Úvod do fyziky plazmatu

Úvod do fyziky plazmatu Definice plazmatu (typická) Plazma je kvazineutrální systém nabitých (a případně i neutrálních) částic, který vykazuje kolektivní chování. Pozn. Kolektivní chování je tedy podstatné, nicméně nemusí dominovat. Kdy je počet nabitých částic v plynu nezanedbatelný ? Ionizační rovnováha - Sahova rovnice [jednotky SI] Ui ni ne = 2.4 × 1021 T 3/2 exp − nn kB T Ã

!

Například za atmosférického tlaku a při pokojové teplotě nn = NA = 2.69 × 1025 m−3 Boltzmannova konstanta kB kB =

R = 1.38 × 10−23 J/K = 8.62 × 10−5 eV/K NA kB T = 1 eV ⇔ T = 11600 K

Pro dusík – ionizační potenciál Ui = 14.5 eV Při teplotě 11 600 K a při atmosférické hustotě je ni = 7 × 10−3 nn Teplota plazmatu bývá vysoká a často se porovnává s potenciály ionizace, proto se obvykle udává v energetických jednotkách (eV, keV). Kvazineutralita Celkový elektrický náboj je mnohem menší než celkové množství kladného náboje (a absolutní hodnota celkového záporného náboje).

Náboje různých druhů se přitahují. K tomu, aby se oddělily od sebe (vznikly makroskopické oblasti s nekompenzovaným nábojem) je zapotřebí určité energie. Náboje se mohou samovolně oddělit jen na vzdálenost, kterou jim dovolí jejich tepelná energie - vzdálenost, kdy se veškerá tepelná energie změní na potenciální energii. Jednoduchý fyzikální model – jak silná (tloušťka ∆) nekonečná rovinná vrstva elektronů se může posunout proti iontům o celou svou tloušťku ?

Obrázek 1: Schéma posunutí vrstvy elektronů o tloušťce ∆ proti iontům o vzdálenost ∆

Vzniká kondenzátor s plošnou hustotou náboje σ a uvnitř je elektrické pole E σ σ = −e ne ∆ E= ε0 Potenciální energie, kterou je nutno dodat jednomu elektronu pro posun o ∆ je pro maximální tloušťku vrstvy právě rovna jeho tepelné energii e2 ne ∆2 Upot = −e E ∆ = = k B Te ε0 Toto ∆ se nazývá elektronová Debyova délka λDe λDe

ε0 kB Te =∆= ne e2 Ã

!1/2

(1)

Plazma je tedy kvazineutrální na vzdálenostech, které jsou podstatně větší než Debyova délka, podmínkou kvazineutrality je charakteristický rozměr L plazmatu L ≫ λDe . Časová podmínka kvazineutrality - kvazinetralitu nemá cenu uvažovat u velmi rychlých jevů – k oddálení nábojů dochází jen na určitou krátkou dobu. Rychlost uspořádaného pohybu elektronů v=

d∆ dt

Pohybová rovnice pro elektrony me

e2 ne ∆ dv =− dt ε0

⇒

d2 ∆ e2 ne ∆ = − d t2 ε0 me

To je rovnice harmonického oscilátoru s frekvencí ω rovnou elektronové plazmové frekvenci ωpe  1/2 2 e n e  ωpe =  (2) ε0 me Tedy kvazineutralita platí, pokud charakteristický čas děje τ je velký τ ≫ −1 ωpe .

Debyovo stínění Probereme nyní podrobněji stínění statického náboje v plazmě. Poprvé ho Debye odvodil v teorii elektrolytů. Budeme používat makroskopického popisu s veličinami jako hustota (koncentrace) elektronů ne a iontů ni . Budeme předpokládat, že teplota elektronů Te nemusí být obecně rovna teplotě iontů Ti . To se v plazmatu stává často, protože (jak později ukážeme) je přenos energie mezi elektrony a ionty velmi pomalý. Na rozdíl od učebnice [Chen] připustíme, že plazma může být vícenásobně ionizovaná, označíme Z střední náboj iontů. Tedy náboj elektronu je qe = −e a náboj iontu je qi = Z e.

Elektrostatické pole kolem náboje qT umístěného v počátku je dáno Poissonovou rovnicí ρ e qT ∆ϕ = − = (ne − Z ni ) − δ(~r) ε0 ε0 ε0 Předpokládáme, že v ∞ (tam kde ϕ = 0) je hustota náboje ρ = 0. Tedy ne = n0 = Z ni . Předpokládáme rovnovážný stav a tepelnou energii elektronů i iontů podstatně větší než je Fermiho energie π 2h ¯2 EF = 2me

Ã

3ne π

!2/3

.

