VYSOKÁ ŠKOLA BÁŇSKÁ - TECHNICKÁ UNIVERZITA OSTRAVA Fakulta strojní katedra hydromechaniky a hydraulických zařízení
ČERPACÍ TECHNIKA A POTRUBÍ NÁVODY DO CVIČENÍ Tomáš Blejchař Sylva Drábková
OSTRAVA 2010
Seznam použitých označení c
absolutní rychlost
[m⋅s-1]
d
průměr
[m]
g
tíhové zrychlení
[m⋅s-2]
h
výška
[m]
hg
geodetická výška
[m]
k
absolutní drsnost
[mm]
l
délka
[m]
n
otáčky oběžného kola
[ s-1, min-1]
P
výkon
[W]
p
tlak
[Pa]
ps
statický tlak
[Pa]
psn
tlak v sací nádrži
[Pa]
pvn
tlak ve výtlačné nádrži
[Pa]
pw
tlak nasycených par
[Pa]
Q , Qv
objemový průtok
[m3⋅s-1]
Qm
hmotnostní průtok
[kg⋅s-1]
Re
Reynoldsovo číslo
[1]
S
plocha
[m2 ]
t
teplota
[°C ]
t
čas
[t]
u
unášivá rychlost
[m⋅s-1]
v
rychlost, relativní rychlost
[m⋅s-1]
Y
měrná energie
[J⋅kg-1]
∆y
měrná kavitační energie
[J⋅kg-1]
ν
kinematická viskozita
[m2⋅s-1]
η
účinnost
[%]
η
dynamická viskozita
[Pa.s]
ρ
hustota
[kg⋅m-3]
λ
součinitel tření
[1]
ζ
součinitel místní ztráty
[1]
σ
Thomův kavitační součinitel
[1]
Obsah 1. 2.
Předmluva ......................................................................................................................1 Čerpací systém................................................................................................................2 2.1 Základní hydraulické parametry čerpacího systému ..................................................3 3. Měrná energie .................................................................................................................4 3.1 Energetická bilance čerpacího systému .....................................................................4 4. Potrubí ............................................................................................................................5 4.1 Charakteristika potrubí .............................................................................................5 4.1.1 Třecí ztráty ........................................................................................................5 4.1.2 Místní ztráty ......................................................................................................6 4.1.3 Příklady .............................................................................................................7 4.2 Složené potrubí ......................................................................................................14 4.2.1 Sériové řazení potrubí .....................................................................................15 4.2.2 Paralelní řazení potrubí....................................................................................15 4.2.3 Příklady ...........................................................................................................16 5. Čerpadla .......................................................................................................................22 5.1 Hydrodynamické čerpadlo ......................................................................................22 5.2 Hydrostatické čerpadlo ...........................................................................................24 5.3 Rychloběžnost hydraulických strojů .......................................................................24 5.4 Účinnost čerpání.....................................................................................................26 5.5 Řazení čerpadel ......................................................................................................26 5.5.1 Sériové řazení čerpadel....................................................................................27 5.5.2 Paralelní řazení čerpadel ..................................................................................27 5.6 Pracovní bod čerpacího systému .............................................................................28 5.7 Regulace čerpacího systému ...................................................................................28 5.7.1 Škrcení na výtlaku ...........................................................................................29 5.7.2 Regulace obtokem čerpadla .............................................................................29 5.7.3 Změna otáček čerpadla ....................................................................................30 5.7.4 Stočení oběžného kola .....................................................................................31 5.8 Vliv viskozity na charakteristiku čerpadla ..............................................................32 5.9 Příklady ..................................................................................................................33 6. Kavitace v čerpadlech, sací výška .................................................................................58 6.1 Kavitace .................................................................................................................58 6.2 Sací výška čerpadla ................................................................................................58 6.3 Veličina NPSH .......................................................................................................59 6.4 Příklady ..................................................................................................................59 7. Laboratorní měření .......................................................................................................66 7.1 Postup měření.........................................................................................................67 7.2 Charakteristiky čerpadla .........................................................................................68 7.3 Sériové zapojení dvou čerpadel ..............................................................................70 7.4 Paralelní zapojení dvou čerpadel ............................................................................72 7.5 Vyhodnocení měření ..............................................................................................73 8. Přílohy ..........................................................................................................................74 9. Literatura ......................................................................................................................76
i
1.
Předmluva
Tato skripta jsou určena jako podpora výuky ve cvičeních z předmětů Čerpací technika, Čerpací technika a potrubí a Doprava kapalin. Ve skriptech je v silně zjednodušené formě probrána základní teorie, týkající se problematiky čerpacích systémů. Závěr každé kapitoly sestává z řešených příkladů, ve kterých je aplikována předchozí teorie. Ve výkladu se předpokládá znalost mechaniky tekutin, jejíž studium by mělo předcházet studiu výše zmiňovaných předmětu, které na mechaniku tekutin obsahově navazují. Při řešení příkladů bylo nutné některé hodnoty zaokrouhlovat, ale výpočty byly provedeny v plném rozsahu desetinných míst, proto může v některých příkladech vzniknout při samostatném řešení číselná odchylka. Autor děkuje doc. Ing. Sylvě Drábkové Ph.D. za připomínky a cenné rady při tvorbě tohoto učebního textu.
Recenzent: prof. Ing. Jiří Vidlář, CSc.
1
2.
Čerpací systém
Čerpací systém jako celek sestává z několika základních částí. Hlavní aktivní částí je čerpadlo, které slouží ke zvýšení tlakové, polohové energie a překonání hydraulických odporů při proudění reálné kapaliny v potrubí. Další nedílnou součástí je potrubí, a to jak sací tak výtlačné. Potrubí je ve své podstatě pasivní prvek a energii spotřebovává. Další podstatnou součástí je sací a výtlačná nádrž. Ze sací nádrže je kapalina čerpadlem transportována do výtlačné nádrže. Sací a výtlačná nádrž tvoří hranice čerpacího systému, tlaky na hladinách pvs a pvn tvoří okrajové podmínky. Na obr. 2.1 je zobrazeno obecné schéma čerpacího systému s vyznačením všech důležitých prvků a parametrů. Výtlačná nádrž
pvn
φ dv vv Výtlačné potrubí
hv
pv Q
hg Čerpadlo Yč
Sací nádrž
hs ps
psn
φds
Sací potrubí vs
obr. 2.1 Obecné schéma čerpacího systému Základní parametry čerpacího systému jsou následující: psn tlak v sací nádrži pvn tlak ve výtlačné nádrži ps tlak měřený na sací přírubě čerpadla tlak měřený na výtlačné přírubě čerpadla pv vs rychlost čerpané kapaliny v sacím potrubí vv rychlost čerpané kapaliny ve výtlačném potrubí Q průtok čerpané kapaliny systémem hs sací výška (svislý rozdíl mezi hladinou v sací nádrži a osou čerpadla) hv výtlačná výška (svislý rozdíl mezi hladinou ve výtlačné nádrži a osou čerpadla) hg geodetická výška (svislý rozdíl mezi hladinou ve výtlačné a sací nádrži) Yč Yp ds
dv
skutečná měrná energie čerpadla skutečná měrná energie potrubí průměr sacího potrubí průměr výtlačného potrubí 2
2.1
Základní hydraulické parametry čerpacího systému
Základní parametry čerpacího systému jsou průtok Q a měrná energie Y . Průtok je možné definovat dvěma způsoby. 1. Hmotnostní průtok Qm [kg.s-1] 2. Objemový průtok Qv [m3.s-1] Hmotnostní průtok vyjadřuje průtok v kilogramech, tato hodnota je tedy nezávislá na termodynamickém stavu čerpané kapaliny. Objemový průtok je naopak na termodynamickém stavu čerpané kapaliny závislý. Oba průtoky jsou ve vzájemném vztahu prostřednictvím hustoty kapaliny ρ . Qm = ρ ⋅ Qv [kg.s-1] nebo Qv =
Qm
ρ
[m3.s-1]
rov. 2.1
kde ρ je hustota kapaliny v [kg.m-3]. Dalším parametrem je jmenovitý průtok Qn . Jedná se o teoretickou hodnotu, která je definována během teoretického návrhu čerpacího systému. Měrná energie Y je parametr, který představuje množství energie v jednom kilogramu čerpané kapaliny. Měrná energie čerpadla Yč je množství energie, která je dodána čerpadlem kapalině mezi sacím a výtlačným hrdlem čerpadla. Obecně je měrná energie v čerpací technice definována vztahem. Y = g ⋅ h [J.kg-1]
rov. 2.2
kde h je např. dopravní výška čerpadla, nebo geodetická výška. Tento vtah vychází z Bernoulliho rovnice, kde každý člen této rovnice představuje měrnou energii. Další důležitý parametr čerpacího systému je hydraulický výkon, což je výkon předaný čerpadlem kapalině. Ph = ρ ⋅ Qv ⋅ Y [W]
rov. 2.3
Výkon je však pro dimenzování pohonu čerpadla nedostatečný, proto definujeme také příkon. P=
Ph
η
[W]
rov. 2.4
Účinnost je v hydraulických systémech obecně dána součinem tří dílčích složek účinnosti
η = η m ⋅η o ⋅η h [%]
rov. 2.5
kde η m je mechanická účinnost, η o je objemová účinnost a η h je hydraulická účinnost. Spotřebu energie čerpacího systému vyjádříme jako časový integrál z příkonu. t
E = ∫ P ⋅ dt [J]
rov. 2.6
0
Poznámka: V další části těchto skript budeme označovat objemový průtok písmenem Q .
3
3.
Měrná energie
Měrná energie je jedním z důležitých parametrů čerpacího systému. Měrná energie je nejčastěji definována jako funkce objemového průtoku. Y = f (Q) [J.kg-1]
rov. 3.1
Tento vztah je platný jak pro čerpadlo, tak pro potrubí. Při aplikaci na čerpadlo rov. 3.1 vyjadřuje, jakou měrnou energii předá čerpadlo kapalině při daném průtoku. Yč = f (Q) . Při aplikaci na potrubí naopak určíme, kolik měrné energie je spotřebováno potrubím při dopravě daného průtoku. Y p = f (Q) . Pokud je měrná energie čerpadla a potrubí identická, tj. Yč = Yp , je čerpací systém v rovnováze a průtok je v čase konstantní. Pokud je měrná energie čerpadla větší než měrná energie potrubí Yč > Y p , znamená to, že čerpadlo dodává více energie než je v porubí zmařeno. Systém tak není v rovnováze a přebytečná energie je využita na zrychlení kapaliny. Kapalina bude zrychlovat tak dlouho, až bude dosaženo nového rovnovážného stavu. Pokud je naopak měrná energie čerpadla menší než měrná energie potrubí Yč < Y p , čerpadlo nedodává dostatek energie a kapalina bude zpomalovat opět do dosažení rovnovážného stavu.
3.1
Energetická bilance čerpacího systému
Vzhledem k tomu, že čerpací systém pracuje hlavně v ustáleném režimu, nebudeme se dále nestacionárními režimy zabývat. Skutečnou měrnou energii, která je potřebná na dopravu kapaliny daným systémem Y p , je možné odvodit na základě energetické bilance. Využitím schématu obr. 2.1 můžeme napsat rovnici
Ysn + Y p = Yvn [J.kg-1]
rov. 3.2
Tato rovnice vlastně vyjadřuje následující tvrzení: součet měrné energie kapaliny v sací nádrži Ysn a měrné energie Y p spotřebované na její dopravu potrubím je roven měrné energii ve výtlačné nádrži Yvn . Použitím Bernoulliho rovnice pro skutečnou kapalinu rozepíšeme předchozí vztah p sn
ρ
+ Yp =
p vn
ρ
+ g ⋅ (hs + hv ) + g ⋅ (h zs + hzv ) [J.kg-1]
rov. 3.3
kde hs je sací výška, hv je výtlačná výška, hzs je ztrátová sací výška, hzv je ztrátová výtlačná výška, psn je tlak v sací nádrži, pvn je tlak ve výtlačné nádrži, ρ je hustota a g je tíhové zrychlení. Po úpravě získáme konečný vztah pro měrnou energii, kterou musí dodat čerpadlo kapalině Yp =
p vn − p sn
ρ
+ g ⋅ (hs + hv ) + g ⋅ (h zs + hzv ) [J.kg-1]
rov. 3.4
První dva členy rovnice jsou na průtoku nezávislé a můžeme je považovat za konstantu pro daný čerpací systém. Pro první dva členy se používá souhrnný název „statická složka měrné energie“ Yst =
p vn − p sn
ρ
+ g ⋅ (hs + hv ) ≠ f (Qv ) [J.kg-1]
rov. 3.5
4
Poslední člen je na průtoku závislý a používá se pro něj název dynamická složka měrné energie, představuje ztrátovou energii spojenou s prouděním skutečné kapaliny potrubím.
Ydyn = g ⋅ (hzs + hzv ) = f (Qv ) [J.kg-1] a
rov. 3.6
Ztráty závisí na režimu proudění v potrubí, proto je v obecném vyjádření průtok umocněn obecným exponentem a , který vyjadřuje vliv režimu proudění, a tedy Reynoldsova čísla. a =1 7 a= 4 7 a = ÷2 4 a=2
laminární proudění
hydraulicky hladká potrubí přechodová oblast turbulentního proudění vyvinuté turbulentní proudění
Ve většině případů čerpacích systémů má exponent hodnotu 2 a jde tedy o vyvinuté turbulentní proudění.
4.
Potrubí
4.1
Charakteristika potrubí
Charakteristiku potrubí jsme odvodili v části energetická bilance, viz rov. 3.4. Udává, kolik energie je potřeba pro dopravu určitého průtoku, přitom s rostoucím průtokem tato energie roste. Yp =
p vn − p sn
ρ
+ g ⋅ (hs + hv ) + g ⋅ (h zs + hzv ) [J.kg-1]
rov. 4.1
Ztrátová výška nebo ztrátová měrná energie je obecně definována na základě Darcy Weisbachovy rovnice. Zahrnuje jak třecí tak i místní ztráty
l h z = λ + Σζ d
v [m] 2g 2
rov. 4.2
kde λ je součinitel tření, l délka potrubí, d je průměr potrubí, Σζ je součet místních ztrát a v je rychlost proudící kapaliny. Předchozí vzorec je obecně platný jak pro sací, tak pro výtlačné potrubí, stačí pouze u všech veličin doplnit index s pro sací a v pro výtlačné potrubí. Měrná ztrátová (neboli rozptýlená) energie se pak určí dosazením rov. 4.2, do rov. 2.2
l Yz = g ⋅ hz = λ ⋅ + Σζ d
v [J.kg-1] 2 2
rov. 4.3
kde v rychlost kapaliny v potrubí, d je průměr potrubí a ν je kinematická viskozita kapaliny.
4.1.1 Třecí ztráty Třecí ztráty představují odpory, které působí po celé délce potrubí, jde tak o spojitě rozložený parametr. Třecí ztrátová výška, nebo ztrátový tlak je definován následujícím vztahem
5
l v2 l v2 [m]; p z = λ ⋅ ⋅ ⋅ ρ [Pa] ⋅ d 2 d 2⋅ g
hz = λ ⋅
rov. 4.4
Součinitel tření λ závisí na režimu proudění a tedy na Reynoldsově čísle. V oblasti turbulentního proudění se uplatní i vliv drsnosti k a tedy λ = f (Re, k ) , viz Nikuradseho diagram [1]. Neexistuje univerzálně platný vztah, který by byl použitelný pro libovolnou rychlost proudící tekutiny, drsnost a materiál potrubí. V literatuře je uvedena celá řada vztahů pro výpočet třecí ztráty, přičemž každý má omezený rozsah platnosti. V následující tabulce jsou uvedeny nejčastěji používané a nejznámější vztahy pro výpočet součinitele tření. [1] tab. 4.1 Vztahy pro výpočet třecí ztráty
Popis proudění
Součinitel tření
Platnost
Laminární proudění
64 Re 0,3164 λ= 4 Re
Re ≤ 2320
Hydraulicky hladké potrubí výpočet dle Blasia [1] Přechodová oblast turbulentního proudění Výpočet dle Altšula [1] Plně vyvinuté turbulentní proudění Výpočet dle Nikuradseho [1]
λ=
2320 ≤ Re ≤ 80000 0.25
100 k λ = 0,1 ⋅ + Re d 1 λ= 2 d 2 ⋅ log + 1,138 k
k ⋅ Re⋅ λ > 191,2 32,5 ⋅ d
Tyto vztahy jsou definovány pro kruhový průřez potrubí. Pro nekruhový průřez a turbulentní proudění je možné určit ekvivalentní průměr, tzv. hydraulický průměr potrubí dh =
4⋅S [m] o
rov. 4.5
kde S je průtočná plocha a o je smáčený obvod (obvod který je v kontaktu s kapalinou).
