Eszterházy Károly Főiskola Matematikai és Informatikai Intézet. Hoffmann Miklós. Topológia és differenciálgeometria

Eszterházy Károly Főiskola Matematikai és Informatikai Intézet

Hoffmann Miklós

Topológia és differenciálgeometria

Eger, 2011

Tartalomjegyzék 1. A topológia alapjai

4

1.1. A topologikus tér fogalma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4

1.2. A topologikus transzformáció . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

1.3. Topológiai invariánsok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7

2. Felületek topológiája

8

2.1. Az Euler-karakterisztika . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9

2.2. Sokaságok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 2.3. A fundamentális csoport . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 3. A differenciálgeometria alapjai, görbék leírása

20

3.1. Görbék különböző megadási módjai . . . . . . . . . . . . . . . 23 3.2. Konverzió az implicit és a paraméteres alak között . . . . . . 24 3.3. Másodrendű görbék és felületek konverziója . . . . . . . . . . 26 4. Paraméteres görbék jellemzése

30

4.1. Folytonosság az analízis szemszögéből . . . . . . . . . . . . . 30 4.2. Geometriai folytonosság . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 4.3. Az érintő . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 4.4. Az ívhossz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 4.5. A simulósík . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 4.6. A kísérő háromél . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 5. Görbék görbülete és a torziója

39

5.1. A görbület . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 5.2. A simulókör . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 5.3. A torzió . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 5.4. Frenet-képletek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 6. Globális tulajdonságok

55

6.1. Azonos kerületű görbék . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 6.2. Optimalizált görbék . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

1

6.3. Négy csúcspont tétele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 7. Speciális görbék I.

60

7.1. Görbesereg burkolója . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 7.2. Evolvens, evoluta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 7.3. Adott ponthoz és görbéhez rendelt görbék . . . . . . . . . . . 65 8. Speciális görbék II.

69

8.1. Általánosított csavarvonalak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70 8.2. Bertrand és Mannheim görbepárok . . . . . . . . . . . . . . . 73 8.3. Görbék a gömbön . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76 8.4. Offszet görbék . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78 9. A felületelmélet alapjai 82 9.1. Elemi felületek különböző megadási módjai . . . . . . . . . . 83 9.2. Felületi görbék . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87 10.Speciális felületek

89

10.1. Vonalfelületek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89 10.2. Irányítható felületek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92 10.3. Csőfelületek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92 11.Felületi metrika, Gauss-görbület

94

11.1. Felületi görbék ívhossza, az első alapmennyiségek . . . . . . . 94 11.2. Felszínszámítás . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96 11.3. Optimalizált felületek

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98

11.4. Dupin-indikátrix, a második alapmennyiségek . . . . . . . . . 99 11.5. Felületi görbék görbülete . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101 11.6. A Gauss-görbület . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102 12.Felületi görbék jellemzése, sokaságok

108

12.1. Geodetikus vonalak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108 12.2. A Gauss-Bonnet tétel

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111

12.3. Differenciálható sokaságok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114

2

Irodalomjegyzék

118

3

1. A topológia alapjai A topológia - szemléletes megközelítésben - a matematika olyan részterülete, ami az alakzatok olyan tulajdonságaival foglalkozik, melyek folytonos, vagyis szétszakítás és összeragasztás nélküli leképezések során invariánsak maradnak. Ezek a leképezések, deformációk - nyújtások, csavarások - természetesen minden metrikus tulajdonságot megváltoztatnak, tehát jelentősen különböznek az eddig tanult geometriai transzformációktól, ahol mindig találhattunk olyan távolsággal kapcsolatos fogalmat (távolság, arány, osztóviszony), mely invariáns maradt. A szemléletes megközelítést a tárgyalás során végig igyekszünk megőrizni, de látni fogjuk, hogy léteznek például a topológiában olyan leképezések, melyek folytonos deformációval az adott térben nem állíthatók elő. Ismerős lesz ugyanakkor számos olyan fogalom, melyekkel korábbi geometriai, gráfelméleti tanulmányaink során találkoztunk, és amelyekről kiderül majd, hogy valójában topológiai fogalmak, invariánsok.

1.1. A topologikus tér fogalma Először azt a teret definiáljuk, amelyben vizsgálódunk. A topológiai értelemben vett térfogalom sokkal általánosabb az eddig vizsgált metrikus térfogalomnál, hiszen nem kívánunk távolságot mérni benne, csupán a pontok környezetét, elválaszthatóságát kell meghatároznunk, hogy a folytonosság értelmezhető legyen. 1.1. Definíció. Legyen H egy nemüres (pont)halmaz és legyen adott ennek részhalmazaiból álló T halmazrendszer. A H halmazt a T rendszerrel együtt topologikus térnek nevezzük, ha – Az üres halmaz és maga a H halmaz elemei T -nek – A T véges sok elemének a metszete is eleme T -nek – A T akárhány elemének az uniója is eleme T -nek

4

Ekkor azt mondjuk, hogy T egy topológia (topológiai struktúra) a H hordozó halmazon. A H elemeit pontoknak, a T rendszerbeli halmazokat nyílt halmazoknak nevezzük. Ha a nyílt halmaz tartalmaz egy pontot, akkor azt az adott pont környezetének nevezzük. A topologikus tér jelölése < H, T >. Pontok halmaza tehát attól lesz topológikus tér, hogy bizonyos részhalmazait nyílt halmazoknak tekintjük. Ez a nagyon általános fogalom szűkíthető, ha azt is megkívánjuk, hogy a tér pontjai őket körülvevő nyílt halmazokkal jól elválaszthatók legyenek egymástól: 1.2. Definíció. A < H, T > halmazt Hausdorff-térnek nevezzük, ha a tér bármely két különböző pontjához létezik két diszjunkt nyílt halmaz úgy, hogy az egyik pont az egyik halmaz, a másik a másik halmaz eleme, azaz ∀a, b ∈ H(a 6= b) ∃A, B ∈ T :

a ∈ A,

b ∈ B,

A ∩ B = ∅.

Az eddig megismert geometriai tértípusok, az euklideszi, affin, projektív tér mind Hausdorff-terek. A későbbiekben topologikus téren mindig Hausdorffteret értünk majd.

1.2. A topologikus transzformáció Ahogy azt a bevezetőben említettük, a topologikus leképezéseket a folytonosság fogalmára alapozzuk. Folytonosságról már szó esett korábban is, de a folytonosság fogalma eddig a mérésen (távolságon, rendezésen) alapult, most viszont csak a pontok környezetén, a nyílt halmazokon alapulhat. ¯ T¯ > leképe1.3. Definíció. Két topologikus tér közötti f :< H, T >→< H, zés folytonos, ha a p¯ képpontok minden környezetének (azaz az őt tartalmazó minden nyílt halmaznak) az ősképe az eredeti p pontot tartalmazó környezet (nyílt halmaz), azaz: ¯ ∀¯ p∈H

és ∀P¯ ∈ T¯,

melyre p¯ ∈ P¯ ⇒ P ∈ T

és

p ∈ P.

Most már definiálhatjuk a topologikus terek közötti alapvető leképezést.

5

1.4. Definíció. Az f leképezést topologikus leképezésnek, vagy homeomorfizmusnak nevezzük, ha kölcsönösen egyértelmű és mindkét irányban folytonos. Két alakzatot (a topologikus tér részhalmazát) topologikusan ekvivalensnek, vagy másképpen homeomorfnak nevezünk, ha létezik olyan homeomorfizmus, mely őket egymásba képezi. A homeomorfizmustól megköveteljük, hogy mindkét irányban folytonos legyen. Szemléletesen ez azért szükséges, hogy a leképezés során a szétszakítást és az összeragasztást is elkerüljük. Ha a homeomorfizmus csak a leképezés eredeti irányában lenne folytonos, akkor meggátolná ugyan a szétszakítást, hiszen ezzel a szakadás környékén megszűnne a folytonosság, de az összeragasztást nem küszöbölné ki. Ehhez a leképezés inverzének is folytonosnak kell lennie. Itt kell megjegyeznünk, hogy pl. egy felület homeomorfizmusa nem feltétlenül vihető végbe a felület folytonos deformációjával (1.1. ábra és ??. Azokat a homeomorfizmusokat, melyeket folytonos alakváltoztatással is el tudunk érni, homotópiának nevezzük.

1.1. ábra. A projektív síkkal homeomorf felület (Boyfelület). Bár homeomerfak, a projektív síkot nem lehet homotópiával e felületbe átvinni. A homeomorfizmus kölcsönösen egyértelmű volta feljogosít arra, hogy a 6

tér önmagára történő homeomorfizmusát transzformációnak nevezzük. Ez a transzformáció éppen olyan központi jelentőségű, mint a korábban megismert transzformációtípusok, a mozgástól a projektív transzformációig. A topológia alapvető kérdése, hogy olyan tulajdonságokat keressen és vizsgáljon, melyeket a homeomorfizmusok invariánsan hagynak.

1.3. Topológiai invariánsok Ebben a részben görbékkel és felületekkel kapcsolatos tulajdonságokat vizsgálunk majd, ehhez azonban definiálnunk kell, mit is értünk (topológiai értelemben) görbén illetve felületen. A definícióhoz szükségünk van a dimenzió fogalmára. A dimenziót szintén vizsgáltuk már korábban (pl. vektorterekben a bázisok közös számossága volt a dimenzió), a topológiában azonban mérés nélkül kell definiálnunk a dimenziót. 1.5. Definíció. A pont, illetve diszkrét pontok halmaza nulla dimenziós. A tér valamely P részhalmazát annak egy p pontjában n dimenziósnak nevezzük, ha a p pontnak bármely K környezetében található olyan n − 1 dimenziós alakzat (részhalmaz) ami a p pontot és a P -nek a környezetbe

nem tartozó pontjait elválasztja, van azonban olyan környezete a p pontnak, melyre ez az elválasztás n − 1 dimenziónál kisebb dimenziós alakzattal nem vihető végbe.

Figyeljük meg, hogy a fenti definíció rekurzív, azaz a dimenziót eggyel alacsonyabb dimenzióval definiálja. Szintén fontos, hogy a dimenziószám pontbeli tulajdonság. Természetesen egy alakzatról mondhatjuk, hogy n dimenziós, ha minden pontjában n dimenziós. Ezek után a görbe és a felület definíciója már nyilvánvaló. 1.6. Definíció. A topologikus tér korlátos, zárt, összefüggő részhalmazait, illetve véges ilyen részhalmaz unióját görbének nevezzük, ha minden pontjukban egydimenziósak, felületnek nevezzük, ha minden pontjukban kétdimenziósak. A görbékkel kapcsolatos vizsgálatainknál emlékeztetünk a gráfelméletben tanultakra. Mivel a gráfok definíciója csupán a csúcsok és élek egymás 7

közötti viszonyán alapszik, nyilvánvaló, hogy a görbék topológikus tulajdonságai gráfok megfelelő tulajdonságainak segítségével vizsgálhatók. Két gráf ekvivalenciája és az őket megjelenítő görbék homeomorf volta megegyező fogalmak. Ezek alapján kimondható a következő tétel. 1.7. Tétel. A homeomorfizmus a görbék következő tulajdonságait invariánsan hagyja: – komponensek száma, azaz a görbe hány diszjunkt részből áll – pontok indexei, azaz a görbe egy pontjába futó görbeágak száma – síkba rajzolhatóság, azaz az a tény, hogy létezik-e a görbével homeomorf görbe, mely síkba rajzolható. – a görbe unikurzális volta, azaz az a tény, hogy egy vonallal megrajzolhatóe a görbe – a síkgörbe által elválaszott, diszjunkt síkrészek száma Ez utóbbi problémakörben Jordan ismert tétele mondja ki azt a tényt, hogy a körrel homeomorf síkgörbe a síkot két diszjunkt részre osztja.

2. Felületek topológiája Ebben a fejezetben egy dimenzióval magasabban ugyanazokat a kérdéseket vizsgáljuk - ahogy a görbéknél számos olyan tulajdonságot találtunk, melyeket a homeomorfizmusok invariánsan hagynak, a felületeknél is hasonló a célunk, olyan, lehetőleg mérhető tulajdonságokat keresünk, melyek topológiai invariánsak. Meglepő módon egy olyan invariáns - az Euler-karakteriszika - játsza a főszerepet, melynek eredete elemi geometriai témából, a poliéderek vizsgálatából indul ki.

8

2.1. Az Euler-karakterisztika A felületekkel kapcsolatos vizsgálataink előtt a felület fogalmát leszűkítjük. A dimenziószám alapján kétdimenziósnak nevezett alakzatokon belül csak azokat tekintjük, melyek vagy homeomorfak a körlappal (ezek neve elemi felület), vagy ilyen felületdarabok összeragasztásával készíthetők. Az összeragasztás alatt azt értjük, hogy az elemi felület határának egy részét más elemi felület határával vagy önmaga határának más részével illesztjük össze úgy, hogy egy ilyen összeragasztásnál mindig csak két elemi felület találkozhat. A továbbiakban csak ilyen felületeket vizsgálunk. Ha a felület korlátos és minden pontja belső pont, akkor zárt felületnek nevezzük. A fentiekből következik, hogy felületre gráf rajzolható úgy, hogy az a felületet elemi felületekre bontsa. Ilyen gráfot alkot például a poliéderek csúcsaiból és éleiből álló gráf. Az egyszerű poliéderekre, melyek a gömbbel homeomorfak, korábban bebizonyítottuk Euler tételét, miszerint a csúcsok, élek és lapok c, e és l számára igaz, hogy c − e + l = 2. Többszörösen össze-

függő felületű poliéderekre megemlítettük Poincaré tételét, mely szerint c −

− e + l = 3 − n, ahol n a poliéder felületének összefüggési száma.

Ezek a tételek egy sokkal általánosabb elv részei. A fentiek alapján bár-

mely felületre rajzolható olyan gráf, mely csúcsokat, éleket és az élek által körbezárt elemi felületdarabokat tartalmaz. Ezek száma jellemző lesz az adott felületre. 2.1. Tétel. Tekintsük az F felületre rajzolt gráfot, mely csúcsainak száma legyen c, élei száma e, az élek által közrezárt elemi felületdarabok száma pedig l. Ekkor a k(F ) = c− e+ l összeg a gráftól független, csak a felületre jellemző állandó érték. 2.2. Definíció. A k(F ) értéket az F felület Euler-karakterisztikájának nevezzük. Az Euler-karakterisztika tehát jól jellemzi a felületet, de ennél több is igaz: amint a következő tétel mutatja, az Euler-karakterisztika topológiai invariáns.

9

2.3. Tétel. Ha két felület homeomorf, akkor Euler-karakterisztikájuk megegyezik. Lássunk néhány példát. A gömb Euler-karakterisztikája, ahogy az a poliéderekre vonatkozó Euler-tételből következik, k = 2. A körlapra k = 1, hiszen a körvonalon egy pontot kiválasztva csúcsnak, a körvonal maga egy él lesz, míg a lapok száma is 1 marad. Így k = 1 − 1 + 1.

2.1. ábra. A tórusz Euler-karakterisztikája 0. A tórusz Euler-karakterisztikáját is egy minél egyszerűbb gráf rárajzolásával dönthetjük el. Az ábrán látható módon megrajzolt gráf elemeit összeszámolva k = 1 − 2 + 1 = 0.

2.2. ábra. A Möbius-szalag Euler-karakterisztikája 0. Határvonala homeomorf a körvonallal.

10

Utolsó példaként tekintsük a Möbius-szalagot (2.2. ábra és ??). Ennek határvonala homemorf a körrel, tehát egy pontot kijelölve rajta a csúcsok és élek száma egy-egy lenne. Az így keletkezett gráf azonban nem elemi felületet zár közre, hiszen maga a Möbius-szalag egyoldalú felület, nem lehet homeomorf a körlappal. A megfelelő gráfhoz jelöljünk ki a szalag határán egy-egy pontot úgy, mintha keresztben kettévágnánk a szalagot. Így két pontot, három élt de csupán egyetlen (téglalap alakú) lapot határoztunk meg, így végül Euler-karakteriszikája k = 2 − 3 + 1 = 0.

Ez utóbbi két példa azt is mutatja, hogy a 2.3 tétel visszafelé nem tel-

jesül: abból, hogy két felületnek megegyezik az Euler-karakterisztikája, nem következik, hogy a két felület homeomorf lenne, hiszen a Möbius-szalag és a tórusz (egy- illetve kétoldalú felületként) nyilvánvalóan nem homeomorfak. Bonyolultabb felületek Euler-karakterisztikájának kiszámításához esetleg nagyon bonyolult gráfot kellene a felületre rajzolnunk. Ha azonban topológiailag egyszerűbb részekre tudjuk bontani a felületet, részenként is összeszámolhatjuk a karakterisztikát. Ebben segítenek a következő tételek. 2.4. Tétel. Ha a felületből egy körrel homeomorf részt kivágunk, akkor Eulerkarakterisztikája eggyel csökken. Bizonyítás. Tekintsük a felületre rajzolt azon gráfot, melynek egyik lapja az éppen kivágandó rész. A kivágás után az élek és csúcsok száma nem változik, míg a lapok száma eggyel csökken, így a c − e + l összeg is eggyel csökken. 2.5. Tétel. Tekintsünk két, határvonallal rendelkező felületet, F1 -et és F2 -t, melyek határa a körrel homeomorf. Legyen k(F1 ) = k1 , k(F2 ) = k2 . Ekkor a határvonal mentén összeragasztva őket, az eredményül kapott F felület Euler-karakterisztikája a két eredeti felület Euler-karakterisztikájának összege: k(F ) = k1 + k2 . Bizonyítás. Az állítást úgy is fogalmazhatjuk, hogy az F1 felületen lévő, körrel homeomorf lyukat ragasztjuk be F2 -vel. Mindkét felületre rajzolhatunk olyan gráfot, melyekben a határvonalak egy-egy csúcsot és így egy-egy, körrel homeomorf élt tartalmaznak. Az összeragasztáskor illesszük a határvonalakon lévő egy-egy csúcsot és a két élt egymáshoz, így a létrejövő F felületre 11

rajzolt gráf megfelel az Euler-karakterisztika kiszámításához. De ennek F1 en és F2 -n lévő részgráfjait már vizsgáltuk, ezekből most az összeragasztás miatt eltűnt egy él és egy csúcs, így k(F ) = k(F1 )+k(F2 )−1+1 = k1 +k2 . A 2.5 tételnek nyilvánvaló speciális esete az előző, 2.4 tétel. A két tétel együtt arra is alkalmas, hogy zárt felületeket tudjunk összeragasztani. Tekintsük ugyanis az F1 és F2 zárt felületeket, legyen k(F1 ) = k1 , k(F2 ) = = k2 . Vágjunk ki mindkettőből egy-egy, körrel homeomorf részt, majd ennek határa mentén ragasszuk össze a két felületet. Az előzőekből következően a kivágás eggyel-eggyel csökkenti mindkét felület Euler-karakterisztikáját, míg az összeragasztásnál a két karakterisztika összeadódik. Így a kapott felület Euler-karakterisztikája k1 + k2 − 2 lesz. 2.6. Példa. Tekintsük a gömböt és a tóruszt. Ezekből egy-egy kört kivágva, illetve a keletkezett határok mentén a két felületet összeragasztva az új felület Euler-karakterisztikája 2 + 0 − 2 = 0 lesz. Ugyanez természetesen akkor is igaz marad, ha a gömbön k darab, egymással nem érintkező lyukat vágunk

és ezeket sorra beragasztjuk az előbbi módon. Az így keletkezett Fk felület neve gömb k darab fogantyúval, Euler-karakterisztikája pedig 2 − 2k. 2.7. Példa. Tekintsük ismét a gömböt, melyen k darab, egymással nem érintkező lyukat vágunk. Az így keletkezett lyukakat most nem lyukas tóruszokkal ragasztjuk be, hanem Möbius-szalagokkal. Ahogy azt már említettük, a Möbius-szalag határvonala homeomorf a körrel, azaz vele ezek a lyukak beragaszthatók, és bár folytonos deformációval (homotópiával) a Möbius-szalagot nem tudjuk úgy alakítani, hogy határa síkba fektethető legyen, általános homeomorfizmussal ilyen alakra hozható. Az így keletkezett Mk felület Euler-karakterisztikája 2 − k + k ∗ 0 = 2 − k.

Bár az olyan homeomorfizmust, mely nem homotópia, nehz szemléletesen

bemutatni, a 2.3. ábrán nyomon követhetjük azt az eljárást, mely magyarázatot nyújt arra nézve, hogy a Möbius-szalag ezen homeomorfizmus során hogyan változik. Az eljárás során vágni és ragasztani fogunk, mely természetesen nem topológiai eljárás, de a végső stádiumban a szétvágott részek pontonként ismét egybeesnek, tehát a kezdeti és a végállapot homeomorf 12

lesz. Először is síkba terítjük a Möbius-szalagot úgy, hogy az AB szaksz mentén felvágjuk. Téglalapot kapunk, melyet hosszában ismét felvágunk (az M, N, P pontok mentén), majd az alsó fél téglalapot hossztengelye mentén megfordítjuk. Ezután a két részt úgy illesztjük össze ismét, hogy a határvonal egy kört alkosson. A belső körön elhelyezkedő M − M ′ , N − N ′ , P − P ′ pontpárokat, azaz a körgyűrű belső körén átlósan elhelyezkedő pontpárokat kell már csak páronként külön-külön összeragasztanunk ahhoz, hogy készen legyen a homeomorf kép. Ezt fizikailag természetesen nem tudjuk kivitelezni, de képet kaphatunk a Möbius-szalag "kiterítéséről". Itt jegyezzük meg, hogy a projektív geometriában megismert projektív sík is hasonló módon állítható elő. A projektív síkot az affin sík végtelen távoli pontokkal való kiterjesztéseként tekintve topológiája úgy változik meg, hogy az egyenesek "átellenes" pontjait (azaz a végtelen távoli pontjukat) egybe kell ragasztanunk. Ezt minden egyenesiránnyal el kell végeznünk, ami azzal ekvivalens, mintha az affin síkot határvonallal rendelkezőnek gondolnánk és ennek a határvonalnak az átellenes pontjait kellene összeragasztanunk. Nem nehéz felismerni, hogy topológiailag ezt elvégezhetjük úgy, hogy a határvonalat felhajlítjuk addig, míg egy félgömb kör határa lesz, majd ezt a határt beragasztjuk egy, az előbb előállított Möbius-szalaggal. A projektív sík tehát homeomorf azzal a felülettel, amit úgy kapunk, hogy a gömbön lyukat vágunk és azt egy Möbius-szalaggal fedjük le. Ez éppen a most következő osztályozás M1 felülete lesz. Figyelemre méltó, hogy - ellentétben az affin síkkal - a projektív sík így egyoldalú felület. A három dimenziós affin térben nem tudunk önátmetszés nélküli, a projektív síkkal homeomorf felületet létrehozni, de az 1.1. ábra felülete elképzelést adhat a sík struktúrájáról. Azt gondolhatjuk, hogy a fenti példák mellett még számos más zárt felülettípus is létrehozható vágással és ragasztással. Ezért is meglepő és nagy jelentőségű az alábbi, Möbius és Jordan által bizonyított tétel, mely a zárt felületek teljes topologikus osztályozását adja. 2.8. Tétel. Bármely összefüggő, zárt (azaz határvonal nélküli) felület ho13

meomorf a következő felületek valamelyikével: Fk , Mk (k = 0,1,2,3...), ahol Fk a gömbön vágott k darab, körrel homeomorf lyuk tóruszokkal való beragasztása során keletkezett, míg Mk esetén a fenti lyukakat Möbius-szalagokkal ragasztjuk be. Bizonyítás. A tételt nem bizonyítjuk teljesen, de azt könnyen beláthatjuk, hogy a tételben szereplő felületek topológiailag mind különbözőek, hiszen külön az Fk felületeknek, valamint külön az Mk felületeknek mind különböző az Euler-karakterisztikájuk, két különböző típusú felület, Fk illetve M2k Eulerkarakterisztikája pedig megegyező ugyan, de a Möbius-szalag tulajdonsága miatt ez utóbbi felület egyoldalú, míg az Fk felületnek két oldala van, ez pedig szintén topológiai invariáns. Nem kapunk új felületet akkor sem, ha a gömbfelületen néhány lyukat tórusszal, a többit pedig Möbius-szalaggal ragasztunk be, mert p tórusz és q Möbius-szalag ragasztása egyenértékű 2p + q Möbius-szalag ragasztásával, azaz az M2p+q felületet eredményezi. A bizonyítás igazán nehéz része annak belátása, hogy bármely zárt homeomorf a fenti felületek valamelyikével, ezzel a résszel nem foglalkozunk.

