Bojtár-Gáspár: A végeselemmódszer matematikai alapjai

Bojtár-Gáspár: A végeselemmódszer matematikai alapjai

Előadásvázlat

Bojtár Imre – Gáspár Zsolt

A végeselemmódszer matematikai alapjai Elektronikusan letölthető előadásvázlat építőmérnök hallgatók számára. http://www.epito.bme.hu/me/htdocs/oktatas/oktatas.php

Kiadó: BME Tartószerkezetek Mechanikája Tanszék Budapest, 2009

ISBN 978-963-313-010-0

1


Előadásvázlat

BEVEZETÉS

Ez a segédlet a BME Építőmérnöki Karán az MSc képzésben oktatott Végeselemmódszer matematikai alapjai című tantárgy előadásainak vázlatát tartalmazza, követve a 14 hetes képzésben elhangzott legfontosabb tudnivalókat. Célja, hogy a hallgatók számára segítséget nyújtson a tárgy alapjainak elsajátításához.

A szerzők

2


Előadásvázlat

Bevezető megjegyzés a hallgatóknak: A tantárgy elsajátításához célszerű átismételni az alábbi fogalmak körét: a./ Matematikából: - differenciálegyenletek (peremérték-feladatok) vizsgálata, - variációs feladatok vizsgálata, különös tekintettel a mechanikai feladatok energiaelvű megközelítésére, - funkcionálanalízis alapfogalmai (operátorok, funkcionál, szimmetrikus, bilineáris és pozitív operátor, kvadratikus funkcionál minimumtétele, ortogonalitási és minimumfeltételek, stb). b./ Mechanikából: - munkatételek, energiatételek, - szilárdságtan alapegyenletei, - BSc végeselemes tárgyban tanultak.

1. hét: Mechanikai feladatok közelítő megoldási módszereinek osztályozása A közelítő módszerek osztályozásának alapvető szempontjai: - mit értünk közelítésen (hibán)? - hogyan kívánjuk a hibát kicsivé tenni? Adott a Φ (akár nemlineáris) operátor1, amely az Ω ⊂ R d tartományon2 értelmezett u ∈ U függvényeket a W függvénytérben értelmezett f függvényekbe képezi le: 1

Operátoron olyan előírást értünk, amely egy halmaz elemeihez egyértelműen hozzárendeli ugyanezen vagy egy másik halmaz elemeit. A Φ : X → Y operátor tehát egy olyan előírás, amelyik egy DΦ ⊆ X részhalmaz minden x eleméhez hozzárendeli az Y halmaz egy és csakis egy elemét. A DΦ részhalmazt a Φ operátor (értelmezési) tartományának nevezzük. (Az operátor definiálásához mindig hozzátartozik DΦ megadása is. Azonos előírás különböző tartományokon különböző operátorokat jelent.) Az L operátor lineáris operátor, ha X és Y lineáris tér, és minden x, y ∈ DL valamint α , β valós szám esetén L ( α x + β y ) = α L x + β L y. Az X halmazt lineáris térnek nevezzük, ha értelmezhető egy összeadásnak és egy skalárral való szorzásnak nevezhető művelet, vagyis minden x, y ∈ X elempárhoz hozzárendelt egy x + y ∈ X elem, továbbá minden α skalárhoz és x ∈ X elemhez hozzárendelt egy α x ∈ X elem, valamint minden x, y, z ∈ X és tetszőleges α , β skalár esetén teljesülnek a következő feltételek: 1. x + y = y + x, 2. (x + y ) + z = x + ( y + z ) , létezik O ∈ X ún. nullaelem, melyre x + O = x , 3. 3


Előadásvázlat

Φ u = f , f ∈W .

(1.1)

Az U („tárgytér”) és W („képtér”) függvényterek végtelen dimenziósak, a peremfeltételeket pedig az Ω tartomány S peremén írhatjuk elő. Az egyszerűség kedvéért legyenek most ezek homogének: B u = 0 . Az inhomogén peremfeltételek figyelembevételével később, a gyakorlati megoldások bemutatásánál foglalkozunk. 1.1. Példa Tekintsünk egy l hosszúságú, önsúlyával terhelt és felül megfogott prizmatikus rudat. Most Ω ⊂ R az a [0,l] intervallum, melynek pereme az x = 0 és az x = l pont. A szerkezetre érvényes differenciálegyenlet: d 2u − EA 2 = p , dx d2 vagyis a (most lineáris) differenciáloperátor: Φ = − EA 2 , az ismeretlen dx függvény u ( x ) , az adott függvény f ( x ) = p pedig a rúd folyómétersúlya. A

(most homogén) peremfeltételek: u ( 0 ) = 0 ,

du (l ) = 0 . dx

A peremérték-feladat pontos megoldását u0 -lal, ennek közelítését u n -nel jelöljük. Értelmezzünk mindkét függvénytérben egy-egy hibavektort az alábbi módon:

g = u 0 − u n ⇒ tárgyhiba , h = f − Φ un ⇒ képhiba.

(1.2/a) (1.2/b)

A továbbiakban majdnem mindig feltételezzük, hogy a Φ operátor lineáris. Ezt külön hangsúlyozandó ilyen esetekben az operátort L-lel jelöljük. Mivel L lineáris operátor, így a két hibavektor közötti kapcsolat ebben az esetben h = L g alakú lesz. Ha a közelítő megoldást az U függvénytér egy véges dimenziójú U n alterében bázisfüggvények lineáris kombinációjaként írjuk fel, akkor: a./ El kell dönteni, hogy a g, a h, vagy pedig mindkét hibavektor elemzésével foglalkozunk, továbbá hibafeltételt kell adnunk a kiválasztott változatra, és mérési elvet (metrikát) kell értelmeznünk az U és W függvényterekre. Ezt a matematikai műveletet nevezzük a hibaelv kiválasztásának. 4.

α( x + y) = α x + α y ,

5.

(α + β) x = α x + β x , (αβ )x = α (βx ) ,

6. 7. 2

0 x = O és 1x = x.

d=1,2,3 esetén az Ω tartományt rendre általában l-lel, A-val illetve V-vel jelöljük. 4


Előadásvázlat

b./ Alkalmas bázisvektor-rendszert kell felvennünk a megfelelő függvényterekben a közelítő megoldás szempontjából szükséges alterek kifeszítésére. Ezt a lépést hívjuk bázisválasztásnak. Nagyon fontos megjegyzés, hogy a végeselemes technikák alapvetően mindig ehhez a lépéshez kapcsolódnak, és nem függnek a hibaelv megválasztásától! A bevezetett hibavektorok közül kiválasztható akár g, akár h, akár mindkettő. Hibafeltételként alkalmazható valamilyen skalármennyiségre, vektorra, tenzorra, stb. vonatkozó előírás, de megjegyezzük, hogy invariancia tulajdonságai miatt általában előnyös a skalár mérték. A vektorterek metrizálása bilineáris funkcionálok3 értelmezésével történhet, a konkrét alak rögzítése attól függ, hogy melyik hibavektor kiválasztása mellett döntünk. Ha a bilineáris funkcionálnál a két változót nem ugyanabból a lineáris térből vesszük, akkor vigyázni kell arra, hogy a két tér között bizonyos fajta dualitás álljon fenn (például a mechanikai feladatoknál az elemek szorzata fajlagos energia legyen). A hibafeltételt két különböző kritérium alapján szokás felvenni: a./ Stacionaritási4, vagy más néven hossz-feltétel: a hibavektor kiválasztása után felírt bilineáris alak értéke legyen minimális,

3

Ha az operátor az X halmaz elemeihez skalárt rendel hozzá, akkor az operátor neve funkcionál. Az X × Y direkt szorzat olyan lineáris tér, melynek elemei olyan rendezett elemkettősök, amelyeknek első tagja az X, a második tagja az Y lineáris tér eleme. Az X × Y direkt szorzaton értelmezett A funkcionált bilineáris (mindkét változójában lineáris) funkcionálnak nevezzük, ha A(α x1 + x2 , y ) = α A( x1, y ) + A( x2 , y ) , A( x,α y1 + y2 ) = α A( x, y1 ) + A( x, y2 ) , ahol x, x1 , x2 ∈ X , y, y1 , y2 ∈ Y és α valós szám. A bilineáris funkcionált gyakran < x, y > alakkal jelöljük. (Például bilineáris funkcionál lineáris függvényterek esetén a szorzatintegrállal definiált < x, y >= ∫ x y d Ω skaláris szorzás, vagy ha X és Y véges dimenziós vektortér, akkor az Ω

< x, y >= xT Ay szorzat, ahol A egy konstans elemű mátrix.) 4 A stacionaritás valójában csak állandóértékűséget jelent, vagyis azt, hogy az érintősík legyen vízszintes, az első variáció, illetve véges számú változó esetén a gradiens legyen zérus. Az általunk vizsgált feladatoknál az L operátor pozitív, és így a stacionaritásból a minimum is következik. Az L lineáris operátort szimmetrikus operátornak nevezzük a DL halmazon, ha minden u, v ∈ DL esetén teljesül, hogy < Lu , v >=< u , Lv > . Az L operátort pozitívnak nevezzük a DL tartományon, ha szimmetrikus és minden u ∈ DL esetén teljesül, hogy < Lu , u > ≥ 0 , ahol < Lu , u >= 0 pontosan akkor, ha u = 0 . Például az önsúlyával terhelt függőleges konzolra  d 2u  megadott peremérték-feladatban az operátor pozitív, mert < Lu,u >= ∫  − EA 2  udx , és a dx  0 parciális integrálás szabályát alkalmazva: l

5


Előadásvázlat

b./ Ortogonalitási5, vagy más néven vetületi feltétel: a kiszemelt hibavektor egy altérre legyen ortogonális. A következőkben elemezzük mind az öt gyakorlati jelentőségű változatot: a g, a h, valamint a g és h felvétele esetén a stacionaritási illetve az ortogonalitási feltételt (g és h ortogonalitása előírásának nincs értelme): Feltétel Stacionaritási Ortogonalitási

g A B

h C D

g és h E -----

A./ A g hibavektor vizsgálata a stacionaritási feltétel segítségével: Legyen a közelítés un = ci ϕi alakú6 (ϕi ∈ U ) . Ekkor a < g ,g > = min! feltételt kellene teljesítenünk. A közelítést behelyettesítve (1.3) < g ,g >= < u0 − ci ϕi ,u0 − c jϕ j > = = < u0 ,u0 > − < ci ϕi ,u0 > − < u0 ,c j ϕ j > + < ci ϕi ,c j ϕ j > .

Innen a ck paraméterek szerinti deriválással (a bilineáris alak szimmetriáját az általánosság kedvéért nem tételezzük fel) a stacionaritási feltétel: ∂ < g , g > = − < ϕ k ,u0 > − < u0 ,ϕ k > + < ϕk ,c jϕ j > + < ciϕi ,ϕ k > = 0 . (1.4) ∂ ck Ez a kifejezés nem alkalmas a ck együtthatók meghatározására, mivel csak ismeretlen értékeket tartalmaz (minden tagjában ott van az ismeretlen u0 és ci ).

B. / A g hibavektor ortogonalitásának előírása egy tetszőleges m ∈ M n ,k =1, 2 ,...,n k 7 altérre ( mk − k M n − nek egy bázisát alkotják): l

l   d 2u  du   du  du  ∫0  − EA dx 2  udx =  − EA dx  u  0 − ∫0  − EA dx  dx dx . Itt a szögletes zárójelben lévő rész az ura vonatkozó peremfeltételek miatt zérus. A második tag pedig nem lehet negatív, hiszen egy függvény négyzetét integráljuk. Az integrál csak akkor zérus, ha az u deriváltja a zérusfüggvény, vagyis az u konstans, de a peremfeltételek miatt ez u=0-t jelent. A szimmetria teljesüléséről (az < Lu,v >=< u,Lv > egyenlőségről) a parciális integrálás szabályának kétszeri alkalmazásával lehet meggyőződni. 5 Ha két elem skaláris szorzata zérus, akkor azokat egymásra ortogonálisnak (merőlegesnek) nevezzük. 6 A rövidség kedvéért az összegzési konvenciót alkalmaztuk, vagyis ha egy tagban ugyanaz a (néma) index kétszer szerepel, akkor az index minden lehetséges értékével ki kell számítani ezt a l

n

tagot, és összegezni azokat. Pl. most un = ∑ ci ϕi . i =1

7

Az mk függvények lineárisan függetlenek, de lineáris kombinációjukkal Mn bármelyik eleme előállítható. 6


Előadásvázlat

Ebben az esetben a < g ,mk > = < u0 − ciϕi ,mk > = < u0 ,mk > − < ci ϕi ,mk > = 0 feltétel nem ad használható eredményt.

(k=1,…,n)

(1.5)

Két további kiegészítő előírás alkalmazása azonban segít a feladat megoldásában: - vegyünk fel egy ψ k ∈U n függvénybázist úgy, hogy mk = Lψ k legyen, - tételezzük fel, hogy a bilineáris alak az U és W tereket hozza dualitásba, és az L operátort tekintve argumentumaiban szimmetrikus: < p,L q > = < q,L p > . Ezekkel a feltételekkel az ortogonalitási előírás átalakítható: < u0 ,Lψ k > = < ci ϕi ,Lψ k > ,

(1.6) < ψ k , f > = ci < ϕi ,Lψ k > . ( k = 1,...,n ) Az (1.6) alatti összefüggés a ci ismeretlenekre nézve egy lineáris egyenletrendszer, melyből azok meghatározhatók: −1

 c1   < ϕ1 ,Lψ 1 > K < ϕ n ,Lψ 1 >   < ψ 1 , f >     M =  (1.7) M O M M         cn   < ϕ1 ,Lψ n > L < ϕ n ,Lψ n >  < ψ n , f >  Ezt a megoldási technikát „direkt” módszernek hívják, mert közvetlenül a g hibavektorra vonatkozó feltételekre épül. A megoldás lényegében a szimmetrikus (komplex függvények esetén önadjungált) operátorok esetében alkalmazható ortogonális sorfejtési eljárás általánosítása.

C./ Stacionaritási feltétel a h hibavektorra: < h,h > = < f − L ( ci ϕi ) , f − L ( c j ϕ j ) > = min!

(1.8)

Ennek figyelembevételével k=1,…,n esetén: ∂ ∂ ∂ − < h,h > = < L ( ci ϕi ) , f − L ( c j ϕ j ) > + < f − L ( ci ϕi ) , L ( c j ϕ j ) > = 0 . (1.9) ∂ ck ∂ ck ∂ ck Megjegyezzük, hogy ez az eljárás a legkisebb négyzetek hibaelve néven ismert. Az (1.9) alatti összefüggés ck -kra egy egyenletrendszert eredményez. A bilineáris alak ebben az esetben a W tér metrikáját adja meg, és ha ez a bilineáris alak argumentumaiban szimmetrikus, akkor a fenti kifejezés a ∂ (1.10) < L ( ci ϕi ) , f − L ( c j ϕ j ) > = 0 ∂ ck ortogonalitási feltételre egyszerűsödik. Mivel most már csak lineáris operátorokat vizsgálunk, az egyenlet tovább egyszerűsödik: (1.11) < Lϕk , f − c j Lϕ j > = 0 , melyből

7


Előadásvázlat −1

 c1   < Lϕ1 ,Lϕ1 > K < Lϕn ,Lϕ1 >   < Lϕ1 , f >     M = . M O M M       cn   < Lϕ1 ,Lϕ n > L < Lϕ n ,Lϕ n >  < Lϕ n , f >  (1.12) Megjegyezzük, hogy ha ϕk -k az L operátor sajátfüggvényei8, akkor tovább egyszerűsítve az < λkϕk , f − ck λkϕk > = 0 (nincs összegzés k szerint) egyismeretlenes egyenletekre vezet, melyekből a keresett együtthatók számíthatók: < ϕk , f > . (nincs összegzés k szerint) ck = λk < ϕ k ,ϕk >

D./ Ortogonalitási feltétel a h hibavektorra:

< h ,mk > = < f ,mk > − < L( ci ϕi ),mk > = 0 .

k=1,…,n

(1.13) Az L operátor linearitását kihasználva az együtthatók −1  c1   < Lϕ1 ,m1 > K < Lϕn ,m1 >   < f ,m1 >     M = . M O M M         cn   < Lϕ1 ,mn > L < Lϕ n ,mn >  < f ,mn >  (1.14) módon számíthatók. Ez a kifejezés a súlyozott maradékok hibaelve néven ismert a szakirodalomban. Az ortogonalitási feltétel a bilineáris alak és az mk ∈ M n altér-bázis felvételétől függően többféle gyakorlati változat alapja. Megjegyezzük, hogy ennek a hibaelvnek az egyszerűsített változatai egybeesnek más hibaelvekből speciális esetekben adódó változatokkal (az egyezés alapja a Hilbert-terekben megfogalmazható vetítési tétel analógiája, amely összekapcsolja a minimumfeltételt és az ortogonalitási feltételt). Fontos tudni, hogy a szakirodalomban egyes szerzők a súlyozott maradékok hibaelvének általánosításából kiindulva ide sorolnak több olyan eljárást (pl. a legkisebb négyzetek módszerét, stb.) is, amelyet mi általános esetben elvileg különböző változatnak tartunk.

E./ Stacionaritási feltétel a g és h hibavektorokra: Vezessünk be egy < g ,h > bilineáris funkcionált úgy, hogy az dualitást hozzon létre az U és W terek között. Igazolható, hogy ha az L operátor pozitív, akkor az u0 megoldás pontjában a < g ,h > funkcionálnak minimuma van. A 8

ϕk az L operátor sajátfüggvénye, ha Lϕk = λkϕk ( λk a ϕk -hoz tartozó sajátérték). A

sajátfüggvények ortogonálisak egymásra: ϕi ,ϕ j = 0 , ha i ≠ j . 8


Előadásvázlat

< g , h > = min!

(1.15)

feltételt energetikai hibaelvnek nevezzük (az elnevezés alapja a < g , h > = min! feltétel mechanikai tartalmából adódott a szakirodalomban). Helyettesítsük be 1.15-be a hibavektorok képletét: < uo − ciϕi , f − L ( c jϕ j ) >= min! (1.16) Ezt tagokra bontva a következőt kapjuk: < u0 , f > + < ci ϕi ,L ( c j ϕ j ) > − < u0 ,L ( c j ϕ j ) > − < ci ϕi , f > = min!

(1.17)

Az első tag konstans, így elhagyhatjuk, mert nem változtat a stacionaritási ponton. A harmadik tagban kihasználjuk az L operátor szimmetriáját és azt, hogy Luo = f , így az a negyedik taggal megegyezik (a néma indexek különbözősége nem számít): (1.18) < ci ϕi ,L ( c j ϕ j ) > − 2 < ci ϕi , f > = min! . Szokás még kettővel osztani a függvényt (ez sem változtat a stacionaritási ponton), mert a gyakorlati számításokban szükséges deriválásoknál majd egyszerűbb alakot kapunk, - a mechanikai példáknál a függvény így formailag is megegyezik a teljes potenciális energia függvényével: 1 < ci ϕi ,L ( c j ϕ j ) > − < ci ϕi , f > = min! (1.19) 2 A stacionaritási feltétel szerint a ck változók szerinti deriváltaknak zérusnak kell lenniük: 1 1 ∂ (1.20) < ϕk ,L ( ci ϕi ) > + < ci ϕi , L ( ci ϕi ) > − < ϕk , f > = 0 . ( k = 1,...,n ) 2 2 ∂ ck Kihasználva az L operátor lineáris voltát: 1 1 < ϕ k ,L ( ci ϕi ) > + < ci ϕi ,Lϕ k > − < ϕ k , f > = 0 , ( k = 1,...,n ) (1.21) 2 2 majd a szimmetrikus voltát: (1.22) < ϕk ,L ( ci ϕi ) > − < ϕ k , f > = 0 . ( k = 1,...,n ) A ck együtthatók ezen lineáris egyenletrendszerből számíthatók: -

 c1   < Lϕ1 ,ϕ1 > K < Lϕ n ,ϕ1 >    M  = M O M     cn   < Lϕ1 ,ϕ n > L < Lϕ n ,ϕ n > 

−1

 < ϕ1 , f >   . M   < ϕn , f > 

(1.23)

Az elemzés befejezéséül újból megjegyezzük, hogy a g és h-ra nem lehet ortogonalitási feltételt alkalmazni. A fentiekben tárgyalt osztályozás összefoglaló táblázata: Feltétel Stacionaritási Ortogonalitási

g -----Direkt módszerek

h Legkisebb négyzetek Súlyozott maradékok

g és h Energetikai módszerek -----

9


Előadásvázlat

Általános megjegyzések a B-C-D-E alatt ismertetett hibaelvekhez: -

Az L operátor tényleges felépítése közömbös a hibaelvek általános alakja szempontjából (kivéve az esetenkénti egyszerűsítéseknél felhasznált szimmetria feltételeket).

-

A hibaelv megválasztása meghatározza a végső lépésben megoldandó egyenletrendszer együtthatómátrixának tulajdonságait (szimmetria, pozitív definit jelleg, stb.).

-

A homogén peremfeltételekre vonatkozó feltételt a bilineáris alak szimmetriatulajdonságaival kapcsolatos átalakításoknál használtuk fel (parciális integrálást illetve esetenként a Gauss-Osztrogradszkij-tételt alkalmazva).

-

Általános esetben (kellően tágas altér megválasztásával) a felsorolt hibaelvek mindegyike megfelelő közelítést ad, ezért nincs érdemi válasz a „melyik a legjobb” kérdésre. Mechanikai háttere (és mindkét hibavektor együttes figyelembevétele miatt) azonban megkülönböztetett figyelmet érdemel a „E” pont alatti változat!

-

A hibaelvek osztályozásakor nem jutottak szerephez a bázismegválasztás szempontjai, valamennyi hibaelvre kidolgoztak már végeselemes technikákat.

-

A bemutatott klasszikus (úgynevezett „tiszta”) hibaelvek szakirodalomban „vegyes” változatok is ismertek. Például:

mellett

a

a./ Módosított variációs elv: ha valamely Π ( u ) funkcionál stacionaritási pontját kell megkeresni a G( u )= 0 mellékfeltétel teljesítésével, akkor a λ Lagrange-függvények bevezetése után az ˆ = Π + λ G dΩ . A alábbi módosított alakot szokás vizsgálni: Π ∫ Ω

variációs elv ebben az esetben a kényszerfeltétel kielégítését is ˆ = δ Π + δλ G d Ω + λ δ G d Ω = 0 . A δΠ figyelembe veszi: ∫ ∫ Ω

Ω

módszer hátránya, hogy rendszerint a λ Lagrange-függvényeket is a bázisfüggvények terében kell felvenni, így az ismeretlenek száma nő. További hátrány, hogy kvadratikus Π és lineáris G esetén a végső egyenletrendszer szinguláris lesz. b./ Büntető függvényekkel módosított feltétel: tetszőleges funkcionálhoz kapcsolható kényszerfeltétel a legkisebb négyzetek ˆ = Π + α G 2 dΩ , ahol az α büntető konstans . Nagy hibaelvével: Π ∫ Ω

α értékek mellett a végső egyenletrendszer rosszul kondicionálttá

10


Előadásvázlat

válik. Ha Π = 0 , akkor visszajutunk a legkisebb négyzetek módszeréhez. A B-C-D-E hibaelvek alkalmazásához kapcsolódó megjegyzések: -

Az ortogonalitási hibaelvek („direkt” módszer, „súlyozott maradékok” módszere) közvetlenül vezetnek olyan egyenletrendszerekre, amelyekből az ismeretlenek meghatározhatók. Akkor használják őket, amikor:

a feladathoz nem kapcsolódik variációs elv, a megoldandó egyenletrendszer együtthatómátrixának szimmetriája nem alapvető követelmény, viszonylag könnyen található nagyszámú előnyös súlyfüggvény (vetítési irány).

-

A vetítési hibaelveknél megjelennek mindazon deriváltak, amelyek a feladat alapegyenletében szerepelnek, ezért ennek megfelelő fokszámú közelítő függvényeket kell alkalmazni.

-

A stacionaritási feltételekhez kötődő, variációs elvű (legkisebb négyzetek, energetikai elv) módszerek alkalmazása esetén szimmetrikus együtthatómátrixú egyenletrendszer adódik, a legkisebb négyzetek módszerénél pedig biztosan pozitív definit is. Az energetikai hibaelv előnye, hogy a bilineáris alak szimmetria-feltétele a gyakorlatban parciális integrálást eredményez, és ennek végrehajtásával eliminálhatók a magasabb rendű deriváltak, alacsonyabb fokú közelítő függvények használhatók.

1.2. Példa Keressük az alábbi feladat megoldását: d 2u + u = − x , x ∈[ 0 ,1] , a peremfeltételek : u ( 0 ) = 0, u (1) = 0 . dx 2 Behelyettesítéssel könnyen meggyőződhetünk, hogy a feladat pontos megoldása: sin x u0 = −x . sin1 1 1 3 A közelítő megoldások pontosságát vizsgáljuk meg az x = , , helyeken, ahol a 4 2 4 pontos megoldás értékei (hat éles jegyre): 0,0440137 , 0,0697470 és 0,0600562. A vizsgálandó példánknál a L =

d2 + 1 és f ( x ) = − x . dx 2

A következőkben ezt a feladatot megoldjuk a fentiekben bemutatott négy közelítő módszerrel. Mindegyiknél ugyanazt a kétdimenziós U2 alteret választjuk a 11


Előadásvázlat

ϕ1 ( x ) = x (1 − x ) és a ϕ 2 ( x ) = x 2 (1 − x ) bázist használva. Ezek a függvények kielégítik a peremfeltételeket és legalább kétszer folytonosan deriválhatók (ezek végtelenszer is deriválhatók). Megoldás direkt módszerrel: Ennél a módszernél a ψ k függvényeket is U egy kétdimenziós lineáris alteréből kell választanunk, vagyis ezeknek is ki kell elégíteniük a peremfeltételeket, és kétszer folytonosan deriválhatóknak kell lenniük. Természetesen használhatnánk a fenti alteret is (ekkor minden eredmény megegyezne a később bemutatott energetikai módszer számaival), de most inkább válasszunk trigonometrikus függvényeket: ψ 1 = sin (π x ) , ψ 2 = sin ( 2π x ) . A korábban közölt képletek szerint pl. az együtthatómátrix (1,2) eleme 1  d 2 sin (π x )  < ϕ2 ,Lψ 1 > = ∫ x 2 (1 − x )  + sin (π x )  dx = −0 ,572117 , 2 dx 0   vagy a lineáris egyenletrendszer jobb oldalának második eleme: 1

< ψ 2 , f >= ∫ sin ( 2π x )( − x ) dx = 0 ,159155 . 0

Hasonlóan számolva a többi elemet is a keresett együtthatók: −1  c1   −1,14423 −0 ,572117   −0 ,318310  0 ,192687  . = c  =  0 0,930741   0 ,159155   0 ,170998   2  Ez alapján a megoldás közelítése: u2 ( x ) = 0 ,192687 x (1 − x ) + 0,170998 x 2 (1 − x ) , melynek a negyedekben felvett értékei: 0,0441444; 0,0695465; 0,0601754. A pontos értékektől való eltérések 0,3%-nál kisebbek.

Közelítés a legkisebb négyzetek hibaelvével: Itt csak a korábban kiválasztott ϕ1 és ϕ2 függvényt kell használnunk. Az együtthatómátrix (1,2) indexű elemének és a jobb oldal második elemének előállítását részletesen felírjuk: 1  d 2 x 2 (1 − x )   d 2 x (1 − x )  2 < Lϕ2 ,Lϕ1 > = ∫  + x (1 − x )   + x (1 − x )  dx = 1,68333 , 2 2 dx dx 0   2 2 1  d x (1 − x )  < Lϕ 2 , f > = ∫  + x 2 (1 − x )  ( − x ) dx = 0 ,950000 . 2 dx 0  Hasonlóan számolva a többi elemet is a keresett együtthatók: −1

 c1  3,36667 1,68333   0 ,192687   0,187542   =   = .  c2  1, 68333 3,742857  0 ,950000   0 ,169471

12


Előadásvázlat

Ez alapján a megoldás közelítése: u2 ( x ) = 0 ,187542 x (1 − x ) + 0 ,169471x 2 (1 − x ) , melynek a negyedekben felvett értékei: 0,0431080; 0,0680693; 0,0589959. A pontos értékektől való eltérések 2,5%-nál kisebbek.

Közelítés a súlyozott maradékok elve alapján: Az M2 függvénytér elemeinek nem kell a peremfeltételeket kielégíteniük, ezért választhatjuk azokat egyszerű polinomoknak például az m1 = x , m2 = x 2 bázist használva. Itt is az együtthatómátrix (1,2) és a jobb oldal második elemének előállítását mutatjuk be: 1  d 2 x 2 (1 − x )  < Lϕ 2 ,m1 > = ∫  + x 2 (1 − x ) xdx = −0 ,950000 , 2 dx 0  1

< m2 , f > = ∫ x 2 ( − x ) dx = −0 , 250000 . 0

Hasonlóan számolva a többi elemet is a keresett együtthatók: −1

 c1   −0 ,916667 −0 ,950000   −0 ,333333  0 ,197740   c  =  −0 ,616667 −0 ,800000   −0 , 250000  =  0 ,160075  .       2  A megoldás közelítése: u2 ( x ) = 0 ,197740 x (1 − x ) + 0 ,160075 x 2 (1 − x ) , melynek a negyedekben felvett értékei: 0,0445798; 0,0694444; 0,0595869. A pontos értékektől való eltérések 1,3%-nál kisebbek.

Közelítés az energetikai hibaelv alapján Itt csak a korábban bemutatott ϕ1 és ϕ2 függvényt kell használnunk. Újból az együtthatómátrix (1,2) és a jobb oldal második elemének előállítását ismertetjük: 1  d 2 x 2 (1 − x )  < Lϕ 2 ,ϕ1 > = ∫  + x 2 (1 − x ) x (1 − x ) dx = −0,150000 , 2 dx 0  1

< ϕ2 , f > = ∫ x 2 (1 − x )( − x ) dx = −0 ,0500000 . 0

Most is hasonlóan számoljuk a többi elemet: −1

 c1   −0 ,300000 −0 ,150000   −0 , 0833333 0 ,192412   c  =  −0 ,150000 −0 ,123810   −0 ,0500000  = 0 ,170732  .       2  A megoldás közelítése: u2 ( x ) = 0 ,192412 x (1 − x ) + 0 ,170732 x 2 (1 − x ) , melynek a negyedekben felvett értékei: 0,0440803; 0,0694444; 0,0600864. A pontos értékektől való eltérések 0,5%-nál kisebbek.

13


Előadásvázlat

Parciális differenciálegyenletek esetén az előzőekben bemutatott közelítő módszereket a műszaki mechanikában az alábbi feladattípusok vizsgálatára használják (az osztályozás alapja a differenciálegyenletek együtthatóinak elemzése9): -

a./ Hiperbolikus típusú differenciálegyenletek (pl. a rezgő húr egyenlete: 2 2 2 ∂ 2u ∂ 2u 2 ∂ u 2 ∂ u 2 ∂ u − = 0 , a rezgő membrán egyenlete: a +a − = 0, a ∂x 2 ∂t 2 ∂x 2 ∂y 2 ∂t 2 stb.).

-

b./ Elliptikus típusú differenciálegyenletek (pl. a tárcsánál használt Laplace∂ 2u ∂ 2u egyenlet 2 + 2 = 0 , a rugalmasságtan klasszikus egyenletei, stb.). ∂x ∂y

-

c./ Parabolikus típusú differenciálegyenletek (pl. a hővezetés egyenlete ∂ 2u ∂u rúdban: a 2 2 − = 0 ). ∂x ∂t

A „Mechanika MSc” tárgy keretében (jelen tárggyal párhuzamosan) megadjuk a műszaki mechanikában tárgyalásra kerülő alapvető feladattípusok összefoglaló jellegű áttekintését, differenciálegyenletek (differenciálegyenlet rendszerek) illetve integrál-kifejezések formájában egyaránt. Ennek a tárgynak a keretein belül alapvetően az elliptikus differenciálegyenletekkel leírható feladatok közelítő vizsgálata lesz a cél, bár nem zárjuk ki más példák (pl. egy parabolikus jellegű hővezetési feladat, stb.) elemzését sem.

Kétváltozós másodrendű lineáris (parciális) differenciálegyenletek általános alakja ( u ( x, y ) az ismeretlen függvény): ∂ 2u ∂ 2u ∂ 2u ∂u ∂u A 2 + 2B +C 2 +a + b + cu = f . (Az együtthatók is lehetnek x és y függvényei.) ∂x ∂x∂y ∂y ∂x ∂y A differenciálegyenlet típusa attól függ, hogy a vizsgált tartományban milyen a δ = AC − B 2 diszkrimináns előjele. Ha δ < 0 , akkor hiperbolikus; ha δ = 0 , akkor parabolikus; ha δ > 0 , akkor elliptikus differenciálegyenletről beszélünk. Kettőnél több változós állandó együtthatós másodrendű lineáris (parciális) differenciálegyenletek esetén a változók egy homogén lineáris transzformálásával elérhető, hogy a másodrendű rész ∂ 2u κ ∑i i ∂x2 alakú legyen (nincsenek vegyes deriváltak). Ebben az esetben elliptikus a i differenciálegyenlet, ha az összes κ i azonos előjelű (és nincs zérus); hiperbolikus, ha egynek az előjele eltér a többitől (és nincs zérus); parabolikus, ha pontosan egy zérus van, a többi pedig azonos előjelű. Egy közönséges differenciálegyenletet elliptikusnak nevezhetünk, ha a differenciáloperátora (vagy annak -1-szerese) pozitív. 9

14


Előadásvázlat

Az elliptikus differenciálegyenletekről (a közelítő megoldások minőségének értékeléséhez is) tudnunk kell, hogy: -

megoldásaik általában kellően simák, még viszonylag rosszul kondicionált kiindulási adatok esetében is,

-

a peremfeltételi adatok hatása általában érezhető az egész tartományon, viszont a

-

lokális szingularitások hatása általában lokális jelentőségű marad (Saint Venant-elv).

Felhasznált irodalom:

1./ Scharle P. : Hibaelvek alkalmazása a numerikus számításokban, Kézirat, 1976. 2./ Bronstejn, I. N. – Szemengyajev, K. A. – Musiol, G. – Mühlig, H. : Matematikai kézikönyv, Typotex, 2000. 3./ Popper Gy. : A végeselemmódszer matematikai alapjai, Műszaki Kiadó, 1985.

15


Előadásvázlat

2. előadás: A Galjorkin- és a Ritz-módszer elméleti részleteinek bemutatása A./ A Galjorkin-módszer A módszert Borisz Grigorjevics Galjorkin10 publikálta 1915-ben (Galjorkin, B.G.: Series-solutions of some cases of equilibrium of elastic beams and plates, Vesthnik inzsenerov i technikov. pp. 879-903, 1915). A Galjorkin-módszer a súlyozott maradékok hibaelvén alapul. Ez az eljárás a legáltalánosabban megadott ortogonalitási feltételt használja, ezért nemlineáris differenciálegyenletek esetén is alkalmazható. Ha tehát a Bu = 0 peremérték-feladatban akár Φu = f , Φ nemlineáris operátor, a h hibának zérusnak kellene lennie, a zérus függvény pedig ortogonális minden az Ω -n értelmezett, integrálható v függvényre (ezek halmazát jelöljük M-mel) (2.1) < f − Φ u ,v > = 0 , ∀v ∈ M . Galjorkin is az u n -nel jelölt közelítő megoldás számítására előre felvett n darab (a Bu = 0 peremfeltételt kielégítő, a kellő számban folytonosan deriválható) lineárisan független függvény ( ϕ i , i = 1,2,…, n ), - úgynevezett bázisfüggvény – lineáris kombinációját javasolta: n

u n = ∑ ci ϕ i .

(2.2)

i =1

Ebben a közelítő függvényben már csak n ismeretlen paraméter van, ezért nem tudjuk biztosítani, hogy M minden elemére ortogonális legyen a hiba. Választhatunk azonban egy n-dimenziós lineáris alteret ( M n ⊂ M ) , melynek elemeire ortogonálissá tehető, ugyanis az ortogonalitási feltételben használt funkcionál a második változójában lineáris, ezért ha az Mn lineáris tér egy bázisára ortogonális a hiba, akkor az Mn minden elemére is ortogonális lesz. Jelöljük Mn egy bázisát m1 ,...,mn módon. Így a következő n-ismeretlenes nemlineáris egyenletrendszert kell megoldanunk: < f − Φ ( ciϕi ) ,mk >= 0, k = 1,...,n. (2.3) Ez a feladat általában nem könnyű, bonyolult esetben még az integrálást sem tudjuk analitikusan elvégezni. Ha ez sikerül is, akkor a nemlineáris egyenletrendszer megoldásánál léphetnek fel más jellegű problémák (van-e megoldás, hány megoldás van, stb.) Nagy valószínűséggel csak numerikusan, iterációs eljárással kereshetjük a megoldás jó közelítését.

10

1871 – 1945. Fehérorosz származású mérnök és matematikus. Életének adatait lásd bővebben a http://en.wikipedia.org/wiki/Galerkin honlapon illetve a Tanszék honlapján lévő „Ritz, Galjorkin és a mechanikai feladatok numerikus közelítői módszerei” életrajzban. 16


Előadásvázlat

2.1. Példa. A Galjorkin-módszer nemlineáris differenciálegyenlet esetén Oldjuk meg közelítőleg a következő peremérték-feladatot a [ 0,1] intervallumban11: du u = sinx , dx

u ( 0) = 0 .

Válasszunk (a peremfeltételnek eleget tevő) három bázisfüggvényt, a legegyszerűbb „polinomokat”: ϕ1 = x, ϕ2 = x 2 , ϕ3 = x 3 . Az Mn lineáris térben a peremfeltételt sem kell kielégítenünk, így még egyszerűbb bázis választható: m1 = 1, m2 = x, m3 = x 2 . Behelyettesítve ezeket az ortogonalitási feltételekbe a 1 2 ( c1 + c2 + c3 ) + cos (1) − 1 = 0 , 2 c12 2c 2 3c c 4c c 5c c 3c 2 + cos (1) − sin (1) + 2 + 1 2 + 1 3 + 2 3 + 3 = 0 , 3 5 4 5 6 7 c12 c22 3c1c2 2c1c3 5c2 c3 3c32 − cos (1) − 2sin (1) + + + + + +2=0 4 3 5 3 7 8 nemlineáris egyenletrendszert kaptuk. Ennek egy számítógépes numerikus programmal kapott megoldása: c1 = −1,00033; c2 = 0,0400111; c3 = 0, 00146678 . Az ezzel képzett u3 1% -nál kisebb hibával közelíti a (negatív előjelű) pontos megoldást a vizsgált [ 0,1] intervallumban. (Megjegyezzük, hogy a harmadfoknál csonkított − x + x 3 / 24 Taylor-sor kisebb hibát ad, mint a Galjorkin-módszerrel így kapott megoldás.)

Ha a differenciáloperátor lineáris, akkor az első héten látottaknak megfelelően a kapott lineáris egyenletrendszert −1

 c1   < Lϕ1 ,m1 > K < Lϕn ,m1 >   < f ,m1 >     M =  M O M M       cn   < Lϕ1 ,mn > L < Lϕ n ,mn >  < f ,mn >  módon oldhatjuk meg. (Erre már bemutattunk egy numerikus példát az első héten.)

Korábban láttuk, hogy az Mn lineáris tér elemeinek nem kellett kielégíteniük a peremérték-feladatban szereplő peremfeltételeket, de azt sem mondtuk, hogy nem szabad

11

Behelyettesítéssel könnyen ellenőrizhető, hogy ennek a feladatnak a pontos megoldása: x u0 = ±2 sin . 2 17


Előadásvázlat

kielégíteniük, ezért elég kézenfekvő megoldásnak tűnik az is, ha Mn teret az Un térrel egyezőnek választjuk, sőt abban ugyanazt a bázist használjuk, vagyis mi = ϕi ( i = 1,...,n ) . Így a megoldás: −1

 c1   < Lϕ1 ,ϕ1 > K < Lϕ n ,ϕ1 >   < f ,ϕ1 >     M  = . M O M M       cn   < Lϕ1 ,ϕ n > L < Lϕ n ,ϕ n >  < f ,ϕ n >  Ezt a képletet összehasonlítva az első héten az energetikai hibaelv használatánál kapott képlettel, megállapíthatjuk, hogy a két módszer ugyanarra az egyenletrendszerre vezetett. Erre az esetre is láttunk numerikus példát az első héten.

Ha az L lineáris operátor szimmetrikus operátor, akkor a kapott együtthatómátrix is szimmetrikus. Az első héten bemutatott példában az együtthatómátrix szimmetrikus volt. Érdekes feladat megvizsgálni, hogy ez nem a bázisfüggvények szerencsés felvételének következménye, hanem az L operátor valóban szimmetrikus operátor.

2.2. Példa. Szimmetrikus operátor d2 • + 1 • operátorhoz még az értelmezési tartomány is hozzátartozik, vagyis DL dx 2 azoknak a [ 0,1] intervallumban értelmezett, • ( 0 ) = 0, • (1) = 0 peremfeltételeket teljesítő függvényeknek a halmaza, amelyeknek még a második deriváltja is folytonos. Ez az operátor szimmetrikus, mert:

Az L• =

1

1 1 1 1 1  d 2u  d 2u du dv  du  < Lu,v > = ∫  2 + u vdx = ∫ 2 vdx + ∫ uvdx =  v  − ∫ dx + ∫ uvdx = dx dx  dx  0 0 dx dx  0 0 0 0 1

1 1 1  d 2v  d 2v  dv  = 0 − 0 − u  + ∫ u 2 dx + ∫ uvdx = ∫ u  2 + v dx =< u,Lv > . dx  dx  0 0 dx  0 0  Itt kétszer alkalmaztuk a parciális integrálás szabályát, a szögletes zárójelben lévő kifejezések pedig a v-re illetve az u-ra vonatkozó vonatkozó peremfeltételek miatt zérusok.

Ez a példa azt is mutatja, hogy ha a lineáris operátor olyan tagok összege, melyek mindegyikében páros számszor kell deriválni (és megfelelőek a peremfeltételek is), akkor a megoldáshoz használt együtthatómátrix elemeit alacsonyabb deriváltakkal is elő lehet állítani. Például az előző példában L két tag összege, az elsőben két, a másodikban d és az R2 = 1 operátorokat12, nulla deriválást kell végrehajtani. Így bevezetve az R1 = i dx a megoldás

Itt i a komplex függvénytanból ismert i = −1 képzetes szám, bevezetésére azért volt szükség, mert az operátor első tagjának a (-1)-szerese pozitív, de a szimmetriát bizonyító egyenletsor első sorának végéből is látszik, hogy a negatív előjelhez szükség van az i-re. 12

18


Előadásvázlat −1

 c1   < Rkϕ1 ,Rkϕ1 > K < Rkϕn ,Rkϕ1 >   < f ,ϕ1 >     M =  M O M M       cn   < Rkϕ1 ,Rkϕn > L < Rkϕn ,Rkϕ n >  < f ,ϕ n >  alakba is írható (itt a k index szerint összegezni kell). Ez az alak már „sejteti”, hogy a ϕi bázisfüggvényekre esetleg elég lehet enyhébb deriválhatósági feltételt előírnunk… A vizsgált példában eddig azt írtuk elő, hogy a bázisfüggvények kétszer folytonosan deriválhatók legyenek, mert az L operátorban második derivált is előfordult. Ezen legutóbbi alakban az Rk operátorokban legfeljebb az első derivált szerepel, tehát elég lenne az első derivált meglétét megkövetelnünk. Az igazság azonban az, hogy az első deriváltat sem kell a vizsgált tartomány (intervallum) minden pontjában ismernünk, ugyanis a határozott integrálok értéke nem változik, ha a tartomány egy nullmértékű halmazán (egydimenziós esetben diszkrét pontokban) megváltoztatnánk az integrálandó függvény értékét, vagyis egy nullmértékű halmazon az is megengedhető, hogy ne ismerjük a derivált értékét. Tekintsük végül azt az esetet, amikor a lineáris operátor sajátfüggvényeiből választjuk a bázisfüggvényeket, vagyis úgy kell választanunk a bázisfüggvényeket, hogy Lϕi = λiϕi legyen, és a bázisfüggvények ortogonálisak legyenek egymásra. A sajátfüggvények miatt < Lϕi ,ϕ j >= λi < ϕi ,ϕ j > , az ortogonalitás miatt pedig ϕ i ,ϕ j = 0 , ha i ≠ j . Így az együtthatómátrix diagonális mátrix lesz, vagyis a ck együtthatók egyismeretlenes egyenletekből számíthatók: ϕk , f . (nincs összegzés k szerint) ck = λk ϕ k ,ϕ k

2.3. Példa. Sajátfüggvények alkalmazása; bázisfüggvények számának növelése d2 • + 1 • operátornak ( • ( 0 ) = 0, • (1) = 0 peremfeltételekkel) a dx 2 (k=1,2,…) függvények sajátfüggvényei, hiszen sin ( 0 ) = 0 és sin ( kπ ) = 0 ,

Az eddig is vizsgált L• =

sin ( kπ x ) valamint

(

)

Lsin ( kπ x ) = − k 2π 2 + 1 sin ( kπ x ) ,

tehát a sajátértékek: λk = 1 − k π . Az is könnyen belátható, hogy k értékétől függetlenül 2

2

1

< ϕk ,ϕk > = ∫ sin 2 ( kπ x )dx = 0

1 . 2

Ezekkel a bázisfüggvényekkel tehát: 1 kπ cos ( kπ ) − sin ( kπ ) 2 2 ck = . sin ( kπ x )( − x ) dx = 2 2 ∫ 2 2 k 2π 2 1− k π 0 1− k π 19


Előadásvázlat

Az első 5 darab együttható értéke: k 1 2 3 4 5

ck +0,07177544152 -0,008272426617 +0,002416203954 -0,001014283476 +0,0005181244300

Ez a feladat jó lehetőséget ad arra, hogy megvizsgáljuk, hogy hogyan változik a megoldás pontossága a bázisfüggvények számának függvényében, például az intervallum negyedeiben:

Pontos n=1 n=2 n=3 n=4 n=5 n=10

x=0,25 0,0440136544 0,0507529014 0,0424804748 0,0441889890 0,0441889890 0,0438226197 0,0440212093

x=0,5 0,0697469638 0,0717754415 0,0717754415 0,0693592376 0,0693592376 0,0698773620 0,0697775091

x=0,75 0,0600561664 0,0507529014 0,0590253280 0,0607338422 0,0607338422 0,0603674729 0,0600619666

Jól látható, hogy -

a konvergencia nem túl gyors, hol nagyobb, hol kisebb értéket kapunk a pontos értéknél, egy-egy pontban hol nagyobb, hol kisebb a változás is, attól is függően, hogy a bázisfüggvénynek az adott pontban mekkora az értéke (pl. ϕ 4 látszólag nem változtatott a megoldáson, mert a vizsgált pontokban éppen zérus az értéke, de a hibafüggvény normája biztosan csökkent).

Nézzük meg a bázisfüggvények számának hatását a korábbi példánknál is. Most az együtthatómátrix elemeit nem a levezetett képletekkel állítjuk elő, hanem az ortogonalitási feltételeket írjuk fel, és annak deriválásával vezetjük le a megoldandó egyenletrendszert.

2.4. Példa. Bázisfüggvények számának növelése A vizsgálandó egyenlet és a peremfeltételek a következők: d 2u + u + x = 0 , u ( 0 ) = u (1) = 0 . dx 2 Először csak egy bázisfüggvénnyel közelítünk: u(1) = c1 ⋅ x (1 − x ) . Az ortogonalitási feltétel – ha azt ugyanarra a bázisfüggvényre írjuk fel – a következő lesz:

20

Bojtár-Gáspár: A végeselemmódszer matematikai alapjai 1

Előadásvázlat

1

( )

∫ L u(1) ϕ1 dx = ∫ {−2c1 + c1 x (1 − x ) + x} x (1 − x ) dx = 0 . 0

0

Az integrálás elvégzése után: 3 1 5 5 − c1 + = 0 ⇒ c1 = ⇒ u(1) = x (1 − x ) . 10 12 18 18 Két függvénnyel történő közelítés esetén legyen: u( 2 ) = c1 x (1 − x ) + c2 x 2 (1 − x ) . Az ortogonalitási feltételek: 1

1

∫ L ( u( ) ) ϕ dx = ∫ {−2c + c ( 2 − 6 x ) + x (1 − x )( c + c x ) + x} x (1 − x ) dx = 0 , 2

0

1

1

1

2

1

2

0

( )

1

2 ∫ L u( 2) ϕ2 dx = ∫ {−2c1 + c2 ( 2 − 6 x ) + x (1 − x )( c1 + c2 x ) + x} x (1 − x ) dx = 0 . 0

0

Az integrálok kiszámítása után: 3 3 1 3 13 1 71 7  71 7  c1 + c2 = , c1 + c2 = ⇒ c1 = ,c2 = ⇒ u( 2) = x (1 − x )  + x 10 20 12 20 105 20 369 41  369 41  sin x Összehasonlítva az u0 = − x pontos megoldást, valamint u(1) és u( 2) értékeit az sin 1 1 1 3 x = ; ; helyeken, a következőket kapjuk: 4 2 4 x u0 u(1) u( 2) 0,25 0,50 0,75

0,04401 0,06975 0,06006

0,05208 0,06944 0,05208

0,04408 0,06944 0,06009.

Ha nem homogének a peremfeltételek, akkor az eddig alkalmazott közelítő-függvényeket ki kell egészíteni egy olyan up taggal, amelyik eleget tesz a megadott (inhomogén) peremfeltételeknek. Az up tag megválasztásakor a differenciálegyenletre csak annyiban kell tekintettel lennünk, hogy az az L operátorban előírt számban deriválható legyen. Tehát: n

un = u p + ∑ ci ϕ i . i =1

Mivel az up tagnak nem ismeretlen az együtthatója, az ortogonalitási feltételben ez csak az egyenletrendszer jobb oldalát befolyásolja.

2.5. Példa. Inhomogén peremfeltétel Vizsgáljuk meg az alábbi, úgynevezett Bessel-féle differenciálegyenletet az (1,2) intervallumban inhomogén peremfeltételek mellett: d 2u du x2 2 + x + ( x 2 − 1) u = 0 , u (1) = 1 , u ( 2 ) = 2 . dx dx

21

Bojtár-Gáspár: A végeselemmódszer égeselemmódszer m matematikai alapjai Az előírt peremfeltételeket az

up ( x) = x

Előadásvázlat függvény teljesíti. Válasszunk egy

bázisfüggvényt, yt, amelyik a homogén peremfeltételeket teljesíti: ϕ1 = ( x − 1)( 2 − x ) , tehát a közelítő-függvényt u1 = x + c1 ( x − 1)( 2 − x ) alakban keressük. Feltételi egyenletként a h hibavektornak a ϕ1 -re re való ortogonalitását írjuk elő: 2

∫ { x ( −2c ) + x (1 + c (3 − 2 x ) ) + ( x 2

1

1

2

)

}

− 1 ( x + c1 ( x − 1)( 2 − x ) ) ( x − 1)( 2 − x ) dx = 0 .

1

Integrálás után a megoldás: c1 = 0,8103 ⇒ u1 = x + 0,8103 ( x − 1)( 2 − x ) . Hasonlítsuk össze néhány helyen a közelítést az u0 = 3, 60741 I1 ( x ) + 0, 75196 I 2 ( x ) pontos megoldással. (Itt I1 és I2 a két elsőrendű elsőfajú Bessel-függvény függvény13, az együtthatókat pedig edig úgy vettük fel, hogy u0 kielégítse a peremfeltételeket.)

x u0 u1 1,3 1,47069 1,47016 1,5 1,70267 1,70257 1,8 1,92958 1,92965

2.6. Példa. Húzott rúd Vizsgáljunk meg egy húzott konzolt, keresve az u (x ) eltolódásfüggvény közelítését.

2.1. ábra: Húzott rúd vizsgálata A példához tartozó peremérték peremérték-feladat: du d 2u =0. − EA 2 = p ( x ) , u (0) = 0 és a dx l dx A Galjorkin-módszerrel módszerrel történő megoldáshoz válasszunk most két bázisfüggvényt, ezek mindegyike kielégíti mindkét peremfeltételt: 13

A fenti differenciálegyenlet megoldása, melyek sorfejtéssel számíthatók. A korszerű számítógép-algebrai algebrai rendszerekben ugyanúgy használ használhatók, hatók, mint pl. a trigonometrikus függvények. 22


Előadásvázlat

x2 x3 , ϕ2 = x − 2 . 2l 3l Bemutatjuk a megoldandó egyenletrendszer két elemének számítását:

ϕ1 = x −

l

< Lϕ 2 , ϕ1 > = ∫ − EA 0

d 2ϕ 2 5lEA , ϕ1 dx = 2 12 dx

l

< f , ϕ 2 > = ∫ a x ϕ 2 dx = 0

4al 3 . 15

A teljes egyenletrendszer:

 l / 3 5l / 12  c1  5al 3 / 24 EA  .  = 3 5l / 12 8l / 15 c2   4al / 15  A megoldás: c1 = 0 , c 2 = a l 2 /( 2 EA).

Ez egyébként – a „szerencsés” bázisfüggvény-felvétel miatt – megegyezik a pontos megoldással: a  2 x3  . l x − u (x) = c1ϕ 1 + c 2 ϕ 2 = 2 EA  3  Ha azt a tényt is kihasználjuk, hogy az L operátor pozitív, akkor az előző alapegyenlet még tovább egyszerűsödik, hiszen az egyenletrendszer így az alábbi formában írható fel: n

∑c

j

< Rϕ j , Rϕ i >−< f , ϕi >= 0, i =1, 2,..., n .

j =1

Most oldjunk meg egy olyan feladatot, amelyikben az ismeretlen függvény kétváltozós.

2.7. Példa. Kétváltozós függvény Határozzuk meg az ábrán látható négyzet alaprajzú vékony lemez közelítő eltolódásfüggvényét a Galjorkin-módszer segítségével! A homogén, izotrop lemez vastagsága (h) állandó, felületén egyenletesen megoszló ( p ) teher működik, a peremek mind a négy oldalon befogottak.

2.2. ábra: Befogott lemez vizsgálata

23


Előadásvázlat

A kis elmozdulásokat végző állandó vastagságú vékony lemez eltolódásfüggvényt tartalmazó peremérték-feladata kvázistatikus hatásokra tömör formában egyszerű alakú14: D ∆∆w = p . Itt w az eltolódás kétváltozós függvénye, p az ugyancsak kétváltozós terhelésfüggvény, D a lemezmerevség ( D =

E h3 , itt E a rugalmassági modulus, h a lemez 12 (1−ν 2 )

∂2 ∂2 + a kétdimenziós ∂x 2 ∂y 2 Laplace-operátor. A terhelés értéke ebben a példában állandó a lemez egész felületén. A ∂w peremfeltételek mind a négy élen adottak (az x =0, x = l peremeken w=0 és = 0 , az ∂y ∂w y =0, y = l éleken pedig w =0, = 0 ). ∂x Válasszuk a legegyszerűbb esetet, egyetlen – a peremfeltételeket kielégítő – közelítő függvényt figyelembe véve: 1 2πx   2πy  ϕ1 = 1− cos  1− cos . l  l  4 A h hibavektorra vonatkozó ortogonalitási feltétel kihasználásával: vastagsága, ν pedig a Poisson-tényező), végül ∆ =

l l

l l

∫ ∫ c1D( ∆∆ϕ 1 )ϕ 1dxdy −

∫ ∫ pϕ 1dxdy

00

00

= 0.

Ha behelyettesítjük a választott bázisfüggvényt ebbe az egyenletbe, akkor a következőt kapjuk: 4

4

2π x  2π y  1  2π  2π x 2π y  1  2π  c1 D ∫ ∫  −  − cos  cos 1 − cos +   cos 16 8 l l l l l l        0 0 l l

4

1  2π   2πx  2πy   2πx  2πy  −   1 − cos  cos 1 − cos 1 − cos  dx dy −  l  l  l  l  16  l   l l

2πx  2πy  p  − ∫∫ 1 − cos 1 − cos  dx dy = 0 . 4 0 0 l  l 

Az integrálok kiszámítása után az egyenlet alakja lényegesen egyszerűbben írható: 2 Dπ 4 p l 2 =0, c1 2 − 4 l innen pedig c1 értéke: pl4 . 8 Dπ 4 Érdemes összevetni a kapott eredményt az ennél a feladatnál a peremérték-feladatból közvetlenül kiszámítható „pontos” megoldással. Hasonlítsuk össze például a lemez c1 =

14

Emlékeztetőül: a BSc „Tartók Statikája” tárgy már bemutatta a lemezegyenlet ezen változatának előállítását. 24


Előadásvázlat

középpontjának függőleges eltolódását. A Galjorkin-módszer szolgáltatta közelítő eredmény: pl4 köz. , = 0,00128 wmax D az elméletileg „pontos” eredmény: pl4 elm. . = 0,00126 wmax D Az eltérés kisebb, mint 2%. Előfordulnak olyan peremérték-feladatok is, amikor a lineáris differenciálegyenlet és a peremfeltétel is homogén. Ennek a feladatnak a triviális megoldása zérusfüggvény. Ha azonban a lineáris differenciáloperátorban szerepel egy paraméter is, akkor ennek a paraméternek speciális értékeinél (a sajátértékeknél) lehetnek nemtriviális megoldások is. A Galjorkin-módszert ilyen feladatok megoldására is használhatjuk.

2.8. Példa. Sajátérték-feladat Határozzuk meg egy egyenes tengelyű, állandó hajlító merevségű, két végén befogott rúd szabad rezgéseihez tartozó első két sajátérték közelítő értékét. A feladat (homogén) differenciálegyenlete: d 4w 4 mω2 4 . −β w = 0 , ahol β = dx 4 EI Az egyenletben w(x) a rúdtengelyre merőleges eltolódások függvénye (az x koordináta a rúd baloldali végétől indul a jobboldali felé irányítva), m a rúd tömege, ω a rúd sajátfrekvenciája. A homogén peremfeltételek (l a rúd hossza): dw dw = 0 , w ( l ) = 0, = 0. w ( 0 ) = 0, dx x =0 dx x =l Legyen az alkalmazott közelítés függvénye: 2πx  4πx    w( x ) = c1ϕ1 + c2 ϕ2 = c1  cos − 1 + c2  cos − 1 . l l     Az ortogonalitási feltételek: l   2π 4 4  2πx 4πx 2πx   4π 4 4 4 4 ∫0 c1 ( l ) − β  cos l + c1β + c2 ( l ) − β  cos l + c2β  cos l − 1 dx = 0 ,   2π 4 4  2πx 4πx  4πx   4π  ) − β  cos + c1β4 + c2 ( ) 4 − β4  cos + c2β4  cos − 1 dx = 0 . 1 l l l l   l    0 Integrálás után az alábbi homogén lineáris egyenletrendszerhez jutunk:  1  2π 4  4 4 −β4  2 ( l ) − β  − β  c       1  = 0.  1  4π 4 4 4   c2  −β4 ( ) − β  − β   2 l    l

∫ c (

25


Előadásvázlat

Ennek csak akkor van nemtriviális megoldása, ha az együttható-mátrix determinánsa zérus. A determináns értékét 4l 8 / 5 -tel szorozva: 3 1 (β l )8 − {(2π) 4 + (4π) 4 } (β l ) 4 + (2 π) 4 (4π) 4 = (βl )8 − 15897(βl ) 4 + 7773005 = 0 . 5 5 22, 47 EI 124,1 EI , ω2 = 2 . Innen: (βl )1 = 4, 741 , (β l ) 2 =11,14 ⇒ ω1 = 2 l m l m Ezek az értékek mintegy 0,5%-os hibával közelítik a differenciálegyenlet „pontos” megoldását. A sajátértékek ismeretében meghatározhatók a rezgésalakok is. Az első sajátfrekvenciánál a homogén egyenletrendszer megoldása: c1 = 23,19c2 , vagyis a rezgésalak  2πx   4πx    − 1 +  cos − 1  . w( x ) = c2  23.19  cos l l      A második sajátfrekvenciánál pedig:  2πx   4πx    − 1 +  cos − 1  . w( x) = c2  −0, 68995  cos l l      Megjegyezzük, hogy a módszer elméleti részletei (például a konvergencia kérdései, bázisfüggvényfelvétel, stb.) iránt érdeklődők számos munkában találnak részletes elemzéseket. Megemlítjük például Galjorkin 1933-ban megjelentetett munkáját [Thin elastic plates (orosz nyelven), Gostrojizdat, Leningrád], vagy az irodalomjegyzékben felsorolt további munkákat.

B./ A Ritz-módszer Walter Ritz15 1908-ban publikálta a módszerét16 bemutató, nagy figyelmet keltett cikkét [Über eine neue Methode zur Lösung gewisser Variationsprobleme der Math. Physik, Journal für die reine und angewandte Mathematik., Bd.135. 1908]. Ennél a módszernél a g és a h hibákból képzett funkcionál stacionaritását (az energetikai hibaelvet) használjuk.

A kvadratikus funkcionál minimumtétele kimondja, hogy ha egy Lu = f , Bu = 0 alakú peremérték-feladatban L pozitív operátor, akkor ehhez a peremérték-feladathoz hozzárendelhető

15

1878 – 1909. Svájci származású elméleti fizikus. Életéről lásd részletesebben a http://en.wikipedia.org/wiki/Walter_Ritz honlapot illetve a Tartószerkezetek Mechanikája Tanszék tudósokat bemutató honlapját (pontos cím az egyes lábjegyzetnél). 16 Néha Rayleigh-Ritz-módszer elnevezéssel is találkozhatunk a szakirodalomban. Rayleigh 1876ban hasonló módszert publikált, de ő mindig csak egyetlen egy bázisfüggvénnyel dolgozott, és nem általánosította eljárását. 26


Előadásvázlat

egy F ( u ) funkcionál. Ha a peremérték-feladatnak létezik egy u0 ∈ DL megoldása, akkor ebben (és kizárólag csakis ebben) az u0 pontban van a minimuma az F ( u ) funkcionálnak. Ez fordítva is igaz, vagyis ha egy u0 függvénynél van az F (u ) funkcionál minimumpontja, akkor az u0 egyúttal (legalább gyenge) megoldása a peremértékfeladatnak. 1 Az energetikai hibaelv (célszerűség okából 2-vel osztva): < g ,h > = min! Ebbe a hibákat 2 behelyettesítve: 1 1 1 < g ,h > = ∫ ( u0 − u )( f − Lu ) d Ω = ∫ ( u0 f + uLu − u0 Lu − uf ) d Ω 2 2Ω 2Ω (2.4) Itt az első tag nem függ u-tól, így nem befolyásolja a minimumpont helyét, tehát elhagyható. A harmadik és a negyedik tag L szimmetriája miatt megegyezik, tehát a feltétel 1 F (u ) = < Lu ,u > − < f ,u >= min! 2 (2.5) alakban is írható. Mivel L pozitív operátor, a parciális integrálást (esetleg többször) alkalmazva az 1 F (u ) = < Ru ,Ru > − < f ,u >= min! 2 (2.6) alak is használható. A Ritz-módszer a funkcionált stacionáriussá tevő – közelítő – megoldás keresését a peremfeltételeket kielégítő n darab egymástól lineárisan független ϕi függvény – bázisfüggvény – lineáris kombinációjaként keresi: n

u n = ∑ ci ϕ i .

(2.7)

i =1

Ha ezt a közelítő függvényt behelyettesítjük az F (u ) funkcionál valamelyik alakjába, az kizárólag csak az ismeretlen ci konstansoktól függ (így akár n-változós függvénynek is hívhatnánk): 1 (2.8/a) F ( c1 ,c2 ,...,cn ) = < Lun ,un > − < f , un > = min! , 2 illetve 1 (2.8/b) F ( c1 ,c2 ,...,cn ) = < Run ,Run > − < f ,un > = min! 2 A minimumpontban az F funkcionál minden ci szerinti első deriváltja zérus értékű. Az F (c1 , c2 ,..., cn ) funkcionál első tagja a ci ismeretlen állandók homogén másodfokú függvénye, a második tag pedig ugyanezen állandók lineáris függvénye, ezért:

27


Előadásvázlat

∂F n = ∑ c j < Lϕ j ,ϕi > − < f ,ϕi > = 0, i = 1, 2,..., n , vagy ∂ci j =1

(2.9/a)

∂F n = ∑ c j < Rϕ j ,Rϕi > − < f ,ϕi > = 0 , i =1, 2 ,..., n . (2.9/b) ∂ci j =1 (2.9/a) illetve (2.9/b) valamelyikéből határozhatók meg végül a ci állandók. Ezek az egyenletek pozitív lineáris L operátor esetén természetesen megegyeznek a Galjorkinmódszerrel kapott egyenletekkel. Fontos ismételten hangsúlyoznunk, hogy az eltérés a két módszer között minden eseti hasonlóság (azonos típusú közelítő függvények, egyes esetekben azonos formájú végső lineáris egyenletrendszerek) ellenére nagyon lényeges. A Galjorkin-eljárás ortogonalitási feltétele minden – akár nemlineáris - peremérték-feladat esetén alkalmazható, tehát a módszer általános, míg a Ritz-módszer szigorúan a stacionaritási feltételhez kötődik, vagyis egy speciális megoldási technikáról van szó. A Galjorkin-módszernél mindig magát a peremérték-feladatot vizsgáljuk, a Ritz-módszer esetében pedig a kvadratikus funkcionál minimum- (stacionaritási) tételének segítségével kapott funkcionált. A két különböző matematikai feladatmegfogalmazás általában különböző ϕi bázisfüggvények felvételét teszi lehetővé, és ez végül nagyon jelentős eltérést okoz a gyakorlatban. Már említett, de újból hangsúlyozandó következménye az eddig elmondottaknak, hogy a Ritz-módszer bázisfüggvényei többnyire már alacsonyabb rendű deriválási feltételek esetén is alkalmazhatók, hiszen az R operátor rendje az L operátorénak fele. Egyszerű és szellemes öszehasonlítás található a két módszer különböző „filozófiájáról” Popper könyvében (lásd az irodalmi hivatkozásokat a fejezet végén). Ennek lényege a következő: Tételezzük fel például, hogy egy feladat pontos megoldása háromdimenziós vektor, de a közelítést csak a kétdimenziós térben, magyarul egy síkon tudjuk biztosítani. Az adott síkon „legjobb” becslést kétféle gondolatmenetet követve kaphatjuk. Minimalizálhatjuk például a két vektor különbségének hosszát (ez a stacionaritási feltétel és a Ritz-módszeres megoldás), vagy kereshetünk olyan közelítést, amelynél előírjuk, hogy a hibavektor (a pontos és a közelítő megoldás különbsége) legyen a sík minden vektorára merőleges (ez az ortogonalitási elv és a Galjorkin-módszer). Ebben a példában a kétféle megoldás ugyanazt az eredményt szolgáltatja. Vizsgáljunk meg most néhány egyszerűbb mechanikai problémát a Ritz-módszer segítségével!

2.9. Példa. Húzott rúd Vizsgáljuk meg először a 2.6. példában is elemzett húzott rudat. Ennek F (u ) funkcionálját írjuk fel először mindkét alakban. A kvadratikus funkcionál minimumtétele alapján felírható „eredeti” alak:

28


Előadásvázlat

l l 1  d 2u  − − EA u dx   ∫0 ax u dx . 2 ∫0  dx 2  Ennek parciális integrálással átalakított változata (ami megegyezik a rúd teljes potenciális energiájával17):

F( u ) =

l

2

l

EA  du  F (u ) =   dx − ∫ ax u dx . 2 ∫0  dx  0 Vegyünk fel két egyszerű bázisfüggvényt, amelyek kielégítik a lényeges peremfeltételt ( u ( 0 ) = 0 , hiszen a másik ( u ′ ( l ) = 0 ) természetes peremfeltétel): ϕ1 = x és ϕ 2 = x 2 .

Helyettesítsük be az így kapott u 2 = c1ϕ1 + c2ϕ 2 közelítő eltolódásfüggvényt a második funkcionálba: l EA l 2 1  2 ( ) F (c1 , c2 ) = c 2 c x dx ax c1 x + c2 x 2 dx = EA c12l + c1c2 l 2 + c22 l 3  − + − 1 2 ∫ ∫ 2 0 3 2  0

(

)

 l3 l4   − a  c1 + c2  . 4  3 A stacionaritási (jelen esetben minimum-) feltételből következik, hogy ezt a funkcionált c1 és c2 szerint kell parciálisan deriválni: ∂F al 3 = c1lEA + c2l 2 EA − = 0, ∂c1 3 ∂F 4 al 4 = c1l 2 EA + c2 l 3 EA − = 0. ∂c 2 3 4 A kétismeretlenes egyenletrendszer megoldásából kapjuk a keresett konstansokat: 7 al 2 al , c2 = − . c1 = 12 EA 4 EA Az eltolódásfüggvény közelítő értéke ezek segítségével: al 7 xl − 3 x 2 . u ( x) = 12 EA Ha a közelítés pontosságát akarjuk becsülni, akkor számítsuk ki az elmozdulásokat néhány keresztmetszetben. Azt találjuk, hogy például a rúd közepén és végén a közelítés a peremérték-feladat „pontos” megoldásából kapott értékekkel megegyezik, de más keresztmetszetekben közelítésünk már eltér az elméleti megoldástól.

(

)

Ez erről az alakról könnyen belátható. Az u függvény első deriváltja az ε fajlagos megnyúlás. Ez E-vel szorozva a σ normálfeszültséget kapjuk. Az ε − σ diagram egyenes, az alatta lévő terület (egy háromszög területe 0 ,5εσ ) a fajlagos alakváltozási munka. Egy dx hosszúságú rúdszakasz elemi alakváltozási munkáját úgy kapjuk, hogy a fajlagos értéket megszorozzuk e rúdszakasz térfogatával, vagyis Adx -szel. A teljes rúd alakváltozási munkája az elemi munka integrálja a rúd hossza mentén. A második tag a teher potenciáljának csökkenését adja, így a két tag összege a teljes potenciális energia. 17

29

Bojtár-Gáspár: A végeselemmódszer égeselemmódszer m matematikai alapjai

Előadásvázlat

2.10. Példa. Hajlított ggerenda, koncentrált teher A következő példában egy kéttámaszú hajlított gerenda vizsgálatát végezzük el. Az eddigiektől eltérően itt nem egy, hanem kétféle bázisfüggvényt fogunk kipróbálni, és az eltolódásfüggvény mellett kiszámítjuk a nyomaték függvényét is. A szerkezet hajlítómerevsége evsége állandó.

2.3. ábra: Hajlított gerenda vizsgálata

A szerkezet funkcionálja a teljes potenciális energiájának függvénye (melyet gyakran Π vel jelölünk, hogy az erő jelével ne egyezzék): 2

l EI  d 2 w  Π ( w) = −  dx − Fwx = 0 ,5l . 2 ∫0  dx 2  Megjegyezzük, hogy a jobb oldal második tagjánál most – a teher koncentrált jellege miatt – nem határozott integrállal, hanem csak egyetlen szorzat számításával18 kell megadnunk a külső munkát. Első közelítésként vegyünk fel egy egyetlen tagból álló függvényt, amely természetesen kielégíti a w =0 feltételt a tartó elején és végén, de a másodfokú közelítés miatt a ∂2w nyomatékfüggvényre vonatkozó (természetes) feltételeket ( 2 = 0 az x = l és az x = 0 ∂x helyen) márr nem teljesíti:

18

Koncentrált erő esetén a terhet nem lehet teherfüggvénnyel megadni, hanem elvileg az úgynevezett disztribúciókat kellene használnunk (a disztribúciók a végtelenszer folytonosan differenciálható függvények C ∞ (Ω) terén értelmezett különleges lineáris funkcionálok). Ha egy

a ∈Ω ponthoz tartozó Dirac Dirac-disztribúciót (δ a ) skalárisan szorzunk egy f ( x ) függvénnyel, akkor az f függvény a pontbeli értékét kapjuk:

∫δ ( x) f ( x) dΩ = f (a) . a

A koncentrált erő

Ω

„teherfüggvényét” így az erőnagyság és a támadásponthoz tartozó Dirac-disztribúció disztribúció szorzatának tekinthetjük, a teher munkáját pedig a w ( x ) eltolódás-függvényen függvényen a következőképpen számítjuk: l

∫ Fδ ( x ) w ( x ) dx = Fw ( a ) . a

A mérnöki

gyakorlatban nem fogjuk ezeket a disztribúciókat

0

használni, hanem a megszokott fizikai fogalmakkal dolgozunk: egy koncentrált erő munkája az erővektor és a támadáspont eltolódásvektorának skaláris szorzata, vagyis az erő nagyságát megszorozzuk az eltolódásvektornak az erő hatásvonalára vonatkozó vetületével. 30


Előadásvázlat

x x w( x) = c1 1−  . l l Helyettesítsük be a teljes potenciális energia funkcionáljába a közelítő függvényt, és számítsuk ki a határozott integrált: Π ( c1 ) =

2

l

EI  2 1 EI  4  2 1  −c1 2  dx − F c1 =   c1 − F c1 . ∫ 2 0 4 2  l3  4 l 

dΠ = 0. A dc1 kapunk, melynek

A funkcionál stacionaritásának – minimumának – feltételéből következik, hogy deriválást

végrehajtva

c1 -re egy egyismeretlenes egyenletet

3

Fl . Az eltolódásfüggvény közelítése most már felírható: 16 EI Fl 3 x  x  w( x) = 1 −  . 16 EI l  l  Oldjuk meg ugyanezt a feladatot egy egészen más típusú közelítő függvénnyel, legyen: πx w( x) = c1 sin . l Ritz módszere semmilyen korlátozást nem ír elő a közelítő függvény típusára, ezért nincs akadálya trigonometrikus függvények alkalmazásának sem. A választott közelítés teljesíti az eltolódásokra előírt homogén peremfeltételeket. Helyettesítsük be itt is a funkcionálba az adott w(x) függvényt és számítsuk ki az integrált:

megoldásából c1 =

2

 2  π 2 πx EI π 4 2 c sin dx F c c1 − F c1 . − − =   1 ∫0  1  l  l  4 l3  Ezt az energiafüggvényt deriváljuk c1 szerint, majd meghatározzuk a minimumfeltételből dΠ ( = 0 ) az állandó értékét: dc1 EI Π ( c1 ) = 2

l

F l3 . 48,7 EI Az alábbi ábrán összehasonlítottuk egymással az első és második közelítésből kapott eltolódásfüggvényeket és a „pontos” eltolódást; a középső metszetnél pedig a számított értékeket is feltüntettük. A „b” ábra az eltolódásfüggvények második deriváltjából d 2w számítható nyomatéki ábrát ( M = − EI ) mutatja be ugyanilyen csoportosításban. Jól dx 2 látható, hogy az igénybevétel számításánál keletkező hiba lényegesen nagyobb, mint amit az eltolódásoknál tapasztaltunk. Ez jellegzetes tulajdonsága az elmozdulás-módszeren alapuló közelítéseknek. c1 =

31


Előadásvázlat

2.4. ábra: Elmozdulás Elmozdulás- és nyomaték vizsgálata

2.11. Példa. Hajlított tartó, koncentrált nyomatéki teherrel Határozzuk meg az ábrán vázolt gerenda közelítő elmozdulását és igénybevételeit! A gerenda anyaga itt is homogén, izotrop, hajlítómerevsége állandó.

2.5. ábra: Konzolos gerendatartó peremérték-feladat feladat-e ez, hiszen a tartó Az ábrára ránézve rögtön felmerül a kérdés, hogy peremérték közepén is előírtuk az elmozdulás értékét. A válasz az, hogy tulajdonképpen két peremérték-feladat kapcsolódik össze a példában, a peremfeltételek: w ( 0 ) = 0, w′ ( 0 ) = 0 , w ( l − 0 ) = 0, w ( l + 0 ) = 0 , w′′ ( 2l ) = M e / EI , w′′′ ( 2l ) = 0 , és van két kapcsolódási feltételünk is: w′ ( l − 0 ) = w′ ( l + 0 ) , w′′ ( l − 0 ) = w′′ ( l + 0 ) . A természetes peremfeltételeket nem kell feltétlenül kielégítenünk, továbbá ha az egész tartományra sima bázisfüggvényeket használunk, k, akkor a harmadik és a negyedik feltétel összevonható a w ( l ) = 0 feltétellé, valamint a kapcsolódási feltételek (mindkettő, (mindk bár csak az első lényeges) automatikusan teljesülnek, vagyis így az ilyen feladatokat egyben lehet kezelni. Közelítsünk (a lényeges peremfeltételeket kielégítő) egyetlen bázisfüggvényt használva: w ( x ) = c1 x 2 ( x − l ) . A potenciális energiaa függvénye: 32

Bojtár-Gáspár: A végeselemmódszer matematikai alapjai 2

Előadásvázlat

2l 2l EI  d 2 w  dw EI 2 2 dx M c1 ( 6 x − 2l ) dx − M e c1 3 x 2 − 2 xl − = =  2  e ∫ ∫ x = 2l dx x = 2l 2 0  dx  2 0 56 = EI c12 l 3 − 8c1 l 2 M e . 2 M A stacionaritási feltételből: c1 = e . 7 EI l Vizsgáljuk meg a szerkezet jobb oldali végén ( x = 2l ) az elfordulást, a nyíróerőt és a nyomatékot: M el 6M e dw d 3w 2 ϕ= = 8c1l =1,1428 , T ( 2l ) = − EI 3 =− , dx x =2l EI 7 dx x = 2l

(

Π ( c1 ) =

)

10 M e d 2w = . 2 7 dx x =2l Az elfordulás pontos értékét ebben a metszetben a virtuális erők tételével, vagy a kis M l elmozdulások elméletével ki tudjuk számítani, ez 1,25 e -re adódik. A hiba valamivel EI több, mint 8,5%. Az igénybevételeknél a hiba lényegesen nagyobb, a nyíróerőnél nem lehet %-ban értelmezni a hibát, a nyomatéknál pedig több mint 42 %. M ( 2l ) = EI

Kíséreljük meg a megoldás pontosságát javítani egy két tagból álló közelítő függvény alkalmazásával. Legyen az új eltolódásfüggvény: w( x ) = c1 ( x 3 − lx 2 ) + c2 ( x 4 − lx 3 ) alakú. Ha ezt behelyettesítjük a teljes potenciális energia képletébe és integráljuk a belső energiát 0-tól 2 l -ig, majd a minimumfeltételnek megfelelően parciálisan deriváljuk ∂Π ∂Π c1 és c2 szerint ( = = 0 ), akkor végül az alábbi kétismeretlenes egyenlethez ∂c1 ∂c2 jutunk: Me    8M e  0 . 3032  c1    56 152 l   c1   lEI  lEI  .  152 441l  c  =  20 M  . A megoldás : c  =  e  2    2  − 0.0591 M e    lEI  l 2 EI   Ennek a közelítésnek a segítségével a megoldás már pontosabb. A jobb oldali végpont M l elfordulása 1,244 e -re adódik, vagyis 0,5%-nál kisebb a hiba. Jelentősen csökkent az EI igénybevételek hibája is M T = 0 , 661 e , illetve M = 0 ,91 M e . l Megjegyezzük, hogy a koncentrált erők alatt a nyíróerők ugrása a sima bázisfüggvényekkel még rosszabbul közelíthető.

33


Előadásvázlat

2.12. Példa. Lemez vizsgálata Ebben a példában feladatunk egy homogén, izotrop és állandó vastagságú vékony lemez vizsgálata lesz. A lemez négyzet alaprajzú, mindegyik oldalán csuklósan megtámasztott, teljes felületén p nagyságú egyenletesen megoszló terhelés működik. A lemez önsúlyát elhanyagoljuk. A vékony lemezek peremérték-feladatához tartozó funkcionál (vagyis a teljes potenciális energia): 1 T Π = ∫ ε D ε dA − ∫ pwdA . 2A A A példához tartozó szerkezetet az alábbi ábrán láthatjuk.

2.6. ábra: Csuklósan alátámasztott lemez. Ebben a funkcionálban ε a fajlagos görbületek vektora:  ∂ 2w ∂ 2w ∂2w  =  2 , − 2 , 2 , ∂x∂y  ∂x  ∂y D pedig a lemez anyagi merevségi mátrixa: T

ε

   1 −ν  0   E h3 D= −ν 1 0  .  2 12(1 − ν )  1− ν  0 0  2   A mátrixban E a rugalmassági modulus, h a lemez vastagsága, ν pedig a Poisson-tényező. Vegyünk fel a közelítés céljára egy egyszerű kétváltozós trigonometriai függvényt: πx πy , w( x, y ) = c1 sin sin l l amelyik kielégíti a w ( 0, y ) = w ( l, y ) = w ( x, 0 ) = w ( x,l ) = 0 lényeges peremfeltételeket.

34


Előadásvázlat

A elmozdulásfüggvény második parciális deriváltjait írjuk be először a görbületi vektor képletébe: π2 c1  πx πy πx πy πx π y T . sin , sin sin , 2cos cos ε = 2 − sin l  l l l l l l  Ezt a potenciális energia funkcionáljába behelyettesítve, és a határozott integrált kettős integrálként ( x = 0 ...l , y = 0...l ) kiszámítva: Π =

π4 Eh3

(

24 l 1 − ν 2

2

A minimumfeltétel alapján kapott egyenletből (

)

c12 −

4lp c1 . π2

∂Π = 0 ): ∂c1

48 pl 4 ( 1 − ν 2 ) . π6 E h 3 A felhasznált közelítő függvény alakja miatt ez a konstans rögtön megadja a lemez középpontjának függőleges eltolódását is. Ha ezt összevetjük a „pontos megoldással”, az eltérés itt is kisebb, mint 2%. c1 =

2.13. Példa. Sajátérték-feladat Határozzuk meg a Galjorkin-módszerrel már megoldott, egyenes tengelyű, állandó hajlító merevségű, két végén befogott rúd szabad rezgéseihez tartozó első két sajátértéket. A feladat differenciálegyenlete az alábbi volt: d 4w 4 mω2 4 . −β w = 0 , ahol β = dx 4 EI A peremértékfeladathoz tartozó funkcionál: l  d 4w  F ( w) = ∫  4 w − β4 w2  dx , dx  0 ahol az első tag a homogén peremfeltételek felhasználásával parciális integrálással átalakítható, így a számításnál alkalmazott alak: l  d 2w m ω2 2  F ( w) = ∫ ( 2 ) 2 − w  dx = min . dx EI  0 Legyen a közelítés függvénye: 2πx 4πx w( x) = c1ϕ1 + c2 ϕ2 = c1 cos( − 1) + c2 cos( − 1) . l l Behelyettesítve és integrálva: l 16π4 2 256π4 2 128π4 2πx 4πx  2 2 πx 2 4πx + 4 c2 cos + 4 c1c2 cos F ( w) = ∫ ( 4 c1 cos cos − l l l l l l l  0 

mω2  2 2πx 2 2 4πx 2 2πx 4πx  ) + c2 (1 − cos ) + 2c1c2 (1 − cos )(1 − cos ) ) dx = c1 (1 − cos EI  l l l l  8π4 128π4 m ω2  2 3l 2 3l  = 3 c12 + 3 c22 − c1 + c2 + 2c1c2l  = min . 2 l l EI  2 

−

35


Figyelembe véve a

Előadásvázlat

∂F ∂F = = 0 feltételeket, az alábbi homogén egyenletrendszerhez ∂c1 ∂c2

jutunk:

16π4 EI − 3ω2 ml  3  l  −2ω2 ml 

  c    1  =0 . 4 256π EI  c2  − 3ω2 ml  3 l  −2ω2 ml

A zérusértékű determináns alapján számított megoldás: 22, 47 EI 124,1 EI ω1 = 2 , ω2 = 2 . l m l m Mivel ugyanazokat a bázisfüggvényeket használtuk mint a Galjorkin-módszernél, az eredmény is ugyanaz lett. A fenti példák jól illusztrálják az általunk vizsgált mechanikai feladatok megoldására alkalmazható Ritz-módszer alapvető lépéseit. Összefoglalva a legfontosabbakat: - Egy adott feladat megoldása esetén a legfontosabb a vizsgált szerkezethez – és adott terheléséhez - tartozó funkcionál ismerete. Fizikai tartalma szerint ez mindig a teljes potenciális energia függvénye lesz. - A megfelelő energiafüggvény kiválasztása után következő lépésként olyan függvényeket kell keresnünk, amelyek folytonosak az egész vizsgált tartományban és – külön-külön kielégítik a feladathoz tartozó lényeges peremfeltételeket. Ezek lineáris kombinációja adja az elmozdulások közelítő függvényét. - A közelítést behelyettesítjük a potenciális energia függvényébe, elvégezzük a szükséges műveleteket (deriválást, integrálást), majd a minimum feltételnek megfelelően az egyes ismeretlen változók szerint parciálisan deriváljuk az energiafüggvényt. - A deriválások eredményeképpen lineáris egyenletrendszert kapunk, melynek ismeretlenei a keresett ci állandók. Az egyenletrendszer megoldása után a konstansok vissza-helyettesítésével megkapjuk a keresett közelítő elmozdulásfüggvényt, és szükség esetén számíthatjuk a további függvényeket (például az igénybevételeket). Felhívjuk a figyelmet arra, hogy a kidolgozott példákban általában ezeket a lépéseket mutattuk be, de legkevesebb számítást akkor kell végezni, ha az ismeretlen együtthatókat meghatározó  < Lϕ1 ,ϕ1 > K < Lϕ n ,ϕ1 >   c1   < ϕ1 , f >      , M O M M   M  =    < Lϕ ,ϕ > L < Lϕ ,ϕ >  c  < ϕ , f >  1 n n n   n  n  (2.10/a) illetve a parciális integrálással kapható

36


Előadásvázlat

 < Rϕ1 ,Rϕ1 > K < Rϕ n ,Rϕ1 >   c1   < ϕ1 , f >       M O M M   M  =    < Rϕ ,Rϕ > L < Rϕ ,Rϕ >  c  < ϕ , f >  1 n n n   n  n  (2.10/b) lineáris egyenletrendszer együtthatóit és jobb oldalát elemenként külön számítjuk, hiszen kihasználható az együtthatómátrix szimmetriája, és nem kell először egy másodfokú kifejezést meghatároznunk, hogy abból deriválással állítsuk elő a lineáris egyenletrendszert.


