FÜGGVÉNYEK HATÁRÉRTÉKÉNEK KISZÁMOLÁSA
lim f ( x) ? x
Véges helyen vett határérték
Végtelenben vett határérték
lim f ( x)
lim f ( x) vagy lim f ( x) x x
Ilyenkor az első lépés, hogy helyettesítsük be a függvénybe az a -t. Ha amit így kapunk értelmezhető, akkor kész is vagyunk, az a szám a határérték*. Ha amit kapunk nem értelmezhető, akkor az alábbi esetek lehetnek
Ilyenkor tökugyanazt kell csinálni, mint amit a sorozatok határértékének a kiszámolásánál.
xa
egyéb
szám 0
0 0
VALAMIT ITT IS CSINÁLUNK
SZORZATTÁ ALAKÍTJUK AKI NULLA
A
0 0
esetben, ahol mindkettő nulla a számlálót is és a nevezőt is szorzattá alakítjuk.
lim x a
A
de nyugi, ilyen nem szokott lenni
szám 0
x a valami p ( x) lim q( x) xa x a izé
esetben pedig, ahol csak a nevező nulla, ott csak a nevezőt alakítjuk szorzattá.
lim xa
p ( x) valami lim q( x) xa x a izé
lim xa
1 valami x a izé
*Ez csak folytonos függvényekre igaz, de a feladatok készítőinek fantáziája szerencsére megragadt ezeknél.
1
x 2 16 x 55 ? x5 4 x 2 16 x 20 x 2 x 12 4.2. lim ? x3 3 x 2 4 x 15 16 x 2 x 4 4.3. lim ? x4 4 x 3 16 x 2 x 3 5x 2 6 x 4.4. lim ? x 2 x 4 16 4.1.
x 2 7 x 12 ? x1 4 x 2 16 x 12 x2 1 4.6. lim 2 ? x5 x 25 x2 5 4.7. lim ? x4 x 4 2
lim
4.5.
lim
4.8.
lim x1
x4 1 ? x3 1
FOLYTONOSSÁG
DEFINÍCIÓ: Az
f (x) függvény folytonos az a helyen, ha értelmezve van az a helyen, létezik és véges a határértéke az a helyen és lim f ( x) f (a) xa
DEFINÍCIÓ: Az
f (x) függvény folytonossá tehető az a helyen, ha értelmezve van az a helyen a helyen.
és létezik véges a határértéke az
1 helyen? 4 1 , ha x R 0; 4
4.9. Folytonos-e a következő függvény az
4x 2 9x 2 4x 2 x f ( x) 7 ,
ha
x
x
1 4
4.10. Megadható-e az A szám értéke úgy, hogy az alábbi függvény folytonos legyen az x=3 helyen?
x 2 6x 9 , ha x R 2;3 f ( x) x 2 x 6 A , ha x 3 4.11. Folytonossá tehető-e az alábbi függvény az x=-4 és x=3 helyen?
f ( x)
x 4 12 x 4 x 2 x 4 3 x 4
2 helyen? 3 2 , ha x R 1; 3
4.12. Folytonos-e a következő függvény az
3x 2 2 x 2 3x x 2 f ( x) 2 ,
ha
x
x
2 3
2
4.13. Folytonos-e a következő függvény az x=1 és x=6 helyen?
x 2 3x 18 , ha x R 1; 6 2 x 12 f ( x) 5 , ha x 1 9 , ha x 6 2 4.14. Folytonos-e a következő függvény az x=3 és x=4 helyen?
3x 2 x 24 , ha x R 3; 4 2 x 7 x 12 f ( x) 7 , ha x 3 5 , ha x 4 4 4.15. Folytonos-e az alábbi függvény az x=2 helyen? 2 x 1 f ( x) 2 3x
, ha x 2 , ha x 2
4.16. Megadható-e az A szám értéke úgy, hogy az alábbi függvény folytonos legyen az x=1 helyen?
Ax 2 Ax 2 f ( x) 2 x 5 x 3 3 x x7
, ha x 1 , ha x 1
4.17. Megadható-e úgy A és B szám értéke, hogy az alábbi függvény folytonos legyen az x=2 és x=5 helyen?
3x 2 8 x 4 2 x 7 x 10 f ( x) A B
, ha x R 2; 5 , ha x 2 , ha x 5
4.18. Megadható-e úgy A és B paraméter értéke, hogy az alábbi függvény folytonos legyen az x=-2 és x=3 helyen?
x 2 x 12 2 x x6 f ( x) A B
, ha x R 2; 3 , ha x 2 , ha x 3
3
4.19. Megadható-e A és B úgy, hogy az alábbi függvény folytonos legyen az x=0 és x=4 helyen?
4x3 x 4 , ha x R 0; 4 3 2 x 3 x 4 x f ( x) A , ha x 0 B , ha x 4
lim f ( x) ?
