ELSŐFOKÚ EGYENLETEK, EGYENLŐTLENSÉGEK ÉS EGYENLETRENDSZEREK
1.
2.
Határozzuk meg a következő nyitott mondatok igazsághalmazának három-három elemét, ha az alaphalmaz a természetes számok halmaza: a) 5x+3 < 20 b) 5x+1 páros szám c) 5x +1 prímszám d) 5x + 1 négyzetszám e) 5x+1 4-gyel osztva 1 maradékot ad f) 5x+1-nek négy pozitív osztója van g) 5x > x2 h) x < 2 vagy x > 5 i) x négyzetszám és x-nek három osztója van j) az x szám páros szám, vagy négyzetszám, és az x szám nem osztható 4-gyel Ábrázold derékszögű koordináta-rendszerben azt az egyenest, amelyre az 2
𝑥 → 3 𝑥 − 4 , 𝑥 ∈R lineáris függvény grafikonjának pontjai illeszkednek! a) Olvassa le a grafikonról, hogy az x változó mely értékeihez tartozik – 2 , 2 , - 6 függvényérték! b) Olvassa le a grafikonról, hogy az x változó mely értékeinél pozitívak a függvényértékek! c) Olvassa le a grafikonról, hogy az x változó mely értékeinél nem pozitívak a függvényértékek! d) Az x változó mely értékeire igaz a következő kijelentés: 3.
2 3
𝑥 − 4 legalább – 4 és
legfeljebb 0? Ábrázoljuk közös koordináta-rendszerben a következő lineáris függvényeknek megfelelő egyeneseket! 2
5
1
f: x → 3 𝑥 − 4 és g: x → − 7 𝑥 + 7 , 𝑥 ∈R A grafikonok segítségével oldja meg a racionális számok halmazán a következő egyenlőtlenségeket! 2
5
1
a) 3 𝑥 − 4 > − 7 𝑥 + 7 2
5
1
b) 3 𝑥 − 4 ≤ − 7 𝑥 + 7 4.
Oldja meg grafikusan a következő egyenleteket, illetve egyenlőtlenségeket a racionális számok halmazán! a) x2 = 4x – 3 b) | x + 3 | + | x – 3 | = 8 c) 2x < 2x – 2 d) x2 + 2x – 3 < 0 e) | x – 2 | + | x + 4 w
f) x2 = 3x + 2 g) x2 – 4x + 5 > 0 h) | x – 2 | + | x + 5 | = 4 i) | x + 1 | + | x – 4 | ≥ 2 Oldjuk meg a következő egyenleteket: 1
5.
a) -3x = 0
b) 4(𝑥 − 3) = 0
6. 7.
a) 5x – 1 = 0 a) 2x+5=2x - 1
b) – 3x +2=0 b) 2x – 2 = 1 – x
8.
a) 6 = 0
9.
a) 2𝑥 −
𝑥
1
3
3
1
2
𝑥 = (2 𝑥 − 2) + (2 − 5 𝑥)
5 7
7
b) (3 𝑥 − 2 𝑥) + 1 = (𝑥 − 10.
3
b) 2 𝑥 + 4 = 0
3
2
1
1
2
16 3
𝑥) +
5
7
1
2
16 5 3
𝑥
a) (4 𝑥 − 5) + (3 𝑥 + 3) − (12 𝑥 − 10) = 3
29 5
5
b) (2 𝑥 + 4) + (2𝑥 + 2) − (3 𝑥 − 4) = 6 11. 12.
8x – (5 – 4x) = 6 – (4x+9) (6x+3) – (3x - 4) = ( x – 4 ) – ( x + 1)
13.
(2 𝑥 + 4) − (−𝑥 − 2) − (− 3 𝑥 − 4) = 6
14. 15. 16. 17. 18. 19.
3x(x+1) – x(3x - 1) = x – 7 4x – 2(x – 3 ) – 3 [x – 3( 4 – 2x ) + 8] = - 1 ( 3x – 1 ) ( 2x + 5 ) – 3( 2x – 1 ) (x + 2 ) = 24 ( x – 3 ) ( x – 4 ) – ( 1 – x )( 2 – x ) = 0 2[4 – 5(3x – 5 )] = 60 – 15x 1 – 2[5(3x – 1 ) – 5(1+2x)] = 3(7 - 3x) – x
20.
a) 2 + 9 = 44
1
1
𝑥
1
1
𝑥
b)
5
3
c) 2𝑥 − (7 𝑥 − 4 𝑥) = 57 21. 22. 23. 24. 25. 26. 27. 28. 29.
