TUZSON ÁGNES
PÉLDATÁR
és MEGOLDÁSI ÚTMUTATÓ a MATEMATIKA INFORMATIKUSOK ÉS MŰSZAKIAK RÉSZÉRE I. c. tankönyvhöz
Tartalomjegyzék
1
Bevezetés............................................................................................................................ 3
2
Végtelen numerikus sorozatok ........................................................................................... 4
3
Egyváltozós valós függvények........................................................................................... 5
4
5
6
3.1
Ismétlés....................................................................................................................... 5
3.2
Függvények intervallumbeli elemi tulajdonságai ...................................................... 7
3.3
Határérték, folytonosság............................................................................................. 8
3.4
Elemi függvények ...................................................................................................... 9
Differenciálszámítás......................................................................................................... 12 4.1
Formális differenciálás............................................................................................. 12
4.2
A differenciálszámítás alkalmazásai ........................................................................ 14
Integrálszámítás................................................................................................................ 16 5.1
A határozatlan integrál ............................................................................................. 16
5.2
A határozott integrál és alkalmazásai....................................................................... 20
Megoldások ...................................................................................................................... 24
2
1 Bevezetés A feladatgyűjtemény a Matematika informatikusok és műszakiak részére I. (ISBN 963 661 576 4, Miskolci Egyetemi Kiadó, 2003) c. tankönyvben tárgyalt – az analízis témakörébe tartozó – fejezetek sorrendjében és felépítésében tartalmazza a gyakorlásra ajánlott feladatokat és kidolgozásukat. Az egyes fejezetek követik a tankönyv fejezeteit, a feladatok számozása azonban folyamatos a megoldások könnyebb beazonosítása érdekében. A Megoldások fejezet a szokásosnál részletesebben, lépésenként mutatja be a feladatok megoldási menetét, remélhetőleg jól segítve, de nem kiváltva a saját munkán alapuló alapos megértést. A példatár és megoldási útmutató a TÁMOP-4.2.1.B-10/2/KONV-2010-0001 projekt támogatásával készült.
3
2 Végtelen numerikus sorozatok Szükséges elméleti ismeretek: – a végtelen sorozat fogalma és tulajdonságai (monotonitás, korlátosság) – a sorozat határértékének és torlódási pontjának fogalma, megkülönböztetése – konvergencia-tételek – műveletek konvergens sorozatokkal – nevezetes konvergens sorozatok 1. Írja fel az alábbi – általános elemükkel adott – sorozatoknak az első három és a tizedik elemét: a.)
an
2 n 1
b.)
an
n 1 2
c.)
an
n2 n 1
d.)
an
1 n2 n2 1
e.)
an
n2 n2 1
f.)
an
n3 2 n2 1
g.)
an 2 n
h.)
an 2 n
i.)
an 1n
j.)
an cos n
k.)
an sin
l.)
1 a n 1 n
m.)
3n 6 2 n an 9n
n.)
an
o.)
n , ha n páros an 1 . n páratlan , ha n
n 2
1 2 3 ... n n
n
2. Vizsgálja meg az alábbi végtelen sorozatokat monotonitás és korlátosság szempontjából: a.)
an
2 n 1
b.)
an
n 1 2
c.)
an
n2 n 1
d.)
an
1 n2 n2 1
e.)
an
n2 n2 1
f.)
an
n2 2 n 1
g.)
an 2 n
h.)
an 2 n
i.)
an 1n
j.)
an cos n
k.)
an 1
l.)
5n 1 a n n 1 5
m.)
1 2 3 ... n an n
n
n.)
4
1 n2
n , ha n páros . an 1 , ha n páratlan n
3. Ellenőrizze, hogy az an 1
1 3 általános elemű sorozatnak határértéke-e a A szám! n 2
4. Vizsgálja meg a 2. feladatban szereplő sorozatokat konvergencia szempontjából. A konvergens sorozatoknak adja meg a határértékét. A divergens sorozatoknak adja meg a torlódási pontját/pontjait, ha van(nak)! 5. Számítsa ki az alábbi sorozatok határértékét, ha létezik: n3 3n 2n3 4n 2 15n
a.)
an
c.)
n3 3n an 2 4n 15n
e.)
an
n 2 3n 2n3 4n 2 15n
b.)
an
d.)
6 n1 2 n101 an n 2 3 1010
n
1 n2 1 1 . 2n 2 1 n
6. Az alábbi sorozatok közül a konvergens sorozatokhoz keresse meg az 10 2 értékhez tartozó küszöbszámot: a.)
an
2 n 1
b.)
an
n 1 2
c.)
an
2n n 1
d.)
an
1 n2 n2 1
e.)
an
n2 n2 1
f.)
an
n2 2 n 1
g.)
an 2 n
h.)
an 2 n
i.)
an 1n
j.)
an cos n
k.)
an 1
l.)
5n 1 an n 1 . 5
n
1 n2
3 Egyváltozós valós függvények 3.1 Ismétlés Szükséges elméleti ismeretek: – középiskolában tanult nevezetes függvények és tulajdonságaik – függvénytranszformációk 7. Adja meg a valós számoknak azt a legbővebb halmazát, ahol az alábbi függvények értelmezettek:
5
a.)
f x x x 1
b.)
f x x 2 1
d.)
f x 1 x 2
e.)
f x
g.)
f x
2 x2 4
j.)
f x
1
2 x2 1 x
c.)
f x x 2 1
f.)
f x
i.)
f x x x
l.)
f x x ln x
2 x 4 2
h.)
f x 2
2
k.)
f x
m.)
f x x x 1
n.)
f x 2 x 1
o.)
f x log 2 x 2 1
p.)
f x ln ln x
q.)
f x ln sin x
r.)
f x log 1
x 1
x sin x 1
2
2 x 4 .
8. Függvénytranszformáció segítségével vázolja az alábbi függvények grafikonját. a.)
f x x x 2
b.)
f x x 2 5 x 6
c.)
f x x 2
d.)
f x 2 1 2 x
e.)
f x
f.)
f x 4 2 x 2
g.)
f x ln
h.)
f x 2 cos2 x
i.)
f x 4 2
j.)
f x log 2 x 1 , x 1 .
1 x2
x
1 x2
1
6
4
3.2 Függvények intervallumbeli elemi tulajdonságai Szükséges elméleti ismeretek: – korlátosság – monotonitás – invertálhatóság – párosság, páratlanság – periodicitás fogalma és vizsgálatának módszerei. 9. Vizsgálja meg, hogy az alábbi függvényeknek van-e alsó vagy felső korlátja. Mely függvények korlátosak? x , x0 x2
a.)
f x
c.)
f x x 2 , x 2
e.)
f x
1 , x 3 x2
b.)
f x
1 , xR 1 x2
d.)
f x
cos x , x0 x 1
f.)
f x ln sin x , 0 x
10. Az alábbi függvények közül melyik monoton? 1 , x 1 x 1
a.)
f x 1 2 x
b.)
f x
c.)
f x x 2
d.)
f x 1 x 2 , 1 x 0
e.)
f x e x e x
f.)
f x ln sin x ,
2
x .
11. A 10. feladat mely függvényei invertálhatóak? Adja meg ezen függvények inverzét! 12. Az alábbi függvények közül melyik páros illetve páratlan? a.)
f x 1 2 x 1 2 x
b.)
f x x cos 2 x
c.)
f x ln x x 1
d.)
f x
2
7
x2 sin x . tg x
13. Az alábbi függvények közül melyek periodikusak? x 2 , ha 1 x 1 f x 2 , egyébként
a.)
f x
b.)
f x sin 2 x
c.)
f x x cos x .
3.3 Határérték, folytonosság Szükséges elméleti ismeretek: – határérték – folytonosság fogalma, tulajdonságai és vizsgálatának módszerei. 14. Számítsa ki az alábbi határértékeket, ha léteznek: a.)
lim
x x2 x 2
b.)
x x x 2
c.)
lim
x x x 2
d.)
x x 2 x 2
e.)
x2 x 2 x 2 4
f.)
lim
g.)
lim
x2 x x 2 4
h.)
x2 4x 4 lim x 2 x2 4
i.)
lim
x2 x 2 x 1 x 2 2 x 3
j.)
x2 x 2 x x 2 2 x 3
k.)
x2 x 2 x x 3 2 x 3
l.)
x3 x 2 x x 2 2 x 3
lim
lim
8
lim
lim
x2 x2 x2 4
lim
lim
n.)
2 1 lim x 1 1 x 1 x2
p.)
lim
x2 x 0 1 cos x
r.)
lim
sin x x
t.)
lim cos x
3x sin x x 2 x cos x
v.)
lim
2 x 1 x 5 x 2 25
m.)
lim
o.)
lim
q.)
lim
s.)
lim
u.)
lim
x
x
x
2
5x x
sin 2 x x0 3x sin x x 0 tg x
x
3 sin x . x 2 cos x
1
15. Számítsa ki az f x 2 x függvény bal- és jobboldali határértékét az x0 0 helyen. 16. Meghatározható-e úgy az a, b, c, d paraméter értéke úgy, hogy az alábbi függvények értelmezési tartományuk minden pontjában folytonosak legyenek: sin x xx 2 2 , ha x és x 0 a.) f x a , ha x 0 b , egyébként; x3 x 2 x 1 , ha x R /0 , 1 x3 x 2 ha x 0 b.) f x c , d , ha x 1.
3.4 Elemi függvények Szükséges elméleti ismeretek: – részlegesen egyenes vonalú függvények – racionális egész- és törtfüggvények – trigonometrikus függvények és inverzeik – exponenciális és logaritmus függvények – hiperbolikus függvények és inverzeik tulajdonságai.
9
17. Vázolja az alábbi függvények grafikonját (végezzen azonos átalakításokat, ill. számítsa ki a határértéket is, ahol szükséges): b.)
f x
1 1 sgn x
d.)
f x
x 1 x 1
f x x 1 sgn x
f.)
2 x 1 f x
g.)
f x 1 x 2
h.)
f x 1 x 2 x 1
i.)
f x x 2 x 1 x 2
j.)
f x x 2 x 1 x 2 1
k.)
f x
1 x 1
l.)
f x
1 x 12
m.)
f x
1 2 x 1
n.)
f x
x 1x 22 2 x 2 x 1
o.)
f x
x 1x 22 2 x 2 x 1
p.)
x x3 f x x2
q.)
f x
x2 4 x 2x 12
r.)
f x
a.)
f x x 2 3 sgn 1 x
c.)
f x
e.)
x sgn 2 x
2
3
2
sgn x
3
x3 . x2 x2 1
18. Vázolja a következő arkusz függvényeket (ahol szükséges előbb írja fel egyszerűbb alakban a függvényt): 1
a.)
f x arcsin 2 x
b.)
f x
c.)
f x arctgx 1
d.)
f x cosarccos x
10
arccos1 2 x
e.)
f x arccoscos x
f.)
f x sin arccos x
g.)
f x tg arctg x
h.)
f x arcctgctg x .
19. Számítsa ki az alábbi kifejezések pontos értékét: a.)
1 3 sin arccos arccos 4 4
c.)
4 2 tg arcsin arccos . 5 5
b.)
1 cos arccos arctg 2 4
20. Igazolja, hogy arcsin x arccos x
a.)
b.)
2
4 2 arcsin arccos arcctg 2 . 5 5
21. Vázolja az alábbi hiperbolikus és area függvényeket (ahol szükséges előbb írja fel egyszerűbb alakban a függvényt): a.)
f x 1 ch 2 x
b.)
f x 2 2 cth x 2
c.)
f x 2 sh x 1
d.)
f x 2 x sh ln x
e.)
f x 1 arch x
f.)
f x 2 arsh x 1
g.)
f x sh arsh x 1
h.)
f x arch ch x .
11
4 Differenciálszámítás 4.1 Formális differenciálás Szükséges elméleti ismeretek: – a differencia- és a differenciálhányados fogalma, kiszámítása – elemi függvények deriváltja – differenciálási szabályok. 22. Differenciálja a következő függvényeket I.: 1 2 x x2
b.)
f x x
d.)
f x 3 x 4
f x x 2 3x 2
f.)
f x x5 x 2 1
g.)
f x x x x
h.)
f x 4
i.)
f x 3
j.)
f x x cos 2 x arctg 2 x
k.)
f x sin 2 x sin x 2 tg
l.)
f x cos 2 x 2 tg x
m.)
f x ctg x tg 2 x
n.)
f x
a.)
f x 3a 2 x 3 2 x 2 15
c.)
f x 4 3x x 2 2 x
e.)
o.)
q.)
x 12 x3
x 2
f x x arctg2 x 1
p.)
f x x 2 1 arc sin x
r.)
