Line´ aris egyenletrendszerek Line´ aris egyenletrendszernek nevezz¨ uk az a11x1 + a12x2+ . . . +a1nxn = b1 a21x1 + a22x2+ . . . +a2nxn = b2 ... ... ak1x1 + ak2x2+ . . . +aknxn = bk n ismeretlenes, k egyenletb˝ ol ´ all´ o egyenletrendszert, ahol a11, a12, . . . , a1n, . . . , ak1, . . . , akn, b1, . . . , bk adott val´ os sz´ amok. amokat a line´ aris x1, . . . , xn jel¨ oli az ismeretleneket, az aij sz´ egyenletrendszer egy¨ utthat´ oinak mondjuk, m´ıg a b1, b2, . . . , bk sz´ amokat a konstansoknak. Amennyiben b1 = 0, . . . , bk = 0, az egyenletrendszert homog´ ennak nevezz¨ uk, ´ altal´ aban inhomog´ ennak.
• Az ismeretlenek egy¨ utthat´ oi ´ es a konstansok nemcsak a val´ os sz´ amtestb˝ ol vehet˝ ok, hanem lehetnek m´ as sz´ amtest, pl. a komplex sz´ amtest elemei. Ekkor term´ eszetesen a megold´ asokat is ugyanazon sz´ amtestben keress¨ uk. • Egyenletek, egyenletrendszerek eset´ eben k´ et alapvet˝ o k´ erd´ es van: 1) Van-e az egyenletrendszernek egy´ altal´ an megold´ asa, s ha van, a megold´ as egy´ ertelm˝ u-e? 2) Hogyan hat´ arozhatjuk meg a megold´ ast, vagy megold´ asokat. • megoldhat´ o: ha a line´ aris egyenletrendszernek l´ etezik megold´ asa ellentmond´ asos: ha nincs megold´ asa hat´ arozott: ha pontosan egy megold´ as l´ etezi hat´ arozatlan: ha t¨ obb megold´ asa van
K´ et line´ aris egyenletrendszert ekvivalensnek mondunk, ha megold´ asaik halmaza azonos. Ekvivalens ´ atalak´ıt´ asok: • az egyenletet megszorozzuk valamely null´ at´ ol k¨ ul¨ onb¨ oz˝ o sz´ ammal Ugyanis ha egy c1, c2, . . . , cn sz´ am n-es megoldja az eredeti egyenletrendszert, akkor az ´ ujat is, hiszen az els˝ o egyenlet eset´ eben λa11c1+λa12c2+. . .+λa1ncn = λ(a11c1+a12c2+. . .+a1ncn) = λb1 m´ıg a t¨ obbi egyenlet ugyanaz, mint az eredetiben.
• valamely egyenletet ´ ugy v´ altoztatjuk meg, hogy hozz´ aadjuk valamelyik m´ asik egyenletet. Ugyanis ha c1, c2, . . . , cn megoldja az eredeti egyenletrendszert, akkor az ´ uj els˝ ot is: (a11 + a21)c1 + (a12 + a22)c2 + . . . + (a1n + a2n)cn = = (a11c1+a12c2+. . .+a1ncn)+(a21c1+a22c2+. . .+a2ncn) = b1+b2 s a t¨ obbit is, hiszen azok ugyanazok, mint az eredetiben.
Gauss elimin´ aci´ o • alkalmas egy tetsz˝ oleges line´ aris egyenletrendszer megold´ asainak el˝ o´ all´ıt´ as´ ara, illetve annak eld¨ ont´ es´ ere is, hogy az egyenletrendszer hat´ arozott, hat´ arozatlan vagy ellentmond´ asos.
• az ismeretlenek szukcessz´ıv kik¨ usz¨ ob¨ ol´ es´ enek m´ odszere
• az egyenletrendszert ekvivalens ´ atalak´ıt´ asokkal olyan alakra hozzuk, hogy onnan a megoldhat´ os´ ag, ´ es a megold´ asok k¨ onnyen leolvashat´ ok legyenek.
