Seminar Nasional Statistika IX Institut Teknologi Sepuluh Nopember, 7 November 2009
Efesiensi Interpolasi Spatial menggunakan Metode Dekomposisi Gelanggang Amran1), Nur Iriawan2), Irhamah3), dan Subiono4) 7 Nopember 2009
1) Jurusan Matematika FMIPA Univ. Hasanuddin dan Mahasiswa S3, Jurusan Statistika FMIPA ITS, Surabaya Email :
[email protected] 2), 3) Jurusan Statistika FMIPA ITS, Surabaya 4) Jurusan Matematika, FMIPA ITS, Surabaya
ABSTRAK
Masalah yang sering ditemui pada implementasi Interpolasi Spasial menggunakan data real adalah ukuran data dan grid yang sangat besar, hal ini mengakibatkan dimensi matriks covariansi (C) spasial yang terbentuk sangat besar. Dalam penelitian ini, akan diselidiki tentang aplikasi metode Dekomposisi Gelanggang terhadap matriks Kovariansi Spatial dalam konteks Interpolasi Spasial menggunakan metode Simulasi Bersyarat. Dengan menganggap bahwa matriks kovariansi spasial sebagai suatu matriks gelanggang atas lapangan riil ( ), matriks ini dapat dinyatakan sebagai jumlah langsung dari sub modul. Selanjutnya dengan dekomposisi LU pada sub modul ini diperoleh matriks segitiga bawah L yang digunakan untuk membangun realisasi dekomposisi ring. Untuk mengukur efesiensi, metode ini akan dibandingkan dengan metode dekomposisi Lower Upper(LU) yang sering digunakan dalam berbagai aplikasi. Menggunakan data eksperimental dan ukuran grid yang sama, metode dekomposisi LU dan metode dekomposisi ring membangun realisasi yang serupa dan variogram yang direproduksi kedua metode ini dapat mempertahankan bentuk variogram data eksperimental. Dekomposisi ring secara signifikan memberi peningkatan ukuran data eksperimental dan grid yang akan disimulasikan.
Kata Kunci : Simulasi bersyarat,semivariogram, dekomposisi LU, matriks kovariansi spasial, sub modul, dekomposisi gelanggang. 1
1.
Pendahuluan Metode geostatistik biasanya digunakan untuk tujuan: Mengestimasi hubungan
spasial nilai variabel pada lokasi yang belum diamati dan melakukan simulasi ketidakpastian hasil interpolasi. Kedua hal tersebut dilakukan dengan metode kriging dan simulasi stokastik dengan data sampel berfungsi sebagai data control (syarat) atau dikenal sebagai Simulasi Bersyarat. Perbedaan kedua metode ini terletak pada tujuannya ( Journel dan Huijbregts, 1978). Jika ingin mengetahui variabilitas spasial atau distribusi variabel di suatu lokasi deposit
maka digunakan simulasi stokastik.
Pada simulasi stokastik gambaran
variabilitas sebenarnya dapat diperoleh karena momen orde duanya sama dengan momen orde dua data eksperimental. Momen orde dua menunjukkan variabilitas variabel spasial, sehingga untuk mendapatkan gambaran tentang variabilitas spasial lokasi deposit dapat dilakukan melalui simulasi stokastik. Salah satu metode interpolasi yang biasa digunakan dalam simulasi bersyarat ialah Simulasi Stokastik dengan Dekomposisi Lower Upper (LU), disingkat dengan SSDLU. Dalam melakukan interpolasi dan mensimulasi ketidakpastiannya, digunakan parameter variogram model. Parameter yang dimaksud antara lain : range(a), sill(Co) dan lain-lain. Berdasarkan nilai parameter ini dilakukan proses interpolasi di lokasi lainnya. Dalam prakteknya SSDLU membagi suatu lokasi deposit menjadi beberapa grid, seluruh grid yang dibuat menutupi lokasi pengamatan, nilai interpolasi dihitung berdasarkan nilai interpolasi setiap lokasi grid yang telah dibuat. Dari hasil ini diperoleh deskripsi reservoir yang