INFORMATIKAI KAR. Funkcionálanalízis a jelfeldolgozás és a szimuláció matematikai alapjai

¨ OS ¨ LORAND ´ ´ EOTV TUDOMANYEGYETEM INFORMATIKAI KAR

Szili László

Funkcion´ alanal´ızis – a jelfeldolgoz´ as ´ es a szimul´ aci´ o matematikai alapjai

Budapest, 2007

A jegyzet a GVOP-3.2.2.-2004-07-0005/3.0 szám´ u ELTE IKKK és a T 047132 szám´ u OTKA pályázatok támogatásával kész¨ ult

Tartalomjegyz´ ek El˝ osz´ o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1. Weierstrass approxim´ aci´ os (s˝ ur˝ us´ egi) t´ etelei . . . . 1.1. El˝ozetes megjegyzések . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2. A tételek megfogalmazása . . . . . . . . . . . . . . . 1.3. Az els˝o approximációs tétel Bernstein-féle bizony´ıtása 1.4. Csebisev tétele a legjobban közel´ıt˝o polinomokról . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

2. T´ erstrukt´ ur´ ak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1. Metrikus terek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.1. A metrikus tér fogalma. Példák . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.2. Izometrikus terek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.3. Környezetek, korlátos halmazok, ekvivalens metrikák . . . . 2.1.4. Konvergens sorozatok metrikus terekben . . . . . . . . . . . 2.1.5. Teljes metrikus terek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.6. Metrikus tér teljessé tétele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.7. Ny´ılt, zárt és kompakt halmazok metrikus terekben . . . . . 2.1.8. Metrikus tér s˝ ur˝ u részhalmazai. Szeparábilis terek. A Baireféle kategóriatétel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.9. Metrikus terek közötti f¨ uggvények folytonossága . . . . . . . 2.2. Lineáris terek (vektorterek) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3. Normált terek és Banach-terek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4. A Lp és a lp terek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4.1. El˝ozetes megjegyzések . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4.2. A Lebesgue-integrálra vonatkozó néhány alapvet˝o eredmény 2.4.3. A Lp f¨ uggvényterek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4.4. Kapcsolat a Lp terek között . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4.5. Normakonvergencia. A Lp terek teljessége . . . . . . . . . . 2.5. Euklideszi terek és Hilbert-terek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3. A legjobb approxim´ aci´ o probl´ emak¨ ore . . . . . . . . 3.1. A probléma felvetése és absztrakt negfogalmazása . . 3.2. A legjobban közel´ıt˝o elem létezése metrikus terekben 3.3. Approximációs tételek normált terekben . . . . . . . 3.3.1. Altért˝ol vett távolság . . . . . . . . . . . . . . 3.3.2. Zárt és konvex halmazoktól vett távolság . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

5 . . . .

7 7 8 8 13

. . . . . . . .

15 15 15 17 18 19 21 24 24

. . . . . . . . . . .

29 33 35 36 41 41 43 45 51 52 56

. . . . .

61 61 63 64 64 69

2

Tartalomjegyzék 3.3.3. Approximációs tételek konkrét f¨ uggvényterekben . 3.4. Approximációs tételek Hilbert-terekben . . . . . . . . . . 3.4.1. Projekciós (vet´ıt˝o) operátorok . . . . . . . . . . . 3.4.2. A projekciós operátor explicit el˝oáll´ıtása . . . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

70 71 74 75

. . . . . .

77 77 77 83 84 85 93

. . . . . . .

97 97 99 102 104 112 112 113

4. Hilbert-terekben a Fourier-sorok elm´ elete . . . . . . 4.1. A probléma felvetése . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2. Ortogonalitás. A Gram–Schmidt-féle ortogonalizáció 4.3. Zárt és teljes rendszerek Hilbert-terekben . . . . . . . 4.4. Végtelen sorok Hilbert-terekben . . . . . . . . . . . . 4.5. Fourier-sorok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.6. Szeparábilis Hilbert-terek izomorfiája . . . . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

5. Line´ aris oper´ atorok ´ es funkcion´ alok . . . 5.1. A lineáris operátorok L(X, Y ) vektortere . 5.2. Folytonosság és korlátosság . . . . . . . . . 5.3. Operátor normája. A B(X, Y ) normált tér 5.4. Példák funkcionálokra és operátorokra . . 5.5. A duális tér . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.5.1. A duális tér defin´ıciója . . . . . . . 5.5.2. Konkrét normált terek duális terei .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

6. A Hahn–Banach-t´ etelek . . . . . . . . . . 6.1. El˝ozetes megjegyzések . . . . . . . . . . 6.2. A Hahn–Banach-tétel analitikus alakjai: lineáris funkcionálok kiterjesztése . . . . 6.3. A Hahn–Banach-tétel geometriai alakjai: konvex halmazok szétválasztása s´ıkokkal

. . . . . . . . . . . . . . . 123 . . . . . . . . . . . . . . . . 123

7. A Banach–Steinhaus-t´ etelek . . 7.1. Operátorsorozat konvergenciája 7.2. Az általános eredmények . . . . 7.3. Alkalmazások . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . 123 . . . . . . . . . . . . . . . . 127

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

131 . 131 . 132 . 136

8. Az inverz oper´ ator folytonoss´ aga. Ny´ılt lek´ epez´ esek ´ es z´ art gr´ afok . 8.1. El˝ozetes megjegyzések . . . . . . 8.2. Az inverz operátor . . . . . . . . 8.3. A ny´ılt leképezések tétele . . . . . 8.4. A Banach-féle homeomorfia tétel

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

147 . 147 . 147 . 149 . 151

Tartalomjegyzék

3

8.5. A zárt gráf tétel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152 Irodalom

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157

El˝ osz´ o A jegyzet alapját azoknak az el˝oadásoknak és gyakorlatoknak az anyagát alkotja, amelyeket a 2003. ˝oszi és a 2007. tavaszi félév között tartottam az Eötvös Loránd Tudományegyetem Informatikai Karán a programtervez˝o matematikus szakos hallgatóknak. A 8 féléves Anal´ızis nev˝ u tantárgy utolsó félévében szerepelt a korábbi ismeretek elmély´ıtésére és kiegész´ıtésére szánt témakör: a funkcionálanal´ızis. A jegyzet ennek a félévnek az anyagát tartalmazza, ezért többször is hivatkozunk a korábbi félévekben ismertetett alábbi témakörökre: • metrikus terek elmélete (alapvet˝o tulajdonságok, metrikus terek közötti f¨ uggvények folytonossága), • trigonometrikus Fourier sorok elmélete, • mérték- és integrálelmélet.

Az ezekkel kapcsolatos fogalmakat és eredményeket (a bizony´ıtások felidézése nélk¨ ul) soroltuk fel. Az els˝o változat összeáll´ıtása során sok seg´ıtséget kaptam hallgatóimtól és kollégáimtól. Hallgat´ oim köz¨ ul k¨ ulönösen köszönettel tartozom Bese Antalnak, Kiss Bal´ azsnak, M´ arton Rit´ anak és Mátyás Gergelynek, akik az anyag alapos áttanulmányozása során tettek hasznos megjegyzéseket és az ábrákat elkész´ıtették. Kollég´ aim köz¨ ul Simon Péternek és T´ oth Jánosnak tartozom köszönettel, akikt˝ol az els˝o változat igen alapos áttanulmányozása után kaptam hasznos és fontos észrevételeket, javaslatokat; amelyeket a jelen változatba beép´ıtettem. Minden megjegyzést, észrevételt, seg´ıtséget köszönettel veszek.

Budapest, 2007. november 11.

Szili László ELTE IK Numerikus Anal´ızis Tanszék e-mail: [email protected]

5

1. Weierstrass approxim´ aci´ os (s˝ ur˝ us´ egi) t´ etelei 1.1.

El˝ ozetes megjegyz´ esek

Induljunk ki abból a jól ismert tényb˝ol, hogy minden R-beli nemelfajuló intervallum tartalmaz racionális számot. Ebb˝ol az is következik, hogy minden valós szám tetszés szerinti pontossággal megközel´ıthet˝o racionális számokkal, azaz ∀ a ∈ R-hez ∃ (qn ) ⊂ Q : qn → a (n → +∞).

(1.1)

A szemlélet¨ unkkel összhangban ezt u ´gy is mondjuk, hogy a racion´ alis számok s˝ ur˝ un vannak R-ben. Mivel Q megszámlálható ( kezelhet˝o”), ezért az eml´ıtett eredmény ” gyakorlati jelent˝osége nyilvánvaló. Weierstrass els˝o, illetve második approxim´ aciós tétele az (1.1) alatti áll´ıtásnak a C[a, b], k · k∞ , illetve a C2π , k · k∞ f¨ uggvényterekre vonatkozó általános´ıtása.

Emlékeztet¨ unk arra, hogy C[a, b]-vel jelölj¨ uk a kompakt [a, b] ⊂ R intervallumon értelmezett valós érték˝ u folytonos f¨ uggvények halmazát. A pontonkénti m˝ uveletekre nézve ez természetes térstrukt´ urával van ellátva, és az kf k∞ := max |f (x)| x∈[a,b]

(f ∈ C[a, b])

képlet normát definiál a C[a, b] lineáris téren. Ezzel a normával (C[a, b], k · k∞ ) teljes normált tér, azaz Banach-tér, és a norma által indukált konvergenciát az [a, b]-n vett egyenletes konvergenciának nevezz¨ uk. Az R halmazon értelmezett 2π szerint periodikus folytonos f¨ uggvények C2π lineáris tere is Banach-tér az kf k∞ := max |f (x)| x∈R

(f ∈ C2π )

normára nézve, és a megfelel˝o konvergencia ebben az esetben az R-en vett egyenletes konvergencia. Weierstrass tételei fontos szerepet játszottak a funkcion´ alanal´ızis kialakulásában. Az els˝o motivációt adták a s˝ ur˝ uség, a z´ arts´ ag és a teljesség problémájának az általános felvetéséhez.

7

8

1.2.

1. Weierstrass approximációs (s˝ ur˝ uségi) tételei

A t´ etelek megfogalmaz´ asa

K. Weierstrass 1885-ben igazolta az anal´ızis legalapvet˝obb tételei közé sorolható alábbi eredményeket. 1. t´ etel (Weierstrass els˝o approximációs tétele). Minden f : [a, b] → R folytonos f¨ uggvényhez létezik algebrai polinomoknak olyan (Pn ) sorozata, amelyik az [a, b] intervallumon egyenletesen tart az f f¨ uggvényhez. Ezt röviden u ´gy mondjuk, hogy az algebrai polinomok s˝ ur˝ un vannak a (C[a, b], k · k∞ ) Banach térben. A tétel Weierstrass által közölt eredeti bizony´ıtása óta több más bizony´ıtást is találtak. A következ˝o pontban az Sz.N. Bernsteint˝ol származó, 1912-ben publikált, valósz´ın˝ uségszám´ıtási hátter˝ u bizony´ıtást ismertetj¨ uk. Sz˝okefavi-Nagy Béla: Val´ os f¨ uggvények és f¨ uggvénysorok c´ım˝ u tankönyve tartalmazza a tétel H. Lebesgue-féle bizony´ıtását. Folytonos periodikus f¨ uggvények trigonometrikus polinomokkal való közel´ıtésére is hasonló áll´ıtás érvényes. 2. t´ etel (Weierstrass második approximációs tétele). Minden 2π szerint periodikus folytonos f f¨ uggvényhez létezik trigonometrikus polinomoknak olyan (Tn ) sorozata, amelyik az egész számegyenesen egyenletesen tart az f f¨ uggvényhez. Ezt röviden u ´gy mondjuk, hogy a trigonometrikus polinomok s˝ ur˝ un vannak a (C2π , k · k∞ ) Banach térben. Ch. J. de la Vallée Poussin 1918-ban mutatott rá arra, hogy a két approximációs tétel szoros kapcsolatban van egymással. Nevezetesen: egyik a másiknak a következménye. 3. t´ etel (de la Vallée Poussin). Weierstrass két approximáci´ os tétele ekvivalens egymással. A 2. és a 3. tételt nem bizony´ıtjuk. Az érdekl˝od˝oknek I. P. Natanszon: Konstrukt´ıv f¨ uggvénytan c´ım˝ u kiváló tankönyvét ajánljuk.

1.3.

Az els˝ o approxim´ aci´ os t´ etel Bernstein-f´ ele bizony´ıt´ asa

Kezdj¨ uk azzal a speciális esettel, amikor az alapintervallum [0, 1], azaz [a, b] = [0, 1]. A bizony´ıtást több lépésben végezz¨ uk el. Az önmagukban is érdekes és fontos részeket k¨ ulön tételekben is megfogalmazzuk.

1.3. Az els˝o approximációs tétel Bernstein-féle bizony´ıtása

9

Defin´ıci´ o. Legyen n természetes szám. Az n k Nk,n (x) := x (1 − x)n−k x ∈ [0, 1], k = 0, 1, . . . , n k polinomokat n-edfok´ u Bernstein-f´ ele alappolinomoknak nevezz¨ uk.

4. t´ etel (az Nk,n polinomok tulajdonságai). (a) Nk,n (x) ≥ 0 (x ∈ [0, 1], n ∈ N). n X Nk,n (x) = 1 (x ∈ [0, 1], n ∈ N). (b) k=0

(c) Minden rögz´ıtett δ > 0 és x ∈ [0, 1] szám esetén fennáll a X

k k:|x− n |≥δ

Nk,n (x) ≤

1 4nδ 2

egyenl˝ otlenség. A (c) tulajdonságnak, durván kifejezve, az az értelme, hogy nagy n értékekre a n X

Nk,n (x)

k=0

összegben csak azok a tagok lényegesek, amelyek k indexére k − x < δ, n

m´ıg a többi tag az összeg értékét alig befolyásolja.

Bizony´ıt´ as. (a) A defin´ıció alapján nyilvánvaló. (b) Alkalmazzuk az n X n k n−k n a b (a, b ∈ R, n ∈ N) (a + b) = k k=0 binomiális tételt az a = x és b = 1 − x szereposztással. (c) Jelölj¨ uk ∆n (x)-szel a 0, 1, 2, . . . , n sorozatba tartozó azoknak a k számoknak a halmazát, amelyekre nk − x ≥ δ. Ha k ∈ ∆n (x), akkor (k − nx)2 ≥ 1. n2 δ 2

10

1. Weierstrass approximációs (s˝ ur˝ uségi) tételei

Ennélfogva X

k∈∆n (x)

n X 1 1 X 2 Nk,n (x) ≤ 2 2 (k − nx)2 Nk,n (x). (k − nx) Nk,n (x) ≤ 2 2 nδ n δ k=0 k∈∆n (x)

Az utolsó összeg kiszámolásához tekints¨ uk a következ˝o átalak´ıtást: T :=

n X k=0

Mivel

Pn

k=0

2

(k − nx) Nk,n (x) =

n X

k(k − 1) − (2nx − 1)k + n2 x2 Nk,n (x).

k=0

Nk,n (x) = 1, továbbá

n X

kNk,n (x) = nx

k=0

n−1 X n−1 l

l=0

xl (1 − x)n−1−l = nx,

n−2 X n−2 l k(k − 1)Nk,n (x) = n(n − 1)x x (1 − x)n−2−l = n(n − 1)x2 , l k=0 l=0

n X

2

ezért T = n2 x2 − (2nx − 1)nx + n(n − 1)x2 = nx(1 − x).

Az x(1 − x) ≤

1 4

(x ∈ [0, 1]) egyenl˝otlenség felhasználásával tehát azt kapjuk, hogy X

k∈∆n (x)

Nk,n (x) ≤

1 n2 δ 2

T =

x(1 − x) 1 ≤ , 2 nδ 4nδ 2

és ez a (c) áll´ıtás bizony´ıtását jelenti. Defin´ıci´ o. Legyen f : [0, 1] → R tetsz˝oleges f¨ uggvény. A

n X k Bn f (x) := f Nk,n (x) (x ∈ [0, 1], n ∈ N) n k=0

polinomot az f f¨ uggvény n-edik Bernstein-f´ ele polinomj´ anak nevezz¨ uk. Könny˝ u el˝ore látni, hogy ha f folytonos, akkor n nagy értékeire (Bn f )(x) igen kevéssé k¨ ulönbözik f (x)-t˝ol. Ugyanis már megjegyezt¨ uk azt, hogy a n X k=0

Nk,n (x)

1.3. Az els˝o approximációs tétel Bernstein-féle bizony´ıtása

11

összegben azok tagok, amelyekre nk távol áll x-t˝ol, majdnem semmi szerepet nem játszanak. Ugyanez áll a Bn f polinomra nézve is, mivel az f ( nk ) tényez˝ok korlátosak. Ennélfogva a Bn f polinomban csak azok a tagok fontosak, amelyekre nk az x-hez nagyon közel esik. De az ilyen tagokra az f ( nk ) tényez˝o alig k¨ ulönbözik f (x)-t˝ol (a folytonosság miatt). Ez azt jelenti, hogy a Bn f polinom alig változik, ha tagjaiban f ( nk )-et f (x)-szel helyettes´ıtj¨ uk. Más szóval fennáll a következ˝o közel´ıt˝o egyenl˝oség: (Bn f )(x) =

n X k=0

f (x)Nk,n (x) ≈ f (x).

Lényegében a fenti gondolatmenet pontos´ıtásával igazolta Sz.N. Bernstein 1912-ben a következ˝o fontos eredményt. 5. t´ etel (Bernstein). Tetsz˝oleges f ∈ C[0, 1] f¨ uggvény esetén a (Bn f ) polinomsorozat a [0, 1] intervallumon egyenletesen konvergál az f f¨ uggvényhez. Bizony´ıt´ as. Azt kell megmutatni, hogy ha f ∈ C[0, 1], akkor ∀ ε > 0-hoz ∃ n0 ∈ N, hogy ∀ x ∈ [0, 1] és ∀ n ≥ n0 esetén f (x) − Bn f (x) < ε.

Rögz´ıts¨ uk az ε > 0 számot, és jelölj¨ uk M -mel |f | maximumát. Az f f¨ uggvény egyenletes folytonossága következtében ε-hoz ∃ δ > 0 : |x − x¯| < δ ⇒ |f (x) − f (¯ x)| < ε. Válasszunk ezután a [0, 1] intervallumon egy tetsz˝oleges x-et. Mivel 1, ezért n X f (x) = f (x)Nk,n (x),

Pn

k=0

Nk,n (x) =

k=0

és ´ıgy

n X f (x) − Bn f (x) = f (x) − f

k=0

k n

Nk,n (x).

Osszuk fel a 0, 1, . . . , n indexeket két részre. Az egyikbe tartozzanak azok a k számok, amelyekre k − x < δ, n ezek halmazát jelölj¨ uk I1 -gyel. Legyen I2 azon k indexek halmaza, amelyekre k − x ≥ δ n

12

1. Weierstrass approximációs (s˝ ur˝ uségi) tételei P teljes¨ u l. Ennek megfelel˝ o en a fenti ¨ o sszeget is k´ e t r´ e szre bontjuk; ezeket es I -gyel ´ P k olj¨ uk. Az els˝oben f n − f (x)| < ε, és ezért II -vel jel¨ n X X X ≤ε Nk,n (x) ≤ ε. Nk,n (x) ≤ ε I

A másik összegben f

k n

k=0

k∈I1

− f (x)| ≤ 2M , és ezért az el˝oz˝o tétel (c) része alapján

X X M ≤ 2M . Nk,n (x) ≤ II 2nδ 2 k∈I 2

A fentieket összegezve azt kapjuk, hogy

f (x) − Bn f (x) ≤ ε + M . 2nδ 2

M es Ha n elegend˝oen nagy (n ≥ n0 ), akkor 2nδ 2 < ε ´ f (x) − Bn f (x) ≤ 2ε,

amivel a tétel be is van bizony´ıtva, mert a szóban forgó n0 szám nem f¨ ugg az x megválasztásától. Az els˝o approximációs tétel bizony´ıtásához még azt kell megmutatni, hogy az áll´ıtás minden [a, b] kompakt intervallumra is érvényes. Tegy¨ uk fel tehát, hogy [a, b] 6= [0, 1]. Vegy¨ unk egy tetsz˝oleges f ∈ C[a, b] f¨ uggvényt, és legyen ϕ(y) := f (a + y(b − a))

(y ∈ [0, 1]).

A fentiek uggvényhez minden ε > 0 esetén létezik olyan Pszerint ehhez a ϕ ∈ C[0, 1] f¨ Q(y) = nk=0 ck y k polinom, hogy ϕ(y) − Q(y) < ε (y ∈ [0, 1]).

Ha x az [a, b] tetsz˝oleges pontja és x = a + y(b − a), akkor y = x−a ∈ [0, 1], ezért az b−a iménti egyenl˝otlenségb˝ol azt kapjuk, hogy ϕ(y) − Q(y) = f (x) − Q x−a < ε (x ∈ [a, b]), b−a

és világos, hogy Q az x változónak is egy polinomja. Ez a polinom f -et a k´ıvánt pontossággal megközel´ıti. Weierstrass els˝o approximációs tételét tehát maradéktalanul igazoltuk.

1.4. Csebisev tétele a legjobban közel´ıt˝o polinomokról

1.4.

13

Csebisev t´ etele a legjobban k¨ ozel´ıt˝ o polinomokr´ ol

Kompakt intervallumon folytonos f¨ uggvények egyszer˝ u szerkezet˝ u f¨ uggvényekkel (például polinomokkal) való megközel´ıtésének természetes mértéke a következ˝o. Defin´ıci´ o. Jelölj¨ uk Pn -nel (n ∈ N) a legfeljebb n-edfok´ u algebrai polinomok halmazát. Tetsz˝oleges f ∈ C[a, b] f¨ uggvény esetén az En (f ) := inf kf − P k∞ P ∈Pn

számot az f f¨ uggvény legfeljebb n-edfok´ u polinomokkal való legjobb megk¨ ozel´ıt´ es´ enek nevezz¨ uk. Nem nehéz látni, hogy a fenti infimum valóban létezik és minden f ∈ C[a, b] f¨ uggvényre E1 (f ) ≥ E2 (f ) ≥ · · · ≥ 0.

Ebb˝ol és Weierstrass els˝o approximációs tételéb˝ol következik, hogy lim En (f ) = 0

n→+∞

(f ∈ C[a, b]).

Ha egy f f¨ uggvényt polinomokkal k´ıvánunk megközel´ıteni, akkor elég természetes az az igény, hogy a legfeljebb n-edfok´ u polinomok köz¨ ul (tehát Pn -ben) azt a polinomot válasszuk, amelyik legközelebb van f -hez. Az eddigiekb˝ol nem következik, és egyáltalán nem nyilvánvaló, hogy általában létezik-e a Pn halmazban olyan P ∗ polinom, amelyre En (f ) = kf − P ∗ k∞ , vagy másképpen az En (f ) defin´ıciójában az infimum vajon helyettes´ıthet˝o-e minimummal. P.L. Csebisev 1859-ben — közel 30 évvel megel˝ozve Weierstrass tételeit — igazolta ilyen legjobban közel´ıt˝o” polinomok ” létezését. 6. t´ etel (Csebisev tétele). Tetsz˝oleges f ∈ C[a, b] f¨ uggvényhez és n természetes ∗ számhoz egyértelm˝ uen létezik olyan P ∈ Pn polinom, amelyre kf − P ∗ k∞ = inf kf − P k∞ = min kf − P k∞ = En (f ) P ∈Pn

P ∈Pn

teljes¨ ul. P ∗ -ot az f -et legjobban megk¨ ozel´ıt˝ o Pn -beli polinomnak nevezz¨ uk. Ennek a klasszikus tételnek a bizony´ıtása megtalálható I. P. Natanszon: Konstrukt´ıv f¨ uggvénytan (Budapest, 1952) tankönyvének 33–45. oldalain. Itt csupán azt eml´ıtj¨ uk meg, hogy a bizony´ıtás nem konstrukt´ıv jelleg˝ u, és az általános esetben remény sincs az f -et legjobban megközel´ıt˝o polinomok explicit el˝oáll´ıtására. Az u ń. Remez-algoritmus seg´ıtségével a szóban forgó polinomok jó közel´ıtései” azonban ” explicit módon is megadhatók. A trigonometrikus polinomokkal való közel´ıtésre is hasonló áll´ıtás érvényes.

2. T´ erstrukt´ ur´ ak A következ˝o ábrán szemléltetj¨ uk a már megismert térstrukt´ urákat (bebizony´ıtható, hogy a jelzett tartalmazások mindegyike valódi tartalmazás abban az értelemben, hogy van olyan metrikus tér, amelyik metrikája nem származtatható normából, stb.): metrikus terek teljes metrikus terek Banach-terek Hilbert-terek

normált terek euklideszi terek

Ebben a fejezetben összefoglaljuk és kiegész´ıtj¨ uk a korábbi ismereteket.

2.1. 2.1.1.

Metrikus terek A metrikus t´ er fogalma. P´ eld´ ak

Defin´ıci´ o. Az (M, ̺) rendezett párt metrikus t´ ernek nevezz¨ uk, ha M tetsz˝oleges nem¨ ures halmaz, ̺ : M × M → R pedig olyan f¨ uggvény, amely a következ˝o tulajdonságokkal rendelkezik: (i) minden x, y ∈ M esetén ̺(x, y) ≥ 0; (ii) ̺(x, y) = 0 ⇐⇒ x = y (x, y ∈ M ); (iii) bármely x, y ∈ M elemekre ̺(x, y) = ̺(y, x) (szimmetriatulajdonság); (iv) tetsz˝oleges x, y, z ∈ M elemekkel fennáll a ̺(x, y) ≤ ̺(x, z) + ̺(z, y) háromszög-egyenl˝otlenség. A ̺ leképezést távolság-f¨ uggvénynek (vagy metrik´ anak) mondjuk; a ̺(x, y) számot az x, y ∈ M elemek távolságának nevezz¨ uk. 15

16

2. Térstrukt´ urák

Hangs´ ulyozni kell, hogy metrikus tér esetében nem k´ıvánunk meg semmiféle egyéb strukt´ urát (m˝ uveletek, rendezés, stb.) a halmazon. Egyszer˝ uen bebizony´ıtható az, hogy tetsz˝oleges (M, ̺) metrikus térben igazak a háromszög-egyenl˝otlenségek alábbi változatai is:

̺ x1 , xn ≤

n−1 X

̺ xk , xk+1

k=1

ρ(x, z) − ρ(y, z) ≤ ̺(x, y)

(x1 , . . . , xn ∈ M, n ≥ 2); (x, y ∈ M ).

Nyilvánvaló, hogy bármely A ⊂ M részhalmaz esetén ̺-nak az A × A halmazra vonatkoz´ uk´ıtése metrika, és A ezzel a metrikával metrikus tér. Ezt o lesz˝ az A, ̺|A×A metrikus teret az (M, ̺) alter´ enek nevezz¨ uk. P´ eld´ ak metrikus terekre.

• M := R és ̺(x, y) := |x − y| (x, y ∈ R). Ez R szokásos” metrikája. A ” továbbiakban R-et mindig ezel a metrikával látjuk el. • A diszkr´ et metrikus t´ er. Adott M nem¨ ures halmazon a ( 0, ha x = y ̺(x, y) := 1, ha x 6= y képlet az u ´gynevezett diszkrét metrikát definiálja. Ekkor (M, ̺)-t diszkrét metrikus térnek h´ıvjuk. • Az Rn , ̺p terek. Legyen n pozit´ıv egész szám, M := Rn , 1 ≤ p ≤ +∞ és x = (x1 , . . . , xn ), y = (y1 , . . . , yn ) ∈ Rn esetén ̺(x, y) :=

 Pn p 1/p  |x − y | , ha 1 ≤ p < +∞ k k k=1  max |xk − yk |,

ha p = +∞.

1≤k≤n

Ekkor Rn , ̺p metrikus tér.

• A lp terek. Az el˝oz˝o példa végtelen dimenziós” változataként tekints¨ uk ” egy 1 ≤ p < +∞ mellett a sorozatok +∞ o n X p |xk | < +∞ , l := (xn ) : N → R p

k=1

2.1. Metrikus terek

17

halmazát. A p = +∞-re való kiterjesztésként a következ˝ot kapjuk: o n ∞ l := (xn ) : N → R sup |xk | < +∞ . k∈N

Legyen továbbá x = (xn ), y = (yn ) ∈ lp esetén  P +∞ p 1/p  , ha 1 ≤ p < +∞  k=1 |xk − yk | ̺(x, y) :=  ha p = +∞.  sup |xk − yk |, 1≤k≤n

Ekkor lp , ̺p is metrikus tér. • A C[a, b], ̺p f¨ uggv´ enyterek. Valamely [a, b] korlátos és zárt intervallum (tehát a, b ∈ R, a < b) esetén jelölj¨ uk C[a, b]-vel az [a, b]-n értelmezett, valós érték˝ u és folytonos f¨ uggvények halmazát. Ha 1 ≤ p ≤ +∞, akkor tekints¨ uk az iménti példák folytonos” változatait: ”  Rb 1/p  a |f − g|p , ha 1 ≤ p < +∞ ̺p (f, g) := (f, g ∈ C[a, b]).  max |f (x) − g(x)|, ha p = +∞ x∈[a,b]

(Emlékeztet¨ unk arra, hogy |f − g|p bármely p ≥ 1 mellett folytonos f¨ uggvény, ezért Riemann-integrálható. Továbbá Weierstrass tétele szerint az |f − g| folytonos f¨ uggvénynek van maximuma, következésk´ uggvények jól definiáltak”.) eppen a ̺p f¨ ” Megmutatható, hogy C[a, b], ̺p is metrikus tér. 2.1.2.

Izometrikus terek

Defin´ıci´ o. Azt mondjuk, hogy az (M1 , ̺1 ) és az (M2 , ̺2 ) metrikus terek izometrikusak, ha létezik között¨ uk távolságtartó bijekció, vagyis létezik olyan ϕ : M1 → M2 bijekt´ıv leképezés, hogy ̺1 (x, y) = ̺2 ϕ(x), ϕ(y) minden x, y ∈ M esetén teljes¨ ul.

Metrikus terek izometriája azt jelenti, hogy az elemeik metrikus tulajdonságai ugyanazok, csak az elemeik természete” k¨ ulönbözik. Ez azonban a metrikus terek ” elmélete szempontjából teljesen mellékes. Ezért az egymással izometrikus tereket azonosaknak tekintj¨ uk.

18 2.1.3.

2. Térstrukt´ urák K¨ ornyezetek, korl´ atos halmazok, ekvivalens metrik´ ak

Defin´ıci´ o. Legyen (M, ̺) egy metrikus tér, a ∈ M és r ∈ R+ . A kr (a) := kr̺ (a) := x ∈ M | ̺(x, a) < r

halmazt az a ∈ M pont r-sugar´ u g¨ omb-k¨ ornyezet´ enek vagy r-sugar´ u a középpont´ u ny´ılt gömbnek nevezz¨ uk. A kr (a) := kr̺ (a) := x ∈ M | ̺(x, a) ≤ r halmazt pedig r-sugar´ u a középpont´ u z´ art g¨ ombnek mondjuk.

P´ eld´ ak. Szemléltess¨ uk az R2 , ̺i (i = 1, 2, +∞) metrikus terekben az origó 1 sugar´ u gömb-környezeteit. Defin´ıci´ o. Az (M, ̺) metrikus tér A ⊂ M részhalmazát korl´ atosnak nevezz¨ uk, ha van olyan M -beli gömb, amely A-t tartalmazza, azaz ∃ a ∈ M és ∃ r > 0 valós szám, hogy A ⊂ kr̺ (a). A háromszög-egyenl˝otlenség felhasználásával egyszer˝ uen be lehet bizony´ıtani azt, hogy az (M, ̺) metrikus tér A ⊂ M részhalmaza akkor és csak akkor korlátos, ha a tér minden elemének van olyan környezete, amely tartalmazza az A halmazt. P´ eld´ ak. • Legyen n ∈ N és 1 ≤ p ≤ +∞. A H ⊂ Rn halmaz esetén jelölje Hk (k = 1, 2, . . . , n) a H halmaz k-adikkoordinátáiból álló R-beli halmazt. A H halmaz pontosan akkor korlátos az Rn , ̺p metrikus térben, ha mindegyik Hk korlátos Rben.

• Legyen Φ a C[0, 1] f¨ uggvényhalmaznak az a részhalmaza, amelyik pontosan az alábbi módon értelmezett fn : [0, 1] → R (n ∈ N) f¨ uggvényeket tartalmazza:  1 2  ha 0 ≤ x ≤ 2n 2n x, 1 fn (x) := 2n2 n1 − x , ha 2n ≤ x ≤ n1   0, ha n1 ≤ x ≤ 1. Ekkor

(a) a Φ ⊂ C[0, 1] halmaz nem korl´ atos a C[0,1], ̺∞ metrikus térben; (b) a Φ ⊂ C[0, 1] halmaz korl´ atos a C[0, 1], ̺1 metrikus térben.

2.1. Metrikus terek

19

Defin´ıci´ o. Azt mondjuk, hogy az M halmazon értelmezett ̺1 és ̺2 metrikák ekvivalensek, ha léteznek olyan c1 , c2 pozit´ıv valós számok, amelyekkel minden x, y ∈ M elemre fennáll a c1 ̺1 (x, y) ≤ ̺2 (x, y) ≤ c2 ̺1 (x, y) egyenl˝otlenség. P´ eld´ ak. • Az Rn halmazon (n ∈ N) bevezetett ̺p (1 ≤ p ≤ +∞) metrikák egymással ekvivalensek. • Az Rn -en értelmezett diszkrét metrika nem ekvivalens ̺∞ -nel.

• A C[0, 1] halmazon értelmezett ̺∞ és ̺1 metrikák nem ekvivalensek. 2.1.4.

Konvergens sorozatok metrikus terekben

Defin´ıci´ o. Az (M, ̺) metrikus tér egy (an ) sorozatát akkor nevezz¨ uk konvergensnek, ha létezik olyan α ∈ M elem, hogy ennek tetsz˝oleges (sugar´ u) környezetén k´ıv¨ ul a sorozatnak legfeljebb csak véges sok tagja van, azaz ∃ α ∈ M, hogy ∀ ε > 0 esetén az n ∈ N | an 6∈ kε (α) halmaz véges.

Az ellenkez˝o esetben (vagyis akkor, ha nincs ilyen α) azt mondjuk, hogy az (an ) sorozat divergens.

A háromszög-egyenl˝otlenségb˝ol következik, hogy legfeljebb egy olyan α ∈ M létezik, amelyre a fenti feltétel teljes¨ ul. Ezt a pontot az (an ) sorozat hat´ ar´ ert´ ek´ enek nevezz¨ uk, és az alábbi szimbólumok valamelyikével jelölj¨ uk: ̺

lim an = α,

n→+∞

̺

lim(an ) = α,

̺

an −→ α (n → +∞).

Ha nem okoz félreértést, akkor a metrikára utaló jelet elhagyjuk. 1. t´ etel. Legyen (M, ̺) metrikus tér és (an ) tetsz˝oleges M -beli sorozat. Ekkor a következ˝o áll´ıt´ asok ekvivalensek: o 1 Az (an ) sorozat határértéke az α ∈ M elem. 2o Az α ∈ M pont tetsz˝oleges (sugar´ u) környezetéhez van olyan n0 ∈ N k¨ uszöbindex, hogy a sorozat minden ennél nagyobb index˝ u tagja benne van a szóban forgó környezetben, azaz ∀ ε > 0-hoz ∃ n0 ∈ N, hogy ∀ n ≥ n0 esetén an ∈ kε (α).

20

2. Térstrukt´ urák 3o ∀ ε > 0-hoz ∃ n0 ∈ N, hogy ∀ n ≥ n0 esetén ̺(an , α) < ε. 4o lim ̺(an , α) = 0. n→+∞

Egyszer˝ uen bebizony´ıtható az, hogy a ̺ metrika folytonos a következ˝o értelemben: Ha az M -beli (an ) és a (bn ) sorozatok konvergensek, (an )-nek α, (bn )-nek pedig β a határértéke, akkor lim ̺(an , bn ) = ̺(α, β). n→+∞

A konvergens valós sorozatok bizonyos tulajdonságai tetsz˝oleges metrikus térben is megmaradnak. 2. t´ etel. Legyen (an ) az (M, ̺) metrikus tér egy tetsz˝oleges konvergens sorozata. Ekkor a következ˝o áll´ıt´ asok teljes¨ ulnek: 1o Az (an ) sorozat korl´ atos, azaz az értékkészlete korlátos M -beli halmaz. 2o Az (an ) minden részsorozata is konvergens, és a hat´ arértéke megegyezik a kiindul´ asi sorozat határértékével. 3o Ha az (an ) sorozatnak van két k¨ ulönböz˝ o M -beli elemhez tart´ o részsorozata, akkor (an ) divergens. Ugyanazon a halmazon többféle módon is meg lehet adni metrikát, és a konvergencia ténye f¨ ugg attól, hogy azt melyik metrikában tekintj¨ uk. El˝ofordulhat az, hogy egy adott halmazbeli sorozat az egyik metrikában konvergens, a másikban pedig divergens. Sokkal kedvez˝obb a helyzet akkor, ha a két metrika ekvivalens. Ebben az esetben a konvergencia szempontjából a két metrika között nincs k¨ ulönbség: mind a két metrikában ugyanazok lesznek a konvergens (divergens) sorozatok. Ezt fejezi ki a következ˝o áll´ıtás. 3. t´ etel. Legyen M nem¨ ures halmaz. Tegy¨ uk fel, hogy az M -en értelmezett ̺1 és ̺2 metrikák ekvivalensek. Ekkor tetsz˝oleges M -beli (an ) sorozatra ̺1

lim (an ) = α

⇐⇒

̺2

lim (an ) = α.

R-ben a Bolzano–Weierstrass-f´ ele kiv´ alaszt´ asi t´ etel azt áll´ıtja, hogy minden korlátos sorozatnak van konvergens részsorozata. Ez metrikus térben általában nem igaz. Például az N, ̺ diszkrét metrikus térben az an := n (n ∈ N) sorozat korlátos, de nincs konvergens részsorozata. 4. t´ etel. Az Rn , ̺p metrikus terekben (n ∈ N, 1 ≤ p ≤ +∞) igaz a Bolzano– Weierstrass-féle kiválasztási tétel, azaz minden korlátos sorozatnak van konvergens részsorozata.

2.1. Metrikus terek

21

P´ elda. • A C[0, 1], ̺∞ metrikus térben nem igaz a Bolzano–Weierstrass-féle kiválaszt´ asi tétel : van olyan korlátos (fn ) sorozat, aminek nincs konvergens részsorozata. (Ilyen például az fn (x) := sin 2n πx (x ∈ [0, 1], n = 0, 1, 2, . . .) f¨ uggvénysorozat, ui. ̺∞ fn , fm ≥ 1, ha n 6= m.) 2.1.5.

Teljes metrikus terek

Emlékeztet¨ unk a valós anal´ızis egyik legfontosabb tételére, a Cauchy-f´ ele konvergenciakrit´ eriumra: az (an ) valós sorozat akkor és csak akkor konvergens, ha (an ) Cauchy-sorozat, azaz ( ∀ ε > 0-hoz ∃ n0 ∈ N, hogy (an ) ⊂ R konvergens ⇐⇒ ∀ m, n ≥ n0 esetén |an − am | < ε. Az anal´ızis alapvet˝o fogalmának, a sorozat konvergenciájának a defin´ıciójában szerepel egy, a sorozat tagjain k´ıv¨ uli” dolog is. Nevezetesen: a sorozat határértéke. ” Ez alapján a konvergenciát csak akkor tudjuk eldönteni, ha ismerj¨ uk a sorozat határértékét. A Cauchy-féle konvergenciakritérium azt áll´ıtja, hogy a konvergenciára megadható egy olyan sz¨ ukséges és elégséges (tehát a konvergenciával ekvivalens) feltétel is, amely kizárólag a sorozat tagjainak a seg´ıtségével dönt a sorozat konvergens vagy divergens voltáról. Világos, hogy a Cauchy-sorozat fogalmát megadó tulajdonságot — tehát azt, hogy a sorozat elég nagy index˝ u tagjai tetsz˝olegesen közel vannak egymáshoz” — ” metrikus térben is lehet értelmezni. Defin´ıci´ o. Az (M, ̺) metrikus térbeli (an ) sorozatot akkor nevezz¨ uk Cauchysorozatnak, ha ∀ ε > 0 számhoz ∃ n0 ∈ N, hogy ∀ m, n ≥ n0 esetén ̺(an , am ) < ε.

Metrikus térben a konvergens és a Cauchy-sorozatok kapcsolatáról általában a következ˝ot mondhatjuk. 5. t´ etel. 1o Tetsz˝oleges (M, ̺) metrikus térben minden konvergens sorozat egy´ uttal Cauchy-sorozat is. 2o Az áll´ıt´ as megford´ıt´ asa a´ltalában nem igaz: Van olyan (M, ̺) metrikus tér, amelyikben van olyan Cauchy-sorozat, amelyik nem konvergens.

22


A valós számok példája is mutatja, hogy bizonyos metrikus terekben a konvergencia ténye ekvivalens lehet a Cauchy-tulajdonsággal. Az ilyen metrikus teret fogjuk teljes metrikus t´ ernek nevezni. Defin´ıci´ o. Az (M, ̺) metrikus teret akkor nevezz¨ uk teljes metrikus t´ ernek, ha benne minden Cauchy-sorozat konvergens, vagyis a tér teljes, ha igaz benne a Cauchy-féle konvergenciakritérium, azaz (an ) ⊂ M konvergens

⇐⇒

(an ) ⊂ M Cauchy-sorozat.

P´ eld´ ak. • A Cauchy-féle konvergenciakritérium alapján R egy teljes metrikus tér.

• A racionális számok Q halmazát az√R-beli metrikával ellátva egy nem teljes metrikus teret kapunk. (Például minden 2-höz tartó racionális sorozat — ilyenek léteznek! — Cauchy-sorozat a Q metrikus térben, és itt nem konvergens.) • A diszkrét metrikus terek teljesek. Egyszer˝ uen bebizony´ıtható ui. az, hogy ezekben a terekben egy sorozat pontosan akkor konvergens, illetve Cauchy-sorozat, ha a tagjai valamilyen indext˝ol kezdve ugyanazt az értéket veszik fel. • Minden n ∈ N és 1 ≤ p ≤ +∞ esetén az Rn , ̺p teljes metrikus tér. • Minden 1 ≤ p ≤ +∞ esetén az lp , ̺p is teljes metrikus tér. • A C[a, b], ̺∞ metrikus tér teljes. • A C[a, b], ̺p metrikus terek (1 ≤ p < +∞) nem teljesek.

A teljes metrikus terek további vizsgálatához tekints¨ uk ismét a jól megismert R metrikus teret. Ott alapvet˝o jelent˝oség˝ u volt az a tény, hogy R rendelkezik a Cantor-tulajdons´ aggal, vagyis azzal, hogy minden egymásba skatuly´ azott korlátos és z´ art intervallumsorozatnak van köz¨ os pontja. Azt is tudjuk már, hogy ez majd” nem ekvivalens” az R teljességével. (Pontosabban: R-ben az archimédeszi és a Cantor-tulajdonság egy¨ utt ekvivalens a teljességgel.) Tetsz˝oleges metrikus térben — a Cantor-tulajdonság kiegész´ıtésével — a teljességet ekvivalens módon lehet jellemezni bizonyos geometriai tulajdonsággal. Az áll´ıtás pontos megfogalmazása el˝ott emlékeztet¨ unk még arra, hogy az (M, ̺) metrikus térbeli kr (a) := kr̺ (a) := x ∈ M | ̺(x, a) ≤ r (a ∈ M, r > 0) halmazt az a középpont´ u r-sugar´ u z´ art gömbnek nevezt¨ uk.

