Vontatás – I. Érdekes, de a mechanikai szakirodalom tanulmányozásának évtizedei során alig találkoztam vontatással kapcsolatos munkákkal. Persze, egynéhánnyal igen – [ 1 ] – , hiszen ez elkerülhetetlen például a pótkocsis teherautók íves pályán történő mozgásának tanulmányozásánál. Azonban maradt egy olyan érzésem, hogy ezek csak speciális, illetve kipreparált esetek. Nos, ez nem a véletlen műve. Mindjárt látjuk, hogy a feladat – vagyis a vontatott jármű mozgásának leírása a vontató jármű mozgásának ismeretében – nem igazán egyszerű feladat, matematikai szempontból sem. Manapság a számítógépes segítséggel már egy kicsit bátrabbak vagyunk. Alapvetően két munkára támaszkodunk – [ 2 ] , [ 3 ] – , melyek tanulmányozása sokat segített a lényeg megközelítésében. A sok feladat - fajta közül a legegyszerűbbel kezdjük: a vontatott kerékpárral. Ilyeneket szemléltet az 1. ábra is.
1. ábra A képek forrása: http://totalcar.hu/magazin/hirek/2010/07/22/masfel_jeep_a_nyaralashoz/ http://borsa.hu/20090324/5_dolog_amit_bicikli_utan_csatolhatunk/biciklihez_csatolhato_utanfutok/
A feladat Ehhez tekintsük a 2. ábrát! Itt azt szemlélhetjük, hogy az l hosszúságú AB rúdhoz a B végén egy kerékpárt rögzítettek, merőlegesen. A rúd A végpontját egy adott gA görbén vezetjük végig, miközben a B végpontja a keresett gB görbén halad. Berajzoltuk a kezdő helyzethez tartozó állást is, „0” index - szel jelölve azt. A C pont a rúd pillanatnyi forgáspontja / sebességpólusa – [ 4 ]. Ezek a pontok a gC görbén haladnak. A gB görbét a továbbiakban vontatási görbének nevezzük.
2
2. ábra Egy tetszőleges B pontjának az ( O x y ) derékszögű koordináta - rendszerben vett koordinátái a 2. ábra szerint:
x B (s) x A (s) l cos A (s) A (s) , y B (s) y A (s) l sin A (s) A (s) .
(1)
Ezek szerint a feladat: a φA( s ) függvény meghatározása, ahol s az A0A ívhossz. A megoldás Ehhez tekintsük a 3. ábrát is! Az A pont a gA görbén vA pillanatnyi sebességgel mozogva dt idő alatt A1 - be jut. Eközben a B pont a gB görbén vB pillanatnyi sebességgel mozogva dt idő alatt B1 - be jut. Az AB rúd ezalatt dψ szöggel elfordul. Minthogy a φA szög a e pályaérintő és a rúdtengely által közbezárt szög, ennek megváltozása:
d A A1 A ;
(2)
de a 2. ábra szerint:
A1 A d d,
(3)
így ( 2 ) és ( 3 ) - mal:
d A d d.
(4)
3
3. ábra ( 4 ) - ből:
d d d A .
(5)
Most írjuk fel a dsA ívelemet kétféleképpen is! Először a ρ görbületi sugárral:
ds A d,
(6)
innen:
d
ds A .
(7)
Ezután ( 5 ) és ( 7 ) - tel:
d
dsA d A .
