Univerzita Karlova v Praze Matematicko-fyzikální fakulta
Markowitzův model
Optimalizace II s aplikací ve financích
Lucia Jarešová léto 2006
Obsah 1 Zadání úlohy
3
2 Markowitzův model
4
3 Výběr titulů
5
4 Odhady vstupních parametrů modelu
9
5 Vyřešení úloh
12
6 Míry rizika
21
7 Výsledky
22
2
1 ZADÁNÍ ÚLOHY
1
Zadání úlohy
Jste správcem akciových portfólií. Potřebujete, mimo jiné, připravit pro své klienty vhodná akciová portfolia pro investování 2 miliónů Kč na období jednoho roku. Očekáváte, že se klient bude chtít poradit v otázce složení vhodného akciového portfólia a rozhodli jste se využít Markowitzův model pro selekci. Zvolte vhodné tituly (8-10). Víte, že výběru titulů předchází globální a odvětvová analýza a proto vyberete tituly, které jsou v souladu s vaší predikcí vývoje na finančních trzích. Úkoly: a) Sestavte efektivní hranici portfólií (graficky prezentujte), vyberte některá portfólia na efektivní hranici a uveďte jejich složení (váhy) a očekávané výnosnosti titulů zastoupených v portfóliu. b) Jak se změní efektivní hranice pokud budete mít možnost investovat do bezrizikového aktiva (depozita v bance) s sazbou . . . .(nalezněte sami)? c) Jak se změní efektivní hranice pokud budete mít možnost výpůjček od správce porfolia až do 30% hodnoty portfólia, pro jednoduchost předpokládejte že výpůjční sazba je stejná jako depozitní, dokázali by jste zohlednit rozdílnou výpůjční a depozitní sazbu (nalezněte její sazbu sami a určete efektivní portfólia)? d) Co když budete mít povoleny krátké prodeje, až do 30% počátečního vkladu? Nakreslete efektivní hranici v tomto případě. e) V souladu s vnitřní politikou investiční společnosti, kterou zastupujete, nesmíte navrhnout portfólia, kde některý z titulů přesáhne 15% váhu v celkovém portfóliu. Nakreslete hranici efektivních portfólií v tomto případě. Zdůvodněte jak jste získali odhady vstupních parametrů modelu, jaké jste volili tituly a proč (zejména s ohledem na rizika která model zohledňuje a velikost investované částky). Efektivní hranice počítejte numericky, stačí aproximace pro ”dostatečně hustý nosič”. Pozor na frekvenci dat z kterých parametry odhadujete, pozor na štěpení akcií a dividendy, pozor na měnu, směnné kurzy. V případech a)-e) vyberte některé z efektivních porfólií a spočtěte VAR(95%).
3
2
2
MARKOWITZŮV MODEL
Markowitzův model
Markowitzův model se týká především investic do portfolia akcií a využívá celé řady zjednodušujících předpokladů: • ideální trh bez transakčních nákladů a bez arbitráže • obchodování s neomezeně dělitenými dokumenty • na trhu obchodují pouze malí racionální investoři, kteří využívají shodných informací, a to hodnot očekávaných výnosností akcií a rozptylů a kovariancí těchto výnosností, investují ve stejném čase na jedno stejně dlouhé období • investoři se chovají racionálně, tj. upřednostňují větší výnosy před menšími výnosy a menší riziko před větším rizikem Základní model: Uvažujeme investici do J akcií, jednotková investice do j-té z nich dává ve zvoleném období náhodnou výnosnost ρj . Rozdělení vektoru ρ = (ρ1 , . . . , ρJ )⊤ je charakterizováno známým vektorem středních hodnot r = Eρ a známou varianční maticí V = var ρ = [cov(ρi , ρj ); i, j = 1, . . . , J]. Složení portfolia je určeno váhami x1 , x2 , . . . , xJ , které musí splňovat podmínku J X
xj = 1 .
j=1
Tato podmínka může být případně nahrazena nebo doplněna jinými, pokud to vyžaduje situace (např. existuje-li možnost půjčky, nejsou-li povoleny krátké prodeje apod.). ”Očekávaný výnos” portfolia s váhami x = (x1 , . . . , xJ )⊤ budeme chápat jako střední hodnotu jeho celkové výnosnosti J X xj rj . r(x) = E x⊤ ρ = x⊤ r = j=1
”Riziko” portfolia budeme chápat jako hodnotou rozptylu nebo standartní odchylky jeho očekávané výnosnosti J J X X cov(ρi , ρj ) xi xj . σ 2 (x) = var(x⊤ ρ) = x⊤ Vx = i=1 j=1
4
3
3
VÝBĚR TITULŮ
Výběr titulů
Velmi limitujícím faktorem pro výběr titulů do našeho modelu byla dostupnost dat. Na stránkách věnujícím se akciím (např. www.patria.cz, www.kurzy.cz) se zobrazuje historie kurzů najednou maximálně pro 50 dní a naším cílem bylo sehnat co nejdelší historii dat pro lepší odhady vstupních parametrů modelu. Kopírování dat z těchto stránek navíc vyžaduje další úpravy, protože data se nám uloží jako řetězec znaků s mezerami. Finanční portály nabízí placené služby, kde jsou dostupné aktuální informace a analýzy a prognózy trhu, včetně možnosti stažení historických dat vývoje kurzu akcií v excelovkém souboru. Pro akcie obchodované v zahraničí bychom potřebovali i data k vývoji kurzu měny, abychom mohli hodnoty přepočítat vzhledem k jedné měně. Měnový vývoj totiž může velmi výrazně negativně oblivnit vývoj celkové investice i v případě pozitivního vývoje kurzu akcie. Protože sehnat data k vývoji kurzu měny je ještě obtížnější než sehnat data k vývoji kurzu akcie, rozhodla