ZÁPADOČESKÁ UNIVERZITA V PLZNI FAKULTA APLIKOVANÝCH VĚD KATEDRA MATEMATIKY

´ ˇ ´ UNIVERZITA V PLZNI ZAPADO CESK A ´ ˇ FAKULTA APLIKOVANYCH VED KATEDRA MATEMATIKY

´ PRACE ´ DIPLOMOVA

Konstrukˇ cn´ı u ´ lohy v rovinˇ e ve stˇ redoˇ skolsk´ e matematice

Plzeˇn, 2011

Martina Kalná

Prohláˇsen´ı Prohlaˇsuji, ˇze jsem diplomovou práci vypracovala samostatnˇe a v´ yhradnˇe s pouˇzit´ım citovan´ ych pramen˚ u, jejichˇz u ´pln´ y seznam je souˇca´st´ı práce.

V Plzni dne 26. ˇcervence 2011

Martina Kalná

Podˇekován´ı Chtˇela bych podˇekovat vedouc´ımu diplomové práce panu Doc. RNDr. Josefu Polákovi, CSc. za odbornou pomoc, ochotu a trpˇelivost.

Abstrakt Tato práce se zab´ yvá konstrukˇcn´ımi u ´lohami ˇreˇsen´ ymi na stˇredn´ıch ˇskolách. V prvn´ı ˇca´sti je nast´ınˇen historick´ y v´ yvoj konstrukˇcn´ıch u ´loh, poté následuje teoretická ˇca´st zab´ yvaj´ıc´ı se konstrukˇcn´ımi u ´lohami jako takov´ ymi. Dalˇs´ı kapitola pojednává o ˇreˇsitelnosti konstrukˇcn´ıch u ´loh pomoc´ı prav´ıtka a kruˇz´ıtka, pˇriˇcemˇz jsou v této kapitole zaˇrazeny také tˇri klasické eukleidovsky neˇreˇsitelné u ´lohy. Hlavn´ı ˇca´st´ı práce je pak metodické zpracován´ı osmi vyuˇcovac´ıch hodin vˇenovan´ ych konstrukˇcn´ım u ´lohám. Posledn´ı kapitola obsahuje zamyˇslen´ı nad uˇzit´ım informaˇcn´ı technologie pˇri vyuˇcován´ı konstrukˇcn´ıch u ´loh.

Kl´ıˇcová slova Eukleidovské konstrukce, fáze ˇreˇsen´ı konstrukˇcn´ı u ´lohy, metody ˇreˇsen´ı konstrukˇcn´ı u ´lohy, ˇreˇsitelnost konstrukˇcn´ı u ´lohy, eukleidovsky neˇreˇsitelné u ´lohy, pˇribliˇzné konstrukce, dynamická geometrie

Abstract This thesis deals with geometric constructions in Secondary School Mathematics. The first chapter is dedicated to its historical development followed by the theoretical explanation and description of it. The next chapter discusses solubility of construction problems by means of a ruler and compass (including three classical unsolvable constructions problems). The main focus of this work is in the methodical elaboration of eight different Math lessons concerned with planar geometric constructions. The last chapter ponders over the benefits information technology might bring in the connection with teaching (and learning) geometric constructions.

Keywords Euclidean constructions, phases of solving of consruction problems, methods of solving of construction problems, solvability of construction problems, unsolvable consruction problems, approximate constructions, dynamic geometry

Obsah ´ 1 Uvod

7

2 Historie

9

3 Planimetrick´ e konstrukˇ cn´ı u ´ lohy 3.1 Pojem konstrukˇcn´ı u ´lohy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2 Eukleidovské konstrukce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2.1 Základn´ı eukleidovské konstrukce . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3 Klasifikace konstrukˇcn´ıch u ´loh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3.1 Rozdˇelen´ı konstrukˇcn´ıch u ´loh na polohové a nepolohové u ´lohy 3.3.2 Rozdˇelen´ı konstrukˇcn´ıch u ´loh podle poˇctu neznám´ ych bod˚ u. . 3.3.3 Rozdˇelen´ı na u ´lohy bez parametr˚ uau ´lohy s parametry . . . . 3.4 Fáze ˇreˇsen´ı konstrukˇcn´ı u ´lohy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.4.1 Rozbor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.4.2 Konstrukce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.4.3 Zkouˇska . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.4.4 Diskuse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ˇ sen´ 3.4.5 Reˇ y pˇr´ıklad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.5 Metody ˇreˇsen´ı konstrukˇcn´ıch u ´loh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.5.1 Metoda mnoˇzin vˇsech bod˚ u dané vlastnosti . . . . . . . . . . . 3.5.2 Metoda geometrick´ ych zobrazen´ı v rovinˇe . . . . . . . . . . . . 3.5.3 Metoda algebraická . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.5.4 Metoda souˇradnic (uˇzit´ı analytické geometrie) . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . .

19 19 20 21 22 22 23 24 24 24 25 25 26 27 29 29 29 35 38

ˇ sitelnost konstrukˇ 4 Reˇ cn´ıch u ´ loh prav´ıtkem a 4.1 Teorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2 Klasické eukleidovsky neˇreˇsitelné u ´lohy . . . 4.2.1 Reduplikace krychle . . . . . . . . . . 4.2.2 Trisekce u ´hlu . . . . . . . . . . . . . 4.2.3 Kvadratura kruhu . . . . . . . . . . .

. . . . .

41 41 52 52 53 55

5 Pˇ ribliˇ zn´ e konstrukce

kruˇ z´ıtkem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

56

5

ˇ uˇ 6 V´ yvoj zpracov´ an´ı konstrukˇ cn´ıch u ´ loh ve SS cebnic´ıch planimetrie

60

ˇ 7 Metodick´ e zpracov´ an´ı konstrukˇ cn´ıch u ´ loh v planimetrii na SS 67 ˇ ˇ 7.1 Konstrukˇcn´ı u ´lohy na ZS a SS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67 7.2 Scénáˇre vyuˇcovac´ıch hodin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72 7.2.1 Téma: Mnoˇziny vˇsech bod˚ u dané vlastnosti . . . . . . . . . . . . 72 7.2.2 Téma: Pojem Konstrukˇcn´ı u ´loha, eukleidovské konstrukce, jednoduché (základn´ı) eukleidovské konstrukce . . . . . . . . . . . 79 ˇ sen´ı konstrukˇcn´ıch u 7.2.3 Téma: Reˇ ´loh metodou uˇzit´ı MVBDV . . . . 86 7.2.4 Téma: Konstrukce kruˇznic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96 7.2.5 Téma: Konstrukˇcn´ı u ´lohy ˇreˇsené uˇzit´ım shodn´ ych zobrazen´ı (osové soumˇernosti a otoˇcen´ı) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101 7.2.6 Téma: Konstrukˇcn´ı u ´lohy ˇreˇsen´ı uˇzit´ım shodn´ ych zobrazen´ı (stˇredové soumˇernosti, posunut´ı) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108 7.2.7 Téma: Konstrukˇcn´ı u ´lohy ˇreˇsené uˇzit´ım podobn´ ych zobrazen´ı (stejnolehlosti) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115 7.2.8 Téma: Algebraická metoda ˇreˇsen´ı konstrukˇcn´ıch u ´loh . . . . . . 121 ˇ 126 8 Uˇ zit´ı informaˇ cn´ıch technologi´ı pˇ ri ˇ reˇ sen´ı konstrukˇ cn´ıch u ´ loh na SS 9 Z´ avˇ er

131

Literatura

132

6

Kapitola 1 ´ Uvod Tato diplomová práce se zab´ yvá konstrukˇcn´ımi u ´lohami ˇreˇsen´ ymi na stˇredn´ıch ˇskolách. S prvn´ımi konstrukˇcn´ımi u ´lohami se pot´ ykali lidé jiˇz ve starovˇekém Egyptˇe a Babylonii, mˇely vˇsak sp´ıˇse charakter praktick´ y. V souvislosti s rozvojem znalost´ı v oblasti geometrie docházelo v pr˚ ubˇehu tis´ıcilet´ı také k v´ yvoji problematiky konstrukˇcn´ıch u ´loh (hledán´ı pˇresn´ ych konstrukc´ı, Platon˚ uv poˇzadavek tzv. eukleidovského ˇreˇsen´ı konstrukˇcn´ı u ´lohy a zaveden´ı schematu ˇreˇsen´ı tˇechto u ´loh, nezdary v hledán´ı eukleidovského ˇreˇsen´ı nˇekter´ ych konstrukˇcn´ıch u ´loh, ...). I pˇres takto dávnou historii je vˇsak toto téma stále aktuáln´ı a mnoho d˚ ukaz˚ u z oblasti geometrich´ ych konstrukc´ı bylo podáno aˇz v druhé polovinˇe 19. stolet´ı. Podrobnˇejˇs´ı historii tématu je vˇenována druhá kapitola této práce, pˇri jej´ım zpracován´ı jsem ˇcerpala z [12], [1], [14], [11], [7], [52], [53], [54], [55], [9] a [56]. Na stˇredn´ıch (i základn´ıch) ˇskolách se provád´ı ˇreˇs´ı konstrukˇcn´ıch u ´loh tzv. eukleidovsky, tj. pomoc´ı prav´ıtka a kruˇz´ıtka. Pˇresné vymezen´ı pojmu konstrukˇcn´ı u ´loha, eukleidovské ˇreˇsen´ı konstrukˇcn´ı u ´lohy a základn´ı eukleidovské konstrukce jsou uvedeny v prvn´ı ˇca´sti kapitoly Planimetrické konstrukˇcn´ı u ´lohy, která má teoretick´ y charakter. Je zde dále provedeno tˇr´ıdˇen´ı konstrukˇcn´ıch u ´loh podle r˚ uzn´ ych hledisek, jsou zde také popsány fáze ˇreˇsen´ı konstrukˇcn´ıch u ´loh a metody, jak lze konstrukˇcn´ı u ´lohy ˇ ˇreˇsit. V podkapitole Reˇsitelnost konstrukˇcn´ıch u ´loh prav´ıtkem a kruˇz´ıtkem je vyslovena nutná podm´ınka eukleidovské ˇreˇsitelnosti u ´lohy, vˇcetnˇe d˚ ukazu neˇreˇsitelnosti klasick´ ych u ´loh starovˇeku pomoc´ı prav´ıtka a kruˇz´ıtka. V souvislosti s neˇreˇsitelnost´ı nˇekter´ ych konstrukˇcn´ıch u ´loh jsou v následuj´ıc´ı kapitole uvedeny vybrané pˇribliˇzné konstrukce. Teorii konstrukˇcn´ıch u ´loh jsem nastudovala z [4],[3], [8], [15], [11], [7], [10], [2], [5], [6], [9] a [12]. Hlavn´ım c´ılem práce je didaktické zpracován´ı nˇekolika vyuˇcovac´ıch hodin zamˇeˇren´ ych na ˇreˇsen´ı konstrukˇcn´ıch u ´loh na stˇredn´ı ˇskole (gymnáziu). Ty jsou obsahem ˇ Pˇred samotné kapitoly Metodické zpracován´ı konstrukˇcn´ıch u ´loh v planimetrii na SS. scénáˇre vyuˇcovac´ıch hodin jsou pˇredˇrazeny dvˇe souvisej´ıc´ı kapitoly: V´ yvoj zpracován´ı ˇ konstrukˇcn´ıch u ´loh ve SS uˇcebnic´ıch (pro tuto kapitolu jsem prostudovala dˇr´ıvˇejˇs´ı i souˇcasné uˇcebnice, jejichˇz v´ yˇcet je uveden v seznamu pouˇzité literatury v závˇeru práce) 7

ˇ a SS ˇ — krátk´ a Konstrukˇcn´ı u ´lohy na ZS yu ´vod, kter´ y se t´ yká zaˇrazen´ı tématu konstrukˇcn´ıch u ´loh na základn´ıch a stˇredn´ıch ˇskolách. Poté následuje celkem osm scénáˇr˚ u, kdy je v kaˇzdém z nich uveden obsah, c´ıl a p´ısemné zpracován´ı dané vyuˇcovac´ı hodiny. Vˇsechny obrázky (konstrukce) pouˇzité v této a teoretické ˇca´sti práce jsou vytvoˇreny v programu GeoGebra. Zároveˇ n jsou také souˇcást´ı pˇriloˇzeného CD, lze je tedy pˇr´ımo vyuˇz´ıt bˇehem vyuˇcovac´ı hodiny v jejich p˚ uvodn´ı dynamické podobˇe, ˇci je pˇr´ıpadnˇe pˇredˇelat pro vlastn´ı potˇreby. Posledn´ı kapitola této diplomové práce je vˇenována zamyˇslen´ı nad vyuˇzit´ım informaˇcn´ı technologie pˇri ˇreˇsen´ı konstrukˇcn´ıch u ´loh na stˇredn´ı ˇskole, zejména dynamick´ ych geometrick´ ych program˚ u.

8

Kapitola 2 Historie Chceme-li se zab´ yvat historick´ ym v´ yvojem konstrukˇcn´ıch u ´loh, je tˇreba nejprve hledat poˇca´tky geometrie jako takové. Slovo geometrie je ˇreckého p˚ uvodu a znamená zemˇemˇeˇriˇcstv´ı. Sv˚ uj p˚ uvod má ve starovˇekém Egyptˇe a Babylonii, kde byla vyuˇz´ıvána k vymˇeˇrován´ı pozemk˚ u, v´ ystavbˇe zavlaˇzovac´ıch kanál˚ u a stavbˇe opevnˇen´ı, chrám˚ u a pyramid pravideln´ ych tvar˚ u — jednalo se napˇr. o vytyˇcen´ı prav´ ych u ´hl˚ u, v´ ypoˇcet v´ yˇsky a od n´ı se odv´ıjej´ıc´ı sklon boˇcn´ıch stˇen, aj.. Geometrie tedy v tomto obdob´ı z˚ ustávala u ´zce spjata s ˇremesly na u ´rovni u ´trˇzkovit´ ych návod˚ u. Aˇz pozdˇejˇs´ı studium geometrick´ ych u ´tvar˚ u dalo geometrii charakter abstraktn´ıho matematického oboru, kter´ y vyuˇz´ıval logiku a dedukci. Geometrie b´ yvá povaˇzována za jeden z prvn´ıch matematick´ ych obor˚ u v˚ ubec. V souvislosti s Babyloˇ nany je tˇreba zm´ınit, ˇze jiˇz oni zvládali konstruovat vˇsechny pravidelné n-´ uheln´ıky. Nˇekteré pˇresnˇe, nˇekteré jen pˇribliˇznˇe, pro nˇe vˇsak tento rozd´ıl ˇ nebyl d˚ uleˇzit´ y (pˇresnou konstrukci pravideln´ ych n-´ uheln´ık˚ u zaˇcali hledat aˇz Rekov´ e). Pod´ıváme-li se na poˇcátky ˇrecké vˇedy, dostáváme se do maloasijsk´ ych pˇr´ıstavn´ıch mˇest Milétu a Efesu. Do tohoto obdob´ı (6. – 4. stolet´ı pˇr. n. l.), spadá napˇr. prvn´ı snaha dˇelit u ´seˇcku v pomˇeru zlatého ˇrezu (dˇr´ıve naz´ yván boˇzský pomˇer, term´ın zlatý ˇrez ˇci zlatý pomˇer pocház´ı aˇz z 19. stolet´ı) a pokusy vypoˇc´ıtat dalˇs´ı stˇredn´ı hodnoty ˇci pr˚ umˇery (dodnes zachován pr˚ umˇer aritmetick´ y a geometrick´ y). Jedn´ım z nejv´ yznamnˇejˇs´ıch uˇcenc˚ u antického obdob´ı je Thales z Miletu (624– 543 pˇ r. n. l.). Ten u ´dajnˇe stanovil v´ yˇsku pyramidy tak, ˇze zmˇeˇril délku st´ınu svislé tyˇce známé délky a délku st´ınu pyramidy a z tˇechto tˇr´ı délek urˇcil hledanou v´ yˇsku pyramidy. Jiˇz on tedy ovládal pojem podobnosti troj´ uheln´ık˚ u. Tuto znalost vyuˇz´ıval také napˇr´ıklad k urˇcován´ı v´ yˇsek a vzdálenost´ı lod´ı na moˇri. V matematice jsou mu pˇrisuzovány následuj´ıc´ı v´ ysledky: pr˚ umˇer dˇel´ı kruh na dvˇe poloviny, u ´hly pˇri základnˇe rovnoramenného troj´ uheln´ıku jsou shodné, vrcholové u ´hly jsou shodné, ˇci s nejvˇetˇs´ı pravdˇepodobnost´ı svˇetovˇe nejstarˇs´ı matematická vˇeta: u ´hel vepsan´ y do p˚ ulkruˇznice je 9

prav´ y, resp. vˇsechny u ´hly nad pr˚ umˇerem jsou pravé. Nev´ıme vˇsak, zda je pouze formuloval nebo i dokázal. Mnoho z tˇechto Thaletov´ ych poznatk˚ u vyuˇz´ıváme právˇe pˇri ˇreˇsen´ı konstrukˇcn´ıch u ´loh. Nˇekteré vˇety o u ´mˇern´ ych u ´seˇckách a o podobn´ ych obrazc´ıch byly pˇredmˇetem u ´vah vˇedc˚ u ˇskoly pythagorejské (6. a 5. stolet´ı pˇr. n. l.). V´ yznamnou postavou tohoto obdob´ı je proto také Pythagoras ze Samu (asi 560–480 pˇ r. n. l.). Je paradoxem, ˇze aˇckoliv je Pythagoras znám pˇredevˇs´ım d´ıky geometrii (Pythagorova vˇeta), pythagorejská koncepce matematiky byla v´ yhradnˇe aritmetická. Pythagorova ˇskola pokládala za základ jsoucna ˇc´ıslo (arithmos). Vˇeˇrili, ˇze stavbu svˇeta jde popsat pˇrirozen´ ymi ˇc´ısly a jejich pomˇery. Po objeven´ı nesoumˇeˇriteln´ ych u ´seˇcek, tj. u ´seˇcek, jejichˇz pomˇer velikost´ı nelze vyjádˇrit jako celé ˇc´ıslo (napˇr. délka u ´hlopˇr´ıˇcky v jednotkovém ˇctverci), bylo nutné celou tehdy známou teorii u ´mˇernosti u ´seˇcek znovu pˇrepracovat (tzv. I. krize matematiky). Právˇe zde, v pythagorejské ˇskole, se zrodilo studium pravideln´ ych mnoho´ uheln´ık˚ u. Pro pythagorejce byl (oproti Babyloˇ nan˚ um) rozd´ıl mezi pˇresnou a pˇribliˇznou konstrukc´ı zásadn´ı. Pˇribliˇznou konstrukci chápali jen jako jak´ ysi ˇremeslnick´ y návod, oproti tomu pˇresnou konstrukci povaˇzovali za znalost, pomoc´ı které by mohli porozumˇet zákon˚ um celého vesm´ıru. Magick´ ym obrazcem byl pro nˇe pravideln´ y pˇeti´ uheln´ık. Od nˇej je také odvozen symbol pentagramu, vyuˇz´ıvan´ y v pythagorejské sektˇe jako poznávac´ı znamen´ı. D˚ uvodem zv´ yˇseného zájmu o nˇej m˚ uˇze b´ yt, ˇze jeho u ´hlopˇr´ıˇcky jsou navzájem dˇeleny v pomˇeru zlatého ˇrezu stejnˇe dobˇre jako skuteˇcnost, ˇze schopnost sestrojit tento u ´tvar pomoc´ı prav´ıtka a kruˇz´ıtka byl prvn´ı velk´ yu ´spˇech ˇrecké matematiky. V pátém stolet´ı pˇred naˇs´ım letopoˇctem byly téˇz formulovány proslulé matematické probl´ emy starovˇ eku: 1. Kvadratura kruhu 2. (Re)duplikace krychle 3. Trisekce u ´hlu U kaˇzdého z tˇechto problém˚ u se jednalo o konstrukci jednoho geometrického objektu z jiného geometrického objektu uˇzit´ım prav´ıtka a kruˇz´ıtka. Jejich ˇreˇsen´ı pˇrispˇelo k objevu nov´ ych matematick´ ych objekt˚ u, napˇr. kuˇzeloseˇcek, nˇekter´ ych kubick´ ych kˇrivek, kˇrivek ˇctvrtého ˇra´du a jedné transcendentn´ı kˇrivky — kvadratrix. ´ Uloha t´ ykaj´ıc´ı se kvadratury kruhu souvis´ı tˇesnˇe s u ´lohou rektifikace kruˇznice, a tedy s ˇc´ıslem π. Jde o sestrojen´ı takové u ´seˇcky délky x, aby obsah ˇctverce o stranˇe délky x byl roven obsahu kruhu o daném polomˇeru r (tj. aby x2 = πr2 ). ˇ Rekov´ e, kteˇr´ı se geometrii uˇcili od Egypt’an˚ u, od nich pˇrevzali také problém kvadratury kruhu. Prvn´ı pokusy Antifona a Brisona z´ıskat kruh jako pr˚ umˇer opsaného a vepsaného mnoho´ uheln´ıku daly pouze pˇribliˇznou hodnotu. Zdálo se, ˇze u ´loha je neˇreˇsitelná, protoˇze podstatou kruhu je oblast, kdeˇzto podstata mnoho´ uheln´ıku je 10

pˇr´ımost, proto nelze zamˇen ˇovat jedno za druhé. Problémem se v pr˚ ubˇehu let zab´ yvali r˚ uzn´ı vzdˇelanci, vˇcetnˇe nejvˇetˇs´ıho ze vˇsech starovˇek´ ych matematik˚ u, Archimeda ze Syrakus. Ze stˇredovˇek´ ych uˇcenc˚ u pak napˇr. Fibonacci, Viéte, Leibniz a mnoho dalˇs´ıch. Nelze opomenout ani Poláka Adama A. Kochansk´ eho (1631–1700), knihovn´ıka a dvorn´ıho matematika krále Jana Sobieského. Ten vypracoval jednu ze znám´ ych pˇribliˇzn´ ych kvadratur kruhu, pˇritom vypoˇcetl π s pˇresnost´ı na 0,0000 01. Velmi známá je jeho pˇribliˇzná rektifikace kruˇznice (viz kapitolu 5). Dalˇs´ı v´ yzkum v oblasti kvadratury kruhu byl podn´ıcen objeven´ım existence tzv. Hippokratov´ ych mˇes´ıˇck˚ u. Hippokratovy mˇes´ıˇcky (nˇekdy téˇz oznaˇcované p˚ ulmˇes´ıˇcky ˇci menisky) jsou urˇcité ploˇsné u ´tvary ohraniˇcené kruhov´ ymi oblouky, ke kter´ ym je moˇzné nalézt mnoho´ uheln´ıky o stejném obsahu (vˇetˇsinou se jedná o troj´ uheln´ık nebo lichobˇeˇzn´ık). Hippokrates z Chiu (2. pol. 5. stolet´ı pˇ r. n. l.) napsal nedochované d´ılo Základy, které se stalo vzorem v´ ykladu prvn´ıch ˇctyˇr knih Eukleidov´ ych Základ˚ u (viz dále). Z Hippokratova d´ıla se dochovala pouze ˇcást, ve které je pojednáno o zm´ınˇen´ ych mˇes´ıˇckách. Hippokratova tvrzen´ı sice dávala nadˇeji, ˇze lze provést kvadraturu kruhu, ale bohuˇzel i kvadraturu mˇes´ıˇck˚ u je moˇzné provést jen v nˇekolika konkrétn´ıch pˇr´ıpadech. Matematici ani v pr˚ ubˇehu následuj´ıc´ıch let nezanechávali hledán´ı kvadratury kruhu. Paˇr´ıˇzské Akademii vˇed bylo tehdy zas´ıláno takové mnoˇzstv´ı u ´dajn´ ych ˇreˇsen´ı, ˇze ta v roce 1775 odm´ıtla zkoumat ˇreˇsen´ı kvadratury kruhu, která j´ı budou zaslána. Teprve aˇz v druhé polovinˇe 19. stolet´ı (1882) dokázali dva matematici, Francouz Ch. Hermite (1822–1901) a Nˇemec F. Lindemann (1852–1939), ˇze ˇc´ıslo π nen´ı koˇrenem ˇza´dné algebraické rovnice s racionáln´ımi koeficienty. T´ım byl zároveˇ n podán d˚ ukaz, ˇze nen´ı moˇzné uˇzit´ım pouze prav´ıtka a kruˇz´ıtka sestrojit u ´seˇcku, jej´ıˇz délka by se pˇresnˇe rovnala obvodu daného kruhu (tzv. rektifikace kruˇznice), ani ˇctverec, jehoˇz obsah by se pˇresnˇe rovnal obsahu daného kruhu. Od té doby se jiˇz nikdo t´ımto problémem nezab´ yvá, nebot’ byl definitivnˇe rozˇreˇsen - negativnˇe. Druh´ y problém antické matematiky, zdvojen´ı krychle, je spojován s následuj´ıc´ım pˇr´ıbˇehem [53]: Na ostrovˇe Délos vypukla epidemie moru. Obyvatelé vypravili poselstvo do delfské vˇeˇst´ırny s d˚ uleˇzitým poslán´ım: zjistit, jakým zp˚ usobem si naklonit bohy, aby mor pominul. Pýthie odpovˇedˇela, ˇze je tˇreba zdvojit oltáˇr boha Apollóna, který mˇel tvar krychle a byl ze zlata. Byla tedy odlita druhá zlatá krychle, stejnˇe velká a postavená na krychli prvn´ı. Mor vˇsak trval. Poselstvo se opˇet vydalo do delfské vˇeˇst´ırny. Dozvˇedˇeli se, ˇze je tˇreba zachovat nav´ıc tvar oltáˇre. Tuto u ´lohu na ostrovˇe Délos ˇreˇsit neumˇeli. Obrátili se s prosbou o pomoc na Platona. Ten jim vˇsak pravil: ”Bohové se na vás hnˇevaj´ı, nebot’ se málo vˇenujete geometrii.”

11

Podle Hippokrata hranu krychle o objemu dvakrát vˇetˇs´ım neˇz p˚ uvodn´ı dostaneme dvoj´ım sestrojen´ım stˇredn´ı geometrické u ´mˇerné. Athénsk´ y geometr Menaichmos, kter´ y se také snaˇzil rozˇreˇsit délsk´ y problém, k tomu uˇzil dvou parabol (viz napˇr. [57]). Ani jedno z tˇechto podan´ ych ˇreˇsen´ı vˇsak nen´ı eukleidovské, tj. pˇresné ˇreˇsen´ı pouze prav´ıtkem a kruˇz´ıtkem. Tˇret´ı u ´loha, kterou starovˇec´ı matematici téˇz nedokázali vyˇreˇsit, je u ´loha poˇzaduj´ıc´ı rozdˇelit libovoln´ yu ´hel na tˇri stejné ˇca´sti pomoc´ı kruˇz´ıtka a prav´ıtka. Pythagorejci, zab´ yvaj´ıc´ı se pravideln´ ymi mnoho´ uheln´ıky, se pokouˇseli rozdˇelit na tˇri stejné ˇcásti u ´hel 120◦ , coˇz by jim umoˇznilo sestrojit pravideln´ y dev´ıti´ uheln´ık. K pˇribliˇznému rozdˇelen´ı libovolného u ´hlu na tˇri stejné ˇca´sti bylo vymyˇsleno hned nˇekolik pˇr´ıstroj˚ u. Jeden z nich je zaloˇzen napˇr. na kˇrivce objevené Hippiasem z Elidy (5. stolet´ı pˇ r. n. l.), tzv. Hippiovˇe trisektris, která byla pozdˇeji uˇzita Deinostratosem k ˇreˇsen´ı kvadratury kruhu, odtud jin´ y, v´ yˇse zm´ınˇen´ y název kˇrivky — kvadratrix (jej´ı uˇzit´ı napˇr. v [56]). Jin´ y pˇr´ıstroj zase vyuˇz´ıvá napˇr´ıklad tzv. Nikomédovy konchoidy. Neˇreˇsitelnost problém˚ u zdvojen´ı krychle a trisekce u ´hlu byla dokázána dˇr´ıve neˇz neˇreˇsitelnost kvadratury kruhu, a to v roce 1837 francouzsk´ ym matematikem P. L. Wantzelem (1814–1848). ˇ Casto b´ yvá k tˇemto tˇrem starovˇek´ ym u ´lohám pˇridávána jeˇstˇe v´ yˇse zm´ınˇená rektifikace kruˇznice a konstrukce pravideln´ ych n-´ uheln´ık˚ u. Vˇsechny tyto u ´lohy maj´ı charakter ˇcistˇe teoretick´ y, v praxi nen´ı d˚ uvod se omezovat jen na prav´ıtko a kruˇz´ıtko, jako byl kladen poˇzadavek zde. Kaˇzdá poˇzadovaná konstrukce lze provést s dostateˇcnou pˇresnost´ı. Jejich praktick´ y v´ yznam je proto témˇeˇr nulov´ y, nab´ yvaj´ı vˇsak na d˚ uleˇzitosti ve srovnán´ı se skuteˇcnost´ı, ˇze témˇeˇr 2500 let podnˇecovaly v´ yvoj matematického myˇslen´ı. Aˇz v 19. stolet´ı bylo ukázáno, ˇze tyto u ´lohy jsou neˇreˇsitelné a byla odvozena nutná a postaˇcuj´ıc´ı podm´ınka pro moˇznost konstrukce pravideln´ ych n-´ uheln´ık˚ u (viz kapitolu 5). Velk´ y v´ yznam a vliv na v´ yvoj konstrukˇcn´ıch u ´loh mˇela také Akademie zaloˇzená kolem roku 377 pˇr. n. l. matematikem a jedn´ım z nej´ uspˇeˇsnˇejˇs´ıch filozof˚ u té doby, Sokratov´ ym ˇza´kem Platonem (asi 427–347 pˇ r. n. l.). Geometrii chápal jako nezbytnou pr˚ upravu filozofického bádán´ı. Nad vchodem do Platonovy Akademie byl um´ıstˇen nápis: ”Nevstupuj nikdo, kdo neznáˇs geometrii ”. Pˇri ˇreˇsen´ı konstrukˇcn´ıch u ´loh byl v Platonovˇe Akademii zaveden zvláˇstn´ı postup (schéma), které v podstatˇe uˇz´ıváme dodnes. Po formulaci u ´lohy byl vˇzdy provádˇen rozbor (analysa), poté následovala vlastn´ı konstrukce vˇcetnˇe d˚ ukazu jej´ı správnosti. V pozdˇejˇs´ıch letech byl tento postup doplnˇen o zkoumán´ı podm´ınek, za nichˇz je u ´loha ˇreˇsitelná (determinace). V Platonovˇe ˇskole byl nav´ıc rozvinut pojem geometrického m´ısta bodu (dnes mnoˇziny bod˚ u dané vlastnosti), na jehoˇz principu je zaloˇzena jedna 12

z metod ˇreˇsen´ı konstrukˇcn´ıch u ´loh. Platon zároveˇ n poloˇzil poˇzadavek, aby se pˇri konstrukc´ıch pouˇz´ıvalo pouze prav´ıtko a kruˇz´ıtko. Toto Platonovo omezen´ı ˇcasovˇe pˇredcház´ı Eukleidovi. Nev´ıme vˇsak, co Platona v tomto smˇeru inspirovalo. Moˇzn´ ym vysvˇetlen´ım je, ˇze konstrukce pomoc´ı prav´ıtka a kruˇz´ıtka jsou konstrukce pomoc´ı nejzákladnˇejˇs´ıch geometrick´ ych prvk˚ u — pˇr´ımek a kruˇznic. Pˇri ˇreˇsen´ı konstrukˇcn´ıch u ´loh bylo tedy pouˇzito pouze tˇechto dvou základn´ıch konstrukc´ı: 1. Dvˇema body vést pˇr´ımku 2. Z daného bodu opsat kruˇznici s dan´ ym polomˇerem Pˇritom poˇcet pouˇzit´ ych základn´ıch konstrukc´ı pˇri ˇreˇsen´ı jedné u ´lohy mˇel b´ yt koneˇcn´ y. Tento poˇzadavek pˇrevzal Platon˚ uv ˇza´k Eukleides ve sv´ ych Základech, a proto konstrukce, které splˇ nuj´ı pˇredeˇslé podm´ınky, dnes naz´ yváme konstrukcemi eukleidovsk´ ymi. V souvislosti s eukleidovsk´ ymi konstrukcemi se dostáváme k nejv´ yznamnˇejˇs´ı postavˇe historie geometrie: Eukleides z Alexandrie (asi 325–260 pˇ r. n. l.), ˇreck´ y matematik a geometr, o kterém v podstatˇe nev´ıme témˇeˇr nic. Pouze se domn´ıváme, ˇze Eukleides studoval na Akademii v Athénách, která byla tou dobou d˚ uleˇzit´ ym stˇrediskem vˇedecké práce, a ˇze byl prvn´ım z ˇclen˚ u svˇetoznámé Alexandrijské knihovny. Eukleides provedl shrnut´ı tehdejˇs´ıch matematick´ ych poznatk˚ u do logicky provázané struktury po vzoru Aristotelov´ ych princip˚ u deduktivn´ıho systému. Vzniklo tak jedineˇcné d´ılo, jeˇz v ˇreˇctinˇe nese název Stocheia. Eukleides t´ımto ovlivnil v´ yvoj matematiky a vyuˇcován´ı matematice na dalˇs´ı dvˇe tis´ıcilet´ı a teprve v druhé polovinˇe 19. stolet´ı pˇrestává b´ yt Eukleidovo d´ılo hlavn´ım uˇcebn´ım textem zaˇc´ınaj´ıc´ıch student˚ u. Eukleidovy Z´ aklady (Stoicheia) Eukleidovy Základy (latinsky Elementa) se skládaj´ı z 13 Knih (odd´ıl˚ u), kde obsahem Knihy I. – IV. je pˇredevˇs´ım planimetrie (studium geometrick´ ych u ´tvar˚ u v rovinˇe). Kniha V. se zab´ yvá Eudoxovo teori´ı proporc´ı, Kniha VI. podobnost´ı troj´ uheln´ık˚ u, dalˇs´ı knihy jsou vˇenovány teorii ˇc´ısel (Kniha VII. – IX.), teorii kvadratick´ ych iracionalit a jejich odmocnin (Kniha X.) a stereometrii (Kniha XI. – XIII.). Celé Základy jsou vybudovány podle jednotného logického schématu. Eukleides vycház´ı z nˇekolika jednoduch´ ych základn´ıch vˇet, jejichˇz platnost je zaruˇcena pouze zkuˇsenost´ı. Z tˇechto základn´ıch vˇet pak logicky vyvodil témˇeˇr vˇsechny do té doby známé matematické pouˇcky. V´ yklad tedy spoˇc´ıvá na logické dedukci vˇet ze soustavy definic, postulát˚ u a axiom˚ u. Lze ˇr´ıci, ˇze stˇeˇzejn´ı v´ yznam Základ˚ u je dán ani ne tak samotn´ ym obsahem, jako právˇe formou jejich zpracován´ı. Nedostatkem tohoto Eukleidova d´ıla je vˇsak definován´ı primitivn´ıch pojm˚ u jako bod, pˇr´ımka a rovina. Zároveˇ n Eukleides nepodal u ´pln´ y v´ yˇcet axiom˚ u a postulát˚ u 13

(´ uplná soustava axiom˚ u pocház´ı aˇz od Davida Hilberta (1862–1934) z roku 1899). Ve vztahu k planimetrick´ ym konstrukˇcn´ım u ´lohám maj´ı velk´ y v´ yznam prvn´ı ˇctyˇri Knihy: Kniha I. – pojednává o pˇr´ımkách, u ´seˇckách, troj´ uheln´ıc´ıch, rovnobˇeˇzn´ıc´ıch, jejich vlastnostech a vzájemn´ ych vztaz´ıch Kniha II. – pojednává o dˇelen´ı u ´seˇcek a jejich d˚ usledc´ıch (geometrická algebra), transformaci geometrick´ ych u ´tvar˚ u Kniha III. – pojednává o vlastnostech kruˇznic (tˇetivy, teˇcny, u ´hly v kruˇznic´ıch, oblouky au ´seˇce, mocnost) Kniha IV. – pojednává o kruˇznici ve spojen´ı s jin´ ymi u ´tvary (opisován´ı a vepisován´ı kruˇznic troj´ uheln´ık˚ um a pravideln´ ym mnoho´ uheln´ık˚ um) ´ Uvod k prvn´ı knize je i u ´vodem k celému spisu. Skládá se z 23 definic (v´ ymˇery, vymezen´ı pojm˚ u) a 14 vˇet bez d˚ ukazu — 9 axiom˚ u (obecn´ ych poˇca´tk˚ u, zásad), 5 postulát˚ u (´ ukol˚ u prvotn´ ych; nˇekteré z nich v dneˇsn´ı terminologii oznaˇcujeme jako základn´ı konstrukˇcn´ı v´ ykony). Nˇekteré definice maj´ı charakter definic dneˇsn´ıho v´ yznamu, jiné jsou vˇetami, které bud´ı jen názornou pˇredstavu o základn´ıch geometrick´ ych pojmech. ´ Ukoly prvotn´ e jsou následuj´ıc´ı: 1. 2. 3. 4. 5.

Vytvoˇrit u ´seˇcku, která spojuje dva dané body. Danou u ´seˇcku na jedné i druhé stranˇe prodlouˇzit tak daleko, jak potˇrebujeme. Vytvoˇrit kruh o daném stˇredu, na jehoˇz obvodˇe leˇz´ı dan´ y bod. Vˇsechny pravé u ´hly jsou si rovny. Necht’ u ´seˇcka u prot´ıná u ´seˇcky p, q tak, ˇze na jedné stranˇe u ´seˇcky u je souˇcet vnitˇrn´ıch u ´hl˚ u α, β, které sv´ıraj´ı seˇcky p, q s u ´seˇckou u, menˇs´ı neˇz dva pravé u ´hly. Potom na této stranˇe jest u ´seˇcky p, q prodlouˇzit tak, aby se tato jejich prodlouˇzen´ı protla.

Odstavec kaˇzdé Knihy je ˇc´ıslován, kdy následuje bud’ text matematické vˇety a jej´ı d˚ ukaz ˇci zadán´ı konstrukˇcn´ı u ´lohy (problému) a jej´ı ˇreˇsen´ı. Eukleides nerozliˇsoval mezi matematickou vˇetou a konstrukc´ı (v prvn´ıch tˇrech Knihách má konstrukˇcn´ı charakter tˇretina problém˚ u, Kniha IV. je v´ yhradnˇe konstrukˇcn´ı). Kaˇzd´ y odstavec má vˇsak stejnou strukturu: 1. 2. 3. 4.