(8)
Másodszor az AC pólustávolsággal, a 3. ábráról:
ds A AC d; az ábrák szerint:
(9)
4
AC
l , sin A
( 10 )
így ( 9 ) és ( 10 ) - zel:
ds A l ds A d A ; sin A
( 11 )
rendezve:
ds A
sin A ds A d A , l
innen
d A
1 sin A ds A sin A ds A ds A , l l
( 12 * )
majd az „A” indexet elhagyva:
1 sin d ds . l
( 12 )
Ebből:
d(s) sin (s) 1 . ds l (s)
( 13 )
A ( 13 ) nemlineáris elsőrendű differenciálegyenlet írja le az e érintő egyenes és az AB rúd tengelye által közbezárt φ szög változásának törvényét, a pálya befutása során – [ 2 ]. A ( 13 ) egyenlet – [ 2 ] szerint – átírható az
u(s) tg
(s) 2
( 14 )
helyettesítéssel; ( 14 ) deriválásával:
du(s) 1 1 d(s) , ds ds 2 (s) 2 cos 2 innen ( 14 ) - gyel : d(s) (s) du(s) 2 du(s) 2 du(s) 2 cos 2 ; 2 ds 2 ds ds 1 u (s) ds 2 (s) 1 tg 2 majd újabb azonos átalakítással:
( 15 )
5
(s) (s) tg (s) (s) 2 cos 2 (s) 2 2 sin (s) 2 sin cos 2 , (s) 2 2 2 2 (s) cos 1 tg 2 2 és ( 14 ) - gyel is ( 16 ) - ból: sin
sin (s) 2
u(s) ; 1 u 2 (s)
( 16 )
( 17 )
most ( 13 ), ( 15 ), ( 17 ) - tel:
2 du(s) 2 u(s) 1 , 1 u 2 (s) ds l 1 u 2 (s) (s) vagy – [ 2 ] –
du(s) u(s) 1 u 2 (s) . ds l 2 (s)
( 18 )
Ez egy Riccati - féle differenciálegyenlet, melynek integrálása komolyabb nehézségeket okozhat, mert ( 18 ) általános megoldása csak kivételes esetekben fejezhető ki egyszerű integrálokkal – [ 5 ], [ 6 ]. Alább éppen ilyeneket veszünk közelebbről is szemügyre.
Megjegyzések: M1. Felmerülhet a gyanú, hogy a 3. ábra segítségével végzett levezetésnél nincs minden rendben; például a ( 9 ) összefüggés felírása önkényesen történt. Hogy ez nem így van, azt közvetve az alábbiakkal igazoljuk. A 3. ábra alapján:
l l d d v A ; sin A sin A dt l l d ds B v B dt d v B ; tg A tg A dt ds A v A dt
képezve ( 20 ) és ( 19 ) hányadosát:
l d vB tg A dt sin A cos A , l d vA tg A sin A dt innen
v B v A cos A v A ,
( 19 ) ( 20 )
6
tehát – ld. a 3. ábrát is! – :
v B v A .
( 21 )
( 21 ) jelentése – tétel: a rúd egyes pontjainak rúdirányú sebességkomponensei egymás közt egyenlők – [ 4 ]. Ennek helyessége az AB rúd merevségéből következik, hiszen mozgás közben a rúd pontjai egymástól változatlan távolságban maradnak. Visszafelé haladva: ha a ( 21 ) most belátott / helyes tételre jutottunk, akkor a kiindulás is helyes volt. M2. A ( 21 ) képletből kiolvasható, hogy a rúd két végének sebessége általában eltérő nagyságú. M3. A 3. ábrán a színezés az ABC háromszög merevtest - szerű elfordulásának szemléltetését kívánja elősegíteni. M4. Ilyet nem szoktunk mondani, de most ennek is eljött az ideje. Bár az alapgondolatok és a levezetések fontosabb eredményei a szakirodalomból vétettek, azért a részletekre sokszor saját munka árán tettünk szert; ilyen pl.: a 3. ábra is. Eléggé furcsa egy kinematikai feladat alapegyenlete levezetésének magyarázó ábráját mellőzni! Nem kicsit lenne bajos, ha szerzője azt gondolta volna, hogy ezt nyilván úgyis mindenki magától is tudja! Egy frászt! Speciális esetek S1.) . Ebben az esetben az A pont egy egyenesen halad. A ( 18 ) egyenlet ekkor
du(s) u(s) 0 ds l alakot ölt. Ennek megoldása a változók szétválasztásának módszerével:
du(s) u(s) 0 ds l du(s) u(s) , ds l du ds , u l integrálva
s ln u ln u 0 , l
( 22 )
7
ln
u s , u0 l
s l
u(s) u 0 e .
