DYNAMIKY VOZIDEL MEASUREMENT OF INERTIA PROPERTIES OF BODIES FOR THE PURPOSE OF MATHEMATICAL MODELING OF VEHICLE DYNAMICS

´ UCEN ˇ Í TECHNICKE ´ V BRNE ˇ VYSOKE BRNO UNIVERSITY OF TECHNOLOGY

ˇ YRSTV ´ Í FAKULTA STROJNÍHO INZEN ´ ˇ YRSTV ´ Í USTAV AUTOMOBILNÍHO A DOPRAVNÍHO INZEN FACULTY OF MECHANICAL ENGINEERING INSTITUTE OF AUTOMOTIVE ENGINEERING

ˇ REN ˇ Í SETRVACN ˇ YCH ´ ˇ ME CHARAKTERISTIK TELES ´ CELY ˇ ´ ´ Í PRO U MATEMATICKEHO MODELOVAN DYNAMIKY VOZIDEL MEASUREMENT OF INERTIA PROPERTIES OF BODIES FOR THE PURPOSE OF MATHEMATICAL MODELING OF VEHICLE DYNAMICS

´ PRACE ´ DIPLOMOVA DIPLOMA THESIS

´ AUTOR PRACE

ˇ AK ´ KAREL DVOR

AUTHOR

´ VEDOUCÍ PRACE SUPERVISOR

BRNO 2008

ˇ Dr. Ing. PETR PORTES,

Abstrakt Tato práce se zab´ yvá návrhem metody, kterou lze mˇeˇrit u souˇcást´ı podvozk˚ u automobil˚ u d˚ uleˇzité mechanické veliˇciny – souˇradnice polohy tˇeˇziˇstˇe a tenzor moment˚ u setrvaˇcnosti, a to v pˇr´ıpadˇe, kdy inˇzen´ yr nemá k dispozici poˇc´ıtaˇcov´ y model dané souˇcásti. Práce problém rozdˇeluje do nˇekolika d´ılˇc´ıch podproblém˚ u, pˇriˇcemˇz u kaˇzdého je navrˇzen postup, jak jej lze s dostateˇcnou pˇresnost´ı a zároveˇ n s pˇrijatelnou nároˇcnost´ı vyˇreˇsit. Byly zhotoveny potˇrebné pom˚ ucky a bylo provedeno mˇeˇren´ı souˇcást´ı. V závˇeru jsou porovnány zmˇeˇrené hodnoty s teoretick´ ymi a je odhadnuta pˇresnost, které lze touto metodou mˇeˇren´ı doc´ılit. Summary The aim of the diploma thesis is to create a concept of methods that can be used for measurement of important mechanical inertia properties of bodies – the coordinates of center of gravity and the the moment of inertia tensor, in case we don’t have 3D model of these bodies. The thesis divides this problem into several sub-problems and suggests the solutions for each of them. Required equipment was created and measurement was carried out. At the end the measured values are compared with the teoretical ones and accuracy of this method is determined. Kl´ıˇ cov´ a slova dynamika, moment setrvaˇcnosti, tˇeˇziˇstˇe, Tritop, mˇeˇren´ı Keywords dynamics, moment of inertia, center of gravity, Tritop, measurement

ˇ AK, ´ DVOR K. Mˇeˇren´ı setrvaˇcných charakteristik tˇeles pro u ´ˇcely matematického modelován´ı dynamiky vozidel. Brno: Vysoké uˇcen´ı technické v Brnˇe, Fakulta strojn´ıho inˇzen´ yrstv´ı, 2008. 77 s. Vedouc´ı diplomové práce Ing. Petr Porteˇs, Dr.

Prohlaˇsuji, ˇze jsem diplomovou práci zpracoval samostatnˇe dle pokyn˚ u vedouc´ıho diplomové práce a s pouˇzit´ım uvedené literatury.

Karel Dvoˇrák

Chtˇel bych na tomto m´ıstˇe podˇekovat svému vedouc´ımu Ing. Petru Porteˇsovi, Dr. za vstˇr´ıcnost, rady a cenné pˇripom´ınky, které mi pomohly pˇri zpracován´ı této diplomové práce. Téˇz bych chtˇel podˇekovat vˇsem bl´ızk´ ym, kteˇr´ı se mnou mˇeli trpˇelivost a po celou dobu mˇe podporovali.

Karel Dvoˇrák

OBSAH

Obsah ´ 1 Uvod

3

2 Definice hledan´ ych veliˇ cin 2.1 Tˇeˇziˇstˇe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2 Moment setrvaˇcnosti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4 4 4

3 Pˇ rehled z´ akladn´ıch metod mˇ eˇ ren´ı 3.1 Metody mˇeˇren´ı polohy tˇeˇziˇstˇe . . . . . . . . . . . . . . . 3.1.1 Vyvaˇzovac´ı metoda . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1.2 Metoda nˇekolika vah . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1.3 Metoda zavˇeˇsen´ı tˇelesa . . . . . . . . . . . . . . . 3.1.4 Metoda mˇeˇren´ı sil pˇri rotaci . . . . . . . . . . . . 3.1.5 Metoda vyuˇz´ıvaj´ıc´ı mˇeˇren´ı momentu setrvaˇcnosti 3.2 Metody mˇeˇren´ı moment˚ u setrvaˇcnosti . . . . . . . . . . . 3.2.1 Metoda torzn´ıho kyvadla . . . . . . . . . . . . . . 3.2.2 Metoda k´ yván´ı fyzikáln´ıho kyvadla . . . . . . . . 3.2.3 Metoda v´ıcevláknov´ ych závˇes˚ u. . . . . . . . . . . 3.2.4 Metoda rotace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . .

6 6 6 7 7 8 8 8 9 11 13 13

. . . . . . . . . . . .

14 14 15 16 16 16 16 17 17 19 20 21 23

5 Realizace mˇ eˇ ren´ı polohy tˇ eˇ ziˇ stˇ e souˇ c´ ast´ı popsanou metodou 5.1 Obdéln´ıkov´ y profil . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2 Pˇredn´ı tˇehlice a loˇzisková skupina formule Ford . . . . . . . . . . . . . . . 5.3 Zadn´ı tˇehlice formule Ford . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

24 24 25 27

4 Mˇ eˇ ren´ı polohy tˇ eˇ ziˇ stˇ e 4.1 Základn´ı principy fotogrammetrie . . . . . . . . . 4.2 Fotogrammetrick´ y systém Tritop . . . . . . . . . 4.3 Formulace d´ılˇc´ıch problém˚ u a jejich ˇreˇsen´ı . . . . 4.3.1 Volba souˇradného systému . . . . . . . . . 4.3.2 Urˇcen´ı rovnice svislice . . . . . . . . . . . 4.3.3 V´ ypoˇcet polohy tˇeˇziˇstˇe z rovnic pˇr´ımek . . 4.4 Postup mˇeˇren´ı jednoho zavˇeˇsen´ı systémem Tritop 4.4.1 Pˇr´ıprava mˇeˇren´ı . . . . . . . . . . . . . . . 4.4.2 Fotografován´ı zavˇeˇsené souˇcásti . . . . . . 4.4.3 Zpracován´ı v´ ysledk˚ u v poˇc´ıtaˇci . . . . . . 4.5 Popis funkce programu Tˇeˇziˇstˇe 2.0 . . . . . . . . 4.6 Odhad chyby mˇeˇren´ı polohy tˇeˇziˇstˇe . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . .

1

OBSAH 6 Celkov´ e zhodnocen´ı navrˇ zen´ e metody mˇ eˇ ren´ı polohy tˇ eˇ ziˇ stˇ e

29

7 Mˇ eˇ ren´ı momentu setrvaˇ cnosti 7.1 Rozbor metody fyzikáln´ıho kyvadla . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.2 Anal´ yza chyb mˇeˇren´ı . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.3 Návrh rámu umoˇzn ˇuj´ıc´ıho kmitán´ı vlastn´ımi kmity . . . . . . . . . . . . 7.4 Mˇeˇren´ı periody kyvu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.4.1 Optická závora . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.4.2 Mˇeˇren´ı u ´hlové v´ ychylky a prokládán´ı sinusovkou . . . . . . . . . . 7.4.3 Pr˚ ubˇeh funkce τ = f (t) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.4.4 Pˇr´ıˇciny nekonstantn´ıho pr˚ ubˇehu zmˇeˇreného τ . . . . . . . . . . . 7.4.5 Optimalizovaná metoda mˇeˇren´ı periody . . . . . . . . . . . . . . . 7.5 Mˇeˇren´ı vzdálenosti tˇeˇziˇstˇe od osy k´ yván´ı . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.5.1 Vzdálenost tˇeˇziˇstˇe rámu od osy k´ yván´ı – lr . . . . . . . . . . . . . 7.5.2 Vzdálenost tˇeˇziˇstˇe mˇeˇreného tˇelesa od osy k´ yván´ı – lt . . . . . . . 7.5.3 Vzdálenost tˇeˇziˇstˇe dvojice rám + mˇeˇrené tˇeleso od osy k´ yván´ı – lc 7.5.4 Odhad chyby mˇeˇren´ı vzdálenosti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ˇ 7.5.5 Casov´ a nároˇcnost uvedeného postupu . . . . . . . . . . . . . . . . 7.6 Mˇeˇren´ı hmotnosti souˇca´st´ı . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

30 30 32 33 36 36 38 44 46 50 53 53 55 56 57 58 59

. . . . . . . . . . . . . . . .

8 Ovˇ eˇ ren´ı pˇ resnosti metody mˇ eˇ ren´ı momentu setrvaˇ cnosti 60 8.1 Mˇeˇren´ı momentu setrvaˇcnosti ocelového krouˇzku . . . . . . . . . . . . . . . 60 8.2 Mˇeˇren´ı momentu setrvaˇcnosti ocelové koule . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62 9 V´ ypoˇ cet tenzoru setrvaˇ cnosti z namˇ eˇ ren´ ych hodnot 9.1 Odvozen´ı vztahu pro v´ ypoˇcet sloˇzek tenzoru setrvaˇcnosti 9.2 Postup mˇeˇren´ı a v´ ypoˇct˚ u . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.3 Odhad chyby pˇri urˇcován´ı tenzoru setrvaˇcnosti . . . . . . 9.4 Transformace tenzoru setrvaˇcnosti . . . . . . . . . . . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

64 64 66 66 67

10 Realizace mˇ eˇ ren´ı tenzoru setrvaˇ cnosti souˇ c´ asti

69

11 Zhodnocen´ı metody mˇ eˇ ren´ı momentu setrvaˇ cnosti 11.1 Koncepce mˇeˇren´ı . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2 Mˇeˇren´ı periody kyvu . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.3 Mˇeˇren´ı vzdálenosti tˇeˇziˇstˇe souˇca´sti od osy k´ yván´ı . 11.4 V´ ypoˇcet tenzoru setrvaˇcnosti . . . . . . . . . . . . .

72 72 72 73 73

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

12 Shrnut´ı a z´ avˇ er

74

Seznam pouˇ zit´ e literatury a zdroj˚ u

75

2

´ 1. Uvod Poˇc´ıtaˇce se za posledn´ıch nˇekolik desetilet´ı dokázaly prosadit prakticky ve vˇsech oborech lidské ˇcinnosti. Sv´ ym vlivem v´ yraznˇe zmˇenily i automobilov´ y pr˚ umysl – auto, které dnes sjede z v´ yrobn´ıho pásu, je doslova nabité integrovan´ ymi obvody, tranzistory a procesory. Poˇc´ıtaˇce se prosadily i ve v´ yvoji automobil˚ u. Pomoc´ı d˚ umysln´ ych program˚ u m˚ uˇze inˇzen´ yr odhadnout, jak se bude auto chovat, jeˇstˇe neˇz bude v˚ ubec vyrobeno. I pˇres veˇskerou svou dokonalost vˇsak poˇc´ıtaˇce pouze modeluj´ı realitu. Podle toho, jak pˇresná data poˇc´ıtaˇci poskytneme, dostaneme obraz v´ıce ˇci ménˇe odpov´ıdaj´ıc´ı skuteˇcnosti. Bez dostateˇcnˇe pˇresnˇe zadan´ ych vstupn´ıch dat poˇc´ıtaˇc nem˚ uˇze nikdy dospˇet ke smyslupln´ ym v´ ysledk˚ um; v´ ypoˇcty se vˇzdy vztahuj´ı k u ´daj˚ um, které obdrˇz´ı. V mnoha pˇr´ıpadech má inˇzen´ yr k dispozici pˇr´ımo v´ yrobn´ı v´ ykresy, pˇr´ıpadnˇe i trojrozmˇern´ y model dané souˇcásti. V takovém pˇr´ıpadˇe m˚ uˇze poˇc´ıtaˇc geometrické informace, které potˇrebuje, zjistit právˇe na základˇe tohoto modelu. Problém vˇsak nastává v okamˇziku, kdy potˇrebujeme ve v´ ypoˇctech pouˇz´ıt tˇeleso, u kterého jeho trojrozmˇern´ y model nemáme. V takovém pˇr´ıpadˇe mus´ı pˇrij´ıt na ˇradu experimentáln´ı metody, kter´ ymi tyto veliˇciny zjist´ıme. Pokud chceme analyzovat pohyb tˇelesa z hlediska dynamiky, potˇrebujeme znát pˇredevˇs´ım jeho d˚ uleˇzité mechanické veliˇciny. A právˇe metodami, kter´ ymi lze u r˚ uzn´ ych souˇcást´ı automobilu zjiˇst’ovat mechanické veliˇciny potˇrebné pro poˇc´ıtaˇcové modelován´ı, se zab´ yvá tato práce. Tˇeleso je z hlediska anal´ yzy pohybov´ ych vlastnost´ı charakterizováno: • polohou tˇeˇziˇstˇe v˚ uˇci definovanému souˇradnému systému • tenzorem moment˚ u setrvaˇcnosti • hmotnost´ı Simulaˇcn´ım program˚ um staˇc´ı, aby o tˇelese znaly polohu tˇeˇziˇstˇe, momenty setrvaˇcnosti k hlavn´ım osám a hmotnost – tyto veliˇciny dostateˇcnˇe reprezentuj´ı tˇeleso pro potˇreby v´ ypoˇct˚ u vzájemného silového p˚ usoben´ı s okol´ım, kinetické energie tˇelesa apod. Pokud nemáme k dispozici poˇc´ıtaˇcov´ y model tˇelesa, odkud bychom mohli tyto veliˇciny dopoˇc´ıtat, mus´ı pˇrij´ıt na ˇradu mˇeˇren´ı. Tato práce si klade za c´ıl navrhnout metodu, kterou lze mˇeˇrit polohu tˇeˇziˇstˇe a momenty setrvaˇcnosti (resp. tenzor setrvaˇcnosti) tak, aby v´ ysledky mˇeˇren´ı bylo moˇzné vyuˇz´ıt v programech slouˇz´ıc´ıch k matematickému modelován´ı. Metoda by mˇela b´ yt optimalizována na mˇeˇren´ı souˇca´st´ı podvozk˚ u vozidel. Zámˇerem je zohlednit moˇznosti laboratoˇr´ı ´ Ustavu automobiln´ıho a dopravn´ıho inˇzen´ yrstv´ı – zejména zjistit, zda lze pro dan´ y zámˇer vyuˇz´ıt specializované vybaven´ı (napˇr. systém Tritop).

3

2. Definice hledan´ ych veliˇ cin 2.1. Tˇ eˇ ziˇ stˇ e Tˇeˇziˇstˇe pˇredstavuje charakteristick´ y bod tˇelesa. Znalost jeho polohy je nezbytná pro vˇetˇsinu dalˇs´ıch v´ ypoˇct˚ u. V nehomogenn´ım gravitaˇcn´ım poli se stˇred setrvaˇcnosti nenacház´ı v p˚ usobiˇsti gravitaˇcn´ı s´ıly (v tˇeˇziˇsti). Gravitaˇcn´ı pole Zemˇe vˇsak lze na naˇs´ı rozliˇsovac´ı u ´rovni pokládat za homogenn´ı, a proto lze oba body ztotoˇznit – pˇri v´ ypoˇctech setrvaˇcn´ ych sil translaˇcn´ıho pohybu povaˇzujeme tˇeleso za hmotn´ y bod, u kterého se veˇskerá hmotnost nacház´ı právˇe v tˇeˇziˇsti. Je to bod, jehoˇz souˇradnice jsou pro spojité tˇeleso definovány [10] jako: R

~r dm m kde m znaˇc´ı celkovou hmotnost tˇelesa a ~r polohov´ y vektor elementu dm. r~t =

(2.1)

2.2. Moment setrvaˇ cnosti Moment setrvaˇcnosti popisuje rozloˇzen´ı hmoty okolo osy otáˇcen´ı a charakterizuje tak setrvaˇcnost tˇelesa pˇri rotaci. Pro pˇr´ıpad, kdy známe osu otáˇcen´ı, je moment setrvaˇcnosti definován [13] jakoˇzto integrál pˇres objem tˇelesa: Z Z Z I=

r2 ρ (x, y, z) dx dy dz

(2.2)

kde r znaˇc´ı vzdálenost elementu od osy rotace a ρ (x, y, z) jeho hustotu. Pro rotaˇcn´ı pohyb tˇelesa s obecnou osou otáˇcen´ı lze setrvaˇcné vlastnosti tˇelesa za rotace popsat [19] pomoc´ı tenzoru setrvaˇcnosti : 

 Ix −Dxy −Dxz   I =  −Dxy Iy −Dyz  −Dxz −Dyz Iz

(2.3)

Pro jeho jednotlivé sloˇzky plat´ı R Ix = (y 2 + z 2 ) dm R Iy = (x2 + z 2 ) dm R Iz = (x2 + y 2 ) dm R Dxy = xy dm R Dxz = xz dm R Dyz = yz dm

(2.4)

(2.5)

pˇriˇcemˇz x, y a z pˇredstavuj´ı souˇradnice elementu v˚ uˇci kartézskému souˇradnému systému. 4

ˇ 2.2. MOMENT SETRVACNOSTI Sloˇzky tenzoru leˇz´ıc´ı na diagonále (rovnice 2.4) se naz´ yvaj´ı [3] momenty setrvaˇcnosti k osám daného kartézského souˇradného systému. Ostatn´ı sloˇzky tenzoru (rovnice 2.5) se naz´ yvaj´ı deviaˇcn´ı momenty. Pro kaˇzdé tˇeleso lze nalézt tˇri vzájemnˇe kolmé osy (tzv. hlavn´ı osy), v˚ uˇci kter´ ym má tenzor setrvaˇcnosti nulové vˇsechny deviaˇcn´ı momenty – nenulové tak jsou pouze sloˇzky nacházej´ıc´ı se na hlavn´ı diagonále, které se v tomto pˇr´ıpadˇe naz´ yvaj´ı hlavn´ı momenty setrvaˇcnosti. Tenzor setrvaˇcnosti má potom takov´ yto tvar: 

 I1 0 0   I =  0 I2 0  0 0 I3

(2.6)

Hlavn´ı momenty setrvaˇcnosti plnˇe urˇcuj´ı tenzor setrvaˇcnosti. Pro popis rotaˇcn´ıch vlastnost´ı tˇelesa nám staˇc´ı znát pouze hlavn´ı momenty setrvaˇcnosti, orientaci hlavn´ıch os a polohu tˇeˇziˇstˇe tˇelesa [22].

5

3. Pˇ rehled z´ akladn´ıch metod mˇ eˇ ren´ı Pro experimentáln´ı zjiˇst’ován´ı polohy tˇeˇziˇstˇe a urˇcován´ı moment˚ u setrvaˇcnosti existuje ˇrada postup˚ u. Kaˇzd´ y z nich má své pˇrednosti a nev´ yhody. Z obecného pohledu klademe na vˇsechny metody nˇekolik základn´ıch poˇzadavk˚ u. Pˇredevˇs´ım potˇrebujeme, aby jednotlivé postupy byly: • dostateˇcnˇe pˇresné • pˇrijatelnˇe levné • snadno proveditelné (rychlé, bez potˇreby provádˇet sloˇzité v´ ypoˇcty apod.) Vˇsechny uvádˇené metody vyuˇz´ıvaj´ı urˇcit´ ych projev˚ u dané veliˇciny – pomoc´ı r˚ uzn´ ych mechanism˚ u pˇrevád´ıme hledané veliˇciny na jiné, které m˚ uˇzeme mˇeˇrit pˇr´ımo, pˇr´ıpadnˇe z nich m˚ uˇzeme hledané hodnoty dopoˇc´ıtat.

3.1. Metody mˇ eˇ ren´ı polohy tˇ eˇ ziˇ stˇ e Metody, kter´ ymi lze zjiˇst’ovat polohu tˇeˇziˇstˇe souˇca´sti, lze rozdˇelit do dvou skupin – na metody statické a dynamické. Dynamické metody, na rozd´ıl od statick´ ych, vyˇzaduj´ı, aby se tˇeleso pohybovalo; z toho d˚ uvodu jsou povaˇzovány za ménˇe pˇresné1 . Mezi statické metody patˇr´ı vyvaˇzovac´ı metoda, metoda v´ıce vah a metoda zavˇeˇsen´ı tˇelesa. Mezi dynamické potom metoda setrvaˇcn´ ych sil a metoda vyuˇz´ıvaj´ıc´ı mˇeˇren´ı momentu setrvaˇcnosti.

3.1.1. Vyvaˇ zovac´ı metoda Souˇcást, u které chceme zjistit polohu tˇeˇziˇstˇe, podepˇreme na jedné stranˇe tak, aby se tˇeleso mohlo otáˇcet podél této podpˇery – vznikne tak pevná osa otáˇcen´ı, která omezuje pˇet ze ˇstesti stupˇ n˚ u volnosti (viz obr. 3.1). Na druhé stranˇe zmˇeˇr´ıme s´ılu, kterou je nutné tˇeleso udrˇzovat ve vodorovné poloze. Tˇeleso uvoln´ıme (obr. 3.22 ) a ze znalosti hmotnosti tˇelesa z´ıskáme rovnice momentové rovnováhy. Na základˇe této rovnice m˚ uˇzeme vypoˇc´ıtat vzdálenost polohy tˇeˇziˇstˇe od osy otáˇcen´ı: Fm · l − Fg · x = 0 x = ...

(3.1)

Jedno mˇeˇren´ı nám urˇc´ı jednu rovinu, ve které se tˇeˇziˇstˇe nacház´ı. Mˇeˇren´ı proto provedeme pro tˇri r˚ uzné polohy tˇelesa – polohu tˇeˇziˇstˇe pak zjist´ıme jakoˇzto pr˚ useˇc´ık tˇr´ı rovin. 1

Pˇrehled metod mj. ˇcerp´ a z [7] Cervenˇe jsou znaˇceny veliˇciny, které neznáme, ˇcernˇe veliˇciny, které lze zmˇeˇrit ˇci dopoˇc´ıtat.

2ˇ

6

ˇ REN ˇ Í POLOHY TE ˇ ZI ˇ ST ˇ E ˇ 3.1. METODY ME Je zapotˇreb´ı minimalizovat tˇren´ı v m´ıstˇe podepˇren´ı tˇelesa. Tˇeleso nejlépe podepˇreme dvˇema ostr´ ymi hroty, ˇc´ımˇz vytvoˇr´ıme poˇzadovanou osu otáˇcen´ı; v nˇekter´ ych pˇr´ıpadech se pouˇz´ıvaj´ı speciáln´ı bezdotyková loˇziska.

Obr. 3.1: Nákres vyvaˇzovac´ı metody

Obr. 3.2: Schéma uvolnˇen´ı vyvaˇzovac´ı metody

3.1.2. Metoda nˇ ekolika vah Tato metoda vyuˇz´ıvá podobného principu jako pˇredchoz´ı. Zkoumané tˇeleso je ve tˇrech bodech podepˇreno váhami, pˇr´ıpadnˇe ve dvou bodech váhami a v jednom bodˇe ostr´ ym hrotem. Analolgick´ ymi v´ ypoˇcty jako v pˇr´ıpadˇe rovnice 3.1 zjist´ıme dvˇe souˇradnice tˇeˇziˇstˇe jakoˇzto pr˚ useˇc´ık dvou rovin. Pro v´ ypoˇcet tˇret´ı souˇradnice je nutné provést dalˇs´ı mˇeˇren´ı – zkoumané tˇeleso m˚ uˇzeme vhodn´ ym zp˚ usobem otoˇcit nebo m˚ uˇzeme naklonit o urˇcit´ y u ´hel celou mˇeˇr´ıc´ı soustavu a ze znalosti silov´ ych pomˇer˚ u a na základˇe nové silové rovnováhy dopoˇc´ıtat chybˇej´ıc´ı souˇradnici.

3.1.3. Metoda zavˇ eˇ sen´ı tˇ elesa Tato metoda nevyuˇz´ıvá ˇza´dné pevnˇe dané osy otáˇcen´ı a systém˚ u vah. Zkoumané tˇeleso je volnˇe zavˇeˇseno v jednom bodˇe – tak, aby byla umoˇznˇena rotace okolo vodorovn´ ych os.

7

ˇ REN ˇ Í MOMENTU ˚ SETRVACNOSTI ˇ 3.2. METODY ME Tˇeleso se ustál´ı v poloze, ve které se jeho tˇeˇziˇstˇe bude nacházet na svislici vedené z bodu zavˇeˇsen´ı. Takovéto mˇeˇren´ı provedeme nejménˇe dvakrát, pˇriˇcemˇz pokaˇzdé zmˇen´ıme bod zavˇeˇsen´ı tak, aby mˇelo tˇeleso po ustálen´ı jinou orientaci. Za tˇeˇziˇstˇe povaˇzujeme bod, kter´ y se nacház´ı v pr˚ useˇc´ıku pˇr´ımek (svislic) vznikl´ ych pˇri jednotliv´ ych zavˇeˇsen´ıch. Pro u ćhyt tˇelesa se nejˇcastˇeji pouˇz´ıvaj´ı nitˇe pˇripevnˇené k r˚ uzn´ ym konstrukˇcn´ım prvk˚ um tˇelesa. U tˇeles nˇekter´ ych tvar˚ u lze pouˇz´ıt i jin´ y postup: tˇeleso nezavˇeˇsujeme pod urˇcit´ y bod, ale naopak tˇeleso podepˇreme jen v jednom bodˇe a necháme ustálit v rovnováˇzné poloze – hledané tˇeˇziˇstˇe se pak bude nacházet na svislici nad bodem podepˇren´ı. Tento zp˚ usob vˇsak lze pouˇz´ıt jen tehdy, pokud lze podporu (ostr´ y hrot) um´ıstit tak, aby se nacházela nad tˇeˇziˇstˇem tˇelesa.

3.1.4. Metoda mˇ eˇ ren´ı sil pˇ ri rotaci Zkoumané tˇeleso je roztoˇceno okolo svislé osy, a to tak, aby pˇredpokládaná poloha tˇeˇziˇstˇe neleˇzela na ose otáˇcen´ı. Silomˇery mˇeˇr´ı reakce, které toto otáˇcen´ı vyvolává ve dvou loˇzisc´ıch v r˚ uzné v´ yˇsce. Vzniklé s´ıly zp˚ usobuj´ı dvˇe veliˇciny – posun polohy tˇeˇziˇstˇe mimo osu otáˇcen´ı a nevyváˇzenost tˇelesa v˚ uˇci této ose. Reakce jsou mˇeˇreny za r˚ uzn´ ych otáˇcek. Anal´ yzou záznamu namˇeˇren´ ych sil z obou loˇzisek urˇc´ıme, jak velká ˇcást reakce pocház´ı ze které sloˇzky – sloˇzka zp˚ usobená posunut´ım osy rotace mimo tˇeˇziˇstˇe se projev´ı v obou loˇzisc´ıch se stejnou fáz´ı, projev sloˇzky zp˚ usobené nevyváˇzenost´ı bude m´ıt na kaˇzdém loˇzisku fázi opaˇcnou. Tato metoda je vhodná jen pro menˇs´ı tˇelesa, která nepoˇskod´ı vzniklé odstˇredivé s´ıly.

3.1.5. Metoda vyuˇ z´ıvaj´ıc´ı mˇ eˇ ren´ı momentu setrvaˇ cnosti Zjistit polohu tˇeˇziˇstˇe lze i prostˇrednictv´ım torzn´ıho kyvadla pouˇz´ıvaného pro zjiˇst’ován´ı moment˚ u setrvaˇcnosti (viz dále). Pokud moment setrvaˇcnosti zmˇeˇr´ıme pro tˇri r˚ uzné polohy tˇelesa, lze z namˇeˇren´ ych hodnot zjistit souˇradnice tˇeˇziˇstˇe. Vyuˇz´ıvá se pˇritom vlastnosti momentu setrvaˇcnosti, kter´ y je nejmenˇs´ı, pokud osa otáˇcen´ı procház´ı tˇeˇziˇstˇem.