1./ Kantorovics, L. V. – Krülov, V. I. : A felsőbb analízis közelítő módszerei, Akadémiai Kiadó, 1953. 2./ Rektorys, K. : Variational methods in mathematics, science and engineering, D. Reidel Publ. Company, Dordrecht-Boston, 1980. 3./ Popper Gy. : A végeselem-módszer matematikai alapjai, Műszaki Könyvkiadó, 1985. 4./ Bojtár I. – Gáspár Zs. : Végeselemmódszer építőmérnököknek, Terc, 2003.

37


Előadásvázlat

3. előadás: A Ritz-- és Galjorkin-módszer módszer alkalmazása végesel végeselemes bázisfelvételi technikával Az előzőekben bemutattuk a Ritz- és Galjorkin-módszerek elméleti alapjait, illetve matematikai-mechnikai nikai példák megoldásán keresztül történő alkalmazásukat. Most mindkét módszert egy különleges bázisfelvételi technika segítségével átalakítjuk a számítógépes numerikus modellezés szempontjainak jobban megfelelő eljárássá.

3.1. Példa Vizsgáljuk meg a következő vetkező ábrán látható húzott rudat! A rúd anyagának rugalmassági modulusa állandó, keresztmetszete a két különböző tartományban más, de az egyes szakaszokon állandó. Az önsúly hatását a számításban elhanyagoljuk. Határozzuk meg a rúd eltolódásfüggvényét a Ritz-módszer segítségével.

3.1. ábra: zott rúd vizsgálata Húzott

Az eddigiektől eltérően a bázisfüggvényektől nem követeljük meg, hogy a lényeges peremfeltételeket kielégítsék; ezt később majd más módon biztosítjuk. A húzott rúd differenciálegyenlete te másodrendű, ezért az R operátor csak elsőrendű lesz. A potenciális energia számításánál az R operátort tartalmazó kifejezéseket integráljuk, ezért az sem baj, ha néhány pontban a bázisfüggvény nem differenciálható, tehát elegendő csak a folytonosságot éss a szakaszonként differenciálhatóságot megkövetelnünk tőlük.

3.2.ábra: Különleges bázisfüggvények

38


Előadásvázlat

A feladat megoldásához a fentiek figyelembevételével válasszuk az ábrán látható három bázisfüggvényt. Ezek szakaszonként lineárisak és az előre felvett kitüntetett pontok (csomópontok) egyikében 1 az értékük, a többiekben zérus. Az egyes függvények: x ϕ1 =1− , ha x ≤ l1 , egyébként értéke 0, l1 x − l1 x , ϕ 2 = , ha x ≤ l1 , egyébként pedig értéke ϕ 2 =1− l1 l2 x − l1 ϕ 3 = 0 , ha x ≤ l1 , egyébként ϕ 3 = . l2 Azonnal észrevehető ezeknek a speciális bázisfüggvények az első haszna: - az i-edik c konstans ( ci ) pontosan meg fog egyezni az i-edik csomóponthoz tartozó eltolódás értékével. Írjuk fel most az eltolódásfüggvény teljes közelítését:  x   x  0   l  − 1       1 u (x ) = c1  l1  + c2   + c3  x − l1  .  0  1 − x − l1   l   2     l2  A kapcsos zárójelekben lévő tagok közül a felsők az x ≤ l1 esetre, az alul lévők pedig az x > l1 helyzetre érvényesek. Számítsuk ki most a tengelyirányú alakváltozást az eltolódásfüggvény első deriváltjaként. Erre mindenképpen szükségünk lesz, hiszen a teljes potenciális energiában ennek négyzetét kell integrálnunk:  1  −1  0   l  du 1     ε( x) = = c1  l1  + c2   + c3  1  .   −1   dx  0     l2   l2  A rúdszerkezet potenciális energiájának függvényét használva: 2

Π =

1  du  EA   dx − Q u x =0 − F u x =l . ∫ 2l  dx 

Itt l = l1 + l 2 , Q pedig az ismeretlen reakcióerő (eddig ilyen tagra nem volt szükség, mert a közelítőfüggvény teljesítette a lényeges peremfeltételt, így a reakcióerő munkája zérus volt). Az integrálásnál ügyelnünk kell arra, hogy az ε függvényt szakaszonként különböző képlettel tudjuk megadni (sőt most az egyes szakaszokon különböző a rudak keresztmetszete is), tehát az általános képlet belső energiát megadó tagjait tartományonként külön-külön kell integrálnunk: Π=

EA1 2

l1

∫ 0

2

 EA2 1 1  −c1 + c2  dx + l1 l1  2 

l1 + l2

∫ l1

2

 1 1  −c2 + c3  dx − Qc1 − F c3 . l2 l2  

39


Előadásvázlat

Érdemes megfigyelni, hogy a belső potenciális energia számításánál (a jobb oldalon szereplő első és második tagnál) az első tartománynál (0 ≤ x ≤ l1 ) csak az ottani adatokra (hossz, normálmerevség, függvényapproximáció) van szükség, és a második tartomány ( l1 ≤ x ≤ l1 + l2 ) esetében pedig csak a másodikéra. Ezeket a külön kezelendő tartományokat hívjuk véges elemeknek. A stacionaritást kifejező egyenletek:

∂Π = 0 , i =1, 2, 3. Részletesen kifejtve: ∂ci

∂Π EA1  1 1 =  2 c1 − 2 c2  − Q = 0 , l1 l1  2  ∂c1 ∂Π EA1  1 1  EA2  1 1 =  2 c2 − 2 c1  +  2 c2 − 2 c3  = 0, ∂c2 l1 l1  l2 l2  2  2 

1 1 ∂Π EA 2   2 c3 − 2 c2  − F = 0 . = 2  l2 l2  ∂c3 Rendezzük ezeket az egyenleteket mátrix formába: A1  A1  0  −  l1  l1  c  Q   A1 A1 A2 A2   1  E − + −   c2  =  0  . l l l l2   1 1 2    F     c3  A2 A 2   0 − l2 l2   Az együtthatómátrix bal felső 2 × 2 -es blokkja az első tartomány geometriai és anyagi jellemzőitől, a jobb alsó 2 × 2 -es blokk pedig a második tartomány hasonló jellegű adataitól függ. A középső (2,2) indexű elemnél kapcsolódik össze a két szakasz. Ebben az egyenletrendszerben még szinguláris az együtthatómátrix, megoldhatóvá akkor válik, ha figyelembe vesszük a lényeges elmozdulási peremfeltételt, vagyis az u (0)= c1 =0 előírást. Így az együtthatómátrix első oszlopát elhagyjuk, az első egyenletet pedig külön választjuk, a feladat megoldása után abból számíthatjuk majd a Q reakcióerőt. A2   A1 A2 −   + A1 l1 l2 l2  c2   0  =   , − c2 = Q . E     A2 A2   c3   F  l1  −  l2 l2   A végeredmény most nem fontos számunkra, vizsgáljuk meg inkább azt a kérdést, hogy a már említettek mellett milyen további előnnyel járt ez a sajátos bázisfüggvény-felvétel: - A minimumfeltételt leíró egyenletrendszerben most is szimmetrikus az együtthatómátrix, de ezen kívül – bár ez most a példa kicsiny mérete miatt nem szembetűnő – szalagszerkezetű is, hiszen a függvények csak egyes tartományokban

40


Előadásvázlat

különböznek zérustól. Az ilyen mátrixok kezelése egyszerűbb, a számítógépes megoldás pedig lényegesen gyorsabb, mint más mátrixok esetén. - A zérustól csak egyes szakaszokon különböző, speciális bázisfüggvények – és együtthatóik – célszerű átcsoportosításával igen egyszerűen algoritmizálható az egyes szakaszokhoz tartozó függvények felírása. Például a mi esetünkben az első tartománynál  x x c −c c1 1−  + c2 = c1 + 2 1 x l2 l1  l1  alakot tudunk felírni az első és második bázisfüggvény kombinációjából, és ezt megismételhetjük a második tartománynál egy egyszerű x = x − l1 eltolási transzformáció bevezetésével:  x c −c x c2 1−  + c3 = c2 + 3 2 x .  l2  l2 l2 Az ilyen típusú átalakításokkal szakaszonként (tartományonként) – hasonló és így egységesen kezelhető függvényekkel történhet a közelítés és így a funkcionál értékének meghatározása19. A félreértések elkerülése végett fel kell hívnunk a figyelmet arra, hogy ennek a bázisfüggvény-felvételnek a sajátossága természetesen nem a linearitásában van – az csupán magának a feladatnak lehet a jellemzője – hanem a tartományonkénti „tipizálhatóságban”, amit természetesen magasabb fokú közelítő függvényekkel ugyanúgy végre lehet hajtani. A linearitásnak egyébként most az volt az előnye, hogy végül csak konstans függvényeket kellett integrálnunk, vagyis a konstans értéket csak az integrálási tartomány hosszával kellett szoroznunk. - A bázisfüggvények felvételénél a szerkezethez tartozó peremfeltételek figyelembevételére nem kell gondot fordítanunk, azok „hatását” elegendő a minimumfeltételek figyelembevétele után, a végső megoldáskor az egyenletrendszerbe beépíteni. - Már említettük, de most még egyszer hangsúlyozzuk, hogy a ci együtthatóknak ebben a megoldási módban közvetlen fizikai tartalmuk van, hiszen automatikusan megegyeznek az i -edik csomópont elmozdulásával.

3.2. Példa A következő feladat a Galjorkin-módszer hasonló jellegű átalakítását illusztrálja egy másik feladat segítségével. Vizsgáljuk meg az 1D stacionárius hőáramlás ( − a ( x ) u ′( x )) ′ = f ( x ) differenciálegyenletét (a(x)>0 a hővezetés ismert fizikai állandókat tartalmazó függvénye, f(x) pedig a hőforrás szintén ismert függvénye), ahol a keresett u(x) a hőmérséklet változása. Az egyszerűség kedvéért legyen most a(x)=1, alkalmazzunk homogén peremfeltételeket, és vizsgáljuk a feladatot a (0,1) tartományban: 19

Ebből következik, hogy ha a pontosság fokozás érdekében növeljük a bázisfüggvények darabszámát, akkor nem kell a fokszámot növelni. 41

Előadásvázlat


− u ′′( x ) = f ( x ), 0 ≤ x ≤ 1, u (0) = u (1) = 0. A megoldáshoz vegyünk fel a vizsgált tartományon az alábbi módon M+2 darab pontot: 0 = x0 < x1 < ... ... < x M +1 =1

Az eredeti I = (0,1) tartományt így M+1 darab, egyenként I j = ( x j −1 , x j ) -vel jelölhető

résztartomány összességére bontottuk, ezek hossza h j = x j − x j −1 . Vegyünk fel most M darab b olyan bázisfüggvényt, amelyekre igaz az alábbi állítás (lásd az ábrán bemutatott vázlatot):   0, ha x ∉  xi−1 , xi +1  ,   x − xi−1 , ha x ∈ [ xi−1 , xi ], ϕ i ( x) =   xi − xi−1   xi +1 − x , ha x ∈  xi , xi +1  .  xi +1 − xi

3.3. ábra: Függvényfelvétel Galjorkin Galjorkin-módszerhez módszerhez

1 , ha i = j , Ezekre a függvényekre igaz az is, hogy ϕ i ( x j ) =δ i j =  0, ha i ≠ j. A feladat közelítő függvénye ennek megfelelően: M

uM ( x ) = ∑ ci ϕi ( x ) . i =1

Ha ezen bázisfüggvényekre való ortogonalitási feltételt írjuk elő, akkor a következő kifejezést kapjuk: 1

∫ ( −u′′ ( x ) − f ( x ) )ϕ ( x ) dx = 0, M

j

j = 1,...,M .

0

A zárójel felbontása után kapott első tagra a parciális integrálás szabályát alkalmazva: 1

1

0

0

− ∫ uM′′ ( x ) ϕ j ( x ) dx = − uM′ (1) ϕ j (1) + uM′ ( 0 ) ϕ j ( 0 ) + ∫ uM′ ( x ) ϕ ′j ( x ) dx .

ϕ j a peremen zérus, tehát a jobb oldal első két tagja kiesik. Ezt figyelembe véve : 1

1

0

0

∫ uM′ ( x )ϕ ′j ( x )dx = ∫ f ( x )ϕ j ( x )dx,

j = 1,...,M . 42


Előadásvázlat

Behelyettesítve ide a közelítő függvényt (az integrálási határoknál figyelembe véve, hogy a bázisfüggvények csak két szakaszon különböznek zérustól): x j +1

xi +1

M

∑ c ∫ ϕ ′ ( x ) ϕ ′ ( x ) dx = ∫ f ( x ) ϕ ( x ) dx , j = 1,...,M . i

i =1

i

j

j

xi−1

x j −1

A számítások végrehajtása után végül egy Ac = b egyenletrendszerhez jutunk, ahol a c vektor az ismeretlen együtthatókat tartalmazza, a másik két komponens pedig az előzőek alapján: xi +1

x j +1

xi−1

x j −1

ai j = ∫ ϕi′( x )ϕ ′j ( x )dx , b j =

∫

f ( x )ϕ j ( x )dx .

Az A mátrix a bázisfüggvények felépítése miatt most is szalagszerkezetű lesz, hiszen a i j = 0 a j = i − 1, j = i, j = i + 1 eseteket kivéve. Ezekre az indexkombinációkra: xi

ai ,i −1 =

∫ ϕi′( x )ϕi′−1( x )dx =

xi−1

xi

1 ( −1) 1 dx = − hi hi i

∫h

xi−1

1 ai i = ∫ ϕ′i ( x) ϕ′i ( x) dx = ∫  h xi −1 xi −1  i xi +1

xi

xi +1

∫ ϕ′ ( x ) ϕ′

ai , i +1 =

i

i +1

xi +1

( x) dx =

xi

∫

xi

2

  dx + 

xi +1

∫

xi

2

 −1  1 1  dx = +  , h h h i i +1  i +1 

−1 1 1 dx = − . hi +1 hi +1 hi +1

A b vektor elemei: x j +1

bj =

xj

∫ f ( x ) ϕ ( x ) dx = ∫ f ( x )

x − x j −1

j

x j −1

x j −1

hj

x j +1

dx +

∫ f ( x)

xj

x j +1 − x h j +1

dx .

Definíciók a mintapéldák alapján A variációs feladatok stacionaritási elvre épülő, Ritz-módszerrel történő megoldásán belül a szerkezetet „elemekre” osztó és az elemekhez speciális bázisfüggvényeket választó technikát tekintjük véges elemes számítási modellnek. A definíció tömören: A véges elemek módszere a Ritz-módszer speciális esete, amelyben sajátosan megválasztott bázisfüggvényekkel hajtjuk végre egy stacionaritási feladat megoldását.

Teljes joggal felvetődhet azonban az a kérdés, hogy ez a definíció nem teljes, hiszen nem elemeztük a Galjorkin-módszerrel vizsgált feladatokat. Az ortogonalitási problémák megoldásánál alkalmazott technika alapjai nagyon hasonlóak a Ritz-módszer által használtéhoz, még ha a függvénykiválasztás feltételei és maga a vizsgálandó feladat más is. Láttuk, hogy a Ritz-módszernél alkalmazható volt a speciális bázismegválasztási technika, de a peremérték-feladat ortogonalitási elven történő megoldásánál is ugyanúgy felhasználható a tartományokra osztás, és a zérustól csak lokálisan eltérő bázisfüggvények 43


Előadásvázlat

választásának elve. A Galjorkin-elv a maga általánosabb, stacionaritási feltételhez nem kötődő megoldási technikájával éppen úgy alkalmas véges elemes technika megfogalmazására, mint Ritz eljárása, és ezért a véges elemes megoldási módszer előbb leírt definícióját pontosítanunk kell: A véges elemek módszerének lényege a közelítő eljárásoknál a geometriai és a matematikai függvénytér finitizálásával együtt járó sajátos bázisfüggvénymegválasztási technika.

A másodikként felírt változat általánosabb, és minden olyan esetben ezt kell használnunk, amikor egy peremérték-feladatnak nincs stacionaritási alakja, és csak az ortogonalitási feltétel vizsgálata jelenthet megoldást. Ebben az esetben Galjorkin-típusú, általános végeselemes vizsgálatról kell beszélni egy műszaki feladatnál. Az ebben a félévben tárgyalt feladatoknál azonban nem ez a helyzet. Mindegyik általunk vizsgált szerkezetnél – a korábban rögzített feltételeknek megfelelően – használható a stacionaritási feltétel, használható a Ritz-módszer, és így nincs szükségünk a Galjorkinmódszer általánosabb, de jellegéből adódóan kissé komplikáltabb technikájára. Éppen ezért – főként a gyakorlatban való elterjedtsége miatt – az elsőként említett, szűkebb értelmezésű, de számunkra elegendően pontos meghatározásra hivatkozunk a végeselemes megoldás részleteinek bemutatásakor.

A véges elemek módszerének főbb lépései Az alábbiakban – hivatkozva az előzőekben elfogadott definícióra – összefoglaljuk azokat az elvi lépéseket, amelyeket a véges elemek módszere egy műszaki feladat megoldása során használ. Mindegyik lépéshez magyarázatként és példaként felhasználjuk az előzőekben Ritz-módszerrel megoldott feladat megfelelő részletét is. A véges elemek módszere lényegében hat lépésben old meg egy műszaki feladatot. Ezek a lépések a következők: 1./ A szerkezet elemekre osztása (a geometriai finitizálás). 2./ A szerkezet vizsgálatához szükséges speciális bázisfüggvények kiválasztása (a függvénytér finitizálása). 3./ A részekre osztott szerkezet elemeihez tartozó mátrixok előállítása. 4./ A szerkezet egészéhez tartozó egyenletrendszer összeállítása. 5./ Az egyenletrendszer megoldása, az ismeretlen változók meghatározása. 6./ A feladat vizsgálatához szükséges úgynevezett másodlagos változók számítása.

Vizsgáljuk meg minden egyes lépés részleteit, felhasználva az előbb bemutatott húzott rúd példáját. Kezdjük az első lépéssel, a geometriai finitizálással. A geometriai finitizálás során a szerkezetet véges méretű elemek halmazára osztjuk fel. Magának a módszernek az elnevezése („véges elemek”) is innen származik.

44


Előadásvázlat

Az elemek formája és mérete nagyon sok tényezőtől függ. Olyan szerkezetnél, ahol maga a tartó lényegében egyváltozós kialakítású (gerenda, oszlop, rácsos tartó, keret), a felosztás során kialakuló elemek is egyváltozósak lesznek, függetlenül attól, hogy esetleg az egész szerkezetnek kétdimenziós vagy éppen térbeli a viselkedése (gondoljunk például a térbeli rácsos tartóra: a szerkezet térbeli, de elemei külön-külön egyváltozósak, önmagukban kezelhetők egydimenziós feladatként). Egy faltartó (tárcsa) vagy egy lemez azonban már mindig kétdimenziós felosztást igényel, s külön mérlegelnünk kell, hogy háromszög, vagy négyszög jellegű elemeket kívánunk-e alkalmazni (bonyolultabb, például öt- vagy hatszög alakú poligonok gyakorlati okokból nem terjedtek el). Ha a vizsgált szerkezet görbe vonalakkal határolt részeket is tartalmaz (például egy kör alakú áttörés egy födémlemezen), akkor célszerű az elemeket is íves oldalúnak felvenni: ilyenkor görbült oldalú háromszög vagy négyszög alakú tartományokat alkalmazhatunk. A felosztás során akár többféle elemtípust is felhasználhatunk, a háromszög és négyszög alakú elemek együttes alkalmazásának nincs elvi akadálya. Valódi térbeli feladatoknál (gátak, geotechnikai problémák, vastag szerkezeti elemek stb.) tetraéder vagy „általános” téglatest típusú felosztás a szokásos. Az elemek határoló lapjai lehetnek síkok vagy szükség esetén (pl. egy íves gát modellezésénél) görbült felületek. Az elemek felvétele szorosan összefügg a következő lépéssel, a függvénytér finitizálással, hiszen a geometriai felosztásnál az elem alakja mellett már arról is döntenünk kell, hogy hány csomópontot helyezünk el rajta. Az egy elemen felveendő csomópontok számát tehát befolyásolja a geometriai finitizálás (egyenes vagy görbült felületet kívánunk modellezni) és hatással van rá a bázisfüggvények felvétele (kevesebb ponttal általában (de nem mindig!) alacsonyabb rendű matematikai közelítést tudunk csak felvenni). Az elemek felvétele (az elemtípus kiválasztása után) a legtöbb szoftverben ma automatikusan történik, azonban tanácsoljuk ennek lehetőség szerinti ellenőrzését. Hol célszerű elemeket sűríteni? Mindig ott, ahol ez mechanikailag indokolt valamilyen változás hatása miatt: pontszerű támaszok, sarkok, bemetszések, áttörések, lyukak, éles változás a vastagságban vagy az anyagi tulajdonságokban stb. Ezek a hatások általában alakváltozás- és feszültségkoncentrációval járnak, és környezetükben egy ritkább háló jelentősen ronthatja az eredmények pontosságát. Megjegyezzük, hogy az elemek geometriai méretének elméletileg nincs minimális vagy maximális határa, azonban az alkalmazott számítógép numerikus adottságai és a feladat fizikai paraméterei természetesen korlátok közé szorítják ennek értékeit. Az elemek méreteinek megválasztásakor különösen arra ügyeljünk, hogy egy elemen belül ne alkalmazzunk igen jelentősen eltérő méretű (∼1:10 aránynál kisebb vagy nagyobb) oldalakat, mert ez rontja az eredmények pontosságát. Ugyanilyen negatív hatása van annak is, ha az elemméretek egy elemen belül ugyan megfelelő arányúak, de egymás mellé kerülnek nagyon eltérő méretű elemek.

45


Előadásvázlat

Az elemkiválasztás és a teljes szerkezet elemekre való felosztása együtt jár a csomópontok globális számozási rendjének kialakulásával. lásával. Az automatikus hálógenerálás általában véletlenszerűen számozza be a csomópontokat, ez azonban nem előnyös az egyenletrendszer megoldásánál, mert igen nagyméretűvé teheti a sávszélességet, a nagy sávszélesség pedig megnöveli a számítási időt. A mo modern hálógenerálókhoz csatolt matematikai segédprogramok azonban általában gondoskodnak arról, hogy a szerkezeti hálón felsorolt csomópontok számozásának sorrendje – a felhasznált egyenletrendszer egyenletrendszer-megoldó típusához illesztve - közel optimális legyen a globális ális egyenletrendszer megoldása szempontjából.

3.3. Példa Elemezzük az előbb már bemutatott feladatot. Az „„a”” ábrán újból felrajzoltuk a szerkezetet, a „b”” ábra pedig (elforgatott helyzetben) az elemfelosztást mutatja be.

3.4. ábra: Elemfelosztás egy szerkezeten Két elemet, elemenként két két-kétt csomópontot, így az egész szerkezetnél globálisan három csomópontot használunk. Jelen esetben ez célszerű elemfelvétel,, hiszen így az egyes elemeken belül állandó merevségi adatokkal dolgozhatunk. Hatékonyabb lenne itt több elemet választani? Nem, ebben az esetben, ahol maga a keresett elmozdulásfüggvény is lineáris egy elemen belül, csak a munka mennyiségét növelné és – figyelembe véve a szerkezetet és a terhelést – gyakorlati haszna sem lenne, nem növelné, sőt egy bizonyos elemszám fölött – a halmozódó numerikus kerekítési hibák miatt – akár még ronthatná is a pontosságot. Vizsgálhattuk volna a tartót egyetlen egy elemmel? Igen, ez elméletileg megtehető, de hátrányai vannak, hiszen az elemen belül változó normálmerevség bonyolítaná a számítást, és a kétt különböző meredekségű lineáris szakaszból álló elmozdulásfüggvényt egy lineáris függvénnyel csak jelentős hibával közelíthetjük.

46


Előadásvázlat

Felvehető lett volna a 2. számú globális csomópont máshol? Elvileg igen, de ismételten az előbb említett gondokkal találjuk magunkat szemben. Az itt felvetett kérdések arra figyelmeztetnek, hogy – különösen bonyolultabb szerkezetnél – a geometriai finitizálást nagy körültekintéssel kell végrehajtani. Folytassuk a második lépéssel, a függvénytér finitizálásával. Ez a megoldás fontos lépése, az eredmények pontosságának egyik alapvető meghatározója, hiszen ebben a lépésben választjuk ki a speciális Ritz-módszerhez a bázisfüggvényeket. Mivel mi a szerkezetet elemekre osztottuk, és az egész szerkezet energiafüggvényét az egyes tartományok elemi energia-függvényeinek összegzéséből állítjuk elő, az egész szerkezetre vonatkozó matematikai leírás is az elemekhez tartozó bázisfüggvények segítségével adható meg. Egy adott típusú elemhez (ahol már eldöntöttük, hogy hány dimenziós mechanikai modellt alkalmazunk, továbbá határoztunk az alakról, és az elemen belüli csomópontok számáról) mindig ugyanolyan típusú bázisfüggvények tartoznak. Ez a „szabványosítás” a véges elemek módszerének nagy előnye. Természetesen előfordulhat, hogy egy szerkezeten belül többféle bázisfüggvény-rendszert is használunk (pl. vegyesen használunk háromszög és négyszög elemeket, vagy eltérő mechanikai viselkedésű szerkezeti elemeket – pl. gerendát és lemezt – kombinálunk egymással stb.), de a leggyakoribb esetekben általában elegendő egyféle elemtípus és azon belül egyféle követelménynek megfelelő bázisfüggvény-család előállítása. Melyek a legfontosabb figyelembe veendő tényezők a függvénytér finitizálásánál? Az egyiket már a geometriai felosztásnál említettük: az elemen belül felvett csomópontok száma és a függvény fokszáma között sok feladatfajtánál teremthető kapcsolat. Még fontosabb tényező azonban maga a vizsgálandó feladat, pontosabban annak funkcionálja, potenciális energiája. Alapvetően mindig a potenciális energia, pontosabban annak belső energiát leíró része szabja meg a felveendő függvény jellegét. Ez azt jelenti, hogy precízen tudnunk kell a belső energia függvényében előírt folytonossági követelményt ( C ( 0) , C (1) ,... ), és annak megfelelően szabad kiválasztani a közelítő függvényt. Ennél a lépésnél nem szabad tévedni, mert az rendkívül durva hibát okozhat a számításokban. Szerencsére a mi mechanikai feladatainknál nem nehéz ezt eldönteni, hiszen20 az L differenciáloperátorok rendjének megfelelően mindössze a C ( 0) , illetve a C (1) folytonossági követelmény között kell választanunk. Előbbi csoportba tartoznak például a rácsos tartók, a tárcsák és a klasszikus háromdimenziós feladatok, míg a másik jellegzetes képviselői a klasszikus hajlított gerendák és lemezek.

3.4. Példa Folytatjuk a 3.3 példában elkezdett feladat vizsgálatát, most a matematikai finitizálást elemezzük. A lenti ábra a közelítő függvényt vázolja egy „általános” elemnél. Azért, hogy minden elemet egyformán kezelhessünk, az elem csomópontjait 1-től indulva 20

Lásd például a Bojtár-Gáspár: Végeselemmódszer építőmérnököknek c. tankönyv „E” függelékében bemutatott példákat. 47


Előadásvázlat

újraszámozzuk (lokális sorszámok), és lokális koordináta koordináta-rendszert rendszert is felveszünk (itt például az origót az elem kezdőpontjába toltuk).

3.5. ábra: Közelítő függvény egy általános elemnél Mivel ez a fela feladat (húzott rúd) C (0) -folytonos folytonos bázisfüggvényt kíván (a belső potenciális energia függvényében u (x ) első deriváltjával szerepel), és egy elemen belül két csomópontot vettünk fel, a közelítésre a kétféle feltétel együttes figyelembevételével kézenfekvő egy lineáris függvény. Az ábrán használt jelölésekkel21 (lokális koordináta koordináta-rendszert használva): ξ u ( ξ ) = ue1 + ( ue 2 − ue1 ) , le

ahol ξ ∈ ( 0,le ) . Természetesen általánosan – mátrixok ok segítségével – is felírhatjuk a fenti egyenletet. Ezt fogjuk majd használni a későbbi fejezetek során: u = N ve . Itt a bal oldalon álló vektor az elem elmozdulásfüggvényét tartalmazza. Jelen esetben ez csak egyetlen skalár ((u( ξ )), ), de a többváltozós feladatoknál természetesen „valódi” vektorként kell vele dolgoznunk (például egy tárcsánál 22 már két, Mindlin-lemeznél Mindlin három eleme van, stb.). Az N mátrixot a bázisfüggvények mátrixának hív hívjuk, juk, mert a bázisfüggvényeket tartalmazza. Jelen esetben például: N = [ N1 N 2 ] , ahol az egyes bázisfüggvények az előbb bemutatott interpolációs egyenlet segítségével: ξ ξ . N1 = 1 − és N 2 = le le ve az elem csomóponti elmozdulásainak vektora, ennél a példánál két eleme van: 21

Ennél a példánál nem használjuk többé az ismeretlen állandókra a ci jelöléseket, hanem

áttérünk a fizikai tartalmú ui jelölésekre. 22 Ennek a lemeztípusnak a mechanikai modelljét a „Mechanika MSc”” tárgyban részletesen bemutatjuk.

48


Előadásvázlat

u  v e =  e1  .  ue 2  Ha minden tagot behelyettesítünk a mátrixegyenletbe, akkor a szorzás elvégzése után visszakapjuk az eredeti interpolációs egyenletet (emlékeztetőül: ez az egyenlet a bal és jobb oldali csomóponton külön-külön egységnyi értékekkel bíró bázisfüggvények lineáris kombinációjával keletkezett). Ha létrehoztuk egy általános elemnél azokat a tipikus, általános közelítő bázisfüggvényeket, amelyeket aztán a többi elemnél is használni akarunk, akkor áttérhetünk a következő feladatra, a tartományokhoz, véges elemekhez rendelhető elemi mátrixok számítására. A módszer harmadik lépése lényegében az egyes elemi tartományokhoz tartozó potenciális energia értékének meghatározása. Itt mindig azt az „előírást” kell követnünk, amit maga a funkcionál határoz meg számunkra.

3.5. Példa Adjuk meg a további számításhoz szükséges elemi mátrixokat. Egy általános elemnél a belső potenciális energia: 2

2

EA e  du  EA e  ue 2 − ue1  EA 2 d ξ Π = = ( ue1 + ue22 − 2ue1 ue2 ) .   dξ =   ∫ ∫ l 2 0  dξ  2 0  le 2 e  Ez a funkcionál mátrixok segítségével tömörebben is felírható: 1 T Π elem ve K e ve . belső = 2 u  EA  1 −1 , ahol ve a csomóponti Ebben az egyenletben v e =  e1  , K e = le  −1 1   ue 2  l

l

elem belső

elmozdulások vektora (az elem elmozdulásvektora), K e neve pedig az elem merevségi mátrixa. Ennek a vektornak és mátrixnak segítségével számítható egy tetszőleges elem belső potenciális energiája, csak a megfelelő szilárdsági, geometriai és elmozdulási adatokat kell behelyettesítenünk. Természetesen hasonló módon lehet felépíteni a külső potenciális energia elemre vonatkozó adatait, de ennél a példánál erre nincs szükség, mivel csak egyetlen egy külső erő működik a 3-as csomóponton, ennek munkáját pedig elegendő a globális energiafüggvénybe beépíteni. Ahogy az előző példában megfogalmaztuk az „általános” mátrixegyenletet, most is felírjuk az ide tartozó alakot. Ehhez a potenciális energia általános egyenletét fogjuk használni. A BSc tanulmányok „Szilárdságtan” illetve az MSc szint „Mechanika-MSc” c. tárgyainál már tárgyaltuk/tárgyaljuk azt a kérdést, hogy hogyan lehet felírni egy egyensúlyban lévő általános szerkezet egy elemének (egy részének) teljes potenciális energiáját. A funkcionál alakja a következő:

49

Bojtár-Gáspár: A végeselemmódszer matematikai alapjai Πe =

Előadásvázlat

T T 1 T T Lu ) D Lu d Ω − ∫ ( Lu ) D ε 0 d Ω − ∫ u p S dS − ∫ u pV d Ω , ( ∫ 2 Ωe Ωe Ωe Sσ e

ahol u az keresett elmozdulásmező függvényeit jelöli, L a rugalmasságtan geometriai egyenleteinek differenciál-operátor mátrixa, D az anyagi merevségi mátrix, ε 0 a kinematikai terheket (például a hőmérsékletváltozás hatását), p S és p V pedig a peremen és tartományon működő terheket jelenti, Ω e az elem

tartománya (jelen példánál 1D vonal). Sσ e -vel az elem peremének azon részét jelöltük, ahol a feszültség előírt értékű. Ha az energia-funkcionálban szereplő elmozdulás-függvénybe behelyettesítjük az általunk az előzőekben bevezetett közelítés mátrixegyenlet formájában felírt képletét, akkor a jobb oldalon a következő alakot kapjuk: T T T T 1 LN v e ) DLN v e d Ω − ∫ ( LN v e ) Dε 0 d Ω − ∫ ( N v e ) p S dS − ∫ ( N ve ) pV d Ω ( ∫ 2 Ωe Sσ e Ωe Ωe Célszerű ebben a kifejezésben az LN mátrixszorzatot egy új mátrixszal jelölnünk:

B =LN . Ennek az új mátrixnak az alakváltozási mátrix nevet adjuk, fizikai szerepe pedig a csomóponti elmozdulásokból az elem alakváltozás-függvényeinek számítása. Írjuk be ezt az új mátrixot a potenciális energia függvényébe, és rendezzük át azt úgy, hogy az egyes integrálokból kiemeljük a konstans ve csomóponti elmozdulásokat:   1 T T T T T T v e ∫ B DBd Ω v e − v e  ∫ B Dε 0d Ω + ∫ N p S dS + ∫ N pV d Ω  . Ω  2 Ωe Ωe Sσ e  e 

A függvény második (zárójeles) tagjánál a zárójelen belüli komponensek együttese alkotja az elemre ható terheknek az elem csomópontjaira redukált tehervektorát (a mostani példában ezekre nincs szükségünk, mivel csak koncentrált erő működik a szerkezetre): q e = ∫ BT D ε0 d Ω + ∫ N T p S dS + ∫ N T pV d Ω . Ωe

Sσe

Ωe

A tehervektor a kinematikai terheket, a felületi terheket és a térfogati terheket helyettesítő csomóponti terheket tartalmazza. A potenciális energia első tagjában szereplő integrálból kapjuk a néhány sorral feljebb már bevezetett, számunkra kiemelkedően fontos új mátrixot, melyet az elem merevségi mátrixának neveztünk el. Általános képlete: T K e = ∫ B DB d Ω . Ωe

Nézzük meg, hogy az általános alak segítségével hogyan kaphatjuk meg a példa d  elején már felírt egyenleteket. Most L =   , N mátrixát pedig már az  dx  50


Előadásvázlat

előzőekben felírtuk. Így B elemei (figyelembe véve a ξ = x − x1 koordinátatranszformációt a lokális és globális koordináta-rendszerek között ( x1 az „egyes” számú csomópont globális koordinátája)):  1 1 B = − .  le le  Az általában szükséges térfogati integrálás sokszor egyszerűsíthető, hiszen például az állandó keresztmetszetű homogén húzott-nyomott rudaknál az alakváltozás és így a feszültség a keresztmetszetek minden pontjában ugyanakkora, ezért a térfogat szerinti integráláson „belül” itt a keresztmetszeten való integrálás csak a keresztmetszeti területtel való szorzást jelenti. Ezt az anyagi merevségi mátrixba „beépítve”, annak módosításával vehetjük figyelembe: D = [ EA] . Így már csak a hossz mentén kell integrálni: T K e = ∫ B DB dl . le

Mivel ebben a példában B és D is állandó, ezért a hossz mentén való integrálás csak a rúdelem hosszával való szorzást jelent: T K e = B DB le . A műveletek elvégzésével újból megkapjuk a példa elején már egyszer kiszámított merevségi mátrixot. A negyedik lépés következik, a teljes szerkezetet jellemző egyenletrendszer összeállítása. Ezt a teljes potenciális energiafüggvény számítása, majd a minimumfeltétel figyelembevétele segítségével illusztráljuk egy mintapéldán keresztül.

3.6. Példa A teljes potenciális energiát az elemeknél számított értékek összegéből tudjuk számítani: második Π szerkezet = Π első − Π szerkezet . teljes belső + Π belső külső A minimumfeltétel jelen esetben: ∂Π szerkezet teljes = 0 , i = 1, 2 ,3 ∂ui Mivel három globális elmozdulás-komponensünk van, háromszor kell a szerkezet teljes potenciális energiáját parciálisan deriválnunk. Írjuk fel például az első deriválást részletesen: T T   u  1 u  u  ∂  1  u1     K 1  1  +  2  K 2  2  − Qu1 − F u3  = 0 .  ∂u1  2 u2  u2  2 u3   u3    (Itt Q az ismeretlen reakcióerő.) Ennek végeredménye skaláris alakban: első első k11 u1 + k12 u2 − Q = 0. Ha a második elmozduláskomponens szerint deriválunk, akkor a skalár formájú eredmény: 51


(

Előadásvázlat

)

első első második második k21 u1 + k22 + k11 u2 + k12 u3 = 0.

Ezekben az egyenletekben a k ij -vel jelölt komponensek az egyes elemek merevségi mátrixainak megfelelő indexű komponensei. A harmadik elmozdulásváltozó szerinti deriválást is elvégezve, és a skalár egyenleteket mátrix alakba rendezve megkapjuk a példa előző megoldásának végén szereplő egyenletrendszert:  k11első k12első 0   u1  Q   első    első második második   k22 + k11 k12  k21  u 2  =  0  .  0  u3   F  k11második k2második 2   Van egy nagyon fontos tanulsága ennek a feladatrésznek. Jól látható, hogy a szerkezet „globális” merevségeit összegyűjtő végleges egyenletrendszer felírásához végül is egyáltalán nincs szükségünk magára a teljes energiafüggvényre és a parciális deriválásra! Elegendő az egyes elemek merevségi mátrixainak (illetve egyes esetekben az elemi tehervektoroknak) ismerete és így képesek leszünk a továbbiakban elhagyni a minimumfeltételt megfogalmazó deriválási utasítások tényleges végrehajtását, és hosszadalmas műveletek helyett közvetlenül a végső lineáris egyenletrendszert állíthatjuk össze! Ez numerikusan nagyon sok előnyt jelent, éppen ezért a továbbiakban mindig ezt a hasznos „mérnöki egyszerűsítést” fogjuk alkalmazni! Még egy feladat vár ránk az ismeretlenek számítása előtt. Mint azt már az előző megoldásnál is említettük, az együtthatómátrix ebben a formában még szinguláris, az egyenletrendszer nem megoldható, mindenképpen szükség van tehát az elmozdulási peremfeltételek figyelembevételére. Ez annyit jelent, hogy meg kell vizsgálnunk, milyen globális csomópontoknál írtunk elő elmozdulásokat, és ezt az előírást figyelembe kell vennünk az egyenletrendszernél. Ennek „technikájára” többféle módszer létezik, most csak annyit jegyzünk meg, hogy kisméretű feladatoknál és zérus előírt elmozdulásoknál sor-oszlop törléssel a legegyszerűbb az új egyenletek felírása. Ha már az eredeti változószámhoz tartozó egyenleteink rendelkezésre állnak, akkor a nulla értékű elmozdulásokhoz tartozó sorok és oszlopok törlése és ezt követően az egész egyenletrendszer megfelelő átrendezése után kaphatók meg az új egyenletek a leggyorsabban (jelen esetben ez az első egyenlet teljes elhagyását, illetve az együtthatómátrixban ezenkívül még az első oszlop törlését jelenti): második  k2első k12második  u2   0  2 + k11   =  . második k2második  k 21   u3   F  2 A következő, ötödik lépés a szerkezet csomópontjainak elmozdulásaiból alkotott vektor számítása. Tulajdonképpen a Ritz-módszer ci állandóit határozzuk meg ebben a lépésben, de mivel a bázisfüggvényeink azzal a sajátossággal rendelkeztek, hogy csomóponti értékeik rendre egységnyiek (vagy zérus értékűek) voltak, így ezek a Ritz-féle állandók azonossá váltak a csomópontok ismeretlen elmozdulásaival. A mindig szimmetrikus, sáv szerkezetű együttható-mátrixú globális egyenletrendszer megoldására

52


Előadásvázlat

ma már nagyon sokféle változat alakult ki a „közvetlen” megoldások ötletes numerikus módosításaitól kezdve az igen nagyméretű rendszereknél szokásos iterációs eljárásokig. Mindegyik megoldástípus igyekszik figyelembe venni a számítógépek adattárolási lehetőségeit. Az utolsó, hatodik lépés ismét közvetlen mechanikai tartalommal bír. Ha már ismerjük a szerkezet csomópontjainak elmozdulásait, akkor abból minden nehézség nélkül kiválaszthatók bármely elem csomópontjainak elmozdulásai ( ve ). Ezek felhasználásával akár az elem elmozdulás-függvényei ( u = N v e ) , akár az alakváltozás-függvényei

(ε = Bv ) e

számíthatók, az alakváltozásokból pedig az anyagmodellek segítségével

megkaphatók a feszültségek (σ = D (ε − ε 0 )) . Sok szerkezettípusnál – például a rúdszerkezeteknél, illetve lemezeknél, lemezműveknél – nem a feszültségeket, hanem ezek integrált értékeit: igénybevételeket, illetve fajlagos igénybevételeket számítunk a fenti képlettel. Ezekből a szilárdságtanban tanult összefüggésekkel természetesen bármelyik pont feszültségei meghatározhatók.

3.7. Példa Tételezzük fel, hogy a peremfeltételek figyelembevétele után megoldott egyenletrendszerből kiszámítottuk az eltolódásvektort, ismert tehát u2 és u3 értéke. Számítsuk ki az elemekben keletkező feszültségeket! Az egyes elemekhez tartozó elemi elmozdulásvektorok:  0  ( 2 ) u  (1) ve =  , ve = 2 . u 2  u3  Az elemek alakváltozásai: u −u du u − 0 ε1= = 2 , ε2 = 3 2 . dx l1 l2 Az elem feszültségei (illetve igénybevételei) innen egyszerűen számíthatóak: σ 1 = E ε1 , σ 2 = E ε 2 , ( N1 = EA1 ε1 , N 2 = EA2 ε 2 ). A végeredmény újból kiemeli a bázisfüggvények fontosságát: mivel csak egyszerű lineáris közelítést alkalmaztunk az eltolódásfüggvényre, az alakváltozások – az eltolódások első deriváltjaként – már konstans értékűek voltak az egyes elemekben, és így természetesen a feszültségek is – bár elemenként lehetnek különbözőek, de – egy tartományon belül állandóak. Ennél a feladatnál – a szerkezet és a teher speciális jellege miatt – most pontos eredményeket kaptunk. Befejezésül most egy példába sűrítve megismételjük a véges elemes eljárás főbb lépéseiről eddig mondottakat.

53


Előadásvázlat

3.8. Példa Egy l hosszúságú konzolt vizsgálunk, aamelyre melyre lineárisan változó intenzitású ( p ( x ) = ax )

tengelyirányú megoszló teher hat. A szerkezetet az egyszerűség kedvéért három egyforma hosszúságú elemre osztjuk. A felosztott szerkezet rajzát az elem elem- és csomópontszámozással és a négy csom csomóponthoz óponthoz tartozó négy darab bázisfüggvénnyel együtt az ábrán láthatjuk. A terhelésfüggvényt egy későbbi ábrán fogjuk feltüntetni.

3.6. ábra: Húzott rúd vizsgálata edik elemen csak ϕi és ϕi +1 különbözik zérustól. Mivel mindegyik elem Az i -edik hossza pontosan l / 3 , egy tetszőleges elem (mondjuk, az i -edik) bázisfüggvényei könnyen felírhatók az elem bal oldali kezdőpontjától induló ξ lokális koordinátarendszerben. ξ értéke 0-tól l / 3 -ig ig változik. Ezek a függvények a következő ábrán láthatók.

3.7. ábra: Egy elem bázisfüggvényei 54


Előadásvázlat

Az elemek merevségi mátrixai – mivel a bázisfüggvények most is lineárisak li – természetesen megegyeznek az előbbi példában megadottal. Ellenőrzésképpen számítsuk ki az i-edik edik elemi merevségi mátrix (1,2) indexű elemét: l /3

k 12 = EA

∫ 0

l /3

dϕ i dϕ i +1 EA 3 3 3EA dξ = EA ∫ ( − )( ) dξ = − =− . dξ dξ l l l / 3 l 0

Az i-edik edik elem merevségi mátrixának elemei: 3EA  1 −1 Ki = . l  −1 1  Az i -edik edik elemre ható teher lokális koordináta-rendszerben rendszerben a következő:

3.8. ábra: A terhelés függvénye Az elemre ható terhet az elemi tehervektor számítására a 3.5 példánál bemutatott technikával a csomópontokra kell redukálnunk (lásd a külső potenciál átalakításakor elmondottakat!): l /3

q i = ∫ p (ξ) ϕ i d ξ= (2 p 1 + p 2 ) 0

l /3

l l , q i +1 = ∫ p (ξ) ϕ i +1 d ξ= ( p 1 + 2 p 2 ) . 18 18 0

A teljes szerkezet merevségi mátrixát most már közvetlenül az elemi mátrixokból állítjuk elő. Ha figyelembe vesszük, hogy az első pont nem mozdulhat el ( u1 =0), akkor az első sort és az első oszlopot azonnal el is hagyhatjuk, és így csak egy háromszor hármas mátrixot kell számítanunk:  2 −1 0  3EA  −1 2 −1 . K=  l  0 −1 1  A globális tehervektor a csomópontokra redukált elemi tehervektorokból adódik össze:  2  l 2a  4  . q= 18  8 / 3 A globális K v = q egyenletrendszer megoldásából megkapjuk az elmozdulások értékét:

55


Előadásvázlat

13 / 81 a l3  v= 23 / 81 .  EA  1 / 3 

Ez a három eltolódás megegyezik a „pontos” megoldás x= l / 3 , 2l / 3 , és l helyen felvett értékeivel, de a pontok között lineáris a közelítés a magasabb fokú pontos elmozdulásfüggvény helyett. Ha a 3.5 példában bemutatott tömör és általános mátrixegyenletek segítségével, az ott bemutatott vektort és mátrixokat kívánjuk előállítani, akkor az alábbiakat kapjuk:  ξ ξ  1 1 d  T v e = [ue1 ue 2 ] , L =   , D = [ EA] , N = 1 −  , B = − .  dx   le le   le le  A merevségi mátrixok számításánál arra kell ügyelnünk, hogy az integrálási határ most 0 és l / 3 között van. A tehervektor számításánál az előző példában levezetett képletet alkalmazhatjuk: a teherfüggvény korábban felírt képletét kell szorozni T N mátrixszal, majd az így kapott két elemet integrálni 0 és l / 3 között. Mivel a teher különbözik a három elemen, mindhárom elem tehervektorát külön-külön kell számítani.

Összefoglalás: - A mechanikai feladatok matematikai feladatmegfogalmazásai közül a stacionaritási elvet választottuk. - A stacionaritási elvben szereplő ismeretlen függvényeket bázisfüggvények lineáris kombinációjával közelítjük (Ritz-módszer). - A Ritz-módszer speciális bázisfüggvényfelvétellel történő megoldását („szűkített kiterjesztésű”) végeselem-módszernek nevezzük. Felhasznált irodalom: 1./ Bojtár I. – Gáspár Zs. : Végeselemmódszer építőmérnököknek, Terc, 2003. 2./ Zienkiewicz, O. C. – Taylor, R. L. : The finite element method – the basis, Butterworth-Heinemann, 2000. 3./ Chandrupatla, T. R. – Belegundu, A. D. : Introduction to finite elements in engineering. Prentice Hall, 1991.

56


Előadásvázlat

4. előadás: A geometriai finitizálás szempontjai. Az automatikus hálógenerálás technikái. Lokális koordináta-rendszerek. A szerkezet egészének geometriáját egy x, y, z (síkbeli szerkezet esetén x, y) globális, derékszögű koordináta-rendszerben adjuk meg. Jelen tárgyban jobbsodrású koordinátarendszert használunk, megjegyezve azt, hogy természetesen más rendszer is alkalmazható lenne. Ebben az előadásban megmutatjuk, hogy -

vizsgált tartományt hogyan oszthatjuk részekre (véges elemekre),

-

az egyes elemekhez milyen lokális koordináta-rendszert vehetünk fel, és mi a kapcsolat a globális és lokális koordináták között, és

-

hogyan vehetjük fel automatikusan az elemeket.

Geometriai finitizálás A végeselem-módszer első lépése a vizsgált Ω tartomány finitizálása, vagyis véges elemekre való felosztása. A következő változatokat vizsgáljuk: - a globális koordináta-rendszerhez illeszkedő, - ponthálózatra illeszkedő, - szimplexekre való felosztások. Megjegyezzük, hogy ez az osztályozás nem teljes és nem diszjunkt. A végeselemes programrendszerek nagy részében az automatikus elemfelosztást is beépítik, amit a felhasználó egy-két paraméterrel vezérelhet, majd szükség szerint finomíthat. A koordináta-rendszerhez illeszkedő felosztásmód akkor kézenfekvő, ha a vonatkozási rendszer jól „simul” a vizsgált alakzathoz, vagyis határa olyan részekből áll, melyeknél egy koordináta állandó értékű. Ha háromdimenziós (3D) tartományoknál a tartomány (külső és belső) határa koordinátafelületekre, vagy kétdimenziós (2D) tartományoknál koordinátavonalakra illeszkedik, akkor a vizsgált tartományt koordinátafelületekkel, illetve koordinátavonalakkal kényelmesen oszthatjuk véges elemekre. Így 3D-s tartományokat téglatestekre (kubusokra), 2D-s tartományokat téglalapokra, és 1D-s tartományokat természetesen csak szakaszokra oszthatjuk. Illusztrációképpen az alábbi ábrán bemutatjuk egy nyílással ellátott lemez felosztását. Megfigyelhető, hogy az osztóvonalak távolsága nem feltétlenül egyenletes, a nyílás 57


Előadásvázlat

közelében például sűrűbb osztást készítettünk. Kerülni kell azonban olyan elemek létrejöttét, ejöttét, melyeknél az oldalak aránya túl nagy (pl. nagyobb, mint 10).

.1. ábra: Globális koordinátarendszer tengelyeivel párhuzamos felosztás 4.1. A kapott elemeken kitüntetett pontokat (csomópontokat) veszünk fel. A szomszédos elemek közös ös csomópontjain az elmozdulás elmozdulás-jellemzőket jellemzőket illeszteni fogjuk. Kitüntetett pontnak tekintjük az elemek sarokpontjait, de további pontokat vehetünk fel az éleken, a lapokon, sőt akár az elem belsejében is. Hangsúlyozzuk, hogy az elemeket látszólag csupán a kitüntetett pontokban illesztjük, pedig valójában, ha a két elemnek van közös oldallapja, akkor a teljes oldallapon, ha csak közös éle van, akkor a teljes élen kell a megfelelő folytonosságot biztosítanunk. Ezt akkor értük el, ha a közös részen felvett ada adatok tok egyértelműen meghatározzák a függvénynek a közös lapon, illetve élen felvett értékeit.

Kézenfekvőnek látszik az a módszer, mely szerint éppen a kitüntetett pontok megadásával jelöljük ki az elemeket. A következő ábrán két felosztási részletet mutatunk be. Az egyiknél 4-44 pont, a másiknál 88-8 8 pont határoz meg egy elemet. Láthatjuk, hogy az éleken felvett pontok lehetőséget adnak görbeoldalú elemek kijelölésére is. Igazság szerint az oldalakat nem is tudjuk felvenni, hanem csak a kitüntetett pontokat, éés azok határoznak meg egy egyenest, vagy egy másod másod-,, esetleg harmadfokú parabolát. Egy oldal alakját csak az oldalon fekvő pontok adatai befolyásolják, így a szomszédos elemek hézagmentesen illeszkednek. Ha a vizsgált tartomány pereme görbe, akkor az elem oldala nem feltétlenül pontosan egyezik a perem alakjával, de az elemek méretének csökkentésével a pontosság fokozható.

4.2. ábra: Csomópontok felvétele

58


Előadásvázlat

A harmadik felosztási változat a szimplexekre való osztás. A szimplexek a legegyszerűbb alakú idomok, az n-dimenziós térben n+1 sarokpont határoz meg egy szimplexet: 3D esetén tetraédert, 2D esetén háromszöget, 1D esetén pedig egy szakaszt. A szimplexekre való felosztás tehát az előző osztásmód speciális esete. Ezzel a felosztással a legkönnyebb változtatni az elemsűrűséget. Például egy 2D-s tartományon pontokat veszünk fel, a kényesebb helyeken sűrűbben, az állapotváltozók lassúbb változásának tartományában pedig ritkábban, majd úgy jelöljük ki sorban a háromszögeket, hogy a belsejükben ne legyen kijelölt pont.

4.3. ábra: Elemsűrűség változtatása

Mindhárom felosztási mód esetén lehetőség van utólagos elemsűrítésre. Ha egy felvett elemfelosztással kapott eredményből megállapítjuk, hogy a szomszédos elemek igénybevételei között nagy különbségek adódtak (és ezt nem indokolhatja az esetleg ott ható koncentrált teher), akkor ezt a részt sűríthetjük, és az újbóli futtatással pontosabb eredményhez juthatunk. A következő ábrán egy háromszög- és egy négyszögelem kisebbekre való felosztását mutatja. Természetesen ilyenkor is kell vigyázni az oldalarányok szélsőségeinek elkerülésére.

4.4. ábra: Utólagos elemsűrítés

Két különleges esetre hívjuk fel még a figyelmet. Alkalmazhatók ún. átmeneti elemek, melyeknek az oldalain nem ugyanannyi csomópontot veszünk fel. Ezek megkönnyítik az elemsűrűség változtatását. Egy másik lehetőség az ún. végtelen véges elem alkalmazása. Ez például geotechnikai feladatoknál fordul elő, amikor végtelen félteret vagy félsíkot kell vizsgálnunk. A terhelés környékén az eddig tárgyalt elemtípusokat vesszük fel, tőle 59


Előadásvázlat

távolabb, ahol már kisebb hatása van a tehernek, a végtelenbe nyúló elemek is alkalmazhatók. Ezekhez speciális bázisfüggvényeket kell felvenni. Végül megemlítjük, hogy az alkalmazható elemekk és csomópontok számát korlátozza a számítógép kapacitása, az alkalmazott program futási ideje, költsége, nagyon nagy elemszám esetén pedig a számítási kerekítések halmozódása is ronthat az eredményen. Ugyanakkor kis elemszámmal a számítás pontatlan lehet lehet.

Lokális koordináta koordináta-rendszerek Az egyes véges elemekre vonatkozó összefüggések levezetéséhez gyakran célszerű minden elemre egy--egy lokális koordináta-rendszer felvétele. Ezek használata megkönnyíti az egyetlen elemre vonatkozó összefüggések felírását. Előnyt jelent az is, hogy gyakran a lokális rendszerben sok elem merevségi mátrixa, tehervektora megegyezik, így a szerkezet vizsgálatához szükséges számítási munka is lecsökkenhet. A lokális rendszerek használata nem jelent semmilyen hátrányt, hiszen a teljes tartományra érvényes kifejezésekre sekre többnyire egyszerű koordináta koordináta-transzformációval transzformációval lehet áttérni. Egy elem vizsgálatánál a következő lokális koordinátarendszer koordinátarendszer-típusokat típusokat használhatjuk: o a globális rendszer, esetleg merevtest-szerű elmozdítással, o paraméteres koordináta-rendszer, o természetes ter koordináta-rendszer. A./ A globális koordináta-rendszer koordináta merevtest-szerű szerű elmozdítása

Mindig megtehetjük, hogy az elemhez nem veszünk fel külön lokális rendszert, hanem minden összefüggést a teljes szerkezetre vonatkozó globális rendszerben írunk fel, és így nem használjuk ki a korábban vázolt előnyöket. Ha megengedjük a globális koordináta-rendszer rendszer merevtest-szerű merevtest elmozdítását is (vagyis eltolhatjuk az origót, majd az új origó körül el is fordíthatjuk a koordinátatengelyeket), akkor az egybevágó elemeknél azonos anyagjellemzők és esetleg azonos terhek esetén összevonhatók bizonyos műveletek.

4.5. ábra: Eltolt-elforgatott elforgatott koordináta-rendszer rendszer

60


Előadásvázlat

Egy tetszőleges pont globális és az elmozdított rendszerbeli (lokális) koordinátái között az alábbi kapcsolatok állnak fenn (síkbeli esetre lásd a fenti ábra):   x   x1   ξ x  ξ   x1   y  = T  η +  y  ,  η = T T   y  −  y   ,     1       1   z z   z   ζ   z1   ζ     1 (4.1) ahol x1 , y1 , z1 a lokális rendszer origójának koordinátái és  cos ( x, ξ ) cos ( x, η )  T = cos ( y, ξ ) cos ( y, η )  cos ( z , ξ ) cos ( z , η) (4.2) A T mátrixban mindig a megadott két tengely

cos ( x, ζ )   cos ( y, ζ )  . cos ( z , ζ )  által bezárt szögek koszinuszai

szerepelnek. A transzformáló mátrix ortogonális mátrix, vagyis T T = T −1 . Mint látjuk, a szükséges transzformáció nem függ sem az elem alakjától, sem az elem kitüntetett pontjainak számától.

4.1. Példa Számítsuk ki a fenti ábrán látható síkbeli esetben a P pont globális koordinátáit, ha x1=3, y1=4, ξ P = 3 , η P = 1, α = 30° !

(

)

A transzformáló mátrix elemeinél figyelembe véve, hogy cos 90 o + α = − sin α és cos(90 o − α ) = sin α , azt kapjuk, hogy

 x P  cos 30° − sin 30° 3 3 5,098  y  =  sin 30° cos 30°  1 + 4 = 6,366 .        P  Megjegyezzük, hogy az előzőekben megadott definíció helyett általában könnyebb a ξ ,η,ζ koordinátatengelyek irányába mutató egységvektorok koordinátáiként felírni T egyes oszlopait. B./ Paraméteres koordináta-rendszer

Bármelyik elemtípus esetén alkalmazhatunk paraméteres koordináta-rendszereket is. Ezt az esetleg ferdeszögű vagy éppen görbült koordináta-rendszert úgy választjuk meg, hogy pontosan illeszkedjék az elemre, sőt a léptéket is úgy vesszük fel, hogy a kitüntetett pontok koordinátái kitüntetett (0, +1, -1, stb.) értékűek legyenek.

61


Előadásvázlat

4.6. ábra: Paraméteres koordináta-rendszerek

Ilyen (2D-s) koordináta-rendszereket mutatunk be a fenti ábrán, feltüntetve a kitüntetett pontok lokális koordinátáit és néhány koordinátavonalat. Ezeket a paraméteres koordináta-rendszereket akkor tekintjük ismertnek, ha a kitüntetett pontok globális koordinátáinak ismeretében egy tetszőleges pont lokális koordinátáiból egyértelműen meghatározhatók e pont globális koordinátái. Természetesen meg kell követelni azt is, hogy kölcsönösen egyértelmű legyen e kapcsolat. Ezt a megkövetelt kapcsolatot szemlélteti a következő ábra, mutatva, hogy a lokális rendszerben nagyon speciális alakzat minden pontjához egyértelműen és kölcsönösen hozzárendelhető az elem egy pontja.

62


Előadásvázlat

4.7. ábra: Lokális és globális koordináták közötti kapcsolatok

A pont lokális koordinátáiból a globális koordináták minden koordináta esetén ugyanazon N i (ξ ,η,ζ ) ( i = 1,2,K, n ; ahol n az elem kitüntetett pontjainak száma) bázisfüggvények23 segítségével számíthatók: n

n

n

i =1

i =1

i =1

x = ∑ N i (ξ ,η ,ζ )xi , y = ∑ N i (ξ ,η ,ζ )yi , z = ∑ N i (ξ ,η ,ζ )zi ,

(4.3)

vagy mátrixalakban:  x1 y1 z1  x y 2 z 2  2 T  [ x y z ] = [ N1 N 2 L N n ] =n X , M M M    xn y n z n  ahol az i-edik kitüntetett pont globális koordinátáit jelöli xi, yi, zi.

(4.4)

Természetesen egy-, illetve kétdimenziós feladatnál csak az első, illetve az első két egyenlet kell, és a bázisfüggvények is csak ξ , illetve ξ és η függvényei. Ezen A Ritz-módszer ismertetésekor is használtuk a “bázisfüggvény” kifejezést, ott az egész 1. tartományra értelmeztük. A végeselem-módszer gyakorlati alkalmazásakor a bázisfüggvényeknek csak egy-egy elem feletti részét használjuk, és ezeket is bázisfüggvényeknek nevezzük. A koordináták interpolációjához is ezeket az egy elem felett értelmezett függvényeket alkalmazzuk. 63


Előadásvázlat

bázisfüggvények olyan polinomok, melyek az indexnek megfelelő csomópontban 1, a többi csomópontban 0 értéket vesznek fel. Megjegyezzük, hogy meghatározásukkal a következő előadáson részletesen foglalkozunk, mert megegyeznek az ott előállított C 0 -folytonos bázisfüggvényekkel. A globális koordináták ismerete esetén a lokális koordináták szintén az előző egyenletből számíthatók, azonban ha az Ni függvények magasabb fokú polinomok, akkor az ismeretlen lokális koordinátákat rendszerint csak iterációs úton lehet meghatározni. Lineáris bázisfüggvények esetén a kapcsolati egyenlet lokális koordinátákra nézve könnyen megoldható lineáris egyenletrendszert ad. Egyszerűen ellenőrizhető, hogy valóban megfordítható-e a leképzés. Ennek feltétele az, hogy a ∂   ∂x ∂y ∂z   ∂ξ   ∂ξ ∂ξ ∂ξ      ∂  ∂x ∂y ∂z   (4.5) J =   [ x y z] =  ∂η ∂η ∂η  ∂η    ∂x ∂y ∂z  ∂     ∂ζ  ∂ζ ∂ζ ∂ζ      ún. Jacobi-mátrix az értelmezési tartomány minden pontjában invertálható legyen, vagyis determinánsa sehol se legyen zérus. Ha az Ni bázisfüggvényeket ismerjük, akkor a Jacobi-mátrix könnyen meghatározható, hiszen egyszerű behelyettesítés után (és mivel X konstans) csak az első tényezőt kell deriválni:  ∂N1 ∂N 2 ∂N n  ∂  L  ∂ξ  ∂ξ  ∂ξ ∂ξ      ∂N ∂N 2 ∂  T ∂N n  (4.6) J =  n X =  1 L X. ∂η ∂η ∂η ∂η      ∂N1 ∂N 2 ∂  ∂N n  L  ∂ζ  ∂ζ  ∂ζ ∂ζ     A Jacobi-mátrix inverzének jelentését megkapjuk, ha a definíciójában a latin és a görög betűk szerepét megcseréljük: ∂  ∂ξ ∂η ∂ζ   ∂x   ∂x ∂x ∂x  ∂  ∂ξ ∂η ∂ζ  −1 . (4.7) J =  [ξ η ζ ] =   ∂y   ∂y ∂y ∂y  ∂  ∂ξ ∂η ∂ζ       ∂z   ∂z ∂z ∂z  A Jacobi-mátrix inverzét később a paraméteresnek választott koordináták szerinti deriválások számításánál fogjuk használni. Természetesen egy-, illetve kétdimenziós esetben J első-, illetve másodrendű mátrix.

64


Előadásvázlat

4.2. Példa Az ábrán megadott háromszögelemhez paraméteres koordináta-rendszert vettünk fel. Állítsuk elő a szükséges transzformáció Jacobi-mátrixát, és ha lehet, akkor adjuk meg, hogy hogyan lehet a globális koordinátákból a lokálisakat számítani!

4.8. ábra: Paraméteres koordinátarendszer háromszögnél

Az ábra jobb oldalán felrajzoltuk a bázisfüggvényeket, és leíró függvényeket is: ∂  2  2 3  ∂ξ  − 1 1 0    7 J =   [1 − ξ − η ξ η] 7 1  =  − 1 0 1  ∂   9 9 7   ∂η   

megadtuk az e síkokat 3 5 − 2 . 1  =  7 4   7 

Tehát jelen esetben (és lineáris bázisfüggvények esetén mindig) a Jacobi-mátrix nem függ a koordinátáktól. Mivel J = 5 ⋅ 4 − ( −2 ) ⋅ 7 = 34 ≠ 0 a megadott transzformáció megfordítható. Jelen esetben

[ξ

η] = [ x − x1

y − y1 ] J

−1

= [x − 2

y − 3]

1  4 2 . 34  −7 5 

C./ Természetes koordináta-rendszer

Természetes koordináta-rendszert csak akkor használhatunk, ha a véges elemek szimplexek. Egy szimplexen belüli tetszőleges P pontot a csomópontokkal összekötve n+1 belső szimplexet kapunk. Ezek „térfogatának” a teljes 65


Előadásvázlat

„térfogathoz” viszonyított arány arányaa dimenzió nélküli koordináta koordináta-mérőszámként (Li) használható. A „térfogat” egydimenziós szimplex esetén a hossz (l), kétdimenziós esetben a terület (A), háromdimenziós esetben pedig valóban a térfogat (V). A belső szimplex indexe annak a sarokpontnak az iindexével ndexével egyezik meg, amelyiket nem tartalmazza.

A három esetet az ábra szemlélteti.

4.9. ábra: Természetes koordinátarendszerek A koordináták definíciójából látszik, hogy az i-edik edik sarokpont i-edik koordinátája 1, a többi pedig 00.. A globális és a lokális koordináták közti kapcsolatot az  1   1 1 1 1   L1   x  x x x3 x4   L2  2  = 1 (4.8)  y   y1 y 2 y3 y4   L3        z   z1 z 2 z 3 z 4   L4 

egyenlet írja le, melyet rövidebben x = Al alakban is írhatunk. A globális koordinátákból a lokálisakat az −1 l=A x (4.10)

(4.9)

66


Előadásvázlat

összefüggéssel számíthatjuk. Természetesen egy-, illetve kétdimenziós esetben A másod-, illetve harmadrendű mátrix.

4.3. Példa Határozzuk meg a 4.2 példa ábrájánál megadott háromszög esetén a globális és a természetes koordináták kapcsolatát!  1  1 1 1   L1   x  = 2 7 9   L  ,     2  y  3 1 7   L3  míg az inverz kapcsolat:  L1   40 − 6 2   1   L  = 1  13 4 − 7  x  .  2  34   L3  − 19 2 5   y 

A végeselemháló automatikus generálása Az automatikus generáló rendszerek elhelyezik a vizsgált tartományban a csomópontokat, beszámozzák őket, kialakítják az elemek hálózatát, hozzájuk rendelik a megfelelő szilárdságtani tulajdonságokat, továbbá képesek a terhek és peremfeltételek hálózathoz való rendelésére is. Két jellegzetes generálási technikát emelünk ki a sokféle lehetséges változat közül: - mozaiktechnika, - fastruktúrák alkalmazása. A./ Mozaikgenerálási technika

A módszer két- és háromdimenziós feladatoknál egyaránt használható. Első lépésként a behálózni kívánt tartomány határvonalát (határfelületét) kell kijelölni, itt vesszük fel az első elemeket, majd innen befelé haladva következik a többi elem (általában szimplexek) kijelölése. Az elemek lehetséges maximális-minimális méretét a határokon illetve a belső tartománynál külön-külön előírják. Az alábbi ábra példát mutat a módszer alkalmazására. Megjegyezzük, hogy a tartomány belsejében elhelyezkedő belső üregeket (támaszokat, erőket, stb.) szintén kezdéskor látjuk el csomópontokkal.

67


Előadásvázlat

4.10. ábra: Hálógenerálás technikával mozaik-technikával

A végeredményre látha láthatunk példát az alábbi hálózatnál:

4.11. ábra: Hálógenerálás eredménye Külön gondot kell fordítani a különleges helyzetű saroktartományok kezelésére. Ilyenkor csak ezek felosztása (hálózása) után folytatódhat a belső tartomány geometriaii finitizálása, lásd az ábra vázlatát:

4.12. ábra: Hálófelvétel sarkoknál 68


Előadásvázlat

B./ Fastruktúrák alkalmazása Egy-, két- és háromdimenziós változatokban egyaránt alkalmazzák, bár eredetileg 3D esetek megoldására dolgozták ki. A felosztandó d--dimenziós tartományt először befoglalják egy d-dimenziós kubusba (szakasz, szakasz, téglalap vagy téglatest). téglatest A kubushoz a tartományt leíró fában egy kis kör tartozik. Ha a kubus minden pontja a tartományhoz tartozik, akkor a kört besötétítjük.. Ha a kubusnak egyik pontja sem belső pontja a vizsgált tartománynak, akkor a kört üresen hagyjuk. E két esetben e kubust nem kell tovább osztani. Ha a kubusban van a felosztandó tartománynak belső pontja és van olyan pontja is, amelyik nem tartozik a tartományhoz, akkor a körbe be egy keresztet teszünk. Az ilyen kubust 2d egyforma nagyságú kubusra osztjuk. Az ezekhez a kubusokhoz tartozó köröket egy szinttel lejjebb rajzoljuk, és egy-egy egy vonallal összekötjük az őt tartalmazó előző szintű kubus körével. Az eljárást addig folytatju folytatjuk, k, amíg vagy nincs vegyes cella, vagy a cellamérettel elértünk egy előírt határt.

4.4. Példa. Egydimenziós, nem összefüggő tartomány elemeinek meghatározására mutat illusztráló példát az ábra.

4.13. ábra: Fastruktúra 1D elemnél 4.5. Példa. A következő ábrán két kétdimenziós tartomány felosztását mutatjuk be. Az ábra jobb oldalán az egy cellán belüli részcellák felvett sorrendje látszik.

4.14. ábra: Fastruktúra 2D elemnél

69


Előadásvázlat

4.6. Példa A háromdimenziós változatnál már 8 kubusra osztjuk a vegyes kubusokat. (A fa nagyon gyors növekedése miatt egy nagyon egyszerű feladatot mutatunk be.)

4.15. ábra: Fastruktúra 3D elemnél Ezen felosztás után még a következő teendők maradnak: - Ha a pontossághoz szükséges, akkor a túl nagy elemek tovább oszthatók. - Ha a peremek környékén maradtak vegyes elemek, akkor a jobb illesztés céljából az ottani elemek átalakíthatók más típusú elemekké. Például kétdimenziós feladatnál nem téglalap alakú négyszög, esetleg háromszög felvétele. - Ha egymás mellé különböző méretű kubusok kerültek, akkor a nagyobb elem oldalain új csomópontok is megjelennek, vagyis szabálytalan elemek jönnek létre. Ilyenkor vagy átmeneti elemeket kell alkalmazni, vagy más típusú elemekkel való sűrítéssel kell a hibákat kiküszöbölni.

4.7. Példa A következő ábra bal oldalán egy háromszögtartománynak a fastruktúra felhasználásával kapott (négyzetekre való) felosztását mutatjuk. A jobb oldalon háromszög és négyszög elemek együttes használatával már részben javítottuk a hibákat. (A peremeken már jó az illesztés, a belsejében a rossz elemek egy részét megszüntettük.)

70


Előadásvázlat

4.16. ábra: Háromszögtartomány felosztása Megjegyezzük, hogy bonyolult geometriájú szerkezetek (biomechanikai feladatok, gépészmérnöki szerkezetek, stb.) felosztására gyakran használják ezt a faj fajta generálási alapelvet (lásd például az ábra combcsont combcsont-modelljét): modelljét):

4.17. ábra: Combcsont modellje (CT (CT-felvételek felvételek alapján)

Az elkészült hálókat általában egy vagy több lépésben még finomítják, például: módosítják) az aránytalan oldalélű elemeket, - kiszűrik (és módosítják - sűrítik az elemosztást a szilárdságtanilag kritikus helyeken,

71


Előadásvázlat

- a későbbi egyenletrendszer-megoldó típusának megfelelően átszámozzák az elemeket és/vagy csomópontokat egy optimálishoz közeli megoldási idő elérése érdekében, stb., Az itt bemutatott kétféle hálógenerálás mellett természetesen másféle változatokat is használnak a gyakorlatban, az utóbbi években szinte önálló szakterületté fejlődött a hálózatgenerálás különleges kérdéseinek megoldása. Jellegzetes modern változata hálógenerálásnak például az a módszer, amikor egy térbeli alakzatról készült ipari vagy orvosi CT (computer tomograph) felvételsorozatából nyert metszetek alapján készül 3D modell.


1./ Bojtár I. – Gáspár Zs.: Végeselemmódszer építőmérnököknek, Terc, 2003. 2./ Akin, J. E.: Finite Elements and Design, Academic Press, 1995. 3./ Stein, W. – de Borst, R. – Hughes, T. J. R.: Encyclopedia of Computational Mechanics, Vol I., Wiley, 2004.

72


Előadásvázlat

5. előadás: A matematikai finitizálás. Bázisfüggvények felvétele 1D, 2D és 3D feladatoknál Általános megjegyzések A geometriai finitizálás után a végeselem végeselem-módszer második lépése a függvénytér finitizálása. Ez azt jelenti, hogy az u vektorban szereplő ismeretlen függvényeket nem választhatjuk ki tetszőlegesen a teljes végtelen dimenziós függvénytérből, hanem ezen függvénytér egy (esetleg esetleg az egyes függvényeket különböző méretű) méretű véges dimenziós alteréből. Az alteret az őt kifeszítő bázisfüggvények megadásával jelöljük ki, vagyis az altér ezen bázisfüggvények lineáris kombinációit tartalmazza.

Először azt fogjuk megmutatni, hogy ha ismerjük az elem alakját, valamint az elem kitüntetett pontjainak számát és tudjuk, hogy hányadfokú fo folytonosságot kell megkövetelnünk, akkor hogyan határozhatjuk meg a bázisfüggvényeket, illetve a bázisfüggvényeknek a vizsgált elemen értelmezett részét. Ezeket a részeket úgy definiáljuk, hogy ha a szomszédos véges elemek közös kitüntetett pontjaiban a függvényértékeket üggvényértékeket és esetleg néhány deriváltjának értékét egyenlőnek választjuk, akkor a teljes Ω tartományon értelmezett bázisfüggvény a megkövetelt rendben folytonos legyen. Például, ha az egyváltozós u(x)) függvénytől megköveteljük, hogy C(1)-folytonos folytonos legyen, akkor azokat a bázisfüggvényeket, amelyek a kijelölt szakaszon nem mindenütt zérusok, választhatjuk a következő ábrán látható módon. (A vizsgált szakasz feletti függvényrészt vonalkázással emeltük ki.)

5.1. ábra: Függvényfelvétel 73


Előadásvázlat

Válasszunk ki most például egyetlen véges elemet,, és szűkítsük le a bázisfüggvények értelmezési tartományát erre az elemre! Ezek közül a függvények közül csak néhány nem lesz zérus-függvény. függvény. Ezeket a nemzérus függvényeket alak-- vagy interpolációs függvényeknek nevezzük, és Ni-vel vel jelöljük őket. Megjegyezzük, hogy nagyon gyakran ezeket is bázisfüggvénynek nevezzük, hiszen valóban azok egy szakaszát jelentik. Az Ni függvényeket általában polinomoknak választjuk, és így a ϕ i bázisfüggvényeket különböző szakaszain különböző alakú függvényekkel írjuk le. Például az előző ábrán megadott esetben: 0  − ha x ≤ xk −1 2 3   xk − x   xk − x    + 2 1 − 3 ha xk −1 ≤ x ≤ xk   xk − xk −1   xk − x k −1  . (5.1) ϕ1 ( x ) =  2 3     x x x x − − 1 − 3 k k ha xk ≤ x ≤ xk +1  x − x  + 2 x − x    k +1 k   k +1 k   − ha x ≥ xk +1 0  Az Ni interpolációs függvényeket igyekszünk a lehető legalacsonyabb fokszámú tagokból összeállítani. szeállítani. A tagokat egyváltozós függvény esetén az (5.2) 1 x x2 x3 x 4 K sor, kétváltozós esetben az 1 x y (5.3)

x2 x 3 x2 y

y2

xy xy2

y3

ún. Pascal-háromszög, háromváltozós esetben az ábrán jelzett ún. Pascal-gúla Pascal elemeiből választjuk.

5.2. ábra: 3D Pascal-gúla Ezekből annyi elemet használunk, ahány feltételt kell az Ni függvénynek függvényne teljesítenie. Ez azt jelenti, hogy egyes pontokban előírjuk a függvényértékeket és esetleg néhány derivált értékét. Általában arra törekszünk, hogy teljes n-edfokú edfokú polinomot használjunk. Többnyire nincs okunk arra, hogy kitüntessük bármelyik koordinátair koordinátairányt, így minden előforduló koordinátában ugyanolyan kitevőjű tagokat kívánunk használni.

74


Előadásvázlat

A következőkben áttekintjük a leggyakrabban használt Ni függvényeket egy-, két- és háromváltozós esetben, C 0 vagy C1 -folytonosság biztosításával különböző elemalakra (pl. háromszögre és négyszögre) továbbá különböző közelítések és különböző koordinátarendszerek esetén.

Egyváltozós függvények Egyváltozós feladat esetén a véges elem egy szakasz. A két végén mindig veszünk fel kitüntetett pontokat, de további közbenső pontokat is felvehetünk. Ezekben a pontokban előírhatjuk a közelítendő függvény és deriváltjai értékét. A közelítendő függvényt itt a polinom szó kezdőbetűjével, p-vel fogjuk jelölni, mert többféle függvény közelítésére használhatjuk e függvényeket, ezért ebben a pontban nem akarjuk egyik közelítendő függvény jelét sem kitüntetni. A p melletti alsó index azt jelenti, hogy mely változó szerinti deriváltra hivatkozunk. Néhány esetet az ábrán közlünk, megadva azt, hogy mely kitüntetett pontban milyen értékeket írunk elő.

5.3. ábra: 1D feladatok közelítése A szakasz két szélén a folytonossági követelményben szereplő deriváltig mindegyiknek előírtnak kell lennie, a közbenső pontokban nincs ilyen megkötöttség. Ha egy elemnél m darab előírásunk van, akkor m darab interpoláló függvényt kell használnunk, és azok (m-1)-edfokúak lesznek. Az egyes interpoláló függvényeknél egy előírt érték egységnyi, a többi pedig zérus. A./ C 0 -folytonos elemek

A C 0 -folytonos vonalelemek esetében Lagrange-polinomokat használunk, melyek általános alakja n kitüntetett pont felvételekor a globális koordinátarendszerben a következő: (x − x1 )(x − x2 )K(x − xi−1 )(x − xi+1 )K(x − xn ) . (5.4) N i (x ) = (xi − x1 )(xi − x2 )K(xi − xi−1 )(xi − xi +1 )K(xi − xn )

75


Előadásvázlat

Természetesen ugyanilyen felépít felépítésű ésű a paraméteres koordinátarendszerben is a bázisfüggvény, sőt itt a kitüntetett pontok koordinátáit rögtön ismerjük. A Lagrange-polinom polinom függvényéről könnyen megállapítható, hogy az i-edik pont koordinátáját behelyettesítve a számláló és a nevező megegyez megegyezik, tehát a függvény értéke 1, míg a többi pontban a számláló egyik tényezője, s így a függvény értéke is 0.

Két és három kitüntetett pont esetére az alábbi ábra mutatja e bázisfüggvények alakját. A szakaszok egyben szimplexek is, tehát a természetes koordináták koo is használhatók. Megjegyezzük, hogy a természetes koordináták nem függetlenek egymástól, ezért ugyanaz a függvény többféle alakban is felírható.

5.4. .4. ábra: Bázisfüggvények 2 és 3 pont esetén. Az ábra bázisfüggvényeinek egye egyenletei a három koordináta--rendszerben kétpontos elemnél: 1 x − x2 x2 − x N1 (ξ ) = (1 − ξ ) , N1 ( x ) = , N1 (L1 , L2 ) = L1 , = 2 x1 − x2 l 1 x − x1 x − x1 , N 2 (ξ ) = (1 + ξ ) , N 2 (L1 , L2 ) = L2 , (5.5) = N 2 (x ) = 2 x2 − x1 l illetve a hárompontos elemnél (x − x2 )(x − x3 ) , N (ξ ) = 1 ξ (ξ − 1) , N (L , L ) = L (2 L − 1) , N1 ( x ) = 1 1 1 2 1 1 2 ( x1 − x2 )(x1 − x3 ) (5.6/a) (x − x1 )(x − x3 ) , N (ξ ) = 1 − ξ 2 , N 2 (x ) = N 2 (L1 , L2 ) = 4 L1 L2 , 2 (x2 − x1 )(x2 − x3 ) (5.6/b)

76

Bojtár-Gáspár: A végeselemmódszer matematikai alapjai N 3 (x ) =

(x − x1 )(x − x2 ) , (x3 − x1 )(x3 − x2 )

Előadásvázlat

1 N 3 (ξ ) = ξ (ξ + 1) , N 3 (L1 , L2 ) = L2 (2 L2 − 1) . 2 (5.6/c)

B./ C1 -folytonos elemek

A C1 - (és a magasabb rendben) folytonos vonalelemek esetén az Hermitepolinomokat használjuk. Előállításuk általános módját globális koordinátarendszert alkalmazva egy hárompontos elemen mutatjuk be, melynél a középső ponton a függvény értékét írjuk elő. Megjegyezzük, hogy a globális koordinátarendszert általában eltolják úgy, hogy az origó az elem elejére vagy a közepére illeszkedjék, az elem közbenső kitüntetett pontjait is úgy veszik fel, hogy az elemet egyenlő hosszú szakaszokra osszák, így a csomóponti koordináták egyetlen hosszal jellemezhetők. A mostani magyarázatnál ezeket az előnyös tulajdonságokat nem használjuk ki. Mivel az elemen 5 feltételt kell teljesíteni (három függvényérték és az első derivált két értéke), így 5 tag lineáris kombinációjaként állítjuk elő a bázisfüggvényeket, azaz negyedfokú polinomot választunk. Ebből az öt elemből (egytagból, más néven mononomból) állítjuk elő az x vektort: T (5.7) x = 1 x x 2 x3 x 4  . A kombinációhoz szükséges, egyelőre ismeretlen együtthatókat az i-edik bázisfüggvény esetén egy ai vektorba foglaljuk:

a i = [ ai1 ai 2 ai 3 ai 4 ai 5 ] . (5.8) Az Ni bázisfüggvény ennek a két vektornak skaláris szorzata, vagyis T Ni ( x ) = x ai . (5.9) E függvény első deriváltjának számításakor csak az első tényezőt kell deriválnunk, hiszen a második konstansokat tartalmaz. Tehát: T dN i d x (5.10) = a i = 0 1 2 x 3 x 2 4 x 3  a i . dx dx A keresett Ni függvénynek a következő öt adatát ismerjük: dN i N i ( x1 ) , (x1 ) , N i (x2 ) , N i (x3 ) , dN i (x3 ) , (5.11) dx dx mégpedig az i-edik adat 1, a többi pedig 0, tehát együtt az i-edik egységvektort, ei -t alkotják. Így a feltételeket előíró egyenletek behelyettesítésével: 1 x1 x12 x13 x14   2 3 0 1 2 x1 3 x1 4 x1  (5.12) ei = 1 x2 x22 x23 x24  a i = B% a i ,  2 3 4  x3 x3  1 x3 x3 0 1 2 x 3x 2 4 x3  3 3 3  T

77


Előadásvázlat

ahol a konstansokból álló együtthatómátrixot jelö jelöltük B% -mal. mal. Innen az ismeretlen

együtthatókból álló ai vektor −1

a i = B% ei alakban számítható, azaz a keresett bázisfüggvények: −1 T N ( x ) = x B% e .

(5.13) (5.14)

i

i

Ha az előzőekben bevezetett, az összes bázisfüggvényt tartalmazó n vektort akarjuk számítani, akkor az előző módszert n-szer szer (most ötször) alkalmazzuk, vagyis −1 T T n = [ N N N N N ] = x B% [e e e e e ] . (5.15) 1

2

3

4

1

5

2

3

4

5

Ez az öt egységvektor ép éppen pen az ötödrendű egységmátrixot alkotja. Mivel az egységmátrixszal való szorzás nem változtat a szorzott sorvektoron, így az összes bázisfüggvényt a fenti egyenlet alapján az −1 T T n = [ N N N N N ] = x B% (5.16) 1

2

3

4

5

képlettel számíthatjuk. A kapott bázisfüggvények alakját az alábbi ábra mutatja: A közölt módszer bármelyik Hermite-polinom előállítására használható (sőt a Lagrange-polinomok polinomok számítására is, csak azokat egyszerűbb az előbb bemutatott módszer szerint számolni), csupán x és B% mérete és felépítése változik értelemszerűen. Paraméteres koordináta koordináta-rendszer esetén is alkalmazhatjuk a fenti módszert. Ekkor T x = 1 ξ K ξ n−1  (5.17) felépítésű, továbbá van eg egy y kedvező és egy kedvezőtlen változás. A globális koordinátákhoz képest az az előny, hogy az osztópontok lokális koordinátái nem függnek az elem méretétől, azok rögzített értékek.

