Zvyšování kvality výuky technických oborů Klíčová aktivita IV.2
Inovace a zkvalitnění výuky směřující k rozvoji matematické gramotnosti žáků středních škol Téma IV.2.2
Kvadratické funkce, rovnice a nerovnice Kapitola 16 Vztahy mezi kořeny a koeficienty kvadratické rovnice I PaedDr. Iveta Unzeitigová
30. 9. 2012
Obsah ÚVOD - ANOTACE ..................................................................................................................................... 1 1
VZTAHY MEZI KOŘENY A KOEFICIENTY KVADRATICKÉ ROVNICE I ....................................................... 2 1.1
PRACOVNÍ LIST - VZTAHY MEZI KOŘENY A KOEFICIENTY KVADRATICKÉ ROVNICE I................................................ 4
2
DOPORUČENÁ LITERATURA ................................................................................................................ 6
3
POUŽITÁ LITERATURA A ZDROJE......................................................................................................... 7
Úvod - anotace Výukový materiál Vztahy mezi kořeny a koeficienty kvadratické rovnice I se zabývá výkladem a řešením obecných kvadratických rovnic, řešených pomocí Viètových vzorců. Ke každé kapitole je vypracován pracovní list sloužící k procvičení a upevnění učiva dle daného tématu. Každý pracovní list je kompletován i s výsledky. Výukový materiál Kvadratické funkce, rovnice a nerovnice je určen žákům prvních ročníků všech oborů ukončených maturitní zkouškou, včetně žáků nástavbového studia. Je vhodný k samostudiu i jako podpora pedagogických pracovníků při jejich přípravě na vyučovací hodinu. Rozsah učiva je v souladu s ŠVP předmětu Matematika s ohledem na Katalog požadavků společné části maturitní zkoušky z matematiky, platný od školního roku 2014 i od roku 2015/2016.
1
Vztahy mezi kořeny a koeficienty kvadratické rovnice I
1
Každou kvadratickou rovnici můžeme převést na normovaný tvar. Provedeme to tak, že obecnou kvadratickou rovnici ax2 + bx + c = 0 vydělíme koeficientem a. Získáme rovnici b c b c a rovnici přepíšeme. Nová x 2 x 0 . Zavedeme nové koeficienty p , q a a a a rovnice tvaru x2 + px + q = 0 se nazývá normovaná kvadratická rovnice. V normované kvadratické rovnici platí následující vztahy - Viètovy vzorce: x1 + x2 = -p
x1 · x2 = q
kde p,q R, p 2 4q 0 . Pro kořeny x1, x2 normované kvadratické rovnice platí zápis: x2 + px + q = (x – x1)(x – x2)
Příklad 1 Na základě Viètových vzorců určete kořeny rovnice: x2 + 8x + 15 = 0 Řešení: V rovnici určíme kořeny
x2 + 8x + 15 = 0 ↓ součet
↓ součin
Součin kořenů se musí rovnat 15, součet 8. Snadno uhádneme, že kořeny jsou čísla 3 a 5. Zapíšeme ve tvaru součinu závorek
(x – x1)(x – x2) = 0 (x – 3)(x – 5) = 0 ↓ x1 = 3
Výsledek: Kořeny dané rovnice jsou čísla x1 = 3, x2 = 5. Obor kořenů:
2
K = 3;5
↓ x2 = 5
Příklad 2 Na základě Viètových vzorců určete kořeny rovnice: x2 - x – 12 = 0 Řešení: x2 - x – 12 = 0
V rovnici určíme kořeny
↓
↓
součet
součin
Čísla, jejichž součin je -12 a součet -1, jsou -4 a 3. Zapíšeme ve tvaru součinu závorek
(x – x1)(x – x2) = 0 (x + 4)(x – 3) = 0 ↓
↓
x1 = -4 x2 = 3 Výsledek: Kořeny dané rovnice jsou čísla x1 = -4, x2 = 3. Obor kořenů:
K = 4;3
3
1.1
Pracovní list - Vztahy mezi kořeny a koeficienty kvadratické rovnice I