6𝑥−4
6−
3𝑥 −
4 6−2𝑥
1− 𝑥−1 2
5 𝑥+2
+
𝑥− 𝑥+
3 𝑥+1 4 1
3𝑥−2
−
6
3 2
1,2
2
4 5
− (3 +
3
2 3𝑥 2
𝑥+3
−
2 𝑥−3 8 7
) = 20
1
1,3−3𝑥
𝑥−1
𝑥−1
(𝑥 − 2) − (5𝑥 − 6) = 7 −
8
−
=2
5−3𝑥
( − 5) − 4 (3 −
3 1,8−8𝑥
6 3𝑥
𝑥+3
= 2𝑥 − 4 −
3 4 1
𝑥+1
3
2 5𝑥−1
= 2𝑥 +
d)
5
2−5𝑥
=1−
2
=𝑥−
3 3𝑥−1
4 6−2𝑥
7 𝑥
= 2𝑥 + −
3
=
5𝑥−0,4 0,3
22𝑥−63 105
1
− 5 (3𝑥 − 4)
=0 1−𝑥 6
7
)=8
Oldjuk meg a következő egyenlőtlenségeket: 30. 31. 32. 33.
a) x + 4 > 2 – 3x a) x + 6 > 2 – 3x a) 4(x – 1 ) ≤ 2 + 7x a) 3(x – 2 ) ≥ 4x – 9
b) 6x + 2 > 3x – 4 b) 2x + 1 > 4x – 7 b) 2(2x – 1 ) ≥ 3(1+x) b) 2(1 – 2x ) ≥ 6(1 – x) + x
34.
a) 2(3+5x) < 3(7x – 4 ) – 4
b) 2 (2 − 𝑥) < 4 𝑥 − 4
35. 36. 37.
a) (𝑥 − 3)2 − 11 ≥ (𝑥 + 2)2 a) (x – 2 )2 – 2x + 10 < (3 – x)2 a) (x – 1 )2 – 2x + 10 < (2 – x )2
b) (2𝑥 − 1)2 − 8𝑥 < (3 − 2𝑥)2 b) (3x – 1)2 – 6x < (2 – 3x)2 b) (𝑥 + 4)2 − 6 ≥ (𝑥 + 3)2 + 2𝑥
38.
a)
3𝑥+5 4 𝑥
≤ 2𝑥 + 5
39.
a) − 2 < 3𝑥 −
40.
a)
41.
a)
42.
a)
43. 44. 45. 46. 47. 48. 49. 50. 51. 52. 53. 54. 55. 56. 57. 58. 59.
a) a)
5𝑥−2 3 4−3𝑥
− <
3 37−2𝑥 3 7−6𝑥 2 5−𝑥
8 3𝑥+1 2𝑥+3 2−𝑥
1−3𝑥 4 2𝑥−1 4
+𝑥 ≤
−
+
4
2(𝑥+3)
3
> 3 + 11
11
𝑥
b) 𝑥 −
2 5𝑥−2
6 3𝑥−8
3
b)
−9
4 20𝑥+1
≥0
3
1
1
𝑥
b) 2𝑥 − 3 + 2 ≥ 3𝑥 − 3 + 6
4 9𝑥+4
+ 10𝑥 < 3−2𝑥
b)
3+2𝑥
<
1
+2
b)
2
5𝑥−1 4 3𝑥−5 2
b) 3 − b)
𝑥−1
− 6
+
𝑥−3
4 3𝑥−13 10 2𝑥−1 3
7𝑥−2
2𝑥+3 4
−
≥
≥
5𝑥−2 5
−
>
𝑥−2
3 5𝑥+1 3
< −2 5−13𝑥 9
>1−
4𝑥−3 10
>0
≥0
𝑥−4 2𝑥−3 3𝑥−6 𝑥−4 2𝑥−3 2𝑥+1
3𝑥+2 1−2𝑥
>0 ≤0 <0
−3𝑥+4 2𝑥−7 4−𝑥 5𝑥−5 3𝑥−2 4𝑥+6 7𝑥−2 3−6𝑥 2𝑥+1 2𝑥+3 3𝑥+2 3𝑥+1 2𝑥−5 3−5𝑥 2𝑥−5 𝑥+4 2𝑥+3
≤0
>1 >1 ≤1 > −5 ≤2 >2 < −3 ≤ −2
Egy raktárban kétszer annyi burgonyát tároltak, mint egy másikban. Miután az első raktárból 75 tonna burgonyát elszállítottak és a másikba 35 tonnányit hoztak, a burgonya mennyisége a két raktárban egyenlő lett. Hány tonna burgonya volt eredetileg az egyes raktárakban?
60.
61. 62.
63.
64. 65. 66. 67. 68. 69. 70. 71.
72.
73. 74.
75.
