Első epochafüzet Matematika 9. évfolyam
Tulajdonos: ..........................................................................
2
ELSŐ EPOCHAFÜZET
ALGEBRA
Tartalom Kurzus leírás ...............................................................................................................................4 Ismétlés.......................................................................................................................................5 Szorzattá alakítás ......................................................................................................................14 Algebrai törtkifejezések............................................................................................................21 Egyenletek ................................................................................................................................27 Egyenlőtlenségek......................................................................................................................30 Vegyes feladatok ......................................................................................................................31 Szöveges feladatok ...................................................................................................................32 Egyszerű szöveges feladatok ................................................................................................32 Életkort kiszámító feladatok.................................................................................................33 Számjegyes feladatok ...........................................................................................................34 Út-idő-sebesség számolási feladatok....................................................................................35 Munkára vonatkozó szöveges feladatok...............................................................................35 Keveréses feladatok..............................................................................................................36 Feladatgyűjtemény ...................................................................................................................38 Ismétlés.................................................................................................................................38 Szorzattá alakítás ..................................................................................................................40 Algebrai törtek......................................................................................................................41 Egyenletek, egyenlőtlenségek ..............................................................................................43 Szöveges feladatok ...............................................................................................................45 Gondolkodtató ......................................................................................................................46
ALGEBRA
ELSŐ EPOCHAFÜZET
Kurzus leírás Algebra – Nevezetes szorzatok, szorzattá alakítás, műveletek algebrai törtekkel, elsőfokú egyenletek, egyenlőtlenségek, szöveges feladatok Fogalmak: együttható, változó, egytagú, többtagú, szorzat, összeg, egynemű, összevonás, nevezetes szorzatok – (a ± b ) ; (a + b ) ⋅ (a − b ); (a ± b ) –, algebrai tört, alaphalmaz, egyenlet 2
3
gyökei, megoldáshalmaz, kikötés Összefüggések: algebrai kifejezések legkisebb közös többszöröse, hatványozás azonosságai Eljárások:
szorzattá
alakítás
kiemeléssel;
szorzattá
alakítás
nevezetes
azonosság
alkalmazásával; szorzattá alakítás csoportosítással, algebrai törtek összege, különbsége, szorzata, hányadosa; egyenlet értelmezési tartományának meghatározása; törtes egyenletek nevezőjének vizsgálata, törtes egyenletek megoldása; egyenlőtlenségek megoldáshalmazának megadása, egyenlet, egyenlőtlenségek megoldása grafikus módszerrel, szöveges feladatok megoldása
Az epocha értékelése: • 15-15%-ot az epocha során feldolgozásra kerülő anyagrészekből írt résztesztek fogják adni. • További 70%-ot ér az epocha végén írandó epochazáró. • További 10 pontot ér a plusz feladatok megoldása és az órai aktivitás. Tehát ebben az epochában 110% a maximálisan elérhető teljesítmény
4
ELSŐ EPOCHAFÜZET
ALGEBRA
Ismétlés 1.
Az alábbi algebrai kifejezésekben húzd alá az együtthatókat, majd válogasd ki közülük az egytagú és a többtagúakat! Használj színest! a. 3a 2b b. − 2ab 2 c.
7ab − 2a 2b 2 3
d. 5abc
4a 2b 5
e. b 2 a − 3a 2 − 3
f.
g. 5 ⋅ (x − y )
h. 2a 2b − 3ab 2
2
i.
− 3(3d + b )
(
j. − 4a (a − 2b 2 )
)
k. 2a ⋅ d 2 − 2 ⋅ a 2
Egytagú kifejezések utolsó művelete .......................................................................................... Többtagú kifejezések utolsó művelete ........................................................................................
2.
Melyik a szorzat és melyik az összeg?
a. a 2 ⋅ 2a b. 3b 2 + 5b 2 − 25 c. 5 d. e.
4a a2
(a + b ) ⋅ 5a (a − b ) 5 ⋅ (a + 2b ) − 2a
Egy algebrai kifejezésnek az utolsó művelete................................................., akkor az összeg. Egy algebrai kifejezésnek az utolsó művelete................................................, akkor az szorzat.
A szorzatnak tényezői, az összegnek tagjai vannak. 3.
Vond össze! a. a + ab + 3a + 2ab + b =
b. 5a − 7ab − 6a + 2a 2b 2 − 3ab =
c. x + 2 x + 3xy − 4 x − 5 xy =
d. 8 g − 7 h + 2 g − 3h − 10 gh =
e. 5a 2 + 5a − 5b − 5b 2 − 2b + 3a =
f. 3 − 4 y − 2 y − 5 + 4 y + 4 − 3 y =
g. 3 x + 2 xy + x 2 − 5 x + 2 x + y 2 =
h. 5 xy + 6 y − 2 x + 5 xy + x 2 − 6 y + 2 x + 25 y 2 =
Milyen tagokat lehet összevonni? ............................................................................................................................................. 5
ALGEBRA
4.
ELSŐ EPOCHAFÜZET
Végezd el a szorzásokat! a. a 2 ⋅ a = c.
(− a ) ⋅ a 3 =
(
)
b. a 2 − a 4 = d. 2 x 2 ⋅ 5 x 5 =
(
)
e.
(− 2a ) ⋅ (− 3b 3 ) =
f. − 5c 2 ⋅ c 5 ⋅ − 2d 7 =
g.
(a − 2) ⋅ 2 =
h. k 2l 3
i.
2 3 a b − 10a 2b 2 = 5
k. m.
(
(a + 2) ⋅ 3 = (a − b ) ⋅ c =
)
n.
(2 x
q.
2 2 5 3 a b ⋅ ab = 5 2
2
(
)
− 5 x + 3 ⋅ (− 2 x )
)
j. 2 ,4a 3b 4 − 0 ,5ab 2 = l.
o.
2 kl = 3
p.
(3b − 3) ⋅ 5 = x ⋅ (3x − 3) =
(− 4a b c )⋅ (− 2ab c ) = 2 3
2 3
r. − 4 x ⋅ (5 y + 4 x ) =
Milyen típusúak ezek a szorzások? Egytagú*Egytagú vagy Egytagú*(Többtagú)? Jelöld be őket, használj színest!
5.
Ez egy másik típusú szorzás. Emlékszel?
a. b. c. d. e. f. g. h. i.
(a + b ) ⋅ (c + d ) = (a − b) ⋅ (c − d ) = (a + 2) ⋅ (a + 3) = (3x + 2 y ) ⋅ (2 x + 3 y ) = (3a − 2b) ⋅ (a + 2b ) = (a − 2b ) ⋅ (2a + 3b ) = ** (a + b − 2) ⋅ (a + b ) = ** (2a + b + c ) ⋅ (b − c ) = ** ( x − a )( x − b )( x − c ) =
Többtagú szorzását több tagúval úgy végezzük el, hogy.............................................................. ....................................................................................................................................................... A többtagú szorzása többtagúval esetnek van három nevezetes azonossága, amit nem oly rég tanultál. Most végezd el a szorzást, utána az összevonást!
(a + b )2 = (a + b ) ⋅ (a + b ) = (a − b )2 = (a − b ) ⋅ (a − b ) =
(a − b ) ⋅ (a + b ) = 6
ELSŐ EPOCHAFÜZET
ALGEBRA
A következő feladatban ismerd fel, hogy melyik nevezetes azonosságot kell használnod! Jó lenne, ha rögtön írnád a végeredményt. Ha biztonságosabb, akkor inkább írd ki a részleteket, szorzásokat is!
6.
Írd le zárójel nélkül! a. (a + 1) ⋅ (a − 1) =
p.
(a − 2 ) ⋅ (a + 2 ) = (a − 3) ⋅ (a + 3) = ( y − 1)( y + 1) = (2 x − 3 y )(2 x + 3 y ) = (a + 5) ⋅ (a + 5) = (a + b ) ⋅ (a + b ) = (a − 2) ⋅ (a − 2) = (a − b ) ⋅ (a − b ) =
(x − 3)2 =
r.
(x + 3)2 =
s.
( y − 1)2 =
t.
( y + 1)2 =
u.
(2a − 5)2 =
v.
(2a + 5)2 =
x.
(2 y + 3x )2 =
o.
(a + b ) ⋅ (a − b ) = (x − 3)(x + 3) = (2a − 5)(2a + 5) = (a + 2) ⋅ (a + 2) = (a + 1) ⋅ (a + 1) = (a − 1) ⋅ (a − 1) = (a − 5) ⋅ (a − 5) =
q.
c. e. g. i. k. m.
w. (3 x − 2 y ) = 2
7.
8.
9.
b. d. f. h. j. l. n.
A (a − b ) ⋅ (a + b ) = a 2 − b 2 nevezetes azonosság felhasználásával számológép nélkül
végezd el a következő műveleteket! a. 31 ⋅ 29 =
b. 61 ⋅ 59 =
c. 199 ⋅ 201 =
d. 35 2 − 25 2 =
e. 64 2 − 36 2 =
f. 328 2 − 172 2 =
Minek a teljes négyzete a következő összeget? a. a 2 + 2a + 1 = b. 4 x 2 − 4 xy + y 2 = c. b 2 − 6by + 9 y 2 =
d. 25 x 2 − 20 xy + 16 y 2 =
e. 4 x 2 + 12 xy + 9 y 2 =
f. 4 x 2 − 4 x + 1 =
Egészítsd ki a következő összegeket, hogy egy teljes négyzet legyen! Utána írd fel, hogy minek a négyzetére egészítetted ki a kifejezést! a. x 2 + 2 xy + .......... = b. a 2 − 2ab + .......... = c. a 2 − 4ac + .......... =
d. 25a 2 + .......... + c 2 =
e. a 2 − .......... + 1 =
f. 4a 2 − .......... + b 2 =
7
ALGEBRA
10.
ELSŐ EPOCHAFÜZET
Melyik igaz állítás és melyik nem? Ha hibát találsz javítsd ki! a.
(x + 5)2 = x 2 + 10 x + 25
b.
(x + y )2 = x 2 + 2 xy + y 2
c. d. e.
(x + 2 x ) = x + 4 x + x (2 x + 3 y ) = 4 x + (xy ) + 9 y (x + y ) = x + 2 x y + y 2
2
2
2
4
2
3
3
2
2
2
4
2
3
4
4
2
1 1 f. x + 4 = x 2 + 4 x + 16 4 2
g.
(2a − 1)2 = 2a 2 − 4a + 1
h.
(2m − 3)2 = 4m 2 − 6m + 9
i. j.
(x (x
)
2
− x = x 4 − x3 + x 2
2
− x3 = x4 − 2x6 − x3
)
2
1 1 k. x − y = x 2 − xy − y 2 4 2
11.
Számold ki a nevezetes köböket! Először a négyzetes kifejezést aztán egy újabb szorzással, és egy összevonással kijön az összeg. (a + b )3 = (a + b )2 ⋅ (a + b ) = (a 2 + 2ab + b 2 )⋅ (a + b ) = a 3 + 2a 2b + ab 2 + a 2b + 2ab 2 + b 3 =
(a − b )3 = (a − b )2 ⋅ (a − b ) = (a 2 − 2ab + b 2 )⋅ (a − b ) = a 3 − 2a 2b + ab 2 − a 2b + 2ab 2 + b 3 =
Összegzés:
(a + b )3 = (a − b )3 =
12.
13.
8
*Próbálkozz a köbökkel! Mennyi az összeg?
a.
(x + y )3 =
b.
(x + 1)3 =
c.
(x + 2)3 =
d.
(2 x + y )3 =
e.
(2x + 1)3 =
f.
(x − 1)3 =
g.
(x − y )3 =
h.
(2 − x )3 =
**Hogyan egyszerűsödnek ezek a szorzatok, ha elvégezzük és összevonjuk őket?
a.
(a + b ) ⋅ (a − b) =
b.
(a + b ) ⋅ (a 2 − ab + b 2 ) =
ELSŐ EPOCHAFÜZET
14.
ALGEBRA
c.
(a + b ) ⋅ (a 3 − a 2b + ab 2 − b 3 ) =
d.
(a + b ) ⋅ (a 4 − a 3b + a 2b 2 − ab 3 + b 4 ) =
e.
(a − b) ⋅ (a + b) =
f.
(a − b ) ⋅ (a 2 + ab + b 2 ) =
g.
(a − b ) ⋅ (a 3 + a 2b + ab 2 + b 3 ) =
h.
