Vysoké učení technické v Brně
Stavební fakulta
ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE
Matematika 0A2 Cvičení, letní semestr DOMÁCÍ ÚLOHY
Jan Šafařík
Brno
c 2004
1
Obsah 1. Cvičení č.1 2. Cvičení č.2 3. Cvičení č.3 4. Cvičení č.4 5. Cvičení č.5 6. Cvičení č.6 7. Cvičení č.7 8. Cvičení č.8 9. Cvičení č.9 10. Cvičení č.10 11. Cvičení č.11 12. Cvičení č.12 Reference
2 2 3 4 5 6 7 7 8 8 8 8 9
2
1. Cvičení č.1 (1) Stanovte definiční obor dané funkce a načrtněte jej. p p p a) z = 1 − (x2 + y)2 b) z = 2 y − x2 + 5 x − y 2 c) z =
x2 + y 2 x2 − y 2
d) z = arcsin(1 − x2 − y 2 ) + arcsin 2xy
[ a) Dz = {(x; y) ∈ E2 : −x2 − 1 ≤ y ≤ −x2 + 1}; b) Dz = {(x; y) ∈ E2 : y ≥ x2 ∧ x ≥ y 2 }; c) Dz = E2 − {(x; y) ∈ E2 : y = x ∧ y = −x}; d) Dz = 1 {(x; y) ∈ E2 : x2 + y 2 ≤ 2} ∩ ({(x; y) ∈ E2 : y ≥ − ∧ x > 0} ∪ {(x; y) ∈ E2 : 2x 1 1 1 y ≤ − ∧x < 0})∪{(x; y) ∈ E2 : y ≤ ∧x > 0}∪{(x; y) ∈ E2 : y ≥ ∧x < 0}] 2x 2x 2x
2. Cvičení č.2 (2) Vypočtěte parciální derivace prvního řádu daných funkcí. a) z =
3xy x−y
c) z = xyesin πxy
b) z = (sin x)cos y p x2 + y 2 − x d) y = ln p x2 + y 2 + x
3y 2 3x2 , zy0 = − (x−y) 2; 2 (x − y) b) zx0 = cos x cos y(sin x)cos y−1 , zy0 = − sin y ln sin x(sin x)cos y ;
[ a) zx0 = −
c) zx0 = y(1 + πxy cos πxy)z, zy0 = x(1 + πxy cos πxy)z; −2x −2 d) zx0 = p , zy0 = p ] x2 + y 2 y x2 + y 2 NP Vypočtěte parciální derivace prvního řádu daných funkcí. s 2 x+y x+y a) z = 1 − + arcsin b) z = (2x + y)2x+y xy xy r r 1 xy − x − y 0 1 xy − x − y 0 [ a) zx = − 2 ,z = − 2 ; x xy + x + y y y xy + x + y b) zx0 = 2[1 + ln(2x + y)]z, zy0 = [1 + ln(2x + y)]z]
3
(3) Vypočtěte všechny parciální derivace druhého řádu daných funkcí. cosx2 a) z = y
y √ b) z = x y + √ 3 x
2 sin x2 + 4x2 cos x2 00 2 cos x2 00 2x sin x2 4y 00 , zyy = , z = ; b) zxx = 7 , xy 3 2 y y y 9x 3 1 −x 1 00 = p , zxy = √ − 4 ] 3 2 y 3x 3 4 y
[ a) x00xx = − 00 zyy
NP Vypočtěte všechny parciální derivace druhého řádu daných funkcí. x
a) z = p
x2 + y 2
1 ln(x2 + y 2 ) 2
y(2x2 − y 2 ) −x(x2 + 2y 2 ) 00 00 00 , zxy = p , zyy = p ; b) zxx = 2 2 5 2 2 5 2 2 5 (x + y ) (x + y ) (x + y ) −2xy x2 − y 2 00 = 2 , z = ] (x + y 2 )2 yy (x2 + y 2 )2
00 [ a) zxx = p
y 2 − x2 , z 00 (x2 + y 2 )2 xy
b) z =
−3xy 2
(4) Vypočtěte všechny požadované derivace daných funkcí. 000 a) z = ex ln y + sin y ln x, x000 xyy =?, xyyy =?
