Dr. Hant László, Háromi Ferenc: Ábrázoló geometria
SZÉCHENYI ISTVÁN EGYETEM Távoktatási tagozat
1
(1994)
2
Irta.: Dr. Hant Lá szló fő iskolai docens
Széchenyi István Fő iskola Há romi Ferenc fő iskolai adjunktus
Széchenyi István Fő iskola Lektorálta: Dr. Szente Bé la fő iskolai docens
Széchenyi István Fő iskola
Mű szaki szerkesztő : Fodor Lá szló fő iskolai docens
Széchenyi István Fő iskola
Minden jog fenntartva, beleértve a sokszorosítás,a nyilvános elő adás, a rádió és televízió adás, valamint a fordítás jogát, az egyes fejezeteket illető en is.
3
Tartalomjegyzé k Tartalomjegyzé k..................................................................................................4 Bevezeté s .............................................................................................................. 6 1. TANTÁ RGY ANYAGA.................................................................................. 7 2. A feldolgozandó irodalom............................................................................... 8 2.1. Az é pítőszakok szá má ra előírt irodalom ................................................... 8 2.2. A tö bbi szak szá má ra előírt irodalom ........................................................ 8 2.3. Ajá nlott irodalom....................................................................................... 8 3. KÖ VETELMÉ NYEK ..................................................................................... 8 3.1. A rajzfeladatok........................................................................................... 9 3.2. A vizsga......................................................................................................9 4. A TANULÁ S MÓ DJA .................................................................................. 10 4.1. Elsőré sz...................................................................................................11 4.1.1. Á ltalános tudnivaló k a rajzeszkö zö krő l és a rajztechnikai szabályokró l 4.1.2. Szabadkézi rajzolás, vázlatkészítés.................................................. 11 4.1.3. Síkmértani szerkesztések, síkgö rbék................................................ 11 4.1.4. Térgeometria .................................................................................... 11
11
4.2. Má sodik ré sz............................................................................................ 12 4.2.1. Axonometria ................................................................................... 12 4.2.2. Síklapú testek.................................................................................. 12 4.3. Harmadik ré sz ......................................................................................... 12 4.3.1. Gö rbe felületek ............................................................................... 12 4.3.2. Á rnyékszerkesztés...........................................................................12 4.4. Negyedik ré sz........................................................................................... 13 4.4.1. Az építész szakos hallgató k számára ............................................... 13 4.4.2. A tö bbi szak hallgató i számára ........................................................ 13 4.4.3. Az ö sszes szak hallgató i számára.................................................... 13 5. A feladatok .....................................................................................................14 5.1. Feladatok az elsőré sz anyagá nak gyakorlá sá hoz ...................................17 5.1.1. Milyen síkot határoz meg a [hxh] metsző dő egyenespár? (∗)..........18 5.1.2. Milyen síkot határozhat meg a [h||h] párhuzamos egyenespár? (∗) .18 5.1.3. Határozza meg metsző dő egyenespárral adott dő lt sík h fő vonalát! (∗) 18 5.1.4. Határozza meg fő egyeneseivel (h és v) adott, feszített sík első esésvonalát (e1)! (∗) ................................................................................................................... 19 5.1.5. Fedő pontok, fedő egyenesek (∗) ....................................................... 19 5.1.6. A profilegyenes (∗) ..........................................................................20 5.1.7. Síklapok metszésvonala ...................................................................21 5.1.8. Sík és egyenes metszése (dö féspontok) (∗)......................................21 5.1.9. Alapszerkesztések............................................................................28
4
5.1.10. Síkok metszésvonala (∗) ................................................................28 5.1.12. Sík fő állásba forgatása ...................................................................32 5.1.13. Vegyen fel feszített állású háromszö g-lapot három sarokpontjával34 5.1.14. Határozza meg az első térnegyedben lévő A és B pontok való di távolságát! (∗) ...................................................................................................................34 5.1.15. Test transzformáció ja .....................................................................35 5.2. Feladatok a má sodik ré sz anyagá nak gyakorlá sá hoz ..............................37 5.2.1. Axonometrikus ábrázolás.................................................................37 5.2.2. Síklapú testek áthatása .....................................................................38 5.3. Feladatok a harmadik ré sz anyagá nak gyakorlá sá hoz ............................40 5.3.1. Kúp metszése egyenessel .................................................................40 5.3.2. Henger metszése egyenessel ............................................................46 5.3.3. A gö mbfelület ..................................................................................49 5.3.4.Á rnyékszerkesztés.............................................................................51 5.4. Feladatok a negyedik ré sz anyagá nak gyakorlá sá hoz .............................58 5.4.1. A perspektív ábrázolás .....................................................................58 5.4.3. A mű szaki ábrázolás alapjai.............................................................64 5.5. A rajzfeladatok .........................................................................................64 5.5.1. Első rész ...........................................................................................64 5.5.2. Második rész ....................................................................................65 5.5.3. Harmadik rész ..................................................................................66 5.5.4. Negyedik rész...................................................................................66
5
Bevezeté s A mű szaki életben - mind a tervező i, mind a kivitelező i gyakorlatban - a rajznak meghatározó szerepe van. A tervező a rajzon rö gzíti gondolatát, a kivitelező a rajz alapján készíti el a terméket, tehát a rajznak kulcsfontosságú feladata van. A mű szaki ábrázolás alapvető en az ábrázoló geometria által meghatározott szabályokon alapul. A rajzok elkészítéséhez, illetve a rajzok olvasásához, sok más ismeret mellett, megfelelő szintű térbeli látó képesség is szükséges, melynek kifejlesztését leghatékonyabban rajzolással lehet elérni. Az elő ző ekbő l már látható , hogy az ábrázoló geometria tanulásának két fő célja van. Egyrészt elsajátítani a térbeli ábrázolás szabályait, másrészt minél elő bb kialakítani a mű szaki szakember számára elengedhetetlenül fontos térlátást. Ez az Ú tmutató az Á brázoló geometria c. tantárgy feldolgozásához nyújt segítséget. Mint a nevébő l is látszik, nem az elsajátítandó anyagot tartalmazza, hanem eligazítást ad a jegyzet anyagának tanulmányozásához. Tartalmazza az elsajátítandó anyagot, a vizsga kö vetelményeit, a beadandó feladatok leírását, s megpró bál rávezetni a feladatok megoldásának menetére. Az elsajátítandó anyag az elő írt jegyzet anyaga. A számonkérés formája konkrét feladatok megoldása. Nem győ zzük eleget hangsúlyozni: ezt a tárgyat sikerrel csak rajzolva lehet elsajátítani, nem elég csak az elő írt feladatok megoldása. A tanulás során az egyes ábrák megértése kevés, azokat ö nálló an le is kell tudni rajzolni! Nagyon fontos, hogy az elő írt csoportosításnak megfelelő en vegye át az anyagot! Az alapvető fogalmakat teljes mértékben tudni kell, mert hiányos alapismeretekkel nem lehet megfelelő eredményt elérni. Ha az elején veszi a fáradságot (ami nem kis munka), és az alapvető dolgokat nem csak megérti, hanem be is gyakorolja, a sikeres vizsgajegy mellett még ö rö me is telik majd az ábrázoló geometriában!
6
1. TANTÁ RGY ANYAGA A tantárgy anyaga a kö vetkező fő témakö rö kre osztható fel: 1.1. Szabadkézi rajz 1.2. Síkmértani szerkesztések 1.3. Térgeometriai alapok: Monge-rendszer 1.4. Á rnyékszerkesztés 1.5. Axonometrikus leképezési rendszerek 1.6. Perspektív ábrázolás 1.7. Kó tás projekció 1.8. A mű szaki ábrázolás alapjai Szándékosan maradt ki a felsorolásbó l a síkgeometriai szerkesztések kö re, mivel ez az anyag kö zépiskolai tananyag és ismeretét feltételezzük. Az 1.1-1.7 jelű témák az építő szak anyagát képezik, míg a tö bbi szak számára az 1.4, 1.6 és 1.7 jelű ek elmaradnak.
7
2. A feldolgozandóirodalom Az 1. pont alatt meghatározott tananyag a szakirodalomban megtalálható és abbó l elsajátítható . A fő iskolai szintnek és a képzési profiloknak megfelelő en két fő iskolai jegyzet feldolgozását segíti elő az útmutató . Ezek a jegyzetek az ábrázoló geometria anyagát tartalmazzák. (Természetesen a tananyag elmélyítése, begyakorlása érdekében bármilyen más kö nyv, jegyzet, példatár használható .)
2.1. Az é pítőszakok szá má ra előírt irodalom Dr. Szente Béla: Mű szaki rajz c. J 19-364 sz. jegyzet. Dr. Szente Béla: Mű szaki rajz tanulmányi segédlet c. J-19-365 sz. jegyzet. “Á brázoló geometriai feladatlapok” c. feladatgyű jtemény.
2.2. A tö bbi szak szá má ra előírt irodalom Dr. Szente Béla: Mű szaki rajz c. J 19-364 sz. jegyzet. Dr. Szente Béla: Mű szaki rajz tanulmányi segédlet c. J 19-365 sz. jegyzet. “Á brázoló geometriai feladatlapok” c. feladatgyű jtemény. MSZ ISO 128 és MSZ ISO 129 szabványok.
2.3. Ajá nlott irodalom Seres Béla: Gépszerkezettan I. (Á brázoló geometria), Seres Béla: Gépszerkezettan I. példatár, Seres Béla: Megoldások (Melléklet a Gépszerkezettan I. példatárhoz) c. GAMF Kecskemét kiadású fő iskolai jegyzetek. Ez a jegyzet a tananyagnak csak az 1.3. alatti részét tartalmazza. A hozzátartozó példatárral (és a megoldásokkal!) külö nö sen nagy segítséget jelenthet az ö nálló an tanuló k számára. A felsorolt jegyzetekre, segédletekre és feladatlapokra tö rténő megkö nnyítésére az alábbi jelö lést vezetjük be: Jel / oldalszám-ábraszám A dr. Szente B.: Mű szaki rajz c. jegyzet (J 19-364), B dr. Szente B.: Mű szaki rajz tanulmányi segédlet (J 19-365), C Á brázoló geometriai feladatlapok c. füzet,
hivatkozás
Tehát az A/97-123. ábra jelentése: a dr. Szente B.: Mű szaki rajz jegyzet 97. oldalá n lévő 123. á bra.