(a − b ) ⋅ (a 4 + a 3b + a 2b 2 + ab 3 + b 4 ) =
Írd át úgy a kifejezéseket, hogy ne legyen bennük zárójel! (Végezd el a kijelölt műveleteket! Ahol lehet vonj össze!) a. 3 − (2a − 1)(2a + 1) = b. 4( x + 3) − 5( x − 1) = c. 2 y ( y + 4 ) − 3( y − 2 ) + 1 = d. 2(3a + 1)(3a + 1) =
15.
e.
(4a − 1) ⋅ 3 ⋅ (a + 2) =
f.
(a + 1)2 − 2(a + 1) =
g.
(a − 5)2 + 8a =
h.
(b − 1)(b + 1) − (b − 1)2 =
Hozd a lehető legegyszerűbb alakra a következő kifejezéseket! Ahol kell, bontsd fel a zárójeleket és vonj össze!
a. 3a − 2b + 5a + b − 7 a − 15 = b. 4a − a (a + 2 ) = c. 5ab + 3ab 2 − 2ba + 1 − ab 2 = d. ab + b 2 − 3ab + 5ba + 2b 2 = e. 2(a − 5) + 10(a − 1)(a + 1) − a 2 = f.
(x − 2 )(x + 3) + 6 − 5 x − x 2 =
g. x( y + 1) − 3( x + 1) − y ( x + 1) = h. 2( x − 2) − ( x − 3)( x + 3) − x 2 − 1 = 2
i.
3a(2a − 2) − (2 − 3a )4a + (2a − 1) = 2
j. 2( x − 4) − ( x − 2)( x + 2) − 2 x( x − 1) = 2
k. 2a(3a − 2) − (2 − a )2a + (2a − 1) = 2
9
ALGEBRA
ELSŐ EPOCHAFÜZET
Emlékeztető Ha betűkkel és számokkal műveleteket végzünk, akkor algebrai kifejezéseket kapunk. Az algebrai kifejezésekben előforduló betűket változónak nevezzük. A változók valamely előre megadott alaphalmaz elemeit jelentik. (Általában az alaphalmaz a valós számok halmaza; ha nem, akkor külön meg kell adni az alaphalmazt.) Az algebrai kifejezés helyettesítési értékét kapjuk meg, ha a változók helyébe beírjuk az alaphalmaz elemeit és a kijelölt műveleteket elvégezzük. Az algebrai kifejezésben szorzótényezőként előforduló számokat együtthatónak nevezzük. Pl.: 3a 2b + 2ab kifejezésben a 3 és a 2 együttható. Egytagúnak nevezzük azokat az algebrai kifejezéseket, amelyekben csak szorzás és osztás fordul elő, vagy a műveleti sorrend szabályait szem előtt tartava, az utolsó elvégzendő művelet szorzás vagy osztás. Többtagúnak mondjuk, ha összeadás vagy kivonás szerepel, nem zárójelezett formában. Egyneműnek mondjuk azokat az egytagú algebrai kifejezéseket, amelyeknek csak az együtthatóik különböznek. Pl.: 3a 2b és − 2a 2b .
Összevonni csak egynemű algebrai kifejezéseket tudunk. Ilyenkor összevonjuk az együtthatókat, a betűkifejezések változatlanok maradnak. Pl.: 3a 2b + 2a 2b = 5a 2b . Zárójeles kifejezések összevonásánál alkalmazzuk a számoknál tanultakat: Pl.:
5a + (3a − 2 ) = 5a + 3a − 2 = 8a − 2
vagy 5a − (3a − 2 ) = 5a − 3a + 2 = 2a + 2
Algebrai kifejezések szorzása és osztása esetén: a) ha egytagú a kifejezés, akkor az együtthatókkal elvégezzük a kijelölt műveletet, a betűkre pedig a hatványozás szabályait alkalmazzuk. Pl.: 3a 2b ⋅ 5a 3b 2 c = 15a 5b 3c . b) többtagú kifejezésekkel úgy végezzük el a szorzás műveletet, hogy az egyik tényező minden tagját összeszorozzuk a másik tényező minden tagjával. Pl.: 5a (3a + b ) = 15a 2 + 5ab vagy
(5a + 2)(3a + b ) = 15a 2 + 6a + 5ab + 2b vagy (5a + b + 2)(3a + b) = 15a 2 + 3ab + 6a + 5ab + b 2 + 2b = 15a 2 + 8ab + 6a + b 2 c) vagy használjuk a nevezetes azonosságokat
10
ELSŐ EPOCHAFÜZET
16.
ALGEBRA
Fejezd be a következő mondatokat! Mindegyikre írj példát is! Egyneműeknek nevezzük azokat az algebrai kifejezéseket, amelyekben
Egynemű algebrai kifejezéseket úgy vonunk össze, hogy
Egytagú algebrai kifejezéseket úgy szorzunk, hogy
Egytagú algebrai kifejezéseket többtagúval úgy szorzunk, hogy
Többtagú algebrai kifejezéseket úgy szorzunk, hogy
17.
Írd az egyenlőségek mellé megfelelő jeleket! Mindig igaz (m); néha igaz (n); sohasem igaz (s). a. (a + 3) 2 = a 2 + 6a + 9 b. (5 − a )(5 + a ) = 25 − a 2 c. (3 − a )(2 + 3a ) = 6 − 3a 2 + 7 a
d. − 2(5a − 1) = −10a − 2
e. (a − 5) 2 = a 2 − 10a + 25
f. 4a ⋅ 3a 2 ⋅ 2b = 24a 3 b
g. ( p + 2) 2 = p 2 + 4 + 4 p
h. (a − 2) 2 = a 2 − 4a + 4
i. 18.
(2 y − 3 y )(2 x + 3 y ) = 4 x 2 − 9 y 2
j. ( x − 1)( x + 1) = x 2 − 1
Válogasd ki az igaz egyenlőségeket! Indokolj is! a. 6a − (3a + 5) + 4a + 2 − (7 − a ) = 8a − 10 b. 3b − [5 − ( 2b − 1) ] = b − 6 c. 5a − (b + 3) + 4a + 11 + 7b + 1 − (9a − 5) + 8b − 3 − (7 − 2a ) = 2a + 16b + 4 d. ( 2a − 5b + 6c ) ⋅ ( −3) = 15b − 6a − 18c e. 2a 2 − b(2a − b) = 2a 2 + b 2 − 2ab f. (2 x − 1)(5 + 3 x) − 2(3 x − 2) = 6 x 2 + x − 1 g. 5 − 3( x + 1) = 2 x + 2 h. (a − 5) 2 = a 2 − 10a + 25 i.
(2a + 1) 2 = 4a 2 + 4a + 1
j. (2 x − 3 y ) 2 + (2 x + 3 y )(2 x − 3 y ) = 8 x 2 − 6 xy k. b 2 − 2(b + 1)(b − 3) = 4b + 6 l.
(3a − 5)(3a + 5) = 9a 2 − 25 11
ALGEBRA
19.
ELSŐ EPOCHAFÜZET
A következő feladatsor I. részének feladatai nagyon egyszerűek. A II. rész közepes szintű, a tavaly tanultak alapján megoldható. A III. rész feladatai nehezebbek, vagy azért, mert az átalakítások nagyobb figyelmet kívánnak, vagy azért, mert megoldásukhoz valamilyen ötletre van szükség. Az I. rész feladatai kihagyhatók, ha biztos vagy abban, hogy meg tudod oldani őket. Azt is megteheted, hogy csak azokkal foglalkozol, amelyekben bizonytalan vagy. A II. feladatsor a kötelező rész. A III.-ból lehet csemegézni, de csak akkor, ha a II. rész minden feladatával elkészültél. A feladatok megoldását a füzetbe írd le!
I.) Egyszerű feladatok
(
)
(
a ) 2a 2 ⋅ b 3 ⋅ − 3a 5 b = c)
)
b ) 2x 3 − 5x 2 =
3ax 2 2 ⋅a = 5b
d ) 5a ⋅ y 2 ⋅
7a = 10 y 2
15a 7a 2 e) ⋅ = 14b 5b
12a 2 7b 2 f) : 15b 5 5a
g ) 2 x 2 + 3 xy − 5 x 2 + 6 + x 2 y − x 2 − x 2 y − 5 =
h)
i ) Milyen értékekre teljesül az egyenlőség?
j ) Milyen értékekre teljesül az egyenlőség?
b+ 2 b−3 − = 3 5
2 x + 5 + 3x − 2 = 8 − x + 5 + 4 x
5 2 x 7 5x 1 7 x 2 + + − = − + 3 3 2 2 2 3 3
k ) Milyen értékekre teljesül az egyenlőség?
l ) Ábrázold számegyenesen a megoldást!
5x − 6 =5 2
6x + 4 ≤ 1
m ) Ábrázold számegyenesen a megoldást!
n ) Ábrázold számegyenesen a megoldást!
5x − 2 > 3
− x + 40 ≥ 90
II.) Közepesen nehéz feladatok
(
)
a ) ( x + 2) + 3 x 2 + x − 5 − ( x + 1)( x − 1) = 2
(
)
c ) 8x 3 y : 4x 2 ⋅ y =
e)
12
12 x 2 ⋅ y 5a = ⋅ 25ab 2 6 y
b ) 3(a + 2)(a − 2) − 2(a + 3) = 2
(
d ) 3c( x + 2 y ) : 9c 2 ( x + 2 y ) 3
f)
3 z 3 ⋅ b 27b : = 28 x 2 a 7 a
2
)=
ELSŐ EPOCHAFÜZET
g ) Milyen értékekre teljesül az egyenlőség?
ALGEBRA
h ) Milyen értékekre teljesül az egyenlőség?
x−5 2− x 2x + 1 − = 1− 4 3 6 i ) Milyen értékekre teljesül az egyenlőség?
2x x 5x − 12 ⋅ − = 3 − 2x 3 4 12 j ) Milyen értékekre teljesül az egyenlőség?
[(5 x + 2) − (4 x − 6)] + 8 = 3(x + 1)
5x − 4 9 − 2x x − 7 =8 + − 3 3 3 k ) Ábrázold számegyenesen a megoldást!
l ) Ábrázold számegyenesen a megoldást! 8( x − 4 ) − 3( x − 4 ) ≤ 5 ⋅ ( x − 4 )
21 − 3 x < −3 m ) Ábrázold számegyenesen a megoldást!
n ) Milyen értékekre teljesül az egyenlőség?
3 x − 5 > 3( x − 5)
o ) Ábrázold számegyenesen a megoldást!
3x 5 1 − x 7 − + > 8 3 6 8
III.)
6 − 2x x+3 = 2x − 4 − 3 2
p ) Milyen értékekre teljesül az egyenlőség?
(3x + 1) ⋅ (4 x − 5) − (6 x − 11) ⋅ (2 x − 7 ) = 24
Nehezebb feladatok
a ) 2 − [(3 x + 5) − 2(5 − 3 x )] = x − 2(3 − x )
c)
x−
x 2 + 4x + 4 = 2x + 6 x+2
b)
7 x 1 3 2 3x 7 ⋅ − − ⋅ − = 3 4 5 4 3 2 20
d ) 5(2 x + 3) ⋅ ( x + 2 ) − 2(5 x − 4 ) ⋅ (x − 1) ≤ 22
2x + 3 f) = 25 3x − 2 2
e ) 2x − 5x ≥ 0 2
13
ALGEBRA
ELSŐ EPOCHAFÜZET
Szorzattá alakítás 20.
Párosítsd az azonosságokhoz a megfelelő ábrákat! a) a (b + c ) = ab + ac ;
b) (a + b )(c − d ) = ac + bc − ad − bd ;
c) (a + b ) = a 2 + 2ab + b 2 ;
d) (a − b )(c − d ) = ac − bc − ad + bd ;
e) (a + b )(a − b ) = a 2 − b 2 ;
f) (a − b ) = a 2 − 2ab + b 2 .
2
14
2
ELSŐ EPOCHAFÜZET
21.
ALGEBRA
Írd fel a téglalapokból álló nagy téglalap területét a kis téglalapok összegeként, majd az oldalak szorzataként! Összeg alak: x
Szorzat alak:
1 y
Összeg alak: a
Szorzat alak: 2 b
Összeg alak: a
Szorzat alak: 3
b
Összeg alak: y
Szorzat alak: x
22.
