ESTIMASI PARAMETER DISTRIBUSI LOGLOGISTIK PADA DATA TERSENSOR PROGRESSIVE TIPE II DENGAN MENGGUNAKAN ALGORITMA EM SKRIPSI

ADLN Perpustakaan Universitas Airlangga

ESTIMASI PARAMETER DISTRIBUSI LOGLOGISTIK PADA DATA TERSENSOR PROGRESSIVE TIPE II DENGAN MENGGUNAKAN ALGORITMA EM

SKRIPSI

ANNAS RIEZKI ROMADHONI

PROGRAM STUDI S-1 MATEMATIKA DEPARTEMEN MATEMATIKA FAKULTAS SAINS DAN TEKNOLOGI UNIVERSITAS AIRLANGGA 2012

Skripsi

Romadhoni, Annas Riezki Estimasi Parameter Distribusi Loglogistik pada Data Tersensor Progressive Tipe II dengan Menggunakan Algoritma EM


ESTIMASI PARAMETER DISTRIBUSI LOGLOGISTIK PADA DATA TERSENSOR PROGRESSIVE TIPE II DENGAN MENGGUNAKAN ALGORITMA EM

SKRIPSI

Sebagai Salah Satu Syarat untuk Memperoleh Gelar Sarjana Sains Bidang Matematika Pada Fakultas Sains dan Teknologi Universitas Airlangga

Disetujui Oleh : Pembimbing I,

Pembimbing II,

Toha Saifudin, S.Si, M.Si NIP. 19750106 199903 1 002

Drs. Eko Tjahjono, M.Si NIP . 19600706 198601 1 001

ii Skripsi



LEMBAR PENGESAHAN NASKAH SKRIPSI Judul Penyusun NIM Tanggal Ujian

: Estimasi Parameter Distribusi Loglogistik Pada Data Tersensor Progressive Tipe II Dengan Menggunakan Algoritma EM : Annas Riezki Romadhoni : 080810165 : 10 Agustus 2012

Disetujui oleh : Pembimbing I,

Pembimbing II,

Toha Saifudin, S.Si, M.Si NIP. 19750106 199903 1 002

Drs. Eko Tjahjono, M.Si NIP . 19600706 198601 1 001

Mengetahui : Ketua Program Studi S-1 Matematika Departemen Matematika Fakultas Sains dan Teknologi Universitas Airlangga

Dr. Miswanto, M.Si NIP. 19680204 199303 1 002

iii Skripsi



PEDOMAN PENGGUNAAN SKRIPSI Skripsi ini tidak dipublikasikan, namun tersedia di perpustakaan dalam lingkungan Universitas Airlangga, diperkenankan untuk dipakai sebagai referensi kepustakaan, tetapi pengutipan harus seizin penyusun dan harus menyebutkan sumbernya sesuai kebiasaan ilmiah. Dokumen skripsi ini merupakan hak milik Universitas Airlangga.

iv Skripsi



KATA PENGANTAR

Alhamdulillah, puji syukur senantiasa penulis panjatkan kepada Allah SWT yang telah melimpahkan rahmat, karunia, dan hidayahnya-Nya sehingga penulis dapat menyelesaikan skripsi yang berjudul “Estimasi Parameter Distribusi Loglogistik Pada Data Tersensor Progressive Tipe II Dengan Menggunakan Algoritma EM”. Pada kesempatan yang telah diberikan ini, penulis ingin menyampaikan terima kasih yang sebesar-besarnya kepada : 1. Kedua orang tua dan adik penulis yang telah memberikan dukungan, kasih sayang, dan kepercayaan yang begitu besar. 2. Dr. Miswanto, M.Si., selaku Ketua Prodi S-1 Matematika yang telah memberikan arahan dan bimbingan kepada penulis. 3. Toha Saifudin, S.Si, M.Si dan Drs Eko Tjahjono, M.Si selaku dosen pembimbing I dan II yang telah memberikan arahan, masukan, perhatian, rasa sabar yang begitu besar dan pengetahuan yang tidak ternilai. 4. Ahmadin, S.Si, M.Si. selaku dosen wali yang telah banyak memberikan nasehat dan saran demi mencapai kesuksesan di dunia dan akhirat. 5. Seluruh dosen Universitas Airlangga, terima kasih untuk segala ilmu yang diberikan. 6. Teman-teman Matematika 2008, kakak-kakak 2007, adik-adik 2009 dan 2010 terima kasih untuk semua bantuan dan rasa kekeluargaan yang telah terjalin selama ini. 7. Rekan-rekan seperjuangan HMI (Himpunan Mahasiswa Islam) yang telah memberikan pembelajaran yang sangat luar biasa. YAKUSA!!! 8. Serta pihak-pihak lain yang tidak dapat disebutkan satu persatu, terima kasih atas segala bantuannya selama ini. Penulis menyadari skripsi ini masih jauh dari kesempurnaan. Untuk itu penulis mengharapkan kritik dan saran yang bersifat membangun dari pembaca. Semoga skripsi ini dapat bermanfaat bagi semua pembaca. Surabaya, Agustus 2012 Penyusun

Annas Riezki Romadhoni v Skripsi



Annas Riezki Romadhoni, 2012. Estimasi Parameter Distribusi Loglogistik pada Data Tersensor Progressive Tipe II dengan Menggunakan Algoritma EM. Skripsi ini dibawah bimbingan Toha Saifuddin, S.Si, M.Si. dan Drs. Eko Tjahjono, M.Si, Departeman Matematika, Fakultas Sains dan Teknologi, Unversitas Airlangga.

ABSTRAK Distribusi Loglogistik adalah distribusi yang biasa digunakan dalam analisis data tahan hidup karena logaritma natural dari variabel-variabel tahan hidupnya terdistribusi secara logistik. Distribusi Loglogistik mempunyai dua parameter yaitu parameter skala dan parameter bentuk . Penulisan ini bertujuan untuk memperoleh estimator parameter distribusi Loglogistik pada data tersensor progressive tipe II. Metode yang digunakan dalam penulisan ini adalah metode Maximum Likelihood dengan algoritma EM. Algoritma EM terdiri dari dua tahap yaitu tahap E dan M. Pada tahap E dilakukan perhitungan ekspektasi bersyarat dari fungsi ln likelihood dan pada tahap M dilakukan perhitungan untuk memaksimalkan ekspektasi bersyarat dari fungsi ln likelihood hingga mendapatkan nilai yang konvergen. Software yang digunakan untuk mempermudah mendapatkan nilai estimator parameter distribusi Loglogistik adalah Mathematica. Pada kasus logaritma natural dari waktu terurainya Isolator Zat Cair pada voltase 34 KV dengan sampel pengamatan dan kegagalan yang diamati masing-masing sebesar 19 dan 8, sedangkan skema penyensorannya adalah diperoleh nilai estimator parameter untuk sebesar 6,526 dan sebesar 1,108.

Kata Kunci: Distribusi Loglogistik, Data Tersensor Progressive Tipe II, Maximum Likelihood Estimator, Algoritma EM.

vi Skripsi



Annas Riezki Romadhoni, 2012. Estimation of Parameter of The Loglogistic Distribution based on Progressive Type-II Censoring Using The EM Algorithm. This Skripsi is supervised by Toha Saifuddin, S.Si, M.Si. and Drs. Eko Tjahjono, M.Si, Mathematics Department, Faculty of Sains and Technology, Airlangga University

ABSTRACT The Loglogistic distribution is a commonly used distribution in lifetime data analysis because natural logarithm of the lifetime variables are logistically distributed. Loglogistic distribution has two parameters, that are the scale parameter and shape parameter . The main objective of this paper is to get parameter estimator of the Loglogistic distribution based on Progressive type-II censoring. The method that used in this paper is Maximum Likelihood method with EM Algorithm. EM algorithm is consist of two steps, that are E-step and Mstep. E-step requires the algorithm to calculate conditional expectation of loglikelihood function and M-step calculation to maximize the conditional expectation of log-likelihood function until get a convergen value. Software that used to get the parameter estimator of the Loglogistic distribution easily is Mathematica. On natural logarithm case from the time of disintregation of the isolator fluid at 34 KV voltage with sample observations and observed failure are given respectively by 19 and 8, then the censored scheme is then obtained the estimator value of parameter for is 6,526 and for is 1,108.

