http://matek.fazekas.hu/portal/erettsegi
Feladatok a 2010. májusi emelt szintű matematika érettségi példáihoz Hraskó András 1. Halmazok, halmazműveletek, halmazok számossága, halmazműveletek és logikai műveletek kapcsolata. HA.1.1. Adott a síkon az A és a B pont, melyek távolsága 10 cm. Válasszuk ki az alábbi állítások közül az igaz állításokat! I. A síknak van olyan P pontja, amelyre PA<6 cm és PB<7 cm. II. Ha a sík valamely P pontjára PA<6 cm, akkor PB<7 cm. III. Ha a sík valamely P pontjára PA<6 cm, akkor PB<17 cm. IV. A síknak van olyan P pontja, amelyre PA<6 cm és PB<17 cm. V. A sík bármely P pontjára teljesülnek a PA<6 cm, PB<17 cm egyenlőtlenségek. VI. A sík bármely P pontjára a PA>6 cm, PB>3 cm egyenlőtlenségek közül legalább az egyik teljesül. VII. Ha a sík valamely P pontjára PA 6 cm, akkor PB 3 cm. VIII. Nincs a síkon olyan P pont, amelyre PA 6 cm és PB 4 cm. IX. Nincs a síkon olyan P pont, amelyre PA 6 cm és PB < 4 cm. HA.1.2. a) A tanár felvette az A és a B pont a táblán, felírta a távolságukat is és megkérdezte Remek Robit: - Igaz-e, hogy a tábla síkjának bármely olyan P pontjára, amelyre teljesül a PA > 1 méter egyenlőtlenség, teljesül a PB > 3 dm egyenlőtlenség is? Robi igennel felelt és a tanár megdícsérte a jó válaszért. Hunyor Hunor a besütő naptól nem látja a táblát és most hozzá fordul a tanár: - Igaz-e, hogy a tábla síkjának bármely olyan P pontjára, amelyre teljesül a PA < 4 dm egyenlőtlenség, teljesül a PB < 12 dm egyenlőtlenség is? Tud-e biztos választ adni Hunor, anélkül hogy további információt kapna a két pont elhelyezkedéséről? b) Módosítsuk a történetet úgy, hogy cseréljük ki a tanár két „Igaz-e, hogy..'' kezdetű mondatát! Így tud-e Hunor biztos választ adni? HA.1.3. Egy papíron négyjegyű pozitív egész számok vannak. Igaz az alábbi állítás: azokban a papíron levő számokban, amelyekben van egyes nincs kettes. Legfeljebb hány szám lehet a papíron? 2. Számhalmazok (a valós számok halmaza és részhalmazai), oszthatósággal kapcsolatos problémák, számrendszerek. HA.2.1. a) Egy tetszőleges kétjegyű szám után írjunk egy 0-t majd újból a kétjegyű számot. Mutassuk meg, hogy az így kapott ötjegyű szám mindig osztható 11-gyel és 13-mal is! b) Ha ugyanezt az eljárást hetes számrendszerben végezzük el, akkor melyik az a legnagyobb prímszám, amellyel a kapott ötjegyű szám mindig osztható? HA.2.2. Írjuk fel tízes számrendszerben azokat a számokat, amelyek tizenegyes számrendszerben a0b , a kilences számrendszerben pedig b0a alakúak! 1/7
http://matek.fazekas.hu/portal/erettsegi
HA.2.3. A [2; 2010] zárt intervallumban hány olyan b egész szám van, amelyre a b alapú számrendszerbeli 222 szám osztható héttel? 3. Térelemek távolsága és szöge. Nevezetes ponthalmazok a síkban és a térben. HA.3.1. Az ABCD tetraéder ABC lapja 10 egység oldalú szabályos háromszög, míg a tetraéder D csúcsban találkozó élei 13 egység hosszúak. Határozzuk meg az alábbi mennyiségeket: a) az ABCD tetraéder körülírt gömbjének sugara; b) az ABC alapsík és az AD egyenes szöge; c) az ABD, ACD lapsíkok szöge. HA.3.2. a) Adott három pont a síkon, amelyek nem esnek egy egyenesbe. Hány olyan egyenes van a síkban, amelytől a három pont egyforma messze van? b) Adott négy pont a térben, amelyek nem esnek egy síkba. Hány olyan sík van, amelytől a négy pont egyforma messze van? HA.3.3. a) Az ABC szabályos háromszöglap pontjait három színnel színezzük. A P pontot pirosra, kékre illetve zöldre színezzük aszerint, hogy az APB tompaszög, derékszög vagy hegyesszög. Így a háromszöglap területének hány százaléka lesz piros? b) Az ABCD szabályos tetraéder felületének pontjait három színnel színezzük. A P pontot pirosra, kékre illetve zöldre színezzük aszerint, hogy az APB tompaszög, derékszög vagy hegyesszög. Így a tetraéder felszínének hány százaléka lesz piros? 12. A hasonlóság és alkalmazásai háromszögekre vonatkozó tételek bizonyításában. HA.12.1. Az ABC háromszög AC oldalának felezőpontja F. A BC oldalon P és Q negyedelő pontok úgy, hogy BP=CQ=BC/4. Messe az AB oldal egyenesét a QF egyenes M-ben, az FP egyenes pedig N-ben. Mutassuk meg, hogy MA=BN! HA.12.2. Egy szögtartományba úgy írtuk be a k1, k2, k3 köröket, hogy azok egymás külsejében helyezkednek el, r1, r2, r3 sugaraikra r1< r2
k3 k2 k1
HA.12.3. Az ABC háromszög AB oldalának A felőli harmadolópontja C1, míg a BC oldal B felőli harmadolópontja A1. Milyen arányban osztja fel az AA1 egyenes a CC1 szakaszt?