12
2 2x
1 3 x x2
f x
1 cos 2 x 1 cos 2 x
arccos 1 x2
1 x
f x arcctg x sin x
s.)
f x a x ln a
t.)
f x
x 1 ln x
23. Differenciálja a következő függvényeket II.: a.)
f x 2 2 x ln 2 x
b.)
f x e x cos ln x
c.)
f x log 2 log 3 x
d.)
f x ln
e.)
f x x x
f.)
f x sin x x
g.)
f x sh x 2 1
h.)
f x ch 2 2 x th
i.)
f x
1 ch 2 x ch 2 x
j.)
f x x cth x
k.)
f x arsh
l.)
f x 1 x 2 arch x
m.)
f x arcth x 2 arth x 2
n.)
f x ln x x
x 1 x2
2
x2 1 x cos x
24. Állítsa elő y -t a következő egyenletekből: a.)
x 12 y 22 4
b.)
y xy 2 x cos y
c.)
3x 2 y x y
d.)
arctg
13
y x2 y2 x
1 x
(!!!)
25. Hol differenciálhatók az alábbi függvények? Adja meg a deriváltat ezeken a helyeken! e 1 , ha x 1 f x 2 x 2 f x ln x a.) b.) , ha x 1 x e
c.)
f x 1 x 3 3
d.)
f x x x
26. Számítsa ki az alábbi magasabbrendű deriváltakat: a.)
c.)
f x ln x
f x ?
f x 1 cos 4 x f 6 x ?
b.)
f x arctg x
f x ?
d.)
xy 3 2 y 2 0
y x ?
4.2 A differenciálszámítás alkalmazásai Szükséges elméleti ismeretek: – a derivált geometriai jelentése – görbék érintkezése – a differenciálszámítás középértéktételei – Taylor- polinom – Bernoulli-L’Hospital szabály – teljes függvényvizsgálat 27. Adott az f x x 2 4 x 6 függvény. a.) Állítsa elő az f függvény x0 1 abszcisszájú pontjához húzott érintő egyenletét. b.) Van-e az f függvény görbéjének olyan pontja, melyhez húzott érintő átmegy az origón? Ha igen, akkor adja meg e pont koordinátáit. c.) Van-e az f függvény görbéjének olyan pontja, melyhez húzott érintő az x-tengely pozitív felével 45 - os szöget zár be? Ha igen, akkor írja fel az érintő egyenletét. 28. Hányad rendben érintkeznek az alábbi görbék az x0 helyen? f x sin x x0 0 x3 g x x 6 29. Mekkora szög alatt metszi az f x ln x függvény görbéje az x-tengelyt? 30. Az a paraméter milyen értéke esetén érinti az f x ax 2 függvény görbéje a g x ln x függvény görbéjét?
14
31. Vizsgálja meg, hogy teljesülnek-e a Rolle-tétel feltételei az x, ha - 10 x 2 f x 2 x 6 x 6, ha 2 x 8 függvényre a 6 ,6 intervallumon. Ha igen, akkor keresse meg értékét/értékeit, melye(ek)re f 0 . 32. Írja fel a Lagrange-féle középértéktételt az intervallumon.
f x x 3 2 x 2 3 függvényre a
2 , 3
33. Írja fel az alábbi függvények x0 helyhez tartozó n-edfokú Taylor-polinomját sh x , x0 0, n 2 1 x
a.)
f x ln x, x0 1, n 5
b.)
f x
c.)
f x e x , x0 0, n 3
d.)
f x sin x cos x, x0 0, n 3 .
2
34. Számítsa ki az alábbi határértékeket a Bernoulli-L’Hospital szabály alkalmazásával a.)
lim
tg x sin x x 0 x2
b.)
lim
c.)
lim
arctgln x x 1 x 1
d.)
. lim
e.)
x 2 lim x 1 0 ln x x 2
f.)
g.)
1 lim x e x 1 x
i.)
k.)
tg
lim
x
lim
x
x
3 2 x 3 5x
x
h.)
j.)
l.)
e x 1 x 0 sin 2 x
x 6
1 2 sin x cos 3 x
2 lim log x arcsin x
x 1 0
1 lim 2 ctg 2 x 0 0 x
x
lim x tg x
x 0 0
2 lim arctg x x 0 0
x
35. Végezzen teljes függvényvizsgálatot (értelmezési tartomány, zérushely(ek), párosságpáratlanság, periodicitás, lokális szélsőérték(ek), monoton szakaszok, inflexiós pont(ok), konvex-konkáv szakaszok, határértékek, értékkészlet) az alábbi függvényeken, majd vázolja a függvény görbéjét
15
a.)
f x 3x x 3
c.)
f x
e.)
f x e x
g.)
i.)
b.)
f x x 3 x
d.)
f x
f.)
f x x ln x
f x ln x 2
h.)
f x
f x sin x cos x
j.)
f x x e x
x x 1 2
2
1 x 1 2
ln x x
36. Egy pozitív számhoz adjuk hozzá a reciprokát. Milyen szám esetén minimális ez az összeg? 37. Hogyan kell adott V térfogat mellett a henger alakú konzervdoboz alapkörének sugarát és magasságát megválasztani úgy, hogy a doboz felszíne a lehető legkisebb legyen? 38. A r sugarú félkörbe legfeljebb mekkora területű téglalap rajzolható?
5 Integrálszámítás 5.1 A határozatlan integrál Szükséges elméleti ismeretek: – alapintegrálok – integrálási szabályok – nevezetes függvénytípusok integrálása 39. Számítsa ki a következő határozatlan integrálokat (végezzen azonos átalakításokat az integrandusz függvényen, ha szükséges) 1
a.)
c.)
x2 1 x 2 1 dx
x
x
1 dx x
b.)
d.)
16
3
x x dx
2
2x
e x 1 dx
e.)
tg
g.)
1 x x2 x1 x 2 dx
i.)
arcsin x arccos x dx
2
x dx
f.)
sin 2 2 x sin 2 x cos 2 x dx x3 x
h.)
j.)
x ex x e x1 dx
x
dx
40. Számítsa ki a felsorolt integrálokat az * f x dx ln f x C f x 1 * * f x f x dx f x C , ha R / 1 1 F ax b * * * f ax b dx C , ahol F x f x és a R /0, b R a
formulák alkalmazásával 6x 5
a.)
x2 x 2 4 x 2dx
b.)
c.)
ctg xdx
d.)
cos
e.)
ln x dx x
f.)
x ln xdx
g.)
cos3 2 x dx
h.)
x
i.)
x
j.)
e
k.)
cos x
l.)
sin x cos x
m.)
n.)
cos 2 x 1 dx (!)
2
5 2 x 3 3dx
2 3 sin x dx
1 cos x dx
17
3x 2 5 x 1
dx
sin 2 x dx 3 2x
1
2
1 dx 2x 2
x 1
1 e x dx
3 2 cos 2 x
dx
41. A következő integrálok kiszámításánál alkalmazza a parciális integrálás módszerét a.)
2 x 3 e
c.)
x
e.)
b.)
x
d.)
arctgxdx
x arctg xdx
f.)
ln
g.)
arctg
h.)
x
i.)
arcsin xdx
j.)
k.)
e
l.)
sin
2
x
x 1
dx
sin xdx
x dx
sin xdx
2
e x dx
2
3
xdx
2
e x dx
x arcsin x 1 x2
dx
x cos x dx 3 x
42. Az alábbi integrálok kiszámításánál alkalmazza a helyettesítés módszerét 1 ln x dx x ln x
a.)
x
c.)
sin x dx
d.)
e.)
x
f.)
g.)
e
h.)
sin x cos x dx
3
x 1dx
4 x 2 dx
x
dx
b.)
sin 2 x cos x 1 sin 2 x dx 4 x 2 dx
ln tgx
43. Integrálja az alábbi racionális törtfüggvényeket x
dx
a.)
x 12 x 1dx
b.)
1 x
2
c.)
3x 2 x 3 x 12 x 2 1dx
d.)
x x
2
18
3
dx x 1
e.)
x3 x 1dx x 2 4x 1 dx x4 x3
g.)
i.)
x4 x 2 1dx
k.)
x
x 1 dx 4x 5
2
dx 16
f.)
x
4
h.)
x
6
j.)
x2 1 4 x 3 xdx
l.)
x
dx x4
x2 dx 4x 5
2
44. Integrálja az alábbi trigonometrikus függvényeket a.)
sin
b.)
sin
c.)
d.)
tg 2 x 1dx
e.)
4 cos xdx
f.)
cos 3 x sin 4 x dx
g.)
sin 3x cos 2 x dx
h.)
sin 4 x cos 2 xdx
i.)
1 tg 2 x 1 tg 2 xdx
3
2 x cos 3 2 xdx
cos x 1
3 2 sin x 1
dx
j.)
2
x cos 2 xdx
2
sin 3 x 3
cos x
dx
45. Integrálja az alábbi hiperbolikus és exponenciális függvényeket a.)
cth
c.)
sh
e.)
2
2
xdx
b.)
sh x ch
x ch 2 xdx
d.)
cth 2 xdx
f.)
ch
ch x 1 sh x
dx
19
2
2
xdx
xdx
g.)
ex 1 e 2 x dx
h.)
e2x 1 e x dx
46. Integrálja az alábbi irracionális függvényeket a.)
1
c.)
x
e.)
g.)
dx x 1
16 x 2 dx dx 6x 9x 2
1 cos x dx
x
b.)
x 3 x
d.)
16 x 2 dx
f.)
x
h.)
1
dx
1 x dx
1 x x
dx
47. Alkalmas módszer választásával végezze el a kijelölt integrálásokat a.)
xe e dx
c.)
e
e.)
2 4 x 3 3x 2 2 x dx
x
2 x 2 ln x
dx
b.)
x 2 2x x 3 3x 2 5dx
d.)
1 cos x
f.)
x
dx
3
1 x 2 dx
5.2 A határozott integrál és alkalmazásai Szükséges elméleti ismeretek: – a Riemann-integrál fogalma – a Newton-Leibniz tétel – az improprius integrálok fogalma és kiszámításuk – geometriai alkalmazások 48. A Newton-Leibniz tétel és alkalmasan választott határozatlan integrálási eljárás megválasztásával számítsa ki az alábbi határozott integrálok értékét.
a.)
sin xdx
2
b.)
0
sin xdx 0
20
2
c.)
e
sin x dx
d.)
0
1
2
e.)
g.)
x x dx
f.)
sin
4
2
1
x ln x dx
h.)
j.)
1
1 2x x
2
dx
dx
1 2 x 4 dx
3
100
x ln xdx
l.)
1 cos x dx
0
1
2
x sgn sin x dx
n.)
2
1 2
0
1
o.)
2x
0
2e
m.)
2
1
x 0 1 x 2 dx
3
1
0
3
k.)
8
1
1
i.)
1
x dx
x arctg xdx
x2
dx
1 x2
1
p.)
0
x
1 x 2 dx
0
49. Melyik konvergens az alábbi improprius integrálok közül?
a.)
xe
x2
dx
b.)
0
1 1 x dx
d.)
1 x 2 2 x 2 dx
g.)
x 1 e
i.)
1
2 x
f.)
x
2
4
dx
1 dx 2x 2
dx
h.)
cos xdx 0
1
dx 1 x
1
1 2 x
0
0
dx
1
0
e.)
x
0
c.)
xe
2
j.)
2
21
dx
x 1
k.)
1 2
e
1 0 x ln 2 x dx
l.)
1
2
1
m.)
1 0 x ln 2 x dx
n.)
1
o.)
1
x ln
p.)
x
dx
x
0 4
1
1 0 xx 1 dx
2
4 x
2 3
1
x
2
dx
dx
0
50. Számítsa ki az alábbi görbék által határolt véges síkrész területét (készítsen ábrát is!). a.)
y 5 x 2 és y 1
b.)
x 2 y 2 4 x és y 2 2 x
c.)
y 2 4 x és y 2 x 4
d.)
y x 2 és y 2 x
e.)
y sin x , y 0 , x 0 és x 2
f.)
y
ln x , y 0 és x e x
51. Számítsa ki az alábbi forgástest térfogatát. a.)
ln x , y 0 és x e görbék által határolt tartomány forog az xx tengely körül.
b.)
Az y x 2 és y 2 x görbék által határolt véges területű lemez forog az xtengely körül.
c.)
x2 y2 1 ( a, b R , állandó) egyenletű ellipszis forog az x-tengely a2 b2 körül.
y
Az
52. Számítsa ki az alábbi görbeívek hosszát. a.)
3 2
y x , 0 x4
b.)
22
y lnsin x ,
x 4 2
c.)
y ln x x 2 1 , 1 x 2
a.)
Számítsa ki az y 2 2 x 1, 0 x 3 görbeív x-tengely körüli forgatásával keletkező forgástest felszínét.
b.)
Számítsa ki az R sugarú gömb felszínét.
53.
23
6 Megoldások 1. 2 2 2 , , ..., , ... 3 4 11
a.)
1,
d.)
3 8 99 0, , , ..., , ... 5 10 101
e.)
g.)
2, 4, 8, ..., 210 , ...
h.)
j.)
1, 1, 1, ..., 1, ...
b.)
k.)
m.) Az általános tag átalakításával: a n
n.)
o.)
c.)
3 4 5 12 , , , ..., , ... 2 3 4 11
3 4 5 12 , , , ..., , ... 2 5 10 101
f.)
3 10 29 1002 , , , ..., , ... 2 5 10 101
1 1 1 1 , , , ..., 10 , ... 2 4 8 2
i.)