3.2. Metody mˇ eˇ ren´ı moment˚ u setrvaˇ cnosti Moment setrvaˇcnosti je veliˇcina charakterizuj´ıc´ı chován´ı tˇelesa pˇri rotaci – pro jeho mˇeˇren´ı proto neexistuj´ı statické metody, vˇzdy mus´ıme mˇeˇrené tˇeleso nechat rotovat. To lze v principu dvˇema zp˚ usoby – tˇeleso bud’ necháme rotovat okolo urˇcité osy a následnˇe mˇeˇr´ıme silové u ´ˇcinky vyvolané momentem setrvaˇcnosti, nebo tˇeleso necháme vhodn´ ym zp˚ usobem k´ yvat a mˇeˇr´ıme projevy momentu setrvaˇcnosti na tomto kyvadle. K základn´ım postup˚ um patˇr´ı metoda torzn´ıho kyvadla, metoda fyzikáln´ıho kyvadla spolu s variantami v´ıcevláknov´ ych závˇes˚ u a metoda rotace. 8

ˇ REN ˇ Í MOMENTU ˚ SETRVACNOSTI ˇ 3.2. METODY ME

3.2.1. Metoda torzn´ıho kyvadla Metoda je zaloˇzena na mˇeˇren´ı periody vlastn´ıch kmit˚ u torzn´ıho kyvadla. Zkoumané tˇeleso pevnˇe spoj´ıme s torzn´ım kyvadlem (tyˇc´ı, strunou ˇci vhodn´ ym drátem), necháme je volmˇe kmitat a mˇeˇr´ıme periodu vlastn´ıho kmitán´ı. Drát, kter´ y je vych´ ylen´ y z rovnováˇzné polohy o u ´hel ϕ, p˚ usob´ı proti deformaci momentem [11]: M = −D ϕ (3.2) kde D je direkˇcn´ı moment torzn´ıho kyvadla (drátu) charakterizuj´ıc´ı dané torzn´ı kyvadlo3 . Závis´ı na délce krouceného vlákna, jeho polomˇeru a modulu pruˇznosti ve smyku materiálu, ze kterého je torzn´ı kyvadlo vyrobeno4 . Pohybová rovnice (netlumen´ ych) torzn´ıch kmit˚ u má tvar: D (3.3) I α = −D ϕ −→ ϕ¨ + ϕ = 0 I kde I pˇredstavuje moment setrvaˇcnosti vzhledem k ose torzn´ıho kmitán´ı. Vztah 3.3 odpov´ıdá diferenciáln´ı rovnici harmonického kmitán´ı [13] ve tvaru q¨ +

k q=0 m

Vlastn´ı frekvence netlumeného kmitán´ı torzn´ıho kyvadla Ω0 je rovna r D Ω0 = I

(3.4)

(3.5)

Dosazen´ım vztahu Ω0 = 2π/T , kde T je perioda vlastn´ıch kmit˚ u torzn´ıho kyvadla, a u ´pravou dostáváme r I T = 2π (3.6) D Nyn´ı m˚ uˇzeme vyjádˇrit vztah pro v´ ypoˇcet momentu setrvaˇcnosti ze známé periody (netlumeného) kmitán´ı: D I = T2 (3.7) 4 π2 Pokud mˇeˇr´ıme periodu skuteˇcného kyvadla, je nutné provést korekci na nulov´ y u ´tlum. Pohybová rovnice 3.3 neuvaˇzuje tlumen´ı, tedy pˇredpokládá, ˇze se veˇskerá energie kyvadla plynule mˇen´ı z kinetické v potenciáln´ı a zpˇet. U skuteˇcného kyvadla vˇsak docház´ı k disipaci energie vlivem vnitˇrn´ıho tˇren´ı, vzduˇsného odporu a nedokonalé tuhosti souˇcást´ı. V pohybové rovnici tlumeného kyvadla se obvykle pˇredpokládá, ˇze je tlumen´ı pˇr´ımo u ´mˇerné okamˇzité rychlosti [22]. Pohybová rovnice tlumeného kmitán´ı potom vypadá: D ϕ¨ + 2b ϕ˙ + ϕ = 0 (3.8) I 3

Vztah 3.2 plat´ı, pokud nen´ı pˇrekroˇcena mez u ´mˇernosti (tzn. plat´ı Hook˚ uv zákon). Direkˇcn´ı moment se obvykle zjiˇst’uje experimentálnˇe – pouˇzit´ım vztah˚ u 3.7 a 3.12 a srovnán´ım s referenˇcn´ım tˇelesem, u kterého je moment setrvaˇcnosti znám´ y napˇr. z v´ ypoˇct˚ u. 4

9

ˇ REN ˇ Í MOMENTU ˚ SETRVACNOSTI ˇ 3.2. METODY ME kde b je souˇcinitel u ´tlumu; je povaˇzován za konstantu. Dále se zavád´ı veliˇcina logaritmický dekrement ϑ: At (3.9) ϑ = b Ts = ln At+Ts kde At a At+Ts jsou dvˇe amplitudy tlumeného kmitán´ı vzdálené o sebe o periodu tlumeného kmitán´ı Ts . Souˇcinitel u ´tlumu b lze vyjádˇrit z rovnice 3.9. Pro u ´hlovou frekvenci skuteˇcného tlumeného kmitán´ı se souˇcinitelem u ´tlumu b plat´ı [22]: q (3.10) Ωs = Ω20 − b2 Odsud lze vyjádˇrit vztah pro v´ ypoˇcet periody odpov´ıdaj´ıc´ı netlumenému vlastn´ımu kmitán´ı, neboli vztah pro korekci periody kyvu na nulové tlumen´ı: s Ts2 4π 2 T0 = (3.11) 4π 2 + Ts2 b2 Pˇri realizaci mˇeˇren´ı um´ıst´ıme obvykle tˇeleso tak, aby osa torzn´ıho kyvadla procházela tˇeˇziˇstˇem. Mˇeˇr´ıme periodu tlumeného kmitán´ı Ts a souˇcinitel u ´tlumu b. Prostˇrednictv´ım vztahu 3.11 provedeme korekci a periodu netlumeného kmitán´ı T0 dosad´ıme do vztahu 3.7. Analogicky lze mˇeˇrit moment setrvaˇcnosti nikoli zavˇeˇsen´ım samotného tˇelesa, ale um´ıstˇen´ım tˇelesa na vhodn´ y torznˇe kmitaj´ıc´ı rám. V takovém pˇr´ıpadˇe plat´ı vztah: Ic = Ir + It

(3.12)

kde Ic je moment setrvaˇcnosti soustavy tˇeleso + rám, Ir moment setrvaˇcnosti rámu a It moment setrvaˇcnosti mˇeˇreného tˇelesa. Firma Space Eletronics k mˇeˇren´ı moment˚ u setrvaˇcnosti touto metodou pouˇz´ıvá [7] zvláˇstn´ıho zaˇr´ızen´ı (viz obr. 3.3). Souˇca´st je zde

Obr. 3.3: Schéma mˇeˇriˇce momentu setrvaˇcnosti firmy Space Electronics 10

ˇ REN ˇ Í MOMENTU ˚ SETRVACNOSTI ˇ 3.2. METODY ME um´ıstˇena na podloˇzce, která osciluje spolu s tˇelesem. Periodu mˇeˇr´ı fotoelektrick´ y ˇcasov´ y senzor, bezkontaktn´ı vzduchové loˇzisko minimalizuje tˇren´ı a udrˇzuje osu oscilace ve stálé poloze.

3.2.2. Metoda k´ yv´ an´ı fyzik´ aln´ıho kyvadla Metoda je zaloˇzena na podobném principu, tˇeleso vˇsak neosciluje torznˇe, ale okolo vodorovné osy. Tˇeleso k´ yvaj´ıc´ı se okolo vodorovné osy d´ıky vlastn´ı t´ıze se naz´ yvá fyzik´ aln´ı kyvadlo. Na obr. 3.4 jsou znázornˇeny s´ıly, které na kyvadlo p˚ usob´ı. Tˇeleso uvoln´ıme v˚ uˇci osám ve smˇeru normály a teˇcny pohybu.

Obr. 3.4: Odvozen´ı pohybov´ ych rovnic fyzikáln´ıho kyvadla n : m an = Fl − Fg cos ϕ

(3.13)

t : m at = −Fg sin ϕ

(3.14)

M : I α = −Fg sin ϕ · l

(3.15)

Po dosazen´ı za Fg dostaneme [8] pohybovou rovnici fyzikáln´ıho kyvadla: ϕ¨ +

mgl sin ϕ = 0 I

(3.16)

kde I je moment setrvaˇcnosti tˇelesa v˚ uˇci ose k´ yván´ı a ϕ okamˇzitá u ´hlová v´ ychylka kyvadla. Jedná se o nelineárn´ı obyˇcejnou diferenciáln´ı rovnici druhého ˇrádu, kterou mus´ıme ˇreˇsit numericky [9] – a toto ˇreˇsen´ı je pomˇernˇe nároˇcné. ˇ sen´ı takovéto rovnice se proto obvykle udává pro malé hodnoty amplitudy kyvu, Reˇ kdy lze kmitán´ı povaˇzovat za harmonické. Protoˇze plat´ı sin ϕ lim =1 (3.17) ϕ→0 ϕ pokládá se pro u ´hly ϕ < 5◦ .

sin ϕ = ϕ

(3.18)

11

ˇ REN ˇ Í MOMENTU ˚ SETRVACNOSTI ˇ 3.2. METODY ME V takovém pˇr´ıpadˇe rovnice 3.15 pˇrejde na tvar mgl ϕ=0 (3.19) I Takov´ yto tvar je analogick´ y k rovnici 3.3, pˇriˇcemˇz i zde se zavád´ı pojem direkˇcn´ı moment D = mg l. Opˇet se jedná o rovnici netlumen´ ych harmonick´ ych kmit˚ u (rovnice 3.4). Vlastn´ı frekvence kmitán´ı Ω0 je rovna r mgl (3.20) Ω0 = I Pro periodu vlastn´ıho (netlumeného) kmitán´ı T z´ıskáváme s I T =2π (3.21) mgl ϕ¨ +

´ kde m je hmotnost zkoumaného tˇelesa a l vzdálenost tˇeˇziˇstˇe od osy otáˇcen´ı. Upravou pak dostaneme: mgl I = T2 (3.22) 4 π2 Vztah se pouˇz´ıvá pro u ´hly ϕ < 5◦ . Analogicky se zavád´ı logaritmick´ y dekrement a provád´ı 5 se korekce na nulové tlumen´ı jako v pˇr´ıpadˇe torzn´ıho kyvadla : s Ts2 4π 2 (3.23) T0 = 4π 2 + Ts2 b2 Ze zmˇeˇrené periody tlumeného kyvadla Ts a souˇcinitele u ´tlumu b spoˇc´ıtáme odpov´ıdaj´ıc´ı periodu netlumeného kmitán´ı T0 , kterou dosad´ıme do vztahu 3.22. Diferenciáln´ı rovnice fyzikáln´ıho tlumeného kyvadla má tvar: mgl sin ϕ = 0 I . resp. v pˇr´ıpadˇe uvaˇzován´ı zjednoduˇsen´ı sin ϕ = ϕ: ϕ¨ + 2b ϕ˙ +

(3.24)

mgl ϕ=0 (3.25) I Amplituda kyvu ϕm je tedy funkc´ı ˇcasu. Ve skuteˇcnosti nen´ı konstantn´ı ani perioda kmitu T ; je funkc´ı právˇe amplitudy ϕm . Kmitán´ı fyzikáln´ıho kyvadla nen´ı harmonické, za harmonické se obvykle povaˇzuje jen oblast pro malé amplitudy. Z limity 3.17 je vidˇet, ˇze s klesaj´ıc´ı amplitudou ϕm pohybová rovnice fyzikáln´ıho kyvadla 3.16 pˇrecház´ı ve zjednoduˇsen´ y tvar 3.19, tzn. zvˇetˇsuje se pˇresnost zjednoduˇsen´ ych vztah˚ u. M˚ uˇzeme proto psát ϕ¨ + 2b ϕ˙ +

I = lim [T (ϕm )]2 ϕm →0

mgl 4 π2

(3.26)

Pˇri mˇeˇren´ı je proto nezbytné udrˇzovat amplitudu kyvu pokud moˇzno co nejmenˇs´ı. Na druhou stranu tento poˇzadavek ˇcin´ı obt´ıˇznˇejˇs´ım mˇeˇren´ı periody. 5

I u této redukce se pˇredpokl´ ad´ a, ˇze je souˇcinitel u ´tlumu konstantn´ı – tento pˇredpoklad bude d´ ale rozebr´ an v kapitole 7.4.4.

12

ˇ REN ˇ Í MOMENTU ˚ SETRVACNOSTI ˇ 3.2. METODY ME

3.2.3. Metoda v´ıcevl´ aknov´ ych z´ avˇ es˚ u Tato metoda (resp. skupina metod) taktéˇz vyuˇz´ıvá k´ yván´ı tˇelesa p˚ usoben´ım gravitace. Tˇeleso je zavˇeˇseno ve v´ıce neˇz jednom bodˇe. V pˇr´ıpadˇe dvouvláknového závˇesu se stejnou délkou vláken tˇeleso nevykonává rotaˇcn´ı, ale pouze translaˇcn´ı pohyb – trajektori´ı tvoˇr´ı ˇcást kruˇznice. V pohybové rovnici proto nefiguruje ˇclen sin ϕ, kter´ y zapˇriˇcinil nelinearitu pohybové rovnice u fyzikáln´ıho kyvadla. ˇ sen´ı je proto jednoduˇsˇs´ı. Obdobnˇe se pouˇz´ıvaj´ı v´ıcevláknové závˇesy k torzn´ım kmit˚ Reˇ um. Obvykle u tˇechto metod b´ yvá problematická praktická realizace. Je obt´ıˇzné zajistit, aby tˇeleso vykonávalo v´ yhradnˇe ten pohyb, kter´ y uvaˇzujeme v pohybov´ ych rovnic´ıch.

3.2.4. Metoda rotace U této metody se mˇeˇrené tˇeleso nenechá k´ yvat, ale roztáˇc´ı se p˚ usoben´ım konstantn´ıho momentu. Jako základ se uˇz´ıvá jednoduchá pohybová rovnice: Mt = Iα

(3.27)

Moˇzné uspoˇra´dán´ı mˇeˇren´ı [1] ukazuje obrázek 3.5. Závaˇz´ı hmotnosti m p˚ usob´ı pˇres strunu na c´ıvku na polomˇeru r a roztáˇc´ı tak mˇeˇrené tˇeleso (vˇcetnˇe pˇr´ıpadného rámu) konstantn´ım momentem Mt = mg r. Je mˇeˇreno u ´hlové zrychlen´ı α6 . Ze vztahu 3.27 pak lze dopoˇc´ıtat moment setrvaˇcnosti I v˚ uˇci ose rotace. Vztah neuvaˇzuje ztráty zp˚ usobené tˇren´ım, vzduˇsn´ ym odporem atd., je proto nezbytné provádˇet korekce.

Obr. 3.5: Uspoˇra´dán´ı mˇeˇren´ı metodou rotace.

6

K mˇeˇren´ı zrychlen´ı se pouˇz´ıv´ a napˇr´ıklad optická závora. Jej´ı princip je vˇcetnˇe ukázky popsán v kapitole 7.4.1

13

4. Mˇ eˇ ren´ı polohy tˇ eˇ ziˇ stˇ e Metoda zavˇeˇsen´ı popsaná v kapitole 3.1.3 se pot´ yká se zásadn´ım problémem – je obt´ıˇzné pˇri kaˇzdém zavˇeˇsen´ı urˇcovat souˇradn´ y systém, pokud je spojen´ y s mˇeˇren´ ym tˇelesem, pˇr´ıpadnˇe zjiˇst’ovat polohu tˇelesa v˚ uˇci souˇradnému systému spojenému se zem´ı. Proto se pˇri mˇeˇren´ı polohy tˇeˇziˇstˇe souˇca´st´ı nejˇcastˇeji pouˇz´ıvá nˇekterá z metod, kde polohu tˇeˇziˇstˇe urˇcuje silová rovnováha (obr. 3.2). V této kapitole bude ukázáno, jak lze tento problém metody zavˇeˇsen´ı vyˇreˇsit. Mˇeˇrit polohu tˇelesa lze kontaktnˇe ˇci bezkontaktnˇe. Pokud vˇsak chceme tˇeleso zavˇesit v jednom bodˇe a mˇeˇrit jeho polohu v˚ uˇci svislici procházej´ıc´ı bodem zavˇeˇsen´ı, kontakt mˇeˇridla s takto zavˇeˇsen´ ym tˇelesem znehodnot´ı poˇzadovan´ y v´ ysledek. Z tohoto d˚ uvodu je nezbytné pouˇz´ıt takov´ y zp˚ usob urˇcen´ı polohy, kter´ y polohu zavˇeˇseného tˇelesa neovlivˇ nuje. Bezkontaktn´ım mˇeˇren´ım polohy se zab´ yvá obor fotogrammetrie.

4.1. Z´ akladn´ı principy fotogrammetrie Fotogrammetrie 1 je technika mˇeˇren´ı dvourozmˇern´ ych ˇci tˇr´ırozmˇern´ ych objekt˚ u, která 2 vyuˇz´ıvá jako sv˚ uj základ fotografie . Mˇeˇren´ y objekt je nejprve vhodn´ ym zp˚ usobem nafocen a posléze z tohoto souboru fotografi´ı urˇcit´ y algoritmus vypoˇc´ıtá polohu bod˚ u tˇelesa, 3D mapu apod. Fotogrammetrie se pouˇz´ıvá zejména pro tvorbu topografick´ ych map, v technice se pomoc´ı n´ı mˇeˇr´ı napˇr´ıklad deformace karoserie pˇri crash testech. Za jej´ı hlavn´ı pˇrednosti lze povaˇzovat pˇredevˇs´ım vysokou pˇresnost a skuteˇcnost, ˇze se jedná o bezkontaktn´ı metodu. Fotogrammetrick´ y systém se obvykle skládá z dvou kl´ıˇcov´ ych prvk˚ u – kvalitn´ıho fotoaparátu a poˇc´ıtaˇce s pˇr´ısluˇsn´ ym softwarem. Dále systém doplˇ nuj´ı pˇredmˇety pˇresn´ ych rozmˇer˚ u slouˇz´ıc´ı ke kalibraci systému (kalibraˇcn´ı tyˇce), soubor referenˇcn´ıch bod˚ u a dalˇs´ı pˇr´ıpadné pˇr´ısluˇsenstv´ı. Základn´ı princip, kterého fotogrammetrie vyuˇz´ıvá, se naz´ yvá triangulace. Samostatná fotografie obsahuje pouze dvourozmˇernou informaci o mˇeˇreném objektu, proto je k mˇeˇren´ı nutné z´ıskat nejménˇe dvˇe fotografie z r˚ uzn´ ych pozic. Systém z nich um´ı spoˇc´ıtat tzv. paprsky spojuj´ıc´ı body na objektu s fotoaparátem a následnˇe i 3D souˇradnice tˇechto bod˚ u3 . Systém zároveˇ n potˇrebuje provést tzv. resekci, neboli zjistit pˇresnou polohu fotoaparátu a jeho orientaci v okamˇziku focen´ı. Z tohoto d˚ uvodu a kv˚ uli redukci nepˇresnost´ı se obvykle vyuˇz´ıvá v´ıce neˇz dvou fotografi´ı. Zpravidla se pˇri v´ ypoˇctech neuvaˇzuj´ı rozmˇerové 1

Obecné informace o fotogrammetrii ˇcerpaj´ı z [4] a [5]. Principi´ alnˇe se vˇsak m˚ uˇze jednat i napˇr´ıklad o skeny apod. 3 Jedn´ a se o podobn´ y princip, na jakém pracuje lidsk´ y zrak. Mozek z dvou r˚ uzn´ ych pohled˚ u (”fotografi´ı” oˇc´ı) dok´ aˇze urˇcit nejen 2D rozmˇery, ale i vzdálenost pˇredmˇet˚ u. 2

14

´ SYSTEM ´ TRITOP 4.2. FOTOGRAMMETRICKY jednotky. Systém proto potˇrebuje znát pˇresnou vzdálenost minimálnˇe dvou bod˚ u, které mu pomohou urˇcit mˇeˇr´ıtko v´ ypoˇct˚ u; k tomu slouˇz´ı kalibraˇcn´ı tyˇce znám´ ych rozmˇer˚ u.

4.2. Fotogrammetrick´ y syst´ em Tritop Fotogrammetrick´ y systém Tritop vyv´ıj´ı firma GOM – Gesellschaft f¨ ur Optische Messtechnik. Slouˇz´ı k pˇresnému mˇeˇren´ı prostorov´ ych souˇradnic bod˚ u na objektu. Bude pouˇzit v této práci jako hlavn´ı prostˇredek k urˇcen´ı polohy tˇeˇziˇstˇe souˇca´st´ı. Systém Tritop4 tvoˇr´ı nˇekolik ˇca´st´ı (viz obr. 4.1): digitáln´ı fotoaparát s pevnou ohniskovou vzdálenost´ı, prstencov´ y blesk, sada kódovan´ ych referenˇcn´ıch bod˚ u, sada nekódovan´ ych referenˇcn´ıch bod˚ u, certifikované kalibraˇcn´ı tyˇce a poˇc´ıtaˇc s nainstalovan´ ym softwarem, kter´ y provád´ı v´ ypoˇcty. Samotné mˇeˇren´ı prob´ıhá ve ˇctyˇrech základn´ıch kroc´ıch. Nejprve mus´ıme tˇeleso pˇripravit k mˇeˇren´ı – oznaˇcit je tzv. nekódovanými referenˇcn´ımi body a vhodnˇe do jeho bl´ızkosti um´ıstit kódované referenˇcn´ı body a kalibraˇcn´ı tyˇce. Poté je nutné vyfotit dostateˇcné mnoˇzstv´ı fotografi´ı podle urˇcit´ ych pravidel, následnˇe nafocená data pˇrevést do PC, které provede v´ ypoˇcty. Posledn´ım krokem je postprocessing, tedy zpracován´ı namˇeˇren´ ych souˇradnic podle potˇreby. Typick´ y postup práce popisuje kapitola 4.4.

Obr. 4.1: Systém Tritop. Poˇc´ıtaˇc, fotoaparát s bleskem, kalibraˇcn´ı tyˇce, sady kódovan´ ych a nekódovan´ ych bod˚ u, pamˇet’ové médium. 4

Veˇskeré informace o systému Tritop ˇcerpaj´ı z [27] a [28].

15

ˇ ÍCH PROBLEM ´ U ˚ A JEJICH RE ˇ SEN ˇ Í 4.3. FORMULACE DÍLC

4.3. Formulace d´ılˇ c´ıch probl´ em˚ u a jejich ˇ reˇ sen´ı Základn´ı myˇslenka je jednoduchá – potˇrebujeme nˇekolikrát zavˇesit mˇeˇrenou souˇcást a pokaˇzdé zjistit orientaci souˇca´sti a svislice procházej´ıc´ı bodem zavˇeˇsen´ı. Problematiku lze rozdˇelit do tˇr´ı ˇcást´ı: potˇrebujeme vhodnˇ e zvolit souˇ radn´ y syst´ em a následnˇe popsat vz´ ajemnou polohu souˇ c´ asti a svislice z bodu zavˇeˇsen´ı v˚ uˇci tomuto souˇradnému systému. Poté, co uskuteˇcn´ıme a zmˇeˇr´ıme jednotlivá zavˇeˇsen´ı, potˇrebujeme z rovnic jednotliv´ ych svislic vypoˇ c´ıtat polohu tˇ eˇ ziˇ stˇ e.

4.3.1. Volba souˇ radn´ eho syst´ emu Jako nejv´ yhodnˇejˇs´ı se ukazuje spojit souˇradn´ y systém pˇr´ımo s mˇeˇren´ ym tˇelesem. Základn´ı metoda, kterou pouˇz´ıvá Tritop pro definován´ı souˇradného systému, je tzv. 3-2-1 transformace, u které zadáváme postupnˇe tˇri, dva a jeden bod leˇz´ıc´ı ve tˇrech rovinách tvoˇren´ ych ˇ osami. Casto je nezbytné tyto body nejprve vytvoˇrit – napˇr´ıklad u válcového tˇelesa prokládán´ım nalézt dva body leˇz´ıc´ı na jeho ose apod.

4.3.2. Urˇ cen´ı rovnice svislice Potˇrebujeme urˇcit rovnici svislice, tedy rovnici pˇr´ımky vedouc´ı ve smˇeru p˚ usoben´ı gravitaˇcn´ı s´ıly a procházej´ıc´ı bodem závˇesu. Systém Tritop nab´ız´ı vedle mˇeˇren´ı polohy kódovan´ ych a nekódovan´ ych bod˚ u i zjiˇst’ován´ı polohy tzv. features. Um´ı nalézt napˇr. ruˇcnˇe kreslenou ˇca´ru nebo hranu. Pro naˇse potˇreby má v´ yznam moˇznost rozpoznat Pipe or Contrast Line – neboli ”trubky” (a kontrastn´ı ˇca´ry). Pokud tˇeleso zavˇes´ıme na dostateˇcnˇe dlouhé vlákno (nit’ nebo ohebn´ y drát), bude m´ıt toto vlákno svisl´ y smˇer a pˇr´ımka j´ım procházej´ıc´ı bude procházet i hledan´ ym tˇeˇziˇstˇem. Z pohledu Tritopu nen´ı vlákno niˇc´ım jin´ ym neˇz velmi tenkou trubkou, u které souˇradnice polohy um´ı urˇcit. Kaˇzdé tˇeleso zavˇes´ıme na nit’ nebo dostateˇcnˇe pevn´ y a zároveˇ n ohebn´ y drát. Pomoc´ı pˇr´ıkazu Pipe or Contrast Line Tritop toto vlákno rozpozná – vytvoˇr´ı soubor mnoha bod˚ u, které leˇz´ı ve stˇredech pr˚ uˇrez˚ u po celé délce nitˇe. Vznikl´ ymi body lze proloˇzit pˇr´ımku, která odpov´ıdá hledané svislici.

4.3.3. V´ ypoˇ cet polohy tˇ eˇ ziˇ stˇ e z rovnic pˇ r´ımek Jako v´ ysledek kaˇzdého zavˇeˇsen´ı tˇelesa dostaneme pˇr´ımku – svislici procházej´ıc´ı ve svislém smˇeru bodem závˇesu, resp. z´ıskáme dvojici bod˚ u, které tuto svislici definuj´ı (viz dále). Vˇsechny svislice by se teoreticky mˇely prot´ınat v jednom bodˇe – tˇeˇziˇsti. Staˇcily by nám tak jen svislice ze dvou zavˇeˇsen´ı a polohu tˇeˇziˇstˇe bychom urˇcili jako pr˚ useˇc´ık r˚ uznobˇeˇzek. Ve skuteˇcnosti tomu tak vˇsak nen´ı – kv˚ uli nepˇresnostem mˇeˇren´ı se nejedná o r˚ uznobˇeˇzky, ale o mimobˇeˇzky. Za tˇeˇziˇstˇe proto oznaˇc´ıme bod, kter´ y má od obou pˇr´ımek nejmenˇs´ı vzdálenost – takov´ y bod bude leˇzet uprostˇred pˇr´ıˇcky tˇechto mimobˇeˇzek. 16

ˇ REN ˇ Í JEDNOHO ZAVE ˇ SEN ˇ Í SYSTEMEM ´ 4.4. POSTUP ME TRITOP Necht’ maj´ı parametrické rovnice pˇr´ımek (svislic) tvary P1 = [Ax , Ay , Az ] + t1 (s1x , s1y , s1z )

(4.1)

P2 = [Bx , By , Bz ] + t2 (s2x , s2y , s2z ) ,

(4.2)

kde A = (Ax , Ay , Az ) je souˇradnice jednoho bodu dané pˇr´ımky a (s1x , s1y , s1z ) jej´ı smˇernice a B = (Bx , By , Bz ) a (s2x , s2y , s2z ) totéˇz pro druhou svislici. Potom bude m´ıt pˇr´ıˇcka smˇerov´ y vektor (spx , spy , spz ) kolm´ y na obˇe pˇr´ımky. Z´ıskáme jej vektorov´ ym souˇcinem smˇerov´ ych vektor˚ u pˇr´ımek: (spx , spy , spz ) = (s1x , s1y , s1z ) × (s2x , s2y , s2z )

(4.3)

Pˇr´ıˇcka bude m´ıt parametrick´ y tvar [Ax , Ay , Az ] + t1 (s1x , s1y , s1z ) = [Bx , By , Bz ] + t2 (s2x , s2y , s2z ) + tp (spx , spy , spz )

(4.4)

ˇ sen´ım Coˇz je v podstatˇe soustava tˇr´ı rovnic s neznám´ ymi parametry t1 a t2 a tp . Reˇ soustavy a dosazen´ım parametr˚ u t1 a t2 do rovnic 4.1 a 4.2 z´ıskáme dva krajn´ı body pˇr´ıˇcky. Hledané tˇeˇziˇstˇe, neboli bod leˇz´ıc´ı v nejmenˇs´ı vzdálenosti od obou pˇr´ımek, se bude nacházet ve stˇredu mezi tˇemito body. Pokud provedeme v´ıce neˇz dvˇe zavˇeˇsen´ı, bude kaˇzdé dvojici pˇr´ımek odpov´ıdat jedna vypoˇctená d´ılˇc´ı poloha tˇeˇziˇstˇe. Pro n zavˇeˇsen´ı dostáváme n·(n − 1) /2 vypoˇcten´ ych d´ılˇc´ıch poloh tˇeˇziˇstˇe. Jako celkov´ y v´ ysledek oznaˇc´ıme pr˚ umˇernou hodnotu z tˇechto d´ılˇc´ıch poloh. Vzhledem k rozsáhlosti v´ ypoˇct˚ u, které je tˇreba provést pˇred vypoˇcten´ım polohy tˇeˇziˇstˇe, byl vytvoˇren program Tˇeˇziˇstˇe 2.0 v programovac´ım jazyce Delphi. Podrobnosti o jeho funkci se nalézaj´ı v kapitole 4.5.