jsem se zaměřit na akcie obchodované na českém trhu. Velkou nevýhodou českého trhu je malý počet obchodovatelných likvidních akcií. Ve SPADu (Systém pro Podporu trhu Akcií a Dluhopisů) se v současnosti obchoduje pouze 9 titulů (CETV, ČEZ, Erste Bank, Komerční banka, ORCO, Philip Morris, Telefónica, Unipetrol a Zentiva), navíc je zde možné kupovat a prodávat pouze velké množství akcií, tzv. loty, což je pro náš model nevyhovující vzhledem k částce, kterou chceme investovat (1 lot slojí řádově milion). Obchodovat s akciemi je dále možné v RM systému a v KOBOSu (KOntinuální Burzovní Obchodní Systém), kde je možné prodávat a kupovat menší množství akcií. Pro obchodování v KOBOSu je výhodné použít některý z investičních portálů (např. www.brokerjet.cz), které nabízí obchodování s malými objemy za poměrně nízké poplatky (ve srovnání například s RM-systémem). Některé navíc nabízí i možnost úvěru na maržové obchody, které díky pákovému efektu mohou znásobit výnos vlastního kapitálu, ale bohužel mohou i znásobit případnou ztrátu. Větší zisk je tedy doprovázen větším rizikem. Portál www.brokerjet.cz nabízí maržový úvěr v korunách se sazbou 7,5% p.a. s čtvtletním úročením (tj. efektivní úroková míra je 7,71% p.a.). Mým hlavním hlediskem pro výběr titulů byla dostatečně dlouhá historie vývoje kurzu, likvidita akcie a vzestupný trend vývoje kurzů za posledních pár let. Za dostatečně dlouhou historií jsem zvolila dobu od 1.10.2002, tedy datum, kdy na trh vstoupily akcie Erste Bank. Tímto omezením nám bohužel vypadly SPADové tituly Zentiva, CETV a ORCO, které se obchodují teprve krátkou dobu. Vývoj kurzu těchto titulů od začátku jejich obchodování je převážně rostoucí a očekává se i další pozitivní vývoj v budoucnosti, navíc SPADové tituly jsou velmi likvidní. Z těchto důvodů je určitě škoda, že jsme tyto tituly vynechali z další analýzy, ale délka jejich historie by neumožňovala dobré odhady vstupních parametrů pro Markowitzův model, protože pro odhad variančí matice výnosností jednotlivých titulů bychom museli použít stejně dlouhou historii pro všechny tituly. Program R sice umožňuje počítat varianční matici i z dat různých délek, výsledná matice ale nemusí být pozitivně semidefinitní, což by mohlo vést k následným problémům při optimalizaci (minimalizovaná kvadratická forma by pak nemusela být konvexní). Kromě velmi likvidních SPADových titulů bylo nutné vybrat i další tituly. Tady jsem se řídila hlavně grafickým znázorněním vývoje kurzů akcí (viz Obrázek 1) a velikostí vyplacených dividend (viz Tabulka 2), protože dividenda je důležitým zdrojem výnosu akcie a její vyplacení způsobí pokles hodnoty kurzu přibližně o hodnotu akcie. Zároveň jsem se snažila vybírat tituly, jejichž hodnota kurzu se často mění. Kurz totiž reaguje na obchodování s daným s titulem, tedy akcie s více proměnlivým grafem bývají likvidnější než akcie, jejichž graf zůstává delší dobu na stejných hodnotách. Pro další analýzu jsem nakonec vybrala tituly uvedené v Tabulce 1.
5
3
VÝBĚR TITULŮ
Tabulka 1: Tituly vybrané pro další analýzu číslo
název titulu
označení proměnné
1
ČEZ
cez
2
Erste Bank
3
Komerční banka
kb
4
Philip Morris ČR
philip
5
Telefónica
telef
6
Unipetrol
unipet
7
Pražská energetika
prener
8
Setuza
setuza
9
Stavby silnic a železnic
10
Východočeská plynárenská
erste
ssz vcplyn
Grafy akcií použitých v modelu a indexu px V grafech jsou zachyceny hodnoty od 1.10.2003 do 11.8.2006. Datum posledního pozorování je 11.8.2006, svislá čára v grafu vyznačuje datum před jedním rokem, tj. 11.8.2005. Pro zajímavost uvádím ještě graf vývoje akciového indexu PX (Obrázek 2). Vývoj akciového indexu bývá spojen s výnosností trhu. Báze indexu PX ale obsahuje pouze SPADové tituly, kde váha titulu je určena poměrem zastoupení titulu na trhu.
Obrázek 1: akcie
(a) ČEZ
(b) Erste bank
6
3
VÝBĚR TITULŮ
(c) Komerční banka
(d) Philip Morris
(e) Telefónica
(f) Unipetrol
(g) Pražská Energetika
(h) Setuza
7
3
(g) SSŽ
VÝBĚR TITULŮ
(h) Východočeská plynárenská
Obrázek 2: index px
8
4 ODHADY VSTUPNÍCH PARAMETRŮ MODELU
4
Odhady vstupních parametrů modelu
Data vývoje kurzu akcií obsahují hodnoty kurzu v obchodních dnech od 1.10.2002 do 11.8.2006 pro 10 titulů, k dispozici máme celkem 972 pozorování hodnot kurzů všech akcií. Frekvence těchto dat je denní, ale ne všechny dny jsou obchodní. Z tohoto důvodu jsem vytvořila novou proměnnou ”čas” označenou t, která udává pořadové číslo obchodního dne. Plánovaný investiční horizont je jeden rok. V době od 11.8.2005 do 11.8.2006 je 252 obchodních dní, tento počet pozorování zvolíme za období jednoho roku. Kromě hodnot kurzu je nutné při odhadu výnosností dané akcie počítat i s vyplacenými dividendami na jednu akcií. Hodnoty vyplacených dividend jsou uvedeny v Tabulce 2. V posledním sloupci této tabulky jsou uvedeny rozhodné dny pro výplatu dividend v roce 2006.
