61
F y z i ka p ro s t ředn í škol y I
R8 M E C H A N I K A T E K U T I N R8.1 Princip hydraulických zařízení V praxi používaná hydraulická zařízení mají nejrůznější účel a konstrukci, mají však společný princip založený na nestlačitelnosti kapaliny v soustavě nádob s pohyblivými písty, jejichž plochy mají různý obsah. Budeme uvažovat dvě válcové nádoby nestejného průřezu spojené u dna trubicí a naplněné kapalinou (obr. R8-1). Užší válec je uzavřen pístem o ploše S1 a širší píst má plochu S2 (S1 < S2 ). F2 S1 F1 p
p p
S2 Obr. R8-1
Působí-li na užší píst tlaková síla F1 , vyvolá v kapalině tlak p = F1 /S1 , který je podle Pascalova zákona ve všech místech kapaliny, tedy i v širším válci, stejný. Na píst o ploše S2 působí kapalina tlakovou silou F2 o velikosti F2 = pS2 =
F1 S2 . S1
Odtud po úpravě dostáváme vztah F2 S2 = , F1 S1 z něhož vyplývá: Na píst s plochou o větším obsahu působí kapalina tolikrát větší silou, kolikrát je obsah pístu větší než obsah plochy užšího pístu.
Síla působící na širší píst tedy může být mnohonásobně větší než síla, kterou působíme na užší píst. Např. sešlápnutím brzdového pedálu v automobilu se poměrně malou silou vyvolá tlak v hydraulickém brzdovém systému, kterým se dosáhne větší síla potřebná k ovládání brzd. Podobně je tomu např.
R8 M EC H A N I K A TE K U TI N
62
u hydraulického zvedáku nebo u hydraulického lisu (těžké hydraulické lisy mohou vyvinout tlakové síly o velikosti až několika milionů newtonů). Příklad Písty hydraulického lisu mají průřezy o obsahu 5 cm2 a 400 cm2. Na užší píst působíme silou 500 N. Jaký tlak tato síla v kapalině vyvolá? Jak velkou tlakovou silou působí kapalina na širší píst? Řešení S1 = 5 cm2 = 0,000 5 m2, S2 = 400 cm2 = 0,04 m2, F1 = 500 N; F2 = ? Síla F1 vyvolá v kapalině tlak p=
F1 500 N = = 1 000 000 Pa = 1 MPa. S1 0,000 5 m2
Na širší píst pak kapalina působí silou o velikosti F2 = pS2 = 1 000 000 Pa ·0,04 m2 = 40 000 N = 40 kN. Hydraulický lis, v jehož kapalině je tlak 1 MPa, vyvine tlakovou sílu 40 kN. Při použití hydraulického zařízení se podobně jako u jednoduchých strojů práce neušetří. Na užší píst sice působí menší síla, ale píst se musí posunout po větší dráze. Zatímco brzdový pedál automobilu sešlápneme o několik centimetrů, mechanismus brzd se posune jen o milimetry. Otázky a úlohy 1
Na základě předpokladu, že objem kapaliny při posunech pístů v obou válcích hydraulického zařízení je stejný, najděte vztah mezi plochami pístu a dráhami jejich posunutí při lisování. [∗]
2
Průřezy pístů hydraulického lisu mají obsahy 20 cm2 a 6 000 cm2. Jak velkou tlakovou silou působí kapalina na širší píst, působíme-li na užší píst silou 80 N? O jakou vzdálenost se posune širší píst směrem vzhůru, posune-li se užší píst o 30 cm směrem dolů? [24 kN, 1 mm]
3
Malým hydraulickým lisem, jehož větší píst má průměr 1,6 m je třeba vyvinout tlakovou sílu 12 kN. Jaký průměr musí mít menší píst, jestliže je stlačován silou 30 N? [8 cm]
63
R8.2 At m os fér i c k ý t l ak
R8.2 Atmosférický tlak Naši Zemi obklopuje mohutná vrstva vzduchu zvaná atmosféra. Působením tíhového pole Země je atmosféra poutána k povrchu Země a s ní také koná otáčivý pohyb. Na molekuly plynů, z nichž je atmosféra složena, působí tíhová síla, která je stále přitahuje k zemskému povrchu. Podobně jako na tělesa ponořená v kapalině působí hydrostatická tlaková síla vyvolaná tíhou kapaliny, působí na těleso v zemské atmosféře atmosférická tlaková síla vyvolaná tíhou vzduchu. O existenci atmosférické tlakové síly se můžeme přesvědčit pokusem. Sklenici naplníme po okraj vodou a položíme na ni čtvrtku tuhého papíru. Papír přidržíme rukou, sklenici převrátíme dnem vzhůru a papír opatrně pustíme (obr. R8-2). Působením atmosférické tlakové síly je papír stále přitlačován k láhvi, takže voda z ní nevyteče. Tlak způsobený atmosférickou tlakovou silou se nazývá atmosférický tlak pa . Je obdobou hydrostatického tlaku v kapalinách. Atmosférický tlak však nemůžeme určit pomocí vztahu ph = ̺hg, který jsme odvodili pro hydrostatický tlak. Hustota vzduchu se totiž s výškou nad povrchem Země postupně zmenšuje (ve velkých výškách je atmosféra velmi řídká).
