9.1
Základnívlastnosti IIR filtrù byly uvedenyv odst. 7.3. Je významné,že pøijejich návrhu mùžemevycházetz charakteristikvzorovéhoanalogovéhofiltru požadovanýchvlastností,jehož parametrytransformujemez analogovéoblasti do digitální oblasti. Výhodnosttakového postupuspoèíváv tom, že pro návrh analogovýchfiltrù existujeøadavelmi dobøepropracovaných postupù,jako napø.pro Butterworthovy,Èebyševovy,Cauerovy,Besselovy,eliptické ajiné analogovéfiltry. PostupnávrhuIIR filtru mùžemerozdìlit do ètyøkrokù: 1. Formulacepožadavkùna vzorový analogovýfiltr, obvykle na jeho frekvenènícharakteristiku nebona impulzníodezvu.
2. Ze zadaných požadavkù navrhneme klasickou teorií pøenosovoufunkci Ha (p) vzorového analogového filtru.
3. Pøenosovoufunkci Ha (p) analogového filtru transformujeme podle použité metody návrhu zp-roviny do z-roviny na systémovoufunkci H(z) digitálního filtru. Získaná funkce H(z) již specifikuje koeficienty ok a bk navrhovaného digitálního filtru. 4.
Pro kontrolu mùžeme ze systémové funkce H(z) substitucí z = ejfjj stanovit odpovídající frekvenèní charakteristiku H(m) takto navrženého digitálruno filtru a porovnat ji s výchozími požadavky.
Existuje nìkolik standardníchmetod návrhu IIR filtrù, které se liší zpùsobem transformace Ha(P) na H(z), pøi zachování stability filtru. V jednoduchých pøípadechlze rekurzivní filtr navrhnout intuitivnì na základì døíve uvedených poznatkù o vlivu pozice nul a pólù na frekvenèní charakteristiku -viz pøíklady v odst.6.4. Pøeduvedením standardníchmetod návrhu !IR filtrù si pøipomenemezákladní vztahy pro pøenosovoufunkci Ha (p) analogovýchfiltrù:
-112-
, 2.
(9.1)
nebo
Ha(p)=!!.SJ!2=K A(p)
(p-Zt)(P-Z2)
(P-ZM)
(p -Pt)
(p -PN)
(p -P2)""
kde ak, bk jsou koeficienty pøíslušné diferenciální rovnice, Zl' Z2, PI, P2,
ZM jsou nuly a
PN jsou póly pøenosovéfunkce Ha (p) V komplexní p-rovinì.
Pro stabilitu analogového filtru je nutné, aby všechny póly Pk jeho pøenosovéfunkce Ha (p) ležely v levé polorovinì. Uvedeme ještì souvislost H(z) a Ha(P) ve spektrální oblasti.
1. Pro systémovou funkci H(z) platí: H(z) = Z[h(n)]. Pro z = ejiii tj. pro body ležÍcÍ na jednotkové kružnici (r = 1 ) v komplexní z-rovinì bude:
cožje frekvenènícharakteristikadigitálníhofiltru. Pro pøenosovou funkci Ha(P) platí: Ha(P) = L[h(t)]. Pro P = iO, tj. pro body ležící na imaginárníose iO v p-rovinì bude:
což je frekvenèní charakteristika analogového filtru, kde .Q je úhlová frekvence v [rad/s] na rozdíl od {ij [rad]. Dále ještì frekvenèní charakteristika Ha (.Q) analogového filtru má aperiodický prùbìh (není periodická). Podle (9.3) a (9.4) se body z imaginární osy j.Q v p-rovinì transformují (mapují) na jednotkovou kružnici (r = 1 ) v z-rovinì a obrácenì. Existuje tedy pøímá souvislost mezi frekvencemi v tìchto dvou rovinách (ovšem H(iii) je periodická, kdežto Ha(.Q) je aperiodická).
9.2 Metoda aproximace derivací diferencemi Již v odst. 5.5 byl uveden elementární pøíklad transformace analogového filtru (RC obvodu) na digitální strukturu s použitím aproximace derivace:
-113 -
a) b)
Derivaci na levé stranì si pøedstavímejako výstup analogového systému s pøenosovou funkcí H~(P) podle obr. 9.1a).
y(n)-y(n-1)
_~~r-~__~~ ~L_~ ~
.--!J~~~~[~~-~=::::!:=..
Obr. 9.1 K aproximaci derivace diferencerni
Pøenosováfunkce H~(P) je dána pomìrem L-obrazu vstupu, tj. Ya(p), kL-obrazu výstupu, tj. pYa(p), takže bude: H~(P) = p Tento analogový systém aproximujeme digitálním systémem se systémovou funkcí H'(z) podle obr. 9.1b). Systémová funkce H'(z) je dána pomìrem Z-obrazu vstupu, tj. Y(z), k Zobrazu výstupu, tj. !
