor ezen törvény alapján a töltés mérhető. Vezetők: Olyan anyagok, amelyekben szabadon mozoghatnak a töltések. Elsődleges vezetők a fémek, amelyek rácspontjaiban helyhez kötött fémionok rezegnek, a köztük levő térben pedig szabad (delokalizált ) elektronok rendezetlen hőmozgást végeznek. Másodlagos vezetők az elektrolitok, az ionokat tartalmazó folyadékok. Ilyenek a fémek olvadékai, valamint a sók, savak és bázisok vizes oldatai, olvadékai. Vezetők az ionokat és/vagy szabad elektronokat tartalmazó gázok, valamint ha vákuumba szabad töltéshordozókat (pl. elektronokat) juttatunk (tv-képcső). Szigetelő anyagok: Nincs bennük szabadon mozgó töltés. Ilyenek az atomrácsos, molekularácsos és ionrácsos szilárd testek, valamint a csak atomokat vagy molekulákat tartalmazó folyadékok és gázok.
F2 – a Q2-re ható erő,
Vezetők elektrosztatikus mezőben Vizsgáljuk meg, hogy a semlegesítetlen töltések hol helyezkednek el egy fémtárgyon? Ha egy fémgömbre pl. egyetlen elektron többlettöltést viszünk fel, akkor az bárhol lehet. Ha viszont 2 ilyen elektron van, akkor azok taszítása miatt már a külső felületen helyezkednek el. Természetesen ugyanez érvényes a semlegesítetlen pozitív töltésekre is. A szabad töltések a fémek külső felületén helyezkednek el. Gömb esetén a felületi töltéssűrűség állandó, a töltések eloszlása a felületen egyenletes. Q ⎡ C ⎤ Ekülső Felületi töltéssűrűség: σ = Ekülső ⎢m2 ⎥ A ⎣ ⎦ Villamos megosztás (influencia): + Ha villamos térbe teszünk egy semleges + fém tárgyat, akkor benne a töltések + szétválasztódnak. A keletkező belső villamos tér a külsővel ellentétes irányú, így a külső teret gyengíti. Megosztás Megosztás Ez a folyamat addig tart, amíg a fém előtt miatt belsejében az eredő villamos térerősség nulla 1.1. ábra nem lesz. Ez látható az 1.1. ábrán. Földelés: A föld jó vezető, mert vízben oldott ásványi anyagokat tartalmaz. Ha egy fémtárgyat vezető anyaggal összekötünk a földdel, azt földelésnek nevezzük. A földelő rúdnak olyan mélyen kell lennie, hogy mindig nedves talajjal érintkezzen. Ha egy semleges fémet egy töltött test közelébe viszünk, akkor benne a töltések szétválasztódnak (influencia). Ha ezt a megosztott testet rövid ideig leföldeljük, akkor a megosztó töltéssel egynemű töltések „a földbe távoznak”, így az eredetileg semleges fém a megosztó testtel ellentétes töltésű lesz. A Földkéreg nem semleges, hanem negatív töltéstöbblete van, ezért a felszín közelében lefelé mutató villamos térerősség mérhető. Árnyékolás: Ha egy elektronikus eszközt vagy vezetőt zárt fémburokkal vagy fémhálóval veszünk körül, akkor az megvédi a belsejében levő berendezéseket a külső sztatikus elektromos mezőktől. A zárt fémburkolatot általában leföldelik. A villamos megosztásnál már láttuk, hogy a külső töltések nem létesítenek villamos teret a zárt fém belsejében, mert az erővonalak a fémen záródnak, vagy a fémből indulnak. A vasbeton épületek árnyékoló hatása csökkenti a hordozható rádiók vételi lehetőségét. 3
Az árnyékolt kábelek belső ereit sűrű szövésű rézháló, vagy félig átlapoltan alufólia veszi körül. A zárt fémburok védi az embereket a villámcsapástól a repülőgépekben és a gépkocsikban. Faraday-kalickát használnak a nagyfeszültségű távvezetékek átvizsgálásához is. Szigetelők elektrosztatikus mezőben Dipólus: Egy semleges atom pozitív és negatív töltésközéppontja egy pontba esik. Ha villamos térbe tesszük, akkor a negatív töltésközéppont a térerősséggel ellenkező, a pozitív töltésközéppont pedig a térerősséggel megegyező irányba eltolódik. Az olyan részecskéket, amelyek össztöltése nulla, de a pozitív és negatív töltésközéppontok nem egy pontba esnek, dipólusoknak nevezzük. Vannak olyan molekulák, amelyek eleve dipólus szerkezetűek (pl. vízmolekula). Ha szilárd szigetelőanyagot villamos térbe teszünk, akkor benne dipólus láncok alakulnak ki a polarizáció miatt, illetve ha eleve dipólus molekulákból állt, akkor a dipólusok rendeződnek, befordulnak a tér irányába. Átütés: Az erős villamos tér képes kiszakítani elektronokat a dipólusokból. Töltéshordozók keletkezhetnek a gázokban úgy is, hogy inhomogén térben a dipólusok nagyon felgyorsulnak, és egymással ütköznek. Ütközéskor elektron mehet át egyik dipólusról a másikra, vagy kiszakadhat a kötésből és szabaddá válhat. Ez az ütközési ionizáció. A mező a fémekből is képes elektronokat kiszakítani (téremisszió), amik a környező szigetelőt vezetővé teszik. Az erős villamos tér hatására tehát a szigetelők vezetővé válhatnak, szikrakisülés, villám vagy egyéb kisülés keletkezhet. Átütési szilárdság: Az a legkisebb térerősség, amelynél az átütés bekövetkezik. 1.2. Villamos térerősség. Erővonalak, a térerősség fluxusa A Coulomb törvény vizsgálatakor azt mondtuk, hogy két egymástól távoli töltés hat egymásra. Ezt a távolba hatás elméletét Michael Faraday (feredé) megváltoztatta. Bevezette az elektromos és mágneses erőtér (elektromos és mágneses mező) fogalmakat. Az elektromos kölcsönhatást nem úgy értelmezte, hogy két távoli töltés hat egymásra, hanem hogy egy töltés maga körül elektromos erőteret (mezőt) hoz létre, és az ebben a mezőben levő másik töltésre a vele érintkező mező fejt ki erőhatást. Ez a közelhatás elmélete. Az erőtér (mező) önállóan létezik, megváltoztatja a vákuum tulajdonságát is, energiát tartalmaz. Az elektromos mezőt jellemezhetjük a villamos térerősség vektorral (E ): A villamos térerősség megadja a vizsgált pontban a pozitív egységnyi mérőtöltésre ható F ⎡ N ⎤ ⎡V ⎤ erő nagyságát és irányát: E = ⎢⎣ C ⎥⎦ = ⎢⎣ m ⎥⎦ Q A mező minden pontjához rendelhető egy térerősség vektor, amit úgy lehet megmérni, hogy elosztjuk a mérőtöltésre ható erő (F) nagyságát a mérőtöltéssel (Q). Iránya a pozitív mérőtöltésre ható erő irányával egyezik meg. Villamos térerősség-vonalak: A villamos erőteret szemléltethetjük erővonalakkal. Ilyen jellegű vonalak mentén rendeződnek például az elektromos mezőben levő olajra szórt daraszemcsék. Az erővonalak tulajdonságai elektrosztatikus térben: – Sűrűségük arányos a villamos térerősség nagyságával – Érintőjük az adott helyen megadja a villamos térerősség irányát. – Mindig pozitív töltésből indulnak, és negatív töltésen záródnak – A fémekből (vezetőkből) merőlegesen lépnek ki, vagy be. 4
Azt az erőteret, ahol a villamos térerősség mindenütt azonos nagyságú és irányú, homogén erőtérnek nevezzük. A homogén erőteret egymással párhuzamos, egymástól azonos távolságra levő erővonalakkal jellemezhetjük. Pontszerű töltés villamos tere: Az 1.2. ábrán egy pozitív pontszerű töltés erővonalképe látható, ami gömbszimmetrikus. Az erővonalak sugárirányban kifelé mennek. A pontszerű negatív töltés erővonalai ugyanilyen alakúak, de befelé mutatnak. A villamos térerősség a töltéstől r távolságban: 1 Q ⋅ Qm ⋅ 4 πε 0 r2 F r E= ⋅ = Qm Qm r 1 Q r Egyszerűsítés után: E = 4πε 0 r 2 r
+
1.2. ábra
Homogén villamos erőtér: A villamos térerősség mindenütt egyenlő nagyságú és azonos irányú. Ilyen tér jön létre két ellentétes töltésű, egymáshoz közeli párhuzamos fémlemez között (a szélektől eltekintve).
+Q
-Q
Szuperpozíció:
E E2 +Q1
E1 +Q2
A villamos térerősséget a mérőtöltésre ható erő alapján határoztuk meg. Ha az erőteret több töltés létesíti, akkor a mérőtöltésre ható erők vektoriálisan összegződnek, ezért a villamos térerősség vektorok is a vizsgált pontban összegződnek (1.3. ábra)
1.3. ábra A villamos térerősség fluxusa (ψ) Az elektromos fluxus (Ψ ) (pszí) megadja az A felületen merőlegesen átmenő villamos ⎡ Nm 2 ⎤ térerősség-vonalak számát. Ψ = E n ⋅ A , ⎢ ⎥ = [Vm] ⎣ C ⎦ 1.3. Forráserősség. Gauss tétel (Maxwell I. törvénye) Vizsgáljuk meg a ponttöltés elektromos fluxusát egy őt körülvevő gömb esetén! A gömb középpontja a ponttöltés helyén van. 1 1 Q Ekkor Ψ = E n ⋅ A = ⋅ 2 ⋅4⋅π ⋅r2 = ⋅Q 4πε 0 r ε0 Mivel az elektromos mező forrása a Q töltés, a belőle kiinduló összes erővonalszám független a távolságtól, vákuum esetén csak a töltés nagyságától függ. Ezt a mennyiséget forráserősségnek nevezzük. 1 A Q töltés forráserőssége: N E = ⋅Q
ε0
5
Gauss-tétel: Ha a villamos teret több töltés létesíti, akkor meghatározhatjuk egy tetszőleges V térfogatban levő töltések forráserősségét. Vegyük körül a töltéseket egy tetszőleges zárt felülettel. Osszuk fel olyan felületelemekre, amelyeken belül a térerősség állandónak tekinthető. Szorozzuk meg a felületre merőleges térerősség-komponenst a felületelemmel, és az így kapott szorzatokat adjuk össze a teljes zárt felület mentén. Ez az összeg egyenlő a felület által bezárt térfogatban levő töltések előjeles összegének és a vákuum permittivitásának hányadosával. Q ∑ 1 V Matematikai alakban: ∑ E n ⋅ ΔA = ⋅ ∑ Q ill. ∫∫ EdA = ε0 V ε0 A zárt felületre
Ezt a tételt Maxwell I. törvényének is nevezik, melynek fizikai jelentése: A sztatikus elektromos tér forrásai és nyelői a villamos töltések. (James Clerk Maxwell foglalta egységes elméletbe az elektrodinamikát. A 4 Maxwellegyenlet és 3 anyagi egyenlet segítségével az elektromágneses tér jelenségei leírhatók.) 1.4. Az elektromos mező munkája, feszültség és potenciál
Δs Q
ϕ
B E
A
Juttassunk el egy +Q mérőtöltést az A pontból a B pontba az 1.4. ábrának megfelelő módon. A vizsgált helyen az E térerősséggel megegyező irányú erő a kicsi Δs úton munkát ΔW = F ⋅ Δs ⋅ cos ϕ = E ⋅ Q ⋅ Δs ⋅ cos ϕ végez. A végzett összes munka Q kiemelése után: B
W = Q ∑ E ⋅ Δs ⋅ cos ϕ A
ill.
B
W = Q ∑ E ⋅ Δs A
B
1.4. ábra
W = Q ∫ Eds A
A sztatikus elektromos erőtér konzervatív, azaz a végzett munka független az úttól, csak a kezdő és végpont helyzetétől függ. A villamos feszültség (U ): A villamos erőtér 2 pontja között mérhető. Megadja, hogy az elektromos mező mennyi munka árán képes elvinni a pozitív egységnyi mérőtöltést az egyik pontból a másikba. Skalár mennyiség (nincs térbeli iránya). W Értelmező egyenlete: U = mértékegysége 1 volt [V] Q Szokás a két pont közötti feszültséget nyíllal jelölni, és a feszültség irányáról beszélni, ez azonban nem térbeli irányt jelent, hanem a feszültség előjelét határozza meg. Ilyen értelemben a feszültség iránya a pozitívabb ponttól a negatívabb pont felé mutat. (Két pont közül az a pozitívabb, amelyikből az elektromos tér képes a másikba elvinni a pozitív mérőtöltést.) Egy zsebrádió működése függ attól, hogy az elemet hogyan tesszük bele, a + és – pólus nem cserélhető fel, de a térbeli elforgatása nem befolyásolja a működést, ha az antenna irányérzékenységétől eltekintünk. A villamos munka: A végzett villamos munka egyenesen arányos a két pont közötti feszültséggel, és a mozgatott töltéssel. W = U ⋅ Q
6
A feszültség és a térerősség kapcsolata: Ha a feszültség értelmező egyenletébe behelyettesítjük a villamos munkára kapott B
összefüggést, akkor U =
W = Q
Q ⋅ ∑ E ⋅ Δs A
Q
Egyszerűsítés után: U = ∑ E ⋅ Δs ,
. B
U = ∫ E ⋅ ds
ill.
A
Két pont közötti feszültség egyenlő a villamos térerősség és az elmozdulás skalárszorzatainak összegével. Homogén mezőben egy erővonal d távolságú pontjai között a feszültség: U = E ⋅ d A villamos térerősség a potenciál negatív gradiensével egyenlő: E= – grad U ∂U ∂U ∂U E=− i− j− k ∂x ∂y ∂z Ponttöltés elektromos erőterében (centrális erőtér) a két pont közötti feszültséget integrálszámítással határozhatjuk meg. Ha az A és B pontok egy erővonalon vannak az 1.5. ábrának megfelelően, akkor: B rA A r rB rB Q ⎡ 1⎤ B 1 Q U = ∫ Eds = ∫ dr = − rB 4πε 0 r 2 4πε 0 ⎢⎣ r ⎥⎦ rA rA rA
⎛1 1⎞ Q⎜⎜ − ⎟⎟ 4πε 0 ⎝ rA rB ⎠ 1.5. ábra A képlet akkor is igaz, ha a pontok az adott sugarú gömbök tetszőleges pontjaiban vannak. Ha ugyanis a mérőtöltést egy gömb felszínén mozgatjuk, akkor nem végzünk munkát, mert az elmozdulás merőleges az erőre. Így tetszőleges kezdeti helyzetből az 1.5. ábrának megfelelő „A” pontba vihetjük a mérőtöltést az „rA ” sugarú gömbön munkavégzés nélkül. Potenciál: A potenciál egy választott nullponthoz viszonyított feszültség. A nullpont nem geometriai pont, hanem egy nívófelület. Ha egy töltést az erővonalakra merőlegesen mozgatunk, akkor a villamos erőtér nem végez munkát, vagyis az ilyen pontok között nincs feszültség. Az ilyen felületeket nívófelületeknek vagy ekvipotenciális felületeknek nevezzük. A gyakorlatban szokás a földet, vagy a villamos berendezés legnagyobb kiterjedésű fémrészét (test) nulla potenciálú pontnak választani. A fizikában gyakran a tér végtelen távoli pontját választjuk nulla potenciálúnak.