Tabulka 2: Vyplacené dividendy v letech 2002-2006 j 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
název cez erste kb philip telef unipet prener setuza ssz vcplyn
2002 2,5 3 11,5 1240 0 0 110 0 37,4 316
2003 4,5 20 40 1448 57,5 0 168 0 46,75 253
2004 8 30 200 1575 17 0 178 0 110,5 364
2005 9 30 100 1606 0 0 188 0 390 347,5
2006 15 30 250 1112 45 0 218 0 480 252
rozhodný den 23.5.2006 26.4.2006 26.5.2006 24.4.2006 25.9.2006 19.6.2006 18.5.2006 28.4.2006
kurz 11.8.2006 804.9 (1.86%) 1273 (2.36%) 3311 (7.55%) 11600 (9.59%) 456.5 (9.86%) 204 (0%) 4230 (5.15%) 602 (0%) 3801 (12.63%) 6510 (3.87%)
V posledním sloupci je v závorce uvedeno, jakou část hodnoty kurzu dne 11.8.2006 tvoří dividenda vyplacená v roce 2006. Nárok na vyplacení dividendy má pouze ten, kdo je vlastníkem dané akcie během rozhodného dne. Den následující po rozhodném dnu se zvyšuje prodej dané akcie. Převys nabídky této akcie se projeví snížením kurzu. Toto snížení kurzu se považuje za vliv vyplacené dividendy a proto právě den po rozhodném dnu v roce 2006 budeme v modelu považovat za den vyplacení dividendy. Dny vyplacení dividend v minulých letech stanovíme tak, aby u daného titulu během 252 dní došlo vždy právě k jednomu vyplacení dividendy. Tedy je-li t0 den vyplacení dividendy v roce 2006, bude den t0 − 252 dnem vyplacení dividendy v roce 2005, podobně v ostatních letech. Data: Dne 8.7.2004 proběhlo u akcií Erste Bank štěpení v poměru 1:4. Hodnotu kurzu před tímto datem a hodnotu dividendy v letech 2002, 2003 a 2004 jsem proto upravila vydělením čtyřmi. U ostatních akcií v uvažovaném období ke štěpení nedošlo. Následující označení už uvažuje upravené hodnoty. yj,t
hodnota kurzu akcie j v čase t t = 1, . . . , T = 972 9
4 ODHADY VSTUPNÍCH PARAMETRŮ MODELU
dj,t rj,t
j = 1, . . . , J = 10 vyplacená dividenda akcie j v čase t, pokud čas t není časem vyplácení dividendy, je dj,t = 0 výnosnost akcie j v čase t
Očekávaná výnosnost akcie j v čase t spočítáme podle vzorce: Pt yj,t − yj,t−252 + k=t−252+1 dj,k rj,t = · 100 yj,t−252 j = 1, . . . , 10;
t = 253, . . . , 972
Očekávané výnosnosti nám vyjdou v procentech, u každého titulu dostaneme 720 pozorování hodnot výnosností. Z Tabulky 2 vidíme, že u akcií Telefónicy je datum vyplacení dividendy až v září. Tato dividenda je ve srovnání s minulými dvěma lety poměrně velká a i spojení firem Český Telecom a Eurotel v Telefónicu naznačuje další pozitivní vývoj. S touto dividendou ale v našem modelu nepočítáme, protože její vyplacení proběhne teprve v ”budoucnosti” a parametry modelu odhadujeme na základě historických dat. V modelu tedy tato informace vůbec není zachycena.
Odhady parametrů r, V a výnosností tržního portfolia rM : Odhady parametrů r = (r1 , . . . , r10 )⊤ a V = [vi,j ; i, j = 1, . . . , 10] spočítáme jako průměr a empirickou varianční matici z výnosností rj,t přes proměnnou čas t.
”výnos”
r=
106.72 42.41 25.15 23.40 31.25 82.99 39.17 45.08 77.23 35.94
cez erste kb philip telef unipet prener setuza ssz vcplyn
40.12 27.93 18.32 26.82 14.98 43.34 12.51 25.85 43.14 18.02
p = diag(V)
”riziko”
Odhad varianční matice V:
cez erste kb philip telef unipet prener setuza ssz vcplyn
cez 1609.63 B −273.04 B B 6.09 B B 97.89 B B 355.84 B B 984.27 B B −55.8 B B 313.86 @ 1310.35 −33.3 0
erste · 780.28 388.95 617.11 38.56 −422.47 83.03 −92.82 −195.87 −231.4
kb · · 335.6 303.82 31.04 −262.56 8.41 19.75 −44.1 −111.77
philip · · · 719.39 157.39 42.01 132.88 −121.46 230.62 −198.89
telef · · · · 224.27 309.33 45.76 31.62 477.26 −100.77
10
unipet · · · · · 1878.46 232.51 73.8 1232.7 −54.89
prener · · · · · · 156.58 −152.86 67.35 −48.17
setuza · · · · · · · 668.04 409.68 −34.76
ssz · · · · · · · · 1860.95 −292.08
vcplyn 1 · · C C · C C · C C · C C · C C · C C · C A · 324.63
4 ODHADY VSTUPNÍCH PARAMETRŮ MODELU
Odmocněním prvků na diagonále varianční matice dostaneme standartní odchylky výnosností akcí, p které jsou mírami rizik jednotlivých akcií (viz vektor diag(V)). Dále uvádím empirickou korelační matici výnosností. Pro lepší diverzifikaci portfolia je důležité, aby některé složky portfolia byly záporně korelované.
cez cez 1 erste B B −0.24 B 0.01 kb B philip B B 0.09 telef B B 0.59 R= unipet B B 0.57 prener B B −0.11 setuza B B 0.3 @ 0.76 ssz vcplyn −0.05 0
erste · 1 0.76 0.82 0.09 −0.35 0.24 −0.13 −0.16 −0.46
kb · · 1 0.62 0.11 −0.33 0.04 0.04 −0.06 −0.34
philip · · · 1 0.39 0.04 0.4 −0.18 0.2 −0.41
telef · · · · 1 0.48 0.24 0.08 0.74 −0.37
11
unipet · · · · · 1 0.43 0.07 0.66 −0.07
prener · · · · · · 1 −0.47 0.12 −0.21
setuza · · · · · · · 1 0.37 −0.07
ssz · · · · · · · · 1 −0.38
vcplyn 1 · C · C C · C C · C C · C C · C C · C C · C A · 1
5 VYŘEŠENÍ ÚLOH
5
Vyřešení úloh
Eficientní portfolia Podle předpokladu dávají investoři přednost portfoliím s vyšším výnosem a menším rizikem. r(x) = r⊤ x
”výnos”
σ 2 (x) = x⊤ Vx
”riziko”
Portfolio s váhami x∗ splňujícími podmínky (P ) nazveme eficientní vzhledem ke střední hodnotě a rozptylu (mean-variance efficient), jestliže neexistují jiné váhy x splňujícími podmínky (P ), pro které je r(x) ≥ r(x∗ ) ∧ σ 2 (x) ≤ σ 2 (x∗ ) a aspoň jedna z nerovností je ostrá. Podmínky (P ) jsou všechny dodatečné podmínky omezení na váhy. Eficientní portfolia můžeme hledat jako řešení optimalizačních úloh, kde množina X všech přípustných řešení (vah) x je určena podmínkami (P ). Například můžeme řešit optimalizační úlohu závislou na parametru max r⊤ x − λx⊤ Vx,
(1)
x∈X
kde λ ≥ 0 je parametr modelující investorův vztah k riziku. Nebo můžeme použít přístup ε-constrained min x⊤ Vx
(2)
x∈X
r⊤ x ≥ rp ,
za
kde parametrem je nastavená minimální hodnota rp přijatelné (očekávané) výnosnosti portfolia. Přístup, kde bychom maximalizovali očekávaný výnos při dané horní mezi pro rozptyl není výhodný, protože by množina přípustných řešení byla určena nelineárními podmínkami. Já jsem pro vyřešení příkladů zvolila postup (2).
