Eötvös Loránd Tudományegyetem Természettudományi kar
Végtelen sorok konvergencia kritériumai BSc szakdolgozat
Készítette:
Témavezet˝o:
Bogye Tamara
Bátkai András
Matematika BSc
egyetemi docens
Matematika tanári
Alkalmazott analízis
szakirány
Tanszék
Budapest 2012
Tartalomjegyzék Bevezetés
4
1. Végtelen sorok története
5
1.1. Ókor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5
1.2. Közép és koraújkor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6
2. Alavet˝o fogalmak és ismertebb kritériumok
12
2.1. Alapfeltételek és definíciók . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12
2.2. Végtelen sorok és m˝uveletek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
14
2.3. A legismertebb kritériumok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
15
2.4. Minoráns kritérium . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
15
2.5. Majoráns kritérium . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
16
2.6. Leibniz - kritérium . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
16
2.7. Cauchy-féle Gyökkritérium . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
17
2.8. d’ Alambert féle hányadoskritérium . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
19
2.9. Hányados-minoráns kritérium . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
21
2.10. Hányados-majoráns kritérium . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
21
3. Kevésbé ismert kritériumok
22
3.1. Raabe kritérium . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
22
3.2. Kummer kritérium . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
25
3.3. Bertrand - kritérium . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
26
3.4. Gauss - kritérium . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
27
3.5. Integrálkritérium . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
29
3.6. Kondenzációs kritérium . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31 2
Végtelen sorok konvergencia kritériumai 3.7. Jermakov - kritérium . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32
3.8. Dirichlet I. kritériuma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
34
3.9. Dirichlet II. kritériuma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
34
3.10. Abel - kritérium . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
35
3.11. Logaritmikus kritérium . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
36
4. Végtelen sorok a középiskolában
38
4.1. Számsorozatok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
38
4.2. Végtelen sorok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
41
Köszönetnyilvánítás
42
3
Bevezetés Szakdolgozatom témájaként a végtelen sorok konvergencia kritériumait választottam. Fontosnak tartottam, hogy olyan területét mutassam meg a matematikának, mely hozzám is közel áll. A tudományra fogékony embereket mindig is foglalkoztatta az a gondolat, hogy vajon mi lehet egy - egy végtelen sor összege, és ezt hogyan számolhatjuk ki. E, korokon átível˝o problémára szeretnék néhány megoldást mutatni munkám során.
http://de.inforapid.org/index.php5?search=Konvergenzkriterium
4
1. fejezet Végtelen sorok története 1.1.
Ókor
Az ókorban is gyakran voltak olyan problémák, feladatok, melyek megoldásához bizonyos sorozatok, sorok ismerete elengedhetetlen volt, ezért már az akkori tudósokat is mélyen foglalkoztatták. A babilóniai aritmetika foglalozott el˝oször a mértani sorozattal és a négyzetszámok sorozatával. Ám az egyiptomiaktól sem álltak távol ezen ismeretek. Az ókori görögöknél pedig már megjelentek az egynél kisebb kvóciens˝u geometriai sorozat tagjaiból álló végtelen sorok, és ezek összegei. Erre a leghíresebb példák Zenon (i.e. 490-430) paradoxonjai, mint például Akhilleusz és a tekn˝os versenye, vagy a kil˝ott nyíl problémája. Az Akhilleusz feladat alapja, hogy a h˝os versenyre kel a tekn˝ossel, úgy, hogy az utóbbi el˝onnyel indul a megmérettetésen. Ám a futó sosem éri utol a tekn˝ost, mert mire sikerül ledolgoznia a tekn˝osbéka eredetileg kapott el˝onyét, addigra a tekn˝os már megint megtesz egy távot, s amíg ezt is lefutja Akhilleusz, addigra a tekn˝os újabb el˝onyt szerez, és így tovább. Tehát a verseny sosem ér véget. Ebb˝ol a feltevésb˝ol kiindulva tagadta a mozgást Zenon. Most viszgáljuk meg ezt a feladatot matematikailag leírva. Vegyük a tekn˝os el˝onyét a verseny kezdetén 1 egységnyinek, és tegyük fel, hogy Akhilleusz sebessége k-szorosa a tekn˝osének (k > 1). Így Akhilleusznak a következ˝o távokat kell megtennie egymás után: 1, k1 , k12 , ..., k1n , ...
5
Végtelen sorok konvergencia kritériumai A verseny idejét úgy kapjuk, hogy az id˝oegységnek az 1 hosszúságú el˝ony lefutási idejét vesszük. Ekkor a verseny 1, k1 +
1 k2
+ ... +
1 kn
+ ...
ideig tartott. Ebb˝ol gondolta Zenon, hogy mivel egyre nagyobb pozitív számokat adunk össze, ezért soha nem ér célba Akhilleusz. Ám már Arisztotelész (i.e. 384-322) felismerte, hogy az ilyen, és hasonló, egynél kisebb kvóciens˝u geometriai soroknak van véges összege. ( A fenti esetben ez
1.2.
k k−1
).
Közép és koraújkor
Ritkán, ám a középkorban is felbukkantak a végtelen összegek. A XIV. században Richard Swineshead foglalkozott egy fizikai probléma kapcsán a végtelen sorokkal, majd Nicole Oresme (1323-1382) vizsgálta az 1 + 12 + 13 + ... +
1 n
+ ...
harmonikus sort. Bebizonyította többek között azt is, hogy ezen összeg "bármely számnál nagyobb". A konvergencia illetve a divergencia fogalma ekkor még ismeretlen volt. A XV. században leginkább csillagászati, kerület, és terület számítási problémák kapcsán találkozhatunk a végtelen sorokkal. A XV I. században Francois Viete (1540-1605) megadta a mértani sor összegének képletét. Az elkövetkezend˝o korokban pedig virágzásnak indult a sorelmélet fejl˝odése. Gregory De Saint Vincent (1584-1667) XV III. századi matematikus foglalkozott mélyebben Zenon apóriáival. Rájött, hogy, ha a végtelen geometriai sor kvóciense egynél kisebb, akkor összege véges. Ezt a sor limeszének nevezte és a sor végének fogalmaként használta. Úgy vélte, hogy ezt a véget sosem érhetjük el, ám bármilyen kis számnál jobban meg tudjuk közelíteni. Munkássága során sikerült bizonyítania a hiperbola alatti terület és a logaritmus közti R∞ 0
1 1+x
dx = ln(1 + x)
kapcsolatot. Kés˝obb ezt az összefüggést Nicolus Mercator (1620-1687) alkalmazta az ln(1 + x) kiszámításához használható végtelen sor kifejezésére. Végtelen osztással 1 1+x
= 1 − x + x2 − x3 + ... 6
Végtelen sorok konvergencia kritériumai kapta, majd ennek integrálásával ln(1 + x) = x −
x2 2
+
x3 3
−
x4 4
+ ...
úgynevezett Mercator sorhoz jutott. Hasonló módszerrel fejezte ki az arctan x sorát R∞ 1 James Gregory (1638-1675). Az 0 1+x 2 dx = arctan x összefüggést felhasználva végtelen osztással 1 1+x2
= 1 − x2 + x4 − x6 + ...
egyenl˝oséghez jutott. Ezt a felfedezést, az úgynevezett Gregory sort , ami azonos arctan x Taylor-sorával 1671-ben közölte Gregory, 40 évvel Taylor el˝ott. Ezekben az id˝okben kezdték el komolyabban vizsgálni, hogy az eddig csak alkalmazott sorok mikor konvergensek, mikor divergensek, van-e véges összegük, és, ha igen, akkor mikor? Ezen kérdések vizsgálata sokszor szült vitákat és ellentmondásokat. Erre kiváló példa Jacob Bernoulli (1654-1705) egyik feltevése. Azt állította, hogy egy olyan sor, melynek általános tagja nullához tart, annak az összege végtelen is lehet. Ez a kijelentése még a következ˝o században is nagy port kavart. Ám fenti megállapítása ellenére Bernoulli néha egy-egy divergens sor vizsgálatakor ellentmondásokba ütközött. Tekintsük meg ennek példájaként az alábbi feladatot. 1 + 21 + 14 + ... = 2 1 3
+ 16 +
1 12
+ ... =
2 3
1 5
+
1 10
1 20
+ ... =
2 5
+
. . . Ezen egyenl˝oségeket adjuk össze, ekkor: 1 + 21 + 31 + 14 + ... = 2( 31 + 15 + ...). Mint látható a bal oldalon a harmonikus sort kaptuk, míg jobb oldalon a páratlan számok reciprokainak sorát. Most mindkét oldalt 2-vel elosztva 7
Végtelen sorok konvergencia kritériumai 1 2
+ 14 + 16 + ... =
1 3
+ 15 + ....
kapjuk. Ami ellentmondás, ugyanis, mint tudjuk ez nem lehetséges. Ilyen, és hasonló tévutak után érkezünk el a XV II − XV III. század fordulójára, ahol két kiváló tudós munkássága hozta meg az egyik nagy áttörést a sorelmélet fejl˝odésében. Sir Isac Newton (1642-1727) és Gottfried Wilheim Leibniz (1646-1716) a kor fizikai problémáit vizs˝ gálva jutottak el megállapításaikhoz. Oket tartják számon a függvénytan megalapítóiként, a differenciálszámítás, illetve integrálszámítás felfedez˝oiként is. Ekkoriban a mechanikában még csak közelít˝o számításokat tudtak végezni, ám els˝oként Newton és Leibniz polinomokat kezdtek el alkalmazni ezen közelítésekre. A függvényeket végtelen polinomokként, azaz hatványsorokként írták fel, ugyanis ezeket könnyebb volt -tagonkéntintegrálni. Munkássága során Newton is rájött Mercatortól függetlenül, hogy ln(1 + x) = x −
x2 2
+
x3 3
+ ...
igaz. Megállapította továbbá arcsin x = x + 61 x3 +
3 5 x 40
+
5 x7 112
+ ...-t.