U=
UAB
B
A UA
UB 1.6. ábra
1
A feszültség és potenciál kapcsolata: Juttassuk el az „A” pontból a „B” pontba a pozitív mérőtöltést. A végzett munka független az úttól, mert a sztatikus elektromos mező konzervatív erőtér. Először vigyük a töltést a nulla potenciálú helyre. Ekkor a végzett munka: W A→ B = W A→0 + W0→ B = W A→0 − WB →0 Az egyenlet mindkét oldalát Q-val osztva kapjuk, hogy U AB = U A − U B , vagyis a két pont közötti feszültség egyenlő a két pont potenciáljának különbségével. 7
Pontszerű töltéstől r távolságra levő pont potenciálja (a nulla potenciálú pont a végtelenben van): 1 Q Ha a ponttöltés feszültségére kapott összefüggésben rB → ∞ , akkor a potenciál: U = 4πε 0 r A ponttöltés terében a potenciál egyenesen arányos a forráserősséggel, és fordítva arányos a forrástól mért távolsággal. 1.5. Örvényerősség. Maxwell II. törvénye B
W = Q ∑ E ⋅ Δs . Mivel a
Az elektromos tér által két pont között végzett munka:
A
nyugvó (sztatikus) elektromos tér konzervatív, a zárt görbe mentén végzett munka zérus: W = Q⋅
∑
E ⋅ Δs = 0
Mivel Q≠0, ezért
zárt görbére
∑
E ⋅ Δs = 0
zárt görbére
Ezt a kifejezést az elektromos tér örvényerősségének (cirkuláció) nevezzük: A villamos térerősség és a pillanatnyi elmozdulás skalárszorzatának zárt görbére vett összege. Az örvényerősség értelmező egyenlete: ÖE =
∑
E⋅ Δs
zárt görbére
Ö E = ∫ E ⋅ ds
Maxwell II. törvénye: Az elektrosztatikus tér örvénymentes, tehát az örvényerősség bármely zárt görbére zérus: ÖE =
∑
zárt görbére
E ⋅ Δs = 0
Ö E = ∫ E ⋅ ds = 0
Más megfogalmazásban ez azt jelenti, hogy az elektrosztatikus tér erővonalai nem lehetnek zárt görbék. Ha ugyanis zárt görbe lenne egy erővonal, amely mentén kiszámítanánk az örvényerősséget, akkor az E⋅ Δs szorzatok azonos előjelűek lennének, és így az összeg nem lehetne nulla. 1.6. A Gauss-törvény alkalmazásai nagy szimmetriájú töltéselrendeződésekre Q Vonalmenti töltéssűrűség: λ = [C/m]; megadja egy vékony vezető egységnyi l hosszúságán tárolt töltést. Q ⎡ C ⎤ Felületi töltéssűrűség: σ = ; megadja a felületegységre jutó töltések A ⎢⎣ m 2 ⎥⎦ mennyiségét. Q ⎡C ⎤ Térfogati töltéssűrűség: ρ = ; megadja az egységnyi térfogatban tárolt töltések V ⎢⎣ m 3 ⎥⎦ mennyiségét. Gömbszerű töltéseloszlás szigetelőben (térerősség és potenciál): A ρ=állandó töltéssűrűségű gömbben r
R esetén: Q Q E ⋅ 4 r 2 π = , és így E = ε0 ε0 4 r 2 π
r
8
A potenciál: U = ∫ Edr = R
Q 1 Q dr = 2 ∫ 4 πε 0 r 4 πε 0 r
1.8. ábra
E
r
U
Töltött fémgömb esetén: A gömbön kívül a pontszerű töltés vagy a térfogatban egyenletesen eloszló töltés terével azonos eredményt kapunk. A gömbön belül a megosztás miatt a térerősség nulla, a potenciál pedig állandó.
r Töltött síklap elektromos tere a síklap közelében: Ha a síklapot egy vele párhuzamos felületű nagyobb téglatesttel vesszük körül, akkor a párhuzamos lapok „A” nagyságú felületén merőlegesen mennek át az + + Q + + erővonalak, a többi részen pedig nincsenek erővonalak. E ⋅ 2 A = , ezért + + ε0 Q σ = E= 2 Aε0 2 ε0 Ellentétesen töltött két párhuzamos lemez (síkkondenzátor) esetén: Az erővonalak a pozitív töltésű lemezből a felületre merőlegesen lépnek ki, a negatívra pedig merőlegesen lépnek be. Ha Gauss-felületnek a pozitív +Q -Q lemezt körülvevő téglatestet választunk, csak egy „A” felületű lapján Q σ mennek át erővonalak, ezért: E = = Aε0 ε0 A potenciál a lemezek között, ha a negatív töltésű lemezt tekintjük nulla potenciálúnak, és az σ x távolságot a negatív lemeztől mérjük a pozitív lemez felé: U = ∫ Edx = x ε0 Vonaltöltés elektromos tere: Az „l” hosszúságú „λ” töltéssűrűségű vezetőt „r” sugarú koaxiális hengerrel vegyük körül. A térerősségvonalak sugárirányban mennek, ezért csak a paláston mennek át a felületre merőlegesen: 1 Q Q ⋅ E ⋅ l ⋅ 2 rπ = , ezért E = ε0 2 lπ ε 0 r Az R1 és R2 sugarú hengerek közötti potenciálkülönbség:
Q U= 2 lπ ε 0
+Q
–Q
1.9. ábra
R2
1
Q
∫ r dr = 2 l πε
R1
ln 0
R2 R1
Tükörtöltés: Ha egy nagy kiterjedésű fémlap vagy fémtest fölött elhelyezünk egy pontszerű töltést, akkor az a fémlapban megosztást okoz. A villamos térerősségvonalak a fém felületénél sztatikus térben a fémre merőlegesek, mert ha lenne párhuzamos komponens, akkor az a töltések elmozdítását okozná. Olyan erővonalkép alakul ki, mint ha a fém
9
felülete mögött, tőle azonos távolságban egy, az eredetivel azonos nagyságú, de ellentétes előjelű töltés lenne. Ezt tükörtöltésnek nevezzük . 1.7. Egyensúlyi töltéseloszlások elektromos terének alaptulajdonságai
• •
• •
A vezetők belsejében a villamos térerősség nulla A vezető külső felületén a villamos térerősség merőleges a felületre, mert a párhuzamos komponens a szabad elektronok gyorsulását okozná. • Az elektromos többlettöltés a vezető külső felületén helyezkedik el. A fémben a külső felülethez bármilyen közel felvett Gauss-felületen a villamos térerősség nulla, tehát a bezárt töltés is nulla. • A vezetőben levő üregben az elektromos térerősség nulla, és a belső felületen nincsenek töltések, ha az üregben egyébként nincs töltés. Ha egy töltött üreges fém külső felületéhez érintünk egy töltetlen fémgolyót, majd egy elektroszkóp fegyverzetéhez, akkor az elektroszkóp kitér. Ha a belső felülethez érintjük a fémgolyót, majd az elektroszkóphoz, akkor nincs kitérés (még akkor sem, ha eredetileg a golyó töltött volt. Ezen az elven működik a Van de Graaf-generátor (szalag-generátor 1.10 . ábra). A 10 kV nagyságrendű feszültségű hegyes csúcsról töltések mennek a szigetelő anyagú szalagra, + 10 kV – ahonnan a fémüreg belsejében levő másik 1.10. ábra fémcsúcs leszívja a töltéseket, amik a konduktor külső felületére taszítódnak. Ha az üregben vannak a fémtől elszigetelt töltések, akkor a megosztás miatt az üreget határoló belső felületen ellentétes előjelű töltések keletkeznek, és az üregben a villamos térerősséget a belső töltések határozzák meg. Faraday-kalitka: Zárt fémburkolat belsejében a külső statikus töltések nem létesítenek elektromos teret
• A térerősség nagysága, és a felület görbülete közötti kapcsolat: A felület görbülete a simulókör sugarának reciproka. Legyen két különböző sugarú fém gömbfelületünk egy R vezetővel összekötve. Ez azt jelent, hogy ekvipotenciálisak. rQ2 Q1 Q2 Q1 = A felületükön a potenciál: U = 4 πε0 R 4 πε0 r Q Q Ebből a 1 = 2 hányados állandósága következik. R r Q1 4πε 0 R 2 Q1 r 2 E R r2 r = ⋅ 2 = ⋅ 2 = A felületeken a térerősségek aránya: 1 = Q2 Q2 R r R R E2 2 4πε 0 r A térerősségek a gömbök felületén tehát a görbületi sugarakkal fordítva, a görbületekkel egyenesen arányosak. Ez a magyarázata a csúcshatásnak.
10
Csúcshatás: Ha a tárgynak hegyes csúcsai, élei vannak, akkor a taszítás miatt ott a töltéssűrűség nagyobb. Ezt látjuk a 11. ábrán. A töltött tárgy hegyes csúcsának közelében igen erős - - a villamos tér, ezért polarizálja a levegő részecskéit. Az inhomogén térben a dipólusokra - --ható vonzóerő miatt a gázrészecskék a csúcshoz vonzódnak, ott töltést vesznek fel, majd még - - nagyobb erővel eltaszítódnak. Ez a taszító erő okozza a Seegner-kerék forgását, vagy azt, hogy a 1.11. ábra gyertya lángját elfújja a töltött fémcsúcs. Villámhárító: A villámhárító egy hegyes fémrúdból (felfogó), vastag vezetőből (levezető) és földelőből áll. Működése a megosztáson és a csúcshatáson alapul. A megosztás miatt a csúcs a felhővel ellentétes töltésű lesz, a csúcshatás miatt pedig a térerősség nagyon nagy. Ez az erős inhomogén villamos tér hozza létre az átütést, a villámot. 1.8. Elektromos tér szigetelők belsejében: Polarizáció és indukált elektromos tér
Tegyünk homogén villamos térbe szilárd szigetelőt! Ekkor dipólus láncok alakulnak ki. Belül Ekülső az ellentétes töltések egymást semlegesítik, de a + széleken lévő polarizációs töltések a külső – – + – + – + elektromos térrel ellentétes irányú villamos teret Epolarizációs létesítenek. Az eredő villamos térerősség a kettő vektori összege, algebrai különbsége: 1.12. ábra E = E vákuum + E indukált ill. E = E vákuum − E indukált . Az indukált villamos tér tehát mindig csökkenti a villamos térerősséget a vákuumbelihez képest. Ezt a relatív permittivitással (relatív dielektromos állandóval) vesszük figyelembe. A relatív permittivitás megadja, hogy hányadrészére csökken a vákuumhoz képest a villamos térerősség a szigetelőanyag hatására. E ε r = vákuum > 1 E szigetelő A fémekben az indukált térerősség a külső térrel egyenlő nagyságú (a fémekben az eredő térerősség zérus), ezért a fémek relatív dielektromos állandója ∞. A permittivitás: ε = ε 0 ⋅ ε r A villamos térerősség tehát anyagtól függő mennyiség. Célszerű bevezetni egy anyagtól ⎡ C ⎤ független térjellemzőt is, amit dielektromos eltolás vektornak nevezünk: D = ε⋅ E ⎢ 2 ⎥ ⎣m ⎦ Q ⎞ ⎛ A Gauss-tételből következik, hogy egy fém felületén a felületi töltéssűrűség ⎜ D = ⎟ ΔA ⎠ ⎝ megegyezik a közvetlenül a fém mellett a szigetelőanyagban a dielektromos eltolás nagyságával. A Gauss-törvény általános alakja Q ∑ V Q ∫∫A EdA = ε ill. ∫∫A DdA = ∑ V Az elektromos térerősség zárt felületre számított fluxusa (forráserősség) egyenlő a bezárt összes töltés és a dielektromos állandó hányadosával; ill. A dielektromos eltolás zárt felületre számított fluxusa egyenlő a bezárt töltések előjeles összegével. 11
Lineáris és nemlineáris dielektrikumok Ha az anyag permittivitása állandó, akkor a D villamos térerősség és a dielektromos eltolás egyenesen arányosak. A legtöbb szigetelőanyag esetén ezt tapasztaljuk. A nemlineáris szigetelők (ferroelektromos anyagok) esetén a relatív permittivitás függ a térerősség nagyságától, nem állandó (pl.: SeignetteE só [szenyett-só], báriumtitanát). A térerősség és a 1.13. ábra dielektromos eltolás kapcsolatát az 1.13. ábra mutatja. A külső térerősséget növelve a dipólusok rendeződnek. A külső tér megszűnésekor a dipólusok részben rendezettek maradnak, ezért a dielektomos eltolás nem nulla (remanencia). A jelentős remanenciával rendelkező szigetelőanyagokat elektréteknek nevezzük. Az elektréteket erős villamos térben meleg állapotban polarizálják, majd lehűtik. A „befagyott” rendezettség miatt a közeli fémrétegben influenciát okoznak (pl. elektrét mikrofon). A Curie-hőmérséklet felett a ferroelektromosság megszűnik. Piezoelektromosság: Bizonyos kristályok szemközti lapjai között deformáció (húzás, nyomás, hajlítás, csavarás) hatására a polarizációs töltések miatt feszültség keletkezik. A legfontosabb piezoelektromos anyag a kvarc (SiO2), de ilyen a Seignette-só, és bizonyos ferroelektromos kerámiák is. A jelenség inverze az elektrostrikció, amikor feszültség hatására méretváltozás, deformáció jön létre. A piezoelektromosságot használjuk például öngyújtókban, gázgyújtókban, nyomásmérőkben, mikrofonokban, az elektrostrikciót pedig például ultrahang keltésére. 2. Kondenzátorok. Kapacitás 2.1. Kondenzátor Töltések tárolására alkalmas eszköz. Felépítése: Két jó vezető (fegyverzetek) között szigetelőanyag található. A kondenzátorok töltéstároló képességét a kapacitással jellemezzük Kapacitás (C): megadja, hogy egységnyi feszültség hatására mennyi töltést képes tárolni a Q ⎡C⎤ kondenzátor. Értelmező egyenlete: C = mértékegysége: ⎢ ⎥ = [F] farad U ⎣V⎦
Q – az egyik lemezen tárolt töltés (csak az egyik kondenzátorlemez vesz fel töltést, a másikon megosztással keletkezik) -Q U – a lemezek közötti feszültség. +Q A gyakorlatban főleg pF, nF és μF (pikofarad, nanofarad, mikrofarad) nagyságrendű kapacitásokkal A találkozhatunk. A Beszélhetünk egy fémtárgy földhöz viszonyított, ill. a tér végtelen távoli pontjához viszonyított kapacitásáról is. d Ekkor Q a fémen levő töltés, U a potenciál. Határozzuk meg a 2.1. ábrán látható síkkondenzátor 2.1. ábra kapacitását, ha a lemezek között vákuum van. A lemezek között az erőtér homogén, az erővonalak párhuzamosak, és sűrűségük állandó. Az összes erővonal a pozitív töltésű lemezről indul ki, és a negatív töltésű lemezen végződik, ha a lemezek elég közel vannak egymáshoz.
12
Vegyük körül a pozitív töltésű lemezt a szaggatott vonallal rajzolt téglatesttel, és alkalmazzuk a Gauss-tételt. A téglatestnek csak a jobboldali „A” felületű lapján nem nulla a Q Q , és ebből E = térerősség, ezért E ⋅ A = ε0 ε0 ⋅ A U A térerősség és feszültség kapcsolatából: E ⋅ d = U , ill. E = d Az egyenletrendszerből E kiküszöbölésével kapjuk a síkkondenzátor Q A kapacitását: C = = ε 0 ⋅ U d A szigetelőanyag hatása a kapacitásra: Ha a két lemez közötti teret valamilyen szigetelőanyag tölti ki, akkor a kapacitás megnövekszik. Ennek az az oka, hogy a szigetelőanyagban az 1.12. ábrán látható módon dielektromos polarizáció jön létre. Az indukált elektromos tér miatt az eredő térerősség Q Q csökken. Emiatt csökken a feszültség, és növekszik a kapacitás: C = = U E ⋅d A kapacitás növekedésének mértéke a szigetelőanyag fajtájától függ. Relatív dielektromos állandó (relatív permittivitás; ε r ): Megadja, hogy hányszorosra növekszik a síkkondenzátor kapacitása, ha a lemezek közötti C teret vákuum helyett az adott szigetelőanyag tölti ki: ε r = r [puszta szám] C0 2.2. Kondenzátorok fajtái
Szigetelő fólia
Alumíniumfólia 2.3. ábra
A legtöbb kondenzátor lényegében síkkondenzátornak tekinthető, mert a fegyverzetek egymással párhuzamosak. A két fegyverzet alumíniumfólia-szalag, amelyek közé papírt, olajjal átitatott papírt, műanyag fóliát (polisztirol, polietilén) tesznek, majd az így kapott szalagszendvicset összehajtogatják, vagy feltekercselik (2.3. ábra) Gyakran két kivezetéssel látják el. A két kivezetés lehet az egyik homlokfelületen, vagy mindkét alaplapon egy – egy. Lehetséges, hogy csak egy kivezetés található, mert a másik maga a fémház, amelyhez fém bilinccsel tudunk csatlakozni.