~(z) -z-I Y(z)l takže bude:
T H'(z) =
1- z-I
T Tato systémová funkce aproximuje pøenosovoufunkci H~(p). na H'(z)
Tedy z dané H~(P) pøejdeme
substitucí
p=
I-z'
-1
T
Obecnì, bude-li zadánapøenosováfunkce Ha (P) vzorového analogového filtru, která má tvar podle (9.1), potom systémováfunkce H(z) odpovídajícího digitálního filtru bude:
Z rovnice (9.9) dostanemepro z:
1z=l-=-p"T
(9.10)
Tato rovnice vyjadøuje,jak se body p transformují z p-roviny do bodù z v z-rovinì (mapuje provinu do z-roviny).
-114-
~ --~
Zvolíme-li p = j.Q, pak analýzou zjistíme, že imaginární osa j.Q v p-rovinì se takto mapuje na kružnici o polomìru 0,5 se støedemv bodì z = 0,5 v z-rovinì a levá polorovina do plochy této kružnice -viz obr.9.2.
j.Qt joo
-- ---
p-rovina ~
~
Imzt ~
jednotková kružnice
,--,
z-rovina
II,
1
'.'
o
O'
J.Q~ -JOO
Rez
;/,/
Obr. 9.2 Mapování osy j.Q zp-roviny do z-roviny pøiaproximaci derivací diferencemi
Z uvedenéhovyplývá: -bude-li vzorový analogový filtr stabilní,bude stabilní i takto navržený digitální filtr (transformace zachovává stabilitu) frekvenèní charakteristika takto navrženého digitálního filtru bude odlišná, nebo• pro její zachování by bylo tøeba, aby se osa iO transformovala na jednotkovou kružnici. Pouze v malé oblasti v okolí bodu z = 1 (tj. v oblasti nízkých frekvencí m« 7t/2) se budou body na malé kružnici pøibližovat bodùm na jednotkové kružnici, takže v této oblasti frekvencí se bude také H(m) digitálního filtru pøibližovat Ha (O) analogového filtru. To by mohlo vyhovìt návrhu filtrù typu DP, nikoliv PP nebo HP.
9.3 Metoda impulznì invariantní transformace Tato metoda zachovává hodnoty impulzní odezvy h(t) analogového filtru. Impulzní odezva h(n) navrženého digitálního filtru totiž vychází z jejích vzorkù h(n): h(n) = h(t)1 t=nT
n=O,1,2,
(9.11 )
kde T je vzorkovací interval. Tyto hodnoty h(n) ovšem nemùžeme pokládat za koeficienty digitálního filtru, nebo• h(t) má teoreticky neomezenoudélku. Postup návrhu bude následující. Ze zadaných požadavkù na filtr navrhneme nìkterou známou metodou pøenosovoufunkci Ha (p) vzorového analogového filtru ve tvaru:
_11,-
(9.12) kde Zk jsou nuly a Pk jsou póly vzorového analogového filtru v p-rovinì. Za pøedpokladu,že tato Ha (p) neobsahujenásobnépóly, vyjádøíme Ha (p) rozkladem v parciální zlomky, který
budeve tvaru:
Ha(P) =-:~
Az++...
AJ
(9.13)
p-pz
kde Ak jsou reálné nebo komplexní konstanty (podle povahy pólu Pk). Tím jsme vlastnì analogový filtr vyjádøili ve tvaru paralelní kombinace elementárních filtrù s jednoduchými (reálnými nebo komplexními) póly Pk -viz obr.9.3.