Např. Fermiho energie pro pevné kovové látky bývají řádově několik eV. Pravděpodobnost obsazení hladin je pak dána Boltzmannovou statistikou a tedy p ∼ exp(−U/kB T ). Tedy eϕ ne = n0 exp k B Te Ã

Z eϕ n0 exp − ni = Z k B Ti Ã

!

!

Hustoty elektronů a iontů lze teď dosadit do Poissonovy rovnice a tuto řešit. Řešení si zjednodušíme linearizací, budeme předpokládat, že potenciální energie je malá proti kinetické. Pro |x| ≪ 1

exp(x) ≃ 1 + x

Pak

e2 Z 1 ∇ ϕ= ne + ε0 Te Ti Pro sférickou symetrii je Ã

2

!

1 d ∇ ϕ= 2 r dr

Ã

2

ϕ

pro ~r 6= ~0

dϕ r dr 2

!

Po substituci ϕ = ϕ/r ˜ má Poissonova rovnice pro r > 0 tvar ϕ˜ d2 ϕ˜ = 2 2 dr λD kde Debyova délka λ2D je −2 −2 λ−2 D = λDe + λDi

λDe =

v u u kB t

Te ε0 ne e2

λDi =

v u u kB t

Ti ε0 Z ne e2

(3)

Při Te > Ti /Z dominuje iontové stínění statického náboje. Kolem každé nabité částice je určité stínění. Aby vzniklo stacionární iontové stínění, musí být rychlost nabité částice mnohem menší než je tepelná rychlost iontů. Pokud je částice rychlejší než tepelné ionty, ale mnohem pomalejší než je tepelná rychlost elektronů, vytváří se stacionární stínění elektrony, ale stínění ionty je menší než u statického náboje. Potenciál statického náboje qT v plazmatu je à ! qT r ϕ= exp − (4) 4π ε0 r λD Plazma tedy odstíní statický náboj na vzdálenost λD . Odvození v sobě obsahovalo 2 předpoklady • Při odvození jsme používali hustoty nabitých částic, což s rozumnou přesností lze jen, pokud se jedná o vzdálenosti velké ve srovnání se střední vzdálenosti mezi částicemi, tedy λD musí být velké a tudíž počet částic v Debyově sféře 3/2 3/2

4π ε0 kB Te3/2 4π 3 ≫1 (5) λDe ne = ND = 1/2 3 3 e3 ne Veličině ND nebo jejímu násobku se říká plazmatický parametr. Brzy uvidíme, že jen při ND ≫ 1 převažuje kolektivní působení nad binárním působením částic v plazmatu. Pokud je splněna podmínka ND ≫ 1, mluvíme o ideálním plazmatu. Pozn. V ideální plazmatu tedy kolektivní působení dominuje nad binární interakcí částic. • Při linearizaci Poissonovy rovnice jsme předpokládali, že potenciální energie nabitých částic eϕ je mnohem menší než jejich tepelná energie kB Te . To jistě neplatí v bezprostřední blízkosti počátku, ale tam neplatí ani předchozí předpoklad. Stačí tedy předpokládat, že qT je tak malé, že na střední vzdálenosti mezi elektrony Re = [3/(4πne )]1/3 nerovnost platí. Plazmová frekvence ωpe , elektronová Debyova délka λDe a tepelná rychlost elektronů vT e splňují jednoduchý vztah q

vT e = kB Te /me = λDe × ωpe

(6)

Kolektivní chování Pojmem kolektivní chování označujeme vzájemné působení částic pomocí makroskopických elektromagnetických polí na rozdíl od mikroskopických polí, kterými na sebe působí částice při binární srážce. Pro převahu kolektivního chování musí být kolektivní působení, charakterizované elektronovou plazmovou frekvenci ωpe , silnější než je binární působení charakterizované srážkovou frekvencí νc . Musí tedy platit ωpe > νc .