Elektrolit kondenzátor (Polaritásfüggő) Nagy kapacitást kis térfogatban úgy lehet előállítani, hogy nagy felületeket hozunk létre, és azokat nagyon közel helyezzük el egymáshoz. Egy sík lap felülete sokszorosára növelhető, ha a felületén domborzatot hozunk létre. Ez kémiai maratással megoldható. Az alumíniumoxid (Al2O3) jó szigetelő, amit megfelelő vastagságban elektrolízissel lehet létrehozni. Az atomos oxigén, ami az elektródánál kiválik, bediffundál az alumínium elektródába, és oxidálja azt. Ezt eloxálásnak nevezzük. A másik elektródának fel kell vennie pontosan a domborzat negatívjának alakját, különben a két elektróda távolabb lenne egymástól, de a közeli csúcsok miatt az átütési szilárdság is kicsi lenne. Ez úgy valósítható meg, ha a másik elektróda egy vezető folyadék, amit itatóspapírban felitatnak. 13
A pozitív elektróda az alumínium, a negatív elektróda az elektrolit. Ellentétes polaritásnál az elektrolitban gáz fejlődik, ami a kondenzátort szétrobbantja, ezért fordított polaritással, vagy váltakozó áramú áramkörbe tilos bekötni! Forgókondenzátor (2.4. ábra) A változtatható kapacitású kondenzátorok leggyakrabban forgatható kivitelben készülnek. Egymástól meghatározott távolságra levő, egymás fölé rögzített és villamosan összekötött fémlemezek közé közös tengelyen levő, egymással szintén fémes kapcsolatú lemezsort lehet be- illetve kihajtani. A két lemezsor természetesen egymástól szigetelt. A lemezek elforgatásával változik a szembenálló felület nagysága, és emiatt a kapacitás is. 2.4. ábra Hengerkondenzátor (2.5. ábra)
Kerámia henger
Fegyverzet
2.5. ábra
kivezetés
Egy kerámia henger belső és külső felületére fémbevonatot visznek fel, és a fegyverzeteket a két oldalon kivezetésekkel látják el. Alkalmazzuk az „l” hosszúságú hengerre a Gausstételt R1
Q ε 2 lπ = R U ln 1 R2
Gömbkondenzátor Vizsgáljuk meg egy Q töltésű R sugarú fémgömb villamos terét a gömbön kívül! r>R esetén: Q Q E ⋅ 4 r 2 π = , és így E = ε0 ε0 4 π r 2 ∞
⎡ Q ⎤ ⎡ Q ⎤ Q ∞ 1 dr = ⎢ A potenciál: U = ∫ Edr = ⎥ =⎢ ⎥ ∫ 2 4 πε 0 R r ⎣ 4 πε 0 r ⎦ R ⎣ 4 πε 0 R ⎦ Q Ebből a kapacitás: C = = 4 πε 0 R U 2.3. Kondenzátorok kapcsolásai
C Kondenzátor rajzjele: Eredő kapacitás: Egy kondenzátor csoportot helyettesíthetünk egyetlen olyan kapacitással, amelyik ugyanakkora feszültség esetén ugyanannyi töltést tárol, mint a kondenzátorcsoport (ugyanannyi töltést vesz fel a tápegységből, mint a kondenzátor csoport).
14
Soros kapcsolás: A soros kapcsolást az jellemzi, hogy a kondenzátorok között nincs elágazás (2.6. ábra). Ennek következménye, hogy minden kondenzátorlemezen ugyanannyi töltés található: Q=állandó. Ha ugyanis erre a kondenzátorcsoportra C1 egyenfeszültséget kapcsolunk, akkor a negatív C2 +Q –Q +Q –Q pólusból a C2 jobboldali lemezére –Q töltés megy, + ami C2 baloldali lemezéről –Q töltést eltaszít, így C2 U baloldali lemeze +Q töltésű lesz. Ugyanígy U2 U1 megosztás jön létre C1 kondenzátornál is. – Q és Mivel U 1 + U 2 = U , U= C 2.6. ábra Q Q Q + = . C1 C 2 C
Egyszerűsítés után:
1 1 1 , = + C C1 C 2
ill.
C=
1 n
1
∑C i =1
i
Sorosan kapcsolt kondenzátorok eredő kapacitása egyenlő a részkapacitások reciprokai összegének reciprokával (replusz). Párhuzamos kapcsolás: A párhuzamos kapcsolást az jellemzi, hogy a kondenzátorok azonos 2 ponthoz kapcsolódnak (2.7. ábra). C1 Ebből az következik, hogy a feszültségük –Q1 +Q1 közös. A felvett töltés a villamosan összekapcsolt lemezeken eloszlik, tehát Q=Q1+Q2 C2 U –Q2 +Q2 C ⋅ U = C1 ⋅ U + C 2 ⋅ U
C = C1 + C 2
ill.
n
C = ∑ Ci i =1
A párhuzamosan kapcsolt kondenzátorok eredő kapacitása egyenlő a részkapacitások
2.7. ábra
összegével. Dielektrikummal részben töltött kondenzátorok kapacitása: A 2.8/a ábrán látható kondenzátor 2 db soros kapcsolású, a 2.8/b ábrán látható pedig 2 db párhuzamos kapcsolású kondenzátornak tekinthető.
d1 d2 2.8/a
2.8/b 2.4. Az elektromos mező energiája és energiasűrűsége
Q W U 2.9. ábra
Egy q töltésű kondenzátor töltését növeljük meg dq-val. q Ekkor a végzett munka: dW = Udq = dq C A Q töltésű kondenzátorban tárolt energia a feltöltéshez Q q Q2 szükséges összes munkával egyenlő: W = ∫ dq = 2C C 0 15
Mivel Q = C ⋅ U , a végzett munka és a tárolt energia: W =
1 C ⋅U 2 2
A tárolt energia kifejezhető a villamos térerősséggel is. Az U = E ⋅ d
és
C =ε
A d
1 A 2 2 ε E d . 2 d A homogén elektromos mező energiája egyszerűsítés után, valamint V=Ad 1 1 figyelembevételével: W = ε ⋅ E 2 ⋅V = E ⋅ D ⋅V 2 2 A homogén elektromos mező energiája egyenesen arányos a térfogatával és a térerősség négyzetével, arányossági tényező a permittivitás fele. Az elektromos mező energiasűrűsége: megadja a térfogategységben tárolt energiát: ΔW w= , ha ΔV → 0 ΔV 1 1 Az elektromos mező energiasűrűsége: w = ε ⋅ E 2 = E ⋅ D 2 2
összefüggéseket a tárolt energia képletébe helyettesítve: W =
3. Egyenáramú hálózatok 3.1. Az elektromos áram Áramerősség ( I ) A villamos áram a töltések egyirányú rendezett mozgása. Az áramerősség megadja a vezető teljes keresztmetszetén időegység alatt átáramlott töltésmennyiséget. Q I= [A ] amper t Skalár mennyiség, nincs térbeli iránya. A technikai áramirány (nem térbeli irány, csak előjelet határoz meg) a pozitív töltések mozgásával megegyező, illetve a negatív töltések mozgásával ellentétes irány. Az időben állandó áramot stacionárius áramnak, vagy egyenáramnak nevezzük. (Tágabb értelemben minden olyan áram egyenáram aminek nem változik az iránya.) 3.2. A villamos ellenállás. Ohm törvénye
A vezetőben az elektronok ütköznek a fémionokkal, és ez a rendezett mozgást akadályozza. Villamos ellenállás (R): A vezetőknek azt a tulajdonságát, hogy a töltések mozgását akadályozzák, villamos ellenállásnak nevezzük. Egy vezető ellenállása annál kisebb, minél nagyobb áram folyik rajta azonos feszültség hatására. Rajzjele:
R
Ohm-törvény: Ohm német fizikus megállapította, hogy fémek esetén állandó hőmérsékleten a vezető két végpontja közötti feszültség (U) és a vezetőn folyó áram (I) hányadosa állandó. Ez a hányados jellemzi a villamos ellenállást (rezisztencia): U [Ω] ohm R= I
16
A vezető ellenállása állandó hőmérsékleten a vezető hosszúságától (l), keresztmetszetétől (A), és anyagi minőségétől függ. Az anyagra jellemző állandót fajlagos ellenállásnak (ρ) l nevezzük: R= ρ⋅ A A vezető ellenállása egyenesen arányos a vezető hosszával, fordítottan arányos a vezető keresztmetszetével, arányossági tényező a fajlagos ellenállás. A fajlagos ellenállás megadja az egységnyi hosszúságú és egységnyi keresztmetszetű Ωmm 2 egységet anyag ellenállását. Mértékegysége: Ωm. A gyakorlatban azonban inkább az m használják, mert a vezetékek keresztmetszetét általában mm 2 − ben adják meg. A vezetők fajlagos ellenállása, és ezért az ellenállása is függ a hőmérséklettől: ρ = ρ 20 (1 + α 20 Δt ) , ill. R = R20 (1 + α 20 Δt ) α 20 – a 20 °C-hoz tartozó ellenállás-hőfoktényező (temperatúra-koefficiens) ρ 20 – a 20 °C-hoz tartozó fajlagos ellenállás Δt – hőmérsékletváltozás 1 Vezetőképesség (G ): Az ellenállás reciproka: G = [S] siemens R 1 Fajlagos vezetőképesség (γ ): A fajlagos ellenállás reciproka: γ =
ρ Áramsűrűség (J ): megadja a vezető egységnyi keresztmetszetén átfolyó áramerősséget (az egységnyi keresztmetszeten időegység alatt átáramló töltésmennyiséget):
I I ⎡ A⎤ , J= n 2 ⎥ ⎢ A A ⎣m ⎦ A felületre merőleges, a technikai áram irányába mutató vektor (n – egységvektor). l U Az Ohm-törvénybe helyettesítsük be az ellenállást a vezető adataival kifejezve: ρ = A I I 1U Átrendezve: = = γ⋅E A ρ l Az Ohm-törvény differenciális alakja (Maxwell egyik anyagi egyenlete is): J = γ E Az áramsűrűség egyenlő a fajlagos vezetőképesség és a villamos térerősség szorzatával. Az áramsűrűség és a villamos térerősség egyirányúak. J=
3.3. Az ellenállás magyarázata Fémrács: A rácspontokban a pozitív fémionok rezgőmozgást végeznek, a köztük levő térben pedig a delokalizált (szabad) elektronok rendezetlen hőmozgást végeznek. (Szemléletesen azt mondhatjuk, hogy amíg egy szabad elektron egy közeli iontól viszonylag távol van, addig a pozitív töltés vonzó hatását érzékeli, de ha egészen közel ér hozzá, akkor az elektronfelhő taszító hatása érvényesül, így elpattan valamerre. Ez a vonzó-taszító hatás okozza a rendezetlen mozgást. Ezen kívül az elektronok egymással is ütköznek.) A fémekben a villamos áram úgy jön létre, hogy az elektromos mező gyorsítja a szabad elektronokat, amik viszont ütköznek a fémionokkal, és energiájukat leadva lelassulnak, sebességük iránya és nagysága is változik. A mező hatására tehát egy rendezetlen mozgáshoz egy rendezett, egyirányú mozgás is társul. Könnyen belátható, hogy kétszeres úthossz megtételéhez kétszer annyi ütközés tartozik, tehát az ellenállás a vezető hosszával egyenesen arányos. Dupla keresztmetszet esetén azonos feszültségnél a teljes keresztmetszeten kétszer annyi elektron megy át időegység alatt, a kétszeres áramhoz fele ellenállás tartozik. Az ellenállás fordítva arányos a keresztmetszettel.
17
A fajlagos ellenállást az ionok mérete, a köztük levő távolság, és a delokalizált elektronok száma befolyásolja. Magasabb hőmérsékleten megnövekszik a rezgési amplitúdó és frekvencia, ami növeli az időegység alatti ütközések számát, ezért a hőmérséklet növekedése ellenállás-növekedést okoz. Az ellenállás értelmezése a klasszikus fizika alapján: Az elektronok rendezetlen mozgásának sebessége (termikus sebesség) az ekvipartíció tétel alapján számítható ki (minden részecske minden szabadsági fokára 1/2kT energia jut) 3 kT 1 3 me v 2 = kΤ Ebből v = me 2 2 (k – Boltzmann-állandó, me – elektron tömege, T – abszolút hőmérséklet) Szobahőmérsékleten ez kb. 100 000 m/s. N A vezető árama kifejezhető a térfogategységben levő szabad elektronok számával n = , V az elemi töltésegységgel (e), a vezeték keresztmetszetével (A), és az elektronok rendezett mozgásának átlagsebességével vD, amit driftsebességnek nevezünk: I = n⋅ e⋅ A⋅ v D N – a vezetőben levő szabad elektronok száma, V – a vezető térfogata. A termodinamikából ismert, hogy a részecskeszám és az Avogadro-állandó aránya egyenlő N m NA=6*1023 1/mol. Ebből a fémionok és a a tömeg és a moláris tömeg arányával: = NA M szabad elektronok száma meghatározható. A rendezett mozgás átlagsebessége (driftsebesség) a szokásos áramoknál cm/s vagy mm/s nagyságrendű. Az áramsűrűség: J = n⋅ e⋅ v D (1) Az elektronokat a villamos tér gyorsíja, de ütközéskor gyakorlatilag az összes rendezett Ee mozgási energiájukat leadják, és zérus kezdősebességről indulnak. A gyorsulásuk: a = me Két ütközés között eltelt időt kiszámíthatjuk a szabad úthosszból (λ – megadja a két ütközés között átlagosan megtett utat), és a termikus sebességből (a driftsebesség λ elhanyagolható mellette): τ = vT aτ Eeλ Az átlagos driftsebesség: v D = , az elektronok mozgékonysága pedig = 2 2 me v T v eλ μ= D = E 2 me v T
Eeλ ne 2 λ = E 2 me v T 2 me v T 2 me vT A villamos térerősség szorzója a fajlagos ellenállás reciproka: ρ = ne 2 λ Ezzel értelmeztük a fajlagos ellenállást anyagszerkezeti alapon. Ha a fajlagos ellenállást méréssel határozzuk meg, akkor az elektronok szabad úthosszát tudjuk kiszámítani ebből a képletből. Helyettesítsük a driftsebességet az áramsűrűség (1) képletébe: J = ne
18
3.4. A villamos munka és teljesítmény
A feszültség definíciójából kifejezhetjük a villamos munkát: W = U ⋅ Q A villamos áram definíciójából a töltés: Q = I ⋅ t , így a villamos munka: W = U ⋅ I ⋅ t U Az Ohm-törvényből I = ill . U = I ⋅ R R
U2 ⋅t ill. W = I 2 ⋅ R ⋅t R Joule-törvény: A villamos ellenálláson a villamos munka teljes egészében hővé alakul. Amint már láttuk, az elektromos tér gyorsítja a szabad elektronokat a vezetőben, de az ütközések miatt az energiát az elektronok átadják a fémionoknak, ami a hőmérséklet emelkedésében nyilvánul meg. A villamos teljesítmény W A teljesítmény definíciója P = figyelembevételével, a villamos teljesítmény: t U2 P =U ⋅I = = I2 ⋅R R W=
A villamos munka:
3.5.Lineáris és nemlineáris vezetők Lineáris vezetők: A feszültség – áram karakterisztikájuk egyenes, az ellenállásuk állandó. Ilyen lineáris vezetők például a fémek, ha a hőmérsékletük állandó. Nemlineáris vezetők: A feszültség – áram karakterisztikájuk nem egyenes. Ilyen például egy izzólámpa, vagy egy dióda karakterisztikája. Az ellenállásuk függ a feszültségtől, ill. az áramuktól. Egy adott pontban az ellenállásuk kiszámítható az Ohm-törvény alapján. Ez mindig pozitív érték. Sok esetben az elektronikus nemlineáris alkatrészeknél a kis feszültségváltozás okozta ellenállás-változás fontos. Ebből a szempontból az adott munkapontban a differenciális (dinamikus) ellenállással jellemezhetjük az alkatrészt: ΔU dU ill. rd = rD = ΔI dI A differenciális ellenállás lehet negatív is.
