Valószínűségszámítási feladatok (emelt szint) Klasszikus valószínűség 1. Véletlenszerűen felírunk egy hatjegyű számot a 0, 1, 2, 3, 4, 5 számjegyek felhasználásával, melyekben minden számjegy csak egyszer fordul elő. Mennyi a valószínűsége, hogy 5-tel osztható számot írtunk fel? (0,36) 2. Ha tíz könyvet helyezünk el tetszőleges sorrendben egy könyvespolcon, és három könyvet előre megjelölünk, akkor mi a valószínűsége annak, hogy az elhelyezés során a megjelölt könyvek egymás mellé kerülnek? (0,067) 3. Egy vendéglő egyik asztalánál 10 vendég ül. Összesen rendelnek 3 üveg sört, 4 tésztát és 3 kávét. (Minden vendég csak egy tételt rendel és a sörök, tészták, stb. teljesen egyformák.) A pincér emlékszik arra, hogy miből mennyit kell hoznia, de teljesen elfelejtette, hogy mit, kinek kell adnia. Találomra szétosztja, amit hozott. Mennyi annak a valószínűsége, hogy mindenki azt kapja, amit kért? (0,000238) 4. Öt házaspár érkezik egy étterembe. Véletlenszerűen leülnek egy hosszú asztal mellé. Menynyi a valószínűsége, hogy a) azonos neműek nem kerülnek egymás mellé, (0,00794) b) a házaspárok egymás mellett ülnek? (0,001058) 5. Magyarországon egy rendszámtábla 3 betűből és utána 3 számjegyből áll. Egy rendszámtábla elkészítéséhez 26 betűt és 10 számjegyet használhatunk fel. (A 0-val kezdő számhármasokat is megengedjük, de 000-ás rendszám nincs). Mennyi a valószínűsége, hogy egy rendszámtáblán minden betű és minden számjegy különböző? (0,6397) 6. Egyszerre dobunk 6 szabályos dobókockával. Mi a valószínűsége annak, hogy legalább két dobókockával azonos pontszámot dobunk? (0,985) 7. Egy szabályos dobókockával háromszor dobunk egymás után. A kapott eredményeket egymás mellé írva egy háromjegyű számot kapunk. Mennyi a valószínűsége, hogy az előbbiekben kapott háromjegyű számban van legalább két azonos számjegy? (0,4444) 8. 100 alma közül 10 férges. Mennyi a valószínűsége, hogy válogatás nélkül 5 almát kivéve, közöttük a) pontosan 2 férges alma lesz, (0,0702) b) lesz férges alma? (0,4162) 9. Egy csomag magyar kártyát jól összekeverünk. Mennyi annak a valószínűsége, hogy a 4 ász egymás után helyezkedik el? (0,0008) 10. Egy dobozban 4 piros golyó van. Legalább hány fehér golyót kell a dobozba helyeznünk ahhoz, hogy ezután találomra húzva belőle egy golyót, az 0,9-nél nagyobb valószínűséggel fehér legyen? (37) 11. Egy urnában 10 golyó van, pirosak és kékek. A piros golyó húzásának valószínűsége 0,3. Hozzáteszünk még 10 golyót, pirosakat és kékeket. Hány kék és hány piros golyó legyen ezek között, hogy egy kék golyó kihúzásának a valószínűsége pontosan 0,5 legyen? (3 kék és 7 piros)
12. Öt különböző egyenesszakasz hossza rendre 1, 3, 5, 7, 9 egység. Határozza meg annak a valószínűségét, hogy véletlenszerűen kiválasztva közülük hármat, a kiválasztott szakaszokból háromszög szerkeszthető! (0,3) 13. Egy R 2 sugarú kör alakú céltábla eltalálása biztos esemény. Mekkora lehet a céltábla legbelső körének sugara, hogy az ezen kívüli találat valószínűsége legfeljebb 0,1 legyen, egyenletes eloszlást feltételezve? ( r 1,89 ) 14. Egy pénzérmét 10-szer egymás után feldobunk. Ha fejet kapunk, azt F-fel, ha írást, azt Ivel jelöljük. Mennyi annak a valószínűsége, hogy az F és I betűknek ez a 10 elemű sorozata tartalmaz két azonos betűt egymás után? (0,998) 15. Egy dobozban 5 korong van, amelyeken az 1, 2, 3, 4, 5 számjegyek közül egy-egy szerepel. Három korongot húzunk ki egymás után úgy, hogy a kihúzottat az új húzás előtt visszateszszük a dobozba. Mi a valószínűsége annak, hogy a három korongról leolvasott számjegyek összege 10 lesz? (0,144) 16. 