5.5. ábra: C 1 folytonos bázisfüggvény

78


Előadásvázlat

Megnehezíti azonban a B% mátrix előállítását az a tény, hogy az x vektorban a ξ változó szerepel, de az x szerinti deriváltak értékét írtuk elő. Ilyenkor a deriválásra vonatkozó láncszabályt kell alkalmaznunk: dN i (ξ ) dN i (ξ ) dξ . (5.18) = ⋅ dx dξ dx A jobb oldal első tényezője könnyen számítható, a második tényező pedig a globális és a lokális koordináták közti transzformáció Jacobi-mátrixának az inverze. A Jacobi-mátrix általános előállítási módját a korábbiakban már bemutattuk. Egyszerűbb a helyzet, ha – mint általában szokásos – az elemen a kitüntetett pontok egyenletesen vannak kijelölve. Ekkor a kitüntetett pontok számától függetlenül lineáris a két változó közti kapcsolat l l (5.19) x = x1 + + ξ , 2 2

5.6. ábra: Paraméteres koordináták 1D elemen. tehát  dx  l  dξ  2 −1 J =   = , és (5.20) J = = .  dx  l  dξ  2 Az előzőekben elemzett deriválási technikának megfelelően T dN i (ξ ) dN i (ξ ) dξ d x 2 = ai . (5.21) = ⋅ dξ l dx dξ dx Például a kétpontos C(1)-folytonos l hosszúságú vonalelem esetén −1  1 1 − 1 0 2 / l − 4 / l 6 / l  , (5.22) B% =  1 1 1 1    0 2 / l 4 / l 6 / l  melynek inverze l 4 − l 4 − 6 − l 6 − l  −1 1 . B% =  l  8  0 −l 0   l −2 l  2 Megjegyezzük, hogy a Mathematica, Maple vagy más szimbolikus nyelvű programcsomag invertálni tud változókat illetve paramétereket tartalmazó mátrixokat is.

79

Előadásvázlat


A keresett bázisfüggvények egyenletei: 1 3 1 N1 (ξ ) = − ξ + ξ 3 , (5.23) 2 4 4 l N 2 (ξ ) = 1 − ξ − ξ 2 + ξ 3 , 8 1 3 1 N 3 (ξ ) = + ξ − ξ 3 , 2 4 4 l N 4 (ξ ) = − 1 − ξ + ξ 2 + ξ 3 . 8 Fontosságukra való tekintettel az alábbi ábrán is megmutatjuk ezeket a függvényeket:

(

)

(

)

5.7. ábra: C 1 folytonos bázisfüggvény két csomópont esetén

Megjegyezzük, hogy kétpontos vonalelemnél úgy is választhatjuk a paraméteres koordináta-rendszert, rendszert, hogy a ξ értéke az elem bal végén 0, a jobb végén 1 legyen. Ekkor (mivel dξ / dx = 1 / l ) a bázisfüggvények: N1 (ξ ) = 1 − 3ξ 2 + 2ξ 3 ,

(

N 2 (ξ ) = l ξ − 2ξ + ξ 2

N 3 (ξ ) = 3ξ 2 − 2ξ 3 ,

(

3

),

(5.24)

)

N 4 (ξ ) = l − ξ 2 + ξ 3 .

Az Hermite-polinomok polinomok is megadhatók a természetes koordináták függvényeként. A bázisfüggvények vények négy egyenletében ξ éppen L2-vel vel egyenlő, tehát minden ξ helyett L2 is írható. Természetesen megadhatók a függvények vegyesen is, mindig a kedvezőbb változót használva: (5.25) N1 (L1 , L2 ) = 3L12 − 2 L13 ,

(

)

N 2 (L1 , L2 ) = l L12 − L13 ,

80

Bojtár-Gáspár: A végeselemmódszer matematikai alapjai N 3 (L1 , L2 ) = 3L22 − 2 L32 ,

(

Előadásvázlat

)

N 4 (L1 , L2 ) = l − L22 + L32 .

Kétváltozós függvények Ebben a pontban C 0 és C 1 - folytonos bázisfüggvényeket állítunk elő három- és négyszög alakú elemek esetén különböző számú kitüntetett pont és különböző típusú koordinátarendszer alkalmazásával. A./ C 0 -folytonos függvény háromszögelemhez

Ha csak C 0 -folytonosságot kell biztosítanunk és háromszög alakú elemet választunk, akkor teljes n-edfokú polinomokat használunk. A következő ábra bemutatja, hogy a Pascal-háromszög segítségével hogyan állapítható meg az, hogy különböző fokszámok esetén hány tagból állhat a polinom, és ennek megfelelően hol helyezkedjenek el a kitüntetett pontok (éppen a Pascal-háromszögben lévő tagok helyéhez hasonló elrendezésben).

5.8. ábra: Háromszögelemek A 4.2. példában már megadtuk a hárompontos (elsőfokú, lineáris) háromszögelem bázisfüggvényeinek képletét a paraméteres koordinátákkal. A sík egyenletei könnyen felírhatók a másik két rendszerben is. Az alábbiakban az ábra jelöléseit használva megadjuk mindhárom rendszerben ezen függvényeket (a merevtestszerűen elmozdított koordináta-rendszernél az x, y jeleket használjuk, hogy megkülönböztessük a paraméteres rendszertől):

81


Előadásvázlat

x a −b y , N1 (ξ ,η ) = 1 − ξ − η , N1 (L1 , L2 , L3 ) = L1 , N 1 ( x, y ) = 1 − + b bc x a N 2 ( x, y ) = − y , N 2 (L1 , L2 , L3 ) = L2 , N 2 (ξ ,η ) = ξ , b bc y N 3 ( x, y ) = , N 3 (ξ ,η ) = η , N 3 (L1 , L2 , L3 ) = L3 . (5.26) c

5.9. ábra: Különböző koordináta-rendszerek háromszög elemnél A függvények most is előállíthatók az előzőekben bemutatott általános érvényű képlettel. Ennek alkalmazását egy hatpontos (másodfokú, kvadratikus) elem esetére mutatjuk be a merevtest-szerűen elmozdított globális koordinátarendszerben. Az i-edik bázisfüggvényt most T (5.27) N i ( x, y ) = x a i alakban keressük, ahol T (5.28/a) x = 1 x y x 2 xy y 2  , a i = [ ai1 ai 2 T

ai 3

ai 4

ai 5

ai 6 ] .

(5.28/b)

A feltételi egyenlet: 1 x1 y1 x12 x1 y1  2 1 x2 y2 x2 x2 y2 1 x3 y3 x32 x3 y3 ei =  2 1 x4 y4 x4 x4 y4 1 x y x 2 x y 5 5 5 5 5  2 1 x6 y6 x6 x6 y6 Az így előállított B% mátrix felhasználásával

y12   y22  y32  % .  a i = Ba i y42  y52   y62 

(5.29)

−1 T T n = [ N1 N 2 N 3 N 4 N 5 N 6 ] = x B% . (5.30) Természetesen a paraméteres koordináták esetén is alkalmazható ugyanez a módszer, csupán az x és y helyett ξ és η szerepel, továbbá a kitüntetett pontok lokális koordinátái itt ismertek.

82


Előadásvázlat

Fontos megjegyeznünk, hogy kézi számítás esetén célszerű elkerülni a B% mátrix invertálását, a bázisfüggvények kevesebb számítással is előállíthatók. A módszert egy példával illusztráljuk.

5.1. Példa: Állítsuk elő egy hatpontos háromszögelemnek az első, a második és az ötödik pontjához tartozó bázisfüggvény egyenletét paraméteres koordinátákkal! Mindhárom bázisfüggvénynek öt kitüntetett pontban zérusnak kell lennie. A következő ábrán bemutatjuk, hogy minden esetben felrajzolható két egyenes, amelyek együtt tartalmazzák az öt csomópontot. Az ábrán megadtuk az egyenesek egyenletét zérusra rendezett formában.

5.10. ábra: Paraméteres koordináta-rendszer Ha az egyenletek bal oldalán lévő kifejezéseket összeszorozzuk, akkor olyan másodfokú függvényt kapunk, amelyik a jelzett öt pontban (természetesen a két egyenes minden pontjában is) zérusértékű. Írjuk fel e függvényeket, és számítsuk ki értéküket a hatodik pontban: 1  ~ (0,0 ) = 1 , N (5.31) N~1 = (1 − ξ − η ) − ξ − η  , 1 2 2  ~ 1  1 ~ = (1 − ξ − η )ξ , N N2  ,0 = , 2 2  4 1  ~ (0,1) = − 1 . N N~5 = η  − η  , 5 2 2  Mivel a bázisfüggvények értékének e hatodik pontban éppen 1-nek kellene lennie, a segédfüggvényt az így kapott konstanssal kell osztanunk: 1  (5.32) N1 (ξ ,η ) = N~1 (ξ ,η ) / N~1 (0,0 ) = 2(1 − ξ − η ) − ξ − η  , 2  N 2 (ξ ,η ) = 4(1 − ξ − η )ξ , 1  N 5 (ξ ,η ) = 2η η −  . 2  83


Előadásvázlat

A kapott függvényeket az alábbi ábra mutatja.

5.11. ábra: Háromszög bázisfüggvényei A teljesség kedvéért közöljük a maradék háro három m függvényt is: 1  N 3 (ξ ,η ) = 2ξ  ξ −  , 2  N 4 (ξ ,η ) = 4ξη , N 6 (ξ ,η ) = 4(1 − ξ − η )η .

(5.33)

Szimplex esetén a természetes koordináták is használhatók. A hárompontos esetben már megadtuk dtuk a bázisfüggvényeket. A többi is megadható e koordinátákkal, figyelembe véve, hogy ξ = L2 , és η = L3 , sőt a természetes koordináták szimmetrikus értelmezése miatt mindig választhatjuk a legegyszerűbb alakot. Például a hatpontos elem esetén a három sarokponti és a három oldalközéphez tartozó függvény hasonló alakú lesz: N1 (L1 , L2 , L3 ) = L1 (2 L1 − 1) , N 2 (L1 , L2 , L3 ) = 4 L1 L2 , (5.34)

N 3 (L1 , L2 , L3 ) = L2 (2 L2 − 1) , N 5 (L1 , L2 , L3 ) = L3 (2 L3 − 1) ,

N 4 (L1 , L2 , L3 ) = 4 L2 L3 , N 6 (L1 , L2 , L3 ) = 4 L1 L3 .

Megjegyezzük, hogy ha a csomópontokat másképp sorszámozzuk (először a sarokponti, majd az oldal közepén fekvőket), akkor a bázisfüggvények sorszáma és a koordináták indexe között is lenne egyezés. B./ C 0 -folytonos folytonos függvény négyszögelemhez Az általános módszer itt is alkalmazható. Itt azonban nem teljes polinomokat használunk, hanem a Pascal-háromszögből négyszögeket „vágunk ki”.

Ezt mutatja a következő ábra, így kapunk például mindkét változójában lineáris (bilineáris), ), vagy mindkét változójában kvadratikus (bikvadratikus) elemeket.

84


Előadásvázlat

55.12. .12. ábra: Négyszögelemek bázisfüggvényeinek kiválasztása

5.2. Példa Állítsuk elő paraméteres bázisfüggvényeket!

koordinátákat

alkalmazva

a

bilineáris

Ennél a feladatnál négypontos elemet kell választanunk. A következő ábra sorszámozását használva: 1 −1 −1 1 1 1 −1 −1 T % . x = [1 ξ η ξη] , B =  (5.35) 1 1 1 1   1 −1 1 −1 A bázisfüggvények közös képlettel is megadhatók: 1 N i (ξ ,η ) = (1 + ξ iξ )(1 + ηiη ) , (i = 1, 2, 3, 4) (5.36) 4 ahol ξ i ,ηi az i-edik edik pont ismert koordinátái (± 1) , vagyis ezek mutatják a változók előjelét.

55.13. .13. ábra: Négycsomópontú elem bilineáris bázisfüggvénye

85


Előadásvázlat

A téglalap (jelen esetben négyzet) alakú elemek esetén ismét van egyszerűbb út a kétváltozós bázisfüggvények számítására. Korábban már bemutattuk a lineáris és a kvadratikuss egyváltozós bázisfüggvényeket. A bilineáris vagy bikvadratikus függvények ilyen egyváltozós függvények szorzataként felírhatók. Az elvet a bilineáris függvény esetére az előző ábra szemlélteti. Az i-edik edik bázisfüggvénynél azt a két egyváltozós függvényt kkell ell összeszoroznunk, amelyiknek a ξ i , illetve az

ηi koordinátájú pontban 1 az értéke. Ezt az elvet alkalmazva mutatja a következő ábra a nyolcadik csomóponthoz tartozó bikvadratikus bázisfüggvényt. Az így kapott báz bázisfüggvényeket megadhatjuk a következő formában is: 1  4 ξ iηiξη (1 + ξ iξ )(1 + ηiη ) ha i = 1, 3, 7, 9 1  ξ ξ (1 + ξ iξ ) 1 − η 2 ha i = 4, 6 (5.37) N i (ξ ,η ) =  2 i 1 2 ha i = 2, 8  2 ηiη 1 − ξ (1 + η iη )  2 2 ha i = 5  1− ξ 1 −η

(

(

(

)(

)

)

)

55.14. ábra: Bikvadratikuss bázisfüggvény előállítása

Előfordulhat, hogy egy téglalapelemnél a két változóban nem egyforma fokszámú függvényt alkalmaznak. Ennek indoka lehet a két oldalhossz nagy különbsége, vagy a vizsgált szerkezetben meglévő ortotropia. Megjegyezzük, hogy négyszögelem esetén gyakran alkalmazzák az ún. serendipity-elemek elemeket is. Ezeknél az oldalak közbenső pontján veszünk fel csomópontot, de az elem belsejében nem. A serendipity-elemek elemek bázisfüggvényei a korábban ismertetett módszerrel előállíthatók, csak a Pascal-háromszögből kimetszett téglalapban lévő elemek közül nem kerülnek az x vektorba azok, amelyek yek mindkét változójukban elsőnél magasabb fokúak.

86


Előadásvázlat

Például egy 8 csomópontos serendipity serendipity-elemnél T x = 1 ξ η ξ 2 ξη η 2 ξ 2η ξη 2 ,

[

]

(5.38)

vagyis elhagytuk a ξ 2η 2 tagot. Az általános módszerrel kapott eredmények: 1  4 (1 + ξ iξ )(1 + η iη )(ξ iξ + ηiη − 1) ha i = 1, 3, 6, 8  1 N i (ξ ,η ) =  (1 + ξ iξ ) 1 − η 2 ha i = 4, 5 , (5.39) 2  1 1 − ξ 2 1 + ηi η ha i = 2,7  2 ahol a csomópontok számozását a következő ábra mutatja, amelyen két bázisfüggvény alakját is szemléltetjük.

(

(

)(

) )

5.15. .15. ábra: Serendipity elem bázisfüggvényei A kapott összefüggésekből látható, hogy a bázisfüggvények ffolytonossága itt is biztosított, mert az oldalak mentén ξ vagy η értéke rögzített, a másik változóban legfeljebb másodfokú a görbe, melyet az oldalon előírt három függvényérték egyértelműen meghatároz. A szomszédos elemen a közös kitüntetett pontokban illesztjük a függvényeket, így az a teljes oldal mentén is illeszkedni fog. C./ C 1 -folytonos folytonos függvény háromszögelemhez A bázisfüggvények C1 -folytonosságához nem elegendő ndő az, hogy az elemek közös oldalán a megfelelő interpoláló függvények metszetei megegyeznek, hiszen ez még csak a függvény és az oldal irányának megfelelő deriváltak folytonosságát bizonyítja, hanem az oldalra merőleges (normális) irányú első deriváltnak is folytonosnak kell lennie. Ez a feltétel például biztosítható az ábrán látható 21 szabadságfokú háromszögelemen teljes ötödfokú polinom alkalmazásával:

87


Előadásvázlat

55.16. ábra: C 1 -folytonos háromszögelem Ennek belátásához hoz válasszuk úgy a koordináta koordináta-rendszert, rendszert, hogy az x tengely az egyik oldallal párhuzamos legyen. A folytonosságon nem változtathat a koordináta-rendszer rendszer felvételének módja, így azt választhatjuk speciálisan is. A kétváltozós ötödfokú polinomnak ezen oldal feletti metszete egy egyváltozós ötödfokú görbe görbe.. A vizsgált oldal két végpontján előírt p, p x , p xx (vagyis a függvény, az érintő iránytangensének és a görbületnek az értéke), ez összesen hat érték, az pedig egyértelműen meghatározza a görbét (k (következő övetkező ábra). Ez még csak a függvény folytonosságát igazolja, ezért még be kell látnunk, hogy a p y (x ) függvény is folytonos. Ez a függvény egy ötödfokú függvény első deriváltja deriváltja, tehát negyedfokú.

csomópontban an ismerjük ezen függvény értékét, A „b”” ábra szerint mindhárom csomópontb valamint a két végpontban az érintő iránytangensét is, tehát ez az öt érték egyértelműen meghatározza a negyedfokú p y ( x ) függvényt. Tehát ha két szomszédos elem közös élén levő 3 csomópontban mind a 13 el elmozduláskomponenst illesztjük, akkor a közös él minden pontjában folytonos a bázisfüggvény valamint az x és y szerinti deriváltja is. Így igazoltuk, hogy a bázisfüggvények C(1)-folytonosak.

5.17. ábra: Függvényillesztés

88


Előadásvázlat

A meghatározásukra használt képletben a 21 elemű x vektor T x = 1 x y x 2 xy y 2 x3 x 2 y K x 2 y 3 xy 4 y 5  . A 21-edrendű B% előállításához szükség van ennek deriváltjaira is:

(5.40)

T

∂x = 0 1 0 2 x y 0 3 x 2 2 xy K 2 xy 3 y 4 0  , ∂x  T ∂x = 0 0 1 0 x 2 y 0 2 x 2 K 3 x 2 y 2 4 xy 3 5 y 4  , ∂y

(5.41)

∂2 x = 0 0 0 2 0 0 6 x 2 y K 2 y 3 0 0  , ∂x 2 T ∂2 x = 0 0 0 0 1 0 0 2 x K 6 xy 2 4 y 3 0  , ∂x∂y T

T

∂2 x = 0 0 0 0 0 2 0 0 K 6 x 2 y 12 xy 2 ∂y 2  T

T

20 y 3  ,

T

∂x ∂x ∂x = cos α + sin α , ∂n ∂x ∂y ahol α az x tengely és az oldalra merőleges n irány által bezárt szög. Ezekbe a vektorokba kell behelyettesíteni a megfelelő csomópontok koordinátáit, hogy megkapjuk B% egy-egy sorát. Felhívjuk a figyelmet arra, hogy paraméteres koordinátákat alkalmazva a deriválásokhoz itt is a láncszabályt kell használni. Az első deriváltakhoz elegendő a korábban már tárgyalt Jacobi-mátrix elemeinek használata, például T T T ∂x ∂ x ∂ξ ∂ x ∂η = + . (5.42) ∂x ∂ξ ∂x ∂η ∂x A második deriváltakat csak akkor könnyű meghatározni, ha az egyenes oldalak közepén vannak a csomópontok, mert ekkor a globális és a lokális koordináták között lineáris a kapcsolat, és így például a 2

2

∂ 2 x  ∂ξ  ∂ 2 x ∂ξ ∂η ∂ 2 x  ∂η  ∂ x ∂ 2ξ ∂ x ∂ 2η ∂2 x = (5.43) + + + 2     + ∂x 2 ∂ξ2  ∂x  ∂ξ∂η ∂x ∂x ∂η2  ∂x  ∂ξ ∂x 2 ∂η ∂x 2 képletben az utolsó két tag zérus lesz. Természetesen az iránymenti deriváltat számító képletben az α szöget a globális rendszerben kell mérni. T

T

T

T

T

T

Azokat az elemeket, melyek bázisfüggvényei a szükséges folytonosságot teljesítik, konform elemeknek nevezzük. Jó numerikus eredményeket érnek el nem konform elemek alkalmazásával is, melyeknél az oldalra merőleges irányú deriváltak nem feltétlenül folytonosak. Például a következő ábrán látható 15 szabadságfokú elemmel, amelynél teljes negyedfokú polinomot használnak. Ennél az előző ábrához fűzötthöz hasonló gondolatmenettel belátható, hogy a függvény folytonos, hiszen a negyedfokú

89


Előadásvázlat

metszethez öt előírás tartozik, de a harmadfokú py függvényt a három csomópontban előírt érté értéke ke nem határozza meg egyértelműen.)

5.18. .18. ábra: Nem komform háromszögelem Elvileg használható a 9 szabadságfokú nem konform elem is (következő ábra). Itt külön problémát okoz az, hogy a teljes harmadfokú polinomnak 10 tagja lenne, de megg kell tartanunk a két koordináta szimmetriáját is. Ezt úgy oldják meg, hogy vagy az x vektor egyik elemeként két egytag ((mononom)) összegét szerepeltetik: T x = 1 x y vagy az xy tagot kihagyják: T x = 1 x y

x2

xy

y2

x3

x2

y2

x3

x2 y

( x y + xy ) 2

2

xy 2

y 3  .

y 3 

(5.44) (5.45)

5.19. ábra: Egyszerű nem konform elem Másfajta lehetőség az előző probléma kiküszöbölésére: a szabadságfokot kell eggyel növelni,, mert ekkor a teljes harmadfokú polinom használható. Eh Ehhez a háromszög súlypontjában vesznek fel egy negyedik csomópontot, ahol a függvény értékét írják elő.

90


Előadásvázlat

D./ C 1 -folytonos folytonos függvény téglalapelemhez

Hangsúlyozzuk, hogy itt nem általános alakú négyszögelemekkel foglalkozunk, hanem csak sak téglalap alakúakkal. A 16 szabadságfokú elem négy sarkán veszünk fel csomópontot, és mindegyikben szabadságfoknak tekintjük a függvényértéket, a függvény két első és a vegyes második deriváltjának értékét, lásd a következő ábrát. Ehhez mindkét változó változójában teljes harmadfokú függvényt használunk, tehát a 16 elemű x vektor: T x = 1 x

y

x2

xy

y2

x3

x2 y

xy 2

y3

x3 y

x2 y 2

xy 3

x3 y 2

x2 y3

x 3 y 3  (5.46)

55.20. ábra: Téglalap elem Hermite-polinommal polinommal Itt – a C 0 -folytonos folytonos téglalapelemeknél használt módon – egyszerűbb az egyváltozós C 1 --folytonos függvények szorzataként előállítani a bázisfüggvényeket. Például a következő ábrán vázolt esetben az első csomóponthoz tartozó első négy bázisfüggvény: N1 (ξ ,η ) = N1 (ξ )N 3 (η ) , (5.47)

N 2 (ξ ,η ) = N 2 (ξ )N 3 (η ) ,

N 3 (ξ ,η ) = N1 (ξ )N 4 (η ) , N 4 (ξ ,η ) = N 2 (ξ )N 4 (η ) .

5.21. .21. ábra: Bázisfüggvények

91


Előadásvázlat

Téglalap alakú elemeknél is használnak nem konform bázisfüggvényeket. Például a következő ábrán bemutat bemutatatott atott 12 szabadságfokú elemnél a második deriváltak értékei nem szerepelnek. Ezeknél a javasolt 12 elemű x vektor: T x = 1 x

y

x2

xy

y2

x3

x2 y

xy 2

y3

x3 y

xy 3  .

(5.48)

5.22. ábra: Nem komform téglalap elem

Háromváltozós ós függvények Háromváltozós függvényeknél csak C 0 -folytonos folytonos bázisfüggvényeket használunk. Tetraéder és téglatest alakú elemeket is bemutatunk.

A./ Tetraéderelemek Egy térbeli Pascal Pascal-gúláról leolvasható, hogy lineáris közelítésn közelítésnél négy tagunk van, tehát egy tetraéder (lásd a következő ábrát) négy sarokpontjában előírt függvényértékekre egyértelműen illeszthető egy háromváltozós lineáris függvény. Mivel bármelyik lapon a három függvényérték egy kétváltozós, kétváltozós az éleken pedig a két függvényérték egy egyváltozós lineáris függvényt üggvényt határoz meg, a C 0 folytonosság biztosított. A négy bázisfüggvény az általános módszer szerint meghatározható. A globális koordináták felhasználásával T x = [1 x y z ] , (5.49)

1 1 % B= 1  1

x1

y1

x2 x3 x4

y2 y3 y4

z1  z2  , z3   z4 

(5.50)

melyeket felhasználva −1 T T n =  N1 ( x, y,z ) N 2 ( x, y,z ) N3 ( x, y,z ) N 4 ( x, y,z ) = x B% .

(5.50)

Paraméteres koordináta-rendszerben koordináta ismerjük a koordinátákat, így

92


Előadásvázlat

1 0 0 0  1 1 0 0  . B% =  (5.51) 1 0 1 0    1 0 0 1  Ebből a bázisfüggvények is könnyen számíthatók, sőt mivel a tetraéder esetén ξ = L2 , η = L3 és ζ = L4 , a természetes koordinátákkal is felírhatjuk a négypontos tetraéderelem bázisfüggvényeit: N1 (ξ ,η,ζ ) = 1 − ξ − η − ζ , N1 (L1 , L2 , L3 , L4 ) = L1 ,

N 2 (ξ ,η,ζ ) = ξ , N 3 (ξ ,η,ζ ) = η ,

N 4 (ξ ,η,ζ ) = ζ ,

N 2 (L1 , L2 , L3 , L4 ) = L2 , N 3 (L1 , L2 , L3 , L4 ) = L3 , N 4 (L1 , L2 , L3 , L4 ) = L4 .

(5.52)

5.23. ábra: Tetraéder elemek Természetesen a háromdimenziós elemeknél is növelhetjük a csomópontok számát. A bemutatott 10 pontos elemnél a teljes másodfokú polinomot használjuk, és így T (5.53) x = 1 x y z x 2 xy y 2 yz z 2 xz  , a teljes harmadfokú polinomhoz pedig már 20 csomópont szükséges. A 10 és a 20 csomópontos tetraéderelemeknek az élei már görbék is lehetnek. B./ Téglatestelemek

A C 0 -folytonos bázisfüggvények előállítására téglatestelemek esetében is használható az általános képlet. Itt a „téglatest” szót a geometriai értelmezésénél általánosabban használjuk, az élek nem feltétlenül merőlegesek, sőt nem feltétlenül egyenesek. Az xT vektor elemeit itt is a Pascal-gúla elemeiből választhatjuk. Ha csak a 8 sarokpontot tüntetjük ki (következő ábra), akkor a mindhárom változójában lineáris (trilineáris) függvényt alkalmazzuk: 93


Előadásvázlat

x = [1 x y z xy yz xz xyz ] . (5.54) Ez az elv könnyen kiterjeszthető arra az esetre is, ha egy olyan raszterhálóban vesszük fel a csomópontokat, amelyiknek x, y, illetve z irányban rendre k, l, illetve m pontja van. Ekkor az x-ben legfeljebb (k-1)-, y-ban legfeljebb (l-1)-, z-ben legfeljebb (m-1)-edfokú tagokat kell az x vektorban szerepeltetnünk. Ilyen elemekkel görbült élek is leírhatók. T

5.24. ábra: Téglatest elemek Ha az elem alakja a szigorú értelemben vett téglatest, akkor a globális koordináták vagy pedig a paraméteres koordináták alkalmazásakor24 mindig egyszerűbb úton is meghatározhatjuk a bázisfüggvényeket: három egyváltozós függvény szorzataként. Például paraméteres koordináta-rendszerben a 8 pontos elem bázisfüggvényeinek közös képlete: 1 (i = 1,2,K,8) ) (5.55) N i (ξ ,η , ζ ) = (1 + ξ iξ )(1 + η iη )(1 + ζ iζ ) , 8 ahol ξ i ,ηi ,ζ i az i-edik pont jól ismert koordinátái (± 1) , vagyis ezek mutatják a változók előjelét. Megjegyezzük, hogy magasabb fokú polinomok esetén itt is előállíthatók serendipity-elemek, melyeknél csak a csúcsokon és az éleken veszünk fel kitüntetett pontokat. Például a következő ábrán látható húsz csomópontos elem esetén:

24

Hiszen az elem tartománya ekkor egy kocka. 94


1  8 (1 + ξ iξ )(1 + ηiη )(1 + ζ iζ )(ξ iξ + ηiη + ζ iζ − 2) 1  1 − ξ 2 (1 + ηiη )(1 + ζ iζ )  N i (ξ ,η ,ζ ) =  4 1  (1 + ξ iξ ) 1 − η 2 (1 + ζ iζ ) 4 1 2  4 (1 + ξ iξ )(1 + ηiη ) 1 − ζ

(

)

(

)

(

)

Előadásvázlat

ha 1 ≤ i ≤ 8 ha 9 ≤ i ≤ 12

.

(5.56)

ha 13 ≤ i ≤ 16 ha 17 ≤ i ≤ 20

5.26. ábra: Serendipity téglatest

A bázisfüggvények használata Az eddig elmondottakból következik, hogy a bázisfüggvényeket -

egyrészt a lokális és a globális koordináta-rendszerek rendszerek kapcsolatának leírására,

-

másrészt az ismeretlen (elmozdulás (elmozdulás-)) függvényeknek elmozdulásjellemzőkből való interpolálására használjuk.

a

csomóponti

Ha mindkét célra ugyanazokat a függvényeket alkalmazzuk, akkor izoparametrikus elemekről beszélünk. Ha az első estben alacsonyabb fokú függvényeket használunk, akkor szubparametrikus, fordított esetben szuperparametrikus elemeket kapunk. ák interpolálásához mindig C 0 -folytonos folytonos bázisfüggvényeket használunk. Az A koordináták elmozdulásfüggvények esetében elegendő a C 0 folytonos bázisfüggvények alkalmazása, ha a geometriai egyenletekben szereplő L differenciáloperátor-mátrix differenciáloperátor szerint az 95


Előadásvázlat

elmozdulásfüggvénynek csak az első deriváltját kell előállítani, de C 1 -folytonos bázisfüggvényekre van szükség, ha a második deriváltak is előfordulnak. A paraméteres koordinátákból a globális koordinátákat az alábbi módon számítjuk:  x1 y1 z1  x y z  [x y z ] = [N1 N 2 L N n ] 2 2 2  = nT X , (5.57) M M M    xn y n z n  vagyis a korábban már bemutatott p(ξ ,η ,ζ ) polinom helyére rendre az x (ξ ,η ,ζ ) , az y (ξ ,η,ζ ) és a z (ξ ,η,ζ ) függvényeket helyettesítjük, így mindhárom koordináta számítására ugyanazokat a bázisfüggvényeket használhatjuk. Ezt az alakot használtuk egyébként a koordináta-transzformáció Jacobi-mátrixának meghatározására is. Az elmozdulásfüggvények közelítésekor természetesen a p(ξ ,η , ζ ) polinom helyére az aktuális elmozdulásfüggvényeket helyettesítjük. Ezeket a csomóponti elmozdulásjellemzőkből kívánjuk interpolálni. Egy eltolódásfüggvénynek a rá merőleges irányban értelmezett koordináta szerinti derivált fizikai jelentése egy, mindkét irányra merőleges tengely körüli elfordulás. Az elfordulást vektorként értelmezzük, így egy komponensénél az index azt jelenti, hogy melyik tengely körüli elfordulást adja meg, tehát a p és a ϕ indexe nem egyezik, vagyis például a C1 -folytonos bázisfüggvények alkalmazásakor az indexeket és az előjeleket alaposan meg kell fontolni. Ennél is nehezebb probléma adódik a magasabb rendű deriváltak használatakor (például a 21 szabadságfokú háromszögelemnél pxx, pxy és pyy). Egy lehajlásfüggvénynél a második deriváltak nem tekinthetők a pont elmozdulásainak, hanem azok az eltolódásfüggvény ezen pontbeli görbületeinek jellemzői, tehát az elmozdulásfüggvényeket a kitüntetett pontok elmozdulásjellemzőiből interpoláljuk, amelyek gyakran (bár nem mindig) tekinthetők e pontok (illetve a hozzájuk rögzített koordináta-rendszerek) elmozdulásainak. Nézzünk néhány példát az elmozdulásfüggvények interpolálására.

5.3. Példa A csomópontok eltolódásainak ismeretében interpoláljuk egy húzott-nyomott rúd elmozdulásfüggvényét! Húzott-nyomott rúd esetén csak egy elmozdulásfüggvényt (u) kell figyelembe vennünk, és ezt a geometriai egyenlet szerint csak egyszer kell deriválni, tehát C 0 -folytonos bázisfüggvényeket használunk. Az eltolódásfüggvény interpolációja például kétpontos elemnél a globális koordináta-rendszerben:  u1  u ( x ) = [N1 ( x ) N 2 ( x )]  , (5.58) u 2  96


Előadásvázlat

vagy hárompontos elemnél paraméteres koordinátákkal:  u1  u (ξ ) = [N1 (ξ ) N 2 (ξ ) N 3 (ξ )]u 2  ,   u3  vagy természetes koordinátákkal kifejezve: u (L1 , L2 ) = [N1 (L1 , L2 ) N 2 (L1 , L2 )

 u1  N 3 (L1 , L2 )]u 2  .   u3 

(5.59)

(5.60)

5.4. Példa A csomópontok elmozdulásainak ismeretében interpoláljuk az xy síkban hajlított Timoshenko-rúd elmozdulásfüggvényeit!

Timoshenko-rúd esetén két elmozdulásfüggvényt (v,ϕ z ) kell figyelembe vennünk, és a geometriai egyenleteknek megfelelően mindkettőt csak egyszer kell deriválni, tehát itt is C(o)-folytonos bázisfüggvényeket használunk. Az elmozdulásfüggvények interpolációja például kétpontos elemnél a globális koordináta-rendszerben:  v1    N 2 (x )  ϕ z1   v( x )   N1 ( x ) . (5.61) ϕ ( x ) =  N1 ( x ) N 2 ( x )  v2   z     ϕ z 2  Megjegyezzük, hogy itt az elfordulásokat nem az eltolódásfüggvény deriváltjaként számítottuk, hanem a p( x ) függvényt először a v( x ) majd a ϕ z (x ) függvénnyel helyettesítettük.

5.5. Példa A csomópontok elmozdulásainak ismeretében interpoláljuk az xy síkban hajlított klasszikus rúd eltolódásfüggvényét! Hajlított rúd esetén a klasszikus elméletet használva csak egy elmozdulásfüggvényt (v ) kell használnunk, de azt kétszer kell deriválni, tehát C1 -folytonos bázisfüggvényeket kell alkalmaznunk. Az elmozdulásfüggvény interpolációja:  v1  ϕ  v(ξ ) = [N1 (ξ ) N 2 (ξ ) N 3 (ξ ) N 4 (ξ )] z1  . (5.62)  v2    ϕ z 2  Itt a v függvény az y irányú eltolódást jelöli, ezt tesszük a p polinom helyére, így a px derivált a z tengely körüli elfordulást jelenti. Felhívjuk a figyelmet arra, hogy ha az xz síkban hajlított rudat vizsgálnánk, akkor az y tengely körüli elfordulást kell használnunk, de az nem a w függvény x szerinti deriváltja, hanem annak ellentettje, tehát 97


w(ξ ) = [N1 (ξ ) − N 2 (ξ ) N 3 (ξ )

 w1  ϕ  y1  − N 4 (ξ )] .  w2    ϕ y 2 

Előadásvázlat

(5.63)

5.6. Példa Vizsgáljunk meg egy térbeli rudat a klasszikus elmélettel! Négy elmozdulásfüggvényünk (u, v, w, ϕx ) van, a két szélsőt csak egyszer, de a két közbensőt kétszer kell deriválni, tehát kell C 0 -folytonos és C1 -folytonos bázisfüggvényeket is használnunk. Az elmozdulásfüggvény interpolációja például kétpontos elemnél (a felső indexszel azt mutatjuk, hogy hányadfokú a bázisfüggvény, de az egyszerűség kedvéért nem jelöljük, hogy milyen koordinátákat használunk):  u1     v1    w  1   ϕ   x1  1  ϕ  N 21  u   N1   y1      3 3 3 3   v  N1 N2 N3 N 4   ϕ z1   =    . (5.64) w    u2  N13 −N 23 N 33 −N 43       ϕ   1 1   v2   x   N N  1 2      w2     ϕx2    ϕ y2     ϕ   z 2 

5.7. Példa Következő példaként tekintsünk egy olyan esetet, amikor mindegyik elmozdulásfüggvényt C 0 -folytonos függvénnyel kell közelíteni, mégsem azonos bázisfüggvényt alkalmazunk mindegyikre! Több szerző javasolta az ún. heterosis-elemet a nyírási alakváltozást is figyelembe vevő lemezek számításához (lásd részletesen a Reissner-Mindlin-elméletet a „Mechanika-MSc” tárgyban). Ennél a w eltolódásfüggvényt 8 pontos serendipity-függvénnyel, az elfordulásokat 9 pontos Lagrange-függvénnyel közelítik.

98


Előadásvázlat

5.27. ábra: Heterosis-elem.

Így az u vektor interpolációjához egy 3 × 26 méretű mátrixot (ebben a bázisfüggvények felső indexe azt mutatja, hogy hány csomóponthoz tartoznak) használunk:  w1  ϕ   x1  ϕ y1    8 8   M   w   N1 K N8       N19 N 89 N 99 K (5.65)  ⋅  w8  . ϕ x  =  9 9 9 ϕ y   N1 K N8 N 9  ϕ x8     ϕ   y8  ϕ x 9  ϕ   y9  A fenti egyenleteket közösen az u = N ve . (5.66) formában írhatjuk, ahol u az elmozdulás-függvényeket tartalmazó vektor, N a bázisfüggvényeket tartalmazó interpoláló mátrix, ve pedig az elem (erre utal az alsó index) kitüntetett pontjai (konstans) elmozdulásjellemzőinek vektora. Ennek a ve vektornak az elemei a Ritz-módszernél bemutatott konstansok25, melyekkel a bázisfüggvények lineáris kombinációit képeztük, és melyekről korábban megállapítottuk, hogy a végeselem-módszerben jól meghatározott fizikai jelentésük van (ezek a csomópontok elmozdulás-jellemzői).

5.8. Példa Oldjunk meg befejezésül egy olyan példát, melyben az elmozdulásfüggvény magasabb rendű deriváltjai is szerepelnek! A korábban már bemutatott 21 szabadságfokú háromszögelemet gyakran használjuk a klasszikus lemezelméletben. A bázisfüggvények előállításához a sarokpontokban 6-6, az 25

Ehhez például a 5.5. példában említett páros indexű bázisfüggvényeknél a megszokott függvények –1-szereseit kell használnunk. 99


Előadásvázlat

oldalközepeken 1-1 elmozdulásjellemzőt vettünk fel. Az interpolálandó elmozdulásfüggvény a w eltolódásfüggvény. Így (5.67) ϕ x = p y , ϕ y = − p x , κ x = p yy , κ xy = 2 p xy , κ y = − p xx . A három oldalközépen egy-egy iránymenti deriváltat választottunk szabadságfoknak. Mindhárom pontban más irányt, az oldalra merőleges, a háromszögből kifelé mutató irányt (n) vettünk. Ezek mindig a megfelelő oldalvonalra illeszkedő t tengely körüli elfordulást jelentik. A t tengely irányát úgy kapjuk, hogy az n tengelyt a z-vel szemből nézve az óramutató járásával egyező irányba fordítjuk el 90o-kal. Ekkor ϕ t = pn . (5.68) Mivel a bázisfüggvények meghatározásához a szabadságfokokat p1 , p x1 , p y1 , p xx1 , p xy1 , p yy1 , pn 2 ,

p3 , p x 3 , p y 3 , p xx3 , p xy 3 , p yy 3 , pn 4 ,

(5.69)

p5 , p x 5 , p y 5 , p xx5 , p xy 5 , p yy 5 , pn 6 sorrendben soroltuk fel, az Ni bázisfüggvénynek az i-edik jellemzője 1, a többi zérus. Ezért ha a csomóponti elmozdulásjellemzők vektorát (helyhiány miatt 3 sorba tördelve) [ w1 ϕ x1 ϕ y1 κ x1 κ xy1 κ y1 ϕt 2 T (5.70) v e = w3 ϕ x 3 ϕ y 3 κ x 3 κ xy 3 κ y 3 ϕt 4 w5 ϕ x 5 ϕ y 5 κ x 5 κ xy 5 κ y 5 ϕt 6 ] alakban vesszük fel, akkor az 1× 21 típusú N mátrix (szintén tördelve)

[ N1

N3

− N2

N6

2 N5

− N4

N7

N = N8 N15

N10 N17

− N9 − N16

N13 N 20

2 N12 2 N19

− N11 − N18

N14 . N 21 ]

(5.71)

alakú lesz.

Felhasznált szakirodalom: 1./ Bojtár I. – Gáspár Zs. : Végeselemmódszer építőmérnököknek, Terc, Budapest, 2003. 2./ Rao, S. S. : The finite element method in engineering, Pergamon Press, 1989.

100


Előadásvázlat

6. Előadás: Elemi mátrixok (merevségi mátrix, tehervektor) számítása Ebben az előadásban egyetlen egy – tetszőlegesen kiválasztott – véges elemmel foglalkozunk. Feltételezzük, hogy ismerjük a kiválasztott modellhoz tartozó p, u , ε , ε 0 és

σ vektort, valamint az L és a D mátrixot, illetve a./ tudjuk, hogy milyen alakú elemmel dolgozunk, kijelöltük az elem kitüntetett pontjait, választottunk lokális koordináta-rendszert (ha ez paraméteres koordinátarendszer, akkor meghatároztuk a transzformáció J Jacobi-mátrixát, és ennek inverzét), ezen koordinátákkal előállítottuk a szükséges bázisfüggvényeket, és ezeket felhasználva felírtuk az u = N ve (6.1) alakú interpolációs egyenletet. Mindezen előkészítést figyelembe véve a továbbiakban b./ előállítjuk az elem B alakváltozási mátrixát, majd c./ meghatározzuk az elem K e merevségi mátrixát, és végül d./ az elemre esetleg ható terheket redukáljuk az elem kitüntetett pontjaira, vagyis kiszámítjuk a q e redukált tehervektort.

Alakváltozási mátrixok számítása Bármilyen szerkezet geometriai egyenlete ε = Lu (6.2) alakban írható fel. Ebbe az egyenletbe behelyettesítve az elmozdulásokra 7.1 alatt megadott közelítést, a következőt kapjuk: ε = LN v e = Bv e . (6.3) Ennél a lépésnél bevezettük a B = LN jelölést, ahol a B mátrixot a tovébbiakban az elem alakváltozási mátrixának nevezzük, hiszen megadja az alakváltozás-vektor és a csomópontok elmozdulás-jellemzőinek vektora közti kapcsolatot. Ha a bázisfüggvényeket a(z esetleg merevtestszerűen elmozdított) globális rendszerben írtuk fel, akkor a B mátrix számítása viszonylag egyszerű, hiszen polinomokat kell valamelyik változójuk szerint deriválnunk. Ha a koordináta-rendszert el is forgattuk, akkor ez a megállapítás látszólag nem igaz, pedig izotrop anyag esetén az L operátorban megadott deriválási irányokat jogunk van a lokális koordináta-rendszer szerint felvenni. Ilyenkor majd az elem merevségi mátrixát valamint a redukált tehervektorát kell a globális rendszerbe forgatnunk. Néhány példával illusztráljuk a B mátrix előállításának módját. 101


Előadásvázlat

6.1. Példa Állítsuk elő a két- és hárompontos húzott-nyomott rúd B mátrixát, valamint illusztráljuk a fizikai jelentésüket! Az L operátor és az N mátrix korábbi levezetéseinkből adódik. Így kétpontos elemnél:  d   x − x x − x1   1 1 B = LN =    2 , = − l   l l   dx   l illetve hárompontos elemnél: ( x − x1 )( x − x3 ) ( x − x1 )( x − x2 )  =  d   ( x − x2 )( x − x3 ) B =     dx   ( x1 − x2 )( x1 − x3 ) ( x2 − x1 )( x2 − x3 ) ( x3 − x1 )( x3 − x2 )   2 x − x2 − x3 2 x − x1 − x3 2 x − x1 − x2  = .  ( x1 − x2 )( x1 − x3 ) ( x2 − x1 )( x2 − x3 ) ( x3 − x1 )( x3 − x2 )  A következő ábrán azt szemléltetjük, hogy a kétpontos elemnél természetesen zérus alakváltozást kapunk, ha a két csomópontban azonos elmozdulást írunk elő, T vagyis v e = [u u ] , hiszen  1 1 u  ε = Bv e = −   =0.  l l  u  Az egész elemen konstans az alakváltozás, ha az elmozdulások különbözőek:  1 1  u1  u 2 − u1 ε = Bv e = − .  = l  l l  u 2 

6.1. ábra: Alakváltozás-függvények két különböző rúdelemnél 102


Előadásvázlat

A „b” ábra szerint a hárompontos elem esetén a merevtest-szerű elmozdulásnál u   2 x − x2 − x3 2 x − x1 − x3 2 x − x1 − x2    ε = Bv e =   u  = 0 ,  ( x1 − x2 )( x1 − x3 ) ( x2 − x1 )( x2 − x3 ) ( x3 − x1 )( x3 − x2 )  u    egy lineáris eltolódásfüggvényből számított csomóponti elmozdulásvektor esetén pedig: u1    ε = B u1 + a( x2 − x1 ) = a , u1 + a( x3 − x1 ) vagyis konstans az alakváltozás, míg „általános” esetben lineáris alakváltozásfüggvényt kapunk, hiszen a mátrix elemei lineáris függvények, és azok lineáris kombinációját képezzük. A példa alapján megállapíthatjuk, hogy a B mátrix általában az x változó (a jellemző koordináta) függvénye, de speciális esetben az elemei konstansok is lehetnek. Paraméteres koordináták esetén a bázisfüggvények deriválásánál a láncszabályt kell alkalmaznunk. Például kétváltozós bázisfüggvény esetén: ∂N i (ξ ,η ) ∂N i ∂ξ ∂N i ∂η . (6.4) = + ∂ξ ∂x ∂η ∂x ∂x

6.2. Példa Állítsuk elő egy hárompontos háromszög alakú tárcsaelem alakváltozási mátrixát (lásd a 4.2. példa vonatkozó ábráját)! A korábbiakban már láttuk, hogy N1 = 1 − ξ − η , N 2 = ξ , N 3 = η bázisfüggvények felhasználásával meghatározható a két koordináta-rendszer közti transzformáció Jacobi-mátrixának inverze:  ∂ξ ∂η   4 2     ∂x ∂x −1  =  34 34  . J =  ∂ξ ∂η   −7 5   ∂y ∂y   34 34  Így a bázisfüggvények deriváltjai a láncszabály szerint: ∂N1 ∂ (1 − ξ − η ) 4 2 6 ∂N1 5 2 −7 = = (− 1) + (− 1) = − , , = (− 1) + (− 1) = 34 34 34 ∂x ∂x 34 34 34 ∂y ∂N 2 ∂ξ 4 2 4 ∂N 2 5 7 −7 = = 1⋅ + 0 ⋅ = , = 1⋅ + 0⋅ = − , 34 34 34 ∂x ∂x 34 34 34 ∂y ∂N 3 ∂η 4 2 2 ∂N 3 −7 5 5 = = 0 ⋅ + 1⋅ = , . = 0⋅ + 1⋅ = ∂x ∂x 34 34 34 34 34 34 ∂y A tárcsa L operátorának felhasználásával: 103

Bojtár-Gáspár: A végeselemmódszer matematikai alapjai ∂   ∂x  B=  ∂  ∂y 

   ∂   N1 ∂y   ∂ ∂x 

N2 N1

N3 N2

Előadásvázlat

4 2  − 6  1  −7 2 5 . = N 3  34   2 − 6 − 7 4 5 2

A példa alapján két következtetést vonhatunk le az n darab csomóponttal rendelkező tárcsaelemre: egyrészt a bázisfüggvények deriváltjait közösen számíthatjuk a ∂  ∂N n   ∂N1  ∂ξ   ∂x K ∂x  −1 (6.5)   = J   [ N1 K N n ] ∂   ∂N1 K ∂N n   ∂η   ∂y ∂y    képlettel, másrészt a B mátrix n azonos felépítésű blokkból áll: B =  B1 K B n  ,

(6.6)

 ∂N i   ∂x  Bi =    ∂N i  ∂y 

(6.7)

ahol    ∂N i  . ∂y  ∂N i  ∂x 

A természetes koordináták használata esetén is a láncszabályt kell alkalmazni. Például négyváltozós bázisfüggvény esetén ∂N i (L1 , L2 , L3 , L4 ) ∂N i ∂L1 ∂N i ∂L2 ∂N i ∂L3 ∂N i ∂L4 . (6.8) = + + + ∂L1 ∂x ∂L2 ∂x ∂L3 ∂x ∂L4 ∂x ∂x A természetes koordináták x, y és z szerinti deriváltjait a korábbiakban már bemutatott összefüggésből állapíthatjuk meg. Mivel ez lineáris kapcsolatot mutatott, a keresett −1 deriváltak az A mátrix utolsó három oszlopának az elemei (az első oszlop az origó természetes koordinátáit mutatja):

104

Előadásvázlat

Bojtár-Gáspár: A végeselemmódszer égeselemmódszer m matematikai alapjai   L10    L20 −1 A =   L30    L40 

∂L1 ∂x ∂L2 ∂x ∂L3 ∂x ∂L4 ∂x

∂L1 ∂y ∂L2 ∂y ∂L3 ∂y ∂L4 ∂y

∂L1  ∂z   ∂L2  ∂z  . ∂L3  ∂z   ∂L4  ∂z 

(6.9)

6.3. Példa Állítsuk elő az alábbi ábrán bemutatott tetraéder alakú elem alakváltozási mátrixát!

6.2. ábra: Tetraéder elem. Mivel a négycsomópontú tetraéderelem bázisfüggvényei N i = Li alakban is felírhatók, az inverz mátrixban mindig csak az i-edik edik tag különbözik zérustól, sőt −1 ennek a tagnak is az első tényezője 1. Ebben az esetben tehát az A mátrix utolsó három oszlopa rö rögtön a bázisfüggvények deriváltjait adja: −1

1 1 1 1  6 −3 −2 0  0 2 0 0   −1  = 1 0 3 0 0  . A = 0 0 3 3 6 0 0 2 −6      0 0 0 1  0 0 0 6  Az u vektor és az L operátor ismeretében az alakváltozási mátrix:

105

Bojtár-Gáspár: A végeselemmódszer matematikai alapjai ∂  ∂x       B = 6×12 ∂  ∂y ∂   ∂z   

∂ ∂y

∂ ∂x

∂ ∂z

      ∂  L1 ∂z      ∂  ∂x  ∂  ∂y 

Előadásvázlat

L2 L1

L3 L2

L1

 =  L4 

L4 L3

L2

L4 L3

3 0 0 − 3   −2 0 2 0   −6 0 0 6 1 =   . 0 3 2 0 0 0  6 − 2 − 3 0 −3 0 3 −6 0 6 0   −6 2 0 −2 0 0 6 0  Megállapíthatjuk, hogy a tetraéderelemnél is a csomópontok számával egyező számú azonos szerkezetű blokkból áll a mátrix. A nem triviálisan zérus elemeket is feltüntettük a blokkok szerkezetének hangsúlyozásának érdekében. Ha a bázisfüggvényeket −1 T T n = x B%

(6.10)

módon számítjuk ki, akkor a B mátrixot gyakran előnyösebb két mátrix szorzatának formájában felírni. Ha az u vektor csak egy függvényt tartalmaz, akkor N = n , és így T

−1 −1 T B = LN = Lx B% = B o B% .

(6.11)

A B 0 mátrix előállítása sokkal kevesebb számítást igényel, hiszen az x vektor csak egytagú elemeket tartalmaz, és B 0 nem függ az elem méreteitől.

6.4.

Példa

Állítsuk elő a klasszikus lemezmodell esetén alkalmazott (nem konform) 15 szabadságfokú háromszög alakú elem B 0 mátrixát! A 15 szabadságfokú elemhez teljes negyedfokú polinomot használunk, így

106

Bojtár-Gáspár: A végeselemmódszer matematikai alapjai  ∂2   2   ∂y   ∂2  B o =  − 2  1 x  ∂x   ∂2  2   ∂x∂y 

y

x2

xy

y2

x3

x2 y

Előadásvázlat

xy 2

0 0 0 0 0 2 0 0 2x 6 y 0  = 0 0 0 − 2 0 0 − 6 x − 2 y 0 0 − 12 x 2 0 0 0 0 2 0 0 4x 4 y 0 0 

y3

x4

0

x3 y

x2 y2

2x2

− 6 xy − 2 y 2 6x2

8 xy

xy 3

y 4  =

6 xy 12 y 2   0 0 . 6y2 0 

Az elv kiterjeszthető arra az estre is, ha az u vektornak több eleme van. Ezt egy újabb példával illusztráljuk.

6.5.

Példa

Vizsgáljunk meg egy Timoshenko-féle hajlított gerendát, ahol a két elmozdulásfüggvényt másodfokú, C(o)-folytonos függvényekkel közelítjük. A továbbiakban feltesszük, hogy a három bázisfüggvényt −1 T T n = x B% módon határoztuk meg. A két függvény interpolálható  v1  v   2 −1 2  %  v   B  v  1 x x   3 ϕ =  2 −1  1 x x     B%   ϕ1    ϕ2     ϕ3  alakban is, hiszen csak egymás alá írtuk a két megszokott interpolációs képletet. Megjegyezzük, hogy a kitüntetett pontok elmozdulás-jellemzőit nem ilyen sorrendben szoktuk megadni, a „hagyományos” sorrendhez való visszatéréskor azonban a középső tényező oszlopainak sorrendjét is meg kell változtatni:  v1  ϕ   1 2 g g g    v2  v     1 x x 1 2 3    ,  ϕ =  g1 g2 g 3  ϕ2  1 x x 2       v3     ϕ3  107


Előadásvázlat

−1 ahol g i a B% mátrix i-edik oszlopát jelzi. Ha az előző egyenletet −1 T u = X B% ve

formában jelöljük, akkor −1 −1 T B = L X B% = B o B% .

Ezzel d  dx Bo =   

 −1  1 x  d  dx 

x2 1 x

 0 1 2 x − 1 − x − x 2  = . x2   0 1 2x 

Merevségi mátrixok A bevezető példában már láttuk, hogy az elem merevségi mátrixát a T K e = ∫ B DB d Ω

(6.12)

Ωe

általános képlettel számíthatjuk26. A D mátrixot a különböző modellek esetére a „Mechanika MSc” tárgyban27 részletesen bemutatjuk, a B alakváltozási mátrix előállításának módjait pedig az előzőekben tárgyaltuk. Most pedig – összefoglalásként – a merevségi mátrix kiszámításának különböző speciális eseteit ismertetjük. A képlet alapján megállapíthatjuk, hogy az elemek merevségi mátrixa mindig szimmetrikus, hiszen a D mátrix szimmetrikus, a szorzat transzponáltja pedig a tényezők transzponáltjainak fordított sorrendben vett szorzatával egyenlő, azaz:

(B

T

DB

)

T

= B DB , T

(6.13)

és természetesen az integrálás sem rontja el a szimmetriát.

Konstans elemű mátrixok esete A lineáris feladatokat vizsgáló végeselem-módszerben általában úgy vesszük fel az elemeket, hogy egy elemen belül az anyagállandók nem változnak, vagyis a D mátrix állandó. Az előző pontban láttuk, hogy speciális közelítések esetén a B mátrix is állandó. Ekkor az integrálandó mátrix kiemelhető az integráljel elé, a maradék integrál értéke pedig éppen az elem térfogata (illetve területe vagy hossza). Tehát konstans elemű mátrixok esetén az elem merevségi mátrixát három-, két-, illetve egyváltozós feladat esetében rendre a 26

Természetesen egy-, két- illetve háromváltozós feladat esetén az integrálás a konkrét feladat típusának megfelelően módosul: általában az elem hossza, területe, illetve térfogata felett kell integrálnunk. 27 Illetve a Bojtár-Gáspár: „Végeselemmódszer építőmérnököknek” c. könyv „D” és „E” jelű függelékeiben. 108

Bojtár-Gáspár: A végeselemmódszer matematikai alapjai K e = B DBVe , képlettel számíthatjuk. T

6.6.

Előadásvázlat

K e = B DB Ae , T

K e = B DB le T

(6.14)

Példa

Határozzuk meg az l hosszúságú kétpontos húzott-nyomott rúdelem merevségi mátrixát! A fentiekben leírtak alapján:  1 − l  EA  1 −1  1 1 . = K e =   [ EA]  − l l  −1 1   l l  1  l  A merevtest-szerű elmozdulás esetén az egyensúlyhoz nem kellenek csomóponti erők: EA  1 −1 u  0  , = l  −1 1  u  0  míg a többi elmozdulás esetén az elem két végén ható erők egymás ellentettjei: EA  1 −1  u1  EA ( u1 − u2 )  1  = q% e = K e v e =  −1 . l  −1 1  u2  l   q% e = K e v e =

6.7.

Példa

Határozzuk meg egy hárompontos, háromszög alakú (a 6.2. példában is használt) síkbeli feszültségi állapotban lévő tárcsaelem merevségi mátrixát! A Poisson-tényező értéke 0,2. A háromszög területe 17 (a Jacobi-mátrix determinánsának fele, de természetesen könnyen kiszámítható egy nagy és két kisebb trapéz területének különbségeként is). 2 − 6    2 − 6  1 0,2 4 2  − 6   − 7  Eh  1 4 1   0,2 1 2 −7 5 17= Ke =   2    − 7 4  1 − 0,2 34  1 − 0,2  34  2 − 6 − 7 4 5 2    2 5 2     5 2   11,6 − 8 − 4,4  37,6 − 7,2 − 29,6  − 7, 2 18,4 18,4 − 23,6 − 11,2 5,2  18,4 35,6 − 16,8 − 6 − 1,6 Eh − 29,6 =  . 55,4 5,2 − 31,8 68 ⋅ 0,96  11,6 − 23,6 − 16,8  − 8 − 11,2 −6 5,2 14 6   5,2 − 1,6 − 31,8 6 26,6  − 4,4 109


6.8.

Előadásvázlat

Példa

Adjuk meg egy (a 6.3. példában is vizsgált) tetraéder alakú elem merevségi mátrixának kiszámítási módját! A Poisson-tényező Poisson értéke 0,3.

A tetraéder térfogata pontosan 1 (a Jacobi Jacobi-mátrix mátrix determinánsának hatoda), tehát: − − 3 2 0    −3 −2 0    − 3 − 2 0   0 0 0,7 0,3 0,3  3      0 3 0  0,3 0,7 0,3      0 3 0 3 0 , 7 0 3 0 , , 1 E  ⋅ Ke =   ⋅  1,3 ⋅ 0,4 , 0 2 2 −6 6 0       − 6 2 0,2 0      −6 0,2 0 2     0  0 6   0 6 0   6 0 0  3 0 0 − 3   0 2 0  −2  6 0 0 −6 1 ⋅   ⋅1 . 0 3 2 0 0 0  6 − 2 − 3 0 0 3 −6 0 6 −3 0   0 −2 0 0 6 0 −6 2 

Integrálás a globális koordináták esetén Ha a B (esetleg a D ) mátrix a globális koordináták függvénye, akkor egyszerűbb T

esetekben a B DB szorzatmátrix elemei képlet szerint előállíthatók és egyenként integrálhatók.

6.9. Példa Határozzuk meg az alábbi ábrán látható hárompontos húzott-nyomott nyomott rúd merevségi mátrixát!

6.3. ábra: Hárompontos elem 110


Előadásvázlat

 x −9  1 1 K e = ∫ 16 − 2 x  [EA] [x − 9 16 − 2 x x − 7 ]dx = 4 4 6  x−7     x 2 − 18 x − 81 − 2 x 2 + 34 x − 144 x 2 − 16 x + 63  10   EA = 4 x 2 − 64 x + 256 − 2 x 2 + 30 x − 112 dx =  ∫ 16 6  x 2 − 14 x + 49   szimm. 4 2  28 − 32  14 − 16 EA  EA   − 32 64 − 32 = = − 16 32 − 16 .   48 24  4 − 32  2 − 16 28 14 10

6.10. Példa Ismertessük rtessük az alábbi ábrán látható négypontos, síkbeli alakváltozási állapotban lévő téglalapelem merevségi mátrixának előállítási módját!

66.4. ábra: Négycsomópontú téglalap elem

A B mátrix négy azonos szerkezetű blokkból áll:

B =  B1

B2

B3

B 4  .

A D mátrix:

 ν 1 −ν Eh  ν 1 −ν D= (1 +ν )(1 − 2ν )    Az elem merevségi mátrixa: mátrixa

  .  1 − 2ν  2 

111

Bojtár-Gáspár: A végeselemmódszer matematikai alapjai  B1T   T b a B  K e = ∫ ∫  T2  D  B1 0 0  B3   BT   4

B2

B3

Előadásvázlat

 K e11 K B 4  dxdy =  e 21  K e31   K e 41

K e12 K e 22 K e32 K e 42

K e13 K e 23 K e33 K e 43

K e14  K e 24  , K e34   K e 44 

ahol egy általános blokk b a

K eij = ∫ ∫ B i DB j dxdy . T

0 0

A B i blokkok kiszámításához szükséges bázisfüggvényeket a 6.2. példában bemutatott módon határozzuk meg: xy  x y , N2 = N 1 = 1 −  , ab  ab x y  x  y  N 3 = 1 −  , N 4 = 1 −  1 −  . a b  a  b  Határozzuk meg – példaként – a K e12 blokkot!   ν y  1 −ν  a − x Eh 1 − y 1    ν 1 −ν K e12 = ∫ ∫  x  dxdy =    a − x − y  (1 + ν )(1 − 2ν )  ab  0 0 1 − 2ν  ab  x y     2   1 − 2ν  2 1 − 2ν b a (ν − 1) y + −νxy + ax − x 2 (ay − xy )   Eh 2 2 dxdy = = 2 2  ∫ ∫ 1 2 1 − 2ν 2  − ν 2 a b (1 + ν )(1 − 2ν ) 0 0  ν (ay − xy ) − xy y  (1 −ν ) ax − x − 2 2   1 − 4ν  (ν − 1)b (1 − 2ν ) a   3a + 12b  Eh 8 =  4ν − 1 (1 −ν )a − (1 − 2ν )b  . (1 + ν )(1 − 2ν )  8 6b 6a   Felhívjuk a figyelmet arra, hogy általános alakú négyszögnél és háromszögnél az integrálási határok függvények is lehetnek, e miatt részekre kell bontani az elem tartományát. Ilyenkor célszerűbb lehet a numerikus integrálást használni. b a

(

)

(

)

Integrálás a paraméteres koordináták esetén Ha a B (esetleg a D ) mátrix a paraméteres koordináták függvénye, akkor a K e mátrix T

közvetlen előállításához nem elegendő, hogy a B DB szorzatmátrixot ismerjük, hiszen ez a lokális koordináták függvénye, és nekünk a globális változók szerint kellene integrálnunk. A lokális változókra a Jacobi-mátrix determinánsának felhasználásával térhetünk át: dV = dxdydz = J d ξd ηd ζ , (6.15/a) 112


Előadásvázlat

dA = dxdy = J d ξd η ,

(6.15/b)

(6.15/c) dl = dx = J d ξ . A paraméteres koordináta-rendszer használata esetén az integrálási határok szabályosak: 1

∫

- vonalelemnél:

1

fdξ ,

(ritkábban:

−1 1 1−η

- háromszögelemnél:

∫ fdξ ), 0

∫ ∫ fdξdη ,

(6.16/b)

0 0 1 1

∫ ∫ fdξdη ,

- négyszögelemnél:

(6.16/a)

11

(ritkábban:

−1−1 1 1−ζ 1−η −ζ

∫ ∫ fdξdη ),

(6.16/c)

00

∫ ∫ ∫ fdξdηdζ ,

- tetraéderelemnél:

0 0 1 1 1

∫∫∫

- téglatestelemnél:

(6.16/d)

0 111

fdξdηdζ , (ritkábban:

−1−1−1

∫ ∫∫ fdξdηdζ ).

(6.16/e)

000

Görbevonalú koordináta-rendszer esetén a Jacobi-mátrix elemei is ξ ,η,ζ függvényei, így J determinánsa magasabb fokú polinom is lehet, az inverze (melyet a B előállításához használtunk) pedig törtfüggvény, így várhatóan nehézkes az integrálás analitikus elvégzése, helyette numerikus integrálás javasolható.

6.11. Példa Határozzuk meg a 6.9. példában szereplő ábrán látható hárompontos húzott-nyomott rúd merevségi mátrixát mind analitikus, mind numerikus integrálással! 1 1 N1 (ξ ) = ξ (ξ − 1) , N 2 (ξ ) = 1 − ξ 2 , N 3 (ξ ) = ξ (ξ + 1) , 2 2 3

x = ∑ xi N i = 8 + 2ξ , i =1

 dx  J =   = 2,  dξ 

J

−1

= 0 ,5 ,

D = EA ,

 1 1   B =  ξ −  0 ,5 −2ξ ⋅ 0 ,5  ξ +  0 ,5 , 2 2   

113


Előadásvázlat

ξ 1  − 4 2  14 − 16 1 1 2   EA  ξ 1 ξ 1 T K e = ∫ B DB J d ξ = ∫  −ξ  [ EA]  − −ξ +  2d ξ = − 16 32 − 16 .  24 2 4 2 4 −1 −1   2 − 16 14 ξ 1  +  2 4 Kétpontos numerikus integrálással (az integrálási pontok koordinátáinak pontos értéke28: ξ1, 2 = m1 / 3 , mindkét súly: 1):

 T  = K e ≈ 1⋅  BT DB J    ξ=−1 / 3 +1⋅  B DB J  ξ=1 / 3 1  1 − 2 3 − 4    1   [EA]− 1 − 1 − 1 − 1 − 1  2 + = −  2 3 4  3  3 2 3 4    1 1 +  −  2 3 4 1  1 2 3 − 4 2  14 − 16   1 1 1 1 1 1 EA     [EA] − − 2 = − 16 32 − 16 . +   24  3  3 2 3 4 2 3 4  2 − 16 14  1 1 +   2 3 4 Hangsúlyozzuk, hogy mindegyik esetben ugyanazt az eredményt kaptuk (a numerikus integrálásnál azért helyettesítettük be a Gauss-pontok egzakt értékét, hogy ezt a tényt kimutathassuk), a merevségi mátrix nem függhet a koordináta-rendszertől. A numerikus integrálással azért kaptunk pontos eredményt, mert a B mátrix elsőfokú, a J konstans, így az integrálandó mátrix másodfokú volt, és ennek integrálásakor két pont esetén a Gauss-Legendre-módszer pontos eredményt ad. Felmerül a kérdés, hogy hány pontot célszerű felvenni a numerikus integráláshoz? A pontok számának növelése (általában) növeli a pontosságot, de természetesen a számítási időt is. A pontok számának túlzott csökkentése elvi hibával terhelt eredményhez vezet: ún. mechanizmusok29 jöhetnek létre. A mechanizmusok az elemnek olyan deformációi, melynél a függvény értéke minden integrálási pontban éppen zérus, és így a deformáció hatását nem tudjuk számítani. Irons angol mérnök fogalmazott meg egy empirikus képletet a létrejöhető mechanizmusok számának meghatározására: (6.17) M = d ⋅ N − R − r⋅n, ahol d – a csomópontok szabadságfoka, 28

Lásd még az előbb idézett könyv „C” jelű függelékét. Irons angol kutató fedezte fel ezt az 1970-es években, róla Irons-féle mechanizmusoknak is szokták nevezni a jelenséget. 29

114


Előadásvázlat

N – a csomópontok száma, R – a független merevtest-szerű elmozdulások száma, r – a D mátrix rangja, n – az integrálási pontok száma. Úgy kell n értékét megválasztani, hogy ne alakulhassanak ki mechanizmusok, azaz M ≤ 0 legyen.

6.12. Példa Vizsgáljuk meg, hogy használhatunk-e egy tárcsánál nyolcpontos serendipity-elem alkalmazása esetén 2× 2 pontos numerikus integrálást? Irons képlete alapján:

M = 2 ⋅ 8 − 3 − 3(2 ⋅ 2 ) = 1 . Mivel M > 0, létrejöhet mechanizmus, ezért nem elegendő a 4 integrálási pont.

Integrálás a természetes koordináták esetén Természetes koordinátákat csak szimplexek esetén használhatunk. A természetes koordináták polinomjainak tagjaira (ún. egytagokra vagy más néven mononomokra) ismeretesek a következő összefüggések: p!q! p!q!r! p q p q r (6.18) ∫ L1 L2 dx = ( p + q + 1)! l , ∫ L1 L2 L3 dx = ( p + q + r + 2)! 2 A , A l p!q!r!s!

∫ L1 L2 L3 L4 dx = ( p + q + r + s + 3)! 6V . p q r

s

V

Emlékeztetőül a faktoriális kiszámításának szabályai: 0!=1 és n!=n(n-1)!. Hangsúlyozzuk, hogy a fenti képletek általános alakú szimplexekre is érvényesek.

6.13. Példa Határozzuk meg a kétpontos, xy síkban hajlított rúd merevségi mátrixát a Timoshenko-féle gerendamodell alkalmazásával! A bázisfüggvényeket már korábban kiszámítottuk. Mivel itt is két elmozdulásfüggvényt közelítünk C(0)-folytonos bázisfüggvényekkel, az N mátrix szerkezete hasonló a tárcsákéhoz, csak itt két csomópont van. Ezek felhasználásával N2 N  , N = 1 N1 = L1 , N 2 = L2 , N1 N 2   1 A=  x1

1  , x1 + l 

1 x + l −1 A =  1 l  − x1

−1 , 1 

115


Előadásvázlat

d  1  1  − − L − L2   dx −1   L1 1 L2   l l = , B = LN =   1 1  L1 L2   d     −  l l   dx   1  −l    1  1   − L − 1 − − L1 − L2  G A     1  l y l l Ke = ∫   dx =    1 1 EI 1 z   l    −  l l    l   1  − L2  l   GAy GAy GAy   GAy − 2 L2 L1   2 l l l   l GAy EI z EI z 2  + GAy L1 − L1 − 2 + GAy L1 L2  2   l l l = ∫  dx = GAy GAy l   − L2 l l2   EI z   + GAy L22  szimm. 2 l   GAy GAy GAy   GAy −   l 2 2   l GAy EI z GAy l EI z GAy   + − − + l l 3 2 6 . =   GAy GAy −   l 2   EI z GAy l   + szimm. l 3 

6.14. Példa Határozzuk meg a kétpontos, xy síkban hajlított rúd merevségi mátrixát a klasszikus rúdmodell alkalmazásával!

( ) (L , L ) = l (− L + L ),

N1 (L1 , L2 ) = 3L12 − 2 L13 ,

N 2 (L1 , L2 ) = l L12 − L13 ,

N 3 (L1 , L2 ) = 3L22 − 2 L32 ,

N4

1

2

2 2

3 2

N =  N1 ( L1 ) N 2 ( L1 ) N 3 ( L2 ) N 4 ( L2 )  .

116


Előadásvázlat

1  1 1  x + l −1 −1 A= A =  1 , ,  1  l  − x1  x1 x1 + l   d2  L = 2, D = [EI z ] . dx   A bázisfüggvényeket úgy írtuk fel, hogy azok mindig csak egy természetes koordinátától függnek. A természetes koordináták x-nek lineáris függvényei, tehát az x szerinti második deriváltjuk zérus, ezért a bázisfüggvények második deriváltjai egyszerűbben számíthatók. Például d 2 N1 (L1 ) d 2 N1  dL1   1 ( ) = L = − 6 12   −  . 1 dx 2 dL12  dx   l 2

2

Tehát  6 − 12 L1 2 − 6 L1 6 − 12 L2 − 2 + 6 L2  B = LN =  2 , l l l2   l majd a merevségi mátrix:  6 − 12 L1   l2     2 − 6 L1    L1 2 − 6 L1 6 − 12 L2 − 2 + 6 L2  l [EI z ]  6 − 12 Ke = ∫   dx= 2 6 − 12 L2  l l l2   l l  2  l   −2 + 6 L  2   l    1 − 4 L1 + 4 L12 36 l4    = EI z ∫   l    szimm.  

1 − 5L1 + 6 L12 l3 1 − 6 L1 + 9 L12 4 l2

12

 12  l3  6  2 = EI z  l  12 − l 3  6   l 2

1 − 2 L1 − 2 L2 + 4 L1 L2 l4 1 − 3L1 − 2 L2 + 6 L1 L2 12 l3 1 − 4 L2 + 4 L22 36 l4

36

6 l2 4 l 6 − 2 l 2 l

12 l3 6 − 2 l 12 l3 6 − 2 l

−

−1 + 2 L1 + 3L2 − 6 L1 L2   l3  −1 + 3L1 + 3L2 − 9 L1 L2  4  l2 dx  −1 + 5L2 − 6 L22 12  3 l   1 − 6 L2 + 9 L22 4  2  l

12

6  l2  2   l . 6 − 2 l 4   l 

117


Előadásvázlat

Integrálás B előállítása nélkül A számítási munka jelentősen csökkenhet, ha egyszerűbb (kevesebb tagból álló) függvényeket kell integrálnunk. Ha a B mátrixot −1 B = B o B%

alakban, szorzatként állítjuk elő, ahol B% mátrixát Ke =

∫ B DB d Ω = T

Ωe

−1

elemei konstansok, akkor az elem merevségi

∫ ( B% ) B DB B% −1 T

T o

(6.19/a)

( )

−1

o

−1 d Ω = B%

Ωe

T

( )

−1 −1 T ∫ B o DB od Ω B% = B%

Ωe

T

−1 K o B%

(6.19/b) formában számíthatjuk, és így a Ko =

∫B

T o

DB o d Ω

(6.19/c)

Ωe

mátrix meghatározásakor az integrálandó függvények jóval egyszerűbbek. (Ennek természetesen az az ára, hogy ezek után még két mátrixszal szorozni is kell az eredményt ahhoz, hogy megkapjuk az elem végleges merevségi mátrixát.)

6.15. Példa Határozzuk meg a 6.10. példában szereplő ábrán megadott négypontos, síkbeli feszültségi állapotban lévő tárcsaelem K 0 mátrixát! Most két elmozdulásfüggvényt kell közelítenünk bilineáris függvényekkel, így 1 x y xy  T . X = 1 x y xy   ∂   ∂x B0 =   ∂   ∂y A

   ∂  1 x ∂y   ∂  ∂x 

y

xy 1 x

λ=

y

0 1 0   = xy   0 0 1

y 0 0 1 x 0 1 0

 x  . y 

1 −ν 2

jelölés alkalmazásával

118

Bojtár-Gáspár: A végeselemmódszer matematikai alapjai 0  1   λ  Eh  T B o DB o = 1 −ν 2      

y λx 2 y + λx 2

szimm.

Előadásvázlat  ν νx  λ λy   λx νy (ν + λ )xy  ,  0  λ λy   1 x  x 2 + λy 2 

tehát b a

K o = ∫ ∫ B o DB o dxdy = T

0 0

0   b νa  ν  1  2 2   λa λb   λ λ   2 2  b 2 + λa 2 λa νb (ν + λ )ab   Ehab  3 2 2 4 =  . 0 1 −ν 2   λb   λ   2   a 1   2   a 2 + λb 2   szimm.   3 Emlékeztetünk rá, hogy e mátrixot még jobbról, illetve balról meg kell szorozni a −1 6.5. példában bemutatott módon előállított B% mátrixszal, illetve ennek transzponáltjával az elem merevségi mátrixának kiszámításához.

A redukált terhek vektorai A 3.5. példánál láttuk, hogy háromdimenziós esetben az elemek kezdeti alakváltozásából (gyártási hiba, hőmérsékletváltozás hatása) a T q e = ∫ B D ε 0 dV, (6.20) Ve

az elemre ható erőjellegű terhekből pedig a T q e = ∫ N p dV

(6.21)

Ve

119


Előadásvázlat

képlettel számíthatjuk a csomópontokra redukált terhek vektorát30. Természetesen az itt szereplő mátrixok és vektorok is lehetnek akár a globális, akár a paraméteres, akár a természetes koordináták függvényei. Ezek integrálására a merevségi mátrixok előállításához ismertetett módszerek alkalmazhatók. Ha az elemre ható teher nem térfogaton megoszló (tömegerő jellegű), hanem felületen vagy vonal mentén megoszló, esetleg pontokba koncentrált, akkor az integrálást is a megfelelő felület vagy vonal mentén kell végrehajtani, illetve koncentrált erő esetén nem is kell integrálni. Tehát az erőjellegű terhekből számítható redukált tehervektor általános képlete: T T T T q e = ∫ N p dV + ∫ N A p AdV + ∫ N s p s ds + ∑ N i p i . (6.22) Ve

A

s

i

A p, p A , p s , p i vektoroknak mindig annyi eleme van, mint az u vektornak, mégpedig olyan sorrendben, hogy a megfelelő elemek szorzata (a kijelölt integrálás után) a teher által végzett munkát szolgáltassa. E tehervektorok elemei annyi változós függvények, ahány változó szerint integrálni kell. A terhet mindig a támadáspontjának elmozdulásával kell szorozni, tehát az N mátrix és a tehervektorok változói (a számukban is) meg kell, hogy egyezzenek. Például a koncentrált tehernek nincs változója, tehát az N mátrixba is be kell helyettesíteni a koncentrált erő támadáspontjának koordinátáit (erre utal a későbbi képletben az N mátrix i indexe).

6.16. Példa Határozzuk meg a 6.9. feladatban szereplő hárompontos húzott-nyomott rúd redukált tehervektorát egyenletes hőmérsékletváltozás esetére! x −9  − 1 10  1 T  q e = ∫ B D ε 0 dx = ∫ 16 − 2 x  [EA][α∆t s ]dx =EAα∆t s  0  . 4 l 6  x−7   1    Megjegyezzük, hogy a szilárdságtani ismereteinkből is következik, hogy a rúdelem két végén ható ekkora húzóerőkkel tudjuk ugyanazt az alakváltozást létrehozni, mint amit a hőmérsékletváltozás okozna.

6.17. Példa Timoshenko-féle gerendamodell esetén redukáljuk az egyenletesen megoszló terheket a csomópontokra két- és hárompontos elem alkalmazásával!

30

Megjegyezzük, hogy a támaszelmozdulások figyelembevételének módját a későbbiekben ismertetjük. 120


Előadásvázlat

A tehervektor mindkét esetben p = [ p 0] . Paraméteres koordinátákat fogunk T

használni, melynél J = l / 2 . Tehervektor a kétpontos elemnél: 1 − ξ   2   pl    2 1− ξ     1 1 0  T 2   p l qe = ∫ N p J d ξ = ∫  dξ =   ,     pl  1+ ξ 0 −1 −1    2    2  2   0  1+ ξ    2   Tehervektor a hárompontos elem esetén: ξ (ξ − 1)   2   pl     6  ξ (ξ − 1)    0  2    4 pl  1  1−ξ 2   p l   dξ =  6  . qe = ∫  2   1−ξ  0 2 −1  0  ( ) + 1 ξ ξ    pl   2   6    0  ξ (ξ + 1)    2  

Az eredményeket a következő ábra foglalja össze: a kétpontos elemnél természetesen a teher fele jutott mindkét csomópontra, de a hárompontos elemnél a teher nagyobb fele a középső csomópontra redukálódott. Felhívjuk a figyelmet, hogy – mint azt a 6.19. példában is látni fogjuk – a klasszikus rúdelmélet alkalmazásakor a rúdtengelyre merőleges teherből nem csak erők, hanem nyomatékok is keletkeznek a redukálás során.

6.5. ábra: Tehervektor hárompontos elemnél 121


Előadásvázlat

6.18. Példa A következő ábrán látható tárcsaelem síkbeli feszültségállapotban van. A következő terheket kell redukálnunk a három csomópontra: - ∆t egyenletes hőmérsékletváltozás, - önsúly, melyet a γ fajsúllyal jellemzünk, a gravitáció iránya az y tengellyel ellentétes, - az „a” ábrán megadott lineárisan változó vonalmenti teher, - a „b ábrán megadott koncentrált erő (támadáspont xF = 2, yF = 1 ).

6.6. ábra: Tárcsaelem tehervektorának számítása A globális koordináta-rendszerben a bázisfüggvények: x y x y N1 = 1 − − , N2 = , N3 = . 4 3 4 3 N és B : N2 N3 N  , N = 1 N1 N2 N 3   1  1  0 − 4  4   1 1  . B= − 0  3 3  1  1 1 1 − − 0 0 4 4 3  3  Az egyes hatásokból a csomópontokra redukált terhek vektora a következő: - A hőmérsékletváltozásnál kihasználjuk, hogy a B mátrix elemei konstansok: q e = ∫ B D ε0 dA= B Dε0 Ae= hő

T

T

Ae

122


Előadásvázlat

1  1 −  − 4 3  1 1  − 3  − −  − 4 3 4       1  ν 1 α t ∆     s 0 3 ∆ 4 ⋅ 3 Eh t α  4  Eh    s  α∆t ν = 1 =  . s  2 1  1 −ν 2   2(1 −ν )  0  ν 1 − 0      0  4  0  2   1     0  4   3    1 0   3   - Az önsúlynál az integrálást elkerüljük azzal, hogy a bázisfüggvények alatti köbtartalmat a gúla köbtartalmának képletével számítjuk:  N1  0 0 0        1  N1    N1  1     N2  0  0 0  Ae  0  T öns. q e = ∫ N p dA = ∫  dA = −hγ ∫   dA = −hγ   = −2hγ   .   N 2   − hγ  N 3 1  Ae  Ae  2  Ae 1   N3  0 0 0          N 3    N 3  1  1  A számításból azt kaptuk, hogy az elem súlyának harmada jut mindhárom csomópontra. Természetesen hat csomópont esetén ez azonban már nem igaz.

-

A vonal mentén megoszló tehernél mindent az s koordináta szerint írunk fel: s  3  s 12 2 1 −  , , , − px = p y = so = x=y= 7 2  so  2

így

s s   1 − 4 2 − 3 2   12    − 7  s s    12  1− −    4 2 3 2   7   s   − 18  so   1 −     3 s  49  4 2 vonal qe = ∫   1 −    ds =  18  . s  2  so   1  0      4 2  49    − 24  s    49    3 2  24      s  49      3 2 - A koncentrált erő esetén az N mátrixba beírjuk a támadáspont koordinátáit: 123


Előadásvázlat

 2 1   5 1 − 4 − 3  − 6      2 1  − 7  1− −     6 4 3  2   5   −   −5   2  konc. 4   . qe =  = 2   −7   7    −  4    2  1   5   −   3   3 1   − 7     3  3  A koncentrált tehernek a csomópontra redukált helyettesítő terhét a következő ábra vázlata mutatja be:

6.7. ábra: Koncentrált erő redukálása csomópontokra

6.19. Példa A következő ábrán látható xy síkban hajlított rudat a klasszikus modellel vizsgáljuk. A következő terheket kell redukálnunk a két csomópontra a természetes koordinátákat használva: - ∆t egyenlőtlen hőmérsékletváltozás, - önsúly, melyet a γ folyómétersúllyal jellemzünk, a gravitáció iránya az y tengellyel ellentétes, - az ábrán megadott lineárisan változó megoszló teher, - az ábrán megadott koncentrált erő. 124


Előadásvázlat

6.8. ábra: Teher redukálása csomópontokra Az integrálásokhoz a korábban bemutatott képletet használjuk, mely szerint: l k ∫ Li dx = k + 1 . l A hőmérsékletváltozás hatásának számításához az εo vektort használjuk:  6 − 12 L1   l2   2 − 6L  0 1     EI zα∆t − 1 α∆t  hő T l   q e = ∫ B Dε0 dx= ∫ , [EI ] dx =  6 − 12 L2  z  h  0 h l l  l2    1  − 2 + 6L  2   l   tehát a rúd végein két nyomaték helyettesíti a hőterhet. Az önsúly redukálásához a p vektort használjuk:  1 −2   3L12 − 2 L13      − l  2 3  l L1 − L1    öns. T . q e = ∫ N p dx = ∫  2 [ −γ ] dx = γl  12 3  1 l l  3L2 − 2 L2  −  l − L2 + L3   2 2 2    l  +   12  A természetes koordináták integráljait csak a teljes rúdhosszra adják meg a korábbi képletek, ezért a parciális terhelés redukálásához az eltolt globális koordinátákat használjuk, melyek bázisfüggvényeit például az L1 = (l − x ) / l , és az L2 = x / l behelyettesítéssel kapjuk az előzőekből. A teherfüggvény egyenlete

(

(

)

)

p y = po (1 − 2 x / l ) , így

125


Előadásvázlat

2 3  x x  1 3 2 − +        1  l l    − 40  2 3       l  x − 2  x  +  x    7l   − l   l  l   l      2 x    960   megoszló   po 1 −   dx = pol  = ∫ qe . 2 3 9 l    l/2 x  x −   3  − 2     40  l l        23l  3   x 2     x  l  −   +      960     l   l    A koncentrált erő támadáspontjának természetes koordinátái: L1 = 3 / 4 , L2 = 1 / 4 . Így a tehervektor: 3   3 2 3   3  − 2     27  4   4  − 32  2 3        l   3  −  3    9  −    4   4      konc.  [ − F ] = F  64  . qe =  3   1 2 1  − 5  3 2 −        32  4   4  3  2 3       1 1     l  −   +      64     4   4   

Felhasznált irodalom: 1./ Bojtár I. – Gáspár Zs. : Végeselemmódszer építőmérnököknek, Terc, 2003. 2./ Rao, S. S. : The finite element method in engineering, Pergamon.

