MODUL E-LEARNING
E-LEARNING MATEMATIKA
Oleh : NURYADIN EKO RAHARJO, M.PD. NIP. 19721015 200212 1 002
Penulisan Modul e Learning ini dibiayai oleh dana DIPA BLU UNY TA 2010 Sesuai dengan Surat Perjanjian Pelaksanaan e Learning Nomor 1993a.9/H34.15/PL/2010 Tanggal 1 Juli 2010
JURUSAN PENDIDIKAN TEKNIK SIPIL DAN PERENCANAAN
FAKULTAS TEKNIK UNIVERSITAS NEGERI YOGYAKARTA TAHUN 2010
BAB III VEKTOR I. KOMPETENSI YANG DICAPAI Mahasiswa dapat : 1. Menggambar vektor dengan sistem vektor satuan. 2. Menghitung perkalian vektor. 3. Menghitung penambahan vektor dengan aturan segitiga, aturan jajaran
genjang, dan aturan poligon. 4. Menghitung pengurangan vektor. 5. Menghitung panjang vektor dalam ruang.
II. MATERI A. PENGERTIAN Vektor adalah suatu kuantita/besaran yang mempunyai besar dan arah. Secara grafis suatu vektor ditunjukkan sebagai potongan garis yang mempunyai arah. Besar atau kecilnya vektor ditentukan oleh panjang atau pendeknya potongan garis. Sedangkan arah vektor ditunjukkan dengan tanda anak panah. B
Dalam gambar vektor di samping, titik A disebut titik awal (initial point) dan titik P disebut titik terminal (terminal point). Pada gambar tersebut vektor dapat
AB = a
ditulis dengan berbagai cara seperti, AB a , a atau a. Panjang vektor juga dapat ditulis dengan berbagai cara
A
seperti | AB |, | AB |, | a |, | a |, atau a . Disini kita akan memakai simbul AB atau a untuk menyatakan vektor dan
| AB | atau | a | untuk menyatakan besaran (modulus) dari vektor tersebut. Contoh vektor misalnya lintasan, kecepatan, percepatan, dan gaya. Skalar adalah suatu kuantita yang mempunyai besaran tetapi tidak mempunyai arah. Suatu skalar adalah bilangan nyata dan secara simbolik dapat ditulis dengan huruf kecil. Operasi skalar mengikuti aturan yang sama dengan aturan operasi aljabar elementer.
18
B. VEKTOR SATUAN
Q
Y
pada sistem koordinat kartesean
a a2 j
P
(0,1)
adalah vektor satuan i . Vektor dari
a 1i
titik (0,0) sampai titik (0,1) adalah
(1,0)
i
diperlukan vektor satuan. Vektor dari titik (0,0) sampai titik (1,0)
j (0,0)
Untuk menggambarkan suatu vektor
X
vektor satuan j .
Arah vektor i positif sesuai dengan arah sumbu X positif. Arah vektor j positif sesuai dengan arah sumbu Y positif. Pada gambar disebelah ini vektor a dengan titik awal P dan titik akhir Q diuraikan menjadi dua vektor yaitu vektor a 1 i dan a 2 j . Vektor a 1 dan a 2 disebut komponen vektor a . Besaran a 1 dan a 2 disebut komponen skalar a . Secara simbolis vektor a dan komponennya ditulis a = a 1i + a 2 j
C. ALJABAR VEKTOR Aljabar vektor adalah operasi pada dua atau lebih dari vektor yang meliputi penambahan, pengurangan dan perkalian. Operasi vektor dapat dilakukan melalui komponen-komponen skalarnya.
1. Kesamaan Dua vektor Dua vektor dikatakan sama apabila panjang serta arahnya sama. a
=b
a
b
jika a = b dan arah a = arah b
19
2. Vektor Negatif Vektor – a mempunyai ukuran sama dengan a
vektor a tetapi arahnya berlawanan.
a
Jika vektor a = - b maka a = - b .
b
Vektor negatif sering disebut sebagai vektor invers.
3. Perkalian Vektor dengan Skalar Jika k bilangan real yang positif, maka k u adalah vektor yang panjangnya k u dan mempunyai
arah
yang sama dengan
u
.
ku
u
Sedangkan –k u adalah vektor yang panjangnya k u tetapi arah berlawanan dengan u .