1
Írd fel a téglalapokból álló nagy téglalap területét a kis téglalapok összegeként, majd az oldalak szorzataként! Összeg alak: a
Szorzat alak:
b c
d
Összeg alak: b
Szorzat alak:
a c
a
Összeg alak: a
Szorzat alak:
2 b
2
Összeg alak: x
Szorzat alak: 1 x
1
15
ALGEBRA
23.
ELSŐ EPOCHAFÜZET
Fejezd ki összeg illetve szorzat alakban a beszínezett téglalap területét! Összeg alak:
b a
Szorzat alak: d c
Összeg alak: a
Szorzat alak: c c b
2
Összeg alak:
x
Szorzat alak: 2 y
2
Összeg alak:
x
Szorzat alak: 2 x
Összeg alak: a
Szorzat alak:
1 1 a
16
ELSŐ EPOCHAFÜZET
ALGEBRA
A matematikai problémák kezelése során többször találkozunk azzal, hogy az összegek, különbségek szorzattá alakítása egyszerűsíti a feladat megoldását. Többször előfordul, hogy szorzattá alakítás nélkül nem is jutunk végeredményre. Ilyenkor, ha sikerül szorzattá alakítanunk az egyenletben szereplő kifejezéseket, meg tudjuk oldani az egyenletet. Néhány példa, amikor segíthet a szorzattá alakítás:
x2 + 2x − 3 = 2 egyenletet (ahol x ≠ 1 ) a nevezőjével szorozva másodfokú egyenletet x −1 kapnánk, amelyet csak később tanulunk megoldani. Azonban ha észrevesszük, hogy x 2 + 2 x − 3 = ( x − 1)( x + 3) , akkor egyszerűsíthetünk: (x − 1)(x + 3) = 2 x −1 x+3 = 2 x = −1 – 1 esetén a nevező nem válik nullává és visszahelyettesítéssel ellenőrizhető, hogy valóban megoldás. x 5 − 5 x 4 = 0 egyenlet bal oldalát szorzattá alakíthatjuk: x 4 ( x − 5) = 0 . Egy szorzat akkor és csak akkor nulla, ha legalább az egyik tényezője nulla, ezért vagy x 4 nulla (és ekkor x = 0), vagy (x – 5) = 0, ekkor x = 5. Vagyis két megoldást kaptunk: x1 = 0 és x2 = 5.
A példákból látható, hogy a szorzattá alakításnak valóban nagy jelentősége lehet a feladatok megoldásában. A szorzattá alakítás három módszerével ismerkedünk meg:
Példák: Kiemeléssel:
(
x 4 − 3 x 2 − 5 x = x x 3 − 3x − 5
)
a (b − 4 ) − 2(4 − b ) = a(b − 4 ) + 2(b − 4 ) = (a + 2)(b − 4 )
Csoportosítással: x 2 + xy + 2 y + 2 x = x( x + y ) + 2( x + y ) = ( x + 2 )( x + y ) A csoportosítás tulajdonképpen nem más, mint többszöri kiemelés. Nevezetes azonosságokkal:
16 x 2 − 9 = (4 x ) − 32 = (4 x − 3)(4 x + 3) 2
x 2 − 6 x + 9 = ( x − 3) = (3 − x ) 2
2
9 x 2 + 42 x + 49 = (3x + 7 ) = (− 3x − 7 ) 2
2
17
ALGEBRA
24.
25.
ELSŐ EPOCHAFÜZET
Párosítsd össze a két oszlopban lévő kifejezéseket! 5 a (3 − a )
a 2 + 2a − 3
( a + 2) ⋅ ( −3a )
− 2a 2 + 8a + 10
(a − 1) ⋅ ( a + 3)
15a − 5a 2
2(5 − a ) ⋅ (a + 1)
9 a 2 + 6a + 1
(3a + 1) 2
− 6a 2 − 6a
( a − 2) ⋅ ( 2 + a )
a2 − 4
Az alábbi összegeket alakítsd szorzattá kiemeléssel! Beszorzással ellenőrizz! 2a + 6 =
3x − 6 =
12a + 3b =
5 y − 20 =
5y − 5 =
5x − 5 y =
5 y − 5 xy =
5y − 5y2 =
3x 2 + 6 x =
a 2 − 5a =
− 4x + 12 =
− 4x − 12 =
8 − 6a =
6 x − 8x =
9a 2b − 3b 2 a =
− xy − 3y 3 =
ab − a 2b =
x3 + 4 x =
4 x 3 + 16 x 2 − 8 x =
26.
Bontsuk tényezőkre a következő kifejezéseket: ax + bx + cx =
a 3 − 2a 2 − a =
5 x 2 y − 10 xy + 5 xy 2 =
− 4 x3 y + 6 x 2 y 2 − 8x 4 y 3 =
10 a 4b 3 − 15a 4 b 2 + 20 a 3b 4 =
a ( x + y ) + b( x + y ) =
x(a + 2 ) − y (a + 2 ) =
2a(a − b ) + 5b(a − b ) =
3 x (a + b ) + 2 y (a + b ) =
x (a − b ) + y (b − a ) =
x( y − z ) − a(z − y ) =
2a ( x − 5) − 3b(5 − x ) =
6( x − 2 ) + 2b(2 − x ) =
5a ( x − 1) − 2b( x − 1) + c ( x − 1) =
a ( x − 2 ) + b(2 − x ) + c ( x − 2 ) =
(
)
(
)
(
)
x a 2 + b2 − 3 y a 2 + b2 − 2 z a 2 + b2 = a ( x + y − z ) − 3b( x + y − z ) − 5c (x + y − z ) =
27.
18
Bontsuk tényezőkre a következő kifejezéseket! 3a ( x + y ) + x + y
3b( x − y ) + x − y
2a(x + y) - x - y
4 x(a − b) − a + b
b( a + b) − ax − bx
2 y ( x − y ) − ax + ay
ax + ay + bx + by
ax − ay + bx − by
ELSŐ EPOCHAFÜZET
28.
a 2 + ab + ac + bc
x 3 + 3x 2 + 3x + 9
x 2 + xy − 2 x + 2 y
3ax − 4by − 4ay + 3bx
5bx − 6ax − 5by + 6ay
10a 2 + 21xy − 14ax − 15ay
12 a 2 − 6ab + 3b 2 − 6ab Alakítsuk szorzattá a következő kifejezéseket!
x + x2 − x3 − x4
a2 − b2
x2 − y2
k2 −l2
a2 − 4
a2 − 9
25 − x 2
a2 −1
1− x2
4a 2 − 9
1 2 a − b2 4
y2 −
a − 9b 2
2
4x 2 −
a b −9
16 − x 2 y 2
1 2 2 x y − 25 16
4 2 16 2 x − y 9 25
1 − 0,01a 2
4a 2 − 9
4a 4 − 9
4 − a 4b 4
a2 − x2 y2
x2 − y4
16 a 4 − 9b 2
2
a2 x2 −
b2 4
64 2 9 2 a − b 81 64
36 a 4 − 49b 6 Alakítsuk szorzattá a következő kifejezéseket!
( x + 3 y) 2 − z 2
(3a − 2b) 2 − 9c 2
( x + y) 2 − 9 y 2 z 4
(x 2 + y 2 ) − 4x 2 y 2
( x + 1) 2 −
30.
1 2 y 25
1 2 x 16
1 2 1 2 x − y 9 4 2
29.
ALGEBRA
1 2 x 4
(a − b) 2 − 0,04a 2
a 2 − (2b + c) 2
9a 2 − ( x − y ) 2
0,15 x 2 − (1,2a + b) 2
1 − (2a − 3b) 2
1 − (a 2 + b 2 ) 2 Alakítsuk szorzattá a következő kifejezéseket! a 2 + 2ab + b 2
x 2 + y 2 − 2 xy
a 2 − 6a + 9
x 2 − 2x + 1
4a 2 + 4a + 1
9x 2 − 6x + 1
− a 2 − 2a − 1
a 4 + 2a 2 b + b 2
25 y 4 − 10 y 2 x + x 2
− x 4 + 2 zx 2 − z 2
9a 4 + 6a 2 b 2 + b 4
19
ALGEBRA
31.
32.
ELSŐ EPOCHAFÜZET
Alakítsd szorzattá! k 2 − 10kj + 25 j 2 =
9u 2 + 6uv + v 2
5a 2b − 2ab 2 =
a 4 − b4 =
16 − q 2 =
p2 − 1 =
a 2 + 2a =
* a3 − 8 =
3a + a 2 − 6ab − 2a 2b =
* x 3 + 27 =
Számítsd ki számológép használata nélkül!
a. 703 2 − 603 2 = b.
7032 − 81 = 694
c. 703 2 − 702 2 = d. 56384 ⋅ 56387 − 56385 2 = e. 17531 ⋅ 17534 − 17532 2 = 33.
2 f. 249618 − 249618 ⋅ 249616 = Írd az egyenlőségek mellé a megfelelő jeleket! Mindig igaz (m) Néha igaz (n) Sohasem igaz (s).
2 a. ( 4a − 1 ) ⋅ ( 1 + 3a ) = 12a + a − 1 c. − 2( 4a − 3 ) = −8a − 6 2 e. ( 2a − 3 ) ⋅ ( 3a + 5 ) = 6a − 15 3 3 2 2 3 g. ( a − b ) = a − 3a b + 3ab − b
i. ( 2q − p ) = 4q + p 2
2
2
2 3 3 2 2 2 k. 3a b − 2a b = a b ( 3b − 2a )
2 2 b. ( a − 5b ) = a + 25b − 10ab 2 2 d. 4 ⋅ 3 ⋅ a ⋅ b = 12 a ⋅ 12b 2a 10a = f. 5 ⋅ 3 15
2 h. ( 2 − a ) ⋅ ( 2 + a ) = 4 − a
j.
5ab ( a − 2 )2 2ab − a 2b ⋅ = 2−a 25 5
l.
9a 2 + 12ab + 16b 2 = ( 3a + 4b )2
2 2 m. a − 6a + 10 = ( a − 3 ) + 1 2 2 n. 3 x + 6 y − 4 xy − 2 x y = ( x + 2 y ) ⋅ ( 3 − 2 xy )
20
10 x − 5 yx 5 x : =3 2 − 5y 3
2 2 3 3 o. ( a + b ) ⋅ ( a − ab + b ) = a + b
p.
2 2 3 3 q. ( a − b ) ⋅ ( a + ab + b ) = a − b
3 3 3 r. a + 3ab( a + b ) + b = ( a + b )
ELSŐ EPOCHAFÜZET
ALGEBRA
Algebrai törtkifejezések 34.
Az ismeretlenek mely értékeire lesz nulla a következő törtek helyettesítési értéke?
x a. y x( x + 2 ) x+3 d.
x+2 x b. a( b − 2 ) b−3 e.
a −4 g. a + 3
6q + 3q h. 5q + 1 a + 2b k. a + 5
2
j. 35.
f.
5x 2 − x 2y
i.
( a + b )2 2a
2
( a − b )3 a+b
Az ismeretlenek mely értékeinél nem értelmezhetők a következő törtek?
a. d. g. j. m. 36.
a−5 b c.
5 x −1 x−2 x b 2 b +3 x−a x+a x−a x2 + a2
b. e. h. k.
3 2x x−3 x+3 b−2 b2 − 4 a+2 ( a − 3 )( a + 1 )
a c. a − 3 a+3 a2 f. a+2 i. a( a − 2 ) x−a l. ( x + a )( x − 3a )
Egyszerűsítsük a következő törteket. Változik-e a törtek értelmezési tartománya? Most egytagú kifejezést kell osztani egy tagúval. a)
6a 9b
b)
e)
12ab3 4ab
i)
12a3 4a 2b
− 2a 4b
f)
8ax 12ay
j)
6a 3b5 2 a 2b
c)
ab ac
g)
5ax − 5ax 2
k)
12 x 2 y 3 z 16 xy 2 z 3
d)
5ax 2 10a
h)
2axy 3ay
Fogalmazd meg mi a szabály ebben az esetben! ...................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................
21
ALGEBRA
37.
ELSŐ EPOCHAFÜZET
Többtagú algebrai kifejezéseket fogsz elosztani egytagú kifejezésekkel. A feladat megoldása után fogalmazd meg, hogyan kell többtagú algebrai kifejezést egytagúval osztani!
