EGYENLETRENDSZEREK MEGOLDÁSA ELEMI BÁZISTRANSZFORMÁCIÓVAL
3x1 3x2 x3 12 x1 3x2 x3 4 5 x1 7 x2 3x3 10
együttható-mátrix
3 3 1 A 1 3 1 5 7 3
x-ek
x1 x x2 x 3
jobb oldali számok
12 b 4 10
Ax b
AZ ELEMI BÁZISTRANSZFORMÁCIÓ JÁTÉKSZABÁLYAI
1.LÉPÉS: GENERÁLÓ ELEM VÁLASZTÁSA
e1 e2 e3
x1
x2
x3
b
3 1 5
3 3 7
1 12 1 4 3 10
Csak
x -es oszlopból és e -s sorból választhatunk generáló
elemet, nullát nem választhatunk és lehetőleg 1-et vagy -1-et érdemes 2.LÉPÉS: A BÁZISTRANSZFORMÁCIÓ
xi
a generáló elem
easymaths.hu e1 e2 e3
x1
x2
x3
b
3 1 5
3 3 7
1 12 1 4 3 10
a generáló elem sorát leosztjuk a generáló elemmel
az összes többi elemmel ez történik:
az oszlopot elhagyjuk
x2 e1 x1 e3
x3
b
6 4 0 3 1 4 8 2 10
x2
x3
·
7
35 8 1
12
3 4 0 1
b
e1 x1 e3
6 4 0 3 1 4 8 2 10
3.LÉPÉS: MEGINT GENERÁLÓ ELEM ÉS BÁZISTRANSZFORMÁCIÓ
e1 x1
x2 10 1
ismét választunk egy generáló elemet és elvégezzük a bázistranszformációt. A -1 nagyon csábító, de nem választhatjuk mert csak e -s sorból választhatunk, így ráfanyalodunk a 2-re
x3
4 5
b 20 1
www.easymaths.hu a matek világos oldala ©Mosóczi András
ELEMI BÁZISTRANSZFORMÁCIÓ
1
e1 x1
x2 10 1
b 20 1
x3
4 5
x2 x1
b 2 1
x2 2 x1 1
x3
3
x3 3
4.LÉPÉS: AZ UTOLSÓ BÁZISTRANSZFORMÁCIÓ ÉS UTÁNA LEOLVASSUK A MEGOLDÁST
EGY TANULSÁGOS ESET
x1 x2 x3 x4 4 x1 x3 x4 2 2 x2 x4 8 x1 x4 5
easymaths.hu érdemes olyan generáló elemet választani, hogy a sorában és oszlopában jó sok nulla legyen.
e1
x1 1
x2 1
x3 x4 1 1
b 4
e2 e3
1 0
0 2
1 0
1 1
2 8
e4
1
0
0
1
5
x2
x3
e1 e2
1 0
1 1 1 3
x4 x1
2 2
0 0
x2
b
1 0
2 3
e1 x3 x4 x1
2 8 2 3
b
8 3
x2
x3
x4
b
e1 e2
1 0
1 1
0 0
1 3
e3 x1
2 0
0 0
1 1
8 5
x2
x3
e1 e2
1 0
1 1 1 3
x4 x1
2 2
0 0
b
8 3
e1 x3 x4 x1
x2
x3
x4
e1 e2
1 0
1 1
0 0
e3 x1
2 0
0 0
1 1
x2
b
1 0
2 3
b
1 3 8 5
2 8 2 3
b
x2 x3
2 3
x2 2 x3 3
x4 x1
4 1
x4 4 x1 1
www.easymaths.hu a matek világos oldala ©Mosóczi András
ELEMI BÁZISTRANSZFORMÁCIÓ
2
VÉGTELEN SOK MEGOLDÁS, NULLA MEGOLDÁS, SZABADSÁGFOK
x1 x2 x3 3 2 x1 x2 2 3x1 2 x2 x3 5
az első két egyenletet összeadva kapjuk a harmadik egyenletet
ebben az egyenletrendszerben valójában csak két egyenlet van, mert a harmadik egyenlet az első kettő összege. vagyis több ismeretlen van, mint ahány egyenlet, és ilyenkor az egyenletrendszernek nincs egyértelmű megoldása.