000 [ a) zxyy =−
2
b) z = x2 y + exy , zx000 xy =?
ex sin y 000 2ex 2 000 − , z = − cos y ln x; b) zxxy = 2 + exy y 3 (4 + 2xy 2 ) ] yyy 2 3 y x y 3. Cvičení č.3
(5) Určete d2 z v bodě A funkce z = f (x, y). π π a) z = sin x sin y, A = [ , ] 4 4
b) z = y ln x, A = (1, 1)
1 1 [ a) − dx2 − dxdy − dy 2 ; b) −dx2 + 2dxdy ] 2 2 NP Určete d2 z v bodě A funkce z = f (x, y). a) z = exy , A = [1, 2] [ a) 4e2 dx2 + 6e2 dxdy + e2 dy 2 ]
4
Taylorova věta pro funkci f (x), X = [x1 , x2 , . . . , xn ]: 1 1 1 df (Xo ) + d2 f (Xo ) + · · · + dn f (Xo ) + Rn+1 (X), 1! 2! n! 1 kde zbytek Rn+1 (X) = dn+1 f (x1 + δh1 , . . . , xn + δhn ), δ ∈ (0, 1). (n + 1)! f (X) = f (Xo ) +
(6) Napište Taylorův polynom stupně n pro funkci y = f (x, y) v bodě A. a) z = ex sin y, A = [0, 0], n = 3 π b) z = sin(xy), A = [0, ], n = 2 2 1 1 π π [ a) y + xy + x2 y − y 3 ; b) x + x(y − ) ] 2 6 2 2 NP Napište Taylorův polynom stupně n pro funkci y = f (x, y) v bodě A. a) z = ln(1 − x) ln(1 − y), A = [0, 0], n = 3 [ a) xy + 12 x2 y + 12 xy 2 ] 4. Cvičení č.4 Pravidla pro počítání složených funkcí: • z = f (x, y), x = x(t) a y = y(t) dz ∂f dx ∂f dy = · + · dt ∂x dt ∂y dt • w = f (x, y, z), x = x(u, v), y = y(u, v) a z = z(u, v) ∂w ∂w ∂x ∂w ∂y ∂w ∂z = · + · + · , ∂u ∂x ∂u ∂y ∂u ∂y ∂u ∂w ∂w ∂x ∂w ∂y ∂w ∂z = · + · + · , ∂v ∂x ∂v ∂y ∂v ∂y ∂v • Obecně: w = f (x1 , . . . , xm ), xk = xk (t1 , . . . , tn ), pro k = 1, . . . , m ∂w ∂w ∂x1 ∂w ∂x2 ∂w ∂xm = · + · + ··· + · , ∂ti ∂x1 ∂ti ∂x2 ∂ti ∂xm ∂ti kde i = 1, 2, . . . , n.