1, 1, 1, ..., 1, ...
l.)
3 4 2, , , ..., 2 3
1,
3 4 11 , , ..., , ... 2 2 2
1, 0, 1, ..., 0, ...
2
3
10
11 , ... 10
3 n 6 2 n 1 12 n , 9n 3n
11 143 1727 1 1210 , , , ..., , ... 3 9 27 310
1 n n 1 n A számtani sorozat összegképletének alkalmazásával: an 2 , n 2 3 11 1, , 2, ..., , ... 2 2 1 1 , 2, , ..., 10, ... 1 3
2. a.) Monotonitás vizsgálat: a n 1 a n
2 2 2 0 a n 1 a n n N szigorúan monoton csökkenő n 2 n 1 n 2n 1
Korlátosság vizsgálat A sorozat szigorún monoton fogyó, ezért felülről korlátos: K a1 1 Alsó korlát keresése: a n
2 0 teljesül n N -re, így a sorozat egy alsó korlátja pl. a k 0 . n 1
A sorozatnak létezik alsó és felső korlátja, ezért korlátos.
24
b.)
Monotonitás vizsgálat: an 1 an
n 2 n 1 1 0 an 1 an , n N a sorozat szigorúan monoton növő 2 2 2
alulról korlátos: k a1 1 . Felső korlát keresése: a sorozat felülről nem korlátos, mert az a n
n 1 K egyenlőtlenség – 2
akármilyen nagy K esetén – sem teljesül minden n-re a sorozat nem korlátos. c.)
Monotonitás vizsgálat: n 3 n 2 n 1n 3 n 2 1 0 a n 1 a n , n N a n 2n 1 n 2n 1 n 2 n 1 2
a n 1 a n
sorozat szigorúan monoton fogyó felülről korlátos: K Alsó korlát keresése: a n
3 . 2
n 2 n 1 1 1 1 1, n N k 1 . n 1 n 1 n 1
A sorozat korlátos. d.)
Szigorúan monoton csökkenő, korlátos.
e.)
Szigorúan monoton csökkenő, korlátos.
f.)
Szigorúan monoton növő, nem korlátos.
g.)
Szigorúan monoton növő, nem korlátos.
h.)
Szigorúan monoton növő, korlátos.
i.)
A sorozat konstans elemű, ezért egyidejűleg monoton növő és fogyó, korlátos.
j.)
Az a n cos n 1 átalakítással a n 1 a n 1 n
n 1
1 2 1 n
a sorozat nem monoton. a n 1 , n N a sorozat korlátos: k 1 a n 1 K .
k.)
Nem monoton, korlátos: a n
1 1 k 1 a n 1 K . n2
25
n 1
2 , ha n páratlan 2 , ha n páros
l.)
Monotonitás vizsgálat:
n 1
n 1
a n 1 5 1 5 n n an 5 5 1
1 n 5 1 a n 1 a n , n N szigorúan monoton fogyó felülről 5 1 5n
korlátos, K a1 4 . 5n 1 1 Alsó korlát keresése: a n n 1 5 5 5 m.) 1. n.) szerint a n n.)
n 1
0 , n N k 0 korlátos.
1 n ; a sorozat megegyezik a 2. b.) feladatban szereplővel. 2
Monotonitás vizsgálat: 1 n 2 n 1 n , ha n páros , ha n páros 0 , ha n páros 2n 1 a n 1 a n n 1 nem 1 n 1 0 , ha n páratlan n , ha n páratlan , ha n páratlan n n monoton. Pozitív elemű a sorozat, ezért alulról korlátos: k 0 . Felső korlátja a páros indexű elemek miatt nem létezik, ezért a sorozat nem korlátos.
3. A határérték definícióját alkalmazva 1 ami ellentmondás, mert a A
1 3 1 1 1 1 2 n , n 2 2 n 1 2 n 2 n 2
2 -nál nagyobb n-ek esetén a sorozat elemei kívül esnek a 1 2
3 -sugarú környezetén. 2
4. A konvergens sorozatokon végezhető műveletek felhasználásával:
a.)
1 0 lim n 0 , konvergens n 1 1 1 n
c.)
1 1 lim n 1 , konvergens n 1 1 n
2
b.)
1 1 lim n , divergens n 2 2
d.)
1 1 1 lim n n 1 , konvergens n 1 1 1 n n
2
26
e.)
1 2 2 lim n n 0 , konvergens n 1 1 2 n
f.)
2 n , divergens lim n 1 1 n
g.)
lim 2 n , divergens
h.)
1 lim 0 , konvergens n 2
j.)
a n 1 lim 1 nem létezik, a
i.)
n
n
n
n
n
n
lim 1n 1 , konvergens
sorozat divergens; torlódási pontjai:
n
t1 1, t 2 1
k.)
m.)
lim 1
n
n
1 0 , konvergens n2
n 1 n n 1 an 2 divergens n 2
l.)
1 n 1 lim 5 5 , konvergens n 5
n.)
A sorozat nem korlátos (lásd a páros indexű elemeket) divergens; egy torlódási pontja van: t 0 .
(lásd b.)
5. a.)
3 n 3n n2 1 lim 3 lim n 2n 4n 2 15n n 4 15 2 2 2 n n
b.)
n 2 3n lim 3 lim n 2n 4n 2 15n n
c.)
3 n 3n n lim 2 lim n 4n 15n n 15 4 n
1
3
3
d.)
1 3 n n2 0 4 15 2 2 n n
n
1 1 2 100 6
n 1
6 n 1 2 n 101 lim lim n 1 n 1 n 3 n 2 10 10 n 1 10 1 3 10 2 6
27
n
e.)
1 n 1 2 1 n2 1 1 lim 2 1 lim n n 2n 1 n 1 n 11 n 2 2 n n 1 1 1 2 1 1 1 1 1 n lim n 1 n 1 1 2 e 2e 2 2 1 1 1 n n 1 n 1
6.
a.)
2 lim n 0 konvergens. n 1 1 n
A küszöbszám:
n 1 divergens, nem létezik küszöbszám. n 2
b.)
lim
c.)
lim
2n 1 konvergens. n n 1
A küszöbszám:
d.)
2n 1 3 1 1 n 299 n * . 100 n 1 n 1 100
1 n2 1 konvergens. n n 2 1
lim
A küszöbszám:
e.)
1 2 1 2 0 n 199 n * . 100 n 1 n 1 100
1 n2 1 2 1 1 2 n 199 n * . 2 100 n 1 n 1 100
n2 0 konvergens. n n 2 1
lim
A küszöbszám:
n2 1 n2 1 2 n 2 100n 199 0 2 n 1 100 n 1 100 n1, 2
100 10 4 796 50 51,95 n 101,95 n * . 2
f.)
A sorozat divergens, nem létezik küszöbszám.
g.)
A sorozat divergens, nem létezik küszöbszám.
28
n
h.)
1 lim 0 konvergens. n 2 A küszöbszám:
i.)
1 1 100 2 n n log 2 100 6,64 n * . n 100 2
lim 1n 1 konvergens. n
A küszöbszám: 1n 1
1 n 1 n* . 100
j.)
lim 1 határérték nem létezik, a sorozat divergens, nem létezik küszöbszám.
k.)
lim 1
n
n
n
n
1 0 konvergens. n2
A küszöbszám: 1
l.)
n
1 1 1 2 n 100 10 n * . 2 100 n n
1 n 1 lim 5 5 konvergens. n 5 A küszöbszám: 5
1 5
n 1
5
1 1 1 n 1 100 100 5
.
n 1 log 5 100 2,86 n 3,86 n
*
7. a.)
Df R
b.)
Df R
c.)
D f x : x 1, x R
d.)
D f x : x 1, x R
e.)
D f R /2
f.)
Df R
g.)
D f R / 2, 2
h.)
D f R /0
i.)
D f 0
j.)
D f x : x 1, x R
k.)
x:x kπ , x R, Df k Z
l.)
Df Ø
m.)
Df R
n.)
D f R /1
o.)
D f x : x 1, x R
p.)
D f x : x 1, x R
q.)
2k x 2k 1π , Df x R, k Z
r.)
5 D f x :2 x , x R 2
29
8.
A megoldás során alkalmazott függvény transzformációk egymást követő függvényeinek képe zöld, kék, lila színnel jelölt, míg a keresett függvény képe piros színű. a.)
f x x x 2 x 1 1 y1 x 2 y 2 x 1 2
2
f x y 2 1
y1
y2 f(x)
b.)
c.)
2
5 1 5 f x x 2 5 x 6 x y1 x 2 y 2 x 2 4 2
f x x 2 y1 x f x
30
2
f x y 2
1 4
d.)
1 1 f x 2 2 x y1 x y 2 x 2 2 1 y 3 x f x 2 2 y 3 2
e.)
f.)
f x
1 1 y1 f x x 2 x
f x 4
2x 2 x átalakítással 4
31
g.)
h.)
1 ln 1 ln x 2 ln x 2 y1 ln x x2 y 2 ln x 2 f x y 2
f x ln
f x 2 cos 2 x y1 cos x y 2 cos x 2 2 y 3 cos 2 x f x 2 y 3 2
x
i.)
f x 4 2
1
1 x 1 2 y1 2 x f x y1 4 4
32
j.)
f x log 2 x 1 4 log 2 x 1 y1 log 2 x y 2 log 2 x 1 4
f x 4 y 2
9.
x 2 2 1
a.)
x 0 k és x 2 x0
b.)
1 1 x2 x2 x2 1 0 k és 1 1 K 1 x2 1 x2 1x2 1 x2
x2
2 1 K 0 f x 1 x 2 x0
korlátos.
0 f x 1
0 , xR
korlátos. c.)
x 2 0 k ; felülről nem korlátos, mert tetszőlegesen (nagy) pozitív K esetén minden x K 2 2 mellett a
x 2 K egyenlőtlenség nem teljesül a függvény nem korlátos.
d.)
cos x cos x 1 1 1 f x 1 a függvény korlátos. x 0 x 1 x 1 x 1
e.)
1 1 1 1 f x 1 a függvény korlátos. x2 x 2 x 3
f.)
Az intervallumon 0 sin x 1 a logaritmusfüggvény a 0,1 intervallumon alulról nem korlátos, felső korlátja azonban létezik: K ln 1 0 f x .
10. a.)
Legyen x1 x 2 , ekkor f x 2 f x1 1 2 x 2 1 2 x1 2 x1 x 2 0 , ahonnan f x 2 f x1 x R esetén. A függvény szigorúan monoton fogyó.
33
b.)
Legyen x1 x 2 1 , ekkor f x 2 f x1
x1 x 2 1 1 0. x 2 1 x1 1 x 2 1 x1 1
A függvény szigorúan monoton csökkenő. c.)
Legyen 2 x1 x 2 , ekkor f x 2 f x1 x 2 2 x1 2
x 2 2 x1 2
x 2 2 x1 2
x 2 2 x1 2
x 2 2 x1 2
x 2 x1
x 2 2 x1 2
x 2 2 x1 2
0 f x 2 f x1
szigorúan monoton nő. d.)
Legyen 1 x1 x 2 0 , ekkor f x 2 f x1 1 x 1 x 2 2
e.)
x12 x 22 1 x 22 1 x12
2 1
1 x
2 2
1 x12
1 x
2 2
1 x12
1 x 22 1 x12
0 f x 2 f x1 szigorúan monoton nő.
Legyen x1 x 2 , ekkor
f x 2 f x1 e x2 e x2 e x1 e x1 e x2 e x1
1 1 x2 x1 e e
e x2 e x1 1 e e x1 x2 e x2 e x1 1 x1 x2 0 f x 2 f x1 . szigorúan e e e e 0 x2
x1
0
monoton nő. f.)
Legyen
2
x1 x 2 , ekkor sin x1 sin x 2 és így ln sin x1 ln sin x 2 , a függvény
szigorúan monoton csökken.
11. A 10. feladatbeli függvények mindegyike szigorúan monoton, ezért invertálható. a.)
x 1 2 f
b.)
x
c.)
x
1
x
f
1 f f x 1
1
1
1
f
1
x 2
f
x 1 x 2
x 1 1 , x
1
x 0.
x x 2 2 ,
x 0.
34
d.)
x 1 f
e.)
x ef
1
x
közül e f
1
1
x 2
e f x
x ln sin f
x
1
ef
x
1
x
1 x 2 , 0 x 1.
xe 2
f 1 x
pozitív volta miatt csak e f
adódik, hogy f f.)
1
f
1
1
x
x ln x
1
1 0 e f
x
1
x 1, 2
x x2 4 gyökök 2
x x2 4 . Mindkét oldal logaritmusát véve 2
x2 2 x R . 2
x
e x sin f
1
f
1
x sin 1 e x , ahol a sin 1
szimbólum a
szinusz függvény , intervallumbeli ágának inverzét jelöli. 2
12. a.)
f x 1 4 x 2 és f x 1 4 x 1 4 x 2 f x f x , a függvény páros.
b.)
f x x cos 2 x x cos 2 x f x f x , a függvény páratlan.
c.)
f x ln x
2
x 2 1 ln x
f x f x ln x x 2 1 ln x x 2
f x f x , a függvény páratlan .
