Gymnázium Jana Nerudy škola hl. m. Prahy
Závěrečná práce studentského projektu Studium pohybu letícího objektu
Evropský sociální fond Praha a EU – Investujeme do vaší budoucnosti
Vypracovali:
Kryštof Bednár Kristina Zindulková AndreaLazukićová
2014
Vedoucí práce:
Mgr. Jiří Bureš
ČESTNÉ PROHLÁŠENÍ Tato práce byla vypracována na Gymnáziu Jana Nerudy v Praze, v období 1.9. 2013 až 25.5. 2014.
Prohlašujeme, že jsme tuto práci vypracovali samostatně. Veškeré literární prameny a informace, které jsme v práci využili, jsou uvedeny v seznamu použité literatury. Byli jsem seznámeni s tím, že se na naši práci vztahují práva a povinnosti vyplývající ze zákona č. 121/2000 Sb., o právu autorském, o právech souvisejících s právem autorským a o změně některých zákonů (autorský zákon), zejména se skutečností, že Gymnázium Jana Nerudy v Praze má právo na uzavření licenční smlouvy o užití této práce jako školního díla podle § 60 odst. 1 autorského zákona, a s tím, že pokud dojde k užití této práce mnou nebo bude poskytnuta licence o užití jinému subjektu, je Gymnázium Jana Nerudy v Praze oprávněno od nás požadovat přiměřený příspěvek na úhradu nákladů, které na vytvoření díla vynaložila, a to podle okolností až do jejich skutečné výše.
V Praze dne 24.5.2014
SOUHRN Studovali jsme skok automobilu podložený úryvkem z filmu Man with the golden gun z roku 1974. Chtěli jsme se dozvědět, jaká je potřebná počáteční rychlost a úhel k tomu, aby auto přeskočilo řeku. Práci jsme si ulehčili tím, že jsme pohyb auta modelovali pomocí pohybu hmotného bodu (vyloučili jsme rotaci a zanedbali odpor vzduchu). V rámci experimentální části práce jsme vytvořili model auta skákajícího přes řeku, který jsme natočili a s videem dále pracovali pomocí různých počítačových programů. Tento projekt v rámci OPPA jsme si dovolili spojit s Maths en Jeans, frankofonním mezinárodním matematickým projektem, byl tedy prezentován na mezinárodní evropské konferenci ve Varšavě.
SUMMARY We studied a jump of a car inspired by the stunt of a car jumping over a river in the James Bond movie Man with the golden gun from 1974. We were curious about the conditions needed to bring about such a jump. We simplified the problem by considering the car as a single point, not taking into account its rotation and we also neglected the resistance of the air. We worked theoretically and we also accomplished the experimental part where we constructed our very own model of the jump using different software products. We interconnected this project under the sponsorship of OPPA with Math en Jeans, an international francophonic mathematical project. This subject and our output were presented at an international conference in Warsaw.
PODĚKOVÁNÍ Chtěli bychom poděkovat našemu vedoucímu práce Mgr. Jiřímu Burešovi, za jeho vedení, rady a pomoc při pokusech. Panu Doc. RNDr. Milanu Rojkovi CSc. za umožnění pokusů v laboratoři fyziky a panu RNDr. Jaromíru Kekulovi Ph.D. za poskytnutí rovnic na výpočty sil tření.
OBSAH
1. Úvod.......................................................................................................................................................... 1 2. Teoretická část .......................................................................................................................................... 2 2.1. Parabola.............................................................................................................................................. 2 2.2. Limity a derivace ............................................................................................................................... 4 2.2.1 Limity........................................................................................................................................... 4 2.2.2 Derivace ....................................................................................................................................... 4 2.2.1. Druhá derivace ............................................................................................................................ 5 2.3. Chování předmětu ve volném pádu ................................................................................................... 6 2.3.1. Těleso pohybující se ve směru působení tíhy ............................................................................. 6 2.3.2 Těleso pohybující se v rovině ...................................................................................................... 8 2.4 Výpočty se třením ............................................................................................................................. 10 2.4.1 Eulerova metoda ........................................................................................................................ 10 2.4.2 Výpočet hodnoty síly tření ......................................................................................................... 10 3. Experimentální část ................................................................................................................................. 11 4.Závěr ........................................................................................................................................................ 16 5.Zdroje: ...................................................................................................................................................... 17 5.1 Zdroje v textu .................................................................................................................................... 17 5.2zdroje obrázku .................................................................................................................................... 17
1. Úvod Lidé se už několik set tisíciletí před námi učili střílet oštěpem, vrhat zbraněmi atd. Učili se, jak závisí úhel a počáteční rychlost na dráze předmětu, aby trefili cíle v různých vzdálenostech, to vše bez použití výpočtů. Tyto jevy je ale možné popsat matematicky a fyzikálně pomocí Newtonových zákonů, derivací a funkcí. Dráha předmětu s určitou počáteční rychlostí hozeným pod jistým úhlem vždy opisuje parabolu orientovanou směrem dolů. Není to však dokonalá parabola, protože pod vlivem třecí síly je dopadová část dráhy strmější než vzletová. Následující práce je dělena do dvou částí: teoretické a experimentální. V teoretické části se zaměříme na matematické a fyzikální popsání letu předmětu, s čímž souvisí studium parabol, derivací a limit a rozložení vektorů sil a rychlosti. V druhé části pomocí pokusů ověříme, jak počáteční úhel, rychlost a hmotnost tělesa ovlivňují jeho dráhu. Pro zjednodušení jsme se omezili na studium chování předmětu jako hmotného bodu, který odpovídá jeho těžišti, ke konci práce jsme se pokusili popsat, jak dráhu letu předmětu ovlivňují třecí síly.