Keywords : Loglogistic distribution, Progressive Type II Censored, Maximum Likelihood Estimator, EM Algorithm

vii Skripsi



DAFTAR ISI Halaman LEMBAR JUDUL ............................................................................................... i LEMBAR PERNYATAAN ................................................................................ ii LEMBAR PENGESAHAN ...............................................................................iii LEMBAR PEDOMAN PENGGUNAAN SKRIPSI.......................................... iv KATA PENGANTAR ........................................................................................ v ABSTRAK ......................................................................................................... vi ABSTRACT ...................................................................................................... vii DAFTAR ISI ...................................................................................................viii DAFTAR GAMBAR ......................................................................................... x DAFTAR LAMPIRAN ...................................................................................... xi BAB I PENDAHULUAN ................................................................................... 1 1.1

Latar Belakang Masalah ................................................................. 1

1.2

Rumusan Masalah .......................................................................... 4

1.3

Tujuan ............................................................................................ 4

1.4

Manfaat .......................................................................................... 5

BAB II TINJAUAN PUSTAKA........................................................................ 6 2.1

Analisis Data Uji Hidup ................................................................. 6

2.2

Distribusi Probabilitas .................................................................... 6

2.3

Distribusi Loglogistik .................................................................... 8

2.4

Distribusi Logistik.......................................................................... 8

2.5

Sampel Lengkap ............................................................................. 9

2.6

Sampel Tersensor Progressive Tipe II ........................................... 9

2.7

Nilai Ekspektasi ........................................................................... 10

2.8

Estimasi ........................................................................................ 11

2.9

Least Squares Estimation ............................................................. 14

2.10 Estimasi Kaplan Meier ................................................................. 15 2.11 Newton-Raphson .......................................................................... 15 viii Skripsi



2.12 MINITAB 14 ................................................................................ 16 2.13 Mathematica ................................................................................. 16 BAB III METODE PENELITIAN.................................................................... 17 BAB IV HASIL DAN PEMBAHASAN .......................................................... 21 4.1

Estimasi Parameter Distribusi Loglogistik Pada Data Tersensor Progressive Tipe II dengan Menggunakan Algoritma EM ................... 21

4.2

Algoritma Program ...................................................................... 47

4.3

Penerapan Pada Data Tersensor Progressive Tipe II ....................... 49

BAB V KESIMPULAN DAN SARAN ............................................................ 56 5.1 Kesimpulan ..................................................................................... 56 5.2 Saran . .............................................................................................. 58 DAFTAR PUSTAKA ....................................................................................... 59 LAMPIRAN

ix Skripsi



DAFTAR GAMBAR

Nomor

Judul

Halaman

2.1

Skema Penyensoran Progressive Tipe II

4.1

Plot data waktu terurainya isolator zat cair pada tegangan 34 KV 50

4.2

Plot data waktu terurainya isolator zat cair pada tegangan 34 KV tersensor progressive tipe II

4.3

9

51

Plot data log natural waktu terurainya isolator zat cair pada Tegangan 34 KV tersensor progressive tipe II

52

4.4

Grafik estimasi fungsi survival

54

4.5

Tabel estimasi fungsi survival

55

x Skripsi



DAFTAR LAMPIRAN

Nomor 1.

Judul Data Sampel Lengkap Waktu Terurainya Isolator Zat Cair Pada Tegangan 34kV.

2.

Data Sampel Tersensor Progressive Tipe II Waktu Terurainya Isolator Zat Cair Pada Tegangan 34kV.

3.

Program Untuk Menentukan Estimasi Parameter Distribusi Loglogistik Pada Data Tersensor Progressive Tipe II.

xi Skripsi



BAB I PENDAHULUAN

1.1

Latar Belakang Masalah Globalisasi ekonomi merupakan suatu keadaan ekonomi dimana kegiatan

perekonomian bersifat terbuka tanpa adanya batas-batas wilayah antara daerah yang satu dengan daerah yang lainnya. Hal ini menyebabkan persaingan produk yang diproduksi oleh setiap perusahaan semakin berat. Salah satu yang menjadi tolak ukur keberhasilan persaingan ini adalah kualitas suatu produk. Untuk mengetahui kualitas suatu produk sebelum dipasarkan kepada konsumen, perlu diadakan suatu penelitian yang berkaitan dengan pengamatan suatu keandalan atau daya tahan hidup komponen. Hal ini dikarenakan sangat berguna dalam pengujian tentang bagaimana suatu komponen dapat berfungsi sebagaimana mestinya dalam waktu yang ditentukan. Analisa data tahan hidup (survival analysis) adalah suatu metode untuk menganalisis data yang berhubungan dengan waktu, mulai dari time origin atau start-point sampai dengan terjadinya suatu kejadian khusus atau end-point (Collet, 1994). Bentuk pengujian data tahan hidup adalah pengujian waktu tahan hidup suatu komponen pada saat digunakan hingga mati atau ketika pasien terjangkit penyakit hingga meninggal. Jika semua benda atau individu diuji sampai terjadinya kematian atau kegagalan maka disebut sampel lengkap. Metode tersebut mempunyai keuntungan yaitu semua komponen dapat teramati. Tetapi metode tersebut juga mempunyai kelemahan diantaranya yaitu waktu yang

1 Skripsi



2

diperlukan untuk melakukan penelitian sangat lama dan biaya yang diperlukan sangat besar. Hal ini sangat merugikan bagi suatu instansi dalam pengadaan penelitian. Untuk itu, perlu dilakukan penyensoran data agar lebih efisien dari segi waktu dan biaya. Dalam statistika, ada banyak jenis penyensoran yang dapat digunakan untuk mempercepat suatu penelitian. Pada kesempatan ini penulis menggunakan penyensoran progressive tipe II yang merupakan pengembangan dari penyensoran tipe II. Alasan menggunakan jenis penyensoran ini adalah waktu yang dibutuhkan untuk melakukan penelitian relatif lebih cepat, karena dengan cara mengambil sebagaian data untuk tidak diamati. Hal ini menyebabkan biaya yang dikeluarkan relatif sedikit. Menurut Wu (2002), penyensoran progressive tipe II adalah pengamatan terhadap

sampel dengan

kegagalan yang diamati dengan syarat

bilangan bulat, sedemikian sehingga pada saat terjadi kegagalan yang pertama,

dari unit yang survive secara acak dikeluarkan dari pengamatan,

sedangkan pada pengamatan kegagalan yang kedua,

unit penelitian yang

survive secara acak dikeluarkan lagi. Penelitian ini berhenti pada saat kegagalan diamati dan ini berarti

unit yang

survive semua dikeluarkan. Untuk menganalisis dan mempresentasikan data uji hidup maka diperlukan suatu distribusi. Sehingga analisis terhadap data uji hidup dapat dilakukan secara parametrik. Data yang digunakan dalam penelitian berupa waktu yang bertipe kontinu, sehingga distribusi probabilitas yang digunakan adalah bertipe kontinu. Menurut Kus dan Kaya (2006), distribusi Loglogistik adalah distribusi yang biasa

Skripsi



3

digunakan dalam analisis data tahan hidup karena logaritma natural dari variabelvariabel tahan hidupnya terdistribusi secara logistik. Adapun fungsi kepadatan peluang (fkp) distribusi Loglogistik sebagai berikut:

Berdasarkan uraian di atas, diperlukan suatu metode yang digunakan dalam penarikan kesimpulan mengenai suatu populasi yang biasa disebut inferensi statistik. Salah satu metode yang sering digunakan adalah Maximum Likelihood. Penyelesaian akhir metode ini umumnya membutuhkan iterasi numerik. Salah satu Algoritma yang dapat dipakai adalah algoritma EM. Algoritma EM adalah metode optimisasi iteratif untuk estimasi Maksimum Likelihood yang berguna dalam permasalahan data yang tidak lengkap. Dalam algoritma EM ini terdapat 2 tahap, yaitu tahap Ekspektasi (tahap E) dan tahap Maksimasi (tahap M). Berdasarkan permasalahan diatas, maka penulis tertarik untuk melakukan studi jurnal estimasi parameter distribusi Loglogistik pada data tersensor progressive tipe II dengan menggunakan algoritma EM yang diambil dari jurnal yang berjudul “Estimation of Parameter of The Loglogistic Distribution Based on Progressive Censoring Using The EM Algorithm” yang ditulis oleh Kus dan Kaya (2006). Pada penulisan skripsi ini juga disertakan program untuk mencari estimasi parameter distribusi Loglogistik menggunakan software Matematica. Selanjutnya dilakukan penerapan pada data waktu terurainya isolator zat cair pada tegangan 34 KV yang didapatkan dari jurnal yang sama.