126


Előadásvázlat

7. előadás: Globális mátrixok, peremfeltételek, megoldási technikák, másodlagos változók Az előző előadáson bemutattuk, hogy hogyan kell előállítani egy elem merevségi mátrixát, és hogyan kell az elem csomópontjaira redukálni az elemre esetleg ható terheket. Ezen az előadáson azzal foglalkozunk, hogy -

az elemekhez tartozó mátrixok és vektorok hogyan transzformálhatók át a globális rendszerbe,

-

ezek felhasználásával hogyan állítható össze (kompilálható) a szerkezet állapotegyenlete, melynél a megtámasztások hatását is figyelembe vesszük,

-

milyen főbb megoldási módok vannak az állapotegyenlet megoldására,

-

a csomóponti elmozdulások ismeretében hogyan számíthatók a másodlagos mennyiségek, vagyis egy általános pont elmozdulásai és az ezen pontbeli alakváltozások valamint feszültségek,

-

milyen ellenőrzési lehetőségeink vannak.

Transzformálás globális rendszerbe Egy végeselem merevségi mátrixa ( K e ) megadja az elem kitüntetett pontjainak elmozdulás-jellemzői ( ve ) és az ebben a helyzetben tartáshoz szükséges csomóponti erők

( q% ) közti kapcsolatot: e

K e v e = q% e .

(7.1)

Az előző előadáson az elmozdulásokat, valamint a külső és belső erőket általában az elemhez valamilyen módon igazodó lokális koordináta-rendszerben értelmeztük, így a merevségi mátrixot is ezen lokális rendszerben állítottuk elő31. Ha az elemnél ezeket a vektorokat valóban az egész szerkezetre érvényes globális koordináta-rendszerben értelmeztük, akkor az elem merevségi mátrixát és az esetleg az elemre ható teherből meghatározott q e redukált tehervektort nem kell

31

Ebben a mondatban a lokális rendszer nem arra utal, hogy a bázisfüggvényeket milyen változók (pl. paraméteres vagy természetes koordináták) függvényében írtuk fel, hanem arra, hogy például a rudaknál az x tengely mindig egybeesett a rúd tengelyével (pedig egy rácsos tartó vagy egy keret rúdjai nem mind párhuzamosak), vagy ha egy tárcsaelemnél merevtest-szerűen elmozdított globális rendszert használtunk, akkor az u és v eltolódásokat e lokális rendszer tengelyeinek irányában értelmeztük. Megjegyezzük, hogy paraméteres vagy természetes koordináták használatakor az számít, hogy a koordináta-transzformációk előállításakor a csomópontok xi, yi, zi koordinátáit milyen rendszerben értelmeztük. 127


Előadásvázlat

transzformálnunk. Ha ez a feltétel nem teljesül, akkor a kompiláció előtt ezeket közös koordináta-rendszerbe kell illesztenünk. Először csak a szükséges átalakítások formáját ismertetjük, majd részletesebben is bemutatjuk a mátrixok szerkezetét (struktúráját), végül néhány példával illusztráljuk az eljárást. Tegyük fel, hogy a merevségi mátrixra felírt összefüggést valamilyen lokális rendszerben írtuk fel, és ezt minden változónál jelezzük is: lok. lok. lok. (7.2) K e ve = q% e . Ugyanilyen alakban szeretnénk a globális rendszerben értelmezett összefüggést is megadni: gl. gl. gl. K e ve = q% e . (7.3) A kitüntetett pontokban ható erőknek a lokális rendszerben felírt vektorából lineáris transzformációval számítható a globális rendszerben felírt vektor: gl. lok. (7.4) q% e = T q% e , Hasonlóan lineáris transzformáció áll fenn a globális és a lokális rendszerben felírt csomóponti elmozdulásjellemzők vektorai között is: gl. lok. v e = Av e . (7.5) Szorozzuk meg balról T -vel a lokális rendszerben felírt kapcsolati egyenlet mindkét oldalát: lok. lok. lok. (7.6) T K e v e = T q% e , így már az egyenlet jobb oldala a kívánt alakú. Ahhoz, hogy a lokális rendszerben szimmetrikus merevségi mátrix a globálisban is szimmetrikus maradjon, azt gl. lok. T Ke = T Ke T (7.7) módon kell transzformálni. Helyettesítés után: lok. T lok. lok. (7.8) T K e T Av e = T q% e . Ez és a kettővel korábbi egyenlet csak úgy lehetnek egyszerre helyes, ha T T A=E. Megjegyezzük, és majd a példákban bemutatjuk, hogy általában -

(7.9)

T és A kvadratikus (kivétel a rácsos tartók húzott-nyomott elemei), és ekkor T

−1

T =A ,

-

a csomóponti tehervektorokat

( q% ) e

és a csomópontok elmozdulás-jellemzőit

tartalmazó ve vektorokat általában egyező transzformációval vihetjük a lokális rendszerből a globálisba (kivétel például a klasszikus lemezelmélet esetén használható 21-szabadságfokú háromszögelem, ahol az eltolódásfüggvény görbületei is szerepelnek), tehát T = A , vagyis mindkettő ortogonális mátrix.

128


Előadásvázlat

Az elemhez tartozó redukált tehervektor elemeinek sorrendje megegyezik a q% e vektor elemeinek sorrendjével, így az előbbit természetesen szintén az előbb bemutatott transzformációval vihetjük a globális rendszerbe: gl. lok. (7.10) qe = T qe . Mind a ve mind a q% e vektorban az elemeket csomópontonként csoportosítva soroltuk fel. Egy-egy csomóponthoz tartozó változókat blokkokba foglaljuk, és ennek megfelelően blokkokra osztjuk az elem merevségi mátrixát is. A különböző csomópontokhoz tartozó változók egymástól függetlenül transzformálhatók az egyik rendszerből a másikba, ezért a T mátrix hiperdiagonális szerkezetű. Jelölje n az elem kitüntetett pontjainak számát. Ekkor: lok.  q gl.  T   q e1  e1 1      O  M    M   gl.     q lok.  , (7.11) Ti  q ei  =    ei   M    M  O       q gl.   T n   q lok.   en   en  illetve gl. gl.  K gl. L K e1 j L K e1n  e11   M   M  gl. gl. gl.   K ei1 L K eij L K ein  =   M   M  K gl. L K gl. L K gl.  enj enn   en1 lok. lok. lok. T  T 1   K e11 L K e1 j L K e1n  T 1       O M  O    M   T lok. lok. lok.    K Tj L K eij L K ein   = Ti     ei1     M O O M       lok. T lok. lok.  T n   K   T K K L L  n enj enn    en1 (7.12) alakban írható, tehát a transzformációk blokkonként elvégezhetők: gl. lok. (7.13/a) q ei = T i q ei , (i = 1,2,K, n ) gl.

lok.

T

K eij = T i K eij T j .

(i, j = 1,2,K, n ) .

(7.13/b)

Megjegyezzük, hogy a T i blokkok általában megegyeznek egymással, de ha két csomópont elmozdulás-jellemzőinek száma sem egyezik (pl. a heterosis elem, vagy a 21 és a 15 szabadságfokú C(1)-folytonos háromszögelemek), akkor természetesen a hozzájuk tartozó transzformáló blokkok is különböznek egymástól.

129


Előadásvázlat

Ezután nézzünk néhány példát a transzformációkra!

7.1. Példa Vizsgáljuk meg egy síkbeli (térbeli) rácsos tartó egyik rúdját, melyet kétpontos elemmel modelleztünk. Adjuk meg, hogy hogyan kell a rúd merevségi mátrixát és a redukált tehervektorát a globális rendszerbe transzformálni! Szemléltessük a kapott eredményt az a) jelű ábrán megadott rúdnál! A lokális rendszerben csak a rúdtengellyel párhuzamos erőkkel foglalkoztunk, így azok egy-egy skalárral jellemezhetők voltak. Egy általános helyzetű erő vektora a síkban két (a térben három) koordinátájával adható meg, tehát a T i blokkok nem kvadratikusak. A csomópontok eltolódása a globális rendszerben szintén 2 (a térben 3) koordinátával adható meg.

7.1. ábra: Rácsos tartó egy rúdjához tartozó változók lokális és globális rendszerben

A csomópont elmozdulása nem feltétlenül párhuzamos a rúdtengellyel, de a rúd alakváltozásának meghatározásához elegendő a rúdtengellyel párhuzamos komponens ismerete, mert a rúdtengelyre merőleges eltolódások a kis elmozdulások elméletében elfogadott közelítések szerint nem okoznak alakváltozást a rúdban. Tehát A = T és T 1 = T 2 = ee ,

130


Előadásvázlat

ahol e e a rúd kezdőpontjából a végpont felé mutató egységnyi hosszúságú vektor. A vektornak síkbeli rúdszerkezet esetén két (térbeli esetén három) eleme van:  cos ( x, ξ )   cos ( x, ξ )    ee =   , illetve térben e e = cos ( y , ξ )  ,  cos ( y , ξ )   cos ( z , ξ )    ahol mindig a megadott két tengely által bezárt szögnek kell a koszinuszát venni. Az elem merevségi mátrixát a lokális rendszerben már megadtuk. A szükséges transzformációval T  EA  e e eTe −ee eTe   ee  EA  1 −1 ee gl. Ke =   =  . T e e  l  −1 1   l  −e e eTe ee eTe  ee   A redukált tehervektor transzformálása:  ee   qe1   qe1 ee  gl. . qe =  = ee   qe 2   qe 2 ee   Az ábrán megadott rúd esetén a globális rendszerben értelmezett merevségi mátrix:  c2 cs −c 2 −cs    s 2 −cs − s 2  EA  cs gl. Ke = l  −c 2 −cs c 2 cs    2 cs s 2   −cs − s ahol c = cos α és s = sin α . Mozdítsuk el a rúd végpontját egységnyi távolsággal az x tengely irányában, azaz legyen 0 0 gl. ve =   . 1    0 Ha ezzel a vektorral megszorozzuk a kapott merevségi mátrixot, akkor a csomóponti erőkre a merevségi mátrix harmadik oszlopát kapjuk, azaz  −c 2    EA  −cs  gl. . q% e = l  c2     cs  Valóban ezek az erők képesek az elmozdult helyzetben a rudat egyensúlyban tartani, hiszen az egységnyi elmozdulás hatására a rúd megnyúlása cos α (b jelű ábra), és ezt a „c” jelű ábrán szemléltetett két erő hozza létre, melyeknek a globális rendszerben felírt koordinátáit a „d” jelű ábra adja meg.

131


Előadásvázlat

7.2. Példa Tételezzük fel, hogy ismerjük a következő ábrán látható hatpontos tárcsaelem merevségi mátrixát a ξ ,η koordináta-rendszerben. Határozzuk meg azt a T mátrixot, mellyel ez a mátrix az xy rendszerbe transzformálható!

7.2. ábra: Kvadratikus tárcsaelem

Az elem mind a hat pontjában a tehervektorban két erőkomponenst (Fx , Fy ) , az elmozdulásvektorban két eltolódás-komponenst (u, v) kell transzformálnunk, így a főátlóblokkok megegyeznek. A transzformáló mátrixot most síkbeli esetre alkalmazzuk. Így A = T és

T = To To To To To To ,

cos α − sin α  To =  .  sin α cos α 

7.3. Példa Ismerjük az ábrán látható kétpontos térbeli rúdelem merevségi mátrixát a ξ ,η,ζ koordináta-rendszerben. Határozzuk meg azt a T mátrixot, mellyel ez a mátrix az x,y,z rendszerbe transzformálható!

7.3. ábra: Térbeli rúdelem koordináta-rendszerei

132


Előadásvázlat

A terhek esetén erő- és nyomatékvektorokat, az elmozdulások esetén eltolódás- és elfordulásvektorokat kell transzformálnunk, tehát A = T . Az elem mind a két pontjában hat elmozdulás-komponenst kell transzformálnunk, tehát a két transzformáció megegyezik. A hat komponensből az első három egy eltolódásvektort, a másik három egy elfordulásvektort határoz meg, ezek egymástól függetlenül, de egyformán transzformálódnak. Így cos α − sin α  . T = T o T o , T o = T oo T oo , T oo =  sin α cos α   1 Megjegyezzük, hogy ha ugyanez a rúd egy síkbeli szerkezetnek a része, akkor a két csomópont elmozdulásvektorait azonos módon kell transzformálnunk, de az eltolódásvektornak két, az elfordulásvektornak csak egy eleme van, ezért cos α − sin α  T = T o T o , T o = T oo 1 , T oo =  .  sin α cos α 

7.4. Példa Ismerjük a ξ ,η,ζ koordináta-rendszerben az ábrán látható 6 csomópontú lemezelem merevségi mátrixát, melyet a klasszikus elmélet szerint, de a 15 szabadságfokú nemkonform bázisfüggvényeket használva számítottunk ki. Határozzuk meg azt a T mátrixot, mellyel a merevségi mátrix az x,y,z rendszerbe transzformálható!

7.4. ábra: Lemezelem transzformációi

A tehervektorokban erők és nyomatékok, az elmozdulásvektorokban eltolódások és elfordulások szerepelnek, melyek azonos módon transzformálhatóak, tehát A = T . A páratlan sorszámú csomópontokhoz tartozó elmozdulásjellemzők (wi ,ϕ ξi , ϕηi ) egyformán transzformálandók. A wi eltolódás-komponens nem változik (hiszen ζ és z ugyanarra mutat), az elfordulásvektor pedig a megszokott síkbeli vektor. A páros sorszámú csomópontoknál két elmozdulás-jellemző van. A wi eltolódáskomponens szintén változatlan marad. A ϕ ti elfordulással azonban más a helyzet. Természetesen megtehetnénk, hogy az előző példához hasonlóan nem kvadratikus mátrix segítségével kiszámoljuk az x és az y komponenst. Ott a belső erő transzformációjánál erre azért volt szükség, mert a csomópontban találkozó rudakról átadódó erők különböző irányúak lehettek, ezeket vektorszerűen kellett 133


Előadásvázlat

összeadni. Itt a páros sorszámú csomópontokban csak két elem találkozhat, és mindkettőnél a közös oldal körüli elfordulást kell egyeztetni, illetve az oldal körül forgató nyomatékokat kell összeadni, így ezekben a pontokban felesleges lenne áttérnünk egy globális koordináta-rendszerhez, hiszen a lokális rendszerben is „majdnem” megegyezik a nyomaték értelmezése. A „majdnem” szó arra hívja fel a figyelmet, hogy az oldalra illeszkedő t tengelyeket úgy definiáltuk, hogy az oldalra merőleges, a háromszögből kifele mutató n tengelyeket elforgattuk 90o-kal az óramutató járásával ellentétes irányban. Így a közös oldalhoz tartozó két t tengely egymással ellentétes irányú, az illesztéshez az egyiket meg kell fordítanunk. Erre például hozhatunk egy olyan szabályt, hogy azt a t tengelyt fogadjuk el közös tengelynek, amelyik a kisebb sorszámú sarok felől a nagyobb felé mutat. Ezért a három sarokcsomópontnál kis karikában feltüntettük a csomópont globális sorszámát is. A 2. és 4. csomópontnál ez az ehhez az elemhez rendelt lokális t tengely marad, a 6. csomópontnál (hiszen 35>14) viszont az ellentétes irányú t tengelyre kell áttérnünk. Tehát T = To T2 To T4 To T6 , cos α − sin α  T o = 1 T oo , T oo =  ,  sin α cos α  T2 =T4 = 1 1 , T 6 = 1 −1 .

7.5. Példa Ismerjük a ξ ,η,ζ koordináta-rendszerben az előző ábrán látható 6 csomópontú lemezelem merevségi mátrixát, a csomópontokra redukált tehervektorát és a csomópontok elmozdulás-jellemzőit tartalmazó v e vektort, melyeket a klasszikus elmélet szerint, a 21szabadságfokú konform bázisfüggvényeket használva számítottunk ki. Határozzuk meg azt az A és T mátrixot, melyekkel az említett mátrixot és vektorokat az x,y,z rendszerbe transzformálhatjuk! A 21-szabadságfokú elemnél az 5.8. példa szerint a [ w1 ϕ x1 ϕ y1 κ x1 κ xy1 κ y1 T v e = w3 ϕ x 3 ϕ y 3 κ x 3 κ xy 3 κ y 3 w5 ϕ x 5 ϕ y 5 κ x 5 κ xy 5 κ y 5

ϕt 2 ϕt 4

ϕt 6 ]

csomóponti eltolódás-jellemzőket használjuk. Itt a (lokális számozás szerint) páratlan sorszámú csomópontoknál nemcsak eltolódás és elfordulás, hanem görbület is megjelenik, így a redukált tehervektorban az erő és a nyomaték mellett szerepel olyan teher is, amelyik a görbületen végez munkát. Az elmozdulás134


Előadásvázlat

jellemzőknél könnyebb megállapítani a koordinátarendszer változásának hatását, ezért az A mátrixot határozzuk meg, majd ebből számoljuk a T mátrixot. A páros sorszámú csomópontokban csak a háromszög oldala körül történő elfordulás szerepel. Már az előző példában megmutattuk, hogy ezeknél nem kell a globális rendszerre áttérni, hanem csak az illesztendő csomópontok egyikénél előjelet kell váltanunk. A páratlan sorszámú csomópontoknál egy eltolódás, két elfordulás és három görbület szerepel. Az utóbbi két csoport elemeit ∂w ∂w ϕ y ( x, y ) = − , , ϕ x ( x, y ) = ∂x ∂y ∂2w ∂2w ∂2w κ x (x, y ) = 2 , κ y ( x, y ) = − 2 , κ xy (x, y ) = 2 ∂x∂y ∂x ∂y módon értelmeztük. Most a ξ ,η,ζ rendszerben ismerjük az elmozdulásjellemzőket, ezekből kívánjuk az x,y,z rendszerben érvényes jellemzőket meghatározni. Mindhárom csomópontban azonos transzformáció szükséges, ezért kiválasztjuk például az 1-es csomópontot, mely éppen a lokális rendszer origójában van. Itt a w eltolódásfüggvény Taylor-sorának eleje 1 1 1 w(ξ ,η ) = w1 − ϕξ 1 η + ϕη1 ξ + κ ξ 1 η 2 + κ ξη1ξη − κ η1 ξ 2 . 2 2 2 Ebbe behelyettesítve a ξ = x cosα + y sin α , η = − x sin α + y cosα transzformációkat (az x = y = 0 behelyettesítéssel) és a c = cos α , s = sin α jelöléseket alkalmazva  w1  1   w1  ϕ   ϕ   x1   c − s   ξ1   ϕ y1   s c   ϕη1   = .  − s 2   κ ξ1  c2 cs  κ x1   κ xy1   2cs c 2 − s 2 2cs  κ ξη1       − s2 cs c 2   κ η1   κ y1   Az A0 -lal jelölt együtthatómátrix természetesen most is hiperdiagonális, hiszen az eltolódás, az elfordulás és a görbületek nem keverhetők a transzformáció során: Ao = 1 T oo A11 .

Ebben T 00 a korábban is alkalmazott ortogonális mátrix. Az A11 mátrix nem ortogonális, de inverze könnyen megkapható a fizikai jelentése alapján, hiszen ellenkező irányban is kell α -val forgatni a vektort, hogy a kiinduló értéket visszakapjuk, tehát

135

Bojtár-Gáspár: A végeselemmódszer matematikai alapjai  c2 −cs  −1 2 A11 =  −2cs c − s 2  −s2 −cs 

Előadásvázlat −s2   −2cs  . c 2 

Tehát a példában megfogalmazott transzformációkhoz szükséges mátrixok: A = Ao 1 Ao 1 Ao −1 , T = To 1 To 1 To

−1 ,

ahol Ao = 1 T oo

A11 ,

T o = 1 T oo T 11 ,

 c2 cs  2 A11 =  2cs c − s 2 −s 2 cs 

 c2 −s2  −2cs   2cs  , T 11 =  −cs c 2 − s 2  − s 2 −2cs c 2  

c − s  T oo =  , s c 

c = cos α ,

−s2   −cs  , c 2 

s = sin α .

Kompiláció és peremfeltételek Az előző pontban megállapítottuk, hogy minden elemhez meghatározható a globális koordináta-rendszerben értelmezett merevségi mátrix ( K e ) és redukált tehervektor ( q e ), valamint foglalkoztunk a kitüntetett pontok elmozdulás-jellemzőit tartalmazó v e vektorral is. Ezeket a mátrixokat és vektorokat a csomópontokhoz tartozó blokkokra bontottuk. Ha az elemnek n csomópontja van, akkor  q e1   K e11 L K e1n   v e1      qe =  M  , ve =  M  . Ke =  M M , (7.14)   q  K  v en   en1 L K enn   en  A 3. előadáson közölt példában látott módszerhez hasonlóan most is az egész szerkezetre vonatkozó, (7.15) Kv = q alakú egyenletrendszert szeretnénk összeállítani, idegen szóval kompilálni. A szerkezet csomópontjait is sorszámozzuk (az így kapott sorszámok a globális sorszámok), és ezeket is blokkokra bontjuk. Ha a szerkezetnek összesen c csomópontja van, akkor az egyenletrendszer  K 1,1 L K 1,c   v1   q1      M   M  =  M  (7.16)  M       K c ,1 L K c,c  v c   q c  alakban is felírható.

136


Előadásvázlat

Az e sorszámú elem merevségi mátrixának K e αβ blokkja a lokális sorszám szerinti v eβ csomóponti elmozdulással szorzódik, és a szorzatuk az α-adik csomópont egyensúlyi egyenletében szerepel. Az α-adik, illetve β-adik lokális csomópontnak a globális sorszámát jelöljük iα -val, illetve iβ -val. Így az egyenletben a K e αβ blokknak v i β -val kell szorzódnia és az iα -adik csomópont egyenletében kell a szorzatnak szerepelnie, tehát ez a blokk a szerkezet merevségi mátrixának K i ,i blokkjába kerül. Természetesen a redukált α

β

teher q eα blokkja a szerkezet tehervektorának q i blokkjában szerepel. α

Mielőtt példákkal illusztrálnánk a kompilálást, tekintsük át, hogy milyen lehetőségek vannak a megtámasztások hatásának figyelembevételére. Az első előadásokon közölt mintapéldáknál a támaszokkal meghatározott elmozdulás-komponensekhez tartozó egyensúlyi egyenleteket különválasztottuk a többitől. Ezekből a reakcióerők határozhatók meg. A zérusnak előírt elmozdulás-komponenseknek megfelelő oszlopokat is töröltük az együtthatómátrixokból. Ha zérustól különböző támaszelmozdulás lett volna előírva, akkor ezzel meg kellett volna szorozni az együtthatómátrix megfelelő oszlopát, és azt hozzá kellett volna adni a tehervektorhoz. Nagyobb feladatoknál, és így a végeselem-módszert alkalmazó programrendszerekben, azonban általában nem ezt a módszert szokták alkalmazni, hanem a támaszokat megfelelő rugókkal helyettesítik. Az i-edik csomópontot megtámasztó rugók merevségei (ρ ) az R i mátrix megfelelő főátló elemébe kerülnek. Az R i mátrix rendjét az i-edik csomópont elmozdulás-jellemzőinek a száma adja meg. Ez a mátrix a szerkezet merevségi mátrixának i-edik főátlóblokkjába kerül. Ha a támasz egy eltolódás-komponenst gátol, akkor a rugómerevség erő/hosszúság, ha elfordulást akadályoz, akkor erő ⋅ hosszúság dimenziójú. Ha merev megtámasztást modellezünk a rugóval, akkor annak merevségét az elemek merevségi mátrixában szereplő számoknál több nagyságrenddel nagyobbnak választjuk, így a terhek hatására a rugók alakváltozása elhanyagolhatóan kicsiny lesz.

Rugós modellel természetesen figyelembe lehet venni rugalmas megtámasztásokat is. Ekkor nem helyettesítő, vagyis „végtelen nagy” rugómerevségekkel számolunk, hanem valódi merevségekkel. A rugalmas megtámasztások gyakran nem pontszerűek, hanem vonal vagy felület mentén hatnak. A tervezői gyakorlatban leggyakrabban Winkler-féle32 ágyazással számolnak, vagyis a megtámasztott pontokban az ott létrejövő elmozdulás és a rugómerevség szorzatával számítható reakcióerőt vesznek számításba. Az elem elmozdulásait u = N ve (7.17) módon interpoláljuk a csomópontok elmozdulásaiból. Az elmozdulásvektor egyes komponenseit akadályozó ágyazás rugómerevségeit egy W mátrix főátlójába tesszük. A 32

E. Winkler (1835 -1888) német mérnök, hajlított szerkezetek, főleg többtámaszú gerendák vizsgálatával foglalkozott. Vonatkozó munkája: „ Vorträge über Eisenbahnbau”, Prága, 1875.

137


Előadásvázlat

W u = W Nv e (7.18) szorzat az elemre ható megoszló reakciót adja, melyet természetesen a megoszló teherrel egyező módon lehet az elem kitüntetett pontjaira redukálni. Tehát a csomópontok elmozdulása és az ott keletkező redukált erők között a kapcsolat: ( (7.19) q e = V e ve , ahol az elem vonal menti ágyazása esetén: T V e = ∫ N W N dl ,

(7.20)

l

míg felület menti ágyazás esetén: V e = ∫ N W N dA . T

(7.21)

A

A fenti képletekben a vonal menti, illetve a felületen ható teher redukálásához hasonlóan csak az ágyazott vonal, illetve az ágyazott felület mentén kell integrálni. A V e mátrix az elem merevségi mátrixával azonos méretű és jellegű, tehát az ágyazott elem merevségi mátrixát az ágyazatlan elem merevségi mátrixának és a V e mátrix összegeként kapjuk: Ke = Ke +V e . (7.22) Megjegyezzük, hogy ha egy 2D-s elem csak egy oldalvonalán, vagy egy 3D-s elem csak egy élén, illetve lapján ágyazott, akkor csak az oldalra, élre, illetve lapra illeszkedő csomópontok elmozdulásainak hatására dolgozik az ágyazat, és csak ezekre a csomópontokra redukálódik a reakcióerő, tehát ilyen esetekben a V e mátrix elemeinek nagy része zérus. ágyazott

ágy.nélküli

Ha egy 2D-s elem csak egy oldalvonalán (vagy egy 3D-s elem csak egy élén, illetve lapján) mereven megtámasztott, akkor elegendő csak az ezekre illeszkedő csomópontoknál és csak a kapott főátló elemeket figyelembe venni (vagyis csomópontonként koncentrált rugókkal helyettesíteni a megtámasztást), ugyanis ezzel a megtámasztott oldalvonal (él, illetve lap) minden pontja mozdulatlan marad. Felhívjuk a figyelmet arra, hogy a csomópontoknál néha nem csak azokat az elmozduláskomponenseket kell meggátolni, amelyeket az élen meggátoltunk, hiszen például egy lemez esetén egy x tengellyel párhuzamos él függőleges eltolódásának megakadályozása a csomópontokban az y tengely körüli elfordulás-komponenst is zérussá teszi. Előfordul, hogy (folytonos) rugalmas ágyazás esetén is a csomópontokban működő koncentrált rugókkal modellezik a megtámasztást, azaz a V e mátrixot egy diagonális mátrixszal közelítik. Ezen közelítő mátrix i-edik főátlóelemének a V e mátrix i-edik sorában lévő elemek összegét veszik. A

szerkezet

K

merevségi

mátrixának

kompilációjára

vonatkozó

szabályok

összefoglalásaként megállapíthatjuk, hogy

138

Bojtár-Gáspár: A végeselemmódszer matematikai alapjai -

Előadásvázlat

a K ii főátló blokkba annyi elem merevségi mátrixának egy-egy blokkja kerül, ahány közvetlenül kapcsolódik az i-edik csomóponthoz, és ha ez a csomópontot még meg is van támasztjuk, akkor egy R i mátrix is hozzájuk adódik,

-

egy K i j (i ≠ j ) blokkba annyi elem merevségi mátrixának egy-egy blokkja kerül, ahány közvetlenül összeköti az i-edik és a j-edik csomópontot (vagyis ha a két csomópontot nem köti össze egyik elem sem, akkor a K i j blokk minden eleme zérus).

A következőkben vizsgáljuk meg, hogy mi kerül a szerkezet tehervektorának összeállításakor az i-edik blokkjába.

q

redukált

-

Korábban láttuk, hogy minden olyan terhelt elemről átadódik egy-egy blokk, amelyik közvetlenül kapcsolódik az i-edik csomóponthoz.

-

Természetesen az i-edik csomópontra közvetlenül is működhet koncentrált teher, melyet nem elemre hatónak tekintünk (akkor sem, ha csak egy elemhez tartozik e csomópont), hanem közvetlenül az i-edik blokkhoz adunk. Végül a rugós modell lehetőséget ad az előírt támaszelmozdulások figyelembevételére is, hiszen ha a csomópont nem mozdul el, de a rugó másik e e végét (a „földet”) v i előírt értékkel elmozdítjuk, akkor a rugókban R i v i erők keletkeznek, melyek a rugókról az i-edik csomópontra adódnak át.

-

7.6. Példa Az „a” ábrán látható síkbeli keretet három kétpontos elemmel, a támaszokat pedig rugókkal modellezzük. A „b” ábrán a körbe foglalt számok mutatják a csomópontok globális sorszámát, továbbá római számokkal láttuk el az elemeket, és feltüntettük az elemek csomópontjainak lokális sorszámát is. Feltételezzük, hogy a korábbiak szerint meghatároztuk mindhárom elem merevségi mátrixát és redukált tehervektorát a globális rendszerbe transzformálva. Állítsuk elő ezek felhasználásával a szerkezet K v = q állapotegyenletét!

7.5. ábra: Keret vizsgálata

139


Előadásvázlat

Ismerjük a három rúd I II III III  K 11I K 12   K 11II K 12   K 11 K 12  II III I K = I  , K =  II  , K =  III  II III I  K 21 K 22   K 21 K 22   K 21 K 22  merevségi mátrixát (minden blokk harmadrendű) és q I   q II   q III  I II III 1 1 1 q =  I, q =  II  , q =  III  q  q  q   2  2  2  tehervektorát. A „b” ábra alapján könnyen előállíthatjuk a második csomópont közvetlen terhének  0  qˆ 2 =  − F2 y   0  vektorát, a két megtámasztott csomópont rugómerevségeit (melyeket most a mértékegységtől függetlenül mind 1011-nek választunk) tartalmazó R 3 = 1011 1011 1011 , R 4 = 1011 1011 0 mátrixot és az előírt támaszelmozdulást  0  e v 3 =  −v3e y   0  tartalmazó vektort. Ezek alapján a szerkezet állapotegyenlete: I II II II I  K 11I + K 11   v   q1 + q1  K 12 K 12     1   II III II II III III   ˆ q + q + q K 22 + K 11 K 12  v 2  K 21 2 1 2    . =    I I I e v   K K R + q R v + 3 3    21 22 3 3 2   III III   v4  III  + K K R   q  21 22 4 2  

7.7. Példa A következő ábrán látható tárcsát három darab hárompontos elemmel, a megtámasztást rugókkal modellezzük. A „b” ábrán a körbe foglalt számok mutatják a csomópontok globális sorszámát, továbbá római számokkal láttuk el az elemeket, és feltüntettük az elemek csomópontjainak lokális sorszámát is. Feltételezzük, hogy a korábbiak szerint meghatároztuk mindhárom elem merevségi mátrixát és a terhelt elem redukált tehervektorát a globális rendszerbe transzformálva. Állítsuk elő ezek felhasználásával a szerkezet K v = q állapotegyenletét!

140


Előadásvázlat

7.6. ábra: Tárcsa vizsgálata Ismerjük a három rúd α α α  K 11 K 12 K 13   α  α α α α = I , II , III K =  K 21 K 22 K 23  ,  α α α   K 31 K 32 K 33  merevségi mátrixát (minden blokk másodrendű) és a terhelt elem q I   1 I I q = q2    q I   3 33 redukált tehervektorát . A „b” ábra alapján könnyen előállíthatjuk a harmadik csomópont közvetlen terhének  0  qˆ 3 =   −F  vektorát. Merev vonalmenti megtámasztás esetén felesleges a csomópontokra redukálni a „végtelen nagy” rugómerevségeket, hiszen abból a megtámasztott él minden csomópontjának a megfelelő rugóállandója „végtelen nagy” lesz. Most az él mindkét eltolódás ellen meg volt támasztva, tehát a csomópontokra is mindkét eltolódás ellen működő rugót teszünk. Válasszuk a rugóállandókat 1012 -nek, így R1 = R 5 = 1012 1012 .

Ezek alapján a szerkezet állapotegyenlete: I II  K 33 + K 22 + R1        szimm. 

II

K 21 K 11 + K 11 II

K 32 + K 23 I

0 III

II

III

K 13 + K 12

III

K 32

II

K 13

III

III

K 33

K 22 + K 33 + K 22 I

II

q I   v   1  3  0  v2   0      qˆ  0   v3  =  3  .    I I K 21   v 4   q 2     I K 11 + R 5   v5   q I   1 I

K 31

III

33

Megjegyezzük, hogy mivel a teher az elem egyik oldalára hat, a redukálásnál csak az oldalra illeszkedő csomópontokra jut teher, így q3I = 0 . 141


Előadásvázlat

7.8.Példa Az ábrán egy 21-szabadságfokú háromszögelemekkel modellezett lemeznek egy két elemből álló részlete látható. A lemezt egy ρ kN/m 3 merevségű, Winkler-típusú ágyazat támasztja alá. Feltételezzük, hogy a korábbiak szerint meghatároztuk mindkét elem merevségi mátrixát az ágyazat figyelembevétele nélkül. Feladat:

[

]

- Adjuk meg az ágyazott elemek merevségi mátrixának előállítási módját! - Állítsuk elő a szerkezet merevségi mátrixának a K 39,39 , K 13,52 , K 52,40 , K 12,54 blokkjait!

7.7. ábra: Lemez vizsgálata

A 21-szabadságfokú elem bázisfüggvényeit a korábban ismertetett módon az −1 T N = x B% képlettel állítjuk elő. A klasszikus lemezelméletben az u vektornak egy eleme van, így most W ⇒ ρ, tehát az ágyazás merevségi mátrixa:

( )

T

−1 −1 T T V e = ∫ N ρ N dA = B% ρ ∫ xx dAB% . Ae

Ae

Ha V e -t nem a globális rendszerben értelmeznénk, akkor transzformálni kellene. Végül összegzéssel kapjuk az ágyazott elem merevségi mátrixát. Ezeknek a merevségi mátrixoknak a blokkjait felhasználva kapjuk a szerkezet merevségi mátrixának keresett blokkjait. A 39-edik csomóponthoz két elem kapcsolódik, így az egy skalárt tartalmazó főátlóbeli blokk: I II K 39,39 = K 44 + K 44 . A 13-adik csomópontot mindkét elem összeköti az 52-edik csomóponttal, így a keresett hatodrendű blokk: I II K 13,52 = K 53 + K 35 . Az 52-edik és a 40-edik csomópontot csak egy elem köti össze, így a keresett (6 ×1) típusú blokk: K 52,40 = K 52 . II

142


Előadásvázlat

A 12-edik csomópont nincs közvetlen kapcsolatban az 54-edik csomóponttal, így K 12,54 egy (1× 6 ) típusú zérusmátrix. A következő példa azt illusztrálja, hogy a szerkezet merevségi mátrixának lehet olyan blokkja, amelynek mérete nem egyezik az elemek oda kerülő blokkjának méretével.

7.9. Példa Egy hajlított Gerber-tartót kétpontos gerendaelemekkel közelítünk. Az ábra ennek egy részletét mutatja, az egyik csuklót és a hozzá kapcsolódó két elemet. Mutassuk meg, hogy a két elem merevségi mátrixából hogyan állíthatók elő a szerkezet merevségi mátrixának a 8-adik blokksorában lévő nem zérus blokkok!

7.8. ábra: Gerber-tartó csuklójának vizsgálata Akár a klasszikus, akár a Timoshenko-féle gerendamodellt alkalmazzuk, az elemek merevségi mátrixai negyedrendűek, hiszen mindkét végükön egy eltolódás és egy elfordulási szabadságfok szerepel. A 7-edik és 9-edik csomópontnál a szomszédos elemvégek mindkét elmozdulás-komponense megegyezik, így ezeknek a csomópontoknak is két elmozdulási szabadságfoka van. A 8-adik csomópontban azonban csak az eltolódás-komponensek illeszkednek, emellett még két független elfordulás-komponens is van (ϕ 8b ,ϕ 8 j ), így ennek a csomópontnak az elmozdulási szabadságfoka három. (Itt a ϕ indexében a betűk a bal, illetve a jobb szóra utalnak.) Az I. rúd merevségi mátrixából csak a két alsó, a II. rúdéból pedig csak a két felső blokk kerül a keresett blokksorba. Ezeknek a blokkoknak az elemeire a következő jelölést vezetjük be: . . . . A B C D . . . . E F G H  I II   . K = , K = a b c d  . . . .      e f g h . . . .  A szerkezet csomópontjainak elmozdulásvektorából a számunkra érdekes részlet: T T T T v = L v7 v8 v9 L = L v7 ϕ 7 v8 ϕ 8b ϕ 8 j v9 ϕ 9 L . A 8-adik csomópont elmozdulásainak megfelelően az oda redukált tehervektornak is egy erő- és két nyomatékkomponense van:

[

]

143


Előadásvázlat

 Q8    q8 = W8b  . W8 j    Így a merevségi mátrix 8-adik blokksorának keresett blokkjai: a b c+ A d B C D    K 8,7 K 8,8 K 8,9  = e f g h .     E F G H 

Megoldási technikák Az előző pontban megállapítottuk, hogy hogyan lehet összeállítani a szerkezet (7.23) Kv = q állapotegyenletét. Ennek a lineáris egyenletrendszernek a megoldása a végeselemmódszer egyik legidőigényesebb lépése, ezért fontos, hogy megoldásakor kihasználjuk az együtthatómátrix szerkezetében meglévő, esetleg fokozható előnyöket. a) Az együtthatómátrix szimmetrikus, így azokat a megoldási módszereket kell előnyben részesítenünk, amelyek kihasználják a szimmetriát, és csak egy alsó vagy felső háromszögmátrix elemeit tárolják, csak azokkal végeznek műveleteket. Ha az együtthatómátrix pozitív definit (ez a lineáris elméletben a nem mechanizmusként működő szerkezeteknél teljesül), akkor felbontható két háromszögmátrix szorzatára: T (7.24) K = CC , ez az ún. Cholesky34-felbontás, ahol C alsó háromszögmátrix. Így az egyenletrendszer megoldását két speciális egyenletrendszer egymás után történő megoldásával kapjuk meg: C v= y. (7.25) Cy =q, Ezeknek az egyenletrendszereknek az a specialitása, hogy az együtthatómátrix háromszög alakja miatt az ismeretlen vektor elemei egy-egy skalár egyenletből számíthatók. Az első egyenletből y elemeit az indexek növekvő T

sorrendjében, majd ezeket az eredményeket felhasználva a második egyenletből v elemeit az indexek csökkenő sorrendjében haladva határozhatjuk meg. b) A K merevségi mátrix összeállításánál láttuk, hogy a K ij blokkja zérusblokk, ha az i-edik és a j-edik csomópontot nem köti össze közvetlenül egy elem. A globális sorszámozás célszerű megválasztásával elérhető (az 34

Andre-Louis Cholesky (1875-1918) kiváló francia matematikus, egyenletrendszerek vizsgálatával és geodéziai problémák matematikai elemzésével foglalkozott. Az első világháború utolsó ütközeteinek egyikében esett el. 144


Előadásvázlat

optimális, vagy közel optimális sorszámozás megkeresésére speciális algoritmusok vannak), hogy egy elem globális csomópontszámai különbségének maximuma a lehető legkisebb legyen, és így a merevségi mátrix az ismeretlenek számához viszonyítva keskeny szalagmátrix legyen. Ekkor nem kell a teljes együtthatómátrixot előállítani, tárolni, hanem elég az ábrán vázolt rész kezelése. A felbontáskor a C mátrix-nak a K mátrixszal egyezik meg a szalagszélessége.

7.9. ábra: A merevségi mátrix szalagszerkezete c) Az ún. körvonal-módszernél (más néven skyline-módszernél) a fél szalagnál is kisebb a tárolási igény, mert kihasználható, hogy egy oszlopban a legfelső nemzérus elem fölé az eljárás során sem kerülhet nemzérus elem. A tárolandó részt az ábra szemlélteti. Természetesen ilyenkor az együtthatómátrix szerkezetének leírásához még néhány külön adatot is tárolnunk kell.

7.10.ábra: Skyline technika tárolási rendje

d) Minél nagyobb a szerkezet, minél nagyobb a csomópontok száma, annál kisebb a merevségi mátrixon belül a nemzérus blokkok aránya az összes blokkhoz viszonyítva. (Például egy tárcsát négypontos téglalapelemekkel modellezve egy blokksorban legfeljebb 9 nemzérus blokk lehet, akármilyen nagy csomópontszám esetén is.) Így a merevségi mátrix általában nagyon 145


Előadásvázlat

ritka mátrix. Sajnos az együtthatómátrix faktorizációja során jelentősen megnő a nemzérus elemek száma, így a ritkasági tulajdonság jelentősen romolhat, illetve teljesen meg is szűnhet. Az egyenletrendszerek megoldásakor a ritkasági tulajdonság szerteágazó felhasználási lehetőségeire mutat rá SPARSPAK vagy a MATLAB programrendszer.

e) A végeselem-módszernél elterjedt az Irons által bevezetett, ún. frontális módszer alkalmazása is az egyenletrendszer megoldására. Itt nem a csomópontok, hanem az elemek sorszámozása határozza meg a számítás időigényét. Ennél a módszernél nem állítjuk elő előre a teljes szerkezet merevségi mátrixát, hanem kompilálás közben a már végrehajtható műveleteket elvégezzük. Az együtthatómátrixban mindig csak a nemzérus blokksorokat és blokkoszlopokat tároljuk. Ha egy elem merevségi mátrixának blokkjait elhelyeztük az aktuális együtthatómátrixban, és az elemnek van olyan csomópontja, amelyhez nem kapcsolódik nagyobb sorszámú elem, akkor ennek a csomópontnak az elmozdulása kifejezhető a többi éppen aktuális csomópont elmozdulásának függvényében. E képletet megjegyezve a maradék csomópont-elmozdulás és a teher összefüggését kifejező egyenletekkel kell csak folytatnunk az eljárást, tehát az aktuális egyenletrendszer mérete lépésenként változhat. Mivel az együtthatómátrix előállítása és az egyenletrendszer megoldása nem válik szét, a program bonyolultabb, de a program futási ideje rendszerint kicsit csökken. Megjegyezzük, hogy a párhuzamos processzoros számítógépek használata esetén a multifrontális eljárásokat is lehet használni. Az eddig vázolt megoldási módszerek ún. direkt megoldási módszerek voltak. Nagyon nagy egyenletrendszerek esetén a kerekítési hibák halmozódása miatt a reziduális hiba megnőhet: a merevségi mátrix és a kapott megoldás szorzata jelentősen eltérhet az eredeti q vektortól, ilyenkor felmerülhet az utólagos, ún. iteratív javítás használata. Megjegyezzük, hogy a direkt módszerek helyett mind szélesebb körben eleve iterációs módszereket alkalmaznak. f) Az iterációs eljárások esetén azonban problémát jelenthet a megfelelő konvergencia-sebesség biztosítása, mely a spektrálsugártól (a mátrix sajátértékei abszolút értékeinek maximumától) vagy a spektrálkondíciószámtól (a legnagyobb és a legkisebb sajátérték arányától) függ. Ezeket prekondicionálással lehet javítani. A mechanikai feladatok megoldásakor nagy hatékonysága miatt gyakran alkalmazzák a prekondicionált konjugált gradiens módszert, amelyben a prekondicionáló mátrix célszerű előállításához a műszaki feladat specialitásait is kihasználják, és a hatékonyság növelése érdekében rendezési algoritmusokat is alkalmaznak a nem teljes felbontás (inkomplett faktorizáció) előtt.

146


Előadásvázlat

A gradiensmódszernek35 az a lényege, hogy a K v = q lineáris egyenletrendszer megoldását egy 1 T T F (v) = v K v − v q (7.26) 2 alakú kvadratikus függvény minimumaként keresi, mégpedig úgy, hogy több egyváltozós függvényt minimalizál. A k-adik lépésben a λk szám a λ változóban az F ( v k + λ h k ) egyváltozós függvényt (ahol h k az F függvény negatív gradiense, vagyis h k = − K v k + q ) minimalizálja, és a v k +1 = v k + λ k h k képlettel számítjuk a megoldás (k+1)-edik közelítését. A konjugált gradiens módszernél a h k vektorok nem a negatív gradiensek, hanem úgy vesszük fel azokat, hogy i ≠ j esetén a hi K h j = 0 T

(7.27)

feltétel teljesüljön, vagyis a K mátrixra nézve konjugáltak legyenek. A prekondicionáláshoz egy pozitív definit A mátrix A = CC faktorizációját használják, T

és így ilyenkor az y = C v transzformáció alapján az T

1 T −1 −T T −1 y C KC y − y C q (7.28) 2 függvényt kell minimalizálni. Erre a v0 felvétele után a következő lépéssorozatot ajánlják: −1 1) g 0 = K v 0 − q , h0 = A g 0 , d 0 = −h 0 , k=0, (7.29) T

2) λ k =

g k hk T

dk Kdk

,

3) v k +1 = v k + λ k d k , 4) g k +1 = g k + λ k K d k , 5) ha g k +1 < ε q , akkor v k +1 elfogadható az egyenlet megoldásaként, −1

6) h k +1 = A g k +1 , T

7) βk =

g k +1 h k +1 T

g k hk

,

8) d k +1 = −h k +1 + βk d k , 9) k értékét 1-gyel növelve a 2) ponttól ismétlendő. Megjegyezzük, hogy

35

További részletek például: http://en.wikipedia.org/wiki/Gradient_method 147

Bojtár-Gáspár: A végeselemmódszer matematikai alapjai - az A

−1

Előadásvázlat

mátrixszal való szorzást egy A együtthatójú egyenlet megoldásával

hajtjuk végre, ami az ismert

A = CC

T

felbontás miatt nagyon gyorsan

elvégezhető, - elvileg legfeljebb n lépéssel megkapjuk az eredeti egyenletrendszer pontos megoldását, azonban az elkerülhetetlen numerikus hibák halmozódása miatt a kiszámított hi irányok nem lesznek a K mátrixra nézve konjugáltak, így valóban iterációs eljárást kaptunk.

Másodlagos változók A K v = q egyenletrendszer megoldásával megkapjuk a csomóponti elmozdulásjellemzőket. A további számításoknál már nem kell a teljes szerkezetet egészben kezelnünk, hanem az egyes elemeket külön-külön vizsgálva számíthatók bármely pont elmozdulásai, alakváltozásai és feszültségei. Ehhez először meg kell állapítanunk, hogy a kérdéses pont melyik elemhez tartozik, majd a v vektorból ki kell választanunk ennek az elemnek a kitüntetett (csomó-) pontjaira kiszámított elmozdulás-jellemzőket. Ha az elem valamelyik kitüntetett pontjánál koordináta-transzformációt kellett alkalmaznunk a szerkezet merevségi mátrixának előállításakor, akkor a v vektor megfelelő elemeire az inverz transzformációt kell végrehajtanunk, vagyis előállítjuk a v e vektort. A csomópontok elmozdulásaiból az igénybevételi függvényeket interpolálhatjuk. Ha az N mátrixba behelyettesítjük egy, mondjuk P-vel jelölt pont koordinátáit, akkor megkapjuk e pont elmozdulásait: u P = N P ve .

(7.30)

Az alakváltozás-függvényeket is interpolálhatjuk egy elemen belül. Így a P pont alakváltozásának számításához a B mátrixba kell a pont koordinátáit behelyettesíteni:

ε P = ( LN ) P v e = B P v e . Ebből a P pont feszültségei (sok esetben igénybevételei) a σ P = D ( ε P − εoP ) képlettel számíthatók.

(7.31) (7.32)

Megjegyezzük, hogy az elemek közös pontjaiban, éleiben, esetleg lapjain az elmozdulások a bázisfüggvények folytonossága miatt a különböző elemeken számolva megegyezőek lesznek, de az alakváltozások és az igénybevételek általában nem egyeznek, ezeknek a függvényeknek az elemhatároknál szakadása van. A végeselemmódszert alkalmazó programok az igénybevételeket grafikusan is szemléltetik, 2D-s 148


Előadásvázlat

feladatoknál vagy 3D-s feladatok metszeteiben szintvonalakkal, színárnyalatokkal mutatják. Ezek ábrázolásához sokkal előnyösebbek a folytonos függvények, és ha a szerkezeten nincsenek koncentrált terhek, akkor a valóságos függvények is folytonosak, ezért gyakran kisimítják az ábrákat: a kitüntetett pontokban a kapcsolódó elemeknél számított alakváltozások, feszültségek valamilyen átlagát számítják, majd ezekből az átlagokból interpolálják az N mátrix felhasználásával az alakváltozási vagy igénybevételi függvényeket.

Ellenőrző módszerek Egy-egy új elemtípus, új program kidolgozásakor, megvételekor a következő ellenőrző lépéseket célszerű végrehajtani:

A./ Folytonosság ellenőrzése A bázisfüggvényeket elemenként definiáltuk. Leírásukra polinomokat használtunk, így egy elemen belül simák a függvények, azaz folytonosak és bármely deriváltjuk is létezik és folytonos. Ellenőriznünk kell azonban, hogy ha a szomszédos elemek közös kitüntetett pontjaiban az elmozdulás-jellemzőket azonosnak választjuk, akkor az elmozdulásfüggvények a két elem határán is az előírt rendben (C(o) illetve C(1)) folytonosak-e. Ehhez azt kell kimutatnunk, hogy a két elem közös határán a függvények (és C(1)-folytonosság megkövetelése esetén az első deriváltjai) nem függnek az elem többi kitüntetett pontján felvett elmozdulás-jellemzőktől. Megjegyezzük, hogy nem-konform elemeknél nem minden folytonossági követelmény teljesül.

B./ Merevtest-szerű elmozdulások Ha egy elem merevtest-szerűen mozdul el, akkor abban nem keletkezhet alakváltozás. A B mátrix helyességét részben ellenőrizhetjük azzal, hogy a lineárisan független merevtest-szerű elmozdulásokhoz tartozó ve vektorokat előállítjuk, és ezekre kimutatjuk, hogy (7.33) Bve = 0 . Természetesen az elmozdulás-rendszerek meghatározásánál a kis elmozdulások elméletében használt lineáris közelítéseket kell alkalmaznunk, hiszen eddig is mindenütt lineáris egyenletekkel dolgoztunk. Az elem merevségi mátrixára is teljesülnie kell annak a feltételnek, hogy a merevtest-szerű elmozdulásokhoz tartozó v e vektorokkal való szorzata zérus: (7.34) K e ve = 0 , mert ezzel a szorzással azokat a csomóponti erőket kapjuk, amelyekkel az adott állapotban az elemet egyensúlyban lehet tartani, ehhez pedig nincs erőre szükség.

149


Előadásvázlat

7.10. Példa Állítsunk elő egy tárcsa négypontos téglalapeleméhez lineárisan független csomóponti elmozdulás-vektorokat, amelyek az elemek merevtest-szerű elmozdulásait eredményezik!

7.10. ábra: Merevtest-szerű elmozdulások A síkban három független elmozdulás lehet. Legegyszerűbb az ábrán megadott két eltolódás és a z tengely körüli elfordulás. Ezeknél a csomóponti eltolódások vektora: u  0  0  0  v   0        u  0  0        0 v aϕ     ve = , ve = , ve = . u  0  −bϕ        0  v   aϕ  u  0  −bϕ         0   v   0 

C./ Tiszta alakváltozások Mindig könnyen felvehető az elemekre olyan elmozdulásfüggvény(-rendszer), amely hatására minden pontban csak egy nemzérus, konstans alakváltozáskomponens jön létre, tehát az elem tiszta alakváltozási állapotban van. Ha a ve vektorba beírjuk az elem kitüntetett pontjaiban számítható elmozdulásjellemzőket, akkor helyes B mátrix esetén a Bv e szorzattal konstans vektort kell kapnunk, melynek egyetlen nemzérus eleme éppen a kívánt alakváltozás.

150


Előadásvázlat

7.11. Példa Az ábra egy klasszikus lemezelmélet szerint vizsgált lemez egy elemét mutatja. A lemezben tiszta alakváltozás jön létre, ha például az eltolódásfüggvény w = x 2 alakú. Határozzuk meg az ehhez tartozó alakváltozás-vektort, valamint 15- és 21-szabadságfokú elem esetén a ve vektort!

7.11.ábra: Lemezelem alakváltozásai A keresett alakváltozás-vektor:  ∂2   2   κ x ( x, y )   ∂y 2  0    ∂  ε =  κ y ( x, y )  =  − 2  w( x, y ) = − 2 .  κ xy ( x, y )   ∂x2   0     ∂  2  ∂x∂y    Az elfordulás- és görbületi jellemzők ϕ x = w y = 0 , ϕ y = − w x = −2 x ,

κ x = w yy = 0 , κ xy = 2 wxy = 0 , κ y = − wxx = −2 ,

ϕ t 4 = wx 4 cosα + w y 4 sin α = −2a cosα . Így a 15-szabadságfokú elem esetén T v e = 0 0 0

a2

0

4a 2

0 −2a

a2

−2a cos α

0 0 0

0 0 

,

151


Előadásvázlat

míg a 21-szabadságfokú szabadságfokú elemnél T v e = 0 0 0 0 0 −2

0

4a 2 0 −2a 0 0 −2a

− 2 a cosα

0 0 0 0 0 −2

0 ].

D./ Folt-teszt teszt Az eddig ismertetett ellenőrző lépésekkel csak a bázisfüggvényeket vagy egy elem B és K e mátrixát tudtuk ellenőrizni. A fenti elveket alkalmazhatjuk természetesen teljes szerkezetekre is, és így a koordináta koordináta-transzformációkat, a szerkezet merevségi mátrixának kompilálását valamint az igénybevétel igénybevétel-számítást is ellenőrizhetjük. Ezt az ellenőrzési módszert nevezzük folt--tesztnek.

teszt alapelvének megértéséhez tekintsünk például egy akár szabálytalan A folt-teszt alakú szerkezetet. Ezt osszuk fel véges elemekre (lásd az ábra vázlatát), és a peremén támaszelmozdulásként működtessük az akár mer merevtest-szerű elmozdulásból, akár a tiszta alakváltozást létrehozó elmozdulásból számítható csomóponti jellemzőket. Számítsuk ki a belső pontok elmozdulásait és igénybevételeit. Ezeknek meg kell egyezniük az elmozdulási függvényből számított „pontos” értékekkel.

7.12.ábra: Folt--teszt

Megtehetjük azt is, hogy konstans feszültségmezőt képzelünk el, és a (szabad) peremeken ezeket teherként működtetjük. A merevtest-szerű merevtest elmozdulást statikailag határozott módon való megtámasztással akadályozzuk akadály meg, így azokban (mivel önmagában egyensúlyban lévő terhet alkalmaztunk) zérus nagyságú támaszerők keletkeznek, tehát a program futtatásával is meg kell kapnunk a felvett konstans feszültségmezőt. Hangsúlyozzuk, hogy a vizsgált tartomány, de legaláb legalább az elemfelosztás szabálytalan legyen, mert előfordulhat, hogy szabályos felosztás esetén egyeznek az állapotjellemzők a felvett értékekkel, míg szabálytalan felosztás esetén nem. Némely elemtípusnál csak az elemméretek jelentős csökkentésével, vagyis 152


Előadásvázlat

határátmenettel az infinitezimális osztáskor kapjuk meg a kívánt értékeket, de a konvergenciának valóban ez a szükséges és elégséges feltétele.

7.12. Példa Az ábrán egy négyzet alakú lemezt osztottunk öt szabálytalan alakú elemre. A ReissnerMindlin-elméletet alkalmazva négypontos közelítést használunk. Írjunk elő olyan peremelmozdulásokat, amelyek hatására tiszta elcsavarodás jön létre a lemezben!

7.13.ábra: Lemez csavarása

A Reissner-Mindlin-elméletben a három elmozdulásfüggvényt egymástól függetlenül, C(o)-folytonos bázisfüggvényeket használva közelítjük. A lemez tiszta elcsavarodást végez, ha w( x, y ) = Cxy és nyírási alakváltozást sem tételezünk fel, tehát a sarokponti elfordulásokat úgy vesszük fel, hogy az ottani normális a deformált középfelület érintősíkjára merőleges legyen, vagyis ∂w ∂w ϕy = − = −Cy . ϕx = = Cx , ∂x ∂y Így a sarokpontokban előírandó elmozdulások:  −Ca 2   Ca 2   −Ca 2   Ca 2          v1 =  −Ca  , v 2 =  −Ca  , v3 =  Ca  , v 4 =  Ca  .  −Ca   Ca   Ca   −Ca          Felhasznált irodalom: 1./ Bojtár I. – Gáspár Zs. : Végeselemmódszer építőmérnököknek, Terc, 2003. 2./ Rao, S. S. : The finite element method in engineering, Pergamon Press, 1989.

153


Előadásvázlat

8. Előadás: A hibaanalízis alapelvei, a „p”, a „h”, és a „hp” típusú módosítások A végeselemes módszer – mint minden közelítő eljárás – egy mechanikai feladat vizsgálata során általában nem ad pontos eredményt. Éppen ezért – főleg bonyolultabb és/vagy fontosabb feladatok elemzése során – célszerű elemezni, becsülni a kapott eredményekben rejlő hiba nagyságát és csökkentésének lehetőségeit. Ezzel a témakörrel foglalkozik ennek az előadásnak a nagyobbik része az utolsó rész kivételével, ahol azt mutatjuk be, hogy hogyan lehet növelni a másodlagos ismeretlennek tekintett feszültségfüggvény számításának pontosságát.

A közelítési hiba fogalmának illusztrálása Az egyszerűség kedvéért vizsgáljunk elsőként egy egydimenziós u ( x) függvényt. Ha ez a függvény az [ a, a + h ] zárt intervallumban folytonos és ugyanott (n-1)-edik rendig a deriváltjai is léteznek, akkor a Taylor-tétel segítségével felírhatjuk az alábbi kifejezést: h ∂u h 2 ∂ 2u h n−1 ∂ n−1u h n ∂ nu u ( a + h) = u ( a ) + (a ) + ( a ) + .... + ( a ) + (a + θh) (8.1) 1! ∂x 2! ∂x 2 n ! ∂x n (n − 1)! ∂x n−1 ahol 0 < θ < 1 . Ez azt jelenti, hogy ha az u (a + h) függvényértéket az „a” pontban felírt Taylor-sor első n tagjával közelítjük, akkor (8.1) utolsó – (n+1)-edik – tagja megadja a hibát. Ezt a hibát úgy csökkenthetjük, ha n értékét növeljük vagy/és h-t csökkentjük. A továbbiakban ezt a feladatot kívánjuk általánosítani, hiszen a mi mechanikai/matematikai feladatainknál nem csak egy adott pontban kell a függvény értékét meghatároznunk, hanem a teljes vizsgált (1-, 2- vagy 3D-s) tartományban. Tovább bonyolítja a vizsgálatainkat az, hogy a mérnökök számára nem csak az elsődleges (általában elmozdulás-) függvények fontosak, hanem a belőlük származtatott másodlagos (például alakváltozás- és feszültség-) függvények is36.

A számítási hiba mérése A hiba értékét kizárólag azokban az esetekben lehet pontosan megadni, ha a vizsgált feladat pontos megoldása ismert37. Azokat az eseteket, ahol a pontos megoldás ismert, a hibaanalízis három csoportba sorolja: 36

Megjegyezzük, hogy az első előadáshoz hasonlóan a hibát (a hibafüggvényeket) a továbbiakban egy skalár számmal mérjük, vagyis valamilyen bilineáris funkcionált kell bevezetnünk. 37 Mivel az analitikus megoldás viszonylag ritkán ismert, pontos megoldásnak szoktak elfogadni egy nagyon finom felosztással kapott eredményt is. Lásd az [1] alatti mű 131. oldal 2. sorában leírt kommentárt. 154


Előadásvázlat

-

„A” csoport: A megoldás analitikus38 a vizsgált tartomány egész területén (a peremeket is beleértve), sehol nincsenek benne szingularitások.

-

„B” csoport: A megoldás analitikus a tartomány belső pontjain és peremén, kivéve néhány – véges számú – pontot (illetve térbeli feladatnál véges számú pontot és szakaszt). Ezeket a kivételes pontokat (illetve szakaszokat) szinguláris pontoknak (vagy szinguláris éleknek) hívják. Ennél a típusnál feltételezzük, hogy résztartományonként analitikus a megoldás és a peremfeltételek is legalább szakaszonként analitikusak. Megjegyezzük, hogy a szilárd testek mechanikájában a gyakorlati feladatok többsége ebbe a kategóriába sorolható.

-

„C” csoport: Elképzelhető olyan feladat is, amely kizárólag szinguláris tartományok összességéből áll, vagyis sem az „A”, sem a „B” kategóriába nem sorolható. Ilyen változattal jelen fejezetben nem foglalkozunk.

Megjegyezzük, hogy például a különféle kétdimenziós feladatoknál előforduló pontszerű szingularitások esetében az elmozdulásokra felírható pontos megoldást gyakran keresik az alábbi39 formában: ∞

u pontos = ∑ Ai r λi F i (θ) ,

(8.2)

i =1

ahol r , θ a szinguláris ponthoz illesztett polárkoordináta-rendszer paraméterei, λ i és A i a feladattól függő – mindig adottnak feltételezhető – valós számok40, F i pedig (legalább részenként) analitikus függvényeket tartalmazó vektorokat jelent. A megoldásnál feltételezik, hogy r < ρ, λ min > 1 − d / 2 ( ρ a konvergencia-sugár, d pedig a feladat dimenziójának száma). Fenti megoldás tulajdonképpen a szinguláris ponton kívüli tartományon adódó megoldás kiterjesztése a szinguláris pontra. Ez a megoldási képlet azért hasznos, mert sok szerző adja meg az általa vizsgált feladat hibabecslését az itt említett paraméterek segítségével. A számításban elkövetett hibát mérhetjük az elmozdulás-, vagy az annak deriváltjaiként számítható alakváltozás- illetve feszültségfüggvények és azok „pontos” függvényeinek (melyeket egy felső „ ∧ ” szimbólummal jelölünk) különbségeként: e = u − uˆ , eε =ε−εˆ , eσ = σ − σˆ . (8.3) Régebben a vizsgált tartomány néhány pontjában meghatározták ezen hibafüggvényeknek (valamelyiküknek, esetleg egyszerre többnek is) a nagyságát, és az abszolút értékre legnagyobb számmal jellemezték a hibát. Ez a módszer félrevezető is lehet: gondoljunk 38

Egy függvényt akkor hívnak analitikusnak, ha a vizsgált tartomány minden pontjában Taylorsorba fejthető. 39 Lásd a törésmechanikai megoldási technikákat, illetve az inhomogén anyagú szerkezetek modellezési módszereit. A rugalmasságtani megoldásokban feszültségcsúcsok keletkeznek a negatív peremsarkokban is. 40 A valós mérnöki megoldásoknál a végtelen sorból csak néhány tagot szoktak figyelembe venni, így a szükséges paraméterek száma sem lesz túlzottan magas. 155


Előadásvázlat

például egy koncentrált erő alatti feszültség vizsgálatára, melynek végtelennek kellene lennie az egyensúlyi egyenletek alapján, de az elmozdulásfüggvény deriváltjaként számolva véges lesz. Ehelyett az egyszerű, de sokszor pontatlan módszer helyett ma már többnyire integrálnormákat használnak a hibák ellenőrzésére. Gyakran használt hibanorma például a vizsgált Ω tartomány (térfogat, felület vagy hossz) egészére kiterjeszthető energianorma: 1

 2 T e =  ∫ ( L e) D L e d Ω , (8.4)  Ω  ahol (az eddig használt jelölésekkel egyezően): (8.5) Le = ε − εˆ , DLe = σ−σˆ . Ezeket az összefüggéseket behelyettesítve az energianorma képletébe különböző változatok adódnak: 1

1

1

 2  2  2 T T T −1      ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ e =  ∫ (ε − ε) D (ε − ε) d Ω =  ∫ (ε − ε ) (σ-σ) d Ω =  ∫ (σ − σ) D (σ − σ) d Ω (8.6)  Ω   Ω   Ω  Ugyancsak használatosak az alábbi (ún. L 2 -) normák is: 1

1

 2  2 T T eɶ =  ∫ (u − uˆ ) (u − uˆ ) d Ω , eσ =  ∫ (σ − σˆ ) (σ − σˆ ) d Ω . (8.7)  Ω   Ω  Megjegyezzük, hogy a fenti normák bármelyike előállítható egyes résztartományokra számítható normák összegeként, így például m darab résztartomány (vagy akár m darab elem) esetén: m

e =∑ e 2

i=1

2 i

.

(8.8)

Szokás ezeket a normákat a vizsgált tartomány jellemző geometriai adatához (például hossz, terület vagy térfogatértékéhez) viszonyítani és segítségükkel definiálni az elmozdulás- vagy feszültség közelítésére az adott tartományban jellemző hibát: 2 1/ 2   2 1/ 2  eσ   eɶ  (8.9) ∆u =   .  , ∆σ =   Ω   Ω    Az elsőként bemutatott energianorma mellett annak relatív változata is használatos: 1/ 2  e   T (8.10/a) η= 100 % , ahol A =  ∫ ε D ε d Ω . A   Ω A módosítások során általában célszerű figyelembe venni az előbb bemutatott hibanormákat. Segítségükkel mérhető az elemméretek csökkentésének illetve az elemek átrendezésének hatása. Gyakran használják az elemekhez rendelt ξ k paramétert (a k index egy tetszőleges elemre utal), amit az előírt hibahatár ( em ) függvényében adunk meg. Az

156


Előadásvázlat

indexben szereplő m az éppen alkalmazott elemek számára utal. Az előbb bemutatott hibaváltozatok egyikének segítségével számolunk: e (8.10/b) ξk = k . em Az új, módosítandó elemméret jellemző adatát ennek illetve a bázisfüggvényeknél alkalmazott polinomok p fokszámának segítségével szokás felvenni ( hk a korábbi elemméret): húj = ξ −k 1 / p hk . (8.10/c) Megjegyezzük, hogy ezt a módszert adaptív sűrítési eljárásnak hívjuk.

A számítási hiba csökkentésének lehetőségei A végeselemes gyakorlat tapasztalatai szerint – teljesen általánosan, vagyis tetszőleges dimenziószámban megvizsgálva a kérdést – az alábbi lehetőségeink vannak a végeselemes számítás hibájának mérséklésére: a./ csökkentjük az elem h méretét (ezt hívják a végeselemes technikában hmódszernek), b./ a korábbi előadásokon már sokszor említett matematikai lépést alkalmazzuk, vagyis újabb tag(ok) bevonásával magasabb fokú polinomot használunk a közelítésre (ennek a változatnak p-módszer a neve), c./ a két előbbi módszert egyszerre alkalmazzuk, az elemméret csökkentése mellett a polinom fokszámát is növeljük (ez az úgynevezett hp-módszer). Megjegyezzük, hogy a már meglévő csomópontok áthelyezésével is finomítható egy számítás pontossága, hiszen ilyenkor lehetőségünk van arra, hogy a mechanikailag „érzékenyebb” területeken sűrítsük a hálót. Ezt a módszert nem tekintjük külön változatnak, csupán az „a” pont egy sajátos esetének. A következő ábrák kétdimenziós vázlatai a három különböző módszernek megfelelő elvi eseteket mutatják be kétdimenziós esetekre (jelen esetben nem vizsgálva mélyebben a csatlakozási problémákat a csomópontoknál, csupán a tartományokon lehetséges módosításokra utalva). A 8.1. ábrán egy téglalap és egy háromszög felosztását szemléltetjük. A 8.2. ábra bal oldalán egyenletesen csökkentettük az elemméreteket, jobb oldalán a tartomány különböző részein eltérő a felosztás sűrítése.

8.1. ábra. Egy elem felosztása kisebbekre 8.2. ábra Az elemméretek csökkentésének típusai

157


8.3. ábra. A polinomok fokszámának megválasztása fokszámok

Előadásvázlat

8.4.

ábra.

Változó

méretek

és

A 8.3. ábrán az elemekbe írt számok jelzik a közelítő függvény fokszámát. Egyenletes felosztás esetén mutatjuk be, hogy az elemeknél kétféle lehetőségünk van: választhatunk különböző fokszámokat, vagy pedig használhatunk (lásd a jobb oldali részt) mindegyiknél ugyanolyat. A 8.4. ábra bal oldalán azt szemléltetjük, hogy ha egy elemet újabb elemekre osztunk fel (sűrítjük a hálót), akkor lehetséges olyan módosítás, amikor mindkét irányban egyforma módon tesszük azt, de lehet olyan sűrítés is, amikor (lásd a jobb oldali vázlatot) nem egyformán változtatunk a két irányban41. Az elemek méretének csökkentése és/vagy a közelítő függvény fokszámának emelése növeli a szerkezet elmozdulási szabadságfokát, így nő a szükséges számítási igény. Egy finomítási eljárás hatékonyságát egy diagram segítségével mutatják be: különböző közelítések esetén meghatározzák valamelyik hibanormát, és azt ábrázolják a szabadságfok függvényében. A végeselem-módszert akkor nevezik konvergensnek, ha az energianormára p > 0 érték mellett teljesül az alábbi egyenlőtlenség: (8.11) e ≤ c1h p , ahol c1 egy ismertnek feltételezett konstans, értéke függ a vizsgált tartomány alakjától és a peremfeltételektől; h pedig – többdimenziós esetben is – az elem jellemző mérete (például a csomópontok átlagos távolsága); végül p-t a konvergencia mértékének nevezik, és (nemszinguláris megoldás esetén) tipikusan az alábbi módon definiálják: p = n + 1− m , (8.12) ahol n a vizsgálatban felhasznált legmagasabb fokú teljes polinom fokszáma, m pedig az L operátorban előforduló legmagasabb deriválás rendje. Megjegyezzük, hogy a legkisebb c1 esetén (8.11) egyenlőségnek tekinthető.

Ha egy d-dimenziós tartomány felosztását egyenletesen sűrítjük, akkor az elemek száma, és így a szerkezetre jellemző N fokszám is a h paraméter d-edik hatványával fordítva arányos (a képletben szereplő c 2 szintén ismert konstans): N = c2 h−d . 41

(8.13)

Mindkét esetnél elemenként eltérő fokszámokat alkalmaztunk. 158

Bojtár-Gáspár: A végeselemmódszer matematikai alapjai Ha az ebből kifejezett h-t behelyettesítjük (9.11)-be, akkor −p/d  N   e = c1   = c3 N − p / d ,  c2 

Előadásvázlat

(8.14)

vagy mindkét oldal logaritmusát véve a 8.5a ábra szerinti egyenes egyenletét kapjuk a log N és a log e változókat használva: log e = log c3 − p / d log N .

(8.15)

Természetesen ugyanezt az egyenest kapjuk (lásd a 8.5b ábrát), ha az N és e változókat használjuk, de mindkét tengelyen logaritmikus skálát alkalmazunk (az iránytangens bemutatásához itt is a változók logaritmusát tüntettük fel). Egy adott felosztásnál számolt hibából az iránytangens ismeretében jól meghatározható, hogy milyen egyenletes sűrítésnél csökkenthetjük le a hibát egy előírt érték alá. Ha nem egyenletes az elemsűrítés – vagy a fokszámokat is változtatjuk –, akkor már nem egyenest kapunk.

8.5. ábra. A hibanorma változása a szabadságfok függvényében

A következőkben bemutatunk egy olyan példát, amelyeknél a feladat pontos (analitikus) megoldása ismert, így a különböző közelítéseknél a hiba számítható.

8.1. Példa Vizsgáljuk meg a 9.6. ábrán látható rúdtengely irányú megoszló teherrel terhelt húzott rúd végeselemes megoldásának konvergencia-viszonyait [3] alapján: 8.6. ábra. Húzott rúd

159


Előadásvázlat

EA =1, l = 1, a megoszló teher pedig

p ( x) = − sin(8 x) , így az eltolódásfüggvény pontos értéke: sin ( 8 x ) cos(8) u ( x) = − + x. 64 8 A p-módszer alkalmazásánál egyetlen elemet fogunk használni, viszont az elem bázisfüggvényei p = 1,2,…,19-edfokú polinomok lesznek. A h-módszernél csak lineáris elemet használunk (p = 1), de az elemek darabszáma 1-től 19-ig nőhet. Az első esetben (csak az első nyolcat feltüntetve) az elmozdulásfüggvény pontos és közelítő értékének kapcsolata a következőképpen változik (a függőleges tengelyen lefelé negatív eltolódásértékek vannak feltüntetve):

8.7. ábra. A (piros) pontos és a (kék) p-edfokú közelítő eltolódásfüggvény

A h-közelítés esetén a következőképpen változik a kapcsolat:

8.8. ábra. A (piros) pontos és a (kék) közelítő eltolódásfüggvény az elemszám növelésekor

160


Előadásvázlat

A 8.9. ábrán kettős logaritmikus lépték léptékben a (8.10)-ben ben bemutatott relatív energianorma segítségével számított összehasonlítást mutatjuk be:

8.9. .9. ábra. A relatív energianorma változása a finomítások hatására Megállapítható,, hogy az elemszám növelésekor valóban lineáris a ka kapcsolat, és az iránytangense 1, mert d=1 és (8.12) szerint p=1+1− 1=1. A fokszám növelésekor a hiba csökkenése sokkal gyorsabb.

A számítási hiba becslése Ha a feladat pontos megoldását nem ismerjük, akkor a fenti hibák normája sem számítható, ezért csak a modell által szolgáltatott eredményekből valamilyen feltételezéssel számított norma változását (többnyire a változás sebességét) tudjuk vizsgálni, vagyis csak azt ellenőrizhetjük, hogy a megoldás eredménye hogyan változik a bázisfüggvények vagy a hálósűrí hálósűrítés megváltoztatásának hatására. A végeselemes kutatók tapasztalati alapon kétféle becslést is szoktak használni a hibák korlátjaira. Az első változatot algebrai becslésnek hívják: k u pontos − uVEM ≤ β , N a másikat pedig exponenciálisnak: k . u pontos − uVEM ≤ exp( γ N θ ) A képletekben szereplő k , β, γ és θ pozitív konstansok42, N pedig a vizsgált végeselemes rendszer szabadságfokának száma. Két Két- és háromdimenziós esetre [3] alapján bemutatjuk, hogy a különböző feladattípusoknál melyik becslést és N milyen kitevőjét ajánlják a szakirodalomban43: A paraméterek közül k és γ értékét egy adott feladat hibaelemzésénél kell felvenni az elért pontosságnak megfelelően. 43 A táblázatokban szereplő λ a (8.2) .2) alatti képletben végtelen sor alakjában felírt megoldásban szereplő plő paraméterek legkisebbike. 42

161


Előadásvázlat

a./ Kétdimenziós vizsgálatokra alkalmazott adatok

b./ Háromdimenziós vizsgálatokra alkalmazott adatok:

Most vizsgáljunk meg két „B” kategóriás feladatot, melyeknél szintén ismerjük a pontos megoldást, de a feszültségekben szingularitás van.

8.2. Példa Ha a 8.6. ábrán a terhelésfüggvény f ( x) = λ ( λ − 1) x λ− 2 , alakú, és minden más feltétel változatlan, akkor a pontos megoldás u ( x) = − x λ + λ x

162


Előadásvázlat

formában írható fel44. Ennek az elmozdulás elmozdulás-függvénynek 0 < λ <1,0 esetén az első deriváltja (az alakváltozás függvénye) szinguláris lesz az x = 0 helyen („B” típus). Válasszuk most például a λ = 0, 65 -ös ös értéket, és hajtsuk végre mindkét verzióval a számítást úgy, hogy az első esetben egy elemet választunk és p = 1,2,…,50, míg a másik változatnál p = 1 és az elemek száma növekszik egytől ötvenig. Ismét a relatív energianormát használjuk és kettős logaritmikus léptékben ábrázoljuk az összehasonlítást:

8.10. ábra: A relatív energianorma változása a finomítások hatására

8.3. Példa Vizsgáljunk meg egy másik feladatot, ahol szintén egy „B” csoportba tartozó példát modellezzünk, ugyancsak [3] alapján. Sík alakváltozási állapotban lévő, négyzet alakú tárcsát húzunk, melynek közepén egy – ugyancsak négyzet alakú – lyuk van. A belső lyuk pereme tehermentes. A szimmetriát kihasználva csak egy „L” betű alakú tárcsarészt vizsgálunk. A vastagság egységnyi, a Poisson Poisson-tényező tényező 0,3. A feladat megoldását a Koloszov-Muszhelisvili Muszhelisvili-Westergaard-féle komplex feszültségfüggvényes technikáva technikával lehet megadni. A belső sarokpont képét látjuk nagyítva a 8.11. ábrán.

8.11. .11. ábra. A sarokpont környezetének kinagyítása két fokozatban 44

A példában szereplő λ a megoldás simaságát szabályozó paraméter.

163


Előadásvázlat

A sarokponthoz illesztett polárkoordináta-rendszerben értelmezve az alábbi függvényekkel adható meg az elméletileg pontos megoldás: A u x ( r , θ ) = 1 r λ1 ( κ − Q1 (λ1 + 1) ) cos λ1 θ − λ1 cos(λ1 − 2) θ , 2G A u y ( r , θ ) = 1 r λ1 ( κ + Q1 (λ1 + 1) ) sin λ1 θ + λ1 sin(λ1 − 2) θ  , 2G ahol G a nyírási rugalmassági modulus, λ1 = 0,544483737, Q1 = 0,543075579 és κ = 1,8 . Az A1 paramétert általánosított feszültségintenzitási tényezőnek nevezik, számításának módját a törésmechanikai szakkönyvek tartalmazzák. Az elmozdulások mellett a feszültségek értékei is pontosan meghatározhatók a feladatnál: σ x = A1λ1r λ1 −1 ( 2 − Q1 (λ1 + 1) ) cos(λ1 − 1) θ − ( λ1 − 1) cos(λ1 − 3) θ  , σ y = A1λ1r λ1 −1 ( 2 + Q1 (λ1 + 1) ) cos(λ1 − 1) θ + ( λ1 − 1) cos(λ1 − 3) θ  ,

τ x y = A1λ1r λ1 −1 (λ1 − 1)sin(λ1 − 3) θ + Q1 ( λ1 + 1) sin(λ1 − 1) θ . A 8.12. ábra a konvergencia-vizsgálat eredményét mutatja. A h-módszernél a külső oldalél tizedéig sűrítettük a hálót, míg a p-módszer esetében nyolcadfokú polinomok voltak a legmagasabb rendű közelítések. Az ábra harmadik (legjobb konvergenciát mutató) görbéje a p-módszer azon változata, amikor a szingularitási pont környékén lokális sűrítést alkalmaztunk (lokális hp-módszernek nevezhetjük): Az ábra vázlatán jól látszik, hogy itt igaz a becslésnél korábban megadott táblázat azon tétele, hogy a h verziónál λ /2, a p-változatnál pedig λ az iránytangens. A harmadik görbénél is ugyanezt az iránytangenst kaptuk, amikor a fokszámot megállítottuk.

8.12. ábra: A relatív energianorma változása a finomítások hatására

164


Előadásvázlat

A bemutatott példák megerősítik azt a szakmai gyakorlatban elfogadott véleményt, hogy azon esetek kivételével, amikor valamilyen mérnöki oknál 45 fogva egyértelműen megelégszünk alacsony szintű pontossággal, a lineáris feladatok végeselemes megoldásában általában lában a p-módszer az előnyösebb, és ezt még tovább lehet javítani lokális hp-változat alkalmazásával.

8.4. Példa. A h-módszer módszer alkalmazása módszer alkalmazásának néhány gyakorlati változatát mutatja be a 8.13. ábra a FEM FEMA h-módszer DESIGN építőmérnöki szoftverrendszert szoftverrendszert készítő cég munkatársaitól kapott képek segítségével. A feladat egy támfal vizsgálatához szükséges végeselemes háló elkészítése volt. Az „a” ábrán egy már megfelelő eredményt adó, egyenletes, de még elég ritka háló látható. A „b” ábrán az egyen egyenletes sűrítés mintapéldájaként valamennyi elemet négy részre vágták, ahol lehetett a háromszögeket négyszögekké egyesítették, hogy a lehető legkevesebb háromszög legyen. A „c” ábrán csak a hajlatokban, a szilárdságtanilag érzékenyebb helyeken hajtottak vé végre lokális sűrítést. A háromszögekből itt is lehetőleg négyszögeket hoztak létre.

a./

45

b./

Közelítő számítás, nagyon szűk határidő, …. 165


c./

Előadásvázlat

d./

8.13. ábra. Támfal elemfelosztása A „d” ábra a lokális sűrítés újbóli megismétlését illusztrálja. Ebben az esetben ismét a kritikus helyeken finomították a hálót. Mind numerikus, mind szilárdságtani szempontból ez a háló előnyösebbnek yösebbnek tűnik az egyenletesen sűrítetthez képest.

8.5. Példa. Elemsűrítés a relatív hiba felhasználásával Az alábbi ábra egy ilyen automatikus módosítás-sorozat eredményét mutatja be egy rövid, baloldalt befogott faltartó vizsgálatán keresztül. Kvadratikus ikus háromszögelemeket használtunk a számításhoz (sűrítést és áthelyezést egyszerre alkalmazva). Az ábrák alatt látható η a relatív energianormát jelenti (lásd a 8.10 8.10-es képletet).

8.14. ábra: Elemsűrítés változatai

166


Előadásvázlat

A végeselemes számítások pontosságát és megbízhatóságát befolyásoló eddig bemutatott hatások szemléltetésére egy magyar fejlesztésű végeselemes szoftvercsomagot, a FEMDesign 8.0 verzióját választottuk. (www.fem-design.hu) Ennek a választásnak az az oka, hogy ezen programcsomag fejlesztése során a fejlesztők különös gondot fordítottak a végeselem háló numerikus szempontból közel ideális kialakítására az eredmények megbízhatósága érdekében. Számos lehetőséget, funkciót illetve tudományos alapossággal kidolgozott algoritmust is beépítettek a háló optimális – automatikus és kézi – kialakíthatóságát elősegítendő. Az alábbi (valós eredetű) lemez példában vizsgálni fogjuk a Mindlin-típusú végeselemek méretének (azaz a globális sűrítésnek), a lokális sűrítésnek és a választott elemtípusnak és elemalaknak az eredményekre gyakorolt hatását. A statikai modellt oly módon vettük föl, hogy az a lehető legközelebb álljon a födémlemez valós viselkedéséhez, ezért a pontszerű (oszlop) és vonalszerű (fal) támaszokat a valós méretüknek és rugalmasságuknak megfelelő (Winkler-féle) felületi támaszokként kezeltük. Ennek köszönhetően a feladat a korábban bemutatott „A” csoportba tartozik, azaz a megoldás analitikus, sehol nincsenek benne szingularitások. Fontos megjegyeznünk, hogy ellenkező esetben a számított nyomatékok éppen az említett támaszok fölött szingularitást mutatnának, azaz a háló sűrítésével azok egyre csak nőnének, a végtelenhez tartanának. Ez egyrészt nehézzé tenné az eredmények pontosságának értelmezését és mérését, másrészt a kapott eredményeknek semmi köze nem lenne a födémlemez valós statikai46 viselkedéséhez. A vizsgált feladatot tehát az alábbi ábra szemlélteti, ahol a zöld vasbeton födémlemezen kék sraffozás jelöli a felületi támaszokat. Az ábrán – tájékoztató jelleggel – néhány lényeges geometriai méretet is föltüntettünk; a födémlemez vastagsága 20 cm. (Ezek és egyéb további adatok – mint például az anyagjellemzők – céljaink szempontjából a továbbiakban érdektelenek.) Terhelésnek egyenletesen megoszló (függőleges) terhelést (12 kN/m2) választottunk, melyet pirossal szemléltettünk.

46

Egy mérnöki szerkezet statikai modelljének megválasztásakor ezekre a szempontokra mindenkor érdemes figyelemmel lenni. 167


Előadásvázlat

8.15. ábra. Födémlemez

Mivel a feladat analitikus megoldása természetszerűleg nem áll rendelkezésünkre, ezért „pontos” eredménynek az alábbi ábrán látható nagyon sűrű háló szolgáltatta eredményeket tekintjük. (Az átlagos elemméret 0,1 m.) Figyelemmel leszünk a mezőközép kék kereszttel jelzett pontjának eltolódására, valamint a vonalszerű (részben befogást biztosító) támasz piros kereszttel jelzett pontja fölött a lemez (vonalszerű támasz tengelye körüli) fajlagos hajlító nyomatékára. A „pontos” megoldásban előbbi 14,877 mm, míg utóbbi 36,378 kNm/m.

168


Előadásvázlat

8.16. ábra. Elemfelosztás

A számított (nagyított) eltolódási ábrát a bal, míg a hozzá tartozó nyomatéki ábrát alant a jobb oldalon tanulmányozhatjuk. A választott végeselem típusa 9 csomópontú, kvadratikus Lagrange-féle izoparametrikus négyszög (illetve minimális számú 6 csomópontú háromszög) sík héjelem.