1
2. Teoretická část 2.1. Parabola Parabola je druh kuželosečky, kterou můžeme definovat jako množinu bodů, které mají stejnou vzdálenost od dané řídící přímky a ohniska (obr. 1). Matematickým zápisem: (1) Na obr. 1 je znázorněna parabola, její ohnisko F, střed paraboly V, řídící přímka d, osa paraboly procházející body D a F, parametr paraboly, tedy vzdálenost ohniska od řídící přímky, zobrazená přímkou p. Bod X ilustruje již zmíněnou definici paraboly, vzdálenost XF je stejná jako vzdálenost X od přímky d (XE).
Obr. 1: Základní zobrazení paraboly Osa paraboly prochází ohniskem a je-li rovnoběžná s osou y či osou x, parabola se nachází v tzv. normální pozici. Díky tomu, že je její excentricita (poměr vzdáleností ohniska od středu paraboly), rovná jedné, můžeme všechny paraboly považovat za podobné [1, 2]. Existují dva typy parabol v normálních polohách: paraboly typu y² x a -y² x. paraboly typu y x² či
y=-x². Paraboly typu y² x a -y² x. Tyto paraboly jsou souměrné vzhledem podle osy x, jejich ohnisko se nachází v bodě (a, 0) a řídící přímka je x=-a [3]. 2
Obr. 2: Parabola typu y² a -y² (vpravo a vlevo podle pořadí) Parabola typu y x² či y=-x² Paraboly jsou souměrné vzhledem k ose y, jejich ohnisko se nachází v bodě (0, a) a řídící přímka je y=-a. Právě díky souměrnosti těchto parabol lze tvrdit, že úhel, pod kterým se parabola otevírá, je naprosto identický s tím, kterým se uzavírá. Tyto poznatky jsou velmi důležité v následující práci, kde byla použita parabola typu y=-x2, která odpovídá dráze letícího auta.
Obr. 3: Parabola typu x² a -x² Parabola typu y x² může být zapsána funkcí f(x)=x2. Ta je v intervalu (-∞, 0) striktně klesající a v intervalu (0, ∞) vždy stoupající [1, 2].
3
2.2. Limity a derivace 2.2.1 Limity K vysvětlení pojmu derivace je důležité znát pojem limita. Limita je matematický nástroj, díky kterému můžeme zjistit, k jaké hodnotě se blíží funkce v bodě, kde funkce není spojitá nebo není definovaná. K tomu, aby oboustranná limita vůbec existovala, musí platit, že se funkce blíží z obou stran k samému číslu. K tomu se lze dopočítat pomocí jednostranné limity, která značí, jestli jsou čísla nekonečně blízko dané hodnoty větší nebo menší. Limita z pravé strany zahrnuje čísla větší než zadaná hodnota. 2.2.2 Derivace Derivace je považována za základní pojem v diferenciálním počtu a znázorňuje průběh změny funkce pomocí nekonečně blízko určených bodů vymezujících nekonečně krátké úseky. Jinak řečeno, prostřednictvím derivací zjišťujeme sklon přímek procházejících mezi dvěma nekonečně blízkými body, tyto přímky jsou tedy tečny obrazce. Rozdíl mezi těmito body se rovná limitě →0. Úplně původní zápis derivace byl podíl změny v hodnotách Y a změny v hodnotách X. Tady ale bylo potřeba dosadit body, mezi kterými je určitá vzdálenost. Dosadíme-li body konečně blízko sebe, pak vzniká problém 0/0 po dosazení čísel do výpočtu, což není možné.