4. Penjumlahan Vektor
a) Aturan Segitiga Perhatikan gambar di samping. Jika AB dan BC
a
b b
mewakili a dan b maka AC dikatakan
penjumlahan vektor a + b . a
b) Aturan Jajaran Genjang AB dan DC mewakili vektor a BC
a
dan AD mewakili vektor b ,
maka AC = a + b
b
a
b
b a
b
atau AC = b + a . a
20
c) Aturan Polygon Penjumlahan tiga vektor atau lebih dapat dilakukan dengan menggunakan aturan poligon.
b c
a
a
b
c
a a
c
b
b
5. Selisih Dua Vektor Selisih dua arah vektor a dan b , dinyatakan sebagai a – b , dapat dipandang sebagai penjumlahan vektor a dengan invers vektor b yaitu vektor – b . Misalkan a – b = c maka c = a +(– b ) Secara diagram selisih dua vektor tersebut seperti gambar berikut.
b
b a
c
a
b
a
6. Vektor Nol Jika vektor a = b maka a – b = 0. 0 disebut vektor nol. Vektor nol tidak mempunyai besar dan arahnya tak tentu.
21
Dalam aljabar vektor, misalkan vektor a = a 1 i + a 2 j dan vektor b = b 1 i + b 2 j maka berlaku aturan : a). a = b jika dan hanya jika a 1 i = b 1 i dan a 2 j = b 2 j b). m. a = m. a 1 i + m. a 2 j
untuk m suatu skalar
c). a + b = ( a 1 + b 1 ) i + ( a 2 + b 2 ) j d). a - b = ( a 1 - b 1 ) i + ( a 2 - b 2 ) j e). a . b = 0
jika a = 0 atau b = 0 atau a tegak lurus dengan b
f). i . i = j . j = 1 dan i . j = 0 g). a . b = ( a 1 i + a 2 j ) . ( b 1 i + b 2 j ) = a 1 h). a = i).
a1
2
a2
.
b1
+ a 2 . b2
2
= arc tan ( a 2 / a 1 )
j). a . b =
a
b
cos γ
D. VEKTOR DALAM RUANG TIGA DIMENSI Z
Vektor OP disefinisikan oleh komponen-
P
komponenya : c
r
a b
O
sepanjang OX
b sepanjang OY
Y
a
c
sepanjang OZ
L X
Misalkan
i = vektor satuan dalam arah OX j = vektor satuan dalam arah OY k = vektor satuan dalam arah OZ
maka : OP
= ai
bj
ck
OL2 = a2 + b2 dan OP2 = OL2 + c2 OP2 = a2 + b2 + c2
jadi
r
ai
bj
ck
22
Contoh penyelesaian soal : 1. Diketahui vektor a = 3i + 4j dan vektor b = 2i + j. Hitunglah harga-harga : a + b ; b + a ; a – b ; b – a ; a . b ; sudut a ; sudut b ; a . b dan b . a .
Jawab : Dari vektor a dan b tersebut dapat diketahui bahwa a 1 = 3 ; a 2 = 4 ; b 1 = 2 dan b 2 = 1 , sehingga diperoleh : a). a + b = ( a 1 + b 1 ) i + ( a 2 + b 2 ) j = ( 3 + 2 ) i + ( 4 + 1 ) j = 5i + 5j b). b + a = ( b 1 + a 1 ) i + ( b 2 + a 2 ) j = ( 2 + 3 ) i + ( 1 + 4 ) j = 5i + 5j c). a – b = ( a 1 – b 1 ) i + ( a 2 – b 2 ) j = ( 3 – 2 ) i + ( 4 – 1 ) j = i + 3 j d). b – a = ( b 1 – a 1 ) i + ( b 2 – a 2 ) j = ( 2 – 3 ) i + ( 1 – 4 ) j = -i – 3j e).
a
f). b
= =
2
2
a1
a2
2
b1
=
3
2
b2
g). Sudut a adalah
2
2
2
4
1
2
2
=
9
16
4
1
= 5
25
=5
= arc tan ( a 2 / a 1 ) = arc tan ( 4/3 ) = 53,1301 atau
= 53 7 48.36” h). Sudut b adalah = arc tan ( b 2 / b 1 ) = arc tan ( ½ ) = 26,565051 atau = 26 33 54,18” i). a . b = a 1 . b 1 + a 2 . b 2 = 3 . 2 + 4 . 1 = 6 + 4 = 10 j). b . a = b1 . a 1 + b 2 . a 2 = 2 . 3 + 1 . 4 = 6 + 4 = 10 Jawaban i). dan j). dapat juga menggunakan aturan a
. b = a . b cos .
dalam hal ini adalah sudut antara a dan b . Dengan aturan tersebut diperoleh : a .b
= a . b cos = 5 5 cos ( - ) = 5. 5 cos (53,13 – 26,56) = 5.