1 ln x
x2 1
2
x2 1 0
x 2 sin x x 2 sin x x 2 sin x f x , tg x tg x tg x
d.)
f x
a.)
Periodikus, periódushossza 2.
b.)
Periodikus, periódushossza π.
13.
35
a függvény páratlan.
c.)
Nem-periodikus.
a.)
x 2 1 lim x2 x 2 4 2
14. b.)
d.) c.)
x lim x x 2 x lim
1 1 1 2 x
x lim x x 2 x lim
1 1 1 2 x
1
x nem létezik, mert a jobb és bal oldali x2
lim
x 2
határértékek különböznek:
1
x x 2 0 x 2 lim
x x 2 0 x 2 lim
e.)
lim
1 1 x2 lim 2 x 2 x 4 x 2 x 2 4
f.)
lim
g.)
1 2 2 x2 x x 0 lim lim x x 2 4 x 4 1 2 x
h.)
x2 x 2 4x 4 lim 0 2 x 2 x 2 x2 x 4
i.)
lim
j.)
x2 x 2 1 x x 2 2 x 3
l.)
x3 x 2 lim x x 2 2 x 3
x 1
x2
1 x2 lim nem létezik, lásd d.)-t 2 x 4 x2 x 2
lim
x 1x 2 lim x 2 3 x2 x 2 lim 2 x 2 x 3 x 1 x 1x 3 x 1 x 3 4
lim
k.)
36
x2 x 2 0 x x 3 2 x 3 lim
2 x 1 2 x 1 2 x 1 4 x 1 lim 2 lim 2 x 5 x 25 x 5 x 25 2 x 1 x 5 x 5 x 5 2 x 1 1 1 lim x 5 40 x 5 2 x 1
lim
m.)
n.) o.)
p.)
2 1 x 2 x 1 1 1 1 lim lim lim lim 2 2 x 1 1 x x 1 x 1 x 1 x 1 2 x 1 x 1 1 x 1 x
x 2 5x x lim x 2 5 x x lim x 2 5 x x x x x 2 5 x x 5x 5 5 lim lim 2 x 2 5 x 5 x x x 1 1 x lim x 0
sin 2 x sin 2 x 2 2 lim x 0 3x 2x 3 3 2
q.)
r.)
x 2 2 x x lim lim 2 2 2 lim x 0 1 cos x x 0 x 0 x x 2 sin 2 sin 2 2 sin x sin x lim lim lim cos x 1 x 0 tg x x 0 sin x x 0 cos x
sin x 0 x
s.)
lim
u.)
3x sin x lim lim x 2 x cos x x
v.)
lim
x
x
1 x
t.)
lim cos x nem létezik x
sin x x 3 cos x 2 2 x 3
3 sin x nem létezik. 2 cos x
15. lim 2 2
lim
1
x 00 x
x 0 0
0,
1 x
lim 2 2
x 0 0
lim
1
x0 0 x
a függvénynek nem létezik határértéke
az x0 0 helyen.
37
16. a.)
Azt kell megvizsgálni, hogy a függvény az origóban, illetve a és a helyen a két paraméter alkalmas megválasztásával folytonossá tehető-e. lim x 0
sin x sin x 1 1 lim lim 2 f 0 a, azaz az origóban folytonossá tehető 2 0 0 x x x x x 2 x 2 2
a függvény. Mivel lim
x 0
sin x sin x 0 és lim 0 , azaz a két határérték 2 x 0 x x 2 x x2 2
megegyezik, ezért b 0 választással f x -nek nemcsak határértéke létezik a és a helyen, hanem folytonos is e két helyen.
x 1 a függvénynek az x3 x2 x 1 x 2 x 1 x 1 lim lim lim 3 2 2 x 0 x 0 x 0 x x x x 1 x2 2
b.)
origóban végtelen a határértéke, ezért itt nem tehető folytonossá.
x 1 4 d 4 választással a x3 x2 x 1 x 2 x 1 x 1 lim lim lim 3 2 2 x 1 x 1 x 1 x x x x 1 x2 2
függvény a , 0 és a 0, intervallumon folytonos. 17.
a.)
x 2 3, x 2 3, f x x 2 3 sgn 1 x 3, x 2 3,
38
ha x 2 x 1, ha - 2 x 1 x 5, ha x 1 3, ha 1 x x 1,
ha x 2 ha - 2 x 1 ha x 1 ha 1 x
b.)
1 1 , ha x 0 f x 2 (pozitív x értékekre a függvény nem értelmezett). 1 sgn x 1, ha x 0
c.)
x , ha x 0 (az origóban a függvény határértéke zérus). f x 1 sgn 2 x x ha 0 x 1
d.)
f x cosarccos x x , x 1,1
x
39
e.)
f.)
x 12 2 f x x 1 sgn x 0 x 12
f x
x 12
x 12 2 sgn x x 1
, ha x 0 , ha x 0 , ha x 0
, ha x 0 , az x 0 helyen nem értelmezett, egyébként ha x 0
megegyezik az e.) feladat görbéjével. g.)
Racionális egészfüggvény: x 1, 1 szeres f x 1 x 2 x 1 x 1 zérushelyek : , yA x2 x 1 , 1 szeres
40
h.)
f x 1 x 2 x 1 x 1 x 1 x 3 ... 2
x 1, 2 szeres zérushelyek : , yA x3 x 1, 1 szeres
x 1, 3 szoros x ... zérushelyek : x 0 , 2 szeres , y A x 7 x 2 , 2 szeres
i.)
f x x x 1 x 2
j.)
x 1, 3 szoros 3 f x x 2 x 1 x 2 1 x 7 ... zérushelyek : , yA x7 x 0 , 2 szeres
2
3
2
7
41
k.)
Racionális valódi törtfüggvény: f x
l.)
f x
m.)
f x
1 zérushelye nincs; pólushelye : x 1, 1 szeres; y A 0 x 1
1
x 12
zérushelye nincs; pólushelye : x 1, 2 szeres; y A 0
x 1, páratlan 1 1 zérushelye nincs; pólushelye i : ; yA 0 x 2 1 x 1 x 1 x 1, páratlan
42
n.)
2 x 1 x 2 f x 2 x 2 x 1
1, páros x 0 , páros zérushelye : ; pólushelyei : ; yA 0 2 , páratlan x 1, páros
o.)
2 x 1 x 2 f x 2 x 2 x 1
x 0 , páros zérushelye : 2 , páros; pólushelye : ; yA 0 x 1, páratlan
p.)
x x x3 x 1 x2 x 2 zérushelye : nincs; pólushelye : x 0 , páratlan (!); f x 2 2 x x x yA x
43
q.)
f x
x2 4
x 2x 12
zérushelye : 2 , páratlan ; pólushelye : x 1, páros;
hézagpont : x 2; lim x2
r.)
f x
x2 4
x 2x 1
2
lim x2
x2
x 1
2
4 ; yA 0 9
x3 zérushelye : nincs ; pólushelye : nincs; x2 x2 1
hézagpont : x 0; lim x 0
x3 x lim 2 0; y A 0 2 2 x x 1 x 0 x 1
18. a.)
f x arcsin 2 x y1 arcsin x y 2 arcsin( x) f x
44
b.)
f x
1 1 arccos 2 x y1 arccos x y 2 arccos x 2 2 1
1 1 y 3 arccos 2 x f x y 3 2
c.)
f x arctg x 1 y1 arctg x y 2 arctg x 1 y 3 y 2 f x y 3
d.)
f x cosarccos x x x 1,1
45
e.)
x 2k , k Z , y 0 , f x y arccoscos x cos y cos x y x 2l , l Z
f.)
f x sin arccos x
g.)
f x tg arctg x x , x R
1 cos 2 arccos x 1 x 2 , x 1,1
x1 ,1 arccos x0 ,
46
h.)
f x y arcctgctg x x R /k , k Z ctg y ctg x y x l , y 0 , , x R /l , l Z
a.)
3 1 sin arccos arccos sin sin cos cos sin 4 4
19.
15 1 cos , sin 1 cos 2 4 4 2 7 3 cos , sin 1 cos 2 0 4 4 2 0
b.)
15 3 1 7 3 15 7 4 4 4 4 16
1 cos arccos arctg 2 cos cos sin sin 4 0
0
2
2
1 15 , sin 1 cos 2 4 4 tg 2 1 1 cos , sin 5 5 1 tg 2 1 tg 2
cos
1 1 15 2 1 2 15 4 5 4 5 4 5
47
c.)
4 2 tg tg tg arcsin arccos 5 5 1 tg tg sin 4 4 0 tg 5 2 2 3 43 5 1 sin 3 1 0 tg 5 1 4 5 3 4 5 2 2 1 cos 3
20. a.)
arcsin x arccos x
x sin b.)
arcsin
2
, átrendezve az egyenletet: arcsin x arccos x / sin 2 2
cosarccos x cos
2
sin arccos x x az állítás igaz.
4 2 4? arccos arcctg 2 / sin sin cos cos sin 5 5 5
2 4 1 , sin 1 cos 2 1 cos 2 5 5 5 2 1 1 ctg 0 , sin cos 2 5 5 1 ctg 2 1 ctg 2 0
1 5
2 5
2 5
1 5
4 igaz. 5
21. a.)
f x 1 ch 2 x y1 ch x, y 2 ch 2 x, y 3 ch 2 x, f x 1 y 3
48
b.)
f x 2 2 cth x 2 y1 cth x, y 2 cth x 2 , y 3 2 y 2 , f x 2 y 3
c.)
f x 2 sh x 1
d.)
f x 2 x sh ln x 2 x x 0
e ln x e ln x 1 x x x 2 1 2 x
49
e.)
f x 1 arch x, x 1
f.)
f x 2 arsh x 1
g.)
f x sh arsh x 1 x 1, x R
h.)
f x archch x x , x R
50
22. Az alábbi feladatokban a differenciálás technikájának elsajátítása a fő cél. A differenciálandó függvények és deriváltjuk értelmezési tartományát csak az elfajuló esetekben tüntetjük fel. a.)
f x 9a 2 x 2 4 x 3 1 4 3 2 x x
b.)
f x 1
c.)
f x 3 x 2 2 x 4 3 x 2 x 2 9 x 2 4 x 8
d.)
f x x 3 2 x
e.)
f x
f.)
f x 5 x 4 x 2 1
4
1 2
f x
1 2 x 3x 2 2
1
3
4 3 2 2 4 3 1 x x x 3 2 3 2x x
2 x 3
1 2
1
g.)
1 2 1 1 2 1 2 1 f x x x x 2 f x x x x 2 2
1 x2
1 1 2 4 3
5 12
h.)
f x
4
i.)
f x
3
j.)
f x cos 2 x x2 cos x sin x
k.)
f x 2 sin x cos x cos x 2 2 x tg
l.)
f x 2 cos x 2 sin x 2 2 x
m.)
f x
3
x x
x 12 x3
x 2
f x
x 1 3 x 3
1 3
1 1 1 5 2 x x 1 2 2x 5x 4 x 2 1 x 6 x 2 1 2 2
1 2 x
2
1 1 2 4 2 x 1 3 x 3 3 x 1 3 1 x 3 3 3 3
2 cos 2 x 2 x cos x sin x
1 2
tg 2 x 2 ctg x 2 sin x cos 2 2 x
51
1 1 2 1 1 1 1 x x 2 1 x 2 2 2
17
x sin 2 x sin x 2 2
1 tg x 2
1 2
5 12 x 12
f x
1
1 cos 2
1 x 2 cos 2 2
1
1 x 2 x 2
1
2 1 4x 2
1 2
n.)
1 1 cos 2 x f x 2 1 cos 2 x
o.)
f x arctg2 x 1 x
1 p.)
q.)
f x
1 x 2
2 sin 2 x 1 cos 2 x 1 cos 2 x 2 sin 2 x 1 cos 2 x 2 1 2 2 1 2 x 1
1 1 2 2 1 x arccos 2 x x x
1 x
2 2
A függvény csak az x 1 és az x 1 helyen értelmezett, tehát sehol sem differenciálható. 1 1 1 2 cos x sin x 1 x2 2
r.)
f x
s.)
f x a x ln a ln x x 1
1 x
t.)
f x
a.)
f x 2 2 2 x ln 2 ln 2 x 2 2 x
ln 2 x
23. 1 2 2x
vagy
f x 4 x ln x ln 2 f x 4 x ln 4 ln 2 x 4 x
1 x
1 x
b.)
f x 2 x e x cos ln x e x sin ln x
c.)
f x
1 1 1 log 3 x ln 2 x ln 3 x ln 2 ln 3 log 3 x
d.)
f x
1 1 2x 1 sin x ln x 2 1 ln x ln cos x f x 2 2 2 x 1 x cos x
e.)
f x e x ln x f x e x ln x ln x 1 x x ln x 1
f.)
cos x f x e x ln sin x f x e x ln sin x ln sin x x sin x
2
2
52
g.)
f x 2 x ch x 2 1
h.)
f x 4 ch 2 x sh 2 x
i.)
f x
1 2 1 x ch 2 x 1
sh 2 x 2 ch x sh x ch 2 x 1 ch 2 x 2 sh 2 x sh 2 x ch 2 x 3 ch 2 x sh 2 x 3 2 2 2 ch 2 x ch 2 x ch 2 x
Vagy, a függvény átalakításával: f x
1 3 ch 2 x 1 3 2 sh 2 x sh 2 x 3 ch 1 2 x 1 f x 3 2 2 2 ch 2 x 2 2 ch 2 x ch 2 x
1
j.)
x 1 1 f x cth x x cth 2 x 2 cth x 2 sh x 2 cth x sh 2 x
k.)
f x
l.)
f x
1 2
x 1 2 1 x
1 1 x2 2
1 2
x 2 2 x x 1 x4 x
2 x arch x
1 x2 x2 1
x2
x 12 x 4
x arch x 1 x2
1 x2 x2 1
m.)
