DR. KINCZEL FERENC* Kiszolgálási folyamat vizsgálata egy „életbevágó” sorbanállási jelenségben. Mentőszolgálat szimulációs modellezése The examination of an attendance process in a „fateful” queueing incident. Modelling the ambulance simulation The study demonstrates the overland ambulance’s simulation model of a simple activity. The model has more intentions: to forcast the rescue party and the state attribute of the patients who are waiting for medical attendance, to reflect on secure but economic functional conditions, and at last but not least, to create an own registry, a designer system that depends on an archived database. The most important input parameters and factors are the regional topology, the average of help requests per hour, the distribution in time, the number of rescue parties and average speed of the ambulance, the maximum time of giving assistance, and the coefficient of relative variation in the journey times. The model uses multicomponent generic distributions instead of applying the Poisson distribution of onsets and the exponential distribution of attendance. The randomization of rescue times uses derived empiric distribution that follows Erlang distribution. The time constituents of attendance: outset lag of rescue party, locale arriving, giving assistance, transporting the patient into hospital, and returning to the station. The MS Visual Basic procedures further Excel application was made by the model. The spreadsheets and the procedures show the following results: • approximative distributions of attendance times and mean values, by constituent and all in all, the approximative distributions and mean values of availability times gear to the number of rescue parties; • approximative distributions of waiting queue-length for attendance gear to the number of rescue parties; • the expected value of maximum queue-length per day, in case of waiting and attendance; • cumulative pointers of waiting times. The results are summarized in tables and graphes. When expending the application you can have a clear view of the resource data that are necessary for assuring requirements.
1. Bevezetés A sorbanállási jelenségek analízisének indítéka az, hogy a várakozó és a kiszolgálás alatt álló sorok állapotjelzőinek valamilyen célrendszernek megfelelő optimumát felkutassa. A tárgykör klasszikus elmélete általában egyszerűsített modelleket fogalmaz meg, melyek sok esetben nem tükrözik hűen a vizsgálni kívánt folyamatot. A modellek általánosítása viszont gyakran különféle nehézségekbe ütközik. Pénzügyi válságtól mentes időszakban sem közömbös az állami költségvetésből finanszírozott szervezetek működési, gazdálkodási mutatóinak alakulása. Az említett intézmények között jócskán akadnak olyanok, ahol a fenntartás szükségessége vitathatatlan, azonban a működési feltételek megteremtése kér*
BGF Pénzügyi és Számviteli Kar Salgótarjáni Intézete, főiskolai docens.
1
BUDAPESTI GAZDASÁGI FŐISKOLA – MAGYAR TUDOMÁNY ÜNNEPE, 2009 déseket vet fel. Mennyi a sok vagy a kevés? A minősítéshez mit érdemes mérni és hogyan? Egyáltalán léteznek-e alkalmas skálák? Az elvárható eredmény megítélése különösen akkor nehéz, ha a meghatározó tényezők valamelyike pénzben nem fejezhető ki. A mentőszolgálat éppen egy ilyen „nehéz eset”. A témakör egy baráti megkeresés kapcsán „akadt horogra”: lehet-e adott feltételek mellett működő mentőállomás optimális műszakbeosztását értelmezni, ha igen, milyen formában? Bár a konkrét kutatásra vonatkozó megbízási szerződésből semmi sem lett, a felvetés tucatnyi kérdést generál, ahol a válaszok mindegyike így kezdődhet: „attól függ, hogy …”. A probléma középpontjában sorbanállási jelenség áll. Véletlenül befutó segélykérésekre a mentős kiszolgálók általában helyszínre vonulnak, szükség esetén