Skripsi



1.2

4

Rumusan Masalah Berdasarkan latar belakang permasalahan diatas, maka rumusan masalah

yang dibahas adalah: 1. Bagaimana mengestimasi parameter distribusi Loglogistik pada data tersensor progressive tipe II dengan menggunakan algoritma EM? 2. Bagaimana

membuat

program

pada

software

Matematica

untuk

mengestimasi parameter distribusi Loglogistik pada data tersensor progressive tipe II dengan menggunakan algoritma EM? 3. Bagaimanakah aplikasi estimasi parameter distribusi Loglogistik pada data tahan hidup tersensor Progressive Tipe II dengan menggunakan algoritma EM?

1.3

Tujuan 1. Mengestimasi parameter distribusi Loglogistik pada data tersensor progressive tipe II dengan menggunakan algoritma EM. 2. Membuat program pada software Mathematica untuk mengestimasi parameter distribusi Loglogistik pada data tersensor progressive tipe II dengan menggunakan algoritma EM. 3. Menerapkan hasil yang diperoleh dari estimasi parameter distribusi Loglogistik pada data tahan hidup tersensor progressive tipe II dengan menggunakan algoritma EM.

Skripsi



1.4

5

Manfaat 1. Menambah wawasan mengenai estimasi parameter dari distribusi Loglogistik pada data tersensor progressive tipe II menggunakan metode algoritma EM. 2. Hasil kajian dapat diterapkan pada bidang ilmu kesehatan, industri, pendidikan dan sebagainya. 3. Informasi yang di dapat dari skripsi ini akan membuka peluang untuk diadakan penelitian selanjutnya.

Skripsi



BAB II TINJAUAN PUSTAKA

2.1

Analisa Data Tahan Hidup Menurut Collet (1994), analisa data tahan hidup (survival analysis) adalah

suatu metode untuk menganalisis data yang berhubungan dengan waktu, mulai dari time origin atau start-point sampai dengan terjadinya suatu kejadian khusus atau end-point. Di dalam riset medis, time origin sering digunakan sebagai awal perekrutan suatu individu dalam suatu studi yang bersifat percobaan, sedangkan end-point merupakan kematian suatu individu atau pasien, sehingga data yang dihasilkan secara harfiah dinamakan waktu survival.

2.2 2.2.1

Distribusi Probabilitas Fungsi Kepadatan Probabilitas (FKP) Menurut Bain dan Engelhardt (1992), fungsi kepadatan probabilitas (fkp)

merupakan nilai peluang dari setiap kejadian . Terdapat 2 jenis fungsi kepadatan probabilitas yaitu, fungsi kepadatan probabilitas (fkp) diskrit dan fungsi kepadatan probabilitas (fkp) kontinu. suatu variabel random dengan distribusi probabilitas

disebut fungsi

kepadatan probabilitas (fkp) diskrit apabila : 1) 2)

6 Skripsi



Sedangkan

7

disebut fungsi kepadatan probabilitas (fkp) kontinu apabila : 1) 2)

2.2.2 Cumulative Distribution Function (CDF) Menurut Bain dan Engelhardt (1992), Cumulative Distribution Function (CDF) dari suatu variabel acak

didefinisikan untuk setiap bilangan real

sebagai :

Menurut Walpole dan Myers (1995), terdapat 2 jenis distribusi kumulatif yaitu: 1. Distribusi kumulatif peluang

2.2.3

dengan distribusi

dinyatakan oleh

2. Distribusi kumulatif peluang

suatu peubah acak diskrit

suatu peubah acak kontinu

dengan distribusi

dinyatakan oleh

Fungsi Survival Menurut Lawless (1982), fungsi survival adalah probabilitas bahwa suatu

individu akan bertahan sampai waktu

dengan

diasumsikan kontinu,

dirumuskan sebagai berikut :

Skripsi



2.3

8

Distribusi LogLogistik Menurut Kus dan Kaya (2006), distribusi Loglogistik adalah distribusi yang

biasa digunakan dalam analisis data tahan hidup karena logaritma natural dari variabel-variabel tahan hidupnya berdistribusi Logistik. Adapun fungsi kepadatan probabilitas (fkp) distribusi Loglogistik dengan parameter skala bentuk

2.4

dan parameter

sebagai berikut:

Distribusi Logistik Menurut Kus dan Kaya (2006), jika

parameter lokasi

mempunyai distribusi logistik dengan

dan parameter skala , maka fungsi kepadatan probabilitas dan

fungsi distribusi dari

diberikan masing-masing yaitu:

dengan

Skripsi



2.5

9

Sampel Lengkap Menurut Lawless (1982), pada sampel lengkap percobaan uji hidup

dilakukan sampai semua individu atau benda mengalami kematian atau kegagalan. Adapun fungsi likelihood dari

2.6

adalah :

Sampel Tersensor Progressive Tipe II Menurut Wu (2002), penyensoran progressive tipe II adalah pengamatan

terhadap

sampel dengan

kegagalan yang diamati dengan syarat

bilangan bulat, sedemikian sehingga pada saat terjadi kegagalan yang pertama, dari unit yang survive secara acak dikeluarkan dari pengamatan, sedangkan pada pengamatan kegagalan yang kedua,

unit penelitian yang survive secara acak

dikeluarkan lagi. Penelitian ini berhenti pada saat

kegagalan diamati dan ini

unit yang survive semua dikeluarkan.

berarti

Skema penyensoran progressive tipe II adalah dan

) dengan

. Dengan keterangan :

: jumlah sampel pengamatan. : banyaknya kegagalan yang diamati. : banyaknya unit sampel yang masih survive yang dipindahkan dari pengamatan (tidak diamati lagi) pada saat terjadinya kegagalan yang ke – . Hal ini dapat digambarkan sebagai berikut :

Skripsi



Dipindahkan (tidak diamati)


10


… Pengamatan dimulai

n-1-

n-1- -

Pengamatan berakhir

n-m-1-

Pada penyensoran progressive tipe II, secara umum bentuk fungsi likelihood yang didasarkan pada cara pengamatan terhadap sampel dapat dirumuskan sebagai berikut:

dengan dan

. Pada skema penyensoran progressive tipe II, terdapat beberapa

keadaan khusus yaitu jika

sedemikian sehingga

, maka akan diperoleh teknik penyensoran sampel secara tersensor tipe II, namun jika skema penyensorannya adalah

, maka

diperoleh sampel lengkap.

2.7

Nilai Ekspektasi Menurut Bain dan Engelhardt (1992), nilai ekspektasi dari

peubah acak

kontinu adalah :

Skripsi



Misalkan untuk

adalah fungsi acak

11

yang kontinu, maka nilai ekspektasi

adalah :

Menurut Graybill et al. (1963), jika

adalah dua peubah acak dan

merupakan fungsi dengan domain dan kodomain bilangan real. Ekspektasi bersyarat dari

dimana

yang dinotasikan dengan

adalah sebagai berikut: 1. bila

masing-masing diskrit.

bila

masing-masing kontinu.

2.

2.8

Estimasi Menurut Lawlees (1982), inferensi statistik didefinisikan sebagai metode

untuk menarik kesimpulan mengenai populasi. Penarikan kesimpulan dari serangkaian observasi pada umumnya dilakukan berdasarkan data sampel dengan menganggap bahwa karakteristik sampel (statistik sampel) kemungkinan besar mendekati karakteristik populasi (parameter populasi). Dengan kata lain parameter populasi

yang merupakan konstanta yang tidak diketahui,

umumnya diestimasi dengan menggunakan statistik sampel

. Masalah dalam

pengestimasian adalah bahwa fungsi kepadatan probabilitas dari sampel yang

Skripsi



12

diobservasi memuat parameter populasi yang tidak diketahui. Nilai sampel yang diobservasi digunakan sebagai dasar untuk mengestimasi nilai . Estimator yang diinginkan adalah estimator yang dekat dengan

.

Pengestimasian parameter dapat dilakukan secara Klasik maupun Bayes. Dalam metode Klasik, inferensi didasarkan sepenuhnya pada sampel yang diambil secara random dari populasi. Sedangkan pada metode Bayes selain informasi sampel random juga dipergunakan informasi tambahan mengenai nilai parameter yang tidak diketahui.