Nemlineáris vezetők I
Lineáris vezető
I
U
dióda I
izzólámpa
U 3.1. ábra
I
U
Tunneldióda
U
Negatív differenciális ellenállás
19
3.6. Ellenállások hőmérsékletfüggése. Szupravezetők
Az ellenállás – hőmérséklet karakterisztika alapján a vezetőket különböző csoportokba sorolhatjuk: • Lineáris PTK (PTC) – pl. a tiszta fémek • Lineáris NTK (NTC) – pl. bizonyos fémötvözetek (konstantán) • Nemlineáris PTK – speciális félvezetők (bizonyos fémoxid, fémszulfid pasztákból készülnek) • Nemlineáris NTK – egyrétegű félvezetők (termisztorok), grafit, elektrolit P – pozitív; N –negatív; TK (TC) – temperatúra koefficiens (hőmérsékleti tényező) Nemlineáris NTK R
Nemlineáris PTK Lineáris NTK Lineáris PTK
t 3.2. ábra Az ellenállás alacsony hőmérsékletű viselkedése, szupravezetők
A vezetők egy részének ellenállása még nulla K R hőmérsékleten sem válna zérussá (pl. réz). Nem szupravezető Egyes vezetők ellenállása viszont egy kritikus hőmérsékleten hirtelen zérusra csökken (pl. higany 4,2 K, de van már 100 K fölötti kritikus hőmérsékletű szupravezető szupravezető kerámia is). A szupravezetés a kritikus hőmérséklet alatt is megszűnik, ha a mágneses térerősség meghalad egy T [K] 3.3. ábra kritikus értéket függetlenül attól, hogy a saját áram, vagy egy külső mágnes létesítette a teret. Szupravezető elektromágneseket használnak egyes részecskegyorsítókban, és a mágneses rezonancia vizsgáló berendezésekben (MR). A szupravezetés csak nagyon tiszta, rácshibáktól mentes anyagokban jöhet létre. Magyarázata csak a kvantumelmélet alapján lehetséges. A kritikus hőmérséklet alatt az elektronok egy része Cooper-párokba rendeződik. Ezek az elektronok ellentétes előjelű impulzussal és spinnel rendelkeznek. Mivel az eredő impulzus zérus, a hozzájuk tartozó de h Broglie hullámhossz λ = végtelen nagy, az egész kristályra kiterjed. I Az eredő spin is zérus, és az egész spinű részecskékre (bozon) nem érvényes a Pauli féle kizárási elv, ezért sok Cooper-pár lehet azonos energiaállapotban. 3.7. Valódi feszültségforrások
A leggyakrabban használt egyenáramú (DC) villamosenergia-források a galvánelemek és az akkumulátorok. Galvánelem: Ha egy elektrolitba (ionokat tartalmazó folyadékba) jó vezető anyagot (fémet, vagy grafitot) merítünk, akkor vagy a fémből mennek pozitív ionok az elektrolitba, vagy az elektrolitból válnak ki pozitív ionok a vezető elektródán. Az elektródán ezért vagy 20
elektrontöbblet, vagy elektronhiány alakul ki, és így az elektrolit és az elektróda között feszültség keletkezik. Ahhoz, hogy ezt a feszültséget hasznosíthassuk, még egy elektródára van szükség. A két elektródának különböző anyagúnak kell lennie, mert azonos anyag esetén a két feszültség eredője nulla. A galvánelemek tehát valamilyen elektrolitba merülő két különböző anyagú elektródából állnak. Ha a galvánelemre fogyasztót kapcsolunk, akkor áram jön létre, ami az elektrolitban ionvándorlást, az elektródoknál pedig az ionok semlegesítődését és kémiai változást okoz. A galvánelemekben ez a kémiai folyamat nem megfordítható. Alkálimangán elem: A tartós elem elektrolitja káliumhidroxid itatóspapírban felitatva, belül van a negatív elektródát alkotó cinkpaszta, amihez egy fém tüske kivezetés csatlakozik. A pozitív elektróda mangándioxid edény, melyet acél burkolat vesz körül. Higanyoxid elem: Acél házban a negatív elektróda cinkpor, a pozitív elektróda higanyoxid, az elektrolit káliumhidroxid. Telep: Nagyobb feszültséget úgy hoznak létre, hogy az elemeket sorba kapcsolják. Akkumulátorok: A galvánelemekhez hasonló felépítésűek, de a bennük lejátszódó kémiai folyamatok megfordíthatók. Töltéskor a villamos energiát kémiai energiává alakítják, majd kisütéskor visszaalakítják villamos energiává. 3.8. Az egyszerű áramkör
A 3.4. ábrán látható a legegyszerűbb áramkör, ami egy feszültségforrásból, egy ellenállásból és két vezetékből áll. A villamosenergia-forrás feszültsége és árama ellentétes irányú, míg a fogyasztó (itt ellenállás) feszültsége és árama megegyező irányú. A valódi áramkör azonban ettől eltérő, mert az áramforrás anyagának van saját ellenállása, amit belső ellenállásnak nevezünk. A 3.5. ábrán már a belső ellenállással kiegészített
I U I
UR
3.4. ábra áramkört láthatjuk.
Rb +
UK
Rk
U0 – 3.5. ábra
P PZ
UK
PZ/4 IZ I 3.6. ábra
Az U0–t nyugalmi, vagy üresjárási feszültségnek nevezzük, mert akkor mérhető, ha az energiaforrásban nem folyik áram. Ezzel egyenlő nagyságú és ellentétes irányú az elektromotoros erő (E), ami a galvánelemben kémiai energia hatására a pozitív töltéseket az alacsonyabb potenciálú helyről a magasabb potenciálú helyre mozgatja, tehát szétválasztja a töltéseket: E= – U0 Az elem kivezetései között mérhető a kapocsfeszültség (Uk). Rk - a külső, vagy terhelő ellenállás. A belső ellenállásra jutó feszültséget belső feszültségesésnek (Ub) is PÖ szokták nevezni, mert a kapocsfeszültséget csökkenti: Ph U k = U 0 − U b = U 0 − I ⋅ Rb Ha mindkét oldalt I I megszorozzuk az árammal, Z IZ/2 21
akkor az egyes tagok teljesítményeket adnak meg: • Az összes teljesítmény: PÖ = U 0 I • A hasznos teljesítmény: Ph = U K I
•
A veszteség:
PV = I 2 Rb
U0 (a terhelő ellenállás nulla) Rb Ha a külső ellenállást változtatjuk, akkor változik az áram, a kapocsfeszültség, és változnak a teljesítmények is. A generátor hasznos teljesítménye üresjárásban és rövidzárásban nulla, a zárlati áram felénél pedig maximális. Ez a zárlati összes teljesítménynek a negyed része. A leadott teljesítmény akkor maximális, ha a terhelő-ellenállás egyenlő a generátor belső ellenállásával. Ekkor a generátor hatásfoka 50 %. Bizonyítás: A hasznos teljesítmény: Ph = U K I = (U 0 − IRb ) I Ennek szélsőértéke ott van, ahol dP az áram szerinti első derivált zérus: h = U 0 − 2 IRb = 0 dI U U0 Ebből a maximális teljesítményhez tartozó áram: I = 0 Mivel I = , ezért Rb=Rk. 2 Rb Rb + Rt A zárlati áram: I z =
3.9. Kirchhoff törvényei I. Csomóponti törvény Csomópontban töltés nem halmozódhat föl és nem nyelődhet el. Ennek következménye, hogy a csomópontba befolyó és onnan kifolyó áramok előjeles összege nulla. (A befolyó és kifolyó áramok ellentétes előjelűek.) Csomópontban ∑ I = 0 ill . ∑ I be = ∑ I ki
E törvény következménye, hogy csomóponttól csomópontig az áram változatlan. II: Huroktörvény Zárt hurokban a feszültségek előjeles összege nulla. (Maxwell II. törvényéből következik). Zárt hurokban ∑U = 0
A huroktörvény alkalmazásakor az a szokás, hogy miközben a hurkot körüljárjuk, a körüljárással megegyező irányú feszültségeket pozitív, az ellentétes irányúakat negatív előjellel vesszük figyelembe. 3.10. Eredő ellenállás. Ellenállások kapcsolásai Eredő ellenállás: Az az ellenállás, amellyel egy ellenálláscsoportot helyettesítve az áramkör többi részén semmilyen változást nem tapasztalunk. Soros kapcsolás: Az ellenállások között nincs elágazás, az áramuk közös (I=állandó) A 3.6. ábra A és B pontjai között levő ellenálláscsoportra felírhatjuk a R1 R2 R3 I A huroktörvényt: U + U + U − U = 0 B 1 2 3 Az Ohm-törvény alkalmazásával: U3 U2 U1 I ⋅ R1 + I ⋅ R2 + I ⋅ R3 − I ⋅ Re = 0 U Ebből az eredő ellenállás: 3.6. ábra Re = R1 + R2 + R3 Soros kapcsolásnál az eredő ellenállás
22
n
a részellenállások összege: Re = ∑ Ri i =1
Párhuzamos kapcsolás: Párhuzamos kapcsolásnál az ellenállások azonos két pont közé csatlakoznak, ezért a feszültségük közös (U=állandó) R1 I1 A 3.7. ábra kapcsolására a csomóponti törvényt alkalmazva: I=I1+I2+I3 Az ohm-törvényből az áramokat behelyettesítve: I R2 I2 U U U U = + + Re R1 R2 R3 I3 R3 Egyszerűsítés után az eredő ellenállás: 1 Re = 1 1 1 U + + R1 R2 R3 3.7. ábra Párhuzamos kapcsolásnál az eredő ellenállás egyenlő a részellenállások reciprokai összegének reciprokával: 1 Re = n Ez mindig kisebb a legkisebb részellenállásnál is. 1 ∑ i =1 Ri R ⋅R Re = 1 2 Két ellenállás esetén közös nevezőre hozás után: R1 + R2 Vegyes kapcsolás: az ellenállások vegyes kapcsolása esetén tisztán soros vagy tisztán párhuzamos kapcsolású ellenálláscsoportokat helyettesítünk a részeredőjükkel. Az eljárást addig folytatjuk, amíg a teljes hálózat eredőjét meg nem kapjuk. Léteznek olyan áramkörök is, amelyek nem bonthatók fel csak soros vagy csak párhuzamos kapcsolású részekre. Ilyenkor az eredő ellenállás meghatározásánál a delta – csillag, vagy a csillag – delta átalakítás segíthet. Ilyen áramkör például a 3.11. ábrán látható Wheatstone-híd is (a galvanométernek is van ellenállása). Háromszög (delta) – csillag (Y) átalakítás: A 3.8. ábra bal oldalán látható delta kapcsolású három ellenállás helyettesíthető egyenértékű három csillagkapcsolású ellenállással. Mivel az áramkör többi részén semmilyen változást nem tapasztalhatunk, speciális esetet használunk a levezetésnél. Rendre A, B, C, pontoknál legyen szakadás. Ekkor a másik két pont közötti eredő ellenállásnak a két kapcsolásban meg kell egyeznie:
A
A
( R2 + R1 ) ⋅ R3 = R23 + R13 R1 + R2 + R3
R12 R1
R2
R23
B
C
R3
3.8. ábra kifejezve és az elsőbe behelyettesítve:
B
R13
( R2 + R3 ) ⋅ R1 = R12 + R13 R1 + R2 + R3
C
( R1 + R3 ) ⋅ R2 = R12 + R23 R1 + R2 + R3 A második egyenletből R13-t, a harmadikból R23-t
23
( R2 + R1 ) ⋅ R3 ( R2 + R3 ) ⋅ R1 ( R + R3 ) ⋅ R2 = − R12 + 1 − R12 R1 + R2 + R3 R1 + R2 + R3 R1 + R2 + R3 R1 ⋅ R3 R2 ⋅ R3 R1 ⋅ R2 Ebből: R12 = , továbbá: R13 = , R23 = R1 + R2 + R3 R1 + R2 + R3 R1 + R2 + R3 Csillag – háromszög átalakítás: Ha a csillagkapcsolású ellenállásokat ismerjük, és abból akarjuk a háromszögkapcsolás ellenállásait meghatározni, akkor a vezetőképességekkel célszerű dolgozni. Az előző levezetéshez hasonlóan felírhatjuk az eredő vezetőképességek azonosságát úgy, hogy AB, BC, CA pontokat rövidrezárjuk. A levezetés mellőzésével a vezetőképességek kiszámíthatók a 3.9. ábra indexei használatával:
A
G1 ⋅ G2 G1 + G2 + G3 G1 ⋅ G3 , G13 = , G1 + G2 + G3 G 2 ⋅ G3 G23 = G1 + G2 + G3 1 és G = R
A
G12 =
R1 R12
R3
R2
C
B
R13
B
C
R23
3.9. ábra 3.11. Fontosabb alapáramkörök Feszültségosztó: sorba kapcsolt ellenállásokból áll, amelyeken a feszültség az ellenállások arányában oszlik meg. Gyakran egy változtatható ellenállást használnak feszültségosztónak, amit a csúszó érintkező 2 részre oszt. Terhelt feszültségosztó: Ha a terhelő-ellenállás nem sokkal nagyobb az osztó ellenállásánál, akkor a párhuzamos eredővel kell számolni. R A terheletlen feszültségosztó kimeneti feszültsége: U ki = 2 U R R2 Rt R2 + Rt U A terhelt feszültségosztó kimeneti feszültsége: U ki = R2 Rt R1 + R2 + Rt
Terheletlen feszültségosztó
U
R
R1
Terhelt feszültségosztó
UKI U
U
R
R1 R2
R2 UKI R
UKI U Rt
UKI R R1
R1 3.10. ábra
Áramosztó: Párhuzamosan kapcsolt ellenállásokból áll, amelyeken a főág árama az ellenállásokkal fordított arányban oszlik meg.
24
R2 R1 I , ill. I 2 = I R1 + R2 R1 + R 2 Bizonyítás: A csomóponti törvény alapján: I=I1+I2 A párhuzamos kapcsolás miatt közös a feszültség: I1R1=I2R2 (I-I2)R1=I2R2 ; ebből IR1=I2(R1+R2), és R1 I2 = I + R R 1 2 R1 R2
Két ellenállás esetén: I 1 =
A Wheatstone – híd kapcsolási rajza a 3.11. ábrán látható. A G jelű galvanométer igen G érzékeny árammérő. Ha a galvanométeren áram folyik, akkor a híd kiegyenlítetlen. R3 R4 Sok mérőáramkörben az egyik ellenállás változik a négy közül (pl. hőmérsékletváltozás hatására), és a kiegyenlítő áramot mérjük. Ellenállásmérésre a kiegyenlített hidat U szokták használni. A híd akkor kiegyenlített, ha a galvanométeren nem folyik áram. Ha R1 a mérendő ellenállás, R2 pedig egy 3.11. ábra nagy pontossággal ismert normálellenállás, akkor a potenciométer csúszkáját addig mozgatjuk, amíg a galvanométeren nem folyik áram. Kiegyenlített híd esetén a galvanométer végpontjainál nincs áramelágazás, ezért R1 és R2 árama közös (I12). Ugyanez érvényes R3 és R4-re is (I34) R1 és R3 valamint R2 és R4 párhuzamosan vannak kapcsolva, mert a galvanométeren nem folyik áram, a két végpontja azonos potenciálú. A feszültségek egyenlősége felírható: I 12 ⋅ R1 = I 34 ⋅ R3 , és I 12 ⋅ R2 = I 34 ⋅ R4 .
R1 R3 = R 2 R4 Az egyenletet a nevezők szorzatával beszorozva: R1 ⋅ R4 = R2 ⋅ R3 A kiegyenlített híd átlósan szemközti ellenállásainak szorzatai egymással egyenlők. R Az R1 ismeretlen ellenállás: R1 = 3 ⋅ R2 R4 A mérési módszer előnye, hogy független a tápfeszültség ingadozásától, és ha a hidat az R3 és R4 közepe táján tudjuk kiegyenlíteni, akkor a mérés hibája csak R2 pontatlanságától függ. A két egyenletet elosztva egymással:
25
4. Mágneses tér 4.1. Mágneses alapjelenségek. A mágneses indukció
I
I
4.1. ábra
I
I
Közismert, hogy az állandó mágnesek egymásra vonzó vagy taszító erőt fejtenek ki attól függően, hogy ellentétes vagy azonos pólusaik vannak egymáshoz közelebb. Ha egy állandó mágnest kettétörünk, akkor két mágnest kapunk. Csak mágneses dipólusok léteznek, mágneses monopólus nincs. Két párhuzamos árammal átjárt vezeték is egymást vonzza, ha azonos irányú áram folyik bennük, és egymást taszítja, ha ellentétes irányú az áramuk (4.1. ábra) Mágneses mező: Olyan mező, amelyet mozgó töltések keltenek, és a mozgó töltésekre erőt fejt ki. Az állandó mágnesekben a mágneses tér az elektronok mozgására vezethető vissza. A mágneses tér irányán azt az irányt értjük, amerre az adott helyen az iránytű északi pólusa mutat. (A Föld Északi sarkán tehát déli mágneses pólus van) A Föld mágneses terét szemlélteti a 4.2. ábra. Nagy szerepe van a nagy energiájú kozmikus sugarak és a napkitörésekből érkező erős ionizáló sugárzások elleni védelemben. A töltött részecskék spirális pályán a sarkok felé térülnek el, és sok ütközés közben fokozatosan adják le energiájukat. Ennek
következménye a sarki fény. A mágneses teret szemléltethetjük a mágneses indukcióvonalakkal. Az indukcióvonalakhoz hasonló vonalak mentén helyezkednek el a vasreszelék szemcséi, ha mágneses mezőbe szórjuk őket. A mágneses indukcióvonalak tulajdonságai: – Önmagukban zárt görbék. – Sűrűségük arányos a mágneses tér erősségével (a mágneses indukció nagyságával). – Érintőjük megadja az adott helyen a mágneses tér irányát. – A mágnesből a felületre merőlegesen lépnek ki, vagy be. – A mágnesből az északi pólusnál lépnek ki, és a déli pólusnál lépnek be. Egyenes vezető áramának mágneses tere: Tegyünk a vezető közelébe egy iránytűt, majd mozdítsuk el egy kicsit abba az irányba, amerre az északi pólusa mutat. Az iránytű ezzel a módszerrel lassan I körbefordul, vagyis az egyenes vezető áramának indukcióvonalai a vezetőre merőleges síkban koncentrikus körök (4.3. ábra). A körök körüljárási irányát a jobbkéz-szabállyal tudjuk megállapítani. Ha a jobb kezünk hüvelykujját az áram irányába tesszük, akkor a másik 4 ujjunk mutatja az indukcióvonalak körüljárási 4.3. ábra irányát.
26
Tekercs (szolenoid) áramának mágneses tere: A tekercs belsejében a mágneses tér homogénnek tekinthető (mindenütt azonos nagyságú és irányú). A tekercs belsejében a mágneses tér irányát szintén a jobbkéz-szabállyal tudjuk meghatározni, de most a jobb kezünk B 4 ujját kell az áram irányába tenni, és a kinyújtott hüvelykujj I mutatja az indukció irányát (4.4. ábra) (Az x a tőlünk távolodó, a ⋅ a felénk mutató irányt jelöli.)