4.4. Postup mˇ eˇ ren´ı jednoho zavˇ eˇ sen´ı syst´ emem Tritop 4.4.1. Pˇ r´ıprava mˇ eˇ ren´ı Aby bylo moˇzné mˇeˇrenou souˇca´st vhodnˇe zavˇesit, byl vyroben v´ yˇskovˇe staviteln´ y stojan (obr. 4.2). Jako vlákno zavˇeˇsen´ı lze zvolit napˇr. ˇcernou reˇznou nit; pokud je tˇeleso hmotnˇejˇs´ı, pouˇzijeme dostateˇcnˇe pruˇzn´ y drát. Drát nesm´ı na sobˇe m´ıt zlomy – pokud jej napneme, mus´ı m´ıt tvar pˇr´ımky. Osvˇedˇcilo se pouˇz´ıt obyˇcejnou kytarovou strunu; hod´ı se jej´ı kovové poutko na konci, d´ıky kterému m˚ uˇzeme snadno vytvoˇrit smyˇcku vhodnou k uchycen´ı tˇelesa. Samotnou souˇca´st následnˇe oznaˇc´ıme nekódovan´ ymi referenˇcn´ımi body. D˚ uleˇzité jsou pˇredevˇs´ım plochy, které budou pozdˇeji definovat souˇradn´ y systém (viz dále). U velmi mal´ ych pˇredmˇet˚ u by teoreticky mohla hmotnost tˇechto pap´ırov´ ych nálepek ovlivnit i polohu tˇeˇziˇstˇe tˇelesa. U souˇcást´ı podvozk˚ u vozidel, na které se zamˇeˇruje tato práce, vˇsak m˚ uˇzeme jejich vliv zanedbat. 17

ˇ REN ˇ Í JEDNOHO ZAVE ˇ SEN ˇ Í SYSTEMEM ´ 4.4. POSTUP ME TRITOP Nyn´ı tˇelˇeso zavˇes´ıme pomoc´ı vlákna na stojan. Protoˇze tˇeleso takto budeme zavˇeˇsovat nˇekolikrát, je vhodné dodrˇzovat urˇcitá pravidla. Potˇrebujeme, aby jednotlivé svislice, které vzniknou jednotliv´ ymi zavˇeˇsen´ımi, nebyly vzájemnˇe rovnobˇeˇzné, resp. aby se u ´hel mezi libovolnou dvojic´ı pokud moˇzno co nejv´ıce bl´ıˇzil 90◦ . Body na tˇelese, ve kter´ ych tˇeleso zavˇeˇsujeme, vol´ıme s ohledem na tento poˇzadavek. V tomto okamˇziku se pravdˇepodobnˇe objev´ı dalˇs´ı d´ılˇc´ı problém. Souˇca´st zavˇeˇsená na vláknˇe je velmi nestabiln´ı, a to z hlediska rotace okolo svislice zavˇeˇsen´ı. Systém Tritop vyˇzaduje, aby se poloha jednotliv´ ych bod˚ u bˇehem mˇeˇren´ı nemˇenila – volnˇe zavˇeˇsené tˇeleso vˇsak v´ıce ˇci ménˇe rotuje; a pokud se ustál´ı, staˇc´ı slab´ y proud vzduchu, aby se vych´ ylilo – coˇz mˇeˇren´ı znemoˇzn´ı. Z toho d˚ uvodu potˇrebujeme jeden stupeˇ n volnosti (rotaci okolo svislé osy) odebrat. Lze tak uˇcinit zapˇren´ım tˇelesa o oporu spojenou se zem´ı, ovˇsem jen za podm´ınky, ˇze tato opora zamezuje v´ yhradnˇe rotaci a nevychyluje souˇcást z rovnováˇzné polohy. Opora by se mˇela tˇelesa dot´ ykat na pokud moˇzno co nejvˇetˇs´ım rameni od svislice zavˇeˇsen´ı. Moˇzné ˇreˇsen´ı ukazuje obr. 4.2. V´ ysledky mˇeˇren´ı na souˇcástech ukázaly, ˇze pˇr´ıpadné zkreslen´ı vzniklé touto oporou lze zanedbat. Kromˇe toho je vhodné volit bod zavˇeˇsen´ı tak, aby se nacházel pokud moˇzno co nejdále od pˇrepokládané polohy tˇeˇziˇstˇe – pokud se nacház´ı pˇr´ıliˇs bl´ızko, je moment gravitaˇcn´ı s´ıly, kter´ y udrˇzuje tˇeleso v rovnováˇzné poloze, pˇr´ıliˇs mal´ y a zavˇeˇsené tˇeleso se

Obr. 4.2: Stojan, kter´ y slouˇz´ı k zavˇeˇsen´ı tˇelesa pro potˇreby mˇeˇren´ı polohy tˇeˇziˇstˇe souˇca´sti. Za vláknem (nit´ı) je na flexibiln´ım rameni upevnˇeno b´ılé pozad´ı.

18

ˇ REN ˇ Í JEDNOHO ZAVE ˇ SEN ˇ Í SYSTEMEM ´ 4.4. POSTUP ME TRITOP

Obr. 4.3: Detail závˇesu stojanu. stane nestabiln´ım, coˇz zp˚ usob´ı obdobné problémy jako v pˇredchoz´ım pˇr´ıpadˇe. Vhodnou volbou bodu zavˇeˇsen´ı lze tyto problémy omezit. Dále potˇrebujeme zajistit takové podm´ınky, aby systém Tritop dokázal s dostateˇcnou pˇresnost´ı rozpoznat polohu vlákna. Tritop vlákno (resp. Pipe or Contrast Line) rozeznává na základˇe kontrastu oproti okol´ı. Vyˇzaduje, aby vlákno mˇelo ˇcernou barvu a pozad´ı b´ılou (nebo naopak). Samotné vlákno je tedy vhodné natˇr´ıt na ˇcerno a v tˇesné bl´ızkosti za nˇe um´ıstit b´ılé pozad´ı. Jedno z moˇzn´ ych ˇreˇsen´ı, jak toho doc´ılit, ukazuje obr. 4.2; b´ılé pozad´ı – pap´ır – je upevnˇen na rameni, které umoˇzn ˇuje mˇenit jeho polohu. Nakonec je nezbytné rozm´ıstit do okol´ı stojanu kalibraˇcn´ı tyˇce a kódované referenˇcn´ı body. Tritop potˇrebuje, aby se na kaˇzdé fotografii nacházelo minimálnˇe pˇet kódovan´ ych bod˚ u a zároveˇ n aby se kaˇzd´ y kódovan´ y bod nacházel nejménˇe na tˇrech fotografi´ıch [28]. Proto je tˇreba body rozm´ıstit tak, aby se objevily na co nejv´ıce fotografi´ıch a zároveˇ n aby neexistoval pohled, ve kterém by jich byl nedostatek. Moˇzné ˇreˇsen´ı zobrazuje obr. 4.2.

4.4.2. Fotografov´ an´ı zavˇ eˇ sen´ e souˇ c´ asti Pˇri fotografován´ı zavˇeˇsené souˇcásti je nutné dodrˇzovat pravidla uvedená v [27] a [28]. Nejprve provedeme kalibraˇcn´ı sn´ımky – ˇctyˇri sn´ımky otoˇcené vˇzdy o 90 stupˇ n˚ u. Poté vyfot´ıme sérii sn´ımk˚ u stojanu i souˇcásti. Pozornost se mus´ı zamˇeˇrovat pˇredevˇs´ım na body, které budou definovat souˇradn´ y systém, a na vlákno zavˇeˇsen´ı. Fotografie by mˇely mˇeˇren´ y ob-

19

ˇ REN ˇ Í JEDNOHO ZAVE ˇ SEN ˇ Í SYSTEMEM ´ 4.4. POSTUP ME TRITOP jekt pokud moˇzno rovnomˇernˇe obklopovat – v´ yrobce doporuˇcuje, aby fotografuj´ıc´ı mˇeˇren´ y objekt obcházel a fotil sn´ımky ve tˇrech r˚ uzn´ ych v´ yˇskov´ ych rovinách. V této práci bylo fotografováno digitáln´ı zrcadlovkou Fuji S2 Pro s objektivem Nikkor s pevnou ohniskovou vzdálenost´ı f = 24 mm pˇri citlivosti ISO 400, clonˇe 11 a ˇcasu závˇerky 1/125 s.

4.4.3. Zpracov´ an´ı v´ ysledk˚ u v poˇ c´ıtaˇ ci Zpracován´ı fotografi´ı prob´ıhá v software dodávaném spolu se systémem Tritop5 . Nejprve je nutné vytvoˇrit nov´ y projekt – definujeme pouˇzité kalibraˇcn´ı tyˇce, sadu kódovan´ ych referenˇcn´ıch bod˚ u a parametry pouˇzitého fotoaparátu. Poté, pokud kvalita nafocen´ ych fotografi´ı dostaˇcuje, na jejich základˇe Tritop vypoˇc´ıtá polohu jednotliv´ ych referenˇcn´ıch bod˚ u a zobraz´ı v´ ysledek ve 3D pohledu. V dalˇs´ım kroku potˇrebujeme definovat souˇradn´ y systém. Obvykle pouˇzijeme jiˇz zm´ınˇenou 3-2-1 transformaci. Zde se postup pokaˇzdé liˇs´ı v závislosti na tvaru souˇca´sti a na tom, jak poˇzadujeme zorientovat souˇradn´ y systém. Prostˇrednictv´ım nab´ıdky Primitives a v´ ybˇerem vhodn´ ych bod˚ u vytvoˇr´ıme na souˇca´sti potˇrebné body definuj´ıc´ı souˇradn´ y systém – potˇrebujeme tˇri body leˇz´ıc´ı v rovinˇe tvoˇrené osami x a y, dva body leˇz´ıc´ı v rovinˇe tvoˇrené osami x a z a jeden bod leˇz´ıc´ı v rovinˇe tvoˇrené osami y a z. V nab´ıdce Operations – Transformations – 3-2-1 Transformation tyto body vybereme a Tritop souˇradn´ y systém podle tˇechto bod˚ u zorientuje. Jedná se o velmi d˚ uleˇzitou ˇca´st mˇeˇren´ı, ve které ˇcasto docház´ı k chybˇe – je nezbytné ovˇeˇrit, ˇze ve vˇsech zavˇeˇsen´ıch souˇradn´ y systém definujeme stejnˇe, v opaˇcném pˇr´ıpadˇe dostaneme nesmyslné v´ ysledky. Dále je nutné zjistit polohu svislice. V nab´ıdce Features – Line – Pipe or Contrast Line urˇc´ıme, jak´ y druh ˇca´ry pouˇz´ıváme (hodnotu color nastav´ıme na black ). Vybereme fotografii, na které je vlákno dobˇre vidˇet a taˇzen´ım oznaˇc´ıme oblast, ve které se má Tritop snaˇzit vlákno nalézt – vznikne tak dlouh´ y u ´zk´ y obdéln´ık. Potvrd´ıme stiskem pravého tlaˇc´ıtka myˇsi. Vybereme jinou fotografii, na které je vlákno vidˇet pod jin´ ym u ´hlem, a se stisknutou klávesou Ctrl oznaˇc´ıme v druhé fotografii bod vlákna. Pokud kvalita fotografi´ı dostaˇcuje, Tritop vlákno rozpozná a proloˇz´ı j´ım mnoˇzstv´ı bod˚ u. 6 V posledn´ım kroku body vybereme . V nab´ıdce Primitives – Lines zvol´ıme moˇznost Best Fit Line, která nám tˇemito body proloˇz´ı pˇr´ımku – tato pˇr´ımka odpov´ıdá hledané svislici. Program Tˇeˇziˇstˇe 2.0 potˇrebuje znát souˇradnice dvou (libovoln´ ych) bod˚ u, které na této pˇr´ımce leˇz´ı. Body definujeme pˇr´ıkazem Primitives – Points – Points from line. Souˇradnice tˇechto dvou bod˚ u jsou souˇradnice, které vkládáme do programu Tˇeˇziˇstˇe 2.0 jako body definuj´ıc´ı jednotlivá zavˇeˇsen´ı. 5

Pozn. Tato pr´ ace pˇredkl´ ad´ a pouze z´ akladn´ı postup mˇeˇren´ı – podrobn´ y návod, jak s Tritopem pracovat, obsahuje [27] a [28] 6 V obr´ azku stiskneme pravé tlaˇc´ıtko a volbu Select area, poté body ohraniˇc´ıme ˇcarou a potvrd´ıme prav´ ym tlaˇc´ıtkem.

20

ˇ ZI ˇ ST ˇ E ˇ 2.0 4.5. POPIS FUNKCE PROGRAMU TE

4.5. Popis funkce programu Tˇ eˇ ziˇ stˇ e 2.0 Souˇcást´ı této diplomové práce je program Tˇeˇziˇstˇe 2.0 vytvoˇren´ y v programovac´ım jazyce Borland Delphi. Slouˇz´ı k v´ ypoˇctu samotné polohy tˇeˇziˇstˇe ze souˇradnic bod˚ u, které urˇcuj´ı jednotlivé svislice zavˇeˇsen´ı, zároveˇ n umoˇzn ˇuje odhadnout chybu mˇeˇren´ı. Program se nacház´ı na pˇriloˇzeném CD, a to vˇcetnˇe zdrojov´ ych kód˚ u. Obrázek 4.4 ukazuje základn´ı obrazovku programu. V rolovac´ım menu (pozice 4) se vol´ı poˇcet proveden´ ych zavˇeˇsen´ı. V pravé ˇcásti obrazovky se do jednotliv´ ych pol´ıˇcek (5) zadávaj´ı souˇradnice dvojic bod˚ u, které urˇcuj´ı pˇr´ısluˇsné svislice zavˇeˇsen´ı z´ıskané z Tritopu. Program pracuje bezrozmˇerovˇe, tzn. v´ ypoˇcty provád´ı jen ˇc´ıselnˇe, bez pouˇzit´ı jednotek. Souˇradnice lze zadávat pˇr´ımo nebo naˇc´ıst ze souboru, jehoˇz adresa se zadává do pole 1. Po stisku tlaˇc´ıtka Naˇ cti souˇ radnice ze souboru – 3 program naˇcte souˇradnice bod˚ u do pˇr´ısluˇsn´ ych pol´ı. K v´ ybˇeru souboru lze vyuˇz´ıt tlaˇc´ıtko Proch´ azet – 2. V okamˇziku, kdy jsou vˇsechna data správnˇe zadána, zaháj´ı v´ ypoˇcet stisk tlaˇc´ıtka Spoˇ c´ıtej polohu tˇ eˇ ziˇ stˇ e – 6. Postup, kter´ ym program provád´ı v´ ypoˇcet, prob´ıhá v tˇechto kroc´ıch: 1. Program do vhodn´ ych promˇenn´ ych naˇcte souˇradnice bod˚ u definuj´ıc´ıch jednotlivé svislice zavˇeˇsen´ı (obr. 4.4, pozice 5).

Obr. 4.4: Program Tˇeˇziˇstˇe 2.0 – zadáván´ı vstupn´ıch dat.

21

ˇ ZI ˇ ST ˇ E ˇ 2.0 4.5. POPIS FUNKCE PROGRAMU TE 2. Na základˇe informace o poˇctu proveden´ ych zavˇeˇsen´ı z rolovac´ıho menu 4 program urˇc´ı, kolika zp˚ usoby lze vytvoˇrit dvojice z tˇechto svislic (a tedy kolik z´ıskáme d´ılˇc´ıch poloh tˇeˇziˇstˇe) a urˇc´ı poˇrad´ı, ve kterém bude v´ ypoˇcet tˇechto d´ılˇc´ıch poloh poˇc´ıtat7 . 3. Program ze vstupn´ıch dat urˇc´ı rovnice svislic zavˇeˇsen´ı ve tvaru Pi = [Axi , Ayi , Azi ] + ti (Bxi − Axi , Byi − Ayi , Bzi − Azi )

(4.5)

kde Axi , Ayi , Azi , Bxi , Byi a Bzi jsou souˇradnice bod˚ u urˇcuj´ıc´ıch svislici i-tého zavˇeˇsen´ı z pole 5 a ti je parametr této svislice. Jedná se o tvar odpov´ıdaj´ıc´ı rovnic´ım 4.1 a 4.2. 4. V poˇrad´ı urˇceném v bodˇe 2 program na základˇe vztah˚ u 4.3 a 4.4 vypoˇc´ıtá pro kaˇzdou dvojici svislic odpov´ıdaj´ıc´ı polohu krajn´ıch bod˚ u pˇr´ıˇcky a z n´ı i d´ılˇc´ı polohu tˇeˇziˇstˇe. 5. V´ yslednou polohu tˇeˇziˇstˇe program spoˇc´ıtá jako pr˚ umˇer d´ılˇc´ıch poloh tˇeˇziˇst’ z´ıskan´ ych jednotliv´ ymi kombinacemi svislic zavˇeˇsen´ı. 6. V´ ysledky vyp´ıˇse na obrazovku.

Obr. 4.5: Program Tˇeˇziˇstˇe 2.0 – v´ ysledek v´ ypoˇct˚ u. 7

Napˇr. pokud jsme provedli tˇri zavˇeˇsen´ı, máme tˇri zp˚ usoby, jak vytvoˇrit dvojice svislic a z´ısk´ ame tak tˇri d´ılˇc´ı polohy tˇeˇziˇstˇe. Program urˇc´ı, ˇze nejprve spoˇc´ıtáme ”pr˚ useˇc´ık” 1. svislice s 2., poté 1. s 3. a nakonec 2. s 3. Podobnˇe u ˇctyˇr zavˇeˇsen´ı z´ıskáme 6 moˇzn´ ych ”pr˚ useˇc´ık˚ u” – 1. s 2., 1. se 3., 2. se 3., 1. se 4., 2. se 4. a 3. se 4. U pˇeti zavˇeˇsen´ı analogicky.

22

ˇ REN ˇ Í POLOHY TE ˇ ZI ˇ ST ˇ E ˇ 4.6. ODHAD CHYBY ME Na obrázku 4.5 je zobrazena v´ ystupn´ı obrazovka programu Tˇeˇziˇstˇe 2.0. Na pozici 7 se zobraz´ı vypoˇctené souˇradnice tˇeˇziˇstˇe rx , ry a rz . Následuje v´ ypis meziv´ ysledk˚ u. Na pozici 8 program ukáˇze souˇradnice vypoˇcten´ ych d´ılˇc´ıch poloh tˇeˇziˇst’; u ´daj v závorce ˇr´ıká, které kombinaci svislic zavˇeˇsen´ı odpov´ıdá daná d´ılˇc´ı poloha tˇeˇziˇstˇe. Program dále spoˇc´ıtá vzdálenost jednotliv´ ych d´ılˇc´ıch poloh tˇeˇziˇst’ od v´ ysledné hodnoty a zobraz´ı je na pozici 9. Vypoˇctené v´ ysledky lze uloˇzit do souboru po kliknut´ı na tlaˇc´ıtko 11.

4.6. Odhad chyby mˇ eˇ ren´ı polohy tˇ eˇ ziˇ stˇ e D˚ uleˇzitou informaci ve v´ ystupu programu Tˇeˇziˇstˇe 2.0 dává u ´daj na pozici 10. Jedná se o vzdálenost jednotliv´ ych svislic zavˇeˇsen´ı definovan´ ych vstupn´ımi body od vypoˇctené polohy tˇeˇziˇstˇe zobrazené na pozici 8. Plat´ı, ˇze ˇc´ım niˇzˇs´ı ˇc´ısla se zde objev´ı, t´ım pˇresnˇejˇs´ıch v´ ysledk˚ u mˇeˇren´ı dosáhlo. Pro potˇreby urˇcen´ı pˇresnosti, jaké jsme mˇeˇren´ım dosáhli, je potˇreba pouˇz´ıt vztah pro stˇredn´ı kvadratickou chybu vypoˇctené hodnoty σ [21]: v u u σ=t

n X 1 ∆2 n(n − 1) i=1 i

(4.6)

Hodnota σ urˇcuje, s jakou pˇresnost´ı odpov´ıdá vypoˇctená poloha skuteˇcné poloze tˇeˇziˇstˇe. Tˇeˇziˇstˇe souˇca´sti se bude nacházet v prostoru tvaru koule – tzv. koule pˇresnosti se stˇredem ve vypoˇctené poloze (rx , ry , rz ) a s polomˇerem Rp . Hodnotu Rp zjist´ıme jako násobek stˇredn´ı kvadratické chyby a tzv. studentova souˇcinitele k [23]: Rp = k · σ

(4.7)

Koeficient k je urˇcen pravdˇepodobnost´ı, s jakou poˇzadujeme, aby se skuteˇcná poloha tˇeˇziˇstˇe nacházela uvnitˇr této koule, a poˇctem mˇeˇren´ı (resp. zavˇeˇsen´ı). Typické hodnoty pro poˇcet zavˇeˇsen´ı n a poˇzadovanou pravdˇepodobnost P ukazuje tabulka 4.1 [20]. Je vidˇet, ˇze s rostouc´ım poˇctem zavˇeˇsen´ı se polomˇer koule pˇresnosti zmenˇsuje. Uveden´ y postup odhadu chyby mˇeˇren´ı poˇc´ıtá se skuteˇcnost´ı, ˇze odchylky pˇr´ımek zavˇeˇsen´ı ∆i maj´ı studentovo rozdˇelen´ı. Tento pˇredpoklad nen´ı sám o sobˇe zaruˇcen; pro potˇreby této práce vˇsak takov´ yto postup odhadu pˇresnosti postaˇcuje. n P = 90 % 2 3 4 5

6,31 2,92 2,35 2,13

P = 95 %

P = 99 %

13,82 4,50 3,29 2,86

63,66 9,92 5,84 4,6

Tab. 4.1: Tabulka studentov´ ych souˇcinitel˚ u.

23

5. Realizace mˇ eˇ ren´ı polohy tˇ eˇ ziˇ stˇ e souˇ c´ ast´ı popsanou metodou Bylo provedeno mˇeˇren´ı polohy tˇeˇziˇstˇe popsanou metodou u nˇekolika souˇca´st´ı. V prvn´ım kroku bylo potˇreba ovˇeˇrit pˇresnost metody – k tomu slouˇz´ı souˇcást obd´ eln´ıkov´ y profil v kapitole 5.1. Následuje ukázka aplikace této metody pˇri mˇeˇren´ı polohy tˇeˇziˇstˇe souˇcást´ı podvozk˚ u automobil˚ u, a to u pˇ redn´ı a zadn´ı tˇ ehlice formule Ford (kapitoly 5.2 a 5.3).

5.1. Obd´ eln´ıkov´ y profil Pro mˇeˇren´ı, které mˇelo slouˇzit pˇredevˇs´ım k otestován´ı pouˇzité metody, byl zvolen obdéln´ıkov´ y profil (obrázek 5.1). Souˇradn´ y systém byl definován prostˇrednictv´ım 3-2-1 transformace dle obrázku.

Obr. 5.1: Mˇeˇren´ y obdéln´ıkov´ y profil. Souˇradn´ y systém definuje horn´ı rovina (oznaˇcená p´ısmenem Z), levá boˇcn´ı rovina a bod, kter´ ym procház´ı záporná ˇcást osy y). Bylo provedeno pˇet zavˇeˇsen´ı. Podle postupu popsaného v kapitole 4.4 byly systémem Tritop z´ıskány souˇradnice deseti bod˚ u, které definuj´ı pˇet svislic vznikl´ ych pˇri pˇeti mˇeˇren´ıch (tabulka 5.1). Program Tˇeˇziˇstˇe 2.0 na základˇe dat namˇeˇren´ ych systémem Tritop spoˇc´ıtá polohu tˇeˇziˇstˇe. Vypoˇctené souˇradnice polohy tˇeˇziˇstˇe mˇeˇrené souˇca´sti v˚ uˇci souˇradnému systému zobrazenému na obrázku 5.1 jsou rovny: rx = −10, 008 mm ry = −24, 926 mm rz = −15, 000 mm

(5.1)

24

ˇ Í TEHLICE ˇ ˇ ´ SKUPINA FORMULE FORD 5.2. PREDN A LOZISKOV A ˇ ıslo zavˇ C´ eˇ sen´ı Zavˇeˇsen´ı ˇc. 1 Zavˇeˇsen´ı ˇc. 2 Zavˇeˇsen´ı ˇc. 3 Zavˇeˇsen´ı ˇc. 4 Zavˇeˇsen´ı ˇc. 5

Bod bod bod bod bod bod bod bod bod bod bod

A B A B A B A B A B

x/mm

y/mm

z/mm

Odchylka/mm

-88,4548 -34,3025 29,7763 114,695 78,5926 231,566 -59,3384 -168,009 -285,988 -116,794

195,759 43,7667 33,6267 158,605 21,1227 100,629 -57,3538 -128,942 -59,9731 -38,5446

88,0637 17,0502 26,3995 114,826 7,5137 46,3692 38,9577 157,826 33,2192 3,6661

0,058 0,025 0,008 0,062 0,094

Tab. 5.1: Obdéln´ıkov´ y profil – souˇradnice bod˚ u namˇeˇrené systémem Tritop, které urˇcuj´ı svislice vedené bodem zavˇeˇsen´ı. Vzdálenosti pˇr´ımek zavˇeˇsen´ı od vypoˇctené polohy tˇeˇziˇstˇe se nacházej´ı v posledn´ım sloupci tabulky 5.1. Z tˇechto hodnot byla na základˇe vztahu 4.6 spoˇc´ıtána stˇredn´ı kvadratická chyba σ = 0, 029 mm. Prostˇrednictv´ım vztahu 4.7 lze stanovit polomˇer koule, ve které se s danou pravdˇepodobnost´ı bude tˇeˇziˇstˇe skuteˇcnˇe nacházet. Pro P = 95 % a n = 5 . je Rp = 2, 86 · σ = 0, 083 mm a po zaokrouhlen´ı smˇerem nahoru Rp = 0, 09 mm. Jednotlivé odchylky od vypoˇctené hodnoty se pohybuj´ı v ˇra´du setin milimetru; stejnˇe tak i stˇredn´ı kvadratická chyba a polomˇer koule pˇresnosti Rp . Tlouˇst’ka obdéln´ıkového profilu je 30 mm a ˇs´ıˇrka 50 mm (mˇeˇreno posuvn´ ym mˇeˇridlem). Teoreticky se tˇeˇziˇstˇe 1 nacház´ı pˇresnˇe uprostˇred tˇechto vzdálenost´ı ; vypoˇctené hodnoty ry a rz se nacházej´ı velmi bl´ızko teoretickému oˇcekáván´ı. Souˇradnice osy x v tomto pˇr´ıpadˇe nelze uvaˇzovat – bod, kter´ y definuje poˇca´tek osy x, je volen v´ıceménˇe náhodnˇe. Vypoˇctená poloha tˇeˇziˇstˇe tedy odpov´ıdá teoretick´ ym pˇredpoklad˚ um a jednotlivé pˇr´ımkové odchylky zavˇeˇsen´ı jsou ve vˇsech pˇeti pˇr´ıpadech velmi malé. Lze proto vyslovit závˇer, ˇze zvolená metoda nen´ı zat´ıˇzena relevantn´ı systematickou chybou.

5.2. Pˇ redn´ı tˇ ehlice a loˇ ziskov´ a skupina formule Ford Dále byla mˇeˇrena pˇredn´ı tˇehlice formule Ford. Souˇradn´ y systém byl zorientován pomoc´ı ploch leˇz´ıc´ıch na tˇehlici – viz obr. 5.2. Poˇca´tek souˇradného systému leˇz´ı v pr˚ useˇc´ıku rovin xy, xz a yz, osa y je kolmá na rovinu xz (tzn. je rovnobˇeˇzná s osou loˇziska tˇehlice), smˇer osy z urˇcuje pr˚ useˇc´ık rovin xz a yz. Opˇet bylo provedeno pˇet zavˇeˇsen´ı a prostˇrednictv´ım programu Tˇeˇziˇstˇe 2.0 byla urˇcena poloha tˇeˇziˇstˇe. Souˇradnice bod˚ u vzniklé pˇri tˇechto zavˇeˇsen´ı ukazuje tabulka 5.2. 1

Pozn.: Ve skuteˇcnosti to samozˇrejmˇe neplat´ı zcela pˇresnˇe kv˚ uli v´ yrobn´ım nedokonalostem – zejména ˇsvu na vnitˇrn´ı stranˇe profilu.

25

ˇ Í TEHLICE ˇ ˇ ´ SKUPINA FORMULE FORD 5.2. PREDN A LOZISKOV A Vypoˇctené souˇradnice polohy tˇeˇziˇstˇe jsou rx = 96, 993 mm ry = −43, 456 mm rz = −35, 534 mm

(5.2)

Na základˇe pˇr´ımkov´ ych odchylek ∆i jednotliv´ ych zavˇeˇsen´ı (posledn´ı sloupec v tabulce 5.2) byla spoˇc´ıtána stˇredn´ı kvadratická chyba σ = 0, 087 mm a z n´ı polomˇer koule

Obr. 5.2: Pˇredn´ı tˇehlice formule Ford. Smˇer osy y urˇcuje rovina xz, pr˚ useˇc´ık této roviny s rovinou yz urˇcuje polohu osy z. ˇ ıslo zavˇ C´ eˇ sen´ı Zavˇeˇsen´ı ˇc. 1 Zavˇeˇsen´ı ˇc. 2 Zavˇeˇsen´ı ˇc. 3 Zavˇeˇsen´ı ˇc. 4 Zavˇeˇsen´ı ˇc. 5

Bod bod bod bod bod bod bod bod bod bod bod

x/mm

y/mm

z/mm

A 22,0658 -58,096 296,121 B 70,5929 -48,6148 81,2242 A -49,4364 -129,171 73,7947 B -137,797 -180,911 139,539 A 333,092 -56,9237 187,916 B 38,8545 -40,0681 -90,7257 A 116,539 -78,5437 320,105 B 94,0753 -38,1866 -89,0333 A -158,813 24,504 -200,377 B 46,8126 -30,2298 -67,9707

Odchylka/mm 0,034 0,327 0,112 0,022 0,177

Tab. 5.2: Tˇehlice formule Ford – souˇradnice bod˚ u namˇeˇrené systémem Tritop, které urˇcuj´ı svislice vedené bodem zavˇeˇsen´ı.

26

ˇ 5.3. ZADNÍ TEHLICE FORMULE FORD pˇresnosti. Pro pravdˇepodobnost P = 95 % a poˇcet zavˇeˇsen´ı n = 5 je Rp = 2, 86 · σ = . 0, 248 mm a po zaokrouhlen´ı Rp = 0, 25 mm. Je vidˇet, ˇze pˇr´ımka ˇc´ıslo 2 má pomˇernˇe velkou odchylku; dvojnásobnou oproti dalˇs´ı v poˇrad´ı. Pokud polohu tˇeˇziˇstˇe spoˇc´ıtáme jen z pˇr´ımek 1 a 3–5, z´ıskáme polohu tˇeˇziˇstˇe: rx = 96, 931 mm ry = −43, 462 mm rz = −35, 724 mm

(5.3)

Souˇradnice bod˚ u urˇcuj´ıc´ıch jednotlivé pˇr´ımky z˚ ustanou stejné, zmˇen´ı se vˇsak jednotlivé pˇr´ımkové odchylky: ∆1 ∆3 ∆4 ∆5 0,07 0,066 0,073 0,105 Tab. 5.3: Tˇehlice formule Ford – pˇr´ımkové odchylky poˇc´ıtané jen ze ˇctyˇr zavˇeˇsen´ı. Stˇredn´ı kvadratická chyba z tˇechto odchylek má hodnotu σ = 0, 046 mm a odpov´ıdaj´ıc´ı koule pˇresnosti má pro pravdˇepodobnost P = 95 % a poˇcet zavˇeˇsen´ı n = 4 polomˇer Rp = 3, 29 · σ = 0, 15 mm. M˚ uˇzeme usuzovat, ˇze byla hodnota druhé pˇr´ımky zavˇeˇsen´ı z tabulky 5.2 ovlivnˇena (hrubou) chybou. Jak je vidˇet, vhodnou eliminac´ı takov´ ychto hodnot v´ yraznˇe se liˇs´ıc´ıch od ostatn´ıch lze doc´ılit vyˇsˇs´ı pˇresnosti.