( 23 )
Most ( 14 ) - et ( 23 ) - ba téve:
0 sl (s) tg tg e . 2 2
( 24 )
Legyen az A pont pályája az x tengely – 4. ábra!
4. ábra Ekkor
s sA x A ,
( 25 )
így ( 24 ) és ( 25 ) - tel:
0 xlA (x A ) tg tg e ; 2 2
( 26 )
most választunk:
0 90. Így ( 26 ) és ( 27 ) - tel:
( 27 )
8 x A (x A ) tg e l , 2
innen
x A l ln tg
. 2
( 28 )
A B pont koordinátáit ( 1 ) - ből kapjuk. Ha az A pont az x tengelyen halad, akkor
A (s) 0; yA (s) 0.
( 29 )
Az ( 1 ) képletek alakja ekkor:
x B x A l cos , yB l sin .
( 30 )
Végül ( 28 ) és ( 30 ) - cal:
x B ( ) l ln tg cos 2 y B ( ) l sin .
,
( 31 )
Ez a traktrix nevű görbe paraméteres egyenletrendszere. A görbe az 5. ábrán látható, l = 1 m felvételével – piros színnel. Innen leolvasható, hogy gyakorlatilag kb. 5 ~ 6 m vontatás – vagyis az A pont pályáján kb. a rúd hossza öt ~ hatszorosának megfelelő távolság megtétele – után már a B pont is az x tengelyen fut. Ha
0 90 ,
( 32 )
akkor ( 26 ) - ból: x A l
e
2 , tg 0 2 tg
innen
x A l ln tg ln tg 0 ; 2 2
( 33 )
most ( 30 ) és ( 33 ) - mal:
x B () l ln tg ln tg 0 cos 2 2 y B () l sin .
,
( 34 )
9
1
y
Traktrix 0.5
A0 -0.5
x 0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
-0.5
B0 -1
B0
-1.5 x(t)=-ln(tan(t/2))-cos(t) , y(t)=-sin(t) x(t)=-ln(tan(t/2))+ln(tan(60/2))-cos(t) , y(t)=-sin(t) P ontsor 1 P ontsor 2
-2
5. ábra Az 5. ábrán sötétzöld színnel feltüntettük a φ0 = 60° - hoz tartozó görbét is. Megemlítjük, hogy ha az A pont sebességének nagysága az idő függvényeként
v A (t)
dx A (t) , dt
akkor t
x A (t) v A ()d, 0
majd ( 26 ) - tal is: 1 l
t
vA ( )d 0 x Al(t ) 0 tg tg e tg e 0 , 2 2 2 innen az időfüggvény:
( 35 )
10 t 1 v A ( )d 0 l . (t) 2 arctg tg e 0 2
( 36 )
A rúd szögsebessége ( 19 ) - ből:
d sin (t) v A (t) , dt l
( 37 )
a rúd szögelfordulása ( 37 ) - ből: t
1 (t) sin () vA () d . l 0
( 38 )
Például:
v A konst.
( 39 )
esetén: ~ ( 35 ) és ( 39 ) - cel:
tg tg 0 e 2 2
v A t l
;
( 40 )
innen:
vA t (t) 2 arctg tg 0 e l ; 2
( 41 )
~ itt ( 38 ) helyett a ( 4 ) képlettel:
d A d d;
(4)
mivel ebben a speciális esetben
d 0,
( 42 )
így ( 4 ) és ( 42 ) - ből:
(t) C (t),
( 43 )
ahonnan a t = 0 pillanatban érvényes
(t 0) 0 , (t 0) 0
( 44 )
kezdeti feltételekkel is:
C 0 ,
( 45 )
így ( 43 ) és ( 45 ) - tel:
(t) 0 (t),
( 46 )
11
innen
(t) 0 (t);
( 47 )
végül ( 41 ) és ( 47 ) - tel:
v A t (t) 0 2 arctg tg 0 e l . 2
( 48 )
Megjegyzések: M1. Látható, hogy ebben a legegyszerűbb speciális esetben is eléggé bonyolult képletek adódnak. Ez a tény eléggé elriaszthatja a szerzőket a téma mélyebb boncolgatásától. M2. Az is jól érzékelhető, hogy a vontató és a kerékpár egy ideig jelentősen eltérő pályán halad, vagyis a vontatmány pályája egy részén mintegy kiszélesíti az utat. S2.) a konst. Ebben az esetben az A pont egy körpályán mozog – 6. ábra.