x1 x2 x3 3 2 x1 x2 2 3x1 2 x2 x3 6
az első két egyenletet összeadva kapjuk a harmadik egyenletet, de a jobb oldalon 5 helyett 6 van
ebben az egyenletrendszerben a harmadik egyenlet szintén az első kettő összege, de a jobb oldal nem stimmel, mert 5 helyett 6 van. ilyenkor nem tud egyszerre mindegyik egyenlet teljesülni, vagyis nincs megoldás.
NÉZZÜK MEG, HOGYHA ELKEZDJÜK MEGOLDANI EZEKET AZ EGYENLETRENDSZEREKET AZ ELEMI BÁZISTRANSZFORMÁCIÓVAL, VAJON HOGYAN FOG KIDERÜLNI, HOGY AZ EGYIKNEK VÉGTELEN SOK MEGOLDÁSA VAN, A MÁSIKNAK MEG NINCS MEGOLDÁSA.
x1 x2 x3 3 2 x1 x2 2 3x1 2 x2 x3 5
x1 x2 x3 3 2 x1 x2 2 3x1 2 x2 x3 5
x1
x2
x3
b
1 2 3
1 1 2
1 0 1
3 2 5
x2
x3
x1
x2
x3
b
1 2 3
1 1 2
1 0 1
3 2 6
easymaths.hu e1 e2 e3
b
x1 e2
1 1 3 1 2 4
e2
1 2 4
x3 x1 x2 e3
e1 e2 e3
x2
b
b
x1 e2
1 1 3 1 2 4
e2
1 2 3
ITT KEZDŐDNEK A PROBLÉMÁK x3 -at nem tudjuk lehozni, mert 0-t nem választhatunk
1 1 2 4 0 0
x3
generáló elemnek, a bázistranszformáció úgy ér véget, hogy marad egy e -s sor.
x1
x3 b 1 1
x2 e3
2 0
4 1
HA MARADNAK e -S SOROK, AHOL MÁR NEM TUDUNK GENERÁLÓ ELEMET VÁLASZTANI, OLYANKOR MINDIG VÉGTELEN SOK MEGOLDÁS VAN, VAGY NINCS MEGOLDÁS. HA AZ
e -S SOR ILYEN,
HA AZ
AKKOR VÉGTELEN SOK MEGOLDÁS VAN
e
x-es oszlop
b
0
0
www.easymaths.hu a matek világos oldala ©Mosóczi András
e -S SOR ILYEN,
AKKOR NINCS MEGOLDÁS
e ELEMI BÁZISTRANSZFORMÁCIÓ
x-es oszlop
b
0
NEM 0 3
A MEGOLDÁS LEOLVASÁSA A TÁBLÁZATBÓL
x3 x1 x2 e3
A MEGOLDÁS LEOLVASÁSA A TÁBLÁZATBÓL
x1
x3 b 1 1
x2 e3
2 00
b
1 1 2 4 00 0
VAN MEGOLDÁS
a fent maradt változók úgynevezett szabad változók, ők t, s és egyéb néven szerepelnek tovább a történetben.
4 1
NINCS MEGOLDÁS
ilyenkor már nincs további teendő
A MEGOLDÁS:
x3 x1 x2 e3
x3 t
b
1 1 x1 1 t 1 2 4 x2 2 t 4 0 0
AZ ÁLTALÁNOS MEGOLDÁS:
x1 1 t
easymaths.hu x 2 4 2t
x3 t t R
SZABADSÁGFOK=ahány
xi
fönt marad
SZABADSÁGFOK=nincs
(most a szabadságfok 1) RANG=ahány
xi
RANG=ahány
levihető
és
levihető
(ez itt is 2)
(most a rang 2)
Az
xi
paraméterek milyen értékeire lesz nulla darab, egy darab illetve végtelen sok
megoldása a következő egyenletrendszernek?
