Dr. Szily Istvá n: Döntéselőkészítés II.
1
SZÉCHENYI ISTVÁN EGYETEM Tá voktatá si tagozat 1994
Irta.: Dr. Szily Istvá n. fõ iskolai adjunktus
Széchenyi István Fõ iskola
Lektorálta: Tá nczos Lá szlónédr. egyetemi docens, a mû szaki tudomány kandidátusa
Budapesti Mû szaki Egyetem
Mû szaki szerkesztõ : Fodor Lá szló fõ iskolai docens
Széchenyi István Fõ iskola
2
Minden jog fenntartva, beleértve a sokszorosítás,a nyilvános elõ adás, a rádió és televízió adás, valamint a fordítás jogát, az egyes fejezeteket illetõ en is.
3
TARTALOMJEGYZÉ K 1. A dinamikus programozá s.............................................................................. 6 1.1. A dinamikus programozá sról á ltalá ban .................................................... 6 1.2. A megoldá s módszere ................................................................................ 7 1.3. Gyakorló feladat........................................................................................ 9 1.4. Ellenõrzõké rdé sek .................................................................................. 11 2. Sorbaná llá si modellek ................................................................................... 12 2.1. A sorbaná llá si modellekrõl á ltalá ban ..................................................... 12 2.2. Bevezeté s a sorbaná llá si elmé letbe ......................................................... 15 2.2.1. Véletlen események ......................................................................... 15 2.2.2. A Poisson-eloszlás ........................................................................... 16 2.2.3. Exponenciális eloszlás ..................................................................... 17 2.2.4. Eloszlások vizsgálata ....................................................................... 18 2.2.5. A sorbanállási rendszerek vizsgálata .............................................. 20 2.3. Egycsatorná s kiszolgá ló rendszerek ........................................................ 20 2.3.1. Exponenciális eloszlású kiszolgálási idõ ......................................... 21 2.3.2. Tetszõ leges eloszlású kiszolgálási idõ ............................................. 23 2.4. Tö bbcsatorná s kiszolgá ló rendszerek ...................................................... 24 2.4.1. Exponenciális kiszolgálási idõ ......................................................... 25 2.4.2. Tetszõ leges eloszlású kiszolgálási idõ ............................................. 26 2.5. Gyakorló feladat...................................................................................... 27 2.6. Ellenõrzõké rdé sek .................................................................................. 27 3. Ké szletgazdá lkodá si modellek...................................................................... 29 3.1. Általá nos ismerteté s, alapfogalmak......................................................... 29 3.2. Determinisztikus ké szletmodellek ............................................................ 32 3.2.1. Optimális rendelési tételnagyság modellje....................................... 32 3.2.2. Optimális tételnagyság modell, hiány esetén ................................... 34 3.3. Sztochasztikus ké szlet-modell .................................................................. 38 3.4. Ellenõrzõké rdé sek .................................................................................. 39 4. Szimulá ciós modellek .................................................................................... 40 4.1. A szimulá ció fogalma .............................................................................. 40 4.2. A szimulá ció szakaszai ............................................................................ 41 4.3. A szimulá ció vé grehajtá sa....................................................................... 42 4.3.1. Véletlen számok elõ állítása.............................................................. 42 4.3.2. A szimuláció megoldása .................................................................. 45 4.3.3. Számító gépes szimuláció .................................................................45 4.4. Alkalmazá si pé ldá k.................................................................................. 46 4.4.1. Egy készletezési feladat szimuláció ja .............................................. 46 4.4.2. Várakozó sorok szimuláció ja........................................................... 47 4.4.3. Rendezõ -pályaudvari folyamatok szimuláció ja ............................... 56 4.5. Gyakorló feladat...................................................................................... 63
4
4.6. Ellenõrzõké rdé sek .................................................................................. 64 5. Felhaszná lt irodalom..................................................................................... 68
5
1. A dinamikus programozás Az optimumkeresési eljárások egyik igen jó l bevált mó dszere a dinamikus programozás (DP). Ezt az eljárást Richard Bellman amerikai matematikus dolgozta ki, mó dszerét 1957-ben publikálta. A DP teljes mértékben eltér az eddig tanult programozási eljárásoktó l. Alapja egy optimalitási tétel, amelynek felhasználásával részekre bontható (szekvenciálisan kezelhetõ ) feladatok igen hatékonyan oldható k meg.
1.1. A dinamikus programozásról általában A DP eljárás olyan matematikai eljárás, amely biztosítja az irányított folyamtok optimális tervezését. Irányított folyamatokon olyan folyamatokat értü nk, amelyek menetére valamilyen hatást gyakorolhatunk. A modern matematika többféle mó dszerrel rendelkezik, amelyek lehetõ vé teszik az optimális irányítás feladatának megoldását. Ezek között kü lönös helyet foglal el a DP mó dszere. E mó dszer sajátossága abban van, hogy az optimális irányítás meghatározására a tervezett operáció t egymást követõ "lépések" vagy "szakaszok" sorára osztja. Ennek megfelelõ en maga a tervezési folyamat is "több lépéssé" válik, és szakaszró l szakaszra fejlõ dik ki, melynek során minden egyes alkalommal csak egy lépésen belü l optimalizáljuk az irányítást. Bizonyos mû veletek jellegü knél fogva szakaszokra oszlanak, míg más mû veleteknél ezt a széttagolást mesterséges ú ton kell végrehajtani. A DP tulajdonképpen többlépéses folyamat szakaszonkénti tervezése, melynek során mindegyik szakaszon csak egy lépést optimalizálunk. Elsõ személetre ú gy tû nhet, hogy a megfogalmazott gondolat eléggé triviális. A DP elve azonban korántsem tételezi fel, hogy egy kü lön lépésen az irányítást optimalizálva, megfeledkezhetnénk a többi lépésrõ l. Ellenkezõ leg, minden más lépés során az irányítást a jövõ ben bekövetkezõ összes kihatások figyelembevételével kell megválasztani. A DP elõ renézõ , perspektivát figyelembe vevõ programozás. Világítsuk meg az "elõ renézõ " tervezés elvét egy példával. A sakkjátékban a tervezés folyamata szintén lépésekre oszlik. Tételezzü k fel, hogy a figurákat feltételesen, fontosságuknak megfelelõ en kü lönbözõ pontértékekkel jelöljü k, ha a figurákat megõ rizzü k, ezt a pontszámot megnyerjü k, ellenkezõ esetben elveszítjü k. É sszerû lesz-e a sakkjátékot néhány lépésre elõ re tervezni ú gy, hogy minden egyes lépésnél a maximális pontszámot érjü k el? Nyilvánvaló an, hogy nem. Az olyan megoldás, mint például a "figura feláldozása", egyetlenegy lépés szû ken vett szempontjábó l sosem lesz kedvezõ , de az egész játszma szempontjábó l elõ nyös lehet. Ugyanez a helyzet a gyakorlat bármely más terü letén. A többszakaszos tervezés során minden lépésnél az irányítást ú gy kell megválasztanunk, hogy nem az adott lépés szû k érdekeibõ l indulunk ki, hanem az egé sz operá ció magasabb rendû céljábó l. Ezek az érdekek távolró l sem minden esetben egyeznek.
6
Hogyan szervezzü k meg akkor az irányítást? Korábban már megfogalmaztuk az általános szabályt : a szakaszos tervezés folyamán az irányítást minden lépésen a következõ , az eljövendõ figyelembevételével alakítjuk ki. Ez aló l a szabály aló l is van azonban kivétel. Az összes lépések között létezik egy, amelyet a "jövõ be pillantás nélkü l", egyszerû en megtervezhetü nk. Melyik ez a lépés? Nyilvánvaló , hogy az utolsó . Ez az utolsó lépés az egyetlen, amelyet az összes közü l ú gy tervezhetü nk meg, hogy az a legkedvezõ bb eredménnyel járjon. Ehhez az optimális mó don tervezett utolsó lépéshez "hozzáhangolhatjuk" az utolsó elõ ttit, és ahhoz az az elõ ttit, és így tovább. A DP folyamata idõ ben lehet fordított; nem az elejétõ l a végéhez, hanem a vé gé tõ l az elejé hez (a folyamat kezdete felé) halad. Legelõ ször az utolsó lépést tervezzü k meg. Hogyan tervezzü k meg az utolsó t, ha nem tudjuk hogyan végzõ dött az utolsó elõ tti lé pé s? Kü lö nfé le felté telezé seket kell tennü nk arra vonatkozólag, hogy mivel vé gzõ dhetett az utolsó elõ tti lé pé s, é s mindegyik felté telezé sre az utolsó lé pé sné l irá nyítá st kell kivá lasztani. Az ilyen meghatározott viszonyok között kiválasztott optimális irányítást felté telezett optimá lis irá nyítá snak nevezzü k.
1.2. A megoldás módszere A DP során a kü lönbözõ megoldandó feladatokat fázisonként, szekvenciá lisan kezeljü k. Az eljárást egy áruszállítási folyamat optimalizálásán mutatjuk be. Tegyü k fel, hogy az 1. ábrán feltü ntetett ú tháló zat vezet A városbó l N városba. A rajz egyrészt nem méretarányos, másrészt nem tartalmazza a domborzati viszonyokat sem. A háló élei mellé írt számérték azt mutatja, hogy az ú t hossza, minõ sége és vonalvezetése figyelembevételével az éleket összekötõ városok között egységnyi árumennyiséget milyen ráfordítással lehet továbbítani. A -tó l N -ig több ú ton érhetü nk el. Minden teljes utat politiká nak, az utak egy-egy folytonos szakaszát alpolitiká nak nevezzü k.
1. ábra
7
Mielõ tt továbbmennénk, ismerkedjü nk meg az optimalitá si té tellel. Legyen egy rendszerü nk, amelynek állapota az egyes fázisokban döntés következtében megváltozhat. (pl. nem az Abó l, hanem a C-bõ l indulunk el.) Ez egyben az A-ró l való indulás egyik alpolitikájaként is felfogható . Igaz a tétel, amely szerint: optimá lis politika csak optimá lis alpolitiká kból á llhat. A bizonyítás igen egyszerû . Nézzü k továbbra is a C-N alpolitikát, ami legyen egy A-N optimális politika része. Ha ez az alpolitika nem lenne optimális, azaz létezne egy kedvezõ bb C-N ú tszakasz, akkor ezt az A-C szakaszhoz kapcsolva az optimálisnál jobb megoldást kapnánk. Eszerint viszont kiindulási feltételü nk helytelen volt, az eredmény hipotézisü nkkel ellentétben áll. Bellman általánosabb megfogalmazása szerint "valamely politika akkor optimális, ha egy adott perió dusban - akármilyenek voltak az elõ zõ döntések - a hátralevõ döntések optimális politikát alkotnak, figyelembevéve az elõ zõ döntések eredményét". Ezután térjü nk vissza a konkrét feladathoz. A minimá lis kö ltsé gû utat keressü k. Nevezzü k x 0 , x1 , x 2 , x 3 , x 4 é s x5 -nek az egyes ú tszakaszokra vonatkozó dö nté si vá ltozókat. A változó k nem számszerû értéket, hanem á llapotokat vesznek fel, ezeket a szaggatott fü ggõ leges vonalak mentén levõ csú csok jelölik. Például x 2 lehet E, F vagy G, azaz A-tó l két él "befutása" után megérkezhetü nk E-be, F-be, vagy G-be. Az egyes szakaszok költségét v i x i −1 , x i szimbó lummal jelöljü k. Ez a költség az x i−1 és az x i változó któ l fü gg. Pl. v 2 x1 , x 2 attó l fü ggõ en, hogy x1 B, C vagy D és x 2 E, F vagy G, felvehet 11(B, E), 8(C, E), 4(C, F), 6(D, F), 9(C, G), 6(D, G) értékeket. A teljes ú t (A, N) költsége:
b g b g
K ( x 0 , x1 , x 2 , x 3 , x 4 , x 5 ) =
= v1 ( x 0 , x1 ) + v 2 ( x1 , x 2 ) + v 3 ( x 2 , x 3 ) + + v 4 ( x 3 , x 4 ) + v 5 ( x 4 , x 5 )
bg
Az optimalizálás szakaszonként - mindig az elõ zõ döntés eredményének figyelembevételével történik. A programozást az elsõ szakasz vizsgálatával kezdjü k. Jelölje f0,i x i a minimális költséget az i-edik szakaszig, akkor:
bA, Bgesetben f bg B =v b A , Bg =5 bA, Cgesetben f bg C =v b A , Cg =2 bA, Dgesetben f bg D =v b A , Dg = 3. 0,1
1
0,1
1
0,1
1
Az elsõ és második szakaszon együ tt a minimális költség, attó l fü ggõ en, hogy x 2 : E, F vagy G "állapotot" veszi fel: f0,2 E = min f0,1 x1 + v 2 x1 , E ;
bg mbg b gr x = B, C vagy D bg r; F = minm f bg x +v b x , Fg x = B, C, D bg r; G = minm f bg x +v b x , Gg 1
f 0 ,2
0,1
1
2
1
1
f 0 ,2
0,1
1
2
1
x1 = B, C, D Behelyettesítve a felírt képletbe: 8
bg bg bg
f0,2 E = min 5 + 11, 2 + 8, 3 + ∞ = 10 ha x1 = C; f0,2 F = min 5 + ∞ , 2 + 4, 3 + 6 = 6 ha x1 = C; f0,2 G = min 5 + ∞ , 2 + 9 , 3 + 6 = 9 ha x1 = D; Az összefü ggésekben ∞ -el jelöltü k az ú t hiányát. Az eredmények azt mutatják, hogy A- bó l E-be minimum 10, F - be 6 és G-be 9 költséggel lehet az egységnyi árut eljuttatni (optimális alpolitikák). Az elsõ , második és harmadik szakaszon együ tt x 3 -ig a minimális költségeket az elõ zõ ek mintájára számíthatjuk. A képletet általános alakban csak x 3 = H esetre mutatjuk be; f0,3 H = min f0,2 x 2 + v 3 x 2 , H
bg mb g b gr x 2 = E, F, G.
bg bg bg J = min 10 + ∞ , bg K = min 10 + ∞ ,
A konkrét számítások: f 0,3 H = min 10 + 3, 6 + 8, 9 + ∞ = 13 ha x2 = E ; f 0,3 I = min 10 + 2, 6 + 11, 9 + ∞ = 12 ha x2 = E ; f 0, 3 f 0, 3
6 + 5, 9 + ∞ = 11 ha x2 = F ; 6 + 9 , 9 + 4 = 13 ha x2 = G;
A legkevésbé költséges árutovábbítás eszerint A-tó l H-ig 13, I-ig 12, J-ig 11 és K-ig 13 költségegységet igényel. Hasonló jelölésekkel folytatva a számítást a kiindulástó l a negyedik szakaszig.
bg bg
f0,4 L = min 13 + 9 , 12 + 3, 11 + 7 , 13 + ∞ = 15, ha x 3 = I; f0,4 M = min 13 + ∞ , 12 + 6, 11 + 8, 13 + 5 = 18, ha x 3 = I , K; Végü l A - N optimális költsége
bg
f0,5 N = min 15 + 4, 18 + 3, = 19, ha x 4 = L; A minimális költségû ú t tehát 19 egységbe kerü l. Az ú tirány: A C E I L N. A mó dszer, amelynek segítségével az optimumot megkerestü k, a dinamikus programozás. Lényeges, hogy optimális alpolitikát keressü nk, amelyek egyre több kapcsoló dó fázist tartalmaznak, amíg végü l megtaláljuk a legjobb politikát.
1.3. Gyakorlófeladat Egy vasú ti háló zaton A és P pont között több eljutási ú tvonal lehetséges. (A háló zaton csak az elágazó állomásokat tü ntettü k fel.) (2. ábra) Az elegytovábbítás optimális megvaló sítása érdekében határozza meg a legrövidebb ú tvonalat a két pont között.