Srážky mezi nabitými částicemi Chceme odvodit srážkovou frekvenci, pro jednoduchost budeme předpokládat, že se nemění složka rychlosti v0 nalétávající částice ve směru pohybu před srážkou (platí pro velká b, kdy dochází jen k malé změně směru pohybu částice)

Obrázek 2: Schéma srážky 2 nabitých částic (ˆ r je jednotkový vektor ve směru ~r, b je srážkový parametr)

Kolmou složku hybnosti částice získáme časovou integrací impulsu síly m v⊥ =

Z ∞

−∞

F⊥ (t) dt

Kolmá složka síly je dána vztahem q q0 q q0 sin θ = sin3 θ , F⊥ = 2 2 4π ε0 r 4π ε0 b

kde jsme využili vztahu r = b/ sin θ. Závislost F⊥ na čase je dána závislostí úhlu θ. Pohyb ve směru xˆ pokládáme za rovnoměrný, a proto t = x/v0 = −r cos θ/v0 = −b cos θ/(v0 sin θ) a tedy b dθ dt = v0 sin2 θ Po dosazení Z ∞ Z π q q0 v0 b0 q q0 3 sin θ(t)dt = sin θdθ = v⊥ = 4π ε0 m b2 −∞ 4π ε0 m b v0 0 b kde b0 je Landauova délka 1 2 q q0 b0 = (7) 4π ε0 m v02 Srážkový parametr b0 odpovídá rozptylu na 90◦ , tedy situaci, kdy částice ztratila původní směr rychlosti. Účinný průřez pro rozptyl na úhel ≥ 90◦ je σ = π b20 . Srážková frekvence (pro rozptyl na velké úhly) πn0 v0 b20

νL =

4πn0 q 2 q02 = (4πε0 )2 m2 v03

Rozptyl na malé úhly Elektrostatické pole - síla dalekého dosahu - nad rozptylem na velké úhly často převažuje suma mnoha rozptylů na malé úhly. Ke ztrátě původní orientace rychlosti tedy pravděpodobně dojde mnoha malými změnami vektoru rychlosti dříve než dojde k jedné srážce s velkým úhlem rozptylu. Srážková frekvence je pak definována jako 1 lomeno průměrnou dobou, za kterou částice ztratí původní orientaci rychlosti. Historii pohybu částice lze považovat za náhodnou procházku v prostoru rychlostí. Dojde-li v určitém časovém intervalu k N srážkám, je změna např. y složky rychlosti ∆vy = ∆vy1 + ∆vy2 + . . . + ∆vyN , přitom střední hodnota h∆vy i = h∆vyi i = 0. Poněvadž lze považovat jednotlivé srážky za nekorelované, je disperze vy D

2

Dvy = (∆vy )

E

* N X

= (

i=1

2

∆vyi )

+

=

N D X

(∆vyi )2 = N (∆vy1 )2

i=1

E

D

E

Pro jednu srážku se srážkovým parametrem b je 2 v⊥ = (∆vy )2 + (∆vz )2 =

D

E

D

E

D

E

v02 b20 b2

Protože disperze je pro obě kolmé složky rychlosti stejná, je D

(∆vy )2tot

E

N v02 b20 = 2 b2

Počet srážek se srážkovým parametrem v intervalu db je dN = n0 v0 2πb db a tedy celková disperze kolmé složky rychlosti je dána vztahem E d D (∆vy )2tot = π n0 v03 b20 dt

Z

bmax db = π n0 v03 b20 ln b bmin

Divergující integrál jsme museli omezit. Spodní hranice je dána předpokladem rozptylů na malé úhly, a ten pro srážkové parametry menší než b0 zjevně neplatí. Pro velké srážkové parametry neplatí předpoklad o Coulombovském působení mezi částicemi, neboť se zde uplatní Debyovské stínění, proto volíme bmax = λDe . Označme pro srážku mezi elektrony s tepelnou rychlostí vT e Λ=

λDe 2πε0 λDe me vT2 e 3 3 = = 2π n λ = ND e De b0 e2 2

(8)

Veličina Λ je velká v ideálním plazmatu, kde plazmový parametr ND ≫ 1. Veličina lnΛ se nazývá Coulombův (Coulombovský) logaritmus, je to poměr srážkové frekvence všech srážek k frekvenci rozptylu na úhly větší než 90◦ . Její typická hodnota v ideálním plazmatu bývá 5 – 20. Srážková frekvence pro srážky elektronů s rychlostí v0 s elektrony je 8π n0 e4 ν= lnΛ (4πε0 )2 m2e v03 Srážková frekvence Coulombovských srážek je ∼ v −3 a střední volná dráha je ∼ v 4 , proto relativně rychlé elektrony z konce rozdělení rychlostí mají málo srážek a mohou bez větší změny směru projít poměrně velkou vzdálenost.