4.1.2 Místní ztráty Místní ztráty představují všechny elementy potrubí, které ovlivňují proudění pouze v malé části potrubí. Jedná se o tvarovky (redukce, spojky, odbočky zúžení a rozšíření potrubí, kolena a oblouky) a armatury (ventily, kohouty, šoupátka klapky). Místní ztrátová výška, nebo ztrátový tlak je určen ze vztahu hz = ζ ⋅
v2 v2 [m]; p z = ζ ⋅ ⋅ ρ [Pa] 2⋅ g 2
rov. 4.6
Velikost místní ztráty ζ se většinou určuje experimentálně a v celé řadě odborných publikací jsou vyjádřeny pro různé potrubní elementy ve formě grafů či nomogramů. Teoreticky je možné stanovit místní ztrátu např. pro náhlé rozšíření nebo zúžení potrubí, viz [1]. Místní ztrátu lze zaměnit za třecí ztrátu. Tento přepočet je proveden prostřednictvím ekvivalentní délky potrubí, která reprezentuje, na jaké délce potrubí dojde ke stejné ztrátě třením jako je místní ztráta. l ekv =
ζ ⋅ d [m] λ
rov. 4.7
6
4.1.3 Příklady Příklad č. 4.1 Určete charakteristiku Y = f (Q) přímého potrubí o vnitřním průměru d = 150 mm a délce l = 860 m, jestliže tímto potrubím protéká ropa o dané viskozitě. Maximální přípustná rychlost pro dopravu ropy je v = 2 m⋅s-1. Vyšetřete režim proudění a vykreslete charakteristiku v celém rozsahu povolené rychlosti. Zadaná data: d = 150 mm l = 860 m ν = 8,5 ⋅10 −5 m2⋅s-1 vmax = 2 m⋅s-1 Nejprve určíme maximální hodnotu Reynoldsova čísla. v ⋅d Re max = max
ν
Re max =
2 ⋅ 0,15 8,5 ⋅10 −5
Re max = 3529,41 Maximální hodnota Reynoldsova čísla přesahuje kritickou hodnotu 2320. Výpočet třecí ztráty bude tedy nutné rozdělit do dvou částí. Abychom mohli určit přechod mezi laminárním a turbulentním režimem, je nutné určit hodnotu kritické rychlosti. v ⋅d Re kr ⋅ν Re kr = kr ⇒ vkr = d ν 2320 ⋅ 8,5 ⋅10 −5 vkr = 0,15 v kr = 1 , 31 m.s-1 V rozmezí 0 − 1,31 m.s-1 se jedná o laminární proudění, a naopak v rozmezí 1,31 − 2 m.s-1 se jedná o turbulentní proudění. Charakteristiku potrubí odvodíme ze vzorce rov. 4.2. Potrubí nemá žádné místní ztráty, proto bude suma místních ztrát rovna 0. l v2 l v2 hz = λ ⋅ ⋅ ; Y = g ⋅ hz ⇒ Y = λ ⋅ ⋅ d 2⋅ g d 2 Charakteristika potrubí je ale definována jako závislost měrné energie Y na průtoku Q . Využijeme tedy rovnici kontinuity a vyjádříme rychlost π ⋅d2 π ⋅d2 4⋅Q Q = S ⋅v ; S = ⇒ Q= ⋅v ⇒ v = 4 4 π ⋅d2 Hodnotu rychlosti dosadíme do charakteristiky potrubí a získáme tak výsledný vztah
4⋅Q 2 l v 4⋅Q l π ⋅d 2 Y =λ⋅ ⋅ ; v = ⇒ Y =λ⋅ ⋅ d 2 d 2 π ⋅d2 následujícími úpravami získáme výsledný vztah. l 16 ⋅ Q 2 8⋅l ⋅λ Y =λ⋅ ⋅ ⇒ Y = 2 5 Q2 2 4 d 2 ⋅π ⋅ d π ⋅d
2
7
Za povšimnutí stojí ve výsledném vztahu hodnota průměru d , ta je v páté mocnině, proto je velice důležité velice přesně stanovit jeho hodnotu. 64 Součinitel tření určíme pro laminární proudění dle vztahu λlam = a pro turbulentní Re 0,3164 proudění v oblasti hydraulicky hladkých dle Blasia λturb = . 4 Re Výpočet je proveden pro rychlosti v rozmezí 0 − 2 m.s-1 s krokem 0,2 m.s-1. Pro přehlednost jsou výsledky uspořádány v tabulce. tab. 4.2 Výpočet charakteristiky potrubí v
Re
[m s-1]
[-]
0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2 1,31 1,31 1,4 1,6 1,8 2
0 352,9412 705,8824 1058,824 1411,765 1764,706 2117,647 2320 2320 2470,588 2823,529 3176,471 3529,412
λlam [-]
λturb [-]
Q
Y
[m3s-1]
[J kg-1]
0,045589 0,044878 0,043405 0,042145 0,04105
0 0,003534 0,007069 0,010603 0,014137 0,017671 0,021206 0,023232 0,023232 0,02474 0,028274 0,031809 0,035343
20,79289 41,58578 62,37867 83,17156 103,9644 124,7573 136,6786 225,8775 252,1562 318,5338 391,4466 470,7042
0,181333 0,090667 0,060444 0,045333 0,036267 0,030222 0,027586
Pro názornost jsou ještě výsledky vyobrazeny ve formě grafu Y = f (v ) 500 450 400
Y [ J.kg-1]
350 300 Lam
250
Turb
200 150 100 50 0 0
0.5
1
1.5
2
2.5
v [m.s-1]
obr. 4.1 Charakteristika potrubí pro laminární a turbulentní oblast
8
Příklad č. 4.2 Určete a graficky znázorněte charakteristiku ocelového potrubí s drsností k = 0,2 mm, které spojuje sací a výtlačnou nádrž. Tlak v obou nádržích je atmosférický. Sací potrubí má průměr d s = 250 mm a délku l s = 2 m. Sací potrubí zahrnuje jedno pravoúhlé koleno a sací koš se zpětnou klapkou. Výtlačné potrubí má průměr d v = 200 mm a délku l v = 50 m. Potrubí obsahuje dvě kolena a jeden uzavírací ventil. Dopravovanou kapalinou je voda. Maximální průtok kapaliny potrubím je Q = 50 l.s-1 pvn
lv φdv
hg ls
hs psn
φds
obr. 4.2 Schéma čerpacího systému Zadaná data: d s = 250 mm
ls = 2 m d v = 200 mm l v = 50 m
hg = 7 m
ζ ks = 0,3 místní ztráta kolene v sacím potrubí ζ koš = 4,3 místní ztráta sacího koše se zpětnou klapkou ζ kv = 0,3 místní ztráta kolene ve výtlačném potrubí ζ ve = 0,2 místní ztráta ventilu ζ v = 1 místní ztráta zaústění výtlačného potrubí do nádrže. k = 0,2 mm absolutní drsnost potrubí ν = 1 ⋅ 10 −6 m2⋅s-1 Q = 50 l.s-1 = 0,05 m3.s-1 Rychlost proudění v sacím potrubí určíme z rovnice kontinuity 4⋅Q Q = S S ⋅ vs ⇒ vs = π ⋅ ds2 9
4⋅Q 4 ⋅ 0,05 = 2 3,14 ⋅ 0,252 π ⋅ ds v s = 1,0 m.s-1 vs =
Stejně určíme i rychlost ve výtlačném potrubí 4⋅Q 4 ⋅ 0,05 vv = = 2 3,14 ⋅ 0,2 2 π ⋅ dv vv = 1,6 m.s-1 Nyní můžeme určit hodnotu Re čísla jak pro sací tak pro výtlačné potrubí v ⋅d v ⋅d 1,0 ⋅ 0,25 1,6 ⋅ 0,2 Re s = s s = Re v = v v = −6 ν ν 1 ⋅10 −6 1 ⋅ 10 Re s = 250000 Re v = 320000 V obou potrubích je vyvinuté turbulentní proudění (kvadratická oblast), proto použijeme pro výpočet součinitele tření vztah podle Nikuradseho ve tvaru 1 λ= 2 d 2 ⋅ log + 1,138 k 1 1 λs = λv = 2 2 0,25 0,2 + 1,138 + 1,138 2 ⋅ log 2 ⋅ log 0,0002 0,0002
λ s = 0,0186
λv = 0,0196
Nyní stanovíme měrnou ztrátovou energii pro sací a výtlačné potrubí pomocí rov. 4.3 a rovnice kontinuity 2 4⋅Q l v Y z = λ ⋅ + Σζ , Q = S ⋅ v ⇒ v = π ⋅d2 d 2 Výsledný vztah pro ztrátovou měrnou energii v závislosti na průtoku je po dosazení rovnice kontinuity l 8 Y z = λ ⋅ + Σζ 2 4 ⋅ Q 2 d π d
8 l Yzs = λ s ⋅ s + ζ koš + ζ ks 2 4 ⋅ Q 2 ds π ds 2 8 Yzs = 0,0186 ⋅ + 4,3 + 0,3 ⋅Q2 2 4 0,25 3,14 ⋅ 0,25 -1 2 Yzs = 985,40 ⋅ Q J.kg 8 l Yzv = λv ⋅ v + ζ ve + 2 ⋅ ζ kv + ζ v 2 4 ⋅ Q 2 dv π dv 50 8 Yzv = 0,0196 ⋅ + 0,2 + 2 ⋅ 0,3 + 1 ⋅ Q2 2 4 0 , 2 ⋅ 3 , 14 0 , 2 Yzv = 3394,26 ⋅ Q 2 J.kg-1
10
Předchozí výpočty stanovily dynamickou složku měrné energie. Poslední část výpočtu spočívá ve stanovení statické složky měrné energie. Yst = g ⋅ hg = 9,81 ⋅ 7 J.kg-1 Yst = 68,67 J.kg-1 Nyní můžeme stanovit výslednou charakteristiku potrubí Y p = Yst + Yzs + Yzv
Y p = 68,67 + 985,40 ⋅ Q 2 + 3394,26 ⋅ Q 2 J.kg-1 Po sloučení posledních dvou členů je výsledná charakteristika potrubí dána rovnicí Y p = 68,67 + 4379,66 ⋅ Q 2 J.kg-1 (do vztahu je nutné dosadit průtok v m3.s-1) Charakteristika potrubí je tabelována pro průtok 0 − 50 l.s-1 a následně data vynesena do grafu, viz obr. 4.3. 90 Q -1 [l.s ] 0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50
85
-1
Y p [J.kg ]
80 75 70 65 60 0
0.01
0.02
0.03 3
0.04
0.05
Q 3 -1 [m .s ] 0,000 0,005 0,010 0,015 0,020 0,025 0,030 0,035 0,040 0,045 0,050
Yp -1 [J.kg ] 68,67 68,78 69,11 69,66 70,42 71,41 72,61 74,04 75,68 77,54 79,62
0.06
-1
Q [m .s ]
obr. 4.3 Charakteristika potrubí
Příklad č. 4.3 Určete charakteristiku gravitačního potrubí, které dopravuje vodu z horní do spodní nádrže a průtok kapaliny samovolně proudící potrubím. Potrubí má průměr d = 500 mm, délku l = 1000 m a obsahuje dvě kolena. Dopravovanou kapalinou je voda.
pvn
hg l psn
φd
obr. 4.4 Schéma potrubního systému 11
Zadaná data: d = 500 mm l = 1000 m hg = 7 m
ζ k = 0,3 místní ztráta kolene ζ s = 0,7 místní ztráta zaústění potrubí v horní nádrži. ζ v = 1 místní ztráta zaústění potrubí do spodní nádrže. k = 0,5 mm absolutní drsnost potrubí ν = 1 ⋅10 −6 m2⋅s-1 Nejprve stanovíme hodnotu teoretické rychlosti z Bernoulliho rovnice pro odhad Reynoldsova čísla. v2 g ⋅ hg = → vt = 2 ⋅ g ⋅ h g 2 vt = 2 ⋅ 9,81 ⋅ 7 vt = 11,72 m.s-1 vt ⋅ d
11,72 ⋅ 0,5 ν 1 ⋅ 10 − 6 Re t = 5860000 Re t =
=
Na základě této hodnoty můžeme předpokládat, že proudění v potrubí bude v kvadratické oblasti, použijeme tedy výpočet dle Nikuradseho a určíme součinitel tření
λ = 0,0196 Nyní můžeme určit skutečnou hodnotu rychlosti z Bernoulliho rovnice 2 l v g ⋅ hg = λ ⋅ + Σζ d 2 2 2 l v l v → g ⋅ hg = λ ⋅ + 2 ⋅ ζ k + ζ s + ζ v g ⋅ hg = λ ⋅ + 2 ⋅ ζ k + ζ s + ζ v d 2 d 2
v=
2 ⋅ g ⋅ hg
l + 2 ⋅ζ k + ζ s + ζ v d v = 1,82 m.s-1
λ⋅
=
2 ⋅ 9,81 ⋅ 7 1000 0,0196 ⋅ + 2 ⋅ 0,3 + 0,7 + 1 0,5
Provedeme kontrolu Re čísla: v ⋅ d 1,82 ⋅ 0,5 Re = = ν 1 ⋅ 10 −6 Re = 910000 Jedná se podle předpokladu o vyvinuté turbulentní. Vztah pro třecí ztrátu je platný i pro skutečnou hodnotu rychlosti, protože je nezávislý na hodnotě Re. Průtok kapaliny vypočteme z rovnice kontinuity. π ⋅d2 Q = S ⋅v ⇒ ⋅v 4 12
Q=
π ⋅d2 4
⋅v =
3,14 ⋅ 0,5 2 ⋅ 1,82 4
Q = 0,36 m3.s-1 Ztrátová měrná energie potrubí l 8 Yz = λ ⋅ + 2 ⋅ ζ k + ζ v + ζ s 2 4 ⋅ Q 2 d π dv 1000 8 Yz = 0,0196 ⋅ + 2 ⋅ 0,3 + 0,7 + 1 ⋅Q2 2 4 0,5 3,14 ⋅ 0,5 -1 2 Yz = 538,76 ⋅ Q J.kg Statická složka měrné energie Yst = g ⋅ hg = 9,81 ⋅ 7 Yst = 68,67 J.kg-1 Jelikož je u tohoto potrubí průtok ve směru gravitace, bude statická složka měrné energie záporná. Výsledná charakteristika potrubí Y p = −Yst + Yz
Y p = −68,67 + 538,76 ⋅ Q 2 J.kg-1 Charakteristika potrubí na obr. 4.5 bude posunuta v záporném smyslu osy Y. Potenciální energie dána výškovým rozdílem se přemění na kinetickou energii a částečně se zmaří ve ztrátách. Průtok vody, který lze dopravit potrubím na úkor potenciální energie, stanovíme z rovnic tak, že měrná energie bude rovna 0. Jinými slovy, ztrátová výška potrubí pro vypočtený průtok je shodná s geodetickou výškou. 68,67 0 = −68,67 + 538,76 ⋅ Q 2 ⇒ Q = 538,76 Q = 0,36 m3.s-1 80.00 60.00
-1
Y p [J.kg ]
40.00 20.00 0.00 0.00 -20.00
0.10
0.20
0.30
0.40
0.50
0.60
-40.00 -60.00 -80.00 3
-1
Q [m .s ]
obr. 4.5 Charakteristika gravitačního potrubí
13
4.2
Složené potrubí
Složené potrubí je potrubní sestávající z jednotlivých úseků navzájem propojených v uzlových bodech. Jednotlivé úseky potrubí lze spojit třemi způsoby: 1) Sériové řazení potrubí (za sebou) 2) Paralelní řazení potrubí (vedle sebe) 3) Kombinované sérioparalelní řazení potrubí. V teorii potrubních sítí se vyskytují následující pojmy: větev, uzel a smyčka. Větev či úsek představuje část potrubí s konstantními parametry, který je mezi jednotlivými uzly. Uzel je prvek spojující dva a více úseků potrubí. Smyčka je část systému, která sestává ze dvou a více jednotlivých úseků potrubí. V tomto úseku potrubního systému je možné se vrátit do výchozího bodu tak, že se každým úsekem projde pouze jednou. Pokud označíme počet větví i a počet uzlů j pak počet smyček (okruhů) je roven m=i-j+1. Při řešení se používá aplikace Kirchhoffových zákonů, ale na rozdíl od elektrické sítě je nutno v potrubních sítích uvažovat nelineární závislost mezi tlakovou ztrátou ∆p a průtokem Q .
Kirchhofovy zákony 1. První zákon: pro každý uzel sítě musí platit rovnice kontinuity n
∑Q i =1
i
= 0 [m3.s-1]
rov. 4.8
To znamená, že množství kapaliny, které do uzlu přiteče, musí také z uzlu odtéct. Přičemž se předpokládá, že průtok směřující do uzlu se uvažuje jako kladný a průtok, který uzel opouští je záporný. - Q3 Uzel + Q1
- Q4
+ Q2
obr. 4.6 Schéma uzlu 2. Druhý zákon: součet tlakových diferencí v jednotlivých větvích postupně sčítaných v jednom smyslu je opět roven nule. n
∑ ∆p i =1
i
=0 [Pa]
rov. 4.9
Přitom tlakový spád, který je vyvolán prouděním ve směru hodinových ručiček se uvažuje jako kladný a tlakový spád vyvolaný prouděním proti směru hodinových ručiček jako záporný.