dikenal dengan model numerik reservoir. Simulasi stokastik yang menggunakan grid sebagai representasi lokasi sebenarnya disebut simulasi berbasis grid. Hasil interpolasi SSDLU selain mendapatkan nilai variabel pada lokasi yang tidak mempunyai sampel, juga dapat mereproduksi variogram eksperimental baru, dengan memeriksa variogram yang direproduksi dari data interpolasi dapat diukur keakuratan hasil interpolasi. Jika variogram data interpolasi secara signifikan tidak berbeda atau ‘mirip’ dengan variogram data eksperimental dikatakan hasil tersebut cukup akurat. Jika jumlah data dan grid dan jumlah realisasi yang diinginkan sedikit maka SSDLU mampu memberikan solusi yang cepat.(Deutsch, dan Journel, 1992), namun 2
disisi lain SSDLU cukup efektif jika jumlah data dan grid kurang dari seribu ( Dowd, dan Sarac, 1992). Sehingga untuk jumlah data dan grid yang lebih dari seribu dan beberapa realisasi yang diinginkan, SSDLU sudah tidak akurat lagi mengukur variabilitas spasial variabel di lokasi deposit yang diamati. Hal ini disebabkan karena keterbatasan kemampuan proses komputasi yang harus digunakan pada metode ini. Untuk mengatasi masalah tersebut, dapat digunakan Simulasi Stokastik dengan Dekomposisi Ring (SSDR). SSDR merupakan pengembangan baru dari SSDLU. SSDR dapat dilakukan untuk jumlah data dan grid serta realisasi yang lebih banyak. 2.
Simulasi Bersyarat Variabel teregional z(s), dapat dinyatakan sebagai suatu realisasi dari variabel
acak stationer Z(s) dengan ekspektasi m dan covariansi C(h) atau variogram 2 (h). Dalam simulasi stokastik akan dibuat suatu realisasi dari variabel acak Zcs(s) yang isomorpik dengan Z(s), yakni suatu variabel acak dengan nilai ekspektasi dan C(h) atau (h) yang sama. Selanjutnya realisasi Zcs(s) pada lokasi data eksperimen, menghasilkan nilai simulasi yang sama dengan nilai data eksperimental : Zcs(s ) = Z(s ) ,
2.1
s
I.
I
himpunan data.
Sifat-Sifat Aljabar Dekomposisi LU Untuk menyelesaikan suatu system persamaan yang mengandung banyak
variabel, sistem persamaan tersebut ditransformasi menjadi sistem persamaan segitiga. Metode eliminasi gauss mengkonversikan sistem : Ax = y
(1)
ke suatu sistem segitiga yang equivalen. Konversi dilakukan pada kombinasi linier yang bersesuaian dengan persamaan dalam (1). Berikut akan diberikan prosedur konversi pada dekomposisi matriks segitiga bawah(L) dan matriks segitiga atas (U) sehingga : A = LU Penyelesaian persamaan (1), ditentukan dengan dua tahap penyelesaian yakni : Lw = y, Ux = w
Ax = LUx = Lw = y.
3
3.
Metode Dekomposisi Gelanggang Metode
dekomposisi
gelanggang
merupakan
pengembangan
metode
dekomposisi LU yang terbatas pada jumlah data eksperimental dan grid yang kecil. Dengan dekomposisi ring kita dapat melakukan dekomposisi matriks yang mempunyai jumlah grid dan data eksperimental yang besar. Metode dekomposisi gelanggang dapat digunakan untuk mereduksi pemakaian memori secara signifikan. Suatu R-modul adalah perumuman dari suatu ruang vektor dengan skalar merupakan unsur
suatu gelanggang. Jumlah subgroup suatu R-modul adalah sub-
modul. R-modul adalah jumlah langsung ( disebut jumlah langsung dari himpunan { Bi
) dari sub-modul. (Kasch, 1982). M i
I } sub-modul dari M, dilambangkan
dengan :
M=
1). M
B i I i
i I
Bi
2). j I, [Bj Bi 0] i I i j
dimana,
Bi i I
bi bi Bi finite
M=
i I
Bi ,
disebut juga sebagai dekomposisi langsung M atas sub-modul { Bi diasumsikan, 0
Bi,
i
i
I} dan
I.