5
(7) Vypočtěte parciální derivace prvního řádu složených funkcí. a) z = u + v 2 , u = x2 + sin y, v = ln(x + y) b) z = u2 v − v 2 u, u = x cos y, v = x sin y 2 2 ln(x+y), zy0 = cos y+ x+y ln(x+y); b) zx0 = 3x2 sin y cos y(cos y− x+y sin y), zy0 = x3 (sin y + cos y)(1 − 3 sin y cos y) ] [ a) zx0 = 2x+
NP Vypočtěte parciální derivace prvního řádu složených funkcí. x
a) z = uv , u = ln(x + y), v = e y
x
[ a)
zx0
= vu
v−1
y
1 ey vuv−1 −e y + uv ln v , zy0 = + uv ln u 2 ] x−y y y−x y 5. Cvičení č.5
(8) Určete první parciální derivace funkce z = f (x, y), která je dána implicitně danou rovnicí. a) cos(ax + by − cz) = k(ax + by − cz) b) x + y + z = ez a b 1 [ a) zx0 = , zy0 = ; b) zx0 = = zy0 ] c c (x + y + z − 1) (9) Vypočtěte první parciální derivace v bodě A funkce z = f (x, y), která je dána implicitně danou rovnicí. a) ez + x2 y + z + 5 = 0, A = [1, −6, 0] h π π πi NP) cos2 x + cos2 y + cos2 z − 1 = 0, A = , , 3 2 6 1 [ a) zx0 (A) = 6, zy0 (A) = − , NP) zx0 (A) = −1, zy0 (A) = 0 ] 2 Tečná rovina a normála plochy: Tečná rovina τ a normála n plochy z = f (x, y) v bodě B0 = [x0 ; y0 ; z0 ] jsou dány rovnicemi tvaru: τ: (x − x0 ) · fx (B0 ) + (y − y0 ) · fy (B0 ) − (z − z0 ) = 0 x − x0 y − y0 z − z0 n: = = fx (B0 ) fy (B0 ) −1
6
Je-li plocha dána implicitně F (x; y; z) = 0, pak τ: n:
(x − x0 ) · Fx (B0 ) + (y − y0 ) · Fy (B0 ) + (z − z0 ) · Fz (B0 ) = 0 y − y0 z − z0 x − x0 = = Fx (B0 ) Fy (B0 ) Fz (B0 )
Pro normálový vektor ~n tečné roviny platí ~n = (Fx (B0 ); Fy (B0 ); Fz (B0 )). Normálu si můžeme vyjádřit parametricky ve tvaru: x = x0 + tFx (B0 ), y = y0 + tFy (B0 ), z = z0 + tFz (B0 ); t ∈ R. (10) Nalezněte tečnou rovinu a normálu v bodě A plochy z = f (x, y) zadané implicitně danou rovnicí. a) x2 + y 2 + z 2 − 49 = 0, A = [2, −6, ?] b) (z 2 − x2 )xyz − y 5 = 5, A = [1, 1, 2] [ a) τ1 : 2x − 6y + 3z − 49 = 0, n~1 : x = 2 + 4t, y = −6 − 12t, z = 3 + 6t, τ2 : 2x − 6y − 3z − 49 = 0, n~2 : x = 2 + 4t, y = −6 − 12t, z = −3 − 6t ]
6. Cvičení č.6 (11) Nalezněte lokální extrémy daných funkcí. √ a) z = x y − x2 − y + 6x + 3 b) z = 2x3 + xy 2 + 5x2 + y 2 x c) z = ln + 2 ln y + ln(12 − x − y) 6 [ a) [4; 4] - lok.max.; b) [−1; 2] - není, [0; 0] - lok.min., [−1; −2] a − 52 ; 0 - lok.max., [3; 6] - lok.max. ] NP Nalezněte lokální extrémy daných funkcí. 50 20 a) z = xy + + √ x 2 y b) z = y x − y − x + 6y [ a) [5; 2] - lok.min.; b) [4; 4] - lok.max. ]
7
7. Cvičení č.7 (12) Nalezněte vázané extrémy dané funkce při daných podmínkách. a) z = x + 2y; podm. x2 + y 2 = 5 1 1 b) z = + ; podm. x + y = 2 x y [ a) [1; 2] - lok.max., [−1; −2] - lok.nim.; b) [1; 1] - lok.min. ] NP Nalezněte vázané extrémy dané funkce při daných podmínkách. a) z = x + y; podm. xy = 1 1 1 1 1 b) z = + ; podm. 2 + 2 = 1 x y x y √ √ √ √ [ a) [1; 1] - lok.max., [−1; −1] - lok.nim.; b) [− 2; − 2] - lok.min., [ 2; 2] lok.max. ] (13) Najděte absolutní extrémy daných funkcí. a) z = x2 + 2xy − 4x + 8y; na obdélníku 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 2 b) z = x2 − xy + y 2 ; M je určena nerovnicí |x| + |y| ≤ 1 c) z = x2 + y 2 − 12x + 16y; na oblasti dané nerovnicí x2 + y 2 ≤ 25 [ a) [1; 2] - abs.max., [1; 0] - abs.nim.; b) [0; 1], [0; −1], [1; 0], [−1; 0] - abs.max., [0; 0] - abs.min.; c) [3; −4] - abs.min., [−3; 4] - abs.max.]