20 láda áruból, amely közül 15 láda I. osztályú, 5 pedig II. osztályú terméket tartalmaz, véletlenszerűen választunk 5 ládát. Mennyi a valószínűsége, hogy a választott ládák között a) pontosan 3 I. osztályú árut tartalmazó láda lesz, (0,2935) b) lesz II. osztályú terméket tartalmazó láda? (0,8063) 17. Dobjunk fel egy szabályos dobókockát háromszor egymás után. Vizsgáljuk a dobott számok összegét. Mennyi a valószínűsége, hogy a) a dobott számok összege 15, (0,0463) b) a dobott számok összege legalább 15, (0,0926) c) a dobott számok összege legfeljebb 15? (0,9537)
Feltételes valószínűség 18. Ejtőernyős ugrást hajtanak végre 1500 m2-es területre. Sikeres az ugrása annak, aki a terepen kijelölt 10 m oldalú négyzeten belül ér földet. Különdíjat kap az, aki a négyzet közepén megrajzolt 2 m sugarú körbe érkezik. Mennyi a valószínűsége annak, hogy egy sikeres ugrást végrehajtó ejtőernyős különdíjat is kap, ha a négyzeten belül a leérkezés bármely helyre egyenlő esélyű? (0,13) 19. Egy urnában 5 fehér és 5 piros golyó van. Kétszer fehéret húztunk. Mi a valószínűsége, hogy harmadikra is fehéret húzunk? (0,375) 20. Ha nagyon sok kétgyerekes család közül kiválasztunk véletlenszerűen egyet, és megtudjuk, hogy legalább az egyik gyermek lány, mennyi a valószínűsége, hogy van fiú is a családban? A feladatban a születések sorrendjére is legyünk tekintettel! (0,667) 21. Egy dobókockát kétszer feldobunk. Mi a valószínűsége, hogy a dobott számok összege 7 lesz, feltéve, hogy az első dobás eredménye páros? (0,1667) 22. Két kockával dobunk. Mekkora a valószínűsége, hogy az egyik kockával 6-ost dobunk, feltéve, hogy a dobott számok összege 8? (0,4) 23. Három kockával dobunk. Mekkora a valószínűsége, hogy az egyik kockával 6-ost dobunk, feltéve, hogy a dobott számok összege 15? (0,9)
24. Három kockát feldobunk. Feltéve, hogy a dobott számok között nincs két egyforma, mennyi a valószínűsége, hogy legalább az egyiken 6-os van? (0,5) 25. Egy csomag magyar kártyából kihúzunk két lapot egymás után, visszatevés nélkül. Mi a valószínűsége, hogy mindkét lap piros lesz, feltéve, hogy az első húzás piros? (0,2258) 26. Egy iskolába 260 ember jár, 230 tanuló és 30 tanár. Egyszer egy influenzajárvány tört ki köztük. Az orvos az alábbi táblázatot készítette:
a) Véletlenszerűen kihúzunk egy kartont. Mi a valószínűsége, hogy: i) fiúé? ii) betegé? iii) beteg fiúé? (0,423; 0,385; 0,192) b) Előzetesen a fiúk, lányok és tanárok kartonjait külön fiókokba gyűjtötték. Ha a lányokéból húzunk, mi a valószínűsége annak, hogy beteg lányt húztunk? (0,33) c) Az orvos szorgos asszisztense egy kupacba kidobálta a fiókokból az összes olyan kartont, amely betegé volt. Ezekből véletlenszerűen húzva egyet, mi a valószínűsége annak, hogy tanár az illető? (0,1) d) Ha kettőt húzok ugyanebből a beteg-kupacból egymás után, mi a valószínűsége, hogy az első fiú lesz, a második lány? És hogy mindkettő fiú lesz? (0,202; 0,247)