9
2. ábra
10
1.4. Ellenő rző ké rdé sek -
Mi a dinamikus programozás mó dszerének lényege? Mit értü nk többszakaszos tervezés alatt? Ismertesse az optimális ú tvonal keresés eljárását! Ismertesse az optimalitás tételét!
11
2. Sorbanállási modellek 2.1. A sorbanállási modellekrő l általában A várakozó sorok a mindennapi élet közismert jelenségei. Várakozó sorok keletkeznek pl. áruházi eladó k, pénztárak, benzinkutak, határátkelõ helyek, rakodó helyek stb. elõ tt. A sorbanállás, sokszor való ban csak nehezen kü szöbölhetõ ki. Olyan esetekben, amikor biztonságbó l vagy gazdasági stb. okokbó l a várakozást meghatározott érték aláakarjuk szorítani, törekedni kell olyan intézkedésekre, amelyek kidolgozásához a kiszolgálási elmélet nyú jt segítséget. A kiszolgá lórendszer valamilyen szolgá ltatá st nyújtó kiszolgá lóhely é s az elõ tte kiszolgá lá sra vá rakozó fogyasztói egysé gek (felek, igények) sorá nak (pl. a rakodó helyen rakodásra várakozó tehergépkocsik) elhelyezé sé re szolgá ló vá rakozóhelyek együ ttese. A kiszolgáló helyen egy vagy több kiszolgáló csatorna (pl. rakodó gép) áll rendelkezésre. A várakozó helyek száma (a várakozó sor hossza) korlátozott vagy korlátlan lehet. Strukturális szempontbó l vizsgálva zárt és nyílt kiszolgáló rendszerek kü lönböztethetõ k meg. A zárt kiszolgáló rendszerekben nem változik a fogyasztó i egységek száma (a kielégítendõ igények száma korlátozott), a nyílt kiszolgáló rendszerekbõ l a kielégített fogyasztó i egységek távoznak, illetve oda állandó an ú j fogyasztó i egységek érkeznek (a kielégítendõ igények száma tehát ebben az esetben nagyon nagy, esetleg végtelen is lehet). A kiszolgálási igények intenzitására mindkét esetben a fogyasztó i egységek érkezései közötti idõ közök jellemzõ k. Zárt kiszolgáló rendszerek esetében még az ugyanazon fogyasztó i egység két érkezése közötti idõ köznek is jelentõ sége van. Az é rkezé si idõ kö zö k a) egyenlõ k, b) egyenlõ tlenek, de meghatározottak és c) egyenlõ tlenek, de nem meghatározottak (az idõ köz való színû ségi változó ) lehetnek. Az érkezési folyamatot a fogyasztó i egységek érkezései közötti idõ közök eloszlásfü ggvénye (exponenciális, Erlang, Poisson) szerint lehet csoportokba sorolni. A fogyasztó i egységek által igényelt kiszolgá lá si idõ kü lön-bözõ sége, illetve azonossága miatt megkü lönböztethetõ a) állandó b) változó , de meghatározott c) való színû ségi változó A kiszolgálási idõ való színû ségeloszlás lehet exponenciális, normális, illetve tetszõ leges eloszlású . A várakozó sor azokbó l a fogyasztó i egységekbõ l tevõ dik össze, amelyek kiszolgálása nem kezdhetõ meg azonnal a rendszerben; hossza 0 és ∞ között változhat. A megengedett hosszú ságú várakozó sor kialakulása után érkezõ igényeket a rendszer nem fogadja, elutasítja. A tömeg-kiszolgálási rendszerek modelljét a 3. ábrán mutatjuk be.
12
3. ábra A várakozó fogyasztó i viselkedése is ú n. tü relmes kivárják, amíg csatorna szaú n. tü relmetlen meghatározott várakoznak, a
sorra a egyedek jellemzõ . Az egyedek egy kiszolgáló baddáválik, az egyedek csupán ideig vagy pedig már
kiszolgáló rendszerbe érkezésü kkor döntenek - a már kialakult várakozó sor hosszátó l fü ggõ en - hogy várakoznak vagy kiszolgálás nélkü l elhagyják a rendszert. A kiszolgáló -csatornák összességébõ l álló kiszolgáló hely strukturális szempontbó l soros, párhuzamos, vagy vegyes elrendezésû , a kiszolgá ló csatorná k szá ma szempontjá ból pedig egy- vagy tö bb-csatorná s lehet. A soros elrendezé sû kiszolgáló hely kiszolgáló -csatornáin a fo-gyasztó i egységeknek az elõ írt sorrendben kell áthaladniuk, a kiszolgálásuk tehát több szakaszbó l tevõ dik össze. Minden egyes csatorna elõ tt csak a megengedett hosszú ságú várakozó sor alakulhat ki. A pá rhuzamos elrendezé sû kiszolgáló hely kiszolgáló -csatornái az egyes fogyasztó i egyedeket teljes mértékben kiszolgálják. Á ltalában közös várakozó sor alakul ki a kiszolgáló hely összes csatornái részére. A vegyes elrendezé sû kiszolgáló hely az elõ zõ két elrendezési forma kombináció ja. A nagy kiszolgáló rendszerek rend-szerint ilyen elrendezésû ek. A kiszolgá lá s rendje a várakozó fogyasztó i egyedek soron-következését szabja meg. A várakozó sorban elhelyezkedõ egyedek közü l ugyanis - egy kiszolgáló -csatorna felszabadulásakor - kü lönbözõ szempontok szerint lehet a következõ t kiválasztani. Ebbõ l a szempontbó l sordiszciplina szerinti és prioritásos diszciplina szerinti kiszolgálási rendet lehet megkü lönböztetni, attó l fü ggõ en, hogy a fogyasztó i egyedeket a beérkezés sorrendjében szolgálják ki vagy egyesek közü lü k elõ nyben részesü lnek. A kiszolgálási folyamatot is - az érkezési folyamathoz hasonló an - a kiszolgálási idõ k eloszlásának törvényszerû sége szerint lehet csoportokba sorolni. A kiszolgáló rendszerek tehát kü lönböznek egymástó l a beé rkezé sé s a kiszolgá lá s valószínû sé g-eloszlá sá nak típusa, illetve egyen-letessé ge, a kiszolgáló hely kiszolgá lócsatorná inak szá ma és az egységek kiszolgá lá si rendje, a vá rakozók magatartá sa, a rendszer nyitott vagy zá rt volta szerint.
13
Az egyes változatok matematikai vizsgálata is ennek megfelelõ en kü lönféle mó don mehet végbe. A sorbanállási folyamattervezés szempontjábó l elsõ sorban figyelembe veendõ esetekben általában azt feltételezik, hogy a kiszolgálandó egyedek beérkezési idõ közei λ paraméterû exponenciális eloszlású ak (az idõ egység alatt beérkezõ igények száma Poissoneloszlású ), és a kiszolgálási idõ tartamok egymástó l és az érkezési folyamattó l fü ggetlen való színû ségi változó k, azonos µ paraméterû exponenciális eloszlású ak, vagy normális eloszlású ak vagy tetszõ leges eloszlású ak, illetve állandó k. A sorbanállási modellek alapfogalmainak könnyebb elsajátítása érdekében gondoljuk át a következõ gyakorlati feladatot. Adott egy vállalat, amelynek raktárábó l gépkocsik továbbítják az árut. A raktár rámpája mellett egyidejû leg N gépkocsi fér el, azaz egyidõ ben ennyi gépkocsi megrakása történhet (4. ábra). (Lásd a következõ oldal !) A gépkocsikat, amikor érkeznek, ill. mielõ tt a gyárat elhagyják mérlegelik. (Az egyszerû ség érdekében feltételezhetjü k, hogy kü lön mérleg áll rendelkezésre a beérkezõ és kü lön a távozó gépkocsik számára). A gépkocsik érkezése és megrakásuk ideje szabálytalan. Nyilvánvaló , hogy a leírt rendszer párhuzamosan kapcsolt többcsatornás sorban állási rendszert alkot, ahol a kiszolgálás a rámpán történik, a kiszolgáló csatornák (vagy állomások) számát pedig a rámpa hossza határozza meg. Amennyiben a kiszolgálás csak a raktár ajtajánál lehetséges, a csatornák száma az ajtó k számával egyezik meg.
4. ábra. A gépkocsikat érkezésü k sorrendjében szolgálják ki, de más változat is elképzelhetõ . Ilyenek lehetnek: a gépkocsikat valamilyen szempont (teherbírás, szállítandó áru, tulajdonjog stb.) szerint csoportosítva, csak meghatározott csatornán szolgálják ki, egyes gépkocsikat (pl. a sü rgõ s szállítást lebonyolító kat) elsõ bbségben részesítik - prioritás -, de lehet a kiszolgálás tetszõ leges, a beérkezési sorrendtõ l teljesen fü ggetlen is stb. A kiszolgáló központba érkezõ egyedek kívü lrõ l, ú n. forrá sból jönnek. Az érkezõ k számátó l fü ggõ en megkü lönböztetü nk korlá tos és korlá tlan forrású rendszereket. Pl. ha az árut bárki
14
saját gépjármû vével elszállíthatja, az érkezõ tehergépkocsik forrása korlá tlan, abban az esetben viszont, ha azt kizáró lag valamely fuvarozó vállalat, meghatározott számú gépkocsiparkjával továbbíthatja, a gépkocsik forrása korlá tos. Az érkezõ gépkocsik elõ ször a gyár kapujánál várakoznak mérlegelésre. Itt a kiszolgáló csatorna a mérleg, a kiszolgálási idõ a mérés ideje, beleértve a mérlegre hajtás és távozás idõ szü kségletét is. Ez az egycsatornás rendszer. Ugyanez ismétlõ dik a gyár elhagyásakor is. Ha a gépjármû vek gyárban töltött idejét vizsgáljuk, sorba kapcsolt csatornákat tartalmazó modellt kell felépítenü nk, mégpedig olyat, melyben két egycsatornás rendszer fog közre egy többcsatornás, párhuzamos sorban állási rendszert (vegyes elrendezés). Elõ fordulhat, hogy egyes gépkocsik nem tudnak hosszú ideig várakozni (más fontosabb szállítanivaló juk van, vagy ugyanezt a terméket máshol gyorsabban megkaphatják stb.) és kiválnak a sorbó l, amihez elõ zõ leg csatlakoztak. Ilyenkor elhagyá sos rendszerrõ l van szó . Ha azonban az érkezõ gépkocsi a hosszú várakozó sor láttán visszariad, és ú gy dönt, hogy nem lép be a várakozó k közé (esetleg már nincs is helye), akkor visszatorpaná sos modellt kell alkalmaznunk. Lehet, hogy szemfü les gépkocsivezetõ k kiugranak a sorbó l és (feltéve ha több várakozó sor van) egy másik sorhoz csatlakoznak. Az ilyen rendszert helyezkedé sesnek nevezik. Elképzelhetõ , hogy az érkezõ és távozó gépkocsi mérlegeléséhez nem áll kü lön-kü lön mérleg rendelkezésére. Ilyenkor a várakozó sorok ü tköznek, interferá lnak, ami tovább komplikálhatja a várakozó sor modelljét.
2.2. Bevezeté s a sorbanállási elmé letbe 2.2.1. Vé letlen esemé nyek A tapasztalat szerint a beé rkezé s és a kiszolgá lá si idő véletlenszerű, tehát való színűségi változó . Természetesen nem elegendő ezt megállapítani, hanem statisztikailag meg kell ismerni a jelenséget és ez alapján kell a való színűség-eloszlást levezetni. Elõ ször is a vé letlen szó t kell megmagyarázni. Egy eseményrõ l akkor mondjuk, hogy véletlenü l következett be, ha létrejöttének okai egymástó l fü ggetlenek és oly számosak, hogy lehetetlen valamennyit megismerni, és az esemény létrejöttét meghatározó törvényeket feltárni. (Pl.: a jegypénztárhoz érkezés idõ köze és a jegykiadás idõ tartama.) Ha elég sok kísérletet végezhetü nk, vagy ha a jelenség elég sokszor ismétlõ dik, lehetõ ség nyílik arra, hogy a pró bák alapján következtetéseket vonjunk le és statisztikailag tanulmányozzuk a jelenséget. Tételezzü k fel, hogy megállapítjuk a jármû vek számát, amelyek egy ú ton meghatározott irányban egy perc alatt elõ ttü nk elhaladnak, és hogy ezt a mû veletet százszor megismételjü k. Az elsõ percben pl. 10 jármû vet, a másodikban 15-öt, a harmadikban 5-öt és így tovább, jegyeztü nk fel. Készítsü nk most egy táblázatot, amely megadja azoknak az eseteknek a számát (f = gyakoriság), amikor 0 jármû vet, 1, 2, 3... jármû vet jegyeztü nk fel. (k = kimenet)
15
k
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
f
0
0
1
3
5
10
12
14
15
12
9
7
5
3
2
1
1
0
és több
Azt tapasztaltuk, hogy pl. 10 esetben jegyeztü nk fel 5 jármû vet, 12 esetben 6 jármû vet, és így tovább. Így kvantitatíve ábrázolhatjuk a jelenséget. Ha a megfigyelések száma elég nagy, akkor a következõ tapasztalati szabályt rögzíthetjü k: Az E esemény való színû sége gyakorlatilag az n számú kedvezõ esetek és az N számú elemi esetek számának a hányadosa. (Kedvezõ eset az, amikor az E esemény elõ fordul.) Pl. mi a való színû sége annak, hogy az ú ton 5 jármû halad el 1 perc alatt: 10 P5 = = 0, 1. 100 Mi a való színû sége, hogy több mint 12 jármû halad el: 3 2 1 1 7 P13 + P14 +... P17 = + + + = = 0, 07 100 100 100 100 100 A való színû ség fogalma tehát konkrét értelmet ad a véletlen fogalmának. Egy jelenséget véletlen jelenségnek - való színû ségi változó nak - tekintü nk, ha minden lehetséges kimeneteléhez egy való színû séget rendelhetü nk. Ennek a való színû ségnek az értékét több-kevesebb pontossággal határozhatjuk meg. Természetesen az egyes jelenségek nem egyetlen és egyetemleges való színû ség eloszlásnak engedelmeskednek. Ezeknek a száma nagyon sok. Minden esetre nagyon gyakran tapasztalható , hogy bizonyos esetekben egy és ugyanazon való színû ség-eloszlás jelentkezik. Pl. a sorban állásnál a véletlen beérkezések csaknem általános eloszlása: Poisson-eloszlá s. 2.2.2. A Poisson-eloszlás Vizsgáljuk meg E azonos események sorozatát, amelyek idõ ben egymás után következnek. Pl. utasok érkezése a jegypénztárakhoz, jármû vek érkezése egy adott ponthoz., vonatok érkezése a pályaudvarra stb. A t idõ intervallumban bekövetkezõ események száma való színû ségi változó és k -val jelöljü k. Annak való színû sége, hogy a vizsgált idõ intervallumban k esemény bekövetkezik Pk t . A következõ feltételezésekkel élü nk:
bg
bg
a) A Pk t való színû ség csak a t idõ intervallumtó l fü gg, vagyis nincs összefü ggésben a kezdeti idõ ponttal. tehát a jelenség idõ ben homogén. b) Annak a való színû sége, hogy két esemény egyidejû leg következik be, elhanyagolható an kicsi. c) Ha nagyon kicsi ∆ t intervallumot választunk, akkor egy esemény bekövetkezésének való színû sége λ ⋅ ∆ t , ahol λ az átlagos érkezési ráta.
bg
Bizonyítható , hogy a Pk t való színû séget - vagyis annak való színû ségét, hogy t idõ alatt k esemény bekövetkezik - a következõ képlet adja meg:
16
bλ t ge P bg t = k
k
λ=
−λ t
k!