2.8.1

Maximum Likelihood Estimator Menurut Hogg dan Craig (1995), misalkan

merupakan peubah

acak yang saling bebas dan berdistribusi identik dengan fungsi kepadatan peluang , untuk

. Fungsi kepadatan peluang bersama antara

adalah

Jika fungsi kepadatan peluang bersama tersebut dinyatakan sebagai fungsi terhadap

maka dinamakan fungsi likelihood yang dinotasikan

atau ditulis

sebagai berikut

dengan

. dinamakan Maximum Likelihood Estimator (MLE)

Statistik dari

bila statistik

memaksimumkan

,

.

Skripsi



13

2.8.2 Algoritma EM Menurut Kus dan Kaya (2006), algoritma EM merupakan metode yang sangat tepat digunakan dalam menangani masalah mengenai data yang hilang atau data tersensor. Misalkan

adalah vektor acak data lengkap. Pada data lengkap memuat

data

yang

teramati

yang merupakan suatu vektor yang memuat nilai waktu hidup saat terjadinya kegagalan dari pengamatan terhadap

sampel dengan

kegagalan yang diamati, dan data yang tidak teramati yang merupakan suatu vektor dengan komponen data yang survive atau dianggap sebagai data tersensor, dimana

adalah vektor

dengan

Vektor

untuk

merupakan skema penyensoran progressive tipe II. Fungsi log likelihood untuk data lengkap dinotasikan

.

Algoritma EM terdiri dari dua tahap yaitu tahap E (Ekspektasi) dan tahap M (Maksimasi). Pada tahap Ekspektasi dilakukan perhitungan ekspektasi bersyarat . Tahap Maksimasi dilakukan untuk mendapatkan dengan cara memaksimumkan ekspektasi log likelihood yang sudah dihitung

pada

tahap

bersyarat

E

atau

memaksimumkan

. Parameter

ekspektasi

berikutnya diperoleh

secara iteratif mengulangi tahap E dan M sampai proses konvergen, dengan menyatakan suatu iterasi.

Skripsi



2.9

14

Least Squares Estimation Menurut Lawless (1982), estimasi Least Squares digunakan lebih umum

untuk

memperoleh

estimasi

parameter

dalam

kasus

tertentu.

Dengan

mempertimbangkan model memuat parameter yang tidak diketahui dapat berhubungan linier terhadap beberapa transformasi dari fungsi survival. Agar lebih spesifik, dimisalkan sebagai

adalah telah diketahui dan merupakan bentuk dari himpunan independen linear dari fungsi dan

adalah parameter yang tidak diketahui.

Berdasarkan model dari persamaan (2.11) bentuk dari Least Squares dapat digunakan untuk mengestimasi

. Misalkan

adalah waktu

tahan hidup yang teramati pada sampel tersensor. Anggap yang sesuai untuk

dan anggap

[

sebagai estimasi

]. Maka

dapat

diestimasi dengan cara meminimumkan

dengan syarat

. Langkah-langkah ini bersifat sederhana tetapi sering kali

berguna sebagai cara yang mudah untuk memperoleh estimasi . Sebagai contoh, digunakan sebagai estimasi awal dalam prosedur untuk mendapatkan MLE.

Skripsi



15

2.10 Estimasi Kaplan Meier Menurut Lawless (1982), misalkan terdapat dan

pengamatan pada individu

menyatakan waktu kematian yang berbeda dengan

Akan ada kemungkinan terjadinya lebih dari satu menunjukkan banyaknya kematian saat

kematian di

.

, dan

. Selain itu, pada waktu tahan hidup

akan ada waktu yang tersensor tahan hidupnya tidak teramati. Estimasi dari

untuk individu yang waktu

didefinisikan sebagai :

menyatakan jumlah individu yang beresiko saat

, yaitu jumlah individu yang

hidup dan tidak tersensor sesaat sebelum .

2.11 Newton-Raphson Menurut Faires dan Burden, misalkan nilai akar

dari persamaan

dan

adalah nilai awal yang mendekati berada dalam interval yang berisi

semua nilai yang mendekati . Gradien dari garis singgung pada grafik (

) adalah

, sehingga persamaan garis singgungnya adalah

Karena garis ini melewati sumbu maka nilai yang mendekati

Skripsi

di titik

ketika nilai

dari titik pada garis tersebut nol,

berikutnya adalah



16

2.12 MINITAB 14 Irawan dan Astuti (2006), menjelaskan bahwa Minitab 14 merupakan salah satu program aplikasi statistika yang banyak digunakan untuk mempermudah pengolahan data statistik. Keunggulan Minitab adalah dapat digunakan dalam pengolahan data statistika untuk tujuan sosial maupun teknik. Minitab juga memungkinkan sebagai fasilitas dalam analisis time series dan peramalannya.

2.13 Mathematica Ardana (2003) , menjelaskan bahwa Mathematica merupakan suatu sistem aljabar komputer (CAS, Computer Algebra System) yang mengintegrasikan kemampuan komputasi (simbolik, numerik), visualisasi (grafik), bahasa pemograman, dan pengolahan kata (word processing) ke dalam suatu lingkungan yang sudah digunakan. Pertama kali diperkenalkan pada tahun 1988, Mathematica kini tersedia pada lebih dari 20 platform komputer. Mathematica merupakan salah satu alat pilihan dalam pendidikan, penelitian bisnis, dan sebagainya. Khususnya untuk melakukan komputasi matematik, baik simbolik maupun numerik, pengembangan algoritma dan aplikasi, pemodelan dan simulasi, eksplorasi, analisis, dan visualisasi data. Sistem Mathematica terdiri dari dua bagian utama, yaitu front end dan kernel. Front end berupa interface dengan lingkungan kerjanya yang disebut notebook. User memasukkan perintah – perintah atau melakukan pengolahan kata (word processing) pada notebook, sedangkan komputasi matematik dilakukan pada bagian kernel.

Skripsi



BAB III METODE PENELITIAN

Metode penelitian yang digunakan dalam penulisan skripsi ini adalah sebagai berikut : 1. Menentukan estimasi parameter distribusi Loglogistik pada data tersensor Progressive Tipe II menggunakan metode Algoritma EM dengan langkahlangkah sebagai berikut : a. Mengasumsikan sampel waktu daya tahan hidup

berasal dari

distribusi Loglogistik. b. Mentransformasikan distribusi Loglogistik dengan agar diperoleh distribusi Logistik. c. Menentukan fkp dari distribusi Logistik.

d. Menentukan fungsi likelihood pada data lengkap dari fkp distribusi Logistik yaitu :

e. Mengubah fungsi likelihood menjadi bentuk logaritma natural, yaitu

f. Mempartisi ln likelihood data lengkap menjadi data yang teramati dan data yang tidak teramati. 17 Skripsi



18

g. Menentukan nilai maksimum dari fungsi ln likelihood dengan cara mendiferensialkan secara parsial terhadap parameter distribusi Loglogistik yaitu

h. Tahap Ekspektasi Menghitung ekspekasi bersyarat dari ln likelihood pada fungsi yaitu fungsi data yang tidak teramati atau tersensor progressive tipe II. i. Tahap Maksimasi 1) Mendapatkan fungsi ekspektasi bersyarat dari ln-likelihood dengan cara mensubstitusikan hasil ekspektasi bersyarat dari fungsi

ke

ekspektasi awal. 2) Mendapatkan estimator

dan

dengan cara iterasi menggunakan

metode Newton-Raphson. j. Mendapatkan

estimator

distribusi

Loglogistik

dengan

. 2. Membuat algoritma dan program untuk estimasi parameter dari distribusi Loglogistik pada data tersensor progressive tipe II dengan langkah-langkah sebagai berikut: a. Menginputkan data lengkap sampel tersensor progressive tipe II dengan struktur yang dinotasikan fungsi

, dimana

sebagai

inputan data yang teramati.