Két telep közül az egyiken kétszer annyi szén van, mint a másikon. Ha az első telepre még 8 tonna szenet hoznak, a másikra pedig még 14,5 tonnát, akkor mindkét telepen egyenlő mennyiségű szén lesz. Hány tonna szén van az egyes telepeken? 525 Ft-ot egyenlő számú 5 Ft-os és 10 Ft-os pénzérmékkel fizettünk ki. Hány 5 Ft-ossal és 10 Ft-ossal fizettünk? Egy osztálykirándulásra mindenkinek 50 fabatkát kellett eredetileg hoznia, viszont 3 tanuló költségét a többiek adták össze, így fejenként 5 fabatkával többet fizettek be. Hány tanulója volt az osztálynak? Gondoljatok egy számot, szorozzátok meg 2-vel, a szorzathoz adjatok hozzá 50-et, a kapott számot osszátok el 2-vel, és a hányadosból vegyétek el a gondolt számot. Igaz-e, hogy az eredmény mindig 25 lesz? Egy apának, az anyának és a lányának az életkora összesen 85 év. Az apa 5 évvel idősebb, a lány 25 évvel fiatalabb az anyánál. Hány évesek külön-külön? Egy 27 éves apának 3 éves a fia. Hány év múlva lesz az apa háromszor annyi idős, mint a fia? Mekkorák egy háromszög szögei, ha az egyik szöge 20°-kal nagyobb a másodiknál és a harmadik szöge pedig 10°-kal kisebb az elsőnél? Mekkorák az egyenlő szárú háromszög szögei, ha az alapon fekvő szöge 36°-kal nagyobb a szárak szögénél? Egy egyenlő szárú háromszög kerülete 24 cm. Az alapja 1,5 cm-rel hosszabb a száránál. Milyen hosszúak a háromszög oldalai? Egy háromszög kerülete 48 cm, oldalai hosszának aránya 3:4:5. Határozzuk meg az egyes oldalak hosszúságát! Két szám összege 76, különbsége 18. Melyik ez a két szám? Egy tört nevezője 5-tel nagyobb a számlálójánál. Ha a tört számlálójához 14-et hozzáadunk, a nevezőjéből pedig 1-et elveszünk, akkor a tört reciprokával egyenlő nagyságú törtet kapunk eredményül. Melyik ez a tört? Ha egy kétjegyű szám számjegyeit felcseréljük, akkor az eredetihez képest feleakkora számot kapunk. Az eredeti szám első számjegye kétszerese a második számjegynek. Melyik ez a szám? Írjunk fel egy háromjegyű számot, majd cseréljük fel az első és a harmadik jegyét. Igazoljuk, hogy e két szám különbsége osztható 99-cel! Egy háromjegyű szám első és harmadik jegyének az összege 8, a második jegye 2. ha felcseréljük az első és harmadik jegyet, s az így kapott számból kivonjuk az eredeti számot, 594-et kapunk. Melyik az eredeti szám? Egy kétjegyű szám számjegyeinek az összege 13. Ha a számot 12-vel osztjuk, akkor a hányados megegyezik a szám utolsó jegyével, a maradék pedig ennél 2-vel kisebb. Melyik ez a szám? 7
76.
Melyik az a szám, amelyikből 6-ot elvéve az eredeti szám 8 − á𝑡 kapjuk?
77.
Egy kétjegyű szám számjegyeinek az összege 12. Ha számjegyeit felcseréljük, 18-cal nagyobb számot kapunk. Melyik ez a szám?
78.
79.
80. 81.
82. 83. 84. 85. 86. 87. 88. 89.
90.
91.
92. 93.