5
cos 26,57 = 5.
b . a = b . a cos =
5
5
. 0,894427191 = 10
. 5 cos ( - )
5
. 5 cos (-26,57) = 10
23
2. Diketahui vektor-vektor a , b dan c seperti di bawah ini . Lukislah secara grafis operasi vektor : a - b +2. c dan 3 c - 0,5(2 a - b ). Jawab : a
- b +2. c = a + (- b ) + 2 . c 2c
a
b
b a
c
a
b
2c
3 c - 0,5(2 a - b ) = 3 c + [-0,5{2 a + (- b )}] 3c
b a
b
1/2(2 a +(- b ) 2a
b
c 2a
3 c + [-0,5{2 a + (- b )}]
24
Soal-soal vektor : 1. Gambarlah vektor-vektor dibawah ini pada koordinat kartesean. a). a = 4i+5j
b). b = -4i+5j
c). c = -4i–5j
d). d = 4i – 5j
2. Gambarlah dan tuliskan dalam bentuk vektor ai + bj yang memiliki ketentuan sebagai berikut : a. Dari titik sumbu ( 0 , 0 ) ke titik ( 2 ; -3 ) b. Dari titik ( 2 ; 3 ) ke titik ( 4 ; 2 ) c. Mempunyai besar 6 dengan arah 150 3. Diketahui vektor a = 1,5 i + Hitunglah : a. a + b
dan vektor b =
3j
b. a – b
2 - 5j
c. a . b
4. Vektor a = 3i + 4j ; vektor b = 2i + 5j dan vektor c = -5i + 3j. Hitunglah : a. a + b
b. a + b + c
c. a . b . c
5. Hitunglah kerja yang dilakukan vektor 6i + 8j pada vektor 2i + 3j. 6. tentukan besarnya sudut pada vektor-vektor i + j ; 2i – 3j dan 5j. 7. Vektor a = 1i + 5j, vektor b = -5i – 7j dan vektor c = 3i – 7j. Gambarlah : a. 2 . a – b + c
b. b – 0.25 ( a –2. c )
c. a + b +3 c
25
PERKALIAN SKALAR ANTARA DUA VEKTOR 2D
Jika a dan b adalah dua buah vektor, maka perkalian skalar antara a dengan b didefinisikan sebagai a . b cos Dimana a = besar vektor a b = besar vektor b a = sudut yang diapit oleh vektor a dan b b
Perkalian skalar dinyatakan dengan a . b sehingga juga disebut sebagai perkalian titik Jadi a . b = a . b . cos = a . proyeksi b pada a atau = b . proyeksi a pada b Hasil dari perkalian skalar antara dua vektor berupa besaran skalar
PERKALIAN SKALAR ANTARA DUA VEKTOR 3D Jika a = a 1i + a2j + a3k b = b1i + b2 j + b3k maka a
. b = ( a 1i + a2j + a3k ) (b1 i + b2 j + b3k ) a
. b = a1 . b1 + a2 . b2 + a3 . b3
Rumus tersebut berasal dari perhitungan sebagaiberikut : a .b
= ( a 1i +a2j + a3k ) (b1 i + b2 j + b3k ) = (a1 . b1 .i.i ) + (a1 . b2 .i.j ) + a1 . b3. i.k ) + (a2. b1 . j.i ) + (a2 . b2. j.j ) + (a2 . b3 . j. k ) + (a3 . b1 k.i ) + (a3. b2 . k.j ) + (a3 . b3 k.k )
ingat : i . i = j . j = k . k = 1 . 1. cos 0 = 1 i . j = j . k = k . i = 1 . 1. cos 90 = 0 26
Sehingga a .b
= a1 . b1 + a2 . b2 + a3 . b3
Contoh soal. Jika a = 2i +3j +5k dan b = 4i +j +6k Maka a . b = 2.4 + 3.1 + 5.6 = 8 + 3 + 30 = 41
PERKALIAN VEKTOR ANTARA DUA VEKTOR Perkalian vektor antara a dan b ditulis a x b sehingga juga disebut sebagai perkalian silang. a x b didefinisikan sebagai vektor yang mempunyai besar a . b sin = sudut antara vektor a dengan b Arah vektor hasil kali a x b tegak lurus dengan vektor a dan b
a
xb b
b xa
a
Catatan : Dalam perkalian vektor ( silang ) membentuk sistem kanan sehingga jika b x a hasilnya tegak lurus ke bawah.