4.4. ábra 4.2. A mágneses mező jellemzői A mágneses indukció (B): A mágneses indukció vektormennyiség, iránya az az irány, amerre az iránytű északi pólusa mutat az adott helyen, illetve a jobbkéz-szabállyal állapítható meg. Nagyságának meghatározásához egy kis méretű, szabadon elfordulni képes lapos mérőtekercs szükséges. A mérőtekercs (magnetométer) stabil egyensúlyi helyzetében a saját mágneses terének iránya megegyezik a vizsgált mágneses tér irányával. Ha ebből a helyzetből 90°-kal elforgatjuk, akkor a tekercsre maximális forgatónyomaték hat, ami vissza akarja fordítani az egyensúlyi helyzetbe. Ez a forgatónyomaték (Mmax) egyenesen arányos a vizsgált mágneses tér indukciójával (B), a mérőtekercs keresztmetszetével [egy menet által körülzárt felülettel] (A), a menetszámával (N) és az áramával (I): M max = B ⋅ A ⋅ N ⋅ I
Ebből az indukció:
B=
M max ⎡ Nm ⎤ ⎡ Vs ⎤ , mértékegysége: ⎢ 2 ⎥ = ⎢ 2 ⎥ = [T ] A⋅ N ⋅ I ⎣m A⎦ ⎣m ⎦
tesla
Mágneses nyomaték (mágneses dipólmomentum) (m): A mérőtekercs mágneses momentuma egyenlő a keresztmetszetének, menetszámának és áramának szorzatával: m = A ⋅ N ⋅ I , irányát pedig a jobbkéz-szabállyal állapíthatjuk meg: m = ANI n n – a felület pozitív normál egységvektora. A
mérőtekercsre
Bsinα B
α Bcosα 4.5. ábra
ható
forgatónyomaték általános esetben az M = m× B vektorszorzattal határozható meg. Ha az indukcióvektor a magnetométer tengelyével α szöget zár be, akkor a nyomaték nagysága: M = B ⋅ A ⋅ N ⋅ I ⋅ sin α Az indukcióvektor ugyanis felbontható a tekercs tengelyével megegyező, és rá merőleges irányú összetevőkre (4.5. ábra). Nyomatékot csak a tekercs tengelyére merőleges (a tekercs síkjával párhuzamos) összetevő fejt ki.
A mágneses fluxus és forráserősség. Maxwell III. törvénye A mágneses fluxus (Φ): Megadja az A felületen merőlegesen átmenő indukcióvonalak számát: Φ=B⋅A ha B⊥A mértékegysége: [Vs ] = [Wb ] weber
Inhomogén mező esetén: Φ = ∑ Bn ⋅ ΔA , ill. Φ = ∫ BdA A
Bn – a felületre merőleges indukciókomponens B
27
A forráserősség (Maxvell III. törvénye) Megállapítottuk, hogy az indukcióvonalak zárt görbék. Ez azt jelenti, hogy ha egy zárt felületet vizsgálunk, a ki és belépő indukcióvonalak száma egyenlő. Más megfogalmazásban ez azt jelenti, hogy a mágneses tér forrásmentes: NB=0 Ez Maxwell III. törvénye: Bármely zárt felületre számított mágneses fluxus nulla, tehát bármely térfogat mágneses forráserőssége zérus: ill. ∑ Bn ⋅ ΔA = 0 ∫ Bn dA = 0 B
zárt felületre
A
A mágneses tér tehát forrásmentes, lényegesen különbözik a sztatikus elektromos tértől, amelynek forrásai a töltések. Nincs mágneses monopólus, minden északi pólusnak van egy déli párja. Az elektron mágneses tulajdonságai A Bohr-modell alapján az elektron az atommag körül körpályán ekering. Ezt elemi köráramnak nevezzük. 2 πr Az elektron pályaperdülete: N=mevr N = me r, r T mM r 2π N = amiből T 2 me e 4.6. ábra Az elemi köráram mágneses momentuma: m M = I ⋅ A = r 2 π T Ne mM = 2 me Az elektron saját perdülettel (impulzusmomentum, spin) is rendelkezik. 1 h 1 Az elektron spinje: s=± = ± h , ahol h – Planck-állandó (hatáskvantum). 2 2π 2 h e 1 e Az elektron saját mágneses momentuma (Bohr-magneton): μ B = h = 4 π me 2 me A mágneses térerősség (H): A különböző anyagok megváltoztatják a mágneses teret. Ha valamilyen anyag tölti ki az áramok körüli teret, akkor a mágneses indukció: B = μ r ⋅ B0 μr – relatív permeabilitás (puszta szám). Megadja, hogy a mágneses indukció hányszorosra változik a vákuumhoz képest, ha az adott anyag tölti ki a teret. A mágneses indukció (B) anyagtól függő térjellemző, a mágneses térerősség pedig anyagtól független. B B ⎡A⎤ , anyagban H = mértékegysége: ⎢ ⎥ Vákuumban a mágneses térerősség: H = μ0 μ0 μr ⎣m⎦ μ0 – vákuum permeabilitása μr – relatív permeabilitás Permeabilitás: μ = μ 0 ⋅ μ r A relatív permeabilitás alapján az anyagok 3 csoportba oszthatók. A diamágneses anyagok relatív permeabilitása nagyon kicsit kisebb, mint 1 (μr<1) és állandó. A diamágnesek tehát csökkentik a mágneses indukciót. A paramágneses anyagok relatív permeabilitása nagyon kicsit nagyobb mint 1 (μr>1) és állandó. Ezek az anyagok tehát nagyon kicsit növelik az indukciót. Ide tartozik a levegő is. Mivel a dia és paramágneses anyagok relatív permeabilitása csak nagyon kicsit tér el 1-től (az eltérés kisebb mint 0.1%), ezeket az anyagokat a hétköznapi életben nem mágneses anyagoknak nevezzük. 28
A ferromágneses anyagok relatív permeabilitása sokkal nagyobb mint 1 (μr»1), de nem állandó, hanem a korábbi állapot és a mágneses térerősség függvénye. Pontosan csak grafikusan adható meg a térerősség függvényében. B
szűzgörbe hiszterézis hurok
H
4.7. ábra
4.3. A mágneses örvényerősség. Gerjesztési törvény (Maxwell IV. törvénye)
A mágneses indukcióvonalak a mágneses mezőt keltő áramokat zárt görbékként körülveszik. Másként fogalmazva azt mondhatjuk, hogy a mágneses mező örvényeit az áramok keltik. ⎡ Vs ⎤ A mágneses mező örvényerőssége: ÖB = ∑ B⋅ Δ s , ill. Ö B = ∫ B⋅ d s ⎢m⎥ ⎣ ⎦ zárt görbére Speciális esetekben zárt görbének általában célszerű egy indukcióvonalat választani. Egyenes vezető áramának mágneses indukciója: Mérések alapján megállapítható, hogy a mágneses indukció örvényerőssége egyenesen arányos a vezetőben folyó árammal (I). Az arányossági tényezőt vákuum esetén abszolút permeabilitásnak (vákuum permeabilitása) Vs nevezzük. Jele: μ 0 . Értéke: μ 0 = 4π ⋅ 10 −7 Am A mágneses mező örvényerőssége: ÖB = μ 0 ⋅ I A vezetőtől r távolságra nyilvánvalóan az indukció mindenütt azonos nagyságú, ezért kiemelhető, a zárt görbére vett ΣΔs pedig a kör kerülete. Az örvényerősség kétféle kifejezését egyenlővé téve: B ⋅ 2π ⋅ r = μ 0 ⋅ I Ebből a mágneses indukció:
B=
μ0 ⋅I 2πr
Gerjesztési törvény vákuumban: Ampere megállapította, hogy általánosan is igaz az, hogy vákuum esetén egy tetszőleges zárt görbére az örvényerősség egyenlő az abszolút permeabilitás és a görbe által körülzárt felületen átfolyó áramok összegének szorzatával: ∑ B⋅ Δ s = μ0 ∑ I ill. Ö B = ∫ B⋅ d s = μ0 ∑ I zárt görbére
A
A
Mágneses gerjesztés (Θ): A zárt görbe által kifeszített felületen átfolyó áramok előjeles összege. [A] Θ = ∑I A
Gerjesztési törvény anyagban: A mágneses térerősség és a mágneses gerjesztés segítségével a gerjesztési törvény a következő módon is megfogalmazható: Vegyük körül a mágneses teret gerjesztő áramokat egy tetszőleges zárt görbével (általában célszerű egy indukcióvonalat választani). Osszuk fel a görbét olyan részekre, amelyeken belül a mágneses térerősség állandónak tekinthető. Szorozzuk meg a térerősséget a szakasz
29
hosszával (skalárszorzat), és az így kapott szorzatokat adjuk össze. Ez az összeg egyenlő a mágneses gerjesztéssel: ∑ H ⋅ Δ l = ∑ I = Θ ill. ∫ H ⋅ dl = ∑ I zárt görbére
A
A
Ha a mágneses körben különböző anyagok vannak, akkor a gerjesztési törvény csak ebben az alakban alkalmas arra, hogy adott mágneses fluxus létesítéséhez meghatározzuk a szükséges mágneses gerjesztést. 4.4. Biot – Savart törvény
A gerjesztési törvény egy zárt görbe mentén alkalmazható, nem alkalmas mindig arra, hogy a mező egy pontjában meghatározzuk a térerősség vagy az indukció nagyságát. Biot (bió) és Savart (szavár) kísérletek alapján megállapították, hogy egy I áramú, kicsi Δl hosszúságú áramvezető a tőle r távolságra levő pontban mekkora mágneses indukciót (B) létesít vákuumban. Az I Δl áramelemvektor nagysága I⋅Δl, hatásvonala a vezető érintője, irányát pedig a technikai áramirány határozza meg. Biot – Savart törvény:
Az áramelemvektor által a P pontban létesített mágneses indukció a 4.8. ábrának megfelelően μ IΔ l × r ϕ ΔB = 0 4π r 3 μ0 μ I ⋅ dl ⋅ sin ϕ r I dl × dB = 0 ill. dB = 2 r 4π 4π r r2 Az elemi indukció egyenesen arányos az áramerősséggel, az elemi vezetékszakasz hosszával, az áramelem és az r (Δl középpontjából a P pontba által bezárt szög szinuszával, és fordítottan arányos a távolság merőleges az r és Δl által meghatározott síkra, és a jobbkéz-szabállyal IΔ l
I r P
ΔB
4.8. ábra mutató) helyvektor négyzetével. Iránya határozható meg. Az indukció: B =
μ0 4π
∫
I ⋅ sin ϕ dl r2
4.5. Speciális áramelrendezések mágneses tere 4.5.1 Mozgó ponttöltés mágneses tere Mint már láttuk a 3.3. fejezetben, a vezető árama felírható az I=n⋅ e⋅ A⋅ v alakban. Ezt a μ n ⋅ e ⋅ A ⋅ v⋅ Δl ⋅ sin ϕ Biot – Savart törvénybe beírva: ΔB = 0 4π r2 Mivel A⋅ Δl=V és az elemi vezetékszakaszban levő töltések száma N=n⋅ V=n⋅ A⋅ Δl, így az ΔB ΔB elemi töltés által keltett mágneses indukció a P pontban B = = N n ⋅ Δl ⋅ A μ e⋅v B = 0 2 sin ϕ Egy mozgó elektron által keltett indukció: 4π r 4.5.2. Végtelen hosszú egyenes henger alakú vezető mágneses indukciója (4.9. ábra) μ ⋅I B= 0 a vezetőn kívül, amint ezt a 4.3. pontban már láttuk. Iránya a jobbkéz-szabállyal 2 πr határozható meg.
30
A vezetőn belül r
R
Ekkor a mágneses gerjesztés: Θ =
r
I 2 r2 r π = I R2π R2
r2 A gerjesztési törvény: B 2 πr = 2 I R
B
Ebből az indukció a vezetőn belül: B =
I r 2 πR 2
r
R
4.5.3. Véges hosszúságú egyenes vezető mágneses tere (4.10. ábra)
x2
x1 I dl
l
φ
θ R
r
BP
4.10. ábra
törvénybe: dB =
μ 0 I ⋅ dl ⋅ sin ϕ 4π r2 R Térjünk át a θ változóra! sin ϕ = cos Θ = , r r = R cos Θ l és = tg Θ l = Rtg Θ R dl cos 2 Θ + sin 2 Θ R R =R , dl = = dΘ 2 2 dΘ cos 2 Θ cos Θ cos Θ Helyettesítsük be r és dl értékét a Biot – Savar A Biot-Savar törvény alapján dB =
μ 0 IcosΘ dΘ 4π R
A P pontban az indukció értékét integrálással kapjuk: B =
Θ2
μ 0 IcosΘ dΘ 4π R
∫
Θ1
μ0 I (sin Θ 2 − sin Θ1 ) 4π R x x Az integrálás határait az 1 = − tgΘ1 és 2 = tgΘ2 összefüggésekből kapjuk. R R 4.5.3. Szolenoid (hosszú egyenes tekercs) belsejében a mágneses indukció: A P pontban az indukció: B =
I B
Az l hosszúságú tekercs belsejében a mágneses tér homogénnek tekinthető, a tekercsen kívül pedig az indukció elhanyagolhatóan gyenge. A légmagos szolenoid síkmetszete és mágneses indukcióvonalai a 4.11. ábrán látható. Ha alkalmazzuk a gerjesztési törvényt zárt görbének egy indukcióvonalat kiválasztva, akkor azt 2 részre oszthatjuk. A tekercs belsejében az indukció B, a tekercsen kívül pedig Bk≈0. N menetű tekercs esetén a körülzárt áramok összege, azaz a mágneses gerjesztés Θ=N⋅I . A gerjesztési törvény tehát: B⋅l=μ0⋅N⋅I Ebből a szolenoid belsejében a mágneses N ⋅I indukció: B = μ 0 l B
l 4.11. ábra
31
Az indukció egyenesen arányos a tekercs menetszámával és áramával, fordítottan arányos a tekercs hosszával, arányossági tényező a vákuum permeabilitása. N ⋅I A szolenoid belsejében a mágneses fluxus Φ = μ 0 ⋅A l 4.5.4. Toroid (körtekercs) belsejében a mágneses indukció A 4.12. ábrán látható a légmagos toroid síkmetszete és képe. A gyűrű alakú csévetest körbe van Rk tekercselve. B Gyakorlatilag az összes I indukcióvonal a 4.12. ábra tekercs belsejében megy, de az erőtér nem homogén, mert az indukcióvonalak eltérő hosszúságúak, és az indukció iránya is változik. Ha a közepes indukcióvonalat választjuk zárt görbének, akkor a gerjesztési törvény alapján írhatjuk, hogy B ⋅ 2π ⋅ Rk = μ0 N ⋅ I , N ⋅I ahonnan B = μ0 2π ⋅ Rk 4.5.5. Körvezető középpontjában a mágneses indukció
r dl
I 4.13. ábra
B
A 4.13. ábrán látható körvezetőre alkalmazzuk a Biot – Savart törvényt. Mivel dl és r mindenütt merőleges egymásra, sinϕ=1. I=állandó és r=állandó, ezért az integráljel elé kivihetők. Az integrálást a kör kerületére kell elvégezni. μ I 2 rπ μ I B = 0 2 ∫ dl = 0 2 ⋅ 2rπ 4π r 0 4π r Egyszerűsítés után a kör középpontjában a mágneses μ ⋅I indukció: B = 0 2r
4.6. Erőhatások mágneses mezőben 4.6.1. Mágneses Lorentz-erő Ha egy l hosszúságú egyenes vezetőt rá merőleges B B indukciójú homogén mágneses térbe helyezünk, majd I egyenáramot vezetünk bele, a mágneses mező erőt fejt ki rá F a 4.14. ábrán látható módon. l Az erő merőleges az l és B által meghatározott síkra, és irányára több szabályt is szoktak megfogalmazni. I 1.) A vezető saját mágneses tere bal oldalon a külső mágneses teret erősíti, a jobb oldalon gyengíti. Az erő 4.14. ábra iránya az erősítéstől a gyengítés felé mutat. 2.) Ha a balkezünk 3 ujjából térbeli derékszögű koordináta-rendszert formálunk, a hüvelykujj az erő (F), a mutatóujj az indukció (B), a középsőujj az áram (I) irányát mutatja.