Egy kétjegyű számban a tízesek száma 3-mal nagyobb, mint az egyeseké. Ha a kétjegyű számhoz hozzáadjuk azt a számot, amelyik számjegyeinek a megfordításával keletkezik, akkor 143-at kapunk. Melyik ez a szám? Egy kétjegyű számban 3-mal több egyes van, mint tízes. Ha a számjegyei közé számjegyeinek az összegét iktatjuk be harmadik jegyül, az eredeti szám 11-szeresét kapjuk. Melyik kétjegyű számból indultunk ki? Hány ilyen szám van? Ha egy szám 15 %-ához hozzáadunk
9 5
– öt, akkor a szám 18 %-át kapjuk. Melyik ez a
szám? Egy tanuló két CD-t adott el azonos áron. Az egyiken 20 %-ot nyert, a másikon 20 %-ot vesztett, így összesen 10 fabatkával kapott kevesebbet értük, mint amennyiért vette őket. Mennyiért adta és vette a CD-ket? Egy téglalap egyik oldalát 25 %-kal megnöveltük. Hány százalékkal kell csökkenteni a szomszédos oldalt, hogy a területe ne változzék? Négy liter 65 %-os alkoholhoz vizet öntöttünk, 50 %-os keveréket kaptunk. Hány liter vizet töltöttünk az alkoholhoz? Egy város lakóinak száma az egyik év végén 42400. Hány lakosa volt a városnak az előző év elején, ha az első évben 2 %, a másodikban 3 % volt a szaporulat? Összekeverünk kétféle alkoholt: az egyik 60°-os, a másik 85°-os volt. Hány litert vettünk mindegyikből, ha a keletkezett 18 liter keverék 70°-os? Hány kilogramm 410 fabatkás, illetve 520 fabatkás egységárú kávéfajtából lehet 200 kilogramm 480 fabatkás egységárú kávékeveréket előállítani? 0,15 kg 15 %-os sóoldatból mennyi vizet kell elpárologtatni, hogy 20 %-os sóoldat maradjon vissza? Mennyi 26 %-os kénsavat kell hozzákeverni 40 kg 68 %-os kénsavhoz, hogy 32 %-os koncentrációjú kénsavat állítsunk elő? Egy kád csupán a melegvizes csapból 20 perc alatt telik meg, csak a hidegvizes csapból pedig 25 perc alatt. Mennyi idő alatt telt meg a kád, ha a melegvizes csap 4 perccel kevesebb ideig volt nyitva, mint a hidegvizes csap? Egy úszómedencébe három cső torkollik. Az első kettőn a medencébe befolyik a víz, a harmadikon pedig kifolyik belőle. Egyedül az első csövön keresztül a medence 2 óra alatt telik meg, a másodikon keresztül 5 óra alatt, a tele medencéből pedig a harmadik csövön át 10 óra alatt tud kifolyni az összes víz. Mennyi idő alatt telik meg a medence, ha egyszerre mind a három csapot megnyitjuk? Egy medencébe 3 cső vezet. Az elsőn át 2,5 óra alatt, a másodikon 3 óra alatt, a harmadikon 1,5 óra alatt telik meg a medence. Egy alkalommal mindhárom csövet együttesen működtetik, de 22,5 perc után a harmadik csövet elzárják. Mennyi idő alatt telik meg így a medence? Egy kertet az apa 3,5 óra, a fia 6 óra alatt ásná fel egyedül. Mennyi idő alatt készülnek el a kert felásásával, ha mindketten dolgoznak? Egy termelőszövetkezetben 9 napra tervezték a szántási munkát úgy, hogy minden nap ugyanakkora területet szántanak fel. Ha naponta 2 hektárral többet szántanak, akkor tervüket 8 nap alatt teljesítik. Hány hektárt akartak egy nap felszántani, és mekkora volt a szántóterület?
94. 95.
96.
97.
98.
99.
100.
101.
102. 103.
104.
105.
106. 107.
Egy telek felásását az egyik ember 4 nap alatt, a másik ember 6 nap alatt végzi el. Hány nap alatt készülnek el ugyanezzel a munkával, ha együtt dolgoznak? Szőlőtelepítés előtt a talajt meg kell forgatni. Erre a műveletre 12 nap áll rendelkezésre. Napi 1 m3-rel többet sikerült megforgatni a tervezettnél, így 8 nap alatt készült el a munka. Hány m3 földet kellett megforgatni? Egy hajó két végállomás közti utat 4 óra 40 perc alatt tette meg oda-vissza. A sebessége a folyón lefelé menet 16 km/h volt, a folyón felfelé pedig 12 km/h. Milyen messze van egymástól a két végállomás? Egymástól 17 km távolságból egymás felé egyszerre indul el egy 60 km/h átlagsebességű