15a 2 + 3a a) = 3
b)
c) (24 x 20 y − 4 x) : 2 x =
15 p 2 q − 4 pq 2 = 2 pq 2 x 3 = 5x
x2 +
d)
6a + 6b 9( a + b ) 2 − 6( a + b ) e) f) = = 3(a + b) 3( a + b) Két út is van: a. Ha megpróbáljuk olyan szorzattá alakítani a többtagú kifejezést a számlálóban, amiben a nevező megjelenik. b. Ha tagonként végezzük el az osztást. Például: a. b.
38.
39.
Egyszerűsítsük a következő törteket. Változik-e a törtek értelmezési tartománya? a)
3( x + y ) 2 x+ y
f)
x− y y−x
b)
x2 − y2 x− y
g)
a( x − a) b( a − x )
c)
5a 5a + 15b
h)
7 xy 3 ( 2a − 3b) 14 xy (3b − 2a )
d)
2a − 4 3(a − 2)
i)
e)
5 x( y + 3) 6 y + 18
x 2 − 2 xy 2 y 2 − xy
j)
2ac − 4bc a 3c − 4acb 2
Végezzük el a következő műveleteket a változók lehetséges értékeinél: a)
a 5 ⋅ 10 a
b)
3a 2 a 3 ⋅ x 2 16 x3 2
22
3
c)
2a 6a b ⋅ ⋅ 3b 7b 2 a3
d)
45a 3 14 x 2
18a 2 : − 4 49 x
e)
2ax 3bx 9b 2 z : 2 : yz ay 8a xy
f)
8b 2cd 7cd 14a 4 ⋅ : 5 12a 3 3b 2 9a
Algebra
40.
41.
42.
Első epochafüzet
Végezzük el a következő műveleteket a változók lehetséges értékeinél: a)
x 2 − ax a ⋅ 2 a2 x
b)
g)
a2 − b2 a4 ⋅ a2 ( a + b) 2
a − b a 2 − ab : 4b3 8b 4
h)
x 2 − 25 x 2 + 5 x : x 2 − 3x x 2 − 9
c)
7 x2 − 9 ⋅ 4 x3 − 36 x 14
i)
a 2 − b 2 3a + 3b ⋅ ( a + b) 2 5a − 5b
d)
x 2 + xy y ⋅ x xy + y 2
j)
( x + y)2 xy − y 2
e)
x 2 − xy xy : 2 2 x + xy x y + xy 2
k)
x2 − 4 y2 28 x 2 ⋅ 2 35 xy x − 4 xy + 4 y 2
f)
a + b a 2 + ab : a − b 2a 2 − 2b 2
l)
ax + ay 2x − 2 y ⋅ 2 2 x − 2 xy + y ax + 2axy + ay 2
xy + y 2 : − 2 ( x − y)
2
Párosítsd össze! (Előtte gondold át, hogyan lehet számok legkisebb közös többszörösét megkeresni!) [60,80] =
[ 234,195] =
24 ⋅ 3 ⋅ 5
23 ⋅ 32 ⋅ 5
[36,63] =
[180,120] =
32 ⋅ 2 2 7
2 3 ⋅ 53 ⋅ 32 ⋅ 7
[196,182] =
[ 250,315,168] =
2 ⋅ 3 2 ⋅ 5 ⋅ 13
47 ⋅ 167
Keresd meg a következő polinomok „legkisebb közös többszörösét”! a) a + 1; 3( a + 1) → b) b − 1; b + 1 → c) a − 1; 2a − 2; → d) y 2 − 1; y + 1; → e) 5a + 10; 3a 2 − 12 → f)
y + 2; y 2 − 4; y 2 − 4 y + 4; →
g) − a; a − b; a 2 − ab; → h) a 2 − 2a + 1; 2a − 2; → i) c 2 + 2c; 5c + 10; 3c 2 −12; → j) 3 x + 6; 4 x + 8; → k) x − 3; x 2 − 9; 2 x + 6; → l)
z 2 − 4 z; z 2 − 8 z + 16; →
Magyarázd meg! Hogyan kell polinomok „legkisebb közös többszörösét” megkeresni?
ALGEBRA
43.
ELSŐ EPOCHAFÜZET
Hányszor van meg? a 3( a + b) -ben az a + b → a 3ab − 4a 2 -ben az a → a 4a − 8b -ben az a − 2b → az a 3 − 1 -ben az a − 1 → az a 2 − 9 -ben az a + 3 → az a 3 + a 2 -ben az a + 1 → az ab − 2b -ben a b → az x 2 − 10 x + 25 -ben az
x−5 → 2
a 2a 2 − 4ab + 2b 2 -ben az a − b → az a 4 − 16 -ban az a − 2 → az x 2 − 25 -ben az 5 − x → az a 2 − ab − 3a − 3a + 3b -ben az a − b → az a 3 + 8 -ban az a + 2 → az x + x 2 − x 3 − x 4 -ben az x + 1 → a 48 − 3 y 2 -ben az y + 4 →
44.
24
Végezzük el a következő összeadásokat a változók lehetséges értékeinél:
a)
a b + 5 5
j)
a+b a−b − a+x a+x
b)
a a − 4 6
k)
a b + x −1 1− x
c)
x y − 5 2
l)
a + b a + 2b − a−b b−a
d)
3x − 2 2 x + 3 + 5 3
m)
a b c − + x− y y−x x− y
e)
2a + 5 2a − 3 − 4 5
n)
x x + ab ac
f)
2c + 7 7 − a a
2a − 3b 4a 2 − 5b 2 o) + a ab
g)
x −1 x + 2 x − 3 + − 2 4 4
p)
5x 2y 3 + 2 − 2 2 ab 3a b 6a y
h)
5a + 2b 5a − 3b − 8b 8b
q)
i)
3x − 2 y 5x − 3 y x − 4 y + − 2x 2x 2x
5a 11c 7b + − 2 2 6b c 18a b 12ac 2
r)
2a − 3b 4a − 5b − a 2b ab 2
ELSŐ EPOCHAFÜZET
s)
5 x 2 − 2 x − 1 3x − 2 − xy x2 y
t) 2a − u) a +
45.
46.
a −b 5
ALGEBRA
v)
3 2 + a −1 a
w)
2x 5x + 3( x − 1) x − 1
a − ab b
Végezzük el a következő összeadásokat a változók lehetséges értékeinél: a)
2a 2 5a 2 + 3( a + 1) 3( a + 1)
e)
5b 2a − ax + ay bx + by
b)
1 1 + a +b a−b
f)
b a − a −b b−a
c)
1 2 + 3x + y 3x − y
g)
x +1 x+2 − 2 2 x − x 2x − 2
d)
2a 3a + 5a + 5b 5a − 5b
h)
7a − 1 5 − 3a + 2 2 2a + 6a a − 9
Végezzük el a következő műveleteket a változók lehetséges értékeinél: a)
3 a−2 − 2 2 a + 6 a + 6a + 9
i)
7 4 a−b − − 2 a a − 2b 4b − a 2
b)
5+b 6 + b − 8b + 16 5b − 20
j)
3x + 2 6 3x − 2 − 2 − 2 x − 2x + 1 x − 1 x + 2x + 1
c)
5 3 12 − − 2 2x − 4 x + 2 x − 4
k) *
4a 2 − 3a + 5 1 − 2a 6 − 2 + 3 a −1 a + a +1 1− a
d)
5 4 − 3a 2 − −3 2a 2 + 6a a 2 − 9
l) *
1 3ab b−a − 3 − 2 3 a−b a −b a + ab + b 2
e)
7 1 + 2 2 2 8a − 18b 2a + 3ab − 6b 2
m) 1 − x + x 2 −
f)
2 x+3 3x + 1 + 2 − 2 x + 2 x − 4 x − 4x + 4
n)
g)
5 x−2 x −1 − 2 + x − 3 x − 9 2x + 6
h)
1 2 3x + − x − 1 x + 1 ( x − 1) 2
2
2
x3 1+ x
x 2 − 2ax +a+x a+x
25
ALGEBRA
47.
ELSŐ EPOCHAFÜZET
Végezzük el a kijelölt műveleteket a változók lehetséges értékeinél: 3a 2 a a) + 1 : 1 − 2 a +1 1− a
1 1 b) a + − 1 a + + 1 a a 2
a 2b a 2b c) + − − 2b a 2b a
2
6 a + 3 4a 2 − 4 a +1 d) + 2 − 2 a − 2 2a − 2 2 a + 2 3 2a 6a 2 + 10a 3a e) + : 2 1 − 3a 3a + 1 1 − 6a + 9a
2 a b a b f) 2 − + 2 : − 2 + b a + ab a + b b + ab a
x 5x 10ax a 2ax 5a + + 2 + − 2 g) 2 2 a + x a − x a − x a + x a − x a − x 2
3a 3a 3a h) + 1 − − 1 + 1 b b b a 2 a2 i) 1 − 2 a − b − a + b b
j)
26
a 2 − 6a + 8 a 2 − 4 a + 4 : a 2 + 4a + 3 5a + 15
ELSŐ EPOCHAFÜZET
ALGEBRA
Egyenletek 48.
Oldd meg a természetes számok halmazán!
49.
Oldd meg a racionális számok halmazán!
50.
Oldd meg a természetes számok halmazán!
51.
Mely valós számok a megoldásai a következő egyenleteknek?
Most olyan törtes egyenletek jönnek, ahol már a nevezőben is előfordulnak változók. Első feladat ilyenkor mindig megvizsgálni, hogy a nevező mely változókra lenne nulla, mert ha az jönne ki megoldásként, a nullával való osztás nem értelmezett, így e miatt ki kell zárni , tehát nem megoldás. Ezt nevezzük kikötésnek, ezt az első lépésben kell megtenni. Pl.
egyenletnél kikötés:
Mo. Szorozzuk be az egyenlet mindkét oldalát a nevezővel,
-tel!
27
ALGEBRA
ELSŐ EPOCHAFÜZET
-öt kapunk, azaz a két számlálónak meg kell egyezni, ez viszont nem lehet megoldás a kikötés miatt. Így ennek az egyenletnek üres a megoldás halmaza.
52.
Van-e megoldása a következő egyenleteknek a természetes számok halmazán?
53.
Melyik x-re igaz, hogy 3x − 7 7 x + 2 3x − 5 ; = + 20 15 4
3 x + 9 5( x + 4) x−4 ; x ∈ R /{−1} ? − = x +1 2x + 2 3x + 3
0. lépés 1. lépés [20; 15; 4] =
kikötés: x + 1 ; 2 x + 2 ; 3 x + 3 „legkisebb közös többszöröse”.
2. lépés kapom az 3. lépés 4. lépés 5. lépés (ellenőrzés) 6. Megoldás halmaz
54.
28
Gyakorolj! Mely x-re igaz, hogy a)
x+3 x −1 1 −1 = + , 2x 6x 6
x= ;
x≠
b)
2x x −1 3 − = , x −1 2x 2
x= ;
x≠
c)
x x−4 , = 2− x−2 x−5
x= ;
x≠
d)
x +1 x + 5 2 1 + = + , x − 1 4 − 4 x 5( x − 1) 4
x= ;
x≠
e)
2x − 1 2x + 1 8 , = − 2 2x + 1 2x − 1 4x − 1
x= ;
x≠
f)
8 2+ x 5 5 − = − , 3 x − 3 x − 1 2 − 2 x 18
x= ;
x≠
ELSŐ EPOCHAFÜZET
g) 5 +
55.
x= ;
x≠
Ne menj fejjel a falnak! (Gondolkodj, mielőtt hozzáfogsz!) Mely x-re igaz, hogy
a)
x ( x − 5) = 1, x−5
b)
( x + 3)( x − 1) ( x − 1)(2 x + 4) , = x −1 x −1
c)
3( x − 3) 4 x + 7 = , 2( x − 3) x−3
d)
11x + 6 33 x + 18 − + 23 x = −23 , x +1 3x + 3
e)
5 − 14 x 7 + 12 x , = 3 − 8x 8x − 3
f)
x − 8 2 − 6x , = 4− x x−4
g)
2x − 9 2x − 9 , = 2x + 1 5 + 2x
h) 5 +
2x − 9 2x − 9 , = 2x + 1 2x + 1
i) 5 −
3x − 1 3x − 1 , = x +1 x +1
j)
56.