8.17. ábra. Eltolódások és hajlítónyomatékok Elsőként változtassuk az átlagos elemméretet a következők szerint: 3,0 m, 2,0 m, 1,0 m, 0,5 m, 0,35 m, 0,25 m, 0,15 m, 0,10 m, és figyeljük meg az eredmények változását ennek függvényében. Az egyes esetekhez tartozó hálót az alábbi ábrák szemléltetik.

3,0 m

2,0 m

169


Előadásvázlat

1,0 m

0,5 m

0,35 m

0,25 m

0,15 m

0,10 m

8.18. ábra. Különböző sűrűségű egyenletes hálók

170


Előadásvázlat

A kapott eredményeket az alábbi két táblázatban foglaltuk össze: 4 csomópontú, lineáris izoparametrikus négyszög (illetve minimális számú 3 csomópontú háromszög) sík héjelem használata esetén: 8.1 táblázat Átl. elemEltolódás Fajlagos nyomaték Számítási idő Elemszám méret [m] [másodperc] [db] [mm] Hiba [%] [kNm/m] Hiba [%] 3,0 10,207 31,39 16,260 55,30 <1 100 2,0 10,408 30,04 14,842 59,20 <1 139 1,0 12,531 15,77 12,784 64,86 3 361 0,5 13,707 7,86 22,259 38,81 8 1228 0,35 13,924 6,40 24,040 33,92 15 2358 0,25 14,142 4,94 24,553 32,51 38 4507 0,15 14,278 4,03 27,660 23,97 210 12447 0,10 14,408 3,15 30,235 16,89 596 27582 9 csomópontú, kvadratikus izoparametrikus négyszög (illetve minimális számú 6 csomópontú háromszög) sík héjelem használata esetén: 8.2 táblázat Átl. elemEltolódás Fajlagos nyomaték Számítási idő Elemszám méret [m] [másodperc] [db] [mm] Hiba [%] [kNm/m] Hiba [%] 3,0 13,841 6,97 28,222 22,42 <1 100 2,0 15,100 1,50 22,765 37,42 <1 139 1,0 14,686 1,28 36,193 0,51 3 361 0,5 14,760 0,79 36,156 0,61 20 1228 0,35 14,734 0,94 35,841 1,48 84 2358 0,25 14,680 1,32 35,993 1,06 252 4507 0,15 14,793 0,56 36,287 0,25 1890 12447 0,10 14,877 0,00 36,378 0,00 8434 27582

Megjegyezzük, hogy a táblázatokban szereplő számítási időknek csak egymáshoz viszonyítva van jelentőségük. Pirossal – a mérnökileg általában már nem elfogatható – 5 %-nál nagyobb hibaszázalékokat jelöltük. Ezt a jelölést a továbbiakban is megtartjuk. A két táblázat tanulmányozása után a következő lényeges észrevételek tehetők: Az átlagos elemméret csökkentése jó eszköz az eredmények pontosságának növelésében. Az átlagos elemméret csökkentése magasabb fokszámú végeselemek estén jelentősen hatékonyabb megoldás az eredmények megbízhatóságának növelésében. A másodlagosan számított mennyiségek (esetünkben a fajlagos nyomaték) általában sokkal pontatlanabbak, mint az elsődlegesen számítottak. Ez csak kellőképpen sűrű hálóval kompenzálható. A másodlagosan számított mennyiségek mérnökileg elegendő pontossága lineáris elemfajták használata esetén még viszonylag sűrű hálózattal sem 171


Előadásvázlat

garantálható, sőt még rendkívül sűrűnek tekinthető hálózat esetén is azok elfogadhatatlanul pontatlanok maradnak. Kvadratikus (általában magasabb fokszámú) elemek alkalmazása határozottan gazdaságosabb, azaz ugyanazon pontosság összehasonlíthatatlanul kevesebb erőforrással elérhető. (Lásd a számítási időre és az elemszámra vonatkozó adatokat!) Az átlagos elemméret csökkentése (azaz a háló egyenletes sűrítése) csak átlagos értelemben biztosítja a vizsgált eredmények pontosságának növelését (főleg a másodlagosan számítottaknál). A pontosság ingadozásának oka, hogy az függ a vizsgált pont közvetlen környezetében lévő végeselemek geometriai kialakításától, arányaitól, illetve aránytalanságaitól. Ez a hatás ritka háló esetén különösen mérvadó. Lásd még ezen elemzés végén lévő, ehhez kapcsolódó megjegyzéseket! Figyeljük meg, hogy kvadratikus (általában magasabb fokszámú) elem használata esetén létezik egyfajta „ideális” átlagos elemméret, melynél kisebb elemek alkalmazása már nem javítja a pontosságot, (e sűrűbb hálók hasztalanul emésztik föl a számítógép számítási kapacitását,) ugyanis a kapott eredmények ettől kezdve végig mérnökileg pontosak. (A mi konkrét példánkban ez az „ideális” átlagos elemméret valamivel 1,0 m fölött van.) E rendkívül pozitív tulajdonság lineáris elemek esetén sajnos nem figyelhető meg; a mind pontosabb eredmények érdekében kénytelenek vagyunk egyre sűrűbb és sűrűbb hálóval operálni. Végül észre kell vegyük, hogy a lineáris elemeket tartalmazó hálóból kapott minden eredmény jelentős mértékben a biztonság kárára vonatkozó közelítés. Másodjára változtassuk meg például a 0,5 m átlagos elemméretű lineáris elemeket tartalmazó hálót oly módon, hogy sűrítsük azt lokálisan az alábbi ábráknak megfelelően.

8.19. ábra. Lokális hálósűrítés 0,5 m átlagos elemméretről

Az adódó eredmények a következők: 172


Végeselemháló egyenletes lokálisan sűrített

Eltolódás [mm] Hiba [%] 13,707 7,86 14,295

3,91

Előadásvázlat

Fajlagos nyomaték [kNm/m] Hiba [%] 22,259 38,81 31,076

14,57

8.3 táblázat Számítási idő Elemszám [másodperc] [db] 8 1228 35

4250

Mivel az egyenletes háló lényegesen kevesebb elemet tartalmaz, mint a sűrített, ezért fölmerülhet a gyanú, hogy a pontosabb eredményt pusztán az elemszám növekedésnek tudhatjuk be. E gyanú megcáfolására vegyük ki a 8.1 táblázat azon sorát, amelyben az elemek száma éppen meghaladja a 4250-et (ezzel némileg előnyben részesítve az egyenletes hálót). Ez a 0,25 m átlagos elemmérethez tartozó sor. Vessük össze az ezen sorban lévő eredményeket is a lokálisan sűrített háló eredményeivel:

Végeselemháló egyenletes lokálisan sűrített


3,91


14,57

Számítási idő [másodperc] 38

8.4 táblázat Elemszám [db] 4507

35

4250

Tehát a 0,25 m átlagos elemméretű egyenletes háló szolgáltatta eredmények jelentősen rosszabbak, mint a 0,50 m átlagos elemméretről lokálisan sűrített hálóból kapottak (közel azonos erőforrásigény mellett). Hajtsunk végre ugyanilyen jellegű lokális sűrítést 2,0 m-es átlagos elemméretből kiindulva is a következő ábra szerint, de most kvadratikus elemeket használva.

8.20. ábra. Lokális hálósűrítés 2,0 m átlagos elemméretről

173


Előadásvázlat

Ekkor az alábbiakat kapjuk: Végeselemháló egyenletes lokálisan sűrített


0,06


Számítási idő [másodperc] <1

8.5 táblázat Elemszám [db] 139

21

1282

0,47

Az egyenletes háló most is határozottan kevesebb elemet tartalmaz, ezért ez esetben is gondolhatnánk arra, hogy a pontosabb eredmény csupán az elemszám növekedésnek köszönhető. E tévhit eloszlatása érdekében keressük ki a 8.2 táblázat azon sorát, amelyben az elemek száma éppen meghaladja az 1282-t. Ez a 0,35 m átlagos elemmérethez tartozó sor. Vessük össze az ebben a sorban lévő eredményeket is a lokálisan sűrített háló eredményeivel: 8.6 táblázat VégeselemEltolódás Fajlagos nyomaték Számítási idő Elemszám háló [másodperc] [db] [mm] Hiba [%] [kNm/m] Hiba [%] egyenletes 14,734 0,94 35,841 1,48 84 2358 lokálisan 14,886 0,06 36,206 0,47 21 1282 sűrített Mivel a 2358 elem jóval több, mint az 1282, ezért mondhatjuk, hogy még lényegesen nagyobb erőforrással sem tudunk az egyenletes hálóval olyan pontosságot elérni, mint a lokálisan sűrítettel. Foglaljuk össze, hogy mi olvasható ki az utóbbi két táblázatból: - Az indokolt helyeken végrehajtott lokális sűrítés sokkal jobb megoldás a pontosság növelésére, mint az egyenletes sűrítés. Lokális sűrítéssel ugyanolyan, vagy még nagyobb pontosságot el lehet érni, mint a globális sűrítéssel, de jóval kevesebb elemmel és számítási idővel. (Ez az észrevétel szinkronban van a támfalat ábrázoló példánál bemutatottakkal, azaz, hogy a megfelelő helyen végrehajtott lokális sűrítés igen hatékony.) - A kvadratikus elemek ez esetben is sokkal előnyösebbnek mutatkoznak, hiszen töredék erőforrás növeléssel mérnökileg pontos megoldást kaptunk, miközben lineáris elemtípus esetén a fajlagos nyomaték még nem elfogatható mértékű hibát tartalmaz a lokális sűrítés (és a jelentősen kisebb átlagos elemméret) dacára. - Azonos elemszámot föltételezve lineáris elemek esetén különösen fontos, majdhogynem alapkövetelmény az egyenetlen (azaz a szükséges helyeken sűrűbb) háló használata, az egyenletessel szemben. Harmadik vizsgálandó hatásként cseréljünk elemtípust. A 0,5 m átlagos elemméretű hálóban először alkalmazzunk 4 csomópontú lineáris négyszög (plusz minimális számú 3 csomópontú háromszög) lemezelemet, majd 9 csomópontú kvadratikus négyszög (plusz minimális számú 6 csomópontú háromszög) héjelemet. A megdöbbentő eredmények a következők:

174


Elemtípus lineáris kvadratikus

Eltolódás [mm] Hiba [%] 13,707 7,86 14,760 0,79

Fajlagos nyomaték [kNm/m] Hiba [%] 22,259 38,81 36,156 0,61

Előadásvázlat 8.7 táblázat Számítási idő Elemszám [másodperc] [db] 8 1228 20 1228

Az azonos elemszámot látva joggal fölmerülhet, hogy igazságtalanok vagyunk a lineáris elemekkel szemben, hiszen ugyanannyi ismeretlenszámot négyszer annyi lineáris elemmel érhetünk el, mint kvadratikussal. Derítsük hát ki, hogy kvadratikus elemek esetében a jelentősen nagyobb ismeretlenszám okozza-e a pontosság meghökkentő javulását, vagy az valóban a fokszám növekedésének a hatása. Ehhez vegyük ki a 8.1 táblázat azon sorát, amelyben az elemek száma éppen meghaladja a 4 ⋅1228 = 4912 -t. Ez a táblázat utolsó előtti sora, melyben az elemek száma 12447, – azaz jóval több, mint 4912 – és az átlagos elemméret 0,15 m. E sor eredményeit hasonlítsuk most össze a kvadratikus elemekhez tartozó (0,50 m átlagos elemméretű hálóhoz számított) eredményekkel: 8.8 táblázat Elemtípus Eltolódás Fajlagos nyomaték Számítási idő Elemszám [másodperc] [db] [mm] Hiba [%] [kNm/m] Hiba [%] lineáris 14,278 4,03 27,660 23,97 210 12447 kvadratikus 14,760 0,79 36,156 0,61 20 1228 Talán ez az összehasonlítás világít rá leginkább arra, hogy mennyivel megbízhatóbb eredményekre számíthatunk magasabb fokszámú (esetünkben kvadratikus) elemtípus használatakor. A hibaszázalékok magukért beszélnek. E különbség érdemben annyit jelent, hogy amíg a kvadratikus elemtípushoz tartozó eredmények mérnökileg „tökéletesnek” mondhatók, addig a lineárishoz kapottak használhatatlanok, nemcsak azonos elemszám, hanem közel azonos erőforrásigény (ismeretlenszám) esetén is. Sőt a lineáris elemek eme hiányossága még jelentősen nagyobb ismeretlenszámmal (sokszorta sűrűbb végeselem-hálóval) sem kompenzálható. Utolsó befolyásoló körülményként figyeljük meg az eredmények változását abból adódóan, hogy első esetben egy tisztán háromszög, míg másodszorra a lehető legtöbb négyszöget tartalmazó hálót választunk (a csomópontok számának és helyének megváltoztatása nélkül, kvadratikus elemeket alkalmazva az 1,0 m-es átlagos elemméretű hálóban). E két hálót az alábbi két ábra szemlélteti.

175


Előadásvázlat

8.21. ábra. Háromszög és négyszög típusú hálók

Az adódó eredmények az alábbiak: Elemalak háromszög négyszög

Eltolódás [mm] Hiba [%] 14,388 3,29 14,686 1,28

Fajlagos nyomaték [kNm/m] Hiba [%] 31,825 12,52 36,193 0,51

Számítási idő [másodperc] 7 3

8.9 táblázat Elemszám [db] 689 361

Ezen összehasonlítás jól mutatja – azt a gyakorlatból már jól ismert tapasztalatot –, miszerint a háromszög elemek alkalmazása határozottan rontja az eredmények pontosságát, különösképpen a másodlagosan számítottakét, ráadásul jelentősen nagyobb az erőforrásigénye. Egyes eredmények (pl. a pont- és az élszerű támaszok reakciói) akár 20-25 % hibát is tartalmazhatnak háromszög végeselemek használata esetén, miközben a négyszögekkel kapottak mérnökileg pontosak. Végül fontosnak érezzük összevetni a FEM-Design automatikusan szolgáltatott eredményeit is a „pontos” eredményekkel. Ha az átlagos elemméret megállapítását a FEM-Design-ba beépített algoritmusra, automatizmusra bízzuk, illetve engedélyezzük a szükséges helyeken az automatikus lokális sűrítést, akkor a program az egyenletes hálóhoz 0,66 m-re választja az átlagos elemméretet, majd az egy lépéses lokális sűrítés automatikus végrehajtása után a következő eredményeket szolgáltatja: 8.10 táblázat Eltolódás Fajlagos nyomaték Számítási idő Elemszám [másodperc] [db] [mm] Hiba [%] [kNm/m] Hiba [%] FEM-Design 0,78 36,206 0,47 29 1542 14,761 automatika

Ehhez az alábbi kiegyensúlyozott hálót állítja elő a FEM-Design automatikusan:

176


Előadásvázlat

8.22. ábra. FEM-Design automatika által generált háló

Ha tehát a FEM-Design automatikára bízzuk magunkat, akkor e példában mindkét vizsgált eredmény hibája 1 % alatt marad, azaz mérnöki értelemben pontos megoldáshoz jutunk, a körülményekhez képest csekély erőforrás (idő és memória) fölhasználásával. A végeselem-háló geometriai kialakítása – az eddigiekben bemutatottakon kívül – számos más tekintetben is lényegesen befolyásolhatja az eredmények megbízhatóságát, pontosságát. Ezeket terjedelmi okokból itt és most nincs módunk numerikusan bemutatni, helyette az alábbiakban egyszerűen összefoglaljuk e (szakmai gyakorlat által alátámasztott) fontosabb tudnivalókat. A numerikus szempontból korrekt végeselem-háló kialakításakor tehát még a továbbiakra is figyelemmel kell lenni: Óvakodni kell az aránytalan oldalú végeselemektől. Az olyan • végeselemek, melyeknél az oldalak aránya nagy (általában nagyobb, mint 5 lineáris, illetve nagyobb, mint 8 kvadratikus elemnél), rontják (főleg a származtatott) eredmények pontosságát. Kerülni kell az olyan végeselemeket is, melyeken belül a belső szögek • nagy eltéréseket mutatnak. Az ilyen végeselemek is negatívan befolyásolják az eredmények megbízhatóságát.

• Igen sokat rontanak az eredmények pontosságán a konkáv (vagy ahhoz közeli) négyszög végeselemek. Ezek mindenképpen kerülendők, akár a konkáv szögnél történő két háromszögre bontás árán is. Az egymás melletti végeselemek területei sem térhetnek el egymástól • nagy mértékben. Erre leginkább a lokális sűrítések végrehajtásakor kell tekintettel lenni; az elemek méretének változása fokozatos (és lehetőleg egyenletes) kell legyen.

177


Előadásvázlat

A végeselem háló kézi megrajzolásakor ezek mindegyikére legyünk tekintettel, de automatikus háló kialakításkor is legyünk óvatosak, és ellenőrizzük azt a fönti szempontok alapján. Szükség esetén akár kézzel módosítsuk a hálót. Végezetül fontos megemlítenünk, hogy a végeselem háló korrekt kialakítását nagyban megnehezíti a rosszul, átgondolatlanul fölvett statikai váz, függetlenül attól, hogy a háló kézi rajzolással vagy automatikusan lett elkészítve. Az ilyen statikai vázhoz rendszerint csak sok alaki hibát tartalmazó, vagy több helyen indokolatlanul sűrített háló készíthető (pl. a födémlemez szélét alátámasztó fal támasztengelyének nem a lemez szélén, hanem annál kissé beljebb történő fölvétele; az igen kicsiny födémáttörések indokolatlan figyelembevétele; stb.). Az emiatt keletkezett alaki hibákat, geometriai torzulásokat tartalmazó hálótól nem várhatunk megbízható eredményeket.

Optimális pontok kiválasztása A végeselemes számításokban az elmozdulásfüggvényeket folytonos függvények lineáris kombinációival közelítjük, így a kapott elmozdulásfüggvények is folytonosak lesznek. A feszültségfüggvényeket (igénybevétel-függvényeket) az elmozdulásfüggvények deriválásával számítjuk (C(0)-folytonos bázisfüggvények esetén az első, C(1)folytonosoknál az elsőnél magasabb fokú deriválással), ezért azok az elemhatárokon általában nem folytonosak, az elmozdulásokhoz képest a feszültségeket sokkal pontatlanabbul kapjuk meg. Ebben a pontban két darab egydimenziós feladat segítségével megmutatjuk, hogy a feszültségeket (igénybevételeket) ügyesen kiválasztott - úgynevezett optimális pontokban számítva és az ottani értékekből interpolálva (néha extrapolálva) függvényeiket sokkal kisebb hibával közelíthetjük, mint azt másféle pontok felhasználásával tehettük.

8.6. Példa Vizsgáljunk egy 3 m hosszú prizmatikus konzolt, amelyre 2 kN/m egyenletesen megoszló rúdtengely irányú teher hat (8.23a ábra). Az önsúly hatásától eltekintünk. A feladatot meghatározó peremérték-feladat: −EA

d 2u = 2, dx 2

u (0) = 0,

du (3) = 0 . dx

(8.15) A differenciálegyenlet pontos megoldása és az eltolódásfüggvényből számítható igénybevétel: u ( x) = (6 x − x 2 ) / EA, N ( x) = 6 − 2 x . (8.16) Oldjuk meg a feladatot a végeselem-módszerrel is, egy darab két- és egy darab egyméteres kétpontos rúdelemet használva (a levonható következtetések általánosabbá 178


Előadásvázlat

tétele érdekében választottunk különböző hosszúságú elemeket), vagyis egy elemen belül az elmozdulásfüggvényeket lineáris, az igénybevételeket konstans függvényekkel közelítve. A kapott csomóponti eltolódások értéke:

u1 = 0, u2 = 8 / EA, u3 = 9 / EA ,

(8.17)

illetve a két elem normálerő-függvénye: N I ( x ) = 4,

N II ( x ) = 1 .

(8.18)

8.23. ábra. A húzott konzol (a), a nagyított eltolódásfüggvények (b), a számított (c) és az interpolált (d) normálerő-függvények

A 8.23/b ábrán az eltolódásfüggvények nagyított értékét, a 8.23c ábrán pedig az igénybevétel-függvényeket ábrázoltuk, folytonos vonallal a pontos, szaggatottal a végeselemes technikával számítottakat. Megállapítható, hogy a csomópontokban az eltolódásokat pontosan megkaptuk, de az igénybevételeknél jelentős a hiba. 179


Előadásvázlat

Egy elemen belül az igénybevétel konstans, tehát értékét elegendő csak egy pontban meghatározni. Ezt célszerű a numerikus integrálásnál is használt Gauss-pontokban megtenni. Jelen esetben elegendő egy pontot alkalmazni, ez az egy pont az elem közepén helyezkedik el. Megjegyezzük, hogy ennél a példánál kissé erőltetett a Gauss-„pontok” elnevezés, de később majd érthetővé válik ennek jelentősége. Megállapítható, hogy ezekben a pontokban a pontos igénybevételeket kaptuk meg, és a két (egymás melletti) elemnél kapott értékre egy egyenest fektetve megkapjuk a pontos igénybevétel-függvényt (8.23.d ábra).

8.7. Példa Vizsgáljuk újból az előző konzolt, de most a megoszló teher a rúdtengelyre merőlegesen működjön (8.24a ábra). Az ehhez a változathoz tartozó peremérték-feladat: EI

d 4v = 2, dx 4

v ( 0) =

dv d 2v d 3v (0) = 2 (3) = 3 (3) = 0 . dx dx dx

(8.19)

Az egyenlet pontos megoldása és a belőle számítható igénybevételek: v ( x) = ( x 4 −12 x3 + 54 x 2 ) / (12 EI ) ,

M ( x) = x 2 − 6 x + 9, T ( x) = 6 − 2 x .

Megint egy két- és egy egyméteres kétpontos rúdelemet használunk, vagyis egy elemen belül az elmozdulásfüggvényeket harmadfokú, a hajlítónyomaték függvényét elsőfokú, a nyíróerőt konstans függvénnyel közelítjük. A kapott csomóponti elmozdulások értéke: v1 = 0, ϕ1 = 0, v2 = 136 / (12 EI ) , ϕ 2 = 104 / (12 EI ) , v3 = 243 / (12 EI ) , ϕ 3 = 108 / (12 EI ) ,

az igénybevétel-függvényeké: M I ( x ) = 25 / 3 − 4 x, TI ( x ) = 4, M II ( x ) = 17 / 6 − x, TI ( x ) = 1 .

A csomóponti elmozdulás-értékeket megint pontosan kaptuk meg. A 9.24b és c ábrákon az igénybevétel-függvényeket ábrázoltuk, folytonos vonallal a pontos, szaggatottal a véges elemekkel számítottakat. Egy elemen belül az M ábra lineáris, tehát értékét elegendő két pontban meghatározni. A Gauss-pontok helye: x (1) = 1− 3, x (2) = 1 + 3, x (3) = 2,5 − 3 / 2, x (4) = 2,5 + 3 / 2.

180


Előadásvázlat

Ezekben a pontokban a nyomatékok értéke megint pontos, így a két (szomszédos) elem 4 pontjára fektethető harmadfokú görbe most is pontosan megadja a (másodfokú) nyomatékfüggvényt (9.24d ábra). A nyíróerő ábránál a két pontra fektethető egyenes megint a pontos ábrát adja (9.24e ábra).

8.24. ábra. A hajlított konzol (a), a valódi és a számított nyíróerő- (b) és hajlítónyomatékfüggvények (c) és az interpolált hajlítónyomaték- (d) és nyíróerő-függvények (e)

Milyen következtetéseket vonhatunk le az előző két példából, és mivel támaszthatjuk azokat alá? Azt tapasztaltuk, hogy érdemes az igénybevételi függvényeket a Gausspontokban meghatározni, és ezután két szomszédos elemnél kapott függvényértékre 181


Előadásvázlat

Lagrange-polinomot fektetni. A vizsgált példákban pontos igénybevételi függvények nem voltak túlzottan magas fokúak, ezért a fenti módszerrel megkaptuk a pontos függvényeket. Magasabb fokú függvényeknél sajnos ezt nem mindig várhatjuk, általános megjegyzésként csak az mondható el, hogy ha a végeselemes technikában az igénybevételi függvény (p − 1)-edfokú, és a valódi igénybevételi függvény p-nél nem magasabb fokú, akkor a p darabszámú Gauss-pontban a pontos értéket kapjuk, és 2p − 1 pontos értékre illesztve a Lagrange–polinomok megadják a pontos igénybevételi függvényt is. A matematikai indoklást az úgynevezett Herrmann-tétel alapján látjuk be (lásd részletesebben az [5] alatti munkát). Herrmann tétele47: A T 1 T (8.20) Π (u ) = ∫ ( L u ) D L u d Ω + ∫ u p d Ω 2Ω Ω potenciális energia minimalizálása egyenértékű egy másik funkcionál, nevezetesen a T 1 (8.21) Π ∗(u ) = ∫ ( L(u − u 0 )) D L (u − u 0 ) d Ω 2Ω minimumának megkeresésével, ahol u 0 a (8.20) funkcionál minimumhelye. A tétel bizonyítása:

Legyen a feladat vizsgálatánál használt origó az u 0 pontban: u = u 0 + uˆ , így a (8.20) funkcionál új alakja: T 1 T Π (uˆ ) = ∫ ( L (u 0 + uˆ )) D L (u 0 + uˆ ) d Ω+ ∫ (u 0 + uˆ ) p d Ω . 2Ω Ω

(9.22) (8.23)

Ennek első variációja az u 0 pontban (kihasználva D szimmetriáját): T δΠ (δu ) = ∫ ( L δu ) D u 0 d Ω + ∫ δu p d Ω . T

Ω

Ω

(8.24) Az u 0 pontban az első variáció bármely δu esetén zérus, tehát δu =uˆ esetén is: T δΠ (uˆ ) = ∫ ( L uˆ ) D u 0 d Ω + ∫ uˆ p d Ω= 0 . T

Ω

(8.25)

Ω

Vonjuk ki ezt a zérus értékű elemet a (8.23) funkcionálból (vegyük ismét figyelembe D szimmetrikus voltát): T T 1 1 T (8.26) Π (uˆ ) = ∫ ( Luˆ ) D Luˆ d Ω + ∫ ( L u 0 ) D L u 0 ⋅ d Ω+ ∫ u 0 p d Ω . 2Ω 2Ω Ω Ennek a funkcionálnak az első tagja éppen a (8.21) funkcionál, a másik két tag pedig nem függ uˆ -tól, tehát 47

Megjegyezzük, hogy a Herrmann-tétel segítségével igazolható, hogy az első előadásban bevezetett energetikai hibaelv helyes. 182


Előadásvázlat

Π = Π* + állandó , vagyis minimumfeltétele azonos a Π -re felírt minimumfeltétellel.

q. e. d. 1D-ss feladatoknál a Herrmann Herrmann-tétel segítségével belátható, hogy -

ha a pontos megoldásból Lu 0 legfeljebb p-ed ed rendű, akkor a (8.21)-ben (8.21) az integrálandó landó ( L(u − u 0 )) D L(u − u 0 ) kifejezés legfeljebb 2p-edrendű, T

-

a (8.21)-nek nek ott lehet minimuma, ahol a gradiens nulla (ehhez az előző kifejezés gradiensének integrálja kell, hogy zérus legyen),

(

)

a grad ( L(u − u 0 ) ) D L (u − u 0 ) legfeljebb (2p-1)-edrendű, edrendű, T

egy legfeljebb (2p − 1)-edrendű edrendű polinom integrálját pontosan pon megkapjuk a p számú Gauss Gauss-pontban pontban meghatározott függvényértékek súlyozott összegeként, ahhoz, hogy az integrál értéke zérus legyen, minden Gauss Gauss-pontban zérusnak kell a függvényértéknek lennie, azaz a D L(u − u 0 ) igénybevételi hibáknak

minden Gauss Gauss-pontban zérusnak kell lennie.

8.25 8.25.. ábra. A területegyenlőségek illusztrálása

183


Előadásvázlat

Összefoglalva a fentieket, megállapíthatjuk, hogy az elmozdulásfüggvények általában a csomópontokban a legpontosabbak, az igénybevételek pedig általában az elem belsejében lévő speciális pontokban. Ezek felhasználásával az igénybevételek kisebb hibával közelíthetők, mint azt a deriválással kapható függvények teszik. Ezt a hatást a szuperkonvergenciának nevezik. Az 1D-s esetekben a mechanikában szuperkonvergenciát biztosító pontok (ezeket neveztük korábban optimális pontoknak) a Gauss-Legendre numerikus integrálási kvadratúra pontjai lesznek. A 8.25. ábra p = 1, 2, 3 esetre azt illusztrálja, hogy a Gauss-pontokban megadott függvényértékeket felvevő legfeljebb (2p-1)-edfokú polinom alatti területek egyenlők. Megjegyezzük, hogy az ábra kissé félrevezető, mert csak (p+1)-edfokú polinomra látszik igazolni ezt a területegyezést. Téglalap- és téglatest alakú elemnél az optimális pontokat a minden koordinátájukban optimális raszterpontok adják. Megjegyezzük, hogy a részletes elemzések kimutatták, hogy háromszög alakú elemeknél nem adhatók meg pontosan a szuperkonvergenciát biztosító pontok, csak azok közelítései. Zienkiewicz [ 2] alatti munkájában ezzel kapcsolatban azt tanácsolja, hogy legegyszerűbb módszerként használjuk továbbra is a numerikus integrálási pontokat.

8.8. Példa A 2D-s eset bemutatására a 8.26. ábrán az egyenletesen terhelt konzolt 4 darab 8-pontos tárcsaelemmel közelítettük. A tartó feletti ábrarészen a szaggatott vonal az egyes keresztmetszetekben az átlagos nyírófeszültséget mutatja. A tartón a fekete háromszögek mutatják az optimális pontokat. Ha csak itt számítjuk a feszültségeket és azokat átlagoljuk, akkor az üres háromszögekkel jelölt pontokat kapjuk a feszültségábrán. A háromszögekkel jelölt pontokat összekötve megkapjuk az átlagos nyírófeszültség pontos ábráját. Ezekből a csomóponti értékek (négyszögek) is számíthatók.

8.26. ábra: A konzoltartó átlagos nyírófeszültségei

184


Előadásvázlat

Interpolálás a szuperkonvergens pontokból a csomópontokba Kétdimenziós feladatnál már nem triviális a szomszédosnak tekintett elemek halmaza, és az sem, hogy a közelítő polinomnak hány tagja legyen, illetve ehhez melyeket vegyük a Pascal-háromszögből. Szomszédos elemeknek eknek azokat tekintjük, amelyeknek közös egy sarokpontjuk. Ilyen elemcsoportokat tüntettünk fel a 8.27. ábrán. Egy Egy-egy egy csoportnál háromszögekkel jeleztük 48 azokat a pontokat , amelyekben kiszámítottuk a feszültséget (négyszögelemeknél a szuperkonvergenciát ergenciát b biztosító integrálási,, háromszögeknél az optimális értékeket szolgáltató helyeket) és kitöltött körökkel azokat a csomópontokat, amelyekben az előbbi értékeket felhasználva kívánjuk a feszültségeket közelíteni.

8.27.. ábra. Elemcsoportok Elemcsoportok a csomóponti feszültségértékek interpolálásához.

Ha valamelyik elem a vizsgált tartomány határán van, akkor a határon fekvő csomópontokban is ennek az elemcsoportnak az adataiból számítjuk a feszültségeket. Ha valamelyik csomópontban több elemcsoportból is meghatározunk feszültségértékeket, akkor azok átlagát fogadjuk el. Megjegyezzük, hogy megtehetjük például azt is, hogy a meghatározandó függvénnyel csak azokban a csomópontokban számítjuk a feszültséget, amelyek egyetlen más elem elemsarokponthoz sincsenek ek közelebb, így csak azokban a csomópontokban kellene átlagolnunk, amelyek ugyanolyan távolságra vannak két sarokponthoz. 48

Az egyik tárcsacsoportnál ál egyszerre szerepel 12, illetve 16 pont, az előbbi a magasabb pontszámúnak serendipity-típusú típusú átalakításából adódik.

185


Előadásvázlat

Jelöljük n-nel az elemcsoport szuperkonvergens pontjainak számát. (A 8.27. ábrán n értéke rendre: 4, 16, 16, 36, 6, 18.) Az i-edik szuperkonvergens pontban a feszültséget jelölje σˆ i . A feszültségfüggvényt közelítő polinom elemeit úgy kell a Pascalháromszögből kiválasztani, hogy - a tagok száma (m) ne legyen nagyobb n-nél, - az x, y változókban szimmetrikus legyen, és - az egyes változókban lehetőleg minél alacsonyabb fokú tagok szerepeljenek. A feszültségfüggvényeket a bázisfüggvények előállításához is használt módszerrel egyező módon: σ ( x, y ) = xT a

alakban keressük, ahol x =[1 x y ... ] , a =[ a1 a2 .... am ] . Akkor tekintjük jónak egy ilyen feszültségfüggvény közelítését, ha annak szuperkonvergens (illetve optimális) pontokban kiszámított értéke csak kicsit tér el az ott számított feszültségértékektől. Ennek eléréséhez az eltérések négyzetösszegét minimalizáljuk49: T

T

n

2 T Π (a ) = ∑  x k a −σˆ k  = min!, ahol x k = x( xk , yk ) .   k =1

E függvény gradiense kell, hogy zérus legyen: n dΠ T = ∑ 2 x k  x k a −σˆ k  = 0 .   da k =1 Innen az ismeretlen a vektor számítható: n

n

a = A b , ahol A= ∑ x k x k , b =∑ x k σˆ k . -1

k =1

T

k =1

Az előzőekben azt mutattuk meg, hogy a szuperkonvergens (illetve optimális) pontokban számított feszültségértékekből hogyan extrapolálható a csomópontokban a feszültség értéke. A kutatók úgy is próbálták ezt az eljárást pontosítani, hogy az interpolálás közben felhasználták az egyensúlyi differenciálegyenletnek a vizsgált elemre (vagy elemcsoportra) érvényes részét. Felhasznált irodalom: 1./ Akin, J.E. : Finite Elements for Analysis and Design, Academic Press, 1995. 2./ Zienkiwicz, O.C. – Taylor, R.L. : The Finite Element Method, Vol. 1: The Basis, Butterworth – Heinemann, 2000. 3./ Stein, E. – de Borst, R. – Hughes, T. J. R. : Encyclopedia of Computational Mechanics, Vol. 1: The Fundamentals, John-Wiley, 2004. 4./ Páczelt I. : Végeselem-módszer a mérnöki gyakorlatban, I. kötet, Miskolci Egyetemi Kiadó, 1999. 5./ Herrmann, L. R. : Interpretation of finite element procedure as stress error minimization procedure, ASCE, Vol. 98, pp. 1330-1336, 1972. 49

A modell matematikai alapjairól lásd részletesebben a legkisebb négyzetek módszeréről szóló matematikai leírásokat. 186


Előadásvázlat

9. előadás: Nyírási és térfogati záródás. Szelektív integrálási technikák A klasszikus gerendaelmélet feltételezi, hogy a keresztmetszetek síkja a deformáció után is merőleges marad a (görbült) rúdtengelyre, pontosabban annak pontbeli érintőjére. A Timoshenko-modell figyelembe veszi a nyírási deformáció hatását is, ezért a rúdtengely pontjainak a tengelyre merőleges eltolódását és a keresztmetszetek elfordulását egymástól függetlennek tekinti50. Érdemes alaposabban megvizsgálnunk, hogy egy hosszú, karcsú rúdnál (amelynél az elmozdulások létrejöttében nagyon kicsi a nyírási feszültségek hatása) jó eredményt kapunk-e a Timoshenko-modellel? Ennek a kérdésnek a tisztázására két példát mutatunk be: először azt vizsgáljuk, hogy a karcsúságot növelve hogyan változik a számítás hibája, majd rögzített karcsúság esetén az elemszám növelésének hatását szemléltetjük.

9.1. Példa Számítsuk ki az ábrán látható konzol jobb oldali végén a koncentrált erő hatására keletkező elmozdulásokat lineáris bázisfüggvényű Timoshenko-modell segítségével. A rúd keresztmetszete téglalap alakú.

9.1. ábra: Koncentrált erővel terhelt konzol

A feladat megoldásához az egyszerűség kedvéért használjunk egyetlen kétpontos elemet, így a bal oldali csomópontnál w1 és Θ1 (az eltolódás és a csomóponti elfordulás), míg a jobb oldalon w2 és Θ2 a keresett ismeretlenek. Természetesen a befogás miatt az első csomópontnál szereplő két paraméter értéke most zérus, így mindössze két ismeretlenes lesz a feladat. Az elem merevségi mátrixa a Timoshenko-modellnél a hajlítási és a nyírási hatások összegeként számítható:

50

Lásd a további elméleti részleteket a „Mechanika MSc” tárgyban. 187


Előadásvázlat

 1 l/2 −1 l/2  0 0 0 0      2 2 EI 0 1 0 −1 GA l / 2 l / 3 −l / 2 l / 6  + . K = K hajlítás + K nyírás = 1 −l / 2 l 0 0 0 0  l  −1 −l / 2    0 −1 0 1  l / 2 l 2 / 6 −l / 2 l 2 / 3    A most vizsgált feladatnál a peremfeltételek miatt csak a jobb alsó blokkokat kell figyelembe venni, így a szerkezet (globális) merevségi mátrixa: −l / 2 EI 0 0 GA  1 .  + K glob. = K hajlítás + K nyírás = l 0 1 l −l / 2 l 2 / 3  A teljes egyenletrendszer:  w  F  K glob.  2  =   .     Θ2   0  Az inerciát és a keresztmetszeti felületet a megadott keresztmetszeti jellemzők függvényében írhatjuk fel, a keresztmetszet területénél az egyszerűség kedvéért eltekintünk az alaki tényező módosító hatásától: bh 3 I= , A= b h . 12 Ugyancsak az egyszerűbb számítás kedvéért vegyük fel a Poisson-tényezőt nullára, így a nyírási rugalmassági modulus E/2-vel lesz egyenlő. Mindezek figyelembevételével az egyenletrendszer megoldása:  2h 2 + 4l 2  2 Fl  6l 2  2 F w2 =  2 2  , Θ2 =  2 2  .  2h + l  Ebh  2h + l  Ebh Az elméletileg pontos értékek: Fl 3 Fl 4 Fl 3 2 Fl Fl 2 6 Fl 2 pontos , . w2pontos = + = + Θ = = 2 3 EI GA Ebh3 Ebh 2 EI Ebh 3 A közelítő és a pontos érték hányadosa mindkét esetben: w2 Θ2 2h 2 = = . w2pontos Θ2pontos l 2 + 2h 2 Vizsgáljuk meg a két szélső esetet: amikor l << h illetve ennek ellentettjét, amikor l >> h . Az első esetnél (rövid, magas konzol) határátmenetben helyes eredményeket kapunk, hiszen 2h 2 lim 2 = 1. l / h→ 0 l + 2 h 2 A második esetnél (hosszú, alacsony konzol) határátmenetben helytelenek az eredmények: 2h 2 lim 2 = 0. h / l →0 l + 2 h 2 A virtuális erők tételének segítségével könnyen ellenőrizhető, hogy ez utóbbi esetben a konzolvég eltolódása a koncentrált erővel terhelt konzol nyírási hatásból adódó eltolódásának a négyszerese.

188


Előadásvázlat

Ebben a példában azt láttuk, hogy ha a nyírási alakváltozásokból sokkal kisebb elmozdulások adódnak, mint a hajlításból, akkor a felhasznált numerikus modell nem az elméletileg helyes eredményt, hanem annál egy jóval kisebb értéket szolgáltat; a modell a valóságos szerkezetnél lényegesen merevebben viselkedik. A véges elemes számításokban ezt a jelenséget hívják záródásnak.

9.2. Példa Vizsgáljuk meg egy két végén befogott, téglalap keresztmetszetű gerendát kicsit részletesebben. Legyen most a rugalmassági modulus E=10000, ν = 0 , a rúd hosszát jelöljük l-lel, a keresztmetszet magassága legyen t, a külső megoszló teher pedig q ( x) = 100 t 3 (1 − cos( x / 20)) . Megjegyezzük, hogy a t3 szorzó miatt az eredményt nem befolyásolja a keresztmetszet mérete, továbbá a terhelés trigonometrikus alakja miatt a pontos lehajlásfüggvény polinommal nem írható le. A számításhoz n darab azonos hosszúságú elemet használunk.

Oldjuk meg először a feladatot egy úgynevezett „magas” („vastag”) rúd esetére (l/t = 10) a klasszikus Bernoulli-Navier-elméletet követő (köbös bázisfüggvényű) végeselemes modellel. A (9.2) ábra a befogás keresztmetszetében az igénybevételek, illetve az alakváltozási energia relatív hibáját ábrázolja. Érdemes megjegyezni, hogy a nyíróerő első-, a nyomaték másod-, az energia pedig negyedrendű konvergenciát mutat a kettős logaritmikus léptéket használó ábrán. Relatív hiba

189


Előadásvázlat

9.2. ábra: Relatív hibák a klasszikus elmélettel. A vékonyabb vonalak a jelölt hatványú függvény meredekségét mutatják.

Végezzük el most a számítást (lineáris bázisfüggvényű) Timoshenko-féle végeselemes modellel. A konvergencia-vizsgálat eredményét a 9.3. ábra mutatja. A konvergencia most is biztosított (legalábbis megfelelő elemsűrűség esetén), de megjegyezzük, hogy az abszolút hiba viszonylag nagy. Relatív hiba

Eltol. Elford.

9.3. ábra: Relatív hibák a Timoshenko-modellel (rövid konzol)

Vizsgáljunk meg most egy „karcsú” gerendát (l/t = 100) a lineáris Timoshenkomodellel (9.4. ábra). A konvergencia-sebesség radikálisan csökkent, sőt, éppen abban a tartományban, ahol az előbb a hálózati elemszám gyakorlatilag megfelelőnek bizonyult, kifejezetten rossz eredményeket kaptunk.

190


Előadásvázlat

Relatív hiba

Eltol. Elford.

9.4. ábra: Relatív hibák a Timoshenko-modellel (hosszú konzol)

Bár némileg eltérő hangsúllyal, ez a feladat is az előző feladathoz hasonló numerikus problémát, a záródás jelenségét illusztrálta. Mielőtt a záródás jelenségének részletes elemzésére rátérnénk, röviden utalunk a probléma mérnöki szempontból legfontosabb kérdésére: hogyan szüntethető meg az elmozdulások értékének ilyen jellegű rossz becslése? A válasz röviden51 a következő: csökkenteni kell a modellben a nyírási merevség arányát. Az egyik legegyszerűbb és igen hatékony módszer az úgynevezett szelektív integrálás, vagyis a hajlítási és nyírási hatások különböző szinten történő figyelembevétele. Így például, ha a merevségi mátrix számításánál az EIhajl.-t (hajlítási merevséget) tartalmazó tagok integrálását 3 pontos (2D illetve 3D feladatoknál 3× 3 illetve 3× 3× 3) kvadratúrával számoljuk, akkor a GA-t (nyírási merevséget) tartalmazókat csak 2 pontos (2× 2, 2× 2× 2) módon vesszük figyelembe.

51

A későbbiekben még visszatérünk a részletes bizonyításra. 191


Előadásvázlat

Relatív hiba

Relatív hiba

Eltol. Elford.

9.5. ábra: Relatív hibák a Timoshenko-modellel szelektív integrálással (felül a rövid, alul a hosszú konzol eredményei)

Érdemes összehasonlítani a példa korábbi eredményeit a (9.5) ábra rajzaival. Itt a lineáris Timoshenko-elem merevségi mátrixát úgy módosítottuk, hogy a nyírási hatást csak egypontos numerikus integrálással vettük figyelembe. Már ez a lépés megszüntette a záródási hajlamot a modellnél.

A záródás fogalma A záródást a végeselemes technikában a következő módon definiálják:

192


Előadásvázlat

A záródás a végeselemes megoldás konvergencia-sebességének csökkenése, illetve egyes esetekben rossz értékhez történő konvergálása. Egy adott feladatnál mindig a konvergencia-sebességet jellemző, úgynevezett kritikus paraméter függvényében szokás leírni a hatását.

A záródás magyarázata A záródást háromféle módon szokás magyarázni: A./ Mechanikai magyarázat

Mechanikai szempontból az ún. „parazita” feszültségek hatásával szokás magyarázni a záródást. Parazitának olyan feszültségeket szokás nevezni, amelyek egy feladat pontos megoldásában nem jelennek meg. Ilyenek például egy lemez tiszta hajlításánál a nyíró-, vagy a héjak hajlításánál létrejövő membránfeszültségek. Az ezekből a feszültségekből származó (ugyancsak „parazita”) belső energia olyan additív merevséget kölcsönöz a modellnek, amely bizonyos esetekben akár dominánssá is válhat a teljes szerkezeti merevséghez képest. A parazita feszültségek jelenlétét általában egyes fizikai paraméterek nem mindig megfelelő interpolációjának tulajdonítják. Például ha a fizikai egyenletek alapján az alakváltozásokból számítható egyes feszültségkomponensek közelítő függvényeinek rendje eggyel magasabb, mint az energiaértelemben társítandó alakváltozásoké, mesterségesen előírt feszültségek keletkezhetnek. Amikor egy lineáris Timoshenko-féle végeselemnél az eltolódásokat és az elfordulásokat ugyanazzal a lineáris bázisfüggvénnyel interpoláljuk, akkor a Bernoulli-Navier modellhez való közelítés esetén (amikor a γ xy nyírási szögtorzulás zérus) a mechanikai feltétel csak merevtest-szerű elfordulással illetve elmozdulással teljesíthető ( ϕ z -t lineárisan közelítjük, így konstans w′ -vel ezt a feltételt nem lehet teljesíteni)52: dw γ xy = 0 = + ϕ z ⇒ w′ =−ϕ z . (9.1) dx Ha ezt a feltételt nem tudjuk biztosítani, akkor parazita nyírófeszültségek keletkeznek a modellben.

52

Ha egy alakváltozást két elmozdulásfüggvény különböző rendű deriváltjaiból határozzuk meg, akkor az elmozdulásfüggvényeket úgy kellene interpolálni, hogy a megfelelő számú deriválás után a két tag fokszáma megegyezzék. Az itt említett példánál a w eltolódást eggyel magasabb fokú interpolációval kellene közelíteni, mint az elfordulást. 193


Előadásvázlat

B./ Numerikus magyarázat

Az egyes feladattípusoknál az u elmozdulásfüggvény nsz f elemszáma azt mutatja, hogy mekkora egy pontban az elmozdulás szabadságfoka. A kritikus paraméter bizonyos tartományában ezek az elmozdulások nem függetlenek egymástól, hanem n felt darab feltételt – előírást – kell teljesíteniük (ilyen előírás például a Kirchhoff-Love-feltétel a lemezeknél vagy az összenyomhatatlansági feltétel 3D feladatoknál). A végeselemes közelítéskor a teljes szerkezetnek is van szabadságfoka (jelöljük ezt N szf -fel), és azoknak is kell bizonyos számú ( N felt darab) feltételt teljesíteniük. T. J. Hughes szerint az a jó végeselemes modell, amelyiknél - az elemszám sűrítésével – az általa „korlátozási” paraméternek nevezett r változók nszf N szf rpont = , rszerk = . (9.2) n felt N felt értéke megegyezik. Amennyiben rszerk < rpont , akkor a szerkezet záródásra hajlamos, az ellenkező eset ( rszerk > rpont ) pedig a szerkezet túlzottan „lágy”

voltára utal (megjegyezzük, hogy az rpont változót optimális értéknek is szokás nevezni). Az rszerk paraméter meghatározásához 1, 2, ill. 3D-s feladat esetén elegendő egy szakasz, egy négyzet, illetve egy kocka egyenletes felosztásának sűrítésével kiszámolni a határértéket, hiszen ilyen tartományok uniójával lefedhető az egész vizsgált tartomány. Az eljárás illusztrálására vizsgáljunk két dimenzióban egy Nelem = n× n elemből felépített négyszöget. Használjunk például egyszerű bilineáris elemeket, ebben az esetben a szerkezeten a csomópontok száma N cs p = (n + 1)2 . Egy-egy csomópontban a szabadságfok nsz f , így N sz f = nsz f N cs p .

(9.3)

Jelölje nint az egy elemnél használt integrálási pontok számát. A 0,5-ös Poissontényezőből adódó összenyomhatatlanságot csak ezekben a pontokban vehetjük figyelembe53. Ennél a példánál a feltételek száma: (9.4) N felt = n felt nint N elem . Így határátmenetben a szerkezet korlátozási paramétere 2 N szf nszf N csp rpont (n + 1) rpont (9.5) lim . rszerk = lim = lim = = n→∞ N n→∞ n nint n→∞ n 2 nint felt felt nint N elem

53

Ha analitikusan integrálunk, akkor a pontos integráláshoz szükséges integrálási pontok számát használjuk. 194


Előadásvázlat

A képletből látszik, hogy 1-nél több integrálási pontot alkalmazva Hughes szerint a modell záródásra hajlamos. Ha ugyanezt a hálót 3 csomópontú lineáris háromszögekből alakítottuk volna ki a négyszögeket megfelezve, akkor csak az elemek száma duplázódna, tehát 2 nszf N csp rpont (n + 1) rpont , (9.6) rszerk = lim = lim = n→∞ n nint n→∞ 2 n 2 2nint felt nint N elem vagyis a modell mindenképpen záródásra hajlamos. Bi-kvadratikus négyszögelemnél (9 csomópont), illetve kvadratikus (6 csomópontú) háromszögnél: 2 2 rpont rpont (2n +1) 4rpont (2n +1) 2rpont , . (9.7) rszerk = lim = r = lim = szerk nint n→∞ n 2 nint nint n→∞ 2n 2 nint Megállapítható, hogy ezekben ez esetekben már választható úgy az integrálási pontok száma, hogy a modell ne legyen záródásra veszélyes.

Fel kell hívnunk azonban a figyelmet arra, hogy az integrálási pontok száma nem csökkenthető tetszőleges mértékben, ugyanis úgynevezett. „mechanizmusok” jöhetnek létre a modellben. A mechanizmusok az elemek olyan deformációi, amelyeknél az alakváltozások értéke minden integrálási pontban éppen zérus, és így a deformáció hatását nem tudjuk figyelembe venni az alakváltozási energia számításánál. Irons adott képletet a létrejöhető mechanizmusok számának meghatározására (lásd korábban a hetedik hét előadását): M = nszf N csp − R − rang ( D ) nint , (9.8) ahol R az elem független merevtestszerű elmozdulásainak száma. Az nint értékét úgy kell megválasztani, hogy M ≤ 0 legyen. Például egy Reissner-Mindlin-féle lemezmodellhez használt bi-kvadratikus négyszögelemnél (9.9) M = 2 ⋅ 9 − 3 − 5n int , tehát a 2× 2 integrálási pont elegendő a mechanizmus elkerülésére, és a záródási veszély is elkerülhető. Ellenben, ha tárcsafeladatot vizsgálunk ugyanezekkel a bázisfüggvényekkel, akkor (9.10) M = 2 ⋅ 9 − 3 − 3nint , legalább 6 integrálási pont kell a mechanizmus elkerüléséhez, az pedig a záródásra veszélyes modellt eredményez, ha a Poisson-tényező 0,5 közelében van! A záródást illusztráló későbbi példáknál különböző elemekre és integrálási változatokra megadjuk r értékét. C./ Matematikai magyarázat

A vonatkozó matematikai irodalom ritkán használja a „záródás” szót, helyette előnyben részesíti a „rosszul kondicionált” kifejezést.

195


Előadásvázlat

A végeselemes megoldás matematikai egyenletrendszerének rosszul kondicionált jellege természetesen mechanikai okokra vezethető vissza. Például a Timoshenkoféle gerendamodellnél a hajlítási merevséget jellemző inercia a vastagság köbétől, míg a nyírási merevség t első hatványától függ. A kettő közötti két nagyságrendnyi eltérés jelentősen befolyásolja az egyenletrendszer együtthatómátrixának felépítését, és végül rosszul kondicionáltsághoz vezet akkor, amikor a vastagság csökken. Matematikai értelemben természetesen hasonló helyzetet okoz homogén izotrop sík alakváltozású 2D vagy 3D feladatoknál a Poisson-tényező 0,5-hez való közelítése.

A záródás jellegzetes típusai A./ Keresztirányú nyírási záródás

Ez a záródási forma azoknál a gerenda, lemez és héj végeselemes modelleknél fordul elő, ahol a nyírási alakváltozások hatását is figyelembe veszik a számításoknál (Timoshenko-féle gerendamodell, Reissner-Mindlin-féle lemezés héjmodell). Kritikus paraméternek ezeknél a szerkezeteknél egy jellemző hosszméretnek (gerendahossz, lemezszélesség) a vastagsághoz képesti arányát tekintjük. A gyakorlatban ez a záródásfajta fordul elő a legsűrűbben, a számítási eredményekre gyakorolt torzító hatása is a legveszélyesebb. Gerendamodellekre már a bevezetésben láttunk záródási példát. Megjegyezzük, hogy a záródási hatás (szelektív integrálás nélkül) akkor is fennáll, ha az ottani példákat magasabb fokú bázisfüggvényekkel vizsgáljuk! Lemezmodellekre is bemutatunk néhány konvergencia-vizsgálatot. A feladat egy négyzet alakú, befogott, egyenletesen megoszló teherrel terhelt lemez vizsgálata. Ennél – klasszikus lemezelmélet alkalmazása esetén – ismert a középső pont lehajlásának pontos értéke54: qL4 Et 3 , D= . (9.11) wc = 0,126 D 12 (1−ν 2 ) Vizsgáljuk meg 5 különböző elemtípust alkalmazva, hogy a Reissner-Mindlinelmélettel kapott eredmény tart-e ehhez az értékhez, ha az L/t arány növelésével egyre vékonyabb lemezt vizsgálunk. Az optimális korlátozási paraméter: nszf 3 = . (9.12) rpont = n felt 2 Jelen esetben a három elmozdulás: v, ϕ x , ϕ y ; a két feltétel pedig γ x z = γ y z = 0 . Mindegyik elemfajtánál 8× 8-as elemfelosztást alkalmaztunk a numerikus modellezésnél. A következő oldalon látható 9.6 ábrán a vízszintes tengelyeken az oldalhosszúság és a vastagság hányadosát tüntettük fel logaritmikus léptékben, a 54

A 9.6 ábrán ezt mutatja a vízszintes piros vonal. 196


Előadásvázlat

függőleges koordinátatengelyen a középső pont függőleges eltolódását normáltuk a lemezmerevséggel, a terheléssel és a lemezmérettel. Elemtípusonként 3 különböző numerikus integrálási változatot alkalmaztak. A (T)vel jelölt görbe a „teljes” integrálást mutatja, itt annyi integrálási pontot vettek fel, hogy a numerikus integrálás ne jelentsen újabb hibát55. A redukált integrálásnál (R) mindkét irányban 1-gyel kevesebb pontot alkalmaztak, a szelektív integrálásnál (S) a hajlítási tagokban a teljes, a nyírási tagokban a redukált integrálásnak megfelelő számú integrálási pontot használtak. A bal felső ábra mutatja a bilineáris bázisfüggvény használatát (k = 2). A (9.5) képlet szerint (T) a záródás miatt nagyon rossz eredményt szolgáltat a vékony lemezeknél, az (S) nem záródik (a viszonylag kevés elem miatt természetesen a pontos megoldástól néhány százalékra eltérő értékhez konvergál). Bal oldalon középen bi-kvadratikus bázisfüggvényt használtak (k = 3). A (9.7a) képlet szerint (F) záródik, a másik kettő nem. A magasabb fokú függvény miatt a közelítésben kisebb a hiba. Bal oldalon alul mindkét irányban harmadfokú a bázisfüggvény (k = 4). A korlátozási paraméter: 2 rpont (3n +1) 9rpont . (9.13) rszerk = = lim nint n→∞ n 2 nint Hughes feltétele az (F)-nél alkalmazott 4×4 =16 integrálási pont esetén nem teljesül, ennek ellenére ebben az esetben mindhárom görbe azonosan konvergál.

55

k pont alkalmazásával egy egyváltozós 2k-1-edfokú polinom pontosan integrálható. Ha a bázisfüggvény valamelyik irányban n-edfokú, akkor az integrálandó függvény 2n-edfokú, hiszen az L operátorban van konstans elem is, és a B mátrix a transzponáltjával is szorzódik.

197


Előadásvázlat

9.6. ábra: A lemez közepének lehajlása a kritikus paraméter függvényében (T teljes, R – redukált, S – szelektív integrálással) 5 elemtípus esetén

A (9.6) ábra jobb oldalán a serendipity elemekkel kapott eredmények vannak. A felsőnél k = 3, az alsónál k = 4. A korlátozási paraméterek: 2 2 rpont rpont (2n +1) − n2 3rpont (3n +1) − 4n2 5rpont , és rszerk = rszerk = lim = lim = nint n→∞ n2 nint nint n→∞ n2 nint . Egyik esetben sem teljesül Hughes feltétele még (k −1)×(k −1) integrálási pont esetén sem, így mindegyik esetben a vékony lemezeknél fellép a záródás.

198


Előadásvázlat

B./ Térfogati (vagy más elnevezéssel Poisson-féle) záródás

A záródásnak ez a típusa alapvetően az anyagi viselkedés modellezésétől függ. Olyan esetekben, amikor izotrop anyagoknál a Poisson-tényező értéke megközelíti a 0,5-ös elméleti határértéket, a K térfogatváltozási modulus E (9.14) K= 3 − 6ν a végtelenhez tart, az anyag nem változtatja térfogatát a külső hatásokra (ezt hívják „rugalmasan összenyomhatatlan anyagi állapot”-nak). Nagyon közeli ehhez a gumik, egyes szilikonok és az emberi szövetek (izmok, erek fala) viselkedése ( ν ≈ 0,49 ). Térfogati záródás nem csak rugalmas anyagoknál fordul elő, képlékeny állapotba kerülő fémeknél is számolni kell vele (a fémek képlékeny viselkedésére általában nincsenek hatással a hidrosztatikus feszültségek). 3D esetben a zérus térfogatváltozás feltétele (9.15) εx + εy +εz = 0 , ugyanez 2D változatban (9.16) εx + εy = 0 , Megjegyezzük, hogy kétdimenziós esetben kizárólag sík alakváltozási állapot vizsgálata esetén beszélhetünk záródásról, síkbeli feszültségi állapot esetén soha nincs záródás, hiszen a z irányú nyúlással lehetséges a térfogat-állandóság biztosítása!

3 2 Az optimális korlátozási paraméter rpont = = 3 (2D esetre rpont = = 2 ). 1 1 Parazita feszültségként a normálfeszültségeket kell figyelembe vennünk, amelyek megakadályozzák az elemet a térfogatváltozáshoz vezető mozgásokban. Illusztrálásul vizsgáljunk meg egy 2D feladatot három csomópontú lineáris elemekkel. Az elmozdulásmező interpolálása ebben az esetben a következőképpen történik: ( 9.17) u x ( x, y ) = c1 + c3 x + c5 y , u y ( x, y ) = c2 + c4 x + c6 y . A ( 9.7) ábra vázolja a hat konstanshoz tartozó egyes elmozdulás- és alakváltozáskomponenseket:

199


Előadásvázlat

9.7. ábra: Elmozdulás- és alakváltozás-komponensek

A c1 és c2 paraméterek merevtestszerű eltolódást jellemeznek. A merevtestszerű elfordulást c4 és c5 segítségével hozhatunk létre, felhasználva a c5 = −c4 feltételt: ux   0  y    = c4   −   . (9.18) u y   x  0    A 4-es és 5-ös elmozdulás összege tiszta nyírási deformációt eredményez, a fennmaradó 3-as és 6-os pedig x és y irányú tiszta nyúlást jellemez. Lehetséges olyan kombinációját előállítani ezeknek az alakváltozási állapotoknak, melyek teljesítik az előzőekben felírt összenyomhatatlansági feltételt. A 4-es és 5-ös változatok eleve teljesítik ezt, a 3-as és 6-os állapotnál ehhez a (9.19) c3 =− c6 ⇒ ε x + ε y = −c6 + c6 = 0 feltétel szükséges. Fontos tudni azonban, hogy az összenyomhatatlansági feltétel a fentiek figyelembevétele esetén is csak akkor teljesül pontosan, ha az alakváltozási állapot a teljes tartományon állandó! A (9.6) szerinti korlátozási paraméter (egy integrálási pontot figyelembe véve) r rszerk = pont , ez záródási hajlamot jelent. Megjegyezzük, hogy lineáris négyszög 2 alkalmazása esetén 2× 2 integrálási ponttal (9.5) szerint még rosszabb a helyzet: r rszerk = pont . 4 Egy numerikus példán is illusztráljuk a térfogati záródást. Sík alakváltozási állapotú tárcsát vizsgálunk, három oldala mereven befogott, negyedik élén konstans nyíróerőt működtetünk. Háromféle elemmel vizsgáljuk a szerkezetet, az egyik egy lineáris bázisfüggvényű háromszög (T1), a másik egy bilineáris 200


Előadásvázlat

négyszög (Q1), a harmadik pedig egy speciális négyszögelem, amelynek felépítését a következő előadás fogja majd bemutatni: úgynevezett „vegyeselem” (Q1-EAS), amelynél az elmozdulások mellett a feszültségeket is interpoláljuk az úgynevezett vegyes variációs elv segítségével. A (9.8) ábra eredményei (az elmozdulások szorzószámai a növekvő értékű térfogatváltozási modulus függvényében) azt illusztrálják, hogy mindkét elmozdulásmódszer alapú elem záródik (nem segít rajtuk még a minimális számú redukált integrálás sem!), a hibrid elem azonban jó eredményt ad, nincs záródási hajlama.

9.8. ábra: Tárcsa elmozdulása a térfogatváltozási állandó függvényében C./ Nyírási záródás

Ez a fajta záródás 2D és 3D feladatoknál illetve héjelemeknél fordul elő, jóval ritkább az előbb említett két változatnál és az általa okozott mechanikai zavarok sem olyan jelentősek. Kizárólag tiszta hajlítás esetén beszélünk erről a fajta jelenségről (lásd a (9.9) ábrát, ahol két különböző lineáris 2D elem felhasználásával ábrázoltuk a különleges állapotot).

9.9. ábra: Tiszta hajlításból nyírófeszültség is keletkezik

201


Előadásvázlat

A háromszögelemnél a σ x normálfeszültség és a τ x y nyírófeszültség is konstans. A négyszögelemnél lineárisan változik mindkét el előbb őbb említett feszültség az egyik változótól lineárisan függ. A nyírófeszültségi komponensek parazita jellegűek, hiszen a tiszta hajlításból jelenlétük nem következik.

A bilineáris négyszögelem esetére igazoljuk ezt. Az elmozdulásfüggvények: u x ( x, y ) = c1 + c3 x + c5 y + c7 xy , u y ( x, y ) = c2 + c4 x + c6 y + c8 xy .

99.10. ábra: Elmozdulás- és alakváltozás-komponensek komponensek

A (9.10) ábrán vázoltuk a különböző deformációs módokat. A nyírási záródáshoz kapcsolódó kritikus eset a 77-es és 8-as as állapot, az összes többi konstans nyírást, normál alakváltozást vagy merevtest merevtestszerű szerű mozgást jellemez. A diagram bemutatja, hogy y-tól tól függő ε x csak úgy kapható, ha c7 ≠ 0 , de ekkor keletkezik x-től függő nyírófeszültség, amelyik a többi komponenssel nem tüntethető el.

2 = 2 (a 1 korlátfeltételt a nyírási szögtorzulás zérus értéke jelenti). (9.6) és (9.5) alapján egy darab integrálási pontú lineáris háromszögnél a korlátozási paraméter (1/ 2 ) ⋅ 2 = 1 , bilineáris négyszögnél pedig (az elméletileg szükséges három rszerk = 1 2 integrálási ponttal számolva) rszerk = . Mindkét érték záródási hajlamra utal. 3 D./ Membrán záródás Az optimális korlátozási paraméter jelen esetben (2D feladatnál) rpont =

Görbült gerendákban és héjelemekben fordulhat elő, ha tiszta hajlítási alakváltozások kombinálódnak parazita membránfeszültségekkel membránfeszültségekkel. Néha keverik a B és C pontban említett változatokkal, de a jelen jelenség ség fizikailag más, alapvetően kötődik az elem görbült geometriájához (például hengerhéjak négy csomópontos

202


Előadásvázlat

elemekkel történő modellezésénél nincs ilyen típusú záródás, de a kvadratikus vagy magasabbrendű elemeknél már számolni kell vele). Egyszerű példája a membrán záródásnak egy olyan három csomópontú görbült geometriájú gerenda, ahol konstans hajlítónyomatékok esetén zérustól eltérő membrán alakváltozások és feszültségek („normálerők”) figyelhetők meg a számítás eredményeiben. Ezek oka általában a pontatlan bázisfüggvény-felvétel (görbült gerendáknál az „egzakt” megoldás trigonometrikus függvényeket is tartalmaz, ezek pedig nem szerepelnek a bázisfüggvények között). Matematikailag ezeknél a szerkezeteknél a normálmerevség a kritikus tag, ennek a hajlítási merevségekhez képesti értéke befolyásolhatja az együtthatómátrix kondicionáltságát.


1./ Bojtár I. – Gáspár Zs. : Végeselemmódszer építőmérnököknek, Terc, 2003. 2./ Hinton, E. – Owen, D. R. J. : Finite element software for plates and shells, Pineridge Press, 1984. 3./ Bletzinger, K. U. : Lecture notes in FEM, Technical University München, 2007. 4./ Zienkiewicz, O. C. – Taylor, R. L. : The finite element method - The basis, 5. edition, Butterworth-Heinemann Publ., 2000.

203


Előadásvázlat

10. előadás: Többmezős variációs elvekre épülő végeselemes eljárások Az eddig vizsgálatok során valamennyi mechanikai feladatnál az elmozdulásmódszerre építő technikát használtuk, hiszen a potenciális energia funkcionáljában az elmozdulásfüggvény volt az ismeretlen változó. A gyakorlati végeselemes számításokban egyszerűsége és kidolgozottsága miatt ma ez a legelterjedtebb numerikus technika. Elméleti kutatásokban és egyes speciális gyakorlati területeken (térfogati záródásra érzékeny feladatok, gerendák illetve lemezek nyírási hatásokat is figyelembe vevő modelljei, feszültségi szingularitások, stb.) azonban már régóta elterjedt más ismeretlenek figyelembevétele is, akár peremértékfeladat, akár egy variációs feladat megoldását kell végeselemes számítással végrehajtani. Ezeket a vizsgálati módszereket többmezős eljárásoknak nevezzük. Az előadás az ilyen numerikus technikák néhány ismertebb módszerére mutat be példákat56. Emlékeztetőül írjuk, hogy a Mechanika MSc tárgy keretében már megismerkedtünk a többváltozós energiaegyenletek felírásával. Az ott tárgyalt témához képest annyiban korlátozzuk a vizsgálatok körét, hogy most kizárólag lineáris modelleket mutatunk be, nem foglalkozunk az általános nemlineáris célokra használható funkcionál-változatok elemzésével illetve a hozzájuk kapcsolódó végeselemes eljárásokkal.

A többmezős eljárások csoportosítása Elsőként arra szeretnénk felhívni a figyelmet, hogy a szakirodalom terminológiai jelölései nem teljesen egységesek ezen a területen. Sok olyan cikk vagy szakkönyv található, amely minden többmezős eljárást az úgynevezett „vegyes variációs eljárások” („mixed variational principles”) körébe sorol, mások megkülönböztetnek „vegyes” illetve „hibrid” elveket illetve technikákat. Ebben a tárgyban ezt az utóbbi jelölésrendszert fogjuk követni, mert ezt tartjuk a végeselemes megoldások szempontból logikusabbnak és egyértelműbbnek. A következőkben tehát: a./ vegyes eljárásnak fogjuk nevezni azokat a variációs elveket (illetve a rájuk épülő végeselemes technikákat), amelyeknél minden alapvető mezőfüggvény ugyanolyan típusú változó, azaz ezen függvények független változóinak száma egyenlő a vizsgált tartomány dimenziószámával, b./ hibrid eljárásnak fogjuk nevezni azokat a modelleket, amelyeknél az alapvető mezőváltozók különböző típusúak, azaz vannak olyan alapvető változói, amelyek független változóinak száma különbözik (lásd a részletes magyarázatot később, a hibrid eljárásokat bemutató pontnál). Mi ebben a rövid összefoglalóban elsősorban a vegyes végeselemes eljárásokra mutatunk példát, a hibrid technikát csak az elvi összefoglalás és egy hozzá kapcsolódó egyszerű modell szintjén érintjük. 56

Megjegyezzük, hogy a továbbiakban csak a variációs elveket felhasználó változatokkal foglalkozunk. 204


Előadásvázlat

A lineáris rugalmasságtan feltételrendszerének megfelelően a vegyes variációs elvek körében három mezőváltozó függvény alkalmazható57: az elmozdulások ( u i , u , u ), az alakváltozások ( ε i j , ε , ε ) és a feszültségek ( σ i j , σ , σ ). Ha ezeket a variációs elvek funkcionáljában egymással variáljuk, akkor a következő változatokhoz jutunk: Típus

Mezőváltozók

A variációs elv neve

1./ 2./ 3./ 4./

Egyváltozós Egyváltozós Egyváltozós Kétváltozós

5./

Kétváltozós

6./

Kétváltozós

7./

Háromváltozós

Teljes potenciális energia Elmozdulások Feszültségek Teljes kiegészítő potenciális energia Alakváltozások Nincs elfogadott elnevezése Elmozdulások és Hellinger-Reissner-elv58 feszültségek Elmozdulások és Nincs elfogadott elnevezése alakváltozások Alakváltozások és Nincs elfogadott elnevezése feszültségek Veubeke-Hu-Washizu-elv59 Elmozdulások, feszültségek és alakváltozások

57

A továbbiakban az elméleti jellegű képleteknél lehetőség szerint alkalmazzuk a Mechanika MSc leírásmódjánál már megszokott technikát: ugyanazt a változót vagy egyenletet indexes, Voigt-, illetve tenzoros jelöléssel is megadjuk, hogy a szakirodalmat olvasóknak segítsük a különböző művekben eltérő módon jelölt változatok megértését. Sokszor egyedi jelöléseknél is váltakozva használjuk őket. 58 Emlékeztetőül: Az elv alapvető ötlete Ernst David Hellinger (1883 – 1950) német matematikustól származik. Kapcsolódó publikációja: „Die allgemeine Ansätze der Mechanik der Kontinua”, Encyklopedia der Mathematischen Wissenschaften, Vol. 4, ed. F. Klein – C. Müller, Teubner Verlag, Leipzig, 1914. Mérnöki feladatokra történő első alkalmazása Georg Prange (1885 – 1941) német matematikusnál olvasható: „Der Variations- und Minimalprinzipe der Statik der Baukonstruktionen”, Habilitationsschrift, Techn. Univ. Hanover, 1916. Az elv általánosítását és a mechanikai peremfeltételekkel való pontos kapcsolatrendszer tisztázását Eric Reissner (1913 - 1996) német származású amerikai kutató végezte el: „On variational theorem in elasticity”, Journal of Mathematics and Physics”, Vol. 29, pp. 90-95, 1950. 59 Emlékeztetőül: Ma használt formájában egy kínai és egy japán kutató publikálta egymástól függetlenül, két egymást követő évben. A kínai H. Hu munkája: „On some variational principles in the theory of elasticity and the theory of plasticity”, Sci. Sinica, Vol. 4, pp. 33-54, Peking, 1954. A japán K. Washizu cikke: „On the variational principles of elasticity and plasticity”, Aeroelastic and Structures Research Laboratory, Technical Report 25-18, Massachusetts Institute of Technology, Cambridge, March, 1955. A kontinuummechanikával foglalkozók körében ma is kevésbé ismert (elsősorban végeselemes kutatók által feltárt) azon tény, hogy Baudouin M. Fraeijs de Veubeke (1917-1976) belga kutató négy évvel korábban már bemutatta ugyanezt az elvet, ezért legalább ennek a tárgynak a keretén belül az ő nevére is feltétlenül hivatkoznunk kell. Cikke: „Diffusion des inconnues hyperstatiques dans les voilures à longeron couplés”, Bull. Serv. Technique de L'Aéronautique No. 24, Imprimeríe Marcel Hayez, Bruxelles, pp. 1-56, 1951. 205


Előadásvázlat

A végeselemes számítások szempontjából az itt felsoroltak közül az 1,2,4 és 7 számmal jelölteknek van jelentősége (egyes kutatók az ötöst is használják), a hármas és a hatos elsősorban elméleti jellegű változat.

Különböző variációs elvekhez tartozó funkcionálok felépítésének alapvető lépései A fenti táblázat tanulmányozása során joggal vetődhet fel az a kérdés, hogy az általunk vizsgált mechanikai feladatok alapvetően egyértelmű és egységes „erős” alakjának többféle módon történő átalakítására van-e gyakorlati igény, és ha igen, akkor milyen általános szempontokat szoktak figyelembe venni a különböző variációs elvek felírásakor. Az első kérdésre valamivel egyszerűbb válaszolni: a fenti táblázatban felsorolt hétféle elv közül numerikus számítások céljára az elmúlt mintegy hatvan évben összesen négy vált be és még azok közül is kiemelkedik gyakorlati használhatóságával a potenciális energia minimumtétele, nem véletlen, hogy egész eddigi tanulmányunk erre épült. Bár a komplementer energiára alapuló elvekkel nagyon sok kutató foglalkozik, a statikai peremfeltételek figyelembevételének nehézsége komoly gondot jelent egy ipari célokra is alkalmas, általános és rugalmas szoftverrendszer kidolgozásakor. Ugyanez a helyzet a másik két – a táblázatban kiemelt – többváltozós elvvel: a gyakorlat nem igazolta rugalmas és sokoldalú alkalmazhatóságukat, ma is elsősorban kutatási célokra, speciális feladatok megoldására használják őket. Ez természetesen nem jelenti azt, hogy ez a helyzet a jövőben nem változhat, és ezért velük kapcsolatban legalább a fontosabb elvekkel tisztában kell lenni a másféle technikát használó mérnököknek is. Ez az alapvető célja ennek a fejezetnek. A másik kérdésre válaszul a következőkben a variációs elvek felépítésének általános szempontjait foglaljuk össze, majd ezt követően a további pontokban bemutatjuk a HR, illetve a VHW változatok részleteit. Az általános algoritmushoz illusztrációként azt a variációs elvet fogjuk használni, amelyet (másféle felépítési technikával létrehozva) már nagyon alaposan ismerünk, vagyis a teljes potenciális energia függvényének felépítése segítségével magyarázzuk el a többváltozós elvek létrehozásának módját. A rugalmasságtan alapvető összefüggéseit a 10.1. ábrán vázoltuk. Az ismert tömegerők valamint az előírt elmozdulások és terhek b, uˆ , tˆ függvényeiből kell az öt darab mezőegyenlet felhasználásával az elmozdulások, alakváltozások és feszültségek u, ε, σ függvényeit meghatároznunk.

206


Előadásvázlat

10.1. ábra: A rugalmasságtan alapegyenletei 1./ Első lépésként az ismeretlen mechanikai mezőváltozók ui → elmozdulás, εi j → alakváltozás, σi j → feszültség közül kell kiválasztani annyit, amennyit alapvető variálandó paraméterként használni kívánunk (szokás a kiválasztottakat néha – főleg az elméleti végeselemes irodalomban – „mester-”, vagy „alap-változóknak” is hívni, ellentétben a többi, „másodlagos” („segéd”, „származtatott”, stb.) függvénnyel).

A kiválasztott mester-változók számától függően lesz egy-, két- vagy hárommezős a variációs elv. Fontos megjegyeznünk, hogy az ismert adatnak tekintett függvények (tömeg-, felületi-, vonalmenti- és koncentrált terhek, valamint peremfeltételi adatok) soha nem lehetnek variálandó mennyiségek (ezeket egyszerűen „adat”-mezőknek nevezik). 2./ Lépés: A mesterváltozó(k)ból az ún. „erős” kapcsolati egyenletekkel előállítjuk a másodlagos változókat. Ha egy mesterváltozóra peremfeltételt is előírtunk, akkor azt a feltételt tekinthetjük „erősnek” vagy „gyengének”. Az „erős peremfeltétel” elnevezést akkor használjuk, amikor a mesterváltozót csak azon függvények halmazából választjuk, amelyek teljesítik ezeket a peremfeltételeket.

Ha egy másodlagos változót két mesterváltozóból is előállítunk (vagy két összekapcsolódó mesterváltozó esetén az egyikből számíthatjuk a másikat, azt másodlagosnak tekintve), akkor azoknak elvileg meg kellene egyezniük. Az ezt kimondó egyenletet, valamint az eddig ki nem elégített egyenleteket „gyenge” egyenleteknek tekintjük, és ezeket csak „átlagos értelemben” teljesítjük. Az „átlagos értelemben való teljesülés” azt jelenti, hogy minden, a tartományon felvett – legalább szakaszonként differenciálható – függvényre (az ún. Lagrange-szorzók függvényeire) legyenek ezek a kifejezések ortogonálisak.

207


Előadásvázlat

3./ Lépés: A Lagrange-szorzók60 célszerű megválasztásával és megfelelő átalakítások után megkapjuk a keresett funkcionál első variációjának zérus voltát (vagyis a keresett funkcionál stacionaritását) előíró δΠ = 0 egyenletet (többváltozós esetben egyenleteket). Ebből előállítható maga a funkcionál is. 4./ Lépés: A „kész” variációs elv numerikus eredményeket adó közelítő (például végeselemes) számítási technikájának kidolgozása a megfelelő bázisfüggvények, elemek, stb. felvételével. --- ---

A fenti lépéseket alkalmazzuk illusztrálásul a teljes potenciális energia funkcionáljának előállítására. Ebben az esetben az egyes változók közötti – korábbi tanulmányaink alapján minden részletében ismertnek tekinthető – kapcsolati hálózatot mutatja be a következő ábra:

10.2. ábra: A potenciális energia függvényének származtatása A kiválasztott mesterváltozó most az ui elmozdulásmező. Megjegyezzük, hogy az egész S felületet két részre osztjuk, az Su részen előírt elmozdulásokat, az St felületen pedig előírt erőket veszünk figyelembe. A „második lépésben” az elmozdulási peremfeltételek alapján a megengedett elmozdulásmezők tartományát szűkítjük, majd az „erős” geometriai és

60

Emlékeztetőül: A Lagrange-szorzók alkalmazásának módszere része a BSc-mérnökhallgatók matematikai alapképzésének, lásd a Thomas-féle „Kalkulus” III. kötetének 321-330. oldalain található tananyagot. Megjegyezzük, hogy a Lagrange-szorzós technikát variációs elvek kidolgozására elsőként Kurt Otto Fridrichs német matematikus (1901-1982) alkalmazta, ő egyébként két másik kiváló német matematikus, David Hilbert (1862-1943) és Richard Courant (1888-1972) tanítványa volt. 208


Előadásvázlat

anyagegyenletekkel a mesterváltozóból számítjuk az alakváltozásokat és feszültségeket (ebben az illusztráló bemutatásban kizárólag indexes jelölésekkel dolgozunk): 1 εuij = ( ui , j + u j , i ) (V − n), σuij = Di j k l εukl (V − n) . (10.1) 2 Most „gyenge” kapcsolati egyenlet lesz az egyensúlyi egyenlet és a statikai peremfeltétel (ezeket jelöltük az előbbi ábrán szaggatott kapcsolati vonallal). Ezek Lagrange-szorzós alakja: u u (10.2) ∫ ( σi j , j + bi ) λi dV = 0 , ∫ σij n j − tî λi dS = 0 .

(

V

)

St

A „harmadik lépésben” alkalmazzuk a Gauss-tételt a térfogati integrál átalakítására a (10.2) második egyenlete bal oldalának első tagjánál (a képletben szereplő n j a felületi normálisvektort jelöli), továbbá használjuk fel a Függelék (F.76) alatti harmadik egyenletét: u u u (10.3) ∫ σi j , j λi dV = − ∫ σi j λi , j dV + ∫ σi j n j λi dS V

V

S

A feszültségtenzor szimmetrikus jellegét felhasználva ez az egyenlőség tovább módosítható: u u 1 u (10.4) ∫V σi j , j λi dV = −V∫ σi j 2 ( λi , j + λ j , i ) dV + ∫S σi j n j λi dS A kifejezés további átalakításához, a variálás bevezetéséhez a jobb oldal első tagjának a geometriai egyenletekhez való hasonlóságát kell felhasználni61, vagyis legyen a továbbiakban (10.5) λ i → δui , Ez a lépés azt jelenti, hogy a Lagrange-szorzót az elmozdulásmező (első) variációjának tekintjük. Helyettesítsük be ezt a (10.4) egyenletbe62: u u u u (10.6) ∫ σi j , j δui dV = − ∫ σi j δεi j dV + ∫ σi j n j δui dS . V

V

S

A (10.6) alatti egyenlet utolsó tagjában a felületi integrált bontsuk két részre ( Su és St ). Az Su részen azonban az elmozdulás-függvény variációja

( δui )

zérus, így ez a tag csak

az St részen integrált tagra szűkíthető:

∫σ S

u ij

n j δui dS = ∫ σui j n j δui dS .

(10.7)

St

Ez a kifejezés a (10.2) alatti második egyenlet két tagra bontása segítségével a következőképpen is felírható:

61

Hasonló „a posteriori” módosítás nélkül általában csak jóval nehézkesebben lehet gyakorlatilag használható variációs alakhoz jutni. Ezt maga Fraeijs de Veubeke, ennek a levezetéstípusnak első mechanikai alkalmazója is így vélte. 62 Az új alaknál kihasználtuk az alakváltozások és elmozdulások közötti erős kapcsolati egyenletet, ennek variációjaként született a jobboldal első tagjánál feltüntetett alakváltozás1 1 komponens variáció: εui j = ( ui , j + u j , i ) ⇒ δεui j = ( δui , j + δu j , i ) . 2 2 209


∫σ

St

u ij

Előadásvázlat

n j δui dS = ∫ tî δui dS .

(10.8)

St

Követve a (10.8) → (10.7) → (10.6) → (10.3) → (10.2a ) visszahelyettesítéseket, megkapjuk a teljes potenciális energia első variációjának zérus voltát előíró egyenlet: δΠ TPE ( u ) = ∫ σui j δεui j dV − ∫ bi δui dV − ∫ tî δui dS = 0 . (10.9) V

V

St

Megjegyezzük, hogy itt az első integrál alatt a felső indexek azt mutatják, hogy a feszültség és az alakváltozás is az elmozdulás-függvénytől függ. Az első variációs alakból most már egyszerűen előállítható maga a teljes potenciális energia funkcionálja: 1 (10.10) Π TPE ( u ) = ∫ σui j εui j dV − ∫ bi ui dv − ∫ tî ui dS 2V V St Az első tagnál részletezzük a variációs, illetve a teljes alak közötti kapcsolatot: 1  1 1 δ  ∫ σui j εui j dV  = ∫ δσui j εui j dV + ∫ σui j δεui j dV = 2V 2V  2V 1 1 1 1 δεuk l Dk l i j εui j dV + ∫ σui j δεui j dV = ∫ δεuk l σukl dV + ∫ σui j δεui j dV = ∫ σui j δεui j dV . ∫ 2V 2V 2V 2V V Az átalakításnál felhasználtuk a Di j k l = Dk l i j szimmetriafeltételt.

(10.11)

A variációs alak megfogalmazása után következhet a negyedik lépés, a numerikus vizsgálatok technikájának kidolgozása. Erre most ennél az illusztráló példánál természetesen nem térünk ki, hiszen az eddigi fejezetek alapvetően ezzel kérdéssel foglalkoztak.

A Hellinger-Reissner-elv bemutatása és alkalmazása a végeselemes modellezésben Ez a variációs elv (a továbbiakban a rövidség kedvéért csak HR-elvként fogunk rá hivatkozni) az elmozdulásokat és a feszültségeket használja alapvető mezőváltozóként. Most a „második lépésben” az elmozdulási peremfeltételek alapján a megengedett elmozdulásmezők tartományát szűkítjük, de a feszültségekét nem (a statikai peremfeltételeket gyenge egyenletnek tekintjük), mert ezeket általában nehezebb kielégíteni. A másodlagos alakváltozásokat kétféle módon is számítjuk, egyik változatuk a geometriai egyenletek segítségével az elmozdulások approximációjából adódik, a másikat pedig az anyagmodell egyenletek felhasználásával kapjuk az ugyancsak alapváltozó feszültségekből: 1 ε ui j = (u i , j + u j , i ), ε σi j = C i j k lσ k l ⇔ ε u = L u , ε σ = C σ ⇔ 2 (10.12) 1 u σ −1 T ⇔ ε = ( (∇u) + ∇u ) , ε = C : σ = D : σ. 2 Fenti egyenletekben C az anyagi hajlékonysági tenzor, ez az eddigiekben használt D anyagi merevségi tenzor inverze. 210


Előadásvázlat

A HR-elvnél tehát „gyenge” kapcsolati egyenlet lesz a kétféleképpen számított alakváltozások egyenlősége, az egyensúlyi egyenletek és a statikai peremfeltételek (3. ábra). Ezek felírásánál két különböző Lagrange-szorzót használunk, a két alapvető változónk variációját, mégpedig úgy hogy a gyenge egyenlet tagjaival szorozva fajlagos munkát (energiát) kapjunk (most csak az indexes és a Voigt-féle jelölést mutatjuk):

10.3. ábra: A HR-elvhez tartozó alapvető egyenletek

∫ (ε

u ij

− ε σi j ) δσ i j dV = 0,

∫ (σ

V

∫ (ε

i j, j

+ b i ) δ ui dV = 0,

V u

−ε

)

σ T

δ σ dV = 0,

V

∫ (σ

ij

n j − tî ) δ ui dS =0,

St

∫ ( L σ + b)

T

T

δ u dV = 0,

V

∫ (σ n − tˆ )

T

δ u dS =0.