1 té
ahol k = 0, 1, 2...
, ahol t é az átlagos érkezési idõ höz.
Az elõ zõ ekben leírt jelenségnél 100 perc alatt el (lásd 11. oldal!). 100 té = és 803
λ=
(∑ f
)
= 100 803 jármû
(∑ f ⋅ k = 803) haladt
803 ≅ 8 jármû /perc. 100
bg
Az olyan sztochasztikus folyamatokat, amelyeknél Pk t a leírt való színû ségi törvényt követi, Poisson-folyamatnak nevezik, való színû ség-eloszlása: Poisson-eloszlá s. Amennyiben t idõ intervallum egységnyi (pl. 1 ó ra vagy 1 perc): λk Pk t = ⋅ e − λ k! A Poisson -eloszlás diszkré t eloszlá s típus. A várható érték: M t = λ ⋅ t ; itt t = 1 eseté n λ a szó rás σ = λ t ill. λ
bg
bg
ej
2.2.3. Exponenciális eloszlás Vizsgáljuk meg a Poisson folyamatot, de most az egymás után következõ idõ tartamok (követési idõ , érkezési idõ köz) eloszlását határozzuk meg. Annak való színû sége, hogy t idõ alatt egyetlen esemény sem következik be, azaz a követési idõ vagy érkezési idõ köz I é nem lesz kisebb t értéknél, a következõ képlettel fejezhetõ ki: P I é > t = P0 t = e − λ t
bg
b g bg Az eloszlás fü ggvény - vagyis annak való színsége, hogy két eseményt adott t-nél nem nagyobb idõ intervallum bg I választ el egymástó l - a következõ : Fbg t = Pb I ≤ tg = 1− e é
−λ t
é
Ezt az eloszlást exponenciá lis eloszlá snak nevezzü k. Ennek deriváltja pedig az idõ közök eloszlásának sû rû ségfü ggvénye: ’ f t = F t = λ e−λ t
bg bg
Az idõ közök várható értéke (átlagos érkezési idõ köz): 1 M Ié = λ 1 Szó rás: D=σ= . λ Az idõ közök szó ró dási együ ttható ja (variáció s együ ttható ), amely lényegében az idõ közöknek az átlagértéktõ l való relatív eltérést mutatja : σ V = =1 M(Ié )
bg
17
Leggyakrabban a kiszolgá lá si idõ is való színû ségi változó , amely igen sok esetben exponenciális eloszlású , azaz a sû rû ségfü ggvény f t k = µ e −µ t k ahol a kiszolgálási ráta: 1 µ= tk és t k az átlagos kiszolgálási idõ .
bg
Felmérésü nk rendszerbe foglalásához - vagyis, hogy a mintát kezelhetõ vé tegyü k - az idõ tartamokat (idõ közöket) osztályközökbe kell sorolni. Az idõ közök megválasztásához célszerû en kell a rendelkezésre álló adatokbó l az osztályközök nagyságát meghatározni. Az osztályközök optimális nagyságát - amikor idõ közökkel vagy kiszolgálási idõ vel dolgozunk, a G.A. Stredgers-féle képlettel célszerû meghatározni. I −I i = max min 1 + 3, 322 lg n ahol i - az osztályköz nagysága I max é s I min - az idõ közök max. és min. értékei n - az idõ közök darabszáma a felmérés során 2.2.4. Eloszlások vizsgálata Az érkezési folyamat és kiszolgálási idõ k eloszlás típusát illeszkedé s-vizsgá lattal kell igazolni. Ennek során azt vizsgáljuk, hogy az alapsokaságra vonatkozó hipotézisü nket a minta viselkedése igazolja-e. A vizsgálat lépései a következõ k: 1. Kiszámítjuk a mintábó l a változó empirikus értékeit. 2. Táblázatbó l kiolvassuk vagy kiszámítjuk a változó elméleti értékeit. 3. A gyakorlati helyzet ismeretében önkényesen megválasztjuk azt a való színû ségi szintet, amely mellett a vizsgálatot el akarjuk végezni. (Szokásos értéke 95 % ami a Statisztika tantárgybó l ismert 5 %-os szignifikancia szintnek felel meg.) 4. Ellenõ rizzü k, hogy az eloszlás jellegére tett hipotézis a tapasztalattal összhangban van-e. Ez az ellenõ rzés lényegében az illeszkedésvizsgálat. Az eloszlásvizsgálatokra a chi-négyzet-pró bát alkalmazzuk. Erre mutatunk be egy példát. A rendelkezésre álló adatok egy rendezõ pályaudvari vonatérkezés folyamatát reprezentálják. (82 ó rára vonatkozó adatot használunk fel). Az a hipotézisü nk, hogy a vonatérkezés folyamata Poisson-eloszlást követ. Az alapadatokat és a számított értékeket az 1. táblázat tartalmazza. 1. táblázat
18
b g bf − h g f −hh 2
k
fi
Pk
fi k
hi
i
i
i
i
i
0 1 2 3 4 5 6 -
4 16 29 17 13 2 1 82
0 16 58 51 52 10 6 193
0,0907 0,2177 0,2613 0,2090 0,1254 0,0602 0,0241 -
7,3 17,8 21,4 17,1 10,3 4,9 1,9 -
3,3 1,8 7,6 0,1 2,7 2,9 0,9 -
1,4917 0,1516 2,6990 0,0005 0,7077 1,7163 0,4263 7,1931
Az elsõ oszlop az ó ránkénti érkezések számát tartalmazza. A 2. oszlop ezek gyakoriságát jelenti. (Pl. ó ránként 3 vonatérkezés 17 esetben fordult elõ .) A 3. oszlop az összes vonatérkezésre vonatkozik. Pk - az elméleti eloszlás való színû ségei (Poisson-eloszlás) h i - a Pk értékéhez tartozó elméleti gyakoriság. (Pk ⋅ ∑ fi ) Az utolsó oszlop értékeinek összege a χ 2 eloszlás empirikus értékét adja. χ
bf − h g =∑ 2
r
2
i
i =1
i
hi
ahol fi hi r
-
az i-dik ismérvváltozathoz (osztályközhöz) tartozó gyakoriság a mintában az i-dik ismérvváltozathoz (osztályközhöz) tartozó gyakoriság az alapsokaságban (a feltételezett eloszlás alapján) a megkü lönböztetett ismérvváltozatok (osztályközök) száma
A számítás eredménye χ 2 = 7,1931. Az ellenõ rzést a chi-kvadrát pró ba alkalmazására rendelkezésre álló , a matematikai statisztika tárgyú szakkönyvekben közölt kritikus értékek alapján kell elvégezni. E szerint a következõ - meghatározott való színû ségi szint és számított szabadságfok (DF) mellett - feltétel fennállásának teljesü lése szü kséges az illeszkedéshez: χ 2 < χ 20 , ahol χ 2 a
d
i
számítás eredményeként kapott, χ pedig az említett statisztikai táblázatbó l kiolvasott érték. A vizsgált példánál, az ilyen esetben szokásos 95 %-os statisztikai biztonsággal számolunk. ez azt jelenti, hogy a feltételezést 95 %-os való színû séggel kívánjuk igazolni, ami 5 %-os szignifikancia szintnek felel meg, vagyis α = 1 - P = 0,05. A szabadságfok számát a következõ mó don lehet számítani. DF = d - 1 - s ahol : d - a vizsgálat során elõ fordult osztályközök (ismérvváltoza- tok) száma, példánkban d = 7; s a számításban szereplõ , a való ságbó l ténylegesen felhasznált paraméterek száma, Poisson-eloszlásnál mindössze λ -val számolunk, így s = 1 . DF = 7 - 1 - 1 = 5 2 0
19
Ily mó don a DF = 5- nél és 95 %-os megbízható ság, illetve 5 %-os szignifikancia szintnél a chikvadrát értéke χ 20,05 = 11, 1 . Ezek után megállapítható , hogy a fenti feltétel, amely a feltett hipotézis bizonyítására szolgál. (7,19 < 11,1) : 95 % -os értéknél teljesü l, ami azt jelenti, hogy a vonatérkezés folyamata Poisson-eloszlás segítségével leírható . Az 1. táblázat adataibó l következõ en az érkezési ráta (ami szü kséges a Pk értékek meghatározásához): 193 λ= = 2 , 353 ≈ 2 , 4 vonat / óra. 82 (Ezt az értéket az egycsatornás rendszereknél bemutatásra kerü lõ példánál fogjuk felhasználni.) 2.2.5. A sorbanállási rendszerek vizsgálata A sorbanállási rendszerek elemzésekor általában az alábbi kérdésekre kaphatunk választ. a) Mekkora a való színû sége annak, hogy a rendszerben, vagyis a várakozó sorban és kiszolgálás közben "n" egység tartó zkodik Pn ? b) Mi a való színû sége annak, hogy várakozás keletkezik P t v > 0 ?
bg
ej
b g
c) Mekkora a várakozó sor átlagos hossza L , és a rendszerben tartó zkodó k átlagos száma
ej n ?
( )
d) Mekkora az átlagos várakozási idõ t v ? Mint már korábban kifejtettü k, a sorbanállási rendszerek szerkezete igen kü lönbözõ lehet. A következõ kben csak néhány leggyakrabban elõ forduló , viszonylag egyszerû szerkezetû sorban állási rendszer jellemzõ inek meghatározási mó dszerét ismertetjü k a matematikai összefü ggések levezetése nélkü l. Valamennyi ismertetésre kerü lõ rendszernél - a beérkezés Poisson-eloszlású (az érkezési idõ közök eloszlása exponenciális), - a kiszolgálási idõ k exponenciális vagy tetszõ leges eloszlású ak, vagy állandó ak, - a kiszolgálásban nincs prioritás, - a várakozó k tü relmesek, - a sorban állási jelenség permanens (Pn az idõ tõ l fü ggetlen), - az érkezés korlátlan forrású .
2.3. Egycsatornás kiszolgálórendszerek Egycsatornás kiszolgáló rendszerről akkor beszélü nk, ha a kiszolgálásra érkezők igényeit egyetlen kiszolgáló hely (csatorna) elégít ki. Az érkezési folyamat λ paraméterű, a kiszolgálási idő eloszlásának paramétere µ . A
bg
λ hányadost forgalmi intenzitá snak ρ nevezzü k. µ
20
É rtéke egycsatornás rendszernél kisebb mint egy. Ugyanis - ha λ > µ vagyis az idõ egység alatti érkezés meghaladja az idõ egység alatti kiszolgálás számát korlátlan forrású érkezés esetén végtelen hosszú és állandó an növekvõ várakozó sor keletkezik. 2.3.1. Exponenciális eloszlású kiszolgálási idő Tegyü k fel, hogy a vasú tállomási pénztárhoz az utasok λ paraméterû Poisson-eloszlás szerint érkeznek. A kiszolgálás (jegyárusítás) ideje legyen µ paraméterû exponenciális eloszlású . a)
Annak való színû sége, hogy a rendszerben "n" egység tartó zkodik:
Fλ I F1 − λ IJ P = GJ G Hµ KH µ K n
n
n = 1, 2 , 3...
λ <1 µ λ hányados behelyettesítésével ρ= µ 0<
ahol a
b g n = 0 értéknél P =b 1 − ρg , ami a nem várakozás való színû sége. Pn = ρ n 1 − ρ ,
az
0
Pn kifejezhetõ az alábbi képlettel is, amit rekurzív formulának nevezü nk. Pn = ρ ⋅ Pn −1 b)
b g
A várakozás való színû sége P t v > 0 egyszerû en a nem várakozás kiegészítõ való színû ségeként oldható meg.
b g
b g A várakozó sor átlagos hossza ej L . Ha a rendszerben található egységek száma n, a P t v > 0 = 1 − P0 = 1 − 1 − ρ = ρ
c)
várakozó sor hossza: L = n , ha n = 0 L = n - 1, ha n > 0 A várakozó sor átlagos hossza azonban L ≠ n −1 hanem: L = n − 1 − P0 = n − 1 + P0 mivel a kiszolgáló hely nem mindig foglalt és a kiszolgáló helyen található egységek száma nem 1, hanem 1 − P0 . A P0 = 1 − ρ érték behelyettesítésével kapjuk
b g
L = n−ρ ahol - n a rendszerben található egységek átlagos száma, n meghatározása a következõ mó don történik:
ρ - a forgalom intenzitás.
∞
n = ∑ n ⋅ Pn = 0 ⋅ P0 + 1⋅ P1 + 2 ⋅ P2 +... + n ⋅ Pn n=0
21
Más megközelítésben: ∞
n = ∑ n ⋅ ρ n (1 − ρ) = (1 − ρ)∑ n ⋅ ρ n = n=0
(
)
= (1 − ρ) ρ + 2ρ 2 + 3ρ 3 + 4ρ 4 +L = = ρ − ρ 2 + 2ρ 2 − 2ρ 3 + 3ρ 3 + ... = ρ + ρ 2 + ρ 3 + ... =
d
i
= ρ 1 + ρ + ρ2 +...
Mivel ρ < 1 , az 1 + ρ + ρ 2 + ...+ρ Ezért
n
határértéke :
1 1− ρ
λ µ
λ ρ λ µ n= = = = 1− ρ 1− λ µ − λ µ − λ µ µ Tehát a rendszerben levõ egységek átlagos száma csak a forgalom intenzitástó l, ill. az érkezési és kiszolgálási rátátó l fü gg. A várakozó sor átlagos hossza tehát: L = n−ρ =
d)
ρ ρ2 λ2 −ρ = = 1− ρ 1− ρ µ µ − λ
b g
Az átlagos várakozási idõ a sorban tv =
L n λ = = λ µ µ µ−λ
b g
Azért mert feltételezhetjü k permanens állapot esetén, hogy átlagosan ugyanennyi kiszolgálandó egység távozik, mint ahány érkezik. Á tlagos tartó zkodási idõ a rendszerben: n ρ 1 tn = = = λ λ 1− ρ µ−λ
b g
Példa : A 2.2.4. pontban kimutattuk, hogy a vonatok érkezési folyamata Poisson-eloszlást mutat. Tegyü k fel, hogy egy vonatátvevõ brigád végzi a vonat-átvételt. Az elõ zetes számítások alapján a vonatok érkezési rátája λ = 2,4 vonat/ó ra. A vonat-átvevõ brigád teljesítménye µ = 3 vonat/ó ra és exponenciális eloszlást mutat. Kérdés : Mekkora az átlagos sorbanállási idõ és a várakozó sor hossza? λ 2, 4 ρ= = = 0, 8 < 1 , µ 3 tehát elvileg egy vonatátvevõ brigád elegendõ a vonatátvételhez.