6. t´ etel (a Cantor-féle közösrész-tétel). Egy metrikus tér akkor és csak akkor teljes, ha minden olyan z´ art gömbökb˝ ol a´lló krn (an ) (n ∈ N) sorozatra, amelyre

2.1. Metrikus terek

23

(i) krn+1 (an+1 ) ⊂ krn (an ), (ii)

lim rn = 0,

n→+∞

a gömböknek egyetlen közös pontjuk van, azaz a \ krn (an ) n∈N

egyelem˝ u halmaz. Bizony´ıt´ as. ⇒ Tegy¨ uk fel, hogy a metrikus tér teljes, és tekints¨ uk zárt gömböknek egy mondott tulajdonság´ u sorozatát. Ebb˝ol a feltételb˝ol következik, hogy a középpontokra fennáll a ̺(an , am ) ≤ rn (m ≥ n) egyenl˝otlenség, ahonnan látható, hogy a középpontok (an ) sorozata Cauchy-sorozat. A metrikus tér teljes, ezért ez konvergens. Jelölje a a határértékét. A fenti egyenl˝otlenségb˝ol ̺(an , a) ≤ ̺(an , am ) + ̺(am , a) ≤ rn + ̺(am , a)

(m ≥ n)

következik, ahonnan m → +∞ határátmenettel ̺(an , a) ≤ rn

(n ∈ N)

adódik. Ez azt jelenti, hogy az a pont mindegyik gömbnek eleme, tehát a közös rész¨ uk nem u ¨res. Indirekt módon kapjuk azt, hogy a gömböknek ez az egyetlen közös pontja van. ⇐ Most induljunk ki egy (an ) Cauchy-sorozatból, és mutassuk meg, hogy az konvergens. Konstruálni fogunk zárt gömböknek egy egymásba skatulyázott sorozatát. Az (an ) sorozat Cauchy-tulajdonságából következik, hogy ε = 12 -hez ∃ n1 ∈ N, hogy ∀ n ≥ n1 esetén ̺(an , an1 ) < 12 . Jelölje F1 az an1 középpont´ u 1-sugar´ u zárt gömböt: F1 := k1 (an1 ). Ismét a Cauchy-tulajdonságra hivatkozva kapjuk, hogy ε=

1 -hez 22

∃ n2 > n1 , index, hogy ∀ n ≥ n2 esetén ̺(an , an2 ) <

1 . 22

24


Legyen F2 := k 1 (an2 ). 2

A konstrukcióból következik, hogy F2 ⊂ F1 . Az eljárást folytatva tegy¨ uk fel, hogy az an1 , . . . , ank pontokat (n1 < · · · < nk ) már kiválasztottuk (an )-b˝ol. Vegy¨ unk ezután egy olyan ank+1 tagot, amelyre nk+1 > nk és ̺(an , ank+1 ) <

1 2k+1

teljes¨ ul minden n ≥ nk+1 index esetén, és legyen Fk+1 := k 1k (ank+1 ). 2

A konstrukció miatt Fk+1 ⊂ Fk .

Így kapunk egymásba skatulyázott zárt gömböknek egy olyan (Fk ) sorozatát, amely1 . A tétel feltétele szerint ezeknek a gömböknek egy közös pontja ben Fk sugara 2k−1 van. Jelölj¨ uk ezt a-val. Világos, hogy lim(ank ) = a. Ez a pont azonban nem csak a részsorozatnak, hanem az egész sorozatnak is határértéke. Ez nyilvánvalóan következik a ̺(a, an ) ≤ ̺(a, ank ) + ̺(ank , an ) egyenl˝otlenségb˝ol, figyelembe véve, hogy (an ) egy Cauchy-sorozat. Ez viszont azt jelenti, hogy az (an ) sorozat valóban konvergens. 2.1.6.

Metrikus t´ er teljess´ e t´ etele

2.1.7.

Ny´ılt, z´ art ´ es kompakt halmazok metrikus terekben

Ebben a szakaszban metrikus terek legfontosabb halmazt´ıpusairól, a ny´ılt, a z´ art és a kompakt halmazokról, valamint halmaz belsejér˝ ol és lez´ arás´ aról lesz szó. • Ny´ılt halmazok. Halmaz belseje Defin´ıci´ o. Legyen (M, ̺) egy metrikus tér és A az M egy nem¨ ures részhalmaza. Az a ∈ A pontot az A halmaz bels˝ o pontj´ anak nevezz¨ uk, ha a-nak van olyan gömbkörnyezete, amely benne van A-ban, azaz van olyan r > 0 szám, hogy kr (a) ⊂ A.

2.1. Metrikus terek

25

Az A halmaz bels˝o pontjainak a halmazát A belsej´ enek nevezz¨ uk, és az int A szimbólummal jelölj¨ uk. Defin´ıci´ o. Azt mondjuk, hogy a G ⊂ M halmaz ny´ılt az (M, ̺) metrikus t´ erben, ha G minden pontja bels˝o pont. A ny´ılt halmazok családját a GM szimbólummal fogjuk jelölni. P´ eld´ ak. • Az R-beli ny´ılt intervallumok a fenti értelemben ny´ılt halmazok.

• A félig zárt [a, b) és (a, b] intervallumok, ahol −∞ < a < b < +∞ nem ny´ıltak; int [a, b) = (a, b) és int (a, b] = (a, b). • Az R metrikus térben a racionális pontok Q halmaza nem ny´ılt; int Q = ∅. • A diszkrét metrikus tér minden részhalmaza ny´ılt.

• Tetsz˝oleges metrikus térben az ∅ és a M halmazok ny´ıltak.

• Tetsz˝oleges (M, ̺) metrikus térben a g¨ omb-k¨ ornyezetek, vagyis a kr (a) := x ∈ M | ̺(x, a) < r (a ∈ M, r > 0)

halmazok a fenti értelemben ny´ılt halmazok. • Ha a C[a, b], ̺∞ metrikus térben A := f ∈ C[a, b] |f (t)| ≤ K < +∞, ∀ t ∈ [a, b] , akkor

int A = f ∈ C[a, b] |f (t)| < K < +∞, ∀ t ∈ [a, b] .

Íme a ny´ılt halmazok alaptulajdonságai:

7. t´ etel. Az (M, ̺) metrikus tér ny´ılt halmazainak a GM csal´ adja a következ˝o tulajdonságokkal rendelkezik: 1o az A ⊂ M halmaz belseje egyenl˝ o A legb˝ ovebb ny´ılt részhalmazával, azaz [ int A = G; G⊂A G ∈ GM

2o a G ⊂ M halmaz akkor és csak akkor ny´ılt, ha G = int G; 3o véges sok ny´ılt halmaz metszete is ny´ılt halmaz;

26


4o tetsz˝olegesen sok ny´ılt halmaz egyes´ıtése is ny´ılt halmaz; 5o bármely két k¨ ulönböz˝ o M -beli pont szétválasztható ny´ılt halmazokkal, azaz ha a és b az M halmaz két tetsz˝oleges k¨ ulönböz˝ o pontja, akkor vannak olyan diszjunkt U és V ny´ılt M -beli halmazok, hogy a ∈ U és b ∈ V . • Z´ art halmazok. Halmaz lez´ ar´ asa Defin´ıci´ o. Az (M, ̺) metrikus tér F ⊂ M részhalmaza z´ art, ha az F halmaznak M -re vonatkozó komplementuma – azaz az M \ F halmaz – ny´ılt. A zárt halmazok családját az FM szimbólummal fogjuk jelölni. P´ eld´ ak. • Az R-beli zárt intervallumok a fenti értelemben zárt halmazok. • A félig zárt [a, b) és (a, b] intervallumok, ahol −∞ < a < b < +∞ se nem ny´ıltak, se nem zártak. ny´ılt).

• Az R metrikus térben a racionális pontok halmaza nem zárt (és nem is • A diszkrét metrikus tér minden részhalmaza zárt (és ny´ılt is). • Tetsz˝oleges metrikus térben az ∅ és a M halmazok zártak is és ny´ıltak is. • Metrikus térben minden véges sok pontból álló halmaz zárt. • Tetsz˝oleges (M, ̺) metrikus térben a zárt gömbök, vagyis a kr (a) := x ∈ M | ̺(x, a) ≤ r (a ∈ M, r > 0)

halmazok a fenti értelemben zárt halmazok. Speciálisan a C[a, b], ̺∞ metrikus térben minden K > 0 esetén az A := f ∈ C[a, b] | |f (t)| ≤ K, t ∈ [a, b] halmaz zárt.

A zárt halmazok alaptulajdonságai: 8. t´ etel. Az (M, ̺) metrikus tér z´ art halmazainak a csal´ adja a következ˝o tulajdons´ agokkal rendelkezik: 1o véges sok z´ art halmaz egyes´ıtése is z´ art halmaz; o 2 tetsz˝olegesen sok z´ art halmaz metszete is z´ art halmaz.

2.1. Metrikus terek

27

Zárt halmazok további jellemzéséhez bevezetj¨ uk a következ˝o fontos fogalmakat: Defin´ıci´ o. o 1 Az (M, ̺) metrikus tér egy a ∈ M pontját az A ⊂ M részhalmaz egy torl´ od´ asi pontj´ anak nevezz¨ uk, ha az a pont minden gömb-környezete tartalmaz a-tól k¨ ulönböz˝o pontot az A halmazból. Az A halmaz torl´ od´ asi pontjainak a halmaz´ at az A′ szimbólummal jelölj¨ uk. 2o Az (M, ̺) metrikus tér A részhalmazának a lez´ ar´ as´ an az A := A ∪ A′ halmazt értj¨ uk. Hangs´ ulyozzuk, hogy egy halmaz torlódási pontja nem feltétlen¨ ul tartozik hozzá a halmazhoz. Tekints¨ uk például az R metrikus térben az A := [0, 1] ∩ Q halmazt, amelyre A = [0, 1]. P´ eld´ ak. • R-ben Q′ = R és Q = R. • Tetsz˝oleges (M, ̺) metrikus tér bármelyik kr (a) gömb-környezetének a fenti értelemben való lezárása a neki megfelel˝o z´ art gömb. (A zárt gömbökre bevezetett korábbi jelölés¨ unk tehát összhangban van a lezárásra imént bevezetett jelöléssel.) 9. t´ etel. Egy (M, ̺) metrikus tér tetsz˝oleges A ⊂ M részhalmazára a következ˝o ´ll´ıt´ a asok teljes¨ ulnek: o 1 a ∈ A ⇐⇒ ∃ (xn ) ⊂ A sorozat, hogy lim(xn ) = a; 2o

a 6∈ A

⇐⇒

∃ ε > 0, hogy kε (a) ∩ A = ∅.

10. t´ etel. Az (M, ̺) metrikus térbeli A ⊂ M halmaz lez´ arása az A-t tartalmazó legsz˝ ukebb z´ art halmaz, azaz \ F. A= A⊂F F ∈ FM

11. t´ etel. Az (M, ̺) metrikus tér tetsz˝oleges A, B részhalmazai esetén érvényesek a következ˝ok: 1o ∅ = ∅, 2o A ⊂ A, 3o ha A ⊂ B =⇒ A ⊂ B,

28

2. Térstrukt´ urák 4o 5o 6o 7o

A ∪ B = A ∪ B, (A) = A, az A ⊂ M halmaz pontosan akkor z´ art, ha A = A, halmaz lez´ arásának a komplementere egyenl˝ o a komplementer belsejével: M \ A = int (M \ A)

(A ⊂ M ).

12. t´ etel (zárt halmazok jellemzése). Az (M, ̺) metrikus tér egy F ⊂ M részhalmazára a következ˝o áll´ıt´ asok ekvivalensek: o 1 az F halmaz z´ art az (M, ̺) metrikus térben, o 2 az F halmaz minden torl´ odási pontj´ at tartalmazza, azaz F ′ ⊂ F ; 3o minden F -beli konvergens sorozat hat´ arértéke is benne van F -ben. • Kompakt halmazok Defin´ıci´ o. Az (M, ̺) metrikus tér K részhalmazát kompaktnak nevezz¨ uk, ha minden K-beli sorozatnak van K-beli elemhez konvergáló részsorozata. Defin´ıci´ o. Az (M, ̺) metrikus tér A részhalmazának ny´ıltS lefed´ es´ en M ny´ılt részhalmazainak olyan {Gα } összességét értj¨ uk, amelyre A ⊂ Gα . α

13. t´ etel. Legyen (M, ̺) metrikus tér. A következ˝o a´ll´ıt´ asok ekvivalensek: 1o a K ⊂ M halmaz kompakt; 2o K minden ny´ılt lefedése tartalmaz véges lefedést (ez a Borel-f´ ele lefed´ esi t´ etel); o 3 K minden végtelen részhalmazának van K-beli torl´ odási pontja. 14. t´ etel. Legyen K az (M, ̺) metrikus tér egy kompakt részhalmaza. Ekkor 1o a K ⊂ M halmaz z´ art az (M, ̺) metrikus térben; o 2 a K ⊂ M halmaz korlátos az (M, ̺) metrikus térben. 3o Van olyan metrikus tér, aminek van z´ art és korlátos, de nem kompakt 2 részhalmaza. (Például az (l , ̺2 ) tér K egységgömbfel¨ ulete egy ilyen halmaz.) 15. t´ etel. (Rn , ̺p )-ben egy halmaz akkor és csak akkor kompakt, ha korlátos és z´ art.

2.1. Metrikus terek 2.1.8.

29

Metrikus t´ er s˝ ur˝ u r´ eszhalmazai. Szepar´ abilis terek. A Baire-f´ ele kateg´ oriat´ etel

Tekints¨ uk a valós számok szokásos metrikus terében a racionális számok Q halmazát. Abból a jól ismert tényb˝ol, hogy minden nemelfajuló intervallum tartalmaz racionális számot következik, hogy Q′ = R, vagyis Q = R. A szemléletre hivatkozva azt is mondtuk, hogy a racionális számok s˝ ur˝ un vannak R-ben. Könny˝ u meggondolni, hogy ez azt is jelenti, hogy minden a ∈ R számhoz van olyan racionális számokból álló (qn ) ⊂ Q sorozat, amelyik a-hoz konvergál. A s˝ ur˝ uségi tulajdonság tehát bizonyos approximáci´ os tulajdonsággal hozható kapcsolatba. További motivációként gondoljunk Weierstrass els˝o approximációs tételére: minden f ∈ C[a, b] f¨ uggvényhez van olyan polinomsorozat, amelyik egyenletesen (vagyis a ̺∞ metrikában) tart f -hez. A szemléletre való hivatkozással itt is mondhatjuk azt, hogy az algebrai polinomok s˝ ur˝ un vannak a C[a, b], ̺∞ metrikus térben. Ezt a tényt a halmaz lezárásának a fogalmával kifejezhetj¨ uk u ´gy is (l. a 9. tételt), hogy az algebrai polinomok P halmazának lezárása a C[a, b], ̺∞ metrikus térben az egész C[a, b] tér, azaz P = C[a, b]. A fentiek általános´ıtásaként vezess¨ uk be a következ˝o fogalmakat. Defin´ıci´ o. o 1 Azt mondjuk, hogy az (M, ̺) metrikus tér A részhalmaza s˝ ur˝ u az M0 ⊂ M halmazban, ha M0 ⊂ A. 2o Az A ⊂ M halmaz minden¨ utt s˝ ur˝ u az (M, ̺) metrikus térben, ha A = M . o 3 Az A ⊂ M halmaz sehol sem s˝ ur˝ u az (M, ̺) metrikus térben, ha egyetlen gömbben sem s˝ ur˝ u. P´ eld´ ak. • A racionális számok halmaza minden¨ utt s˝ ur˝ u R-ben. • R-ben minden véges halmaz sehol sem s˝ ur˝ u. 1 • Az n | n ∈ N ∪ 0 sehol sem s˝ ur˝ u R-ben. • Az R2 , ̺2 metrikus térben minden egyenes sehol sem s˝ ur˝ u halmaz. • A C[a, b], ̺∞ metrikus térben az [a, b] intervallumon definiált valós érték˝ u, folytonos töröttvonal-f¨ uggvények” A halmaza egy minden¨ utt s˝ ur˝ u halmaz. (ϕ ∈ A ” akkor és csak akkor, ha létezik olyan n ∈ N és xi ∈ [a, b] (i = 0, 1, . . . , n) u ´gy, hogy a =: x0 < x1 < · · · < xn := b és ϕ|[xi−1 ,xi ] lineáris f¨ uggvény.) A 9. tétel felhasználásával egyszer˝ uen bizony´ıthatók az alábbi áll´ıtások.

30


16. t´ etel. Az (M, ̺) metrikus tér tetsz˝oleges A és M0 részhalmazaira a következ˝o all´ıt´ ´ asok érvényesek: 1o Az A halmaz akkor és csak akkor s˝ ur˝ u az M0 ⊂ M halmazban, ha M0 minden x eleméhez létezik olyan A-beli (xn ) sorozat, amelyre lim(xn ) = x, azaz M0 minden pontja tetsz˝oleges pontossággal” megk¨ ozel´ıthet˝ o A-beli pontokkal. ” 2o Az A ⊂ M halmaz pontosan akkor nem s˝ ur˝ u az M0 ⊂ M halmazban, ha ∃ x ∈ M0

és

∃ ε > 0, hogy kε (x) ∩ A = ∅.

17. t´ etel. Az (M, ̺) metrikus tér tetsz˝oleges A részhalmaza esetén a következ˝o all´ıt´ ´ asok ekvivalensek: 1o Az A halmaz sehol sem s˝ ur˝ u. o 2 Az A halmaz lez´ arása nem tartalmaz gömb¨ ot, azaz az A halmaznak nincs bels˝ o pontja, ami azt jelenti, hogy int A = ∅. 3o Minden x ∈ M pont minden kε (x) gömb-környezete tartalmaz olyan kε1 (x1 ) gömb¨ ot, amelyben nincs A-beli elem. utt s˝ ur˝ u M -ben. 4o M \ A minden¨ K¨ ulönösen fontosak azok a metrikus terek, amelyekben van megsz´ amlálhat´ o, minden¨ utt s˝ ur˝ u részhalmaz. Az ilyen terekben ui. ki lehet jelölni egy olyan, megszámlálható halmazt — ennek elemeit lehet kezelni — amelynek elemeivel a tér minden eleme tetsz˝oleges pontossággal” megközel´ıthet˝o. ” Defin´ıci´ o. Egy metrikus teret szepar´ abilisnek nevez¨ unk, ha van megszámlálható, minden¨ utt s˝ ur˝ u részhalmaza. P´ eld´ ak. • R szeparábilis, Q egy megszámlálható minden¨ utt s˝ ur˝ u részhalmaza. • Az (M, ̺) diszkrét metrikus tér pontosan akkor szeparábilis, ha M megszámlálható. • Az Rn , ̺p (n ∈ N, 1 ≤ p ≤ +∞) terek szeparábilisek, ezekben a racionális koordinátáj´ u pontok halmaza egy megszámlálható minden¨ utt s˝ ur˝ u halmaz. • Az lp , ̺p terek 1 ≤ p < +∞ esetén szeparábilisek, az l∞ , ̺∞ tér nem szeparábilis. • Weierstrass els˝o approximációs tételét felhasználva igazolható, hogy a racionális egy¨ ur˝ ua utthatós algebrai polinomok halmaza — ami megszámlálható — s˝ C[a, b], ̺∞ metrikus térben, ezért ez is szeparábilis tér.

2.1. Metrikus terek

31

Teljes metrikus terek s˝ ur˝ uséggel kapcsolatos fontos tulajdonságát áll´ıtja a Baire-lemma, amelyet k¨ ulönböz˝o formákban fogalmazunk meg. 18. t´ etel (a Baire-lemma). Legyen (M, ̺) teljes metrikus tér. 1o Megszámlálhat´ o sok M -beli, minden¨ utt s˝ ur˝ u ny´ılt halmaz metszete is minden¨ utt s˝ ur˝ u M -ben, azaz ha (Gn ) ny´ılt halmazoknak egy olyan M -beli sorozata, hogy Gn = M akkor

\

(n ∈ N),

Gn = M.

n∈N

2o Megszámlálhat´ o sok M -beli, sehol sem s˝ ur˝ u z´ art halmaz egyes´ıtése nem tartalmaz gömb-környezetet, azaz ha (Fn ) ⊂ M z´ art halmazoknak egy olyan sorozata, amelyre int Fn = ∅ (n ∈ N), akkor int

[

n∈N

Fn = ∅.

3o Ha M el˝oáll´ıthat´ o megsz´ amlálhat´ o sok z´ art halmaz egyes´ıtéseként, akkor azok köz¨ ul legalább az egyik tartalmaz nem¨ ures ny´ılt g¨ omb-környezetet, azaz ha (Fn ) z´ art halmazoknak egy olyan sorozata M -ben, amelyre [ Fn = M, n∈N

akkor valamelyik Fn halmaz belseje nem¨ ures, azaz ∃ n0 ∈ N, hogy int Fn0 6= ∅. Megjegyz´ es. A teljesség feltétele lényeges: tekints¨ uk például M = Q-ban (a szokásos metrikával) a Q \ {r} ny´ılt halmazokat vagy az {r} zárt halmazokat, ahol r végigfutja a racionális számokat. Bizony´ıt´ as. 1o Azt kell megmutatni, hogy tetsz˝oleges kr0 (x0 ) ⊂ M gömb-környezetben van ∩n∈N Gn halmazbeli pont. G1 minden¨ utt s˝ ur˝ u M -ben, ezért található egy x1 ∈ G1 ∩ kr0 (x0 ) pont. Ez utóbbi halmaz ny´ılt, ezért van olyan 0 < r1 < 1 szám, hogy kr1 (x1 ) ⊂ G1 ∩ kr0 (x0 ).

32


De G2 is minden¨ utt s˝ ur˝ u M -ben, ezért van egy x2 ∈ G2 ∩ kr1 (x1 ) pont is. Minthogy az utóbbi halmaz ny´ılt, ezért van olyan 0 < r2 < 1/2 szám, hogy kr2 (x2 ) ⊂ G2 ∩ kr1 (x1 ). Rekurzióval folytatva a konstrukciót, zárt gömböknek olyan monoton fogyó sorozatát kapjuk, hogy krn (xn ) ⊂ Gn+1 minden n-re, és lim(rn ) = 0. A Cantor-féle közösrész-tétel szerint e gömböknek van egy x közös pontja. A konstrukció miatt x ∈ ∩Gn és x ∈ kr0 (x0 ).

2o Legyen Gn := M \ Fn (n ∈ N). Mivel Fn -ek zártak, ezért mindegyik Gn ny´ılt halmaz. Az egyszer˝ uen bizony´ıtható (H ⊂ M ) (2.1) M \ H = int M \ H

összef¨ uggés alapján

M \ Gn = int M \ Gn = int Fn = ∅,

ezért Gn = M , tehát (l. 1o -et)

\

Gn = M.

n∈N

Ezt az egyenl˝oséget, (2.1)-et, valamint a de Morgan-azonosságokat felhasználva kapjuk, hogy [ \ \ Gn = int Gn = int M \ Fn , ∅=M\ n∈N

n∈N

n∈N

és ez a 2o áll´ıtás bizony´ıtását jelenti. Vég¨ ul a 3o áll´ıtás 2o felhasználásával indirekt módon igazolható. A most igazolt tételt — bevezetve az els˝o és a második kategóriáj´ u halmaz fogalmát — szokás más formában is megfogalmazni. Defin´ıci´ o. Az (M, ̺) metrikus tér A részhalmazát els˝ o kateg´ ori´ aj´ unak nevezz¨ uk, ha A el˝oáll´ıtható megszámlálható sok sehol sem s˝ ur˝ u halmaz egyes´ıtéseként. Ha A nem els˝o kategóriáj´ u, akkor m´ asodik kateg´ ori´ aj´ unak mondjuk. 19. t´ etel (a Baire-féle kategóriatétel). Minden teljes metrikus tér második kategóri´ aj´ u, azaz nem áll´ıthat´ o el˝o megsz´ amlálhat´ o sok sehol sem s˝ ur˝ u halmaz egyes´ıtéseként.

2.1. Metrikus terek

33

Bizony´ıt´ as. Az áll´ıtással ellentétben tegy¨ uk fel, hogy az M teljes metrikus tér els˝o kategóriáj´ u, vagyis el˝oáll´ıtható [ M= Hn n∈N

alakban, ahol a Hn halmazok mindegyike sehol sem s˝ ur˝ u, azaz int Hn = ∅

(n ∈ N).

Ekkor a Baire-lemma 2o áll´ıtását alkalmazva kapjuk, hogy [ Hn = ∅ = int M, int n∈N

azaz az M tér belseje az u ¨res halmaz. Ezzel az ellentmondással az áll´ıtást igazoltuk. P´ eld´ ak. • Mivel R-ben minden véges halmaz sehol sem s˝ ur˝ u, ezért minden megszámlálható halmaz, ´ıgy Q is els˝ o kateg´ ori´ aj´ u, noha Q minden¨ utt s˝ ur˝ u R-ben. • R2 -ben a racionális koordinátáj´ u pontok halmaza els˝ o kateg´ ori´ aj´ u.

• R-ben az irracionális pontok Q∗ halmaza m´ asodik kateg´ ori´ aj´ u. Valóban, a Baire-féle kategóriatételb˝ol következik, hogy teljes metrikus térben els˝o kategóriáj´ u halmaz kiegész´ıt˝o halmaza második kategóriáj´ u; Q meg els˝o kategóriáj´ u. 2.1.9.

Metrikus terek k¨ oz¨ otti f¨ uggv´ enyek folytonoss´ aga

Defin´ıci´ o. Legyenek (M1 , ̺1 ) és (M2 , ̺2 ) metrikus terek. Azt mondjuk, hogy az f ∈ M1 → M2 f¨ uggvény folytonos az a ∈ Df pontban (jelölésben f ∈ C{a}), ha ∀ ε > 0-hoz ∃ δ > 0, hogy ∀ x ∈ Df , ̺1 (x, a) < δ esetén ̺2 f (x), f (a) < ε.

f folytonos az A ⊂ Df halmazon, ha f folytonos az A halmaz minden pontjában. 20. t´ etel (az átviteli elv). Legyenek (M1 , ̺1 ) és (M2 , ̺2 ) metrikus terek. Az f ∈ M1 → M2 f¨ uggvény akkor és csak akkor folytonos az a ∈ Df pontban, ha minden Df -beli, a-hoz tart´ o (xn ) sorozat esetén a f¨ uggvényértékek f (xn ) sorozata az M2 térben az f (a) ponthoz konvergál.

34


21. t´ etel. Tegy¨ uk fel, hogy az Mi halmazon megadott ̺i és ̺˜i (i = 1, 2) metrikák ekvivalensek. Ekkor az f ∈ (M1 , ̺1 ) → (M2 , ̺2 ) f¨ uggvény akkor és csak akkor folytonos az a ∈ Df pontban, ha f ∈ (M1 , ̺˜1 ) → (M2 , ̺˜2 ) folytonos a-ban. 22. t´ etel (az összetett f¨ uggvény folytonossága). Tegy¨ uk fel, hogy (Mi , ̺i ) (i = 1, 2, 3) metrikus terek és a g ∈ M1 → M2 f¨ uggvény folytonos az a ∈ Dg pontban, az f ∈ M2 → M3 f¨ uggvény pedig folytonos a g(a) ∈ Df pontban. Ekkor az f ◦ g osszetett f¨ ¨ uggvény folytonos a-ban. 23. t´ etel (a folytonosság jellemzése ny´ılt halmazokkal). Legyenek (M1 , ̺1 ) és (M2 , ̺2 ) metrikus terek. Az egész M1 téren értelmezett f : M1 → M2 f¨ uggvény akkor és csak akkor folytonos M1 -en, ha minden M2 -beli ny´ılt B halmaz f által létes´ıtett ˝osképe M1 -beli ny´ılt halmaz. 24. t´ etel. Legyenek (M1 , ̺1 ) és (M2 , ̺2 ) metrikus terek és A ⊂ M1 . Az f : A → M2 f¨ uggvény pontosan akkor folytonos az A halmazon, ha ∀ B ⊂ M2 ny´ılt halmazhoz ∃ G ⊂ M1 ny´ılt halmaz, hogy f −1 [B] = A ∩ G. 25. t´ etel. Legyenek (M1 , ̺1 ) és (M2 , ̺2 ) metrikus terek, és tegy¨ uk fel, hogy • A ⊂ M1 kompakt halmaz, • az f : A → M2 f¨ uggvény folytonos A-n. Ekkor 1o Rf ⊂ M2 kompakt halmaz; 2o Ha M2 = R, akkor f -nek van maximuma és minimuma (Weiersrass t´ etele); 3o ha f injekt´ıv, akkor f −1 is folytonos. Defin´ıci´ o. Legyenek (M1 , ̺1 ) és (M2 , ̺2 ) metrikus terek. Azt mondjuk, hogy az f ∈ M1 → M2 f¨ uggvény egyenletesen folytonos az A ⊂ Df halmazon, ha ∀ ε > 0-hoz ∃ δ > 0, hogy ∀ x, y ∈ A, ̺1 (x, y) < δ esetén ̺2 f (x), f (y) < ε. 26. t´ etel. Legyenek (M1 , ̺1 ) és (M2 , ̺2 ) metrikus terek, és tegy¨ uk fel, hogy f ∈ M1 → M 2 .

2.2. Lineáris terek (vektorterek)

35

1o Ha f egyenletesen folytonos az A ⊂ Df halmazon, akkor folytonos is A-n. 2o Ha A ⊂ Df kompakt és f folytonos A-n, akkor f egyenletesen is folytonos az A halmazon. (Heine-t´ etel ). 27. t´ etel (a Banach-féle fixpont-tétel). Tegy¨ uk fel, hogy • (M, ̺) teljes metrikus tér; • az f : M → M leképezés egy kontrakci´ o, azaz létezik olyan α ∈ [0, 1) szám, hogy ̺ f (x), f (y) ≤ α ̺(x, y) (∀ x, y ∈ M ). Ekkor

1o egyértelm˝ uen létezik olyan x∗ ∈ M , hogy f (x∗ ) = x∗ (x∗ -ot az f fixpontj´ anak nevezz¨ uk ). o 2 az x0 ∈ M xn+1 = f (xn )

(n ∈ N)

iteráci´ os sorozat konvergens és x∗ a hat´ arértéke. 3o A konvergenciára a ̺(x∗ , xn ) ≤ hibabecslés érvényes.

2.2.

αn ̺(x0 , x1 ) 1−α

(n ∈ N)

Line´ aris terek (vektorterek)

A már megismert fontos metrikus terekben nem csak pontok t´ avols´ ag´ at, hanem az elemek között k¨ ulönböz˝o m˝ uveleteket is lehet értelmezni. Ford´ıtsuk figyelm¨ unket most csak a két legegyszer˝ ubb m˝ uveletre: az összeadásra és a számmal való szorzásra. A tekintett fontos példák közös tulajdonságait keresve fogalmazhatunk u ´gy is, hogy a szóban forgó halmazok nem csak metrikus”, hanem lineáris térstrukt´ urával” is ” ” el vannak látva. Feltételezz¨ uk a line´ aris terekkel kapcsolatos alapvet˝o fogalmak és eredmények ismeretét. A továbbiakban csak a K := R vagy a K := C számtest feletti lineáris terekr˝ol lesz szó, és röviden egy X lineáris térr˝ol fogunk majd beszélni. A tér nullaelemét a θ szimbólummal fogjuk jelölni. Az X1 és az X2 lineáris tér izomorf, ha elemeik között létezik m˝ uvelettartó bijekció. Az izomorf lineáris tereket ugyanazon tér k¨ ulönböz˝o realizációjának tekinthetj¨ uk.

36


Az X lineáris tér tetsz˝oleges M részhalmaza esetén az [M ] szimbólummal fogjuk jelölni az M halmaz line´ aris burk´ at, vagyis az M -et tartalmazó legsz˝ ukebb (lineáris) alteret. Ez az altér, amelyet a M a´ltal generált altérnek is szokás nevezni, megegyezik az M elemeib˝ol képzett összes (véges) lineáris kombinációk halmazával, azaz [M ] = {λ1 x1 + λ2 x2 + · · · + λn xn | λi ∈ K, xi ∈ M, i = 1, 2, . . . , n; n ∈ N } . Egy X-beli tetsz˝oleges M halmazt line´ arisan f¨ uggetlennek nevez¨ unk akkor, ha bármelyik véges sok M -beli vektor lineárisan f¨ uggetlen. Az X lineáris tér v´ eges dimenzi´ os, ha van olyan n természetes szám és van olyan n elemet tartalmazó lineárisan f¨ uggetlen M részhalmaza, amelyre [M ] = X. Ekkor azt mondjuk, hogy X egy n-dimenziós lineáris tér (jelölésben dim X = n). Az M -beli vektorrendszert ilyenkor az X tér egy b´ azis´ anak h´ıvjuk, és azt is mondjuk, hogy az M halmaz vektorai kifesz´ıtik az X teret. Az X lineáris tér v´ egtelen dimenzi´ os, ha nem véges dimenziój´ u. A lineáris algebrában megismert¨ uk a véges dimenzi´ os terek tulajdonságait. Ezek köz¨ ul megeml´ıtj¨ uk azt, hogy bármelyik két n-dimenziós lineáris tér izomorf egymással. Ezt fogalmazhatjuk u ´gy is, hogy lényegében Rn az egyetlen n-dimenziós lineáris tér. Az anal´ızis szempontjából alapvet˝o fontosság´ uak a végtelen dimenzi´ os lineáris p ´ terek. Erdemes meggondolni, hogy a C[a, b] és az l terek mindegyike ilyen. Véges dimenziós terekben láttuk a bázis fogalmának a jelent˝oségét. Végtelen dimenziós esetben is bevezethetj¨ uk ezt a fogalmat. Defin´ıci´ o. Az X lineáris tér egy H ⊂ X részhalmazát Hamel-b´ azis´ anak nevezz¨ uk, ha lineárisan f¨ uggetlen vektorokból áll, és a halmaz lineáris burka az egész X tér, azaz [H] = X. 1. t´ etel. Minden lineáris térben van Hamel-b´ azis, és bármely két ilyen bázis ugyanolyan számosság´ u. Ezt a köz¨ os számosságot a tér algebrai dimenzi´ oj´ anak nevezz¨ uk. 2. t´ etel. Az X lineáris tér line´ arisan f¨ uggetlen H részhalmaza a térnek akkor és csak akkor Hamel-b´ azisa, ha minden x vektor egyértelm˝ uen el˝ oáll´ıthat´ o v´ eges sok H-beli vektor lineáris kombináci´ ojával.

2.3.

Norm´ alt terek ´ es Banach-terek

Az el˝oz˝o pontban már volt arról szó, hogy a megismert metrikus tereink nem csak metrikus”, hanem lineáris térstrukt´ urával” is el vannak látva. Megtehetnénk a ” ”

2.3. Normált terek és Banach-terek

37

következ˝ot: tekint¨ unk egy lineáris teret, és feltételezz¨ uk, hogy azon a téren az e´ lemek között valamilyen távolságfogalmat is értelmezt¨ unk. Altal´ anos szempontból ezután vizsgálhatnánk az ´ıgy adódó — mondjuk — lineáris metrikus térnek” el” nevezhet˝o strukt´ ura tulajdonságait. Egy lineáris téren nem célszer˝ u akármilyen metrikát bevezetni, hanem csak olyat, amelyre teljes¨ ulnek a m˝ uveletek és a metrika kacsolatára vonatkozó bizonyos természetes elvárások. Itt csak azt emelj¨ uk ki, hogy egy ilyen fontos elvárás az, hogy a m˝ uveletek legyenek folytonosak az adott metrikára nézve. E követelés megfogalmazása lényegesen egyszer˝ ubb, ha a lineáris téren nem közvetlen¨ ul a metrikát, hanem az u ń. norm´ at értelmezz¨ uk. A norma az R3 beli vektorok hosszának (abszol´ ut értékének) absztrakciója. Íly módon jutunk el a line´ aris norm´ alt t´ er (a továbbiakban röviden norm´ alt t´ er) fogalmához. Defin´ıci´ o. Az X, k · k rendezett párt norm´ alt t´ ernek nevezz¨ uk, ha 1o X egy lineáris tér a K számtest felett; 2o a k · k pedig egy olyan k · k : X → R f¨ uggvény, amelyik tetsz˝oleges x, y, z ∈ X elemre és λ ∈ K számra eleget tesz az alábbi követelményeknek: (i) kxk ≥ 0, (ii) kxk = 0 ⇐⇒ x = θ (θ az X lineáris tér nulleleme), (iii) kλxk = |λ| · kxk, (iv) kx + yk ≤ kxk + kyk. Az utolsó tulajdonságot háromszög-egyenl˝ otlenségnek nevezz¨ uk. Az k · k leképezést norm´ anak, az kxk számot pedig az x elem norm´ ajának mondjuk. Ha K = R, akkor val´ os, ha K = C, akkor pedig komplex normált térr˝ol beszél¨ unk. Ha a norma a szövegkörnyezetb˝ol nyilvánvaló, akkor egyszer˝ uen X-et ´ırunk X, k · k helyett. X elemeit vektoroknak is nevezz¨ uk. P´ eld´ ak norm´ alt terekre.

• X = R, kxk := |x| (x ∈ R). Ez R szokásos normája. A továbbiakban R-et mindig ezzel a normával látjuk el. • Az Rn terek. Egy pozit´ıv egész n szám esetén tekints¨ uk a szokásos m˝ uveletekkel ellátott X := Rn lineáris teret. Legyen 1 ≤ p ≤ +∞ és x = (x1 , . . . , xn ) ∈ Rn esetén  Pn p 1/p  |x | , ha 1 ≤ p < +∞ k k=1 kxkp :=  max {|xk |}, ha p = +∞. 1≤k≤n

Ekkor Rn , k · kp normált tér. Ezt az Rnp szimbólummal is jelölni fogjuk.

38


• M´ atrixnorm´ ak. Az m × n-es valós mátrixok Rm×n lineáris terében az alábbi kifejezések mindegyike normát értelmez: n m X X

kAk :=

i=1 j=1

kAk := max

1≤j≤n

kAk := max

1≤i≤m

|aij |2

m X i=1

n X j=1

1/2

(euklideszi norma),

|aij |

(oszlopösszegnorma),

|aij |

(sorösszegnorma),

ahol A := [aij ] ∈ Rm×n .

• A lp terek. Tekints¨ uk 1 ≤ p < +∞ esetén a val´ os sorozatok +∞ o n X |xk |p < +∞ , l := (xn ) : N → R p

k=1

p = +∞ esetén pedig a

n o l∞ := (xn ) : N → R sup |xk | < +∞ k∈N

(szokásos m˝ uveletekkel ellátott) lineáris terét. Ha x = (xn ) ∈ lp , akkor legyen  P+∞ p 1/p  , ha 1 ≤ p < +∞ k=1 |xk | kxkp := kxklp := sup{|xk |}, ha p = +∞. k∈N

Ekkor lp , k · klp normált tér.

• A C[a, b] f¨ uggv´ enyterek. A C[a, b] halmazt a f¨ uggvények közötti szokásos m˝ uveletekkel ellátva nyilván egy valós lineáris teret kapunk; ezen a  Rb 1/p  a |f |p , ha 1 ≤ p < +∞ (f ∈ C[a, b]) kf kp :=  max |f (x)|, ha p = +∞ x∈[a,b]

f¨ uggvény norma, tehát C[a, b], k · kp valós normált tér.

• A Lp terek. Ezekr˝ol a f¨ uggvényterekr˝ol a 2.4. pontban lesz szó.

2.3. Normált terek és Banach-terek 1. t´ etel. Ha X, k · k norm´ alt tér, akkor a ̺(x, y) := kx − yk

39

(x, y ∈ X)

f¨ uggvény metrika az X halmazon, azaz (X, ̺) metrikus tér. Következésképpen minden norm´ alt tér egy´ uttal metrikus tér is. Ezt a ̺ metrikát a k·k norma a´ltal induk´ alt metrik´ anak nevezz¨ uk. Minden X lineáris téren értelmezett norma tehát egy metrikát indukál az X halmazon. Felvet˝odik az a kérdés, hogy egy lineáris téren értelmezett tetsz˝oleges metrika vajon származtatható-e alkalmas normából? A válasz az, hogy nem. P´ elda. Jelölje RN a valós sorozatok szokásos m˝ uveletekkel ellátott lineáris terét, és legyen ̺(x, y) :=

+∞ X 1 |xn − yn | · 2n 1 + |xn − yn | n=1

x = (xn ), y = (yn ) ∈ RN .

Ekkor ̺ olyan metrika RN -en, amelyik nem származtatható normából, vagyis nincs olyan norma ezen a téren, amelyik a ̺ metrikát indukálja. Defin´ıci´ o. Az X, k · k normált térbeli (xn ) sorozatot akkor nevezz¨ uk konvergensnek, ha (xn ) a norma álta indukált metrikában konvergens. Ez pontosan azt jelenti, hogy ∃α ∈ X : lim kxn − αk = 0. n→+∞

Konvergencia esetén a fenti α elem egyértelm˝ uen meg van határozva, ezt a sorozat hat´ ar´ ert´ ek´ enek nevezz¨ uk (azt is mondjuk, hogy (xn ) sorozat a k · k norm´ aban tart α-hoz). Ezt tényt az alábbi szimbólumok valamelyikével jelölj¨ uk: k·k

lim an = α,

n→+∞

k·k

lim(an ) = α,

k·k

an −→ α (n → +∞).

Ha nem okoz félreértést, akkor a normára utaló jelet elhagyjuk. A következ˝o tétel azt áll´ıtja, hogy a norma által indukált metrika valóban teljes´ıti a bevezetésben jelzett elvárást: a m˝ uveletek folytonosak a metrikára nézve. Ezen k´ıv¨ ul a metrika invariáns a párhuzamos eltolással” szemben és arányosan változik ” a vektorok ny´ ujtásának a hatására. 2. t´ etel. Legyen X, k · k egy norm´ alt tér, és jelölje ̺ a norma a´ltal indukált metrikát. Ekkor

40

2. Térstrukt´ urák 1o ̺(x + z, y + z) = ̺(x, y) (x, y ∈ X); o 2 ̺(λx, λy) = |λ|̺(x, y) (x, y ∈ X, λ ∈ K); k·k

k·k

3o ha xn −→ ξ, yn −→ η és λn → λ ∈ K, akkor k·k

λn xn −→ λξ,

k·k

xn + yn −→ ξ + η.

3. t´ etel. Legyen (X, k · k) norm´ alt tér. A norma, mint X → R t´ıpus´ u f¨ uggvény folytonos. Defin´ıci´ o. Azt mondjuk, hogy az X lineáris téren adott k · k1 és k · k2 norma ekvivalens (jelben k · k1 ∼ k · k2 ), ha léteznek olyan c1 , c2 pozit´ıv valós számok, hogy c1 kxk1 ≤ kxk2 ≤ c2 kxk1 minden x ∈ X-re.

Ekvivalens normák ekvivalens metrikákat indukálnak. Egyszer˝ uen igazolható, hogy normát vele ekvivalens normára cserélve a halmazok ny´ılt, zárt, kompakt, korlátos volta, a sorozatok konvergenciája vagy Cauchy-tulajdonsága nem változik. P´ elda. A C[a, b] lineáris téren a k · k∞ és az k · k1 normák nem ekvivalensek, s˝ot tetsz˝oleges 1 ≤ p < ∞ esetén a k · kp norma nem ekvivalens a k · k∞ normával. 4. t´ etel. Véges dimenziós X line´ aris téren értelmezett bármely két norma ekvivalens egymással. 5. t´ etel. Legyen X, k · k véges dimenzi´ os norm´ alt tér. Ekkor o 1 X teljes; 2o egy X-beli halmaz pontosan akkor kompakt, ha korlátos és z´ art; o 3 X szeparábilis; 4o minden X-beli korlátos sorozatnak van konvergens részsorozata. A metrikus terekhez hasonlóan a normált terekben is fontos szerepe van a teljess´ egnek. Defin´ıci´ o. Az X, k · k normált teret Banach-t´ ernek nevezz¨ uk, ha a tér a norma által indukált metrikára nézve teljes metrikus tér. P´ eld´ ak. • R Banach-tér, a Q normált tér nem Banach-tér.

2.4. A Lp és a lp terek

41

• Minden véges dimenziós normált tér Banach-tér. • Minden 1 ≤ p ≤ +∞ esetén az lp , k · kp normált tér Banach-tér. • A C[a, b], k · kp normált tér egyetlen 1 ≤ p < +∞ esetén sem Banach-tér. • A C[a, b], k · k∞ normált tér Banach-tér.

• Tetsz˝oleges (X, Ω, µ) mértéktér és 1 ≤ p ≤ +∞ kitev˝o esetén az Lp (X, Ω, µ), k · kLp

normált tér Banach-tér.

Lineáris terekben a minden¨ utt s˝ ur˝ u halmazok helyett inkább z´ art rendszerekr˝ol szokás beszélni. Defin´ıci´ o. Legyen X, k·k normált tér. A Z ⊂ X részhalmazt z´ art rendszernek nevezz¨ uk X-ben, ha Z lineáris burka (vagyis a [Z] halmaz) minden¨ utt s˝ ur˝ u a norma által indukált metrikus térben, azaz [Z] = X. Ez pontosan azt jelenti, hogy minden X-beli elem tetsz˝oleges pontossággal megközel´ıthet˝o Z-beli vektorok alkalmas lineáris kombinációjával, azaz ∀ x ∈ X vektorhoz és ∀ ε > 0 számhoz ∃ n ∈ N, ∃ z1 , . . . , zn ∈ Z és ∃ λ1 , . . . , λn ∈ K, hogy n

X

λk zk < ε.

x − k=1

Defin´ıci´ o. Az X, k · k normált teret akkor nevezz¨ uk szepar´ abilisnek, ha X a norma által indukált metrikával szeparábilis metrikus tér, vagyis X-nek van megszámlálható, minden¨ utt s˝ ur˝ u részhalmaza. Ez azzal ekvivalens, hogy X-ben van megszámlálhatóan végtelen zárt rendszer.

2.4. 2.4.1.