5.3. Zadn´ı tˇ ehlice formule Ford V tomto pˇr´ıpadˇe bylo mˇeˇreno pouze samotné tˇeleso tˇehlice a nikoli celá skupina tˇehlice s loˇziskem a diskem jako v pˇredchoz´ım pˇr´ıpadˇe. Souˇradn´ y systém byl téˇz volen ponˇekud vhodnˇeji – osu y tvoˇr´ı osa otáˇcen´ı (náboj loˇziska); poˇca´tek leˇz´ı v pr˚ useˇc´ıku s rovinou

Obr. 5.3: Zadn´ı tˇehlice formule Ford a souˇradn´ y systém. 27

ˇ 5.3. ZADNÍ TEHLICE FORMULE FORD ˇ ıslo zavˇ C´ eˇ sen´ı Zavˇeˇsen´ı ˇc. 1 Zavˇeˇsen´ı ˇc. 2 Zavˇeˇsen´ı ˇc. 3 Zavˇeˇsen´ı ˇc. 4

Bod bod bod bod bod bod bod bod bod

x/mm

y/mm

z/mm

A -5,586 -62,524 -26,650 B -252,985 42,823 250,877 A -8,760 -104,392 141,690 B -14,745 -161,100 375,143 A 24,287 62,091 -0,749 B 71,577 267,451 44,266 A 116,741 10,527 -55,208 B 297,684 120,578 -95,571

Odchylka/mm 0,133 0,024 0,132 0,054

Tab. 5.4: Zadn´ı tˇehlice formule Ford – souˇradnice bod˚ u namˇeˇrené systémem Tritop, které urˇcuj´ı svislice vedené bodem zavˇeˇsen´ı. osazen´ı otvoru pro loˇzisko, osa z smˇeˇruje se smˇeru ˇsrobu ve vrchn´ı ˇca´sti tˇehlice, jak ukazuje obrázek 5.3. Stejnˇe jako v pˇredchoz´ıch dvou pˇr´ıpadech byly zmˇeˇreny rovnice pˇr´ımek zavˇeˇsen´ı2 – viz tab. 5.4. Na základˇe tˇechto dat byla spoˇc´ıtána poloha tˇeˇziˇstˇe: rx = −4, 414 mm ry = −63, 112 mm rz = −28, 151 mm

(5.4)

Stˇredn´ı kvadratická chyba vypoˇctená z jednotliv´ ych pˇr´ımkov´ ych odchylek ∆1 –∆4 je rovna σ = 0, 057 mm. Pˇri poˇzadované pravdˇepodobnosti P = 95 % a poˇctu mˇeˇren´ı n = 4 je potom polomˇer koule pˇresnosti Rp = 3, 29 · σ = 0, 186 mm a po zaokrouhlen´ı . Rp = 0, 2 mm.

2

Pozn. bylo provedeno pˇet zavˇeˇsen´ı, z nichˇz jedno bylo zat´ıˇzeno velkou chybou – jeho odchylka se v´ yraznˇe odliˇsovala od ostatn´ıch; v tabulce 5.4 jsou proto ponechána jen ostatn´ı ˇctyˇri.

28

6. Celkov´ e zhodnocen´ı navrˇ zen´ e metody mˇ eˇ ren´ı polohy tˇ eˇ ziˇ stˇ e Navrˇzená metoda mˇeˇren´ı polohy tˇeˇziˇstˇe souˇca´st´ı má své v´ yhody i nedostatky. Za hlavn´ı pˇrednost lze oznaˇcit jej´ı pˇ resnost. I u relativnˇe mal´ ych tˇeles, jak´ ymi ˇcasto b´ yvaj´ı souˇcásti podvozk˚ u, lze opakovan´ ym mˇeˇren´ım doc´ılit pˇresnosti i pod 0, 1 mm (tzn. koule pˇresnosti má pro danou pravdˇepodobnost polomˇer menˇs´ı neˇz 0, 1 mm). Jen velmi obt´ıˇznˇe by ˇslo urˇcit takto pˇresnˇe polohu tˇeˇziˇstˇe jinou metodou, pokud by to v˚ ubec bylo moˇzné. Za dalˇs´ı d˚ uleˇzitou v´ yhodu této metody m˚ uˇzeme povaˇzovat pomˇernˇe snadn´ y zp˚ usob, kter´ ym lze ovˇeˇrit, do jaké m´ıry jsou v´ ysledky zat´ıˇzeny hrubou chybou. Pokud provedeme 5 zavˇeˇsen´ı, z´ıskáme 10 d´ılˇc´ıch poloh tˇeˇziˇst’; pokud se nˇekteré z nich nacház´ı v´ yraznˇe mimo ostatn´ı, lze rozborem kombinac´ı jednotliv´ ych pˇr´ımek urˇcit, ve kterém pˇr´ıpadˇe se stala chyba. Stejnˇe to plat´ı opaˇcnˇe – pokud vˇsechny pˇr´ımky zavˇeˇsen´ı procházej´ı velmi bl´ızko vypoˇctené v´ ysledné polohy tˇeˇziˇstˇe, lze usoudit, ˇze jsme se hrubé chyby nedopustili. Naopak nejvˇetˇs´ı nedostatek této metody je jej´ı pracnost. Pˇr´ıprava jednotlivého zavˇeˇsen´ı zabere pomˇernˇe velké mnoˇzstv´ı ˇcasu – je nutné vybrat vhodné vlákno, stojan, rozm´ıstit kódované a nekódované body Tritopu, um´ıstit za vlákno vhodné b´ılé pozad´ı, pˇriˇcemˇz neustále mus´ıme zohledˇ novat poˇzadavky popsané v kapitole 4.4. Následuje fotografován´ı souˇca´sti a v´ ypoˇcet v software Tritop. Celkov´ y ˇcas potˇrebn´ y k zmˇeˇren´ı polohy tˇeˇziˇstˇe souˇca´sti se odv´ıj´ı od pˇresnosti, které poˇzadujeme doc´ılit, a tedy i od poˇctu zavˇeˇsen´ı, která mus´ıme provést. Obvykle lze poˇc´ıtat s ˇcasem 3–5 hodin na souˇca´st. Samotn´ y koneˇcn´ y v´ ypoˇcet polohy tˇeˇziˇstˇe z jednotliv´ ych pˇr´ımek zavˇeˇsen´ı v´ yraznˇe zrychluje program Tˇeˇziˇstˇe 2.0, kter´ y byl vytvoˇren pro potˇreby této práce. Tato metoda se omezuje jen na tˇelesa, která pˇri r˚ uzném natoˇcen´ı nemˇen´ı sv˚ uj tvar nebo vnitˇrn´ı rozloˇzen´ı hmotnosti. Tento poˇzadavek vyluˇcuje, abychom touto metodou mˇeˇrili napˇr´ıklad polohu tˇeˇziˇstˇe motoru i s olejem nebo souˇca´sti podstatnˇe se deformuj´ıc´ı vlivem gravitaˇcn´ı s´ıly. S ohledem na zde uvedené nedostatky lze vyslovit závˇer, ˇze je metoda dobˇre pouˇzitelná v praxi, a to zejména pro pˇr´ıpady, kdy poˇzadujeme znát polohu tˇeˇziˇstˇe s velkou pˇresnost´ı.

29

7. Mˇ eˇ ren´ı momentu setrvaˇ cnosti K mˇeˇren´ı moment˚ u setrvaˇcnosti se nejˇcastˇeji pouˇz´ıvá metoda torzn´ıho kyvadla (kapitola 3.2.1) a metoda fyzikáln´ıho kyvadla (kapitola 3.2.2). Prvn´ı metodu podrobnˇe rozpracovala firma Space Electronic [6]. Tato práce se zamˇeˇruje na druhou z nich.

7.1. Rozbor metody fyzik´ aln´ıho kyvadla Tenzor setrvaˇcnosti obsahuje ˇsest nezávisl´ ych sloˇzek. K jeho v´ ypoˇctu potˇrebujeme spoˇc´ıtat momenty setrvaˇcnosti k ˇsesti r˚ uzn´ ym (nerovnobˇeˇzn´ ym) osám. Pro kaˇzdé tˇeleso tedy bude potˇreba uskuteˇcnit ˇsest mˇeˇren´ı. Metoda fyzikáln´ıho kyvadla vycház´ı z kl´ıˇcového vztahu 3.22 pro v´ ypoˇcet momentu setrvaˇcnosti I. Ve vztahu figuruje vlastn´ı perioda netlumeného kmitán´ı (perioda kyvu) T , hmotnost m a vzdálenost tˇeˇziˇstˇe mˇeˇreného tˇelesa od osy k´ yván´ı l. Jen v nˇekter´ ych pˇr´ıpadech umoˇzn ˇuje tvar tˇeleso vhodnˇe podepˇr´ıt a nechat k´ yvat samotné. Pokud tvar tˇelesa pˇr´ımé mˇeˇren´ı neumoˇzn ˇuje, um´ıst´ı se tˇeleso na vhodn´ y rám umoˇzn ˇuj´ıc´ı volné k´ yván´ı a mˇeˇr´ı se perioda kyvu celku tˇeleso + rám a poté perioda kyvu samotného rámu. Hledan´ y moment setrvaˇcnosti bude roven rozd´ılu odpov´ıdaj´ıc´ıch vypoˇcten´ ych moment˚ u setrvaˇcnosti – plat´ı vztah analogick´ y k rovnici 3.12. V takovém pˇr´ıpadˇe potˇrebujeme pˇri mˇeˇren´ı zjistit tyto veliˇciny: • hmotnost rámu • hmotnost dvojice mˇeˇrené tˇeleso + rám • vzdálenost tˇeˇziˇstˇe rámu od osy k´ yván´ı • vzdálenost tˇeˇziˇstˇe dvojice mˇeˇrené tˇeleso + rám od osy k´ yván´ı • periodu kyvu rámu • periodu kyvu dvojice mˇeˇrené tˇeleso + rám K urˇcen´ı momentu setrvaˇcnosti samotného rámu a posléze momentu setrvaˇcnosti dvojice rám + tˇeleso pouˇzijeme upraven´ y vztah 3.22: Ico = Tc2

(mt + mr ) g lc 4 π2

(7.1)

mr g lr (7.2) 4 π2 kde Ico a Iro jsou momenty setrvaˇcnosti dvojice tˇeleso + rám a samotného rámu k ose k´ yván´ı, mr a mt jsou hmotnosti rámu a tˇelesa, lr vzdálenost tˇeˇziˇstˇe rámu od osy k´ yván´ı a lc vzdálenost tˇeˇziˇstˇe dvojice rám + tˇeleso od osy k´ yván´ı. Iro = Tr2

30

´ ÍHO KYVADLA 7.1. ROZBOR METODY FYZIKALN Hledan´ y moment setrvaˇcnosti tˇelesa k ose k´ yván´ı Ito bude roven rozd´ılu hodnot 7.1 a 7.2:

Po dosazen´ı:

Ito = Ico − Iro

(7.3)

2 mr g lr 2 (mt + mr ) g lc − Tr Ito = Tc 4 π2 4 π2

(7.4)

au ´pravou

g 2 Tc (mt + mr ) lc − Tr2 mr lr (7.5) 2 4π Z momentu setrvaˇcnosti Ito v˚ uˇci ose k´ yván´ı m˚ uˇzeme podle Steinerovy vˇety [13] vyjádˇrit Itt , neboli moment setrvaˇcnosti tˇelesa v˚ uˇci ose rovnobˇeˇzné s osou k´ yván´ı a procházej´ıc´ı tˇeˇziˇstˇem: Itt = Ito − mt lt2 (7.6) Ito =

lt je vzdálenost tˇeˇziˇstˇe mˇeˇreného tˇelesa od osy k´ yván´ı. Po dosazen´ı: Itt =

g Tc2 mt lc + Tc2 mr lc − Tr2 mr lr − mt lt2 2 4π

(7.7)

Tato rovnice, kterou lze zjistit moment setrvaˇcnosti k ose rovnobˇeˇzné s osou k´ yván´ı a procházej´ıc´ı tˇeˇziˇstˇem, je základn´ım vztahem, ze kterého bude vycházeno v této práci. Obsahuje sedm veliˇcin, jeˇz potˇrebujeme zjistit: mt – hmotnost mˇeˇrené souˇcásti, mr – hmotnost rámu, Tr periodu kyvu samotného rámu, Tc – periodu kyvu rámu spojeného s mˇeˇrenou souˇca´st´ı, lr – vzdálenost tˇeˇziˇstˇe rámu od osy k´ yván´ı, lc – vzdálenost tˇeˇziˇstˇe celku rám + mˇeˇrené tˇeleso od osy k´ yván´ı a lt – vzdálenost tˇeˇziˇstˇe tˇelesa od osy k´ yván´ı. Problém mˇeˇren´ı momentu setrvaˇcnosti lze na základˇe pˇredchoz´ıch u ´vah rozdˇelit do tˇechto základn´ıch krok˚ u: Je nutné • vytvoˇrit vhodn´ y rám, na kterém lze nechat souˇca´st k´ yvat • vypracovat metodu, kterou lze pˇresnˇe mˇeˇrit periodu kyvu • vypracovat metodu, kterou lze pˇresnˇe mˇeˇrit vzdálenost tˇeˇziˇstˇe od osy k´ yván´ı • zjistit, jak´ ym zp˚ usobem lze pˇresnˇe mˇeˇrit hmotnost souˇca´sti • optimalizovat mˇeˇric´ı metody s ohledem na v´ yslednou chybu mˇeˇren´ı • provést jednotlivá mˇeˇren´ı a spoˇc´ıtat moment setrvaˇcnosti • na základˇe dat z mˇeˇren´ı vypoˇc´ıtat tenzor setrvaˇcnosti (rovnice 2.3)

31

´ ˇ REN ˇ Í 7.2. ANALYZA CHYB ME

7.2. Anal´ yza chyb mˇ eˇ ren´ı Ve vztahu 7.7 figuruje sedm veliˇcin, které je potˇreba zmˇeˇrit, aby bylo moˇzné spoˇc´ıtat moment setrvaˇcnosti – Tc , Tr , mt , mr , lt a lr a lc . Anal´ yza chyb mˇeˇren´ı má za c´ıl urˇcit, s jakou pˇresnost´ı potˇrebujeme jednotlivé vstupn´ı veliˇciny zmˇeˇrit, abychom dosáhli poˇzadované pˇresnosti v´ ysledku. Jedná se o problém urˇcen´ı chyby nepˇr´ımo mˇeˇrené veliˇciny. Hledaná veliˇcina je funkc´ı mˇeˇren´ ych (vstupn´ıch) veliˇcin, neboli y = f (x1 , x2 , . . .)

(7.8)

pˇriˇcemˇz jednotlivé veliˇciny x1 , x2 , . . . známe jako x1 = x1 ± ∆x1 , x2 = x2 ± ∆x2 , . . .

(7.9)

kde ∆x1 , ∆x2 , . . . jsou (absolutn´ı) chyby mˇeˇren´ı jednotliv´ ych vstupn´ıch veliˇcin od zmˇeˇren´ ych hodnot x1 , x2 , . . . Celkovou (absolutn´ı) chybu mˇeˇren´ı lze pro malé hodnoty ∆x1 , ∆x2 , . . . dostateˇcnˇe pˇresnˇe aproximovat totáln´ım diferenicálem ([23], [14]) funkce y 1 : ∂ y (x1 , x2 , . . .) ∂ y (x1 , x2 , . . .) ∆x1 + ∆x2 + . . . ∆y = (7.10) ∂ x1 ∂ x2 Relativn´ı chyba je poté rovna δ=

∆y ∆y = · 100 [%] y y (x1 , x2 , . . .)

(7.11)

Obvykle se uvád´ı poˇzadavek relativn´ı chyby v´ ysledku do 3 procent. Chybu vztahu 7.7 lze urˇcit analogicky. Moment setrvaˇcnosti k ose procházej´ıc´ı tˇeˇziˇstˇem rovnobˇeˇzné s osou kyvu je funkc´ı Itt = f (Tc , Tr , mt , mr , lt , lr , lc ). Celková chyba je dána souˇctem jednotliv´ ych parciáln´ıch diferenciál˚ u: ∂Itt ∂Itt ∂Itt ∂Itt ∂Itt ∂Itt ∂Itt ∆Tc + ∆Itt = ∂Tr ∆Tr + ∂mt ∆mt + ∂mr ∆mr + ∂lt ∆lt + ∂lr ∆lr + ∂lc ∆lc ∂Tc (7.12) Tyto diferenciály urˇc´ıme z parciáln´ıch derivac´ı vztahu 7.7 podle jednotliv´ ych veliˇcin: ∂Itt ∆Tc = Tc g lc (mt + mr ) ∆Tc (7.13) ∂Tc 2 π2 ∂Itt Tr mr g lr (7.14) ∂Tr ∆Tr = − 2 π 2 ∆Tr 2 ∂Itt Tc g lc 2 ∆mt = ∆mt (7.15) − l t ∂mt 4 π2 1

Absolutn´ı hodnoty ve vztahu 7.10 slouˇz´ı k tomu, aby se sˇc´ıtaly ”ménˇe pˇr´ıznivé” pˇr´ıpady – tedy aby vˇsechny chyby od jednotliv´ ych parci´ aln´ıch derivac´ı posouvaly v´ ysledek stejn´ ym smˇerem.

32

´ ´ ˇNUJ ˇ ÍCÍHO KMITAN ´ Í VLASTNÍMI KMITY 7.3. NAVRH RAMU UMOZ 2 2 ∂Itt ∆mr = (Tc lc − Tr lr ) g ∆mr (7.16) ∂mr 2 4π ∂Itt (7.17) ∂lt ∆lt = |−2 mt lt | ∆lt 2 ∂Itt ∆lr = − Tr g mr ∆lr (7.18) ∂lr 2 4π 2 Tc g (mt + mr ) ∂Itt ∆lc (7.19) ∂lc ∆lc = 4 π2 Dosazen´ım vztah˚ u 7.13–7.19 do 7.12 z´ıskáme vztah pro v´ ypoˇcet absolutn´ı chyby vypoˇcteného momentu setrvaˇcnosti z namˇeˇren´ ych hodnot Tc , Tr , mt , mr , lt , lr a lc s chybami mˇeˇren´ı ∆Tc , ∆Tr , ∆mt , ∆mr , ∆lt , ∆lr a ∆lc . Relativn´ı chyba je rovna δ=

∆Itt · 100 [%] Itt

(7.20)

kde Itt je moment setrvaˇcnosti vypoˇcten´ y z namˇeˇren´ ych hodnot podle vztahu 7.7. C´ılem dalˇs´ıho postupu bude vypracovat takové metody mˇeˇren´ı periody kyvu, vzdálenosti tˇeˇziˇstˇe od osy kyvu a hmotnosti, které budou dostateˇcnˇe pˇresné – tak, aby pˇri namˇeˇren´ ych hodnotách typick´ ych pro souˇca´sti podvozk˚ u automobil˚ u, na které se tato práce zamˇeˇruje, z˚ ustala relativn´ı chyba menˇs´ı neˇz 3 %. Zároveˇ n by bylo vhodné, aby vˇsechny parciáln´ı diferenciály 7.13–7.19 mˇely podobnou velikost, resp. stejn´ y ˇrád. D˚ usledek nepˇresnost´ı jednotliv´ ych mˇeˇren´ı má b´ yt bl´ızk´ y, abychom nˇekterou veliˇcinu nemˇeˇrili zbyteˇcnˇe pˇresnˇe ve srovnán´ı s chybou jiného mˇeˇren´ı. V´ ypoˇcty chyby mˇeˇren´ı byly provádˇeny pomoc´ı programu Mathcad. V´ ypoˇctové soubory ve formátu .mcd lze nalézt na pˇriloˇzeném CD. Tento zp˚ usob urˇcen´ı pˇresnosti mˇeˇren´ı je konzervativn´ı; poˇc´ıtá s nejhorˇs´ı moˇznou situac´ı, kdy by se seˇcetly projevy chyb ze vˇsech sedmi mˇeˇren´ı. Ve skuteˇcnosti se tyto chyby do uˇcité m´ıry vzájemnˇe vyruˇs´ı. Pokud bychom znali rozdˇelen´ı namˇeˇren´ ych hodnot, bylo by moˇzné spoˇc´ıtat interval, ve kterém se s urˇcenou pravdˇepodobnost´ı bude v´ ysledn´ y moment setrvaˇcnosti nacházet.

7.3. N´ avrh r´ amu umoˇ zn ˇ uj´ıc´ıho kmit´ an´ı vlastn´ımi kmity Pro potˇreby mˇeˇren´ı moment˚ u setrvaˇcnosti byl vyroben stojan a tˇri r˚ uzné rámy slouˇz´ıc´ı ke k´ yván´ı mˇeˇrené souˇcásti. Na obrázku 7.1 je vidˇet stojan a prvn´ı verze rámu2 . Rám je podepˇren ve dvou bodech na ostr´ ych hrotech – pozice 1. Osu, okolo které se rám k´ yve, tvoˇr´ı spojnice tˇechto dvou hrot˚ u. Hroty zapadaj´ı do mˇelké dráˇzky ve vodorovném rameni rámu (obr. 7.2). Polohu 2

R´ am proˇsel v pr˚ ubˇehu mˇeˇren´ı nˇekolika drobn´ ymi modifikacemi v konstrukci, pˇredevˇs´ım z d˚ uvodu optimalizace metody mˇeˇren´ı periody kyvu (kapitola 7.4).

33

´ ´ ˇNUJ ˇ ÍCÍHO KMITAN ´ Í VLASTNÍMI KMITY 7.3. NAVRH RAMU UMOZ

Obr. 7.1: Stojan a prvn´ı verze rámu.

Obr. 7.2: Detail – ostr´ y hrot stojanu zapadá do dráˇzky ve vodorovném rameni rámu. této dráˇzky lze zjistit systémem Tritop, coˇz umoˇzn ˇuje spoˇc´ıtat vzdálenost osy k´ yván´ı od tˇeˇziˇstˇe (viz dále). Mˇeˇrená souˇca´st je um´ıstˇena na vodorovnou ˇca´st rámu (pozice 2). Svislá odrazná plocha 3 slouˇz´ı k mˇeˇren´ı periody kyvu ultrazvukov´ ym mˇeˇriˇcem – viz kapitola 7.4. Pokusná mˇeˇren´ı ukázala, ˇze se tento rám hod´ı jen k mˇeˇren´ı tˇeles s velk´ ym momentem setrvaˇcnosti. Moment setrvaˇcnosti samotného rámu v˚ uˇci ose k´ yván´ı je velk´ y – u menˇs´ıch mˇeˇren´ ych tˇeles tak tvoˇr´ı hlavn´ı sloˇzku, která ovlivˇ nuje periodu kyvu dvojice tˇeleso + rám 34

´ ´ ˇNUJ ˇ ÍCÍHO KMITAN ´ Í VLASTNÍMI KMITY 7.3. NAVRH RAMU UMOZ

Obr. 7.3: Stojan, druhá verze rámu a pokusné mˇeˇrené tˇeleso – ocelové koleˇcko.

Obr. 7.4: Stojan a tˇret´ı verze rámu. Ve svorce je upevnˇeno mˇeˇrené tˇeleso, zde ocelové koleˇcko. 35

ˇ REN ˇ Í PERIODY KYVU 7.4. ME a vliv samotného mˇeˇreného tˇelesa z˚ ustává mal´ y. Nav´ıc vzdálenost tˇeˇziˇstˇe od osy k´ yván´ı tˇelesa um´ıstˇeného na tomto rámu obvykle dosahuje vysok´ ych hodnot, takˇze se ve vztahu 2 7.6 projevuje v´ıce ˇclen mt lt neˇz samotn´ y zmˇeˇren´ y moment setrvaˇcnosti Ito . Pˇri návrhu druhé verze rámu (obrázek 7.3) byl proto kladen d˚ uraz zejména na sn´ıˇzen´ı hmotnosti rámu (a t´ım i jeho momentu setrvaˇcnosti) a na co nejvˇetˇs´ı zkrácen´ı pˇredpokládané vzdálenosti tˇeˇziˇstˇe mˇeˇreného tˇelesa od osy k´ yván´ı. Jako materiál byly pouˇzity tenkostˇenné mosazné trubky. Rám se hod´ı pˇredevˇs´ım k mˇeˇren´ı mal´ ych souˇca´st´ı – je nutné zajistit, aby se tˇeˇziˇstˇe mˇeˇreného tˇelesa nacházelo pod osou k´ yván´ı; to lze v tomto pˇr´ıpadˇe zaruˇcit jen u málo rozmˇern´ ych tˇeles. Jako univerzáln´ı ˇreˇsen´ı, které vyhovuje vˇetˇsinˇe souˇca´st´ı uvaˇzovan´ ych v této práci, se proto ukázala tˇret´ı verze rámu. Bylo pˇristoupeno k ponˇekud odliˇsné koncepci (obr. 7.4). Mˇeˇrené tˇeleso nen´ı na rám pokládáno. Základ tvoˇr´ı rameno s profilem ve tvaru p´ısmene L, na které je upevnˇena svorka a opˇet svislá plocha slouˇz´ıc´ı k mˇeˇren´ı periody. Toto ˇreˇsen´ı má jednu zásadn´ı v´ yhodu – je zajiˇstˇeno, ˇze se tˇeˇziˇstˇe mˇeˇreného tˇelesa bude nacházet relativnˇe bl´ızko osy k´ yván´ı, nav´ıc má takov´ yto rám mal´ y moment setrvaˇcnosti. Jako materiál pro vodorovné rameno byla zvolena ocel a pro svislou odraznou desku dˇrevo kv˚ uli n´ızké hmotnosti.

7.4. Mˇ eˇ ren´ı periody kyvu Urˇcit pˇresnˇe periodu kyvu patˇr´ı mezi problémy, jejichˇz ˇreˇsen´ı bylo pro tuto práci kl´ıˇcové. V laboratorn´ıch podm´ınkách se nejˇcastˇeji perioda kyvu mˇeˇr´ı pomoc´ı stopek – zmˇeˇr´ıme dobu trván´ı nˇekolika kyv˚ u a následnˇe tuto dobu podˇel´ıme jejich poˇctem. Pˇresnost této metody je t´ım vyˇsˇs´ı, ˇc´ım v´ıce kyv˚ u takto zmˇeˇr´ıme. Pokud vˇsak budeme mˇeˇrit moment setrvaˇcnosti jako rozd´ıl momentu mˇeˇreného tˇelesa a setrvaˇcnosti rámu, potˇrebujeme znát periodu kyvu s pˇresnost´ı nejménˇe na tis´ıcinu sekundy; a stopkami této pˇresnosti obvykle doc´ılit nelze (z hlediska reprodukovatelnosti v´ ysledk˚ u), protoˇze se v mˇeˇren´ı projev´ı chyba lidského faktoru – prodleva reakce mˇeˇriˇce apod. Pro potˇreby této práce byly postupnˇe vypracovány tˇri metody slouˇz´ıc´ı k pˇresnému mˇeˇren´ı periody kyvu. Prvn´ı vyuˇz´ıvá principu optické závory. Druhá vycház´ı z mˇeˇren´ı pr˚ ubˇehu v´ ychylky kyvadla a prokládán´ı záznamu sinusovkou. Tˇret´ı vznikla jako optimalizace metody druhé, zohledˇ nuj´ıc pˇritom r˚ uzné pˇr´ıˇciny zp˚ usobuj´ıc´ı nepˇresnosti.

7.4.1. Optick´ a z´ avora Princip prvn´ı navrˇzené metody mˇeˇren´ı periody kyvu vycház´ı ze zmˇeny odporu fotorezistoru pˇri zmˇenˇe osvˇetlen´ı. Konkrétn´ı ˇreˇsen´ı ukazuje obrázek 7.5. K rámu3 je pˇripevnˇeno 3

Tato metoda byla zkouˇsena jen s prvn´ı verz´ı rámu.

36

ˇ REN ˇ Í PERIODY KYVU 7.4. ME

Obr. 7.5: Zaˇr´ızen´ı slouˇz´ıc´ı k mˇeˇren´ı periody kyvu – optická závora (1), ˇza´rovka (2) a fotorezistor (3).

Obr. 7.6: Záznam signálu z fotorezistoru v programu Audacity. st´ın´ıtko (pozice 1) na maximáln´ım moˇzném rameni od osy k´ yván´ı, a to tak, aby normála jeho plochy byla s touto osou rovnobˇeˇzná. V m´ıstˇe nulové u ´hlové v´ ychylky rámu je 4 um´ıstˇena ˇzárovka (pozice 2) a fotorezistor (pozice 3). St´ın´ıtko sv´ ym pohybem pˇri k´ yván´ı rámu fotorezistor zakr´ yvá a odkr´ yvá; signál se zmˇen´ı vˇzdy pˇri pr˚ uchodu hrany st´ın´ıtka prostorem mezi fotorezistorem a ˇzárovkou. Signál z fotorezistoru zaznamenává poˇc´ıtaˇc. K záznamu byla pouˇzita snadno dostupná mˇeˇric´ı karta – zvuková karta notebooku pracuj´ıc´ı s vzorkovac´ı frekvenc´ı 44,1 kHz – a program Audacity 5 . Typick´ y pr˚ ubˇeh namˇeˇreného signálu z fotorezistoru ukazuje graf na obrázku 7.6. Na vstupu zvukové karty b´ yvá um´ıstˇen kondenzátor, kter´ y eliminuje stejnosmˇernou ˇcást signálu – karta tak zaznamenává jen zmˇenu na vstupu, nikoli aktuáln´ı 4

Pozn. byl pouˇzit fotorezistor z kuliˇckové myˇsi. Program Audacity je urˇcen k editaci zvuku. Poˇc´ıtaˇc skuteˇcnˇe povaˇzuje signál pˇricházej´ıc´ı do zvukové karty za zvuk a jako s takov´ ym s n´ım i pracuje. 5

37

ˇ REN ˇ Í PERIODY KYVU 7.4. ME hodnotu; pro naˇsi potˇrebu to vˇsak nevad´ı. Signál z˚ ustává na konstantn´ı hodnotˇe, pokud je fotorezistor zast´ınˇen´ y nebo osv´ıcen´ y. V okamˇziku pˇrechodu signál prudce stoupne (resp. poklesne), coˇz se projev´ı jako ostr´ y extrém pr˚ ubˇehu signálu. Program Audacity um´ı nalézt ˇ ˇcasy extrém˚ u pˇr´ıkazem Beat Finder – viz ˇcervené praporky ve spodn´ı ˇca´sti grafu 7.6. Cas mezi jednotliv´ ymi extrémy pˇredstavuje periodu kyvu. Obvykle je odeˇcten ˇcas mezi v´ıce extrémy a podˇelen poˇctem odpov´ıdaj´ıc´ıch kyv˚ u. Bylo provedeno mˇeˇren´ı s c´ılem ovˇeˇrit spolehlivost metody. V tabulce 7.1 jsou hodnoty zmˇeˇrené periody samotného rámu (prvn´ı verze). ˇ mˇ C. eˇ ren´ı 1 2 3 4 5 6 7 8 Perioda/s 1,1684 1,17000 1,1673 1,1691 1,1595 1,1724 1,1681 1,1605 Tab. 7.1: Zmˇeˇrené periody pomoc´ı optické závory. Z hodnot byla vypoˇc´ıtána pr˚ umˇerná hodnota T = 1, 1669 s. Absolutn´ı chybu mˇeˇren´ı 6 m˚ uˇzeme odhadnout postupem, kter´ y je analogick´ y ke kapitole 4.6. Stˇredn´ı kvadratická chyba pr˚ umˇeru je rovna σ = 0, 00161. Pro pravdˇepodobnost P = 95 % a poˇcet mˇeˇren´ı n = 8 je student˚ uv souˇcinitel roven k = 2, 42 [20]. Absolutn´ı chyba tohoto postupu urˇcován´ı periody je tedy rovna ∆T = 2, 42 · σ = 0, 0039 s. Z hlediska vztahu 7.12 a porovnán´ım moˇznost´ı dalˇs´ıch d´ılˇc´ıch mˇeˇren´ı se ukázalo, ˇze tato metoda mˇeˇren´ı m˚ uˇze vyhovovat velk´ ym tˇeles˚ um, u kter´ ych milisekundová chyba nehraje roli. Pro potˇreby této práce vˇsak bylo nutné pˇristoupit k dalˇs´ım, pˇresnˇejˇs´ım postup˚ um.

