ESTIMASI PARAMETER DISTRIBUSI EXPONENTIATED EKSPONENSIAL PADA DATA TERSENSOR TIPE II SKRIPSI

ADLN Perpustakaan Universitas Airlangga

ESTIMASI PARAMETER DISTRIBUSI EXPONENTIATED EKSPONENSIAL PADA DATA TERSENSOR TIPE II

SKRIPSI

AHMAD ZUDA KUMALA SANI

PROGAM STUDI S-1 MATEMATIKA DEPARTEMEN MATEMATIKA FAKULTAS SAINS DAN TEKNOLOGI UNIVERSITAS AIRLANGGA SURABAYA 2012

Skripsi

Estimasi parameter Distribusi Exponentiated Eksponensial pada data tersensor tipe II

Sani, Ahmad Zuda Kumala


ESTIMASI PARAMETER DISTRIBUSI EXPONENTIATED EKSPONENSIAL PADA DATA TERSENSOR TIPE II

SKRIPSI Sebagai Salah Satu Syarat untuk Memperoleh Gelar Sarjana Sains Bidang Matematika di Fakultas Sains dan Teknologi Universitas Airlangga

Oleh : AHMAD ZUDA KUMALA SANI NIM. 080810246

Tanggal Lulus : 13 Juli 2012

Disetujui Oleh :

Skripsi

Pembimbing I

Pembimbing II

Toha Saifudin, S.Si, M.Si NIP. 197501061999031002

Drs. Eko Tjahjono, M.Si. NIP. 19600706 1986011001




LEMBAR PENGESAHAN SKRIPSI

Judul

: ESTIMASI

PARAMETER

DISTRIBUSI

EXPONENTIATED EKSPONENSIAL PADA DATA TERSENSOR TIPE II Penyusun

:

AHMAD ZUDA KUMALA SANI

NIM

:

080810246

Tanggal Ujian

:

13 Juli 2012

Disetujui oleh :

Pembimbing I

Pembimbing II

Toha Saifudin, S.Si, M.Si

Drs. Eko Tjahjono, M.Si

NIP. 197501061999031002

NIP. 196007061986011001

Mengetahui : Ketua Program Studi S1-Matematika Departemen Matematika Fakultas Sains dan Teknologi Universitas Airlangga

Dr. Miswanto, M. Si NIP : 196802041993031002

Skripsi




PEDOMAN PENGGUNAAN SKRIPSI

Skripsi ini tidak dipublikasikan, namun tersedia di perpustakaan dalam lingkungan Universitas Airlangga, diperkenankan untuk dipakai sebagai referensi kepustakaan, tetapi pengutipan harus seijin penyusun dan harus menyebutkan sumbernya sesuai kebiasaan ilmiah.

Dokumen skripsi ini merupakan hak milik Universitas Airlangga

Skripsi




KATA PENGANTAR Syukur Alhamdulillah kehadirat Allah SWT yang telah melimpahkan rahmat-Nya, sehingga penyusun dapat menyelesaikan skripsi yang berjudul Estimasi Parameter Distribusi Exponentiated Eksponensial Pada Data Tersensor Tipe II . Dalam penyusunannya, penyusun memperoleh banyak bantuan dari berbagai pihak, karena itu penyusun mengucapkan terima kasih yang sebesarbesarnya kepada : 1. Kedua orang tua tercinta, M. Imam Sya’roni dan Ningsih, serta kakakku A. Z. Hakam S yang telah memberikan dukungan, kasih sayang, harapan dan kepercayaan yang begitu besar. 2. Toha Saifudin, S.Si, M.Si. dan Drs. Eko Tjahjono, M.Si selaku dosen pembimbing I dan II yang telah memberikan banyak arahan, masukan, perhatian, semangat, rasa sabar yang begitu besar dan pengetahuan yang tidak ternilai harganya. 3. Drs. H.Sediono, M.Si. dan Dr. Miswanto, M.Si. selaku dosen penguji I dan II yang telah banyak memberikan arahan dan masukan. 4. Ahmadin, S.Si, M.Si. selaku dosen wali selama menjadi mahasiswa Fakultas Sains dan Teknologi Universitas Airlangga yang telah banyak memberikan arahan dan saran demi kesuksesan menjadi mahasiswa Matematika. 5. Mas Edi, mas Udin, mas Aziz, mas Koni, Pak Budi yang telah membantu memperlancar keperluan di kampus.

ii Skripsi




6. Ardi Wahyu As’ari. yang telah banyak memberikan semangat dan motivasi. Terima kasih buat kesabaran, perhatian, ketulusan, dan kasih sayangnya. 7. Sahabatku Putu, Meta, Lina, Arifah, Varian, Mbah Uti, Vidong, Nasrul, Zaki, Andika, Syafiq, Harun, Yani yang banyak memberikan support . 8. Teman-teman matematika 2008 atas kekompakan dan rasa kekeluargaan yang begitu hangat. 9. Serta pihak-pihak lain yang tidak dapat disebutkan satu persatu, terima kasih atas segala bantuan dalam penyelesaian skripsi ini. Penyusun menyadari bahwa penulisan skripsi ini masih banyak kekurangan, untuk itu mohon kritik dan saran yang bersifat membangun demi kesempurnaan skripsi ini. Akhir kata, penyusun berharap semoga skripsi ini bermanfaat bagi pembaca.

Surabaya, Juli 2012

Penyusun

iii Skripsi




A Zuda Kumala Sani, 2012. Estimasi parameter Distribusi Exponentiated Eksponensial pada data tersensor tipe II. Skripsi ini dibawah bimbingan Toha Saifudin,S.Si,M.Si dan Drs. Eko Tjahjono, M.Si. Departeman Matematika.Fakultas Sains dan Teknologi, Unversitas Airlangga.

ABSTRAK

Dalam skripsi ini, akan dibahas tentang distribusi Exponentiated Eksponensial yaitu bentuk umum dari distribusi Eksponensial satu parameter dan akan diterapkan pada data tersensor tipe II yaitu salah satu dari metode penyensoran berdasarkan kegagalan. Penulisan skripsi ini bertujuan untuk menentukan penduga yang lebih baik untuk parameter distribusi Exponentiated Eksponensial pada data tersensor tipe II. Proses estimasi ini menggunakan metode Maximum Likelihood dan Ordinary Least Square (OLS) untuk memperoleh penduga titiknya. Distribusi Exponentiated Eksponensial pada data tersensor tipe II memiliki bentuk fungsi Distribusi sebagai berikut : Dengan adalah parameter bentuk, adalah parameter skala dan merupakan data tersensor tipe II yaitu data sampai r kegagalan. Estimasi parameter distribusi Exponentiated Eksponensial pada data tersensor tipe II dengan metode Maximum Likelihood dan OLS tidak dapat diselesaikan secara analitis karena penduga yang didapatkan masih dalam bentuk implisit. Sehingga diperlukan suatu metode numerik untuk menyelesaikannya, salah satunya yang digunakan dalam skripsi ini yaitu metode Newton-Raphson. Penentuan penduga yang lebih baik dalam data ini menggunakan kriteria MSE dengan nilai yang paling kecil. Setelah dilakukan percobaan pada 16 data bangkitan dan pada data pasien Leukimia diperoleh bahwa metode Ordinary Least Square (OLS) yang lebih baik. Pada data bangkitan, nilai rata-rata MSE untuk metode Ordinary Least Square (OLS) = 0.003513 dan nilai rata-rata MSE untuk metode Maximum Likelihood = .041272. Prosentase urutan nilai MSE terkecil untuk metode Ordinary Least Square (OLS) sebesar 87,5 % sedangkan untuk metode Maximum Likelihood sebesar 12,5 %. Kemudian pada data pasien Leukimia didapatkan nilai MSE untuk metode Ordinary Least Square (OLS) = 0.09842778 dan nilai MSE untuk metode Maximum Likelihood = 0.3210319.