Ezen sor segítségével kapta meg a sin x függvény hatványsorát, az alábbiak szerint. Vezessük be az arcsin x = s jelölést. Ekkor s = x + 16 x3 +
3 5 x 40
+
5 x7 112
+ ...
A továbbiakban egyenl˝ore a fenti sornak csak az els˝o 3 elemét vizsgáljuk. Nézzük az x = s + p felbontást. 0 = p + 16 (s3 + 3s2 p + ...) +
3 (s5 40
+ ...).
Ekkor alkalmazzuk a határozatlan együtthatók módszerét. A p = A, p = As, p = As2 kipróbálásával mindig A = 0-t kapunk, ám p = As3 helyettesítés esetén A+
1 6
= 0 ⇒ A = − 16
érték jön ki. Tehát x = s − 61 x3 + .... Most helyettesítsünk be p = − 16 s3 + q-t 8
Végtelen sorok konvergencia kritériumai 0 = q + 61 (− 12 s5 + ...) +
3 (s5 40
+ ...).
amib˝ol 1 q = ( 12 −
3 )s5 40
=
1 5 s 120
jól látható. Ebb˝ol következ˝oen x = s − 61 s3 +
1 5 s 120
+ ....
x = sin x beírásával megkapjuk a sor els˝o tagjait. Ezt tovább gondolva sin s = s −
s3 1·2·3
+
s5 1·2·3·4·5
−
s7 1·2·3·4·5·6·7
+ ...
hatványsort kapjuk. Hasonlóképpen írta le végtelen polinomként a cos x-et is. Eleinte azt hitte minden függvény hatvány sorba fejthet˝o, ezáltal az integrálás egy könnyed eljárássá válik majd. Csak évtizedekkel Newton után jöttek rá hogy ez koránt sincs így. Sorba fejtési eljárásához gyakran használta többek között a binomiális tételt, racionális függvényeknél a Gregory eljárást, vagy éppen az új változók bevezetését. Néhány esetben foglalkozott a sor konvergenciájával, ám csak addig vizsgálódott, amíg meg nem állapította, hogy egy hatványsor elég kicsi x értékekre konvergens. Ezzel szemben Leibniz a ˝ is alkalmazta zárt alak el˝onyeit hangsúlyozta, s többnyire ezzel is dolgozott. Persze O a végtelen sorokat, s Newtontól függetlenül szintén hatványsorba fejtette a sin x, cos x függvényeket. Kedvelt eljárása a sorba fejtéskor az úgy nevezet határozatlan együtthatók módszere a b+x
= A + Bx + Cx2 + Dx3 + ...
ahol A, B, C, D, ... határozatlan együtthatók. Mindkét oldalt szorozta (b + x)-el, majd az azonos x hatványok együtthatóit egyenl˝ové téve kapta meg A, B, C, D, ... együtthatók értékeit. Kutatásai során sokat foglalkozott a konvergenciával is. Egyik levelében kifejtette, hogy ha egy alternáló sor tagjai abszolút értékben csökkennek, és 0-hoz tartanak, akkor konvergens a sor. Ez a mai nevén a Leibniz-kritérium. Ezen gondolatmeneteken tovább haladva jutott el Brook Taylor (1685-1731) 1715-ben publikált eredményéhez, melyben a Newton-féle interpolációs képlet általánosításával adta meg a függvények sorba fejtéséhez szükséges leghatékonyabb eljárást. A kor másik híres matematikusa volt Leonhard 9
Végtelen sorok konvergencia kritériumai Euler (1707-1783) is, akinek nevéhez számtalan eredmény f˝uz˝odik. Sorba fejtette például az exponenciális függvényt, különböz˝o törtfüggvényeket és gyökfüggvényeket, Newton és Leibniz eljárásainak segítségével. A gyökök és együtthatók közti összefüggés alkalmazéséval numerikus sorok összegeit írta le, összefüggést talált a végtelen sorok és végtelen szorzatok között is. 1797-ben Lagrange megjelentette Théorie des fonctious analytiques ( Az analitikus függvények elmélete) cím˝u könyvét. Ebben a differenciálás algebrai módszereit részletezi. Többek között bizonyította, hogy minden f (x + h) függvény majdnem mindenütt kifejezhet˝o f (x + h) = f (x) + a1 h + a2 h2 + ... + an hn + Rn alakú Taylor - sorral csak algebrai úton. A differenciál hányadosokat Taylor sor együtthatóiént értelmezte. Így a határérték fogalmát kikerülte. F˝o hibája, hogy csak az analitikus függvényekre érvényes. Els˝oként határozta meg a (Rn ) maradéktagot konkrét függvé˝ használta nyeknél, és el˝oször állította el˝o a Taylor - sor maradéktagját integrál alakban. O el˝oször a középértéktételt, a derivált kifejezést, és az f 0 (x) illetve az f (n) (x) jelöléseket. A legnagyobb áttörést a XIX. századi felismerések hozták meg. Jean Le Rond D’Alambert (1707-1783) már megkülönböztetett konvergens illetve divergens sorokat is, és megfogalmazta a róla elnevezett hányados kritériumot. Az 1800-as évek elején Jean Baptiste Fourier (1768-1830),Carl Friedrich Gauss (1777-1855), Bernard Bolzano (1781-1848), Niels Henrik Abel (1802-1829) igyekeztek letisztázni a konvergencia illetve divergencia fogalmait. Ám a sorelmélet precíz fogalmainak megalkotásában a legnagyobb szerep kétségtelenül Augustin Louis Cauchy (1789-1857) személyéhez köthet˝o. Meghatározta, hogy egy végtelen sor összege részletösszegek sorozatának hatátértéke, tehát egy sor akkor konvergens, ha ez a határérték létezik. A váltakozó el˝ojel˝u sorokra bevezette az abszolút konvergencia fogalmát. Összefüggést adott az abszolútérték˝u tagok álltal alkotott sor konvergenciája és az eredeti sor konvergenciája között. Konvergencia vizsgálati eredménye - képpen megfogalmazott több konvergencia kritériumot is. Ezek közül a leghíresebb a Róla elnevezett Cauchy-féle konvergencia kritérium. Bevezette a komplex változójú hatványsoroknál a konvergencia sugár fogalmát, amely kiszámítható az r=
1√ lim sup n |an |
10
Végtelen sorok konvergencia kritériumai összefüggés alapján. Ez az úgy nevezetett Cauchy-Hadamard formula. Azt a következtetést állapította meg, hogy a függvény hatványsorának konvergenciája nem feltétlenül jelenti azt, hogy a sor az alapfüggvényhez tart. Észrevette, hogy ha két sor abszolút konvergens, akkor direkt szorzatuk is konvergens, és a határértéke az alapsor határértékeinek szorzata. A tudomány további fejl˝odését olyan kiemelked˝o tudósok segítették, mint Peter Gustav Lejenue Dirichlet (1805-1857), Karl Theodor Wilhelm Weierstrass (1815-1897), Georg Friedrich Bernhard Riemann(1826-1866), Simeon David Poisson (1781-1840), Moritz Cantor (1829-1920), Henry Louis Lebesgue (1875-1941), Riesz Frigyes (1880-1956), Fejér Lipót (1880-1959), Haar Alfréd (1885-1933). Természetesen napjainkban is vannak, akik e tudományág elkötelezett hívei.
11
2. fejezet Alavet˝o fogalmak és ismertebb kritériumok 2.1.
Alapfeltételek és definíciók
Ebben a fejezetben bevezetem a végtelen sor fogalmát, a konvergenciáját, a sorokkal való néhány m˝uveletet. Illetve azokat a leggyakrabban használt kritériumokat, melyeket egyetemi tanulmányaim során ismertem meg. 2.1.1. Definíció. []A
∞ P
an végtelen sor részletösszegein az sn =
n=1
n P
ai , n ∈ Z+ szá-
i=1
mokat értjük. Ha a részletösszegekb˝ol képzett (sn ) sorozat konvegens és határértéke A, ∞ P akkor azt mondjuk, hogy a an végtelen sor konvergens és az összege A. Ennek jelölése ∞ P
n=1
an = A. Tehát
n=1 0 P
s0 =
ak = a0
k=0
s1 = sn =
n P
1 P
ak = a0 + a1
k=0
ak = a0 + a1 + ...an
k=0
Amennyiben az (sn ) sorozat divergens akkor azt mondjuk, hogy a divergens. Ha limn→∞ sn = ∞(vagy − ∞) akkor azt mondjuk, hogy összege ∞ (vagy −∞). Ennek jelölése
∞ P
∞ P n=1 ∞ P
an végtelen sor an végtelen sor
n=1
an = ∞ (illetve −∞).
n=1
12
Végtelen sorok konvergencia kritériumai 2.1.2. Példa. []1 + 12 + 14 + 81 + ... sor n-dik részletösszege sn =
n−1 P
2−i = 2 − 2−n . Mivel
i=0
igaz, hogy limn→∞ sn = 2 ezért a sor konvergens és összege 2. 2.1.3. Tétel. []Ha
P (an ) sor konvergens, akkor limn→∞ an = 0.