+∆p2 +∆p1
+∆p3 Smyčka
-∆p5
-∆p4
obr. 4.7 Schéma smyčky 14
3. Třetí zákon: udává vztah mezi tlakovou ztrátou ∆p a průtokem Q.
∆p i = k ⋅ Qi ⋅ Qi [Pa]
rov. 4.10
4.2.1 Sériové řazení potrubí Sériové řazení potrubí se vyznačuje spojením jednotlivých úseků v uzlových bodech. V těchto bodech na sebe jednotlivé úseky potrubí navazují a současně uzel spojuje pouze dvě potrubí, potrubí tak neobsahuje žádné odbočky atd. Pro sériově řazené potrubní systémy platní následující rovnice
Qsp = Q1 = Q2 = ...Qn [m3.s-1]
rov. 4.11
Ysp = Y1 + Y2 + ...Yn [J.kg-1] rov. 4.12
n
obecně Ysp = ∑ Yi [J.kg-1] i =1
1+2
Y
Y1
2
Y2
Q
1
Q Y1
Y2
Y1+Y2 Q
obr. 4.8 Schéma sériového řazení potrubí, grafické řešení výsledné charakteristiky
4.2.2 Paralelní řazení potrubí Paralelní řazení potrubí se vyznačuje spojením jednotlivých úseků v uzlových bodech. V těchto bodech se průtok slučuje nebo rozděluje. Pro paralelně řazené potrubní systémy platní následující rovnice Q pp = Q1 + Q2 + ...Qn [m3.s-1] obecně Q pp = ∑ Qi [m3.s-1]
rov. 4.13
Y pp = Y1 = Y2 = ...Yn [J.kg-1]
rov. 4.14
n
i =1
15
Y Q2 Q=Q1+Q2 Q
Q1
Q
2
Q2 Q1
Y
1+2
1
Q obr. 4.9 Schéma paralelního řazení potrubí, grafické řešení výsledné charakteristiky
4.2.3 Příklady Příklad č. 4.4 Stanovte výslednou charakteristiku dvou sériově řazených potrubí. Charakteristiky potrubí jsou určeny rovnicemi Y1 = 98,10 + 1325,16 ⋅ Q 2 a Y2 = 147,15 + 3996,32 ⋅ Q 2 . Charakteristiky obou potrubí a výslednou charakteristiku jejich sériového řazení zobrazte v grafu.
pv
Y2 Q Y1 Q
obr. 4.10 Schéma sériového řazení potrubí Zadaná data: 2 Y1 = 98,10 + 1325,16 ⋅ Q1 [J.kg-1] Y2 = 147,15 + 3996,32 ⋅ Q2 [J.kg-1] 2
Při sériovém řazení potrubí protéká oběma potrubími stejný průtok a měrná energie se sčítá. Dle rov. 4.12 tedy sečteme měrné energie potrubí Y1 a Y2 . Q = Q1 = Q2 Y = Y1 + Y2 = 98,10 + 1325,16 ⋅ Q 2 + 147,15 + 3996,32 ⋅ Q 2 Nyní výraz upravíme, sečteme absolutní a kvadratické členy. Tím získáme výslednou charakteristiku potrubí ve tvaru Y = 245,25 + 5321,48 ⋅ Q 2
16
1800.00 1600.00
Y1
1400.00
Y2 Y
-1
Y [J.kg ]
1200.00 1000.00 800.00 600.00 400.00 200.00 0.00 0.00
0.10
0.20
0.30 3
0.40
0.50
0.60
-1
Q [m .s ]
obr. 4.11 Charakteristika potrubí při sériovém řazení
Příklad č. 4.5 Stanovte výslednou charakteristiku dvou paralelně řazených potrubí. Charakteristiky obou potrubí jsou určeny rovnicemi Y1 = 98,10 + 1325,16 ⋅ Q 2 a Y2 = 98,10 + 3996,32 ⋅ Q 2 , kde Q je dáno v m3.s-1. Charakteristiky obou potrubí a výslednou charakteristiku sériového řazení zobrazte v grafu. Pro průtok Q = 250 l.s-1 vypočtěte přerozdělení průtoku Q1 a Q2 do obou větví.
pv
Q2
Q1 Q
Y1
Y2
obr. 4.12 Schéma paralelního řazení potrubí Zadaná data: 2 Y1 = 98,10 + 1325,16 ⋅ Q1 [J.kg-1]
Y2 = 98,10 + 3996,32 ⋅ Q2 [J.kg-1] Q = 250 l.s-1 2
17
Při paralelním řazení potrubí je měrná energie v obou potrubích identická a průtok kapaliny se dělí mezi dvě potrubí. Z rov. 4.14 vyplývá rovnost měrné energie v obou paralelních větvích, proto vyjádříme z charakteristik potrubí průtoky a následně dosadíme do rov. 4.14
Y = Y1 = Y2 Y1 = 98,10 + 1325,16 ⋅ Q1 ⇒ Q1 = 2
Y − 98,10 1325,16
Y − 98,10 3996,32 Nyní oba průtoky dosadíme do rov. 4.13 Y = 98,10 + 3996,32 ⋅ Q2 ⇒ Q2 = 2
Q = Q1 + Q2 Q=
Y − 98,10 Y − 98,10 + 1325,16 3996,32
Průtok Q = 250 l.s-1 rozdělíme mezi dvě paralelní potrubí následovně: využijeme rovnice popisující paralelní potrubí Y = Y1 = Y2 ; Q = Q1 + Q2 Z rovnice kontinuity si vyjádříme průtok Q1 nebo Q2 , (v tomto příkladu vyjádříme Q2 ) Q2 = Q − Q1 Do druhé charakteristiky dosadíme výraz pro Q2 Y1 = 98,10 + 1325,16 ⋅ Q1
2
Y2 = 98,10 + 3996,32 ⋅ Q2 ⇒ Y2 = 98,10 + 3996,32 ⋅ (Q − Q1 ) 2
2
Nyní obě rovnice porovnáme, protože platí Y1 = Y2
98,10 + 1325,16 ⋅ Q1 = 98,10 + 3996,32 ⋅ (Q − Q1 ) 2
2
Rovnici upravíme na tvar 2 2 98,10 + 1325,16 ⋅ Q1 = 98,10 + 3996,32 ⋅ Q 2 − 2 ⋅ 3996,32 ⋅ Q ⋅ Q1 + 3996,32 ⋅ Q1 Další úprava spočívá v převedení všech členů na levou stranu rovnice 2 (1325,16 − 3996,32) ⋅ Q1 + 2 ⋅ 3996,32 ⋅ Q ⋅ Q1 − 3996,32 ⋅ Q 2 = 0 Do rovnice dosadíme také hodnotu průtoku Q = 0,250 m3.s-1, protože ta je dána. − 2671,16 ⋅ Q1 + 1998,16 ⋅ Q1 − 249,77 = 0 2
Získáme tak kvadratickou rovnici, jejímž řešením určíme hodnotu průtoku Q1 −b± D 2⋅a 2 2 D = b − 4 ⋅ a ⋅ c = 1998,16 − 4 ⋅ (− 2671,16 ) ⋅ (− 249,77 ) D = 1323941
a ⋅ x 2 + b ⋅ x + c = 0 ; D = b 2 − 4 ⋅ a ⋅ c ; x1, 2 =
Q11 =
− 1998,16 + 1323941 = 0,1586 m3.s-1 2 ⋅ (− 2671,16 )
18
Q1 2 =
− 1998,16 − 1323941 = 0,5894 m3.s-1 2 ⋅ (− 2671,16)
Správná je hodnota Q1 = 0,1586 m3.s-1, protože druhá hodnota převyšuje průtok Q . Jelikož již známe hodnotu průtoku Q1 , můžeme dopočítat průtok Q2 z rovnice Q = Q1 + Q2 . Q2 = Q − Q1 = 0,250 − 0,1586 Q2 = 0,0914 m3.s-1 Průtok Q = 0,250 m3.s-1 bude tedy rozdělen v uzlu na průtoky Q1 = 0,1586 m3.s-1 a Q2 = 0,0914 m3.s-1, tj. 63,44% průtoku do kratšího potrubí a 36,56% do delšího potrubí. Pro kontrolu dosadíme průtoky do charakteristik. 2 2 Y1 = 98,10 + 1325,16 ⋅ Q1 = 98,10 + 1325,16 ⋅ (0,1586 ) = 131,45 [J.kg-1]
Y2 = 98,10 + 3996,32 ⋅ Q2 = 98,10 + 3996,32 ⋅ (0,0914 ) = 131,45 [J.kg-1] 2
2
Rovnice Y = Y1 = Y2 je tedy splněna a hodnoty průtoku jsou určeny správně. Identický je postup, kdybychom na počátku vyjádřili průtok Q1 nikoli Q2 . 700.00 600.00
-1
Y [J.kg ]
500.00 400.00 300.00
Y1 Y2
200.00
Y
100.00 0.00 0.00
0.20
0.40
0.60 3
0.80
1.00
1.20
-1
Q [m .s ]
obr. 4.13 Charakteristika potrubí při paralelním řazení
Příklad č. 4.6 Stanovte výslednou charakteristiku dvou paralelně řazených potrubí. Charakteristiky potrubí jsou určeny rovnicemi Y1 = 147,15 + 1325,16 ⋅ Q 2 a Y2 = 98,10 + 3996,32 ⋅ Q 2 , každé potrubí je opatřeno zpětnou klapkou, která zamezuje zpětnému proudění z nádrže zpět do potrubí. Charakteristiky obou potrubí a výslednou charakteristiku sériového řazení zobrazte v grafu. Pro průtok Q = 250 l.s-1 vypočtěte přerozdělení průtoku do obou větví Q1 a Q2 . Vypočtěte průtok , Q při kterém začne kapalina proudit i do horní nádrže
19
pv
pv
Y1 Q2
Q1
Y2
Q obr. 4.14 Schéma paralelního potrubí Zadaná data: 2 Y1 = 147,15 + 1325,16 ⋅ Q1 [J.kg-1]
Y2 = 98,10 + 3996,32 ⋅ Q2 [J.kg-1] Q = 250 l.s-1 2
Při paralelním řazení potrubí je měrná energie v obou potrubích identická a průtok kapaliny se dělí mezi dvě potrubí. Z rov. 4.14 vyplývá rovnost měrné energie v obou paralelních větvích, proto si vyjádříme z charakteristik potrubí průtok a následně průtoky dosadíme do rov. 4.14 Y = Y1 = Y2
Y = 147,15 + 1325,16 ⋅ Q1 ⇒ Q1 = 2
Y − 147,15 1325,16
Y − 98,10 3996,32 Nyní oba průtoky dosadíme do rovnice kontinuity Y = 98,10 + 3996,32 ⋅ Q2 ⇒ Q2 = 2
Q = Q1 + Q2 Q=
Y − 147,15 Y − 98,10 + 1325,16 3996,32
Hodnotu průtoku, při němž začne kapalina proudit také do horní nádrže, vypočteme z rovnosti měrných energií Y = Y1 = Y2 . Potrubí dané charakteristikou Y1 má vyšší statickou složku měrné energie. Pokud nebude hodnota měrné energie v tomto potrubí minimálně rovna statické složce, bude potrubí neprůtočné (průtok znemožní zpětná klapka). K řešení využijeme tedy předpoklad, že průtok Q1 bude roven 0 a současně průtok Q2 bude roven průtoku Q . Y = Y1 = Y2
147,15 + 1325,16 ⋅ Q1 = 98,10 + 3996,32 ⋅ Q2 2
2
Po zahrnutí výše zmíněných předpokladů se rovnice upraví do následujícího tvaru 147,15 − 98,10 2 147,15 = 98,10 + 3996,32 ⋅ Q2 ⇒ Q2 = 3996,32 20
Q = Q2 = 0,111 m3.s-1 Do této hodnoty průtoku bude kapalina dopravována pouze do dolní nádrže. Pro průtok Q = 250 l.s-1 stanovíme rozdělení průtoku mezi dvě potrubí následovně: stejně jako v předchozím příkladu využijeme rovnice popisující paralelní spojení potrubí Y = Y1 = Y2 ; Q = Q1 + Q2 Z rovnice kontinuity si opět vyjádříme průtok Q1 nebo Q2 , (v tomto příkladu vyjádříme Q2 ) Q2 = Q − Q1 Do druhé charakteristiky dosadíme výraz pro Q2 Y1 = 147,15 + 1325,16 ⋅ Q1
2
Y2 = 98,10 + 3996,32 ⋅ Q2 → Y2 = 98,10 + 3996,32 ⋅ (Q − Q1 ) 2
2
Nyní obě rovnice porovnáme, protože platí Y1 = Y2
147,15 + 1325,16 ⋅ Q1 = 98,10 + 3996,32 ⋅ (Q − Q1 ) 2
2
Rovnici dále upravíme na tvar 2 2 147,15 + 1325,16 ⋅ Q1 = 98,10 + 3996,32 ⋅ Q 2 − 2 ⋅ 3996,32 ⋅ Q ⋅ Q1 + 3996,32 ⋅ Q1 Další úprava spočívá v převedení všech členů na levou stranu rovnice 2 (1325,16 − 3996,32) ⋅ Q1 + 2 ⋅ 3996,32 ⋅ Q ⋅ Q1 − 3996,32 ⋅ Q 2 + 147,15 − 98,15 = 0 do rovnice dosadíme také hodnotu průtoku Q = 0,250 m3.s-1, protože ta je dána.
− 2671,16 ⋅ Q1 + 1998,16 ⋅ Q1 − 200,72 = 0 2
Získali jsme tak kvadratickou rovnici, jejímž řešením získáme hodnotu průtoku Q1 D = b 2 − 4 ⋅ a ⋅ c = 1998,16 2 − 4 ⋅ (− 2671,16) ⋅ (− 200,72) D = 1848022
Q11 =
− 1998,16 + 1848022 = 0,1196 m3.s-1 2 ⋅ (− 2671,16 )
Q1 2 =
− 1998,16 − 1848022 = 0,1304 m3.s-1 2 ⋅ (− 2671,16 )
Jelikož již známe hodnotu průtoku Q1 můžeme dopočítat průtok Q2 z rovnice Q = Q1 + Q2 . V tomto případě ale nelze jednoznačně určit, která hodnota je správná. Proto je nutné provést kontrolu dosazením obou průtoku do charakteristik potrubí. Za průtok Q1 zvolíme první hodnotu Q1 = 0,1196 m3.s-1 Q2 = Q − Q1 = 0,250 − 0,1196 Q2 = 0,1304 m3.s-1 Y1 = 147,15 + 1325,16 ⋅ Q1 = 147,15 + 1325,16 ⋅ (0,1196 ) = 166,09 [J.kg-1] 2
2
Y2 = 98,10 + 3996,32 ⋅ Q2 = 98,10 + 3996,32 ⋅ (0,1304 ) = 166,09 [J.kg-1] 2
2
Měrné energie jsou identické, tj. průtok Q1 jsme zvolili správně. Při průtocích menších Q ≤ 0,111 m3.s-1 neexistuje paralelní zapojení potrubí, protože potrubí Y1 je uzavřené. Proto je výsledná charakteristika paralelního zapojení vykreslena 21
v následujícím grafu až od této hodnoty. Do této hodnoty by byla charakteristika identická s charakteristikou Y2 . 600.00 500.00
-1
Y [J.kg ]
400.00 300.00 Y1
200.00
Y2 Y
100.00 0.00 0.00
0.20
0.40
0.60 3
0.80
1.00
-1
Q [m .s ]
obr. 4.15 Charakteristika potrubí při paralelním řazení, pro dvě nádrže
5.
Čerpadla
Čerpadlo je aktivní prvek v čerpacím systému dodávající energii čerpané kapalině. V praxi se nejčastěji používají hydrodynamická čerpadla. Stejně jako potrubí je také čerpadlo popsáno charakteristikou Yč = f (Q ) [J.kg-1]
rov. 5.1
Charakteristika čerpadla udává souvislost dvou hlavních parametrů čerpadla, tj. průtoku Q a měrné energie čerpadla Yč . Doplňujícími charakteristikami jsou závislost příkonu P , účinnosti η a měrné kavitační energie ∆y na průtoku.
5.1
Hydrodynamické čerpadlo
Hydrodynamické čerpadlo je založeno na nepřímém přenosu energie. Energie mechanická (elektromotor) přiváděná na hřídel čerpadla je v oběžném kole přeměněna na energii kinetickou. Tato energie je pak v difuzoru (spirální skříni) nebo rozvaděči transformována na energii tlakovou (hydraulickou). Charakteristickým prvkem hydrodynamického čerpadla jsou rotující kanály ohraničené lopatkami a disky oběžného kola. Proudění v těchto kanálech je popsáno rozšířenou Bernoulliho rovnicí p1
ρ
2
+
2
2
2
v1 u p v u + g ⋅ h1 − 1 = 2 + 2 + g ⋅ h2 − 2 + g ⋅ hz [J.kg-1] 2 2 ρ 2 2
rov. 5.2
kde p je tlak, ρ je hustota kapaliny, v je relativní rychlost (vztažená k rotujícímu souřadnému systému), u je unášivá rychlost a hz je ztrátová výška při průtoku oběžným kolem. Index 1 platí pro sání a index 2 pro výtlak oběžného kola. Vektorovým součtem relativní rychlosti v a unášivé rychlosti u je rychlost absolutní c 22
→
→
→
rov. 5.3
c = v+ u
Teoretická měrná energie hydrodynamického čerpadla definována kinematických poměrů v oběžném kole Eulerovou čerpadlovou rovnicí
základě
na
Yt = u 2 ⋅ c 2 ⋅ cos α 2 − u1 ⋅ c1 ⋅ cos α 1 = u 2 ⋅ cu 2 − u1 ⋅ c u1
rov. 5.4
kde c u je hybná složka absolutní rychlosti cu = c ⋅ cos α . α2 c2 v2
v1
c1
u2
β1
α1 v1
α1 c1
cu1
Vstup
cm1
u1
u1
v2
c2
Výstup
β2
α2 cu2
cm2
u2
obr. 5.1 Kinematické poměry na oběžném kole, rychlostní trojúhelníky U hydrodynamického čerpadla je vazba mezi měrnou energií a průtokem, takže není „tvrdý zdroj“ průtoku. Štítkové údaje na čerpadle vyjadřují jeho parametry při optimální účinnosti. V okolí tohoto bodu by pak mělo být čerpadlo provozováno.
Y [J.kg-1] η [%] [%][%][%]
P [W] ∆y [J.kg-1] P-Q Y-Q
Pn
Yn
∆y - Q
ηmax η-Q
∆y
Qn
Q [m3.s-1]
obr. 5.2 Příklad charakteristik hydrodynamického čerpadla při konstantních otáčkách
23
5.2
Hydrostatické čerpadlo
Hydrostatické čerpadlo je založeno na objemovém principu. Jde tedy o periodické zmenšování a zvětšování objemu, do kterého je kapalina nasávána a následně vytlačována. Energie mechanická (elektromotor) je na pístu transformována na energii tlakovou (hydraulickou). Hydrostatické čerpadlo je tak „tvrdý zdroj“ průtoku kapaliny, takže štítkové údaje na čerpadle vyjadřují skutečný průtok. Tlak na čerpadle je pak výsledkem odporu potrubí. Q [m3.s-1] P [W]
η [%]
Qn
Q-Y η-Y
ηmax P-Y
Y [J.kg-1]
obr. 5.3 Příklad charakteristiky hydrostatického čerpadla při konstantních otáčkách
5.3
Rychloběžnost hydraulických strojů
Rychloběžnost je souhrnným součinitelem přibližné hydrodynamické podobnosti hydraulických strojů. Respektuje nejdůležitější síly v kapalině. Tyto síly zohledňují kritéria Eulerova a Strouhalova (bezrozměrná čísla).
Eu =
∆p
ρ ⋅ v2
, Sh =
n⋅ D [-] v
rov. 5.5
kde ∆p tlakový spád, ρ je hustota kapaliny, v je rychlost kapaliny, n jsou otáčky, D je charakteristický rozměr. Na základě těchto podobnostních kritérií lze odvodit rychloběžnost čerpadla 0, 5
nb =
Q 1 = n ⋅ 0,75 [s-1] 0 , 75 Sh ⋅ Eu Y
rov. 5.6
kde Q je průtok v [m3.s-1], n jsou otáčky [s-1], Y je měrná energie [J.kg-1]. Do definovaného vztahu je nutné dosazovat v uvedených jednotkách.