7.4.2. Mˇ eˇ ren´ı u ´ hlov´ e v´ ychylky a prokl´ ad´ an´ı sinusovkou Tato metoda mˇeˇren´ı periody kyvu byla inspirována diplomovou prac´ı M. Volejn´ıka [26]. Volejn´ık mˇeˇr´ı periodu kyvu torzn´ıho kyvadla (poˇsiny urˇcené k mˇeˇren´ı momentu setrvaˇcnosti automobilu). Zaznamenává sn´ımaˇcem M-Box u ´hlové zrychlen´ı a pr˚ ubˇehem zmˇeˇrené hodnoty prokládá tlumenou sinusovku, jej´ıˇz periodu povaˇzuje za hledanou periodu vlastn´ıch kmit˚ u kyvadla. Pro potˇreby této práce tento postup vyhovuje jen ˇcásteˇcnˇe – sn´ımaˇc u ´hlového zrychlen´ı M-Box nelze vhodnˇe spojit s rámem kv˚ uli hmotnosti, kterou by ovlivˇ noval mˇeˇren´ı, nav´ıc by bylo obt´ıˇzné zajistit datové spojen´ı sn´ımaˇce s poˇc´ıtaˇcem. Proto bylo nutné zvolit jinou mˇeˇrenou veliˇcinu a jin´ y druh sn´ımaˇce. Téˇz existuje d˚ uleˇzit´ y rozd´ıl mezi k´ yván´ım torzn´ıho a fyzikáln´ıho kyvadla. Vˇsechny tyto detaily budou diskutovány dále v textu. Volba sn´ımaˇ ce Je nutné zvolit takov´ y sn´ımaˇc, kter´ y neovlivˇ nuje vlastn´ı kmitán´ı kyvadla. Nab´ızej´ı se tˇri moˇznosti – mˇeˇren´ı sn´ımaˇcem kapacitn´ım (pohyb kyvadla zp˚ usobuje zmˇenu plochy desek 6

Opˇet pˇredpokl´ ad´ ame, ˇze maj´ı zmˇeˇrené periody studentovo rozdˇelen´ı, coˇz samo o sobˇe nen´ı zaruˇceno.

38


Obr. 7.7: Sn´ımaˇc 945-LAY-AD-1C0 firmy Honeywell. kondenzátoru a t´ım i jeho kapacity, kterou mˇeˇr´ıme), optick´ ym (sn´ımaˇc mˇeˇr´ı rychlost pohybu na principu, kter´ y je podobn´ y jako u optické myˇsi PC) nebo ultrazvukov´ ym. ´ S ohledem na moˇznosti vybaven´ı laboratoˇr´ı UADI byl vybrán ultrazvukov´ y sn´ımaˇc 945-LAY-AD-1C0 firmy Honeywell (obr. 7.7). Vys´ılá ultrazvukové pulzy v kuˇzelovitém paprsku, které se odráˇzej´ı od c´ıle a vracej´ı se zpˇet. Z ˇcasové prodlevy mezi vyslán´ım pulzu a pˇr´ıjmem jeho odrazu sn´ımaˇc spoˇc´ıtá vzdálenost c´ıle od sn´ımaˇce a pˇrevede ji na v´ ystupn´ı napˇet´ı, které lze zaznamenávat poˇc´ıtaˇcem. K rámu, na kterém je um´ıstˇeno mˇeˇrené tˇeleso, je pˇripevnˇena vhodná odrazná plocha, která kmitá spoleˇcnˇe s rámem (viz napˇr. obrázek 7.1, pozice 3). Sn´ımaˇc sn´ımá mˇen´ıc´ı se vzdálenost odrazné plochy v pr˚ ubˇehu k´ yván´ı. Je proto vhodné, aby se tato plocha nacházela na maximáln´ım moˇzném polomˇeru od osy k´ yván´ı, coˇz vˇsak odporuje poˇzadavku co nejmenˇs´ıho momentu setrvaˇcnosti rámu. V´ ysledné ˇreˇsen´ı je urˇcit´ ym kompromisem – u tˇret´ı verze rámu je jako odrazná plocha volena u ´zká a zároveˇ n lehká dˇrevˇená liˇsta. D˚ uleˇzité technické parametry sn´ımaˇce [29]: mˇeˇric´ı rozsah 100–600 mm v´ ystupn´ı napˇet´ı 1–6 V pˇresnost ± 0,5 mm u ´hel paprsku 10◦ pracovn´ı teplota 0–50◦ C Uspoˇ r´ ad´ an´ı mˇ eˇ ric´ıho ˇ retˇ ezce Sn´ımaˇc byl propojen s rozboˇcovaˇcem, zdrojem napˇet´ı, sbˇernic´ı mˇeˇric´ı karty a kartou a pˇrenosn´ ym poˇc´ıtaˇcem – obr. 7.8. Pouˇzita byla 12bitová mˇeˇric´ı karta DAQCard-1200 firmy National Instruments se sbˇernic´ı zabudovanou do sbˇerné krabice. Uspoˇra´dán´ı mˇeˇren´ı ukazuje obrázek 7.9. Odrazná plocha 1 se k´ yve spolu s rámem a sn´ımaˇc 2 mˇeˇr´ı mˇen´ıc´ı se vzdálenost. Rozboˇcovaˇc 3 umoˇzn ˇuje zapojit v´ıce sn´ımaˇc˚ u a

Obr. 7.8: Schéma mˇeˇric´ıho ˇretˇezce. 39


Obr. 7.9: Uspoˇra´dán´ı mˇeˇren´ı. propojuje sn´ımaˇc se zdrojem napˇet´ı 4. Signál je pˇrivádˇen do sbˇerné krabice 5 obsahuj´ıc´ı sbˇernici mˇeˇric´ı karty, která data pˇrevád´ı z analogové podoby do digitáln´ı podoby a ukládá je do poˇc´ıtaˇce 6. Vzdálenost sn´ımaˇce 2 od odrazné plochy 1 je vhodné volit s rozmyslem. P. Majerech v diplomové práci [25] zjistil, ˇze v´ ystup sn´ımaˇce nen´ı zcela lineárn´ı pro vˇsechny vzdálenosti – pˇri pouˇzit´ı 12voltového zdroje napˇet´ı (m´ısto doporuˇceného 19–30voltového) se pásmo lineárn´ı odezvy nacház´ı v rozmez´ı 150–550 mm, ve zbytku rozsahu udávaného v´ yrobcem se objevuje nepˇresnost. Linearita odezvy je v´ yhodná pˇredevˇs´ım proto, aby bylo snazˇs´ı proloˇzit signál vhodnou kˇrivkou. Pro potˇrebu mˇeˇren´ı periody nemá pˇrepoˇcet hodnot na vzdálenost v´ yznam – zaj´ımá nás v´ yhradnˇe perioda signálu. Z toho d˚ uvodu budeme v dalˇs´ıch v´ ypoˇctech hledat pouze periodu signálu U [V ] = f (t) a nikoli l [mm] = f (t). Z´ aznam dat poˇ c´ıtaˇ cem K záznamu dat byl vytvoˇren program v prostˇred´ı systému LabView firmy National Instruments. Vznikl modifikac´ı ˇsablony DAQ High-speed Logger z archivu LabView. Pˇredn´ı panel v´ ysledné aplikace zobrazuje obrázek 7.10. Program zaznamenává 100 x za sekundu hodnotu napˇet´ı na vstupu mˇeˇric´ı karty a v´ ysledky zapisuje do zvoleného souboru ve formátu .txt. Pˇrednastavenou hodnotu sn´ımac´ı frekvence lze mˇenit; 100 Hz se vˇsak ukázalo b´ yt ideáln´ı.

40


Obr. 7.10: Pˇredn´ı panel aplikace v prostˇred´ı LabView. Zpracov´ an´ı v´ ysledk˚ u v programu Mathcad K zpracován´ı v´ ysledk˚ u byl vytvoˇren program v prostˇred´ı Mathcad. Jako základ poslouˇzil ˇ ast pr˚ program M. Volejn´ıka [26]. C´ ubˇehu typického signálu zaznamenaného programem LabView zobrazeného v Mathcadu ukazuje obrázek 7.11. ˇ sen´ım difeT´ımto zmˇeˇren´ ym signálem potˇrebujeme proloˇzit vhodnou kˇrivku. Reˇ renciáln´ı rovnice tlumeného kmitán´ı dostáváme vztah pro u ´hlovou v´ ychylku jako funkci ˇcasu: 2π −bt ϕ (t) = ϕm e sin t + ϕ0 + ϕs (7.21) T kde Am je poˇca´teˇcn´ı amplituda kmitán´ı, b souˇcinitel u ´tlumu, ω = 2π/T vlastn´ı u ´hlová frekvence (tlumeného) oscilátoru, T perioda, ϕ0 poˇca´teˇcn´ı v´ ychylka a ϕs stˇredn´ı hodnota v´ ychylky, o kterou je kmitán´ı posunuto v˚ uˇci poˇca´tku. Rovnici lze upravit na tvar: 2π −b (t+t0 ) ϕ (t) = ϕm e sin (t + t0 ) + ϕs (7.22) T Pokud rám idealizujeme jako fyzikáln´ı kyvadlo, lze jej povaˇzovat za tlumen´ y oscilátor, kter´ y je vztahem 7.22 vhodnˇe popsán. Prostˇrednictv´ım metody nejmenˇs´ıch ˇctverc˚ u se pokus´ıme zjistit parametry ϕm , t0 , b, T a ϕs . Metoda nejmenˇs´ıch ˇctverc˚ u se snaˇz´ı nalézt parametry tak, aby souˇcet druh´ ych mocnin chyb nalezeného ˇreˇsen´ı byl co nejmenˇs´ı [20]. Tzn.: X [f (ti , x1 , x2 , . . .) − yz (ti )]2 = min (7.23) i

41


Obr. 7.11: Ukázka zaznamenaného signálu – zobrazen´ı grafu v programu Mathcad. Na ose x je ˇc´ıslo zaznamenaného u ´daje a tedy i ˇcas v setinách sekundy, na ose y je napˇet´ı namˇeˇrené na sn´ımaˇci. kde f (ti , x1 , x2 , . . .) je funkce s hledan´ ymi parametry x1 , x2 , . . . a yz (ti ) je zmˇeˇrená hodnota hledané veliˇciny v ˇcase ti . V pˇr´ıpadˇe pouˇzit´ı rovnice 7.22 bude m´ıt metoda nejmenˇs´ıch ˇctverc˚ u tvar: 2 X 2π −b (ti +t0 ) (ti + t0 ) + ϕs − ϕz (ti ) = min (7.24) ϕm e sin T i V naˇsem pˇr´ıpadˇe vˇsak nemáme zmˇeˇrené hodnoty v´ ychylky ϕz , ale vzdálenosti, kterou poˇc´ıtaˇc zaznamenal jako pr˚ ubˇeh napˇet´ı. Zmˇeˇren´ y signál tedy máme v hodnotách napˇet´ı U a nam´ısto rovnice 7.24 pouˇzijeme vztah: 2 X 2π −b (ti +t0 ) (ti + t0 ) + Us − Uz (ti ) = min Um e sin (7.25) T i ve kterém hledáme parametry Um , t0 , b, T a Us prokládán´ım kˇrivky zmˇeˇren´ ymi hodnotami Uz (ti ). V programovém prostˇred´ı Mathcad poloˇz´ıme vztah 7.25 roven nule a hledáme parametry, které tomuto vztahu nejlépe vyhovuj´ı. Konkrétn´ı proveden´ı je vidˇet na obr. 7.12.

Obr. 7.12: V´ ypoˇcet – metoda nejmenˇs´ıch ˇctverc˚ u v programu Mathcad. 42


ˇ ast kˇrivky proloˇzené prostˇrednictv´ım metody nejmenˇs´ıch ˇctverc˚ ˇ Obr. 7.13: C´ u. Cerven´ e body pˇredstavuj´ı zmˇeˇrené hodnoty, modrá je proloˇzená sinusovka. Funkce Mathcadu Minerr pracuje na iteraˇcn´ım principu. Aby metoda nejmenˇs´ıch ˇctverc˚ u fungovala – tzn. aby v´ ysledek 7.25 konvergoval k minimu, je nutné zadat co nejpˇresnˇejˇs´ı odhady. Ukázka ˇreˇsen´ı tohoto problému je v pˇr´ıloze této práce. Byla provedena ˇrada mˇeˇren´ı, která mˇela za c´ıl ovˇeˇrit, do jaké m´ıry lze pouˇz´ıt takov´ yto postup. Na obrázku 7.13 je vidˇet ˇca´st zmˇeˇreného signálu (ˇcervenˇe) a odpov´ıdaj´ıc´ı proloˇzenou funkci (modˇre). Zmˇeˇrené hodnoty ukazuje tabulka 7.2. Jedná se o mˇeˇren´ı prázdného rámu7 za pokaˇzdé stejn´ ych podm´ınek s pouˇzit´ım v´ ypoˇctového postupu uvedeného na obr. 7.12. Z hodnot byla vypoˇc´ıtána pr˚ umˇerná hodnota T = 1, 1749 s. Stˇredn´ı kvadratická chyba pr˚ umˇeru je rovna σ = 0, 00069. Pro pravdˇepodobnost P = 95 % a poˇcet mˇeˇren´ı n = 8 je absolutn´ı chyba tohoto postupu rovna ∆T = 2, 42 · σ = 0, 0017 s ˇ mˇ 1 2 3 4 5 6 7 8 C. eˇ ren´ı Perioda/s 1,1763 1,1749 1,1772 1,1752 1,1716 1,1736 1,1731 1,1769 Tab. 7.2: Zmˇeˇrené periody pomoc´ı metody prokládán´ı sinusovky.

Diskuse nad z´ıskan´ ymi v´ ysledky V´ ysledky v tabulce 7.2 jsou pˇresnˇejˇs´ı neˇz v pˇr´ıpadˇe pouˇzit´ı metody optické závory (tabulka 7.1). I zde chyby jednotliv´ ych mˇeˇren´ı dosahuj´ı nˇekolika tis´ıcin sekundy. Bylo zjiˇstˇeno, ˇze je pouˇzit´ı této metody do urˇcité m´ıry omezené. Pokud provád´ıme mˇeˇren´ı signálu v delˇs´ım ˇcasovém u ´seku – déle neˇz cca 100 sekund, ukáˇze se, ˇze Mathcad nen´ı v takovém pˇr´ıpadˇe schopen namˇeˇren´ ymi hodnotami proloˇzit funkci ze vztahu 7.25 s dostateˇcnou pˇresnost´ı. Hodnoty proloˇzené kˇrivky a zmˇeˇreného signálu se zpravidla 7

Mˇeˇrena byla opˇet prvn´ı verze r´ amu, avˇsak v jiné modifikaci – nam´ısto st´ın´ıtka, potˇrebného pro metodu optické z´ avory, byla k r´ amu pˇripevnˇena odrazná deska kv˚ uli ultrazvukovému sn´ımaˇci. T´ım lze vysvˇetlit rozd´ıl v takto zmˇeˇren´ ych period´ ach oproti mˇeˇren´ı optickou závorou.

43


Obr. 7.14: Nepˇresnost proloˇzen´ı kˇrivky pˇri dlouhotrvaj´ıc´ım mˇeˇren´ı – zde 300 s. Zmˇeˇrené hodnoty jsou ˇcervenˇe, proloˇzená kˇrivka modˇre. V´ ysek vlevo ukazuje hodnoty v poˇca´tku mˇeˇren´ı (1–4 s), vpravo na konci téhoˇz mˇeˇren´ı (295–298 s). zaˇcnou s prodluˇzuj´ıc´ı se délkou mˇeˇren´ı rozcházet, a to jak co se t´ yˇce velikosti amplitudy, tak periody – viz obr. 7.14. Existuje proto d˚ uvodné podezˇren´ı, ˇze se pˇri mˇeˇren´ı projevuje nˇejaké d˚ uleˇzité zkreslen´ı, které je nutné zohlednit, a tedy ˇze v´ ysledky v tabulce 7.2 vzniklé proloˇzen´ım tlumené sinusovky nedávaj´ı smysl. Z tohoto d˚ uvodu bylo pˇrikroˇceno k optimalizaci v´ ypoˇcetn´ıch vztah˚ u a celé metody s c´ılem provést potˇrebné korekce a doc´ılit tak poˇzadované pˇresnosti.

7.4.3. Pr˚ ubˇ eh funkce τ = f (t) Séri´ı mˇeˇren´ı bylo zjiˇstˇeno, ˇze zmˇeˇren´ y signál nemá pˇresnˇe harmonick´ y charakter. Dvˇe po sobˇe následuj´ıc´ı maximáln´ı v´ ychylky nejsou v˚ uˇci sobˇe posunuty pokaˇzdé o stejnou dobu. Jinak ˇreˇceno perioda nen´ı po celou dobu mˇeˇren´ı konstantn´ı. Hovoˇrit o periodˇe tak zde jiˇz nen´ı pˇresné, protoˇze se v pr˚ ubˇehu mˇeˇren´ı mˇen´ı – vhodnˇejˇs´ı bude pouˇz´ıvat pro ˇcasov´ y interval mezi dvˇema maximáln´ımi v´ ychylkami pojem doba kyvu τ . Zmˇeˇrená hodnota doby kyvu se mˇen´ı podle toho, v kterém u ´seku zaznamenan´ ych hodnot ji poˇc´ıtáme – pokud proloˇz´ıme tlumenou sinusovku zmˇeˇren´ ymi hodnotami napˇr´ıklad v ˇcase 0–10 s, poté 50–60 s a nakonec 100–110 s (ze stejného mˇeˇren´ı), z´ıskáme pokaˇzdé jinou dobu kyvu, pˇriˇcemˇz prvn´ı bude nejvˇetˇs´ı a tˇret´ı nejmenˇs´ı. C´ılem dalˇs´ıho postupu je zjistit, jak´ ym zp˚ usobem se mˇen´ı hodnota okamˇzité doby kyvu τ bˇehem mˇeˇren´ı. Mˇeˇren´ı byla provádˇena v dlouhém ˇcasovém intervalu (300 a v´ıce sekund), pˇriˇcemˇz poˇca´teˇcn´ı v´ ychylka byla zámˇernˇe nastavena tak, aby se rám v poˇcátku k´ yval s v´ ychylkou ◦ vˇetˇs´ı neˇz obvykle poˇzadovan´ ych 5 . K´ yván´ı poté obvykle pokraˇcovalo aˇz prakticky do u ´plného zastaven´ı. Typick´ y tvar namˇeˇren´ ych hodnot ukazuje graf na obr. 7.15. Takov´ yto signál byl rozdˇelen do samostatn´ ych blok˚ u. Kaˇzd´ y blok má urˇcenou délku (v programu Mathcad pˇriˇrazujeme parametr delkauseku); obvykle 5, 10 nebo 20 sekund. Jednotlivé bloky se pˇrekr´ yvaj´ı o hodnotu parametru offset (nejˇcastˇeji 9 nebo 19 sekund, pˇr´ıpadnˇe bez pˇrekryt´ı). Celkem je takov´ ychto blok˚ u n (parametr pocetuseku), a to podle 44

Obr. 7.16: Rozdˇelen´ı zmˇeˇreného signálu do blok˚ u – zde 10sekundové bloky.

Obr. 7.15: Ukázka záznamu signálu u dlouhotrvaj´ıc´ıho mˇeˇren´ı – zde 300 s.


45


Obr. 7.17: Pr˚ ubˇeh okamˇzité doby kyvu τ v závislosti na ˇcase u mˇeˇren´ı trvaj´ıc´ıho 300 sekund. Zde delkauseku = 10 s, offset = 9 s a tedy krok = 1 s. celkové délky mˇeˇren´ı. Obrázek 7.16 ukazuje pˇr´ıklad takovéhoto rozdˇelen´ı s parametry delkauseku = 10 s, offset = 5 s, pocetuseku = 58. V kaˇzdém z takov´ ychto blok˚ u je proloˇzena tlumená sinusovka zvláˇst’ podle vztahu 7.25. Z´ıskáme soubor n hodnot τ = okamˇzit´ ych dob kyvu odpov´ıdaj´ıc´ıch n-tému u ´seku, které jsou od sebe vzdálené o ˇcas krok = delkauseku – offset. Záznam obvyklého pr˚ ubˇehu mˇenic´ı se hodnoty okamˇzité doby kyvu τ ukazuje obrázek 7.17. Na svislé ose je vidˇet hotnota okamˇzité doby kyvu τ , na vodorovné ose je ˇc´ıslo mˇeˇreného u ´seku, kter´ y pro pˇr´ıpad sekundového kroku odpov´ıdá ˇcasu v sekundách. Z grafu je vidˇet, ˇze hodnota τ klesá pˇribliˇznˇe exponenciálnˇe. Je nutné zjistit, co zp˚ usobuje takov´ yto pr˚ ubˇeh okamˇzité doby kyvu τ . Dále je potˇreba na základˇe tˇechto poznatk˚ u z namˇeˇren´ ych dat spoˇc´ıtat odpov´ıdaj´ıc´ı periodu kyvu ideáln´ıho fyzikáln´ıho kyvadla T0 , pˇr´ıpadnˇe potˇrebujeme zjistit, jak upravit postup mˇeˇren´ı, abychom tˇechto v´ ysledk˚ u dosáhli.

7.4.4. Pˇ r´ıˇ ciny nekonstantn´ıho pr˚ ubˇ ehu zmˇ eˇ ren´ eho τ R. Nelson a M. G. Olsson v [16] pˇredkládaj´ı pˇrehled d˚ uleˇzit´ ych korekc´ı, které je pˇri mˇeˇren´ı skuteˇcné periody kyvu (tzn. periody kyvu odpov´ıdaj´ıc´ı ideáln´ımu fyzikáln´ımu kyvadlu) potˇreba uvaˇzovat. Hledán´ı pˇresn´ ych matematicko-fyzikáln´ıch vztah˚ u, kter´ ymi se ˇr´ıd´ı pohyb skuteˇcného kyvadla, je aˇz neˇcekanˇe sloˇzit´ y problém. V dalˇs´ım textu budou popsány nejd˚ uleˇzitˇejˇs´ı faktory, které ovlivˇ nuj´ı mˇeˇren´ı periody kyvu podstatn´ ym zp˚ usobem a které maj´ı za d˚ usledek, ˇze doba kyvu z´ıskaná anal´ yzou zmˇeˇreného signálu nen´ı po celou dobu mˇeˇren´ı konstantn´ı, jak by odpov´ıdalo teorii.

46

ˇ REN ˇ Í PERIODY KYVU 7.4. ME Odchylka zp˚ usoben´ a nenulovou amplitudou Ve vztahu 3.18 jsme poloˇzili zjednoduˇsen´ı sinϕ = ϕ. To nám umoˇznilo zlinearizovat pohybovou diferenciáln´ı rovnici kyvadla 3.16. Ve skuteˇcnosti je doba kyvu skuteˇcného kyvadla funkc´ı amplitudy. Chyba zp˚ usobená uveden´ ym zjednoduˇsen´ım s klesaj´ıc´ı amplitudou ϕm klesá k nule [2]. Pˇresné ˇreˇsen´ı diferenciáln´ı rovnice fyzikáln´ıho kyvadla 3.16 vede na eliptický integr´ al, jehoˇz ˇreˇsen´ı rozvinut´ım v ˇradu urˇcuje vztah mezi okamˇzitou dobou kyvu τ a okamˇzitou amplitudou ϕm : Tento vztah je roven ([2], [24]): # " 2 2 1 ϕ 1 · 3 ϕ m m sin2 + sin4 + ... (7.26) τ (ϕm ) = T0 1 + 2 2 2·4 2 Jedná se o funkci, která s klesaj´ıc´ı amplitudou v´ ychylky ϕm konverguje k periodˇe T0 , coˇz je hodnota, která odpov´ıdá fyzikáln´ımu kyvadlu (bez uvaˇzován´ı dalˇs´ıch korekc´ı). Odchylka hodnot okamˇzité periody kyvu τ urˇcené podle vztahu 7.26 od hodnot urˇcen´ ych ◦ z obvykl´ ych zjednoduˇsen´ ych vztah˚ u je pro u ´hel ϕm = 5 rovna 0,05 %, coˇz pˇri periodách typick´ ych pro vˇetˇsinu mˇeˇren´ı (0,5–2 s) pˇredstavuje chybu 0,00025–0,001 s. Optimáln´ı by bylo amplitudu udrˇzovat v minimáln´ıch hodnotách; zmˇeˇren´ y signál je vˇsak do urˇcité m´ıry zat´ıˇzen ˇsumem, coˇz pˇri pˇr´ıliˇs mal´ ych amplitudách znemoˇzn´ı prokládán´ı sinusovkou. Odchylka zp˚ usoben´ a nelinearitou tlumen´ı Diferenciáln´ı rovnice ve tvaru 3.24 (resp. 3.25) a následná korekce ve tvaru rovnice 3.23 pˇredpokládaj´ı, ˇze je tlumen´ı pˇr´ımo u ´mˇerné okamˇzité rychlosti; z ˇcehoˇz vypl´ yvá, ˇze amplituda ϕm bude klesat exponenciálnˇe. Ve skuteˇcnosti se ukazuje, ˇze tomu tak nen´ı, exponenciáln´ı zmˇena amplitudy je pouze ideáln´ı pˇr´ıpad. Skuteˇcné tlumen´ı vzniká jako souˇcet ˇrady vliv˚ u (tˇren´ı v závˇesu, vzduˇsn´ y odpor. . . ) Souˇcinitel tlumen´ı proto nen´ı konstantn´ı, ale má charakter kombinace lineárn´ı a kvadratické sloˇzky okamˇzité rychlosti, coˇz se projev´ı tak, ˇze pokles amplitudy v pr˚ ubˇehu mˇeˇren´ı nen´ı exponenciáln´ı ([17], [18]), konstantn´ı nen´ı ani souˇcinitel u ´tlumu pouˇz´ıvan´ y ve vztahu pro korekci 3.23. Zmˇena amplitudy se bude rovnat [16]: dϕ0 = −αϕ0 − βϕ20 dt Odsud lze vyjádˇrit pr˚ ubˇeh amplitudy: αϕ ϕpoc e−αϕ (t+t0 ) ϕ0 (t) = βϕ ϕpoc (1 − e−αϕ (t+t0 ) ) + αϕ

(7.27)

(7.28)

kde ϕ0 (t) je pr˚ ubˇeh okamˇzité u ´hlové amplitudy v závislosti na ˇcase t, αϕ a βϕ jsou koeficienty lineárn´ı a kvadratické sloˇzky tlumen´ı a ϕpoc je amplituda v ˇcase t0 . Vztah lze pˇrepsat pro zmˇeˇrené hodnoty napˇet´ı: Um (t) =

αU Upoc e−αU (t+t0 ) βU Upoc (1 − e−αU (t+t0 ) ) + αU

(7.29) 47

ˇ REN ˇ Í PERIODY KYVU 7.4. ME s analogick´ ymi veliˇcinami Um (t), αU , βU a Upoc . Vliv této chyby na periodu bude mal´ y – ménˇe neˇz 0,0001 sekundy pro typické hodnoty. Linearita pˇredpokládaná ve vztahu 7.25 vˇsak zp˚ usob´ı, ˇze se tlumená sinusovka proloˇzená program Mathcad bude od skuteˇcn´ ych zmˇeˇren´ ych hodnot co se t´ yˇce okamˇzité amplitudy ponˇekud liˇsit. Odchylka zp˚ usoben´ a geometrick´ ymi vztahy a charakterem sn´ımaˇ ce Jako hlavn´ı faktor, kv˚ uli kterému má zmˇeˇrená doba kyvu τ obvykle pr˚ ubˇeh jako na obrázku 7.17, se ukázala b´ yt chyba zp˚ usobená charakterem pouˇzitého sn´ımaˇce a principem sn´ımán´ı. Pˇri hledán´ı periody bylo vycházeno z hodnot napˇet´ı Uz na sn´ımaˇci (viz str. 40). Avˇsak jak bude vysvˇetleno n´ıˇze, zmˇeˇrená hodnota napˇet´ı Uz nen´ı pˇr´ımo u ´mˇerná u ´hlové v´ ychylce ϕ. Doba kyvu τU takovéhoto zmˇeˇreného signálu tak nen´ı rovna dobˇe kyvu τϕ pr˚ ubˇehu u ´hlové v´ ychylky. Je proto nezbytné provést pˇr´ısluˇsné korekce. Sn´ımaˇc 945-LAY-AD-1C0 vys´ılá paprsek zvuku o vysoké frekvenci a mˇeˇr´ı ˇcas, za kter´ y se vrát´ı jeho odraz – na základˇe prodlevy mezi vyslán´ım a pˇr´ıjmem spoˇc´ıtá vzdálenost od sn´ımaˇce a pˇrevede na napˇet´ı. Zásadn´ı v´ yznam má skuteˇcnost, ˇze sn´ımaˇc sn´ımá odraz v urˇcitém u ´hlu [29] – vyˇsle paprsek v kuˇzelu o ˇs´ıˇrce 10◦ a urˇc´ı vzdálenost prvn´ıho pˇredmˇetu, od kterého se paprsek odraz´ı. Na obrázku 7.18 je vidˇet schéma, jak vypadá situace v naˇsem pˇr´ıpadˇe. Rám je zde modelován jako odrazná deska k´ yvaj´ıc´ı se s amplitudou ϕ0 a s okamˇzitou v´ ychylkou ϕ. V ideáln´ım pˇr´ıpadˇe by sn´ımaˇc mˇeˇril pr˚ ubˇeh vzdálenosti v ose sn´ımaˇce – tedy v´ ychylku na u ´seˇcce A–A’. Vyslan´ y paprsek se vˇsak od odrazné desky neodraz´ı v bodˇe leˇz´ıc´ım na u ´seˇcce A–A’, ale v m´ıstˇe, které má v danou chv´ıli od sn´ımaˇce nejmenˇs´ı vzdálenost. Takové m´ısto bude leˇzet na pˇr´ımce, která procház´ı sn´ımaˇcem a je kolmá na rovinu odrazné desky.