x1 x 2 x3 4 2 x1 x 2 x3 5 3x1 2 x 2 x3
e1 e2
x1 1 2
x2 1 1
x3 1 1
b 4 5
e3
3
2
www.easymaths.hu a matek világos oldala ©Mosóczi András
elkezdjük megoldani a bázistranszformációval. olyan sorban és oszlopban, ahol paraméter van, nem ajánlatos generáló elemet választani
ELEMI BÁZISTRANSZFORMÁCIÓ
4
x1 e2
x2 1 1
e3
1
x3 1 1
amíg lehet, elkerüljük a paramétereket
1 4
x3 0 1
x1 x2
b 4 3
1.ESET
b 1 3
2
7
x1 x2
x3 0 1
b 1 3
e3
0
0
2 7
e3
és
2.ESET
2
,
és
7
és
bármi
2
és
b 1 3 BÁRMI
x1 x2
x3 0 1
b 1 3
x1 x2
x3 0 1
e3
0
NEM0
e3
NEM0
nincs megoldás
végtelen sok megoldás
Az
3.ESET
ilyenkor
x3
levihető és
egy megoldás van
paraméterek milyen értékeire lesz nulla darab, egy darab illetve végtelen sok
easymaths.hu megoldása a következő egyenletrendszernek?
x1 x 2 2 x3 x 4 x 2 2 x3 x 4 1 2 x 2 4 x3 x 4 4 3x 2 6 x3 3x 4 x1
x2
x3
x4
b
e1 e2
1 0
1 1
2 2
1 1
e3 e4
0 0
2 3
4 6
4
3
1.ESET
1
3
x1
x3
x4
b
e1 x2
1 0
0 2
0 1
1
e3 e4
0 0
0 0
2
2 3
x4
b
x1 x2
0 2
0 1
1 1
e3 e4
0 0
2
x1 x2
2 NEM0
e3 e4
0
nincs megoldás
www.easymaths.hu a matek világos oldala ©Mosóczi András
0
2
3
és
x3
x4
b
0 2
0 1
1
0 0
0 0
2.ESET
x3
1
x3
x4
b
x1 x2
0 2
0 1
1
e3 e4
0 0
2
2 3
1
0
3.ESET
3
és
2
x3
x4
b
0 2
0 1
1
1
x1 x2
0 0
e3 e4
0 0
2
2 0
végtelen sok megoldás, a szabadságfok kettő, bármennyi lehet.
0
1
levihető, végtelen sok megoldás, szabad-ságfok egy
x4
ELEMI BÁZISTRANSZFORMÁCIÓ
5
Számítsuk ki a
1 2 5 1 1 1 2 2 v1 v 2 v 3 v 4 2 3 7 3 1 1 2 2 vektorokból álló vektorrendszer rangját, illetve állapítsuk meg, hogy előállítható-e segítségükkel az
4 3 3 2 a illetve b 7 5 3 3 Akkor állítható elő az
a illetve a b vektor, ha léteznek olyan x1 x2 x3 x4 számok, hogy x1 v1 x2 v 2 x3 v 3 x4 v 4 a illetve x1 v1 x2 v 2 x3 v 3 x4 v 4 b
Ez tulajdonképpen két egyenletrendszer:
1 2 5 1 4 1 1 2 2 3 x1 x 2 x3 x 4 2 3 7 3 7 1 1 2 2 3
1 2 5 1 3 1 1 2 2 2 x1 x 2 x3 x 4 2 3 7 3 5 1 1 2 2 3
easymaths.hu megoldjuk:
ezt is:
x1
x2
x3
x4
a
e1 e2
1 1
2 1
5 2
1 2
4 3
e3 e4
2 1
3 1
7 2
3 2
7 3
x2
x3
x4
a
x1 e2
2 5 1 3
1 1
4 1
e3 e4
1 3 1 3
1 1
1 1
x3
a
x4
x1
x2
x3
x4
b
e1 e2
1 1
2 1
5 2
1 2
3 2
e3 e4
2 1
3 1
7 2
3 2
5 3
x2
x3
x4
b
x1 e2
2 5 1 3
1 1
3 1
e3 e4
1 3 1 3
1 1
1 0
x3
x4
b
x1 x2
1 3 2 3 1 1
x1 x2
1 3 5 3 1 1
e3 e4
0 0
e3 e4
0 0
0 0
0 0
van megoldás, így az
a vektor előállítható. Például 2 v1 1 v 2 0 v 3 0 v 4 a www.easymaths.hu a matek világos oldala ©Mosóczi András
0 0
0 1
nincs megoldás, ezért a
b vektor sajna nem
állítható elő
ELEMI BÁZISTRANSZFORMÁCIÓ
6
Az
a 1 a 2 a 3 független vektorok, és v1 a1 2a 2 a 3 v 2 a1 a 3 v 3 3a1 2a 2 a 3
Mekkora a
v1 v 2 v 3 vektorrendszer rangja, illetve előállítható-e velük a b a1 2a 2 a 3 vektor?