Bizonyítás. A sor összege legyen A. Mivel an = (a1 + ... + an ) − (a1 + ... + an−1 ) és (a1 + ... + an ) = sn (a1 + ... + an − 1) = sn−1 igaz, ezért an = sn − sn−1 Tehát an → A − A = 0. Ám ez a tételben szerepl˝o feltétel a konvergenciához szükséges, de nem elégséges feltétele.
2.1.4. Tétel. [] 1. Egy nem negatív tagú sor akkor és csak akkor konvergens ha részletösszegeinek sorozata korlátos felölr˝ol. 2. Ha egy nem negatív tagú sor divergens akkor az összege végtelen. Bizonyítás. Ha a sor tagjai nem negatívak, akkor a sor részletösszegeinek sorozata monoton n˝o. Ha ezen sorozat korlátos felülr˝ol, akkor konvergens, ha viszont nem korlátos akkor a végtelenhez tart. Tehát a végtelen sor vagy konvergens, vagy divergens és az összege végtelen. Így a végtelen harmonikus sor is divergens és az összege ∞. A következ˝o kritérium megadja egy sor konvergenciájának pontos feltételét, ám a gyakorlatban ritkán alkalmazható, mert nehéz ellen˝orizni. 2.1.5. Tétel. []Cauchy - kritérium ∞ P A an végtelen sor akkor és csak akkor konvergens, ha ∀ > 0 - hoz ∃N index, hogy n=1
∀n ≥ N és bármely m ≥ n -re |an+1 + an+2 + ... + am | < . 13
Végtelen sorok konvergencia kritériumai 2.1.6. Példa. []Vegyük a
∞ P n=1
1 n
úgynevezett végtelen harmonikus sort.
Bizonyítás. Nézzük a sor sn , n-ik részletösszegét, amely (1 + 12 + ... + n1 ) és s2n -t. 1 1 1 1 s2n − sn = (1 + 12 + ... + 2n ) − (1 + 12 + ... + n1 ) = ( n+1 + n+2 + ... + 2n )≥
1 2n
·n =
1 2
∀n-re. Tegyük fel, hogy a harmonikus sor konvergál A-hoz. Ekkor, ha n → ∞ akkor s2n − sn → A − A = 0, ami nem lehet. Tehát a sor divergens.
2.2.
Végtelen sorok és muveletek ˝
2.2.1. Tétel. []Legyen
∞ P
an sor konvergens és összege A, valamint
n=0
gens és összege B és egy c ∈ R szám.
∞ P
(an ±bn ) és
n=0
∞ P
∞ P
bn sor is konver-
n=0
c·an sorok egyaránt konvergesek
n=0
akkor összegük A ± B illetve c · A. 2.2.2. Tétel. []Konvergens sorba tetsz˝oleges számú zárójelet beiktatva, véges számú tagját hozzáadva vagy elhagyva a sor konvergenciájának illetve divergenciájának ténye nem változik. 2.2.3. Definíció. []A hn =
∞ P n0 =n+1
∞ P
an konvergens sor els˝o n (n ∈ Z + ) tagjának elhagyásával nyert
n=0
a0n
konverges sor összegét az eredeti sor maradékösszegének hívjuk.
2.2.4. Tétel. []
∞ P
an konvergens sor maradékösszegeinek hn (n ∈ Z + ) végtelen sorozata
n=0
nullsorozat. 2.2.5. Definíció. []A
∞ P
an végtelen sort abszolút konvergensnek nevezzük, ha a
n=0
∞ P
|an |
n=0
sor konvergens. 2.2.6. Tétel. [] 1. Minden abszolút konvergens sor konvergens. 2. Egy abszolút konvergens sor bármely átrendezettje is abszolút konvergens, és összege megegyezik az eredeti sor összegével. 14
Végtelen sorok konvergencia kritériumai 2.2.7. Definíció. []A
∞ P
an végtelen sort feltételesen konvergensnek mondjuk, ha konver-
n=0
gens, de nem abszolút konvergens. 2.2.8. Definíció. []Az (an ) számsorozatot akkor nevezzük korlátos változásúnak, ha P (an+1 − an ) sor abszolút konvergens. 2.2.9. Tétel. []Riemann átrendezési tétele P Ha (an ) sor feltételesen konvergens akkor az átrendezettjei között van olyan amelyiknek az összege ∞, van amelyiknek −∞, minden A ∈ R számra van olyan amelyik konvergens és az összege A, és olyan is van amelyik divergens és nincs összege.
2.3.
A legismertebb kritériumok
Mivel a már bemutatott Cauchy - kritériumról elmondható, hogy feltétele nehezen ellen˝orizhet˝o, ezért szükség van további kritériumokra. Ezek a gyakorlatbeli alkalmazás során egyszer˝ubben ellen˝orizhet˝oek.
2.4.
Minoráns kritérium
2.4.1. Tétel. []Ha 0 ≤ an ,bn és ∃N , hogy az an ≤ bn ∞ ∞ P P an divergens, akkor a bn is divergens. n=1
∀n > N -re valamint
n=1
P
an sor n-edik részletösszege legyen sn , míg
P
bn pedig Sn . A feltételb˝ol P következ˝oen sn és Sn monoton n˝o és minden n esetén a sn ≤ Sn . an - r˝ol tudjuk, hogy P divergens, azaz limn→∞ sn = ∞. Ebb˝ol következ˝oen limn→∞ Sn = ∞, tehát bn is
Bizonyítás.
divergens sor. ∞ P
1 konvergens - e vagy divergens? 2n+1 n=1 ∞ ∞ P P 1 1 1 1 Tudjuk, hogy divergens és < . Tehát a n 3n 2n+1 3n n=1 n=1 ∞ P 1 kérdéses sort. Tehát a sor divergens. 2n+1 n=1
2.4.2. Példa. []
=
1 3
·
∞ P n=1
1 n
sor minorálja a
15
Végtelen sorok konvergencia kritériumai
2.5.
Majoráns kritérium
2.5.1. Tétel. []Ha 0 ≤ an ,bn és ∃N , hogy az an ≤ bn ∞ ∞ P P bn konveges, akkor a an is konvergens. n=1
∀n > N -re valamint
n=1
P
an sor n-edik részletösszege legyen sn , míg
P
bn pedig Sn . sn és Sn moP noton n˝o és minden n esetén sn ≤ Sn a feltétel alpján. Tudjuk, hogy bn sor konvergens
Bizonyítás.
és összege b. Tehát minden n esetén Sn ≤ b. Ebb˝ol következ˝oen sn ≤ b is teljesül, tehát sn monoton n˝o és korlátos, azaz konvergens. 2.5.2. Példa. []Konvergens - e vagy divergens az alábbi sor? ∞ ∞ P P 1 1 . Például a konvergens sor majorálja az eredeti sort, ha n > 5. 4 n +5n−25 n4 n=1 ∞ P
Tehát
n=1
2.6.
n=n,
1 n4 +5n−25
sor konvergens.
Leibniz - kritérium
2.6.1. Tétel. []Ha az (an ) sorozat monoton csökken˝o és nullához tart, akkor
∞ P
(−1)n−1 an
n=1
sor konvergens. Bizonyítás. A sor n-ik részletösszege legyen sn . A feltételb˝ol következik, hogy s2 ≤ s4 ≤ ... ≤ s2n ≤ s2n−1 ≤ s2n−3 ≤ ... ≤ s3 ≤ s1 ∀n-re. Így (s2n−1 ) sorozat monoton csökken˝o és alulról korlátos, míg az s2n sorozat monoton növ˝o és felülr˝ol korlátos. Ebb˝ol következ˝oen mind kett˝o konvergens. Mivel igaz, hogy s2n − s2n−1 = a2n → 0
⇒
limn→∞ s2n = limn→∞ s2n−1
Amib˝ol következik, hogy az (sn ) sorozat konvergens. 2.6.2. Példa. []Döntsük el a következ˝o sorról, hogy konvergens - e vagy divergens? ∞ P n+1 (−1)n · n·(n+2) . n=1
n+1 n·(n+2)
Az
1 n
=
n+2−1 n·(n+2)
=
n+2 n·(n+2)
−
1 n·(n+2)
=
1 n
−
1 n·(n+2)
≥ n1 .
- r˝ol pedig tudjuk, hogy tart a nullához. A sorozat két egymást követ˝o tagjának
különbségével megvizsgáljuk a monotoritást: 16
Végtelen sorok konvergencia kritériumai 1 n+1
Tehát a
n+1 n·(n+2)
−
1 n
=
n−(n+1) n·(n+1)
=
−1 n·(n+1)
≤ 0.
sorozatról megállapítottuk, hogy monoton fogyó nullsorozat, ezért az ere-
deti sor a Leibniz - kritérium szerint konvergens. A soron követez˝o kritérium a sor abszolút konvergenciájára illetve divergenciájára ad meg elégséges feltételt. A sor n-edik tagjénak n-edik gyöke segítésgével.