32
Az erő nagysága: F=I⋅ l⋅B, ha l és B egymásra merőleges. Általános esetben az indukcióvektor felbontható a vezetővel párhuzamos és a vezetőre F = I⋅ l × B , F=I⋅ l⋅B⋅sinϕ ill. merőleges összetevőkre, és így az erő: ahol ϕ az l és B által bezárt szög. Mozgó ponttöltésre ható erő: Ha a vezető áramát I=n⋅ A⋅ ⋅e⋅ v alakban behelyettesítjük a Lorentz-erő képletébe, akkor F = n⋅ A⋅ e⋅ v⋅ l ⋅ B⋅ sin ϕ összefüggést kapunk. Mivel A⋅ l=V és N=n⋅ V=1, Ebből a v sebességgel mozgó elemi töltésre ható erő: F = e ⋅ v ⋅ B ⋅ sinϕ , ill. F = e ⋅ v × B Mivel ez az erő a sebességre mindig merőleges, a sebességnek csak az irányát változtatja meg, és nem változtatja meg a sebesség nagyságát, nem végez munkát. 4.6.2. Lorentz-erő. Töltések mozgása elektromos és mágneses térben Ha a mozgó Q töltés egyszerre van elektromos és mágneses térben, akkor az elektromos és mágneses erők vektori összege hat rá: F = Q ⋅ (E + v × B ) Ha v0 kezdősebességű Q töltés az elektromos mező U feszültségű pontjai között mozog, 1 1 akkor a sebességét kiszámíthatjuk a munkatétel segítségével: U ⋅ Q = m ⋅ v 2 − m ⋅ v 02 2 2 (Az elektromos mező munkája egyenlő a mozgási energia megváltozásával, a mágneses Lorentz-erő nem végez munkát) 2U ⋅ Q + m ⋅ v 02 Ebből a töltés sebessége: v = m Az elért sebesség független a pálya alakjától. Így gyorsítják az oszcilloszkópokban vagy a tv-képcsövekben az elektronokat.
Mágneses eltérítés: Ha az elektronnyaláb az indukcióra merőlegesen berepül homogén mágneses térbe, akkor a mágneses Lorentz-erő körpályára kényszeríti (4.15. ábra). Mivel ez az erő merőleges a sebességre, v - v csak a mozgás irányát változtatja meg, a e B sebesség nagyságát nem. Biztosítja az szükséges egyenletes körmozgáshoz centripetális erőt: r v2 = e⋅v⋅B Fcp = FL m r α m⋅v v r Ebből a körív sugara: r = e⋅B l hosszúságú mágneses tér esetén a l l szögelfordulás: α = arc sin r v e⋅B A szögsebesség: ω = = 4.15. ábra r m α Az ív befutásához szükséges idő: t = ω
33
Ha a mágneses térbe ferdén érkezik az elektronnyaláb (4.16. ábra), akkor a sebesség felbontható az indukcióval párhuzamos (vp) és az vm +Q indukcióra merőleges összetevőkre (vm). Az indukcióra merőleges sebességkomponenssel a vp töltés körpályára kényszerül, és egyenletes körmozgást v 2π 2πm h = végez. A periódusidő: T = ω QB A párhuzamos összetevőre nem hat mágneses erő, ezért a töltés egyenesvonalú egyenletes mozgást végez ebben az irányban. A két mozgás eredője spirális pályán való mozgás. A B menetemelkedés: h = v p ⋅ T
4.16. ábra 4.6.3. Párhuzamos áramvezetők között ható erő
A 4.1. fejezetben már volt arról szó, hogy a párhuzamos vezetők áramai egymásra erőt d B1 fejtenek ki. Ez az erő a mágneses Lorentz-erő. F A 4.17. ábrán látható két párhuzamos vezető közül az egyik árama felfogható úgy, hogy F I1 I2 mágneses teret létesít, és ebben a mezőben van a másik áram. Az l hosszúságú vezetők egymástól d távolságra vannak Az I1 áram által keltett B1 indukció: 4.17. ábra μ ⋅I B1 = 0 1 2π ⋅ d μ ⋅I 4π ⋅ 10 −7 ⋅ I 1 ⋅ I2 ⋅l Az I2 áramú vezetőre ható Lorentz-erő: F = B1⋅ I 2 ⋅ l = 0 1 ⋅ I 2 ⋅ l = 2π ⋅ d 2π ⋅ d Egyszerűsítés és rendezés után kapjuk, hogy két párhuzamos vezető által egymásra kifejtett l erő: F = 2 ⋅ 10 −7 ⋅ I 1 ⋅ I 2 d Tehát ez az erő egyenesen arányos mindkét vezeték áramával és a párhuzamos vezetékek hosszával, és fordítottan arányos a vezetékek távolságával. Ez az összefüggés alapján definiálják az 1 ampert. 1 A erősségű az a két végtelen hosszú, kicsi kör keresztmetszetű párhuzamos vezető árama, amelyek egymástól 1 m távolságban vannak, azonos áramúak, és 1 m hosszú szakaszukra 2⋅10-7 N erő hat. 4.7. A mágneses tér munkája B
+ –
I F
ds 4.18. ábra
B
Vezessünk áramot egy mágneses térben levő vezetőbe (4.18. ábra) A vezetőre ható erő: F = I l × B Az erő munkája: dW = F ⋅ ds dW = IBlds = IBdA W = IB ∫ dA = IBΔ A = IΔ Φ
34
Munkavégzés áramhurok elfordulásánál. Áramhurokra ható eredő erő és forgatónyomaték Mint a 4.16. ábrán látható, a homogén mágneses térben a zárt áramhurokra ható eredő erő zérus. Általában is igaz, hogy F = ∫ Id l × B = I ( ∫ dl ) × B = 0
[
]
Természetesen inhomogén térben az egyes oldalakra ható erők eltérőek, ezért az eredő erő nem nulla. Az áramhurokra ható forgatónyomaték: M = m M × B = IA n × B
I
B
A 4.19. ábrán az áramhurok labilis egyensúlyi helyzetben van. Ha nagyon kicsit elfordítjuk, forgatónyomaték hat rá, ami a stabil egyensúlyi helyzetbe forgatja. Eközben a felület normálisa 180°-kal fordul el, a felület előjele megváltozik. A mágneses tér munkája: W = I (Φ − (− Φ )) W = I 2 Φ = 2 IBA A munkavégzés meghatározható a W = ∫ Mdα
F
4.19.ábra
összefüggéssel is. Az áramhurokra ható forgatónyomaték nagysága: M = IABsinα , α2
ezért a végzett munka: W = ∫ IABsinα = − IAB cos α = IAB[cos α 1 − cos α 2 ] α1
Ha α1= –180° és α2= 0, akkor a két egyensúlyi helyzet közötti munkavégzésre szintén W = 2 IBA = 2 I Φ összefüggést kapunk. 4.8. Egyenáramú gépek felépítése
Az egyenáramú gépek olyan villamos forgógépek, amelyek az üzemeltetőtől függően működhetnek generátorként vagy motorként. A generátor mechanikai energiából egyenfeszültségű villamosenergiát, a motor pedig egyenfeszültségű villamosenergiából mechanikai energiát állít elő. Állórész: Itt található a Vaskoszorú vaskoszorú, ami a mágneses É Főpólus indukcióvonalak vezetésére szolgál. Ehhez rögzítik csavarral a lemezelt főpólusokat Mindig páros számú főpólus van, amiket a főpólus tekercs (gerjesztő tekercs) vesz körül. A kerület mentén az északi és Főpólus tekercs déli főpólusok felváltva helyezkednek el. D Armatúra: A villamos forgógépeknek az a része, amelyikben a feszültség indukálódik. Egyenáramú gépeknél ez a forgórész. Semleges vonal: Az indukcióvonalakra merőleges átmérő. Az állórészen vannak a kefetartók a szén (grafit) vagy bronz kefékkel. Ezekkel lehet a forgórész tekercséhez csatlakozni. 35
A ház és a pajzsok védelmi célokat szolgálnak. Idegen tárgyak behatolása ellen védik a gépet. A pajzsokban vannak a csapágyházak. A házon található a kapocsszekrény, ahol a tekercsvégekhez lehet csatlakozni. A szállítás megkönnyítésére az állórészen általában hordgyűrűt is elhelyeznek. Forgórész: A tengelyen dinamólemezekből készített vastest található. A lemezekbe Kefe sajtolt hornyokban van a forgórészKommutátor tekercselés. Az egyik homlokfelületen Tengely van a kommutátor, ami egy egymástól elszigetelt szeletekből Lemezelt vastest (szegmensekből) álló rézgyűrű. hornyokkal A forgórész tekercselése önmagában zárt, de minden tekercsoldal ki van vezetve egy kommutátorszelethez. A kommutátoros tekercselésnek két alapvető fajtája van: a hurkos és a hullámos tekercselés.Hurkos tekercselésnél a kefék száma megegyezik a főpólusok számával, és minden második kefe össze van kötve egymással. Hullámos tekercselésnél a kefék száma mindig kettő. A tengelyen a jobb hűtés érdekében általában ventillátor is található. Hurkos tekercselés: Pólusosztásnak nevezzük az egy főpólus alatt elhelyezkedő hornyok számát. Ha a póluspárok számát 2pvel (a főpólusok számát p-vel), a honyok számát z-vel jelöljük, akkor a pólusosztás = z/2p . Hurkos tekercselésnél a tekercs készítésekor a hornyoknál mindig pólusosztásnyit lépnek előre, és mindig a kiindulási kommutátorszelet mellé érnek vissza. Egy ilyen horonypárban általában több menetű tekercset készítenek. Ilyen módon a horony felét töltik ki. Amíg a kerületen végigérnek, minden horonyba két réteg tekercselés kerül. A tekercselés abban a kommutátorszeletben fejeződik be, amelyiknél a tekercselést kezdték. Az ábra egy alkotója mentén felvágott és síkba kiterített gép tekercselését mutatja, a horonyszám 12 és 4 főpólus van. Egy horonypárban 1 menet van az áttekinthetőség miatt.
É
D
É
D
Főpólusok Tekercsfej Teljesen kitöltött horony Félig kitöltött horony Üres horony Kommutátor
Hullámos tekercselés:
Itt a horonyszám+1 vagy a horonyszám-1 osztható a főpólusok számával, és ez a pólusosztás. A tekercselés úgy készül, hogy a hornyoknál mindig pólusosztásnyit, a kommutátorszeleteknél kétszer pólusosztásnyit lépünk előre. Igy ha a kerületen egyszer körbementünk, akkor érünk a kiindulási kommutátorszelet mellé. A tekercselést a szabály szerint folytatva végül a kiindulási kommutátorszelethez jutunk, tehát a tekercs ismét önmagában zárt.
36
Az ábrán egy 11 hornyú, 4 pólusú gép tekercselésének síkba kiterített rajzát látjuk.
É
D
É
D
Főpólusok Tekercsfej Félig kitöltött horony Teljesen kitöltött horony Kommutátor
Kommutáció motorüzemben
n
É I
B F
F
D
Az ábrán egy egyetlen menetből álló forgórészt látunk, amelyben az indukált feszültség éppen maximális, és a rá ható forgatónyomaték is maximális. 90°-kal korábban a vezetők pillanatnyi sebessége az indukcióvonalakkal párhuzamos volt, és 90° múlva ismét nulla lesz a bennük indukált feszültség. Ezekben a helyzetekben a tekercs síkja merőleges az indukcióra, ezért a nyomaték is nulla. A kefék alatt ilyenkor a szigetelés van. Amikor a nyomaték előjelet váltana, akkor az áramhurokban megfordul az áramirány, ezért a forgatónyomaték iránya állandó marad. Tehát a forgórész kapcsaira egyenfeszültséget kapcsolunk, de a forgórész vezetőiben váltakozó áram folyik.
4.9. Egyenáramú motorok működési elve
É F
Ia B
F D jön létre. A forgatónyomaték : M=( c/2⋅π)⋅Φ⋅Ia
Az egyenáramú motor gerjesztő tekercsébe egyenáramot vezetünk, ami mágneses mezőt létesít. A forgórészre egyenfeszültséget kapcsolunk. A kommutátor és a kefék biztosítják, hogy az északi főpólusok alatti forgórész vezetőkben az armatúra áram egy irányba folyik, de a déli főpólusok alatti forgórész vezetőkben ellentétes irányba folyik. A forgórész vezetőire hat a Lorentz-erő, ami a tengelyre forgatónyomatékot fejt ki. Ez a nyomaték a forgórészt megforgatja. A forgórész vezetői metszik a mágneses mező indukció vonalait, így bennük mozgási indukció révén feszültség
Ia - armatúra áram 37
Φ - mágneses fluxus (a gerjesztő áram létesíti, de a vastest és az armatúraáram is befolyásolja) c - konstrukciós tényező ( a gép felépítésére jellemző állandó) Az összefüggésből látszik, hogy a nyomaték előjele megváltozik, ha csak a fluxus, vagy csak az armatúraáram előjele megváltozik. Tehát forgásirányt úgy lehet váltani, hogy vagy csak a gerjesztő tekercs, vagy csak a forgórész áramkör kapcsait felcseréljük. Az indukált feszültség: Ui=c⋅Φ⋅n n-fordulatszám A kapocsfeszültség a hurok-törvény értelmében az indukált feszültség és a belső feszültségesés összegével tart egyensúlyt: UK= Ui + Ia⋅Rb Rb- a forgórészáramkör belső ellenállása Ebből a három alapvető összefüggésből levezethetők az egyenáramú motorok tulajdonságait leíró egyenletek: Az áramfelvétel (armatúra áram): Ia= (UK - Ui)/Rb Az indítási áramfelvétel: Ii= UK/Rb , mert az indítás pillanatában a fordulatszám és az indukált feszültség is nulla. A fordulatszám és az armatúraáram kapcsolatát az UK= Ui + Ia⋅Rb és az Ui=c⋅Φ⋅n egyenletrendszerből határozhatjuk meg. A fordulatszám: n= (UK - Ia⋅Rb)/ (c⋅Φ)
5. Időben változó elektromos tér Eltolódási áram: Maxwell feltételezte, hogy az időben változó villamos tér, örvényes mágneses teret hoz létre. Ha egy kondenzátort töltünk, a vezetőkben áram folyik, de a fegyverzetek között szigetelőanyag van, ott nincs rendezett, egyirányú töltésmozgás. Pontosabban a feszültség változása miatt a dipólusok töltésközéppontjai eltolódnak, de ha vákuum van a lemezek között, akkor már ez sem mondható. Akkor nincs is zárt áramkör? dQ A kondenzátor töltőárama: i = dt A fegyverzetek töltésének megváltozása a lemezek közötti villamos teret is megváltoztatja. 1 A Gauss-tétel alapján: dE n ⋅ A = dQ ε0 dEn ⋅ A dΨ = ε0 A két egyenletből a töltésváltozást kiküszöbölve az áramerősség: i = ε0 dt dt Ezt az áramot eltolási áramnak nevezzük, ami egyenesen arányos az elektromos fluxus változási sebességével, arányossági tényező a permittivitás. Az eltolási áram által létesített mágneses indukció örvényerőssége: dΨ ÖB = μ0 ⋅ i = μ0 ⋅ ε 0 ⋅ dt Módosított Ampere-törvény: (Maxwell IV. törvénye az eltolási áram figyelembevételével): örvényes mágneses teret kelt a vezetőben folyó áram, valamint az ΔΨ eltolási áram, azaz a változó elektromos fluxus is: ÖB = μ0 (i + ε 0 ) Δt
38
6. Elektromágneses indukció 6.1. Mozgási indukció Helyezzünk el egy vezetőt az indukcióvonalakra merőlegesen, és mozgassuk úgy, hogy a sebesség mindkettőre merőleges legyen (6.1. ábra). (Szemléletesen azt is szokták mondani, hogy egy vezetőt mozgassunk úgy a mágneses térben, hogy metssze az indukcióvonalakat.) A vezető mágneses térben levő hossza l. A vezető mozgó elektronjaira hat a LorentzF=Q⋅v⋅B, ami a vezetőben erő: É + töltésszétválasztást okoz. A keletkező villamos tér az elektronokra v ellentétes irányú erőt fejt ki: Ui F = E ⋅Q = ⋅Q – B l A töltések szétválasztása addig tart, amíg a D két ellentétes irányú erő egyenlő nem lesz. U Ekkor: Q ⋅ v⋅ B = i ⋅ Q . 6.1. ábra l Ebből a vezetőben indukált feszültség: U i = B ⋅ l ⋅ v , ha B, l és v egymásra páronként merőleges. A töltések szétválasztásakor az egységnyi töltés szétválasztásához szükséges munkát elektromotoros erőnek nevezzük: E= – Ui A mozgási indukció hozza létre a villamos feszültséget a generátorokban, a villamos forgógépekben. A mozgási indukcióra is érvényes, hogy az indukált feszültség egyenlő a mágneses fluxus B ΔΦ + változási sebességével: U i = Δt I A FL v Ha ugyanis az l hosszúságú vezető Δt idő alatt U R egyenletesen Δs utat tesz meg, akkor „A” felületet l I vesz körül az indukcióra merőlegesen (6.2. ábra). – A fluxusváltozás Δt idő alatt: ΔΦ=B⋅A=B⋅l⋅Δs Δs B ⋅ l ⋅ Δs Az indukált feszültség: U i = = B ⋅l ⋅ v Δt 6.2. ábra Az indukált feszültség irányát a Lenz – törvény alapján lehet megfogalmazni, ami az energiamegmaradás törvényéből következik. Lenz – törvény: Az indukált feszültség zárt áramkörben olyan irányú áramot létesít, ami mágneses terével akadályozza az indukált feszültséget létrehozó hatást, azaz a fluxusváltozást. A Lenz – törvény alkalmazásához tehát legalább gondolatban zárt áramkört kell létrehozni. A 6.2. ábrán a vezetéket jobbra mozgatjuk. A zárt áramkörben áram jön létre, ezért a vezetőre hat a Lorentz – erő. Ez az erő akadályozza a mozgatást. Ha nem így lenne, akkor a vezető egyre gyorsulna, és a fékezésével energiához jutnánk, elkészíthetnénk a perpetuum mobile-t.