Kvadratické programování v MATLABu Pro vyřešení optimalizačních úloh jsem použila program MATLAB, který obsahuje Optimization Toolbox pro řešení úloh lineárního i nelineárního programování. Při řešení zadaných úloh jsem z tohoto toolboxu vystačila s funkcí quadprog(), která slouží pro hledání optimálního řešení úlohy kvadratického programování. Úloha kvadratického programování: min x
1 ⊤ x Hx + f ⊤ x 2 12
5 VYŘEŠENÍ ÚLOH
za
Ax
Aeq x
≤ b = beq
H, A, Aeq . . . matice f , b, beq . . . vektory Tuto úlohu vyřešíme v MATLABu pomocí příkazu: x = quadprog(H,f,A,b,Aeq,beq) Ve všech úlohách je množina přípustných řešení konvexní polyedr (je omezená a určená lineárními omezeními), navíc jsem omezení vždy volila tak, aby množina přípustných řešení byla neprázdná. Pokud je navíc matice H pozitivně definitní, je účelová funkce ryze konvexní a je zaručena existence a jednoznačnost minima. Navíc vzhledem k tomu, že H je regulární, algoritmus funkce quadprog() vždy zkonverguje a to právě k optimálnímu řešení. V případě, že H je singulární a pozitivně semidefinitní je pořád zaručena existence minima, ale toto minimum už nemusí být určeno jednoznačně a algoritmus funkce quadprog() nemusí konvergovat. Pokud zkonverguje, je díky konvexnosti funkce zaručeno, že řešení je optimální, ale nemusí být eficientní podle naší definice. Například by se mohlo stát, že existuje více optimálních řešení, které mají rozdílnou očekávanou výnosnost1 , a algoritmus funkce našel řešení, které má minimální rozptyl, ale které nedává mezi optimálními maximální očekávaný výnos. Protože mým cílem je spočítat efektivní hranici, rozhodla jsem se v příkladech se singulární maticí H nerovnost r⊤ x ≥ rp nahradit rovností r⊤ x = rp . Nejdříve jsem si spočítala interval možných hodnot parametru rp a potom jsem úlohu řešila pro rovnoměrný nosič z tohoto intervalu. Tímto způsobem jsem pro různé nastavené možné očekávané výnosnosti minimalizovala riziko. Dále jsem využila další možnosti funkce quadprog(), a to informace jestli úloha zkonvergovala. Použijeme-li tuto funkci ve tvaru [x, fval, exitflag] = quadprog(H,f,A,b,Aeq,beq) , dostaneme jako výstup kromě optimálního řešení ještě proměnné f val a exitf lag. Proměnná f val obsahuje optimální hodnotu účelové funkce. Proměnná exitf lag vypovídá o ukončujících podmínkách funkce quadprog(): exitf lag > 0 zkonvergovalo k řešení x exitf lag = 0 maximální počet iterací byl překročen exitf lag < 0 problém je neomezený, nepřípustný nebo nekonverguje. Protože MATLAB do proměnné x uloží nějaké hodnoty i v případě, že optimální řešení nalezeno nebylo, doplnila jsem program v případě, kdy jsou možné i singulární matice, testem, jestli funkce zkonvergovala k nějakému řešení (tj. je-li exitf lag > 0) a zakreslovala jsem pouze tyto řešení. Víme-li, že bylo nalezeno nějaké řešení, víme díky konvexnosti, že je optimální a zároveň víme hodnotu jeho očekávané výnosnosti (podmínka). Pokud existuje jiné optimální řešení, je hodnota 1V
omezení dáváme pouze dolní hranici pro očekávaný výnos
13
5 VYŘEŠENÍ ÚLOH
jeho očekávané výnosnosti stejná a výsledkem je stejný bod na efektivní hranici. Nejednoznačnost optimálního řešení v tomto případě tedy nevadí. Problémem by mohlo být, kdyby většina úloh nezkonvergovala a výsledkem by bylo málo bodů na nakreslení efektivní hranice, k tomu ale v našem případě nedošlo.
Řešení úloh a)-e)
Při řešení úloh jsem vždy nejdříve úvahou nebo vyřešením optimalizační úlohy určila meze pro očekávanou výnosnost rmin a rmax . Zvolila jsem parametr krok a mezní hodnotu rp jsem volila postupně jako rmin + i · krok; i = 0, . . . , k. Vhodnou volbou parametru krok jsem zaručila, že rmin + k · krok = rmax . Pro získané hodnoty x jsem spočítala dvojice [σ(x), r(x)] které tvoří efektivní hranici. Dále používám značení: In jednotková matice dimenze n 1,1n sloupcový vektor jedniček 0, 0n sloupcový vektor nul 0n,m matice nul o rozměrech n a m J = 10 počet titulů akcií a) Sestavte efektivní hranici portfólií (graficky prezentujte), vyberte některá portfólia na efektivní hranici a uveďte jejich složení (váhy) a očekávané výnosnosti titulů zastoupených v portfóliu. Obrázek 3: Pouze možnost investovat do akcií 160
140
120
r(x)
100
80
60
40
20 efektivní hranice 0
0
10
20
30
σ(x)
40
50
60
Hodnotu rmin spočítáme pomocí vyřešení úlohy (minimalizujeme riziko bez ohledu na výnos): min x⊤ Vx
za
x ≥ 0, x⊤ 1 = 1
x
optimální řešení xG
⇒
rmin = r(xG ) = r⊤ xG = 36.6261 14
5 VYŘEŠENÍ ÚLOH
Hodnota rmax = 106.7221 je maximální hodnota vektoru r. Váhy x dostaneme řešením úlohy min x⊤ Vx
za
r⊤ x
≥ rp
1⊤ x x
= 1 ≥ 0
x
Vstupy funkce quadprog(): A=
⊤
−r −IJ
H=2·V f = 0J −rp b= Aeq = 1⊤ 0J
beq = 1
b) Jak se změní efektivní hranice pokud budete mít možnost investovat do bezrizikového aktiva (depozita v bance) s sazbou . . . .(nalezněte sami)? Obrázek 4: Navíc možnost ukládání peněz 160
140
120
r(x)
100
80
60
40
20 efektivní hranice 0
0
10
20
30
σ(x)
40
50
60