Formulace vˇety, resp. zadán´ı konstrukˇcn´ı u ´lohy Popis objekt˚ u Vlastn´ı d˚ ukaz, resp. konstrukce Závˇer - zopakován´ı vˇety, resp. zadán´ı u ´lohy

Obsah tˇechto odstavc˚ u prvn´ı knihy lze rozdˇelit na tˇri ˇca´sti. Prvn´ı ˇca´st (vˇeta 1 – 26) se zab´ yvá pˇredevˇs´ım troj´ uheln´ıky a pravo´ uheln´ıky. V druhé ˇca´sti (vˇeta 27 – 32) je vyloˇzena teorie rovnobˇeˇzek, kde v posledn´ı vˇetˇe této skupiny je j´ı vyuˇzito k d˚ ukazu 14

tvrzen´ı, ˇze souˇcet u ´hl˚ u v troj´ uheln´ıku se rovná dvˇema prav´ ym. Posledn´ı ˇcást (vˇeta 33 – 48) se zab´ yvá rovnobˇeˇzn´ıky, ˇctverci a troj´ uheln´ıky. Posledn´ı dvˇe vˇety Knihy I. obsahuj´ı d˚ ukaz Pythagorovy vˇety a a jej´ı obmˇeny. Prvn´ı u ´ loha Knihy I. má následuj´ıc´ı znˇen´ı [14]: Na dané u ´seˇcce postav troj´ uheln´ık rovnostranný. Danou u ´seˇckou bud’ AB. Má se tedy na u ´seˇcce AB postaviti troj´ uheln´ık rovnostrann´ y. Ze stˇredu A polomˇerem AB bud’ nar´ ysován kruh BCD, a opˇet ze stˇredu B polomˇerem BA bud’ nar´ ysován kruh ACE, a od bodu C, v nˇemˇz kruhy se prot´ınaj´ı, k bod˚ um A,B bud’te vedeny spojnice AC, CB. A jeˇzto bod A je stˇredem kruhu CDB, AC je stejné s AB; jeˇzto dále bod B je stˇredem kruhu CAE, jest BC stejné s BA. Bylo pak dokázáno, ˇze i CA je stejné s AB; tedy jedna i druhá z CA, CB je stejná s AB. Veliˇciny vˇsak témuˇz rovné i navzájem rovny jsou; tedy téˇz CA jest rovna CB; ty tˇri tedy, CA, AB, BC jsou si rovny. Troj´ uheln´ık ABC je rovnostrann´ y a postaven je na dané u ´seˇcce AB, coˇz bylo u ´kolem vykonat. Druhá kniha je ze vˇsech nejkratˇs´ı a obsahuje 14 vˇet, kter´ ym pˇredcház´ı dvˇe definice (v´ ymˇery). Obsahem knihy je ˇrecká geometrická algebra a vˇety, které jsou v n´ı obsaˇzené, maj´ı algebraickou interpretaci. Pˇ r´ıklady vˇ et Knihy II. ([14]): Vˇeta 4 Kdyˇz se u ´seˇcka libovolnˇe rozdˇel´ı, ˇctverec z celé rovná se ˇctverc˚ um z u ´seˇcek a dvojnásobnému pravo´ uheln´ıku u ´seˇckami sevˇrenému. Vˇeta 11 Rozdˇel danou pˇr´ımku tak, aby pravo´ uheln´ık z celé a z jedné u ´seˇcky rovnal se ˇctverci u ´seˇcky zb´ yvaj´ıc´ı. Kniha III. obsahuje 37 vˇet a je vˇenována nauce o kruhu. Nejprve zde nacház´ıme 11 definic (v´ ymˇer). Pˇ r´ıklady vˇ et Knihy III. ([14]): Vˇeta 1 Najdi stˇred kruhu daného. Vˇeta 5 Kruh kruhu neprot´ıná ve v´ıce bodech neˇz ve dvou. V Knize IV., která se skládá z 16 u ´loh, zkoumá Eukleides u ´tvary vepsané nebo opsané kruˇznici. Nejprve opˇet pomoc´ı 7 definic (v´ ymˇer) zavedl potˇrebné pojmy. Pˇ r´ıklady vˇ et Knihy IV. ([14]): Vˇeta 4 Do troj´ uheln´ıku daného vepiˇs kruh. 15

Vˇeta 8 Vepiˇs do ˇctverce daného kruh. Základy byly pˇreloˇzeny do velkého poˇctu jazyk˚ u a mˇely (kromˇe Bible) v´ıce vydán´ı neˇz kterákoli jiná kniha na svˇetˇe. Po dobu témˇeˇr dvou tis´ıcilet´ı byly pouˇz´ıvány na ˇskolách jako uˇcebnice. Opust´ıme-li Eukleida, dalˇs´ım neménˇe v´ yznamn´ ym matematikem a fyzikem starovˇeku byl Archimedes ze Syrakus (287–212 pˇ r. n. l.), pravdˇepodobnˇe student Eukleidov´ ych ˇzák˚ u. Zab´ yval se hlavnˇe kuˇzeloseˇckami, objevil nové metody v´ ypoˇctu obsahu obrazc˚ u, které jsou ohraniˇceny kˇrivkami, a objemu tˇeles, která jsou ohraniˇcena kˇriv´ ymi plochami. Dále objevil konstantn´ı vztah mezi obvodem kruhu a jeho pr˚ umˇerem, kter´ y stanovil mezi 220/70 a 223/71, tedy Ludolfovo ˇc´ıslo π. Archimedes uˇzil pravideln´ ych n-´ uheln´ık˚ u (n = 6, 12, 24, 48, 96) opsan´ ych, resp. vepsan´ ych danému kruhu. Vycházel pˇritom z pˇredpokladu, ˇze obvod kruhu je vˇzdy menˇs´ı, neˇz obvod opsaného a vˇetˇs´ı neˇz obvod vepsaného n-´ uheln´ıku. Obsah tˇechto mnoho´ uheln´ık˚ u pak vypoˇcetl. Vedle Eukleida a Archiméda byl posledn´ım velk´ ym geometrem helénistického obdob´ı Archimed˚ uv mladˇs´ı souˇcastn´ık Apollonios z Pergy (2. pol. 3. stolet´ı – poˇ c´ atek 2. stolet´ı pˇ r. n. l), kter´ y se mimo jiné také zab´ yval jist´ ymi typy konstrukˇcn´ıch u ´loh. S t´ımto uˇcencem totiˇz souvis´ı tzv. Apolloniova u ´loha, kterou se Apollonios zab´ yval a ˇreˇsil ji v d´ıle O dotyc´ıch. Obecná Apolloniova u ´loha, sestrojit kruˇznici, která se dot´ yká dan´ ych tˇr´ı kruˇznic v rovnˇe, zauj´ımá mezi planimetrick´ ymi u ´lohami m´ısto zvláˇst’ v´ yznamné. Tato klasická u ´loha byla d˚ uleˇzit´ ym zdrojem ˇcetn´ ych nov´ ych geometrick´ ych pouˇcek, které byly objeveny pˇri jej´ım ˇreˇsen´ı. Zaj´ımala geometry vˇsech vˇek˚ u do té m´ıry, ˇze bylo podáno mnoˇzstv´ı zp˚ usob˚ u jej´ıho ˇreˇsen´ı. Proto také lze na této u ´loze ukázat r˚ uzné metody ˇreˇsen´ı sloˇzitˇejˇs´ıch konstrukˇcn´ıch u ´loh. Jiˇz Eukleides se ve své Knize IV. Základ˚ u vˇenuje vyˇsetˇrován´ı dvou typ˚ u Apolloniov´ ych u ´loh. Vˇeta 4 a vˇeta 5 této knihy pojednává o kruˇznic´ıch opsan´ ych a vepsan´ ych troj´ uheln´ıku, tj. nalezen´ı kruˇznice procházej´ıc´ı tˇremi body nebo dot´ ykaj´ıc´ı se tˇrech pˇr´ımek. Vzhledem k tomu, ˇze se zm´ınˇená dvousvazková práce nedochovala, nelze s urˇcitost´ı ˇr´ıci, jak´ ym zp˚ usobem Apollonios u ´lohu ˇreˇsil. Podle francouzského matematika Viéta Apollonios ˇreˇsil u ´lohu obecnˇe dilatac´ı, o ˇcemˇz se doˇc´ıtáme v jeho d´ıle Apollonius Gallus... z roku 1600 n. l.. Viét˚ uv vrstevn´ık Adrain van Roomen rozˇreˇsil tuto u ´lohu uˇzit´ım kuˇzeloseˇcek (proveden´ı této konstrukce napˇr. v [58]). Apollonios formuloval u ´lohu nejprve obecnˇe pro tˇri zadané kruˇznice, pozdˇeji byly tyto kruˇznice postupnˇe nahrazeny bodem (kruˇznice o nulovém polomˇeru) a pˇr´ımkou (kruˇznice o nekoneˇcnˇe velkém polomˇeru). Jak jiˇz bylo ˇreˇceno, origináln´ı znˇen´ı se nezachovalo, zato je známa reprodukce u ´lohy v d´ıle Mathématikai synagogai ˇreckého matematika Pappose Alexandrijsk´ eho (3. 16

stolet´ı pˇ r. n. l.). Pappos uvád´ı u ´lohu v následuj´ıc´ım znˇen´ı ([52]): Necht’ jsou dány tˇri pˇredmˇety, z nichˇz kaˇzdý m˚ uˇze být bodem, pˇr´ımkou nebo kruhem; má se narýsovat kruh, který procház´ı kaˇzdým z daných bod˚ u (jsou-li dány jen body) a dotýká se daných pˇr´ımek ˇci kruh˚ u. Z v´ yˇse uvedeného zadán´ı je moˇzno vypozorovat poˇcet moˇzn´ ych variant u ´lohy. Hledáme vˇzdy skupiny tˇr´ı objekt˚ u ze tˇrech druh˚ u (bod˚ u (B), pˇr´ımek (p), kruˇznic (k)), pˇriˇcemˇz poˇrad´ı dan´ ych objekt˚ u nen´ı podstatné. Existuje tedy celkem deset základn´ıch typ˚ u Apolloniov´ ych u ´loh (nov´ ych devˇet jsou zvláˇstn´ı pˇr´ıpady u ´lohy obecné), pˇriˇcemˇz obecná u ´loha má nejv´ yˇse 8 ˇreˇsen´ı. Jestliˇze jeden z dan´ ych bod˚ u leˇz´ı na dané pˇr´ımce nebo na dané kruˇznici, hovoˇr´ıme ou ´lohách Pappov´ ych. Takov´ ychto u ´loh je celkem ˇsest - (pB)B, (kB)B, (pB)p, (kB)p, (pB)k a (kB)k, kde symbolem (pB)B rozum´ıme, ˇze jsou dány dva body a pˇr´ımka, kdy jeden z bod˚ u leˇz´ı na této pˇr´ımce. Pappos ve svém d´ıle uvád´ı poˇzadavek Apollonia, tedy ˇreˇsen´ı Apolloniovy u ´lohy pomoc´ı kruˇz´ıtka a prav´ıtka, pˇrestoˇze jiˇz Apollonios znal stejnolehlost i kruhovou inverzi. V souˇcasné dobˇe jsou známé také jiné metody, napˇr. uˇzit´ım kuˇzeloseˇcek, cyklografie, deskriptivn´ı geometri´ı, geometri´ı projektivn´ı (kolineac´ı) apod.. Po zániku antického svˇeta upadaj´ı d´ıla ˇreck´ ych uˇcenc˚ u pomalu v zapomnˇen´ı. Obdob´ı nového rozkvˇetu matematiky pˇricház´ı aˇz s nástupem mohutné islámské ˇr´ıˇse, jeˇz se stala centrem tehdejˇs´ı vzdˇelanosti. Mnohá ˇrecká d´ıla, která se nedochovala, známe jen d´ıky arabsk´ ym pˇreklad˚ um. K renesanci geometrie doˇslo v Evropˇe v 16. – 17. stolet´ı, zejména ve Francii. Zásadn´ı zlom ve v´ yvoji matematiky pˇriˇsel v 17. stolet´ı, kdy Francouzi Ren´ e Descartes (1596– 1650) a Pierre de Fermat (1601–1665) aplikac´ı algebry pˇri ˇreˇsen´ı geometrick´ ych u ´loh poloˇzili základy analytické geometrie. V 17. stolet´ı následoval nejv´ yznamnˇejˇs´ı objev té doby — diferenciáln´ı a integráln´ı poˇcet, jehoˇz uˇzit´ım se rozvinula geometrie diferenciáln´ı a problematika u ´tvar˚ u vyˇsˇs´ıch stupˇ n˚ u, jeˇz dnes ˇrad´ıme do algebraické geometrie. Novovˇek uˇcinil v oblasti geometrie dva d˚ uleˇzité kroky: odhalil existenci neeukleidovsk´ ych geometri´ı a vytvoˇril analytickou geometrii. René Descartes zaveden´ım kartézské soustavy souˇradnic objevuje metodu, jak analyticky (tj. prostˇrednictv´ım ˇc´ısel a rovnic) zkoumat geometrické u ´tvary, coˇz pozdˇeji vede k ˇreˇsen´ı mnoha klasick´ ych geometrick´ ych problém˚ u, napˇr. zmiˇ nované otázky trisekce u ´hlu. Záliba matematik˚ u v teoretizován´ı o konstrukc´ıch kruˇz´ıtkem a prav´ıtkem pˇrinesla dalˇs´ı zaj´ımavé v´ ysledky. Napˇr´ıklad Syrsk´ y matematik Abul Vafa (940–997), pozdˇeji 17

pak Albrecht D¨ urer (1471–1528) ˇci Leonardo da Vinci (1542–1619) uvaˇzovali o konstrukc´ıch, pˇri nichˇz kromˇe r´ ysován´ı pˇr´ımek a u ´seˇcek podle prav´ıtka bylo dovoleno r´ ysovat pouze kruˇznice téhoˇz polomˇeru. Italsk´ y matematik Lorenzo Mascheroni (1750–1801) roku 1797 dokázal, ˇze kaˇzdou konstrukˇcn´ı u ´lohu, kterou lze ˇreˇsit pomoc´ı kruˇz´ıtka a prav´ıtka, lze ˇreˇsit pouze pomoc´ı kruˇz´ıtka. Kaˇzdou pˇr´ımku pˇri tom urˇcujeme dvˇema body, které na n´ı leˇz´ı. Na druhé stranˇe francouzsk´ y matematik a inˇzen´ yr Jean Victor Poncelet (1788–1867) roku 1822 zjistil, ˇze vˇsechny konstrukˇcn´ı u ´lohy ˇreˇsitelné prav´ıtkem a kruˇz´ıtkem jsou ˇreˇsitelné pouh´ ym prav´ıtkem, je-li v rovinˇe nar´ ysována nˇekterá kruˇznice a jej´ı stˇred (kruˇznice bez vyznaˇceného stˇredu k tomu nestaˇc´ı). Kaˇzdou kruˇznici pˇri tom urˇcujeme tˇremi body, které na n´ı leˇz´ı. Zvláˇstn´ı postaven´ı mezi u ´lohami o sestrojen´ı kruˇznice zauj´ımá u ´loha G. F. Malfattiho, nazvaná tak podle italského matematika, kter´ y ji poprvé vyslovil a algebraicky ˇreˇsil roku 1803. Jej´ı znˇen´ı je následuj´ıc´ı (v r˚ uzn´ ych publikac´ıch se vˇsak liˇs´ı): Do daného troj´ uheln´ıku vepiˇste tˇri nepˇrekrývaj´ıc´ı se kruhy tak, aby jejich obsah byl co nejvˇetˇs´ı. Malfatti se domn´ıval, ˇze u ´lohu vyˇreˇsil, kdyˇz kruhy zvolil tak, aby se kaˇzd´ y dot´ ykal dvou stran troj´ uheln´ıku a obou zb´ yvaj´ıc´ıch kruh˚ u (tzv. Malfattiho kruhy). Ryze geometrické, velmi elegantn´ı ˇreˇsen´ı (bez d˚ ukazu) podal v roce 1827 J. Steiner, kter´ y u ´lohu zobecnil t´ım, ˇze nahradil strany troj´ uheln´ıku kruˇznicemi. Steiner vˇsak vycházel ze stejného (chybného) pˇredpokladu jako Malfatti — ˇze se kruˇznice mus´ı dot´ ykat jedna druhé a kaˇzdá pak dvou stran troj´ uheln´ıku. Malfattiho ˇreˇsen´ı bylo ukázáno jako nesprávné, a to nejprve pro rovnostrann´ y troj´ uheln´ık (H. Lob, H. W. Richmond, 1929), poté pro dlouhé a u ´zké troj´ uheln´ıky (H. Evans, 1965), nakonec bylo prokázáno jako nesprávné bez ohledu na tvar troj´ uheln´ıku (M. Goldberg, 1967). Kompletn´ı ˇreˇsen´ı tohoto problému ukázali aˇz roku 1992 ruˇst´ı matematici V. A. Zalgaller a G. A. Los.

18

Kapitola 3 Planimetrick´ e konstrukˇ cn´ı u ´ lohy 3.1

Pojem konstrukˇ cn´ı u ´ lohy

Konstrukˇcn´ı u ´lohy jsou takové geometrické urˇcovac´ı u ´lohy, kde je u ´kolem sestrojit (zkonstruovat) geometrick´ y u ´tvar pˇredepsan´ ych vlastnost´ı. Realizace konstrukce, tj. nar´ ysován´ı obrazce, vˇsak nen´ı podstatou ˇreˇsen´ı konstrukˇcn´ı u ´lohy, aˇckoliv na stˇredn´ı a zvláˇstˇe pak na základn´ı ˇskole vˇetˇsinou neˇreˇs´ıme konstrukˇcn´ı u ´lohy bez r´ ysován´ı. Vlastn´ım ˇreˇsen´ım konstrukˇcn´ı u ´lohy budeme chápat deduktivn´ı u ´vahu, jej´ımˇz c´ılem je vyhledat poˇzadovan´ y geometrick´ yu ´tvar. Podstata ˇreˇsen´ı konstrukˇcn´ı u ´lohy spoˇc´ıvá v nalezen´ı posloupnosti elementárn´ıch konstrukc´ı, které vedou na hledan´ y objekt. Pˇri hledán´ı ˇreˇsen´ı konstrukˇcn´ı u ´lohy si proto pˇredstavujeme, jak bychom hledan´ y obrazec postupnˇe r´ ysovali. K tomu lze vyuˇz´ıt r˚ uzného r´ ysovac´ıho náˇcin´ı. Nen´ı-li o tomto r´ ysovac´ım náˇcin´ı pˇredem nic ˇreˇceno, pˇredpokládáme, ˇze se skládá z pˇr´ımého prav´ıtka a z kruˇz´ıtka. Pouˇzit´ı obou pom˚ ucek vymezuje Vyˇs´ın v [5] tˇemito u ´mluvami: a) Podle pˇr´ımého prav´ıtka r´ ysujeme pˇr´ımku (resp. ˇca´st pˇr´ımky), která spojuje dva známé body. b) Pomoc´ı kruˇz´ıtka r´ ysujeme kruˇznici, jej´ıˇz stˇred je znám´ y bod a jej´ıˇz polomˇer je dán dvˇema znám´ ymi body. c) Vyjdeme z jisté skupiny dan´ ych (zvolen´ ych) bod˚ u, dalˇs´ı body sestrojujeme jako spoleˇcné body nar´ ysovan´ ych pˇr´ımek a kruˇznic (pokud ovˇsem existuj´ı). Term´ınem známý bod máme na mysli bod bud’ pˇredem dan´ y, nebo jiˇz sestrojen´ y. R´ ysovac´ı náˇcin´ı nám slouˇz´ı k nar´ ysován´ı tzv. základn´ıch kˇrivek, které následnˇe pouˇz´ıváme pˇri konstrukc´ıch. Pro eukleidovské konstrukce, kter´ ymi se v této práci zab´ yvám (pojem eukleidovské konstrukce je bl´ıˇze specifikován v následuj´ıc´ı kapitole), jsou základn´ımi kˇrivkami vˇsechny pˇr´ımky a kruˇznice (kˇrivky I. a II. stupnˇe). Pˇr´ısluˇsné u ´mluvy pak m˚ uˇzeme pˇreformulovat takto: a´) Pˇr´ımku pokládáme za sestrojenou, jsou-li sestrojeny dva jej´ı body. 19

b´) Kruˇznici pokládáme za sestrojenou, je-li jej´ı stˇred sestrojen´ y bod a je-li jej´ı polomˇer dán dvˇema sestrojen´ ymi body. c´) Bod pokládáme za sestrojen´ y, je-li j´ım nˇekter´ y z v´ ychoz´ıch (dan´ ych ˇci zvolen´ ych) bod˚ u nebo je-li spoleˇcn´ ym bodem dvou sestrojen´ ych základn´ıch kˇrivek navzájem r˚ uzn´ ych.

3.2

Eukleidovsk´ e konstrukce

Pod term´ınem eukleidovské konstrukce nebo téˇz konstrukce pomoc´ı prav´ıtka a kruˇz´ıtka rozum´ıme konstrukci geometrick´ ych objekt˚ u uˇzit´ım v´ yhradnˇe prav´ıtka a kruˇz´ıtka. Prav´ıtko, pomoc´ı nˇehoˇz provád´ıme eukleidovské konstrukce, chápeme jako idealizované, tj. ˇze má nekoneˇcnou délku, jen jednu hranu a ˇza´dné znaˇcky pro mˇeˇren´ı. Takovéto eukleidovské prav´ıtko lze pouˇz´ıt pouze ke konstrukci pˇr´ımek. Nelze pouˇz´ıvat napˇr. ke konstrukci kolmic nebo rovnobˇeˇzek, ani k mˇeˇren´ı ˇci k nanáˇsen´ı délky. Kruˇz´ıtko v eukleidovském smyslu lze pouˇz´ıt jen k sestrojen´ı kruˇznice o daném stˇredu a procházej´ıc´ı dan´ ym bodem. Tento bod m˚ uˇze b´ yt libovolnˇe vzdálen´ y. Nelze pouˇz´ıt pro pˇrenáˇsen´ı délky. Oproti tomu pomoc´ı bˇeˇznˇe uˇz´ıvaného kruˇz´ıtka m˚ uˇzeme sestrojit kruˇznici, jestliˇze je dán jej´ı stˇred a polomˇer má délku rovnou délce dané u ´seˇcky. Ve v´ ysledku vˇsak nen´ı nutné mezi obˇema modely kruˇz´ıtek rozliˇsovat, protoˇze lze ukázat, ˇze i eukleidovské kruˇz´ıtko má vlastnost pˇrenáˇsen´ı délky — ˇcin´ı tak napˇr. Láviˇcka v [12]. Z historického hlediska patˇr´ı eukleidovské konstrukce k nejv´ yznamnˇejˇs´ım, jak bylo popsáno v kapitole 2. A právˇe takto také ˇreˇs´ıme planimetrické konstrukˇcn´ı u ´lohy na základn´ı a stˇredn´ı ˇskole. Eukleidovské konstrukce nejsou vˇsak jedin´ ym druhem konstrukc´ı. Jiné (neeukleidovské) konstrukce se op´ıraj´ı o jiné u ´mluvy a tyto u ´mluvy jsou sestaveny podle r´ ysovac´ıho náˇcin´ı, které chceme pouˇz´ıvat. M´ısto pojmu r´ ysovac´ı náˇcin´ı se v teorii geometrick´ ych konstrukc´ı pouˇz´ıvá oznaˇcen´ı prostˇredky. Hovoˇr´ıme pak o konstrukc´ıch danými prostˇredky. M˚ uˇze jimi b´ yt napˇr´ıklad tzv. rovnobˇeˇzkové prav´ıtko (prav´ıtko s dvˇema pˇr´ım´ ymi navzájem rovnobˇeˇzn´ ymi hranami, jejichˇz vzdálenost je známé ˇc´ıslo v), u ´hlové prav´ıtko (troj´ uheln´ıkové prav´ıtko, jehoˇz dvˇe hrany sv´ıraj´ı dut´ yu ´hel dané velikosti α — ve ˇskole uˇz´ıvané pravo´ uhlé troj´ uheln´ıkové prav´ıtko je jeho zvláˇstn´ım pˇr´ıpadem pro ◦ α = 90 ), jednotkové prav´ıtko (pˇr´ımé prav´ıtko, na jehoˇz hranˇe jsou vyznaˇceny dva body ve vzdálenosti dané u ´seˇcky e), aj.. Na pojem neeukleidovské konstrukce lze ovˇsem také nahl´ıˇzet z jiného u ´hlu pohledu. T´ımto term´ınem se oznaˇcuj´ı také konstrukce v takov´ ych geometri´ıch (tj. systémech splˇ nuj´ıc´ıch prvn´ı ˇctyˇri Eukleidovy postuláty), které nesplˇ nuj´ı pát´ y Eukleid˚ uv postulát. 20

Jsou to napˇr. geometrie hyperbolická, eliptická (jej´ı zvláˇstn´ı pˇr´ıpad geometrie sférická), Riemannova ˇci absolutn´ı geometrie. Tˇemi se v této práci nezab´ yvám. Naopak geometrie splˇ nuj´ıc´ı pát´ y Eukleid˚ uv postulát se naz´ yvá eukleidovská geometrie.

3.2.1

Z´ akladn´ı eukleidovsk´ e konstrukce

Kaˇzdá eukleidovská konstrukce se skládá z koneˇcného poˇctu opakován´ı pˇeti základn´ıch konstrukˇcn´ıch v´ ykon˚ u (nˇekdy také oznaˇcované jako základn´ı konstrukˇcn´ı kroky), ve kter´ ych pracujeme s body, u ´seˇckami a kruˇznicemi, které byly vytvoˇreny jiˇz v nˇekterém ˇ z pˇredchoz´ıch krok˚ u. Jako základn´ı konstrukˇcn´ı v´ ykony chápe Stalmaˇ sek v [3] tyto: 1. Jsou-li dány (tj. v rovinˇe jiˇz nar´ ysovány) dva r˚ uzné body, nar´ ysovat pˇr´ımku procházej´ıc´ı tˇemito body. 2. Nar´ ysovat kruˇznic´ı okolo daného bodu jako stˇredu, jej´ıˇz polomˇer má délku shodnou s délkou u ´seˇcky, která je urˇcena dalˇs´ı dvojic´ı r˚ uzn´ ych krajn´ıch bod˚ u. 3. Sestrojit pr˚ useˇc´ık pˇr´ımek AB a CD, jsou-li v rovinˇe dány body A, B, C, D. 4. Jsou-li dány body A, B, C a u ´seˇcka DE, sestrojit pr˚ useˇc´ıky pˇr´ımky AB s kruˇznic´ı se stˇredem C a polomˇerem DE. 5. Jsou-li dány v rovinˇe body A, B a dvˇe u ´seˇcky CD, EF , sestrojit pr˚ useˇc´ık kruˇznice se stˇredem A a polomˇerem CD s kruˇznic´ı se stˇredem B a polomˇerem EF . V konstrukc´ıch 3. – 5. pˇredpokládáme, ˇze pr˚ useˇc´ıky existuj´ı. Konstrukce 1. a 3. provád´ıme pomoc´ı prav´ıtka, konstrukce 2. a 5. pomoc´ı kruˇz´ıtka a konstrukci 4. uˇzit´ım prav´ıtka i kruˇz´ıtka zároveˇ n. V r˚ uzn´ ych publikac´ıch lze pod term´ınem základn´ı eukleidovské konstrukce nalézt r˚ uzné konstrukce. Mezi základn´ı (jednoduché) konstrukce vytvoˇrené jistou posloupnost´ı v´ yˇse uveden´ ych ˇ pˇeti základn´ıch konstrukˇcn´ıch v´ ykon˚ u Stalmaˇsek v [3] ˇrad´ı: a) b) c) d) e) f) g) h)

Nanést danou u ´seˇcku na danou polopˇr´ımku. Vést dan´ ym bodem mimo danou pˇr´ımku rovnobˇeˇzku. Vztyˇcit v daném bodˇe dané pˇr´ımky kolmici. Nanést dan´ y dut´ yu ´hel k dané polopˇr´ımce do dané poloroviny. Rozdˇelit danou u ´seˇcku na n shodn´ ych d´ıl˚ u (n ≥ 2). Sestrojit osu u ´seˇcky. Sestrojit osu u ´hlu. Sestrojit stˇred u ´seˇcky.

21

Provád´ıme-li eukleidovské konstrukce, pak z dan´ ych bod˚ u koneˇcn´ ym poˇctem konstrukˇcn´ıch krok˚ u 3., 4. a 5. sestrojujeme hledané body, které jsou s body dan´ ymi vázané urˇcit´ ymi geometrick´ ymi vztahy. To plat´ı i v pˇr´ıpadˇe, jsou-li dané jen velikosti u ´seˇcek a u ´hl˚ u, protoˇze u ´seˇcku dané velikosti m˚ uˇzeme nahradit dvˇema r˚ uzn´ ymi body v pˇredepsané vzdálenosti a u ´hel dané velikosti tˇremi r˚ uzn´ ymi body, které urˇcuj´ı ramena tohoto u ´hlu. Základn´ı u ´lohy b), c), e) - h) ˇreˇs´ım v kapitole 7. Pozn´ amka Kaˇzdá eukleidovská konstrukce je také proveditelná jedn´ım rovnobˇeˇzkov´ ym prav´ıtkem tj. lze j´ım nahradit náˇcin´ı pˇr´ımé prav´ıtko, kruˇz´ıtko. Obdobná situace je napˇr. u konstrukc´ı jedin´ ym kruˇz´ıtkem, zvan´ ych konstrukce Mascheroniovy (viz kapitola 2). Obrácenˇe to vˇsak nen´ı moˇzné, aniˇz bychom zmenˇsili okruh ˇreˇsiteln´ ych u ´loh (tj. vypustit kruˇz´ıtko a ponechat pouze prav´ıtko).

3.3

Klasifikace konstrukˇ cn´ıch u ´ loh

Pro správné proveden´ı rozboru konstrukˇcn´ı u ´lohy a následné nalezen´ı konstrukˇcn´ıho pˇredpisu je zapotˇreb´ı konstrukˇcn´ı u ´lohy nejprve vhodnˇe roztˇr´ıdit. Existuj´ı r˚ uzná hlediska tˇr´ıdˇen´ı:

3.3.1

Rozdˇ elen´ı konstrukˇ cn´ıch u ´ loh na polohov´ e a nepolohov´ e u ´ lohy

Polohov´ e konstrukˇ cn´ı u ´ lohy V tˇechto typech u ´loh je urˇceno um´ıstˇen´ı alespoˇ n jednoho z dan´ ych prvk˚ u, tj. jeho poˇ sen´ı loha v rovinˇe. T´ım je zároveˇ n jednoznaˇcnˇe urˇcena také poloha hledaného u ´tvaru. Reˇ polohové konstrukˇcn´ı u ´lohy spoˇc´ıvá v tom, ˇze hledáme jeden nebo v´ıce neznám´ ych bod˚ u sestrojovaného geometrického u ´tvaru. Zadán´ı takovéto u ´lohy vypadá napˇr´ıklad následovnˇe: Pˇ r´ıklad 1 Sestroj teˇcny k dané kruˇznici k(S, r) procházej´ıc´ı dan´ ym bodem A, kter´ y leˇz´ı ve vnˇejˇs´ı oblasti kruˇznice k. V této u ´loze je dána poloha obou zadan´ ych objekt˚ u — kruˇznice k i bodu A, hledali bychom polohu bodu dotyku sestrojované teˇcny a kruˇznice k. Nepolohov´ e konstrukˇ cn´ı u ´ lohy V nepolohov´ ych konstrukˇcn´ıch u ´lohách jsou urˇceny jen tvar a velikost dan´ ych prvk˚ u, nikoliv vˇsak jejich poloha. Mus´ıme proto nejprve provést lokalizaci, tj. vhodnˇe um´ıstit nˇekteré prvky. Nepolohová u ´loha poté pˇrecház´ı na u ´lohu polohovou. Jednu a tu samou nepolohovou u ´lohu lze lokalizovat v´ıce zp˚ usoby. Od tohoto um´ıstˇen´ı se poté odv´ıj´ı 22

cel´ y zp˚ usob ˇreˇsen´ı u ´lohy, zejména jej´ı rozbor. Chceme-li vyhledat nejvhodnˇejˇs´ı zp˚ usob ˇreˇsen´ı, je dobré zkusit r˚ uzné zp˚ usoby um´ıstˇen´ı. T´ım ovˇsem m˚ uˇzeme dostat u ´lohy s jin´ ym poˇctem neznám´ ych bod˚ u. Následuj´ıc´ı pˇr´ıklad nastiˇ nuje, jak r˚ uzné um´ıstˇen´ı prvk˚ u m˚ uˇze m´ıt vliv na poˇcet hledan´ ych bod˚ u, stejnˇe jako na celkov´ y poˇcet ˇreˇsen´ı u ´lohy. Pˇ r´ıklad 2 Sestroj troj´ uheln´ık ABC, jsou-li dány délky strany c = 5 cm, v´ yˇsky vc = 2 cm a tˇeˇznice tc = 4 cm. ˇ sen´ı (n´ Reˇ astin) Takto zadaná u ´loha je nepolohová. Na polohovou u ´lohu ji pˇrevedeme um´ıstˇen´ım nˇekterého z prvk˚ u:

a) Um´ıst´ıme stranu AB = c. Neznám´ ym bodem je poté pouze bod C (ˇreˇsen´ı viz kapitolu 7, III. vyuˇcovac´ı hodina, pˇr´ıklad 3.1). b) Um´ıst´ıme nejprve v´ yˇsku vc = C0 C, kde bod C0 je pata v´ yˇsky vc v troj´ uheln´ıku ABC. Hledané body jsou tentokrát tˇri: A, B (zbylé vrcholy troj´ uheln´ıku) a S (pr˚ useˇc´ık tˇeˇznice tc se stranou AB). Bod S nalezneme jako pr˚ useˇc´ık kruˇznice k1 (C, tc ) a pˇr´ımky p (komice na u ´seˇcku C0 C vedená bodem C0 ). c Body A, B náleˇz´ı pr˚ uniku kruˇznice k2 (S, ) a pˇr´ımky p. 2

3.3.2

Rozdˇ elen´ı konstrukˇ cn´ıch u ´ loh podle poˇ ctu nezn´ am´ ych bod˚ u

O hledaném u ´tvaru (kruˇznici, troj´ uheln´ıku, ˇctverci apod.) ˇrekneme, ˇze je sestrojen´ y, sestroj´ıme-li jistou koneˇcnou mnoˇzinu bod˚ u, která hledan´ yu ´tvar jednoznaˇcnˇe urˇcuje (stˇred kruˇznice a jeden jej´ı bod, vrcholy troj´ uheln´ıku nebo ˇctverce apod.). Proto m˚ uˇzeme za základn´ı neznámé u ´tvary povaˇzovat body, z ˇcehoˇz plyne moˇznost tˇr´ıdˇen´ı konstrukˇcn´ıch u ´loh podle poˇctu neznám´ ych (a tedy hledan´ ych) bod˚ u. Z tohoto hlediska dˇel´ıme konstrukˇcn´ı u ´lohy na u ´lohy s jedn´ım, dvˇema, tˇremi atd. neznám´ ymi (hledan´ ymi) body. V pˇr´ıpadˇe v´ıce neznám´ ych bod˚ u sestrojujeme tyto body postupnˇe, ˇc´ımˇz pˇrevád´ıme ˇreˇsen´ı konstrukˇcn´ı u ´lohy s v´ıce neznám´ ymi body na ˇreˇsen´ı konstrukˇcn´ıch u ´loh s jedn´ım neznám´ ym bodem. Velmi ˇcasto pˇri ˇreˇsen´ı takov´ ychto u ´loh pro zjednoduˇsen´ı situace 23

vyuˇz´ıváme geometrická zobrazen´ı nebo si pomáháme v´ ypoˇctem (viz metody ˇreˇsen´ı konstrukˇcn´ıch u ´loh, kapitola 3.5).

3.3.3

Rozdˇ elen´ı na u ´ lohy bez parametr˚ uau ´ lohy s parametry

Dále m˚ uˇzeme konstrukˇcn´ı u ´lohy tˇr´ıdit podle toho, zda se v jejich zadán´ı vyskytuj´ı promˇenné prvky (parametry), na u ´lohy bez parametru ˇci u ´lohy s parametry (jedn´ım, dvˇema, . . . ). Konstrukˇcn´ı u ´loha s parametry pˇredstavuje urˇcitou mnoˇzinu u ´loh, které ˇreˇs´ıme najednou a v závˇereˇcné fázi provedeme rozvˇetven´ı“ pro konkrétn´ı hodnoty parametru ” — provád´ıme diskusi ˇreˇsen´ı konstrukˇcn´ı u ´lohy. Zadán´ı u ´lohy s parametrem m˚ uˇze vypadat napˇr´ıklad takto: Pˇ r´ıklad 3 Sestroj troj´ uheln´ık, je-li dána velikost jedné jeho strany, pˇr´ısluˇsné v´ yˇsky a protilehlého vnitˇrn´ıho u ´hlu. ˇ sen´ı této u Reˇ ´lohy uvád´ım v odstavci 3.4.5.

3.4

F´ aze ˇ reˇ sen´ı konstrukˇ cn´ı u ´ lohy

ˇ sen´ı konstrukˇcn´ı u Reˇ ´lohy se ˇclen´ı zpravidla na ˇctyˇri u ´seky, tzv. fáze. Ty je tˇreba chápat jako nedˇelitelnou organickou ˇca´st konstrukˇcn´ı u ´lohy. Fáze ˇreˇsen´ı konstrukˇcn´ı u ´lohy se naz´ yvaj´ı: 1. 2. 3. 4.

Rozbor (anal´ yza) Konstrukce (vysloven´ı konstrukˇcn´ıho pˇredpisu + realizace konstrukce) Zkouˇska (od˚ uvodnˇen´ı konstrukce neboli d˚ ukaz) Diskuse (u parametrick´ ych u ´loh)

ˇ sen´ı konkrétn´ı konstrukˇcn´ı u Reˇ ´lohy podle právˇe popsaného postupu je zaˇrazeno na závˇer této kapitoly. Nyn´ı podrobnˇeji k jednotliv´ ym fáz´ım ˇreˇsen´ı.

3.4.1

Rozbor

Tato prvn´ı fáze ˇreˇsen´ı konstrukˇcn´ı u ´lohy je ze vˇsech nejpodstatnˇejˇs´ı. Jej´ım v´ ysledkem by mˇel b´ yt zápis podm´ınek pro hledané body. Chceme-li ˇreˇsit konstrukˇcn´ı u ´lohu, pˇredpokládáme, ˇze je ˇreˇsitelná. Toto ˇreˇsen´ı (´ utvar vyhovuj´ıc´ı podm´ınkám u ´lohy) naˇcrtneme v podobˇe ilustraˇcn´ıho obrázku. V náˇcrtu vyznaˇc´ıme a pop´ıˇseme vˇsechny prvky ze zadán´ı a zakresl´ıme pomocné geometrické u ´tvary 24

(pˇr´ımky, kruˇznice, body), které budeme pˇri ˇreˇseni u ´lohy vyuˇz´ıvat. Dále hledáme vztahy mezi prvky dan´ ymi a hledan´ ymi — uvˇedom´ıme si, které v´ yznaˇcné body jsou neznámé, a snaˇz´ıme se pro nˇe naj´ıt nutné podm´ınky, jeˇz mus´ı splˇ novat. Následnˇe kombinujeme, porovnáváme a na základˇe logick´ ych u ´vah a uˇzit´ım vhodné metody ˇreˇsen´ı konstrukˇcn´ıch u ´loh hledáme cestu, jak u ´lohu vyˇreˇsit nebo ji pˇrevést na u ´lohu jinou — snadnˇejˇs´ı ˇci ˇreˇsenou dˇr´ıve. Rozbor u ´lohy je tˇreba provádˇet svˇedomitˇe, abychom pˇr´ıpadnˇe pˇri nedokonalém rozboru neztratili nˇekterá ˇreˇsen´ı. Zároveˇ n ale také m˚ uˇze nastat, ˇze p˚ uvodn´ı pˇredpoklad ˇreˇsitelnosti u ´lohy se ukáˇze jako nesprávn´ y — to se projev´ı tak, ˇze rozbor u ´lohy nás povede ke sporu s podm´ınkami u ´lohy nebo platn´ ymi matematick´ ymi vˇetami. V takovém pˇr´ıpadˇe konstatujeme, ˇze je u ´loha neˇreˇsitelná.

3.4.2

Konstrukce

Druhá ˇcást postupu ˇreˇsen´ı konstrukˇcn´ı u ´lohy plyne z podm´ınek pro hledané body vysloven´ ych v závˇeru rozboru. Formulujeme zde konstrukˇcn´ı pˇredpis (posloupnost základn´ıch konstrukc´ı), jak z dan´ ych prvk˚ u vytvoˇr´ıme hledan´ yu ´tvar eukleidovsk´ ymi konstrukcemi. Struˇcn´ y symbolick´ y zápis pˇredpisu v bodech naz´ yváme zápis postupu konstrukce. Konstrukˇcn´ım pˇredpisem udáváme zpravidla pro kaˇzd´ y z hledan´ ych bod˚ u dvˇe mnoˇziny bod˚ u (kˇrivky), kter´ ym tento bod náleˇz´ı. V samotném zápisu vˇzdy nejdˇr´ıve uvád´ıme, jak´ yu ´tvar sestrojujeme a poté pomoc´ı jaké jeho vlastnosti. Konstrukce pomoc´ı této vlastnosti by mˇela b´ yt zˇrejmá (napˇr. pr˚ unik dvou jiˇz sestrojen´ ych u ´tvar˚ u, osa u ´seˇcky, osa u ´hlu, . . . ), konstrukce pomoc´ı sloˇzitˇejˇs´ıch vlastnost´ı je tˇreba rozepsat do v´ıce bod˚ u. Jednotlivé body zápisu konstrukce na sebe navazuj´ı. Zápis by mˇel b´ yt zároveˇ n natolik jednoznaˇcn´ y a jasn´ y, abychom jen podle nˇej byli schopni v´ ysledn´ yu ´tvar skuteˇcnˇe zkonstruovat. Tato fáze ˇreˇsen´ı obvykle zahrnuje téˇz grafické proveden´ı u ´lohy (realizaci konstrukce) — nar´ ysován´ı vˇsech ˇreˇsen´ı u ´lohy.

3.4.3

Zkouˇ ska

Konstrukˇcn´ım pˇredpisem z´ıskáváme vˇsechna moˇzná ˇreˇsen´ı u ´lohy. Nen´ı vˇsak ale zajiˇstˇeno, ˇze u ´tvary, které jsme sestrojili, splˇ nuj´ı skuteˇcnˇe podm´ınky u ´lohy. Nen´ı to zaruˇceno z d˚ uvodu, ˇze jsme je sestrojili z jist´ ych vlastnost´ı, které hledané u ´tvary nutnˇe maj´ı, ale nev´ıme, zda obrácenˇe kaˇzd´ yu ´tvar tˇechto vlastnost´ı splˇ nuje vˇsechny podm´ınky u ´lohy. M˚ uˇze se také stát, ˇze nˇekteré nebo vˇsechny u ´tvary sestrojené podle konstrukˇcn´ıho pˇredpisu nevyhovuj´ı podm´ınkám u ´lohy a nejsou tud´ıˇz ˇreˇsen´ım u ´lohy. Je proto potˇreba ukázat, ˇze vˇsechny u ´tvary vzniklé podle konstrukˇcn´ıho pˇredpisu maj´ı poˇzadované vlastnosti a pˇr´ıpadné nevyhovuj´ıc´ı u ´tvary vylouˇcit. Zjednoduˇsenˇe — pˇri provádˇen´ı zkouˇsky

25

ovˇeˇrujeme, zda stanovené nutné podm´ınky jsou téˇz postaˇcuj´ıc´ı. Zkouˇska se zpravidla provád´ı tak, ˇze obrát´ıme postup, kter´ y jsme absolvovali pˇri rozboru. Op´ıráme-li se v u ´vahách v rozboru o ekvivalentn´ı tvrzen´ı, nen´ı nezbytné zkouˇsku provádˇet, staˇc´ı se pouze odvolat na rozbor (napˇr. pˇri ˇreˇsen´ı u ´lohy uˇzit´ım metody mnoˇzin vˇsech bod˚ u dané vlastnosti). V pˇr´ıpadˇe, ˇze zadán´ı neobsahuje parametricky zadané prvky, je souˇcást´ı zkouˇsky konstatován´ı poˇctu ˇreˇsen´ı u ´lohy.

3.4.4

Diskuse

ˇ s´ıme-li konstrukˇcn´ı u Reˇ ´lohu s parametry (promˇenn´ ymi prvky), je tˇreba v závˇeru provést diskusi. Konstrukˇcn´ı u ´loha s parametry totiˇz pˇredstavuje mnoˇzinu konstrukˇcn´ıch u ´loh, které z´ıskáme volbou vˇsech moˇzn´ ych hodnot za parametry. T´ım se nám u ´loha rozpadne na pˇr´ıpady, kdy nemus´ı m´ıt ˇreˇsen´ı v˚ ubec, m˚ uˇze m´ıt jedno ˇreˇsen´ı nebo i v´ıce. V této fázi ˇreˇsen´ı pak stanovujeme, za kter´ ych podm´ınek je u ´loha ˇreˇsitelná a poˇcet ˇreˇsen´ı. Nemá-li u ´loha ˇza´dné promˇenné prvky, jde o jedinou u ´lohu, proto diskuse odpadá a my pouze konstatujeme poˇcet vyhovuj´ıc´ıch v´ ysledk˚ uu ´lohy (viz odstavec 3.4.3). Pˇri diskusi postupujeme tak, ˇze sledujeme postupnˇe jednotlivé kroky konstrukˇcn´ıho pˇredpisu z´ıskaného jako závˇer rozboru a zjiˇst’ujeme podm´ınky (nutné a postaˇcuj´ıc´ı), za nichˇz jsou proveditelné (tzv. podm´ınky ˇreˇsitelnosti). Chceme-li stanovit poˇcet ˇreˇsen´ı konstrukˇcn´ı u ´lohy, je tˇreba rozliˇsit, zda se jedná ou ´lohu polohovou ˇci nepolohovou: Polohov´ au ´ loha má tolik ˇreˇsen´ı, kolik u ´tvar˚ u vyhovuj´ıc´ıch podm´ınkám této u ´lohy lze sestrojit. V pˇr´ıpadˇe, ˇze dostáváme osovˇe soumˇerná ˇreˇsen´ı, je téˇz moˇzné se omezit na jednu polorovinu. Poté ˇr´ıkáme, ˇze u ´loha má v dané polorovinˇe tolik a tolik ˇreˇsen´ı (takové omezen´ı v této práci neuvaˇzuji). U nepolohov´ eu ´ lohy je nutné vyslovit pˇresnou u ´mluvu o tom, která ˇreˇsen´ı budeme pokládat za r˚ uzná. Pro vˇsechny u ´lohy v dalˇs´ım textu vycház´ım pro poˇcty ˇreˇsen´ı nepolohov´ ych u ´loh z následuj´ıc´ı u ´mluvy: Pˇri urˇcen´ı poˇctu ˇreˇsen´ı nepolohové u ´lohy vycház´ıme z poˇctu ˇreˇsen´ı polohové u ´lohy, na kterou ji pˇrevád´ıme. Závˇer diskuse lze zapsat jak vˇetou, tak v podobˇe tabulky. Pozn´ amka V r˚ uzn´ ych publikac´ıch lze nalézt i jinou konvenci o poˇctu ˇreˇsen´ı, napˇr. pokud nˇekter´ ymi ˇreˇsen´ımi jsou shodné geometrické u ´tvary, pokládáme je za jediné ˇreˇsen´ı nepolohové u ´lohy ([15]). 26

3.4.5

ˇ sen´ Reˇ y pˇ r´ıklad

Pˇ r´ıklad 3 z kapitoly 3.3.3 Sestroj troj´ uheln´ık, je-li dána velikost jedné jeho strany, pˇr´ısluˇsné v´ yˇsky a protilehlého vnitˇrn´ıho u ´hlu. ˇ sen´ı Reˇ Nejprve oznaˇc´ıme dané u ´tvary — mˇejme tedy dány v troj´ uheln´ıku ABC napˇr. délku c strany AB, v´ yˇsku vc a vnitˇrn´ı u ´hel o velikosti γ. Jde o nepolohovou u ´lohu s parametry, na polohovou ji pˇrevedeme um´ıstˇen´ım nˇekterého z prvk˚ u — um´ıst´ıme stranu AB. Zbyl´ y neznám´ y bod C je tedy hledan´ ym bodem. V´ıme, ˇze bod C leˇz´ı ve vzdálenosti vc od pˇr´ımky AB a zároveˇ n je u ´seˇcka AB z tohoto bodu vidˇet pod zorn´ ym u ´hlem γ (pojem zorn´ yu ´hel je podrobnˇeji vysvˇetlen v kapitole 7, v I. hodinˇe). ˇ sen´ı u Reˇ ´lohy se bude skládat ze vˇsech ˇctyˇr v´ yˇse popsan´ ych fáz´ı. Pˇri r´ ysován´ı zvol´ıme za parametry konkrétn´ı hodnoty, zde c = 4 cm, γ = 30◦ , vc = 3 cm: Rozbor Hledan´ y bod: C C ∈ M1 ∩ M2 , kde M1 = {X ∈ ρ; |X ↔ AB| = vc } = p ∪ p0 M2 = {X ∈ ρ; |6 AXB| = γ} = k ∪ k 0

Obrázek 3.1: Náˇcrtek

Konstrukce 1. AB; |AB| = c 2. p; p||AB ∧ |p ↔ AB| = vc 3. S; S — stˇred kruˇznice k, které pˇr´ısluˇs´ı oblouk s obvodov´ ym u ´hlem γ (konstrukce viz kapitolu 7, III. vyuˇcovac´ı hodinu) 4. k; k(S, r = |SA|) 5. C; C ∈ k ∩ p

27

Zkouˇ ska Z obrácen´ı postupu rozboru plyne, ˇze nalezené body C splˇ nuj´ı vˇsechny podm´ınky ◦ zadán´ı u ´lohy — u ´seˇcka je z nich vidˇet pod u ´hlem 30 (γ = 30◦ ) a leˇz´ı ve vzdálenosti 3 cm od u ´seˇcky AB (vc = 3 cm). Diskuse Aby byla u ´loha ˇreˇsitelná, mus´ı existovat alespoˇ n jeden spoleˇcn´ y bod pˇr´ımky p a kruˇznice k. Jin´ ymi slovy mus´ı b´ yt splnˇena podm´ınka ˇreˇsitelnosti: γ c vc ≤ cotg . 2 2 Pro poˇcet ˇreˇsen´ı této nepolohové u ´lohy (v souladu s v´ yˇse zm´ınˇenou u ´mluvou) plat´ı: c γ • Je-li vc < cotg , má tato u ´loha 4 ˇreˇsen´ı: ∆ABC1 , ∆ABC2 , ∆ABC10 a ∆ABC20 , 2 2 viz obr. 3.2. γ c ´loha 2 ˇreˇsen´ı: rovnoramenné troj´ uheln´ıky ∆ABC1 • Je-li vc = cotg , má tato u 2 2 0 a ∆ABC1 . c γ • Je-li vc > cotg , nemá u ´loha ˇzádné ˇreˇsen´ı. 2 2

Obrázek 3.2: Konstrukce k pˇr´ıkladu 3

28

3.5

Metody ˇ reˇ sen´ı konstrukˇ cn´ıch u ´ loh

Pro ˇreˇsen´ı konstrukˇcn´ıch u ´loh vyuˇz´ıváme r˚ uzné metody. Ty lze rozdˇelit na metody ryze geometrické (metoda mnoˇzin vˇsech bod˚ u dané vlastnosti a metoda geometrick´ ych zobrazen´ı v rovinˇe), metodu uˇzit´ı analytické geometrie a metodu algebraickou. Jednotliv´ ymi metodami lze ˇreˇsit vˇetˇsinou jen jednoduˇsˇs´ı konstrukˇcn´ı u ´lohy. Mámeli sloˇzitˇejˇs´ı u ´lohu, je tˇreba r˚ uzné metody kombinovat. Pozn´ amka V nˇekter´ ych u ´lohách m˚ uˇzeme vyuˇz´ıt také speciáln´ı vztahy odvozené mezi dan´ ymi a hledan´ ymi u ´tvary. Poté nem˚ uˇzeme hovoˇrit ani o jedné z v´ yˇse uveden´ ych metod. V takovém pˇr´ıpadˇe ˇr´ıkáme, ˇze u ´lohu sestrojujeme metodou zaloˇzenou na speciáln´ıch vztaz´ıch (napˇr. vlastnosti harmonicky sdruˇzen´ ych bod˚ u). S tˇemi se vˇsak na stˇredn´ı ˇskole zpravidla nesetkáme, proto se jimi ani já v této práci v´ıce nezab´ yvám.