22
A várakozó sor átlagos hossza: ρ2 0, 82 L= = = 3, 2 vonat. 1 − ρ 1 − 0, 8 A rendszerben levõ egyedek várható értéke: ρ 0, 8 n= = = 4 vonat. 1 − ρ 0, 2 Annak való színû sége, hogy a rendszerben nincs vonat Po = 1 − ρ = 0, 2 A sorban állási idõ átlaga: L n 4 t v = = = = 1, 33 ó ra λ µ 3 A rendszerben eltöltött idõ n 4 tn = = = 1, 66 ó ra λ 2, 4 Láthatjuk, hogy 1 t n − t v = 0,33 = = 20 perc, µ megegyezik a kiszolgálási idõ várható értékével. Ekkora várakozási idõ esetén célszerû nek látszik a kiszolgáló csatornaszám növelése. 2.3.2. Tetsző leges eloszlású kiszolgálási idő Az elõ zõ pontban ismertetett összefü ggések akkor alkalmazható k, ha a kiszolgálási idõ k exponenciális eloszlású ak, vagyis a szó ró dási együ ttható V = 1. A szó ró dási együ ttható azonban a gyakorlatban - kü lönösen a rendezõ pályaduvari folyamatoknál - általában eltér egytõ l. Gyakran 0,5 körü li érték, ami a fenti képletekkel történõ számítás esetén hibás eredményt adhat. Vagyis a kiszolgálási idõ nem exponenciális eloszlású . A kiszolgálási idõ tetszõ leges eloszlása esetén a probléma jó l közelíthetõ egy korrekció s tényezõ vel, amely figyelembe veszi a kiszolgálási idõ szó ró dási együ ttható jának értékét is. A 1 + v2 korrekció s tényezõ : . 2 A rendszerben levõ egyedek átlagos száma: ρ 1 + v2 n= 2 1− ρ Láthatjuk, hogy exponenciális eloszlási kiszolgálási idõ esetén ρ n= 1− ρ ami megegyezik az elõ zõ pontban leírtakkal. A sorban várakozó k átlagos száma: ρ2 1 + V 2 L= 2(1 − ρ)
d i b g
(V = 1)
d i
23
A rendszerben tartó zkodás átlagos ideje: ρ 1 + V2 1 + V2 = tn = 2λ 1 − ρ 2µ 1 − ρ A sorban eltöltött átlagos várakozási idõ : ρ2 1 + V 2 ρ 1 + V2 = tv = 2λ 1 − ρ 2µ 1 − ρ Ezeket az összefü ggéseket tehát abban az esetben lehet alkalmazni, ha az érkezés folyamata Poisson-eloszlású , a kiszolgálási idõ k eloszlása tetszõ leges, amit általában Erlang vagy normális eloszlással lehet leírni, és ezeknél meghatározzuk a szó ró dási együ ttható , V értékét.
d i b g b g d i d i b g b g
Amennyiben a kiszolgálási idõ állandó azaz V=0, például a sorban töltött várakozási idõ : ρ tv = , éppen fele az exponenciális eloszlású kiszolgálási idõ nél 2µ 1 − ρ meghatározottnál.
b g
Példa: Tegyü k fel, hogy az elõ zõ pontban bemutatott példa további vizsgálata során eljutunk a gurítási folyamathoz. A vonatátvétel befejezési idõ közei exponenciális eloszlású ak, ahol λ = 2,3 vonat/ó ra A guritó domb foglaltsági ideje (gurítási + betologatási idõ ) tetszõ leges eloszlású : 60 t gf = 17 perc σ=7 µ= ≈ 3,4 vonat / ó ra 17 tehát 7 V= = 0, 4 17, 5 A forgalomintenzitás λ 2, 3 ρ= = = 0, 68 µ 3, 4 A gurításra váró várakozás átlagos ideje: 0, 68 1 + 0, 4 2 ρ 1 + V2 tv = = = 0, 36 óra 2µ 1 − ρ 2 ⋅ 3, 4 1 − 0, 68
d i b g
d b
i g
A várakozó szerelvények átlagos száma: ρ 2 1 + v2 0,682 1 + 0,4 2 L= = = 0,83 vonat. 2 1− ρ 2 1 − 0,68
d i b g
d i b g
2.4. Tö bbcsatornás kiszolgálórendszerek Többcsatornás várakozó sorokró l akkor beszélü nk, ha a kiszolgálásra érkezõ k igényeit párhuzamosan több kiszolgáló hely elégíti ki. Az ilyen jellegû feladatok elsõ sorban akkor vetõ dnek fel, amikor a várakozási idõ k olyan tetemesek, hogy elõ térbe kerü l a kiszolgáló -csatornák optimális számának meghatározása.
24
(Pl. mennyi legyen az egyidejû leg nyitvatartó pénztárak száma csú csforgalmi idõ ben, a vonatátvevõ brigádok, guritó mozdonyok optimális száma vagy benzinkú tnál a töltõ helyek optimális száma, stb.) λ Több kiszolgáló csatorna esetén a ρ = hányadost ugyancsak forgalmi intenzitásnak µ nevezzü k, feltételezve, hogy az összes kiszolgáló csatornán ugyanazzal az µ kiszolgálási rátával van dolgunk, és a kiszolgálási idõ k eloszlása megegyezik. E feladatoknál ρ >< 1 lehet, viszont ρ < S egyenlõ tlenségnek kell fennállni, hogy a sor ne növekedjen minden határon tú l. S = a kiszolgáló csatornák száma. 2.4.1. Exponenciális kiszolgálási idő Tegyü k fel, hogy egy pályaudvar rakodó vágányán egyidejû leg több targonca végzi a vagonok kirakását, amint egy vagon kiü rü lt, azonnal hozzákezdenek a következõ kirakásához. A vagonok érkezése folyamatos. a)
Annak való színû sége, hogy a rendszerben "n" egység tartó zkodik: ρn Pn = ⋅ P0 ha 1 ≤ n ≤ S n! és ρn Pn = ⋅ P0 ha n ≥ S S!⋅ S n − s A képletben szereplõ P0 értéke a következõ :
LM O ρ ρ P P =M +∑ P ρI k! P F M S ! 1 − G J M P H K N S Q , tekintet nélkü l arra, hogy milyen idõ tartamú A várakozás való színû sége: Pb t > 0g −1
S
S −1
k
0
k =0
b)
v
várakozásró l van szó egyszerû en meghatározható , mint annak való színû sége, hogy "n" nagyobb vagy egyenlõ mint "S", azaz a rendszerben levõ egységek száma nagyobb vagy egyenlõ mint a kiszolgáló csatornák száma:
b g b g
∞
P t v > 0 = P n ≥ S = ∑ Pn = PS + PS +1 +... n= s
Ha n = S, akkor a beérkezõ egység várakozni kénytelen, még inkább, ha n > S . A Pn értékeket behelyettesítve kapjuk: ρS P tv > 0 = P ρ 0 S! 1 − S A várakozó sor átlagos hossza: ∞ ρS + 1 L = ∑ n − S Pn = P 2 0 ρ n = S +1 S ⋅ S! 1 − S
b g F I G H JK
c)
b g
F IJ G H K
A rendszerben található elemek száma:
25
∞
n = ∑ n ⋅ Pn = L + ρ n=0
Az el nem foglalt állomások (csatornák) átlagos száma: S
b g
S = ∑ S − n Pn = S − ρ n=0
Az átlagos várakozási idõ : L ρS tv = = P 2 0 λ ρ µ ⋅ S ⋅ S! 1 − S Példa: A 2.3.1 pontban (19.oldal) bemutatott példát oldjuk meg, 2 vonatátvevõ brigád esetén. S=2 λ = 2,4 vonat/ó ra µ = 3 vonat/ó ra ρ = 0,8 A várakozó sor átlagos hosszához elõ ször P0 értékét számítjuk ki: 1 1 P0 = = = 0, 43 2 0, 8 2 , 33 + 1 + 0, 8 2 1 − 0, 4 0, 83 L= ⋅ 0, 43 = 0, 15 2 2 ⋅ 2 1 − 0, 4 d)
F IJ G H K
b g
b g
L 0, 15 = = 0, 06 óra ≈ 4 perc , λ 2, 4 tehát látható , hogy a második kiszolgáló csatorna bevezetése nagyságrendekkel csökkenti a várakozási idõ t és a várakozó k számát. tv =
2.4.2. Tetsző leges eloszlású kiszolgálási idő A tetszõ leges eloszlású kiszolgálás - mint tudjuk - V < 1 esetben lép fel. Ebben az esetben, hogy az exponenciális eloszlás alkalmazott összefü ggései ne torzítsák az eredményt, az alábbi képletekkel kell számolni, felhasználva a már bevezetett korrekció s tényezõ t: A várakozó sor átlagos hossza: ρS + 1 1 + V 2 L= P 2 0 ρ 2 ⋅ S ⋅ S! 1 − S Az átlagos várakozási idõ a sorban: ρS 1 + V 2 tv = P 2 0 ρ 2 µ ⋅ S ⋅ S! 1 − S A fenti értékek kiszámítása elegendõ a sorbanállási rendszer elemzéséhez. Determinált kiszolgálási idõ k esetén V = 0 értékkel számolunk, tehát a 0,5- ös szorzó tényezõ t alkalmazzuk.
d F G H
i IJ K
d i F IJ G H K
Példa: 26
Személypénztárak nyitva tartási rendjének meghatározása. Hány pénztárat kell egy nagy forgalmú vasú tállomáson nyitvatartani csú csforgalmi idõ ben, hogy az átlagos várakozási idõ a sorban ne haladja meg a 3 percet. Az érkezés folyamata Poisson, az utas-érkezés rátája: λ = 4 utas/perc. A pénztárak kiszolgálási rátája µ = 2 utas/perc. Tehát t k = 0,5 perc; σ = 0,4 perc; vagyis V = 0,8 . λ 4 = =2 µ 2 Az ilyen típusú feladatokat általában nem S-re oldjuk meg, hanem S kü lönbözõ értékeihez meghatározzuk a t v értékeket és azt választjuk, amelyik a feltételt teljesíti. Elõ ször a ρ < S feltétel értelmében S = 3 ρ=
LM O 2 2 4P 1 +1+ + P = P =M F1 − 2 IJ 1 2 P 9 M 3!G M P NH 3 K Q 2 d 1 + 0, 8 i 1 t = ⋅ = 0, 8 perc F1 − 2 IJ 9 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2G H 3K −1
3
0
3
v
2
2
tehát a feltételt 3 pénztár nyitva tartásával biztosítani tudjuk.
2.5. Gyakorlófeladat Egy rendezõ pályaudvaron az irányvágányokon a gyû jtési folyamat befejezése Poisson eloszlás szerinti. A befejezési idõ közök átlaga 50 perc a) A tolató mozdony az irányvágányokró l 40 percenként állít át egy szerelvényt az indító vágánycsoportra. b) A tolató mozdony 37 perces ciklusidõ vel — amelynek szó rása 27 perc — , normális eloszlás szerint állítja át a szerelvényeket az indító vágánycsoportra. Határozza meg a szerelvények irányvágányokon való várakozásának átlagos idõ tartamát és az átállításra váró szerelvények átlagos számát mindkét esetre. Milyen következtetést lehet levonni az eredmények értékelése alapján? Milyen változást eredményezne a 2. átállító mozdony beállítása?
2.6. Ellenő rző ké rdé sek 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7.
Miben kü lönbözhet a sorbanállási rendszerek szerkezete? Mit értü nk való színû ségi változó n? Mi az illeszkedésvizsgálat és hogyan végezzü k? Mondjon mó dszert az osztályközök optimális nagyságának meghatározására. Milyen feltételnek kell teljesü lni az egy és több csatornás sorbanállási rendszereknél? Mire keresü nk választ a sorbanállási rendszer vizsgálat során? Mi a kü lönbség az exponenciális eloszlású , illetve az adott szó rású , tetszõ legese eloszlású kiszolgálási folyamat hatásait illetõ en?
27
28
3. Ké szletgazdálkodási modellek 3.1. Á ltalános ismerteté s, alapfogalmak A készletgazdálkodási modellek a döntéselőkészítésnek jelentős fejezetét alkotják. A készletezési problémák, célkitűzések egzakt megfogalmazása, megoldása és rendszerezése kialakította a készletmodellek sajátos fogalomrendszerét és megoldási mó dszereit. Készleteket rendszerint azért tartunk, hogy valamely szü kségletet, igényt kielégítsü nk. A szó ban forgó anyag iránti igény a készlet fogyását idézi elõ . Gondoskodni kell tehát idõ ben a raktárkészlet pótlá sá ról, feltöltésérõ l. A készletgazdálkodás az a tevékenység amikor abban kell dönteni, hogy mikor és mennyit rendeljü nk az adott termékbõ l. ### Mikor rendeljü nk? Erre a kérdésre kétféle választ adhatunk: a) rögzített idõ közönként (t), pl. havonta, hetente, stb. b) akkor rendelü nk, ha a felhasználás egy elõ re megadott minimális készletszintet tú lhalad (s) ### A mennyit rendeljü nk kérdésre is több válasz adó dik a) mindig egy állandó mennyiséget rendelü nk (q) b) annyit rendelü nk, hogy a készletszintet egy elõ re megadott maximális készletszintre töltsü k fel (S) A kérdésre adott válaszok alapján beszélhetü nk (t; q), (s; q), (t; s), (s; S) készletezési mechanizmusró l. A megrendelés feladásátó l a megrendelt mennyiség raktárba érkezéséig eltelt idõ t utá npótlá si idõ nek nevezzü k. Az utánpó tlási idõ alatt is történhet kivételezés a raktárbó l, tehát ezen idõ alatt is fedezni kell a szü kségleteket. Az á rubeá ramlá s é s kiá ramlá s együ ttesen meghatározzák a raktárkészlet idõ beni alakulását, melyet koordináta-rendszerben ábrázolhatunk. Ezen a fü ggõ leges tengelyen a raktárkészlet (Q) szerepel, a vízszintes tengelyen az idõ (t). (5. ábra) A készletgazdálkodással kapcsolatos költségek jelentõ s szerepet játszanak a készletmodellekben. Három alapvetõ csoportba osztható k: a) a rendelé si ill. beszerzési költségek, melyek a raktár feltöltésével kapcsolatosak, b) a raktá rozá si kö ltsé gek, amely magába foglalja a raktár fenntartásának, az eszközlekötésnek, kamatnak, veszteségeknek stb. költségeit, c) a hiá nykö ltsé g, amely a raktárhiány okozta termeléskiesést, nyereségkiesést stb. jelenti. A rendelési költség lehet a rendelési tétel nagyságátó l fü ggetlen, vagy a tétel nagyságával arányos költség. A raktározási költséget a készlet raktáron eltöltött idejével arányos költségként definiáljuk, mégpedig a készlet egységnyi mennyisége idõ egységre esõ költségét adjuk meg.
29
Hasonló képpen határozható meg a hiányköltség is, vagyis az egységnyi hiány idõ egységre esõ költségként van megadva. A raktározandó készletek optimális nagyságának meghatározásához az optimum-kritérium többnyire a fenti költségek minimuma. A szü kségesnél nagyobb készletek esetén ugyanis a nagy eszközlekötés, helyigény stb. következtében a költségek megemelkednek, kisebb készletek pedig zavart és többletköltséget okoznak az adott termelési vagy szétosztási folyamatban. A készletezési modellek osztályozási szempontjai igen kü lönbözõ ek. A be- és kiáramlás törvényszerû sége szerint determinisztikus vagy sztochasztikus modellekrõ l beszélü nk. A be- és kiszállítás idõ beni változása szerint szakaszos be- és kiszállítás, vagy folyamatos beés kiszállítás illetve ezek kombináció ja lehet. A raktározási gyakorlatban legnagyobb gyakorisággal a szakaszos beszá llítá s - folyamatos kiszá llítá s (állandó idõ perió dussal és közel állandó tételnagysággal) fordul elõ . Ezért a legfontosabb törvényszerû ségeket e modell bemutatásán keresztü l fogjuk tárgyalni. A ké szletvá ltozá ssal ö sszefü ggõ fontosabb alapfogalmak között a nyitó - és záró készletet, a jelentéskötés készletet, a rendelési tételnagyságot, a biztonsági készletet, a maximális készletet, az idõ egységre vonatkoztatott szü kségletet, az utánpó tlási idõ t, a rendelési idõ közt kell megemlítenü nk.
