VI. Kétismeretlenes egyenletrendszerek

Matematika „A” • 9. évfolyam • 17. modul: EGYENLETEK…

Tanári kézikönyv

45

VI. Kétismeretlenes egyenletrendszerek Behelyettesít

módszer

Mintapélda12

Két testvér a bérletpénztárnál jegyet vásárol. Az egyik 2 vonaljegyért és egy átszálló jegyért 630 Ft-ot, a másik 6 vonaljegyért és 4 átszállójegyért 2180 Ft-ot fizet. Mennyibe kerül egy vonaljegy és egy átszállójegy? Megoldás:

Jelöljük a vonaljegyek árát x-szel, az átszálló jegyekét y-nal. Így a következ egyenletrendszert kell megoldanunk: 2 x $ y # 630 " ! 6 x $ 4 y # 2180 Az els egyenletb l fejezzük ki y-t: y # 630 % 2 x Ezt helyettesítsük be a második egyenletbe, y helyére: 6 x $ 4&630 % 2 x ' # 2180

6 x $ 2520 % 8 x # 2180 % 2 x # %340 x # 170

Az x-et ismerve y-t visszahelyettesítéssel kiszámíthatjuk:

y # 630 % 2x # 630 % 2 ( 170 # 630 % 340 # 290 Egy vonaljegy 170 Ft, míg egy átszállójegy 290 Ft-ba kerül. Ellen rzés a szöveg alapján.

Behelyettesít módszer A kétismeretlenes egyenletrendszer egyik egyenletéb l kifejezzük valamelyik ismeretlent és a kapott kifejezést, behelyettesítjük a másik egyenletbe. Így egy egyismeretlenes egyenletet kapunk, ezt megoldva megkapjuk az egyik ismeretlent. Ennek segítségével kiszámítjuk a másik ismeretlent is.

46 Tanári kézikönyv


Feladatok Fejtör feladat az óra elejére, hogy „bemelegedjenek” az agytekervények. 39. 17 perc múlva kezd dik a U2 együttes koncertje. A 4 f s társaságnak már csak egy

hídon kell átkelnie, hogy odaérjen. Viszont a híd egyszerre csak 2 embert bír el. Azonkívül sötét van és világítás nélkül egy tapodtat sem tudnak megtenni, de szerencsére van egy zseblámpájuk. Tehát valaki világít és átkísér egy embert, aztán vissza kell vinni a zseblámpát (átdobni nem tudják), stb. Az egyik ember 1 perc alatt ér át a hídon, a másik 2 perc alatt, a harmadik 5 perc alatt, a negyedik 10 perc alatt. Milyen sorrendben menjenek át, hogy 17 perc múlva mind a négyen a híd túloldalán legyenek? Megoldás:

Er sítsük meg a gyerekekben, hogy semmiféle trükk nincs a feladatban és létezik megoldás. Sokan úgy gondolkodnak, hogy a leggyorsabbak ingáznak a hídon, a megoldás kulcsa abban rejlik, hogy az a leggyorsabb, ha a két leglassúbb ember egyszerre cammog át a hídon. El ször menjen át a hídon a 2 perces és az 1 perces. Ez összesen 2 percet vesz igénybe, majd hozza vissza a lámpát az, aki 1 perc alatt ér át. Eddig három perc telt el. Adja át a lámpát a másik két barátjának (az 5 percesnek és a 10 percesnek) akik együtt átcammognak a hídon. 13 perc telt el összesen. !k átadják a lámpát a 2 percesnek, aki átszalad a hídon az utolsó emberért. Most tartunk 15 percnél. Ketten együtt visszajönnek, ami szintén 2 percet vesz igénybe. Most telt le a 17 perc, kezd dhet a koncert. A tanulók párban dolgoznak tovább. 40. "rlények két faja érkezett a földre. Az egyik fajnak 3 feje és 7 lába, a másiknak 2 feje

és egy lába van. Összesen 46 fejük és 89 lábuk van. Hány #rlény érkezett az egyes fajokból? Megoldás: Az egyik faj képvisel inek számát jelöljük x-szel, a másikét y-nal.