A
b vektor akkor állítható elő, ha van olyan x1 x2 x3 amire b x1 v1 x2 v 2 x3 v 3
mindenkit lecserélünk az
a 1 a 2 a 3 vektorokkal felírt változatára:
b x1 v1 x2 v 2 x3 v 3
a1 2a 2 a 3 x1 a1 2a 2 a 3 x2 a1 a 3 x3 3a1 2a 2 a 3
a jobb oldalt átrendezzük úgy, hogy lássuk mennyi van az
a 1 a 2 a 3 vektorokból a1 2a 2 a 3 a1 x1 x2 3x3 a 2 2 x1 2 x3 x3 x1 x2 x3
mivel
a 1 a 2 a 3 független vektorok, ha az egyenlőség bal oldalán egy darab a 1 van, a jobb oldalon is egy darab kell, hogy legyen, ha bal oldalon két a 2 van, akkor jobb oldalon is és ezért
easymaths.hu 1 x1 x 2 3x3 2 2 x1 2 x3
1 x1 x 2 x3
megoldjuk
a1 a2 a3 A
x1 x 2 1 1 2 0 1
1
x3 3 2
b 1 2
1
1
x2 a2
x1 1 2
a3
0
x3 3 2
b 1 2
2 0
x2 x1
x3 b 4 2 1 1
a3
2
0
x2 x1
b 2 1
x3
0
b vektor előáll: b 1 v1 2 v 2 0 v 3 a vektorrendszer rangja pedig három.
www.easymaths.hu a matek világos oldala ©Mosóczi András
ELEMI BÁZISTRANSZFORMÁCIÓ
7
INVERZ MÁTRIX KISZÁMOLÁSA
3 2 1 A 1 1 1 2 1 1
e1 e2
x1 3 1
x2 2 1
x3 1 1 0 0 1 0 1 0
e3
2
1
1
e1 x1
x 2 x3 1 2 1 3 0 1 1 0 1 0
e3
1
3
A változatosság kedvéért ezt is elemi bázistranszformációval számoljuk ki. Felírjuk a mátrixunk mellé az egységmátrixot:
A I
0 0 1
0 2 1
Aztán jöhet a bázistranszformáció. Ha nem tudjuk mindegyik x-et levinni, akkor nincs inverz. Ha mindet le tudjuk vinni, akkor van inverz és az x-es sorokat sorbarakva kapjuk meg:
easymaths.hu e1
x3 1 1 1 1
x1 x2
2 0 1 1 3 0 2 1
x3
1
x1 x2
2 3 1 3 5 2
1
1
x1 A x2 x 3 1
x1 2 3 1 A x2 3 5 2 x 1 1 1 3 1
Feladatok 8.1. Adjuk meg a következő egyenletrendszer
x1 x 2 2 x3 x 4 9 x1 x 2 x3 x 4 6 2 x1 2 x 2 x3 2 x 4 9 3x1 5 x 2 x3 3x 4 12 www.easymaths.hu a matek világos oldala ©Mosóczi András
a) általános megoldását b) szabadságfokát és az együttható-mátrix rangját c) egy olyan partikuláris megoldását, ahol x1 12 d) egy olyan partikuláris megoldását ahol
ELEMI BÁZISTRANSZFORMÁCIÓ
x2 13
8
8.2. Adjuk meg a következő egyenletrendszer
x1 x 2 x3 x 4 7 2 x1 x 2 3x3 x 4 12 x1 4 x3 2 x 4 5 x1 x 2 9 x3 5 x 4 3