Kata kunci : Distribusi Exponentiated Eksponensial, data uji hidup tersensor tipe II, metode Ordinary Least square, Metode Maximum Likelihood, Metode Newton-Raphson, Mean Square Error (MSE).

iv Skripsi




A Zuda Kumala Sani, 2012. Parameter Estimation Exponentiated Exponential Distribution on Censored Data Type II.. This final project was supervised by Toha Saifudiin, S, Si, M. Si and Drs. Eko Tjahjono, M.Si., Department of Mathematics, Faculty of Science and Technology, University of Airlangga, Surabaya.

ABSTRACT

In this undergraduate theses, we discuss about Exponentiated Exponential distribution which is the general form of an exponential distribution with one parameter and we will apply to censored data type II which is one of the censoring methods based on the failure. The writing undergraduate theses purposes to determine the better estimation method for parameter of exponentiated exponential distribution on censored data type II. The estimation process uses Maximum Likelihood method and Ordinary Least Square (OLS) to obtain the point estimator. Exponentiated exponential distribution on censored data type II has the form of distribution function is given: where is the shape parameter, λ is the scale parameter, and t is data censored type II with r failures data. Parameter estimation of exponentiated exponential distribution on censored data type II with MLE and OLS cannot be solve analytically because the estimator is still implicit form. Therefore we need a numeric method to solve and this final project uses Newton-Raphson method to find numeric solution. To determine is better estimation methods on data uses MSE criteria with the smallest value. After doing test with16 generate data and leukemia patient, we can know that method Ordinary Least Square (OLS) is better. On generate data, the average value of ordinary least square (OLS) =0.003153 and the average value of maximum likelihood estimator (MLE) = 0.041272. Percentage of MSE rank values for the method of Ordinary Least Square (OLS) was 87.5% while for the MLE method by 12.5%. Then on leukemia patient data the value MSE of ordinary least square (OLS) =0.09842778 and the value of maximum likelihood estimator (MLE) = 0.3210319. Keyword: Exponetiated exponential distribution, lifetime data for censored type II, Ordinary Least Square (OLS), Maximum Likelihood Estimator (MLE), Newton-Raphson, Mean square error

v Skripsi




DAFTAR ISI

Halaman KATA PENGANTAR ............................................................................................ ii ABSTRAK ............................................................................................................. iv ABSTRACT ............................................................................................................ v DAFTAR ISI .......................................................................................................... vi DAFTAR TABEL ................................................................................................ viii DAFTAR LAMPIRAN .......................................................................................... ix BAB I

PENDAHULUAN ....................................................................................1 1.1 Latar Belakang .................................................................................1 1.2 Rumusan Masalah ............................................................................3 1.3 Tujuan ..............................................................................................4 1.4 Manfaat ............................................................................................4 1.5 Batasan Masalah...............................................................................4

BAB II TINJAUAN PUSTAKA ...........................................................................6 2.1 Distribusi Exponentiated Eksponensial............................................6 2.2 Estimasi Titik ...................................................................................6 2.3 Metode Maximum Likelihood ..........................................................7 2.4 Metode Ordinary Least Square........................................................7 2.5 Analisis Data Uji Hidup ...................................................................8 2.6 Fungsi Survival ............................................................................... 8 2.7 Tipe Penyensoran .............................................................................9 2.8 Mean Square Error ........................................................................10 2.9 Metode Newton Raphson ..................................................................... 12 2.10 Uji Goodness of Fit Kolmogorov – Smirnov .................................13 2.11 Estimasi Kaplan-Meier...................................................................14 2.12 Keluarga Eksponensial dari Probability Density Function............15 2.13 S-Plus 2000 ............................................................................................. 16 BAB III METODE PENULISAN .........................................................................18 BAB IV HASIL DAN PEMBAHASAN ...............................................................22 4.1 PDF (Probability Density Function) dan CDF (Cumulative Density Function) Distribusi Exponentiated Eksponensial............22

vi Skripsi




4.2

Estimasi Parameter Distribusi Exponentiated Eksponensial pada data tersensor tipe II dengan metode Maximum Likelihood.......................................................................................24 4.3 Estimasi Parameter Distribusi Exponentiated Eksponensial pada Data Tersensor Tipe II dengan Ordinary Least Square (OLS)..................................................................................29 4.4 Membangkitkan Data Distribusi Exponentiated Eksponensial ..................................................................................32 4.5 Menentukan nilai awal Penduga Distribusi Exponentiated Eksponensial ..................................................................................33 4.6 Algoritma Progam ..........................................................................33 4.6.1 Algoritma untuk membangkitkan r data dari n data berdistribusi Exponentiated Eksponensial ...........................33 4.6.2 Algoritma untuk menentukan penduga dengan metode Maximum Likelihood ...........................................................34 4.6.3 Algoritma untuk menentukan penduga dengan metode Ordinary Least Square .......................................................35 4.6.4 Algoritma untuk menentukan nilai Mean Square Error (MSE) ........................................................................36 4.6.5 Algoritma untuk uji Goodness of fit Kolmogorov Smirnov ...............................................................................37 4.6.6 Implementasi Algoritma ke Progam Komputer...................38 4.7 Penerapan pada Data Tahan Hidup Tersensor Tipe II ...................39 4.7.1 Penerapan pada Data Simulasi ............................................39 4.7.2 Penerapan pada Data Pasien Leukimia ................................44 BAB V PENUTUP ...............................................................................................48 5.1 Kesimpulan ....................................................................................48 5.2 Saran ...............................................................................................50 DAFTAR PUSTAKA ............................................................................................51 LAMPIRAN

vii Skripsi




DAFTAR TABEL

Nomor

Judul

Halaman

4.1 Nilai parameter nilai penduga parameter ( , ) dan nilai Mean Square Error dengan metode Maximum Likelihood dan Ordinary Least Square (OLS)

42

4.2

Perbandingan nilai Mean Square Error

43

4.3

Data pasien Leukimia yang masih bertahan

44

4.4

Hasil penduga dan nilai MSE pada data pasien leukemia dengan metode Maximum Likelihood dan Ordinary Least

4.5

Square (OLS)

45

Tabel perhitungan uji Kolmogorov-Smirnov

46

viii Skripsi




DAFTAR LAMPIRAN

Judul Lampiran Lampiran 1 1. Progam 1 Progam untuk membangkitkan data ke-r dari n data berdistribusi Exponentiated Eksponensial 2. Progam 2 Progam untuk mendapatkan nilai penduga distribusi Exponentiated Eksponensial pada data tersensor tipe II dengan metode Maximum Likelihood a. Progam 2.1 Progam matriks turunan pertama distribusi Exponentiated Eksponensial pada data tersensor tipe II dengan metode Maximum Likelihood b. Progam 2.2 Progam matriks jacobian distribusi Exponentiated Eksponensial pada data tersensor tipe II dengan metode Maximum Likelihood 3. Progam 3 Progam untuk mendapatkan nilai penduga distribusi Exponentiated Eksponensial pada data tersensor tipe II dengan metode OLS c. Progam 3.1 Progam matriks turunan pertama distribusi Exponentiated Eksponensial pada data tersensor tipe II dengan metode OLS d. Progam 3.2 Progam matriks jacobian distribusi Exponentiated

ix Skripsi




Eksponensial

pada data tersensor tipe II dengan metode

OLS 4. Progam 4 Progam utama untuk menentukan nilai Mean Square Error dari metode Maximum Likelihood dan metode OLS 5. Progam 5 Progam utama untuk menentukan nilai Mean Square Error dari metode Maximum Likelihood dan metode OLS pada data pasien Leukimia Lampiran 2 1. Output Progam

x Skripsi




BAB 1 PENDAHULUAN

1.1 Latar Belakang Perkembangan ilmu pengetahuan yang disertai dengan meningkatnya kebutuhan hidup manusia , kemajuan teknologi yang berkembang pesat dan persaingan ditingkat global yang semakin meningkat, sehingga itu semua menuntut industri-industri dalam negeri harus memiliki keunggulan komparatif. Diantara keunggulan-keunggulan tersebut adalah kualitas dan keandalan suatu produk hasil sebuah produksi. Untuk menilai tingkat kualitas dari produknya, maka diperlukan suatu penelitian. Untuk menguji serta mengetahui kualitas dan keandalan suatu produk hasil industri, maka diperlukan analisis tentang data uji hidup. Analisis data uji hidup merupakan analisis statistik yang menyelidiki tentang waktu tahan hidup suatu individu atau benda pada keadaan operasional tertentu, yang telah banyak dikembangkan menjadi topik yang sangat penting bagi para ilmuwan dalam banyak bidang. Diantaranya dalam bidang teknik, kedokteran dan bahkan dalam bidang psikologi. Pada pengujian data uji hidup, jika semua unit eksperimen diobservasi sampai semuanya mati maka akan diperoleh sampel lengkap. Keuntungan menggunakan metode seperti ini adalah dapat dihasilkan observasi terurut dari semua komponen yang diuji. Akan tetapi metode ini juga mempunyai kerugian yaitu memerlukan waktu yang lama dan biaya yang besar. Maka dari itu untuk