elsősegélynyújtás következik, ezután az ellátásra szorulót kórházba szállítják, végül a csapat visszatér a bázisára. Az előző felsorolás érzékelteti, hogy e folyamatban a kiszolgálási idő több véletlen tevékenység-időtartam öszszege, így maga is valószínűségi változó, amiben a menetidők dominálnak. Ha pl. a komponensek közül kiválasztjuk a helyszínre jutást, akkor belátható, hogy ez az idő a körzet területének nagyságán túl a körzethatárok geometriájától is függ valamilyen módon! Ez a tény már elegendő volt ahhoz, hogy a szerző az analitikus vizsgálati módszer feladása mellett döntsön! Az eredeti kérdés (mentős munkarend) persze egy ettől jóval összetettebb rendszer viselkedését hivatott boncolgatni. Egy szárazföldi mentőállomás szolgáltatás minőségében legalább a következő tényezők jelennek meg: • szakmai (oxiológiai), • technikai, • szervezési, • gazdaságossági. A felsorolás egy logisztikai szemléletű megközelítésre ösztönöz. Ha hozzátesszük azt az általánosan elfogadott nézetet, hogy a logisztikai szolgáltatások színvonalát meghatározó legfontosabb tényezők a rendelkezésre állás idő, a kiszolgálási idő és a szolgáltatás minősége, akkor további indoklásra nincs is szükség. A tanulmány kötött terjedelme miatt azonban az előbb említettek közül itt a kvantitatív tényezők kapnak hangsúlyt, már csak azért is, mert a mentőknél a rendelkezésre állás és a kiszolgálási idő kiemelt minősítő mutató. A problémának van egy sajátos érdekessége is, amit akár sorbanállási paradoxonnak is nevezhetnénk. Ez az ellentmondás a következő jelenségben nyilvánul meg: a kiszolgálók kihasználásának fokozása a várakozó sorhossz minden határon túli növekedéséhez vezethet [1]!
2. A beérkezések idősora A sorbanállási jelenségek analízisében nagy jelentőséget tulajdonítanak a POISSON-eloszlásnak. Legyen pn(t) annak a valószínűsége, hogy a 0 ≤ τ ≤ t időintervallumban n segélykérés érkezik. Tételezzük fel a következőket:
2
DR. KINCZEL F.: KISZOLGÁLÁSI FOLYAMAT VIZSGÁLATA... • A pn(t) valószínűség csak az intervallum hosszától függ, de annak kezdetétől nem. • Két segélykérés sohasem esik egy időpontra. • Bármely τ időpontban vizsgált ∆τ intervallumra egy segélyhívás valószínűsége λ.∆τ, ha ∆τ → 0. A λ mennyiség neve átlagos beérkezési ráta, mértékegysége eseményszám/időtartam. Ha az esemény sorozatra mindhárom feltételezés érvényes, a beérkezések idősora POISSON-eloszlású [4], ahol ( λ t ) n e − λt pn (t ) = n! Világos, hogy a mentők gyakorlatában a segélykérések λ eseménysűrűsége változó, vagy célszerű változónak tekinteni, hiszen napszaki és évszaki ingadozásokat lehet kimutatni, ill. megmagyarázni. Ez a tapasztalat valóban értelmet adhat olyan feltételezéseknek, hogy egy hosszú ideig változatlan munkarend esetleg nem illeszkedik megfelelően az ellátandó feladatokhoz. A segélykérési idősor randomizálásának követelményei: • minden segélykérési időpont egy fiktív év hh.nn.oo:pp:mm szerkezetű adatcsoportja (hh: hónap, nn:nap, oo: óra, pp: perc, mm:másodperc); • a segélykérések száma a fiktív évben az adott λ paraméterből számolt érték; • segélykérés a fiktív év bármelyik másodpercében bekövetkezhet; • a hh.nn. adatszegmensbe eső segélykérések éves ciklusidejű empirikus gyakorisági sort követnek; • az oo:pp:mm adatszegmens 24 órás ciklusidejű empirikus gyakorisági sornak felel meg. A felsorolt kényszerek szükségessé teszik a szimulációban előforduló véletlen mennyiségek tetszőleges osztályközös gyakoriságnak megfelelő generálását (továbbiakban: generikus eloszlások). Természetesen önmagában is izgalmas feladat egy létező mentőállomás múltbeli segélykérési időpontjait összegyűjteni és elemezni. Különösen igaz ez akkor, ha a cél egy saját archívum adataira támaszkodó nyilvántartó és tervező rendszer létrehozása (akár tudományos diákköri témaként).