Obr. 4: Grafické znázornění tečen (derivací) funkce. Převzato z [1] Až později se přišlo na následující definici derivace, která plyne z původní definice, je ale rozsáhlejší a přesnější. Definujeme-li h jako rozdíl X hodnot, pak můžeme napsat, že změna v Y je rovna f(x+h)-f(x).
)
)
)
(3)
Pomocí této rovnice můžeme vypočítat derivaci jakékoli funkce. Existují ale i jiné, často snazší rovnice, pomocí kterých můžeme vypočítat derivaci určité funkce.
4
f(x) = k
f '(x) = 0
f(x) = k*x
f '(x) = k
f(x) = xk
f '(x) = k*xk-1
f(x) = sin(x)
f '(x) = cos(x)
f(x) = cos(x)
f '(x) = -sin(x)
f(x) = tan(x)
f ' x)
f(x) = ex
f '(x) = ex
f(x) = ln(x)
f '(x) = 1/x
f(x) = kx
f '(x) = kx*ln(k)
1/cos² x)
Tabulka 1: Základní derivace (k je konstanta) Pomocí derivací můžeme zjistit sklon tečny v jakémkoliv bodě funkce (je-li v tomto bodě spojitá), což pomáhá při odhadu dalšího vývoje funkce a rychlosti její změny (je-li derivace záporná, můžeme s jistotou tvrdit, že v tomto bodě funkce klesá, je-li derivace kladná, pak funkce vzrůstá), dále je možné odvodit možná minima a maxima funkcí (je-li derivace se rovná nule, funkce ani neklesá ani nestoupá, následně stačí zjistit, jak se funkce chová v následujícím bodě), maximální obsah či objem, často se využívá ve fyzice, např. pro vyjádření okamžité rychlosti či zrychlení, v teoriích fyzikálních polí nebo v Marxellových rovnicích. 2.2.1. Druhá derivace Druhá derivace pomáhá určit, jak se mění změna funkce. Například druhou derivací x² je 2 a tudíž můžeme říct, že první derivace x² stoupá s koeficientem 2. Druhá derivace navíc znázorňuje konkávnost nebo konvexnost funkce (její orientaci). Je-li derivace pozitivní, funkce je konkávní (otevřená směrem dolů), v opačném případě je funkce konvexní (otevřená směrem nahoru) [4].
5
2.3. Chování předmětu ve volném pádu Při studiu chování určitého předmětu ve volném pádu se zatím omezíme na chování bodu, kde se nachází jeho těžiště (těžiště je totiž bod, ve kterém působí tíha). Dále pro zjednodušení zatím zanedbáme všechny třecí síly působící na těleso a jeho rotaci. Podle druhého Newtonova zákona můžeme určit, že výslednice všech sil působících na těleso se rovná jeho hmotnost (m) krát zrychlení (a). (4) Na těleso působí pouze tíha, protože se nachází ve volném prostoru (žádná reakce) a zanedbáme tření vzduchu. Z toho vyplývá, že vektor tíhy se rovná hmotnost krát akcelerace. Tíha se rovná hmotnost krát vektor gravitačního zrychlení (g). (5) Rovnici vydělíme hmotností m. (6) Akcelerace předmětu se tedy rovná gravitačnímu zrychlení [3]. 2.3.1. Těleso pohybující se ve směru působení tíhy V tomto případě se jedná o volný pád tělesa bez počáteční rychlosti. Na obr. 5 je znázornění situace. V bodě O se nachází předmět, akcelerace je tedy ve směru gravitačního zrychlení, obojí ve směru osy x, pokud orientujeme osu x směrem dolů (podle obr. 5).
Obr. 5: Znázornění volného pádu bez počáteční rychlosti. Převzato z [3] 6
Jelikož je známo, že akcelerace je změna rychlosti v čase t a zároveň akcelerace je derivací rychlosti, můžeme rychlost (v) uvést do rovnice: (7)
Na základě znalosti derivačních pravidel (viz výše) je možné určit rychlost v závislosti na čase t: (8)
Pokud by byla pravá strana rovnice derivována, zůstal by pouze koeficient proměnné t, neboli g. A derivace rychlosti je akcelerace. Tudíž by bylo znovu získáno a=g, tedy původní rovnice. Jelikož je známo, že rychlost je změna polohy v čase t, tedy rychlost je derivace pozice, můžeme pozici uvést do rovnice: (9)
Nyní je možné určit pozici x v závislosti na čase t.