motorcsónak és egy 8 km/h átlagsebességű evezős csónak. Mennyi idő múlva találkoznak állóvízben? Mennyi idő múlva találkoznak, ha a 4 km/h sebességű folyón a motorcsónak felfelé halad? Mi történik, ha az evezős csónak megy felfelé a folyón? Egy folyón felfelé haladva 8 km/h-val kisebb egy hajó sebessége, mint lefelé haladva. A két kikötő között felfelé 15 óráig, lefelé 10 óráig tart az út. Hány kilométert tesz meg ez a hajó felfelé és lefelé óránként? Milyen távol van egymástól a két kikötő? Egy kerékpáros 4,5 óra alatt tette meg oda-vissza a falu és város közötti utat. A város felé 17 km/h, vissza pedig 15 km/h átlagsebességgel haladt. Milyen messze van a város a falutól? Egy vonat az A és B közti távolságon 6 óra alatt fut végig. Egy másik vonat ugyanezt az utat 7,5 óra alatt teszi meg. Határozzuk meg A és B távolságát és a vonatok sebességét, ha a második vonat sebessége 12 km/h-val kevesebb, mint az elsőé! Egy gyalogosnak, hogy a faluból a megjelölt időre a városba érjen, óránként 4 km-t kell haladnia. Az út feléig ezzel a sebességgel ment. Itt egy órát pihent, majd felvette őt egy 40 km/h sebességgel menő jármű, s így a megjelölt idő előtt 1 óra 42 perccel ért a városba. Határozzuk meg a falunak a várostól való távolságát! Egy folyami gőzhajó két kikötő között lefelé 3,5 óra, felfelé 5 óra alatt teszi meg az utat. A folyó sebessége 3 km/h. Hány km-re van egymástól a két kikötő? Egy kerékpáros egy bizonyos távolságot 5 óra alatt tesz meg. Ha az út harmadának megtétele után 40 percet várakoznia kell, akkor hogy lemaradását behozza, az út további részét eredeti sebességénél 4 km/h-val nagyobb sebességgel kell megtennie. Mekkora a megteendő út és az eredeti sebesség? Két munkás egy házban lakik, és egy üzemben dolgozik. Reggel az egyik 5 perccel korábban indul, mint a másik. A korábban induló munkás a lakás és üzem közti távolságot 30 perc alatt teszi meg, fiatalabb lakótársa 20 perc alatt. Hány perc múlva éri utol a fiatalabb az idősebbet? Egy fiú vett két madarat. Egy ideig tartotta őket, majd eladta egyforma áron. Az egyiken 20 %-ot nyert, a másikon 20 %-ot veszített, és így összesen 10 fabatkával kapott kevesebbet értük, mint amennyiért vette őket. Mennyiért adta és vette a madarakat? Egy könyvkereskedő 10 %-os árengedménnyel adja el a könyveket, s az eladásból 12,5 % haszna van. Mekkora haszna lenne, ha a könyveket eredeti árukon adná el? Ugyanabból a városból egy másik városba ment egy személy –és egy tehergépkocsi. A 90 km/h átlagsebességű személygépkocsi 1 órával későbben indult, de 30 perccel előbb
érkezett a másik városba, mint a 60 km/h átlagsebességű teherkocsi. Mekkora a két város közötti távolság? 108. 414 km-es távolság két végpontjából egymással szembe egyszerre indul el egy 56 km/h átlagsebességű tehergépkocsi és egy 82 km/h átlagsebességű személygépkocsi. Hol találkoznak? 5
109. Az ország középiskolai tanulóinak
3
%-a foglalkozik a KÖMAL feladatainak a
7
2
megoldásával, mégpedig a fiúknak a 3 %-a, a lányoknak a 3 %-a. A 90000 középiskolai tanuló közül mennyi fiú és mennyi lány KÖMAL feladatmegoldó? 110. Két egyenlő magasságú gyertyát egyszerre gyújtunk meg. Az első 4 óra alatt, a másik 3 óra alatt ég el. Hány óra múlva lesz az első gyertyacsonk kétszer olyan magas, mint a második, ha a gyertyák magassága egyenletesen csökken? Oldjuk meg a következő paraméteres egyenleteket: 111. 112. 113. 114. 115.
2𝑥−4𝑏 3
=
3𝑏−4𝑥 5
+2
( 𝑎 + 𝑥 )𝑏 − 𝑎 = (𝑏 + 1)𝑥 + 𝑎𝑏 2𝑚 − (𝑚 + 𝑎)𝑥 = (𝑚 − 𝑎)𝑥 𝑚𝑥 + 𝑎𝑥 − 𝑥 = 𝑚 + 𝑎 − 1 𝑎(𝑥 − 𝑎) = 𝑏(𝑥 − 𝑏)
116. 𝑎𝑥 + 𝑏 =
3𝑥+2𝑎𝑏 3
1
+2
117. 𝑎(𝑎𝑏 + 1)𝑥 + 𝑏 2 = 𝑎2 + (𝑎3 + 𝑏)𝑥 118. 𝑎(1 − 𝑎𝑥) = 4𝑏 − 2𝑎𝑥 119. 𝑎 + (𝑎𝑏 + 2)𝑥 = 2𝑏 + (𝑏 + 2𝑎)𝑥 120. 121. 122. 123.
124. 125. 126. 127. 128.
