Egyváltozós függvények 1

A függvény általános fogalma M¶veletek függvényekkel Elemi tulajdonságok Elemi függvények

Bánki Donát Gépész és Biztonságtechnikai Mérnöki Kar

Egyváltozós függvények 1. Filip Ferdinánd [email protected] siva.banki.hu/jegyzetek Bánki Donát Gépész és Biztonságtechnikai Mérnöki Kar

2015 szeptember 21.

Filip Ferdinánd

2015 szeptember 21.

Egyváltozós függvények 1.

1 / 52



Az el®adás vázlata


Filip Ferdinánd

2015 szeptember 21.


2 / 52



A függvény általános fogalma

Függvény Legyen A és B két tetsz®leges halmaz. Ha A minden eleméhez egy meghatározott szabály szerint B egy konkrét elemét rendeljük, akkor ezt a hozzárendel® szabályszer¶séget függvénynek nevezzük és az f , g , h, · · · bet¶k valamelyikével jelöljük. Röviden mindezt az

f :A→B jelöléssel fejezzük ki

Filip Ferdinánd

2015 szeptember 21.


3 / 52



A függvény általános fogalma a

f a0 A

b = f (a) b 0 = f (a0 ) Rf B

1. ábra. Az általános f : A → B függvényhez kapcsolódó alapvet® fogalmak

• Az A halmazt az f függvény értelmezési tartományának nevezzük és Df -fel jelöljük. • Egy a ∈ A elem f függvény általi képén azt a b ∈ B elemet értjük, amelyet f rendel a-hoz ezt a képet f (a)-val jelöljük. • Az értelmezési tartomány minden elemének képe által alkotott halmazt nevezzük az f függvény értékkészletének és Rf -fel jelöljük.

Filip Ferdinánd

2015 szeptember 21.


4 / 52



A függvény általános fogalma Függvény grakonja Legyen f : A → B egy valós függvény. A graph f = {(x, f (x)) : x ∈ A} halmazt a két dimenziós Descartes-féle síkban az f függvény grakonjának nevezzük. x02 x

2

1

−1 Filip Ferdinánd

2015 szeptember 21.

1 x0 Egyváltozós függvények 1.

5 / 52



Alapm¶veletek

A függvények körében is értelmezhetjük az alapm¶veleteket:

• (f + g ) (x) = f (x) + g (x)

Df +g = Df ∩ Dg

• (f − g ) (x) = f (x) − g (x)

Df −g = Df ∩ Dg

• (f .g ) (x) = f (x).g (x) • gf (x) = gf (x) (x)

Filip Ferdinánd

2015 szeptember 21.

Df .g = Df ∩ Dg D f = (Df ∩ Dg ) \ {x : g (x) = 0} g


6 / 52



Összetett és inverz függvény Összetett függvény Az f és g függvényekb®l képzett f ◦ g összetett függvényt az

(f ◦ g ) (x) = f (g (x)) képlettel értelmezzük. Az f ◦ g összetett függvény értelmezési tartománya a g értelmezési tartományából vett azon x elemek halmaza, melyekre a g (x) függvényérték az f értelmezési tartományának eleme, tehát

Df ◦g = {x ∈ Dg : g (x) ∈ Df } .

Filip Ferdinánd

2015 szeptember 21.


7 / 52



Példa: Legyen f (x) =

√

x és g (x) = x + 3. Ekkor (f ◦ g ) (x) =

viszont

(g ◦ f ) (x) =

√ √

x + 3, x + 3,

Továbbá

(f ◦ f ) (x) = és

Filip Ferdinánd

q √

x =x

1 4

(g ◦ g ) (x) = x + 6 .

2015 szeptember 21.


8 / 52



Összetett és inverz függvény

Legyen adott két nem üres D, E ⊂ R halmaz és egy f : D → E függvény. Az f függvényt

• injektívnek nevezzük, ha két különböz® x, y ∈ D -re az f (x), f (y ) képelemek is különböznek. • szürjektívnek, ha Rf = E vagyis, ha E minden elemének van el®képe. • bijektívnek, bijekciónak, kölcsönösen egyértelm¶nek vagy invertálhatónak nevezzük, ha f injektív és szürjektív.

Filip Ferdinánd

2015 szeptember 21.