A Lp ´ es a lp terek

El˝ ozetes megjegyz´ esek • A C[a, b], k · kp f¨ uggv´ enyterek

42


Emlékeztet¨ unk arra, hogy a C[a, b] f¨ uggvénytéren minden 1 ≤ p ≤ +∞ számra értelmezt¨ uk a k · kp szimbólummal jelölt normát. Ha p = +∞, akkor a f¨ uggvényértékek maximumával, ha 1 ≤ p < +∞, akkor pedig az 1/p Z b p kf kp := (f ∈ C[a, b]) (2.2) |f | a

képlettel (ezért nevezt¨ uk ezeket integr´ alnormáknak ). Itt az integr´ alt a Riemann-féle értelemben tekintett¨ uk. Az ´ıgy értelmezett C[a, b], k · kp normált terek közötti legfontosabb k¨ ulönbség az, hogy ez a tér a maximumnormában (p = +∞) teljes, az integrálnormákban (1 ≤ p < +∞) azonban nem teljes. (A teljesség jelent˝oségét már elég sokszor hangs´ ulyoztuk!) A fenti képletben a Riemann-integrál helyett Lebesgue-integrált is vehetnénk. Ez az ártatlannak t˝ un˝o módos´ıtás azonban számos kérdést vet fel, amelyek megfogalmazása el˝ott c´ımszavakban emlékeztet¨ unk a Lebesgue-integrál elméletével kapcsolatos ismeretekre. • A Lebesgue-integr´ al m´ ert´ ekterekben

Tetsz˝oleges (X, Ω, µ) mértéktérb˝ol (X tehát egy nem¨ ures halmaz, Ω az X halmaz részhalmazaiból álló σ-algebra és µ : Ω → R+ mérték) kiindulva felép´ıthet˝o a Lebesgue-integrál elmélete. Arról van szó, hogy az X-en értelmezett R-beli értékeket felvev˝ uggvények többségéhez” hozzá lehet rendelni egy R-beli számot, amit R o f f¨ ” unk, és az f f¨ uggvény µ mérték szerinti integráljának az X f dµ szimbólummal jelöl¨ nevez¨ unk. Ez az integrálfogalom rendelkezik a Riemann-integrálnál megismert tulajdonságokkal, s˝ot sok szempontból annál lényegesen kedvez˝obb is. A tekintett f¨ uggvények körét az u ń. m´ erhet˝ o f¨ uggv´ enyekre korlátoztuk, ezek halmazát az M(X, Ω) szimbólummal jelölt¨ uk: f ∈ M(X, Ω) ⇐⇒ ∀ α ∈ R-re {f > α} := {x ∈ X | f (x) > α} ∈ Ω. (Ez a megszor´ıtás igen keveset követel az f -t˝ol; az anal´ızisben (!) el˝oforduló valósvalós f¨ uggvények szinte mindegyike rendelkezik ezzel a tulajdonsággal.) Az elmélet felép´ıtése során minden nemnegat´ıv f mérhet˝o f¨ uggvényhez hozzáren´ delt¨ unk egy [0, +∞]-beli számot. Igy értelmezt¨ uk tetsz˝oleges f ∈ M(X, Ω) f¨ uggvény + − pozit´ ıv, illetve negat´ ıv r´ e sz´ e nek (f -nak, illetve f -nak) az integr´ a lj´ a t: I + := R + R f dµ-t, illetve I − := X f − dµ-t. Ezután azoknak a mérhet˝o f¨ uggvényeknek X az integrálját definiáltuk, amelyekre I + és I − köz¨ ul legalább az egyik véges. Egy mérhet˝o f¨ uggvény integrálja tehát lehet véges, de lehet ±∞ is. A továbbiakban figyelm¨ unket azokra a f¨ uggvényekre ford´ıtottuk, amelyeknek az ´ıgy értelmezett integrálja v´ eges. Az ilyen mérhet˝o f¨ uggvényeket nevezt¨ uk (az X halmazon a µ mérték szerint) Lebesgue-integr´ alhat´ oknak, és ezek halmazát ´ıgy jelölt¨ uk:


43

R L(X, Ω, µ) := f ∈ M(X, Ω) X f dµ ∈ R .

L(X, Ω, µ) helyett a továbbiakban gyakran csak L-et fogunk ´ırni. L+ -szal a nemnegat´ıv L-beli elemek halmazát jelölj¨ uk. • A probl´ ema felvet´ ese Strukt´ urával szeretnénk ellátni a Lebesgue-integrálható f¨ uggvények halmazát. L nyilván egy R feletti line´ aris t´ er (vagy vektortér ), ha a m˝ uveleteket a valós érték˝ u f¨ uggvények körében megszokott módon (pontonként) értelmezz¨ uk. A norma bevezetésének a problémája már jóval érdekesebb (mert nehezebb). A (2.2) képletb˝ol kiindulva fogjuk definiálni minden 1 ≤ p ≤ +∞ esetén a Lp (X, Ω, µ), k · kLp

normált teret. (Ki fog majd der¨ ulni, hogy k¨ ulönböz˝o p-kre a C[a, b] f¨ uggvénytért˝ol eltér˝oen itt már maguk a halmazok is k¨ ulönböz˝ok lesznek.) Ezeknek a f¨ uggvénytereknek az egyik legfontosabb tulajdonsága az, hogy teljesek, vagyis Banach-terek (l. a Riesz–Fischer-tételt). Ez az eredmény egyike volt a legels˝oknek azok köz¨ ul az általános érdekl˝odést felkelt˝o, fontos tételek köz¨ ul, amelyek a Lebesgue-féle integrálon alapulnak, s amelyek ´ıgy az u ´j integrálfogalom teljes´ıt˝o képességét demonstrálják. 2.4.2.

A Lebesgue-integr´ alra vonatkoz´ o n´ eh´ any alapvet˝ o eredm´ eny

1. t´ etel. Legyen (X, Ω, µ) mértéktér és f : X → R egy Ω-mérhet˝ o f¨ uggvény. Ekkor a következ˝o áll´ıt´ asok ekvivalensek: 1o az f f¨ uggvény Lebesgue-integr´ alhat´ o, azaz f ∈ L; o + − 2 f , f ∈ L; 3o ∃ g, h ∈ L; g, h ≥ 0 : f = g − h; 4o ∃ G ∈ L : |f | ≤ G (f -nek van integr´ alhat´ o majoránsa); 5o |f | ∈ L. Legyen (X, Ω, µ) tetsz˝oleges mértéktér. Tegy¨ uk fel, hogy T az X elemeire vonatkozó logikai kifejezés” (tulajdonság, kijelentés), azaz ∀ x ∈ X-re T (x) vagy igaz, ” vagy hamis. Azt mondjuk, hogy a T tulajdonság az X-en µ-majdnem minden¨ utt (röviden: µ-m.m. az X-en) teljes¨ ul, ha ∃ A ∈ Ω, µ(A) = 0 halmaz, hogy ∀ x ∈ X \ A elemre a T (x) tulajdonság igaz. A Lebesgue-integrál érzéketlen” a µ-nullamérték˝ u halmazokra. ”

44


2. t´ etel. 1o Bármely nemnegat´ıv Legesgue-integr´ alhat´ o f f¨ uggvény esetén Z f dµ = 0 ⇐⇒ f = 0 µ-m.m. X-en. X

2o Ha az f és g mérhet˝ o f¨ uggvények µ-m.m. egyenl˝ ok az X halmazon, valamint f Lebesgue-integr´ alhat´ o, akkor g is Lebesgue-integr´ alhat´ o a Lebesgue-integráljuk is egyenl˝o. 3o Minden L-beli f f¨ uggvényre igaz, hogy |f | < +∞ µ-m.m. 3. t´ etel (Beppo Levi tétele). Tegy¨ uk fel, hogy (a) fn ∈ L (n ∈ N), (b) az (fn ) f¨ uggvénysorozat monoton n¨ oveked˝o, és f := lim fn , n→∞ R (c) az integr´ alok fn dµ (n ∈ N) sorozata korlátos. X

Ekkor az f f¨ uggvény Lebesgue-integr´ alhat´ o és Z Z Z f dµ = lim(fn ) dµ = lim fn dµ. n

X

n

X

X

4. t´ etel (Fatou tétele). 1o Bármely fn ∈ L+ (n ∈ N) f¨ uggvénysorozatra Z Z lim inf fn dµ ≤ lim inf fn dµ . n

n

X

X

2o Ha ∃ F ∈ L : fn ≤ F (∀n ∈ N µ-m.m. az X-en), akkor Z Z lim sup fn dµ ≤ (lim sup fn ) dµ. n

n

X

X

5. t´ etel (Lebesgue-tétele). Legyen (X, Ω, µ) tetsz˝oleges mértéktér, és tegy¨ uk fel, hogy (a) fn ∈ L (n ∈ N), (b) a f¨ uggvénysorozatnak van integr´ alhat´ o majoránsa, azaz ∃ g ∈ L : |fn | ≤ g (n ∈ N) µ-m.m. X-en, (c) az (fn ) f¨ uggvénysorozat az X-en µ-m.m. konvergál az f f¨ uggvényhez.


45

Ekkor f ∈ L(X, Ω, µ) és Z Z Z f dµ = lim fn dµ = lim fn dµ. n

X

2.4.3.

n

X

X

A Lp f¨ uggv´ enyterek

Legyen (X, Ω, µ) egy mértéktér. Vezess¨ uk be minden f : X → R mérhet˝o f¨ uggvényre a következ˝o kifejezéseket: 1/p Z , ha 0 < p < +∞, |f |p dµ kf kp : = X

kf k∞ : = inf c ≥ 0 |f | ≤ c µ-m.m. az X-en , = inf sup |f | E ∈ Ω és µ(E) = 0

(2.3)

X\E

(megállapodva abban, hogy inf ∅ := +∞).

Mivel minden f mérhet˝o f¨ uggvény esetén az |f |p f¨ uggvény is mérhet˝o (ui. bármely α ≥ 0 számra az {|f |p ≥ α} és {|f | ≥ α1/p } n´ıvóhalmazok egyenl˝ok), ezért a defin´ıciók korrektek. Tetsz˝oleges f mérhet˝o f¨ uggvény esetén kf kp nemnegat´ıv szám vagy +∞. Az kf k∞ számot szokás az |f | f¨ uggvény lényeges fels˝ o korlátj´ anak is nevezni. Ennek megfelel˝oen használatos rá a sup ess f := kf k∞ jelölés is a francia supremum ” essentiel” kifejezés alapján. A fenti kifejezések néhány tulajdonsága (1 ≤ p ≤ +∞): • kf kp ⇐⇒ f = 0 µ-m.m. az X-en; • kf kp = kgkp ⇐⇒ f = g µ-m.m. az X-en; • kf k∞ < +∞ ⇐⇒ ∃ c ≥ 0 : |f | ≤ c µ-m.m. az X-en; • |f | ≤ kf k∞ µ-m.m. az X-en; R • ha ∃ q ∈ (0, +∞), hogy |f |q dµ < +∞, akkor X

lim kf kp = kf k∞ ;

p→+∞

• ha a µ mérték véges és kf k∞ < +∞, akkor lim kf kp = kf k∞ .

p→+∞

46


Mivel a Lebesgue-integrál érzéketlen” a µ-nullamérték˝ u halmazokra, ezért a ” µ-m.m. egyenl˝o f¨ uggvények között nem célszer˝ u k¨ ulönbséget tenni. Azonos´ıtsuk az ilyen f¨ uggvényeket! Pontosabban arról van szó, hogy a Lebesgue-integrálható f¨ uggvények L := L(X, Ω, µ) (2.4) halmazán értelmezz¨ uk a következ˝o relációt: f, g ∈ L : f

∼ g :⇐⇒ f = g µ-m.m. az X-en.

Könnyen belátható, hogy ∼ ekvivalenciareláció, ami L-nek egy osztályfelbontását indukálja. Az ´ıgy kapott ekvivalenciaosztályok halmazát az L := L(X, Ω, µ)

(2.5)

szimbólummal fogjuk jelölni. Az L halmaz elemei valós érték˝ u f¨ uggvények, ezek között az algebrai m˝ uveleteket a szokásos módon (pontonként) értelmez¨ uk. A bevezetett ekvivalenciareláció kompat´ıbilis ezekkel az algebrai m˝ uveletekkel: ha f1 = g1 és f2 = g2 µ-m.m., akkor f1 ± f2 = g1 ± g2 µ-m.m., f1 f2 = g1 g2 µ-m.m.; és hasonló érvényes a (2.3) alatt értelmezett kifejezésekre is. A (2.4) és (2.5) alatt bevezetett jelöléseket csak ebben a pontban fogjuk haszn´ alni. A jegyzet többi részében — a szokásoknak megfelel˝oen — nem tesz¨ unk jelölésbeli k¨ ulönbséget L és L köz¨ ott, azaz L minden f eleme egy´ uttal az összes olyan g : X → R mérhet˝ o f¨ uggvényt is jelöli, amelyik µm.m. egyenl˝o f -fel. Ha f ∈ L-et ´ırunk, akkor f egy ekvivalenciaoszt´ alyt jelöl. A fentiek alapján azonban megállapodhatunk abban, hogy ekkor f nem ekvivalencioszt´ alyt, hanem egyetlen f¨ uggvényt, a szóban forgó ekvivalenciosztály egy tetsz˝oleges elemét jelöli. Az L halmaz természetes vektortérstrukt´ urával van ellátva. Az ekvivalenciaosztályok összegét, illetve számszorosát reprezentánselemek (ezek valós érték˝ u f¨ uggvények!) összegével, illetve számszorosával a szokásos módon (pontonként) értelmezz¨ uk. Megmutatható, hogy ez f¨ uggetlen a reprezentánselemek megválasztásától. L tehát R feletti line´ aris t´ er (vagy vektortér). Defin´ıci´ o. Tetsz˝oleges 0 < p ≤ +∞ esetén Lp (X, Ω, µ)-vel vagy röviden Lp -vel jelölj¨ uk azoknak az L-beli elemeknek a halmazát, amelyekre kf kp véges: Lp := Lp (X, Ω, µ) := f ∈ L kf kp < +∞ .


47

Gyakran fogjuk használni a következ˝o fogalmat: Defin´ıci´ o.

Az 1 ≤ p ≤ +∞ szám konjug´ alt kitev˝ oj´ en az 1 1 + =1 p q

1 egyenl˝oségnek eleget tev˝o q ∈ [1 + ∞] számot értj¨ uk ( +∞ -n 0-t értve); és ilyenkor azt is mondjuk, hogy p és q konjugált kitev˝ ok.

Ebben a pontban a f˝o célunk annak igazolása, hogy minden 1 ≤ p ≤ +∞ esetén L lineáris tér és a (2.3) kifejezések normák. A bizony´ıtásban alapvet˝o fontosság´ uak lesznek a következ˝o egyenl˝otlenségek. p

6. t´ etel. Legyenek 1 ≤ p, q ≤ +∞ konjugált kitev˝ ok: p−1 + q −1 = 1.

1o (Young-egyenl˝ otlens´ eg) Ha a, b ≥ 0 és a p, q kitev˝ ok végesek, akkor ab ≤

ap b q + . p q

2o (H¨ older-egyenl˝ otlens´ eg1 ) Ha f ∈ Lp és g ∈ Lq , akkor f g ∈ L1 és Z |f g| dµ = kf gk1 ≤ kf kp · kgkq . X

(A p = q = 2 esetben ez a Cauchy–Bunyakovszkij-egyenl˝ otlens´ eg.) p p 3 (Minkowski-egyenl˝ otlens´ eg) Ha f, g ∈ L akkor f + g ∈ L és o

kf + gkp ≤ kf kp + kgkp .

(2.6)

q p ´ Bizony´ıt´ as. 1o A Young-egyenl˝ otlenség. Atrendez´ es után 0 ≤ ap − ab + bq adódik. Rögz´ıtett b > 0 esetén (ha b = 0, akkor az áll´ıtás nyilvánvaló) tekints¨ uk a

ϕ(x) :=

bq xp − xb + p q

(x ≥ 0)

f¨ uggvényt. A ϕ f¨ uggvény abszol´ ut széls˝orték-helyeit keress¨ uk. Ehhez ϕ-t deriválva kapjuk, hogy ϕ′ (x) = xp−1 − b = 0 1

⇐⇒

1

x = b p−1

(p 6= 1),

Otto Hölder eredetileg a számsorokra vonatkozó egyenl˝otlenséget bizony´ıtotta be; integrálokra az egyenl˝otlenséget el˝oször Riesz Frigyes igazolta.

48

2. Térstrukt´ urák 1/(p−1) ϕ′′ (x) > 0, ha x > 0, következ´ e sk´ e ppen ϕ szigor´ u an cs¨ o kken˝ o a 0, b és 1/(p−1) 1/(p−1 szigor´ uan növ˝o a b , +∞ intervallumon, a b pontban tehát abszol´ ut minimuma van. Ennek értéke 1 1 p 1 bq p 1 1 ϕ b p−1 = b p−1 − b1+ p−1 + + = 1 ⇒ q = p q p−1 p q 1 1 1 bq = bq − bq + = bq + − bq p q p q =0 ezért ϕ(x) ≥ 0 minden x ≥ 0, tehát x = a esetén is, azaz ϕ(a) =

bq ap − ab + ≥ 0, p q

és ez éppen a bizony´ıtandó egyenl˝otlenség. 2o A H¨ older-egyenl˝otlenség igazolása. A p = 1, q = +∞ esetben (és ezzel egy¨ utt a p = +∞, q = 1 esetben is a bizony´ıtás egyszer˝ u: |f (x)g(x)| ≤ |f (x)| · kgk∞ tehát kf gk1 =

Z

X

µ-m.m.,

f g dµ ≤ |f | dµ · kgk∞ = kf k1 · kgk∞ .

tekints¨ uk most az 1 < p < +∞ esetet (ekkor egyben 1 < q < +∞). Ha kf kp és kgkq köz¨ ul csak egyik is 0-val egyenl˝o, akkor f g = 0 µ-m.m., s ´ıgy az integrálja is 0, az áll´ıtás tehát triviálisan teljes¨ ul. Feltehetj¨ uk, hogy kf kp és kgkq mindegyike 0-tól k¨ ulönböz˝o. Legyen a :=

|f (x)| kf kp

(kf kp 6= 0),

b :=

|g(x)| kgkq

(kgkq 6= 0).

Írjuk fel a Young-egyenl˝otlenséget ezekra az a, b számokra: 1 |f (x)|p 1 |g(x)|q |f (x) · g(x)| ≤ · + · kf kp · kgkq p kf kpp q kgkqq

(µ-m.m x ∈ X).

Az integrál monotonitását felhasználva kapjuk, hogy: Z Z Z 1 1 1 1 1 1 1 p · |f g| dµ ≤ · |f | dµ+ · |g|q dµ = + = 1, (2.7) p· q· kf kp · kgkq p kf kp q kgkq p q X

X

X

2.4. A Lp és a lp terek 49 R R ugyanis |f |p dµ = kf kpp , valamint |g|q dµ = kgkqq . A (2.7) egyenlet˝otlenséget X X R kf kp ·kgkq -val beszorozva |f ·g| dµ ≤ kf kp ·kgkq adódik, és ez éppen a bizony´ıtandó egyenl˝otlenség.

X

3o A Minkowski-egyenl˝otlenség igazolása. A p = 1 és p = +∞ esetek nyilvánvalók, ekkor ugyanis arról van szó, hogy két integrálható f¨ uggvény összege is integrálható és Z Z Z |f + g| dµ ≤ |f | dµ + |g| dµ, X

X

X

illetve hogy két lényegében korlátos mérhet˝o f¨ uggvény összege is ilyen, és |f + g| ≤ |f | + |g| miatt kf + g|∞ ≤ kf k∞ + kgk∞

is teljes¨ ul. Marad tehát az 1 < p < +∞ eset. El˝oször azt mutatjuk meg, hogy f, g ∈ Lp esetén f + g ∈ Lp . f és g mérhet˝ok lévén f + g, következésképpen |f + g|p is mérhet˝o. Ez a f¨ uggvény azonban integrálható is, mert van integrálható majoránsa. Ez következik az |f + g|p ≤ |f | + |g|

p

≤ 2p−1 |f |p + |g|p

egyenl˝otlenségb˝ol, amit a h(x) := xp (x ≥ 0) f¨ uggvény konvexitását felhasználva lehet bebizony´ıtani. (A h f¨ uggvény konvex, mert h′′ (x) = p(p − 1)xp−2 > 0, ha x > 0, ui. a feltétel szerint p > 1. A konvexitás defin´ıciója szerint h(α · a + (1 − α) · b) ≤ αh(a) + (1 − α) · h(b). Alkalmazzuk ezt az α := 1/2, az a := |f | és a b := |g| szereposztással.) Így f +g ∈ Lp valóban teljes¨ ul. Legyen p konjugált kitev˝oje q, azaz p1 + 1q = 1. Mivel (p − 1)q = p, ezért ebb˝ol következik, hogy |f + g|p−1 ∈ Lq és Z 1/q

p−1 p

|f + g| = |f + g| = kf + gkp/q p . q X

Alkalmazzuk a Hölder-egyenl˝otlenséget az Lp -be tartozó |f |, |g| és az Lq -ba tartozó

50


|f + g|p−1 f¨ uggvényekre: Z Z Z p p−1 p−1 kf + gkp = |f + g| · |f + g| dµ ≤ |f + g| · |f | dµ + |f + g|p−1 · |g| µ ≤ X

X p−1

p−1

· kf kp + |f + g| q · kgkp ≤ ≤ |f + g| q

≤ |f + g|p−1 q · (kf kp + kgkp ) =

X

= (kf kp + kgkp ) · kf + gkp/q p .

Ha kf + gkp > 0, akkor az utolsó tényez˝ovel át lehet osztani, és mivel p, q konjugált kitev˝ok, ezért p 1 1 p− =p 1− = p = 1, q q p

kapjuk a k´ıvánt (2.6) egyenl˝otlenséget. Az kf + gk = 0 esetben (2.6) nyilvávalóan szintén teljes¨ ul. Ezzel a Minkowski-egyenl˝otlenséget minden p ∈ [1, +∞] kitev˝o esetére bebizony´ıtottuk. 7. t´ etel. Legyen X, Ω, µ tetsz˝oleges mértéktér és 1 ≤ p ≤ +∞. Ekkor Lp := Lp X, Ω, µ a szokásos m˝ uveletekkel line´ aris tér R felett. Az Z 1/p p p kf kp := kf kL : = |f | dµ , ha 1 ≤ p < +∞, f ∈ Lp X kf k∞ := kf kL∞ : = inf c ≥ 0 |f | ≤ c µ-m.m. az X-en , f¨ uggvény norma a Lp lineáris téren, vagyis Lp , k · kp norm´ alt tér. P´ eld´ ak Lp (X, Ω, µ) terekre.

• Legyen n ∈ N és (X, Ω, µ) az Rn -beli Legesgue-féle mértéktér, vagyis X ⊂ Rn egy ny´ılt halmaz, Ω az X Lebesgue-mérhet˝o halmazainak a σ-algebrája és µ : Ω → R a Lebesgue-mérték. Lp elemei tehát n változós valós érték˝ u f¨ uggvények, az integrál pedig a többszörös integrál általános´ıtása. • Legyen (X, Ω, µ) := (N, P(N), µ), ahol µ a P(N) hatványhalmazon értelmezett elemszám-mérték (vagyis µ({n}) = 1 minden n ∈ N számra). Ekkor bármely 1 ≤ p < +∞ esetén Lp (N, P(N), µ) elemei olyan x = (xn ) valós sorozatok, amelyekre  1/p !1/p Z +∞ X p p kxkLp =  |x| dµ = |xk | < +∞, N

k=1


51

tehát ez a speciális eset a korábban már bevezetett lp , k · kp térnek felel meg. Ha p = +∞, akkor L∞ N, P(N), µ elemei a korlátos valós sorozatok: L∞ N, P(N), µ = (xn ) : N → R sup |xk | < +∞ . k

Mivel kxkL∞ = supk |xk |, ezért a L∞ N, P(N), µ tér is a korábban már bevezetett l∞ , k · k∞ térrel egyezik meg. Ezekben az esetekben az A ⊂ Ω = P(N) halmaz nyilván akkor és csak akkor nullamérték˝ u, ha A = ∅. Ezért a Lp -t (azaz a lp -t) alkotó ekvivalenciosztályok egyelem˝ uek. • A Lpw (I) f¨ uggv´ enyterek. Legyen I ⊂ R ny´ılt (nem feltétlen¨ ul korlátos) intervallum, w : I → R pedig a szokásos Lebesgue-mértékre vonatkozólag mérhet˝o, m.m. nemnegat´ıv f¨ uggvény. Tegy¨ uk fel, hogy w integrálható I minden kompakt részintervallumán, és jelölj¨ uk P-vel azon korl´ ur˝ ujét, ameR atos intervallumok félgy˝ lynek a lezárása is I-ben van. A µ(J) := J w(t) dt képlet véges mértéket definiál P-n. Tekints¨ uk a hozzátartozó integrálelméletet, és 1 ≤ p ≤ +∞ esetén jelölj¨ uk p p p Lw (I)-vel a megfelel˝o L tereket. A w = 1 esetben visszakapjuk a szokásos L (I) tereket.

Megjegyz´ es. A 7. tételben lényeges a p ≥ 1 feltétel, ui. a 0 < p < 1 eseteknek megfelel˝o Lp terekben a (2.3) kifejezésre nem teljes¨ ul a normára megkövetelt háromszög-egyenl˝otlenség. Legyen ui. (X, Ω, µ) a (0, 1) intervallumra vonatkozó szokásos Lebesgue-féle mértéktér, és tekints¨ uk az ( ( 1, ha 0 < x < 12 0, ha 0 < x < 21 f (x) := g(x) := 0, ha 12 ≤ x < 1, 1, ha 12 ≤ x < 1. f¨ uggvényeket. Ekkor minden 0 < p < 1 esetén kf + gkp = 1, kf kp = kgkp =

1 1/p 2

⇒ kf kp + kgkp < 1,

ezért a háromszög-egyenl˝otlenség ezekre a f¨ uggvényekre nem teljes¨ ul. 2.4.4.

Kapcsolat a Lp terek k¨ oz¨ ott

´ Erdemes megjegyezni, hogy v´ eges µ mérték esetén a Lp terek L1 -t˝ol kezdve egy” másba vannak skatulyázva”. 8. t´ etel. Tegy¨ uk fel, hogy (X, Ω, µ) v´ eges mértéktér (vagyis µ(X) < +∞). Ekkor q minden 1 ≤ p < q ≤ +∞ esetén L ⊂ Lp .

52


Bizony´ıt´ as. A Hölder-egyenl˝otlenséget alkalmazzuk a pe :=

q p

és qe :=

q q−p

konjugált kitev˝okkel a következ˝o módon (1 jelöli az X-en minden¨ utt 1-et felvev˝o konstans f¨ uggvényt): 1qe pq Z Z

p

p q p p 1qe dµ = (|f | ) p dµ · kf kp = |f | · 1 1 ≤ |f | pe · k1kqe = X

X

1 = f kpq · µ(X) qe .

Mivel µ véges mérték (azaz µ(X) < +∞) és f ∈ Lq (vagyis kf kq < +∞), ezért a fenti egyenl˝otlenségb˝ol kf kp ≤ c kf kq < +∞ 1/p−1/q adódik, ahol c := µ(X) < +∞. Ez azt jelenti, hogy minden f ∈ Lq esetén f ∈ Lp is teljes¨ ul. Az Lq ⊂ Lp tartalmazás tehát valóban igaz.

Megjegyz´ esek. 1o Egyszer˝ uen megmutatható, hogy (például) a Lp (0, 1) terek szigor´ uan egymásba vannak skatulyázva. Valóban, ha fα (x) := x1α (x ∈ (0, 1)), akkor fα ∈ Lp (0, 1) ⇐⇒ α < p1 , ezért fα ∈ Lp \ Lq ,

ha p <

1 α

< q,

tehát tetsz˝oleges p < q esetén Lp \ Lq 6= ∅.

2o Az el˝obbi tételben lényeges a mérték végességére tett feltétel.

2.4.5.

Normakonvergencia. A Lp terek teljess´ ege

Az Lp tereken definiált normával f¨ uggvénysorozat normakonvergenci´ aj´ at lehet (természetes módon) értelmezni. Defin´ıci´ o. Legyen 1 ≤ p ≤ +∞. Azt mondjuk, hogy az (fn ) ⊂ Lp f¨ uggvénysorozat p az L tér norm´ aj´ aban konvergens, ha ∃ f ∈ Lp :

lim kfn − f kp = 0.

n→∞


53

Nyilván Lp -beli sorozatok Cauchy-tulajdonsága is értelmezhet˝o: Defin´ıci´ o. Legyen 1 ≤ p ≤ +∞. Az (fn ) ⊂ LP f¨ uggvénysorozatot Cauchysorozatnak nevezz¨ uk, ha ∀ ε > 0-hoz ∃ N ∈ N : ∀n, m ≥ N -re kfn − fm kp < ε. Az Lp terek egyik legfontosabb tulajdonsága az, hogy R-hez hasonlóan itt is igaz a Cauchy-féle konvergenciakritérium, azaz f¨ uggvénysorozat (norma)konvergenciája ekvivalens a f¨ uggvénysorozat Cauchy-tulajdonságával. 9. t´ etel (Riesz–Fischer-tétel2 ). Legyen (X, Ω, µ) egy tetsz˝oleges mértéktér. Ekkor minden 1 ≤ p ≤ +∞ kitev˝o mellett a Lp , k · kp norm´ alt tér teljes, azaz Banachtér. Ez azt jelenti, hogy minden Lp -beli (fn ) Cauchy-sorozat az Lp tér norm´ ajában p konvergens, vagyis létezik olyan f ∈ L f¨ uggvény, hogy lim kf − fn kp = 0.

n→+∞

Bizony´ıt´ as. Az áll´ıtás bizony´ıtásának Riesz Frigyes-féle alapgondolata a következ˝o: Az Lp tér tetsz˝oleges (fn ) Cauchy-sorozat´ aból kiv´ alasztható olyan fnk részsorozat, amelyik az X-en µ-m.m. (pontonként) konvergál egy f ∈ Lp f¨ uggvényhez. Ezt felhasználva már viszonylag egyszer˝ uen meg lehet mutatni, hogy az egész (fn ) sorozat ehhez az f f¨ uggvényhez tart az Lp tér normájában. 1. Legyen el˝oször 1 ≤ p < +∞, és vegy¨ unk egy tetsz˝oleges (fn ) Cauchy-sorozatot az Lp térb˝ol, azaz tegy¨ uk fel, hogy ∀ ε > 0-hoz ∃ N ∈ N : ∀ n, m ≥ N -re kfn − fm kp < ε.

(2.8)

Ekkor kiválasztható egy n1 < n2 < · · · indexsorozat u ´gy, hogy kfnk+1 − fnk kp <

1 2k

(k = 1, 2, . . .).

[Valóban, (2.8) miatt van olyan n1 index, hogy kfm −fn kp < 12 minden m, n ≥ n1 -re; vegy¨ uk ezután n2 > n1 -et u ´gy, hogy kfm − fn kp < 212 teljes¨ uljön minden m, n ≥ n2 esetén, s.´ı.t] 2

Riesz Frigyes és a német E. Fischer egym´ astól f¨ uggetlen¨ ul találták 1907-ben; mindketten a párizsi akadémia Comptes Rendus-jében közölték, Riesz két hónappal el˝obb, mint Fischer.

54


(a) Megmutatjuk, hogy az ´ıgy kiválasztott (fnk ) részsorozat az X-en µ-m.m. konvergál egy f : X → R f¨ uggvényhez. Legyen gK :=

K X fn

k+1

k=1

− fnk

és

g := lim gK = K→+∞

+∞ X fn

k+1

k=1

− fnk .

(2.9)

(Mivel a gK f¨ uggvénysorozat monoton növeked˝o, ezért g valóban jól definiált” ” X → R t´ıpus´ u f¨ uggvény.) Világos, hogy minden K természetes számra gK ∈ Lp (vagyis gkp ∈ L1 ) és a normára vonatkozó háromszög-egyenl˝otlenség miatt

gK = p

Z

p gK

dµ

X

1/p

K K X X

1

≤ fnk+1 − fnk p ≤ ≤ 1, 2k k=1 k=1

p továbbá gK ր g p (K → +∞) pontonként az X halmazon. A Beppo Levi-tételt alkalmazva kapjuk, hogy Z Z Z p p p g dµ = lim gK µ = lim gK dµ ≤ 1, K→+∞

X

K→+∞

X

X

és ez azt jelenti, hogy g p Lebesgue-integrálható (g p ∈ L1 , illetve g ∈ Lp ), következésképpen g p , tehát g is véges értéket vesz fel µ-m.m. az X-en. Ezt viszont u ´gy is fogalmazhatjuk, hogy a X fnk+1 − fnk k=1

f¨ uggvénysor az X-en µ-m.m. abszol´ ut konvergens. Az abszol´ ut konvergencia maga után vonja a konvergenciát is. Legyen f := fn1 +

+∞ X k=1

fnk+1 − fnk .

(Ez a f¨ uggvény X-en µ-m.m. egyértelm˝ uen van definiálva.) f tehát az sK := fn1 +

K−1 X k=1

fnk+1 − fnk = fnK

(K ∈ N)

f¨ uggv´ uggvénye. Igazoltuk tehát azt, hogy a kiválasztott enysorozat µ-m.m. határf¨ fnk részsorozat µ-m.m. konvergens.


55

(b) Most megmutatjuk, hogy az (fnK ) sorozat az Lp tér normájában is tart az f f¨ uggvényhez. Valóban, a fentiek szerint +∞ X fn − fn ≤ g |f − sK | = |f − fnK | ≤ k+1 k k=K

(K ∈ N).

ul. Az Ebb˝ol és g ∈ Lp -b˝ ol következik, hogy f − fnK ∈ Lp , és ezért f ∈ Lp is teljes¨ uggvénysorozatra a Lebesgue-féle konvergenciatételt alkalmazva |f −fnK |p , K ∈ N f¨

f − fn → 0 (K → +∞) (2.10) K p adódik. (c) Vég¨ ul az

kf − fn kp ≤ kf − fnK kp + kfnK − fn kp

egyenl˝otlenségb˝ol következik, hogy az egész (fn ) sorozat is f -hez tart az Lp -normában. Valóban, az utolsó összeg els˝o tagja (2.10) miatt, a második tagja pedig (fn ) Cauchytulajdonsága miatt tart 0-hoz, ha n, nK → +∞. A Riesz–Fischer-tételt az 1 ≤ p < +∞ esetben tehát bebizony´ıtottuk. 2. Ha p = +∞, akkor a fenti bizony´ıtásban csak a lim kf − fnK kp = 0 K

reláció igazolása igényel némi módos´ıtást, ti. ekkor a Lebesgue-tétel nem alkalmazható. Azonban (k ∈ N), kfnk+1 − fnk k∞ < 21k amib˝ol egyszer˝ uen kapjuk a kfnk+m − fnk k∞ < becslést. Innen viszont |f − fnk | <

1 2k−1

kf − fnk k∞ <

1 2k−1

(k ∈ N),

µ-m.m. (k ∈ N) adódik, azaz 1 2k −1

következésképpen lim kf − fnk k∞ = 0.

(k ∈ N),

k Megjegyz´ es. A p = +∞ hat´ aresetben az L∞ tér teljességét a C[a, b], k · k∞ tér teljességének bizony´ıtásánál követett módon is beláthatjuk: Legyen (fn ) egy L∞ beli Cauchy-sorozat. Adott k természetes számhoz tehát létezik olyan Nk index, hogy 1 kfm − fn kL∞ ≤ ∀ m, n ≥ Nk -ra. k

56


A k · kL∞ norma defin´ıciója alapján létezik olyan Emn ⊂ X µ-nullamérték˝ u halmaz, hogy 1 |fm (x) − fn (x)| ≤ x ∈ X \ Emn , m, n ≥ Nk . k Legyen +∞ [ Ek := Emn . m,n=Nk

Ekkor µ(Ek ) = 0 és

|fm (x) − fn (x)| ≤

1 k

∀ x ∈ X \ Ek -ra és ∀ m, n ≥ Nk -ra.

(2.11)

Világos, hogy az E := ∪k Ek ⊂ X halmaz is µ-nullamérték˝ u. A fentiek alapján tehát minden x ∈ X \ E pontban fn (x) egy R-beli Cauchy-sorozat; jelölj¨ uk f (x)-szel a határértékét. A (2.11) egyenl˝otlenségben az m → +∞ határátmenetet elvégezve kapjuk, hogy |f (x) − fn (x)| ≤

1 k

∀ x ∈ X \ E-re és ∀ n ≥ Nk -ra,

amib˝ol következik, hogy f ∈ L∞ és kf − fn kL∞ ≤ k1 minden n ≥ Nk indexre, és ez azt jelenti, hogy kf − fn kL∞ → 0, ha n → +∞. Az L∞ , k · kL∞ normált tér tehát valóban teljes.

2.5.

Euklideszi terek ´ es Hilbert-terek

Motiv´ aci´ o: R3 -ban a skal´ aris szorzat. Skaláris szorzattal fejezhet˝o ki vektorok szöge, mer˝olegessége, vet¨ ulete, távolsága, és maga a norma, a vektor abszol´ ut értéke is. Ezért azok a lineáris terek, amelyekben R3 példájára a skaláris szorzat van értelmezve, várhatóan sokkal több hasonlóságot mutatnak a közönséges háromdimenziós vektortérrel, mint azok, amelyekben nincs skaláris szorzat. Defin´ıci´ o. Az X, h·, ·i rendezett párt euklideszi t´ ernek nevezz¨ uk, ha 1o X lineáris tér a K számtest felett; 2o h·, ·i pedig olyan h·, ·i : X × X → K f¨ uggvény, amelyik tetsz˝oleges x, y, z ∈ X elemre és λ1 , λ2 ∈ K számra eleget tesz az alábbi követelményeknek: (i) hx, yi = hy, xi; (ii) hλ1 x + λ2 y, zi = λ1 hx, zi + λ2 hy, zi; (iii) hx, xi ≥ 0; (iv) hx, xi = 0 ⇐⇒ x = θ.

2.5. Euklideszi terek és Hilbert-terek

57

A h·, ·i leképezést skal´ aris szorzatnak nevezz¨ uk. Ha K = R, akkor val´ os, ha K = C, akkor pedig komplex euklideszi térr˝ol beszél¨ unk. Ha a skal´ uen aris szorzat a szövegkörnyezetb˝ol nyilvánvaló, akkor egyszer˝ X-et ´ırunk X, h·, ·i helyett. X elemeit vektoroknak is nevezz¨ uk. Minden euklideszi térnek van természetes normája: 1. t´ etel. Az X, h·, ·i euklideszi téren az kxk :=

p

hx, xi

(x ∈ X)

f¨ uggvény norma az X lineáris téren, tehát minden euklideszi tér egy´ uttal norm´ alt (teh´ at metrikus) tér is. Ezt a norm´ at a skal´ aris szorzat a´ltal induk´ alt norm´ anak nevezz¨ uk. Minden X euklideszi térben igaz a Cauchy–Schwarz-egyenl˝ otlens´ eg: |hx, yi| ≤ kxk · kyk

(x, y ∈ X)

és a paralelogramma-azonoss´ ag: kx + yk2 + kx − yk2 = 2kxk2 + 2kyk2 (x, y ∈ X). 2. t´ etel (Neumann János tétele). Az X, k · k norm´ alt térben a norma akkor és csak akkor származtatható skal´ aris szorzatból (azaz X euklideszi tér), ha minden x, y ∈ X esetén igaz az kx + yk2 + kx − yk2 = 2 kxk2 + kyk2 u ń. paralelogramma-egyenl˝oség.

3. t´ etel. Az (a) Rn (n ∈ N), (b) lp , (c) C[0, 1], (d) L[0, 1] tereken értelmezett k · kp (1 ≤ p ≤ +∞) norma akkor és csak akkor elég´ıti ki a paralelogramma-egyenl˝oséget, ha p = 2. Defin´ıci´ o. Az X, h·, ·i euklideszi teret Hilbert-t´ ernek nevezz¨ uk, ha a skaláris szorzat által indukált normával nyert normált tér teljes.

58


P´ eld´ ak Hilbert-terekre az

• Az Rn euklideszi t´ er. A szokásos m˝ uveletekkel ellátott Rn lineáris téren hx, yi :=

n X

x = (x1 , . . . , xn ), y = (y1 , . . . , yn ) ∈ Rn

xk yk

k=1

f¨ uggvény skaláris szorzat. Az indukált p kxk := hx, xi (x ∈ Rn ) normával Rn teljes, tehát Rn , h·, ·i egy véges dimenziós Hilbert-tér.

• A l2 -t´ er. Az

+∞ P l2 := (xn ) : N → R |xn |2 < +∞ n=1

halmaz a sorozatok közötti szokásos m˝ uveletekkel egy R feletti lineáris tér, ezen az hx, yi :=

+∞ X

x = (xn ), y = (yn ) ∈ l2

xn yn

n=1

f¨ uggvény skaláris szorzat. Az indukált norma ebben az esetben +∞ X

p kxk = hx, xi =

n=1

|xn |2

!1/2

= kxkl2

(x ∈ l2 ).

l2 ezzel a normával teljes, ezért l2 , h·, ·i Hilbert-tér.

• A L2 -terek. Legyen (X, Ω, µ) egy mértéktér. Tekints¨ uk az Z n o 2 L (X, Ω, µ) := f : X → R |f |2 < +∞ X

f¨ uggvényteret, és legyen

kf kL2 :=

sZ

X

|f |2 dµ

f ∈ L2 (X, Ω, µ) ,

(2.12)

ahol nem tesz¨ unk k¨ ulönbséget két f¨ uggvény között, ha azok µ-m.m. egyenl˝ok. Emlékeztet¨ unk a Riesz–Fischer-tételre, amely szerint L2 (X, Ω, µ) ezzel a normával Banach-tér.

2.5. Euklideszi terek és Hilbert-terek Egyszer˝ uen igazolható, hogy az Z hf, gi := f g dµ X

59

f, g ∈ L2 (X, Ω, µ)

egyenl˝oséggel értelmezett f¨ uggvény kielég´ıti a skaláris szorzat követelményeit, emellett ebb˝ol a skaláris szorzatból származtatott p f ∈ L2 (X, Ω, µ) kf k := hf, f i norma megegyezik a tér (2.12) alatti normájával, ezért L2 (X, Ω, µ), h·, ·i Hilbertt´ er.

• Az L2 (I)-t´ er. Legyen I ⊂ R egy nemdegenerált R-beli (korlátos vagy nem korlátos) intervallum, és tekints¨ uk ezen a Lebesgue-féle mértékteret. L2 (I)-vel fogjuk jelölni az el˝oz˝o példa speciális eseteként adódó Hilbert-teret. Megjegyz´ es. Legyen I ⊂ R egy nemdegenerált korlátos intervallum. Jelölje C(I) az I kompakt intervallumon értelmezett valós érték˝ u folytonos f¨ uggvények szokásos” lineáris terét. Azt már tudjuk, hogy C(I) euklideszi tér az ” Z hf, gi := f (x)g(x) dx f, g ∈ C(I) I

skaláris szorzatra nézve, s˝ot azt is láttuk, hogy ez a tér nem teljes, tehát nem Hilberttér. uggvényeket hozzávéve ez Megmutatható, hogy a C(I) halmazhoz alkalmas” f¨ ” a tér teljessé tehet˝o, vagyis alkalmas Hilbert-tér s˝ ur˝ u alterének tekinthet˝o. Bebizony´ıtható, hogy a C(I) teljess´ e t´ etel´ evel kapott Hilbert-t´ er ´ eppen az L2 (I) Hilbert-t´ er lesz.

• Az L2w (I) Hilbert-terek. Tegy¨ uk fel, hogy I egy R-beli ny´ılt intervallum és w : I → R pedig a szokásos Lebesgue-mértékre vonatkozólag mérhet˝o, m.m. nemnegat´ıv f¨ uggvény. Tegy¨ uk fel, hogy w integrálható I minden kompakt részintervallumán, és jelölj¨ uk I-vel azon korlátos intervallumok félgy˝ ur˝ ujét, amelyek lezárása R uk a is I-ben van. A µ(J) := J w(t) dt képlet véges mértéket definiál I-n. Tekints¨ hozzá tartozó integrálelméletet, és jelölj¨ uk L2w (I)-vel a megfelel˝o L2 teret. A w ≡ 1 esetben visszakapjuk az L2 (I) teret. Nem nehéz igazolni azt, hogy L2w (I) az Z hf, gi := f (t)g(t)w(t) dt f, g ∈ L2w (I) I

skaláris szorzattal szintén Hilbert-tér. A fenti tulajdonság´ u w f¨ uggvényt s´ ulyf¨ uggvénynek szokás nevezni.

60


Egy Hilbert-térben alapvet˝o fogalom az ortogonalitás. A H-beli x ´ es y vektorok egym´ asra ortogon´ alisak (mer˝olegesek) — jelölésben x ⊥ y —, ha hx, yi = 0, azaz a két vektor skaláris szorzata nulla. Azt mondjuk, hogy az x ∈ H vektor ortogonális az M ⊂ H halmazra — jelölésben x ⊥ M —, ha x ortogonális az M minden elemére. Vég¨ ul a H Hilbert-tér M1 és M2 részhalmazát egymásra ortogonálisnak nevezz¨ uk — jelölésben M1 ⊥ M2 —, ha M1 bármely eleme ortogonális M2 minden elemére. Nyilvánvaló, hogy a θ nullvektor ortogonális H minden elemére és egy´ uttal H minden részhalmazára.