Obr. 9.3 Rozklad Ha (p) na paralelní kombinaci elementárních filtrù
Tuto Ha (p) budeme nyní transformovat do digitální oblasti na systémovou funkci H (z). Hledaný vztah pro H(z) odvodíme následovnì. Impulzní odezva hk (f) jednoho elementárního analogového filtru na obr. 9.3 je dána inverzní LT: hk(t) = L-1
= Ak ePkt
pro t~O (9.14)
a
hk(t)=O
«o
pro
Výslednáimpulzní odezvauvedenéparalelníkombinacebude dána sumací odezevjednotlivých elementárních filtrù: N
N
h(t) = Lhk(t) k=l
=LAk k=l
-116-
ePkt
(9.15)
1
Impulzní odezva odpovídajícího impulznì invariantního filtru pak bude dána podle (9.12) diskrétními hodnotami (vzorky) h(n): N
h(n) = LAk
ePknT n~O
(9.16)
k=l
Její Z-transformací již získáme odpovídající systémovou funkci H(z) navrhovaného digitálního filtru: 00
CX>
N
N
00
H(z) = L h(n)z-n = L LAk ePknT z-n= LAk L(z-l ePkT)n n=O
n=O k=l
k=l
(9.17)
n=O
S použitím vzorce pro sumaci souètuneomezenégeometrické øadydostaneme: N
N
H(z) = LAk k=l
1- z-I ePkT
z
=LAk k=l
z -ePkT
(9.18)
Podle (9.18) bude systémová funkce digitálního filtru obsahovat N jednoduchých (reálných nebo komplexních) pólù
k = 1,2,
N
(9.19)
kde Pk jsou jednoduché póly vzorového analogového filtru. Dále bude obsahovat N nul v poèátku. Ze znalosti Ha(P) ve tvaru podle (9.13) tedy mùžeme ihned vyjádøit vztah pro H(z) podle (9.18). Obdobnì jako na obr. 9.3 pøedstavujetaké sumace (9.18) paralelní kombinaci elementárních digitálních filtrù se systémovými funkcemi:
k=1,2,
N
Bude-li H k (z) v sumaci (9.18) obsahovat komplexní pól zk = exp(PkT), pak ovšem musí tato sumace obsahovat také Hk(z) s komplexnì sdruženým pólem. Obì takové èásti mùžeme slouèit do jedné dílèí systémové funkce, obsahující dva komplexnì sdružené póly. Realizace výsledné H(z) mùže odpovídat paralelnímu tvaru dílèích H k (z) podle (9.18). Nebo mùžeme vztah (9.18) upravit na sériový tvar (souèet zlomkù pøevedemena spoleèného jmenovatele).
Pøíklad9.1 Pøenosováfunkce vzorového analogovéhofiltru je dána ve tvaru: Ha(P) =
0,2+ p (0,2+p)2 +16
-117-
-j4T
Zøejmì obsahuje nulu v bodì p = -0,2 a pár komplexnì sdruženýchpólù Pl,2 = -0,2 :t j 4. Nejprve rozložíme Ha (p) na parciální zlomky:
medanou H(z) získámepodle vztahu(9.18): 0,5 1 -z-I
e-O,2T e
Zøejmì obsahuje dva komplexnì sdruženépóly ZI,2 = e-O,2T:tj4T.Mùžeme tedy dva èleny
v
H(z) upravit do jediného èlenu:
Podle vztahu (9.19) mùžeme vyjádøit souvislost mezi body v z-rovinì a body v p-rovinì: z = exp(pT). Zavedeme-li substituci z = r exp(jm) a p = O'+ j,Q" dostaneme: r = exp(aT) a m = ,Q,T. Z toho vyplývá, že pro O' < O bude O < r < 1, takže levá polorovina p-roviny se bude mapovat do plochy jednotkové kružnice v z-rovinì. Dále pro O' = O bude r = 1, takže imaginární osa j,Q, se bude mapovat na jednotkovou kružnici. Tato metoda tedy zachovává stabilitu filtru a zaruèuje shodu impulzních odezev digitálního filtru a vzorového analogového filtru. A však souvislost mezi frekvenèními charakteristikami Ha(Q) a H(iiJ) nebude tak jednoznaèná. Spojité impulzní odezvì h(t) pøíslušípøenosováfunkce Ha(.Q) = F[h(t)] -viz obr.9.4.
o
Ov
Q
Obr. 9.4 Impulzní odezvaa frekvenènícharakteristikaanalogovéhofiltru Potom vzorkované h(n) = h(nT) bude podle vzorkovacího teorému -viz 3.1 -pøíslušet periodické opakování Ha(Q) s periodou Qv = 2n/T
odstavce 2.3 a
(Ha(Q) je spektrum
impulzní odezvy h(t)). Bude tedy analogicky ke vztahu (2.17) pro frekvenèní charakteristiku digitálního filtru platit:
-llR-
00
H(ilJ) = H(.Q.T) = Fv LHa
(.Q.+ k.Qv)
(9.20)
k=-oo
Pak ovšem budou platit také poznatky z odst. 3.1 o pøekrývání (aliasing) sousedníchprùbìhù Ha (O + k.o.v) -viz obr.9.5. Výsledná frekvenèní charakteristika bude dána souètem pøekrývajících se èástí, takže bude odlišná od Ha (O). Tento negativní vliv mùžeme zmenšit volbou menší hodnoty T, tj. hustìjším vzorkováním odezvy h(t).
-
~
/
H(ro):H(OT)
Ha(O-Ov) Ha(O-20v) ~~/"--~~,___,,/a (o ) JI' .