9 / 52



Összetett és inverz függvény Inverz függvény Legyen adott két nem üres D, E ⊂ R halmaz és egy f : D → E függvény. Az f függvényt Ha az f : D → E valós függvény bijektív, akkor a g : E → D valós függvényt, amely minden e ∈ E -hez azt a g (e) = d ∈ D elemet rendeli melyre

e = f (d) az f függvény inverz függvényének nevezzük és a g függvényt f −1 -nel jelöljük. Könnyen ellen®rizhet® a következ® két általános összefüggés

(f ◦ f −1 )(e) = e, ∀e ∈ E , Filip Ferdinánd

2015 szeptember 21.

(f −1 ◦ f )(d) = d, ∀d ∈ D. Egyváltozós függvények 1.

10 / 52



Korlátosság Legyen adott két nem üres D, E ⊂ R halmaz és egy f : D → E függvény. Az f függvényt

• alulról korlátosnak nevezzük az M ⊂ D halmazon, ha létezik egy α ∈ R alsó korlátnak nevezett szám úgy, hogy minden x ∈ M -re f (x) ≥ α. A lehet® legnagyobb ilyen alsó korlátot inf M f -el jelöljük és az f függvény M feletti alsó határának vagy inmumának nevezzük. Ha ez az alsó határ f értékkészletébe tartozik, akkor minM f -fel jelöljük és az f függvény M feletti minimumának nevezzük. Továbbá az f függvényt röviden alulról korlátosnak nevezzük, ha alulról korlátos a teljes D értelmezési tartományon.

Filip Ferdinánd

2015 szeptember 21.


11 / 52



Korlátosság • felülr®l korlátosnak nevezzük az M ⊂ D halmazon, ha létezik egy β ∈ R fels® korlátnak nevezett szám úgy, hogy x ∈ M -re f (x) ≤ β. A lehet® legkisebb alsó korlátot supM f -el jelöljük és az f függvény M feletti fels® határának vagy szuprémumának nevezzük. Ha ez a fels® határ f értékkészletébe tartozik, akkor maxM f -fel jelöljük és az f függvény M feletti maximumának nevezzük. Az el®z®khöz hasonlóan f -et felülr®l korlátosnak nevezzük, ha felülr®l korlátos a teljes D értelmezési tartományon. • korlátosnak nevezzük az M ⊂ D halmazon, ha alulról és felülr®l is korlátos az M halmazon. Valamint f -et korlátosnak nevezzük, ha alulról és felülr®l is korlátos. Filip Ferdinánd

2015 szeptember 21.


12 / 52



Monotonitás • növekv®nek nevezzük az M ⊂ D halmazon, ha minden x, y ∈ M -re x < y magával vonja az f (x) ≤ f (y ) összefüggést, ha ráadásul f (x) < f (y ) akkor az f függvényt az M halmazon szigorúan növekv®nek nevezzük. • csökken®nek nevezzük az M ⊂ D halmazon, ha minden x, y ∈ M -re x < y -ból az f (x) ≥ f (y ) összefüggés következik. Ha f (x) > f (y ) akkor az f függvényt az M halmazon szigorúan csökken®nek nevezzük. • növekv®nek, csökken®nek, szigorúan növekv®nek illetve szigorúan csökken®nek nevezzük, ha az adott tulajdonság az egész értelmezési tartományon, azaz a D halmazon érvényes. • monotonnak, illetve szigorúan monotonnak nevezzük az M ⊂ D halmazon ha csökken® vagy növekv® az M halmazon, illetve ha szigorúan csökken® vagy szigorúan növekv® M -en. Filip Ferdinánd

2015 szeptember 21.


13 / 52



Konvexitás

• konvexnek nevezzük az I ⊂ D intervallumon, ha minden x, y , z ∈ D -re az x < y < z rendezésb®l f (y ) ≤ f (x) +

f (z) − f (x) (y − x) z −x

(1)

következik. Ha az ((1))-ben a ≤ jelet a <, ≥, > jelek valamelyikével helyettesítjük akkor a szigorúan konvex, konkáv illetve szigorúan konkáv tulajdonságok értelmezését kapjuk

Filip Ferdinánd

2015 szeptember 21.


14 / 52



f (y )

x f (x) +

f (z)−f (x) (y z−x

y

z f (x)

− x)

2. ábra. Konkáv függvény

Filip Ferdinánd

2015 szeptember 21.