Skripsi



b. Menginputkan nilai estimator awal

19

dan

untuk

Nilai estimasi awal didapatkan dari Metode Least Squares. 1) Mendapatkan fungsi survival distribusi Logistik

dari

persamaan (2.1) 2) Mencari 3) Mendapatkan 4) Menggunakan Jumlah Kuadrat Galat (JKG) sehingga diperoleh dan

5) Nilai

diperoleh dari perhitungan dengan menggunakan

metode Kaplan-Meier. c. Tahap Ekspektasi Menghitung ekspektasi dan

dimana

dengan menggunakan estimator awal

menyatakan iterasi.

d. Tahap Maksimasi Mencari dan menghitung estimator

dan

dengan iterasi

Newton-Raphson dari persamaan yang didapatkan dari langkah c. e. Jika

dan

maka iterasi

dihentikan dan lanjut ke langkah f, tapi jika nilai tersebut tidak terpenuhi maka kembali ke langkah c dengan mengganti f. Mendapatkan

Skripsi

dan

.

sebagai estimator parameter distribusi Logistik.



g. Mendapatkan h. Tampilkan

20

. dan

sebagai estimator dari parameter distribusi

Loglogistik pada data tersensor progressive tipe II. 3. Penerapan estimasi parameter distribusi Loglogistik pada data dengan langkah-langkah sebagai berikut : a. Menguji data ilustrasi yang digunakan berdistribusi Loglogistik. b. Mengestimasi parameter menggunakan program komputer (dengan bantuan software Mathematica) berdasarkan algoritma tersebut. c. Menghitung estimasi fungsi survival.

Skripsi



BAB IV HASIL DAN PEMBAHASAN

Dalam bab ini akan diuraikan hasil dan pembahasan estimasi parameter distribusi Loglogistik pada data tersensor

progressive tipe II dengan

menggunakan algoritma EM. 4.1

Estimasi Parameter Distribusi Loglogistik Pada Data Tersensor Progressive Tipe II Dengan Menggunakan Algoritma EM. Algoritma EM adalah metode optimisasi iteratif untuk estimasi Maksimum

Likelihood yang berguna dalam permasalahan data yang tidak lengkap. Dalam algoritma EM ini terdapat 2 tahap, yaitu tahap Ekspektasi (tahap E) dan tahap Maksimasi (tahap M). Adapun langkah-langkah untuk mendapatkan nilai estimator adalah sebagai berikut:

4.1.1

Mengasumsikan sampel waktu tahan hidup

berasal dari distribusi

Loglogistik Misalkan

adalah waktu tahan hidup dari sampel berukuran

yang identik dan independen dari distribusi Loglogistik dengan parameter , sehingga

dan

dapat ditulis sebagai berikut:

21 Skripsi



22

4.1.2 Fkp dari Distribusi Loglogistik Bentuk fkp dari distribusi Loglogistik adalah:

4.1.3

Transformasi Distribusi Loglogistik Untuk mempermudah proses estimasi, maka pada langkah ini distribusi

Loglogistik akan ditransformasikan menjadi distribusi Logistik dengan dan

.

merupakan Jacobian dari

. Berdasarkan

(4.1) maka diperoleh transformasi sebagai berikut:

Skripsi



23

maka diperoleh bentuk fkp dari distribusi Logistik yaitu:

4.1.4

Fungsi Likelihood Data Lengkap dari Fkp Distribusi Logistik Misalkan

adalah waktu tahan hidup dari sampel berukuran

yang identik dan independen dari distribusi Loglogistik dengan parameter , maka

dan

merupakan log natural dari waktu tahan hidup yang identik

dan independen berdistribusi Logistik dengan parameter

dan

. Berdasarkan

(2.10) dan fkp distribusi Logistik (4.2) maka fungsi likelihood dari distribusi Logistik adalah

Dari fungsi likelihood (4.3), maka fungsi ln likelihoodnya adalah sebagai berikut:

Skripsi



24

Pada langkah ini komponen fungsi ln likelihood pada data lengkap dan

dipartisi menjadi data yang teramati yaitu tidak teramati yaitu

Untuk mengestimasi parameter

.

dan

dengan Maksimum Likelihood,

maka fungsi ln likelihood didiferensialkan secara parsial terhadap parameter

dan

. Hasilnya dapat diuraikan sebagai berikut:

Skripsi



Langkah berikutnya untuk mendapatkan estimator

25

dan

adalah dengan

membuat kedua fungsi diferensial tersebut sama dengan nol. Hasilnya adalah sebagai berikut:

Skripsi



4.1.5

26

Tahap Ekspektasi Tahap Ekspektasi bertujuan untuk menemukan ekspektasi bersyarat dari

data tidak teramati ( teramati (

Skripsi

) dengan syarat data yang diketahui nilainya atau data

) pada persamaan (4.5) dan (4.6). Sebelum mencari ekspektasi



27

bersyarat dari persamaan (4.5) dan (4.6), maka terlebih dahulu mencari distribusi bersyarat dari

dengan syarat

diketahui. Distribusi bersyarat

dapat diperoleh dengan cara sebagai berikut:

Untuk mendapatkan ekspektasi bersyarat dari persamaan (4.5) dan (4.6) maka dapat digunakan distribusi bersyarat dari

untuk

diketahui

yang didapatkan dari persamaan (4.7). Langkah-langkah untuk memperoleh ekspektasi bersyarat sebagai berikut:

Skripsi



28

Lemma 4.1

Skripsi



Skripsi

29



30

(1) Ekspektasi bersyarat yang pertama

Misal:

maka:

Skripsi



Skripsi

31



32

Berdasarkan lemma 4.1 maka hasilnya sebagai berikut:

Skripsi



33

(2) Ekspektasi bersyarat yang kedua

Misal:

Skripsi



34

maka

Skripsi



Skripsi

35



36

Lemma 4.2

Skripsi



37

(3) Ekspektasi bersyarat yang ketiga

Skripsi



38

Misal:

maka:

Skripsi



Skripsi

39



Skripsi

40



41

Berdasarkan lemma 4.2 maka hasilnya sebagai berikut:

Setelah mendapatkan ekspektasi bersyarat dari data yang tidak teramati (

Skripsi

) maka langkah selanjutnya yaitu mensubstitusi nilai ekspektasi bersyarat



42

yang diperoleh yaitu persamaan (4.8), (4.9), (4.10) ke dalam fungsi ln likelihood yaitu persamaan (4.5) dan (4.6). Jadi didapatkan persamaan sebagai berikut:

dan

4.1.6

Tahap Maksimasi Tahap Maksimasi yaitu menghitung nilai estimasi dari parameter dengan

memaksimalkan nilai ekspektasi dari fungsi ln likelihood yang didapatkan pada tahap ekspektasi. Pada tahap ini akan dilakukan iterasi dengan nilai awal hingga berulang kali sampai didapatkan nilai parameter yang

Skripsi



43

didapatkan dari Metode Least Squares. Nilai

konvergen. Nilai awal

diperoleh berdasarkan persamaan berikut:

Sedangkan

diperoleh berdasarkan persamaan berikut:

Nilai estimator

dan

tidak dapat diperoleh secara langsung. Untuk

mempermudah memperoleh nilai estimator

dan

maka dibuatlah program

dengan bantuan software Mathematica. Setelah mendapatkan nilai estimator

dan

selanjutnya diubah menjadi estimator dari distribusi Loglogistik yaitu dengan

Skripsi

.



44

4.1.7 Nilai Awal Estimasi Nilai awal estimasi yang diperlukan untuk mencari nilai estimator

dan

diperoleh dari Metode Least Squares. Langkah pertama yang diperlukan adalah mendapatkan fungsi survival dari distribusi Logistik

dari persamaan (2.1).

Setelah mendapatkan fungsi survival maka nilai awal estimasi dapat diperoleh dengan langkah-langkah sebagai berikut:

Skripsi



45

maka

Misal maka didapatkan persamaan:

Selanjutnya dengan menggunakan Jumlah Kuadrat Galat (JKG) diperoleh:

Skripsi



Untuk mendapatkan nilai

dan

pada persamaan

46

dan

diperlukan langkah-langkah sebagai berikut:

Selanjutnya, persamaan (4.18) dikurangi dengan persamaan (4.19) sehingga diperoleh hasil sebagai berikut:

Berdasarkan model (4.15) jika dicari ekspektasi (rata2) dari kedua ruas maka diperoleh

Skripsi



Sehingga didapatkan nilai

47

yaitu

maka:

Nilai estimasi awal yang diperlukan untuk proses iteratif dalam mencari nilai estimator

Nilai

dan

yang dinotasikan

dan

adalah

diperoleh dari perhitungan dengan menggunakan metode Kaplan-

Meier.

