Za případné drobné chybky a nepřesnosti v textu se omlouvám. Jednoduché úročení

Za případné drobné chybky a nepřesnosti v textu se omlouvám

Jednoduché úročení 1. Jednoduchý příklad na výpočet úrokové sazby ze základní rovnice jednoduchého úročení: FV=PV*(1+r*t). Aby úroková sazba vyšla v p.a., je nutno časovou proměnnou (t) uvažovat v letech (tzn. t=5/12, nebo t=150/360 atd.). 2. Jednoduchý příklad na výpočet časové proměnné (t) ze základní rovnice jednoduchého úročení. Pokud budeme dosazovat úrokovou sazbu (r) v ročním vyjádření (12 %, resp. 0,12 p.a.), časová proměnná (t) vychází logicky taktéž v ročním vyjádření, neboli v letech. Jelikož ovšem otázka zní za kolik dní, je nutno tuto časovou proměnnou poté vynásobit 360, aby došlo k převedení roků na dny. 3. Převedeme hodnotu veškerých peněžních toků v obou variantách na hodnotu ke stejnému okamžiku. Je úplně jedno ke kterému okamžiku, ale musí to být k tomu stejnému okamžiku. A jelikož za motocykl chceme zaplatil v pozici kupujícího co nejméně, tak hledáme tu variantu, kde hodnota peněžních toků je nižší. Peněžní toky v obou variantách můžeme např. převést k současné hodnotě a ptát se tím způsobem, kolik bychom teď museli dát na účet např. ve variantě A, abychom si hned mohli vyzvednout 100 000 Kč a za 3 měsíce 50000 Kč. Pořád uvažujeme jednoduché úročení, tzn. PVA=100000/(1+0,05*0)+50000/(1+0,05*3/12)=149 382,72 Kč. Tím stejným postupem i u varianty B) PVB=55000/(1+0,05*1/12)+55000/(1+0,05*2/12)+55000/(1+0,05*3/12) =163 638,23 Kč. 4. Stejný typ příkladu jako příklad 3, ale hledáme vyšší částku, jelikož jsme v pozici věřitele a ten samozřejmě chce, aby mu dlužník zaplatil tu vyšší hodnotu, jelikož jsou ovšem peněžní toky v obou variantách vztaženy vždy k jinému časovému okamžiku, není možné jednoduše srovnat jejich absolutní hodnoty, ale je nutno jejich hodnotu převést ke stejnému okamžiku (je opět jedno ke kterému, hlavně k tomu stejnému -- v příkladu je zvoleno k současnosti) a až poté srovnat. U varianty A: PVA=10000/(1+0,06*5/12)=9756,10 Kč varianta B: PVB=11000/(1+0,06*10/12)=10476,2 Kč. 5. Každá splátka úvěru se vždy dělí na úmorovou a úrokovou část, přičemž je logicky rovna prostému součtu obou těchto částí (viz kapitola Umořování dluhu). Jelikož každá splátka úvěru obsahuje i zmíněnou úrokovou část, je automaticky úrokovací období u umořování dluhu rovno frekvenci splátek. To znamená, že pokud se jedná o měsíční splátky úvěru, je úrokovací období automaticky rovnou jednomu měsíci, jelikož banka účtuje úroky v každé splátce (úroková část splátky), to znamená každý měsíc. Úroková část se vždy vypočítá ve splátce jako nesplacená část dluhu za předchozí období krát úroková sazba za úrokovací období. A jelikož se pohybujeme v rámci jednoho úrokovacího období, tak používáme jednoduché úročení. Úrok v první splátce tak bude v tomto případě roven U = 1000000*0,045/12*1=3750 Kč. Jeden milion je ve vzorci kvůli tomu, že se jedná o první splátku, kdy jsme z původního dluhu jednoho milionu ještě nic nesplatili. Pokud je úrok roven 3750 Kč a splátka je rovna 10 000 Kč, je úmorová část (částka o kterou si danou splátkou snížíme nesplacenou část dluhu) doplňkem, to znamená 6 250 Kč. Po úhradě první splátky budeme v tomto případě tedy dlužit 1000000 mínus 6250 Kč. První splátka tak zaplatí hodnotu nemovitosti ve výši 6 250 Kč. 6. Máme dvě částky, každé vztaženy k jinému časovému okamžiku, takže si jejich hodnotu musíme převést ke stejnému časovému okamžiku a poté srovnat. Opět je jedno ke kterému, hlavně k tomu stejnému. Takže buď si 5 mil. Kč převedeme na hodnotu za rok a srovnáme s 5,4 mil. Kč, a nebo 5,4 mil. převedeme na současnou hodnotu a srovnáme 5 mil. Kč. Závěr bude stejný. Samozřejmě poté hledáme tu nižší hodnotu, jelikož chceme za nemovitost zaplatit co nejméně, resp. menší hodnotu.