• trap´ ez alak vagy speci´ alis esetben h´ aromsz¨ ogalak
Def.: Egy line´ aris egyenletrendszert trap´ ez alak´ unak mondunk, ha van olyan 1 ≤ r ≤ k, hogy a11 6= 0, a22 6= 0, . . . , arr 6= 0, aij = 0, ha i = 1, 2, . . . , r, j < i ´ es aij = 0, ha i > r, j = 1, . . . , n. Speci´ alisan, az r = n esetben h´ aromsz¨ ogalak´ unak nevezz¨ uk az egyenletrendszert.
A Gauss elimin´ aci´ o f˝ o l´ ep´ ese: 1. Amennyiben a11 6= 0, a m´ asodik, harmadik, stb., kadik egyenletb˝ ol az x1 ismeretlen elt¨ untethet˝ o, m´ assz´ oval a et kik¨ usz¨ ob¨ olhet˝ o az´ altal, hogy az els˝ o egyenlet (− i1 )-szeres´ a11 adjuk az i-dik egyenlethez (i = 2, 3, . . . , k). 2. Ha a11 = 0, akkor az els˝ o egyenletben nem nulla egy¨ utthat´ oval szerepl˝ o ismeretlent kell el˝ orehozni els˝ o ismeretlennek, s ekkor v´ egrehajtani az ismeretlen kik¨ usz¨ ob¨ ol´ es´ et. 3. A m´ asodik l´ ep´ esben a m´ asodik ismeretlent k¨ usz¨ ob¨ olj¨ uk ki a m´ asodik egyenlet ut´ ani egyenletekb˝ ol, stb. ´ es ´ıgy tov´ abb mindaddig, am´ıg van mit kik¨ usz¨ ob¨ olni. Ily m´ odon trap´ ez alakhoz jutottunk.
A trap´ ez alakr´ ol felismerhet˝ o, hogy van-e megold´ asa az egyenletrendszernek. Pontosan akkor megoldhat´ o, ha trap´ ez alakj´ aban az r + 1-dik egyenlett˝ ol kezdve a jobboldali konstansok mind 0-´ ak. A megoldhat´ o esetben az egyenletrendszer pontosan akkor lesz hat´ arozott, ha r = n, azaz h´ aromsz¨ ogalakra jutottunk. Ugyanis ekkor az utols´ o, n-dik egyenletb˝ ol ad´ odik xn egyetlen lehets´ eges ´ ert´ eke, ezt behelyettes´ıtve az el˝ oz˝ obe xn−1, majd ezt is az el˝ oz˝ obe helyettes´ıtve az ´ ujabb ismeretlen ´ ert´ eke, stb. s v´ eg¨ ul az els˝ o egyenetb˝ ol x1.
Ha viszont r < n, akkor az egyenletrendszer hat´ arozatlan, hiszen az xr+1, xr+2, . . . , xn ´ un. szabad ismeretleneknek tetsz˝ oleges ´ ert´ eket adva az egyenletrendszer hat´ arozott´ a v´ alik, azaz az el˝ obbiekben alkalmazott visszahelyettes´ıt´ eses m´ odszerrel egy (partikul´ aris) megold´ ast kapunk. A szabad ismeretlenek viszont sokf´ elek´ epp megv´ alaszthat´ ok, teljesen tetsz˝ olegesen, ez´ ert v´ egtelen sok megold´ asa van az egyenletrendszernek. Ilyenkor szok´ as a megold´ asokat a szabad ismeretlenek f¨ uggv´ eny´ eben fel´ırni.
• Homog´ en line´ aris egyenletrendszer mindig megoldhat´ o, hiszen x1 = 0, x2 = 0, . . . , xn = 0 trivi´ alisan megold´ ast ad. Ez´ ert a megoldhat´ os´ ag k´ erd´ ese nem ´ erdekes, hanem az, hogy e trivi´ alist´ ol k¨ ul¨ onb¨ oz˝ o megold´ as van-e. A Gauss elimin´ aci´ o m´ odszere szerint ez akkor k¨ ovetkezik be, ha r < n. Speci´ alisan l´ athatjuk, hogy ha az egyenletek sz´ ama kevesebb, mint az ismeretlenek sz´ ama (k < n), akkor a homog´ en line´ aris egyenletrendszernek mindig van trivi´ alist´ ol k¨ ul¨ onb¨ oz˝ o megold´ asa is.