4.20. Megadható-e úgy A és B paraméterek értéke, hogy az alábbi függvény ne legyen folytonos az x=3 és x=4 helyen?
16 x 2 x 4 2 x 7 x 12 f ( x) A B
, ha x R 3; 4 , ha x 3 , ha x 4
lim f ( x) ?
4.21. Megadható-e úgy A és B paraméterek értéke, hogy az alábbi függvény folytonos legyen az x=-3 és x=4 helyen?
4 x 2 36 , ha x R 3; 4 2 Ax Ax 12 A f ( x) 10 , ha x 3 B , ha x 4 4.22. Megadható-e úgy A és B paraméterek értéke, hogy az alábbi függvény folytonos legyen az x=3 és x=4 helyen?
9 Ax Ax 3 , ha x R 3; 4 2 2 x 14 x 24 f ( x) 3 A , ha x 3 B , ha x 4 x 4.23. Megadható-e az A szám értéke úgy, hogy az alábbi függvény folytonos legyen az x=1 helyen?
x2 x4 f ( x) x 3 1 A
, ha x R 1 , ha x 1
lim f ( x) ?
4.24. Megadható-e az A szám értéke úgy, hogy az alábbi függvény ne legyen folytonos az x=2 helyen?
x 4 16 f ( x) x 3 8 A
, ha x R 2 , ha x 2
4
4.25. Megadható-e úgy az A paraméter értéke, hogy az alábbi függvény folytonossá tehető legyen az x=4 helyen?
3x 2 7 x 20 2 x 9 x 20 f ( x) 2 3 A 8x 2 x x 4 16 x 2
, ha x 4 , ha x 4
4.26. Megadható-e úgy az A paraméter értéke, hogy az alábbi függvénynek létezzen határértéke az x=3 helyen?
3x 2 x 30 2 x 10 x 21 f ( x) 2 3 A 9 x 3x x 4 3x 3
, ha x 3 , ha x 3
4.27. Megadható-e úgy az A paraméter értéke, hogy az alábbi függvény folytonos legyen az x=-5 helyen?
2 x 2 5 x 25 2 x x 20 f ( x) a sgn x 3 x 25 x 4 x 20
ha
x 5
ha
x 5
ha 5 x
4.28. Folytonos-e a következő függvény az x=3 és x=4 helyen?
x 34 x 43 , ha x R 3; 4 2 2 6 x 16 x 3 f ( x) 12 , ha x 3 1 , ha x 4 4
4.29. Folytonossá tehető-e a következő függvény az x=-4 és x=5 helyen?
x 2 x 20 x 52 x 43 x 44 x 2 25 4 f ( x) A , ha x 4 B , ha x 5
, ha x R 4; 5
5
Teendők egyéb
0 0
esetben
1 cos x 1 x0 x2 2
lim
sin x 1 x0 x
lim
sin IZÉ 1 IZÉ 0 IZÉ
1 cos IZÉ 1 IZÉ 0 IZÉ 2 2
lim
lim
ha a szinuszban 2x van, de a nevezőben csak x, akkor cselhez kell folyamodni.
sin 2 x 2 sin 2 x lim 1 x0 x4 x 2x
lim
először leosztunk x-el, aztán tömegesen alkalmazzuk az előző cselt:
sin 2 x sin 3x lim lim x0 x0 5 x sin 4 x
sin 2 x sin 3x sin 2 x sin 3x 2 3 x x lim 2x 3 x 2 1 3 1 5 x0 sin 4 x sin 4 x 5 4 1 9 5 54 x 4x
sin 5 x sin 4 x ? x0 4 x 2 16 sin 3 x 4 x 2 sin 2 x 4.31. lim ? x0 4 sin 9 x 2 5 x sin x 4.30.
lim
x 16 x sin x ? x0 1 cos x sin 2 x x tg 3x 4.33. lim ? x0 4 sin x x sin 3 x x 2 tgx tg 2 x 4.34. lim ? x0 x sin 4 x tgx sin x 4.35. lim ? x0 x3 2
4.32.
lim
4.41. Folytonos-e az alábbi függvény az
sin x sin 2 x f ( x) x 2 sin 3x 5
ha
x0
ha
x0
cos x cos 2 x ? x0 tg 2 x tgx sin x 4.37. lim ? x0 2 sin x sin 3 x sin 2 x x 2 1 cos x ? 4.38. lim x0 5 x 2 sin 2 4 x tg 2 x sin 2 x ? 4.39. lim x0 x3 4.36.
lim
4.40.
lim 1 ctg 2 x x
ha
x0
ha
x0
tg 2 x
?
2
x0 0 helyen?
4.42. Milyen A szám esetén folytonos az alábbi függvény az
tgx sin 2 x f ( x) x sin x A
x0 0 helyen?