15 / 52



Paritás


• párosnak nevezzük, ha minden x ∈ D -re −x ∈ D és f (x) = f (−x). Az el®z® fejezet észrevételeire alapozva megjegyezhetjük, hogy a páros függvények grakonja szimmetrikus az y tengelyre. • páratlannak nevezzük, ha minden x ∈ D -re −x ∈ D és f (x) = −f (−x). A páratlan függvények grakonja szimmetrikus az origóra.

Filip Ferdinánd

2015 szeptember 21.


16 / 52



Paritás

1

1 −1

1 −1

1

−1

3. ábra. Páros és páratlan függvény

Filip Ferdinánd

2015 szeptember 21.


17 / 52



Periodikusság


• periodikusnak nevezzük, ha van olyan T > 0 szám melyre x ∈ D esetén egyrészt x ± T ∈ D, másrészt pedig f (x) = f (x + T ). A T számot f periódusának, a lehet® legkisebb ilyen T -t pedig amennyiben ilyen létezik f alapperiódusának nevezzük.

Filip Ferdinánd

2015 szeptember 21.


18 / 52



Periodikusság Példák: cos x sin x π

π

− π2

2

2π

3π 2

4. ábra. Színusz és koszínusz függvények

1 −3

−2

−1

0

1

2

3

5. ábra. A törtrész függvény grakonja Filip Ferdinánd

2015 szeptember 21.


19 / 52



Lineáris függvények

Lineáris függvények Lineáris függvényeknek nevezzük a valós számok halmazán

értelmezett, f (x) = ax + b (ahol a, b ∈ R) egyenlettel adott függvényeket.

• Ha a > 0, akkor a függvény szigorúan növekv®. • Ha a < 0, akkor a függvény szigorúan csökken®. • Ha a = 0, akkor f (x) = b , ami azt jelenti, hogy a függvény konstans, így a grakonja párhuzamos az x tengellyel.

Filip Ferdinánd

2015 szeptember 21.


20 / 52



Lineáris függvények a>0

a=0

a<0

6. ábra. Különböz® lineáris függvények

Filip Ferdinánd

2015 szeptember 21.


21 / 52



Hatványfüggvények. Az f (x) = x α el®írással adott függvényeket a nem nulla α valós paraméter mellett hatványfüggvényeknek nevezzük. Az értelmezési tartomány és az értékkészletet az α paramétert®l függ®en változhat.

Az α kitev® α = qp , p, q ∈ N és p páros

α=

p q,

p, q ∈ N és mindkett® páratlan

α > 0, de az el®z® két eset nem teljesül α = − qp , p, q ∈ N és p páros α=

− qp ,

p, q ∈ N és mindkett® páratlan

α < 0, de az el®z® két eset nem teljesül Filip Ferdinánd

2015 szeptember 21.

példa x 2

3

x

Df R

Rf [0, ∞)

R

R

[0, ∞) R \ { 0}

[0, ∞) (0, ∞)

R \ { 0}

R \ { 0}

(0, ∞)

(0, ∞)

1 3

√

x x−

2 2 3

1 x−3 √ x− 2


22 / 52



Hatványfüggvények.

1

1

6

x x4 x2 −1

1

−1

1 −1

x x3 x5

7. ábra. Páros és páratlan, pozitív kitev®j¶ hatványfüggvények

Filip Ferdinánd

2015 szeptember 21.


23 / 52




x −6 x −4 x −2

1

1 −1

1 −1

1

−1

1 x− 3 x− −5 x

8. ábra. Páros és páratlan, negatív kitev®j¶ hatványfüggvények

Filip Ferdinánd

2015 szeptember 21.


24 / 52



Hatványfüggvények. x 7/9 x 1/2 x 2/7

1

x −1/2 −1

1 −1

9. ábra. Különböz® hatványfüggvények Filip Ferdinánd

2015 szeptember 21.


25 / 52




A hatványozásra vonatkozó néhány fontos azonosság:

x α y α = (xy )α ,

x −α =

Filip Ferdinánd

x α x β = x α+β , 1 , xα

2015 szeptember 21.

√ n

(x α )β = x αβ ,

1

x = x n , n ∈ N.


26 / 52



Exponenciális és logaritmus függvények.

Exponenciális függvények Az f (x) = ax el®írású függvényeket a ∈ R+ \ {1} paraméter mellett exponenciális függvényeknek nevezzük. A megfelel® halmazok: Df = R és Rf = (0, ∞). Különösen fontos a természetes alapú exponenciális függvény, ahol az a alap a speciális e = 2.718281828 · · · Euler féle szám.