3. A kiszolgálási folyamatmodell A modell középpontjában a jelenlegi készültségi szinten a kiszolgálási folyamat szimulációja áll. Ez az eljárás határozza meg döntően az eredményeket, így azok felhasználhatóságát is. A közelítések és elhanyagolások torzító hatását csak a tapasztalati adatok elemzését követően lehet feltárni, ill. megbecsülni. A továbbiak értelmezéséhez célszerű néhány fogalmat bevezetni, ill. pontosítani, mert a köznapi szóhasználat nem fedi pontosan a tanulmányban használt jelentést: Körzet: folytonos vonallal határolt összefüggő terület derékszögű koordinátarendszerben. Helyszín: körzetpont vagy körzet határpont, ahová segélynyújtást kérik (P). Akció: kiszolgálási folyamat, amit egy segélykérés indít el. 3
BUDAPESTI GAZDASÁGI FŐISKOLA – MAGYAR TUDOMÁNY ÜNNEPE, 2009 Bázis:
körzetpont, a mentők támaszpontja, a körzet koordinátarendszerének origója (O), ahonnan az akciók indulnak és befejeződnek. Kórház: rögzített körzetpont (H), melyet az akciókban kötelezően érinteni szükséges. Tranzitpont: opcionálisan helyszínhez rendelt körzetpont (T), amit akcióban érinteni szükséges. Az eljárásban érvényesített feltételek: • a körzethatár egyenes szakaszok összefüggő halmaza, melyek végpontjai ismertek (legfeljebb 50 koordináta pár); • a helyszín koordinátái x és y irányban egyenletes eloszlású véletlen számok; • a bázisszám 1; • a mentőegységek száma beállítható, de legfeljebb 10; • a kórházszám 1; • a mentőegységek az akciókban v átlagsebességgel mozognak; • a reakcióidő kettő, a kiszolgálási idő négy tevékenység-időtartam összege, az 1. táblázatban feltüntetett jellemzőkkel. 1. táblázat A reakció- és kiszolgálási idő szerkezete Időkomponens Reakció
Mentőhiány a bázison Helyszínre jutás
Kiszolgálás
Érintett körzetpontok O O, (T), P
Eloszlás Determinált Erlang
Elsősegélynyújtás
P
Kórházba szállítás
P, (T), H
Erlang
H, O
Erlang
Visszatérés a bázisra
Normális
Bázisponti mentőhiány akkor lép fel, ha a segélykérés pillanatában a mentőegységek mindegyike akcióban vesz részt. Ekkor a legkorábban visszatérő egység indul újra, de a reakcióidő megnövekszik a visszaérkezés és a segélykérés között eltelt idővel. Az öt időkomponens közül a helyszínre jutásé a főszerep, mert „normál állapotú” folyamat esetén meghatározza a reakcióidőt, továbbá ettől függ a kiszolgálási idő jelentős része is, ami a helyszín – kórház táv megtételéhez szükséges menetidőből adódik. Nem normál állapotú a folyamat, ha a várakozó sor hossza tartósan növekvő tendenciát mutat. Egy helyszínpont és a helyszínre érkezési idő kiszámításának algoritmus vázlata a következő: a) P(X, Y) pontkoordináták generálása egy körzetet befoglaló téglalap területen; b) döntés a pont hovatartozásról. Ha P körzethatáron kívül esik, visszatérés az a) lépéshez; c) a bázis-helyszín távolság (d) kiszámítása. Ha P olyan zónába esik, amihez nincs T tranzitpont rendelve, akkor d := OP, egyébként d := OT+TP szakaszhossz; 4
DR. KINCZEL F.: KISZOLGÁLÁSI FOLYAMAT VIZSGÁLATA... d) a menetidő várható értékének kiszámítása a d táv ismeretében (t0 := d/v); e) t0 randomizálása (t0 → tr). A menetidők kiszámítása a PH és HO viszonylatban is a c), d), e) lépésekben leírtakhoz hasonlóan történik.