3.5.1

Metoda mnoˇ zin vˇ sech bod˚ u dan´ e vlastnosti

Mnoˇzinou vˇsech bod˚ u dané vlastnosti naz´ yváme takovou mnoˇzinu bod˚ u (tj. geometrick´ y u ´tvar), která obsahuje vˇsechny body, které maj´ı tuto vlastnost, a neobsahuje ˇza´dné body, které ji nemaj´ı. Tuto metodu vyuˇz´ıváme v pˇr´ıpadˇe, ˇze máme vyhledat body o urˇcité vlastnosti. Metoda uˇzit´ı mnoˇzin vˇsech bod˚ u dané vlastnosti spoˇc´ıvá v tom, ˇze pro kaˇzd´ y z hledan´ ych bod˚ u X stanov´ıme dvˇe nutné podm´ınky, které mus´ı splˇ novat, a pak urˇc´ıme mnoˇziny M1 , M2 vˇsech bod˚ u splˇ nuj´ıc´ıch po ˇradˇe prvn´ı a druhou podm´ınku. Hledan´ y bod X náleˇz´ı pr˚ uniku mnoˇzin M1 , M2 . Body tohoto pr˚ uniku sestrojujeme pomoc´ı základn´ıch eukleidovsk´ ych konstrukc´ı (viz pˇredchoz´ı pˇr´ıklad 3).

3.5.2

Metoda geometrick´ ych zobrazen´ı v rovinˇ e

Je-li podle urˇcitého pˇredpisu kaˇzdému bodu X geometrického u ´tvaru U pˇriˇrazen jist´ y 0 0 0 bod X u ´tvaru U , potom toto pˇriˇrazen´ı naz´ yváme zobrazen´ım, kde bod X je obrazem bodu X a bod X je vzorem bodu X 0 . Mezi základn´ı zobrazen´ı, která lze vyuˇz´ıt pro ˇreˇsen´ı konstrukˇcn´ıch u ´loh, patˇr´ı osová soumˇernost, otoˇcen´ı (speciálnˇe stˇredová soumˇernost) a posunut´ı, spoleˇcnˇe naz´ yvaná shodná zobrazen´ı. Z podobn´ ych zobrazen´ı se vyuˇz´ıvá stejnolehlost. Kromˇe tˇechto základn´ıch zobrazen´ı je tˇreba zm´ınit jeˇstˇe kruhovou inverzi, která je velmi uˇziteˇcná napˇr´ıklad pˇri ˇreˇsen´ı Apolloniov´ ych u ´loh.

29

Existuj´ı dva základn´ı pˇr´ıpady, kdy vyuˇz´ıváme zobrazen´ı pˇri ˇreˇsen´ı konstrukˇcn´ıch u ´loh: Prvn´ım pˇr´ıpadem je situace, kdy neznám´ y bod lze sestrojit jako samodruˇzn´ y bod vhodného zobrazen´ı (napˇr. stˇred stejnolehlosti jako pomocn´ y neznám´ y bod pˇri konstrukci spoleˇcn´ ych teˇcen dvou kruˇznic). Druh´ ym pˇr´ıpadem jsou takové u ´lohy, kdy lze neznám´ y bod X zobrazit na neznám´ y bod Y zobrazen´ım, které je pomoc´ı jiˇz sestrojen´ ych u ´tvar˚ u urˇceno. V tuto chv´ıli uplatˇ nujeme jeden z tˇechto konstrukˇcn´ıch krok˚ u ([42]): a) Bod Y sestroj´ıme jako obraz bodu X v takovém zobrazen´ı (to pˇredpokládá, ˇze v posloupnosti krok˚ u konstrukce sestroj´ıme nejprve bod X). b) Jednu z konstrukˇcn´ıch kˇrivek, které obsahuj´ı bod X, zobraz´ıme na konstrukˇcn´ı kˇrivku obsahuj´ıc´ı bod Y (to nevyˇzaduje, aby bod X byl uˇz sestrojen). Geometrická zobrazen´ı m˚ uˇzeme obecnˇe vyuˇz´ıt pˇri ˇreˇsen´ı konstrukˇcn´ıch u ´loh dvoj´ım zp˚ usobem, jak uvád´ı Polák v [15]: a) Geometrické zobrazen´ı pouˇzijeme na ˇca´st geometrick´ ych u ´tvar˚ u, které se vyskytuj´ı v pomocném náˇcrtku pˇri rozboru konstrukˇcn´ı u ´lohy. To nám umoˇzn´ı naj´ıt takové vztahy mezi dan´ ymi a hledan´ ymi u ´tvary, které by jinak mohlo b´ yt tˇeˇzké objevit. b) Geometrické zobrazen´ı aplikujeme na celou geometrickou situaci pˇredstavovanou náˇcrtkem pˇri rozboru konstrukˇcn´ı u ´lohy. V tomto pˇr´ıpadˇe samozˇrejmˇe jako pouˇzitá geometrická zobrazen´ı nepˇricházej´ı v u ´vahu shodnosti, které by pˇrevedly vˇsechny geometrické u ´tvary v u ´tvary s nimi shodn´ ymi, tj. dostali bychom tutéˇz geometrickou situaci. Z uveden´ ych zobrazen´ı lze tedy pouˇz´ıt podobnost´ı, zejména stejnolehlosti. Uˇ zit´ı osov´ e soumˇ ernosti pˇ ri ˇ reˇ sen´ı konstrukˇ cn´ıch u ´ loh Pˇri ˇreˇsen´ı konstrukˇcn´ıch u ´loh pomoc´ı osové soumˇernosti nahrazujeme u ´tvar dan´ y ˇci hledan´ y (popˇr´ıpadˇe jen jejich ˇca´st) u ´tvarem s n´ım osovˇe soumˇern´ ym podle vhodné pˇr´ımky, aby ˇreˇsen´ı takto pozmˇenˇené u ´lohy bylo snadnˇejˇs´ı. Pˇ r´ıklad 4 Je dána pˇr´ımka p a dva body A, B uvnitˇr téˇze poloroviny s hraniˇcn´ı pˇr´ımkou p. Najdi na pˇr´ımce p bod X tak, aby souˇcet jeho vzdálenost´ı od bod˚ u A, B byl co nejmenˇs´ı. ˇ sen´ı Reˇ Jde o polohovou u ´lohu s jedn´ım neznám´ ym bodem X. Rozbor Hledan´ y bod: X 30

X ∈ AB 0 ∩ p, kde B 0 je bod soumˇernˇe sdruˇzen´ y k bodu B podle pˇr´ımky p. Potom totiˇz plat´ı: |AX| + |BX| = |AX| + |B 0 X| = |AB 0 |. Pro kaˇzd´ y jin´ y bod bod Y 6= X pˇr´ımky p dostáváme: |AY | + |BY | = |AY | + |B 0 Y | > |AB 0 | (viz obr. 3.4).

Obrázek 3.3: Náˇcrtek Konstrukce 1. A, B, p; A, B ∈ / p ∧ A ∈7 / → Bp 2. B 0 ; O(p): B 7−→ B 0 3. AB 0 4. X; X ∈ AB 0 ∩ p


Zkouˇ ska Plyne z rozboru. ´ Uloha má právˇe jedno ˇreˇsen´ı.

31

Uˇ zit´ı posunut´ı pˇ ri ˇ reˇ sen´ı konstrukˇ cn´ıch u ´ loh Podstata metody rovnobˇeˇzného posunut´ı neboli translace spoˇc´ıvá v tom, ˇze ˇca´st u ´tvaru rovnobˇeˇznˇe posuneme, ˇc´ımˇz dostáváme hledané ˇci potˇrebné pomocné body. Takovéto doplnˇen´ı p˚ uvodn´ıho u ´tvaru na u ´tvar nov´ y nám umoˇzn ˇuje transformaci dané u ´lohy na u ´lohu snadnˇeji ˇreˇsitelnou. Pˇ r´ıklad 5 Sestroj lichobˇeˇzn´ık ABCD (AB||CD, |AB| > |CD|), jsou- li dány délky jeho ˇctyˇr stran a, b, c, d. ˇ sen´ı u Reˇ ´lohy provád´ım v kapitole 7, VI. vyuˇcovac´ı hodinˇe (pˇr´ıklad 6.3). Uˇ zit´ı otoˇ cen´ı pˇ ri ˇ reˇ sen´ı konstrukˇ cn´ıch u ´ loh Otoˇcen´ı neboli rotaci okolo bodu pouˇz´ıváme pˇri ˇreˇsen´ı konstrukˇcn´ıch u ´loh pro nalezen´ı hledan´ ych ˇci potˇrebn´ ych pomocn´ ych bod˚ u, které dostaneme jako pr˚ useˇc´ıky u ´tvaru s jeho otoˇcenou ˇcást´ı. Zavád´ıme t´ım do náˇcrtku jeden nebo v´ıce nov´ ych prvk˚ u, pˇrevád´ıme u ´hly nebo pˇr´ımky do vhodné polohy. Obecnˇe opˇet nahrazujeme u ´lohu novou jednoduˇsˇs´ı u ´lohou. Pˇ r´ıklad 6 Jsou dány dvˇe r˚ uzné rovnobˇeˇzky p, q a bod A, kter´ y neleˇz´ı na ˇza´dné z nich. Sestrojte takov´ y rovnostrann´ y troj´ uheln´ık ABC, kde B ∈ p, C ∈ q. ˇ sen´ı Reˇ ´ Uloha je polohová s dvˇema neznám´ ymi body. Rozbor V rovnostranném troj´ uheln´ıku maj´ı vˇsechny vnitˇrn´ı u ´hly velikost 60◦ , stejnˇe jako jsou shodné délky vˇsech tˇr´ı stran troj´ uheln´ıku. Proto obrazem bodu B ∈ p (resp. strany AB) v otoˇcen´ı kolem bodu A o u ´hel velikosti 60◦ je bod C (resp. strana AC). Obrazem pˇr´ımky p v tomto otoˇcen´ı bude pˇr´ımka p0 . Bod C z´ıskáme jako pr˚ useˇc´ık pˇr´ımky p0 s pˇr´ımkou q. Provedeme-li poté zpˇetné otoˇcen´ı bodu C (tj. o stejnˇe velk´ y ale opaˇcnˇe orientovan´ yu ´hel), dostáváme bod B (viz obr. 3.6) Hledané body: B,C C ∈ p0 ∩ q, kde p0 z´ıskáme uˇzit´ım otoˇcen´ı: R(A; 60◦ ): p 7−→ p0 a bod B z´ıskáme z otoˇcen´ı: R(A; −60◦ ): C 7−→ B.

32


Konstrukce 1. p, q, A; A ∈ / p, q 2. p0 ; R(A; 60◦ ): p 7−→ p0 3. C; C ∈ p0 ∩ q 4. b; R(A; −60◦ ): C 7−→ B 5. ∆ABC


Zkouˇ ska Plyne z rozboru u ´lohy. ´ Uloha má vˇzdy dvˇe ˇreˇsen´ı — pˇr´ımku p lze rotovat kolem bodu A ve dvou smyslech otáˇcen´ı. Uˇ zit´ı stejnolehlosti pˇ ri ˇ reˇ sen´ı konstrukˇ cn´ıch u ´ loh Existuje mnoho konstrukˇcn´ıch u ´loh takov´ ych, ˇze zanedbáme-li pˇri jejich ˇreˇsen´ı ˇcást 33

dan´ ych podm´ınek, dostaneme nespoˇcetné mnoˇzstv´ı ˇreˇsen´ı, která mezi sebou tvoˇr´ı vzájemnˇe podobné u ´tvary. Napˇr. máme-li sestrojit troj´ uheln´ık, jsou-li zadané velikosti dvou jeho u ´hl˚ u a délka obvodu, pak zanedbán´ım obvodu dostaneme nespoˇcetné mnoˇzstv´ı ´ vzájemnˇe podobn´ ych troj´ uheln´ık˚ u. Ulohy tohoto druhu je vhodné ˇreˇsit metodou uˇzit´ı podobnosti. Jej´ı podstata spoˇc´ıvá v tom, ˇze nejdˇr´ıve sestroj´ıme u ´tvar podobn´ y hledanému u ´tvaru a ten podle dalˇs´ıch podm´ınek u ´lohy zvˇetˇs´ıme ˇci zmenˇs´ıme v poˇzadovaném pomˇeru. Metodu podobnosti uˇz´ıváme zejména v následuj´ıc´ıch pˇr´ıpadech: a) Je-li mezi podm´ınkami pro hledan´ yu ´tvar jen jediná délka a ostatn´ı se vztahuj´ı na u ´hly ˇci pomˇery. Vylouˇcen´ım délky budou u ´tvary splˇ nuj´ıc´ı ostatn´ı podm´ınky vzájemnˇe podobné. Uˇzit´ı stejnolehlosti v popsaném pˇr´ıpadˇe je patrné z následuj´ıc´ıho pˇr´ıkladu. Pˇ r´ıklad 7 Sestroj troj´ uheln´ık ABC, je-li dáno: a : b : c = 3 : 5 : 6, vc = 4 cm. ˇ sen´ı Reˇ Nepolohová u ´loha s tˇremi neznám´ ymi body. Vynechán´ım podm´ınky t´ ykaj´ıc´ı se délky v´ yˇsky dostáváme u ´lohu, jej´ımˇz ˇreˇsen´ım je cel´ y systém stejnolehl´ ych troj´ uheln´ık˚ u. Vybereme jeden z nich, napˇr. troj´ uheln´ık 0 0 0 A B C s délkami stran 3 cm, 5 cm a 6 cm, ten sestroj´ıme. Pomoc´ı stejnolehlosti se stˇredem v bodˇe C 0 = C sestroj´ıme troj´ uheln´ık ABC stejnolehl´ y s troj´ uheln´ıkem A0 B 0 C 0 , pro kter´ y nav´ıc plat´ı, ˇze jeho v´ yˇska má délku vc = |CC0 | = 4 cm. T´ımto jsme zároveˇ n um´ıstili bod C (pˇrevedli jsme nepolohovou u ´lohu na polohovou). Rozbor Hledané body: C0 , A, B Vˇsechny tˇri body dostaneme uˇzit´ım stejnolehlosti H(C 0 = C): C00 7−→ C0 , A0 7−→ A, B 0 7−→ B

Obrázek 3.7: Náˇcrtek Konstrukce 1. ∆A0 B 0 C 0 ; a = 3 cm, b = 5 cm a c = 6 cm (podle vˇety sss) 34

yˇska ∆A0 B 0 C 0 2. vc0 ; vc0 = CC00 je v´ 3. C0 ; |CC0 | = vc = 4 cm ∧ H(C 0 = C) : vc0 7−→ vc 4. A, B; H(C 0 = C): A0 7−→ A, B 0 7−→ B 5. ∆ABC Zkouˇ ska Troj´ uheln´ıky A0 B 0 C 0 , ABC jsou podobné podle vˇety uu. Strany a, b, c jsou proto ve stejném pomˇeru, jako strany a0 , b0 , c0 troj´ uhlen´ıku A0 B 0 C 0 , tj. v pomˇeru 3:5:6, viz obr. 3.8.


b) Má-li m´ıt hledan´ yu ´tvar urˇcitou polohu vzhledem k jist´ ym dan´ ym pˇr´ımkám nebo bodu a vylouˇcen´ım jedné podm´ınky dostaneme systém stejnolehl´ ych u ´tvar˚ u. Zadán´ı u ´lohy vˇcetnˇe jej´ıho ˇreˇsen´ı vyuˇzit´ım stejnolehlosti lze nalézt v kapitole 7, VII. vyuˇcovac´ı hodinˇe (pˇr´ıklad 7.2).

3.5.3

Metoda algebraick´ a

Algebraická metoda ˇreˇsen´ı konstrukˇcn´ıch u ´loh se obecnˇe vyuˇz´ıvá, je-li pro urˇcen´ı hledan´ ych bod˚ u vhodné vyjádˇrit vztahy mezi dan´ ymi a hledan´ ymi body rovnicemi a poté sestrojit v´ yrazy, které vznikly ˇreˇsen´ım tˇechto rovnic, nebo v pˇr´ıpadˇe, ˇze máme sestrojit u ´seˇcku, jej´ıˇz délka je pˇr´ımo zadaná algebraick´ ym v´ yrazem. Tuto metodu vol´ıme zpravidla aˇz tehdy, selˇzou-li vˇsechny metody ryze geometrické nebo je-li konstrukce touto algebraickou metodou jednoduˇsˇs´ı neˇz nˇekterou z ryze geometrick´ ych metod.

35

Konstrukˇcn´ı u ´lohy lze z hlediska uˇzit´ı algebraické metody rozdˇelit na základn´ı a sloˇzitˇejˇs´ı, jak uvád´ı Polák v [15]: a) Z´ akladn´ı u ´ lohy takto ˇreˇsené jsou nepolohové konstrukˇcn´ı u ´lohy tohoto typu: Máme sestrojit u ´seˇcku, jej´ıˇz délka x je rovna pˇredepsanému algebraickému v´ yrazu V (a, b, ...), kde a, b,... jsou dané délky u ´seˇcek (urˇcitá kladná ˇc´ısla, popˇr. parametry). b) Pˇri ˇreˇsen´ı sloˇ zitˇ ejˇ s´ıch konstrukˇ cn´ıch u ´ loh algebraickou metodou, kdy nen´ı délka x sestrojované u ´seˇcky pˇr´ımo zadána algebraick´ ym v´ yrazem, mluv´ıme o ˇreˇsen´ı konstrukˇcn´ı u ´lohy na základˇe v´ ypoˇctu. Spoˇc´ıvá v tom, ˇze v rozboru u ´lohy urˇc´ıme vztah mezi hledanou délkou x a dan´ ymi délkami u ´seˇcek, kter´ y má tvar rovnice s neznámou x. Jej´ım ˇreˇsen´ım urˇc´ıme algebraické vyjádˇren´ı pro x a t´ım je daná u ´loha pˇrevedena na u ´lohu typu a). Diskuse ˇreˇsen´ı dané u ´lohy s parametry se provád´ı vyˇsetˇrován´ım ˇreˇsitelnosti rovnice pro x. Konstrukce algebraick´ ych v´ yraz˚ u Necht’ a, b, c,..., k, l jsou velikosti dan´ ych u ´seˇcek, p a q daná pˇrirozená ˇc´ısla a x velikost hledané u ´seˇcky. Potom v´ yraz a) x = a ± b ± c ± ... ± k ± l vyjadˇruje velikost souˇctu u ´seˇcek o velikosti a, b, c,..., k, l ab vyjadˇruje velikost ˇctvrté geometrické u ´mˇerné u ´seˇcky k u ´seˇckám velikosti b) x = c a, b, c Konstrukce ˇ ctvrt´ e geometrick´ eu ´ mˇ ern´ e Máme-li sestrojit u ´seˇcku x, která je ˇctvrtou geometrickou u ´mˇernou k u ´seˇckám a, b a c, je vhodné si rovnici nejprve pˇrevést na tvar c:b=a:x a vyuˇz´ıt napˇr. vˇetu, která ˇr´ıká, ˇze rovnobˇeˇzné pˇr´ıˇcky vyt´ınaj´ı na polopˇr´ımkách svazku u ´mˇerné u ´seky. Staˇc´ı tedy libovolnˇe zvolit dvˇe polopˇr´ımky a sestrojit k nim vhodné pˇr´ıˇcky (obr. 3.9). p ´seˇcky velikosti a na q shodn´ ych d´ıl˚ u c) x = a vyjadˇruje dˇelen´ı p-násobku u q √ d) x = ab vyjadˇruje velikost stˇredn´ı geometrické u ´mˇerné u ´seˇcky (geometrick´ y pr˚ umˇer) k u ´seˇckám velikosti a a b

36

Obrázek 3.9: Konstrukce ˇctvrté geometrické u ´mˇerné

Konstrukce geometrick´ eho pr˚ umˇ eru Geometrick´ y pr˚ umˇer lze sestrojit pomoc´ı Eukleidov´ ych vˇet, a to jako v´ yˇsku pravo´ uhlého troj´ uheln´ıku, ve kterém u ´seˇcky a, b jsou u ´seky na pˇreponˇe (obr. 3.11), nebo jako odvˇesnu, kde a je pˇrepona a b u ´sek na pˇreponˇe pˇrilehl´ y k hledané odvˇesnˇe (obr. 3.10).

Obrázek 3.10: Konstrukce geometrického pr˚ umˇeru I

Obrázek 3.11: Konstrukce geometrického pr˚ umˇeru II

√ e) x = a2 + b2 vyjadˇruje velikost pˇrepony pravo´ uhlého troj´ uheln´ıku s odvˇesnami o velikosti a a b √ f) x = a2 − b2 (kde a > b) vyjadˇruje velikost odvˇesny pravo´ uhlého troj´ uheln´ıku, kter´ y má pˇreponu velikosti a a druhou odvˇesnu o velikosti b √ g) x = a 2 je u ´hlopˇr´ıˇcka ˇctverce se stranou a

37

√ h) x = a 3 je dvojnásobná v´ yˇska rovnostranného troj´ uheln´ıku o stranˇe a √ ch) x = a 5 je pˇrepona pravo´ uhlého troj´ uheln´ıku, kde jedna odvˇesna má délku a, druhá 2a √ ´hlopˇr´ıˇcka je a i) u ´seˇcka x z rovnice x 2 = a je strana ˇctverce, jehoˇz u √ uheln´ıku, jehoˇz dvojj) u ´seˇcka x v rovnici x 3 = a je strana rovnostranného troj´ násobná v´ yˇska je a √ k) u ´seˇcka x (x ≥√2) je pˇrepona pravo´ uhlého troj´ uheln´ıku, jehoˇz jedna odvˇesna má délku 1, druhá x − 1 Kaˇzdou druhou odmocninu z racionáln´ıho kladného ˇc´ısla, které nelze rozloˇzit na souˇcet ˇci rozd´ıl ˇctverc˚ u, je moˇzné eukleidovsky sestrojit pomoc´ı Eukleidov´ ych vˇet. V opaˇcném (jednoduˇsˇs´ım) pˇr´ıpadˇe pouˇzijeme Pythagorovu vˇetu. Pomoc´ı v´ yˇse popsan´ ych konstrukc´ı m˚ uˇzeme sestrojit i sloˇzitˇejˇs´ı v´ yrazy (napˇr. x = ab yc zd abcd sestroj´ıme pomoc´ı postupn´ ych konstrukc´ı v´ yraz˚ uy= ,z= a x = ). ef g e f g

3.5.4

Metoda souˇ radnic (uˇ zit´ı analytick´ e geometrie)

Tato metoda je vhodná napˇr. pˇri urˇcován´ı mnoˇzin vˇsech bod˚ u dané vlastnosti. Postupujeme tak, ˇze po vhodné volbˇe poˇca´tku a souˇradn´ ych os pravo´ uhlé soustavy souˇradnic (pˇri vhodné volbˇe je vˇzdy v´ ysledná rovnice mnoˇziny mnohem jednoduˇsˇs´ı) oznaˇc´ıme souˇradnice libovolného bodu hledané mnoˇziny neznám´ ymi x, y a vyjádˇr´ıme podm´ınky u ´lohy rovnic´ı, které tyto souˇradnice vyhovuj´ı (tj. obdoba algebraické metody ovˇsem s uˇzit´ım souˇradnic dan´ ych a hledan´ ych bod˚ u). Pˇ r´ıklad 8 (podle [6], str. 125) Máme dány polohy dvou kolm´ ych pˇr´ımek x, y a bodu A, jehoˇz vzdálenosti od tˇechto pˇr´ımek jsou v pomˇeru 2:1. Sestroj takov´ y rovnostrann´ y troj´ uheln´ık ABC, kde B ∈ x, C ∈ y. ˇ sen´ı Reˇ ´ Ulohu lze celkem snadno ˇreˇsit vyuˇzit´ım otoˇcen´ı. My ji vˇsak nyn´ı budeme ˇreˇsit uˇzit´ım analytické metody (vyuˇzit´ım souˇradnic). Souˇradnice neznám´ ych vrchol˚ u oznaˇc´ıme B[x, 0], C[0, y]. Z obr. 3.12 lze nahlédnout, ˇze pro délky stran troj´ uheln´ıku plat´ı:

38

|AB| =

q

(x − 1)2 + 22 , |AC| =

q

(2 − y)2 + 12 , |BC| =

q

x2 + y 2 .

Z podm´ınek rovnosti stran troj´ uheln´ıku (AB = BC, AC = BC) dostáváme soustavu dvou rovnic: (x − 1)2 + 4 = x2 + y 2 (y − 2)2 + 1 = x2 + y 2 , po u ´pravˇe: y 2 = 5 − 2x x2 = 5 − 4y.

Obrázek 3.12: Uˇzit´ı analytické metody Vyjádˇr´ıme-li z prvn´ı rovnice x a dosad´ıme do druhé, dostáváme rovnici ˇctvrtého stupnˇe: y 4 − 10y 2 + 16y + 5 = 0. Tu lze rozloˇzit na souˇcin dvou kvadratick´ ych trojˇclen˚ u: (y 2 + 4y + 1) · (y 2 − 4y + 5) = 0. ˇ sen´ı rovnice ˇctvrtého stupnˇe tedy pˇrevád´ıme na ˇreˇsen´ı dvou kvadratick´ Reˇ ych rovnic. Pouze prvn´ı z nich má reálné koˇreny: y1,2 = −2 ±

39

√

3.

Dopoˇc´ıtáme-li k nim pˇr´ısluˇs´ıc´ı hodnoty x, dostáváme: √ x1,2 = −1 ± 2 3. T´ım z´ısk´ ıu ´lohy: √aváme dvˇe ˇreˇsen´√ √ √ B1 [−1 + 2 3, 0], C1 [0, −2 + 3] a B2 [−1 − 2 3, 0], C2 [0, −2 − 3] (viz obr. 3.13).


40

Kapitola 4 ˇ sitelnost konstrukˇ Reˇ cn´ıch u ´ loh prav´ıtkem a kruˇ z´ıtkem 4.1

Teorie

Pˇri rozhodován´ı, zda daná u ´loha je ˇci nen´ı ˇreˇsitelná, je potˇreba rozliˇsit dva pojmy, a to ˇreˇsitelnost u ´lohy a moˇznost provést konstrukci dan´ ymi prostˇredky. My se budeme zab´ yvat ˇreˇsitelnost´ı konstrukˇcn´ı u ´lohy pomoc´ı prav´ıtka a kruˇz´ıtka. Definice 4.1 O konstrukˇcn´ı u ´loze ˇrekneme, ˇze je ˇreˇsitelná, jestliˇze existuje geometrický u ´tvar splˇ nuj´ıc´ı poˇzadované vlastnosti. Definice 4.2 O konstrukˇcn´ı u ´loze ˇrekneme, ˇze je ˇreˇsitelná pomoc´ı prav´ıtka a kruˇz´ıtka (eukleidovsky), lze-li koneˇcným poˇctem základn´ıch konstrukˇcn´ıch výkon˚ u (kapitola 3.2.1) nalézt z daných bod˚ u dalˇs´ı body, které jsou s tˇemito danými body vázané urˇcitými geometrickými vztahy a které urˇcuj´ı hledaný geometrický u ´tvar. Hledané body sestroj´ıme z urˇcité skupiny bod˚ u dan´ ych (ˇci dˇr´ıve sestrojen´ ych) jedn´ım z následuj´ıc´ıch zp˚ usob˚ u: 1. Jako pr˚ useˇc´ık dvou pˇr´ımek, kdy kaˇzdá z tˇechto pˇr´ımek je urˇcena dvˇema dan´ ymi ˇci dˇr´ıve sestrojen´ ymi body. 2. Jako pr˚ useˇc´ık pˇr´ımky a kruˇznice, kdy pˇr´ımka procház´ı dvˇema dan´ ymi ˇci dˇr´ıve sestrojen´ ymi body a kruˇznice má stˇred v daném ˇci dˇr´ıve sestrojeném bodˇe a procház´ı jin´ ym dan´ ym ˇci dˇr´ıve sestrojen´ ym bodem. 3. Jako pr˚ useˇc´ık dvou kruˇznic, jejichˇz stˇredy jsou body dané ˇci dˇr´ıve sestrojené a procház´ı body dan´ ymi ˇci dˇr´ıve sestrojen´ ymi Ve smyslu definice 4.1 je neˇreˇsitelnou u ´lohou napˇr. u ´loha následuj´ıc´ıho znˇen´ı:

41

Pˇ r´ıklad 9 Lze sestrojit troj´ uheln´ık ABC se stranami o délkách 4 cm, 2 cm a 1 cm? Odpovˇ ed’ Tato u ´loha nen´ı ˇreˇsitelná, nebot’ neexistuje ˇza´dn´ y troj´ uheln´ık, kter´ y by splˇ noval poˇzadované vlastnosti (zadané hodnoty nesplˇ nuj´ı troj´ uheln´ıkovou nerovnost). Pˇr´ıkladem konstrukˇcn´ı u ´lohy, která nen´ı ˇreˇsitelná pomoc´ı prav´ıtka a kruˇz´ıtka je trisekce u ´hlu (viz kapitolu 2 a kapitolu 4.2.2). Tuto u ´lohu vˇsak lze ˇreˇsit napˇr´ıklad uˇzit´ım pomocné kˇrivky kvadratrix, a proto je ˇreˇsitelná (neeukleidovsky). Pozn´ amka V této kapitole se vˇenuji pouze pˇresn´ ym ˇreˇsen´ım konstrukˇcn´ıch u ´loh, tj. takov´ ym, které pˇri pouˇzit´ı koneˇcného poˇctu dokonale pˇresn´ ych r´ ysovac´ıch prostˇredk˚ u vedou ke konstrukci s matematicky pˇresn´ ymi vlastnostmi hledaného geometrického u ´tvaru. Oproti tomu pak v následuj´ıc´ı kapitole lze nalézt nˇekteré z tzv. pˇribliˇzn´ ych konstrukc´ı, jeˇz nejsou pˇresné ani pˇri uˇzit´ı dokonale pˇresn´ ych r´ ysovac´ıch prostˇredk˚ u. Vyuˇz´ıváme jich v pˇr´ıpadˇe, ˇze danou konstrukˇcn´ı u ´lohu nelze ˇreˇsit poˇzadovan´ ymi r´ ysovac´ımi prostˇredky (prav´ıtkem a kruˇz´ıtkem). Podle definice 4.2 je u ´loha ˇreˇsitelná, podaˇr´ı-li se nám nalézt hledané body koneˇcn´ ym poˇctem opakován´ı základn´ıch konstrukˇcn´ıch v´ ykon˚ u. Abychom poznali, které body lze sestrojit z dan´ ych bod˚ u pomoc´ı prav´ıtka a kruˇz´ıtka, je velmi v´ yhodné vyuˇz´ıt analytické geometrie. Zavedeme proto nyn´ı kartézskou soustavu souˇradnic. Oznaˇcme v konkrétn´ı konstrukˇcn´ı u ´loze dané body P1 , P2 , · · ·, Pn a hledané body X1 , X2 , · · ·, Xm . Pomoc´ı prav´ıtka a kruˇz´ıtka nejprve sestroj´ıme dvˇe kolmé pˇr´ımky (jedna ze základn´ıch eukleidovsk´ ych konstrukc´ı, viz kapitolu 3.2.1). Provedeme to tak, aby jeden z dan´ ych bod˚ u Pi byl jejich pr˚ useˇc´ıkem (napˇr. bod P1 ) a jin´ ym dan´ ym bodem nˇekterá z pˇr´ımek procházela (napˇr. bodem P2 ). Vzdálenost mezi tˇemito dvˇema body zvol´ıme za jednotku délky. T´ım máme zavedenu kartézskou soustavu souˇradnic, v n´ıˇz má bod P1 souˇradnice [0,0] a bod P2 souˇradnice [1,0]. Prom´ıtnut´ım kaˇzdého z dan´ ych bod˚ u P3 , P4 , · · · , Pn do souˇradnicov´ ych os (pomoc´ı prav´ıtka a kruˇz´ıtka) z´ıskáme pro kaˇzd´ y bod dvojici bod˚ u, které jsou charakterizované ˇc´ısly — jejich kartézsk´ ymi souˇradnicemi (obr. 4.1). Pomoc´ı souˇradnic m˚ uˇzeme takto jednoznaˇcnˇe popsat také body hledané. Geometrické vztahy, jimiˇz jsou provázány dané body Pi a hledané body Xi pak m˚ uˇzeme vyjádˇrit rovnicemi, kde neznám´ ymi budou právˇe souˇradnice hledan´ ych bod˚ u. Následuj´ıc´ı vˇeta ˇr´ıká, kdy m˚ uˇzeme vyuˇzit´ım v´ yˇse popsaného systému souˇradnic o konstrukˇcn´ı u ´loze prohlásit, ˇze je eukleidovsky ˇreˇsitelná.

42

Obrázek 4.1: Kartézsk´ y systém souˇradnic

Vˇ eta 4.1 Nutná a postaˇcuj´ıc´ı podm´ınka pro to, aby bylo moˇzné konstrukˇcn´ı u ´lohu ˇreˇsit eukleidovsky, je, ˇze souˇradnice hledaných bod˚ u lze vypoˇc´ıtat ze souˇradnic daných bod˚ u pomoc´ı racionáln´ıch operac´ı (tj. sˇc´ıtán´ı, odˇc´ıtán´ı, násoben´ı a dˇelen´ı) a pomoc´ı koneˇcného poˇctu reálných druhých odmocnin. D˚ ukaz Pˇredpokládejme, ˇze kromˇe dan´ ych bod˚ u jsme jiˇz eukleidovsky sestrojili i nˇekteré dalˇs´ı body, kde souˇradnice tˇechto nov´ ych bod˚ u lze vypoˇc´ıtat ze souˇradnic dan´ ych bod˚ u operacemi, které jsou uvedeny ve vˇetˇe. Nyn´ı chceme na nˇekterém z dan´ ych ˇci jiˇz sestrojen´ ych bod˚ u provést konstrukˇcn´ı v´ ykon 3 – 5 z kapitoly 3.2.1, resp. 1. – 3. v této kapitole. Analyticky jde ve vˇsech tˇrech pˇr´ıpadech (konstrukce pr˚ useˇc´ıku dvou pˇr´ımek, konstrukce pr˚ useˇc´ıku dvou kruˇznic a konstrukce pr˚ useˇc´ıku pˇr´ımky a kruˇznice) o ˇreˇsen´ı soustav dvou rovnic následuj´ıc´ıho tvaru: • Pˇri hledán´ı pr˚ useˇc´ıku dvou pˇr´ımek: a1 x + a2 y + a3 = 0 b1 x + b2 y + b3 = 0, • Pˇri hledán´ı pr˚ useˇc´ıku dvou kruˇznic: x 2 + y 2 + a1 x + a2 y + a3 = 0 x2 + y 2 + b1 x + b2 y + b3 = 0, • Pˇri hledán´ı pr˚ useˇc´ıku pˇr´ımky a kruˇznice: 43

a1 x + a2 y + a3 = 0 x2 + y 2 + b1 x + b2 y + b3 = 0, kde koeficienty a1 , a2 , a3 , b1 , b2 , b3 jsou racionáln´ımi funkcemi bod˚ u, které urˇcuj´ı pˇr´ısluˇsnou pˇr´ımku ˇci kruˇznici. Protoˇze jsme pˇredpokládali existenci reáln´ ych pr˚ useˇc´ıku, maj´ı v´ yˇse uvedené soustavy rovnic reálná ˇreˇsen´ı. Hodnoty neznám´ ych jsou racionáln´ımi funkcemi koeficient˚ u. Lze tedy souˇradnice pr˚ useˇc´ık˚ u vypoˇc´ıtat racionáln´ımi operacemi a v´ ypoˇctem druh´ ych odmocnin (v pˇr´ıpadˇe, ˇze je nˇekterou z kˇrivek kruˇznice) ze souˇradnic znám´ ych bod˚ u. K d˚ ukazu vˇety zprava doleva bychom vyuˇzili o nˇekolik ˇrádk˚ u v´ yˇse popsané skuteˇcnosti — kaˇzd´ y bod je jednoznaˇcnˇe urˇcen dvojic´ı souˇradnic, které lze chápat jako délky u ´seˇcek, jejichˇz jedn´ım krajn´ım bodem je poˇcátek souˇradnicové soustavy a druh´ ym krajn´ım bodem je pr˚ umˇet tohoto bodu do jednotliv´ ych os, tato ˇca´st d˚ ukazu proto spl´ yvá s d˚ ukazem n´ıˇze uvedené vˇety 4.2. Uˇzit´ı analytické geometrie pˇri ˇreˇsen´ı konstrukˇcn´ıch u ´loh je patrné z pˇr´ıkladu 8 v kapitole 3.5.4. Souˇradnice hledan´ ych bod˚ u jsme v tomto pˇr´ıpadˇe vypoˇc´ıtali z algebraické rovnice ˇctvrtého stupnˇe a to pouze uˇzit´ım aritmetick´ ych operac´ı a v´ ypoˇctem druhé odmocniny. Zm´ınˇená konstrukce je proto proveditelná eukleidovsky. Následuj´ıc´ı pˇr´ıklad se t´ yká konstrukce teˇcen ke kruˇznici veden´ ych z vnˇejˇs´ıho bodu kruˇznice. Tuto u ´lohu lze ˇreˇsit uˇzit´ım r˚ uzn´ ych metod, nyn´ı vyuˇzijeme analytické geometrie. V´ ypoˇctem souˇradnic bodu dotyku a uˇzit´ım vˇety 4.1 ukáˇzeme, ˇze konstrukce teˇcny je skuteˇcnˇe ˇreˇsitelná uˇzit´ım prav´ıtka a kruˇz´ıtka. Pˇ r´ıklad 10 Je dána kruˇznice k(S, r = 5 cm) a vnˇejˇs´ı bod A tak, ˇze |SA| = 9 cm. Sestroj vˇsechny pˇr´ımky, které procház´ı bodem A a dot´ ykaj´ı se kruˇznice k. ˇ sen´ı Reˇ Budeme hledat souˇradnice bodu dotyku T teˇcny t a kruˇznice k. Nejprve vhodnˇe zavedeme souˇradnicov´ y systém — stˇred kruˇznice ztotoˇzn´ıme s poˇca´tkem soustavy souˇradnic, bod A um´ıst´ıme na ose y. V tomto um´ıstˇen´ı jsou souˇradnice stˇredu kruˇznice [0, 0], bod A má souˇradnice [9, 0]. Analytické vyjádˇren´ı kruˇznice a teˇcny t má následuj´ıc´ı tvar: k: x2 + y 2 = 25 t: y = kx + 9.

44

Dosazen´ım za y z druhé rovnice do prvn´ı rovnice dostáváme: x2 + (kx + 9)2 = 25, po u ´pravˇe (1 + k 2 )x2 + 18kx + 56 = 0. Aby byla pˇr´ımka t teˇcnou kruˇznice, mus´ı m´ıt tato kvadratická rovnice jeden dvojnásobn´ y koˇren x a tedy jej´ı diskriminant D mus´ı b´ yt nulov´ y. Z podm´ınky nulového diskriminantu urˇc´ıme hodnotu smˇernice pˇr´ımky k: D = 324k 2 − 224 − 224k 2 = 100k 2 − 224. 2√ 2√ 14, k2 = − 14. Kvadratická rovnice 100k 2 − 224 = 0 má koˇreny: k1 = 5 5 √ −18k ± D Pro kaˇzdou z tˇechto hodnot urˇc´ıme souˇradnice bodu dotyku T : x1,2 = , 2(1 + k 2 ) 10 √ pro k1 je x = − 14, 9 √ 10 pro k2 je x = 14. 9 V obou pˇr´ıpadech po dosazen´ı za x do rovnice teˇcny t dostáváme pro y-ovou souˇradnici bod˚ u T1 , T2 : y=−

10 √ 25 2√ 14 · 14 + 9 = . 5 9 9

Souˇradnice bod˚ u dotyku √ 10 √ 25 25 10 T1 = − 14; , T2 = 14; 9 9 9 9

jsme vypoˇc´ıtali ze souˇradnic dan´ ych bod˚ u pomoc´ı aritmetick´ ych operac´ı a v´ ypoˇctu druh´ ych odmocnin, tato u ´loha je proto eukleidovsky ˇreˇsitelná — konstrukce pomoc´ı Thaletovy kruˇznice je patrná z obr. 4.2. Vzhledem k tomu, ˇze souˇradnice daného bodu v rovinˇe jsou geometricky dány dvˇema u ´seˇckami, m˚ uˇzeme pˇredchoz´ı vˇetu pˇreformulovat pro délky u ´seˇcek, a to následovnˇe:

45


Vˇ eta 4.2 Nutná a postaˇcuj´ıc´ı podm´ınka pro to, aby bylo moˇzné konstrukˇcn´ı u ´lohu ˇreˇsit eukleidovsky je, ˇze délka hledané u ´seˇcky x lze vypoˇc´ıtat z délek daných u ´seˇcek a, b, . . . pomoc´ı racionáln´ıch operac´ı (tj. sˇc´ıtán´ı, odˇc´ıtán´ı, násoben´ı a dˇelen´ı) a pomoc´ı koneˇcného poˇctu reálných druhých odmocnin. D˚ ukaz Pro d˚ ukaz vˇety staˇc´ı ukázat, ˇze lze eukleidovsky sestrojit u ´seˇcku, jej´ıˇz délka je souˇctem, rozd´ılem, souˇcinem a pod´ılem délek dvou dan´ ych u ´seˇcek a také u ´seˇcku, jej´ıˇz délka je druhou odmocninou z délky dané u ´seˇcky. Mˇejme v rovinˇe sestrojené u ´seˇcky délek a, b. 1. Konstrukce souˇctu, resp. rozd´ılu délek u ´seˇcek je velmi jednoduchá a známá — jde o nanáˇsen´ı u ´seˇcek na pˇr´ımku. 2. Souˇcin, resp. pod´ıl délek u ´seˇcek a, b sestroj´ıme jako ˇctvrtou geometrickou u ´mˇernou k tˇemto u ´seˇckám a u ´seˇcce délky 1 (viz kapitola 3.5.3). Konstrukce je patrná z obr. 4.3 pro souˇcin délek a z obr. 4.4 pro pod´ıl délek. 46

Obrázek 4.3: Konstrukce souˇcinu délek dvou u ´seˇcek

Obrázek 4.4: Konstrukce pod´ılu délek dvou u ´seˇcek

√ 3. Máme-li dánu u ´seˇcku délky a, m˚ uˇzeme sestrojit u ´seˇcku o délce a uˇzit´ım Eukleidovy vˇety o v´ yˇsce (viz konstrukce geometrického pr˚ umˇeru u ´seˇcky — kapitola 3.5.3, kde délka u ´seˇcky b je 1). Tato eukleidovská konstrukce je znázornˇena na obr. 4.5.