Filip Ferdinánd

2015 szeptember 21.


27 / 52



Exponenciális és logaritmus függvények. Logaritmus függvény Adott a ∈ R+ \ {1} paraméter mellett az x > 0 valós szám a alapú logaritmusának azt az y számot nevezzük, melyre

ay = x. Az x szám a alapú logaritmusának jelölése loga x . Az f (x) = loga x el®írású függvényeket logaritmus függvényeknek nevezzük. A megfelel® fontos halmazok: Df = (0, ∞) és Rf = R. Az a = e, illetve a = 10 esetben loga -t ln-nel, illetve log-gal jelöljük és természetes, illetve tízes alapú logaritmusnak nevezzük.

Filip Ferdinánd

2015 szeptember 21.


28 / 52



Exponenciális és logaritmus függvények. ax , ha a > 1

1 ax , ha a < 1

loga x, ha a > 1

1 loga x, ha a < 1

10. ábra. Exponenciális és logaritmus függvények Filip Ferdinánd

2015 szeptember 21.


29 / 52



Exponenciális és logaritmus függvények

A logaritmusfüggvény tulajdonságai a hatványozásra vonatkozókból vezethet®ek le. Néhány fontosabb tulajdonság loga xy = loga x + loga y , loga loga x =

Filip Ferdinánd

logb x , logb a

x = loga x − loga y , loga x α = α loga x, y

aloga x = x,

2015 szeptember 21.

loga ax = x.


30 / 52



Trigonometrikus függvények. A jól ismert sin x, cos x, tg x és cotg x függvényeket gy¶jt®néven (alapvet®) trigonometrikus függvényeknek nevezzük.

cotg x tg x

sin x

x

x

cos x Filip Ferdinánd

2015 szeptember 21.


31 / 52



Trigonometrikus függvények. A trigonometrikus függvényekre vonatkozó összefüggések geometriai meggondolásokból vezethet®ek le. A legfontosabbak a következ®k π sin2 x + cos2 x = 1, sin x + = cos x, 2 sin x cos x tg x = , cotg x = , cos x sin x sin(x ± 2kπ) = sin x, cos(x ± 2kπ) = cos x, tg(x ± kπ) = tg x,

Filip Ferdinánd

2015 szeptember 21.

cotg(x ± kπ) = cotg x,

k ∈ Z.


32 / 52



Trigonometrikus függvények.

A szögek összegének szögfüggvényeire, illetve és a szögfüggvények összegére a megfelel® összefüggések közül elég egyet-egyet tudni (a többi bel®lük könnyen levezethet®) sin(x + y ) = sin x cos y + cos x sin y , x +y x −y sin x + sin y = 2 sin cos . 2 2

Filip Ferdinánd

2015 szeptember 21.


(2) (3)

33 / 52



Színusz és koszínusz függvények

cos x sin x − π2

π 2

π

3π 2

2π

11. ábra. Színusz és koszínusz függvények

Filip Ferdinánd

2015 szeptember 21.


34 / 52

−π



Tangens és kotangens függvények

tg x −π

π

2

2

π

cotg x 3π 2

−π

−π

π

2

2

π

12. ábra. Tangens és kotangens függvények

Filip Ferdinánd

2015 szeptember 21.


35 / 52



Árkusz függvények

A trigonometrikus függvények mindegyike periodikus, ezért biztosan nem invertálhatóak. Ha megfelel®en lesz¶kítjük az értelmezési tartományukat, akkor invertálható függvényeket kapunk.

Filip Ferdinánd

2015 szeptember 21.


36 / 52



Árkusz színusz függvény arcsin x.

Árkusz színusz Az f : − π2 , π2 → [−1, 1], f (x) = sin x függvény inverzét arcsin-szal jelöljük, tehát h π πi arcsin : [−1, 1] → − , 2 2 π π és x ∈ [−1, 1], y ∈ − 2 , 2 esetén arcsin x = y

Filip Ferdinánd

2015 szeptember 21.

⇔

x = sin y .


37 / 52



Árkusz színusz függvény arcsin x. π 2

arcsin x

y =x

1

− π2

−1

sin x

1

π 2

−1 − π2

13. ábra. A sin x, arcsin x függvénypár ábrái Filip Ferdinánd

2015 szeptember 21.