3.1. Generikus eloszlások A reálfolyamatok „utánzása” sokféle véletlen számot kíván meg. Szakszerűbben: a mesterséges mintával dolgozó szimulációs eljárások számára olyan véletlenszám-generátorra van szükség, ami tetszőleges eloszlást követő értéksorozat előállítására képes. A generátor megalkotása jelentősen leegyszerűsödik, ha a „tetszőleges eloszlást követő” kifejezést „adott osztályközös gyakorisági sort követő”-re cseréljük. Így az általánosság csak annyiban csorbult, hogy lemondtunk a folytonosságról és azzal a szokásos ígérettel vigasztalhatjuk sajátmagunkat, hogy az osztályközöket mindaddig szűkíthetjük, amíg csak szükséges. Ide kívánkozik, hogy a generikus eloszlást nem csak a segélykérés idősorának előállításához használjuk, hanem a menetidők közel ERLANG-eloszlású randomizálásához is. Minden generikus véletlen szám az MS-Visual Basic-ből hívható RND függvény egy visszaadott értékének transzformáltja. Magyar nyelvű Excel változatokban egyébként a VÉL névre hallgat, és köztudottan, egyenletes eloszlást produkál a [0, 1) intervallumban. Működésének elve a lineáris kongruencia, ezért óvatosságból ki kellett mutatni az ismétlődő sorozat elemszámát. Ez közelít a 17 millióhoz, ami szélsőséges esetben is meghaladja az RND hívások számát a szimuláció közben. Legyen adott egy egyenletes eloszlású generátor értékkészletében fekvő intervallum! Az átalakítás alapelve, hogy az ide eső értékek száma – elég sok kísérletet elvégezve – egyenesen arányos az intervallum hosszával. Ezt kihasználva, a halmozott gyakorisági grafikon értékkészletében generált egyenletes eloszlású 1. ábra R véletlen számból vetítéssel kapjuk a A generikus eloszlás származtatása megoldást, amit az 1. ábra szemléltet. Az elv folytonos sűrűségfüggvényre is alkalmazható, feltéve ha előállíthatók a szükséges határozott integrálok! Az eljárás alapadatai az n elemű x és f vek-
5
BUDAPESTI GAZDASÁGI FŐISKOLA – MAGYAR TUDOMÁNY ÜNNEPE, 2009 tor, ahol x az osztályközök felső határait, f az abszolút gyakoriságokat tartalmazza. Legyen H={x, f}. Relációk és összefüggések: 2 ≤ n ≤ 31, 1 ≤ i ≤ n, xi ∈ R, xi < xi+1, f i ∈ N+ , f1 = 0, továbbá kiszámíthatók az Fi halmozott gyakoriságok és az R véletlen szám. i
0 ≤ RND < 1,
Fi =
F1 = 0,
∑f
j
,
j =1
R = Fn . RND.