3. KÖ VETELMÉ NYEK A tárgy elismerésének feltétele: legalább elégséges eredményű vizsga letétele. A vizsgára csak az a hallgató jelentkezhet, aki az otthoni rajzfeledatait hiánytalanul beadta, és azok egyenként megfelelő eredményű ek voltak.
8
3.1. A rajzfeladatok A rajzfeladatok célja a tananyag elsajátításának elő segítése és a szerkesztések gyakorlása. Ezenkívül a feladatok megoldásához szükséges ismeretek képezik a vizsga anyagának a jelentő s részét is. A feladatokat a megadott sorrendben és csoportosításban kell beadni (elküldeni). (A feladatok részletes leírása az 5. fejezetben található .) A beadott feladatokat értékeljük, és megfelelő vagy nem megfelelő minő sítéssel visszaküldjük. A nem megfelelő minő sítésű feladatokat újra el kell készíteni, és újra be kell adni (amíg a megfelelő minő sítést el nem éri).
A rajzfeladatokat legkéső bb két héttel a vizsga elő tt be kell adni!
3.2. A vizsga A vizsgára bocsátás feltétele, hogy minden beadott feladat megfelelő minő sítésű legyen. A vizsga megkezdésének feltétele pedig az ö sszes megfelelő minő sítésű feladat bemutatása. A vizsga két részbő l áll. Az első részben tö bb, egyszerű bb feladatot kell megoldani írásban, amelyet pontozással értékelünk. A maximális pontszám 60%-ának elérése esetén a hallgató a vizsgát folytathatja. E szint alatt a vizsga eredménye elégtelen. (Az elégtelen eredményű vizsga a fő iskolai vizsgaszabályzat szerint ismételhető meg.) A vizsga második részében két - tételek kö zül kihúzott - feladatot kell megoldani. Ennek során el kell mondani a feladatok megoldásának menetét, meg kell szerkeszteni a feladatokat, valamint válaszolni kell a felmerülő kérdésekre.
9
4. A TANULÁ S MÓ DJA Az ábrázoló geometria azon tantárgyak kö zé tartozik, amelyet nem lehet úgy megtanulni, mint egy leíró jellegű tantárgyat. A tantárgy tanulásának egyik alapvető célja a térbeli látó képesség kifejlesztése, amelyet legjobban rajzolással lehet elsajátítani. A tanulás folyamán nem elég csak megérteni az új fogalmakat, a feladatok megoldásának menetét, hanem azokat le is kell tudni rajzolni. Csak az elő írt feladatok megrajzolása kevés a szükséges szabadkézi vázolási készség, valamint a megfelelő rajztechnika elsajátításához. Ezért célszerű az anyagot rajzolva tanulni, tehá t legyen ké zné l mindig a papír é s a ceruza! Ú gy tanuljon, hogy a megértett fogalmat, feladatot azonnal rajzolja is le. Nehézséget jelenthet az, hogy a jegyzet ábrái kész ábrák, így nem mutatják a szerkesztés lépéseit. Ezért célszerű a tanulással párhuzamosan rajzolni. Elő szö r állapítsa meg a kiindulási adatokat, ezeket rajzolja le, majd a jegyzet szö vegét figyelmesen olvasva a megértéssel együtt folytassa a rajzolást. (Természetesen nem kö rző vel, vonalzó val kell rajzolni, hanem szabadkézzel.)
Az alapfogalmakat meg kell tanulni! Ezek alapos ismerete, az alapszerkesztések biztos alkalmazási készsége nélkül nem tudunk továbblépni, mivel az anyag egyes részei egymásra épülnek. A tanulás folyamata olyan legyen, hogy egy új rész megtanulását kö vesse annak begyakorlása is. A gyakorláshoz jó l használható a 2.3. pontban ajánlott példatár. A példatár feladatainak megoldása ellenő rizhető a hozzátartozó megoldásokban. Felhívjuk a figyelmét arra, hogy a megoldásokat az elkészített feladatok ellenő rzésére használja! Ha semmiképpen nem tud egy feladatot megoldani, nézze meg a megoldást, de ne elégedjen meg a végeredmény konstatálásával. A kész feladatot használja fel a feladat megoldásának megértéséhez! Miután megértette a megoldást, mindenképpen oldja meg a feladatot ö nálló an!
Ezek utá n né zzük a megtanulandó anyagot. A feldolgozandó jegyzetek anyagát négy fő részre csoportosítottuk. A felsorolás egyben a feldolgozás sorrendjét is jelenti, mivel a tananyag egyes részei alapoznak a korábbi ismeretekre. A beadandó feladatok is ehhez a csoportosításhoz igazodnak. Elő szö r tanulja meg a feladatok megoldásához szükséges anyagot, s csak azután fogjon hozzáezeknek az elkészítéséhez!
10
4.1. Elsőré sz 4.1.1. Á ltalá nos tudnivalók a rajzeszkö zö kről é s a rajztechnikai szabá lyokról B/I. fejezet - A rajzeszkö zö ket és azok használatát ismerteti. B/II. fejezet - A szabványok által meghatározott és a mű szaki rajzolás gyakorlatában kialakult elő írásokat ismerteti. A vonatkozó szabványok ISOszerinti átdolgozása folyamatban van, a megjelenésüket figyelemmel kell kísérni. (Megjegyezzük, hogy ezek a változások - az ebben a fejezetben elő forduló szabványok esetében - inkább egyszerű sítések, tehát a segédletben található anyag felhasználható ismereteket tartalmaz. Kivétel ez aló l a mű szaki rajzokon alkalmazott írás szabványa.)
4.1.2. Szabadké zi rajzolá s, vá zlatké szíté s A/I. fejezet - Rajztanfolyam. B/III. fejezet - Szabadkézi rajzolás, vázlatkészítés. A szabadkézi rajzkészség kialakításához nyújt segítséget ez a két fejezet. Első sorban azok számára ajánlott, akik kö zépiskolában sem szabadkézi rajzot, sem ábrázoló geometriát nem tanultak. A gyakorlás mennyiségét mindenki maga határozza meg. (A minő ségrő l a beküldö tt vagy a konzultáció n bemutatott vázlatok alapján kaphatnak értékelést.)
4.1.3. Síkmé rtani szerkeszté sek, síkgö rbé k B/IV. fejezet - Síkmértani szerkesztések, síkgö rbék. Ebbő l a fejezetbő l az 1-6. pontok alatti anyagot kell első sorban áttanulmányozni. Kö vetelmény: az ezzel kapcsolatos szerkesztési feladatok ö nálló megoldása! (Kö zépiskolai anyag, melynek gyakorlására a IV.5/1...28 feladatcsoport nyújt lehető séget.)
4.1.4. Té rgeometria A/II. fejezet - Térgeometriai alapok. A/III. fejezet - Térelemek ábrázolása, helyzetei és metrikus viszonyai. A/IV. fejezet - Ú j vetületi kép szerkesztése, transzformáció . B/V. fejezet - Térgeometriai feladatok.
Ezek a fejezetek a legfontosabb részei a félévi anyagnak. Ennek hiányos ismerete a további részek megértését nagymértékben megnehezíti, illetve gátolja a szerkesztési feladatok megoldását. (Hiába tudja valaki például egy gúlafelület kiterítésének elvi menetét, ha nem megy az oldalhosszak való di nagyságának a meghatározása!)
Az ebben a ré szben előforduló összes alapfogalmat é s alapszerkeszté st “üzembiztosan” kell tudni.
11
Az ajánlott irodalomban ez a rész az 1 - 81. oldalakon található . A gyakorláshoz szükséges példák a példatár I - VI. fejezeteibő l vehető k.
4.2. Má sodik ré sz 4.2.1. Axonometria A/V. fejezet - Axonometrikus ábrázolás. Kö vetelmény: Ismerni kell a külö nbö ző axonometrikus rendszereket, tudni kell axonometrikus képet szerkeszteni.
4.2.2. Síklapú testek A/VII. fejezet - Síklapú testek; metszésük és áthatásuk. Kö vetelmény: Gúla- és hasábfelületek ábrázolása, ezen felületek metszése egyenessel és síkkal. Á thatások és háló zat szerkesztése. Az ajánlott irodalomban a síklapú testek; metszésük és áthatásuk rész a 81 - 100. oldalon található . Az áthatások szerkesztésének gyakorlására feladatok a segédletben (B/III. 1...42) található k.
4.3. Harmadik ré sz 4.3.1. Gö rbe felületek A/VIII. fejezet - Térgö rbék; Gö rbe felületek metszése és áthatása. Kö vetelmény: Csavarvonal ismerete. Gö rbe felületek (kúp, henger, gö mb, kö rgyű rű ) ábrázolása. Ezen felületeken pont és vonal felvétele. Adott pontjukhoz érintő sík szerkesztése. E felületen fekvő vonal érintő jének szerkesztése. E felületek metszése egyenessel, síkkal. E felületek áthatásainak szerkesztése. A kúp és henger, illetve kúp-, henger- és síkidomok ö sszetételébő l kialakított felületek kiterítése. Kö rö k, kö rlapok vetületi képei. Gyakorló feladatok az ajánlott irodalom példatárábó l (VIII-X. fejezet).
4.3.2. Á rnyé kszerkeszté s A/IX. fejezet - Á rnyékszerkesztés. Kö vetelmény: Testek ö n- és vetett árnyékának szerkesztése.