2.2. Sokaságok A felületek vizsgálata elvezet minket a topológikus terek általánosabb fogalmához, a sokaságokhoz. A sokaságok olyan alakzatok, melyek lokálisan minden pont környezetében homeomorfak a megfelelő dimenziós euklideszi tér egy-egy nyílt halmazával. A sokaságok tehát "darabonként" úgy viselkednek, mint az euklideszi tér, ettől azonban még nagyon bonyolult struktúrájúak lehetnek. Ebben az alfejezetben röviden kitérünk néhány, a sokaságokkal kapcsolatos fontos eredményre. 2.9. Definíció. A topologikus teret n dimenziós topologikus sokaságnak (vagy egyszerűen sokaságnak) nevezzük, ha bármely pontja körül létezik olyan környezet, mely homeomorf az n dimenziós euklideszi tér egy nyílt halmazával. Hogy megértsük a definíció lokális voltát, tekintsünk egy egyszerű példát. Például a kör egydimenziós sokaság, mert bár egészként nem homeomorf az 14

egydimenziós euklideszi tér - azaz az egyenes - egyetlen nyílt halmazával sem, könnyen látható, hogy bármely pontjának van olyan környezete - a pontot tartalmazó nyílt körív - ami már homeomorf az egyenesen lévő nyílt halmazzal. Hasonló meggondolásból a gömbfelület vagy a tórusz kétdimenziós sokaság, mert bármely pontjának létezik olyan környezete, mely homeomorf a nyílt körlappal. Három dimenziós sokaság például a 3 dimenziós gömb (vagy egyszerűen 3-gömb), mely a négydimenziós tér minden olyan pontját tartalmazza, mely egy adott ponttól egyenlő távolságra van. Míg egyszerűen belátható, hogy minden egyszeresen összefüggő, zárt egy dimenziós sokaság homeomorf a körvonallal, valamint minden egyszeresen összefüggő zárt két dmineziós sokaság homeomorf a gömbfelülettel, ugyanez az állítás eggyel magasabb dimenzióban egy híres sejtéshez vezet, melyet csak pár éve sikerült bizonyítani. 2.10. Tétel (Poincaré - Perelman). Minden egyszeresen összefüggő, zárt három dimenziós sokaság homeomorf a 3-gömbbel. A tétel sokáig Poincaré-sejtésként volt ismert, míg 2003-ban Perelman bebizonyította az állítást. A tétellel analóg állítás magasabb dimenziókban is igaz, érdekes módon ot a bizonyítása is könnyebb.

2.3. A fundamentális csoport Ebben a fejezetben a topologikus téren, vagy annak egy részhalmazán, pl. egy görbén vagy felületen befutható pályákat vizsgálunk, azaz azt, hogy egyik pontból a másikba milyen folytonos mozgással juthatunk el. Ezen pályák vizsgálatával jutunk el a térhez kapcsolható, központi jelentőségű csoport értelmezéséhez. 2.11. Definíció. Tekintsük a T topologikus tér egy p pontját, valamint az innen induló és ebbe a pontba visszatérő pályákat, azaz olyan f : [0,1] → X

folytonos leképezéseket, melyekre f (0) = f (1) = p. Két pályát ekvivalensnek

15

tekintünk, ha folytonos deformációval, azaz homotópiával egymásba vihetők a téren. A fent definiált pályák halmazán a pályák homotóp volta ekvivalenciareláció, hiszen, reflexív (a pálya önmagával homotóp), szimmetrikus (ha az p1 pálya homotóp p2 -vel, akkor ez fordítva is igaz), és tranzitív (hiszen a homotópia is tranzitív fogalom). Így a reláció a pályák halmazán osztályozást indukál, egy osztályba tartoznak az egymással homotóp pályák. Ezek között az osztályok között műveletet értelmezhetünk, mégpedig a páyák egymás után való bejárása, konkatenálása által. A p1 ∗ p2 jelölje azt, hogy a p pontból kiindulva először a p1 pályán megyünk végig, majd amikor beérkeztünk a

p pontba, utunkat a p2 pályán folytatjuk, végül ismét beérkezve a p pontba. Így ismét egy pályát definiáltunk, melyet a két pálya szorzatának nevezünk. Azt a homotópia osztályt, melybe ez a pálya tartozik, a két előző osztályon végzett művelet eredményének tekintjük. 2.12. Tétel. Az X topologikus tér p pontjából kiinduló pályák homotópia osztályai a fenti műveletre nézve csoportot alkotnak. Bizonyítás. Amint láttuk, a halmaz a műveletre nézve zárt. Tekintsük azt az osztályt, melyben az egy pontra folytonosan összehúzható pályák szerepelnek: ez az osztály az egységelem, hiszen bármely más pályaosztállyal megszorozva olyan pályákat kapunk, melyeknek az egy pontra összehúzható része a szorzat másik tényezőjének tulajdonságait nem változtatja meg. Minden elemnek van inverze, ugyanis a pálya ellenkező irányú bejárásával keletkezett pályát az eredetivel konkatenálva nyilvánvalóan egy pontra összehúzható pályát kapunk (szorzatuk az egységelem). Végül tetszőleges három pályára teljesül az asszociatív szabály, hiszen a p pontba újra és újra beérkezve mindegy, hogy a három pálya közül melyiken indulunk másodjára és melyiken harmadjára. Megjegyezzük, hogy a fenti csoport általában nem kommutatív. Kérdés azonban, hogy ha kiindulási pontnak a tér más pontját tekintjük, homotópia szempontjából más pályákat kapunk-e.

16

2.13. Tétel. A topologikus tér bármely két p és q pontja által meghatározott pályaosztály csoportok egymással izomorfak. Bizonyítás. Tekintsük a p-t a q ponttal összekötő f pályát. Minden p-ből induló és oda érkező pi pályához rendeljük hozzá azon q-ból induló és oda érkező qi pályát, melyre qi = f −1 ∗pi ∗f , ahol f −1 az f pálya ellenkező irányú

bejárását (inverzét) jelenti. A fenti hozzárendelés kölcsönösen egyértelmű, valamint izomorfizmus: bármely két qi = f −1 ∗ pi ∗ f és qj = f −1 ∗ pj ∗ f

pályára nézve qi ∗ qj = f −1 ∗ pi ∗ f ∗ f −1 ∗ pj ∗ f = f −1 ∗ pi ∗ pj ∗ f . Tehát a két csoport izomorf.

Így már nincs akadálya hogy a fenti csoportot ne a tér egy-egy pontjához, hanem magához a térhez rendeljük. 2.14. Definíció. A topologikus tér valamely pontja által indukált homotóp pályaosztályok csoportját a tér fundamentális csoportjának nevezzük. A fundamentális csoportok jelentőségét az adja, hogy nagyon jól írják le a topológiai struktúrát, amit a következő tétel mutat. 2.15. Tétel. Két topologikus tér homeomorf ⇔ fundamentális csoportjaik

izomorfak.

Mindez lehetőséget teremt arra, hogy az alakzatok topológiáját fundamentáis csoportjuk algebrai struktúrájával jellemezzük, ami nyilvánvalóan topológiai invariáns. Így például a körlap és a gömb fundamentális csoportja csupán az egységelemből álló egyelemű csoport, azaz minden pálya egy pontra húzható össze. Ha azonban a körlapon egy lyukat vágunk, vagy a gömbnek elhagyjuk akár egyetlen pontját, a csoport már végtelen sok elemből fog állni. A különböző osztályba tartozó pályák abban fognak különbözni, hogy a lyukat hányszor kerülték meg (balró illetve jobbról). Így ez a fundamentális csoport izomorf az egész számok additív csoportjával. Végül a projektív sík fundamentális csoportja kételemű csoport, a pályák a szerint tartoznak egyik vagy másik csoportba, hogy átmetszik-e a végtelen távoli egyenest. 17

2.3. ábra. A Möbius-szalag homeomorf módon leképezhető olyan alakzatba, melynek határvonala egy körvonal.

18

2.4. ábra. A körlapon futó pályák mind egy pontba húzhatók össze - a fundamentális csoport egyelemű.

2.5. ábra. A lyukas körlapon futó pályák közül már nem mind húzható össze egy pontba. A lyukat n-szer megkerülő pályák tartoznak egy osztályba, n = 0 esetén kapjuk az egy pontba húzható páyákat - a fundamentális csoport egységelemét. A fundamentális csoport izomorf a (Z, +) csoporttal.

19

3. A differenciálgeometria alapjai, görbék leírása A görbék és felületek egy széles osztályát vizsgáljuk ebben a jegyzetben, főként analitikus eszközök segítségével. Ezzel a megközelítési módszerrel olyan görbéket és felületeket is kezelni tudunk, melyekről az algebra eszközeivel csak keveset mondhattunk. Cserébe viszont - a differenciálás alapvető tulajdonsága miatt - az alakzatokat mindig csak egy pontban, vagy annak kis környezetében tanulmányozhatjuk, eredményeink tehát lokális jellegűek lesznek. Először is definiálnunk kell azt, hogy milyen típusú görbéket fogunk vizsgálni, azaz leírjuk, hogy differenciálgeometriai szempontból mit tekintünk görbének. A térben mozgó P pont egy görbét ír le. Ha a mozgás minden t idő−−→ pillanatában meghúzzuk az O origóból a P -ben tartózkodó ponthoz az OP vektort és ezt r(t) -vel jelöljük, akkor egy I véges vagy végtelen intervallumon értelmezett vektorfüggvényhez jutunk (3.1. ábra). Egy r(t) vektorfüggvény által létrehozott leképezés általában nem kölcsönösen egyértelmű, mert előfordulhat r(t1 ) = r(t2 ) , t1 6= t2 kettőspont is, azaz a görbe metszi önma-

gát. Az ilyen esetek kizárására kölcsönösen egyértelmű vektorfüggvényeket

vizsgálunk. Ezen leképzésektől célszerű lesz megkövetelni a mindkét irányú folytonosságot is. Ez azt jelenti, hogy ha az I intervallum egy tn sorozata konvergál a t0 ∈ I-hez, akkor r(tn ) -nek az r(t0 ) -hoz kell konvergálnia, és fordítva. Egy ilyen kölcsönösen egyértelmű és mindkét irányban folytonos leképezést neveztük topológikusnak. 3.1. Definíció. Görbén olyan alakzatot értünk, amely előállítható egy I intervallumon értelmezett r(t) vektorfüggvény helyzetvektorainak végpontjaiként, ha a) az r(t) által létrehozott leképezés topológikus b) az r(t) folytonosan differenciálható c) az r(t) differenciálhányados vektora seholsem tűnik el. Az r(t) vektorfüggvény a görbe egy előállítása, de egy görbe olyan vektorfüggvénnyel is előállítható, amely nem felel meg a definícióban felsorolt 20

P e3 r(t)

e2

e1

3.1. ábra. A görbe vektorparaméteres előállítása feltételeknek. Azokat az előállításokat, amelyek teljesítik az a) -c) feltételeket, reguláris előállításoknak nevezzük. A r(t) vektorfüggvényt sokszor adjuk majd meg koordinátafüggvényeivel, azaz r(t) = (x(t), y(t), z(t)) alakban. Az r(t) differenciálhányadosát is úgy számoljuk, hogy koordintafüggvényeit deriváljuk. A deriváltfüggvényt, mely tehát maga is vektorfüggvény, r˙ (t)-vel jelöljük. Végül hangsúlyozzuk, hogy a "görbe" szót köznapi értelemben sokszor használjuk olyan alakzatra, mely a fenti definíciónak nem tesz eleget, de ahhoz, hogy a differenciálszámítás eszközeit eredményesen alkalmazhassuk, a görbe fogalmát a fenti értelemben le kellett szűkítenünk. 3.2. Példa. Az r(t) = r0 + tv egy egyenes egyenlete, ahol r0 az egyenes egy adott pontjába mutató helyzetvektor, a v az egyenes egy irányvektora. Koordinátafüggvényekkel megadva: x(t) = a + tv1 y(t) = b + tv2 z(t) = c + tv3 . 3.3. Példa. Az r(t) = r0 + R(cos t e1 + sin t e2 ) egy kör egyenlete, ahol r0 a kör középpontjába mutató helyzetvektor, a kör síkját az r0 -ból kiinduló {e1 , e2 } ortonormált bázis feszíti fel, R a kör sugara és 0 6 t < 2π. Speciá-

lisan az origó középpontú, R sugarú kör egyenlete az e1 = (1,0), e2 = (0,1)

21

ortonormált bázisban koordinátafüggvényekkel megadva: x(t) = R cos t y(t) = R sin t. 3.4. Példa. Az r(t) = R cos t e1 + R sin t e2 + ct e3 egy hengeres csavarvonal egyenlete, az {e1 , e2 , e3 } ortonormált bázisban, c pedig az emelkedési

konstans. Az e1 = (1,0,0) , e2 = (0,1,0) , e3 = (0,0,1) koordináták felhasználásával: x(t) = R cos t y(t) = R sin t z(t) = ct. Egy r(t) vektorfüggvény egyértelműen előállít egy görbét, de egy görbe nem határoz meg egyértelműen egy (a feltételeknek megfelelő) vektorfüggvényt. Tekintsünk egy ϕ : I∗ = (α, β) → I = (a, b) függvényt a megadott

intervallumok között. Ha τ ∈ I∗ , akkor az r(τ ) = r(ϕ(τ )) pontosan ugyan-

azt a görbét állítja elő, mint az r(t). Az r(t)-ről a t = ϕ(τ ) segítségével az

r(τ ) -ra való áttérést paraméter-transzformációnak nevezzük. 3.5. Példa. A 2) példában meghatározott kör esetén térjünk át a 0 6 t < 2π paraméterről a 0 6 τ < π paraméterre a t = 2τ összefüggéssel. Ekkor r(τ ) = r0 + R(cos(2τ ) e1 + sin(2τ ) e2 ) r(τ ) = r0 + R((cos2 τ − sin2 τ ) e1 + 2R sin τ cos τ e2 ). 3.6. Tétel. Egy t = ϕ(τ ) paraméter-transzformáció akkor és csak akkor viszi át egy görbe bármely r(t) reguláris előállítását újra reguláris r(τ ) előállításba, ha ϕ(τ ) ∈ C 1 és

dϕ dτ

6= 0.

A tétel feltételeinek eleget tevő paraméter-transzformációt megengedett paraméter-transzformációnak nevezzük. Ha a görbepontokon növekvő t paraméter szerint haladunk végig, akkor ez a görbén egy orientációt határoz meg. A görbének két, r(t) és r(τ ) előállítása akkor és csak akkor határoz meg azonos orientációt, ha az r(t) -t és r(τ ) -t egymásba átvivő t = = ϕ(τ ) paraméter-transzformáció szigorúan monoton növekedő. Ha a t = 22

= ϕ(τ ) paraméter-transzformáció szigorúan monoton csökkenő, akkor ellenkező orientációt kapunk. Ha egy görbe minden pontja egy síkban fekszik, akkor síkgörbének, ellenkező esetben térgörbének nevezzük.

3.1. Görbék különböző megadási módjai Az előző részben megismertük a görbék paraméteres leírási módját. Görbét azonban nem csak paraméteresen írhatunk le. Az általános és középiskolában elsősorban másik két leírási móddal találkozunk: az implicit és explicit megadással. A síkgörbéket a következő formákban adhatjuk meg: 1. Explicit megadási mód. Tekintsünk E2 -ban egy Descartes-féle koordinátarendszert és a y = = f (x) kétváltozós függvényt. Azok a pontok, melyeknek (x, f (x)) a koordinátája, egy görbét alkotnak. Ezt az alakot Euler-Monge féle megadási módnak is nevezzük. 2. Implicit megadási mód. Ismét a Descartes-féle koordinátarendszert tekintjük és az F (x, y) kétváltozós függvényt. Azon pontok mértani helye, melyek koordinátáit a függvénybe helyettesítve a kapott függvényérték F (x, y) = 0, egy görbét alkotnak. Megjegyezzük, hogy az F (x, y) = c egyenletet kielégítő pontok is egy-egy görbére illeszkednek bármilyen konstans c értékre. A görbe ilyen megadási módját Cauchy vezette be. 3. Paraméteres megadási mód. Ez tulajdonképpen a differenciálgeometriai értelemben vett görbe definíciójában is szereplő r(t) előállítási mód, amely két (vagy térgörbék esetén három) valós változós függvény megadásával egyenértékű, amelyeket koordinátafüggvényeknek nevezünk: r(t) = x(t)e1 + y(t)e2 . Ezt az előállítást Gauss-féle előállításnak is szokás nevezni. 23

Ezek az előállítási módok minden esetben előnyökkel és hátrányokkal is járnak. A globális explicit alak nem mindig létezik, gondoljunk például az egyenes y = mx + b alakjára, ahol az m meredekség y tengellyel párhuzamos egyenesekre nem értelmezhető. Az első két megadási mód közvetlenül nem alkalmas térgörbék előállítására, hiszen újabb változót bevezetve felületeket kapnánk. Ilyen értelemben a paraméteres megadási mód a legáltalánosabb. Az egyes alakok közötti áttérés nem egyforma nehézségű feladatokat takar. Míg például az explicit alakról a az implicit alakra az F (x, y) = f (x)−y egyszerű átrendezéssel jutunk, addig az implicit alak parametrizációja például komolyabb matematikai meggondolásokat igényel. Az áttérés elméleti lehetőségeire a felületek leírása során visszatérünk, itt most csak egy példát mutatunk be polinomokkal leírt görbék esetére.

3.2. Konverzió az implicit és a paraméteres alak között A kétféle leírási mód közötti konverzió két különböző iránya két eltérő nehézségű problémát takar. Most csak algebrai görbékkel foglalkozunk, azaz olyanokkal, melyek leírásához elegendőek polinomok. Bármely paraméteres alakban megadott algebrai alakzat elméletileg átírható implicit formába, bár gyakorlatilag adódhatnak számítási nehézségek. Egy implicit formában megadott síkgörbének vagy felületnek azonban nem biztos, hogy egyáltalán létezik paraméteres alakja, és ha létezik is, annak felírására nincs általánosan hatékony és egyszerű számítási módszer. Térgörbék esetén, amiket implicit módon két felület metszeteként definiáltunk, még akkor sem biztos, hogy létezik paraméteres alak, ha a két definiáló felület külön-külön felírható paraméteresen. Az egyszerűbb feladat, azaz a paraméteres forma implicit alakba való átírása azon alapszik, hogy a paraméteres formát tekinthetjük úgy, mint egy egyenletrendszert, melyben az ismeretlenek síkgörbe esetén x, y, t, felület esetén x, y, z, u és v. Ha az egyenletrenszerből elimináljuk a t, illetve felület esetén az u, v változókat, akkor a kapott egyenlet éppen az adott alakzat implicit formája lesz. Ez elméletileg járható út, azonban magasabb fokú egyenleteknél az elimináció számítási nehézségeket okozhat, így a gyakor24

lat számára speciális esetekben egyszerűbb algoritmusokat is kidolgoztak. A következőkben síkgörbékre mutatunk be egy ilyen eljárást. Adott egy síkgörbénk tehát az euklideszi síkon x(t), y(t) paraméteres alakban. Általánosan ezek a függvények racionális polinomok, így írhatjuk őket Pn ai ti Pi=0 n ci ti Pni=0 i bi t Pi=0 n i c i=0 i t

x(t) = y(t) =

formában, ahol az ai , bi , ci együtthatók valós számok. Ekkor a görbe implicit alakját egy determináns szolgáltatja: f (x, y) =

Ln−1,n−1 (x, y) · · · .. .. . .

L0,n−1 (x, y) .. .

Ln−1,0 (x, y)

L0,0 (x, y)

···

ahol a mátrix elemei Li,j (x, y) =

X

= 0,

(bm ck − bk cm )x + (ak cm − am ck )y + (am bk − ak bm ).

k6min(i,j) k+m=i+j+1

A fenti determinánst Bézout–rezultánsnak nevezzük és amint látjuk, egyszerűen algoritmizálható módszert nyújt síkgörbék esetére. Vegyük észre, hogy az átírás nem változtatta meg az egyenlet fokszámát. Hasonló módszer általában adható felületekre is, térgörbék esetén azonban, mivel a paraméteres és az implicit alak lényegileg tér el egymástól, ez a technika nem használható. Az ellenkező irányú konverzió, ahogy azt már említettük is, jóval nehezebb probléma. Nincs általános recept már annak eldöntésére sem, hogy egy implicit formában megadott algebrai alakzatnak létezik-e egyáltalán paraméteres alakja. Ezzel kapcsolatban síkgörbékre a legismertebb tétel Noether-től származik, melyben szerepel a görbe genus-a: 1 genus(f ) = (n − 1)(n − 2) − c 2 25

ahol n a görbe rendje, c pedig a szinguláris pontok számától függő konstans (itt a görbe a C test fölött értendő). 3.7. Tétel. (Noether) Egy f (x, y) = 0 alakban megadott síkgörbének akkor és csakis akkor létezik paraméteres alakja, ha genus(f ) = 0. Ez a tétel elméletileg tisztázza ugyan a problémát, a genus(f ) kiszámítása azonban nem mindig egyszerű feladat, és ha ez meg is volna, a tétel nem ad módszert arra, hogy egy konkrét görbe esetén hogyan írjuk fel a paraméteres alakot. Hasonló tétel létezik felületek esetére is (Castelnuovo-tétel), de gyakorlati szempontból az sem ad útmutatást a probléma megoldására. Szerencsére bizonyos típusú görbék és felületek esetén (pl. másod- és bizonyos harmadrendű görbékre) a probléma algoritmizálható, és az alkalmazások szempontjából éppen ezen alakzatok a legfontosabbak.

3.3. Másodrendű görbék és felületek konverziója Bármely nemelfajult valós másodrendű görbének létezik paraméteres alakja. A technika, mellyel az implicit alakból a paraméteres formát megkapjuk, azon a tényen alapszik, hogy ha egy egyenes elmetsz egy ilyen görbét egy pontban, akkor egy másik pontban is metszeni fogja. Az euklideszi síkon ez alól két kivétel van: a parabolát a tengelyével párhuzamos egyenesek, illetve a hiperbolát az aszimptotáival párhuzamos egyenesek egy pontban metszik, de a projektív síkon a görbék végtelen távoli pontjai miatt ezek az egyenesek is két pontban metszik a görbét. Ha kiválasztunk tehát a másodrendű görbén egy P pontot és ezen keresztül egy egyenessereget fektetünk, akkor ezen egyenessereg minden eleme a görbe egy másik pontján is áthalad. Ha az egyenessereg elemei egy t paramétertől függenek, ezt a paramétert a P -n kívüli metszésponthoz hozzárendelve máris megkaptuk a görbe paraméterezését. Kövessük végig az elvet egy egyszerű példán. Az origó középpontú, 1 sugarú kör implicit alakja x2 + y 2 − 1 = 0. 26

Válasszuk ki ennek a körnek a P (−1,0) koordinátájú pontját. Az y = = mx + b alakú egyenesek közül azok, melyek illeszkednek P -re, speciálisan y = mx + m alakúak. A P -n átmenő egyenessereg egyenlete tehát l(t) :

y = tx + t

alakú (lásd a 3.2. ábrát).

3.2. ábra. A kör egy lehetséges parametrizálása Ezen l(t) egyenesek a kört a P -n kívül még egy P¯ pontban is metszik, mely pont természetesen függ a t paramétertől. A metszéspont koordinátái könnyen kiszámíthatóak, ha az egyenes egyenletét behelyettesítjük a kör egyenletébe: x2 + (tx + t)2 − 1 = 0, amiből x=

−t2 ±

p

t4 + (1 − t2 )(1 + t2 ) −t2 ± 1 = , 2 1+t 1 + t2

ahonnan az x = −1 gyök az eredeti P pontot adja, a másik gyök, illetve 27

annak visszahelyettesítésével kapott y érték viszont a P¯ pont (t-től függő) koordinátáit eredményezi: x(t) = y(t) =

1 − t2 1 + t2 2t . 1 + t2

Mivel az egyenes változásával a P¯ pont befutja a kört, a fenti egyenletrendszer megadja a kör affin paraméteres alakját (egész pontosan a P pontot magát csak t = ∞ paraméterértéknél érnénk el, de erről a problémáról korábban már ejtettünk szót). Teljesen hasonló technikával bármely nemelfajult valós másodrendű görbe parametrizálható. Az alábbi táblázatban megadjuk ezen görbék paraméteres alakját.

implicit forma

paraméteres alak 1 − t2 2t x(t) = r y(t) = r 2 1+t 1 + t2

kör

x2 + y 2 − r 2 = 0

ellipszis

x2 y 2 + 2 −1=0 a2 b

x(t) = a

1 − t2 1 + t2

y(t) = b

2t 1 + t2

hiperbola

x2 y 2 − 2 −1=0 a2 b

x(t) = a

1 + t2 1 − t2

y(t) = b

2t 1 − t2

parabola

y 2 − 2px = 0

x(t) =

t2 2p

y(t) = t

Mivel az euklideszi síkon bármely nemelfajult valós másodrendű görbe koordinátatranszformációval ezen implicit (úgynevezett kanonikus) alakok valamelyikére hozható, a táblázat segítségével úgy is parametrizálhatunk egy görbét, hogy az említett transzformációval a fenti alakra hozzuk, majd a paraméteres alakra elvégezzük ezen transzformáció inverzét. Nem ez azonban az egyetlen lehetséges megoldás, a másodrendű görbéket a műszaki életben például a 28

fentiektől eltérő paraméterezéssel is szokták használni. Megjegyezzük, hogy a fent bemutatott technikával paraméteres alakra hozhatunk általában minden olyan n-edrendű görbét is, melynek tudunk találni (n − 1)-szeres pontját (ezeknek a neve monoid). Ezen ponton átme-

nő egyenesek ugyanis a görbét rendre egyetlen más pontban metszik, tehát

a paraméterezés elvégezhető (ilyen pl. az 3.3. ábrán látható harmadrendű görbe, melynek létezik egy kettős pontja).