30
A nyitóké szlet zá róké szlet
(Q z )
(Q ) ny
5. ábra a készletpolitika kialakítását képezõ
idõ szak indulásakor, a
az idõ szak lezárásakor rendelkezésre álló árukészlet. A raktározási
gyakorlatban az idõ szakonként esedékes leltározás során felvett készletet is nyitó -, vagy záró készletként szokás kezelni.
di
A jelenté skö té s ké szlet Q j a megrendeléstõ l a rendelt tétel leszállításáig eltelt (utánpó tlási) idõ alatti szü kséglet. Ha készlethiányt nem engedü nk meg, vagy ha a biztonsági készletet állandó értékben akarjuk tartani, a jelentésköteles készletszint elérésekor tételrendelést kell feladni. A rendelé si té telnagysá g (q) az esetenként megrendelt árumennyiség. A biztonsá gi ké szlet (Q b ) tartalékolt árumennyiség, amely a forgalom (kereslet) véletlen ingadozásai mellett is kellõ biztonságú kereslet-kielégítést tesz lehetõ vé. A maximá lis ké szlet (S) a rendelési tételnagyság és a biztonsági készlet összege: S = q + Q b . Az idõ egysé gre vonatkoztatott szü ksé glet (B) lehet meghatározott (determinisztikus) és véletlenszerû (sztohasztikus). Az utá npótlá si idõ t p a megrendeléstõ l a q mennyiségé leszállításáig eltelt idõ .
( )
A rendelé si idõ kö z (t) a rendelési tételnagyság és az idõ egységre vonatkoztatott szü kséglet q hányadosa: t = . B A készletezés normális lefolyását - a fenti alapfogalmak jelölésével - az 5. ábra szemlélteti.
31
3.2. Determinisztikus ké szletmodellek 3.2.1. Optimális rendelé si té telnagyság modellje Vizsgáljuk meg a modellt készlethiány kizárása mellett. A raktárkészlet idõ beni változását a 6. ábra szemlélteti. 6. ábra. A t’ idõ pontban minimálisra (0biztonsági határára) q nagyságú érkezik, intervallumban Ha nem engedü nk megrendelt q leszállítási megrendeléstõ l a leszállításig Q j mennyiség fogy el. A megrendelést
a ra,
készlet vagy a készlet csökken. Ekkor rendelt tétel amelyet t fogyasztanak el. készlethiányt meg és t p a mennyiség ideje, a t" - t p idõ pontig fel
kell adni, mivel csak így kerü lhetõ el a készlethiány. Az optimális tételnagyság megállapításakor a költségek minimalizálására törekszü nk. A készletezéssel kapcsolatos összköltség (K) a raktározási ( K1 ) és a rendelési ( K 2 ) költségek összege. Vagyis a célfü ggvény: K = K1 + K 2 → min. A raktá rozá si kö ltsé g a biztonsági készlet figyelmen kívü l hagyása mellett: q K1 = c1 ⋅ ⋅ T (Ft), 2 ahol : c1 - raktározási egységköltség (Ft/db, nap), q - a rendelési tételnagyság (db), T - a vizsgált idõ szak (nap). q (a = q á az átlagosan raktározott készlet; lásd 6. ábra) 2 A rendelé si kö ltsé g: B K 2 = ⋅ c 2 (Ft), q ahol : B - a vizsgált idõ szak szü kséglete (db), c 2 - a tételenkénti rendelési költség, a tételben foglalt fü ggetlen (Ft).
mennyiségtõ l
A tételenkénti rendelési költség általában magában foglalja a megrendelés jelentés, az átvétel adminisztrálás, a számlafolyó sítás, az esetleges sorozatbeindítás (gyártás elõ készítés) stb. költségeit. Az ö sszkö ltsé g a fentiek alapján (a vizsgált idõ szakra vetítve):
32
q B K = c1 ⋅ ⋅ T + ⋅ c 2 (Ft). 2 q Költségoptimum ott lesz, ahol a q szerinti elsõ differenciálhánya-dos 0, vagyis: dK c1 ⋅ T B = − 2 ⋅ c2 = 0 dq 2 q Az egyenletet q-ra rendezve az optimá lis té telnagysá got kapjuk : q0 = 2 ⋅
B ⋅ c2 T ⋅ c1
A K = f(q) fü ggvényt ábrázolva tehát alulró l nézve konvex görbét kapunk (7. ábra), amelynek minimum pontja az optimális rendelési tételnagyság melletti minimális költséget adja. 7. ábra Az optimális tételnagyság
rendelési ismeretében
meghatározható k az optimális rendelési idõ közök és az optimális összköltség. A rendelések számát (r) meghatározó összefü ggés: B T = , qo t0 amelybõ l az optimá lis rendelé si idõ kö z: r=
t0 =
T ⋅q0 = B
2 ⋅ c2 ⋅ T c1 ⋅ B
A q -ra kapott összefü ggést a kéttagú ö sszkö ltsé get kapjuk:
költségképletbe helyettesítve az optimá lis
K 0 = 2 ⋅ B ⋅ T ⋅ c1 ⋅ c 2 Pé lda : Elõ készítendõ egy raktár alkatrész utánrendelési menetrendje, ha a raktározási politikáját március 1-én kívánja bevezetni, és az utánpó tlási idõ 30 nap. A napi felhasználás 20 db alkatrész.
33
A raktározási költség: 5 Ft/db, nap. A rendelési költség: 500 Ft/tétel. Biztonsági készlettel nem kell számolni. Tehát: B = 20 db/nap c1 = 5 Ft/db, nap c 2 = 5000 Ft/tétel B ⋅ c2 20 ⋅ 5000 q0 = 2 = 2 = 200 db T ⋅ c1 1⋅ 5 t0 =
T ⋅ q 0 200 = = 10 nap B 20
Az utánrendelési naptár: Az elsõ tételt (200 db) 30 nappal, a második tételt 20 nappal, a harmadik tételt 10 nappal március 1. elõ tt rendeljü k meg, majd folyamatosan 10 naponként. 3.2.2. Optimális té telnagyság modell, hiány eseté n Ha a raktározásban készlethiányt engedü nk meg a szü kségletek nem elégíthetők ki folyamatosan. Minden t időszakban t 1 időn keresztü l a szü kséglet kielégíthető, t 2 időn keresztü l készlethiány adó dik. A t 2 idő alatti szü kséglet a következő tétel leszállításakor - a raktárba való beszállítás nélkü l elégíthető ki, így a raktározandó mennyiség q’ értékre csökken.
8. ábra. A t 1 és a t 2 idők a t, q és q’ fü ggvényeként fejezhető ki: A 8. ábrán adó dó háromszögek alapján ugyanis az alábbi aránypárok írható k fel: t1 q ’ t q − q’ = , illetve 2 = t q t q amelybõ l q’ q − q’ t 1 = t , illetve t 2 = ⋅t q q 34
A szü kségletek kielégítésének késése (termeléskiesés, kötbér, nyereségkiesés stb.) miatt c 3 (Ft/db, nap) hiányköltség adó dik, így a készletmodell is megváltozik. A költségfü ggvény fajlagos (egy tételre vetített) részköltségekbõ l építhetõ fel az alábbiak szerint. A fajlagos raktá rozá si kö ltsé g. q’ k 1 = ⋅ c1 ⋅ t 1 (Ft/tétel) 2 A fajlagos rendelé si kö ltsé g: k 2 = c 2 (Ft/tétel) A fajlagos hiá nykö ltsé g: q − q’ k3 = ⋅ c 3 ⋅ t 2 (Ft/tétel) 2 A felmerü lõ globá lis kö ltsé g: K = k 1 + k 2 + k 3 ⋅ r (Ft)
b
g
B T = (a T idõ szak alatti rendelések száma). q t A részköltségekbe a t 1 és a t 2 fent levezetett értékeinek behelyettesítése, és az alapmû veletek elvégzése után az alábbi kétváltozó s költségfü ggvényt kapjuk: 2 q − q ’ ⋅ T ⋅ c3 q ’2 ⋅T ⋅ c1 B K bq ,q ’g= 2 + ⋅ c2 + 2⋅q q 2⋅q A szélsõ értékek parciális differenciálással határozható k meg. A q szerinti parciális differenciálhányados: dK q ’2 ⋅T ⋅ c1 B T q ’2 K’bg = =− − 2 ⋅ c2 + ⋅ c3 1 − 2 = 0 , q dq 2 ⋅q2 q 2 q amelybõ l 2 B ⋅ c2 c 3 ⋅ q 2 − q ’2 c1 + c 3 = (1) T a q’ szerinti parciális differenciálhányados: dK q ’ ⋅T ⋅ c1 q’ K’bg =− − c3 ⋅ T + ⋅ T ⋅ c3 = 0 , q’ = dq ’ q q amelybõ l c3 q’ = q (2) c1 + c 3 ahol r =
b g
F IJ G H K
b g
Ha a második differenciálhányadost is meghatároznánk, azt találnánk, hogy a K"bg > 0 illetve K"bg > 0 , tehát az elsõ differenciálhányados 0 értékénél a fü ggvénynek q q’ minimuma van. A 2. összefü ggést az 1. összefü ggésbe helyettesítve és q-ra rendezve az optimá lis rendelé si té telnagysá got kapjuk:
35
q = q0 =
2 B ⋅ c2 c +c ⋅ 1 3 c1 ⋅ T c3
A 2. összefü ggést q-ra rendezve és azt az 1. összefü ggésbe helyettesítve meghatározható az optimális készlet nagysága: 2 B ⋅ c2 c3 q ’ = q ’0 = ⋅ , illetve c1 ⋅ T c1 + c 3 c3 = q 0 ⋅ρ c1 + c 3 ahol ρ a hiány, vagy kiesés rátája. q ’0 = q 0 ⋅
Az optimá lis rendelé si idõ kö z: to =
T ⋅q0 = B
2 c 2 ⋅ T c1 + c 3 ⋅ c1 ⋅ B c3
36
Az optimá lis ö sszkö ltsé g: K 0 = 2 B ⋅ T ⋅ c1 ⋅ c 2 ⋅
c3 c1 + c 3
Jelöljü k q 10 , t 10 és K10 -vel q 0 , t 0 é s K 0 értékeit ρ = 1 esetén. (Ebben az esetben az elõ zõ fejezetben kifejtett - optimális rendelési tételnagyság modell - hiány megengedése nélkü li esetéhez jutunk.) Ekkor a fenti összefü ggések az alábbi egyszerû formában írható k fel: q1 q 0 = 0 ; q ’0 = q 10 ⋅ ρ , ρ t 10 ; K 0 = K10 ⋅ ρ ρ E szerint ρ < 1 hiányráta megengedése növeli q 0 é s t 0 , illetve csökkenti q ’0 é s K 0 értékeit. t0 =
Pé lda : Az elõ zõ példához kapcsoló dva legyen a hiány költsége 5 Ft/db/nap. A példában számított adatok: q 10 = 200 db ; t 10 = 10 nap ; A hiányráta: c3 5 ρ= = = 0, 91 c1 + c 3 5 + 0, 5
K10 = 36500 Ft/év.
Az optimális rendelési tételnagyság: q1 200 q0 = 0 = = 210 db ρ 0, 95 Az optimális készletnagyság: q 0’ = q 10 ⋅ ρ = 200 ⋅ 0, 95 = 190 db Az optimális rendelési idõ köz: t1 10 t0 = 0 = = 10, 5 nap ρ 0, 95 Az optimális költség: K 0 = K10 ⋅ ρ = 36000 ⋅ 0, 95 = 34675 Ft.
37
3.3. Sztochasztikus ké szlet-modell Á ltalá nos szempontok. A szü kségletek idõ beni alakulása rendszerint nem adható meg teljes bizonyossággal (nem determinisztikus), így csak sztochasztikus modellel írható le. A sztochasztikus jelenségekre vonatkozó ítéleteink csupán való színû ségi jellegû ek (csak meghatározott való színû séggel érvényesek), természetü k megismeréséhez, törvényszerû ségeik feltárásához nagyszámú megfigyelés, kísérlet és az eredményeknek matematikai statisztika és a való színû ségszámítás törvényein alapuló értékelése szü kséges. A szü kségletek normális eloszlása a legáltalánosabb, amelyekhez rendszerint determinisztikus szállítási határidõ k kapcsoló dnak. Esetenként a szállítási határidõ k is valamilyen statisztikai eloszlás szerint alakulhatnak. Ezért az optimális rendelési tételnagyság mellett olyan biztonsági készletet kell megállapítani, amely a szü kséglet és a szállítási határidõ változásait figyelembe veszi. A ké szletproblé ma megoldá sa. Az optimá lis té telnagysá g az ú n. egyszerû sített determinisztikus készletmodell segítségével határozható meg, azzal a kü lönbséggel, hogy a B helyébe B helyettesítendõ . Tehát
2 B ⋅ c2 , ahol c1 ⋅ T
q0 = n
B=
∑B
i
i =1
n A jelenté skö teles ké szlet nagyságát azonban ú gy kell meghatározni, hogy az utánpó tlási idõ alatti szü kséglet kellõ biztonsággal kielégíthetõ legyen. Jelöljü k
x -szel a jelentésköteles készletet és
t p -vel az utánpó tlási idõ alatt várható
szü kséglet: B ⋅ t p . Annak való színû sége, hogy az utánpó tlási idõ alatti tényleges szü kséglet nem haladja meg a jelentésköteles készlet nagyságát (a raktár szállítási készsége):
bg
Φ u =
u=
1 2π
z u
−
e
u2 σ2
du, ahol
−∞
x − B⋅ tp
σ A szü kséglet nem kielégítõ fedezésének való színû sége: P B⋅ t p > x = 1− Φ u .
e
j
bg
A jelenté skö teles ké szlet: x = B⋅ tp + u ⋅ σ
38
Az eddigiekben feltételeztü k, hogy az utánpó tlási idõ állandó . Ha az utánpó tlási idõ is normális eloszlást mutat, akkor B ⋅σ t p pó tló lagos szü kséglettel kell számolnunk. így a jelentésköteles készlet három részbõ l áll: 1. az utánpó tlási idõ alatti átlagos szü kséglet, 2. az utánpó tlási idõ alatti változó szü kségletet kiegyenlítõ biztonsági készlet, 3. az utánpó tlási idõ változásait kiegyenlítõ biztonsági készlet.
e
x = B ⋅ t p + u ρ + B ⋅ σt p
Tehát:
j
ahol t p - az átlagos utánpó tlási idõ σ t p - az utánpó tlási idõ szó rása σ - a szü kséglet szó rása u - a raktár szállítási készségét figyelembe vevõ biztonsági készlet. (Az utánpó tlási idõ alatti szü kséglet kielégítésének való színû ségét jelenti.) Φ(u) ismeretében u
tényezõ , ill.
meghatározható .
A biztonsá gi ké szlet:
e
Qb = u σ + B⋅ σ tp
j
Az á tlagos raktá rké szlet : Qá =
e
1 q0 + u ρ + B⋅ σtp 2
j
A maximá lis raktá rké szlet: S = q0 + Qb
3.4. Ellenő rző ké rdé sek 1. Ismertesse a készletváltozással összefü ggő alapfogalmakat. 2. Egészítse ki a 6. ábrát a B(szü kséglet) berajzolásával. 3. Milyen költségek merü lnek fel a készletgazdálkodás során és azok milyen mó don csökkenthetõ k, illetve optimalizálható k? 4. Milyen típusú készletgazdálkodási modelleket ismer, és mi a köztü k levõ kü lönbség? 5. Határozza meg az optimális rendelési tételnagyságot és rendelési idõ közt készlethiány kizárása mellett és készlethiány megengedése esetén. 6. Melyik megoldás gazdaságosabb és milyen feltételek esetén?
39
4. Szimulációs modellek Az eddig megismert mó dszerek tú lnyomó többsége az adott matematikai modell optimális megoldását állította elõ . A vállalati és gazdasági életben egyre bõ vü l azoknak a feladatoknak a köre, amikor nem valamilyen optimumot kívánunk meghatározni, hanem arra lennénk kíváncsiak, hogy miként viselkedik a vizsgált rendszer kü lönbözõ feltételek esetén. Az ilyen jellegû vizsgáló dások alkalmas eszköze és mó dszere a szimuláció .