1
)
(10)
Z rovnice 10 zjišťujeme, že pohyb tělesa je rovnoměrně zrychlený (x(t)=-k.t2, kde k je konstanta). Počáteční poloha je v souřadnici x=0 [3].
7
2.3.2 Těleso pohybující se v rovině V tomto případě se jedná o volný pád tělesa, které již má určitou počáteční rychlost. Tato rychlost však není ve směru působení tíhy. Jako příklad takové situace slouží jakýkoli hod předmětu nebo třeba skok automobilu z nájezdové rampy [3]. Nejprve je potřeba definovat prostor, v němž se bude pád odehrávat. Je potřeba rozložit pohyb předmětu na složku na ose y a složku na ose z (obr. 6). Rovina je určena osou y a osou z, dále je zde počáteční bod hodu O, který je totožný s počátkem roviny, a jednotkové vektory a . Počáteční rychlost předmětu z bodu O je označena . je úhel, který svírá s osou y. Na základě trigonometrických pravidel je tedy určeno, že složka y z počáteční rychlosti se rovná cos a složka z z počáteční rychlosti se rovná s [3]. Studium pohybu tělesa je rozděleno na osu y a osu z:
Obr. 6: Znázornění počáteční situace. Převzato z [3] Ve směru osy y nepůsobí na těleso žádná síla, takže akcelerace nemá vliv na dráhu na ose y Ve směru osy z působí na těleso tíha (v opačném směru), takže těleso do určitého bodu stoupá a zpomaluje, a potom padá a zrychluje [3]. Akcelerace lze tedy vyjádřit následovně: (11)
Jelikož akcelerace je derivace rychlosti, můžeme vyjádřit rychlost:
cos
(12)
s 8
Totiž cos a s jsou konstanty, a tak se jejich derivace rovná nule (je to počáteční stav rychlosti, který se do akcelerace nepromítá, při získávání rychlosti na základě akcelerace ho ale musíme zohlednit). Jinak v derivování postupujeme obdobně jako ve výše uvedeném případě, kdy se těleso pohybuje ve směru působení tíhy (to je komponenta z). Na základě rychlosti můžeme určit pozici tělesa.
cos ) s
(13)
)
Nyní vyjádříme t z první rovnice a dosadíme místo t v druhé rovnici. (14)
cos Tím získáme: 1
s
cos
)
1 cos
cos
(15)
)
cos
Vidíme tedy, že rovnice pohybu je rovnicí paraboly typu ;
s cos
, kdy
.
Obr. 7: Znázornění volného pádu tělesa s počáteční rychlostí. Převzato z [3] Jedná se tedy o parabolu orientovanou směrem dolů (se středem v maximu). 9
;
Zjistili jsme, že trajektorie hodu jakéhokoli předmětu s počáteční rychlostí je parabola orientovaná směrem dolů. Díky tomu se dá snadno matematicky spočítat při daných podmínkách nejvyšší bod letu, místo dopadu atd. Dá se postupovat i opačně, např. vypočítat úhel počáteční rychlosti tak, aby těleso dopadlo do dané vzdálenosti či aby dosáhlo dané výšky [3].
2.4 Výpočty se třením 2.4.1 Eulerova metoda Eulerova metoda se používá k přiblížení hodnot diferenciální rovnice. Většinou to bývají rovnice, které jsou složité. Princip je velice jednoduchý, nicméně je k tomu zapotřebí znát alespoň jeden bod původní funkce. Pomocí diferenciální rovnice vypočítáme sklon tečny v tom bodě, dále spočítáme celou rovnici tečny funkce v tom bodě a pomocí tečny určíme, jaká je v druhém bodě přibližná hodnota funkce. Čím menší vzdálenost mezi body zvolíme, tím nižší bude chyba výpočtů. Postup můžeme opakovat, ale tím se zvětší i chyba [7]. Následující rovnice popisují postup použití Eulerovy metody:
)
)
(16)
(17)
Tuto metodu jsme použili, protože při výpočtech vzrůstajících funkcí jsou výsledky vždy větší a při klesajících mají výsledky menší hodnoty než původní funkce. Předmět tedy musí v druhé části letu (poté, co dosáhne maximální výšky) padat rychleji, tudíž neopisuje dokonalou parabolu. 2.4.2 Výpočet hodnoty síly tření Druhá metoda nám umožňovala vypočítat hodnotu síly tření během celé fáze letu v jednotlivých bodech. Tření se počítalo pomocí plochy polohy a rychlosti. (18)
10
3. Experimentální část K ověření našich teoretických počtů nám bylo umožněno vytvořit model autíčka letícího přes překážku. Bylo zapotřebí vždy změřit úhel, který svírala rozjezdová rampa s rovinou, na které byla položena a rychlost autíčka v bodě, kde vyjede z rampy. Měření rychlosti bylo provedeno pomocí optické závory, která měří čas přerušeného kontaktu mezi svými konci. Všechny naměřené rychlosti byly téměř totožné. Všechny naše pokusy jsme natočili a vložili do programu Aviméca. Tento program nám umožnil určit body letu autíčka. Jako bod počátku jsme si zvolili přechod mezi výjezdem rampy a letem autíčka. Získané body byly následně zadány do Excelu, který vypočítal nejlepší spojnici bodů i s rovnicí té funkce. U všech nám vyšlo, že dobře odpovídající křivka dráhy autíčka znázorňuje rovnice druhého stupně otočenou směrem dolů. U všech pokusů byl koeficient přesnosti větší než 0,98. Tyto rovnici jsme následně použili v programu Geogebra.
