10. Elektromos polarizáció, polarizáció vektor, elektromos indukció vektor. Elektromos fluxus. Az elektromos mező forrástörvénye. Töltéseloszlások. Határfeltételek az elektrosztatikában. Elektromos polarizáció: Szokás bevezetni a tömegközéppont analógiájára a töltésközéppontot. Ennek definíciója: ∑ Qi ri r= ∑ Qi Egy molekulán belül külön értelmezzük a pozitív negatív töltések töltésközéppontját. Apoláris molekulák esetén a ⊕ és – töltések töltésközéppontja egybeesik például: H 2 , O2 .... . Poláris molekulák esetén a ⊕ és –töltésközéppontok nem esnek egybe, távolságuk ∼ 10−9 − 10−10 m , így kicsiny dipólusokként modellezhetőek például HCl , CO2 , H 2O... . Indukált polarizáció: az alkalmazott elektromos mező, az egybeeső töltésközéppontokat széthúzza így a molekula dipólussá válik, ha már eleve volt valamekkora dipólus nyomatéka akkor az pedig megnő. A ⊕ töltés az E irányában a – töltés azzal ellentétesen mozdul el. Poláros és apoláros molekulák esetén egyaránt fellép. Rendeződési polarizáció: Csak poláros molekulájú anyagokban fordulhat elő. Az elektromos mező a dipólus molekulákat a saját irányába forgatja be, annál inkább minél erősebb a tér és minél alacsonyabb a hőmérséklet. A jelenség erőteljesen hőmérsékletfüggő, szemben az indukált polarizációval. Vákuumban az elektromos mező leírására egyetlen vektor az E térerősség vektor elegendő. Kémiai anyagban azonban egy további vektor bevezetése szükséges, amely az anyag polarizáltságának mértékét adja meg.
Δp A ΔV
Legyen A, a szigetelőanyag (dielektrikum) egy tetszőleges pontja, ΔV egy kis térfogatelem az A pont körül. Legyen Δp a ΔV térfogatban foglalt molekulák dipólus nyomatékának eredője, akkor az A pontban a polarizációvektor definíció szerint: Δp P ( A ) = lim . ΔV → 0 ΔV AεΔV C Mértékegysége: [ P ] = 1 2 . m Első közelítésben az alábbi lineáris anyagegyenlet igaz: P = χ ⋅ ε 0 E , ahol χ egy dimenzió nélküli szám, neve dielektromos szuszceptibilitás. Vákuumban, illetve vezetőben χ = 0 , szigetelőanyagban χ > 0 . Elektromos indukcióvektor: Az elektromos indukció vektort az alábbi lineáris kombinációval vezethetjük be. Segítségével C egyszerű alaptörvény írható fel. D = ε 0 E + P . Mértékegysége: [ D ] = 1 2 m Ha felhasználjuk az első közelítést a definícióban : D = ε 0 E + P , akkor D = ε 0 E + χ ε 0 E
D = ε 0 (1 + ε r ) E , D = ε0 εr E ,
ahol ε r = 1 + χ a relatív permittivitás, ε = ε 0 ε r pedig az úgynevezett abszolút permittivitás, ez megadja, hányszor nagyobb az illető szigetelő vagy dielektrikum permittivitása a vákuuménál. Az elektromos mező szemléltetésére az indukcióvonalakat használhatjuk. Ezek olyan irányított görbék, amelyeknek az érintő egységvektora egyirányú az érintési pontbeli elektromos indukcióval. τ
D
in dukcióvonal
Megállapodás szerint az indukcióvonalakat olyan sűrűn vesszük fel, hogy a rájuk merőleges egységnyi felületen éppen D számú indukcióvonal haladjon át. Az elektromos fluxus mindig irányított felületre vonatkozik és számértéke megadja a felületet átdöfő indukcióvonalak előjeles számát. Amennyiben az indukcióvonal a felületelem vektorral megegyező irányban döfi a felületet akkor az +1 járulékot ad, ha ellenkező irányban, akkor –1 a járuléka. -1 járulék dA
+ 1 járulék ds
Tekintsünk dA felületet, és számítsuk ki a felületre az elektromos indukciófluxust. A felületvektor Δ A , zárjon be α szöget az indukcióvektorral. Ha Δ A elegendően kicsiny, akkor az indukció már homogénnek tekinthető, és az elemi kicsiny indukciófluxus: dΨ = D dA cos α = D dA D
dA α
dA = n dA
dA cos α
Egy tetszőleges nyílt A felületre pedig úgy kaphatjuk meg a fluxust, hogy az elemi járulékokat összegezzük. Ψ = ∫ DdA A
Felhasználva, hogy az indukció mértékegysége: [ D ] = [ P ] = 1 mértékegysége: [ Ψ ] = 1C .
C , az indukciófluxus m2
A mezőt keltő töltés és a kialakuló elektromos mező indukcióvektora közötti kapcsolat felírásához tekintsünk egy vákuumban elhelyezett ponttöltést, és számoljuk ki a fluxusát egy
zárt felületre. A zárt felület legyen egy r sugarú koncentrikus gömb. A Q ponttöltés legyen vákuumban. dA D
r Q
1
Q er , az elektromos indukcióra 4πε 0 r 2 1 Q vonatkozó egyenlet segítségével nyerhetjük: D = ε 0 E , illetve D = ⋅ er . 4π r 2 Így a zárt felületre a fluxus: o 1 Q Q Ψ = ∫ DdA = ∫ e ⋅ er dA = 2 4r 2π = Q 2 r 4π r 4r π A A 1
Mivel a ponttöltés által keltett térerősség ismert: E =
⋅
∫ DdA = Q . A
Ha a Q töltést körülölelő zárt felület nem egy koncentrikus gömb az eredményünk akkor is változatlanul érvényes, hiszen bármely a Q töltést magába foglaló zárt felületre a fluxus ugyanennyi, mivel a Q-ból kiinduló összes indukcióvonal átdöfi a Q-t magába foglaló zárt felületet. Ezt mutatják a következő ábrák.