(10.13)

St

A (10.13) alatti második és harmadik egyenlet csak annyiban különbözik a (10.2) egyenlettől, hogy most a feszültség alapvető változó, ezért nincs felső u indexe, de a (10.2)-(10.8) egyenletekben megadott lépések itt is elvégezhetők, így ezek a következő alakba írhatók: u ∫ σij δεi j dV − ∫ bi δui dV − ∫ tî δui dS = 0, V

V

St

∫ σ δε dV − ∫ b δudV − ∫ tˆ δu dS = 0 . T

V

u

T

T

V

.

(10.14)

St

A (10.13) első egyenlete és a (10.14) alatti egyenletek együtt a HR-elvhez tartozó funkcionál első variációjának a zérus voltát fejezik ki (előbbi a feszültség, utóbbi az elmozdulás szerinti variáció). Újból felhívjuk a figyelmet arra, hogy mindig a felső index mutatja (most például az alakváltozásnál), hogy az adott mechanikai komponens melyik alapvető változó függvénye. Most is van egy tag, amelyik a feszültségtől is, és a növekményétől is lineárisan függ, tehát (10.11) analógiájára a HR-funkcionálban a feszültség négyzetét tartalmazó tagnak ½ 211


Előadásvázlat

lesz az együtthatója. Fentiek figyelembevételével a HR-elv funkcionáljának végleges alakja (itt a végeredménynél mindhárom felírási módot megadtuk, a tenzoros jelölésnél a változatosság kedvéért a korábbiakban használt anyagi merevségi tenzort alkalmazva): 1 1   Π HR ( ui , σ i j ) = ∫  σ i j ( ui , j + u j ,i ) − σ i j Ci j k lσ k l − bi ui  dV − ∫ tî ui dS , 2 2  V St 1 T T  T T  Π HR ( u , σ ) = ∫  σ Lu − σ Cσ − b u  dV − ∫ tˆ udS , 2  V St

(10.15)

1   Π HR (u, σ ) = ∫  σ : ∇u − σ : D−1 : σ − b ⋅ u  dV − ∫ tˆ ⋅ u dS . 2  V St A HR-elv azt mondja ki, hogy ennek a funkcionálnak a teljes első variációja zérus. Itt megismételjük a (11.13a) és (11.14) egyenleteket, de mindenütt megadjuk az alapvető változókhoz való kapcsolat alakját. Először indexes jelöléssel: 1   δΠ δHRui ( ui , σ i j ) = ∫  σ i j (δ ui , j + δ u j ,i ) − biδ ui  dV − ∫ tîδ ui dS , 2  V St (10.16) 1   δσ ij δΠ HR ( ui , σ i j ) = ∫  δσ i j ( ui , j + u j ,i ) − δσ i j Ci j k lσ k l  dV , 2  V  majd Voigt-jelölésekkel: u δΠδHR (u, σ ) = ∫ V

δΠδσ HR (u , σ ) =

((L δu) σ − δu b) dV − ∫ δu tˆ dS = 0, T

T

T

St

∫ (δσ

T

T

)

(10.17)

Lu − δσ C σ dV = 0,

V

végül tenzorokkal: u δΠδHR (u, σ ) = ∫ (∇δu : σ −δu ⋅ b ) dV − ∫ δu ⋅ tˆ dS = 0, V

St

(

)

σ δΠδHR (u, σ ) = ∫ δσ : ∇u −δσ : D−1 : σ dV = 0.

(10.18)

V

A HR-funkcionálban levő változók folytonosságáról (3D rugalmasságtani feladatokat vizsgálva) megállapíthatjuk, hogy az elmozdulások közelítésének fokszáma mindig eggyel magasabb, mint a feszültségeké, hiszen az elmozdulásoknál szerepelt első derivált, míg a feszültségeknél nem. Ez például azt jelenti, hogy ha az elmozdulás-függvényeknél C 0 folytonos közelítést alkalmazunk, akkor a feszültségfüggvények közelítése csak C −1 rendű, azaz ilyenkor az egyes elemek között általában szakadás lesz a feszültségmezőkben! Megjegyezzük, hogy ha az alapvető változóként kezelt elmozdulás-függvényeknél nem szűkítjük le a vizsgálatba bevont függvények terét az Su felületen előírt uî elmozdulást kielégítő függvényekre, akkor a geometriai peremfeltételeket is „gyengén” kell kielégíteni, és ezért a (10.13) alatti egyenletek még kiegészülnek egy új egyenlettel, melyben a peremfeltételeket az Su-n értelmezett r reakcióerők variációjával szorozzuk: 212


∫ (u − uˆ ) δr dS = 0 i

i

i

Előadásvázlat T

∫ (u − uˆ ) δ r dS = 0 .

illetve

Su

(10.19)

Su

Így az eredeti HR függvény egy további változóval és egy további taggal is kiegészül. Az új funkcionált a mechanikában „előírt elmozdulásokkal általánosított HR-funkcionálnak” g hívják, jele Π HR . Felépítése: g Π HR ( ui , σ i j , ri ) = Π HR − ∫ ( ui − uî ) ri dS , Su

g Π HR ( u, σ , r ) = Π HR − ∫ ( u − uˆ ) r dS , T

(10.20)

Su

Π

g HR

( u, σ, r ) = Π HR − ∫ ( u − uˆ ) ⋅ r dS . Su

Így az első variációk zérus voltának előírására vonatkozó egyenletek a következőképpen adhatók meg (a rövidség kedvéért csak a Voigt-féle jelöléssel): gδ u δΠ HR (u , σ , r ) = ∫ V

((L δu) σ − δu b) dV − ∫ δu tˆ dS − ∫ δu r dS = 0, T

T

T

St

(

T

Su

)

g δσ δΠ HR (u , σ , r ) = ∫ δσ T Lu − δσ T C σ dV = 0, V gδ r δΠ HR (u , σ , r ) = −∫ δ r T (u − uˆ ) dS = 0. Su

(10.21)

10.1. Példa. Tekintsünk egy két végén megtámasztott, változó keresztmetszetű, kizárólag normálerőkkel terhelhető rudat, melynél a két vég (rúdtengely irányú) eltolódásait írjuk g funkcionált elő, és az egyszerűség kedvéért most más terhet ne rakjunk rá. A Π HR kívánjuk használni.

10.4. ábra: Változó keresztmetszetű rúd a)

Alapvető összefüggések: V = { x, 0 ≤ x ≤ l } , Su = {0, l } ,

St üres halmaz .

213


Előadásvázlat

b ( x ) = 0, uˆ (0) = uˆ1 , uˆ (l ) = uˆ2 , tˆ-nek nincs értelmezési tartománya.

A normálvektorok: n (0) = −1, n (l ) = 1. A keresztmetszet változása: A ( x ) = A1 + ( A2 − A1 ) x / l. A mesterváltozók (vagy más néven: alapváltozók) : u ( x ) , N ( x ) . A másodlagos változó származtatása: du σ 1 εu ( x) = N ( x) . , ε ( x) = dx EA( x ) b)

Az alapváltozók közelítése:

Az elmozdulásfüggvényt közelítsük lineáris függvénnyel: u  u ( x) = [1− x / l x / l ]  1  , u 2    a feszültségek függvényét (jelen példánál a normálerőnek) pedig egy alacsonyabb fokszámú ( C −1 -folytonos) függvénnyel: N ( x ) = [1] N1 . Ugyanez a variációikra:  δu  δu ( x ) = [1− x / l x / l ]  1  , δN ( x ) = [1]δN1 .  δu 2    Ha a V nem egydimenziós tér része lenne, akkor Su sem diszjunkt63 pontokból állna, és ekkor az r függvényt is az Su-n értelmezett bázisfüggvények lineáris kombinációjával kellene közelíteni. Most azonban ezek a „bázisfüggvények” 1-gyel egyenlőek: r (0) = [1]⋅ r1 , r (l ) = [1]⋅ r2 , illetve δr (0) = [1]⋅δr1 , δr (l ) = [1]⋅δr2 . A másodlagos változók számítása: u  1 εu ( x) = [−1/ l 1/ l ]  1  , εσ ( x ) = [1] N1 .  u2  EA( x )   c) Behelyettesítés a (10.21) alatti egyenletekbe:   −1/ l  1− x / l   N1dx − [δu1 δu2 ]   r ( x ) − = ∫ [δu1 δu2 ]   1/ l   x / l    x =0 0 1− x / l     r ( x ) = 0, −[δu1 δu2 ]   x / l    x=l l

gδ u δΠ HR

  u  1 N1  dx = 0, = ∫ δ N1 [−1/ l 1/ l ]  1  − u2  EA ( x )     0 l

g δσ δΠ HR

63

Diszjunkció: A logikában a „vagy”-nak megfelelő kapcsolat, azaz egymást kölcsönösen kizáró illetve kölcsönösen megengedő fogalmak vagy állítások. 214


Előadásvázlat

   u  gδ r δΠ HR = −δ r ( x) [1− x / l x / l ]  1  − uˆ ( x ) −       u2    x =0     u  −δ r ( x ) [1− x / l x / l ]  1  − uˆ ( x ) = 0.       u2   x=l

Ezeknek a kifejezéseknek bármilyen δu1 , δu2 , δN1 , δr1 , δr2 variációra teljesülniük kell, ezért a kijelölt behelyettesítések és integrálások elvégzése után a következőket kapjuk: −1  1  0  0   N1 −   r1 −   r2 =   , 1  0  1  0         ln( A2 / A1 )l −u1 + u2 + N1 = 0 , E ( A1 − A2 ) −u1 + uˆ1 = 0, −u2 + uˆ2 = 0. gδ r Megjegyezzük, hogy itt az utolsó egyenletből azért lett kettő, mert a δΠ HR =0

egyenletnek teljesülnie kell mind a δr1 ≠ 0, δr2 = 0 , mind a δr1 = 0, δr2 ≠ 0 esetben.) Az egyenletrendszer megoldása: E ( A1 − A2 ) u1 = uˆ1 , u2 = uˆ2 , N1 = (u1 − u2 ), r1 = −N1 , r2 = N1 . ln ( A2 / A1 ) l

10.2. Példa A kétváltozós variációs eljárások hatékonyságának érzékeltetésére megvizsgálunk egy egyszerű numerikus feladatot. Tekintsük újra a 11.4. ábrán bemutatott változó keresztmetszetű rudat, de most a kezdőpontot rögzítjük ( uˆ1 = 0 ), a végponton pedig egy P nagyságú húzóerőt működtetünk. Az előző példa megoldásait felhasználva (figyelembe véve, hogy most uˆ2 nincs megadva, de r2 = tˆ = P ) és a keresztmetszet területek átlagát Am –mel jelölve ln( A2 / A1 ) Pl ln( A2 / A1 ) ( A1 + A2 ) Pl u2 = = , r1 = −P A2 − A1 E EAm 2 ( A2 − A1 ) adódik. Különböző végkeresztmetszetű oszlopokat vizsgáltunk, és egyúttal mindegyik feladatot megoldottuk a „klasszikus” elmozdulásmódszeres végeselemes technikával is, szintén lineáris közelítést alkalmazva (a „TP” jelzés a táblázat fejlécében a „teljes potenciális energiára” utal). Az utolsó oszlopban az analitikus úton számított „pontos” eredményeket is feltüntettük: Területek aránya

u 2 HR alapján

u 2 TP alapján

pontos u 2

A1 / A2 = 1

Pl / ( EAm )

Pl / ( EAm )

Pl / ( EAm ) 215

Bojtár-Gáspár: A végeselemmódszer matematikai alapjai A1 / A2 = 2

Előadásvázlat

1, 0397 Pl / ( EAm )

Pl / ( EAm )

1, 2071Pl / ( EAm )

Pl / ( EAm )

1, 0397 Pl / ( EAm ) A1 / A2 = 5

1, 2071Pl / ( EAm ) Megállapíthatjuk,hogy a HR-elvet használva a végkeresztmetszet elmozdulását pontosan megkaptuk64. Az eddigiek felhasználásával megfogalmazható egy elemre a HR-elv végeselemes megoldásán alapuló közelítés. Az elmozdulások közelítésére eddigiekben használt u ≈ u appr . = N u v e közelítés mellett most bevezettünk egy

(10.22)

σ≈ σappr . = N σ σe

(10.23)

közelítést is ( v e és σe egy darab végeselem csomópontjaihoz tartozó elmozdulás- és σ

u

feszültség-ismeretleneket jelölik, N és N pedig az elemre vonatkozó megfelelő bázisfüggvények). A (10.16-18) egyenletekben szereplő integrálokat elemenként számítjuk (kiemelve a δv e , δσe , v e és σe vektorokat), bevezetve a következő jelöléseket: Ae =

∫ NσD T

V

−1

(

u N σ dV , B e =− ∫ LN Ve

)

T

N σ dV , g e = −∫ N Tu b dV − ∫ N Tu tˆ dS . Ve

Set

(10.24) A teljes szerkezetre vonatkozó kompilációval (és egy előjelváltással) a előbbiekben bemutatott két stacionaritási feltétel az alábbi egyenletrendszert eredményezi:  A BT  σ  0       (10.25)  B 0  v =  g  .      

10.3. Példa Tekintsünk egy 3 m hosszú, két végén befogott állandó keresztmetszetű rudat, melyre b intenzitású, egyenletesen megoszló tengelyirányú teher hat. Bontsuk fel a rudat 3 elemre, melyeken az elmozdulásokat kétpontos ( C 0 -folytonos), a feszültségeket egypontos ( C −1 folytonos) függvénnyel közelítjük. Állítsuk elő a (10.25) alatti egyenletrendszert! Az elemek lokális koordináta-rendszerének origóját az elem kezdőpontjában vesszük fel, így az interpoláló mátrixok: u σ N = [1−ξ ξ ] , N = [1] . Az elemhez tartozó mátrixok (11.24) szerint

64

Az elmozdulás- és alakváltozási függvények természetesen nem pontosak! 216


Előadásvázlat

1 −b / 2 . Be =   , g e =  −1 −b / 2     A (10.25) egyenletrendszer (a zérusnak előírt u 1 és u4 oszlopait és sorait elhagyva):

Ae = [1/ EA] ,

1/ EA   N 1    −1      1/ EA 1 −1  N 2           = . 1/ EA 1   N3    −1    −b 1    u2        −b 1 1 −   u3    

Ennek megoldása: u2 = u3 = b / EA, N 1 = b, N 2 = 0, N 3 = −b.

Példák a Hellinger-Reissner-funkcionálon alapuló 2D végeselemes modellezésre Pian és Sumihara65 javasolta a 10.5. ábrán látható szabályos derékszögű négyszögelem (téglalapelem) használatát kétváltozós végeselemes technikához:

10.5. ábra: Téglalapelem 4

Az

elmozdulások

u = ∑ N i ( x, y ) v i

e

interpolációjára

a

megszokott

bilineáris

i =1

bázisfüggvényeket javasolták: x − x0 y − y0 x − x0 y − y0 1 1 N1 ( x, y ) = (1− )(1− ) , N 2 ( x, y ) = (1 + )(1− ), a b a b 4 4 x − x0 y − y0 x − x0 y − y0 1 1 N 3 ( x, y ) = (1 + )(1 + ) , N 2 ( x, y ) = (1 + )(1 + ). 4 a b 4 a b A feszültségeket öt paraméterrel interpolálták, a nyírófeszültségeket konstansnak vették fel: 65

Pian, T.H.H.- Sumihara, K.:”Rational approach for assumed stress finite elements”, Int. J. Numerical Methods in Engineering, Vol. 20., pp. 1685-1695, 1985. 217


Előadásvázlat

 σx0     σ x  1 0 0 y − y0   σ y0  0       σ  = 0 1 0  τ xy 0  . 0 x x − y 0      τ  0 0 1   σ x1  0 0    xy   σ   y1  0 Itt az elmozdulásfüggvény C -folytonos, a feszültségfüggvény pedig szakadásos.

Johnson és Mercier66 háromszögelem használatát javasolta (10.6-os ábra). A HRfunkcionál (10.15) alatti képletét a (10.4) egyenlőség alapján átírták Π egyensúlyi ( ui ,σ i j ) = ∫  −σ i j , j ui − 12 σ i j Ci j k lσ k l − biui  dV − ∫ tîui dS (10.26) HR V St alakra, kihasználva azt a feltételt, hogy olyan feszültségfüggvényeket fognak használni, melyeknél az elemek a háromszögelemek három oldalán együtt számított feszültségekre egyensúlyban vannak, és így (10.4) utolsó tagja zérus.

10.6. ábra: Háromszögelem

A (10.26) alatti HR-funkcionálban a feszültségfüggvényt deriváltuk, tehát annak kell legalább C 0 -folytonosnak lennie, az elmozdulásfüggvény már lehet szakadásos ( C −1 osztálybeli). Ennél a modellnél a háromszögelemet először három darab al-háromszögre bontották (lásd a fenti ábrát), középpontnak kijelölve a súlypontot. A feszültségapproximációhoz a./ minden al-háromszögben a közelítendő σh vektor komponenseit lineáris függvényként vették fel (3 darab háromszögben egyenként 3 feszültségfüggvény, függvényenként 3 ismeretlen együttható: ez összesen 27 paraméter). b./ A szomszédos al-háromszögek közös (a 10.6. ábrán feketével jelölt) élein feltételezték a σ n összefüggésből számítható feszültségvektorok67 folytonosságát 66

Johnson, C. – Mercier, B.: „Some equilibrium finite element methods for two dimensional elasticity problems”, Numer. Math., Vol. 30, pp. 103 – 116, 1978. 67 Itt és a továbbiakban n az élre merőleges egységvektort jelöli. 218


Előadásvázlat

(3 élen 2-2 komponens értékét 2-2 pontban kell egyeztetni), így 12 feltételt kell teljesítenünk. A maradék (27-12=15) szabadságfok (lásd a 10.7. ábra bal oldali rajzát):


a./ a háromszög három külső élén a σ n feszültségvektorok értéke 2-2 pontban (12 szabadságfok), b./ 3 szabadságfok szükséges a háromszög külső éleire ható feszültségek egyensúlyának biztosításához, Az elmozdulásvektor ( u ) mindkét komponensét konstansnak vették fel, ez 2 elmozdulási szabadságfokot jelent. Arnold és Winter68 szintén háromszögelemet ajánlottak a vegyes variációs elvvel történő megoldáshoz a (10.26.)-os képlet alapján. Ők a σ vektorhoz szükséges feszültségfüggvényeket harmadfokú (3× 10=30 paraméter), az u elmozdulásfügvényeket lineáris (2× 3=6 paraméter) függvényekkel közelítették. A feszültségtenzor  σ x , x + τ xy , y   div σ =  τ xy , x + σ y , y    módon számítható divergenciája másodfokú függvény lenne, de a szerzők kikötötték, hogy csak elsőfokúak lehetnek. Ezt a másodfokú tagok 2× 3=6 együtthatójának zérusként való előírásával biztosítják, tehát csak 30-6=24 szabadságfoka lesz a feszültségeknek (lásd a 10.8. ábra bal oldala): a./ a feszültségtenzor 3 elemének értéke a három sarokpontban (9 szabadságfok), b./ a háromszög három külső élén a σ n feszültségvektorok értéke további 2-2 pontban (12 szabadságfok), (hiszen a sarokponti értékekeket a feszültségtenzor

68

Arnold, D. N. – Winther, R. : „Mixed finite elements for elasticity”, Numer. Math., Vol. 42, pp. 401-419, 2002. 219


Előadásvázlat

elemeinek előírása megadja, és így minden élen 4 pontban ismert a feszültségfüggvény, tehát a harmadfokú függvény egyértelmű), c./ 3 szabadság fok szükséges a háromszög külső éleire ható feszültségek egyensúlyának biztosításához.


Az elmozdulásvektor (u ) mindkét komponensét a 10.8. ábra jobb oldali vázlata szerint 33 pontban vették fel, ez 6 elmozdulási szabadságfokot jelent. Vékony lemezek számítására javasolta Reddy és Chen-Shyh-Tsay69 az alábbi modelleket (a cikkben olvasható tömör összefoglaló mellett további részletek találhatók a [ 6] alatti műben): a lemezszerkezet egy darab véges elemére vonatkozó HR-funkcionál egyenlete (p a terhelés, w az eltolódás, m pedig a nyomaték függvényét jelöli): 6 Π eHR−lemez ( w, mx , m y , mxy ) = ∫ (− 3  mx2 + m 2y − 2νmx m y + 2(1 + ν)mx2 y  +  Et  A e

+

∂w  ∂mx ∂mxy  ∂w  ∂m y ∂mxy  ∂w  +  − pw) dA − ∫ mn s + + dS −       s ∂x  ∂x ∂y  ∂y  ∂y ∂x  ∂ S e

⌢ ⌢ ⌢ ∂w −∫ mn wn dS − ∫ (Qn w − mn s ) dS , ∂s e e Sw

St

ahol a második integrál az elem kerületét jelöli, az utolsó két integrál pedig azokat a peremrészeket, ahol a vizsgált elem az egész szerkezet (előírt elmozdulásokat és igénybevételeket tartalmazó) pereméhez illeszkedik70. Reddy a csavarónyomatékokat az eltolódásfüggvény második deriváltja segítségével helyettesítette, így a funkcionál egy módosított alakját is felírta (az egyszerűség kedvéért a peremekre vonatkozó tagokat most nem ismételjük meg):

69

Reddy, J. N. – Chen-Shyh-Tsay: „Mixed rectangular finite elements for bending.”, Proc. Okla. Acad. Sci. Vol. 57, pp. 144-148, 1977. 70 Ha az elem a lemez belsejében van, akkor ez a két integrál természetesen hiányzik a funkcionálból. 220


Π eHR−lemez , mód . ( w, mx , m y ) = ∫ (− Ae

+

6 Et 3

Előadásvázlat

3 ∂2w  m 2 + m 2 − 2νm m  + Et + y x y   x (1 + ν)12 ∂x ∂y

∂w ∂m x ∂w ∂m y + − Pw) dA − ... ∂x ∂x ∂y ∂y

10.9. ábra: Lemezelemek

A szerzők (lásd a 10.9. ábrát) háromféle vegyes modellt hoztak létre: a./ A funkcionál felhasználásával egy négycsomópontos négyszögelemnél (ModelI) bilineáris approximációt alkalmaztak. Egy csomópontnál az alábbi változókat használták: w, m x , m y , m x y , így az elem 16 szabadságfokú. b./ Bilineáris approximációval közelítettek (Model-II) csomópontonként három változót ( w, m x , m y ), így ennek az elemvariánsnak a szabadságfoka 12. Ezt az elemfajtát elkészítették nyolc-csomópontos változatban is, ez munkáikban „kvadratikus” néven szerepel (24 szabadságfok). c./ A harmadik variáns (Model-III) csomópontonként különböző típusú változókat alkalmaz, itt az elmozdulásokra bilineáris, a nyomatékokra (az egyik változóban) lineáris approximációt használtak, így az elem szabadságfoka összesen 8.

Háromváltozós variációs eljárások Három mezőváltozót alkalmazó feladatként a Veubeke-Hu-Washizu-funkcionált (továbbiakban VHW-funkcionált) szokás numerikus célokra használni. Mint azt a bevezetésben közölt táblázatban már bemutattuk, ez a funkcionál az elmozdulásokat, a feszültségeket és az alakváltozásokat használja ismeretlen függvényként71. 71

Megjegyezzük, hogy a gyakorló mérnökök körében elterjedt téves nézet ellenére nem ez a „legáltalánosabb” variációs elv, nála összetettebb matematikai formák is felírhatók (lásd például 221


Előadásvázlat

Elméleti jelentősége és a numerikus feladatokban való sokszínű alkalmazhatósága miatt az elv többféle változatát is bemutatjuk. Először egy olyan alakot közlünk, melynél az előírt peremfeltételi elmozdulások is részei a funkcionálnak (általánosított VHW-elvnek hívják a mechanikában). A mechanikai egyenletek közötti kapcsolatok lényegét az eddigiekhez hasonló értelmezéssel az alábbi ábra illusztrálja:

10.10. ábra: Folyamatábra a VHW-funkcionálhoz A HR-elvnél korábban már bemutatotthoz hasonló lépéseket (Lagrange-szorzós technikát) alkalmazva most is előállítható a VHW-funkcionál első variációja:

Felippa, C. A. : A survey of parametrized variational principles and applications to computational mechanics, Comp. Meths. Appl. Mech. Engrg., Vol. 113, pp. 109-139, 1994 alatti cikkét), de ezekre témánk – a klasszikus lineáris rugalmasságtan – szempontjából nem lesz szükség. 222


Előadásvázlat

{

}

ált . δ ΠVHW = ∫ ( ε ui j − ε i j ) δσ i j + (σ εi j − σ i j ) δε i j − (σ i j , j + b i ) δ u i dV + ∫ (σ i j n j − tî ) δ u i dS − V

St

−

{(

u ált . δ ΠVHW = ∫ ε −ε V

)

T

(

δσ + σ ε − σ

)

T

(

}

)

∫ (u

j

− uˆ i ) n jδσ i j dS ,

Su

δ ε − LT σ + b δ u dV + ∫ (σ n − tˆ ) T δ u dS − T

St

−

∫ ( u − uˆ )

T

(δσ n) dS .

Su

(10.26) A σ i j , jδ u i tagot ugyanúgy alakítjuk át, mint azt a korábbiakban tettük. A megfelelő lépéseket végrehajtva az alábbi kifejezéshez jutunk: ált . δ ΠVHW = ∫ ( ε ui j − ε i j ) δσ i j + (σ εi j − σ i j ) δε i j + σ i jδε ui j − biδ u i dV − ∫ tî δ u i dS −

{

}

V

St

−

{(

u ált . δ ΠVHW = ∫ ε −ε V

∫ ( u

Su

)

T

(

δσ + σ ε − σ −

)

T

j

− uˆ i ) n jδσ i j + σ i j n jδ u i  dS ,

}

δ ε + σ T δ ε u − bT δ u dV − ∫ tˆ T δ u dS −

∫ ( u − uˆ )

T

Su

St

(δσ n) − (σ n ) δ u  dS .  T

(10.27) Innen adódik maga a VHW-funkcionál: ált . ΠVHW ( ui , σ i j , ε i j ) = ∫ σ i j (ε ui j − ε i j ) + 12 σ εi jε i j − biu i  dV − ∫ tî u i dS − V St −

∫ (u

j

− uˆ i ) σ i j n j dS ,

Su

Π

ált . VHW

1 T  T u T  (u , σ , ε ) = ∫ σ ε − ε + σ ε ε − b u  dV − ∫ tˆ T u dS − 2  V  St

(

)

(10.28)

− ∫ (σ n)T ( u − uˆ ) dS . Su

A VHW-elv azt mondja ki, hogy ennek a funkcionálnak az elmozdulások, feszültségek és alakváltozások szerinti első variációja zérus: ált . (10.29) δ ΠVHW = 0. Ebből a funkcionálból többféle más változatot is létrehoztak és használnak az elméleti és numerikus mechanikában. Egy lehetséges módosítás72 például az, hogy u -t az

72

Megjegyezzük, hogy ez az úgynevezett „általánosított” alak származik Veubeke-től 1951-ből, míg Hu és Washizu 1954-ben illetve 1955-ben az „egyszerű”-nek, vagy „alapvető”-nek nevezett

223


Előadásvázlat

elmozdulási peremfeltételeket kielégítő függvények közül választjuk, így kapjuk a különböző mechanikai és végeselemes könyvekben gyakran szereplő úgynevezett „alapvető” VHW-funkcionált: 1 T  T u T  ΠVHW (u , σ , ε ) = ∫ σ ε − ε + σ ε ε − b u  dV − ∫ tˆ T u dS . (10.30) 2  V  St

(

A stacionaritási feltétel:

(

)

)

T δε δσ d ΠVHW (u, σ , ε) = ∫ δε D ε − ε σ dV = 0, d ΠVHW (u , σ , ε ) = ∫ δσ (ε − Lu ) dV = 0 ,

T

T

V

V

δu d ΠVHW

(u, σ , ε) = ∫

{( L δu) σ − δu b} dV − ∫ δu tˆ dS = 0. T

T

V

T

St

(10.31) A funkcionálok vizsgálatából megállapítható, hogy a közelítésnél szükséges folytonossági követelmények hasonlóak a HR-elvnél alkalmazottakkal: a feszültségek és alakváltozások approximációja alacsonyabb függvényosztály alkalmazásával történik, vagyis ha például egy tárcsánál vagy 3D feladatnál az elmozdulásokat C 0 folytonos függvényekkel közelítjük, akkor a másik két függvény már csak az elemen belül lesz folytonos ( C −1 osztályba tartoznak). Hajlított szerkezeteknél még nagyobb a különbség, vagyis ha egy héjat, lemezt vagy gerendát vizsgálunk, akkor a C 1 folytonos közelítésű elmozdulások mellett kell C −1 rendű igénybevételeket és görbületeket használnunk. Vizsgáljunk meg most is egy egyszerű példát az elv alkalmazására.

10.4. Példa Vizsgáljuk meg a 10.11. ábrán látható speciális gerendaelemet, ahol középen egy nyomaték felvételére nem képes csuklót helyeztünk el

10.11. ábra: Csuklós gerenda

változatot publikálta. A találkozhat az olvasó.

[7] és [8]

alatti művekben más változóvariánsok használatával is 224


Előadásvázlat

Az elemen két csomópontot veszünk fel, maga az elem a rajz szerint az xz síkban helyezkedik el. A térfogati erőket elhanyagoljuk, a keresztmetszet és az anyag állandó, rugalmasságtani modellnek pedig a klasszikus Bernoulli-Navier-változatot használjuk. A csomópontokon a klasszikus gerendamodellnek megfelelően az elmozdulásokat két-két eltolódás és elfordulás jellemzi : w1 , w2 , θ1 , θ2 . A csomóponti erők: f 1 , f 2 , M 1 , M 2 , a lokális és globális koordináta kapcsolata a rajz szerint: ξ = (2 x − l ) / l . Az „alapvető” VHW-funkcionál a gerendamodellre a következőképpen írható fel:   1 ΠVHW ( w, M , κ ) = ∫  M (κ w − κ) + EI κ 2  dx − f1w1 − f 2 w2 − M 1θ1 − M 2θ2 ,  2  l  ahol M a hajlítónyomaték, κ w pedig a fajlagos görbületek függvénye (jelen esetben d 2w κ w = 2 = w′′ ). dx A közelítéseket az alábbi formában vesszük fel: a./ A nyomatékot és a fajlagos görbületet lineáris függvénnyel közelítjük (ezek teljesítik a ξ = 0 → M = κ = 0 feltételt):

M = M ξ , κ = κξ . b./ Az eltolódásokat harmadfokú Hermite-polinomokkal közelítjük: 1 1 1 1 w = (1− ξ ) 2 (2 + ξ ) w1 + l (1− ξ )2 (1 + ξ )θ1 + (1 + ξ ) 2 (2 − ξ ) w2 − l (1 + ξ ) 2 (1− ξ )θ2 . 4 8 4 8 A funkcionál számításához szükségünk lesz az eltolódásfüggvény második deriváltjára:  1  6ξ 6ξ κ w = w′′ =  w1 + (3ξ −1)θ1 − w1 + (3ξ + 1)θ2  . l  l l  Mindezeket az értékeket behelyettesítjük a VHW-funkcionálba, elvégezzük a hossz szerinti integrálást, majd a M , κ és w szerinti parciális deriváltakat nullával egyenlővé téve az alábbi egyenletrendszert kapjuk:  EIl  l  − 0 0 0 0  3  3   κ   0  2 2  l     − − 0 1 1   l l  3   M   0       f1 2  0  w1 0 0 0 0     =   . l    θ1   M 1   0     1 0 0 0 0    w2   f 2     0 − 2 0 0 0 0  θ2   M 2    l    0 1 0 0 0 0 

225


Előadásvázlat

Általánosítsuk most is a fentieket a végeselemes számítás céljára, hasonló módon, mint ahogy azt a HR-elvnél tettük az előzőekben. Vezessük be az alábbi approximációkat: u ≈ u appr . = N u v e , (10.32)

σ≈ σappr . = N σ σe , (10.33)

ε ≈ εappr . = N ε εe . (10.34) Az egyes jelölések értelmezése teljes mértékben megegyezik a HR-elv modellezésénél használttal, az egyetlen különbséget az jelenti, hogy most az alakváltozásokra is felírunk egy interpolációt. Az approximációk segítségével felírható mátrixok:

(

Ae = ∫ N Tε D N ε dV , B e = −∫ N Tσ N ε dV , C e = ∫ LN u V

V

)

T

N σ dV , g e = ∫ N Tu b dV + ∫ N Tu tˆ dS .

V

V

St

(10.35) A háromváltozós variációs feladathoz tartozó kompilált numerikus egyenletrendszer ezek segítségével állítható össze. Végső alakja:  A BT 0   ε   0        T (10.36)  B 0 C  σ =  0  .      0 C 0   v   g   

Rugalmasan összenyomhatatlan Hellinger-Reissner-funkcionállal

anyagok

vizsgálata

módosított

Mint azt az előző előadás „térfogati záródás” témakörénél említettük, az elmozdulásmódszeren alapuló végeselemes technikák alkalmazásakor komoly problémát jelent a rugalmasan összenyomhatatlan (Poisson tényezőjében 0,5-höz közelítő) anyagok vizsgálata. A többváltozós funkcionálok segítségével felépített végeselemes eljárások alkalmazásával elkerülhető a záródás jelensége. Ilyen esetek vizsgálatánál az alakváltozás és feszültségtenzorokat hidrosztatikus és deviátoros komponensekre felbontva használják, és természetesen ez a felbontás a peremérték- illetve a variációs feladatmegfogalmazásban is megjelenik. Az alapváltozók komponensei az ismert tenzoros mechanikai jelölésekkel (I az egységtenzor): 1 1 ε = e + ΘI és σ = s + pI, ahol Θ = tr(ε), p = tr(σ) . (10.37) 3 3 Írjunk fel először egy módosított Veubeke-Hu-Washizu-funkcionált ezekkel a paraméterekkel: 1 ΠVHW ,mód (u, e, Θ, s, p ) = ∫  2G e : e + K Θ2  dV − ∫ s : (e −∇s u dV −    2  V

V

226


Előadásvázlat

−∫ [ p (Θ− div u) ] dV − ∫ b ⋅ u dV . V

(10.38)

V

A fenti funkcionálban G a nyírási rugalmassági modulus, K a térfogatváltozási modulus (a nyírási rugalmassági modulus és a másik Lamé-paraméter függvényében K = λ + 2G / 3) , az elmozdulás-függvényre alkalmazott operátornál az „S” index arra utal, hogy a kapott tenzor szimmetrikus részét kell vennünk, a felülvonással pedig a deviátoros 1 részt jelöljük: ∇S u = ∇S u + div u I . Az elmozdulás-divergenciáról megjegyezzük, hogy 3 S div u= tr(∇ u) módon is számítható. Ha figyelembe vesszük az alábbi feltételeket: (10.39) e =∇Su , p = K Θ , akkor a VHW-funkcionálról áttérhetünk a valamivel egyszerűbb, módosított HellingerReissner-változatra: 1  1 1 2  Π HR , mód (u, p ) = − ∫  2G∇S u : ∇S u dV − ∫ p dV + ∫ p div u dV − ∫ b ⋅ u dV .  2V  2V K V V (10.40) Megjegyezzük, hogy ha ennek a funkcionálnak p szerinti variációját vesszük, akkor a hidrosztatikus nyomás és az elmozdulás-gradiens közötti összefüggéshez jutunk:  2  (10.41) p = K div u = λ + G  div u .  3  A rugalmas összenyomhatatlanság esetében ( K → ∞ ) a módosított funkcionál az alábbi alakra redukálódik: 1   (10.42) Π HR , mód (u, p) = − ∫  2G∇S u : ∇S u  dV + ∫ p div u dV − ∫ b ⋅ u dV  2  V

V

V

Ez a funkcionál emlékeztet az összenyomhatatlansági feltétellel kiegészített „klasszikus” potenciális energia függvényére, azzal a különbséggel, hogy most az elmozdulásfüggvény gradienséből csak a deviátoros részt vettük figyelembe. A módosított HRfunkcionál stacionaritási feltétele:  u S S  d ΠδHR , mód . (u, p ) = ∫  2G ∇ δu : ∇ u  dV + ∫ div(δu ) p dV − ∫ δu ⋅ b dV = 0 ,   V

V

V

(10.43) p d ΠδHR , mód

(u, p ) = ∫ δp div u dV = 0. V

(10.44) Vezessük be az alábbi approximációkat: (10.45) u ≈ u appr . = N u v e , p ≈ p appr . = N p pˆ e A e = 2G ∫ ∇ S N u : ∇ S N u  dV , B e = ∫ N p div N u dV , f e = ∫ N u ⋅ b dV , (10.46)   V

V

V

így a szélsőérték-feltételek (kompilálás után) az alábbi egyenletrendszert eredményezik:  A BT  uˆ   f       (10.47)  B 0  pˆ  = 0 .       227


Előadásvázlat

A numerikus tapasztalatok azt mutatták, hogy ez a megoldás időnként még mindig numerikus instabilitásokhoz vezethet, ezért megbízhatóbb változatnak tartják azt a kétparaméteres funkcionált, amelyet egy ɶp = λ div u feszültségmező bevezetésével állítanak elő (ez nem tévesztendő össze az eddig használt p hidrosztatikus nyomással, 2 hiszen p = K div u = ɶp + G div u ): 3  1  1 Π mód (u, pɶ ) = ∫  2G (∇s u : ∇s u ) − 2 pɶ 2  dV + ∫ pɶ div u dV − ∫ b ⋅ u dV .(10.48)  2  λ V

V

V

A szokásos módon felírva az approximációkat variációkat és behelyettesítve az (10.49) u ≈ u appr . = N u v e , pɶ ≈ pɶ appr . = N pˆ ɶpˆ e A e = 2G ∫ ∇ S N u : ∇ S N u  dV , B e = ∫ N ɶp div N u dV , f e = ∫ N u ⋅ b dV ,   V

V

V

(10.50) a kompilálást végrehajtva az alábbi egyenletrendszerhez jutunk:  A BT  uˆ   f      =  .  B 0  p     ɶˆ  0 A numerikus tapasztalatok szerint ez a változat igen stabil.

(10.51)

Módosított Hu-Washizu-funkcionál Simo és Rifai73 javasolta az 1990-es években a Veubeke-Hu-Washizu-funkcionál egy újabb, speciális módosítását (a szakirodalom „javított” (enhanced) változatnak nevezi módszerüket). Ebben a változatban az alakváltozásokat egy kompatibilis ( ∇ S u ) és egy inkompatibilis ( ~ε ) rész összegeként írják fel (csak a tenzoros jelölést írjuk fel): (10.52) ε = ∇ S u + ~ε . Behelyettesítve ezt a felbontást a VHW-funkcionálba: 1 ΠVHW , jav. (u, σ, ɶε) = ∫ (∇S u + ɶε) : D :(∇S u + ɶε) dV − ∫ σ : ɶε dV − ∫ b ⋅ u dV . 2V V V (10.53) A stacionaritási feltétel és a szokásos

u ≈ u appr . = N u v e ,

(10.54/a)

σ ≈ σ appr . = N σ σ e ,

(10.54/b)

ɶε ≈ ɶεappr . = N ε ɶεˆ e

(10.54/c)

A e = ∫ ∇S N u : D∇ S N u dV , B e = −∫ Nɶε : D∇S N u dV , V

V

Ce = ∫ N : D N dV , De = −∫ N : Nɶε dV , f e = ∫ N u ⋅ b dV ɶε

V

(10.55)

ɶε

σ

V

(10.56)

V

73

Simo, J. C. – Rifai, M. S. : „A class of mixed assumed strain methods and the method of incompatible modes”, Int. J. Numer. Methods Eng., Vol. 29, pp. 1595-1638, 1990. 228


Előadásvázlat

approximációk felírása, valamint a kompilálás után az alábbi egyenletrendszerhez jutunk:  A BT 0   v   f        T (10.57)  B C D   ɶεˆ  = 0 .      0   σ   0 0 D     A Simo-Rifai-javaslatot néha kiegészítik az inkompatibilis alakváltozásokra felírt ortogonalitási feltétellel: ~ (10.58) ∫ σ : ε dV = 0 . V

Ebben az esetben (10.53) második tagja eltűnik.

Megjegyzések a számításokhoz

vegyes

variációs

elveken

alapuló

végeselemes

Külön pontban szeretnénk felhívni a végeselemes modellezés különböző lehetőségei közül választani kívánók figyelmét arra, hogy a vegyes variációs elvek nagyon sokszor valóban hatékonyan oldanak meg bizonyos problémákat (például 1D szerkezeteknél az elmozdulásmódszerhez képest alacsonyabb ismeretlenszámmal képesek anyagi és keresztmetszeti változások pontosabb követésére, alkalmasak térfogati és nyírási jelenségek kiküszöbölésére, stb.). Alkalmazásuk során azonban sajnos nagyon sokszor tapasztaltak numerikus instabilitásokat, amelyek általában csak viszonylag bonyolult korrekciós technikákkal voltak megszüntethetők, sokszor éppen annyi gondot okozva a számítások során, mint maga az a probléma, aminek megszüntetésére eredetileg a vegyes módszert bevezették az egyváltozós variációs elvek helyett. Strang, a kiváló amerikai matematikus, a végeselemes számítások matematikai elemzésének egyik legjobb szakembere jegyezte meg a közelmúltban, hogy bizony sokszor „a vegyes modellek vegyes eredményekhez vezetnek…”. Mindennek ellenére a vegyes modelleknek megvan a maguk jelentősége a numerikus modellezés körében is, csupán arra kell ügyelnünk, hogy alkalmazásuk kizárólag ott történjen, ahol hatékonyságuk arányban áll a használatukra fordított munkamennyiséggel.

Hibrid variációs elvek és végeselemes modellezésük A hibrid variációs elvek elméleti kontinummechanikai alapjait Prager74 dolgozta ki részletesen, de megjegyezzük, hogy néhány évvel korábban Pian75 már publikált egy 74

Prager, W.: „Variational principles for linear elastostatics for discontinous displacements, strains and stresses”, in Recent Progress in Applied Mechanics, ed. Broger-Hult-NiordsonAlmquist-Wiksell, pp. 463-474, Stockholm, 1967. 75 Pian, T. H. H.: „Derivation of element stiffness matrices by assumed stress distributions”, AIAA J., Vol. 2, pp. 1333-1336, 1964. 229


Előadásvázlat

ennek megfelelő végeselemes változatot. Ezt követően egészen a kilencvenes évekig nagyon kevesen foglalkoztak vele, de azóta gyökeres változás következett be, ez a technika ma már a aktívan kutatott végeselemes fejlesztési területek közé tartozik. Ennek főleg az az oka, hogy az utóbbi években megnövekedett az igény a valamilyen értelemben nem folytonos feladatok (eltérő mechanikai modellezésű részekből összerakott tartók, makrorepedésekkel vagy másféle feszültségi szingularitásokkal terhelt szerkezetek, stb.) vizsgálati módszerei iránt. A vegyes eljárásoknál tapasztalt numerikus instabilitások is fokozták a várakozást egy olyan numerikus modell megteremtése iránt, amely képes lesz megtartani a vegyes technikák előnyeit, azok hátrányai nélkül. A szakirodalomban olvasható vélemények szerint ma a kutatók körében ez az eljárás kifejezetten ígéretesnek tűnik a végeselemes technika hatékonyságának növelésére. A hibrid eljárás lényegét a következő ábrán próbáljuk érzékeltetni.

10.12. ábra: Hibrid modellek tartományfelosztása A bal oldali ábrán látható 3D rugalmas testet (térfogat V, külső felülete S) vágjuk ketté egy tetszőleges helyen felvett Si felülettel (a kimetszett részt, vagyis mindkét oldalát együtt „belső perem”-nek szokás nevezni a vonatkozó szakirodalomban), amely az eredeti térfogatot két ( V + és V − ) részre osztja. A metsző felülethez tartozó normálisokat jelöljük

n+ és n− normálisokkal, a „maradék” külső felület neve pedig legyen S x . Megjegyezzük, hogy a belső perem kétszer jelenhet meg az egyenletekben. Erre a jelenségre utal a fenti kép jobb oldali ábrája is, ahol egy 2D testet négy részre vágtunk 230


Előadásvázlat

(jelen esetben görbékkel, hiszen nem 3D testről van szó), majd valamennyi tartományt körbejártunk valamilyen mechanikai egyenlet felírása érdekében. A variációs elvekben szereplő felületi és térfogati integrálokat ilyen feladatoknál a részekre osztásnak megfelelően kell előállítani76 (M a részek száma):

∫ V

M

f dV = ∑ ∫ f dV , m=1 V m

∫ g dS =∫ g dS + ∫ g dS + ∫ g dS . S

Su

St

(10.59)

Si

A hibrid módszerekben használt energiafüggvényeket éppen ilyen belső peremek felhasználásával állítják elő. A módszer általános elve mindig két függvény felhasználására épül: HIBRID elv = BELSŐ funkcionál + BELSŐ PEREM potenciáljának együttes használata A „belső” funkcionál valamelyik eddig tanult (egy- vagy többváltozós77) potenciálfüggvény, a belső perem potenciálja pedig a metszetfelületen mérhető alakváltozási energiát méri. A belső funkcionálra gyakran használják például a rugalmasságtan teljes kiegészítő potenciális energiájának negatív előjelű függvényét: ⌢ ɶ (σ ) = − 1 σ C σ dV + uˆ σ n dS . Πbelső (σ i j ) = −Π (10.60) ij i j i jkl kl ∫ i ij j 2 ∫V S u

Ennek segítségével a hibrid elv egy lehetséges potenciálfüggvénye: ⌢ ⌢ Π dHibrid = Πbelső (σ i j ) + πd (σ i j , d i ) = Πbelső (σ i j ) + ∫ d i σ i j n j dS ,

(10.61)

Si

ahol di a peremfelületen felvett elmozdulásmező78, melynek feladata az egyes (fiktíven) elvágott részek összekapcsolása. A πd (σ i j , di ) tagot fogjuk a belső perem potenciáljának79 nevezni. Megjegyezzük, hogy értéke csak akkor lesz zérustól különböző, ha az elvágott felületen felvett függvények nem azonosak. Megjegyezzük, hogy a végeselemes technikákban legtöbbször az összes elem körül peremfelületet vesznek fel, mintegy „keretbe” foglalva az egyes elemi tartományokat (innen adódik az előbb említett „keretező” jelző is a di elmozdulásokra.

76

A közbenső felületekből adódó, előbb említett „kétszereződés” a felületi integrál utolsó tagjánál általában nem jelentkezik, mert folytonos függvények esetén ez a tag zérus lesz. Kizárólag a felületen levő valamilyen diszkontinuitás okozhat zérustól eltérő eredményt, a hibrid modellek alkalmazása azonban főleg az ilyen eseteket érinti. 77 Hangsúlyozzuk, hogy ez lehet „klasszikus” potenciális energiafüggvény, de lehet HR- vagy VHW-funkcionál is. 78 A szakirodalom „kapcsoló” vagy „keretező” elmozdulásmezőnek is nevezi. 79 Megjegyezzük, hogy az így kapott függvényt azért nem lehet „vegyes” funkcionálnak tekinti (bár van olyan publikáció, ahol így nevezik ezt a modellt is), mert a „belső alakváltozásmező” kizárólag a peremfelületen létezik, így nem tekinthető térfogati változónak (lásd a korábbi osztályozásunkat). 231


Előadásvázlat

A Π dHibrid potenciálfüggvényt másféle felbontásban is megadják: ɶ Πd = −Π +W , Hibrid

belső

(10.62)

d

ɶ ahol Π belső a komplementer belső energia, a másik tag pedig az előzőek alapján:

Wd = ∫ uî σ i j n j dS + ∫ d i σ i j n j dS Su

(10.63)

Si

módon számítható. Ezt az átalakítást elsősorban a végeselemes számítások érdekében hajtják végre, ugyanis ilyenkor a peremfelületekre vonatkozó integrált ki lehet fejezni a teljes felületre vonatkozó hatással: ∫ di σ i j n j dS = ∫ d i σ i j n j dS −∫ di σ i j n j dS − ∫ di σ i j n j dS . (10.64) Si

S

Su

St

Ha ezt a kifejezést behelyettesítjük a Wd -re kapott képletbe, akkor a következőt kapjuk: Wd = ∫ di σ i j n j dS − ∫ d i tî dS , S

mivel a

(uˆ

i

(10.65)

St

− di ) σ i j n j tag S u feletti integrálja zérus lesz az ezen a tartományon

alkalmazható d i = uˆ i feltétel miatt. A jobb oldal második tagjának átalakításakor felhasználtuk az S t felületrészre igaz σ i j n j = tî egyenlőséget. Írjuk fel most a hibrid funkcionált Wd módosított alakjával: 1 Π dHibrid = − ∫ σ i j C i j k l σ k l dV + ∫ d i σ i j n j dS − ∫ di tî dS . 2V S S

(10.66)

t

Jelentős különbség az előzőekhez képest, hogy most a belső potenciált az egész külső felületen kell számítanunk és nem kell foglalkoznunk külön a peremfelületekkel. Ezt az alakot szokás a végeselemes technikákban hibrid potenciálként használni. Nézzünk végül egy egyszerű végeselemes modellt a fentiek illusztrálására. Először magának a finitizálásnak a hibrid technikáknál alkalmazott elvi lépéseit illusztráljuk egy vázlaton:

10.13. ábra: Finitizálás a hibrid technikánál

232


Előadásvázlat

A tényleges számítást Pian-nak jelen pont bevezetésekor említett cikkéből vett példával illusztráljuk. Megjegyezzük, hogy ez az elem a modern számításokban már ritkán fordul elő viszonylag alacsony pontossága és még mindig meglévő „enyhe” záródási hajlama miatt, „iskolapéldának” azonban tökéletesen megfelel, mert a ma használatos, sokkal bonyolultabb függvényeket alkalmazó változatok ugyanezeket a lépéseket alkalmazzák.

10.14. ábra: Egy elem vázlata A rajzon látható tárcsaelemen négy csomópontot vettünk fel. A vastagság és az anyagi tulajdonságok állandóak, a viselkedés lineárisan rugalmas, a tömegerőket elhanyagoljuk. A 2D feszültségmezőt Pian lineáris függvényekkel interpolálta80: σ x = a1 + a 4 x + a 5 y , σ y = a 2 + a6 x + a7 y , τ x y = a3 + a 8 x + a 9 y. (10.67) A feszültségeknek ki kell elégíteni a Cauchy-egyenleteket: ∂τ x y ∂σ y ∂σ x ∂τ x y (10.68) + = 0, + =0. ∂x ∂y ∂x ∂y A közelítéseket ide helyettesítve a differenciálegyenletek felhasználásával az alábbi kapcsolatokat kapjuk: a4 + a9 = 0, a7 + a8 = 0. (10.69) Ha a nyírófeszültség képleténél ezeket figyelembe vesszük, akkor annak értéke: (10.70) τ x y = a3 − a7 x − a4 y . Mindezek figyelembevételével hét független paraméterünk maradt, ezek segítségével mátrix alakban írjuk fel az interpolációt:

80

Az a i paramétereket a hibrid –VEM szakirodalom „feszültségi amplitúdóknak”, vagy egyszerűen „feszültségi paramétereknek” hívja. 233


Előadásvázlat

 a1    a   σ x  1 0 0 x y 0 0   2        σ  = 0 1 0 0 0 x y   .  ⇔ σ = S a . (10.71)  y     τ   0 0 1 − y 0 0 −x   .   x y   .      a7  Adjuk meg most a peremfelületi elmozdulásmező és a csomóponti elmozdulások kapcsolatát megadó egyenleteket ( P mérete 8 x 8-as):  d x12  1− ξ12 0 1 + ξ12 0 0 0 0 0   u x1        d y12  u   0  1 0 1 0 0 0 0 ξ ξ − + 12 12      y1     0 1− ξ23 0 1 + ξ23 0 0 0   u x 2   d 23  1  0  . =  . . . . . . . .  u y 2  ⇔ d = P v e .   2    . . . . . . .   .   .   .      . . . . . . .  .   .   .      1 + ξ41 0 0 0 0 0 1− ξ41  u y 4   0  d y 41  (10.72) Látható, hogy az 1-2 élen a kompatibilitást biztosító d x12 és d y12 peremfelületi mozgásokat az egyes és kettes csomópontok elmozdulásaiból számítjuk81. Következő számítandó változóként a felületi feszültségeket határozzuk meg. Az egyes komponensek általános képletei: (10.73) t x = σ x nx + τ x y n y , t y = τ y x nx + σ y n y . Az elem egyes élein a normálvektorok rögzített irányúak, segítségükkel a feszültségek egyszerűen transzformálhatók. Például az 1-2-s élen: σ  t x12   nx12 0 n y12   x ,12   =   σ  = N σ12 = N S a , (10.74) 12 12 12  t 12   0 n y12 nx12   y ,12       τ  x y ,12  ahol S 12 az előbb bemutatott S mátrix 1-2-es élre alkalmazott változata. Megismételve ezt az eljárást a többi három élre, a felületi erők vektorára az alábbi egyenletet kapjuk: (10.75) t =T a , ahol az erők vektora: T t = t x12 t y12 t x 23 t y 23 .... t y 41  . (10.76) A T transzformáció 8× 7 -es mátrix, négy darab 2× 7 -es blokkból építhető fel N 12 S 12 , N 23 S 23 , N 34 S 34 és N 41 S 41 segítségével. Az egyenletben szereplő ξ i j az i és j csomópontok közötti oldalélen felvett (–l és +1 között változó értékű) lokális koordinátát jelöli.

81

234


Előadásvázlat

Megjegyezzük, hogy ha az elem éleire külső terhek működnek, akkor azokat is hasonló módon vehetjük figyelembe. Megkülönböztetésül ezeket a komponenseket másféle módon jelöljük: T (10.77) tˆ = tˆx12 tˆy12 tˆx 23 tˆy 23 .... tˆy 41  .

A fentiekben az elemre számított egyes komponenseket végül behelyettesíthetjük a hibrid funkcionálba. Voigt-szimbólumokkal: 1 T T T Π dHibrid = − a F a + a Gu − f u , (10.78) 2 ahol az egyes mátrixok jelentése (h az elem vastagsága): T T −1 T (10.79) F = ∫ h S D S d Ω, G = ∫ hT P d Γ, f = ∫ htˆ P d Γ . Ωe

Γe

St , e

A hibrid funkcionál szélsőértékét a feszültségek és az alakváltozások szerinti deriváltak segítségével határozzuk meg: d d ∂Π hibrid ∂Π hibrid T (10.80) =− F a + Gu = 0, = G a − f = 0. ∂a ∂u Az első egyenlet mechanikai tartalmát tekintve a diszkrét kompatibilitási feltételeknek, a második pedig az egyensúlyi feltételeknek felel meg. Hipermátrix alakban a hibrid elem egyenletrendszere: −F G   a   0        GT 0  u  =  f        Az első egyenletből meghatározható az a vektor:

.

(10.81)

−1

a =F Gu . (10.82) Ezt behelyettesítve a második egyenletbe, megkapjuk az elem egyensúlyi feltételét leíró egyenletrendszert, benne az elem merevségi mátrixával: T −1 (e) (e) (e) ( e) T −1 G F G u− f =0 ⇒ K u = f , K = G F G . (10.83)

Befejezésül néhány megjegyzés: a./ Minden „egyszerűsége” ellenére ez az elem például hajlítási feladatok tárcsaszerű modellezésénél jobb eredményt ad, mint a „hagyományos” négycsomópontos izoparametrikus elem. b./ Pian a nyolcvanas évek közepén módosította a feszültségek interpolációját, mindössze öt paraméterre csökkentve a feszültségi együtthatók számát (lásd például a vegyes elemeknél bemutatott modelljét). Ez egyes esetekben javította az alkalmazhatóságot és a futás sebességét, viszont csak derékszögű négyszög tartományok vizsgálatára tette alkalmassá az elemet. c./ Sok kutató próbálkozott általános görbült lokális koordináta-rendszer használatával a hibrid elemeknél, de ezek általában nagyon bonyolult 235


Előadásvázlat

kifejezésekhez vezettek, mikor a feszültségi feltételi egyenleteknél használták őket.

Felhasznált szakirodalom: 1./ Zienkiewicz, O. C. – Taylor, R. L. : The Finite Element Method, The Basis – Solid Mechanics, Butterworth-Heinemann, 2000. 2./ Reddy, J. N. : An Introduction to the Finite Element Method, McGraw-Hill, 1993. 3./ Stein, E. – de Borst, R. – Hughes, T. J. R. : Encyclopedia of Computational Mechanics, Vol. 1: The Fundamentals, pp. 242 – 278, John-Wiley, 2004. 4./ Lecture Notes in FEM, Colorado University, Colorado, 2006. 5./ Reddy, J. N. – Chen-Shyh-Tsay : Mixed rectangular finite elements for plate bending. Proc. Oklahoma Acad. Sci. 57: 144-148, 1977. 6./ Reddy, J. N. : Energy principles and variational methods in applied mechanics, John Wiley, 2002. 7./ Bojtár I. – Gáspár Zs. : Végeselemmódszer építőmérnököknek, Terc, 2003. 8./ Washizu, K. : Variational principles in elasticity and plasticity, Pergamon, 1982.

236


Előadásvázlat

11. előadás: A peremelemmódszer alapjai82 11.1. Bevezető megjegyzések A peremelemmódszer sok területen a végeselemmódszer hatékony alternatívája az elméleti kutatásokban és a gyakorlati számításokban. Olyan esetekben célszerű alkalmazni, amikor a vizsgált tartomány belsejében sem geometriai, sem szilárdságtani értelemben nincsenek jelentős „változások”. A módszer lényege az, hogy az erős alakban megadott peremérték-feladatot különlegesen megválasztott súlyfüggvények használatával átírjuk olyan gyenge alakba, amelyben az ismeretlen függvénynek egy tetszőleges pontbeli értéke kifejezhető ezen függvénynek a vizsgált tartomány peremén felvett jellemzőivel. Így – ha a peremet diszkretizáljuk – akkor az ott felvett csomóponti értékek a tartomány belsejében felvett paraméterektől függetlenül meghatározhatóak, majd a tartomány belső pontjaiban felvett értékek egyenként számíthatók a peremen kapott értékekből. A lépések megértése céljából először a síkbeli stacioner hővezetési feladat peremelemes megoldását mutatjuk be, mert ebben a feladatban skalárfüggvény az ismeretlen függvény. A megoldás lépései ezek után már általánosíthatók a rugalmasságtani térbeli feladatai esetére. A módszer nagy előnye, hogy (a) a feladat dimenziószáma általában eggyel csökken (térbeli feladatok esetén a tartomány felületére felírt integrálegyenleteket kell numerikusan megoldani, síkfeladatok esetén pedig a tartomány kontúrgörbéjére felírt integrálegyenletek adják a megoldást), (b) a dimenziószám csökkenéséből adódóan ugyanazon feladatot tekintve a végeselemes technikához képest legalább egy nagyságrenddel kevesebb a csomópontok száma, és így természetesen kisebb számítógépes kapacitásra van szükség és jóval kisebb a futási idő. A módszer hátrányai közé tartozik, hogy

(a)

a megoldást adó lineáris egyenletrendszer mátrixa, eltérően a végeselemes eljárásoktól, nem sávos szerkezetű és nem szimmetrikus,

(b) az egyenletrendszer megoldhatóságát jellemző kondíciószám speciális esetekben nagyon nagy lehet, ami numerikus stabilitási problémákat okozhat. A peremelemes technika általában csak a „peremeken” (2D feladatoknál a kontúrvonalakon, 3D feladatoknál a határoló felületeken) alkalmaz finitizálást (egy síkbeli esetre vonatkozó peremelem felosztást a 11.1. ábra szemléltet). 82

A szerzők köszönetüket fejezik ki dr. Szeidl Györgynek a fejezet összeállításában nyújtott aktív segítségért és hasznos tanácsaiért. 237


Előadásvázlat

11.1. ábra: A perem felosztása peremelemekre

Hangsúlyozzuk, hogy a módszer tárgyalásakor elsősorban a peremeken felvett ismeretlenek számításának bemutatása a célunk, mivel ezek ismeretében a tartomány belsejének fizikai állapotát leíró mennyiségek meghatározása, mint azt (legalábbis elvileg, de a vonatkozó numerikus eljárások bemutatása nélkül) látni fogjuk, csupán határozott integrálok számítását igényli. Az érdeklődő olvasó az irodalomjegyzékben felsorolt művekben tájékozódhat a vonatkozó részletekről. Külön is kiemeljük ehelyütt ezek közül a bevezető szintű [1], valamint a tárgyalásmódjában tömör, de jelentős áttekintést nyújtó [2] alatti művet. A módszer integrálegyenleteiről magyarul a [3] alatti könyv 8. fejezetét, pdf formában letölthetően pedig a [4] alatti művet ajánljuk.

11.2. A stacioner hővezetési feladat vizsgálata peremelemmódszerrel 11.2.1. A stacioner hővezetési feladat Mint már említettük, első példaként a síkbeli stacionér (időfüggetlen) hővezetési feladat megoldását mutatjuk be, mert ennek vizsgálata némileg egyszerűbb, mint a rugalmasságtan területein felmerülő feladatoké. A vizsgálat tárgyát képező kétdimenziós Ω tartományt, annak Γ peremét (peremgörbéjét vagy kontúrját), illetve a peremet alkotó Γu és Γt peremrészeket (a peremet alkotó peremíveket) a 11.2. ábra szemlélteti (

Γu ∪ Γt = Γ , Γu ∩ Γt = 0 ).

11.2. ábra: Végesben fekvő síkbeli tartomány és peremgörbéje

238


Előadásvázlat

Legyen a vizsgálat tárgyát képező test homogén és izotrop. Jelölje u a keresett hőmérsékletmezőt, λ a hővezetési tényezőt, bˆ a tartományi hőforrássűrűséget (az időegység alatt egységnyi térfogatban keletkező, vagy ott elvont hőmennyiséget). A Γ peremen nκ ( nκ nκ = 1 ) a külső normális83. Elsődleges feladatunk az u hőmérsékletetmező meghatározása, ha a Γu peremíven az u hőmérsékletmező, a Γt peremíven pedig t hőáram (a perem adott pontjában időegység alatt átáramló hőmennyiség) az előírt. Az előírt értékeket itt és a továbbiakban felülvonással jelöljük.

11.2.2. A stacioner hővezetési feladatok egyenletei A hővezetési feladat egyenleteit a hˆk hőmérsékleti gradienst adó hˆ = u κ

,κ

értelmező egyenlet, a hőáramvektort adó hκ = λ hˆκ anyagegyenlet, valamint a lokális hőegyensúlyt kifejező hκ , κ + bˆ = 0

(11.1/a) (11.1/b) (11.1/c)

mérlegegyenlet alkotják. A Γ peremen átáramló t hőmennyiség a hőáramvektor és a külső normális egységvektor szorzata (az u hőmérsékletmező n irány szerinti deriváltjának és a λ hővezetési tényezőnek a szorzata): ∂u t = hκ nk = λ u , κ nκ = λ . (11.2) ∂n A hˆk és hk elsődleges és másodlagos közbülső változók eliminálásával a (11.3/a) λ u κκ + b = 0 ∇ 2u

differenciálegyenletet kapjuk az u alapváltozóra (a hőmérsékletmezőre). A (11.3/a) differenciálegyenlethez (a stacioner hővezetési feladat alapegyenletéhez) az (11.3/b) u − u = 0 a Γu − n és t − t = 0 a Γt − n 84 peremfeltételek tartoznak . A (11.3/a) alapegyenletből a λ hővezetési tényezővel történő átosztással a ∇ 2u + b = 0 ,

b=

bˆ λ

(11.4)

az ún. Poisson-egyenletet kapjuk. A továbbiakban ennek az egyenletnek a megoldásával foglalkozunk majd. 83

Görög index értéke 1,2; latin index értéke 1,2,3 lehet az indexes jelölésmódban írt egyenletek esetén. ∂u 84 Legyen α , β és γ három állandó. Megjegyezzük, hogy az α + βΦ + γ = 0 alakú és a gyakorlatban sokszor ∂n előforduló peremfeltételt a szakirodalom ún. Robin-féle peremfeltételnek hívja. Mi a továbbiakban ezt kizárjuk vizsgálódásaink köréből.

239


Előadásvázlat

Az egyszerűség kedvéért mostantól kezdve feltételezzük85, hogy λ = 1 (ez esetben azonos a hőmérsékleti gradiens és a hőáramvektor, a b pedig önmagában a hőforrássűrűség). A (11.3b) alatti peremfeltételek változatlanok. Ha zérus értékű a hőforrássűrűség, akkor az u hőmérsékletmező a ∇2u = 0 (11.5) ún. Laplace-egyenlet (potenciálegyenlet) megoldása. Az utóbbi egyenlet megoldásait potenciálfüggvényeknek szokás nevezni.

11.2.3. A súlyozott maradékok módszere a stacioner hővezetési feladatra Alkalmazzuk továbbiakban a súlyozott maradékok módszerét a (11.4) differenciálegyenlet és a (11.3/b) peremfeltételek által meghatározott peremértékfeladatra: a w1 , w2 és w3 súlyfüggvények segítségével egyetlen integrál-kifejezésbe vonjuk össze az alapegyenletet és a két peremfeltételt: 2 (11.6) ∫ w1 (∇ u + b) d Ω + ∫ w2 (u − u ) d Γ + ∫ w3 (t (u ) − t ) d Γ = 0 . Ω

Γu

Γt

Mivel a súlyfüggvényekre nincs semmiféle kötött előírás, úgy is felvehetjük őket, hogy teljesüljenek az alábbi feltételek86: w1 = w , w2 = ∂w / ∂n = t ( w), w3 = −w , (11.7) ahol t ( w) = ∂w / ∂n az a hőáram a peremen, ami a w hőmérsékletmezőhöz tartozna, ha a w függvényt hőmérsékletmezőnek tekintenénk. A (11.6) egyenlet új alakja ennek megfelelően: 2 ∫ w∇ u d Ω + ∫ wb d Ω + ∫ (u − u ) t ( w) d Γ − ∫ w(t (u ) − t ) d Γ = 0 . Ω

Ω

Γu

(11.8)

Γt

Az első tagot át lehet alakítani az Ω síktartományon felvett integrálokkal kapcsolatos ún. Green-tétel segítségével87: 2 2 (11.10) ∫ w∇ u d Ω = ∫ u∇ w d Ω + ∫ wt (u ) d Γ − ∫ u t ( w) d Γ . Ω

Ω

Γ=Γu ∪Γt

Γ=Γu ∪Γt

A fenti képlet behelyettesítése és némi rendezés után az alábbi alakba írható át a (11.8) egyenlet: 85

A megoldás lineáris függvénye lesz a b -nek. Ezért ez a feltevés nem sérti az általánosságot és ugyanakkor segíti a fizikai háttér szövegben történő kiemelését. 86 Megjegyezzük, hogy később még a w -t is speciálisan választjuk meg. 87 Legyen az u és w két legalább kétszer folytonosan deriválható, de egyébként tetszőleges skalármező. A Green-tétel szerint 2 2 (11.9) ∫ w∇ u d Ω− ∫ u∇ w d Ω = ∫ wt (u ) d Γ − ∫ u t (w) d Γ . Ω

Ω

Γ

Γ

A további részletekért lásd a http://en.wikipedia.org/wiki/Green\%27stheorem honlapot.

240


Előadásvázlat

∫ u∇ w d Ω + ∫ wb d Ω− ∫ u t (w) d − ∫ u t ( w) d ΓΓ = 2

Ω

Ω

Γu

Γt

= −∫ wt (u ) d ΓΓ − ∫ w t d Γ . Γu

(11.11)

Γt

Ha figyelembe vesszük, hogy u = u a Γu peremrészen, és t (u ) = t a Γt peremrészen, akkor összevonható két-két tag:

∫ u∇ w d Ω + ∫ wb d Ω− ∫ ut ( w) d Γ = −∫ wt (u) d Γ . 2

Ω

Ω

Γ

(11.12/a)

Γ

Ha zérus a hőforráseloszlás értéke – ezt a továbbiakban egyelőre feltételezzük – az egyenlet tovább egyszerűsödik: 2 (11.12/b) ∫ u∇ w d Ω− ∫ ut (w) d Γ = −∫ wt (u) d Γ . Ω

Γ

Γ

11.2.4. Alapmegoldások a hővezetési feladatra A továbbiakban feltételezzük, hogy 2D esetén a sík, 3D esetén a tér egy futópontját (ennek koordinátáit változónak tekintjük) p , egy rögzített pontját (ezt paraméternek tekintjük) pedig q jelöli. Megállapodunk abban is, hogy nagybetűvel jelöljük a p , illetve q pontot, ha az az Ω tartomány (síktartomány, tértartomány) Γ peremére (peremgörbéjére, peremfelületére) esik. Vezessük be az alábbiakban a δ ( p − q) módon jelölt Dirac-függvényt (Diracdisztribúciót). A függvény értelmezésében szereplő Ω tartomány síkbeli és térbeli egyaránt lehet. Legyen az f ( p) függvény az Ω tartományon értelmezett tetszőleges folytonos függvény. Értelmezése szerint a Dirac-függvény (a) (b) (c)

zérus, ha p ≠ q ; végtelen értékű, ha p = q , továbbát teljesüljön a  f (q ) q ∈Ω  ∫ Ω f ( p)δ( p − q)d Ω p =  f (q) / 2 q = Q ∈ Γ  0 q∈ / Ω∪Γ  feltétel.

(11.13)

Ha f ( p ) = 1 , akkor a (11.13) értelmező egyenlet azt fejezi ki, hogy a végtelen sík, illetve a végtelen tér p pontjaihoz – a p = q pontot kivéve – zérus értékű, egyébként integrál értelemben egységnyi értékű hatást rendelünk, ez utóbbit akkor, ha q az Ω tartomány belső pontja. A hővezetési feladat terminológiájával úgy is fogalmazhatunk, hogy a Diracfüggvény olyan egységnyi értékű hőforráseloszlás, amely mindenütt zérus, kivéve a p = q pontot.

241


Előadásvázlat

Megállapodunk abban, hogy valamely differenciáloperátor felett álló p vagy q azt jelöli, hogy a futópontnak tekintett p pont, vagy pedig a paraméternek tekintett q pont koordinátái szerint deriválunk. Jelölje U ( p, q ) a p

∇ 2u + δ ( p − q) = 0

(11.14)

b

differenciálegyenlet (hővezetési egyenlet) partikuláris megoldását a teljes (végtelennek tekintett) sík felett. A nagybetű használatát az egyéb feladatok megoldásától való különbségtétel, valamint az indokolja, hogy ez a megoldás a p futópont és a paraméternek tekintett q pont függvénye (úgynevezett „kétpontfüggvény”). Emlékeztetve a Dirac-függvényről mondottakra, az U ( p, q ) megoldás az a hőmérsékleteloszlás, amely a sík q pontjához kötött egységnyi intenzitású hőforráshoz tartozik. Az U ( p, q ) függvény az elsőrendű alapmegoldás, vagy röviden alapmegoldás. A q pontot forráspontnak, a p pontot pedig, ahol éppen ki akarjuk számítani az U ( p, q ) függvény értékét, megfigyelési pontnak fogjuk nevezni (szokásos emellett még a terhelési pont és a mezőpont elnevezés is). Legyen r = r ( p, q) a p és q pontok távolsága, rκ pedig a q -ból p -be mutató helyvektor. Ismeretes, hogy a (11.14) egyenlet partikuláris megoldása, azaz az U ( p, q ) alapmegoldás zárt formában adható meg: 1 1 U ( p, q ) = ln . (11.15) 2π r Megjegyzések88:

•

Vegyük észre, hogy szimmetrikus függvénye az alapmegoldás a p és q pontoknak, következőleg fennáll a

•

w( p, q) = w(q, p) egyenlet. Rögzített q mellett a p pontra nézve, rögzített p mellett pedig a q pontra nézve pontszimmetrikus függvény az U ( p, q ) alapmegoldás.

• •

Ha p = q , akkor logaritmikus szingularitása van az alapmegoldásnak. Ha p ≠ q , akkor Laplace-egyenlet a (11.14) hővezetési egyenlet. Következésképp p ≠ q esetén harmonikus függvény89 kell, hogy legyen a (11.15) alatti alapmegoldás. Figyelembe véve, hogy polárkoordináta-rendszerben pontszimmetrikus viszonyok mellett d 2U 1 dU (11.16) + = 0 dr 2 r dr

88

Az ismertetés a megjegyzések nélkül is érthető, azokat a mélyebb részletek iránt is érdeklődők kedvéért közöljük. 89 A Laplace-egyenlet megoldásait harmonikus függvényeknek szokás nevezni.

242


Előadásvázlat

az U -ra felírt Laplace-egyenlet, nem nehéz ellenőrizni, hogy ezt p ≠ q -ra valóban teljesíti a síkbeli esetre vonatkozó (11.15) alapmegoldás. Nyilvánvaló, hogy U ( p, q ) mindkét változójában kielégíti a fenti egyenletet.

Ha λ = 1 (ez volt a feltevésünk), akkor a hőmérsékletmező gradiense megegyezik a hκ hőáramvektorral. A δ ( p − q) hőforráseloszláshoz tartozó U ( p, q ) hőmérsékletmező esetén tehát r hκ = U ( p, q) , κ = − κ 2 2πr (11.17) a hőáramvektor a p pontban ( p szerint kell deriválni). Nyilvánvaló a (11.2) képlet alapján hogy az Ω tartomány Γ peremén ∂U ( p , q ) n ( P ) r ( q, P ) t (U ) = T ( P, q ) = nκ ( P) U ( p, q ) , κ  = =− κ 2 κ (11.18) p= P 2πr (q, P ) ∂n p= P az átáramló hőmennyiség. Az utóbbi képlet a T ( P, q ) másodrendű alapmegoldást értelmezi. Megjegyzések: • •

Ha p = P = Q , akkor 1/ r típusú szingularitása van a másodrendű alapmegoldásnak. Korábban megmutattuk, hogy p ≠ q -re teljesíti az U ( p, q) alapmegoldás a (11.14) differenciálegyenletet. Az alábbiakban igazoljuk, hogy p = q -ra is teljesül a (11.14) egyenlet. Ehhez elegendő azt

11.3. ábra: Hőáram a peremen megmutatni, hogy q ∈ Ω esetén –l a tartomány peremén átáramló hőmennyiség. Ez esetben ugyanis teljesül a hőegyensúly, azaz zérus értékű a tartományon és a peremen közölt hőmennyiség. Kihasználva a 11.3. ábra jelöléseit, az alábbiak szerint irható fel a peremen áthaladó hőmennyiség:

I =∫ T ( P, q) dsP = −∫ Γ

Γ

nκ ( P )rκ (q, P ) cos ϕ 1 dsP = −∫ dsP = − ∫ dσ . 2 Γ 2πr ( q, P ) 2πr (q, P) 2π Γ

243

Bojtár-Gáspár: A végeselemmódszer matematikai alapjai Vegyük figyelembe a végső eredmény felírásánál, hogy a

Előadásvázlat

dsP ívelemnek dσ a látószöge. Következésképp

az Ω tartomány q pontból vett látószöge adja a legutolsó vonalintegrál értékét. Ez az érték nyilvánvalóan a q pont tartományhoz viszonyított helyzetétől függ. Ha a q belső pont, 2π a látószög, ha a q perempont és sima a perem, akkor kapjuk, hogy:

π a látószög, az Ω -n kívül fekvő q esetén pedig zérus. Következésképp azt q ∈Ω ,  −1  I=∫ ΓT ( P, q) dsP = −1/ 2 q = Q ∈ Γ ,  0 / Ω∪Γ . q∈ 

(11.19)

A (11.19) 1 egyenlet szerint bármely Ω tartományra –l a peremen áthaladó hő, ha belső pont a q . Ezzel igazoltuk, hogy az alapmegoldás valóban teljesíti a (11.14) egyenletet.

11.2.5. A súlyfüggvény megválasztása a hővezetési feladat esetén A továbbiakban a (11.14) differenciálegyenlet U ( p, q ) megoldását tekintjük w súlyfüggvénynek. Ezzel a súlyfüggvénnyel átírható a (11.12/b) egyenlet a

∫ Ω

p

2 u( p) ∇ U ( p, q) d Ω p − ∫ u ( P) t [U ( P, q )] d Γ P = −∫ U ( P, q)t[u ( P)] d Γ P

Γ

−δ ( p−q )

(11.20)

Γ

T ( P,q)

alakba. Vegyük észre, hogy mindenütt jelöltük, hogy (a) milyen változó szerint történik a deriválás, és (b) milyen változóban integrálunk. Ezt a jelölésbeli megállapodást mindenütt – ahol szükségesnek véljük – fenntartjuk majd a továbbiakban. Azt is figyelembe vettük (11.15), valamint a (11.18) alapján, hogy mi az p

értéke a ∇ 2U ( p, q ) és t[U ( P, q )] skalároknak. Ezeket helyettesítve – némi rendezéssel –l az

∫ u ( p)δ( p − q) d Ω Ω

p

= ∫ U ( P, q)t ( P) d Γ P − ∫ T ( P, q )u ( P ) d Γ P Γ

Γ

(11.21) alakba írható át a (11.20) egyenlet.

11.2.6. A Green-féle formulák A (11.21) egyenlet bal oldalán álló tartományi integrál értékére a δ ( p − q) Diracfüggvénnyel kapcsolatos (11.13) 1 összefüggés felhasználásával – feltételezzük, hogy belső pont a q – az ∫ u ( p )δ ( p − q) d Ω p = u (q ) eredmény adódik. Ezt helyettesítve Ω

kapjuk a (11.21) egyenletből az első Green-féle formulát: u (q ) = ∫ U ( P, q)t ( P) d Γ P − ∫ T ( P, q)u ( P)d Γ P , Γ

q ∈Ω.

(11.22)

Γ

Ez az egyenlet a megoldásra vonatkozó reprezentációs tétel: ha az Ω tartomány teljes Γ peremén ismert a u függvény, és annak t[u ( P)] = t ( P) normálirányú deriváltja, akkor kvadratúrákkal állítható elő a (11.4) hővezetési egyenlet megoldása zérus 244


Előadásvázlat

tartományi hőforráseloszlás feltételezése mellett az Ω tartomány egy belső pontjában.

A reprezentációs tétel alkalmazásánál az okozza a gondot, hogy adott P perempontban vagy csak maga a u függvény, vagy pedig csak annak t normálirányú deriváltja ismert a peremfeltételekből. A képlet alkalmazhatóságához meg kell tehát határoznunk az ismeretlen u ( P) P ∈ Γt függvényt, valamint az ugyancsak ismeretlen t ( P ) P ∈ Γu függvényt. A 11.1. ábrát követő bekezdés általánosságban utal arra a kérdésre, hogy hogyan kell számítani a tartomány belső pontjaiban az ismeretlen fizikai mennyiségeket (jelen esetben a hőáramvektort). A hővezetési feladat esetén ez a számítás a (11.22) egyenleten – az első Green-féle formulán – alapul. A továbbiakban azzal a kérdéssel foglalkozunk, hogy milyen egyenlet felhasználásával lehet a peremen ismeretlen u ( P) , P ∈ Γt , valamint t ( P ) , P ∈ Γu függvényeket meghatározni. Ennek érdekében a 11.4. ábrán vázolt Ω′ tartomány esetén alkalmazzuk majd a (11.20) összefüggést.

11.4. ábra: A síkbeli Ω′ tartomány

Az Ω′ tartomány legfontosabb sajátosságai: - Feltevés szerint a forráspont az Ω tartomány Γ peremgörbéjének egy tetszőlegesen rögzített pontja: q = Q . - Feltevés szerint sima a Γ kontúr a Q pontban. - Az Ω′ tartomány azon része az Ω tartománynak, melyet a Q ponthoz, mint középponthoz kötött ε sugarú kör Ω tartományba eső részének Ω tartományból 245


Előadásvázlat

történő eltávolításával kapunk. Az ε sugár értékét elegendően kicsinek tételezzük fel. - Jelölje Γε az ε sugarú kör Ω tartományban fekvő ívét. Legyen továbbá Γ′ a Γ kontúr ε sugarú körön kívüli része. Nyilvánvaló, hogy a Ω′ tartományt a Γ′ ∪ Γε kontúr határolja. A fentiek figyelembevételével alkalmazva a (11.21) összefüggést az Ω′ tartományra az alábbi egyenlet adódik: ∫ u ( p)δ( p − Q) d Ω p = ∫ U ( P, Q)t ( P) d Γ P − ∫ T ( P, Q)u ( P) d Γ P (11.23) Ω′

Γ ′ ∪Γε

Γ ′ ∪Γε

Ezt az alábbiak szerint alakítsuk át: -

Vegyük figyelembe, hogy δ ( p − Q) = 0 , mivel a Q forráspont nem része az Ω′ tartománynak, integráljunk külön-külön a Γε és Γ′ íveken, és végül vegyük a vonalintegrálok határértékét, ha ε ֏ 0 .

Az első két lépés végrehajtása után az alábbi egyenletet kapjuk. ∫ T ( P, Q)u ( P) d Γ P − ∫ U ( P, Q)t ( P) d Γ P = ∫ U ( P, Q)t ( P) d Γ P − ∫ T ( P, Q)u ( P) d Γ P . Γε

Γε

Γ′

Γ′

(11.24) Most határozzuk meg az egyes integrálok határértékét ! A bal oldalon álló első integrál esetén, figyelembe véve 90

-

T ( P, q ) (11.18) szerinti előállítását, azt, hogy a Γε köríven rκ (Q, P) = −εnκ ( P); | nκ |= 1 (a normális külső!), az r (Q, P) = ε összefüggést, továbbá azt, hogy a Γε ív hossza elegendően kicsi ε esetén πε (sima a peremgörbe a Q pontban),

az integrálszámítás középértéktételét ( P ′ a középértéktétel alkalmazásához szükséges pont a Γε köríven) használva felírhatjuk, hogy

90

A számítás során felhasználjuk az integrálszámítás középértéktételét. Eszerint az f ( x)

függvény [a, b ], b > a intervallumon vett integrálja a

∫

b a

f ( x ) dx = (b − a ) f ( x ′) ,

x ′ ∈ [ a, b ]

módon számítható, azaz az integrálási intervallum hosszának, és a függvény valamely az intervallumon belül fekvő x′ pontban vett értékének a szorzata. 246


Előadásvázlat

lim ∫ T ( P, Q )u ( P ) d Γ P = − lim ∫ u ( P ) ε ֏0

= lim ∫ u ( P ) ε֏0

Γε

ε ֏0

Γε

Γε

nκ ( P )rκ (Q, P ) dsP = 2πr 2 (Q, P )

εnκ ( P )nκ ( P ) 1 dsP = lim ∫ u ( P ) dsP = lim u ( P ′ ) / 2 = u (Q ) / 2 . 2 ֏ ε ε ֏0 0 2πε 2πε Γ′

(11.25/a) A bal oldalon álló második integrál esetén a w( P, Q) = U ( P, Q) alapmegoldás (11.18) alatti képletét felhasználva hasonló gondolatmenettel 1 1 − lim ∫ U ( P, Q)t ( P) d Γ P = lim ∫ t ( P) ln ε dsP = lim t ( P ′ )ε ln ε = 0 (11.25/b) ֏ 0 ε ֏0 ε ֏0 ε 2 π 2 Γ Γ ε

ε

az eredmény. A jobb oldalon álló két integrál határértéke a vonatkozó integrálok ún. Cauchy-féle főértékét91 értelmezi: lim ∫ U ( P, Q)t ( P) d Γ P = ε ֏0

∫− U ( P, Q)t ( P) d Γ

Γ′

P

,

lim ∫ T ( P, Q)u ( P) d Γ P = ∫ − T ( P, Q)u ( P) d Γ P . ε ֏0

Γ′

(11.25/c)

Γ

(11.25/d)

Γ

Vegyük észre, hogy az első esetben logaritmikus, a második esetben 1/ r típusú szingularitása van az integrandusznak. Az a pont pedig, ahol az integrandusz végtelenné válik – jelen esetben a Q pont – a Γ kontúrgörbe egy pontja. Az integrál számítása (a határérték képzése) során ezt a pontot kihagyjuk az integrálási tartományból (ezen alapul a főérték elnevezés). A (11.25/a) integrálban csak akkor 1/ 2 az u (Q) együtthatója, ha sima a perem a Q pontban. Valójában az u (Q) együtthatója a Q pontbeli érintők egymással bezárt szögétől függ. Emiatt – figyelemmel a nem sima peremgörbe lehetőségére is – a lim ∫ T ( P, Q)u ( P ) d Γ P = c(Q)u (Q) , ε֏0

Γε

(11.25/e)

c(Q) = 1/ 2 , ha sima a Γ a Q pontban. alakban írjuk a fenti határértéket. Megjegyzés: A c(Q) elvileg megadható zárt alakban, de később – a numerikus megoldás tárgyalásakor – ki fog derülni, hogy nincs szükség

c(q )

zárt alakban felírható értékére a numerikus számítások során.

A (11.25) képletek figyelembevételével

c(Q)u (Q) = ∫ − U ( P, Q)t ( P) d Γ P − ∫ − T ( P, Q)u ( P) d Γ P Γ

91

(11.26)

Γ

A főértékre utal az integrál áthúzása. 247


Előadásvázlat

a (11.24) egyenlet határértéke. Ez az egyenlet – elnevezése szerint a második Green-féle formula – olyan integrálegyenlet, amelyben a P ∈ Γt perempontokban a keresett u ( P) peremérték, a P ∈ Γu perempontokban pedig a keresett t ( P ) normálirányú derivált az ismeretlen. Az egyenlet megoldása után alkalmazhatóvá válik a (11.22) alatti első Greenféle formula a keresett fizikai mennyiség, azaz az u (q) számítására.