12
4.4. Negyedik ré sz 4.4.1. Az é píté sz szakos hallgatók szá má ra
4.4.1.1. Perspektív á brá zolá s A/VI. fejezet - Perspektív ábrázolás. A/XIII. fejezet - Kó tás projekció . Kö vetelmény: Mindkét ábrázolási rendszer szabályainak oly mértékű ismerete, hogy ö sszetett feladatokat ö nálló an meg tudjon szerkeszteni. (A/XIV. fejezet kapcsoló dó feladatai.)
4.4.2. A tö bbi szak hallgatói szá má ra
4.4.2.1. A mű szaki á brá zolá s alapjai A mű szaki ábrázolás általános szabályai MSZ ISO 128 és a Méretmegadás a mű szaki rajzokon MSZ ISO 129 szabványok alapján. A mű szaki ábrázolás alapfogalmai. Nézeti és metszeti ábrázolás. A méretmegadás elemei, a méretháló zat felépítése.
4.4.3. Az ö sszes szak hallgatói szá má ra A/XIV. fejezet - Ö sszetett feladatok megoldása. Az alapfogalmak ismeretében ö sszetett feladatok megoldásának menetét, megoldását tartalmazza ez a fejezet. A feladatok nagy segítséget nyújtanak a házi feladatok elkészítéséhez és a vizsgára való felkészülésben.
13
5. A feladatok Bizonyára felmerült már mindenkiben egy kész feladat vizsgálatakor: a megoldás nyilvánvaló an helyes, az alkalmazott tételeket ismerem, a megoldás menetét is értem, de hogyan tudnék én magam rájö nni egy ilyen megoldásra? Nem kö nnyű a kérdésre válaszolni. Pó lya Gyö rgy: A gondolkodás iskolája című kö nyvében található az elő ző hö z hasonló gondolatmenet, igaz matematikai feladatok megoldásával kapcsolatban. A kérdésre adott válasz azonban olyan általános érvényű , hogy nyugodtan alkalmazhatjuk az ábrázoló geometriai feladatok megoldásakor is. A kö vetkező részlet a világhírű matematikus fent említett kö nyvébő l való :
“Hogyan oldjunk meg feladatot ? Először: É rtsd meg a feladatot.
A feladat megé rté se • Mit keresünk? Mi van adva? Mit kö tünk ki? • Kielégíthető -e a kikö tés? Elegendő a kikö tés az ismeretlen meghatározásához? Vagy nem elegendő ? Vagy kevesebb is elég volna? Vagy ellentmondás van benne? • Rajzolj ábrát. Vezess be alkalmas jelö lést. • Válaszd szét a kikö tés egyes részeit. Fel tudod írni ő ket? Má sodszor : Keress ö sszefüggést az adatok és az ismeretlen kö zö tt. Ha nem találsz kö zvetlen ö sszefüggést, nézz segédfeladatok után. Végül készítsd el a megoldás tervé t.
Tervké szíté s • Nem találkoztál már a feladattal? Esetleg a mostanitó l kissé eltérő formában? • Nem ismersz valami rokon feladatot? Vagy olyan tételt aminek hasznát vehetnéd? • Né zzük csak az ismeretlent! Pró bálj visszaemlékezni valami ismert feladatra, amelyben ugyanez - vagy ehhez hasonló - az ismeretlen. • Itt van egy má r megoldott rokon feladat. Nem tudná d hasznosítani? Nem tudnád felhasználni az eredményét? Nem tudnád felhasználni a mó dszerét? Nem tudnád esetleg valami segédelem bevezetésével felhasználható vátenni? • Nem tudnád átfogalmazni a feladatot? Nem tudnád másképpen is átfogalmazni? Idézd fel a definíció t! • Ha nem boldogulsz a kitű zö tt feladattal, pró bálkozzál elő szö r egy rokon feladattal. Nem tudnál kigondolni egy kö nnyebben megkö zelíthető rokon feladatot? Egy általánosabb feladatot? Vagy egy speciálisabbat? Vagy egy analó g feladatot? Nem tudnád megoldani legalább a feladat egy részét? Tartsd meg a kikö tés egyik részét, a tö bbit ejtsd el. Mennyire van így meghatározva az ismeretlen, mennyibeín változhat még? Nem tudnál az adatokbó l valami hasznosat levezetni? Nem tudnál mondani más adatokat, amelyek alkalmasak az ismeretlen meghatározására? Meg tudnád úgy változtatni az ismeretlent
14
vagy az adatokat, vagy ha szükséges, mind a kettő t, hogy az új ismeretlen és az új adatok kö zelebb essenek egymáshoz? • Felhasználtál minden adatot? Számításba vetted az egész kikö tést? Számbavetted a feladatban elő forduló ö sszes lényeges fogalmat? Harmadszor: Hajtsd végre tervedet.
Tervünk vé grehajtá sa • Ellenőrizz minden lé pé st, amikor végrehajtod tervedet. Bizonyos vagy benne, hogy a lépés helyes? Be is tudnád bizonyítani, hogy helyes? Negyedszer :Vizsgáld meg a megoldást.
A megoldá s vizsgá lata • Nem tudnád ellenőrizni az eredmé nyt? Nem tudnád ellenő rizni a bizonyítást? •
Nem tudnád másképpen is levezetni az eredményt? Nem tudnád az eredményt egyetlen pillantásra belátni? • Nem tudnád alkalmazni az eredményt vagy a mó dszert valami más feladat megoldására?” Pó lya Gyö rgy: A gondolkodás iskolája (IV. változatlan kiadás) Gondolat Kiadó Budapest, 1977 Reméljük, ezek a gondolatok, tanácsok segítenek nemcsak az ábrázoló geometriai feladatok, hanem más feladatok megoldásában is.
A feladatok megoldá sá nak menete Az ábrázoló geometriai feladatok rajzbeli megoldását, vagyis a rajzlap síkján elvégzendő tényleges szerkesztést mindig meg kell elő znie a feladat ún. térbeli megoldásának. Térbeli megoldáson a feladatnak, mint térbeli szerkesztési feladatnak elvben, gondolatban való megoldását értjük. Elvileg megoldottnak akkor tekintjük a feladatot, ha a megoldás minden lépése visszavezethető az alapszerkesztések valamelyikére, tehát pl. sík kitű zésére, két sík metszésvonalára és a kitű zö tt síkban elvégzendő síkgeometriai szerkesztésre. A feladatok megoldásakor elő szö r képzelje el térben a feladatot. Ennek megkö nnyítésére állítsa elő a feladat modelljét egyszerű segédeszkö zö k felhasználásával (vonalzó , kö rző , ceruza). Amikor már látja a térben a feladatot, akkor kezdjen hozzáa megoldáshoz. Az elvi megoldás felépítéséhez használja fel a jegyzetben ismertetett tételeket, meghatározásokat és ö sszefüggéseket. A megoldást lépésrő l-lépésre, logikus sorrendben építse fel és kísérje - mint ahogy errő l már korábban is szó volt - ceruzával, szabadkézzel készített, ún. szemléltető vázlattal.
15
A feladatok elvi megoldását célszerű írásban, szavakkal is rö gzíteni. Ü gyeljünk arra, hogy az elvi megoldás menetét pontosan és szabatosan fogalmazzuk meg. Az ilyen gyakorlás révén fejlő dik a mű szaki életben oly fontos és a mérnö ktő l joggal elvárt szabatos kifejező készség. Példaképpen bemutatjuk egy térbeli feladat megoldását. Adva van az α és β egymást metsző két sík és e két síkon kívül fekvő P pont. Szerkesszük meg a P pontra illeszkedő , az α és β síkkal párhuzamos g egyenest! Elvi megoldás: A P pontra illeszkedő , az α síkkal párhuzamos egyenesek benne vannak a P-re illeszkedő , α-val párhuzamos síkban. A P pontra illeszkedő , β síkkal párhuzamos egyenesek pedig a P-re illeszkedő , β-val párhuzamos síkban vannak. A keresett g egyenes benne fekszik mind az α-val párhuzamos α1, mind a β-val párhuzamos β1 síkban, tehát nem más, mint ezen síkok m1 metszésvonala (5.1. ábra). Vegyük észre, hogy a keresett g egyenes párhuzamos - természetesen az adott síkok m metszésvonalával is. Tehát a feladat megoldása a két sík metszésvonalával párhuzamos egyenes illesztése az adott pontra.
β1 β m1
P
m α1 α
5-1. ábra
Szerkesztés: Az adott α síkot a és b, míg a β síkot c és d egyeneseivel határozzuk meg. Szerkesszük meg a két sík m metszésvonalát. A metszésvonalat a c és d egyenesek α síkkal való D1 és D2 dö féspontjai meghatározzák. A dö féspontokat az f1 és f2 második fedő egyenesek felhasználásával szerkesztettő k meg. Ezek után a P ponton keresztül párhuzamost rajzolunk a metszésvonallal és meg kapjuk a keresett g egyenest (5.2. ábra).
16
D2
II
m
II
D1
II
II
1
P II
3
II
b
II
a
4
II
II II
g
II
2
d ≡ f2 c ≡ f1 D2 I
b I
II
I I
c
I
m
D1 a
II
I
3
I
I
d
P
I
g
I
I
1
I
2
I
4
f1
I
f2
II
5-2. ábra
5.1. Feladatok az elsőré sz anyagá nak gyakorlá sá hoz A kö vetkező kben a megoldott feladatok mellett található k olyanok is, amelyek csak az elindulást segítő első lépéseket mutatják meg, de ezekben az esetekben is be kell fejezni a szerkesztéseket. A feladatok egy részénél a jegyzetben megtalálható az ábra, ezért itt annak kö zlésétő l eltekintünk. Az egyszerű bb feladatok esetén viszont szándékosan nem kö zlünk ábrát, a felvé telt mindenki maga vé gezze el! Ha a felvétel nehézséget okozna tanulmányozza a jegyzetet a feladatra vonatkozó résznél. A feladatok kö zö tt példák található k arra is, milyen jellegű kérdések várható k az írásbeli vizsga első részében (∗-gal jelö lve).