2.7.
Cauchy-féle Gyökkritérium
2.7.1. Tétel. [] p 1. Ha ∃ olyan q < 1 szám, hogy n |an | < q teljesül ∀ elég nagy n esetén, akkor ∞ P an sor abszolút konvergens. n=1
2. Ha limn→∞
p n
∞ P
|an | < 1, akkor
an sor abszolút konvergens.
n=1
3. Ha végtelen sok n index esetén
∞ p P n |an | ≥ 1 akkor a an sor divergens. n=0
17
Végtelen sorok konvergencia kritériumai 1. 1. feltétel szerint |an | < q n minden elég nagy n esetén. A
Bizonyítás.
∞ P
q n geo-
n=1
metriai sorról tudjuk |q| ≥ 1. Ha |q| ≥ 1, akkor [2.3 Tétel] szerint a sor divergens mivel a konvergenciához szükséges feltétel nem teljesül: lim q k 6= 0. Ha |q| < 1 akkor sn =
P
qk =
1−q n+1 1−q
ugyanis limn→∞ q n+1 = 0. Tehát
P
P
és
q k = lim sn =
1 1−q
an abszolút konvergens.
p 2. Válasszunk egy q számot úgy, hogy igaz legyen limn→∞ n |an | < q < 1. Ez p esetben n |an | < q teljesül minden elég nagy n-re. Ekkor a bizonyítást visszave∞ P zethetjük az 1. pontbeli bizonyításra. Tehát an sor abszolút konvergens. n=1
3. A feltételb˝ol láthatjuk, hogy |an | ≥ 1, tehát a sor nem tart nullához, így divergens lesz.
2.7.2. Példa. []Konvergens vagy divergens a
∞ P
(1 −
n=1
1 n5 ) n4
sor?
A fenti tételt alkalamazva: q n (1 − Tudjuk, hogy limn→∞ (1 −
1 n4 ) n4
→
1 e
1 n5 ) n4
= (1 −
1 n4 ) . n4
< 1. Tehát az eredeti sor konvergens.
Megjegyzés 1. limn→∞
p n
(an = 1 feltételb˝ol sem a sor konvergenciájára, sem pedig a divergenci-
ájára vonatkozólag semmit sem következtethetünk. q q ∞ ∞ P P 1 1 1 n n 1 Például: sor konvergens, míg divergens, pedig lim = lim = n→∞ n→∞ n2 n n2 n n=1
n=1
1 2.
∞ P
an sor konvergenciájához nem elég, hogy ∀ elég nagy n-re
p n |an | < 1 Mert
n=1
ebb˝ol csak az következik, hogy |an | < 1 ∀ elég nagy n-re, és nem az, hogy an → 0 ami a konvergenciához lenne szükséges feltétel.
18
Végtelen sorok konvergencia kritériumai
2.8.
d’ Alambert féle hányadoskritérium ∞ P
2.8.1. Tétel. []Legyen
an , an > 0 n ∈ Z + sor konvergens, ha ∃q ∈ R, melyre fennáll:
n=0
| an+1 | ≤ q < 1 n ∈ Z +. an A sor divergens ha | an+1 | ≥ 1. an ∞ P
Bizonyítás. Vegyük a
n=0
q n geometriai sort. Ekkor | aa21 | ≤
q2 , q1
tehát | aa21 | ≤ q. Ebb˝ol
következik, hogy |a2 | ≤ q · |a1 |. | aa32 | ≤ an+1
q3 q2
tehát |a3 | ≤ q · q · |aq | = q 2 · |a1 |. Ebb˝ol már belátható, hogy általánosságban P n ≤ q · |an | ≤ q 2 · |an−1 | ≤ ... ≤ q n · |a1 |. Azaz q majorálja an+1 sort, így az
eredeti sor konvergens. | ≥ 1, a fentiekhez hasonló módon a | aa21 | ≥ 1, tehát |a2 | ≥ 1·|a1 |. Divergencia esetén | an+1 an | aa23 | ≥ 1 ebb˝ol következik, hogy |a3 | ≥ 1 · |a2 | ≥ 12 · |a1 |. Általánosságban |an+1 | ≥ |an | ≥ ... ≥ |a1 |. Ez egy nem nulla, monoton növ˝o sorozat. Tehát az eredeti sor divergens. Megjegyzés: 1. A hányadoskritérium feltételei nem szükségesek, hogy egy sor konvergens legyen. ∞ P 1 n2 Például sor konvergens, annak ellenére, hogy limn→∞ (n+1) 2 = 1. n2 n=1
Tehát nem létezik olyan q < 1, hogy igaz lenne
n2 (n+1)2
< q minden elég nagy
n ∈ Z+ . 2. Ha limn→∞ | an+1 | = 1 feltételb˝ol sem a konvergenciára sem a divergenciára nem an ∞ ∞ P P 1 1 lehet következtetni, például divergens, konvergens, n n2 n=1
pedig limn→∞
n n+1
= limn→∞
n=1
n2 (n+1)2
= 1.
2.8.2. Következmény. []Ha an > 0 ∃ akkor
∞ P
limn→∞
an+1 an
<1
an konvergens.
n=0
19
Végtelen sorok konvergencia kritériumai 2.8.3. Példa. []Konvergens - e az an =
an+1 an
=
2n+1 ·(n+1)! (n+1)n+1 2n ·n! nn
Mivel tudjuk, hogy
= n n+1
2n ·2·(n+1)! (n+1)n ·(n+1) 2n ·n! nn
=
1 n+1 n
=
2n ·n! nn
=
1 1 1+ n
P
2n ·(n+1)! 2 n+1 · (n+1)n 2n ·n! nn
=2·
nn (n+1)n
. Ezért a fenti egyenlet tovább egyenl˝o:
2 1 n (1+ n )
Tehát
végtelen sor?
→
2 e
< 1.
an konvergens.
| < 1 akkor 2.8.4. Állítás. []Ha (an ) sorozat tagjai különböznek 0-tól, és lim sup | an+1 an √ lim sup n an < 1. 2.8.5. Következmény. []Ha (an ) sorozat tagjai nullától különböznek és
∞ P
an sorról a
n=0
hányadoskritériummal eldönthet˝o, hogy konvergens-e, akkor a gyökritériummal is. De fordítva sajnos ez nem igaz. 2.8.6. Példa. []
∞ P
n · xn sor abszolút konvergenciája |x| < 1 esetén a hányados kritéri-
n=1
ummal:
|(n+1)·xn+1 | |n·xn |
= |x| ·
n+1 n
→ |x| < 1, ha n → ∞.
Gyökkritériummal: r ∞ p p P n | n · xn | = n |n · xn | = n |n| ·|x| → |x| n=1
3−n ha n páros ∞ P 2.8.7. Példa. []Adott (an ) = 5−n ha n páratlan n=0 Gyökitériummal:
limn→∞
p
2n
|a2n | =
1 3
p limn→∞ 2n+1 |a2n+1 | = 15 p ⇒ sup n |an | = 31 ⇒ konvergens.
20
Végtelen sorok konvergencia kritériumai Hányadoskritériummal:
aa | an+1 | n
=
1 5
· ( 35 )n
ha n páros
· ( 53 )n ha n páratlan Tehát: lim sup | an+1 |=∞ an
1 3
⇒ gyökkritériummal könnyedén míg hányadoskritériummal nem dönthet˝o el ez esetben a konvergencia. A Hányados-minoráns és a Hányados-majoráns kritériumok következményei a majoráns illetve a minoráns kritériumoknak.
2.9.
Hányados-minoráns kritérium
P (zn ) pozitív tagú sor divegens, N ∈ Z+ pedig olyan, hogy ett˝ol kezdve P ∀k egészre ak > 0 és ak+1 ≥ zk+1 akkor (ak ) sor is divergens. ak zk Ha
Bizonyítás. A fenti feltételben szerepl˝o egyenl˝otlenséget N < n mellett k = N -re, k = N + 1-re ... ,k = n − 1 indexre felírva majd összeszorozva o˝ ket kapjuk, hogy ∀N < n
2.10.
an aN
≥
zn zN
Hányados-majoráns kritérium
P (zn ) pozitív tagú konvergens sor, N ∈ Z+ pedig olyan, hogy ett˝ol kezdve P | zk+1 ∀k ∈ Z |a|ak+1 ≤ akkor (an ) abszolút konvergens sor. | z k k Ha
Bizonyítás. A fenti feltételben szerepl˝o egyenl˝otlenséget N > n melett k = N -re, k = N + 1-re ... ,k = n − 1 indexre felírva majd összeszorozva o˝ ket kapjuk, hogy ∀N < n
|an | |aN |
≤
zn zN
21
3. fejezet Kevésbé ismert kritériumok Ebben a fejezetben olyan további kritériumokat mutatok meg, melyek túlmutatnak egyetemi tanulmányaimon. A soron következ˝o négy kritériumban közös, hogy feltételeik tartalmazzák a vizsgált sor két szomszédos tagjának hányadosát, és a sor abszolút konvergenciáját, illetve divergenciáját határozzák meg. Azt is mondhatjuk, hogy a hányados kritérium általánosításai.