Az f függvény sehol sem értelmezett, nem differenciálható.
n.)
Az f függvény sehol sem értelmezett, nem differenciálható.
24. Mindkét oldalt differenciáljuk x szerint, majd a kapott egyenletet y -re feloldjuk a.)
b.) c.)
2 x 1 2 y 2 y 0 y
x 1 y2
y y 2 2 xyy cos y y x sin y y
3 x ln 3 y 2 y ln 2 1 y y
3 x ln 3 1 1 2 y ln 2
53
y 2 cos y 1 2 xy x sin y
d.)
2 x 2 yy xy y xy y x yy 2 2 2 x x y 2 x2 y2 x2 y2 y 1 x 1
2
y
y x x2 y2 x y x2 y2
25.
a.)
1 1 ha x 0 x , ha x 0 x , ha x 0 ln x , D f R \ 0, f x f x 1 1 ln x , ha x 0 , ha x 0 , ha x 0 x x
b.)
0 , ha x 1 f x x2 3 x2 , ha x 1 2 x e 2 x e
c.)
x 7 , ha 6 x 1 x 5 , ha 1 3 x 6 f x f x 0 x3 1 x , ha 1 1 x , ha x 0 1
d.)
x 2 , ha 0 x 2 x , ha 0 x f x 2 f x 2x 2 , ha 0 x x , ha 0 x x
a.)
f x
1 1 2 , f x 2 , f x 3 x x x
b.)
f x
1 2x , f x 2 1 x 1 x2
c.)
f x 4 sin 4 x , f x 4 2 cos 4 x , f x 4 3 sin 4 x , ... , f 6 x 4 6 cos 4 x
d.)
y 3 3 xy 2 y 4 yy 0 3 y 2 y 3 y 2 y 3 x 2 y y y 2 y 4 y y 4 y 0
, , , ,
ha 6 x ha 3 x 6 ha 0 x 3 ha x 0
26.
2
y
2 2 4 y 6 xy y 6 y 2 y 3 xy 2 4 y
54
2
2
27. A keresett érintő meredeksége: m f 1 2 x 4 x
a.)
0 1
2
Az érintési pont koordinátái: P0 1, 3 Az érintő egyenlete: y f x 0 m x x0 y 3 2 x 1 y 2 x 5 Az origón akkor halad át az érintő egyenes, ha az y mx mx0 f x0 egyenletben
b.)
x 6 mx0 f x0 0 teljesül, azaz 2 x0 4 x0 x 02 4 x0 6 0 x 02 6 01 . x02 6 Két ilyen pontja van a függvény görbéjének: P01 c.)
6 , 12 4 6 és P02 6 , 12 4 6 .
Az érintő meredekségére vonatkozó előírás figyelembe vételével: m tg 45 0 1 2 x 0 4 x0
5 , és így az érintő egyenlete: 2
5 1 25 y x . y 10 6 x 2 4 4 28. f x sin x f x cos x f x sin x f x cos x f 4 x sin x f
5
x cos x
x3 g x x 6 x2 g x 1 2 g x x g x 1 g
g x0 0
legalább 0 ad rendben
f x0 1
g x0 1
legalább első rendben
f x0 0 f x0 1
g 4 x 0 5
f x0 0
f 4 x0 0
x 0
f
5
x0 1
g x0 0 g x0 1 g 4 x0 0
legalább másod rendben legalább harmad rendben
legalább negyed rendben g x0 0 pontosan negyed rendben 5
29. A függvény görbéje az x-tengelyt az f x ln x 0 x 0 1 pontban metszi, ahol a függvény meredeksége f x 0
1 x
1 tg , ahonnan arctg 1 x0 1
. 4
30. Keressük azt az x 0 0 értéket, mely mellett a két függvény görbéje legalább első rendben érintkezik, azaz
f x 0 g x 0
és
f x 0 g x 0
egyenletrendszer és megoldása:
55
egyidejűleg teljesül. Az adódó
1 1 2 ln x0 x0 e a ax0 ln x0 2 2e . 1 1 x0 2ax 0 x0 2a 31. A függvény értékei az intervallum végpontjaiban megegyeznek: f 6 f 6 6 . A függvény két folytonos ágból áll, ezért a folytonosságot a 6 , 6 intervallumon csak az x 0 2 helyen kell külön vizsgálnunk: f 2 2 lim f x ,
lim f x lim x 2 6 x 6 2 lim f x f 2 2 , tehát
x 20
x20
x20
x2
folytonos az x 0 2 helyen is. Hasonlóképpen a differenciálhatóságot a 6 , 6 intervallumon is csak az x 0 2 helyen kell külön vizsgálnunk: lim f x lim 1 1
x20
x 20
x20
x20
lim f x lim 2 x 6 2
a két határérték nem egyezik meg, ezért a tétel
differenciálhatóságra vonatkozó feltétele nem teljesül. A Rolle-tétel nem alkalmazható. 32. A függvény a differenciálható,
2 , 3 tehát
zárt intervallumon folytonos, a teljesülnek
a
Lagrange-féle
létezik/léteznek olyan hely/helyek, ahol f 1
2 , 3
nyílt intervallumon
középértéktétel
feltételei,
így
f 3 f 2 25 5 3 2 4 , ahonnan 3 2 5
2 19 2 19 és 2 . 3 3
33. a.)
f x ln x 1 f x x 1 f x 2 x 2 f x 3 x 6 4 f x 4 x 24 5 f x 5 x
f x0 0 f x 0 1 f x 0 1 5 f n x0 x2 x3 x4 x5 n 0 T x x x x 5 0 f x0 2 ! 2 3 4 5 n n 0 f 4 x 0 6 4 f x0 24
56
b.)
sh x 1 x 1 x ch x sh x f x 1 x 2 2 ch x 1 x sh x ch x 1 x 21 x 1 x ch x sh x f x 1 x 4 f x
f n x 0 2x 2 n x x0 0 x x x2 2! n!
2
T2 x n 0
c.)
f x e x 2 f x 2 x e x 2
f x 2 e x 4 x 2 e x 2 2 2 f x 4 x e x 8 x e x 8 x 3 e x 2
d.)
2
f x0 1 f x0 0 2 T3 x 1 x f x0 2 f x0 0
A függvényt átírjuk egyszerűbb alakba: f x 1 sin 2 x 2 f x cos 2 x f x 2 sin 2 x f x 4 cos 2 x f x
f x0 0 f x0 1 f x0 2
1 sin 2 x 2
f x 0 0 f x 0 1 T x x 4 x 3 3 3! f x 0 0 f x 0 4
34. a.)
1 cos x 2 2 cos 3 x sin x sin x 0 tg x sin x 0 0 x cos lim lim 0 lim x 0 2 2 2x x2 0 B L ' x 0 0 B L ' x 0
b.)
lim
c.)
lim
d.)
1 1 2 1 2 sin x 2 0 lim 2 cos x 3 1 lim cos 3 x 3 0 0 B L ' x 3 sin 3 x 3 x 6 6
ex 1 0 ex 1 lim x 0 sin 2 x 0 B L ' x 0 2 cos 2 x 2 x 1
arctgln x 0 1 1 lim 1 2 B L x x 1 0 ' 1 1 ln x x
57
x x 2 tg cos 2 x x2 0 2 2 lim lim lim B L ' x 10 1 0 x 1 0 ln x x 2 x x x 1 2 2 0 1 2 x cos 2 2 2 xx 1 2x lim B L ' 2 x 1 0 x x x 2 2 cos 1 2 x cos sin 2 2 2 1
e.)
f.)
g.)
h.)
1 2 ln arcsin x 2 0 lim 2 1 x 2 arcsin x lim log x arcsin x lim B L ' x 10 x 1 0 1 ln x x 10 0 x x lim x 1 0 2 1 x 2 arcsin x 1
1 x e 1 2 1 e 1 0 lim x e x 1 0 lim lim x lim e x 1 x x x 1 0 B L ' x 1 2 x x 1 x
sin 2 x x 2 cos 2 x 0 1 lim 2 ctg 2 x lim x 0 0 x x 0 0 x 2 sin 2 x 0 2 2 2 sin x cos x 2 x cos x 2 x cos x sin x lim 2 2 BL' x x x x x 2 sin 2 sin cos x 0 0 sin 2 x 2 x cos 2 x x 2 sin 2 x 0 x 0 0 2 x sin 2 x x 2 sin 2 x 0 2 cos 2 x 2 cos 2 x 4 x sin 2 x 2 x 2 cos 2 x 0 lim 0 B L ' x 0 0 2 2 sin 2 x 4 x sin 2 x 2 x 2 cos 2 x
lim
i.)
lim
x
lim
x
j.)
3 2 x 3 5 x lim
3 2 x 3 5 x 3 2 x 3 5x
lim
x
3 2 x 3 5x
3 2x 3 5x 3x 3 B L ' xlim 2 5 3 2x 3 5x 2 3 2 x 2 3 5x x 0
lim ln x tg x
lim x t g x 0 0 lim e ln x tg x e x 0 0
x 0 0
3 2x 3 5x
x 0 0
lim ln x tg x 0 lim x 0 0
x 0 0
ln x ctg x
1 lim ln x tg x sin 2 x 0 2 sin x cos x x lim lim lim 0 e x 0 0 e0 1 B L ' x 0 0 x 0 0 B L ' x 0 0 1 x 0 1 sin 2 x
58
k.)
lim
x
x
x 0 lim e x
x
l.)
ln x x
e
1 ln x lim ln x x x x lim lim 0 e e0 1 x x B L x ' 1
ln x x x lim
2
2
lim x ln arctg x x ln arctg x 2 2 lim arctg x 0 0 lim e e x00 lim x ln arctg x 0 x 0 0 x 0 0 x 0 0 1 2 ln arctg x 2 x2 0 lim 1 x arctg x lim lim 2 x 0 0 x 0 0 1 x 1 1 arctg x 0 B L ' x 0 0 2 x x
2
lim x ln arctg x 2x lim 0 e x 00 e0 1 B L ' x 0 0 2 x arctg x 1
35. a.)
f racionális egészfüggvény: Értelmezési tartománya D f R
Zérushelyei: x 3 x
2
egyszeres x1 0, 0 x 2 3 , egyszeres x 3, egyszeres 3
Párosság-páratlanság vizsgálat: f x 3 x x 3 x x 3 f x páratlan 3
Nem periodikus
3 Határértékek: lim 3 x x 3 lim x 3 1 2 , x x x
lim 3x x 3
x
Szélsőérték vizsgálat: x 1 Szükséges feltétel: f x 3 3 x 2 0 4 x5 1 f 1 6 0 Elégséges feltétel: f 1 6 0
lokális minimum, Pmin 1, 2 lokális maximum, Pmax 1, 2
Monoton szakaszok: x f
, 1
1,1
1 0
f
1,
1 0
fogy
min .
nő
max .
fogy
Inflexiós pontok keresése: Szükséges feltétel: f x 6 x 0 x6 0
59
Elégséges feltétel: f x6 6 0 van inflexiós pontja, Pi 0 , 0 Konvex-konkáv szakaszok: x f f
, 0
0 0 inf .
0 ,
Értékkészlet: R f R
b.)