Čerpadlo navazuje na vnější okolí (čerpací systém) hydraulickými hodnotami (Q, Y ) a na pohon mechanickými hodnotami (M , n ) . Při ustáleném provozu hydraulického stroje platí energetická rovnováha mezi hydraulickou a mechanickou části systému.
24
Dříve byly odvozeny měrné výkonové otáčky ns pro jednotkový výkon
ns = 3,65 ⋅ n ⋅
Q 0 ,5 [min-1] 0 , 75 H
rov. 5.7
kde Q je průtok v [m3.s-1], n jsou otáčky [min-1], H je výtlačná výška [m]. Lze také definovat měrné objemové otáčky nq podle vztahu
nq = n ⋅
Q 0,5 [min-1] H 0,75
rov. 5.8
kde Q je průtok v [m3.s-1], n jsou otáčky [min-1], H je výtlačná výška [m]. Do vztahu je nutné vždy dosazovat v uvedených jednotkách. Jednotlivé vztahy jsou převoditelné pomocí přepočtu
n s = 1214 ⋅ nb = 3,65 ⋅ nq , nq = 333nb
rov. 5.9
Podle hodnoty měrných výkonových otáček n s lze členit čerpadla na:
čerpadla radiální čerpadla diagonální čerpadla axiální
⇒ ns = (35 ÷ 300 ) [min-1]
⇒ ns = (300 ÷ 550) [min-1]
⇒ n s = (550 ÷ 1260 ) [min-1]
Charakteristiky určitého typu hydrodynamického čerpadla dané rychloběžnosti vyjadřují závislost hlavních parametrů Y [J.kg-1], η c [%], P [W] na průtoku Q [m3.s-1] při konstantních otáčkách (n = konst.) . Uvedené charakteristiky se zpracovávají na základě experimentálního měření.
Základní typy hydrodynamických čerpadel lze klasifikovat např. podle měrných otáček nq [min-1], viz obr. 5.4. Lze určit typ oběžného kola, kinematické poměry i přibližný průběh charakteristik čerpadla. Tyto charakteristiky lze stanovit pomocí následujících poměrných vztahů Q Y P η η+ = Q+ = Y+ = P+ = rov. 5.10 Qn Yn Pn ηn kde hodnoty Qn , Yn , Pn , η n jsou jmenovité parametry čerpadla. Rychloběžnost (výkonové či objemové otáčky) jsou tedy základním kritériem pro třídění a klasifikaci čerpadel, ale také pro jejich návrh, typizaci a zkoušení čerpadel.
25
obr. 5.4 Základní typy hydrodynamických čerpadel podle měrných otáček n q [min-1], [2]
5.4
Účinnost čerpání
Čerpadlo, jako každý jiný stroj, má svou účinnost. U čerpadel lze provést odhad účinnosti pomocí nomogramu, který se nazývá Erhartův diagram, viz Příloha č. 1. Tento diagram vyjadřuje maximální dosažitelnou účinnosti čerpání v závislosti na měrných otáčkách ns nebo nb a průtoku Q . Tento diagram je často používán při návrhu oběžného kola, kdy je možné již při prvotním návrhu specifikovat teoretickou maximální dosažitelnou účinnost. Správně zvolené čerpadlo by mělo dosahovat maximální účinnost v okolí pracovního bodu.
5.5
Řazení čerpadel
V praxi je často nutné spojit více čerpadel do jednoho čerpacího systému. Čerpadla, stejně jako potrubí, je možné řadit sériově i paralelně. Při výpočtech se pak využívá výsledná charakteristika sériového či paralelního zapojení.
26
5.5.1 Sériové řazení čerpadel Kapalina z výtlačného hrdla prvního čerpadla je přivedena na sací hrdlo druhého čerpadla, tomuto zapojení se říká sériové řazení. Při sériovém řazení čerpadel je průtok všemi čerpadly identický a měrné energie jednotlivých čerpadel se sčítají. Qsč = Q1 = Q2 = ...Qn [m3.s-1]
rov. 5.11 n
Ysč = Y1 + Y2 + ...Yn , obecně Ysč = ∑ Yi [J.kg-1]
rov. 5.12
i =1 n
Psč = P1 + P2 + ...Pn , obecně Psč = ∑ Pi [W]
rov. 5.13
i =1
Y1 + Y2 + ..Yn Y1 Y2 Y3 + +
η sč =
η1
η2
rov. 5.14
ηn
Y Y2
Q
Y1
Q
Sériové řazení
Čerpadlo 1
Čerpadlo 2
Y2
Y1+Y2
Y1 Qs
Q
obr. 5.5 Schéma sériového řazení čerpadel, grafické řešení výsledné charakteristiky
5.5.2 Paralelní řazení čerpadel Při paralelním řazení čerpadel jsou výtlačná hrdla jednotlivých čerpadel spojena v jednom uzlu. Také sací potrubí může být pouze jedno a z uzlu se může potrubí dále větvit k jednotlivým čerpadlům. Při paralelním řazení čerpadel je měrná energie všech čerpadel stejná. Čerpadla se navzájem ovlivňují, takže i průtoky jsou různé a jejich součet udává celkový průtok při paralelním řazení čerpadel. n
Q pč = Q1 + Q2 + ...Qn , obecně Q pč = ∑ Qi [m3.s-1],
rov. 5.15
Y pč = Y1 = Y2 = ...Yn [J.kg-1]
rov. 5.16
i =1
η pč =
Q1 + Q2 + ..Qn Q1 Q2 Q3 + +
η1
η2
rov. 5.17
ηn
27
Q
Y Q=Q1+Q2 Q1 ≅ Q2
Y1
Q1 Q2
Y2
Paralelní řazení
Ys Čerpadlo 1 a 2 Q obr. 5.6 Schéma paralelního řazení čerpadel, grafické řešení výsledné charakteristiky (dvě identická čerpadla)
5.6
Pracovní bod čerpacího systému
Pracovní bod čerpacího systému je dán průsečíkem charakteristiky potrubí a čerpadla. Pro početní řešení je nutné znát jak charakteristiku potrubí Y p = f (Q) , tak i charakteristiku
čerpadla Yč = f (Q) . Veškerá energie, kterou čerpadlo dodá kapalině, je v pracovním bodě využita na dopravu kapaliny a pokrytí ztrát potrubí, systém je tak ve stabilním stavu. Měrná energie čerpadla a potrubí je v pracovním bodě identická Yč = Y p , proto je možné obě charakteristiky porovnat a určit tak hodnotu průtoku Qčs . Dosazením průtoku do libovolné charakteristiky se získá měrná energie Yčs . Yč-Q -1
Y [J.kg ] Yčs
Pracovní bod Yp-Q
Qčs
Q [m3.s-1]
obr. 5.7 Příklad čerpacího systému Grafické řešení spočívá ve vykreslení obou charakteristik do jednoho grafu ve stejném měřítku, a následné odečtení souřadnic průsečíku Yčš ; Qčs . Pokud známe hodnotu průtoku a měrné energie v pracovním bodě, je možné vypočítat hydraulický výkon podle rov. 2.3.
5.7
Regulace čerpacího systému
Čerpací systém je možné regulovat několika způsoby. V praxi se nejčastěji využívají tyto: 1. Skoková regulace 2. Spojitá regulace 3. Trvalé (nevratné) snížení výkonu čerpadla 28
Skoková regulace spočívá ve spouštění či vypínání jednotlivých čerpadel při sériovém či paralelním zapojení. Tento typ regulace je popsán v kap. 5.5. Spojitá regulace spočívá ve spojitém ovlivnění nějakého parametru čerpacího systému, který ovlivní jeho výkonnost. Spojitou regulaci je možné provést těmito způsoby: 1. Změna otáček čerpadla 2. Změna charakteristiky potrubí (škrcení na výtlaku-změna místní ztráty) 3. Připojování paralelního potrubí (obtok čerpadla zpět do nádrže) 4. Změna charakteristiky čerpadla (natáčení lopatek čerpadla) Obecně je možno kombinovat různé způsoby regulace a celkově tak zvětšit rozsah regulace při relativně malém vlivu na účinnost.
5.7.1 Škrcení na výtlaku Škrcení na výtlaku je nejjednodušší způsob regulace. Tento způsob je energeticky náročný, protože část energie se zmaří na škrtícím elementu. Je to sice energeticky nevýhodný způsob, ale je velice často používán u jednoduchých a malých čerpacích systému z důvodu své cenové nenáročnosti. Základní charakteristika potrubí je charakteristika při plně otevřeném škrtícím ventilu. Uzavíráním ventilu se zvyšuje místní ztráta, a strmost charakteristiky potrubí je tak úměrná uzavření škrtícího ventilu. Pracovní bod se tak pohybuje po charakteristice čerpadla, která je neměnná. Uzavírání ventilu
Základní charakteristika potrubí
Yč-Q Y [J.kg-1]
Yp-Q
Q [m3.s-1]
obr. 5.8 Regulace škrcením ve výtlaku
5.7.2 Regulace obtokem čerpadla Škrcení obtokem spočívá ve snižování odporu paralelního potrubí, které vrací kapalinu zpět do nádrže. Tento způsob je stejně jako škrcení ve výtlaku energeticky náročný, protože část energie se zmaří na škrtícím elementu, ale také je často používán u jednoduchých systémů z důvodu své nenáročnosti. Samotná regulace se provádí otevíráním škrtícího ventilu v obtokovém potrubí. Základní charakteristika potrubí je charakteristika výtlačného potrubí při plně uzavřeném škrtícím ventilu v obtokovém potrubí. Otevíráním ventilu se snižuje místní ztráta, průtok obtokovým potrubím stoupá a ve výtlačném potrubí naopak průtok klesá. Pracovní bod se posouvá směrem k vyšším průtokům a nižším měrným energiím po neměnné charakteristice čerpadla. 29
Charakteristika obtokového potrubí
Y [J.kg-1]
Otevírání ventilu
Yp-Q Charakteristika složeného potrubí
Yč-Q
Yp Qp Qop Qč
Yop
Q [m3.s-1]
obr. 5.9 Regulace obtokem čerpadla
5.7.3 Změna otáček čerpadla Změna otáček čerpadla je regulace založená na ovlivnění charakteristiky čerpadla. Jde o energeticky úspornější regulaci vůči škrcení ve výtlaku. Základní charakteristika čerpadla je charakteristika při jmenovitých otáčkách n j . Charakteristiku čerpadla při změněných otáčkách je možné určit na základě hydraulické podobnosti pomocí afinních vztahů Qj nj = rov. 5.18 Qreg nreg
Yj Yreg Pj Preg
nj = n reg
2
nj = n reg
3
∆y j ∆y reg
nj = n reg
rov. 5.19
rov. 5.20
2
rov. 5.21
Tyto vztahy však platí pouze pokud je dodržen regulační rozsah v intervalu 0,5 ≤
nj
≤ 2. nreg Pokud tento rozsah není dodržen, je nutné použít opravné koeficienty. Tyto opravné koeficienty je nutné také použít, pokud je Reynoldsovo čerpadlové číslo Re č < 2,5 ⋅10 6 Re č =
n ⋅ D2
ν
2
rov. 5.22
Při vyšším Re č > 2,5 ⋅ 10 6 jde o tzv. automodelovou oblast, kdy korekci není nutné uvažovat. U toho způsobu regulace je charakteristika potrubí neměnná a provozní bod se tak posouvá právě po charakteristice potrubí. Pokud předpokládáme, že všechny opravné koeficienty jsou rovny jedničce (neuvažujeme je), je možné stanovit rovnici, která popisuje odpovídající si body charakteristik. Tato rovnice se nazývá afinní parabola 30
Yp =
Yj
⋅ Qp
2
rov. 5.23 Qj Afinní parabola geometricky spojuje body získané přepočtem podle afinních vztahů, ve kterých se předpokládá stejná účinnost při různých otáčkách čerpadla. Tento předpoklad platí v oblasti optimálních parametrů čerpadla. Korekční parametry pro režimy mimo automodelační oblast a rozsah regulace zde není uveden, protože jde většinou o nomogramy, a také jde o poměrně složitý problém, proto se tímto nebudeme v těchto skriptech zabývat. 2
Identické body charakteristik Afinní parabola Y [J.kg-1]
Yp-Q Yč-Q
+n
FM
-n M Základní charakteristika čerpadla
Q [m3.s-1]
obr. 5.10 Regulace změnou otáček čerpadla, např. frekvenčním měničem
5.7.4 Stočení oběžného kola Jde o trvalé snížení výkonu čerpadla, v případě, že čerpadlo dává vyšší parametry, než je požadováno. Parametry čerpadla je možné trvale snížit změnou velikosti oběžného kola. Tato změna je dosažena osoustružením (zmenšením) vnějšího průměru oběžného kola. Přepočet parametrů je možné provést na základě následujícího vztahu. 2
D1 Q Y ≅ 1 ≅ 1 rov. 5.24 Q2 Y2 D2 kde index 1 znamená výchozí parametry a index 2 znamená parametry po osoustružení oběžného kola. Hledaný průměr oběžného kola je možné vypočítat úpravou předchozí rovnice. Q2 Y D2 ≅ D1 ⋅ ; D2 ≅ D1 ⋅ 2 rov. 5.25 Q1 Y1 Sdružené body leží na přímce procházející počátkem.
31
Y [J.kg-1] Yč-Q
-D
D1 D2
Základní charakteristika čerpadla
Q [m3.s-1]
obr. 5.11 Regulace stočením oběžného kola
5.8
Vliv viskozity na charakteristiku čerpadla
Charakteristika čerpadla se většinou stanovuje pro vodu s kinematickou viskozitou
ν = 1 ⋅10 −6 m2.s-1. S rostoucí viskozitou čerpané kapaliny však stoupají ztráty, tj. klesá průtok Q , měrná energie Y , účinnost čerpadla η a příkon P naopak stoupá. Maximální účinnost se posouvá směrem k nižším průtokům. Pro čerpání viskóznějších kapalin výrobce čerpadel uvádí koeficienty pro přepočet parametrů u dané viskozity na viskozitu vody. Jedná se o přepočtový koeficient pro 1) průtok k Q , 2) měrnou energii kY , 3) účinnost kη a 4) výkon
k P . Parametry čerpadla je možné přepočítat podle následujících vztahů
QOpr = k Q ⋅ Q ; YOpr = kY ⋅ Y ; η Opr = kη ⋅η ; POpr = k P ⋅ P
rov. 5.26
Pokud tedy chceme dodržet parametry čerpání Y a Q pro viskóznější kapalinu, je nutné při výběru z katalogového listu čerpadla použít veličiny Yopr a Qopr , které vlastně aproximují viskózní kapalinu na vodu. Vliv viskozity do hodnoty ν = 20 ⋅ 10 −6 m2.s-1 se v praxi většinou zanedbává.
Qn Q [m3.s-1] P [W]
Q-Y η-Y
η [%] ηmax
P-Y
voda viskóznější kapalina
Y [J.kg-1]
obr. 5.12 Vliv viskozity na charakteristiku čerpadla
32
5.9
Příklady
Příklad č. 5.1 Určete průtok, měrnou energii a výkon čerpacího systému, který sestává ze sacího potrubí, výtlačného potrubí a čerpadla. Tlak v obou nádržích je atmosférický. Sací potrubí má průměr d s = 100 mm, délku l s = 10 m, koeficient třecí ztráty je λ s = 0,025 . Suma místních ztrát v sacím potrubí je Σζ s = 2 . Výtlačné potrubí má průměr d v = 75 mm délku l v = 30 m, koeficient třecí ztráty je λv = 0,027 . Suma místních ztrát ve výtlačném potrubí je Σζ v = 12 . Charakteristika čerpadla je dána rovnicí Yč = 130 −
10 3 10 6 ⋅Q − ⋅ Q 2 . Čerpanou kapalinou je 3 3
voda
pvn
hg ls
hs psn
lv
φdv
φds
obr. 5.13 Schéma čerpacího systému Zadaná data: d s = 100 mm
l s = 10 m
λ s = 0,025 Σζ s = 2 d v = 75 mm l s = 30 m
λ s = 0,027 Σζ s = 12 hg = 8,15 m
ν = 1 ⋅ 10 −6 m2⋅s-1 ρ = 1000 kg⋅m-3 Abychom mohli určit pracovní bod, musíme stanovit charakteristiku potrubí. Měrná energie potrubí sestává ze statické složky a ztrátové energie sacího a výtlačného potrubí. Y p = Yst + Yzs + Yzv 33
Ztrátovou měrnou energii pro sací a výtlačné potrubí stanovíme pomocí rov. 4.3 a rovnice kontinuity 2 4⋅Q l v Y z = λ ⋅ + Σζ , Q = S ⋅ v ⇒ v = π ⋅d2 d 2 Výsledný vztah pro ztrátovou měrnou energii v závislosti na průtoku je po dosazení rovnice kontinuity l 8 Y z = λ ⋅ + Σζ 2 4 ⋅ Q 2 d π d
8 l Yzs = λ s ⋅ s + ζ s 2 4 ⋅ Q 2 ds π ds 10 8 Yzs = 0,025 ⋅ + 2 ⋅Q2 2 4 0 , 1 3 , 14 ⋅ 0 , 1 Yzs = 36475,63 ⋅ Q 2 J.kg-1 8 l Yzv = λv ⋅ v + ζ v 2 4 ⋅ Q 2 dv π dv 30 8 Yzv = 0,027 ⋅ + 12 ⋅ Q2 2 4 0 , 075 3 , 14 ⋅ 0 , 075 2 Yzv = 584090,36 ⋅ Q J.kg-1 Předchozí výpočty stanovily dynamickou složku měrné energie. Další část výpočtu spočívá ve stanovení statické složky měrné energie. Yst = g ⋅ hg = 9,81 ⋅ 8,15 Yst = 79,95 J.kg-1 Nyní můžeme stanovit výslednou charakteristiku potrubí Y p = Yst + Yzs + Yzv
Y p = 79,95 + 620565,99 ⋅ Q 2 V pracovním bodě je měrná energie potrubí identická s měrnou energií čerpadla. Porovnáme obě charakteristiky a stanovíme průtok v pracovním bodě. Y p = Yč
103 10 6 2 ⋅Q − ⋅Q 3 3 Výsledkem je kvadratická rovnice, jejímž řešením získáme hodnotu průtoku 953899,32 ⋅ Q 2 + 333,33 ⋅ Q − 50,05 = 0 Q1 = 0,007071 m3.s-1 Q2 = −0,007420 m3.s-1 79,95 + 620565,99 ⋅ Q 2 = 130 −
Správná je kladná hodnota, protože záporná reprezentuje průtok kapaliny z horní nádrže do spodní, což není náš případ. Q = 0,007071 m3.s-1 Hodnotu měrné energie získáme dosazením průtoku do charakteristiky potrubí nebo čerpadla. 34
Y p = 79,95 + 620565,99 ⋅ Q 2 = 79,95 + 620565,99 ⋅ 0,0070712 Y p = 110,98 J.kg-1 10 3 10 6 10 3 10 6 ⋅Q − ⋅ Q 2 = 130 − ⋅ 0,007071 − ⋅ 0,0070712 3 3 3 3 Yč = 110,98 J.kg-1
Yč = 130 −
Obě měrné energie jsou identické, takže výpočet je správný. Měrná energie v pracovním bodě je tedy Y = 110,98 J.kg-1 Poslední část výpočtu spočívá ve stanovení hydraulického výkonu P = ρ ⋅ Q ⋅ Y = 1000 ⋅ 0,007071 ⋅ 110,98 P = 784,73 W 140.000 Čerpadlo Potrubí
130.000
-1
Y [J.Kg ]
120.000 110.000 100.000 90.000 80.000 70.000 60.000 0.000
0.002
0.004
0.006
0.008
0.010
Q [m3.s-1]
obr. 5.14 Grafické zobrazení charakteristiky potrubí, čerpadla a pracovního bodu
Příklad č. 5.2 Určete teoretickou charakteristiku čerpadla pro zadané parametry, jestliže čerpadlo pracuje při otáčkách n . Předpokládejte dokonalé vedení kapaliny (nekonečný počet lopatek) a kolmý vstup do oběžného kola α 1 = 90° . Objemový průtok uvažujte v rozsahu 0 − 70 l.s-1. Teoretickou charakteristiku vykreslete pro výstupní úhel lopatky β 2 = 36 o , 90 o . Zadaná data: D2 = 0,46 m n = 1480 ot.min-1
α1 =
π
2 b2 = 0,038 m
β 2 = 36 o ; 90 o Q = 0 ÷ 70 l⋅s-1 35
Nejprve vykreslíme rychlostní trojúhelníky pro vstup a výstup oběžného kola.