3.3. ábra. Ez a harmadrendű görbe is parametrizálható a fenti módon, egyenlete x(t) = t2 − 1, y(t) = t(t2 − 1).

Az síkgörbék metszetének kiszámításánál az ideális eset az, ha az egyik implicit, a másik paraméteres alakban adott. Egyéb esetekben erre az alapesetre vezethetjük vissza a problémát. Tekintsünk két síkgörbét, egy implicit és egy paraméteres formában megadottat: g1 : f (x, y) = 0 29

g2 :

x(t) = 0 y(t) = 0

Behelyettesítve a g2 görbe koordinátaegyenleteit g1 implicit alakjába, az f (x(t), y(t)) = 0 egyenletet kapjuk, melynek fokszáma a két görbe rendjének szorzata, gyökei pedig a g2 görbe paramétertartományában megadják a közös pontokhoz tartozó t paraméterértékeket. Ezeket a g2 definiáló egyenleteibe behelyettesítve megkapjuk a metszéspontok koordinátáit.

4. Paraméteres görbék jellemzése 4.1. Folytonosság az analízis szemszögéből Legyen adott két görbe, x(u) és y(t), melyek egy P = x(u0 ) = y(t0 ) pontban találkoznak. A hagyományos folytonossági fogalomnak megfelelően azt mondjuk, hogy ez a találkozás n-edrendben folytonos, vagy más jelöléssel C n -folytonos, ha ebben a pontban a a két görbe deriváltjai n-edrendben megegyeznek, azaz x(u ˙ 0 ) = y(t ˙ 0 ),

x ¨(u0 ) = y ¨(t0 ),

... x(n) (u0 ) = y(n) (t0 )

teljesül. Ennek segítségével definiálhatjuk felületek, illetve felület és görbe folytonos érintkezését is. Két felület egy pontban n-edrendben folytonosan (C n folytonosan) érintkezik, ha a pontban a felületek megfelelő parciális deriváltjai n-edrendig megegyeznek. A felület és görbe érintkezése C n -folytonos, ha a felületen létezik olyan felületi görbe, mely az eredeti görbével az adott pontban n-edrendben folytonosan érintkezik. Két görbe illetve két felület érintkezésének folytonosságát tehát mechanikus számolással ellenőrizhetjük, görbe és felület érintkezésével kapcsolatban azonban ez nem igaz, hiszen találnunk kellene a felületen egy megfelelő gör-

30

bét az érintkezés foyltonosságának igazolásához. Ebben segíthet a következő tétel. 4.1. Tétel. Legyen adott az F (x, y, z) felület, mely minden változójában n-szer differenciálható és ezek egyszerre sehol sem tűnnek el. Ekkor az r(t) (x(t),y(t), z(t)) görbe az F (x, y, z) felületet annak egy pontjában n-edrendben érinti akkor és csakis akkor, ha létezik olyan t0 paraméter, melyre az f (t) = = F (x(t), y(t), z(t)) függvény deriváltjaira teljesül, hogy f (α) (x(t0 ), y(t0 ), z(t0 )) = 0,

α = 0, ..., n.

Bizonyítás. Tegyük fel, hogy létezik olyan r1 (t)(x1 (t), y1 (t), z1 (t)) felületi görbe, amelyik az eredeti görbét az adott pontban n-edrendben érinti. Ekkor f (t0 ) = F (x(t0 ), y(t0 ), z(t0 )) = F (x1 (t0 ), y1 (t0 ), z1 (t0 )), valamint a két görbe deriváltjai is megegyeznek, amiből az F (x1 (t0 ), y1 (t0 ), z1 (t0 )) = 0 miatt f ′ (t0 ) =

∂F ∂F ∂F ∂F ∂F ∂F x(t ˙ 0) + y(t ˙ 0) + z(t ˙ 0) = x˙1 (t0 ) + y˙1 (t0 ) + z˙1 (t0 ). ∂x ∂y ∂z ∂x ∂y ∂z

Hasonlóan igazolható az állítás magasabb deriváltakra is. Ha feltesszük, hogy f (α) (x(t0 ), y(t0 ), z(t0 )) = 0,

α = 0, ..., n.

teljesül, akkor olyan felületi görbét kell találnunk, melyre a tétel állítása igaz. Amiatt, hogy a felület parciális deriváltjai léteznek és egyszerre nem nullák, az adott pont környezetében a felület explicit alakra hozható, pl. z = Fz (x, y) alakra. Vetítsük le ekkor az r(t)(x(t), y(t), z(t)) görbét a felületre a z ten-

31

gellyel párhuzamosan. Az így kapott r1 (t) görbe koordináta-függvényei x1 (t) = x(t), y1 (t) = y(t), z1 (t) = Fz (x(t), y(t)) és belátható, hogy ez a görbe az eredeti görbét n-edrendben folytonosan érinti.

4.2. Geometriai folytonosság Geometriailag a görbék találkozásánál a C 1 -folytonosság azt jelenti, hogy a két görbének P -ben megegyezik az érintővektora. Ettől gyengébb feltétel lenne az, hogy az érintővektor helyett csupán az érintővektor iránya egyezzen meg, azaz x(u ˙ 0 ) = λy(t ˙ 0 ),

λ>0

teljesüljön. Ez utóbbi kritériumnak óriási előnye a C 1 -folytonossággal szemben, hogy független a két görbe paraméterezésétől, azaz tisztán geometriai feltétellel írható le. Ezért ez utóbbi kritériumnak eleget tévő görbéknél a találkozást geometriailag elsőrendben folytonosnak, vagy GC 1 − f olytonosnak nevezzük.

Hasonló elvet használva vezethetünk be magasabbrendű geometrai folytonosságot is. A C 2 -folytonosság a második, a C 3 -folytonosság pedig a harmadik derivált vektor egyezését is megkívánja. Mivel a második deriváltat a görbület, a harmadik deriváltat pedig a torzió leírásánál használtuk fel, célszerűen ezek folytonosságát kívánjuk meg a másod- és harmadrendű geometriai folytonosságnál. Azt mondjuk tehát, hogy a két görbe találkozása P -ben GC 2 −f olytonos,

ha az érintővektor iránya megegyezik és a görbület az adott pontban folytonos. Ez a görbület definíciójából, illetve a GC 1 −folytonosság kritériumából

a következő egyenletrendszerrel írható le: x(u ˙ 0 ) = λ1 y(t ˙ 0)

x ¨(u0 ) = λ21 y ¨(t0 ) + λ2 y(t ˙ 0 ),

32

λ1 , λ2 > 0.

Végül a két görbe találkozása P -ben GC 3 − f olytonos, ha az érintővektor

iránya megegyezik és a görbület, valamint a torzió az adott pontban folytonos. Ez a torzió definíciójából, illetve a fenti kritériumokból a következő egyenletrendszerrel írható le: x(u ˙ 0 ) = λ1 y(t ˙ 0) x ¨(u0 ) = λ21 y ¨(t0 ) + λ2 y(t ˙ 0) ... 3 ... 2 x (u0 ) = λ1 y (t0 ) + λ2 y ¨(t0 ) + λ3 y(t ˙ 0 ).

λ1 , λ2 , λ3 > 0

A fentiekből látható, hogy a geometriai folytonosság könnyen általánosítható magasabb rendekre is, azonban csak háromdimenziósnál magasabb terekben, ahol is a geometriai interpretációhoz a görbülethez és a torzióhoz hasonló magasabbrendű invariánsokat kell bevezetnünk. A geometriai folytonosság tehát a hagyományos folytonosság fogalmától gyengébb kritériumokat kíván meg, ugyanakkor ezek tisztán geometriai jellegűek, paraméter-transzformációtól függetlenek. Fontos még megjegyeznünk, hogy vizuálisan a két folytonosságfogalom másodrendnél magasabb rendekre nem különböztethető meg.

4.3. Az érintő Tekintsünk egy r(t) görbét és rögzítsük annak egy t0 paraméterértékű P0 pontját. Legyen tn (tn 6= t0 ) egy t0 -hoz konvergáló sorozat, Pn az ennek

megfelelő pontsorozat a görbén.

4.2. Definíció. Az r(t) görbe P0 érintőjén vagy érintőegyenesén a P0 Pn szelők határegyenesét értjük, ha ez a t0 -hoz konvergáló tn sorozattól függetlenül létezik. Az érintőegyenes által tartalmazott zérustól különböző vektort a görbe egy érintővektor ának nevezzük. 4.3. Tétel. Az r(t) görbének minden t0 paraméterértékű pontjában van érin.

tője és ez a P0 -on átmenő r(t0 ) irányvektorú egyenes. Bizonyítás. Tekintsük a P0 Pn szelőket. Ezek konvergens egyenessorozatot alkotnak, mert az egyeneseken a Pn pontsorozat a P0 -hoz tart és a szelők 33

irányvektoraiból álló sorozat is konvergens. A P0 Pn szelő irányvektora az 1 r(tn ) − r(t0 ) vagy ennek skalárszorosa, így pl. tn −t (r(tn ) − r(t0 )) . Ezeknek 0

az irányvektoroknak a sorozata bármilyen tn → t0 esetén is konvergál az

r˙ (t0 ) vektorhoz.

4.1. ábra. Az érintő definíciója Ezek alapján a görbe r(t0 ) -beli érintőjének paraméteres egyenlete: .

x(u) = r(t0 ) + ur(t0 ). 4.4. Példa. Az origó középpontú r(t) = R cos t e1 + R sin t e2 , (0 6 t < 2π) .

kör pontjaiban az érintővektor: r(t) = −R sin t e1 + R cos t e2 . Ha t =

π 2

, akkor az érintővektor a (−R,0) koordinátájú vektor. Meghatározható az

érintővektor hossza: .

||r(t)|| =

p

R2 sin2 t + R2 cos2 t = R,

azaz minden pontban ugyanakkora hosszúságú. Ha a kör esetén különböző paraméterezést választunk, akkor az érintővektor hossza változó lesz.

4.4. Az ívhossz Legyen r(t) (t ∈ I) egy görbe, P0 P ∗ ennek egy íve, amely az I egy (t0 , t∗ ) szakaszának a képe. Legyen t0 < t1 < t2 < ... < tn−1 < tn = t∗ ennek egy

beosztása. Az ezen paraméterértékekhez tartozó P0 , P1 , P2 , ..., Pn−1 , Pn = = P ∗ görbepontoknak ilyen sorrendben való összekötésével egy, a görbébe írt töröttvonalat kapunk, melyet normális töröttvonalnak nevezünk. 34

4.5. Definíció. A görbe egy ívének hosszán (ívhossz án) a görbeívbe írt normális töröttvonalak hosszai halmazának pontos felső korlátját értjük. 4.6. Tétel. Az r(t) = (x(t), y(t), z(t)) (t ∈ I) görbe t0 paraméterértékű P0 pontjától a t∗ paraméterértékű P ∗ pontjáig tartó ívének s hossza

s=

Zt∗ p

x˙ 2 (t) + y˙ 2 (t) + z˙ 2 (t) dt.

t0

Az előző tételben szereplő integrál integrandusa nem más, mint = k˙r(t0 )k . Így s=

Zt∗ p

r˙ 2 (t)dt =

t0

Zt∗

t0

p r˙ 2 (t) =

k˙r(t)k dt.

Ahogy azt láttuk, egy görbének végtelen sok előállítása lehetséges. A görbére kimondott állításainknak azonban olyanoknak kell lenniük, hogy csak a görbére és ne egy általunk választott előállítására (azaz paraméterezésére) vonatkozzanak. A görbe előállításában olyan paramétert kellene használnunk, amely a görbe által egyértelműen meghatározott, ezáltal maga a paraméter is valamilyen geometriai tartalmat hordoz. Ilyen paraméternek természetesen az ívhossz kínálkozik. Ennél a paraméterezésnél a görbe tetszőleges P pontjának paramétere az irányított görbe egy rögzített P0 pontjától a P ig mért előjeles ívhossz lesz. Megmutatható, hogy tetszőleges reguláris előállításból kiindulva mindig létezik megengedett paraméter-transzformáció, melynek eredményeképpen a görbe már ívhosszra lesz vonatkoztatva, azaz az ívhossz mindig bevezethető paraméternek. Az r(t) (t ∈ I = (a, b)) görbe ívhosszának képletében a felső határt hagyjuk változónak, így az ívhosszat a rögzített P0 ponttól a P (t) pontig mérjük. Az ívhossz a t függvénye:

s(t) =

Zt q

t0

.2

r (u)du = [s(u) + c]tt0 = s(t) − s(t0 ) = s(t) + konst.

Az s(t) szigorúan monoton növekvő, mivel pozitív függvény integrálja, és 35

folytonosan differenciálható, mert az integrandus folytonos. Így létezik az s = s(t)-nek a t = t(s) inverz függvénye, amely szintén szigorúan monoton és folytonosan differenciálható. Így a t = t(s) megengedett paramétertranszformáció. Az ívhossz egy additív konstans erejéig van meghatározva, amely a t0 paraméterű P0 pont tetszőleges megválasztását jelenti. Az, hogy a paraméter az ívhossz, egyenértékű azzal, hogy az érintővektor hossza 1. Egy görbének a különböző parametrizációit úgy képzelhetjük el, mint egy rögzített pályán végzett különböző mozgásokat. Ha a paraméter az ívhossz, akkor ez egységnyi sebességgel végzett mozgást jelent. Tehát a megtett út az eltelt idővel egyenesen arányos. Az ívhosszparaméter esetén a deriváltat r′ (s)-vel jelöljük. 4.7. Példa. Az r(t) = R cos t · e1 + R sin t · e2 + ct · e3 hengeres csavarvo.

nalat vonatkoztassuk ívhosszparaméterre! Deriválással r(t) = −R sin t · e1 + + R cos t · e2 + c · e3 , amely felhasználásával az ívhossz: s(t) =

Zt p 0

ahonnan t =

Zt p p R2 sin2 u + R2 cos2 u + c2 du = R2 + c2 du = t R2 + c2 , 0

√ s . R2 +c2

Ezt az eredeti egyenletbe beírva

s s s r(s) = R cos √ e1 + R sin √ e2 + c √ e3 . 2 2 2 2 2 R +c R +c R + c2 Ezzel az ívhosszat bevezettük paraméternek. Az érintővektor: R s sin √ e1 + R2 + c2 R2 + c2 R s c +√ cos √ e2 + √ e3 . 2 2 2 2 2 R +c R +c R + c2

r′ (s) = − √

Az érintővektor hossza:

36

R2 s R2 s c2 2 2 √ √ sin + cos + R2 + c2 R2 + c2 R2 + c2 R2 + c2 R2 + c2 R2 + c2 = 2 = 1. R + c2

′

r =

4.5. A simulósík Legyen az r(s) ívhosszparaméterre vonatkoztatott görbe kétszer folytonosan differenciálható. Legyen P0 egy tetszőleges pont a görbén és P0 -ban az r′′ (s) ne tűnjön el. Tekintsünk a görbén három nem kollineáris P1 , P2 , P3 (s1 < < s2 < s3 ) pontot, melyek mindegyike a P0 -hoz tart. A három pont minden helyzetben egy síkot határoz meg (kivéve, ha esetleg kollineárisak, de ez általános esetben csak elszigetelve fordulhat elő). 4.8. Tétel. A P1 , P2 , P3 -on átmenő síkok sorozata egy, a sorozattól független, csak a görbétől és a P0 -tól függő határsíkhoz tart, melyet a P0 -beli r′ (s0 ) és r′′ (s0 ) feszít fel. A tételben szereplő síkot simulósík nak nevezzük. A P0 -beli simulósík egyenlete egy vegyesszorzat segítségével írható fel (a vegyesszorzatot a továbbiakban a félreértések elkerülése végett zárójellel jelezzük):
v − r0 , r′ (s0 ), r′′ (s0 ) = 0,

ahol v a simulósík pontjaiba mutató helyzetvektor. Mindez komponensekben: x − x0 y − y0 z − z0 x′ y′ z′ x′′ y ′′ z ′′

4.6. A kísérő háromél

= 0.

A görbe minden pontjához megadható egy ortogonális háromél (triéder), melyben a vektorokat egy koordinátarendszer egységvektorainak választva 37

4.2. ábra. A kísérő háromél és az általuk meghatározott síkok: a simulósík (S), a rektifikáló sík (R) és a normálsík (N) a görbe vizsgálata jelentősen egyszerűsödik. Legyen az r görbe kétszeresen folytonosan differenciálható, vonatkoztassuk ívhosszparaméterre és r′′ (s) sehol se tűnjön el. A keresett ortogonális háromél első vektora legyen az egységnyi hosszúságú r′ (s) érintővektor, melyet t(s) -sel jelölünk. A második vektor legyen az érintővektornak a simulósíkban elhelyezkedő egyik normálisa. Az r′′ benne van a simulósíkban és az (r′ (s))2 ≡ 1 differenciálásából

kapott 2r′ r′′ = 0 szerint merőleges az érintőre. Így a második vektor legyen az r′′ irányú egységvektor, melyet főnormálisnak nevezünk és f (s) -sel jelölünk. A harmadik egységvektor legyen a mind a t(s) -re, mind az f (s) -re merőleges binormális vektor. A t(s) = r′ (s) f (s) =

r′′ (s) ||r′′ (s)||

b(s) = t(s) × f (s)

38

vektorok tehát minden pontban egy helyi koordinátarendszert alkotnak. A t(s) és f (s) által felfeszített sík a simulósík, az f (s) és b(s) síkja a normál sík, míg a t(s) és b(s) síkja a rektifikáló sík. Ha egyes pontokban, vagy egy intervallumban r′′ (s) = 0, akkor ott a kísérő háromél nem képezhető. Ilyen intervallum esetén a görbe egyenes.

5. Görbék görbülete és a torziója Ebben a fejezetben a paraméteres görbék két alapvető jellemzőjét definiáljuk és vizsgáljuk. A görbület a görbének az egyenestől való eltérését, a torzió pedig a görbe síktól való eltérését méri, azaz a kettő együtt a görbe térbeli futását jellemzi. E két függvény egyértelmű jellemzését adja a görbéknek.

5.1. A görbület A görbe jellemezhető aszerint, hogy mennyire görbül, azaz mennyire tér el az egyenestől. Az egyenes érintői párhuzamosak egymással, így az előbbi tulajdonságot az érintő irányváltozása, illetve az irányváltozás nagysága jól jellemzi. Legyen az r(s) ívhosszparaméterre vonatkoztatott, kétszeresen folytonosan differenciálható görbe. Legyen a P0 = r(s0 ) pontban az érintővektor t0 , a P = r(s) pontban pedig t. Bevezetjük a következő jelöléseket: ∆α = = ∠(t, t0 ) és ∆s = |s − s0 | (lásd 5.1. ábra).

5.1. ábra. A görbület értelmezése

39

5.1. Definíció. A κ(s0 ) = lim

s→s0

∆α ∆s

határértéket a görbe s0 -beli görbület ének nevezzük. 5.2. Tétel. A definícióban szereplő határérték létezik, értéke:

κ(s) = r′′ (s) , ha ívhosszparaméterrel dolgozunk és

.

..

r(t) × r(t)

κ(t) =

. 3 , ha tetszőleges paraméterezést választunk.

r(t)

Bizonyítás. Ismert, hogy a szögnek és szinuszának hányadosa a szöget csökkentve 1-hez tart, azaz lim∆α→0 resett határértékre

lims→s0 ∆α ∆s

sin ∆α ∆α

= 1, amiből következik, hogy a ke-

= lims→s0

sin ∆α ∆s .

De a szög szinuszát fel-

írhatjuk az érintő egységvektorok vektoriális szorzata segítségével, hiszen kr′ (s) × r′ (s + ∆s)k = sin ∆α. Így sin ∆α kr′ (s) × r′ (s + ∆s)k = lim = ∆α→0 ∆s ∆α→0 ∆s r′ (s + ∆s) − r′ (s) = lim kr′ (s) × k. ∆α→0 ∆s lim

Kihasználva, hogy a vektoriális szorzás tagonként elvégezhető, valamint bármely vektor önmagával vett vektoriális szorzata nullvektor, azt kapjuk, hogy

lim kr′ (s) ×

∆α→0

r′ (s + ∆s) − r′ (s) r′ (s) × r′ (s + ∆s) k = lim k k = kr′′ (s)k. ∆α→0 ∆s ∆s

Az általános paraméterezésű görbe görbület képletének bizonyításánál tegyük fel, hogy az r(t) görbét a t(s) paraméter-transzformációval tudjuk átvinni r(s) = r(t(s)) ívhossz szerinti paraméterezésbe. Ekkor a deriválás szabályai szerint .

r′ (s) = r(t(s))

40

dt , ds

másrészt ′′

..

r (s) = r(t(s))



dt ds

2

.

+ r(t(s))

d2 t . ds2

Felhasználva, hogy a r′ (s) és r′′ (s) vektorok merőlegesek, valamint kr′ (s)k = = 1,

kr′′ (s)k = kr′ (s) × r′′ (s)k írható. Másrészt a t(s) paraméter-transzformáció deriváltja dt 1 = . ds kr(t)k így végül ′′

′

′′

.

..

κ(t) = kr (s)k = kr (s) × r (s)k = kr(t) × r(t)k



dt ds

3

amiből helyettesítéssel megkapjuk a

képletet.

.

..

r(t) × r(t)

κ(t) =

. 3

r(t)

Rámutatunk egy fontos kapcsolatra az f , κ és r′′ között. Definíció szerint f =

r′′ ||r′′ ||

, így r′′ = κ · f vagy másként felírva t′ = κ · f . Ez utóbbi alak a

Frenet-képletek egyike, melyekről később lesz szó.

Látható, hogy bármely egyenes görbülete azonosan zérus, és fordítva: ha egy görbe görbülete azonosan eltűnik, akkor az csak egyenes lehet. Könnyen kiszámítható, hogy az R sugarú kör görbülete

1 R,

és igazolható, hogy min-

den el nem tűnő konstans görbületű síkgörbe kör. Ahogy azt el is várjuk a görbefogalomtól, egy kör annál jobban görbült, minél kisebb a sugara. Végül megjegyezzük, hogy a görbületnek előjelet is tulajdoníthatunk, ha a definícióban szereplő szöget előjelesen mérjük. Szokás a görbületet a teljes görbén is megmérni, azaz az r(s) görbéhez tartozó κ(s) görbületfüggvényt a görbe mentén kiintegrálni.