2/7
http://matek.fazekas.hu/portal/erettsegi 13. Derékszögű háromszögek. HA.13.1. Az ABC derékszögű háromszög BC, CA befogóinak hossza rendre 5 és 12 cm. A CA befogón a C csúcstól milyen messze vegyük fel a D pontot, hogy a CD átmérőjű kör érintse az AB átfogót? HA.13.2. Egy derékszögű háromszögbe négyzetet írunk úgy, hogy egyik oldala az átfogón fekszik, az azzal szemközti oldalának csúcsai pedig illeszkednek egy-egy befogóra. A háromszög átfogóját így három részre osztjuk. Mutassuk meg, hogy e három rész közül a négyzetoldal a másik két rész mértani közepe! HA.13.3. Milyen messze vannak egymástól az r sugarú k körhöz k középpontjától d távolságra levő P pontból k-hoz húzott érintők érintési pontjai? a) Számoljuk ki ezt a távolságot az r=5, d=13 esetben és b) fejezzük ki általánosan is! 14. Háromszögek nevezetes vonalai, pontjai és körei. HA.14.1. Adott egy háromszög magasságpontja, súlypontja és egyik csúcsa. Szerkesszük meg a háromszöget! HA.14.2. Adott a síkon az ABC háromszög A és B csúcsa valamint körülírt körének O középpontja. Hol lehet a háromszög a) súlypontja? b) magasságpontja? HA.14.3. Az A, T, H, B pontok ebben a sorrendben, egy egyenesen helyezkednek el, úgy, hogy AT = 14 cm, TH = 1 cm, HB = 20 cm. Határozzuk meg az ABC háromszög oldalainak hosszát, ha tudjuk, hogy T a háromszög beírt körének érintési pontja, míg H a C-nél levő belső szög szögfelezőjének pontja! 15. Összefüggés az általános háromszög oldalai között, szögei között, oldalai és szögei között. HA.15.1. a) Egy háromszög szögeinek aránya 1:2:3. Határozzuk meg oldalainak hosszát, ha körülírt körének sugara 10 cm! b) Egy háromszög oldalainak aránya 1:2:3. Határozzuk meg a szögeit! HA.15.2. Az ABC háromszögben AB = 12 cm, az A csúcsnál levő szög 74 . A háromszög C csúcsából kiinduló súlyvonala: CD = 7 cm. Mekkorák a háromszög oldalai? HA.15.3. Az ABC háromszög két oldala AB = 8 cm, AC = 12 cm, az A csúcsnál levő szög felezője AD = 9 cm. Mekkorák a háromszög szögei?
3/7
http://matek.fazekas.hu/portal/erettsegi 16. Húrnégyszög, érintőnégyszög, szimmetrikus négyszögek. HA.16.1. Mutassuk meg, hogy a szimmetrikus érintőtrapéz területe az alapok számtani és mértani közepének szorzata. HA.16.2. Egy konvex deltoidnak, amely húrnégyszög is, oldalai 5 cm és 12 cm hosszúak. Határozzuk meg a deltoid beírt körének sugarát! HA.16.3. Az ABCD húrnégyszög oldalai cm-ben: AB = 10, BC = 2 5 , AB = 8 2 , AB = 4 10 . a) Határozzuk meg a CD átló hosszát! b) Érintőnégyszög-e az ABCD négyszög? 17. Egybevágósági transzformációk. Szimmetrikus sokszögek. HA.17.1. Az egységoldalú ABCD négyzet CD oldalára kifelé emeltük a CED szabályos háromszöget. Számítsuk ki az ABE háromszög körülírt körének sugarát! HA.17.2. a) Van-e olyan sokszög, amely több tengelyre is tükrös, de forgási szimmetriája nincs? b) Van-e olyan sokszög, amely forgásszimmetrikus, de nincs tükörtengelye? HA.17.3. Az n 5,6,7 értékek közül melyekre igaz az alábbi állítás: „ha egy n szögnek van két különböző szimmetriatengelye, akkor szabályos”? 18. Kör és részei, kör és egyenes kölcsönös helyzete (elemi geometriai tárgyalásban), kerületi szög, középponti szög. 3 1 sugarú körök mindegyike érinti a másik kettőt és 3 1, r3 HA.18.1. Az r1 3 3 , r2 egymáson kívül helyezkednek el. Határozzuk meg a három kör határolta véges tartomány területét!
