Feladatlap a hatosztályos speciális matematika tantervű osztályok írásbeli vizsgájára
(2006) 1) Karcsi januárban betegség miatt háromszor hiányzott az iskolából:12-én,14-én és 24-én. Milyen napra esett ebben az évben január elseje? (Az iskolában 5 napos tanítási hét van, azaz szombaton és vasárnap nincs tanítás.) 6 pont 2) Antal és Béla kedvenc játékukat szeretnék megvásárolni, de Antal pénzéből hiányzik a játék árának harmad része, Béla pénzéből a játék árának hatod része. Testvérek lévén, közösen veszik meg a kiszemelt játékot, és még marad kettőjüknek összesen 1500 Ft-ja. Mennyibe került a játék és mennyi pénze volt a testvéreknek külön-külön a vásárlás előtt? 8 pont 3) Számítógéppel kiírattuk a pozitív egész számokat 1-től 2006-ig. Ezután azt az utasítást adtuk a gépnek, hogy törölje ki közülük az öttel osztható számokat és a megmaradtakat szorozza össze. Milyen számjegyre végződik e szorzat? 8 pont 4) Egy kör kerületén valamilyen sorrendben elhelyeztük az 1, 2, 3,…,9 számokat. Az óramutató járásával megegyező irányban az egymás mellett álló számokból háromjegyű számok képezhetők. Ilyen módon kilenc háromjegyű szám jön létre. Mekkora ezek összege? 9 pont 5) Két különböző ponton át pontosan egy egyenes húzható, azaz két különböző pont egy egyenest határoz meg. Adott a síkon öt különböző pont. a) Hány egyenest határoznak meg ezek a pontok, ha tudjuk, hogy semelyik 3 sincs közöttük egy egyenesen? b) Hány egyenest határoznak meg, ha tudjuk, hogy van közöttük pontosan 3, amelyik egy egyenesre esik? c) És ha azt tudjuk, hogy 3-3 van egy egyenesen, de 4 nincs egy egyenesen? 9 pont 6) Joe bácsi legfeljebb 1000 db egyfontost akar szétosztani unokái között. Az érmék
1 1 - ed részét a legidősebb, a maradék -ed részét a legfiatalabb unokájának 9 7
adja. A többi érmét egyenlően osztja szét a megmaradt 15 unokája között. Hány fontot oszthatott szét Joe bácsi? (A font angol pénznem.) 10 pont A feladatok megoldására 90 perc áll rendelkezésre. Mindegy, hogy milyen sorrendben oldod meg a feladatokat. Ügyelj az áttekinthető írásra! A megoldásokat indokold! Zsebszámológép használható. JÓ MUNKÁT KÍVÁNUNK!
Pontozás 1.) 12-e,14-e és 24-e tanítási nap volt, tehát nem lehetett egyik sem szombat vagy vasárnap. 1 pont Ha 12-e hétfő, ill. kedd lenne, akkor 14-e szombatra, ill. vasárnapra esne. 1 pont Ha 12-e szerda, akkor 14-e péntek, 24-e pedig hétfő. Ez esetben január elseje szombatra esik. 2 pont Ha 12-e csütörtök, ill. péntek lenne, akkor 14-e esne szombatra vagy vasárnapra. 1 pont Ezek szerint ebben az évben január elseje csak szombaton lehetett. összesen
1 pont 6 pont
Megjegyzés: 1) Indoklás nélkül a helyes válasz 1 pontot ér. 2) A megoldáshoz – ami történhet pl. szöveggel, táblázat kitöltésével – hozzátartozik, hogy a tanuló írásából derüljön ki, hogy január elseje csak szombatra eshetett. E nélkül a megoldásra maximálisan 4 pontot adhatunk. 2) 2 x, ahol x a játék árát jelenti. 3 5 Béla pénze x 6 2 5 A feladat szövege szerint x + x = x +1500 3 6
Antal pénze
1 pont 1 pont 2 pont
Ebből a játék ára, x = 3000 (Ft).
2 pont
Antalnak 2000, Bélának 2500 Ft-ja volt.
1 pont
Ezek összege valóban 1500 forinttal több a játék áránál, s Antal pénzéből a játék árának harmada (1000 Ft), Béla pénzéből pedig hatoda (500 Ft ) hiányzott.
1 pont
összesen 3.) A szorzat utolsó jegyét a tényezők utolsó jegye határozza meg.