3. A legjobb approxim´ aci´ o probl´ emak¨ ore Ebben a fejezetben az approximációelmélet néhány alapfeladatával foglalkozunk.

3.1.

A probl´ ema felvet´ ese ´ es absztrakt negfogalmaz´ asa

Az elemi geometriában láttuk, hogy milyen fontos szerepet játszik pont és egyenes távolságának a fogalma. Az x0 pontnak és az M egyenesnek a távolságán a pontból az egyenesre áll´ıtott mer˝oleges szakasz d hosszát értett¨ uk, és ezt a defin´ıciót ekvivalens módon átfogalmaztuk: x0 d ̺2 (x0 , y)

M

Vegy¨ uk x0 -nak és az egyenes tetsz˝oleges y pontjának a ̺2 (x0 , y)-nal jelölt távolságát. Ekkor d ezek köz¨ ul a lehet˝o legkisebb: d = min {̺2 (x0 , y) | y ∈ M } = ̺2 (x0 , y0 ).

Ugyan´ıgy értelmezt¨ uk pont és s´ık távolságát. Nyilvánvaló, hogy ez a fogalom tetsz˝oleges metrikus térben is bevezethet˝ o. Motivációként gondoljunk még Csebisev klasszikus tételére. A C[a, b], ̺∞ metrikus térben hasonló módon értelmezhetj¨ uk egy f ∈ C[a, b] f¨ uggvénynek Pn -t˝ol, vagyis a legfeljebb n-edfok´ u polinomok halmazától vett távolságát. Csebisev tétele azt áll´ıtja, hogy Pn -ben pontosan egy f -hez legközelebbi polinom található. Már ez az egyetlen példa is elég indok arra, hogy a szóban forgó fogalmat érdemes (els˝o közel´ıtésben metrikus térre) általános´ıtani. Defin´ıci´ o. Az (X, ̺) metrikus térben az x0 pont és a nem¨ ures M ⊂ X halmaz t´ avols´ ag´ at ´ıgy értelmezz¨ uk: d(x0 , M ) := inf ̺(x0 , y) y ∈ M . Ezt a számot az x0 pont M -beli elemekkel val´ o legjobb k¨ ozel´ıt´ es´ enek is nevezz¨ uk. Lássuk el˝oször a defin´ıció néhány egyszer˝ u következményét. Tetsz˝oleges x0 ∈ X pont és nem¨ ures M ⊂ X halmaz esetén a következ˝o áll´ıtások érvényesek. • A szóban forgó infimum létezik és d(x0 , M ) ≥ 0.

• Van olyan M -beli (yn ) sorozat, amelyre ̺(x0 , yn ) → d(x0 , M ) (n → +∞). Valóban, az infimum defin´ıciója alapján minden n ∈ N esetén létezik olyan yn ∈ M , 61

62

3. A legjobb approximáció problémaköre

hogy d(x0 , M ) ≤ ̺(x0 , yn ) ≤ d(x0 , M ) + n1 . Az (yn ) ⊂ M sorozatot az x0 pont egy minimaliz´ al´ o sorozat´ anak nevezz¨ uk. • A d(x0 , M ) = 0 speciális esetre az alábbi ekvivalenciák érvényesek: d(x0 , M ) = 0

⇐⇒

⇐⇒ ⇐⇒

∀ ε > 0-hoz ∃ y ∈ M : ̺(x0 , y) < ε;

x0 ∈ M ; ∃ (yn ) ⊂ M : ̺(x0 , yn ) → 0 (n → +∞).

A d(x0 , M ) = 0 egyenl˝oség tehát azt jelenti, hogy az x0 pont tetsz˝oleges pontossággal megközel´ıthet˝o (approximálható) M -beli elemekkel. • A {̺(x0 , y) | y ∈ M } ⊂ M számhalmaznak általában nincs legkisebb eleme. Ha van, akkor a halmaznak van minimuma, és ez az infimummal egyenl˝o. Ekkor tehát létezik olyan y0 ∈ M , amelyre a d(x0 , M ) = ̺(x0 , y0 ) (= min{̺(x0 , y) | y ∈ M }) egyenl˝oség teljes¨ ul. Ilyenkor azt is mondjuk, hogy a d(x0 , M ) távolság y0 -lal realiz´ al´ odik. A változatosság kedvéért y0 -ra is több elnevezést használunk. Azt fogjuk mondani, hogy y0 — egy, az x0 ponthoz legközelebbi M -beli elem, — minimális távolságra van x0 -tól, — az x0 pont egy minimalizáló eleme, — egy, az x0 pontot legjobban megközel´ıt˝o M -beli elem. A következ˝o kérdéseket vetj¨ uk fel. 1. A l´ etez´ es probl´ em´ aja. Adott x0 ∈ X és M ⊂ X esetén vajon létezik-e x0 -at legjobban megközel´ıt˝o M -beli y0 elem? Milyen feltételek mellett igaz az, hogy minden x0 ∈ X-hez van ilyen y0 ? 2. Az egy´ ertelm˝ us´ eg probl´ em´ aja. Ha x0 -hoz létezik legjobban közel´ıt˝o elem, akkor az milyen feltételek mellett lesz egyértelm˝ u? 3. A jellemz´ es probl´ em´ aja. Létezés és egyértelm˝ uség esetén hogyan lehet jellemezni a legjobban közel´ıt˝o elemet. 4. Az el˝ o´ all´ıt´ as probl´ em´ aja. Ha az els˝o két (három) kérdésre pozit´ıv a válasz, akkor hogyan lehet a legjobban közel´ıt˝o elemet explicit módon (pontosan) vagy numerikusan el˝oáll´ıtani. 5. Meg lehet-e határozni d(x0 , M )-et? Ha nem, akkor milyen jó” fels˝o becslést ” lehet erre megadni?

3.2. A legjobban közel´ıt˝o elem létezése metrikus terekben

63

Az approxim´ aci´ oelm´ elet a fenti problémákra ad teljes vagy részleges választ akkor, amikor k¨ ulönböz˝o f¨ uggvényosztályokban, k¨ ulönböz˝o normált terekben lev˝o f¨ uggvényeket közel´ıt¨ unk M -beli elemekkel, ahol M bizonyos jól” kezelhet˝o f¨ ugg” vényekb˝ol (pl. algebrai vagy trigonometrikus polinomok, spline-f¨ uggvények) álló halmaz. A részletek ismertetése el˝ott lássunk néhány egyszer˝ u példát. • A közönséges háromdimenziós térben (vagyis az R3 , ̺2 metrikus térben) tetsz˝oleges x0 pont és M egyenes esetén pontosan egy x0 -t legjobban megközel´ıt˝o y0 ∈ M pont létezik, és ezt a mer˝olegességgel lehet jellemezni. • Ha az R2 , ̺2 metrikus térben M := k1 (0) az origó középpont´ u 1-sugar´ u ny´ılt körlap, x0 pedig a (2, 0) koordinátáj´ u pont, akkor M -ben nyilván nincs x0 -hoz legközelebbi pont. Ha a zárt körlapot vessz¨ uk, akkor egyetlen x0 -hoz legközelebbi pont van. • Ha az R2 , ̺∞ metrikus térben M := k1 (0) (azaz M az origó középpont´ u, a tengelyekkel párhuzamos 2 egység oldal´ u z´ art négyzet), x0 pedig a (2, 0) koordinátáj´ u pont, akkor M -ben végtelen sok x0 -hoz legközelebbi pont van. (Melyek ezek?) • Csebisev tétele azt áll´ıtja, hogy az C[a, b], ̺∞ metrikus térben minden f ∈ C[a, b] f¨ uggvény esetén Pn -ben pontosan egy f -hez legközelebbi polinom található. A továbbiakban a felvetett problémák köz¨ ul az csak els˝o kett˝ovel foglalkozunk. Az iménti példák azt mutatják, hogy pozit´ıv válaszhoz egyrészt az X térre, másrészt pedig az M halmazra is kell kiegész´ıt˝ o feltételeket tenni.

3.2.

A legjobban k¨ ozel´ıt˝ o elem l´ etez´ ese metrikus terekben

A legáltalánosabb térstrukt´ uránkban, vagyis metrikus terekben kompakt részhalmazok esetén már biztos´ıtható a legjobban közel´ıt˝o elemnek a létezése. 1. t´ etel. Az (X, ̺) metrikus tér tetsz˝oleges M ⊂ X kompakt részhalmaza esetén minden x0 ∈ X ponthoz van legk¨ ozelebbi M -beli y0 pont, azaz ∀ x0 ∈ X-hez

∃ y0 ∈ M : ̺(x0 , y0 ) = d(x0 , M ).

Bizony´ıt´ as. Legyen d := d(x0 , M ) = inf{̺(x0 , y) | y ∈ M }, és vegy¨ unk egy (zn ) minimalizáló sorozatot, azaz tegy¨ uk fel, hogy (zn ) ⊂ M :

̺(x0 , zn ) → d, ha n → +∞.

64


Mivel M kompakt, ezért (zn )-nek van olyan konvergens (znk ) részsorozata, amelyiknek az y0 határértéke M -ben van. Megmutatjuk, hogy y0 az x0 ponthoz legközelebbi M -beli elem, azaz ̺(x0 , y0 ) = d. Valóban, a háromszög-egyenl˝otlenség miatt ̺(x0 , y0 ) ≤ ̺(x0 , zn ) + ̺(zn , z0 ). A bal oldal itt n-t˝ol f¨ uggetlen, a jobb oldal pedig nk → +∞ esetén d-hez tart, ezért ̺(x0 , y0 ) ≤ d. Másrészt y0 ∈ M , ezért a ̺(x0 , y0 ) ≥ d egyenl˝otlenség is igaz, következésképpen ̺(x0 , y0 ) = d. Megjegyz´ es. A bizony´ıtásban szerepl˝o (zn ) sorozat bármely ∅ 6= M ⊂ X halmaz esetén korlátos. Valóban, van olyan n ∈ N, amellyel pl. ̺(x0 , zn ) ≤ d + 1 (n ≥ N ) teljes¨ ul. Ezért az r := max {d + 1, ̺(x0 , z1 ), ̺(x0 , z2 ), . . . , ̺(x0 , zN −1 )} jelöléssel ̺(x0 , zn ) ≤ r (n ∈ N), azaz (zn ) ⊂ kr (x0 ). Így a bizony´ıtásban az M kompaktsága helyett csak az M halmaz u ń. kv´ azikompakts´ agát használtuk ki; tehát azt, hogy bármely korl´ a tos (z ) ⊂ M sorozatnak van M -ben konvergens részsorozata. n n Például R , ̺∞ -ben (n ∈ N) minden nem¨ ures zárt M halmaz kvázikompakt.

3.3.

Approxim´ aci´ os t´ etelek norm´ alt terekben

Most valós (X, k · k) normált terekben tanulmányozzuk a legjobban közel´ıt˝o elem létezésének és egyértelm˝ uségének a problémáját. Az x0 ∈ X pontnak és a nem¨ ures M ⊂ X halmaznak a távolsága ebben az esetben d(x0 , M ) = inf {kx0 − yk | y ∈ M } . Az M halmazra vonatkozóan két esetet fogunk vizsgálni: • M véges dimenziós altér X-ben, • M ⊂ X konvex és z´ art halmaz. 3.3.1.

Alt´ ert˝ ol vett t´ avols´ ag

A l´ etez´ es probl´ em´ aja Tegy¨ uk fel, hogy M az X normált (tehát speciálisan metrikus) tér egy altere. Ez általában nem kompakt, ezért az el˝oz˝o tétel¨ unk közvetlen¨ ul nem alkalmazható. Emlékezz¨ unk viszont arra, hogy egy véges dimenzi´ os térnek egy részhalmaza pontosan akkor kompakt, ha korlátos és zárt, és ilyen halmazokat könnyen ki tudunk

3.3. Approximációs tételek normált terekben

65

jelölni. Ezeket az észrevételeket felhasználva megmutatjuk, hogy normált tér tetsz˝oleges véges dimenziós alterében mindig van minimalizáló vektor. 2. t´ etel (a legjobban közel´ıt˝o elem létezése). Legyen M az (X, k · k) norm´ alt tér v´ eges dimenzi´ os altere. Ekkor bármely x0 ∈ X elemhez van hozz´ a legk¨ ozelebbi M -beli y0 vektor, azaz ∀ x0 ∈ X-hez ∃ y0 ∈ M : kx0 − y0 k = d(x0 , M ). Bizony´ıt´ as. Vegy¨ uk az altér egy ξ ∈ M rögz´ıtett pontját, és jelölj¨ uk M ∗ -gal azon y ∈ M vektorok halmazát, melyekre az ky − x0 k ≤ kx0 − ξk egyenl˝otlenség teljes¨ ul: M ∗ := {y ∈ M | ky − x0 k ≤ kx0 − ξk } ⊂ M. Ekkor M ∗ a véges dimenziós M altér egy korlátos és zárt, következésképpen kompakt részhalmaza. Az 1. tételb˝ol tehát következik az áll´ıtás. Az egy´ ertelm˝ us´ eg probl´ em´ aja ´ Ez a létezés problémájánál már nehezebb. Erdemes megint egyszer˝ u példákból kiindulni. Tekints¨ uk a k¨ ulönböz˝o normákkal ellátott R2 s´ıkot. Egyszer˝ u észrevenni, hogy a norma megválasztásától f¨ ugg a legközelebbi elem egyértelm˝ usége. • Tekints¨ uk az euklideszi norm´ aval ellátott s´ıkot, azaz legyen X := R2 és k · k := k · k2 . Vegy¨ unk egy M ⊂ R2 alteret, vagyis egy origón átmen˝o egyenest és 2 egy x0 ∈ R pontot. Az elemi geometriából tudjuk, hogy ekkor bármelyik x0 ∈ R2 pont esetén az M egyenesen egyetlen olyan y0 ∈ M pont van, amelyik legközelebb van az x0 -hoz. • Vegy¨ uk most a maximum-normával ellátott s´ıkot (X := R2 , k · k := k · k∞ ), és tekints¨ uk az x0 := (0, 1) pontot, valamint az y = 0 egyenlet˝ u egyenest, vagyis az M := {(x1 , 0) ∈ R2 | x1 ∈ R} ⊂ R2 alteret. Világos, hogy ekkor M -ben végtelen sok x0 -hoz legközelebbi y0 ∈ M pont van. x2

Ha y0 := (y, 0) és |y| ≤ 1, akkor kx0 −y0 k∞ = 1, tehát minden ilyen y0 pontra igaz, hogy

x0 (0, 1)

−1

y0

kx0 − y0 k = d(x0 , M ) = 1. M

1

x1

66


Ez a két egyszer˝ u példa azt mutatja, hogy az egyértelm˝ uséghez a normára további feltételt kell tenn¨ unk. A kérdés persze az, hogy a normának milyen tulajdonságán m´ ulik az egyértelm˝ uség. A válasz kereséséhez nézz¨ uk meg a fenti két esetben az egységgömböket! x2

x2

1

1 1

−1 −1

x1

1

−1

x1

−1

Az els˝o szembet˝ un˝o k¨ ulönbség az, hogy a második esetben az egységgömb-fel¨ ulet tartalmaz szakaszt, az els˝o esetben pedig nem. Kider¨ ult (és ezt hamarosan meg is fogjuk mutatni), hogy az egyértelm˝ uség az egységgömb-fel¨ uletnek ezen geometriai tulajdonságán m´ ulik. A részletek pontos´ıtása el˝ott ennek a szemléletes fogalomnak a geometriától mentes” értelmezését kell megadnunk tetsz˝oleges normált térre. Ezek ” után elég természetes” a következ˝o ” Defin´ıci´ o. Az (X, k · k) normált teret szigor´ uan konvexnek nevezz¨ uk akkor, ha az X-beli origó középpont´ u egységgömb-fel¨ ulet nem tartalmaz szakaszt, azaz ha

x + y

kxk = kyk =

2 = 1 =⇒ x = y.

´ Erdekes az a (nem nyilvánvaló) tény, hogy ezt a geometriai tulajdonságot tisztán algebrai u ´ton is lehet jellemezni. Induljunk ki a normált terekben alapvet˝o szerepet játszó kx + yk ≤ kxk + kyk (3.1)

háromszög-egyenl˝otlenségb˝ol, és vess¨ uk fel azt a kérdést, hogy vajon mikor áll itt fenn az egyenl˝oség. Az világos, hogy tetsz˝oleges normált térben az egyir´ any´ u vektorokra (x és y ilyenek, ha y = λx valamely λ ≥ 0 számra) (3.1)-ben egyenl˝oség van. A fenti két példában könny˝ u ellen˝orizni, hogy az euklideszi norma esetén (3.1)ben csak az egyir´ any´ u vektorokra van egyenl˝oség, a maximum-normára ez azonban nem igaz (tekints¨ uk például az egységgömb-fel¨ ulet valamelyik szakaszát). Ez azt jelenti, hogy tetsz˝oleges normált térben a normától f¨ ugg, hogy milyen vektorokra áll fenn az egyenl˝oség a háromszög-egyenl˝otlenségben. Szigor´ uan norm´ alt térnek fogjuk nevezni a teret akkor, ha a háromszög-egyenl˝otlenségben csak az egyirány´ u


67

vektorok esetén áll fenn az egyenl˝oség. Meg fogjuk mutatni, hogy a normának ez az algebrai tulajdonsága ekvivalens a fentebb bevezetett geometriai tulajdonsággal. Defin´ıci´ o. Azt mondjuk, hogy az (X, k · k) normált tér szigor´ uan norm´ alt, ha minden x, y ∈ X esetén kx + yk = kxk + kyk

⇐⇒

∃ λ ≥ 0 : y = λx.

3. t´ etel. Az (X, k · k) norm´ alt tér akkor és csak akkor szigor´ uan konvex, ha szigor´ uan norm´ alt. Bizony´ıt´ as. ⇐ Tegy¨ uk fel el˝oször azt, hogy a tér szigor´ uan normált, és mutassuk meg, hogy ekkor szigor´ uan konvex is. Vegy¨ unk olyan x, y ∈ X vektorokat, amelyekre fennáll az

x + y

kxk = kyk =

2 =1 egyenl˝oség. Ebb˝ol az következik, hogy

x y x y

+ = + . 2 2 2 2

Mivel az X tér szigor´ uan normált, ezért y2 = λ x2 , azaz y = λx valamilyen λ > 0 számra. x és y normája azonban 1, ezért λ = 1, azaz x = y. Ez azt jelenti, hogy a tér szigor´ uan konvex. ⇒ Most tegy¨ uk fel, hogy az X szigor´ uan konvex tér, és lássuk be, hogy szigor´ uan normált is. Ehhez elég bebizony´ıtani azt, hogy ha a nemnulla vektorokra fennáll az kx + yk = kxk + kyk egyenl˝oség, akkor ∃ λ > 0 : y = λx. Tegy¨ uk fel tehát, hogy x, y ∈ X \ {θ} és kx + yk = kxk + kyk. (3.2) Abban az esetben, ha x és y normája megegyezik, már készen is vagyunk, ti. a szigor´ u konvexitásból (a norma homogenitásának a felhasználásával) rögtön következik az x = y egyenl˝oség. Az (3.2)-ben azonban nyugodtan feltehetj¨ uk, hogy kxk = kyk, mert kx + yk = kxk + kyk

=⇒

∀ µ > 0-ra : kx + µyk = kxk + kµyk.

(3.3)

Ennek az áll´ıtásnak a bizony´ıtása 0 < µ ≤ 1 esetén az kxk + kyk = kx + yk = kx + µy + (1 − µ)yk ≤ kx + µyk + (1 − µ)kyk ≤ ≤ kxk + kµyk + (1 − µ)kyk = kxk + µkyk + (1 − µ)kyk = kxk + kyk

68


egyenl˝otlenség- (de valójában egyenl˝oség-) láncból következik. Az x és y szerepét felcserélve ebb˝ol a minden 0 < ν ≤ 1-re igaz kνx + yk = kνxk + kyk egyenl˝oséget kapjuk, és ebb˝ol ν-vel való osztás után adódik (3.3) a µ ≥ 1 esetre is. A nevezetes normált tereinkre ebb˝ol a szempontból a következ˝ok érvényesek.

P´ eld´ ak. • Az (Rn , k · kp ) terek 1 < p < +∞ esetén szigor´ uan normáltak/konvexek, de ha p = 1 és p = +∞, akkor nem azok. • Az (lp , k · kp ) terek 1 < p < +∞ esetén szigor´ uan normáltak/konvexek, de ha p = 1 és p = +∞, akkor nem azok. • A (Lp (I), k · kLp ) (I ⊂ R nemelfajuló intervallum) terek 1 < p < +∞ esetén szigor´ uan normáltak/konvexek, de ha p = 1 és p = +∞, akkor nem azok. (A pozit´ıv áll´ıtások a megfelel˝o Minkowski-egyenl˝otlenségekb˝ol vezethet˝ok le. A negat´ıv esetekben pedig viszonylag egyszer˝ u ellenpéldákat lehet megadni.) • A (C[a, b], k · k∞ ) normált tér nem szigor´ uan konvex/normált. Tekints¨ uk ui. a következ˝o f¨ uggvényeket: x2

x2 1

a

f

b

1

a

x1

a+b 2

g

b

x1

Világos, hogy kf + gk∞ = kf k∞ + kgk∞ , de nincs olyan λ > 0 szám, hogy f = λg, ezért a tér nem szigor´ uan konvex. • Minden H, h·, ·i Hilbert-tér szigor´ uan normált/konvex. Ez az alábbi (egyszer˝ uen bebizony´ıtható) áll´ıtásokból következik: ha x, y ∈ H és | hx, yi | = kxk · kyk kx + yk = kxk + kyk

⇐⇒ ⇐⇒

x = λy (λ ∈ R), hx, yi = kxk · kyk.

Most megmutatjuk, hogy szigor´ uan konvex/normált terekben tetsz˝oleges pontot és bármelyik véges dimenziós alteret véve pontosan egy olyan altérbeli pont van, amelyik legközelebb van a kiválasztott ponthoz. 4. t´ etel (a legjobban közel´ıt˝o elem egyértelm˝ usége). Legyen M egy véges dimenziós altér az X, k · k szigor´ uan konvex/normált térben. Ekkor minden x0 ∈ X ponthoz létezik pontosan egy, t˝ole minim´ alis távolságra lev˝o y0 pont M -ben, azaz ∀ x0 ∈ X-hez

∃ ! y0 ∈ M : kx0 − y0 k = d(x0 , M ).


69

Bizony´ıt´ as. Az y0 pont létezése az 2. tételb˝ol következik. Az egyértelm˝ uség bizony´ıtásához tegy¨ uk fel, hogy az y0 és y0′ M -beli elem mindegyike minimalizáló vektor, azaz kx0 − y0 k = kx0 − y0′ k = d(x0 , M ) =: d.

(3.4)

El˝oször azt mutatjuk meg, hogy ekkor az y0 , y0′ pontokat összeköt˝o szakasz felez˝oy +y ′ pontja, vagyis az az 0 2 0 pont is egy legjobban közel´ıt˝o elem. A háromszögegyenl˝otlenség alapján egyrészt

′ ′ ′

x0 − y0 + y0 = k(x0 − y0 ) + (x0 − y0 )k ≤ kx0 − y0 k + kx0 − y0 k = d.

2 2 2

Másrészt az M egy altér, ezért a felez˝

opont is hozz´

a tartozik M -hez, azaz ′

y +y Ekkor viszont d értelmezése miatt x0 − 0 2 0 ≥ d, tehát

′

y + y 0 0

x0 −

= d.

2

y0 +y0′ 2

∈ M.

(3.5)

Ha d = 0, akkor nyilván x0 = y0 = y0′ . Ha d > 0, akkor (3.4) és (3.5) alapján kapjuk, hogy

y0 +y0′

x0 − y0 x0 − y0′ x 0−

2

= 1.

d = d =

d Mivel az X tér szigor´ uan konvex, ezért ebb˝ol az következik, hogy y0 = y0′ , és ez az áll´ıtás bizony´ıtását jelenti. 3.3.2.

Z´ art ´ es konvex halmazokt´ ol vett t´ avols´ ag

Most nézz¨ uk a legjobb approximáció problémáját abban az esetben, ha M nem altere az X normált térnek. Nem t´ ul nehéz meggondolni, hogy a minimalizáló elem létezéséhez és egyértelm˝ uségéhez M -nek legalább z´ artnak és konvexnek kell lenni. Az is várható, hogy az egyértelm˝ uséghez a normára is kell tenni valamilyen feltételt. Ezt nem egyszer˝ u megtalálni. A végeredmény: Defin´ıci´ o. Azt mondjuk, hogy az (X, k · k) normált tér egyenletesen konvex, ha

x + y

∀ ε > 0-hoz ∃ δ > 0 : kxk = kyk = 1 és

2 > 1 − δ =⇒ kx − yk < ε.

70


Az egyenletes konvexitás az egységgömb-fel¨ ulet egy geometriai tulajdonságát fejezi ki: ha azon olyan pontokat vesz¨ unk, amelyeket összeköt˝o szakasz felez˝opontja közel van a fel¨ ulethez, akkor a két pont közel van egymáshoz:

egyenletesen konvex

nem egyenletesen konvex

Megjegyz´ es. Az egyenletes konvexitásnak egyfajta algebrai interpretációja is adható. Emlékeztet¨ unk arra, hogy euklideszi terek fontos tulajdonsága a paralelogramma-azonosság: kx + yk2 + kx − yk2 = 2kxk2 + 2kyk2 . Ez normált terekben általában nem igaz. Az egyenletes konvexitást felfoghatjuk u ´gy is, mint ennek az azonosságnak egy gyeng´ıtett változatát. 5. t´ etel (az egyenletes konvexitás és a szigor´ u konvexitás kapcsolata). Ha az (X, k · k) norm´ alt tér egyenletesen konvex, akkor szigor´ uan konvex is. Ha az (X, k · k) norm´ alt tér szigor´ uan konvex és véges dimenzi´ os, akkor egyenletesen konvex is. • Véges dimenzióban a két fogalom ekvivalens. • A tétel els˝o felében lev˝o áll´ıtás megford´ıtása nem igaz! • A korábbi szigor´ uan konvex példák mindegyike egyenletesen konvex is. Az alapt´ etel: Sz˝okefalvi-Nagy Béla, 1942. 6. t´ etel. Legyen (X, k · k) egyenletesen konvex Banach tér és M ⊂ X tetsz˝oleges nem¨ ures konvex z´ art halmaz. Ekkor minden x0 ∈ X ponthoz létezik pontosan egy, t˝ole minimális távolságra lév˝ o M -beli y0 pont. 3.3.3.

Approxim´ aci´ os t´ etelek konkr´ et f¨ uggv´ enyterekben

Alkalmazzuk most a legjobban közel´ıt˝o elem létezésére és egyértelm˝ uségére vonatkozó általános eredményeket (l. a 2. és a 4. tételeket) konkrét f¨ uggvényterekre. Tekints¨ uk el˝oször a folytonos f¨ uggvények C[a, b], k · k∞ normált terét. A 2. tétel közvetlen következménye az alábbi 7. t´ etel. Legyen f ∈ C[a, b] folytonos f¨ uggvény. Ekkor minden n természetes számhoz létezik f -et egyenletesen legjobban megk¨ ozel´ıt˝ o legfeljebb n-edfok´ u pn algebrai

3.4. Approximációs tételek Hilbert-terekben

71

polinom, az ∀ f ∈ C[a, b]-hez és ∀ n ∈ N-hez ∃ pn ∈ Pn : kf − pn k∞ = inf{kf − pk∞ | p ∈ Pn }. Az egyértelm˝ uségre vonatkozó általános tétel nem alkalmazható, mert a maximum-normával ellátott C[a, b] tér nem szigor´ uan normált. Az egyértelm˝ uség azonban igaz. Ez Csebisev tételéb˝ol következik. Nézz¨ uk most a Lp (a, b), k · kLp tereket. Ezek 1 < p < +∞ esetén szigor´ uan normáltak, ezért a 2. és a 4. tételekb˝ol kapjuk a következ˝o áll´ıtást.

8. t´ etel. Legyen 1 ≤ p ≤ +∞. Ekkor bármely f ∈ Lp (a, b) f¨ uggvényhez és minden p n természetes számhoz létezik f -et az L -norm´ aban legjobban megk¨ ozel´ıt˝ o legfeljebb n-edfok´ u pn polinom, azaz ∀ f ∈ Lp (a, b)-hez és ∀ n ∈ N-hez ∃ pn ∈ Pn : kf − pn kLp = inf{kf − pkLp | p ∈ Pn }. Ha 1 < p < +∞, akkor pn egyértelm˝ uen meghatározott. Könny˝ u látni, hogy p = 1 esetén az egyértelm˝ uség nem igaz. Tekints¨ uk az ( −1, ha −1 ≤ x ≤ 0 f (x) := 1, ha 0 < x ≤ 1 f¨ uggvényt és a konstans polinomokat.

3.4.

Approxim´ aci´ os t´ etelek Hilbert-terekben

A vizsgált általános térstrukt´ uráink köz¨ ul a Hilbert-terek vannak legközelebb a háromdimenziós térhez, illetve Rn -hez. Idézz¨ uk fel R3 -ban a legjobb approximáció problémájának elemi geometriából ismert megoldását. Tekints¨ unk egy x0 pontot és egy origón átmen˝o M s´ıkot (alteret). Ekkor M -ben egyetlen x0 -hoz legközelebbi y0 pont van. Ez a pont az x0 -ból a s´ıkra áll´ıtott mer˝oleges egyenesnek és a s´ıknak a metszéspontja. Ez azt is jelenti, hogy y0 az az egyetlen M -beli elem, amelyikre az x0 − y0 vektor mer˝oleges a s´ıkra, azaz mer˝oleges az M altér minden vektorára. Megmutatjuk, hogyhasonló áll´ıtás Hilbert-terekben is érv´ enyes. p Legyen H, h·, ·i valós Hilbert-tér, és jelölje kxk := hx, xi a skaláris szorzat által indukált normát. Mivel minden Hilbert-tér szigor´ uan normált, ezért az el˝oz˝o pont tételeib˝ol a legjobb approximáció létezésére és egyértelm˝ uségére vonatkozó

72


áll´ıtásokat megkapjuk abban az esetben, ha az altér véges dimenzi´ os. Ezt a feltételt a gyengébb z´ art altér feltétellel fogjuk helyettes´ıteni. Világos, hogy minden véges dimenziós altér egy´ uttal zárt altér is; a zártság pedig sz¨ ukséges a legjobban közel´ıt˝o elem létezéséhez. Megjegyezz¨ uk még azt is, hogy egy Hilbert-tér altere nem feltétlen¨ ul zárt halmaz. 9. t´ etel. Legyen M a H, h·, ·i Hilbert-tér egy z´ art altere és x0 a H tér egy tetsz˝oleges pontja. Ekkor pontosan egy olyan M -beli y0 pont létezik, amelyik minimális távolságra van x0 -tól, azaz ∀ x0 ∈ H-hoz ∃ ! y0 ∈ M : kx0 − y0 k = d(x0 , M ). Az x0 − y0 vektor mer˝oleges az M altérre, azaz hx0 − y0 , yi = 0

(∀ y ∈ M ).

(3.6)

Bizony´ıt´ as. Létezés. Legyen d := d(x0 , M ) = inf{kx0 − yk | y ∈ M }, és vegy¨ unk egy tetsz˝oleges M -beli minimalizáló sorozatot, azaz legyen (yn ) ⊂ M egy olyan sorozat, amelyre dn := kx0 − yn k → d (n → +∞). (3.7) Megmutatjuk, hogy (yn ) Cauchy-sorozat. Írjuk fel az kx + yk2 + kx − yk2 = 2kxk2 + 2kyk2 paralelogramma-azonosságot az x, y helyett az x0 − yn és x0 − ym vektorokra. Ekkor azt kapjuk, hogy k(x0 − yn ) + (x0 − ym )k2 + k(x0 − yn ) − (x0 − ym )k2 = = k2x0 − (yn + ym )k2 + kyn − ym k2 = 2 kx0 − yn k2 + kx0 − ym k2 = 2(d2n + d2m ),

azaz

2

kyn − ym k = 2

d2n

+

d2m

2

y + y n m

. − 4

x0 −

2

(3.8)

Minthogy az yn , ym vektorokkal egy¨ utt ezek számtani közepe is az M altérben van és d értelmezése alapján

y + y n m

≥ d,

x0 −

2 ezért (3.8)-ból következik, hogy minden n, m ∈ N esetén kyn − ym k2 ≤ 2 d2n + d2m − 4d2 .

3.4. Approximációs tételek Hilbert-terekben

73

Ennek az egyenl˝otlenségnek a jobb oldala dn → d miatt 0-hoz tart, ha n, m → +∞, de akkor a bal oldala is 0-hoz tart, ami azt jelenti, hogy (yn ) valóban Cauchy-sorozat, ezért a H tér teljessége miatt a sorozat konvergens. Legyen y0 ennek a sorozatnak a határértéke. Mivel M zárt altér, ezért y0 ∈ M . A norma folytonossága miatt dn = kx0 − yn k → kx0 − y0 k (n → +∞),

(3.9)

másrészt dn → d (n → +∞), ´ıgy kx0 − y0 k = d. Ezzel igazoltuk, hogy a d(x0 , M ) távolság az y0 ∈ M ponttal realizálódik, azaz kx0 − y0 k = d(x0 , M ). Megmutattuk tehát azt, hogy tetsz˝oleges minimaliz´ al´ o sorozat konvergens, és a hat´ arértéke egy minimaliz´ al´ o vektor. Egyértelm˝ uség. Most megmutatjuk a minimalizáló vektor egyértelm˝ uségét. Te′ gy¨ uk fel, hogy y0 , y0 ∈ M olyan tetsz˝oleges vektorok, amelyekre d(x0 , M ) = kx0 − y0 k = kx0 − y0′ k teljes¨ ul, és definiáljuk a következ˝o (yn ) sorozatot: yn := y0 , ha n = 2, 4, . . .

és

yn := y0′ ha n = 1, 3, . . . .

Ekkor (yn ) nyilván egy minimalizáló sorozat, ami a fentiek alapján sz¨ ukségképpen ′ konvergens. Ez pedig csak u ´gy lehetséges, ha y0 = y0 . Az ortogonalitás igazolása. Az (3.6) reláció bizony´ıtásához legyen v0 := x0 − y0 . Tetsz˝oleges y ∈ M vektorral tekints¨ uk a p(t) := kx0 − (y0 + ty)k2

(t ∈ R)

f¨ uggvényt. Ez a p(t) = kv0 − tyk2 = kv0 k2 − 2hv0 , yi t + kyk2 t2

(t ∈ R)

alakban is ´ırható, azaz p valós egy¨ utthatós másodfok´ u polinom, ha y 6= θ. Mivel minden t ∈ R mellett y0 + ty ∈ M , ezért a d = d(x0 , M ) távolság értelmezése miatt kx0 − (y0 + ty)k ≥ d, következésképpen p(t) ≥ d2 minden t ∈ R esetén, m´ıg p(0) = kx0 − y0 k2 = d2 . Ebb˝ol következik, hogy t = 0 mellett a p polinomnak minimuma van, ezért p′ (0) = −2hv0 , yi = 0, vagyis minden y ∈ M esetén hv0 , yi = 0, és ez az áll´ıtás bizony´ıtását jelenti. Megjegyz´ es. Megmutatható, hogy tetsz˝oleges M ⊂ H altér és x0 ∈ H esetén y0 ∈ M pontosan akkor minimalizáló pont, ha hx0 − y0 , yi = 0 (y ∈ M ).

74


3.4.1.

Projekci´ os (vet´ıt˝ o) oper´ atorok

10. t´ etel (a Riesz-féle felbontási tétel). Legyen M a H Hilbert-tér egy z´ art altere. Ekkor minden x ∈ H vektor egyértelm˝ uen a´ll´ıthat´ o el˝ o az x = x1 + x2 alakban, ahol x1 ∈ M és x2 ⊥ M . Ezt az x1 vektort az x-nek az M altérre való ortogon´ alis vet¨ ulet´ enek (vagy projekci´ ojának ) nevezz¨ uk. Bizony´ıt´ as. Az el˝oz˝o tétel szerint minden x ∈ H vektorhoz létezik egyetlen olyan x1 ∈ M vektor, amelyre d(x, M ) = kx−x1 k. Legyen x2 := x−x1 . Ekkor x = x1 +x2 és (3.6) alapján x2 ⊥ M . A felbontás egyértelm˝ uségének a bizony´ıtásához tegy¨ uk fel, hogy az x = x1 + x2 és x = y1 + y2 az x elem két k´ıvánt tulajdonság´ u felbontása, azaz legyen x1 , y1 ∈ M és x2 , y2 ⊥ M . Ekkor x1 − y1 ∈ M és y2 − x2 ⊥ M . Minthogy z := x1 − y1 = y2 − x2 , ezért z ∈ M és z ⊥ M , következésképpen hz, zi = 0, azaz z = θ. Innen x1 = y1 és x2 = y2 következik. Ezzel a felbontás egyértelm˝ uségét igazoltuk. Az x ∈ H vektor ortogonális felbontásában szerepl˝o x1 , x2 vektorokra fennáll az kxk2 = kx1 k2 + kx2 k2

(3.10)

egyenl˝oség, ami a Pitagorasz-t´ etel Hilbert-térbeli változataként interpretálható. Valóban, kxk2 = hx1 + x2 , x1 + x2 i = kx1 k2 + 2hx1 , x2 i + kx2 k2 , ezért az x1 , x2 vektorok ortogonalitását figyelembe véve adódik a (3.10) egyenl˝oség. A Riesz-féle felbontási tételb˝ol kiindulva bevezetj¨ uk a projekci´ os oper´ ator fogalmát. Defin´ıci´ o. Legyen M a H, h·, ·i Hilbert-tér zárt altere és x = x1 + x2 ,

x1 ∈ M,

x2 ⊥ M

az x ∈ H vektor ortogonális felbontása. A PM : H → M, PM (x) := x1 utas´ıtással értelmezett leképezést az M zárt altérre való ortogon´ alis projekci´ os (vagy vet´ıt˝ o) operátornak nevezz¨ uk.

3.4. Approximációs tételek Hilbert-terekben 3.4.2.

75

A projekci´ os oper´ ator explicit el˝ o´ all´ıt´ asa

Gyakran sz¨ ukség van valamely x ∈ H vektor legjobb M -beli közel´ıtésének explicit, numerikus szempontból is használható el˝oáll´ıtására. Ha M ⊂ H véges dimenziós (dim M = n) altér, akkor ilyen el˝oáll´ıtás igen egyszer˝ uen magadható. Ebben az esetben ui. M zárt altér, ezért x-nek az M altérre vett y := PM (x) vet¨ ulete lesz az x-et legjobban közel´ıt˝o M -beli elem. PM (x) explicit alakjának el˝oáll´ıtásához tekints¨ unk M -ben egy e1 , e2 , . . . , en ortonormált bázist, azaz tegy¨ uk fel, hogy ( 0, ha i 6= j hei , ej i = 1, ha i = j. (Kés˝obb majd megmutatjuk, hogy az M tetsz˝oleges lineárisan f¨ uggetlen f1 , f2 , . . . , fn bázisából az u ń. Gram–Schmidt-féle ortogonalizáci´ os eljárással hogyan kapható meg egy ilyen ortonormált bázis.) Vegy¨ unk egy tetsz˝oleges H-beli x elemet. A PM (x) ortogonális vet¨ uletet ´ırjuk fel az ek vektorok lineáris kombinációjaként: PM (x) = x1 =

n X k=1

λ k · ek .

Ezt az egyenl˝oséget skalárisan megszorozva ej -vel (j = 1, 2, . . . , n) kapjuk, hogy: hPM (x), ej i = hx1 , ej i =

n X k=1

λk · hek , ej i = λj ,

ui. a k¨ ulönböz˝o index˝ u hek , ej i tagok mind nullák, az azonos index˝ uek pedig eggyel egyenl˝ok. Ez azt jelenti, hogy PM (x) =

n X k=1

hx1 , ek i · ek .

Mivel x2 := x − x1 ⊥ M , ezért minden j = 1, 2, . . . , n esetén hx − x1 , ej i = 0, következésképpen hx1 , ej i = hx, ej i (j = 1, 2, . . . , n), azaz PM (x) =

n X k=1

A fentieket összefoglalva adódik a

hx, ek i ek .

76


11. t´ etel. Ha M a H hilbert tér egy véges dimenzi´ os altere és e1 , e2 , . . . , en ennek altérnek egy ortonormált bázisa, akkor a projekci´ os oper´ ator a következ˝o explicit alakban adható meg: PM (x) =

n X k=1

hx, ek i ek

(x ∈ H).

4. Hilbert-terekben a Fourier-sorok elm´ elete 4.1.

A probl´ ema felvet´ ese

Most ismét bizonyos elemi geometriai ismeretekre utalunk. Láttuk a (közönséges) s´ık, illetve tér vektorai között értelmezett skal´ aris szorzat jelent˝oségét: seg´ıtségével vektoroknak nemcsak a mer˝olegessége, hanem a hossz´ usága, szöge is értelmezhet˝o. Egyik alapvet˝o eredmény az volt, hogy minden vektor egyértelm˝ uen ´ırható fel a mer˝oleges egységvektorok lineáris kombinációjával, ahol az egy¨ utthatók éppen az adott vektornak a megfelel˝o egységvektorokra es˝o mer˝oleges vet¨ uletei. A line´ aris algebr´ aban ezt az eredményt tetsz˝oleges v´ eges dimenzi´ os euklideszi térre általános´ıtottuk. Ott meg azt láttuk, hogy minden véges dimenziós E, h·, ·i valós euklideszi térben (legyen dim E = n) van e1 , e2 , . . . , en ortonormált bázis, és minden x ∈ E vektor az x=

n X k=1

alakban ´ırható fel.

hx, ek i ek

Ebben a fejezetben ezt az eredményt általános´ıtjuk v´ egtelen dimenzi´ os terekre. Számos fogalom és eredmény euklideszi terekben is értelmezhet˝o. Az egyszer˝ uség végett a továbbiakban mi csak teljes euklideszi tereket, azaz Hilbert-tereket, ezen bel¨ ul is csak val´ os Hilbert-tereket fogunk tekinteni. A fejezet f˝ o c´ elja annak igazolása, hogy minden (végtelen dimenziós) szepar´ abilis Hilbert-térben van (en , n ∈ N) ortonormált b´ azis és minden x ∈ H esetén x=

+∞ X n=1

hx, en i en .

Egy ilyen (en ) rendszer tehát a derékszög˝ u koordináta-rendszer” szerepét játssza a ” végtelen dimenziós terekben. Meg fogjuk mutatni azt is, hogy minden szeparábilis Hilbert-tér izometrikusan izomorf az l2 Hilbert-térrel, azaz lényegében egyetlen szeparábilis Hilbert-tér létezik.

4.2.

Ortogonalit´ as. A Gram–Schmidt-f´ ele ortogonaliz´ aci´ o

Ebben a fejezetben csak val´ os Hilbert-terekr˝ ol lesz szó. Jelölés¨ ukre a H, h·, ·i — vagy röviden a H — szimbólumot fogjunk használni. Feltessz¨ uk tehát, hogy H 77

78

4. Hilbert-terekben a Fourier-sorok elmélete

egy R feletti lineáris tér, h·, ·i : H × H → R skaláris szorzat H-n és a tér teljes a skaláris szorzat által indukált p (x ∈ H) kxk := hx, xi normával. H nullelemét a θ szimbólummal jelölj¨ uk.

A H Hilbert-tér egy tetsz˝oleges M részhalmaza esetén is az M szimbólummal jelölj¨ uk az M halmaz line´ aris burk´ at, vagyis az M halmazt tartalmazó legsz˝ ukebb lineáris alteret. Ez az altér, amelyet a M a´ltal generált altérnek is szokás nevezni, megegyezik az M elemeib˝ol képzett összes (véges) lineáris kombinációk halmazával, azaz M = {λ1 f1 + λ2 f2 + · · · + λn fn | λi ∈ R, fi ∈ M, i = 1, 2, . . . , n; n ∈ N } .