4.2 Algoritma Program Untuk memperoleh nilai estimator dari distribusi Loglogistik, maka digunakan algoritma yang dibuat berdasarkan pembahasan teori-teori yang sudah

Skripsi



48

diperoleh sebelumnya. Berikut ini adalah algoritma yang digunakan untuk membuat program dalam Mathematica : 1. Menginputkan data sebanyak

yang dinotasikan dengan

dan skema

penyensoran . 2. Menghitung nilai estimator awal distribusi Logistik berdasarkan OLS menggunakan rumus pada persamaan (4.20) dan (4.21) sehingga diperoleh dan

untuk

.

3. Mendefinisikan fungsi


4. Mendefinisikan fungsi


5. Mendapatkan estimator

dengan cara menyelesaikan persamaan menggunakan Newton-Raphson.

6. Mendapatkan estimator

dengan cara menyelesaikan persamaan menggunakan Newton-Raphson.

7. Jika

dan

maka iterasi dihentikan

dan lanjut ke langkah 8, tapi jika nilai tersebut tidak terpenuhi maka kembali ke langkah 5 dengan mengganti

.

8. Menampilkan nilai estimator distribusi Logistik yaitu 9. Mengubah

nilai

Loglogistik dengan

estimator

distribusi

Logistik

dan . menjadi

distribusi

.

10. Menampilkan nilai estimator distribusi Loglogistik.

Skripsi



4.3

49

Penerapan Pada Data Tersensor Progressive Tipe II Berdasarkan tujuan penyusunan skripsi ini, telah disusun program

menggunakan software Mathematica. Berikut ini akan dibahas mengenai penerapan program pada data ilustrasi tersensor progressive Tipe II dengan software Mathematica. Misalkan

berupa waktu yang diperlukan untuk menguraikan isolator zat

cair yang dilakukan pada voltase sebesar 34 KV (Kus dan Kaya, 2006). Data berasal dari pengamatan yang dilakukan terhadap

sampel. Pengamatan

terhadap sampel dimulai dari start point yaitu ketika zat cair dialiri listrik sebesar 34 KV. Sehingga zat cair dapat menghantarkan listrik ke zat lain. Pengamatan berhenti pada waktu end point yaitu zat cair tidak dapat menghantarkan listrik lagi. Hal ini disebabkan partikel-partikel yang dapat menghantar listrik pada zat cair tersebut telah habis (berubah bentuk). Jadi data yang diperolehkan dari hasil pengamatan berupa ketahanan zat cair dalam menghantarkan listrik ke zat lain. Karena pada pengamatan semua benda diuji sampai terjadinya kegagalan maka pengamatan tersebut disebut sampel lengkap. Data selengkapnya dapat dilihat pada Lampiran 1. Selanjutnya data tersebut diuji dengan menggunakan Probability Plot of data pada software Minitab. Hal ini bertujuan untuk mengetahui distribusi dari ke19 data tersebut. Hasil dari uji dengan Probability Plot of data yaitu sebagai berikut

Skripsi



50

Data Waktu Terurainya Isolator Zat Cair pada Tegangan 34 KV Loglogistic - 95% CI

99

Loc Scale N AD P-Value

95 90

1,833 0,8522 19 0,275 >0,250

Percent

80 70 60 50 40 30 20 10 5

1

0,01

0,10

1,00

10,00 data

100,00

1000,00

Gambar 4.1 Plot data waktu terurainya isolator zat cair pada tegangan 34 KV Berdasarkan Gambar 4.1, dapat diketahui bahwa nilai p-value dari uji tersebut lebih besar dari 0,250. Oleh karena nilai p-value tersebut lebih besar dari tingkat signifikansi 0,05 maka dapat disimpulkan bahwa data tersebut berdistribusi Loglogistik. Pada data ilustrasi akan diadakan penyensoran data menggunakan sampel tersensor progressive tipe II dengan skema penyensoran berdasarkan Kus dan Kaya (2006). Dari skema penyensoran yang telah digunakan maka dapat dijelaskan bahwa 1.

Pada saat terjadi kegagalan yang pertama

maka sebanyak

dari unit yang survive secara acak dikeluarkan dari pengamatan, begitu juga pada saat kegagalan yang kedua 2.

Pada saat terjadi kegagalan yang ketiga

dengan

.

maka sebanyak

dari unit yang survive secara acak dikeluarkan dari pengamatan. Penelitian ini berlangsung hingga terjadinya kegagalan yang terakhir

Skripsi



yaitu pada kegagalan yang kedelapan

51

maka sebanyak

dari unit yang survive secara acak dikeluarkan dari pengamatan. Sehingga diperoleh data dari penyensoran sebanyak

data. Data

selengkapnya dapat dilihat pada Lampiran 2. Selanjutnya data tersensor progressive tipe II diuji dengan menggunakan Probability Plot of data pada software Minitab. Hal ini bertujuan untuk mengetahui distribusi dari data tersensor progressive tipe II tersebut. Hasil dari uji dengan Probability Plot of data dengan

data yaitu sebagai berikut

Data Waktu Terurainya Isolator Zat Cair pada Tegangan 34 KV Loglogistic - 95% CI

99


95 90

0,6698 0,6969 8 0,278 >0,250

Percent

80 70 60 50 40 30 20 10 5

1

0,01

0,10

1,00 10,00 Data Tersensor

100,00

1000,00

Gambar 4.2 Plot data waktu terurainya isolator zat cair pada tegangan 34 KV tersensor progressive tipe II Berdasarkan Gambar 4.2, dapat diketahui bahwa nilai p-value dari uji tersebut lebih besar dari 0,250. Oleh karena nilai p-value tersebut lebih besar dari tingkat signifikansi 0,05 maka dapat disimpulkan bahwa data tersebut berdistribusi Loglogistik. Untuk estimasi, dalam skripsi ini dilakukan transformasi

.

Berdasarkan teori Y berdistribusi Logistik, sehingga analisis estimasi dilakukan

Skripsi



berdasarkan data yang berdistribusi Logistik. Misalkan

52

berupa log natural

waktu yang diperlukan untuk menguraikan isolator zat cair yang dilakukan pada voltase sebesar 34 KV (Kus dan Kaya, 2006). Data selengkapnya dapat dilihat pada Lampiran 2. Berikut ini akan diuraikan langkah-langkah untuk penerapan estimasi parameter distribusi Loglogistik. Langkah pertama yaitu melakukan pengujian terhadap data tersebut dengan menggunakan Probability Plot of data pada software Minitab. Hal ini bertujuan untuk mengetahui distribusi dari data log natural waktu terurainya isolator zat cair pada tegangan 34 KV, sehingga dapat dilakukan analisa lebih lanjut sesuai dengan distribusi probabilitasnya dengan mengambil hipotesis sebagai berikut: H0 : Data log natural waktu terurainya isolator zat cair pada tegangan 34 KV berdistribusi Logistik. H1 : Data log natural waktu terurainya isolator zat cair pada tegangan 34 KV tidak berdistribusi Logistik. Data Waktu Terurainya Isolator Zat Cair pada tegangan 34kV Logistic - 95% CI

99


95 90

0.6698 0.6969 8 0.278 >0.250

Percent

80 70 60 50 40 30 20 10 5

1

-5.0

-2.5

0.0 data

2.5

5.0

Gambar 4.3 Plot data log natural waktu terurainya isolator zat cair pada tegangan 34 KV tersensor progressive tipe II

Skripsi



53

Pada Gambar 4.3, dapat diketahui bahwa nilai p-value dari uji tersebut lebih besar dari 0,250. Oleh karena nilai p-value tersebut lebih besar dari tingkat signifikansi 0,05 maka keputusannya adalah terima H0 atau dapat disimpulkan bahwa data log natural waktu terurainya isolator zat cair pada tegangan 34 KV berdistribusi Logistik. Langkah selanjutnya mencari estimator distribusi Logistik yaitu Setelah

itu

mendapatkan

estimator

distribusi

Loglogistik

dan

.

dengan

. Berdasarkan hasil pada Lampiran 2 diperoleh hasil estimator parameter distribusi Logistik sebesar

dan

.

Sedangkan estimator parameter distribusi Loglogistik diperoleh hasil sebesar dan

.