17
Ne feledje, minden feladatot rajzban is meg kell oldani!
5.1.1. Milyen síkot hatá roz meg a [hxh] metsződő egyenespá r? (∗) 5.1.2. Milyen síkot hatá rozhat meg a [h||h] pá rhuzamos egyenespá r? (∗) A két, látszó lag hasonló kérdésre a választ a térgeometriai jelö lések és térgeometriai alapok felhasználásával lehet megfogalmazni. (A jegyzet A/19-21. oldala a jelö lésekrő l ad tájékoztatást, a h értelemszerű en - A/42. o. - a vízszintes síkban fekvő ún. horizontális helyzetű egyenest, ill. egyeneseket jelö l.) Így az 5.1.1. esetben - ha a való di metszés elő írt - akkor csak és kizáró lag egy ilyen eset lehetséges: mindkét h pontosan azonos magasságban van az első képsík fö lö tt, ekkor létrejö het a metszésük, s két metsző egyenes egy síkot határoz meg. E sík - nyilván - csak vízszintes lehet, hiszen a két egyenese is vízszintes - tehát a sík csak első főhelyzetű , K1-gyel párhuzamos sík lehet (vagy esetleg maga a K1, ha a két egyenes éppen benne fekszik). Az 5.1.2. esetben, ha két horizontális helyzetű egyenes egymással párhuzamos, elhelyezkedésük szerint tö bb megoldás is szó ba jö het: - ha egymás felett vannak, függő leges helyzetű síkokat határozhatnak meg, de ez is kétféle lehet: vagy első vetítő sík, vagy második fő sík - ha ugyanis a két h egyben a K2-vel is párhuzamos, az általuk meghatározott sík a K2-vel azonos helyzetű , - ha “eltolva” vannak a térben párhuzamos helyzetben, általános síkot határoznak meg, végül - ha párhuzamosak, de vízszintes, K1-es fő síkkal párhuzamos síkban vannak, az általuk meghatározott sík első fő sík, vagy ha benne vannak az első fő síkban, akkor magát az első képsíkot határozzák meg.
(Figyeljük meg a jegyzet A/43. oldalán lévő táblázat felső sorát, valamint a 42. oldalon az 50. ábra feletti és alatti fontos meghatározásokat is!)
5.1.3. Hatá rozza meg metsződő egyenespá rral adott dőlt sík h fővonalá t! (∗) Mit keresünk? Egy olyan egyenest, amelyik az adott síkban fekszik, tehát - minden pontjának a síkban kell lennie, és ezenkívül - vízszintes helyzetű . Mivel a keresett egyenes vízszintes helyzetű , ezért a második képe párhuzamos a képsíktengellyel, tehát a második képébő l indulhatunk ki, azaz a h” bárhol
18
felvehető . Innen már megszerkeszthető az egyenes első képe. (Figyelje meg a jegyzet A/47-57. ábrájának jobb oldali részét, a h szerkesztését. Ha felfedezi a hibát, kap egy piros pontot!) Az is nyilvánvaló hogy hasonló a szerkesztés elve nem csak a “metsző dő egyenespárral”, hanem bármilyen mó don megadott és bármilyen helyzetű sík esetén is. (Az egyenes hiányzó képének megszerkesztéséhez szükséges metszéspontok a síkon felvett segédegyenesekkel elő állítható k.)
5.1.4. Hatá rozza meg főegyeneseivel (h é s v) adott, feszített sík első esé svonalá t (e1)! (∗) Az esésvonalak meghatározását a jegyzet A/49-50. oldalain megtalálják. A sík ún. “felvétele” metsző dő fő vonalaival tö rtént, tehát a metszéspont felvétele után rajzoltuk meg a fő vonalak vetületeit. (Megjegyzés: fő egyenes vagy fő vonal? Teljesen mindegy, hogy melyik megfogalmazást használjuk, ugyanazt jelenti.) A feladat megoldása az A/50-60. ábra alapján elvégezhető . Az első ké pen kell elindulni, mivel az első esé svonal é s az első fővonal merő legessége ezen a vetületen nem torzul, tehát merőlegesnek lá tszik. A második kép szerkesztéséhez a sík bármelyik egyenesével való metszéspontja felhasználható . Hasonló an oldható meg a feladat a második és a harmadik esésvonal esetében is.
5.1.5. Fedőpontok, fedőegyenesek (∗) Az 5-3. ábra segítségével kísérelje meg ö nálló an az A és G pontok kö zö tti él rekonstruálását. Figyelje meg a helyzetét mindhárom iránybó l. Vegye észre, mikor kerülnek fedésbe. Keressen az alakzaton külö nbö ző (első , második és harmadik) fedésben lévő pontokat és egyeneseket! Rajzolja le ezeknek az elemeknek mind a három vetületét!
19
D L F
M K T
E
N
P A
C
G
a
S J
R
B H
III
G A
III
II
A
II
a
II
G
III
a
I
A
I
a
G
I
5-3. ábra
5.1.6. A profilegyenes (∗) A Monge-féle ábrázolási rendszerben a pontok, egyenesek és síkok egyértelmű meghatározásához az esetek nagy részében két vetület elég. A profilegyenes megadásához csak az első és második vetület megadása kevés. Vagy két pontját, vagy az első , ill. második képe mellé a harmadik vetületét kell az egyértelmű meghatározáshoz megadni. (Tanulmányozza a jegyzet idevonatkozó részét! A/46-49. oldal.)
20
5.1.7. Síklapok metszé svonala Az 5-4. ábrán általános és speciális helyzetű síkok metszésvonalának a szerkesztése látható . Az ilyen feladatok sokat segítenek a térlátás fejlesztésében. A feladat megoldásában segítségünkre lehet a feladat képies vázlatának elkészítése. Az axonometrikus szerkesztés is jó megoldást jelent. A segédlet B/114-115. oldalán lévő ábrák kiváló lehető séget nyújtanak a gyakorláshoz. (A csúcspontok betű zése, illetve a síklapok külö nbö ző színnel való rajzolása megkö nnyíti az eligazodást.)
FII EII
BII III
1II
FIII
III III BIII E A
AII
2II
2III
IIII
1III
JII JIII 3II
CII
DII
HII GII
EI 2I GI
BI
3III
GIII
HIII
CIII DIII
I
A
II JI HI F I
1 C
I
I
3I DI
5-4. ábra
5.1.8. Sík é s egyenes metszé se (dö fé spontok) (∗) Az 5-5. és az 5-6. ábrán egyaránt az 1.ve első vetítő egyenes és az ABC háromszö g D dö féspontját keressük. A dö féspont az egyenes és a sík kö zö s pontja, tehát a megfelelő vetületeknek is egybe kell esni. Ezek szerint az első vetítő egyenes pontban látszó első képe a dö féspont első képével megegyezik. A dö féspont második képe erre a pontra és a síkra illeszkedő s segé degyenes segítségével megszerkeszthető . Az 5-6. ábrán látható megoldásnál a segédegyenest cé lszerű en vettük fel, így a csak egy segé dpontot kellett megszerkeszteni. Jegyezzük meg: miné l kevesebb lé pé sben oldunk meg egy feladatot, anná l pontosabb az eredmé ny!
21
1.veII II
B
sII EII CII II
AII
F
I
B
I
s I
E
AI F
I
1.ve
I
5-5. ábra
22
CI
1.veII II
B
DII
SII
AII
II
C sII
BI
AI
DI 1.veI SI
sI
I
C
5-6. ábra
Az 5-7. és 5-8. ábra az elő ző hö z hasonló feladatot mutat, csak itt má sodik vetítő egyenes (e2) és egy feszített helyzetű sík (ABC há romszög) döfé spontjá t kell megszerkeszteni. A szerkesztés nincs befejezve, de a már megismert mó don kö nnyen megoldható a feladat. Ne feledkezzen el a lá thatósá g feltüntetésérő l! A látható ságot eldö nthetjük a té rlá tá s alapján, vagy ha ez még nem alakult ki a megfelelő mértékben, alkalmazzuk a fedőpontok mó dszerét. Ebben az esetben első fedő pontok segítségével tudjuk az első képen a látható ságot meghatározni. A látszó lagos metszéspontban az egyenes egy pontja és a sík egy pontja fedi egymást. Amelyik térelemnek a pontja fedi a másikat, az a látható . A fedést a második képen lehet megállapítani; amelyik pontnak nagyobb a második rendező je az fedi a másikat. (Használja segítségül az 5-5. ábrát, ahol természetesen második fedő pontokat kell alkalmazni.)
23
B
II
s 2 .v e
C A
II
II II
II
A
2 .v e
I
I
C
B
I
I
5 -7 . áb ra
BII sII
2.veII CII
AII
2.veI AI CI
BI
5-8. ábra
Á ltalános helyzetű egyenesek esetén az egyenesre vetítő síkot fektetünk, és az így kapott metszésvonal (fedő egyenes) és az adott egyenes metszéspontja a keresett dö féspont. Szerkessze meg az 5-9., 5-10., 5-11. és 5-12. ábrán látható egyenesek dö féspontjait!
24
BII f
II
3.ve C
A
f
II
II
II
I
B
I
3.ve A
D
I
I
I
I
C 5-9. ábra
2II a f
1
II
II
3II
II
1I
aI 3I
2I
5-10. ábra
25
2II
3II b
II
1
bI 1I 3I fI
2I
5-11. ábra
C
II
aII II
B A
II
I
a
I
C
I
A
BI 5-12. ábra
26
II
Megjegyezzük, hogy látszó lag bonyolultabb feladat, pl. sík és síklapú test metszése igen sok esetben visszavezethető egyszerű alapszerkesztésre! Így van ez az 5-13. ábrán is, ahol négyzet alapú egyenes gúla é s parallelogrammával megadott sík metszeté t kell megszerkeszteni. A metszet csúcspontjai: a gúla oldaléleinek a parallelogrammával való dö féspontjai.