1 Skripsi




2

menghemat waktu dan biaya dilakukan metode penyensoran, yaitu jika hanya sebagian unit eksperimen diamati, sehingga diperoleh sampel tersensor (Lawless, 1982). Salah satu tipe sampel penyensoran adalah tipe sampel tersensor tipe II. Suatu sampel dikatakan tersensor tipe II jika penelitian dihentikan setelah kegagalan ke-r telah diperoleh. Misalkan

adalah observasi terurut

dari n sampel dengan pdf ƒ dan fungsi survival S dan waktu sensor L . Penelitian dikatakan telah selesai jika kegagalan ke-r telah tercapai .Adapun pdf bersama adalah

dari

g dengan distribusi yang digunakan adalah Distribusi Exponentiated Eksponensial. Distribusi Exponentiated Eksponensial ini pertama kali dikenalkan oleh Gupta dan Kundu (1999) Sebuah Variabel acak

dikatakan mempunyai

Distribusi Exponentiated eksponensial jika probabilitas density function (pdf) : (2.1) dan Cumulative Distribution Function (CDF) : (2.2) ,

> 0 dan

Dengan

>0

: parameter bentuk : parameter skala

Kelebihan dari Distribusi ini menurut Gupta dan Kundu (1999) adalah memiliki fungsi yang fleksibel yaitu dapat menganalisis sampel yang berbentuk

Skripsi




3

distribusi eksponensial satu parameter, distribusi weibull 2 parameter, dan fungsi hazradnya memiliki bentuk yang tidak konstan sehingga tidak sama dengan distribusi eksponensial 1 parameter yang berbentuk konstan menyebabkan fungsi hazradnya logis. Dalam penerapannya pada data riil menggunakan data waktu tahan hidup pasien Leukimia dan pada data simulasi. Untuk memperoleh kesimpulan dari suatu penelitian, diperlukan inferensi secara statistik. Inferensi statistik merupakan suatu metode yang digunakan dalam penarikan kesimpulan terhadap suatu parameter populasi. Penentuan inferensi statistik secara garis besar meliputi estimasi parameter dan pengujian hipotesis parameter. Salah satu penduga yang digunakan untuk melakukan inferensi parameter populasi adalah Metode Maximum Likelihood dan metode Ordinary Least Square (OLS) yang kemudian dibandingkan hasilnya berdasarkan indikator Mean Square Error (MSE) . Penduga yang memiliki MSE paling kecil atau minimum merupakan penduga yang lebih baik karena MSE nilainya tidak mungkin sama dengan nol sebab secara teoritis nilai kumulatif parametrik dan nilai kumulatif empiris tidak mungkin sama.

1.2 Rumusan Masalah 1.

Bagaimana

bentuk

penduga

parameter-parameter

Distribusi

Exponentiated Eksponensial pada data tersensor tipe II dengan Metode Maximum Likelihood dan Metode Ordinary Least Square (OLS) ? 2.

Bagaimana membandingkan kedua penduga pada data tersensor tipe II secara simulasi dengan menggunakan kriteria MSE?

Skripsi




3.

4

Bagaimana menerapkan kedua penduga pada data tersensor tipe II pada data pasien Leukimia?

1.3 Tujuan 1.

Mendapatkan

bentuk

penduga

parameter-parameter

Distribusi

Exponentiated Exponensial pada data tersensor tipe II dengan menggunakan Metode Maximum Likelihood dan Metode Ordinary Least Square 2.

Membandingkan kedua penduga pada data tersensor tipe II secara simulasi dengan menggunakan kriteria MSE.

3.

Menerapakan hasil kedua penduga pada data tersensor tipe II pada data pasien Leukimia

1.4 Manfaat 1.

Mengetahui estimasi parameter Distribusi Exponentiated Eksponensial pada data Tersensor Tipe II

2.

Mengetahui penduga yang lebih baik bagi Parameter distribusi Exponentiated Eksponensial pada data tersensor Tipe II

1. 5 Batasan Masalah 1. Penduga parameter Distribusi Exponentiated Eksponensial pada data tersensor tipe II yang digunakan adalah metode Maximum Likelihood dan Ordinary Least Square (OLS).

Skripsi




5

2. Data yang diterapkan dalam penelitian ini adalah data tahan hidup tersensor tipe II yang berasal dari distribusi Exponentiated Eksponensial. 3. Estimasi yang di bahas hanya sampai estimasi titik.

Skripsi




BAB II TINJAUAN PUSTAKA

2.1 Distribusi Exponentiated Eksponensial Variabel acak

dikatakan mempunyai Distribusi Exponentiated

Eksponensial jika Probabilitas Density Function (PDF) : (2.1) dan Cumulative Distribution Function (CDF) : (2.2) dengan

: parameter bentuk yaitu jenis khusus dari parameter numerik yang menunjukkan bentuk dari kurva. : parameter skala yaitu jenis khusus dari parameter numerik yang menunjukkan besarnya distribusi data. (Gupta dan Kundu, 1999)

2.2 Estimasi Titik Jika terdapat nilai dari beberapa statistik atau mengestimasi parameter

yang mewakili

yang tidak diketahui, maka setiap statistik

disebut estimator titik . ( Graybill, et.al,1963)

6 Skripsi




7

2.3 Metode Maximum Likelihood Misal

merupakan sampel acak dari suatu distribusi dengan , untuk

Probabilitas Density Function (PDF) Function

(PDF)

bersama

. Probabilitas Density

antara

adalah

Jika Probabilitas Density Function (PDF) maka dinamakan fungsi

bersama tersebut dinyatakan sebagai fungsi terhadap Likelihood yang dinotasikan L atau ditulis : dengan

(2.3) ( Hogg and Craig, 1995b )

Jika statistik

memaksimumkan fungsi likelihood ,

maka

statistik

dinamakan

Maximum Likelihood Estimator (MLE) dari . (Hogg dan Craig, 1995)

2.4 Metode Ordinary Least Square Misalkan F(.) dan

adalah sampel acak berukuran n dari fungsi distribusi mewakili sampel terurut, Cumulative Distribution

Function (CDF) parametrik dari distribusi F(.) adalah F( Distribution Function (CDF) empirisnya adalah *(

). dan Cumulative

). Dengan *(

. Kita ketahui bahwa antara Cumulative Distribution Function

) adalah (CDF)

parametrik dan Cumulative Distribution Function (CDF) empirisnya pasti ada perbedaan yang di notasikan sebagai error

Skripsi

jadi


*(

).