• Tudjuk, hogy a s´ıkon Descartes f´ ele koordin´ atarendszert tekintve az egyenesek Ax + By = C line´ aris egyenletekkel adhat´ ok meg. Ez´ ert egy k´ etismeretlenes k´ et egyenletb˝ ol ´ all´ o line´ aris egyenletrendszer megoldhat´ os´ aga azzal ekvivalens, hogy a megfelel˝ o egyeneseknek van-e k¨ oz¨ os pontjuk. Ha egy k¨ oz¨ os pontjuk van, metsz˝ ok, akkor hat´ arozott az egyenletrendszer, ha azonos a k´ et egyenes, akkor hat´ arozatlan az egyenletrendszer, s ha p´ arhuzamosak, akkor az egyenletrendszer ellentmond´ asos. A 3 ismeretlenes line´ aris egyenletek t´ erbeli s´ıkok egyenletei. Ez´ ert a 3 ismeretlenes egyenletrendszer megold´ asa ´ ugy is f¨ olfoghat´ o, mint s´ıkok metsz´ espontj´ anak (vagy metsz´ espontjainak) meghat´ aroz´ asa.
M´ atrixsz´ am´ıt´ as Ha adott k·n darab val´ os sz´ am, s ezeket k sorban, s n oszlopban helyezz¨ uk el, akkor k×n t´ıpus´ u m´ atrixr´ ol besz´ el¨ unk. Jel¨ ol´ ese:
a11 a12 . . . a1n a 21 a22 . . . a2n A = .. ... .
ak1 ak2 . . . akn aij : az A m´ atrix i-dik sor´ anak j-dik eleme aij az A m´ atrix (i, j)-dik eleme.
Az ¨ osszes k × n t´ıpus´ u m´ atrixok halmaz´ at Mk×n jel¨ oli. Ha egy m´ atrixban a sorok ´ es oszlopok sz´ ama megegyezik: k = n, akkor n-edrend˝ u kvadratikus (n´ egyzetes) m´ atrixr´ ol besz´ el¨ unk. Ezek halmaz´ at adott n eset´ en Mn jel¨ oli.
Azt a speci´ alis m´ atrixot, melynek minden eleme nulla, nullm´ atrixnak mondjuk, s ´ altal´ aban O-val jel¨ olj¨ uk. n-edrend˝ u egys´ egm´ atrixon azt az n-edrend˝ u kvadratikus m´ atrixot ´ ertj¨ uk, melynek f˝ o´ atl´ oj´ aban (diagon´ alis´ aban) minden¨ utt 1 ´ all, m´ asutt pedig 0: Jele:
E=
1 0 ... 0 0 1 ... 0 ... ... 0 0 ... 1
• val´ os, komplex elem˝ u m´ atrix, f¨ uggv´ eny mtrix
• sorm´ atrix, oszlopm´ atrix
M´ atrixm˝ uveletek K´ et m´ atrix ¨ osszead´ asa csak akkor lehets´ eges, ha azonos t´ıpus´ uak. Az A = (aij ) ´ es B = (bij ) k×n t´ıpus´ u m´ atrixok ¨ osszege az a k×n t´ıpus´ u m´ atrix, melynek (i, j)-dik eleme A (i, j)-dik elem´ enek ´ es B (i, j)-dik elem´ enek ¨ osszege:
A+B =
a11 + b11 a12 + b12 . . . a1n + b1n a21 + b21 a22 + b22 . . . a2n + b2n ... ... ak1 + bk1 ak2 + bk2 . . . akn + bkn
(A + B) + C = A + (B + C) A+B =B+A A+O =O+A=A A + (−A) = O Legyen λ tetsz˝ oleges val´ os sz´ am. λA azt a m´ atrixot jel¨ oli, mely A-b´ ol ´ ugy keletkezik, hogy A minden elem´ et megszorozzuk λval. Ezt a fajta szorz´ ast skal´ arral val´ o szorz´ asnak mondjuk. (λµ)A = λ(µA) (λ + µ)A = λA + µA λ(A + B) = λA + λB