4.1. A szimulációfogalma A szimuláció napjaink tudománya - elterjedése a digitális számító gépek megjelenésével kezdõ dött. Ezért kiforrott, egyértelmû en elfogadott definíció ja sincs. Szimulálni annyit jelent, mint utánozni. Ha tehát egy rendszert szimulálunk, akkor azt a rendszert valamilyen mó don utánozzuk. Ilyen értelemben tulajdonképpen minden matematikai (vagy szimbolikus modell) az adott rendszer szimuláció jának tekinthetõ . A szimuláció s mó dszerek azonban nem ezt jelentik. A matematikai szimuláció nem egyenlõ a való ság utánzásával. A szimuláció s mó dszerek segítségével ugyanis valamely rendszer viselkedését kívánjuk meghatározni. A szimuláció s modell alkalmazásával képesek vagyunk mesterségesen létrehozni azoknak a döntéseknek, beavatkozásoknak, eseményeknek a hatására bekövetkezõ - állapotoknak a sorozatát, amelyek leírják az illetõ rendszer vagy a rendszer néhány komponensének viselkedését egy bizonyos idõ intervallumban. Az, hogy a szimuláció a rendszer viselkedését, tevékenységét idõ ben képes vizsgálni a leglényegesebb kü lönbség az egyéb matematikai mó dszerekkel szemben. A szimuláció val egészen kicsiny és nagy, komplex gazdasági rendszerek lényegét is meg lehet határozni.. Ha egy vállalatot tekintü nk, akkor ezzel a rendszerrel kísérletezgetni tú l költséges, és megvaló síthatatlan lenne. Ezért a megfigyeléseket nem magán a konkrét rendszeren, hanem annak szimuláció s modelljén végezzü k. Kis rendszerek esetén ez még manuálisan is elvégezhetõ , de a nagy rendszerek szimulálása már számító gépet igényel. A szimuláció lényeges tulajdonságainak felsorolása után nézzü k meg, mit érthetü nk a mó dszer fogalmán. Morgenthaler szerint szimulálni annyi, mint "másolatot készíteni a rendszer vagy tevékenység lényegérõ l anélkü l, hogy magát a rendszert vagy tevékenységet ténylegesen érintenénk." Ennek megfelelõ en szimuláció nak nevezhetü nk egy olyan modell használatát, amely a tanulmányozott rendszer vagy folyamat lényeges jellemzõ it idõ beli alakulásukban tü krözi. A modellen olyan beavatkozások is eszközölhetõ k, amelyek az ábrázolt rendszeren a való ságban elvileg vagy gyakorlatilag végrehajthatatlanok lennének. Az ábrázolt rendszer viselkedésének dinamikájára a modell mû ködésébõ l következtethetü nk. Idõ nként azonos értelemben használják a szimuláció , és a Monte Carlo elnevezéseket. A Monte Carlo mó dszerek elnevezés az egy vagy több való színû ség-eloszlásbó l véletlenszerû en való számkiválasztás technikáját jelöli, amelyeket a szimuláció s vizsgálatok egy-egy kísérletében vagy futtatásában használnak fel. Véletlenszerû számkiválasztásra legalkalmasabb a véletlenszám számító gépes generálása vagy a rendelkezésre álló véletlenszámtáblázatok használata. 40
4.2. A szimulációszakaszai A bonyolult feladatok megoldása gyakorlatilag a programvezérlésû digitális számító gépek segítségével vált lehetõ vé. Bár a szimuláció egyszerû bb feladatoknál elvégezhetõ manuális ú ton is, de összetett problémákró l megbízható eredményt - amelyet a többszöri kísérletezés biztosíthat - csak számító gépekkel lehet gazdaságosan elérni. Ezért a szimuláció fontosabb munkafázisait elsõ sorban a számító gépek felhasználási lehetõ ségét figyelembe véve ismertetjü k. a)
A feladat meghatá rozá sa Ennek során meg kell fogalmazni a megoldással megválasztandó kérdéseket, az ellenõ rizendõ hipotéziseket és a megvizsgálandó hatásokat. A megoldandó feladat többnyire sztochasztikus folyamat.
b)
A valós rendszer tanulmá nyozá sa Meg kell határozni a rendszer vagy folyamat elemeit (komponenseit); a változó kat, amelyek a kü lönbözõ rendszerállapot mellett kü lönbözõ értékeket vesznek fel; a változtatható paramétereket; az elemek és változó k közti strukturális, fü ggvény és idõ beli kapcsolatokat, összefü ggéseket.
c)
A matematikai modell meghatá rozá sa Az elõ zõ ek alapján a modell leírása az absztrakció k figyelembevételével.
41
d)
A modell kié rté kelé se A való sághû ség ellenõ rzése abbó l a célbó l, hogy a lényeges komponensek, változó k, paraméterek, kapcsolatok ne hiányozzanak a modellbõ l.
e)
A szá mítógé pes program elké szíté se Ezen szakasz magában foglalja a programmegírást, a szimuláció s idõ szak hosszának és a rendszer jellegzetes kezdõ idõ pontjának meghatározását.
f)
A szimulá ció vé grehajtá sa Ennek során véletlen számok segítségével képzett mintaelemekkel ú jra és ú jra kiszámítjuk, mi történne a való ságban, ha a változó k a véletlenszerû en felvett értékek szerint alakulnának. Az értékeket a számító gép által generált véletlen számok biztosítják.
g)
Az eredmé nyek elemzé se Az utolsó fázisban a kapott eredményeket elemezzü k, és azokbó l a vizsgált jelenség, rendszer alakulására vonatkozó an következtetéseket vonhatunk le. Az elemzés esetleg visszahat a modell megváltoztatására.
4.3. A szimulációvé grehajtása A szimuláció szakaszai közü l a szimuláció végrehajtásával foglalkozunk részletesebben, fõ ként a véletlenszám elõ állítás mó dszerével. A véletlen számok meghatározott statisztikai eloszlással jellemezhetõ véletlen események szimuláció jára használható k. 4.3.1. Vé letlen számok elő állítása A véletlen számok kiválasztásánál igen lényeges szempont, hogy a választás mentes legyen minden szubjektív befolyástó l. Pl. ilyenek a rulettel meghatározott számok. (Innen az elnevezés.) A gyakorlatban általában valamilyen rekurzív matematikai összefü ggés alapján pszeudovéletlen számokat állítanak elõ . Ennél a mó dszernél egy fü ggvény határozza meg, hogy mi lesz a sorozat i- edik tagja. Többnyire az i-1-edik tag alapján. Ezek a számok egyenletes eloszlá sú véletlen számok. Adott eloszlású véletlen számokat ú gy állítunk elõ , hogy elõ ször a 0,1 intervallumban generálunk egyenletes eloszlású véletlen számokat (manuális mó dszer esetén véletlenszám táblázatbó l kivesszü k), majd ezeket transzformáljuk a megkíván eloszlásba.
42
A transzformáció t az alábbi ábrán mutatjuk be: 9. ábra a)
egyenletes eloszlá s (a - b) intervallumban : x −a VSz i = i b−a
b g
ebbõ l
x i = VSz i b − a + a VSz i 0 − 1 között véletlen szám xi a - b közötti véletlen szám
ahol
b) exponenciá lis eloszlá s eseté ben : (pl. egy érkezési folyamat esetén) VSzi = 1 − e − λxi átrendezés után mindkét oldal logaritmusát véve ln 1 − VSz i = − λx i
b
g
1 ln(1 − VSz i ) λ 1-VSz helyett VSz értékkel számolhatunk, ugyanis, ha VSz egyenletes eloszlású véletlen szám, 0,1 intervallumban, akkor 1 - VSz is az., így az exponenciális eloszlású véletlen szám: xi = −
xi = −
1 ln VSz i λ
illetve xi = t é ln
1 VSz i
c) normá lis eloszlá s eseté ben nem számítható közvetlenü l az eloszlásfü ggvény, ezért a formális transzformáció nem hajtható végre. Ezért speciális eljárásra van szü kség. Elõ ször elõ állítjuk az ú n. standard normális eloszlású véletlen számokat x = 0, σ = 1 . Majd
(
ebbõ l transzformáljuk az x középértékû
)
és σ szó rású véletlen számokat.
43
Az x = 0 középértékû σ = 1 szó rású normális eloszlású véletlen számok sû rû ségfü ggvényének elõ állítására G.E. Box és M.E. Mü ller mó dszerét mutatjuk be. E mó dszer szerint egyszerre két normális eloszlású véletlen szám állítható elõ az alábbi egyenletebe történõ behelyettesítéssel:
b g ⋅ sinb 2 ⋅ VSz g
U i = −2 ln VSz i ⋅ cos 2 ⋅ VSz i +1 U i +1 = −2 ln VSz i +1
i
Az x középértékû σ szó rású normális eloszlású véletlen számok az U i értékekbõ l az alábbi összefü ggéssel nyerhetõ k: x1 = σ ⋅ U i + x d) Empirikus diszkré t eloszlá sok eseté ben : az x1 x 2 .....x j ....x n értéket a p1 p 2 ....p j .....p n való színû ségek jellemzik. A p j értékek eloszlásfü ggvényét elõ állítjuk az i
b
g
y i = ∑ p j i = 1, 2,... n összefü ggés felhasználásával. j =1
Majd megvizsgáljuk, hogy adott VSz véletlen számnál melyik i értékre áll fenn a következõ reláció : y i −1 < VSz ≤ y i Nyilvánvaló , hogy adott VSz értéknél egy és csakis egy i értékre igaz ez az összefü ggés. Ezen i érték által meghatározott x i szám lesz az adott empirikus eloszlásbó l származó véletlen szám e) Poisson-eloszlá s eseté n: A Poisson-eloszlású véletlen számok elõ állításának alapja az elõ zõ mó dszer. Adott λ paraméterû Poisson-táblázatbó l kikeressü k a véletlen számmal egyezõ , vagy ha nincs, a valamivel nagyobb kumulált való színû ségi értékhez tartozó "k" értéket. Az ilyen mó don meghatározott "k" értékek képezik az adott λ paraméterû Poisson-eloszlású véletlen számokat.
44
A Poisson-számtáblázatok természetesen a λk − λ Pk = e k! összefü ggés alapján készíthetõ k el, amit a 2.2.2. pontban tárgyaltunk. Pl. a 2.2.4. pontban lévõ 1. táblázat 4. oszlopa alapján elõ állíthatjuk a kumulált való színû ségi értéket. Minden egyes értékhez az adott k érték tartozik, amit az 1. oszlopban találunk. 4.3.2. A szimulációmegoldása A szimuláció megoldása alatt a számító gépi vagy manuális számítások elvégzését értjü k. Ennek során az elõ re meghatározott szimuláció s idõ szakra kiszámítjuk a fü ggõ változó értékeit, és számszerû sítjü k mindazokat a hatásokat (pl. költség), amelyeket a feladat megfogalmazásakor kitû ztü nk vizsgálati célul. A való ság mû ködését szimuláló modellre a változtatható paraméterek alapján végzett számítások eredménye eltérõ lehet. A szimuláció s modell többszöri - véletlenszámok alapján végzett - megoldása biztosítja, hogy megalapozott következtetéseket vonhassunk le a konkrét rendszer vagy folyamat mû ködésérõ l és a döntés-elõ készítéshez kellõ támogatást adhassunk. 4.3.3. Számítógé pes szimuláció A számító gépek alkalmazásával a számítások gyorsasága, pontossága, megbízható sága jelentõ s mértékben fokozható . Míg a manuális számításoknál az idõ beni szû k keresztmetszetet éppen a számítások jelentik, számító gép alkalmazásával ennek idõ ráfordítása nagyságrendekkel kisebb. Az idõ igényt a program elkészítése jelenti. Mivel a szimuláció s eljárásnak nincs szilárd formai vázra épített algoritmusa, a magasszíntû programozási nyelveken a szimuláció s modellek létrehozása igen munkaigényes. Ezért speciális programozási nyelveket hoztak létre, a szimulá ciós nyelveket. Céljuk: – segítsék a felhasználó t a szimuláció s modellek létrehozásában, – megkönnyítsék a programozást, – egyszerû bbé tegyék az eredmények elemzését. Mivel a szimuláció s modelleknek általában szochasztikus, dinamikus rendszereket kell leírniuk, erre speciális kezeléstechnika szü kséges. A legfontosabb az ú n. ü temezõ program, amely egyrészt a szimuláció s idõ karbantartását, másrészt a kü lönbözõ szimuláció s tevékenységeket leíró alprogramok kiválasztását látja el. A nyelvek idõ kezelése mellett igen jelentõ s az, hogy milyen az orientáció juk. –
Az eseményorientált nyelvek gerincét az események ill. ezek idõ beosztása képezi. Ilyen nyelvek a SIMSCRIPT (Simulation Script) és a GSP (General Simulation Program). – Tevékenységorientált nyelvek, elsõ sorban a tevékenységeket hangsú lyozzák, ezzel a tevékenységek eredményeként kü lönbözõ események bekövetkezését könnyebben kezelik. Ilyen nyelv pl. a CSL (Control and Simulation Language).
45
–
Folyamatorientált nyelvek, az eseményeket folyamatrutinokba foglalják össze, mely lehetõ vé teszi a logikai kapcsolatok egészben való látását. A fontosabb nyelvek: SIMULA (Simulation Language) és a GPSS (General Purpose System Simulator).
A szimuláció s nyelvek használata, a programok megszerkesztése nem tárgya a tananyagnak, célunk az érdeklõ dés felkeltése volt.
4.4. Alkalmazási pé ldák Napjainkig számos szimuláció s modellt dogoztak ki, termelésirányitási, készletgazdálkodási, sorbanállási stb. rendszerekre egyaránt. A következõ kben megismerkedü nk három szimuláció s modellel, amelyek alapján a szimuláció mint mó dszer megérthetõ . 4.4.1. Egy ké szletezé si feladat szimulációja Az alábbiakban egy készletezési feladat szimuláció s modellje és megoldási folyamata kerü l bemutatásra számszerû sítés nélkü l. Modellü nkben két input való színû ségi változó t veszü nk figyelembe. B: az idõ egységre vonatkozó szü kséglet, vagyis a naponta kivételezett mennyiség, amely pl. normális eloszlású , ismert a várható értéke és a szó rása. t p : a rendelés feladása és a beszállítás (érkezés) közti idõ , amely pl. empirikus diszkrét eloszlású , tehát az idõ tartamok (napokban) kü lönbözõ való színû ségekkel jellemezhetõ k. A rendelésfeladás a mindenkori készlet (Q) figyelése alapján történik, ami idõ ben változik, Ha Q az utánrendelési szintre Q j vagy az alácsökken, feladjuk a rendelést.
( )
A rendelési tételnagyság (q) mindig azonos. A modellnek tehát a következõ ket kell leírnia:
Q ny nyító készlet mellett naponta
B
mennyiségû anyagot használunk fel (vételezü nk). Miközben az idõ (T) halad elõ re, a készlet csökken. Amikor Q ≤ Q j , feladjuk a rendelést q mennyiségre. Regisztráljuk, hogy t p nap mú lva szállítanak. Ha a beszállítás azelõ tt következik be, mielõ tt a készlet 0 lenne, így tovább.
Q + q - ra nõ a készlet, és
Ha 0 -ra csökken a készlet, akkor azon idõ pontot követõ naptó l kezdõ dõ en - amikor a B igény egy részét tudtuk kielégíteni - a következõ beszállításig készlethiány áll be, és ezzel növeljü k a készlethiányos napok számát (TH ) , A folyamat könnyebb megértését segíti elõ a 10. ábra.