Setelah diperoleh nilai estimator dari disribusi Loglogistik maka salah satu kegunaan aplikasinya adalah dapat menentukan estimasi dari fungsi survival distribusi Loglogistik dengan rumus sebagai berikut:

Skripsi



54

maka diperoleh estimasi fungsi survival yaitu

Sebagai contoh, misalkan diberikan survival sebesar

maka diperoleh estimator dari fungsi

. Angka tersebut menyatakan bahwa probabilitas

mengurainya isolator zat cair yang dilakukan pada voltase sebesar 34 KV lebih dari 5 satuan waktu adalah sebesar 57,3%. Grafik dan tabel dari estimasi fungsi survival

sebagai berikut

1 0.8

0.6

0.4

0.2

t 20

40

60

80

100

Gambar 4.4 Grafik estimasi fungsi survival

Skripsi



55

No. 1

0,19

0,981

2

0,78

0,913

3

0,96

0,893

4

1,31

0,856

5

2,78

0,720

6

4,85

0,581

7

6,50

0,501

8

7,35

0,467

Gambar 4.5 Tabel estimasi fungsi survival

Skripsi



BAB V KESIMPULAN DAN SARAN

5.1

Kesimpulan Berdasarkan hasil dan pembahasan, maka dapat diambil kesimpulan sebagai

berikut : 1.

Estimator parameter distribusi Loglogistik pada data tersensor progressive tipe II dengan menggunakan algoritma EM dilakukan melalui iterasi terhadap dua tahap berikut : a. Tahap Ekspektasi (1)

(2)

(3)

56 Skripsi



57

b. Tahap Maksimasi yaitu memaksimalkan nilai ekspektasi dari fungsi ln likelihood yang didapatkan pada tahap ekspektasi. Pada tahap ini akan dilakukan iterasi Newton-Raphson untuk menyelesaikan persamaanpersamaan berikut:

dan

Skripsi



2.

58

Program yang dibuat dalam software Matematica menggunakan metode Newton-Raphson. Dalam program terdapat tiga kali iterasi Newton-Raphson untuk mendapatkan nilai estimator.

3.

Pada penerapan data log natural waktu terurainya isolator zat cair pada tegangan 34kV (Kus dan Kaya, 2006) diperoleh hasil estimasi parameter skala

dan parameter bentuk

distribusi Loglogistik pada data tersensor

progressive tipe II masing-masing sebesar 6,526 dan 1,108.

5.2

Saran Pembahasan untuk menentukan estimasi parameter distribusi Loglogistik

pada data tersensor progressive tipe II dengan menggunakan Algoritma EM dapat dikembangkan lebih lanjut dengan menggunakan jenis distribusi yang lain, seperti distribusi Weibull, distribusi Pareto dan lain sebagainya.

Skripsi



DAFTAR PUSTAKA

1. Ardana, K. N. K., 2003, Panduan Penggunaan Mathematica, Edisi Pertama, Matematika, IPB, Bogor. 2. Bain,L.J. and Engelhardt, M., 1992, Introduction to Probability and Mathematical Statistics, Second Edition, Duxbury Press, Belmont-California. 3. Collet, D., 1994, Modelling Survival Data in Medical Research, First Edition, Chapmann dan Hall, University of Reading, UK. 4. Faires, J. D., and Burden, R., 2003, Numerical Methods, Third Edition, Thomson Learning Academic Resource Center, USA. 5. Graybill, F. A., Mood, A. M., and Boes, D. C., 1963, Introduction to The Theory of Statistics, Third Edition, McGraw-Hill, Inc, Japan. 6. Hogg, R. V. and Craig, A. T., 1995, Introduction to Mathematical Statistics, Fifth Edition, Prentice Hall, Inc, New Jersey. 7. Irawan, N. dan Astuti, S. P., 2006, Mengolah Data Statistik dengan Mudah Menggunakan MINITAB 14, Penerbit Andi, Yogyakarta. 8. Kus, C. and Kaya, M. F., 2006, Estimation of Parameters of The Loglogistic Distribution Based on Progressive Censoring Using The EM Algorithm, Vol. 35, No. 2, Hacettep Journal of Mathematics and Statistics, P.203-211. 9. Lawless, J.F., 1982, Statistical Models and Methodes for Life Time Data, John Wiley & Sons, New York. 10. Walpole, R.E. dan Myers, R.H., 1995, Ilmu Peluang dan Statistika untuk Insinyur dan Ilmuwan, Edisi Keempat, ITB, Bandung. 11. Wu, S. J., 2002, Estimation of The Parameters of The Weibull Distribution With Progressively Cencored Data, Vol. 32, No. 2, Jurnal Japan Statistics, P.155-163.

59 Skripsi



Lampiran 1 : Data Sampel Lengkap Waktu Terurainya Isolator Zat Cair Pada Tegangan 34 KV

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19

0,19 0,78 0,96 1,31 2,78 3,16 4,15 4,67 4,85 6,50 7,35 8,01 8,27 12,06 31,75 32,52 33,91 36,71 72,89

Sumber : Kus, C. and Kaya, M. F., 2006, Estimation of Parameters of The Loglogistic Distribution Based on Progressive Censoring Using The EM Algorithm, Vol. 35, No. 2, Hacettep Journal of Mathematics and Statistics, P.203-211. Keterangan: : Waktu terurainya isolator zat cair pada tegangan 34 KV ke - i.

Skripsi



Lampiran 2 : Data Sampel Tersensor Progressive Tipe II Waktu Terurainya Isolator Zat Cair Pada Tegangan 34 KV

j 1

0

0,19

-1,6608

2

0

0,78

-0,2485

3

3

0,96

-0,0409

4

0

1,31

0,2700

5

3

2,78

1,0224

6

0

4,85

1,5789

7

0

6,50

1,8718

8

5

7,35

1,9947

Sumber : Kus, C. and Kaya, M. F., 2006, Estimation of Parameters of The Loglogistic Distribution Based on Progressive Censoring Using The EM Algorithm, Vol. 35, No. 2, Hacettep Journal of Mathematics and Statistics, P.203-211. Keterangan: : Waktu terurainya isolator zat cair pada tegangan 34 KV ke-j pada kegagalan yang diamati dari

buah sampel.

: Log natural dari waktu terurainya isolator zat cair pada tegangan 34kV ke-j pada

kegagalan yang diamati dari

buah sampel.

: Skema penyensoran atau banyaknya sampel yang dikeluarkan secara acak dari pengamatan ketika terjadinya kegagalan ke-j

Skripsi



Lampiran 3 : Program Untuk Menentukan Estimasi Parameter Distribusi Loglogistik Pada Data Tersensor Progressive Tipe II

Input Data

1.

yi={-1.6608,-0.2485,0.0409,0.2700,1.0224,1.5789, 1.8718,1.9947}; m=Length[yi];n=19; R={0,0,3,0,3,0,0,5}; a={19,18,17,16,15,14,13,12}; b={1,1,1,1,1,1,1,1} 2. Program Untuk Mendapatkan Nilai Estimator Awal m

Sur

a

Table 1

Log

Sur

y

Sur Mean y ;

x

Mean yi ;

b

a

i 1

y

i

m

yi

2

j

yi

j

Log

j 1 m

m

lama

Skripsi

j

Log j 1

j 1

x

y

2

m

yi

j

j 1

m

yi

N;

N;

j 1

m

, m, 1, m

i

m

lama

i

1 Sur Sur

j j

1 Sur Sur

j j

;

lama;



3.