A H Hilbert-térbeli M halmaz lez´ ar´ as´ anak nevezz¨ uk – és az M szimbólummal jelölj¨ uk – az M -et tartalmazó legsz˝ ukebb zárt halmazt. M pontosan azokat a H-beli elemeket tartalmazza, amelyek tetsz˝oleges (sugar´ u) környezetében van M -beli elem. A metrikus terekhez hasonlóan a H Hilbert-teret is akkor nevezz¨ uk szepar´ abilisnek, ha létezik benne egy megszámlálható, minden¨ utt s˝ ur˝ u részhalmaz, vagyis ul. Ez azt jelenti, van olyan megszámlálható M ⊂ H halmaz, amelyre M = H teljes¨ hogy minden x ∈ H elemhez és minden ε > 0 számhoz van olyan M -beli y elem, hogy kx − yk < ε. Könny˝ u meggondolni, hogy normált — speciálisan Hilbert — terekben a szeparabilitás azzal ekvivalens, hogy a H térnek van olyan megsz´ amlálhat´ o M részhalmaza, amelynek a lineáris burka minden¨ utt s˝ ur˝ u H-ban, azaz [M ] = H. 1. t´ etel. Az al´ abbi Hilbert-terek mindegyike szeparábilis: 2 • az l -tér, • tetsz˝oleges I ⊂ R nemdegenerált intervallum esetén az L2 (I)-tér, • tetsz˝oleges I ⊂ R ny´ılt intervallum és w : I → R s´ ulyf¨ uggvény esetén az 2 Lw (I)-tér. Egy Hilbert-térben alapvet˝o fogalom az ortogonalitás. A H-beli x ´ es y vektorok egym´ asra ortogon´ alisak (mer˝olegesek) – jelölésben x ⊥ y –, ha hx, yi = 0, azaz a két vektor skaláris szorzata nulla. Azt mondjuk, hogy az x ∈ H vektor ortogonális az M ⊂ H halmazra – jelölésben x ⊥ M –, ha x ortogonális az M minden elemére. Vég¨ ul a H Hilbert-tér M1 és M2 részhalmazát egymásra ortogonálisnak nevezz¨ uk – jelölésben M1 ⊥ M2 –, ha M1 bármely eleme ortogonális M2 minden elemére. Nyilvánvaló, hogy a θ nullvektor ortogonális H minden elemére és egy´ uttal H minden részhalmazára.

4.2. Ortogonalitás. A Gram–Schmidt-féle ortogonalizáció

79

Defin´ıci´ o. Tetsz˝oleges M ⊂ H részhalmaz mellett jelölje M ⊥ az M halmazra ortogonális H-beli vektorok halmazát, vagyis M ⊥ := x ∈ H | x ⊥ M . Ezt az M ⊥ halmazt az M halmaz ortogon´ alis komplementum´ anak nevezz¨ uk. 2. t´ etel. A H Hilbert-tér bármely M részhalmaza esetén • M ⊥ z´ art altér H-ban, emellett ⊥ • M ⊥ = [M ] .

Bizony´ıt´ as. Legyenek x1 , x2 ∈ M ⊥ tetsz˝oleges vektorok, azaz x1 ⊥ M , x2 ⊥M , legyenek továbbá α1 , α2 ∈ R tetsz˝oleges számok. Ekkor minden y ∈ M mellett hα1 x1 + α2 x2 , yi = α1 hx1 , yi + α2 hx2 , yi = 0, ami azt jelenti, hogy α1 x1 +α2 x2 ortogonális M -re, vagyis α1 x1 +α2 x2 ∈ M ⊥ , amivel igazoltuk, hogy M ⊥ altere H-nak. Legyen most (xn ) M ⊥ -beli konvergens sorozat, tehát van olyan x ∈ H, hogy xn → x. Ha y ∈ M egy tetsz˝oleges vektor, akkor minden n indexre hxn , yi = 0, de mivel a skaláris szorzat folytonossága miatt hxn , yi → hx, yi, azért hx, yi = 0, tehát x ortogonális M -re, azaz x ∈ M ⊥ . Igazoltuk tehát, hogy minden M ⊥ -beli konvergens vektorsorozat határértéke is M ⊥ -beli vektor, ami egyenérték˝ u azzal, hogy az M ⊥ altér zárt. Legyen x ∈ M ⊥ egy tetsz˝oleges vektor, vagyis x ⊥ M . Nyilvánvaló, hogy x ⊥ [M ], ⊥ de akkor a skaláris szorzat folytonossága miatt x ⊥ [M ], azaz x ∈ [M ] , amivel ⊥ ⊥ igazoltuk, hogy M ⊥ ⊂ [M ] . Megford´ıtva, ha x ∈ [M ] , azaz x ⊥ [M ], akkor ⊥ nyilvánvaló, hogy x ⊥ M , azaz x ∈ M ⊥ , tehát [M ] ⊂ M ⊥ . Ezekb˝ol már következik, ⊥ hogy M ⊥ = [M ] . A továbbiakban egy H Hilbert-tér bizonyos v´ eges vagy megsz´ aml´ alhat´ oan v´ egtelen részhalmazaira fogunk k¨ ulönböz˝o elnevezéseket bevezetni. Ennek megfelel˝oen a részhalmaz elemeit az N := {0, 1, 2, . . . , m} vagy az N := N halmaz elemeivel indexelj¨ uk: F := {fn | n ∈ N }.

Az F halmazt — némi, de elfogadható következetlenséggel — az (fn ) szimbólummal is jelölj¨ uk, és — vektorsorozat helyett — az (fn ) ⊂ H vektorrendszerr˝ ol beszél¨ unk.

Defin´ıci´ o. A H Hilbert-tér (en ) vektorrendszerét ortonorm´ alt rendszernek nevezz¨ uk, ha minden n-re ken k = 1 és bármely n 6= m indexre en ⊥ em , azaz a

80


vektorrendszer tagjai páronként ortogonálisak egymásra. Másként kifejezve: (en ) ortonormált rendszer, ha bármelyik n, m indexre fennáll az ( 1, ha n = m hen , em i = δn,m := 0, ha n 6= m egyenl˝oség. (δn,m az u ń. Kronecker-féle szimbólum.) Az (en ) ⊂ H vektorrendszert ortogonális rendszernek nevezz¨ uk akkor, ha nem tartalmazza a H tér θ elemét és bármely két tagja ortogonális egymásra. Világos, hogy ebben az esetben en (n ∈ N ) ken k ortonormált rendszer. Egyszer˝ uen bebizony´ıtható az is, hogy minden (en ) ortogon´ alis rendszer lineárisan f¨ uggetlen is, azaz bármelyik véges részrendszere lineárisan f¨ uggetlen. Kiindulva valamely véges vagy megszámlálhatóan végtelen lineárisan f¨ uggetlen (fn ) ⊂ H vektorrendszerb˝ol az u ń. Gram–Schmidt-f´ ele ortogonaliz´ aci´ os elj´ ar´ assal ortonormált rendszert konstruálhatunk. 3. t´ etel (a Gram–Schmidt-féle ortogonalizáció). Tegy¨ uk fel, hogy (fn ) a H Hilberttér egy lineárisan f¨ uggetlen vektorrendszere, azaz a rendszer bármely véges sok tagja line´ arisan f¨ uggetlen. Ekkor megadhat´ o olyan (en ) ortonormált rendszer, hogy minden n indexre az en vektor el˝oáll az f1 , f2 , . . . , fn vektorok olyan line´ aris kombináci´ ojaként, amelyben fn egy¨ utthat´ oja nem nulla. Bizony´ıt´ as. Az (fn ) vektorrendszer f¨ uggetlenségéb˝ol következik, hogy a rendszer egyetlen tagja sem θ. Vezess¨ uk be az e1 :=

f1 kf1 k

jelölést. Nyilvánvaló, hogy ke1 k = 1. Tegy¨ uk fel, hogy valamely n index mellett az e1 , e2 , . . . , en vektorokat már el˝oáll´ıtottuk a k´ıvánt módon, vagyis hei , ek i = δi,k (i, k = 1, 2, . . . , n), továbbá minden k = 1, 2, . . . , n esetén az ek vektor el˝oáll az f1 , f2 , . . . , fk vektorok olyan lineáris kombinációjaként, amelyben az fk vektor egy¨ utthatója nem 0. Próbáljuk most a λ1 , λ2 , . . . , λn számokat u ´gy megválasztani, hogy a gn+1 := fn+1 − λ1 e1 − λ2 e2 − · · · − λn en

4.2. Ortogonalitás. A Gram–Schmidt-féle ortogonalizáció

81

egyenl˝oséggel értelmezett vektor ortogonális legyen az e1 , e2 , . . . , en vektorok mindegyikére, vagyis hogy minden k = 1, 2, . . . , n mellett fennálljon a hgn+1 , ek i = 0 egyenl˝oség. Könnyen látható, hogy ez teljes¨ ul a λk = hfn+1 , ek i (k = 1, 2, . . . , n) mellett. Az e1 , e2 , . . . , en vektorokra tett indukciós feltevésb˝ol következik, hogy a gn+1 vektor el˝oáll az f1 , f2 , . . . , fn , fn+1 vektorok nem csupa 0 egy¨ utthatós lineáris kombinációjaként (ui. az fn+1 vektor egy¨ utthatója 1), ezért a szóban forgó vektorok lineáris f¨ uggetlensége miatt gn+1 6= 0. Ezek után legyen gn+1 en+1 := . kgn+1 k Ekkor e1 , . . . , en , en+1 olyan (n + 1)-tag´ u ortonormált rendszer, amelynek minden tagja rendelkezik a k´ıvánt tulajdonsággal, vagyis minden k = 1, 2, . . . , n, n+1 mellett az ek vektor el˝oáll az f1 , . . . , fk vektorok olyan lineáris kombinációjaként, ahol fk egy¨ utthatója nem nulla. A fentiekb˝ol teljes indukcióval már következik a k´ıvánt tulajdonság´ u (en ) ortonormált rendszer létezése. A konstrukcióból látható, hogy az (en ) ortonormált rendszer tagjai el˝oállnak e1 = λ11 f1 , e2 = λ21 f1 + λ22 f2 , · · · , .. . en = λn1 f1 + λn2 f2 + · · · + λnn fn , .. . alakban, ahol λik ∈ R, és minden n-re λnn 6= 0. Ebb˝ol nyilvávalóan következik az alábbi áll´ıtás: Ha (fn ) lineárisan f¨ uggetlen vektorrendszer, akkor a fenti ortogonalizáci´ os eljárással nyert (en ) ortonormált rendszer line´ aris burka azonos az (fn ) vektorrendszer lineáris burk´ aval. P´ eld´ ak ortonorm´ alt rendszerekre • Az l2 térben az

en := (0, 0, . . . , 0, 1, 0, . . .)

(n ∈ N)

vektorsorozat egy ortonormált rendszer. • Tetsz˝oleges 2π hossz´ uság´ u I intervallumon az

1 sin(nt) cos(nt) e0 = √ , e2n−1 := √ , e2n := √ n = 1, 2, . . . π π 2π

trigonometrikus rendszer ortonormált rendszer az L2 (I) Hilbert-térben.

82


p uggvények ortonormált sorozatot alkotnak • A 2/π sin(nt) (n = 1, 2, . . .) f¨ 2 az L (0, π) Hilbert-térben. p √ • Az 1/ π és a 2/π cos(nt) (n = 1, 2, . . .) f¨ uggvények ortonormált sorozatot alkotnak az L2 (0, π) Hilbert-térben. • Ortogon´ alis polinomok. Legyen I ⊂ R tetsz˝oleges (korlátos vagy nem korlátos) ny´Rılt intervallum és w : I → R egy tetsz˝oleges s´ ulyf¨ uggvény. Tekints¨ uk az hf, gi := I f (t)g(t)w(t) dt skaláris szorzattal ellátott L2w (I) Hilbert-teret. Ha az I ∋ t 7→ tn w(t) f¨ uggvények minden n = 0, 1, 2, . . . esetén integrálhatók (ez a helyzet például akkor, ha I korlátos és w (Lebesgue-)integrálható I-n), akkor az algebrai polinomok mind L2w (I)-hez tartoznak. Az algebra alaptételéb˝ol következik, hogy az e0 (t) := 1, e1 (t) := t, e2 (t) := t2 , . . .

(t ∈ I)

hatványf¨ uggvények lineárisan f¨ uggetlenek az L2w (I) térben. Ezekre alkalmazva a Gram–Schmidt-féle ortogonalizációt olyan (pn ) ortonormált polinomsorozatot kapunk az L2w (I) Hilbert-térben, hogy deg pn = n minden n-re. Azt mondjuk, hogy (pn ) az I intervallumon a w s´ ulyf¨ uggv´ enyre n´ ezve ortonorm´ alt polinomsorozat. K¨ ulönösen fontosak az u ń. klasszikus ortogon´ alis polinomok. Ezek a következ˝ok: • a Legendre-polinomok, amelyekre I = (−1, 1) és w(t) = 1 (t ∈ I);

• a Csebisev-polinomok, amelyekre

I := (−1, 1) és w(t) := √

1 (t ∈ I); 1 − t2

• a Jacobi-polinomok, amelyekre I := (−1, 1) és w(t) := (1 − t)α (1 + t)β (t ∈ I), ahol α, β > −1 rögz´ıtett paraméterek;

• az Hermite-polinomok, amelyekre

2

I = (−∞, +∞) és w(t) := e−t • a Laguerre-polinomok, amelyekre I = (0, +∞) és w(t) := tα e−t ahol α > −1 rögz´ıtett paraméter.

(t ∈ R);

t ∈ (0, +∞) ,

4.3. Zárt és teljes rendszerek Hilbert-terekben

4.3.

83

Z´ art ´ es teljes rendszerek Hilbert-terekben

A Fourier-sorok elméletében sz¨ ukség¨ unk lesz az alábbi két fontos fogalomra. Defin´ıci´ o. A H Hilbert-térben egy F = (fn ) ⊂ H vektorrendszert z´ art rendszernek mondunk, ha az F halmaz lineáris burka minden¨ utt s˝ ur˝ u a H-ban, vagyis ha [ F ] = H. Ez azt jelenti, hogy H minden eleme tetsz˝oleges pontossággal megközel´ıthet˝o F -beli elemek alkalmas (véges) lineáris kombinációjával, azaz ∀ x ∈ H és ∀ ε > 0-hoz ∃ m ∈ N, λ1 , . . . , λm ∈ R, és f1 , . . . , fm ∈ F, hogy m

X

λ f x −

i i < ε. i=1

Defin´ıci´ o. A H Hilbert-térben egy (en ) ortonormált rendszert akkor nevez¨ unk teljesnek, ha ortogonálisan nem b˝ov´ıthet˝o, azaz ha nincs a térnek olyan f 6= θ eleme, amelyik ortogonális az (en ) rendszer mindegyik vektorára. Másként fogalmazva: (en ) teljes rendszer, ha f ∈ H és hf, en i = 0 (n ∈ N )

=⇒

f = θ.

(Természetesen a teljesség fenti defin´ıcióban megadott fogalma semmilyen kapcsolatban nincs a metrikus — tehát speciálisan Hilbert — terek teljességének a fogalmával.) 4. t´ etel. A H Hilbert-térben az (en ) ortonormált rendszer pontosan akkor z´ art, ha teljes. Bizony´ıt´ as. Induljunk ki abból, hogy az E := {en | n ∈ N } ortonormált rendszer zárt, azaz [ E ] = H, és mutassuk meg, hogy a rendszer teljes is. Vegy¨ unk egy olyan f ∈ H elemet, amelyre hf, en i = 0 teljes¨ ul minden n indexre. A skaláris szorzat linearitását és folytonosságát felhasználva ebb˝ol következik, hogy f ∈ [ E ] = H. Speciálisan f ⊥ f , következésképpen f = θ, és ez azt jelenti, hogy az (en ) rendszer teljes.

84


A ford´ıtott irány´ u áll´ıtást indirekt módon igazoljuk. Tegy¨ uk fel, hogy (en ) teljes, de nem zárt. Ekkor a H1 := [ E ] halmaz a H Hilbert-térnek egy valódi zárt altere, ezért a Riesz-féle felbontási tétel alapján a H térnek van olyan nemnulla f vektora, amelyik ortogonális H1 -re, amib˝ol következik, hogy f ortogonális az (en ) rendszer minden vektorára. Ez az (en ) teljessége miatt csak u ´gy lehetséges, ha f = θ. A kapott ellentmondás azt bizony´ıtja, hogy a rendszer teljességéb˝ol következik a rendszer zártsága. P´ eld´ ak teljes (z´ art) ortonorm´ alt rendszerekre 5. t´ etel. Az el˝oz˝o pontban a konkrét Hilbert-terekben definiált ortonormált rendszerek mindegyike teljes (zárt) rendszer.

4.4.

V´ egtelen sorok Hilbert-terekben

A valós esetb˝ol kiindulva értelmezhetj¨ uk Hilbert-terekben a végtelen sor fogalmát: Legyen (xn ) : N → H egy tetsz˝oleges sorozat a H Hilbert-térben. Az ebb˝ol képzett sn := x1 + x2 + · · · xn

(n ∈ N)

sorozatot az (xn ) által generált (v´ egtelen) sornak nevezz¨ uk és jelölésére a X xn P szimbólumot használjuk. sn -et a xn sor n-edik r´ eszlet¨ osszeg´ enek (vagy n-edik szeletéP nek ) h´ıvjuk. A xn végtelen sort akkor nevezz¨ uk konvergensnek, ha a részletösszegeinek (sn ) sorozata konvergens a H Hilbert-térben, vagyis ha létezik olyan x ∈ H vektor, amelyre lim sn = x, azaz lim ksn − xk = 0 n→+∞ n→+∞ P teljes¨ ul. Ezt az x ∈P H vektort a xn sor ¨ osszeg´ enek nevezz¨ uk, emellett annak kifejezésére, hogy a xn sor összege azonos x-szel, az x=

+∞ X

xn

n=1

jelölést használjuk. Hilbert-tér esetén ez az egyenl˝oség tehát azt jelenti, hogy a sor részletösszegeinek sorozata a tér normájában tart az x elemhez, tehát x=

+∞ X n=1

xn

⇐⇒

n

X

xk = 0. lim x −

n→+∞

k=1

P

xn

4.5. Fourier-sorok

85

P A H Hilbert-térbeli xn végtelen ut konvergensnek mondjuk, ha Psort abszol´ az (xn ) sorozat normáiból képzett kxn k pozit´ıv tag´ u valós sor konvergens. A valós esethez hasonl´ o an tetsz˝ o leges Hilbert-t´ e r eset´ e n is könny˝ u bebizony´ıtani azt, P hogy ha a xn sor abszol´ ut konvergens, akkor egy´ uttal konvergens is; emellett ha x jelöli a sor összegét, akkor fennáll az kxk ≤

+∞ X n=1

kxn k

egyenl˝ otlenség. A következ˝o tétel azt áll´ıtja, hogy Hilbert-térbeli konvergens végtelen sorokat szabad tagonként skalárisan szorozni. P P 6. t´ etel. Ha a H Hilbert-térbeli xn végtelen sor konvergens és x := +∞ n=1 xn a sor o¨sszege, akkor minden y ∈ H esetén igaz az hx, yi =

+∞ X n=1

hxn , yi

egyenl˝ oség.

P Bizony´ıt´ as. Legyen sn := nk=1 xk a szóban forgó konvergens sor n-edik szelete. A sorösszeg értelmezése szerint ekkor sn → x a H normájában, de akkor a skaláris szorzat folytonossága miatt bármely y ∈ H esetén hsn , yi → hx, yi is teljes¨ ul. Másrészt n X hxk , yi hsn , yi = k=1

is fennáll, amib˝ol a tétel már egyszer˝ uen következik.

4.5.

Fourier-sorok

A továbbiakban csak végtelen dimenziós Hilbert-tereket tekint¨ unk. Defin´ıci´ o. Legyen H Hilbert-tér, és rögz´ıts¨ unk ebben egy (en ) ortonormált rendszert. A tetsz˝oleges cn valós egy¨ utthatókkal képzett H-beli X cn en

végtelen sort az (en ) rendszer szerint halad´ o ´ altal´ anos ortogon´ alis sornak nevezz¨ uk.

86

4. Hilbert-terekben a Fourier-sorok elmélete Például az L2 (0, 2π) Hilbert-térben az 1 cos x sin x cos 2x sin 2x √ , √ , √ , √ , √ , ... π π π π 2π

(x ∈ R)

(4.1)

trigonometrikus rendszer egy ortonormált rendszer, az e szerint haladó általános ortogonális sor tehát a korábban már tanulmányozott X αn cos nx + βn sin nx (4.2) n=0 x ∈ R, αn , βn ∈ R, n = 0, 1, 2, . . .

trigonometrikus sor.

A f˝o kérdés¨ unk ezek konvergenciájának a vizsgálata volt. Láttuk, hogy a konvergenciát többféle értelemben is tekinthetj¨ uk: pontonk´ ent, egyenletesen vagy a négyzetintegrálra (a mostani szóhasználatunkkal ezt u ´gy is mondhatjuk, hogy az 2 L (0, 2π) Hilbert-tér norm´ aj´ ara) vonatkozóan. Akkor elég természetes módon jutottunk el ahhoz a megállap´ıtáshoz, hogy az általános trigonometrikus sorok helyett (els˝o közel´ıtésben) azokat a trigonometrikus sorokat érdemes tekinteni, amelyeknél az egy¨ utthatókat speciális módon választjuk meg. Pontosabban szólva azt mutattuk meg, hogy ha a (4.2) trigonometrikus sor egyenletesen konvergens, akkor az egy¨ utthatói és a sor összegf¨ uggvénye között szoros kapcsolat van; az egy¨ utthatók ui. kifejezhet˝ok az összegf¨ uggvény seg´ıtségével. Az ´ıgy adódó egy¨ utthatókkal képzett trigonometrikus sort nevezt¨ uk trigonometrikus Fourier-sornak: a 1 X √0 + √ an cos nx + bn sin nx 2 π π n=1

x ∈ R, an , bn ∈ R ,

(4.3)

ahol 1 an := √ π 1 bn := √ π

Z2π 0 Z2π

f (t) cos nt dt, n = 0, 1, 2 . . . f (t) sin nt dt

(4.4)

0

az u ń. trigonometrikus Fourier-egy¨ utthat´ ok. Az ott megismert gondolatokat (természetesen a megfelel˝o módos´ıtásokkal) az általános keretek között is alkalmazhatjuk. A következ˝o tételben azt mutatjuk

4.5. Fourier-sorok

87

meg, hogy igen egyszer˝ u és természetes lépéseken kereszt¨ ul hogyan juthatunk el ahhoz az els˝o fontos megállap´ıtáshoz, hogy Hilbert-térben is az általános ortogonális sorok helyett (els˝o közel´ıtésben) miért érdemes speciális egy¨ utthatókkal képzett (ezek az egy¨ utthatók lesznek a Fourier-egy¨ uthatók ) ortogonális sorokat tekinteni. A trigonometrikus esethez hasonlóan megmarad az a dallam”, hogy ha egy általános ” ortogonális sor konvergens a H Hilbert-térbeli normára vonatkozóan, akkor a sor egy¨ utthatói kifejezhet˝ok a sor összegével. Hilbert-térbeli általános ortogonális sorok konvergenciájára az alábbi áll´ıtások érvényesek. P 7. t´ etel. Legyen cn en egy H Hilbert-térbeli, az (en ) ortonormált rendszer szerint haladó ´ altalános ortogonális sor. Ez pontosan akkor konvergens, ha az egy¨ utthat´ oi négyzetösszegéb˝ ol képzett számsor konvergens, vagyis ha +∞ X n=1

|cn |2 < +∞.

E követelmény teljes¨ ulése mellett legyen x :=

+∞ X

cn en

n=1

az ortogonális sor összege. Ekkor a sor egy¨ utthat´ oi az x vektor seg´ıtségével el˝ oáll´ıthat´ ok a cn = hx, en i (n ∈ N)

alakban. Emellett az x ∈ H vektorra fennáll az al´ abbi Parseval-egyenl˝ os´ eg: kxk2 =

+∞ X n=1

|cn |2 .

(4.5)

P P Bizony´ ıt´ a s. Jel¨ o lje s a c e , S pedig a |cn |2 sor n-edik szeletét, vagyis n n n n Pn Pn sn = k=1 ck ek és Sn = k=1 |ck |2 (n ∈ N). Legyen n > m. Mivel (en ) ortonormált rendszer, ezért n n n n

X

2 D X E X X

|ck |2 = Sn − Sm , cl el = ksn − sm k = ck ek , ck ek = 2

k=m+1

k=m+1

l=m+1

k=m+1

és ez azt jelenti, hogy az (sn ) vektorsorozat pontosan akkor Cauchy-sorozat a H Hilbert-térben, ha (Sn ) Cauchy-sorozat az R-ben. H és R teljessége miatt ezekb˝ol a tétel els˝o áll´ıtása már következik.

88

4. Hilbert-terekben a Fourier-sorok elmélete P P+∞ osszege. Tegy¨ u k most fel, hogy a c e sor konvergens ´ e s x = n n n=1 cn en a sor ¨ P A cn en sort szabad tagonként skalárisan szorozni, ezért hx, en i =

+∞ X k=1

ck hek , en i = cn

(n ∈ N),

és ez a tétel második áll´ıtását bizony´ıtja. A Parseval-egyenl˝oség igazolásához el˝oször azt jegyezz¨ uk meg, hogy az (en ) ortonormáltsága miatt minden n indexre fennáll az ksn k2 =

n X k=1

|ck |2

egyenl˝oség. Mivel sn → x a H tér normájában, ezért a norma folytonossága miatt ksn k → kxk, ´ıgy a fenti egyenl˝oségb˝ol az n → +∞ határátmenettel már következik a Parseval-egyenl˝oség. Az iménti tétel motiválja az alábbi fontos fogalom bevezetését. Defin´ıci´ o. Ha (en ) ortonormált rendszer a H Hilbert-térben és x ∈ H egy tetsz˝oleges vektor, akkor az hx, en i (n ∈ N) (4.6) számokat az x vektornak az (en ) ortonormált rendszerre vonatkozó Fourier-egy¨ utthat´ oinak nevezz¨ uk. Ezen egy¨ utthatókkal képzett X hx, en i en (4.7) ortogonális sort az x vektor (en ) rendszer szerinti Fourier-sor´ anak mondjuk.

´ Erdemes meggondolni, hogy az L2 (0, 2π) Hilbert-térben egy f f¨ uggvénynek az (en ) trigonometrikus rendszer (l. (4.1)-et) szerinti Fourier-sora, vagyis a 1 X a √0 + √ an cos nx + bn sin nx π n=1 2π

x ∈ (0, 2π)

sor, ahol tehát 1 an = √ π

Z2π 0

f (t) cos nt dt,

1 bn = √ π

Z2π 0

f (t) sin nt dt

n = 0, 1, 2 . . . ,

éppen az f f¨ uggvénynek a korábban értelmezett trigonometrikus Fourier-sora.

4.5. Fourier-sorok

89

Feladatunk ezek után annak vizsgálata, hogy egy Hilbert-térben valamely ortonormált rendszer szerinti Fourier-sor a tér normájában konvergens-e. Most ehhez f˝ uz¨ unk néhány el˝ozetes megjegyzést. A konkrét Hilbert-terek köz¨ ul a legfontosabbak és a legérdekesebbek a k¨ ulönböz˝o n f¨ uggvényterek. Az R euklideszi térben ui. a konvergencia kérdése lineáris algebrai eszközök felhasználásával viszonylag egyszer˝ uen rendezhet˝o”. Ezekb˝ol az ” eredményekb˝ol az n → +∞ határátmenettel szintén viszonylag egyszer˝ uen kaphatjuk 2 meg az l Hilbert-térre vonatkozó áll´ıtásokat. A f¨ uggv´ enyterek esete azért érdekesebb, mert ezekben — az alkalmazások szempontjából is fontos — további kérdések vethet˝ok fel elég természetes módon. Tekints¨ uk például az L2 (0, 2π) Hilbert-teret és ebben a trigonometrikus rendszert. Világos, hogy a Fourier-sor konvergenciáját többféle értelemben is vizsgálhatjuk: • Pontonk´ enti értelemben. Ekkor azt kérdezhetj¨ uk meg, hogy a sor egy rögz´ıtett pontban konvergens-e, és ha igen, akkor mit lehet mondani az összegér˝ol. • Egyenletes értelemben. Itt meg azt kérdezhetj¨ uk, hogy milyen f f¨ uggvény esetén lesz a Fourier-sor egyenletesen konvergens, és ekkor milyen kapcsolat van f és az összegf¨ uggvény között. • Az L2 (0, 2π) Hilbert-tér természetes norm´ aj´ aban (ebben a konkrét esetben ezt a konvergenciát n´ egyzetintegr´ alra vonatkozó konvergenciának nevezt¨ uk) is vizsgálhatjuk a Fourier-sor konvergenciáját. A trigonometrikus eset korábbi, részletesebb tanulmányozása során láttuk, hogy a normakonvergencia szempontjából a trigonometrikus Fourier-sorok barátsá” gosan” viselkednek abban az értelemben, hogy viszonylag egyszer˝ u meggondolásokkal adódnak fontos, általános jelleg˝ u eredmények. C´ elunk éppen annak megmutatása, hogy az ott elmondott gondolatok messzemen˝oen általános´ıthatók tetsz˝oleges Hilbert-terekre. Ezekb˝ol az egyszer˝ uen adódó általános tételekb˝ol aztán az alkalmazások szempontjából is fontos eredményeket lehet kapni. A továbbiakban tehát az x ∈ H vektor Fourier-sorának a konvergenciáját fogjuk megvizsgálni. A következ˝o — természetes módon felvethet˝o — kérdésekre keress¨ uk a válaszokat: 1o Milyen x ∈ H vektor esetén lesz a szóban forgó Fourier-sor konvergens?

2o Ha egy x ∈ H vektor esetén a Fourier-sor konvergens, akkor az o¨sszege vajon megegyezik-e az x vektorral, azaz a Fourier-sor el˝ oáll´ıtja-e az x vektort. Bevezetj¨ uk a következ˝o elnevezést.

90


Defin´ıci´ o. A H Hilbert-térbeli x vektort az (en ) ortonorm´ alt rendszer szerint Fourier-sorba fejthet˝ onek nevezz¨ uk, ha az x vektor (en ) rendszer szerinti Fouriersorának összege azonos x-szel. Az el˝oz˝o tételb˝ol azonnal adódik a következ˝o áll´ıtás. P 8. t´ etel. Egy cn en konvergens ortogonális sor azonos az o¨sszegének a Fouriersorával, amib˝ol természetesen következik, hogy az o¨sszegvektor Fourier-sora konvergens. Ebb˝ol persze még nem következik az, hogy minden x ∈ H vektornak az (en ) ortonormált rendszer szerinti Fourier-sora konvergens. Ez az áll´ıtás egyébként igaz, és ezt a továbbiakban igazolni fogjuk. A bizony´ıtáshoz felhasználjuk azt az önmagában is fontos és érdekes tényt, hogy a Fourier-sorok r´ eszlet¨ osszegei egy nevezetes minimum-tulajdons´ aggal rendelkeznek. Pontosan a következ˝or˝ol van szó: Legyen (en ) adott ortonormált rendszer a H Hilbert-térben, és vegy¨ uk a H tér egy tetsz˝oleges elemét. Tekints¨ uk a következ˝o minimumfeladatot: keress¨ uk meg az e1 , . . . , en vektorok lineáris kombinációi, azaz a c1 e1 + c2 e2 + · · · + cn en alak´ u vektorok köz¨ ul (ck -k valós számok) azt, amelyik x-et a H térbeli távolság értelmében a legjobban megközel´ıti. Azt kérdezz¨ uk tehát, hogy adott n esetén az n

X

c e x −

k k k=1

kifejezésnek egyáltalán van-e minimuma, ha a ck ∈ R egy¨ utthatók változnak; és ha van, akkor ezt a minimumot milyen egy¨ utthatók esetén veszi fel a kifejezés. Az alábbi tétel azt áll´ıtja, hogy ennek a minimumfeladatnak a megoldását éppen az x vektor Fourier-egy¨ utthatói adják. 9. t´ etel. Legyen (en ) egy tesz˝oleges ortonormált rendszer a H Hilbert-térben. Ekkor minden x ∈ H vektorra és minden n természetes számra n n

n o X X

min x − ck ek ck ∈ R, k = 1, . . . , n = x − hx, ek iek , k=1

k=1

azaz minden x ∈ H és minden n ∈ N esetén az x ∈ H vektor Fourier-sorának n-edik részletösszege az a Hn := [{e1 , . . . , en }] altérbeli vektor, amelyik a H tér norm´ ajában legk¨ ozelebb van az x vektorhoz.

4.5. Fourier-sorok

91

Bizony´ıt´ as. Rögz´ıts¨ uk a ck egy¨ utthatókat. A skaláris szorzat tulajdonságait és az (en ) rendszer ortonormáltságát felhasználva azt kapjuk, hogy n n n

2 D

E X X X

cl el = ck ek , x − ck ek = x −

x −

l=1

k=1

k=1

= hx, xi − 2 = kxk2 −

n X k=1

n X k=1

ck hx, ek i +

|hx, ek i|2 +

n X k=1

n X k=1

|ck |2 =

|hx, ek i − ck |2 .

Ebb˝ol az azonosságból világos, hogy a szóban forgó kifejezésnek van minimuma, és azt akkor veszi fel, ha az utolsó négyzetösszeg minden tagja 0-val egyenl˝o, azaz ha ck = hx, ek i

(k = 1, 2, . . . , n).

A minimumot szolgáltató ck egy¨ utthatók tehát n-t˝ol nem f¨ uggenek. Ezekkel az értékekkel a fenti kifejezés a következ˝o alakot veszi fel: n n

2

X X

2 |hx, ek i|2 . ck ek = kxk −

x −

(4.8)

k=1

k=1

Ez az u ń. Bessel-f´ ele azonoss´ ag.

10. t´ etel (a Bessel-féle egyenl˝otlenség). Legyen (en ) egy ortonormált rendszer a H Hilbert-térben. Ekkor tetsz˝oleges x ∈ H vektornak az (en ) rendszerre vonatkozó hx, en i (n ∈ N) Fourier-egy¨ utthat´ oira fennáll az al´ abbi, u ń. Bessel-f´ ele egyenl˝ otlens´ eg +∞ X hx, en i 2 ≤ kxk2 (x ∈ H), (4.9) n=1

ezért a Fourier-egy¨ utthat´ ok 0-hoz tartanak, azaz lim hx, en i = 0

n→+∞

minden x ∈ H esetén.

Bizony´ıt´ as. Mivel a (4.8) alatti Bessel-féle azonosság bal oldala nemnegat´ıv, ezért az egyenl˝oség jobb oldala is nemnegat´ıv, amib˝ol következik, hogy minden n ∈ N esetén n X |hx, ek i|2 ≤ kxk2 . k=1

92


Itt azP n → +∞ határátmenetet elvégezve kapjuk a Bessel-féle egyenl˝otlenséget. A |hx, ek i|2 valós sor konvergens, ezért a generáló sorozata nullsorozat, és ebb˝ol következik, hogy a Fourier-egy¨ utthatók 0-hoz tartanak. Az 1o kérdés¨ unkre a válasz a

11. t´ etel. Legyen (en ) ortonormált rendszer a H Hilbert-térben. Ekkor minden x ∈ H vektornak az (en ) rendszer szerinti Fourier-sora konvergens.

Bizony´ıt´ as. A (4.9) alatti Bessel-féle egyenl˝otlenségb˝ol következik, hogy az x vektor Fourier-egy¨ utthatóiP abszol´ utértékének négyzetösszege konvergens, ezért a 7. tétel szerint az x vektor hx, ek iek Fourier-sora valóban konvergens.

Hangs´ ulyozzuk, hogy az iménti tétel csak a Fourier-sor konvergenciáját áll´ıtja, és nem mond semmit a sor összegér˝ol. A következ˝o tétel azt fejezi ki, hogy milyen kapcsolat van egy x ∈ H vektor Fourier-sorának összege és az x vektor között.

12. t´ etel. Legyen (en ) egy tetsz˝oleges ortonormált rendszer a H Hilbert-térben. Jelölje H1 az (en ) rendszer line´ aris burk´ anak a lez´ arás´ at (azaz azt a legsz˝ ukebb Hbeli alteret, amely tartalmazza a rendszer minden tagját): H1 := [ (en ) ].

Ekkor bármelyik H-beli x vektor (en ) ortonormált rendszer szerinti Fourier-sorának ¨sszege azonos x-nek a H1 altérre való ortogonális vet¨ o uletével. P Bizony´ıt´ as. Tekints¨ uk az x ∈ H vektor hx, en i en Fourier-sorát. Az el˝oz˝o tétel szerint ez a sor konvergens. Jelölje u a sor összegét, vagyis legyen u :=

+∞ X n=1

hx, en i en .

A sorösszeg értelmezése alapján sn =

n X hx, ek i ek → u a H tér normájában, ha n → +∞. k=1

Mivel minden minden n-re sn ∈ {e1 , . . . , en } , ezért nyilvánvaló, hogy u ∈ [(en )] = H1 . Másrészt a 7. tétel szerint a sor egy¨ utthatói kifejezhet˝ok a sor összege seg´ıtségével, éspedig hx, en i = hu, en i (n ∈ N). Ebb˝ol következik, hogy a v := x − u vektorra

hv, en i = hx, en i − hu, en i = 0

(n ∈ N),

4.6. Szeparábilis Hilbert-terek izomorfiája

93

ami azt jelenti, hogy a v vektor ortogonális az (en ) sorozat minden tagjára, de akkor v ⊥ H1 , azaz v ∈ H1⊥ . Mivel x = u + v, ahol u ∈ H1 és v ∈ H1⊥ , ezért a Rieszféle ortogonális felbontási tételb˝ol következik, hogy u azonos az x vektor H1 -re való ortogonális vet¨ uletével. A 4. és a 12. tételb˝ol nyilvánvalóan következik, hogy az alábbi fontos 13. t´ etel. A H Hilbert-térben pontosan akkor lesz minden x ∈ H vektor Fouriersorba fejthet˝o az (en ) ortonormált rendszer szerint (azaz x-nek az (en ) rendszer szerinti Fourier-sorának az összege azonos x-szel), ha az (en ) rendszer z´ art, illetve teljes. Felmer¨ ul ezek után az a kérdés, hogy melyek azok a Hilbert-terek, amelyekben létezik zárt, vagyis teljes ortonormált rendszer. Lineáris algebrából tudjuk, hogy minden véges dimenziós térben van teljes ortonormált rendszer, ezért elég csak a végtelen dimenziós esetet tekinten¨ unk. Legyen az (en ) sorozat egy zárt rendszer H-ban. Az értelmezés szerint ekkor az [(en )] halmaz s˝ ur˝ u a H-ban. Könnyen be lehet látni azt, hogy az (en ) tagjaiból képzett racionális egy¨ utthatós lineáris kombinációk halmaza is s˝ ur˝ u H-ban. Mivel ez a halmaz megsz´ amlálhat´ o, ezért H-nak van megszámlálható s˝ ur˝ u részhalmaza, vagyis H sz¨ ukségképpen egy szepar´ abilis Hilbert-tér. Ennek az áll´ıtásnak a megford´ıtása is igaz, ezért fenáll a következ˝o fontos 14. t´ etel. Egy H Hilbert-térben pontosan akkor létezik z´ art (teljes) ortonormált rendszer, ha H szeparábilis. Bizony´ıt´ as. Az el˝oz˝oek szerint elég azt igazolni, hogy minden szeparábilis Hilberttérben van zárt (teljes) ortonormált rendszer. Tegy¨ uk fel tehát, hogy H szeparábilis, vagyis van benne egy olyan M ⊂ H megszámlálható halmaz, amelyre M = H. Az M halmaz alkalmas megritk´ıtásával könnyen nyerhet˝o egy olyan (xn ) lineárisan f¨ uggetlen M -beli sorozat, amelyre [(xn )] = [M ]. Alkalmazzuk erre a vektorsorozatra a Gram–Schmidt-féle ortogonalizációs eljárást, akkor az ´ıgy kapott (en ) ortonormált sorozatra nyilván [(en )] = [M ] teljes¨ ul. Mivel M -mel egy¨ utt [M ] is s˝ ur˝ u H-ban, ezért [(en )] = H, ami azt jelenti, hogy az (en ) rendszer zárt a H térben.

4.6.

Szepar´ abilis Hilbert-terek izomorfi´ aja

Ebben a pontban megmutatjuk, hogy a végtelen dimenziós szeparábilis Hilbertterek között sem algebrai szempontból sem metrikus tulajdonságait tekintve nincs k¨ ulönbség.

94


15. t´ etel (Riesz–Fischer-tétel). Minden végtelen dimenzi´ os szeparábilis H Hilbert2 tér izometrikusan izomorf az l Hilbert-térrel. Ez azt jelenti, hogy H és l2 között létezik egy olyan ϕ : H → l2 bijekt´ıv lineáris leképezés, ami normatart´ o is, azaz kxk = kϕ(x)kl2

(x ∈ H).

Bizony´ıt´ as. Mivel H szeparábilis Hilbert-tér, ezért ebben létezik egy (en ) teljes ortonormált rendszer. Jelölje ϕ azt a leképezést, amelyik minden x ∈ H elemhez hozzárendeli az x vektor (en ) szerinti Fourier-egy¨ utthatóinak a sorozatát: ϕ(x) := hx, en i, n ∈ N (x ∈ H).

A 7. tételb˝ol következik, hogy ϕ minden H-beli elemhez l2 -beli sorozatot rendel, ezért ϕ valóban egy H → l2 t´ıpus´ u f¨ uggvény. A ϕ leképezés lineáris. Valóban, a skaláris szorzat tulajdonságai alapján minden x, y ∈ H, λ ∈ R és n ∈ N esetén hx + y, en i = hx, en i + hy, en i, hλx, en i = λhx, en i, következésképpen ϕ(x + y) = hx + y, en i = hx, en i + hy, en i = ϕ(x) + ϕ(y), ϕ(λx) = hλx, en i = λ hx, en i = λϕ(x),

és ez azt jelenti, hogy ϕ lineáris leképezés. A ϕ leképezés injektivitása. Tegy¨ uk fel, hogy az x1 , x2 ∈ H elemekre ϕ(x1 ) = ϕ(x2 ) teljes¨ ul. Mivel ϕ lineáris, ezért ebb˝ol ϕ(x1 − x2 ) = hx1 − x2 , en i = hx1 , en i − hx2 , en i = 0, 0, 0, . . . = 0 ∈ l2

következik. Ez azt jelenti, hogy az x := x1 − x2 H-beli elem az (en ) rendszer mindegyik vektorára ortogonális, és ez az (en ) teljessége miatt csak u ´gy lehetséges, ha x = θ (∈ H), azaz x1 = x2 . A ϕ leképezés tehát injekt´ıv. Most azt igazoljuk, hogy ϕ sz¨ urjekt´ıv. Ennek bizony´ıtásához induljunk ki egy 2 l -térbeli (cn ) sorozatból, és mutassuk meg azt, hogy van olyan x ∈ H, amelyre ϕ(x) = hx, en i = (cn ),

4.6. Szeparábilis Hilbert-terek izomorfiája

95

vagyis hx, en i = cn teljes¨ ul minden n indexre. Ehhez tekints¨ uk a sn :=

n X

ck ek

k=0

P

ck ek sor

k∈N

(n ∈ N)

részletösszegeit. Megmutatjuk, hogy ez Cauchy-sorozat. Valóban, felhasználva, hogy (en ) ortonormált rendszer azt kapjuk, hogy minden m > n indexre m m

2

X X

|ck |2 . ck ek = ksm − sn k = 2

k=n+1

k=n+1

Minthogy (cn ) ∈ l2 , ezért (sn ) valóban Cauchy-sorozat, s ´ıgy a H tér teljessége alapján konvergens. Jelölj¨ uk x-szel a szóban forgó sorozat határértékét, azaz sn → x (n → +∞) a H tér normájában. Ekkor a skaláris szorzat folytonossága alapján hx, ek i = lim hsn , ek i n→+∞

(k ∈ N).

Minthogy minden n ≥ k esetén hsn , ek i = ck , ezért ck az x elem Fourier-egy¨ utthatója, azaz hx, ek i = ck minden k ∈ N indexre. Ezzel megmutattuk, hogy a most konstruált x ∈ H elemre ϕ(x) = (cn ). A ϕ leképezés tehát sz¨ urjekt´ıv. A Parseval-egyenl˝oségb˝ol (l. a 7. tételt) következik, hogy X hx, ek i 2 = kϕ(x)k22 (x ∈ H), kxk2 = l k∈N

és ez azt jelenti, hogy a ϕ : H → l2 lineáris bijekció normatartó.

Bármely euklideszi térben (tehát Hilbert-térben is) a skaláris szorzat kifejezhet˝o a normával. Egyszer˝ uen igazolható, hogy valós eulideszi tér esetén fennáll az 1 hx, yi = kx + yk2 − kx − yk2 (x, y ∈ H) 4 azonosság. Ezekb˝ol nyilvánvaló, hogy minden izometria egyben a skal´ aris szorzatot is megtartja, azaz hx, yi = hϕ(x), ϕ(y)i (x, y ∈ H).

5. Line´ aris oper´ atorok ´ es funkcion´ alok Legyenek X és Y valós (vagyis R feletti) lineáris terek (más szóval vektorterek). A nullelemeket θX , ill. θY jelöli. A lineáris terek elemeit vektoroknak is fogjuk nevezni. Feltessz¨ uk még azt is, hogy az X, ill. az Y lineáris tereken norma is van értelmezve, ezeket a k · kX , ill. a k · kY szimbólumokkal jelölj¨ uk. Több defin´ıcióban és áll´ıtásban X-nek csak a vektortérstrukt´ urájára lesz sz¨ ukség¨ unk. Ezekben az esetekben az X line´ aris t´ e rr˝ o l besz´ e l¨ u nk. Ha azt mondjuk, hogy X norm´ alt t´ er, akkor pedig az X, k · kX térstrukt´ urára gondolunk. Ebben a fejezetben normált terek közötti leképezések köz¨ ul a legegyszer˝ ubbekkel, a line´ aris lek´ epez´ esekkel foglalkozunk.