8

Prinsip dari metode Ordinary Least Square adalah untuk meminimumkan jumlah kuadrat error-nya. Jadi, Menurut Gupta Dan Kundu (2000) penduga Ordinary Least Square didapatkan dengan cara meminimalkan (2.4)

2.5 Analisis Data Uji Hidup Analisis statistik yang sering disebut analisis data uji hidup merupakan penyelidikan tentang waktu tahan hidup suatu benda atau individu pada keadaan operasional tertentu. (Lawless,1982)

2.6 Fungsi Survival Fungsi survival didefinisikan sebagai probabilitas bahwa suatu individu atau benda akan bertahan sampai waktu tertentu dan dirumuskan sebagai berikut:

(2.5) (Lawless,1982)

Skripsi




9

2.7 Tipe Penyensoran Untuk mendapatkan data uji hidup biasanya dilakukan suatu eksperimen. Pada suatu eksperimen terdapat beberapa metode yang dapat dilakukan sehingga macam data yang dihasilkan juga berbeda dari satu metode ke metode yang lainnya. perbedaan analisis data uji hidup dari bidang statistik lainnya adalah penyensoran. Menurut (Lawless, 1982) Ada tiga macam metode yang sering digunakan dalam eksperimen uji hidup, yaitu :

1. Sampel Lengkap Pada uji sampel lengkap, eksperimen akan dihentikan jika semua benda atau individu yang diuji telah mati atau gagal. Langkah seperti ini mempunyai keuntungan yaitu dihasikannya observasi terurut dari semua benda atau individu yang diuji 2. Sampel Tersensor Tipe 1 Dalam sampel tersensor tipe 1, percobaan uji hidup akan dihentikan jika telah tercapai waktu tertentu (waktu penyensoran). Misalkan

adalah

sampel acak dari distribusi uji hidup dengan fungsi kepadatan peluang , fungsi survival

dan waktu sensor untuk semua

adalah

dengan i = 1,2,…,n Suatu komponen dikatakan terobservasi jika dilakukan hanya pada

dan observasi

. Sehingga variabel yang

menunjukkan bahwa komponen telah mati adalah

Skripsi




10

1 , jika = 0 , jika adalah indikator apakah terobservasi dan jika

tersensor atau tidak. Jika maka

maka

tersensor.

3. Sampel Tersensor Tipe 2 Pada uji ini, suatu sampel dikatakan tersensor tipe II apabila penelitian dihentikan setelah kegagalan ke-r telah diperoleh. Misalkan adalah observasi terurut dari n sampel sampai dengan pdf ƒ dan waktu

survival S kegagalan ke

dan fungsi

Penelitian dikatakan telah selesai jka

telah tercapai

. Adapun pdf bersama dari

adalah g

(2.6)

sedangkan fungsi likelihoodnya (2.7)

2.8 Mean Square Error Definisi 2.2 Dalam statistik, kesalahan kuadrat rata-rata (MSE) dari penduga adalah satu dari banyak cara untuk mengukur perbedaan antara nilai-nilai dari penduga dan nilai sebenarnya dari jumlah yang diperkirakan. MSE merupakan dua momen dari error yaitu

menggabungkan varians penduganya dan penduga biasnya.

Untuk penduga yang tak bias, MSE adalah varian. Seperti halnya varian, MSE

Skripsi




11

memiliki satuan ukuran yang sama dengan jumlah kuadrat yang di estimasi. Semakain kecil nilai MSE nya maka semakin bagus nilai penduga yang diperoleh karena mendekati nilai yang diobservasi dan juga sebaliknya. MSE dari penduga

dari estimasi parameter

didefinisikan

MSE merupakan jumlah dari varian dari parameter dan kuadrat dari penduga biasnya

Jika penduganya unbiased atau bias

maka MSE dapat didefinisikan

sebagai varian sehingga

(Graybill,et.al,1963) Jika

merupakan penduga dari fungsi distribusi kumulatif

, maka

menurut Al Fawzan (2000) rumus Mean Square Error dapat dinyatakan sebagai berikut : (2.8) dengan

merupakan fungsi distribusi kumulatif empiris.

Apabila parameter populasi diketahui, maka

merupakan fungsi distribusi

kumulatif parametrik .

Skripsi




12

2.9 Metode Newton-Raphson Misalkan

dan

adalah tiga persamaan dengan

yang tidak diketahui. Langkah-langkah dalam

metode Newton-Raphson, sebagai berikut :

1. Asumsikan

diketahui sebagai solusi awal atau

solusi perkiraan dari sistem tiga persamaan nonlinier dengan tiga variabel yang tidak diketahui :

2. Menentukan jacobian tiga persamaan tersebut 3. Dengan ekspansi Taylor, diperoleh : Jacobian J(

)

= -g(

)

=-

Kemudian mencari nilai

: g(

)

dengan

Skripsi




4. Misal perkiraan

13

diketahui, dimana

dilakukan iterasi dimulai dengan untuk barisan iterasi

Untuk

,

dan k bertambah satu tiap satu kali sehingga

dengan

Sebagai perkiraan yang lebih baik dari perkiraan sebelumnya. 5. Menghentikan proses iterasi ketika diperoleh max

, dimana

dan error adalah bilangan positif yang sangat kecil. (Lawless, 1982)

2.10 Uji Goodness of fit Kolmogorov –Smirnov Uji Goodness of fit Kolmogorov –Smirnov adalah sebuah metode untuk uji kesesuaian distribusi sebuah sampel random yang belum diketahui distribusinya. adalah sampel acak berukuran n yang diambil dari populasi

Misalkan

yang tidak diketahui distribusinya 1. Hipotesis misalkan

merupakan fungsi distribusi yang dibutuhkan untuk semua t dari

sampai

untuk salah satu nilai 2. Statistik Test Misalkan

adalah fungsi distribusi empiris berdasarkan sampel acak . diberikan test statistik

Skripsi

merupakan nilai terbesar




14

(dinotasikan “sup” atau supremum) jarak antara

dan

atau dapat

ditulis (2.9) Dengan T sama dengan supremum, untuk semua dan nilai mutlak untuk setiap

yang berbeda

Setelah ditemukan nilai statistik test T maka langkah selanjutnya dibandingkan dengan Tabel Kolmogorov-Smirnov dengan tingkat signifikan 1- . Apabila nilai statistik test T < tabel Kolmogorov-Smirnov maka terima

dan sebaliknya. (W.J Conover, 1980)

2.11 Estimasi Kaplan-Meier Cara yang digunakan untuk menggambarkan survival dari sampel acak yaitu menggambarkan grafik fungsi survival atau fungsi distribusi empiris dengan cara estimasi Kaplan-Meier. Selain itu juga memberikan estimasi distribusi secara nonparametrik. Diberikan dengan

yang menyatakan sampel random tersensor,

merupakan data terobservasi dan

Misalkan terdapat

merupakan data tersensor.

dengan waktu yang berbeda

, yang

menyatakan banyaknya data yang terobesvasi. Kemungkian terjadinya satu atau lebih event yang terobservasi dinotasikan sebagai

Skripsi


atau



menyatakan banyaknya event terobservasi pada saat

15

. Estimasi dari

dapat

didefinisikan sebagai berikut : (2.10)

dengan

merupakan banyaknya individu yang beresiko pada saat

dengan kata lain banyaknya individu yang belum mengalami kejadian atau event dan tidak tersensor sebelum pada saat . (Lawless, 1982)

2.12

Keluarga Eksponensial dari Probabilitas Density Function Suatu Keluarga besar dari p.d.f yang bergantung pada parameter

yang

bernilai real adalah bentuknya sebagai berikut : (2.11) Dengan

dan

, merupakan himpunan positif dari

yang independen dari . Untuk kasus kontinu. Jika

i.i.d dengan p.d.f

seperti diatas maka

p.d.f bersama dari t adalah sebagai berikut :

(Roussas,1973)

Skripsi




16

2.13 S-PLUS 2000 Dalam (Everitt, 1994) disebutkan bahwa S-Plus adalah suatu paket progam yang memungkinkan membuat progam sendiri walaupun di dalamnya sudah tersedia banyak progam internal yang siap di gunakan . Kelebihan dari progam ini adalah baik progam internal maupun progam yang pernah dibuat digunakan sebagai subprogram dari progam yang akan dibuat. Beberapa perintah internal yang digunakan dalam S-Plus a.

function Function(…) digunakan untuk menunjukkan fungsi yang akan digunakan dalam progam. Bentuknya adalah :function (…)

b.

length Length(…) digunakan untuk menunjukkan banyaknya data. Bentuknya ada lah :length (….)

c.

for(I in 1: n) Untuk melakukan pengulangan sebanyak n kali Bentuknya adalah : for(i in 1:n)

d.

sort Untuk mengurutkan data dari terkecil sampai ke terbesar Bentuknya adalah : sort (…)

e.

matrix(a,b,c) Untuk membentuk sebuah matrik yang anggotanya a dengan jumlah baris sebanyak b dan jumlah kolom sebanyak c.