6. ábra A ( 18 ) egyenlet ekkor a
du u 1 u 2 ds l 2a alakot ölti.
( 49 )
12
Átrendezve:
du 1 u 2 u , ds 2 a l 2a du 2a 2 a 1 u 2 u u 1 u 2 ; l ds l szétválasztva a változókat:
2 du 2a u 1 u 2 l
ds ; a
( 50 )
új változót vezetve be ( ez a v nem sebesség! ) – [ 2 ] – :
a v u; l
( 51 )
ezzel
dv du, a u v. l
( 52 ) ( 53 )
Most ( 50 ) bal oldala, ( 52 ) és ( 53 ) - mal:
2 du
2 dv 2 2a 2 u 1 u 2a a v 1 a v l l l l 2 dv 2 dv 2 2 a 2a a 2 a 2a 2 2 v 1 v v 2 1 v l l l l l 2 dv 2 dv 2 dv , 2 2 a 2 v a 2 1 v 2 1 v l l tehát
13
2 du 2a u 1 u 2 l
2 dv , v2
( 54 )
ahol bevezettük a
a 1 l
2
( 55 )
jelölést is. Most ( 50 ) és ( 54 ) - gyel:
ds 2 dv ; a v2
( 56 )
integrálás után – egy c integrálási állandóval is – kapjuk :
s c 2 dv . a v2
( 57 )
A további elemzésnek az ( 57 ) képlet képezi a kiindulópontját – [ 2 ]. Itt három al - esetet különböztetünk meg, aszerint, hogy β = 0, β < 0, β > 0 áll - e fenn. S2 / 1. al - eset:
0.
( 58 )
Ekkor ( 55 ) - ből:
a 1 a l. l
( 59 )
Majd ( 57 ) és ( 58 ) - cal:
sc dv 2 2 2 ; a v v
innen:
v
2a 2 a ; s c s s0
( 60 )
most ( 51 ) és ( 60 ) - nal:
a 2 a v u , l s s0
( 61 )
majd ( 14 ) és ( 61 ) - gyel:
tg
(s) a 2a , 2 l s s0
( 62 )
14
valamint ( 59 ) és ( 62 ) - vel:
tg
(s) 2 a 1 ; 2 s s0
( 63 )
innen:
2a (s) 2 arctg 1 s s
. 0
( 64 )
A ( 63 ) képletből közvetlenül kiolvasható, hogy
ha s , akkor tg
(s) 1, 90 . 2
( 64 )
A 7. ábrán szemlélhetjük a ( 64 ) egyenlet szerinti függvény viselkedését. fi ( fok ) 100
80
60
40
20
s ( m) -20
20
40
60
80
100
120
140
160
-20
-40 f(x)=2*atan(1-2/(x-1)) f(x)=90
-60
-80
-100
7. ábra Ez azt jelenti, hogy ekkor B K , ugyanakkor C K , aszimptotikusan.
180
200
15
A folyamatot a 8. ábra szemlélteti.
8. ábra Ha s = s0, azaz az A pont az ívhossz - számítás kezdő pontjában van, akkor a hozzá tartozó φ0 szögre ( 63 ) szerint:
tg
0 2 a 1 , 2 s0 s0
azaz
0 180. Ezt mutatja a 8. ábra bal oldali része. A körön való néhány körbefutás után – a 7. ábra alapján – a helyzet már a 8. ábra jobb oldali része szerinti; elegendően sok kör megtétele után pedig a 8. ábra alsó része szerinti lesz a helyzet. Innentől kezdve a B pont már a helyén marad, a kör középpontjában. Összefoglalva ezt az al - esetet: abban az esetben, ha a kerékpár A pontját egy a kerékpár rúdhosszával egyező sugarú körön mozgatjuk, akkor a rúd B végpontja előbb - utóbb beáll a kör középpontjába.