Jako možnost investovat do bezrizikového aktiva jsem zvolila uložení peněz na termínovaný vklad s dobou uložení 1 rok. Úroková míra těchto vkladů závisí na výšce vkladu. Využila jsem srovnání termínovaných vkladů na www.mesec.cz. Nejlepší nabídku tohoto produktu z bank má v současnosti Waldviertler Sparkasse, kde se úroková míra pohybuje v rozmezí 1, 3 − 2, 05% p.a. podle velikosti vkládané částky (do 2 milionů Kč). Zajímavá je také nabídka družstevní záložny Fio, kde se úrokové míry vkladu na rok pohybují v rozmezí 3− 3, 6% p.a. . Družstevní záložna Fio je v sočasnosti největší družstevní záložna, která vznikla v roce 1996 a jako jedna z prvních splnila jednotné podmínky EU pro spořitelní a úvěrní družstva. Po kolapsu záložen na konci 90 let u nás ale pořád přetrvává určitá nedůvěra v ukládání peněz do družstevních záložen. Pro potřeby modelu jsem zvolila jako bezrizikovou úrokovou míru r0 hodnotu 2% p.a. . 15
5 VYŘEŠENÍ ÚLOH
Při investování očekáváme aspoň takový výnos, který bychom dostali uložením všech peněz do bezrizikového aktiva, tedy rmin = 2. Hodnota rmax = 106.7221 je opět maximální hodnota vektoru r. Kromě proměnných xj ; j = 1, . . . , J určujících váhu investice do titulu j, uvažujeme ještě proměnnou x0 určující váhu investice do bezrizikového aktiva. Očekávaný výnos je r0 · x0 + r⊤ x a podmínka na váhy se změní na x0 + 1⊤ x = 1. Vyjádřením x0 = 1 − 1⊤ x a dosazením dostaneme vzorec pro očekávaný výnos r0 + (r − 1)⊤ x. Váhy x dostaneme řešením následující úlohy, váhu x0 dopočítáme z podmínky pro váhy min x⊤ Vx
za
r0 + (r − 1)⊤ x
x
≥ rp
1⊤ x
≤ 1
x
≥ 0
Vstupy funkce quadprog():
A=
−(r − 1) 1⊤ J −IJ
⊤
H=2·V f = 0J −(rp − r0 ) 1 b= 0J
Aeq = 0
beq = 0
c) Jak se změní efektivní hranice pokud budete mít možnost výpůjček od správce porfolia až do 30% hodnoty portfólia, pro jednoduchost předpokládejte, že výpůjční sazba je stejná jako depozitní, dokázali by jste zohlednit rozdílnou výpůjční a depozitní sazbu (nalezněte její sazbu sami a určete efektivní portfólia)? Obrázek 5: Navíc možnost ukládání a půjčování peněz 160
140
120
r(x)
100
80
60
40
20 efektivní hranice 0
0
10
20
30
σ(x)
16
40
50
60
5 VYŘEŠENÍ ÚLOH
Možnost půjčky do 30% hodnoty portfolia nám umožní hradit ze svého pouze 70% hodnoty portfolia, tedy nám dovolí sestavit portfolio o hodnotě až 10/7 našeho současného kapitálu. Při kapitálu 2 miliony může být hodnota našeho portfolia až 2 857 142Kč. Jako výpujční sazbu jsem použila úrokovou sazbu maržového úvěru nabízenou portálem www.brokerjet.cz 7,5%p.a. s čtvrtletním úročením, tj. efektivní úroková míra je cca 7,7135% . Tyto maržové obchody jsou u investorů velmi oblíbené, protože způsobují tzv. pákový efekt, kterým se znásobí výnos z našeho vloženého kapitálu. Větší výnos je ale provázen větším rizikem, protože stejným způsobem se znásobí případná ztráta. Vzhledem k tomu, že ve skutečnosti je výpujční vždy sazba větší než depozitní, rozhodla jsem se úlohu řešit pro rozdílné sazby. Dále rpuj = ((1 + 0.075/4)4 − 1) · 100 je výpujční sazba a r0 = 2 je opět depozitní sazba. Vzhledem k možnosti půjčky je nutné upravit podmínku na váhy. Velikost půjčky označíme P . Platí 0 ≤ P ≤ 73 . Proměnná x0 určuje váhu investice do bezrizikového aktiva. Podmínka na váhy má potom tvar: x0 + 1⊤ x = 1 + P . Vzorec pro očekávaný výnos je: r0 · x0 + r⊤ x − rpuj · P . Opět platí rmin = r0 = 2. Očekávaný výnos nejvýnosnějšího titulu je větší než výpujční sazba, takže maximální očekávaný výnos dostaneme, když si půjčíme maximum a vše investujeme do titulu s 3 největším očekávaným výnosem, tedy rmax = 10 7 · max(r) − 7 · rpuj = 149.1543 . Hledané proměnné jsou tedy P , x0 a x, které jsou řešením následující úlohy. Protože máme víc proměnných než je dimenze matice V, bude matice H singulární, proto použijeme pro výnos omezení s rovností. min x⊤ Vx
P,x0 ,x
za
r0 · x0 + r⊤ x − rpuj · P
= rp
−P + x0 + 1⊤ x x
= 1 ≥ 0
x0 P
≥ 0 ≥ 0 3 ≤ 7
P
Vstupy funkce quadprog(): vektor proměnných je (P, x0 , x⊤ )⊤ 02,2 02,J f = 0J+2 H=2· 0J,2 V −1 0 0⊤ 0 J 0 0 −1 0⊤ J b= A= 0J 0J 0J −IJ 3/7 1 0 0⊤ J −rpuj r0 r⊤ rp Aeq = beq = 1 −1 1 1⊤ J d) Co když budete mít povoleny krátké prodeje, až do 30% počátečního vkladu? Nakreslete efektivní hranici v tomto případě. Povolení krátkých prodejů nahrává spekulantům na pokles kurzu akcie. Investor prodá akcie, které vlastní někdo jiný a na konci období je zase koupí zpět. Pokud kurz klesl, nakoupil je zpátky levněji 17
5 VYŘEŠENÍ ÚLOH
Obrázek 6: Navíc povoleny krátké prodeje 160
140
120
r(x)
100
80
60
40
20 efektivní hranice 0
0
10
20
30
40
σ(x)
50
60
a vydělal na rozdílu cen. V Markowitzově modelu se povolení krátkých prodejů modeluje pomocí povolení záporných koeficientů vah. Váhy x dostaneme řešením následující úlohy, kde x− je vektor záporných částí vektoru x, tj. x− j = max(0, −xj ). Musí platit, že součet záporných částí vah nesmí být větší než 30%. min x⊤ Vx
za
r⊤ x
≥ rp
1⊤ x
=
⊤ −
≤ 0.3
x
1 x
− Platí, že xj = x+ j − xj . Definujme vektor y a matici M + x − ⊤ + − = (x+ y= 1 , . . . , xJ , x1 , . . . , xJ ) x−
Pomocí nich dostaneme vztahy
x = My
a
1⊤ x− =
1
M= 0⊤ J
1⊤ J
IJ
−IJ
y.