K´ et m´ atrix szorzata csak akkor ´ ertelmezett, ha az els˝ onek annyi oszlopa van, mint ah´ any sora a m´ asodiknak. Az A ∈ Mk×n ´ es a B ∈ Mn×l m´ atrixok szorzata az a C ∈ Mk×l m´ atrix, mely (i, j)-dik eleme: cij = ai1b1j + ai2b2j + . . . + ainbnj =
n X
s=1
A m´ atrixszorz´ as tulajdons´ agai: A(BC) = (AB)C (A + B)C = AC + BC A(B + C) = AB + AC AE = A
aisbsj
Fontos f¨ olfigyeln¨ unk arra, hogy a m´ atrix szorz´ as nem kommutat´ıv: ´ altal´ aban AB 6= BA. Line´ aris egyenletrendszer m´ atrixegyenletk´ ent is ´ ertelmezhet˝ o: Ha A jel¨ oli a line´ aris egyenletrendszer egy¨ utthat´ oib´ ol k´ epzett k × n-es m´ atrixot, X az ismeretleneket tartalmaz´ o n × 1-es oszlopm´ atrixot, s B a konstansokat tartalmaz´ o k × 1 oszlopm´ atrixot, akkor az egyenletrendszer az AX = B m´ atrixegyenlett´ e t¨ om¨ or´ıthet˝ o.
Egy A kvadratikus m´ atrixot invert´ alhat´ onak mondunk, ha l´ etezik hozz´ a olyan B m´ atrix, hogy AB = BA = E. Ezt a B m´ atrixot A inverzm´ atrix´ anak nevezz¨ uk, s a jele A−1. Meg lehet mutatni, hogy ha A invert´ alhat´ o, akkor csak egyetlen inverze van. atrix à Viszont ! nem minden kvadratikus m´ 0 0 invert´ alhat´ o, pl. a m´ atrix sem. K´ es˝ obb fogunk majd 1 1 mondani felt´ eteleket arra, hogy egy m´ atrix mikor invert´ alhat´ o. Az n-edrend˝ u invert´ alhat´ o m´ atrixok halmaza a szorz´ as m˝ uvelet´ ere n´ ezve z´ art, azaz k´ et invert´ alhat´ o m´ atrix szorzata is invert´ alhat´ o, ´ es (AB)−1 = B −1A−1
Az inverz m´ atrix meghat´ aroz´ asa a k¨ ovetkez˝ o megfigyel´ esen alapszik: Az inverzm´ atrix els˝ o oszlop´ aban szerepl˝ o sz´ amok megkeres´ ese egy olyan line´ aris egyenletrendszer megold´ as´ at jelenti, mely egy¨ utthat´ om´ atrixa A, a jobboldali konstansok oszlopa pedig az E egys´ egm´ atrix els˝ o oszlopa. Az inverz m´ atrix m´ asodik, stb. j-dik oszlop´ anak megkeres´ ese azon line´ aris egyenletrendszer megold´ as´ at jelenti, mely egy¨ utthat´ o m´ atrixa A, a jobboldali konstansok oszlopa E m´ asodik, stb. jdik oszlopa. Teh´ at n darab line´ aris egyenletrendszert kell megoldanunk, de ezek baloldala mind ugyanaz. Mivel a Gauss elimin´ aci´ o l´ ep´ eseit csup´ an a baloldali egy¨ utthat´ om´ atrix ir´ any´ıtja, ezeket az egyenletrendszerek egyidej˝ uleg is megoldhatjuk. Ezt a m´ odszert szimult´ an Gauss elimin´ aci´ onak nevezz¨ uk.