Skripsi




17

Bentuknya adalah : matrix (….,…,…) f.

rep (a,b) Untuk membentuk sebuah vektor yang anggotanya a sebanyak b. Bentuknya adalah : rep(…,…)

g.

abs Untuk membuat harga mutlak dari suatu bilangan Bentuknya adalah : abs (….)

h.

sum Untuk menjumlahkan semua bilangan anggota dari suatu vektor. Bentuknya adalah : sum (…)

i.

ginverse Untuk menghitung nilai invers dari suatu matrik singular.

Skripsi




BAB III METODE PENELITIAN

Langkah-langkah penyelesaian yang sesuai dengan tujuan penelitian adalah sebagai berikut : 1. Menentukan bentuk penduga Distribsi Exponentiated Eksponensial pada data tersensor tipe II A.

Menentukan estimasi parameter Distribusi Exponentiated Eksponensial pada data tersensor tipe II menggunakan metode Maximum Likelihood dengan langkah-langkah sebagai berikut : a. Mengambil sampel acak

dari distribusi uji hidup

Exponentiated Eksponensial. b. Menentukan (n-r) sample tersensor tipe II yang posisinya sebagai berikut

c. Menentukan

fungsi

Likelihood

dari

distribusi

Exponentiated

Eksponensial pada data tersensor tipe II

Dengan d. Me-lognaturalkan fungsi likelihood tersebut

18 Skripsi




19

e. Mendiferensialkan hasil log- likelihood tersebut terhadap parameterparameter distribusi Exponentiated Eksponensial pada data tersensor tipe II f. Hasil dari diferensial tersebut disamadengankan nol sebagai syarat perlu untuk memaksimalkan fungsi likelihood. g. Jika pada langkah f penduga yang didapatkan masih dalam bentuk fungsi implisit maka ditentukan nilai estimasi dari fungsi tersebut melalui metode Newton-Raphson. B.

Menentukan estimasi parameter Distribusi Exponentiated Eksponensial pada data tersensor tipe II menggunakan metode Ordinary Least Square dengan langkah-langkah sebagai berikut : a. Mengambil sampel acak

,

dari distribusi uji hidup

Exponentiated Eksponensial. b. Menentukan (n-r) sample tersensor tipe II yang posisinya sebagai berikut

c. Menentukan fungsi distribusi kumulatif distribusi Exponentiated Eksponensial d. Meminimalkan

fungsi

dengan

cara

Mendiferensialkan fungsi tersebut terhadap parameter-parameter distribusi Exponentiated Eksponensial (

) kemudian disama

dengankan nol

Skripsi




20

e. Melakukan pendekatan numerik jika pada langkah d diperoleh bentuk fungsi yang berbentuk implisit 2. Membandingkan kedua penduga melalui indikator Mean Square Error dengan langkah-langkah sebagai berikut : a. Membangkitkan

sampel

data

tersensor

Exponentiated Eksponensial dengan

tipe

II

berdistribusi

tertentu.

b. Mengestimasi parameter distribusi Exponentiated Eksponensial pada data tersensor tipe II dengan metode Maximum Likelihood dan metode Ordinary Least Square c. Menghitung Mean Square Error dari metode Maximum Likelihood dan metode Ordinary Least Square dengan rumus MSE Dengan

merupakan fungsi distribusi kumulatif empiris

d. Mengulang langkah a sampai c sebanyak 16 kali percobaan e. Menentukan prosentase menempati nilai MSE terkecil untuk metode Maximum Likelihood dan metode Ordinary Least Square dari percobaan f. Menentukan penduga yang lebih baik dengan melihat nilai rata-rata MSE yang terkecil dari kedua metode dan melihat prosentase minimal menempati nilai MSE paling kecil 3. Menyusun algoritma berdasarkan langkah-langkah yang telah dibuat 4. Membuat progam komputer berdasarkan algoritma tersebut dengan S-Plus

Skripsi




21

5. Menerapkan hasil estimasi pada data pasien Leukimia a. Memasukkan data tahan hidup pasien Leukimia b. Mengurutkan data tahan hidup pasien Leukimia c. Mengestimasi parameter distribusi Exponentiated Eksponensial pada data tersensor tipe II dengan metode Maximum Likelihood dan metode Ordinary Least Square d. Menghitung Mean Square Error dari metode Maximum Likelihood dan metode Ordinary Least Square dengan rumus MSE Dengan

merupakan fungsi distribusi kumulatif empiris

e. Menguji kesesuaian data dengan uji Kolmogorov Smirnov f. Menentukan penduga yang lebih baik dengan melihat nilai MSE yang terkecil

Skripsi




BAB IV HASIL DAN PEMBAHASAN Dalam bab ini akan dibahas tentang estimasi titik distribusi Exponentiated Eksponensial pada data tersensor tipe II dengan menggunakan metode Maximum Likelihood dan Ordinary Least Square (OLS). 4.1. PDF (Probability Density Function) dan CDF (Cumulative Density Function) Distribusi Exponentiated Eksponensial Pada bagian ini akan dibuktikan bahwa: untuk merupakan PDF (Probability Density Function) dari distribusi Exponentiated Eksponensial. Bukti :

=

22 Skripsi




23

Terbukti Kemudian akan dicari CDF (Cumulative Density Function) dari distribusi Exponentiated Eksponensial sebagai berikut:

(4.1) Berdasarkan persamaan (4.1), maka fungsi survival dari t adalah :

Skripsi




24

(4.2)

Selanjutnya akan dibuktikan apakah distribusi Exponentiated Eksponensial merupakan keluarga Eksponensial. Misalkan T merupakan variabel acak berdistribusi Exponentiated Eksponensial dengan Probability Density Function didefinisikan pada

persamaan (2.1) akan dibuktikan apakah distribusi

Exponentiated Eksponensial merupakan keluarga Eksponensial yaitu memenuhi persamaan (2.11), pembuktiannya seperti dibawah ini:

(4.3) Karena persamaan (4.3) tidak dapat dinyatakan sebagai persamaan (2.11) maka dapat disimpulkan bahwa distribusi Exponentiated Eksponensial bukan keluarga eksponensial.

4.2. Estimasi Parameter Distribusi Exponentiated Eksponensial pada data tersensor tipe II dengan metode Maximum Likelihood Langkah-langkah estimasi parameter pada sub-bab (2.3). Jika PDF (Probability

Density

Function)

distribusi

Exponentiated

Eksponensial

didefinisikan pada persamaan (2.1), maka fungsi Likelihood pada data tersensor tipe II berdasarkan persamaan (2.7) adalah sebagai berikut :

Skripsi




25

Sehingga dari fungsi Likelihood diatas dapat di tulis sebagai berikut :

Kemudian fungsi Likelihood tersebut di ln-kan, sehingga didapatkan : ln

(4.4) Selanjutnya dengan mendiferensialkan fungsi ln-Likelihood terhadap kemudian

hasil

disamadengankan

nol

sebagai

syarat

perlu

untuk

memaksimumkan fungsi Likelihood, sehingga di dapatkan hasil sebagai berikut : Diferensial

dari

persamaan

(4.4)

terhadap

dan

selanjutnya

disamadengankan nol diperoleh :

Skripsi




Diferensial dari persamaan (4.4)

26

terhadap

dan selanjutnya

disamadengankan nol diperoleh :

Karena persamaaan (4.5) dan (4.6) merupakan persamaan implisit maka diselesaikan dengan suatu metode numerik. Dalam pembahasan skripsi ini akan digunakan salah satu dari metode numerik yaitu metode Newton Raphson . Berikut merupakan langkah-langkah metode Newton-Raphson yang telah dijelaskan pada sub-bab (2.9) : Langkah I : Menentukan nilai awal penduga

yang dapat ditulis dengan

. Langkah II : Menentukan fungsi dalam bentuk matriks, dengan

, yaitu ,

dengan

adalah fungsi dari (4.5)

adalah fungsi dari (4.6).

Langkah III : Menentukan matriks jacobian dari fungsi (4.5), (4.6) yaitu :

Skripsi




27

dengan :

Skripsi




28

Langkah IV : Mencari nilai koreksi (

Dengan

), yaitu

adalah invers dari

Langkah V : Menentukan Dimana

atau

merupakan nilai penduga yang akan dicari.