Jelölje k annak az osztályköznek a sorszámát, ahol (R – Fk)(R – Fk+1) ≤ 0 (1 ≤ k ≤ n – 1), ekkor a generikus eloszlást követő r szám:
r = xk + u = xk +
R − Fk ( x k +1 − x k ) = G( Η ). fk +1
3.2. Döntés a helyszín hovatartozásról A segélykérés helyszínét megadó véletlen koordináták előállítása után a szimulációs eljárásban vizsgálat következik (2. b) pont), ami elemi térinformatikai feladat. Legyen az S síkban egy önmagába visszatérő g vonal, és a g-hez nem tartozó P pont. Döntsük el, hogy P a g által körülzárt területre esik-e vagy sem? A 2. ábrán g önmagát is metszi a K1, K2 pontban. Az ilyen tulajdonságú pontot a továbbiakban kettőzött pontnak nevezzük. A körzethatár egyenes szakaszokból áll, esetünkben konvex vagy konkáv sokszög, ismert helyzetű Q1, Q2, …, QN csúcsponttal. 2. ábra A gyakorlat számára elfogadható egyszerűsítés, ha a csúcspontok halmazából kizárjuk a kettőzött pontokat. A körzethatárt alkotó egyenesek egyenleteit vektoros formában célszerű megfogalmazni. A modellben használt jelölések magyarázatául a 3. ábra szolgál. A rajzon az iedik csúcspont környezete látható. A Qi Qi+1 szakasz pontjai megadhatók a ρi = ri + αi(ri+1–ri) (1) vektoregyenlettel, ha 0 ≤ αi ≤ 1. Lényeges, hogy bármely P körzetpontot az origóval összekötő O – P szakasznak páros számú metszéspontja van g-vel, míg a körzeten kívüli tartomány pontjai esetében páratlan számú metszéspont keletkezik. Az O – P 3. ábra szakasz pontjait a A jelölések magyarázata ρ = β.p (2)
6
DR. KINCZEL F.: KISZOLGÁLÁSI FOLYAMAT VIZSGÁLATA... egyenlet szolgáltatja, ahol p a P(X,Y) pont helyvektora és 0 ≤ βi ≤ 1. Az O – P szakaszra eső határpontok megszámlálása érdekében a csúcspontokkal azonos számú lineáris egyenletrendszert szükséges megoldani, amiben az ismeretlenek αi és βi: i + 1, ha i < N ri + α i (r j − ri ) = β i ⋅ p j= (i = 1,..., N ) (3) 1 egyébként. A j index bevezetésének oka az, hogy az utolsó szakasz végpontja Q1. A megoldásra a CRAMER-szabályt alkalmazva: A B αi = i , βi = i , (4), (5) Ci Ci ahol (6), x i − x j X x i − x j x i x X Ci = det A i = det i B i = det , , . (7), yi Y yi − y j Y yi − y j yi (8) Az algoritmus megszerkesztésekor kivételes esetnek számít, ha |Ci| = 0. Ilyenkor a (4), (5) hányadosok számlálóitól függ a numerikus eljárás további menete. (6) alapján belátható, hogy az ismeretlenek együtthatóiból alkotott Ci determinánsa a következő esetekben zérus: a) X = Y = 0 → P ≡ O (P egybeesik az origóval, ez kizárható), b) xi – xj = yi – yj = 0 → Qi ≡ Qj (Qi és Qj egybeesik, ami szintén kizárható), c) Y / X = (yi – yj) / (xi – xj) → a Qi–Qj szakasz párhuzamos az O – P szakasszal. Ha |Ai| vagy |Bi| bármelyike nullától különböző érték, miközben |Ci| = 0, akkor αi vagy βi közül az egyik végtelenné válik, így nem teljesül a rájuk vonatkozó korlátozás, tehát a Qi–Qj, O – P viszony nem befolyásolja az eredményt. Ez éppen a c) eset. Ha |Ci| = 0, és |Ai| vagy |Bi| bármelyike is nulla, további vizsgálat szükséges, mert a (4), (5) hányadosok 0/0 típusú határozatlan alakot öltenek. Az ilyen esetekben Qi–Qj és O – Q egy origón átmenő egyenesen fekszik. Nyilvánvaló, hogy ha ekkor fennáll a ri ≤ p ≤ rj reláció is, akkor a Q pont körzethatárra esik, egyébként pedig nem befolyásolja az eredményt. A teljesség igénye megkíván egy kiegészítést: ha |Ci| = 0 és |Ai| = 0, akkor |Bi| is nulla, vagy ha |Ci| = 0 és |Bi| = 0, akkor |Ai| is nulla. Az állítás a (6), (7), (8) egyenletek felhasználásával könnyen bizonyítható. A megoldások közül azok esnek a latba, ahol 0 ≤ αi ≤ 1 és 0 ≤ βi ≤ 1. Legyen az előbbi feltételnek megfelelő megoldások száma m. Ha m páros és O körzetpont, akkor P is körzetpont.
