Dr´ahy planet ˇ Petr Slechta 28. ˇcervence 2015
1
V´ ypoˇ cet
Na stˇredn´ı ˇskole se zpravidla uˇc´ı, ˇze dr´ahy planet jsou elipsy se Sluncem v ohnisku. Tak´e se uˇc´ı, ˇze tento fakt je moˇzn´e dok´ azat z Newtonova gravitaˇcn´ıho z´ akona. Pˇr´ısluˇsn´ y d˚ ukaz se vˇsak prob´ır´ a aˇz na vysok´e ˇskole pomoc´ı sloˇzit´e matematiky a stˇredoˇskol´akovi je tak nepˇr´ıstupn´ y. C´ılem textu je nab´ıdnout jednoduˇsˇs´ı alternativu, srozumitelnou i studentovi stˇredn´ı ˇskoly. Aby byl d˚ ukaz plnohodnotn´ y, bylo by tˇreba nˇekter´e detaily d´ ale rozv´est. T´ım by vˇsak utrpˇela srozumitelnost, proto byla zvolena tato forma. Na obr´ azku 1 je zobrazena situace. Slunce je oznaˇceno jako M , planeta jako m. Vzd´alenost planety od Slunce je r. Velikost rychlosti pohybu planety je v a smˇer t´eto rychlosti je urˇcen u ´ hlem α. Vyjdeme z faktu, ˇze gravitaˇcn´ı s´ıla p˚ usob´ı pˇr´ımo ke Slunci a jej´ı moment s´ıly je tedy nulov´ y. Moment hybnosti tedy z˚ ust´ av´ a konstantn´ı a je jedn´ım z parametr˚ u v´ ysledn´e dr´ahy. D´ale pˇredpokl´ad´ame, ˇze na planetu kromˇe gravitace Slunce nep˚ usob´ı jin´e s´ıly. Proto je celkov´a energie (potenci´ aln´ı plus kinetick´a) tak´e konstantn´ı a je druh´ ym parametrem. Nulovou hodnotu potenc´aln´ı energie zvol´ıme v nekoneˇcnu, proto hodnota celkov´e energie mus´ı b´ yt z´ aporn´ a, aby planeta neodl´etla. V naˇsem pˇr´ıpadˇe (obr´azek 1) lze moment hybnosti L a energii E vyj´adˇrit takto: L = mrv sin α E=
(1)
κM m 1 mv 2 − 2 r
(2)
Tyto dvˇe rovnice urˇcuj´ı vztahy mezi veliˇcinami r, v a α. Jelikoˇz n´ am jde jen o tvar dr´ahy a ne o rychlost pohybu po n´ı, zbav´ıme se veliˇciny v. Vyj´ adˇr´ıme v z prvn´ı rovnice: v=
L mr sin α
a dosad´ıme do druh´e rovnice: E=
κM m L2 − 2 r sin α
2mr2
Tato rovnice n´ am d´ av´ a do vztahu r a α. Pokud tedy zn´ame polohu planety, m˚ uˇzeme spoˇc´ıtat u ´ hel α a dozv´ıme se, kter´ ym smˇerem dr´aha pokraˇcuje. T´ım je tvar dr´ahy zcela urˇcen. Uprav´ıme tedy rovnici do tvaru, kter´ y n´ am umoˇzn´ı snadn´e urˇcen´ı u ´hlu α ze vzd´ alenosti r: 2mE 2 1 2κM m2 r+ r = 2 L2 L2 sin α
(3)