5.1.

A line´ aris oper´ atorok L(X, Y ) vektortere

Defin´ıci´ o. Legyenek X és Y lineáris terek. Az A : X → Y f¨ uggvényt line´ aris oper´ atornak (vagy line´ aris lek´ epez´ esnek) nevezz¨ uk, ha minden x, y ∈ X elempárra és minden λ ∈ R számra (i) A(x + y) = A(x) + A(y), (ii) A(λx) = λA(x). A valós érték˝ u lineáris leképezéseket line´ aris funkcion´ aloknak h´ıvjuk. A defin´ıció (i), ill. (ii) feltétele azt jelenti, hogy az A operátor az X-beli összegeket Y -beli összegekbe, ill. X-beli elemek számszorosát a megfelel˝o Y -beli elemek számszorosába viszi át. Az A leképezésnek ezt a két tulajdonságát kifejezve azt szoktuk mondani, hogy a leképezés m˝ uvelettart´ o, vagy — az algebrában szokásos szóhasználattal élve — az A f¨ uggvény homomorfizmus. Az A leképezés x helyen felvett értékének jelölésére a szokásos A(x) mellett az Ax szimbólumot is használni fogjuk. Lineáris leképezésekkel kapcsolatban két kit¨ untetett alteret szokás bevezetni. A Ker A := {x ∈ X | Ax = θY } ⊂ X, Im A := {Ax | x ∈ X} = RA ⊂ Y halmazokat az A operátor magter´ enek, illetve k´ epter´ enek nevezz¨ uk. ´ Erdemes megjegyezni az alábbi — egyszer˝ uen bebizony´ıtható — áll´ıtásokat. Legyenek X és Y lineáris terek és A : X → Y egy tetsz˝oleges lineáris operátor. Ekkor • AθX = θY ; 97

98

5. Lineáris operátorok és funkcionálok • Ker A altér X-ben, Im A altér Y -ban; • A pontosan akkor injekt´ıv, ha Ker A = {θX }; • A akkor és csak akkor sz¨ urjekt´ıv, ha Im A = Y .

Minthogy az A : X → Y f¨ uggvény értékei vektorok, ezért értelmezve van ezek összege és számmal való szorzata. Ezt felhasználva értelmezhetj¨ uk az A, B : X → Y lineáris operátorok A + B összegét és az A operátor λ számszoros´ at: (A + B)(x) := Ax + Bx (x ∈ X), (λA)(x) := λAx (x ∈ X, λ ∈ R). Egyszer˝ uen igazolható az alábbi fontos áll´ıtás. 1. t´ etel. Legyenek X és Y tetsz˝oleges line´ aris terek. Az o¨sszes X → Y lineáris oper´ atort tartalmazó halmaz R feletti vektorteret alkot az imént definiált m˝ uveletekre nézve. Ezt a vektorteret az L(X, Y ) := {A : X → Y | A lineáris operátor} szimbólummal jelölj¨ uk. Emlékeztet¨ unk arra, hogy az X1 és az X2 valós lineáris tereket akkor nevezt¨ uk ∼ uvelettartó biizomorfaknak (jelölésben X1 = X2 ), ha elemeik között létezik m˝ jekció, vagyis ha ∃ T : X1 → X2 bijekció, hogy T (λx + µy) = λT (x) + µT (y) (x, y ∈ X1 , λ, µ ∈ R). Az izomorf lineáris tereket ugyanazon tér k¨ ulönböz˝o realizációjának tekintj¨ uk, ezért az ilyenek között nem tesz¨ unk k¨ ulönbséget. P´ eld´ ak line´ aris lek´ epez´ esekre • X = Y = R esetén pontosan az A(x) = cx (x ∈ R) alak´ u f¨ uggvények a lineáris leképezések, ahol c tetsz˝oleges valós szám. (Ezek képei az origón átmen˝o egyenesek.) Egyszer˝ uen látható, hogy L(R, R) ∼ = R. • Legyenek n és m rögz´ıtett természetes számok, X := Rn és Y := Rm . Korábban már láttuk, hogy rögz´ıtett X-, illetve Y -beli bázisok esetén az L(Rn , Rm ) lineáris tér azonos´ıtható az (m × n)-es valós mátrixok lineáris terével, azaz L(Rn , Rm ) ∼ = Rm×n .

5.2. Folytonosság és korlátosság

99

A line´ aris algebr´ aban megismert¨ uk a véges dimenzi´ os line´ aris terek közötti lineáris leképezések (ezen kereszt¨ ul a mátrixok) legfontosabb tulajdonságait. Az anal´ızisben fontos szerepet játszó lineáris terek végtelen dimenzi´ osak. A funkcion´ alanal´ızis feladata az ilyen terek közötti (lineáris) leképezések vizsgálata.

5.2.

Folytonoss´ ag ´ es korl´ atoss´ ag

Emlékeztet¨ unk arra, hogy korábban már értelmezt¨ uk normált terek közötti leképezések folytonosságát. Ha X és Y normált terek, akkor azt mondtuk, hogy az f : X → Y f¨ uggvény folytonos az a ∈ X pontban, ha ∀ ε > 0-hoz ∃ δ > 0 : ∀ x ∈ X, kx − akX < δ =⇒ kf (x) − f (a)kY < ε. A valós-valós f¨ uggvényekhez hasonlóan itt is érvényes az ´ atviteli elv: az f : X → Y f¨ uggvény akkor és csak akkor folytonos az a ∈ X pontban, ha minden xn → a sorozatra f (xn ) → f (a). Az f : X → Y f¨ uggvényt folytonosnak nevezz¨ uk, ha minden a ∈ X pontban folytonos. ´ Erdekes és fontos tény, hogy line´ aris oper´ atorok esetén az egyetlen pontbeli folytonosságból már következik az egész téren való folytonosság. 2. t´ etel. Tegy¨ uk fel, hogy az A : X → Y line´ aris leképezés folytonos egy a ∈ X pontban. Ekkor A folytonos az o¨sszes x ∈ X pontban.

Bizony´ıt´ as. Rögz´ıts¨ uk az x ∈ X pontot, és vegy¨ unk egy olyan (xn ) ⊂ X sorozatot, amelyre xn → x az X térben. Megmutatjuk, hogy ekkor Axn → Ax az Y térben, ami az átviteli elv alapján azt jelenti, hogy A folytonos x-ben. Tekints¨ uk a következ˝o átalak´ıtást: Axn = A a + (xn − x) + (x − a) = A a + (xn − x) + A(x − a) = = A a + (xn − x) + A(x) − A(a) (n ∈ N). Mivel xn → x, ezért lim a + (xn − x) = a. Az A operátor a-beli folytonossága miatt az (Axn ) sorozat tehát valóban A(a) + A(x) − A(a) = A(x)-hez tart.

Lineáris operátor folytonossága ekvivalens módon jellemezhet˝o a korlátosságnak elnevezett tulajdonsággal.

Defin´ıci´ o. Az A : X → Y lineáris operátort akkor mondjuk korl´ atosnak, ha létezik olyan C ≥ 0 szám, hogy kAxkY ≤ CkxkX

(x ∈ X).

(5.1)

100

5. Lineáris operátorok és funkcionálok

Figyelj¨ uk meg, hogy az X = Y = R esetben a korlátosságnak a fenti fogalma k¨ ulönbözik a valós-valós f¨ uggvények körében korábban értelmezett korlátosság fogalmától. A továbbiakban ezt a fogalmat mindig a fenti értelemben értj¨ uk. 3. t´ etel. Az A : X → Y lineáris oper´ ator akkor és csak akkor folytonos X-en, ha korlátos. Bizony´ıt´ as. ⇐ A folytonosság defin´ıciója alapján (5.1)-b˝ol következik, hogy A folytonos a θX pontban, ezért a 2. tétel miatt minden x ∈ X pontban is folytonos.

⇒ A ford´ıtott irány´ u áll´ıtást indirekt módon bizony´ıtjuk. Tegy¨ uk fel, hogy A nem korlátos. Ekkor (5.1) alapján ∀ n ∈ N-hez ∃ xn ∈ X : kAxn kY > nkxn kX . Világos, hogy xn 6= θX (n ∈ N), ui. ha xn = θX lenne, akkor kAxn kY = kθY kY = 0 6> nkxn kX = 0. Tekints¨ uk az yn :=

1 xn n kxn kX

(n ∈ N)

sorozatot. Ekkor kyn kX = n1 → 0, tehát yn → θX az X térben. Az A operátor folytonos a θX pontban, ezért Ayn → θY az Y térben. Ekkor azonban a normák sorozata 0-hoz tart, azaz kAyn kY → 0. Másrészt az indirekt feltétel miatt a normák sorozatára

1 x n

= 1 · kAxn kY > 1 A kAyn kY = ·

n kxn kX Y n kxn kX adódik minden n természetes számra, és ez azt jelenti, hogy az kAyn kY normák sorozata nem tart nullához. Ez az ellentmondás az áll´ıtásunkat bizony´ıtja. Véges dimenziós terek közötti lineáris leképezések folytonosak. S˝ot ennél több is igaz. 4. t´ etel. Tegy¨ uk fel, hogy X véges dimenzi´ os, Y pedig tetsz˝oleges norm´ alt tér. Ekkor minden A : X → Y line´ aris oper´ ator folytonos.

Bizony´ıt´ as. Véges dimenziós tereken bármely két norma ekvivalens, ezért feltehet˝o, hogy X = Rn és k · kX = k · k1 . Jelölje e1 , e2 , . . . , en az Rn tér kanonikus bázisát. n n P P Ekkor minden x ∈ Rn esetén x = xk ek (xk ∈ R) és kxk1 = |xk |. Mivel A

lineáris, ezért Ax = A(

n P

k=1

kAxkY ≤

n X k=1

k=1

xk ek ) =

n P

k=1

xk Aek , következésképpen

k=1

|xk |kAek kY ≤ Ckxk1 , ahol

C := max{kAe1 kY , . . . , kAen kY }.

5.2. Folytonosság és korlátosság

101

Ez azt jelenti, hogy A korlátos, tehát folytonos lineáris operátor. ´ Erdekes és meglep˝o, hogy végtelen dimenzi´ os terek között az ilyen egyszer˝ u (vagyis lineáris) leképezések között is vannak már olyanok, amelyek nem folytonosak. P´ elda: a differenci´ aloper´ ator nem folytonos line´ aris oper´ ator. • Legyen X, k · kX := C 1 [0, 1], k · k∞ és Y, k · kY := C[0, 1], k · k∞ . Jelölje D a differenci´ aloper´ atort: Df := f ′ .

D : X → Y,

Ekkor D lineáris, de nem korlátos, tehát nem folytonos operátor. Valóban, a linearitás nyilvánvaló. Annak igazolására, hogy D nem korlátos, tekints¨ uk az fn (t) := tn

(t ∈ [0, 1], n ∈ N)

f¨ uggvényeket. Mivel minden n-re kDfn k∞ = kfn′ k∞ = kntn−1 k∞ = n = nkfn k∞ >

n kfn k∞ , 2

ezért D valóban nem korlátos, tehát nem is folytonos operátor. Megjegyz´ esek. 1o Az operátorok köz¨ ul az anal´ızis szempontjából az egyik legfontosabb a differenciáloperátor. A differenciáloperátort k¨ ulönféle terekben lehet vizsgálni, és amint az láttuk, az általában nem folytonos. Ez a tény indokolttá teszi az anal´ızisben a nem folytonos operátorok tanulmányozását is. A továbbiakban ezekkel mi nem foglalkozunk. 2o Bizonyos esetekben a norma alkalmas megválasztásával tehet¨ unk egy nem korlátos operátort korlátossá. Az el˝oz˝o példánál maradva, ha az X-beli normát az kf kX := kf k∞ + kf ′ k∞

f ∈ C 1 [0, 1]

képlettel értelmezz¨ uk, akkor az ´ıgy kapott differenciáloperátor már korlátos/folytonos lineáris operátor lesz. Valóban: kDf k∞ = kf ′ k∞ ≤ kf k∞ + kf ′ k∞ = kf kX

minden f ∈ C 1 [0, 1], k · kX esetén.

102

5.3.


Oper´ ator norm´ aja. A B(X, Y ) norm´ alt t´ er

A továbbiakban csak a folytonos/korlátos lineáris operátorokkal foglalkozunk. Adott X, Y normált terek esetén ezek halmazát ´ıgy fogjuk jelölni: B(X, Y ) := {A : X → Y | A lineáris és folytonos/korlátos}. A folytonos/korlátos lineáris operátorok között is értelmezve van az összeadás és a számmal való szorzás m˝ uvelete. Egyszer˝ uen belátható, hogy B(X, Y ) ezekkel a m˝ uveletekkel egy R feletti vektortér, az L(X, Y ) tér egy altere. A 4. tételb˝ol az is következik, hogy B(X, Y ) = L(X, Y ), ha X véges dimenziós normált tér. További strukt´ urával, nevezetesen norm´ aval fogjuk ellátni a B(X, Y ) lineáris teret. Ehhez felhasználjuk a korlátosság fogalmának (l. (5.1)) alábbi ekvivalens átfogalmazásait. Legyen A : X → Y egy lineáris operátor. Ekkor ∃C > 0 : kAxkY ≤ CkxkX (∀ x ∈ X); ∃C > 0 : kAxkY ≤ C

m

(∀ x ∈ X, kxkX ≤ 1);

m

∃C > 0 : kAxkY ≤ C (∀ x ∈ S1 := S1,X := {x ∈ X|kxkX = 1}) (S1,X -et az X egységgömbfel¨ uletének nevezz¨ uk); m

∀ M ⊂ X korlátos halmazra A(M ) ⊂ Y korlátos halmaz.

Defin´ıci´ o. Tetsz˝oleges A ∈ B(X, Y ) esetén az

kAk := kAkXY : = sup {kAxkY | x ∈ X, kxkX = 1} = sup {kAxkY | x ∈ X, kxkX ≤ 1} számot az A oper´ ator norm´ aj´ anak nevezz¨ uk. Hamarosan megmutatjuk, hogy ez a leképezés valóban norma a B(X, Y ) lineáris téren. El˝oször a fent definiált szám néhány egyszer˝ uen bebizony´ıtható és a továbbiakban gyakran használt tulajdonságát fogalmazzuk meg. 5. t´ etel. Tetsz˝oleges A ∈ B(X, Y ) oper´ ator esetén • kAk véges, nemnegat´ıv valós szám; • kAxkY ≤ kAk · kxkX (∀ x ∈ X);

5.3. Operátor normája. A B(X, Y ) normált tér

103

• kAk = min {C ≥ 0 | ∀ x ∈ X : kAxkY ≤ C · kxkX } (az kAk tehát a legkisebb olyan C ≥ 0 szám, amelyre az kAxkY ≤ CkxkX egyenl˝ otlenség minden x ∈ X elemre fennáll.)

Az utolsó áll´ıtást leggyakrabban a következ˝o formában fogjuk alkalmazni: ha egy C ≥ 0 számra fennáll az kAxkY ≤ CkxkX

(∀ x ∈ X)

egyenl˝otlenség, akkor kAk ≤ C.

Operátor normájának a következ˝o szemléletes jelentés tulajdon´ıtható: az operátor korlátosságával ekvivalens kAxkY ≤ C

(x ∈ X, kxkX = 1)

egyenl˝otlenség azt jelenti, hogy az X-beli S1 egységgömbfel¨ ulet A(S1 ) képe benne van az Y tér egy origó középpont´ u gömbjében. A legkisebb sugar´ u ilyen tulajdonság´ u gömbnek a sugara éppen kAk. A következ˝o tételben a B(X, Y ) tér alapvet˝o tulajdonságait soroljuk fel.

6. t´ etel. Legyenek X és Y norm´ alt terek. Ekkor • B(X, Y ) lineáris altér az L(X, Y ) vektortérben; • ha X véges dimenziós, akkor B(X, Y ) = L(X, Y ). • az A 7→ kAk leképezés norma a B(X, Y ) line´ aris téren; • ha az Y norm´ alt tér teljes (vagyis Banach-tér), akkor ezzel az A 7→ kAk norm´ aval B(X, Y ) Banach-tér. Bizony´ıt´ as. Az els˝ o áll´ıtás nyilvánvaló, a második pedig a 4. tétel következménye. A harmadik áll´ıtás bizony´ıtása: A norma meghatározó tulajdonságait ellen˝orizz¨ uk. Legyen A, B ∈ B(X, Y ). (i) Nyilvánvaló, hogy kAk ≥ 0. Tegy¨ uk most fel, hogy kAk = 0. Ez azt jelenti, hogy minden x ∈ X, kxkX ≤ 1 vektorra kAxkY = 0, következésképpen Ax = θY , ha kxkX ≤ 1. A norma homogenitását felhasználva ebb˝ol az adódik, hogy minden x ∈ X esetén Ax = θY . Az A operátor tehát valóban a B(X, Y ) tér nulleleme. (ii) Hasonlóan igazolható, hogy kλAk = |λ| kAk minden λ ∈ R számra. (iii) A háromszög-egyenl˝otlenség igazolásához az Y -beli norma, valamint az operátornorma tulajdonságait használva kapjuk, hogy k(A + B)(x)kY = kAx + BxkY ≤ kAxkY + kBxkY ≤

≤ kAk · kxkX + kBk · kxkX = kAk + kBk · kxkX

amib˝ol a 5. tétel alapján adódik, hogy kA + Bk ≤ kAk + kBk.

(x ∈ X),

104

5. Lineáris operátorok és funkcionálok A negyedik áll´ıtás bizony´ıt´ uk fel, hogy Y, k · kY teljes, és igazoljuk, asa. Tegy¨ hogy akkor a B(X, Y ), k · k tér is teljes. Legyen (An ) ⊂ B(X, Y ) egy Cauchysorozat. Megmutatjuk, hogy ekkor (An ) konvergens, azaz van olyan A ∈ B(X, Y ) operátor, amelyre lim kA − An k = 0. (5.2) n→+∞

Mivel (An ) Cauchy-sorozat, ezért ∀ ε > 0-hoz ∃ n0 ∈ N : ∀ n, m ≥ n0 -ra

kAn − Am k < ε.

(5.3)

Így tetsz˝oleges rögz´ıtett x ∈ X esetén fennállnak az kAn x − Am xk = k(An − Am )xkY ≤ kAn − Am k · kxkX < εkxkX

(n, m ≥ n0 )

egyenl˝otlenségek. Ez azt jelenti, hogy (An x) ⊂ Y Cauchy-sorozat. Mivel Y teljes, ezért (An x) konvergens Y -ban. Jelölj¨ uk Ax-szel a határértékét. Így tehát értelmezt¨ unk egy A : X → Y operátort. A következ˝oket kell igazolnunk: (i) A lineáris, (ii) A folytonos/korlátos, (iii) kA − An k → 0 (n → +∞). Lássuk a bizony´ıtásokat: (i) Ez nyilvánvaló, mivel a limesz lineáris. (ii) Vegy¨ unk egy tetsz˝oleges x ∈ X vektort. A norma folytonossága, Ax defin´ıciója és (5.3) alapján kapjuk, hogy kAx − An xkY = lim kAm x − An xkY ≤ ε · kxkX m→+∞

(n > n0 ).

(5.4)

Ez azt jelenti, hogy a V := A−An korlátos/folytonos lineáris operátor. A feltétel¨ unk szerint An is ilyen, ezért az összeg¨ uk, vagyis a V + An = A operátor is korlátos/folytonos lineáris operátor. (iii) Az (5.4) egyenl˝otlenségb˝ol az is következik, hogy kA − An k ≤ ε és ez azt jelenti, hogy lim kA − An k = 0. n→+∞

5.4.

(n > n0 ),

P´ eld´ ak funkcion´ alokra ´ es oper´ atorokra

1. p´ elda. Legyen X, k · kX := C[a, b], k · k∞ és

Y, k · kY := R, | · | .

5.4. Példák funkcionálokra és operátorokra

105

Adott a ≤ t1 < t2 < · · · < tn ≤ b pontrendszer és c1 , c2 , . . . , cn valós számok esetén tekints¨ uk az n X Φ : C[a, b] → R, Φf := ck f (tk ) k=1

funkcionált. Ekkor Φ folytonos lineáris funkcion´ al és a normája kΦk =

n X k=1

|ck |.

Bizony´ıt´ as. A linearitás nyilvánvaló, mert minden f, g ∈ C[a, b] és λ, µ ∈ R esetén Φ(λf + µg) =

n X

n X ck (λf (tk ) + µg(tk )) = ck λf + µg (tk ) =

k=1 n X

=λ

k=1

ck f (tk ) + µ

k=1

n X

ck g(tk ) =

k=1

= λΦ(f ) + µΦ(g).

A funkcionál korlátossága (tehát folytonossága) a n n X X |Φf | = ck f (tk ) ≤ |ck | · kf k∞ k=1

k=1

(f ∈ C[a, b])

egyenl˝otlenségb˝ol következik, amib˝ol az is adódik, hogy kΦk ≤

n X k=1

|ck |.

A ford´ıtott irány´ u egyenl˝otlenséget u ´gy igazoljuk, hogy megadunk olyan fo ∈ C[a, b] f¨ uggvényt, amelyre kfo k∞ ≤ 1 és |Φfo | =

n X k=1

|ck |.

Ekkor kΦk = sup |Φf | ≥ |Φfo | = kf k∞ ≤1

n X k=1

|ck |.

Φ defin´ıciójából kiindulva most könny˝ u ilyen fo : [a, b] → R folytonos f¨ uggvényt konstruálni: a tk (k = 1, 2, . . . , n) pontban a f¨ uggvényérték legyen fo (tk ) := sign ck ;

106


legyen fo lineáris a [tk , tk+1 ] (k = 1, 2, . . . , n − 1) intervallumon és állandó az [a, t1 ], [tn , b] intervallumon. Világos, hogy ekkor kfo k∞ ≤ 1 és Φfo =

n X

ck fo (tk ) =

n X

ck sign ck =

k=1

k=1

k=1

n X

|ck |,

ezzel az áll´ıtást bebizony´ıtottuk. 2. p´ elda. Legyen X, k · kX := C[a, b], k · k∞ ,

Y, k · kY := R, | · |

és g ∈ C[a, b] egy rögz´ıtett f¨ uggvény. Ekkor Φ : C[a, b] → R,

Φf :=

Zb

fg

a

olyan folytonos lineáris funkcion´ al, amelynek a normája kΦk =

Zb

|g|.

a

Bizony´ıt´ as. Mivel folytonos f¨ uggvények szorzata folytonos, és minden [a, b]-n folytonos f¨ uggvény Riemann-integrálható, ezért Φ jól definiált” leképezés. Φ li” nearitása az integrál linearitásából következik. A Zb Zb |Φf | = f g ≤ |g| · kf k∞ a

(f ∈ C[a, b])

a

egyenl˝otlenség alapján Φ korlátos, tehát folytonos és kΦk ≤

Zb

|g|.

a

A ford´ıtott egyenl˝otlenség bizony´ıtása most nehezebb, mint az el˝oz˝o példánál. Azt fogjuk megmutatni, hogy ∀ ε > 0-hoz ∃ fo ∈ C[a, b] : kfo k∞

Zb Z b |g| − ε. (5.5) ≤ 1 és |Φfo | = fo · g > a

a


107

Ezt felhasználva kapjuk a minden ε > 0 számra fennálló kΦk = sup |Φf | ≥ |Φfo | ≥ kf k∞ ≤1

Z b a

|g| − ε

egyenl˝otlenséget. Ebb˝ol pedig már következik, hogy kΦk ≥

Zb

|g|.

a

Az (5.5) feltételeket kielég´ıt˝o fo f¨ uggvényt a következ˝o módon konstruáljuk meg: Rögz´ıts¨ uk az ε > 0 számot, és osszuk fel az [a, b] intervallumot az a = t0 < t1 < · · · < tn = b osztópontokkal u ´gy, hogy a g f¨ uggvény megváltozása mindegyik [ti , ti+1 ] (i = 0, 1, . . . , n−1) intervallumon kisebb legyen az ε számnál. Ilyen felosztás létezése g egyenletes folytonosságából következik. Az ´ıgy kapott intervallumokat most két csoportba soroljuk: az els˝o csoportba tartoznak azok a △′1 , △′2 , . . . , △′r intervallumok, amelyeken a g f¨ uggvény nem vált el˝ojelet. A fennmaradó △′′1 , △′′2 , . . . , △′′s intervallumokat pedig a második csoportba soroljuk. Mivel g el˝ojelet vált a △′′k (k = 1, 2, . . . , s) intervallumon és a f¨ uggvényértékek megváltozása ezen ε-nál kisebb, ezért |g(t)| ≤ ε t ∈ △′′k , k = 1, 2, . . . , s . Az fo ∈ C[a, b] f¨ uggvényt ´ıgy értelmezz¨ uk: az els˝o csoportba tartozó intervallumokon legyen fo (t) := sign g(t) (t ∈ △′j , j = 1, 2, . . . , r),

a fennmaradó intervallumokon pedig lineáris. Ha a (vagy b) a második csoporthoz tartozó intervallum végpontja, akkor legyen fo (a) := 0 (fo (b) := 0). A −1 ≤ fo (t) ≤ 1 (a ≤ t ≤ b) egyenl˝otlenség felhasználásával a Φ(fo ) =

Zb

fo · g

a

integrálra a k´ıvánt alsó becslés most már könnyen igazolható: r Z s Z r Z s Z Z b X X X X fo · g + fo · g ≥ |g| − |g| = fo · g = j=1

a

=

Zb a

k=1

△′j

|g| − 2

s Z X k=1

△′′ k

j=1

△′′ k

|g| >

Zb a

△′j

k=1

|g(t)| dt − 2ε(b − a).

△′′ k

108


Ezzel az (5.5) áll´ıtást, következésképpen a 2. példa a´ll´ıtását is bebizony´ıtottuk. 3. p´ elda. Legyen X, k · kX := C[a, b], k · k∞ ,

Y, k · kY := C[a, b], k · k∞

és K : [a, b] × [a, b] → R egy rögz´ıtett folytonos f¨ uggvény. Ekkor

A : C[a, b] → C[a, b],

Af (x) :=

Zb

f (t)K(x, t) dt (x ∈ [a, b])

a

olyan folytonos lineáris oper´ ator, amelynek a normája

kAk = max

a≤x≤b

Zb

|K(x, t)| dt =: M.

a

Bizony´ıt´ as. A tett feltételekb˝ol következik, hogy A jól definiált”. Az A operátor ” linearitása nyilvánvaló, és az

kAf k∞

Zb = max f (t)K(x, t) dt ≤ a≤x≤b

a

≤

max

a≤x≤b

Zb a

|K(x, t)| dt · kf k∞ = M · kf k∞

(f ∈ C[a, b])

egyenl˝otlenségb˝ol következik A folytonossága, valamint az, hogy kAk ≤ M . Most igazoljuk a ford´ıtott irány´ u egyenl˝otlenséget. Mivel az

[a, b] ∋ x 7→

Zb

|K(x, t)| dt

a

f¨ uggvény folytonos, ezért van olyan x0 ∈ [a, b] pont, amelyre M = max

a≤x≤b

Zb a

|K(x, t)| dt =

Zb a

|K(x0 , t)| dt.


109

Tekints¨ uk a C[a, b] téren a g(t) := K(x0 , t) (t ∈ [a, b]) folytonos f¨ uggvénnyel képzett Φf :=

Zb

f (t)K(x0 , t) dt

(f ∈ C[a, b])

a

folytonos lineáris funkcionált. Az el˝oz˝o példában láttuk, hogy minden ε > 0 számhoz van olyan fo ∈ C[a, b] f¨ uggvény, hogy kfo k∞ ≤ 1 és |Φfo | ≥ kΦk − ε =

Zb

|K(x0 , t)| dt − ε = M − ε.

a

Ekkor kAk = sup{kAf k∞ | f ∈ C[a, b], kf k∞ ≤ 1} ≥ Zb ≥ kAfo k∞ ≥ Afo (x0 ) = K(x0 , t)fo (t) dt = |Φfo | ≥ M − ε. a

Mivel ε > 0 tetsz˝oleges, ezért az kAk ≥ M egyenl˝otlenség valóban teljes¨ ul. 4. p´ elda. V´ eges dimenzi´ os terek k¨ oz¨ otti line´ aris oper´ atorok. Legyenek (X, k·kX ) és (Y, k·kY ) most véges dimenziós normált terek. Tegy¨ uk fel, hogy dim X = n és e1 , . . . , en az X lineáris tér egy bázisa; dim Y = m és f1 , . . . , fm az Y tér egy bázisa. Vegy¨ unk egy A : X → Y lineáris operátort. Ha x az X tér egy vektora, akkor x=

n X

xj ej ,

j=1

´ıgy az A operátor linearitása miatt Ax =

n X

xj Aej .

j=1

Az A leképezés tehát minden¨ utt adott, ha ismertek A-nak az e1 , . . . , en bázisvektorokon felvett értékei. Tekints¨ uk most az Aej vektornak az Y -beli f1 , . . . , fm bázisvektorokkal fel´ırt alakját: Aej =

m X i=1

aij fi

(j = 1, 2, . . . , n).

110


Az aij egy¨ utthatókat egy (m × n)-es A mátrixba rendezz¨ uk u ´gy, hogy A j-edik oszlopába az Aej vektor f1 , . . . , fm bázisra vonatkozó koordinátáit, vagyis az a1j , . . . , amj számokat ´ırjuk. Így az A ∈ L(X, Y ) operátorhoz hozzárendelt¨ unk egy (m × n)-es A mátrixot, amit az A leképezés rögz´ıtett e1 , . . . , en és f1 , . . . , fm bázisokra vonatkozó m´ atrixreprezent´ aci´ oj´ anak nevez¨ unk. Megadtunk tehát egy T : L(X, Y ) → Rm×n ,

T A := A

leképezést. Egyszer˝ uen igazolható, hogy T lineáris bijekció (izomorfia) L(X, Y ) és Rm×n között, és ezt u ´gy is mondjuk, hogy a két tér izomorf egymással (jelölésben: m×n ∼ L(X, Y ) = R ). Izomorf tereket azonos´ıthatunk egymással, és ebben az értelemben azonos´ıthatjuk az A ∈ L(X, Y ) lineáris operátort a fentiek alapján megadott A ∈ Rm×n mátrixszal. Azt is tudjuk már azonban, hogy minden véges dimenziós normált téren értelmezett lineáris leképezés folytonos is, ezért L(X, Y ) = B(X, Y ) ∼ = Rm×n . A B(X, Y ) téren értelmezett kAk := sup{kAxkY | x ∈ X, kxkX ≤ 1}

(A ∈ B(X, Y ))

operátornorma a fenti izomorfia alapján normát indukál a mátrixok lineáris terén. Ennek értéke az X, illetve Y -beli normák konkrét megválasztásától f¨ ugg. Lássunk most néhány szokásos” m´ atrixnorm´ at. Az egyszer˝ uség érdekében ” csak az (X, k · kX ) := (Rn , k · kp ) =: Rnp ,

(Y, k · kY ) := (Rm , k · kp ) =: Rm p

normált tereket tekintj¨ uk, ahol 1 ≤ p ≤ +∞, és mindkét térben a kanonikus bázisokat rögz´ıtj¨ uk. A B(Rnp , Rm eren értelmezett operátornorma a mátrixok Rm×n p ) t´ lineáris terén az kAkp = sup{kA · xkp | x ∈ Rnp , kxkp ≤ 1}

(A ∈ Rm×n )

normát indukálja, és ez a mátrix elemeivel is kifejezhet˝o. Igazolhatók például az alábbi összef¨ uggések: kAk∞ = max

1≤i≤m

n X j=1

|aij |

A ∈ Rm×n


111

(ez a mátrix sor¨ osszegnorm´ aja); kAk1 = max

1≤j≤n

m X i=1

A ∈ Rm×n

|aij |

(ez az oszlop¨ osszegnorma); kAk2 =

p

Λ1

A ∈ Rm×n ,

ahol Λ1 az AT A mátrix legnagyobb abszol´ ut érték˝ u sajátértéke (AT az A mátrix transzponáltja). Ezt a mátrixnormát spektr´ alnorm´ anak nevezik. 5. p´ elda. Hilbert-terek projekci´ os oper´ atorai.

p Legyen (H, h·, ·i ) valós Hilbert-tér és jelölje kxk := hx, xi (x ∈ H) a skaláris szorzat által indukált normát. Tetsz˝oleges {θ} 6= M ⊂ H zárt altér esetén tekints¨ uk a PM projekciós operátort: PM : H → M,

PM (x) := x1 (x ∈ H),

ahol x = x1 + x2 az x ∈ H vektor ortogonális felbontása, azaz x1 ∈ M és x2 ⊥ M . Ekkor PM egy 1-normáj´ u folytonos lineáris operátor. Bizony´ıt´ as. A Riesz-féle felbontási tétel szerint az x ∈ H ortogonális felbontása egyértelm˝ u, ezért PM jól definiált”. ” PM lineáris oper´ ator . Valóban, legyen x, y ∈ H és λ, µ ∈ R. Tekints¨ uk x és y ortogonális felbontását: x = x1 + x2 , y = y1 + y2 ,

x1 ∈ M és x2 ⊥ M, y1 ∈ M és y2 ⊥ M.

Ekkor λx + µy = (λx1 + µy1 ) + (λx2 + µy2 ). Mivel λx1 + µy1 ∈ M (M altér) és λx2 + µy2 ⊥ M (ui. hλx2 + µy2 , mi = λhx2 , mi + µhy2 , mi = 0 minden m ∈ M esetén, mert x2 ⊥ m és y2 ⊥ m), ezért PM (λx + µy) = λx1 + µy1 = λPM (x) + µPM (y), és ez azt jelenti, hogy a PM operátor lineáris. Folytonosság. Az x = x1 +x2 (x1 ∈ M, x2 ⊥ M ) ortogonális felbontásra érvényes kxk2 = kx1 k2 + kx2 k2 Pitagorasz-tétel alapján kPM (x)k = kx1 k ≤ kxk

(x ∈ H),

112


ezért PM korlátos, következésképpen folytonos lineáris operátor. Ebb˝ol az egyenl˝otlenségb˝ol még az is következik, hogy kPM k ≤ 1. A ford´ıtott irány´ u egyenl˝otlenség bizony´ıtásához vegy¨ unk egy x0 ∈ M , kx0 k = 1 vektort. (Az M 6= {θ} feltétel miatt van ilyen x0 .) Ekkor PM (x0 ) = x0 és kPM k = sup kPM (x)k ≥ kPM (x0 )k = kx0 k = 1, kxk≤1

tehát kPM k = 1 valóban fennáll.

5.5.

A du´ alis t´ er

Ebben a pontban normált téren értelmezett valós érték˝ u folytonos line´ aris leképezéseket, más szóval folytonos line´ aris funkcion´ alokat fogunk vizsgálni. Ezek összességét a normált tér du´ alis ter´ enek nevezz¨ uk. Az el˝oz˝o pontban láttunk néhány konkrét példát ilyen leképezésekre. Az általános eredmények alkalmazásához sok esetben fontos tudni azt, hogy egy adott normált téren hogyan lehet megadni, illetve jellemezni az összes folytonos lineáris funkcionált. Megjegyezz¨ uk, hogy a funkcion´ alanal´ızis elnevezés onnan ered, hogy a matematikának ez az ága a k¨ ulönféle speciális normált terek duálisainak a jellemzéséb˝ol n˝otte ki magát. Az ilyen irány´ u kutatások az 1900-as évek elején kezd˝odtek, és ebben u ´ttör˝o szerepe volt — többek között — Riesz Frigyesnek. 5.5.1.

A du´ alis t´ er defin´ıci´ oja

Az el˝oz˝o pontban tetsz˝oleges (X, k · kX ) és (Y, k · kY ) valós normált terek esetén az X → Y t´ıpus´ u folytonos lineáris leképezések B(X, Y )-nal jelölt halmazát vizsgáltuk. M˝ uveleteket és (operátor)normát értelmezt¨ unk ezen a halmazon. Azt is láttuk, hogy ha az (Y, k · kY ) tér teljes, akkor az ´ıgy kapott (B(X, Y ), k · kXY ) normált tér is teljes, azaz Banach-tér. Most csak a valós érték˝ u folytonos lineáris leképezéseket, vagyis a folytonos lineáris funkcionálokat fogjuk tekinteni. Ebben az esetben tehát (Y, k · kY ) = (R, | · |). Mivel R teljes, ezért (B(X, R), k · kXR ) Banach-tér. Defin´ıci´ o. Legyen X, k · kX tetsz˝oleges normált tér. Az X-en értelmezett valós érték˝ u folytonos lineáris leképezések halmazát B(X, R) helyett X ∗ -gal jelölj¨ uk: X ∗ := B(X, R). A (B(X, R), k·kXR ) Banach-teret az X, k·kX normált tér du´ alis ter´ enek nevezz¨ uk, és jelölésére az (X ∗ , k · k∗ ) szimbólumot használjuk: (X ∗ , k · k∗ ) := (B(X, R), k · kXR ).

5.5. A duális tér

113

A továbbiakban (X ∗ , k · k∗ ) helyett gyakran X ∗ -ot ´ırunk, és az X ∗ du´ alis térr˝ol ∗ beszél¨ unk. X elemeit általában görög nagybet˝ ukkel (Φ, Ψ, stb.) jelölj¨ uk. A Φ ∈ X ∗ ´ szimbólumon azt értj¨ uk, hogy Φ eleme az X ∗ duális térnek. Erdemes összefoglalni, hogy mi mindent fejez ki ez a rövid jelsorozat: Φ ∈ X ∗ jelentése: • adott egy (X, k · kX ) normált tér; • a Φ : X → R leképezés lineáris, azaz Φ(λx + µy) = λΦ(x) + µΦ(y)

(x, y ∈ X, λ, µ ∈ R);

• Φ korlátos, azaz ∃ C > 0 : |Φ(x)| ≤ CkxkX (∀ x ∈ X); • a kΦk∗ = sup{|Φ(x)| | x ∈ X és kxkX ≤ 1} képlettel értelmezve van a Φ funkcionál normája. 5.5.2.

Konkr´ et norm´ alt terek du´ alis terei

A duális terek le´ırásánál hasznos, ha bizonyos normált tereket azonos´ıtunk egymással. Ezzel kapcsolatos a következ˝o Defin´ıci´ o. Az (X, k · kX ) és (Y, k · kY ) normált terek izometrikusan izomorfak (jelölésben X ∼ = Y ), ha van olyan T : X → Y lineáris bijekció, hogy az kT (x)kY = kxkX egyenl˝oség minden x ∈ X-re fennáll. Az izometrikusan izomorf tereket ugyanazon tér k¨ ulönböz˝o realizációjának tekinthetj¨ uk, ezért ezek között nem tesz¨ unk k¨ ulönbséget, azonos´ıtjuk ˝oket. Megjegyz´ es. Vannak olyan esetek is, amikor ezt az azonos´ıtást nem célszer˝ u megtenni. Ebben a szakaszban végig p és q konjug´ alt kitev˝ op´ arokat jelöl, azaz 1 ≤ p, q ≤ +∞, és

1 1 + = 1, p q

1 ( +∞ := 0).

Ilyenkor azt is mondjuk, hogy q a p szám konjugált kitev˝ oje.

114


• Az Rnp terek du´ alis terei

Legyen n ∈ N és 1 ≤ p ≤ +∞. Jelölje Rnp az Rn , k · kp normált (Banach-) teret, és e1 , . . . , en az Rn tér kanonikus bázisát. Ekkor az x = (x1 , . . . , xn ) ∈ Rn vektorra  Pn ( k=1 |xk |p )1/p , ha 1 ≤ p < +∞ kxkp =  max |xk |, ha p = +∞. 1≤k≤n

7. t´ etel. Tetsz˝oleges 1 ≤ p ≤ +∞ esetén ∗ Rnp ∼ = Rnq ,

vagyis az Rnp tér du´ alis tere azonos´ıthat´ o Rnq -val, ahol q a p konjugált kitev˝ oje. Bizony´ıt´ as. (a) El˝oször azt jegyezz¨ uk meg, hogy az Rn lineáris téren természetes ” módon” meg lehet adni lineáris funkcionálokat. Nevezetesen, nyilvánvaló, hogy ha a = (a1 , . . . , an ) ∈ Rn egy tetsz˝oleges vektor, akkor a Φa (x) :=

n X k=1

ak x k

(x ∈ Rn )

(5.6)

leképezés lineáris funkcionál, amit az a ∈ Rn vektor a´ltal generált funkcionálnak nevez¨ unk. Az is világos, hogy k¨ ulönböz˝o vektorok k¨ ulönböz˝o funkcionálokat generálnak. Most megmutatjuk, hogy minden a ∈ Rn vektor esetén Φa olyan folytonos lineáris funkcionál az Rnp téren, amelynek a normája kakq : kΦa k∗ = kakq . Ha a az Rn tér nulleleme, akkor az áll´ıtás nyilvánvaló. Legyen tehát a ∈ Rn \ {0}. A Hölder-egyenl˝otlenséget alkalmazva kapjuk, hogy n X ak xk ≤ kakq · kxkp |Φa (x)| = k=1

(x ∈ Rnp ),

ezért Φa korlátos, következésképpen folytonos lineáris funkcionál. Ebb˝ol az egyenl˝otlenségb˝ol az is következik, hogy kΦa k∗ ≤ kakq . A ford´ıtott irány´ u egyenl˝otlenség bizony´ıtásához elég megadni olyan nemnulla xo ∈ n Rp vektort, amelyre a |Φa (xo )| = kakq kxo kp (5.7)


115

egyenl˝ oség teljes¨ ul. Ebb˝ol ui. már következik, hogy |Φa (x)| |Φa (xo )| ≥ = kakq . kxo kp kxkp 6=0 kxkp

kΦa k∗ = sup

Ha p = 1, akkor jelöljön j egy olyan indexet, amelyre |aj | = kak∞ és legyen ( sign aj , ha k = j, (k = 1, 2, . . . , n). xok := 0, ha k 6= j Ekkor a nemnulla xo := (xo1 , . . . , xon ) vektorra az (5.7) egyenl˝oség teljes¨ ul, ui. n X o |Φa (x )| = ak xk = |aj | = kak∞ = kak∞ · kxo k1 . o

k=1

A p = 1 esetben tehát igazoltuk, hogy kΦa k∗ = kak∞ . Tegy¨ uk most fel, hogy 1 < p ≤ +∞, tehát a q konjugált kitev˝o 1 ≤ q < +∞. Ebben az esetben az xo := (x1 , . . . , xn ) vektort az xok := |ak |q−1 sign ak

(k = 1, 2, . . . , n)

képlettel értelmezz¨ uk. Egyszer˝ u átalak´ıtások után kapjuk, hogy n n n n X X 1/p 1/q X X q o q o 1 1 = |ak |q · |ak | |Φa (x )| = |ak | = ( p + q = 1 miatt) = ak x k = k=1

k=1

k=1

q

p(q−1)

(felhasználva, hogy q = p(q − 1) és |ak | = |ak | n n 1/p 1/q X X = |xok |p · |ak |q =

=

k=1 o p |xk | )

k=1

k=1

o

= kakq · kx kp .

Az (5.7) egyenl˝oség tehát valóban fennáll, következésképpen kΦa k∗ = kakp az 1 < p ≤ +∞ esetben is. (b) Tegy¨ uk most fel, hogy Φ tetsz˝oleges folytonos lineáris funkcionál az Rnp téren, ∗ azaz Φ ∈ Rnp . Mivel Φ lineáris, ezért Φ(x) =

n X k=1

xk Φ(ek )

(x ∈ Rnp ).

Tekints¨ uk az a := (Φ(e1 ), . . . , Φ(en )) vektor által indukált Φa funkcionált. Nyilvánvaló, hogy Φ(x) = Φa (x) (x ∈ Rnp ),

116


és azt is beláttuk már, hogy kΦk∗ = kakq = kΦa k∗ . Ez azt jelenti, hogy az Rnp téren minden folytonos lineáris funkcionál valamilyen alkalmas (egyértelm˝ uen meghatározott) vektor által generált funkcionállal egyezik meg. (c) A fentiekb˝ol következik, hogy minden 1 ≤ p, q ≤ +∞ konjugált kitev˝opár esetén a ∗ T : Rnq → Rnp , T a := Φa , ∗ leképezés egy izometrikus izomorfia az Rnp és az Rnq terek között. • A lp terek du´ alis terei

Tekints¨ uk most a (lp , k · kp ) (1 ≤ p ≤ +∞) sorozattereket. Az x = (xn ) ∈ lp sorozat normáját 1 ≤ p < +∞ esetén az !1/p +∞ X kxkp := |xn |p , n=1

ha p = +∞, akkor pedig az

kxk∞ := sup |xn | n∈N

képlettel értelmezt¨ uk, és azt is láttuk már, hogy e terek mindegyike Banach-tér. A duális terek le´ırásához felhasználjuk az alábbi, önmagában is fontos áll´ıtást. 8. t´ etel. Ha 1 ≤ p < +∞, akkor az

en := (0, . . . , 0, 1, 0, . . .) | {z }

n = 1, 2, . . .

n−1

kanonikus egys´ egvektorok kifesz´ıtik az (lp , k·kp ) teret, azaz minden x = (xn ) ∈ lp elem el˝oáll´ıthat´ o az +∞ X xn en x= n=1

P alakban. Ez az egyenl˝oség azt jelenti, hogy a xn en sor részletösszegeinek a sorozata az lp tér norm´ ajában tart az x elemhez, tehát n

X

lim x − xk ek = 0. n→+∞

k=1

p

Valóban, tetsz˝olegesen adott x = (xn ) ∈ lp esetén az n +∞

p X X

k xk e ≤ |xk |p → 0 (n → +∞)

x − p

k=1

reláció teljes¨ ul, mert a

P

n

p

k=n+1

|xn | sor konvergens.