h
Obr. R8-2
h
Obr. R8-3
Jednoduchý způsob měření atmosférického tlaku navrhl v 17. století italský CD ) a dnes se označuje Torrifyzik EVANGELISTA TORRICELLI (toričeli; celliho pokus. Skleněná trubice délky asi 1 m a na jednom konci zatavená se naplní po okraj rtutí a v převrácené poloze se vsune do nádobky se rtutí. RtuŅ . v trubici klesne a její hladina v trubici se ustálí přibližně ve výšce h = 75 cm (obr. R8-3). V prostoru nad rtutí je prázdný prostor – vakuum. Při naklánění trubice se tato výška rtuŅového sloupce nemění, jen se zmenšuje objem vakua. Sloupec rtuti udržuje v určité výšce atmosférická tlaková síla, která působí na volný povrch rtuti v nádobce (na hladinu rtuti v trubici žádná tlaková
R8 M EC H A N I K A TE K U TI N
64
síla nepůsobí). V tomto případě je atmosférický tlak pa v rovnováze s hydrostatickým tlakem ph rtuŅového sloupce: pa = ph = ̺hg. Dosadíme hustotu rtuti (̺ = 13,6 ·103 kg ·m−3 ), výšku sloupce (h = 0,75 m), tíhové zrychlení (g = 9,81 m ·s−2 ) a dostaneme hodnotu atmosférického tlaku pa ≈ 105 Pa. V meteorologii se tlak vzduchu měří v hektopascalech, značka hPa. To znamená, že přibližná hodnota tlaku vzduchu pa ≈ 1 000 hPa. Tlak vzduchu je však značně závislý na změnách počasí, na výšce nad zemským povrchem apod. Proto je v meteorologii zavedena hodnota označovaná jako normální atmosférický tlak pn . Normální atmosférický tlak pn = 1 013,25 hPa = 1,013 25 ·105 Pa.
Normálnímu atmosférickému tlaku vzduchu odpovídá přibližně tlak na hladině moře na 45 ◦ zeměpisné šířky. S rostoucí nadmořskou výškou se tlak vzduchu zmenšuje, poněvadž se zmenšuje hustota vzduchu. Bylo změřeno, že při výstupu o 100 m se zmenší atmosférický tlak asi o 13 hPa. Tento poznatek se využívá např. k přibližnému měření výšek hor. K měření tlaku vzduchu se používají barometry. Na Torricelliho pokusu je založen rtuŅový barometr (obr. R8-4) a v minulosti se jako jednotka tlaku vzduchu používala délka rtuŅového sloupce v mm, označovaná značkou mm Hg, pro kterou bylo později používáno označení torr. h
Obr. R8-4
Obr. 8-5
Nepohodlné měření se rtuŅovým barometrem nahradil v 19. století aneroid. Je to barometr s kovovým deformačním čidlem v podobě plechové krabičky, z níž je odčerpán vzduch. Tlaková síla vzduchu způsobuje prohnutí stěn krabičky, a tento pohyb se přenáší na stupnici přístroje (obr. R8-5). Moderní elektronické barometry obsahují senzory, které tlak vzduchu převádějí na elektrický digitální signál. Často jde o přístroj, jímž se současně měří
65
R8.2 At m os fér i c k ý t l ak
více údajů o ovzduší (tzv. klimalogger), které jsou automaticky monitorovány počítačem. Na obr. R8-6 je přenosný přístroj, kterým se kromě tlaku vzduchu měří také teplota, vlhkost, rosný bod a rychlost větru.