41

5.3. Definíció. Az r(s) görbe teljes görbületén az integrál értéket értjük.

R

r κ(s)ds

görbementi

A teljes görbületnek érdekes kapcsolata van a görbe topológiájával. Ehhez vizsgáljuk meg a síkgörbék Gauss-féle érintőleképezését. Az r(s) síkgörbe r′ (s) = t(s) érintővektorainak tekintsük az origóból kiinduló reprezentánsait. Ezek végpontjait rendeljük hozzá a görbe megfelelő pontjához. Mivel az ívhossz szerinti paraméterezés miatt az érintővektor egységnyi hosszú, az így kapott leképezés az egységnyi sugarú, origó középpontú körön rendel pontokat a görbéhez. A leképezés folytonos, az így kapott kép egyértelmű, azonban nem kölcsönösen egyértelmű, hiszen a görbe több pontjában is lehet azonos az érintővektor, amihez így a leképezés ugyanazt a pontot rendeli. Zárt síkgörbék esetén ez a Gauss-féle leképezés a kört végigjárja, esetleg többször is. Azt a számot, ahányszor a leképezés során az egységkört egy adott irányban körüljárjuk, a görbe körüljárási számának nevezzük. Jelöljük ezt nr -rel. Ekkor belátható a következő tétel. 5.4. Tétel. A zárt r(s)(x(s), y(s)) síkgörbe teljes görbülete egyenlő a 2π valamely konstansszorosával, ahol a konstans éppen a görbe körüljárási száma, azaz Z κ(s)ds = 2πnr . r

Bizonyítás. Értelmezzük a görbét a [0,a] intervallumon, ahol r(0) = r(a). Legyen továbbá θ(s) az érintőleképezésben az egységkör középponti szöge az x tengelytől mérve (azaz az érintővektor origóból induló reprezentánsának és az x tengelynek a szöge). Így x′ (s) = cos θ(s) y ′ (s) = sin θ(s), azaz t(s) koordinátafüggvényei: (cos θ(s), sin θ(s)). Az érintőt az összetett függvények szabálya szerint deriválva t′ (s)((− sin θ(s))θ ′ (s), (cos θ(s))θ ′ (s)), amiből t′ (s) = θ ′ (s)f (s) következik. Összevetve ezt a Frenet-képlettel, miszerint t′ = κ(s) · f , lát42

hatjuk, hogy θ ′ (s) éppen a görbületfüggvény, amiből integrálással kapjuk a következő (integrál, mint felső határ) függvényt θ(s) =

Z

s

κ(t)dt. 0

Mivel esetünkben a görbe zárt, azaz a paraméterezésben a kezdő- és végpontja egybeesik, a θ(s) függvény a végpontban a 2π szögnek egész számú többszörösét veszi föl. Ez a szám pedig nem lehet más, mint a körüljárási szám, azaz

Z

0

a

κ(s)ds = θ(a) − θ(0) = 2πnr

és éppen ezt akartuk bizonyítani. A Gauss-féle érintőleképezés arra is alkalmas, hogy a görbe pontjainak viselkedését tanulmányozzuk. Az algebrai görbék és felületek általában minden pontjukban egyformán viselkednek, néhány pontjukban azonban a környezetükhöz képest megváltozhat a viselkedésük. A ”közönséges” pontokat reguláris pontoknak, a ”különleges” pontokat szinguláris pontoknak nevezzük. Ilyen szinguláris pontok lehetnek a csúcspontok, izolált pontok, kettős és többszörös pontok. A szinguláris pontok megtalálása, illetve kezelése nem könnyű feladat, sokszor csak közelítő módszerekkel lehetséges. Síkgörbék esetén a Gauss-féle leképezés és az érintő görbementi viselkedése nyújthat segítséget, a következők szerint. Ha a görbe érintője és az ennek megfelelő Gauss-féle kép is egy irányban, folytonosan változik, akkor reguláris pontban vagyunk. Ha az érintőkép megfordul, akkor inflexiós pontba értünk. Ha az érintőnek magának az iránya fordul meg, akkor csúcsponthoz értünk, mégpedig a csúcs elsőfajú, ha a Gauss-féle leképezés iránya nem fordul meg a pontban, másodfajú csúcs pedig akkor, ha a Gauss-féle leképezés körüljárási iránya is megfordul. Ezekre láthatunk példákat a 5.2. ábrán. Hasonlóan az előbbi leképezéshez Gauss egy olyan leképezést is bevezetett, melyben a görbe pontjaihoz az egységkörnek azt a pontját rendelte, melyet a görbe adott pontbeli főnormálisának origóból induló reprezentánsa jelöl ki (itt tehát az érintő egységvektor helyett a görbére merőleges egy-

43

5.2. ábra. Különböző típusú görbepontok, balról jobbra: reguláris, inflexiós pont, elsőfajú csúcs, másodfajú csúcs

ségvektor viselkedését vizsgáljuk). Gyakorlatilag a két leképezés csupán egy origó körüli 90◦ -os forgatásban különbözik egymástól, ahogyan az érintő egységvektor és a főnormális kapcsolata is ugyanez. Hogy mégis bevezetjük ezt a leképezést, annak az az oka, hogy felületek esetére ez a leképezés általánosítható, hiszen a felületek pontjában már nincs egyértelmű érintővektor, viszont a normális továbbra is egyértelmű lesz. Ezzel a leképezéssel a görbe görbületét is vizsgálhatjuk, mégpedig a következő módon. Mivel a görbület az érintő egységvektor szögelfordulását méri egységnyi úton, ugyanezt a főnormális szögelfordulásával is mérhetjük. Belátható, hogy adott pont körüli kis íven vizsgálva a görbét, a görbeívnek és a Gauss-féle leképezésben a neki megfelelő körívnek a hányadosával (illetve ennek határértékével) szintén mérhető a görbület. 5.5. Tétel. Legyen az r(s) görbe r(s0 ) pontja és a r(s0 + △s) pontja közötti

ív olyan, hogy Gauss-féle leképezés a körön ehhez egy egyszerű ívet határoz meg. Az két pont közötti görbeív ívhossza tehát △s, míg a hozzá rendelt körív hossza legyen △k. Ekkor

lim

△s→0

△k = |κ(s0 )|. △s

Bizonyítás. Az egységkörön keletkezett ív hosszát, mint bármely görbe ívhosszát kiszámolhatjuk úgy, hogy az őt létrehozó f (s) vektor deriváltjának hosszát integráljuk a két paraméterérték között, azaz △k =

Z

s0 +△s s0

kf ′ (s)kds.

Így a kérdéses határértékre a Frenet-képlet felhasználásával azt kapjuk, 44

hogy △k 1 = lim △s→0 △s △s→0 △s lim

′

Z

s0 +△s

s0

kf ′ (s)kds =

=kf (s0 )k = k − κ(s0 )t(s0 )k = |κ(s0 )|.

5.2. A simulókör Tekintsünk a görbén három nem kollineáris P1 , P2 , P3 (s1 < s2 < s3 ) pontot, melyek mindegyike a P0 -hoz tart. A három pont minden helyzetben egy kört határoz meg (kivéve, ha esetleg kollineárisak, de ez általános esetben csak elszigetelve fordulhat elő). 5.6. Tétel. A P1 , P2 , P3 -on átmenő körök sorozata egy, a sorozattól független, csak a görbétől és a P0 -tól függő határkörhöz tart, amely a P0 -beli simulósíkban fekszik, P0 -ban érinti a görbét és sugara

1 κ0 .

A tételben szereplő kört simulókör nek, középpontját görbületi középpontnak és ρ0 =

1 κ0

sugarát görbületi sugár nak nevezzük (??).

A simulókörhöz másképp is eljuthatunk: húzzuk meg a görbe P0 -beli normálisát, azaz az érintőre merőleges egyenest. Tegyük meg ugyanezt a görbe egy másik, P1 pontjában. A két normális metszéspontja legyen M . Tekintsük az M középponttú, P0 -n és P1 -n átmenő kört. Ha P1 tart P0 -hoz, akkor az M pont határhelyzete éppen a görbületi középpont lesz és így a körök sorozata a simulókörhöz tart. Mindkét származtatásból nyilvánvaló, hogy a simulókörnek és a görbének a P0 -beli érintője megegyezik. Tekintsük a P0 ponton átmenő és ott a görbe érintőegyenesével megegyező érintőegyenesű köröket. Ezen körök között a simulókör különleges helyzetű: általában átmetszi a görbét P0 -ban, míg a többi kör a P0 pont környezetében egészen a görbe egyik vagy másik oldalán halad. A simulókör tehát éppen elválasztja a fenti körök két csoportját aszerint, hogy sugaruk kisebb vagy nagyobb, mint ρ0 . Olyan görbepont, ahol a simulókör nem metszi át a görbét, csak elszigetelve fordulhat elő: ilyenek 45

például az ellipszis tengelyeinek végpontjai. Ez alól csak a konstans görbületű görbék kivételek, melyeknek minden pontjuk ilyen. Említésre méltó, hogy egy kör simulóköre mindig maga a kör, amely azt jelenti, hogy a görbületi sugár minden pontban a kör R sugara.

5.3. ábra. A simulókör általában átmetszi a görbét Az r(s) görbe P0 = r(s0 )-beli (azaz a c0 = r0 + ρ0 f0 görbületi középpont körül ρ0 sugárral írt) simulókörének egyenlete: x(s) = c0 + ρ0 (−f0 cos

s − s0 s − s0 + t0 sin ) ρ0 ρ0

A simulókör ilyen előállításában s a simulókörnek is ívhossza. Két algebrai görbe közös pontjainak a meghatározása a két leíró egyenlet közös gyökeinek a keresését jelenti. Kúpszeletek esetén ez két másodfokú egyenlet közös gyökeinek a meghatározását jelenti, ez negyedfokú egyenletre vezet. A negyedfokú egyenletnek pontosan 4 gyöke van, megengedjük képzetes metszéspontok létezését is. 4 különböző gyök 4 különböző metszéspontot jelent. Ha valamely gyök multiplicitása 1-nél nagyobb, azaz a gyökök közül legalább 2 egyenlő, az illető gyökhöz tartozó metszéspontban a két görbe érintője közös. Általában: az n-szeres multiplicitású gyökhelyre azt mondjuk, hogy ott a két kúpszelet n − 1-ed rendben érintkezik. Kúpszeletek esetében 46

egy közös pont, mint gyök, legfeljebb négyszeres multiplicitással rendelkezik, ezért két kúpszelet érintkezése legfeljebb harmadrendű lehet. A fenti konstrukcióból nyilvánvaló, hogy a simulókörnek és az eredeti görbének a P0 pontban algebrailag háromszoros multiplicitású közös gyöke van, azaz ebben a pontban a simulókör másodrendben érinti a görbét, ezen kívül pedig van még egy, általában ettől különböző metszéspontjuk is. Speciális esetekben, melyek kúpszelet esetén éppen a tengelyek végpontjai, ez a negyedik gyök is megegyezik az előbbi hárommal, azaz ott a simulókör harmadrendben érinti a görbét. Ilyen értelemben is mondhatjuk, hogy a simulókör az adott pontban a görbét legjobban helyettesítő kör. A simulókörök segítségével a kúpszelet egy ívdarabját jó közelítéssel körzővel is megszerkeszthetjük, ezt a műszaki életben gyakran alkalmazzák. Ezért érdekes, hogy hogyan szerkesztjük meg a kúpszelet simulóköreit. Ellipszis esetében a csúcspontok simulóköreinek szerkesztése klasszikus eljárás, melyet a 5.4. ábrán láthatunk. Az ellipszis két szomszédos csúcspontját, az A, B pontokat összekötő szakaszra az A és B-beli érintők D metszéspontjából merőlegest állítunk. Ahol ez a merőleges a két tengely egyenesét metszi, ott lesz a csúcsponti simulókörök KA és KB középpontja. Könnyen kiszá-

5.4. ábra. A simulókör szerkesztése az ellipszis csúcspontjaiban

47

molható ugyanis, hogy pl. az x2 y 2 + 2 =1 a2 b egyenletű ellipszisnek, melynek paraméteres alakja x(t) = a cos(t),

y(t) = b sin(t),

a görbülete a csúcspontokban κ(A) =

a , b2

κ(B) =

b , a2

ahol a = AD és b = DB az ellipszis két féltengelyének hossza. De az DAKA △ és a BDA△ hasonlósága miatt b2 AKA AD 1 = ⇒ AKA = = . AD DB a κ(A) A B pontban az igazolás hasonlóan történhet. Hipebola csúcspontjában a simulókör szerkesztését a 5.5. ábrán láthatjuk. Parabola esetén, mely a 5.6. ábrán látható, azt is megfigyelhetjük, hogy a görbületi sugár a csúcspont és a fókusz távolságának kétszerese: AKA = = 2AF . A csúcsponti simulókörök szerkesztése természetesen nagyon speciális, mégis ezek a szerkesztések vezetnek el a kúpszeletek általános pontjában való simulókör szerkesztéshez. Ehhez az alábbi tétel nyújt segítséget. 5.7. Tétel. Ha adott egy kúpszelet P pontja és ebben a t érintőegyenese, akkor az olyan affin transzformációk, melyeknek tengelye t, iránya pedig párhuzamos t-vel, a P-beli simulókört invariánsan hagyják, azaz a kúpszelet affin képének simulóköre megegyezik az eredeti simulókörrel. Ennek segítségével a kúpszelet általános P pontjában a szerkesztés a következő. Szerkesszük meg a P -beli t érintőegyenest. Ilyen tengelyű és ilyen irányú affinitással vigyük át a kúpszeletet olyan kúpszeletbe, melynek P éppen csúcspontja. Így a fent bemutatott eljárások egyikével megszerkeszt48

5.5. ábra. A simulókör szerkesztése a hiperbola csúcspontjában

hetjük a kúpszelet csúcsponti simulókörét, ami egybeesik az eredeti kúpszelet P -beli simulókörével.

5.3. A torzió Egy síkgörbe binormálisai egymással párhuzamos vektorok, azaz irányuk változatlan. A binormálisok irányváltozása, illetve ezen irányváltozás mértéke így a síkgörbétől való eltérést jellemzi. Legyen az r(s) ívhosszparaméterre vonatkoztatott, háromszor folytonosan differenciálható görbe. Legyen a P0 = r(s0 ) pontban a binormális b0 , a P = r(s) pontban pedig b. Bevezetjük a következő jelöléseket: ∆β = = ∠(b, b0 ) és ∆s = |s − s0 | (lásd 5.7. ábra). 5.8. Definíció. A τ (s0 ) = lim

s→s0

∆β ∆s

határértéket a görbe s0 -beli torziójának nevezzük. A torzió kiszámítása a definíció alapján nehézségekbe ütközhet. A számolást ezért két klasszikus képlet alapján végezzük, melyeknek bizonyításától 49

5.6. ábra. A simulókör szerkesztése a parabola csúcspontjában

itt eltekintünk. 5.9. Tétel. A definícióban szereplő határérték létezik, értéke: (r′ , r′′ , r′′′ ) , ha ívhosszparaméterrel dolgozunk és r′′2 . .. ... (r, r, r) τ (t) = . .. 2 , ha tetszőleges paraméterezést választunk. (r × r)

τ (s) =

5.10. Tétel. b(s) = −τ (s) · f (s). Bizonyítás. Először megmutatjuk, hogy b′ k f . Ehhez elegendő belátnunk,

hogy b′ ⊥t és b′ ⊥b . A bt = 0 differenciálásából

b′ t = −bt′ = −b(κf ) = −κbf = 0, azaz b′ ⊥t .

A b2 = 1 differenciálásából 2bb′ = 0 , azaz b′ ⊥b . A b′ és f vektorok közötti

50

5.7. ábra. A torzió értelmezése konstans szorzót az alapján találhatjuk meg, hogy a ∆β sin ∆β sin ∆β = : ∆s ∆s ∆β határértékét vizsgáljuk. A

sin ∆β ∆β

egyezik, így az állítás igaz.

→ 1 miatt a

∆β ∆s

és

sin ∆β ∆s

határértéke meg-

A torzió eltűnése a síkgörbéket jellemzi. Állandó, nem nulla torziójú térgörbe a hengeres csavarvonal. 5.11. Példa. Adjuk meg az r(t) = r0 + t · v egyenes görbületét és torzióját!

A deriválásokat elvégezve:

.

r(t) = v ..

r(t) = 0 ...

r(t) = 0.

.

..

A görbület meghatározásakor r × r = v × 0 = 0 miatt .

κ(t) =

..

||r × r|| = 0. . ||r||3

51

. .. ...

A torzió esetén (r, r, r) = (v, 0, 0) = 0 miatt . .. ...

τ (t) =

(r, r, r) = 0. . .. (r × r)2

5.12. Példa. Adjuk meg az r(t) = r0 +R cos t·e1 +R sin t·e2 kör görbületét és torzióját! A deriválásokat elvégezve: .

r(t) = −R sin t e1 + R cos t e2 ..

r(t) = −R cos t e1 − R sin t e2

...

r(t) = R sin t e1 − R cos t e2 (+0 e3 ). .

A görbület meghatározásához ||r|| =

p

R2 sin2 t + R2 cos2 t = R és

e e e 1 2 3 . .. r × r = −R sin t R cos t 0 = (R2 sin2 t − R2 cos2 t)e3 = R2 e3 −R cos t −R sin t 0 .

..

miatt ||r × r|| = R2 . A kapott eredményeket felhasználva κ(t) =

esetén

1 R.

A torzió

−R sin t R cos t 0 . .. ... (r, r, r) = −R cos t −R sin t 0 = 0, R sin t −R cos t 0

ugyanis a mátrix első és utolsó sora lineárisan függő, így emiatt τ (t) = 0 . 5.13. Példa. Adjuk meg az r(t) = R cos t e1 + R sin t e2 + ct e3 hengeres csavarvonal görbületét és torzióját! A deriválásokat elvégezve: .

r(t) = −R sin t e1 + R cos t e2 + c e3 ..

r(t) = −R cos t e1 − R sin t e2 (+0 e3 )

...

r(t) = R sin t e1 − R cos t e2 (+0 e3 ).

52

.

Ezek felhasználásával ||r|| =

p

R2 sin2 t + R2 cos2 t + c2 =

√

R2 + c2 ,

e1 e2 e3 . .. r × r = −R sin t R cos t c = Rc sin t e1 − Rc cos t e2 + R2 e3 , −R cos t −R sin t 0

amely hossza .

..

||r × r|| =

q

R2 c2 (cos2 t + sin2 t) + R4 = R

A görbület ezek alapján

p c2 + R2 .

√ . .. ||r × r|| R R2 + c2 R κ(t) = = 2 , . 3 = √ 2 2 3 R + c2 ||r|| ( R +c ) amely konstans. A torzió esetén −R sin t R cos t c . .. ... (r, r, r) = −R cos t −R sin t 0 = cR2 (cos2 t + sin2 t) = cR2 , R sin t −R cos t 0

ezt felhasználva

. .. ...

(r, r, r) R2 c c τ (t) = . .. 2 = 2 2 = 2 , 2 R (R + c ) R + c2 (r × r) amely szintén konstans. A hengeres csavarvonal az egyetlen olyan térgörbe, amelynek görbülete és torziója konstans.

5.4. Frenet-képletek Korábban már említettük a Frenet-képleteket, amelyek a kísérő háromél vektorainak ívhossz szerinti deriváltjait fejezik ki a kísérő háromél vektorainak segítségével. t′ = f′

=

b′

=

κf −κt

+τ b −τ f . 53

Látható, hogy a deriváltak koefficiensei a kísérő háromél bázisában egy ferdén szimmetrikus négyzetes mátrixot alkotnak, amelynek a mellékátlója is eltűnik. Az el nem tűnő koefficiensek között csak a görbület és torzió szerepel. Az első és utolsó egyenletet már korábban beláttuk, a középső egyenlet szorul még igazolásra: f ′ = (b × t)′ = (b′ × t) + (b × t′ ) = (−τ f ) × t + b × (κf ) = = −κ(f × b) − τ (t × f ) = −κt + τ b. Végül néhány tételt említünk, melyek azt mutatják, hogy a görbület és a torzió nagyon erősen meghatározzák a görbét, illetve annak viselkedését. 5.14. Tétel. Ha két görbének a görbülete és a torziója pontonként megegyezik és a görbületük sehol sem tűnik el, akkor a két görbe csak mozgásban tér el egymástól. Bizonyítás. Arra az esetre bizonyítjuk az állítást, ha mindkét görbe ívhossz szerinti paraméterezésű. Legyen a közös görbületfüggvény κ(s), a torziófüggvény pedig τ (s). Mozgassuk el a r1 (s) görbe kezdőpontját az r2 (s) kezdőpontjába úgy, hogy az ottani kísérő háromél vektorai is egybeessenek, azaz r1 (0) = r2 (0),

t1 (0) = t2 (0),

f1 (0) = f2 (0),

b1 (0) = b2 (0).

Konstruáljuk meg a bizonyítás szemponjátból hasznos f (s) = t1 (s)t2 (s) + + f1 (s)f2 (s) + b1 (s) = b2 (s) függvényt. Ennek deriváltja a Frenet-képletek miatt f ′ (s) = κ(f1 t2 +f2 t1 )+(−κt1 +τ b1 )f2 +(−κt2 +τ b2 )f1 +−τ (f1 b2 +f2 b1 ) = 0, azaz az f (s) függvény konstans. Az r1 (0) = r2 (0) pontban f (0) = 3, mert a két háromél egybeesik, így f (s) = 3 minden s-re. A Frenet háromél vektorai egységvektorok, tehát ezek skaláris szorzatainak összege csak úgy lehet egyenlő 3-mal, ha a megfelelő egységvektorok minden pontban egybeesnek. De t1 (s) = t2 (s)-ből t1 (s) − t2 (s) = 0 következik, ebből pedig az, hogy

az r1 (s) − r2 (s) szintén állandó vektor minden s-re. Tudjuk azonban, hogy 54

r1 (0) = r2 (0), amiből így minden s-re r1 (s) = r2 (s) következik. Egy görbe görbülete és torziója a görbének két invariánsa, azaz mozgástól eltekintve nemcsak a görbét, hanem annak minden további invariánsát is meghatározzák. A görbület és a torzió a görbe invariáns bázisát alkotja. 5.15. Tétel. Ha κ(s) folytonos, pozitív, a τ (s) pedig folytonos függvény egy I nyílt intervallumon, akkor egyértelműen létezik az I-n értelmezett olyan r(s) görbe, hogy r(0) egy előre adott x0 -lal, az ottani kísérő hároméle egy előre adott w1 , w2 , w3 ortonormált hároméllel egyenlő és amely r(s) görbének a görbülete és torziója az adott κ(s) és τ (s). A κ = κ(s), τ = τ (s) egyenleteket a görbe természetes egyenlet einek nevezzük.

6. Globális tulajdonságok Az eddigi differenciálgeometriai fejezetekben a görbéknek szinte kizárólag azon tulajdonságait vizsgáltuk, melyek egy pontban, vagy annak elegendően kis környezetében érvényesek. Köszönhető ez főképp a vizsgálat módszerének, a differenciálszámításnak, ami pontbeli eljárás. Ebben a fejezetben néhány olyan tulajdnoságot, eredményt ismertetünk, melyek a görbe egészére vonatkoznak, azaz globális eredmények.

6.1. Azonos kerületű görbék Az egyik legrégibb globális eredmény a síkgörbékkel kapcsolatban annak megválaszolása, hogy azonos kerületű egyszerű (azaz önátmetszés nélküli) zárt görbék közül melyik határolja a legnagyobb területet. Már a görögök is vizsgálták a problémát, sőt az eredményt is ismerték, nevezetesen azt, hogy a kör a keresett görbe. A tétel egzakt bizonyítása azonban sokkal később született és Weierstrass nevéhez fűződik.

55

6.1. Tétel. Legyen adott egy egyszerű, zárt görbe, melynek kerülete (ívhossza) h, az átala határolt terület pedig A. Ekkor h2 − 4πA > 0 és az egyenlőség akkor és csakis akkor teljesül, ha a görbe kör. Bizonyítás. Legyen r(s)(x(s), y(s)) az egyszerű, zárt görbe ívhossz paraméter szerinti felírása. Tekintsünk egy tetszőleges irányt és vegyük a görbe ilyen irányú két érintőjét, melyek egymástól a lehető legtávolabb vannak, legyenek ezek az egyenesek l1 és l2 . Nem megy az általánosáság rovására (paramétertranszformációval elérhető), ha feltesszük, hogy az l1 egyenes a görbét az r(0) pontban érinti. A görbe tehát a két egyenes közötti sávban van, melybe berajzolunk egy c(s) kört is úgy, hogy l1 és l2 érintse. A kör sugara legyen r, tehát a két egyenes távolsága 2r. Parametrizáljuk úgy a kört, hogy az x koordinátafüggvénye megegyezzen a görbe x(s) koordinátafüggvényével: c(s)(x(s), y¯(s)).

6.1. ábra. A 6.1 tétel bizonyítása Felhasználjuk azt, hogy az egyszerű, zárt síkgörbék által határolt A területet felírhatjuk a koordinátafüggvények segítségével: A=

Z

h

x(s)y ′ (s)ds.

0

56

Ugyanez a körre nézve A¯ = −

Z

h

x′ (s)¯ y (s)ds = r 2 π.