3.1.
Raabe kritérium
Tegyük fel, hogy minden pozitív egész n-re az an pozitív tagú sorozat, és legyen an − 1) Rn = n · ( an+1
1. Ha lim inf Rn > 1 ⇒
P
(an ) sor konvergens.
2. Ha Rn ≤ 1 egy indext˝ol kezdve ⇒ Bizonyítás.
P (an ) sor divergens.
1. A feltétel szerint létezik olyan pozitív r és olyan pozitív egész N index,
hogy, ha sn > N akkor teljesül a an − 1) > 1 + r n · ( an+1
egyenl˝otlenség. Ha ezt a kövezkez˝o módon átrendezzük: n · an − (n + 1) · an+1 > r · an+1 , n ≥ N
22
Végtelen sorok konvergencia kritériumai majd N, N + 1, ..., n indexekre is írjuk fel: N · aN − (N + 1) · aN +1 > r · aN +1 (N + 1) · aN +1 − (N + 2) · aN +2 > r · aN +2 .. . n · an − (n + 1) · an+1 > r · an+1 Adjuk össze az egyenl˝otlenségeket és becsüljük felülr˝ol a bal oldalt. n+1 P
N · aN > N · aN − (n + 1) · an+1 > r ·
al .
l=N +1
Ezt átalakítva N ·aN r
n+1 P
>
al .
l=N +1
kapjuk. Mindkét oldalhoz hozzáadjuk a
N P
al -t.
l=1 N ·aN r
+
N P
al >
l=1
n+1 P
al .
l=1
Ekkor jól látható, hogy a bal oldalon álló szám a jobb oldali részletösszegek fels˝o P korlátja. Tehát al konvergens. 2. Az el˝oz˝oekhez hasonlóan adódik, csak itt an n · ( an+1 − 1) ≤ 1,
n≥N
összefüggést alakítjuk át és írjuk fel N , N + 1 , ... ,n indexekre. Majd az így nyert egyenl˝otlenségeket összeadva, és (n + 1)-el elosztva N · aN ·
1 n+1
≤ an+1
kapjuk. A minoráns kritériumot alkalmazva kiderül, hogy
P
al divergens sor.
3.1.1. Példa. []Döntsük el a következ˝o sorról, hogy konvergens - e vagy sem! n 7→ | αn |= an sorozatból képzett végtelen sor. Ha α ≥ 0, és α ∈ Z + akkor an pozitív tagú sorozat. Alkalmazzuk a Raabe - kritériumot: 23
Végtelen sorok konvergencia kritériumai
Rn = n · ((
α! n!·(α−n)! α! (n+1)!·(α−(n+1)!)
n+1 ) − 1) = n · ( |α−n| − 1).
Kis trükkel átalakítva: Rn = n · ( n−α+α+1 − 1) = n · (1 + n−α
α+1 n−α
− 1) = (α + 1) ·
n n−α
→α+1
eredményre jutunk. Amib˝ol következik, hogy a sor konvergens.
24
Végtelen sorok konvergencia kritériumai
3.2.
Kummer kritérium
Tegyük fel, hogy minden pozitív egész n-re an > 0 , és ∃cn pozitív tagú segédsorozat, ∞ P 1 = ∞. Ekkor melyre igaz, hogy cn n=1 P an 1. Ha lim inf(cn · an+1 − cn+1 ) > 0 ⇒ (an ) konvergens. 2. Ha egy indext˝ol nézve cn · Bizonyítás.
an an+1
− cn+1 ≤ 0 ⇒
P
an divergens.
an 1. lim inf(cn · an+1 − cn+1 ) > 0 feltételb˝ol következik, hogy létezik olyan
∈ R+ , hogy egy N indext˝ol kezdve cn ·
an an+1
− cn+1 ≥
egyenl˝otlenség fennáll. Ezt átalakítva cn · an − cn+1 · an+1 ≥ · an+1 kapjuk. Tehát (cn · an ) egy indext˝ol monoton csökken˝o pozitív tagú sorozat így konvergens. P
(cn · an − cn+1 · an+1 )
konvergens sor, mert n → ∞ esetén sn =
n P
(ck · ak − ck+1 · ak+1 ) = c1 · a1 − cn · an → c1 · a1 − limn→∞ cn · an
k=1
teljsül. Alkalmazzuk a majoráns kritériumot így látható, hogy P Tehát an is konvergens.
P
· an konvergens.
2. A feltétel szerint létezik olyan N index, amelyt˝ol kezdve cn ·
an an+1
− cn+1 ≤ 0
≤
cn
igaz lesz. Tehát akkor az an an+1
cn+1
=
1 cn 1 cn+1
.
∞ P 1 következik. Mivel = ∞ ezért a hányados - minoráns kritériumot alkalmazva cn n=1 P kapjuk, hogy an divergens.
25
Végtelen sorok konvergencia kritériumai
3.3.
Bertrand - kritérium
Tegyük fel, hogy ∀ pozitív egész n-re an > 0 sorozat és an − 1) − 1) · ln n , n ∈ Z+ . Bn = (n · ( an+1
1. Ha lim inf Bn > 1 ⇒ konvergens a
P
an sor
2. Ha egy indext˝ol kezdve Bn ≤ 1 ⇒
P
an divergens.
Bizonyítás.
1. A Kummer kritériumot alkalmazzuk cn = n · ln n , n ∈ Z+ , n ≥ 2
segédsorozattal.
lim inf(n · ln n ·
an an+1
− (n + 1) · ln(n + 1)) > 0
ezt átalakítjuk: an n )>0 lim inf(ln n · (n · ( an+1 − 1) − 1) + (n + 1) · ln n+1
majd a következ˝o összefüggés: n = −(n + 1) · ln(1 + n1 ) = − ln(1 + n1 )(n+1) → −1 (n + 1) · ln n+1
segítségével kapjuk: an lim inf ln n(n · ( an+1 − 1) − 1) < 1,
ami a kritérium feltétele a konvergenciához. 2. Itt ugyanúgy a Kummer kritériumot alkalmazzuk a cn = n · ln n , n ≥ 2 segédsorozattal. Azaz, ha: (n · ln n ·
an an+1
− (n − 1) · ln(n + 1)) ≤ 0
Akkor átrendezve: an n ln n · (n · ( an+1 − 1) − 1) + (n + 1) · ln n+1 )≤0
26
Végtelen sorok konvergencia kritériumai n kapjuk. Az (n + 1) · ln n+1 vizsgálva láthatjuk, hogy egyenl˝o
n < −1. − ln(1 + n1 )(n+1) → −1- hez. Tehát (n + 1) · ln n+1
így a következ˝o an ln n · (n · ( an+1 − 1) − 1) ≤ 1
egyenl˝otlenségre jutunk. Tehát a végtelen sor divergens.
3.3.1. Példa. []Döntsük el, hogy konvergens vagy divergens - e az alábbi sor.
P
1 ? n·ln n
Alkalmazzuk a Bertrand kritériumot, ekkor Bn = ln(n · ( (n+1)·ln(n+1) − 1) − 1) − 1 ≤ 0. n·ln n (n + 1) · ln(n + 1) − n · ln n − ln n − 1 = (n + 1) · ln(1 + n1 ) − 1 lim inf(n + 1) · ln(1 + n1 ) − 1 ≤ 0 Tehát az eredeti sor divergens.
3.4.
Gauss - kritérium
Tegyük fel, hogy ∀ pozitív egész n-re an > 0 sorozat, és ∃ olyan α, β ∈ R+ , γ ∈ R és (bm ) korlátos sorozat, hogy
an an+1
=α+
γ n
+
bn n1+β
, n ∈ Z+ akkor, ha
1. α > 1 esetén konvergens, α < 1 esetén pedig divergens a
P (an ) végtelen sor.
2. Ha α = 1 és γ > 1 akkor konvergens. Ha pedig α = 1 és γ ≤ 1 akkor
P (an )
végtelen sor divergens. Bizonyítás.
2. α = 1 esetén a Raabe - kritériumot alkalmazva an limn→∞ n · ( an+1 − 1) = limn→∞ γ +
Ekkor γ > 1 esetben
bn nβ
= γ.
P (an ) konvergens, γ < 1 esetén deivergens. Amennyiben
γ = 1 Bertrand - kritériummal belátható, hogy divergens. Ugyanis 27
Végtelen sorok konvergencia kritériumai an − 1) · ln n = lim bnn·lnβ n = 0 , limn→∞ n · ( an+1
ami kisebb mint 1. 1. Ha α > 1, akkor hányadoskritériummal limn→∞ ami kisebb, mint 1, tehát a r˝uen adódik, hogy
1 α
an+1 an
= limn→∞
1 γ α+ n
bn n1+β
+
=
1 α
P (an ) sor konvergens. Ha az α < 1 akkor értelemsze-
> 1 tehát a sor divergens.
3.4.1. Példa. []Konvergens - e vagy divergens a ∞ P ( (2n−1)!! )k , n ∈ Z+ , k > 0 sor? (2n)!! n=1
Vizsgáljuk (2n−1)!!
an an+1
(2n)!! 2n+2 k )k = ( 2n+1 ) = (1 + = ( (2n+1)!! (2n+2)!!