46
10. ábra A szimuláció s modell, illetve megoldási folyamat a 11. ábrán látható . 4.4.2. Várakozósorok szimulációja Egy központi szénteleprõ l azonos típusú gépkocsikkal szállítják ki a szenet a megrendelõ khöz. A gépkocsik megrakását önjáró markoló s rakodó gépekkel végzik. A beérkezõ gépkocsik és a rakodó gépek sorbanállási rendszert alkotnak. A rendszerben duális várakozó sorok keletkeznek, vagy a rakodó gépek várakoznak gépkocsira, vagy a gépkocsik várakoznak a rakodó gépekre. Mindkét esetben várakozási költségek merü lnek fel.
bg
A rendszer kialakítása akkor optimális, ha a várakozásbó l adó dó költségek K v összege minimális. 11. ábra.
47
A célfü ggvény: n
n
i =1
i =1
K v = k v ∑ t v i + k v r ∑ t v ri → min. ahol: k v - a gépkocsik idõ egységre esõ várakozási költsége t vi - az i-edik gépkocsi várakozási ideje n - a gépkocsik száma k v r - a rakodó gépek idõ egységre esõ várakozási költsége t v ri - az i-edik gépkocsit kiszolgáló rakodó gép várakozási ideje. 48
bg
A gépkocsik érkezési idõ köze t é exponenciális eloszlású . Az átlagos érkezési idõ köz: t é = 10,4 perc, a szó rás σ t é = 9,8 perc. A rakodási idõ k t k empirikus eloszlásfü ggvénye normális eloszlású . Mindkét eloszlást illeszkedésvizsgálattal ellenõ rízzü k. Az átlagos kiszolgálási idõ : t k =19,8 perc. σ t k = 3,3 perc. A beállítandó rakodó gépek minimális száma: λ t k 19, 8 m= = = = 1, 9 ≈ 2. µ t é 10, 4 A szimuláció val elemezhetjü k, hogy kü lönbözõ számú rakodó gép beállítása esetén hogyan alakulnak a várakozási idõ k és a fajlagos költségek ismeretében az optimális rakodó gép-szám meghatározható .
bg bg
bg
Az érkezési idõ közök exponenciális eloszlású ak, tehát az érkezési folyamat generálásához az elemeket a korábban levezetett 1 1 t é i = − ln VSzi vagy a t ei = t é ln (perc) λ VSzi transzformáció s egyenlet alapján határozzuk meg. ahol: té - átlagos érkezési idõ köz VSz i - 0 - 1 közötti egyenletes eloszlású véletlen szám. A rakodási idõ k normális eloszlású ak, tehát a véletlen rakodási idõ k generálásához a t k i = σ k U i + t k (perc) transzformáció s egyenletet alkalmazzuk. Ahol: U i = 0 - 1 közötti standard normális eloszlású véletlen szám. σ k = a rakodási idõ k szó rása. A szimuláció során folyamatosan "érkeztetjü k" a gépkocsikat, majd "megrakjuk" az elsõ felszabaduló rakodó géppel. Az i-edik gépkocsi érkezésének idõ pontja: Té i = Té i−1 + t é i
di
Az i-edik gépkocsinak akkor kell várakoznia rakodásra, ha érkezésének idõ pontja Té i
d i -et, ennek megfelelõ en a
megelõ zi az (i-1) -edik rakodás befejezésének idõ pontját Tk i−1 várakozási idõ :
n
s
t vi = max Té i ; Tk i−1 − Té i Az i-edik rakodás befejezésének idõ pontja
dT i fü gg a rakodási idõ tartamtó l és a rakodás ki
megkezdésének idõ pontjátó l. A rakodás vagy megkezdhetõ már az érkezés idõ pontjában, a Té i idõ pontban (ha az (i-1)-edik gépkocsi rakodása már befejezõ dik) vagy csak az (i-1) - edik rakodás befejezésekor a Tk i−l idõ pontban, ennek megfelelõ en:
n
s
Tk i = max Té i ; Tk i−1 + t k i
49
A rakodó gép akkor várakozik, ha az (i-1) -edik rakodás befejezésének idõ pontja megelõ zi az i-edik gépkocsi érkezésének idõ pontját. A várakozási idõ : t vri = max Té i ; Tki −1 − Tki −1
{
}
A szimuláció t elõ re meghatározott T idõ tartamra (pl. egy mû szak) vonatkozó an hajtjuk végre. A szimuláció t többször meg kell ismételni ahhoz, hogy megfelelõ megbízható ságú eredményt kapjunk. Az eddig végzett vizsgálatok tapasztalatai azt mutatják, hogy a szimuláció kb. 10 szer történõ megismétlése gyakorlati szempontbó l már kielégítõ eredményt ad.
di
A feladat megoldását a következõ kben mutatjuk be. Az érkezési idõ közök t é i és a rakodási idõ k
bt gértékeit, az érkezési és rakodási ki
folyamatok mesterséges mintájának elemeit a 2. és a 3. táblázatok tartalmazzák. Az érkezési és rakodási idõ k ismeretében feltételezve, hogy a rakodás az érkezés sorrendjében történik és a gépkocsik "tü relmesen" várakoznak, szimulálható a rendszer. A 4. és 5. valamint a 6. táblázatokban két, három, illetve négy rakodó gép beállítását feltételezve szimuláltuk a rendszert. A táblázatokban mintegy 150 perc idõ tartamra vonatkozó an ismertetjü k a szimuláció eredményét. A szimuláció t egy-egy mû szak idõ tartamára vonatkozó an többször megismételve, a rendszer jellemzõ ire a 7. táblázatban közölt átlagértékek adó dtak. Ahol : m - a feladat megoldására beállított rakodó gépek száma. A gépkocsik várakozásának költsége ipari adatok alapján kb. 1200 Ft/ó (önköltség + elmaradó fuvardíj). A rakodó gépek várakozási költsége 500 Ft/ó . Ezen költségadatokat figyelembe véve megállapítható , hogy a várakozási költség akkor minimális, ha 3 rakodó gépet állítunk be. (8. táblázat). Az átlagos érkezési idõ közzel és rakodási idõ vel számolva elegendõ nek látszott két rakodó gép beállítása, és a gyakorlatban legtöbbször elegendõ nek is találják a két rakodó gépet, mivel a felmerü lõ várakozási idõ ket nem "költségesitik". Két rakodó gép esetén a gékocsik csaknem állandó an várakoznak, 4 rakodó gép beállításánál pedig a rakodó gépek várakoznak. Három rakodó gép beállításával mû szakonként 18130 Ft költség- megtakarítást lehet elérni, szemben a két rakodó gépes rendszerrel. É vi 300 mû szak esetén a költség-megtakarítás több mint 5 millió Ft. Gé pkocsik é rkezé si folyamata 2. táblázat i 1
VSz i 2
1 VSzi 3
ln
1 VSzi 4
té i (perc) 5
Té i (perc) 6
50
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18
0,96 0,81 0,50 0,96 0,54 0,54 0,24 0,95 0,64 0,47 0,17 0,16 0,97 0,92 0,39 0,33 0,83 0,42
1,04 1,23 2,00 1,04 1,85 1,85 4,17 1,05 1,78 2,12 5,88 6,25 1,03 1,08 2,56 3,03 1,21 2,64
0,04 0,21 0,70 0,04 0,62 0,62 1,43 0,05 0,58 0,75 1,78 1,83 0,03 0,08 0,94 1,11 0,19 0,97
0,5 2,2 7,2 0,5 6,4 6,4 14,9 0,5 6,0 7,8 18,5 19,0 0,3 0,8 9,8 11,5 2,0 10,1
0,5 2,7 9,9 10,4 16,8 23,2 38,1 38,6 44,6 52,4 70,9 89,9 90,2 91,0 100,8 112,3 114,3 124,4
M
M
M
M
M
M
51
A rakodá si idõ k alakulá sa 3. táblázat Ui i 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
2 -0,93 +0,25 -0,22 +1,27 +0,22 -0,40 +038 -1,30 -0,29 +0,23
σ k ⋅ Ui (perc) 3 -3,0 +0,8 -0,7 +4,1 +0,7 -1,3 +1,2 -4,2 -0,9 +0,8
t ki (perc) 4 16,8 20,6 19,1 23,9 20,5 18,5 21,0 15,6 20,7 20,6
i
Ui
1 11 12 13 14 15 16 17 18 . .
2 -0,17 -0,69 +1,16 +0,36 +1,53 +0,59 -0,93 +1,09 . .
σ k ⋅ Ui (perc) 3 -0,6 -2,3 +3,8 +1,2 +0,5 +1,9 -3,0 +3,6 . .
t ki (perc) 4 19,2 17,5 23,6 21,0 24,8 21,7 16,8 23,4 . .
52
53
54
55
A vizsgá lt rendszer jellemzõ i 7. táblázat Jellemzõ k
Gépkocsik Rakodó gépek m=2 m=3 m=4 m=2 m=3 m=4
Várakozási idõ k összege egy mû szak alatt (ó )
22,5
1
0,04
0,055
6,8
14,2
Á tlagos várakozási idõ (perc)
27
5
0,75
1,7
11,0
18,0
A vá rakozá si kö ltsé gek vá rható alakulá sa 8. táblázat Rakodó gépek száma m 2 3 4
Várakozási költségek Ft/mû szak Gépkocsik Rakodó gépek Ö sszesen 22500 30 22530 1000 3400 4400 40 7100 7140
4.4.3. Rendező -pályaudvari folyamatok szimulációja
4.4.3.1. A rendezõ -pá lyaudvari folyamatok leírá sa A rendezõ -pályaudvari munka alrendszerekre bontása eredményeként sorbanállási rendszerek írható k le, ahol adott kiszolgáló csatorna (-nák) ill. várakozó sorok alakulnak ki. A sorban állási rendszer mû ködése során ú n. másodlagos várakozások is keletkezhetnek, amikor a kiszolgáló objektum várakozik a kiszolgálandó egyedre. A rendezõ -pályaudvari sorbanállási alrendszerek az alábbiak :
1. 2.
3. 4. 5. 6.
7.
Technoló giai esemény Vonatérkezés - vonatátvétel Vonatátvétel befejezés - lazítás
Kiszolgáló egység vonat. vágány átvevõ brigád lazító (fogadó vágány)
Lazítás befejezés - kocsikisorozás Kisorozás befejezése Felhú zás Felhú zás befejezése Gurítás Kocsigyû jtés befejezése - vonat összefogás Ö sszefogás befejezése - átállítás
kis. végzõ mozdony (fogadó vágány) gurító mozdony (felhú zó vágány) gurító domb (gurító mozdony) tolató mozdony (indító vágány)
Generálandó értékek érkezési idõ köz ,átvétel idõ tartama átvétel befejezés idõ köz lazítás idõ tartama lazítás bef. idõ közei kisorozás idõ tartama kis. bef. idõ közök felhú zás idõ tartama felh. befej. idõ közei gurítás idõ tartama kocsigyû jt. bef. idõ köz összefogás idõ tartama
átállító mozdony (indító vágány)
befejezési idõ köz átállítás idõ tartama
56
Á tállítás befejezése - vonat-elõ készítés 9. Vonatelõ készítés befej. kocsikisorozás 10. Kocsikisorozás befej. vonatgép rájárás 11. Géprájárás fékpró ba 12. Fékpró ba befejezés - vonatindítás
8.
vonatfelvevõ brigád (indító vágány) kisorzó gép (indító vágány) vonatgép (indító vágány) fékpró babrigád (indító vágány) csatlakozó vonal (indító vágány)
átállítás befej.idõ köz elõ készítés idõ tartama befejezési idõ köz kisorzás idõ tartama befejezési idõ köz gép érkezési idõ köz gépjárás idõ köz fékpró ba idõ tartam befejezési idõ köz indítás idõ köz
A fenti alrendszerek bármelyike önálló an is vizsgálható , ha a szü kséges idõ értékek generálása megtörténik, és meghatározható k a foglaltsági idõ tartamok ill. a várakozások idõ tartamai. Mivel a rendezõ -pályaudvari folyamtok elemzését célszerû két nagy csoportra bontva vizsgálni (érkezõ körzet, induló körzet), ezért a szimuláció során nem szü kséges a fenti alrendszerekre bontást és az "érkezési folyamatként értelmezett" idõ adatok teljes körû generálását elvégezni, mivel az egyik technoló giai esemény befejezése egyú ttal a következõ megkezdésének a lehetõ ségét jelenti és így az elõ zõ alrenszer output adata a következõ alrendszer inputja lesz.
4.4.3.2. A szimulá ció sorá n felhaszná lt matematikai modellek Vonaté rkezé s - vonatá tvé tel I. Bemenõ adatok a) t é i - érkezési idõ közök elõ állítása. Ennek során a 4.3.1. pontban leírt véletlenszám-elõ állítási mó dszerrel generáljuk az adott eloszlású véletlenszámokat mint input adatot. b) t k i - vonatátvételi idõ tartamok elõ állítása ugyancsak véletszám generálás segítségével történik. II. Feldolgozás során szü kséges számított adatok a) az i - dik vonat érkezési idõ pontja Té i = Té i −1 + t é i Az érkezési idõ pontok generálásakor ellenõ rizni kell a fogadó vágányokat. Ha van szabad fogadó vágány, akkor érkezhet a vonat a generált érkezéssel, Ha nincs, a vonat generált érkezését meg kell növelni a vágány felszabadulásáig eltelt idõ vel. Ebben az esetben meg kell vizsgálni, hogy a következõ érkezésnél van-e le nem fogadott vonat, ill. szabad vágány. b) az i - dik vonat átvételének kezdési idõ pontja Tkái = max Té i + t 0 , Tbái −1
{
}
t 0 - okmányok átvétele. c) az i - dik vonat átvételének befejezési idõ pontja Tbái = Tkái + t k i
57
Az egyszerû ség kedvéért célszerû a gyaloglási, stb. idõ ket a mû velet idõ tartamánál figyelembe venni. III. Várakozások meghatározása a) A vonat várakozási idõ tartama t ávv i = Tkái − Té i , vagy b) az átvevõ brigád várakozása t ávbri = Tkái − Tbái-1 Több átvevõ brigád esetén nem az érkezõ vonatok indexe a mérvadó , hanem a befejezések idõ rendi sorrendje. Vonatá tvé tel befejezé se - kocsikisorozá s A lazítás nem kerü l kü lön tárgyalásra ( t l = konstans). I. Bemenõ adatok. a) A vonatátvétel befejezési idõ közei helyett a vonatátvétel idõ pontjai adottak, a sorrendet a tényleges befejezések határozzák meg. Ezt növeljü k a lazítás idõ tartamával. Tbái + t l → Tái ahol: Tái - a vonatátvétel befejezési idõ pontja. b) t si - siktolatási idõ szü kséglet képzése hasonló a
1 0,9 0,8 0,7 0,6 Vsz 0,5 0,4 0,3 0,2 0,1 0 0
5
10
15
t k i értékhez, megjegyezve, hogy értéke 0 is
lehet. Pl. ha az érkezett vonatok 60 % -nál nincs kocsikisorozás és 20 %ánál 5 perc és 10 %-ánál 10 perc és ugyancsak 10%-ánál 15 perc lesz a kocsikisorozási idõ szü kséglet, akkor a kummulált "eloszlásfü ggvény" a mellékelt ábra szerint állitandó elõ .
ts (perc)
II. A feldolgozás során szü kséges adatok a) Az i - dik vonat siktolatásának kezdési idõ pontja Tksi = max Tái , Tbsi −1 ,
{
}
b) Az i - dik vonat siktolatásának befejezési idõ pontja Tbsi = Tksi + t si III. Várakozások meghatározása a) vonat vár kocsikisorozásra, a várakozás idõ tartama t svv i = Tksi − Tái , vagy b) a tolató mozdony vár vonatra t sv mi = Tksi − Tbsi−1 Kocsi kisorozá s befejezé se - gurítá s
58
A felhú zás ezen belü l kerü l tárgyalásra. I. Bemenõ adatok
di
a) az i-dik vonat kisorozásának befejezése Tsi
T → Tsi b) t fi - felhú zás idõ tartama c) t gi - a gurítás idõ tartama d) t szi - szerelvényre járás idõ tartama A b, c, d értékek véletleszám generálással állítandó k elõ . II. Számított adatok s bi
a) Az i - dik vonat felhú zásának kezdete. Tkfi = max Tsi ; Tbgi−1 + t szi
n
s
b) Az i - dik vonat felhú zásának befejezése Tbfi = Tkfi + t fi c) Az i -dik vonat gurításának kezdete Tkgi = max Tbif , Tbig−1
{
}
d) Az i - dik vonat gurításának befejezése Tbgi = Tkgi + t gi III. Várakozások meghatározása a) A szerelvény vár felhú zásra t fv vi = Tkfi − Tsi , vagy
d
b) a mozdony vár felhú zásra t fv mi = Tkfi − Tbgi−1 + t sz i
i
c) A mozdony és a szerelvény vár gurításra. t gv mi = Tkgi − Tbfi , vagy d) a guritó domb várakozik gurításra t gvd = Tkgi − Tbgi−1 i
Megjegyzés: II. és III. a) és b) pontjánál a Tbgi−1 értéknél az adott mozdony, a c) és d) pontoknál a gurító domb legutolsó befejezett munkája értendõ . Az érkezõ körzetnél a foglaltsági és várakozási értékek az egyes kiszolgáló egységeknél a tényleges értékek göngyölítésével állítható k elõ . Gyû jté s befejezé se - á tá llítá s A vonatösszefogást nem tárgyaljuk kü lön hanem ú gy értelmezzü k a gyû jtés befejezését, hogy az akkor aktuális, ha a vonatösszefogás az adott irányvágányon megtörtént. I. Bemenõ adatok.