Obr. R8-6
Atmosférický tlak se však mění nejen s nadmořskou výškou, ale zejména v závislosti na průběhu meteorologických dějů v atmosféře. Údaje o změnách atmosférického tlaku jsou podkladem pro předpovědi počasí. Otázky a úlohy 1
V jednotkách torr se v současnosti ještě měří tlak krve v lékařství. Normální hodnota tzv. systolického tlaku krve je 120 mm Hg. Vyjádřete tento tlak v pascalech. [16 kPa]
2
V laboratořích se přenášejí kapaliny pipetou. Proveïte pokus a vysvětlete jeho výsledek. Uveïte jiný podobný pokus.
3
Jakou nejmenší délku by musela mít trubice pro Torricelliho pokus, kdybychom k pokusu použili místo rtuti vodu? [přibližně 10 m]
4
Jak velká atmosférická tlaková síla působí na plochu 1 dm2 při atmosférickém tlaku 105 Pa? [1 kN]
66
R8 M EC H A N I K A TE K U TI N
5
Jak velkou silou je přitlačována ke skleněné tabuli přísavka o průměru 4 cm při normálním atmosférickém tlaku? [130 N]
6
Turista naměřil na úpatí hory atmosférický tlak 1 020 hPa, na vrcholu hory tlak 955 hPa. Jaký výškový rozdíl turista při výstupu na horu překonal? [500 m]
R8.3 Obtékání těles tekutinou Běžně se stává, že proudící tekutina narazí na překážku, kterou obtéká. Např. voda v řece obtéká pilíře mostu, proudící vzduch, který vnímáme jako vítr, obtéká různé objekty na povrchu Země apod. Jako obtékání tělesa můžeme popsat i vzájemné působení vzduchu a jedoucího automobilu nebo letícího letadla, výsadkáře při seskoku z letadla atd. Pro děje, které při obtékání těles tekutinou vznikají, je tedy rozhodující vzájemný pohyb tělesa a tekutiny. Z hlediska praxe je při obtékání těles nejdůležitější vznik odporové síly a aerodynamické vztlakové síly. Odporová síla, která vzniká při obtékání tělesa, směřuje proti pohybu tělesa vzhledem k tekutině a charakterizujeme ji jako odpor prostředí. O velikosti odporové síly rozhoduje několik činitelů. Především jsou to rozměry a tvar tělesa, které tekutina obtéká. Dále se uplatňuje vnitřní tření v tekutině a samozřejmě také vzájemná rychlost tělesa a tekutiny. Na obr. R8-7 je příklad proudění vzduchu kolem tělesa ve tvaru koule. Proudění je znázorněno trajektoriemi částic proudícího vzduchu, tzv. proudnicemi. Pokud jsou proudnice navzájem rovnoběžné, jde o laminární proudění. Tento případ nastává při malých rychlostech tělesa vzhledem k tekutině. Na těleso působí odporová síla F, která má opačný směr než rychlost, a její velikost je přímo úměrná rychlosti (F ∼ v). rychlost tělesa v
rychlost tělesa v
F F Obr. R8-7
Obr. R8-8
Při větších rychlostech tělesa vzhledem k tekutině vzniká proudění turbulentní, kdy se částice proudící tekutiny za obtékaným tělesem pohybují
67
R8.3 O b t ék án í t ěl es tekut i n ou
chaoticky (obr. R8-8). Tvoří se víry, v nichž mají částice větší rychlost, nastává pokles tlaku za tělesem a odporová síla F se značně zvětší. Při pohybu tělesa ve vzduchu platí v tomto případě pro velikost odporové síly vztah F =
1 C̺Sv 2 , 2
kde C je součinitel odporu, ̺ hustota vzduchu, S obsah průřezu tělesa kolmého ke směru pohybu, v rychlost tělesa. Velikost odporové síly tedy roste s druhou mocninou vzájemné rychlosti tělesa a tekutiny (F ∼ v 2 ). Značný vliv na velikost odporové síly má součinitel odporu C, který závisí na tvaru tělesa. Pokusy v aerodynamickém tunelu, do něhož byla vkládána tělesa různého tvaru, se zjistilo, že největší součinitel odporu C = 1,33 má dutá polokoule, jejíž dutina je namířena proti směru proudění. Naopak nejmenší součinitel odporu C = 0,03 má těleso proudnicového neboli aerodynamického tvaru. Hodnoty součinitele odporu pro tělesa různých tvarů jsou uvedeny na obr. R8-9.