Srážkovou frekvenci elektronů s tepelnou rychlostí v0 = vT e = (kB Te /me )1/2 nazýváme efektivní srážkovou frekvencí νc =

8π ne e4 lnΛ

(9)

1/2

(4πε0 )2 me (kB Te )3/2

Poměr srážkové frekvence k plazmové frekvenci je ln(3 ND /2) 1 lnΛ νc = = ( ≪ 1 pro ND ≫ 1 ) ωpe 2π n0 λ3De 3 ND /2 a proto v ideálním plazmatu je efektivní srážková frekvence mnohem menší než elektronová plazmová frekvence a vliv kolektivní interakce pomocí makroskopických elektromagnetických polí dominuje nad vlivem srážek. Pro popis některých jevů lze tedy použít přiblížení bezesrážkového plazmatu. Poměr potenciální a kinetické energie Porovnejme energii elektronu v poli nejbližšího elektronu, vzdáleného o střední vzdálenost Re = (3/4π ne )1/3 s jeho kinetickou energií e2 e2 ne1/3 Wp ≃ = 1/3 4πε0 Re 3 (4π)2/3 ε0

Wk ≃

3 k B Te 2

2/3

2 3 e3 ne1/2   = 3/2 3/2 3/2 2/3 4π ε0 kB Te 9 ND V ideálním plazmatu je tedy kinetická energie částic mnohem větší než jejich vazebná (potenciální) energie. Jde tedy o slabě vázané plazma. Tím se ideální plazma přibližuje plynu, a proto často mluvíme o ionizovaném plynu. Stavová rovnice ideálního plynu je pak dobrou aproximací stavové rovnice elektronů v plazmatu. 2 Wp ≃ Wk 9



Parametr vázanosti plazmatu Γ Uspořádání iontů je dáno poměrem potenciální energie 2 sousedních iontů se středním nábojem Z ve střední vzdálenosti Ri ke kinetické energii iontu Z 2 e2 4π Γ= = 4πε0 Ri kb Ti 3 Ã

!1/3

1/3

Z 2 e2 ni 4πε0 kB Ti

(10)

Pokud Γ ≪ 1 jedná se o slabě vázané (weakly coupled) plazma, kde jsou ionty neuspořádané jako v plynu. Stavová rovnice ideálního plynu je pak

dobrou aproximací iontové stavové rovnice v plazmatu, navíc lze pak obvykle zanedbat i interakční energii mezi elektrony a ionty. Ideální plazma je plazma slabě vázané. V dynamice ideálního plazmatu obvykle vystačíme s klasickým (nekvantovým) popisem. Naopak při Γ ≫ 1 se jedná o silně vázané plazma, kde jsou ionty k sobě vázány obdobně jako v kapalině či pevné látce. Kvantové efekty hrají podstatnou roli v chování silně vázaného plazmatu. Degenerované plazma Degenerovaný je elektronový plyn a tudíž degenerované plazma má menší elektronovou teplotu Te než je Fermiho energie EF π 2h ¯2 kB Te < EF = 2me

Ã

3ne π

!2/3

.

Různé typy plazmatu Plazma v přírodě Ideální - výboje; ionosféra; sluneční vítr; vnější vrstvy hvězd; mezihvězdný plyn Ideální i neideální - vnitřky hvězd Neideální - elektronový plyn v kovech (degenerované plazma), elektrolyty Plazma v laboratoři Ideální - výboje různých typů (elektronky, výboje pro čerpání plynových laserů, pinče, kapilární výboj); MHD generátory; iontové motory Ideální i neideální - laserové plazma Plazma, které nesplňuje definice Často mluvíme o plazmatu tam, kde nás zajímají obdobné jevy jako v plazmatu (např. kolektivní chování systému), ačkoliv definice splněna není neneutrální plazma - intenzivní částicové svazky

Počet částic (elektronů + iontů) v Debyově sféře Převzato z R.P. Drake, High-Energy-Density Physics, Springer 2006

(a) Plazma z materiálů s vysokým atomovým číslem, kde se předpokládá střední ionizace Z = 0.63 Te , kde T je v eV. (b) Plazma z materiálů s nízkým atomovým číslem, kde se předpokládá střední ionizace Z=4

Obrázek 3: Typické parametry různých forem plazmatu

Obrázek 4: Typické teploty a hustoty různých forem plazmatu