HA.18.2. Adott a síkon az ABC háromszög A és B csúcsa valamint k körülírt köre a) Hol lehet a háromszög beírt körének középpontja? b) Mérjük fel az AC oldal C-n túli meghosszabbítására a CD=CB szakaszt. Határozzuk meg D mértani helyét, ha C befutja k-t! HA.18.3. Az O1 illetve O2 középpontú k1, k2 körök az A, B pontokban metszik egymást. Az O1B egyenes k2-t még B2-ben, az O2B egyenes pedig k1-et még B1-ben metszi. Mutassuk meg, hogy a) az O1, O2, A pontokon át fektetett k körre illeszkedik B1 és B2 is! b) az AB egyenest és a k kör A-tól különböző C metszéspontjára CB=CB1=CB2! 19. Vektorok. Vektorok alkalmazása a koordinátageometriában. HA.19.1. Adottak ABC szabályos háromszög két csúcsa a Descartes koordináta-rendszerben: A(7, 12), B(2, -1). Adjuk meg a C csúcs koordinátáit! HA.19.2. Az ABC háromszög csúcsai: A(0;0), B(12;-5), C(3;4). Határozzuk meg a C-nél levő szög szögfelezőjének egyenletét! 4/7
http://matek.fazekas.hu/portal/erettsegi
HA.19.3. Az ABC háromszög súlypontja S, az A’B’C’ háromszögé S’. Az AA’, BB’, CC’ szakasz felezőpontját jelölje rendre FA, FB és FC. Meghatározható-e S és S’ ismeretében az FAFB FC háromszög FS súlypontja? 20. Egyenesek a koordinátasíkon. A lineáris függvények grafikonja és az egyenes. Elsőfokú egyenlőtlenségek. HA.20.1. Egy derékszögű háromszög egyik befogójának végpontjai A(2;6), B(5, -9). A CB átfogó egyenesének meredeksége
7 . 4
a) Számítsa ki a C csúcs koordinátáit! b) A D(2;-4) pont a háromszög belsejében, határvonalán vagy külsejében van? HA.20.2. a) Mutassuk meg, hogy van egy olyan P pont a koordinátasíkon, amely az m paraméter bármely értéke esetén illeszkedik az y = m·x + 3 egyenletű egyenesre! b) Az m valós paraméter mely értékeire igaz az, hogy ha y = m·x + 3 és 3·y + x = 1, akkor y < 0? c) Az m valós paraméter mely értékeire igaz az, hogy ha y = m·x + 3 és 3·y + x = 1, akkor y
1 x 2? 2
HA.20.3. Oldja meg az egész számok halmazán a következő egyenlőtlenség-rendszert! x + 3y < 15, 3x + 2y > 14, 2x - y < 5. 21. A kör és a parabola a koordinátasíkon. Másodfokú egyenlőtlenségek. HA.21.1. Határozza meg az x2 + y2 + 2x – 4y – 11 = 0 egyenletű kör azon húrjának egyenletét, amelyet a P(1; 3) pont felez! Milyen hosszúságú ez a húr? HA.21.2. Határozza meg p értékét úgy, hogy az y
1 2 2 2 x egyenletű parabolát érintse az x + y = 25, 2p
(x-14)2 + (y+2)2 = 125 egyenletű körök metszéspontjain átmenő egyenes! HA.21.3. Húzzon érintőket az y
1 2 x 4
egyenletű parabolához az ordinátatengely és a vezéregyenes
metszéspontjából! Mekkora szöget zárnak be ezek egymással? 22. Szögfüggvények értelmezése a valós számhalmazon, ezek tulajdonságai, kapcsolatok ugyanazon szög szögfüggvényei között. Trigonometrikus függvények transzformáltjai. HA.22.1. a) Mely valós számokra igaz az, hogy sin x + cos x = 1? b) Határozzuk meg a valós számokon értelmezett f(x) = sin x + cos x függvény értékkészletét!
5/7
http://matek.fazekas.hu/portal/erettsegi
HA.22.2. a) Oldjuk meg a 4sinx – cos 2x = 4 egyenletet a valós számok halmazán! b) Határozzuk meg a valós számokon értelmezett f(x) = 4sinx – cos 2x függvény értékkészletét! HA.22.3. Hány megoldása van a sin 2x = sin 3x egyenletnek a [0; 2 ] intervallumban?
6/7
http://matek.fazekas.hu/portal/erettsegi Eredmények HA.1.3. 8080. HA.2.3. 7|1+b+b2, ez pontosan akkor teljesül, ha b 2 vagy 4 mod 7. 2010 = 7. Mivel 2010=7 287 + 1, így 2 287-1=574-1=573 ilyen alap van (a b=2 nem jó): 4, 9, 11, 16, 18, … 2004, 2006. HA.17.1. A kör sugara 1. HA.17.2. a) nincs; b) van. HA.17.3. n=5-re és n=7-re igaz az állítás, n=6-ra nem igaz.
7/7