1


7. Příklad na jednoduchý úrok. U=150000*0,0005*248 = 18 600 Kč 8. Srovnání předlhůtní a polhůtní úrokové sazby. Buď si vyjádříme předlhůtní úrokovou sazbu polhůtně a srovnáme s polhůtní, nebo si vyjádříme polhůtní úrokovou sazbu předlhůtně a srovnáme s předlhůtní. Viz příklad CZK versus EUR. Jedná se o úvěr z pohledu dlužníka, takže hledáme v konečném důsledku tu nižší úrokovou sazbu.

Složené úročení 1. Příklad na základní rovnici složeného úročení FV = PV ⋅ (1 + r )t . Pozor na úrokovací období, které je v tomto případě čtvrtletní, což znamená, že úrokovou sazbu (r) je nutno uvažovat jako čtvrtletní a časová proměnná (t) bude počet čtvrtletí. Dále je nutno uvažovat čistou úrokovou sazbu. Úroková sazba (r) se tedy v tomto případě bude rovnat r=(0,05*(1-0,15))/4 =0,010625 (p. q.) a časová proměnná (t) se bude rovnat t=12 (čtvrtletí), PV=5 000 Kč, FV=? 2. Převedeme 40 000 dolarů, které bychom obdrželi prodejem pozemku za 50 let na jejich současnou hodnotu, abychom vypočítali, kolik pro nás nyní má uvedený hektar půdy (resp. 40000 dolarů obdržených za 50 let) hodnotu. Uvažujeme složené úročení a v tomto případě předpokládáme roční úrokovací období, jelikož zde není stanoveno jinak, tak se přidržíme přípony u úrokové sazby a ta je ve formátu p. a. Proměnné vstupující do základního vztahu pro složené úročení se tedy rovnají: r=0,25 a t=50, FV=40 000 . Současná hodnota budoucích 40 000 dolarů je pro nás nyní 0,57 dolarů. Ale hektar půdu nyní stojí 40 dolarů. To znamená, že nabídku nevyužijeme, my jsme ochotni dát maximálně 0,57 dolarů, abychom vydělávali 25 % p.a., ale jelikož současná cena je 40 dolarů, tak to nekoupíme, jelikož bychom dosáhli nižšího výnosu a my požadujeme alespoň 25 % p.a. a to odpovídá maximální ceně 0,57 dolarů. Pokud by se nám podařilo tento hektar koupit levněji než za 0,57 dolarů, tak vyděláme více než 25 % p.a., pokud přesně za 0,57 dolarů, tak vyděláme přesně 25 % p.a. a pokud bychom jej měli koupit dráž (jako v tomto případě, 40 dolarů), tak bychom vydělali méně než požadovaných 25 % p.a. Čím bychom požadovali větší výnosnost, tím bychom logicky byli ochotni zaplatit méně a méně. 3. Výpočet úrokové sazby ze základní rovnice složeného úročení. Úrokovací období je ovšem pololetní, takže musíme dosazovat časovou proměnnou (t) v pololetích: t=6 a úroková sazba (r) nám logicky poté vychází v pololetním formátu, takže ji musíme poté vynásobit krát 2, abychom ji převedli do ročního formátu (p.a.). Takto vypočtená úroková sazba je ovšem taková úroková sazba, která nám opravdu dokáže při uvedených podmínkách zhodnotit vklad z 10 000 Kč na 15 000 Kč, a to i při zohlednění případného zdanění, takže se jedná o čistou úrokovou sazbu. My ale máme vypočíst výchozí hrubou úrokovou sazbu (která bude ve smlouvě), takže čistou úrokovou sazbu podělíme (1-0,15), čímž z čisté úrokové sazby počítáme hrubou úrokovou sazbu. 4. Stejný typ příkladu jako byl ten předchozí, nemáme ale přesně zadáno, kolik je PV a kolik FV, ale víme, že FV se má ztrojnásobit. Takže FV= 3*PV. FV a PV se nám poté ve vztahu zkrátí. Klidně si ale můžeme zvolit, že PV=1 Kč a FV jsou logicky 3 Kč, nebo PV=100 Kč a FV=300 Kč. Je to jedno, pod odmocninou se nám to vždy zkrátí takovým způsobem, že tam bude číslo 3. Nesmíme zapomenou ovšem, že úrokovací období je pololetní, takže t=20 a úroková sazba (r) nám vychází ve formátu p.s. (pololetní formát), takže ji musíme vynásobit krát 2 a převést ji tak do ročního formátu (p.a.). 5. Věřitel nyní zapůjčil 200 000 Kč a chce logicky vrátit tu stejnou hodnotu jako zapůjčil, to znamená, že hodnota dvou splátek, které budou ve stejné nominální výši, musí být po přepočtení