Obr. 8: Program Avimeca a zpracovávaní bodů
11
Obr. 9: Pokus 1: hmotnost 50 g, úhel přibližně 25°
12
Obr. 10: Pokus 2: hmotnost 100 g, úhel přibližně 25° Naším prvotním cílem bylo ověření experimentálně, že váha není faktorem působící na dráhu padající tělesa. Po několika pokusech jsme potvrdili, že váha opravdu nemění trajektorii, pokud úhel a rychlost zůstávají konstantní.
13
Obr. 11: Pokus 3: hmotnost 50 g, úhel 43°
14
Obr. 12: Pokus 4: hmotnost 50 g, úhel 20° V druhé části naší práce jsme si chtěli ověřit, jestli je úhel, při které dosáhnete největší vzdálenosti, přibližně 45 stupňů. Dokázali jsme, že při úhlu 45 stupňů autíčko doletí nejdál. Bohužel se ukázalo, že úhly větší než 45 stupňů nemohou být při našich pokusech realizovány.
15
4. Závěr V naší práci jsme se věnovali jak potřebným znalostem k danému tématu, tak jejich uplatnění a zpětnému dokázaní teorie. Potřebné znalosti byli jak fyzikální, tak matematické. Fyzikální část teorie se týkala zákonů o silách a pohybech ve volném pádu na těleso, na které působí jen gravitační síla. Matematická část nám umožnila určit funkci znázorňující polohu auta v jakémkoli čase. Inspirací pro tuto práci byla scéna z filmu Man with a golden gun, kterou jsme následně napodobovali v experimentální části, kdy jsme studovali závislost dráhy na úhlu a hmotnost. Toto téma, které jsme si vybrali dobrovolně, nám rozšířilo obzory jak v matematice, tak i ve fyzice. Umožnilo nám prohlédnout, jaká matematika se skrývá v kaskadérských kouscích. Pomohlo nám i ve směru praktickém, v užívání předmětu fyzikální laboratoře. Práci by bylo možné rozšířit, např. složitějšími a přesnějšími výpočty tření nebo započítáním rotace auta.
16
5.Zdroje: 5.1 Zdroje v textu [6] Parabola. MathWorld. http://mathworld.wolfram.com/Parabola.html (accessed June 02, 2014). [7] Poznamky. Paul's Online Math Notes. http://tutorial.math.lamar.edu/Classes/DE/EulersMethod.aspx (accessed May 10, 2014). [1] Additional Topics in Geometry. http://www.mhhe.com/math/precalc/barnettpc5/graphics/barnett05pcfg/ch11/others/bpc5_ch11-01.pdf (accessed May 14, 24). [2] Derivatives, Math 120. http://math.clarku.edu/\~djoyce/ma120/derivatives.pdf (accessed May 14, 24). [3] učebnice Physique terminal Nathan Kapitola Chute libre, accelération. Citováno dne 4.12.2013 [4] Center for the talented youth (CTY) courses chapter 3-4-5-6-7 (derivation and its rules, and use)(citováno dne 10/05/2014) [5] Hazewinkel, Michiel, ed. (2001), "Parabola", Encyclopedia of Mathematics, Springer, 5.2zdroje obrázku [1] http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Derivative1.png [2] učebnice Physique terminal Nathan Kapitola Chute libre, accelération. [3] http://forum.matematika.cz/viewtopic.php?id=7187
17