II
M
II
3
2
II
II
B
A
II
D
II
II
C
II
4
1
II
I
2 I
D I
A
I
3I
M
I
1
C
I
I
B I
4
5-13. ábra
27
5.1.9. Alapszerkeszté sek Az 5-14. ábra a kö vetkező alapszerkesztéseket foglalja ö ssze: • első vetítő egyenes és sík dö féspontja, • pont felvétele a háromszö g síkján, de a háromszö gö n kívül, • sík első fő vonalának a felvétele, s1
II
II
P
II
1.ve
II
A
II
s2
C
II
II
D
II
h B
II
I
A
II
s1
s2
I I
1.ve
II
P
I
D B
I
C
II
I
h 5-14. ábra
5.1.10. Síkok metszé svonala (∗) Síklapok metszésvonalának a szerkesztése is visszavezethető egyenes és sík metszésére. Ha az egyik sík két egyenesét metszésbe hozzuk a másik síkkal, a két dö féspont már meghatározza a metszésvonalat. Az 5-15. ábrán egy feszített helyzetű ABC háromszö g és egy dő lt helyzetű 1234 parallelogramma metszésvonalának a szerkesztése látható . A metszésvonal egyik pontja a háromszö g AC oldalá nak a parallelogrammá val való D1 dö féspontja, a másik pedig a parallelogramma 14 oldalá nak a há romszöggel való D2 dö féspontja. A látható ság eldö ntéséhez a fedő pontokat használtuk fel. (A vonalkázás csak a síkok megkülö nbö ztetésére szolgál!)
28
II
2 II
1
C
II
II
A
II
3 II
4
I
1
B
II
B
I
I
4 I
A
I
2
C
I
I
3
5-15. ábra Hasonló feladat látható az 5-16. ábrán. Első lépésként a D1 dö féspontot már megszerkesztettük. Szerkessze meg a másik dö féspontot! Ü gyeljen a célszerű egyenes, ill. sík kiválasztására, és a látható ságró l se feledkezzen meg! Végül vonalkázza be a dő lt helyzetű síklapot!
29
II
B
2
f
II
II II
C
F1II
II
A
II 3 3
1II II
D
I
D
2
I
C I
A
F1
I
II
I
f
1I
I
B
3I 5-16. ábra 5-16.
'bra 5.1.11. Síklapú test dö fé se egyenessel A feladat visszavezethető egyenes és síklap dö fésének a szerkesztésére. Az 5-17. ábrán első fedő egyenest, míg az 5-18. ábrán második vetítő síkot használtunk a feladat megoldásához.
30
II
4
II
a f2 f1
II
D2
II
II II
2 D1 1
II
II
f3
II
II
3 I
1
I
f2
D2 f1
I
f3
I
a
I
I
2
I
D1
I
I
4
I
3
5-17. ábra
31
II
4
II
b
D2
II
2.VS
II
II
D1 1
3
II
II
II
2 I
1
I
b
D2
D1
I I
3
I
I
4
I
2
5-18. ábra
5.1.12. Sík főá llá sba forgatá sa A térelemek fő állásba forgatásának elve - első vagy második képsíkkal párhuzamos helyzetbe hozás - a jegyzet A/56-61. oldalain található . Az 5-19. ábra egy fő vonalaival megadott sík (a felületén lévő ”M” betű vel) első képsíkkal párhuzamos helyzetbe forgatását mutatja. A forgatá s tengelye a h fővonal. Figyelje meg az affinitás felhasználását a szerkesztésnél és a szerkesztés jó ságának ellenő rzésénél is (pontozott vonal)!
32
≡≡
v
II
4
II
3 II
II
h ≡t
II
II
1
II
2
v
3
4
1
I
I
I
I
2
I
I
2
o
I
h ≡t
o
1
3
o
4
v
o
o
5-19. ábra
33
5.1.13. Vegyen fel feszített á llá sú há romszö g-lapot há rom sarokpontjá val - tehát A, B és C két képével - és határozza meg szerkesztéssel, főhelyzetbe forgatá ssal a síklap valódi nagysá gá t! (*) A szerkesztés menetét a kérdés tartalmazza. A három sarokpontot természetesen feszített helyzetben kell felvenni, lásd a jegyzet A/37-41. ábra b/ részét. A kö vetkező lépés a főhelyzetbe forgatá s tengelyé nek kiválasztása: ha a K1-gyel lesz pá rhuzamos a leforgatott helyzet, akkor a tengely a sík első fővonala. Ha a K2-vel akarjuk pá rhuzamos helyzetbe hozni, akkor viszont a má sodik fővonala körül kell forgatni. Mivel a feladatban nincs meghatározva, hogy melyik képsíkkal hozzuk párhuzamos helyzetbe a háromszö get, válasszuk a második képsíkot. Így a feladat a jegyzet A/59-72. ábrája alapján megszerkeszthető . Az A ponton átmenő második fő vonal második képének megszerkesztéséhez fel kellett használni a BC oldal meghosszabbításán lévő S segédpontot. A C pont forgatottjának a szerkesztése a különbsé gi há romszög segítségével, míg a B ponté a merőleges affinitá s felhasználásával tö rtént. Tanulmá nyozza a feladat kapcsá n a sík visszaá llítá sá t! Ez csak az affinitás alkalmazásával sikerülhet. (Kiegészítő feladat: határozza meg A és C pontoktó l adott távolságra lévő K pont vetületi képeit! Elő szö r a forgatott ké pen határozza meg a K pontot, majd az affinitá s és egy alkalmasan megválasztott segé degyenes - a K és valamelyik célszerű en megválasztott csúcsponton keresztül - segítségével biztosan meg tudja oldani a feladatot! Ső t, ha a feladatot az első képsíkkal párhuzamos helyzetbe forgatással is megoldotta, jó úton jár az anyag elsajátításában!)
5.1.14. Hatá rozza meg az első té rnegyedben lé vő A é s B pontok valódi tá volsá gá t! (∗) Ismerjük fel: e kérdés való jában azonos az 5.1.13. pont alattival, csak a kérdés felvetése más szavakkal tö rtént. A válasz azonban tö bbféle is lehet. Így a forgatá s mellett transzformá cióval és ún. különbsé gi há romszög segítségével is meg lehet szerkeszteni két pont való di távolságát. A transzformáció új ké psík bevezetését jelenti: de miután három képsíkunk úgymint K1, K2 é s K3 kö tö tt elnevezésű , az új képsík K4, illetve szükség esetén K5, K6...Kn lehet. Transzformáció esetén bármilyen helyzetű új képsík felvétele nem oldja meg a feladatot, hiszen ekkor ismét a két pont kö zö tti távolság rö vidült, torzított képét kapnánk, céltalan lenne a munkánk. Ezért cé ltranszformá cióra van szükség. Az A és B pontok kö zö tti távolság nyilván a kö zö ttük lévő legrö videbb út, tehát az az egyenes, amely e pontokat a térben ö sszekö ti. Ennek hosszát kell meghatároznunk. Ez a hosszúsá g megegyezik a kérdéses szakasznak a szakasszal pá rhuzamos síkon lé vő vetületé vel. Mivel a transzformáció egyik alapszabálya, hogy új ké psíkot csak meglé vő ké psíkra merőlegesen szabad felvenni, már adott is a megoldás. A jegyzet A/72-89. ábráján látható , hogy az új képsík az első képsíkra merő leges, a szakasszal pedig párhuzamos. Az első és a
34
negyedik képsík által alkotott új kétképsíkos képsíkrendszerben a pontok negyedik rendezője megegyezik a pontok első ké psíktól való tá volsá gá val, azaz a pontok má sodik rendezőjé vel. Tehát a negyedik kép, ami megegyezik a való di képpel, a másodikbó l szerkeszthető (elmaradó rendező). Az ábrán látható , hogy a vetítés szintje a B ponton keresztül lett felvéve, minek kö vetkeztében (a B pont “magassága” az első képsík felett így 0 lesz) a negyedik kép meghatározásánál egy pont szerkesztését meg lehet takarítani. (Vigyázat, nem lustaságró l van szó ! Ugyanis miné l kevesebb lé pé sben tudunk egy feladatot megoldani, anná l pontosabb a megoldá s!) Végül a harmadik megoldás a jegyzet A/65-81. és 82. ábrája alapján kö nnyen belátható .
5.1.15. Test transzformá ciója Szerkessze meg az 5-20. ábrán első és második vetületével megadott test negyedik és ö tö dik képét a megadott transzformáció s irányoknak megfelelő en! Ennél a feladatnál elhagytuk a képsíktengelyeket, így a rendező külö nbségeket a viszonyító egyenesektő l (bázisvonalaktó l) mérjük. Az ö sszetartozó viszonyító egyeneseket kis háromszö gekkel jelö ltük.
35
E
GII DII
DI
E
I
II
III AII BII
HII CII
I
B CI
A
BV
A
V
IV
B
I
AIV
GI
I I HI
5-2O. ábra
A kö zö lt feladatok alapján is látható , mennyire fontos a feladatok megoldásakor a szerkesztés manuális munkája elő tt tisztázni a feladat lényegét, a megoldás felé vezető utat, utakat. Sok esetben tö bb megoldás is azonos értékű lehet, és ha a feltett kérdésben ez nincs meghatározva, a vizsgakérdések értékelésekor bármelyik megoldás azonos pontszámot kaphat (mint pl. az 5.2.14. kérdésnél is). Ha viszont a meghatározás mó dja elő van írva, pontot csak az elő írás szerinti megoldásra lehet kapni. Végül van olyan eset is, amikor tö bb megoldás is célravezet, de ezek kö zö tt frappáns, elegáns megoldás is van. Egy ilyen szellemes kivitelt természetesen pozitívan értékelünk.