Obrázek 4.5: Konstrukce druhé odmocniny

T´ım je vˇeta dokázána. ˇ sen´ı konstrukˇcn´ı u Reˇ ´lohy ˇcasto spoˇc´ıvá v nalezen´ı neznámé u ´seˇcky (jej´ı konstrukci). V takovém pˇr´ıpadˇe je v´ yˇse popsaná vˇeta velmi uˇziteˇcná. Chceme-li dokázat, zda u ´loha takového typu je ˇci nen´ı ˇreˇsitelná, sestav´ıme z dan´ ych délek rovnici pro délku hledané u ´seˇcky. Podaˇr´ı-li se nám tuto u ´seˇcku vyjádˇrit z dan´ ych u ´seˇcek v souladu s podm´ınkami vˇety 4.2, pak je tato u ´loha ˇreˇsitelná pomoc´ı prav´ıtka a kruˇz´ıtka. Praktickou ukázkou je pˇr´ıklad 11.

47

Pozn´ amka Délka u ´seˇcky, kterou lze sestrojit pomoc´ı prav´ıtka a kruˇz´ıtka, se nˇekdy oznaˇcuje jako konstruovatelné ˇc´ıslo. Ostatn´ı kladná ˇc´ısla naz´ yváme nekonstruovatelná.√Pˇr´ıkladem konstruovatelného ˇc´ısla (délky eukleidovsky konstruovateln´ e u ´seˇcky) je 2. Oproti √ 3 tomu mezi nekonstruovatelná ˇc´ısla patˇr´ı napˇr. 2, π, atd.. Pˇri rozhodován´ı, zda daná u ´loha je ˇci nen´ı eukleidovsky konstruovatelná je tˇreba nejprve ovˇeˇrit, zda sami zadané prvky jsou konstruovatelná ˇc´ısla. Nen´ı-li tomu tak, nemá smysl zkoumat ˇreˇsitelnost takové u ´lohy pomoc´ı prav´ıtka a kruˇz´ıtka, kdyˇz nejsme schopni sestrojit ani prvky dané. Aˇz teprve je-li u ´loha vhodnˇe zadaná, tj. pomoc´ı konstruovateln´ ych ˇc´ısel, má smysl se zab´ yvat jej´ı eukleidovskou ˇreˇsitelnost´ı. Pˇ r´ıklad 11 V troj´ uheln´ıku ABC jsou dané strany a, b a jeho obsah S, kter´ y je shodn´ y s obsahem ˇctverce, jeho strana je u ´seˇcka délky m. Dokaˇzte, ˇze tento troj´ uheln´ık lze sestrojit eukleidovsky a konstrukci proved’te. ˇ sen´ı Reˇ Rozbor Abychom mohli sestrojit poˇzadovan´ y troj´ uheln´ık, je potˇreba dourˇcit jeˇstˇe jeden prvek, napˇr. v´ yˇsku va . Vyjádˇr´ıme ji pomoc´ı dan´ ych prvk˚ u. 2 Dané prvky: a, b, S = m Ze vztahu pro obsah troj´ uheln´ıku: S=

ava 2

vyjádˇr´ıme v´ yˇsku va a dosad´ıme S = m2 : va =

2m2 . a

Délku v´ yˇsky va jsme z´ıskali ze zadan´ ych délek pomoc´ı operac´ı násoben´ı a dˇelen´ı. ´ Useˇcku délky va lze podle vˇety 4.2 sestrojit eukleidovsky, proto lze také z tˇechto prvk˚ u eukleidovsky sestrojit troj´ uheln´ık ABC (viz obr. 4.6). V´ yˇsku va = AA0 z´ıskáme postupnou konstrukc´ı u ´seˇcek délek x = m2 = m · m, y y = 2x a z = = va . a Hledané body: B, C Pro nalezen´ı hledan´ ych bod˚ u vyuˇzijeme mnoˇzin vˇsech bod˚ u dané vlastnosti:

48

C ∈ M1 ∩ M2 , kde M1 = {X ∈ ρ; XA0 ⊥va } = p M2 = {X ∈ ρ; |XA| = b} = k(A, b). B ∈ L1 ∩ L2 , kde L1 = CA0 L2 = {X ∈ ρ; |XC| = a} = l(C, a).


Konstrukce 1. x, x = m2 (konstrukce viz bod 2. d˚ ukazu vˇety 4.2 ) 2. y; y = 2x 3. va ; va = AA0 =

y (konstrukce viz bod 2. d˚ ukazu vˇety 4.2) a

4. p; p⊥va ∧ A0 ∈ p 5. k; k(A, b) 6. C; C ∈ p ∩ k 7. l; l(C, a) 8. B; B ∈ p ∩ l 9. ∆ABC Zkouˇ ska Plyne z rozboru konstrukce. Diskuse Je-li va > b, u ´loha nemá ˇreˇsen´ı, je-li va = b, u ´loha má právˇe 2 ˇreˇsen´ı (dva pravo´ uhlé troj´ uheln´ıky), je-li va < b, u ´loha má právˇe 4 ˇreˇsen´ı (viz obr. 4.7, kde m = 2 cm, a = 4 cm a b = 3 cm).

49

Obrázek 4.7: Konstrukce k pˇr´ıkladu 11 Ukázat, ˇze je daná u ´loha eukleidovsky ˇreˇsitelná, b´ yvá zpravidla snadnˇejˇs´ı neˇz d˚ ukaz jej´ı neˇreˇsitelnosti pomoc´ı prav´ıtka a kruˇz´ıtka. Pro d˚ ukaz ˇreˇsitelnosti nám vesmˇes staˇc´ı vyuˇz´ıt vˇety 4.1 a 4.2. Pro to, abychom ukázali, ˇze daná konstrukˇcn´ı u ´loha nen´ı eukleidovsky ˇreˇsitelná, je velmi v´ yhodné se na tento problém pod´ıvat z pohledu ˇc´ıseln´ ych tˇeles. Vyuˇzit´ım tohoto algebraického nástroje m˚ uˇzeme pˇreformulovat v´ yˇse uvedené vˇety o eukleidovsk´ ych konstrukc´ıch. Tˇech pak v závˇeru této kapitoly vyuˇzijeme k d˚ ukazu neˇreˇsitelnosti tˇrech proslul´ ych u ´loh starovˇeku pomoc´ı prav´ıtka a kruˇz´ıtka. Opˇet vyjdeme z vhodnˇe zvolené kartézské soustavy souˇradnic. Necht’ ai , bi (i = 1, 2, . . . , n), jsou souˇradnice dan´ ych bod˚ u Pi a xj , yj souˇradnice hledan´ ych bod˚ u Xj (j = 1, 2 . . . , m). Vytvoˇr´ıme nejmenˇs´ı moˇzné tˇeleso, ve kterém jsou obsaˇzena vˇsechna ˇc´ısla ai , bi . Toto tˇeleso dostaneme sˇc´ıtán´ım, odˇc´ıtán´ım, násoben´ım a dˇelen´ım ˇc´ısel ai , bi . Takto vytvoˇrené tˇeleso oznaˇc´ıme symbolem T. V tˇelese T jsou obsaˇzena vˇsechna racionáln´ı ˇc´ısla, je tedy nadtˇelesem tˇelesa Q. Jestliˇze hledané body Xi z´ıskáme z dan´ ych bod˚ u Pi [ai , bi ] uˇzit´ım prav´ıtka, tj. jako pr˚ useˇc´ıky dan´ ych ˇci dˇr´ıve vytvoˇren´ ych pˇr´ımek, budou souˇradnice tˇechto bod˚ u prvky tˇelesa T, protoˇze jak rovnice zm´ınˇen´ ych pˇr´ımek, tak souˇradnice jejich pr˚ useˇc´ıku dosta50

neme ze souˇradnic dan´ ych bod˚ u pomoc´ı racionáln´ıch operac´ı. Jiná situace ale nastává, pouˇzijeme-li ke konstrukci hledaného bodu kruˇz´ıtko, tj. z´ıskáme jej jako pr˚ useˇc´ık pˇr´ımky a kruˇznice ˇci dvou kruˇznic urˇcen´ ych dan´ ymi ˇci dˇr´ıve sestrojen´ ymi body. Zde jiˇz nemus´ıme vystaˇcit pouze s racionáln´ımi operacemi, m˚ uˇze totiˇz nastat, ˇze v analytickém vyjádˇren´ı takovéto konstrukce dostáváme také druhé odmocniny. Ty uˇz vˇsak neleˇz´ı v tˇelese T. Souˇradnice takov´ √ které vzniklo √ eho bodu leˇz´ı v tˇelese, / T. z tˇelesa T pˇridán´ım nˇejaké druhé odmocniny c (c > 0), kde c ∈ T, c ∈

Definice 4.3 Jestliˇze T je tˇe√leso a c je kladné reáln´ c´ıslo ne ˇ √ √ takové, ˇzoe c ∈ T, ale c∈ / T, potom symbolem T( c) oznaˇcujeme tˇeleso p + q c; p, q ∈ T a nazýv´ ame jej kvadratickým vzhledem k tˇelesu T. Budeme-li z dan´ ych ˇci z´ıskan´ ych bod˚ u dále konstruovat dalˇs´ı hledané body, m˚ uˇze v pˇr´ıpadˇ√ e pouˇzit´ı kruˇz´ıtka opˇet nastat, ˇze jejich souˇradnice nebudou leˇ √zet v tˇelese T1 = T( c), tj. ˇze se v tˇechto souˇradnic´ıch vyskytuje druhá odmocnina d√nˇejakého ˇc´ısla d ∈ T1 . Oznaˇcme T2 tˇeleso, které vytvoˇr´ıme z tˇe√ lesa T1 pˇridán´ım prvku d. Prvek takto novˇe vytvoˇreného tˇelesa má obecn´ y tvar e + f d, kde e, f jsou prvky tˇelesa T1 . Kdybychom takto v u ´vahách postupovali dále, z´ıskáme koneˇcnou posloupnost tˇeles T ⊂ T1 ⊂ T2 ⊂ . . . ⊂ Tk−1 ⊂ Tk , √ ve které tˇeleso Tl vzniklo z tˇelesa Tl−1 pˇridán´ım nˇejakého ˇc´ısla cl−1 , kde cl−1 ∈ Tl−1 , √ / Tl−1 . Uvedenou posloupnost naz´ yváme posloupnost relativnˇe kvacl−1 > 0 a cl−1 ∈ dratick´ ych tˇeles. Nyn´ı m˚ uˇzeme pˇreformulovat nutnou a postaˇcuj´ıc´ı podm´ınku ˇreˇsitelnosti konstrukˇcn´ı u ´lohy pomoc´ı prav´ıtka a kruˇz´ıtka vyuˇzit´ım ˇc´ıseln´ ych tˇeles:

Vˇ eta 4.3 Nutná a postaˇcuj´ıc´ı podm´ınka pro to, aby byl bod X [x, y] eukleidovsky konstruovatelný z bod˚ u Pi [ai , bi ] je, ˇze jak pro souˇradnici x, tak pro souˇradnici y existuje koneˇcná posloupnost relativnˇe kvadratických tˇeles T ⊂ T1 ⊂ T2 ⊂ . . . ⊂ Tk−1 ⊂ Tk takových, ˇze ˇc´ıslo x (resp. y) ∈ Tk . Tˇeleso T je nejmenˇs´ı ˇc´ıselné tˇeleso, ve kterém jsou obsaˇzené souˇradnice [ai , bi ] bod˚ u Pi . Souˇradnici x (a obdobnˇe y) hledaného bodu X, popˇr. hledanou vzdálenost x dvou bod˚ u je ˇcasto moˇzné vyjádˇrit jako kladn´ y koˇren urˇcité algebraické rovnice f (x) = 0,

51

jej´ıˇz koeficienty leˇz´ı ve v´ yˇse zavedeném tˇelese T. Podaˇr´ı-li se nám tuto rovnici algebraicky vyˇreˇsit pomoc´ı racionáln´ıch operac´ı a druh´ ych odmocnin, pak hledaná délka u ´seˇcky x je eukleidovsky konstruovatelná. Nedovedeme-li vˇsak rovnici algebraicky ˇreˇsit, anebo nalezen´ y v´ yraz pro x obsahuje vyˇsˇs´ı odmocniny, lze ˇcasto pouˇz´ıt následuj´ıc´ı vˇetu. Vˇ eta 4.4 Mˇejme dáno k u ´seˇcek o délkách a1 , a2 , . . . , ak . Necht’ T je tˇeleso, které vznikne z tˇelesa racionáln´ıch ˇc´ısel Q pˇridán´ım ˇc´ısel a1 , a2 , . . . , ak , tj. jde o nejmenˇs´ı tˇeleso obsahuj´ıc´ı ˇc´ısla a1 , a2 , . . . , ak . Necht’ α je ˇc´ıslo, které je koˇrenem rovnice: z n + b1 z n−1 + . . . + bn−1 z + bn = 0 s koeficienty v tˇelese T a nerozloˇzitelné nad T. Nutnou (ne vˇsak postaˇcuj´ıc´ı) podm´ınkou pro to, aby u ´seˇcka o délce α byla eukleidovsky konstruovatelná (a tedy pro to, aby ˇc´ıslo α bylo prvkem tˇelesa Tk , které lze vytvoˇrit pomoc´ı ˇretˇezce relativnˇe kvadratických tˇeles), je, aby stupeˇ n této rovnice byla pˇrirozená mocnina ˇc´ısla 2: n = 2l , l ∈ N. D˚ ukaz této vˇety je rozsáhlejˇs´ı, proto jej zde neuvád´ım, ˇctenáˇr jej m˚ uˇze nalézt napˇr. v [2], str. 458. D˚ usledkem vˇety 4.4 je, ˇze vede-li nˇejaká geometrická u ´loha v analytickém vyjádˇren´ı k urˇcen´ı koˇrene rovnice f (x) = 0, kde f (x) je nerozloˇziteln´ y polynom stupnˇe n nad tˇelesem T (tˇeleso T chápeme ve v´ yˇse popsaném v´ yznamu) a nen´ı-li n pˇrirozenou mocninou ˇc´ısla 2, je tato u ´loha eukleidovsky neˇreˇsitelná. Praktickou ukázkou aplikace tohoto d˚ usledku je obsah následuj´ıc´ıch podkapitol — d˚ ukazy neˇreˇsitelnosti klasick´ ych u ´loh starovˇeku.

4.2

Klasick´ e eukleidovsky neˇ reˇ siteln´ eu ´ lohy

D˚ ukaz neˇreˇsitelnosti kaˇzdé z tˇechto u ´loh provedeme následovnˇe: Nejprve vˇzdy u ´lohu pˇrevedeme do ˇreˇci ˇc´ısel“ — vyjádˇr´ıme ji ve formˇe algebraické ” rovnice, kdy ukáˇzeme, ˇze stupeˇ n této rovnice nesplˇ nuje nutnou podm´ınku vyslovenou ve vˇetˇe 4.4., tedy ˇze rovnice nemá ˇzádné ˇreˇsen´ı odpov´ıdaj´ıc´ı délce eukleidovsky sestrojitelné u ´seˇcky, tj. konstruovatelnému ˇc´ıslu.

4.2.1

Reduplikace krychle

Znˇ en´ı u ´ lohy: Je dána krychle o hranˇe délky a. Sestroj krychli o hranˇe délky x takovou, ˇze jej´ı objem je roven dvojnásobku objemu krychle dané.

52

ˇ sen´ı Reˇ Bez u ´jmy na obecnosti m˚ uˇzeme pˇredpokládat, ˇze daná krychle je jednotková, tj. a = 1. Problém reduplikace krychle pak m˚ uˇzeme pˇreformulovat takto: Je dána u ´seˇcka délky 1. Sestroj u ´seˇcku délky x, kde x3 = 2. ´ Ulohu tak pˇrevád´ıme na urˇcen´ı koˇren˚ u kubické rovnice: x3 − 2 = 0. Tˇeleso T ve vˇetˇe 4.4 je v tomto pˇr´ıpadˇe shodné s tˇelesem racionáln´ıch ˇc´ısel Q. Racionáln´ımi koˇreny této kubické rovnice s celoˇc´ıseln´ ymi koeficienty by mohla b´ yt pouze ˇc´ısla ±1 a ±2. Dosazen´ım zjist´ıme, ˇze ani jedno z tˇechto ˇc´ısel nen´ı jej´ım koˇrenem, jsou proto splnˇeny pˇredpoklady vˇety 4.4. Zároveˇ n vˇsak s ohledem na stupeˇ n této al√ 3 gebraické rovnice nen´ı splnˇ ena nutná podm´ınka konstruovatelnosti koˇrene 2 (3 6= 2l , √ 3 l = 0, 1. . . ), u ´seˇcku délky 2 nelze sestrojit pomoc´ı prav´ıtka a kruˇz´ıtka. Závˇer: Reduplikaci krychle nelze eukleidovsky provést.

4.2.2

Trisekce u ´ hlu

Znˇ en´ı u ´ lohy: Rozdˇel daný u ´hel na tˇri shodné ˇcásti. ˇ sen´ı Reˇ Abychom dokázali, ˇze u ´loha nen´ı obecnˇe ˇreˇsitelná pomoc´ı prav´ıtka a kruˇz´ıtka, staˇc´ı ukázat, ˇze existuje u ´hel, kter´ y nelze takto roztˇretit“. D˚ ukaz neˇreˇsitelnosti provedu ” ◦ pro u ´hel 60 . Je-li dán u ´hel α = |6 P OR|, kde body P , O, R jsou body eukleidovsky sestrojitelné, lze pomoc´ı prav´ıtka a kruˇz´ıtka sestrojit u ´seˇcku délky cos α a naopak. Zvol´ıme-li totiˇz vhodnˇe kartézskou soustavu souˇradnic (viz obr. 4.8), pak cos α je x-ová souˇradnice bodu, kter´ y dostaneme jako pr˚ useˇc´ık konstruovatelné pˇr´ımky OR a jednotkové kruˇznice se stˇredem v bodˇe O. Spuˇstˇen´ım kolmice v tomto bodˇe na osu x z´ıskáme u ´seˇcku poˇzadované délky cos α. Máme-li sestrojit tˇretinov´ y u ´hel k u ´hlu danému, jde v podstatˇe o nalezen´ı x-ové souˇradnice bodu X (viz obr. 4.8). K d˚ ukazu neˇreˇsitelnosti u ´lohy vyuˇzijeme goniometrické identity: cos 3a = 4(cos a)3 − 3 cos a. Poloˇz´ıme-li a =

α , dostáváme rovnici v následuj´ıc´ım tvaru: 3 α α cos α = 4(cos )3 − 3 cos . 3 3

53

α 1 Pro α = 60◦ dostáváme cos α = . Poloˇz´ıme cos = x, ˇc´ımˇz z´ıskáme kubickou 2 3 rovnici a m˚ uˇzeme problém trisekce 60◦ pˇreformulovat následovnˇe: Je dána u ´seˇcka délky 1. Sestroj u ´seˇcku délky x, pro kterou plat´ı: 8x3 − 6x − 1 = 0. Opˇet jsme u ´lohu pˇrevedli na hledán´ı koˇren˚ u algebraické rovnice stupnˇe 3.

Obrázek 4.8: Trisekce u ´hlu Tˇeleso T je i v tomto pˇr´ıpadˇe shodné s tˇelesem vˇsech racionáln´ıch ˇc´ısel Q. Ani tato 1 rovnice vˇsak nemá racionáln´ı koˇreny, protoˇze by jimi mohla b´ yt pouze ˇc´ısla ±1, ± , 2 1 1 ± ˇci ± . Podm´ınky vˇety 4.4. jsou splnˇeny. Avˇsak stejnˇe jako v pˇredchoz´ım pˇr´ıpadˇe 4 8 stupeˇ n této algebraické rovnice nelze vyjádˇrit v podobˇe mocniny ˇc´ısla 2, proto ani ˇza´dn´ y koˇren této rovnice (hledaná délka u ´seˇcky) nen´ı konstruovatelné ˇc´ıslo. ´ Závˇer: Uhel 60◦ nelze uˇzit´ım prav´ıtka a kruˇz´ıtka rozdˇelit na tˇri shodné u ´hly, trisekce u ´hlu je eukleidovsky neˇreˇsitelná u ´loha. Pozn´ amka π Obecnˇe je trisekce u ´hlu tvaru n moˇzná v pˇr´ıpadˇe, je-li n celé kladné ˇc´ıslo. 2

54

4.2.3

Kvadratura kruhu

Znˇ en´ı u ´ lohy: Sestroj ˇctverec, jehoˇz obsah je shodný s obsahem kruhu o daném polomˇeru. ˇ sen´ı Reˇ Bez u ´jmy na obecnosti m˚ uˇzeme poloˇzit polomˇer kruhu r = 1 (jednotkov´ y kruh). Problém kvadratury kruhu lze poté pˇreformulovat následovnˇe: Je dána u ´seˇcka délky 1. Sestroj u ´seˇcku délky x, kde x2 = π. ´ Ulohu tedy m˚ uˇzeme vyjádˇrit následuj´ıc´ı kvadratickou rovnic´ı: x2 − π = 0. √ Tentokrát sice dostáváme kvadratickou rovnici, avˇsak √ koˇren této rovnice π je transcendentn´ı ˇc´ıslo, proto délka strany hledaného ˇctverce π nelze eukleidovsky sestrojit. Závˇer: Kvadratura kruhu také patˇr´ı mezi eukleidovsky neˇreˇsitelné u ´lohy.

55

Kapitola 5 Pˇ ribliˇ zn´ e konstrukce Pomoc´ı pˇribliˇzné konstrukce sestrojujeme m´ısto ˇza´daného u ´tvaru náhradn´ı u ´tvar, kter´ y se od nˇeho dostateˇcnˇe málo liˇs´ı“. ” Jak popisuje Vyˇs´ın v [5], ˇzádáme v pˇr´ıpadˇe konstrukc´ı pˇribliˇzn´ ych u ´seˇcek, aby se délka takové u ´seˇcky neliˇsila od délky skuteˇcné u ´seˇcky o v´ıce neˇz 0, 2 mm — jde o tzv. grafickou chybu, nejvyˇsˇs´ı pˇresnost, s jakou m˚ uˇzeme r´ ysovat a mˇeˇrit u ´seˇcky bˇeˇzn´ ymi prostˇredky: prav´ıtkem, kruˇz´ıtkem a pouh´ ym okem (bez lupy). Pˇribliˇzn´ ych konstrukc´ı vyuˇz´ıváme vˇsak jen v pˇr´ıpadech, kdy pˇresná eukleidovská konstrukce bud’ neexistuje, nebo je pˇr´ıliˇs sloˇzitá. V následuj´ıc´ıch odstavc´ıch uvád´ım vybrané pˇribliˇzné konstrukce. √ 3 Vargiova pˇ ribliˇ zn´ a konstrukce u ´ seˇ cky d´ elky 2 Tato konstrukce slouˇz´ı k sestrojen´ı pˇribliˇzné délky hrany krychle, která má vzhledem k dané krychli dvojnásobn´ y√ objem. Postup je následuj´ıc´ı: Sestroj´ıme u ´seˇcku a1 délky 2, dále stˇredn´ı geometrickou u ´mˇernou a2 u ´seˇcek e (jednotková u ´seˇcka) a a1 , stˇredn´ı geometrickou u ´mˇernou a3 u ´seˇcek a1 a a2 atd. aˇz stˇredn´ı geometrickou u ´mˇernou a8 u ´seˇcek a6 a a7 . Pak a8 je poˇzadovaná délka u ´seˇcky. D˚ ukaz Délky u ´seˇcek podle v´ yˇse popsaného postupu jsou následuj´ıc´ı: 1

3

5

11

21

43

85

a2 = 2 4 , a3 = 2 8 , a4 = 2 16 , a5 = 2 32 , a6 = 2 64 , a7 = 2 128 , a8 = 2 256 . 85

Logaritmicky vypoˇc´ıtáme, ˇze 2 256 ≈ 1, 25878. Protoˇze je

√ 3

2 ≈ 1, 25992, je 0 <

√ 3

85

2 − 2 256 ≈ 0, 0011 . . . < 0, 002.

Aby tento rozd´ıl z˚ ustal v mez´ıch grafické chyby, mus´ı b´ yt délka jednotkové u ´seˇcky v mez´ıch do 10 cm ([5]).

56

Existuje mnoho pˇribliˇzn´ ych konstrukc´ı u ´seˇcky délky odpov´ıdaj´ıc´ı délce dané kruˇznice. Jednou ze známˇejˇs´ıch pˇribliˇzn´ ych konstrukc´ı je Kochanskeho pˇ ribliˇ zn´ a rektifikace kruˇ znice. Tato konstrukce je velmi pˇresná pro bˇeˇzné polomˇery (4 – 10 cm). Rozd´ıl oproti skuteˇcné délce je v mez´ıch grafické chyby pro polomˇery do 2 m. Je zaloˇzena na konstrukci u ´seˇcky, jej´ıˇz délka je pˇribliˇznˇe polovina délky dané kruˇznice, viz obr. 5.1. Konstrukce 1. k; k(S, r) 2. AB; AB = d. . . pr˚ umˇer kruˇznice 3. t; B ∈ t∧ t je teˇcna kruˇznice k 4. 6

BSX; |6 BSX| = 30◦

5. C; C ∈ t∩ 7→ SX 5. D; D ∈7→ CB ∧ |CD| = 3r 5. AD; |AD| ≈ πr

Obrázek 5.1: Kochanskeho rektifikace kruˇznice

57

Nyn´ı se pod´ıvejme na problematiku konstrukce pravideln´ ych n-´ uheln´ık˚ u. Na stˇredn´ı ˇskole se ukazuj´ı eukleidovské konstrukce pro n = 3, 4, 5, 6, 8, 10, 12. Vˇsechny tyto konstrukce povaˇzujeme za pˇresné. K jejich proveden´ı je zapotˇreb´ı jen koneˇcného poˇctu pˇr´ımek a kruˇznic, které um´ıme pˇresnˇe nar´ ysovat, neuvaˇzujeme-li nedokonalosti r´ ysovac´ıch pom˚ ucek a chyby vzniklé jejich pouˇz´ıván´ım. Dále d´ıky moˇznosti p˚ ulit u ´hly m˚ uˇzeme sestrojit 2n-´ uheln´ık právˇe tehdy, kdyˇz m˚ uˇzeme sestrojit n-´ uheln´ık. Nˇekteré pravidelné mnoho´ uheln´ıky lze euklidovskou konstrukc´ı vytvoˇrit jednoduˇse, jiné ne. Nˇemeck´ y matematik Carl Friedrich Gauss se v roce 1796 zab´ yval problematikou mnoho´ uheln´ık˚ u a vyˇreˇsil jeden z nejslavnˇejˇs´ıch problém˚ u vyˇsˇs´ıho stupnˇe — sestrojil eukleidovsky pravideln´ y sedmnácti´ uheln´ık vepsan´ y do jednotkové kruˇznice a ukázal, ˇze pravideln´ y n-´ uheln´ık lze euklidovskou konstrukc´ı vytvoˇrit, pokud liché dˇelitele n jsou r˚ uzná Fermatova prvoˇc´ısla. To formuloval následuj´ıc´ı vˇetou: Vˇ eta 5.1 Pravidelný n-´ uheln´ık lze sestrojit eukleidovsky tehdy a jen tehdy, je-li ˇc´ıslo n ve tvaru: n = 2m p1 p2 p3 · · · pk , q

kde m = 0, 1, · · · a p1 , p2 , · · · jsou r˚ uzná Fermatova prvoˇc´ısla ve tvaru 22 + 1, q = 0, 1, · · ·. C. F. Gauss se správnˇe domn´ıval, ˇze tato podm´ınka je nejen nutná, ale i postaˇcuj´ıc´ı, ale dokázat se to podaˇrilo aˇz Pierru Wantzelovi v roce 1837. Mezi pravidelné mnoho´ uheln´ıky, které nelze eukleidovsky sestrojit, patˇr´ı napˇr. pravideln´ y sedmi´ uheln´ık, dev´ıti´ uheln´ık, jedenácti´ uheln´ık, tˇrinácti´ uheln´ık, a dalˇs´ı. I v tomto pˇr´ıpadˇe m˚ uˇzeme provést alespoˇ n pˇribliˇznou konstrukci. Pˇ ribliˇ zn´ a konstrukce sedmi´ uheln´ıku Neexistuje zp˚ usob, jak konstrukci provést pomoc´ı prav´ıtka a kruˇz´ıtka u ´plnˇe pˇresnˇe. Budeme-li cht´ıt vepsat pravideln´ y sedmi´ uheln´ık do kruˇznice k(S, r), lze za délku jeho strany pouˇz´ıt v´ yˇsku v rovnostranného troj´ uheln´ıku o stranˇe r. Na dané kruˇznici zvol´ıme jeden bod a zbylé body z´ıskáme postupn´ ym nanáˇsen´ım tˇetiv o délce v na kruˇznici k (obr. 5.2). T´ım z´ıskáme pˇribliˇznou konstrukci pravidelného sedmi´ uheln´ıku vepsaného do kruˇznice o daném polomˇeru.

58

Konstrukce: 1. k; k(S, r) 2. A; A ∈ k 3. X; |AX| = |XS| ∧ X ∈ AS 4. l; l(A, r = |AS|) 5. Y ; Y ∈ k ∩ l 5. v; v = |XY | 5. sedmi´ uheln´ık ABCDEF G o stranˇe délky v

Obrázek 5.2: Pˇribliˇzná konstrukce sedmi´ uheln´ıku

59

Kapitola 6 V´ yvoj zpracov´ an´ı konstrukˇ cn´ıch ˇ uˇ u ´ loh ve SS cebnic´ıch planimetrie Konstrukˇcn´ı u ´lohy (ve starˇs´ıch uˇcebnic´ıch téˇz naz´ yvané strojné u ´lohy ˇci u ´lohy konstruktivn´ı) zauj´ımaly vˇzdy d˚ uleˇzité m´ısto ve vyuˇcován´ı matematiky. U nás byl jejich v´ yznam umocnˇen´ y vynikaj´ıc´ı u ´rovn´ı ˇceské geometrické a deskriptivn´ı ˇskoly. Modernizaˇcn´ı proud zaˇca´tkem ˇsedesát´ ych let dvacátého stolet´ı vˇsak témˇeˇr vylouˇcil konstrukce z uˇciva stˇredn´ı ˇskoly. V dneˇsn´ı dobˇe se planimetrické konstrukˇcn´ı u ´lohy z okrajového uˇciva opˇet staly jednou ze stˇeˇzejn´ıch ˇca´st´ı v´ yuky matematiky na stˇredn´ıch ˇskolách. V následuj´ıc´ıch odstavc´ıch uvád´ım, jak bylo téma konstrukˇcn´ı u ´lohy prob´ıráno v naˇsich starˇs´ıch uˇcebnic´ıch a jak je zaˇrazeno do uˇcebnic souˇcasn´ ych. Prvn´ı ucelen´ aˇ cesk´ a uˇ cebnice geometrie je [18] J. V. Sedláˇcka. V této prvn´ı ˇceské uˇcebnici stˇredoˇskolské geometrie autor (vyuˇcuj´ıc´ı na gymnáziu ˇ sen´ı kaˇzdé u v Plzni) ˇreˇs´ı mimo jiné nˇekteré konkrétn´ı konstrukˇcn´ı u ´lohy. Reˇ ´lohy rozdˇeluje do tˇr´ı ˇcást´ı zvan´ ych rozhodnut´ı (v dneˇsn´ı terminologii rozbor a slovn´ı popis konstrukce), d˚ ukaz a následek (náznak diskuse ˇreˇsen´ı u ´lohy). Pro ilustraci uvád´ım doslovnˇe zadán´ı nˇekolika konstrukˇcn´ıch u ´loh z II. ˇcásti Sedláˇckovy knihy nazvané Délkomˇeˇrictv´ı a plochomˇeˇrictv´ı [tj. planimetrie]: §44. Uloha. Danou kteroukoli pˇr´ımku [nyn´ı u ´seˇcku] rozpoliti (do dvou ˇca´stek rozdˇeliti), a syce takovou pˇr´ımkou, kteráby byla spolu kolmá (závaˇzn´ı) k té druhé dané pˇr´ımce. §45. Uloha. Kter´ ykoli dan´ y uhel do dvou stejn´ ych ˇca´stek rozdˇeliti, t. j. kaˇzd´ y uhel rozpoliti. §52. Uloha. Ze tˇr´ı dan´ ych stran sestrojiti neboli sestaviti trojuheln´ık.

60

§75. Uloha. Z daného bodu mimo okolek [dnes kruˇznici] táhnouti styˇcnou [teˇcnu] k okolku. §80. Uloha. Táhnouti pˇr´ımku, kteráby byla styˇcnou k dvˇema dan´ ym od sebe vzdálen´ ym rozliˇcn´ ym kruh˚ um, s tou pˇr´ıjemkou, ˇze jest známá vzdálenost obou kruh˚ u od stˇredu ke stˇredu, pak jejich polomˇerové. Uˇ cebnice geometrie druh´ e poloviny 19. stolet´ı a zaˇ c´ atku 20. stolet´ı Prvn´ı z v´ yznamn´ ych uˇcebnic spadaj´ıc´ı do tohoto obdob´ı je [19] V. Jandeˇcky. Velmi rozsáhlá uˇcebnice je rozdˇelena do ˇsesti knih (tj. kapitol). V pˇr´ıdavku (tj. dodatku) prvn´ı z nich je ˇclánek nazvan´ y O m´ıstu geometrickém. V pˇr´ıdavku ke druhé knize (kapitole) Nˇekterá naveden´ı k ˇreˇsen´ı u ´loh se nejprve vymezuje pojem u ´lohy v této uˇcebnici, pˇriˇcemˇz se j´ı rozum´ı u ´loha sestrojit nˇejak´ y tvar (v dneˇsn´ı terminologii geometrick´ y u ´tvar). Vymezuje se klasifikace tˇechto u ´loh (z dneˇsn´ıho hlediska na u ´lohy polohové a nepolohové). Dále se objasˇ nuj´ı klasické ˇca´sti jejich ˇreˇsen´ı: rozbor (analysa), sestrojen´ı (konstrukce), d˚ ukaz a omezen´ı (determinace, v dneˇsn´ı terminologii diskuse ˇreˇsen´ı u ´lohy). Následuj´ı pˇr´ıklady konstrukc´ı troj´ uheln´ık˚ u, ˇctyˇru ´heln´ık˚ u, pravideln´ ych mnoho´ uheln´ık˚ u a kruh˚ u. Druhou v´ yznamnou uˇcebnic´ı vydanou o pár des´ıtek let pozdˇeji je [20] V. Jarol´ımka. ´ Pomˇernˇe struˇcná uˇcebnice obsahuje kapitolu o geometrick´ ych m´ıstech. Ulohy strojné se ˇreˇs´ı ve vˇetˇsinˇe kapitol, ale jen na konkrétn´ıch pˇr´ıkladech. Posledn´ı kapitola je pak ˇ sen´ı u vˇenována tématu Reˇ ´loh geometrick´ ych algebrou. Na pˇrelomu 19. a 20. stolet´ı pak byla jeˇstˇe vydána uˇcebnice [21] A. Strnada. Jde o velice podrobnˇe a didakticky vhodnˇe zpracovanou uˇcebnici, která obsahuje jako jednu z v´ yznamn´ ych kapitol: Strojné u ´lohy geometrické s ˇclánky o geometrick´ ych m´ıstech, o strojné u ´loze a základn´ıch strojn´ ych u ´lohách. V dalˇs´ıch kapitolách jsou pak ˇclánky: ˇ sen´ı u ˇ sen´ı u Strojné u ´lohy o troj´ uheln´ıku. Reˇ ´loh strojn´ ych uˇzit´ım podobnosti a Reˇ ´loh geometrick´ ych uˇzit´ım algebry. Uˇ cebnice prvn´ı poloviny 20. stolet´ı Prvn´ı v´ yznamnou uˇcebnic´ı prvn´ı poloviny 20. stolet´ı je [22] B. Bydˇzovského a J. Vojtˇecha. C´ılem této uˇcebnice bylo uvést systematick´ y pˇrehled hlavn´ıch parti´ı uˇciva reálek a jejich uveden´ı do vzájemn´ ych souvislost´ı. Pˇrehled obsahuje mimo jiné kapitolu ˇ sen´ı u Konstrukce rozdˇelenou na ˇclánky: Reˇ ´loh konstruktivn´ıch (postup ˇreˇsen´ı se dˇel´ı na rozbor, sestrojen´ı (konstrukci), d˚ ukaz konstrukce a vymezen´ı (determinaci ˇcili diskusi)), základn´ı konstrukce kruˇz´ıtkem a prav´ıtkem, Methoda geometrick´ ych m´ıst, Meˇ thoda transformaˇcn´ı, Konstrukce na základˇe ˇreˇsen´ı algebraického, Reˇsitelnost konstruktivn´ıch u ´loh prav´ıtkem a kruˇz´ıtkem, Pˇr´ıklady u ´loh neˇreˇsiteln´ ych, Omezené prostˇredky, Sloˇzitost a pˇresnost konstrukc´ı, V´ yznam konstrukc´ı pro u ´vahy geometrické. Jednotlivé 61