0

Ebből Z h A + r 2 π = A + A¯ = (x(s)y ′ (s) − x′ (s)¯ y (s))ds 6 0 Z hp 6 (x(s)y ′ (s) − x′ (s)¯ y (s))2 ds 6 0 Z hp 6 (x2 (s) + y¯2 (s))((x′ (s))2 + (y ′ (s))2 )ds = 0 Z hp = (x2 (s) + y¯2 (s))ds = hr 0

mivel a körben a sugár éppen az x és y koordinátafüggvények négyzetösszegének négyzetgyöke, azaz az utolsó integrandus éppen a konstans r. Tudjuk, hogy két pozitív szám mértani közepe kisebb vagy egyenlő a számtani közepüknél, így √ 1 1 Ar 2 π 6 (A + r 2 π) 6 hr. 2 2 Így négyzetre emelés után 4πAr 2 6 h2 r 2 és ezt akartuk bizonyítani. Ha feltesszük, hogy az egyenlőtlenségben az egyenlőség érvényes, akkor A = r 2 π teljesül. Így h = 2rπ és r nem függ az egyenes irányának megválasztásától. Ez pedig azt jelenti, hogy a görbe kör. Megjegyezzük, hogy a fenti tétel érvényes akkor is, ha görbeként megengedünk zárt, egyszerű, folytonos ívekből összefűzött alakzatot is.

57

6.2. Optimalizált görbék Ahogy az előbbi alfejezetben is bizonyos értelemben optimális görbét kerestünk, amikor adott kerülethez kerestük a legnagyobb elérhető területet, hasonló jellegű görbeoptimalizálási feladatok rendszeresen megjelennek az életben. Ezekben az a közös, hogy vannak bizonyos kényszerítő adatok, melyeknek a görbének meg kell felelnie, például adott pontokon át kell mennie, miközben valamilyen mérték szerint optimális megoldást keresünk. Mivel az optimalizálás általában nehéz, nemlineáris számítási módszereket igényel, gondosan kell megválasztanunk, hogy milyen módon mérjük a görbe "jóságát". Ezeknek a módszereknek egy része a műszaki életből ered, ezért sokszor energiafüggvényeknek hívjuk őket (természetesen az optimalizálás során ezen függvényekből funkcionálok lesznek). Legyen adott az r(s)(x(s), y(s), z(s)) : [a, b] → R3 görbe ívhossz szerin-

ti paraméterezésben, melynek görbületfüggvénye és torziófüggvénye legyen

rendre κ(s), τ (s). A legelterjedtebb energiafüggvény a hajlítási energia, melyet a

Z

Eh = függvénnyel mérünk.

b

κ2 (s)ds

a

Rugalmassági energia néven ismert a következő függvény: Er =

Z

b a

kr′′′ (s)kds.

Természetesen vizsgálhatunk ennél egyszerűbb, illetve összetettebb függvényeket is. Páldául minimalizáhatjuk egyszerűen az ívhosszt S=

Z

b a

kr′ (s)kds,

de vizsgálhatunk bonyolult kifejezéseket, mint például E=

Z b a

τ 2 (s) κ′2 (s) + 4 κ2 (s) κ (s)



ds.

Azt, hogy melyik energiafüggvényt választjuk, a konkrét feladat jellege 58

dönti el. Sokszor szokták két energia affin kombinációját is vizsgálni, pl. λEh + (1 − λ)Er .

6.3. Négy csúcspont tétele Szintén klasszikus globális eredmény a következő tétel, mely az ellipszis csúcspontjaihoz (tengelyvégpontjaihoz) hasonló pontok számát adja meg. 6.2. Definíció. Csúcspontnak nevezzük a síkgörbe azon pontját, ahol a görbületnek lokális szélsőrétéke van. Korábbi számításaink alapján tudjuk, hogy az ellipszis nagytengelyének végpontjaiban a görbületnek lokális maximuma, a kistengelyének végpontjaiban pedig lokális minimuma van (a simulókörök sugara ezekben a pontokban a legkisebb illetve legnagyobb). Az alábbi eredmény szerint ennél kevesebb csúcspontja nem is lehet az ilyen görbéknek. 6.3. Tétel. Egyszerű, zárt, konvex görbére, melynek görbületfüggvénye folytonosan differenciálható, igaz, hogy a csúcspontjainak száma legalább négy.

6.2. ábra. Minden egyszerű, zárt, konvex görbének legalább négy csúcspontja van, ahol a görbület szélsőértéket vesz föl Bizonyítás. A bizonyításhoz felhasználunk egy eredményt, mely szerint ha az r(s)(x(s), y(s)) görbe a [0,a] intervallumon értelmezett, ívhossz szerint paraméterezett, egyszerű, zárt, konvex görbe, melynek görbületfüggvénye κ(s), akkor bármilyen A, B, C ∈ R számokra igaz, hogy Z

a

((Ax + By + C)κ′ (s))ds = 0.

0

59

Mivel a görbületfüggvény folytonos, ezért a [0,a] zárt értelmezési tartományon, mint minden folytonos függvény, felveszi szélsőértékeit. Ez azt jelenti, hogy két csúcspontja biztosan van a görbének. Tegyük föl indirekte, hogy nincs több csúcspont. Vizsgáljuk meg az e két ponton átmenő egyenest, legyen ez Ax + By + + C = 0 egyenletű. Az Ax(s) + By(s) + C függvény csak e két pontban vált előjelet, mert az egyenesbe helyettesítve a görbe pontjait végig megegyező előjelet kapunk, amíg az egyenes egyik oldalán tartózkodunk. A κ′ (s) függvény szintén csak e két pontban vált előjelet, mert a két csúcspont miatt kétszer lesz κ′ (s) = 0. Ebből viszont az következik, hogy a két függvény szorzata a csúcspontokban nem vált előjelet. Ha tehát csak két csúcspont létezne, akkor a fenti integrálban az integrandus (a két függvény szorzata) előjele mindehol ugyanaz volna, ezért az integrál nem tűnhet el. Ez ellentmondás azzal, hogy az integrál egyenlő nullával. Mindebből az is következik, hogy a κ′ (s) függvény legalább négyszer vált előjelet (ha háromszor váltana, akkor körbeérve a görbén ellentétes előjellel érkeznénk a kiinduló ponthoz) ami éppen a kérdéses állítással ekvivalens. Érdekességként említjük meg, hogy a fenti tétel érvényes marad egyszerű, zárt, de nem feltétlenül konvex görbékre is, azonban a bizonyítás sokkal nehezebb (holott szemléletesen még természetesebb az állítás). Az eredeti állításnak bizonyos értelemben a megfordítása is igaz, Belátható, hogy ha adott egy κ(s) : [0, a] → R nemnegatív, folytonosan dif-

ferenciálható függvény úgy, hogy 0-nál és a-nál a függvény és vele együtt a deriváltjai is megegyeznek, valamint a κ(s) függvénynek az értelmezési tartományon legalább két helyen maximuma és két helyen minimuma van, akkor létezik olyan egyszerű, zárt görbe, melynek az adott függvény éppen a görbületfüggvénye.

7. Speciális görbék I. Ebben a két fejezetben olyan görbéket vizsgálunk, melyek valamilyen - többnyire gyakorlati szempontból fontos - speciális tulajdonsággal rendelkeznek. 60

Amint a 5.4. fejezet végén láttuk, a görbület és a torzió függvénye nagyon erősen meghatározza a görbét. Így ezen függvényekre adott megszorításokkal különleges görbeosztályokat definiálhatunk.

7.1. Görbesereg burkolója Ha az r(t) görbét egy, a görbe paraméterétől független p paramétertől is függővé teszünk, akkor ezzel egyparaméteres görbesereget adtunk meg, melyet r(t, p) formával jelölünk, ahol a t neve futó paraméter, míg a p-t seregparaméternek nevezzük. Ilyen görbesereg keletkezik például akkor, ha egy görbét egy rögzített pontjánál fogva egy másik görbe mentén mozgatunk, vagy ha a görbe valamely definiáló adatát, pl. a kör sugarát változtatjuk. 7.1. Példa. Legyen adott egy origó középpontú, R sugarú kör: r(t)(Rcos(t), Rsin(t)). Egyparaméteres görbesereget kapunk, ha ezen kör középpontját az x tengely mentén mozgatjuk egyenletesen. Ezen görbesereg egyenlete: r1 (t, p)(Rcos(t) + p, Rsin(t)). Akkor is egyparaméteres körsereget kapunk, ha a kiindulási kör sugarát változtatjuk, például egy paraméter négyzetes függvényeként: r2 (t, p)((R + p2 )cos(t), (R + p2 )sin(t)). A két változást összeköthetjük, a középpont az x tengely mentén egyenletesen mozog, miközben ennek négyzetes függvényeként változik a sugár: r2 (t, p)((R + p2 )cos(t) + p, (R + p2 )sin(t)). Ennek a körseregnek néhány elemét láthatjuk a 7.1. ábrán. Egyparaméteres görbeseregekhez kereshetünk olyan görbéket, melyek a sereg minden tagját érintik egy-egy pontban. Ezeket a görbéket a sereg bur61

7.1. ábra. Egyparaméteres körsereg kolójának nevezzük. Könnyebb a burkolót kiszámítani, ha az eredeti görbe implicit módon, F (x, y) = 0 alakban adott. Ekkor a görbesereg egyenlete F (x, y, p) = 0 lesz, ahol p a seregparaméter. A burkoló értelmezéséből nyilvánvaló, hogy ha a burkolót r(p)(x(p), y(p)) alakban keressük, akkor teljesülnie kell az F (x(p), y(p), p) ≡ 0,

∂F (x(p), y(p), p) ≡0 ∂p

azonosságoknak. Azokat a görbéket, melyek a fenti két feltételt teljesítik, a görbesereg diszkrimináns görbéjének nevezzük. A diszkrimináns görbe még nem feltétlenül burkoló, ahhoz az is kell, hogy a diszkrimináns görbe deriváltvektora sehol se tűnjön el. Összefoglalva tehát kimondhatjuk a következő tételt. 7.2. Tétel. Ha adott az F (x, y, p) = 0 görbesereg, akkor az r(p)(x(p), y(p)) görbe ennek burkolója, ha F (x(p), y(p), p) ≡ 0,

x˙ 2 (p)

+

y˙ 2 (p)

> 0.

62

∂F (x(p),y(p),p) ∂p

≡ 0, valamint

7.2. Evolvens, evoluta A görbékkel kapcsolatban most egy fontos, a görbéhez rendelt görbeseregről, valamint egy fontos burkolóról lesz szó. 7.3. Definíció. Az olyan görbét, mely egy adott síkgörbe valamennyi érintőegyenesét merőlegesen metszi, a síkgörbe evolvensének nevezzük. A görbének végtelen sok evolvense van, melyek egyparaméteres görbesereget alkotnak, ahol a seregparaméter azt jelzi, hogy az eredeti görbe mely pontjából indítottuk az evolvenst. Az olyan görbéket, melyek egy görbesereg minden elemét merőlegesen metszik, ortogonális trajektóriának nevezzük. Így a görbe bármely evolvense az adott görbe érintőegyeneseinek (mint görbeseregnek) ortogonális trajektóriája. Az evolvenst lefejtési görbének is nevezik, előállítható ugyanis úgy is, hogy a görbére madzagot fektetünk, majd azt végig feszesen tartva "lefejtjük" a görbéről. Ezt fejezi ki az evolvens következő egyenlete is. 7.4. Tétel. Ha adott az r(s) ívhossz szerint parametrizált görbe, akkor r(s0 ) pontból induló evlovensének egyenlete re (s) = r(s) − (s − s0 )r′ (s). Bizonyítás. Azt kell belátnunk, hogy az re (s) görbe érintője minden paraméterértéknél merőleges az r(s) görbe megfelelő érintőjére.
′ r˙e (s) = r′ (s) − (s − s0 )r′ (s) = r′ (s) − r′ (s) − (s − s0 )r′′ (s).

De ívhossz szerinti paraméterezésnél r′′ (s)kn(s), amiből következik, hogy re (s)kn(s), azaz re (s)⊥r(s). Ha egy görbének minden pontban megkeressük a görbületi középpontját, akkor ezek a pontok szintén egy görbét alkotnak. 7.5. Definíció. Ha adott az r(s) görbe és annak κ(s) görbületi függvénye, akkor az ru (s) = r(s) + 63

1 f (s) κ(s)

7.2. ábra. Az evoluta a normálissereg burkolójaként jelenik meg.

görbét az eredeti görbe evolutájának nevezünk (7.3 és ??). 7.6. Tétel. Ha az eredeti r(s) görbének sem a görbülete, sem annak deriváltja nem tűnik el, akkor az ru (s) evoluta a görbe normálisaiból (az f (s) vektorokkal párhuzamos egyenesekből) álló egyenessereg burkolója. Bizonyítás. Mivel a görbület középpontok a görbe adott pontbeli normálisain vannak, nyilvánvaló, hogy az egyenessereg minden egyes tagjának és az evolutának létezik közös pontja. A burkolási tulajdonsághoz azt kell belátnunk, hogy ebben a pontban az érintőirány is közös. Az egyenesek érintőiránya az aktuális f (s) vektor. Az evolutáé: r′u (s)

′ 1 1 ′ =r (s) + f (s) + f (s) = κ(s) κ(s)  ′  ′ 1 1 1 t(s) + f (s) + (−κ(s)t(s)) = f (s), κ(s) κ(s) κ(s) ′



ami igazolja az állítást. Igaz továbbá, hogy az r(s) görbe re (s) evolvensének evolutája éppen az eredeti r(s) görbe. 64

7.3. ábra. Az ellipszis evolutája. A csúcspontokat a simulóköröknél ismertetett eljárással szerkesztjük meg.

7.3. Adott ponthoz és görbéhez rendelt görbék Az evolvenshez és az evolutához hasonlóan más görbéket is definiálhatunk úgy, hogy egy adott görbéből indulunk ki, ahhoz kapcsoljuk az új görbét. Ebben az alfejezetben olyan göbréket fogunk vizsgálni, melyek meghatározásához az adott görbe mellett még egy adott pont is szükségeltetik. Ezek a görbék számos alkalmazást nyernek a műszaki életben. 7.7. Definíció. Legyen adott az r(s) görbe és egy p pont. Bocsássunk fénysugarakat a pontból a görbére, ahonnan azok a fizikai törvénynek megfelelően visszaverődnek. Az így keletkezett egyparaméteres egyenessereg burkolóját 65

(ha van) kausztikus görbének nevezzük. A definícióban említett egyenesseregnek nem feltétlenül létezik burkolója, például abban a klasszikus esetben sem, ha az adott görbe parabola, az adott pont pedig a fókusza, ekkor ugyanis a visszaverődő fénysugarak közismerten párhuzamosak lesznek. Más esetekben azonban létezik a burkoló. Például a kör esetében a kausztikus görbe lehet kardiois, amennyiben az adott pont illeszkedik a körre. A kardiois egyenlete

x(t) =a cos(t)(1 − cos(t)) y(t) =a sin(t)(1 − cos(t)). A kör kausztikus görbéje lehet nefroid (vagy vesegörbe), amennyiben a pontot végtelen távolinak képzeljük el (ekkor a fénysugarak párhuzamosak). A nefroid egyenlete x(t) =a(3 cos(t) − cos(3t)) y(t) =a(3 sin(t) − sin(3t)).

7.4. ábra. A kör két kausztikus görbéje, a kardiois (balra) és a nefroid.

E két kausztikus görbét és annak keletkezését látjuk a 7.4., ?? és ?? ábrákon, illetve a valóságban az 7.5. ábrán. Ezek a görbék úgy is előállnak, 66

7.5. ábra. A kör kausztikus görbéje a valóságban. hogy egy körön egy másik kört gördítünk végig csúszás nélkül, és a gördülő kör egy pontjának pályáját vizsgáljuk. Ha a gördülő kör sugara megegyezik a fix kör sugarával, akkor kardioist kapunk, ha pedig fele a fix körének, akkor nefroidot. Érdekességként említjük meg, hogy ha a gördülő kör és a fix kör sugara megegyezik, de nem a kör egy pontját követjük, hanem a körhöz rögzített (azzal együtt forgó) külső vagy belső pontot, akkor az így kapott görbe család neve Pascal féle limaçon. A kardiois tehát egy speciális limaçon. Egy másik, műszaki szempontból fontos görbe a görbe pedálgörbéje. 7.8. Definíció. Ha adott az r(s) görbe és egy p pont, akkor állítsunk a pontból merőlegest a görbe minden érintőegyenesére. A merőlegesek és az érintők metszéspontjai alkotják az r(s) görbe p pontra vonatkoztatott pedálgörbéjét. Ha a görbe paraméteres egyenlete r(s)(x(s), y(s)), valamint p(a, b), akkor a pedálgörbe egyenlete

67

x′ (s)2 a + y ′ (s)2 x(s) + x′ (s)y ′ (s)(b − y(s)) x′ (s)2 + y ′ (s)2 y ′ (s)2 b + x′ (s)2 y(s) + x′ (s)y ′ (s)(a − x(s)) yp (s) = . x′ (s)2 + y ′ (s)2

xp (s) =

Ha a pedálgörbét a p pontból kétszeresére nagyítjuk, akkor az r(s) görbe ortotomikus görbéjét kapjuk, mely nem más, mint a pontnak a görbe érintőire mint egyenesekre vett tükörképeinek összessége. Belátható, hogy a görbe kausztikus görbéje egyben az ortotomikus görbe evolutája. Így szoros kapcsolat van a kausztikus görbe, az ortotomikus görbe és a pedálgörbe között. A kör pedálgörbéje limaçon (7.6. ábra és ??).

7.6. ábra. A kör p pontra vonatkozó pedálgörbéje. Az ortotomikus görbék fontos alkalmazást nyernek a görbék vizsgálatánál. Sokszor fontos eldöntenünk egy görbéről, hogy görbületi viszonyai hogyan változnak, konvex-e, azaz van-e inflexiós pontja stb. Ez utóbbi kérdést 68

eldönthetjük ortotomikus görbék segítségével is. Amint az előbbi leírásból láttuk, adott görbéhez és adott ponthoz az ortotomikus görbe az érintőre való folytonos tükrözéssel készül el, ahogy az érintő végighalad a görbén, így gondolhatunk rá úgy is, mint a pontból kiinduló fénysugarak visszaverődésének hullámfrontjára. Amennyiben a kiindulásként megadott r(s) görbe nem konvex, akkor ez a hullámfronton is meg fog látszani, amennyiben csúcspontja, önátmetszése keletkezik. Még élesebben látszódik ez akkor, ha az adott p pont érintőegyenesre való tükrözése után az érintő és a p1 tükörkép távolságát többször rámérjük a pp1 egyenesre. Ennek analitikus kivitelezése a következő: az eredeti ortotomikus görbe egyenlete o(s) = p + 2 ((r(s) − p)f (s)) f (s). Itt az egyenletben szereplő 2-es szorzó a képpont és az adott p pont távolságának, valamint a tükörtengely és az adott p pont távolságának a hányadosa. Ha ezt a szorzót 2 helyett k-ra cseréljük, akkor az így kapott ok görbét k-ortotomikus görbének nevezzük (így az eredetileg definiált ortotomikus görbe lesz az o2 görbe, lásd az 7.7. ábrát). Érvényes a következő tétel. 7.9. Tétel. Legyen r(s) reguláris síkgörbe, a p pont pedig ne illeszkedjen a görbére, sem annak érintőire. Ekkor az r(s) görbe p pontra vonatkoztatott k-ortotomikus görbéjének szinguláris pontja (csúcspontja) van az s0 paraméterértéknél akkor és csakis akkor, ha az eredeti görbének r(s0 ) inflexiós pontja.

8. Speciális görbék II. Ebben a fejezetben tovább vizsgálunk néhány speciális, az alkalmazások szempontjából érdekes és fontos görbetípust.

69

7.7. ábra. Az ortotomikus görbék konstrukciója

8.1. Általánosított csavarvonalak Vizsgáltuk azokat a görbéket, melyek görbületfüggvénye, torziója, vagy mindkettő konstans. Most olyan görbetípussal ismerkedünk meg, ahol ezen függvények önmagukban nem feltétlenül állandók, de arányuk állandó marad. 8.1. Definíció. Az r(t) térgörbét lejtővonalnak vagy általánosított csavarvonalnak nevezzük, ha érintőegyenesei konstans szöget zárnak be egy adott iránnyal, azaz létezik α szög és a vektor úgy, hogy r˙ (t) és a szöge α. Nyilvánvalóan minden síkgörbe lejtővonal lenne a síkjára merőleges a vektorra és α = π/2-re nézve, ezért foglalkozunk csak térgörbékkel. A hengeres csavarvonal lejtővonal, sőt a lejtővonalat általánosított csavarvonalnak 70

is szokás nevezni. Az egyenes körkúpra írt lejtővonalat kúpos csavarvonalnak (8.1. ábra és ??), a gömbre írt lejtővonalat loxodrómának nevezzük (8.2. ábra és ??).

8.1. ábra. A baloldalon a közönséges hengeres csavarvonal, jobbra pedig a kúpos csavarvonal látható. Mindkét görbe érintői konstans szöget zárnak be a tengellyel. Érdekes összevetni a paraméteres egyenleteiket: r(t)(R cos(t), R sin(t), Ct) illetve r(t)(Rt cos(t), Rt sin(t), Ct) . 8.2. Tétel. (Lancret) Tekintsünk egy görbét, melynek görbülete és torziója sehol sem tűnik el. A görbe lejtővonal akkor és csakis akkor, ha görbületének és torziójának hányadosa (nullától különböző) állandó. Bizonyítás. Az egyszerűség kedvéért tegyük föl, hogy az r(s) görbe ívhossz szerint parametrizált, az adott a vektor pedig egységvektor. Ekkor a lejtővonal definíciója szerint létezik olyan α szög, melyre ar′ (s) = cosα 6= 0. Ebből ívhossz szerinti deriválással a Frenet-képletek alapján azt kapjuk, hogy ar′′ (s) = at′ (s) = aκf (s) =

dcosα = 0. ds

Mivel a görbületfüggvényről feltettük, hogy nem nulla, így af (s) = 0. Más-

71

részt szintén a Frenet-képletek miatt b′ = −τ f , amiből ab′ = −τ af = 0, azaz az ab(s) is állandó, a binormális vektor is állandó szöget zár be a az adott vektorral. Legyen ez a szög β, amiből ab(s) = cosβ. Mivel az a vektor merőleges a főnormálisra, fölírható az érintő egységvektor és a binormális egységvektor lineáris kombinációjaként: a = a1 t(s) + a2 b(s), de a két egységvektor merőlegessége miatt az a vektor koordinátái ebben a bázisban csakis a1 = cosα és a2 = cosβ lehet, másrészt a két szögre vagy cosβ = sinα vagy cosβ = −sinα teljesül. Így a = t(s)cosα ± a2 b(s)sinα, amiből s szerint deriválva és a Frenet-képleteket alkalmazva a′ = t′ (s)cosα ± a2 b′ (s)sinα = κf (s)cosα ∓ τ f (s)sinα = 0, amiből már következik, hogy κ cos α ± τ sin α = 0, azaz κ = ± tan α, τ azaz állandó. Fordítva, ha feltesszük, hogy

κ τ

állandó, akkor mindig található olyan α

szög, melyre ez az állandó éppen tan α, vagyis κ cos α ± τ sin α = 0, amiből a Frenet-képletek szerint

0 = f (s)(κ cos α ± τ sin α) = t′ (s)cosα ± a2 b′ (s)sinα. Ebből pedig következik, hogy a t(s)cosα ± a2 b(s)sinα vektor állandó egységvektor, jelölje a. De ekkor at(s) = cos α, ami igazolja az állítást.

72

8.2. ábra. A gömbre rajzolt általánosított csavarvonal neve loxodróma. Érintői állandó szöget zárnak be a két pólust összekötő iránnyal.

8.2. Bertrand és Mannheim görbepárok Két klasszikus görbepárral ismerkedünk meg ebben az alfejezetben. Konstruktív definíciójuk után szükséges és elégséges feltételt tudunk megfogalmazni arra, hogy egy görbe ilyen pár tagja legyen. 8.3. Definíció. Adott az r(t) görbe, melynek κ(t) görbületfüggvénye és τ (t) torziófüggvénye sehol sem tűnik el. A görbét Bertrand görbének nevezzük, ha létezik olyan ¯ r(t) görbe, hogy az r(t) és ¯ r(t) görbék normálisai valamennyi t paraméternél megegyeznek. A ¯ r(t) görbét az eredeti ¯ r(t) görbe Bertrand társának is nevezzük. A definícióból belátható a következő előállítás. 8.4. Tétel. Bármely r(t) görbe Bertrand társát felírhatjuk ¯ r(t) = r(t) + cf (t), alakban, ahol f (t) az eredeti görbe főnormálisa, c pedig valós konstans. Bizonyítás. Parametrizáljuk ugyanis a görbét ívhossz szerint: r(s) és tegyük föl, hogy létezik Bertrand társa: ¯ r(t). Ekkor tehát az első görbe p pontbeli kísérő triéderének és a második görbén ennek megfelelő p ¯ pontbeli kísérő 73

triédernek a főnormálisa azonos egyenesre illeszkedik. A két pont távolsága legyen c(s), melyről szeretnénk belátni, hogy konstans. A második görbe paraméterezése nem feltétlenül ívhossz szerinti, de nyilván függ s-től. Így a második görbe felírható ¯ r(t(s)) = r(s) + c(s)f (s) alakban. A baloldal s szerinti deriváltja d ¯ r(t(s)) = ¯ t(t(s))t′ (s). ds Az egyenlet jobb oldalát s szerint deriválva

(r(s) + c(s)f (s))′ = t(s) + c′ (s)f (s) + c(s)f ′ (s). A Frenet-képletek felhasználásával ebből ¯ t(t(s))t′ (s) = (1 − c(s)κ(s))t(s) + c(s)τ (s)b(s) + c′ (s)f (s). Ezt az egyenletet az f (s) vektorral skalárisan szorozva kapjuk, hogy

f (s)¯ t(t(s))t′ (s) = (1 − c(s)κ(s))f (s)t(s) + c(s)τ (s)f (s)b(s) + c′ (s)f 2 (s), de a feltétel miatt f (s)⊥¯ t(t(s)), azaz a baloldal nulla, a jobbldalon pedig f (s)t(s) = 0, f (s)b(s) = 0 miatt egyedül az utolsó tag nem tűnik el. Itt f 2 (s) = 1, tehát végül c′ (s) = 0, azaz a c konstans.