36
5.2. Feladatok a má sodik ré sz anyagá nak gyakorlá sá hoz 5.2.1. Axonometrikus á brá zolá s A jegyzet A/78-85. oldalainak áttanulmányozása után megálllapíthatjuk: - az egyes axonometrikus tengelyek irányai az adott tengelyirányú rö vidülést is meghatározzák; - e rö vidülést vagy megadják (pl. szabvány), vagy pedig meg kell szerkeszteni (A/80-98. ábra). Szerkessze meg az 5-21. ábrán három vetületével meghatározott tárgy axonometrikus képét a megadott tengelykeresztnek megfelelő en. A rö vidülés meghatározása után (A/80-97. és 98. ábra) a befoglaló testet (tégla) kell megszerkeszteni, majd a vetületi rajz alapján elvégezhető k a csonkolások.
zIII
x
zII
yII
III
z
I
yI
z
xI
y
x
5-21. ábra
Szerkessze meg az 5-22. ábrán két vetületével meghatározott tárgyat az ún. mű szaki axonometriában. A tengelykereszt az A/84-103. ábra alapján megrajzolható . A hatszö g befoglaló idomának (téglalap) megszerkesztéséhez nézze meg az A/12-11. ábrát!
37
5-22. ábra
További feladatok a segédlet VI. fejezetében található k. Megoldásuk pontos szerkesztést és gondos munkát igényel!
5.2.2. Síklapú testek á thatá sa A feladatok megoldásához tanulmányozza át a jegyzet A/112-113. oldalait! Hogy megkö nnyítsük az áthatási pontok ö sszekö tését, javasoljuk az A/113-141. ábra szerinti háló zat alkalmazását. Egyszerű bb esetben a már megismert sík és egyenes dö féspontjának a szerkesztését is felhasználhatjuk. Az 5-23. ábrán látható gúla é s hasá b á thatá sa ilyen mó don is megszerkeszthető . A kö zö s pontot a hasáb a és b oldaléle á ltal meghatá rozott sík és a gúla BM oldalé lének D1 döfé spontja adja. Hasonló képpen meghatározható a tö bbi pont is. Fejezze be úgy a feladatot, hogy a csonkolt gúlát tekinti látható nak! Ugyanezt a feladatot az 5-24. ábrán céltranszformáció segítségével oldottuk meg. Á ltalában ez a célszerű bb mó dszer. További gyakorló feladatokat a segédlet III. fejezetének 3.1 pontja alatt találhat.
38
II
M II II
II
a
1 DII
II
b
II
2 cII A
II
B
II
C
II
AI
1 c
I
CI
MI
I
aI D
I
I
2 I
b
B
I
5-23. ábra
39
M a
II
II
b
II
II
c
A
II
B
II
C
II
a
IV
M
IV
IV
c I
A
b I
c
M
C
I
IV
I
I
a
b
I
B
I
5-24. ábra
5.3. Feladatok a harmadik ré sz anyagának gyakorlásához 5.3.1. Kúp metszé se egyenessel A kö vetkező feladatok megoldása elő tt tanulmányozza át a jegyzet A/120-124. oldalait!
5.3.1.1. Pont illeszté se kúpfelületre Az 5-25. ábrán pontot illesztettünk kúpfelületre alkotó , illetve a felületen lévő kö r segítségével. A pont ismert képén felvesszük az alkotó t vagy a kö rt, s a megszerkesztett másik képére illesztjük a pontot.
40
MII
P1II P2II OII
P2I I
I M O
P1I
5-25. ábra
5_25.'bra
5.3.1.2. Forgá skúp é s má sodik vetítősugá r metszé se Az 5-26. ábrán függő leges tengelyű kúpot második képsíkra merő leges egyenes metsz. A feladat a kúp és az egyenes kö zö s pontjának a megszerkesztése. Az egyenesre fektetett tetsző leges sík valamilyen görbé t metsz ki a kúpfelületbő l. A görbe és az egyenes metszé spontjai a keresett döfé spontokat adják (a gö rbe a kúpfelület pontjait is tartalmazza). Mivel szerkesztett pontnak csak ké t egyenes, ké t kör, vagy egyenes é s kör metszé spontjá t fogadjuk el, nem mindegy, hogy milyen helyzetű síkot fektetünk az egyenesre. Tehát olyan síkokat célszerű választani, amelyek a kúpfelületet körben vagy egyenesben (alkotó ban) metszik. Esetünkben a h első képsíkkal párhuzamos egyenesre (és természetesen az adott egyenesre) fektetett sík a kúpot kö rben metszi. A szerkesztést az 5-25. ábra alapján végezze el!
41
II
M
II
H II
2.ve
I
M
I
2.ve
5-26. ábra
5.3.1.3. Forgá skúp é s harmadik vetítősugá r metszé se Az 5-27. ábrán látható feladat megoldásánál legegyszerű bb kö rmetszetet adó síkkal elmetszeni a kúpot (első fő sík). Szerkessze meg a dö féspontokat!
42
M
II
3.veII
MI 3.ve
I
5-27.ábra
5.3.1.4. Forgá skúp é s első fővonal metszé se Mivel az egyenes az első képsíkkal párhuzamos, az egyenesre fektetett első fő sík alkalmazásával a feladat egyszerű en megoldható (5-28. ábra).
II
M
hII
M
I
h
I
5-28. ábra
43
5.3.1.5. Forgá skúp é s első vetítősugá r metszé se Az 5-29. ábrán kúp és első vetítő sugár dö féspontjának a meghatározása látható . A szerkesztést a kúpfelületen felvett alkotó segítségével végeztük el. Az egyes lépések az ábrán kö vethető k.
1.ve
II
MII
1.ve
II
MI
MI 1.veI
II
M
MI 1.ve
I
5-29. ábra
44
MII
5.3.1.6. Forgá skúp é s á ltalá nos helyzetű egyenes metszé se Az 5-30. ábra kúp és általános helyzetű egyenes metszését mutatja. Korábbi megállapításunk szerint olyan metszősíkot kell felvennünk, amely a kúpból kört vagy egyenest (alkotót) metsz ki. Az egyenes és a kúp helyzete azonban olyan, hogy nem fektethető az egyenesre a kúpbó l kö rt kimetsző sík. Tehát olyan metszősíkot kell felvenni, amely a kúpból alkotót metsz ki, valamint tartalmazza az adott egyenest. A kúpbó l azok a síkok metszenek ki alkotó t, amelyek a kúp csúcspontjá n átmennek. Így a síkot meghatározó térelemek a kúp csúcspontja és az adott egyenes. A keresett döfé spont pedig az egyenesnek a kimetszett alkotóval való metszé spontja lesz. Első lépésként az M csúcspont és az adott a egyenes által meghatározott metsző síkban felveszünk egy s segédegyenest. Az a egyenesnek és az s segédegyenesnek a kúp H alapsíkjával való S1 ill. S2 dö féspontjai meghatározzák a metsző sík és az alpsík m metszésvonalát. A metszésvonal és az alapkö r metszéspontjai a sík által kimetszett alkotó k talppontjai. Az alkotó k megrajzolása után a két dö féspont D1 és D2 adó dik. Szerkessze meg ugyanezt a feladatot úgy, hogy segédegyenesként első fő vonalat választ! (Miért célszerű bb ennek használata?)
MII
aII
D2II
sII
HII
S2I
mII S2II sI
mI
D2I I
M
D1I aI
S1
I
5-30. ábra
45
5.3.1.7. Forgá skúp é s profilegyenes metszé se Kúp és profilegyenes metszéspontjainak meghatározását mutatja az 5-31. ábra. A profilegyenesre és a kúp csúcspontjára fektetett sík nyomvonalának megszerkesztéséhez negyedik és ö tö dik kép felvételét használtuk fel.
II pII t II
1
2II 1I
tII
I
eI
2
5-31. ábra
5.3.2. Henger metszé se egyenessel A kö vetkező feladatok megoldása elő tt tanulmányozza át a jegyzet A/124-126. oldalain leírtakat!
5.3.2.1. Henger é s különleges helyzetű egyenesek metszé se Tanulmányozza át az 5-32. ábrán található egyszerű feladatokat! (Olyan metsző síkokat kell használni, melyek tartalmazzák az egyenest és párhuzamosak a henger tengelyével.)
46
t
II
t D1
D1
II
D2
II
II
II
II
3.ve
D2
II II
v
t
I
t 3.ve
D1
I
D2
t
I
I
I
v
I
D1
I
D2I
II
t
II
t
I
II
D1 D2II
D1
II
II
D2
II
2.ve
II
h
D2I
t
I I
h
D1
I
D2
I
D1
I I
2.ve
5-32. ábra
47
5.3.2.1. Henger é s á ltalá nos helyzetű egyenes metszé se Az 5-33. ábrán egy első fő síkon álló ferde kö rhenger (tengelye általános helyzetű ) és egy általános helyzetű egyenes dö féspontjainak a meghatározása található . Az a egyenesre fektetett sík a henger tengelyével párhuzamos, ezt a tengellyel párhuzamos s segédegyenes felvételével értük el. A sík és az első fő sík metszé svonalá nak (m) az alapkörrel való metszé spontjai a kimetszett alkotók talppontjai. Az alkotók és az egyenes metszé spontjai a keresett döfé spontok. A látható ság a kontúralkotó k segítségével dö nthető el.
tII
D1
II
II
a
m
D2
II
S2
II
s
II
S1
II
S1
S2
D2
I
I
D1
I
I
a
t
5-33. ábra
48
II
I
s
m
I
I
I
5.3.3. A gö mbfelület A kö vetkező feladatok megoldása elő tt tanulmányozza át a jegyzet A/128-129. oldalait!
5.3.3.1. Pont felvé tele gömbfelületen Az 5-34. ábra gö mbfelületre illesztett pontok szerkesztését mutatja.
II
n
II
P1 P2II
II
h
r II
II
O
v
P2
I
r I
h
I
O I
P1
v
I
I
n
5-34. ábra
5.3.3.2. A gömb normá lisa é sé rintősíkja Ugyancsak az 5-34. ábra a gö mb egy adott pontjának normálisát (n) és érintő síkját (h, v) mutatja.