𝑎+𝑥 𝑎 𝑥
−𝑐 = 𝑎
−𝑥 = 𝑎 𝑎+𝑏 𝑥 𝑎 𝑥+𝑏
𝑏+𝑥
𝑏 2𝑥+𝑎 2𝑎
𝑎
−𝑥
−𝑐 =𝑑− 𝑎
−𝑑 𝑎−𝑏 𝑥
− 𝑐 = 𝑥+𝑏 − 𝑑
Oldjuk meg a behelyettesítő módszerrel a következő egyenletrendszereket: 𝑦 = 2 − 4𝑥 𝑥 = 2+𝑦 { { 3𝑥 − 2𝑦 = 9 8𝑥 + 3𝑦 = 5 𝑥 − 2𝑦 = 0 𝑥−𝑦 =2 { { 𝑥 − 3𝑦 = 0 𝑥+𝑦 =3 3𝑥 − 𝑦 = 4 2𝑥 + 𝑦 = −0,5 { { 3𝑦 − 5𝑥 = 5 5𝑥 + 3𝑦 = −2 𝑥 + 2𝑦 = 4 3𝑥 − 2𝑦 = 8 { { 𝑥 − 𝑦 = 11 2𝑥 + 𝑦 = 10 𝑥+𝑦 =2 2𝑥 − 𝑦 = 7 { { 3,5𝑥 + 3,5𝑦 = 7 𝑥 − 0,5𝑦 = 7 3
𝑥 + 4𝑦 = 9
129. { 𝑥
− 2
2𝑦 3
1
=3
𝑥
{
2
−
2𝑦 3
1
=3
11𝑥 + 2𝑦 = −1
2𝑥 + 𝑦 = 8 3𝑥 + 4𝑦 = 7 2𝑥 − 3𝑦 = 4 131. { 1,5𝑥 − 𝑦 = 3
7𝑥 + 9𝑦 = 8 { 9𝑥 − 8𝑦 = 69 2𝑥 + 3𝑦 = −2 { 3𝑥 + 4𝑦 = −3,2
130. {
𝑎
132. {
− 3
2 {𝑎−1 5
134. 135. 136. 137. 138. 139. 140. 141.
− +
{𝑎2
𝑏+4 3 𝑏+4
1
𝑏
1
+ =
5 2 10 𝑎+3 𝑏−5
1
=6
2 {𝑎+3
1
= 10
2
𝑏
−3=6
5
−
+
3 𝑏−5 2
1
=6 1
= 10
Oldjuk meg az egyenlő együtthatók módszerével a következő egyenletrendszereket: 2𝑥 + 𝑦 = 11 𝑥 + 5𝑦 = 7 { { 3𝑥 − 𝑦 = 9 𝑥 − 3𝑦 = −1 𝑥 − 3𝑦 = 4 4𝑥 + 3𝑦 = 6 { { 2𝑥 + 𝑦 = 4 5𝑥 + 3𝑦 = −1 4𝑥 + 3𝑦 = −4 2𝑥 + 5𝑦 = 25 { { 6𝑥 + 5𝑦 = −7 4𝑥 + 3𝑦 = 15 12𝑥 + 16𝑦 + 1 = 0 7𝑥 − 3𝑦 = 15 { { 15𝑥 + 20𝑦 + 10 = 0 5𝑥 + 6𝑦 = 27 21𝑥 − 9𝑦 + 3 = 0 28𝑥 + 35𝑦 + 3 = 0 { { 4𝑥 − 5𝑦 + 17 = 0 12𝑥 + 15𝑦 + 25 = 0 25𝑥 − 4𝑦 + 1 = 0 15𝑥 + 23𝑦 + 10 = 0 { { 9𝑥 + 12𝑦 + 6 = 0 31𝑥 − 5𝑦 + 16 = 0 2(𝑥 + 𝑦) + 4(𝑥 − 𝑦) = 3 { 3(𝑥 + 𝑦) + 6(𝑥 − 𝑦) = 4,5 5(3𝑥 + 5𝑦) − 9(6𝑥 + 5𝑦) = −5 { 2(3𝑥 + 5𝑦) + 4(6𝑥 + 5𝑦) = −2 2𝑥+1
+
5 𝑥+2
142. {
3 𝑥−3𝑦
143. {
2
2−𝑦
+ −
= −0,1
4 5𝑦−7 2 5𝑥+𝑦 3
=3 = 16
𝑥 + 𝑦 + 12 = 𝑎+3
144.
5
𝑎
=1
5𝑎 − 6𝑏 = 15 𝑎−1
133.
2𝑏
2 {𝑎−1
− +
𝑏−2 3 𝑏+1
4 3 3𝑥−𝑦 𝑦
𝑥−3𝑦 8
=2 =4
+ =1 145. {𝑥−52 𝑦−33 + 7 = −1 4 Oldjuk meg a következő egyenletrendszereket: 1
1
5
146. {1
1
1
+𝑦 =6 𝑥 −𝑦 =6 𝑥
1
8
−𝑦 =8 𝑥
{5
4
+ 𝑦 = 51 𝑥
5
15
𝑥 + = 15 147. {
2𝑥 − 10
148.
𝑥−5 { 25
2𝑥−𝑦 { 45
3𝑥−2 1
152.