8.5. Tétel. Az r(t) görbe Bertrand görbe akkor és csakis akkor, ha aκ(t) + bτ (t) = 1 teljesül valamilyen a, b ∈ R konstansokra. 74

Bizonyítás. A két görbén az egymásnak megfelelő pontokban a kísérő triéderek relatív elfordulását akarjuk felírni. Tegyük föl, hogy a r(s) görbén lévő p pontbeli érintő egységvektor és a neki megfelelő, ¯ r(t(s)) görbén lévő p ¯ pontbeli érintő egység vektor szöge α(s). Erről is szeretnénk belátni, hogy konstans, azaz nem függ az s paramétertől. Ekkor tehát ¯ t(t(s)) = t(s) cos(α(s)) + b(s) sin(α(s)). Ezt s szerint deriválva, majd a Frenet-képleteket alkalmazva a baloldal d¯ t(t(s)) = κ ¯ (t(s))¯ f (t(s))t′ (s) ds alakú lesz, a jobboldal pedig (κ(s) cos(α(s)) − τ (s) sin(α(s)))f (s)+

+ (−t(s) sin(α(s)) + b(s) cos(α(s)))α′ (s)

alakú. De tudjuk, hogy ¯ f (t(s))kf (s) minden pontban, így az egyenletet előbb a t(s) vektorral, majd a b(s) vektorral skalárisan szorozva azt kapjuk, hogy sin(α(s))α′ (s) = 0 és cos(α(s))α′ (s) = 0. Ebből viszont (α′ (s))2 = α′ (s))2 sin2 (α(s)) + α′ (s))2 cos2 (α(s)) = 0 miatt α′ (s) = 0, azaz az α(s) konstans állandó. Ezzel és az előző bizonyításban levezetett egyenlettel tehát a c és α konstansokra ¯ t(t(s))t′ (s) =(1 − cκ(s))t(s) + cτ (s)b(s) ¯ t(t(s)) =t(s) cos(α) + b(s) sin(α)

teljesül. Ez a két egyenlet csak akkor nem ellentmondó, ha 1 − cκ(s) cos(α) = , cτ (s) sin(α) amiből már a = c, b = c · ctg(α) helyettesítéssel következik, hogy aκ(t) + 75

+ bτ (t) = 1 és ezt akartuk bizonyítani. A Bertrand görbékkel kapcsolatban megjegyezzük még, hogy ha egy görbének több mint egy Bertrand társa létezik, akkor végtelen sok társa van. Ez az eset pontosan akkor következik be, ha az eredeti görbe hengeres csavarvonal. A Bertrand görbékhez hasonló típusú görbék a Mannheim görbék. 8.6. Definíció. Adott az r(t) görbe, melynek κ(t) görbületfüggvénye és τ (t) torziófüggvénye sehol sem tűnik el. A görbét Mannheim görbének nevezzük, ha létezik olyan ¯ r(t) görbe, hogy az r(t) görbe főnormális egyenese minden t paraméternél megegyezik a ¯ r(t) görbe binormális egyenesével. A ¯ r(t) görbét az eredeti ¯ r(t) görbe Mannheim társának is nevezzük. A Mannheim görbékről hasonló tételek vezethetők le, mint a Bertrand görbékről. 8.7. Tétel. Ha az r(t) görbének létezik Mannheim társa, akkor felírhatjuk ¯ r(t) = ¯ r(t) + cb(t) ¯ a Mannheim társgörbe binormálisa, c pedig valós konstans. alakban, ahol b(t) 8.8. Tétel. Az r(t) görbe Mannheim görbe akkor és csakis akkor, ha aκ(t) − bτ (t) = −1 teljesül valamilyen a, b ∈ R konstansokra.

8.3. Görbék a gömbön A 8.2. ábrán látható loxodróma olyan görbe, melynek minden pontja egy adott gömbön van. A gömbre nyilvánvalóan végtelen sokféle görbét lehet rajzolni, kérdés azonban, hogy hogyan lehet eldönteni egy paraméteres formában adott görbéről, hogy egy gömbön van-e. Az alábbi tétel mutatja, hogy ez korántsem triviális.

76

8.9. Tétel. Az r(s) ívhossz paraméterezésű görbe akkor és csakis akkor fekszik egy gömbön, ha τ (s) torziója sehol sem tűnik el, valamint torziójára és κ(s) görbületére igaz, hogy τ = κ



κ′ τ κ2

′

.

Bizonyítás. A bizonyítás, amit csak az egyik irányban végzünk el, azon alapszik, hogy ha a görbe rajta van egy gömbön, akkor minden pontjában ez a gömb lesz a simulógömbje. Az r(s0 ) ponthoz tartozó simulógömb középpontját az c(s0 ) = r(s0 ) +

1 κ′ (s0 ) f (s0 ) − b(s0 ) κ(s0 ) τ (s0 )κ(s0 )2

egyenlet szolgáltatja. De gömbi görbe esetén minden pontban az adott gömb a simulógömb, azaz c(s) független s-től, konstans. Ekkor deriváltja eltűnik, ami rövid számolás után a ′

c (s0 ) = 0 =



τ − κ



κ′ τ κ2

′ 

b(s0 )

egyenletet eredményezi, amiből a zárójelben lévő összeg zérus volta és így az állítás is következik. A gömbön lévő körökön, főkörökön és a már látott loxodrómán kívül számos nevezetes gömbi görbe létezik. Ilyen például a Viviani-görbe, mely metszetgörbeként akkor keletkezik, amikor a gömböt egy egyenes körhengerrel elmetszük úgy, hogy egy pontban a henger és a gömb érintősíkja azonos. Egy másik nevezetes görbe a gömbön a baseball-görbének is nevezett görbe, melyet a baseball- vagy a teniszlabdán láthatunk körbefutni. Ennek a görbének nyilvánvaló okok miatt két merőleges síkra szimmetrikusnak, önmagába 180 fokkal elforgathatónak kell lennie, periodicitással kell bírnia (azaz léteznie kell olyan d számnak, melyre r(s) = r(s + d), valamint a leglényegesebb tulajdonsága, hogy két egybevágó részre kell osztania a gömb felszínét. A gömb bármely főköre rendelkezik ezekkel a tulajdonságokkal, ezek azonban síkgörbék. Ha a fenti tulajdonságú térgörbét keresünk a göm-

77

bön, komoly matematikai és műszaki problémába ütközünk, melynek egy megoldása látható a 8.3. ábrán és ??.

8.3. ábra. Ez a térgörbe a gömbfelületet két egybevágó részre osztja.

8.4. Offszet görbék 8.10. Definíció. Ha adott az r(t) görbe, és ennek minden pontjától d távolságra (azaz normálisa mentén d-t felmérve) kijelölünk egy pontot, akkor az ezen pontok által meghatározott rd (t) görbét az eredeti görbe offszet görbéjének nevezzük. Így az offszet görbe egyenlete: rd (t) = r(t) + df (t),

d ∈ R.

A görbéhez tartozó offszet görbék a görbe két oldalán helyezkednek el attól függően, hogy d negatív vagy pozitív. A definícióból kitűnik, hogy az offszet görbe paraméterezése az eredeti görbéhez igazodik, valamint az is, hogy az r(t0 ) ponthoz tartozó rd (t0 ) offszet görbe pontokban az offszet görbe érintője párhuzamos az eredeti görbe ezen pontbeli érintőjével. Az offszet görbe érintővektora ugyanis r˙ d (t) = r˙ (t) + df˙ (t)

78

alakban írható, de a Frenet-képletek alapján 

dκ r˙ d (t) = r˙ (t) + dκt˙ (t) = r˙ (t) 1 + k˙r(t)k



.

A fenti képletből az is következik, hogy még ha az eredeti r(t) görbe reguláris is, az offszet görbén előfordulhatnak csúcsok, azaz olyan pontok, ahol a derivált eltűnik (8.4. ábra).

8.4. ábra. Az ellipszis néhány offszet görbéje Az offszet görbe görbülete és így simulókörének sugara egyszerűen felírható az eredeti görbe megfelelő adataiból: κd (t) =

κ(t) . 1 + κ(t)d

Fontos megjegyeznünk, hogy az offszet görbe bizonyos esetekben közelebb kerülhet az eredeti görbéhez, mint az adott d távolság. Ez úgy lehetséges, hogy habár az eredeti görbe r(t0 ) pontjának és az offszet görbe rd (t0 ) pontjának távolsága természetesen d, ugyanez a pont az eredeti görbe más pontjaitól d-nél kisebb távlságra is lehet. Ez látható az 8.5. ábrán, a belső offszet görbék esetében, ahol az offszet görbe akár el is érheti az eredeti görbét. Mivel az offszet görbék fontos alkalmazást nyernek a marógépek, 79

esztergagépek vezérlésében, ezeket az eseteket különös gonddal kell kezelni a gyakorlatban.

8.5. ábra. A parabla néhány offszet görbéje. A belső offszet görbék az eredeti görbe más pontjaihoz közelebb kerülhetnek, mint az adott d konstans. Az offszet görbék egy másik megközelítése az lehet, ha az eredeti görbe mentén egy d sugarú kör középpontját mozgatva, ezen körsereg burkolóját keressük meg. Ha az adott görbe r(t)(x(t), y(t)) alakú, akkor a g(t, s) (xg (t, s), yg (t, s)) körsereg leírása, ahol s ∈ [0, 2π] a körök paramétere, t pedig a seregparaméter:

xg (t, s) = x(t) + d · cos(s)

yg (t, s) = y(t) + d · sin(s).

Ezen körök burkolóját keressük, ahol a burkolás érintési pontjainál az érintő párhuzamos az eredeti görbe megfelelő paraméteréhez tartozó pontban az érintővel. Ez leírható úgy, hogy a körsereg t és s szerinti deriváltjának

80

párhuzamosnak kell lennie, azaz ∂g(t, s) ∂g(t, s) =c ∂s ∂t teljesül valamilyen c konstansra. Ez végül a következő burkolási feltételhez vezet: tan(s) =

−x(t) ˙ , y(t) ˙

melynek segítségével a fenti seregleírásból kifejezhetjük a burkolót, azaz az offszet görbét.

81

9. A felületelmélet alapjai Az előző részhez hasonlóan itt is azzal kezdjük a tárgyalást, hogy pontosan meghatározzuk, differenciálgeometriai értelemben mit értünk felületen. Ez a definíció a görbékhez hasonlóan itt is a hétköznapi "felület" fogalom bizonyos leszűkítését jelenti, de így is magában foglalja a geometriai modellezésben használatos összes felülettípust. 9.1. Definíció. Elemi felület en olyan alakzatot értünk, amely előállítható az (u, v) sík egy egyszeresen összefüggő tartományán értelmezett r(u, v) kétparaméteres vektorfüggvény helyzetvektorainak végpontjaiként, ahol a) az r(u, v) által létrehozott leképezés topológikus b) az r(u, v) folytonosan differenciálható c) a

∂r ∂u

és

∂r ∂v

vektorok egyetlen pontban sem párhuzamosak.

9.1. ábra. Az elemi felület vektorparaméteres értelmezése

Az r(u, v) vektorfüggvény az elemi felület egyfajta előállítása, de egy elemi felület olyan vektorfüggvénnyel is előállítható, amely nem felel meg a definícióban felsorolt feltételeknek. Azok az előállításokat, amelyek teljesítik az a) -c) feltételeket reguláris előállításoknak nevezzük. Az r(u, v) vektorfüggvény parciális deriváltjait az egyváltozós esethez hasonlóan úgy képezzük, hogy a koordinátafüggvényeket deriváljuk parciálisan. A definícióban szereplő topológikus leképezés legegyszerűbb módon egy merőleges vetítéssel állítható elő. A paramétersíkon így keletkezett T tarto82

mánynak egy kölcsönösen egyértelmű és mindkét irányban folytonos leképezését tekintve egy T∗ tartományra, a T∗ és a felület közötti kapcsolat leírása már bonyolultabb. Az elemi felületek köre elég szűk. Pl. már a gömb sem fér bele, mert a gömb nem képezhető le topológikusan a sík egyetlen tartományára sem. Hasonló a helyzet a hengerrel vagy a tórusszal. Ezek azonban előállíthatók elemi felületek egyesítése képpen. Ha két elég nagy gömbsüveget veszünk elemi felületnek, melyek közül az egyik felülröl az egyenlítő alá, a másik alulról az egyenlítő fölé nyúlik, úgy minden pont legalább az egyiknek, sőt az egyenlítő környéki pontok mindkettőnek pontjai. Így gömb e két elemi felület egyesítéseként fogható fel. Hasonló a helyzet a hengernél és a tórusznál. Ezen meggondolást követve felületen olyan összefüggő alakzatot fogunk érteni, mely végessok elemi felület egyesítéseként előáll, és bármely pontjának megfelelően kicsiny térbeli környezete az alakzatból elemi felületet metsz ki. Egy alakzat összefüggő, ha bármely két pontja összeköthető csupa alakzatpontból álló folytonos görbeívvel. A felület határán a felülethez nem tartozó határpontok összességét értjük. A határpont olyan pont, amely bármely környezete tartalmaz felületi és nem felületi pontot. Ha a felület határnélküli és véges, akkor zártnak nevezzük. Ilyen pl. a gömb és a tórusz. Ha a felület határolt (azaz vannak határpontjai) vagy végtelen, akkor nyíltnak nevezzük. Ilyen pl. a félgömb, henger, sík.

9.1. Elemi felületek különböző megadási módjai 1. Explicit megadási mód. Tekintsünk E3 -ban egy Descartes-féle koordinátarendszert és a z = = f (x, y) kétváltozós függvényt! Azok a pontok, melyeknek (x, y, z = = f (x, y)) a koordinátája egy felületet alkotnak. Ezt Euler-Monge féle megadási módnak is nevezzük. 2. Implicit megadási mód. Ismét egy Descartes-féle koordinátarendszert tekintünk és egy F (x, y, z) háromváltozós függvényt. Azon pontok mértani helye, melyek koordi83

nátáit a függvénybe helyettesítve a kapott függvényérték konstans (pl. zérussal egyenlő), egy nívófelületet alkotnak. Ennek analítikus megadása: F (x, y, z) = 0. 3. Vektorparaméteres megadási mód. Ez tulajdonképpen az elemi felület definíciójában is szereplő r(u, v) előállítási mód, amely három kétváltozós függvény megadásával egyenértékű, amelyeket koordinátafüggvényeknek nevezünk. r(u, v) = x(u, v)e1 + y(u, v)e2 + z(u, v)e3 Ezt az előállítást Gauss-féle előállításnak is szokás nevezni. A különböző előállítások között lehetőség van az áttérésre. 1)→2). esetén a z = f (x, y) -ből az F (x, y, z) = f (x, y) − z = 0 implicit előállítás lehetséges.

2)→1). esetén a következő tétel jelenti a kapcsolatot: tegyük fel, hogy teljesül az F (x, y, z) = 0 egy A0 = (x0 , y0 , z0 ) pontban, az F (x, y, z) és Fz′ (x, y, z) értelmezve van az A0 valamely környezetében, valamint Fz′ (x, y, z) = 0. Ezen feltételek mellett az A0 = (x0 , y0 , z0 ) pont egy elegendően kicsiny környezetében létezik egy és csak egy folytonos z = = f (x, y) függvény, amely kielégíti az F (x, y, z) = 0 egyenletet és amelyre fennáll, hogy z0 = f (x0 , y0 ). 3)→1). esetén megmutatjuk, hogy a felület bármely P0 (u, v) pontjának van olyan környezete, hogy a felület előállítható z = f (x, y), y = g(z, x) ill. x = h(y, z) formák valamelyikében. A definíció c) feltétele alapján a

∂r ∂u

és

∂r ∂v

vektorok nem párhuzamosak, ezzel ekvivalens, hogy ∂xi ∂u ∂xi ∂v

Rang

!

= 2.

A mátrix rangjának megfelelően a P0 (u0 , v0 ) pontban az előbbi mátixnak van el nem tűnő másodrendű aldeterminánsa. Például legyen 84

ez



D=

∂x1 ∂u ∂x1 ∂v

∂x2 ∂u ∂x2 ∂v





(u0 ,v0 )

6= 0.

A parciálisok folytonossága miatt D a P0 (u0 , v0 ) egy egész Tu környzetében el nem tűnő. Így a Tu -t egy Tx -re leképező x1 = x1 (u, v) x2 = x2 (u, v) függvényrendszernek Tx -ben létezik az u = u(x1 , x2 ) v = v(x1 , x2 ) inverz függvényrendszere. Ezeket az x3 = x3 (u, v) függvénybe helyettesítve x3 = x3 (u(x1 , x2 ), v(x1 , x2 )), ahol a jobboldal csak x1 és x2 függvénye, melyet f (x1 , x2 )-vel jelölve az f függvény pontosan azokat a pontokat állítja elő Tx felett, mint r a Tu felett. A felület Gauss-féle előállítása is többféleképpen lehetséges, azaz egy ilyen előállítás egyértelműen meghatároz egy felületet, de egy felület nem határoz meg egyértelműen egy előállítást. Legyen r(u, v) egy felület a Tu tartomány felett és tekintsünk egy Tu -n értelmezett u ¯=u ¯(u, v) v¯ = v¯(u, v) folytonosan differenciálható függvénypárt, amely kölcsönösen egyértelmű leképezést hoz létre a Tu és a Tu¯ tartományok között és ahol a J≡

∂(¯ u, v¯) 6= 0 ∂(u, v)

a Tu tartományon. Ekkor az előbbi függvénypárnak létezik az 85

u = u(¯ u, v¯) v = v(¯ u, v¯) inverz függvényrendszere, amely szintén folytonosan differenciálható. Ezt az r(u, v)-be helyettesítve az ¯ r(¯ u, v¯) ≡ r(u(¯ u, v¯), v(¯ u, v¯)) ugyanazokat a ponto-

kat állítja elő, mint az r(u, v). A paraméterek ilyen változtatását megengedett paraméter-transzformációnak nevezzük.

9.2. Példa. A P0 ponton áthaladó, az a és b nem párhuzamos vektorpár −−→ által felfeszített sík előállítása a helyzetvektorok közötti r = r0 + P0 P = r0 + + ua + vb kapcsolat alapján r(u, v) = r0 + ua + vb. 9.3. Példa. Az R sugarú, origó középpontú gömb implicit megadása: R2 − (x2 + y 2 + z 2 ) = 0. Ugyanezt a gömböt explicit formában két egyenlet írja le: p z = + R2 − x2 − y 2 p z = − R2 − x2 − y 2 ,

ahol az első az [x, y] sík fölötti, a második az [x, y] sík alatti félgömböt adja meg. A paraméteres megadásnál kiválasztunk egy általános helyzetű P (x, y, z) pontot és helyzetvektorok végpontjaiként generáljuk a felületet. A P pontot levetítjük az [x, y] síkra, Így kapjuk a P0 pontot. Az u paramétert az x −−→ −−→ tengely és az OP vektor szöge, míg az v paramétert a z tengely és az OP

86

vektor szöge adja. Ezek alapján a koordinátafüggvények a következők: x(u, v) = R cos u sin v y(u, v) = R sin u sin v z(u, v) = R cos v. A Gauss-féle alak: r(u, v) = R cos u sin ve1 + R sin u sin ve2 + R cos ve3 . Ha 0 6 u < 2π és 0 6 v < 2π, akkor a teljes gömböt leírja a fenti alak, ha például 0 6 u < π2 és 0 6 v < π2 , akkor a pozitív féltengelyek által meghatározott térrészbe eső gömbnyolcadot kapjuk. 9.4. Példa. Egy hiperbolikus paraboloid Gauss-féle előállításában a koordinátafüggvények a következők: x(u, v) = u y(u, v) = v z(u, v) = uv. Így r(u, v) = ue1 +ve2 +uve3 és az u, v paraméterek a teljes paramétersíkról választhatók.

9.2. Felületi görbék 9.5. Definíció. Legyen r = r(u, v), ((u, v) ∈ T) egy felület előállítása és u(t) = (u(t), v(t)) (a < t < b), a paramétersík T tartományában egy görbe. Az u görbe pontjainak képeit a felületen az x(t) ≡ r(u(t), v(t)) egyparamé-

teres vektorfüggvény írja le. Az ilyen görbéket felületi görbéknek nevezzük. A felületi görbe egy P0 (t0 ) pontjában az érintővektor: ∂r ∂r x(t ˙ 0) = u(t ˙ 0) + v(t ˙ 0 ), (t0 ∈ (a, b)). ∂u P0 ∂v P0

Ha a felületen egy másik, P0 ponton áthaladó x∗ (t) = r(u∗ (t), v ∗ (t)) görbét 87

9.2. ábra. A felület egy adott pontján áthaladó felületi görbék érintői egy síkot alkotnak

tekintünk, akkor annak érintővektora: ∂r ∂r ∗ x˙ (t0 ) = u˙ (t0 ) + v˙ ∗ (t0 ), ∂u P0 ∂v P0 ∂r ∂r vagyis ugyanúgy a ∂u és ∂v lineáris kombinációja, mint az előbb. Ebből P0 P0 ∗

következik, hogy bármely P0 ponton áthaladó felületi görbe érintővektora a ∂r és ∂r vektorok által felfeszített síkban van. Ezt a síkot a felület P0 ∂u P0

∂v P0

-beli érintősík jának, a benne fekvő vektorokat felületi vektor oknak nevezzük. Az érintősík egyenlete:

! ∂r ∂r Det x − r(u, v), , = 0. ∂u P0 ∂v P0

9.6. Definíció. Az u = t, v = c2 (c2 konstans) és az u = c1 (c1 konstans), v = t típusú felületi görbék az (u, v) paramétersík koordinátatengelyeivel párhuzamos egyeneseinek képei a felületen. Ezeket paramétervonalak nak nevezzük. Az előzőekből következik, hogy a

∂r ∂r ∂u , ∂v

vektorok éppen a paramétervo-

nalakat érintik.

9.7. Definíció. A paramétervonalak érintővektoraiból képzett, rájuk merőleges

∂r ∂r × ∂u ∂v 88

aaaaa aaaaa aaaaa 9.3. ábra. A felület paramétervonalai és egy pontban az érintők

vektort a felület normálvektor ának, az ilyen irányú egységvektort normálegységvektor nak nevezzük. Ez utóbbi jelölésére az n jelölést használjuk. Így az érintősík egyenlete (x − r0 )n = 0 alakban is írható. A nor-

málegységvektor a felület által nincs egyértelműen meghatározva, ugyanis

paraméter-transzformációkor az irányítása megváltozhat. Ez pontosan akkor történik meg, ha a transzformáció Jacobi-mátrixának determinánsa negatív.

10. Speciális felületek A speciális görbékhez hasonlóan a felületeknél is találunk számos olyan felülettípust, melyek a műszaki életben egyéb alkalmazásokban kiemelkedő szerephez jut. Ebben a fejezetben olyan felületekkel ismerkedünk meg, melyek az építészettől a hajógyártásig számos alkalmazást nyernek a mindennapi életben.