cu1= 0 α1= 90° v1 c1 = cm1
v2
c2
β2
α2 β1
α1
cu2
cm2
u2
u1 obr. 5.15 Vstupní rychlostní trojúhelník
obr. 5.16 Výstupní rychlostní trojúhelník
Vstup je navržen jako bezrotační, tj. lopatky jsou kolmé a úhel α 1 = π 2 , Eulerova čerpadlová rovnice se zjednoduší na tvar: Yt = u 2 ⋅ cu 2 charakteristika čerpadla je popsána rov. 5.1. Tuto charakteristiku získáme sloučením Eulerovy čerpadlové rovnice s rovnicí kontinuity. Teoretická měrná energie čerpadla je odvozena na základě výstupního rychlostního trojúhelníku. c u 2 Yt = u 2 ⋅ u 2 − m 2 = u 2 − 2 ⋅ cm 2 tgβ 2 tgβ 2 Teoretická
Rovnice kontinuity pro mezilopatkový kanál je definována rovnicí, kde c m 2 je meridiální rychlost. Q = π ⋅ D2 ⋅ b2 ⋅ c m 2 Z rovnice kontinuity vyjádříme meridiální rychlost a dosadíme do Eulerovy čerpadlové rovnice u Q 2 ; Yt = u 2 − 2 ⋅ cm 2 cm 2 = tgβ 2 π ⋅ D2 ⋅ b2 u 2 2 Yt = u 2 − ⋅Q π ⋅ D2 ⋅ b2 ⋅ tgβ 2 Tím jsme získali teoretickou charakteristiku čerpadla ve tvaru Yt = A − B ⋅ Q Obecně mohou nastat tři případy pro následující úhly lopatek. 1. β 2 < 90° Yt = A − B ⋅ Q 2. β 2 = 90°
Yt = A
3. β 2 > 90°
Yt = A + B ⋅ Q
Unášivou rychlost vypočteme ze zadaných otáček D u2 = 2 ⋅ ω ; ω = 2 ⋅ π ⋅ n 2
ω = 2 ⋅π ⋅
1480 60 36
ω = 154,99 rad.s-1 0,46 ⋅154,99 2 u 2 = 35,65 m.s-1 β 2 = 36°
u2 =
β 2 = 90°
35,65 ⋅Q π ⋅ 0,46 ⋅ 0,038 ⋅ tg 36° Yt = 1270,68 − 918,59 ⋅ Q J.kg-1
35,65 ⋅Q π ⋅ 0,46 ⋅ 0,038 ⋅ tg 90° Yt = 1270,68 J.kg-1
Yt = 35,65 2 −
Yt = 35,65 2 −
1300.00 1290.00
β2=36°
1280.00
β2=90°
Q -1
[l.s ] 0 10 20 30 40 50 60 70
-1
Y [J.kg ]
1270.00 1260.00 1250.00 1240.00 1230.00
Q 3
-1
[m .s ] 0,00 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07
β2=36° β2=90° Y1 Y2 -1 [J.kg ] 1270,7 1270,7 1261,5 1270,7 1252,3 1270,7 1243,1 1270,7 1233,9 1270,7 1224,8 1270,7 1215,6 1270,7 1206,4 1270,7
1220.00 1210.00 1200.00 0.00
0.02
0.04 3
0.06
0.08
-1
Q [m .s ]
obr. 5.17 Teoretická charakteristika čerpadla
Příklad č. 5.3 Pro čerpadlo SIGMA V800538 byla výrobcem změřena přesná charakteristika a vynesena do závislosti H = f (Q ) , kde H je dopravní výška a Q objemový průtok. Z naměřených dat sestrojte charakteristiku Y = f (Q ) , naměřenými body proložte spojnici trendu a určete závislost, kterou je charakteristika popsána. Stanovte odporovou konstantu potrubí K tak, aby průtok v pracovním bodě byl Q = 1900 l.min-1. Přitom geodetická výška je hg = 12 m. Předpokládejte turbulentní proudění a tedy charakteristiku potrubí ve tvaru Y p = Ystat + K ⋅ Q 2 . Zadaná data: n = 1450 ot.min-1 Q = 1900 l⋅min-1 hg = 12 m
Naměřená charakteristika udává závislost H = f (Q ) Dopravní výšku přepočteme na měrnou energii pomocí vztahu Y = g ⋅ H (viz rov. 2.2)
37
tab. 5.1 Změřená charakteristika čerpadla Q Q Y H [J.kg-1] [m] [l.min-1] [m3.s-1] 22,2 22,5 22,8 23,0 23,2 23,4 23,5 23,6 23,5 23,3 22,9 22,7 22,2 21,9 21,4 20,8 20,0 19,5 18,8 18,0 17,3 16,3 15,4 14,4 13,2 12 10,9
0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000 1100 1200 1300 1400 1500 1600 1700 1800 1900 2000 2100 2200 2300 2400 2500 2600
0 0,001667 0,003333 0,005000 0,006667 0,008333 0,010000 0,011667 0,013333 0,015000 0,016667 0,018333 0,020000 0,021667 0,023333 0,025000 0,026667 0,028333 0,03000 0,031667 0,033333 0,035000 0,036667 0,038333 0,040000 0,041667 0,043333
217,782 220,725 223,668 225,63 227,592 229,554 230,535 231,516 230,535 228,573 224,649 222,687 217,782 214,839 209,934 204,048 196,2 191,295 184,428 176,58 169,713 159,903 151,074 141,264 129,492 117,72 106,929
300.00 280.00 260.00
2
Y = -112100,90.Q + 2268,66.Q + 218,09 2 R = 0,9992
-1
Y [J.kg ]
240.00 220.00 200.00 180.00 160.00 140.00 120.00 100.00 0.00
0.01
0.02
0.03 3
0.04
0.05
-1
Q [m .s ]
obr. 5.18 Grafické znázornění změřené charakteristiky 38
Regresní analýzou naměřených dat jsme získali charakteristiku čerpadla ve tvaru Yč = 218,09 + 2268,66 ⋅ Q − 112110 ,90 ⋅ Q 2 . Dosazením do této rovnice za Q = 0,03167 m3.s-1 vypočteme měrnou energii v předpokládaném pracovním bodě čerpacího systému Yč = 218,09 + 2268,66 ⋅ Q − 112110,90 ⋅ 0,03167 2 = 177,49 J.kg-1 V pracovním bodě platí rovnost měrné energie čerpadla a potrubí Y p = Yč a tedy charakteristika potrubí tímto bodem musí procházet. Charakteristika potrubí je obecně dána rovnicí . Y p = ghg + K ⋅ Q 2 Odporovou konstantu K vyjádříme z této rovnice
K=
(Y
p
− g ⋅ hg )
Q2 177,49 − 9,81⋅ 12 K= = 59591,89 m-4 2 0,03167 Příklad č. 5.4 Čerpadlo pracovalo při otáčkách n1 = 24,6 ot⋅s-1, při těchto otáčkách byly naměřena jeho charakteristika. Určete pravděpodobný průběh charakteristiky na základě hydrodynamické podobnosti pro otáčky n2 = 16 ot⋅s-1, a n3 = 30 ot⋅s-1. Sestrojte afinní parabolu tak, aby procházela bodem s parametry Q = 0,09 m3.s-1 a Y = 2280 J.kg-1. Dopravovanou kapalinou je voda. Výstupní průměr oběžného kola je D2 = 460 mm. Zadaná data: D2 = 0,460 m n1 = 24,6 ot.s-1 n2 = 16 ot.s-1 n3 = 30 ot.s-1 ρ = 1000 kg.m-3
ν = 1 ⋅10 −6 m2.s-1 tab. 5.2 Změřená charakteristika při otáčkách n1 = 24,6 ot⋅s-1 η Q ∆y Y P -1 3 -1 [kW] [m .s ] [J.kg ] [%] [J.kg-1] 0 2370 230 0 0,045 2310 285 36 22 0,090 2280 340 60 36 0,135 2180 395 74 52 0,180 1990 447 77 72 0,200 1830 470 76 Přípustný rozsah regulace s využitím hydraulické podobnosti v automodelové oblasti je n n 0,5 ≤ 1 ≤ 2 0,5 ≤ 1 ≤ 2 n2 n3
39
24,6 ≤2 16 0,5 ≤ 1,54 ≤ 2
24,6 ≤2 30 0,5 ≤ 0,82 ≤ 2
0,5 ≤
0,5 ≤
Oblast regulace je v obou případech splněna. Dále je nutné ověřit vliv Reynoldsova čísla, to je definováno v⋅D Re =
ν
Pro čerpadlo je tento vztah modifikován dosazením unášivé rychlosti u ≈ n ⋅ D a výstupního průměru D2 Re č =
n ⋅ D2
2
ν
Reynoldsovo číslo stanovíme pro všechny otáčky n1 = 24,6 ot.s-1 n2 = 16 ot.s-1
n3 = 30 ot.s-1
24,6 ⋅ 0,46 2 1 ⋅ 10 −6 Re č = 5205360
30 ⋅ 0,46 2 1 ⋅ 10 −6 Re č = 6348000
16 ⋅ 0,46 2 1 ⋅10 −6 Re č = 3385600
Re č =
Re č =
Re č =
Kritické Reynoldsovo číslo čerpadla je Re čkrit = 2,5 ⋅10 6 . Všechna vypočtená Reynoldsova čísla překračují kritickou hodnotu, jedná se tedy o oblast automodelovou a korekce na vliv Reynoldsova čísla není nutná. Pro přepočet charakteristik použijeme tzv. afinní vztahy 2
3
Q1 n1 Y1 n1 P1 n1 ∆y1 n1 ; = ; = ; = = Q2 n2 Y2 n2 P2 n2 ∆y 2 n2
n2 = 16 ot.s-1 16 Q16 = Q26, 4 ⋅ 24,6 16 Y16 = Y26, 4 ⋅ 24,6
2
n3 = 30 ot.s-1
Q30 = Q26, 4 ⋅
30 24,6
2
30 Y30 = Y26, 4 ⋅ 24,6
3
30 P30 = P26, 4 ⋅ 24,6
16 P16 = P26, 4 ⋅ 24,6
2
2
3
2
16 30 ∆y16 = ∆y 26, 4 ⋅ ∆y 30 = ∆y 26, 4 ⋅ 24,6 24,6 Pomocí těchto vztahů přepočteme tabulku dat změřené charakteristiky čerpadla. tab. 5.3 Vypočtená charakteristika pro otáčky n2 = 16 ot.s-1 Q η ∆y Y P -1 3 -1 [J.kg ] [kW] [m .s ] [%] [J.kg-1] 0,000 1002,6 63,3 0,0 0,029 977,2 78,4 36,0 9 0,059 964,5 93,5 60,0 15 0,088 922,2 108,7 74,0 22 0,117 841,8 123,0 77,0 30 0,130 774,1 129,3 76,0 40
tab. 5.4 Vypočtená charakteristika pro otáčky n2 = 30 ot.s-1 Q η ∆y Y P -1 [kW] [m3.s-1] [J.kg ] [%] [J.kg-1] 0,000 3524,7 417,1 0,0 0,055 3435,5 516,9 36,0 33 0,110 3390,8 616,6 60,0 54 0,165 3242,1 716,4 74,0 77 0,220 2959,5 810,7 77,0 107 0,244 2721,6 852,4 76,0
Stanovení afinní paraboly Hledáme geometrické místo bodů sdružených s bodem o parametrech Q = 0,09 m3.s-1 a Y = 2280 J.kg-1 Rovnici afinní paraboly stanovíme sloučením dvou afinních vztahů 2
2
2 Y1 Q1 Q1 n1 Y1 n1 Y1 Q1 = → = → = = ; Y2 Q2 Q2 n2 Y2 n2 Y2 Q2 2 kde index 1 představuje výchozí bod základní (změřené) charakteristiky a index 2 představuje body afinní paraboly.
Y2 =
Y1 2 ⋅ Q2 2 Q1
Afinní parabola procházející bodem o parametrech Q = 0,09 m3.s-1 a Y = 2280 J.kg-1. 2280 2 Yp = ⋅ Qp 0,09 2 5000.00
n=24,6 ot.s-1 n=16 ot.s-1 n=30 ot.s-1 Afinní parabola
4500.00 4000.00
-1
Y [J.kg ]
3500.00 3000.00 2500.00 2000.00 1500.00 1000.00 500.00 0.00 0.00
0.05
0.10
0.15 3
0.20
0.25
0.30
-1
Q [m .s ]
obr. 5.19 Grafické zobrazení přepočtu charakteristiky čerpadla při změně otáček.
41
Příklad č. 5.4 Určete průtok, měrnou energii a výkon čerpacího systému, který sestává za sacího potrubí, výtlačného potrubí a čerpadla. Dále stanovte pracovní bod pro sériové a paralelní řazení dvou identických čerpadel. Tlak v obou nádržích je atmosférický. Sací potrubí má průměr d s = 80 mm, délku l s = 5 m a koeficient třecí ztráty je λs = 0,021 . Suma místních ztrát v sacím potrubí je Σξ s = 2 . Výtlačné potrubí má průměr d v = 50 mm délku l v = 50 m, koeficient třecí ztráty je λv = 0,025 . Suma místních ztrát ve výtlačném potrubí je Σξ v = 5 . Charakteristika čerpadla je dána rovnicí Yč = 130 −
10 3 10 6 ⋅Q − ⋅ Q 2 . Čerpanou kapalinou je 3 3
voda
pvn
D
A C
hg
lv
ls
φdv
B
hs psn
φds
A,C,D zavřen, B otevřen – 1 čerpadlo A,B,D otevřen, C zavřen – paralelní řazení čerpadel A,C otevřen, B,D zavřen – sériové řazení čerpadel
obr. 5.20 Schéma čerpacího systému Zadaná data: d s = 80 mm ls = 5 m
λs = 0,021 Σξ s = 2 d v = 80 mm l s = 50 m
λ s = 0,025 Σξ s = 5 hg = 8 m
ν = 1 ⋅10 −6 m2⋅s-1 ρ = 1000 kg⋅m-3 Yč = 130 −
10 3 10 6 ⋅Q − ⋅Q2 3 3
42
Stanovení charakteristiky potrubí. Y p = Yst + Yzs + Yzv Sací potrubí 8 l Yzs = λ s ⋅ s + ξ s 2 4 ⋅ Q 2 ds π ds
Výtlačné potrubí 8 l Yzv = λv ⋅ v + ξ v 2 4 ⋅ Q 2 dv π dv
5 8 Yzs = 0,021 ⋅ + 2 ⋅ Q2 2 4 0,08 3,14 ⋅ 0,08 2 Yzs = 65552,04 ⋅ Q J.kg-1
50 8 Yzv = 0,025 ⋅ + 5 ⋅Q2 2 4 0,08 3,14 ⋅ 0,08 2 Yzv = 408154,18 ⋅ Q J.kg-1
Yst = g ⋅ hg = 9,81 ⋅ 8 Yst = 78,48 J.kg-1 Charakteristika potrubí je dána rovnicí Y p = 78,48 + 473706,22 ⋅ Q 2 Pracovní bod stanovíme na základě rovnosti měrných energií čerpadla a potrubí Y p = Yč 10 3 10 6 ⋅Q − ⋅Q2 3 3 Dostaneme kvadratickou rovnici, jejímž řešením získáme hodnotu průtoku 807039,55 ⋅ Q 2 + 333,33 ⋅ Q − 51,52 = 0 Q1 = 0,007786 m3.s-1 Q2 = −0,008199 m3.s-1 78,48 + 473706,22 ⋅ Q 2 = 130 −
Průtok odpovídající řešené úloze je definován kladnou hodnotou. Q = 0,007786 m3.s-1 Hodnotu měrné energie získáme dosazením průtoku do charakteristiky potrubí nebo čerpadla. Zde je provedeno dosazení do charakteristiky potrubí.