3x $ 2 y # 46" ! 7 x $ y # 89 Ebb l y # 89 % 7 x , ezt visszahelyettesítve az els egyenletbe: 3 x $ 2&89 % 7 x ' # 46 12 # x


Tanári kézikönyv

47

Ezt visszahelyettesítve az eredeti egyenletrendszer egyik egyenletébe kapjuk, hogy y # 89 % 7 x # 89 % 7 ( 12 # 89 % 84 # 5 .

Ellen rzés a szöveg alapján. Tehát a háromfej#ekb l 12, míg a kétfej#ekb l 5 #rlény érkezett a földre.

41. Oldd meg a következ egyenletrendszert!

x $ 5y # 7 " ! x % 3 y # %1 Megoldás:

A második egyenletb l: x # 3y % 1 Behelyettesítve az els egyenletbe: y # 1 A megoldás a &2; 1' rendezett számpár.


x $ 3y # 9 " ! 3x % 5y # %22 Megoldás:

A els egyenletb l: x # 9 % 3 y Behelyettesítve a második egyenletbe: y #

7 # 3,5 2

x # 9 % 3y # %1,5 A megoldás a &% 1,5; 3,5' rendezett számpár.

43. Három szám közül a középs

ugyanannyival nagyobb a legkisebbnél, mint a

legnagyobb a középs nél. A két kisebb szám szorzata 85, a két nagyobbé 115. Melyek ezek a számok? Megoldás: y % x # z % y" * Legyen a három szám: x ) y ) z , ekkor xy # 85 !. * yz # 115



Az els egyenletb l: z # 2 y % x . Ezt behelyettesítve a harmadikba: 2 y 2 % xy # 115 , de a másodikból xy # 85 , ezért 2 y 2 # 200 ,

y # +10 . Csak a pozitív megoldások

felelnek meg a x ) y ) z feltételnek, ezért x # 8,5,

y # 10, z # 11,5.

44. Egy háromszög oldalainak hossza 23 cm, 19 cm és 16 cm. Rajzoljunk köröket a

háromszög mindhárom csúcsa körül úgy, hogy ezek a körök páronként érintsék egymást. Mekkorák a körök sugarai?

Megoldás: x $ z # 23" * A feladat szerint: z $ y # 19 ! . A három egyenletet összeadva: 2 x $ 2 y $ 2 z # 58 , y $ x # 16*

ebb l x $ y $ z # 29 . Innen, felhasználva a feladat feltételeit: y # 6 cm, x # 10 cm, z # 13cm.

Házi feladat javaslat: 42. feladat

Egyenl

együtthatók módszere

Mintapélda13

Oldjuk meg a következ egyenletrendszert! 5x $ 3 y # 2 " ! 4 x $ 7 y # 20

Megoldás: Az els egyenletet szorozzuk 4-gyel, a másodikat 5-tel. 20 x $ 12 y # 8 " ! 20 x $ 35y # 100 Kivonjuk az els egyenletb l a második egyenletet:

% 23y # %92 y#4 Visszahelyettesítve valamelyik eredeti egyenletbe: 5x $ 3 ( 4 # 2 x # %2


Tanári kézikönyv

49

Ellen rzés: 5 ( &% 2' $ 3 ( 4 # 2 4 ( &% 2 ' $ 7 ( 4 # 20 A megoldás a &% 2; 4 ' rendezett számpár.

Egyenl együtthatók módszere Úgy szorozzuk az egyenleteket, hogy valamelyik ismeretlenünk együtthatója mindkét egyenletben egyenl , vagy egymás ellentettje legyen. Ezután a két egyenletet összeadva vagy egyiket a másikból kivonva, egy egyismeretlenes egyenlethez jutunk. Ezt megoldva megkapjuk az egyik ismeretlen értékét. Ennek segítségével kiszámítjuk a másik ismeretlen értékét is.

Feladatok 45. Ádám négy évvel ezel tt háromszor annyi id s volt, mint Dávid. Öt év múlva pedig

kétszer annyi id s lesz. Hány évesek most?