𝑦
9
+ 𝑦 = 35
1
2
3
𝑥+4 5
{
𝑥+4
3
− 𝑦−1 = 5 7,5
− 10 = 𝑦−1
48
+ 1 = 𝑥+3𝑦 18
+ 3𝑥−2𝑦 = 13 2
+ 3𝑦−2𝑥 = 1 2
− 5𝑦+1 = 10 3
+ 5𝑦+1 = 1,8
𝑥−𝑦+2 { 1 𝑥−𝑦+2 4
153. {
𝑥
7
− =9
32
2𝑥−3𝑦 { 27
3𝑥−2 { 3
𝑥 {4
+ 𝑥+3𝑦 = 7
3𝑥−2𝑦 5
151.
= 23
+ 𝑦+2 = 2 𝑥−5
2𝑥−𝑦 11
150.
𝑦
+ 𝑦+2 = 1
27
149.
𝑦 25
1
+ 1−𝑥−𝑦 = 0,1 1
+ 𝑥+𝑦−1 = 0,3 1
2𝑥+𝑦+1 4 2𝑥+𝑦+1
+ 2−2𝑥+𝑦 = 7 1
+ 2𝑥−𝑦−2 = −3
154. Az egyvágányú vasútvonal 20 km-es szakaszán síneket fektetnek. Ehhez 25 m és 12,5 m hosszú sínek állnak rendelkezésre. Ha a 25 m-es síneket használják fel előbb, akkor a 12,5 m-es síneknek csak az 50 %-ára lesz szükség; ha viszont a 12,5 m-es 2
síneket használják fel előbb, akkor a 25 m-es síneknek csak a 66 3%-ára lesz szükség,
155.
156.
157.
158.
159.
hogy a tervezett vasútvonalat megépítsék. Hány darabot használtak fel az egyes esetekben a különféle sínszálakból? A fizikaterembe padokat állítanak be. Ha minden padba két tanulót ültetnek, akkor 8 tanulónak nem jut hely. Ha viszont minden padba 3 tanuló ül, akkor 7 hely üresen marad. Hány padot állítanak a terembe? Hány tanuló van az osztályban? Egy táncmulatságon 37 személy vett részt, lányok és fiúk. A mulatság után kiderült, hogy az első lány 8, a második 9, a harmadik 10 fiúval és így tovább, az utolsó lány valamennyi fiúval táncolt. Hány leány és fiú volt a mulatságon? Egy kirándulásra pénzt gyűjtünk össze. Ha minden résztvevő 75 fabatkát hoz, akkor a költségből még 440 fabatka hiányzik; ha viszont mindenki 80 fabatkát ad be, akkor 440 fabatka többlet lesz. Hány fő vesz részt a kiránduláson? András kétszer olyan idős, mint amilyen Béla volt, amikor András olyan idős volt, mint Béla most. Amikor Béla olyan idős lesz, mint most András, éveik számának összege 140 lesz. Milyen idős most a két férfi? Egy ember így szól a másikhoz:”Én most kétszer annyi idős vagyok, mint Ön volt akkor, amikor én olyan idős voltam, mint Ön most. Amikor Ön olyan idős lesz, mint én vagyok most, akkor nekem hét évem fog hiányozni ahhoz, hogy kétszer annyi idős legyek, mint Ön most.” Hány évesek?
160. Ha egy téglalap hosszúságát 6 m-rel növeljük, szélességét 3 m-rel csökkentjük, a téglalap területe nem változik. Nem változik a terület akkor se, ha eredeti hosszát 3 m-rel kisebbítjük, szélességét pedig 2,4 m-rel növeljük. Határozzuk meg a téglalap méreteit! 161. Egy fiúnak ugyanannyi nővére van, mint fivére, és nővérének fele annyi nővére van, mint fivére. Hány fivér és nővér van a családban? 162. Ha egy tört számlálóját kettővel megnöveljük, akkor 1-et, ha pedig a nevezőjét növeljük 3-mal, akkor 0,5-öt kapunk. Melyik ez a tört? 163. Pista vásárolt egy körzőt, egy ceruzát és egy radírt. Ha egy körző az ötödébe, egy ceruza a felébe és egy radír a kétötödébe kerülne, akkor 8 fabatkát; ha egy körző a felébe, egy ceruza a negyedébe és egy radír a harmadába kerülne, akkor 12 fabatkát fizetett volna. Mennyit fizetett? A körző vagy a ceruza a drágább? 164. Két csövön át egy medence 1 óra 20 perc alatt telik meg. Ha az első csövet 10 percre, a másikat pedig 12 percre nyitjuk meg, a medence csak 165.
166.
167. 168.
169.
170.
171.
172.