1 )k -t. 2n+1
Ha 1 an − 1) = n · ((1 + 2n+1 )k − 1) = n · ( n · ( an+1
k 1
1 · 2n+1 +
k 2
1 · ( 2n+1 )2 + ... +
k k
1 · ( 2n+1 )k ).
Felhasználjuk a binomiális tételt, így an limn→∞ n · ( an+1 − 1) = k2 .
Ekkor Raabe - kritériumot alkalmazva kiderül, hogy ha k > 2 akkor konvergens, ha k < 2 akkor viszont divergens a sor. Már csak azt kell megvizsgálnunk, hogy k = 2 esetén milyen. Ha k = 2: an an+1
= ( 2n+2 )2 = (1 + 2n+1 1+
1 n
−
1 )2 2n+1
1 n·(2n+1)
=1+
+
2 2n+1
1 (2n+1)2
+
1 (2n+1)2
=1+
1 n
+
1 n2
=1+
1 n
· (1 −
n · (− 2n+1 +
1 ) 2n+1 n2
(2n+1)2
+
1 (2n+1)2
=
).
Alkalmazva a Gauss tesztet: n bn = − 2n+1 +
n2 (2n+1)2
28
Végtelen sorok konvergencia kritériumai segédsorozattal. Ekkor α = 1, β = 1 és γ = 1 értékek mellett teljesül az egyenl˝otlenség, amib˝ol következik, hogy a sor divergens.Tehát az eredeti sorunk k > 2 esetén konvergens, k ≤ 2 esetén pedig divergens. A következ˝o három tételben szerepl˝o kritériumok csak olyan sorokra használhatóak, melynek tagjai nem negatívak és monoton csökken˝o sorozatot képeznek. Az integrálkritérium a kondenzációs kritérium, és Jermakov - kritérium nem csak elégségesek, hanem szükségesek is a konvergenciához.
3.5.
Integrálkritérium
3.5.1. Tétel. []Legyen a ∈ Z és f : [a, ∞] 7→ R félegyenesen monoton csökken˝o és ∞ P nem negatív függvény. f (n) végtelen sor akkor és csak akkor konvergens (illetve n=a R∞ divergens), ha a f (x)dx improprius integrál konvergens (divergens). Bizonyítás. Tettsz˝oleges n > a egész szám esetén nézzük az [a, n] intervallum a, a + 1, ... ,n egész számokkal való felosztását. Az f függvény ezen felosztásához tartozó alsó és fels˝o összegét jelöljük sn illetve Sn -nel. Ekkor f P
(i) = sn ≤
i=a+1
Rn a
f (x)dx ≤ Sn =
n−1 P
f (i)
i=a
igaz, ugyanis f mondoton csökken˝o, az [i − 1, i] intervallumon f legkisebb értéke f (i), Rh a legnagyobb pedig f (i − 1). Tudjuk, hogy f nem negatív, ezért h 7→ a f (x)dx fügR∞ gény monoton n˝o, tehát a f (x)dx improprius integrál létezik. Továbbá vagy véges, ha konvergens az integrál, vagy végtelen, ha divergens. Az integrál konvergens akkor ∞ Rn P n 7→ a f (x)dx korlátos. Ekkot sn -r˝ol is tudjuk, hogy korlátos, tehát f (n) sor konvern=a Rn gens. Amennyiben viszont az integrál divergens akkor elmondható, hogy n 7→ a f (x)dx ∞ P a végtelenhez tart. Ekkor Sn sorozat is a végtelenhez tart, így f (n) végtelen sor din=a
vergens. 3.5.2. Példa. []
∞ P
n=0
n n2 +2
konvergens -e? R∞
x
1
x2 +2
dx = limn→∞
Ry
x dx 1 x2 +2
=
limy→∞ [ 21 · ln(x2 + 2)]y1 = limy→∞ ( 21 ) · ln(y 2 + 2) − 12 ) · ln(12 + 2) = 2
limy→∞ ( 21 ) · ln(y 2 + 2) − 12 ) · ln(3) = limy→∞ 12 · ln( y 3+2 ). 29
Végtelen sorok konvergencia kritériumai Tehát a sor divergens. P 3.5.3. Példa. [] n1α α > 1 hiperharmonikus sor konvergens -e? R∞ 1
1 dn nα
= limy→∞
Ry 1
−α+1
1−α
n−α dn = limn→∞ [ n−α+1 ]y1 = limn→∞ ( y1−α −
1 ). 1−α
Tehát az intergrál konvergens, ebb˝ol következ˝oen a hiperharmonikus sor is konvergens.
30
Végtelen sorok konvergencia kritériumai
3.6.
Kondenzációs kritérium
P 3.6.1. Tétel. []Legyen (an ) sorozat monoton csökken˝o és nem negatív, akkor (an ) és P n (2 · a2n ) végtelen sorok egyszerre konvergensek, vagy egyszerre divergensek. Bizonyítás. A fenti két sor mindegyike nem negatív tagú, tehát a konvergencia attól függ, hogy a részletösszeg - sorozat korlátos - e felülr˝ol. Ehhez kellenek n P
sn =
ak
Sn =
illetve
k=1
n P
2k · a2k
k=1
sorok részletösszegei. Illetve s0 = 0 és S0 = 0. Mivel a2n ≥ ai ∀i > 2n
így
Sn − Sn−1 = 2n · a2n ≥ s2n+1 − s2n
ezen felül Sn =
n P
(Sk − Sk−1 ) ≥
k=1
n P
(s2k+1 − s2k ) = s2n+1 − s2 .
k=1 ∞ P
Tehát ha (Sn ) felülr˝ol korlátos, akkor (s2n+1 ) is.
(an ) sor (sn ) részletösszeg - sorozat
n=1
∀i ≤ 2n így
monoton növ˝o, korlátos felülr˝ol, ugyanis a2n ≤ ai
Sn − Sn−1 = 2n · a2n ≤ 2 · (s2n − s2n−1 ) amib˝ol adódik Sn =
P (Sk − Sk−1 ) ≤ 2 · (s2n − s1 ).
Tehát, ha (sn ) felülr˝ol korlátos akkor (Sn ) is az. 3.6.2. Példa. []Konvergens vagy divergens a
∞ P n=1
1 nα
végtelen sor ahol α > 0?
A kondenzációs kritérium alapján P
2n ·
1 (2n )α
=
∞ P n=1
2n (2n )α
=
∞ P n=1
1 2n α−n
=
∞ P n=1
Tudjuk, hogy α − 1 > 0, tehát 2α−1 > 1. Mivel tudjuk, hogy
1 . (2α−1 )n
∞ P n=1
1 (2α−1 )n
konvergens, ezért
az erederi sor is konvergens.
31
Végtelen sorok konvergencia kritériumai
3.7.
Jermakov - kritérium
3.7.1. Tétel. []Tegyük fel, hogy f : [0, ∞] 7→ R+ monoton csökken˝o függvény, és P n (en ) = λ . Amennyiben λ < 1 akkor f (n) sor konvergens, ha pedig ∃ limn→∞ e f·f(n) P λ > 1 akkor f (n) sor divergens. x
x
(e ) Bizonyítás. Tegyük fel, hogy f pozitív, monoton fogyó és limx→∞ e ff(x) = λ. R∞ P f (n) konvergenciája az integrál kritérium miatt ekvivalens azzal, hogy 0 f (x)dx
konvergens. Így λ < 1 esetén elég bebizonyítani, hogy az improprius integrál konvergens. Tekintsük a, b ∈ R, 0 ≤ a < b esetén y = ex helyettesítést. R eb ea
Rb
f (y)dy =
a
ex f (ex )dx
ekkor igaz lesz, mert f monoton függvény Riemann-integrálható a korlátos és zárt [ea , eb ]n. A fenti feltevésb˝ol következik, hogy létezik x0 > 0 melyre minden x > x0 esetén teljesül, hogy ex f (ex ) f (x)
1+λ 2
<
< 1.
Vezessük be a b0 = x0 és a bn+1 = ebn , n ∈ Z+ jelölést. Ekkor R b2
f (y)dy =
b1
R b1 b0
1+λ 2
ex f (ex )dx <
R b1 b0
f (y)dy.
Hasonlóképpen R b3 b2
f (y)dy <
1+λ 2
R b2 b1
)2 f (y)dy < ( 1+λ 2
R b1 b0
f (y)dy
teljesül. Teljes indukcióval könnyen belátható, hogy R bk+1 bk
k
) f (y)dy < ( 1+λ 2
R b1 b0
f (y)dy, k ∈ Z+ .