Megoldás: Ádám

Dávid

4 évvel ezel tt

x–4

y–4

Most

x

y

5 év múlva

x+5

y+5

A feladat szövege alapján két egyenletet is felírhatunk: x % 4 # 3&y % 4'" ! x $ 5 # 2&y $ 5'

y # 13 , x # 31 Ádám 31, Dávid 13 éves most.




6 x $ 8 y # %9 " ! 5 x % 9 y # 16

Megoldás: Az els egyenletet szorozzuk 5-tel, a másodikat 6-tal. 30x $ 40 y # %45" ! 30x % 54 y # 96 3 1 y#% , x# 2 2 3/ 21 A megoldás a 0 ; % - rendezett számpár. 2. 12

47. A piacon valaki 4 kg krumplit és 3 kg hagymát vásárolt 440 Ft-ért. A sorban mögötte

álló 5 kg hagymáért és 2 kg krumpliért 500 Ft-ot fizetett. Mennyibe kerül ennél a zöldségesnél a krumpli és a hagyma?

Megoldás: Jelöljük a krumpli árát x-szel, a hagymáét y-nal. Így a következ egyenletrendszert kell megoldanunk: 4x $ 3y # 440" ! 2x $ 5y # 500

y # 80 , x # 50 Egy kilogramm krumpli 50 Ft, míg egy kilogramm hagyma 80 Ft. Házi feladat javaslat: 46. feladat

Egyenletrendszerek megoldhatósága Elevenítsük fel, hogy milyen módszereket ismertünk meg az el z

órákon. Adjuk ki a

csoportoknak, hogy fogalmazzák meg valamelyik módszer lépéseit. Ügyeljünk arra, hogy mindkét módszert válassza valamelyik csoport. A tanulók csoportokban dolgoznak, az általuk választott módszeren. Ha elkészültek, hallgassuk meg a csoportok beszámolóit. Figyelik egymás beszámolóit, véleményezik, hogy jó volt-e a megfogalmazás.


Tanári kézikönyv

51

Mintapélda14

Oldjuk meg az alábbi egyenletrendszereket! a)

2 x $ 6 y # 8" ! 2x $ 6 y # 8

b)

2 x $ 6,00001y # 7,99998" ! 2 x $ 5,99999 y # 8,00002

c)

x $ 2y # 6 " ! 2x $ 4 y # 4

Megoldás: a) Az egyik egyenlet következménye a másiknak, így az egyenletrendszer megoldásainak elég az els

egyenletet kielégítenie. Ez azt jelenti, hogy az

egyenletrendszernek végtelen sok megoldása van. (Bármely x értékhez kiszámíthatjuk, hogy mennyi a hozzátartozó y) Például: Ha y # 1 , x # 4 % 3 y # 1 . Ha y # %2 , x # 4 % 3 y # 10 . b) Alkalmazzuk az egyenl együtthatók módszerét, vonjuk ki az els egyenletb l a másodikat 0,00002 y # %0,00004 ,

y # %2 . Ezt visszahelyettesítve az eredetibe

kapjuk: x # 10 . A megoldás a &10; % 2 ' rendezett számpár. c) A második egyenletet kett vel egyszer#sítve kapjuk: x $ 2 y # 2 , ami ellentmond az els egyenletnek. Ekkor az egyenletrendszernek nincsen megoldása.

Új ismeretlen bevezetése Mintapélda15

6 $ x Oldjuk meg a 3 % x

5 " # 27 * y * ! egyenletrendszert! 7 # %15* * y

Megoldás I.:

x 3 0, y 3 0 6 y $ 5 x # 27 xy " ! 3 y % 7 x # %15 xy Az els egyenletet a másodikkal elosztva az kapjuk, hogy: 6 y $ 5x 27 # 3 y % 7 x % 15

% 90 y % 75 x # 81y % 189 x

114 x # 171y


x#


3 y 2

Visszahelyettesítünk az eredeti egyenletrendszer egyik egyenletébe:

5 6 $ # 27 3 y y 2 3 3 6 $ ( 5 # 27 ( y 2 2 12 $ 15 # 81y 27 # 81 y y#

27 1 # 81 3

Ekkor x #

3 3 1 1 y# ( # . 2 2 3 2

Megoldás II.: Vezessük be az a #

1 1 ,b# ismeretleneket, ez megkönnyíti az egyenletrendszerünk x y

megoldását. Az új egyenletrendszer: 6a $ 5b # 27 " ! 3a % 7b # %15 Az egyenl együtthatók módszerével megoldva az egyenletrendszert a # 2 és b # 3 adódik.