1,33
1,12
0,48
0,34
0,03
Obr. R8-9
Tvar duté polokoule má otevřený padák. Velká odporová síla vzduchu, která na padák působí, umožňuje nejen bezpečný návrat výsadkáře k zemi, ale usnadňuje i přistání raketoplánu (obr. R8-10). Proudnicový tvar mají těla ryb a ptáků a padající dešŅové kapky. Do proudnicového tvaru se konstruují karoserie automobilů, trupy letadel a lodí (obr. R8-11). Tím se dosahuje zmenšení odporové síly, což umožňuje nejen dosažení větší rychlosti, ale i úspory pohonných hmot.
Obr. R8-10
Obr. R8-11
68
R8 M EC H A N I K A TE K U TI N
Aerodynamická vztlaková síla vzniká při obtékání těles s nesouměrným profilem. Takový tvar má např. křídlo letadla (obr. R8-12). Nesouměrný profil způsobuje, že nad horní plochou křídla má proudící vzduch větší rychlost a tlak na křídlo je zde menší. Větší tlak působí na dolní plochu křídla a vlivem rozdílu tlaků vzniká aerodynamická vztlaková síla Fy . Proti pohybu křídla působí odporová síla Fx a celková aerodynamická síla působící na křídlo F = Fx + Fy .
Fy
F
Fx
Obr. R8-12
Otázky a úlohy 1
Uveïte příklady těles, na něž působí různá odporová síla v závislosti na rozměrech tělesa a rychlosti jeho pohybu.
2
Uveïte příklady aerodynamického tvaru těles.
3
Jak velkou odporovou sílu přemáhá motor automobilu při rychlosti 72 km ·h−1 ? Čelní průřez vozidla má obsah 2 m2, součinitel odporu je 0,5, hustota vzduchu 1,3 kg ·m−3 . [260 N]
R8.4 Využití energie proudící tekutiny Zákonitosti proudění tekutin mají významné uplatnění v technické praxi. Je s nimi nutné počítat při výstavbě vodovodních sítí, při přepravě pohonných hmot ropovody a plynovody, při konstrukci dopravních prostředků apod. Proudící voda a vzduch jsou důležitými zdroji energie, které člověk využíval již v dávné historii např. v podobě vodního kola nebo větrného mlýnu. I když byla účinnost těchto zařízení velmi malá, technický vývoj jejich principu vedl až k současným dokonalým energetickým zařízením, jako jsou moderní vodní turbíny v hydroelektrárnách nebo alternativní zdroje energie v podobě větrných elektráren.
R8.4 V y už i t í en erg i e p roudí c í tekut i ny
69
Hydroelektrárny se budují na přehradách a na velkých vodních tocích. Tíhová potenciální energie vody v přehradní nádrži se mění v kinetickou energii proudící vody, která pohání oběžná kola turbín, a ta pak rotory generátorů elektrické energie. Pro výkon turbíny v hydroelektrárně je rozhodující jednak objem vody, který turbínou proteče za jednotku času, jednak tzv. spád, což je rozdíl vodních hladin v přehradní nádrži a pod ní. Vodní turbíny mají různou konstrukci, vždy však obsahují oběžné kolo a rozváděcí kolo. Francisova turbína má rozváděcí kolo s regulovatelnými lopatkami, které usměrňují proud vody na lopatky oběžného kola (obr. R8-13). Je nejrozšířenější turbínou, neboŅ se dá použít pro různé spády a různé objemové toky vody. U nás pracuje např. v hydroelektrárnách na Lipně a ve Štěchovicích.