1. Na základě Viètových vzorců rozložte kvadratické trojčleny na součin kořeny rovnic v R : a) x2 + 3x – 4 = 0 b) x2 + 7x + 10 = 0 c) x2 - 7x + 10 = 0 d) x2 - 3x – 10 = 0 e) x2 + 3x – 10 = 0 f) x2 + 7x + 12 = 0 g) x2 + 4x – 12 = 0 h) x2 - 13x + 12 = 0
Výsledky (kvadratické trojčleny rozloženy v součin): 1. a) (x + 4)(x – 1) b) (x + 2)(x + 5) c) (x - 2)(x – 5) d) (x + 2)(x – 5) e) (x - 2)(x + 5) f) (x + 4)(x + 3) g) (x - 2)(x + 6) h) (x - 1)(x – 12)
4
a určete
Výsledky (kořeny rovnic): 1. a) -4;1 b) -2;-5 c) 2;5 d) -2; 5 e) 2;-5 f) -4;-3 g) 2;-6 h) 1;12
5
2 Doporučená literatura ČERMÁK, Pavel a Petra ČERVINKOVÁ. Odmaturuj! z matematiky. 1. vyd. Brno: Didaktis , 2002, 208 s. ISBN 80-862-8538-3. HALOUZKA, Alois. Přehled učiva k maturitní zkoušce z matematiky. 1. vyd. Praha: Fortuna, 2002, 240 s. ISBN 80-716-8808-8. KUBÁT, Josef, Dag HRUBÝ a Josef PILGR. Sbírka úloh z matematiky pro střední školy: maturitní minimum. 1. vyd. Praha: Prometheus, 1996, 195 s. Učebnice pro střední školy (Prometheus). ISBN 80-719-6030-6. JANEČEK, František. Sbírka úloh z matematiky pro střední školy: výrazy, rovnice, nerovnice a jejich soustavy. 5. vyd. Praha: Prometheus,spol. s r. o., 2009, 194 s. Učebnice pro střední školy (Prometheus). ISBN 978-80-7196-360-8. HUDCOVÁ, Milada a Libuše KUBIČÍKOVÁ. Sbírka úloh z matematiky pro SOŠ, SOU a nástavbové studium. Praha: Prometheus, 2011, 415 s. ISBN 978-807-1963-189.
6
3 Použitá literatura a zdroje FENDT, Walter. Java aplety z Matematiky. [online]. 15. 7. 2008 [cit. 2012-12-27]. Dostupné z: http://www.walter-fendt.de/m14cz/ ČERMÁK, Pavel a Petra ČERVINKOVÁ. Odmaturuj! z matematiky. 1. vyd. Brno: Didaktis , 2002, 208 s. ISBN 80-862-8538-3. CHARVÁT, Jura, Jaroslav ZHOUF, Leo BOČEK. Matematika pro gymnázia: rovnice a nerovnice. 3. vyd. Praha: Prometheus, 2005, 223 s. Učebnice pro střední školy (Prometheus). ISBN 80-719-6154-X. ODVÁRKO, Oldřich. Matematika pro gymnázia: funkce. 3. upr. vyd. Praha: Prometheus, 2005, 168 s. Učebnice pro střední školy (Prometheus). ISBN 80-719-6164-7. HEJKRLÍK, Pavel. Matematika: sbírka řešených příkladů: rovnice a nerovnice. 1. vyd. Opava: Nakladatelství SSŠP, 2006, 556 s. ISBN 978-80-903861-0-5. HEJKRLÍK, Pavel. Matematika: sbírka řešených příkladů: rovnice a nerovnice s absolutní hodnotou, soustavy rovnic. 1. vyd. Opava: Nakladatelství SSŠP, 2006, 556 s. ISBN 978-80-903861-1-2. HALOUZKA, Alois. Přehled učiva k maturitní zkoušce z matematiky. 1. vyd. Praha: Fortuna, 2002, 240 s. ISBN 80-716-8808-8. PETÁKOVÁ, Jindra. Matematika: příprava k maturitě a k přijímacím zkouškám na vysoké školy. 1. vyd. Praha: Prometheus, 1998, 303 s. Učebnice pro střední školy (Prometheus). ISBN 80-719-6099-3. CZUDEK, Pavel. Slovní úlohy řešené rovnicemi: pro žáky a učitele ZŠ, studenty a profesory SŠ: 555 úloh. 3. vyd. Praha: HAV, 2005, 153 s. ISBN 80-903-6250-8. KUBÁT, Josef, Dag HRUBÝ a Josef PILGR. Sbírka úloh z matematiky pro střední školy: maturitní minimum. 1. vyd. Praha: Prometheus, 1996, 195 s. Učebnice pro střední školy (Prometheus). ISBN 80-719-6030-6. JANEČEK, František. Sbírka úloh z matematiky pro střední školy: výrazy, rovnice, nerovnice a jejich soustavy. 5. vyd. Praha: Prometheus,spol. s r. o., 2009, 194 s. Učebnice pro střední školy (Prometheus). ISBN 978-80-7196-360-8.
7