Tato rovnice tedy urˇcuje tvar dr´ahy. My v´ıme, ˇze dr´aha by mˇela b´ yt elipsa se Sluncem v ohnisku. Zkus´ıme tedy ovˇeˇrit, ˇze pro elipsu plat´ı stejn´ y vztah jako (3). Na obr´ azku 2 je zobrazen u ´sek elipsy s ohnisky F1 a F2 , d´elkami poloos a a b a v´ ystˇrednost´ı e. Bod A ´ je bodem elipsy. Planeta je v bodˇe A a Slunce je v ohnisku F2 . Uhel α urˇcuje sklon teˇcny t a pr˚ uvodiˇce F2 A, jako tomu bylo na obr´ azku 1. Pr˚ uvodiˇc F1 A sv´ır´ a s teˇcnou t stejn´ yu ´hel α. V elipse se totiˇz paprsek vych´ azej´ıc´ı z jednoho ohniska odr´aˇz´ı do druh´eho ohniska. Nyn´ı nalezneme vztah mezi u ´hlem α a vzd´ alenost´ı r. To lze prov´est pomoc´ı kos´ınov´e vˇety, protoˇze zn´ame d´elky vˇsech stran troj´ uheln´ıka F1 F2 A. Mus´ıme si jen vyj´adˇrit velikost u ´hlu β pomoc´ı u ´ hlu α a tak´e budeme potˇrebovat cos β. β = π − 2α cos β = cos(π − 2α) = − cos 2α = −(cos2 α − sin2 α) = 2 sin2 α − 1 1
α
m
v
r
M
Obr´azek 1: Veliˇciny
t α A
α β 2a-r
r
2e F1
F2 Obr´azek 2: Elipsa
2
ds α
A
dS r
F2 Obr´azek 3: Opsan´ a plocha Kos´ınov´a vˇeta ˇr´ık´ a: 4e2 = r2 + (2a − r)2 − 2r(2a − r) cos β Dosad´ıme za cos β spoˇc´ıtan´ y v´ yraz a dostaneme: 4e2 = r2 + (2a − r)2 − 2r(2a − r)(2 sin2 α − 1) Nyn´ı vˇse rozn´asob´ıme a zkus´ıme vyj´adˇrit
1 sin2 α .
Vyjde:
1 2a 1 r− 2 r2 = 2 2 2 a −e a − e2 sin α Jelikoˇz v elipse plat´ı a2 = b2 + e2 , lze vztah zjednoduˇsit na: 1 1 2a = 2 r − 2 r2 b b sin2 α
(4)
Je vidˇet, ˇze vztahy (3) a (4) jsou stejn´e, tedy planeta ob´ıh´a skuteˇcnˇe po elipse. T´ım jsme odvodili 1. Kepler˚ uv z´ akon. Srovn´ an´ım koeficient˚ u u obou rovnic dostaneme: 2κM m2 2a = b2 L2 −
1 2mE = b2 L2
Pokud zn´ame moment hybnosti L a energii E, lze z tˇechto rovnic vypoˇc´ıtat rozmˇery dr´ahy (tˇech m´ınus˚ u se netˇreba b´ at, protoˇze E je z´ aporn´e): a=−
κM m 2E
b= √
L −2mE
Nebo naopak – zn´ame-li rozmˇery dr´ahy, lze spoˇc´ıtat energii E a moment hybnosti L: κM m 2a r κM L = bm a
(5)
E=−
(6)
3
Na obr´ azku 3 je vidˇet, ˇze posune-li se planeta o malou dr´ahu ds, op´ıˇse pr˚ uvodiˇc plochu dS: dS =
1 r ds sin α 2
Pˇri pohybu rychlost´ı v je tedy ploˇsn´a rychlost w: w=
1 ds 1 dS = r sin α = rv sin α dt 2 dt 2
ˇ ast rv sin α lze vyj´adˇrit z (1), tedy dostaneme: C´ w=
L 2m
Chceme-li vych´ azet z rozmˇer˚ u dr´ahy, dosad´ıme za L z (6): r b κM w= 2 a
(7)
Je vidˇet, ˇze velikost ploˇsn´e rychlosti v˚ ubec nez´avis´ı na poloze planety na dr´aze – je konstantn´ı. T´ım jsme tedy uk´azali platnost 2. Keplerova z´ akona. Elipsa je vlastnˇe prot´ahl´ a kruˇznice. Pˇri protaˇzen´ı jedn´ım smˇerem k-kr´at se velikost plochy libovoln´eho rovinn´eho u ´tvaru zvˇetˇs´ı tak´e k-kr´ at. To samozˇrejmˇe plat´ı i pro kruˇznici, z ˇcehoˇz ihned plyne, ˇze plocha cel´e elipsy je: S = πab
(8)