2


na současnou hodnotu taktéž 200 000 Kč. Úrokovací období je čtvrtletní, takže je nutno uvažovat čtvrtletní úrokovou sazbu r = 0,15/4 = 0,0375 p.q. a časovou proměnnou (t) je nutno taktéž uvažovat ve čtvrtletích, neboli první splátka bude hrazena za rok, takže u této splátky se t=4 a druhá splátka bude hrazena za tři roky, takže u této splátky se t=12.

200000 =

FV FV + 4 (1 + 0,0375) (1 + 0,0375)12

Efektivní úroková sazba 1. Jednouchý příklad na výpočet efektivní úrokové sazby u složeného a u spojitého úročení. Efektivní úroková sazba nám zohledňuje i úroky z úroků a řekne nám o kolik % budeme mít na účtu za jeden rok více než na počátku tohoto roku. U spojitého úročení platí, že re = e r − 1 . 2. Stejný příklad jako příklad 1, pouze jiná čísla :-).

Spojité úročení 1. Výpočet současné hodnoty (PV) ze základního vztahu pro spojité úročení ( FV = PV ⋅ e r ⋅t ). U spojitého úročení nelze určit úrokovací období (narozdíl od standardního složeného úročení), jelikož připisování úroků zde probíhá "neustále", proto spojité úročení. Takže vzoreček u spojitého úročení je koncipován tím způsobem, že proměnné (r) i (t) jsou poté vždy uvažovány v ročním formátu.

Smíšené úročení 1. Časová proměnná (t) u složeného úročení vyjadřuje počet úrokovacích období a její hodnota je tedy striktně navázána na formát úrokovacího období. Pokud ovšem není tato hodnota (t) rovna celému číslu, mělo by být metodologicky správně využito smíšené úročení (kombinace složeného a jednoduchého úročení). Tato kombinace spočívá v tom, že časová proměnná (t) je rozdělena na její celou část (n) a na neceločíselný zbytek (l). U celé části počtu úrokovacích období (n) bude poté využito složeného úročení a u neceločíselného zbytku (l) jednoduché úročení. 2. V tomto případě bude uvažována standardní rovnice složeného úročení, jelikož časová proměnná (t) je rovna t = 13, takže je rovna celému číslu, což znamená, že není nutno uvažovat smíšené úročení (kombinaci složeného a jednoduchého úročení). Dále je nutno uvažovat čistou úrokovou sazbu. 3. V tomto případě se časová proměnná (t) rovná t = 7/6, což znamená že není rovna celému číslu, takže je nutno použít smíšené úročení, kde n = 6/6 = 1 a t = 1/6. Z rovnice je poté kvantifikována současná hodnota (PV). Opět je nutno uvažovat čistou úrokovou sazbu. 4. V tomto případě kvantifikujeme hodnotu časové proměnné (t) ze základní rovnice pro složené úročení. Jelikož je úrokovací období pololetní je nutno vše uvažovat v pololetním formátu a úroková sazba musí být opět uvažována jako čistá úroková sazba. Celá část hodnoty časové proměnné (t), která vyjde v pololetích udává celý počet pololetí a necelá část této proměnné udává necelý počet pololetí. Pokud tuto necelou část vynásobíme krát 180, převedeme ji na dny. Správně metodicky by necelá část počtu úrokovacích období měla být zpřesněna prostřednictvím