Várható érték 27. Egy dobozban 3 fehér és 2 piros golyó van. Kiválasztunk találomra egyszerre 3 golyót. Legyen a valószínűségi változó értéke a mintában szereplő fehér golyók száma. Adjuk meg és ábrázoljuk a valószínűségi változó valószínűség eloszlását! ( 1 0,3 ; 2 0,6 és 3 0,1 ) 28. Egy ξ valószínűségi változó lehetséges értékei -1, 0, 1, 2. Az ezekhez tartozó valószínűsé1 5 1 1 gek , , , . Számítsuk ki ξ várható értékét és szórását! ( E 0,6667 és 12 12 4 4 D 0,9428) 29. Legyen X egy szabályos dobókockával dobott szám. Mennyi lesz X várható értéke és szórása? ( E 3,5 és D 1,7078) 30. Feldobunk két szabályos dobókockát. A ξ valószínűségi változó jelentse a dobott számok összegét. Határozza meg a ξ valószínűségi változó várható értékét és szórását! ( E 7 és D 2,415 ) 31. Három egyforma kalap alatt egy-egy 100, 1000, 5000 Ft-os bankjegy van elhelyezve, mint nyeremény. Ha egy kalapot választunk, akkor határozzuk meg a nyeremény várható értékét és szórását! ( E 2033,33 és D 2129,7 ) 32. Albert és Béla egy szabályos dobókockával játszanak. Albert minden dobás után annyi forintot fizet Bélának, amennyit dobtak, Béla pedig minden dobáskor 3 Ft-ot fizet Albertnek. Kinek előnyösebb a játék? (Albert -0,5, Béla 0,5)
33. Kati és Pali egy szabályos dobókockával játszanak. Kati akkor nyer, ha 2-est, 3-ast, 5-öst vagy 6-ost dobnak, Pali pedig akkor, ha 1-est vagy 4-est dobnak. Ha Kati nyer, akkor Pali fizet neki 3 forintot, ha Pali nyer, akkor Kati fizet neki 4 forintot. Kinek előnyösebb a játék? (Kati 0,667, Pali -0,667) 34. Egy adott időszak alatt egy biztosítótársaság az ügyfelei 30%-ának 1000Ft-ot, 22%-ának 5000Ft-ot, 8%-ának 10000Ft-ot fizet ki, a többieknek semmit. Milyen összegű legyen a biztosítási díj, hogy a biztosító gazdaságosan működjön? ( E 2200 -nál több) 35. Egy biztosító öt napos síelésre speciális biztosítást ajánl, melyet 1000 Ft-ért lehet megkötni. A biztosító halálesetre 4 millió forintot fizet, fej- vagy gerincsérülésre 2 milliót, végtagsérülésre 500 ezer forintot, poggyászban esett kárra 200 ezer forintot. A biztosító szakemberei szerint a haláleset valószínűsége 0,005%, a fej- vagy gerincsérülésé 0,01%, a végtagsérülésé 0,1%, a poggyászban esett káré pedig 0,01%. Mennyi a biztosító nyereségének várható értéke egy biztosításon? ( E 920 , így 80 Ft a nyereség) 36. Az ábrán látható játékautomata pályáján egy golyó gurul lefelé. Minden akadálynál ugyanakkora valószínűséggel megy jobbra vagy balra, ezért minden út egyformán valószínű. A pályán 4 szinten vannak akadályok, és a végén 5 rekeszbe érkezhet a golyó. Egy golyó elindításáért 20 Ft-ot kell fizetni, és minden rekeszhez odaírtuk, hogy a játékos mennyit nyer, ha odaér a golyó. Mennyi a játékos nyereségének várható értéke? (Megoldás: Az egyes útvonalak számát a Pascal háromszög megfelelő értékei adják, így 1, 4, 6, 4, 1 a rekeszekbe vezető utak száma. Innen E 18,75 )
Teljes valószínűség tétel, Bayes-tétel 37. Egy egyetemi vizsgán az A szakos hallgatók 60%-a, a B szakos hallgatók 75%-a, a C szakos hallgatók 85%-a vizsgázik sikeresen. Az A szakos hallgatók az évfolyam 40%-át, a B szakos hallgatók az évfolyam 35%-át teszik ki. Mennyi a valószínűsége annak, hogy egy véletlenszerűen kiválasztott hallgatónak nem sikerült a vizsgája? (0,285) 38. Három gyárban TV-képcsöveket gyártanak. Az első gyár adja a teljes mennyiség negyedét, a második az egész 45%-át, a maradékot a harmadik