96 2 x − 1 3x − 1 , = − x − 16 x + 4 4 − x 2
ALGEBRA
x2 + 2x + 1 = 2x + 2 ? x +1
Melyik x-re igazak a következő egyenletek? (Vigyázz! Ne mechanikusan fogj hozzá az egyenletek megoldásához! Mindegyikben van egy kis „furfang”.) a)
x − 499 x − 501 = 501 499
h)
x+2 = x+2 x+3
b)
x − 54 x + 63 x − 37 − = 23 163 63
i)
x3 + x 4 = x + 1
j)
(x − 1)4 = 1
k)
(x + 2)2 − 1 = 8
l)
x3 + x 4 = 0
c)
x − 949 x − 828 x − 926 x − 931 + = + 51 43 37 23
d) x ( x − 2 ) = 0 e) f) g)
(x + 8)(x − 3) ⋅ 2 x = 0 (x + 2)(x − 2) = x + 2 (95 x + 96)(97 x + 98)(99 x + 100) = 0
m) x101 = x n)
x+2 =0 x+3
29
ALGEBRA
ELSŐ EPOCHAFÜZET
Egyenlőtlenségek Ne felejtsd az egyenlőtlenségeknél, a mérlegelvnél a negatív számmal való osztás szorzásnál fordul az egyenlőtlenségjel!
57.
Az egyenlőtlenségeket a valós számok halmazán oldd meg és ábrázold számegyenesen a megoldáshalmazt!
58.
Oldd meg grafikusan és algebrai úton is!
59.
A valós számok halmazán oldd meg a következő egyenlőtlenséget! Ne felejtkezz el a kikötésékről!
30
Algebra
Első epochafüzet
Vegyes feladatok 60.
Oldd meg az egyenleteket, egyenlőtlenségeket! a) b) c) d) e) f) g) h) i) j) k) l)
x2 −1 = 0 (x + 1)2 − 2 = 7 x2 + 2x +1 = 9 x ( x − 3) = 0 (x − 2)(x + 4) = 0 (x − 3)(x + 2)(x − 1)(x + 6) = 0 x(x − 2) = 0 x2 − 2x = 0 x2 − 6x + 9 = 0 x2 − 4x + 4 ≤ 0 x 2 − 12 x + 20 = −16 x 2 − 3x = 0
m) n) o) p) q) r) s) t)
61.
x2 − 9 =0 x+3 x2 − 6x = 0 4 − x2 =0 x+2 x 2 − 12 x + 36 =0 x − 12 10 x − 2 x 2 = 0 x 2 + 10 x + 25 = 2x −1 x+5 8x − 4 x 2 = x − 10 x−2 x 2 + 8 x + 46 < 30
Mely x-re igaz, hogy a)
5x − 3 x +1 3 2 − 2 + = 2 x + 3x 3x + 9 x x x + 3
d)
2x + 1 4 x + 1 : = 3x + 1 x 6
b)
x + 1 2x − 1 6 1 − 2 + + =0 2 − 2x x − 1 x + 1 2 − 2x
e)
10( x − 5) 3 x − 2 : =2 x−2 x−2
c)
8 x − 3 3x − 4 ⋅ =1 6x − 3 4x − 5
f)
x +1 1 x +1 : − = −4 x+7 2 x+7
Az egyenleteket vizsgáld a következő szempontok szerint: 1. A gyöke prímszám: 2. A gyöke egész szám: 3. A gyöke legfeljebb 10: 4. A gyöke legalább 0: 5. A gyöke racionális szám: 6. A gyöke természetes szám: 7. A gyöke összetett szám:
62.
Mely x-re igazak? a)
(2 x − 3)(x + 5) = (3x + 1)(x − 2)
x+5 x−2 b) 6 x − 7 x = 0 3 4 x2 − 5x + 1 + = 1− 2 x − 25 c) 2 x − 10 x + 5 2
x2 + 4x + 4 = 3x + 6 x+2 d) (x + 1)2 − (x − 2)2 = 3 2x −1 e)
Algebra
Első epochafüzet
Szöveges feladatok Egyszerű szöveges feladatok 63.
Az egyik kupac tanulói a matematika epochazáróra csak ötösöket és négyeseket kaptak. Nyolccal több ötös jegyet kaptak, mint négyest. Hányan kaptak ötöst és hányan négyest a 22 fős kupacban?
I.
Az x ismeretlen jelölje:
II. Írd fel ezek után az egyenletet: III. Oldd meg az egyenletet!
IV. Ellenőrizd a megoldást: V. Válaszolj a feltett kérdésre: 64.
Tudjuk, hogy egy dobozban ötször annyi szög van, mint egy másikban. Az egyikből átraktunk a másikba 32 db szöget, így mindkét dobozban ugyanannyi szög lett. Mennyi szög volt a dobozokban eredetileg és a pakolás után?
65.
Enikőnek kétszer annyi gyűrűje van, mint Szandinak, Vikinek azonban 1-gyel kevesebb van, mint Szandinak és 4-gyel több, mint Anettnek. Ha összeszámolnánk Szandi, Viki és Anett gyűrűit, az pontosan annyi lenne, mint amennyi Enikőnek van. Hány gyűrűje van külön-külön a lányoknak?
66.
Egy könyvszekrény felső polcán háromszor annyi és még 6 könyv van, mint az alsó polcon. Dani a felső polcról 8 könyvet áttesz az alsó polcra, így ott a felső polcon található könyvek felénél 3-mal több könyv lesz. Hány darab könyv van most az alsó, ill. a felső polcon? Hány könyve van Daninak összesen?
67.
Isi és Marcsi az esküvőjüket szervezik. Két zenekartól kaptak ajánlatot. Az egyik zenekar 15000 Ft-ot kér előre, és utána óránként 2500 Ft-ot, a másik 20000 Ft előleget kér, és óránként 2000 Ft-ot. Mit tanácsolnál Isinek és Marcsinak, melyik zenekart válassza, ha mindkét zenekar ugyanolyan jól játszik. Válaszodat indokold, készíts ábrát!
68.
Brigi kétféle (kék és fekete) tollból 17 darabot vásárolt a boltban 2185 Ft értékben. A kék tollak 125 Ft, a fekete tollak 135 Ft-ba kerülnek. Hány darabot vett Brigi a kék illetve a fekete tollakból?
69.
* A lágy tojást, mint az közismert, 3 percig kell főzni forró vízben. Sajnos csak két homokóra áll rendelkezésünkre. Egyik 6 percet, a másik 7 percet tud mérni. Hogyan járjunk el, ha lágyra szeretnénk főzni a tojást?
70.
Ha testvéreim számát megszorzom héttel, és az eredményhez ötöt adok, akkor testvéreim számánál 11-gyel nagyobb számhoz jutok. Fejtsd meg, hány testvérem van!
ELSŐ EPOCHAFÜZET
ALGEBRA
71.
Egy hatodik osztályban 25-en sportolnak, mindenki csak egyféle sportot űz. Kétszer annyian kosaraznak, mint ahányan vívnak, és a focisták száma 5-tel több, mint a vívóké. A többi sportoló gyerek atletizál, ők nyolcan vannak.
72.
Egy hatodik osztályban 25-en sportolnak, mindenki csak egyféle sportot űz. Kétszer annyian kosaraznak, mint ahányan vívnak, és a focisták száma kettővel több, mint a vívóké. A többi sportoló gyerek atletizál, ők öten vannak. Hányan űzik az egyes sportokat?
73.
Három nadrágot vásároltunk 24 000 forintért. Az első háromnegyed része, a másodiké kétszerese volt a harmadik árának. Mennyibe kerültek a nadrágok külön-külön?
74.
Kati és Laci testvérek. Kati heti zsebpénze 2/3-ad része Laciénak, és Laci hetente 250 forinttal kap többet szüleitől, mint Kati. Kettőjüknek összesen mennyi zsebpénzük van?
75.
Tudjuk, hogy egy zöldségesnél négyszer annyi alma van, mint egy másiknál. Az elsőből átszállítanak a másikhoz 15 kg almát, így az elsőnél 9 kg almával lesz több, mint a másiknál. Hány kilogramm alma volt eredetileg a két zöldségesnél?
76.
Az egyik parkoló automata csak 20 és 50 Ft-osokkal működik. Az automatában este összesen 22000 Ft volt. Hány 20 és hány 50 Ft-os érme volt, ha a 20 Ft-osok száma háromszor annyi, mint az 50 Ft-osoké?
77.
Szilva szilvás gombócot készít egy pár csibéjének. Ha mindegyik gyerek 5 gombócot enne, akkor egy gyereknek eggyel kevesebb jutna. Ha viszont mindenki csak 4-et enne, két gombóc Szilvának is maradna. Hány gyerek ment el Szilvához?
78.
Egy teherautóra háromszor annyi és még 200 kg teher fér rá, mint egy kisfurgonra. Egy 8400 kilós rakományt pont 4 kisfurgon és 3 teherautó tud elszállítani. Hány kilót szállíthat egy kisfurgon?
Életkort kiszámító feladatok 79.
Eszter 6 évvel idősebb húgánál, Csöpinél és 5 évvel fiatalabb bátyjánál, Manónál. Hármójuk életkorának összege 8 évvel több, mint Eszter életkorának kétszerese. Hány éves Eszter?
80.
Enikő és Artúr hetedikesek az AKG-ban. Hamar kiderítették, hogy Enikő 4 hónappal idősebb Artúrnál. Ha megélt hónapjaik számát összeadják, 322-t kapnak. Hány hónapos Enikő és hány hónapos Artúr? Melyik hónapban ünnepli a két tanuló a születésnapját?
81.
Egy 36 éves anyának 6 éves fia van. Hány év múlva lesz az anya háromszor annyi idős, mint a fia?
82.
Egy tapintatlan ember Hixe asszony életkora iránt érdeklődik. Íme Hixe asszony válasza: „Életkorom éppen 4/3-a a hátralevő időm felének, ha száz évig élek.” Hány éves Hixe asszony?
83.
Három évvel ezelőtt ötször idősebb voltam az unokaöcsémnél. Öt év múlva már csak háromszor leszek nála idősebb. Hány éves vagyok most?
84.
Laci és Peti között 5 év különbség van. Amikor Laci annyi idős lesz, mint most Peti, kettőjük életkorának összege pont annyi lesz, mint az édesanyjuké. Hány éves a két fiú, ha anyjuk most 38 éves?
85.
Lili 5 évvel idősebb Lalinál, és ketten együtt annyi idősek, mint a bátyjuk, Ákos. Tíz év múlva hármójuk őszéletkora 68 év lesz. Hány éves most Lali?
86.
Melissa életkora most harmada José Fernando életkorának. Hat évvel ezelőtt az ötöde volt. Hány éves most José Fernando?
33
ALGEBRA
87.
ELSŐ EPOCHAFÜZET
Flóra és Blanka életkorát összeadva és ezt kettővel megszorozva pont annyit kapunk, ahány éves az anyjuk. 22 év múlva Flóra feleannyi idős lesz, mint az anyja. Hány éves most Flóra, ha tudjuk, hogy 3 évvel előbb született Blankánál?
Számjegyes feladatok 88.
Az 1, 1, 1, 1, 2, 2, 3 számjegyekből hány 32-re végződő hétjegyű szám készíthető?
89.
Melyik az a kétjegyű szám, amelyben a számjegyek összege 12, és az eredeti szám 18cal kisebb, mint a számjegyek felcserélésével kapott szám? (Egyenletet írj fel!) I.
Töltsd ki a táblázatot, ahol az x ismeretlen jelölje a keresett szám első számjegyét!
Eredeti szám
Első számjegy
Második számjegy
x
12 − x
Helyi értékes alak
Felcserélt
II. Írd fel az egyenletet:
III. Oldd meg az egyenletet:
IV. Ellenőrizd a megoldásodat: V. Válaszolj a feltett kérdésre! 90.
Egy kétjegyű számban a számjegyek összege 11. Ha felcseréljük a számjegyeket, 9-cel nagyobb számot kapunk. Melyik ez a szám? (Egyenletet írj fel!)
91.
Egy kétjegyű szám számjegyeinek összege 9. Ha felcseréljük a számjegyeket, 45-tel nagyobb számot kapunk. (Egyenletet írj fel!)
92.
Egy kétjegyű szám számjegyeinek összege 13. Ha ebből a számból kivonjuk azt a számot, amit úgy kapunk, hogy az eredeti szám számjegyeit felcseréljük, akkor 27-et kapunk. Melyik volt ez a szám? (Egyenletet írj fel!)
93.
Egy háromjegyű szám számjegyeinek összege 14. Az utolsó (jobb szélső) számjegy eggyel nagyobb, mint az első. Ha kihagyjuk a középső számot, és az így kapott kétjegyű számot hozzáadjuk a háromjegyűhöz, 408-at kapunk. Melyik ez a háromjegyű szám? (Egyenletet írj fel!)
