Dvěma různými body prochází právě jedna přímka

Úvod

 

    

Jestliže bod A leží na přímce p a přímka p leží v rovině , pak i bod A leží v rovině . Jestliže v rovině  leží dva různé body A, B, pak také přímka p, která těmito body prochází, leží v rovině . Dvěma různými body prochází právě jedna přímka. Třemi různými body, které neleží v přímce, prochází právě jedna rovina. Přímkou a bodem, který na přímce neleží, prochází právě jedna rovina. Dvěma různými rovnoběžnými přímkami prochází právě jedna rovina. Dvěma různoběžnými přímkami prochází právě jedna rovina.









Libovolná rovina rozděluje prostor na dva navzájem opačné poloprostory a je jejich společnou hraniční rovinou. Geometrický útvar se nazývá konvexní, jestliže úsečka spojující kterékoli dva body útvaru je částí tohoto útvaru. Každý bod prostoru, který neleží v hraniční rovině, je vnitřním bodem jednoho z obou poloprostorů. Pokud bod leží (neleží) na přímce, v rovině, říkáme, že bod je incidentní (není incidentní) s přímkou, rovinou. Pokud přímka leží v rovině, je s rovinou incidentní.



Pokud přímky nemají žádný společný bod a leží v jedné rovině, jsou rovnoběžné.



Pokud přímky mají aspoň dva společné body (všechny), jsou totožné (splývají).







Pokud přímky mají právě jeden společný bod, jsou různoběžné. Tyto přímky leží v jedné rovině, jejich společný bod je jejich průsečík. Přímky, které nemají žádný společný bod a neleží v jedné rovině, nazýváme mimoběžné. Na obrázku se mohou jevit jako různoběžky!

Přímka, která protíná mimoběžné přímky, se nazývá příčka mimoběžek.

 Má-li

přímka s rovinou společný právě jeden společný bod, je přímka různoběžná s rovinou.

 Nemají-li

přímka s rovinou žádný společný bod, je přímka rovnoběžná s rovinou.

 Mají-li

přímka s rovinou aspoň dva různé společné body, přímka leží v rovině (je s rovinou incidentní). I o této přímce říkáme, že je rovnoběžná s rovinou.



Mají-li dvě různé roviny společný bod, pak mají společnou přímku, která tímto bodem prochází; kromě této přímky nemají žádný další společný bod.



O dvou rovinách  a , které mají společnou přímku p, říkáme, že jsou různoběžné; přímka p je jejich průsečnice.



Nemají-li dvě roviny žádný společný bod, nazýváme je rovnoběžné.



Roviny, které mají všechny body společné, jsou totožné (splývající).



Část prostoru ležící mezi dvěma rovnoběžnými rovinami, nazýváme vrstva. Roviny jsou hraniční roviny vrstvy, jejich vzdálenost je tloušťka (šířka) vrstvy. Jsou-li roviny různoběžné, vytváří klín. Jejich průsečnice je hrana klínu, poloroviny ohraničující klín jsou stěny klínu.



Daným bodem lze vést k dané přímce jedinou rovnoběžku. Rovnoběžnost přímek je vztah tranzitivní: je-li pq, qr, je také pr.

Kritérium rovnoběžnosti přímky a roviny  Přímka p je rovnoběžná s rovinou , jestliže v rovině  leží aspoň jedna přímka p‘, která je s přímkou p rovnoběžná. 

Pro libovolné dvě přímky p, q a rovinou  platí: pq, q, pak také p.



Je-li přímka rovnoběžná s dvěma různoběžnými rovinami, je rovnoběžná i s jejich průsečnicí.

Kritérium rovnoběžnosti dvou rovin:  Dvě roviny  a  jsou rovnoběžné, jestliže v jedné z nich, např.  leží dvě různoběžné přímky p a q, které jsou rovnoběžné s rovinou . 

Daným bodem lze vést k dané rovině jedinou rovinu s ní rovnoběžnou.



Rovnoběžnost rovin je vztah tranzitivní: je-li , , pak také .

Existuje celkem pět možností vzájemné polohy tří rovin • Každé dvě roviny jsou rovnoběžné • Dvě roviny jsou rovnoběžné, třetí je protíná ve dvou

rovnoběžných přímkách • Každé dvě roviny jsou různoběžné. Přitom buď  Všechny tři průsečnice splynou v jednu přímku (společná průsečnice každých dvou rovin)

nebo  Průsečnice každých dvou rovin jsou různé rovnoběžné přímky

nebo  Všechny tři průsečnice jsou různé přímky a procházejí jediným společným bodem všech tří rovin.

Průsečík přímky p a roviny  • Přímkou p proložíme vhodnou rovinu , která je s

rovinou  různoběžná.

• Určíme průsečnici r rovin  a . • Průsečík P přímek p a r je hledaný průsečík

přímky p a roviny .

Řez tělesa rovinou

 Je průnik tělesa a roviny  Zpravidla rovinný útvar, jehož hranice je průnik hranice tělesa a roviny (hranice tělesa=hrany, stěny)  Hledáme průsečnice

Základní věty V1: Leží-li dva různé body v rovině, pak leží v rovině i přímka určená těmito body. V2.: Dvě rovnoběžné roviny protíná třetí rovina ve dvou rovnoběžných přímkách. V3: Jsou-li každé dvě ze tří rovin různoběžné a mají-li jediný společný bod, pak tímto bodem prochází všechny tři průsečnice.

Spíše využijeme důsledky těchto vět • D1: Leží-li dva různé body roviny řezu v rovině

některé stěny, leží v rovině stěny i jejich spojnice. Průnik spojnice a stěny je jednou stranou řezu. • D2: Jsou-li roviny dvou stěn rovnoběžné a přitom

různoběžné s rovinou řezu, jsou průsečnice roviny řezu s rovinami těchto stěn rovnoběžné. • D3: Průsečnice rovin dvou sousedních stěn (tj.

stěn se společnou hranou) s rovinou řezu a přímka, v níž leží společná hrana, se protínají v jednom bodě.