D
D
D
r
r
Q
Q
r Q
Ha a felület nem foglalja magába a Q töltést, akkor a fluxus nulla. Ahol az indukcióvonal bemegy ott –1 a járulék, ahol kijön ott +1. Tapasztalat szerint tetszőleges töltéselrendezés estén és kémiai anyag jelenlétében is igaz, hogy zárt rögzített felületre az elektromos fluxus egyenlő a felületben foglalt összes töltéssel. ∫ DdA = QV A
A fenti egyenlet az elektrosztatika II. alaptörvénye, gyakran Gauss törvénynek nevezik. QV a V térfogatban foglalt töltések algebrai összegét jelenti, A pedig a V térfogat burkoló felülete. Az elektromos indukcióvonalak forrásai a pozitív töltések, nyelői pedig a negatív töltések, más szóval az indukcióvonalak a pozitív töltésen erednek és a negatív töltésen végződnek. Szorítkozzunk a továbbiakban térfogaton eloszló töltésre. A térfogati töltéssűrűség definíciója:
ΔQ C , mértékegysége [ ρ ] = 1 3 . ΔV → 0 ΔV m A∈ΔV A lokális vagy differenciális alak előállításához alkalmazni kell a Gauss-Osztogradszkíj integrál átalakítási tételt. ∫ DdA = ∫ ∇DdV , ahol
ρ = lim
A
V
⎧∂ ∂ ∂⎫ ∂D ∂D ∂D ∇D = divD = ⎨ , , ⎬ ⋅ { Dx , Dy , Dz } = x + y + z ∂x ∂y ∂z ⎩ ∂x ∂y ∂z ⎭ ∫ DdA = QV A
∫ ∇DdV = ∫ ρ dV
V
V
∫ ( ∇D − ρ ) dV = 0
V
mivel ez bármely V térfogatra teljesül így ∇D − ρ = 0 . ∇D = 0 Ez a Gauss törvénynek vagy az elektromos mező forrástörvényének lokális alakja.
Az elektrosztatikus mező két alaptörvénye: ∫g Edr = 0 ⎫⎪⎪ ⎬ integrális alakok DdA Q = V ⎪ ∫A ⎪⎭ ∇ × E = 0 ⎫⎪ differenciális alakok ⎬ ∇ D = ρ ⎪⎭ Határfeltételek (peremfeltételek) az elektrosztatikában: Tekintsük két különböző közeg határfelületét. Vegyünk fel a két közeg határfelületén egy irányított görbeívet (AB), illetve egy zárt görbét. Alkalmazzuk az elektrosztatika első alaptörvényét: ∫ Edr = 0 , azaz ∫ Edr + ∫ Edr + ∫ Edr + ∫ Edr = 0 g
A1 A2
A2 B2
B2 B1
P2 A2
P
B1 A1
B2 B
A
2 1
A1
P1
B1
Közelítsük a P1 és P2 pontokat a P-hez, azaz húzzuk rá az A1 B1 és A2 B 2 íveket az AB ívre, ekkor
∫
Edr → 0 , és
A1 A2
∫ ∫
Edr → 0 , mivel a tartományok 0-hoz tartanak.
Edr → + ∫ E2 dr , E2 a térerősség a határon, de még a 2-es közegben
A2 B2
B1 A1
∫ B2 B1
AB
Edr → ∫ E1dr = − ∫ E1dr , E1 a határon, de az 1-es közegben, így BA
AB
∫ (E
2
)
− E1 dr = 0
AB
Mivel az ívhossz felírható a tangenciális egységvektorral dr = τ ds ⎛ ⎞ ⎜ E τ − E τ ∫ ⎜ 2 1 ⎟⎟ ds = 0 , AB ⎝ Et 2 Et 1 ⎠ mivel bármely AB -re teljesül így Et2 = Et1 . Az elektromos térerősség érintő irányú összetevője a határfelületen folytonosan megy át. Két közeg határfelületén vegyünk fel egy zárt görbét, és minden pontjában a felületi normálist. A keletkező palástfelületet határoljuk le A2 -vel és A1 -el a két közegben. A nyert zárt felületre alkalmazzuk a Gauss törvényt:
∫ DdA = Q
V
A
A2 P
2 1
A2
AP
n P
2
A1
1
A
A1
∫ DdA + ∫ DdA + ∫ DdA =∫ ρ dV + ∫ σ dA , itt
A1
Ap
A2
V
A
ΔQ a felületi töltéssűrűség. Közelítsük az A1 és A2 felületeket az A-ra ekkor a ΔA→ 0 ΔA P∈ΔA palástfelület és a térfogat nullához tart, így az integrálok 0-hoz tartanak: ∫ DdA → 0 , és ∫ ρ dV → 0
σ ( P ) = lim
Ap
V
Ugyanakkor pedig: ∫ DdA →∫ D1dA , ahol D1 az indukció a határon de még az 1-es közegben, A1
ben, és
A
∫ DdA →∫ D dA , ahol D az indukció a határon de még az 2-es közegben. 2
A2
2
A
∫ D ( −n ) dA + ∫ D ( n ) dA = ∫ σ dA , 1
A
2
A
− Dn1
∫(D
n2
Dn 2
A
− Dn1 − σ )dA = 0 ,
A
mivel bármely A-ra igaz
Dn 2 − Dn1 = σ Az elektromos indukcióvektor normális koordinátája a határfelületen általában ugrást szenved melynek mértéke a felületi töltéssűrűség. Csak akkor folytonos ha σ = 0 .
