Evropský sociální fond Praha & EU: Investujeme do vaší budoucnosti
Ekonomika podniku Katedra ekonomiky, manažerství a humanitních věd Fakulta elektrotechnická ČVUT v Praze © Ing. Kučerková Blanka, 2011
Úrokový počet, základy finanční matematiky (BI-EKP)
BI – EKP Úrokový počet – základy finanční matematiky
Stránka 1
Principy úrokového počtu - koruna dnes má větší hodnotu než koruna získaná zítra - může být ihned investována a přinášet výnos - existuje časová hodnota peněz, základem je úrokování (jednoduché a složené) Jednoduché úrokování – úrok se nepřipisuje k základu a vybírá se Složené úrokování - úrok se připisuje k základu a znovu se úročí -
připisování úroků je polhůtné a předlhůtné
Základem úrokování je: - roční úroková míra - půlroční úroková míra, … atp. Zkratky úrokových období: - p.a. roční (per annum) - p.s. pololetní (per semestre) - p.q. čtvrtletní (per quartale) - p.m. měsíční (per mensem) - p.d. denní (per diem) Výpočet budoucí hodnoty An
A0
(1 i ) n
An A0 i
částka v roce t částka v roce t=0 roční úroková míra
Složené úrokování a výpočet budoucí hodnoty i m*n An A0 (1 ) m m – počet období za rok, pro pololetní úrokování m = 2, pro čtvrtletní m = 4 atp. Spojité úrokování An
n f
A0
ef
n
délka období úroková intenzita
BI – EKP Úrokový počet – základy finanční matematiky
Stránka 2
Efektivní úroková míra Je taková roční úroková míra, která má stejný efekt jako daný systém úrokování. Platí následující vztahy: (1 ie ) T
(1
i mT ) m
i m ) 1 m i m lim(1 ) ef m
ie
ie ... efektivní úroková míra
(1
1. Střadatel Na začátku období ukládáme pravidelně částku S, za n let naspoříme částku K, přičemž i je roční úroková míra K
q
(1 i ) n 1 S (1 i ) i
qn 1 q 1
qn 1 q 1
qn 1 S q q 1
střadatel pro ukládání částky na začátku období
střadatel pro ukládání částky na konci období
2. Fondovatel Jak velkou částku S je nutné pravidelně při úrokové míře i ukládat, aby byl dosažen požadovaný obnos K. S
K
(1 i ) 1 (1 i ) n 1
q 1 qn 1
q 1 qn 1
K
fondovatel
3. Zásobitel Jak velkou částku K musíme dnes uložit na knížku, jestliže chci každý rok vybírat částku S, přičemž i je roční úroková míra.
K
S
(1 i) n 1 (1 i) n i
qn 1 q n (q 1)
S
qn 1 q n (q 1)
zásobitel
BI – EKP Úrokový počet – základy finanční matematiky
Stránka 3
4. Anuita Jak velkou konstantní splátku S (anuitu) budu splácet na konci období, mám - li úvěr velikosti U při úrokové míře i, kde n je počet let splatnosti úvěru
S
U
(1 i) n i U (1 i) n 1
q n (q 1) qn 1
q n (q 1) qn 1
anuita, platí: anuita=1/zásobitel
5. Perpetuita Věčný výnos, nekonečná série pravidelných peněžních příjmů ve stejné výši. Současnou hodnotu perpetuity vypočteme jako: p= A
výše perpetuity (pravidelná platba) za jedno období
i
roční úroková míra
Příklad (řešený) Vklad 100 000 Kč je uložen na 10 let s úrokovou mírou roční 6 %. Jaká je splatná částka při ročním, půlročním, čtvrtletním a měsíčním složeném úrokování? Řešení: roční úročení:
At
půlroční úročení:
At
čtvrtletní úročení:
At
měsíční úročení:
At
100000 ( 1 0 ,06 )10 0 ,06 20 100000 ( 1 ) 2 0 ,06 40 100000 ( 1 ) 4 0 ,06 120 100000 ( 1 ) 12
BI – EKP Úrokový počet – základy finanční matematiky
179 084,80 Kč 180 611,10 Kč 181 401,80 Kč 181 939,70 Kč
Stránka 4
1. Příklad Jaký je stav vkladu po půl roce (180 dní), je-li úroková sazba 2 % p.a. a počáteční vklad činil 250 000 Kč?
2. Příklad Jak velkou částku si budete moci vybrat z účtu, pokud jste uložili 200 000 Kč při úrokové sazbě 2 % p.a. na 4 roky a 4 měsíce a úroky jsou připisovány a) čtvrtletně, b) měsíčně?
3. Příklad Určete roční úrokovou sazbu (p.a.), pokud se vklad 20 000 Kč zúročí za 3 roky na splatnou částku 21 000 Kč a vklad se úročí čtvrtletně (p.q).
4. Příklad Otec ve své závěti stanovil, že částka 300 000 $ bude převedena na zvláštní účet, ze kterého každé ze tří dětí dostane při dosažení 18 let stejnou peněžní částku. Vklad se úročí 4 % s půlročním úrokováním (p.s.). V době smrti otce bylo dětem 10, 13 a 16 let. Jak velkou částku při dosažení 18 let dostane každé dítě?
5. Příklad Spotřebitelský úvěr na vybavení domácnosti ve výši 100 000 Kč je nutné splácet po dobu 7 let stejnými měsíčními splátkami na konci měsíce. Vypočtěte výši splátky, pokud je úroková sazba 13,2 % p.a.
6. Příklad Vkladatel chce dosáhnout 50 000 Kč při pravidelných vkladech na konci každého roku. Jak velkou částku musí pravidelně ukládat, pokud je úroková sazba 1,4 % p.a. a cílové částky chce dosáhnout za 5 let?
7. Příklad Rozhodujete se, u které banky si vezmete spotřebitelský úvěr. ABC banka nabízí úrokovou sazbu 13,5 % p.q. a CBA banka nabízí 13,4 % p.m. U které banky si zřídíte úvěr?
BI – EKP Úrokový počet – základy finanční matematiky
Stránka 5
8. Příklad Jak velkou částku je třeba nyní uložit na účet, pokud si chcete následujících 7 let každý rok pravidelně vybírat 6 000 Kč, úroková sazba je 1,7 % p.q.
9. Příklad Vypočtěte efektivní úrokovou míru vypočtenou pro nominální roční úrokovou sazbu 2 % s ročním, půlročním, čtvrtletním, měsíčním, týdenním a denním úrokováním.
BI – EKP Úrokový počet – základy finanční matematiky
Stránka 6