B

ϕ B

O A

A'

O A

ϕ0

kt

S

A'

ϕ

B' B' Obr. 7.18: Schéma geometrické korekce. Sn´ımaˇc nezaznamenává v´ ychylku na u ´seˇcce A– A’, ale vzdálenost bodu O pohybuj´ıc´ıho se po trajektorii B–B’.

48


kL

ϕ h

kt

S O

ϕ L0 Obr. 7.19: Schéma geometrické korekce – d˚ uleˇzité rozmˇery. Tento bod odrazu O se pohybuje po ˇcásti Thaletovy kruˇznice kt . Na obr. 7.18 je ˇcervenou barvou zobrazena trajektorie bodu odrazu (z bodu B do bodu B’) v pr˚ ubˇehu jednoho kmitu s amplitudou ϕ0 . Skuteˇcn´ y pr˚ ubˇeh v´ ychylky mˇeˇren´ y na u ´seˇcce A–A’ by mˇel tvar 8 modré sinusovky; signál ze sn´ımaˇce vˇsak má (pˇribliˇznˇe ) tvar zobrazen´ y ˇcervenou kˇrivkou. Takov´ yto signál nen´ı harmonick´ y – nekmitá okolo stále stejné stˇredn´ı hodnoty a pˇredevˇs´ım se doba kyvu tohoto signálu mˇen´ı s mˇen´ıc´ı se amplitudou ϕ0 . Podle této u ´vahy nám sn´ımaˇc ve skuteˇcnosti urˇcuje vzdálenost, ve které se nacház´ı bod odrazu O od sn´ımaˇce, a nikoli vzdálenost na pˇr´ımce A–A’. Jak je vidˇet z obrázku 7.19, bod O se nacház´ı na pr˚ useˇc´ıku Thaletovy kruˇznice kt (se stˇredem v polovinˇe u ´seˇcky spojuj´ıc´ı sn´ımaˇc a osu k´ yván´ı) a kruˇznice kL , která má stˇred v sn´ımaˇci a polomˇer zmˇeˇrenou hodnotu vzdálenosti Lz . Pokud bychom znali hodnoty h (v´ yˇska osy k´ yván´ı nad osou sn´ımaˇce) a L0 (vzdálenost stˇredn´ı hodnoty, okolo které bude signál kmitat), bylo by moˇzné ze zmˇeˇrené hodnoty Lz zjistit polohu bodu O jakoˇzto pr˚ useˇc´ık zm´ınˇen´ ych dvou kruˇznic a následnˇe triviáln´ım zp˚ usobem dopoˇc´ıtat u ´hlovou v´ ychylku ϕ. Hledaná perioda by v takovém pˇr´ıpadˇe byla zjiˇstˇena prokládán´ım sinuovky pˇrepoˇc´ıtatn´ ym pr˚ ubˇehem ϕ(t) = f (Uz (t)). Jak bude vysvˇetleno dále, skuteˇcnost je ponˇekud sloˇzitˇejˇs´ı a takto urˇcené vztahy neplat´ı zcela pˇresnˇe9 . Dalˇ s´ı faktory ovlivˇ nuj´ıc´ı periodu Mezi dalˇs´ı faktory, které ovlivˇ nuj´ı periodu kyvu, patˇr´ı korekce odstraˇ nuj´ıc´ı vliv vztlaku vzduchu a korekce poˇc´ıtaj´ıc´ı s pˇridanou hmotnost´ı (added mass) odpov´ıdaj´ıc´ı vzduchu 8

V pravo´ uhl´ ych souˇradnic´ıch nen´ı moˇzné pr˚ ubˇeh znázornit jako záznam pr˚ uvodiˇce; ˇcervená kˇrivka na obr´ azku 7.18 je proto jen pˇribliˇzn´ a. 9 Pozn.: Bylo skuteˇcnˇe realizov´ ano mˇeˇren´ı, jehoˇz c´ılem bylo ovˇeˇrit tento postup – k dalˇs´ı anal´ yze bylo pˇristoupeno poté, co se uk´ azalo, ˇze takov´ yto postup k dostateˇcné pˇresnosti nevede.

49

ˇ REN ˇ Í PERIODY KYVU 7.4. ME proud´ıc´ımu spolu s k´ yvaj´ıc´ı se souˇcást´ı. Tyto a dalˇs´ı vlivy, podrobnˇe vysvˇetlené v [16], nebyly pˇri mˇeˇren´ı periody kyvu uvaˇzovány. Dalˇs´ı chyba m˚ uˇze b´ yt zp˚ usobená nedokonalou tuhosti rámu a stojanu. Rám, stojan ani odrazná plocha nejsou zcela tuhé a pohybová rovnice 3.24 tento vliv nezahrnuje. Je proto vhodné zajistit, aby byly v pr˚ ubˇehu mˇeˇren´ı deformace rámu pokud moˇzno co nejmenˇs´ı – zejménˇe z hlediska jeho konstrukce.

7.4.5. Optimalizovan´ a metoda mˇ eˇ ren´ı periody Na základˇe v´ yˇse uveden´ ych poznatk˚ u byla optimalizována metoda mˇeˇren´ı. Pˇri v´ ypoˇctech geomterické korekce prostˇrednictv´ım hledán´ı pr˚ uniku kruˇznice kL a Thaletovy kruˇznice kT se vˇsak vyskytl dalˇs´ı problém. Sn´ımaˇc 945-LAY-AD-1C0 urˇcit´ ym zp˚ usobem zohledˇ nuje smˇer, ze kterého pˇricház´ı odraz, resp. preferuje odraz nacházej´ıc´ı se bl´ıˇze ose sn´ımaˇce oproti odrazu pobl´ıˇz okraje vys´ılaného paprsku – sn´ımaˇc vys´ılá paprsek ve smˇeru osy a je proto zˇrejmé, ˇze i odraz tohoto signálu bude m´ıt ve smˇeru osy sn´ımaˇce vˇetˇs´ı intenzitu neˇz v okrajové oblasti. Tato skuteˇcnost zp˚ usob´ı, ˇze ani v´ ypoˇcet popsan´ y v kapitole 7.4.4 nevede k c´ıli – periody kyvu z´ıskané prokládán´ım sinusovky pˇrepoˇc´ıtan´ ym pr˚ ubˇehem ϕ(t) se pˇri opakovaném mˇeˇren´ı navzájem liˇsily o nˇekolik tis´ıcin sekundy; pro naˇse potˇreby je vˇsak nezbytné doc´ılit pˇresnosti vyˇsˇs´ı. Poˇzadované pˇresnosti bylo po sérii experiment˚ u doc´ıleno prostˇrednictv´ım jednoduchého zaˇr´ızen´ı – válcového st´ınidla, zobrazeného na obrázku 7.20. Toto st´ınidlo zmenˇsuje u ´hel vys´ılaného paprsku – jak je zˇrejmé z obrázku 7.21, bude m´ıt tento nov´ yu ´hel velikost ψs = arctan(Φm /2Lm ). Od uˇcité velikosti vzdálenosti Lm jiˇz nen´ı sn´ımaˇc schopn´ y rozpoznat c´ıl a mˇeˇrit vzdálenost, maximáln´ı hodnota Lm b´ yvá obvykle cca 200 mm. Pro . pr˚ umˇer Φm = 20 mm a vzdálenost Lm = 200 mm vycház´ı u ´hel ψs = 2, 86◦ = 3◦ . Mˇeˇren´ı bude uspoˇra´dáno tak, aby byla osa sn´ımaˇce orientována v˚ uˇci odrazné desce ◦ rámu (v klidové poloze) s u ´hlem r˚ uzn´ ym od 90 , jak ukazuje obr. 7.22. Pokud by byl sn´ımaˇc orientován s u ´hlem 90◦ , mˇeˇril by sn´ımaˇc vzdálenost na kˇrivce B–B’ (ne zcela pˇresnˇe,

trubka pěnový materiál

snímač

Obr. 7.20: Válcové st´ınidlo – ultrazvukov´ y sn´ımaˇc je um´ıstˇen uvnitˇr. Pˇenov´ y materiál omezuje neˇza´douc´ı odrazy ultrazvukového signálu.

50


Φm

ψ0

ψs Lm

´ Obr. 7.21: Uhel vys´ılaného paprsku s pouˇzit´ım válcového st´ınidla. jak bylo vysvˇetleno v´ yˇse). Sn´ımaˇc vych´ yl´ıme o u ´hel ζ, aby paprsek (omezen´ y válcov´ ym st´ınidlem) kˇrivku B–B’ m´ıjel10 . Sn´ımaˇc bude mˇeˇrit vzdálenost nejbliˇzˇs´ıho bodu, na kter´ y paprsek naraz´ı – v tomto pˇr´ıpadˇe to bude bod leˇz´ıc´ı na pˇr´ımce vzniklé omezen´ım paprsku hranou st´ınidla. Ta je odklonˇena o u ´hel β. Sn´ımaˇc pˇri takovémto uspoˇra´dán´ı bude mˇeˇrit vzdálenost bodu leˇz´ıc´ıho na u ´seˇcce C–C’. Tu lze se znalost´ı u ´hlu β pˇrepoˇc´ıtat goniometrick´ ymi funkcemi tak, abychom z´ıskali pr˚ ubˇeh v´ ychylky na pˇr´ımce A–A’. Pˇrepoˇc´ıtan´ ym signálem lze v´ yˇse uveden´ ym postupem prokládat sinusovku a urˇcit tak periodu kyvu. ´ Uhel β nesm´ı b´ yt vˇetˇs´ı neˇz 10◦ – pro vˇetˇs´ı u ´hly sn´ımaˇc jiˇz nen´ı schopen zachytit ´ odraˇzen´ y paprsek a tedy i mˇeˇrit vzdálenost, jak je vysvˇetleno v [29]. Uhel β vˇsak zároveˇ n mus´ı b´ yt natolik velk´ y, aby sn´ımaˇc mˇeˇril vzdálenost skuteˇcnˇe na u ´seˇcce C–C’ – tzn. aby se neprojevila vlastnost sn´ımaˇce, kv˚ uli které preferuje pˇredmˇety v bl´ızkosti osy sn´ımaˇce.

ϕ0 ψs

C B

C'

A

A'

ζ

β

B' Obr. 7.22: Princip optimalizované metody mˇeˇren´ı periody – odklonˇen´ı osy sn´ımaˇce. 10

Poloha bod˚ u B a B’ je urˇcena okamˇzitou amplitudou ϕ0 , je tedy nutné uvaˇzovat poˇcáteˇcn´ı amplitudu ϕpoc , aby paprsek m´ıjel kˇrivku B-B’ po celou dobu mˇeˇren´ı.

51

ˇ REN ˇ Í PERIODY KYVU 7.4. ME Pˇ resnost optimalizovan´ e metody Byla provedeno mˇeˇren´ı periody kyvu souˇca´sti s c´ılem ovˇeˇrit pˇresnost této metody. Tabulka 7.3 ukazuje zmˇeˇrené hodnoty periody pˇri pouˇzit´ı této metody. Uspoˇra´dán´ı mˇeˇren´ı (tzn. u ´hel odklonˇen´ı sn´ımaˇce ζ, vzdálenost sn´ımaˇce od odrazné desky L0 a m´ıru zast´ınˇen´ı ˇs´ıˇrky paprsku danou u ´hlem ψ) bylo voleno náhodnˇe, aby se ve v´ ysledc´ıch tento pˇr´ıpadn´ y náhodn´ y vliv projevil. Jedná se o mˇeˇren´ı periody kyvu tˇret´ı verze rámu. ˇ mˇ 1 2 3 4 5 6 7 8 C. eˇ ren´ı Perioda/s 1,1651 1,1658 1,1647 1,1659 1,1669 1,1655 1,1647 1,1670 Tab. 7.3: Zmˇeˇrené periody pomoc´ı optimalizované metody mˇeˇren´ı ultrazvukov´ ym sn´ımaˇcem. Z tˇechto hodnot byla spoˇc´ıtána pr˚ umˇerná hodnota T = 1, 1657 s. Stˇredn´ı kvadratická chyba pr˚ umˇeru je rovna σ = 0, 00032 s. Pro pravdˇepodobnost P = 95 % a poˇcet . mˇeˇren´ı n = 8 je absolutn´ı chyba vypoˇctené hodnoty rovna ∆T = 2, 42 · σ = 0, 00076 s = 0, 0008 s. Takováto pˇresnost pro u ´ˇcely této práce postaˇcuje. Prostˇrednictv´ım postupu popsaného na stranˇe 46 byl zjiˇstˇeno, zda a jak se mˇen´ı okamˇzitá doba kyvu τ v pˇr´ıpadˇe, ˇze postupujeme zde uveden´ ym optimalizovan´ ym postupem. Typick´ y pr˚ ubˇeh pr˚ ubˇehu τ (t) v takovém pˇr´ıpadˇe ukazuje obrázek 7.23. V poˇca´tku signálu je vidˇet urˇcit´ y pokles okamˇzité doby kyvu, od urˇcitého okamˇziku (zde cca 60. sekunda mˇeˇren´ı) z˚ ustává pˇribliˇznˇe konstantn´ı. Ke konci mˇeˇren´ı (zde cca od 140. sekundy) se projevuje vliv zaˇsumˇen´ı signálu – Mathcad jiˇz nen´ı schopen proloˇzit signálem tlumenou sinusovku dostateˇcnˇe pˇresnˇe, a tak se projev´ı urˇcité roztˇresen´ı okamˇzité doby kyvu. Toto roztˇresen´ı je ve stˇredn´ı ˇcásti (60–140 s) pˇrijatelnˇe malé, proto je nejvhodnˇejˇs´ı prokládat sinusovku právˇe v této stˇredn´ı ˇca´sti. D˚ uleˇzit´ y rozd´ıl pr˚ ubˇehu 7.23 oproti 7.17 spoˇc´ıvá v tom, ˇze se hodnota τ u optimalizované metody pohybuje (od urˇcitého okamˇziku) okolo stále stejné hodnoty – a neklesá jako v pˇr´ıpadˇe 7.17.

Obr. 7.23: Pr˚ ubˇeh okamˇzité doby kyvu τ u optimalizované metody.

52

ˇ REN ˇ Í VZDALENOSTI ´ ˇ ZI ˇ ST ˇ E ˇ OD OSY KYV ´ AN ´ Í 7.5. ME TE

7.5. Mˇ eˇ ren´ı vzd´ alenosti tˇ eˇ ziˇ stˇ e od osy k´ yv´ an´ı Ve vztahu 7.7 figuruj´ı tˇri délkové veliˇciny – lr (vzdálenost tˇeˇziˇstˇe rámu od osy k´ yván´ı), lt (vzdálenost tˇeˇziˇstˇe mˇeˇreného tˇelesa od osy k´ yván´ı) a lc (vzdálenost tˇeˇziˇstˇe dvojice rám + mˇeˇrené tˇeleso od osy k´ yván´ı). Pˇri mˇeˇren´ı momentu setrvaˇcnosti je nezbytné tyto tˇri hodnoty zjistit s dostateˇcnou pˇresnost´ı. K tomuto u ´ˇcelu opˇet poslouˇz´ı fotogrammetrick´ y systém Tritop. Vˇsechny tˇri pouˇz´ıvané rámy (obr. 7.1, 7.3 a 7.4) obsahuj´ı d˚ uleˇzit´ y spoleˇcn´ y prvek – vodorovné rameno, které má na svém povrchu mˇelké dráˇzky, do kter´ ych zapadaj´ı ostré hroty stojanu. Postup, kter´ y bude uveden dále, se vztahuje ke tˇret´ı verzi rámu (obr. 7.4), principiálnˇe by jej vˇsak bylo moˇzné s drobn´ ymi modifikacemi pouˇz´ıt i u pˇredchoz´ıch dvou verz´ı. Mˇeˇren´ı lt i lr je zaloˇzené na stejném principu. Oproti tomu zjiˇst’ován´ı lc je odliˇsné – bude urˇceno v´ ypoˇctem.

7.5.1. Vzd´ alenost tˇ eˇ ziˇ stˇ e r´ amu od osy k´ yv´ an´ı – lr S rámem byl spojen souˇradn´ y systém – tak, jak je vidˇet na obrázku 7.24. V tomto pˇr´ıpadˇe nen´ı podstatné, jak´ ym zp˚ usobem je souˇradn´ y systém s rámem spojen – jde nám v´ yhradnˇe o relativn´ı vzdálenosti. V˚ uˇci tomuto souˇradnému systému byla urˇcena poloha tˇeˇziˇstˇe metodou zavˇeˇsen´ı popsanou v kapitole 4. Souˇradnice polohy tˇeˇziˇstˇe rámu v˚ uˇci danému souˇradnému systému se rovnaj´ı: rx = 140, 234 mm ry = 19, 363 mm rz = 5, 813 mm

(7.30)

Odpov´ıdaj´ıc´ı stˇredn´ı kvadratická chyba σ = 0, 027 mm. Pro pravdˇepodobnost P = 95 % . a poˇcet mˇeˇren´ı n = 5 je polomˇer koule pˇresnosti Rp = 0, 076 mm. Nyn´ı je nutné k tomuto souˇradnému systému urˇcit rovnici osy k´ yván´ı. Vzhledem k tomu, ˇze byla dráˇzka ve vodorovném rameni, do n´ıˇz zapadaj´ı ostré hroty stojanu, vyro-

Obr. 7.24: Souˇradn´ y systém spojen´ y s rámem a odpov´ıdaj´ıc´ı poloha tˇeˇziˇstˇe. 53

ˇ REN ˇ Í VZDALENOSTI ´ ˇ ZI ˇ ST ˇ E ˇ OD OSY KYV ´ AN ´ Í 7.5. ME TE

l1 boční plocha

spodní plocha Obr. 7.25: Rameno rámu – pohled ze smˇeru osy k´ yván´ı. bena tak, aby tvoˇrila po celé délce ramena jednu pˇr´ımku, lze tuto dráˇzku povaˇzovat právˇe za hledanou osu k´ yván´ı. Geometrick´ y popis ramena ukazuje obrázek 7.25. Rameno má profil ve tvaru p´ısmene L. Dráˇzka, nacházej´ıc´ı se ve spodn´ı ploˇse, je rovnobˇeˇzná s boˇcn´ı plochou a leˇz´ı ve vzdálenosti l1 . Spodn´ı i boˇcn´ı plocha jsou oznaˇceny nekódovan´ ymi referenˇcn´ımi body. Systémem Tritop je zjiˇstˇena jejich poloha a následnˇe je body leˇz´ıc´ımi na boˇcn´ı ploˇse proloˇzena boˇcn´ı rovina a body leˇz´ıc´ımi na spodn´ı ploˇse je proloˇzena spodn´ı rovina 11 – viz obr. 7.26. Ve vzdálenosti l1 od takto vzniklé boˇcn´ı roviny vytvoˇr´ıme rovnobˇeˇznou osovou rovinu 12 . Hledaná osa k´ yván´ı je pr˚ useˇcnic´ı13 spodn´ı a osové roviny.

Obr. 7.26: Vysvˇetlen´ı postupu hledán´ı osy k´ yván´ı – prokládán´ı rovin v systému Tritop. 11

Pˇr´ıkazem Primitives – Plane – Best-Fit Plane. Pˇr´ıkazem Primitives – Plane – Parallel Plane. 13 Pˇr´ıkaz Primitives – Line – Intersection Line. 12

54

ˇ REN ˇ Í VZDALENOSTI ´ ˇ ZI ˇ ST ˇ E ˇ OD OSY KYV ´ AN ´ Í 7.5. ME TE Nyn´ı jiˇz Tritop zná polohu osy k´ yván´ı i polohu tˇeˇziˇstˇe v˚ uˇci souˇradnému systému. V tˇeˇziˇsti vytvoˇr´ıme bod Point teziste pˇr´ıkazem Primitives – Point – Point se souˇradnicemi dan´ ymi rovnicemi 7.30. Vzdálenost tohoto bodu od osy k´ yván´ı urˇc´ıme pˇr´ıkazem Dimensions – Distances – Projected-Point Distance. Vzdálenost osy k´ yván´ı (tzn. dráˇzky ve spodn´ı ploˇse vodorovného ramena rámu) od . tˇeˇziˇstˇe rámu je pro pˇr´ıpad zde uvaˇzovaného rámu rovna lr = 19, 45 mm. Pro potˇreby urˇcen´ı vzdálenosti lc , tzn. vzdálenosti tˇeˇziˇstˇe dvojice rám + tˇeleso od osy k´ yván´ı, potˇrebujeme jeˇstˇe urˇcit u ´hel αr – u ´hel mezi spodn´ı rovinou a u ´seˇckou spojuj´ıc´ı osu k´ yván´ı s tˇeˇziˇstˇem (bude vysvˇetleno v kapitole 7.5.3). Schéma ukazuje obrázek 7.27. V systému Tritop vytvoˇr´ıme rovinu pohledu, která je kolmá na osu k´ yván´ı a procház´ı 14 15 tˇeˇziˇstˇem . Dále vytvoˇr´ıme u ´seˇcku BT , která spojuje tˇeˇziˇstˇe s pr˚ useˇc´ıkem osy a roviny 16 pohledu . Pˇr´ımka p vznikne jako pr˚ useˇcnice roviny pohledu a spodn´ı roviny. Hledan´ yu ´hel αr zjist´ıme pˇr´ıkazem Dimensions – Angles – Line-Line Angle jakoˇzto u ´hel mezi pˇr´ımkou pau ´seˇckou BT . Pro pˇr´ıpad tˇret´ı verze rámu je hodnota αr rovna αr = 94, 9◦ .

rovina pohledu

spodní rovina

p

αr

B T

Obr. 7.27: Schéma zjiˇst’ován´ı u ´hlu αr .

7.5.2. Vzd´ alenost tˇ eˇ ziˇ stˇ e mˇ eˇ ren´ eho tˇ elesa od osy k´ yv´ an´ı – lt Postup je obdobn´ y jako v pˇredchoz´ı kapitole. S mˇeˇrenou souˇca´st´ı spoj´ıme souˇradn´ y systém a nejprve v˚ uˇci nˇemu zjist´ıme metodou popsanou v kapitole 4 souˇradnice polohy tˇeˇziˇstˇe. Poté tˇeleso um´ıst´ıme na rám a mˇeˇr´ıme periodu kyvu celku rám + tˇeleso (Tc ). Systémem Tritop urˇc´ıme k tomuto souˇradnému systému (spojenému se souˇcást´ı) polohu osy k´ yván´ı – stejn´ ym postupem, jako v pˇredchoz´ı kapitole. A protoˇze známe k tomuto souˇradnému systému polohu tˇeˇziˇstˇe souˇca´sti, m˚ uˇzeme opˇet pˇr´ıkazem Dimensions – Distances – Projected Point Distance zjistit hledanou vzdálenost tˇeˇziˇstˇe tˇelesa od osy k´ yván´ı – lt . 14

Pˇr´ıkaz Primitives – Plane – Point-Normal Plane. Pˇr´ıkazem Primitives – Line – Point-Point Line. 16 Pˇr´ıkaz Primitives – Point – Intersection Point.

15

55

ˇ REN ˇ Í VZDALENOSTI ´ ˇ ZI ˇ ST ˇ E ˇ OD OSY KYV ´ AN ´ Í 7.5. ME TE Analogicky k minulému pˇr´ıpadu urˇc´ıme u ´hel mezi spodn´ı rovinou rámu (obr. 7.27) au ´seˇckou spojuj´ıc´ı osu k´ yván´ı a tˇeˇziˇstˇe tˇelesa – z´ıskáme tak u ´hel αt , kter´ y vyuˇzijeme pˇri v´ ypoˇctu vzdálenosti lc . Pro potˇreby v´ ypoˇctu tenzoru setrvaˇcnosti je nakonec potˇreba urˇcit i dva body, které leˇz´ı na ose k´ yván´ı, abychom z nich mohli spoˇc´ıtat smˇerové kosiny. Uˇcin´ıme tak pˇr´ıkazem Primitives – Points – Points From Line. Z´ıskáme tak souˇradnice dvou bod˚ u, které definuj´ı osu k´ yván´ı.

7.5.3. Vzd´ alenost tˇ eˇ ziˇ stˇ e dvojice r´ am + mˇ eˇ ren´ e tˇ eleso od osy k´ yv´ an´ı – lc Zjistit polohu tˇeˇziˇstˇe rámu, se kter´ ym je spojena mˇeˇrená souˇca´st, lze v principu i postupem popsan´ ym v kapitole 4 a vzdálenost od osy k´ yván´ı lc m˚ uˇzeme zjistit analogicky k pˇredchoz´ım dvˇema pˇr´ıpad˚ um. Takov´ y postup má vˇsak nˇekolik nedostatk˚ u – souˇcást umist’ujeme na rám pˇri kaˇzdém mˇeˇren´ı jinak a bylo by nezbytné pokaˇzdé mˇeˇrit polohu tˇeˇziˇstˇe znovu, coˇz by velmi v´ yraznˇe prodlouˇzilo ˇcas potˇrebn´ y k mˇeˇren´ı (viz kapitola 7.5.5). Nav´ıc lze takov´ yto postup pouˇz´ıt jen v pˇr´ıpadˇe tˇret´ı verze rámu, resp. takového rámu, u kterého je souˇca´st s rámem pevnˇe spojena. Vzdálenost lc proto bude v´ yhodnˇejˇs´ı urˇcit v´ ypoˇctem. V pˇredchoz´ıch dvou kapitolách jsme zjistili vzdálenosti lt (vzdálenost tˇeˇziˇstˇe souˇcásti od osy k´ yván´ı), lr (vzdálenost rámu od osy k´ yván´ı) a u ´hly αr a αt , coˇz jsou u ´hly mezi spodn´ı rovinou rámu a u ´seˇckou spojuj´ıc´ı osu k´ yván´ı a tˇeˇziˇstˇe rámu, resp. tˇelesa. Vzdálenost lc odvod´ıme v pohledu ve smˇeru osy k´ yván´ı – viz obrázek 7.28. Tˇeˇziˇstˇe celku rám + mˇeˇrené tˇeleso bude leˇzet na spojnici tˇeˇziˇst’ obou samostatn´ ych ˇcást´ı ve vzdálenosti, která bude v opaˇcném pomˇeru hmotnost´ı.

x

αt

lr

αr

lt mr

y mt Obr. 7.28: Urˇcován´ı polohy tˇeˇziˇstˇe celku rám + mˇeˇrené tˇeleso (lc ).

56

ˇ REN ˇ Í VZDALENOSTI ´ ˇ ZI ˇ ST ˇ E ˇ OD OSY KYV ´ AN ´ Í 7.5. ME TE Polohu tˇeˇziˇstˇe a následnˇe vzdálenost od osy jsme urˇcovali pokaˇzdé v jiném souˇradném systému (u urˇcován´ı lr v souˇradném systému spojeném s rámem a lt v souˇradném systému spojeném s tˇelesem). Zavedeme proto nov´ y souˇradn´ y systém (x, y), jehoˇz poˇca´tek leˇz´ı na ose k´ yván´ı a osa y je kolmá na spodn´ı rovinu – viz obr. 7.28. Známé vzdálenosti lr a lt jsou potom vzdálenosti od poˇcátku tohoto souˇradného systému, u ´hly αr a αt se zobraz´ı jako u ´hel od osy x. Urˇc´ımˇe souˇradnice tˇeˇziˇstˇe rámu i souˇradnice tˇeˇziˇstˇe tˇelesa v˚ uˇci tomuto souˇradnému systému: Tt = [lt cos αt ; lt sin αt ] (7.31) Tr = [lr cos αr ; lr sin αr ]

(7.32)

Souˇradnice hledaného tˇeˇziˇstˇe urˇc´ıme na základˇe vztahu pro polohu tˇeˇziˇstˇe [10]: P mi r~i (7.33) r~t = i m Pro náˇs pˇr´ıpad dostaneme souˇradnice polohy tˇeˇziˇstˇe celku rám + mˇeˇrená souˇca´st: mt lt cos αt + mr lr cos αr mt lt sin αt + mr lr sin αr r~t = ; (7.34) mt + mr mt + mr a odsud hledanou hodnotu lc jako vzdálenost od poˇca´tku souˇradného systému: s 2 2 mt lt cos αt + mr lr cos αr mt lt sin αt + mr lr sin αr lc = + mt + mr mt + mr

(7.35)

7.5.4. Odhad chyby mˇ eˇ ren´ı vzd´ alenosti Abychom mohli urˇcit celkovou chybu mˇeˇren´ı vztahem 7.12, potˇrebujeme znát absolutn´ı chybu, se kterou jsme zjistili jednotlivé vzdálenosti.

l1 αt,r lt,r

Rt,r

Obr. 7.29: Urˇcen´ı chyby mˇeˇren´ı vzdálenosti. Pozn. polomˇer Rt,r je zámˇernˇe nˇekolikanásobnˇe zvˇetˇsen.

57

ˇ REN ˇ Í VZDALENOSTI ´ ˇ ZI ˇ ST ˇ E ˇ OD OSY KYV ´ AN ´ Í 7.5. ME TE Chybu mˇeˇren´ı lt a lr lze odhadnout v pohledu v normálové rovinˇe osy k´ yván´ı – obr. 7.29. Koule pˇresnosti polohy tˇeˇziˇstˇe (viz str. 23) se prom´ıtne jako kruh o polomˇeru Rt,r . Pro pˇr´ıpad mˇeˇren´ı vzdálenosti tˇeˇziˇstˇe rámu od osy k´ yván´ı je Rr = 0, 076 mm. Vzdálenost l1 na obrázku 7.25 byla urˇcena posuvn´ ym mˇeˇridlem, chyba mˇeˇren´ı je tedy ∆l1 = 0, 05 mm. Tato vzdálenost se do smˇeru vzdálenosti lt,r projev´ı jako ∆l1 cos αt,r . Pro velikost u ´hlu αr v pˇr´ıpadˇe tˇret´ı verze rámu je pr˚ umˇet této chyby do smˇeru lr roven ∆l1r = 0, 003 mm. Celková chyba mˇeˇren´ı vzdálenosti pro pˇr´ıpad lr tak bude rovna ∆lr = ∆l1r + r = 0, 003 mm + 0, 076 mm . ∆lr = 0, 08 mm

(7.36)

Stejn´ ym postupem odhadneme chybu mˇeˇren´ı pro pˇr´ıpad lt . Chyba vypoˇctené hodnoty lc byla odhadnuta jako souˇcet chyb ∆lc = ∆lr + ∆lt 17 . Velikost chyb se ukazuje b´ yt pˇrijatelnˇe malá pro vˇetˇsinu mˇeˇren´ ych souˇca´st´ı.