16
S2 / 2. al - eset:
0;
( 65 )
ekkor ( 55 ) - ből:
a 1 a l. l
( 66 )
Véve a
2
( 67 )
jelölést, ( 55 ) - tel:
2 a 2 a 1 1 2 , l l
( 68 )
innen:
a 1 . l 2
( 69 )
Most ( 57 ) - tel:
sc 2 dv 2 dv 1 v 1 v 2 ln ln , a v 2 v 2 2 2 v v
( 70 )
ahol integráltáblázatot is használtunk – [ 6 ]. Innen átalakításokkal: sc
a
v , v
sc
Be
a
,
v , v B v B v , B
v 1 B 1 B, sc
v
a
1 B 1 e . sc 1 B a 1 e
De tudjuk – [ 6 ] –, hogy
ch(x) e x ex 1 e2x cth(x) , sh(x) e x ex 1 e2x
( 71 )
17
így
. v cth s c 2 a
( 72 )
Most ( 51 ) és ( 72 ) - vel:
a , u cth s c l 2 a innen:
a ; u cth s c l 2 a
( 73 )
majd ( 14 ) és ( 73 ) - mal:
tg
(s) a . cth s c 2 l 2 a
( 74 )
A ( 71 ) függvényről leolvasható, hogy
cth(x) 1, ha x .
( 75 )
Így ( 74 ) és ( 75 ) – tel írható, hogy
tg
(s) a , ha s . 2 l
( 76 )
Ez a határérték, ( 69 ) - cel is:
a a tg 1 2 l l
a 1 . l 2
( 77 )
ami ( 16 ) szerint
sin1 2
tg 1 2
1 tg 2 1 2
2
a a 1 2 l l 2
a 1 l 2
a 1 a 1 l l 2
2
a a 1 l l l 2 2 , 2 2 2 a a a a a a a 1 2 2 1 2 l l l l l l a l
tehát
a 1 l
a l
2
2
18
sin1
l . a
( 78 )
A ( 78 ) szerinti határhelyzetet szemlélteti a 9. ábra
9. ábra Látjuk, hogy e határhelyzet elérése után a kerékpár B pontja egy
l rB a cos 1 a 1 sin 1 a 1 a 2 l 2 a 2
2
( 79 )
sugarú körön fog haladni. A vontatmány viszonylag gyorsan eléri ezt a helyzetet, hasonlóan az egyenes menti vontatáshoz. Ha ( 78 ) - ban elvégezzük az
la
( 80 )
átmenetet, akkor
1 90 ,
( 81 )
és ( 79 ) - ből:
rB 0.
( 82 )
Ekkor előállnak az a.) al - eset eredményei. Ezek gyakorlatilag is érdekesek. Összefoglalva ezt az al - esetet: abban az esetben, ha a kerékpár A pontját egy a kerékpár rúdhosszánál nagyobb sugarú körön mozgatjuk, akkor a rúd B végpontja előbb - utóbb rááll egy körpályára, melynek sugara kisebb, mint az A pont pályasugara. Látható, hogy ez esetben is egy szélesebb útpályára van szüksége a járműnek, mint a saját szélessége, vagyis most is mintegy kiszélesíti az utat a jármű.
19
S2 / 3. al - eset:
0.
( 83 )
Ekkor ( 55 ) - ből:
a 1 a l. l
( 84 )
Véve a
2
( 85 )
jelölést, ( 55 ) - tel:
a 1 2 , l 2
innen
a 1 . l 2
( 86 )
Most ( 57 ) - tel:
sc 2 dv 2 dv 2 v arctg , a v2 v2 2
( 87 )
ahol integráltáblázatot is használtunk – [ 6 ]. Innen átalakításokkal:
sc v arctg , 2 a s c v s c tg tg , 2 a 2 a
végül
s c v tg . 2 a
( 88 )
Most ( 51 ) és ( 88 ) - val:
s c a u tg , 2 a l innen
s c a u tg ; 2 a l majd ( 14 ) és ( 89 ) - cel:
( 89 )
20
tg
s c a tg . 2 a 2 l
( 90 )
Ezután ( 86 ) és ( 90 ) - nel: 2 2 a a a s c . tg 1 tg 1 l l 2 a 2 l
( 91 )
A B pont pályája paraméteres egyenletrendszerének felállításához tekintsük a 10. ábrát is!