3


smíšeného úročení, ovšem toto u tohoto druhu příkladů nevyžaduji. Výsledky ovšem jsou při přesném přepočítání, takže se mohou u několik dní lišit oproti jejich neupřesnění prostřednictvím smíšeného úročení. 5. Stejný příklad jako předchozí, pouze jiná čísla a jiné úrokovací období.

Inflace, nominální a reálná úroková míra 1. a) zboží stojí na konci roku 2000 přesně 10 000 Kč, o rok později (konec roku 2001) stojí o 5,1 % více, to znamená 10 000*(1+0,051). O rok později (konec roku 2002) stojí o toto zboží opět více, a to o 4,6 % oproti předchozímu roku, kdy stálo 10 000*(1+0,051). Na konci roku 2002 bude tak zboží stát 10 000*(1+0,051)*(1+0,046) a začne se projevovat navýšení ceny i z navýšení ceny z předchozího roku, to znamená, že se začne projevovat "inflace z inflace", což je stejný princip jako "úroky z úroků" u složeného úročení. Proto jsou zde ty stejné vztahy. b) Měli jsem pořád tu stejnou tisícikorunu, ale díky inflaci jsem si za ni mohli koupit pořád méně měně. Kvůli inflaci v roce 2001 to bylo o 5,1 % méně a kvůli inflaci z roku 2002 o 4,6 %. To znamená, že v roce 2002 jsem si za tu stejnou tisícikorunu mohli koupit stejně zboží a služeb jako v roce 2000 za 1000/((1+0,051)*(1+0,046)) = 909,63 Kč. 2. Typický příklad na výpočet čisté reálné úrokové sazby. Nejprve nám z našeho výnosu "ukousne" zdanění a poté inflace.

Spoření -- Budoucí hodnota anuity 1. Typický příklad na spoření a) ú.o. = rok, m=6, n=1, r=0,12, K=1000, typ=předlhůtní, Kc=? b) ú.o. = rok, m=6, n=1, r=0,12, K=1000, typ=polhůtní, Kc=? Kc je vyšší u předlhůtního spoření, jelikož každá ta úložky tam leží delší dobu a jsou k ní logicky připsány vyšší úroky než u polhůtního spoření. 2. Nájemci určitě nebude stačit pokud bychom mu místo 1500 Kč na začátku každého měsíce, dávali 4500 Kč na konci čtvrtletí. Jelikož pokud bychom mu dávali splátky měsíčně, mohl by je nájemce reinvestovat (ukládat) a po jednom čtvrtletí by měl určitě více než 4500 Kč, jelikož by se mu tyto tři úložky nějakým způsobem zúročili. Takže pakliže mu navrhneme čtvrtletní splátku místo tří měsíčních, bude chtít, zjednodušeně řečeno, minimálně tolik, kolik by díky těm třem měsíčním splátkám naspořil za čtvrtletí. Takže počítáme, kolik naspoříme na konci čtvrtletí, pokud na začátku každého jeho měsíce budeme za uvedených podmínek ukládat 1500 Kč. Vstupy: ú.o.=čtvrtletí, m=3, n=1, r=0,025, typ=předlhůtní, K=1500 Kč, Kc=? 3. Stejný typ příkladu jako předchozí, jenom převádíme stejným principem měsíční splátky na pololetní. Vstupy: ú.o.=pololetí, m=6, n=1, r=0,04, typ=polhůtní, K=3000 Kč, Kc=? 4. Typický příklad na spoření (nutno uvažovat čistou úrokovou sazbu) a) ú.o.=pololetí, m=1, n=10, r=0,068, K=500, typ=předlhůtní, Kc=? a) ú.o.=pololetí, m=1, n=10, r=0,068, K=500, typ=polhůtní, Kc=? 5. Typický příklad na spoření (nutno uvažovat čistou úrokovou sazbu) ú.o.=rok, m=1, n=6, r=0,0595, K=12000, typ=předlhůtní, Kc=?