Ebb˝ol következ˝oen igaz lesz, hogy R bn+1 x0
n R P bk+1
f (y)dy =
k=o
Az els˝o tényez˝ot az
1+λ 2
bk
f (y)dy <
n P k=o
) ( 1+λ 2
k
R ex0 x0
f (y)dy <
2 1−λ
R ex0 x0
f (y)dy.
kvóciens˝u mértani sor összegével becsüljük. Amennyiben bn ≤
b < bn+1 , akkor Rb
f (y)dy < x0
R bn+1 x0
f (y)dy <
2 1−λ
R ex0 x0
f (y)dy
teljesül. Ekkor a bal oldali Riemann-integrál a fels˝o határ korlátos függvénye, így R∞ x0
f (y)dy = limx→∞
Rb x0
f (y)dy <
2 1−λ
R ex0 x0
f (y)dy 32
Végtelen sorok konvergencia kritériumai igaz lesz. Ebb˝ol következ˝oen f improrius integrálja konvergens [x0 , )-n, ezért [0, ∞) P intervallumon is. Ezzel a konvergenciával ekvivalens f (n) konvergenciája. A divergenciát hasonló módon bizonyíthatjuk. Ha λ > 1, akkor az el˝obbi bizonyítást megimésmételhetjük fordított reláció jelekkel egészen addig a pontig ahol
1+λ 2
kvóciens˝u
mértani sor összegével becsültünk. Így elmondható, hogy R bn x0
n−1 P
f (y)dy >
k=0
( 1+λ )k 2
R ex0 x0
f (y)dy
lesz igaz. A jobb olali Riemann - integrál pozitív és ∞ P
( 1+λ )k = ∞ 2
k=0
Ebb˝ol következ˝oen limn→∞ A pozitív f függvény
R bn x0
R bn x0
f (y)dy = ∞
f (y)dy improprius integrálja létezik és végtelen vagy egy valós
szám. Létezik olyan szigorúan monoton növ˝o és végtelenhez tartó (bn ) sorozat, hogy R bn Rb Rb f (y)dy → ∞ (átviteli elv miatt). x0n f (y)dy = limn→∞ x0 f (y)dy = ∞ Tehát az x0 P integrál kritérium szerint f (n) divergens.
3.7.2. Példa. []Döntsük el, hogy a
∞ P n=2
1 n·ln n
A Jermakov kritériumot alkalmazva f (x) = f (ex )·ex f (x)
=
(n ≥ 2) konvergens-e vagy sem! 1 , x·ln x
1 x ex ·x ·e 1 x·ln x
x ∈ [2, ∞] függvényre:
= ln x → ∞
Tehát a feltételek alapján a sor divergens. 3.7.3. Definíció. []Az (an ) számsorozatot, akkor nevezzük korlátos változásúnak, ha n 7→ (an+1 − an ) sorozatból képzett végtelen sor abszolút konvergens. Egy számsorozat pontosan akkor korlátos változású, ha el˝oállítható két konvergens monoton növ˝o sorozat különbsége ként. A következ˝o három kritérium a sorok abszolút konvergenciájának eldöntésére nem alkalmasak. Közös ismérvük, hogy a tételekben szerepl˝o soroknak a tagjai két sorozat szorzatából tev˝odnek össze. 33
Végtelen sorok konvergencia kritériumai
3.8.
Dirichlet I. kritériuma
3.8.1. Tétel. []Ha (bn ) sorozat (sn ) részéletössezeg - sorozata korlátos, és (an ) korlátos változású nullsorozat, akkor a P
sn · (an − an+1 ) és a
P (an · bn )
sor is konvergens, összegeik pedig egyenl˝oek. Bizonyítás.
P
sn (an − an+1 ) sor abszolút konvergens, ugyanis ha a tagok abszolútértékét
nézzük, akkor a bel˝olük képzett sor a részletösszegeinek alapján korlátos. n P
|sk (ak − ak+1 )| =
k=1
n P
|sk | · |ak − ak+1 | ≤ sup{|sk |} ·
k=1
ahol k, n ∈ Z+ . A
P
n P
|ak − ak+1 |
k=1
sn ·(an −an+1 ) abszolút konvergens sor, így konvergens is. Vezessük
be az s0 = 0 jelöléssel ∀k ∈ Z+ -ra yk = sk − sk−1 -et, így: n P k=1
ak · y k = n P
n P k=1
ak · s k −
ak · (sk − sk−1 ) = n P
n P k=1
ak+1 · sk = an · sn +
n P
n P
ak · sk−1 =
k=1
sk (ak − ak+1 ).
k=1
k=1
k=1
ak · s k −
Mivel (sn ) korlátos sorozat, (an ) pedig nullsorozat, ezért (an · sn ) nullsorozat. Ha nézzük a két sor határértékét, akkor n P
ak · yk = limn→∞ an · sn +
k=1
∞ P
(ak − ak+1 ) · sk =
k=1
∞ P
sk · (ak − ak+1 )-et
k=1
kapjuk, amit bizonyítani is szerettünk volna.
3.9.
Dirichlet II. kritériuma
3.9.1. Tétel. []Tegyük fel, hogy (bn ) sorozat részletösszegeinek sorozata korlátos, és az ∞ P (an ) monoton csökken˝o és nullához tart. Ekkor an · bn végtelen sor konvergens. n=1
Bizonyítás. Kell, hogy ha (an ) monoton csökenn˝o nullsorozat, akkor korlátos változású. P (an − an+1 ) állandó el˝ojel˝u, nem negatív el˝ojel˝u tagú sorra: n P k=1
|ak − ak+1 | =
n P
(ak − ak+1 ) = an − an+1 → a1
k=1
ha n → ∞. Majd Dirichlet I. tétele alapján
P (an · bn ) konvergens.
34
Végtelen sorok konvergencia kritériumai Megjegyzés 1. Dirichlet I. kritériumának következménye Dirichlet II. kritériuma. 2. Dirichlet II. kritérium speciális esete a Leibnzt - kritériummal egyezik meg. Méghozzá (bn ) = (−1)n illetve (bn ) = (−1)n−1 esetekben. 3.9.2. Példa. []Nézzük a
∞ P n=1
(an ) =
1 n
cos n . n
A (bn ) = (cos n) sorozat részletösszegei korlátosak az
pedig monoton csökken˝o nullsorozat. Belátni az sn =
1 2
n P k=1
cos k · sin 12 = cos 1 · sin 21 + ... + cos(n − 1) · sin 12 + cos n · sin 12 =
· (− sin(1 − 12 ) + sin(1 + 21 ) − ... − sin((n − 1) − 12 ) + sin((n − 1) + 12 ) − sin(n − 12 ) + sin(n + 21 )) =
így sn = ∞ P n=1
cos n n
3.10.
sin(n+ 12 )−sin 12 , 2·sin 12
1 2
· (sin(n + 21 ) − sin 12 ) .
tehát tényleg korlátos az sn . Ebb˝ol következ˝oen
konvergens.
Abel - kritérium
3.10.1. Tétel. []Ha ∞ P
sorról kell azt, hogy
k=1
valóban korlátos. Ötlet: szorozzunk sin 21 . sn · sin 12 =
∞ P
∞ P
bn sor konvergens, az (an ) pedig korlátos változású sorozat, akkor
n=1
an · bn sor konvergens.
n=1
Bizonyítás. Mivel (an ) korlátos változású, ezért konvergens.
∞ P
bn sor konvergens, akkor
n=1
részletösszegeinek sorozata korlátos. limn→∞ an · sn = limn→∞ an · limn→∞ sn = limn→∞ an ·
∞ P
bn
n=1
így
P
an · bn konvergens, és ∞ P n=1
an · bn = limn→∞ an ·
∞ P
bn +
n=1
∞ P
sn · (an − an−1 ).
n=1
(Dirichlet I. konvergenciájának bizonyítása alapján) 35
Végtelen sorok konvergencia kritériumai ∞ P
3.10.2. Példa. []Döntsük el, hogy konvergens - e a ∞ P n=1
9 2n ·n!
= 9·
∞ P n=1
n=1 1 n!
9 2n ·n!
sorozat?
· ( 12 )n sor konvergens az Abel - kritérium szerint, ugyanis an =
monoton csökken˝o nullasorozat, és
∞ P
1 n!
( 12 )n konvergens mértani sor.
n=1
3.10.3. Példa. []Konvergens - e a
P (1 + n1 )n ·
cos n ? n
P cos n n
konvergens ezt beláttuk a
Dirichlet - kritériummal. Az (1 + n1 )n sorozatról tudjuk, hogy korlátos változású, ugyanis korlátos és monoton. Tehát a két sorozat szorzataként kapott végtelen sor konvergens.
3.11.
Logaritmikus kritérium
3.11.1. Tétel. []Adott
P (an ) pozitív tagú sor és Ln =
1. Ha lim inf Ln > 1 akkor
∞ P
ln a1 n ln n
, (n ≥ 2 , n ∈ Z+ ).
an konvergens
n=1
2. Ha egy indext˝ol kezdve Ln ≤ 1 akkor
P (an ) divergens.
Bizonyítás. Ha lim inf Ln > 1 akkor létezik N ∈ Z+ és r ∈ R+ , hogy ln a1 n ln n
≥1+r
igaz minden n ≥ N esetén. Ezt átalakítva − ln an ≥ (1 + r) · ln n kapjuk. Majd (−1)-el szorozva mindkét oldalt 1 ln an ≤ −(1 + r) · ln n = ln n1+r
egyenl˝otlenség teljesül. Exponenciális függvény szigorú monoton növekedése miatt an ≤ P 1 1 . hiperharmonikus sor r ∈ R+ esetén konvergens, így majoráns kritériumot n1+r n1+r P alkalmazva an is konvergens. Hasonló módon bizonyíthatjuk a divergenciát is. Egy N indext˝ol kezdve ln a1 n ln n
≤1
− ln an ≤ ln n −an ≥
1 n
36
Végtelen sorok konvergencia kritériumai teljesül. A
P
tunk, hogy
P
1 n
harmonikus sor divergens. A minoráns kritériumot alkalmazva arra ju-
an divergens.