ˇclánky jsou zamˇeˇreny pˇredevˇs´ım na teoretick´ y v´ yklad ˇcásteˇcnˇe doplˇ novan´ y ilustrativn´ımi pˇr´ıklady a hlavnˇe neˇreˇsen´ ymi u ´lohami pro samostatné procviˇcen´ı. Dalˇs´ı v´ yznamnou uˇcebnic´ı tohoto obdob´ı je [23] J. Vojtˇecha. V uˇcebnici nen´ı systematick´ y v´ yklad o eukleidovsk´ ych konstrukc´ıch. Pouze se pr˚ ubˇeˇznˇe v textu provádˇej´ı jednoduˇsˇs´ı konstrukce prav´ıtkem a kruˇz´ıtkem. Samostatn´ y paragraf Konstrukce algebraick´ ych v´ yraz˚ u je vˇenován tomuto tématu. ´ Uˇcebnice [24] J. Vinˇse v kapitole O kruˇznici má paragraf Geometrické m´ısto. Uloha strojná, kde jsou vysvˇetleny s pˇr´ıklady tyto pojmy a rozdˇelen´ı postupu ˇreˇsen´ı u ´lohy strojné (tj. konstruktivn´ı u ´lohy) na rozbor (analysu), sestrojen´ı (konstrukci), d˚ ukaz správnosti ˇreˇsen´ı a omezen´ı (diskusi). V kapitole Troj´ uheln´ık je paragraf Konstrukce troj´ uheln´ık˚ u a v následuj´ıc´ı kapitole Pˇr´ımka a kruˇznice je paragraf Konstrukce teˇcen kruˇznic. Uˇcebnice [26] autor˚ u J. Holubáˇre a J. Vojtˇecha je upravenou verz´ı Vojtˇechovy uˇcebnice [23]. Jsou zde doplnˇeny paragrafy Geometrická m´ısta, Konstruktivn´ı u ´lohy, Konstruktivn´ı u ´lohy o troj´ uheln´ıku, Konstruktivn´ı u ´lohy na základˇe stejnolehlosti, Zlat´ y ˇrez napsané zˇrejmˇe spoluautorem Holubáˇrem. Kromˇe toho je zde upraven´ y pr˚ uvodn´ı paragraf Konstruktivn´ı u ´lohy ˇreˇsené na základˇe algebraickém. ˇ Cechovy uˇ cebnice geometrie ze ˇ ctyˇ ric´ at´ ych a pades´ at´ ych let 20. stolet´ı ˇ V Cechovˇ e uˇcebnici geometrie pro 1. tˇr´ıdu z [25] je zaveden pojem eukleidovské konstrukce a prob´ıraj´ı se zde základn´ı eukleidovské konstrukce. V uˇcebnici pro 2. tˇr´ıdu se tato látka opakuje a ve cviˇcen´ıch se procviˇcuj´ı konstrukce troj´ uheln´ık˚ u, dále se zde uvádˇej´ı nˇekterá geometrická m´ısta bod˚ u v rovinˇe a konstrukce teˇcen z bodu ke kruˇznici. V uˇcebnici pro 3. tˇr´ıdu je kapitola o promˇenách obrazc˚ u. V uˇcebnici [27] jsou kapitoly o geometrick´ ych m´ıstech bod˚ u v rovinˇe, o konstruktivn´ıch u ´lohách (euklidovsk´ ych konstrukc´ıch) a u ´lohách o teˇcnách z bodu ke kruˇznici. V´ yklad je veden pouze formou pˇr´ıklad˚ u. Dalˇs´ı ˇcetné u ´lohy jsou jen ve cviˇcen´ıch. V uˇcebnici [28] je kapitola o konstruktivn´ıch u ´lohách obsahuj´ıc´ı u ´lohy o kruˇznici, konstrukc´ıch troj´ uheln´ık˚ u a spoleˇcn´ ych teˇcnách dvou kruˇznic. V´ yklad je opˇet pˇreváˇznˇe veden formou ˇreˇsen´ı u ´loh, obsahuje vˇsak i nˇekolik d˚ ukaz˚ u geometrick´ ych vˇet. Mnoho dalˇs´ıch (neˇreˇsen´ ych) u ´loh je uvedeno ve cviˇcen´ıch. ˇ Dalˇs´ı z Cechov´ ych uˇcebnic [29], obsahuj´ıc´ı mj. látku planimetrie nemá ˇzádnou souhrnnou kapitolu o konstruktivn´ıch u ´lohách. Ty jsou jen velmi sporadicky uvádˇeny (ve velmi jednoduch´ ych pˇr´ıpadech) v ostatn´ıch kapitolách. Ani v uˇcebnici [30] obsahuj´ıc´ı doplˇ nuj´ıc´ı látku z planimetrie nen´ı ˇza´dná kapitola 62

o konstruktivn´ıch u ´lohách. Lze tedy konstatovat, ˇze v té dobˇe ve vyˇsˇs´ıch tˇr´ıdách stˇredn´ıch ˇskol jim nebyla vˇenována náleˇzitá pozornost, ˇc´ımˇz se situace znaˇcnˇe zmˇenila oproti pˇredváleˇcnému stavu na gymnázi´ıch i stavu tˇesnˇe po 2. svˇetové válce (viz uˇcebnici [26]). Uˇ cebnice geometrie z pades´ at´ ych aˇ z osmdes´ at´ ych let 20. stolet´ı V uˇcebnici [31] v kapitole Shodnost troj´ uheln´ık˚ u jsou ˇclánky o konstrukc´ıch troju ´heln´ık˚ u a v kapitole Rovnobˇeˇznost je ˇclánek Eukleidovské konstrukce, ve kterém jsou popsány nejjednoduˇsˇs´ı eukleidovské konstrukce a pˇr´ıklady sloˇzitˇejˇs´ıch konstrukc´ı. Uˇcebnice [32] obsahuje samostatnou kapitolu Konstruktivn´ı u ´lohy rozdˇelenou na ˇ ˇclánky: 1. Mnoˇzina bod˚ u dané vlastnosti, 2. Reˇsen´ı konstruktivn´ıch u ´loh, 3. Konstruktivn´ı u ´lohy o troj´ uheln´ıku, 4. Dalˇs´ı vlastnosti troj´ uheln´ıku. Postup ˇreˇsen´ı konstruktivn´ıch u ´loh se objasˇ nuje na pˇr´ıkladech, v nichˇz se d˚ uslednˇe dodrˇzuj´ı kroky ˇreˇsen´ı: 1. Rozbor. 2. Konstrukce. 3. D˚ ukaz konstrukce. 4. Diskuse ˇreˇsen´ı u ´lohy. ´ Uvodn´ ı kapitola Opakován´ı a doplnˇen´ı planimetrie v uˇcebnici [33] také obsahuje ˇclánek Konstruktivn´ı u ´lohy, ve kterém se opakuje a doplˇ nuje toto téma z geometrie 7. a 8. roˇcn´ıku. V kapitole Vˇety Eukleidovy, vˇeta Pythagorova a jejich uˇzit´ı se dále téma rozˇsiˇruje v ˇclánku Konstrukce algebraick´ ych v´ yraz˚ u. V geometrické ˇca´sti uˇcebnice [34] je kapitola Konstruktivn´ı u ´lohy obsahuj´ıc´ı ˇclánky: 1. Geometrická m´ısta bod˚ u, 2. Konstruktivn´ı u ´lohy ˇreˇsené uˇzit´ım geometrick´ ych m´ıst, 3. Uˇzit´ı geometrick´ ych m´ıst bod˚ u ke konstrukci troj´ uheln´ıka, 4. Uˇzit´ı geometrick´ ych m´ıst bod ke konstrukci ˇctyˇru ´heln´ıka. Kapitola Podobnost a stejnolehlost obsahuje ˇclánky: Uˇzit´ı stejnolehlosti v konstruktivn´ıch u ´lohách a v praxi, Konstruktivn´ı u ´lohy ˇreˇsené pomoc´ı v´ ypoˇctu. Uˇcebnice matematiky v modernizovaném pojet´ı“ [35] obsahuje kapitolu Planime” trické u ´lohy s ˇclánky o mnoˇzinách bod˚ u dan´ ych vlastnost´ı v rovinˇe a také ˇclánek Konstrukˇcn´ı u ´lohy, ty se pak prob´ıraj´ı ve speciáln´ıch pˇr´ıpadech i v dalˇs´ıch ˇclánc´ıch. V´ yklady uˇcebnice jsou vˇsak sp´ıˇse zamˇeˇreny na mnoˇzinovˇe-logickou stránku a opom´ıjena je tradiˇcn´ı systematika poznatk˚ u. Závˇereˇcn´ y seˇsit ˇrady uˇcebnic matematiky v modernizaˇcn´ım pojet´ı“ [37] je urˇcen ” pro opakován´ı a doplnˇen´ı uˇciva v maturitn´ım roˇcn´ıku gymnázia. V kapitole Geometrie v rovinˇe a v prostoru jsou obsaˇzeny ˇclánky Vyˇsetˇrován´ı mnoˇzin bod˚ u, Shodná a ˇ podobná zobrazen´ı v rovinˇe a Reˇsen´ı konstrukˇcn´ıch u ´loh. Pojet´ı je obdobné jako ve 2. seˇsitu této ˇrady uˇcebnic, rozˇs´ıˇreno je vˇsak téˇz o ˇreˇsen´ı konstrukˇcn´ıch u ´loh s parametry (naz´ yvaj´ı se tu parametrick´ ymi systémy konstrukˇcn´ıch u ´loh). Uˇcebnice [38] obsahuje kapitolu Konstrukˇcn´ı u ´lohy, v n´ıˇz se prob´ıraj´ı nˇekteré mnoˇziny 63

vˇsech bod˚ u dané vlastnosti a poté se na pˇr´ıkladech objasˇ nuje postup ˇreˇsen´ı konstrukˇcn´ıch u ´loh rozdˇelovan´ y u sloˇzitˇejˇs´ıch u ´loh na rozbor, popis konstrukce, konstrukci a zkouˇsku (ovˇeˇrován´ı správnosti konstrukce). V I. d´ılu uˇcebnice [39] v kapitole Posunut´ı, otáˇcen´ı je ˇclánek o uˇzit´ı posunut´ı a otáˇcen´ı pˇri ˇreˇsen´ı konstrukˇcn´ıch u ´loh na konkrétn´ıch pˇr´ıkladech. V II. d´ılu [40] zm´ınˇené uˇcebnice v kapitole Podobnost a stejnolehlost jsou ˇclánky o konstrukˇcn´ım vyuˇzit´ı tˇechto geometrick´ ych zobrazen´ı na konkrétn´ıch pˇr´ıkladech. Uˇcebnice [41] obsahuje kapitoly Základy geometrie v rovinˇe, jej´ıˇz souˇca´st´ı jsou ˇclánky Mnoˇziny vˇsech bod˚ u s danou vlastnost´ı a Konstrukˇcn´ı u ´lohy ˇreˇsené pomoc´ı mnoˇzin bod˚ u, dále pak kapitolu Geometrická zobrazen´ı v rovinˇe, jej´ımiˇz ˇcástmi jsou ˇclánky Konstrukˇcn´ı u ´lohy ˇreˇsené pomoc´ı zobrazen´ı a Stejnolehlosti a jejich konstrukˇcn´ı vyuˇzit´ı. V´ yklady v obou ˇclánc´ıch o konstrukˇcn´ıch u ´lohách jsou pomˇernˇe velmi struˇcné, v´ yklad je veden pouze formou pˇr´ıklad˚ u a oba ˇclánky nejsou náleˇzitˇe zkoordinovány; teprve ve druhém z tˇechto ˇclánku se objevuj´ı pojmy rozbor, konstrukce a zkouˇska jako ˇca´sti ˇreˇsen´ı konstrukˇcn´ı u ´lohy. Diskuse ˇreˇsen´ı zde nen´ı, nebot’ se v˚ ubec neuvaˇzuj´ı u ´lohy s parametry. Uˇcebnice [43] v pˇredposledn´ı kapitole Systematizace poznatk˚ u o ˇreˇsen´ı geometrick´ ych u ´loh obsahuje ˇclánky o ˇreˇsen´ı konstrukˇcn´ıch u ´loh s jedn´ım a v´ıce neznám´ ymi body a téˇz o konstrukˇcn´ıch u ´lohách s jedn´ım parametrem. V´ yklad je veden na pˇr´ıkladech obdobnˇe jako v pˇr´ısluˇsné uˇcebnici pro I. roˇcn´ık gymnázi´ı. U konstrukˇcn´ıch u ´loh s parametrem se pˇr´ımo neuˇz´ıvá term´ın diskuse ˇreˇsen´ı u ´lohy. V pˇr´ıpadˇe uˇcebnice [36] v kapitole 1.8 Konstrukˇcn´ı u ´lohy autoˇri J. Schmidmayer, ˇ ´ O. Petránek a B. Sikola v Uvodu pˇripom´ınaj´ı nˇekteré mnoˇziny bod˚ u v rovinˇe (dˇr´ıve ˇ zvané geometrická m´ısta bod˚ u) a v následuj´ıc´ım ˇclánku Reˇsen´ı konstrukˇcn´ıch u ´loh opˇet ˇ Podobnˇe objasˇ navazuj´ı na znalosti ˇza´k˚ u ze ZS. nuj´ı ˇctyˇri ˇca´sti klasického ˇreˇsen´ı konstrukˇcn´ıch u ´loh, kter´ ymi jsou 1. Rozbor (anal´ yza). 2. Konstrukce. 3. Zkouˇska (d˚ ukaz, kontrola). 4. Diskuse (u u ´loh s parametry). Poté uvádˇej´ı pˇr´ıklady konstrukˇcn´ıch u ´loh s podobn´ ym ˇreˇsen´ım a u ´lohy na procviˇcen´ı. V kapitolách 1.9 Shodná zobrazen´ı v rovinˇe, 1.10 Podobnost (vˇcetnˇe vˇet Euklidov´ ych a vˇety Pythagorovy) a 1.11 Stejnolehlost v rovinˇe se ˇreˇs´ı nˇekteré konstrukˇcn´ı u ´lohy algebraicky a zejména uˇzit´ım stejnolehlosti kruˇznic. ˇ V uˇcebnici [42] E. Caldy, O. Petránka a J. Repov´ e nen´ı vˇenována konstrukˇcn´ım planimetrick´ ym u ´lohám soustavná pozornost, stejnˇe tak i v dalˇs´ıch uˇcebnic´ıch této ˇrady. Jde o d˚ usledek trendu v rámci tzv. modernizace vyuˇcován´ı matematice“. ”

64

Souˇ casn´ e uˇ cebnice geometrie Ve druhém d´ıle uˇcebnice [46] je obsaˇzena kapitola vˇenovaná pˇr´ımo konstrukˇcn´ım u ´lohám. Nejprve je v prvn´ı podkapitole Mnoˇziny prvk˚ u dan´ ych vlastnost´ı na názorn´ ych pˇr´ıkladech vysvˇetlen tento pojem, je zde dále definována prázdná mnoˇzina, jedno, dvou,. . . prvková mnoˇzina. V následuj´ıc´ı podkapitole Mnoˇziny bod˚ u dan´ ych vlastnost´ı je pak uveden pˇrehled nejd˚ uleˇzitˇejˇs´ıch mnoˇzin bod˚ u definovan´ ych nejprve pomoc´ı vzdálenosti od jednoho daného geometrického u ´tvaru a poté od dvou dan´ ych geometrick´ ych u ´tvar˚ u, coˇz je ménˇe ˇcasté poˇrad´ı ve srovnán´ı s ostatn´ımi uˇcebnicemi. V podkapitole Konstrukce troj´ uheln´ık˚ u a ˇctyˇru ´heln´ık˚ u je nejprve zaˇrazen ˇreˇsen´ y pˇr´ıklad, na kterém jsou pr˚ ubˇeˇznˇe popisovány fáze ˇreˇsen´ı konstrukˇcn´ı u ´lohy, následnˇe jsou ˇrazeny konstrukce troj´ uheln´ık˚ u (ˇreˇsené u ´lohy a u ´lohy k samostatnému procviˇcen´ı) a konstrukce ˇctyˇru ´heln´ık˚ u (opˇet nejprve ˇreˇsené, poté u ´lohy neˇreˇsené), vˇcetnˇe u ´loh parametrick´ ych. Posledn´ı podkapitola se zaob´ırá konstrukc´ı kruˇznic s poˇzadovan´ ymi vlastnostmi. Kromˇe této kapitoly jsou konstrukˇcn´ı u ´lohy obsaˇzeny také v Souhrnn´ ych cviˇcen´ıch a testech, test ˇc. 2 je vˇenován v´ yhradnˇe konstrukˇcn´ım u ´lohám. V posledn´ı kapitole této uˇcebnice nazvané Matematická herna lze jeˇstˇe nalézt ˇclánek Kruˇznice a architektura, kde je nast´ınˇeno praktické vyuˇzit´ı konstrukc´ı kruˇznic dan´ ych vlastnost´ı v pˇr´ıpadˇe gotick´ ych oken. Uˇcebnice [47] O. Odvárka a J. Kadleˇcka zahrnuje také ˇcást o konstrukˇcn´ıch u ´lohách. Kapitola 4 Konstrukˇcn´ı u ´lohy obsahuje podkapitoly Mnoˇziny bod˚ u v rovinˇe, Konstrukce troj´ uheln´ık˚ u (podle vˇety sss, usu a sus, nejprve ˇreˇsené, poté jsou zaˇrazeny obdobné u ´lohy k samostatnému procviˇcen´ı, zároveˇ n je zde popsán postup ˇreˇsen´ı konstrukˇcn´ı u ´lohy — rozbor, postup konstrukce, konstrukce, kontrola), Konstrukce ˇctyˇru ´heln´ık˚ u (nejprve rovnobˇeˇzn´ıku, poté lichobˇeˇzn´ıku a obecného konvexn´ıho ˇctyˇru ´heln´ıku) ´ a Ulohy na závˇer urˇcené k samostatnému ˇreˇsen´ı. V kapitole Souhrnná cviˇcen´ı lze pak také nalézt nˇekolik konstrukˇcn´ıch u ´loh. Sada uˇcebnic urˇcená pro niˇzˇs´ı stupnˇe v´ıcelet´ ych gymnázi´ı obsahuje d´ıl [45], kter´ y je vˇenován pˇr´ımo geometrick´ ym konstrukc´ım, jak uˇz sám název napov´ıdá. V této uˇcebnici je velmi pˇeknˇe systematicky zpracováno v celé ˇs´ıˇri téma konstrukˇcn´ıch u ´loh, poˇc´ınaje základn´ımi konstrukcemi, mnoˇzinami vˇsech bod˚ u dané vlastnosti a jejich uˇzit´ı pˇri ˇreˇsen´ı konstrukˇcn´ıch u ´loh, pˇres fáze ˇreˇsen´ı konstrukˇcn´ıch u ´loh, konstrukci troj´ uheln´ık˚ u a ˇctyˇru ´heln´ık˚ u. Ze shodn´ ych zobrazen´ı je zde podrobnˇe popsáno pouze posunut´ı a jeho uˇzit´ı pˇri ˇreˇsen´ı konstrukˇcn´ıch u ´loh (s osovou a stˇredovou soumˇernost´ı se ˇzaći setkali jiˇz v primˇe). Na závˇer jsou ˇrazeny u ´lohy z matematické olympiády (sloˇzitˇejˇs´ı konstrukˇcn´ı u ´lohy) a souhrnná cviˇcen´ı obsahuj´ıc´ı mnoho r˚ uzn´ ych typ˚ u konstrukˇcn´ıch u ´loh. V uˇcebnici [48] jsou zaj´ımavˇe a velmi názornˇe zpracovány na sebe navazuj´ıc´ı kapitoly Mnoˇziny bod˚ u dané vlastnosti a Konstrukˇcn´ı u ´lohy. Tato kapitola je rozdˇelena do ˇ ˇclánk˚ u: 1. Opakován´ı základn´ıch konstrukc´ı. 2. Reˇsen´ı konstrukˇcn´ıch u ´loh, konstrukce troj´ uheln´ık˚ u a ˇctyˇru ´heln´ık˚ u (na pˇr´ıkladech s postupem d˚ uslednˇe rozdˇelen´ ym na roz65

bor, konstrukci se symbolick´ ym zápisem a grafick´ ym proveden´ım, zkouˇskou a diskusi). 3. Dalˇs´ı konstrukˇcn´ı u ´lohy (kruˇznice, mnoho´ uheln´ıky). 4. Souhrnná cviˇcen´ı. Jedna z ˇrady velmi pˇeknˇe graficky i didakticky zpracovan´ ych uˇcebnic matematiky ˇ je [49] H. Bitnerové, E. Fuchse a P. Tlustého. Obsahuje kapitolu Konstrukˇcn´ı pro ZS u ´lohy a mnoˇziny bod˚ u dané vlastnosti ve specifickém pojet´ı. V Uˇcebnici [44] E. Pomykalové, která je v souˇcasné dobˇe vyuˇz´ıvaná na vˇetˇsinˇe gymnázi´ı, je zahrnuta pomˇernˇe obsáhlá kapitola Konstrukˇcn´ı u ´lohy, pokr´ yvaj´ıc´ı toto téma v plné ˇs´ıˇri. V kapitole Konstrukˇcn´ı u ´lohy jsou kromˇe mnoˇzin vˇsech bod˚ u dané vlastnosti a jednoduch´ ych konstrukc´ı v jednotliv´ ych ˇclánc´ıch postupnˇe vyloˇzeny r˚ uzné metody ˇreˇsen´ı konstrukˇcn´ıch u ´loh (uˇzit´ı mnoˇzin vˇsech bod˚ u dané vlastnosti, konstrukce na základˇe v´ ypoˇctu), uˇzit´ı metody geometrick´ ych zobrazen´ı je vˇsak vyloˇzeno aˇz v následuj´ıc´ı kapitole Zobrazen´ı v rovinˇe. Této uˇcebnici se vˇenuji také v kapitole 7. V bˇreznu tohoto roku vyˇsla nová uˇcebnice [50] J. Molnára. Lze v n´ı hned v prvn´ı kapitole nazvané Základn´ı planimetrické pojmy nalézt návod, jak zmenˇsit/zvˇetˇsit u ´seˇcku v daném pomˇeru pomoc´ı redukˇcn´ıho u ´hlu (ˇclánek Podobnost troj´ uheln´ık˚ u), jedna celá kapitola je vˇenována konstrukc´ım u ´seˇcek, jejichˇz délka je vyjádˇrena algebraick´ ym v´ yrazem. V následuj´ıc´ı kapitole se ˇzaći seznám´ı s pojmem zlat´ y ˇrez. Konstrukˇcn´ı u ´lohy jsou zde ˇrazeny také jako samostatná kapitola (ˇc. 3), kde je nejprve vyloˇzeno téma Mnoˇziny bod˚ u dané vlastnosti, na nˇeˇz navazuj´ı samotné konstrukˇcn´ı u ´lohy (ˇreˇsené uˇzit´ım mnoˇzin vˇsech bod˚ u dané vlastnosti). Následuj´ıc´ı kapitola nese název Geometrická zobrazen´ı v rovinˇe. Zde jsou postupnˇe vyloˇzena nejprve shodná zobrazen´ı, skládán´ı shodn´ ych zobrazen´ı a stejnolehlost. Pˇr´ımo v jednotliv´ ych kapitolách jsou pak ˇreˇseny konstrukˇcn´ı u ´lohy vyuˇzit´ım tˇechto zobrazen´ı. Nˇekteré kapitoly jsou zakonˇceny tzv. exkurz´ı do historie, kde je napˇr. v závˇeru kapitoly ˇc. 5 nast´ınˇen problém Apolloniov´ ych a Pappov´ ych u ´loh. V závˇeru této kapitoly zm´ın´ım jeˇstˇe dvˇe souˇcasné knihy J. Poláka, které sice nejsou uˇcebnicemi v pravém slova smyslu, zato jsou na stˇredn´ıch ˇskolách bˇeˇznˇe vyuˇz´ıvány, a to jak uˇciteli k vlastn´ı pˇr´ıpravˇe, tak ˇza´ky pˇri procviˇcován´ı ˇci samostudiu. Jedná se o [15], kde je v kapitole Geometrie (Planimetrie a stereometrie) v rozsáhlém ˇclánku velmi pˇrehlednˇe zpracované téma konstrukˇcn´ıch u ´loh vˇcetnˇe ˇreˇsen´ ych pˇr´ıklad˚ u, stejnˇe jako souvisej´ıc´ı kapitoly Mnoˇziny vˇsech bod˚ u dané vlastnosti v rovinˇe a Geometrická zobrazen´ı v rovinˇe. Jako zásobárna pˇr´ıklad˚ u k tomuto tématu pak velmi dobˇre poslouˇz´ı [17], která obsahovˇe kop´ıruje v´ yˇse zm´ınˇenou autorovu knihu. Kaˇzdé skupinˇe pˇr´ıklad˚ u vztahuj´ıc´ı se k jednotliv´ ym témat˚ um je vˇzdy pˇredˇrazeno opakován´ı potˇrebné teorie. Vˇsechny u ´lohy obsaˇzené v této knize jsou vyˇreˇseny bud’ pˇr´ımo v textu, nebo je alespoˇ n náznak jejich ˇreˇsen´ı uveden´ y v závˇeru knihy. Konstrukˇcn´ı u ´lohy jsou obsahem kapitol: Konstrukce troj´ uheln´ık˚ u a ˇctyˇru ´heln´ık˚ u, Konstrukce kruˇznic, Algebraická metoda ˇreˇsen´ı konstrukˇcn´ıch u ´loh, Uˇzit´ı geometrick´ ych zobrazen´ı v d˚ ukazov´ ych planimetrick´ ych ˇ sen´ı konstrukˇcn´ıch u u ´lohách a Reˇ ´loh metodou uˇzit´ı geom. zobrazen´ı v rovinˇe. 66

Kapitola 7 Metodick´ e zpracov´ an´ı konstrukˇ cn´ıch u ´ loh v planimetrii na ˇ SS 7.1

ˇ a SS ˇ Konstrukˇ cn´ı u ´ lohy na ZS

ˇ sen´ı konstrukˇcn´ıch u Reˇ ´loh má i v souˇcasné dobˇe v SSˇ matematice sv˚ uj nezastupitelný význam — uˇc´ı umˇet d´ıvat se“, pˇrisp´ıvá k rozvoji logického myˇslen´ı, k systematiˇcnosti, ” vynalézavosti, uˇc´ı analyzovat problémy, vede k peˇclivému vyˇreˇsen´ı problému, ovˇeˇren´ı a vyˇsetˇren´ı vˇsech moˇznost´ı; m˚ uˇze také pˇrisp´ıvat k ˇzádouc´ımu rozv´ıjen´ı kreativity. [13] Konstrukˇ cn´ı u ´ lohy na z´ akladn´ı ˇ skole Pˇri vyuˇcován´ı konstrukˇcn´ıch u ´loh na stˇredn´ı ˇskole, stejnˇe jako pˇri vyuˇcován´ı jakékoliv jiné látky, je tˇreba vˇzdy vycházet ze znalost´ı ˇza´k˚ u z´ıskan´ ych na základn´ı ˇskole. Jiˇz zde, konkrétnˇe na druhém stupni základn´ı ˇskoly, se ˇzaći s problematikou konstrukˇcn´ıch u ´loh poprvé seznamuj´ı. Nen´ı vˇsak v´ yjimkou, ˇze se na stˇredn´ı ˇskole u nˇekter´ ych ˇza´k˚ u pot´ ykáme s r˚ uznost´ı a v nˇekter´ ych pˇr´ıpadech i nedostateˇcnost´ı ve znalostech této látky. Ne vˇzdy je vˇsak vina na stranˇe student˚ u. Tento rozd´ıl ve vˇedomostech m˚ uˇze souviset (a mnohdy i souvis´ı) se zaveden´ım souˇcasn´ ych ˇskoln´ıch vzdˇelávac´ıch program˚ u (dále ˇ jen SVP). ˇ SVP si sestavuj´ı jednotlivé ˇskoly samy a záleˇz´ı pouze na nich, která témata v jednotliv´ ych pˇredmˇetech upˇrednostn´ı a která naopak zaˇrad´ı pouze okrajovˇe ˇci zcela vynechaj´ı. Jeden pˇr´ıklad za vˇsechny: na stˇredn´ı ˇskole vyuˇz´ıváme geometrická zobrazen´ı jako jednu z metod ˇreˇsen´ı konstrukˇcn´ıch u ´loh. Ze základn´ı ˇskoly by ˇza´k˚ um mˇela b´ yt známá ˇ pak pˇrib´ shodná zobrazen´ı, na SS yvá stejnolehlost. Lze vˇsak nalézt takové základn´ı ˇskoly, které vyuˇcuj´ı shodná zobrazen´ı v plném rozsahu, stejnˇe jako ty, na kter´ ych je prob´ırána pouze osová a stˇredová soumˇernost a posunut´ı a otoˇcen´ı je zcela vynecháno.

67

S t´ım je tedy tˇreba v praxi poˇc´ıtat. Jediné, co je pro vˇsechny ˇskoly závazné a ˇceho se pˇri pˇr´ıpravˇe na v´ yklad konstrukˇcn´ıch u ´loh m˚ uˇzeme drˇzet, je rámcov´ y vzdˇelávac´ı program pro základn´ı vzdˇeláván´ı ˇ (dále jen RVP). Ten mus´ı ˇskoly pˇri sestavován´ı sv´ ych SVP a z nich vycházej´ıc´ıch tematick´ ych plán˚ u zohledˇ novat. Je jim jakousi pˇredlohou a vod´ıtkem. V RVP (zde pro základn´ı vzdˇeláván´ı) je vˇzdy stanoven oˇcekávan´ y v´ ystup pro jednotlivé tematické celky. Zamˇeˇr´ıme-li se na tematick´ y celek Geometrie v rovinˇe a prostoru, m˚ uˇzeme v nˇem nalézt nˇekolik bod˚ u, které se t´ ykaj´ı právˇe konstrukˇcn´ıch u ´loh (pˇr´ımo ˇci okrajovˇe), tedy takové, na kter´ ych m˚ uˇzeme na stˇredn´ı ˇskole následnˇe stavˇet. Konkrétnˇe jde o následuj´ıc´ı ([59]): ˇ ak vyuˇz´ıvá pojem mnoˇzina vˇsech bod˚ • Z´ u dané vlastnosti k charakteristice u ´tvaru a k ˇreˇsen´ı polohov´ ych a nepolohov´ ych konstrukˇcn´ıch u ´loh • Naˇcrtne a sestroj´ı rovinné u ´tvary • Uˇz´ıvá k argumentaci a pˇri v´ ypoˇctech vˇety o shodnosti a podobnosti troj´ uheln´ık˚ u • Naˇcrtne a sestroj´ı obraz rovinného u ´tvaru ve stˇredové a osové soumˇernosti, urˇc´ı osovˇe a stˇredovˇe soumˇern´ yu ´tvar • Analyzuje a ˇreˇs´ı aplikaˇcn´ı geometrické u ´lohy s vyuˇzit´ım osvojeného matematického aparátu S uˇcivem konstrukˇcn´ı u ´lohy je v RVP také jednoznaˇcnˇe dáváno do souvislosti téma mnoˇziny vˇsech bod˚ u dané vlastnosti (osa u ´seˇcky, osa u ´hlu, Thaletova kruˇznice), osová soumˇernost a stˇredová soumˇernost. Tak jako nen´ı pˇresnˇe stanoveno, co vˇse a do jaké hloubky by se mˇelo bˇehem vyuˇcován´ı stihnout s ˇza´ky probrat, nen´ı jednoznaˇcnˇe udán ani poˇcet vyuˇcovac´ıch hodin na pˇredmˇet. Je pouze stanovená minimáln´ı dotace hodin (16 hodin/t´ yden pro matematiku a jej´ı aplikace), kdy ˇskoly mohou v rámci sv´ ych uˇcebn´ıch plánu hodinové dotace ˇ pˇrizp˚ usobit. Casto b´ yvá 17 hodin matematiky/t´ yden, zpravidla po ˇctyˇrech vyuˇcovac´ıch hodinách v 6. – 8. tˇr´ıdách, v devátém roˇcn´ıku pak hodin 5. I tento fakt má nemal´ y vliv na to, do jaké hloubky se konstrukˇcn´ı u ´lohy na jednotliv´ ych základn´ıch ˇskolách prob´ıraj´ı. ˇ souvisej´ıc´ıho s konstrukˇcn´ımi u Pod´ıváme-li se podrobnˇeji na rozloˇzen´ı uˇciva ZS ´lohami, b´ yvá prvn´ı vˇetˇs´ı“ konstrukˇcn´ı u ´lohou sestrojit troj´ uheln´ık, známe-li jeho tˇri ” strany (srovnej s prvn´ı u ´lohou Eukleida v jeho Základech). Postupnˇe se pak ˇzaći uˇc´ı, jak sestrojit troj´ uheln´ık, kter´ y je zadán pomoc´ı jin´ ych tˇr´ı prvk˚ u, tj. konstrukce podle vˇety sss, sus a usu. Tomu je vˇenováno nemálo hodin v ˇsestém ˇci sedmém roˇcn´ıku. Dále se ˇzáci nauˇc´ı sestrojit k danému troj´ uheln´ıku kruˇznici opsanou a vepsanou. Stejnˇe tak b´ yvá v tomto obdob´ı prob´ıráno dˇelen´ı u ´seˇcky v daném pomˇeru.

68

Pozdˇeji, nejˇcastˇeji v osmém roˇcn´ıku, pˇricház´ı na ˇradu jedna ze stˇeˇzejn´ıch ˇca´st´ı planimetrie nutn´ ych pro pochopen´ı a v˚ ubec samotnou realizaci celé skupiny konstrukˇcn´ıch u ´loh, a to mnoˇziny vˇsech bod˚ u dané vlastnosti (dále jen MVBDV). Pomoc´ı nich ˇzaći ˇreˇs´ı sloˇzitˇejˇs´ı konstrukˇcn´ı u ´lohy. Následuje souvisl´ y tematick´ y celek konstrukˇcn´ı u ´lohy. Zde se ˇzáci jiˇz uˇc´ı systematicky postupovat pˇri ˇreˇsen´ı takové u ´lohy, seznám´ı se s jednotliv´ ymi fázemi ˇreˇsen´ı, jsou schopni urˇcit poˇcet ˇreˇsen´ı u ´lohy. Poté pˇrib´ yvaj´ı dalˇs´ı konstrukˇcn´ı u ´lohy, jako napˇr. konstrukce ˇctyˇru ´heln´ık˚ u, pravideln´ ych n-´ uheln´ık˚ u apod.. Stále vˇsak plat´ı, ˇze základn´ı metodou ˇreˇsen´ı je metoda MVBDV. Po v´ ykladu osové a stˇredové soumˇernosti se na závˇer zaˇrazuj´ı konstrukˇcn´ı u ´lohy, kde k ˇreˇsen´ı vyuˇz´ıváme metody právˇe tˇechto geometrick´ ych zobrazen´ı. ˇ které lze u ˇza´k˚ Shrnu-li tedy znalosti z´ıskané na ZS, u pˇredpokládat, jde o následuj´ıc´ı: ˇ aci by mˇeli znát schéma postupu ˇreˇsen´ı konstrukˇcn´ıch u 1. Z´ ´loh, mˇeli by umˇet v rovinˇe sestrojit bod, pˇr´ımku a kruˇznici. ˇ setkali, by mˇeli 2. Ze základn´ıch geometrick´ ych konstrukc´ı, se kter´ ymi se na ZS ovládat: Sestrojit osu dané u ´seˇcky, osu daného konvexn´ıho u ´hlu, rovnobˇeˇzku s danou pˇr´ımkou, kolmici k dané pˇr´ımce dan´ ym bodem a sestrojit stˇred dané u ´seˇcky. Dále by pro nˇe nemˇel b´ yt problém rozdˇelit danou u ´seˇcku na n shodn´ ych d´ıl˚ u. Co se t´ yká konstrukce neznámého bodu, mˇeli by vˇedˇet, ˇze neznám´ y bod náleˇz´ı zároveˇ n dvˇema mnoˇzinám bod˚ u dané vlastnosti. ˇ aci by téˇz mˇeli b´ 3. Z´ yt schopni rozdˇelit danou u ´seˇcku v daném pomˇeru. 4. Z konstrukc´ı u ´hl˚ u by sami mˇeli zvládnout sestrojit u ´hel o velikosti 90◦ , 60◦ , 45◦ a 30◦ a to bez pouˇzit´ı u ´hlomˇeru (eukleidovsky). Dále pak sestrojit 2 pˇr´ımky, které sv´ıraj´ı pˇredem dan´ yu ´hel. 5. Pod´ıváme-li se na konstrukce troj´ uheln´ıku, nemˇelo by jim ˇcinit problém sestrojit troj´ uheln´ık podle vˇet sss, sus, usu a Ssu. Také by mˇeli zvládnout sestrojit tˇeˇziˇstˇe a ortocentrum libovolného troj´ uheln´ıku ˇci v jednoduˇsˇs´ıch pˇr´ıpadech nalézt konstrukci pro troj´ uheln´ık dan´ y pomoc´ı tˇr´ı r˚ uzn´ ych prvk˚ u. Zároveˇ n by mezi jejich dovednosti mˇelo patˇrit uˇzit´ı Pythagorovy vˇety pˇri konstrukci pravo´ uhlého troj´ uheln´ıku. 6. Z ˇctyˇru ´heln´ık˚ u by se mˇeli bez problém˚ u vypoˇra´dat s konstrukc´ı ˇctverce a obdéln´ıku, dále pak kosoˇctverce, kosodéln´ıku a lichobˇeˇzn´ıku. Z pravideln´ ych mnohou ´heln´ık˚ u vˇed´ı, jak sestrojit pravideln´ y ˇsesti´ uheln´ık a osmi´ uheln´ık. 7. V neposledn´ı ˇradˇe by je nemˇela zaskoˇcit konstrukce kruˇznice — jak kruˇznice troju ´heln´ıku opsané, tak vepsané. Stejnˇe jako sestrojit Thaletovu kruˇznici a teˇcny ke kruˇznici.

69

Konstrukˇ cn´ı u ´ lohy na stˇ redn´ı ˇ skole, konkr´ etnˇ e na gymn´ aziu Na gymnáziu téma konstrukˇcn´ı u ´lohy systematicky navazuje na stejnojmennou ˇ jsou zde prohlubovány a obolátku prob´ıranou na základn´ı ˇskole, pˇriˇcemˇz znalosti ze ZS hacovány, ˇzáci se uˇc´ı rozliˇsovat polohové a nepolohové u ´lohy, ˇreˇs´ı u ´lohy s parametry, ˇ obohacuj´ı ˇreˇsen´ı u ´loh o nové metody. Stejnˇe jako na ZS jde i v tomto pˇr´ıpadˇe o ˇreˇsen´ı konstrukˇcn´ıch u ´loh uˇzit´ım eukleidovsk´ ych konstrukˇcn´ıch prostˇredk˚ u — prav´ıtka a kruˇz´ıtka. ˇ V souˇcasné dobˇe i na tomto stupni ˇskol prob´ıhá v´ yuka podle SVP. Stejnˇe jako u záˇ kladn´ıch ˇskol i gymnaziáln´ı (a ostatn´ı stˇredoˇskolsk´ y) SVP vycház´ı z RVP, tentokrát pro gymnaziáln´ı vzdˇeláván´ı (reps. stˇredn´ı odborné vzdˇeláván´ı), a tedy mus´ı plnit v nˇem stanovené oˇcekávané v´ ystupy na ˇza´ka. Následuj´ıc´ı ˇra´dky jsou v´ yˇctem vybran´ ych v´ ystup˚ u ˇza´ka vztahuj´ıc´ıch se ke konstrukˇcn´ım u ´lohám ([60]): ˇ ak vyuˇz´ıvá náˇcrt pˇri ˇreˇsen´ı rovinného nebo prostorového problému • Z´ ˇ s´ı polohové a nepolohové konstrukˇcn´ı u • Reˇ ´lohy uˇzit´ım vˇsech bod˚ u dané vlastnosti, pomoc´ı shodn´ ych zobrazen´ı a pomoc´ı konstrukce na základˇe v´ ypoˇctu ˇ V SVP gymnázi´ı je téma Konstrukˇcn´ı u ´loh zaˇrazeno zpravidla do matematiky (planimetrie) ve 2. roˇcn´ıku. Poˇrad´ı témat b´ yvá voleno nejˇcastˇeji následuj´ıc´ı: 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10.

Mnoˇziny vˇsech bod˚ u dan´ ych vlastnost´ı Jednoduché geometrické (eukleidovské) konstrukce Pojem konstrukˇcn´ı u ´lohy v rovinˇe a ˇreˇsen´ı metodou uˇzit´ı MVBDV Konstrukce troj´ uheln´ık˚ u a ˇctyˇru ´heln´ık˚ u Konstrukce kruˇznic Konstrukce na základˇe v´ ypoˇctu (ˇreˇsen´ı konstrukˇcn´ıch u ´loh v rovinˇe algebraickou metodou) Shodná geometrická zobrazen´ı v rovinˇe ˇ sen´ı konstrukˇcn´ıch u Reˇ ´loh v rovinˇe metodou uˇzit´ı shodn´ ych zobrazen´ı Podobná zobrazen´ı v rovinˇe, stejnolehlost ˇ sen´ı konstrukˇcn´ıch u Reˇ ´loh v rovinˇe uˇzit´ım podobn´ ych zobrazen´ı (zejména stejnolehlosti)

Na nˇekter´ ych stˇredn´ıch ˇskolách se lze setkat s m´ırnˇe pozmˇenˇen´ ym poˇrad´ım tˇechto témat — pˇred bod 2. m˚ uˇze b´ yt pˇredˇrazen bod 7. a 9.. Toto poˇrad´ı je vˇsak ménˇe ˇcasté neˇz v´ yˇse zm´ınˇené. Krátce se jeˇstˇe vrát´ım k jiˇz zmiˇ nované dotaci hodin. Vzhledem k odliˇsnostem v poˇctech hodin matematiky na jednotliv´ ych ˇskolách (minimum je vˇsak 10 hodin matematiky souhrnnˇe t´ ydnˇe ve ˇctyˇrech roˇcn´ıc´ıch) nelze zcela pˇresnˇe ˇr´ıci, kolik hodin bychom ˇreˇsen´ı konstrukˇcn´ıch u ´loh mˇeli vˇenovat. Chceme-li vˇsak tuto látku pˇrehlednˇe a jasnˇe vyloˇzit tak, aby ˇzaći byli následnˇe schopni samostatnˇe a logicky správnˇe vyˇreˇsit jednotlivé typy u ´loh, aby dokázali zvolit vhodnou metodu pro jejich ˇreˇsen´ı, stejnˇe jako 70

v pˇr´ıpadˇe konstrukˇcn´ı u ´lohy s parametrem provedli korektn´ı diskusi, a tedy nabyté vˇedomosti nemˇeli jen formáln´ı charakter, shledávám 10 – 14 vyuˇcovac´ıch hodin jako minimum potˇrebné k dosaˇzen´ı tˇechto c´ıl˚ u. V následuj´ıc´ı ˇcásti uvád´ım metodické zpracován´ı celkem osmi vyuˇcovac´ıch hodin tak, jak bych je pˇri v´ ykladu konstrukˇcn´ıch u ´loh na gymnáziu vyuˇcovala. Nároˇcnost a rozsah odpov´ıdá ˇctyˇrletému gymnáziu (ˇci vyˇsˇs´ımu stupni v´ıceletého gymnázia), jehoˇz ´ uˇcebn´ı plán je nastaven na celkov´ ych 10 – 12 hodin matematiky t´ ydnˇe. Ulohy ˇreˇsené v jednotliv´ ych hodinách jsou voleny tak, aby jejich obt´ıˇznost gradovala. Zpoˇca´tku ˇrad´ım u ´lohy polohové, neparametrické, kdy nejprve provád´ım ˇreˇsen´ı u ´loh pomoc´ı metody MVBDV. Aˇz v následuj´ıc´ıch hodinách pˇrib´ yvaj´ı dalˇs´ı metody ˇreˇsen´ı, pomoc´ı nichˇz poté ˇ sen´ı vˇsech ˇreˇs´ım o nˇeco sloˇzitˇejˇs´ı u ´lohy, neˇz jsou zprvu prob´ırané u ´lohy základn´ı. Reˇ konstrukˇcn´ıch u ´loh uvádˇen´ ych v této kapitole obsahuje také proveden´ı konstrukce v programu GeoGebra. V pˇr´ıpadˇe sloˇzitˇejˇs´ıch konstrukˇcn´ıch u ´loh je souˇcást´ı rozboru ruˇcnˇe malovan´ y náˇcrtek. Ve vˇsech tˇechto náˇcrtc´ıch jsou ˇcervenou barvou zv´ yraznˇeny dané prvky (´ utvary), zelenou barvou prvky (´ utvary) pomocné. Dále vycház´ım z toho, ˇze nejˇcastˇeji vyuˇz´ıvan´ ymi uˇcebnicemi matematiky na gymnáziu jsou knihy vydané nakladatelstv´ım Prometheus — monotematické uˇcebnice s názvem Matematika pro gymnázia. Proto jsem se jich pˇri zpracováván´ı vyuˇcovac´ıch hodin také drˇzela, konkrétnˇe pak uˇcebnice [44]. Pˇredpokládám, ˇze tuto knihu maj´ı ˇzáci bˇehem vyuˇcovac´ı hodiny k dispozici. Odvolávám-li se ve zpracovan´ ych scénáˇr´ıch vyuˇcovac´ıch hodin na nˇekteré stránky v uˇcebnici a nen´ı-li ˇreˇceno jinak, mám na mysli právˇe tuto knihu. Pozn´ amka ˇ sen´ı planimetrick´ ˇ tud´ıˇz v následuj´ıc´ıch Práce nese název Reˇ ych konstrukˇcn´ıch u ´loh na SS, odstavc´ıch jde vˇzdy pouze o rovinné konstrukˇcn´ı u ´lohy a tedy pˇr´ıslovce v rovinˇe nadále vynechávám. Následuj´ıc´ıch osm kapitol obsahuje scénáˇre jednotliv´ ych vyuˇcovac´ıch hodin. Tyto hodiny na sebe vˇsak ne vˇzdy pˇr´ımo navazuj´ı, vzhledem k obsáhlosti nˇekter´ ych témat. V pˇr´ıpadˇe, ˇze by bylo tˇreba zaˇradit dalˇs´ı procviˇcovac´ı hodinu, upozorˇ nuji na tuto skuteˇcnost vˇzdy na konci pˇredchoz´ıho ˇci na zaˇca´tku následuj´ıc´ıho scénáˇre.

71

7.2

Sc´ en´ aˇ re vyuˇ covac´ıch hodin

7.2.1

T´ ema: Mnoˇ ziny vˇ sech bod˚ u dan´ e vlastnosti

C´ıl hodiny: ˇ ak zná konkrétn´ı MVBDV a je si vˇedom nutnosti ovˇeˇrován´ı obou vlastnost´ı formuloZ´ van´ ych v obecné definici MVBDV. Obsah hodiny: 1. 2. 3. 4. 5.

ˇ Zopakován´ı nˇekter´ ych MVBDV znám´ ych ze ZS Zopakován´ı Thaletovy vˇety a definice Thaletovy kruˇznice V´ yklad — zorn´ yu ´hel, u ´seˇcka vidˇená pod obecn´ ym zorn´ ym u ´hlem α ´ Zadán´ı DU (dalˇs´ı známé MVBDV) Závˇereˇcné shrnut´ı

Tato hodina je sp´ıˇse opakovac´ı, u ´kolem je s ˇza´ky zopakovat a doplnit takové MVBDV, jejichˇz znalost bude pozdˇeji potˇreba pˇri ˇreˇsen´ı konstrukˇcn´ıch u ´loh. Motivaˇ cn´ı ot´ azka: Co je to kruˇznice? (obr. 7.1) Rozhovorem s ˇza´ky formulace definice kruˇznice pomoc´ı MVBDV.

Definice 7.1 Kruˇzice. Kruˇznice k(S, r) je mnoˇzina vˇsech bod˚ u roviny ρ, které maj´ı od daného bodu S danou vzdálenost r. Symbolicky: k(S, r) = {X ∈ ρ; |SX| = r} . Zd˚ urazn´ım, ˇze v tomto pˇr´ıpadˇe se jedná skuteˇcnˇe o definici.

Obrázek 7.1: Kruˇznice

72

Formulace definice stˇredu u ´seˇcky a následnˇe osy u ´seˇcky (zde k definován´ı nevyuˇz´ıváme pojem mnoˇzina vˇsech bod˚ u):

Definice 7.2 Stˇred u ´seˇcky, osa u ´seˇcky. Stˇred u ´seˇcky AB je jej´ı vnitˇrn´ı bod S, který je stejnˇe vzdálený od krajn´ıch bod˚ u u ´seˇcky A, B. Osa u ´seˇcky AB je pˇr´ımka o, kter´ a procház´ı stˇredem S u ´seˇcky AB a je kolmá k pˇr´ımce p = AB.