ˇ 7.5.5. Casov´ a n´ aroˇ cnost uveden´ eho postupu Uvaˇzujme, ˇze je k urˇcen´ı polohy tˇeˇziˇstˇe v˚ uˇci souˇradnému systému pˇri pouˇzit´ı metody popsané v kapitole 4 potˇreba provést 4–5 mˇeˇren´ı18 v systému Tritop. Pokud budeme urˇcovat hodnoty lr , lt a lc postupem popsan´ ym v této kapitole, je potˇreba k zjiˇstˇen´ı momentu setrvaˇcnosti k jedné ose provést: 1. 4–5 mˇeˇren´ı Tritopem k zjiˇstˇen´ı polohy tˇeˇziˇstˇe rámu v˚ uˇci souˇradnému systému spojenému s rámem a k zjiˇstˇen´ı lr (a αr ) 2. 4–5 mˇeˇren´ı k zjiˇstˇen´ı polohy tˇeˇziˇstˇe souˇcásti v˚ uˇci souˇradnému systému spojenému se souˇca´st´ı 3. 1 mˇeˇren´ı k zjiˇstˇen´ı lt a αt ; ze znám´ ych hodnot lze dopoˇc´ıtat vzdálenost lc Pokud bychom vzdálenost lc neurˇcovali v´ ypoˇctem, ale stejn´ ym postupem jako v pˇr´ıpadˇe lt a lr , potˇrebovali bychom i v tˇret´ım bodˇe nam´ısto jednoho provést 4–5 mˇeˇren´ı – kv˚ uli hledán´ı polohy tˇeˇziˇstˇe celku rám + mˇeˇrená souˇca´st. Jak bude popsáno v kapitole 9, budeme u jedné souˇca´sti provádˇet mˇeˇren´ı k nˇekolika osám (6 a v´ıce). Body 1 a 2 tak provedeme jen jednou, opakovat se bude pouze bod 3. Zjiˇst’ován´ı polohy lc v´ ypoˇctem nam´ısto mˇeˇren´ım v takovém pˇr´ıpadˇe velmi zkrát´ı ˇcas potˇrebn´ y k uskuteˇcnˇen´ı celého mˇeˇren´ı. Pro pˇr´ıpad mˇeˇren´ı tenzoru setrvaˇcnosti tˇehlice (kapitola 10) potˇrebujeme zde uveden´ ym postupem provést cca 4 + 4 + 9 · 1 = 17 mˇeˇren´ı v Tritopu. Pokud bychom vzdálenost lc nepoˇc´ıtali, ale pˇr´ımo mˇeˇrili, bylo by to 4 + 4 + 9 · 4 = 44. Zvolen´ y postup je tedy v´ yraznˇe rychlejˇs´ı. 17 18

Pozn. Tento odhad nen´ı zcela pˇresn´ y, pro prvotn´ı odhad chyby vˇsak dostaˇcuje. T´ım je m´ınˇeno nafotit jednu sadu fotografi´ı a provést v´ ypoˇcet v software Tritop.

58

ˇ REN ˇ Í HMOTNOSTI SOUC ˇ AST ´ Í 7.6. ME

7.6. Mˇ eˇ ren´ı hmotnosti souˇ c´ ast´ı Posledn´ımi veliˇcinami, které je nutné zadat do vztahu 7.7, jsou hmotnosti rámu mr a hmotnost mˇeˇreného tˇelesa mt . K jejich urˇcen´ı byly pouˇzity laboratorn´ı váhy. Hmotnost, kterou bylo potˇreba urˇcit, se pohybovala v rozmez´ı cca 0,2–8 kg. K dispozici byly váhy s r˚ uznou pˇresnost´ı a zejména r˚ uzn´ ym mˇeˇric´ım rozsahem. Proto bylo pro kaˇzdou souˇcást vˇzdy vybrána nejpˇresnˇejˇs´ı dostupná váha, která sv´ ym mˇeˇric´ım rozsahem dostaˇcovala. Byly pouˇz´ıvány dvˇe váhy – pro hmotnosti 0–5 kg digitáln´ı váha Eta 1770 a pro vyˇsˇs´ı hmotnosti (5–10 kg) váha Transporta 5567/II. Opˇet je nezbytné urˇcit absolutn´ı chybu mˇeˇren´ı, a to na základˇe manuálu a v´ yrobn´ıch ˇst´ıtk˚ u vah. Manuál váhy Eta 1770 uvád´ı pˇresnost mˇeˇren´ı (tedy chybu mˇeˇren´ı) ∆m = 0, 001 g. V´ yrobn´ı ˇst´ıtek váhy Transporta 5567/II. uvád´ı pˇresnost ∆m = 0, 002 g. Tyto hodnoty byly dosazovány do vztah˚ u 7.15 a 7.16 jakoˇzto hodnoty ∆mt a ∆mr .

59

8. Ovˇ eˇ ren´ı pˇ resnosti metody mˇ eˇ ren´ı momentu setrvaˇ cnosti Byla provedena mˇeˇren´ı, jejichˇz c´ılem bylo ovˇeˇrit, do jaké m´ıry se zmˇeˇrené hodnoty momentu setrvaˇcnosti shoduj´ı s teori´ı, aby bylo moˇzné odpovˇedˇet na otázku, zda metoda nen´ı zat´ıˇzená d˚ uleˇzitou systematickou chybou. Pro tyto potˇreby byla vybrána dvˇe modelová tˇelesa – ocelov´ y krouˇzek a ocelová koule.

8.1. Mˇ eˇ ren´ı momentu setrvaˇ cnosti ocelov´ eho krouˇ zku Jedná se o dut´ y válec (obr. 8.1) s vnˇejˇs´ım pr˚ umˇerem D = 75, 8 mm, vnitˇrn´ım pr˚ umˇerem d = 32 mm a v´ yˇskou v = 29, 5 mm. Krouˇzek byl um´ıstˇen na rám tak, aby jeho osa byla rovnobˇeˇzná s osou k´ yván´ı. Byly zmˇeˇreny vˇsechny hodnoty potˇrebné k tomu, abychom mohli vypoˇc´ıtat moment setrvaˇcnosti – viz tabulka 8.11 .

Obr. 8.1: Ocelov´ y krouˇzek slouˇz´ıc´ı k ovˇeˇren´ı pˇresnosti metody mˇeˇren´ı momentu setrvaˇcnosti. Mˇ eˇ ren´ a veliˇ cina

Symbol

Hodnota

Absolutn´ı chyba

Hmotnost rámu Hmotnost tˇelesa Vzdálenost tˇeˇziˇstˇe rámu od osy kyvu Vzdálenost tˇeˇziˇstˇe tˇelesa od osy kyvu Perioda kyvu samotného rámu Perioda kyvu dvojice rám + tˇeleso

mr mt lr lt Tr Tc

0,693 kg 0,843 kg 19,45 mm 47,75 mm 1,1657 s 0,7330 s

∆mr = 0,001 kg ∆mt = 0,001 kg ∆lr = 0,08 mm ∆lt = 0,05 mm ∆Tr = 0,0008 s ∆Tc = 0,0005 s

Tab. 8.1: Zmˇeˇrené hodnoty ocelového krouˇzku. 1

Tˇeˇziˇstˇe krouˇzku bylo uvaˇzov´ ano v jeho stˇredu; chyba ∆lt byla odhadnuta na základˇe pˇresnosti mˇeˇren´ı Tritopem [28].

60

ˇ REN ˇ Í MOMENTU SETRVACNOSTI ˇ ´ ˇ 8.1. ME OCELOVEHO KROUZKU Dále byla zmˇeˇrena velikost αt – u ´hlu mezi spodn´ı rovinou a u ´seˇckou spojuj´ıc´ı ◦ tˇeˇziˇstˇe souˇcásti (krouˇzku) s osou k´ yván´ı: αt = 89, 2 . Z pˇredchoz´ıch mˇeˇren´ı známe αr = ◦ 94, 8 . Vztahem 7.35 byla urˇcena vzdálenost lc = 34, 95 mm a odpov´ıdaj´ıc´ı chyba ∆lc = 0, 13 mm. Prostˇrednictv´ım vztahu 7.7 byla z hodnot Tc , Tr , mt , mr , lt a lr a lc spoˇc´ıtána velikost momentu setrvaˇcnosti v˚ uˇci ose rovnobˇeˇzné s osou k´ yván´ı, procházej´ıc´ı tˇeˇziˇstˇem: Its = 692, 87 · 10−6 kg m2

(8.1)

D˚ uleˇzité bude porovnán´ı s teoretick´ ymi hodnotami. Pro moment setrvaˇcnosti dutého válce v˚ uˇci ose válce plat´ı vztah: Iteor =

1 mt R2 + r2 2

(8.2)

Dosazen´ım R = 75, 8/2 mm a r = 32/2 mm z´ıskáme: Iteor = 713, 35 · 10−6 kg m2 Rozd´ıl teoretické a zmˇeˇrené hodnoty: ∆teor = |Iteor − Its | = 20, 48 · 10−6 kg m2 Procentuáln´ı pod´ıl ∆teor /Iteor je roven ∆teor = 2, 87 % Iteor Jak je vidˇet, teoretická a zmˇeˇrená hodnota momentu setrvaˇcnosti se do znaˇcné m´ıry shoduj´ı. Rozd´ıl mezi zmˇeˇrenou a teoretickou hodnotou momentu setrvaˇcnosti m˚ uˇze b´ yt mimo jiné zp˚ usoben skuteˇcnost´ı, ˇze osa válce nebyla pˇri mˇeˇren´ı zcela pˇresnˇe rovnobˇeˇzná s osou k´ yván´ı – toho nelze doc´ılit. I tak m˚ uˇzeme v´ ysledek povaˇzovat za pˇrijatelnˇe pˇresn´ y. Prostˇrednictv´ım vztah˚ u 7.12–7.19 byla stanovena absolutn´ı a relativn´ı chyba mˇeˇren´ı: ∆Its = 33, 87 · 10−6 kg m2

(8.3)

δIts = 4, 61 %

(8.4)

Relativn´ı chyba mˇeˇren´ı δIts je vˇetˇs´ı neˇz obvykle poˇzadovaná 3 %. Jak vˇsak bylo zm´ınˇeno, tento postup odhadu chyby mˇeˇren´ı je konzervativn´ı. U tˇeles s vˇetˇs´ım momentem setrvaˇcnosti se absolutn´ı chyba projev´ı menˇs´ı relativn´ı chybou – vˇetˇsina bˇeˇzn´ ych souˇcást´ı podvozk˚ u má moment setrvaˇcnosti dostateˇcnˇe velk´ y, takˇze se relativn´ı chyba mˇeˇren´ı bude pohybovat pod poˇzadovan´ ymi tˇremi procenty, jak bude ukázáno dále.

61

ˇ REN ˇ Í MOMENTU SETRVACNOSTI ˇ ´ KOULE 8.2. ME OCELOVE

8.2. Mˇ eˇ ren´ı momentu setrvaˇ cnosti ocelov´ e koule V pˇredchoz´ım pˇr´ıpadˇe byl krouˇzek spojen s rámem tak, aby jeho osa byla rovnobˇeˇzná s osou k´ yván´ı – to vˇsak nen´ı moˇzné zcela pˇresnˇe zaruˇcit, mezi osou válce a osou k´ yván´ı bude ve skuteˇcnosti vˇzdy nenulov´ yu ´hel. Pro druhé kontroln´ı mˇeˇren´ı proto byla vybrána souˇcást, u které na orientaci v˚ uˇci ose k´ yván´ı nezáleˇz´ı; tento poˇzadavek splˇ nuje pouze koule – moment setrvaˇcnosti koule je v˚ uˇci vˇsem osám procházej´ıc´ım stˇredem stejn´ y. Byla pouˇzita ocelová koule zobrazená na obr. 8.2. Jednotlivé d´ılˇc´ı zmˇeˇrené hodnoty shrnuje tabulka 8.2.

Obr. 8.2: Ocelová koule slouˇz´ıc´ı k ovˇeˇren´ı pˇresnosti metody mˇeˇren´ı momentu setrvaˇcnosti. Mˇ eˇ ren´ a veliˇ cina

Symbol

Hodnota

Absolutn´ı chyba

Hmotnost rámu Hmotnost tˇelesa Vzdálenost tˇeˇziˇstˇe rámu od osy kyvu Vzdálenost tˇeˇziˇstˇe tˇelesa od osy kyvu Perioda kyvu samotného rámu Perioda kyvu dvojice rám + tˇeleso

mr mt lr lt Tr Tc

0,693 kg 0,443 kg 19,45 mm 30,89 mm 1,1657 s 0,8685 s

∆mr = 0,001 kg ∆mt = 0,001 kg ∆lr = 0,08 mm ∆lt = 0,05 mm ∆Tr = 0,0008 s ∆Tc = 0,0003 s

Tab. 8.2: Zmˇeˇrené hodnoty ocelové koule. Velikost u ´hlu αt je rovna αt = 88, 2◦ , u ´hel αr známe z pˇredchoz´ıch mˇeˇren´ı – αr = ◦ 94, 8 . Odpov´ıdaj´ıc´ı vzdálenost lc zjiˇstˇená vztahem 7.35 je lc = 23, 87 mm. Vztahem 7.7 byla spoˇc´ıtána velikost momentu setrvaˇcnosti v˚ uˇci ose procházej´ıc´ı stˇredem: Its = 108, 41 · 10−6 kg m2 (8.5) Pro moment setrvaˇcnosti koule plat´ı vztah: Iteor =

2 mt r2 5

(8.6)

Dosazen´ım polomˇeru r = 24, 5 mm z´ıskáme: Iteor = 106, 36 · 10−6 kg m2 62

ˇ REN ˇ Í MOMENTU SETRVACNOSTI ˇ ´ KOULE 8.2. ME OCELOVE Rozd´ıl teoretické a zmˇeˇrené hodnoty je roven: ∆teor = |Iteor − Its | = 2, 04 · 10−6 kg m2 Procentuáln´ı pod´ıl ∆teor /Iteor je roven ∆teor = 1, 92 % Iteor Je vidˇet, ˇze pˇresnost, se kterou um´ıme mˇeˇrit periodu kyvu, vzdálenost tˇeˇziˇstˇe od osy k´ yván´ı a hmotnost, vyhovuje sp´ıˇse vˇetˇs´ım tˇeles˚ um. Urˇcit´ y pod´ıl na chybˇe mˇeˇren´ı m˚ uˇze m´ıt i skuteˇcnost, ˇze vztah 8.6 plat´ı pro pˇresnou kouli; skuteˇcná koule se od modelového ideálu bude vˇzdy ponˇekud liˇsit. Na základˇe v´ ysledk˚ u a srovnán´ım s teoretick´ ymi hodnotami m˚ uˇzeme vyslovit závˇer, ˇze metoda nen´ı zat´ıˇ zen´ a relevantn´ı systematickou chybou a ˇze pˇrináˇs´ı dostateˇcnˇe pˇresné v´ ysledky.

63

9. V´ ypoˇ cet tenzoru setrvaˇ cnosti z namˇ eˇ ren´ ych hodnot Jak bylo zm´ınˇeno v kapitole 7.1, tenzor setrvaˇcnosti ve tvaru 2.3 obsahuje ˇsest nezávisl´ ych sloˇzek – tˇri momenty setrvaˇcnosti k osám daného kartézského souˇradného systému Ix , Iy a Iz a tˇri deviaˇcn´ı momenty Dxy , Dxz a Dyz . K urˇcen´ı tenzoru setrvaˇcnosti jednoho tˇelesa proto potˇrebujeme provést ˇsest mˇeˇren´ı a zjistit tak moment setrvaˇcnosti k ˇsesti r˚ uzn´ ym osám. Z tˇechto ˇsesti hodnot je poté nutné jednotlivé sloˇzky tenzoru setrvaˇcnosti dopoˇc´ıtat – v této kapitole bude popsáno jak1 . Vztahem 7.7 je vypoˇc´ıtán Itt – moment setrvaˇcnosti v˚ uˇci ose, která procház´ı tˇeˇziˇstˇem, pˇriˇcemˇz toto tˇeˇziˇstˇe obecnˇe nen´ı totoˇzné s poˇca´tkem souˇradného systému. Zavedeme proto nov´ y souˇradn´ y systém (xt , yt , zt ), jehoˇz poˇca´tek se nacház´ı v tˇeˇziˇsti tˇelesa a jehoˇz osy jsou rovnobˇeˇzné k osám p˚ uvodn´ıho souˇradného systému (x, y, z), kter´ y jsme pouˇz´ıvali pˇri jednotliv´ ych mˇeˇren´ıch – viz obr. 9.1. Tenzor setrvaˇcnosti budeme urˇcovat k osám tohoto souˇradného systému (xt , yt , zt ). Osy tohoto systému jsou centráln´ımi osami setrvaˇcnosti [13].

yt y

xt x zt z Obr. 9.1: Souˇradn´ y systém (xt , yt , zt ), v˚ uˇci nˇemuˇz je urˇcován tenzor setvaˇcnosti. Poˇcátek se nacház´ı v tˇeˇziˇsti.

9.1. Odvozen´ı vztahu pro v´ ypoˇ cet sloˇ zek tenzoru setrvaˇ cnosti Na obrázku 9.2 je obecné tˇeleso s obecnˇe orientovan´ ym souˇradn´ ym systémem (x, y, z) a osou rotace urˇcenou jednotkov´ ym vektorem ~n: ~n = ~i cos α + ~j cos β + ~k cos γ = (cos α, cos β, cos γ)T 1

(9.1)

P˚ uvodn´ı myˇslenka v´ ypoˇct˚ u ˇcerp´ a z [15].

64

´ ˇ ˇ ˇ 9.1. ODVOZENÍ VZTAHU PRO VYPO CET SLOZEK TENZORU SETRVACNOSTI

R n y

z

θ

r

x

Obr. 9.2: V´ ypoˇcet tenzoru setrvaˇcnosti z namˇeˇren´ ych hodnot. kde cos α, cos β a cos γ jsou smˇerové kosiny osy rotace v˚ uˇci osám souˇradného systému. Hodnoty α, β a γ lze triviáln´ım zp˚ usobem dopoˇc´ıtat ze souˇradnic bod˚ u definuj´ıc´ıch osu k´ yván´ı – viz strana 56. Moment setrvaˇcnosti tˇelesa v˚ uˇci této ose (Ito ) m˚ uˇzeme vyjádˇrit jako integrál pˇres hmotnost tˇelesa podle vztahu: Z Ito = R2 dm Z = (~r sin φ)2 dm Z = |~r × ~n|2 dm

(9.2)

pˇriˇcemˇz ~r je polohov´ y vektor elementu o hmotnosti dm. Takov´ y element má souˇradnice: ~r = (x, y, z)T

(9.3)

Dosazen´ım 9.1 a 9.3 do 9.2 a poté vektorov´ ym a skalárn´ım souˇcinem lze z´ıskat: Z Ito = (y cos γ − z cos β, z cos α − x cos γ, x cos β − y cos α)2 dm Z = (y cos γ − z cos β)2 + (z cos α − x cos γ)2 + (x cos β − y cos α)2 dm Tuto rovnici lze upravit na vztah: Ito = Ix cos2 α+Iy cos2 β +Iz cos2 γ −2Dxy cos α cos β −2Dyz cos β cos γ −2Dxz cos α cos γ (9.4) kde Ix , Iy a Iz jsou hlavn´ı momenty setrvaˇcnosti ve tvaru definovaném vztahem 2.4 a Dxy , Dyz a Dxz jsou deviaˇcn´ı momenty ve tvaru 2.5. Rovnice 9.4 udává vztah mezi jednotliv´ ymi sloˇ zkami tenzoru setrvaˇ cnosti, momentem setrvaˇ cnosti v˚ uˇ ci ose rotace proch´ azej´ıc´ı poˇ c´ atkem souˇ radn´ eho syst´ emu a smˇ erov´ ymi kosiny t´ eto osy. K rovnici 9.4 lze dospˇet i na základˇe vztah˚ u pro transformaci tenzoru setrvaˇcnosti do souˇradného systému s pootoˇcen´ ymi osami (viz napˇr. [12]). 65

ˇ REN ˇ Í A VYPO ´ ˇ U ˚ 9.2. POSTUP ME CT

9.2. Postup mˇ eˇ ren´ı a v´ ypoˇ ct˚ u Pˇri mˇeˇren´ı tenzoru setrvaˇcnosti zmˇeˇr´ıme momenty setrvaˇcnosti tˇelesa v˚ uˇci ˇsesti r˚ uzn´ ym osám prostˇrednictv´ım v´ yˇse uvedeného postupu. Orientace tˇechto os je do urˇcité m´ıry náhodná – jsme omezeni tvarem tˇelesa, protoˇze potˇrebujeme souˇcást vhodnˇe (tzn. dostateˇcnˇe pevnˇe) upevnit do svorky rámu. Je vˇsak nezbytné se snaˇzit zohlednit poˇzadavky na vhodnou orientaci os – ˇsest zmˇeˇren´ ych moment˚ u setrvaˇcnosti by mˇelo co nejkomplexnˇeji popisovat setrvaˇcné vlastnosti souˇca´sti, resp. setrvaˇcné vlastnosti za rotace ve vˇsech smˇerech. Osy by mˇely proto b´ yt v˚ uˇci sobˇe orientovány s pokud moˇzno co nejvˇetˇs´ım 2 u ´hlem . V naˇsem pˇr´ıpadˇe z´ıskáme mˇeˇren´ım ˇsest moment˚ u setrvaˇcnosti k ˇsesti osám procházej´ıc´ımi tˇeˇziˇstˇem It1 –It6 a smˇerové kosiny tˇechto os cos α1 –cos α6 , cos β1 –cos β6 a cos γ1 – cos γ6 . Pro kaˇzdou osu a odpov´ıdaj´ıc´ı moment setrvaˇcnosti plat´ı rovnice 9.4. Z´ıskáme tak ˇsest rovnic ve tvaru 9.4: It1 It2 It3 It4 It5 It6

= Ix cos2 α1 + Iy cos2 β1 + Iz cos2 γ1 = Ix cos2 α2 + Iy cos2 β2 + Iz cos2 γ2 = Ix cos2 α3 + Iy cos2 β3 + Iz cos2 γ3 = Ix cos2 α4 + Iy cos2 β4 + Iz cos2 γ4 = Ix cos2 α5 + Iy cos2 β5 + Iz cos2 γ5 = Ix cos2 α6 + Iy cos2 β6 + Iz cos2 γ6

− 2Dxy cos α1 cos β1 − 2Dxy cos α2 cos β2 − 2Dxy cos α3 cos β3 − 2Dxy cos α4 cos β4 − 2Dxy cos α5 cos β5 − 2Dxy cos α6 cos β6

− 2Dyz cos β1 cos γ1 − 2Dyz cos β2 cos γ2 − 2Dyz cos β3 cos γ3 − 2Dyz cos β4 cos γ4 − 2Dyz cos β5 cos γ5 − 2Dyz cos β6 cos γ6

− 2Dxz cos α1 cos γ1 − 2Dxz cos α2 cos γ2 − 2Dxz cos α3 cos γ3 − 2Dxz cos α4 cos γ4 − 2Dxz cos α5 cos γ5 − 2Dxz cos α6 cos γ6 (9.5)

Vystupuje zde ˇsest neznám´ ych – Ix , Iy , Iz , Dxy , Dyz a Dxz , coˇz je ˇsest nezávisl´ ych ˇ sen´ım lze tyto neznámé dopoˇc´ıtat, ˇc´ımˇz z´ıskáme vˇsech sloˇzek tenzoru setrvaˇcnosti. Reˇ devˇet hledan´ ych sloˇzek tenzoru setrvaˇcnosti ve vztahu 2.3.

9.3. Odhad chyby pˇ ri urˇ cov´ an´ı tenzoru setrvaˇ cnosti Mˇeˇren´ı samotné je nároˇcné na pˇresnost a náchylné k chybˇe – ve vztaz´ıch vystupuje mnoˇzstv´ı mˇeˇren´ ych veliˇcin a chyba v jediné z nich znehodnot´ı v´ ysledky. Potˇrebujeme ovˇeˇrit, zda jsme se této (hrubé) chyby nedopustili. Do urˇcité m´ıry lze pˇresnost ovˇeˇrit tak, ˇze zmˇeˇr´ıme moment setrvaˇcnosti k dalˇs´ı (kontroln´ı) ose. Z´ıskáme tak hodnotu Ik a smˇerové kosiny cos αk , cos βk a cos γk . Vztahem 9.4 urˇc´ıme, kolik by se mˇel moment setrvaˇcnosti k této kontroln´ı ose rovnat podle tenzoru 2

M˚ uˇzeme ilustrovat na pˇr´ıkladu: Mˇejme zmˇeˇren´ y moment k pˇeti osám setrvaˇcnosti a nyn´ı ˇreˇsme, jak orientovat osu ˇsestou. Pokud bude u ´hel mezi ˇsestou osou a jednou z pˇeti pˇredchoz´ıch os napˇr´ıklad 5◦ , bude mnoˇzstv´ı nové informace, které z´ısk´ ame mˇeˇren´ım momentu setrvaˇcnosti k této ˇsesté ose, pomˇernˇe malé. Jestliˇze vˇsak bude u ´hel v˚ uˇci kterékoli dalˇs´ı ose roven napˇr. nejménˇe 45◦ , bude mnoˇzstv´ı nové informace z´ıskané t´ımto ˇsest´ ym mˇeˇren´ım v´ yraznˇe vˇetˇs´ı. Pokud bychom byli schopni zmˇeˇrit moment setrvaˇcnosti zcela pˇresnˇe, nehr´ alo by to roli. V re´ alném mˇeˇren´ı vˇsak vhodná orientace os omez´ı vliv nepˇresnost´ı a t´ım i chyb.

66

ˇ 9.4. TRANSFORMACE TENZORU SETRVACNOSTI setrvaˇcnosti (kter´ y jsme z´ıskali v´ ypoˇctem z pˇredchoz´ıch ˇsesti mˇeˇren´ı) – z´ıskáme hodnotu Iteor . Porovnáme ji se zmˇeˇren´ ym momentem setrvaˇcnosti Ik : δ=

Ik − Iteor · 100 [%] Iteor

(9.6)

Snaˇz´ıme se, aby mˇela kontoln´ı osa co nejvˇetˇs´ı u ´hel v˚ uˇci osám souˇradného systému (xt , yt , zt ). V´ ysledná chyba je do urˇcité m´ıry ovlivnˇena náhodou, proto kontrolu obvykle provedeme ve v´ıce neˇz jednom pˇr´ıpadˇe a odhadneme procentuáln´ı chybu jako nejvˇetˇs´ı ze vznikl´ ych δi . Tento postup odhadu chyby dává základn´ı pˇredstavu o tom, zda jsme se nedopustili hrubé chyby v jednotliv´ ych mˇeˇren´ıch. Procentuáln´ı odchylka δ je ˇcásteˇcnˇe zp˚ usobena chybou konkrétn´ıho kontroln´ıho mˇeˇren´ı a jen ˇcásteˇcnˇe chybou vypoˇcteného tenzoru setrvaˇcnosti, která nás ve skuteˇcnosti zaj´ımá. Postup téˇz neumoˇzn ˇuje odhalit systematické chyby, které by se projevily stejn´ ym d´ılem ve vˇsech mˇeˇren´ıch a ovlivnily tak cel´ y tenzor setrvaˇcnosti.

9.4. Transformace tenzoru setrvaˇ cnosti V´ yˇse popsan´ ym postupem jsme z´ıskali tenzor setrvaˇcnosti k souˇradnému systému (xt , yt , zt ). Pokud bychom potˇrebovali pˇrepoˇc´ıtat tenzor do jiného souˇradného systému, je potˇreba pouˇz´ıt transformaˇcn´ıch vztah˚ u. Postup v´ ypoˇct˚ u ˇcerpá z [12] a [13], kde je také provedeno odvozen´ı. Tenzor setrvaˇ cnosti v˚ uˇ ci posunut´ ym os´ am Máme tenzor setrvaˇcnosti It v˚ uˇci souˇradnému systému s poˇca´tkem v tˇeˇziˇsti. Pro tenzor setrvaˇcnosti I2 nacházej´ıc´ı se v souˇradném systému (x2 , y2 , z2 ), jehoˇz osy jsou posunuty oproti souˇradnému systému v tˇeˇziˇsti (xt , yt , zt ) o vektor (dx , dy , dz ), plat´ı: I2 = It + Im

(9.7)

kde Im je tenzor setrvaˇcnosti hmotného bodu um´ıstˇeného v tˇeˇziˇsti, ve kterém je soustˇredˇena celá hmotnost tˇelesa [12]:   m(d2y + d2z ) −m dx dy −m dx dz   Im =  −m dx dy m(d2x + d2z ) −m dy dz  (9.8) 2 2 −m dx dz −m dy dz m(dx + dy )

67

ˇ 9.4. TRANSFORMACE TENZORU SETRVACNOSTI Tenzor setrvaˇ cnosti v˚ uˇ ci pootoˇ cen´ ym os´ am Máme tenzor setrvaˇcnosti I1 v˚ uˇci souˇradnému systému (x1 , y1 , z1 ) a druh´ y souˇradn´ y systém (x2 , y2 , z2 ) s poˇcátkem ve stejném bodˇe, ale jinou orientac´ı os. Pro tyto dva souˇradné systémy vytvoˇr´ıme transformaˇcn´ı matici sloˇzenou ze smˇerov´ ych kosin˚ u:   cos αx cos αy cos αz   T =  cos βx cos βy cos βz  (9.9) cos γx cos γy cos γz kde cos αx , cos βx a cos γx jsou smˇerové kosiny osy x2 v˚ uˇci souˇradnému systému (x1 , y1 , z1 ), dále analogicky. Tenzor setrvaˇcnosti I2 v˚ uˇci souˇradnému systému (x2 , y2 , z2 ) je roven [12]: I2 = TT · I1 · T

(9.10)

Hlavn´ı osy setrvaˇ cnosti Hlavn´ı osy setrvaˇcnosti jsou takové osy, ke kter´ ym jsou nulové deviaˇcn´ı momenty – viz rovnice 2.6. S pouˇzit´ım vztahu 9.10 m˚ uˇzeme psát:   I1 0 0   T (9.11)  0 I2 0  = T · I1 · T 0 0 I3 coˇz je v podstatˇe problém hledán´ı vlastn´ıch hodnot a vlastn´ıho vektoru tenzoru setrvaˇcnosti ([12], [15]). Podm´ınka ˇreˇsen´ı: (Ix − λ) −Dxy −Dxz (9.12) −Dxy (Iy − λ) −Dyz = 0 −Dxz −Dyz (Iz − λ) vede na rovnici ve tvaru λ3 + aλ2 + bλ + c = 0

(9.13)

kde a, b a c jsou konstanty3 . Reálné koˇreny rovnice 9.13 jsou hledan´ ymi hlavn´ımi momenty setrvaˇcnosti, smˇerové kosiny os z´ıskáme jako vlastn´ı vektory tenzoru setrvaˇcnosti. V programovém prostˇred´ı Mathcad v´ ypoˇcet vlastn´ıch hodnot provedeme pˇr´ıkazem eigenvals(I). Smˇerové kosiny hlavn´ıch os lze z´ıskat pˇr´ıkazem eigenvecs(I).