59
a) t gyi - gyû jtés befejezési idõ közei b) t át i - átállítási ciklusidõ A fenti értékeket véletlenszám generálással állítjuk elõ . II. Számított adatok a) az i -dik vonat gyû jtésének befejezési idõ pontja Tgyi = Tgyi −1 + t gyi b) az i - dik vonat átállításának kezdési idõ pontja Tkái t = max Tgyi , Tbái −t1
{
}
c) Az i -dik vonat átállításának befejezési idõ pontja Tbáit = Tkáit + t át i Az átállítás befejezési idõ pontja generálásakor ellenõ rizni kell az indító vágányok foglaltsági állapotát. Ha nincs szabad vágány, az elsõ vonat indulásáig eltelt idõ vel meg kell növelni Tbáit értékét. Természetesen, ha nincs indító vágánycsoport — a vonatok az irányvágányró l indulnak — ez az alrendszer elmarad. III. Várakozások meghatározása a) Szerelvény vár átállításra t ávvt i = Tkáit − Tgy i , vagy b) a mozdony várakozás idõ tartama át t vm = Tkái t − Tbái −1t i Á tá llítá s befejezé se - vonat-elõ ké szíté s I. Bemenõ adatok a) Á tállítás befejezési idõ közei helyett az elõ zõ ek szerint adottak az átállítás befejezési idõ ponjai. Tbáit → Tát i b) t eli - vonat-elõ készítés idõ szü kséglete (véletlenszám generálással).
60
II. Számított adatok a) az i - edik vonat elõ készítésének kezdési idõ pontja
{
Tkeli = max Tá t , Tbeli −1 i
}
b) az i -edik vonat elõ készítésének befejezési idõ pontja Tbeli = Tkeli + t el i III. Várakozások meghatározása a) A vonat vár felvételre, kocsivizsgálatra Tvveli = Tkeli − Tá ti , vagy b) a vonat-elõ készítõ brigád várakozása el Tvbr = Tkeli − Tbeli −1 i Vonat-elõ ké szíté s befejezé se - kocsikisorozá s I. Bemenõ adatok a) Az elõ készítés befejezése Tbeli → Tel i b) t ksi - kisorozás idõ tartama (lehet 0 is) Hasonló an képezzü k, mint a vonatátvétel utáni kocsikisorozást. II. Számított adatok a) Kisorozás kezdési idõ pontja Tkksi = max Tel i ; Tbksi−1
n
s
b) Kisorozás befejezési idõ pontja ks K ks b i = Tk i + t ksi III. Várakozások meghatározása a) Szerelvény vár kisorozásra ks t ks vv i = Tk i − Tel i , vagy b) a tolató mozdony várakozása ks ks t ks vm i = Tk i − Tb i −1 Kisorozá s befejezé se - vonatgé p (mozdony) rá já rá s I. Bemenõ adatok a) Kisorozás befejezési idõ pontjai Tbksi → Tksi b) t ri = vonatgép rájárás idõ közei
61
A t ri értéket nem a mozdonyok érkezési idõ közeivel kell képezni, mert ez az értelmezés nem veszi figyelembe azt, hogy a mozdonyok nem az elõ készített szerelvények sorrendjében érkeznek (típus, terhelés, stb. okok miatt). E helyett az átállítás vagy az elõ ké szíté s befejezésétõ l a mozdony rájárásig terjedõ idõ t tekintjü k való színû ségi változó nak és generáljuk az adott eloszlásnak megfelelõ en. II. Számított adatok a) Az i -dik vonatra történõ gépjárás generált idõ pontja Trig = Teli + t ri
n
s
b) Az i- dik vonatra történõ géprájárás számított idõ pontja Tri = max Tksi ; Trgi III. Várakozások meghatározása a) Vonat vár a mozdonyra Tvvr i = Tri − Tksi , vagy b) a mozdony vár vonatra t rvg i = Tri − Trgi Vonatgé prá já rá s - fé kpróba I. Bemenõ adatok a) Tri - a géprájárás idõ pontja b) t fi - fékpró ba idõ tartama képzése véletlenszám generálással történik. II. Számított adatok a) Az i -dik vonat fékpró bájának kezdési idõ pontja Tkfi = max Tri ; Tbfi−1
n
s
b) az i - dik vonat fékpró bájának befejezési idõ pontja Tbfi = Tkfi + t fi III. Várakozások meghatározása a) Vonat vár fékpró bára Tvvf i = Tkfi − Tri , vagy b) a brigád vár a fékpró ba elvégzésére f t vbr = Tkif − Tbif−1 i
62
Fé kpróba befejezé se - vonat indulá sa I. Bemenõ adatok a) Fékpró ba befejezési idõ pontjai Tbfi → Tfi b) t i i - vonatindítási idõ köz A t i i értékeket nem a vonatok indulási idõ közével képezzü k, mert ez figyelmen kívü l hagynáa menetrendi kötöttségeket, vontatási nemet stb. E helyett a vonatinditás idõ közét a fékpró ba befejezésétõ l a vonatindulásig eltelt idõ felmérés alapján történõ - generálásával állítjuk elõ . II. Számított adatok a) Az i -dik vonat indulásának generált idõ pontja Tigi = Tfi + t ii b) Az indulás számított idõ pontja megegyezik a generált idõ ponttal. Amennyiben a fékpró ba után kocsikisorozás, stb. okbó l nem indulhat el a vonat akkor ennek az idõ tartamnak az elõ állításával lehet az indulást korrigálni. III. Várakozás A vonat várakozása indulásra a II.a. szerinti esetben t ivv i = Tiigi − Tfi A foglaltsági és várakozási idõ tartamok az egyes kiszolgáló objektumoknál a felmerü lt idõ tartamok összegzésével állítható k elõ és a terhelési szintek meghatározása alapján lehet a további értékelést és paraméterváltozást eszközölve a vizsgálatot folytatni.
4.5. Gyakorlófeladat Egy rendezõ -pályaudvar fogadó vágánycsoportjára vonatérkezési idõ közök várható értéke 30 perc, szó rása 30 perc. A vonatátvevõ brigád 25 perces várható értékû és 10 perces szó rású vonatátvételi idõ vel, normális eloszlás szerint veszi át a szerelvényeket. A vonatátvétel befejezésekor a kihú zás azonnal megkezdõ dik, a kihú zás vágányfoglaltsági idõ szü kséglete 5 perc. Egy vonat 40 kocsibó l áll. Határozza meg a szü kséges fogadó vágányszámot és a vonatátvételre való várakozás kocsió raveszteségét, valamint a vonatátvevõ brigád meddõ várakozását a 18. vonat átvétele befejezésének idõ pontjáig. Kezdéskor a fogadó vágánycsoport ü res. Az érkezési folyamathoz generált egyenletes eloszlású véletlenszámok VSz i , illetve a standard normális eloszlású véletlen számok U i az alábbiak:
b g
bg
i 1 2 3 4
VSz i 0,54 0,74 0,95 0,64
Ui -0,24 -0,40 +1,26 +0,56
i 10 11 12 13
VSz i 0,39 0,33 0,83 0,50
Ui +1,16 -0,28 -0,24 -0,58
63
5 6 7 8 9
0,47 0,17 0,16 0,97 0,92
-1,23 +0,34 -0,30 +1,42 -0,71
14 15 16 17 18
0,96 0,30 0,45 0,78 0,91
+0,14 -0,90 +0,17 -0,32 +0,16
4.6. Ellenő rző ké rdé sek 1. 2. 3. 4. 5. 6.
Vonjon párhuzamot az operáció kutatás szakaszai és a szimuláció szakaszai között! Miért modellezési eljárás a szimuláció és mi a lényege? Milyen véletlen szám elõ állítási eljárásokat ismer? Ismertesse egy készletezési feladat szimuláció s modelljét. Ismertesse egy sorbanállási rendszer szimuláció s modelljét. Milyen sorbanállási alrendszerek lehetnek egy rendezõ pálya-udvaron az érkezõ illetve az induló körzetben és mik a generálandó való színû ségi változó k?
64
A rakodá si folyamat szimulá ciója ké t rakodógé p beá llítá sa eseté n
4. táblázat Gépkocsik É rkezés Várakoidõ pontja zási idõ t vi Té i
i 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 . .
2 0,5 207 9,9 10,4 16,8 23,2 38,1 38,6 44,6 52,4 70,9 89,9 90,2 91,0 100,8 . .
3
7,4 12,9 19,6 24,0 18,8 27,1 33,3 28,9 27,7 12,0 27,6 28,4 39,6 . .
Rakodási idõ t ki 4 16,8 20,6 19,1 23,9 20,5 18,5 21,0 15,6 20,7 20,6 19,2 17,5 23,6 21,0 24,8 . .
I. Rakodó gép VárakoRakodás zási idõ Kezdési Befejezés t vr idõ pont idõ pontja i 5 0,5
6 0,5
7 17,3
17,3
8
9
10
2,7
2,7
23,3
23,3
47,2
47,2
65,7
65,7
81,3
81,3
101,9
101,9
119,4
119,4 140,4 . .
140,4 165,2 . .
36,4
36,4
56,9
56,9
77,9
77,9
98,6
98,6
117,8
117,8
. .
II. Rakodó gép VárakoRakodás zási idõ Kezdési Befejezés t v ri idõ pont idõ pontja
141,4
. .
. .
. .
A rakodá si folyamat szimulá ciója há rom rakodógé p beá llítá sa eseté n
5. táblázat Gépkocsi É rkezési Várakoi
1 1 2 3 4 5 6
Rakodási
Várako-
idõ pont
zási idõ
idõ
zási idõ
té i
t vi
t vi
t v ri
2 0,5 2,7 9,9 10,4 16,8 23,2
3
4 16,8 20,6 19,1 23,9 20,5 18,5
5 0,5
6,9 6,5 5,8
I. Rakodó gép Rakodás Kezdési idõ pont
6 0,5
II. Rakodó gép VárakoRakodás
Befejezé s idõ pontja
zási idõ
7 17,3
8
9
2,7
2,7
t vr
Kezdési idõ pont
i
Várak oBefejez zási és idõ idõ pont t vr i ja 10 11
Kezdési idõ pont
Befejezé s idõ pontja
12
13
9,9
29,0
29,0
47,5
23,3 9,9
17,3
III. Rakodó gép Rakodás
41,2 23,3
43,8
65
7 8 9 10 11 12 3. 4. 5. . . .
38,1 38,6 44,6 52,4 70,9 89,9 90,2 91,0 100,8 . . .
3,1 5,2 2,9 7,0
21,0 15,6 20,7 20,6 19,2 17,5 23,6 21,0 24,8 . . .
6,6 . . .
41,2
8,7
70,9
62,2 43,8
59,4
59,4
80,0
10,2
90,2
113,8
. . .
. . .
. .
47,5
68,2
21,7
89,9
107,4
. . .
107,4 . . .
132,2 . . .
90,1
0,9
91,0
112,0
. . .
. . .
. . .
A rakodá si folyamat szimulá ciója né gy rakodógé p beá llítá sa eseté n
6. táblázat Gépkocsi
i
1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 . .
É rkez. idõ pont
Várakozási idõ
té i
t vi
2 0,5 2,7 9,9 10,4 16,8 23,2 38,1 38,6 44,6 52,4 70,9 89,9 90,2 91,0 100,8
3
. .
0,5 0,1
. .
Rakodási idõ
4 16,8 20,6 19,1 23,9 20,5 18,5 21,0 15,6 20,7 20,6 19,2 17,5 23,6 24,0 24,8 . .
I. Rakodó gép VáraRakodás
II. Rakodó gép VáraRakodás
III. Rakodó gép VáraRakodás
IV. Rakodó gép VáraRakodás
kozási Kezdé- Befeje- kozási Kezdé- Befeje- kozási Kezdé- Befeje- kozási Kezdé- Befejeidõ si idõ zés idõ si idõ zés idõ si idõ zés idõ si idõ zés pont idõ pont idõ pont idõ pont idõ t v ri t v ri t v ri t v ri pontja pontja pontja pontja 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 0,5 0,5 17,3 2,7 2,7 23,3 9,9 9,9 29,0 10,4 10,4 34,3 17,3 37,8 23,3 41,8 9,1 38,1 59,1 4,3 38,6 54,2 6,8 44,6 65,3 10,6 52,4 73,0 16,7 70,9 90,1 30,8 89,9 107,4 24,9 90,2 113,8 18,0 91,0 112,0 10,7 100,8 125,6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
66
kiszolgá ló á llomá sok (Raktá r ) 1.
2.
3.
4.
5.
Kiszolgá s
2. sz. kapu
hídmérleg 2. vá rakozó sor
3. vá rakozó sor 1. sz. kapu
1. vá rakozó sor
gépkocsik
hídmérleg
Tü relmetlen elemek Kiszolgá lá si rendszer informá ció
Tá vozó egyedek Forrá s
vá rakozó sor Kiszolgá lá s
Visszariadó elemek
Helyezkedő elemek zá rt rendszer
67
5. Felhasznált irodalom Chikán A.
Vá llalati gazdasá gtan KJK - AULA Bp. 1992
Gilicze - MolnárTarnai - Fekete
Matematikai módszerek é s modellek a kö zlekedé sben Tankönyvkiadó Bp. 1979
Hirkó B.
Alkalmazott operá ciókutatá s Tankönyvkiadó Bp. 1980
Prezenszky J.
Raktá rozá stechnika MK. Bp. 1984.
Prezenszky - Pánczél Anyagmozgatá s, raktá rozá s Tankönyvkiadó Bp. 1982. Puskás M.
Alkalmazott operá ciókutatá s Tankönyvkiadó Bp. 1985.
Szabó L.
Matematikai módszerek kö zlekedé sü zemi rendszerben Tankönyvkiadó Bp. 1975.
Szily I.
Alkalmazott operá ciókutatá s Tankönyvkiadó Bp. 1983.
a
68