Értelmezési tartomány: D f x 0 x , x R x 0 Zérushelyek: x 3 x 0 1 x2 3
Sem páros, sem páratlan nem lehet, mert értelmezési tartománya nem szimmetrikus az origóra Nem periodikus Határérték: lim x 3 x x
Szélsőérték vizsgálat: Szükséges feltétel: f x
3 3 1 3 x 1 x 0 x3 1 2 2 x 2 x
Elégséges feltétel: f x3
3 1 1 3 0 lokális minimum, Pmin 1, 2 2 2 x 2x x x 2 3
60
Monoton szakaszok: x
0 ,1
1
1,
f
0
f
fogy min .
nő
Inflexiós pont: 3 x 1 0 D f n nem teljesül, nincs inflexiós pont 4x x
Szükséges feltétel: f x Konvex-konkáv szakaszok: x f
0 ,
f
Értékkészlet: R f y 2 y , y R
c.)
f racionális valódi törtfüggvény Df R Zérushely: x1 0 (egyszeres); pólushelye, hézagpontja nincs f x
x
1 x
2
x f x 1 x2
páratlan a függvény
Nem periodikus Határérték: lim f x 0 , lim f x 0 x
x
Szélsőérték vizsgálat: Szükséges feltétel: f x
1 x 2 2x 2
1 x
2 2
Elégséges feltétel:
61
1 x2
1 x
2 2
x 1 0 2 x3 1
f x
2x 1 x 2
4 x1 x 1 x 2 x 2 x 4 x 4 x 1 x 1 x 2
2
2
3
2 4
2 3
3
2x x 2 3
1 x
2 3
1 1 lokális minimum, Pmin 1, f x 2 2 0 2 f x3 1 0 lokális maximum, Pmax 1, 1 2 2
Monoton szakaszok: x f f
, 1 fogy
1,1
1 0 min
1,
1 0 max
nő
fogy
Inflexiós pontok: Szükséges feltétel: f x
2x x 2 3
1 x
2 3
6 x f x
2
x4 0 x5 3 x 3 6
0
6 1 x2
6 x x 1 x 3
2
2
3 1 x2
2
2 6
Pi1 0 , 0 f x 4 6 0 Elégséges feltétel: 4 2 2 6 x 1 6x x 3 48 3 f x5 4 0 Pi 2 3 , 4 4 4 1 x2 48 3 Pi 3 3 , f x6 4 0 4 4
Konvex-konkáv szakaszok: x f f
, 3
3 0 inf .
3 ,0
0 0 inf .
62
0 , 3
3 0 inf .
3,
1 1 R f y y , y R 2 2 d.)
Racionális valódi törtfüggvény. D f R \ - 1,1 x 1 páratlan rendű Zérushelye nincs; pólushelyek: 1 ; hézagpontja nincs x 2 1 páratlan rendű f x f x , páros a függvény
Nem periodikus Határérték: lim f x lim f x 0 x
x
Szélsőérték vizsgálat: Szükséges feltétel: f x
x
2x 2
1
2
0 x3 0
Elégséges feltétel: f x x
2
2 x 2 1 8x 2 x 2 1
3
x
2
1
4 x3
6x 2 2
x
2
1
3
Monoton szakaszok: x f f
, 1 1, 0 nő
nő
0
0,1 1,
0 max fogy
fogy
63
2 0 Pmax 0 , 1
Inflexiós pontok: 6x 2 2
Szükséges feltétel: f x
x
2
0 nincs inflexiós pont
1
3
Konvex-konkáv szakaszok: x f f
, 1 1,1 1,
R f R \ 0 e.)
Df R Zérushelye nincs f x f x páros a függvény
Határértékek: lim
1
x
e
x
2
lim
x
1 e
x2
0
Szélsőérték vizsgálat: Szükséges feltétel: f x 2 x e x 0 x1 0 2
Elégséges feltétel:
f x x 2 e x 4 x 2 e x 2
1
Monoton szakaszok: x
, 0
0
0,
f
0
f
nő
max .
fogy
64
2
x1
2 0 Pmax 0 ,1
Inflexiós pontok: Szükséges feltétel: f x 2e x
2
1 x2 2 2 x 2 1 0 1 x3 2
f x 2 e x 4 x 3 2 x 4 x 4 e x 2 x 3 3 x 2
2
1 1 , f x 2 0 Pi1 Elégséges feltétel: 2 e f x 0 P 1 , 1 3 i1 2 e
Konvex-konkáv szakaszok: 1 1 , 2 2 f 0 f inf . x
1 1 1 1 , , 2 2 2 2 0 inf .
Rf R
f.)
Df R
Zérushely: x ln x 0 x1 1 Nem páros, nem páratlan Nem periodikus
Határértékek: 65
1 ln x lim x lim x 0 lim x ln x 0 lim x 0 0 x 0 0 1 B L ' x 0 0 1 x 0 0 x x2 lim x ln x
x
Szélsőérték vizsgálat: Szükséges feltétel: f x ln x 1 0 x 2 Elégséges feltétel: f x x 2
1 x
x2
1 e
1 1 e 0 Pmin , e e
Monoton szakaszok: 1 0, e f x f
fogy
1 e 0
1 , e
min
nő
Inflexiós pontok: Szükséges feltétel: f x
1 0 nincs inflexiós pontja x
Konvex-konkáv szakaszok: f x 0 D f R miatt mindenütt konvex
1 R f y y , y R e g.)
D f R \ 0 x 1 Zérushely: ln x 2 0 1 x 2 1
Párosság, páratlanság: f x ln x ln x 2 f x páros a függvény 2
66
Nem periodikus Határértékek: lim ln x 2 , lim ln x 2 lim ln x 2 x 0
x
x
Szélsőérték vizsgálat: Szükséges feltétel: f x
2 0 nincs lokális szélsőértéke x
Monoton szakaszok: x
, 0 0 ,
f
f
fogy
nő
Inflexiós pontok: Szükséges feltétel: f x
2 0 nincs inflexiós pontja x2
Konvex-konkáv szakaszok: f x 0 mindenütt konkáv
Rf R h.)
Df R
Zérushely:
ln x 0 x1 1 x
Nem páros, nem páratlan Nem periodikus Határértékek: 1 ln x ln x lim , lim lim x 0 x 0 0 x x x B L x 1 Szélsőérték vizsgálat:
67
1 ln x 0 x2 e x2
Szükséges feltétel: f x
Elégséges feltétel: f x x 2
x 2 x1 ln x 1 1 3 0 Pmax e , 4 e x e x2
Monoton szakaszok: x f
0 , e
e ,
e 0
f
nő
max
fogy
Inflexiós pontok: x3 2 ln x Szükséges feltétel: f x 0 3 2 ln x 0 x3 e 2 x4 3
Elégséges feltétel: f x x
3
3 2 x 2 3 x 2 2 ln x 3 2 3 6 0 Pi e 2 , 3 6 x e x3 2e2
Konvex-konkáv szakaszok: 3 0,e 2 f
x
f
0
32 e ,
inf .
3
e2
1 R f y y , y R e
68
i.)
Df R Zérushelyek: sin x cos x x k
3 k , k Z 4
f x Párosság-páratlanság: f x sin x cos x nem páros, nem páratlan f x Periodikus: periódushossza 2 Határértékek: lim sin x cos x nem létezik x
Szélsőérték vizsgálat: (a periodicitás miatt elegendő a 0 , 2 intervallumon vizsgálni) x1 4 Szükséges feltétel: f x cos x sin x 0 5 x2 4 f x1 2 0 Pmax 4 , 2 Elégséges feltétel: f x sin x cos x 5 f x 2 2 0 Pmin , 2 4
Monoton szakaszok: (a periodicitás miatt elegendő a 0 , 2 intervallumon vizsgálni) 5 5 5 , , 2 0 , 4 4 4 4 4 4 f 0 0 f nő max fogy min nő x
Inflexiós pontok: (szintén a 0 , 2 intervallumon) 3 x 3 4 Szükséges feltétel: f x sin x cos x 0 7 x4 4 3 f x3 2 0 Pi1 4 , 0 Elégséges feltétel: f x cos x sin x f x 4 2 0 Pi 2 7 , 0 4
69
Konvex-konkáv szakaszok: 3 3 3 7 7 7 0 , 4 4 4 , 4 4 4 , 2 f 0 0 f inf . inf . x
Rf y 2 y 2 , y R j.)
Df R Zérushely: x e x 0 x1 0 f x Párosság-páratlanság: f x x e x nem páros, nem páratlan f x Nem periodikus 1 x lim x 0 x x e B L x e
Határértékek: lim x e x , lim x e x 0 lim x
x
Szélsőérték vizsgálat: Szükséges feltétel: f x e x x e x e x 1 x 0 x 2 1 Elégséges feltétel: f x 2 e x x 2
x2
Monoton szakaszok: x f f
,1
1
1,
nő
0 max
fogy
70
1 1 0 Pmax 1, e e
Inflexiós pontok: Szükséges feltétel: f x e x x 2 0 x3 2 Elégséges feltétel: f x x e x 3 x 3
x3
1 2 0 Pi 2 , 2 2 e e
Konvex-konkáv szakaszok: x f f
, 2
2 0 inf .
2 ,
1 R f y y , y R e
36. Keressük az f x x
1 függvény minimumát az x 0 feltétel mellett. Szélsőérték ott x
lehet, ahol az első derivált eltűnik: f x 1
1 0 x 2 1 x 1 a feltétel x2
figyelembe vételével. Az elégséges feltétel is teljesül, mert f 1
2 x3
2 0 , tehát x 1
valóban minimumhelye van a függvénynek az x 1 helyen. 37. Keressük az F r 2 r 2 2rm függvény minimumát adott V r 2 m térfogat ( r 0 ) mellett. A feltétel figyelembe vételével: F r 2 r 2 2r lehet, ahol
V V 2 r 2 2 . Szélsőérték ott 2 r r
dF 2V V . Az elégséges feltétel is teljesül, mert 4r 2 0 r0 3 dr 2 r
71
d 2F dr 2
4 r r0
4V r3
4 8 12 0 a függvénynek lokális minimuma van az r0 r r0
helyen. A henger magassága: m0
V 4V 3 . 2 r0
38. T ab 2r 2 cos sin r 2 sin 2 dT 2r 2 cos 2 0 0 , és d 4
b r
a
φ r
0
d 2T d 2
4r 2 sin 2 0
0
4r 2 0.
A T függvénynek 0
mellett lokális maximuma van, így 4
a keresett téglalap területe: Tmax r 2 . 39. a.)
x
1 x
1
1
3
1
1 1 2 2 dx x 2 x 2 dx x 2 2 x 2 ln x C x x 2 x ln x C , x x 3 3
(a második tag miatt az integrandusz csak pozitív x értékekre értelmezett). 1
3
c.)
2 x2 1 x2 1 2 dx x2 1 x 2 1 dx 1 x 2 1dx x 2 arctg x C
d.)
4 e C 2 2 x e x 1 C 1 1 x x x 2 x x 1 dx dx dx 2 e 4 e 4 e e e e ln 4 e 1 ln 4
3
x x dx x 2 dx
2 2 x C 3
b.)
x
e.) f.)
g.) h.)
2 tg x dx
sin 2 x 1 cos 2 x 1 dx dx 1 dx tg x x C 2 2 cos x cos x cos 2 x
sin 2 2 x sin 2 2 x sin 2 x cos 2 x dx 1 2 dx 4dx 4 x C sin 2 x 4
1 x 2 xdx 1 1 dx ln x arctg x C 1 x x2 dx x1 x 2 x1 x 2 x 1 x2
x3 x x
1
1 1
1
1
dx x 2 x 3 2 dx x 2 x 6 dx
72
3
5
2 2 6 6 x x C 3 5
i.)
arcsin x arccos x dx 2 dx 2 x C
j.)
1 x 1 1 x ex x x e x1 dx e e x dx e e ln x C
a.)
x
(lásd a 20. a.) feladatot)
40. 2
x2 1 2x 4 1 dx 2 dx ln x 2 4 x 2 C 2 2 4x 2 x 4 x 2 ~
b.)
6x 5
3x 5 x 1 2
f f
~ f f
c.)
1 2
1
2
cos x
dx ln sin x C ctg xdx sin x ~
f f
1 sin 2 x 3 dx sin 2 x cos 2 xdx cos 2 2 x C 3 4 2x ~ f f 3 és ***
d.)
cos
e.)
ln x 1 ln 2 x C ln x dx x dx x 2 ~ f f
f.)
1x
1
dx ln ln x C x ln xdx ln x ~
g.)
h.)
f f
3 2 x dx cos ***
x
2
sin 3 2 x C 2
1 1 dx dx arctg x 1 C 2 2x 2 x 1 1 ***
i.)
6 5 2 5 3 3 5 C x 2 x 3 dx 2 x 3 36 ~ f f
j.)
dx 6 x 5 3 x 5 x 1 dx 2 3 x 5 x 1
2
1 5
x 1 x e 1 e dx
1 1 x 2 x 2 e 1 e dx 1 ex e 3e 1 ~ f f
2
73
3 2
C
2
1 2
C 2 3x 2 5 x 1 C
k.)
3 2 2 C cos x 2 3 sin x dx 2 3 sin x 9 ~ f f
l.)
1 2
1 1 sin x cos x 1 1 dx sin 2 x 3 2 cos 2 x 2 dx 3 2 cos 2 x 2 C 2 4 3 2 cos 2 x 1
~ f f
m.)
2
és ***
x x x 1 cos x dx 2 cos 2 dx 2 cos dx 2 2 sin C (feltéve, hogy az integrációs 2 2 2
intervallumon cos n.)
x 0) 2
Az integrandusz függvény csak az x k, k Z diszkrét helyeken értelmezett, nem létezik primitív függvénye.
41. a.)
x 1 2 x3edx v
u
b.)
x e dx 2
u
x
v
u 2 2 x 3 e x 1 2 e x 1 dx 2 x 3 e x 1 2 e x 1 C x 1 ve
u 2 x u 2 x 2 e x 2 xe x dx x 2 e x 2 x e x 2 e x dx x x ve ve u v
x2 ex 2x ex 2 ex C c.)
x sin x dx 2
u
v
u 2 x u 2 x 2 cos x 2xcos x dx v cos x v sin x u v
x 2 cos x 2 x sin x 2 sin xdx x 2 cos x 2 x sin x 2 cos x C d.)