Ze znalosti definice osy u ´seˇcky odvod´ıme jinou formulaci, tentokrát právˇe pomoc´ı MVBDV:

Vˇ eta 7.1 Mnoˇzina vˇsech bod˚ u roviny ρ, které maj´ı od daných bod˚ u A, B stejnou vzdálenost, je osa u ´seˇcky AB. Symbolicky: o = {X ∈ ρ; |AX| = |BX|} .

Obrázek 7.2: Osa u ´seˇcky

D˚ ukaz Budeme dokazovat dvˇe vˇety: a) Náleˇz´ı-li bod X ose u ´seˇcky AB, pak je stejnˇe vzdálen´ y od obou bod˚ u A, B.

73

b) Je-li bod X stejnˇe vzdálen od bod˚ u A a B, pak leˇz´ı na ose u ´seˇcky AB. add a) Je-li X libovoln´ y bod osy o, potom podle vˇety sus plat´ı: ∆AXS ∼ = ∆BXS. Z toho plyne, ˇze |AX| = |BX|. add b) Plat´ı-li pro libovoln´ y bod X roviny ρ, ˇze |AX| = |BX|, pak podle vˇety sss plat´ı pro troj´ uheln´ıky ∆AXS ∼ ´hl˚ u vypl´ yvá, ˇze = ∆BXS. Pro velikost vnitˇrn´ıch u 6| ASX| = |6 BSX| = 90◦ a tedy o⊥AB ∧ S ∈ o. Z toho plyne, ˇ ze o je osa AB (obr. 7.2). Z v´ yˇse popsan´ ych konkrétn´ıch pˇr´ıklad˚ u mnoˇzin vˇsech bod˚ u roviny, které maj´ı nˇejakou danou vlastnost, vyslov´ıme obecnou definici MVBDV:

Definice 7.3 Mnoˇzinou M vˇsech bod˚ u roviny ρ o dané vlastnosti V nazýváme takový geometrický u ´tvar U , jehoˇz body splˇ nuj´ı souˇcasnˇe tyto dvˇe podm´ınky: a) Kaˇzdý bod u ´tvaru U má danou vlastnost V . b) Kaˇzdý bod roviny ρ, který má danou vlastnost V , je bodem u ´tvaru U . Symbolicky: M = {X ∈ ρ; V (X)} . Pˇri dokazován´ı platnosti vˇety o konkrétn´ı MVBDV je tˇreba dokázat vˇzdy obˇe vlastnosti (viz osa u ´seˇcky), tj. ∀X ∈ ρ: a) X ∈ U =⇒ X ∈ M , tedy ˇze kaˇzd´ y bod u ´tvaru U má vlastnost V b) X ∈ M =⇒ X ∈ U , tedy ˇze kaˇzd´ y bod s vlastnost´ı V patˇr´ı u ´tvaru U . T´ım, ˇze dokáˇzeme obˇe implikace, dokáˇzeme rovnost mnoˇzin M = U . Pozn´ amka Nˇekdy b´ yvá v´ yhodnˇejˇs´ı vlastnost b) nahradit obmˇenˇenou implikac´ı: X∈ / U =⇒ X ∈ / M. V dalˇs´ı ˇca´sti vyuˇcovac´ı hodiny se budeme zab´ yvat Thaletovou vˇetou, Thaletovou kruˇznic´ı a jedn´ım obecnˇejˇs´ım tvrzen´ım. Zde p˚ ujde z ˇca´sti o opakován´ı, z ˇcásti o v´ yklad nové látky (zorn´ y u ´hel, u ´seˇcka pod zorn´ ym u ´hlem). Pˇredpokládám, ˇze ˇzaći jiˇz znaj´ı pojem obvodov´ y a stˇredov´ yu ´hel z nˇekteré z pˇredchoz´ıch hodin.

Vˇ eta 7.2 (Thaletova) Vˇsechny obvodové u ´hly nad pr˚ umˇerem kruˇznice jsou pravé (obr. 7.3). 74

Obrázek 7.3: Thaletova vˇeta

D˚ ukaz Bezprostˇrednˇe plyne z vlastnost´ı stˇredového a obvodového u ´hlu: Stˇredov´ yu ´hel horn´ı (resp. doln´ı) p˚ ulkruˇznice k1 (resp. k2 ) je ω = 180◦ , tj. pˇr´ım´ yu ´hel. ω ◦ = 90 . Protoˇze Pro jeho obvodov´ yu ´hel pˇr´ısluˇsn´ y téˇze p˚ ulkruˇznici proto plat´ı α = 2 vˇsechny obvodové u ´hly pˇr´ısluˇsné k danému oblouku jsou shodné, jsou také vˇsechny pravé (obr. 7.4).

Obrázek 7.4: D˚ ukaz Thaletovy vˇety

Obrázek 7.5: D˚ ukaz Thaletovy vˇety

Pozn´ amka V pˇr´ıpadˇe, ˇze by látka t´ ykaj´ıc´ı se u ´hl˚ u pˇr´ısluˇsn´ ych k oblouku kruˇznice nebyla jeˇstˇe probrána, dokázali bychom platnost vˇety doplnˇen´ım na obdéln´ık AXBY , kde pr˚ umˇer kruˇznice AB je jeho pˇreponou (obr. 7.5).

75

Nyn´ı provedeme jinou formulaci pˇredchoz´ı vˇety, a to opˇet pomoc´ı MVBDV:

Vˇ eta 7.3 Mnoˇzina vˇsech vrchol˚ u X pravých u ´hl˚ u, jejichˇz ramena procházej´ı danými body A, B (A 6= B), tj. mnoˇzina vˇsech bod˚ u X ∈ ρ, z nichˇz vid´ıme danou u ´seˇcku pod pravým u ´hlem, je kruˇznice s pr˚ umˇerem AB kromˇe bod˚ u A, B. ˇ Poloˇz´ım ˇzák˚ um otázku, jak takovouto mnoˇzinu naz´ yváme (znaj´ı ze ZS).

Definice 7.4 Takovouto mnoˇzinu bod˚ u (o vlastnostech popsaných v pˇredchoz´ı vˇetˇe) nazýváme Thaletova kruˇznice (obr. 7.6). Symbolicky: {X ∈ ρ; |6 AXB| = 90◦ } = τAB .

Obrázek 7.6: Thaletova kruˇznice Pozn´ amka Budeme-li v budouc´ıch u ´lohách potˇrebovat vyuˇz´ıt Thaletovu kruˇznici, mus´ıme vˇzdy nejprve urˇcit jej´ı stˇred S (jako u jakékoliv jiné kruˇznice) — tj. nalézt stˇred u ´seˇcky AB, nad n´ıˇz tuto kruˇznici sestrojujeme. Jej´ı polomˇer je pak roven vzdálenosti |AS|, resp. |BS|. V pˇr´ıpadˇe v´ yˇse popsané vˇety m˚ uˇzeme formulovat i vˇetu obecnˇejˇs´ı, a to pro libovoln´ y konvexn´ı u ´hel (kde prav´ yu ´hel je jen jeho speciáln´ım pˇr´ıpadem). Pˇredt´ım ˇza´k˚ um pˇribl´ıˇz´ım, co si pˇredstavit pod pojmem zorn´ yu ´hel (nejsp´ıˇse se s n´ım jiˇz setkali ve sportu (stˇreleck´ yu ´hel u ´toˇcn´ıka na branku) nebo ve fyzice v souvislosti s optikou ˇci astronomi´ı).

76

Vˇ eta 7.4 Mnoˇzina vrchol˚ u vˇsech u ´hl˚ u o velikosti α, jejichˇz ramena procházej´ı danými body A, B (A 6= B), tj. mnoˇzina vˇsech bod˚ u, z nichˇz vid´ıme danou u ´seˇcku AB pod daným zorným u ´hlem α, jsou dva shodné otevˇrené kruˇznicové oblouky k1 , k2 s krajn´ımi body A, B (obr. 7.7). Symbolicky: {X ∈ ρ; |6 AXB| = α} = k1 ∪ k2 \ {A, B} .

Obrázek 7.7: Kruˇznicové oblouky D˚ ukaz Vzhledem k ˇcasové nároˇcnosti bych v pˇr´ıpadˇe této vˇety d˚ ukaz v rámci vyuˇcovac´ı hodiny neprovádˇela. Pouze bych naznaˇcila základn´ı kroky, ze kter´ ych by se skládal, a odkázala ˇza´ky na literaturu, kde si jej mohou pˇr´ıpadnˇe dohledat (napˇr. [15]). Zároveˇ n bych zat´ım nerealizovala konstrukci této mnoˇziny, jen bych s ˇzáky situaci naˇcrtla a pˇresnému r´ ysován´ı bych se vˇenovala aˇz v jedné z následuj´ıc´ıch vyuˇcovac´ıch hodin (viz II. vyuˇcovac´ı hodina). ´ Zad´ an´ı DU ˇ (uˇcebnice str. 91 – Zapsat a zakreslit do ˇskoln´ıho seˇsitu zbylé MVBDV známé ze ZS 94) a pokusit se alespoˇ n jednu z nich dokázat: • Mnoˇzina vˇsech bod˚ u, které maj´ı od dané pˇr´ımky danou nenulovou vzdálenost • Mnoˇzina vˇsech bod˚ u, které maj´ı stejnou vzdálenost od dvou dan´ ych rovnobˇeˇzek 77

• Mnoˇzina vˇsech bod˚ u daného konvexn´ıho u ´hlu, které maj´ı stejnou vzdálenost od pˇr´ımek, v nichˇz leˇz´ı jeho ramena • Mnoˇzina vˇsech bod˚ u, které maj´ı stejnou vzdálenost od dvou dan´ ych r˚ uznobˇeˇzek Z´ avˇ ereˇ cn´ e shrnut´ı - u ´ stnˇ e (rozhovor s ˇ z´ aky): Co rozum´ıme pojmem mnoˇzina vˇsech bod˚ u dané vlastnosti? Zd˚ urazn´ım, ˇze vˇetˇsinu geometrick´ ych u ´tvar˚ u popisujeme pomoc´ı tˇechto mnoˇzin a to v podobˇe matematick´ ych vˇet (kromˇe v u ´vodu hodiny zm´ınˇené kruˇznice). Tyto vˇety je tedy tˇreba dokázat, pˇriˇcemˇz vˇzdy mus´ıme ovˇeˇrovat obˇe vlastnosti (bod a) i b) uveden´ y v obecné definici MVBDV).

78

7.2.2

T´ ema: Pojem Konstrukˇ cn´ı u ´ loha, eukleidovsk´ e konstrukce, jednoduch´ e (z´ akladn´ı) eukleidovsk´ e konstrukce

C´ıl hodiny: ˇ ak zná pojem konstrukˇcn´ı u Z´ ´loha, v´ı, které konstrukce oznaˇcujeme jako eukleidovské, um´ı provádˇet základn´ı eukleidovské konstrukce. Obsah hodiny: 1. 2. 3. 4. 5. 6.

´ + souhrnné opakován´ı MVBDV Kontrola DU Pojem konstrukˇcn´ı u ´loha a eukleidovské konstrukce (v´ yklad) Jednoduché eukleidovské konstrukce Konstrukce kruˇznicov´ ych oblouk˚ u (speciálnˇe Thaletovy kruˇznice) ´ Zadán´ı DU Závˇereˇcné shrnut´ı

V této hodinˇe se zamˇeˇruji na zafixován´ı základn´ıch konstrukc´ı, které pozdˇeji budou vyuˇz´ıvány jako d´ılˇc´ı kroky konstrukc´ı sloˇzitˇejˇs´ıch. Nejprve ˇzák˚ um vyloˇz´ım, které u ´lohy z planimetrie naz´ yváme konstrukˇcn´ı, a zároveˇ n jim vysvˇetl´ım, co znamená ˇreˇsit takovouto u ´lohu eukleidovsky. V dalˇs´ı ˇcásti hodiny provedeme základn´ı eukleidovské konstrukce. Posledn´ı ˇca´st vyuˇcovac´ı hodiny bude opˇet v´ ykladová, kdy se studenti nauˇc´ı sestrojit kruˇznicov´ y oblouk. ´ Uvod hodiny: ´ (zadán´ı viz I. vyuˇcovac´ı hodina), zároveˇ Kontrolu DU n souhrnné opakován´ı MVBDV. Planimetrick´ a konstrukˇ cn´ı u ´ loha ´ = Uloha, kde je u ´kolem sestrojit geometrick´ yu ´tvar pˇredepsan´ ych vlastnost´ı. V této hodinˇe se budeme zab´ yvat tˇemi nejjednoduˇsˇs´ımi — základn´ımi konstrukcemi. Eukleidovsk´ e konstrukce = Konstrukce, pˇri kter´ ych pouˇz´ıváme pouze pˇr´ımé prav´ıtko a kruˇz´ıtko. Z´ akladn´ı eukleidovsk´ e konstrukce Základn´ımi eukleidovsk´ ymi konstrukcemi rozum´ıme následuj´ıc´ı jednoduché u ´lohy (v souladu s kapitolou 3.2.1): 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7.

Nanést danou u ´seˇcku na danou polopˇr´ımku Pˇrenést konvexn´ı u ´hel k dané polopˇr´ımce do dané poloroviny Sestrojit osu dané u ´seˇcky Sestrojit stˇred dané u ´seˇcky Sestrojit osu daného u ´hlu Sestrojit rovnobˇeˇzku k dané pˇr´ımce dan´ ym bodem Sestrojit kolmici k dané pˇr´ımce dan´ ym bodem 79

V uˇcebnici je mezi základn´ı konstrukce kromˇe tˇechto sedmi ˇrazeno jeˇstˇe nˇekolik dalˇs´ıch. My budeme jako základn´ı eukleidovské konstrukce chápat takové jednoduché konstrukˇcn´ı u ´lohy, kde konstrukci nehledáme, kde v´ıme, jak má poˇzadovan´ y u ´tvar vypadat a um´ıme u ´lohu okamˇzitˇe vyˇreˇsit. U takov´ ychto vesmˇes jednoduch´ ych u ´loh nebudeme zapisovat postup konstrukce, stejnˇe jako je pozdˇeji nebudeme podrobnˇe rozepisovat v popisu konstrukce u ´loh sloˇzitˇejˇs´ıch. Prvn´ı dvˇe základn´ı konstrukce ˇzáci provádˇeli jiˇz v nˇekteré z pˇredchoz´ıch hodin pˇri prob´ırán´ı jednotliv´ ych geometrick´ ych u ´tvar˚ u v rovinˇe, tˇemi se tedy nebudu podrobnˇeji zab´ yvat, postupnˇe budu s ˇza´ky provádˇet aˇz zbyl´ ych pˇet konstrukc´ı (znaˇc´ım ZEK 1 ZEK 5): ZEK 1: Sestroj osu o dané u ´seˇcky AB (A 6= B). ˇ sen´ı Reˇ Vyuˇzijeme MVBDV (viz pˇredchoz´ı hodina): 1 Op´ıˇseme kruˇznice k1 (A, r) a k2 (B, r) o stejném polomˇeru r > |AB| a oznaˇc´ıme jejich 2 pr˚ useˇc´ıky X, Y . Pˇr´ımka XY je hledaná osa o (pˇr´ımka je jednoznaˇcnˇe urˇcena dvˇema r˚ uzn´ ymi body).

Obrázek 7.8: Konstrukce osy a stˇredu u ´seˇcky

ZEK 2: Sestroj stˇred S dané u ´seˇcky AB (A 6= B). ˇ sen´ı Reˇ Vyuˇzit´ım ZEK 1 — pr˚ useˇc´ık S osy o s u ´seˇckou AB je stˇred u ´seˇcky AB (obr. 7.8). ZEK 3: Sestroj osu o daného konvexn´ıho u ´hlu AV B.

80

ˇ sen´ı Reˇ Kolem vrcholu V op´ıˇseme kruˇznici k(V, r), kde r je libovoln´ y polomˇer. Pr˚ useˇc´ıky 0 0 kruˇznice k s rameny u ´hlu AV B oznaˇc´ıme A , B . Nyn´ı sestroj´ıme osu u ´seˇcky A0 B 0 0 0 0 0 (viz ZEK 1, kde X leˇz´ı v polorovinˇe A V B ). Pˇr´ımka V X je osa A B a tedy V X je hledaná osa konvexn´ıho u ´hlu AV B (k n´ı opaˇcná polopˇr´ımka je osou nekonvexn´ıho u ´hlu AV B), obr. 7.9.

Obrázek 7.9: Konstrukce osy konvexn´ıho u ´hlu

ZEK 4: Sestroj rovnobˇeˇzku s danou pˇr´ımkou p daným bodem M , M ∈ / p. ˇ sen´ı Reˇ Vyuˇzijeme vlastnost´ı kosoˇctverce: Na pˇr´ımce p zvol´ıme libovolnˇe bod P . Sestroj´ıme kruˇznici k(P, r = |P M |). Oznaˇc´ıme Q jeden z jej´ıch pr˚ useˇc´ık˚ u s pˇr´ımkou, poté sestroj´ıme kruˇznice k1 (M, r = |P M |), k2 (Q, r = |P M |). Jejich pr˚ useˇc´ık (r˚ uzn´ y od bodu P ) oznaˇc´ıme R. Takto oznaˇcen´ y ˇctyˇru ´heln´ık P QRM je kosoˇctverec, z ˇcehoˇz plyne, ˇze pˇr´ımka M R je hledanou rovnobˇeˇzkou s pˇr´ımkou p (obr. 7.10).

81

Obrázek 7.10: Konstrukce rovnobˇeˇzky

ZEK 5: Sestroj kolmici k dané pˇr´ımce p daným bodem M . ˇ sen´ı Reˇ Rozdˇel´ıme u ´lohu na dva pˇr´ıpady podle polohy bodu M : a) M ∈ p Bod M zvol´ıme za stˇred libovolné u ´seˇcky AB ⊂ p a sestroj´ıme podle ZEK 1 osu u ´seˇcky AB. Tato pˇr´ımka je hledaná kolmice q k pˇr´ımce p (obr. 7.11). b) M ∈ /p Sestroj´ıme kruˇznici k se stˇredem v bodˇe P tak, aby pˇr´ımku p prot´ınala ve dvou r˚ uzn´ ych bodech K, L. Podle ZEK 1 sestroj´ıme osu u ´seˇcky KL. Tato pˇr´ımka je hledaná kolmice q k pˇr´ımce p (obr. 7.12).

82

Obrázek 7.11: Konstr. kolmice (M ∈ p)

Obrázek 7.12: Konstr. kolmice (M ∈ / p)

Druhá ˇca´st vyuˇcovac´ı hodiny je v´ ykladová. Pˇ r´ıklad 2.1 Sestroj mnoˇzinu vˇsech bod˚ u roviny, ze kter´ ych je daná u ´seˇcka AB o délce 4 cm vidˇet ◦ pod zorn´ ym u ´hlem α = 60 . ˇ sen´ı Reˇ ˇ Záci jiˇz vˇed´ı, co je mnoˇzinou vˇsech bod˚ u X, z nichˇz vid´ıme u ´seˇcku AB pod zorn´ ym u ´hlem α (dva shodné otevˇrené kruˇznicové oblouky soumˇerné podle u ´seˇcky AB). Provedeme jej´ı konstrukci pomoc´ı prav´ıtka a kruˇz´ıtka — eukleidovsky. Um´ıst´ıme u ´seˇcku AB, |AB| = 4 cm. Sestroj´ıme u ´hel α, kde α = |6 BAL| = 60◦ . Spust´ıme kolmici k na rameno AL, bod A je patou kolmice k. Dále sestroj´ıme osu o u ´seˇcky AB. Stˇred S1 kruˇznice, které pˇr´ısluˇs´ı jeden z hledan´ ych oblouk˚ u, je pr˚ useˇc´ıkem k ∩ o. Stˇred pˇr´ısluˇs´ıc´ı druhému oblouku v opaˇcné polorovinˇe urˇcené pˇr´ımkou AB nalezneme uˇzit´ım osové soumˇernosti stˇred˚ u podle pˇr´ımky AB (obr. 7.13).

83

D˚ ukaz spr´ avnosti konstrukce (podle [15]) • Je-li α < 90◦ , je |6 BAL| = α a |6 S1 AL| = 90◦ . Z toho plyne, ˇze |6 SAS1 | = 90◦ −α, a tedy |6 AS1 S| = |6 BS1 S| = α. Proto velikost konvexn´ıho stˇredového ´hlu je |6 AXB| = α. u ´hlu je |6 AS1 B| = 2α a velikost pˇr´ısluˇsného obvodového u • Je-li 90◦ < α < 180◦ , je |6 BAL| = α a |6 S1 AL| = 90◦ . Z toho plyne, ˇze |6 SAS1 | = ˇ |6 AS1 B| = 360◦ −2α. Proto α − 90◦ , tedy |6 AS1 S| = |6 BS1 S| = 180◦ −α. Cili velikost nekonvexn´ıho stˇredového u ´hlu je |6 AS1 B| = 2α a velikost pˇr´ısluˇsného obvodového u ´hlu je |6 AXB| = α.

Obrázek 7.13: Konstrukce kruˇznicového oblouku Speciáln´ı pˇr´ıpad pro α = 90◦ : Thaletova kruˇznice. Jej´ı konstrukci provád´ıme odliˇsnˇe — jednoduˇsˇs´ım zp˚ usobem (viz pˇredchoz´ı hodina). ´ Zad´ an´ı DU Sestroj mnoˇzinu vˇsech bod˚ u roviny, ze kter´ ych je daná u ´seˇcka AB o délce 5 cm vidˇet ◦ pod zorn´ ym u ´hlem α = 120 . Z´ avˇ ereˇ cn´ e shrnut´ı Konstrukˇcn´ı u ´loha je taková u ´loha, ve které je u ´kolem sestrojit u ´tvar urˇcit´ ych poˇzadovan´ ych vlastnost´ı. Konstrukce, kter´ ymi jsme se dnes zab´ yvali, jsme provádˇeli tzv. 84

eukleidovsky, tj. za pouˇzit´ı jen pˇr´ımého prav´ıtka a kruˇz´ıtka. Existuje celá ˇrada u ´loh, které lze ˇreˇsit takto klasicky (eukleidovsky). Na druhou stranu existuj´ı konstrukˇcn´ı u ´lohy, o kter´ ych je dokázáno, ˇze je eukleidovsky ˇreˇsit nelze (viz kapitola 4). Tˇemi se my ale zab´ yvat nebudeme. V následuj´ıc´ıch hodinách budeme eukleidovsky ˇreˇsit sloˇzitˇejˇs´ı“ ” konstrukˇcn´ı u ´lohy, tj. takové, kde nejprve budeme muset pro neznámé body nalézt potˇrebné vztahy, a teprve pomoc´ı nich vymyslet a sestavit postup, jak poˇzadovan´ y u ´tvar sestroj´ıme.

85

7.2.3

ˇ sen´ı konstrukˇ T´ ema: Reˇ cn´ıch u ´ loh metodou uˇ zit´ı MVBDV

C´ıl hodiny: ˇ ak zná jednotlivé fáze ˇreˇsen´ı konstrukˇcn´ı u Z´ ´lohy, um´ı provést rozbor konstrukˇcn´ı u ´lohy, zvládá zapsat postup konstrukce a podle nˇej dan´ yu ´tvar nar´ ysovat. Obsah hodiny: 1. 2. 3. 4. 5. 6.

´ Kontrola DU Postup ˇreˇsen´ı sloˇzitˇejˇs´ıch konstrukˇcn´ıch u ´loh ˇ sen´ı polohové a nepolohové konstrukˇcn´ı u Reˇ ´lohy Konvence o poˇctu ˇreˇsen´ı nepolohové u ´lohy ´ Zadán´ı DU Shrnut´ı (opakován´ı)

Téma této vyuˇcovac´ı hodiny navazuje na pˇredchoz´ı hodinu zab´ yvaj´ıc´ı se základn´ımi konstrukcemi. Zde se ˇzaći nauˇc´ı ˇreˇsit sloˇzitˇejˇs´ı konstrukˇcn´ı u ´lohy. Pojmem sloˇzitˇejˇs´ı u ´loha“ m´ın´ım takovou konstrukˇcn´ı u ´lohu, u které konstrukci te” prve hledáme, nen´ı nám pˇredem jasná. Takové konstrukˇcn´ı u ´lohy budeme ˇreˇsit napˇr´ıˇc vˇsemi fázemi, ze kter´ ych se u ´plné ˇreˇsen´ı konstrukˇcn´ıch u ´loh skládá. Jiˇz v pˇredchoz´ıch hodinách jsme vˇzdy u ´stnˇe provádˇeli rozbor u ´lohy, zat´ım jsme jej ale nijak systematicky nezapisovali, stejnˇe jako jsme nezapisovali postup konstrukce. To budeme provádˇet aˇz nyn´ı. Tato hodina je tedy u ´vodn´ı v´ ykladová hodina zab´ yvaj´ıc´ı se ˇreˇsen´ım konstrukˇcn´ıch u ´loh. ´ Uvod hodiny Kontrola domác´ıho u ´kolu z pˇredchoz´ı vyuˇcovac´ı hodiny (konstrukce oblouku pro obvo◦ dov´ yu ´hel 120 ) - prom´ıtnout správné ˇreˇsen´ı v programu GeoGebra, viz pˇriloˇzené CD. Dále opakován´ı jednotliv´ ych f´ az´ı ˇ reˇ sen´ı konstrukˇ cn´ı u ´ lohy (rozhovor s ˇzáky, znaj´ı ˇ ze ZS): 1. Rozbor - náˇcrtek hledaného u ´tvaru, urˇcen´ı dan´ ych a hledan´ ych bod˚ u, nalezen´ı vztah˚ u mezi nimi (pˇredpokládáme, ˇze u ´loha má alespoˇ n jedno ˇreˇsen´ı) 2. Konstrukce - zápis jednotliv´ ych krok˚ u konstrukce (slovn´ı ˇci symbolick´ y), realizace konstrukce 3. Zkouˇ ska - d˚ ukaz konstrukce 4. Diskuse - u parametrick´ ych u ´loh (budeme ˇreˇsit pozdˇeji), u neparametrick´ ych (´ ulohy ˇreˇsené v této vyuˇcovac´ı hodinˇe) pouze konstatujeme poˇcet ˇreˇsen´ı Pˇri ˇreˇsen´ı konstrukˇcn´ıch u ´loh lze vyuˇz´ıt r˚ uzné metody, my zat´ım budeme pouˇz´ıvat pouze metodu uˇzit´ı MVBDV.

86

Pˇ r´ıklad 3.1 Sestroj troj´ uheln´ık ABC, je-li dána jeho strana AB o délce |AB| = c = 5 cm, v´ yˇska ke stranˇe AB délky vc = 3 cm a tˇeˇznice na stranu AB o délce tc = 4 cm. ˇ sen´ı Reˇ Polohová u ´loha (dána poloha prvk˚ u). Rozbor Vycház´ıme z pˇredpokladu existence alespoˇ n jednoho ˇreˇsen´ı u ´lohy, které naˇcrtneme (velikosti délek v náˇcrtku nemus´ı odpov´ıdat skuteˇcn´ ym hodnotám, naopak ˇcrtáme hledan´ y troj´ uheln´ık co nejobecnˇejˇs´ı). Zv´ yrazn´ıme ze zadán´ı známé u ´daje (obr. 7.14).


Troj´ uheln´ık je jednoznaˇcnˇe urˇcen, jsou-li urˇceny vˇsechny jeho vrcholy. Um´ıstˇen´ım u ´seˇcky AB povaˇzujeme vrcholy A a B za dané, hledan´ ym bodem je vrchol C. ´ Uloha je polohová s jedn´ım hledan´ ym bodem. Vyuˇzit´ım MVBDV nalezneme vztahy pro urˇcen´ı vrcholu C: Bod C náleˇz´ı v´ yˇsce vc a tˇeˇznici tc . V´ yˇska vc udává vzdálenost bodu C od strany AB. Mnoˇzina vˇsech bod˚ u, které jsou od pˇr´ımky AB vzdáleny o délku v´ yˇsky vc je dvojice pˇr´ımek rovnobˇeˇzn´ ych se stranou AB ve vzdálenosti vc . C ∈ M1 , kde M1 = {X ∈ ρ; |X ↔ AB| = vc } = p ∪ p0 . (Do náˇcrtku zakreslujeme vˇzdy jen jedno ˇreˇsen´ı, tj. vybereme jednu polorovinu, ve které u ´lohu ˇreˇs´ıme. Celkov´ y poˇcet ˇreˇsen´ı budeme konstatovat aˇz v závˇeru u ´lohy.) Vypust´ıme podm´ınku v´ yˇsky, uvaˇzujeme tˇeˇznici tc . Bod C leˇz´ı ve vzdálenosti tc od stˇredu S u ´seˇcky AB. Mnoˇzina vˇsech bod˚ u splˇ nuj´ıc´ıch tuto podm´ınku je kruˇznice se stˇredem ve stˇredu S u ´seˇcky AB a polomˇerem tc . C ∈ M2 , kde M2 = {X ∈ ρ; |XS| = tc } = k(S, tc ).

87

Bod C náleˇz´ı jedné i druhé v´ yˇse popsané mnoˇzinˇe, náleˇz´ı tedy jejich pr˚ uniku. C ∈ M1 ∩ M2 . Konstrukce Sep´ıˇseme algoritmus (sekvenci krok˚ u), jak budeme konstrukci provádˇet. Zd˚ urazn´ım, ˇze samotné proveden´ı konstrukce nen´ı nejd˚ uleˇzitˇejˇs´ı ˇca´st´ı u ´lohy (pozdˇeji u nˇekter´ ych pˇr´ıklad˚ u z ˇcasov´ ych d˚ uvod˚ u nebudeme konstrukci realizovat), podstata spoˇc´ıvá v sestaven´ı logického sledu krok˚ u konstrukce: 1. 2. 3. 4. 5. 6.

Um´ıst´ıme u ´seˇcku AB dané délky c Sestroj´ıme rovnobˇeˇzky p, p0 s pˇr´ımkou AB ve vzdálenosti vc Sestroj´ıme stˇred S u ´seˇcky AB Sestroj´ıme kruˇznici k(S, tc ) Urˇc´ıme spoleˇcné body C kruˇznice k s pˇr´ımkami p, p0 . Troj´ uheln´ık ABC

Zapsáno symbolicky: 1. AB; |AB| = c = 5 cm 2. S; S ∈ c ∧ |AS| = |BS| 3. k; k (S, r = tc = 4 cm) 4. p; |p ↔ AB| = vc = 3 cm 5. C; C ∈ k ∩ p 6. ∆ABC Zkouˇ ska Zde správnost konstrukce plyne ze samotného rozboru. Poˇctem ˇreˇsen´ı polohové u ´lohy budeme rozumˇet poˇcet vˇsech nalezen´ ych (sestrojen´ ych) geometrick´ ych u ´tvar˚ u, splˇ nuj´ıc´ı dané podm´ınky u ´lohy. Tato u ´loha má celkem 4 ˇreˇsen´ı (vˇzdy dvˇe v kaˇzdé polorovinˇe urˇcené pˇr´ımkou AB, obr. 7.15).

88

Obrázek 7.15: Konstrukce k pˇr´ıkladu 3.1

Pˇ r´ıklad 3.2 Sestroj troj´ uheln´ık ABC, je-li dána délka jeho strany c = 5 cm, v´ yˇska vc = 3 cm a tˇeˇznice tc = 4 cm. ˇ sen´ı pˇ Reˇ r. 3.2 Tato u ´loha je nepolohová. Rozbor ´ Ulohu pˇrevedeme na polohovou um´ıstˇen´ım nˇekteré z u ´seˇcek — napˇr. u ´seˇcky CC0 délky vc . Opˇet pˇredpokládáme existenci alespoˇ n jednoho ˇreˇsen´ı u ´lohy, zakresl´ıme náˇcrtek (obdoba pˇredchoz´ıho pˇr´ıkladu). Tentokrát jde vˇsak o u ´lohu se tˇremi hledan´ ymi body: A, B, S.


Bod S leˇz´ı na pˇr´ımce p, která procház´ı bodem C0 a je kolmá na u ´seˇcku CC0 . 89

S ∈ p, kde p⊥CC0 ∧ C0 ∈ p. Zároveˇ n je bod S koncov´ ym bodem tˇeˇznice tc , tj. leˇz´ı ve vzdálenosti tc od vrcholu C. Mnoˇzina vˇsech takov´ ychto vrchol˚ u je kruˇznice k1 (C, tc ): S ∈ M , kde M = {X ∈ ρ; |XC| = tc } = k1 (C, tc ). Pro bod S tedy plat´ı: S ∈ p ∩ k1 . c Body A, B leˇz´ı také na pˇr´ımce p, zároveˇ n pro nˇe plat´ı, ˇze |AS| = |SB| = . Urˇc´ıme 2 c je tedy jako pr˚ unik pˇr´ımky p s kruˇznic´ı k2 (S, ). 2 Konstrukce 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7.

Um´ıst´ıme u ´seˇcku CC0 dané délky vc Sestroj´ıme kolmici p na u ´seˇcku CC0 , p procház´ı bodem C0 Sestroj´ıme kruˇznici k1 (C, tc ) Urˇc´ıme spoleˇcné body S kruˇznice k s pˇr´ımkou p c Sestroj´ıme kruˇznici k2 (S, ) 2 Urˇc´ıme pr˚ useˇc´ıky A, B kruˇznice k2 s pˇr´ımkou p Troj´ uheln´ık ABC

Dále budeme vyuˇz´ıvat jiˇz jen symbolického zápisu: 1. CC0 ; |CC0 | = vc = 3 cm 2. p; p⊥CC0 ∧ C0 ∈ p 3. k1 ; k1 (C, r = tc = 4 cm) 4. S; S ∈ k1 ∩ p 5. k2 ; k2 (S, r =

c = 2, 5 cm) 2

6. A, B; A, B ∈ k2 ∩ p 7. ∆ABC Zkouˇ ska Body A, B leˇz´ı na kruˇznici se stˇredem v bodˇe S. Bod S je tedy stˇredem strany AB troj´ uheln´ıku ABC. Spojnice stˇredu strany s protˇejˇs´ım vrcholem C je tˇeˇznice tc troj´ uheln´ıku ABC. Strana AB je kolmá na u ´seˇcku CC0 , u ´seˇcka CC0 o délce vc je v´ yˇskou troj´ uheln´ıku ABC spuˇstˇenou na stranu c = AB.

90

U nepolohov´ ych konstrukˇcn´ıch u ´loh provedu s ˇza´ky u ´mluvu o stanoven´ı poˇctu jejich ˇreˇsen´ı (v souladu s u ´mluvou z kapitoly 3.4.4 a u ´mluvou uvedenou v uˇcebnici): pro tuto a vˇsechny dalˇs´ı nepolohové u ´lohy budeme poˇcet ˇreˇsen´ı stanovovat tak, ˇze vyjdeme z poˇctu ˇreˇsen´ı polohové u ´lohy, na kterou ji pˇrevád´ıme. Tato u ´loha má tedy celkem dvˇe ˇreˇsen´ı (obr. 7.17).


Je tˇreba ˇza´ky upozornit, ˇze v r˚ uzn´ ych publikac´ıch lze nalézt i jinou konvenci o poˇctu ˇreˇsen´ı nepolohov´ ych u ´loh. Pˇ r´ıklad 3.3 Je dána délka u ´seˇcky AB = 6 cm. Sestroj vˇsechny troj´ uheln´ıky ABC, pro které plat´ı: α = 45◦ , va = 5, 5 cm. ˇ sen´ı Reˇ Zadaná u ´loha je nepolohová Rozbor Um´ıstˇen´ım napˇr. u ´seˇcky AB u ´lohu pˇrevedeme na polohovou, hledan´ ym bodem je vrchol C.

91

Je vˇsak potˇreba nalézt nˇejak´ y dalˇs´ı pomocn´ y bod, kter´ y je urˇcen jako pr˚ useˇc´ık dvou znám´ ych kˇrivek a teprve poté pomoc´ı nˇej sestrojit hledan´ y bod C (obr. 7.18). V této nepolohové u ´loze jsou proto dva hledané body: A0 , C.


Bod A0 je pata v´ yˇsky va spuˇstˇené na stranu a. Podm´ınka pro v´ yˇsku va : Bod A0 je jej´ım koncov´ ym bodem, leˇz´ı tedy od vrcholu A ve vzdálenosti va . Mnoˇzina vˇsech bod˚ u splˇ nuj´ıc´ıch tuto podm´ınku je kruˇznice k(A, va ). A0 ∈ M1 , kde M1 = {X ∈ ρ; |AX| = va } = k(A, va ) Bod A0 je patou v´ yˇsky va , proto |6 AA0 B| = 90◦ . Mnoˇzina vrchol˚ u vˇsech takov´ ychto prav´ ych u ´hl˚ u je Thaletova kruˇznice nad pr˚ umˇerem AB. A0 ∈ M2 , kde M2 = {X ∈ ρ; |6 AXB| = 90◦ } = τAB Bod A0 náleˇz´ı pr˚ uniku tˇechto mnoˇzin: A0 ∈ M1 ∩ M2 . Bod C nalezneme jako pr˚ useˇc´ık jednoho ramene u ´hlu α a polopˇr´ımky BA0 : C ∈ BA0 ∩ AY. Konstrukce 1. AB; |AB| = c = 6 cm 2. 6

Y AB; |6 Y AB| = α = 45◦

3. τAB 4. k; k(A, r = va = 5, 5 cm) 5. A0 ; A0 ∈ k ∩ τAB 6. C; C ∈ BA0 ∩ AY 7. ∆ABC 92


Zkouˇ ska Správnost konstrukce opˇet plyne z rozboru u ´lohy. Tato u ´loha má dvˇe ˇreˇsen´ı (vˇzdy jedno v kaˇzdé z polorovin urˇcen´ ych pˇr´ımkou AB, konstrukce jednoho z nich viz obr. 7.19). Pˇ r´ıklad 3.4 Je dána u ´seˇcka AA1 , |AA1 | = 5 cm. Sestrojte vˇsechny troj´ uheln´ıky ABC, pro které je AA1 tˇeˇznic´ı ta a pro které plat´ı b = 5 cm, c = 6 cm. ˇ sen´ı Reˇ ´ Uloha je polohová. Rozbor Neznám´ y vrchol C je opˇet urˇcen pouze jednou známou kˇrivkou, nen´ı vˇsak na prvn´ı pohled vidˇet ˇza´dn´ y pomocn´ y bod, kterého by se dalo vyuˇz´ıt k nalezen´ı bodu C. ´ Ulohu budeme ˇreˇsit doplnˇen´ım na ˇctyˇru ´heln´ık ABCD, kde daná u ´seˇcka AA1 pˇredstavuje polovinu jeho u ´hlopˇr´ıˇcky. Vznikl´ y pomocn´ y troj´ uheln´ık ABD lze snadno sestrojit pomoc´ı vˇety sss (obr. 7.20). 93

Polohová u ´loha se 3 hledan´ ymi body: D, B, C


D ∈ AA1 ∧ |AA1 | = |A1 D|, B ∈ M1 ∩ M2 , kde M1 = {X ∈ ρ; |DX| = b} = k1 (D, r = b) M2 = {X ∈ ρ; |AX| = c} = k2 (A, r = c) C ∈ L1 ∩ L2 , kde L1 = {X ∈ ρ; |AX| = b} = k3 (A, r = b) L2 = {X ∈ ρ; XD||AB} = p Konstrukce 1. AA1 ; |AA1 | = ta = 5 cm 2. D; D ∈7→ AA1 ∧ |AA1 | = |A1 D| = 5 cm 3. k1 ; k1 (D, r = b = 5 cm) 4. k2 ; k2 (A, r = c = 6 cm) 5. B; B ∈ k1 ∩ k2 6. p; p||AB ∧ D ∈ p 7. k3 ; k3 (A, r = b = 5 cm) 8. C; C ∈ p ∩ k3 9. ∆ABC Zkouˇ ska ´ cky AD a CB jsou u Useˇ ´hlopˇr´ıˇckami pomocného ˇctyˇru ´heln´ıku ABCD, a tedy se vzájemnˇe p˚ ul´ı. Bod A1 je proto skuteˇcnˇe stˇredem strany CB a tedy u ´seˇcka AA1 je tˇeˇznic´ı ta troju ´heln´ıku ABC. Z troj´ uheln´ıkové nerovnosti plyne existence pomocného troj´ uheln´ıku ABD, kterého jsme pro sestrojen´ı neznámého vrcholu C vyuˇzili. ´ Uloha má celkem 2 ˇreˇsen´ı (obr. 7.21).

94


´ Zad´ an´ı DU Sestroj teˇcnu t k dané kruˇznici k, procházej´ıc´ı dan´ ym bodem A. Uvaˇz vˇsechny moˇzné polohy bodu A vzhledem ke kruˇznici k (proved’ rozbor u ´lohy, zapiˇs postup konstrukce a ˇreˇsen´ı nar´ ysuj). Z´ avˇ ereˇ cn´ e shrnut´ı Pˇri ˇreˇsen´ı konstrukˇcn´ıch u ´loh vˇzdy nejprve provád´ıme rozbor u ´lohy, kde pˇredpokládáme existenci alespoˇ n jednoho ˇreˇsen´ı. To zakresl´ıme, urˇc´ıme body dané a hledané, urˇc´ıme vztahy, jak tyto hledané body nalézt. Dále sestav´ıme postup konstrukce (budeme zapisovat jen symbolicky) a tuto konstrukci zrealizujeme. Poté zkonstatujeme poˇcet ˇreˇsen´ı u ´lohy (u polohov´ ych u ´loh odpov´ıdá poˇctu sestrojen´ ych vyhovuj´ıc´ıch u ´tvar˚ u, u nepolohov´ ych u ´loh budeme pro poˇcet ˇreˇsen´ı vycházet z u ´lohy polohové, na kterou nepolohovou u ´lohu pˇrevád´ıme). V závˇeru pak provedeme zkouˇsku, ˇc´ımˇz zkontrolujeme správnost konstrukce. V následuj´ıc´ıch hodinách by bylo zaˇrazeno nˇekolik u ´loh parametrick´ ych, kde pˇri urˇcován´ı poˇctu jejich ˇreˇsen´ı nav´ıc provád´ıme diskusi vzhledem k r˚ uzn´ ym hodnotám parametr˚ uu ´lohy (minimálnˇe 1 vyuˇcovac´ı hodina).

95

7.2.4

T´ ema: Konstrukce kruˇ znic

C´ıl hodiny: ˇ ak dokáˇze ˇreˇsit nˇekteré Apolloniovy a Pappovy u Z´ ´lohy metodou uˇzit´ı MVBDV. Obsah hodiny: 1. 2. 3. 4.