Sokan itt befejezik a feladatot, ha megkapták a-t és b-t, és nem számolják ki x-et és yt. hívjuk fel a figyelmet, hogy mindig az eredeti egyenlet ismeretleneit kell kiszámolni. Most már kiszámíthatjuk x és y értékét: 2#

1 x

3#

1 ; y

x#

1 2

y#

1 . 3

21 1/ A 0 ; - rendezett számpár eleme az egyenletrendszer alaphalmazának, és az 1 2 3. ellen rzésnél a két oldal helyettesítési értéke egyenl , ezért ez valóban megoldás.

Új ismeretlen bevezetése Akkor célszer! ezt a módszert alkalmazni, ha egyenleteinkben hasonló kifejezéseket fedezünk fel, így egyszer!bbé tehetjük a megoldandó feladatot.


Feladatok 48. Oldd meg a következ egyenletrendszert!

4 25 " $ # 7* x y * ! 8 15 % #1 * * x y Megoldás: Vezessük be az a #

1 1 , b # ismeretleneket. x y

4a $ 25b # 7" ! 8a % 15b # 1 b#

1 1 , a# 5 2

Kiszámíthatjuk x-et és y-t:

1 x x#2

a#

1 y y#5

b#

A megoldás a &2; 5' rendezett számpár.


4 3 " $ # 7* x%2 y$5 * ! 1 2 $ # 8* * x%2 y$5

Megoldás: Vezessük be az a #

1 1 ,b# ismeretleneket. x%2 y$5

4a $ 3b # 7 " ! a $ 2b # 8 b # 5 , a # %2

Kiszámíthatjuk x-et és y-t:

Tanári kézikönyv

53

54 Tanári kézikönyv 1 x%2 x # 1,5

a#


1 y$5 y # %4,8

b#

24 / 23 A megoldás a 0 ; % - rendezett számpár. 5 . 12

50. Két autó egyenl teljesítmény# motorjának gazdaságosságát vizsgálva kiderül, hogy

adott id alatt az egyik 60 liter benzint fogyasztott, a másik – két órával kevesebb id alatt – 38,4 litert. Ha az els motor annyit fogyasztott volna óránként, mint a második, a második pedig annyit mint az els , akkor az el bbi id k alatt egyenl lett volna a fogyasztásuk. Óránként hány litert fogyasztott az 1. és mennyit a 2. motor?

Megoldás: Ha az 1. motor fogyasztása x liter/óra, a 2. motoré y liter/óra, akkor

60 38,4 % # 2. x y

Ha az 1. motor y litert, a 2. motor x litert fogyasztana óránként, akkor a fogyasztásuk, 60 38,4 60 38,4 (y# ( y , illetve ( x lenne, ami a feladat szerint megegyezik: x. x y x y Vezessük be a következ jelöléseket: a #

1 1 , b # . Ezekkel: x y

60a % 38,4b # 2" * 60a 38,4b ! . # * b a A második egyenletet átalakítva: 60a 2 # 38,4b 2

, a2 #

38,4 2 b 60

, a # 0,8b .

(A negatív érték nyilván nem megoldás.) Ezt az els egyenletbe írva: 60 ( 0,8b % 38,4b # 2 , b # A másik érték x #

1 1 . Ebb l y # # 4,8 . 4,8 b

1 4,8 # # 6 . A motorok fogyasztása tehát 4,8 liter, illetve 6 liter. a 0,8

Házi feladat javaslat: 48. feladat

VI. Kétismeretlenes egyenletrendszerek

Recommend Documents