1 x 1 x dx dx x arctg x ln 1 x 2 C 1 x 2 x arctg x 2 1v arctg 1 x 2 vx u u
1 2 2 2 1 x 2 x arctg x 1 x 1 1dx x arctg x 1 1 1 dx x x dx arctg v x2 2 2 1 x2 2 2 1 x2 u v 2 2 x 1 1 arctg x x arctg x C 2 2 2 u
e.)
f.)
2 ln x 1 u 2 2 xdx ln x dx x x ln x 2 x x ln x 2 x ln x 2dx 1v ln v u u vx v 2x 2
u
x ln 2 x 2 x ln x 2 x C
74
g.)
1 x t2 x 1 x dx x x dx 1 arctg arctg 2 x 1 x v 1 x dx 2tdt 2 u vx u
t 1 1 t 2 1 1 tdt x x dt x arctg x 1 dt 2 arctg 2 2 2 1 t 1 t 1 t 2 x arctg x t arctg t t x C x arctg x x arctg x C x arctg x
h.)
i.)
j.)
u 2 x x 2 x2 x 2 x2 1 x2 x2 x2 2 2 1 x x e dx e x e dx e e C x u v v e 2 2 2 2 xdx 1 arcsin v
u
x 1 x 2
u vx
arcsin xdx u
v
k.)
x sin x dx e v
u
1
2 1 x x arcsin x x 1 x 2
u
1 2
dx x arcsin x 1 x 2 C
1
2 2 1 x 2 1 x arcsin x dx 1 x arcsin x x C v 1 x2
u e x v cos x
e x cos x ex cos x dx u
v
u e x v sin x
e x cos x e x sin x e x sin xdx C * . Az egyenletet átrendezve :
e l.)
x
sin xdx e x
sin x cos x C 2
cos x sin x dx x 3
u
v
u 1 v
x 1 1 x 1 1 2 dx ctg x C 2 2 2 sin x 2 sin x 2 sin x 2 2 sin 2 x
42. a.)
x 1 t 3 3 7 3 4 3 2 6 3 x x 1dx dx 3t 2 dt t 1 t 3t dt 3 t t dt 7 t 4 t C
3
7 4 3 x 13 3 x 13 C 7 4
1 ln x t 1 ln x t t 2 11 1 dx 2 2tdt 2 2 dt 2 1 dt 2t 2 arth t C dx 2tdt x ln x t 1 t 1 1 t2 x 2
b.)
2 1 ln x 2 arth 1 ln x C , ha 1 ln x 1
75
c.)
sin x dx
u 2 x t2 2t sin t dt 2t cos t 2 cos tdt 2t cos t 2 sin t C v cos t dx 2tdt u v
2 x cos x 2 sin x C
d.)
sin x t sin 2 x cos x t2 1 dx dt 1 dt t arctg t C 2 1 sin 2 x cos xdx dt 1 t 1 t2 sin x arctg sin x C
e.)
4 x2 t 2 4 x2 t3 2 2 x x dx 4 t dt C 3 3 2 xdx 2tdt
f.)
4 x 2 dx
3 2
C
x 2 sin t 41 sin 2 t 2 cos tdt 4 cos 2 tdt 2 1 cos 2tdt dx 2 cos tdt
x x sin 2t 2 t 4 x2 C C 2t sin t cos t C 2 arcsin 2 2 4 (Az integrációs intervallumon cos t 0 feltételezésével) g.)
h.)
e dx x
x t2 dx 2tdt
2 t e t dt u v
u 2 ve
lntg x cos x lntg x sin x cos x dx sin x cos 2 x dx
t
2t e t 2 et dt 2t e t 2 e t C 2 e
x
x 1 C
tg x t
ln t ln 2 t ln 2 tg x 1 dt C C dx dt 2 2 t 2 cos x
43. Az integrandusz függvényt – ahol szükséges – először résztörtekre bontjuk: a.)
A 1 1 2 A B x A B x A2 x 1 B x 1 B 1 x 12 x 1 x 1 2 x 1 0 A B x
1
1
1
x 12 x 1dx x 1 2 x 1 dx ln x 1 2 ln 2 x 1 C b.)
1 A 0 A B A B 1 1 2 1 A x 1 B x 1 1 A B 1 1 x 2 1 x 1 x x 1 x 1 B 2 dx
1 x
2
1 1 1 1 dx ln x 1 ln x 1 C 2 x 1 x 1 2
76
c.)
3x 2 x 3 A B Cx D 2 2 x 1 x 2 1 x 1 x 1 x 2 1
3x 2 x 3 Ax 2 1 B x 1x 2 1 Cx D x 1
2
7 0 BC A 2 B 0 3 A B 2C D 1 B C 2D C 0 D 1 3 A B D 2
x3 : 2 x : x : x 0 :
3x 2 x 3 7 1 1 1 7 1 1 x 12 x 2 1 dx 2 x 12 2 x 2 1 dx 2 x 1 2 arctg x C
d.)
x
A B C Dx E 1 3 2 2 x x 1 x x x x x 1
3
2
nincs valós zérushelye
1 A x 2 x 1 Bx x 2 x 1 Cx 2 x 2 x 1 Dx 4 Ex 3 x4 : 3 x : 2 x : x : x 0 :
x x 3
e.)
0CD A 1 B 1 0 BC E 0 A B C C 0 D 0 0 A B E 1 1 A 2
1 1 1 1 1 1 4 1 dx 3 2 dx 2 dx 2 x x x 3 2 x 1 2 2x x 1 1 3 x 1 2 4 3
1 1 4 3 2x 1 1 1 2 2x 1 arctg arctg C 2 C 2 x 3 2 x 2x 2x 3 3 3
Az integrandusz függvény áltört, ezért racionális egész és tört összegére bontjuk: x3 1 , és így x2 x 1 x 1 x 1
x3 1 2 x 1 dx x x 1 x 1 dx
x3 x2 x ln x 1 C 3 2
77
f.)
1 1 A B Cx D 2 2 x 16 x 2 x 2 x 4 x 2 x 2 x 4
1 Ax 2 x 4 Bx 2 x
4
2
2
4 Cx D x 2 4
1 A x : 0 A B C 32 2 1 x : 0 2 A 2B D B 32 x : 0 4 A 4 B 4C C 0 x 0 : 1 8 A 8 B 4 D 1 D 8 1 1 1 1 1 1 1 x 4 16 dx 32 x 2 32 x 2 32 x 2 dx 1 2 1 x ln x 2 ln x 2 2 arctg C 32 2 3
g.)
x2 4x 1 A B C D 3 2 x 2 4 x 1 A x 1 Bx x 1 Cx 2 x 1 Dx 3 3 x x 1 x x x x 1 x3 : 0 C D A 1 2 B 3 x : 1 B C x : 4 A B C 2 x 0 : 1 A D 2 x 2 4x 1 1 3 2 2 1 3 x 3 x 1 dx x 3 x 2 x x 1dx 2 x 2 x 2 ln x 2 ln x 1 C
h.)
1 A B C D Ex F 4 3 2 2 2 x x 1 x x x x x 1 4
1 Ax
x5 : 4 x : x 3 : 2 x : x : 0 x : 1
x x 4
i.)
2
2
1 Bx x 2 1 Cx 2 x 2 1 Dx 3 x 2 1 Ex F x 4
A 1 B 0 C 1 0 AC D 0 E 0 0B F 1 1 A 0 DE 0CF 0 BD
1
dx
1 1 1 1 1 2 2 dx 3 arctg x C 4 x x x x 1 3x
1 x3 x4 2 dx x 1 dx x arctg x C x2 1 3 x2 1
78
j.)
x2 1 x2 1 A B C 2 x 4 x 1 x2 x 12 x 1 x 2 x 1 2 x 1
A 1 x 2 : 1 4 A 2 B 2C 5 x 2 1 A 4 x 2 1 Bx2 x 1 Cx2 x 1 x : 0 B C B 4 x0 : 1 A 5 C 4
x2 1 1 5 1 5 1 5 5 x 4 x 2 1 dx x 4 2 x 1 4 2 x 1dx ln x 8 ln 2 x 1 8 ln 2 x 1 C
k.)
x
2
x 1 x 1 x2 1 dx dx dx 2 2 4x 5 x 2 1 x 2 1 x 2 2 1
1 2 ln x 2 1 arctg x 2 C 2
l.)
x
a.)
sin
2
1 2x 4 1 x2 dx ln x 2 4 x 5 C dx 2 2 x 4x 5 2 4x 5
44.
b.)
3
2 x cos 3 2 xdx sin 2 x 1 cos 2 2 x cos 3 2 xdx sin 2 x cos 3 2 x sin 2 x cos 5 2 xdx
cos 4 2 x cos 6 2 x C 8 12
1 cos 2 x 1 cos 2 x 1 1 dx 1 cos 2 2 xdx sin 2 2 xdx 2 2 4 4 1 sin 4 x 1 1 cos 4 xdx x C 8 8 4
sin
2
x cos 2 xdx
cos x 1
d.)
2 tg 2 x 1dx
3 2 sin x 1
1
1
dx cos x 13 2 sin x 1 2 dx 3 2 sin x 1 2 C
c.)
sin 2 2 x 1 1 cos 2 2 x 1 1 dx dx 1 dx 2 2 2 cos 2 x 1 cos 2 x 1 cos 2 x 1
1 tg 2 x 1 x C 2 2
e.)
f.)
1 1 1 cos 4 x 1 cos 2 x 4 2 cos xdx 2 dx 4 1 2 cos 2 x cos 2 x dx 4 1 2 cos 2 x 2 dx 3 sin 2 x sin 4 x x C 8 4 32
cos 3 x sin 5 x sin 7 x 2 4 4 6 cos 1 sin sin cos sin cos sin dx x x xdx x x x xdx C sin 4 x 5 7
79
g.)
A „szinuszos” addíciós-tétel alkalmazásával: sin 3x cos 2 x
sin 3x cos 2 x dx
sin 5 x sin x 2
sin 5 x sin x cos 5 x cos x dx C 2 10 2
1 cos 2 x dx 1 2 cos 2 x dx 1 2 1 cos 2 x dx sin 4 x dx cos 2 x cos 2 x cos 2 x cos 2 x 2 3 sin 2 x tg x x C 2 4 2
h.)
i.)
j.)
1 tg 2 x cos 2 x sin 2 x sin 2 x dx 1 tg 2 x cos 2 x sin 2 x dx cos 2 x dx 2 C
sin 3 x 3
cos x
dx sin x 1 cos 2 x cos 2
1 3
x dx sin x cos
1 3
5
x sin x cos 3 x dx
8
3 3 cos 3 x cos 3 x C 2 8 45. ch 2 x 1 sh 2 x 1 dx 2 1 dx cth x x C dx 2 2 sh x sh x sh x
a.)
2 cth xdx
b.)
2 sh x ch xdx
c.)
sh
d.)
2
ch 3 x C 3
x ch 2 xdx
ch 2 x 1 ch 2 x 1 1 1 ch 4 x 1 dx ch 2 2 x 1 dx 1 dx 2 2 4 4 2
sh 4 x x C 32 8 ch 2 x
1
cth 2 xdx sh 2 x dx 2 ln sh 2 x C ch x
1 2
dx ch x1 sh x dx 2 1 sh x C
e.)
f.)
ch
g.)
ex t ex dt x dx 1 e2 x e x dx dt 1 t 2 arctg t C arctge C
1 sh x 2
xdx
ch 2 x 1 sh 2 x x dx C 2 4 2
80
h.)
ex t e2 x t 2 dt t 11 1 dx 1 e x e x dx dt 1 t t 1 t dt 1 1 t dt t ln 1 t C
e x ln 1 e x C
46. a.)
b.)
x 1 t2 dx 2tdt 2 1 x 1 dx 2tdt 1 t 2 1 t dt 2t ln 1 t C 2 x 1 ln
1 dt t 1
t9 t8 t 7 t6 t5 t 4 t3 t 2 t ln t 1 C 9 8 7 6 5 4 3 2
x3 3 x 4 6 x 7 x 6 x5 3 x 2 x 3 x 6 x ln 6 x 1 C 9 8 7 6 5 4 3 2
c.)
16 x 2 t 2 t3 16 x 2 2 t dt C 16 x x dx 3 3 2 xdx 2tdt
d.)
2
16 x 2 dx
3 2
C
x 4 sin t 4 1 sin 2 t 4 cos tdt 16 cos 2 tdt 8 1 cos 2tdt dx 4 cos tdt
x x x 2 8t sin t cos t C 8 arcsin C 1 4 4 16 dx
1 arcsin 3 x 1 C 3
f.)
1 x t2 2t 3 2t 5 2 2 4 t t tdt t t dt x x dx C 1 2 2 2 1 3 5 dx 2tdt
6x 9x
2
dx
e.)