117

A véges dimenziós esetben megszokott szóhasználattal élve azt mondjuk, hogy 1 ≤ p < +∞ esetén az en (n = 1, 2, . . .) vektorrendszer a lp tér egy b´ azisa (vagy kanonikus b´ azisa). Megjegyz´ es. A 8. tétel p = +∞ esetén nem igaz: az en (n = 1, 2, . . .) kanonikus egységvektorok nem fesz´ıtik ki a l∞ teret. Tekints¨ uk pl. az azonosan 1 sorozatot. 9. t´ etel. Bármely 1 ≤ p < +∞ esetén lp

∗

∼ = lq ,

vagyis az (lp , k·kp ) tér du´ alis tere azonos´ıthat´ o az (lq , k·kq ) térrel, ahol q a p konjugált kitev˝ oje. Bizony´ıt´ as. (a) El˝oször azt mutatjuk meg, hogy ha a = (an ) ∈ lq egy tetsz˝oleges sorozat, akkor +∞ X an x n (x = (xn ) ∈ lp ) Φa (x) := n=1

olyan folytonos lineáris funkcionál az lp téren, amelynek a normája kakq , azaz kΦa k∗ = kakq .

Valóban, a Hölder-egyenl˝otlenség alkalmazásával látható, hogy a defin´ıció korrekt, és +∞ X |Φa (x)| = an xn ≤ kakq · kxkp (x ∈ lp ). (5.8) n=1

Φa linearitása a végtelen sorok összegére és számszorosára vonatkozó áll´ıtásból következik. (5.8) alapján Φa korlátos, tehát folytonos lineáris funkcionál és kΦa k∗ ≤ kakq minden a ∈ lq esetén. A ford´ıtott irány´ u egyenl˝otlenség igazolásához felhasználhatjuk a 7. tétel bizony´ıtásában megmutatott gondolatokat. ∗ (b) Most azt igazoljuk, hogy tetsz˝olegesen rögz´ıtett Φ ∈ lp funkcionálhoz egyértelm˝ uen létezik olyan a ∈ lq sorozat, amelyre Φa = Φ és kΦk∗ = kakq . Ha van ilyen a ∈ lq sorozat, akkor sz¨ ukségképpen Φ(en ) = Φa (en ) = an minden n-re, ahonnan an = Φ(en )

(n = 1, 2, . . .).

(5.9)

118


Ez azt jelenti, hogy legfeljebb egy k´ıvánt tulajdonság´ u a ∈ lq sorozat létezik. Megmuatatjuk, hogy az (5.9) képlettel definiált a = (an ) sorozat valóban kielég´ıti a megk´ıvánt feltételeket, azaz (i) a ∈ lq és (ii) Φ = Φa . Az áll´ıtás nyilvánvaló, ha an = 0 (n = 1, 2, . . .). Feltehet˝o tehát, hogy valamilyen N ∋ N0 -ra aN0 6= 0. Ekkor (i)-t el˝oször p = 1 esetére igazoljuk: |an | = |Φ(en )| ≤ kΦk∗ · ken kp = kΦk∗ minden n-re, u ´gyhogy a ∈ l∞ . Ha p > 1 és ´ıgy q < +∞, akkor tekints¨ uk minden egyes rögz´ıtett N = 1, 2, . . . számra az ( |ak |q−1 sign ak , ha k ≤ N N xk := 0, ha k > N képlettel definiált xN := xN agos, hogy xN ∈ lp minden N -re k , k ∈ N sorozatot. Vil´ (hiszen csak legfeljebb véges sok nemnulla tagja van a sorozatnak). Mivel N p xk = |ak |q (k ≤ N )

(ui.

1 p

+

1 q

= 1 miatt p(q − 1) = q), ezért

N N N X X X N k N k Φ(x ) = Φ xk e = xk Φ(e ) = |ak |q = N

k=1

=

k=1

N X k=1

k=1

N p xk = kxN kpp ,

ahol kxN kpp > 0 (N ≥ N0 ). Φ korlátos, ezért

amib˝ol azt kapjuk, hogy

Φ(xN ) ≤ kΦk∗ · kxN kp , kxN kpp ≤ kΦk∗ · kxN kp ,

és ´ıgy kxN kp−1 p

=

N X k=1

p |xN k |

(p−1)/p

=

N X k=1

q

|ak |

1/q

≤ kΦk∗

(N0 ≤ N ∈ N).


119

Innen N → +∞ esetén következik, hogy +∞ 1/q X = kakq < +∞, |ak |q k=1

tehát a ∈ lq valóban fennáll a q < +∞ (p > 1) esetben is.

Hátra van még a Φ = Φa egyenl˝oség igazolása. Mivel a folytonos és lineáris Φ és Φa funkcionálok defin´ıció szerint megegyeznek minden en pontban, ezért a 8. tétel alapján (csak itt használjuk fel, hogy p 6= +∞) megegyeznek az egész lp téren is. Megjegyz´ es. A 9. tétel p = +∞ esetén nem igaz, vagyis a korlátos sorozatok l∞ terének a duálisa nem az l1 tér. Az igaz, hogy minden a ∈ l1 sorozatra Φa korlátos ∗ lineáris funkcionál az l∞ téren és kΦa k = kak1 , azonban l∞ ezeken k´ıv¨ ul más ∞ ∗ elemeket is tartalmaz. Az l tér elemeinek általános alakja N végesen addit´ıv mértékeivel adható meg. A sorozatoknak azonban megadhatók olyan terei, amelyek duálisa az l1 térrel azonos´ıtható. Ezek a c0 ´ es a c sorozatterek. Jelölje c a valós konvergens, c0 pedig a zérussorozatok halmazát. Könnyen igazolható, hogy minden 1 < p ≤ +∞ paraméterre l 1 ⊂ l p ⊂ c0 ⊂ c ⊂ l ∞ ,

továbbá a felsorolásban el˝oforduló halmazok mindegyike lineáris altere a rákövetkez˝onek. Bebizony´ıtható az is, hogy a (c, k·k∞ ) és a (c0 , k·k∞ ) terek az (l∞ , k·k∞ ) Banachtér zárt alterei, következésképpen maguk is Banach-terek. A 9. tételhez hasonlóan igazolható, hogy és c∗ ∼ c∗ ∼ = l1 = l1 . 0

p

• A L terek du´ alis terei

Legyen (X, Ω, µ) egy σ-véges mértéktér, és tekints¨ uk a Lp := Lp (X, Ω, µ), k · kLp (1 ≤ p ≤ +∞)

f¨ uggvénytereket. Az el˝oz˝o példák figyelembevételével természetes módon” meg lehet adni foly” tonos lineáris funkcionálokat a Lp (1 ≤ p ≤ +∞) téren: a Hölder-egyenl˝otlenség alkalmazásával ui. egyszer˝ uen bizony´ıtható, hogy ha g ∈ Lq egy tetsz˝oleges f¨ uggvény 1 1 és p + q = 1, akkor a Z p Φg : L → R, Φg (f ) := f g dµ X

120


leképezés folytonos lineáris funkcionál a Lp téren és kΦk∗ = kgkLq . Jóval nehezebb annak az eldöntése, hogy ´ıgy minden folytonos lineáris funkcionált el˝o lehet-e áll´ıtani. A következ˝o fontos tétel azt áll´ıtja, hogy az 1 ≤ p < +∞ esetben a fenti Φg leképezéseken k´ıv¨ ul nincsenek más folytonos lineáris funkcionálok a Lp téren. 10. t´ etel (a Riesz-féle reprezentációs tétel). Legyen 1 ≤ p < +∞. Ekkor minden 1 1 p ∗ q Φ ∈ (L ) funkcionálhoz egyértelm˝ uen létezik olyan g ∈ L p + q = 1 f¨ uggvény, hogy Z Φ(f ) = Φg (f ) =

f g dµ

(f ∈ Lp )

X

és kΦk∗ = kgkLq . Fennáll tehát a 11. t´ etel. Legyen (X, Ω, µ) egy σ-véges mértéktér és 1 ≤ p < +∞. Ekkor a Lp := Lp (X, Ω, µ), k · kLp

f¨ uggvénytér du´ alis tere azono´ıthat´ o a Lq f¨ uggvénytérrel, ahol q a p konjugált kitev˝oje, azaz (Lp )∗ ∼ = Lq . • A (C[a, b], k · k∞ ) t´ er du´ alis tere • Hilbert-t´ er du´ alis tere

p hx, xi (x ∈ H) a Legyen (H, h·, ·i) egy valós Hilbert-tér, és jelölje kxk := skaláris szorzat által indukált normát. A H-n értelmezett folytonos lineáris funkcionálok le´ırásához abból az egyszer˝ u észrevételb˝ol fogunk majd kiindulni, hogy természetes módon meg lehet adni ilyen leképezéseket: minden a ∈ H vektor esetén Φa (x) := hx, ai

(x ∈ H)

folytonos lineáris funkcionál a H Hilbert téren. Kevésbé nyilvánvaló, hogy minden folytonos lineáris funkcionál alkalmas a ∈ H vektorral ilyen alakban adható meg. Ezeket az eredményeket röviden a következ˝o formában fogalmazzuk meg: 12. t´ etel. Ha H tetsz˝oleges valós Hilbert tér, akkor H∗ ∼ = H, azaz H du´ alis tere azonos´ıthat´ o mag´ aval a H Hilbert térrel.


121

Bizony´ıt´ as. Azt kell megmutatni, hogy H és H ∗ izometrikusan izomorfak, azaz van olyan T : H → H ∗ lineáris bijekció, amelyre kT xk∗ = kxk is teljes¨ ul minden x ∈ H vektorra. (a) Tetsz˝olegesen rögz´ıtett a ∈ H vektor esetén tekints¨ uk a Φa (x) := hx, ai (x ∈ H) leképezést. A skaláris szorzat tulajdonságai alapján ez nyilván lineáris. A Cauchy– Schwarz-egyenl˝otlenség miatt |Φa (x)| = |hx, ai| ≤ kak · kxk

(x ∈ H),

ezért Φa korlátos, tehát folytonos. Az operátornorma defin´ıciója alapján ebb˝ol az is következik, hogy kΦa k∗ ≤ kak. (5.10) A ford´ıtott irány´ u egyenl˝otlenség igazolásához tegy¨ uk fel, hogy a 6= θ és legyen a x0 := kak . Ekkor D a E ha, ai kak2 Φa (x0 ) = ,a = = = kak. kak kak kak Mivel kx0 k = 1, ezért kΦa k∗ = sup{|Φa (x)| | x ∈ H, kxk ≤ 1} ≥ |Φa (x0 )| = kak. Ezt egybevetve (5.10)-zel a bizony´ıtandó kΦa k∗ = kak egyenl˝oséget kapjuk. Nyilvánvaló, hogy az áll´ıtás a = θ esetén is fennáll. (b) Most megmutatjuk, hogy minden H-n értelmezett folytonos lineáris funkcionál Φa alak´ u, ahol a ∈ H. Ez a

Riesz–Fr´ echet-f´ ele reprezent´ aci´ os t´ etel. Legyen Φ : H → R egy folytonos line´ aris funkcionál a H Hilbert-téren. Ekkor egyértelm˝ uen létezik olyan a ∈ H vektor, amelyre Φ(x) = Φa (x) (x ∈ H) teljes¨ ul, emellett a kΦk∗ = kak egyenl˝ oség is érvényes.

A Riesz–Fr´ echet-f´ ele reprezent´ aci´ os t´ etel bizony´ıt´ asa. A k´ıvánt tulajdonság´ u a ∈ H vektort a Φ leképezés magterére ortogonális vektorként lehet megkapni. Legyen tehát Φ ∈ H ∗ . Mivel Φ ≡ 0 esetén a = θ megfelel˝o választás, ezért feltehet˝o, hogy Φ 6≡ 0. Jelölje H0 a Φ magterét: H0 := Ker Φ = {x ∈ H | Φ(x) = 0}.

122


Minthogy Φ folytonos és lineáris, ezért H0 zárt altér és Φ 6≡ 0 miatt ez valódi altér is. A Riesz-féle felbontási tétel szerint létezik olyan nemnulla vektor, amelyik mer˝oleges a H0 altérre. Jelöljön e egy ilyen egységvektort. Megmutatjuk, hogy a := Φ(e) e megfelel˝o választás, azaz Φ = Φa . Valóban, tetsz˝oleges x ∈ H-ra legyen λ := Φ(x)/Φ(e) és z := x − λe. (Világos, hogy Φ(e) 6= 0, k¨ ulönben e ∈ H0 és ´ıgy e ⊥ H0 2 miatt 0 = he, ei = kek lenne, ami kek = 1 miatt nem igaz.) Ekkor Φ(z) = 0, tehát z ∈ H0 , és ´ıgy z ⊥ e. Következésképpen Φ(x) = Φ(λe + z) = λΦ(e) és hx, ai = Φ(e)hx, ei = λΦ(e)he, ei + Φ(e)hz, ei = λΦ(e). A Φ ≡ Φa egyenl˝oség tehát valóban érvényes. Ezért kΦk∗ = kak. Az egyértelm˝ uség bizony´ıtásához tegy¨ uk fel, hogy az a1 , a2 ∈ H elemekre Φa1 = Φa2 = Φ teljes¨ ul. Ekkor Φa1 (x) − Φa2 (x) = hx, a1 − a2 i = 0

(∀x ∈ H).

Itt az x := a1 − a2 vektort véve ka1 − a2 k2 = 0, azaz a1 = a2 adódik. A Riesz– Fréchet-féle reprezentációs tételt tehát bebizony´ıtottuk. (c) A fentiekb˝ol már következik, hogy a T : H → H ∗,

T (a) := Φa

leképezés lineáris bijekció és kak = kΦa k miatt izometria is, tehát H és H ∗ valóban izometrikusan izomorfak.

6. A Hahn–Banach-t´ etelek 6.1.


A funkcionálanal´ızis alapvet˝o célja (pl.) normált terek közötti leképezések vizsgálata. Ezek köz¨ ul a legegyszer˝ ubbeknek, nevezetesen a line´ aris lek´ epez´ eseknek a le´ırása sem egyszer˝ u feladat. Ebben a fejezetben a valós érték˝ u lineáris leképezéseket, vagyis a lineáris funkcionálokat fogjuk általános szempontból vizsgálni. Az el˝oz˝o fejezetben számos példát láttunk konkrét normált tereken értelmezett funkcionálokra, s˝ot több esetben jellemezt¨ uk is a lineáris funkcionálok halmazát, azaz az adott tér duális terét. A duális tér számos tulajdonsága szoros kapcsolatban van az eredeti tér tulajdonságával, másrészt több szempontból kezelhet˝obb az eredeti térnél. Ezért fontos feladat ezek vizsgálata. Az el˝oz˝o fejezetben láttuk, hogy ha X v´ eges dimenzi´ os lineáris tér, akkor ezen minden lineáris funkcionál n X xk αk Φ(x) = k=1

alak´ u, ahol xk -k az x vektor valamely rögz´ıtett bázisra vonatkozó koordinátái és αk -k a funkcionált meghatározó tetsz˝oleges állandók. V´ egtelen dimenzi´ os terek esetén a helyzet lényegesen bonyolultabb. Már az sem nyilvánvaló, hogy egy ilyen Banachtéren egyáltalán léteznek-e nemnulla lineáris funkcionálok. Mivel véges dimenziós téren igen egyszer˝ uen meg lehet adni lineáris funkcionálokat, ezért egy természetes kiindulópont annak vizsgálata, hogy egy ilyen leképezést vajon ki lehet-e terjeszteni az egész térre. A Hahn–Banach-t´ etel éppen azt áll´ıtja, hogy ez a kiterjesztés lehetséges. A fentiek alapján a Hahn–Banach-tételt a funkcion´ alanal´ızis egyik alapvet˝ o t´ etel´ enek mondjuk. A következ˝o pontokban ismertetj¨ uk az általános tételeket, és csupán megeml´ıtj¨ uk azt, hogy ezeknek az eredményeknek igen sok fontos alkalmazása van többek között a parciális differenciálegyenletek elméletében, az irány´ıtáselméletben, a játékelméletben, s˝ot a fizikában is.

6.2.

A Hahn–Banach-t´ etel analitikus alakjai: line´ aris funkcion´ alok kiterjeszt´ ese

1. t´ etel (a Hahn–Banach-tétel analitikus alakja vektortér esetén). Legyen X valós vektortér és tegy¨ uk fel, hogy p : X → R olyan leképezés, amelyre a következ˝ok 123

124

6. A Hahn–Banach-tételek

teljes¨ ulnek: p(x + y) ≤ p(x) + p(y) p(λx) = λp(x)

(∀ x, y ∈ X) (∀ x ∈ X, λ > 0)

(p szubaddit´ıv); (p pozit´ıv homogén).

M´ asrészt legyen X0 ⊂ X altér és Φ0 : X0 → R olyan line´ aris funkcionál, amelyet az X0 altéren p majorál, azaz Φ0 (x) ≤ p(x)

(∀ x ∈ X0 ).

Ekkor van olyan, az egész X téren értelmezett Φ : X → R line´ aris funkcionál, hogy • Φ kiterjesztése Φ0 -nak, azaz Φ(x) = Φ0 (x) (∀ x ∈ X0 ) és • Φ(x) ≤ p(x) (∀ x ∈ X). A tétel bizony´ıtásához a Zorn-lemm´ at fogjuk alkalmazni. Ennek megfogalmazása el˝ott felidézz¨ uk a rendezett halmazok elméletének néhány fogalmát. Jelöljön (F, ≤) parciálisan rendezett halmazt, azaz legyen F nem¨ ures halmaz és ≤ ⊂ F × F egy reflex´ıv, antiszimetrikus és tranzit´ıv reláció. A G ⊂ F egy teljesen rendezett részhalmaz, ha G bármely két eleme összehasonl´ıtható, azaz az a ≤ b és b ≤ a relációk köz¨ ul legalább az egyik teljes¨ ul. A G ⊂ F részhalmaznak c ∈ F egy fels˝ o korlátja, ha bármely G-beli g elem esetén g ≤ c. Azt mondjuk, hogy m ∈ F az F halmaznak egy maximális eleme, ha abból, hogy m ≤ a valamely F-beli a elemre, az következik, hogy a = m. Másképpen fogalmazva: nincs m-nél nagyobb F-beli elem. Zorn-lemma. Legyen (F, ≤) egy parciálisan rendezett halmaz. Ha F minden teljesen rendezett részhalmazának van F-beli fels˝ o korlája, akkor F-nek van maximális eleme. Megjegyz´ es. A Zorn-lemma jól használható segédeszköz matematikai objektumok l´ etez´ es´ enek a bizony´ıtásánál. A Hahn–Banach-t´ etel bizony´ıt´ asa. Tekints¨ uk a következ˝o halmazt: ) ( D ⊂ X altér, Ψ lineáris, Ψ . F := Ψ ∈ X → R X0 ⊂ DΨ , Ψ kiterjesztése Φ0 -nak és Ψ(x) ≤ p(x) ∀ x ∈ DΨ ´ F nem u ¨res halmaz, mert Φ0 ∈ F. Ertelmezz¨ uk F-en a következ˝o relációt: Ψ1 ≤ Ψ2

:⇐⇒

DΨ1 ⊂ DΨ2 és Ψ2 kiterjesztése Ψ1 -nek.

6.2. A Hahn–Banach-tétel analitikus alakjai

125

Könny˝ u ellen˝orizni, hogy (F, ≤) parciálisan rendezett halmaz. Az is igaz, hogy F minden teljesen rendezett G részhalmazának van F-beli fels˝ o korlátja. Vegy¨ unk ugyanis egy ilyen G ⊂ F részhalmazt, és definiáljuk a Ψ∗ leképezést a következ˝o módon: [ DΨ , Ψ∗ (x) := Ψi (x), ha x ∈ DΨi és Ψi ∈ G. DΨ∗ := Ψ∈G

Nem nehéz megmutatni, hogy Ψ∗ egy jól definiált X → R f¨ uggvény és Ψ∗ fels˝o korlátja G-nek. A Zorn-lemma feltételei tehát teljes¨ ulnek, következésképpen F-nek van maximális eleme. Jelölj¨ unk egy maximális elemet Φ-vel. A tétel bizony´ıtásához elég azt igazolni, hogy a Φ maximális elem értelmezési tartománya az egész X tér, azaz DΦ = X. Ezt indirekt módon látjuk be. Az áll´ıtással ellentétben tegy¨ uk fel, hogy DΦ 6= X, azaz az X térnek van olyan x0 eleme, ami nem tartozik hozzá a DΨ halmazhoz. Definiálni fogunk egy olyan Φ1 ∈ F leképezést, melyre Φ < Φ1 , és ez ellentmond annak, hogy Φ maximális elem. A szóban forgó Φ1 értelmezéséhez vegy¨ unk egy x0 ∈ X \ DΦ 6= ∅ vektort. Legyen DΦ1 := {x + tx0 | x ∈ DΦ , t ∈ R} ⊂ X és Φ1 (x + tx0 ) := Φ(x) + tα (x ∈ DΦ és t ∈ R),

ahol α tetsz˝olegesen rögz´ıtett valós szám. Világos, hogy DΦ1 ⊂ X egy altér és Φ1 lineáris kiterjesztése Φ-nek. Most megmutatjuk, hogy az α szám megválasztható u ´gy, hogy Φ1 ∈ F is igaz legyen, azaz teljes¨ uljön a Φ1 (x + tx0 ) = Φ(x) + tα ≤ p(x + tx0 ) (∀ x ∈ DΦ és ∀ t ∈ R) egyenl˝otlenség is. Φ linearitása és p pozit´ıv homogenitása miatt ezt az egyenl˝otlenséget elég a t = ±1 értékekre tekinteni. Ez azt jelenti, hogy az α-t oly módon kell megválasztani, hogy minden x, y ∈ DΨ esetén fennálljanak a Φ(x) + α ≤ p(x + x0 ) Φ(y) − α ≤ p(y − x0 ) egyenl˝otlenségek. Mivel Φ lineáris és p szubaddit´ıv, ezért minden x, y ∈ DΦ esetén Φ(x) + Φ(y) = Φ(x + y) ≤ p(x + y) ≤ p(x + x0 ) + p(y − x0 ),

(6.1)

126


amib˝ol átrendezés után azt kapjuk, hogy Φ(y) − p(y − x0 ) ≤ p(x + x0 ) − Φ(x). Ez az egyenl˝otlenség tehát minden x, y ∈ DΦ esetén teljes¨ ul. Ezért a bal oldal szuprémuma nem lehet nagyobb a jobb oldal infimumánál, azaz A := sup (Φ(y) − p(y − x0 )) ≤ inf (p(x + x0 ) − Φ(x)) =: B. x∈DΦ

y∈DΦ

Ekkor bármelyik α ∈ [A, B] jó választás, ugyanis ezekre az α értékekre fennáll a Φ(y) − p(y − x0 ) ≤ α ≤ p(x + x0 ) − Φ(x)

(x, y ∈ DΦ )

egyenl˝otlenség, amib˝ol átrendezéssel (6.1) adódik. 2. t´ etel (a Hahn–Banach-tétel analitikus alakja normált tér esetén). Legyen (X, k · kX ) norm´ alt tér, X0 ⊂ X tetsz˝oleges altér és Φ0 : X0 → R folytonos line´ aris funkcionál a kΦ0 k∗ = sup |Φ0 (x)| x∈X0 kxkX ≤1

képlettel értelmezett norm´ aval. Ekkor van olyan folytonos line´ aris Φ funkcionál az X téren (vagyis ∃ Φ ∈ X ∗ ), amelyik az X0 altéren megegyezik Φ0 -lal és kΦk∗ = kΦ0 k∗ . Azaz: egy norm´ alt tér tetsz˝oleges alterén értelmezett folytonos line´ aris funkcionál kiterjeszthet˝ o az egész X térre a folytonosság, a linearitás és a norma megtartás´ aval. Bizony´ıt´ as. Alkalmazzuk az el˝oz˝o tételt a p(x) := kΦ0 k∗ · kxk (x ∈ X) szubaddit´ıv és pozit´ıv homogén f¨ uggvénnyel. 1. k¨ ovetkezm´ eny. Ha (X, k · kX ) norm´ alt tér és x0 ∈ X, akkor az X ∗ du´ alis térben létezik olyan folytonos lineáris Φ funkcionál, amelyre Φ(x0 ) = kx0 k2

és

kΦk∗ = kx0 k

teljes¨ ul. Bizony´ıt´ as. Jelölj¨ uk a x0 által meghatározott alteret X0 -lal: X0 := {t · x0 | t ∈ R} ⊂ X,

6.3. A Hahn-Banach tétel geometriai alakjai

127

és értelmezz¨ uk a Φ0 (t · x0 ) := t · kx0 k2

(t ∈ R)

leképezést. Ekkor Φ0 olyan folytonos lineáris funkcionál az X0 altéren, amelynek a normája kx0 k. Az el˝oz˝o tétel szerint ez a norma megtartásával kiterjeszthet˝o az egész X térre. 2. k¨ ovetkezm´ eny. Legyen X0 az X norm´ alt tér egy tetsz˝oleges z´ art altere és e ∈ X \ X0 . Ekkor van olyan folytonos line´ aris Φ funkcionál az X téren , amelyre 0, x ∈ X0 Φ(x) = 1, x = e. 3. k¨ ovetkezm´ eny. Az (X, k · kX ) norm´ alt tér tetsz˝oleges x elemének a norm´ ajára az kxkX = sup |Φ(x)| Φ∈X ∗ kΦk∗ ≤1

képlet érvényes.

6.3.

A Hahn–Banach-t´ etel geometriai alakjai: konvex halmazok sz´ etv´ alaszt´ asa s´ıkokkal

El˝oször vektortér s´ıkjait értelmezz¨ uk. Ehhez a közönséges tér s´ıkjaiból indulunk ki. 3 Az R tér adott x0 pontján átmen˝o n normálvektor´ u s´ıkon az S = x ∈ R3 | hx − x0 , ni = 0

halmazt értj¨ uk. Az hx − x0 , ni = 0 egyenl˝oséget ´ırjuk át az hx, ni = hx0 , ni alakra. Az hx, ni pedig felfogható u ´gy is, mint a Φ : R3 ∋ x 7−→ hx, ni line´ aris funkcionálnak az x helyen vett helyettes´ıtési értéke. Az S s´ık tehát a Φ f¨ uggvény α = hx0 , ni paraméterhez tartozó szintfel¨ ulete: S = x ∈ R3 | Φ(x) = α .

Az itt használt fogalmakat tetsz˝oleges vektortérben is értelmezhetj¨ uk, ezért tetsz˝oleges vektortérben a s´ıkokat lineáris funkcionálok szintfel¨ uleteként definiálhatjuk. Defin´ıci´ o.

Az X vektortér hipers´ıkjainak nevezz¨ uk az SΦ,α := {x ∈ X | Φ(x) = α}

128


alak´ u részhalmazokat, ahol Φ egy nem azonosan nulla lineáris funkcionál és α ∈ R. Ekkor azt is mondjuk, hogy SΦ,α az X tér [Φ = α] egyenlet˝ u hipers´ıkja. Az SΦ,α hipers´ık az X teret két részre, u ´gynevezett f´ elterekre osztja: {x ∈ X | Φ(x) ≥ α} ,

{x ∈ X | Φ(x) ≤ α} ,

amelyek közös része az SΦ,α s´ık. 3. t´ etel. Az X norm´ alt tér [Φ = α] egyenlet˝ u hipers´ıkja akkor és csak akkor z´ art halmaz, ha Φ folytonos lineáris funkcionál. Defin´ıci´ o. Legyenek A és B az X normált tér részhalmazai. Azt mondjuk, hogy az SΦ,α hipers´ık (a) t´ agabb ´ ertelemben sz´ etv´ alasztja A-t és B-t, ha Φ(x) ≤ α ∀ x ∈ A-ra és Φ(x) ≥ α ∀ x ∈ B-re; (b) szigor´ ubb ´ ertelemben sz´ etv´ alasztja A-t és B-t, ha ∃ε>0:

Φ(x) ≤ α − ε ∀ x ∈ A-ra

Szemléletesen: tágabb értelemben vett szétválasztás

és

Φ(x) ≥ α + ε ∀ x ∈ B-re.

szigor´ ubb értelemben vett szétválasztás

SΦ,α

SΦ,α A

A B

B

Defin´ıci´ o. Az X lineáris tér egy A részhalmaza konvex, ha ∀ x, y ∈ A és ∀ t ∈ [0, 1] :

tx + (1 − t)y ∈ A.


129

4. t´ etel (a Hahn–Banach-tétel els˝o geometriai alakja.). Legyen A és B két diszjunkt nem¨ ures konvex halmaz az X norm´ alt térben. Ha A ny´ılt, akkor van olyan z´ art hipers´ık, amelyik tágabb értelemben szétválasztja A-t és B-t. 5. t´ etel (a Hahn–Banach-tétel második geometriai alakja.). Legyen A és B két diszjunkt nem¨ ures konvex halmaz az X norm´ alt térben. Ha A z´ art és B kompakt, akkor van olyan z´ art hipers´ık, amelyik szigor´ ubb értelemben szétválasztja A-t és B-t.

7. A Banach–Steinhaus-t´ etelek 7.1.

Oper´ atorsorozat konvergenci´ aja

Tetsz˝oleges (X, k · kX ) és (Y, k · kY ) normált terek esetén értelmezt¨ uk a folytonos (korlátos) lineáris leképezések B(X, Y ) lineáris terét, és ezt elláttuk az kAk := kAkXY := sup kAxkY

(A ∈ B(X, Y ))

x∈X kxkX ≤1

(operátor)normával. Ez a norma az (An ) ⊂ B(X, Y ) operátorsorozat alábbi konvergenciáját indukálja. Defin´ıci´ o. Azt mondjuk, hogy az (An ) ⊂ B(X, Y ) operátorsorozat norm´ aban (vagy er˝ osen) tart az A ∈ B(X, Y ) operátorhoz, ha: lim kA − An k = 0.

n→+∞

Szintén természetes a következ˝o konvergencia-t´ıpus bevezetése. Defin´ıci´ o. Azt mondjuk, hogy az (An ) ⊂ B(X, Y ) operátorsorozat az M ⊂ X halmazon pontonk´ ent tart az A ∈ B(X, Y ) operátorhoz, ha minden x ∈ M vektorra az (An x) ⊂ Y sorozat Ax-hez konvergál az Y térben, azaz lim kAn x − AxkY = 0

n→+∞

(x ∈ M ).

Mivel kAn x − AxkY = k(An − A)xkY ≤ kAn − Ak · kxkX

(x ∈ X, n ∈ N),

ezért a normakonvergenciából következik a pontonkénti konvergencia az egész X halmazon. Ennek az áll´ıtásnak a megford´ıtása nem igaz, vagyis a pontonkénti konvergenciából általában nem következik a normakonvergencia. Legyen ui. H Hilbert-tér és vegy¨ unk benne egy (en ) ⊂ H ortonormált rendszert. Minden n ∈ N számra tekints¨ uk az Ln x := hx, en i (x ∈ H) funkcionálokat. A Bessel-egyenl˝otlenségb˝ol következik, hogy minden x ∈ H vektorra lim hx, en i = lim Ln (x) = 0,

n→+∞

n→+∞

131

132

7. A Banach–Steinhaus-tételek

és ez azt jelenti, hogy az (Ln ) funkcionálsorozat pontonként tart az azonosan nulla funkcionálhoz. Viszont (Ln ) nem konvergál normában ehhez a funkcionálhoz, hiszen kLn k = ken k = 1.

A Banach–Steinhaus-t´ etel operátorsorozat pontonkénti konvergenciájára ad meg sz¨ ukséges és elégséges feltételt. Ezt az eredményt is a funkcion´ alanal´ızis alapvet˝ o t´ etelei közé szokás sorolni.

7.2.

Az ´ altal´ anos eredm´ enyek

• Az egyenletes korl´ atoss´ ag t´ etele

1. t´ etel (az egyenletes korlátosság tétele). Legyen (X, k · kX ) Banach-tér, (Y, k · kY ) pedig norm´ alt tér. Tegy¨ uk fel, hogy az (An ) ⊂ B(X, Y ) oper´ atorsorozat pontonként korlátos az X téren, tehát minden x ∈ X elemre az (An x) vektorsorozat korlátos az Y térben, azaz ∀ x ∈ X elemhez ∃ (x-t˝ol f¨ ugg˝o) Cx > 0 : kAn xkY ≤ Cx (∀ n ∈ N).

(7.1)

Ekkor az oper´ atornormák (kAn k) sorozata egyenletesen korlátos, azaz ∃ C > 0 : kAn k ≤ C (∀ n ∈ N).

(7.2)

Bizony´ıt´ as. A Baire-féle kategóriatétel felhasználásával azt fogjuk megmutatni, hogy ∃ C > 0 : kAn zkY ≤ C (∀ z ∈ X, kzkX ≤ 1 és ∀ n ∈ N). (7.3) Az operátornorma defin´ıciója alapján ebb˝ol már következik a (7.2) egyenl˝otlenség. Tekints¨ uk az Xm := x ∈ X | sup kAn xkY ≤ m (m ∈ N) n∈N

halmazokat. Xm (m ∈ N) z´ art halmaz. Valóban, legyen xk ∈ Xm (k ∈ N) konvergens sorozat. Azt kell igazolni, hogy az x := lim xk határérték is Xm -hez tartozik. k→+∞

Az xk ∈ Xm feltétel azzal ekvivalens, hogy kAn xk kY ≤ m

(∀ n, k ∈ N).

Ebb˝ol az An operátorok és a norma folytonossága alapján kAn xkY = lim kAn xk kY ≤ m k→+∞

adódik, és ez azt jelenti, hogy x ∈ Xm .

(∀ n ∈ N)


133

A pontonkénti korlátosságra tett (7.1) feltétel¨ unkb˝ol következik, hogy [ Xm = X. m∈N

Az X teljes és az Xm halmazok zártak, ezért a Baire-féle kategóriatétel alapján int Xm0 6= ∅ valamilyen m0 -ra, ´ıgy az Xm (zárt) halmazok köz¨ ul legalább az egyik tartalmaz (zárt) gömböt, azaz ∃ m0 ∈ N, ∃ x0 ∈ X és ∃ r > 0 kr (x0 ) = x ∈ X | kx − x0 kX ≤ r ⊂ Xm0 .

Ennek a halmaznak az x elemeit az x = x0 + rz (kzkX ≤ 1) alakban lehet fel´ırni. Az Xm0 defin´ıciója alapján tehát fennáll az kAn (x0 + rz)kY ≤ m0

(∀ n ∈ N és ∀ kzkX ≤ 1)

(7.4)

egyenl˝otlenség. Legyen z ∈ X, kzkX ≤ 1 egy tetsz˝oleges vektor és n ∈ N egy tetsz˝oleges index. An linearitása miatt rAn (z) = rAn (z) + An (x0 ) − An (x0 ) = An (x0 + rz) − An (x0 ), ezért (7.4) alapján kapjuk, hogy krAn (z)kY ≤ kAn (x0 + rz)kY + kAn (x0 )kY ≤ m0 + Cx0 , ahol Cx0 a (7.1) feltételb˝ol az x0 ponthoz tartozó állandó. Következésképpen kAn (z)kY ≤ 1r (m0 + Cx0 )

(∀ z ∈ X, kzkX ≤ 1 és ∀ n ∈ N)

ul. és ez azt jelenti, hogy a (7.3) egyenl˝oség a C := 1r (m0 + Cx0 ) állandóval teljes¨ Ezzel a tételt bebizony´ıtottuk. Az egyenletes korlátosság tételének egy átfogalmazása a 2. t´ etel (divergencia-tétel.). Legyen (X, k · kX ) Banach-tér, (Y, k · kY ) pedig normált tér. Tegy¨ uk fel, hogy az (An ) ⊂ B(X, Y ) oper´ atorsorozat norm´ ainak az (kAn k) sorozata nem korlátos, azaz sup kAn k = +∞. n∈N

Ekkor van olyan x0 ∈ X elem, hogy az Y térbeli (An x0 ) sorozat nem korlátos, azaz sup kAn x0 kY = +∞, n

következésképpen az (An x0 ) ⊂ Y sorozat nem konvergens.

134


• Oper´ atorsorozat pontonk´ enti konvergenci´ aja 3. t´ etel. Legyen (X, k·kX ) Banach-tér és (Y, k·kY ) norm´ alt tér. Tegy¨ uk fel, hogy az (An ) ⊂ B(X, Y ) oper´ atorsorozat minden x ∈ X pontban konvergens, vagyis minden x ∈ X vektorra az Y -beli (An x) vektorsorozat konvergens. Jelölje (x ∈ X)

A(x) := lim An x n→+∞

a limesz-oper´ atort. Ekkor A is folytonos line´ aris oper´ ator, azaz A ∈ B(X, Y ) és kAk ≤ lim inf kAn k. n→+∞

Bizony´ıt´ as. A linearitás a határérték és a m˝ uveletek felcserélhet˝oségéb˝ol következik. A folytonosságra vonatkozó áll´ıtást a korlátosság bizony´ıtásával igazoljuk. A norma folytonossága alapján kA(x)kY = lim kAn xkY

(x ∈ X).

n→+∞

Mindegyik An korlátos, ezért kAn xkY ≤ kAn k · kxkX

(x ∈ X, n ∈ N).

Itt mindkét oldal limesz inferiorját véve és felhasználva azt, hogy konvergens sorozatok határértéke a limesz inferiorjával egyenl˝o, azt kapjuk, hogy kA(x)kY = lim kAn xkY = lim inf kAn xkY ≤ lim inf kAn k · kxkX (x ∈ X). n→+∞

n→+∞

n→+∞

(7.5)

Mivel lim inf kAn k ≤ sup kAn k, n→+∞

n→+∞

és az egyenletes korlátosságra vonatkozó tétel alapján a jobb oldal véges, ezért (7.5) miatt az A limesz-operátor valóban korlátos, továbbá fennáll az kAk ≤ lim inf kAn k n→+∞

egyenl˝otlenség is. 4. t´ etel (a Banach–Steinhaus-tétel I.). Legyen (X, k · kX ) Banach-tér és (Y, k · kY ) norm´ alt tér, továbbá (An ) ⊂ B(X, Y ) és A ∈ B(X, Y ). Ekkor a következ˝o két a´ll´ıt´ as egymással ekvivalens:


135

1o Az (An ) oper´ atorsorozat az X-en pontonként tart az A oper´ atorhoz, azaz lim An x = Ax

n→+∞

(x ∈ X).

2o (a) Van olyan Z ⊂ X z´ art rendszer, hogy (An ) a Z-n pontonként tart A-hoz, azaz lim An z = Az (z ∈ Z) és n→+∞

(b) az oper´ atornormák (kAn k) sorozata egyenletesen korlátos, azaz ∃C > 0 :

kAn k ≤ C

(∀ n ∈ N).

Bizony´ıt´ as. 1o ⇒ 2o Az (a) feltétel sz¨ ukségessége nyilvánvaló. Ha az (An x) ⊂ Y sorozat minden x ∈ X pontban konvergens, akkor az (kAn xkY , n ∈ N) számsorozat az X tér minden x pontjában korlátos, ezért az egyenletes korlátosság tétele miatt (b) is teljes¨ ul. o o 2 ⇒ 1 Most megmutatjuk, hogy az (a) és a (b) feltételekb˝ol következik az (An x, n ∈ N) sorozatok konvergenciája minden x ∈ X pontban, azaz ∀ x ∈ X esetén kAn x − AxkY → 0, ha n → +∞.

(7.6)

El˝oször azt jegyezz¨ uk meg, hogy az An (n ∈ N) operátorok linearitása és az (a) feltétel miatt az (An z) sorozat minden z ∈ [Z] pontban konvergens. A Z ⊂ X egy zárt rendszer, ami azt jelenti, hogy [Z] = X, azaz ∀ ε > 0-hoz ∃ y ∈ [Z] :

kx − ykX < ε.

(7.7)

Az el˝oz˝o megjegyzés értelmében lim kAn y − AykY = 0

n→+∞

(y ∈ [Z]).

(7.8)

Így kAx − An xkY ≤ kAx − AykY + kAy − An ykY + kAn y − An xkY ≤ ≤ kAk + kAn k kx − ykX + kAy − An ykY ,

és ez a kifejezés (7.7) és (7.8) miatt elég kicsi, ha n elég nagy, ami a (7.6) áll´ıtás bizony´ıtását jelenti. Hasonló módon igazolható a

136


5. t´ etel (a Banach–Steinhaus-tétel II.). Legyenek (X, k · kX ) és (Y, k · kY ) Banachterek. Ekkor a folytonos lineáris oper´ atoroknak az (An ) ⊂ B(X, Y ) sorozata akkor és csak akkor konvergál minden x ∈ X pontban, ha (a) van olyan Z ⊂ X z´ art rendszer, amelynek z ∈ Z pontjaiban az (An z) sorozat konvergens, és (b) az oper´ atornormák (kAn k) sorozata egyenletesen korlátos, azaz ∃C > 0 :

7.3.

kAn k ≤ C

(∀ n ∈ N).

Alkalmaz´ asok

• Fourier-sor divergenci´ aja

Az egyenletes korlátosság tételének alkalmazásaként megmutatjuk, hogy van olyan folytonos f¨ uggvény, amelyiknek a trigonometrikus Fourier-sora egy el˝ore megadott pontban divergens. Emlékeztet¨ unk arra, hogy egy f ∈ C2π f¨ uggvény trigonometrikus Fouriersor´ anak az a0 X + ak cos kx + bk sin kx (x ∈ R) 2 k=1 alak´ u f¨ uggvénysort nevezt¨ uk, ahol az egy¨ utthatókat az Z 2π 1 f (t) cos kt dt (k = 0, 1, . . .), ak := π 0 Z 1 2π f (t) sin kt dt (k = 1, 2, . . .) bk := π 0 képletekkel definiáltuk. A sor n a0 X Sn f (x) := + ak cos kx + bk sin kx (x ∈ R, n ∈ N). 2 k=1

részletösszegei az egy¨ utthatók képletének és a koszinuszf¨ uggvényre vonatkozó add´ıciós tételnek a felhasználásával a következ˝o alakban ´ırhatók fel: Z 1 2π Sn f (x) = f (x + t)Dn (t) dt, (7.9) π 0 ahol  1  sin n + t  2 , ha sin(t/2) 6= 0 t 1 2 sin 2 Dn (t) = 2 + cos t + cos 2t + · · · + cos nt =  n + 1 , ha sin(t/2) = 0 2 a Dirichlet-f´ ele magf¨ uggv´ eny.


137

Így minden n természetes számra tekinthetj¨ uk az S n : C2π , k · k∞ → C2π , k · k∞ , S n f := Sn f

operátorokat. Az (S n ) operátorsorozat pontonkénti konvergenciája tehát az (Sn f ) f¨ uggvénysorozat egyenletes konvergenciáját jelenti. S n lineáris, mert az integrál lineáris; S n korlátos is, mert (7.9) alapján Z 2π 1 |Dn (t)| dt · kf k∞ (f ∈ C2π ). kS n f k∞ ≤ π 0 Az 5.4. pont 3. példájából következik, hogy a korlátos lineáris S n operátor normája Z 2π 1 kS n k = π |Dn (t)| dt (n ∈ N). 0

Bebizony´ıtható, hogy az (kS n k) sorozat nagyságrendje log n, azaz léteznek olyan c1 , c2 pozit´ıv számok, hogy c1 log n ≤ kS n k ≤ c2 log n (n ∈ N), ezért az operátorok normáiból képzett kS n k sorozat nem korlátos: kS n k → +∞,

n → +∞.

Az egyenletes korlátosság tételéb˝ol tehát azonnal adódik az alábbi 6. t´ etel. Van olyan 2π szerint periodikus folytonos f f¨ uggvény, amelyik trigonometrikus Fourier-sorának (Sn f ) részletösszegei nem konvergálnak egyenletesen az R-en, s˝ ot sup kSn f k∞ = +∞. n

Teljesen hasonlóan olyan folytonos f¨ uggvénynek a létezése is bebizony´ıtható, amelynek a trigonometrikus Fourier-sora egy megadott pontban divergens. 7. t´ etel. Tetsz˝oleges x0 ∈ R ponthoz van olyan f ∈ C2π f¨ uggvény, amelynek a trigonometrikus Fourier-sora x0 -ban divergens, s˝ ot sup |Sn f (x0 )| = +∞. n

Tekints¨ uk ui. a Φn : C2π , k · k∞ → R, | · | ,

funkcionált, és vegy¨ uk figyelembe, hogy

kΦn k = kS n k

Φn f := Sn f (x0 ) (n ∈ N).