3

Lze je z´ıskat vyj´ adˇren´ım determinantu 9.12 a u ´pravou.

68

10. Realizace mˇ eˇ ren´ı tenzoru setrvaˇ cnosti souˇ c´ asti V této kapitole bude popsána praktická aplikace v´ yˇse uvedeného postupu mˇeˇren´ı (a v´ ypoˇctu) tenzoru setrvaˇcnosti souˇca´sti – mˇeˇrena byla tˇehlice formule Ford zobrazená na obrázku 5.3. Jako souˇradn´ y systém, ke kterému byl tenzor setrvaˇcnosti urˇcován, byl zvolen systém rovnobˇeˇzn´ y se souˇradn´ ym systémem zobrazeném na obr. 5.3 nacházej´ıc´ı se v tˇeˇziˇsti tˇelesa (tzn. poˇcátek nového systému (xt , yt , zt ) leˇz´ı v souˇradnic´ıch (−4, 414 mm; −63, 112 mm; −28, 151 mm) p˚ uvodn´ıho souˇradného systému – viz kapitola 5.3). K urˇcen´ı tenzoru setrvaˇcnosti je potˇreba urˇcit momenty setrvaˇcnosti k ˇsesti osám. Ve vˇsech pˇr´ıpadech budeme pouˇz´ıvat stejn´ y rám (verze 3), proto i hodnoty vztahuj´ıc´ı se k rámu jsou pro vˇsech ˇsest mˇeˇren´ı stejné. Spoleˇcné hodnoty shrnuje tabulka 10.1. Mˇ eˇ ren´ a veliˇ cina

Symbol

Hodnota

Absolutn´ı chyba

Hmotnost rámu Hmotnost tˇehlice Vzdálenost tˇeˇziˇstˇe rámu od osy kyvu Perioda kyvu samotného rámu ´ Uhel u ´seˇcky BT

mr mt lr Tr αr

0,693 kg 2,149 kg 19,45 mm 1,1657 s 94,9◦

∆mr = 0,001 kg ∆mt = 0,001 kg ∆lr = 0,08 mm ∆Tr = 0,0008 s ∆αr = 0,1◦

Tab. 10.1: Spoleˇcné hodnoty pˇri mˇeˇren´ı tenzoru setrvaˇcnosti tˇehlice formule Ford. Tˇehlici budeme spojovat s rámem tak, abychom zohlednili poˇzadavky popsané v kapitole 9.2. Zmˇeˇr´ıme momenty setrvaˇcnosti v˚ uˇci ˇsesti r˚ uzn´ ym osám. V kaˇzdém jednotlivém mˇeˇren´ı zjist´ıme tyto d´ılˇc´ı hodnoty: vzd´ alenost tˇ eˇ ziˇ stˇ e tˇ ehlice od osy k´ yv´ an´ı pˇri dané orientaci tˇehlice (lt1 –lt6 ), u ´ hel mezi spodn´ı rovinou a u ´ seˇ ckou spojuj´ıc´ı tˇ eˇ ziˇ stˇ e tˇ ehlice s osou (αt1 –αt6 ), periodu kyvu dvojice r´ am + tˇ ehlice pˇri dané orientaci tˇehlice (Tc1 –Tc6 ) a smˇ erov´ e kosiny i-t´ e osy k´ yv´ an´ı (cos αi , cos βi a cos γi ).

Obr. 10.1: Program Výpoˇcet smˇerových kosin˚ u.

69

Osa 1 2 3 4 5 6

lti /mm

αti /◦

Tci /s

cos αi

cos βi

cos γi

170,701 81,3 0,9273 0,05394 -0,99800 -0,03290 172,470 84,5 0,9310 0,63102 0,77399 0,05231 80,135 88,0 0,7142 0,02431 0,04138 -0,99885 86,524 80,7 0,7512 0,44288 -0,01578 0,89644 93,822 108,8 0,7686 0,08041 0,81478 0,57317 79,298 100,3 0,8470 -0,67317 -0,73652 0,06619

Tab. 10.2: Vzdálenosti tˇeˇziˇstˇe tˇehlice od osy k´ yván´ı, u ´hly u ´seˇcek BT spojuj´ıc´ı tˇeˇziˇstˇe tˇehlice s osou k´ yván´ı, priody kyvu dvojice rám + tˇehlice a smˇerové kosiny os. K v´ ypoˇctu smˇerov´ ych kosin˚ u z dvojic bod˚ u urˇcuj´ıc´ıch osu k´ yván´ı (z´ıskáme je z mˇeˇren´ı Tritopem) byl vytvoˇren jednoduch´ y program v prostˇred´ı Delphi, kter´ y tento v´ ypoˇcet znaˇcnˇe zrychluje – viz obr. 10.1. Hodnoty z´ıskané z ˇsesti mˇeˇren´ı ukazuje tabulka 10.2. Na základˇe znalosti jednotliv´ ych u ´hl˚ u αti byla vztahem 7.35 zjiˇstˇena vzdálenost tˇeˇziˇstˇe dvojice rám + tˇehlice pˇri jednotliv´ ych mˇeˇren´ıch – viz tabulka 10.3. lc1 / mm 133,692

lc2 / mm 135,083

lc3 / mm 65,307

lc4 / mm 70,034

lc5 / mm 75,558

lc6 / mm 64,686

Tab. 10.3: Jednotlivé vzdálenosti lc . Z souboru z´ıskan´ ych hodnot spoˇc´ıtáme vztahem 7.7 momenty setrvaˇcnosti It1 –It6 odpov´ıdaj´ıc´ı jednotliv´ ym osám – viz tabulka 10.4. It1 It2 It3 It4 It5 It6 2 −3 2 −3 2 −3 2 −3 2 −3 [10 kg m ] [10 kg m ] [10 kg m ] [10 kg m ] [10 kg m ] [10 kg m2 ] 14,012 14,212 5,170 7,271 8,057 14,707 −3

Tab. 10.4: Jednotlivé momenty setrvaˇcnosti. Z hodnot It1 –It6 a smˇerov´ ych kosin˚ u os z´ıskáme ˇsest rovnic o ˇsesti neznám´ ych ve ˇ tvaru 9.5, ve kter´ ych figuruje ˇsest neznám´ ych – Ix , Iy , Iz , Dxy , Dyz a Dxz . Reˇsen´ım dostaneme vˇsech devˇet sloˇzek tenzoru setrvaˇcnosti. Vypoˇcten´ y tenzor je roven:   14, 030 0, 301 0, 618   I =  0, 301 14, 284 −3, 448  · 10−3 kg m2 (10.1) 0, 618 −3, 448 4, 893 Pro potˇreby ovˇeˇren´ı pˇresnosti byla provedena dalˇs´ı tˇri d´ılˇc´ı mˇeˇren´ı momentu setrvaˇcnosti. Tˇehlice byla um´ıstˇena na rám v dalˇs´ıch tˇrech (tentokrát náhodn´ ych) orientac´ıch – kontroln´ı osy k1 –k3 . Byly opˇet zmˇeˇreny vˇsechny potˇrebné hodnoty v˚ uˇci tˇemto osám – viz tabulka 10.5. 70

Osa k1 k2 k3

ltk /mm αtk /◦

Tck /s

168,318 175,414 59,124

0,9206 0,46652 -0,88009 -0,08827 0,9311 -0,99315 0,11379 0,02653 0,8520 -0,38876 0,91520 0,10618

91,5 96,6 73,5

cos αk

cos βk

cos γk

Tab. 10.5: Jednotlivé hodnoty pˇri kontroln´ıch mˇeˇren´ıch. Odpov´ıdaj´ıc´ı vzdálenosti lck shrnuje tabulka 10.6 lck1 / mm 132,011

lck2 / mm 137,382

lck3 / mm 49,154

Tab. 10.6: Jednotlivé vzdálenosti lck . Z tˇechto hodnot byly zjiˇstˇeny momenty setrvaˇcnosti vztahem 7.7 – z´ıskáme tak hodnoty Ik1 –Ik3 . Ke stejn´ ym osám byly spoˇc´ıtané i teoretické hodnoty na základˇe v´ ysledného tenzoru 10.1 prostˇrednictv´ım vztahu 9.4 – z´ıskáme tak hodnoty Iteor1 –Iteor3 . Pokud bychom se pˇri mˇeˇren´ı nedopustili ˇza´dné chyby, tyto hodnoty by se shodovaly. A naopak, chyba v nˇekteré z hodnot v tabulkách 10.2 a 10.5 se projev´ı tak, ˇze se hodnoty zmˇeˇrené v˚ uˇci náhodn´ ym osám a odpov´ıdaj´ıc´ı spoˇc´ıtané z tenzoru setrvaˇcnosti shodovat nebudou. Byly spoˇc´ıtány procentuáln´ı odchylky δ1 –δ3 vztahem 9.6. Hodnoty shrnuje tabulka 10.7. Osa Ik k1 k2 k3

[10−3 kg m2 ] Iteor 13,580 13,435 13,134

[10−3 kg m2 ] δ [%] 13,322 -1,93 13,905 3,38 13,205 0,54

Tab. 10.7: Kontroln´ı mˇeˇren´ı. Ik – zmˇeˇrené hodnoty momentu setrvaˇcnosti, Iteor – hodnoty z´ıskané z vypoˇcteného tenzoru setrvaˇcnosti 10.1, δ – procentuáln´ı odchylka.

Jak je vidˇet, procentuáln´ı odchylky δ vˇsech tˇr´ı kontroln´ıch mˇeˇren´ı jsou malé; to dává pˇredpoklad, ˇze jsme se nedopustili d˚ uleˇzité náhodné (hrubé) chyby. Procentuáln´ı odchylka druhého kontroln´ıho mˇeˇren´ı nicménˇe pˇresahuje obvykle poˇzadovaná 3 %. Vhodné by bylo zmˇeˇrit tenzor setrvaˇcnosti v´ıcekrát, a to vˇcetnˇe vˇsech d´ılˇc´ıch mˇeˇren´ı (tzn. znovu zváˇzit rám i tˇeleso, urˇcit polohu tˇeˇziˇstˇe rámu i tˇelesa, provést jednotlivá mˇeˇren´ı period kyvu pˇri r˚ uzn´ ych polohách a zmˇeˇrit odpov´ıdaj´ıc´ı vzdálenosti tˇeˇziˇstˇe od osy k´ yván´ı a následnˇe znovu vypoˇc´ıtat tenzor setrvaˇcnosti). Takto bychom z´ıskali nˇekolik tenzor˚ u setrvaˇcnosti, které bychom mohli vzájemnˇe porovnat a pˇr´ıpadnˇe i statisticky zpracovat. Vzhledem k rozsáhlosti nebylo toto nˇekolikanásobné mˇeˇren´ı v této práci realizováno. Optimalizace postupu, kter´ ym lze odhadnout pˇresnost zmˇeˇreného tenzoru setrvaˇcnosti, z˚ ustává otevˇrená dalˇs´ımu v´ yzkumu.

71

11. Zhodnocen´ı metody mˇ eˇ ren´ı momentu setrvaˇ cnosti Navrˇzená metoda slouˇz´ı k zjiˇst’ován´ı momentu setrvaˇcnosti a umoˇzn ˇuje i v´ ypoˇcet vˇsech ˇsesti nezávisl´ ych sloˇzek tenzoru setrvaˇcnosti. Vzhledem k tomu, ˇze se jedná o komplexn´ı problém, je vhodné zhodnotit zvláˇst’ kaˇzdou d˚ uleˇzitou ˇcást.

11.1. Koncepce mˇ eˇ ren´ı Metoda vycház´ı z principu mˇeˇren´ı periody kyvu fyzikáln´ıho kyvadla a následného v´ ypoˇctu momentu setrvaˇcnosti z pohybové rovnice. Z metod popsan´ ych v kapitole 3.2 je tato metoda nejsnáze realizovatelná v laboratorn´ıch podm´ınkách – vˇetˇsinu potˇrebn´ ych pom˚ ucek bylo moˇzné zhotovit v bˇeˇznˇe vybaveném d´ılenském prostˇred´ı. Napˇr. u metody torzn´ıho kyvadla by bylo potˇreba sloˇzitˇe ˇreˇsit, jak zaruˇcit, aby pˇri mˇeˇren´ı z˚ ustávala stále stejná osa k´ yván´ı. Tvar tˇeles obvykle neumoˇzn ˇuje pˇr´ımé mˇeˇren´ı – souˇca´st proto mus´ıme spojovat s rámem a moment setrvaˇcnosti souˇca´sti ˇreˇsit jako rozd´ıl Ico − Iro . Pˇri návrhu vhodného rámu byl kladen d˚ uraz pˇredevˇs´ım na univerzálnost, aby mohl b´ yt rám pouˇzit v co nejvˇetˇs´ım mnoˇzstv´ı pˇr´ıpad˚ u. Ukázalo se, ˇze univerzáln´ı rám prakticky zhotovit nejde; ˇc´ım univerzálnˇejˇs´ı rám totiˇz navrhneme, t´ım vˇetˇs´ı bude m´ıt vlastn´ı moment setrvaˇcnosti a t´ım v´ıce se ve v´ ysledné periodˇe Tc projev´ı jeho vliv, coˇz znepˇresn´ı v´ ysledky. Rám ˇc. 3 (obr. 7.4) je tak kompromisem, kter´ y se vˇsak nehod´ı pro rozmˇernˇejˇs´ı souˇca´sti. Pokud by tato metoda byla pouˇzita pro rozmˇernˇejˇs´ı souˇcásti, zˇrejmˇe by bylo nezbytné zhotovit v´ıce rám˚ u, které by umoˇzn ˇovaly zavˇeˇsen´ı souˇcásti v r˚ uzn´ ych polohách. U kaˇzdého rámu zvláˇst’ bychom vˇsak museli mˇeˇrit periodu kyvu Tr a zejména urˇcovat polohu tˇeˇziˇstˇe, coˇz v´ yraznˇe prodlouˇz´ı celkov´ y ˇcas mˇeˇren´ı.

11.2. Mˇ eˇ ren´ı periody kyvu Tato ˇcást práce se ukázala b´ yt nejv´ıce problematická. Ultrazvukov´ y sn´ımaˇc zp˚ usobuje sv´ ym charakterem d˚ uleˇzitou odchylku, kterou je nutné zohlednit. Navrˇzen´ ym postupem se podaˇrilo vliv této odchylky eliminovat a doc´ılit tak dostateˇcnˇe pˇresn´ ych v´ ysledk˚ u. Postup je nicménˇe pomˇernˇe nároˇcn´ y na správné nastaven´ı (zejména u ´hlu ζ a vzdálenosti Lm na obrázku 7.22). V dalˇs´ıch experimentech by bylo vhodné vyzkouˇset jin´ y druh bezkontaktn´ıho sn´ımaˇce – takového, kde bychom nemuseli zohledˇ novat geometrickou korekci (tzn. napˇr´ıklad laserov´ y sn´ımaˇc apod.) Pokud bychom se pokusili optimalizovat metodu optické závory,

72

ˇ REN ˇ Í VZDALENOSTI ´ ˇ ZI ˇ ST ˇ E ˇ SOUC ˇ ASTI ´ ´ AN ´ Í 11.3. ME TE OD OSY KYV zˇrejmˇe bychom nakonec doc´ılili i zde dostateˇcnˇe pˇresn´ ych v´ ysledk˚ u – zˇrejmˇe by pomohla náhrada ˇza´rovky laserov´ ym paprskem.

11.3. Mˇ eˇ ren´ı vzd´ alenosti tˇ eˇ ziˇ stˇ e souˇ c´ asti od osy k´ yv´ an´ı Tato ˇcást u ´zce souvis´ı s mˇeˇren´ım polohy tˇeˇziˇstˇe souˇcásti – je nezbytné nejprve urˇcit polohu tˇeˇziˇstˇe a teprve poté zjiˇst’ovat hledanou vzdálenost tˇeˇziˇstˇe od osy. Bylo by pravdˇepodobnˇe velmi sloˇzité navrhnout postup zaloˇzen´ y na zcela odliˇsném principu, kter´ y by pˇri mˇeˇren´ı vzdálenosti tˇeˇziˇstˇe od osy k´ yván´ı umoˇzn ˇoval dosáhnout srovnatelné pˇresnosti. V práci byla vzdálenost tˇeˇziˇstˇe dvojice rám + mˇeˇrená souˇca´st (lc ) urˇcována v´ ypoˇctem ze znám´ ych hodnot lt , lr , αt a αr vztahem 7.35. Teoreticky by bylo moˇzné urˇcovat polohu tˇeˇziˇstˇe pˇr´ımo metodou zavˇeˇsen´ı a vzdálenost lc urˇcit stejn´ ym postupem jako v pˇr´ıpadˇe lt a lr . Doc´ılili bychom tak sice vˇetˇs´ı pˇresnosti, avˇsak za cenu, ˇze by se mˇeˇren´ı stalo v´ yraznˇe zdlouhavˇejˇs´ım, jak vysvˇetluje kapitola 7.5.5. Takov´ yto postup by byl nav´ıc moˇzn´ y pouze s tˇret´ı verz´ı rámu, resp. s takov´ ymi rámy, kde je tˇeleso s rámem pevnˇe spojeno.

11.4. V´ ypoˇ cet tenzoru setrvaˇ cnosti Navrˇzená metoda pracuje s v´ ypoˇctem tenzoru setrvaˇcnosti ze znalosti moment˚ u setrvaˇcnosti k ˇsesti osám, jejichˇz poloha je do urˇcité m´ıry volena náhodnˇe. Ukázalo se, ˇze t´ımto postupem skuteˇcnˇe lze tenzor setrvaˇcnosti mˇeˇrit a ˇze lze doc´ılit pˇrijateln´ ych v´ ysledk˚ u. Dalˇs´ı v´ yzkum by se mˇel v budoucnu zamˇeˇrit na zdokonalen´ı postupu odhadu chyby mˇeˇren´ı tenzoru setrvaˇcnosti. Celkovˇe se metoda mˇeˇren´ı tenzoru setrvaˇcnosti pot´ yká s jedn´ım problémem, kter´ ym je ˇcasová nároˇcnost – napˇr. mˇeˇren´ı tenzoru setrvaˇcnosti tˇehlice formule Ford, popsané v kapitole 10, zabralo vˇcetnˇe urˇcován´ı poloh tˇeˇziˇstˇe rámu a tˇehlice v´ıce neˇz 20 hodin práce. I z hlediska trván´ı mˇeˇren´ı tak nab´ız´ı tato metoda prostor k dalˇs´ı optimalizaci.

73

12. Shrnut´ı a z´ avˇ er C´ılem této práce bylo vypracovat pilotn´ı studii metody, kterou lze u souˇca´st´ı podvozk˚ u vozidel mˇeˇrit d˚ uleˇzité mechanické veliˇciny – polohu tˇeˇziˇstˇe a momenty setrvaˇcnosti, resp. tenzor setrvaˇcnosti. Práce ukazuje, jak lze pro tento u ´ˇcel pouˇz´ıt fotogrammetrick´ y ´ ˇ sen´ı bylo uvaˇzováno systém Tritop a dalˇs´ı specializované vybaven´ı laboratoˇr´ı UADI. Reˇ pro pˇr´ıpady, kdy nemáme k dispozici poˇc´ıtaˇcov´ y model mˇeˇrené souˇca´sti a nem˚ uˇzeme tedy tyto hledané mechanické veliˇciny z´ıskat v´ ypoˇctem. Prvn´ı ˇca´st práce pˇredkládá pˇrehled metod, kter´ ymi se obvykle poloha tˇeˇziˇstˇe a momenty setrvaˇcnosti mˇeˇr´ı. Je poukázáno na typické problémy, které se pˇri pouˇzit´ı jednotliv´ ych postup˚ u mohou naskytnout. V dalˇs´ı ˇcásti práce je navrˇzena metoda mˇeˇren´ı polohy tˇeˇziˇstˇe souˇca´st´ı. Vycház´ı z pˇredpokladu, ˇze se tˇeleso volnˇe zavˇeˇsené na pruˇzném vláknˇe ustál´ı v poloze, ve které se bude tˇeˇziˇstˇe nacházet na svislé pˇr´ımce vedené bodem zavˇeˇsen´ı. Systém Tritop umoˇzn ˇuje vyˇreˇsit problém, jak urˇcit dostateˇcnˇe pˇresnˇe polohu souˇca´sti, aniˇz by toto mˇeˇren´ı ovlivˇ novalo polohu zavˇeˇseného tˇelesa. Navrˇzenou metodou lze dosáhnout velmi dobré pˇresnosti – pˇri nˇekolikanásobném mˇeˇren´ı jsme schopni urˇcit polohu tˇeˇziˇstˇe s pˇresnost´ı na desetinu milimetru, i lépe. Druhou stˇeˇzejn´ı ˇca´st´ı této práce je návrh metody slouˇz´ıc´ı k mˇeˇren´ı moment˚ u setrvaˇcnosti, a to na základˇe mˇeˇren´ı periody kyvu fyzikáln´ıho kyvadla. Byly odvozeny potˇrebné v´ ypoˇcetn´ı vztahy, proveden odhad v´ ysledné chyby mˇeˇren´ı a poté navrˇzeny postupy, jimiˇz lze mˇeˇrit periodu kyvu a vzdálenost tˇeˇziˇstˇe od osy k´ yván´ı. K mˇeˇren´ı periody byl pouˇzit ultrazvukov´ y sn´ımaˇc vzdálenosti a k mˇeˇren´ı vzdálenosti tˇeˇziˇstˇe od osy k´ yván´ı opˇet systém Tritop. Následovalo mˇeˇren´ı souˇca´st´ı, které ukázalo, ˇze se u modelov´ ych souˇcást´ı v´ ysledky z´ıskané touto metodou dostateˇcnˇe pˇresnˇe shoduj´ı s teoretick´ ymi pˇredpoklady. V dalˇs´ı ˇca´sti bylo ukázáno, jak lze mˇeˇren´ı moment˚ u setrvaˇcnosti k jednotliv´ ym osám vyuˇz´ıt k urˇcován´ı tenzoru setrvaˇcnosti. Bylo provedeno mˇeˇren´ı skuteˇcné souˇcásti (tˇehlice formule Ford) a následnˇe byla odhadnuta chyba mˇeˇren´ı. V závˇeru byly shrnuty pˇrednosti a nedostatky jednotliv´ ych postup˚ u a bylo navrˇzeno, jak´ ym smˇerem by se mohly experimenty ub´ırat dále. ? ? ? Na tomto m´ıstˇe se m˚ uˇzeme vrátit k myˇslence z u ´vodu. Poˇc´ıtaˇce se skuteˇcnˇe prosazuj´ı prakticky ve vˇsech oblastech lidské ˇcinnosti, automobilov´ y pr˚ umysl nevyj´ımaje. Tato práce ukazuje, jak lze vyˇreˇsit jeden z problém˚ u, na kter´ y m˚ uˇze inˇzen´ yr pˇri matematickém modelován´ı dynamiky vozidel narazit. I pˇres obdivuhodné schopnosti poˇc´ıtaˇc˚ u totiˇz plat´ı, ˇze pokud neznaj´ı 3D model souˇcásti, polohu tˇeˇziˇstˇe a momenty setrvaˇcnosti samy od sebe spoˇc´ıtat neumˇej´ı.

74

ˇ E ´ LITERATURY A ZDROJU ˚ SEZNAM POUZIT

Seznam pouˇ zit´ e literatury a zdroj˚ u Internetov´ e str´ anky [1] Physics Laboratory 8 - Analyzing a mechanical system [online]. University of Tennessee: Department of Physics and Astronomy. Posledn´ı revize 16. 4. 2008. URL: . [2] The Physical Pendulum with Large Amplitudes [online]. New Jersey’s Science & Technology University. Posledn´ı revize 18. 4. 2008. URL: . [3] FyzWeb - Sráˇzky a rotace [online]. Matematicko-fyzikáln´ı fakulta Univerzity Karlovy: Katedra didaktiky fyziky. Posledn´ı revize 2. 3. 2008. URL: [4] Introduction to Photogrammetry [online]. Universität Wien. Posledn´ı revize: 29. 3. 2008. URL: [5] The Basics of Photogrammetry [online]. Geodetic Systems – 3D Industrial Measurement Systems. Posledn´ı revize: 29. 3. 2008. URL: [6] Space Electronics [online]. Posledn´ı revize: 19. 4. 2008. URL: Knihy, ˇ cl´ anky, publikace (tiˇ stˇ en´ e i elektronick´ e) [7] BOYNTON, R – WIENER, K. Mass Properties Measurement Handbook [online verze]. Berlin (Connecticut): Space Electronics Inc., 1998. Posledn´ı revize 3. 4. 2008. URL: [8] CIKL, D. Rotaˇcn´ı pohyb tˇelesa v rovinˇe – Fyzické kyvadlo [online verze]. In: Dynamika – pˇr´ıklady. E-learning Technické univerzity v Liberci. Posledn´ı revize 3. 4. 2008. URL: . ˇ ´ ˇ ÍSEK, ˇ [9] CERM AK, J. – ZEN A. Matematika III. Brno: Akademické nakladatelstv´ı CERM, 2006. ˇ ast 1 – Mechanika. Brno: [10] HALLIDAY, D. – RESNICK, R. – WALKER, J. Fyzika. C´ Vysoké uˇcen´ı technické, 2000.

75

ˇ E ´ LITERATURY A ZDROJU ˚ SEZNAM POUZIT ´ ´ R. – SEDIV ˇ ´ P. – VOLF, I. Harmonické kmity mechanických soustav [11] HORAKOV A, Y, ´ redn´ı v´ [online verze]. Hradec Králové: Ustˇ ybor fyzikáln´ı olympiády, 2000. Posledn´ı revize 15. 4. 2008. ´ E. – SVANCARA, ˇ [12] HOUFEK, L. – MALENOVSKY, P. Mechanika tˇeles – Dynamika [online verze]. Studijn´ı opora. Brno: Fakulta strojn´ıho inˇzen´ yrstv´ı, 2005. Posledn´ı revize 12. 5. 2008. [13] KRATOCHVÍL, C. – SLAVÍK, K. Mechanika tˇeles – Dynamika. Brno: Akademické nakladatelstv´ı CERM, 2002. ˇ ANKA, ´ [14] KRIV D. Vyhodnocen´ı chyby mˇeˇren´ı [online verze]. Plzeˇ n: Západoˇceská univerzita, 2007. Posledn´ı revize 9. 5. 2008. URL: . [15] KWON, Y. Rigid Body Dynamics [online verze]. Visol Kwon3D XP Motion Analysis System. Posledn´ı revize 15. 4. 2008. URL: <www.kwon3D.com/theory/rigid.html>. [16] NELSON, R. A. – OLSSON, M. G. The Pendulum – Rich Physics from a Simple System. American Journal of Physics, Volume 54, Issue 2/1986. [17] PETERS, R. D. Nonlinear Damping of the ’Linear’ Pendulum [online verze]. Macon, Georgia: Department of Physics at Mercer University, 2002. Posledn´ı revize 18. 4. 2008. URL: . [18] PETERS, R. D. The Pendulum in the 21st Century – Relic or Trendsetter? [online verze]. Macon, Georgia: Department of Physics at Mercer University, 2002. Posledn´ı revize 18. 4. 2008. URL: . ˇ P. Virtuáln´ı prototypy. Texty pˇrednáˇsek. Brno: Vysoké uˇcen´ı technické, [19] PORTES, 2007. ˇTASTN ˇ ´ F. Zpracován´ı experimentáln´ıch dat [online verze]. Brno: Masarykova [20] S Y, univerzita, 1998. Posledn´ı revize: 19. 4. 2008. URL: ¨ [21] TOGL, T. a kol. Fyzikáln´ı praktikum – Chyby mˇeˇren´ı [online verze]. Plzeˇ n: Západoˇceská univerzita, 2002. Posledn´ı revize 2. 5. 2008. URL: . ˇ ˇ e vysoké uˇcen´ı technické, 1995. [22] STOLL, I. Mechanika. Praha: Cesk´ [23] VYBÍRAL, B. Zpracován´ı dat fyzikáln´ıch mˇeˇren´ı [online verze]. Praha: Univerzita Karlova, 2000. Posledn´ı revize 15. 4. 2008. URL: . 76

ˇ E ´ LITERATURY A ZDROJU ˚ SEZNAM POUZIT Diplomov´ e a disertaˇ cn´ı pr´ ace [24] ANDRLÍK, S. Optimáln´ı rozloˇzen´ı strojn´ıch skupin a loˇzného prostoru v odpérované hmotˇe sedmitunových nákladn´ıch automobil˚ u z hlediska plavnosti j´ızdy. Kandidátská disertaˇcn´ı práce. Brno: Vysoké uˇcen´ı technické, 1959. [25] MAJERECH, P. Mˇeˇren´ı j´ızdn´ı výˇsky vozidla. Diplomová práce. Brno: Vysoké uˇcen´ı technické, 2004. [26] VOLEJNÍK, M. Návrh mˇeˇric´ıho zaˇr´ızen´ı pro urˇcen´ı moment˚ u setrvaˇcnosti vozidla. Diplomová práce. Brno: Vysoké uˇcen´ı technické, 2006. Manu´ aly, katalogy, dokumentace ˇ F.: Manuál systému TRITOP. Brno: Vysoké uˇcen´ı technické, 2005. [27] DUCHON, [28] TRITOP v 5.3.0. User Manual. Braunschweig: GOM mbH, 2004. [29] Sensing and Control Interactive Catalog. Freeport: Honeywell, 2000.

77

DYNAMIKY VOZIDEL MEASUREMENT OF INERTIA PROPERTIES OF BODIES FOR THE PURPOSE OF MATHEMATICAL MODELING OF VEHICLE DYNAMICS

Recommend Documents