94.
Egy háromjegyű szám számjegyeinek összege 13, bal szélső számjegy a jobb szélső háromszorosa. Ha a számjegyeket visszafele írjuk, egy olyan számhoz jutunk, amit az eredeti számmal összeadva 908-at kapunk. Melyik az eredeti szám? (Egyenletet írj fel!)
34
ELSŐ EPOCHAFÜZET
ALGEBRA
Út-idő-sebesség számolási feladatok 95.
Egy személyautó egyenletesen halad az autópályán 130 km/h sebességgel. Amikor célhoz ér, a sofőr egy teherautóba száll, amivel csak 90 km/h-val tud haladni. Hány órát vezetett, ha 4 órával többet ült a teherautóban, és összesen 800 kilométert tett meg?
96.
Ketten indultok el azonos irányba. Te autóval mész 20 m/s átlagsebességgel, a barátod kerékpárral 4 m/s átlagsebességgel. Mennyi idő múlva lesztek egymástól 80 km-re? Készíts segítő rajzot!
97.
Egy autó Budapestről 8-kor elindul Siófok felé 120 km/órás átlagsebességgel. A 112 km-re lévő Siófokról fél órával később indul el egy kamion 84 km/órás sebességgel Budapest irányába. Hánykor találkoznak az autópályán? Ábrázold a feladatot út-idő diagramon is!
98.
Alexék elindulnak Hansékhoz Bécsbe, ami tőlük 243 km-re van. Az derült ki, hogy ugyanakkor Hansék is elindultak Alexékhoz Budapest felé. Ha Alexék 130 km/órával, Hansék 110 km/órával utaznak, hány kilométert utaznak Alexék, amikor pont találkozik a két család egy parkolóban?
Munkára vonatkozó szöveges feladatok 99.
Flóra 4 matekpéldát átlagosan 17 perc alatt tud megoldani. Hány példát tud megoldani egy óra alatt? (pontos törtértéket adj meg)
100. Egy kád csak a meleg vizes csapon keresztül 90 perc, csak a hideg vizes csapon keresztül 135 perc alatt telik meg. Hány perc alatt telik meg a kád, ha mindkét csap nyitva van? I.
Töltsd ki a táblázatot, ahol az x ismeretlen jelölje a keresett időtartamot (percben)! Egyedül
Meleg vizes
90
Hideg vizes
135
Egy perc alatt
x perc alatt
II. Írd fel az egyenletet:
III. Oldd meg az egyenletet:
IV. Ellenőrizd a megoldásodat: V. Válaszolj a feltett kérdésre!
35
ALGEBRA
ELSŐ EPOCHAFÜZET
101. Eszti a krumpli pucolással 20 perc alatt szokott végezni, Tominak a szokásos adaggal 30 percig tartana ugyanez a munka. Ha egyszerre dolgoznak, mennyi idő alatt lesznek készen a szokásos adaggal? 102. Marci 9 perc alatt szokta felrakni a székeket a 2 kupacteremben, Olívia 12 perc alatt. Mennyi idő alatt lesznek készen az ügyelettel, ha most együtt dolgoznak? 103. Nóri a lakást 30 perc alatt tudja kiporszívózni, Tominak egyedül ugyanez a munka 50 percig szokott tartani. Ha beszereznek még egy porszívót, ketten együtt milyen gyorsan végeznek? 104. Egy szobafestő másfél óra alatt végezne a konyhánk kifestésével. Ha Danival együtt dolgozna, 72 perc alatt lennének készen. Dani mennyi idő alatt festené ki a konyhát egyedül? 105. Janka 40 perc alatt tudja ellapátolni a havat a házuk előtt. Mennyi idő alatt képes erre Wica, ha ketten együtt 15 perc alatt végeznének a hólapátolással? 106. Gábor két és fél óra alatt készíti el a matek különmunkát, Soma két óra alatt van kész vele. Mennyi idő alatt lennének kész együtt, ha szétosztanák egymás között a feladatrészeket, és ezekkel ugyanolyan tempóban haladnának, mint ahogy egyedül is dolgoznak?
Keveréses feladatok 107. 5 dl 12%-os alkoholos italhoz 3 dl 35%-os pálinkát keverünk. Mennyi lesz a keverék alkoholtartalma? I.
Töltsd ki a táblázatot, ahol az x ismeretlen jelölje a keresett alkoholtartalmat (százalékban)! Oldat mennyisége
%
I. komponens
5
12
II. komponens
3
35
Keverék
II. Írd fel az egyenletet:
III. Oldd meg az egyenletet:
IV. Ellenőrizd a megoldásodat: V. Válaszolj a feltett kérdésre! 36
x
Oldott anyag mennyisége
ELSŐ EPOCHAFÜZET
ALGEBRA
108. Dani salátalevet készít. Az eddig elkészített 3%-os ecettartalmú salátaléhez hány gramm 20%-os ecettartalmú háztartási ecetet kell öntenie, hogy másfél kg 4%-os ecettartalmú salátalevet kapjon? (minimum 2 tizedes jeggyel számolj!) 109. Blanka a jótékonysági vásárra cukorkakeveréket készített. Az általa összeállított édességet kilónként 680 forintért árulja. Evelin hoz 2 kiló Raffaellót, és belekeveri Blanka 15 kilónyi édességébe. Az új terméket már 1100 forintért árulják kilónként. Mennyiért árulhatta volna Evelin külön a Raffaello csoki kilóját, ha ugyanezt a bevételt szerették volna elérni? 110. Viki a szokásos bevásárlása után riadtan vette észre, hogy az anyukája által kért 3,5%os zsírtartalmú tej helyett 1,5%-os tejet vett. Hogy ne kelljen visszamennie a boltba, elhatározza, hogy a vásárolt tejet felkeveri 20%-os zsírtartalmú tejszínnel. Hogyan kell adagolnia a keveréket, hogy 1 liter 3,5%-os folyadék jöjjön létre? (min. 3 tizedessel számolj!) 111. Egy 16%-os sótartalmú 15 literes folyadékhoz hány liter 13%-os sótartalmú folyadékot kell keverni, hogy a keverék 14%-os legyen? 112. Két alkoholos italt összekeverve milyen töménységű italt kapunk, ha az első 8%-os és 6 dl, a második 18%-os és 4 dl? 113. 4 liter 14%-os gyümölcslé és 7 liter 8%-os gyümölcslé összekeverésével mekkora gyümölcstartalmú keveréket kapunk? 114. 5 liter 80%-os alkoholtartalmú folyadékhoz hány liter 20%-os alkoholtartalmú folyadékot kell keverni, hogy a keverék 45%-os legyen? 115. 2 liter 5%-os sóoldatot összekeverünk egy 3 literes másik sóoldattal, így 9%-os sóoldatot kapunk. Hány %-os volt a másik sóoldat? 116. 15 kg 600 Ft egységárú cukorkához kevertek 430 Ft egységárú cukorkát. A keverék kilogrammonkénti ára 480 Ft-os lett. Hány kg-nyi a keverék? 117. Egy szobában lévő levegő abszolút páratartalma 10 g/m3. Ha összenyitjuk a szobát a szomszédos szobával, ahol 18 g/m3-es az abszolút páratartalom, a közös légtér 15 g/m3-es páratartalmú lesz. Az első szoba 30 m3-es, mekkora a két szoba közös légtere? 118. Kata és Balázs szörpöt készít az Adventi Vásár kávézójában. Balázs a szirupot hatszor annyi vízzel hígítja fel, így 8 liter szörpöt kap. A Kata által készített szörp ennél hígabb, és ebből 14 liter ital lesz. A két kotyvalékot összekeverve 10%-os töménységű (szörptartalmú) folyadékot kapunk. Kata a sziruphoz hányszor annyi vizet kevert? 119. Összesen másfél kiló, 3225 Forintos süti keverék milyen mennyiségű részekből áll össze, ha az egyik sütinek kilója 1700 forintba, a másik sütinek 2300 forintba kerül? 120. Hány százalékos a gyümölcstartalma annak a gyümölcslének, amit egy másfél literes, 12%-os gyümölcstartalmú italhoz keverve 2 liter 20%-os gyümölcstartalmú gyümölcslét kapunk? 121. Egy 0,7 literes 13%-os és egy 0,5 literes 18%-os alkoholtartalmú bor keverékének mekkora lesz a százalékos alkoholtartalma? 122. 2009-ben az AKG szakképzésén tanuló 52 diákból 27 lakott Budapesten, a többi AKG-s tanuló 67,81%-a volt budapesti. A teljes tanulói létszám 66,12%-a volt budapesti. Hány tanuló járt összesen az AKG-ba? (A tizedes jegyeket ne spórold le, hogy minél pontosabb legyen az eredmény)
37
ALGEBRA
ELSŐ EPOCHAFÜZET
Feladatgyűjtemény Ismétlés f1. Írd át egyszerűbb alakra! A. a) x ⋅ x ⋅ x + x ⋅ x ⋅ x =
e) y 3 ⋅ x ⋅ y 2 ⋅ x =
b) y ⋅ y ⋅ y ⋅ y + z ⋅ z ⋅ z =
f) 5d ⋅ 5d =
c) ab − ab − ab =
g) 7v 5 ⋅ 9v 3 =
d) a 3 ⋅ b 2 ⋅ b ⋅ a 2 =
h)
i) x ⋅ x + x ⋅ x + x ⋅ x + x ⋅ x =
j) x ⋅ x + y ⋅ y ⋅ y + x ⋅ x + y ⋅ y ⋅ y + x ⋅ x =
k) 3 x ⋅ ( −2 x 2 ) =
l) 2 g ⋅ 5 g =
m) e ⋅ f ⋅ e ⋅ f =
12 x 3 y n) = 4 xy
2
2
3
50s 3r = 25s
B. a) x + xy + 5 x − 2 yx + y = b) 2a − 4ab − 6a + 2a 2b 2 + 6ab = c) z + 5 z + 2 zy − 3 z − 7 zy =
f2. Végezd el a szorzásokat! A. a) ( −3) ⋅ 5 x =
3s = 2
b) 2 z ⋅ 3 z =
f) 7t ⋅ 2 p ⋅ 2t =
c) 2 y ⋅ (−3 y 2 ) =
g)
25 ⋅ 9z5 = 6
d) (−5 x ) ⋅ ( −7) y =
h)
1 9 4 ⋅ d = 3d 2
i)
1 6 3 ⋅ s = 2s 5
B. a) 2 ⋅ ( x − 3) =
j) 2 g 4 ⋅
5 ⋅6 = 4g
d) − 5a ⋅ (b − a ) =
b) 6 z ⋅ ( z − 3) =
e) 5 p ⋅ (7 − 5) ⋅ ( −2 p ) =
c) 3y ⋅ ( x − 3y ) =
f) (− 2b ) ⋅ (b − 2 ) =
g) ( x − 2 y ) ⋅ 2 =
h) − 3 x ⋅ ( x + y ) =
i) 3 x ⋅ ( x − 2 ) =
j) 2 g ⋅ (6 − 3) ⋅ (− g ) =
f3. Végezd el a következő műveleteket! b) c(2 + a ) c) 2 x( x − 3 y ) a) 2(a + b ) f) (− 3) ⋅ d ⋅ (5d + 4 ) 38