3.3. Menetidő randomizálás A közlekedés egyik jellemzője, hogy A és B pont között a menetidő valószínűségi változó, aminek sűrűségfüggvényéről a következőket állíthatjuk: • folytonos, • létezik tmin>0 menetidő, amitől kisebb értékek bekövetkezésének valószínűsége 0,
7
BUDAPESTI GAZDASÁGI FŐISKOLA – MAGYAR TUDOMÁNY ÜNNEPE, 2009 • választható tMax>tmin olyan felső határ, melytől nagyobb érték valószínűsége tetszőlegesen kicsi, • létezik egy tMo legvalószínűbb és a t0 várható menetidő, ami a [tmin, tMax) intervallumban rendszerint tmin-hez közelebb esik. A továbbiakban a [tmin, tMax) intervallum elnevezése: használati tartomány. E kritériumoknak elvileg többféle gyakran használt sűrűségfüggvény is megfelel, melyek közül – többek között a kezelhetősége miatt – az ERLANG-eloszlásra esett a választás. Tapasztalati adatok hiányában a függvény illesztési tesztekre idáig nem kerülhetett sor! Az ERLANG-sűrűségfüggvény eredeti formája (ahol tmin =0): f (t ) =
µn
(n − 1)! A 4. ábra µ = 1 paraméterrel kiszámított ERLANG-görbéket mutat. Látható, hogy n növelése egyre laposabb és kisebb aszimmetriát mutató, pozitív t irányban elnyúló görbéket eredményez. A feladat nem egyéb, mint egy randomizálásra alkalmas transzformáció megkeresése. A felhasznált elvek és megfontolások: n=2 és µ0=0,6638 választásával biztosítani lehet, hogy 10 vagy ennél nagyobb átfutási idő csak 1% valószínűséggel forduljon elő. Ennek alapján egy H hisztogramot lehet szerkeszteni, ahol a használati tartomány pl. 10, egyenként egységnyi szélességű osztályközből áll, az fi osztályközös gyakoriságok pedig rendre kiszámolhatók. F(t) előállítása és némi rendezgetés után µ0 értéke a
t n −1 ⋅ e − µ ⋅t .
4. ábra ERLANG-sűrűségfüggvények
1 100 egyenlet gyöke. Ekkor a várható érték nagyon közel áll 3-hoz, tehát a menetidő átlag a használati tartományt kb. 3:7 arányban osztja. A továbbiakban a H adataival generált véletlen szám: r= G(H). A függvény-transzformáció végeredménye a véletlen tr menetidő: tmin ≤ tr < tmin+T. Ha a leképezésben a T terjedelem r terjedelmével arányos, továbbá előírjuk az állandó relatív szóródást, vagyis T/t0=C=állandó, akkor az eredmény r −3 tr = t0 1 + C . 10 (10 µ + 1)e −10 µ =
8
DR. KINCZEL F.: KISZOLGÁLÁSI FOLYAMAT VIZSGÁLATA... Az 5. ábra az f(t) → ϕ(t) áttérés célhelyét mutatja, a magyarázatban szereplő jelölésekkel. Ha C=0, tr=t0 és az eredmény nem randomizált. Az is leolvasható, hogy 10/3-nál nagyobb relatív szóródás már negatív menetidőt adhat. Az eljárásokban alkalmazott intervallum: 0 < C ≤ 1.