\:
,/""Y,
~
I
\:
'/ ",,~,
'-.
~
I ---I-r--
o
1t
21t
o
1/2.o.v
Oy
31t
ro=.GT Ov
Q .Q
Obr. 9.5 Vzorky impulzní odezvy h(n) a odpovídající frekvenèní charakteristika H(iJJ)
9.4 Metoda bilineární transformace Odvození transformaèního vztahu mezi komplexními promìnnými p a z vychází z diferenciální rovnice analogového filtru, kde se derivace neaproximuje diferencí jako v odst. 9.2, ale derivace se integruje a integrál se aproximuje podle trojúhelníkového pravidla. Po úpravì pak získáme transformaèní vztah ve tvaru:
(
2 I-Z-l
)
P=r ~=t
2 z-I
=r;+I
(9.21)
nazývaný bilineámí transformace, kde T je èinitel úmìrnosti. Bude-li zadána pøenosováfunkce Ha(P) vzorového analogového filtru, pak systémovou funkci H(z) odpovídajícího digitálního filtru získáme substitucí:
H(z) = Ha(P)
2 z-I
p=-T z+1
(9.22)
Abychom poznali vlastnosti bilineární transformace, zavedeme v rov. (9.21) substitUci z = r exp(jm) a p = a + j.Q. Z výsledku zjistíme, že pro a < O bude r < O a pro a = O bude r = 1, takže levá polorovina z p-roviny se bude mapovat do plochy jednotkové kružnice
-119-
v z-rovinì a body z imaginární osy j.o. v p-rovinì se budou mapovat do bodù z = exp(jm) na jednotkové kružnici v z-rovinì. Stabilní analogový filtr se tak bude transformovat na stabilní digitální filtr. Uvedenou substitucí z = exp(j m) a p = j.o. (O" = O) do rov. (9.21) získáme vztah mezi body na ose j.o. v p-rovinì a body z = exp(jm) na jednotkové kružnici v z-rovinì, tj. mezi frekvencemi .o. a m : "A 21-z-1 p = J~~ =-=-=
21-exp(-jiiJ)
T 1+z-1
T l+exp(-jiiJ)
"2 J-tg-
iiJ
T
2
Bude tedyplatit: 2
.Q =rtg2
11>
nebo
iiJ = 2 arctg.
.ar 2
(9.23)
kde je .Q v [rad/s] a iiJ v [rad]. Závislost mezi frekvencemi .QT a iiJ podle rov. (9.23) je graficky znázornìna na obr. 9.6.
Obr. 9.6 Závislostmezi frekvencemianalogovéhoa digitálního filtru pøibilineární transformaci V oblasti nižších hodnot iiJ je závislost témìø lineární, ale se stoupající hodnotou iiJ se stává silnì nelineární. Dále celý frekvenèní interval O~ .Q~ 00 analogového filtru se u digitálního filtru komprimuje na koneèný interval odpovídající pùlkružnici jednotkové kružnice v zrovinì, tj. na interval O~ iiJ ~ 7t. Potlaèení vlivu této nelinearity vyžaduje trochu pozmìnìný postup návrhu proti pøedchozím metodám. Návrh vychází ze specifikace požadavkù na frekvenèní charakteristiku digitálního filtru. Specifikují se významné frekvence, napø.frekvence vymezující pøechodovéoblasti frekvenèní charakteristiky digitálního filtru -viz pøíklad na obr.9.7 v dolní èásti, kde jsou specifikovány frekvence iiJ1,iiJ2 [rad].
-120-
Podle vztahu v analogové oblasti graficky s využitím vencí .o.i se potom
(9.23) se k tìmto frekvencím urèí odpovídající frekvence nI, n2 -viz graf vlevo nahoøena obr.9. 7, kde je tato transformace znázornìna závislosti mezi (jj a.o. podle obr.9.6. Podle hodnot takto získaných freknavrhne nìkterou známou metodou pøenosováfunkce Ha (p) vzorového
analogového filtru.
Obr. 9.7 K souvislosti mezi frekvenèními charakteristikami H(iiJ) a H(.aT) a stanovení významných frekvencí u metody bilineámí transformace
S použitím bilineární transformace podle rov. (9.22) již získáme systémovou funkci H(z) navrhovaného digitálního filtru, u kterého budou zaruèenyjako významné frekvence ml' m2. Tato metoda návrhu IIR filtrù nemá omezení jako pøedchozí metody, je použitelná pro filtry typu DP, PP, a HP, vyluèuje pøekrývání (aliasing) frekvenèních charakteristik a zachovává stabilitu filtru. Avšak impulzní odezva takto navrženého digitálního filtru neodpovídá výchozímu analogovému filtru.
-121-