10.1. Vonalfelületek Egy speciális, az alkalmazások szempontjából fontos felületcsoportot, a vonalfelületeket közelebbről is megvizsgálunk. Legyen adott egy r(t) = p + tv

89

egyenes. Ha ez az egyenes a térben egy görbe mentén mozog, azaz p és v egy t-től különböző paramétertől függ, akkor az egyenes által súrolt r(t, s) = p(s) + tv(s) felületet vonalfelületnek nevezzük. A p(s) görbét a felület direktrixének, a rögzített s paraméterhez tartozó egyeneseket alkotóknak nevezzük. Vizsgáljuk meg a felület normálvektorát: n(t, s) =

∂r ∂r × = v× (p+t ˙ v) ˙ = v × p+t ˙ (v × v) ˙ . ∂t ∂s

Láthatjuk, hogy az s = s0 paramétert rögzítve és t-t változtatva, azaz a felület egyik r(t, s0 ) alkotóján végighaladva a normálvektor iránya is változik. Ugyanakkor az érintősík minden pontban tartalmazza az adott pontbeli alkotót, így tehát azt kaptuk, hogy az r(t, s0 ) alkotó pontjaiban az érintősíkok egy síksort alkotnak, melynek tartóegyenese éppen az alkotó. Tegyük fel most, hogy a normálvektor egyenletében a két vektor, v × p˙

és v × v˙ lineárisan függők. Ekkor az r(t, s0 ) alkotón végighaladva a normál-

vektornak csak hossza változik, az iránya nem. Így a fentiek értelmében az alkotó mentén az érintősík nem változik, vagy más szóval az r(t, s) felület érintősíkjai csak az s paramétertől függnek. Az ilyen, egyparaméteres érintősíksereggel rendelkező vonalfelületeket kifejthető felületek nek nevezzük. A kifejthető felületeknél tehát v × p˙ és v × v˙ lineárisan függő kell, hogy

legyen, azaz

|p˙ v

v| ˙ =0

kell, hogy teljesüljön. Ez alapján könnyen leírhatjuk a kifejthető felületek típusait, hiszen a fenti determináns csak akkor egyenlő nullával, ha 1. p˙ = 0, azaz p = konstans. Ekkor a felület r(t, s) = p + tv(s) alakú, azaz egy rögzített p pontra illeszkedő egyenesekből áll. Ezek éppen a kúpfelületek. 90

10.1. ábra. A vonalfelületek számos helyen megjelennek az építészetben: fönt Mátrai Hőerőmű hűtőtornyai, lent a japán Kobe-torony

2. v˙ = 0, azaz v = konstans. Ekkor a felület r(t, s) = p(s) + tv alakú, azaz egy rögzített v iránnyal párhuzamos egyenesekből áll. Ezek éppen a hengerfelületek. 3. p˙ = v, azaz az alkotók iránya mindig párhuzamos a direktrixgörbe érintőjével. Ezeket a kifejthető felületeket tehát úgy írhatjuk le, mint egy térgörbe érintőegyeneseinek összességét. A legtöbb vonalfelület tehát nem kifejthető, ilyen például a másodrendű 91

felületek közül az egyköpenyű hiperboloid (.... ábra). A kifejthető felületekre a későbbiekben, a felületek görbületével kapcsolatban még visszatérünk.

10.2. Irányítható felületek Ha a tér vagy egy felület illetve egy görbe minden pontjában értelmezve van egy vektor, akkor vektormezőről beszélünk. Ha a felületen értelmezhető a normálegységvektorokból álló folytonos vektormező, akkor a felületet irányíthatónak nevezzük. Ha egy ilyen vektormezőt megadunk, akkor a felületet irányítottnak mondjuk. Az elemi felület irányítható, mert a

∂r ∂u

×

∂r ∂v

normálásával nyert n(u, v)

minden pontban folytonos. Ha egy paraméter-transzformációnál sgn J ≡ 1,

akkor a transzformáció az irányítást megtartja, míg ha sgn J ≡ −1, akkor megváltoztatja. Az elemi felületnek összesen kétféle irányítása lehetséges. Ha

a felület nem elemi, akkor már egyszerű esetben is előfordulhat, hogy nem lesz irányítható. Ilyen pl. a Möbius-szalag.

10.3. Csőfelületek Műszaki problémáknál gyakran kell olyan felületet terveznünk, melyet úgy kapunk, hogy egy változó sugarú gömb középpontja egy görbe mentén mozog, mi pedig a gömbsereg burkolóját keressük. Tekintsük a gömb következő egyenletét: S = (px − ax )2 + (py − ay )2 + (pz − az )2 − r 2 = 0 ahol p(px , py , pz ) a gömb pontja, a(ax , ay , az ) a középpontja, r pedig a sugara. Ha ebből a gömbből egyparaméteres gömbsereget akarunk létrehozni, akkor ezt úgy tehetjük meg, hogy a középpont egy görbén fog mozogni, melyet jelöljön a(t), miközben a sugár is a t paramétertől függő érték lesz: r(t) (ez tehát nem vektor, csak egy valós értékű, valós változós függvény). Az így kapott S(t) gömbsereg burkolóját keressük. Ehhez szükségünk van a gömbön arra a körre, melyben a burkoló az adott gömböt érinteni fogja. Ez általában nem főkör, megkereshető viszont a két "szomszédos" gömb metszetkörének 92

határhelyzeteként. Tekintsük tehát az S(t) és az S(t + △t) gömböket, ahol

△t egy kis érték. Két gömb metszetköre a gömbök hatványsíkjában van, ami felírható (S(t + △t) − S(t))/△t = 0 alakban. Ebből látható, hogy ha

△t → 0, akkor a hatványsík határhelyzete éppen az S(t) t szerinti deriváltja lesz. Ennek akármilyen skalárszorosa is megfelelő:

1 − S ′ (t) =(px − ax (t))a′x (t) + (py − ay (t))a′y (t)+ 2 + (pz − az (t))a′z (t) + r(t)r ′ (t) = 0. Geometriailag ezt a kört az S(t) gömbön úgy is megkereshetjük, hogy egy pontból érintőkúpot állítunk a gömbre, aminek érintési köre lesz a keresett kör. A kérdéses pont: q(t) = a(t) − a′ (t)

r(t) . r ′ (t)

Ez a pont az a(t) görbe adott pontbeli érintőegyenesén van. Magának a burkoló felületnek a felírásához használjuk az a(t) görbe Frenet-féle koordináta-rendszerét, melynek tehát origója az aktuális a(t) pont, egységvektorai pedig a görbe érintő egységvektora, fa (t) főnormálisa és ba (t) binormálisa. Ebben az érintőkör centruma c(t) = a(t) −

r(t)r ′ (t) ′ a (t), ka(t)k

a sugara pedig Pitagorasz tétele alapján ρ(t) =

s

r 2 (t) −



r(t)r ′ (t) ka(t)k

2

,

így a felület egyenlete e(t, φ) = c(t) + ρ(t)(fa (t) cos φ + ba (t) sin φ). Ilyen felület látható a 10.2. ábrán. Megjegyezzük, hogy minden forgásfelület előállítható az itt leírt módon úgy, hogy a gömb középpontja a forgástengely mentén mozog. Hasonlóan leírt felületek a műszaki életben haszná93

10.2. ábra. A gömbsereg néhány eleme, az érintőkörök és a kész felület

latos Dupin-cikloidok.

11. Felületi metrika, Gauss-görbület Ebben az fejezetben a felületekkel kapcsolatban teszünk további, főként metrikus megállapításokat.

11.1. Felületi görbék ívhossza, az első alapmennyiségek Az r = r(u, v) felületen az u(t), v(t) által meghatározott x(t) = r(u(t), v(t)) felületi görbének a P0 = x(t0 ) ponttól számított ívhossza

s=

Zt p

x˙ 2 (t)dt

t0

=

Zt

t0

s

2 ∂r ∂r dt (u(t))u(t) ˙ + (v(t))v(t) ˙ ∂u ∂v

ami a négyzetre emelést elvégezve

s=

Zt r

∂r ∂r 2 ∂r ∂r ∂r ∂r 2 u˙ (t) + 2 u(t) ˙ v(t) ˙ + v˙ (t)dt ∂u ∂u ∂u ∂v ∂v ∂v

t0

alakú lesz. A felületi görbe ívhosszának kiszámításához nem kell tehát ismernünk magát a felületet, az u(t), v(t) függvényeken kívül a paramétervonal94

érintők belső szorzataira van csupán szükségünk. Ezeknek a mennyiségeknek fontos szerepe van a felületi metrikában, így a felület első alapmennyiségei nek nevezzük: E(u, v) =

∂r ∂r , ∂u ∂u

F (u, v) =

∂r ∂r , ∂u ∂v

G(u, v) =

∂r ∂r . ∂v ∂v

Az első alapmennyiségekből képzett g mátrix a belső szorzat tulajdonágából adódóan szimmetrikus és determinánsa E F F G

Így a felületi görbe ívhossza

s=

Zt p

= Det(g) > 0.

E u˙ 2 (t) + 2F u(t) ˙ v(t) ˙ + Gv˙ 2 (t)dt.

t0

Két, egymást metsző felületi görbe szögén a közös pontbeli érintővektoraik szögét értjük. Mivel minden felületi görbe érintővektora felírható az adott pontbeli paramétervonalak érintőinek lineáris kombinációjaként, így ezeket ∂r ∂r ∂r ∂r a vektorokat fölírhatjuk a = au ∂u + av ∂v és b = bu ∂u + bv ∂v alakban. A két

vektor ϕ szögére cos ϕ = Ezt felhasználva cos ϕ ==

ab . |a||b|

Eau bu + F au bv + F av bu + Gav bv , |a||b|

de a két vektor hosszának felírásakor is csupán az első alapmennyiségekre támaszkodhatunk, azaz a két felületi görbe szögének felírása is csupán ezek segítségével történik.

95

11.2. Felszínszámítás Legyen r = r(u, v) a T tartományon értelmezett elemi felület. Legyen B a T-nek egy egyszeresen összefüggő, korlátos, zárt, mérhető résztartománya. Ennek a képe egy felületdarab. A felületdarabba írt poliéder csúcsai a felületre, a kontúrján levő csúcspontok a B határának képére illeszkednek. Egy ilyen beírt poliéder normális, ha a poliéderhez a B olyan háromszögrendszere tartozik, hogy bármely (u, v) pont legfeljebb egy háromszög belső pontja és a B-beli háromszögrendszer szögeinek van pozitív alsó korlátja. A beírt poliéder finomodó, ha a hozzátartozó B-beli háromszögrendszerben az oldalhosszak zérushoz tartanak. 11.1. Definíció. Egy felületdarab felszínén a felületdarabba írt finomodó, normális poliédersorozatok felszíneinek közös határértékét értjük. 11.2. Tétel. Legyen B az elemi felület értelmezési tartományának egy egyszeresen összefüggő, korlátos, zárt, mérhető résztartománya. A felület ehhez a tartományhoz tartozó darabjának létezik felszíne és F =

ZZ p

Det(g(u, v))dudv.

B

Egy véges felület felszínét úgy értelmezzük, hogy azt véges sok közös belső pont nélküli darabra vágjuk, melyekre már teljesednek a tétel feltételei és ezek felszíneinek összegeként definiáljuk a felület felszínét. Az integrál additivitásából adódik, hogy a kapott felszín független a darabolástól. Ha egy felület nem tesz eleget a tétel feltételeinek, de megközelíthető ennek elegettevő felületdarabok növekedő sorozatával, úgy ezek felszíneinek határértéke a felület felszíne. (Itt a növekedésen azt értjük, hogy egy felületdarab tartalmazza az őt megelőzőt és a felület minden pontja eleme valamely közelítő felületnek vagy ilyen pontokból álló sorozat határértéke.) A felületdarab felszínének létezik egy másik értelmezése is. Legyen a felület r = r(u, v) alakban megadva, ahol az (u, v) egy mérhető B tartományt fut be. A felületen a paramétervonalak egy görbevonalú rácshálózatot alkotnak. Legyen P (u, v) egy rácspont, Q(u + ∆u, v) és R(u, v + ∆v) két szomszé96

dos, S(u + ∆u, v + ∆v) pedig ezeket egy görbevonalú négyszöggé kiegészítő ∂r ∂r rácspont. A P-beli ∂u ∆u , ∂v P ∆v paramétervonalérintők egy érintőpaP

ralelogrammát feszítenek fel. Ez a paralelogramma jól közelíti a PQRS felületi négyszöget. Minden pontban elkészítve az előbbi paralalogrammát egy

"pikkelyrendszert" kapunk. A felület felszínét ilyen pikkelyrendszer pikkelyterület összegeinek határértékeként értelmezzük, ha a rácsrendszer minden határon túl finomodó. Egy ilyen pikkely területe r

∂r ∂r ( ∆u × ∆v)2 = ∂u ∂v

r

(

p ∂r ∂r 2 × ) ∆u∆v = Det(g)∆u∆v, ∂u ∂v

ezek összege a fenti tételben szereplő integrál integrálközelítő összege. Ha a felület z = f (x, y) alakban adott, akkor a felszín kifejezése egyszerűsödik: F =

ZZ q

1 + fx2 + fy2 dxdy.

B

11.3. Példa. A gömb felszínének kiszámítása. Tekintsük a gömb következő előállítását: x(u, v) = R cos u sin v y(u, v) = R sin u sin v z(u, v) = R cos v.

97

Az első alapmennyiségeket fogjuk meghatározni. ∂x ∂u ∂y ∂u ∂z ∂u

= −R sin u sin v = R cos u sin v =0

∂x ∂v ∂y ∂v ∂z ∂v

= R cos u cos v = R sin u cos v = −R sin v.

A kapott parciális deriváltakat felhasználva:   2  2 ∂y ∂z ∂x 2 + + = R2 sin2 v E= ∂u ∂u ∂u ∂x ∂x ∂y ∂y ∂z ∂z F = + + =0 ∂u ∂v ∂u ∂v ∂u ∂v  2  2  2 ∂x ∂y ∂z + + = R2 . G= ∂v ∂v ∂v 

Az alapmennyiségek mátrixának determinánsa R2 sin2 v 0 Det(g) = 0 R2

A gömbnyolcad felszínére kapjuk, hogy π

π

Z2 Z2 p 0

π

Det(g)dudv =

0

π

Z2 Z2 0

= R4 sin2 v.

R2 sin vdudv = R2

π π π [− cos v]02 = R2 , 2 2

0

melyből a teljes felszín F = 4R2 π.

11.3. Optimalizált felületek A görbékhez hasonlóan sok probléma kapcsán a felületeknél is felmerül az az igény, hogy valamilyen értelemben optimális felületet keressünk, miközben bizonyos megadott feltételeket teljesítünk. A felület "jóságát" itt is energiafüggvényekkel mérhetjük, melyek közül a két leggyakrabban használt a nyújtási és a hajlítási energia. Hangsúlyoznunk kell, hogy ezek az energiafüggvények, bár van közük a fizikai valósághoz, csak 98

idealizált leírásai a valóságban fellépő energiáknak. 11.4. Definíció. Ha adott az r(u, v) felület, melynek első alapmennyiségei rendre E(u, v), F (u, v) és G(u, v), akkor a felület hajlítási energiája Eh =

Z

r


kE(u, v)k2 + 2kF (u, v)k2 + kG(u, v)k2 dudv,

míg a felület hajlítási energiája Eh =

Z

r



!

∂r(u, v) 2 ∂r(u, v) 2



∂u + ∂v dudv.

11.4. Dupin-indikátrix, a második alapmennyiségek Legyen r = r(u, v) egy felület, P0 (u0 , v0 ) ennek egy pontja. Fejtsük Taylorsorba az r = r(u, v)-t a P0 egy környezetében a másodfokúnál magasabb tagok elhagyásával. Így az r = r(u, v) -t másodrendben közelítő b r=b r(u, v)

felületet kapunk:

∂r b + (v − v0 ) r(u, v) =r0 + (u − u0 ) ∂u P0 ∂ 2 r + (u − u0 )(v − v0 ) + ∂u∂v P0

2 ∂r 1 2 ∂ r + (u − u0 ) + ∂v P0 2 ∂u2 P0 2 1 2 ∂ r (v − v0 ) . 2 ∂v 2 P0

A két felületnek megegyezik az (u0 , v0 ) paraméterértékű pontja, valamint azonosak ebben a pontban a paramétervonalérintők, az érintősíkok és a normálegységvektorok is. Az b r=b r(u, v) felületnek a P0 -beli érintősíktól mért előjeles távolsága az b r − r0 és az n belső szorzata:

2 1 2 ∂ r d =(b r − r0 )n = (u − u0 ) n(P0 )+ 2 ∂u2 P0 2 ∂ 2 r 1 2 ∂ r + (u − u0 )(v − v0 ) n(P0 ) + (v − v0 ) n(P0 ). ∂u∂v P0 2 ∂v 2 P0 99

A L :=

∂2r n, ∂u2

M :=

∂2r n, ∂u∂v

N :=

∂2r n ∂v 2

belső szorzatokat a felület második alapmennyiségeinek nevezzük. Ha a P0 -ba helyezzük át az origót és a koordinátatengelyek egységvektorai a

∂r ∂r ∂u , ∂v

és az n vektorok lesznek, akkor ebben a speciális koordináta-

rendszerben a felület egyenlete z=

1 (Lx2 + 2M xy + N y 2 ) 2

azaz egy másodrendű felület, paraboloid. Ezért a felületet oszkuláló paraboloidnak (azaz másodrendben érintő felületnek) nevezzük. Az oszkuláló paraboloid a P0 pont környezetében nagyon jól közelíti az eredeti felületet, így egyenletéből látható, hogy a második alapmennyiségek a felületnek a térben felvett formájával kapcsolatosak. Az oszkuláló paraboloidot a P0 -beli érintősík mindkét oldalán kis távolságra az érintősíkkal párhuzamos síkkal elmetszük és a két metszetgörbét az érintősíkra vetítjük, akkor a felület P0 beli Dupin-féle indikátrix át kapjuk. A felület egy pontját elliptikusnak, hiperbolikusnak illetve parabolikusnak nevezzük, ha az ottani Dupin-féle indikátrixa egy valós és egy képzetes ellipszisből, vagy egy konjugált hiperbolapárból illetve egy valós és egy képzetes párhuzamos egyenespárból áll. Maga az oszkuláló paraboloid különböző alakzat a különböző típusú pontok esetén: elliptikus pontban elliptikus paraboloid, parabolikus pontban parabolikus henger, hiperbolikus pontban hiperbolikus paraboloid. A fentiekből is következik, hogy ha a P0 pont elliptikus, akkor a P0 elég kis környezetében a felületi pontok a P0 -beli érintősík egyik oldalára esnek. Ha a P0 pont hiperbolikus, akkor a P0 -hoz akármilyen közel is vannak a P0 beli érintősík egyik és másik oldalán levő pontok. Ha a P0 pont parabolikus, akkor a P0 -hoz elég közel levő pontok a P0 -beli érintősíkra vagy az egyik oldalra esnek (lásd 11.1. ábra).

100

11.5. Felületi görbék görbülete Vizsgáljuk most meg a felületi görbék görbületi viszonyait, melynek kiszámításában az első és második alapmennyiségeknek fontos szerep jut majd. Egy felület egy rögzített pontján áthaladó különböző felületi görbék görbületei nem lehetnek egymástól teljesen függetlenek, mert az, hogy egy felületen vannak, már megkötést jelent. Legyen r = r(u, v) egy felület, x(t) ≡

≡ r(u(t), v(t)) ezen egy görbe és P0 annak egy pontja. Tegyük fel, hogy a

görbe P0 -beli simulósíkja nem esik egybe a felület érintősíkjával, azaz a gör-

be f főnormálisa és a felület n normálvektora nem esnek egybe. Vezessük be az ívhosszt paraméternek majd a Frenet-képletek egyikét tekintsük: t = κf . Kihasználjuk azt a tényt, hogy a t érintővektor a felület érintősíkjának is vektora kiszámítjuk a következő belső szorzatot: tn = κfn =

Lu˙ 2 + 2M u˙ v˙ + N v˙ 2 , E u˙ 2 + 2F u˙ v˙ + Gv˙ 2

melyből a görbület κ=

1 Lu˙ 2 + 2M u˙ v˙ + N v˙ 2 · . fn E u˙ 2 + 2F u˙ v˙ + Gv˙ 2

A jobb oldal első tényezője rögzített normálvektor esetén csak a főnormális állásától, a második tag csak az érintővektortól függ. Így teljesül a következő tétel: 11.5. Tétel. A felületi görbe görbülete csak az érintő irányától és a főnormális állásától függ, ha fn 6= 0 . Az x(t) görbe simulósíkja egy síkgörbét vág ki a felületből, amelynek ugyanaz az érintővektora és főnormálisa, mint x(t) görbének. A felület adott pontjában megadott irányú és főnormálisú felületi görbék közül tehát görbületi szempontból elegendő az előbbi síkgörbét vizsgálni: 11.6. Tétel. Egy felületi görbe görbülete mindig megegyezik a simulósíkja által kimetszett felületi síkgörbe görbületével, ha fn 6= 0.

101

Egy felület adott P0 pontján átmenő, rögzített érintővel rendelkező görbék közül keressük meg a legkisebb görbületűt. Az előbbi eredményt felhasználva a jobb oldal második tényezője csak az érintő irányától függ, ebben az esetben változatlan. A szorzat akkor minimális, ha az fn szorzat maximális, azaz 1-gyel egyenlő. Ez azt is jelenti, hogy f k n és így a görbe simulósíkja

tartalmazza az n-t. A felületnek az n felületi normálison átmenő síkokkal való metszeteit normálmetszeteknek nevezzük. A normálmetszet görbülete κn =

Lu˙ 2 + 2M u˙ v˙ + N v˙ 2 E u˙ 2 + 2F u˙ v˙ + Gv˙ 2

amely az adott irányhoz tartozó normálgörbület. A normálgörbület a fentiek alapján κn = κfn . Ebben a kifejezésben a κ és az f csak a görbétől függ, míg az n csupán a felületen választott paramétervonal-rendszertől, amennyiben irányításváltó paraméter-transzformáció esetén n és vele együtt κn is előjelet vált. Tehát a normálgörbület irányítástartó paraméter-transzformációval szemben invariáns. Ha az f és n szögét ϕ-vel jelöljük, akkor az fn belső szorzat cos ϕ -vel egyenlő és κn = κ cos ϕ. A normálmetszet görbületi sugarára R =

1 κn

. Ha tehát a felület adott

P0 pontján átmenő tetszőleges felületi görbe P0 -beli görbületi sugara ρ, görbülete pedig κ, a P0 -beli normálgörbületi sugár R, a normálgörbület pedig κn , akkor közöttük a kapcsolat a következőképpen írható le: 11.7. Tétel. (Meusnier tétele) R cos ϕ = ρ, illetve κ cos ϕ = κn . Ez a tétel azt jelenti, hogy elegendő a normálgörbületet és a ϕ szöget ismernünk, ezekkel az adatokkal a görbületi sugár ill. maga a görbület meghatározható. A tételnek megadható egy szemléletes geometriai interpretációja. Ha P0 -ból kiinduló Rn vektor végpontja körül |R| sugárral gömböt rajzo-

lunk, akkor a P0 -on átmenő bármely adott érintőjű felületi görbe simulósíkja

a görbe simulókörét metszi ki az előbbi gömbből.