10. ábra Választás:
c s0 0;
( 92 )
az A pont koordinátái:
x A a cos A ; yA a sin A .
( 93 )
A 10. ábrából:
A 90 A .
( 94 )
Most ( 93 ) és ( 94 ) - gyel:
x A a cos 90 A a sin A , y A a sin 90 A a cos A .
( 95 )
21
Majd ( 1 ) - et felidézve:
x B x A l cos A , y B y A l sin A .
(1)
most ( 95 ) és ( 1 ) - gyel:
x B A a sin A l cos A , y B A a cos A l sin A .
( 96 )
Ezután ( 91 ) és ( 92 ) - vel: 2 2 a a s a ; tg 1 tg 1 l l 2 a 2 l
( 97 )
ismét a 10. ábráról:
s a A ,
( 98 )
innen:
s A ; a
( 99 )
most ( 94 ) és ( 98 ) - cal:
s 90 A , a innen:
s 45 A . 2 a 2
( 100 )
Majd ( 97 ) és ( 100 ) - zal: 2 2 a a A a tg 1 tg 1 45 , l l 2 l 2
( 101 )
ebből:
a a 2 a 2 A A 2 arctg 1 tg 1 45 . l l l 2
( 102 )
Most ( 96 ) - ot átírva:
x B A a sin A l cos A A , y B A a cos A l sin A A . A feladatunk megoldását ( 102 ) és ( 103 ) adja.
( 103 )
22 y(B)/l 1.5
1
0.5
x(B)/l -2
-1.5
-1
-0.5
0.5
1
1.5
-0.5
-1
x(t)=-(1/3)*sin(t)-1*cos(t+fi(t)) , y(t)=(1/3)*cos(t)-1*sin(t+fi(t)) r(t)=2/3 r(t)=4/3
-1.5
11. ábra A 11. ábrához felvett adat: a / l = 1 / 3. Látjuk, hogy ebben az al - esetben a megoldás nem konvergál egy adott véghelyzethez, hanem ciklikus jellegű. A kapott görbe alakját a c integrálási állandó alapvetően nem befolyásolja, csak a kezdőpont helyét rögzíti. Ezt itt mi önkényesen vettük fel. A görbe alakját az a / l viszony lényegesen befolyásolja. Az „ábra - virág” egy „szirma” annak felel meg, hogy az A pont az a sugarú kör kerületét egyszer befutja. A 11. ábrán feltüntetett körök sugaraira: rbelső a 1 2 1 1 , l l 3 3 rkülső a 1 4 1 1 . l l 3 3 Összefoglalva ezt az al - esetet: abban az esetben, ha a kerékpár A pontját egy a kerékpár rúdhosszánál kisebb sugarú körön mozgatjuk, akkor a rúd B végpontja ciklikus jellegű mozgást végez.
23
Megjegyzések: M1. A ( 102 ) függvény képe a 12. ábrán látható. 350
fi ( fok )
300 f(x)=2*atan(0.3333+0.9428*tan(0.9428*(45-0.5*x)))
250
200
150
100
50
theta ( fok ) -150
-100
-50
50
100
150
200
250
300
350
400
450
500
550
600
650
-50
-100
-150
-200
-250
12. ábra
M2. Eddig a kerékpárt a 13. ábra bal oldali részének megfelelően jelöltük. ( Ez megfelel a 14. ábrának, ahol az utánfutó rúdját a vontatóra ráakasztják.) Ezzel egyenértékű a jobb oldali ábrarész szerinti jelölés, hiszen ebben a helyzetben mindkét szerkezet A és B pontja ugyanúgy mozdul el: a keréktengelyekre merőlegesen. ( Ez megfelel annak, hogy a kerékpár rúdját az elején egy másik kerékpárra támasztják.) Ekkor a szerkezetet kétkerék - párnak is mondhatjuk. M3. Most kapcsoljunk A - ban a kétkerék - párhoz egy rudat! Ezzel megkaptuk a lovaskocsi kinematikai modelljét – 15. ábra. Ennek gazdasági ( lovas - )szekér változatát a 16. ábrán, egy teherbíróbb, rönkszállító változatát pedig a 17. ábrán szemlélhetjük. ( Rönkös pótkocsi. ) A 14., 16., 17., 18. ábrák forrása: [ 1 ].