gyárban készítették. Egy vizsgálat során kiderült, hogy az előírt működési óraszámot az első gyárban gyártott képcsövek 15%a, a másodikban gyártottak 30%-a, a harmadikban gyártottak 25%-a éri csak el. Mennyi a valószínűsége, hogy a teljes mennyiségből egy találomra kiválasztott képcső az előírt ideig működik? (0,2475) 39. Egy műhelyben három műszakban gyártanak azonos terméket. Egy napon az összes gyártott termékből az első műszakban 40%, a második és harmadik műszakban 30-30% készült. Az első műszakban 2%, a másodikban 3%, a harmadikban 5% hibás áru készült. A három műszakban elkészült teljes mennyiségből véletlenszerűen kiválasztunk egy darabot. Mennyi a valószínűsége, hogy hibás? Ha hibás, mennyi a valószínűsége, hogy a II. műszakban gyártották ezt a terméket? (0,032; 0,281) 40. Egy gazda három helyen termelt almát, 2t, 3t és 5t mennyiségben. Az egyes helyeken termelt almáknak rendre 30, 20 illetve 5%-a férges. Az almákat ömlesztve tárolja. Mi a valószínűsége, hogy
a) ha egy almát véletlenszerűen kiválasztunk, az nem férges, (0,855) b) ha a kiválasztott alma nem férges, akkor az a második helyről származott? (0,281) 41. Egy gyárban három gép gyártja a csavarokat. A termékek 25%-át az A gép,35%-át a B gép, 40%-át a C gép gyártja. Az A gép 5%-ban, a B gép 4%-ban, a C gép pedig 2%-ban termel selejtet. Ha egy találomra kiválasztott csavar selejtes, mennyi a valószínűsége, hogy azt a C gép gyártotta? (0,23) 42. Egy bizonyos fajta vetőmag összetételének vizsgálatakor megállapították, hogy négyféle magot tartalmaz, mégpedig 50% az I-es fajtából, 30% a II-esből, 15% a III-asból és 5% a IV-esből tevődik össze. Annak valószínűsége, hogy egy I-es típusú magból legalább 50 szemet tartalmazó kalász fejlődik 0.2. Ugyanez a valószínűség a többi fajtánál rendre 0.5, 0.4 és 0.05. a) Mekkora valószínűséggel fejlődik egy véletlenszerűen kiválasztott magból legalább 50 szemet tartalmazó kalász? (0,3125) b) Feltéve, hogy a magot elvetve a kalász 50 szemnél kevesebbet tartalmazott, milyen valószínűséggel tartozik az I-es típusba? (0,5819) 43. Egy gyárban a termékek 90%-a felel meg a súlyszabványnak. A súlyszabványnak megfelelő gyártmányok 80%-a megy át az alakpróbán, a súlyszabványnak nem megfelelő termékek 75%-a bukik meg az alakpróbán. a) A termékek mekkora hányada felel meg mindkét szabványnak? Mekkora hányad megy át az alakpróbán és bukik meg a súlypróbán? (0,72; 0,025) b) Véletlenszerűen kiválasztva egy gyártmányt mekkora valószínűséggel bukik meg az alakpróbán? (0,255)
Hipergeometrikus eloszlás, binomiális eloszlás 44. Egy reklámjátékon a söröskupakok 5%-a nyer. Mi a valószínűsége, hogy egy láda (20 üveg) sört véve legalább egy kupakkal nyerünk? Mennyi lesz két láda sör esetén a nyerő kupakok várható száma és szórása? (0,6415; 2; 1,378) 45. Egy halfajtánál bizonyos rendellenesség előfordulásának valószínűsége 0,2. A halastóból 10 halat egyenként megvizsgálunk, majd rögtön visszadobunk. Mi a valószínűsége, hogy legalább 9 hal esetén észlelhető a rendellenesség? (4,198 ∙ 10−6 ) 46. Tengeri halakat egy tengeralattjáró ablakából figyelünk meg. A tenger ezen részén a halak 20%-a tartozik egy bizonyos fajhoz. A megfigyelési idő alatt 10 hal úszik el az ablak előtt. Mi a valószínűsége, hogy ezek közül a) pontosan 3 a kiválasztott fajhoz tartozik, (0,2013) b) legfeljebb 