Konstrukce kruˇznice splˇ nuj´ıc´ı dané podm´ınky Seznámen´ı s Apolloniovymi/Pappovo u ´lohami ˇ sen´ı nˇekter´ Reˇ ych Apollonivov´ ych u ´loh vyuˇzit´ım PC (GeoGebra/Cabri) Shrnut´ı - Co jsou to Apolloniovy a Pappovy u ´lohy

Do ted’ jsme se zab´ yvali pˇreváˇznˇe konstrukc´ı troj´ uheln´ık˚ u. Ideáln´ım pˇr´ıpadem by bylo, kdyby mezi touto a pˇredchoz´ı popsanou vyuˇcovac´ı hodinou byla vloˇzena hodina p˚ ulená, kde bych s menˇs´ım poˇctem ˇzák˚ u procviˇcovala konstrukce dalˇs´ıch troj´ uheln´ık˚ u. Tato vyuˇcovac´ı hodina je vˇenována konstrukc´ım kruˇznic, které splˇ nuj´ı nˇejaké dané podm´ınky. Zde povaˇzuji za uˇziteˇcné vzhledem k názornosti, pˇrehlednosti a ˇcasové u ´spoˇre vyuˇz´ıt v´ ypoˇcetn´ı techniky a ukázat ˇza´k˚ um ˇreˇsen´ı nˇekter´ ych takov´ ychto u ´loh na poˇc´ıtaˇci uˇzit´ım napˇr. programu GeoGebra. Motivaˇcn´ı pˇr´ıklad: Pˇ r´ıklad 4.1 Je dána pˇr´ımka p, na n´ı bod T a dalˇs´ı bod A, kter´ y na pˇr´ımce p neleˇz´ı. Sestroj kruˇznici, která procház´ı bodem A a dot´ yká se pˇr´ımky p v jej´ım bodˇe T . ˇ sen´ı Reˇ Polohová u ´loha s jedn´ım hledan´ ym bodem. Rozbor Hledan´ y bod: S, stˇred poˇzadované kruˇznice. Kruˇznice má procházet body A a T , jej´ı stˇred tedy leˇz´ı na ose u ´seˇcky AT . Zároveˇ n se dot´ yká pˇr´ımky p v bodˇe T — pˇr´ımka p je jej´ı teˇcnou, polomˇer AT je na ni kolm´ y. Stˇred kruˇznice proto leˇz´ı i na kolmici n k pˇr´ımce p spuˇstˇené v bodˇe T (obr. 7.22). S ∈ L1 ∩ L2 , kde L1 = {X ∈ ρ; |AX| = |T X|} = o. . . osa AT L2 = {X ∈ ρ; k(X, r = XT ) ∩ p = T } = n

96


Konstrukce 1. p, T , A; T ∈ p, A ∈ /p 2. o; o je osa AT 3. n; n⊥p ∧ T ∈ n 4. S; S ∈ o ∩ n 5. k; k(S, r = |ST |)

Obrázek 7.23: Konstrukce k pˇr´ıkladu 4.1 Zkouˇ ska: Plyne z rozboru konstrukce. Vzhledem k zadán´ı polohy bod˚ u (T ∈ n, A ∈ / n) jsou pˇr´ımky n a o vˇzdy r˚ uznobˇeˇzné, tj. ´ existuje vˇzdy právˇe jeden jejich pr˚ useˇc´ık. Uloha má proto právˇe jedno ˇreˇsen´ı (obr. 7.23). Ot´ azka pro ˇ z´ aky: Co kdyby také bod T neleˇzel na pˇr´ımce p? ´ Diskuse nad ˇreˇsen´ım této obmˇenˇené u ´lohy (pˇr´ıklad 4.2). Ulohu rozdˇel´ıme na dva pˇr´ıpady: 97

1. Body leˇz´ı v opaˇcn´ ych polorovinách =⇒ u ´loha nemá ˇreˇsen´ı (nelze nalézt kruˇznici, která by procházela obˇema body a dot´ ykala se pˇr´ımky, vˇzdy ji bude prot´ınat ve dvou bodech). 2. Oba body leˇz´ı ve stejn´ ych polorovinách. Je tˇreba rozliˇsit: a) AT je r˚ uznobˇeˇzná s p (obr. 7.24) — tuto u ´lohu nelze ˇreˇsit uˇzit´ım MVBDV, zakresl´ıme náˇcrtek (vˇcetnˇe obou moˇzn´ ych ˇreˇsen´ı), ˇza´ky odkáˇzu na nˇekterou z následuj´ıc´ıch hodin.

Obrázek 7.24: Náˇcrtek 2a)

Obrázek 7.25: Náˇcrtek 2b)

b) AT je rovnobˇeˇzná s p (obr. 7.25) — zde jiˇz lze vyuˇz´ıt MVBDV, ˇreˇsen´ı této u ´lohy je obdobné jako v pˇr´ıkladu 4.1: ˇ sen´ı pˇ Reˇ r´ıkladu 4.2 b) Rozbor Hledané body: S, D D ∈ o1 ∩ p, o1 . . . osa AT S ∈ L1 ∩ L2 , kde L1 = X ∈ ρ; |AX| = |T X| = o1 L2 = X ∈ ρ; |AX| = |DX| = o2 . Pozn´ amka Po nalezen´ı bodu D jde o konstrukci kruˇznice opsané troj´ uheln´ıku AT D — ˇzaći ´ provádˇeli v pˇredchoz´ıch hodinách, nechám sestrojit za DU. Ve vyuˇcovac´ı hodinˇe pouze prom´ıtnu správné ˇreˇsen´ı v programu GeoGebra (obr. 7.26, dynamická podoba na pˇriloˇzeném CD). Postup konstrukce: 1. Dané prvky p, T , A; T ∈ / p, A ∈ / p ∧ A ∈7→ T p 2. o1 ; o1 je osa AT 3. D; D ∈ o1 ∩ p 98

4. o2 ; o2 je osa AD 5. S; S ∈ o1 ∩ o2 6. k; k(S, r = |SD|)


Zkouˇ ska Kruˇznici jsme sestrojovali jakoˇzto opsanou troj´ uheln´ıku AT D, tud´ıˇz procház´ı dan´ ymi body A, T . Jde-li o kruˇznici opsanou, jej´ı stˇred leˇz´ı v pr˚ useˇc´ıku os stran tohoto troj´ uheln´ıku. Vzhledem k rovnobˇeˇznosti pˇr´ımek AT a p je osa o1 kolmá také na pˇr´ımku p. Bod D také náleˇz´ı kruˇznici a zároveˇ n je pr˚ useˇc´ıkem osy o1 s pˇr´ımkou p. Pˇr´ımka p je proto teˇcnou kruˇznice k (v bodˇe D). ´ Uloha má právˇe jedno ˇreˇsen´ı (plyne z existence právˇe jednoho pr˚ useˇc´ıku os o1 , o2 ). Apolloniova a Pappova u ´ loha (pojem, struˇ cn´ a historie tˇ echto u ´ loh) Pˇredchoz´ı dvˇe u ´lohy jsou velmi podobné, druhou u ´lohu jsme dostali z prvn´ı tak, ˇze jsme pouze posunuli“ bod T mimo pˇr´ımku p. Jinou u ´lohu bychom dostali, kdybychom ” pˇr´ımku p zamˇenili za kruˇznici (pˇr´ımku m˚ uˇzeme chápat jako kruˇznici o nekoneˇcném polomˇeru), ˇci za tˇret´ı bod (= kruˇznice o nulovém polomˇeru). A takto bychom mohli mˇenit i zbylé dva body. Tˇemito obmˇenami z´ıskáme celou sadu u ´loh, tzv. u ´lohy Apolloniovy (viz kapitolu 2).

99

Poˇzadujeme-li aby kruˇznice procházela dan´ ym bodem (B), dot´ ykala se dané pˇr´ımky (p) nebo dané kruˇznice (k) a kombinujeme-li tyto podm´ınky po tˇrech, dostáváme celkem deset Apolloniov´ ych u ´loh. Ne vˇsechny vˇsak lze ˇreˇsit pomoc´ı MVBDV (viz pˇr´ıklad 4.2 a)). Jestliˇze jeden z dan´ ych bod˚ u leˇz´ı na dané pˇr´ımce ˇci kruˇznici (jako v pˇr´ıkladu 4.1), mluv´ıme o u ´lohách Pappov´ ych. Apollonios formuloval u ´lohu nejprve pro tˇri zadané kruˇznice, pozdˇeji byly tyto kruˇznice postupnˇe nahrazeny bodem a pˇr´ımkou. Origináln´ı znˇen´ı se nezachovalo. Je vˇsak známa reprodukce u ´lohy v d´ıle Mathématikai synagogai ˇreckého matematika Pappose Alexandrijského. Nejen z ˇcasov´ ych d˚ uvod˚ u, ale i kv˚ uli vzájemné provázanosti jednotliv´ ych Apolloniov´ ych resp. Pappov´ ych u ´loh bych v tuto chv´ıli dala pˇrednost v´ ypoˇcetn´ı technice a zbylé Apolloniovy u ´lohy bych s ˇza´ky proˇsla v elektronické podobˇe — jako velmi názorné povaˇzuji zpracován´ı Evy Patákové, která na toto téma sestavila dynamickou ˇ s´ı zde kompletnˇe vˇsechny Apolloniovy (a tedy i Pappovy) uˇcebnici geometrie [52]. Reˇ ˇ ak zde krásnˇe vid´ı souslednost jednotliv´ u ´lohy. Z´ ych krok˚ u konstrukce, pokud nˇekter´ yz krok˚ u nestihl, lze animaci posunout zpˇet, stejnˇe jako s hotovou konstrukc´ı manipulovat. To je vhodné zejména pro názorné ukázán´ı souvislost´ı jednotliv´ ych typ˚ uu ´loh (pˇr´ımka jako limitn´ı pˇr´ıpad kruˇznice). Stejnˇe dobˇre m˚ uˇze poslouˇzit také volnˇe staˇziteln´ y program GeoGebra. V pˇr´ıpadˇe, ˇze je tˇr´ıda vybavena interaktivn´ı tabul´ı, zapojila bych do provádˇen´ı konstrukce také ˇza´ky. Ideáln´ı by pak bylo pro v´ yuku vyuˇz´ıt poˇc´ıtaˇcovou uˇcebnu a ˇza´ky ponechat nˇekterou z (nejen tˇechto) u ´loh sestrojit samostatnˇe. Z´ avˇ ereˇ cn´ e shrnut´ı Apolloniova u ´loha je taková geometrická u ´loha, kde z mnoˇziny vˇsech bod˚ u, pˇr´ımek ´ a kruˇznic v rovinˇe vybereme 3 prvky. Ukolem je pak sestrojit kruˇznici, která se tˇechto tˇr´ı prvk˚ u dot´ yká. Leˇz´ı-li speciálnˇe dan´ y bod na dané pˇr´ımce ˇci kruˇznici, dostáváme jednu z ˇsesti u ´loh Pappov´ ych. Tyto u ´lohy vyˇzaduj´ı ˇreˇsen´ı r˚ uzn´ ymi metodami, my zat´ım um´ıme ˇreˇsit jen nˇekteré z nich, a to metodou uˇzit´ı MVBDV. Následuj´ıc´ı dvˇe vyuˇcovac´ı hodiny jsou tematicky ˇrazeny za Shodná geometrická zobrazen´ı v rovinˇe. V´ ykladu shodn´ ych zobrazen´ı (tj. osové soumˇernosti, stˇredové soumˇernosti, posunut´ı a otoˇcen´ı) se proto v této práci vˇenovat nebudu a v n´ıˇze zpracovan´ ych hodinách pˇredpokládám, ˇze ˇzáci jiˇz znaj´ı tato zobrazen´ı z pˇredchoz´ı v´ yuky. Zde se rozcház´ım s uˇcebnic´ı, kde po v´ ykladu jednotliv´ ych zobrazen´ı vˇzdy následuje jejich vyuˇzit´ı pˇri ˇreˇsen´ı konstrukˇcn´ıch u ´loh. V celkem dvou zpracovan´ ych vyuˇcovac´ıch hodinách se zab´ yvám ˇreˇsen´ım konstrukˇcn´ıch u ´loh metodou uˇzit´ı shodn´ ych zobrazen´ı (v praxi by konstrukˇcn´ım u ´lohám ˇreˇsen´ ych touto metodou bylo vcelku vˇenováno jeˇstˇe o jednu aˇz dvˇe vyuˇcovac´ı hodiny v´ıce).

100

7.2.5

T´ ema: Konstrukˇ cn´ı u ´ lohy ˇ reˇ sen´ e uˇ zit´ım shodn´ ych zobrazen´ı (osov´ e soumˇ ernosti a otoˇ cen´ı)

C´ıl hodiny: ˇ ak chápe principy této metody, um´ı je aplikovat pˇri ˇreˇsen´ı konstrukˇcn´ıch u Z´ ´loh. Obsah hodiny: 1. Zadán´ı konstrukˇcn´ı u ´lohy, v´ yklad principu metody uˇzit´ı shodn´ ych zobrazen´ı ˇ sen´ı konstrukˇcn´ıch u 2. Reˇ ´loh metodou uˇzit´ı shodn´ ych zobrazen´ı (osová soumˇernost, otoˇcen´ı) ´ 3. Zadán´ı DU 4. Závˇereˇcné shrnut´ı - které u ´lohy jsou typické pro uˇzit´ı osové soumˇernosti a otoˇcen´ı ´ Uvod Opakován´ı shodn´ ych zobrazen´ı + ˇc´ım jsou tato zobrazen´ı jednoznaˇcnˇe urˇcena: • Osov´ a soumˇ ernost — nepˇr´ımá shodnost, urˇcena osou soumˇernosti • Otoˇ cen´ı (rotace) — pˇr´ımá shodnost, urˇcena stˇredem otoˇcen´ı, velikost´ı u ´hlu otoˇcen´ı a dan´ ym smyslem otoˇcen´ı • Stˇ redov´ a soumˇ ernost — pˇr´ımá shodnost, speciáln´ı pˇr´ıpad otoˇcen´ı (´ uhel otoˇcen´ı α =180◦ ), urˇcena stˇredem soumˇernosti • Posunut´ı (translace) — pˇr´ımá shodnost, urˇcena vektorem posunut´ı Pˇri uˇzit´ı shodn´ ych zobrazen´ı pro ˇreˇsen´ı konstrukˇcn´ıch u ´loh budeme vycházet z následuj´ıc´ıch princip˚ u (podle [15]): • Máme-li v rovinˇe dánu pˇr´ımku o a dvˇe kˇrivky p, q, potom vˇsechny dvojice bod˚ u soumˇernˇe sdruˇzen´ ych podle této pˇr´ımky (osy o), které leˇz´ı na kˇrivkách p, q, dostaneme jako pr˚ useˇc´ıky kˇrivky p s kˇrivkou q 0 , kde q 0 je obrazem q v osové soumˇernosti podle osy o, a kˇrivky q s kˇrivkou p0 , která je obrazem p. Postaˇc´ı nám vˇzdy sestrojit jen pr˚ useˇc´ıky napˇr. p s q 0 a body s nimi soumˇernˇe sdruˇzené podle osy o na kˇrivce q. • Je-li v rovinˇe dán bod S, u ´hel velikosti α a dvˇe r˚ uzné kˇrivky p, q, potom vˇsechny body kˇrivky p, které po otoˇcen´ı o u ´hel velikosti α ve zvoleném smyslu budou leˇzet na kˇrivce q, dostaneme jako body pr˚ uniku kˇrivky q a kˇrivky p0 vzniklé otoˇcen´ım kˇrivky p. • Mˇejme v rovinˇe dvˇe kˇrivky p, q. Vˇsechny body kˇrivky p, které po posunut´ı daném vektorem posunut´ı budou leˇzet na kˇrivce q, dostaneme jako pr˚ useˇc´ıky kˇrivky q a p0 , která je obrazem kˇrivky p v tomto posunut´ı.

101

Pˇ r´ıklad 5.1 V rovinˇe ρ jsou dány pˇr´ımka o a troj´ uheln´ıky ABC a KLM . Urˇcete na stranách tˇechto troj´ uheln´ık˚ u vˇsechny dvojice bod˚ u soumˇernˇe sdruˇzen´ ych podle osy o. ˇ sen´ı Reˇ Polohová u ´loha. Rozbor Vyjdeme z v´ yˇse popsaného principu, vyuˇzit´ım osové soumˇernosti podle osy o sestroj´ıme obraz troj´ uheln´ıku KLM , nalezneme jeho pr˚ useˇc´ıky s troj´ uheln´ıkem ABC a sestroj´ıme obrazy tˇechto bod˚ u opˇet v osové soumˇernosti podle osy o. Konstrukce 1. Dané prvky ∆KLM , ∆ABC, o 2. ∆K 0 L0 M 0 ; O(o): ∆KLM 7−→ ∆K 0 L0 M 0 3. X; X ∈ ∆K 0 L0 M 0 ∩ ∆ABC 4. X 0 ; O(o) : X 7−→ X 0


102

Poˇcet nalezen´ ych dvojic soumˇernˇe sdruˇzen´ ych bod˚ u se odv´ıj´ı od um´ıstˇen´ı troj´ uheln´ık˚ u a pˇr´ımky p — na obr. 7.27 má daná u ´loha 4 ˇreˇsen´ı. Napˇr. v programu GeoGebra (také na pˇriloˇzeném CD) bych názornˇe ukázala závislost poˇctu soumˇernˇe sdruˇzen´ ych bod˚ u na um´ıstˇen´ı objekt˚ u — od nekoneˇcnˇe mnoha (troju ´heln´ıky ABC a KLM jsou osovˇe soumˇerné podle osy o) aˇz po ˇza´dné ˇreˇsen´ı (zobrazen´ y 0 0 0 troj´ uheln´ık K L M se s troj´ uheln´ıkem ABC neprot´ıná v ˇza´dném bodˇe). Pˇ r´ıklad 5.2 Jsou dány dva r˚ uzné body A, B, které leˇz´ı v opaˇcn´ ych polorovinách urˇcen´ ych pˇr´ımkou p. Urˇcete na pˇr´ımce p bod X tak, aby souˇcet |AX| + |BX| byl nejmenˇs´ı. ˇ sen´ı Reˇ Polohová u ´loha. Rozbor Bod X nalezneme jako pr˚ useˇc´ık u ´seˇcky AB s pˇr´ımkou p (|AX| + |BX| = |AB|), obr. 7.28. Z troj´ uheln´ıkové nerovnosti vypl´ yvá pro libovoln´ y bod Y ∈ p r˚ uzn´ y od bodu X: |AY | + |BY | > |AB|.


Pˇ r´ıklad 5.3 Jsou dány dva r˚ uzné body A, B, které leˇz´ı v jedné z polorovin urˇcen´ ych pˇr´ımkou p. Urˇcete na pˇr´ımce p bod X tak, aby souˇcet |AX| + |BX| byl nejmenˇs´ı.

103

ˇ sen´ı Reˇ Práce s uˇcebnic´ı (viz str. 127/Pˇr´ıklad 3), obmˇena pˇredchoz´ıho pˇr´ıkladu. Pˇ r´ıklad 5.4 Sestroj vˇsechny troj´ uheln´ıky ABC, je-li dán jejich obvod o = 7 cm a u ´hly α = 60◦ a β = 45◦ . ˇ sen´ı Reˇ Nepolohová u ´loha. Rozbor Pˇredpokládáme existenci alespoˇ n jednoho takového troj´ uheln´ıku ABC, kter´ y zakresl´ıme. Na polopˇr´ımce BA sestroj´ıme pomocn´ y bod X tak, aby platilo |AX| = |AC|, obdobnˇe pak bod Y na polopˇr´ımce AB tak, ˇze |BE| = |BC|. Pro délku u ´seˇcky XY tedy plat´ı |XY | = o. Vzniklé pomocné troj´ uheln´ıky XAC a CBY jsou rovnoramenné, pro jejich u ´hly pˇri základnˇe plat´ı: |6 AXC| = =

α β , |6 BY C| = ω = (plyne z vˇety o vnˇejˇs´ım u ´hlu troj´ uheln´ıku). 2 2

Vyuˇzijeme osové soumˇernosti tˇechto troj´ uheln´ık˚ u. Nejprve sestroj´ıme pomocn´ y troj´ uheln´ık XY C (podle vˇety usu), obr. 7.29. ´ Uloha je nepolohová s dvˇema hledan´ ymi body: A, B A ∈ XY ∩ o1 , o1 je osa základny XC troj´ uheln´ıku XAC, B ∈ XY ∩ o2 , o2 je osa základny Y C troj´ uheln´ıku CBY .

Obrázek 7.29: Náˇcrtek Konstrukce 1. ∆XY C, sestroj´ıme podle vˇety usu 2. o1 ; o1 je osa XC 3. A; A ∈ o1 ∩ XY 4. o2 ; o2 je osa Y C 104

5. B; B ∈ o2 ∩ XY 6. ∆ABC Zkouˇ ska Plyne z rozboru u ´lohy. ´ Uloha má právˇe jedno ˇreˇsen´ı (obr. 7.30).


Pˇ r´ıklad 5.5 Do daného rovnobˇeˇzn´ıku ABCD vepiˇs ˇctverec KLM N tak, aby kaˇzd´ y jeho vrchol leˇzel na jiné stranˇe rovnobˇeˇzn´ıku (K ∈ AB, L ∈ BC, M ∈ CD, N ∈ DA). ˇ sen´ı Reˇ Polohová u ´loha s parametrem. Vyuˇzijeme druhého principu zm´ınˇeného v u ´vodu hodiny. Rozbor Pˇredpokládáme existenci hledaného ˇctverce KLM N . Takov´ y ˇctverec mus´ı m´ıt s dan´ ym rovnobˇeˇzn´ıkem ABCD spoleˇcn´ y stˇred S (obr. 7.31).

105

π ´ Uhlopˇ r´ıˇcky ˇctverce jsou k sobˇe kolmé, proto uˇzit´ım otoˇcen´ı R(S, + ) pˇrevedeme 2 bod K ∈ AB do bodu L ∈ BC, pˇr´ımka p = AB se zobraz´ı na k n´ı kolmou pˇr´ımku p0 , která procház´ı bodem L. Proto L ∈ BC ∩ p0 .

Obrázek 7.31: náˇcrtek

Konstrukce 1. Dan´ y rovnobˇeˇzn´ık ABCD 2. S; S je stˇred rovnobˇeˇzn´ıku ABCD π 3. p0 ; R(S, + ): AB = p 7−→ p0 2 4. L; L ∈ BC ∩ p0 5. k; k(S, |SL|) 6. K; K ∈ AB ∩ k 7. M ; M ∈ CD ∩ k 8. N ; N ∈ AD ∩ k 9. ˇctverec KLM N Zkouˇ ska Plyne z rozboru u ´lohy.

106

Obrázek 7.32: Konstrkce k pˇr´ıkladu 5.5

Diskuse Je-li rovnobˇeˇzn´ık ABCD ˇctverec, má u ´loha nekoneˇcnˇe mnoho ˇreˇsen´ı, je-li rovnobˇeˇzn´ık ABCD obdéln´ık, nemá ˇzádné ˇreˇsen´ı, je-li rovnobˇeˇzn´ık ABCD kosodéln´ık nebo kosoˇctverec, je u ´loha ˇreˇsitelná a má právˇe 0 jedno ˇreˇsen´ı pouze tehdy, kdyˇz pr˚ useˇc´ık pˇr´ımky p s u ´seˇckou BC leˇz´ı uvnitˇr této u ´seˇcky. Zrealizujeme u ´lohu pro kosoˇctverec ABCD se stranou délky a = 4 cm a vnitˇrn´ım u ´hlem velikosti α = 45◦ (obr. 7.32). Diskusi k tomuto pˇr´ıkladu bych doplnila demonstrac´ı jednotliv´ ych uvaˇzovan´ ych pˇr´ıpad˚ u v programu GeoGebra (opˇet lze vyuˇz´ıt konstrukci na pˇriloˇzeném CD). ´ Zad´ an´ı DU ´ Je dána pˇr´ımka p a dva r˚ DU1: uzné body A, B, které leˇz´ı uvnitˇr téˇze poloroviny s hraniˇcn´ı pˇr´ımkou p. Sestrojte takov´ y troj´ uheln´ık ABC, ˇze vrchol C leˇz´ı na pˇr´ımce p a obvod o troj´ uheln´ıku je co nejmenˇs´ı. ´ DU2: Uˇcebnice str. 149, prostudovat ˇreˇsen´ y pˇr´ıklad 4. Z´ avˇ ereˇ cn´ e shrnut´ı Mezi konstrukˇcn´ı u ´lohy, které ˇreˇs´ıme uˇzit´ım osové soumˇernosti, patˇr´ı zejména u ´lohy o spojen´ı nˇekolika bod˚ u lomenou ˇcarou, r˚ uzné u ´lohy o odrazu a sestrojen´ı troj´ uheln´ık˚ u nebo ˇctyˇru ´heln´ık˚ u, je-li dán souˇcet ˇci rozd´ıl délek dvou stran. Rotace vyuˇz´ıváme napˇr. u konstrukˇcn´ıch u ´loh, kde máme sestrojit pravideln´ yu ´tvar, jehoˇz vrcholy leˇz´ı na dan´ ych kˇrivkách (kruˇznic´ıch, rovnobˇeˇzkách, stranách ˇctyˇru ´heln´ıku,. . . ) a pˇri konstrukci pravideln´ ych n-´ uheln´ık˚ u (bylo by obsahem nˇekteré z následuj´ıc´ıch, zde nezpracovan´ ych vyuˇcovac´ıch hodin).

107

7.2.6

T´ ema: Konstrukˇ cn´ı u ´ lohy ˇ reˇ sen´ı uˇ zit´ım shodn´ ych zobrazen´ı (stˇ redov´ e soumˇ ernosti, posunut´ı)

C´ıl hodiny: ˇ ak chápe principy této metody, um´ı je aplikovat pˇri ˇreˇsen´ı konstrukˇcn´ıch u Z´ ´loh. Obsah hodiny: ´ 1. Kontrola DU ˇ 2. Reˇsen´ı konstrukˇcn´ıch u ´loh metodou uˇzit´ı shodn´ ych zobrazen´ı (stˇredové soumˇernosti, posunut´ı) ´ 3. Zadán´ı DU 4. Závˇereˇcné shrnut´ı Tato vyuˇcovac´ı hodina je stejnˇe jako pˇredchoz´ı vˇenována uˇzit´ım shodn´ ych zobrazen´ı pˇri ˇreˇsen´ı konstrukˇcn´ıch u ´loh, konkrétnˇe uˇzit´ı stˇredové soumˇernosti a posunut´ı. ´ Uvod ´ z minulé hodiny (obdoba pˇr´ıkladu 5.2, ukázka ˇreˇsen´ı v programu GeoGeKontrola DU bra), viz obr. 7.33:

Obrázek 7.33: Troj´ uheln´ık s min´ımáln´ım obvodem

108

Pˇ r´ıklad 6.1 Bodem M , kter´ y leˇz´ı uvnitˇr konvexn´ıho u ´hlu AV B, ved’ pˇr´ımku p prot´ınaj´ıc´ı jeho ramena v bodech P , Q tak, ˇze bod M je stˇredem u ´seˇcky P Q. ˇ sen´ı Reˇ Polohová u ´loha s dvˇema hledan´ ymi body. Rozbor Pˇredpokládáme existenci ˇreˇsen´ı u ´lohy, necht’ P ∈7→ V A a Q ∈7→ V B (obr. 7.34). Hledané body: P , Q


Je-li bod M stˇredem u ´seˇcky P Q, pak bod Q je obrazem bodu P ve stˇredové soumˇernosti se stˇredem M , neboli v otoˇcen´ı o u ´hel α = 180◦ okolo stˇredu M . Vyuˇzit´ım principu vyloˇzeného v u ´vodu pˇredchoz´ı hodiny (stˇredová soumˇernost je speciáln´ım pˇr´ıpadem otoˇcen´ı), nalezneme bod Q jako pr˚ useˇc´ık ramene V B u ´hlu AV B a obrazu polopˇr´ımky V A ve stˇredové soumˇernosti podle stˇredu M . Obdobnˇe bod P dostaneme jako pr˚ useˇc´ık ramene V A u ´hlu AV B a obrazu polopˇr´ımky V B ve stˇredové soumˇernosti podle stˇredu M . Pro urˇcen´ı neznám´ ych bod˚ u postaˇc´ı sestrojit obraz u ´hlu AV B ve stˇredové soumˇernosti se stˇredem M : P ∈ V A ∩ p2 , kde S(M ): V B 7−→ p2 , Q ∈ V B ∩ p1 , kde S(M ): V A 7−→ p1 . Konstrukce 1. Konvexn´ı u ´hel AV B, vnitˇrn´ı bod M 2. p1 ; S(M ): V A 7−→ p1 3. p2 ; S(M ): V B 7−→ p2 4. P ; P ∈7→ V A ∩ p2 109

5. Q; Q ∈7→ V B ∩ p1 ´ cka P Q 6. Useˇ


Zkouˇ ska Bod V 0 , pr˚ useˇc´ık pˇr´ımek p1 a p2 , je obrazem bodu V ve stˇredové soumˇernosti podle stˇredu M , bod M je tedy stˇred u ´seˇcky V V 0 . Pˇr´ımka a jej´ı obraz ve stˇredové soumˇernosti ´ cka P Q je jsou vzájemnˇe rovnobˇeˇzné, ˇctyˇru ´heln´ık V QV 0 P je proto rovnobˇeˇzn´ık. Useˇ 0 u ´hlopˇr´ıˇcka rovnobˇeˇzn´ıku V QV P , bod M je jej´ı stˇred. ´ Uloha má právˇe jedno ˇreˇsen´ı (obr. 7.35). Pˇ r´ıklad 6.2 Jsou dány tˇri r˚ uzné body M , N , S, které neleˇz´ı v pˇr´ımce. Sestroj ˇctverec ABCD se stˇredem S tak, aby bod M leˇzel na pˇr´ımce AB a bod N na pˇr´ımce CD. ˇ sen´ı Reˇ Polohová u ´loha. Rozbor Hledan´ y ˇctverec je stˇredovˇe soumˇern´ y podle svého stˇredu S, pˇr´ımky m = AB a n = CD jsou soumˇernˇe sdruˇzené ve stˇredové soumˇernosti podle stˇredu S, a tedy m = n0 , n = m0 . Pro obrazy bod˚ u M ∈ m a N ∈ n plat´ı: M 0 ∈ m0 = n, N 0 ∈ n0 = m.

110

Vrcholy ˇctverce nalezneme pomoc´ı pomocn´ ych bod˚ u X, Y — stˇred˚ u stran AB a CD ˇctverce ABCD (osa stran k procház´ı stˇredem S), obr. 7.36.


Postup konstrukce 1. Dané body M , N , S (r˚ uzné, neleˇz´ı v jedné pˇr´ımce) 2. M 0 ; S(S) : M 7−→ M 0 3. n; n = N M 0 4. N ’; S(S) : N 7−→ N 0 5. m; m = M N 0 6. k; k⊥m, n S ∈ k 7. X, Y ; X ∈ k ∩ n, Y ∈ k ∩ m 8. k1 ; k1 (X, r = |SX|) 9. C, D; C, D ∈ k1 ∩ n 10. k2 ; k2 (Y, r = |SY |) 11. A, B; A, B ∈ k2 ∩ m ˇ 12. Ctverec ABCD

111


Zkouˇ ska Plyne z rozboru konstrukce. ´ Uloha má právˇe jedno ˇreˇsen´ı (obr. 7.37). ´ Zad´ an´ı DU Uˇcebnice str.137/3.23 Pˇ r´ıklad 6.3 Sestroj lichobˇeˇzn´ık ABCD (AB||CD, |AB| > |CD|), jsou-li dány délky vˇsech ˇctyˇr stran. ˇ sen´ı Reˇ Nepolohová parametrická u ´loha. Rozbor Pˇredpokládáme, ˇze je u ´loha ˇreˇsitelná. Nejprve sestroj´ıme podle vˇety sss pomocn´ y ~ troj´ uheln´ık AB1 D, poté vyuˇzijeme posunut´ı τ (XY ), kde |XY | = c, XY ||AB1 (obr. 7.38). Pˇri uˇzit´ı posunut´ı vycház´ıme z principu uvedeného na zaˇca´tku pˇredchoz´ı hodiny. Jde o nepolohovou u ´lohu s dvˇema hledan´ ymi body: B, C.

112

Obrázek 7.38: Náˇcrtek Konstrukce 1. Troj´ uheln´ık ADB1 ; |AD| = d, |AB1 | = a − c, |B1 C| = b ~ ) : B1 7−→ B, D 7−→ C 2. B,C; T (XY 3. Lichobˇeˇzn´ık ABCD


Zkouˇ ska Plyne z rozboru konstrukce. Diskuse ´ Uloha je ˇreˇsitelná a má právˇe dvˇe ˇreˇsen´ı (po jednom v kaˇzdé z opaˇcn´ ych polorovin urˇcen´ ych pˇr´ımkou AB) za splnˇen´ı troj´ uheln´ıkové nerovnosti pro troj´ uheln´ık ADB1 : |b − d| < a − c < b + d. 113

Zrealizujeme u ´lohu pro lichobˇeˇzn´ık ABCD se stranami o délkách a = 6 cm, b = 3 cm, c = 4 cm a d = 2 cm (obr. 7.39). Z´ avˇ ereˇ cn´ e shrnut´ı ˇ m˚ Kromˇe metody uˇzit´ı MVBDV známé ze ZS uˇzeme pˇri ˇreˇsen´ı konstrukˇcn´ıch u ´loh vyuˇz´ıt také shodn´ ych geometrick´ ych zobrazen´ı. Vˇetˇsina u ´loh vˇsak vyuˇz´ıvá MVBDV a metodu geometrick´ ych zobrazen´ı zároveˇ n. Existuj´ı také konstrukˇcn´ı u ´lohy, které lze ˇreˇsit v´ıce metodami a na nás bude zvolit tu nejvhodnˇejˇs´ı, tj. tu, která vede nejsnáze k c´ıli. Posledn´ı dvˇe zpracované vyuˇcovac´ı hodiny navazuj´ı na téma Podobná zobrazen´ı v rovinˇe a Stejnolehlost. V prvn´ı vyuˇcovac´ı hodinˇe se vˇenuji vyuˇzit´ı podobnost´ı (stejnolehlosti) pˇri ˇreˇsen´ı konstrukˇcn´ıch u ´loh, druhá hodina se zab´ yvá konstrukcemi na základˇe v´ ypoˇctu. Také v tomto pˇr´ıpadˇe se nepatrnˇe rozcház´ım s uˇcebnic´ı, kdyˇz ˇrad´ım ˇreˇsen´ı u ´loh algebraickou metodou aˇz za geometrická zobrazen´ı. Toto poˇrad´ı shledávám vhodnˇejˇs´ı, vzhledem ke skupinˇe u ´loh, t´ ykaj´ıc´ıch se dˇelen´ı u ´seˇcek v daném pomˇeru resp. dˇelen´ı u ´seˇcek na n shodn´ ych d´ıl˚ u, kde vyuˇz´ıváme souˇcasnˇe metodu v´ ypoˇctu a metodu uˇzit´ı podobn´ ych zobrazen´ı.

114

7.2.7

T´ ema: Konstrukˇ cn´ı u ´ lohy ˇ reˇ sen´ e uˇ zit´ım podobn´ ych zobrazen´ı (stejnolehlosti)

C´ıl hodiny: ˇ ak um´ı v konkrétn´ıch typech konstrukˇcn´ıch u Z´ ´loh urˇcit mezi u ´tvarem dan´ ym a hledan´ ym vztah stejnolehlosti a ten pak vyuˇz´ıt pˇri jej´ım ˇreˇsen´ı. Obsah hodiny: 1. 2. 3. 4. 5.

´ Uvod — opakován´ı pojmu stejnolehlost Konstrukce obrazu troj´ uheln´ıku v dané stejnolehlosti ˇ sen´ı konstrukˇcn´ıch u Reˇ ´loh uˇzit´ım stejnolehlosti ´ Zadán´ı DU Závˇereˇcné shrnut´ı

Vyuˇcovac´ı hodina navazuje na téma stejnolehlost. V prvn´ı u ´loze jde o konstrukci, kde mezi u ´tvarem dan´ ym a hledan´ ym existuje vztah stejnolehlosti. V dalˇs´ıch pˇr´ıkladech se ˇzaći nauˇc´ı vyuˇz´ıvat stejnolehlosti k ˇreˇsen´ı takov´ ych konstrukˇcn´ıch u ´loh, kde je v´ yhodné nejprve sestrojit pomocn´ yu ´tvar splˇ nuj´ıc´ı podm´ınky na tvar hledaného obrazce, následnˇe urˇcit stˇred stejnolehlosti a pˇrevést pomoc´ı n´ı tento u ´tvar na u ´tvar hledan´ y. ´ Uvod Opakován´ı pojmu stejnolehlost + souvislost se stˇredovou soumˇernost´ı.

Definice 7.5 Stejnolehlost. Stejnolehlost (homotetie) se stˇredem S a koeficientem κ 6= 0 je zobrazen´ı H(S, κ), které pˇriˇrazuje: • Kaˇzdému bodu X 6= S bod X 0 tak, ˇze plat´ı: |SX 0 | = |κ||SX|, pˇritom pro κ > 0 leˇz´ı bod X 0 na polopˇr´ımce SX, pro κ < 0 je bod X 0 bodem polopˇr´ımky opaˇcné • Bodu S bod S 0 = S.

115

Pˇ r´ıklad 7.1 (Konstrukce stejnolehlého troj´ uheln´ıku) K danému rovnostrannému troj´ uheln´ıku ABC se stranou délky a = 4 cm sestroj troj´ uheln´ık stejnolehl´ y, je-li stˇred stejnolehlosti v tˇeˇziˇsti troj´ uheln´ıku a κ = −2. ˇ sen´ı Reˇ Polohová u ´loha se tˇremi hledan´ ymi body (vrcholy troj´ uheln´ıku). Rozbor Hledané body: A0 , B 0 , C 0 Hledané body urˇc´ıme jako obrazy vrchol˚ u troj´ uheln´ıku ABC ve stejnolehlosti se stˇredem S = T , T je tˇeˇziˇstˇe troj´ uheln´ıku ABC (obr. 7.40): H(S = T ; κ = −2): A 7−→ A0 , B 7−→ B 0 , C 7−→ C 0 .

Obrázek 7.40: Náˇcrtek Postup konstrukce 1. Troj´ uheln´ık ABC podle vˇety sss (a = 4 cm) 2. C1 ; C1 je stˇred AB 3. B1 ; B1 je stˇred AC 4. tc , tb ; tb = BB1 , tc = CC1 5. T ; T ∈ tc ∩ tb 6. A0 , B 0 , C 0 ; H(S = T ; κ = −2): A 7−→ A0 , B 7−→ B 0 , C 7−→ C 0 7. Troj´ uheln´ık ABC Zkouˇ ska Plyne z rozboru konstrukce. ´ Uloha má právˇe jedno ˇreˇsen´ı (obr. 7.41).

116


Pˇ r´ıklad 7.2 Je dán konvexn´ı u ´hel M V N a jeho vnitˇrn´ı bod A. Ved’te bodem A pˇr´ımku p tak, aby vyt´ınala na ramenech u ´hlu M V N u ´seky, jejichˇz délky jsou v pomˇeru 2:3. ˇ sen´ı Reˇ Polohová u ´loha se dvˇema hledan´ ymi body. Rozbor Hledané body: P , Q Nejprve sestroj´ıme libovolnou u ´seˇcku, která vyt´ıná na ramenech poˇzadované u ´seky, pomoc´ı stejnolehlosti sestroj´ıme jej´ı obraz procházej´ıc´ı bodem A (obr. 7.42). Zvol´ıme jednotkové vzdálenosti na jednotliv´ ych ramenech napˇr. 1 cm, dále pak body: P 0 ∈ V M, |V P 0 | = 2 cm, Q0 ∈ V N, |V Q0 | = 3 cm, H(S = V ): ↔ P 0 Q0 7−→↔ P Q tak, ˇze A ∈ P Q.

117

Obrázek 7.42: Náˇcrtek Konstrukce 1. 6

MV N

2. P 0 ; P 0 ∈ V M, |V P 0 | = 2 cm 3. Q0 ; Q0 ∈ V N, |V Q0 | = 3 cm 4. ↔ P 0 Q0 5. p; H(S = V ): ↔ P 0 Q0 7−→↔ P Q, A ∈ p


Zkouˇ ska Troj´ uheln´ıky P V Q a P 0 V Q0 jsou podobné podle vˇety uu (spoleˇcn´ yu ´hel u vrcholu V a souhlasné u ´hly u vrchol˚ u P , P 0 ), proto také |V P | : |V Q| = 2 : 3. ´ Uloha má vˇzdy dvˇe ˇreˇsen´ı, závis´ı na volbˇe pomˇeru u ´sek˚ u, tj. bud’ |V P | : |V Q| = 2 : 3 (obr. 7.43) nebo |V P | : |V Q| = 3 : 2.

118

Pˇ r´ıklad 7.3 Sestroj troj´ uheln´ık, jsou-li dány jeho dva vnitˇrn´ı u ´hly o velikostech α = 45◦ , β = 60◦ a délka tˇeˇznice tc = 4 cm. ˇ sen´ı Reˇ Polohová u ´loha s dvˇema hledan´ ymi body. Rozbor Hledané body: A, B Nejprve sestroj´ıme libovoln´ y pomocn´ y troj´ uheln´ık A0 B 0 C 0 , jehoˇz vnitˇrn´ı u ´hly maj´ı 0 ◦ 0 ◦ velikost α = α = 45 , β = β = 60 . Uˇzit´ım stejnolehlosti se stˇredem v bodˇe C 0 = C sestroj´ıme troj´ uheln´ık ABC, jehoˇz tˇeˇznice má poˇzadovanou délku tc = 3 cm (obr. 7.44). H(S = C = C 0 ): t0c 7−→ tc , A0 7−→ A, B 0 7−→ B.

Obrázek 7.44: Náˇcrtek Konstrukce 1. Libovoln´ y troj´ uheln´ık A0 B 0 C 0 , α0 = 45◦ , β 0 = 60◦ 2. C10 ; C10 je stˇred A0 B 0 3. t0c ; tc = CC1 4. A, B; H(S = C = C 0 ): t0c 7−→ tc , A0 7−→ A, B 0 7−→ B 5. Troj´ uheln´ık ABC Zkouˇ ska Kaˇzdé dva stejnolehlé u ´tvary, tedy také troj´ uheln´ıky ABC a A0 B 0 C 0 jsou podobné tc s koeficientem podobnosti k = |κ| = 0 , odpov´ıdaj´ıc´ı si vnitˇrn´ı u ´hly podobn´ ych tc troj´ uheln´ık˚ u jsou shodné. ´ Uloha má právˇe jedno ˇreˇsen´ı (obr. 7.45).

119


´ Zad´ an´ı DU Sestroj troj´ uheln´ık ABC, je-li dáno α =45◦ , β =60◦ , r = 5 cm, kde r je polomˇer kruˇznice troj´ uheln´ıku opsané . Pˇ r´ıklad 7.4 Jsou dány dvˇe r˚ uznobˇeˇzky a, b a bod M , kter´ y neleˇz´ı na ˇza´dné z nich. Sestrojte kruˇznici, která procház´ı bodem M a dot´ yká se pˇr´ımek a, b. ˇ sen´ı Reˇ Práce s uˇcebnic´ı (ˇreˇsen´ y pˇr´ıklad, uˇcebnice str. 176/pˇr´ıklad 5)). Z´ avˇ ereˇ cn´ e shrnut´ı Kromˇe shodnost´ı lze k ˇreˇsen´ı u ´loh vyuˇz´ıvat také podobná zobrazen´ı, zejména stejnolehlost. Stejnolehlost je vhodné uˇz´ıt napˇr´ıklad pˇri sestrojován´ı troj´ uheln´ıku, je-li jeden z dan´ ych prvk˚ uu ´seˇcka dané velikosti a ostatn´ı prvky jsou u ´hly dané velikosti, pomˇer velikost´ı jeho stran ˇci pˇr´ıˇcek. Stejnˇe dobˇre lze stejnolehlost vyuˇz´ıt pˇri sestrojen´ı obrazce, kter´ y má obsahovat dan´ y bod.

120

7.2.8

T´ ema: Algebraick´ a metoda ˇ reˇ sen´ı konstrukˇ cn´ıch u ´ loh

C´ıl hodiny: ˇ ak um´ı aplikovat Pythagorovu a Eukleidovy vˇety pˇri konstrukci u Z´ ´seˇcek dan´ ych iracionáln´ıch délek, zvládá rozdˇelit danou u ´seˇcku v daném pomˇeru a na n shodn´ ych d´ıl˚ u. Obsah hodiny: 1. 2. 3. 4. 5.