49
5.3.3.3. Gömb é s á ltalá nos helyzetű egyenes metszé se A jegyzet A/129-160. ábráján gö mb és általános helyzetű egyenes metszéspontjainak a meghatározása látható . A szerkesztés célszerű en forgatással tö rtént. Gyakorlásként az 5-35. ábrán ugyanezt a feladatot transzformáció val oldottuk meg.
IV
a D2
IV
IV
K D1
IV
D2
II
II
K
II
D1
II
O
II
a
D2
I
I
O D1
I
a
5-35. ábra
50
I
5.3.4.Á rnyé kszerkeszté s A feladatok megoldásához szükséges anyag a jegyzet A/152-166. oldalain található meg.
5.3.4.1. Há romszög-lap ké psíkra vetett á rnyé ka Az 5-36. ábrán lévő feladat vízszintes síkon álló háromszö g-lapot mutat. Fontoljuk meg: egy pont vagy egy egyenes vethet-e árnyékot arra a felületre, amelyen áll (amellyel érintkezik)? Ha nem, akkor az 13 szakasznak nincs szerkeszthető árnyéka, s a másik két él árnyékának innen kell kiindulnia. Figyelje meg a 2 pont első és második árnyékának szerkesztését! Az 5-37. ábra a jegyzet A/154-191. ábrájához ad magyarázatot. Első ként szerkessze meg a három csúcspont első , majd második árnyékát. A fő síkokra vetett árnyék a képsíktengelyen megtö rik, de az egyenes árnyékának, illetve annak irányának a meghatározásához szükség van a fő síkok által takart árnyékrészre is (alá, illetve mö gé esik az árnyék).
fII
C1
CII
C2
AII
II
m
B
AI CI fI
B
I
5-36. ábra
51
fII Ha nem lenne második fõsík
BII
B1
AII B2 C
II
A1 A2
m
C2
C1 B A
Ha nem lenne elsõ fõsík
I
I
CI fI 5-37. ábra
5.3.4.2. Á ltalá nos helyzetű sík á rnyé ka Az 5-38. ábrán a térben elhelyezkedő , általános (dő lt) helyzetű síklap (123 háromszö g) és egy normális szakaszának (AD) árnyékát kíséreljük meg megszerkeszteni. Az á rnyé kszerkeszté s lényegében metszé spont (dö féspont) szerkeszté se, melynek során a fénysugár irányával megegyező egyeneseket illesztünk egy-egy pontra, és azt vizsgáljuk, hol éri el ez az egyenes - a sugár - az árnyékfelfogó felületet. Ez a felület lehet képsík is, de testcsoport esetén a test egy felülete is. A szerkesztés menetének “képies képe” a jegyzet A/152-153. oldalán tanulmányozható . Az AD szakasz megrajzolásához elő szö r meg kell szerkeszteni a sík fő vonalait. Az á rnyé ká t pedig a D pont és az A pontra illesztett f irá nyú egyenesnek a háromszö ggel adó dó döfé spontja határozza meg. (Ezek a szerkesztések az ábrán nincsenek megrajzolva!) A szerkesztés menetének tanulmányozása után szerkessze meg az 5-38. ábrán található feladatot más irányú fénysugárral.
52
II
3
II
f
II
A
II
II
D
1
II
2 m
11
I
1
I
D f
I
3
I
3I
I
A
I
21
2
5-38. ábra
5.3.4.3. Testek á rnyé ka A jegyzet A/156 - 158. oldalán lévő anyag áttanulmányozása után kísérelje meg az 5-39. ábrán található ö sszetett test öná rnyé khatá roló oldallapjait kiválasztani! Elő szö r kísérelje meg a té rben elké pzelni. (Segítséget nyújthat a testcsoport axonometrikus képének szabadkézi vázlata.) Figyelje meg a megvilá gított é s az öná rnyé kos lapokat ( A, B, C ) - a kö zö ttük lévő élek fogják majd a vetett árnyékot határolni! Ezek után szerkessze meg az alakzat ö n- és vetett árnyékát. A szerkesztést megkö nnyíti, ha a csúcspontokat megbetű zi. (Az ö nárnyékos lapokat vastag vonallal jelö ltük.)
53
f
II
A
B
C
f
I
5-39. ábra
Hasonló a feladat az 5-40. ábrán is. Segítségül a szerkesztéshez megadtuk a kezdeti lépéseket, de az ö nárnyékos lapokat nem jelö ltük. Ezt ö nálló an kell elvégezni. Döntsük el: a P árnyéka ráesik-e a testcsoport alsó részének felületére, vagy nem? (Vigyázat: ezt csak mindkét kép együttes elemzése alapján dö nthetjük el!) Fejezze be a szerkesztést!
54
f
II
S
II
II
T PII
S1
S
I
T1
I
T
P f
P1
I
I
5-40. ábra Kíséreljen meg válaszolni a kö vetkező kérdésekre: • felvehető lenne-e olyan fénysugár irány, amely mellett az S, P és T pontok árnyéka biztosan a testcsoport alsó “dobozának” felső felületére esik? • felvehető lenne-e olyan fénysugár irány, amely mellett a vetett árnyék egy része a második képsíkra esik? • az ö sszetett test árnyéka is ö sszetett; hol van a testcsoporton az a pont (hely), ahol a felső (toronyszerű rész) és az alsó (dobozszerű rész) elem árnyékai váltják egymást? (E “váltás” az árnyékon tö rés formájában látható - innen szerkeszthető “visszafelé”!) Figyelje meg a jegyzet A/157-194. ábrájának szerkesztési menetét is! Az 5-41. ábrán az elő ző hö z hasonló feladat - befejezett, vonalkázott árnyékokkal pontonként kö vethető részletességgel került bemutatásra. Kö vessük lépésenként a vetett árnyék kialakulását! Figyelje meg: • hogyan alakul a vetett árnyék “tö rése” a két képsík találkozási vonalánál?
55
• mennyit és hogyan takar a testcsoport a második képre vetett árnyékbó l? az egyébként “sík” jellegű Monge-rendszerű ábrázolás plasztikussá válik a jó l megválasztott árnyékok segítségével! Kö vesse pontonként a szerkesztést, és az elő ző ekben feltett kérdésekre, illetve megfigyelendő kre lépésenként válaszoljon! A hasonló feladatoknál a vetett árnyékot sö tétebbre (sű rű bbre) vonalkázzuk, míg az ö nárnyékot világosabbra (ritkábbra). A vonalkázás iránya képsíkonként megegyezhet a fénysugár irányával.
f
II
BII AII
CII DII GII HII
FII EII III
m
DI HI
A EI I
II BI FI
C I GI fI
5-41. ábra
5.3.4.3. Ké t egymá st metsző sík egymá sra vetett á rnyé ka Eddig aránylag egyszerű bb, a fő síkokkal testcsoportok árnyékát szerkesztettük meg.
56
párhuzamos
állású
síklapok,
Az 5-42. ábrán a térben elhelyezkedő , általános (dő lt) helyzetű síklap (1234 parallelogramma) és egy általános (feszített) helyzetű háromszö g (ABC) árnyékának a szerkesztése látható . Első lépésben a két sík metszésvonalának a megszerkesztése került sorra, majd a megadott irányú fénysugár segítségével az egymásra vetett árnyékok meghatározása kö vetkezett. Kísérelje meg az ábrán megkeresni: a síklapok melyik oldala ö nárnyékos? Más árnyék iránnyal is szerkessze meg a feladatot! (Az 5-42. ábrán a vonalkázás nem árnyékot jelö l, csak a két sík megkülö nbö ztetését szolgálja!)
2II f II
1II CII
AII
3II 4II
BII
1I
BI 4I AI
2I
fI
CI 3I 5-42. ábra
57
5.4. Feladatok a negyedik ré sz anyagá nak gyakorlá sá hoz 5.4.1. A perspektív á brá zolá s A jegyzet A/86-104. oldalainak gondos áttanulmányozása után az ö nálló szerkesztési készség kialakításához néhány gyakorló feladatot meg kell oldani. Az általunk tanult két iránypontos leképezési mó dszer hasonlít az emberi szem, illetve a fényképező gép által kialakuló képre, ez a kész ábrákon jó l szemlélhető is. Felhívjuk a figyelmet a perspektív szerkesztési eljárások két nagy csoportjára! Az egyik, az ún. ö sszetartozó vetületek segítségével való szerkesztés, - erre mutat példát az 5-43. ábra - a másik pedig a szétvágott vetületek mó dszere, amelyre az 5-44. ábrán található példa. Ebben az esetben a második kép, a magassági adatok külö n kerülnek megadásra.
I
A
A F
h I2
t
I
Am
SZ I1
I1 F
A
I
t I2 5-43. ábra
58
SZ
5-44. ábra helye
59
5.4.2. A kó tás projekció (mérő számos ábrázolás) A jegyzet A/186-211. oldalain a kó tás projekció elmélete, illetve a 264-271. oldalain néhány példa is részleteiben tanulmányozható . A feladatlapok kö zö tt a C/39-43. számú feladatok is ehhez a témához kapcsoló dnak. A feladatok megoldása során az első gondot (és hibalehető séget) a kiindulási helyzet okozza. Tekintsük meg az 5-45. ábrát: a szintvonalaival adott felületre plató t építünk a 38,5 m szinten. (Jegyzetünkben az A/265. oldalon a plató éle kerek méter: 40,0 m szinten van!) A fö ldmű feladatban adott rézsű je (bevágásban vagy tö ltésben) nyilván e szinttő l kezdő dik, ezért az 5-45. ábrán látható an a plató élét megszerkesztve azonnal adó dik a metsző pont a 38,5 méteres (szaggatottan jelö lt) szintvonallal, ez a K38,5 a tö ltés/bevágás, a talpvonal és kö rö mvonal találkozási pontja! Nyilván mind a tö ltés rézsű jének megfelelő , mind a bevágás rézsű jének megfelelő k felmérésekor elő bb a k/2 méretére lesz szükség, hiszen innen már kerek szintek mérhető k majd fel mindkét irányban (tehát a 38,0 és 40,0 irányban is). 45
44 43 42 41
40 O
K
39
38,5
A38,5
38 37
36
5-45. ábra
Az 5-46. ábra az egyes szintvonalak felmérését mutatja abban az esetben, ha nem kerek méterben van megadva a plató vagy az út szintje.