e) 4 s 2 ⋅
d) (3a − b )c
e) − 3 x (− 2 x − 5)
ELSŐ EPOCHAFÜZET
ALGEBRA
f4. Végezd el a kijelölt műveleteket, a kijelölt szorzásokat és a lehetséges összevonásokat! A füzetben dolgozz! b) 3b + 7 a − ( −2a ) − 12 ⋅ ( − a ) + 5a − 2b a) 4 + 4b − 5a − 2 ⋅ ( 2a + 3b) c) 8a − [6b − ( 4a − 2b) − 4a ] − 5b d) 3( x + y ) + 5( x − y ) e) 2( a − 2b) + 3(b − 2a ) f) 3(6 p + 4q ) − 4(5 p − q ) − ( p + 2q ) g) 9a − ( 2b + 3a) ⋅ ( −3) + ( −9b + 6a − 4) ⋅ ( −5) h) 3( 2 x − 1) − 5(7 − 12 x ) + 7(3 x − 1) i) − 4(5 − 2 x ) + 5( x − 1) − (3 x − 5) f5. Végezd el a következő műveleteket! a) 4a 2 ( 2 − 3a 2 ) − 2a 2 ( 4 + 3a ) + 3a ( 2a 2 − 1) b) x ( 2 x 2 − 3 x + 6) + 8 x 2 ( 2 x − 3) − ( 4 x 2 + x + 4) c) − 4a 3 ( a − 2) + a (3 − a + a 2 ) − 4(a + 1) d)
2 5 a ( 2a 3 − 2) − (3 + a 2 ) 3 6
a2 2 e) − a 2 + 3a + 7a − 3a 23 9 f6. Írd egyszerűbb alakba! a) 3a 2b − 2ab 2 + 5a 2b + 3ab 2 − 4ab =
g)
(3b + 5) ⋅ ( 2a − 1) =
h)
3(a + b)3 9[−(a + b)]2 : = 5a 2b 2 25ab
b)
(a + 1) 2 + 3( a − 1) 2 − 5( a − 1) ⋅ (1 + a )
c)
( −2a 2bc ) ⋅ (3ab 2c ) =
d)
2a + 1 3a − 1 2 − a + − = 3 4 5
i)
a+3 a−2 − = 4 5
e)
( 2a − 1) ⋅ ( −3a ) =
j)
f)
4( x + y ) 2 : 2( x + y ) =
5( x − 3) 2 10(3 − x ) : = 3 x3 y 9( x 3 + y )
k)
5a 2 − 3(a + 1)(a − 1) =
l)
3(a − b) 2 2(a + b) 2 5(a − b) 2 6(a + b) 2 − − + = 5 3 3 5
m) (a − 5) 2 − (5 − a ) 2 = f7. Végezd el a kijelölt szorzást! Számítsd ki az eredeti és a kapott kifejezést helyettesítési értékét! A határozatlanok értékét tetszőleges választhatod! a) 3( a + 2) = b) 5(b − 1) = c) 3(1 − c ) = d) 2(5 − d ) = e) 2( 2 x + 3) = f) 3( 2 x − 4) = g) 4( 2 − 3 x ) = h) 6( 4 − 3 x) = f8. Végezd el a kijelölt műveleteket! Írd a kifejezést a legegyszerűbb alakba! a) 5( x − 3) + 2( 2 − x ) = b) 3(3 − x ) + 4( x − 1) = c) 2(2 x + 1) + 3( x + 2) = d) 4( x − 1) + 5( x − 3) = f9. Végezd el a kijelölt műveleteket! Ellenőrizd! a) 3( a − 2) − 2( a + 1) = b) 4( 2 − a ) − 3( a + 5) = d) 2(9 − a ) − 3(4 + a ) = e) 7( a + 5) − 4(3 + a ) = g) 8( a − 3) − 2( a − 5) = f) 10( a − 2) − 5( a − 2) = h) 4( a + 3) − 2(3 − a ) = i) 6( 2 + a ) − 3( a + 4) = 39
ALGEBRA
ELSŐ EPOCHAFÜZET
f10. Végezd el a kijelölt szorzást! Ellenőrizd! a) (3 x + 1) ⋅ 5 x = b) (4 y + 3) ⋅ 2 y = d) (5 + 2 x ) ⋅ 2 x = e) (4 y − 3) ⋅ 2 y = g) (7 − 3 x ) ⋅ 5 x = h) (2 − 4 y ) ⋅ 3 y = j) 2 x (3 − 4 x ) = k) 5 x(4 + 3 x ) = m) 2 x (2 y − x ) = n) 6 x(2 x −1) =
c) (2 + 3 z ) ⋅ 4 z = f) (3 z − 2 ) ⋅ 4 z = i) (− 7 − 2 z ) ⋅ 2 z = l) 2 y (2 x − y ) = o) 6 x ( y − 2 x ) =
f11. Végezd el a kijelölt szorzást! Ellenőrizd! a) ( x + 1)( y + 1) = b) (1 + x )(3 + y ) = d) (2 + x )(3 + y ) = e) ( x + 5)( y + x ) = g) ( x + 1)( x + 1) = h) ( y + 1)( y + 1) =
c) ( x + 2 )( y + 1) = f) ( x + y )( x + y ) = i) ( x + y )( x + y ) =
f12. Írd fel a szorzatot összeg alakban! Ellenőrizd! a) ( x − 2 )( y − 3) = b) ( x − 1)( y − 1) =
c) ( x − 2) =
d) ( y − 2 ) = 2
g) (3c − 1) = 2
e) (2a − 1)(3a − 2 ) =
h) (2d − 3) = 2
2
f) (b − 3) = 2
i) ( x − y )( x − y ) =
f13. Írd fel a szorzatot összeg alakban! Ellenőrizd! a) (3 − 2 x )(3 + 2 x ) =
b) ( x + 1)( y − 1) =
d) (2a − 2 )(a + 3) = g) (3c − 1)(c + 1) =
e) (a − 3)(2a + 2 ) = h) (2d − 3)(2d + 3) =
2
1 c) x − 2 = 2 2 f) (b − 2a ) = i) ( x + y )( x − y ) =
Szorzattá alakítás f14. Az összeg alakú kifejezéseket írd át szorzat alakúvá! Ellenőrizd a megoldást visszaszorzással! a) 3a + 3b i) 15ax − 10 ay q) 15 y 3 − 5 y
40
b) 10 x − 5 y
j)
c) ax + bx
k) x 2 + xy
s) ab 2 + a 2 b 3
d) a 2 + a
l) ab − b 2
t) a 4 x 2 + a 3 x 4
e) ca − cb
m) a 4 − a 3
u) * a n + a n +1
f) 4 − 6 x
n) x 3 − x 4
v) * x k + n − x k
g) 5ab + 5ac
o) 5 x 3 + 10 x 2
w) * a 3 k − a 2 k
h) 3 xy − 6 xz
p) 8a 4 − 12 a 2
x) * 5a k + 2 − 10 a 2
− 2 xy − 4ay
r) 18 x 6 − 24 x 3
ELSŐ EPOCHAFÜZET
ALGEBRA
f15. Az összeg alakú kifejezéseket írd át szorzat alakúvá! Ellenőrizd a megoldást visszaszorzással! a) 3a + 6 = b) 2a − 8 = c) a 2 + 2a = d) 2a 2 − 6a = e) 3 ⋅ ( x + 2 ) + 2 ⋅ ( x + 2 ) = f) 2 ⋅ (3 − x ) + x ⋅ (3 − x ) = g) 2 x ⋅ ( x + 5) + 5 ⋅ ( x + 5) = h) * 3 x + 6 x + x 2 + 2 x = i) * x 2 − 12 x + 3 x − 36 = j) * 6 y + 9 xy + 4 + 6 x =
f16. Alakítsd szorzattá kiemeléssel a következő kifejezéseket: a) x 2 − 2 x
b) 4 x 3 − 6 x
c)
2 5 4 2 a a − a + 3 3 3
f17. Alakítsd szorzattá nevezetes azonosságok felhasználásával a következő kifejezéseket! b) p 2 − 6 p + 9 c) x 2 − 2 x + 1 a) a 2 + 16a + 64 d) d 2 + 10d + 25 e) 4a 2 + 4a + 1 f) 9 x 2 − 12 x + 4 1 g) x 2 − 1 h) a 2 − 4 s 2 i) 16 − x 2 y 2 4 f18. Alakítsd szorzattá a következő kifejezéseket! 16 a) x 4 y 2 − ( x − y ) 2 g) ( a + b) 2 − 25 2 2 49 b) (a + 2b) − (c + 3d ) h) 4(a − b) 2 − (a + b) 2 c) (1 + x) 2 − ( y − z ) 2 i) (3a − 2b) 2 − (a + b) 2 d) 4( x + y ) 2 − z 2 j) (b + 5c) 2 − 9(b − c) 2 e) 25(a − b) 2 − 16 k) ( x − 2 y ) 2 − 4( x + y ) 2 4 2 f) ( x − y ) − 81 l) 16( x − y ) 2 − 25( x + y ) 2 9 m) 4(3 x + 5 y ) 2 − 16(2 x − y ) 2 f19. ***Alakítsd szorzattá a következő kifejezéseket! a3 + 8 a 3 + 27 27 x 3 − 8 y 3 x3 + y 3 x3 − 1 1 − p3 x3 − y3 y3 +1 1 + 8b 3 p3 + q3 a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3
x 3 − 3 x 2 y + 3 xy 2 − y 3
p 3 + 6 p 2 q + 12 pq 2 + 8q 3
b 3 − 6b 2 c + 12bc 2 − 8c 3
Algebrai törtek f20. Számold ki a lehető legegyszerűbben az alábbi kifejezések értékét! (Ne használj számológépet!)
x2 + 5 − x = , ha x = 10 6 x a3 1− a + a2 − = 1 + a , ha a = 9999999 a +1 a − 2 + = a − 1 1 − a , ha a = 3001
41
ALGEBRA
ELSŐ EPOCHAFÜZET
7 3 12 − − 2 = 2 x − 4 x + 2 x − 4 , ha x = 502 1 1 4 + − 2 = 2 + a a − 2 a − 4 , ha a = −1002
a 2 + 25 a+5 + = 2 a − 25 10 − 2a , ha a = 9995 a+b a b2 + + 2 = a b − a a − ab , ha a = 5672963 és b = 7589517 f21. Egyszerűsítsd a következő törtkifejezéseket a változók megengedett értékei mellett. a 2 − b2 4 x 3 y + 4 xy 3 3a 2 − 3b 2 g) a) 2a 2 − 4ab + 2b 2 x4 − y4 a −b m) x+2 9 x 2 + 18 xy + 9 y 2 a 2 + 2ab + b 2 b) 2 h) n) x −4 12 x 2 − 12 y 2 3a 4 − 3b 4 2 3a − 3 5x2 − 5 y2 25a 2 − 25b 2 c) i) o) 7a + 7 10 x 3 + 10 y 3 (5a − 5b) 2 2 x +x ax + bx − ay − by a 3 − b3 d) 2 p) j) * x −1 4 4 7x − 7 y a −b a 2 − b2 4 4 2 a −b a + 2ac + c 2 e) 2 k) * q) 2 ( a + b) a 2 − b2 a + ac − ax − cx 3 3 a −b 3 a + 6 ac − bc + ad − bd f) * l) * 3 r) a−b a +8 ac + bc + ad + db f22. Alakítsd át egyszerűbb alakúra a kifejezéseket! Vizsgáld meg, hogy milyen alaphalmazon lehet értelmezni őket! 2 2 2z 3 + 6z 15 x 4 + 10 x ( a + b) ( a − b) a) b) c) d) 2b 5x 2 a+b a −b 2 2 2 (2 x − a )(2 x + a ) a + 2ab + b x − 2x + 1 a2 − b2 g) e) f) h) 2x + a a+b x +1 a+b
a2 − b2 a −b 16 x 2 + 16 x + 4 m) 2(2 x + 1)
i)
j)
16 x 2 − 25 y 2 4x + 5y
n)
36 x 2 + 24 x + 4 2(3 x + 1)
6a 2 − 6ab + b 2 3a − b 6 y + 9 xy + 4 + 6 x o) 8 + 12 x
k)
f23. Végezzük el a következő műveleteket: a 2 + 2ab + b 2 a 2 + 2ab + b 2 : a) a + b + , a−b a2 − b2
42
a ≠ ±b
1 1 1 1 b) + − : , a −1 a + 1 a −1 a + 1
a ≠ ±1 , a ≠ 0
b2 1 a−b a : 2 c) 3 + − 2 , 2 a + b a + ab b + ab a − ab
a ≠ ±b
l)
16 x 2 − 8 xy + y 2 4x − y
p)
x 2 − 12 x + 3x − 36 2 x − 24
ELSŐ EPOCHAFÜZET
d)
ALGEBRA
a + 6b 9b − a 1 − − , 2 2b a − 3ab 2ab − 6b a + 6b a 2 − 3ab
a ≠ 0 ; b ≠ 0 ; a ≠ 3b
a 2a + 2 1 2a + 2 e) 2 + − , a + 2 a 2a + 4 a + 2 a
a ≠ 0 ; a ≠ −2
Egyenletek, egyenlőtlenségek f24. Oldd meg a következő egyenleteket! Ellenőrizd a kapott eredményt! a) 5 x + 3 − (2 x − 4 ) = x − 2 − ( x + 3) b) 4 − 2 y − (5 − 3 y ) = y − 1 − ( y − 8) c) 8 x − (2 x − 9 ) = 4 x − (8 + 4 x ) d) 3 x + 1 + (5 x + 8) − ( x − 4 ) = 48 f25. Oldd meg a következő egyenleteket! Ellenőrizd a kapott eredményt! a) 10 y + 2(7 y − 2 ) = 5(4 y + 3) + 3 y b) 26 − 4 x = 12 x − 7( x + 4 ) c) 8(3 x − 2 ) − 13 x = 5(12 − 3 x ) + 7 x d) 4 y − 3(20 − y ) = 6 y − 7(11 − y ) f26. Oldd meg a következő egyenleteket a racionális számok halmazán! Ellenőrizd a kapott eredményt! 7x −1 6x + 3 4x − 5 a) b) c) − 2 = 10 − 2 = 11 + 3 = 18 3 3 4 3x − 3 2x − 9 3x − 2 e) f) d) − 3 x = 12 − 2 x = −3 − 5 = 3x 4 5 2 x −1 x +1 3 x + 2 x −1 2x − 5 x + 1 g) h) i) + = + =2 − =1 2 3 2 5 2 3 4 5 − 2x x − 4 3 5x − 1 2x − 1 4 5 x + 1 2 x − 1 11 k) l) j) = = = + − + 5 10 10 4 5 5 3 5 5 f27. Oldd meg a következő egyenleteket a természetes számok halmazán! Ellenőrizd a kapott eredményt! a) (3 x − 1)(2 x + 7 ) − ( x + 1)(6 x − 5) = 16 b) 3 x 2 − (3 x + 2 )( x − 1) = 8 c) (3 x − 2 )(2 x + 3) − 6 x 2 − 85 = 99 d) (3 x + 1)(4 x − 5) − (6 x − 11)(2 x − 7 ) = 24