Dalam kasus I = {1, 2, …, n} hingga, M juga ditulis sebagai: M = B1
B2
…
Bn .
Teorema 1: Misal { Bi
i
I } sub-modul, Bi
Bi
M dan M =
, persamaan 2) ekuivalen
i I
dengan : x
bi ,
M, penulisan x =
dengan bi
Bi, I’ I, I’ hingga, adalah tunggal.
i I'
Corollary 2: Jika M adalah suatu matriks gelanggang atas lapangan langsung Bi, dengan Bi adalah baris ke-i elemen M. 4
, maka M adalah suatu jumlah
Berdasarkan corollary ini dan karena C dapat juga dipandang sebagai matriks gelanggang atas lapangan
, maka C adalah jumlah langsung dari Bi.
Misal C = (Cij )nxn. ei = (0, …, 0, I, 0, …, 0), I matriks identitas. definisikan Bi = eiC maka C=
Bi
eiC = (Ci1, Ci2, …, Cin)
dan
karena vektor (Ci1, Ci2, …, Cin) dapat diidentifikasi dengan Bi, akibatnya : C = e1C
…
e2C = B1
B2
enC …
Bn
Selanjutnya dekomposisikan Bi menjadi matrik segitiga bawah dan matriks segitiga atas, sebagai berikut :
Bi eiC
0 0 Ci1 Ci2 0 0
0 Cin 0
L11 L12 0 L22 0 0
L1n u11 u12 L2n 0 u22 Lnn 0 0
u1n u2n unn
LiUi
dapat digunakan dekomposisi : L11U11 = C11
(gunakan dekomposisi LU)
Li1
= Ci1
i
2
Lij
= Ci,j-1 - Cij
2
j
LiiUii
= Ci,i-1 - Cii
i
2 (gunakan dekomposisi LU)
Lij
= 0
j>i
4.
Contoh Numerik
i-1
Untuk melihat dan menganalisis hasil yang dicapai oleh metode dekomposisi ring, metode ini akan dibandingkan dengan metode dekomposisi LU. Akan ditunjukkan bahwa nilai interpolasi kedua metode ini serupa untuk data dan lokasi data eksperimental yang sama. Pengambilan data untuk keperluan ini dilakukan pada jumlah data dan grid yang dapat dijangkau oleh dekomposisi LU, selanjutnya dengan data tersebut dilakukan dekomposisi ring untuk dibandingkan hasilnya. Disini digunakan tujuh lokasi data eksperimental, 93 realisasi dan 5 x 6 lokasi grid yang berukuran 200m 5
x 200m
dan diambil dari 7 lokasi sumur produksi lapangan minyak Jatibarang.
Lapangan minyak Jatibarang terletak di kabupaten Indramayu memanjang dari timur ke barat
16 km dan dari utara ke selatan 10 km. Minyak dan gas-bumi ditemukan pada
basin Jawa Barat yang merupakan suatu antiklinal di bawah permukaan yang tidak selaras dari zona 400 sampai 1200m, memanjang dari timur-barat. Dua patahan besar melintang dari utara-selatan membagi lapangan menjadi tiga blok atau patahan. Selain patahan besar juga terdapat beberapa patahan kecil. Dalam penelitian ini akan digunakan 83 data sumur sampel dengan koordinat : 11700m sampai 18300m arah timur-barat dan -3400m sampai 3400m arah utara-selatan.