39
Időben változó mágneses tér 6.2. Elektromágneses indukció Ha egy vezető által körülzárt felületen megváltozik a mágneses fluxus, akkor a vezetőben feszültség indukálódik. Ha a felületet egy N menetű tekerccsel zárjuk körül, akkor az indukált ΔΦ dΦ feszültség: (Faraday-törvény) U i = N , ill. U i = N Δt dt Az indukált feszültség egyenesen arányos a fluxusváltozás sebességével (a fluxus idő szerinti első deriváltjával), arányossági tényező a tekercs menetszáma. Ez az összefüggés általános érvényű, független attól, hogy mi hozza létre a fluxusváltozást. Az indukált feszültség iránya a Lenz – törvénnyel határozható meg. 6.3. Nyugalmi indukció Általában akkor nevezzük az indukciós jelenséget nyugalmi ΔΦ indukciónak, ha nem a saját áramváltozás, és nem is mozgás hozza létre a fluxusváltozást. Vizsgáljuk meg egy zárt vezetőhurok esetén a fluxusváltozás hatását a 6.3. ábra alapján! Az egyetlen menetben – a görbe alakjától függetlenül – feszültség indukálódik, ami a zárt áramkörben áramot létesít. Ennek az áramnak a I mágneses tere akadályozza a fluxusváltozást. Az ábrán a ΦI fluxusváltozás felfelé, az I áram fluxusa lefelé mutat. Ha a vezető ellenállása R, akkor az áram nagysága: 6.3. ábra U 1 ΔΦ I= i = R R Δt A jelenség úgy is felfogható, hogy a vezetőben a töltéseket az indukált elektromotoros erő E= – Ui hozza mozgásba. Ha egy szolenoidot egy búra alá teszünk, és a ΔΦ búrából kiszivattyúzzuk a levegőt, akkor a vákuumban nincsenek töltések, de fluxusváltozáskor indukált elektromos mező keletkezik. Indukált elektromos mező keletkezik a szigetelőanyagokban is. A ΔΦ fluxusváltozás által indukált elektromos E mező ilyenkor koncentrikus kör alakú villamos térerősség-vonalakkal jellemezhető a fluxusváltozásra merőleges síkban (6.4. ábra). 6.4. ábra Ez azt is jelenti, hogy az indukált elektromos mező örvényes. Egy térerősség vonal mentén a térerősség szimmetria-okokból állandó, ezért az örvényerősség: ÖE = ∑ E ⋅ Δs = E ⋅ 2rπ zárt görbére
ΔΦ Δt 1 dΦ Az örvényerősség kétféle felírásából az indukált elektromos térerősség: E = − 2rπ dt A negatív előjel azt jelenti, hogy a fluxusváltozás irányához képest a villamos térerősségvonalak balsodrású rendszert alkotnak. Ha a balkezünk hüvelykujját a fluxusváltozás irányába tesszük, akkor a másik 4 ujjunk mutatja a térerősségvonalak körüljárási irányát.
Az örvényerősség azonban egyenlő az indukált elektromotoros erővel is: ÖE=E = −
40
Faraday indukciós törvénye (Maxwell II. törvényének kiegészítése változó mágneses mező esetére): Általános esetben azt mondhatjuk, hogy ha a mágneses fluxus változik egy görbe által körülzárt felületen, akkor örvényes elektromos mező keletkezik, melynek dΦ örvényerőssége egyenesen arányos a fluxusváltozás sebességével: ÖE=E = − dt Az örvényes elektromos tér nem konzervatív, két pont közötti feszültség függ a pályagörbétől. Két pont közötti feszültség akkor lesz egyértelmű, ha a pályagörbét egy tekercs vezetékével előírjuk Ha a fluxusváltozást nyitott tekercs veszi körül, akkor az indukált örvényes elektromos tér addig választja szét a vezető töltéseit, amíg az ebből származó sztatikus mező térerőssége egyensúlyba nem kerül az indukált elektromos mező térerősségével. 6.4. Önindukció Önindukció akkor jön létre, ha egy tekercs belsejében a fluxusváltozást a saját áram változása hozza létre. Az önindukciós feszültség (Ui) egyenesen arányos a tekercs áramváltozásával (di), és fordítottan arányos az áramváltozás idejével (dt), arányossági tényező a tekercs induktivitása (L): Δi di Ui = L ill. Ui = L Δt dt Más megfogalmazásban az önindukciós feszültség egyenesen arányos az áram idő szerinti első deriváltjával, arányossági tényező a tekercs induktivitása. Induktivitás (önindukciós tényező): ΔΦ Δi Ha az U i = L egyenletekből Ui-t elimináljuk, akkor az ill. Ui = N Δt Δt ΔΦ induktivitás értelmező egyenletét kapjuk meg: L=N Δi ⎡ Vs ⎤ mértékegysége: ⎢ ⎥ = [Ωs ] = [H ] henry ⎣A⎦ Az induktivitás a tekercsre jellemző állandó, a tekercs felépítésétől függ. (A vasmagos tekercsek esetén a vas telítődő mágnesezési görbéje miatt függ az áram nagyságától is.) N menetű, l hosszúságú, A keresztmetszetű légmagos tekercs induktivitása: N ⋅ Δi μ0 A ΔΦ A l L=N =N = μ0 ⋅ N 2 Δi Δi l Egy tekercs egy soros RL áramkörnek tekinthető. (A huzal rezisztens ellenállásának és a tekercs ideális induktivitásának soros kapcsolásával helyettesíthető.) Az önindukciós feszültség a Lenz – törvény értelmében akadályozza az áram változását. Ez azt eredményezi, hogy a bekapcsolás pillanatában a tekercs árama változatlanul nulla t − ⎞ U⎛ marad, és exponenciálisan növekszik, amíg el nem éri az állandósult értékét: i = ⎜⎜1 − e τ ⎟⎟ R⎝ ⎠ L τ = - időállandó R A tekercsben indukált feszültség: ui = U ⋅ e
−
t τ
41
Bekapcsoláskor a tekercs árama és indukált feszültsége az idő függvényében a 6.5. ábrán látható. uu
i
13.3. ábra
t
t
14.3. ábra 6.5.ábra
t
t
Bekapcsoláskor a tekercs sarkain a tápfeszültség mérhető, ami az önindukciós feszültség és az ohmos ellenállás feszültségének az összege. Kikapcsoláskor viszont az önindukciós feszültség nem engedi az áram azonnali megszűnését, hanem az első pillanatban az áram változatlan marad, és csak fokozatosan tud megszűnni. Kikapcsoláskor az áram fennmaradása érdekében igen nagy önindukciós csúcsfeszültség keletkezik, ami az érintkezők között szikrakisülést hoz létre, hogy az áram fennmaradhasson. Ha egy tekerccsel párhuzamosan kapcsolunk egy ködfény-lámpát, amelynek a gyújtófeszültsége 100 V, és 12 V-os tápfeszültséget be- és kikapcsolunk, akkor kikapcsoláskor a Glimm-lámpa felvillan. Ezt a nagy önindukciós feszültséget a gyors fluxusváltozás, a világításhoz szükséges energiát a tekercsben tárolt mágneses energia biztosítja.
Tekercs váltakozó áramú áramkörben L induktivitású tekercsbe vezessünk harmonikus váltakozó áramot! i=Imax·sin(ωt) di A tekercsben indukált feszültség: u i = L = Lω I max (cosω t ) dt Mivel cos(ωt)=sin(ωt+π/2), a tekercsben indukált feszültség 90°-kal siet az áramához képest. A tekercs váltakozó áramú ellenállását a feszültség és áram effektív értékének hányadosa adja U Leff meg: X L = = Lω Az induktív ellenállás a tekercs induktivitásával és a rákapcsolt I Leff feszültség körfrekvenciájával is egyenesen arányos. 6.5. Kölcsönös indukció
I1
N1
6.6. ábra
N2
Ha két tekercs áramának mágneses tere részben közös, akkor bármelyik áram megváltozása mindkét tekercsben feszültséget indukál. Ez a jelenség a kölcsönös indukció. A 6.6. ábrán az N1 menetszámú tekercs indukcióvonalainak egy része az N2 menetszámú tekercs belsejében is létesít mágneses fluxust. A csatolási tényező megadja, hogy az összes indukcióvonal hányad része megy át a másik tekercsen. Szoros csatolásról beszélünk, ha a csatolási tényező k≈1, és laza a csatolás,
ha k<<1. 42
I1 megváltozásakor az N1 menetszámú tekercsben önindukciós, az N2 menetszámú ΔI ΔI U i2 = L12 1 tekercsben kölcsönös indukciós feszültség keletkezik: U i1 = L1 1 Δt Δt L12 – kölcsönös induktivitás [H]. Természetesen hasonló módon a másik tekercs áramváltozása is mindkét tekercsben indukál feszültséget. A Ha a mágneses térben nincs ferromágneses anyag, akkor L12 = kμ0 N 1 N 2 2 l1 6.6. A mágneses mező energiája vákuumban Egy tekercsnek van induktivitása és a huzalának van ohmos (rezisztens) ellenállása. A tekercs tehát egy ellenállás és induktivitás UR UL soros kapcsolásával helyettesíthető (6.7. ábra) U A hurok-törvény alapján: u = u R + u L di Az árammal kifejezve: u = i ⋅ R + L ⋅ dt 6.7. ábra A kis betűk pillanatnyi értéket jelentenek. A dt idő alatt végzett villamos munka: dW=u⋅i⋅dt ezért szorozzuk meg mindkét oldalt i⋅dtdi vel: dW = u ⋅ i ⋅ dt = i 2 ⋅ R ⋅ dt + L ⋅ ⋅ i ⋅ dt dt A jobboldal első tagja a fejlődő Joule – hőt adja meg, ami eltávozik a rendszerből. A második tag mágneses energiává alakul. Egyszerűsítés után a mágneses energia megváltozása: dW = L ⋅ idi Mindkét oldalt integrálva és az áram kezdeti értékét nullának választva kapjuk a tekercsben
I
I
⎡i 2 ⎤ 1 felhalmozott mágneses energiát: W = ∫ L ⋅ idi = L ⋅ ⎢ ⎥ = L ⋅ I 2 ⎣ 2 ⎦0 2 0 1 A mágneses energia tehát: W = E m = L ⋅ I 2 2 I
A l Ezt a mágneses energiára kapott összefüggésbe behelyettesítve és csoportosítva, valamint 1 l N ⋅I N ⋅I N ⋅I N ⋅I − lel szorozva: E m = μ 0 A ⋅ l , B = μ0 , H= , V = A⋅l l 2 l l l l A mágneses energia tehát kifejezhető a mágneses tér jellemzőivel: 1 1 Em = B ⋅ H ⋅ V = B 2 ⋅V 2 2μ 0 A homogén térrész mágneses energiája egyenesen arányos az indukció négyzetével és a 1 térfogattal, arányossági tényező . 2μ 0 A mágneses tér energiasűrűsége: (az egységnyi térfogatban levő mágneses W 1 1 energia): w = = B⋅H = B2 V 2 2 μ0
A 6.4. fejezetben láttuk, hogy a légmagos tekercs induktivitása: L = μ 0 N 2
43
5.7. Az energia terjedése az áramforrástól a fogyasztóig. A Poynting-vektor
Azt már láttuk, hogy a vezetőben terjedő energia hővé alakul a vezető ellenállásán. Akkor hogyan jut el az energia a fogyasztóhoz? Az 5.8. ábra alapján vizsgáljuk meg az energia terjedését két téglalap keresztmetszetű b szélességű, egymástól d távolságra levő párhuzamos vezető esetén. Az energia a vezetékek közötti szigetelőanyagban terjed. A vezetőkben folyó áram a vezetékek közötti térben mágneses teret kelt, amelynek indukciója: B =
I +
B
– E
b
I d
μ0
I a gerjesztési törvény b
alapján. (A vezetékek között a két mágneses tér erősíti egymást, a vezetékeken kívül pedig gyengíti, ezért az energia a két vezeték között számottevő, kívül pedig elhanyagolható.) Ebből az áramerősség: I =
B ⋅b
μ0
A villamos térerősség a vezetékek között: E =
6.8. ábra
feszültség:
U = E⋅d
A villamos teljesítmény: P = U ⋅ I = E ⋅ d
U , amiből a d
B ⋅b
μ0
, és
An = d ⋅ b az energia terjedésére merőleges felület. 1 A villamos teljesítmény: P = E ⋅ B ⋅ An = E ⋅ H ⋅ An μ0 Az An felületen időegység alatt merőlegesen átáramló energia egyenesen arányos a villamos térerősséggel, a mágneses térerősséggel és a felület nagyságával. A levezetésnél E és B egymásra merőlegesek, a terjedés iránya pedig mindkettőre merőleges. A 13.6. ábrán az energia tőlünk távolodik, ami a bejelölt polaritásból és áramirányból következik. Ezt a terjedési irányt adja meg a Poynting-vektor is. Energiaáramsűrűség vagy Poynting-vektor (S): Megadja az egységnyi felületen időegység alatt átáramló energiát: S =
P 1 = E ⋅ B = E ⋅ H , ha E ⊥ B An μ 0
⎡W ⎤ ⎢⎣ m 2 ⎥⎦
Általános esetben a Poynting-vektor vektorszorzattal adható meg: S =
1 E×B = E×H μ0
44
7. Váltakozó feszültség A váltakozó feszültség periodikusan előjelet vált, tehát a pozitív és negatív pólusok periodikusan felcserélődnek. Az idő függvényében szinuszosan változó feszültséget harmonikus váltakozó feszültségnek nevezzük. Ez előállítható úgy, hogy homogén mágneses térben megforgatunk egy tekercset.
7.1. Váltakozó feszültség előállítása (szinkrongenerátor) (A 7.1. ábra bal oldalán látható csúszógyűrűk és kefék a forgórész áramának kivezetésére szolgálnak. Az erőművi generátorokban a forgórészen van a mágnes, az állórészen pedig a tekercs. Ez nem jelent elvi különbséget. A 3 fázisú feszültség előállításához 3 db tekercset v helyeznek el az állórészen, α amelyek tengelyei 120°-os szöget zárnak be egymással.) vn A 7.1. ábra jobb oldalán látható α módon a vezető sebességét B felbonthatjuk az indukcióval párhuzamos, és rá merőleges B összetevőkre. Feszültséget csak az indukcióra merőleges vn sebesség-összetevő indukál: v n = v⋅ sin α Egyenletes körmozgásnál a 7.1. ábra szögelfordulás: α = ω ⋅ t Egy vezetőben indukált feszültség: U i1 = B ⋅ l ⋅ v n = B ⋅ l ⋅ v⋅ sin (ω ⋅ t ) N menetű tekercs esetén 2N számú vezető sorba van kapcsolva, ezért a tekercs feszültsége: U i = 2 N ⋅ B ⋅ l ⋅ v⋅ sin (ω ⋅ t ) Mivel sinα maximuma 1, az indukált feszültség maximuma (csúcsértéke): U max = 2 N ⋅ B ⋅ l ⋅ v A harmonikus váltakozó feszültség pillanatnyi értéke: u = U max ⋅ sin (ω ⋅ t ) Ha R ellenállású fogyasztót kapcsolunk egy ilyen generátorra, akkor az áram pillanatnyi u U értéke: i = = max sin (ω ⋅ t ) = I max ⋅ sin (ω ⋅ t ) R R Effektív érték:
i p
p
t
i 7.2. ábraábra 13.17.