a) általános megoldását b) szabadságfokát és az együttható-mátrix rangját c) egy olyan partikuláris megoldását, ahol x1 5 d) egy olyan partikuláris megoldását ahol
x1 9 x2 0
e) két bázismegoldását
8.3. Oldjuk meg a következő egyenletrendszert:
x1 x 2 x3 4 2 x1 x 2 x3 5 x1 x 2 x3 6 x1 x 2 x3 7 8.4. Adjuk meg a következő egyenletrendszer
x1 x 2 x3 x 4 2 2 x1 x 2 x3 x 4 5 3x1 x 2 x 4 7
a) általános megoldását b) szabadságfokát és az együttható-mátrix rangját
paraméter milyen értékére lesz nulla darab, egy darab illetve végtelen sok megoldása a következő egyenletrendszernek? 8.5. Az
x1 x 2 x3 4 2 x1 3x 2 x3 9 x1 2 x 2 2 x3
8.6. Az
,
paraméterek milyen értékeire lesz nulla darab, egy darab illetve végtelen
sok megoldása a következő egyenletrendszernek?
x1 x 2 x3 x 4 2 2 x1 5 x 2 x3 x 4 7 x1 4 x 2 2 x3 x 4 5 3x1 6 x 2
8.7. Oldjuk meg a következő egyenletrendszert:
x1 x 2 x3 3x 4 1 2 x1 x 2 x3 5 x 4 2 x1 4 x 2 2 x3 4 x 4 1
www.easymaths.hu a matek világos oldala ©Mosóczi András
ELEMI BÁZISTRANSZFORMÁCIÓ
9
8.8. Az
és
paraméterek milyen értékeire lesz végtelen sok megoldása a következő
egyenletrendszernek?
x1 x 2 x3 2 x1 x 2 x3 4 2 x1 x 2 x3 6 8.9. Az
,
és
paraméterek milyen értékeire lesz nulla darab, egy darab illetve
végtelen sok megoldása a következő egyenletrendszernek?
x1 x 2 x3
2 x1 x 2 x3 1 3x1 2 x 2 x3 2 8.10. Számítsuk ki a
1 3 4 5 1 1 2 1 v1 v 2 v 3 v 4 4 2 4 2 1 1 1 0 vektorokból álló vektorrendszer rangját, illetve állapítsuk meg, hogy előállítható-e segítségükkel az
1 2 3 2 a illetve b 16 2 4 1 8.11. Az
a 1 a 2 a 3 független vektorok, és v1 a 1 a 2 a 3 v 2 a1 a 2 a 3 v 3 a1 3a 2 a 3
Mekkora a
v1 v 2 v 3 vektorrendszer rangja, illetve előállítható-e velük a b a1 a 2 a 3
vektor?
8.12. Az
a 1 a 2 a 3 a 4 független vektorok, és v1 a1 a 2 a 3 a 4 v 2 2a1 a 2 a 3 a 4 v 3 3a1 a 2 a 3 a 4 v 4 a1 a 2 a 3 a 4
Mekkora a
v1 v 2 v 3 v 4 vektorrendszer rangja, illetve előállítható-e velük a b a1 a 2 a 3 a 4 vektor?
www.easymaths.hu a matek világos oldala ©Mosóczi András
ELEMI BÁZISTRANSZFORMÁCIÓ
10