Dari ketujuh data eksperimental yang diberikan, model variogram dapat dihampiri dengan variogram model isotropik dengan parameter : Model variogram : Spherikal Range : 390 Sill : 3.5 Jika kedua metode dilakukan pada data eksperimental ini, diperoleh hasil dalam Tabel 1: Tabel 1:Hasil interpolasi dekomposisi LU dan dekomposisi Ring menggunakan 7 data eksperimental 30 lokasi grid. No 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24
Lokasi X Y 12600 1000 12800 1000 13000 1000 13200 1000 13400 1000 13600 1000 12600 1200 12800 1200 13000 1200 13200 1200 13400 1200 13600 1200 12600 1400 12800 1400 13000 1400 13200 1400 13400 1400 13600 1400 12600 1600 12800 1600 13000 1600 13200 1600 13400 1600 13600 1600
Dekomposisi LU rata-rata st.deviasi 15.08812 1.95632 15.95026 1.91714 14.95458 2.057326 14.35647 2.076481 15.31425 1.95879 14.68382 2.031659 14.9228 2.173611 15.23984 1.978063 14.95404 1.899578 15.20775 2.112962 15.8553 1.955988 15.12135 2.066828 14.86355 1.850654 15.04433 1.969477 14.83949 1.852726 15.06286 2.134841 15.57465 1.930876 17.47146 1.892682 15.25547 1.607811 14.75028 2.226693 14.91935 2.199754 14.64834 1.854326 14.97383 1.802835 15.5099 1.949269
6
Dekomposisi Ring rata-rata st.deviasi 15.13757 1.932775 16.15292 2.01688 14.92562 1.898842 14.72724 1.952511 15.42538 1.965266 14.66926 2.084172 14.91776 1.995565 15.22667 1.943167 15.02974 1.967002 15.27591 1.987563 15.45392 1.559778 15.16977 1.076847 14.87961 0.982529 15.03143 0.984684 15.05937 1.092067 14.93545 0.96079 15.46954 0.031277 17.03093 5.62E-07 14.95398 0 14.88288 0 15.29712 2.22701 14.51389 2.167284 15.27452 2.066833 15.45889 2.135546
25 26 27 28 29 30
12600 12800 13000 13200 13400 13600
1800 1800 1800 1800 1800 1800
14.92322 13.65861 14.33166 13.1066 14.1455 14.8784
2.099788 2.08937 2.142766 1.95197 2.076257 2.057805
15.11702 13.5673 13.81395 12.88394 14.24395 14.7151177
2.188001 2.132713 2.111895 1.907026 1.867297 1.982898
Berdasarkan perbandingan nilai pada Tabel 1, terlihat bahwa nilai rata-rata hasil yang dicapai oleh kedua metode interpolasi hampir sama di setiap lokasi grid, lebih jelasnya dapat dilihat pada kontur hasil interpolasi pada Gambar 1 : 1800.00
13600.00
16.80 16.60 16.40 16.20 16.00 15.80 15.60 15.40 15.20 15.00 14.80 14.60 14.40 14.20 14.00 13.80 13.60 13.40 13.20 13.00 12.80
13600.00
17.20 17.00 16.80 16.60 16.40 16.20 16.00 15.80 15.60 15.40 15.20 15.00 14.80 14.60 14.40 14.20 14.00 13.80 13.60 13.40 13.20 13.00
1700.00 1600.00 1500.00 1400.00 1300.00 1200.00 1100.00 1000.00 12600.00
12800.00
13000.00
a.
13200.00
13400.00
dekomposisi ring
1800.00 1700.00 1600.00 1500.00 1400.00 1300.00 1200.00 1100.00 1000.00 12600.00
12800.00
13000.00
13200.00
13400.00
b. dekomposisi LU gambar 1 : Kontur hasil dekomposisi ring dan dekomposisi LU.
dari gambar 1 terlihat bahwa hasil yang dicapai oleh kedua metode ini hanya memiliki sedikit perbedaan, yakni pada 12800 < x < 13200 dan 1500 < y < 1600, pada lokasi ini dekomposisi ring masih dapat menggambarkan perbedaan kadar porositas yakni sebesar 14.80, 15.00 dan 15.20 sedangkan dekomposisi LU menganggap di lokasi itu perbedaan kadar porositas, yakni hanya 14.80 dan 15.00. Hal ini terjadi karena adanya perbedaan elemen matriks LGD dan LGG yang bersesuaian untuk lokasi yang dimaksud, elemen matriks LGD dan LGG pada dekomposisi ring relatif lebih besar daripada elemen 7
matriks LGD dan LGG
dekomposisi LU. Nilai elemen matriks LGD dan LGG yang
bersesuaian dengan lokasi lainnya pada kedua metode ini memiliki nilai relatif sama, sehingga pada lokasi tersebut kadar porositas oleh kedua metode ini relatif sama. Untuk menguji apakah kedua variogram yang direproduksi dari hasil interpolasi ini
berbeda atau tidak secara signifikan terhadap variogram data eksperimental,
dilakukan dengan menggunakan uji fit comparison dan hasilnya sebagai berikut : Tabel 2 : Uji kecocokan variogram hasil interpolasi dan variogram data eksperimental pada tingkat kepercayaan 95%. Metode
Dari Tabel
p-value
Dekomposisi LU
0.927022
Dekomposisi Ring
0.878988
kesimpulan tidak berbeda secara signifikan. tidak berbeda secara signifikan.
2 dapat disimpulkan bahwa variogram metode dekomposisi ring dan
dekomposisi LU tidak berbeda secara signifikan terhadap variogram data eksperimental. Jadi kedua metode ini dapat mempertahankan bentuk variogram data eksperimental.
Berikut ditampilkan statistik deskriptif hasil interpolasi : Tabel 3 : Statistik deskriktif data eksperimental dan hasil interpolasi Statistik
Data eksperimental
Hasil interpolasi dekomposisi LU
Hasil interpolasi dekomposisi ring
Mean St.Deviasi Koef.variasi Minimum Maksimum
14.96714 1.964202 0.131234 12.81 17.46
15.08812 0.741956 0.049175 13.1066 17.47146
14.97469 0.73502 0.049084 12.88394 17.03039
Dari tabel 3 dapat disimpulkan bahwa nilai rata-rata hasil interpolasi sangat dekat dengan nilai rata-rata data eksperimental, selisih nilai rata-rata untuk dekomposisi LU = 0.12098 dan dekomposisi gelanggang = 0.007548 yang menunjukkan bahwa rata-rata distribusi hasil interpolasi dan rata-rata distribusi data eksperimental sangat mirip. Hal ini sesuai dengan asumsi kestasioneran variabel acak Z(s). Dari uraian di atas dapat disimpulkan bahwa hasil interpolasi yang diperoleh metode dekomposisi ring serupa dengan hasil interpolasi yang diperoleh melalui metode dekomposisi LU, baik metode dekomposisi ring maupun dekomposisi LU tetap mempertahankan struktur analisis atau variogram data eksperimental.
8
5.
Aplikasi Metode Dekomposisi Ring Pada Lapangan Minyak Jatibarang Berdasarkan 83 data eksperimental yang diberikan, diperoleh statistik deskriptif
seperti yang disajikan pada Tabel 4: Tabel 4: Statistik deskriktif 83 data eksperimental Statistik
83 Data eksperimental
Mean St.Deviasi Koef.variasi Minimum Maksimum
13.19518 2.766257 0.209641 5.57 21.14
Model variogram 83 data eksperimental ini dapat dihampiri dengan : -
Model(isotropik) : Spherikal
-
Range : 2000m dan
-
Sill
: 7.5
Lokasi 83 data eksperimental didefinisikan pada grid 33 x 35 berukuran 200m x 200m sehingga jumlah grid keseluruhannya ialah 1155, total data dan grid yaitu : 1155 + 83 = 1238, ukuran matriks kovariansi yang akan terbentuk yakni 1238 x 1238 merupakan jumlah yang sangat besar bagi dekomposisi LU. Dengan menggunakan dekomposisi gelanggang pada matrik kovariansi grid, diperoleh hasil interpolasi dengan statistik deskriptif pada Tabel 5: Tabel 5: Statistik deskriptif hasil interpolasi dekomposisi gelanggang Statistik
83 Data eksperimental
Mean St.Deviasi Koef.variasi Minimum Maksimum
13.36273 1.946215 0.209641 6.252587 20.51739
dan grafik histogramnya :
Gambar 2 : Histogram hasil interpolasi dekomposisi gelanggang
9
Jika dibandingkan antara hasil interpolasi dekomposisi ring matriks kovariansi grid dengan data eksperimental maka dapat disimpulkan bahwa nilai rata-rata distribusinya mempunyai selisih yang amat kecil yakni hanya : 0.16755, sehingga boleh dikatakan bahwa nilai rata-rata distribusi metode dekomposisi ring hampir sama dengan nilai rata-rata distribusi data eksperimental. Pada Gambar 3, ditunjukkan perbandingan variogram data eksperimental dengan variogram hasil interpolasi dekomposisi ring yang menunjukkan kemiripan bentuk dan nilai parameternya. sampel hasil ring 25
Nilai Variogram
20
15
10
5
0 0
1000
2000
3000
4000
5000
6000
7000
Jarak (m)
Gambar 3 : Perbandingan variogram hasil interpolasi dekomposisi ring dan variogram data eksperimental
Berdasarkan uji fit comparison untuk kedua variogram diperoleh nilai p-value = 0.848401 > 0.05 = , sehingga disimpulkan bahwa kedua grafik tidak berbeda secara signifikan pada tingkat kepercayaan 95%. Dari hasil ini dapat dilihat bahwa hasil interpolasi pada lapangan minyak Jatibarang menunjukkan bahwa distribusi dan variogram hasil interpolasi dekomposisi ring serupa dengan distribusi dan variogram data eksperimental. Berikut disajikan hasil interpolasi porositas pada lapangan minyak jatibarang menggunakan 83 data eksperimental melalui dekomposisi ring matriks kovariansi grid dengan 103 realisasi yang ditampilkan dalam kontur kadar porositas:
10
3000.00
20.00 19.00 2000.00 18.00 17.00 1000.00 16.00 15.00 14.00 0.00 13.00 12.00 -1000.00 11.00 10.00 -2000.00 9.00 8.00 -3000.00 7.00 6.00 12000.00 13000.00 14000.00 15000.00 16000.00 17000.00 18000.00 Gambar 4 : Kontur kadar porositas dengan dekomposisi ring.
Dari Gambar 4, terlihat bahwa pada koordinat x > 17.000 dan y > 2000; 14.000 < x < 16.000 dan y > 2200; 13600 < x < 15000 dan y < -2600; serta 13600 < x < 15600 dan 0 < y < 1800 merupakan daerah yang memiliki nilai rata-rata kadar porositas lebih tinggi daripada kadar porositas lokasi lainnya.
4.
Kesimpulan Metode Dekomposisi Lower-Upper(LU) banyak digunakan dalam karakterisasi
reservoir karena mudah untuk digunakan, menjalankan simulasi dengan data bersyaratnya secara serempak, tidak terbatas pada bentuk fungsi kovariansi, sehingga dapat pula digunakan pada kasus anisotropik. Metode Dekomposisi Ring merupakan pengembangan dari metode dekomposisi LU untuk dimensi matriks kovariansi yang cukup besar. Dengan asumsi bahwa matriks kovariansi sebagai suatu matriks gelanggang atas lapangan riil ( ), matriks ini selanjutnya dinyatakan sebagai jumlah langsung dari sub modul. Dekomposisi LU dilakukan pada sub modul ini untuk membuat suatu realisasi dekomposisi ring. Dengan menggunakan delapan puluh tiga data eksperimental pada lapangan minyak Jatibarang, dapat dilihat bahwa hasil interpolasi pada lapangan minyak jatibarang menunjukkan bahwa distribusi dan variogram hasil interpolasi dekomposisi 11
ring serupa dengan distribusi dan variogram data eksperimental.hal terlihat dari nilai rata-rata distribusinya mempunyai selisih yang amat kecil yakni hanya : 0.16755. Penggunaan dekomposisi ring pada matrik kovariansi lokasi grid, dapat meningkatkan ukuran data eksperimental dan grid yang akan disimulasikan. Daftar Pustaka Armstrong, M., (1998). Basic Linear Geostatistics, Springer, Berlin. Cressie, N. A. C., (1993). Statistics for Spatial Data, Edisi Revisi, John Wiley & Sons, New York. Deutsch, C.V., dan Journel, A.G., (1992), GSLIB Geostatistical Software Library and User’s Guide. Oxford University Press, New York. Fetkovich, M. J., (1980). Decline Curve Analysis Using Type Curves , SPE 4629.10651077. Hohn, M.E., (1999), Geostatistics and Petroluem Geology, Second Edition, Kluwer Academic Publisher, Dardrecht. Kitanidis, P.K., (1999). Introduction To Geostatistics: Applications to Hydrogeology, Cambridge University Press, New York. Matheron,G., (1963). Principles of Geostatistics. Economic Geology 58, 1246-1266.
12
