(Tento text je součástí výkladu k definičním oborům, tam najdete další příklady a pokud chcete část tohoto textu někde použít, můžete čerpat ze stažené kompletní verze „definičních oborů“ ve formátu .doc.)
ŘEŠENÍ KVADRATICKÝCH A ZLOMKOVÝCH NEROVNIC V ŠESTI BODECH Kvadratické i zlomkové nerovnice řešíme takto: 1\ a ) Převedeme je na předepsaný tvar, u kterého je vždy vlevo všechno a vpravo pouze 0, opakuji NULA! b ) Dále je nutno - u kvadratické nerovnice posčítat členy s x2, s x a pouhá čísla a členy pak seřadit: nejdřív x2, pak x, pak čísla. Např.: 1 - 5x +3 x2 -2 +2x < 0 1 – 2 – 5x +2x +3 x2 < 0 3 x2 -3x -1 < 0 - u zlomkové nerovnice dostat vlevo jeden zlomek, což může být kvůli trochu složitějším početním úkonům se zlomky trochu náročnější, ale jde to. Např. 3 -x+2>0 2 x1 x.2 x1 2.2 x1 3 + >0 2 x1 2 x 1 2 x 1 3 - 2 x 2 x4 x2 >0 2 x1 5 - 2 x 2 - x4 x >0 2 x1 5 - 2 x23 x >0 2 x1 - 2 x 2 3 x 5 >0 2 x1 2\
Určíme nulové body. a ) U kvadratické nerovnice ax2+bx+c <> 0 - b± b 2 - 4ac . Jenom pozor – koeficienty a, b, c 2a musíme dosazovat vždy se znaménky, která jsou před nimi. Je jasné, že pokud např. před x2 nic není, je to jako by tam byla jednička, čili a=1; pokud např. člen s x úplně chybí, je b=0. nejlépe podle známého vzorečku x1, 2 =
b ) U zlomkové nerovnice nulové body určíme tak, že položíme: čitatel = 0 a jmenovatel=0.
Pokud máme v čitateli nebo jmenovateli kvadratický člen, bude mít tato část pravděpodobně 2 nulové body (to záleží na diskriminantu, tj. hodnotě b2-4ac, když to vychází kladné, jsou to opravdu 2 různé nulové body), zkrátka potom aplikujeme bod a). Pro ilustraci určím nulové body výrazu z minulého příkladu: - 2x3x5 >0 2x1 Nulové body: i. ii.
-2 x2 + 3x + 5 = 0 2x + 1 = 0 2x = -1 x = - 12
- 3± 9 - 4. (- 2 ) .5 - 3± 49 x1, 2 = = = 〈 2. (- 2 ) -4
−1 5 2
/-1 /:2
3\ Nulové body, které jsme takto získali, seřadíme podle velikosti. Celou číselnou osu od -∞ do +∞, rozdělíme těmito body do úseků, toto rozdělení si zapíšeme do záhlavního řádku tabulky. U ilustračního příkladu tedy dostáváme: -1, - 12 ,
5 2
a první řádek tabulky:
4\ 5 5 Pokud výraz obsahuje kvadratický člen, > 0 (-∞,-1) (-1,- 12 ) (- 12 , 2 ) ( 2 ,∞) musíme ho přepsat podle následujícího -2 vzorečku: x+1 ax2 + bx + c = a.(x - x1).(x - x2) . x- 52 Do záhlavního sloupce pak dáme závorky, které 2x+1 jsme takto získali, případně čitatel a jmenovatel celý zlomku, budeme si pamatovat, že jsou to jakoby zlomek všechny závorky v té levé straně nerovnice (uvědomíme si, že zlomková čára vlastně nahrazuje závorky). Pokud ve výrazu nějakou závorku ještě násobíme nějakým číslem, toto číslo musíme dát do záhlavního sloupce tabulky také, jestliže je záporné. Pro náš ilustrační příklad dostáváme z čitatele: -2 x2 + 3x + 5 = -2.(x - (-1)).(x - 52 ) = -2.(x+1)(x- 52 ), do sloupce tedy píšeme tyto věci: -2; x+1; x- 52 . Jmenovatel tam napíšeme celý, je to jakoby jedna závorka. 5\ Vyplňujeme tabulku, tak, že za x do jednotlivých výrazů vlevo dosazujeme nějaké číslo z intervalů nahoře. (Obvyklá chyba je, že dosazujeme ty hraniční body a jsme bezradní, že nevíme, jestli vyjde + nebo -. Právě proto narozdíl od jiných kapacit, já trvám na tom, že všechny závorky u těch intervalů v té tabulce musí být kulaté.) A to nejdůležitější, nezajímá nás ani, kolik to přesně vyjde, ale jestli to bude kladné nebo záporné. Výsledné znaménko zapíšeme do příslušné kolonky. V řádku, kde je číslo, píšeme všude znaménko toho čísla. (Protože jsme si řekli, že tam kladná čísla psát nemusíme, bude to většinou `-`.)
V tom ilustračním příkladu tedy vyjde: (-∞,-1) >0 -2 x+1 5 x- 2 2x+1 celý zlomek
(-1, - 12 )
(- 12 , 52 )
( 52 ,∞)
+ -
+ +
+ + + Ta hezká tabulka teď svádí k tomu, abychom udělali součet. Ale ne, my ta ...