(
)
f28. Oldd meg a következő egyenleteket a természetes számok halmazán! Ellenőrizd a kapott eredményt! 2 2 a) ( x − 3)( x + 4) − 2(3x − 2) = ( x − 4) b) ( x + 5)( x + 2 ) − 3(4 x − 3) = ( x − 5) c) 12 − (2 x + 1) = 4( x − 2) − (2 x + 5)(2 x − 5) 2
d) (3 x − 1) − 5(2 x + 1) + (6 x − 3)(6 x + 3) = 25( x − 1) 2
2
2
f29. Milyen x-re igaz, hogy a) 1 − 2[(3 x − 1) − 5(1 + 2 x)] = 3(7 − 3 x ) − x 6 − 2x x+3 b) x − = 2x − 4 − 3 2 3x 5 1 − x 7 c) − + > 8 3 6 8 7 x 1 3 2 3x 7 d) ⋅ − − ⋅ − = 3 4 5 4 3 2 20 43
ALGEBRA
ELSŐ EPOCHAFÜZET
x + 4x + 4 = 2x + 6 x+2 (3 x + 1) ⋅ ( 4 x − 5) − (6 x − 11) ⋅ ( 2 x − 7) = 24 5( 2 x + 3) ⋅ ( x + 2) − 2(5 x − 4) ⋅ ( x − 1) ≤ 22 − ( 2 − x ) 2 + 8(1 − x ) 2 − 5( x − 1) ⋅ (1 + x ) = 2( x − 3) ⋅ ( x + 1) 2 x − 5x2 ≥ 0 2x + 3 = 25 3x − 2 2
e) f) g) h) i) j)
f30. Oldd meg a következő egyenleteket az egész számok halmazán! x2 + 4x + 4 9− x 5 a) = 2x + 6 b) = +3 x+2 x−4 x−4 f31. Van-e a következő egyenleteknek megoldása a racionális számok halmazán? x −1 2x 3 3x 2x − 9 a) b) 2 − = − =− 2x x −1 2 3x − 2 2 x − 5 f32. Milyen valós számokra teljesülnek a következő egyenletek? 7−x 1 1 x−2 b) a) −5 = = x−6 x−6 x − 4 2x − 8 10 − x 15 + 2 x −4 = x−7 c) x − 7
4x − 6 3 x − 19 = 9− 5x − 7 d) 5 x − 7
3 5 1 + = e) x(2 x − 1) x 2 x − 1
7 3 11 − = f) 5 x + 5 10 x + 10 120
18 x + 2 15 x + 1 − =3 x+5 g) x − 4
x + 1 x − 2 3(3 x − 1) − = 2 x −9 h) x − 3 x + 3
x−4 x+4 16 x i) − + 2 =0 x + 4 x − 4 x − 16
x2 x+2 6 j) − = 2 4− x 2− x x+2
f33. Add meg az egyenlőtlenségek igazsághalmazát a racionális számok halmazán. Ábrázold számegyenesen a megoldást! A füzetbe dolgozz! a)
5x − 7 > 6(x − 3) + 2
h)
z − 6 − (z + 7 ) < −8
b)
3(x − 1) − 5(x − 4) < 5 − 8(x + 2)
i)
c)
7 − (2c + 5) ≤ 8 − c
3 ⋅ (2 x + 5) < (x − 7 ) ⋅ 3 2
j)
y 2 + 12 > 5
k)
3 3 − z − + z ≥ 6 4 4
d)
3(x − 1) − (1 − x ) > 2x − 5(x − 1) − (1 + x )
e)
2 1 2 x +2< x+ 7 2 7
f)
2(2 − x ) + (x − 5) ≤ 3x + 3
g)
2 ⋅ ( y − 5) > 3 ⋅ ( y − 5)
44
ELSŐ EPOCHAFÜZET
ALGEBRA
Szöveges feladatok f34. Egy osztálykiránduláson mindenkinek 500 Ft-t kellett eredetileg hoznia, viszont 3 tanuló költségét a többiek fedezték, így 50 Ft-tal többet fizettek be. Hány tanulója van az osztálynak? f35. Egy Doma 80 m távolságra meglátja Barnát, elkezdi üldözni. Egyszerre kezdenek futni. Doma 9-et, Barna 8-at ugrik másodpercenként. Mennyi idő alatt éri utol Barnát, ha Doma ugrása 1m, Barna ugrása csak 80 cm? f36. 18 pénzdarabom van, csupa 5 és 10 Ft-os. Ha annyi 10 Ft-osom volna, ahány 5 Ft-osom van, és annyi 5 Ft-osom volna, mint amennyi most a 10 Ft-osaim darabszáma, akkor kétszer annyi pénzem lenne, mint most. Mennyi pénzem van? f37. Egy háromszög kerülete 48 cm, oldalainak aránya 3:4:5. Határozzuk meg az oldalait! f38. Egy háromszög szögeinek aránya 2:3:5. Mekkorák a szögei? f39. Egy egyenlő szárú háromszög alapja 1,5 cm-rek hosszabb a száránal. Mekkorák az oldalai, ha kerülete 24 cm? f40. Egy 12 cm kerületű egyenlő szárú háromszögben az alap, a szárának -ad része. Mekkorák a háromszög oldalai? f41. Két szám összege 76, különbsége 18. Melyik ez a két szám? f42. Egy kétjegyű szám számjegyeinek az összege12. Ha számjegyieit felcseréljük 18-cal nagyobb számot kapunk. Melyik az eredeti szám? f43. Egy kétjegyű szám tízeseinek a száma 3-mal nagyobb, mint az egyeseké. Ha a kétjegyű számhoz hozzáadjuk azt a számot, ami a számjegyeinek megfordításával keletkezik, akkor 143-at kapunk. Melyik ez a szám? f44. Egy könyv ára 1680 Ft vászonkötésben, ami 685-kal több, mint papírfedéllel. Mennyi az ára a paírfedelűnek? f45. Balázs két CD-t adott el azonos áron. Az egyiken 20%-ot nyert, a másikon 20%-ot vesztett, így összesen 100 Ft-tal kapott kevesebbet értük, mint amennyiért vette őket. Mennyiért adta és vette a lemezeket? f46. Két csapat együtt 8200 tekercset készített el. Az első csapat a tekercsek 2%-át a másik 3%-at készítette el hibásan, összesen 216 darabot. Hány hibátlan tekercset készített az egyik illetve a másik csapat? f47. **850-et osszunk szét két részre úgy, hogy az első rész 8%-ának és a másik rész 24%ának az összege a 850-nek a 12%-a legyen. f48. **Az óra mutatói 6 órakor egy egyenesbe esnek és ellentétes irányba mutatnak. 6 óra után mikor következik be újból ez a helyzet, és 6 óra előtt? f49. **Déli 12 órakor az óra mutatói fedik egymást. Hány órakor fogják legközelebb ismét fedni? f50. **Több testvér osztozik az örökségen. A végrendelet értelmében A kap 200000 Ft-ot és a maradék egy tizedét, B kap 400000 Ft-ot és a maradék egy tizedét, és így tovább. Az osztozkodás után kiderült, hogy minden testvér egyenlő összeget kapott. Hányan voltak a testvérek? Mennyit kaptak fejenként? Mennyi volt az örökség?
45
ALGEBRA
ELSŐ EPOCHAFÜZET
Gondolkodtató f51. Kösd össze mind a 9 pontot egy folyamatos vonallal úgy, hogy pontosan 3 helyen legyen töréspontja!
f52. Írd be a körökbe 3-tól 6-ig úgy a számokat, hogy a vonalak mentén az összegek egyenlők legyenek!
f53. Egy tesztben 30 kérdést tettek fel. A jó válaszok +7 pontot, a rosszak –12 pontot értek. Mennyi volt a jó válaszok száma, ha 77 pontot szereztünk? f54. Helyezz át 2 gyufaszálat úgy, hogy 5 egyforma négyzet keletkezzen!
f55. Hány diákja volt Pithagorasznak? Amikor kérdezték, ezt válaszolta: a diákjaim fele matézist tanul, a negyed része fizikát, a heted része hallgatást, és még van 3 egészen kis kölyök. Hány diákja volt? (Daniel Schwenter, 1636). f56. A róka hétfőn, szerdán és pénteken mindig hazudik, a hét többi napján mindig igazat mond. A szarka kedden, szerdán és csütörtökön mond igazat, míg a hét többi napján hazudik. Milyen napon mondta mindkettőjük: "Tegnap igazat mondtam!" f57. Bináris szigeten kétféle ember él, igazmondók (akik mindig igazat mondanak), és hazudozók (akik mindig hazudnak). Egy alkalommal John Bit meglátogatta a szigetet. A tengerparton talált három szigetlakót: A-t, B-t és C-t. - Te igazmondó vagy? A olyan halkan válaszolt, hogy nem értette. Ezért megkérdezte B-től: - Mit mondott A? - Azt mondta A, hogy nem. - válaszolta B. Ekkor közbeszólt C, a harmadik szigetlakó: - Ne higgyen B-nek, hazudik! Van-e a három szigetlakó között igazmondó?
46
ELSŐ EPOCHAFÜZET
ALGEBRA
f58. Helyezd el 0-tól 15-ig úgy a számokat a körökben, hogy az egy vonalon vagy a négzet 4 sarkában lévő körökben a számok összege egyaránt 40 legyen!
f59. Egy eset kivizsgálásakor feladták a nyomozónak a leckét. A kérdés az volt, hogy kilőtt. Kiss azt mondta: Kovács vagy Mészáros lőtt. Nagy azt mondta: Mészáros lőtt. Kovács azt mondta: nem én lőttem. Mészáros azt mondta: én sem. A szemtanú azt mondta: hárman igazat mondanak f60. Egy osztályban tanítanak Kiss, Nagy és Kovács tanár urak matematikát, fizikát, kémiát, biológiát, történelmet és földrajzot. a) Kiss tanár úr a legfiatalabb közülük. b) A fizikatanár idősebb a biológiatanárnál, de fiatalabb Nagy tanár úrnál. c) A legidősebb a másik két kollégájánál távolabb lakik az iskolától. d) A matematikatanár családja és Kovács tanár úr családja együtt szoktak túrázni. e) A kémiatanár ugyanabban a házban lakik, mint a matematikatanár. f)Mindegyik tanár pontosan két tárgyat tanít. Melyik tanár melyik tárgyat tanítja? f61. Egy 6 és egy 7 literes edénnyel hogyan lehet megtölteni egy 50 literes hordót a kútból? f62. Egy ifjú megkérdezi atyját, mennyi idős, mire az így felel: ha te olyan idős lennél, mint én, és még fele annyi és még negyed annyi, és még egy évvel lennél idősebb, akkor pont 134 éves lennél. Mennyi idős az apa? (Adam Ries feladványa, 1492 – 1559).
47