Y p = 78,48 + 473706,22 ⋅ Q 2 = 78,48 + 473706,22 ⋅ 0,007786 2 Y p = 107,20 J.kg-1 Měrná energie v pracovním bodě Y = 110,98 J.kg-1 Hydraulický výkon v pracovním bodě P = ρ ⋅ Q ⋅ Y = 1000 ⋅ 0,007786 ⋅107,20 P = 834,64 W
Řešení pracovního bodu při paralelním řazení čerpadel. Při paralelním řazení čerpadel platí předpoklad rov. 5.15 a rov. 5.16. V tomto případě používáme dvě identická čerpadla proto se rovnice upraví do následujícího tvaru. Q pč Q pč = 2 ⋅ Q → Q = 2 Y pč = Yč
43
Výsledná charakteristika paralelně řazených čerpadel bude tedy 2
10 3 Q 10 6 Q ⋅ − ⋅ 3 2 3 2 103 10 6 Y pč = 130 − ⋅Q − ⋅Q2 6 12 Řešení pracovního bodu je identické s předchozí částí příkladu. Y p = Y pč Y pč = 130 −
10 3 10 6 2 ⋅Q − ⋅Q 6 12 Opět upravíme na kvadratickou rovnici, jejímž řešením získáme hodnotu průtoku při paralelním řazení čerpadel 78,48 + 473706,22 ⋅ Q 2 = 130 −
557039,55 ⋅ Q 2 + 166,67 ⋅ Q − 51,52 = 0 Q1 = 0,009496 m3.s-1 Q2 = −0,009768 m3.s-1 Průtok odpovídající řešené úloze je opět kladný, tj. Q = 0,009496 m3.s-1 Hodnotu měrné energie získáme opět dosazením průtoku do charakteristiky potrubí nebo čerpadla. Y p = 78,48 + 473706,22 ⋅ Q 2 = 78,48 + 473706,22 ⋅ 0,09496 2
Y p = 120,95 J.kg-1 Měrná energie v pracovním bodě při paralelním řazení čerpadel je tedy Y = 120,95 J.kg-1 Hydraulický výkon čerpacího systému s paralelně řazenými čerpadly P = ρ ⋅ Q ⋅ Y = 1000 ⋅ 0,009496 ⋅120,95 P = 1145,24 W
Řešení pracovního bodu při sériovém řazení čerpadel Při sériovém řazení čerpadel platí předpoklad rov. 5.11 a rov. 5.12. V tomto případě používáme dvě identická čerpadla proto se rovnice upraví do následujícího tvaru. Qsč = Q1 = Q2 = Q Ysč = 2 ⋅ Yč Výsledná charakteristika sériově řazených čerpadel bude tedy 10 3 10 6 2 Ysč = 2 ⋅ Yč = 2 ⋅ 130 − ⋅Q − ⋅ Q 3 3
Ysč = 260 −
2 ⋅10 3 2 ⋅10 6 2 ⋅Q − ⋅Q 3 3
Řešení pracovního bodu je identické s předchozí částí příkladu. Y p = Ysč
78,48 + 473706,22 ⋅ Q 2 = 260 −
2 ⋅10 3 2 ⋅10 6 2 ⋅Q − ⋅Q 3 3 44
Vznikne tak kvadratická rovnice, jejímž řešením získáme hodnotu průtoku při sériovém řazení čerpadel 1140372,88 ⋅ Q 2 + 666,67 ⋅ Q − 181,52 = 0 Q1 = 0,012328 m3.s-1 Q2 = −0,012912 m3.s-1 Průtok odpovídající řešené úloze je opět kladný Q = 0,012328 m3.s-1 Hodnotu měrné energie získáme opět dosazením průtoku do charakteristiky potrubí nebo čerpadla. Y p = 78,48 + 473706,22 ⋅ Q 2 = 78,48 + 473706,22 ⋅ 0,012328 2 Y p = 150,469 J.kg-1 Měrná energie v pracovním bodě při sériovém řazení čerpadel je tedy Y = 150,47 J.kg-1 Hydraulický výkon čerpacího systému se sériově řazenými čerpadly je P = ρ ⋅ Q ⋅ Y = 1000 ⋅ 0,012328 ⋅150,47 P = 1854,92 W tab. 5.5 Tabulkové srovnání výsledků
jedno čerpadlo paralelní řazení čerpadel sériové řazení čerpadel
Q [m3 s-1] 0,007786 0,009469 0,012328
Y [J kg-1] 107,20 120,95 150,47
P [W] 834,64 1145,24 1854,92
310.000 Čerpadlo Potrubí Paralelní řazení čerpadel Sériové řazení čerpadel
-1
Y [J.Kg ]
260.000 210.000 160.000 110.000 60.000 0.000
0.005
0.010 3
0.015
0.020
-1
Q [m .s ]
obr. 5.21 Grafické řešení pracovních bodů čerpacího systému
45
Příklad č. 5.5 Pro jednoduchý čerpací systém, který sestává z jednoho čerpadla s charakteristikou Yč = 115 − 250 ⋅ Q − 450000 ⋅ Q 2 [J.kg-1] a jednoduchého potrubí s charakteristikou
Y p = 78 + 520000 ⋅ Q 2 [J.kg-1] stanovte rozsah regulace otáček tak, aby bylo možné regulovat průtok Q v rozsahu ± 50% . Jmenovité otáčky čerpadla jsou n = 1490 ot.min-1. Zadaná data: Yč = 115 − 250 ⋅ Q − 450000 ⋅ Q 2 [J kg-1]
Y p = 78 + 520000 ⋅ Q 2 [J kg-1] n = 1490 ot.min-1
FM M
obr. 5.22 Schéma čerpacího systému s možností regulace otáček Nejprve musíme stanovit pracovní bod systému, tím určíme výchozí průtok kapaliny Y p = Yč 78,48 + 520000 ⋅ Q 2 = 115 − 250 ⋅ Q − 450000 ⋅ Q 2 970000 ⋅ Q 2 + 250 ⋅ Q − 37 = 0 Q1 = 0,006049 m3.s-1 Q2 = −0,006306 m3.s-1 Průtok odpovídající řešené úloze je Q = 0,006049 m3.s-1 Y p = 78 + 520000 ⋅ Q 2 = 78 + 520000 ⋅ 0,006049 2
Y p = 97,02 J kg-1 Výchozí pracovní bod systému je tedy určen průtokem a měrnou energií Q = 0,006049 m3.s-1; Y p = 97,02 J kg-1 Regulace bude tedy v rozsahu Q−50% = 0,003024 m3.s-1; Q+50% = 0,009073 m3.s-1 S využitím afinních vztahu rov. 5.18 a rov. 5.19 přepočteme charakteristiku čerpadla tak, aby nový pracovní bod procházel sníženým/zvýšeným průtokem. V prvním kroku z charakteristiky potrubí vyjádříme měrné energie, které odpovídají průtokům ± 50 %, charakteristiku potrubí využijeme z důvodu její neměnnosti. Při regulaci otáček se mění charakteristika čerpadla nikoli charakteristika potrubí. Q−50% = 0,003024 m3.s-1
Q+50% = 0,009073 m3.s-1
Y p −50% = 78 + 520000 ⋅ 0,003024 2
Y p +50% = 78 + 520000 ⋅ 0,0090732
Y p −50% = 82,76 J kg-1
Y p +50% = 120,81 J kg-1 46
Nyní máme parametry obou pracovních bodu, takže můžeme stanovit afinní paraboly procházející těmito pracovními body 82,76 120,81 2 2 Yap−50% = ⋅ Qp Yap+50% = ⋅ Qp 2 2 0,003024 0,009073 Yap−50% = 9050173,57 ⋅ Q p
Yap+50% = 1467577,56 ⋅ Q p
2
2
Vypočteme body na charakteristice čerpadla, které leží na afinních parabolách pro průtoky ± 50 % Yap−50% = Yč 9050173,57 ⋅ Q 2 = 115 − 250 ⋅ Q − 450000 ⋅ Q 2 − 9500173,57 ⋅ Q 2 − 250 ⋅ Q + 115 = 0 Qap −50% = 0,003496 m3.s-1
Yap+50% = Yč 1467577,56 ⋅ Q 2 = 115 − 250 ⋅ Q − 450000 ⋅ Q 2 − 1917577,56 ⋅ Q 2 − 250 ⋅ Q + 115 = 0 Qap +50% = 0,007679 m3.s-1 Z hodnot průtoků na charakteristice čerpadla a průtoků v pracovních bodech můžeme pomocí afinního vztahu rov. 5.18 vypočítat otáčky, které odpovídají pracovním bodů pro průtok ± 50 % Qap −50% nj Qap+50% nj = = Q−50% n−50% Q+50% n+50% Q Q n−50% = −50% ⋅ n j n+50% = + 50% ⋅ n j Qap −50% Qap +50% 0,003024 ⋅1490 0,003496 = 1288,83 ot.min-1
0,009073 ⋅1490 0,007679 = 1760,48 ot.min-1
n−50% =
n+50% =
n−50%
n+50%
Čerpadlo Potrubí Afinní parabola -50%Q Afinní parabola +50%Q Čerpadlo -50%Q Čerpadlo +50%Q
200.000 180.000 160.000 Y [J.Kg-1]
140.000 120.000 100.000 80.000 60.000 40.000 20.000 0.000 0.000
0.002
0.004
0.006 3
0.008
0.010
0.012
-1
Q [m .s ]
obr. 5.23 Grafické řešení regulace systému změnou otáček
47
Příklad č. 5.6 Při návrhu systému je třeba předběžně určit parametry čerpadla a pravděpodobný průběh jeho charakteristik. Čerpadlo má čerpat Q = 180 l⋅s-1 čisté vody z dolní nádrže s volnou hladinou do horní nádrže, ve které je zadaný tlak pvn . Pro navržený potrubní systém byla stanovena tlaková ztráta ∆p z Dosažená účinnost systému by měla být vyšší než 80 %. Čerpadlo pracuje při otáčkách n = 1480 .ot.min-1. Zadaná data: Q = 180 l.s-1 0,180 m3.s-1 p sn = 98000 Pa abs.tl. pvn = 500000 Pa abs.tl. ∆p z = 540000 Pa hg = 100 m n = 1480 min-1
24,67 s-1
ν = 1 ⋅10 −6 m2⋅s-1 ρ = 1000 kg⋅m-3 η > 80% pvn
hg ls
hs psn
lv
φdv
φds
obr. 5.24 Schéma čerpacího systému Výpočet čerpadla pro dané parametry: měrná energie Ys Ys =
pv − p s
ρ
+ g ⋅ hg +
∆p z
ρ
500000 − 98000 540000 + 9.81 ⋅100 + 1000 1000 Ys = 1923,00 J kg-1 Ys =
48
Výkon čerpadla P = ρ ⋅ Q ⋅ Ys P = 1000 ⋅ 0,180 ⋅ 1923,00 P = 346140 W Součinitel rychloběžnosti n b se stanoví dle následujícího vztahu.
nb =
n⋅ Q Ys
0, 75
24,67 ⋅ 0,180 1923,00 0,75 nb = 0,036 .s-1 nb =
Z Erhartova diagramu viz Příloha č. 1 je možné odečíst účinnost čerpání, která je η ≅ 75% . Není tak splněna podmínka η > 80% Zvolíme tedy dvoustupňové čerpadlo i = 2 . Měrná energie bude tedy zvýšena ve dvou samostatných oběžných kolech. n⋅ Q nb = 0 , 75 Ys i
nb =
24,67 ⋅ 0,180
1923,00 2 nb = 0,061 s-1
0, 75
V tomto případě je odečtená účinnost η ≅ 82% , podmínka účinnosti je splněna. Na základě měrných otáček nq můžeme z obr. 5.4 odečíst poměrnou charakteristiku čerpadla
Ys − Q
1214nb = 3,65nq → nq =
1214 ⋅ nb 3,65
1214 ⋅ 0,061 3,65 nq = 20,28 min-1 nq =
Platí následující předpoklad: pro stejné hodnoty n q v automodelové oblasti si budou charakteristiky čerpadel podobné. Hodnoty určené z bezrozměrné charakteristiky tab. 5.6 Tabulka bezrozměrné charakteristika čerpadla Q+ Y+ P+ η+ 0 1,05 0,5 0 0,2 1,15 0,6 0,4 0,4 1,16 0,7 0,69 0,6 1,15 0,8 0,86 0,8 1,09 0,9 0,97 1 1 1 1 49
Skutečnou charakteristiku stanovíme pomocí vztahů rov. 5.11 Qn = 0,180 m3.s-1
Yn = 1923,00 J.kg-1 Pn = 346140 W
η n = 82 % Q = Q + ⋅ Qn
Y = Y + ⋅ Yn
P = P + ⋅ Pn
η = η + ⋅η n
Hodnoty určené z bezrozměrných charakteristik. tab. 5.7 Tabulka charakteristiky čerpadla η Q Y P 3 -1 -1 [m .s ] [J.kg ] [W] [%] 0 2019,15 173,07 0,00 0,036 2211,45 207,68 32,80 0,072 2230,68 242,30 56,58 0,108 2211,45 276,91 70,52 0,144 2096,07 311,53 79,54 0,18 1923,00 346,14 82,00
obr. 5.25 Teoretická měrná energie čerpadla
50
400.00 350.00 300.00
P [kW]
250.00 200.00 150.00 100.00 50.00 0.00 0.00
0.05
0.10 3
0.15
0.20
-1
Q [m .s ]
obr. 5.26 Teoretický výkon čerpadla
90.00 80.00 70.00
η [%]
60.00 50.00 40.00 30.00 20.00 10.00 0.00 0.00
0.05
0.10 3
0.15
0.20
-1
Q [m .s ]
obr. 5.27 Teoretická účinnost čerpadla
51
Příklad č. 5.7 Stanovte charakteristiku čerpadla, které má být použito pro čerpání ropy o viskozitě
ν = 173 ⋅10 −6 m2⋅s-1 a hustotě ρ = 900 kg⋅m-3. Průtok ropy je Q = 31 l.s-1 a měrná energie potřebná pro dopravu kapaliny je Y = 170 J.kg-1, účinnost čerpání by měla být η = 60 %. Motor, který bude pohánět čerpadlo má jmenovité otáčky n = 2000 .ot.min-1. Čerpadlo je definováno charakteristikou odečtenou z katalogového listu. Zadaná data: Q = 31 l.s-1 0,031 m3.s-1 -1 Y = 170 J.kg n = 2000 min-1 33,33 s-1
ν = 173 ⋅10 −6 m2⋅s-1 ρ = 900 kg⋅m-3 Podle parametrů Q a Y předběžně vybereme typ čerpadla. Specifické otáčky čerpadla jsou
Q 0, 5 Y 0,75 0,0310,5 nq = 332,5 ⋅ 2000 ⋅ 170 0,75 -1 nq = 2486 ot.min
nq = 332,5 ⋅ n ⋅
Z katalogového listu typu vybraného typu čerpadla stanovíme koeficienty pro přepočet viskozity ropy na viskozitu vody k Q = 1,06
k Y = 1,04 kη = 1,3 Přepočteme parametry čerpání ropy na ekvivalentní parametry při čerpání vody viz rov. 5.26. QOpr = k Q ⋅ Q YOpr = kY ⋅ Y η Opr = kη ⋅η
η Opr = 1,3 ⋅ 60
QOpr = 1,06 ⋅ 0,031
YOpr = 1,04 ⋅170
QOpr = 0,033 m.s
YOpr = 176,80 J.kg
-1
η Opr = 78 %
-1
Velikost čerpadla navrhneme z katalogu na základě parametrů QOpr , YOpr a η Opr . Charakteristika čerpadla při čerpáni vody, odečtená z katalogového listu tab. 5.8 Tabulka charakteristiky čerpadla
Q Qn [-] 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 1,1
Q
Y
P
η
[m3.s-1] 0,0068 0,0136 0,0204 0,0272 0,0340 0,0374
[J.kg-1] 220 220 215 203 182 170
[kW] 4,3 5,6 6,8 7,8 8,5 8,8
[%] 32 49 61 67 71 70 52
Déle odečteme opravné koeficienty pro přepočet charakteristik čerpadla tab. 5.9 Opravné koeficienty čerpadla Q / / / / kQ kη kY kP Qn [-] [-] [-] [-] [-] 0,2 0,925 0,985 1,555 0,625 0,4 0,925 0,975 1,440 0,680 0,6 0,925 0,963 1,370 0,686 0,8 0,925 0,955 1,320 0,692 1,0 0,925 0,943 1,285 0,700 1,1 0,925 0,940 1,275 0,710 Charakteristiku čerpadla při čerpání vody přepočteme na charakteristiku čerpadla při čerpání ropy podle rov. 5.26. / / / / Qropa = k Q ⋅ Q ; Yropa = kY ⋅ Y ; Propa = k P ⋅ P ; η ropa = k P ⋅η Charakteristika čerpadla při čerpáni ropy tab. 5.10 Opravená charakteristika čerpadla Q η Q Y P Qn [-] [m3.s-1] [J.kg-1] [kW] [%] 0,2 6,29 216,70 6,69 20,00 0,4 12,58 214,50 8,06 33,32 0,6 18,87 207,05 9,32 41,85 0,8 25,16 193,87 10,30 46,36 1,0 31,45 171,63 10,92 49,70 1,1 34,60 159,80 11,22 49,70 240 220
-1
Y [J.kg ]
200 180
Voda Ropa
160 140 120 100 0
0.01
0.02 3
0.03
0.04
-1
Q [m .s ]
obr. 5.28 Měrná energie čerpadla při čerpání vody a ropy 53
12
10
P [kW]
8 Voda
6
Ropa
4
2
0 0
0.01
0.02 3
0.03
0.04
-1
Q [m .s ]
obr. 5.29 Výkon čerpadla při čerpání vody a ropy 80 70 60
η [%]
50 Voda
40
Ropa
30 20 10 0 0
0.01
0.02 3
0.03
0.04
-1
Q [m .s ]
obr. 5.30 Účinnost čerpadla při čerpání vody a ropy
Příklad č. 5.8 Čerpadlo, které je definováno charakteristikou Y = 5470,15 − 132,00 ⋅ Q − 98430,00 ⋅ Q 2 přečerpává vodu průtokem Q = 0,1 m3.s-1. Výkon čerpadla je nutné trvale snížit na průtok Qred = 0,09 m3.s-1. Velikost oběžného kola čerpadla je D = 250 mm. Určete změnu průměru, tj. o kolik bude osoustruženo oběžné kolo. 54
Zadaná data: Q = 0,1 m3.s-1 D = 250 mm Qred = 0,09 m3.s-1
Y = 5470,15 − 132,00 ⋅ Q − 98430,00 ⋅ Q 2 Nový průměr oběžného kola je možné vypočítat dle rov. 5.25 Q2 0,09 Dred = D ⋅ = 250 ⋅ Q1 0,1
Dred = 237,2 mm Oběžné kolo je tedy nutné osoustružit o 12,8 mm 6000.00 D1 = 250 mm D2 = 237,2 mm
5000.00
-1
Y [J.kg ]
4000.00 3000.00 2000.00 1000.00 0.00 0.00
0.05
0.10 3
0.15
0.20
-1
Q [m .s ]
obr. 5.31 Změna charakteristiky při osoustružení oběžného kola čerpadla
Příklad č. 5.9 Pro jednoduchý čerpací systém, který sestává z jednoho čerpadla s charakteristikou Yč = 115 − 250 ⋅ Q − 450000 ⋅ Q 2 [J.kg-1] a jednoduchého potrubí s charakteristikou
Y p = 78 + 520000 ⋅ Q 2 [J.kg-1] stanovte, o kolik mm je nutné zmenšit oběžné kolo, aby byl průtok snížen trvale o 15 %. Průměr oběžného kola je D = 150 mm. Zadaná data: Yč = 115 − 250 ⋅ Q − 450000 ⋅ Q 2 [J.kg-1]
Y p = 78 + 520000 ⋅ Q 2 [J.kg-1]
D = 150
mm
Stanovením pracovního bodu systému, určíme výchozí průtok kapaliny Y p = Yč 78,48 + 520000 ⋅ Q 2 = 115 − 250 ⋅ Q − 450000 ⋅ Q 2 55
970000 ⋅ Q 2 + 250 ⋅ Q − 37 = 0 Q1 = 0,006049 m3.s-1 Q2 = −0,006306 m3.s-1 Průtok odpovídající řešené úloze je definován kladnou hodnotou. Q = 0,006049 m3.s-1
Y p = 78 + 520000 ⋅ Q 2 = 78 + 520000 ⋅ 0,006049 2 Y p = 97,02 J.kg-1 Redukovaný průtok má být nižší o 15 %. Qred = (1 − 0,15) ⋅ Q
Qred = (1 − 0,15) ⋅ 0,006049 Qred = 0,005141 m3.s-1
Pomocí rov. 5.24 upravíme původní charakteristiku čerpadla. D2 D2 , Yč = Yčred ⋅ Q = Q ⋅ č čred 2 2 Dred Dred Dosazením těchto rovnic do charakteristiky čerpadla získáme charakteristiku čerpadla se stočeným oběžným kolem. 2 Yč = 115 − 250 ⋅ Qč − 450000 ⋅ Qč
Yčred
D2 D2 D 2 ⋅ = 115 − 250 ⋅ Q ⋅ − 450000 ⋅ Q ⋅ č red č red 2 2 2 Dred Dred Dred
2
Výsledná charakteristika je pak dána po úpravě vztahem 2 D D2 2 Yčred = 115 ⋅ red2 − 250 ⋅ Qčred − 450000 ⋅ ⋅ Qčred 2 D Dred Nyní stanovíme pracovní bod systému s modifikovaným čerpadlem. Y p = Yčred ; Q p = Qčred = Q
78,48 + 520000 ⋅ Q 2 =
115 1 2 ⋅ Dred − 250 ⋅ Q − 450000 ⋅ D 2 ⋅ Q 2 ⋅ 2 2 D Dred
Jelikož známe požadovanou hodnotu průtoku Q = 0,005141 m3.s-1, stanovíme průměr Dred , při kterém bude průtok dosažen. Rovnici upravíme a převedeme ji do následujícího tvaru 115 1 2 ⋅ Dred − 250 ⋅ Q − 78,48 − 520000 ⋅ Q 2 − 450000 ⋅ D 2 ⋅ Q 2 ⋅ =0 2 2 D Dred 2
Dále provedeme úpravu, která spočívá v roznásobení cele rovnice Dred , čímž získáme bikvadratikou rovnici 115 4 2 ⋅ Dred − 250 ⋅ Q + 78,48 + 520000 ⋅ Q 2 ⋅ Dred − 450000 ⋅ D 2 ⋅ Q 2 = 0 2 D Do rovnice dosadíme hodnotu požadovaného průtoku Q = 0,005141 m3.s-1 a výchozí průměr oběžného kola D = 0,150 m.