Langkah VI : Melakukan pengulangan dari langkah II sampai V hingga max dengan

dengan error = 0.5. Kemudian diperoleh nilai penduga

parameter

Skripsi




29

4.3. Estimasi Parameter Distribusi Exponentiated Eksponensial pada Data Tersensor Tipe II dengan Ordinary Least Square (OLS). Langkah-langkah estimasi parameter pada sub-bab ini menggunakan Ordinary Least Square (OLS) berdasarkan sub-bab (2.4), yaitu dengan meminimalkan persamaan (2.4). Misal Kemudian mendiferensialkan persamaan (E) terhadap

dan hasilnya

disamadengankan nol, sehingga didapatkan :

Skripsi




30

Karena persamaan (4.7) dan (4.8 ) berbentuk fungsi implisit, sehingga diperlukan suatu metode numerik untuk dapat menyelesaikannya. Dalam pembahasan skripsi ini digunakan salah satu metode numerik yaitu metode Newton-Raphson. Berikut ini merupakan langkah-langkah metode Newton-Raphson yang telah dijelaskan pada sub-bab (2.9): Langkah I : Menentukan nilai awal penduga-penduga


. Langkah II : Menentukan fungsi dalam bentuk matriks, dengan

yaitu

dengan

adalah fungsi dari (4.7),

adalah fungsi dari (4.8). Langkah III : Menentukan matriks jacobian dari fungsi (4.7), (4.8) yaitu :

Skripsi




31

dengan :

Langkah IV : Mencari nilai koreksi (

Skripsi

), yaitu




Dengan

32

adalah invers dari

Langkah V : Menentukan dengan

atau

merupakan nilai penduga yang akan dicari.

Langkah VI : Melakukan pengulangan dari langkah II sampai V hingga max dengan

dengan error = 0.5. Kemudian diperoleh nilai

penduga parameter

4.4. Membangkitkan Data Distribusi Exponentiated Eksponensial Dengan memisalkan

, berdasarkan persamaan (2.2) diperoleh: U=

Kemudian kedua ruas dipangkatkan 1/ , sehingga diperoleh

Akan sama artinya dengan :

Kedua ruas di-ln-kan, sehingga

Didapatkan fungsi inversnya sebagai berikut :

Skripsi




33

(4.9) Dengan

adalah parameter distribusi Exponentiated Eksponensial . Untuk

dapat membangkitkan data berdistribusi Exponentiated Eksponensial yang harus dilakukan adalah membangkitkan U berdistribusi Uniform (0,1), maka selanjutnya dengan

persamaan

(4.9)

akan

diperoleh

berdistribusi

Exponentiated

Eksponensial.

4.5. Menentukan nilai awal Penduga Distribusi Exponentiated Eksponensial Dalam mengestimasi parameter terdapat hal penting yang sangat mempengaruhi nilai penduga parameter, yaitu penentuan nilai penduga awal dari parameter

. Jika nilai awal tersebut ditentukan secara tepat, maka nilai

penduga parameter yang dihasilkan akan konvergen, demikian juga sebaliknya maka akan divergen. Pada pembahasan kali ini, penentuan nilai awal dilakukan dengan cara mengambil nilai parameter untuk membangkitkan data.

4.6. Algoritma Progam Algoritma ini dibuat berdasarkan teori-teori yang telah dibahas pada subbab sebelumnya. Pada pembahasan skripsi ini akan dibuat algoritma-algoritma sebagai berikut : 4.6.1. Algoritma untuk membangkitkan r data dari n data berdistribusi Exponentiated Eksponensial 1. Menentukan nilai parameter

Skripsi




34

2. Membangkitkan U 3. Menghitung

4.6.2. Algoritma untuk menentukan penduga dengan metode Maximum Likelihood Jika pada estimasi parameter distribusi Exponentiated Eksponensial pada data tersensor tipe II dengan metode Maximum Likelihood yang didapatkan masih dalam bentuk fungsi implisit, maka nilai estimasinya ditentukan dengan prosedur Newton-Raphson. Langkahnya sebagai berikut : 1. Memasukkan data 2. Menentukan nilai awal penduga-penduga dengan

yang dapat ditulis

.

3. Menentukan fungsi dalam bentuk matriks, dengan

, yaitu (4.5) ,

dengan

adalah fungsi dari


4. Menentukan matriks jacobian dari fungsi (4.5), (4.6) yaitu :

5. Mencari nilai koreksi (

Skripsi

), yaitu




Dengan

35

adalah invers dari

6. Menentukan Dimana

atau merupakan nilai penduga yang akan dicari.

7. Melakukan pengulangan dari langkah II sampai V hingga max dengan

dengan error = 0.5 Kemudian

diperoleh nilai penduga parameter

4.6.3. Algoritma untuk menentukan penduga dengan metode Ordinary Least Square Jika pada estimasi parameter distribusi Exponentiated Eksponensial pada data tersensor tipe II dengan metode Ordinary Least Square yang didapatkan masih dalam bentuk fungsi implisit maka nilai estimasinya ditentukan dengan prosedur Newton-Raphson. Langkahnya sebagai berikut : 1. Memasukkan data 2. Mengurutkan data 3. Menentukan nilai awal penduga-penduga


.

4. Menentukan fungsi dalam bentuk matriks, dengan

Skripsi




yaitu (4.7),

dengan

36

adalah fungsi dari


5. Menentukan matriks jacobian dari fungsi (4.7), (4.8) yaitu :

6. Mencari nilai koreksi (

Dengan

adalah invers dari

7. Menentukan Dimana

), yaitu

atau merupakan nilai penduga yang akan dicari.

8. Melakukan pengulangan dari langkah II sampai V hingga max dengan

dengan error = 0.5. Kemudian

diperoleh nilai penduga parameter

4.6.4. Algoritma untuk menentukan nilai Mean Square Error (MSE) 1. Memasukkan data 2. Mengurutkan data 3. Memasukkan penduga yang telah diperoleh dari metode Maximum Likelihood dan OLS (Ordinary Least Square) ke persamaan :

Skripsi




37

4. Menghitung MSE untuk metode Maximum Likelihood. 5. Menghitung MSE untuk metode Ordinary Least Square. 6. Menentukan penduga lebih baik dengan melihat nilai MSE (Mean Square Error) terkecil.

4.6.5. Algoritma untuk uji Goodness of fit Kolmogorov Smirnov 1. Memasukkan data pasien Leukimia 2. Mengurutkan data pasien Leukimia 3. Membuat Hipotesis misalkan

merupakan fungsi distribusi yang dibutuhkan untuk semua t dari

sampai

untuk salah satu nilai 4. Menghitung statistik hitungnya dengan memasukkan penduga yang telah diperoleh dari metode Maximum Likelihood dan OLS (Ordinary Least Square) ke persamaan :

5. Membandingkan statistik hitungnya dengan tabel Kolmogorov Smirnov dengan tingkat signifikan 1-

Apabila nilai statistik test T < tabel

Kolmogorov-Smirnov maka terima

Skripsi

dan sebaliknya.




38

4.6.6. Implementasi Algoritma ke Progam Komputer Progam komputer yang digunakan dalam pembahasan skripsi ini dibuat menggunakan paket progam S-Plus. Algoritma yang telah disusun akan dijabarkan ke dalam beberapa progam yang dapat dilihat pada (lampiran 1). Adapun progamnya antara lain : 1. Progam untuk membangkitkan r data dari n data berdistribusi Exponentiated Eksponensial 2. Progam untuk menentukan nilai penduga parameter distribusi Exponentiated Eksponensial pada data tesensor tipe II dengan metode Maximum Likelihood. Dengan sub-progam : 2.1 Progam matriks turunan pertama distribusi Exponentiated Eksponensial pada data tesensor tipe II dengan metode Maximum Likelihood. 2.2 Progam matriks jacobian pertama distribusi Exponentiated Eksponensial pada data tesensor tipe II dengan metode Maximum Likelihood. 3. Progam untuk menentukan nilai penduga parameter distribusi Exponentiated Eksponensial pada data tersensor tipe II dengan metode Ordinary Least Square. Dengan sub-progam :

Skripsi




3.1

Progam

matriks

turunan

pertama

39

distribusi

Exponentiated

Eksponensial pada data tersensor tipe II dengan metode Ordinary Least Square. 3.2

Progam

matriks

jacobian

pertama

distribusi

Exponentiated

Eksponensial pada data tersensor tipe II dengan metode Ordinary Least Square. 4. Progam utama untuk menentukan nilai Mean Square Error dari metode Maximum Likelihood dan Ordinary Least Square. 5. Progam untuk menentukan nilai penduga parameter dan nilai Mean Square Error dari metode Maximum Likelihood dan Ordinary Least Square pada data pasien Leukimia.