138


Megjegyezz¨ uk még azt, hogy 1876-ban du Bois Reymondnak siker¨ ult példát adnia olyan konkrét folytonos f¨ uggvényre, amelynek a Fourier-sora egy pontban divergál, tehát nem áll´ıtja el˝o a f¨ uggvényt. Utána többeknek is siker¨ ult ilyen példákat megszerkeszteni. 1909-ben Fejér Lipót adott egy igen egyszer˝ u példát (l. Sz˝okefavi-Nagy Béla: Val´ os f¨ uggvények és f¨ uggvénysorok c´ım˝ u tankönyvének 334. oldalát). • Fej´ er szumm´ aci´ os t´ etele A Banach–Steinhaus-tétel alkalmazásaként most bebizony´ıtjuk Fejér Lipótnak az alábbi, 1904-ben publikált alapvet˝o eredményét. 8. t´ etel (Fejér szummációs tétele). Minden 2π szerint periodikus folytonos f f¨ uggvényre teljes¨ ul, hogy trigonometrikus Fourier-sorának Sn f részletösszegeib˝ol képzett számtani közepek S0 f (x) + S1 f (x) + · · · + Sn f (x) σn f (x) := (x ∈ R, n ∈ N) n+1 sorozata az egész számegyenesen egyenletesen konvergál az f f¨ uggvényhez. Bizony´ıt´ as. 1. l´ ep´ es. El˝oször azt mutatjuk meg, hogy σn f -eket az Sn f -ekhez hasonlóan zárt alakban lehet fel´ırni. A részletösszegekre vonatkozó (7.9) képletb˝ol azt kapjuk, hogy Z S0 f (x) + S1 f (x) + · · · + Sn f (x) 1 2π = σn f (x) = f (x + t)Fn (t) dt, n+1 π 0 ahol

n 1 X sin k + 21 t D0 (t) + D1 (t) + · · · + Dn (t) = Fn (t) = n+1 n + 1 k=0 2 sin 21 t

a Fej´ er-f´ ele magf¨ uggv´ eny. Mivel n n X X 1 t 2 sin k + 2 t · sin 2 = − cos(k + 1)t − cos kt = k=0

k=0

= 1 − cos(n + 1)t = 2 sin2

ezért Fn -re az

Fn (t) =

sin2 n+1 t 2 2(n + 1) sin2

t 2

n+1 t, 2

(t ∈ (0, 2π)),

σn f -re pedig a

1 σn f (x) = π

Z

0

2π

1 f (x + t)Fn (t) dt = 2π(n + 1)

Z2π 0

f (x + t)

sin n+1 t 2 t sin 2

2

dt (7.10)


139

zárt el˝oáll´ıtást kapjuk. A Dirichlet-féle magf¨ uggvénnyel összehasonl´ıtva, a Fejér-féle magoknak a legszembet˝ un˝obb tulajdonsága az, hogy nem változtatják meg az el˝ojel¨ uket, hanem Fn (t) ≥ 0

(t ∈ (0, 2π)).

(7.11)

E tulajdonsága miatt a Fejér-féle magf¨ uggvény sokkal kezelhet˝obb a Dirichlet-félénél, s végeredményben ezen a tulajdonságon m´ ulik, hogy a részletösszegek számtani közepeivel való összegzés a Fourier-sorok esetében sokkal hatékonyabb, mint a közönséges összegzés magukkal a részletösszegekkel. A Fejér-féle magf¨ uggvény további, fontos tulajdonsága: Z 2π Fn (t) dt = π (n ∈ N). (7.12) 0

Ez azonnal következik a Dj (t) = 21 + cos t + · · · + cos jt Dirichlet-magok tagonkénti integrálásával adódó Z 2π Dj (t) dt = π (j = 0, 1, 2, . . .) 0

összef¨ uggésb˝ol. 2. l´ ep´ es. Tekints¨ uk minden n-re a σ n : (C2π , k · k∞ ) → (C2π , k · k∞ ),

σ n f := σn f

operátorokat. σ n lineáris, mert az integrál lineáris. σ n korlátos is, mert (7.10), (7.11) és (7.12) alapján Z 2π 1 |Fn (t)| dt = kσ n f k∞ = kσn f k∞ ≤ π kf k∞ · 0 Z 2π 1 = π kf k∞ · Fn (t) dt = kf k∞ (f ∈ C2π ). 0

Megmutatjuk, hogy a (σ n ) operátorsorozat az egész C2π téren pontonként tart az identitásoperátorhoz, azaz ∀ f ∈ C2π -re

k · k∞

σ n f −→ f, ha n → +∞.

(7.13)

Ez azt jelenti, hogy minden f ∈ C2π esetén a (σn f ) f¨ uggvénysorozat az R-en egyenletesen tart f -hez.

140


Az áll´ıtás bizony´ıtásához a Banach–Steinhaus-tételt használjuk fel. Azt kell megmutatni, hogy (a) a C2π térben van olyan Z zárt rendszer, hogy a (σ n ) sorozat a Z-n pontonként tart az identitásoperátorhoz, (b) az operátornormák (kσ n k) sorozata egyenletesen korlátos. Az utóbbi áll´ıtás bizony´ıtása egyszer˝ u, mert az 5.4. pont 3. példája, (7.11) és (7.12) alapján kσ n k =

1 π

Z

0

2π

|Fn (t)| dt =

1 π

Z

2π

Fn (t) dt = 1

0

(∀ n ∈ N).

Az (a) áll´ıtást a Z := {1, cos x, sin x, cos 2x, sin 2x, . . .} f¨ uggvényrendszerre látjuk be. Weierstrass második approximációs tétele szerint ez valóban egy zárt rendszer a (C2π , k · k∞ ) Banach-térben. Rögz´ıts¨ unk egy m = 0, 1, 2, . . . számot, és legyen fm (x) := cos mx

(x ∈ R).

Mivel minden trigonometrikus polinom Fourier-sora megegyezik magával a polinommal, ezért ( 0, ha n < m Sn fm = fm , ha n ≥ m. Következésképpen σn fm =

S0 fm + · · · + Sm−1 fm + Sm fm + · · · + Sn fm = 1− n+1

m n+1

fm ,

amib˝ol következik, hogy a (σn fm , n ∈ N) f¨ uggvénysorozat R-en egyenletesen tart fm -hez. Az áll´ıtás hasonlóan igazolható a Z szinuszf¨ uggvényeire is. Ezzel (7.13)-at, tehát a tétel áll´ıtását bebizony´ıtottuk. ´ • Altal´ anos kvadrat´ ura formul´ ak Most megmutatjuk, hogy a Banach–Steinhaus-tétel speciális esetként tartalmazza a numerikus matematikában fontos szerepet játszó kvadrat´ ura eljárásokat is.


141

Integrálok közel´ıt˝o kiszám´ıtására u ń. kvadrat´ ura formulákat szokás használni. Az

Z

b

(f ∈ C[a, b])

f (x)w(x) dx

a

(7.14)

alak´ u integrálokat fogjuk tekinteni, ahol az egyszer˝ uség végett feltessz¨ uk, hogy [a, b] kompakt intervallum és w : [a, b] → R egy adott integrálható f¨ uggvény (az u ń. s´ ulyf¨ uggvény). Rögz´ıts¨ uk az [a, b] intervallumon az n szám´ u a ≤ x1 < x2 < · · · < xn ≤ b alap- vagy csom´ opontot. Egy tetsz˝oleges f ∈ C[a, b] f¨ uggvény (7.14) t´ıpus´ u integrálját ezeken a helyeken vett f¨ uggvényértékek lineáris kombinációjával közel´ıtj¨ uk: Q(f ) :=

n X

Ak f (xk )

k=1

(f ∈ C[a, b]),

(7.15)

ahol Ak -k (k = 1, 2, . . . , n) rögz´ıtett számok. A (7.15) alatti Q funkcionált kvadrat´ ura formul´ anak nevezz¨ uk, az Ak számokat pedig a kvadrat´ ura formula egy¨ utthat´ oinak h´ıvjuk. Nyilvánvaló, hogy Q : (C[a, b], k · k∞ ) → R egy folytonos lineáris funkcionál, és az 5.4. pontban azt is láttuk, hogy a normája kQk =

n X k=1

|Ak |.

Egyetlen (7.15) alatti formulától természetesen nem lehet elvárni azt, hogy jól közel´ıtse a (7.14) integrált. Ilyen formulák sorozatát fogjuk tekinteni. Ez viszont a következ˝o kérdés feltevéséhez vezet: Adva van tehát két háromszög alak´ u mátrix, amelyek egyike a csomópontok mátrixa, m´ıg a másik az egy¨ utthatók mátrixa: x1,1 , x1,2 , x2,2 , x1,3 , x2,3 , .. .

x3,3

x1,n , x2,n , x3,n , . . . , xn,n .. .

A1,1 A1,2 , A2,2 A1,3 , A2,3 , .. .

A3,3

A1,n , A2,n , A3,n , . . . , An,n .. .

(7.16)

142


ahol feltessz¨ uk, hogy a csomópontok az [a, b] intervallumban vannak. Ekkor minden f ∈ C[a, b] f¨ uggvényhez definiáljuk a Qn (f ) :=

n X

(f ∈ C[a, b])

Ak,n f (xk,n )

k=1

(7.17)

kvadrat´ ura-sorozatot vagy (általános) kvadrat´ ura elj´ ar´ ast. Kérdés: milyen feltételek mellett áll fenn az, hogy lim Qn (f ) =

n→+∞

Z

b

f (x)w(x) dx

a

(∀ f ∈ C[a, b]).

(7.18)

Azokban az esetekben, amikor (7.18) teljes¨ ul, azt mondjuk, hogy az (7.16) mátrixokhoz tartozó (7.17) kvadrat´ ura eljárás konvergens. Az általános kvadrat´ ura eljárás konvergenciájára a következ˝o alapt´ etel érvényes: 9. t´ etel (Pólya–Szeg˝o-tétel). Legyen [a, b] egy tetsz˝oleges kompakt intervallum, w egy s´ ulyf¨ uggvény [a, b]-n, és tegy¨ uk fel, hogy adott az alappontoknak egy a ≤ x1,n < x2,n < x3,n < · · · < xn,n ≤ b

(n ∈ N)

és az egy¨ utthat´ oknak egy A1,n , A2,n , . . . , An,n ∈ R

(n ∈ N)

rendszere. Tekints¨ uk a Qn (f ) :=

n X

Ak,n f (xk,n )

k=1

kvadrat´ ura eljárást. Ekkor a lim Qn f =

n→+∞

Z

a

(f ∈ C[a, b], n ∈ N)

b

f (x)w(x) dx

(f ∈ C[a, b])

egyenl˝ oségeknek, vagyis a kvadrat´ ura eljárás konvergenciájának a sz¨ ukséges és elégséges feltétele az, hogy (a) az eljárás minden polinomra konvergens legyen és n P (b) ∃ M > 0: |Ak,n | ≤ M (∀ n ∈ N). k=0


143

Bizony´ıt´ as. A kvadrat´ ura eljárást a C[a, b], k · k∞ Banach-téren értelmezett funkcionálsorozatnak tekintj¨ uk:

Qn : C[a, b], k · k∞ → R,

Qn (f ) :=

n X k=1

Ak,n f (xk,n ) (n ∈ N).

Az 5.4. pontban megmutattuk, hogy Qn folytonos lineáris funkcionál és a normája kQn k =

n X k=1

|Ak,n |

(n ∈ N).

Weierstrass els˝o approximációs tételéb˝ol következik, hogy az algebrai polinomok zárt rendszert alkotnak a C[a, b], k · k∞ Banach-térben, ezért az áll´ıtás a Banach– Steinhaus-tétel közvetlen következménye. K¨ ulönösen fontosak azok az eljárások, amelyekben valamennyi Ak,n egy¨ uttható nemnegat´ıv. 10. t´ etel (Sztyeklov-tétel). Ha a Qn (f ) :=

n X

(f ∈ C[a, b], n ∈ N)

Ak,n f (xk,n )

k=1

kvadrat´ ura eljárásban minden Ak,n egy¨ utthat´ o nemnegat´ıv, azaz Ak,n ≥ 0

(∀ k, n ∈ N),

akkor az eljárás pontosan akkor konvergens minden folytonos f¨ uggvényre, ha minden polinomra konvergens. Bizony´ıt´ as. Azt kell megmutatni, hogy ebben az esetben az el˝oz˝o tétel (b) feltétele automatikusan teljes¨ ul. Ez azonban nyilvánvaló, mert a p(x) ≡ 1 polinomra a konvergencia azt jelenti, hogy Z b n n X X w(x) dx = lim Qn (1) = lim Ak,n = lim |Ak,n |, n→+∞

a

következésképpen a

Pn

k=1

n→+∞

k=1

n→+∞

k=1

|Ak,n | (n ∈ N) sorozat valóban egyenletesen korlátos.

• Interpol´ aci´ os kvadrat´ ura elj´ ar´ asok

Az el˝oz˝oekben sz¨ ukséges és elégséges feltételeket adtunk meg kvadrat´ ura eljárások konvergenciájára, de nem volt szó arról a fontos a kérdésr˝ol, hogy milyen csomópontés egy¨ utthatórendszer elég´ıti ki ezeket a feltételeket.

144


Az egy¨ utthatók megválasztásának egy igen természetes módja a következ˝o: Rögz´ıts¨ unk egy tetsz˝oleges xk,n (k = 1, 2, . . . , n; n ∈ N) pontrendszert és minden n-re vegy¨ uk az f f¨ uggvénynek az xk,n (k = 1, 2, . . . , n) pontokhoz tartozó Lagrange-f´ ele interpol´ aci´ os polinomj´ at: n X f (xk,n )lk,n (x) Ln f (x) := k=1

ahol tehát

ωn (x) lk,n (x) := ′ , ωn (xk,n )(x − xk,n )

(x ∈ [a, b]),

ωn (x) :=

n Y

k=1

(x − xk,n ).

Ha f jó” f¨ uggvény, akkor az Ln f polinom az [a, b] intervallumon jól” közel´ıti f -et, ” ” ezért várható, hogy a Z b n Z b X lk,n (x)w(x) dx f (xk,n ) = Ln f (x)w(x) dx = Qn (f ) : = a

=

n X

k=1

Ak,n f (xk,n )

k=1

a

(n ∈ N)

kvadrat´ ura sorozat konvergencia szempontjából jól” viselkedik. ” Interpol´ aci´ os kvadrat´ ura elj´ ar´ asnak nevezz¨ uk azokat a kvadrat´ ura eljárásokat, amelyekben az egy¨ utthatókat az Z b Ak,n := lk,n (x)w(x) dx (k, n ∈ N) a

képletekkel értelmezz¨ uk, ahol minden n-re lk,n -ek (k = 1, 2, . . . , n) az xk,n (k = 1, 2, . . . , n) csomópontokhoz tartozó Lagrange-féle interpol´ aci´ os alappolinomok. Egy ilyen eljárásnál a csomópontok tetsz˝olegesek, az egy¨ utthatók pedig egyértelm˝ uen meg vannak határozva.

Az algebra alaptételéb˝ol azonnal adódik, hogy minden n-nél alacsonyabb fok´ u polinom egyenl˝o az xk,n (k = 1, 2, . . . , n) pontokhoz tartozó Lagrange-féle interpolációs polinomjával. Ezt felhasználva egyszer˝ uen bizony´ıtható a 11. t´ etel. A Qn (f ) (n ∈ N, f ∈ C[a, b]) kvadrat´ ura eljárás akkor és csak akkor interpol´ aci´ os kvadrat´ ura eljárás, ha tetsz˝oleges n esetén a Z b Qn (f ) = f (x)w(x) dx (7.19) a

egyenl˝ oség minden n-nél alacsonyabb fok´ u f polinomra fennáll.


145

Az interpolációs kvadrat´ ura eljárás nyilván konvergál minden polinomra. Valóban, ha f egy tetsz˝oleges m-edfok´ u polinom, akkor (7.19) minden n > m esetén teljes¨ ul. Ezt az észrevételt, valamint az alaptételt felhasználva azonnal adódik a 12. t´ etel. (a) Tetsz˝oleges interpol´ aci´ os kvadrat´ ura eljárás minden polinomra konvergens. (b) Egy interpol´ aci´ os kvadrat´ ura eljárás pontosan akkor konvergens, ha ∃M >0:

n X k=1

|Ak,n | ≤ M

(∀ n ∈ N).

(c) Nemnegat´ıv egy¨ utthat´ oj´ u interpol´ aci´ os kvadrat´ ura eljárások minden folytonos f¨ uggvényre konvergensek. Konvergencia szempontjából tehát a nemnegat´ıv egy¨ utthatój´ u interpolációs kvadrat´ ura eljárások a legkedvez˝obbek. Az xk,n csomópontok alkalmas megválasztásával elérhet˝o, hogy az interpolációs kvadrat´ ura formulákban minden Ak,n egy¨ uttható nemnegat´ıv legyen. Ez a helyzet akkor, ha az alappontok a w s´ ulyf¨ uggv´ enyre ortogon´ alis polinomok gy¨ okei. Az eddigieknél általánosabban legyen most (a, b) egy tetsz˝oleges (korlátos vagy nem korlátos) R-beli intervallum. Feltessz¨ uk, hogy a w : (a, b) → R s´ ulyf¨ uggvényre a következ˝ok teljes¨ ulnek: • 0 ≤ w(x) (x ∈ (a, b)); Rb • w Lebesgue-integrálható (a, b)-n és 0 < a w(x) dx < +∞; • minden n ∈ N számra a Z b xn w(x) dx µn := a

integrálok (az u ń. momentumok ) abszol´ ut konvergensek. Tekints¨ uk az Z b hf, gi := f (x)g(x)w(x) dx a

skaláris szorzattal ellátott L2w (a, b) Hilbert-teret. Ekkor minden algebrai polinom benne van az L2w (a, b) térben. A lineárisan f¨ uggetlen hn (x) := xn (x ∈ (a, b); n ∈ N) hatványf¨ uggvényekre a Gram–Schmidt-féle ortogonalizációs eljárást alkalmazva egy, a fenti skaláris szorzatra nézve ortonormált (pn ) polinomrendszert kapunk. Bebizony´ıtható, hogy az n-edfok´ u pn polinomnak n egyszeres gyöke van az (a, b) intervallumban.

146


Jelölje yk,n (k = 1, 2, . . . , n) a pn (n ∈ N) polinom n k¨ ulönböz˝o gyökét. Ezen a csomópontrendszeren vett interpolációs kvadrat´ ura eljárás minden Z b Ak,n = lk,n (x)w(x) dx a

egy¨ utthatója nemnegat´ıv. Ez az áll´ıtás a minden k, n ∈ N számra fennálló Z b Z b lk,n (x)w(x) dx = [lk,n (x)]2 w(x) dx a

a

egyenl˝oségekb˝ol következik. Ezek igazolásához a viszonylag egyszer˝ uen bizony´ıtható alábbi azonosságokat használhatjuk fel:

Z

a

Z

a

b

n X

lk,n (x) = 1

k=1

b

lk,n (x)lj,n (x)w(x) dx 6= 0,

lk,n (x) lk,n (x) − 1 w(x) dx = 0,

(x ∈ (a, b); k, n ∈ N); ha k, j = 1, 2, . . . , n és k 6= j; n ∈ N; ha k = 1, 2, . . . , n, n ∈ N.

A fentieket összefoglalva kapjuk az alábbi alapvet˝o áll´ıtást. 13. t´ etel (Stieltjes tétele). Legyen (a, b) ⊂ R egy tetsz˝oleges intervallum és w egy tetsz˝oleges s´ ulyf¨ uggvény (a, b)-n. Jelölje (pn ) a w s´ ulyf¨ uggvényre ortonormált polinomrendszert és yk,n (k = 1, 2, . . . , n) a pn (n ∈ N) gyökeit. Ekkor az Z b Ak,n := lk,n (x)w(x) dx (k, n ∈ N) a

egy¨ utthat´ okkal képzett Qn (f ) :=

n X

Ak,n f (yk,n )

k=1

(n ∈ N)

interpol´ aci´ os kvadrat´ ura eljárás konvergens, azaz a Z b lim Qn (f ) = f (x)w(x) dx n→+∞

a

egyenl˝ oség minden f ∈ C(a, b) f¨ uggvényre teljes¨ ul.

8. Az inverz oper´ ator folytonoss´ aga. Ny´ılt lek´ epez´ esek ´ es z´ art gr´ afok 8.1.


Ebben a fejezetben a funkcionálanal´ızis három további alapvet˝o jelent˝oség˝ u tételét ismertetj¨ uk. A Banach-f´ ele homeomorfia t´ etel folytonos lineáris operátor inverzének a folytonosságára ad elégséges feltételt. A z´ art gr´ af t´ etel operátor folytonosságát a sok esetben egyszer˝ ubben ellen˝orizhet˝o feltételre, nevezetesen az operátor grafikonjának a zártságára vezeti vissza. Mindkét tétel bizony´ıtásának alapja az önmagában is érdekes és fontos ny´ılt lek´ epez´ esek t´ etele. Az egész problémakör motiv´ aci´ ojak´ ent emlékeztet¨ unk arra, hogy eddig az X és Y normált terek közötti A : X → Y line´ aris és folytonos leképezések általános tulajdonságait elemezt¨ uk. Az X → Y t´ıpus´ u lineáris leképezések azonban nem feltétlen¨ ul folytonosak. Láttuk azt, hogy az anal´ızisben fontos szerepet játszó differenciáloperátor például olyan line´ aris leképezés, amely nem folytonos. Fontos tehát az, hogy minél több módszer álljon rendelkezés¨ unkre operátor folytonosságának a vizsgálatához. Tudjuk azt, hogy lineáris operátor folytonossága ekvivalens a korlátossággal; és ezt a tulajdonságot minden eddigi példánkban viszonylag egyszer˝ uen meg tudtuk mutatni. A korlátosságot azonban sok esetben jóval nehezebb ellen˝orizni. Ez a helyzet például az inverz oper´ ator folytonosságának a problémájánál.

8.2.

Az inverz oper´ ator

Emlékeztet¨ unk arra, hogy valamely f¨ uggvénynek akkor van inverze, ha a f¨ uggvény által létes´ıtett leképezés injekt´ıv, azaz ha az értelmezési tartomány bármely két egymástól k¨ ulönböz˝o elemét egymástól k¨ ulönböz˝o elemekbe viszi át. Ebben az esetben természetes módon értelmezhet˝o a leképezés inverze. Korábban ezeket a fogalmakat metrikus terek közötti leképezések esetében is tekintett¨ uk; és megvizsgáltuk azt a fontos kérdést, hogy egy ilyen leképezés folytonosságát vajon megtartja-e az inverz leképezés is. Az alapvet˝o eredmény a következ˝o: Ha egy kompakt metrikus téren értelmezett folytonos f¨ uggvény injekt´ıv, akkor az inverz leképezés is folytonos. Nézz¨ uk meg ezt a problémát most norm´ alt terek közötti leképezésekre. Legyenek X és Y normált terek. Az A : X → Y operátort invert´ alhat´ onak nevezz¨ uk, ha tetsz˝oleges y ∈ RA elemre az A(x) = y egyenletnek pontosan egy megoldása 147

148

8. Az inverz operátor folytonossága.Ny´ılt leképezések és zárt gráfok

van. Ebben az esetben minden y ∈ RA elemhez hozzárendelhetj¨ uk a megfelel˝o A(x) = y egyenlet egyetlen x ∈ DA megoldását. Az ezzel a hozzárendeléssel kapott (az RA halmazon értelmezett) operátort az A operátor inverzének nevezz¨ uk, és az −1 A szimbólummal jelölj¨ uk: A−1 : RA → DA . Lineáris operátorok esetén az inverz folytonosságának a vizsgálatához más eszközökre van sz¨ ukség.

Idézz¨ uk fel a metrikus terek közötti folytonos leképezések jellemzésére már megismert alábbi fontos eredményt: Ha M1 és M2 metrikus tér, akkor az f : M1 → M2 f¨ uggvény akkor és csak akkor folytonos az M1 halmazon, ha minden M2 -beli ny´ılt halmaz o˝sképe M1 -beli ny´ılt halmaz. Ezt normált terek közötti leképezésekre alkalmazva adódik az 1. t´ etel. Legyen X és Y norm´ alt tér. Tegy¨ uk fel, hogy az f : X → Y egy in−1 vert´ alhat´ o sz¨ urjekt´ıv leképezés. Ekkor az f f¨ uggvény akkor és csak akkor folytonos, ha f minden X-beli ny´ılt halmazt Y -beli ny´ılt halmazba visz a´t. Ez a motivációja a következ˝o fogalomnak: Defin´ıci´ o. Az X és az Y normált terek közötti f : X → Y f¨ uggvényt ny´ılt lek´ epez´ esnek nevezz¨ uk, ha minden X-beli ny´ılt halmaz f által létes´ıtett képe Y -beli ny´ılt halmaz, azaz ∀ G ⊂ X ny´ılt halmaz esetén f (G) ⊂ Y is ny´ılt halmaz. Az inverz operátor folytonosságával kapcsolatos alapvet˝o kérdést tehát ´ıgy fogalmazhatjuk meg: Ha a norm´ alt terek köz¨ otti f : X → Y sz¨ urjekt´ıv leképezés invert´ alhat´ o, akkor f -re milyen további feltételeket kell tenni ahhoz, hogy f ny´ılt leképezés is legyen. A következ˝o példa azt mutatja, hogy már a lineáris leképezésekre is kell további feltétel, ti. van olyan injekt´ıv, folytonos és line´ aris leképezés, amelyiknek az inverze nem folytonos. • P´ elda olyan injekt´ıv, folytonos és line´ aris leképezésre, amelyiknek az inverze nem folytonos. Legyen X := l2 és tekints¨ uk az xn n operátort. Világos, hogy A lineáris, továbbá A : X ∋ x 7→ Ax :=

x = (xn ) ∈ l2

+∞ +∞ X x 2 X n |xn |2 = kxk2l2 ≤ kAxkl2 = n n=1

n=1

x ∈ l2 ,


149

ezért Ax ∈ l2 és A korlátos, tehát folytonos leképezés is. Ha y = (yn ) ∈ RA , akkor az Ax = y egyenletnek egyetlen megoldása van: x = (nyn ), tehát A invertálható, és az inverz operátor: A−1 : RA → l2 , A−1 (y) = (nyn ). Innen következik, hogy az A−1 operátor az en := δnk , k ∈ N egységvektorokat az nen (n ∈ N) vektorokba viszi át; és ez azt jelenti, hogy A−1 nem korlátos.

8.3.

A ny´ılt lek´ epez´ esek t´ etele

A továbbiakban feltessz¨ uk, hogy (X, k · kX ) és (Y, k · kY ) Banach-terek. Ebben a pontban kX (x, δ)-val, ill. kY (y, δ)-val jelölj¨ uk az X, ill. az Y tér x, ill. y pontjának a δ-sugar´ u (ny´ılt) környezetét. El˝oször a következ˝o áll´ıtást bizony´ıtjuk be. Seg´ edt´ etel. Legyenek X és Y Banach-terek. Ha a folytonos line´ aris A : X → Y oper´ ator sz¨ urjekt´ıv (vagyis RA = Y ), akkor az origó középpont´ u X-beli 1-sugar´ u gömb képe tartalmaz Y -beli gömb¨ ot, azaz ∃ r > 0 : A kX (0, 1) ⊃ kY (0, r). (8.1) A seg´ edt´ etel bizony´ıt´ asa. El˝osz¨ or azt igazoljuk, hogy

∃ r > 0 : A kX (0, 1) ⊃ kY (0, 2r).

Legyen

Mivel A sz¨ urjekt´ıv, ezért Y =

∞ [

n=1

Yn := A kX (0, n)

(8.2)

(n ∈ N).

∞ ∞ [ [ A kX (0, n) = Yn . A kX (0, n) = n=1

n=1

A Baire-lemma alapján az Yn zárt halmazok valamelyike tartalmaz gömböt, mondjuk kY (y, s) ⊂ Yn . Ekkor kY (−y, s) ⊂ −Yn = Yn is teljes¨ ul.

150


Legyen x ∈ kY (0, s). Ekkor x±y ∈ kY (±y, s) ⊂ Yn . Felhasználva Yn konvexitását ebb˝ol (x + y) + (x − y) x= ∈ Yn 2 adódik, ami azt jelenti, hogy kY (0, s) ⊂ Yn = A kX (0, n) .

Ebb˝ol A homogenitása miatt (8.2) az r :=

s -nel 2n

adódik.

A (8.1) bizony´ıtásához rögz´ıts¨ unk most egy tetsz˝oleges y ∈ kY (0, r) pontot. Olyan x ∈ kX (0, 1) elemet kell találnunk, amelyre Ax = y teljes¨ ul. Jegyezz¨ uk meg ehhez azt, hogy A homogenitása miatt a (8.2)-b˝ol a következ˝o általánosabb relációk is adódnak: kY 0, 2r · 21n ⊂ A kX 0, 21n (n ∈ N ).

Ezeket felhasználva rekurzióval olyan X-beli x1 , x2 , . . . sorozatot konstruálhatunk, amelyre és ky − A(x1 + x2 + · · · + xn )kY < 2rn kxn kX ≤ 21n P teljes¨ ul minden n-re. Ekkor a xn sor konvergál valamely x ∈ kX (0, 1) elemhez és A folytonossága miatt +∞ X Ax = Axn = y, n=1

és ez az áll´ıtás bizony´ıtását jelenti.

2. t´ etel (a ny´ılt leképezések tétele). Legyenek X és Y Banach-terek. Ha a folytonos lineáris A : X → Y oper´ ator sz¨ urjekt´ıv, akkor A egy ny´ılt leképezés is, vagyis A minden X-beli ny´ılt halmazt Y -beli ny´ılt halmazba visz a´t. Bizony´ıt´ as. Legyen G ⊂ X tetsz˝oleges ny´ılt halmaz. Megmutatjuk, hogy az A(G) ⊂ Y halmaz is ny´ılt, azaz ∀ y0 ∈ A(G)-hez ∃ s > 0 :

kY (y0 , s) ⊂ A(G).

(8.3)

Valóban, legyen y0 ∈ A(G) egy tetsz˝oleges pont. Ekkor van olyan x0 ∈ G, hogy Ax0 = y0 . Mivel G ny´ılt, ezért az x0 pontnak van olyan ε-sugar´ u kX (x0 , ε) környezete, amelyik benne van a G halmazban. Ezt az egyszer˝ uen igazolható kX (x0 , ε) = x0 + εkX (0, 1)1 1

x ∈ X és H ⊂ X esetén x + H := {x + h | h ∈ H}.


151

egyenl˝oség alapján ´ıgy is ´ırhatjuk: x0 + εkX (0, 1) ⊂ G. Ebb˝ol A linearitását felhasználva adódik, hogy A x0 + εkX (0, 1) = Ax0 + εA kX (0, 1) = y0 + εA kX (0, 1) ⊂ A(G). A segédtétel alapján létezik olyan r > 0, hogy kY (0, r) ⊂ A kX (0, 1) , ezért y0 + εkY (0, r) ⊂ y0 + εA kX (0, 1) ⊂ A(G).

Mivel εkY (0, r) = kY (0, εr) és y0 + kY (0, εr) = kY (y0 , εr), ezért (8.3) az s := εr számmal teljes¨ ul. Ezzel a tételt bebizony´ıtottuk.

8.4.

A Banach-f´ ele homeomorfia t´ etel

3. t´ etel (a Banach-féle homeomorfia tétel). Legyenek X és Y Banach-terek. Ha A : X → Y folytonos lineáris bijekció, akkor A−1 folytonos line´ aris oper´ ator, azaz A−1 ∈ B(Y, X)

Bizony´ıt´ as. Tekints¨ uk az A−1 : Y → X inverz operátort. Egyszer˝ uen igazolható, −1 hogy tetsz˝oleges G ⊂ X halmaz A által létes´ıtett ˝osképe éppen az A(G) ⊂ Y halmaz, azaz −1 A−1 [G] = A(G).

Az el˝oz˝o tétel alapján A ny´ılt leképezés, ezért minden X-beli G ny´ılt halmaz A(G) képe Y -beli ny´ılt halmaz. Azt kaptuk tehát, hogy minden X-beli G ny´ılt halmaz A−1 által létes´ıtett ˝osképe Y -beli ny´ılt halmaz. A folytonosság ny´ılt halmazokkal való jellemzéséb˝ol tehát következik, hogy A−1 valóban folytonos leképezés. Ezzel a tételt bebizony´ıtottuk. 4. t´ etel (ekvivalens normák). Legyenek (X, k · k1 ) és (X, k · k2 ) Banach-terek, és tegy¨ uk fel, hogy van olyan c > 0 a´lland´ o, hogy kxk2 ≤ ckxk1

(∀ x ∈ X).

Ekkor a két norma ekvivalens, azaz létezik olyan C > 0 a´lland´ o is, hogy kxk1 ≤ C kxk2

(∀ x ∈ X).

(8.4)

152


Bizony´ıt´ as. Tekints¨ uk az I : (X, k · k1 ) → (X, k · k2 ),

I(x) := x

identikus leképezést. I nyilván lineáris bijekció és a (8.4) feltétel miatt kI(x)k2 ≤ ckxk1

(x ∈ X),

ezért I korlátos, következésképpen folytonos is. A Banach-féle homeomorfia tételb˝ol következik, hogy ekkor I −1 is folytonos, tehát korlátos, ami azt jelenti, hogy van olyan C > 0 állandó, hogy kI −1 (x)k1 ≤ Ckxk2

(x ∈ X).

Ebb˝ol a nyilvánvaló I −1 (x) = x egyenl˝oség alapján már következik a tétel áll´ıtása.

8.5.

A z´ art gr´ af t´ etel

Emlékeztet¨ unk arra, hogy az f : R → R f¨ uggvény grafikonj´ an a Γ(f ) := (x, f (x)) | x ∈ R ⊂ R × R

halmazt értj¨ uk. Fontos észrevétel, hogy f folytonossága a s´ıkbeli Γ(f ) halmaz bizonyos topológiai tulajdonságával hozható kapcsolatba. Egyszer˝ uen bebizony´ıtható az, hogy ha az f f¨ uggvény folytonos az egész R halmazon, akkor a Γ(f ) ⊂ R2 z´ art halmaz, azaz ha (xn , yn ) ∈ Γ(f ) (n ∈ N)

és

xn → x, yn → y,

akkor

(x, y) ∈ Γ(f ).

Az áll´ıtás megford´ıtása nem igaz (l. pl. az f (x) := x−1 , ha x ∈ R \ {0} és f (0) := 1, vagy pedig a Riemann-f¨ uggvényt). Normált terek közötti f¨ uggvényekre is természetes módon értelmezhet˝o a grafikon fogalma, és a fenti áll´ıtás általános´ıtása is igaz. A z´ art gr´ af t´ etel azt áll´ıtja, hogy Banach-terek közötti lineáris leképezések esetén a szóban forgó áll´ıtás megford´ıtható, azaz Banach-terek közötti lineáris operátorok folytonossága ekvivalens módon jellemezhet˝o az operátor grafikonjának a zártságával. Így tehát a folytonosság eldöntéséhez egy u ´jabb lehet˝oséget nyer¨ unk. Az alkalmazásokban vannak olyan konkrét esetek, amikor a folytonosságot éppen a grafikon zártságával lehet a legegyszer˝ ubben ellen˝orizni.


153

R×R mintájára el˝oször normált terek Descartes-szorzatát értelmezz¨ uk. Legyenek tehát (X, k · kX ) és (Y, k · kY ) tetsz˝oleges normált terek. Egyszer˝ uen bebizony´ıtható, hogy X × Y lineáris tér (R felett) és az k(x, y)k := kxkX + kykY (x, y) ∈ X × Y f¨ uggvény norma ezen a lineáris téren. Az X × Y, k · k normált teret az X és Y normált terek Descartes-szorzat´ anak nevezz¨ uk. A teljesség defin´ıciójából az is azonnal adódik, hogy X × Y, k · k pontosan akkor Banach-tér, ha X és Y is Banach-tér. A továbbiakban csak az X és Y terek közötti line´ aris leképezéseket tekintj¨ uk. Defin´ıci´ o. Az X és az Y normált terek közötti A : X → Y lineáris leképezés grafikonj´ an vagy gr´ afj´ an a Γ(A) := (x, Ax) | x ∈ X ⊂ X × Y

halmazt értj¨ uk.

Az X × Y normált térben beszélhet¨ unk topológiai fogalmakról, pl. halmazok zártságáról. Emlékeztet¨ unk arra, hogy valamely normált tér egy részhalmaza akkor és csak akkor z´ art halmaz, ha minden torlódási pontját tartalmazza. A zárt halmazokat konvergens sorozatokkal is jellemezt¨ uk. Ezzel kapcsolatban érdemes megjegyezni azt, hogy az (xn , yn ) ∈ X × Y (n ∈ N) sorozat pontosan akkor konvergál az (x, y) ∈ X × Y ponthoz, ha k·kX

k·kY

xn −−→ x és yn −−→ y Defin´ıci´ o. Az A : X → Y leképezést z´ art gr´ af´ u oper´ atornak nevezz¨ uk, ha a Γ(A) gráfja az X × Y normált térnek zárt részhalmaza, azaz ha k·kX

k·kY

∀ xn −−→ x, Axn −−→ y

esetén

y = Ax.

Folytonos lineáris leképezés gráfja nyilván zárt halmaz:

5. t´ etel. Ha X és Y norm´ alt terek és A ∈ B(X, Y ), akkor Γ(A) az X × Y, k · k norm´ alt tér z´ art részhalmaza. Bizony´ıt´ as. Tegy¨ uk fel, hogy k·k

(xn , Axn ) −→ (x, y).

154

8. Az inverz operátor folytonossága.Ny´ılt leképezések és zárt gráfok k·kX

k·kY

k·kY

Ekkor xn −−→ x és Axn −−→ y. Mivel A folytonos, ezért Axn −−→ Ax, következésképpen Ax = y. A most vizsgált probléma is rávilág´ıt a v´ eges és a v´ egtelen dimenzi´ os terek közötti lényeges k¨ ulönbségekre. A fent elmondottaknak abban az esetben, ha csak véges dimenziós terek közötti lineáris leképezéseket vizsgálunk, nincs k¨ ulönösebb jelent˝osége, ti. ekkor minden ilyen leképezés már automatikusan folytonos is; de azért azt is mondhatjuk, hogy ekkor a folytonosság az operátor zártságával is jellemezhet˝o. Lényegesen megváltozik a helyzet azonban akkor, ha az X és Y normált terek végtelen dimenziósak. A következ˝o példa azt mutatja, hogy ekkor még a lineáris leképezések folytonossága sem jellemezhet˝o a gráfjuk zártságával. P´ elda nem folytonos lineáris z´ art gr´ af´ u leképezésre. Tekints¨ uk ui. az X := C 1 [0, 1], k · k∞ ,

Y := C[0, 1], k · k∞

normált tereket és a

D : X → Y,

Df := f ′

differenciáloperátort. Ez nyilván lineáris, és azt is láttuk már, hogy D nem folytonos (korlátos). (Emlékeztet˝ou ¨l: vegy¨ uk az fn (t) := tn (t ∈ [0, 1], n ∈ N) f¨ uggvénysorozatot.) Megmutatjuk, hogy D egy zárt gráf´ u operátor. Valóban, legyen (fn , Dfn ) ⊂ X × Y (n ∈ N) olyan sorozat, amelyik konvergens az X × Y normált térben, azaz k·kX

fn −−→ f

k·kY

és Dfn −−→ g.

Ez azt jelenti, hogy a folytonosan differenciálható (fn ) f¨ uggvénysorozat egyenletesen konvergál az f f¨ uggvényhez, és a deriváltak (Dfn ) = (fn′ ) sorozata pedig egyenletesen konvergál egy g ∈ C[0, 1] f¨ uggvényhez. A f¨ uggvénysorozatok tagonkénti deriválására vonatkozó tételb˝ol következik, hogy ekkor f sz¨ ukségképpen folytonosan deriválható, és f ′ = g, azaz a g = Df egyenl˝oség fennáll, ami azt jelenti, hogy D valóban egy zárt gráf´ u operátor. Az alábbi tétel azt áll´ıtja, hogy Banach-terek közötti zárt gráf´ u lineáris operátorok már sz¨ ukségképpen folytonosak is, vagyis a folytonosság az operátor grafikonjának a zártságával jellemezhet˝o. (Az el˝oz˝o példában megadott D operátor értelmezési tartománya nem teljes, tehát nem Banach-tér; l. pl. Weierstrass els˝o approximációs tételét.) 6. t´ etel (a zárt gráf tétel). Legyenek X és Y Banach-terek és tegy¨ uk fel, hogy A : X → Y egy lineáris z´ art gr´ af´ u oper´ ator, azaz az A line´ aris leképezés Γ(A) =


155

{(x, Ax) | x ∈ X} grafikonja az (X × Y, k · k) Banach-tér egy z´ art részhalmaza. Ekkor A folytonos is, azaz A ∈ B(X, Y ).

Bizony´ıt´ as. Mivel unk alapján X és Y Banach-terek, ezért egy korábbi megjegyzés¨ az X × Y, k · k Descartes-szorzatuk is Banach-tér. Nyilvánvaló, hogy Γ(A) az X × Y tér egy lineáris altere. A tétel feltétele szerint ez tehát egy zárt altér, következésképpen Γ(A) maga is Banach-tér. Tekints¨ uk a Λ : X → Γ(A), Λx := (x, Ax) operátort. Ez a leképezés egy lineáris bijekció az X és a Γ(A) Banach-terek között. Az inverze, vagyis a Λ−1 : Γ(A) → X,

Λ−1 (x, Ax) = x

operátor korlátos (folytonos). Valóban

−1

Λ (x, Ax) = kxkX ≤ kxkX + kAxkY = k(x, Ax)k X

(x, Ax) ∈ Γ(A) .

A Banach-féle homeomorfia tétel alapján ennek a folytonos lineáris bijekciónak az −1 −1 inverze, vagyis a Λ = Λ operátor is folytonos (korlátos), azaz van olyan C > 1 állandó, hogy kΛxk = k(x, Ax)k = kxkX + kAxkY ≤ CkxkX

(x ∈ X)

teljes¨ ul, amib˝ol kAxkY ≤ (C − 1)kxkX

(x ∈ X)

következik. Ez viszont azt jelenti, hogy A valóban egy korlátos (folytonos) leképezés. Ezzel a tételt bebizony´ıtottuk.

Irodalom [1] H. Brezis, Analyse fonctionnelle, Théorie et applications, Masson, Paris, 1983. [2] N. Dunford and J. T. Schwartz, Linear Operators, Part I: General Theory, John Wiley & Sons, New York (1988). [3] Járai Antal, Modern alkalmazott anal´ızis, TypoTEX, Budapest, 2007. [4] L. V. Kantorovics–G. P. Akilov, Funkcionálanal´ızis, Nauka, Moszkva, 1977. (oroszul) [5] Karvasz Gyula, Anal´ızis III. és IV., ELTE jegyzet, 1978. és 1979. [6] A. N. Kolmogorov–Sz. V. Fomin, A f¨ uggvényelmélet és a funkcionálanal´ızis elemei, M˝ uszaki Könyvkiadó, Budapest, 1981. [7] Komornik Vilmos, Val´ os anal´ızis el˝ oadások I., II., TypoTEX, Budapest, 2003. [8] Máté László, Funkcionálanal´ızis m˝ uszakiaknak, M˝ uszaki Könyvkiadó, Budapest, 1976. [9] I. P. Natanszon, Konstrukt´ıv f¨ uggvénytan, Akadémiai Kiadó, 1952. [10] Petz Dénes, Lineáris anal´ızis, Akadémiai Kiadó, Budapest, 2002. [11] Riesz Frigyes és Sz˝okefalvi-Nagy Béla, Funkcionálanal´ızis, Tankönyvkiadó, Budapest, 1988. [12] W. Rudin, A matematikai anal´ızis alapjai, M˝ uszaki Könyvkiadó, Budapest, 1978. [13] Schipp Ferenc, Anal´ızis IV. (Funkcionálanal´ızis), Egyetemi jegyzet, 2004. (http://numanal.inf.elte.hu/∼schipp/) [14] Simon Péter, Anal´ızis V., Egyetemi jegyzet, Eötvös Kiadó, Budapest, 1996. [15] Sz˝okefalvi-Nagy Béla, Val´ os f¨ uggvények és f¨ uggvénysorok, Tankönyvkiadó, Budapest, 1975. [16] K. Yosida, Functional Analysis, Springer–Verlag (1965).

157

INFORMATIKAI KAR. Funkcionálanalízis a jelfeldolgozás és a szimuláció matematikai alapjai

Recommend Documents