Původní úlohu tak můžeme přepsat na následující úlohu. Vzhledem k tomu, že matice v kvadratické formě je tady singulární, používám opět v omezení na výnos rovnost. Přibyla nám podmínka na nezápornost proměnných. min y⊤ M⊤ VMy
za
r⊤ My
= rp
0
1⊤ My 1⊤ y
= 1 ≤ 0.3
y
⊤
y
Vstupy funkce quadprog(): H = 2 · M⊤ VM 18
f = 02J
≥ 0
5 VYŘEŠENÍ ÚLOH
−I2J 02J b = 0.3 0⊤ 1⊤ J J ⊤ ⊤ ⊤ −r r M r rp Aeq = = beq = 1 1⊤ −1⊤ 1⊤ M A=
Optimální řešení původní úlohy získáme ze vztahu x = My. Ještě je nutné určit hodnoty rmin a rmax . Pro spočítání rmin vyřešíme stejnou optimalizační úlohu, ve které vynecháme omezení pro očekávaný výnos. Matice H, A a vektory f a b budou stejné. V matici Aeq a vektoru beq zůstane pouze spodní řádek, tj. beq = 1 Aeq = 1⊤ M = 1⊤ −1⊤
Výsledkem je rmin = r⊤ x = r⊤ My = 38.3739. Maximální očekávaný výnos dostaneme, když maximální možnou částku (tj. 130%počátečního vkladu) investujeme do aktiva s největším očekávaným výnosem a 30% počátečního vkladu si ”půjčíme prodejem cizího” aktiva s nejmenším očekávaným výnosem, proto rmax = 1.3 · max(r) − 0.3 · min(r) = 131.7189 e) V souladu s vnitřní politikou investiční společnosti, kterou zastupujete, nesmíte navrhnout portfólia, kde některý z titulů přesáhne 15% váhu v celkovém portfóliu. Nakreslete hranici efektivních portfólií v tomto případě. Obrázek 7: Maximální váha 1 titulu v portfoliu je 15% 160
140
120
r(x)
100
80
60
40
20 efektivní hranice 0
0
10
20
30
40
σ(x)
50
60
Řešení této úlohy je jednoduché, stačí k případu za a) přidat podmínku, že každé xj musí být menší než 0.15. Váhy x tedy dostaneme řešením úlohy min x⊤ Vx
za
r⊤ x
≥ rp
1⊤ x
=
x
x x 19
1
≥ 0 ≤ 0.15 · 1J
5 VYŘEŠENÍ ÚLOH
Vstupy funkce quadprog():
−r⊤ A = −IJ IJ
H=2·V f = 0J −rp 0J Aeq = 1⊤ b= 0.15 · 1J
beq = 1
Hodnotu rmin opět spočítáme vyřešením optimalizační úlohy, kde vynecháme podmínku na očekávaný výnos. Pro funkci quadprog() se změní pouze matice A a vektor b. −IJ 0J A= b= IJ 0.15 · 1J Výsledkem je rmin = 40.8786. Maximální očekávaný výnos dostaneme, když postupně rozložíme investice maximálně do aktiv s největším očekávaným výnosem. Tedy 15% do aktiva s největším očekávaným výnosem, dalších 15% do aktiva s druhým největším očekávaným výnosem atd., vyjde nám rmax = 62.6339. V MATLABu jsem použila opět funkci quadprog(), kde jsem v podmínkách použila stejné matice jako při počítání rmin , pouze matici H jsem nahradila prázdnou maticí a položila jsem f = −r, což odpovídá maximalizaci výnosu nez ohledu na riziko.
20
6 MÍRY RIZIKA
6
Míry rizika
VaR (Value at Risk) VaR je taková hodnota, že výnos menší než VaR nastane s malou pravděpodobností 1 − α (většinou α = 0.95, VaR se pak označuje jako 95% VaR). Pro portfolio s váhami x a náhodnými výnosnostmi ρ platí: P(ρ⊤ x < VaRα (x)) = 1 − α data x ret = data · x µ ˆ σ ˆ
matice dat historických výnosnosti, případě možnosti půjčky nebo ukládání peněz přidáme sloupec konstant r0 nebo rpuj vektor vah složení portfolia vektor pozorování historických výnosností portfolia průměr pozorování ve vektoru ret standartní odchylka pozorování ve vektoru ret
Neparametrický VaR Neparametrický VaR budeme v našem případě počítat na základě historických dat jako empirický pětiprocentní kvantil. V MATLABu použijeme následující příkaz. VaR0.95 (x) = prctile(ret,0.05) Parametrický VaR Parametrický VaR se počítá za předpokladu, že výnosnosti jsou normálně rozdělené se střední hodnotou µ a rozptylem σ 2 . pVaR0.95 (x) = µ ˆ+σ ˆ · u0.05 , kde u0.05 = Φ−1 (0.05) je pětiprocentní kvantil normálního rozdělení.
CVaR ( Conditional Value at Risk) CVaRα (x) je podmíněná střední hodnota výnosností menších než VaRα (x). CVaRα (x) = E(ρ⊤ x|ρ⊤ x < VaRα (x)) Z dat odhadneme CVaR0.95 (x) jako průměr všech pozorování menších než VaR0.95 (x).
21
7 VÝSLEDKY
Výsledky Obrázek 8: Efektivní hranice a)-e) 160
140
120
100
80
60
40 a) Pouze moznost investovat do akcii b) Navic moznost ukladani penez c) Navic moznost ukladani a pujcovani penez d) Navic povoleny kratke prodeje e) Max. vaha 1 titulu je 15%
20
0
0
10
20
30
40
σ(x)
50
Obrázek 9: Efektivní hranice a)-e) - detail 50
45
r(x)
r(x)
7
40
35
4
4.5
5
5.5
6
6.5
σ(x)
22
7
7.5
8
8.5
9
60
7 VÝSLEDKY
a)
Máme pouze možnost investovat do akcií.