(
)
5111,1111 ⋅ Dred − 93,0305 ⋅ Dred − 0,2676 = 0 4
2
56
Řešením této rovnice získáme hodnotu 2 Dred = 0,020728
Dred = −0,002526 Je zřejmé že zápornou hodnotu nelze odmocnit, hodnotu průměru stočeného průměru oběžného kola Dred tak získáme odmocněním kladné hodnoty 2
Dred = 0,020728 Dred = 0,14397 m → Dred = 143,97 mm Dosazením požadovaného průtoku Q = 0,005141 m3.s-1 , redukovaného a výchozího průměru oběžného kola D = 150,00 mm, Dred = 143,97 mm získáme měrnou energii v novém pracovním bodě 2 D D2 Yčred = 115 ⋅ red2 − 250 ⋅ Q − 450000 ⋅ ⋅ Q2 2 D Dred
0,14397 2 0,150 2 − 250 ⋅ 0 , 005141 − 450000 ⋅ ⋅ 0,0051412 0,150 2 0,143,97 2 = 91,75 J.kg-1
Yčred = 115 ⋅ Yčred
Nebo můžeme hodnotu průtoku dosadit do charakteristiky potrubí Y p = 78 + 520000 ⋅ Q 2 = 78 + 520000 ⋅ 0,0051412
Y p = 91,75 J kg-1 (hodnota je identická, výpočet je správně) 200.000
Čerpadlo Čerpadlo se stočeným oběžným kolem Potrubí
180.000 160.000
-1
Y [J.Kg ]
140.000 120.000 100.000 80.000 60.000 40.000 20.000 0.000 0.000
0.002
0.004
0.006 3
0.008
0.010
0.012
-1
Q [m .s ]
obr. 5.32 Změna charakteristiky při osoustružení oběžného kola čerpadla
57
6.
Kavitace v čerpadlech, sací výška
6.1
Kavitace
Na kapalinu při určité teplotě působí tlak, který může klesnout na hodnotu tlaku nasycených par. Proces vytváření bublin v kapalině při působení tlaku, který je nižší než tlak nasycených par, se nazývá kavitace. Kapalina obsahuje také mikro-bubliny nekondenzujícího plynu (většinou molekulárně rozpuštěný vzduch nebo vzduch obsažený ve formě mikrobublin), které se při nízkém tlaku mohou zvětšovat a formovat kavitaci. Pod pojmem kavitace (z lat. cavitas-dutina) se obecně rozumí dynamický proces tvoření a zanikání dutin (bublin) v kapalině. Kavitace se objevuje, když např. na základě vysoké rychlosti proudění, nebo nízkého hydrostatického statického tlaku v systému v daném místě lokální hydrostatický tlak poklesne na kritickou hodnotu, která odpovídá tlaku nasycených par kapaliny. Vytvářejí se malé bubliny naplněné párou a plyny, které jsou spolu s proudící kapalinou unášeny dál po proudu kapaliny. Když se pak dostanou do oblasti vyššího tlaku, bubliny implodují a v jejich okolí vznikají velké tlakové špičky, které vedou ke vzniku rázů, hluku a k erozi povrchů materiálu. Při kavitačním režimu se mění jak provozní charakteristiky čerpadla, tak i vlastnosti proudící kapaliny. Čerpadlo se nesmí nikdy provozovat v kavitačním režimu po delší čas, jinak dojde k jeho trvalému poškození.
6.2
Sací výška čerpadla
Sací výšku čerpadla je možné odvodit z Bernoulliho rovnice. Definujeme ji pro hladinu v sací nádrži a sací hrdlo čerpadla. Odvození je provedeno za předpokladu, že statický tlak v sacím hrdle čerpadla dosáhne právě hodnoty tlaku nasycených par pw . Teoretická maximální sací výška je tedy určena rovnicí ve tvaru p − pw [m] hgs = sn rov. 6.1 ρ⋅ g
ls
hgs
φds
psn
obr. 6.1 Schéma sací části čerpacího systému Jde tedy o maximální výšku, do které lze dopravit kapalinu pouhým rozdílem tlaku. Tu je je ale nutné snížit o ztráty v potrubí a také musíme zohlednit kavitační vlastnosti čerpadla, které jsou dány dovolenou kavitační depresí ∆y dov , neboli dovolenou hodnotou měrné kavitační energie. Dovolená kavitační deprese definována jako násobek kritické kavitační deprese, která se určuje měřením pomocí kavitační zkoušky.
∆ y dov = 1,15 ⋅ ∆y krit [J.kg-1]
rov. 6.2
Sací výška čerpadla je se zahrnutím ztrát a kavitační deprese je definována vztahem ∆y p − pw hgs = sn − hzs − dov [m] rov. 6.3 ρ⋅ g g 58
Ztrátová výška hzs v sacím potrubí je určena vztahem, který již byl definován v úvodních kapitolách. Kritickou kavitační depresi je možné definovat několika způsoby. Nejpřesnější metodou je měření pomocí kavitační zkoušky. Pro odhad lze použít bezrozměrný Thomův kavitační ∆y součinitel σ = , který můžeme určit na základě hydrodynamické podobnosti v závislosti Ys na ns , nb nebo nq . Jeden ze vztahů pro Thomův kavitační součinitel definovaný na základě měrných otáček čerpadla n q je např. definován následující rovnicí
σ = 1,21 ⋅10 −3 ⋅ nq
rov. 6.2
Pomocí tohoto koeficientu je pak možné určit kritickou měrnou kavitační depresi ze vztahu
∆y krit = σ ⋅ Ys [J.kg-1]
rov. 6.3
kde Ys je měrná energie sacího potrubí. Thomův kavitační součinitel je de facto podobnostní číslo, které udává poměr statického a dynamického tlaku p − pw [-] σ= s rov. 6.4 1 2 ρ ⋅v 2 Kde p s je statický tlak, p w je tlak nasycených par, ρ je hustota kapaliny a v je rychlost kapaliny
6.3
Veličina NPSH
V cizojazyčné literatuře (anglosaské) se pro určení dostatečného tlaku v čerpadle používá veličina NPSH (Net Positive Suction Head) volně přeloženo „čistá kladná nátoková výška“, která je udávaná v metrech. Průběh hodnot veličiny NPSH pro čerpadlo je většinou pro větší čerpadla uváděn v podkladech výrobce společně s charakteristikou čerpadla. Dovolená sací výška je s využitím veličiny NPSH u čerpadla modifikována do následujícího tvaru p − pw hgs = sn − hzs − NPSH [m] rov. 6.5 ρ⋅ g
6.4
Příklady
Příklad č. 6.1 Určete dovolenou geodetickou sací výšku čerpadla hgs při čerpání vody z otevřené nádrže při teplotě 20 °C. Průtok vody je Q = 25 l.s-1.Potrubí má délku l s , průměr d s , třecí a místní ztráty jsou určeny. Měrná kavitační deprese je ∆y dov = 33 J.kg-1. Jak se změní dovolená sací výška, když teplota vzroste z 20 na 80 °C? Zadaná data: Q = 25 l.s-1 → 0,025 m3.s-1 t = 20 °C ν = 1 ⋅10 −6 m2.s-1 d s = 150 mm 59
l s = 10 m
λ s = 0,025 Σξ s = 2 ∆y dov = 33 J.kg-1. Příloha č. 2 je použita pro odečtení tlaku nasycených par a hustoty vody při teplotě t = 20 °C tlak nasycených par p w = 2340 Pa hustota ρ = 998 kg.m-3 Stanovení ztrátové výšky sacího potrubí v2 l Q 4⋅Q hzs = λ s ⋅ s + Σξ ⋅ s ; v s = = d 2 ⋅ g S π ⋅d2 s
l 8 ⋅Q2 hzs = λ s ⋅ s + Σξ ⋅ 2 4 d s π ⋅ ds ⋅ g 10 8 hzs = 0,025 ⋅ + 2 ⋅ ⋅ 0,025 2 2 4 0 , 15 3 , 14 ⋅ 0 , 15 ⋅ 9 , 81 hzs = 0,37 m Dovolená sací výška při teplotě vody 20 °C p − pw ∆y − hzs − dov hgs = sn ρ⋅ g g 101325 − 2340 33 hgs = − 1,29 − 998⋅ 9,81 9,81 hgs = 6,38 m Dovolená sací výška při teplotě t = 80 °C tlak nasycených par p w = 47400 Pa hustota ρ = 971,8 kg.m-3 p − pw ∆y hgs = sn − hzs − dov ρ⋅ g g 101325 − 47400 33 hgs = − 1,29 − 971,8⋅ 9,81 9,81 hgs = 1,92 m
Příklad č. 6.2 Určete dovolenou geodetickou sací výšku čerpadla hgs při čerpání vody z otevřené nádrže při teplotě 20 °C. Průtok vody je Q = 2 l.s-1.Potrubí má délku l s ; průměr d s , třecí a místní ztráty jsou určeny. Měrná kavitační deprese je ∆y dov = 33 J.kg-1. Jak se změní dovolená sací výška, když čerpací systém přemístíme z haly s nadmořskou výškou 200m (Ostrava) na chatu, která má nadmořskou výšku 1602 m (Sněžka)
60
Zadaná data: Q = 2 l.s-1 → 0,002 m3.s-1 t = 20 °C ν = 1 ⋅10 −6 m2.s-1 d s = 40 mm ls = 4 m
λ s = 0,025 Σξ s = 2 ∆y krit = 33 J.kg-1. Dovolená kavitační deprese ∆ y dov = 1,15 ⋅ ∆y krit ∆ y dov = 1,15 ⋅ 33 ∆ y dov = 37,95 J.kg-1 Ztrátová výška v2 l Q 4⋅Q hzs = λ s ⋅ s + Σξ ⋅ s ; v s = = ds S π ⋅d2 2⋅ g
l 8 hzs = λ s ⋅ s + Σξ ⋅ 2 ⋅Q2 4 d s π ⋅ ds ⋅ g 4 8 hzs = 0,025 ⋅ + 2 ⋅ ⋅ 0,002 2 2 4 0,04 3,14 ⋅ 0,04 ⋅ 9,81 hzs = 0,58 m Tlak nasycených par a hustota vody při teplotě t = 20 °C je (viz Příloha č. 2) p w = 2340 Pa, ρ = 998 kg.m-3 Dovolená sací výška v hale v Ostravě Pro výpočet je nutné určit atmosférický tlak v dané nadmořské výšce. Využijeme vztah, který zohledňuje také pokles teploty s výškou [3]. Předpokládejme tedy že teplota vzduchu v hale v Ostravě je t = 20 °C. g
γ ⋅ h r ⋅γ p = p 0 1 − T0 kde p0 = 101325 Pa je normální atmosférický tlak u hladiny moře, T0 je teplota u hladiny moře (předpokládáme že jde o teplotu 20 °C), γ = −0,0065 °C.m-1 je gradient teploty, který stanoví pokles teploty vzduchu s nadmořskou výškou (předpokládáme normální vrstvení atmosféry), r = 287 J.kg-1.K-1 je měrná plynová konstanta vzduchu. Tlak v Ostravě 9 ,81
− 0,065 ⋅ 200 287⋅(−0, 065) p = 101325 ⋅ 1 − 20 + 273,16 p = 98994 Pa Dovolená sací výška v hale
61
p − pw ∆y − hzs − dov ρ⋅ g g 98994 − 2340 37,95 hgs = − 0,58 − 998⋅ 9,81 9,81 hgs = 5,42 m hgs =
Tlak na vrcholu Sněžky 9 ,81
− 0,065 ⋅1602 287⋅(−0,065) p = 101325 ⋅ 1 − 20 + 273,16 p = 84334 Pa Dovolená sací výška v chatě p − pw ∆y − hzs − dov hgs = ρ⋅ g g 84334 − 2340 37,95 − 0,58 − 998⋅ 9,81 9,81 hgs = 3,93 m
hgs =
Příklad č. 6.3 Navrhněte sací část čerpacího systému pro čerpání daného průtoku Q = 200 l.s-1 oteplené chladící vody o teplotě t = 90 °C z otevřené nádrže do hladicí věže. Čerpadlo je specifikováno světlostí sacího hrdla d s a hodnotou NPSH, která byla odečtená z katalogového listu na základě průtoku čerpadlem. Nejkratší vzdálenost předpokládaného umístění čerpadla od nádrže je l s = 4 m. V této délce je zahrnuta také svislá část potrubí se sacím košem. V místních ztrátách potrubí je zahrnuto jedno koleno a sací koš Zadaná data: Q = 200 l.s-1 → 0,2 m3.s-1 t = 90 °C ν = 1 ⋅10 −6 m2.s-1 d s = 250 mm
ls = 4 m
λ s = 0,020 Σξ s = 2 NPSH = 3,2 m Parametry vody pro teplotu t = 90 °C viz Příloha č. 2 p w = 70100 Pa, ρ = 965,3 kg.m-3 Předpokládaná ztrátová výška potrubí vs 2 ls Q 4⋅Q hzs = λ s ⋅ + Σξ ⋅ ; vs = = ds S π ⋅d2 2⋅ g
62
l 8 hzs = λ s ⋅ s + Σξ ⋅ 2 ⋅Q2 4 d π d g ⋅ ⋅ s s 4 8 hzs = 0,02 ⋅ + 2 ⋅ ⋅ 0,2 2 2 4 0,25 3,14 ⋅ 0,25 ⋅ 9,81 hzs = 1,96 m hgs =
p − pw ∆y − hzs − dov ρ⋅ g g
101325 − 70100 − 1,96 − 3,2 965,3⋅ 9,81 hgs = −1,86 m Dovolená sací výška je záporná, znamená to že čerpadlo musí být umístěno pod hladinu nádrže, nebo musí být v nádrži přetlak.