6
4.43. Milyen A szám esetén folytonos az alábbi függvény az
x1 f ( x) e A
x0 x0
ha ha
4.44. Milyen A szám esetén folytonos az alábbi függvény az
x sin x tgx f ( x) A 2 x x x 2 3x
ha
x0
ha
x0
ha
x0
4.45. Milyen A szám esetén folytonos az alábbi függvény az
1 f ( x) 1 e x A
ha
x0
ha
x0
4.46. Milyen A szám esetén folytonos az alábbi függvény az
1 1 f ( x) 1 e x A
x0 0 helyen?
ha
x0
ha
x0
x0 0 helyen?
x0 0 helyen?
x0 0 helyen?
4.47. Milyen A és B szám esetén folytonos az alábbi függvény a teljes számegyenesen?
x 2 1 ha x 1 3x 3 f ( x) Ax B ha 1 x 0 x sin 2 x1 ha 0 x x sin x 4.48. Milyen A szám esetén folytonos az alábbi függvény az
x 2 sin 2 x x 3 tg 4 x 2 f ( x) A 2 2 x sin 3x sin 2 2 x 3x
ha
x0
ha
x0
ha
x0
4.49. Milyen A szám esetén folytonos az alábbi függvény az
sin x 4 x 2 16 tg x 2 16 f ( x) 12 A 16 x 2 4 x 3 24 x 4 64
ha
x4
ha
x4
ha
x4
x0 0 helyen?
x0 4 helyen?
7
L’HOSPITAL SZABÁLY (A CSODAFEGYVER)
0 f ( x) HATÁRÉRTÉK VAGY x g ( x ) 0 f ( x) f ( x) f ( x) lim TÍPUSÚ, VALAMINT LÉTEZIK A lim HATÁRÉRTÉK, AKKOR lim x g ( x ) x g ( x) x g ( x)
HA
f (x)
ÉS
DERIVÁLHATÓ
g (x)
EGY KÖRNYEZETÉBEN ÉS A
lim
A L’Hospital szabály segítségével azokat a határértékeket, amikkel eddig szenvedtünk, most rettentő gyorsan ki tudjuk számolni. Egyetlen bökkenő az, hogy kell tudni deriválni.
LÁSSUNK NÉHÁNY PÉLDÁT! deriváljuk 0 L 0
x 2 9 x 20 2x 9 1 lim 2 lim x4 x x 12 x 4 2 x 1 7
mateking.hu deriváljuk
deriváljuk
0
L
sin 2 x sin 3x 0 cos 2 x 2 cos 3x 3 1 2 1 3 5 lim lim x0 x0 5 x sin 4 x 5 cos 4 x 4 5 1 4 9 deriváljuk
deriváljuk 0 L 0
e x cos x lim x0 arctgx sin x x0
lim
e x sin x 1 0 1 1 1 1 2 cos x 2 1 x
deriváljuk
deriváljuk
bmbmnb 0 0
L
sin x ln cos x lim x0 e sin x cos x x0
lim
1 sin x 1 1 0 cos x 1 sin x e cos x sin x 1 1 0
cos x
deriváljuk
Az is lehet, hogy x nem egy konkrét számhoz tart, hanem mondjuk végtelenbe, a L’Hospital szabály ilyen esetekben is remekül használható.
8
4.50. 4.51. 4.52. 4.53. 4.54. 4.55.
e x 1 ? x0 x sin x x2 x lim ? x1 ln x x 1 3 x 7 2x lim ? x 1 x 3 2x 2 ln x 2 lim ? x 0 ln e x 1 x arctgx lim ? x0 x sin x sin 3 x lim e x ln x 3 x ? lim
x
e x ln x ? x e x x 1 1 4.57. lim ? x0 x ln x 1 4.56.
lim
1 1 lim x ? x0 sin x e 1 1 1 4.59. lim ? x0 sin x x cos x 1 4.58.
L’HOSPITAL SZABÁLY TOVÁBBI ALKALMAZÁSAI
A L’Hospital szabály használható rendkívül cseles 0 és határértékekre is. Ehhez mindössze a logaritmus definíciójában kell elmélyednünk egy csöppet: 0
0
BÁRMI e ln BÁRMI
mateking.hu Ezt az átalakítást alkalmazva x lim x x lim e ln x
x0
x0
először kiszámoljuk a kitevő hova tart:
lim ln x x lim x ln x 0 x0
x0
amit aztán visszarakunk: x lim x x lim e ln x e 0 1
x0
x0
4.60.
lim x 2 x ?
4.61.
lim x sin x ?
4.62.
lim sin x
4.63.
lim sin x
4.64.
lim sin x
4.65.
lim ln x 2
x0
x0
ln 1 x
x0
tgx
x0
?
sin x
x0
x0
?
?
ln 1 x
?
9