5. ábra Az áttérés célhelye
4. Az elemzések adatbázisa és az eredmények A paraméterek, az input adatok, az eljárások, a generált adatbázis és az eredmények Excel munkafüzetben kaptak helyet, melynek munkalapjai: Gyakoriságok 4 grafikon típusú diagramot tartalmaz, melyek adattáblái egyben a generikus véletlen szám generátorok input paraméterei is. Diagramok: • Segélykérés gyakoriság óránként, • Segélykérés gyakoriság havonta, • Menetidő Erlang eloszlás szerint. Körzet adatok Itt található a körzethatár definíció, a kórház pozíciója, és a tranzitpontok koordináta-táblája. A körzethatárokat változtatható méretarányú pontdiagram szemlélteti. A munkalapról leolvasható a körzet kerülete és területe is. Szimuláció A főeljárás paraméterezésére és indítására szolgál. Eljárás vezérlő paraméterek és input adatok: • a kórház-bázis távolság (km, körzet adatokból számítva), • a segélykérések átlagos száma óránként (legfeljebb 14), • a megengedett legnagyobb rendelkezésre állás idő (perc), • mentőegység szám (kezdőérték, végérték, egységnyi növekmény), • a mentőegység mozgás átlagsebessége (km/h), • a menetidők relatív szóródás tényezője (0
9
BUDAPESTI GAZDASÁGI FŐISKOLA – MAGYAR TUDOMÁNY ÜNNEPE, 2009 Naplók Ez a munkalap a szimulációs eljárás lerakodó helye. Két fiktív naplóra oszlik. Az ún. bázisnapló tartalma megfelel „A reakció- és kiszolgálási idő szerkezete” c. táblázatnak. A bázisnapló legfeljebb 122 640 naplóbejegyzésnek ad helyet. A mentőnapló mentőegységenként az indulás, a helyszínre jutás és a visszaérkezés időpontját archiválja. Minden időtartam és időpont másodpercben tárolódik. Az eredmények számára a fenntartott munkalapok: • kiszolgálásidők; • várakozásidők; • sorhosszak; • sorelemzések; • összesítő. Adattáblák és diagramok: • Kiszolgálási időkomponensek relatív gyakorisága (összes időtartam, minimum, átlag, maximum, szórás). • A rendelkezésre állási idő relatív gyakorisága és mutatószámai (kiszolgálási ráta, kihasználási tényező, kiszolgálás üresjárat, összes időtartam, maximum, átlag, szórás). • Ellátásra várakozók számának kumulált relatív gyakorisága a mentőegység szám függvényében. • Ellátásra várakozó sorhossz maximuma naponta. • Bevetett mentőegység csúcs naponta. • Rendelkezésre állás közelítő eloszlásfüggvényei a megengedett legnagyobb érték közelében, a mentőegység szám függvényében. • Várakozásidő összesítő a mentőegység szám függvényében (ellátásra várók, mentők, összesen). • Állapotjelzők a mentőegység szám függvényében (kiszolgálási ráta, kihasználási tényező, átlagos rendelkezésre állás idő és szórása).
6. ábra Rendelkezésre állás közelítő eloszlásfüggvényei a megengedett legnagyobb érték közelében
10
DR. KINCZEL F.: KISZOLGÁLÁSI FOLYAMAT VIZSGÁLATA... A 6. ábra egy diagramot mutat be a munkafüzetben található 20-ból. Ez arra ad választ, hogy az első 3 munkalapon beállított peremfeltételek mellett, egy kiválasztott mentőegység szám (S) esetén, adott időtartamtól (t) kisebb rendelkezésre állási idő milyen valószínűséggel biztosítható. Pl. 12 percnél kisebb rendelkezésre állás valószínűsége, 6 mentőegységgel szervezett szolgálat estén kb. 97,6 %.
Irodalom [1] BÓDI, Z.: On-line számítógépes rendszerek működési és tervezési alapjai. SZÁMALK. Budapest, 1984. [2] FELLER, W.: Bevezetés a valószínűségszámításba és alkalmazásaiba. Műszaki Könyvkiadó. Budapest, 1978. [3] GÁSPÁR, GY. – HOSSZÚ, M.: Műszaki Matematika VII. Matematikai programozás. Tankönyvkiadó, Budapest. 1969. [4] GÁSPÁR, GY. – RAISZ, I. – SZARKA, Z.: Műszaki matematika II. Tankönyvkiadó, Budapest. 1968. [5] KAUFMANN, A.: Az optimális programozás (Módszerek és modellek). Műszaki Könyvkiadó. Budapest, 1968. [6] KORN, G. A. – KORN, T. M.: Matematikai kézikönyv műszakiaknak. Műszaki Könyvkiadó. Budapest, 1975.
11