4


6. Typický příklad na spoření ú.o.=pololetí, m=2, n=10, r=0,05, K=1250, typ=předlhůtní, Kc=? 7. Typický příklad na spoření -- počítáme velikost úložky ú.o.=rok, m=2, n=7, r=0,10, Kc=125 000, typ=předlhůtní, K=? 8. Vypočítáme nejprve, kolik bychom za uvedených 10 let naspořili, pokud by na začátku nebyla na účtu žádná částka, takže ú.o. = pololetí, r=0,06 p.s., m=2, n=20, K=1000 Kč, typ=předlhůtní; Kc=? Naspořená částka (Kc) by měla vyjít 76 882 Kč. Takže pokud bychom na začátku 10letého období neměli na účtu žádnou částku, tak díky spoření zde budeme mít na konci 10.roku částku 76 882 Kč. Ale my tam nyní máme 1 000 000 Kč, takže to, "co tam máme navíc" (1 000 000 Kč 76 882 Kč) je tam díky tomu, že na počátku 10letého období zde byl nějaký počáteční vklad, který zde pouze ležel a naúročil se do uvedeného rozdílu. Takže vypočítáme, jaká byla jeho hodnota k počátku tohoto období, takže uvedený rozdíl pouze odúročíme o 10 let zpátky prostřednictvím složeného úročení, resp. o 20 úrokovacích období (pololetí), takže ú.o. = pololetí, r=0,06, n=20, FV = (1 000 000 - 76 882), PV =? 9. Stejný typ příkladu jako příklad 8, ale pouze jiná čísla. 10. Stejný typ příkladu jako příklad 2 a příklad 3, jenom převádíme stejným principem roční splátky na jednu 6letou splátku. Vstupy: ú.o.= rok, r=0,10 p.a., m=1, n=6, typ=polhůtní, K=100 000 Kč, Kc=? 11. Zvlášť vypočítáme: a) naspořenou částku z úložek K=1000 Kč: ú.o.=pololetí, r=0,05 p.s., m=1, n=10, typ=polhůtní, Kc=? b) budoucí hodnotu (za 5 let) počáteční úložky PV=4000 Kč: ú.o.=pololetí, r=0,05 p.s., n=10, PV=4000 Kč, FV=? Všechny peníze byly na jednom účtu, takže v obou případech je nutné uvažovat stejné úrokovací období a stejnou výchozí úrokovou sazbu -- (viz příklady 8 a 9). Konečná částka na účtu je poté rovna součtu Kc a FV. 12. Je lhostejné, zdali nějakou úsporu spoříme na účtu, nebo někam investujeme při nějaké výnosové míře. Účet je zjednodušeně také investicí a jeho úroková sazba je vlastně výnosovou mírou. Takže pokud jsme pravidelně investovali nějakou úsporu (K) a po 5 letech máme o 37208 Kč, při 20% p.a. výnosové míře, tak jednoduše vypočítáme tuto úsporu, takže: ú.o.=rok, r=0,20 p.a., m=1, n=5, typ=polhůtní, Kc=37208 Kč, K=?. 13. Základní typ příkladu na spoření, tedy ú.o.= měsíc, r=0,01 p.m., m=1, n=36, K=1000 Kč, typ=polhůtní, Kc=?

Důchody -- Současná hodnota anuity 1.

Základní typ příkladu na problematiku důchodu: ú.o. = pololetí, r=0,04 p.s., m=1, n=20, k=0, a=16000 Kč, typ=polhůtní, D=?

2.

Základní typ příkladu na problematiku důchodu: ú.o. = rok, r=0,045 p.a., m=12, n=15, k=0, a=1000 Kč, typ=předlhůtní, D=?