8 pont 1 pont
Az első 10 számból elhagyjuk az 5-öst és a 10-est. A megmaradt 8 szám szorzata 6-ra végződik
2 pont
Ugyanez igaz a 11,12,…,19 – es; …;1991, 1992,…,1999 - es számnyolcasokra.
1 pont
Két 6-ra végződő szám szorzata 6-ra végződik, ezért 1999-ig a (megmaradt) számok szorzatának utolsó jegye is 6. 1 pont A 2001, 2002, 2003, 2004, 2006 számok szorzatának utolsó jegye 4.
2 pont
Minthogy 6 . 4 = 24, ezért a feladatban szereplő szorzat utolsó jegye 4.
1 pont
összesen:
8 pont
4,) Bármilyen sorrendben írtuk le a kör kerülete mentén a 9 számot, a 9 db. háromjegyű számban mindegyik számjegy egyszer a százasok, egyszer a tízesek és egyszer az egyesek helyén áll . A 9 szám összegét nem befolyásolja az azonos helyértéken szereplő számjegyek sorrendje.
3 pont 2 pont
Az összeg így is számítható: 111+222+…+999 = (1 + 2 +…+9) .111.
2 pont
Az eredmény: 45 . 111 = 4995.
2 pont Összesen:
9 pont
Megjegyzés 1) Feltételezhető, hogy a tanuló a kör mentén valamilyen sorrendben felírja a 9 számjegyet, képezi a háromjegyű számokat, s helyesen végzi el az összeadást. Ha ezzel befejezi a „megoldást”, és nem indokolja, hogy a felírt számok sorrendjétől függetlenül mindig ugyanaz lesz az eredmény, akkor 3 pontot kapjon. 2) Ha két különböző sorrendben felírt számok esetén kapja ugyanazt a végeredményt s megfogalmazza a sejtést, de azt nem igazolja, úgy 5 pontot érdemel. 5.) a) Az 5 pont közül bármelyik kettő egy egyenest határoz meg. Ha megszámozzuk a pontokat, akkor az első 4 ponttal, a második 3 ponttal, a harmadik 2 ponttal, míg a negyedik 1 ponttal köthető össze. 2 pont
Ezek összege 4 + 3 + 2 + 1 = 10
1 pont
[ Másként: Bármely pontot 4 ponttal köthetünk össze. Az 5 pont így 4 .5 = 20 egyenest adna, de minden egyenest kétszer számoltunk, tehát az eredmény 10.]
1 pont 1 pont 1 pont
b) Ha pontosan 3 pont van egy egyenesen (pl. az első, második és a harmadik) akkor az a)-ban kapott értéket 2-vel kell csökkenteni, hiszen az első második, a második harmadik, és az első harmadik ponton átmenő egyenes ugyanaz, tehát ezt csak egyszer vehetjük figyelembe. 2 pont Tehát itt az eredmény:8
1 pont
c) Ha az 5 pont közül 3-3 van egy egyenesen, de semelyik 4 pont nincs egy egyenesen, akkor ez csak úgy lehetséges, hogy a két egyenes metszéspontja az 5 pont egyike. 1 pont Ekkor a másik 4 pont egy négyszög négy csúcsa. A feladat szerint az oldalak és az átlók számának az összegét kell meghatároznunk. Tehát ebben az esetben az 5 pont 6 egyenest határoz meg. 2 pont összesen:3+3+3 = 9 pont Megjegyzés Ha a tanuló minden indoklás nélkül csak a helyes eredményeket közli, úgy 1+1+1= 3 pontot kaphat. 6.) Joe bácsi x fontot osztott szét unokái között, ahol x ≤ 1000 pozitív egész szám 1 pont A legidősebb unoka
x 8 fontot kapott, a legfiatalabb a maradék ( x)-nek az 9 9
1 1 8 - ét, azaz . x fontot 7 7 9 6 8 16 A további 15 unokának ⋅ x = x fontot osztott szét egyenlően 7 9 21 16 16 1 x fontot kaptak. Ők egyenként ⋅ x = 315 21 15
2 pont 1 pont 2 pont
Mivel x pozitív egész, ezért x a 315-nek olyan többszöröse, ami 1000-nél nem nagyobb. 1 pont Ezért x lehetséges értékei, azaz ahány fontot Joe bácsi szétosztott unokái között : 315, 630, 945.
3 pont
összesen 10 pont
:
