Dr.Eng. Agus S. Muntohar Department of Civil Engineering
INTERPOLASI: METODE LAGRANGE Pertemuan ke-12: 20 Desember 2012
Dr.Eng. Agus S. Muntohar
1
Apa Interpolasi? 2
Diberikan data (x0,y0), (x1,y1), …… (xn,yn), nilai “y” diperoleh pada “x” yang tidak diketahui nilainya.
Gambar 1 Interpolasi data diskrit. Dr.Eng. Agus S Muntohar Department of Civil Engineering
Interpolan 3
Bentuk polinomial merupakan interpolan yang paling sering dipilih karena mudah untuk melakukan: Evaluasi Turunan,
dan
Integral
Dr.Eng. Agus S Muntohar Department of Civil Engineering
Interpolasi Lagrangian 4
Interpolasi polinomial Langrangian dinyatakan sebagai n
fi x Li x f xi i 0
Dimana n = pangkat polinomial ke-n yang didekati dengan fungsi y = f(x) untuk setiap (n+1) titik data (x0,y0), (x1,y1),…,(xn-1,yn-1),(xn,yn) dan n
Li x j 0 j i
x xj xi x j
Li(x) = fungsi bobot (weighting function) untuk hasil ke (n-1) dimana untuk hasil j = I diabaikan Dr.Eng. Agus S. Muntohar Department of Civil Engineering
Contoh 1 5
Kecepatan dorong sebuah roket diberikan sebagai fungsi waktu pada Tabel 1. Tentukan kecepatan roket pada t = 16 detik dengan menggunakan Metode Lagrange. Table 1 Data kecepatan dan waktu
t , s
vt , m/s
0
0
10
227.04
15
362.78
20
517.35
22.5
602.97
30
901.67
Gambar 2 Plot data kecepatan dan waktu untuk Contoh 1
Dr.Eng. Agus S Muntohar Department of Civil Engineering
Interpolasi Linier Lagrange (1) 6
1
v(t ) Li (t )v(ti )
517.35
550
i 0
L0 t v(t0 ) L1 t v(t1 )
500 ys
t0 15; v t0 362.78
f ( range)
450
f x de sire d
t1 20; v t1 517.35
400
362.78
350 10
12
14
x s 10 0
Dr.Eng. Agus S. Muntohar Department of Civil Engineering
16
18
x s range x de sire d
20
22
24 x s 10 1
Interpolasi Linier Lagrange (2) 7
t tj
t t1 L0 t t0 t1 j 0 t0 t j 1
j i
t tj
t t0 L1 t t1 t0 j 0 t1 t j 1
j i
t t0 t t1 v t v t0 v t1 t0 t1 t1 t0 t 20 t 15 362.78 517.35 15 20 20 15 16 20 16 15 362.78 517.35 15 20 20 15 0.8 362.78 0.2 517.35 393.7 m s
Dr.Eng. Agus S. Muntohar Department of Civil Engineering
Interpolasi Kuadratik Lagrange 8
Interpolasi polinomial pangkat 2 atau kuadratik dapat dinyatakan sebagai 2
v(t ) Li (t )v(ti ) i 0
L0 t v(t0 ) L1 t v(t1 ) L2 t v(t2 )
Dr.Eng. Agus S. Muntohar Department of Civil Engineering
Contoh 2 9
Kecepatan dorong sebuah roket diberikan sebagai fungsi waktu pada Tabel 1. Tentukan kecepatan roket pada t = 16 detik dengan menggunakan Metode Kuadratik Lagrange. Table 1 Data kecepatan dan waktu
t , s
vt , m/s
0
0
10
227.04
15
362.78
20
517.35
22.5
602.97
30
901.67
Gambar 2 Plot data kecepatan dan waktu untuk Contoh 1
Dr.Eng. Agus S Muntohar Department of Civil Engineering
Interpolasi Kuadratik Lagrange (2) 10
t0 10; v t0 227.04
517.35
500
t1 15; v t1 362.78 t2 20; v t2 517.35 t tj
t t1 t t2 L0 t t t t t t t j 0 0 j 0 1 0 2 j i 2
t tj
t t0 t t2 L1 t t t t t t t j 0 1 j 1 0 1 2 j i 2
550
450 ys
400
f ( range)
f x de sire d
350
300
250 227.04
200
10 10
t tj
t t0 t t1 L2 t t t t t t t j 0 2 j 2 0 2 1 j i 2
Dr.Eng. Agus S. Muntohar Department of Civil Engineering
12
14
16
x s range x de sire d
18
20 20
Interpolasi Kuadratik Lagrange (3) 11
t t1 t t2 t t0 t t 2 t t0 t t1 v t v t0 v t1 v t2 t0 t1 t0 t2 t1 t0 t1 t2 t2 t0 t2 t1
16 15 16 20 16 10 16 20 v 16 227.04 362.78 10 15 10 20 15 10 15 20 16 10 16 15 517.35 20 10 20 15
0.08 227.04 0.96 362.78 0.12 527.35 392.19 m/s
Kesalahan relatif terhadap interpolasi linier 392.19 393.70 a 100 0.38410% 392.19 Dr.Eng. Agus S. Muntohar Department of Civil Engineering
Interpolasi Kubik Lagrange 12
Interpolasi polinomial pangkat 3 atau kubik dapat dinyatakan sebagai 3
v(t ) Li (t )v(ti ) i 0
L0 t v(t0 ) L1 t v(t1 ) L2 t v(t2 ) L3 t v(t3 ) 602.97
700
600
ys
500
f ( range)
f x de sire d
400
300
227.04
200
12 14 18 20 22 Dr.Eng. Agus S. Muntohar1010 Department of x16 Civil Engineering range x s
de sire d
24 22.5
Contoh 3 13
Kecepatan dorong sebuah roket diberikan sebagai fungsi waktu pada Tabel 1. Tentukan kecepatan roket pada t = 16 detik dengan menggunakan Metode Kubik Lagrange. Table 1 Data kecepatan dan waktu
t , s
vt , m/s
0
0
10
227.04
15
362.78
20
517.35
22.5
602.97
30
901.67
Gambar 2 Plot data kecepatan dan waktu untuk Contoh 1
Dr.Eng. Agus S Muntohar Department of Civil Engineering
Interpolasi Kubik Lagrange (2) 14
t0 10; v t0 227.04; t1 15; v t1 362.78 t2 20; v t2 517.35; t3 22.5; v t3 602.97 t tj
t t1 t t2 t t3 t t t t t t j 0 t0 t j 0 1 0 2 0 3 j i 3
L0 t
602.97
t tj
t t0 t t2 t t3 t t t t t t j 0 t1 t j 1 0 1 2 1 3 j i 3
L1 t
t tj
t t0 t t1 t t3 L2 t t t t t t t j 0 t2 t j 2 0 2 1 2 3 j i 3
600
ys
500
f ( range)
f x de sire d
t tj
t t0 t t1 t t2 L3 t t t t t t t t t j 0 3 j 3 0 3 1 3 2 j i 3
700
400
300
227.04
200
10
12
10
Dr.Eng. Agus S. Muntohar Department of Civil Engineering
14
16
18
x s range x de sire d
20
22
24 22.5
Cubic Interpolation (contd) 15
t t1 t t2 t t3 t t 0 t t 2 t t3 t t0 t t1 t t3 v t v t1 v t2 v t2 t t t t t t t t t t t t t t t t t t 0 1 0 2 0 3 1 0 1 2 1 3 2 0 2 1 2 3 t t1 t t1 t t2 v t3 t t t t t t 3 1 3 1 3 2 16 15 16 20 16 22.5 16 10 16 20 16 22.5 v 16 227.04 362.78 10 15 10 20 10 22.5 15 10 15 20 15 22.5 16 10 16 15 16 22.5 16 10 16 15 16 20 517.35 602.97 20 10 20 15 20 22.5 22.5 10 22.5 15 22.5 20
0.0416 227.04 0.832 362.78 0.312 517.35 0.1024 602.97 392.06 m/s
Kesalahan relatif terhadap interpolasi kuadratik 392.06 392.19 a 100 392.06 0.033269% Dr.Eng. Agus S. Muntohar Department of Civil Engineering
16
Perbandingan Hasil Hitungan Metode Lagrange dan NDD Metode NDD Pangkat Polinomial:
1
2
3
v(t=16) m/s
393.69
392.19
392.06
Kesalahan relatif
---------- 0.38502 % 0.033427 %
Metode Lagrange Pangkat Polinomial:
1
2
3
v(t=16) m/s
393.69
392.19
392.06
Kesalahan relatif
--------
0.38410% 0.033269%
Dr.Eng. Agus S. Muntohar Department of Civil Engineering
Distance from Velocity Profile 17
Find the distance covered by the rocket from t=11s to t=16s ? v(t ) (t 3 57.5t 2 1087.5t 6750)(0.36326) (t 3 52.5t 2 875t 4500)(1.9348) (t 3 47.5t 2 712.5t 3375)(4.1388) (t 3 45t 2 650t 3000)(2.5727) v (t ) 4.245 21.265t 0.13195t 2 0.00544t 3 ,
10 t 22.5
16
s(16) s (11) v( t ) dt 11 16
( 4.245 21.265t 0.13195t 2 0.00544t 3 ) dt 11
t2 t3 t 4 16 [ 4.245t 21.265 0.13195 0.00544 ]11 2 3 4 Dr.Eng. Agus S. Muntohar Department of Civil Engineering
1605 m
Acceleration from Velocity Profile 18
Find the acceleration of the rocket at t=16s given that
v(t ) 4.245 21.265t 0.13195t 2 0.00544t 3 ,
10 t 22.5
, d d 2 a t v t 4.245 21.265t 0.13195t 0.00544t 3 dt dt
21.265 0.26390t 0.01632t 2 a (16) 21. 265 0.26390(16) 0.01632(16) 2 29.665 m / s 2 Dr.Eng. Agus S. Muntohar Department of Civil Engineering