3.11.2. Példa. []Döntsük el, hogy a
∞ P n=3
1 (ln ln n)ln n
konvergens-e vagy sem!
A logaritmikus kritérium alapján a ln
Ln =
1 1 (ln ln n)lnn
ln n
=
ln(ln ln n)ln n ln n
=
ln n·ln ln ln n lnn
= ln ln ln n → ∞.
Tehát a feltétel szerint a sor konvergens.
37
4. fejezet Végtelen sorok a középiskolában 4.1.
Számsorozatok
A középiskolában a diákok el˝oször a számsorozat fogalmával és tulajdonságaival ismerkednek meg. A függvényekre vonatkozó ismereteikb˝ol kiindulva a valós érték˝u függvények értelmezési tartományának vizsgálatával jutnak el a valós számsorozat fogalmához. 4.1.1. Példa. [Számsorozatra] 1, 5, 7, 9, 13... Ez f (x) függvény szerint: f (1) 7→ 1
a1 = 1
f (2) 7→ 5
a2 = 5
f (3) 7→ 7
a3 = 7 .. .
Az ai a sorozat i. eleme, az an pedig az n. tag (általános tag). Ezek után a hozzárendelési módból kiindulva tárgyaljuk a sorozat megadási lehet˝oségeit. Ez történhet a tagok felsorolásával, vagy szövegesen, képlettel esetleg rekurzívan - megtudjuk az els˝o néhány elemet, majd képletet adunk a további elemek kiszámítására.
38
Végtelen sorok konvergencia kritériumai 4.1.2. Példa. [Szöveges megadás] A
√
2 számjegyeinek sorozata.
a1 = 1 a2 = 4 a3 = 1 a4 = 4 a5 = 2 4.1.3. Példa. [Felsorolással való megadás] 2
3
5
7
11
13...
Ez a prímszámok sorozata. 4.1.4. Példa. [Képlettel való megadás] {an } =
2·n+1 3
4.1.5. Példa. [Rekurzív megadás] a1 = 1
a2 = 1
a3 = 2 ...
an = an−2 + an−1
Fibonacci-sorozat. A könnyebb átláthatóság és szemléltetés érdekében megmutatunk kétféle ábrázolási módot. Az egyik, mely szerint koordináta-rendszerben bejelöljük a sorozat néhány elemét, majd levonjuk a következtetést, hogy a grafikon diszkrét pontokból áll. A másik ábrázolási mód pedig, hogy számegyenesen szemléltetjük a sorozat tagjait. A következ˝okben a függvénytani tulajdonságok állnak az óra középpontjában. Tanult függvénytulajdonságok alapján értelmezzük a korlátosság, monotonitás, határérték fogalmait. 4.1.6. Példa. [] {an } =
n−2 n+2
sorozatot tekintve −1 <
n−2 n+2
=
n+2−4 n+2
=1−
4 n+2
<1
Ezen a példán keresztül a diákok maguk tapasztalhatják és fogalmazhatják meg, hogy a sorozat korlátos és monoton növ˝o. Rájönnek, hogy a korlátosság vizsgálata az értékkészletre vonatkozik, a monotonitásnál pedig az értelmezési tartományon vizsgáljuk az értékkészlet elemeit.Több példán keresztül szemléltetés és ábrázolás útján a konvergencia és a határérték fogalmát is megtaníthatjuk. Ezután pontos definíciót is adhatunk ezekre a fogalmakra. 39
Végtelen sorok konvergencia kritériumai 4.1.7. Definíció. []Egy sorozat konvergens és határértéke az A valós szám, ha bármely > 0 számhoz ∃N pozitív egész küszöbindex, hogy bármely n ∈ N+ esetén igaz, hogy |an −A| < . Azt is mondhatnánk, hogy a sorozatnak csak véges sok tagja van a határérték tettsz˝olegesen kis környezetén kívül. Ez a fogalom a diákok számára nehéznek és emészthetetlennek bizonyul. Ezért rengeteg példa gyakorlásával érhetünk el sikert. Ezen példák megoldása közben jön el˝o a divergens sorozat elnevezés is. Ezzel párhuzamosan fedezik fel, hogy: 1. Konvergens sorozatnak csak egy határértéke van. 2. Minden konvergens sorozat korlátos. 3. Minden monoton korlátos sorozat konvergens. 4. Vannak olyan sorozatok, amelyek nem konvergensek, de van konvergens részsorozatuk. Mindezek áttekintése után a sorozatokkal végzett m˝uveletek tárgyalásába kezdünk.A függvények kapcsán már tanulták a m˝uveleteket ezért egy m˝uvelet megadása után mintaszer˝uen végezhetik a többit. Az összeg -, különbség -, szorzat - és a hányados sorozat határértékére vonatkozó szabályokat illetve a rend˝or szabályt mondjuk ki és bizonyítjuk. Legvégül a majdani könnyebb számítások érdekében tárgyaljuk néhány nevezetes sorozat határértékét. Ilyen sorok például az 1. an =
1 n
sorozat, melynek konvergenciáját az arkhimédészi - axióma alapján vezet-
jük le. 2. A mértani sorozat melyet megvizsgálunk a kvóciens nagyságának szempontjából. 3. an = 4. an = 5. an =
√ n
a
√ n
n
an n!
6. an = 1 +
1 n n
7. Számtani sorozatok Végül rengeteg gyakorló feladattal sajátítjuk el a határértékek kiszámítását. 40
Végtelen sorok konvergencia kritériumai
4.2.
Végtelen sorok
A végtelen sorokat Zenon paradoxonjai alapján játékosan vezetjük be és vetjük fel az összegzés problémáját. A konklúzió levonása után pontos definíciót adunk a végtelen sorokra, melyet a számsorozatból vezetünk le. Mindezek után a mértani sor részletösszeg sorozatát a sor összegét és a konvergencia fogalmát tisztázzuk. Tárgyaljuk a nevezetes végtelen sorok határértékét. Levezetjük az összehasonlító (hányados, majoráns), hatvány illetve gyökkritériumot. Gyakorlásra kiválóak az alábbi példák:
Döntsük el, hogy az alábbi sorok konvergensek - e vagy divergensek? ∞ P n=1
∞ P n=0
n+1 3n
xn n!
∞ P n=1
1 n(n+2)
∞ P
10−n
n=1
−42 + 21 − 10, 5 + 5, 25 + ... Egy 24 cm oldalú négyzet alakú papírlapot négy kisebb négyzetre vágunk, melyek oldala 12 cm. Három négyzetet oldalaikkal egymás melléhelyezünk. A negyediket négy kisebb négyzetre vágjuk, melyek oldalai 6 cm-esek. Ezek közül hármat a nagyobb négyzetek mellé teszünk. A negyedik négyzetet ismét négy kisebb négyzetre vágjuk, és az eljárást a végtelenségig folytatjuk. Határozza meg az egymás melletti négyzetek oldalainak együttes hosszát!
41
Köszönetnyilvánítás Ezúton szeretnék köszönetet mondani témavezet˝omnek, Bátkai Andrásnak, aki, tudásával, szakmai tapasztalatával segítette munkámat. Hálával tartozom még évfolyamtársamnak, Szabó Dávidnak,és öcsémnek, Bogye Balázsnak akik bevezettek a LATEX rejtelmeibe. Végül de nem utolsó sorban szüleimnek, akik mindvégig mellettem álltak, támogattak, és akik nélkül mindez sosem sikerült volna.
42
Irodalomjegyzék [1] C SÁSZÁR Á KOS, Végtelen sorok. Tankönyvkiadó, Budapest, 1979. [2] D R . KONRAD K NOPP, Theory and application of infinite series. [3] D R . S ZARKA Z OLTÁN, Végtelen sorozatok és sorok I. és II. kötet. Magas szinten könnyedén sorozat. LSI Alkalmazástechnikai Tanácsadó Szolgálat, Budapest, 1988. [4] FARKAS M IKLÓS - H OFFMAN T IBORNÉ, Matematika IV. kötet - Végtelen sorok. M˝uegyetemi Kidaó, 1994. [5] F RANTISEK D URIS, Infinite Series:Convergence Tests (Bachelor thesis).Bratislava, 2009. oldwww.dcs.fmph.uniba.sk [6] L ACZKOVICH M IKLÓS - T. S ÓS V ERA, Analízis II. Nemzeti Tankönyvkiadó, Budapest, 2007. [7] N ÉMETH J ÓZSEF, VEl˝oadások a végtelen sorokról. Polygon Könyvtár, Szeged, 2002. [8] U RBÁN JÁNOS, Határérték - számítás. M˝uszaki kiadó, Budapest, 2006. [9] S ZILÁGYI
T IVADAR,
Végtelen
sorok,
hatványsorok.
http://www.cs.elte.hu/ sztiv/5vs.pdf [10]
HTTP :// MATHWORLD . WOLFRAM . COM / TOPICS /C ONVERGENCE . HTML
[11]
SDT. SULINET. HU
43