Szokás a Q forráspontot pontot kollokációs pontnak nevezni a numerikus megoldások során. Az elnevezésnek az az alapja, hogy a következő pontban bemutatásra kerülő numerikus megoldás olyan kollokációs eljárás, melyben a Q ponthoz kötünk majd meghatározandó mennyiségeket.

11.2.7. A hővezetési peremelemmódszerrel

egyenlet

numerikus

megoldása

A numerikus vizsgálat a (11.26) integrálegyenlet numerikus megoldását jelenti. A megoldás érdekében – eltekintve egyelőre attól, hogy az u ( P) hőmérséklet, avagy a t ( P ) hőáram az ismeretlen a tekintett P perempontban – a Γ peremet N = nbe számú peremelemre bontjuk és az egyes peremelemek felett vagy lineáris, vagy pedig kvadratikus izoparametrikus approximációt alkalmazunk a geometria, valamint az u ( P) hőmérsékletmező, illetve a peremen átáramló t ( P ) hőáram közelítésére. Jelölje α = nen az egy elemen belüli csomópontok számát, legyen továbbá nbn a peremen található összes csomópontok száma92 (például a 11.1. ábra esetén kvadratikus approximáció feltételezése mellett nyolc elemre osztottuk a Γ peremgörbét, továbbá az ábra a lokális és globális csomóponti sorszámozást, valamint az elemek sorszámait is feltünteti). Az izoparametrikus bázisfüggvényekkel e

nen

e

e

nen

e

x = ∑N j (ξ) x = N (ξ) x e , y = ∑N j (ξ) y j = N (ξ) y e j

j =1

(11.27/a)

j =1

a geometria, illetve e

nen

e

e

nen

e

u = ∑N j (ξ) u j = N (ξ) u e , t = ∑N j (ξ) t j = N (ξ) t e j =1

(11.27/b)

j =1

a hőmérsékletmező és a hőáram approximációja a peremen a e -edik elem felett a fentiek szerint adható meg.

92

Az angol nyelvű szakirodalomban: nbe = number of boundary elements, nen = number of

element nodes, nbn = number of boundary nodes.

248


Előadásvázlat

Helyettesítsük a geometriát, az u hőmérsékletmezőt, illetve a t hőáramot a peremelemek felett közelítő (11.27) képleteket a (11.26) integrálegyenletbe, amelyre nézve azt tételezzük fel, hogy a Q kollokációs pont egybeesik valamelyik – mondjuk az i -edik – (Qi ) csomóponttal a peremen. Azt kapjuk, hogy a peremen fenn kell állnia a következő egyenlőségnek: nbe

nen

e

c(Qi )u (Qi ) + ∑ ∫ T ( P(ξ), Qi )∑N j (ξ) d Γ(ξ) u j = e=1 Γ e

nbe

j =1

nen

(11.28/a) e

= ∑ ∫ U ( P (ξ), Qi )∑N j (ξ) d Γ(ξ) t , i = 1,…, nbn , e=1 Γ e

j

j =1

vagy ami ugyanez mátrixjelölésekkel a nbe

c(Qi )u (Qi ) + ∑ ∫ T ( P(ξ), Qi ) N (ξ) d Γ(ξ) u e= e=1 Γ e

(11.28/b)

nbe

= ∑ ∫ U ( P(ξ), Qi ) N (ξ) d Γ(ξ) t e , i = 1,…, nbn e=1 Γ e

egyenleteknek. Vegyük észre, hogy (a) az így adódó egyenletek száma megegyezik a peremcsomópontok számával, és (b) minden egyes csomópontban egy ismeretlent kell meghatározni: vagy a csomópont hőmérsékletét (ha ugyanott ismert a hőáram), vagy pedig a csomópontbeli hőáramot (ha ugyanott ismert a hőmérséklet). Az a( j , e) függvény értelmezése szerint az e-edik elem globális sorszámozás szerinti jedik csomópontjának adja meg a lokális (elemen belüli) a csomóponti számát. Áttekinthetőbb szerkezetben írhatók fel a (11.28) egyenletek, ha a hîj = ∑ ∫ T ( P (ξ), Qi ) N a ( j , e ) (ξ) d Γ(ξ) és gij = ∑ ∫ U ( P (ξ), Qi ) N a ( j , e) (ξ) d Γ(ξ) e∈ j Γ e

e∈ j Γ e

(11.29) ˆ integrálokkal bevezetjük a hij és g ij jelöléseket, ahol az összegzés csak azokra az elemekre terjed ki, melyeknek csomópontja a j-edik csomópont. Nem nehéz belátni, hogy hîj a (11.28/a) egyenlet bal oldalán álló integrálösszegben a globális sorszámozás szerint vett u j együtthatója, és ugyanígy g ij a jobb oldalon álló integrálösszegben a t j együtthatója. Ha a fentieken túlmenően bevezetjük még a (11.30/a) Cii = c(Qi ) , valamint a hˆ + C , ha i = j ii ii (11.30/b) hij =  hˆ , i ≠ j ha  ij jelöléseket, akkor a

249


Előadásvázlat

u1  t1      u2  t  h h ⋯ h    =  g   2  , i = 1,..., n g ⋯ g 1 2 1 2 i i in i i in bn bn   bn       ⋯  ⋯  u  t   nbn   nbn  egyenletet kapjuk a (11.28/a) egyenletből. A fenti egyenletek egyesítése a  h11  g11 h12 ⋯ h1nbn  u1  g12 ⋯ g1nbn  t1        h     h22 ⋯ h2 nbn  u2 g g 22 ⋯ g 2 nbn  t2   21     =  21   ⋯    ⋯  , ....... .......             u  hnbn 1 hnbn 2 ⋯ hnbn nbn   nbn   g nbn 1 g nbn 2 ⋯ g nbn nbn  tnbn    H

u

G

(11.31)

(11.32)

t

vagy tömörebb formában írva a (11.33) H u = Gt egyenletrendszerre vezet. Az ismeretlen csomóponti értékek meghatározása további átrendezést tesz szükségessé, hiszen a Γu peremívhez tartozó csomópontokban a t hőáram, a Γt peremívhez tartozó csomópontokban pedig az u hőmérséklet az ismeretlen. Ez azt jelenti, hogy szét kell választanunk az ismert és ismeretlen mennyiségeket. A szétválasztás után az (11.34) AX =F alakú lineáris egyenletrendszert kapjuk, ahol a fentiekkel összhangban az X oszlopmátrix i -edik eleme az i -edik csomópontbeli ismeretlen (hőáram vagy hőmérséklet), ha ebben a csomópontban a hőmérséklet vagy hőáram az előírt. A peremelemmódszer pontossága nagymértékben attól függ, hogy kellően pontosak-e a H és G mátrixok elemei. Ez azt jelenti, hogy a hîj és a g ij együtthatókat adó (13.29) képletekben nagy körültekintéssel kell eljárni az integrálok numerikus számítása során.93 Ha i ≠ j , akkor általában alkalmazható a végeselemmódszerben szokásos valamelyik Gauss-kvadratúraformula, mivel sosem lesz zérus a P(ξ) futópont, és a Qi kollokációs pont távolsága. Ha azonban i = j , akkor a Qi pont része a (11.29) képletekben szereplő Γe elemeknek, következésképp erősen szingulárisak a hîi -t adó (11.29) 1 integrálok, továbbá logaritmikus szingularitása van a g ii -t adó (11.29) 2 integráloknak.

93

Megjegyezzük, hogy konstans, illetve lineáris alakfüggvények esetén zárt alakban adhatók meg

a kérdéses integrálok. A kereskedelmi programok azonban – részint a kisebb ismeretlenszám, továbbá a kellő pontosság elérése érdekében – többnyire kvadratikus, vagy köbös alakfüggvényeket alkalmaznak. 250


Előadásvázlat

Elsőként az erősen szinguláris integrálok kérdésével foglalkozunk. Tegyük fel, hogy állandó a hőmérsékletmező a teljes Ω tartományon és annak Γ peremén: u = ui = 1 . Nyilvánvaló, hogy ez esetben azonosan zérus a hőáramvektor. Ezekkel az értékekkel a (11.31) egyenletből, tekintettel még a (11.30/b) összefüggésre is, végső soron a nbn

nbn

j =1

j =1 (i≠ j )

∑hij = 0 , vagy ami ugyanaz a hii = Cii + hîi = − ∑hij , i = 1,..., nbn

(11.35)

eredmény következik. A fenti képlet kettős jelentőségű, egyrészt kiderül belőle, hogy nincs szükség sem az erősen szinguláris integrálok, sem pedig a Cii állandók előzetes számítására94. Másrészről az is adódik a fenti képletből, hogy nincs inverze a H mátrixnak, hiszen lineárisan összefüggőek az oszlopai. Ez egyben azt is jelenti, hogy ha a teljes Γ peremen a hőáramot írjuk elő – ez az ún. Neumann-feladat – , akkor nincs megoldása a (11.32) egyenletrendszernek az u -ra nézve. Ez a gond úgy oldható fel, hogy egy csomópontban tetszőlegesen előírjuk a hőmérsékletet, ily módon ugyanis konstans értékkel változtatjuk meg a hőmérsékletmező értékét, ami azonban a Neumann-feladat esetén nem sérti az általánosságot. A logaritmikusan szinguláris integrálok numerikus kezelése az 1

∫ 0

n

g 1 f (η) ln d η ≈ ∑ Ak f (ηk ) η k =1

(11.36)

logaritmikus Gauss-féle formulán alapul, ahol f (η) adott függvény, ng a Gauss-pontok száma, Ak és η k ∈ (0,1) pedig az integrációs súlyokat, illetve az integrációs alappontok koordinátáit jelöli (lásd pl. [5]-öt). A fenti képlet alkalmazása során (a) a ξ ∈ [−1,1] integrálási intervallumot (ha a kollokációs pont a tekintett elem első vagy utolsó csomópontja), illetve (b) annak részeit, azaz a [−1, 0] , továbbá a [0,1] intervallumokat (ha a kollokációs pont az elem középső csomópontja) le kell képezni a η ∈ [0,1] intervallumra. Megmutatható formális átalakításokkal, hogy az r (Qi , P(ξ)) távolság mindhárom esetben felírható a leképezés után a 94

Emlékeztetjük az olvasót, hogy sima perempontokban Cii = 1/ 2 , és a nem sima

perempontokban (töréspontokban) is megadható Cii zárt alakban. A fentiek szerint ezekre az összefüggésekre valójában nincs szükség a numerikus számítások során.

251


Előadásvázlat

r (Qi , P(ξ)) = r (Qi , P(ξ)) = r (Qi , η) = ηρ(Qi , η) , ρ(Qi , η) ≠ 0 ha η ∈ [0,1] (11.37) alakban. Jelölje – az egyszerűség kedvéért és összhangban a (11.36) integrálási szabállyal – f (η) a kérdéses logaritmikus szingularitású integrálokban az ln1/[r (Qi , P(ξ))] együtthatóját. A fentiek alapján ezek az integrálok szétesnek két részre: 1

∫ 0

1 f (η) ln dη = r (Qi , η)

1

1

1 1 ∫ f (η) ln η d η + ∫ f (η) ln ρ(Qi , η) d η , 0 0 logaritmikus Gauss-formula

(11.38)

polinomiális Gauss-formula

ahol az első integrált a logaritmikus, a másodikat pedig a végeselemmódszerből ismert polinomiális Gauss-képlettel kell numerikusan számítani a kellő pontosság biztosítására. Az alábbi megjegyzés egy esetre áttekinti példaként a felbontást. Megjegyzés: Tegyük fel, hogy az elem első csomópontja a kollokációs pont. A vonatkozó viszonyokat a 11.5. ábra szemlélteti. Célunk az 1

∫ U ( P(ξ), Q )[ N (ξ) i

1

Γe

N 2 (ξ) N 3 (ξ)] d Γ(ξ) = ∫ U ( P(ξ), Qi ) [ N1 (ξ) N 2 (ξ) N3 (ξ) ] J (ξ) d ξ −1

(11.39) integrál kiszámítása, ahol a kvadratikus alakfüggvények eddigi VEM tanulmányaink alapján írhatók fel

1 1 N1 (ξ) = ξ(ξ −1) , N 2 (ξ) = 1− ξ 2 , N 3 (ξ) = ξ(ξ + 1) , 2 2 továbbá (elhagyva az x és y felett álló, és az elemet azonosító e -t)  dx 2  dy 2 J (ξ) =   +   ,  d ξ   d ξ 

(11.40/a)

(11.40/b)

ahol

1 1 1 x − 2 x 2 + x 3 ) ξ 2 + ( x 3 − x1 ) ξ + x 2 , ( 2 2 1 1 1 y = ( y − 2 y 2 + y 3 ) ξ 2 + ( y 3 − y1 ) ξ + y 2 , 2 2 dx 1 = ( x1 − 2 x 2 + x 3 ) ξ + ( x 3 − x1 ) , dξ 2 dy 1 = ( y1 − 2 y 2 + y 3 ) ξ + ( y 3 − y1 ). dξ 2

x=

(11.40/c)

Felhívjuk a figyelmet arra, hogy a felső indexben álló számok nem hatványkitevők, hanem a lokális számozás alapulvételével azonosítják a csomópontokat.

11.5. ábra: Logaritmikus integrálás: (a) a vizsgált elem (b) a Qi P sugár

252


Előadásvázlat

A képletek felírásánál kihasználtuk a (11.27/a) összefüggést. Mivel N k (ξ) |ξ=−1 = 0 , ha

k = 2,3 , ebből

következik, hogy a (11.39) alatti három integrált tekintve a „második kettő” nem szinguláris és ezért ezek számításánál alkalmazható a szokásos Gauss-kvadratúraformulák valamelyike. A logaritmikus szingularitású 1

∫ U ( P(ξ), Q ) N (ξ) J (ξ) d ξ i

(11.41)

1

−1

integrál meghatározásához képezzük le a ξ ∈ [−1,1] intervallumot a η ∈ [0,1] intervallumra:

η=

ξ +1 , 2

ξ = 2η −1 ,

d ξ = 2d η .

(11.42)

A (11.40/c) 1,2 , (11.42) 1 képleteket valamint a 11.5.b. ábrarészletet felhasználva némi számolással azt kapjuk, hogy

rx = x − x1 = 2  x1 − 2 x 2 + x3  η 2 − 3x1 − 4 x 2 + x3  η = A1 x η 2 − B1x η , A1 x

B1 x

(11.43)

ry = y − y1 = 2  y1 − 2 y 2 + y 3  η 2 − 3 y1 − 4 y 2 + y 3  η = A1 y η 2 − B1 y η , A1 y

B1 y

amivel

r = r (qi , P ) = rx2 + ry2 = η ( A1x η − B1x ) + ( A1 y η − B1 y ) = ηρ(η) . 2

2

(11.44)

ρ

A (11.42) transzformációt, a fenti képletet, valamint az elsőrendű alapmegoldás (11.15) alatti értelmezését kihasználva a (11.41) integrál két részre esik szét: 1 1 1  1  1  1    N ( ξ) J ( ξ) d ξ . U ( P ( ξ ), Q ) N ( ξ ) J ( ξ ) d ξ = ln N ( η ) 2 J ( η ) d η+ ln   1 1 i ∫  ρ(ξ)  1 2π ∫0  η  2π ∫ 1 −1 − 1

I1

I2

(11.45) Az

I1 integrál kellően pontos számítása a (11.36) alatti logaritmikus Gauss-formula alkalmazását tételezi

fel. Az I 2 integrál azonban nem szinguláris – emiatt a felírásánál visszatértünk formálisan az ξ integrálási változóra – és így az a VEM-ből ismert Gauss-képlettel számítható. A fenti gondolatmenet világosan tükrözi, hogy valóban a peremelemmódszer egyik kulcskérdése a numerikus integrálás alapos végiggondolása.

A töréspontok kezelésére különös figyelmet kell fordítani, mivel a töréspont előtt és után általában eltérő a hőáram értéke: ez egyben azt eredményezi, hogy megnő eggyel az ismeretlenek száma, ha a hőmérséklet értéke az előírt a tekintett töréspontban. A megoldás az ún. szakadásos elemek alkalmazásával érhető el (a részleteket illetően lásd [6] tanulmányt). Megjegyzés: A 11.6.a. ábrarészlet egy töréspontot – ez a csomópontja –, valamint a töréspontot megelőző lokális

Γ peremgörbe globális sorszámozás szerinti i -edik Γ e , illetve a töréspontot követő Γe+1 elemet, továbbá a

253


Előadásvázlat

11.6. ábra: Töréspont (a) folytonos, (b) részlegesen folytonos (szakadásos) elemekkel csomóponti számozást is szemlélteti. A töréspontban előírható peremfeltételeket táblázatba foglaltuk, ahol az előírt értékeket a megszokott felülvonás jelzi, [ si − 0 ]{ si + 0 } rendre az s ívkoordináta az i -edik csomópontban – a töréspontban – de a [ Γe ]{ Γe+1 } elemen tekintve. A gondot az okozza, hogy a töréspont előtt és után különböző

Hőmérséklet értéke

Peremfeltételek töréspont esetén Hőáram Hőáram töréspont töréspont előtt után

Ismeretlenek száma

1.

ui

ti ( si − 0)

ti ( si + 0)

1

2.

ui

ti ( si − 0)

ti ( si + 0)

2

lehet a hőáram. Ez viszont megnövelheti a csomóponthoz tartozó ismeretlenek számát. A megoldás vagy (a) az ún. „kettős csomópontok” felhasználásával, vagy (b) részlegesen folytonos elemek alkalmazásával – ezek tekintetében lásd a 11.6.b. ábrát – lehetséges. A kettős csomópont használata rontja a megoldandó egyenletrendszer kondíciószámát, ezért a professzionális programok részlegesen folytonos elemeket használnak. Esetünkben ez azt jeleni, hogy a Γ e elem harmadik csomópontja (a globális számozás szerinti i -edik csomópont) nem az elem végén van, hanem az elemen belül helyezkedik el. A elem végén fekvő pont pedig i + 1 -edik csomópontként már a tekintjük, hogy az közvetlenül a töréspont után helyezkedik el.

Γe

Γe+1 elem első csomópontja, vagyis úgy

Ha a teljes peremen ismert a hőmérsékletmező és a hőáram – azaz a (11.26) integrálegyenletből leszármaztatott (11.34) lineáris egyenletrendszer megoldása után –, akkor az első Green-féle formula használható az Ω tartomány belső pontjaiban a hőmérsékletmező meghatározására. A (11.22) alatti Green-formulából a (11.27/b) képletek felhasználásával elemenként integrálva a nbe

nbe

e=1 Γ e

e=1 Γ e

u (q ) = ∑ ∫ U ( P (ξ), q) N (ξ) d Γ(ξ) t e− ∑ ∫ T ( P(ξ), q ) N (ξ) d Γ(ξ) (ξ) u e , q ∈ Ω (11.46) képlet adja a q belső pontban a hőmérséklet értékét. Nem nehéz ellenőrizni, hogy ugyanakkor

254


Előadásvázlat

nbe q   tκ (q ) = u (q ) , κ = ∑ ∫ U , κ ( P(ξ), q) ∇ N (ξ) d Γ(ξ) (ξ) t e−   e=1 Γ  e nbe

−∑ ∫ T, κ ( P(ξ), q ) N (ξ) d Γ(ξ) u e ,

(11.47/a)

q ∈Ω

e=1 Γ e

a q pontbeli hőáramvektor, ahol a q pont koordinátái szerint történik a deriválás. Az alapmegoldásokat adó (11.15) és (11.18) összefüggések felhasználásával azonnal adódik, hogy a fenti képletben   nρ ( P )rρ (q, P) rκ (q, P )  1  nκ ( P ) r ( q, P )    U ( P, q ) , κ = κ 2 és T ( P, q ) , κ = −2   2 . 4  2πr (q, P ) 2π  r (q, P ) r ( q, P )   (11.47/b) Felhívjuk a figyelmet arra a körülményre, hogy csak akkor alkalmazhatók a (11.46) és (11.47) összefüggések a hőmérséklet és hőáramvektor belső q pontban történő számítására, ha nincs nagyon közel a q pont a Γ peremgörbéhez. A hőáramvektor normálirányú összetevőjét t adja a Γ peremgörbén. A peremgörbe érintőjének irányába eső összetevő pedig a du d N d ξ (11.48) = ue ds d ξ ds képletből számítható. A fenti összefüggés hátránya, hogy az u hőmérsékletet a peremen megadó (11.27/b) 1 közelítő összefüggés deriválásával számítjuk ugyanitt a hőmérsékletmező ívkoordináta szerinti deriváltját. A korszerű PEM programok a hőmérsékleti gradiens (11.47/a) alatti formulájára támaszkodva kidolgozott eljárással – ezt terjedelmi okokból nem részletezzük – határozzák meg a hőmérsékleti gradienset a peremen. Ha nem zérus a b( p) hőforrássűrűség az Ω tartományon, akkor a (11.22) alatti első, és a (11.26) alatti második Green-féle formulához hozzá kell adni a

∫ U ( p, q ) b ( p ) d Ω

(11.49)

p

Ω

partikuláris megoldást (az integrandusz a q pont hőmérséklete a p pontbeli b( p) dΩ p hőforrás hatására). Ily módon azt kapjuk, hogy

u (q) = ∫ U ( P, q)t ( P) d Γ P − ∫ T ( P, q)u ( P)d Γ P + ∫ U ( p, q) b( p) dΩ p , (11.50/a) Γ

Γ

Ω

illetve, hogy

c(Q)u (Q) = ∫ − U ( P, Q)t ( P) d Γ P − Γ

∫− T ( P, Q)u ( P) d Γ Γ

P

+ ∫ U ( p, Q ) b( p ) d Ω p . Ω

(11.50/b) A fenti egyenlet alapján a (11.34) alatti egyenletrendszer is bővül egy taggal: AX = F +B ,

(11.51/a)

255


Előadásvázlat

ahol A az ismeretlenek együtthatómátrixa, X az ismeretlenek oszlopmátrixa és F valamint  B1     B2   , B = U ( p, Q ) b( p ) d Ω , i = 1,…, n (11.51/b) B =  i i p bn ∫  ⋮  Ω B   nbn  ismert oszlopmátrixok. Vegyük észre, hogy a tartományi integrál megjelenésével a peremelemmódszer elveszti a dimenziószám csökkenéséhez kötődő előnyét. Érdemes azonban megemlíteni, hogy számos hatékony eljárás született a dimenziószám megőrzésére, azaz a tartományi integrálok peremre történő kivitelére. Ezekről röviden a rugalmasságtani feladatok kapcsán esik majd szó.

11.3. A rugalmasságtan térbeli feladatai és megoldásuk peremelemmódszerrel 11.3.1. A rugalmasságtan térbeli feladata A peremelemmódszer a rugalmasságtani feladatok körében a hővezetési feladat kapcsán megismert gondolatmenetre támaszkodva építhető fel. A gondolatmenet kifejtése során térbeli feladatok vizsgálatára fordítjuk majd a figyelmet. A vizsgálat tárgyát az Ω tértartományt kitöltő, homogén és izotrop anyagú szerkezeti elem képezi (a vonatkozó 11.7. ábra elvi jellegű). A vizsgált Ω tértartomány Γ pereme (peremfelülete), a peremet alkotó Γu , illetve Γt peremrészekre bontott ( Γu ∪ Γt = Γ , Γu ∩ Γt = 0 , a két peremrészt a g görbe választja el egymástól). Jelölje ui az elmozdulásmezőt, legyen továbbá bi a térfogaton megoszló erőrendszer sűrűsége. Homogén izotrop testre a G nyírási rugalmassági modulus és a ν Poissonszám a két anyagjellemző. A Γ peremfelületen nk ( nk nk = 1 ) a külső normális. Feladatunk az ui elmozdulásmező meghatározása, ha a Γu peremrészen az ui elmozdulásmező, a Γt peremrészen pedig pedig ti feszültségmező az előírt – az előírt értékeket a korábbiakkal összhangban felülvonással jelöljük.

11.7. ábra: Az Ω tértartomány

256


Előadásvázlat

Ez a feladat azért nehezebb a hővezetési feladatnál, mert a hővezetési feladat esetén az u hőmérsékletmező (azaz egy skalár), míg a rugalmas testek térbeli peremérték-feladatai esetén az ui elmozdulásvektor (három skalár) az ismeretlen. A peremelemes megoldási eljárás lépései azonban nagyon hasonlóak a hővezetési feladat megoldása során ismertetett eljárásához. Ennek hangsúlyozására a képleteket nem folytonosan sorszámozzuk (!!), hanem úgy, hogy az analóg képletek sorszáma között éppen 100 legyen a különbség. Ha egy képletnek nem volt előzőleg analogonja, akkor az 200 feletti sorszámot kap.

11.3.2. A rugalmasságtan térbeli feladatának egyenletei A rugalmasságtan térbeli feladatának egyenleteit a lineáris elmélet keretei között az εij alakváltozási tenzort adó 1 εij = (u i , j + u j , i ) (11.101/a) 2 értelmező (geometriai) egyenlet, a homogén izotrop test esetén a σij feszültségi tenzor és az εij alakváltozási tenzor kapcsolatát jelentő σij = 2G[

1 ν u i , j + u j , i )+ (u k , k ) δ ij ] = ( 2 1− 2ν εkk

εij

2ν = G[δ ik δ jl + δ jk δ il + δ ij δ kl ]u k , l 1− 2ν

(11.101/b)

Cijkl

anyagegyenlet (Hooke-modell) – a képletben δ ij a Kronecker-függvény, Cijkl a rugalmassági állandók negyedrendű tenzora – , valamint a lokális egyensúlyt kifejező (11.101/c) σ ij , j + bi = 0 mérlegegyenlet (egyensúlyi egyenlet) alkotják. Az n j normálisú felületelemen ti = σij n j

(11.102)

feszültségvektor ébred. A Hooke-modell egyensúlyi egyenletbe történő helyettesítésével (az εij és σij közbülső változók kiküszöbölésével) az elmozdulásmezőre vonatkozó parciális differenciálegyenlet, azaz a Navier-egyenlet (a térbeli rugalmasságtani feladatok alapegyenlete) adódik: b 1 Lij u j + i = 0 , Lij = ∆(…) δ ij + (…) , ij . (11.103/a) G 1 − 2ν A (11.103/a) differenciálegyenletet a Γu és Γt peremrészekre vonatkozó elmozdulási és feszültségi peremfeltételekkel kell kiegészíteni: ui − ui = 0 , ti − ti = 0 . (11.103/b) 257


Előadásvázlat

11.3.3. A súlyozott maradékok módszere a rugalmasságtan térbeli feladataira Alkalmazzuk továbbiakban a súlyozott maradékok módszerét a (11.103) mezőegyenlet és peremfeltételek által meghatározott peremértékfeladatra -- a vektoriális súlyfüggvényeket rendre wi1 , wi 2 és wi 3 jelöli:

∫ w (GL u i1

ij

Ω

j

+ bi ) d Ω + ∫ wi 2 (ui − ui ) d Γ + ∫ wi 3 (ti − ti ) d Γ = 0 .(11.106) Γu

Γt

A továbbiakban tételezzük fel, hogy a wi ( p ) vektormező felhasználásával – amelyet formailag elmozdulásmezőnek tekintünk – a wi1 ( p) = wi ( p) , (11.107/a) p 2ν wi 2 ( P) = ti [ wk ( P)] = G[δik δ jl + δ jk δ il + δ ij δ kl ]( wk ( p ) ∇l ) | p= P n j ( P) , (11.107/b) 1 − 2ν σij ( wk )

wi 3 ( P ) = −wi ( P) módon

értelmezzük

(11.107/c)

súlyfüggvényeket.

a

Vegyük

észre,

hogy

ti [ wk ( P)]

az

elmozdulásmezőnek tekintett wi ( p ) vektormezőhöz tartozó feszültségvektor a Γ peremfelület P pontjában. A (11.107) súlyfüggvények helyettesítése után a (11.106) egyenlet átírható: L u d Ω + ∫ w b d Ω + ∫ (u − u ) t ( w ) d Γ − ∫ w [t (u ) − t ]d Γ = 0 . ∫ w G i

Ω

ij

j

i

i

i

Ω

σij ( uk ) ∇ j

i

i

k

i

Γu

i

k

i

(11.108)

Γt

A fenti egyenlet első tagja átalakítható a Betti-tétel segítségével95:

∫ w GL u i

ij

Ω

j

d Ω = ∫ ui GLij w j d Ω + ∫ wi ti (uk ) d Γ − ∫ ui ti ( wk ) d Γ . Ω

Γ

(11.110)

Γ

Az utóbbi képlet behelyettesítése és alkalmas rendezés után az alábbi alakba írható át a (11.108) egyenlet:

95

Legyen wi az Ω tértartományt kitöltő rugalmas test esetén az az elmozdulásmező, amely a bi ( wk ) térfogati terheléshez és a ti ( wk ) peremterheléshez tartozik. Az

∫ w b (u ) dΩ+ ∫ w t (u ) d Γ = ∫ u b (w ) d Ω+ ∫ u t ( w ) d Γ egyenlet i

Ω

i

k

i i

Γ

k

i

i

k

Ω

i i

az

k

idegen

munkák

Γ

egyenlőségét mondja ki, azaz Betti-tétele. Ha figyelembe vesszük, hogy mind

wi , mind pedig ui köteles teljesíteni

a (11.103a) 1 alapegyenletet, akkor átírhatjuk Betti-tételét az

∫

wi GLij u j d Ω− ∫ ui GLij w j d Ω = ∫ wi ti (uk ) d Γ + ∫ ui ti ( wk ) d Γ

Ω

Ω

Γ

Γ

(11.109)

alakba. Kimutatható az is, hogy ez az egyenlet mindig fennáll, ha a wi és az ui legalább kétszer folytonosan differenciálható vektormező (egyébként mindkettő tetszőleges lehet). Vegyük azt is észre, hogy az utóbbi egyenlet a (11.9) alatti Green-tétel egyfajta általánosítsa. A két tétel ugyanis megkapható egymásból a (11.201)-ben közölt betűcserékkel.

258


∫ u GL w i

ij

Ω

j

Előadásvázlat

d Ω + ∫ wi bi d Ω− ∫ ui ti ( wk ) d Γ − ∫ ui ti ( wk ) d Γ = Ω

Γu

Γt

(11.111)

= −∫ wi ti (uk ) d Γ − ∫ wi ti d Γ . Γu

Γt

Ha figyelembe vesszük, hogy ui = ui a Γu peremrészen, és ti (uk ) = ti a Γt peremrészen, akkor összevonható két-két tag: ∫ uiGLij w j dΩ + ∫ wibi dΩ− ∫ uiti (wk ) dΓ = −∫ witi (uk ) d Γ . (11.112/a) Ω

Ω

Γ

Γ

Ha zérus a tartományi teher értéke, akkor ez az egyenlet tovább egyszerűsödik:

∫ u GL w i

Ω

ij

j

d Ω∫ + ∫ ui ti ( wk ) d Γ = −∫ wi ti (uk ) d Γ . Ω

Γ

(11.112/b)

Γ

Megjegyzés: Vegyük észre, hogy a (11.12) és (11.112) képletkettősök egymás analogonjai, mivel az

u ⇔ ui , uk ,

w ⇔ wi , wk ,

t ⇔ ti , t k ,

∇2 ⇔ GLij

(11.201)

betűcserékkel bármelyik megkapható a másikból.

11.3.4. Alapmegoldások a rugalmasságtan térbeli feladataira Tegyük fel, hogy a végtelenbe nyúló homogén izotrop rugalmas anyaggal kitöltött tér egy egyelőre rögzítettnek tekintett q pontjában az el (q) , | el (q ) |= 1 erő működik. Igazolható – a viszonylag hosszú formális igazolás a [7] alatti könyv 172-175 oldalain található –, hogy a rugalmas tér p pontjában (11.115/a) wi ( p ) = el (q ) U li ( p, q) az elmozdulásmező az el (q ) erő hatására, ahol rr  1 1 (3 − 4ν)δ li + l 2i  (11.115/b) U li ( p, q ) = 16πG (1− ν) r  r  az ún. elsőrendű alapmegoldás. A fenti képletben – összhangban a korábbiakkal – ri = ri ( p, q) a p pont q ponthoz viszonyított helyvektora: r = r ( p, q ) =| ri | . Megjegyzések: • A fenti feladatot Kelvin-féle feladatnak szokás nevezni. Maga a megoldás Kelvin-féle megoldás néven ismert. • Ismételten hangsúlyozzuk, hogy az U li ( p, q ) alapmegoldás a rugalmas anyaggal kitöltött tér p pontjának i irányú elmozdulása a p -től különböző q pontban alkalmazott egységnyi erő hatására. • Tekintsük változónak a q pontot is. Vegyük észre, hogy

l irányú

U li ( p, q ) = U li (q, p ) = U il ( p, q ) = U il (q, p ). Szavakban: az U li alapmegoldás mind a p, q változópárban, mind pedig az li indexpárban szimmetrikus. Ez a Maxwell-féle felcserélhetőségi tétel a teljes teret kitöltő rugalmas testre. • Rögzített q mellett a p pontra nézve, rögzített p mellett pedig a q pontra nézve

259


Előadásvázlat

gömbszimmetrikus függvény az U li ( p, q ) alapmegoldás.

p = q 1/ r típusú gyenge szingularitása van az alapmegoldásnak.

•

Ha

•

Visszaidézve a Dirac-függvénnyel kapcsolatos (11.13) képleteket, valamint a

Kronecker-függvény tulajdonságait, azt mondhatjuk hogy az

δli

ei (q ) teher

bi ( p, q) = el δli δ( p − q) alakú tartományi tehernek tekinthető. Másként fogalmazva a Kelvin-féle megoldás a p

G Lij w j + el δ li δ ( p − q ) = 0

(11.114)

differenciálegyenlet megoldása. Figyelembe véve, hogy a Kelvin-féle megoldás a fenti egyenletet bármely el (q ) esetén teljesíti, kihasználva továbbá az alapmegoldás szimmetria-tulajdonságait az adódik, hogy az U li ( p, q ) alapmegoldás a rugalmas térben köteles eleget tenni (eleget tesz) a p

Lij U lj ( p, q ) + δ li δ ( p − q ) = 0 ,

q

Lij U lj ( p, q ) + δ li δ ( p − q ) = 0

differenciál-egyenleteknek. Szavakban: az U lj ( p, q ) alapmegoldás [sorai]{oszlopai} mindkét változójukban kielégítik a teljes rugalmas térben a vonatkozó alapegyenletet. • A (11.115/a) elmozdulásmezőhöz rögzített q mellett

σik ( p, q ) = el ( q )

rrr  1 1  (1− 2ν)(rl δ ik −δ lk ri −δ li rk ) − 3 l i2 k  3 r  8π(1−ν) r 

(11.117)

a feszültségi tenzor. A képlet helyessége a (11.101/b) alatti Hooke-modell felhasználásával – kissé munkaigényes – számítással ellenőrizhető.

Igazolható, hogy a P peremponthoz tartozó nk ( P ) normálisú felületelemen a

ti ( wk ) = ti ( P, q) = el (q) Tli ( P, q)

(11.118/a)

feszültség ébred, ahol n r rr  1 1  (1− 2ν)(rl ni − nl ri − nk rk δ il ) − 3 k k 2 l i  (11.118/b) 3  8π(1−ν) r  r a feszültségekre vonatkozó alapmegoldás -- az ún. másodrendű alapmegoldás. Tli ( P, q) =

Megjegyzések: •

A (11.118) képlet helyessége a (11.117) képletéből következik, ha abban P -t írunk p

helyére és végigszorozzuk az így adódó egyenletet

nk ( P) -vel.

1/ r 2 típusú erős szingularitása van. • Igazolható – itt nem részletezett formális számításokkal – hogy a Tli ( P, q ) másodrendű alapmegoldás oszlopai (ha ezeket q -tól függő elmozdulásvektornak tekintjük) P ≠ q -ra •

A (11.118) másodrendű alapmegoldásnak

kielégítik a homogén Navier-egyenletet. • A 11.9. ábra a végtelen kiterjedésű rugalmas tér Γ felülettel határolt Ω tartományát szemlélteti. A q ponthoz kötött el (q ) egységnyi erő az (a) esetben a tartomány belső pontja, a (b) esetben pedig a

260


Előadásvázlat

13.8. ábra: A q pont két lehetséges helyzete tartomány határfelületén kívül helyezkedik el. Ha a egyensúlyának a

∫ t ( P, q ) d Γ i

P

q belső pont, akkor az Ω tartomány

+ el (q )δ li = 0

(11.202/a)

Γ

egyenlet, ha pedig külső pont, akkor pedig a

∫ t ( P, q ) d Γ i

P

=0

(11.202/b)

Γ

egyenlet fennállása a szükséges feltétele. Helyettesítsük ezekbe

ti ( P, q) (11.115a) alatti képletét,

és hagyjuk el el (q ) -t az eredményből (ez ugyanis nem sérti az általánosságot). Ily módon azt kapjuk, hogy a másodrendű alapmegoldás köteles eleget tenni a

∫ Γ

 −δ li  Tli ( P, q ) d Γ p = − 12 δ li   0

q ∈Ω , q=Q∈Γ,

(11.119)

/ Ω∪ Γ . q∈

egyenleteknek. A (11.119) 2 egyenlet pedig azt fejezi ki, hogy sima perempontban az

el (q ) erő

hatása egyenlő arányban oszlik meg az Ω tartomány és az azon kívül lévő rugalmas térrész között.

11.3.5. A súlyfüggvény megválasztása a rugalmasságtani feladat esetén A továbbiakban a (11.114/b) differenciál-egyenlet (11.115) alatti wi ( p ) = el (q ) U li ( p, q ) megoldását (mint elmozdulásmezőt), valamint az abból képzett ti ( wk ) = el (q ) Tli ( P, q ) feszültségvektort tekintjük súlyfüggvénynek. Ezekkel a súlyfüggvényekkel átírható a (11.112/b) egyenlet az p

el (q) ∫ ui ( p ) G Lij U lj ( p, q) d Ω p − el (q) ∫ Tli ( P, q ) ui ( P ) d Γ P = Ω

Γ

−δli δ ( p−q )

(11.120)

= −el (q ) ∫ U li ( P, q ) t i ( P) d Γ P Γ

ti ( u k )

261


Előadásvázlat

alakba. Vegyük észre, hogy mindenütt jelöltük, hogy (a) milyen változó szerint történik az integrálás, továbbá p

(b) kihasználva a (11.114/c) 1 egyenletet azt is, hogy mi az értéke a G Lij U lj ( p, q ) szorzatnak. Mivel a (11.120) egyenlet tetszőleges el (q ) esetén fennáll, az elhagyható. Némi rendezéssel innen az

∫ u ( p)δ δ( p − q)dΩ i

li

Ω

p

= ∫ U li ( P, q ) ti ( P ) d Γ P − ∫ Tli ( P, q) ui ( P) d Γ P Γ

(11.121)

Γ

eredmény következik.

11.3.6. A Somigliana-féle formulák A (11.121) egyenlet bal oldalán álló tartományi integrál értékére a δ( p − q) Diracfüggvénnyel kapcsolatos (11.13) 1 összefüggés – most belső pont a q –, valamint a Kronecker-szimbólum indexátnevező tulajdonságának kihasználásával az

∫ u ( p)δ δ( p − q)dΩ i

li

p

= ul (q )

(11.122/a)

Ω

eredmény adódik. Ezt az összefüggést felhasználva kapjuk a (11.121) egyenletből az ún. első Somigliana-féle formulát: ul (q ) = ∫ U li ( P, q ) ti ( P) d Γ P − ∫ Tli ( P, q) ui ( P) d Γ P , q ∈ Ω Γ

(11.122/b)

Γ

Az utóbbi egyenlet a keresett elmozdulásmezőre vonatkozó reprezentációs tétel: ha az Ω tartomány teljes Γ peremén ismert a ui elmozdulásmező és a ti feszültségmező, akkor kvadratúrákkal állítható elő a (11.103/a) Navier-egyenlet ul (q ) megoldása zérus tartományi teher feltételezése mellett az Ω tartomány egy belső pontjában.

Ha a q = Q , vagyis ha a peremre esik a q pont, akkor az előző gondolatmenet lépéseit követve a (11.121) egyenlet helyett formális módon kapjuk a ∫ ui ( p)δliδ( p − Q)d Ω p = ∫ U li ( P, Q) ti ( P) d Γ P − ∫ Tli ( P, Q) ui ( P) d Γ P (11.203) Ω

Γ

Γ

összefüggést. A bal oldal értéke a δ( p − q) Dirac-függvénnyel kapcsolatos (11.13) 2 alatti összefüggés – most peremen lévő pont a q –, valamint a Kronecker-szimbólum indexátnevező 1 tulajdonságának kihasználásával az ∫ ui ( p )δ li δ ( p − Q )d Ω p = ul (Q ) 2 Ω módon írható, ha sima a peremfelület a Q pontban. Érdemes ezt az eredményt a

262


∫ u ( p)δ δ ( p − Q) d Ω = c i

li

li

Előadásvázlat 1 2

(Q )ui (Q ), (ha Γ sima a Q pontban, akkor cli = δ li )

Ω

módon

átírni, mert ez az egyenlet azt mutatja meg, hogy a cli (Q ) értéke attól a körülménytől függ, hogy van-e érintősík a Γ felülethez a Q pontban. A végső alak felírásánál arra is ügyelni kell, hogy a (11.203) jobb oldalán álló integrálok számítása eseten ki kell zárni az alapmegoldások szingularitása miatt a Q pontot az integrálási tartományból. Másként fogalmazva: főértékben kell venni ezeket az integrálokat. Az utóbb mondottak figyelembevételével kapjuk a (11.203)-ból a második Somiglianaféle formulát: cli (Q)ui (Q) =

∫− U Γ

li

( P , Q ) ti ( P ) d Γ P − ∫ − Tli ( P, Q) ui ( P ) d Γ P .

(11.126)

Γ

Ez egy olyan integrálegyenlet, amelyben a P ∈ Γt perempontokban a keresett ui ( P) elmozdulásvektor, a P ∈ Γu perempontokban pedig a keresett ti ( P) feszültségvektor az ismeretlen. Az egyenlet megoldása után alkalmazhatóvá válik a (11.122/b) alatti első Somigliana-féle formula a kereset fizikai mennyiség, azaz az ui (q ) elmozdulásmező számítására. Ha nem zérus a tartományi teher, akkor a (11.112/b) egyenlet helyett a (11.112/a) egyenletből kell kiindulni. A két egyenlet között a súlyfüggvény választást is figyelembe véve az ∫ wi bi d Ω = el (q ) ∫ U li ( p, q ) bi ( p ) d Ω p integrál adja az eltérést. Nem nehéz Ω

Ω

ellenőrizni a (11.122)-re vezető gondolatmenet alapján, hogy a fenti integrál el (q ) nélkül az első és a második Somigliana-formula jobb oldalára kerül. Következésképp ha nem zérus a tartományi teher, akkor ul (q ) = ∫ U li ( P, q ) ti ( P) d Γ P − ∫ Tli ( P, q ) ui ( P) d Γ P + Γ

Γ

+ ∫ U li ( p, q ) bi ( p ) d Ω p , Ω

az első, illetve cli (Q )ui (Q ) =

∫− U Γ

li

q ∈Ω

(11.150/a)

( P , Q ) ti ( P ) d Γ P − ∫ − Tli ( P, Q ) ui ( P ) d Γ P + Γ

+ ∫ U li ( p, Q ) bi ( p ) d Ω p , Q ∈ Γ

(11.150/b)

Ω

a második Somigliana-formula alakja. A fenti képletek jobb oldalán álló utolsó integrál matematikai jelentését tekintve a nem zérus térfogati teherhez tartozó partikuláris megoldás. Ennek alapján úgy is fogalmazhatunk, hogy a homogén Navier-egyenlet (11.122) alatti megoldását kiegészítettük a nem zérus tartományi teher esetéhez tartozó partikuláris megoldással.

263


Előadásvázlat

Megjegyzések: • A [(11.22), (11.26)] és {(11.50)} egyenletkettősök (a két Green-féle formula zérus és nem zérus tartományi hőforrás esetére), valamint a [(11.122), (11.126)] és {(11.150)} egyenletkettősök (a két Somigliana-féle formula zérus és nem zérus tartományi teher esetére) egymás analogonjai, mert a c ⇔ cli , u ⇔ ui , U ⇔ U li , t ⇔ ti , T ⇔ Tli , b ⇔ bi (11.204) betűcserékkel megkapható az egyik egyenletkettős a másik egyenletkettősből. • A jelen megjegyzés a második Somigliana-formula szigorú levezetését tárgyalja. A gondolatmenet hasonló a síkbeli második Green-formulára vezető gondolatmenethez. A kívánt eredmény eléréséhez a 11.9. ábrán vázolt Ω′ tértartomány esetén – ez az Ω tértartománytól, amint az az ábráról is leolvasható, csak a forráspont kis környezetében tér el – alkalmazzuk majd értelemszerűen a (11.120) egyenletet. Ennek során az Ω tértartomány alábbi sajátosságait vesszük figyelembe: • 1. A forráspont feltevés az Ω tértartomány Γ peremfelületének egy tetszőlegesen rögzített pontja: q = Q . A 11.9. ábrán a g görbén helyeztük el a q = Q pontot, így ugyanis jobban érzékeltethetők a geometriai viszonyok. 2. Feltesszük, hogy van érintősíkja a Γ peremfelületnek a Q pontban. Ez a feltevés nem erős, mint azt majd látni fogjuk. 3. Amint a 11.9. ábráról is leolvasható, az Ω′ tértartomány azon része az Ω tértartománynak, amelyet a Q ponthoz, mint középponthoz kötött ε sugarú gömbfelület eltávolításával kapunk meg. A gömb ε sugarát elegendően kicsinek tételezzük fel. 4. Jelölje Γε az ε sugarú gömb Ω tértartományban fekvő részét. Legyen továbbá Γ′ a Γ peremfelület határolja.

ε sugarú gömbön kívüli része. Nyilvánvaló, hogy a Ω′ tértartományt a Γ′ ∪ Γε felület

11.9. ábra: Az

Ω′ tértartomány

A fentiek figyelembevételével alkalmazva a (11.120) egyenletet az Ω′ tértartományra (q=Q, Ω helyett Ω′ , Γ helyére Γ ′ ∪ Γε kerül, az el (q = Q) elhagyható) p

L U ( p, Q ) d Ω ∫ u ( p) G i

Ω′

ij

lj

−δli δ ( p−Q )

p

−

∫

Γ ′ ∪Γε

Tli ( P, Q) ui ( P ) d Γ P = −

∫

Γ ′∪Γε

U li ( P, Q) t i ( P) d ΓP .

(11.123)

ti ( u k )

264


Előadásvázlat

Q pont az Ω′ tartományon kívül van, zérus a bal oldalon álló első integrál (zérus a Dirac-függvény értéke). Ha a felületi integrálokat külön tekintjük a Γ′ és Γε részfelületeken, akkor némi az eredmény. Mivel a

rendezéssel azt írhatjuk, hogy

∫ T ( P, Q) u ( P) d Γ− ∫ U li

i

Γε P

Γε

li

( P, Q) ti ( P) d ΓP = ∫ U li ( P, Q) ti ( P) d ΓP − ∫ Tli ( P, Q) ui ( P) d ΓP Γ′

Γ′

(11.124) A továbbiakban az a célunk, hogy meghatározzuk a fenti egyenlet határértékét, ha ε → 0 . A számítások során figyelembe vesszük majd, hogy az alapmegoldások a Q pontból a p pont felé mutató

ρk =

rk ; ρsρs = 1 r

(11.205)

egységvektor segítségével felírhatók az

U li ( p, q) =

1ɶ U li , r

Uɶli =

1 [(3 − 4ν)δli + ρl ρi ] 16πG (1−ν)

(11.206)

és

Tli ( P, q ) =

1ɶ Tli , r

Tɶli =

1 [(1− 2ν)(ρl ni − nl ρi − nk ρ k δ il ) − 3nk ρ k ρl ρi ] 8π(1−ν)

(11.207)

alakban. A (11.124)-ben álló integrálokat balról jobbra haladva vesszük sorra. Az első két esetben a 11.10. ábrán vázolt gömbi koordináta-rendszert célszerű felhasználni a számítások során. A rendszer origója a Q

x1 x2 koordináta-sík feltevés szerint a Γ felület érintősíkja. A Γε felület egyben a gömbi koordináta-rendszer ε sugarú koordináta-felülete. Az ábráról leolvasható a ϕ és θ gömbi koordináták értelmezése is. Az nk külső normális (ez egységvektor) előjelben különbözik a

ponttal esik egybe, az

11.10. ábra: A

Γε felület gömbi KR-ben

ρ k egységvektortól. A (11.207) képlet alkalmazásával – r = ε a Γε felületen – az első integrál határértéke a

265

Bojtár-Gáspár: A végeselemmódszer matematikai alapjai lim ∫ Tli ( P, Q) ui ( P) d Γ P = lim ∫ ε→0

ε→0

Γε

Γε

Előadásvázlat

1 ɶ Tli ( P, Q)[ui ( P ) − ui (Q )] d Γ P + lim ∫ Tli ( P, Q) d Γ P ui (Q ) = ε→0 ε2 (11.208) Γε

= lim 4π Tɶli ( P ′, Q)[ui ( P ′) − ui (Q)] + lim ∫ Tli ( P, Q) d Γ p ui (Q) ε→0

ε→0

Γε

alakban írható fel. Vegyük észre, hogy a jobb oldalon álló első integrálra alkalmaztuk az integrálszámítás középértéktételét: az integrál értéke az integrálási tartomány mérőszáma (félgömbnek vettük a

Γε -t:

Γ ε = 4πε és ez, mivel az integrál határértékéről van szó megengedhető) szorozva az integrandusz az 2

integrálási tartományon belül alkalmasan választott pontban vett értékével (ezt a pontot

P ′ jelöli). Mivel

Tɶli ( P ′, Q ) korlátos, a ui ( P ′ ) − ui (Q ) különbség pedig ε → 0 esetén zérushoz tart, a (11.207) kifejezés jobb oldalán álló első tagnak zérus a határértéke96. Ez egyben azt is jelenti, hogy a továbbiakban a

lim ∫ Tli ( P, Q ) ui ( P) d Γ P = lim ∫ Tli ( P, Q ) d Γ p ui (Q ) = cli (Q) ui (Q ) ε→0

ε→0

Γε

(11.125a)

Γε

cli ( Q )

összefüggésben álló

cli (Q ) meghatározása a feladatunk. Helyettesítsünk be a vonatkozó integrálba,

megőrizve egyelőre az r -et, valamint kihasználva az ábra alapján írható ns ρ s = −1 egyenletet a (11.207) képletet. Azt kapjuk, hogy dΓ p 1 1 (11.209) cli (Q ) = lim ∫ 2 Tɶli ( P, Q) d Γ p = lim ∫ [ (1− 2ν)δ li + 3ρl ρ i ] 2 . ε→0 ε→0 r 8 (1 ) r π − ν Γ Γ ε

ε

Leolvasható az ábráról, hogy a P pont xk koordinátái – vagy ami ugyanaz, az irányvektor elemei, továbbá a skaláris felületelem a x1 = r1 = r sin θ cos ϕ , x2 = r2 = r sin θ sin ϕx3 = r3 = r cos θ

rk vektor –, a ρ k

ρ1 = x1 / r = sin θ cos ϕρ 2 = x2 / r = sin θ sin ϕρ3 = x3 / r = cos θ

(11.210/a)

és

d Γ p = r 2 sin θ d θ d ϕ módon számíthatók. Vegyük azt is észre, hogy az (1− 2ν)δ kl + 3ρ k ρl kifejezés csak a

(11.210/b)

ρ k egységvektor

Q pont a kezdőpontja, a végpontja pedig a Q középpontú egységsugarú K1 gömbfelület egy σ résztartományán fut végig – azaz független az r = ε -tól – és fennáll, hogy d σ = d Γ p / r 2 = sin θ d θ d ϕ a K1 gömb felületeleme (a dΓ p látószöge). Nyilvánvaló, hogy a (11.209)

függvénye. Ennek a

integrált a

K1 gömb említett résztartományára kell kiterjeszteni. Következésképp a keresett határértéket a cli (Q ) =

1 [(1− 2ν)δ li + 3ρl ρi ] d σ 8π(1− ν) ∫σ

(11.211)

integrál adja meg.

Q kezdőpontú és a Γ felületet érintő félegyeneseket „félérintőknek” fogjuk nevezni. A félérintők serege (mivel a felület most sima) a Q pontbeli érintősíkot alkotja, és ez a sík a K1 gömböt két félgömbre vágja

A

szét. Jelölje

KΓ (Q) a K1 gömbfelület azon felét, amely csaknem, vagy teljes egészében az Ω

96

A határérték eltűnéséhez valójában csak annyi kell, hogy a gömbfelület Ω -n belüli része – az integrálási tartomány mérőszáma – az ε sugár második hatványával legyen arányos. Ez mindig teljesül.

266


Előadásvázlat

σ = K Γ (Q) a keresett integrálási tartomány.

tartományon belül fekszik. Nyilvánvaló, hogy most Következésképp

∫ dσ = ∫ σ

d σ = 2π .

(11.212)

KΓ ( Q )

A fentebb mondottak, továbbá (11.209) és (11.210) képletek, illetve a 11.10. ábra alapján

cli (Q ) =

π 2π 1   d σ (1− 2ν)δ kl + 3∫ ∫ ρ k ρl sin θ d θd ϕ  . ∫ KΓ ( Q ) θ=0 ϕ=0  8π(1−ν) 

(11.213)

=2 π

Megmutatjuk, hogy cli (Q ) =δkl /2 . Ha

l ≠ i , akkor az

∫

2π 0

cos n ϕ d ϕ =

∫

2π 0

sin n ϕ d ϕ = 0

( n = ±1, ± 2, ± 3, ...)

egyenlőségek használhatók ki. A k = l = 1 és k = l = 2 esetekben az π/2 2π 2π 2π  cos3 θ  2 3 2 2   ∫ sin θd θ =  3 − cos θ = 3 , ∫ cos ϕd ϕ = ∫ sin ϕd ϕ = π  0 0 0 0 integrálokat, a k = l = 3 esetben pedig az

(11.214/a)

π/ 2

2π

cos3 θ 1 (11.214/b) = ∫ 3 3 0 0 integrált kell – többek között – kihasználni. Elvégezve fentiek segítségével a szükséges integrálásokat, valóban a ckl (Q ) = δ kl / 2 eredmény adódik. Az utóbbi eredmény felhasználásával (11.125/a) határérték a 1 lim ∫ Tli ( P, Q) ui ( P) d Γ P = cli (Q) ui (Q ); cli (Q) = δ il alakú lesz. A (11.124) egyenlet bal oldalán álló ε→ 0 2 Γ cos 2 θ sin θd θ = −

ε

második integrál határértéket – kihasználva a (11.206) átalakítást – ugyancsak a középértéktétel felhasználásával határozzuk meg:

lim ∫ U li ( P, Q ) ti ( P ) d Γ P = lim ∫ ε→ 0

ε→ 0

Γε

Γε

1 ɶ U li ( P, Q ) ti ( P ) d Γ P = lim 4πεUɶli ( P ′, Q )ti ( P ′) . ε→ 0 r

4πε -nek vettük a Γε területét, P ′ pedig ismét a Γε tartomány középértéktétel ɶ ( P, Q ) , mind t ( P) korlátos – a testben ébredő alkalmazásához szükséges pontja. Mivel mind U i li

A képletben ismét

2

feszültség korlátos mennyiség, ha végesek a terhelések – a fenti integrálnak zérus a határértéke, azaz

lim ∫ U li ( P, Q ) ti ( P ) d Γ P = 0 . ε→ 0

(11.125/b)

Γε

A (11.124) egyenlet jobb oldalán álló két integrál határértéke nyilvánvalóan az integrál főértéke:

lim ∫ U li ( P, Q) ti ( P) d Γ P =

∫− U

lim ∫ Tli ( P, Q) ui ( P ) d Γ P =

∫− T ( P, Q) u ( P) d Γ

ε→ 0

ε→ 0

Γ′

Γ′

li

( P , Q ) ti ( P ) d Γ P ,

Γ

li

i

P

.

(11.125 / c) (11.125 / d )

Γ

A (11.125) alatti eredmények (11.124) összefüggésbe történő helyettesítése a (11.126) második Somiglianaformulát adja. Ezt kívántuk megmutatni.

11.3.7. Feszültségek számítása belső pontban Az alábbiakban meghatározzuk a (11.150) alatti első Somigliana-formulával adott ul (q ) elmozdulásmezőhöz tartozó feszültségeket. A számítások során -- a nem nehéz, de figyelmet igénylő formális átalakításokat nem részletezzük -- az alábbiak szerint járunk el:

267


Előadásvázlat

(a) meghatározzuk rendre az ul′ ( q ) = U li ( P, q ) ti ( P ) , ul′′ ( q ) = U li ( p, q ) bi ( p ) , és ul′′′ ( q ) = Tli ( P, q ) ui ( P ) (11.215) vektormezők u ′l , s , u ′′l , s ( q ) , és u ′′′l , s ( q ) gradienseit (a q pont koordinátái szerint kell deriválni, és érdemes továbbá kihasználni, hogy a q szerinti páratlan rendszámú deriváltak előjelben különböznek a p szerinti páratlan deriváltaktól (a páros rendű deriváltak azonosak), (b) majd helyettesítjük a kapott eredményt a (11.101/b) Hooke-modellbe. A Hooke-modellből rendezés után adódik, hogy σls′ ( P, q) = Dlsi ( P, q) ti ( p ) , σls′′ ( p, q ) = Dlsi ( p, q) ti ( p) , σls′′′ ( P, q) = Slsi ( P, q ) ui ( p ) , (11.216) ahol rr r 1 1   (1− 2ν)(ri δ ls − rl δ si −δ li rs ) − 3 l s2 i  (11.217/a) Dlsi ( p, q ) = 3 8π(1−ν) r  r  és G 3 Slsi ( p, q ) = {nk rk (1− 2ν)δls ri + ν (rsδli + rl δ si ) − 4π (1−ν) r 5 −5nk rk

rl rs ri 1 r2 + ν + + − ν + δ + δ − n r r n r r r r n n n 1 2 3 ( l s i s l i) ( )( l s i l si s li ) (1− 4ν)δ ls ni } r2 3 3

A (11.215) és (11.216) képletek alapján kapjuk a (11.150) alatti első Somiglianaformulából, hogy σls (q ) = ∫ Dlsi ( P, q ) ti ( P ) d Γ P − ∫ Slsi ( P, q ) ui ( P) d Γ P + ∫ Dlsi ( p, q ) bi ( p ) d Ω p (11.218) Γ

Γ

Ω

a feszültségi tenzor a q ∈ Ω pontban.

11.3.8. A numerikus megoldás alapjai A (11.150/b) integrálegyenlet numerikus megoldása érdekében peremelemekre bontjuk az Ω tértartomány Γ határfelületét. Az egyes elemek felett alkalmasan választott alakfüggvényekkel közelítjük mind a geometriát (azaz az xi vektort), mind pedig az ui elmozdulás-, valamint ti feszültségvektorokat: e

nen

e

x i = ∑N k (ξ) x ik , k =1

e

nen

e

u i = ∑N k (ξ) u ik k =1

e

nen

e

és t i = ∑N k (ξ) t ik .

(11.127)

k =1

Vegyük észre, hogy (a) ami a jelöléseket illeti, igazodtunk a hővezetési feladat kapcsán bevezetett jelölésekhez, lásd a 11.2.7. pont első bekezdését, (b) a ξ1 , ξ2 koordináta-kettőst a tömörebb írásmód kedvéért egyszerűen ξ -vel jelöltük,

268


Előadásvázlat

(c) ha a latin index nemcsak 1,2 és 3 lehet, akkor összegező indexek esetén mindig kiírjuk az összegezés ∑ jelét (pl. k , e ). Egyébként az indexes jelölésmód érvényes, azaz alsó indexsorban álló kettős (néma) indexek szerint ugyanúgy, mint eddig, összegezni kell. A (11.127) alatti közelítéseket helyettesítve, továbbá a Qi i = 1, …, nbn pontot választva kollokációs pontnak átírható a második Somigliana-formula, azaz a direkt módszer (11.150/b) alatti integrálegyenlete: nbe

nen

e

cls (Qi )us (Qi ) = ∑ ∫ U ls ( P(ξ), Qi )∑N k (ξ) d Γ(ξ) t sk − e=1

nbe

∑∫ e=1

nen

Γe

k =1

e

(11.128)

Tls ( P(ξ), Qi )∑N k (ξ) d Γ(ξ) u + ∫ U ls ( p, Qi ) bs ( P) d Ω p , i = 1, …, nbn

Γe

k s

k =1

Ω

Legyenek u1j  t1j      (11.219) u j = u2j  és t j = t2j  , j = 1,..., nbn u  t j   3   3  a peremen tekintett elmozduláskoordináták és feszültségkoordináták (vektorai) a globális sorszámozás szerinti j -edik csomópontban. A teljes peremre nézve a VEM-nél megszokott módon, azaz az T (11.220/a) u = [ u11 u21 u31 | u12 u22 u32 | ... | u1nbn u2nbn u3nbn ] , u1T

uT2

unTbn

és nbn nbn nbn t = [ t11 t21 t31 | t12 t22 t32 | ... | t t2 t3 ] 1 T

u1T

u2T

(11.220/b)

uTnbn

képletek értelmezik az elmozdulások és feszültségek 3nbn elemű u és t vektorait. Az a( j , e) függvény – ugyanúgy, mint azt már láttuk a (11.29) képletek kapcsán – az e -edik elem globális sorszámozás szerinti j -edik csomópontjának adja meg a lokális (elemen belüli) sorszámát. A későbbiek kedvéért az alábbiakban értelmezzük a   (11.129)1 hˆ ij =  ∑ ∫ Tls ( P (ξ), Qi ) N a ( j , e ) (ξ) d Γ(ξ) (3×3)  e∈ j Γe  és   (11.129)2 g ij =  ∑ ∫ U ls ( P (ξ), Qi ) N a ( j , e ) (ξ) d Γ(ξ) Γe e j ∈   (3×3)   integrálokat, ahol az összegzés azokra az elemekre terjed ki, melyeknek csomópontja a globális sorszámozás szerinti j -edik csomópont; a képletben N a ( j , e ) az e -edik elem lokális számozás szerint a -adik csomópontjához tartozó bázisfüggvény (a bázisfüggvények is elemtől függőek lehetnek), az i pedig a rögzítettnek tekintett Qi 269


Előadásvázlat

csomópont, azaz a kollokációs pont száma. Vegyük azt is észre (ezt a jelölésben is érzékeltettük), hogy mind hˆ ij , mind pedig g egy 3×3 méretű mátrix. Nem nehéz ij

belátni a (11.128) és (11.219) egyenlet, illetve képletek alapján, hogy ezek a mátrixok jobbról vannak megszorozva a 3 elemű u j , illetve a t j oszlopvektorokkal. Megjegyzés: A

hˆ ij és g

mátrixok rendre a (11.29) alatti ij

hîj és gij skalárok analogonjai.

Ha bevezetjük még a fentieken túlmenően a (11.128) egyenlet baloldalát tekintve a C ii= [cκλ (Qi )] (11.130/a) (3×3)

jelölést (mátrixot), valamint a ˆ ha i = j h ii + C ii , h ij =  i, j = 1,…, nbn (11.130/b) hˆ , ha ≠ i j  ij továbbá a B i=  ∫ U ls ( p, Qi ) bs ( P) d Ω p  i = 1,…, nbn (11.151/b)  Ω  (3×1) jelöléseket, akkor a hˆ és b mátrixok értelmezése kapcsán mondottakat is kihasználva a ij

ij

u 1  t 1      u 2     t 2  + B , i = 1,..., n (11.131)  = g  h i1 h i 2 ⋯ h in   g ⋯ g i bn  bn     i1 i2 inbn  ⋯  ⋯     u  t   nbn   nbn  egyenletet kapjuk a Qi kollokációs pontban vett (11.128) alatti második Somiglianaformulából. A fenti egyenletek egyesítése a  g ⋯ g h ⋯ h 1n  u   g 11 h 12 12 1nbn   t  B  bn  11   1     1   1      h 21 h 22 ⋯ h 2 nbn  u 2   g 21 g 22 ⋯ g 2 n  t 2   B 2  bn   =  ⋯  + ⋯  , (11.132) .......  ⋯  .......          t   B    h  u nbn  g   nbn  ⋯ g g  nbn   nbn 1 h nbn 2 ⋯ h nbn nbn   nbn 2 nbn nbn   nbn 1 B u t H

G

vagy tömörebb formában írva a H u = Gt + B

(11.133)

egyenletrendszerre vezet. A (11.133) egyenletekben vagylagosan adott az u k , illetve a t k , hiszen egy csomópontban a két érték közül csak az egyik ismert a peremfeltételek alapján. Ez egyben azt jelenti, hogy annyi ismeretlenünk van, ahány egyenlet áll rendelkezésre, és a (11.133) egyenletrendszer alkalmas átrendezése után formailag a 270


Előadásvázlat

(11.51/a) egyenletrendszerrel megegyező szerkezetű lineáris egyenletrendszert kapunk az ismeretlen csomóponti értékekre: (11.151/a) AX = F+B. Az eltérés az egyes mátrixok méreteiben, továbbá a mátrixok elemeinek meghatározásában érhető tetten. Megjegyzések: • A peremen tekintett elmozdulásmezőre és feszültségmezőre nézve a legtöbb esetben a peremen értelmezett ún. felületi koordinátarendszerben teszünk a peremfeltételeken keresztül előírásokat. A felületi koordinátarendszerben tekintett mennyiségeket, mivel a peremelemes formalizmus a globális koordinátarendszert használja, transzformálni kell a globális koordinátarendszerbe. A transzformáció technikáját és a numerikus implementációban való szerepét az [5] alatti tanulmány ismerteti. •

A (11.133) egyenlet jobb oldalán megjelenik a tartományi terhelés hatása. Ennek figyelembevétele azt eredményezi, hogy az Ω tartomány felett kell integrálni, vagyis elveszti a módszer a dimenziószám csökkenéséből adódó előnyét – ha ui. nincs tartományi teher, akkor a háromváltozós feladat numerikus megoldása a PEM révén kétváltozós feladat megoldására van visszavezetve és a VEM módszerrel szemben nincs szükség tartományi háló generálására.

A nem zérus tartományi teher figyelembevételére több lehetőség kínálkozik. Az alábbiakban vázlatosan ismertetjük ezeket. Az érdeklődő olvasó az idézett művek alapján tud mélyebben tájékozódni. (a) Ha elfogadjuk a dimenziószám elvesztésével járó hátrányokat, és végeselemekre bontjuk fel az Ω tartományt, akkor a VEM megszokott technikájával a

 nrn   B i=  ∑ ∫ U ls ( p, Qi ) bs ( P) d Ω p  (3×1)  e=1 Ωe 

i = 1, …, nbn

módon vehető figyelembe a tartományi teher, e a tartományon felvett elemeket számlálja,

nre a

tartományon felvett elemek száma (number of region elements). A konstans gravitációs teher, illetve a forgásból adódó tehetetlenségi erőrendszer, mint tartományi (b) teher esetén a vonatkozó tartományi integrálok kivihetők a Γ peremfelületre. a (11.150/a) alatti első Somigliana-féle formula esetén konstans, azaz bi ( p) = bi = állandó alakú tartományi teher esetére szorítkozva a tartományi integrálra nézve a

  ˆ (q, P) d Γ b , Bˆ = 1 1  n r δ − 1 n r δ  U p q b p d Ω = B ( , ) ( ) i p p i li k k li l k ki ∫ li ∫ li  8πG r  2(1−ν)  Ω Γ összefüggés áll fenn. Ez az eredmény az alapmegoldás és az ún. Galjorkin-féle vektor közötti kapcsolat alapján adódott [8]. (c) A további lehetőségek közül – a partikuláris integrálás technikája, mint az úgynevezett duál reciprocitási eljárás speciális este, a többszörös reciprocitási eljárás [9] és végül a duál reciprocitási technika – az utolsó az, ami mindig alkalmazható és igen hatékony eljárási technika. A módszer dinamikai feladatok kapcsán került [10] kidolgozásra, de gyorsan elterjedt a statikai feladatok körében is [2, 67-70. o.].

271


Előadásvázlat

11.3.9. Az elmozdulások és feszültségek numerikus számítása A (11.133) egyenletrendszer megoldása után a teljes peremen ismert az elmozdulás és feszültségmező. Következőleg alkalmazható az elemek feletti integrálással a (11.150/a) alatti első Somigliana-formula az elmozdulásmező számítására az Ω tartomány belső q pontjaiban: nbe

nen

e=1 Γ e

k =1

e

us (q ) = ∑ ∫ U ls ( P (ξ), q )∑N k (ξ) d Γ(ξ) t ks − nbe

nen

e=1 Γ e

k =1

(11.146)

e

−∑ ∫ Tls ( P(ξ), q)∑N k (ξ) d Γ(ξ) u ks + ∫ U li ( p, q ) bi ( p ) d Ω p , Ω

Hasonló módon kapjuk a feszültségeket az Ω tartomány belső q pontjában megadó, azaz a (11.218) képletből a feszültségek numerikus számításának nbe

nen

e

σls (q ) = ∑ ∫ Dlsi ( P(ξ), q ) ∑N k (ξ) d Γ(ξ) t ks − e=1 Γ e

nbe

k =1

nen

e

(11.147/a)

−∑ ∫ Slsi ( P (ξ), q )∑N k (ξ) d Γ(ξ) u + ∫ Dlsi ( p, q ) bi ( p ) d Ω p e=1 Γ e

k =1

k s

Ω

formuláját. Mindkét képlet csak akkor alkalmazható megbízhatóan a magfüggvények szinguláris jellege miatt, ha a q ∈ Ω pont nincs nagyon közel a Γ peremhez. A Γ peremen ébredő feszültségeket kétféleképpen lehet meghatározni. Az egyik esetben azt használjuk ki, hogy a (11.133) egyenletrendszer megoldása után a teljes peremen ismert mind az elmozdulásmező, mind pedig a feszültségmező [11], [12]. Az alábbiakban ezt a lehetőséget ismertetjük vázlatosan.

x’3 11.11. ábra: Az e elemhez kötött felületi KR

O x’1

e x’2

A 11.11. ábrán szemléltetett peremelemhez kötjük az ortogonális

( x1 x2 x3 ) ′

′

′

felületi

koordinátarendszert, x1′ , x2′ a felületi koordináták, az x3′ pedig felületre merőleges koordináta. Ennek a koordinátarendszernek minden pontjában ismerjük elvben a feszültségvektort, következésképp ismertnek vehetők a σkl′ feszültségtenzor σ13′ = σ31′ , 272


Előadásvázlat

σ23′ = σ32′ és σ33′ komponensei. Mivel az elem felett ugyancsak ismert az ul′ ( x1′ , x2′ )

elmozdulásmező, a felületi koordináták szerinti deriválásokkal meg tudjuk határozni az 1 ′ alakváltozási tenzor érintősíkban fekvő elemeit97: εκλ = (uκ′ , λ + uλ′ , κ ) . A hiányzó 2   ν ′ érintősíkbeli σκλ feszültségeket a σkl′ = 2G ε kl′ + ε ss′ δ kl  Hooke-modellből   1 − 2ν ′ számíthatók. Ehhez azonban ismernünk kell a ε 33 fajlagos nyúlás értékét. Ez a fenti σ33′ ν = ε33′ + (ε11′ + ε 22′ + ε33′ ) egyenletből adódik: 2G 1 − 2ν  1− 2ν  σ33′ ν ε33′ = − ε11′ + ε 22′ ) . Az ε33′ fajlagos nyúlás ismeretében (  1− ν  2G 1− 2ν  ′  1− 2ν  σ33 ε ss′ = ε11′ + ε 22′ + ε33′ = + ε11′ + ε 22′  az alakváltozási tenzor első skaláris  1−ν  2G  invariánsa, és ezzel a Hooke-modellből azonnal adódik a három hiányzó feszültség: 1  ′ ′  σ11′ = νσ33 + 2G (ε11′ + νε 22 ) ,   1−ν 1  ′ ′ (11.221) σ22 = νσ33 + 2G (νε11′ + ε 22′ ) ,  1−ν 

Hooke-modell alapján írható

σ12′ = σ21′ = 2Gε12′ . A (11.221) összefüggések használata általában kielégítő eredményre vezet és viszonylag

költséghatékony. Ugyanakkor a pontossággal bajok lehetnek, különösen akkor, ha viszonylag nagyméretű elemeket alkalmazunk.

Megjegyzés:

A fenti ismertetés csak az elvi alapokat tekintette át. Hiányzik ebből a leírásból annak részletezése, hogy a lokális és globális koordinátarendszerek közötti transzformációt hogyan kell beépíteni az algoritmusba. A deriválások számítása is függ attól, hogy milyen alakfüggvényeket használunk, vagyis a kódolási munka még számos további kérdést vethet, illetve vet fel.

A peremen ébredő feszültségek számításának pontossága jelentősen fokozható, ha a (11.218) egyenlet határértékét képezzük a q → Q esetre – kivisszük a q pontot a peremre – és az így kapott egyenlet alapján dolgozunk ki számítási algoritmust [13]. Ez az eljárás azonban nem költséghatékony, és a programozási munka, amivel társul, ugyancsak komoly nehézségeket okoz.

97

A görögbetűs index korábbi megállapodás szerint csak 1 és 2 lehet! 273


Előadásvázlat

11.3.10. A numerikus megoldás egyes problémái A hővezetési feladat kapcsán már hangsúlyoztuk, hogy a peremelemmódszer pontossága nagymértékben függ attól, hogy kellően pontosak-e a H és G mátrixok elemei. Másként fogalmazva – amint arról már szó esett a hˆ és g skalárok számítása kapcsán – most is ij

nagy körültekintéssel kell eljárni a hˆ ij és g

ij

együtthatókat adó (11.129) képletekben a ij

integrálok numerikus meghatározása során. Ha i ≠ j , akkor általában – tehát rugalmasságtani feladatok esetén is – alkalmazható a végeselemmódszerben szokásos valamelyik Gauss-kvadratúra, mivel sosem lesz zérus a P(ξ) futópont, és a Qi kollokációs pont távolsága. Különbséget kell azonban tenni a kollokációs ponthoz közel fekvő, és a tőle távolabb lévő peremelemek között. Az utóbbiak esetén kielégítő pontosságot adhat egy alacsonyabbrendű Gauss-formula (a kommerciális programok a Gauss-pontok számát általában a távolság függvényében választják meg). A kollokációs ponthoz közelebb fekvő elemek esetén a numerikus pontosság növelése érdekében növelni kell a Gauss-pontok számát, és az is előfordul, hogy a kollokációs ponthoz közeli elemet részelemekre bontják fel és ezeken a részelemeken külön-külön integrálnak [14], [15]. Amennyiben i = j , akkor a Qi pont most is része a (11.129) képletekben szereplő Γe elemeknek – az integrálást ezek felett végezzük –, következésképp 1/ r 2 alakú erős szingularitása van a hˆ ii -t adó (11.129/a) integráloknak, továbbá 1/ r típusú gyenge szingularitása van a g -t adó (11.129/b) integráloknak. ii

Az erősen szinguláris integrálok kérdése ugyanúgy kezelhető, mint a hővezetési feladat esetén. Tegyük fel, hogy zérus a bi tartományi tehervektor értéke a teljes Ω tértartományon. Ez esetben nyilvánvalóan zérus a Bi vektor is. Továbbá azt is feltételezhetjük, hogy mindenütt állandó és egységnyi az elmozdulásvektor három koordinátája, azaz u1 = u2 = u3 = 1 . Következésképp mindenütt azonosan zérus a σij feszültségtenzor, és így azonosan zérus az Ω tértartomány Γ peremfelületén a ti feszültségvektor is. Ezekkel az értékekkel a (11.131) egyenletből, tekintettel még a (11.130/b) összefüggésre is, végső soron a nbn

nbn

j =1

j =1 ( i≠ j )

∑h ij = 0 , vagy ami ugyanaz a h ii = C ii + hˆ ii = − ∑ h ij , i = 1,..., nbn

(11.135)

eredmény következik. A fenti képlet most is kifejezi, hogy (a) nincs szükség az erősen szinguláris integrálok előzetes számítására, (b) a C ii állandókat sem kell képletszerűen (vagy numerikusan) meghatározni, mivel a 274


Előadásvázlat

fentiek szerint nincs szerepük a numerikus megoldásban, (c) a H mátrix szinguláris, tehát ha teljes Γ peremen a feszültségeket írjuk elő (az egyensúlynak teljesülnie kell!), akkor egy csomópontban tetszőlegesen előírható az elmozdulás. Megjegyzések: •

A gyenge 1/ r típusú szingularitást illetően az a kérdés a (11.129) összefüggés alapján, hogy hogyan határozzuk meg a 1

1

ξ , ξ ), Q ) N ( P( ∫ ∫ U kl

−1 −1

1

2

a

a

(ξ1 , ξ 2 ) J (ξ1 , ξ2 ) d ξ1 d ξ2 d Γ(ξ )

K ( P ( ξ1 , ξ 2 ), Qa )

típusú integrálok értékét. A képletben a kollokációs pontot a lokális sorszámozás szerint jelöltük: -tól eltérő indexű

N

b

Qa , az a

b = 1,…, nen , b ≠ a bázisfüggvények zérus értékűek a Qa pontban, ezért

1/ r típusú szingularitást, következésképp rájuk nézve a szokványos Gauss-integrálás használható, J (ξ1 , ξ 2 ) a Jacobi-féle függvénydetermináns, és részletesen kiírtuk felhasználva J (ξ1 , ξ 2 ) -t a dΓ(ξ) felületelemet. A továbbiakban az általánosság kedvéért – a bemutatásra kerülő eljárás ugyanis megszüntetik az

nem csak rugalmasságtani feladatokban alkalmazható – a

K ( P(ξ1 , ξ 2 ), Qa ) módon jelöljük a

magfüggvényt.

11.12. ábra: A

(ξ1 , ξ2 ) → (u , v) leképezés

A felvetett problémára a szingularitás megszüntetése jelenti a megoldást. Ez úgy érhető el, hogy a változópár helyett olyan alkalmasan választott

(ξ1 , ξ 2 )

(u, v) változópárt vezetünk be, melyek révén

megszüntethető az integrandusz 1/ r típusú szingularitása. A vonatkozó, Lachat és Watson ([11]) által kidolgozott transzformáció csak háromszög alakú elemekre alkalmazható. Az alábbiakban a 11.12. ábrán szemléltetett serendipity típusú elemre mutatjuk be egy esetben a gondolatmenetet. Legyen Qa = Q1 és bontsuk fel az integrálási tartományt – az origó középpontú két egységnyi oldalélű négyzetet a (ξ1 , ξ 2 ) síkon – az ábrán látható módon két háromszögre: A gyengén szinguláris integrál ennek megfelelően két részre bontható:

275


Előadásvázlat

ξ1

1

I = I1 + I 2 = ∫ ∫ K ( P (ξ1 , ξ 2 ), Qa ) N a (ξ1 , ξ 2 ) J (ξ1 , ξ 2 ) d ξ 2 d ξ1 + −1 − 1 I1 1

1

+ ∫ ∫ K ( P(ξ1 , ξ 2 ), Qa ) N a (ξ1 , ξ 2 ) J (ξ1 , ξ 2 ) d ξ 2 d ξ1 −1 ξ1 I2

A továbbiakban a szürkén kiemelt háromszögre, azaz az

ξ1 = u ,

I1 integrálra fordítjuk a figyelmet. Tekintsük a

1 [(1 + u )v − (1− u )] 2

ξ2 =

leképezést. Nem nehéz ellenőrizni, hogy ez a leképezés a jobb oldali ábrarészleten látható, szintén szürke színnel kiemelt origó középpontú és két egységnyi oldalélű négyzetre képezi le a szürkén kiemelt

(ξ1 , ξ 2 ) sík 3, 5 és 1 jelű csomópontját rendre az (u , v) sík (1, −1) (ezt itt is 3-mal jelöltük) és (1,1) (ezt itt is 5-tel jelöltük) csomópontjaira, illetve az u = −1

háromszöget. Teszi ezt oly módon, hogy a

egyenesre képezi le. A leképezés Jacobi-féle determinánsának

∂ξ1 ∂u J (u , v) = ∂ξ1 ∂v

∂ξ 2 1 ∂u = ∂ξ 2 0 ∂v

1 (1 + v) 1 2 = (1 + u ) 1 2 (1 + u ) 2

az értéke. Következőleg

∫

1 v =−1

∫

1

K ( P(ξ1 , ξ 2 ), Qa ) N a (ξ1 , ξ 2 ) J (ξ1 , ξ 2 ) J (u , v) du dv

u =−1

1 (1+u ) 2

I1 integrál értéke. Kiolvasható ebből az eredményből, hogy az u = −1 érték esetén (ekkor r = 0 ) az (1 + u ) / 2 szorzó megszünteti szingularitást. A fenti eljárás más esetekben is alkalmazható. A lehetséges

az

eseteket részletesen tárgyalja (bár a jelölésrendszer a fentiektől eltérő) a [16] alatti könyv. A gyengén szinguláris integrálok kezelésére vannak más ugyancsak hatékony módszerek ([17]).

•

A sarokpontok, illetve élek kezelése különös figyelmet igényel a térbeli feladatok esetén. Ha magában a sarokpontban az elmozdulásvektor az előírt, akkor a problémát az okozza, hogy a sarokpontban összefutó oldallapokon a sarokpontra eső csomópontban (a különböző elemek egymással egybeeső csomópontjában) mindegyik elemen ismeretlen a feszültség, azaz háromnál több ismeretlen van. Ha a peremfelületen lévő valamely élen ugyancsak az elmozdulásmező az előírt, akkor az élbe befutó két lapon ismét általában ismeretlen a feszültség, így az élen lévő csomópontokban ismét háromnál több a feszültség jellegű ismeretlenek száma. A megoldást a részlegesen folytonos, vagy a nem folytonos elmozdulásmezőt adó elemek használata jelenti. 7

11.13. ábra: Részlegesen folytonos elemek elhelyezése sarokpontban, illetve él mentén

6

8

5

1 2

4

6

3

5

7 8

6

6

1

5

7

4

8

3

4

5

2 8

7

4

6

3

1 7

3 2

2

5

4 3

2

8 1

1

276


Előadásvázlat

A 11.13. ábra valamely test egy sarokpontjában, illetve a testen lévő egy él mentén szemlélteti a nyolc csomópontú serendipity típusú, részlegesen folytonos, illetve folytonos elemek csatlakozását.

11.3.11. PEM és VEM: előnyök, hátrányok Az alábbiakban táblázatszerűen áttekintjük a két módszer – a peremelemmódszer és a végeselemmódszer – főbb tulajdonságait, előnyeit és hátrányait a másikkal szemben:

PEM mezőegyenletek pontosan 1) A teljesülnek. 2) A feladat mérete (dimenziója) eggyel csökken. 3) Szinguláris integrálok meghatározását igényli a megoldandó ER együtthatómátrixának számítása. 4) Ugyanazon pontosság eléréséhez lényegesen kisebb méretű ER-t kell megoldani. 5) Nem szimmetrikus és teli mátrix a megoldandó ER mátrixa. 6) Ismerni kell az alapmegoldásokat. 7) A módszer alapjai (potenciálelméleti alapok, rugalmasságtani alapok) nem részei a hagyományos mérnöki kurzusoknak.

VEM 1) A mezőegyenletek csak integrál értelemben teljesülnek. 2) Nem változik a feladat mérete. 3) Nincs szükség szinguláris integrálok számítására a merevségi mátrix számítása során. egyenlet 4) Viszonylag nagyszámú megoldására van szükség. 5) Szimmetrikus és sávszerkezetű (diagonális szerkezetűvé tehető) a megoldandó ER. 6) Nincs szükség alapmegoldásokra. 7) A módszer alapjai (virtuális munka és teljesítmény elv, variációszámítás) valamilyen formában részei a hagyományos mérnöki kurzusoknak.