Obr. R8-13
Obr. R8-14
Pro vodní toky s malým spádem a s velkým objemem protékající vody se používá Kaplanova turbína (jejím konstruktérem je brněnský inženýr VIKTOR CD ), která má u oběžného kola nastavitelné lopatky (obr. R8-14). KAPLAN U nás pracují Kaplanovy turbíny v hydroelektrárnách na Slapech a na Orlíku. Zvláštní konstrukci má přečerpávací hydroelektrárna, jejíž princip spočívá v tom, že turbíny nejen pohánějí generátor, ale také čerpají vodu z dolní nádrže do nádrže horní umístěné několik desítek metrů nad vlastní elektrárnou (obr. R8-15). Obvykle se používají tzv. reverzní Francisovy turbíny. Čerpání vody do horní nádrže probíhá v době, kdy je odběr elektrické energie malý, např. v noci. Naopak v době zvýšené spotřeby proudí voda z horní nádrže do turbíny a potenciální energie vody se v elektrárně mění na energii elektrickou. Význam přečerpávací elektrárny tedy spočívá v tom, že umožňuje akumulaci energie v době jejího přebytku a pohotové využití této energie při přetížení elektrické
70
R8 M EC H A N I K A TE K U TI N
sítě v době energetických špiček. Zatímco spuštění tepelné elektrárny trvá několik hodin a jaderné elektrárny několik dní, přečerpávací elektrárna může dodávat energii do sítě do jedné minuty. V České republice takto fungují elektrárny Dalešice (450 MW) a Dlouhé Stráně (650 MW) v Jeseníkách. česle (kovová mříž) přiváděcí potrubí
horní nádrž
generátor podzemní elektrárna česle dolní nádrž reverzní Francisova turbína
Obr. R8-15
V energetice mají rostoucí význam větrné elektrárny, v nichž se energie větru využívá jako obnovitelný a nevyčerpatelný zdroj energie. Moderní větrné elektrárny se umísŅují na stožárech vysokých až 100 m v lokalitách, v nichž je průměrná roční rychlost větru větší než 6 m ·s−1 , tedy především v horských oblastech. Pro efektivnější využití energie větru se budují tzv. větrné parky s větším počtem větrných elektráren (obr. R8-16).
Obr. R8-16
71
R8.4 V y už i t í en erg i e p roudí c í tekut i ny
Rotor větrné elektrárny tvoří listy vrtule, které mají podobný profil jako listy vrtule letadel, a do pohybu je uvádí aerodynamická vztlaková síla. V současnosti se nejvíce využívají rotory se třemi listy. Poloha listů vrtule bývá u moderních větrných elektráren nastavitelná, a to umožňuje regulaci vztlakové síly. Tím se mění frekvence otáčení rotoru elektrárny, a tedy i její okamžitý výkon. Při velkých rychlostech větru je možné listy nastavit tak, že vztlaková síla je nulová a rotor se zastaví.
d = 2r
S = πr 2
Obr. R8-17
Určíme energii větru a posoudíme možnost její přeměny na energii otáčivého pohybu soustrojí větrné elektrárny. Budeme uvažovat větrnou elektrárnu, jejíž rotor má průměr d = 2r, takže účinná plocha S rotoru větrné elektrárny, kterou proudí vzduch, je S = πr 2 (obr. R8-17). Výpočet provedeme pro rovnoměrný pohyb vzduchu o hustotě ̺, který proudí stálou rychlostí v. Jestliže vzduch urazí za dobu 1t dráhu 1s, bude hmotnost vzduchu, který projde účinnou plochou rotoru, rovna m = ̺S1s a pro celkovou kinetickou energii vzduchu dostáváme Ek =
1 2 1 mv = ̺S1sv 2 . 2 2
Pokud by veškerou tuto energii bylo možné využít, získali bychom výkon P =
Ek 1 1s 2 1 = ̺S v = ̺Sv 3 . 1t 2 1t 2
R8 M EC H A N I K A TE K U TI N
72
Z tohoto vztahu je zřejmé, že pro využití větrné energie je rozhodující rychlost větru. Výkon větrné elektrárny ovlivňuje také hustota vzduchu ̺, která se v místě elektrárny může měnit v závislosti na změnách tlaku a teploty vzduchu. Uvedená hodnota výkonu větrné elektrárny je však jen teoretická. Již ve 20. letech minulého století prokázal rakouský inženýr ALBERT BETZ, že vzhledem k poklesu rychlosti větru při průchodu rotorem lze využít maximálně 59 % teoreticky vypočteného výkonu. Ani nejmodernější systémy současných větrných elektráren však této účinnosti nedosahují, poněvadž dochází k dalším ztrátám energie. Jsou to jednak ztráty v mechanickém soustrojí elektrárny, jednak ztráty v elektrických obvodech generátoru a při transformaci výstupního napětí elektrárny. To způsobuje, že větrné elektrárny využívají přibližně jen 30 % až 45 % energie větru.