4.7. Penerapan pada Data Tahan Hidup Tersensor Tipe II Berdasarkan tujuan penyusunan skripsi ini, telah disusun program S-Plus untuk mendapatkan penduga parameter

dan

dari distribusi Exponentiated

Eksponensial data tahan hidup tersensor tipe II dengan menggunakan metode Maximum Likelihood dan Ordinary Least Square (OLS). Berikut ini akan dibahas mengenai penerapan program pada data tahan hidup tersensor tipe II.

4.7.1. Penerapan pada Data Simulasi Dalam penerapan pada sampel simulasi digunakan beberapa data percobaan yang dibangkitkan sesuai distribusi Exponentiated Eksponensial pada data tersensor tipe II dengan menggunakan progam gen.ee2(

Skripsi


) pada



(lampiran 1,progam 1) dengan

40

adalah parameter bentuk,

adalah parameter

skala, n adalah banyaknya sampel dan r adalah banyaknya data yang dibangkitkan. Pada pembahasan skripsi ini dipilih data sebagai berikut : Data 1 adalah data yang dibangkitkan dengan progam gen.ee2(0.8,2,50,50) yang artinya

,

,

,

Data 2 adalah data yang dibangkitkan dengan progam gen.ee2(0.8,1,50,50) ,

yang artinya

,

,

Data 3 adalah data yang dibangkitkan dengan progam gen.ee2(0.4,2,50,50) yang artinya

,

,

,


,

,

,


,

,

,


,

,

,


,

,

,

Data 8 adalah data yang dibangkitkan dengan progam gen.ee2(0.8,2,50,40) ,

yang artinya

,

,

Data 9 adalah data yang dibangkitkan dengan progam gen.ee2(0.4,2,50,40) yang artinya Data

10

, adalah

, data

, yang

gen.ee2(0.4,1,50,40) yang artinya

Skripsi

dibangkitkan ,

,


dengan

progam

,



Data

11

adalah

data

yang

gen.ee2(0.8,2,50,35) yang artinya Data

12

adalah

data

yang


13

adalah

data

yang


14

adalah

data

yang


15

adalah

data

yang


16

adalah

data

yang

gen.ee2(0.4,1,50,30) yang artinya

Skripsi

41

dibangkitkan ,

,

dibangkitkan ,

,

dibangkitkan ,

,

dibangkitkan ,

,

dibangkitkan ,

,

dibangkitkan ,

,


dengan

progam

, dengan

progam

, dengan

progam

, dengan

progam

, dengan

progam

, dengan

progam

,



42

Setelah dilakukan penerapan pada data, diperoleh hasil sebagai berikut : Tabel 4.1 Nilai parameter ,nilai penduga parameter ( , ) dan nilai mse dengan metode Maximum Likelihood dan OLS Sampel Ke 1 2

n

r

50

50

50

45

9 10 11 12 13 14

50

40

50

35

15 16

50

30

3 4 5 6 7 8

Nilai awal parameter

Maximum Likelihood mse

Ordinary Least Square (OLS) Mse

0.8 0.8

2 1

0.9163184 0.7546925

1.977762 1.009376

0.001398457 0.0003318767

1.000202 0.7069087

1.997744 1.000029

0.00330529 0.001182718

0.4 0.4 0.8 0.4 0.4 0.8

2 1 2 2 1 2

0.3659377 0.4241685 0.9395362 0.5672164 0.6056184 1.31963

2.00361 1.008648 0.5743856 1.890474 0.5808292 0.818215

0.0006270971 0.0002100578 0.09060072 0.0097713 0.04143656 0.1043668

0.3715388 0.4109451 0.7063197 0.2983315 0.4648476 0.7667093

2.000173 0.9998516 2.000174 1.996683 0.9993871 1.998282

0.0004239468 0.0000522592 0.001328614 0.006284723 0.001756528 0.0001439197

0.4 0.4 0.8 0.4 0.4 0.8

2 1 2 2 1 2

0.6390672 0.5935541 1.076376 0.6409896 0.76441 0.9210514

1.75365 0.5917582 0.4130709 1.622661 0.3379756 0.5000889

0.02519673 0.03659213 0.09858349 0.02887785 0.09563613 0.02912303

0.4862247 0.372325 0.7383088 0.5473103 0.4246428 0.5319512

1.999029 1.000145 1.999091 1.995987 0.9995619 1.931316

0.003227308 0.0004816848 0.006202398 0.00828267 0.0003421553 0.01439253

0.4 0.4

2 1

0.5752592 0.7266251

1.906902 0.2686743

0.01097319 0.08663328

0.3023061 0.4399284

1.996409 0.9997128

0.00792486 0.000882549

Nilai pada tabel 4.1 diperoleh dengan menggunakan progam utama untuk menentukan nilai Mean Square Error dari metode Maximum Likelihood dan Ordinary Least Square (Lampiran 1, Progam 4). Hasil outputnya dapat dilihat pada lampiran 2 (Output

Skripsi

42

progam)




43

Tabel 4.2 Perbandingan nilai MSE Sampel ke-

MSE MLE

MSE OLS

PI

P II

1

0.001398457

0.00330529

MLE

OLS

2

0.0003318767

0.001182718

MLE

OLS

3

0.0006270971

0.0004239468

OLS

MLE

4

0.0002100578

0.0000522592

OLS

MLE

5

0.09060072

0.001328614

OLS

MLE

6

0.0097713

0.006284723

OLS

MLE

7

0.04143656

0.001756528

OLS

MLE

8

0.1043668

0.0001439197

OLS

MLE

9

0.02519673

0.003227308

OLS

MLE

10

0.03659213

0.0004816848

OLS

MLE

11

0.09858349

0.006202398

OLS

MLE

12

0.02887785

0.00828267

OLS

MLE

13

0.09563613

0.0003421553

OLS

MLE

14

0.02912303

0.01439253

OLS

MLE

15

0.01097319

0.00792486

OLS

MLE

16

0.08663328

0.000882549

OLS

MLE

Rata-rata

0.041272

0.003513

OLS =87.5%

MLE=87.5%

MLE=12.5%

OLS=12.5%

MSE

Keterangan : PI

: Posisi nilai MSE urutan pertama (terkecil)

P II

: Posisi nilai MSE urutan kedua

Dari table 4.2 diperoleh : 1. Melihat nilai rata-rata MSE Ordinary Least Square (OLS) dan Maximum Likelihood, maka penduga yang lebih baik untuk parameter distribusi

Skripsi




44

Exponentiated Eksponensial pada data tersensor tipe II adalah dengan metode Ordinary Leat Square (OLS). Rata-rata MSE MLE

= 0.041272

Rata-rata MSE OLS

= 0.003513

Rata-rata MSE OLS < Rata-rata MSE MLE 2. Melihat prosentase menempati nilai MSE terkecil untuk metode Maximum Likelihood dan Ordinary Least Square (OLS), maka penduga yang lebih baik untuk parameter distribusi Exponentiated Eksponensial pada data tersensor tipe II adalah dengan menggunakan metode Ordinary Least Square (OLS) dengan prosentase sebesar 87,5%.