Parametry r(x)
36.6261
43.5370
52.4224
63.2823
74.1423
85.0022
95.8621
106.7221
σ(x)
5.4474
6.0450
8.5951
13.6907
19.4430
25.6950
32.5088
40.1202
VaR0.95 (x)
27.3207
32.8241
34.7373
36.2271
38.2279
39.7131
47.8780
51.3441
pVaR0.95 (x)
27.6659
33.5940
38.2847
40.7632
42.1613
42.7377
42.3899
40.7302
CVaR0.95 (x)
24.9645
29.3896
31.6286
33.0128
33.0979
33.1200
39.9458
46.2644
Váhy cez
0.00 %
6.11 %
19.20 %
31.94 %
45.61 %
61.61 %
81.78 %
100.00 %
erste
3.72 %
12.09 %
16.50 %
25.77 %
29.72 %
28.36 %
16.10 %
0.00 %
kb
10.30 %
0.00 %
0.00 %
0.00 %
0.00 %
0.00 %
0.00 %
0.00 %
philip
0.00 %
0.00 %
0.00 %
0.00 %
0.00 %
0.00 %
0.00 %
0.00 %
telef
14.37 %
2.03 %
0.00 %
0.00 %
0.00 %
0.00 %
0.00 %
0.00 %
unipet
0.00 %
0.00 %
0.00 %
5.50 %
8.49 %
7.69 %
2.12 %
0.00 %
prener
32.75 %
38.65 %
31.34 %
11.58 %
0.00 %
0.00 %
0.00 %
0.00 %
setuza
12.82 %
14.59 %
8.86 %
1.13 %
0.00 %
0.00 %
0.00 %
0.00 %
ssz
0.00 %
0.00 %
0.00 %
0.00 %
0.00 %
0.00 %
0.00 %
0.00 %
vcplyn
26.03 %
26.53 %
24.10 %
24.08 %
16.18 %
2.34 %
0.00 %
0.00 %
Investované částky cez
0
122265
384061
638850
912259
1232191
1635511
2000000
erste
74417
241887
330096
515439
594331
567209
322070
0
kb
205918
0
0
0
0
0
0
0
philip
0
0
0
0
0
0
0
0
telef
287471
40560
0
0
0
0
0
0
unipet
0
0
0
109979
169755
153829
42419
0
prener
655058
772907
626726
231517
0
0
0
0
setuza
256469
291866
177163
22684
0
0
0
0
ssz
0
0
0
0
0
0
0
0
vcplyn
520667
530516
481955
481530
323655
46772
0
0
23
7 VÝSLEDKY
b) Kromě možnosti investovat do akcií máme možnost peníze uložit do bezrizikového aktiva s úrokovou sazbou 2%.
Parametry r(x)
2.0000
10.9762
21.9471
38.9021
55.8571
72.8121
89.7671
106.7221
σ(x)
0.0000
1.3055
2.9012
5.3672
10.0971
18.7054
28.5615
40.1202
VaR0.95 (x)
2.0000
8.6813
16.8473
29.4675
34.2454
38.0626
42.6955
51.3441
pVaR0.95 (x)
2.0000
8.8288
17.1750
30.0738
39.2489
42.0444
42.7875
40.7302
CVaR0.95 (x)
2.0000
7.9229
15.1619
26.3495
32.1772
33.0952
35.3500
46.2644
Váhy uložit
100.00 %
78.74 %
52.76 %
12.60 %
0.00 %
0.00 %
0.00 %
0.00 %
cez
0.00 %
1.47 %
3.26 %
6.03 %
23.46 %
43.65 %
69.98 %
100.00 %
erste
0.00 %
2.64 %
5.86 %
10.84 %
19.20 %
29.88 %
24.23 %
0.00 %
kb
0.00 %
0.00 %
0.00 %
0.00 %
0.00 %
0.00 %
0.00 %
0.00 %
philip
0.00 %
0.00 %
0.00 %
0.00 %
0.00 %
0.00 %
0.00 %
0.00 %
telef
0.00 %
0.07 %
0.15 %
0.29 %
0.00 %
0.00 %
0.00 %
0.00 %
unipet
0.00 %
0.00 %
0.00 %
0.00 %
1.40 %
8.59 %
5.79 %
0.00 %
prener
0.00 %
8.37 %
18.60 %
34.41 %
25.63 %
0.00 %
0.00 %
0.00 %
setuza
0.00 %
3.10 %
6.90 %
12.76 %
6.41 %
0.00 %
0.00 %
0.00 %
ssz
0.00 %
0.00 %
0.00 %
0.00 %
0.00 %
0.00 %
0.00 %
0.00 %
vcplyn
0.00 %
5.61 %
12.47 %
23.07 %
23.90 %
17.88 %
0.00 %
0.00 %
Investované částky uložit
2000000
1574803
1055117
251967
0
0
0
0
cez
0
29359
65242
120698
469139
873071
1399637
2000000
erste
0
52727
117171
216766
383948
597653
484523
0
kb
0
0
0
0
0
0
0
0
philip
0
0
0
0
0
0
0
0
telef
0
1394
3098
5732
0
0
0
0
unipet
0
0
0
0
27927
171706
115840
0
prener
0
167394
371987
688176
512658
0
0
0
setuza
0
62098
137996
255293
128290
0
0
0
ssz
0
0
0
0
0
0
0
0
vcplyn
0
112225
249388
461368
478037
357569
0
0
24
7 VÝSLEDKY
c) Kromě možnosti investovat do akcií máme možnost peníze uložit do bezrizikového aktiva s úrokovou sazbou 2% a možnost půjčky od správce porfolia až do 30% hodnoty portfólia se sazbou 7,5% p.a. s čtvrtletním úročením. (tj. můžeme si půjčit částku nejvýše 3/7 našeho kapitálu. Hodnoty ”půjčit” v tabulce Váhy znamenají váhy vzhledem ke kapitálu a ne vzhledem k portfoliu.)
Parametry r(x)
2.0000
14.9257
29.8400
53.7029
77.5657
101.4286
125.2914
149.1543
σ(x)
0.0000
1.8800
4.0492
7.7267
14.9200
27.1183
41.0259
57.3146
VaR0.95 (x)
2.0000
11.6211
22.7223
39.8560
45.6204
51.1584
57.9791
70.0429
pVaR0.95 (x)
2.0000
11.8334
23.1797
40.9936
53.0245
56.8230
57.8098
54.8801
CVaR0.95 (x)
2.0000
10.5289
20.3700
35.4386
42.8089
43.9744
47.4658
62.7862
Váhy půjčit
0.00 %
0.00 %
0.00 %
24.09 %
42.86 %
42.86 %
42.86 %
42.86 %
uložit
100.00 %
69.39 %
34.06 %
0.00 %
0.00 %
0.00 %
0.00 %
0.00 %
cez
0.00 %
2.11 %
4.55 %
9.55 %
34.74 %
63.42 %
100.67 %
142.86 %
erste
0.00 %
3.80 %
8.18 %
15.72 %
28.38 %
42.60 %
34.13 %
0.00 %
kb
0.00 %
0.00 %
0.00 %
0.00 %
0.00 %
0.00 %
0.00 %
0.00 %
philip
0.00 %
0.00 %
0.00 %
0.00 %
0.00 %
0.00 %
0.00 %
0.00 %
telef
0.00 %
0.10 %
0.22 %
0.00 %
0.00 %
0.00 %
0.00 %
0.00 %
unipet
0.00 %
0.00 %
0.00 %
0.00 %
2.59 %
12.21 %
8.06 %
0.00 %
prener
0.00 %
12.05 %
25.96 %
48.49 %
34.58 %
0.00 %
0.00 %
0.00 %
setuza
0.00 %
4.47 %
9.63 %
17.75 %
8.40 %
0.00 %
0.00 %
0.00 %
ssz
0.00 %
0.00 %
0.00 %
0.00 %
0.00 %
0.00 %
0.00 %
0.00 %
vcplyn
0.00 %
8.08 %
17.40 %
32.57 %
34.17 %
24.63 %
0.00 %
0.00 %
Investované částky půjčit
0
0
0
481778
857143
857143
857143
857143
uložit
2000000
1387715
681233
0
0
0
0
0
cez
0
42277
91058
190912
694786
1268372
2013358
2857143
erste
0
75927
163534
314469
567546
851999
682618
0
kb
0
0
0
0
0
0
0
0
philip
0
0
0
0
0
0
0
0
telef
0
2008
4324
0
0
0
0
0
unipet
0
0
0
0
51783
244243
161166
0
prener
0
241048
519180
969899
691639
0
0
0
setuza
0
89422
192601
355048
167972
0
0
0
ssz
0
0
0
0
0
0
0
0
vcplyn
0
161604
348070
651450
683417
492529
0
0
25
7 VÝSLEDKY
d) Máme možnost investovat pouze do akcií a máme povoleny krátké prodeje až do 30% počátečního vkladu.