38 / 52



Árkusz koszínusz függvény arccos x.

Árkusz koszínusz Az f : [0, π] → [−1, 1], f (x) = cos x függvény inverzét arccos-szal jelöljük, tehát arccos : [−1, 1] → [0, π] és x ∈ [−1, 1], y ∈ [0, π] esetén arccos x = y

Filip Ferdinánd

2015 szeptember 21.

⇔

x = cos y .


39 / 52



Árkusz koszínusz függvény arccos x. arccos x

π

y =x π 2

1

−1

1 −1

π 2

π

cos x

14. ábra. A cos x, arccos x függvénypár ábrái Filip Ferdinánd

2015 szeptember 21.


40 / 52



Árkusz tangens függvény arctg x.

Árkusz tangens függvény Az f : − π2 , π2 → R, f (x) = tg x függvény inverzét arctg-sel jelöljük. Tehát π π arctg : R → − , 2 2 π π és x ∈ R, y ∈ − 2 , 2 esetén arctg x = y

Filip Ferdinánd

2015 szeptember 21.

⇔

x = tg y .


41 / 52



Árkusz tangens függvény arctg x. tg x y =x

π

arctg x

2

− π2

π 2

− π2

15. ábra. A tg x, arctg x függvénypár ábrái Filip Ferdinánd

2015 szeptember 21.


42 / 52



Árkusz kotangens függvény arccotg x.

Árkusz kotangens függvény Az f : (0, π) → R, f (x) = cotg x függvény inverzét arccotg-sel jelöljük. Tehát arccotg : R → (0, π) és x ∈ R, y ∈ (0, π) esetén arccotg x = y

Filip Ferdinánd

2015 szeptember 21.

⇔

x = cotg y .


43 / 52



Árkusz kotangens függvény arccotg x. cotg x π

π 2

y =x

arccotg x π

16. ábra. A cotg x, arccotg x függvénypár ábrái

Filip Ferdinánd

2015 szeptember 21.


44 / 52



Hiperbolikus függvények

• sh : R → R, • ch : R → R,

sh x =

ex −e−x

ch x =

ex +e−x

• th : R → (−1, 1),

2

2

th x =

• cth : R → R \ [−1, 1],

. .

sh x ch x

=

cth x =

ex −e−x ex +e−x

ch x sh x

=

ex +e−x , ex −e−x

Az hiperbolikus függvények inverz függvényeit area hiperbolikus függvények nevezzük.

Filip Ferdinánd

2015 szeptember 21.


45 / 52




y =x

17. ábra. A sh x és arsh x függvények grakonja

Filip Ferdinánd

2015 szeptember 21.


46 / 52



Hiperbolikus függvények y =x

ch x

arch x

ex

e−x

2

2

ln 2x

1

18. ábra. A ch x és arch függvények grakonja Filip Ferdinánd

2015 szeptember 21.


47 / 52



Hiperbolikus függvények arth x y =x

1 −1

th x 1

−1

19. ábra. A th x és arth x függvények grakonja

Filip Ferdinánd

2015 szeptember 21.


48 / 52



Hiperbolikus függvények y =x

cth x 1 −1

arcth x 1

−1

20. ábra. A cth x és arcth x függvények grakonja Filip Ferdinánd

2015 szeptember 21.


49 / 52




Nevezetes azonosságok: • ch2 x − sh2 x = 1 • sh(x ± y ) = sh x ch y ± ch x sh y • sh 2x = 2 sh x ch x • ch(x ± y ) = ch x ch y ± sh x sh y • ch 2x = ch2 x + sh2 x

Filip Ferdinánd

2015 szeptember 21.


50 / 52




Egyszer¶ számolással adódik az egyenl®ség: 2

2

ch x − sh x =

Filip Ferdinánd

ex + e−x

2

2

−

ex − e−x

2

2 1 2x = e + 2 + e−2x − e2x + 2 − e−2x 4 = 1.

2015 szeptember 21.


51 / 52




Egyszer¶ számolással adódik az egyenl®ség: x x e − e−x e + e−x 2 sh x ch x = 2 2 2 1 2x e − e−2x = 2 = sh 2x.

Filip Ferdinánd

2015 szeptember 21.


52 / 52

Egyváltozós függvények 1

Recommend Documents