2 15
részéig telik meg. Mennyi idő
alatt tölti meg a medencét külön az egyik, illetve a másik cső? Két munkás készít egy munkadarabot. Ha az első munkás 9 órát dolgozik, a második 15 órát, akkor időre elkészülnek. Akkor is időre készen lesznek, ha az első 16 órát, a másik 10 órát dolgozik. Mennyi idő alatt végeznének külön-külön? Két, egymástól 9 km távolságra levő pontból egyszerre indul el egy-egy kerékpáros. Ha egymással szembe mennek, 20 perc múlva, ha egy irányban haladnak, 3 óra múlva találkoznak. Mekkora a sebességük? Mekkorák annak a háromszögnek az oldalai, amelyben két-két oldal összege 26, 32 és 34 egység? Ha egy derékszögű háromszög egyik befogóját 2 cm-rel, a másikat 5 cm-rel megnöveljük, az így létrejött háromszög területe 51 cm2-rel több lesz. Ha viszont mindkét befogót 2 cm-rel csökkentjük, a terület 32 cm2 – rel kisebb lesz. Mekkorák a befogók? Ha egy kétjegyű számhoz hozzáadjuk a jegyei felcserélésével kapott számot, az eredmény 77 lesz. Ha viszont az eredeti számot elosztjuk a felcserélés után kapott számmal, akkor mind a hányados, mind a maradék 2 lesz. Melyik ez a kétjegyű szám? Egy tartályba két cső vezet. Ha a tartályt először félig megtöltjük az első csövön át, azután teleengedjük a második csövön át, a töltési idő 2 óra. Ha viszont az első csövön csak harmadáig töltjük, a második csövön ezután tele, akkor a töltési idő 2 óra 10 perc lesz. Mennyi idő alatt tölti meg a tartályt külön az egyik vagy a másik cső? Egy medencébe 3 csapon folyhat a víz. Az első és a második csapon együtt 1,2 óra alatt tudjuk megtölteni a medencét; a második és harmadikon együtt 2 óra alatt; az elsőn és a harmadikon együtt 1 óra 30 perc alatt. Mennyi idő alatt tölti meg a medencét egy-egy csap külön? Mennyi idő alatt telik meg a medence, ha egyszerre mind a három csapot megnyitják? Összeöntöttünk 6 %-os és 30 %-os sósavat, s így 24 liter 15 %-os töménységű sósavat kaptunk. Hány litert vettünk az egyes összetevőkből?
173. Ha vízszintes talajon 5 kg tömegű testet F erővel húzunk, akkor az a1= 1 m/s2 gyorsulással; ha kétszer akkora erővel húzzuk, akkor pedig a2 = 5 m/s2 gyorsulással mozog. Mekkora az F erő, és mekkora a talaj és a test közötti súrlódási együttható? 174. A-ból 9 óra 9 perckor indul egy vonat a 24 km-re lévő B-be. Megérkezés után 1 óra 13 perccel indul vissza. B-ből 8 órakor indult A felé egy gyalogos, aki ezzel a járattal először 9 óra 40 perckor, másodszor 11 óra 20 perckor találkozott. Hol voltak a találkozások, és mekkora a vonat átlagos sebessége? 175. Nyílt pályán haladó személyvonat ablakából egy 70 m hosszú gyorsvonatot látunk elrobogni. Ha a két vonat szembe halad, 3,2 másodperc; ha egy irányban haladnak, 10 másodperc alatt robog el a gyorsvonat az ablak előtt. Mekkora a két vonat sebessége? 176. Egy uszály halad a Dunán a parttal párhuzamosan. Meg akarjuk határozni a hosszát. Ha az uszállyal egy irányban haladunk egyenletes sebességgel, akkor hosszát 250 lépésnek találjuk, ellenkező irányban haladva, az uszály 60 lépés után elhalad mellettünk. Hány lépés az uszály hossza? 177. Öt házaspár közös kirándulást szervez, amelynek költségeit közösen fedezik. A hozzájárulás mértékét a társaság egyik jól számoló tagja a következőképpen határozza meg: A névsor szerinti első házaspár férfitagja fizet valamekkora összeget, a felesége pedig az ezután fennmaradó költség hatodrészét. A következő házaspárból a férj az előző férfinál 10 fabatkával többet fizet, felesége pedig ismét a még fennmaradó költség hatodrészét; és így tovább. A végén kiderül, hogy minden házaspár azonos összeget fizet. Mennyi a kirándulás költsége? Mennyi a házaspáronkénti hozzájárulás? 178. Péter és öccse, Miklós versenyt futottak 1 km-es távon. Péter 50 másodperc előnyt adott, és így még 50 m-re volt a céltól, amikor öccse befutott. „Lebecsültem erődet – szólt -, holnap csak 100 m előnyt kapsz.” Másnap Miklós 16 másodperccel bátyja után ért célba. A versenytáv mely pontján előzte meg a második napon Péter az öccsét? (Feltételezzük, hogy teljesítményük a két napon ugyanaz volt.)