6\ znaménka musíme v každém sloupci vynásobit. a to přesně podle poučky „plus.plus=plus; plus.mínus=mínus; mínus.plus je to samé, takže mínus; mínus.mínus=plus. Když je jich více než dvě, tak se toho neleknem, takovéhle násobení nezáleží na pořadí ani na seskupování, takže čtyři znaménka uděláme třeba po dvojicích a pak mezivýsledky spolu. Tak dostáváme: (-∞,-1) >0 -2 x+1 5 x- 2 2x+1 celý + zlomek
(-1, - 12 )
(- 12 , 52 )
( 52 ,∞)
+ -
+ +
+ + +
-
+
-
Teď se teprve ukazuje, proč jsem si do růžku tabulky poznamenal „> 0“. Hlavně to bylo proto, abych nezapomněl, že budu nakonec hledat plusy. Vždy, když vyjde v posledním řádku více než jedno hledané znaménko, je hledané řešení té nerovnice
7\ SJEDNOCENÍ odpovídajících intervalů. Tedy: x ∈ (-∞, -1) ∪ (- 12 , 52 ) VELEDŮLEŽITÉ JE: Zde případně upravíme tvar závorek. To je druhý důvod, proč jsem si do růžku poznamenal „> 0“. Pravidla jsou 2 a zní: U nekonečna je vždy kulatá závorka. U nulových bodů je kulatá závorka, když je v nerovnici znaménko < nebo >. Špičatá závorka je tam tehdy, když v nerovnici máme znaménko ≤ nebo ≥. Musíme ale 8\ U zlomkových nerovnic vyloučit body, ve kterých vychází jmenovatel nula. Pro náš příklad je to: 2x + 1 ≠ 0 x ≠ - 12 Tento bod do výsledku stejně nepatří, takže nám zůstává výsledek: x ∈ (-∞, -1) ∪ (- 12 , 52 ) Pozn.: Tento bod v návodu k definičním oborům chybí, protože je vlastně obsažen v předchozím nebo následujícím postupu určení definičního oboru.
PŘÍKLADY 1 – x2 > 0 To je normální kvadratická nerovnice. 1\ Posčítáno už je, jenom by to chtělo uspořádat: -x2 + 1 > 0 /a = -1, b=0, c=1 - 0± 0 - 4. (- 1 ) . 1 ± 4 2\ Nulové body: x1,2 = = =±1 2. (- 1 ) -2 3\ Seřadit, nastříhat: (-∞, -1), (-1, 1), (1, ∞). 4\ Druhý vzoreček a přepis do součinu: 2 -x +1 = -1.(x - -1).(x - 1) = -1.(x + 1).(x - 1) 5\ a 6\ Ta mínus jednička je tam klíčová, musíme jí věnovat zvláštní řádek, jak uvedeno v návodu. 7\ Výsledek tedy je: x ∈ (-1, 1). 8\ Odpadá, protože nemáme zlomek.
>0 -1 x–1 x+1 -(x+1)(x-1)
(-∞, -1) -
(-1, 1) + +
(1, ∞) + + -
x2 ≥0 x4 1\ a ) – rovnice už splňuje to , co má, tj. vlevo všechno, vpravo jenom nula. b ) kvadratický člen nemáme a je to jeden zlomek, takže nerovnice je připravena k dalšímu zpracování.
2\ Nulové body –
čitatel: jmenovatel:
x+2=0 x = -2 x+4=0 x = -4
/-2 /-4
3\ Seřazujeme podle velikosti, komu dělá problémy porovnávání záporných čísel, vzpomene si na teploměr a řekne si, co je vyšší teplota –4° nebo –2°? Samozřejmě, že je –4 < -2. Číselná osa rozstřižená těmi čísly tedy vypadá takto: (- ∞, -4), (-4, -2), (-2, ∞). Na řadě je tabulka. 4\ Kvadratický člen tady nemáme, úprava na součin závorek tedy odpadá, nevyskytuje se tam ani věc typu číslo krát závorka, takže záhlavní sloupec bude jednoduchý – jedna položka je čitatel, druhá jmenovatel a to je vše.
≥0 x+2 x+4 zlomek
(- ∞, -4) +
(-4, -2) + -
(-2, ∞) + + +
5\ Při vyplňování plusů a mínusů doporučuji v krajních intervalech dosazovat něco s velkou velikostí, třeba –1000 a +1000. Člověk má nutkání dosadit nulu – souhlasím, jenom pozor na to, kde ta nula leží, zdaleka ne vždy je někde uprostřed. To je teď náš případ. Provedu kroky 6\ a 7\. 7\ V nerovnici je znaménko „je větší nebo rovno“, takže budeme mít špičaté závorky u čísel a jde nám o to, kde vyšlo plus. Výsledek nerovnice: x ∈ (∞, - 4〉 ∪ 〈- 2, ∞) 8\ Vyloučíme nulový bod jmenovatele: x+4≠0 x ≠ -4 , což se projeví změnou příslušné závorky ze špičaté na kulatou. Konečný výsledek je: x ∈ (∞, - 4) ∪ 〈- 2, ∞) (Tento text je součástí výkladu k definičním oborům, tam najdete další příklady a pokud chcete část tohoto textu někde použít, můžete čerpat ze stažené kompletní verze „definičních oborů“ ve formátu .doc.)