t
A váltakozó feszültség ill. áram pillanatnyi értéke állandóan változik, ezért jellemzésére olyan mennyiséget használunk, ami az egyenáraméval megegyezik. A váltakozó áram effektív értéke egyenlő azzal az egyenárammal, amelyik ugyanazon az ellenálláson ugyanannyi idő alatt ugyanannyi hőt fejleszt, mint a váltakozó áram. Ez matematikailag négyzetes középértéket jelent. A 7.2. ábrán az idő függvényében 45
egy ellenálláson folyó váltakozó áram és a teljesítmény pillanatnyi értékei láthatók. A teljesítmény, és emiatt a fejlődő hőmennyiség is független az áram irányától, csak a nagyságától függ. u2 u2 A pillanatnyi teljesítmény: p = i 2 ⋅ R = , a fejlődő hőmennyiség: Q = ∫ i 2 ⋅ Rdt = ∫ dt R R A harmonikus váltakozóáram effektív értéke: T
I eff = I eff =
T
1 2 1 2 i dt = I max sin 2 (ωt )dt = ∫ ∫ T 0 T 0 2 I max 2π
2π
⎤ ⎡α ⎢⎣ 2 − sin (2α )⎥⎦ = 0
2 I max 2π
2π
2 ∫ sin (α )dα = 0
2 I max 2π
2π
1 − cos 2α dα 2 0
∫
2 I max I = max 2 2
Tehát a harmonikus váltakozóáram és feszültség effektív értéke: I eff =
I max 2
U eff =
U max 2
7.2. Egyenáramú generátor A 4.8. fejezetben láttuk az egyenáramú gépek felépítését. Ha a gerjesztőtekercsbe egyenáramot vezetünk, mágneses tér jön létre. Ha a forgórészt egy hajtógéppel megforgatjuk, akkor a forgórész vezetőiben váltakozó feszültség indukálódik, amit a kommutátor és a kefék mechanikusan egyenirányítanak. Ha terheljük a generátort, létrejön az armatúraáram, és emiatt fellép egy forgatónyomaték, ami a forgatást akadályozza. 7.3. Transzformátor A villamos energia szállítása annál gazdaságosabb, minél nagyobb feszültségen történik. Háromfázisú rendszerben gazdaságosabb a szállítás, mint 1 fázis esetán. A transzformátorok villamos energiát alakítanak át más jellemzőjű villamos energiává úgy, hogy a frekvencia változatlan marad. Felépítése: Közös vasmagon helyezkedik el a primer és a szekunder tekercs. Háromfázisú transzformátoroknál az azonos fázishoz tartozó primer és szekunder tekercsek közös oszlopon helyezkednek el. A vasmag az örvényáramú veszteség csökkentése érdekében lemezelt, vagy kis transzformátorok esetén (hiradástechnika, automatika) porkohászati úton készített ferritmag. A primer tekercs villamos energiát fogyaszt (erre kapcsolunk váltakozó feszültséget), a szekunder tekercs villamos energiát ad le (erre kapcsoljuk a fogyasztókat). Hűtésük lehet természetes vagy mesterséges léghűtés ill. olajhűtés. A vasmag:
U I -mag
E I -mag
M -mag
Transzformátorlemezből készül. A lemezek között általában lakkszigetelés található, egymáshoz pedig csavarokkal rögzítik őket. A lemezeket felváltva egyik ill. másik oldalról dugják a csévetestbe a légrés csökkentése érdekében. Oszlopnak nevezzük a vasmagnak azt a részét, amit
tekercs vesz körül, a többi részét pedig járomnak. A tekercselés: Szigetelő anyagból készített csévetestre Csévetest tekercselik a lakk, zománc, papír vagy pamut szigetelésű rézvezetéket. Az egyes rétegek közé az Rétegszigetelés átütés elkerülése miatt rétegszigetelést tesznek.
szigetelt vezető 46
∼ N1 U u
V v
N2
Hengeres elrendezés
Ha a szekunder menetszám nagyobb mint a primer, akkor felfelé, ha kisebb, akkor pedig lefelé transzformálja a V feszültséget. Működési elve: A primer tekercsbe váltakozó áramot vezetünk, vagy a primer áramot változtatjuk (pl. az egyenáramot ki-be kapcsoljuk). A vasmagban változó mágneses tér jön létre, ami mindkét tekercsben feszültséget indukál. Ui1=N1·dφ ⁄ dt Ui – indukált feszültség Ui2=N 2·dφ ⁄ dt N – menetszám dφ – fluxusváltozás dt – a fluxusváltozás időtartama Ha Φ=Φmax·sinωt, akkor ui=Nω Φmax·cosωt, ω=2πf, melynek effektív értéke: Ui =4,44·f·N·φmax f – frekvencia Ha fogyasztót kapcsolunk a szekunder tekercsre, létrejön a szekunder áram, növekszik a szekunder teljesítmény, ezért növekszik a primer teljesítmény felvétel és a primer áram is. Ideális transzformátornál az indukált feszültség egyenlő a kapocsfeszültséggel, a primer teljesítmény pedig a szekunder teljesítménnyel. A transzformátor áttételei: – feszültség áttétel: aU=U1/U2 –menetszám áttétel: aN=N1/N2 –áram áttétel: aI= I2/I1 Ideális transzformátornál az áttételek egyenlők, de a valódi transzformátoroknál a veszteségek miatt a feszültségáttétel a legnagyobb, az áramáttétel pedig a legkisebb. A valóságban ugyanis Ui1< U1 , és U2< Ui2 , mert a tekercseknek van ellenállása (belső impedanciája) is. A primer látszólagos teljesítmény (U1· I1) és a primer gerjesztés (N1· I1) pedig nagyobb a szekundernél:, ezért U1/U2 ≥N1/N2 ≥I2/I1
47
8. Maxwell törvényeinek teljes rendszere 8.1. Maxwell-egyenletek 1 Q Maxwell I. törvénye: N E = ∑ E n ⋅ ΔA = ∑ Q ill. ∑ Dn ⋅ ΔA = ∑ ε0 V zért felületre zárt felületre V A nyugvó töltések elektromos teret létesítenek. A sztatikus elektromos mező forrásai a nyugvó töltések. A V térfogatot elhagyó összes villamos térerősségvonalak száma egyenlő a bezárt összes töltés és a permittivitás hányadosával. ΔΦ Maxwell II. törvénye: ÖE = ∑ E ⋅ Δs = − Δt zárt görbére A mágneses fluxusváltozás örvényes elektromos teret létesít. (A sztatikus elektromos mező örvénymentes.) Maxwell III. törvénye: N B = ∑ B ⋅ ΔA = 0 zárt felületre
A mágneses mező forrásmentes. Maxwell IV. törvénye:
ÖB =
∑
B⋅ Δs = μ 0 ( I + ε0
zárt görbére
ΔΨ ) Δt
ill.
∑ H ⋅ Δs = I + ε
zárt görbére
ΔΨ Δt
Örvényes mágneses mezőt létesít a vezetőben folyó áram és az eltolási áram, azaz az elektromos fluxusváltozás is. Az anyagi egyenletek: A dielektromos eltolás-vektor és a villamos térerősség kapcsolata: D = ε ⋅ E A mágneses indukció és a mágneses térerősség kapcsolata: B = μ ⋅ H Az Ohm-törvény (az áramsűrűség, a fajlagos vezetőképesség és a villamos térerősség kapcsolata: J = γ E
8.2. Az elektromágneses hullámok A rezgőkörök induktivitást és kapacitást tartalmazó áramkörök. Vizsgáljunk egy ideális rezgőkört! (Az áramkör rezisztens ellenállásától eltekintünk.) Ha feltöltjük a kondenzátort, és rákapcsoljuk a tekercsre, akkor a tárolt villamosenergia mágneses energiává alakul a tekercsben, majd az induktivitás fenntartja az áramot, és a
E
E
E
8.1. ábra kondenzátor ellentétes polaritással feltöltődik. Ezután a folyamat ellentétes irányban hasonlóan játszódik le. A rezgőkör feszültsége és árama is periodikusan változik. 48
Ha a kondenzátor lemezeit eltávolítjuk egymástól, akkor a villamos térerősségvonalak megnyúlnak. Ez látható a 8.1. ábrán. Az így kapott nyitott rezgőkör helyettesíthető egyetlen fémpálcával, amit dipólantennának nevezünk.
E
E
c
B
B
8.3. ábra
8.2. ábra
Az antenna végének felületei tekinthetők a kondenzátor fegyverzeteinek, a vezetékdarab pedig az induktivitás. A dipólantenna villamos térerősségvonalai folytonos, indukcióvonalai szaggatott vonalakkal vannak ábrázolva egy adott pillanatban a 8.3. ábrán. A villamos és mágneses erővonalak egymásra merőlegesek. Ezek az erővonalak azonban a dipólantennáról leszakadhatnak, így elektromágneses sugárzás keletkezik. A mágneses tér változása villamos teret, a villamos tér változása pedig mágneses teret kelt. A 8.2. ábrán egy vonal mentén azonos időpontban látható a villamos térerősség és a mágneses indukció változása, ami meghatározza a terjedés irányát is. Az elektromágneses hullámok tehát transzverzálisak, az elektromos és a mágneses térerősség a hullámban egymásra merőleges, a terjedés iránya pedig mindkettőre merőleges. Egy adott helyen a villamos térerősségnek és a mágneses indukciónak azonos időpontban van nullaátmenete, illetve azonos időpontban van a maximumuk is (azonos fázisúak) 1 A terjedés irányát a Poynting-vektor határozza meg: S = E × B , ezért a hullám az ábrán μ0 jobbra halad. 1 Az elektromágneses hullám terjedés sebessége: c = μr≅1 a szigetelőanyagok
εμ
esetén Vákuum esetén az így kapott sebesség nagyon jól egyezett a fény vákuumbeli terjedési sebességével, amiből arra lehetett következtetni, hogy a fény is elektromágneses hullám. A különböző szigetelőanyagokban való terjedésnél ismert a törésmutató, ami a terjedési c sebességekkel is kifejezhető: n 21 = 1 c2 A törésmutatóval számítható terjedési sebességek lényegesen eltértek a permittivitás és permeabilitás segítségével számítható terjedési sebességektől. Ennek az a magyarázata, hogy a relatív permittivitást és permeabilitást sztatikus tereknél mérték, vagy esetleg kisfrekvenciás változásoknál. A relatív permittivitás frekvenciafüggő, amit bizonyít a fény diszperziója is. Ennek figyelembevételével a két számítási mód már nincs ellentétben egymással. Az elektromágneses hullámokat kísérletileg először Hertz vizsgálta. Kimutatta, hogy a fényhez hasonlóan verődnek vissza fémlemezekről (a beesési szög egyenlő a visszaverődési szöggel). Paraffinból készített prizmával eredeti irányuktól eltéríthetők, megtörnek. 49
Az adóantennával szemben elhelyezett fémlapról visszaverődő hullámok az eredeti hullámokkal állóhullámot hozhatnak létre, aminek csomópontjai és duzzadóhelyei a vevőantenna mozgatásával kimutathatók a 8.4. ábrának megfelelő módon.
adó
vevő
Erősítő és kijelző
Erősítő és kijelző
fémlap
8.4. ábra
A duzzadóhelyeknél a vett jel amplitúdója maximális, a kioltási helyeken nincs vett jel. A vevőantenna azért van középen megszakítva, mert ott van az áramának maximuma, és ezt hasznosítjuk. A dipól feszültségmaximuma a csúcsoknál van. Az elektromágneses hullámok polarizálhatók. Ha az adó és a vevő dipólantenna egymással párhuzamos, akkor a vett jel normális teljesítményű, míg ha a vevő dipól merőleges az adóra, akkor a vett jel teljesítménye gyakorlatilag nulla. A mágneses indukció síkját polarizációs síknak, a villamos térerősségét rezgési síknak nevezzük.
Az elektromágneses hullám energiasűrűsége A elektromágneses hullámok az antennában villamos rezgéseket keltenek, elnyelődve felmelegítik a testeket, tehát energiát hordoznak. Az időegység alatt egységnyi felületen merőlegesen átáramló energiát a Poynting – vektor 1 adja meg: S = E× B = E× H μ0 Mivel a villamos térerősség és a mágneses indukció fázisban vannak, 1 E = E max sin(ωt ) és B = Bmax sin (ωt ) S = E max Bmax sin 2 (ωt ) μ0 Ennek átlaga az egységnyi felületen időegység alatt merőlegesen átáramló energia: 1 1 S = S max = E max Bmax 2 2μ 0 Az elektromágneses hullám energiasűrűsége (egységnyi térfogatra jutó energia) a 1 1 villamos és mágneses energiasűrűség összege: w = ε 0 E 2 + B2 2 2μ 0 1 B Mivel E = cB =
ε0μ0
Ezt az energiasűrűség képletébe behelyettesítve kapjuk, hogy: w =
1 2μ 0
B2 +
1 2μ 0
B2 ,
tehát a villamos és mágneses energiasűrűség nagysága egyenlő. A nagyon kicsi ΔV térfogatban (ahol a tér homogénnek tekinthető) lévő összes energia: ⎛1 ⎞ 1 W = ⎜⎜ ε 0 E 2 + B 2 ⎟⎟ 2μ 0 ⎝2 ⎠ Az energiasűrűség a Poynting – vektorral kifejezve: w =
P ⋅ Δt S ⋅ An ⋅ Δt S = = V An ⋅ c ⋅ Δt c 50
8.3. Az elektromágneses spektrum A hullámok terjedési sebessége egyenlő a frekvencia és a hullámhossz szorzatával. Mivel az elektromágneses hullámok vákuumbeli sebessége állandó, a hullámhossz és a frekvencia kölcsönösen meghatározzák egymást. Az elektromágneses hullámok keletkezése, terjedési tulajdonságai, biológiai hatásai és alkalmazási lehetőségei függnek a frekvenciától. • Kisfrekvenciás zajhullámok: Elnevezésüket onnan kapták, hogy a telekommunikációs vételben zavarokat okoznak. Elsősorban az 50 Hz frekvenciájú villamos hálózattól származnak, de keletkeznek kapcsolók nyitásakor, kommutátoros motorok és kapcsolóüzemű tápegységek működése közben, ha nem gondoskodunk kellő zavarszűrésről. • Rádióhullámok – biológiai hatásuk nem bizonyított. Nyitott rezgőkörökkel (antennában folyó nagyfrekvenciás váltakozó áram) állítják elő o Hosszúhullám: (λ=100 km – 1 km) Régen a nagytávolságú távközlésben volt jelentősége (ma ezt átvette a műholdas távközlés). Felületi hullámként is terjed, követi a Föld görbületét, ezért a hajózásban és a kontinensek közötti információ átvitelében volt nagy jelentősége. Ehhez azonban nagy energiára van szükség, és sok zavarforrás is működik ebben a tartományban o Középhullám: (λ=1000 m – 100 m) Terjedési tulajdonságai részben a hosszú-, részben a rövidhullámokhoz hasonlít. o Rövidhullám: (λ=100 m – 10 m) Az ionoszféráról (h≈50 – 80 km) többszörös törés után visszaverődik, így nagyobb távolságú irányított rádióadást tesz lehetővé. o Ultrarövid hullám: (λ=10 m – 10 cm) Levegőben egyenes vonalban terjed, áthatol az ionoszférán. Jó minőségű rádiózást és tv-vételt tesz lehetővé. Radarokat használnak távolságmérésre és sebességmérésre. A mágnesrezonanciás tomográfok (MR; magspin-rezonancia) is ebben a hullámhossz-tartományban működnek. o Mikrohullámok (λ=10 cm – 0,5 mm) Ebben a tartományban működnek a mobiltelefonok, a műholdas távközlés, a mikrohullámú sütő. • Fényhullámok: Atomok, molekulák elektronátmenetei során keletkeznek. o Infravörös vagy hősugarak (λ=0,5 mm – 780 nm) Elnyelődve jelentős hő fejlődést okoznak. Öntödékben az erős sugárzás ellen bőrruhákkal védekeznek. Alkalmazzák nagy csarnokok fűtésére, csirkekeltetésre, fényképezésre, épületek hőszigetelésének vizsgálatára, éjjellátó készülékekben, távirányítókban o Látható fény: (λ=780 nm – 340 nm) A különböző frekvenciájú fények szemünkben színérzetet keltenek, képalkotásra használjuk. Sok optikai eszközt használunk (szemüveg, fényképezőgép, távcső, mikroszkóp, vetítő, tv …) o Ultraibolya, ultraviola, uv-fény (λ=340 nm – 10 nm) Égési sérülést, kötőhártya-gyulladást, bőrrákot okoz, Az ózonlyuk miatt jelentős mennyiségben érkezik a Föld felszínére. Kvarclámpával hasznosítjuk, ívhegesztésnél védekezünk ellene. Pénz valódiságának ellenőrzésére is használjuk. • Röntgensugárzás (λ=10 nm – 10 pm) Vákuumban elektronokat nagy sebességre gyorsítanak, amik az anódba ütközve hirtelen lefékeződnek. A fékezési sugárzás folytonos spektrumú, a karakterisztikus sugárzás a fékező anyagra jellemző. A gyógyászatban és anyagvizsgálatra használják, de nagy mennyiségben az erősen ionizáló sugárzás rákos megbetegedést okoz. Röntgensugarak interferenciája, elhajlása (diffrakció) alkalmas a kristályok rácsszerkezetének tanulmányozására • γ-sugárzás (λ=50 pm – 0,5 pm) Az α- és β-bomlás után visszamaradt gerjesztett atommag nagy energiájú elektromágneses hullám kibocsátásával adja le a 51
fölösleges energiáját. Nagyon nagy az áthatolóképessége. Anyagvizsgálatra, helyszíni varratvizsgálatra, konzervek, vetőmagok csírátlanítására használják. Égési sérüléseket, rákot, genetikai mutációt okozhat.
52