5


3.

a) b)

Kombinace spoření důchodu. Za dlužné částky nebude pronajímateli stačit zaplatit pouze 4*10000 Kč, ale víc, jelikož kdyby dostával nájemné včas, tak mohl dané částky uložit a mít z nich více než 40 000 Kč. Takže vypočítáme pro tyto 4 dlužné částky jejich budoucí hodnotu -- spoření (k 1.1.2001). Pokud se týká 8 předplacených nájemných, tak zase nájemce nedá pronajímateli dopředu 8*10000 Kč (co by z toho měl ☺), ale dá mu o něco méně, jelikož by mohl nižší částku než 80 000 Kč uložit na účet za uvedených podmínek a pak si postupně vybírat částky 10 000 Kč a platit to nájemné. Takže pro tyto předplacené nájmy zase vypočítáme naopak jejich současnou hodnotu -- důchody (k 1.1.2001). No a pak budeme mít vypočtenou jak budoucí hodnotu dlužných nájmů k 1.1.2001, tak současnou hodnotu předplacených nájmů k 1.1.2001, tak tyto dvě hodnoty, jelikož jsou vypočteny ke stejnému okamžiku, můžeme sečíst (Kc+D) a říct kolik bude celkem k 1.1.2001 zaplaceno. Dlužné nájmy: ú.o.=čtvrtletí, r=0,01 p.q., m=1, n=4, K=10000 Kč, typ=předlhůtní, Kc=? Předplacené nájmy: ú.o.=čtvrtletí, r=0,01 p.q., m=1, n=8, k=0, a=10000 Kč, typ=předlhůtní, D=? Celkově bychom tedy měli zaplatit částku, která hodnotou odpovídá 12 splátkám nájemného, které činí 10 000 Kč, a dle výsledku tak zaplatíme 118 292 Kč, což je méně než 120 000 Kč (12*10 000 Kč). Je to z toho důvodu, že předplacených nájmů bylo více než těch dlužných.

4.

Odložený důchod, kdy počítáme výši anuity: ú.o.=čtvrtletí, r=0,01 p.q., m=3, n=160, k=80, typ=předlhůtní/polhůtní – (spočítejte pro obě možnosti), D=1000 000 Kč, a=?

5.

Zvlášť vypočítáme současnou hodnotu nájmů 50 000 Kč a zvlášť vypočítáme současnou hodnotu nákladů na bourání (je to částka v individuální výši, tak se s ní individuálním způsobem prostřednictvím složeného úročení vypořádáme). Jelikož obě tyto hodnoty budeme mít převedeny k tomu stejnému okamžiku (k současnosti, resp. myšleno k počátku období) můžeme je sečíst (D+PV). současná hodnota budoucích nájmů: ú.o.=rok, r=0,20 p.a., m=4, n=10, k=0, typ=předlhůtní, a=50 000 Kč, D=? současná hodnota budoucích jednorázových nákladů: ú.o.=rok, r=0,20 p.a., n=10, FV=-500 000, PV=?

a) b) 6.

Cena pohledávky byla přesně taková, jakou měla k danému okamžiku pohledávku hodnotu, resp. jakou hodnotu měly k danému okamžiku peněžní toky, které z ní měly ještě plynout. Takže k počátku 4. roku vypočítáme hodnotu všech splátek, které ještě budou z pohledávky plynout ve 4. a 5. roce, takže: ú.o.=čtvrtletí, r=0,025 p.q., m=1, n=8, k=0, typ=polhůtní, a=500, D=?

7.

Typický příklad na kombinaci spoření a důchodu, počítáme velikost pobírané anuity (a)., není zde aplikován odklad.

8.

Typický příklad na kombinaci spoření a důchodu, počítáme velikost pobírané anuity (a)., není zde aplikován odklad, ale pozor, je zde věčný důchod.

9.

Typický příklad na kombinaci spoření a důchodu, počítáme velikost pobírané anuity (a)., není zde aplikován odklad, ale pozor, je zde věčný důchod.

10. Zkuste na to přijít sami ☺, vrátíme se k tomu v případě potřeby na konzultaci. Ale nic složitého v tom není. 11. Zkuste na to přijít sami ☺, vrátíme se k tomu v případě potřeby na konzultaci. Ale nic složitého v tom není.

6

Za případné drobné chybky a nepřesnosti v textu se omlouvám. Jednoduché úročení

Recommend Documents