Parametry r(x)
38.3739
46.3181
57.2415
72.1370
87.0324
101.9279
116.8234
131.7189
σ(x)
5.0582
5.3381
6.9473
13.1853
21.2605
30.3014
40.5952
52.0449
VaR0.95 (x)
29.9607
37.0583
43.5663
47.4116
49.8140
57.1734
60.1035
61.1437
pVaR0.95 (x)
30.0539
37.5378
45.8142
50.4490
52.0620
52.0866
50.0503
46.1127
CVaR0.95 (x)
28.3998
35.0256
41.5144
42.9352
42.9770
48.4849
54.3721
55.2945
Váhy cez
0.01 %
0.06 %
0.17 %
0.34 %
0.54 %
0.79 %
1.08 %
1.30 %
erste
0.12 %
0.28 %
0.39 %
0.51 %
0.54 %
0.44 %
0.21 %
0.00 %
kb
0.07 %
0.00 %
0.00 %
0.00 %
0.00 %
0.00 %
0.00 %
0.00 %
philip
-0.13 %
-0.24 %
-0.30 %
-0.30 %
-0.30 %
-0.30 %
-0.13 %
-0.30 %
telef
0.21 %
0.13 %
0.00 %
0.00 %
0.00 %
0.00 %
-0.17 %
0.00 %
unipet
-0.04 %
-0.03 %
0.01 %
0.09 %
0.13 %
0.07 %
0.01 %
0.00 %
prener
0.39 %
0.41 %
0.39 %
0.13 %
0.00 %
0.00 %
0.00 %
0.00 %
setuza
0.12 %
0.09 %
0.07 %
0.00 %
0.00 %
0.00 %
0.00 %
0.00 %
ssz
0.00 %
0.03 %
0.02 %
0.00 %
0.00 %
0.00 %
0.00 %
0.00 %
vcplyn
0.24 %
0.27 %
0.25 %
0.23 %
0.09 %
0.00 %
0.00 %
0.00 %
Investované částky cez
25427
110575
336987
686943
1071556
1579382
2163795
2600000
erste
242699
557042
777106
1015054
1088986
871367
414519
0
kb
141751
2590
0
0
0
0
0
0
philip
-259553
-481036
-600000
-600000
-600000
-600000
-266549
-600000
telef
413097
254633
0
0
0
0
-333451
0
unipet
-70046
-57471
20237
188005
250112
149251
21686
0
prener
777177
815338
788295
257745
0
0
0
0
setuza
233302
188378
135416
0
0
0
0
0
ssz
8774
69357
35397
0
0
0
0
0
vcplyn
487372
540595
506561
452252
189345
0
0
0
26
7 VÝSLEDKY
e) V souladu s vnitřní politikou investiční společnosti nesmí některý z titulů přesáhnot 15% váhu v celkovém portfóliu.
Parametry r(x)
40.8786
42.8563
47.8007
50.7673
53.7340
56.7006
59.6672
62.6339
σ(x)
8.0567
8.2239
9.2944
10.1087
11.0858
12.5849
14.5120
17.2346
VaR0.95 (x)
20.4687
21.8095
24.9317
27.0005
28.8471
29.7445
30.0858
28.7976
pVaR0.95 (x)
27.6265
29.3291
32.5129
34.1401
35.4994
36.0003
35.7971
34.2854
CVaR0.95 (x)
18.5922
20.0347
23.0802
25.0500
26.6890
27.4201
27.5260
25.2364
Váhy cez
1.02 %
4.43 %
10.45 %
13.82 %
15.00 %
15.00 %
15.00 %
15.00 %
erste
15.00 %
15.00 %
15.00 %
15.00 %
15.00 %
15.00 %
15.00 %
15.00 %
kb
15.00 %
13.87 %
12.73 %
13.84 %
12.82 %
7.43 %
1.73 %
0.00 %
philip
0.86 %
0.00 %
0.00 %
0.00 %
0.00 %
0.00 %
0.00 %
0.00 %
telef
15.00 %
15.00 %
9.48 %
4.04 %
0.00 %
0.00 %
0.00 %
0.00 %
unipet
8.12 %
6.70 %
7.34 %
8.30 %
12.18 %
15.00 %
15.00 %
15.00 %
prener
15.00 %
15.00 %
15.00 %
15.00 %
15.00 %
15.00 %
15.00 %
15.00 %
setuza
15.00 %
15.00 %
15.00 %
15.00 %
15.00 %
15.00 %
15.00 %
15.00 %
ssz
0.00 %
0.00 %
0.00 %
0.00 %
0.00 %
2.57 %
8.27 %
15.00 %
vcplyn
15.00 %
15.00 %
15.00 %
15.00 %
15.00 %
15.00 %
15.00 %
10.00 %
Investované částky cez
20457
88628
209018
276317
300000
300000
300000
300000
erste
300000
300000
300000
300000
300000
300000
300000
300000
kb
300000
277335
254547
276886
256303
148600
34662
0
philip
17230
0
0
0
0
0
0
0
telef
300000
300000
189573
80798
0
0
0
0
unipet
162313
134038
146862
165999
243697
300000
300000
300000
prener
300000
300000
300000
300000
300000
300000
300000
300000
setuza
300000
300000
300000
300000
300000
300000
300000
300000
ssz
0
0
0
0
0
51400
165338
300000
vcplyn
300000
300000
300000
300000
300000
300000
300000
200000
27