9 tartozik a kiválasztott fajhoz? (0,9999) 47. Egy kutyafajtánál bizonyos anyagcsere rendellenesség megjelenésének valószínűsége 0,1. Tíz kölyköt egyenként kiválasztunk, majd megvizsgálás után visszaengedünk. Mi a valószínűsége, hogy ebben a tízelemű mintában legfeljebb egy kölyöknél tapasztalunk rendellenességet? (0,7361) 48. Egy vadászterületen, ahol az őzek egy része valamilyen betegségben szenved, egy bizonyos idő alatt 10 állatot sikerült megfogni és megvizsgálni. Annak a valószínűsége, hogy mind a 10 egészséges 10-10. Mi a valószínűsége, hogy a megvizsgáltak fele beteg? A megvizsgáltak között várhatóan hány egészséges és hány beteg van? (1, 488 ∙ 10−3 ; 1; 9)
49. Egy gyümölcsösben minden második alma férges. Mi a valószínűsége, hogy 10 almát véletlenszerűen összeszedve, több mint 75%-a férges? A kiválasztott almák között várhatóan hány lesz férges, és mennyi a szórás? (0,05469; 5; 1,58) 50. Egy bizonyos területen a madarak 25%-a védett fajhoz tartozik. 10 madarat megfigyelve, mi a valószínűsége, hogy közöttük éppen 2 védett lesz? Mennyi a megfigyelt madarak között a védettek várható értéke és szórása? (0,2816; 2,5; 1,3693) 51. Egy holtágban a halak 60%-a méreten aluli. Ezeket rögtön vissza kell dobni. Egy horgász 10 halat fogott. Mi a valószínűsége, hogy a) ezek közül 2 hazavihető, (0,1209) b) ezek közül legalább 2 hazavihető? (0,9536) c) Várhatóan hány vihető haza? (4) 52. Egy összejövetelen 200 tombolát adtak el és 20 különböző díj volt. Valaki 10 tombolát vett. Mi a valószínűsége, hogy a) pontosan egy nyereményt nyer, (0,3974) b) legalább egy nyereményt nyer? (0,6602) c) Várhatóan hány díjat nyer? (1) 53. Egy tombolajátékon várhatóan minden ötödik jegy nyer. Hány jegyet vegyünk ahhoz, hogy nyereményeink számának várható értéke 2 legyen? Ha összesen 1000 jegyet adtak el, akkor mi a valószínűsége, hogy pontosan 2 nyereményünk lesz? Mennyi a szórás? (10; 0,3035; 1,2592) 54. Egy raktárban 1000 üveg bort tárolnak, ebből bizonyos idő elteltével 10% fogyaszthatatlanná válik. Találomra kiválasztva 20 üveg bort elszállítás céljára, mi a valószínűsége, hogy ezek között legfeljebb két fogyaszthatatlan lesz? (0,6772) 55. Egy fiatal fán 30 alma termett, ezek közül 10 férges. Válogatás nélkül leszedünk 5-öt. Mi a valószínűsége, hogy a) ezek közül 2 férges, a többi nem, (0,3600) b) legalább 1 férges? (0,8912) c) Mennyi lesz 12 alma között a férgesek várható értéke? (4) 56. Egy raktárban 1000 db lejárt szavatossági idejű konzerv van. Egy véletlenszerűen kiválasztott 10 elemű mintában várhatóan 1 konzerv fogyaszthatatlan. Mi a valószínűsége, hogy a mintában legalább 1 fogyasztható van? (0,6531) 57. 100 dió között mennyi rossz belül, ha egy 10 elemű mintában várhatóan 2 a rossz? Mi a valószínűsége, hogy a 10 elemű mintában nem lesz 8-nál több rossz? Mennyi a mintában a rossz diók számának szórása? (20; 0,9999; 1,2060) 58. Egy tálon 100 szem cseresznye van, közülük 20 férges. Találomra kiválasztunk 10 szemet és eltesszük uzsonnára. Mi a valószínűsége, hogy ezek között legalább egy férges? Mennyi lesz 10 szem között a férgesek várható értéke és szórása? (0,905; 2; 1,206) 59. Egy dinnyeárus 100 dinnyéje közül 20 ehetetlen. Két dinnyét veszünk. Mi a valószínűsége, hogy a) mind a kettő ehetetlen, (0,038) b) mind a kettő ehető? (0,638)