24
13. ábra
14. ábra
15. ábra
25
16. ábra
17. ábra A lovaskocsi mozgásának leírása az eddigiek alapján – elvileg – már egyszerű: két különállónak képzelt kerékpárra bontjuk, ahol a 2. kerékpár A2 pontja a B pont, B2 pontja pedig a C pont. Elvileg ezt tetszőleges kerékpár esetére alkalmazhatjuk. M4. Egy összetettebb eset látható a 18. ábrán. Ezt az eddigiek szerint négykerék - párnak nevezhetjük. M5. Nem érdektelen megemlíteni azt a tényt sem, hogy a vontatás témakörének magyar szakirodalma szegényesnek is mondható. Igaz, hogy a felmerülő matematikai nehézségek riasztóak lehetnek, de az interneten itt - ott felbukkanó üldözési / vontatási animációk is azt mutatják, hogy újra meg kellene nyitni ezt a lezártnak tűnő fejezetet.
26
18. ábra M6. Tanulmányainkból tudjuk, hogy az útépítésben alkalmazzák az ún. átmeneti íveket. Ennek lényege, hogy egy egyenest ( ρ = ∞ ) és egy kört ( ρ = R ) egy olyan ívvel kötnek össze, melynek görbülete az ívhosszal egyenesen arányos – [ 1 ] , [ 5 ] – :
1 k 2 s, (s)
( 104 )
ahol k egy arányossági tényező / állandó. A ( 104 ) egyenlettel leírt görbe: a klotoid. Most ( 18 ) és ( 104 ) - gyel:
du(s) u(s) k 2 1 u 2 (s) s . ds l 2
( 105 )
Tehát az egyenest és a körívet összekötő klotoid átmeneti íven a kerékpár B pontja mozgásának leírásához a ( 105 ) egyenlet megoldása szükséges. M7. Többször említettük, hogy vontatáskor a kerékpár / kerékpárok mintegy kiszélesítik az útpályát. Ehhez tekintsük a 19. ábrát is – ld.: [ 1 ]! – , melynek címe: „ Szálfaszállító lovasfogat az ívben”. A 19. ábra megfelel az S2 /2 speciális esetben látott állandósult állapotnak, tekintettel az M3. - ban mondottakra is. Látható, hogy a B normális pályaszélességet meg kell növelni a B B1 B2 értékkel, ahol: ~ B1 : az első és a hátsó tengely közepe fordulási körének sugarai közti különbség; ~ B2 : az első tengely közepe és a kocsirúd elülső vége ( a lovak befogási hossza ) fordulási körének sugarai közti különbség.
27
19. ábra A pályaszélesítés számítása a 19. ábra – [ 1 ] – alapján a következő. Adott: ~ h: a tengelyek egymástól való távolsága; ~ l: a rúdhossz / a vonóállatok befogási hossza; ~ α: a rúd legnagyobb elfordulási szöge; ~ B: az útpálya normális szélessége. Keresett: ~ Bív : a pályaszélesség az ívben. Megoldás ( eltérően [ 1 ] - től ): Az első tengely középpontjának fordulási sugara:
Re
h ; sin
(a)
a hátsó tengely középpontjának fordulási sugara:
Rh
h cos ; sin
(b)
28
majd
B1 R e R h ;
(c)
most ( a ), ( b ), ( c ) - vel:
B1
h h cos . sin sin
(d)
Ezután Pitagorász tételével is:
R e B2 R e2 l 2 , innen:
l 2 2 B2 R e l R e R e 1 R
R e . e 2
(e)
Most ( a ) és ( e ) - vel:
2 l h l h h h B2 1 1 sin . h sin h sin sin sin sin 2
(f)
Látható, hogy
B B1 B2 ,
(g)
így ( d ), ( f ) és ( g ) - vel:
l h h h h B cos 1 sin h sin sin sin sin 2
2 2 l l h h h 1 sin cos 1 sin cos , h sin h sin sin tehát:
2 l h B 1 sin cos . h sin
(i)
A teljes pályaszélesség az ívben:
Bív B B; most ( i ) és ( j ) - vel:
(j)
29 2 l h Bív B 1 sin cos . h sin
Ezzel a feladatot megoldottuk. Számpélda, [ 1 ] - ből vett adatokkal: Adott: h = 8 m, l = 4 m, α = 30°, B = 3 m. Keresett: Bív. Megoldás: Az ( i ) képlettel: 2 l h B 1 sin cos h sin 2 4 m 8m 1 sin 30 cos 30 2, 64 m, 8 m sin 30
tehát:
B 2, 64 m.