11.6. A Gauss-görbület A κn normálgörbület rögzített pont esetén is függ az érintőiránytól. Ez lehetőséget ad az érintő iránya szerinti szélsőérték keresésére, azaz egy adott 102

pontban az érintőt körbeforgatva keressük a minimális és maximális görbületet. Tekintsük κn -t az (u, ˙ v) ˙ síknak az origót körülvevő zárt körgyűrűjén. A ˙ v-nek ˙ racionális törtfüggvénye, így az origón átmenő bármely egyeκn az u, nes mentén konstans, az említett körgyűrűn a teljes értékkészletét felveszi. A szélsőérték keresése egy másodfokú egyenlethez vezet, mely L−κ E n D= M − κn F

M − κn F = 0. N − κn G

alakban írható föl. A determinást kifejtve egy másodfokú egyenletet kapunk κn -re. Az így kapott κmin , κmax értékeket főnormálgörbületeknek, főnormálgörbületekhez tartozó irányokat főir ányok nak nevezzük. A κmin , κmax szélsőértékeket egy másodfokú egyenlet megoldásaként kaptuk, ezáltal a gyökök és együtthatók közötti összefüggés alapján képezhető a κmin · κmax = K szorzatgörbület, melyet Gauss-görbület nek, és a κmin + κmax = H összeggörbület, melyet Minkowski-görbület nek nevezünk. Abban az esetben, ha a κn maximuma és minimuma egybeesik, azaz κmin = κmax , akkor κn egy iránytól független konstans és minden irány szélsőértékirány. A gömbnek minden pontja ilyen tulajdonságú, mert egy R sugarú gömb minden normálmetszete egy főkör, melynek a görbületi sugara 1 R

. Az ilyen pontokat, ahol κmin = κmax > 0, gömbi pont oknak nevezzük. Az

olyan pontokat, ahol κmin = κmax = 0 síkpontoknak nevezzük. A sík minden pontja ilyen tulajdonságú. Végül lehetséges, hogy κmin = −κmax , azaz ellentétes előjelűek, de egyező abszolútértékűek a főnormálgörbületek. Ekkor minimálpontról beszélünk. A minimálfelületek minden pontja minimálpont. A Gauss-görbület a definíció alapján kiszámítható K =

LN −M 2 EG−F 2

alakban,

azaz a második és az első alapmennyiségek mátrixainak determinánsa segít103

11.1. ábra. Elliptikus, hiperbolikus és parabolikus pont az érintősíkkal és a főnormálmetszetekkel

ségével. Maga a K görbület jól jellemzi a felület görbültségi viszonyait egy pont megfelelő környezetében. 11.8. Tétel. Egy felületi pont elliptikus, parabolikus ill. hiperbolikus akkor és csak akkor, ha a pontbeli Gauss-görbülete pozitív, nulla ill. negatív. Legyen κn a tekintett felületi pont egy tetszőleges irányhoz tartozó normálgörbülete, κmin , κmax a két főnormálgörbület és ϑ a κn és κmin irányok által bezárt szög. 11.9. Tétel. (Euler tétele) κn = κmin cos ϑ + κmax sin ϑ. A normálgörbületet leíró képletben az első és második alapmennyiségek is szerepeltek. Ezért meglepő a következő tétel, a felületelmélet főtétele: 11.10. Tétel. (Theorema egregium) A Gauss-görbület csak az első alapmennyiségek függvénye. Ez a látszólag technikai jellegű állítás nagyon fontos következménnyel jár. Tegyük fel ugyanis, hogy egy felületet úgy akarunk leképezni egy másik felületre, hogy közben a rajta lévő pontok távolsága ne változzon (az ilyen leképezést izometrikus leképezésnek nevezzük). A felületen két pont távolságát egy ívhossz adja meg, mely viszont kizárólag az első alapmennyiségek függvénye. Így a fenti tétel értelmében két felület között izometrikus leképezés csak akkor létezhet, ha a két felület Gauss-görbülete pontonként megegyezik. Legyen ugyanis az egyik felület r1 (u, v), melynek első alapmennyiségei E1 (u, v), F1 (u, v), G1 (u, v), a másik, r2 (u, v) felület első alapmennyiségei pedig E2 (u, v), F2 (u, v), G2 (u, v). Tegyük föl, hogy a két felületet pontonként kölcsönösen egyértelműen egymásra képeztük, majd megfelelő paramétertranszformációval elértük, hogy minden (u, v) párra r1 (u, v) = r2 (u, v). Egy 104

rögzített pontban és egy abból kiinduló rögzített irányban vizsgáljuk meg az egymásnak megfelelő ívhosszak esetleges torzulását, amit határértékben a λ = lim

△s1 →0

△s2 △s1

kifejezés ír le. Tudjuk, hogy az ívhossz mérése mindkét felületen a s=

Z tp

E u˙ 2 + 2F u˙ v˙ + Gvdt ˙

t0

képlet alapján történik. Mivel a torzítás képletében szereplő határérték deriváláshoz vezet, írhatjuk, hogy 2

λ = lim

△s1 →0



△s2 △s1

2

=



s′2 △s′1

2

=

E2 u˙ 2 + 2F2 u˙ v˙ + G2 v˙ . E1 u˙ 2 + 2F1 u˙ v˙ + G1 v˙

Ha a leképezés torzításmentes, akkor az utolsó hányados számlálójának és nevezőjének minden pontban és minden irányban meg kell egyeznie, ami csak úgy lehetséges, ha E1 ≡ E2 , F1 ≡ F2 és G1 ≡ G2 teljesül.

Ha megengedünk λ 6= 1 torzítást, de elvárjuk, hogy egy pontból minden

irányban azonos legyen a torzítás mértéke, akkor a fentiek szerint E2 u˙ 2 + 2F2 u˙ v˙ + G2 v˙ = λ2 (E1 u˙ 2 + 2F1 u˙ v˙ + G1 v). ˙

Ez viszont minden irányra csak akkor teljesül, ha E1 = λ2 E2 , F1 = λ2 F2 és G1 = λ2 G2 . Az ilyen leképezés szögtartó, hiszen a minden irányban azonos mértékű torzítás a nagyításnak vagy kicsinyítésnek felel meg. Az ilyen leképezéseket konform leképezéseknek is nevezzük. Hangsúlyozzuk, hogy a szögtartás általában nem jár együtt a távolságtartással, visszafelé azonban igen: minden távolságtartó leképezés szögtartó is. Még kevesebb elég ahhoz, hogy a leképezés területtartó legyen. A felszínszámítás képletéből kiindulva hasonló módon látható be, hogy ehhez az E1 G1 − F12 ≡ E2 G2 − F22 azonosságnak kell teljesülnie. 105

A fentiek értelmében a síkra csak olyan felület képezhető le izometrikusan, melynek Gauss-görbülete minden pontjában nulla. Az ilyen felületek éppen az előző fejezetben tárgyalt kifejthető felületek. 11.11. Példa. A gömb konstans pozitív Gauss-görbületű felület, míg a sík Gauss-görbülete minden pontban zérus. Így a két felület nem képezhető le egymásra izometrikusan, azaz például nem készíthető távolságtartó (léptéktartó) térkép a Földről. Készíthető viszont szögtartó térkép, melyet a légi és vízi közlekedésben használnak. Megjegyezzük még, hogy a gömb fontos szerepet játszik a Gauss-görbület másféle értelmezésében is. Görbék esetén vizsgáltuk azt a leképezést, melyben a görbe pontjaihoz az egységsugarú kör pontjait rendeltük, mégpedig azt a pontot, amelyiket a görbe adott pontbeli főnormális vektorának origóból induló reprezentánsa jelöl ki. Ehhez hasonlóan definiálhatunk a felületen is egy leképezést. 11.12. Definíció. A felület minden pontjához rendeljük hozzá az origó középpontú, egységnyi sugarú gömbnek azt a pontját, melyet az adott pontbeli normális egységvektor origóból induló repreneztánsa jelöl ki. Ezt a leképezést Gauss-féle gömbi leképezésnek, a felületnek a gömbön keletkezett képét gömbi képnek nevezzük. (11.2. ábra). Megjegyezzük, hogy a görbékhez hasonlóan a felületeknél is igaz, hogy a leképezés egyértelmű, de nem feltétlenül kölcsönsen egyértelmű. Minden pont körül létezik azonban olyan kis tartomány a felületen, melynek gömbi képe kölcsönösen egyértelmű módon jön létre. Ahogy a görbék görbületét lehetett vizsgálni a normálisok által az egységkörön kijelölt ív és a görbeív hányadosának határértékeként, úgy igaz ez a felületek esetére is, csak most ívhosszok helyett felszínek hányadosát kell tekintenünk. A most következő állításból látszik igazán, hogy a felületek Gauss-görbülete egyenes általánosítása a görbék görbületfogalmának. 11.13. Tétel. Legyen adott a ru,v felület valamely ru0 ,v0 pontja. Tekintsük ennek a pontnak olyan T környezetét a felületen, melynek gömbi képe köl106

11.2. ábra. A felület Gauss-féle gömbi leképezése

107

csönösen egyértelmű módon jön létre. Ekkor a felület adott pontbeli Gaussgörbülete előáll a felületdarab felszínének és a gömbi leképezésben ennek megfelelő gömbsüveg felszínének hányadosaként, azaz R R√

K(u0 , v0 ) = lim R RT q F →0 T

T

EG − F 2 dudv

Eg Gg − Fg2 dudv

,

ahol E, G, F a felületnek, Eg , Gg , Fg pedig a gömbnek az első alapmennyiségei, míg az FT a T tartomány felszíne.

12. Felületi görbék jellemzése, sokaságok 12.1. Geodetikus vonalak Ha két pont távolságát szeretnénk a felületen kiszámolni, akkor tehát a két pont közötti legrövidebb ívhosszú felületi görbét kell megkeresnünk. Legyen adva egy felület és annak két, p1 = r(u1 , v1 ) és p2 = r(u2 , v2 ) pontja. Legyen x(t)(u(t), v(t)) egy, a p1 és p2 -n átmenő felületi görbe, azaz létezzen olyan t1 és t2 paraméter, melyre p1 = x(t1 ) Ennek az ívhoszza:

Zt2 p

p2 = x(t2 ).

E u˙ 2 + 2F u˙ v˙ + Gv˙ 2 dt.

t1

Olyan differenciálható u(t), v(t) függvénypárt kell keresnünk, amely kielégíti az első két egyenletet és minimálissá teszi a fenti integrált. Ez egy variációs problémát jelent. A megoldást az úgynevezett Euler-Lagrange féle differenciálegyenlet-rendszer megoldásai között kereshetjük. A differenciálegyenlet-rendszer megoldásait stacionárius görbéknek nevezzük. 12.1. Definíció. A felületi görbék ívosszának variációjánál a stacionárius 108

görbéket geodetikus vonal aknak nevezzük. A két pontot összekötő legrövidebb ívhosszú görbe mindig geodetikus, de nem minden geodetikus ad legrövidebb ívhosszú görbét. A hengerfelületen a hengeres csavarvonalak, az alkotók és a tengelyre merőleges körök a geodetikusok. Két, különböző magasságban és különböző alkotón elhelyezkedő ponton végtelen sok hengeres csavarvonal halad át de ezek közül csak egy a legrövidebb ívhosszú. Ha egy felületre egy egyenes illeszkedik, akkor az nyilván geodetikus, hiszen az a legrövidebb ívhosszú görbe nemcsak a síkgörbék, hanem a térgörbék között is. A geodetikusokra érvényesek a következő tételek: 12.2. Tétel. Minden pontból minden irányban egyetlen geodetikus indul ki. 12.3. Tétel. Egy felületi görbe akkor és csak akkor geodetikus, ha a felületi normálisnak és a görbe főnormálisának iránya megegyezik. 12.4. Definíció. Egy x(s) = r(u(s), v(s)) felületi görbe p0 -beli geodetikus görbület én azon x ˆ görbe görbületét értjük, melyet úgy kapunk, hogy az x(s) görbét merőlegesen vetítjük a p0 -beli érintősíkra. 12.5. Tétel. Egy görbe akkor és csak akkor geodetikus, ha geodetikus görbülete zérus. A geodetikusok megkeresése még ezen tételek segítségével sem mindig könnyű, sokszor nem lehet zárt alakban megadni őket. Ha a felület forgásfelület, akkor újabb adalékot ad a geodetikusok természetéhez a következő, Clairaut-tól származó tétel. 12.6. Tétel. Ha a forgásfelület egy pontjában a parallel kör sugara r, a kör érintőjének és az adott pontra illeszkedő valamely geodetikus érintőjének a szöge ϕ, akkor ennek a geodetikusnak minden pontjában az r cos ϕ = konstans.

109

12.1. ábra. A forgásfelület geodetikusa a nagyobb parallel köröket nagyobb szögben metszi

Ez azt jelenti, a nagyobb parallel köröket a geodetikusok általában nagyobb szög alatt metszik, mint a kisebb sugarú parallel köröket (lásd 12.1. ábra). Ez alól kivétel természetesen az a speciális eset, amikor minden parallel kört merőlegesen metsz a geodetikus, hiszen ekkor cos ϕ = 0 miatt a kifejezés konstans. Ez utóbbi eset éppen a forgásfelület kontúrgörbéjét eredményezi, tehát ha egy síkgörbét megforgatunk a síkjába eső tengely körül, akkor a kapott forgásfelületen a síkgörbe (és annak bármely elforgatottja) geodetikus lesz. Másképpen megközelítve: a forgásfelületet forgástengelyre illeszkedő síkkal metszve geodetikusokat kapunk. Az egyenes körhenger esetében, ahol a parallel körök mind ugyanakkora sugarúak, azaz r konstans, a fenti tétel miatt a szögnek is konstansnak kell lennie. Tehát az egyenes körhenger geodetikusai az alkotók (ahol ϕ = = 90◦ ), maguk a parallel körök (ahol ϕ = 0◦ ), illetve a körhengeren futó bármely hengeres csavarvonal. Ez utóbbi tény világít rá arra is, hogy a geo-

110

detikus görbék nem feltétlenül adják a felület két pontja között a legrövidebb utat. Tekintsük ugyanis az egyenes körhenger egy alkotóját, ezen pedig két pontot. E két pont számos hengeres csavarvonalra illeszkedik, amik mindannyian geodetikusai a hengernek, a legrövidebb utat mégsem ezek adják, hanem magának az alkotónak - mely szintén geodetikus - a két pont közé eső szakasza. A gömb esetében könnyen belátható, hogy a geodetikusok éppen a főkörök. Megemlítjük még, hogy a felületek egymásra való leképezései között nagy jelentőségűek azok a leképezések, melyek geodetikusokat geodetikusokba képeznek le, tehát például egy felület a síkra úgy, hogy a felület geodetikusai egyenesekbe menjenek át.

12.2. A Gauss-Bonnet tétel Ebben a fejezetben a címben említett tételt, a differenciálgeometria egyik legmélyebb eredményét vizsgáljuk, melynek több verzióját is fölírjuk. A tétel Gauss által megfogalmazott első verziója lényegében arról szól, hogy ha egy felületre egy olyan háromszöget rajzolunk, melynek oldalai geodetikusok (azaz amely a síkbeli jól ismert háromszög általánosítása), akkor ennek a háromszögnek a szögösszege a hagyományos π összegtől általában különbözni fog, éspedig éppen annyival, mint a felület Gauss-görbületének a háromszög fölött vett felszín szerinti integrálja, azaz ha a geodetikus háromszög szögei α, β, γ, a háromszöget pedig T -vel jelöljük, akkor α+β+γ −π =

Z Z

KdA,

T

vagy a δi külső szögekre megfogalmazva (ahol tehát δ1 = π − α,δ2 = π − β, δ3 = π − γ):

2π −

3 X i=1

δi =

Z Z

KdA.

T

Speciális esetben, ha a felület konstans görbületű, jól ismert eredménye111

12.2. ábra. Konstans görbületű felületekre rajzolt gedetikus háromszögek szögösszege: K ≡ 0 esetén α + β + + γ = π (balra fent), K > 0 esetén α + β + γ > π (jobbra fent), K < 0 esetén α + β + γ < π ket kapunk. Nyilvánvaló, hogy ha K ≡ 0, azaz kifejthető felületen vagyunk,

akkor a képlet az euklideszi geometriából jól ismert szögösszeget adja. Ha K > 0, de állandó, például ha K ≡ 1, akkor α + β + γ − π = terület(T ). Ez azt jelenti, hogy az egységsugarú gömbön három főkör által kimetszett gömbháromszög szögösszege mindig nagyobb mint π, mégpedig éppen a háromszög területének mértékével. Ha nem egységsugarú gömböt vizsgálunk, 1 r2 , és r12

hanem tetszőleges r sugarút, akkor akkor ennek Gauss-görbülete K = azaz a szögösszeg szintén nagyobb lesz π-nél, de a különbség a terület szorzata lesz.

Ha K < 0, de állandó, akkor a pszeudoszférán vagyunk, melynek geo112

detikusai által kimetszett háromszögnek szögösszege így mindig kisebb lesz mint π (lásd 12.2. ábra). Természetes módon merül fel a kérdés, hogy mi a helyzet akkor, ha a felületre rajzolt háromszög oldalai nem geodetikusok. A fenti képlet annyiban módosul, hogy az oldalívek geodetikus görbülete is megjelenik, ami geodetikusoknál azonosan nulla volt. A tételet még általánosabb formában, a felületre rajzolt n oldalú sokszögekre mondjuk ki. 12.7. Tétel. Legyen adott az irányítható felületen egy körlappal homeomorf T felületdarab, melynek g(s) zárt határgörbéje véges sok pontban megtörik, ezekben a töréspontokban a beérkező és a kiinduló érintővektorok szöge (a "külső" szög) legyen δi , (i = 1, ..., k). A határgörbe egyébként legyen reguláris görbe, melynek geodetikus görbülete κg (s). Ekkor a külső szögek összegének és 2π-nek a különbsége éppen a felület Gauss-görbülete felszín szerinti integráljának és a határgörbe geodetikus görbülete görbementi integráljának összege, azaz 2π −

k X

δi =

i=1

Z Z

KdA +

Z

κg (s)ds.

g

T

Még meglepőbb általánosítása a tételnek az az állítás, amit következményével együtt sokszor globális Gauss-Bonnet tételként említenek. Ha a felületre rajzolt alakzat nem körrel homeomorf T felületdarabot határol, akkor ennek a felületdarabnak az E(T ) Euler-karakterisztikája is megjelenik a képletben: 2πE(T ) −

k X

δi =

i=1

Z Z T

KdA +

Z

κg (s)ds.

g

Ennek tulajdonképpeni következménye, hogy ha egy korlátos zárt felületet vizsgálunk, melynek tehát nincs határvonala, akkor a képletből eltűnnek a határgörbére vonatkozó tagok. 12.8. Tétel. Ha M korlátos, zárt felület, melynek Gauss-görbülete K, Euler-

113

karaterisztikája pedig E(M ), akkor 2πE(M ) =

Z Z

KdA.

M

A tétel azért igazán meglepő, mert a Gauss-görbület az egyes pontokban nyilvánvalóan változhat, ha a felületet valamilyen homeomorfizmusnak vetjük alá, az Euler-karaktersztika viszont topológiai invariáns. A tétel éppen azt állítja, hogy bár az egyes pontok Gauss-görbülete változhat, a teljes görbület a homeomorfizmussal szemben szintén invariáns marad.

12.3. Differenciálható sokaságok A 2.2 fejezetben megismerkedtünk a topológiai értelemben vett sokaságokkal, mint olyan alakzatokkal, melyek lokálisan az euklideszi térhez hasonlóan viselkednek. Vizsgálhatunk olyan sokaságokat, melyeknél plusz tulajdonságokat is megkövetelünk, így téve lehetővé, hogy a differenciálgeometriai értelemben vett görbékhez és felületekhez hasonlóan differenciálgeometriailag kezelhető sokaságokhoz, az úgynevezett differenciálható sokaságokhoz jussunk el. A differenciálgeometria ezen fejezetei az eddigieknél jóval absztraktabb megközelítést kívánnak meg, ugyanakkor a sokaságok vizsgálata, azok differenciálgeometriája olyan központi jeletőségű alkalmazásokban jelenik meg, mint például az általános relativitáselmélet "görbült tér" fogalma. 12.9. Definíció. Ha adott az n dimenziós M sokaság és annak egy x pontja, akkor azt a kölcsönösen egyértelmű leképezést, mely az x környezetét az n dimenziós euklideszi tér nyílt halmazra képezi le, koordináta-térképnek nevezzük. 12.10. Definíció. Az n dimenziós M sokaság koordináta-térképeinek olyan A halmazát, melyben szereplő térképek a sokaság minden pontját legalább egyszer leképezik, atlasznak nevezzük.

A fenti két elnevezés szemléletesen azt jelenti, mint amikor a földgömbről készített térképeket, illetve az ezeket összegyűjtő atlaszt vizsgáljuk. A föld114

12.3. ábra. A sokaság minden x pontjának környezetét egy vagy több térkép jeleníti meg En -ben

gömb felülete sokaság, ennek egy x pontja, pl. Eger városa körüli részt egy térképen jeleníthetünk meg. Az atlasz olyan könyv, mely elegendő mennyiségű térképet tartalmaz ahhoz, hogy a földgömb minden pontját megtaláljuk legalább az egyik térképen. Fontos és természetes, hogy egy-egy pont több térképen is szerepelhet, de nem lehet olyan pont, mely ne lenne rajta egyik térképen sem. Egyelőre azonban egy pont kis környezetének az atlasz két különböző térképén való megjelenésével kapcsolatban semmilyen feltételt nem szabtunk, azok nagyon különbözőek lehetnek. Ha két ilyen térkép között differenciálható leképezést tudunk létrehozni, akkor az azt biztosítja, hogy a térképek közötti átmenet elegendően sima. 12.11. Definíció. Az n dimenziós M sokaságot differenciálható sokaságnak nevezzük, ha van olyan A atlasza, hogy bármely két térkép az atlaszból

differenciálható leképezéssel köthető össze, azaz ha a ϕ1 térkép az U1 ∈ M

környezetet képezi le En -re, az ϕ2 térkép pedig az U2 ∈ M környezetet, akkor 115

a n n ϕ2 ◦ ϕ−1 1 : ϕ1 (U1 ∪ U2 ) ⊂ E → ϕ2 (U1 ∪ U2 ) ⊂ E

leképezés differenciálható minden ϕ1 , ϕ2 térképpárra. A differenciálható sokaságok tehát abban különböznek a pusztán topologikus sokaságoktól, hogy simábban jeleníthetők meg a térképeken. Ez azonban, mint az alábbi tétel mutatja, egyben azt is jelenti, hogy maguk a sokaságok sem nézhetnek ki "túl vadul" - mindegyik megjeleníthető egy magasabb dimenziós euklideszi térben. 12.12. Tétel (Whitney). Minden n dimenziós M differenciálható sokaság beágyazható az E2n+1 euklideszi térbe, azaz létezik olyan kölcsönösen egyértelmű nemelfajult differenciálható leképezés, mely M -et E2n+1 -be képezi. A beágyazáshoz szükséges dimenziószám konkrét sokaságoknál természetesen kisebb is lehet. Például a gömbfelület két dimenziós sokaság, a tétel szerint beágyazható az 5 dimenziós euklideszi térbe, de természetesen tudjuk, hogy az E3 -ba is beágyazható. Vannak azonban olyan sokaságok, ahol a tételben szereplő dimenziószám nem csökkenthető. A sokaságokon - és innentől kezdve sokaságon mindig differenciálható sokaságot értünk - a felületekhez hasonlóan definiálhatunk "felületi" görbéket, mint olyan függvényeket, melyek értelmezési tartománya a valós számok egy intervalluma, értékkészlete pedig a sokaság pontjaiból áll. Ternészetesen a felületelmélethez hasonlóan itt is megköveteljük, hogy a leképezés differenciálható legyen. A felületi görbékhez érintővektorokat is definiálhatunk. 12.13. Definíció. Legyen adott az M sokaság és annak egy x pontja. Legyen γ1 : I1 ⊂ R → M és γ2 : I2 ⊂ R → M két görbe a sokaságon, melyek

átmennek az x ponton. Az x pont környezetének a térképe legyen ϕ. Ekkor a térkép a görbéket is leképezi x környezetében, ez a ϕ◦γ1 és ϕ◦γ2 leképezés

pedig differenciálható, mert a tagjai differenciálhatóak. A két görbét x-ben azonos irányúnak nevezzük, ha az x-hez tartozó paraméterértéknél a két leképezés deriváltja megegyezik. 116

Az x-en átmenő összes görbék halmazán az "azonos irányú" reláció ekvivalenciareláció. Az ez által indukált osztályozás osztályait az M sokaság x pontbeli érintőinek, az osztályok összességét pedig Tx M érintőtérnek nevezzük. Az érintőtér a felületek adott pontbeli érintősíkjának általánosítása. Az érintőtér dimenziója mindig megegyezik az eredeti sokaság dimenziójával: a felület érintősíkja 2 dimenziós, az n dimenziós sokaság érintőtere szintén n dimenziós. A differenciálható sokaságokon belül további specializálással újabb sokaságfogalmakhoz juthatunk. Ezek közül a legklasszikusabb a Riemann által bevezetett sokaságfogalom, melyben megköveteljük, hogy az érintőterek vektorterekként funkcionáljanak. 12.14. Definíció. Az M differenciálható sokaság Riemann-sokaság, ha valamennyi x pontjában a Tx M érintőtér vektortér, azaz értelmezett rajta a belső szorzás. Ez a technikai részlet azért fontos, mert így az érintőtéren távolság mérhető, ami a sokaságra vetítve is használható egyfajta távoságfogalomként, azaz a távolságokat nem magán a sokaságon mérjük, hanem annak érintőterein. A Riemann-sokaságok elmélete fontos szerepet játszik a matematika és a fizika számos területén.

117

Irodalomjegyzék [1] Bácsó S. - Hoffmann M.: Fejezetek a geometriából, Lyceum Kiadó, Eger, 2003. [2] Boehm, W. - Prautzsch, H.: Geometric concepts for geometric design, A.K. Peters, Wellesley, 1993. [3] Do Carmo, M.: Differential geometry of curves and surfaces, Prentice– Hall, Englewood, New Jersey, 1976. [4] Gray, A.: Modern Differential Geometry of Curves and Surfaces with Mathematica, Chapman & Hall, Boca Raton, Florida, 2006 [5] Lánczos K.: A geometriai térfogalom fejlődése, Gondolat, Budapest, 1976. [6] Szőkefalvi-Nagy Gy. - Gehér L. - Nagy P.: Differenciálgeometria, Műszaki Kiadó, Budapest, 1979.

118