4.7.2

Penerapan pada Data Pasien Leukimia Untuk penerapan perhitungan, digunakan data yang diperoleh dari

(Freireich et al.,Blood,1963) yaitu data waktu tahan hidup pasien Leukimia. Pengamatan dilakukan terhadap 21 pasien. Misalkan

adalah waktu pengamatan

yang dilakukan pada 21 pasien , berdasarkan tipe penyensoran tipe II diperoleh 9 kegagalan pada pasien Tabel 4.3 Data pasien Leukimia yang masih bertahan Kegagalan ke1 2 3 4 5 6 7 8 9

Skripsi

Lifetime 6 6 6 7 10 13 16 22 23




45

Selanjutnya dicari nilai Mean Square Error dan penduga parameter distribusi Exponentiated Eksponensial pada data tersensor tipe II pasien Leukemia menggunakan metode Maximum Likelihood dan Ordinary Least Square (OLS) dengan progam S-Plus pada (lampiran 1, progam 6). Dan berdasarkan hasil program yang telah dibuat dengan menggunakan S-Plus, dapat diperoleh kesimpulan sebagai berikut : a. Jumlah sampel n = 21 dengan r-kegagalan sebanyak = 9 dengan metode Maximum Likelihood

diperoleh penduga dan MSE sebagai berikut

(Tabel 4.4). b. Jumlah sampel n = 21 dengan r-kegagalan sebanyak = 9 dengan metode Ordinary Least Square (OLS) diperoleh penduga dan MSE sebagai berikut (Tabel 4.4). Tabel 4.4 hasil penduga dan nilai MSE pada data pasien leukemia dengan metode Maximum Likelihood dan Ordinary Least Square (OLS) Parameter

MLE Nilai penduga MSE 0.2109925 0.3210319 0.5701738

OLS Nilai penduga MSE 1.561138 0.09842778 0.04031853

Selanjutnya akan dilakukan pengujian terhadap data waktu pengamatan (ti) tersebut dengan menggunakan uji kolmogorov smirnov untuk mengetahui distribusi dari data, sehingga dapat dilakukan analisa lebih lanjut sesuai dengan distribusi probabilitasnya. Berikut ini hasil pengujian data waktu pengamatan menggunakan taraf signifikansi 5 %.

Skripsi




46

H0 : Data waktu pengamatan

berdistribusi Exponentiated Eksponensial

H1 :Data waktu pengamatan

tidak berdistribusi Exponentiated Eksponensial

Tabel 4.5 Tabel perhitungan uji Kolmogorov-Smirnov

6 7 10 13 16 22 23

21 18 17 16 15 14 13

3 1 1 1 1 1 1

18/21 17/18 16/17 15/16 14/15 13/14 12/13

0.86 0.14 0.81 0.19 0.76 0.24 0.71 0.29 0.66 0.34 0.61 0.39 0.56 0.44 Maksimum

MLE 0.993 0.9960 0.9992 0.9998 0.99992 0.999999 0.999999

OLS 0.090666 0.111915 0.178667 0.246639 0.313204 0.436613 0.455623

KLS MLE

KLS OLS

0.853 0.806 0.7592 0.7098 0.6599 0.6099 0.5599 0.853

0.0493 0.0780 0.0613 0.0433 0.0268 0.0466 0.0156 0.0780

Dari tabel diatas dapat diketahui bahwa Dengan metode Maximum Likelihood : 0.436 statistik hitung (T) : 0.853 Daerah kritis : T > keputusan : tolak Dengan metode Ordinary Least Square : 0.436 statistik hitung (T) : 0.0780 Daerah kritis : T < keputusan : Terima

Skripsi




47

Dari hasil metode Ordinary Least Square di atas dapat diambil kesimpulan bahwa data tahan hidup ( ) pasien Leukemia berdistribusi Exponentiated Eksponensial. Melihat nilai MSE Ordinary Least Square (OLS) dan Maximum Likelihood, maka penduga yang lebih baik untuk parameter distribusi Exponentiated Eksponensial pada data tersensor tipe II yaitu pada data pasien Leukimia adalah dengan metode Ordinary Leat Square (OLS). Nilai MSE Maximum Likelihood

= 0.3210319

Nilai MSE Ordinary Least Square (OLS)

= 0.09842778

Nilai MSE Ordinary Least Square (OLS) < Nilai MSE Maximum Likelihood.

Skripsi




BAB V KESIMPULAN DAN SARAN

5.1. KESIMPULAN Berdasarkan pembahasan dan hasil penerapan data, dapat ditarik kesimpulan bahwa : 1.

Penduga parameter distribusi Exponentiated Eksponensial pada data tersensor tipe II yaitu 16 data simulasi dan data tahan hidup pasien Leukimia dengan metode Maximum Likelihood diperoleh dengan cara menyelesaikan sistem persamaan implisit :

dan

dengan metode numerik. Salah satu metode yang dapat digunakan adalah metode Newton-Raphson. 2.

Penduga parameter distribusi Exponentiated Eksponensial pada data tersensor tipe II yaitu 16 data simulasi dan data tahan hidup pasien Leukimia dengan metode Ordinary Least Square (OLS), diperoleh dengan cara menyelesaikan sistem persamaan implisit :

48 Skripsi




49

dan

dengan metode numerik. Salah satu metode yang dapat digunakan adalah metode Newton-Raphson. 3.

Berdasarkan studi perbandingan pada 16 kali data simulasi didapatkan bahwa penduga yang lebih baik untuk parameter distribusi Exponentiated Eksponensial pada data tersensor tipe II berdasarkan kriteria MSE adalah dengan metode Ordinary Least Square (OLS). Nilai rata-rata MSE metode OLS yaitu 0,003513 < nilai rata-rata MSE metode Maximum Likelihood yaitu 0,041272, dan prosentase menempati nilai MSE terkecil untuk metode Ordinary Least Square (OLS) sebesar 87,5% sedangkan untuk metode Maximum Likelihood sebesar 12,5%. Kemudian pada data waktu tahan hidup pasien Leukimia didapatkan bahwa penduga yang lebih baik untuk parameter distribusi Exponentiated Eksponensial pada data tersensor tipe II berdasarkan kriteria MSE adalah dengan metode Ordinary Least Square (OLS). nilai MSE Ordinary Least Square (OLS) adalah 0.09842778 dan Nilai MSE metode Maximum Likelihood adalah 0.3210319 sehingga Nilai MSE metode Ordinary Least Square (OLS) < Nilai MSE metode Maximum Likelihood.

Skripsi




50

5.2. SARAN Estimasi parameter Distribusi Exponentiated Eksponensial pada data tersensor tipe II untuk pembahasan skripsi ini hanya menggunakan metode Maximum Likelihood dan Ordinary Least Square (OLS). Untuk pengembangan lebih lanjut dapat menggunakan penduga lainnya yaitu metode moment, metode L-moment, metode Weight Least Square (WLS), metode Percentiles

Skripsi




DAFTAR PUSTAKA 1. Al-fawzan, M.A, 2000, Methods for estimating the parameters of the Weibull Distribution , King Abdul Aziz City for science and Tecnology , Riyadh – Saudi Arabia. 2. Conover, W.J ,1980 ,Practical Nonparametric Statistics Second Edition , John Wiley & Sons , New York. 3. Everitt, Brian S., 1994 , A Handbook of Statistical Analyses Using S-plus, Chapman & Hall, London. 4. Graybill, F. A., Mood, A. M., and Boes, D. C., 1963, Introduction to The Theory of Statistics, Third Edition, McGraw-Hill, Inc, Japan. 5. Gupta, R. D. And Kundu, D. 1999, Generalized Exponential Distribution, Australian and New Zealand journal of Statistics, 41(2), 173-188. 6. Gupta, R. D. And Kundu, D. 2000, Generalized Exponential Distribution: Different Method of Estimations, journal of Statistical Computations and Simulations, 69(4), 315-337. 7. Roussas, G. George, 1973, A First Course in Mathematical Statistics, Melya Publications, inc, Taiwan. 8. Hogg, R. V., and Craig, A. T. 1995, Introduction to Mathematical Statistics,Fifth Edition, Prentice-Hall, Inc. New York. 9. Kleinbaum, D. G. and Klein, M., 2005, Survival Analysis A Self-Learning Text ,Second Edition, Springer Science Business Media, Inc, New York. 10. Lawless, J. F., 1982, Statistical Models and Method for Lifetime Data. John Wiley and Sons, Inc. New York.

51 Skripsi



ESTIMASI PARAMETER DISTRIBUSI EXPONENTIATED EKSPONENSIAL PADA DATA TERSENSOR TIPE II SKRIPSI

Recommend Documents