Jika = 0 maka a x b = a x b sin 0 = 0 Jika = 90 maka a x b = a x b sin 90 = a x b Sehingga : i x i = j x j = k x k = 1 . 1 sin 0 = 0 i x j = 1 . 1 sin 90 = 1
27
Dalam arah OZ maka i x j = k Jadi
ixj =k jxk=i kxi=j
tetapi
j x i = -k k x j = -i i x k = -j
jika : a = a 1i + a2j + a3k b = a 1i + b2 j + b3k maka : a x b = ( a 1i + a2j + a3k ) x (b1 i + b2 j + b3k ) = a1 . b1 i x i + a1 . b2 i x j + a1 . b3 i x k + a2. b1 j x i + a2 . b2 j x j + a2 . b3 j x k + a3 . b1 k x i + a3. b2 k x j + a3 . b3 k x k ingat rumus perkalian vektor satuan di depan, sehingga = 0 + a1 . b1 k + a1 . b3 ( -j ) + a2. b1 ( -k ) + 0 + a2 . b3 i + a3 . b1 j + a3. b2 ( -i ) + 0 = (a2 . b3– a3. b2 ) i+ (a3 . b1– a1 . b3 ) j + (a1 . b2– a2. b1 ) k Jika susunannya dibalik menjadi a
x b = (a2 b3– b2 a3 ) i – (a1 b3 – b1 a3) j + (a1 b2 – b1 a2) k
Rumus diatas jika disusun dalam bentuk determinan sebegai berikut a
xb= i j k a1 a2 a3 b1 b2 b3 = i
a2 a3 - j b2 b3
a1 a3 b1 b3
+ k a1 a2 b1 b2
Bahan Diskusi: Mengapa perkalian vektor antara dua vektor hanya ada dalam vektor 3 dimensi? 28
Contoh 1 : Diketahui p = 2i + 4j + 3k q = i + 5j – 2k Hitung p x q
Jawab : pxq=
i 2 1 =i
j k 4 3 5 -2
4 3 5 -2
-j
2 3 +k 1 -2
2 1
4 5
= i ( - 8 – 15 ) – j ( -4 – 3 ) + k ( 10 – 4 ) = -23i + 7j + 6k
Contoh 2 : Jika m = 3i - 4 j + 2k n = 2i + 5j – k Hitunglah m x n
29
SUDUT ANTARA DUA VEKTOR ( Dengan cosinus arah ) Z
P a3
a
γ
α
β Y
a2 a1
X
Misal OP = a = a 1i + a2j + a3k
Maka :
a1 a
maka a =
a1
2
a2
2
a3
2
= cos = l
a2
= cos
a a3
=m
= cos = n
a
l ,m, n disebut cosinus arah vektor OP
Contoh 1 : Tentukan cosinus arah vektor a = 3i – 2j + 6k Jawab : a1 = 3, a2= -2, a3= 6 a= l=
3 a1 a
2
( 2)
=3/7
2
6
2
; m =
= a2 a
49
=7
= -2/7 ; n =
a3 a
= 6/7 30
Z
P P1 θ Y
X Jika : Cosinus arah p adalah l,m,n Cosinus arah p 1 adalah 1′,m′,n′ Maka : Cos = l.l1 + m.m1 + n.n1
Contoh 2 : Jika cosinus arah vektor a adalah l, m, n = ½ , 0,3, -0,4 Cosinus arah vektor b adalah l1,m1,n1 = 0,25, 0,6, 0,2 Maka sudut antara vektor a dengan b adalah Cos = l.l1 + m.m1 + n.n1 = (1/2)(0,25) + (0,3)(0,6) +(-0,4)(0,2) =0,125 + 0,18 – 0,08 = 0,225 Sehingga = arc cos 0,225 = 77
31
Soal latihan : Diketahui vektor a = 5i + 4j + 2k b = 4i – 5j + 3k c = 2i – j -2k
Hitunglah : a) sudut antara vektor a dengan vektor b b) sudut antara vektor b dengan vektor c c) sudut antara vektor a dengan vektor c
32