Motivaˇcn´ı pˇr´ıklad V´ yklad metody uˇzit´ı v´ ypoˇctu pˇri ˇreˇsen´ı konstrukˇcn´ıch u ´loh Uˇzit´ı algebraické metody k sestrojen´ı u ´seˇcky dané iracionáln´ı délky ´ Uloha na rozdˇelen´ı u ´seˇcky v daném pomˇeru Závˇereˇcné shrnut´ı — kdy a jak vyuˇz´ıváme algebraickou metodu

V této hodinˇe se budeme vˇenovat konstrukˇcn´ım u ´lohám, kde bude tˇreba vyuˇz´ıt v´ ypoˇctu. Hodina je koncipována jako v´ ykladová s následnou aplikac´ı na konkrétn´ıch pˇr´ıkladech. Motivaˇcn´ı pˇr´ıklad: Pˇ r´ıklad 8.1 √ Sestroj u ´seˇcku, která má pˇri zvolené jednotkové u ´seˇcce délku 10. ˇ sen´ı Reˇ √ ´ Zvol´ıme jednotku délky 1 cm. Ukolem je sestrojit u ´seˇcku o délce x = 10 cm. Pro danou odmocninu plat´ı: √ √ √ 10 = 9√+ 1 = √ 32 + 12 , tedy x = 10 = 32 + 12 , resp. x2 = 32 + 12 . Hledáme u ´seˇcku, kde druhá mocnina jej´ı délky je dána souˇctem druh´ ych mocnin délek u ´seˇcek 3 cm a 1 cm. Vyuˇzijeme Pythagorovu vˇetu pro pravo´ uhl´ y troj´ uheln´ık, pˇreponou je hledaná u ´seˇcka x a odvˇesnami u ´seˇcky o délkách 3 cm a 1 cm. Troj´ uheln´ık snadno sestroj´ıme podle vˇety sss (obr. 7.46). √ Je-li u ´kolem sestrojit u ´seˇcku iracionáln´ı délky x = y , snaˇz´ıme se nalézt taková ˇc´ısla, jejichˇz souˇcet druh´ ych mocnin dává základ této odmocniny a následnˇe za vyuˇzit´ı Pythagorovy vˇety m˚ uˇzeme takovouto u ´seˇcku jednoduˇse sestrojit (jde o typ základn´ı u ´lohy vedouc´ı k uˇzit´ı algebraické metody, viz kapitola 3.5.3). Obdobnˇe m˚ uˇzeme základ odmocniny rozloˇzit na rozd´ıl druh´ ych odmocnin s t´ım, ˇze tentokrát by hledaná u ´seˇcka tvoˇrila jednu z odvˇesen pravo´ uhlého troj´ uheln´ıku.

121

Obrázek 7.46: Konstrukce k pˇr´ıkladu 8.1 √ • V´ yraz x = a2 + b2 vyjadˇruje délku pˇrepony pravo´ uhlého troj´ uheln´ıku s odvˇesnami o délkách a, b √ • V´ yraz x = a2 − b2 vyjadˇruje délku odvˇesny pravo´ uhlého troj´ uheln´ıku, jehoˇz pˇrepona má délku a a druhá odvˇesna délku b Pˇ r´ıklad 8.2 Obdéln´ık má strany o délkách a = 4 cm, b = 3 cm. Sestroj ˇctverec stejného obsahu. ˇ sen´ı Reˇ Rozbor Nelze vyuˇz´ıt Pythagorovy vˇety, je tˇreba nalézt jin´ y postup. Pro stranu hledaného ˇctverce plat´ı: x2 = a · b = 4 · 3 (cm). Pˇr´ıklad vede na vyuˇzit´ı Eukleidov´ ych vˇet: V kaˇzdém pravo´ uhlém troj´ uheln´ıku ABC, kde a, b jsou odvˇesny, v je v´ yˇska k pˇreponˇe c a ca , cb jsou u ´seky pˇrepony pˇrilehlé k odpov´ıdaj´ıc´ım odvˇesnám plat´ı: v 2 = ca cb (Euklidova vˇeta o v´ yˇsce) 2 a = cca , b = ccb (Eukleidova vˇeta o odvˇesnˇe). 2

V pˇr´ıpadˇe uˇzit´ı vˇety o v´ yˇsce je hledaná u ´seˇcka v´ yˇskou pravo´ uhlého troj´ uheln´ıku ABC spuˇstˇená na pˇreponu o délce a + b = 4 + 3 = 7 (cm).

122

Konstrukce ´ cka AB; |AB| = a + b = 7 cm 1. Useˇ 2. P ; P ∈ AB ∧ |AP | = a = 4 cm 3. n; n⊥AB ∧ P ∈ n 4. τAB 5. C; C ∈ n ∩ τAB √ 6. x; x = |P C| = 3 · 4 ˇ 7. Ctverec DP CE

Obrázek 7.47: Konstrukce pˇr. 8.2

Obdobnˇe by se dala vyuˇz´ıt také Eukleidova vˇeta o odvˇesnˇe (viz uˇcebnice str. 116). Pozn´ amka √ ´ cku délky x = a · b naz´ Useˇ yváme geometrick´ y pr˚ umˇer u ´seˇcek o délkách a, b.

123

Pˇ r´ıklad 8.3 √ Jsou dány u ´seˇcky délek a, b. Sestroj u ´seˇcku o délce a2 + b2 + ab. ˇ sen´ı Reˇ ´ Ulohu budeme ˇreˇsit postupnou konstrukc´ı d´ılˇc´ıch u ´seˇcek: Uˇzit´ım Eukleidovy vˇety o v´ yˇsce sestroj´ıme pomocnou u ´seˇcku m, kde m2 = a · b, uˇzit´ım Pythagorovy vˇety pomocnou u ´seˇcku c, pro niˇz plat´ı: c 2 = a2 + b 2 . Máme-li sestrojeny u ´seˇcky m a c, m˚ uˇzeme opˇet uˇzit´ım Pythagorovy vˇety sestrojit také hledanou u ´seˇcku x takovou, ˇze x=

√ √ c2 + m2 = a2 + b2 + ab.

T´ım je u ´loha vyˇreˇsena. ´ Zad´ an´ı DU √ Sestroj u ´seˇcku x = a2 + b2 + ab podle postupu v pˇr. 8.3, je-li a = 4 cm, b = 3 cm. Dalˇs´ım typem u ´loh jsou takové konstrukˇcn´ı u ´lohy, kde je u ´kolem rozdˇelit u ´seˇcku v daném pomˇeru ˇci na n shodn´ ych d´ıl˚ u. Tyto u ´lohy lze snadno ˇreˇsit konstrukˇcnˇe (eukleidovsky) uˇzit´ım v´ ypoˇctu a podobnosti. Pˇ r´ıklad 8.4 Danou u ´seˇcku AB o délce 5 cm rozdˇelte bodem C tak, aby platilo: AC : CB = 5 : 2. ˇ sen´ı Reˇ Polohová u ´loha s jedn´ım hledan´ ym bodem. Rozbor Hledan´ y bod: C ´ cku rozdˇel´ıme na 7 shodn´ Useˇ ych d´ıl˚ u, kde pro bod C bude platit, ˇze AC : CB = 5 : 2. K tomu vyuˇzijeme redukˇcn´ıho u ´hlu BAY , kde na rameno AY naneseme 7 shodn´ ych d´ıl˚ u o libovolné délce, napˇr. 1 cm. Krajn´ı bod Y spoj´ıme s bodem B (obr. 7.48). Dále sestroj´ıme obraz troj´ uheln´ıku BAY ve stejnolehlosti se stˇredem A a koefici5 entem κ = . 7 H(S = A): ↔ Y B 7−→↔ XC

124

Obrázek 7.48: Náˇcrtek Konstrukce ´ cka AB; AB = 5 cm 1. Useˇ 2. Libovoln´ yu ´hel BAY , |AY | = 7j 3. ↔ BY 4. C; H(S = A): ↔ Y B 7−→↔ XC


Zkouˇ ska Plyne z rozboru konstrukce (troj´ uheln´ıky BAY a CAX jsou podobné podle vˇety uu). ´ Uloha má právˇe jedno ˇreˇsen´ı (obr. 7.49). Z´ avˇ ereˇ cn´ e shrnut´ı Existuj´ı konstrukˇcn´ı u ´lohy, kde nevystaˇc´ıme pouze s ˇcistou geometri´ı, ale je potˇreba vyuˇz´ıt v´ ypoˇctu. Této metodˇe ˇreˇsen´ı ˇr´ıkáme algebraická metoda ˇreˇsen´ı konstrukˇcn´ıch u ´loh. Vyuˇz´ıváme ji také v pˇr´ıpadˇe, kdy je tˇreba rozdˇelit danou u ´seˇcky v daném pomˇeru, resp. rozdˇelit danou u ´seˇcku na n shodn´ ych d´ıl˚ u.

125

Kapitola 8 Uˇ zit´ı informaˇ cn´ıch technologi´ı pˇ ri ˇ ˇ reˇ sen´ı konstrukˇ cn´ıch u ´ loh na SS V souˇcasné dobˇe se s v´ ypoˇcetn´ı technikou setkáváme témˇeˇr ve vˇsech oblastech bˇeˇzného ˇzivota, zároveˇ n se také stává ned´ılnou souˇcást´ı v´ yuky na ˇskolách. Proto vˇenuji nˇekolik ˇra´dk˚ u této práce vyuˇzit´ı poˇc´ıtaˇce pˇri ˇreˇsen´ı konstrukˇcn´ıch u ´loh. Budeme-li cht´ıt do v´ yuky tohoto tématu zaˇradit poˇc´ıtaˇc, vid´ım následuj´ıc´ı dva zp˚ usoby, jak to provést (ve scénáˇr´ıch vyuˇcovac´ıch hodin obsaˇzen´ ych v pˇredchoz´ı kapitole jsem se vˇzdy snaˇzila upozornit na konkrétn´ı situaci, kdy shledávám vyuˇzit´ı poˇc´ıtaˇce jako uˇziteˇcné): 1. Vyuˇzit´ım interaktivn´ı tabule, kdy uˇcitel spouˇst´ı pˇr´ısluˇsn´ y program ze svého poˇc´ıtaˇce, ˇza´k provád´ı konstrukce na interaktivn´ı tabuli 2. Vyuˇzit´ım poˇc´ıtaˇcové uˇcebny, kdy kaˇzd´ y ˇzák (popˇr. ve dvojici) má k dispozici vlastn´ı poˇc´ıtaˇc, konstrukce provád´ı pˇr´ımo v nˇem Interaktivn´ı tabule, souˇcást témˇeˇr kaˇzdé lépe vybavené ˇskoly, je zjednoduˇsenˇe interaktivn´ı plocha, ke které pˇripojujeme poˇc´ıtaˇc a datov´ y projektor. Datov´ y projektor prom´ıtá obraz z poˇc´ıtaˇce na povrch tabule a my pˇres ni m˚ uˇzeme prstem, speciáln´ımi fixy nebo dalˇs´ımi nástroji ovládat poˇc´ıtaˇc, popˇr. pracovat pˇr´ımo s interaktivn´ı tabul´ı. Nejv´ıce rozˇs´ıˇrené typy interaktivn´ıch tabul´ı jsou SMART Board, Active Board a Interwrite. Máme dvˇe moˇznosti, jak interaktivn´ı tabuli vyuˇz´ıt. Prvn´ı z nich je pouˇzit´ı nˇekterého ze softwaru urˇceného pro tvorbu pˇr´ıprav na interaktivn´ı tabuli, napˇr. ACTIVStudio, ActivInspire atd., kde lze mezi nástroji tˇechto prostˇred´ı nalézt kromˇe jiného také prav´ıtko a kruˇz´ıtko. Pomoc´ı nich m˚ uˇzeme provádˇet pˇr´ımo na interaktivn´ı tabuli jednoduˇsˇs´ı eukleidovské konstrukce, pˇriˇcemˇz ˇzaći pˇresnˇe vid´ı, jak oba tyto nástroje pˇri r´ ysován´ı pouˇz´ıt. Tento zp˚ usob zapojen´ı poˇc´ıtaˇce do v´ yuky konstrukˇcn´ıch u ´loh shledávám uˇziteˇcnˇejˇs´ı u niˇzˇs´ıch roˇcn´ık˚ u gymnázi´ı, kde prob´ırané konstrukce nejsou pˇr´ıliˇs sloˇzité. Zaˇrazen´ı interaktivn´ı tabule je sp´ıˇse jak´ ymsi zpestˇren´ım, neˇz aby nˇejak zásadnˇe usnadnilo pochopen´ı této látky. Jej´ım vyuˇzit´ım vˇsak m˚ uˇzeme 126

podpoˇrit tv˚ urˇc´ı pˇr´ıstup a pracovitost ˇza´k˚ u, protoˇze ta stále z˚ ustává na nich. Ani interaktivn´ı tabule totiˇz nevyˇreˇs´ı nic za ˇzáky, stejnˇe jako tomu je pˇri r´ ysován´ı na pap´ır. Pˇri práci s interaktivn´ı tabul´ı mus´ıme vˇsak v poˇcátku poˇc´ıtat s t´ım, ˇze ˇzaći se mus´ı nauˇcit psát na tabuli, pohybovat s objekty, pracovat s nástroji. Z´ıskáván´ı tˇechto návyk˚ u tedy zabere nˇejak´ y ˇcas. V manipulaci s nástroji prav´ıtko a kruˇz´ıtko nevid´ım zjednoduˇsen´ı oproti klasickému r´ ysován´ı kˇr´ıdou na tabuli, sp´ıˇse naopak. Nehledˇe na to, ˇze pˇr´ımky a kruˇznice vytvoˇrené v tˇechto prostˇred´ıch jsou lehce kostrbaté a pr˚ useˇc´ıky vytvoˇren´ ych kˇrivek nelze pˇresnˇe oznaˇcit. Tud´ıˇz bl´ıˇze neˇz k pˇresné konstrukci maj´ı nar´ ysované u ´tvary sp´ıˇse charakter povedeného náˇcrtku. Na druhou stanu lze ve v´ yuce pomˇernˇe uˇziteˇcnˇe vyuˇz´ıt animac´ı (hlavnˇe u slabˇs´ıch ˇza´k˚ u ˇci niˇzˇs´ıch roˇcn´ık˚ u). Jde o pˇredem nahranou sekvenci jednotliv´ ych krok˚ u konstrukce, kdy po spuˇstˇen´ı ˇza´k názornˇe vid´ı, jak kter´ yu ´tvar v pr˚ ubˇehu r´ ysován´ı vzniká. Jako v´ yraznˇejˇs´ı a efektivnˇejˇs´ı vid´ım vyuˇzit´ı interaktivn´ı tabule v podobˇe zvˇetˇseného monitoru poˇc´ıtaˇce, tj. pˇr´ıpad, kdy máme spuˇstˇen´ y nˇekter´ y z ˇsiroké nab´ıdky program˚ u dynamické geometrie a prom´ıtáme jej na interaktivn´ı tabuli. Na n´ı poté provád´ıme dotykem stejné u ´kony, jako kdybychom sedˇeli pˇred poˇc´ıtaˇcem a pracovali s myˇs´ı. Takto lze interaktivn´ı tabul´ı nahradit klasické r´ ysován´ı kˇr´ıdou na tabuli, a to pˇresnˇejˇs´ı a ˇcasovˇe ménˇe nároˇcnou formou. Nev´ yhoda je, ˇze s interaktivn´ı tabul´ı m˚ uˇze pracovat vˇzdy jen jeden ˇclovˇek (jeden ˇza´k ˇci uˇcitel). Touto formou bych interaktivn´ı tabuli vyuˇzila v pˇr´ıpadˇe v´ ykladu ˇci demonstraci nˇekteré sloˇzitˇejˇs´ı konstrukce, která by na klasické kˇr´ıdové tabuli nemusela b´ yt pˇrehledná (jak jsem jiˇz zm´ınila, takov´ y zp˚ usob vyuˇzit´ı naznaˇcuji v pˇredchoz´ı kapitole pˇr´ımo ve scénáˇr´ıch nˇekter´ ych vyuˇcovac´ıch hodin). Jako nejlepˇs´ı zp˚ usob uˇzit´ı poˇc´ıtaˇce pˇri ˇreˇsen´ı konstrukˇcn´ıch u ´loh shledávám vyuˇzit´ı poˇc´ıtaˇcové uˇcebny, kdy má kaˇzd´ y ze student˚ u moˇznost samostatnˇe provádˇet dynamické konstrukce pˇr´ımo v geometrickém programu ve svém poˇc´ıtaˇci. V souˇcasné dobˇe je na trhu k dostán´ı mnoho druh˚ u dynamick´ ych (interaktivn´ıch) geometrick´ ych program˚ u vhodn´ ych pro ˇskoln´ı v´ yuku. Interaktivn´ı geometri´ı chápeme takovou, kde prostˇred´ı spolupracuje s uˇzivatelem, napˇr. pˇri konstrukci se dotazuje, nab´ız´ı moˇznosti, komentuje situaci, vytvoˇrené objekty nejsou definitivn´ı, ale daj´ı se interakc´ı s uˇzivatelem zmˇenit. Dynamická geometrie zase dokáˇze pohybem vnést nov´ y pohled, kter´ y situaci ozˇrejm´ı právˇe pohybem objekt˚ u [16]. Pojmy dynamická a interaktivn´ı geometrie b´ yvaj´ı v r˚ uzn´ ych literaturách zamˇen ˇovány, napˇr. Van´ıˇcek chápe dynamickou geometrii jako ˇca´st geometrie interaktivn´ı. Mezi dostupné programy dynamické geometrie patˇr´ı napˇr. nˇemecká Cinderella, p˚ uvodnˇe francouzská Cabri, rakouská GeoGebra, ˇcesk´ y GEOM, americk´ y Geometer´s sketchpad, nˇemeck´ y GEONExT a jiné. Mnoho z tˇechto program˚ u je volnˇe ke staˇzen´ı na internetu, nˇekteré z nich (napˇr. nejuˇz´ıvanˇejˇs´ı Cabri a GeoGebra) lze dohledat i v ˇceské verzi. Osobnˇe mˇe nejv´ıce zaujala práce v GeoGebˇre, ve které jsem vytváˇrela i veˇskeré 127

konstrukce pouˇzité v této práci a kterou bych já sama vyuˇz´ıvala pˇri v´ yuce konstrukˇcn´ıch u ´loh, a to konkrétnˇe v následuj´ıc´ıch situac´ıch: 1. Jako motivaci pro ˇ z´ aky ˇ ci jako zpestˇ ren´ı vyuˇ covac´ı hodiny Práce na poˇc´ıtaˇci je pro ˇza´ky zcela jistˇe atraktivnˇejˇs´ı neˇz tradiˇcn´ı r´ ysován´ı do seˇsitu. Je vˇsak tˇreba ohl´ıdat, aby veˇskerá pozornost ˇza´k˚ u nesklouzla k prozkoumáván´ı funkc´ı programu m´ısto pˇrem´ yˇslen´ı nad zadanou u ´lohou. 2. Pˇ ri ˇ reˇ sen´ı parametrick´ ych u ´ loh ˇ Reˇs´ı-li studenti takovéto u ´lohy na pap´ıˇre, provedou diskusi pro vˇsechny moˇzné hodnoty parametru a vˇzdy nar´ ysuj´ı hledan´ y u ´tvar pouze pro jednu konkrétn´ı hodnotu parametru. Vyuˇzit´ım dynamick´ ych geometrick´ ych program˚ u lze zmˇenou polohy voln´ ych prvk˚ u hotové konstrukce nechat plynule pˇrekreslit zbytek konstrukce se zachován´ım vazeb. T´ım konstrukce jakoby oˇz´ıvá a ˇzaći mohou sledovat, jak se bude mˇenit poˇcet ˇreˇsen´ı konstrukˇcn´ı u ´lohy se zmˇenou parametru. Nejsou tedy zatˇeˇzováni nutnost´ı si situaci pˇredstavit a vyvodit závˇery a lépe si proto uvˇedomuj´ı jednotlivé vztahy a souvislosti. 3. Pˇ ri realizaci sloˇ zitˇ ejˇ s´ı konstrukce Nˇekteré konstrukce je vzhledem k velkému mnoˇzstv´ı ˇcar takˇrka nemoˇzné zrealizovat na tabuli klasicky kˇr´ıdou ˇci fixem. V tomto pˇr´ıpadˇe je vyuˇzit´ı geometrického programu velmi uˇziteˇcné. Zejména proto, ˇze lze v provádˇené konstrukci nechat nˇekteré pomocné objekty skr´ yt, coˇz je pˇri r´ ysován´ı na tabuli/do seˇsitu nereálné. T´ım se celá konstrukce mnohonásobnˇe zpˇrehledn´ı. Zároveˇ n jedná-li se o obt´ıˇznˇejˇs´ı u ´lohu, kdy ˇza´k˚ um nen´ı nˇekter´ y z proveden´ ych krok˚ u jasn´ y ˇci ho neprovedou správnˇe, mohou se vˇzdy pouˇzit´ım tlaˇc´ıtka zpˇet vrátit. To je také jednou z velk´ ych v´ yhod oproti r´ ysován´ı na tabuli/do seˇsitu. Shrnu-li v´ yhody provádˇen´ı konstrukc´ı v dynamick´ ych geometrick´ ych programech, pak jednou z nejvˇetˇs´ıch je zcela jistˇe pˇresnost r´ ysován´ı. Ovládán´ı nástroj˚ u vˇetˇsiny program˚ u je naprosto intuitivn´ı, z vlastn´ı zkuˇsenosti v´ım, ˇze ˇzáci se nauˇc´ı pracovat v tomto prostˇred´ı velmi rychle, tud´ıˇz jako jednu z dalˇs´ıch v´ yhod m˚ uˇzeme vidˇet ˇcasovou u ´sporu vzhledem k rychlosti proveden´ı konstrukce v poˇc´ıtaˇci ve srovnán´ı s r´ ysován´ım na pap´ır. Dále lze hotové konstrukce ukládat, zpˇetnˇe se k nim vracet, popˇr. je mˇenit. Pracujemeli s nadanˇejˇs´ımi studenty, m˚ uˇzeme je nechat vytváˇret makra — nové vlastn´ı nástroje, které lze zaˇradit do základn´ı nab´ıdky nástroj˚ u a nadále je vhodnˇe vyuˇz´ıvat. Dalˇs´ı z v´ yhod je jednoduchá kontrola, zda student opravdu provedl danou konstrukci správnˇe, tj. zda ji nenaˇsvindloval“. M˚ uˇzeme pohnout nˇekter´ ym z voln´ ych prvk˚ u, a pakliˇze ˇzák ” r´ ysoval správnˇe, konstrukce se nezboˇr´ı“, v reálném ˇcase se pˇrekresl´ı v závislosti na nové ” poloze posunutého prvku. Takovouto rychlou kontrolu nám statick´ y obrázek v seˇsitˇe neumoˇzn ˇuje. Stejnˇe tak i samotn´ y ˇzák manipulac´ı s vhodn´ ymi objekty dostává okamˇzitou zpˇetnou vazbu, t´ım se stává samostatnˇejˇs´ı, ménˇe závisl´ y na uˇciteli. V neposledn´ı ˇradˇe je r´ ysován´ı na poˇc´ıtaˇci velk´ ym ulehˇcen´ım pro manuálnˇe ménˇe zruˇcné ˇza´ky, kdy k proveden´ı celé konstrukce staˇc´ı pouhá myˇs poˇc´ıtaˇce.

128

Jako nev´ yhoda se m˚ uˇze jevit ˇcasová nároˇcnost domác´ı pˇr´ıpravy uˇcitele. Na druhou stranu existuje mnoho zpracovan´ ych v´ yukov´ ych materiál˚ u t´ ykaj´ıc´ıch se právˇe ˇreˇsen´ı konstrukˇcn´ıch u ´loh, které lze pˇri v´ yuce pˇr´ımo vyuˇz´ıt, ˇci je vhodnˇe pˇredˇelat pro vlastn´ı potˇreby. ˇ v Havl´ıˇckovˇe Brodˇe Mgr. Bronislav NáNapˇr´ıklad na internetov´ ych stránkách [62] ZS vojsk´ y poskytuje celou sadu pˇr´ıprav pro práci s interaktivn´ı tabul´ı v hodinˇe matemaˇ Vyuˇzit´ı pˇr´ımo program˚ tiky pro druh´ y stupeˇ n ZS. u dynamické geometrie lze pak nalézt v [16] J. Van´ıˇcka ˇci na v´ yukovém CD Mikuláˇsského Gymnázia, které obsahuje nˇekolik ˇ des´ıtek pˇr´ıprav (nejen) pro v´ yuku konstrukˇcn´ıch u ´loh na SS. Dalˇs´ım ze zdroj˚ u, které lze pˇri pˇr´ıpravˇe v´ yuky na poˇc´ıtaˇci vyuˇz´ıt, je jiˇz v pˇredchoz´ı kapitole zm´ınˇené zpracován´ı Apolloniov´ ych u ´loh dostupné z [52] ˇci webové stránky ˇ [63] k uˇcebnici Matematika pro SOS. Na posledn´ıch zm´ınˇen´ ych webov´ ych stránkách je k nalezen´ı také kompletn´ı ˇreˇsen´ı Apolloniov´ ych u ´loh, dále konstrukce spoleˇcn´ ych teˇcen dvou kruˇznic ˇci dˇelen´ı u ´seˇcky v pomˇeru 2:3. Vˇsechny tyto u ´lohy jsou zpracovány v programu GeoGebra. Jako nejuˇziteˇcnˇejˇs´ı internetov´ y odkaz, se kter´ ym jsem se pˇri psan´ı této práce setkala, shledávám webové stránky [51] jiˇz zmiˇ novaného J. Van´ıˇcka. Kromˇe mnoho dalˇs´ıch velmi uˇziteˇcn´ ych odkaz˚ u zde lze v sekci Témata“ dohledat jednak sadu obrázk˚ u z obyˇcejné ” uˇcebnice matematiky pro 6. – 8. tˇr´ıdy ( Obˇzivlá uˇcebnice“), tak Sb´ırku u ´loh pro v´ıceletá ” gymnázia (A. Vrba), kde jsou v Cabri ˇreˇseny konkrétn´ı u ´lohy z [45], vˇcetnˇe podrobného vysvˇetlen´ı a metodick´ ych pˇripom´ınek k u ´lohám. V neposledn´ı ˇradˇe je na tomto odkazu k nalezen´ı p˚ uvodnˇe diplomová práce (zde v podobˇe webov´ ych stránek), poskytuj´ıc´ı námˇety k vyuˇzit´ı Cabri Geometrie. CD pˇriloˇzené k této práci obsahuje dynamické konstrukce jak z ˇcásti teoretické, tak z ˇca´sti metodické. V diplomové práci jsou vyuˇzity v podobˇe statick´ ych obrázk˚ u. Ve v´ yuce je lze pouˇz´ıt v rámci jednotliv´ ych scénáˇr˚ u jako ukázku správn´ ych ˇreˇsen´ı jednotliv´ ych u ´loh, popˇr. jako základ pro vlastn´ı pˇr´ıpravy. Zamysl´ım-li se nad t´ım, kolik ˇcasu bych já osobnˇe vidˇela jako optimáln´ı vˇenovat práci s poˇc´ıtaˇcem pˇri v´ yuce konstrukˇcn´ıch u ´loh, pak s pˇrihlédnut´ım k informac´ım z´ıskan´ ym v pr˚ ubˇehu psan´ı této práce mus´ım ˇr´ıci, ˇze oproti p˚ uvodn´ımu, pomˇernˇe radikáln´ımu, názoru dnes na celou vˇec nahl´ıˇz´ım ponˇekud odliˇsnˇe. Neˇz jsem zaˇcala práci psát, zastávala jsem sp´ıˇse tradiˇcn´ı názor, tedy z˚ ustat u r´ ysován´ı tuˇzkou na pap´ır, poˇc´ıtaˇc a pˇr´ısluˇsné programy jsem chápala sp´ıˇse jako nˇeco nav´ıc, neˇz bˇeˇznou souˇca´st v´ yuky konstrukˇcn´ım u ´lohám. Tento m˚ uj názor vˇsak souvisel sp´ıˇse s neznalost´ı, nemˇela jsem ucelenou pˇredstavu, co vˇse je v souˇcasné dobˇe v souvislosti s v´ yukou tohoto tématu dostupné a v podstatˇe pˇripravené k pouˇzit´ı. V pr˚ ubˇehu zpracováván´ı diplomové práce jsem se setkala s r˚ uzn´ ymi programy, v´ yukovou informaˇcn´ı technologi´ı a publikacemi, které pˇri troˇse snahy a minimu vˇenovaného ˇcasu 129

lze pomˇernˇe efektivnˇe vyuˇz´ıt ve vlastn´ı v´ yuce. Mˇela jsem moˇznost uˇcit ve tˇr´ıdˇe, kde ˇzaći poprvé pracovali v programu GeoGebra a jejich reakce byla v´ıce neˇz pozitivn´ı. Uˇz proto si mysl´ım, ˇze má smysl v´ yuku t´ımto smˇerem inovovat. Nepˇreceˇ novala bych v´ yznam poˇc´ıtaˇce jako takového a rozhodnˇe se zcela nevzdávám tradiˇcn´ıho r´ ysován´ı, na druhou stranu ale vid´ım témˇeˇr jako nutnost (hlavnˇe do budoucna) alespoˇ n urˇcit´ y ˇcas v´ yuky dynamick´ ym geometrick´ ym program˚ um vˇenovat. Nehledˇe na to, ˇze tohoto trendu si vˇs´ımaj´ı také autoˇri uˇcebnic a sami pˇricházej´ı s nov´ ymi interaktivn´ımi uˇcebnicemi matematiky. V souˇcasné dobˇe je témˇeˇr v kaˇzdé uˇcebnˇe k dispozici plátno s dataprojektorem, tud´ıˇz minimálnˇe v této podobˇe lze hotové applety vyuˇz´ıt. Sp´ıˇse se ale pˇriklán´ım k zapojen´ı ” ˇza´k˚ u“, nechat je samostatnˇe provádˇet konstrukce na vlastn´ım poˇc´ıtaˇci, at’ uˇz doma nebo ve ˇskole. Napˇr´ıklad domác´ı u ´kol v podobˇe nˇejaké konstrukce na poˇc´ıtaˇci bude pro ˇza´ky urˇcitˇe mnohem zaj´ımavˇejˇs´ı. Zároveˇ n pˇri zmˇenˇe nˇekter´ ych parametr˚ u konstrukˇcn´ı u ´lohy ˇci v pˇr´ıpadˇe podobn´ ych u ´loh si m˚ uˇze student otestovat znalosti hned na nˇekolika pˇr´ıkladech najednou (jednotlivá ˇreˇsen´ı si v pr˚ ubˇehu ukládá), aniˇz by musel kaˇzdou u ´lohu r´ ysovat vˇzdy od zaˇca´tku, coˇz bezesporu ocen´ı.

130

Kapitola 9 Z´ avˇ er C´ılem této práce bylo metodicky zpracovat nˇekolik vyuˇcovac´ıch hodin vˇenovan´ ych konstrukˇcn´ım u ´lohám ˇreˇsen´ ym na stˇredn´ı ˇskole. Na stˇredn´ı ˇskole jsou konstrukˇcn´ı u ´lohy ˇreˇseny eukleidovsky, tj. pomoc´ı prav´ıtka a kruˇz´ıtka. Pojem Eukleidovské konstrukce je vysvˇetlen ve stejnojmenném odstavci kapitoly 3. O tom, jak rozhodnout, zda je ˇci nen´ı daná u ´loha eukleidovsky ˇreˇsitelná, pojednává kapitola 4. V pˇr´ıpadˇe eukleidovsky neˇreˇsiteln´ ych u ´loh lze vyuˇz´ıt pˇribliˇzn´ ych konstrukc´ı — nˇekteré z nich jsou obsahem kapitoly 5. Chceme-li danou konstrukˇcn´ı u ´lohu ˇreˇsit, je potˇreba vybrat vhodnou metodu ˇreˇsen´ı a nevynechat ˇza´dnou z fáz´ı, ze kter´ ych se u ´plné ˇreˇsen´ı konstrukˇcn´ı u ´lohy skládá. Vˇsechny tyto potˇrebné znalosti jsem se pokusila shrnout v kapitole 3, jejichˇz aplikaci ukazuji na ˇreˇsen´ ych pˇr´ıkladech bud’ pˇr´ımo v textu, nebo odkazuji na pˇr´ıklad zaˇrazen´ y v nˇekterém ze scénáˇr˚ u vyuˇcovac´ıch hodin. Prvn´ı vyuˇcovac´ı hodina je vˇenována tématu mnoˇziny vˇsech bod˚ u dané vlastnosti, v dalˇs´ı hodinˇe je prob´ırán pojem konstrukˇcn´ı u ´loha a jsou zde provádˇeny základn´ı eukleidovské konstrukce. Ve tˇret´ı vyuˇcovac´ı hodinˇe jsou ˇreˇseny konstrukˇcn´ı u ´lohy uˇzit´ım metody mnoˇzin vˇsech bod˚ u dané vlastnosti, ˇctvrtá vyuˇcovac´ı hodina je vˇenována konstrukc´ım kruˇznic. V následuj´ıc´ıch tˇrech scénáˇr´ıch vyuˇcovac´ıch hodin jsou ˇreˇseny konstrukˇcn´ı u ´lohy uˇzit´ım metody geometrick´ ych zobrazen´ı. Posledn´ı vyuˇcovac´ı hodina je pak vˇenována ˇreˇsen´ı konstrukˇcn´ıch u ´loh algebraickou metodou. Tyto scénáˇre maj´ı slouˇzit jako hotové pˇr´ıpravy pro vyuˇcován´ı konstrukˇcn´ım u ´lohám. Nepokr´ yvaj´ı vˇsak téma konstrukˇcn´ıch u ´loh kompletnˇe (je-li ˇza´douc´ı proloˇzit zpracované hodiny nˇekterou dalˇs´ı vyuˇcovac´ı hodinou, zejména opakovac´ı, uvád´ım to pˇr´ımo v dané pˇr´ıpravˇe). Vˇsechny ˇreˇsené pˇr´ıklady jsou doplnˇeny o konstrukci v programu GeoGebra, ty lze bˇehem vyuˇcován´ı také vyuˇz´ıt. Stejnˇe dobˇre lze vyuˇz´ıt volnˇe staˇziteln´ ych dynamick´ ych program˚ u (GeoGebra je jedn´ım z nich) a nechat ˇza´ky provádˇet prob´ırané konstrukce u tabule, samostatnˇe na poˇc´ıtaˇci ˇci je v této formˇe zadat jako domác´ı u ´kol. T´ım se konstrukˇcn´ı u ´lohy stanou pro ˇza´ky jistˇe atraktivnˇejˇs´ı a moˇzná je to jedna z cest k jejich snadnˇejˇs´ımu pochopen´ı ˇza´ky.

131

Literatura ´ [1] Holubáˇr, J.: O method´ ach rovinn´ ych konstrukc´ı. (Uloha Apolloniova a u ´lohy ˇ pˇr´ıbuzné.) Praha: JCSMF, 1949. ˇ [2] Koˇr´ınek, V.: Z´ aklady algebry. Praha: NCSAV, 1953. ˇ [3] Stalmaˇ sek, J.: Te´ oria geometrick´ ych konˇ strukci´ı. (Skripta.) Bratislava: SPN, 1955. ˇ [4] Stalmaˇ sek, J.: Geometrick´ e konˇ strukcie. Bratislava: SNTL, 1959. [5] Vyˇs´ın, J. a kol.: Geometrie pro pedagogick´ e fakulty. I. d´ıl. Praha: SPN, 1965. ˇ [6] Sofr, B.: Eukleidovsk´ e geometrick´ e konˇ strukcie. Bratislava: ALFA, 1976. [7] Kowal, S.: Matematika pro voln´ e chv´ıle. Praha: SNTL, 1986. ˇ cek, J. — Vanˇcura, J.: Geometrie troj´ [8] Svrˇ uheln´ıka. Praha: SNTL, 1988. [9] Hejný, M. a kol.: Te´ oria vyuˇ covania matematiky 2. Bratislava: SPN, 1990. ´ AV CR, ˇ 1996. [10] Kuˇrina, F.: Deset pohled˚ u na geometrii. Praha: MU [11] Martin, G. E.: Geometric Constructions. New York: Springer-Verlag, 1998. ˇ 2002. [12] Láviˇcka, M.: Geometrie 1. (Skripta.) Plzeˇ n: ZCU, [13] Pomykalová, E.: Konstrukˇ cn´ı u ´ lohy v matematice na gymn´ aziu. 8. setkán´ı uˇcitel˚ u matematiky vˇsech typ˚ u a stupˇ n˚ u ˇskol, 2002, str. 251 – 254. [14] Eukleides z Alexandrie: Z´ aklady, Knihy I – IV. (Ed. P. Vopˇenka) Nymburk: OPS, 2007. [15] Polák, J.: Pˇ rehled stˇ redoˇ skolsk´ e matematiky. Praha: Prometheus, 2008. (9. vydán´ı.) [16] Van´ıˇcek, J.: Poˇ c´ıtaˇ cov´ e kognitivn´ı technologie ve v´ yuce geometrie. Praha: Pedagogická fakulta UK, 2009.

132

[17] Polák, J.: Stˇ redoˇ skolsk´ a matematika v u ´ loh´ ach II. Praha: Prometheus, 2011. (2. vydán´ı.) [18] Sedláˇcek, W. (Josef Vojtˇech): Z´ akladow´ e mˇ eˇ riˇ cstwj ˇ cilo Geometrye. (Tiˇstˇeno novogotick´ ym p´ısmem frakturou.) Praha: Vydavatelstv´ı vdovy Jozefy Feterlové z Wildenbrunu, 1822. [19] Jandeˇcka, V.: Geometria pro vyˇ sˇ s´ı gymnasia. (d´ıl prv´ y — Planimetria) Praha: nákladem spisovatelov´ ym, 1864. [20] Jarol´ımek, V.: Geometrie pro II. a III. tˇ r´ıdu ˇ skol re´ aln´ ych — Planimetrie. ˇ Praha: Nákladem JCM, 1891. [21] Strnad, A.: Geometrie pro vyˇ sˇ s´ı gymnasia. Praha: nakladatel F. Kytka, 1893 (1. vydán´ı), 1904 (2. vydán´ı I. d´ılu Planimetrie). [22] Bydˇzovský, B. — Vojtˇech, J.: Mathematika pro nejvyˇ sˇ s´ı tˇ r´ıdu re´ alek. Praha: ˇ Nákladem JCM, 1912. [23] Vojtˇech, J.: Geometrie pro IV. a V. tˇ r´ıdu ˇ skol stˇ redn´ıch. Praha: Nákladem ˇ JCSMF, 1924. (5. uprav. vydán´ı.) [24] Vinˇs, J.: Geometrie pro ˇ ctvrtou tˇ r´ıdu stˇ redn´ıch ˇ skol (Vyd´ an´ı pro re´ alky ˇ e a reformn´ı re´ aln´ a gymnasia).(Planimetrie — 1. ˇca´st.) Praha: Nákladem Cesk´ grafické unie a. s., 1927. ˇ [25] Cech, E.: Geometrie pro 1. – 3. tˇ r´ıdu stˇ redn´ıch a mˇ eˇ st’ansk´ ych ˇ skol. ˇ Praha: Nákladem JCMF, 1943, 1946 (dotisk). [26] Holubáˇr, J. — Vojtˇech, J.: Geometrie pro V. tˇ r´ıdu stˇ redn´ıch ˇ skol. Praha: ˇ Nákladem JCSMF, 1947. (Upraven´ y dotisk 6. vydán´ı.) ˇ [27] Cech, E. a kol.: Geometrie pro tˇ ret´ı tˇ r´ıdu stˇ redn´ıch ˇ skol. Praha: Státn´ı nakladatelstv´ı uˇcebnic, 1950. ˇ [28] Cech, E. a kol.: Geometrie pro ˇ ctvrtou tˇ r´ıdu stˇ redn´ıch ˇ skol. Praha: Státn´ı nakladatelstv´ı uˇcebnic, 1950. ˇ [29] Cech, E. a kol.: Matematika pro I. tˇ r´ıdu gymn´ asi´ı. Praha: Státn´ı nakladatelstv´ı uˇcebnic, 1951. ˇ [30] Cech, E. a kol.: Matematika pro II. tˇ r´ıdu gymn´ asi´ı. Praha: Státn´ı nakladatelstv´ı uˇcebnic, 1951. [31] Kraemer, E. a kol.: Matematika pro 7.postupn´ y roˇ cn´ık vˇ seobecnˇ e vzdˇ el´ avac´ıch ˇ skol. Praha: SPN, 1954.

133

[32] Dubec, A. a kol.: Matematika pro 8. postupn´ y roˇ cn´ık vˇ seobecnˇ e vzdˇ el´ avac´ıch ˇ skol. Praha: SPN, 1954. [33] Vyˇs´ın, J. a kol.: Geometrie pro 9. aˇ z 11. postupn´ y roˇ cn´ık. Praha: SPN, 1954. ˇ Praha: SPN, 1964. [34] Zedek, M. a kol.: Matematika pro I. roˇ cn´ık SVVS. ˇ [35] Sediv´ y, J. a kol.: Matematika pro I. roˇ cn´ık gymn´ azia. 2. seˇ sit. Praha: SPN, 1978. ˇ ˇ a [36] Schmidtmayer, J. — Petránek, O. — Sikola, B.: Matematika 2 pro SPS ˇ SZTS. Praha: SPN, 1979. ˇ [37] Sediv´ y, J. a kol.: Matematika pro gymn´ azia (pro IV. roˇ cn´ık gymn´ azia). 8. seˇ sit. Praha: SPN, 1980. ˇ II. d´ıl. Praha: SPN, 1982. [38] M˝ ullerová, J. a kol.: Matematika pro 7. roˇ cn´ık ZS. ˇ I. d´ıl. Praha: SPN, 1983. [39] Bobok, J. a kol.: Matematika pro 8. roˇ cn´ık ZS. ˇ II. d´ıl. Praha: SPN, 1983. [40] Bobok, J. a kol.: Matematika pro 8. roˇ cn´ık ZS. [41] Smida, J. a kol.: Matematika pro I. roˇ cn´ık gymn´ azi´ı. Praha: SPN, 1984. ˇ ˇ a studijn´ı [42] Calda, E. — Petránek, O. — Repov´ a, J.: Matematika pro SOS obory SOU - 1. ˇ c´ ast. Praha: SPN, 1984. [43] Rieˇcan, B. a kol.: Matematika pro IV. roˇ cn´ık gymn´ azi´ı. Praha: SPN, 1987. [44] Pomykalová, E.: Matematika pro gymn´ azia. Planimetrie. Praha: Prometheus, 1993. [45] Herman, J. a kol.: Matematika pro tercii v´ıcelet´ ych gymn´ azi´ı. 5. d´ıl Geometrick´ e konstrukce. Praha: Prometheus, 1998. ˇ ˇ II. d´ıl. Praha: Prome[46] Sarounov´ a, A. a kol.: Matematika pro 8. roˇ cn´ık ZS. theus, 1999. ˇ 3. d´ıl. Praha: [47] Odvárko, O. — Kaleˇcek, J.: Matematika pro 8. roˇ cn´ık ZS. Prometheus, 2000. [48] Molnár, J. a kol. : Matematika 8. Olomouc: Prodos, 2000. [49] Bitnerová, H. — Fuchs, E. — Tlustý, P.: Matematika 8. Plzeˇ n: Nakladatelstv´ı Fraus, 2009. ˇ Planimetrie. Praha: Prometheus, 2011. [50] Molnár, J. : Matematika pro SOS. [51] http://www.pf.jcu.cz/cabri/

134

[52] http://geometrie.kma.zcu.cz/work/AU/ ˇ a-matematika-1 [53] http://www.docstoc.com/docs/18531464/Reck´ [54] http://euler.fd.cvut.cz/predmety/matematika/historie/ [55] http://www.cut-the-knot.org/Curriculum/Geometry/Malfatti.shtml [56] http://svp.muni.cz/ukazat.php?docId=507 [57] http://svp.muni.cz/ukazat.php?docId=378 [58] http://www.is.muni.cz/th/66307/pedf m/Kunes Tomislav [59] http://www.msmt.cz/vzedlavani/ramcovy-vzdelavaci-program-pro-zakladnivzdelavani-verze-2007 [60] http://www.vuppraha.cz/wp-content/uploads/2009/12/RVPG-2007-07 final.pdf [61] http://www.dagles.klenot.cz/rihova/pravnuhel.pdf [62] http://www.conti-sw.wz.wz [63] http://www.planimetrie.cz [64] http://kmd.fp.tul.cz/lide/zackova/GE1/Mnohouhelniky.pdf

135

ZÁPADOČESKÁ UNIVERZITA V PLZNI FAKULTA APLIKOVANÝCH VĚD KATEDRA MATEMATIKY

Recommend Documents