1 3 x 1
2
3
5
21 x 2 21 x 2 C 3 5 g.)
h.)
x x x 1 cos x dx 2 cos 2 dx 2 cos dx 2 2 sin C 2 2 2
1 x
1
x
dx
t2 x t2 t t2 1 dt 2 t 1 dt 2 t ln 1 t C 2 1 t 1 t dx 2tdt 2
x 2 x 2 ln 1 x C
81
x 1 1 C
x t6 x t6 6t 9 5 dx dt 3 2 6t dt t 1 x 3 x dx 6t 5 dt t t
t8 t 7 t6 t5 t 4 t3 t 2 t 1
47. a.)
b.)
xe x e e dx e e dx x
x
x ex t et dt et C ee C x e dx dt
x 2 2x 1 3x 2 6 x 1 dx ln x 3 3 x 2 5 C dx 3 2 3 2 3 x 3x 5 3 x 3x 5
2 x 2 ln x
2
dx x e
e2x dx C 4
c.)
e
d.)
1 cos x
e.)
2 4 x 3 3x 3 3 2 2 x dx 2 3 4 dx 2 x 3 4
f.)
x
dx
2 x2
dx 2 cos 2
x 2
tg
x C 2 x
x
1 C 3 ln 4
1 x2 t 2 t5 t3 1 x 2 2 1 x 2 2 2 2 t 1t dt C C 1 x dx 5 3 5 3 2 xdx 2tdt 5
3
2
48.
a.)
sin xdx cos x cos cos 0 2 0
0
2
b.)
sin xdx cos x
2 0
cos 2 cos 0 0
0
c.)
2
2
0
0
sin x dx sin xdx sin xdx cos x cos x
e
d.)
1
x dx ln x
e 1
0
2
1111 4
lne ln 1 1
1
e.)
x x dx x x dx x xdx 0 x 2
0
2
1
1
0
f.)
8
sin
4
1 2
1 dx ctg 2 x 2x 2
2 2 0
8
4
4
1 1 1 ctg ctg 1 0 2 4 2 2 2
82
3
g.)
x t2 1 2 2 u 2 2 2 3 dx 2tdt t4 t4 t 3 t ln t dt 2 ln 2 t ln tdt 1 x ln x dx x 1 2 1 2 t 4 2 2 v u 1 8 1 1 v t 1 2 2 ln 2
1 1 3 ln 2 2 8 8
1
h.)
1
1
1 x 1 2 0 1 x 2 dx 2 ln1 x 0 2 ln 4 ln 1 ln 2 1
j.)
x
3
0
1 1 2 x dx 1 2 x 4 12
4
3 2
1
1 12 3 3 1 0
1 2e 2e 2e x2 x2 1 x 2 x ln x dx 2 e ln 2 e 2 e 2 ln 2 e e 2 xln x dx 2 1 x 2 4 v u 2 1 4 1 1 v 2 u
2e
k.)
3
3
i.)
1 1 1 arctg 2 1 0 1 2 x 2 dx 0 1 2 x 2 dx 2 arctg 2 x 0 2 arctg 2 arctg 0 2
100
l.)
100
1 cos x dx
0
0
x 2 sin dx 2 2
100
0
2
2
x x x 2 sin dx 50 2 sin dx 50 2 2 cos 2 2 20 0
100 2 cos cos 0 200 2 2
2
2
3
m.)
0
1
p.)
3
2
x sin t 6 6 2 cos dx tdt sin t 1 cos 2t 1 1 3 x cos tdt dx x 0 1 dt t sin t cos t 06 2 cos 2 2 2 6 4 t 1 x2 0 0 t 0 6 2
3 12 8
1 1 1 2 x 2 arctg x 1 1 x 2 arctg1 1 1 x 1 x dx dx 1 dx 2 2 2 0 vxarctg x x x 2 2 1 2 2 1 0 0 0 u v 2 1 1 1 1 x arctg x 0 1 arctg1 8 2 8 2 4 2 1
o.)
2
x2 x 2 2 2 2 9 2 2 2 x sgn sin x dx xdx xdx 2 2 2 8 8 2 4
1 2
n.)
3
u
1 2 2 0 x 1 x dx 3 1 x
3 2
1
1 3 2 2 1 0
83
49.
a.)
xe
x2
dx lim
R
0
xe
1 1 1 1 dx lim x 2 lim R 2 1 konvergens R 2 R e 2e 0 2
x2
0
u 1 x e lim e x dx x dx lim xe x 0 R R v e 0 u v
b.)
R
R
R
x
x
e R
R
x
0
0
dx
R 1 R x R lim R e 0 lim R R 1 1 konvergens R R e e e * 1 R ugyanis * : lim R lim R 0 a Bernoulli L' Hospital szabály alkalmazásával R e R e
c.)
R
1 1 R dx lim ln x 1 lim ln R ln 1 divergens 1 x dx Rlim x R R 1
d.)
R
1
1 2 x 1
4
dx lim R
1
1
1 2 x 4
R 1 1 1 1 3 1 dx lim 1 2 x lim 3 R 6 1 6 R 1 2 R 6
konvergens 0
e.)
0
1 1 0 dx lim arctg x 1R lim arctg1 arctgR 1 2 x 2 2 x 2 dx Rlim x 1 1 R R R
3 konvergens 4 2 4
f.)
R
2 1 1 dx dx lim x 2 2 x 2 R1 1 x 12 R R 1 2
limarctg x 1R12 lim arctgR2 1 arctgR1 1 R
R1 R2
R1 R2
2 2
konvergens, mert a határérték minden R1 és R2 esetén létezik.
84
g.)
x 1 e
2 x
0
1
dx x 1 e
2 x
0
dx x 1 e
2 x
1
1
dx x 1 e 0
2 x
R
dx lim x 1 e 2 x dx R
1
Előkészítésként előállítjuk az integrandusz függvény határozatlan integrálját: 2x x1e dx v
u
1
x 1e
2x
1 2x 2x x 1 2x 1 2x 1 e e dx e C , melyet felhasználva v e 2 x 2 2 4 2 R
dx lim x 1e R
0
u 1
1
R
2x 1 2x 1 2 x 2 x e lim e dx 4 0 R 4 1
2x
1
1 1 1 1 1 1 1 1 2 1 2R lim 2 2 lim 2 R 2 2 konvergens. 2 2 R 4e 4 R 4 e 4e 4e 4 R 8 e 4e 2e 4
(A határérték kiszámításánál a Bernoulli-L’Hospital szabályt alkalmaztuk.)
h.)
R
cos xdx lim cos xdx lim sin x0 lim sin R , a határérték nem létezik, ezért az integrál R
0
R
R
0
R
divergens. 0
i.)
1
0
dx 1 x
lim
0
2
1
j.)
dx 2 x 1 lim 0
1
1
2
lim arcsin x 1 lim arcsin 0 arcsin 1 0
1 x
2
0
0
1 1 1 1 2 1 1 2 1 konvergens. lim ln lim lim dx x dx 0 x ln 2 x 0 x 0 ln x 0 ln 1 ln ln 2 2 1 2
e
e
l.)
e 1 1 1 1 1 divergens. lim dx lim 2 1 x ln 2 x dx lim 0 0 ln x 1 0 lne ln 1 1 x ln x 1
m.)
konv. 2
dx 1 lim ln x 1 2 lim ln ln 1 divergens. 0 x 1 0
1 2
k.)
dx
1 0 x ln 2 x dx 1lim 0 0 2
1 2
1
1 2
1 1 lim 1 0 ln 1 ln 2 1 2 0
1 1 dx lim 2 1 0 ln x 1 x ln x 0 2
divergens. 2
n.)
0 4
4 x
2 3
2 lim
0
1
o.)
2
x
dx lim
4 4
0
2
0 4
x
4 x
2 3
4 4 2 lim
0
4
dx lim 2 4 x 2 0
1 4
2
0
2 2 lim 4 4 2 4 4 0
4 4 4 24 4 konvergens
1
1 1 1 1 dx lim ln x ln x 1 lim ln 2 ln ln 1 0 xx 1 dx lim 0 x 0 0 x 1 divergens
85
1
p.)
0
1
1
1 1 1 1 dx lim 2 dx lim lim 1 2 0 0 x x 0 x
divergens
50. Metszéspontok: 5 x 2 1 x1 2 , x 2 2
a.)
2
T
5 x 2
2
2
32 x3 1dx 4 x dx 4 x 3 2 3 2 2
2
A két görbe által közrezárt véges tartomány kétféleképpen is
b.)
értelmezhető: egyrészt a körön belüli és a parabolán „kívüli”, másrészt a körön és a parabolán belüli rész. Számítsuk ki a bevonalkázott tartomány területét! x2 y 2 4x x 0 Metszéspontok: x x 2 0 1 2 y 2x x2 2 2
2
0
0
T 2 4 x x 2 2 x dx 2 4 x 2 2 x dx 2
x2 sin t 2 2 2 3 4 2 2 x 2 dx 2 cos tdt 4 1 x dx 2 3 0 0 x 0 2 t 2 0 2
0
8 cos 2 tdt
2
0
16 16 16 0 4 1 cos 2tdt 4t sin t cos t 3 3 3 2
2
16 16 4 2 . 3 2 3 16 16 A másik tartomány területe: Tkör T 4 2 2 . 3 3
86
y2 4x 2 Metszéspontok: 2 x 4 4 x 2 y 2 x 4 /
c.)
4 x 2 20 x 16 0 x1, 2
5 25 16 5 3 x1 1 2 2 x2 4
A tartományt „felülről” határoló görbeív nem írható le egyetlen kifejezéssel, ezért az x 1 függőleges egyenessel két résztartományra bontjuk. A keresett terület e két résztartomány területének összege:
1
4
1
4
0
1
T 2 x 2 x dx 2 x 4 2 x dx 4 x dx 2 x 4 2 x dx 0
1
3 1 2
4
8 4 8 32 4 x x 2 4 x x 16 16 1 4 9. 3 1 3 3 3 3 0
d.)
3 2
Metszéspontok: y x2 x 0 x 4 x x x3 1 0 1 2 x2 1 y x
A tartomány területe: 1
T 0
87
1
2 32 x 3 1 x x dx x . 3 0 3 3 2
e.)
2
T sin x dx 0
x t2 dx 2tdt x 0 t 0
2
2 t sin t dt 0 u
v
u 2 v cos t
2t cos t 0 2 cos tdt 2 cos 2 sin t 0 2
0
f.) x t2 ln x T dx dx 2tdt x x 1 e 1 t 1 e e
e
ln 2 t 1 ln 2 e
e
2
t ln tdt 1
1 4 e
ln 2 x 1 ln x 1 Másként integrálva: T dx 2 x 4 1 4 1 e
51. a.)
A tartományt az 50./ f.) feladatban már megrajzoltuk. 2
e
e ln x 1 ln 2 x ln 3 x dx V dx x 4 x 4 3 1 12 1 1 e
b.)
A megforgatott tartományt az 50./ d.) feladatban már megrajzoltuk. A keletkező forgástest térfogatát úgy kapjuk, hogy az y x görbe x 0 , 1 darabja forgatásával adódó testből „kifaragjuk” az y x 2 görbe x 0 , 1 darabja forgatásával keletkező testet: 1
x2 x3 V x x dx . 3 0 6 2 0 0 1
1
2
88
A szimmetria miatt elegendő az ellipszis első
c.)
síknegyedbe eső darabját megforgatni az x-tengely
y
körül:
b
x2 V 2 b 1 2 a 0 a
2
Vegyük észre, hogy a b R esetben a formula az R
x
a
a
4ab 2 x3 2 dx 2b x 2 . 3 3a 0
sugarú gömb V gömb
4R 3 térfogatát adja meg. 3
52. a.)
Az ívdarab hossza: I 0
2
b.)
4
1 2
3 2 4 9 2 8 3 9 1 x dx 1 x dx 1 x 10 10 1 . 4 3 9 4 27 2 0 0
4
2
4
2
2
2
2
2
4
4
4
sin x cos x 1 1 cos x I 1 dx dx dx dx 2 sin x sin x sin x sin x 4
2
2
4
x x cos 2 2 2 dx x x 2 sin cos 2 2
sin 2
x x cos 2 x x x 2 dx ln cos ln sin ln tg 2 ln tg . 2 x x 2 2 8 2 2 cos 2 sin 4 4 4 2 2 2
sin
2
x 1 2 2 2 1 x 1 1 1 dx dx 1 1 2 x 2 1 x x 1
2
c.)
I 1
x x 2 1
dx
x 1 2
2
1
53. 3
a.)
F 2 0
2
3
3 3 1 1 dx 2 2 x 2dx 2 2 x 2 2 2 x 1 1 3 0 2x 1 0
2 28 2 16 2 2 2 . 3 3
89
3.
b.)
R sugarú gömböt egy R sugarú kör valamely átmérője körüli forgatásával nyerhetünk. Helyezzük a kör középpontját a koordináta rendszer origójába, a forgatás tengelye pedig legyen az x-tengely. Elegendő a „felső” félkört forgatnunk: y R 2 x 2 . R
F 2 R 2 x 2 1 R
R
x2 R dx 2 Rdx 2Rx R 4R 2 . 2 2 R x R
90