Ez a részeredmény jól egyezik az [ 1 ] - beli részeredménnyel. A ( j ) képlettel:
Bív B B 3, 00 m 2, 64 m 5, 64 m, tehát:
Bív 5, 64 m. Ez az eredmény nem egyezik az [ 1 ] - beli eredménnyel...! M8. Most írjuk fel az M7. - ben szereplő kocsira a ( 78 ) és a ( 79 ) képlet szerinti adatokat! A 9. és a 19. ábra adatait összehasonlítva látjuk, hogy
a R e2 l2 ;
(*)
( a ) - val:
Re
h ; sin
( * ) és ( a ) - val:
(a)
(k)
30
h a l2 ; sin 2
( ** )
( 78 ) és ( ** ) - gal:
sin1
l l ; 2 a h 2 l sin
( *** )
( 79 ) és ( ** ) - gal:
rB a 2 l2
h . sin
( **** )
M9. A vontatási görbék nem csak számítással, hanem szerkesztéssel is előállíthatók. Az interneten lehet találkozni szerkesztési megoldásokkal. Úgy tűnik, a korszerű útpályatervezésben nem nélkülözhető ismeretekről van itt szó.
Összefoglalás Ebben a dolgozatban összefoglaltuk a vontatás geometriájának elméleti alapjait, főként a [ 2 ] munkára támaszkodva. Bemutattuk a mozgatott kerékpár hátsó tengelye B középpontja mozgásának leírására szolgáló azon megoldási módot, melynek lényege: a kerékpár - rúd vezetett A pontjának pálya - érintője és a rúdtengely által bezárt φ szög változása törvényének meghatározása, a mozgás folyamán. A munka kezdetétől fogva világos, hogy felsőbb matematikai ismeretek kellenek a mozgás szabatos leírásához. Ugyanis a vontatási feladat alapegyenlete egy Riccati - féle differenciálegyenlet; ennek általános esetben csak numerikus, illetve grafikus úton érhető el a megoldása. Az analitikusan viszonylag könnyen tárgyalható eseteket itt részleteztük.
Irodalom: [ 1 ] – Pankotai Gábor ~ Herpay Imre: Erdészeti szállítástan Mezőgazdasági Kiadó, Budapest, 1965. [ 2 ] – A. Ju. Islinszkij: Prikladnüje zadacsi mehanyiki – II.: Mehanyika uprugih i abszoljutno tvjerdüh tyel Moszkva, Nauka, 1986.
31
[ 3 ] – https://eldorado.tu-dortmund.de/bitstream/2003/21591/1/mechanikaufgaben.pdf [ 4 ] – Muttnyánszky Ádám: Kinematika és kinetika 5. kiadás, Tankönyvkiadó, Budapest, 1966. [ 5 ] – Rudolf Rothe: Matematika gépészmérnökök számára Műszaki Könyvkiadó, Budapest, 1960. [ 6 ] – I. N. Bronstejn ~ K. A. Szemengyajev: Matematikai zsebkönyv több kiadásban, Műszaki Könyvkiadó, Budapest
Összeállította: Galgóczi Gyula mérnöktanár Sződliget, 2010. augusztus 6.