277

Végezetül megjegyezzük, hogy a jelen előadásvázlatban bemutatott módszert direkt peremelem-módszernek szokás nevezni, mivel a feladat ismeretleneinek van közvetlen fizikai jelentése (elasztostatikai feladatoknál elmozdulásvektor illetve feszültségvektor). A direkt jelző megkülönbözteti a módszert az ún. indirekt módszertől, ez utóbbi módszernél általában valamilyen peremen vett potenciálfüggvény az ismeretlen. Felhasznált irodalom:

1./ Brebbia, C.A. – Dominguez, J. : Boundary Elements: An Introductary Course, Computational Mechanics Publications and Mc Graw Hill, 2nd edition, 1992. 2./ Aliabadi, M. H. : The boundary element method - Applications in Solids and Structures, Volume 2. John Wiley & Sons, 2002. 3./ Béda Gy. - Kozák. I. : Rugalmas testek mechanikája, Műszaki Könyvkiadó, Budapest, 1987. 4./ Szeidl. G. : Kísérleti és numerikus feszültséganalízis: A peremelemmódszer integrálegyenletei, Miskolci Egyetem, 1999. (http://mek.oszk.hu/01100/01185/01185.pdf) 5./ Watson, J. O. : Advanced implementation of the boundary element method for two- and three-dimensional elastostatics, Chapter 3, pp. 31-63, The Developments Series, Applied Science Publ., London, 1979. 6./ Patterson, C. - Sheikh. M. A. : Interelement continuity in the boundary element method, In C. Brebbia A. (editor) Topics in Boundary Element Research, Vol 1, pp. 123-141. Springer, 1984. 7./ Lurie, A. I. : Theory of elasticity, Nauka, Moscow, 1970. 8./ Danson, D. J. : A boundary element formulation in linear elasticity with body forces. pp. 105-122, Springer, Berlin, 1981. 9./ Nowak, A. – Neves, A. : The multiple reciprocity boundary elements, Computational Mechanics Publications, Southampton, 1994. 10./ Nardini, N. – Brebbia, C. A. : A new approach to free vibration analysis using boundary elements, Computational Mechanics Publications, pp. 312-326, Southampton, 1997. 11./ Lachat, J. C. – Watson, J. O. : Effective numerical treatment of boundary integral equations: A formulation for three dimensional elastostatics, International Journal for Numerical Methods in engineering, 10:991-1005, 1976. 12./ Sladek, V. – Sladek, J. : Improved computation of stresses using the boundary element method., Applied Mathematical Modelling, 10:249-255, 1986. 13./ Wilde, A. J. – Aliabadi, M. H. : Direct evaluation of boundary stresses in the 3d BEM of elastostatics. Communications in Numerical Methods of Engineering, 14:505--517, 1998. 14./ Musto, G. G. W. : Advanced integration scheems over boundary elements and volume cells for two and three dimensional nonlinear analysis, Chapter 9. In P. K. Banarjee and S. Mukherjee, (editors), Develoments in Boundary Element Methods, Vol. 4. Elsevier Applied Science, London, 1984. 15./ Telles, J. C. F. : A self adaptive coordinate transformation for efficient numerical evaluation of general boundary element integrals. International Journal for Numerical Methods in Engineering, 24:959-973, 1987. 16./ Hall, W. S. : The boundary element method, Kluwer Academic Publ., 1994. 17./ Hall, W. S. – Hibbs, T. T. : Subtruction, expansion and regularising transfgormation methods for singular kernel integration in elastostatics, Mathematical and Computer Modelling, 15:313-323, 1991.


Előadásvázlat

12. Előadás: A véges sávok módszerének alapjai A módszer első alkalmazója és az elméleti alapok megalkotója a kínai Cheung volt az 1960es évek végén. Az ezt követő időszakban további cikkek és könyvek foglalkoztak az eljárással (példaként említjük a [1] és [5] alatti munkákat). A véges sávok módszere elsősorban olyan szerkezetek esetében alkalmazható előnyösen, amelyeknél a szerkezet valamilyen módon azonos mechanikai viselkedésű sávokra osztható. Az ilyen szerkezetek néhány jellegzetes típusát a 12.1 ábrán mutatjuk be:

12.1. ábra: A véges sávok alkalmazásának előnyös esetei Nagyon fontos hangsúlyoznunk az „azonos” jelzőt a sávokra osztott szerkezet egy sávján belül. Ha például egy hosszú lemez egyetlen sávján belül elhelyezünk egy (tetszőleges alakú) áttörést, a módszer gyakorlatilag alkalmazhatatlanná válik, elveszti minden numerikus előnyét a „klasszikus” véges elemes technikával szemben. A modell lényege egyszerű és szemléletes. Cheung az javasolta, hogy olyan szerkezeteknél, ahol a „viselkedés” két egymásra merőleges irányú tartományban98 karakterisztikusan más, de legalább az egyik irányban felosztható a szerkezet olyan geometriai tartományokra – sávokra –, ahol az anyagjellemzők nem változnak és a geometria is azonos a sávon végig, a modellezést a véges elemes eljárás sajátos „módosításával” oldjuk meg, kihasználva a szerkezetre jellemző két speciális „irány” tulajdonságait.

98

Megjegyezzük, hogy a témakör magyar kutatója – Szilágyi György – ferde lemezeket is vizsgált. További részleteket lásd az ő publikációiban. 279


Előadásvázlat

A szerkezeten az egyik (a sávok mentén felvett) irányban Cheung Fourier-soros közelítést javasolt, mivel ez gyors, könnyen programozható, konvergencia-elemzése pedig a nagyon régóta megvizsgált feladatok közé tartozik a matematikában. A sávok „irányában” az azonos geometriai és anyagi viselkedés az ilyen típusú modellezést megkönnyíti. A „merőleges” irányban – ahol az egyes sávok között természetesen változhatnak az anyagi és geometriai jellemzők – a véges elemek módszerének „hagyományos” (két, három, stb. pontra épülő) bázisfüggvényeit használta. Az elemek bázisfüggvényeit két egyváltozós függvény szorzatával állítjuk elő. Mivel ebben az előadásvázlatban eddig nem találkoztunk Fourier-soros megoldásokkal99, először egy egyszerű példán mutatjuk be a Fourier-megoldás alapelvét.

12.1. Példa Számítsuk ki a 12.2 ábrán látható kéttámaszú tartó eltolódás- és nyomatékfüggvényét. A tartó keresztmetszete és anyaga állandó, terhelése egyenletesen megoszló, állandó értékű.

12.2. ábra: Fourier-analízis kéttámaszó tartón d 2w =0 a A hajlított gerendát a klasszikus modell szerint vizsgáljuk (a peremfeltételek: w = dx 2 tartó kezdő és végpontján). A potenciális energia funkcionálja: l

Π=

l

1 d2 w 2 ( ) dx − ∫ f w dx . 2 ∫0 d x 2 0

Fourier azt javasolta, hogy a megoldást végtelen trigonometrikus sor alakjában keressük100: ∞ iπ x w( x) = ∑ wi sin . l i =1 A fenti képletben wi ismeretlen állandókat jelöl, ezek értékét most is a potenciális energia függvényének stacionaritási feltételéből fogjuk meghatározni. Az energiafunkcionál felírásához meg kell adnunk a teherfüggvény Fourier-sorba fejtett értékét is: ∞ iπ x , f ( x ) = ∑ fi sin l i =1 ahol f i számítására Euler dolgozott ki egy általános képletet:

99

A „Mechanika-MSc” tárgyban a lemezek vizsgálatánál a Navier-féle megoldásban olvashatók róla további részletek. 100 Akár bizonyos analógiát is felfedezhetünk Fourier és Ritz módszere között.

280

Bojtár-Gáspár: A végeselemmódszer matematikai alapjai l

∫ f ( x) sin

fi = 0

l

∫ sin

2

0

iπx dx l

iπx dx l

=

Előadásvázlat

iπx 2l f ( x) sin dx . ∫ l0 l

A mi példánknál – állandó teher az egész tartón – f i értéke: 2f fi = (1 − cos ( iπ ) ) . iπ Helyettesítsük be a w(x ) -re és f (x ) -re kapott értékeket a potenciális energia funkcionáljába, számítsuk ki az előírt határozott integrálást, majd vonjuk össze a külső és belső potenciált: ∞   EI i 4π 4 l Π ( w) = ∑  ( wi ) 2 3 − f i wi  . 2 l i =1  4  Az energia minimumát (stacionaritását) kifejező feltétel ∂Π ( w) EI i 4π4 l wi 3 − f i = 0 = (i=1,2,…) l ∂ wi 2 2 alakú, vagyis a wi − k egymástól független (egyismeretlenes) egyenletekből számíthatók: fi l 4 . EI i 4 π 4 Behelyettesítve az eltolódásfüggvénybe: 2 f l 4 ∞ 1 − cos ( i π ) iπx sin w(x ) = 5 ∑ 5 l EI π i =1 i végeredmény adódik. d2 w összefüggésből számítható: A nyomaték függvénye az M = − EI d x2 wi =

M=

2 f l2 π3

∞

1

∑ i3 (1 − cos ( iπ ) ) sin i =1

iπx . l

Megjegyezzük, hogy a gyakorlati számításokban általában csak néhány Fourier-tagot tagot szoktak figyelembe venni. A két eredmény (eltolódás és nyomaték) középső keresztmetszetre vonatkozó pontosságának a Fourier-tagok számától való függésére a 12.3 ábra mutat be grafikont:

12.3. ábra: Pontosság elemzése

281


Előadásvázlat

Mint látható, már néhány tag figyelembevétele esetén igen pontos megoldásokat kapunk. Megjegyezzük, hogy koncentrált erőkből álló terhek esetén a konvergencia ugyan nem ilyen gyors, de legfeljebb egy-két tucat tag figyelembevétele a gyakorlatilag fontos esetek mindegyikében kielégítő pontosságú eredményt ad.

Derékszögű négyszög alakú lemezek vizsgálata A különféle szerkezetek közül, amelyekre a véges sávok módszere alkalmazható, először a 12.4 ábrán vázolt Mindlin-Reissner-lemezmodellt vizsgáljuk. Az x tengellyel párhuzamos élek csuklósan vannak megtámasztva, az y tengellyel párhuzamosak lehetnek szabadok, csuklósan megtámasztottak vagy akár befogottak is. A rugalmasságtanban használt elmozdulás-, alakváltozás-, feszültség- és teherfüggvények, illetve a köztük kapcsolatot tartó mátrixok a megoldási módszertől függetlenek:  κ x ( x, y )   mx ( x , y )       w ( x, y )   p z ( x, y )   κ y ( x, y )   m y ( x, y )      ɶ x ( x, y ) , u =  ϕ x ( x, y ) , ε = κ xy ( x, y )  , σ =  mxy ( x, y )  , p =  m      ϕ ( x, y ) m   γ xz ( x, y )   qxz ( x, y )   y   ɶ y ( x, y )  γ ( x, y )   q ( x, y )   yz   yz 

(12.1)

 Eh 3  νEh3    0 0 0 12 (1− ν 2 ) 12 (1− ν 2 )  0        3 3  νEh  Eh ∂  0 0 0    0 2 2 12 (1− ν ) 12 (1− ν )  ∂x       ∂ ∂ 3 Eh − , D= 0 0 0 0  ,  ∂x ∂y  24 1 + ν ( )         ρEh 0 1  0 0 0 0      2(1 + ν)     −1 0   ρEh    0 0 0 0   2(1 + ν)  ahol például ϕ x a középsíkra merőleges szál yz síkban történő elfordulása, κ xx e síkban a

 0    0    L= 0   ∂   ∂x  ∂   ∂y

∂ ∂y

fajlagos relatív elfordulás, mx az x normálmetszetű síkban a fajlagos hajlítónyomaték (tehát ɶ x az x tengely körül forgató nem az x tengellyel párhuzamos nyomaték vektora!), m (rendszerint zérus) megoszló nyomatéki teher, ρ a nyírási korrekciós tényező (értéke homogén lemeznél 5/6). A véges sávoknál az x-től való függés leírásához ne darab ún. csomóvonalat veszünk fel, y irányban pedig a Fourier-sor első n tagját vesszük figyelembe, célszerűen szinuszos vagy koszinuszos sort használva. Így elemenként ne × n bázisfüggvényt használunk az eltolódásés elfordulásfüggvények közelítésére is: ne n iπ (12.2/a) w ( x, y ) = ∑ ∑ w ji N j ( x ) sin y, l i =1 j =1

282

Bojtár-Gáspár: A végeselemmódszer lemmódszer matematikai alapjai

Előadásvázlat

ne

n

ϕ x ( x, y ) = ∑ ∑ ϕ xji N j ( x ) cos i =1 j =1

iπ y l

(12.2/b)

iπ (12.2/c) y l i =1 j =1 Ilyen felépítésű harmonikus tagokkal az y =0 és y = l peremen a csuklós megtámasztásnak megfelelő peremfeltételeket lehet kielégíteni. ((Más típusú peremfeltételekhez természetesen más kombinációját kell alkalmazni a Fourier-tagoknak.. Minden esetben feltétlenül szükséges azonban, hogy a peremvonalakon a feltételek azonosak legyenek.) ne

n

ϕ y ( x, y ) = ∑ ∑ ϕ yji N j ( x ) sin

12.4. ábra: A vizsgált lemez és egy véges sávja101 A (12.2) képletek természetesen most is írhatók akár a megszokott u = N v e alakban is, azonban célszerűbb a Fourier Fourier-tagonkénti tagonkénti és csomóvonalankénti összegzést megtartani: n

ne

u = ∑∑ N j i v j i ,

(12.3)

i =1 j =1

iπ iπ y , ci = cos y jelöléseket alkalmazva l l  wj i   N j si 0 0      N ji = 0 N j ci v j i = ϕx j i  . 0  , ϕ y j i   0 N j si  0    Az alakváltozás-vektor vektor a geometriai egyenlet alapján:

ahol az si = sin

n

ne

n

ne

ε = Lu = ∑∑ L N j i v j i = ∑∑ B j i v j i , i =1 j =1

(12.4)

(12.5)

i =1 j =1

ahol

101

A harmadik tengely („z”) ”) felfelé mutat. 283


  0   0    B ji =  0   ∂N j si   ∂x  iπ ci N j l  A feszültségvektor pedig

−N j

iπ si l 0

∂N j ∂x

ci

0 − N j ci n

Előadásvázlat

   ∂N j si  ∂x  iπ  −N j ci l   N j si    0   0

(12.6)

ne

σ = D ∑∑ B j i v j i .

(12.7)

i =1 j =1

Nyomatéki terhet nem alkalmazunk, de elemenként adott a függőleges teher x-től is függő Fourier-soros közelítése:  p e ( x) n  i  iπ e p = ∑  0  sin y. (12.8) l i =1    0  A lemez teljes potenciális energiája az egyes elemi tartományok energiájának összegeként számítható: T T  1  n ne   n ne   n e    n ne  Π = ∑  ∫  ∑∑ B j i v j i  D e  ∑∑ B k m v k m  dA − ∫  ∑∑ N j i v j i   ∑ p m sm  dA elemek  2 Ae  i =1 j =1    m =1 k =1     m =1 Ae  i =1 j =1  (12.9) Látszólag előnytelen az, ha a tagonként a szummajeleket mind előre visszük: n ne n  1 n ne n ne T T  T T e Π = ∑  ∫ ∑∑∑∑ v j i B j i D e B k m v k m dA − ∫ ∑∑∑ v j i N j i p m sm dA , (12.10) = 1 = 1 = 1 elemek  2 Ae i =1 j =1 m =1 k =1 i j m A e   de így könnyebben megállapíthatók, hogy

-

a v vektorok konstansok, így az integrálásból kiemelhetők, a (12.6) mátrix felírható Λi Bɶ j i alakban, ahol Λi = si si ci

-

csak a Λi De Λm szorzat függ y-tól, de ennek minden nemzérus eleme tartalmaz

-

-

si

ci ,

vagy si sm vagy ci cm tényezőt, ezen tényezőknek az l hosszon vett integráljára pedig igaz a következő: l l  0 , ha i ≠ m ∫ si sm dy =∫ ci cm dy = l / 2 , ha i = m , 0 0 vagyis így m szerinti összegzésre nincs szükség, l/2 kiemelhető, és csak x szerint kell integrálni, továbbá hasonló lépések tehetők (12.10) második integráljában is.

Mindezek figyelembevételével egy elem potenciális energiája egyszerűbb alakban is felírható: 284


Előadásvázlat

n ne 1 n ne ne T e T e v K v − v ji q ji , ∑∑∑ ∑∑ ji i jk ki 2 i =1 j =1 k =1 i =1 j =1 ahol az elem merevségi mátrixa j,k blokkjának i-edik Fourier-együtthatója: b l e T e K i j k = ∫ B% j i DB% k i dx , 20 az elem redukált tehervektora j-edik blokkjának i-edik Fourier-együtthatója pedig: b  N j pi  l e e q j i = ∫  0  dx . 20  0 

Π elem =

(12.11)

(12.12)

(12.13)

Megállapítható, hogy nincs kapcsolat a különböző Fourier-tagok között, ezért a szerkezet merevségi mátrixa (ha Fourier-tagonként csoportosítjuk az elemeket) (hiper)diagonál szerkezetű lesz, a diagonálban lévő blokkok külön-külön kompilálhatók, és szalagszerkezetűek. A potenciális energia minimumfeltétele alapján összeállított globális egyenletrendszerek struktúrája: (12.14) K i vi = q i , i = 1, 2,..., n ahol az indexek a Fourier-tag sorszámát mutatják. Tehát (12.14) n független egyenletrendszer megoldását igényli. A teljesség kedvéért meg kell jegyeznünk, hogy az itt bemutatott szétválasztás a jelen esetben alkalmazott peremfeltételek – és Fourier-tagok – esetében használt si illetve cm komponensek ortogonalitási tulajdonságaiból következik, és másféle peremfeltételek használata esetén előfordulhat teli mátrixok megoldását igénylő végső egyenletrendszer is. Ilyen példákat mutat be Cheung [7] alatti könyve, amely ismerteti az ilyenkor legelőnyösebb megoldási lehetőségeket is. Megjegyezzük, hogy a záródási hatások kizárására akkor is ügyelnünk kell, ha véges sávok módszerével vizsgálunk Reissner-Mindlin-modellel leírt lemezeket vagy héjakat. A redukált – vagy szelektív – numerikus integrálási technika itt is segíthet a záródás veszélyes pontatlanságokat okozó következményeinek kivédésében.

Egyenes körkúpra illeszkedő véges sáv Különösen szekrény-keresztmetszetű és/vagy íves hidak illetve egyes héjszerkezetek esetén vannak reális és a gyakorlatban sokszor még ma sem eléggé kihasznált előnyei a véges sávok módszerének102. Ezek jól közelíthetőek egyenes körkúpra (vagy annak elfajult alakjaira) illeszkedő véges sávokból felépített szerkezetekkel, ezért a következőkben egy ilyen feladatot elemzünk. A 12.5. ábrán látható véges sáv középfelülete a z tengelyű 2 φ nyílásszögű kúpra illeszkedik. A sáv két oldalát z = állandó síkok határolják. A középfelület egyes pontjait az s, θ koordináták jelölik ki, ahol θ azt mutatja, hogy az x tengelyt mennyivel kell a z tengely körül elforgatni ahhoz, hogy az elforgatott tengely a kúpnak a kérdéses ponton

102

Természetesen az ilyen szerkezeteknél is teljesülniük kell azoknak az alapvető feltételezéseknek, amelyekről a bevezetőben írtunk. 285


Előadásvázlat

átmenő alkotóját messe, s pedig a pontnak a sáv aljától mért távolsága. A pontnak a z tengelytől mért távolságát jelöli r.

12.5. ábra: A vizsgált sávhoz felvett koordináta-rendszerek és elmozdulások u

ϕs s

ϕt

Minden θ = állandó metszethez hozzárendelünk egy-egy s,t,n Descartes-féle koordinátarendszert is. Ennek origója a sáv középfelületének alsó pontja, s az alkotóra illeszkedik, n a kúpfelületre merőleges, t pedig a másik két tengelyre merőleges (vagyis érinti az alsó csomóvonalat). Először azt a tipikus esetet103 vizsgáljuk, amelynél a sáv két végét ( θ = 0 és θ = α ; 0 < α < 2π ) s és n irányban megtámasztjuk. Általános esetben ez a sáv tárcsaként és lemezként is működik. A lemezhatást a ReissnerMindlin-modellel számítjuk, így a középfelület három eltolódáskomponensén kívül (ezeket az s,t,n lokális rendszerben értelmezzük) az n-nel párhuzamos szálak ϕ s és ϕt elfordulásait kell meghatároznunk. A fentieknek megfelelően a rugalmasságtanban használatos elmozdulás-, alakváltozás-, feszültség- és teherfüggvények a következők:  ε s ( s, θ )   ns ( s, θ)       ε ( s, θ)   n ( s, θ )  t t      u ( s, θ)   ps ( s, θ)  γ ( s, θ )  n ( s, θ)       st   st   v ( s, θ)   p ( s, θ ) t         κ s ( s, θ)   ms ( s, θ)   p ( s, θ) . , , p = (12.15) u =  w ( s, θ)  , ε =  σ =     n   κt ( s, θ)   mt ( s, θ)   ϕ ( s, θ) m       s   ɶ s ( s, θ)  κ st ( s, θ)  mst ( s, θ)   ɶ       mt ( s, θ)  ϕ t ( s, θ )   γ sn ( s, θ)  qsn ( s, θ)      γ tn ( s, θ)  qtn ( s, θ)      Az itt szereplő fajlagos igénybevételek értelmezését a 12.6. ábra szemlélteti.

103

A speciális eseteket később tárgyaljuk. 286


Előadásvázlat

ns

m nt

12.6. ábra: Fajlagos igénybevételek értelmezése

n

m

m

m

q

n m

n

m

n

q

q m

nt

ns

m

A geometriai egyenletben szereplő L operátort a Mechanika MSc-ben (lásd ott a 3.52-3.55 alatti összefüggéseket) tárgyalt, görbevonalú koordináta-rendszerben értelmezett alakváltozási tenzorból lehet levezetni (kihasználva, hogy a szerkezet vékonyságából n cos φ ≈ 1 ): adódóan 1 + r  ∂     ∂s    1 ∂ cos φ  sin φ  −   r ∂θ r  r    ∂ sin φ 1 ∂  −   r  r ∂θ ∂s   1 ∂ sin φ    r ∂θ r  L= . (12.16)   ∂    ∂s     cos φ ∂ ∂ sin φ 1 ∂  − −    r ∂s ∂s r r ∂θ    ∂   1   ∂s     cos φ 1 ∂   −1   r r ∂θ  

A fizikai egyenletben szereplő D mátrix a tárcsa és lemez anyagi merevségi mátrixából összeállított hiperdiagonál adja:

287


 Eh   1− ν 2   νEh  2  1− ν       D=             

Előadásvázlat

νEh 1− ν 2 Eh 1− ν 2 Gh Eh3 νEh3 12 (1−ν 2 ) 12 (1−ν 2 ) Eh νEh 12 (1−ν 2 ) 12 (1−ν 2 ) 3

3

Gh3 12

             .           ρGh  ρGh

(12.17)

Az elmozdulásfüggvényeket most is a (12.3) alakban közelítjük: n

ne

u = ∑∑ N j i v j i ,

(12.18)

i =1 j =1

ahol

0 0 0 0   N j si  u ji      N j ci 0 0 0   0  v ji  0 N j si 0 0  , v ji =  w ji  . N ji =  0     0 ϕsji  0 0 N j ci 0      0 0 0 N j si   0  ϕtji  Az interpolációnál (valóban görbült sáv esetén) az iπθ iπθ si = sin , ci = cos α α jelölést alkalmaztuk, ahol α a sáv nyílásszögét jelenti (θ ∈ (0, α )) .

(12.19)

(12.20)

Az alakváltozás-vektor (12.5) szerint számítható, és az alakváltozási mátrix blokkjai most is szorzat alakjában is írhatók: n

ne

n

ne

n

ne

ε = Lu = ∑∑ L N j i v j i = ∑∑ B j i v j i = ∑∑ Λ i B% j i v j i , i =1 j =1

i =1 j =1

(12.21)

i =1 j =1

ahol

288


 ∂N j   ∂s   sin φ  Nj  r   N j iπ   rα     ɶ B ji =                

− ∂N j ∂s

N j iπ

−

rα N j sin φ

−

Előadásvázlat

N j cos φ r

r −

−

cos φ ∂N j r ∂s

∂N j ∂s

N j iπ

−

rα

N j sin φ r

∂N j N j cos φ

∂s N j iπ

r

rα Λi = si

si

ci

−N j si

si

ci

ci

            N j sin φ    r  ∂N j   ∂s   N j iπ   rα    Nj       ,

si .

(12.22) (12.23)

A θ szerinti integrálás most is elvégezhető, így az elem merevségi mátrixa (j,k) blokkjának iedik Fourier-együtthatója újra

Ki j k = e

α

be

B% 2∫

T ji

DB% k i rds ,

(12.24)

0

módon számítható, az elem redukált tehervektora j-edik blokkjának i-edik Fourieregyütthatója pedig:

q ji = e

α 2

be

∫N

j

p i rds ,

(12.25)

0

ahol p i a teherfüggvények i-edik Fourier-együtthatójának vektora.

Speciális esetek Általános esetben feltételeztük, hogy a sáv középfelülete egy 2φ nyílásszögű csonkakúp α

(0 < α < 2π) középponti szögű szeletére illeszkedik. A 12.1. táblázat középső eleme mutatja az általános esetet, körötte pedig a lehetséges elfajuló vagy/és speciális esetek vannak. Az első sorban (vagyis ha φ = 0 vagy π ) a sin φ -t tartalmazó tagok kiesnek, a cos φ -t tartalmazó tagok kicsit egyszerűsödnek, de a membránhatás és a lemezhatás továbbra sem független (pl. a v eltolódás csavarónyomatékot és nyíróigénybevételt is okoz). Az utolsó sorban (vagyis ha φ = π / 2 ) a membránhatás és a lemezhatás szétválik. Az első oszlopban a sáv síkká válik, tehát az s, θ koordináta-rendszer helyett az s, t rendszert kell használni, ahol a t koordinátát határátmenettel a t = lim θr módon értelmezhetjük. r →∞

289


φ=0 vagy φ=π 0<φ<π/2 vagy π/ 2<φ<π φ=π/2

Előadásvázlat

α = 0, r = ∞ αr=l téglalap a függőleges síkban

0 < α < 2π

α = 2π

henger palástjának szelete

henger palástja

téglalap ferde síkban

csonkakúp palástjának szelete

csonkakúp palástja

téglalap a vízszintes síkban

körgyűrű szelete

körgyűrű

12.1. táblázat. A véges sáv speciális esetei A (12.20) képletek új alakja:

si = lim sin r →∞

iπθr iπt iπt = sin , ci = cos , αr l l

(12.26)

az L operátorban pedig a

1 ∂ ∂ ⇒ (12.27) r ∂θ ∂t helyettesítés szükséges, a többi – az r-et nevezőjében tartalmazó – tag pedig zérus lesz. Mivel az L operátort a lokális rendszerben értelmeztük, nincs jelentősége annak, hogy a sík sáv milyen helyzetben van, vagyis mindhárom esetben ∂     ∂s    ∂     ∂t     ∂ ∂    t s ∂ ∂     ∂     ∂ t . (12.28) L=   ∂     ∂ s    ∂ ∂    ∂s ∂t    ∂   1  ∂s     ∂   − 1   ∂t   Ennek a hiperdiagonál mátrixnak első ( 3× 2 )-es blokkja a tárcsa, a második ( 5×3 )-as blokkja a Reissner-Mindlin-féle lemez megszokott L operátora. A 12.1. táblázat utolsó oszlopában a sávok eleje és vége megegyezik – megszűnik perem lenni – így ott (általános teher esetén) peremfeltételeket sem írhatunk elő, tehát nem használhatjuk az elmozdulásfüggvények (12.18-19) alatti közelítését sem. Megjegyezzük, 290


Előadásvázlat

hogy ha az x , z síkra ferdén szimmetrikus teher hat104, akkor a θ = 0 vonalon az u, w és ϕt elmozdulásfüggvények zérus értékűek, tehát használható a (12.18-19) alakú közelítés. Mivel bármely függvény felírható egy szimmetrikus és egy ferdén szimmetrikus függvény összegeként (lásd a (12.29) alatti képletet), f szimm (θ) = ( f (θ ) + f (−θ)) / 2, f aszimm (θ) = ( f (θ) − f (−θ)) / 2 , (12.29) és a jelenleg használt lineáris elméletben az egymásra halmozás elve használható, a terhet fel kell bontanunk egy szimmetrikus és egy ferdén szimmetrikus részre, mindkettőnél meg kell határoznunk az elmozdulásokat, majd ezeket összegezni kell. Az egyetlen megmaradt feladat az, hogy szimmetrikus teherre is megadjuk a „peremfeltételeket”. Ilyen teher esetén a θ = 0 vonalon a v és a ϕ s elmozdulásfüggvény zérus értékű, tehát használható a (12.18) alakú közelítés, de most 0 0 0 0   N j ci   0 0 0  N j si  0 0 0 0 . N j ci (12.30) N ji =  0   0 N j si 0 0 0    0 0 0 N j ci   0 Ez a változás néhány előjelet módosít a (12.22) alatti Bɶ ji mátrixban és a szimmetrikus tehernél Λi = ci

ci

si

ci

ci

si

si

ci .

(12.31)

Szerkezetek vizsgálata Az eddigiekben megmutattuk, hogyan lehet egy (akár elfajuló vagy speciális) csonkakúppalástra illeszkedő véges sáv egyes Fourier-tagjaihoz tartozó merevségi mátrixát és redukált tehervektorát meghatározni a sávhoz felvett (speciális) lokális koordináta-rendszerben. Most azt kívánjuk bemutatni, hogy ezek felhasználásával hogyan határozhatók meg az ilyen sávokból felépített szerkezet (lásd 12.1. ábra) csomóvonalainak elmozdulásjellemzői, hiszen azokból a feszültségfüggvények elemenként megint (12.7) szerint számíthatók: n

ne

σ = D ∑∑ B j i v j i .

(12.32)

i =1 j =1

A gondot az okozza a korábban vizsgált derékszögű négyszög alakú lemez vizsgálatához képest, hogy most némelyik csomóvonalhoz olyan elemek is kapcsolódhatnak, amelyekhez felvett lokális koordináta-rendszerek nem egyállásúak. Hasonló esetekkel már a végeselemmódszernél is találkoztunk (rúdszerkezeteknél, tárcsáknál, lemezeknél), és ott megmutattuk, hogy ilyenkor az elemek merevségi mátrixait és redukált tehervektorait egy közös globális koordináta-rendszerbe kell transzformálni, így azokból összeállítható a teljes szerkezet merevségi mátrixa és tehervektora. A szükséges forgató transzformációk meghatározása nem okoz nehézséget, ha a figyelembe vett eltolódás- és elfordulásvektorok, illetve erő- és nyomatékvektorok a lokális és a globális

ɶ s szimmetrikus, ps , pn , m ɶt pedig ferdén szimmetrikus a θ Ferdén szimmetrikus tehernél pt , m változóban. 104

291


Előadásvázlat

koordináta-rendszerben ugyanolyan számú koordinátával105 adhatók meg. A csonkakúpokra illeszkedő véges sávoknál azonban egy-egy pontban a lokális rendszerben három eltolódás és két elforduláskomponensünk van, és ha a pontban két elem úgy találkozik, hogy az s koordinátatengelyük nem párhuzamos, akkor nem vehető fel úgy globális koordinátarendszer, hogy mindkét elfordulásvektor (ugyanazzal a) két koordinátával megadható legyen. Hasonló helyzettel találkozunk a rácsos tartóknál is, hiszen a lokális rendszerben csak a rúdtengely irányú eltolódásnak van szerepe, és csak rúdtengely irányú belső erők keletkeznek, a globális rendszerben viszont általános helyzetben a szerkezet dimenziószámával egyező számú koordináta szükséges. Ekkor a 2× 2 -es méretű lokális merevségi mátrixot a rúd egységvektorából alkotott transzformáló mátrixszal globális rendszerbe transzformáltuk, így a térbeli rúd merevségi mátrixa 6× 6 -os méretű lett, de továbbra is csak 1 volt a rangja. Ezekből a merevségi mátrixokból kompilálva a szerkezet merevségi mátrixát az reguláris lesz, ha a szerkezet nem labilis. Ez a példa is azt mutatja, hogy a most tárgyalt véges sávoknál is áttérhetünk a háromdimenziós térbe az elfordulás- és nyomatékvektoroknál. Vegyük azonban észre azt a lényeges különbséget, hogy a rácsos tartóknál a rudak a csomópont rúdtengelyre merőleges eltolódásait nem akadályozzák meg, míg a véges sávoknál a csomóvonal ϕ n elfordulásfüggvényét a v eltolódásfüggvény egyértelműen meghatározza, tehát a nem simán kapcsolódó véges sávok egymás ϕt függvényét gátolják. Ha egy térbeli rácsos tartó egyik (nem megtámasztott) csomópontjába befutó rudak tengelyei egy síkra illeszkednek, akkor a szerkezet (legalább infinitezimálisan) labilis. Ha egy csomóvonalnál két véges sáv simán illeszkedik (ugyanarra a kúpra illeszkednek), akkor ez nem okoz stabilitási problémát, tehát az ilyen csomóvonalaknál nem kell a globális rendszerre áttérni, hanem továbbra is a (közös) lokális rendszerben értelmezett 3 eltolódás- és két elfordulásfüggvénnyel dolgozhatunk106. Természetesen nem kell globális rendszerben értelmezni a sáv egy belső csomóvonalához tartozó elmozdulásfüggvényeket sem, hiszen ehhez a csomóvonalhoz sem kapcsolódik másik sáv. Ha egy csomóvonalhoz kettőnél több sáv kapcsolódik (vagy csak kettő, de azok nem simán kapcsolódnak), akkor a sáv elmozdulás- és igénybevételi függvényeinél át kell térnünk a globális rendszerre. Mivel a kapcsolódó elemeknél a t tengely közös, csak az s és n tengelyt kell elforgatnunk az x , z rendszerbe. Jelöljük „sapkával” a globális rendszerben értelmezett vektorokat:  uˆ ji   qxji       v ji   qtji       wˆ  q  ji zji  e vˆ ji =   , qˆ ji =  (12.33) . ϕ M xji xji     ϕ  M   tji   tji      ϕ  zji   M zji 

105

Például a tárcsáknál csomópontonként 2-2 koordinátával. Ehhez hasonló helyzet a végeselem-módszernél, amikor a klasszikus lemezelméletnél a 21 szabadságfokú háromszögelemeket alkalmazva az élek közepén felvett csomópontokban a lokális rendszert használtuk, hiszen az itt kapcsolódó két elemnél az oldalra merőleges vektorok az irányuktól eltekintve megegyeztek.

106

292


Előadásvázlat

Ezeknek a kapcsolata a lokális rendszerben értelmezett vektorral a 12.5. ábra alapján megadható:  sin φ  cos φ     1   ˆ ˆ v ji = − cos φ (12.34) sin φ  v ji = T e v ji ,  sin φ cos φ    1   e T e qˆ ij = T e q ij . (12.35) Jelölje T j a (12.34)-ben definiált T e mátrixot akkor, ha az i-edik csomóvonalnál át kell térnünk a globális rendszerbe, és az ötödrendű egységmátrixot akkor, ha nem kell áttérnünk. Így az elem merevségi mátrixa (j,k) blokkjának i-edik Fourier-együtthatója a célszerű koordináta-rendszerben107 e T e (12.36) Kˆ = T K T . ijk

j

ijk

k

Összefoglalóan megállapíthatjuk, hogy minden Fourier-tagnál külön-külön - a (12.36) blokkokból összeállítjuk a szerkezet merevségi mátrixát (figyelembe véve a csomóvonalak esetleges megtámasztását is), - a (12.35) blokkokból kiszámítjuk a szerkezet tehervektorát, - a K v = q lineáris egyenletrendszer megoldásával meghatározzuk a csomóvonalak elmozdulásjellemzőit, -

elemenként azokon a csomóvonalaknál, ahol áttértünk a globális rendszerre, a (12.34) képlettel visszatérünk a lokális rendszerbe,

-

végül a (12.32) képlettel kiszámíthatjuk az elem igénybevétel-függvényeinek Fourier-együtthatóját.

A pontossági igénynek megfelelő számú tag eredményeit összegezve megkapjuk a tényleges elmozdulások és igénybevételek megfelelő közelítését.

Felhasznált szakirodalom: 1./ Milasinovic, D. D. : The Finite Strip Method in Computational Mechanics, Birografika, 1997. 2./ Bojtár I. – Gáspár Zs. : Végeselemmódszer építőmérnököknek, Terc, 2003. 3./ Cheung, Y. K. : The finite strip method in structural analysis, Pergamon Press, 1976. 4./ Hinton, E. – Owen, D. R. J. : Finite element software for plates and shells, Pineridge Press, 1984. 5./ Scharle P. – Szilágyi Gy. : A végeselemmódszer vegyes analitikus eljárásai, Műszaki Könyvkiadó, 1986.

107

Felhívjuk a figyelmet arra, hogy a blokkok között lehetnek 5×5 , 5× 6 , 6×5 és 6× 6 méretűek. 293


Előadásvázlat

13. előadás: A véges térfogatok módszere108 Az eddigi előadásokon tárgyalt statikai illetve szilárdságtani peremérték-feladatok mellett a mérnöki gyakorlatban sokszor kell más típusú problémák közelítő vizsgálatával foglalkozni. Az utolsó héten bemutatni kívánt eljárás – a véges térfogatok módszere – elsősorban az ilyen, a „klasszikus” szilárdtest-mechanikai vizsgálatoktól eltérő feladatoknál előnyös, következésképpen a mérnöki számításokban ma főleg folyadékok és gázok áramlástani problémáinak vizsgálatára használják109. Ebben a rövid fejezetben természetesen nem célunk ennek a technikának részletes ismertetése, csupán az szeretnénk elérni, hogy a szerkezetépítő-mérnök hallgatók is rendelkezzenek információkkal az eljárás alapelveiről és fontosabb lépéseiről. A véges térfogatok módszerét (VTM) a véges differenciák (VDM) illetve a véges elemek (VEM) megoldási technikáinak alapulvételével egyaránt fel lehet építeni, bár történetileg inkább a differenciamódszerhez áll közelebb az alapvető algoritmusok kidolgozása110. Áttekintő leírásunkban először egyszerű 1D-s példákat oldunk a VDM, a VEM valamint e két változat alapján történő származtatással a VTM alapján, majd – kétdimenziós feladatokat használva illusztrálásul –összefoglaljuk a módszer alapvető lépéseit.

13.1. Példa. 1D mintapélda Dirichlet-féle peremfeltétellel Vizsgáljunk meg egy egyszerű másodrendű, egydimenziós lineáris differenciálegyenletet (megjegyezzük, hogy ez lényegében megegyezik a harmadik előadáson Galjorkin-módszerrel már vizsgált feladattal): d 2u (13.1/a) + 6 x = 0, 0 < x < 1; dx 2 Peremfeltételként az u függvény értékeit írjuk elő111: u ( 0 ) = 0 és u (1) = 0 . (13.1/b) A feladat egyszerűsége miatt analitikusan is megoldható, a pontos eredmény: u = x − x3 . (13.2) Megjegyezzük, hogy a (13.1/a) egyenlettel leírható fizikai feladatok különbözők lehetnek, ezt az egyenletet használják hőtani, áramlástani és szilárdságtani problémáknál egyaránt. Például a 13.1/a ábrán ábrázolt, két végén megtámasztott, egységnyi normál merevségű, tengelyirányú megoszló teherrel terhelt rúd eltolódásfüggvényét is a (13.1) peremértékfeladat írja le. 108

A fejezet anyagának összeállításában nyújtott segítségükért köszönetünket fejezzük ki dr. Józsa Jánosnak és dr. Krámer Tamásnak. 109 Megjegyezzük, hogy ma már kidolgozták szilárdtest-mechanikai számításokra alkalmas változatait is. 110 A módszer elméleti alapjainak megfogalmazásában jelentős szerepe volt Szergej Konsztantinovics Godunov (1929 – ) orosz matematikusnak. Az ő 1959-ben megjelent „A Difference Scheme for Numerical Solution of Discontinuous Solution of Hydrodynamic Equations, Math. Sbornik, Vol. 47, pp. 271-306, 1959, Translated US Joint Publ. Res. Service, JPRS 7226, 1969” cikke jelentős hozzájárulás volt a ma használatos technikák létrejöttéhez. 111 Megjegyezzük, hogy az ilyen típusú feltételeket szokás Dirichlet-féle peremelőírásoknak is nevezni (Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet (1805 – 1859) német matematikus volt, a függvény mai fogalmának megteremtése is az ő nevéhez fűződik). 294


Előadásvázlat

13.1.1. .1.1. Megoldás a véges differenciák módszerével Egydimenziós feladatoknál a következő lépéseket kell használnunk:

A./ A vizsgált tartományban (most 0 ≤ x ≤ 1 ) – lehetőleg egyenletesen – felvesszük azokat a pontokat, amelyekben közelítőleg meg kívánjuk határozni a keresett függvény közelítő közel értékeit. Most például a 14.1/b ábra szerint 4 pontot vettünk fel.

13.1. ábra: A peremérték peremérték-feladatnak megfelelő statikai feladat (a), a VDM kiválasztott 4 pontja (b), ), a VEM három eleme ((c), a VTM két kontroll-térfogata érfogata és 3 kontroll-felülete kontroll (d)

295


Előadásvázlat

B./ A szükséges differenciáloperátorokat differenciaoperátorokkal helyettesítjük.

13.2. ábra: 1D közelítések véges differenciákkal Például a 13.2. ábra alapján az első derivált közelítése:  du  ui +1 − ui → előremutató differenciák módszere,   ≈ ∆x  dx i  du  ui − ui −1 → hátramutató differenciák módszere,   ≈ ∆x  dx i  du  ui +1 − ui −1 → központos differenciák módszere,   ≈ 2 ∆x  dx i illetve a második deriváltra a központos differenciák sémáját alkalmazva: d 2u d  du  1  du   du   1  ui +1 − ui ui − ui −1  =  ≅ −   = −  .   2 ∆x  dx dx  dx  ∆ x  dx i +1/ 2  dx i −1/ 2  ∆ x  ∆ x

(13.3/a) (13.3/b) (13.3/c)

(13.4)

C./ Azokban a kiválasztott pontokban, amelyekben az ismeretlen függvény értékét nem rögzítettük, felírjuk a differenciaegyenleteket, vagyis a (13.4) operátort használjuk az i = 2 és az i = 3 pontokban. Így a (13.1/a) differenciálegyenlet helyett a u1 − 2u2 + u3 = −2, 2 (1/ 3) (13.5) u2 − 2u3 + u4 = −4. 2 (1/ 3) differenciaegyenletet kapjuk, figyelembe véve, hogy ∆x = 1/ 3 . D./ Figyelembe vesszük a peremfeltételeket. (13.1/b) szerint u1 = u4 = 0 , tehát a (13.5) végleges alakja:

296


−2u2 + u3

(1/ 3)

2

u2 − 2u3

(1/ 3)

2

Előadásvázlat

= −2, (13.6)

= −4 .

E./ Az egyenletrendszer megoldásából: u2 = 8 / 27, u3 = 10 / 27 . (13.7) Megjegyezzük, hogy ezek az értékek megegyeznek a (13.2) alatti pontos megoldás adott helyen számítható értékeivel. 13.1.2. Megoldás a véges elemek módszerével A Galjorkin-módszert alkalmazva a lépések a következők:

A./ A vizsgált tartományt elemekre osztjuk, most a 13.1/b. ábra szerint három (egyenként h hosszúságú) elemet veszünk fel. B./ Az elemek lokális koordináta-rendszereként az elem kezdőpontjába eltolt globális rendszert (ξ) használunk, így mindegy, hogy az x vagy a ξ szerint deriválunk. Az elemekhez felvett bázisfüggvényeket úgy választhatjuk, hogy előre tudjuk azt, hogy az eljárás során parciális integrálással csökkenteni fogjuk a deriválások rendjét. Most másodrendű a differenciálegyenletünk, az átalakítás után csak első derivált szerepel, ezért a bázisfüggvényeket a C 0 (folytonos) függvényosztályból választjuk, lásd a 13.3. ábrát. ξ ξ N1( e ) = 1 − , N 2( e ) = . (13.8) h h

13.3. ábra: Egy véges elem bázisfüggvényei

C./ Alkalmazzuk a Galjorkin-féle végeselemes technikát112. Az egyszerűség kedvéért a kiválasztott bázisfüggvényeket használjuk tesztfüggvénynek is. Az ennek megfelelő ortogonalitási feltételek egy kétcsomópontos elemnél (az indexben szereplő N a csomópontokat jelöli, most N = 1, 2):

112

Fontos különbség a harmadik előadáson bemutatotthoz képest, hogy most nem az egész tartományra, hanem a különálló elemekre írjuk fel az ortogonalitási feltételt. 297


Előadásvázlat

 d 2 u ( e ) (ξ)  < N (ξ), R > = ∫ N (ξ)  + 6( x1( e) + ξ)  d ξ = 0 . (13.9) 2  dξ  0 A (13.9) egyenlet integráljában a szorzás elvégzése után az első tagot parciális integrálással átalakítva a következő kifejezéshez jutunk (N = 1,2): h

(e) N

(e)

(e) N

h

h  ( e ) du ( e )  h dN N( e ) (ξ) du ( e ) (ξ) e (13.10) d ξ + ∫ N N( e ) (ξ)6 x1( ) + ξ d ξ = 0 . NN  −∫ d ξ 0 0 dξ dξ 0  A felvett bázisfüggvényeknek az elemvégpontokban töréspontja van, így ott nem értelmezett az első derivált. Ezért a (13.10) első tagját (az elem szempontjából mint peremfeltételt) a szomszédos elemekről átadódó „teher”-nek (más néven „forrás”-nak) kell tekinteni. A (13.8) alatti függvényeket figyelembe véve vezessük be a következő jelöléseket: h (e )  (e) du(e)  du(e) e  N1  = 0 du − 1 = G1( ) ,   d ξ  0 d ξ ξ=h d ξ ξ=0  (13.11) (e ) (e )  (e) du (e)  h du du N  −0 = G2(e) .  2 dξ  =1 dξ d ξ ξ=0   0 ξ= h

(

)

A (13.10) alatti kifejezés harmadik tagja az elemen előírt „terhek”-nek („források”-nak) az elemvégpontokra redukált értékeit tartalmazza. Itt is bevezetünk egy tömörebb jelölést: h

∫N

( e) 1

(

)

(ξ)6 x1( e ) + ξ d ξ = x1( e ) + 1/ 9 = F1( e ) ,

0

h

∫N

(e) 2

(

(e)

)

(13.12) (e)

(e)

(ξ)6 x1 + ξ d ξ = x1 + 2 / 9 = F2 .

0

A (13.11-12) alatti kifejezésben a „terhek”-et tartja egyensúlyban a középső tagból számítható, a végpontokon működő „belső erő”. Természetesen az ismeretlen függvényt is a bázisfüggvények lineáris kombinációjával közelítjük:  ξ ξ (13.13) u ( e ) (ξ) = 1 −  u1( e ) +   u2( e ) ,  h h így a (13.10) egyenlet tömörebb formában: (e) (e) FN( e ) − K NM uM + GN( e ) = 0 (14.14) 113 alakba írható, ahol az elem „merevségi” mátrixa : h  h dN1( e ) dN1( e ) dN1( e ) dN 2( e )  dx dx  ∫ ∫ ( e) (e) dx dx dx dx e 0 0  =  K11 K12  = 1  1 −1 . (13.15) K( ) = h h (e) (e)  dN ( e ) dN ( e )   K ( e ) K ( e )  h  −1 1  dN dN   21 22 1 2 ∫ 2 dx ∫ 2 dx  dx dx  0 dx dx  0

D./ Állítsuk most össze a három elemből álló teljes szerkezetre vonatkozó Ku = F +G alakú egyenletrendszert. Itt  K11(1) K12(1) 0 0   1 −1   (1)    (1) (2) (2) −1 2 −1 K 21 K 22 + K11 K12 0    , K= =3  0  −1 2 −1 K 21(2) K 22(2) + K11(3) K12(3)      −1 1  K12(3) K 22(3)  0  0  113

(13.16)

(13.17/a)

Áramlástani feladatoknál „diffúziós” vagy „viszkozitási” mátrixnak szokták nevezni.

298

Bojtár-Gáspár: A végeselemmódszer matematikai alapjai u T = [u1 u2

Előadásvázlat

u4 ] ,

(13.17/b)

 F1(1)   1/ 9   (1)    F2 + F1(2)   6 / 9   = F = (2) ,  F2 + F1(3)  12 / 9      (3)  F2   8 / 9 

(13.17/c)

u3

 G1(1)   G1(1)   (1)    G2 + G1(2)   0   = G = (2) . (13.17/d) G2 + G1(3)   0     (3)  (3)  G2  G2  A (13.17/d) alatti vektor második és harmadik elemében kihasználtuk Newton harmadik törvényét (vagy az áramlási feladatok stílusában fogalmazva az „anyagmegmaradás elv”-ét). E./ Figyelembe vesszük a (13.1/b)-ben előírt peremfeltételeket, vagyis azt, hogy u1 = u4 = 0 . Ekkor a közbenső (a második és a harmadik) egyenletekből az u2 és az u3 számítható: u   8 / 27   2 −1 u2   6 / 9   =  ⇒  2 =  , 3 (13.18)  u3  10 / 27 −1 2   u3  12 / 9       majd (ha szükséges) ezek felhasználásával az első és az utolsó egyenletből a reakcióerők egyenként is meghatározhatók: 1 1 −3u2 = 1/ 9 + G1( ) ⇒ G1( ) = −1, (13.19) −3u3 = 8 / 9 + G2(3) ⇒ G2(3) = −2 . Megjegyezzük, hogy (13.18/a) egyenletrendszer (-3)-mal való szorzásával a (13.6) egyenletrendszert kapjuk, így természetesen most is ugyanaz lett a megoldás is.

13.1.3. Megoldás a véges térfogatok módszerével A./ Az eljárás kontroll-térfogatokat (a továbbiakban KT) és kontroll-felületeket (a továbbiakban KT és KF) használ a tér azonosítására. Ezek természetesen most (egy dimenzióban) szakaszokká illetve a szakaszok közötti ponttá redukálódnak. A VDM-hez és a VEM-hez is kitüntetett pontokat (csomópontokat) választottunk, a VEM-nél a pontok között elemek vannak. A kontroll-térfogatokat választhatjuk úgy is, hogy azokat a csomópontokhoz rendeljük, és úgy is, hogy az elemekhez. Az előbbit csomópont központú KT-nak nevezzük, és a hozzájuk tartozó KF-eket a korábbi elemek felezőpontjában vesszük fel. Az utóbbit cella-központú (vagy elem-központú) KT-nak nevezzük, és a hozzájuk tartozó KF-ek a korábbi csomópontokban vesszük fel. Az 1D-s feladatok ismertetésénél a rövidség kedvéért csak a csomópont központú KT-ket mutatjuk be, a 2D-s feladatoknál mindkét lehetőséget vizsgáljuk. A KF-et a VDM-ben használt szakaszok, illetve a VEM-ben használt elemek felezőpontjában vesszük fel, így – most ebben a példában – két KT jön létre (13.1/d ábra).

299


Előadásvázlat

A jelenlegi feladatnál például az i-edik (i = 2,3) csomóponthoz tartozó i-edik114 kontroll1 1 térfogat h = ∆ x hosszúságú, és azt az i − és i + jelű kontroll-felületek (kontroll-pontok) 2 2 határolják.

B./ Egy egységnyi konstans függvényt használva minden KT-ra (i = 2, 3) felírjuk az ortogonalitási feltételt (melynél parciálisan integrálunk is): xi+1 / 2 xi+1 / 2 x  d 2u  du i+1 / 2  (13.20) ∫ 1⋅ dx 2 + 6 xdx = dx x + ∫ 6 x dx = 0 , xi−1 / 2

i−1 / 2

xi−1 / 2

vagyis a u deriváltjának az értékét csak a KF-en kell használni, a teherfüggvényt pedig a KTon kell integrálni!

C./ Írjuk fel most a VTM alapvető egyenleteit. Ezeket kétféleképpen származtathatjuk, levezethetjük őket a véges differenciák módszerére hivatkozva, de felépíthetjük a számítást a végeselemes modellezés segítségével is. C1./ Kezdjük az elemzést először a VDM-rel. A (13.20) egyenletben a KF-eken értelmezett differenciálhányadost differenciahányadossal, a második tagot pedig (egypontos) numerikus integrálással közelítjük: ∆u ∆u (13.21) − + 6 xi ∆x = 0 . ∆x ∆x i +1 / 2 i −1 / 2 A differenciahányadosokat (13.3) alapján centrális differenciákkal számítva (14.21) új alakja: ui +1 − ui ui − ui −1 u − 2ui + ui −1 − = −6 xi ∆ x ⇔ i +1 = −6 xi . (14.22) 2 ∆x ∆x (∆ x) Ezt az egyenletet mindkét KT-ra felírva a VDM-rel kapott (13.5) egyenletrendszert kapjuk újra. A peremfeltételeket ugyanúgy figyelembe véve megint a (13.7) alatti megoldás adódik.

C2./ Írjuk fel az egyenleteket a VEM oldaláról közelítve. Ehhez elemenként (e i = 1, 2, 3) a lokális koordináta-rendszerben írjuk fel a derivált függvényt is a bázisfüggvények segítségével: ξ du u ( ei ) − u1( ei )  ξ u ( ei ) = N N( ei )u N( ei ) = 1 −  u1( ei ) + u2( ei ) ⇒ = 2 . (13.23) h d ξ i +1/ 2 h  h A kontrollfelületekhez tartozó deriváltak ennek az összefüggésnek a segítségével számíthatók: u ( ei ) − u1( ei ) du ( ei ) . (13.24) = 2 dx KF h i

Ezeket felhasználva a két KT-ra a (13.18) egyenletet felírva a VDM-rel kapott (13.5) egyenletrendszert kapjuk újra. A peremfeltételeket ugyanúgy figyelembe véve ismét a (13.7) megoldás adódik.

114

A KT-ok számozását azért illesztjük a csomópontszámokhoz, hogy az indexezésnél előforduló komplikációkat elkerüljük. 300


Előadásvázlat

13.2. Példa. 1D mintapélda Neumann-féle féle peremfeltétellel Tekintsük megint a 13.1. példában szereplő differenciáleg differenciálegyenletet, yenletet, de most a kezdőpontban a 115 deriváltra vonatkozó Neumann Neumann-féle peremfeltételt írunk elő: d 2u du (13.25) + 6 x = 0, 0 < x < 1; (0) = 1, u (1) = 0 . 2 dx dx Megjegyezzük, hogy az új peremfeltételt úgy választottuk, hogy megint az u ( x ) = x − x3 függvény a pontos megoldás116.

13.2.1. .1. Megoldás a véges differenciák módszerével A./ Itt is a 13.1/b ábra szerint vesszük fel a pontokat. B./ Használhatjuk az előző példában használt differenciaoperátorokat, de bemutatjuk azt is, hogy hogyan vezethető le egy egyoldalú, magasabb fokban pontos differenciáloperátor. Például az i-edik edik pontban a Taylor-sor első 3 tagját használva számítsuk ki a következő két ordináta értékét: du 1 d 2u 2 ui+1 = ui + ∆x + ∆x ) , 2 ( dx i 2 dx i (13.26) du 1 d 2u 2 ui+ 2 = ui + 2∆x + (2∆x ) . dx i 2 dx 2 i Ebből az egyenletrendszerből a második derivált értéke kiküszöbölhető, így −3ui + 4ui+1 − ui+2 du = . dx i 2∆x

(13.27)

C./ A Neumann-féle féle peremfelté peremfeltétel figyelembevételének egyik lehetséges módja az, hogy a tartományon kívül fiktív pontot veszünk fel (lásd 14.4. ábrát), és felírjuk a (13.4) operátort az i = 1, 2,3 pontokban: ui−1 − 2ui + ui+1 + 6 xi = 0 . (13.28) 2 (∆x) A másik megoldási módnál csak az i = 2,3 pontokban kell a (13.28) egyenletet egyen felírni.

133.4. ábra: A fiktív pont felvétele a VDM-nél.

115

Carl Gottfried Neumann (1832 – 1925) német matematikus, főleg integrálegyenletekkel foglalkozott. Neumann-féle féle peremfeltételnek nevezik a függvények deriváltjaira vonatkozó előírásokat. 116 Ha az egyenletnek statikaii ér értelmezést telmezést adunk, akkor korábban definiált statikai feladatnál az új feltétel szerint a rúd bal végén a megtámasztás helyett egy -1 1 nagyságú koncentrált teher hat. 301


Előadásvázlat

D1./ Ha a peremfeltételt a fiktív pont felvételével vesszük figyelembe, akkor az u4 = 0 feltétel mellett a (13.3/c) felhasználásával az i=1 pontban a Neumann-feltételből a fiktív pont értéke kifejezhető: u 2 − u0 = 1, u0 = u2 − 2∆x . (13.29) 2∆x E két peremfeltételt behelyettesítve (13.28)-ba: −2 2 0   u1   2 / ∆x      1   u2  =  −6∆x  . − (13.30) 1 2 1 2 (∆x)  0 1 −2 u  −12∆x    3   A megoldás: u1 = −1/ 9, u2 = 2 / 9, u3 = 3 / 9. (13.31) Ezek az értékek már eltérnek a pontos értékektől, mert a megoldásfüggvény harmadfokú. D2./ Ha a Neumann-féle feltételre az 1-es pontban a (13.27) alakot használjuk (megszorozva 2 / ∆x -szel), a másik kettőben pedig ugyanazokat a differenciaegyenleteket használjuk, mint a D1 pontban, akkor a −3 4 −1  u1   2 / ∆x      1   u2  =  −6∆x  − (13.32) 1 2 1 2 (∆x)  0 1 −2 u  −12∆x    3   egyenletből u1 = 2 / 9, u2 = 4 / 9, u3 = 4 / 9. (13.33) megoldás adódik. 13.2.2. Megoldás a véges elemek módszerével A (13.17) egyenlet előállításáig nincs különbség a 13.1. példához képest, de most az u1 1 ismeretlen. A (13.11/a) összefüggés alapján G1( ) = −1 , valamint az u4 = 0 feltétel megmaradt, így (13.17) első három egyenlete  1 −1 0   u1  1/ 9 −1      3 −1 2 −1 u2  =  6 / 9  , …. (13.34)       0 −1 2   u   12 / 9     3   melynek megoldása a pontos érték: u1 = 0, u2 = 8 / 27, u3 = 10 / 27. (13.35)

13.3.3. Megoldás a véges térfogatok módszerével A Neumann-féle peremfeltétel miatt a (13.20) egyenletet nem csak a 13.1/d ábrán látható két KT-ra írjuk fel, hanem a fele hosszúságú KT1-re is. Ha a VDM alapján írjuk fel az összefüggéseket, akkor KT1 esetén a kezdőpontban ismert a derivált értéke, a végén a differenciahányadossal közelítjük, az integrált pedig megint egypontos (az 1 jelű pont, és nem a KT közepe) numerikus integrállal számítjuk: du dx

x1+1 / 2

x1+1 / 2

+ x1

∫ x1

6 x dx =

u2 − u1 ∆x −1 + 6 ⋅ 0 =0. ∆x 2

(13.36)

Így a kapott egyenletrendszer:

302


Előadásvázlat

−1 1 0   u1   ∆x      1 −2 1  u2  = −2 (∆x )2  ,      0 1 −2  u3  −4 (∆x )2    

(13.37)

melynek megoldása:

u1 = −1/ 9, u2 = 2 / 9, u3 = 3 / 9 , ami megegyezik a VDM--nek nek a fiktív ponttal kapott (13.31) megoldásával.

(13.38)

mostt is a (13.13) interpoláló A VEM alapján levezetett összefüggéseknél elemenként mos függvényeket használjuk, így az i = 2,3 KF-ekben ekben a derivált értéke (14.24) szerint számítható, a KT1 kezdőpontjában pedig a Neumann-féle féle peremfeltétellel adott. Ha a numerikus integrálásnál az előbb is használt egypontos numeriku numerikuss integrálást használjuk, akkor újra a (13.37) egyenletrendszert kapjuk, tehát a megoldás sem változik.

Az 1D vizsgálatok tapasztalatai Az előzőekben bemutatott két feladatot megoldottuk a VDM VDM-vél, VEM-rel VEM és VTM-vel is. Ez utóbbi végrehajtásakor a két eelőző lőző módszer bármelyikére támaszkodhattunk. Megállapítható, hogy a VDM és a VTM esetén az eljárás lényegesen változott akkor, ha a peremfeltételben az ismeretlen függvény deriváljat is szerepelt ((Neumann-féle p.f.). .). A vizsgált példában Dirichlet-féle peremfeltétel feltétel esetén a kitüntetett pontokban mindegyik esetben a pontos megoldás ottani értékét kaptuk, míg Neumann-féle előírásra is esetén az eredmények a pontostól és egymástól is eltérhettek. Megjegyezzük, hogy ez a megállapítás csak erre a példára vonatk vonatkozott. Ha a megoldásfüggvény harmadnál magasabb fokú lett volna, akkor az első esetben sem lenne feltétlenül pontos az eredmény, míg alacsonyabb fok esetén a Neumann-feltétellel Neumann is lehetnek pontosak.)

A KT-ok és KF-ek ek kijelölése 22D-s feladatoknál Már az 1D-ss feladatok tárgyalásakor megemlítettük, hogy kijelölhetünk csomópont központú vagy cella (elem) központú KT-okat okat is. Ezek elvét szemlélteti a 13.5. ábra.

13.5. .5. ábra: A cellaközpontú és a csomópont központú KT felvétele

medián Csomópont központú KT-ot kijelölhetünk Voronoj-cellákkal vagy a medián-pontok felhasználásával (13.6. ábra). Az előbbinél a tartomány pontjait ahhoz a csomóponthoz tartozó KT-hoz hoz rendeljük, amelyikhez legközelebb van, az utóbbik határait a cellák és az élek

303


Előadásvázlat

középpontjait összekötő szekötő egyenesek határolják. Ebben az előadásban csak az utóbbi típussal foglalkozunk.

13 13.6. ábra: A csomópont központú KT felvétele re támaszkodó algoritmus esetén ismertnek tételezzük fel a vizsgált tartománynak az A VEM-re elemfelosztását. Ez állhat háromszögelemekből vagy négyszögelemekből. A VDM-re támaszkodó algoritmus esetén a kitüntetett pontokat tételezzük fel ismertnek, de ezeket sarokpontoknak tekintve itt is kialakíthatunk egy háromszögekből vagy négyszögekből kialakított cellarendszert. zert.

13.7.. ábra: A P pont központú KT felvétele (a) háromszög, (b) négyszög alakú cellák esetén ot. A 13.7. ábrán egy P-vel jelölt pont körüli Vizsgáljuk először a csomópont központú KT-ot. hálórészletet mutatunk be, az ((a) részen háromszögekből, a (b)) részen négyszögekből kialakított hálózat esetén. Az ábrán mindkét esetben 5 cella (elem) csatlakozik a P ponthoz. Ezen elemek többi pontját sorszámoztuk. A P ponthoz kapcsolódó élek középpontjait Ei-vel jelöltük, ezek koordinátái: x + xi y + yi , yEi = P xEi = P . (13.39) 2 2 A cellák súlypontjait Si jelöli, ezek koordinátáit a cella sarokpontjai megfelelő koordinátáinak átlaga adja. Például a négyszögelemes felosztásnál x + x2 + x7 + x3 xS2 = P . (13.40) 4 A P pont központú KT az E1 , S1 , E2 ,..., S5 , E1 poligon által határolt terület, a KF pedig maga a poligon. 304


Előadásvázlat

A cellaközpontú KT-ok természetesen maguk a cellák, a KF-ek a cellák oldalai. A cellák súlypontjait itt is a (13.40) alakú képletekkel számítjuk.

Az alapegyenlet Az alapegyenlet bemutatására a Poisson-egyenlet kétdimenziós változatát fogjuk felhasználni. A megoldandó feladat (a peremfeltételekkel csak később foglalkozunk): ∆u − f = u, ii − f = 0 (i = 1, 2) , (13.41) ahol f adott kétváltozós függvény. Az egydimenziós feladatnál alkalmazott technikát megismételve számítsuk ki az egységnyi tesztfüggvénnyel való skalár szorzatot, majd a Gauss-féle integráltétel segítségével alakítsuk át az első tagot peremintegrállá: (13.42) ∫ 1⋅ ( u, ii − f ) d Ω = 0 ⇒ ∫ u, ii d Ω = ∫ f d Ω ⇒ ∫ u, i ni d Γ = ∫ f d Ω , Ω

Ω

Ω

Γ

Ω

ahol ni a peremre merőleges, a tartományból kifelé mutató egységvektort jelöli. A (13.42) alakú egyenletet minden KT-ra is felírhatjuk. (13.43) ∫ u, i ni d Γ = ∫ f d Ω . KF

KT

Az egyenlet jobb oldalát egypontos numerikus integrállal közelítjük, vagyis a középpontban kiszámítjuk f értékét és megszorozzuk a KT területével. Az elem KF-e egyenes szakaszokból áll. Minden szakaszon az ni vektor állandó, az u,i vektor elemeit szakaszonként egy-egy konstans függvénnyel közelítjük, így e vektorok skaláris szorzatát a szakasz hosszával kell szorozni, majd a szakaszonként így kapott skalárokat összegezni. Tehát (13.43) közelítő alakja, az alapegyenlet: nszakasz

∑u

( sz ) ( sz ) i ,i

n ∆Γ( ) = f PΩP . sz

(13.44)

sz =1

A VDM alapelveire épülő 2D VTM modellezés, csomópont központú kontrolltérfogatok alkalmazása A (13.44) egyenlet bal oldalán szereplő skaláris szorzatok értéke nem függhet attól, hogy a vektorokat milyen koordináta-rendszerben értelmezzük, így minden szakaszra választhatunk külön lokális koordináta-rendszert (ξ, η) . Ezeket célszerűen úgy választjuk, hogy a szakaszhoz tartozó kifelé mutató ni egységvektor az η tengellyel egy irányba mutasson, így a skaláris szorzat ∂u ∂u ∂u (13.45) u,i ni = ⋅0+ ⋅1 = ∂ξ ∂η ∂η egyszerű alakú lesz. A szakaszhoz tartozó lokális koordináta-rendszer felvétele kis mértékben különbözik egy élhez csatlakozó két szakasz esetén, ezért ezeket külön tárgyaljuk. Ha egy általános j pontba mutató éltől az óramutató járásával egyező irányban van a csatlakozó KF-szakasz, akkor a 13.8/a ábrának megfelelő szakaszok: ∆x = x P − x j , ∆y = y j − y P , (13.46) 305


Előadásvázlat

∆xa = xA − xE , ∆ya = yE − y A ,

(13.47a)

∆Γ a = (∆xa2 + ∆ya2 ) ,

(13.47b)

1/ 2

∆η a = ∆y

∆xa ∆y a . −∆x ∆Γ a ∆Γ a

(13.47c)

A (13.45)-ben szereplő deriváltat a ∂u u j − u P ≅ (13.48) ∂η ∆η a módon közelítjük, tehát a (13.44) egyenlet bal oldalán az erre a szakaszra vonatkozó tag: u j − uP u ,i ni ∆Γ = ⋅1⋅∆Γ a . (13.49) ∆η a

13.8. ábra: A Pj élhez csatlakozó KF-szakaszok Ha egy általános j pontba mutató éltől az óramutató járásával ellenkező irányban van a csatlakozó KF-szakasz, akkor a 13.8b ábrának megfelelő szakaszok: ∆x = x P − x j , ∆y = y j − y P , (13.50)

∆xb = xE − xB , ∆yb = yB − yE ,

(13.51a)

∆Γb = (∆xb2 + ∆y

(13.51b)

)

2 1/ 2 b

,

∆xb ∆yb . (13.51c) −∆x ∆Γb ∆Γb A (13.45)-ben szereplő deriváltat a ∂u u j − u P ≅ (13.52) ∂η ∆ηb módon közelítjük, tehát a (13.44) egyenlet bal oldalán az erre a szakaszra vonatkozó tag: u j − uP u ,i ni ∆Γ = ⋅1⋅∆Γb . (13.53) ∆ηb Megjegyezzük, hogy a (13.44) jobb oldalán szereplő ΩP terület háromszögekre bontható, melyben a vizsgált szakasz és a P pont által meghatározott háromszög területe ∆Γ⋅∆η / 4 képlettel könnyen számítható. ∆ηb = ∆y

306


Előadásvázlat

Ha a (13.44) egyenletbe behelyettesítjük a KF összes szakaszára a fentiek szerint meghatározott képleteket, akkor a 5

∑ (u

j

j =1

− uP ) S j − P = f P Ω P

(13.54)

egyenlethez jutunk, ahol

∆Γ(a j − P ) ∆Γb( j − P ) + . (13.55) ∆η(a j − P ) ∆η(b j − P ) Megjegyezzük, hogy az él soha sohasem sem párhuzamos a hozzá kapcsolódó KF-szakaszokkal, így a (13.55) nevezőiben lévő mennyiségek nem lehetnek zérusok.

S j −P =

13.3. Példa. 2D-ss feladat Dirichlet-féle peremfeltétellel Válasszuk meg úgy a 13.9. ábrán látható (szabályosan elrendezett 12 ponttal meghatározott) megha tartományon értelmezett (13.41) Poisson-egyenlet jobb oldalát és a Dirichlet-féle peremfeltételeket, hogy a feladat pontos megoldása u = 2 x 2 y 2 legyen. Ez teljesül, ha

f = 4( x 2 + y 2 ) és a peremfeltételek: u1 = u2 = u3 = u6 = u9 = u12 = 0, u11 = 18, u10 = 72, u7 = 32, u4 = 8 .

(13.56)

13.9. ábra: Derékszögű hálózat Összesen két belső pont van, melyekhez egységoldalú négyzet alakú KT-ok tartoznak. E két pontban felírva a (13.54) (13.54)-nek megfelelő egyenletet: ( u2 − u5 ) S2−5 + ( u6 − u5 ) S6−5 + ( u8 − u5 ) S8−5 + ( u4 − u5 ) S4−5 = f5 A5 , (13.57) ( u5 − u8 ) S5−8 + ( u9 − u8 ) S9−8 + ( u11 − u8 ) S11−8 + ( u7 − u8 ) S7 −8 = f8 A8 , ahol a (13.55) összefüggéseket használva megállapítható, hogy minden

307


S j−P

Előadásvázlat

∆Γ(a j − P ) ∆Γ(b j − P ) 0,5 0,5 = + = + =1 , 1 1 ∆η(a j − P ) ∆η(b j − P )

(13.58)

f5 A5 = 8, f8 A8 = 20 . (13.59) Ha figyelembe vesszük a peremfeltételeket, akkor a következő lineáris egyenletrendszerhez majd eredményhez jutunk: u5   2   −4 1  u5   0  (13.60)  1 −4  u  =  −30  ⇒ u  = 8  .   8    8   Ezek a csomóponti értékek megegyeznek a pontos megoldás azonos helyen számított értékeivel.

13.4. Példa. 2D-s feladat Neumann-féle peremfeltétellel Oldjuk meg a 13.3. példában vizsgált feladatot, azzal a különbséggel, hogy a 4-es perempontnál a függvényérték helyett a ∂u ∂u = 16, =8 (13.61) ∂x (4) ∂y (4) Neumann-féle feltételeket írjuk elő (a többi perempontnál változatlanul érvényben marad a Dirichlet-feltétel). A két belső pontban lényegében változatlanok az egyenletek, csupán az 5-ös pontnál felírt egyenletben u4 -et nem ismerjük. A Neumann-féle peremfeltétel miatt azonban a 4-es pont környezetében egy harmadik KT-et is fel kell vennünk, amelyik két 0,5 oldalhosszúságú négyzetből áll. A peremre illeszkedő KF-szakaszokon a 4-es pontban előírt deriváltakat vesszük figyelembe (ugyan az x szerinti derivált a az n1 = 0 miatt nem játszik szerepet), a többi szakaszon az eddigeket használjuk. Így a (13.54)-nek megfelelő egyenletet: ∂u 0,5 1 0,5 ⋅ ( 0,5 + 0,5 ) + (u1 − u4 ) + (u5 − u4 ) + (u7 − u4 ) = f 4 A4 , ∂y (4) 1 1 1 vagy behelyettesítések után 8 + (0 − u4 )0,5 + (u5 − u4 )1 + (32 − u4 )0,5 = 20 ⋅ 0,5 . Az új egyenletrendszer és a (most is pontos) megoldás:  −4 1 1  u5   8  u5   2   1 −4 0  u  =  −30  ⇒ u  =  8  .   8    8    1 0 −2  u4   −14  u4   8 

A VDM alapelveire épülő 2D kontrolltérfogatok alkalmazása

VTM

modellezés:

(13.62)

(13.63)

(13.64)

cella-központú

Ezt a módszert csak akkor alkalmazhatjuk, ha a VDM pontjai raszterszerűen helyezkednek el. A raszterhálózat ferdeszögű is lehet. A módszert egy ilyen esetet elemezve mutatjuk be. 308


13.5. Példa. 2D-s peremfeltétellel

feladat

ferdeszögű

Előadásvázlat

hálózattal

Dirichlet-féle

Válasszuk meg úgy a 13.10/a. ábrán látható (9 ponttal meghatározott) tartományon értelmezett (13.41) Poisson-egyenlet jobb oldalát és a Dirichlet-féle peremfeltételeket, hogy a feladat pontos megoldása u = x 2 y 2 legyen. Ez teljesül, ha f = 2( x 2 + y 2 ) és a peremfeltételek: u1 = u2 = u3 = u4 = u7 = 0, u6 = 64, u8 = 92,16, u9 = 368.64 . (13.65)

13.10. ábra: A vizsgált tartomány a cellaközéppontokkal (a), és segédpontokkal (b) A kilenc pont közül 8-ban a peremfeltételek meghatározzák az u függvény értékét, a meghatározandó u5 pontos értéke 16,0. A kilenc pont négy cellát határoz meg. A cellák középpontjához a sarokponti értékek átlagát rendeljük. A 14.10/a ábra jelöléseit és a (14.65) peremfeltételeket használva u u u u u A = 5 ; uB = 5 + 16; uC = 5 + 23,04; u A = 5 + 131, 2 (13.66) 4 4 4 4 309


Előadásvázlat

adódik. A további számításokhoz a cellaközepeket összekötő egyenesek segítségével a 13.10/b ábrán 10-től 21-ig sorszámozott segédpontokat veszünk fel. ∂u ∂u függvényt konstansnak tekintjük, és az élen lévő segédpont , ∂x ∂y jelével utalunk az élre. Ezeket az értékeket az élekhez rendelt segéd-KT-okon a Gauss-féle integráltétel felhasználásával számítjuk. Az élekhez két vele szomszédos félcellát rendeljük. Az így kapott segéd-KT-okat a 13.11. ábra mutatja.

A cellák közös élein az

13.11. ábra: A cellák közös éleihez rendelt segéd-kontrolltérfogatok Nézzük meg például részletesen az A és a C cella közös élén a deriváltak számítását ( Ω -val a segéd-KT területét jelöljük): ∆u 1 = (u4 ( y17 − y12 ) + uC ( y18 − y17 ) + u5 ( y13 − y18 ) + u A ( y12 − y13 )) = ∆x 15 Ω15 , (13.67)   u5  u 1  5 = 0 ⋅ 0 +  + 23, 04⋅ 2, 2 + u5 (−0, 4) + ⋅ (−1,8) = −0, 075u5 + 12, 672  4  4  4  ∆u 1 = (u4 ( x12 − x17 ) + uC ( x17 − x18 ) + u5 ( x18 − x13 ) + u A ( x13 − x12 )) = ∆y 15 Ω15 u  u  1 = 0 ⋅ (−2) +  5 + 23, 04⋅ 0 + u5 ⋅ 2 + 5 ⋅ 0 = 0, 5u5  4  4  4  A többi élen a szükséges deriváltak kevésbé részletesen:

.

(13.68a)

310


Előadásvázlat

   u5  ∆u 1  u5 =  + 23, 04⋅ 0, 2 + 92,16 ⋅ 2, 4 +  + 131, 2⋅ (−0, 6) + u5 (−2) =  4  ∆x 18 4, 4  4  , = −0, 4773u5 + 33, 425  u  u  ∆u 1 = u5 ⋅ 0, 4 +  5 + 131, 2⋅ (2, 2) + 64 ⋅ (−0,8) +  5 + 16⋅ (−1,8) =  4   4  ∆x 16 4   , (13.68b)

∆u ∆y 16

= 0,125u5 + 52,16 u  u   1 = u5 ⋅ (−2) +  5 + 131, 2⋅ 0 + 64 ⋅ 2 +  5 + 16⋅ 0 = −0,5u5 + 32 ,  4  4    4 

  u5  ∆u 1  u5 =  ⋅ 0, 2 + u5 ⋅ 2 +  + 16⋅ (−0, 6) + 0 ⋅ (−1, 6) = 0,5278u5 − 2, 667 . 4  ∆x 13 3, 6  4  Az élekhez tartozó deriváltakat felhasználva az 5-ös ponthoz tartozó segéd-KT-ra (lásd a 13.12-es ábrát) kell felírnunk a (13.44)-nek megfelelő egyenletet: ( sz ) sz  ∆u ∆u  ( )  n x  (13.69) ∑  ∆x ∆y  ny  ∆Γ(sz) = f5Ω5 . sz =15,18,16,13    

13.12. ábra: Az „5”-ös pont környezetének vizsgálata

Ebben felhasználjuk, hogy

 y − y A   0, 2 15 = , n( )∆Γ(15) =  C      x A − xC   −2 

(13.70a)

majd hasonlóan  2, 2 −0, 6 −1,8 16 16  , n(13)∆Γ(13) =  . =   , n( )∆Γ( ) =  (13.70b)  0   2   0        A (13.69) egyenletbe behelyettesítve a (13.68) és a (13.70) összefüggéseket a következőt kapjuk: (−0, 075u5 + 12, 672) 0, 2 + 0,5u5 (−2) + (−0, 4773u5 + 33, 425) 2, 2 + , (13.71) + (0,125u5 + 52,16)(−0, 6) + (−0,5u5 + 32) 2 + (0, 5278u5 − 2, 667)(−1,8) = 16 ⋅ 4 n( )∆Γ( 18

18)

melyből (a pontos 16 helyett) u5 = 12,12 adódik.

311


Előadásvázlat

13.6. Példa. A VEM alapelveire épülő 2D VTM modellezés: csomópont központú kontrolltérfogatok alkalmazása Vizsgáljunk meg most egy áramlástani feladatot, mégpedig az úgynevezett Burgersegyenletet117. Az egyenlet 2D alakja a következő:  fx   ∂ 2U ∂ 2U  u  ∂U ∂U ∂U +u +v − µ  2 + 2  − F = 0 ⇐ U =   , F =   , (13.72) ∂t ∂x ∂y ∂y  v  ∂x  fy  ahol t az idő, u és v az x és y tengely irányú sebességfüggvények, µ a folyadék viszkozitása, az F vektor pedig a külső hatásokat leíró függvény. Ahhoz, hogy a pontos megoldás 1 1 u= + x 2 y, v = + x y2 . (13.73) 1+ t 1+ t legyen, a külső hatásoknak 1 x 2 + 2 xy 1 y 2 + 2 xy 3 2 fx = − + + 3 x y − 2 µ y , f = − + + 3 y 3 x 2 − 2µx . (13.74) y 2 2 1 + t 1 + t (1 + t ) (1 + t ) alakúnak kell lenniük, és a kezdeti (t = 0) és a peremfeltételeket is a (13.73) alapján kell megválasztani. A vizsgált tartományt 13.7/b. ábrán látható vázlat mutatja, ez egyúttal a szabálytalan geometriájú peremvonallal határolt 2D tartomány végeselemes felosztását is ábrázolja: A tartomány belsejében lévő P jelű csomópontot öt darab (négyszög alakú izoparametrikus) végeselem veszi körül. Mindegyik elemekhez a megszokott bilineáris paraméteres koordináta-rendszert vesszük fel. Mindegyik elem „negyede” csatlakozik a P jelű csomóponthoz, így végül öt darab „rész”-kontrolltérfogat jön létre. Mindegyik ilyen résztérfogatnak két darab kontrollfelülete van (a ξ = 0,illetve az η = 0 vonalakon), ezekhez kifelé mutató normálisokat rendelünk. A VTM egyenleteiben az időváltozó hatását egy kétlépéses algoritmus118 segítségével fogjuk figyelembe venni: (n) 1 ∆ t ∂U (n+ ) (n) , a./ Első lépés : U 2 = U + 2 ∂t (13.75) 1 ( n+ ) 2 ∂U n +1 (n) . b./ Második lépés : U = U + +∆ t ∂t Az idő szerinti deriváltat a (13.72)-es egyenletből lehet meghatározni:  ∂ 2U ∂ 2 U  ∂U ∂U ∂U = −u −v + µ 2 + 2  + F . (13.76) ∂t ∂x ∂y ∂y   ∂x Helyettesítsük be ezt a (13.75) alatti képlet „első” lépésébe: (n ) (n) (n) (n) 1 ∆ t  ∂U ∂U  ∆ t  ∂ 2 U ∂ 2U  ∆ t ( n ) n+ (n) 2 (13.77) =U − +v µ + U F . u + + ∂y  2  ∂x 2 ∂y 2  2 2  ∂x 117

Johannes Martinus Burgers (1895 – 1981) kiváló holland fizikus. Elsősorban a kristályos anyagok diszlokációinak jellemzésére használatos Burgers-vektor bevezetése tette ismertté a nevét. 118 Az áramlástani vizsgálatokban ezt a modellt Taylor-Galjorkin-eljárásnak nevezik. A módszer a súlyozott maradékok elvét használó Galjorkin-algoritmushoz az időhatást Taylor-sor segítségével kapcsolja. Jó összefoglaló olvasható róla például az alábbi cikkben: Bono, G. – Awruch, A. M. : „Numerical study between structured and unstructured meshes for Euler and Navier-Stokes equations”, Mecánica Computacional, Vol. XXVI, pp. 3134-3146, Córdoba, Argentina, 2007.

312


Előadásvázlat

Az x és az y változók hatását a szokásos egységnyi tesztfüggvény felhasználásával felírható n n 1 ∆ t  ∂U ∂U  n+ n 2 dΩ = U dΩ − + U u v   dΩ + ∫Ω ∫Ω ∂y  2 Ω∫  ∂x n n ∆ t  ∂ 2U ∂ 2U  ∆t n (13.78) + µ∫  + dΩ + F dΩ . 2 2  ∫ ∂y  2 Ω  ∂x 2 Ω alapegyenlettel számíthatjuk. A Gauss-tétel alkalmazása után: n n 1  ∆ t  n ∂U n+ n n ∂U 2 U d U d u v Ω = Ω − +   dΩ + ∫ ∫ ∂x ∂y  2 Ω∫  Ω Ω n n  ∆ t  ∂U ∂U ∆t n (13.79) + µ∫  n1 + n2 d Ω + F dΩ . ∫ ∂y 2 Γ  ∂x 2 Ω  Alkalmazzunk integrálás helyett összegzést: n 1  n ∆ t  n ∂U n  ∆t n n+ n ∂U 2 ∆Ω = U U u v F  ∆Ω + − +   + ∑ ∑ x y 2 2 ∂ ∂ KT KT      (13.80) n n   ∆t ∂U ∂U n1 + n2  ∆ Γ . + µ∑  2 KF  ∂x ∂y  Ismételjük meg ezt a második időlépcsőre: 1  n+  n + 1 ∂U n + 12 1 n + ∂U 2 t ∆ n +1 n 2 2 +v U ∆Ω = ∑ U −  u ∑ 2  ∂x ∂y KT KT   

  ∆t 1 n+ + F 2  ∆Ω +   2  

(13.81) 1 1 n+ n+   ∆t ∂U 2 ∂U 2  n1 + n2 ∆ Γ . + µ∑   ∂y 2 KF  ∂x   Hangsúlyozzuk, hogy ebben a kétlépcsős algoritmusban a (13.80) és (13.81)-as egyenletek valamint a dU / dx és dU / dy deriváltak a kontrolltérfogatokon illetve a kontrollfelületeken értelmezettek a megfelelő lineáris (kvadratikus, stb.) végeselemes approximáció segítségével számíthatók. Az U deriváltjainak számításánál a lokális paraméteres koordináta-rendszerek használata miatt a láncszabályt kell alkalmazni: ∂U 1  ∂U ∂y ∂U ∂y  ∂U 1  ∂U ∂x ∂U ∂x  =  − = − + , , ∂x J  ∂ξ ∂η ∂η ∂ξ  ∂y J  ∂ξ ∂η ∂η ∂ξ  (13.82) ∂x ∂y ∂y ∂x J= . − ∂ξ η ∂ξ η A Jacobi-mátrix számításához akkor is elegendő a bilineáris bázisfüggvények használata, ha az U vektor elemeit magasabb fokú (pl. bikvadratikus) bázisfüggvények lineáris kombinációjával közelítjük (feltételezve azt, hogy az elemek oldalai egyenesek, és a nem sarkokon lévő csomópontokat megfelelően (pl. az él közepén) vettük fel. Az a kontrollfelületek egyes szakaszaihoz tartozó nΓ szorzatok itt is a (13.70)-ben alkalmazott módon történhet. Végül a részletek ismertetése nélkül mutatunk egy 3D-s alkalmazást.

313


Előadásvázlat

13.6. Példa. 3D-s feladat a VTM-vel A következő ábrák egy biomechanikai feladat megoldásának részleteit ábrázolják. A feladatot CFX programmal oldottuk meg, a véges térfogatok módszerét alkalmazva az áramlástani feladat vizsgálatára. Maga a biomechanikai feladat a következő: emberi artéria falán keletkező kóros duzzanatban (úgynevezett aneurysmában) és környezetében létrejövő áramlás paramétereit kívánjuk meghatározni. A vizsgálathoz szükséges hálózatot CT felvételek alapján állítottuk elő.

Az első kép egy aneurysma-modellt ábrázol, a véges térfogatelemek celláinak képeivel. Egy 4-5 cm-es érszakasz vizsgálatához hozzávetőlegesen 2-300 000 elem használatára van szükséges. A következő két kép a véráram sebességét illetve egyes részecskék pályáját ábrázolja.

314


Előadásvázlat

Az utolsó kép a pulzáló véráram hatásából az érfalra ható nyírófeszültségeket ábrázolja.

Felhasznált szakirodalom: 1./ Hirsch, C. : Numerical Computation of Internal and External Flows, Vol 2, Wiley, 1990. 2./ Laney, Culbert B. : Computational Gas Dynamics, Cambridge University Press, 1998. 3./ Wesseling, P. : Principles of Computational Fluid Dynamics, Springer, 2001. 4./ Chung, T. : Computational fluid dynamics, Cambridge University Press, 2002.

315

Bojtár-Gáspár: A végeselemmódszer matematikai alapjai

Recommend Documents