Tuto plochu pr˚ uvodiˇc op´ıˇse bˇehem jednoho obˇehu. Protoˇze ploˇsnou rychlost zn´ame (je d´ ana rovnic´ı (7)), m˚ uˇzeme dobu obˇehu T spoˇc´ıtat: r 2 S a = πab T = w b κM r a3 T = 2π (9) κM Je vidˇet, ˇze doba obˇehu z´ aleˇz´ı pouze na hmotnosti Slunce a d´elce hlavn´ı poloosy dr´ahy, pˇriˇcemˇz druh´ a mocnina obˇeˇzn´e doby je pˇr´ımo u ´mˇern´ a tˇret´ı mocninˇe d´elky hlavn´ı poloosy. T´ım jsme tedy uk´azali platnost 3. Keplerova z´ akona. Abychom umˇeli popsat polohu planety na dr´aze, zavedeme soustavu souˇradnic podle obr´ azku 4. Slunce je v ohnisku F2 , planeta v bodˇe A, bod S je stˇred elipsy. Jak jsme ˇr´ıkali, elipsa je protaˇzen´a kruˇznice, takˇze souˇradnice bodu A jsou: x = a cos ϕ − e,
y = b sin ϕ
(10)
Pˇritom u ´hel ϕ nelze na obr´ azku naj´ıt – u kruˇznice by to vlastnˇe byl u ´hel ∢BSA, ten se vˇsak protaˇzen´ım zdeformuje, takˇze u elipsy jde jen o jak´ ysi parametr, kter´ y urˇcuje polohu bodu. Opˇet zopakuji, ˇze elipsa je protaˇzen´ a kruˇznice a ˇze protaˇzen´ım se plocha libovoln´eho rovinn´eho u ´ tvaru u ´mˇernˇe zvˇetˇs´ı. To lze samozˇrejmˇe aplikovat i na kruhovou v´ yseˇc, ze kter´e protaˇzen´ım vznikne v´ yseˇc elipsy s vrcholy BSA. Tato v´ yseˇc tedy m´a plochu: ϕ S SV = 2π Pˇritom S je plocha cel´e elipsy, dan´a vztahem (8). Dosad´ıme a dostaneme: SV =
ab ϕ 2
Slunce se vˇsak nach´ az´ı v ohnisku F2 , takˇze aby se planeta dostala z bodu B do bodu A, op´ıˇse pr˚ uvodiˇc pouze plochu s vrcholy BF2 A. Mus´ıme tedy odeˇc´ıst plochu troj´ uheln´ıku △SF2 A, kter´ a je (pouˇzijeme (10)): S△ =
1 1 ey = eb sin ϕ 2 2
Odeˇcten´ım dostaneme plochu opsanou pr˚ uvodiˇcem: SP = SV − S△ =
1 b ab ϕ − eb sin ϕ = (aϕ − e sin ϕ) 2 2 2 4
y
A
S∆ F1
S
SP F2
B
x
Obr´azek 4: Soustava souˇradnic Zn´ ame-li tuto plochu a ploˇsnou rychlost (viz (7)), lze snadno spoˇc´ıtat ˇcas t, bˇehem kter´eho se planeta dostane z perihelu B do bodu A: t=
SP w
Dosad´ıme za SP a w a vyjde: r r p a a 2 2 = (aϕ − a − b sin ϕ) t = (aϕ − e sin ϕ) κM κM
(11)
Chceme-li tedy zn´at polohu planety v libovoln´em ˇcase t, najdeme podle rovnice (11) hodnotu ϕ a z rovnic (10) jiˇz ihned dostaneme ˇza´dan´e souˇradnice. V´ ypoˇcet ϕ je vˇsak tˇreba dˇelat numericky, rovnice nejde jednoduˇse upravit do potˇrebn´eho tvaru.
2
Podˇ ekov´ an´ı
V p˚ uvodn´ı verzi z 14. z´ aˇr´ı 2009 jsem neuvedl podˇekov´an´ı. Proto ho nyn´ı doplˇ nuji, jde vlastnˇe o jedinou zmˇenu. Chtˇel bych moc podˇekovat Vojtovi H´ alovi za jeho rady, kter´e pˇrispˇely k zjednoduˇsen´ı a pˇrehlednosti v´ ypoˇctu a jeho pouˇzitelnosti jako didaktick´e pom˚ ucky.
5