Program Untuk Menentukan Estimasi Parameter Distribusi Loglogistik Pada Data Tersensor Progressive Tipe II

f

baru_ :

R

lamat lamat

2

i 1

i baru lamat

1

i 1

1

i

i baru lamat

yi

2

m

yi

m

n

yi i lamat

2

yi i lamat

lamat lamat

m

g

baru_ : n

baru n

baru

yi

i

i 1 m

R

i

i 1 yi

lamat

yi

yi

i baru lamat

1

yi

2

i

baru yi

1

i 1 m

yi

i

1

i baru lamat

baru lamat

i baru lamat

i

yi

m

R

yi

Log 1

i baru baru

i baru baru

i baru lamat

i 1

yi

baru

i yi

1

baru i baru lamat

2 yi

Skripsi

i

lamat Log 1

2 yi

1

yi

yi

i

2

baru

lamat

i baru lamat

i baru lamat



Print "Nilai estimator awal

: ", lama, " dan

: ", lama ;

Print " error1 h

" ; 1; p

0; error2

1; q

0; error3

1; k

0; error4

1;

0;

While error1 lamat error3

0.00000001 && error2

lama; lamat

0.00000001,

baru

lama

error3

Abs

f

lama

f' baru

Print " iterasi error4

error4

Abs

lama

g' baru

lama

", baru

N ;

", baru

N ;

;

lama ; h

h

1;

", h, "

Abs

baru q

lamat ; error2

Abs

baru

lamat ;

1;

Print "Nilai pada iterasi ke Print "

1;

baru; ;

1; q

baru

k

", k, "

g

Print " iterasi

p

lama ; k

0.00000001,

lama

p

;

1;

baru

error1

lama

baru; ;

While error4

lama

lama;

1;

While error3

lama

0.00000001,

N, "

: ", baru

", p, "

: ",

N ;

" ;

lamat

baru;

lamat

baru;

lama

baru;

lama

baru;

Print "

" ;

Print " Nilai Estimator Distribusi Logistik " ; Print " Print "

: ", baru, " dan

: ", baru ; " ;

Print " Nilai Estimator Distribusi Loglogistik " ; 1 Print " : ", baru, " dan : ", ; baru Print "

Skripsi

" ;



4.

Output

Nilai estimator awal : 2.56095 dan : 1.46915 -----------------------------------------------iterasi 1 2.01683 iterasi 2 2.05299 iterasi 3 2.05313 iterasi 4 2.05313 iterasi 1 1.16095 iterasi 2 1.16442 iterasi 3 1.16442 iterasi 4 1.16442 Nilai pada iterasi ke 1 : 2.05313 : 1.16442

Skripsi

iterasi 5 iterasi 6 iterasi 7 iterasi 5 iterasi 6 iterasi 7 Nilai pada iterasi ke

2.04563 2.04564 2.04564 1.03411 1.0346 1.0346 2 : 2.04564

: 1.0346

iterasi 8 iterasi 9 iterasi 10 iterasi 11 iterasi 8 iterasi 9 iterasi 10 Nilai pada iterasi ke

1.88664 1.89047 1.89048 1.89048 0.958499 0.958643 0.958643 3 : 1.89048

: 0.958643


1.92774 1.92796 1.92796 0.932406 0.932418 0.932418 4 : 1.92796

: 0.932418



iterasi 15 iterasi 16 iterasi 17 iterasi 18 iterasi 14 iterasi 15 iterasi 16 Nilai pada iterasi ke

1.86534 1.86596 1.86596 1.86596 0.913558 0.913564 0.913564 5 : 1.86596

: 0.913564


1.89632 1.89647 1.89647 0.909784 0.909784 0.909784 6 : 1.89647

: 0.909784


1.8662 1.86635 1.86635 0.90438 0.904381 0.904381 7 : 1.86635

: 0.904381

iterasi 25 iterasi 26 iterasi 27 iterasi 23 iterasi 24 Nilai pada iterasi ke

1.8856 1.88565 1.88565 0.904633 0.904633 8 : 1.88565

: 0.904633

iterasi iterasi iterasi iterasi iterasi iterasi

Skripsi

28 29 30 25 26 27

1.86955 1.86959 1.86959 0.902688 0.902688 0.902688



Skripsi

Nilai pada iterasi ke

9

: 1.86959

: 0.902688


1.88095 1.88097 1.88097 0.90334 0.90334 10 : 1.88097

: 0.90334


1.87206 1.87208 1.87208 0.902473 0.902473 0.902473 11 : 1.87208

: 0.902473


1.87862 1.87862 1.87862 0.902951 0.902951 12 : 1.87862

: 0.902951


1.87362 1.87362 1.87362 0.90251 0.90251 13 : 1.87362

: 0.90251


1.87735 1.87735 1.87735 0.902804 0.902804 14 : 1.87735

: 0.902804




1.87453 1.87453 1.87453 0.902565 0.902565 15 : 1.87453

: 0.902565


1.87665 1.87665 1.87665 0.902736 0.902736 16 : 1.87665

: 0.902736


1.87505 1.87505 1.87505 0.902603 0.902603 17 : 1.87505

: 0.902603


1.87625 1.87625 1.87625 0.902702 0.902702 18 : 1.87625

: 0.902702


1.87534 1.87534 1.87534 0.902626 0.902626 19 : 1.87534

: 0.902626

iterasi iterasi iterasi

Skripsi

61 62 63

1.87603 1.87603 1.87603



iterasi 49 iterasi 50 Nilai pada iterasi ke

0.902683 0.902683 20 : 1.87603

: 0.902683


1.87551 1.87551 1.87551 0.90264 0.90264 21 : 1.87551

: 0.90264


1.8759 1.8759 1.8759 0.902672 0.902672 22 : 1.8759

: 0.902672


1.87561 1.87561 1.87561 0.902648 0.902648 23 : 1.87561

: 0.902648

iterasi 73 iterasi 74 iterasi 57 iterasi 58 Nilai pada iterasi ke

1.87583 1.87583 0.902666 0.902666 24 : 1.87583

: 0.902666


1.87566 1.87566 0.902652 0.902652 25 : 1.87566

: 0.902652

iterasi

Skripsi

77

1.87579



iterasi 78 iterasi 61 iterasi 62 Nilai pada iterasi ke

1.87579 0.902663 0.902663 26 : 1.87579

: 0.902663


1.87569 1.87569 0.902655 0.902655 27 : 1.87569

: 0.902655


1.87576 1.87576 0.902661 0.902661 28 : 1.87576

: 0.902661


1.87571 1.87571 0.902656 0.902656 29 : 1.87571

: 0.902656


1.87575 1.87575 0.90266 0.90266 30 : 1.87575

: 0.90266


1.87572 1.87572 0.902657 0.902657 31 : 1.87572

: 0.902657

iterasi iterasi iterasi

Skripsi

89 90 73

1.87574 1.87574 0.902659



Skripsi

iterasi 74 Nilai pada iterasi ke

0.902659 32 : 1.87574

: 0.902659


1.87573 1.87573 0.902658 0.902658 33 : 1.87573

: 0.902658


1.87574 1.87574 0.902659 0.902659 34 : 1.87574

: 0.902659


1.87573 1.87573 0.902658 0.902658 35 : 1.87573

: 0.902658


1.87574 1.87574 0.902658 0.902658 36 : 1.87574

: 0.902658


1.87573 1.87573 0.902658 0.902658 37 : 1.87573

: 0.902658


1.87574 1.87574 0.902658 0.902658 38 : 1.87574

: 0.902658




1.87573 1.87573 0.902658 0.902658 39 : 1.87573

: 0.902658


1.87573 1.87573 0.902658 0.902658 40 : 1.87573

: 0.902658


1.87573 1.87573 0.902658 0.902658 41 : 1.87573

: 0.902658


1.87573 1.87573 0.902658 0.902658 42 : 1.87573

: 0.902658


1.87573 1.87573 0.902658 0.902658 43 : 1.87573

: 0.902658


1.87573 1.87573 0.902658 0.902658 44 : 1.87573

: 0.902658

iterasi iterasi

Skripsi

115 116

1.87573 1.87573



Skripsi

iterasi 99 iterasi 100 Nilai pada iterasi ke

0.902658 0.902658 45 : 1.87573

: 0.902658


1.87573 1.87573 0.902658 0.902658 46 : 1.87573

: 0.902658


1.87573 1.87573 0.902658 0.902658 47 : 1.87573

: 0.902658


1.87573 1.87573 0.902658 0.902658 48 : 1.87573

: 0.902658


1.87573 1.87573 0.902658 0.902658 49 : 1.87573

: 0.902658


1.87573 1.87573 0.902658 0.902658 50 : 1.87573

: 0.902658

iterasi 127 iterasi 128 iterasi 111 Nilai pada iterasi ke

1.87573 1.87573 0.902658 51 : 1.87573

: 0.902658



---------------------------------------Nilai Estimator Distribusi Logistik : 1.87573 dan : 0.902658 ---------------------------------------Nilai Estimator Distribusi Loglogistik : 6.52561 dan : 1.10784 -----------------------------------------

Skripsi


ESTIMASI PARAMETER DISTRIBUSI LOGLOGISTIK PADA DATA TERSENSOR PROGRESSIVE TIPE II DENGAN MENGGUNAKAN ALGORITMA EM SKRIPSI

Recommend Documents