hgs =
hgs ls
φds
obr. 6.2 Schéma sací části se zápornou geodetickou výškou
Příklad č. 6.4 Jakou maximální teplotu může mít voda, která je čerpána z otevřené nádrže do systému s přetlakem p vn = 0,5 MPa. Průtok vody je Q = 500 l.s-1. Sací potrubí má délku l s a průměr
d s . Čerpadlo pracuje při otáčkách n = 1490 ot.min-1. Třecí ztráta λs i součet místních ztrát Σξ s potrubí je zadán. Zadaná data: Q = 220 l.s-1 → 0,22 m3.s-1 p vn = 0,5 MPa
ν = 1 ⋅10 −6 m2.s-1 d s = 250 mm
hgs = 1 m ls = 2 m
λ s = 0,021 Σξ s = 1,5 n = 1490 ot.min-1 63
hgs
φds
ls obr. 6.3 Schéma čerpacího systému Příklad č. 6.4 Ztrátová výška sacího potrubí l 8 hzs = λ s ⋅ s + Σξ ⋅ 2 ⋅Q2 4 ds π ⋅ ds ⋅ g 2 8 hzs = 0,021 ⋅ + 1,5 ⋅ ⋅ 0,22 2 2 4 0 , 25 3 , 14 ⋅ 0 , 25 ⋅ 9 , 81 hzs = 1,71 m Měrná energie čerpadla p − p sn Y = vn + g ⋅ hzs
ρ
500000 − 0 + 9,81 ⋅ 1,71 998 Y = 517,78 J.kg-1
Y=
Měrnou kavitační depresi stanovíme na základě Thomova kavitačního součinitele Měrné specifické otáčky Q 0.5 nq = 332.5 ⋅ n ⋅ 0.75 Y 0,220 0.5 nq = 332.5 ⋅1490 ⋅ 517,780.75 nq = 2140,82 min-1 Thomův kavitační součinitel σ = 1,21 ⋅ 10 −3 ⋅ nq
σ = 1,21 ⋅10 −3 ⋅ 2140,82 σ = 2,59 Měrná energie sacího potrubí Ys = g ⋅ hzs
Ys = 9,81 ⋅ 1,71 Ys = 16,78 J.kg-1 Kritická kavitační deprese ∆y krit = σ ⋅ Ys
∆y krit = 2,59 ⋅ 16,78 ∆y krit = 43,46 J.kg-1
64
Dovolená kavitační deprese ∆ y dov = 1,15 ⋅ ∆y krit
∆ y dov = 1,15 ⋅ 43,46 ∆y dov = 49,98 J.kg-1 Maximální teplotu čerpané směsi nelze stanovit přímo. Nejprve musíme stanovit maximální tlak nasycených par. ∆y p − pw ∆y hgs = − hzs − dov → p w = p − ρ ⋅ g ⋅ hgs + dov + hzs ρ⋅ g g g
49,98 p w = 101325 − 998⋅ 9,81 ⋅ 1 + + 1,71 9,81 p w = 24913,03 Pa Z tabulky viz Příloha č. 2 nelze přímo specifikovat teplotu, ale je ji možno stanovit pomocí lineární interpolace dolní mez
t = 60 °C; p w = 19920 Pa,
horní mez
t = 70 °C; p w = 31200 Pa,
p w − p wdo ln í ⋅ (t horní − t do ln í ) + t do ln í p whorní − p wdo ln í 24913,03 − 19920 t= ⋅ (70 − 60) + 60 31200 − 19920 t = 64,43 °C t=
65
7.
Laboratorní měření
Zadání: Stanovte měřením závislost měrné energie čerpadla Y na objemovém průtoku Q . Měření proveďte pro tyto případy 1. jedno čerpadlo, při otáčkách n = 2000 min-1 2. jedno čerpadlo, při otáčkách n = 1300 min-1 3. sériové řazení čerpadel, obě čerpadla při otáčkách n = 2000 min-1 4. paralelní řazen čerpadel, obě čerpadla při otáčkách n = 2000 min-1 Schéma měření:
Č1-Č2 čerpadlo Wilo EA 60/1 V1-V6 kulové ventily P1-P2 piezometrické trubice pro měření tlaku na sání čerpadla P3 u-trubice pro měření tlaku na výstupu P3 obrácená u-trubice pro měření tlakového spádu na cloně C - clona N - nádrž obr. 7.1 Schéma měření Parametry čerpadla Wilo EA 60/1: Provozní napětí: 230 V; 50 Hz Příkon: 42; 55; 70; 86W Otáčky: 1300, 1500, 1800, 2000 min-1
66
7.1
Postup měření
1) Před začátkem měření se odečte teplota vzduchu a barometrický tlak v laboratoři. Pro zjištěné hodnoty se odečtou z tabulek hustota vody ρ v a rtuti ρ Hg . 2) Pomocí spínače zapneme čerpadlo, Kulovým ventilem V6 na výtlaku nastavíme průtok. 3) Pro nastavenou hodnotu odečteme parametry na měřících elementech, tlak na sáni hs1, respektive hs 2 , tlak na výtlaku hv 1 a hv 2 , a hodnotu ∆hc . 4) Měření provedeme pro 7 hodnot nastavení ventilu (průtoku) 5) Stejný postup opakujeme pro otáčky čerpadla n = 1300 min-1, a dále pro sériové a paralelní řazení čerpadel. Cejchovací diagram clony: Cejchovací diagram slouží pro určení průtoku ze změřeného tlakového spádu na cloně
0.9 0.8
Q = 0.0289∆h0.5237 R2 = 0.9967
0.7
Qv [l s-1]
0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0 0
100
200
300
400
500
600
∆h [mm]
obr. 7.2 Cejchovací charakteristika clony
Qv = 0,0289 ⋅ ∆hc
0,5237
regresní vztah platí pro tyto jednotky Q [ l s-1] a ∆hc [mm]
Materiálové konstanty: hustota vody ρ v = 998 kg m-3 hustota rtuti ρ Hg = 13546 kg m-3 Podmínky v laboratoři: teplota t = 24 °C tlak p = 101375 Pa
67
7.2
Charakteristiky čerpadla
Charakteristiky čerpadla Wilo EA 60/1 pro otáčky n = 2000 min-1 a n = 1300 min-1 byly měřeny pro čerpadlo č.1.
obr. 7.3 Schéma měření pro jedno čerpadlo, Č1 tab. 7.1 Tabulka naměřených a vypočtených hodnot pro n = 2000 min-1 hs hv1 hv 2 ∆hc ps ∆hv pv Q -1
1 2 3 4 5 6 7
[mm] [mm] [mm] [mm] [l.s ] [Pa] 330 220 505 0 0 3230,825 335 230 487 5 0,067135 3279,777 338 242 490 15 0,119348 3309,148 330 252 480 30 0,17158 3230,825 320 265 465 75 0,277247 3132,922 268 295 443 190 0,451109 2623,822 135 335 400 445 0,70444 1321,701
[mm] 285 257 248 228 200 148 65
[Pa] 40026,47 36403,56 35325,06 32765,24 29171,7 22555,33 11917,38
tab. 7.2 Tabulka naměřených a vypočtených hodnot pro n = 1300 min-1 hs hv1 hv 2 ∆hc ps ∆hv pv Q -1
1 2 3 4 5 6 7
[mm] [mm] [mm] [mm] [l.s ] [Pa] 340 305 430 0 0 3328,729 340 320 420 6 0,073861 3328,729 335 320 413 12 0,106185 3279,777 335 328 405 25 0,155955 3279,777 330 335 400 47 0,217058 3230,825 320 345 392 70 0,267409 3132,922 310 353 385 100 0,322328 3035,018
[mm] 125 100 93 77 65 47 32
[Pa] 19596,85 16421,55 15491,34 13443,49 11917,38 9623,335 7708,364
Yč [J.kg-1] 36,86938 33,19016 32,08008 29,5936 26,09096 19,97145 10,61692
Yč [J.kg-1] 16,30072 13,11906 12,23604 10,18408 8,703967 6,503421 4,682712
68
Příklad výpočtu
Q = 0.0289 ⋅ ∆hc
0.5237
Q = 0,0289 ⋅ 5 0.5237 = 0,067135 l.s-1
p s = ρ v ⋅ g ⋅ hs p s = 998 ⋅ 9,81⋅ 0,335 = 3279,777 Pa ∆hv = hv 2 − hv1 ∆hv = 487 − 230 = 257 mm
pv = ρ Hg ⋅ g ⋅ ∆hv + ρ v ⋅ g ⋅ hv1 pv = 13546 ⋅ 9,81⋅ 0,257 + 998 ⋅ 9,81⋅ 0,230 = 36403,56 Pa Ys =
Ys =
pv − p s
ρv
36403,56 − 3279,777 = 33,19016 J.kg-1 998
Přepočet charakteristiky čerpadla afinitními vztahy Přepočet změřené charakteristiky čerpadla dle afinitních vztahu z otáček n = 2000 min-1 na n / = 1300 min-1. tab. 7.3 Přepočtená charakteristika čerpadla / Yč Yč Q Q/ [l.s-1] 0 0,067135 0,119348 0,17158 0,277247 0,451109 0,70444
[J.kg-1] 36,86938 33,19016 32,08008 29,5936 26,09096 19,97145 10,61692
[l.s-1] 0 0,043638 0,077577 0,111527 0,180211 0,293221 0,457886
[J.kg-1] 15,57731 14,02284 13,55383 12,5033 11,02343 8,437937 4,485647
Příklad výpočtu n/ Q/ = ⋅Q n 1300 Q/ = ⋅ 0,067135 = 0,043638 l.s-1 2000
n/ Yč = n /
2
⋅ Yč 2
1300 / -1 Yč = ⋅ 33,19016 = 14,02284 J.kg 2000
69
40
n= 2000 min-1 35
n= 1300 min-1
-1
Ys [ J kg ]
30
Přepočet z 2000 min-1 na 1300 min-1
25 20 15 10 5 0 0
0.1
0.2
0.3
0.4 -1 Q[ls ]
0.5
0.6
0.7
0.8
obr. 7.4 Charakteristika čerpadla při různých otáčkách, porovnání měření s přepočtem afinitními vztahy
7.3
Sériové zapojení dvou čerpadel
Měření bylo prováděno při otáčkách obou čerpadel n = 2000 min-1
obr. 7.5 Schéma měření pro sériové zapojení čerpadel
70
tab. 7.4 Tabulka naměřených a vypočtených hodnot pro sériové zapojení čerpadel a otáčky n = 2000 min-1 hs hv1 hv 2 ∆hc Qs ps Ysč ∆hv pv [mm] [mm] [mm] [mm] [l.s-1] [Pa] [mm] [Pa] [J.kg-1] 1 340 80 640 0 0 3328,729 560 75199,54 72,01484 2 340 100 630 15 0,119348 3328,729 530 71408,76 68,21646 3 340 110 615 25 0,155955 3328,729 505 68184,5 64,98575 4 330 145 585 45 0,212171 3230,825 440 59889,56 56,77228 5 325 170 565 75 0,277247 3181,874 395 54154,44 51,07471 6 270 215 520 167 0,421633 2643,403 305 42635,24 40,07198 7 190 333 403 510 0,756576 1860,172 70 12562,23 10,72351 Výpočet teoretické charakteristiky při sériovém zapojení čerpadel Teoretická charakteristika při sériovém zapojení dvou čerpadel je vypočtena ze změřené charakteristiky jednoho čerpadla tab. 7.5 Teoretická charakteristika při sériovém řazení čerpadel Yč Qs Ysč Q [l.s-1] 0 0,067135 0,119348 0,17158 0,277247 0,451109 0,70444
[J.kg-1] 36,86938 33,19016 32,08008 29,5936 26,09096 19,97145 10,61692
[l s-1] 0 0,067135 0,119348 0,17158 0,277247 0,451109 0,70444
[J.kg-1] 73,73876 66,38032 64,16015 59,18721 52,18193 39,9429 21,23383
Příklad výpočtu Q = Qs
Qs = 0,067135 l.s-1 Ysč = 2 ⋅ Yč Ysč = 2 ⋅ 33,19016 = 66,38032 J.kg-1 80 Seriové zapojení 70 Teoretická charakteristika seriového zapojení
-1
Ys [ J kg ]
60
Charakteristika jednoho čerpadla
50 40 30 20 10 0 0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
-1
Q[ls ]
obr. 7.6 Charakteristika čerpadla při sériovém zapojení, srovnání vypočtené a změřené charakteristiky
71
7.4
Paralelní zapojení dvou čerpadel
Měření bylo prováděno při otáčkách obou čerpadel n = 2000 min-1
obr. 7.7 Schéma měření pro paralelní zapojení čerpadel. Tabulka naměřených a vypočtených hodnot pro paralelní zapojení čerpadel a otáčky n = 2000 min-1 tab. 7.6 Tabulka naměřených a vypočtených hodnot pro sériové řazení čerpadel Qp Y pč hs hv1 hv 2 ∆hc ps ∆hv pv 1 2 3 4 5 6 7
[mm] [mm] [mm] 340 228 505 340 233 500 340 238 497 340 240 495 335 245 490 330 250 480 300 265 465
[mm] 0 4 15 29 63 130 304
[l.s-1] 0 0,059731 0,119348 0,16856 0,253054 0,369803 0,577004
[Pa] [mm] [Pa] [J.kg-1] 3328,729 277 39041,7 35,78454 3328,729 267 37761,79 34,50206 3328,729 259 36747,65 33,48589 3328,729 255 36235,69 32,9729 3279,777 245 34955,78 31,73948 3230,825 230 33011,43 29,84029 2937,114 200 29171,7 26,28716
Výpočet teoretické charakteristiky při paralelním zapojení čerpadel Teoretická charakteristika při paralelním zapojení dvou čerpadel je vypočtena ze změřené charakteristiky jednoho čerpadla tab. 7.7 Teoretická charakteristika při sériovém řazení čerpadel Qp Y pč Yč Q [l.s-1] 0 0,067135 0,119348 0,17158 0,277247 0,451109 0,70444
[J.kg-1] 36,86938 33,19016 32,08008 29,5936 26,09096 19,97145 10,61692
[l.s-1] 0 0,13427 0,238697 0,34316 0,554495 0,902217 1,40888
[J.kg-1] 36,86938 33,19016 32,08008 29,5936 26,09096 19,97145 10,61692 72
Příklad výpočtu Qp = 2 ⋅ Q
Q p = 2 ⋅ 0,067135 = 0,13427 l.s-1
Y pč = Yč Y pč = 33,19016 J.kg-1 40 Paralelní zapojení 35
Teoretická charakteristika paralelního zapojení
Ys [ J kg-1]
30
Charakteristika jednoho čerpadla
25 20 15 10 5 0 0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
1.6
-1
Q[ls ]
obr. 7.8 Charakteristika čerpadla při paralelním zapojení, srovnání vypočtené a změřené charakteristiky
7.5
Vyhodnocení měření
Měřením jsme stanovili závislost měrné energie čerpadla Yč na objemovém průtoku Q pro čerpadlo Wilo EA 60/1. Charakteristiku čerpadla jsme změřili při otáčkách n = 2000 min-1 a n = 1300 min-1. Dalším části měření jsme provedli měření charakteristik při sériovém a paralelním zapojení dvou čerpadel.Charakteristiku sériového i paralelního zapojení jsme srovnali s teoretickou charakteristikou, která byla získaná přepočtem změřené charakteristiky jednoho čerpadla při stejných otáčkách. 80
n= 2000 min-1 n= 1300 min-1 Seriové zapojení Paralelní zapojení
70
Ys [ J kg-1]
60 50 40 30 20 10 0 0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
-1
Q[ls ]
obr. 7.9 Charakteristika měřeného čerpadla při různých režimech práce
73
8.
Přílohy
Příloha č. 1 Dosažitelná účinnost - Erhartův diagram, [2]
74
Příloha č. 2 Parametry vody v závislosti na teplotě [1] Teplota vody [°C] 10 Tlak syté páry [kPa] 1,23 Hustota [kg.m-3] 1000,0
20 2,34 998,0
30 4,24 996,2
40 7,38 992,1
50 12,34 988,1
60 19,92 983,3
70 31,20 977,5
80 47,40 971,8
Teplota vody [°C] Tlak syté páry [kPa] Hustota [kg.m-3]
100 101,3 957,9
110 143,3 950,6
120 198,5 943,4
130 270,1 934,6
140 361,4 925,9
150 476,0 916,9
160 618,0 907,4
90 70,1 965,3
75
9.
Literatura
[1]
Janalík, J., Šťáva, P.: Mechanika tekutin. [Online]. c2002. Ostrava: VŠB – TUO, 126 s, poslední revize 10.8.2006 [cit. 2006-08-14]. Dostupné z:
.
[2]
Vojtek, J.: Čerpací technika (Návody do cvičení). c1988. Praha: ČVUT, 110 s.
[3]
Drábková, S., a kolektiv.: Mechanika tekutin [Online]. c2008. Ostrava: VŠB – TUO
76
300
Číslo skladové:
2352
Určeno pro posluchače:
3.r. Bc, 1 a 2. r. Mgr. FS, 2. r. Bc. HGF
Autor:
Tomáš Blejchař, Ing., PhD.
Katedra, institut:
hydromechaniky a hydraulických zařízení
Název:
ČERPACÍ TECHNIKA A POTRUBÍ NÁVODY DO CVIČENÍ
Místo, rok, vydání:
Ostrava, 2010, 1. vydání
Počet stran:
76
Vydala:
VŠB – TECHNICKÁ UNIVERZITA OSTRAVA 17. listopadu 15/2172 708 33 Ostrava-Poruba
Tisk:
Ediční středisko VŠB - TU Ostrava
Náklad:
20 CD
Tematická skupina:
17
ISBN 978-80-248-2205-1
338