8. Cvičení č.8 (14) Určete p derivaci ve směru ~s v bodě A a gradient v bodě A funkce z = f (x, y). z = x2 + y 2 − xy, A = [3; 4], ~s = (3; 4). [
∂z 19 17 11 (A) = − , grad z = − ~i − ~j ] ∂~s 5 5 5
(15) Určete derivaci funkce z = ln(x2 + y 2 ) v bodě A = [1; 2]. √ a) ve směru tečného vektoru v bodě A ke křivce y = 2 x, b) ve směru, v němž je derivace maximální. [ a)
∂z 3√ ∂z 2√ (A) = − 2; b) (A) = − 2] ∂~s 5 ∂~s 5
8
9. Cvičení č.9 (16) Určete tečnou rovinu a normálu v bodě T plochy z = f (x, y). z = xy 2 − x2 y, T = [2; 1; ?]. [ τ : 3x + z − 4 = o; ~n : x = 2 + 3t, y = 1, z = −2 + t ] (17) Určete tečnou rovinu a normálu v bodě T plochy z = f (x, y). y2 z = 2 , T = [−1; 2; ?]. x [ τ : 8x + 4y − z44 = o; ~n : x = −1 + 8t, y = 2 + 4t, z = 4 − t ] 10. Cvičení č.10 (18) Nalezněte obecné řešení daných diferenciálních rovnic. x+y a) y 0 = 10r 1 − y2 b) y 0 = − 1 − x2
[ 10x + 10−y = C ] [ arcsin y + arcsin x = C ]
(19) Nalezněte partikulární řešení dané diferenciální rovnice. x(1 + y 2 )dx − y(1 + x2 )dy = 0, y(−2) = 1
11. Cvičení č.11 (20) 12. Cvičení č.12 (21)
3 2 [ y 2 = x2 − ] 5 5
9
Reference [1] Čermáková, H. - Hřebíčková, J. - Slaběňáková, J. - Šafářová, H.: Sbírka příkladů z matematiky II., CERM, FAST VUT Brno 1994. [2] Hřebíčková, J. Ráček, J. Slaběňáková, J.: Diferenciální rovnice druhého a vyssích řádů v Maple 7 - řesené příklady, FAST VUT Brno, 2001, http://math.fce.vutbr.cz/vyuka/matematika/diferencialni rovnice/. [3] Kříž, J. - Křížová, H.: Diferenciální počet, metodické pokyny, Fakulta strojní VUT, Brno 1978. [4] Havelka, J. - Chábek, J.: Matematika (Diferenciální rovnice, Nekonečné řady), Fakulta stavební VUT, SNTL, Praha 1978. [5] Havelka, J. - Veverka, J.: Matematika (Diferenciální rovnice, Nekonečné řady), Fakulta stavební VUT, Brno 1987. [6] Veverka, J.: Diferenciální počet II, Fakulta stavební, Brno 1982. [7] Online verze textů: Riešené úlohy z matematiky 2, Katedra Matematiky a Deskriptivnej geometrie, Stavebna fakulta, STU, Bratislava, http://www-kmadg.svf.stuba.sk/skripta2/skripta2.pdf.