60
40 K 2 A38,5
39
38 37
38 K 37
36
5-46. ábra
Folytassa a feladatot a C/39. számú példa adataival (másolja át pauszlapra a feladatot)! Változtassa meg az ott megadott rézsű ket, s így is szerkessze meg a feladatot! Az 5-47. ábrán egy ilyen feladat kész megoldása látható .
61
M 1:25O k
t
k
b
6 1OO 4 O25 O 8 1OO 4 O25 O
6 mm 8 mm
45
44
43
42
41
45 44 43 42 41 4O 39
38,5
36 37 38 38,5
4O A38,5
38 37 36 35 34 33 32
39
38
37
38 36
35
34
37
36
35 33
34
33
32 32
5-47. ábra
A feladatlapokban tö bb, terepfelületen elhelyezkedő vízszintes, íves, emelkedő pályaszakasz megszerkesztésére szolgáló példa található . Egy ilyen megoldást az 5-48. ábrán bemutatunk. Külö n felhívjuk a figyelmet arra, hogy a bevágás rézsű jének kö rö mvonalát nem kö zvetlenül az útfelület élétő l, hanem bizonyos méretű vízelvezető árokszélesség felmérése után indította a feladat megoldó ja helyesen! (Figyelje meg ebbő l a szempontbó l a jegyzet A/270-296. ábráját: 1,5 m széles sávot tervez mindkét oldalon a vízelvezetés megoldására!)
62
5-48. ábra helye
Kö vetve a szerkesztést oldja meg a feladatlapok C/40. és 41. sz. példáját! (Mindkettő t alternatív megoldással is meg lehet szerkeszteni. Mind az út koronaszélessége, mind a szintvonalak magassági mérete és az egyik feladatnál a méretarány is ad alternatívára lehető séget!)
63
5.4.3. A műszaki á brá zolá s alapjai Alaposan tanulmányozza át az MSZ ISO 128 és az MSZ ISO 129 számú szabványokat! (A jegyzet X. fejezete a korábban érvényes szabványok alapján készült. Ahol eltérést tapasztal, ott az elő bb említett szabványok elő írásait kell figyelembe venni!) Ezek után készítsen szabadkézi vázlatokat a feladatlapok C/68-77. sz. feladatairó l!
5.5. A rajzfeladatok A rajzfeladatokat A4 méretű (297x210) mű szaki rajzlapra kell elkészíteni. A kidolgozás mó dja: szerkesztett rajzok ceruzával kihúzva. A rajzlap kialakítása a feladatgyű jteményben található minta, feliratozása pedig az alábbiak szerinti legyen: A szö vegmező rovatait értelemszerű en kell kitö lteni. A rajzszám megadása a kö vetkező k szerint: a szak jele - a feladat csoport száma - a feladat sorszáma Az építész szak jele: E A gépész szak jele: G A kö zlekedési szak jele: K Tehát pl. az építész szakon az 1. csoport 3. feladatának rajzszáma: E-1-03. (A feladatok leírásánál a szak jelét *-gal helyettesítettük.)
5.5.1. Első ré sz 1. feladat Tárgy: Szabványírás
Rajzszám: *-1-01
Az ISO 3098-1,2,3 sz. szabvány szerinti 7 mm nagyságú betű kkel, 14 mm sortávolsággal tetszés szerinti folyamatos szö veggel írja tele az A4-es lapot. A nagy- és kisbetű magasságának megfelelő en halványan rajzolja elő a sorokat. Ezeket a vonalakat nem kell kiradírozni! Megengedett mind a dő lt mind az álló betű használata, de vagy az egyik vagy a másik.(Vegyesen nem szabad!) 2. feladat: C/2. sz. feladat Tárgy: Vetületi ábrázolás
64
Rajzszám: *-1-02
3. feladat: C/3. sz. feladat Tárgy: Vetületi ábrázolás
Rajzszám: *-1-03
4. feladat: C/9. sz. feladat Tárgy: Vetületi ábrázolás
Rajzszám: *-1-04
5. feladat: C/10B. sz. feladat Tárgy: Vetületi ábrázolás
Rajzszám: *-1-05
6. feladat: C/13. sz. feladat Tárgy: Sík és egyenes dö féspontja
Rajzszám: *-1-06
7. feladat: C/14. sz. feladat Tárgy: Síkok metszésvonala
Rajzszám: *1-07
8. feladat: C/17. sz. feladat Tárgy: Sík forgatása
Rajzszám: *-1-08
9. feladat: C/18. sz. feladat Tárgy: Kö r szerkesztése
Rajzszám: *-1-09
10. feladat: C/20. sz. feladat Tárgy: Kocka szerkesztése
Rajzszám: *-1-10
5.5.2. Má sodik ré sz 1. feladat: C/22. sz. feladat Tárgy: Transzformáció
Rajzszám: *-2-01
2. feladat: C/23. sz. feladat Tárgy: Transzformáció
Rajzszám: *-2-02
3. feladat: C/24. sz. feladat Tárgy: Metszésvonalak
Rajzszám: *-2-03
4. feladat: C/28. sz. feladat Tárgy: Egyenesek távolsága
Rajzszám: *-2-04
5. feladat: C/29. sz. feladat Tárgy: Gúla és egyenes metszése
Rajzszám: *-2-05
6. feladat: C/30. sz. feladat Tárgy: Hasáb és gúla áthatása
Rajzszám: *-2-06
7. feladat: C/32. sz. feladat Tárgy: Gúla síkmetszete
Rajzszám: *-2-07
8. feladat: C/34. sz. feladat Tárgy: Gúla és hasáb áthatása 9. feladat: C/35A. sz. feladat
Rajzszám: *-2-08
65
Tárgy: Axonometria
Rajzszám: *-2-09
10. feladat: C/36A. sz. feladat Tárgy: Axonometria
Rajzszám: *-2-10
5.5.3. Harmadik ré sz 1. feladat: C/39. sz. feladat Tárgy: Gö mb érintő síkja
Rajzszám: *-3-01
2. feladat: C/41. sz. feladat Tárgy: Henger és egyenes metszése
Rajzszám: *-3-02
3. feladat: C/42. sz. feladat Tárgy: Henger érintő síkja
Rajzszám: *-3-03
4. feladat: C/44. sz. feladat Tárgy: Kúp és egyenes metszése
Rajzszám: *-3-04
5. feladat: C/45. sz. feladat Tárgy: Kúp érintő síkja
Rajzszám: *-3-05
6. feladat: C/48. sz. feladat Tárgy: Hasáb és tó rusz áthatása
Rajzszám: *-3-06
7. feladat: C/50. sz. feladat Tárgy: Kúp és henger áthatása
Rajzszám: *-3-07
8. feladat: C/54. sz. feladat Tárgy: Háromszö g árnyéka
Rajzszám: *-3-08
9. feladat: C/56. sz. feladat Tárgy: Test árnyéka
Rajzszám: *-3-09
10. feladat: C/57. sz. feladat Tárgy: Test árnyéka
Rajzszám: *-3-10
5.5.4. Negyedik ré sz
É pítő szakok szá má ra 1. feladat: C/58. sz. feladat Tárgy: Síklapok
Rajzszám: E-4-01
2. feladat: C/59. sz. feladat Tárgy: Négyzetsor
Rajzszám: E-4-02
66
3. feladat: C/60. sz. feladat Tárgy: Kö rkúp
Rajzszám: E-4-03
4. feladat: C/61. sz. feladat Tárgy: Perspektív ábrázolás I.
Rajzszám: E-4-04
5. feladat: C/62. sz. feladat Tárgy: Perspektív ábrázolás II.
Rajzszám: E-4-05
6. feladat: C/63. sz. feladat Tárgy: Perspektív ábrázolás III.
Rajzszám: E-4-06
7. feladat: C/64. sz. feladat Tárgy: Vízszintes plató
Rajzszám: E-4-07
8. feladat: C/65. sz. feladat Tárgy: Emelkedő útszakasz I.
Rajzszám: E-4-08
9. feladat: C/66. sz. feladat Tárgy: Emelkedő útszakasz II.
Rajzszám: E-4-09
10. feladat: C/67. sz. feladat Tárgy: Emelkedő útszakasz III.
Rajzszám: E-4-10
A többi szak szá má ra 1. feladat: C/68. sz. feladat Tárgy: Metszetek I.
Rajzszám: *-4-01
2. feladat: C/69. sz. feladat Tárgy: Metszetek II.
Rajzszám: *-4-02
3. feladat: C/70. sz. feladat Tárgy: Metszetek III.
Rajzszám: *-4-03
4. feladat: C/71. sz. feladat Tárgy: Metszetek IV.
Rajzszám: *-4-04
5. feladat: C/72. sz. feladat Tárgy: Befordított metszetek
Rajzszám: *-4-05
6. feladat: C/73. sz. feladat Tárgy: Szelvények
Rajzszám: *-4-06
7. feladat: C/74. sz. feladat Tárgy: Metszetek V.
Rajzszám: *-4-07
8. feladat: C/75. sz. feladat Tárgy: Félnézet-félmetszet, kitö rés
Rajzszám: *-4-08
67
9. feladat: C/76. sz. feladat Tárgy: Metszetek VI.
Rajzszám: *-4-09
10. feladat: C/77. sz. feladat Tárgy: Felfogó lap
Rajzszám: *-4-10
68
